Взаимодействие нелинейных локализованных волн в пузырьковой суспензии

УДК 53

1 2 1 Ю.П. Бодунова , С.А. Коноплев , В.Б. Лисин

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ВОЛН В ПУЗЫРЬКОВОЙ СУСПЕНЗИИ

Нижегородский филиал института машиноведения РАН1, Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Численными и аналитическими методами исследовано распространение и взаимодействие нелинейных солитоноподобных волн в жидкости с пузырьками газа, описываемые двухволновым уравнением Накорякова -Покусаева-Шрейбера (НПШ). Показано, что они существуют в окне «непрозрачности» для линейных волн и при встречном взаимодействии могут распадаться на вторичные локализованные волны.

Ключевые слова: пузырьковая суспензия, двухволновое уравнение, локализованная волна, солитон, встречное столкновение, обгонное взаимодействие.

1. Постановка задачи

Среда, в которой скорость распространения возмущений зависит от частоты осцилляции, называется диспергирующей. Таким свойством обладают, в частности, газожидкостные смеси. Простейшей моделью в данном случае является идеальная, покоящаяся, неограниченная по объему жидкость с равнораспределенными в ней газовыми пузырьками, сохраняющими массу и сферическую форму. Пузырьки находятся на достаточном удалении друг от друга, так что непосредственные столкновения отсутствуют. Эффективные радиусы присоединенных масс жидкости меньше расстояния между пузырьками, и взаимодействие осуществляется только через поле давлений. Система уравнений, описывающих распространение возмущений в такой среде, состоит из уравнения движения смеси, уравнения непрерывности и уравнения осцилляции пузырьков [1-3]:

ды ды 1 др

— + ы— =---— ,

дХ дх р дх

др дры • + = 0,

R

dt дх d2 R 3 ( dRN 2

3 (dR \ 1 { ,

+ 3|-RI = — P -Р»),

dt2 2 ^ dt J Pi 2

где u, p и p = (l -ф)р1 +ФР2 - соответственно, скорость, давление и плотность смеси; р1, р2 - плотности жидкости и газа; ф - объемная доля газовых пузырьков в смеси; R - радиус пузырьков, p 2 - давление газа в пузырьках; pm = const - давление газа вне пузырьков. Изменение давления в газовом пузырьке связано с изменением плотности смеси соотношением

"iр"

2ФоРо

Р2 = С0

Р.

Здесь с0 - скорость звука в невозмущенной смеси, а остальные обозначения совпадают с обозначениями в [1]. Система (1)-(3) может быть приведена к одному уравнению:

д2p 2 д2p я2~2 # - С2 ^т+0-^2

dt2 0 дх2 dt2

2 2 2 д p 2 д p д p

^дг1 Cl дх2J

= ,

© Бодунова Ю.П., Коноплев С.А., Лисин В.Б., 2010.

где с - скорость звука в чистой жидкости; р - параметр дисперсии, а = (у +1)/2ур0 - коэффициент нелинейности. Уравнение (4) похоже на уравнение Буссинеска, но в отличие от него имеет четвертую производную по времени и описывает два типа волн, сильно взаимодействующих в окрестности внутреннего резонанса. Назовем его уравнением НПШ (Накорякова-Покусаева-Шрейбера), по первым буквам фамилий авторов, впервые применивших (4) для изучения распространения и взаимодействия нелинейных волн в жидкостях с газовыми пузырьками. Уравнение (4) содержит два волновых оператора со скоростями с0 и с. Основной сигнал распространяется со скоростью с0, а возмущения, описываемые оператором высшего порядка, выделяют предвестник сигнала, который распространяется со скоростью с •

Уравнение НПШ является сложным для аналитического и численного исследования, поэтому обычно рассматривают его одноволновый вариант, сводящийся к уравнению Корте-вега-де Вриза [1, 3-5]. Однако, как показывает анализ, свойства нелинейных волн, полученных в рамках одноволнового приближения, отличаются от свойств стационарных волн полного уравнения [7, 8] и, кроме того, в рамках одноволнового приближения нельзя исследовать взаимодействия локализованных волн при встречных столкновениях [9, 10]. В настоящей работе проведено исследование процессов распространения и взаимодействия локализованных волн в рамках полного уравнения НПШ.

2. Анализ дисперсионных свойств линейных волн

В линейном приближении свойства решений уравнения (4) полностью определяются его дисперсионными свойствами [6]. Подставляя в него решение в виде бегущей волны р <х ехр [/(ш7 - кх)], находим, что ее частота ш и волновое число к связаны дисперсионным соотношением (рис. 1, а):

ш2 -е20к2--С4

qQ0

ш2(ш° -с2к2)= 0 .

Здесь ш2 = с2/рс2 = 3ур/р^ - квадрат резонансной частоты Миннаерта [1]. Дисперсионное соотношение можно записать также и для фазовой скорости волны V ^ = ш/к (рис. 1, б):

1 с2

1 -ш2

где введена безразмерная частота ш = ш/

шг

i2 Со2/

а)

2

Рис. 1. Дисперсионные зависимости для суспензии:

а — связь между волновым числом и частотой; б — зависимость фазовых скоростей от частоты

Из рисунков видно, что в отличие от уравнения Буссинеска, уравнение НПШ обладает двумя дисперсионными ветвями, между которыми имеется окно «непрозрачности» в интер-

вале

частот от ю = ю0 до ю = ю* = ю0с0) и в интервале скоростей от с0 до ^. Иначе гово-

ря, пузырьковая суспензия является фильтром акустических волн. В диапазоне частот от до ю = ю* = ю0 (с1/ с0) формула (6) дает для скорости чисто мнимое значение, и поэто-

ю = ю

му волна давления является не распространяющейся. Фазовая скорость низкочастотной моды всегда меньше С0 , а высокочастотной моды всегда больше с1. При ю фазовая скорость низкочастотной волны уменьшается до нуля. В этом случае каждый пузырек в системе осциллирует со своей собственной частотой, и фазовая скорость равна нулю. При частоте колебаний ю = ю* получаем бесконечно большое значение фазовой скорости волны скорости. При дальнейшем увеличении частоты фазовая скорость стремится к скорости волны в чистой жидкости (рис. 1, б).

3. Нелинейные уединенные волны

Будем искать решение уравнения (4) в виде стационарной волны:

рМ=р

Здесь Ь, = х - Vt - бегущая координата; V - скорость стационарной волны, подставив (7) в уравнение (4), последнее запишется в виде

рту2^2 -с2)+1 рй^2 -с2V2(р2^ = 0 .

Проинтегрируем (8) по переменной два раза и, учитывая условия локализации волны |р| ^ 0, |р^ | ^ 0 и |р^ | ^ 0 при ^ ^ , получим

а

V2 - с02 _ Р* + р^2^2) Р р^2 - с2

1) '

0.

Коэффициенты уравнения (9) являются функциями скорости стационарной волны:

а = -

V2-с! - с2 1

ъ = -

а

pV 2 (V2 - с2 ),

Тогда (9) можно записать в следующем виде:

р^ +ар + Ър2 = 0.

Знак первого коэффициента меняется дважды при переходе скорости стационарной волны через значения ^0 и с, а знак второго - один раз.

Структура фазовой плоскости уравнения (9) зависит от параметров V, с0 и с1. На рис. 2 показаны фазовые портреты динамической системы для различных соотношений между ними.

V<c1 <с2 ; а> 0, Ъ> 0

с1 <^<с2 ; а< 0, Ъ> 0 V > с1 > с2 ; а> 0, Ъ< 0

Рис. 2. Фазовые портреты динамической системы

2

Из рис. 2 видно, что решение в виде уединенной волны с нулевыми асимптотиками при ^ ^ возможно лишь для случая, когда ее скорость удовлетворяет условию <с2 .

Это означает, что нелинейные локализованные волны могут существовать в окне «непрозрачности» для линейных возмущений (рис. 1, б).

Будем искать решение в виде локализованной волны

Ж)=

сИ2/А)'

Оно удовлетворяет уравнению (9), если его ширина А, амплитуда А и скорость V связаны двумя соотношениями

[р V2

А = 2,

V

V2 - Со2

2а

Г с2Л 1 -

V V2 У

Из соотношений (12) следует, что в пузырьковой суспензии стационарными могут быть только воны с положительным градиентом давления (А > 0), т.е. волны сжатия. На рис. 3 приведены графики зависимости ширины (рис. 3, а) и амплитуды уединенной волны (рис. 3, б) от скорости.

Рис. 3. Связь между параметрами уединенной волны:

а - зависимость ширины от скорости; б - зависимость амплитуды от скорости

Для анализа взаимодействия нелинейных волн удобно ввести параметр подобия

о =

а АА2

6ß(q2 - V2 )"

Для стационарной волны (солитона) он равен единице. При а < 1 преобладают эффекты дисперсии над нелинейностью, и начальное возмущение с течением времени расплывается, превращаясь в квазилинейный волновой пакет. При значениях а > 1 преобладают нелинейные эффекты, и начальное возмущение по мере распространения может распадаться на вторичные уединенные волны и квазилинейный волновой пакет [9, 10].

4. Результаты численного моделирования

Для численного моделирования уравнения (4) использовались неявные трехслойные разностные схемы с порядком аппроксимации 0(т2,И2). Реализовывалась данная схема с использованием метода прогонки. При численном моделировании начальные условия задавались в соответствии с решениями (11)-(12), а граничные условия реализовывались с помощью введения фиктивных узлов, дающих ту же точность аппроксимации, что и разностная схема. Задача решалась со следующими параметрами: шаг по координате был равен И = 0,07,

т.е. на длительность солитона приходилось примерно А/И « 9 пространственных шагов по сетке. Шаг по времени находился из условия устойчивости разностной схемы и выбирался равным т = 0,0008, т.е. на один шаг по пространственной координате приходилось примерно девять шагов по времени.

Анализ результатов численного моделирования показал, что при ст = 1 начальное возмущение совпадает с солитоном, поэтому с течением времени оно не изменяло своей формы, распространялось со скоростью, зависящей от амплитуды, и было устойчиво относительно малых возмущений.

Эволюция слабонелинейной волны

В случае, когда а < 1 волна не является стационарной. На рис. 4 представлены результаты численных расчетов нелинейной эволюции волны давления (рис. 4, а) и интеграла от давления (рис. 4, б) при параметре подобия а = 0,1. В качестве начального условия в начале координат задавалось избыточное давление. При этом интеграл от давления представлял собой «ступеньку». С течением времени начальное возмущение распадалось на две волны, бегущие в противоположных направлениях. Из графиков видно, как от начальной «ступеньки» давления отделяется слабое квазигармоническое возмущение, бегущее с большей скоростью.

б)

Рис. 4. Образование бегущих волн из начального возмущения давления:

а - эволюция волны давления при а = 0,1; б - эволюция интеграла от давления при а = 0,1

Распад начального возмущения на солитоны

Если параметр подобия а > 1, то начальное условие распадается на несколько уединенных волн («солитонов»). Для исследования этого процесса амплитуда начальной волны задавалась равной А = 30, а ее ширина А выбиралась из условия, чтобы параметр подобия (13) изменялся в пределах а = 3,...$. Вводился параметр, характеризующий временную длительность солитона Т0 = А / V , в нашем случае задавалось Т0 « 81т , т.е. солитон смещался на расстояние, равное своей длительности за 81 шаг по времени. Шаг по времени находился из условия устойчивости разностной схемы. Абсолютные значения шагов по времени и координате были те же, что и в предыдущем случае.

Профиль начального возмущения мог задаваться в виде солитоноподобной (колоколо-образной) волны (11), либо в виде полусинусоиды

x < 100,

x < 100,

p( x,0) = A sin(-), A

p(x,0) = 0, x > 100, либо в виде сглаженной полусинусоиды

x

p( x,0) = A(1 - cos(-)), A

p( x,0) = 0, x > 100.

При задании начального условия в виде (14) на «подошве» волны, т.е. при p = 0, имелись разрывы производных, а при начальном условии вида (15) их не было. Число солитонов, образующихся из начального возмущения, зависело от величины параметра подобия. Так, на рис. 5 показан результат нелинейной эволюции начального импульса (14), распавшегося на семь «солитонов» через промежуток времени t1 = 5 • 10 4 т .

Рис. 5. Распад начального возмущения на семь солитонов

«V ™ -мм ^ А 0 100 200 300 400 500 600 700 600 900 X

Рис. 6. Обгонное взаимодействие локализованных волн

Рис. 7. Встречное взаимодействие уединенных волн

Взаимодействие уединенных волн

Для исследования взаимодействия волн начальные условия задавались в виде двух со-литонов (11) с различными амплитудами, а их центры масс были разнесены на расстояние

Ах =1 1:

Ро

Здесь 2 - координаты центров масс солитонов при t = 0. Шаги по времени и координаты были выбраны следующим образом: h = 0,07, т = 0,0008. Величины амплитуд начальных возмущений были равны A = 30 , A2 = 12 , а их ширина выбиралась так, чтобы параметры подобия обеих волн были равны единице. На рис. 6 представлены результаты моделирования обгонного взаимодействия двух солитонов.

Из рис. 6 видно, что после выхода из области взаимодействия солитоны сохраняют свою индивидуальность, что находится в полном соответствии с теорией солитонов.

Однако нелинейные волны уравнения (9) обладают свойствами, отличающими их от классических солитонов. А именно, при встречных столкновениях они могут расщепляться, порождая вторичные локализованные волны, если их амплитуды превышают некоторое критическое значение. Так, на рис. 7 приведены результаты численных расчетов взаимодействия однополярных уединенных волн при встречных столкновениях. Начальные скорости солито-нов равнялись V = -2, и V2 = 2,2. Из рис. 7 видно, что первичные локализованные волны после взаимодействия расщеплялись, порождая вторичные локализованные волны меньшей амплитуды.

Заключение

Проведенные исследования показали, что солитоноподобные волны в жидкости с пузырьками газа, описываемые двухволновым уравнением (4), могут существовать только в окне «непрозрачности» для линейных волн. Во многом они похожи на солитоны, описываемые уравнением Кортевега-де Вриза, и однако при взаимодействиях они проявляют новые свойства, отличающие их от классических солитонов.

Авторы признательны А.И. Потапову за помощь в постановке задачи и обсуждении полученных результатов. Работа выполнена при финансовой поддержке грантом РФФИ (проект, 09-02-97053-р_поволжье).

Библиографический список

1. Накоряков, В.Б. Волновая динамика газо- и парожидкостных сред / В.Б. Накоряков, Б.Г. По-кусаев, И.Р. Шрейбер. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 249 с.

2. Наугольных, К.А. Нелинейные волновые процессы в акустике / К.А. Наугольных, Л.А. Островский. - М.: Наука, 1990. - 239 с.

3. Нигматулин, Р.И. Динамика многофазных сред / Р.И. Нигматулин. - М.: Наука, 1987. Т. 2. -360 с.

4. Ким, Д.Ч. Физическая природа акустических солитонов в жидкости с распределенными пузырьками газа / Д.Ч. Ким // ДАН, 2008. Т. 418. Вып. 5. С. 619-623.

5. Ким, Д.Ч. К теории акустических солитонов в жидкости с распределенными пузырьками газа / Д.Ч. Ким // ЖТФ, 2007. Т. 77. Вып. 6. С. 8-12.

6. Островский, Л.А. Введение в теорию модулированных волн / Л.А. Островский, А.И. Потапов. - М.: Физматлит, 2003. - 400 с.

7. Алексеев, В.Н. Распространение стационарных звуковых волн в пузырьковых средах / В Н. Алексеев, С.А. Рыбак // Акуст. журн. 1995. Т. 41. Вып. 5. С. 690-698.

8. Potapov, A.I. Normal waves in a nonlinear dispersive medium / A. I. Potapov, Yu.P. Bodunova // Nonlinear Dynamics / Proc. of the Second Intern. Conference. - Kharkov National Technical University. 2007. P. 231-236.

9. Коноплев, С.А. Численное моделирование взаимодействия нелинейных уединенных волн в среде с пространственной дисперсией // Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой: НАН0МЕХ-2009: тез. докл. Первой Всероссийской конференции / НГТУ. -Н. Новгород. 2009. С. 116-124.

10. Бодунова, Ю.П. Распространение и взаимодействие нелинейных волн в среде с микроструктурой / Ю.П. Бодунова, С.А. Коноплев // Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой: НАН0МЕХ-2009: тез. докл. первой Всероссийской конференции / НГТУ. -Н. Новгород. 2009. С. 111-112.

Дата поступления в редакцию 26.01.2010

U.P Bodunova, S.A. Konoplev, V.B. Lisin INTERACTION OF NONLINEAR LOCALIZED WAVES IN THE BUBBLE SUSPENSION

Soliton-like waves propagation and interaction in a fluid with bubbles of the gas, which described by two wave NPSh-equation are investigated by numerical and analytical methods. It is shown, that they exist in a window of "blackness" for the linear waves and at head-on interaction they can split-up on the secondary solitary waves.

Key words: bubble suspension, two wave equation, localized wave, soliton, head-on collision, overtaking interaction.