Интеграл хенстоковского типа на компактном нульмерном метрическом пространстве и представление квазимеры

3. Иванов А.О., Тужилин А.А. Теория экстремальных сетей. М.; Ижевск: Изд-во Ин-та компьютерных исследований, 2003.

4. Deza M.M., Deza E. Encyclopedia of Distances. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2009.

5. Зарецкий К.А. Построение дерева по набору расстояний между висячими вершинами // Успехи матем. наук. 1965. 20, № 6. 90-92.

6. Simöes-Pereira J.M.S. A note on the tree realizability of a distance matrix //J. Combin. Theory. 1969. 6. 303-310.

Поступила в редакцию 16.09.2010

УДК 517.518.43

ИНТЕГРАЛ ХЕНСТОКОВСКОГО ТИПА НА КОМПАКТНОМ НУЛЬМЕРНОМ МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КВАЗИМЕРЫ

В. А. Скворцов1, Ф. Тулоне2

Изучаются свойства интеграла хенстоковского типа, который определяется на компактном нульмерном метрическом пространстве. Получены теоремы об интегральном представлении так называемых квазимер — линейных функционалов на пространстве "полиномов", определенных на пространстве указанного вида.

Ключевые слова: интеграл Хенстока-Курцвейля, нульмерное метрическое пространство, базис дифференцирования, квазимера, интегральное представление линейных функционалов.

Properties of a Henstock type integral defined on a compact zero-dimensional metric space are studied. Theorems on integral representation of the so-called quasi-measures, i.e., linear functionals on the space of "polynomials" defined on the space of the above mentioned type are obtained.

Key words: Henstock-Kurzweil integral, zero-dimensional metric space, derivation basis, quasi-measure, integral representation of linear functionals.

В [1] мы определили дифференциальный базис на компактном нульмерном метрическом пространстве и интеграл хенстоковского типа относительно этого базиса. Указанный интеграл был применен для решения некоторой задачи гармонического анализа. В данной работе мы продолжаем изучение свойств этого интеграла и получаем более общие, чем в [1], теоремы об интегральном представлении так называемой квазимеры. Подобные результаты получены нами ранее в случае нульмерной группы [2]. Как мы увидим, методы работы [2] могут быть применены и в случае нульмерного метрического пространства, не обладающего групповой структурой.

Напомним некоторые обозначения и определения из [1]. Пусть определена последовательность {Cn\c^Ll покрытий компактного нульмерного метрического пространства X, такая, что

(a) элементы Kn покрытия Cn при каждом фиксированном n не пересекаются и являются открыто-замкнутыми множествами;

(b) каждый элемент покрытия Cn содержится в некотором элементе покрытия Cn_i при n ^ 2;

(c) Ci = {X};

(d) Un=i Cn образует базу топологии в X.

Поскольку пространство X компактно, покрытие Cn конечно при каждом n Е N. Пусть Cn =

г m

|Kn j . Условимся, что Kn обозначает произвольный элемент покрытия Cn. Для каждого x Е X

1 Скворцов Валентин Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vaskvor2000@yahoo.com.

2 Тулоне Франческо — науч. сотр. Департамента математики и информатики Университета г. Палермо (Италия), e-mail: tulone@math.unipa.it.

и п € N обозначим через КХ единственный элемент Кп покрытия Сп, который содержит х. Тем самым для каждого х определяется единственная последовательность {К'П}п, такая, что

П КП = {х}.

п

Предположим также, что на X определена вероятностная борелевская мера Тогда для каждого фиксированного п имеем

т

Е ¡КП) = 1.

3=1

Эта мера естественным образом продолжается до полной меры на X.

Далее, считая последовательность {Сп}с^=1 и меру л фиксированными, определим дифференциальный базис В в X. Для произвольной функции V : X ^ N определим базисное множество

/Зи := {(1,х) : х € X, I = КП,п ^ V(х)}.

Тогда базис В в X определяется как семейство базисных множеств }„, где индекс V пробегает по множеству всех натуральнозначных функций на X. Обозначим через I объединение УСп, а элементы из I будем называть В-интервалами.

Так определенный базис обладает всеми общими свойствами дифференциальных базисов (см. [3, 4]), включая свойство базы фильтра.

Назовем ви-разбиением любой конечный набор п элементов из ви при условии, что для двух различных элементов (1',х') и (1",х") из п В-интервалы I' и I" не пересекаются. Если для некоторого В-интервала Ь выполнено соотношение У ^ х)еп I С Ь, то п назовем ви-разбиением в интервале Ь. Если же и(I х)еп I = Ь, то п назовем ви-разбиением интервала Ь.

В [1] отмечено, что для каждого В-интервала Ь и для каждого ви € В существует ви-разбиение интервала Ь. В случае нашего базиса В для фиксированной точки х € X каждое ви-разбиение содержит только одну пару (^,х), содержащую х.

Все функции множества и функции точки, рассматриваемые ниже, предполагаются действительнозначными.

Определение интеграла хенстоковского типа относительно нашего базиса можно сформулировать в следующей форме.

Определение 1. Функция / на Ь € I называется интегрируемой в смысле Хенстока-Курцвейля относительно базиса В (или Нв-интегрируемой) на Ь и значение Нв-интеграла равно А, если для любого £ > 0 существует функция V : Ь ^ N такая, что для каждого ви-разбиения п интервала Ь выполняется неравенство

Е / (х)л! - А

(I , х)еп

< £.

Значение интеграла А обозначим (Нв) ^ /.

В [1] отмечено, что если / является Нв-интегрируемой на Ь и / = Н почти всюду, то Н также Нв-интегрируема на Ь и значения интегралов совпадают. Этот факт позволяет обобщить определение 1 на случай функций, определенных только почти всюду на Ь.

Определение 2. Функция /, определенная почти всюду на Ь € I, называется Нв -интегрируемой на Ь и значение Нв-интеграла равно А, если функция

/1(х) : =

( / (х), где / (х) определена; 0 в противном случае

Нв-интегрируема на Ь в смысле определения 1 со значением интеграла, равным А.

Заметим, что если / является Нв-интегрируемой на Ь € I, то она Нв-интегрируема также на любом В-интервале К С Ь. Тем самым задан неопределенный интеграл ^(К) = (Нв)/к /. Нетрудно проверить, что неопределенный Нв-интеграл ^ является аддитивной функцией В-интервала на множестве всех В-подынтервалов интервала Ь.

Существенная часть теории интегралов хенстоковского типа базируется на так называемой лемме Колмогорова-Хенстока (см., например, [3, теорема 1.6.1]). В применении к нашему случаю эта лемма формулируется следующим образом.

Лемма 1. Если функция f Нв-интегрируема на B-интервале L, F —ее неопределенный Нв-интеграл, то для любого е > 0 найдется функция v : L ^ N, такая, что для каждого ßv -разбиения п в интервале L выполнено неравенство

\f

(I,x)en

Доказательство может быть получено по аналогии со случаем, когда L является отрезком действительной оси (см. [5, теорема 3.2.1] и [6, лемма 3.9]).

Для функции множества F, определенной на I, верхнюю и нижнюю B-производную в точке x относительно базиса B и меры ц определим как

— F

DBF(x):= limsup-^f и DBF{x) := lim inf

n^OO n^ oo li

соответственно. Если DßF{x) = DßF(x)i то скажем, что F B-дифференцируема в ж и ее В-производная DbF(x) равна этому общему значению.

Следующая теорема была доказана в [1, теорема 1].

Теорема 1. Если функция f является Hb-интегрируемой на B-интервале L, то ее неопределенный Hb-интеграл B-дифференцируем почти всюду на L, причем DbF(x) = f (x) почти всюду на L.

Функция F на I называется B-непрерывной в точке x, если lim F(К'П) = 0.

Заметим, что всякая неатомическая мера ц на X B-непрерывна в каждой точке.

Используя лемму 1, легко показать, что неопределенный интеграл Hb-интегрируемой на L El функции B-непрерывен в каждой точке из L, если мера ц является неатомической. В самом деле, зафиксировав е > 0 и точку x E L, мы найдем v : L ^ N в соответствии с леммой 1 и применим неравенство (1) к ßv-разбиению в L, образованному единственной парой (I,x). В результате получим неравенство \f (x)ß(I) — F(I)\ < е. Поскольку мера неатомическая, мы можем положить f (x) = 0, не меняя при этом значение интеграла, и тогда \F(I)\ < е для (x,I) E ßv, что и означает B-непрерывность F в x.

Функция B-интервала M (соответственно m) называется B-мажорантой (B-минорантой) функции f : X ^ R, если она супераддитивна (субаддитивна) и для всех x E X выполняется неравенство ДвМ(ж) ^ /(ж) (соответственно Dßm{x) ^ f(x)).

Следующая теорема доказывается стандартным образом (см. [6, теорема 9.12]).

Теорема 2. Пусть функция f является Нв-интегрируемой на X и Ф — ее неопределенный Hb -интеграл. Тогда для любого е > 0 существуют B-мажоранта Me и B-миноранта me функции f, такие, что

0 < Me

При дополнительном предположении, что мера ц является неатомической, можно доказать, используя схему доказательства в [7, теорема 3], следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть ц является неатомической мерой на X, функция f Нв-интегрируема на X и Ф — ее неопределенный Нв-интеграл. Тогда для любого е > 0 существуют B-непрерывная B-мажоранта Me и B-непрерывная B-миноранта me функции f, такие, что выполнены неравенства (2).

Для доказательства следующей теоремы нам потребуется несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 2. Пусть ф — супераддитивная функция B-интервала. Если она на некотором элементе Кп покрытия Cn удовлетворяет неравенству ф(Кп) ^ aß(Kn) с некоторой константой а, то существует по крайней мере один элемент Кп+1 покрытия Cn+\, такой, что Кп+1 С Кп и ф(Кп+1) ^ aß(Kn+1).

Доказательство может быть получено прямым вычислением.

Из этой леммы вытекает следующая

Лемма 3. Пусть ф — супераддитивная функция B-интервала. Если Овф(х) ^ 0 всюду на X, то ф(К) ^ 0 для каждого B-интервала К.

Если мера неатомическая, то справедливо следующее обобщение предыдущей леммы.

Лемма 4. Пусть ф — супераддитивная функция B-интервала и ц — неатомическая мера на X. Если Овф(х) ^ 0 всюду на X, кроме точек счетного множества Е, где ф удовлетворяет неравенству

lim inf фК)) < 0 < limsup фК),

то ф(К) ^ 0 для каждого B-интервала К.

Ф

Доказательство. Пусть существует £>-интервал Кп, такой, что = а < 0. При этом предполо-

жении покажем, что для некоторого натурального m > n существуют по крайней мере два B-интервала Km и К2т, такие, что

ß

для каждого интервала Кr, для которого выполнено одно из включений: Km С Кr С Kn или Кm С Kr С Kn при n < r ^ m. Предположим противное. Тогда, следуя схеме доказательства утверждения 1 из [7], мы построим по индукции убывающую последовательность вложенных B-интервалов {Kn+s}^= i, сходящуюся к точке x и такую, что (4) выполняется для всех r = n + s ^ n ив то же время выполняется соотношение

ф.

с некоторой константой Ь. Следовательно, DB(p(x) ^ а < 0, и поэтому х G Е. С другой стороны, переходя к пределу в неравенстве (5) при s и используя неатомичность меры мы получаем lim sup ф(Kn+s) ^

b < 0, что очевидным образом противоречит неравенству (3) в точках множества E. Таким образом мы доказали существование по крайней мере двух B-интервалов, удовлетворяющих свойству, описанному

в (4).

Для каждого из этих двух полученных выше B-интервалов мы повторим предыдущие рассуждения и придем к четырем B-интервалам с соответствующими свойствами. Продолжая этот процесс по индукции, мы получим континуум убывающих последовательностей вложенных ß-интервалов, порождающих континуум точек х, в которых Ивф{х) ^ а < 0. Это противоречит счетности множества Е.

Из теоремы 2 и леммы 3 вытекает следующая теорема о восстановлении первообразной. Теорема 4. Пусть аддитивная функция B-интервала F и Hb-интегрируемая функция f удовлетворяют, неравенству

RBF

всюду на X. Тогда Db(F(x)) = f (x) почти всюду на X и F является неопределенным Hb-интегралом функции f.

Доказательство. Из Hb-интегрируемости f на X и теоремы 2 следует, что для фиксированного £ > 0 найдутся B-мажоранта Me и B-миноранта m£, такие, что

DBme

и выполнены неравенства (2). Пусть Ф^) = (Hb)fK f — неопределенный Hb-интеграл функции f. В силу соотношения (2), примененного к B-интервалу K, мы получим Me(K) ^ Ф^) + £ и Ф^) — £ ^ me(K). Из (7) и предположения (6) следует выполнение неравенств

DB{Me{x) - F{x)) > DBMe{x) - DBF{x) > DBMe{x) - f(x) > 0

в каждой точке x E X. Таким образом, предположения леммы 3 выполнены для разности Me — F и мы получаем неравенство Me(K) — F(K) ^ 0 для каждого B-интервала K. Аналогично проверяется, что me(K) — F(K) ^ 0 для любого B-интервала K. В результате

Ф^) — £ < me(K) < F(K) < Me(K) < Ф^) + £.

В силу произвольности £ получаем равенство Ф^) = F(K) для любого B-интервала K. Кроме того, из B-дифференцируемости Hb-интеграла следует, что DbF (x) = f (x) почти всюду на X, что и требовалось доказать.

В случае неатомической меры мы можем, воспользовавшись теоремой 3 и леммой 4, прийти к следующему варианту теоремы о восстановлении первообразной.

Теорема 5. Пусть мера /л на X является неатомической, и пусть аддитивная функция B-интервала F и Hb-интегрируемая функция f удовлетворяют неравенству

DBF{x) < f{x) < DBF{x)

всюду на X, исключая счетное множество E, где

lim inf F

Тогда DbF(x) = f (x) почти всюду на X и F является неопределенным Hb-интегралом функции f.

Доказательство. Пусть Ф(К) = (Hb)fK f — неопределенный Hb-интеграл функции f. По теореме 3 для каждого е > 0 существуют B-непрерывная B-мажоранта Me и B-непрерывная B-миноранта ш£, такие, что

DBme

и для них выполняются неравенства (2). В силу неравенств (2), примененных к произвольному B-интервалу К, получаем Me(K) ^ Ф(К) + е и Ф(К) - е ^ ше(К). Из (10) и предположения (8) имеем

DB{Me{x) - F{x)) > DBMe(x) - DBF{x) > DBMe(x) - f(x) > 0

при x E X \ E.

Напомним, что B-непрерывность Me означает, что limn—+Ж Ме(КП) = 0 при каждом x E X. Объединяя это с (9), получаем для каждого x E E

liminf(Me(Kn) - FК)) = lim Ме(К'П) - lim sup FК) < 0 <

n—Ж n—Ж n >Ж

< lim Me^n) - liminf F(К?) = l^sup^^) - F(К?)).

n—>Ж n—>Ж n_>00

Далее, используя лемму 4 вместо леммы 3, мы завершаем доказательство так же, как в предыдущей теореме.

Пусть XA обозначает характеристическую функцию множества A С X, и пусть P(X) — множество всевозможных линейных комбинаций функций Хк, где К пробегает множество I. Элементы множества P(X) назовем B-полиномами. Поскольку каждое К открыто-замкнуто и I порождает топологию в X, то P (X) является всюду плотным линейным подпространством в пространстве непрерывных функций C (X). Элементы пространства P(X)*, сопряженного (алгебраически) к P(X), принято называть квазимерами (см. [8]). Значение квазимеры S на функции g E P(X) обозначим через (S,g).

Квазимера может быть задана своими значениям (S, Хк) для всех К E UЖ=1 Cn. Корректность такого задания будет обеспечена следующим предположением аддитивности:

Для квазимеры S, точки x E X и п E N определим n-ю частную сумму "ряда Фурье" квазимеры S в x равенством

Sn

Эта терминология оправдана тем, что в некоторых частных случаях, когда X является нульмерной компактной группой, такие равенства действительно задают значение частных сумм ряда Фурье по системе характеров группы (см. [2]).

Легко видеть, что sn(S) постоянна на элементах покрытия Cn. Значит, sn(S) E P(X) при всех п. Элемент f из L1 (ß) может рассматриваться в качестве квазимеры, если его значение в g E P(X) определить равенством

(f,g) = (fdß,g) := / fg dß.

JX

x

Таким же образом любая интегрируемая (в некотором подходящем смысле) функция / на X порождает некоторую квазимеру. В частности, это верно для Нв-интегрируемой функции. В случае функции, интегрируемой по Лебегу, соответствующая квазимера представляет собой ограниченный линейный функционал на Р (X), но в общем случае квазимера в качестве линейного функционала на пространстве Р (X) с вир-нормой необязательно ограничена. Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть квазимеру, порожденную Нв-интегрируемой функцией, которая не является абсолютно Нв-интегрируемой.

Каждой квазимере 5 мы можем поставить в соответствие функцию Б-интервала Р, определенную на каждом Б-интервале К равенством Р(К) := (Б,Хк). Она аддитивна на I. В этой терминологии мы можем переписать (12) в виде равенства

р

которое дает очевидные соотношения между Б-дифференцируемостью в точке х функции ^ и сходимостью в х частных сумм (12), в частности

Итш! х) = Де-Р

п—>оо

n

Мы покажем, что любая квазимера 5 при определенных предположениях относительно поведения частных сумм вп(3, х) может быть представлена Нв-интегрируемой функцией. Сначала будет доказана следующая

Лемма 5. Квазимера Б порождается Нв-интегрируемой функцией / тогда и только тогда, когда (Б,Хк) = (Нв) /к / для любого Б-интервала К.

Доказательство. Как уже упоминалось, квазимера задается своими значениями на характеристических функциях всех Б-интервалов. Поэтому достаточно заметить, что

(Hb) / f = (Hb) / fXK jk jx

K JX

и что равенство (11) выполняется в силу аддитивности Hb-интеграла.

Прямым следствием равенства (13) и теоремы 1 является

Теорема 6. Если квазимера S порождена Hb-интегрируемой функцией f, то суммы (12) почти всюду сходятся к f.

Теперь, опираясь на лемму 5 и равенство (14) и применяя теорему 4 или теорему 5 соответственно, мы получим следующие два результата, касающиеся интегрального представления квазимеры с помощью Hb-интеграла.

Теорема 7. Пусть Hb-интегрируемая функция f и частные суммы sn(S), построенные для квазимеры S, связаны неравенством

liminf sn

n n—

всюду на X. Тогда последовательность sn(S,x) сходится к f почти всюду и квазимера S допускает представление в виде (S,g) = (f, g) = (Hb) fX fg на каждом B-полиноме g E P(X).

Теорема 8. Пусть мера / является неатомической, и пусть Hb-интегрируемая функция f и частные суммы sn(S), построенные для квазимеры S, связаны неравенством (15) всюду на X, кроме, быть может, счетного множества E, где выполнено неравенство

lim inf

n n—

Тогда последовательность sn(S,x) сходится почти всюду к f и квазимера S допускает представление в виде (S,g) = (f,g) = (Hb) fx fg на каждом B-полиноме g E P(X).

Следствие. Пусть мера / является неатомической, пусть Hb-интегрируемая функция f и частные суммы sn(S), построенные для квазимеры S, связаны неравенством (15) почти всюду на X и соотношение

lim sup I sn (S, x)| < ж

выполняется всюду, кроме, быть может, счетного множества E, где выполнено неравенство (16). Тогда последовательность sn(S,x) сходится почти всюду к f и квазимера S допускает представление в виде (S,g) = (f,g) = (Hb) fx fg на каждом B-полиноме g E P(X).

Доказательство. Пусть A — множество, где неравенство (15) не выполняется. Тогда достаточно заметить, что функция ф, определенная как

{f (x), если x E X \ A;

lim sup sn (S, x), если x E A \ E,

n—Ж

удовлетворяет предположениям теоремы 8.

В заключение заметим, что при наложении более сильных условий на характер сходимости последовательности частных сумм в последней теореме мы получим аналогичный результат, в котором априорное предположение Нв-интегрируемости функции f можно опустить (см. [1]).

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 11-01-00321, гранта "Ведущие научные школы

РФ" НШ-979.2012.1 и гранта Института математики Быдгощского университета (University of Bydgoszcz,

Poland).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Skvortsov V.A, Tulone F. Representation of quasi-measure by Henstock-Kurzweil type integral on a compact zero-dimensional metric space // Georg. Math. J. 2009. 16, N 3. 575-582.

2. Skvortsov V.A., Tulone F. Henstock-Kurzweil type integral in Fourier analysis on zero-dimensional group // Tatra Mount. Math. Publ. 2009. 44. 41-51.

3. Ostaszewski K.M. Henstock integration in the plane // Mem. AMS. 1986. 63, N 353.

4. Thomson B.S. Derivation bases on the real line // Real Anal. Exchange. 1982/83. 8, N 1. 67-207; N 2. 278-442.

5. Lee P.Y., Vyborny R. The Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

6. Лукашенко Т.П., Скворцов В.А., Солодов А.П. Обобщенные интегралы. 2-е изд. М.: Книжный дом "Либерком", 2011.

7. Скворцов В.А., Тулоне Ф. Об интеграле перроновского типа на компактной нульмерной абелевой группе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 3. 37-42.

8. Grubb D.J. Sets of uniqueness in compact 0-dimensional metric groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. 301. 239-249.

Поступила в редакцию 09.02.2011

УДК 510.57

СОГЛАСОВАННАЯ С ОТНОШЕНИЕМ ПОРЯДКА КОПРОЕКЦИЯ ВЫЧИСЛИМЫХ МЕР НЕ ВСЕГДА ВЫЧИСЛИМА

М. А. Раскин1

В статье приводится пример двух сравнимых (т.е. являющихся проекциями меры на последовательностях в алфавите пар символов, запрещающей пары, у которых первый член меньше второго) вычислимых вероятностных мер на бесконечных последовательностях из нулей и единиц, при этом любая такая копроекция невычислима.

Ключевые слова: вычислимые вероятностные меры, копроекция мер.

An example of two computable probabilistic measures is given on infinite binary sequences such that the two measures are comparable (there exists their coupling that forbids the pairs of symbols with the first member less than the second one), but all such couplings are incomputable.

Key words: computable probabilistic measures, measure coupling.

1. Введение. Пусть имеются вероятностные меры ¡j,,v на пространствах X,Y. Говорят, что мера а на пространстве X х Y является копроекцией ц и v, если ее проекции равны ц и v (пример: ц х v). В ряде случаев представляют интерес копроекции, для которых случайная пара (x, y) обладает некоторым "хорошим" свойством с большой вероятностью.

В настоящей работе X = Y есть пространство всех бесконечных последовательностей нулей и единиц. Рассматриваются копроекции мер, такие, что с вероятностью 1 x покомпонентно не меньше y. Вычислимые меры, для которых существует копроекция с таким свойством, рассматривались в работе [1]. Там же был поставлен вопрос: можно ли в этой ситуации без ограничения общности считать копроекцию вычислимой? В настоящей работе дается отрицательный ответ на этот вопрос.

2. Копроекции. Приведем основные определения, связанные с копроекциями.

1 Раскин Михаил Александрович — асп. каф. математической логики и теории алгоритмов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: raskin@mccme.ru.