Синтез робастного регулятора для мобильного робота с интервальными параметрами и временным запаздыванием

Оригинальная статья / Original article УДК 681.5.013

DOI: 10.21285/1814-3520-2017-10-40-52

СИНТЕЗ РОБАСТНОГО РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ МОБИЛЬНОГО РОБОТА С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ И ВРЕМЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© И.А. Рыбин1, В.Г. Рубанов2

Белгородский государственный технологический университет, Российская Федерация, 308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬЮ является параметрический синтез ПИД-регулятора для системы управления боковым отклонением мобильного робота от трассы с учетом наличия запаздывания в канале управления и интервальности параметров системы управления, возникающих вследствие различной массы перевозимых грузов и различной продольной скорости на отдельных участках движения робота. МЕТОДЫ. В ходе исследования был использован метод D-разбиения в области двух параметров. РЕЗУЛЬТАТЫ. Для системы управления боковым отклонением построено робастное D-разбиение и найдены параметры ПИД-регулятора, обеспечивающие заданные показатели качества для всех значений интервальных параметров. ВЫВОД. Метод робастного D-разбиения для интервальных систем с запаздыванием позволяет в плоскости параметров регулятора находить области, значение параметров в которых соответствуют системе, имеющей только корни, находящиеся внутри контура, задающего модальные свойства системы, т.е. определяющего показатели качества управления.

Ключевые слова: мобильный робот, система управления, синтез, ПИД-регулятор, D-разбиение, робастность, запаздывание, качество управления.

Формат цитирования: Рыбин И.А., Рубанов В.Г. Синтез робастного регулятора для мобильного робота с интервальными параметрами и временным запаздыванием // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 10. С. 40-52. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-10-40-52

SYNTHESIS OF A ROBUST CONTROLLER FOR A MOBILE ROBOT WITH INTERVAL PARAMETERS AND TIME DELAY I.A. Rybin, V.G. Rubanov

Belgorod State Technological University named after V.G. Shukhov, 46, Kostyukov St., Belgorod 308012, Russian Federation.

ABSTRACT. The PURPOSE of the paper is to carry out a parametric synthesis of the PID controller for the control system of the mobile robot lateral deviation from the route taking into account the lag in the control channel and the intervals of the control system parameters arising due to the different mass of the goods being transported and different longitudinal speed in certain sections of robot movement. METHODS. The method of D-partition for a two-dimensional parameter space has been used. RESULTS. A robust D-partition has been built for the lateral deviation control system. The PIDcontroller parameters providing the specified quality indicators for all values of interval parameters have been found. CONCLUSION. The method of robust D-partition for the interval systems with a time lag allows to find the regions in the controller parameters plane where parameter values correspond to the system whose roots are located only inside the contour that specifies the modal properties of the system, i.e. determines the quality control parameters. Keywords: mobile robot, control system, synthesis, PID controller, D-partition, robustness, lag, quality of control

For citation: Rybin I.A., Rubanov V.G. Synthesis of a robust controller for a mobile robot with interval parameters and time delay. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017, vol. 21, no. 10, pp. 40-52. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2017-10-40-52

1Рыбин Илья Александрович, старший преподаватель кафедры технической кибернетики, e-mail: intiret@gmail.com

Ilya A. Rybin, Senior Lecturer of the Department of Engineering Cybernetics, e-mail: intiret@gmail.com

2Рубанов Василий Григорьевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой технической кибернетики, e-mail: vgrubanov@gmail.com

Vasily G. Rubanov, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Engineering Cybernetics, e-mail: vgrubanov@gmail.com

Введение

Автоматически управляемые мобильные роботы позволяют организовать транспортировку грузов без участия человека-водителя, что определяет их активную разработку и применение в промышленных производствах [1, 2], в военных целях и в быту. Важной задачей разработки систем управления таких мобильных транспортных средств является анализ и синтез устройства управления. При этом следует учитывать, что параметры функционирующего робота, такие как масса перевозимого груза, заряд аккумулятора и другие, могут варьироваться в некотором диапазоне. Также следует учесть наличие запаздывания, возникающего как следствие наличия временных задержек при опросе датчиков, расчете и подаче управляющих воздействий, удаленном управлении роботом [3]. Таким образом, возникает задача анализа и синтеза робастного устройства управления для системы с интервальными параметрами и запаздыванием в канале управления, гарантирующего приемлемые показатели качества или устойчивость системы в условиях, когда объект содержит неопределенности. Задаче анализа робастной модальности, как более общей задаче анализа робастной устойчивости мобильного робота, посвящена статья [4]. В настоящей работе рассматривается задача параметрического синтеза робастного регулятора на основе D-разбиения.

Основоположником метода D-разбиения, основная суть которого заключается в отображении границы заданного контура в плоскости корней характеристического уравнения системы в пространство параметров системы, является Ю.И. Неймарк. В его статье [5] предложен прием построения областей устойчивости линеаризованных систем по любой паре параметров, а в монографии [6] метод D-разбиения развит для расчета параметрической устойчивости алгебраических и трансцендентных систем. В результате развития теории автоматического управления [7, 8] появились новые направления использования метода D-разбиения. Приложение метода для анализа робастной устойчивости представлено, например, в статьях [9, 10]. Общая методика синтеза линейных систем без запаздывания с гарантированными показателями качества рассмотрена в работе [11]. Далее метод робастного D-разбиения будет обобщен на системы с запаздыванием, что составляет новизну предлагаемого подхода.

Постановка задачи

Рассмотрим предложенную в статье [12] систему управления движением мобильного робота, управляемого за счет разности скоростей вращения ведущих колес. На рис. 1 представлена схема мобильной платформы.

Математическая модель, описывающая предложенную схему мобильного робота, учитывает наличие трех подсистем: управления боковым отклонением от трассы, управления продольной скоростью движения и управления продольным положением. Наибольшую сложность (и, соответственно, наибольший интерес к синтезу закона управления) представляет первая из подсистем, канал прямой передачи информации которой с учетом запаздывания может быть математически описан в виде последовательного соединения следующих звеньев: пропорционального, форсирующего 1 -го порядка, апериодического, двух интегрирующих и звена чистого запаздывания (рис. 2). Параметры перечисленных звеньев соответствуют параметрам элементов, входящих в структуру подсистемы, а именно: кА - коэффициента усиления устройства сопряжения; , тм - коэффициента передачи и постоянной времени двигателей соответственно; ^ - коэффициента усиления редуктора; - коэффициента передачи шасси; т - постоянной времени мобильной платформы; к5 - коэффициента передачи датчика бокового отклонения; т - обобщенного времени запаздывания канала управления. Задающим входным воздействием g (г) для подсистемы является нулевой сигнал, что соот-

ветствует отсутствию бокового отклонения А(t) от трассы. Величины О(^) и А(^), представленные на рис. 2, являются преобразованными по Лапласу сигналами g (¿) и А (^ соответственно.

Рис. 1. Схема платформы мобильного робота: 1 - продольная ось платформы; 2 - заданная трасса; 3 - датчик бокового отклонения от трассы; 4,11 - ведущие колеса; 5,10 - датчики скоростей вращения ведущих колес; 6, 9 - понижающие редукторы; 7 - бортовое устройство управления; 8,13 - пассивные опорные колеса; 12 - датчик метки начала останова: Vr - продольная скорость мобильного робота; d - расстояние от центра масс

C до места установки датчика бокового отклонения Fig. 1. Mobile robot platform design: 1 - longitudinal axis of the platform; 2 - specified route; 3 - lateral deviation sensor; 4,11 - driving wheels; 5,10 -sensors of driving wheel rotation speed; 6, 9 - reduction gearboxes; 7 - on-board control device; 8,13 - passing support wheels; 12 - stop begin mark sensor: VT -axial

velocity of the mobile robot; d - distance from the center of mass C to the lateral deviation sensor location

Рис. 2. Структурная схема подсистемы управления боковым отклонением Fig. 2. Block schematic diagram of the lateral deviation control subsystem

Отметим, что постоянная времени двигателей T зависит от массы m перевозимого груза, а значение продольной скорости Vr выбирается подсистемой управления продольным

движением в зависимости от участка траектории, по которому в текущий момент движется мобильный робот. Таким образом, указанные параметры являются интервальными, значение каждого из них принадлежит соответствующему диапазону: ^ е[TM; T^], VT G[Vf; V/], где

TM , T^ - минимальное и максимальное значение постоянных времени, соответствующие минимальной m~ и максимальной m+ массе перевозимого груза; Vr", Vr+ - минимальное и максимальное возможное значение продольной скорости. Передаточная функция прямого канала

W

^ (s)= {TMs + l)s2

T) e-Ts.

Для улучшения динамики добавим в канал управления классический ПИД-регулятор с пока неизвестными коэффициентами усиления пропорциональной кр, интегральной к1 и

дифференциальной кв составляющих (рис. 3). Запишем характеристическое уравнение полученной замкнутой системы:

к (d • s + V )(kps + k + kDs2) e~TS + (TMs +1) s3 = 0,

где к = кАкм^кн^. Среди коэффициентов регулятора выделим независимые коэффициенты кр, кд и зависимый коэффициент к1, т.е. к = I(К,К) и перепишем выражение (1) в матричном виде, умножив левую и правую часть уравнения на е :

к (d • s + V ) к + к

Г d • s2 + Vs Y Íк

d • s3 + VTs2 j

V kD

j + ^s 4 + s3 ) eTS = 0.

Рис. 3. Структурная схема подсистемы управления с ПИД-регулятором Fig. 3. Block schematic diagram of the control subsystem with a PID controller

В более общем случае можно рассмотреть характеристическое уравнение вида

D ( ^ ) = A( s ) K + в (s ) K + C (s ),

где к, К - вектор-столбцы зависимых и независимых коэффициентов размерностью (п х1) и (п х 1) соответственно; А(5), В(5) - вектор-строки интервальных полиномов размерностью (1 х п) и (1 х п) соответственно; С (5) - свободный квазиполином, учитывающий

время запаздывания, который также может обладать интервальными коэффициентами. Зададим в плоскости корней положение корней (г = 1,2, ..., ^) и границу

A = S (c) + jc

контура, ограничивающего область нахождения остальных корней уравнения. Корни ^ и граница Л определяют показатели качества, которыми будет обладать система, т.е. задают модальные свойства системы.

Общую постановку задачи синтеза сформулируем следующим образом. Для характеристического уравнения (3) в пространстве независимых коэффициентов к2 найти области, в

которых у характеристического уравнения щ корней совпадают с заданными корнями ^ (/ = 1, 2, ..., пх), а остальные находятся левее заданной границы (4) для всех значений интервальных параметров полиномов.

Общий подход к синтезу робастного регулятора

Подставляя поочередно значения заданных корней ^ (/ = 1, 2, ..., пх) в характеристическое уравнение (3), получим систему из п уравнений, которую можно представить в матричном виде следующим образом:

ОК, + ЕК2 + ¥ = 0,

где матрицы О, Е, ¥ размерностью (^ х пх), (^ х п2), (щ х 1) соответственно равны:

D=

A

, F = Cfë)

, E =

A*-) j

Матричное уравнение (5) позволяет выразить зависимые коэффициенты к через независимые к, те. получить функциональную зависимость к = I (К):

K = -D 1EK2 - D 1 F.

Подставим полученную зависимость (6) в уравнение (3) и сгруппируем слагаемые, содержащие множитель К. Вводя обозначения Р (5) и Q (5) получим:

P ( s ) K + Q ( s ) = О, где P ( s ) = -A( s ) D-E + B ( s ), Q ( s ) = -A ( s ) D-F + C ( s ).

Подставим в (7) уравнение границы (4), т.е. произведем замену 5 ^ Л = 3 + jю:

Р {3,в)) К + 0

Дальнейший порядок построения кривой D-разбиения зависит от размерности вектора коэффициентов к2. Если вектор-столбец К2 состоит из одного элемента к21, т.е. имеется

один независимый коэффициент, в комплексной плоскости которого будет производиться й-разбиение, то вектор-строка полиномов Р(8, с) также состоит из одного элемента-

полинома р (8, с). В этом случае из (8) имеем:

к2 =

-Q

p (S, а) .

Во втором случае, когда К2 = (К\ Кг)Г и Р(8,с) = (р(8,с) р(8,с)), приравнивая нулю отдельно действительную и мнимую составляющую правой части уравнения (8), получим систему уравнений:

Re p (S, а) к21 / Re p (S, а) к22 / Re Q (S, а) = 0; [Im p (S,а) к21 / Im p (S,а) к22 / Im Q (S,а) = 0.

Решение системы (10) представим в виде

K = - p& (S, а) Q,3(S,o),

где =

Re p

Re Q

При равном нулю определителе |рз| = 0 система (10) становится вырожденной, что

приводит к появлению на плоскости й-разбиения особых линий.

В случае размерности вектора К2 больше двух выберем два вычисляемых коэффициента, например, первые два элемента вектора, а остальные отнесем к варьируемым: к2={к2 К2^, где К2 - вектор-столбец вычисляемых коэффициентов размерностью два,

К2 - вектор-столбец варьируемых коэффициентов размерностью п,- 2. Тогда уравнение (8) примет вид

P (S, со) K2 + P(S, со) К2 + О (S, со) = О.

На основании (12) составим уравнения для действительной и мнимой частей, откуда можно получить:

где p,з(S,а) =

Re p

(

, Р^{5,со) =

Im P(S,co) наличию особой линии D-разбиения.

ReP

Л

. Случай =0 соответствует

Изменяя частоту с от 0 до м, по формулам (9), (11) или (13) строятся линии D-разбиения для всех возможных сочетаний граничных значений интервальных параметров. В оговоренных случаях строятся особые линии. На построенные кривые D-разбиения наносится штриховка по правилам, изложенным в статье [5]. На основании штриховки определяется область-претендент, соответствующая системе, имеющей все корни характеристического уравнения (за исключением заданных ^ , которые располагаются произвольно) внутри заданного границей Л контура при всех заданных возмущениях параметров. В найденной области следует выбрать значение вектора К2 и для всех возможных сочетаний граничных значений интервальных параметров определить выполнение условия нахождения корней внутри заданного контура. Найденное значение К2 используется для определения остальных коэффициентов К по формуле (6).

Синтез ПИД-регулятора для подсистемы управления боковым отклонением

Сравнивая (2) и (3), запишем:

Кх = к1, К2 = (кр ка) ,

A(s) = k(d • s + V), B(s) = k

f d • s2 + VTs^T

y d • s + VTs' j

, С (s) = (TMs4 + s3 ) e".

Зададим значение одного корня тогда размерности матриц Б, Е и ¥ будут совпадать с размерностью матриц А , В и С:

D = A(g) = k (d g + У, ), E = B (g) = k

í Л

d g + V g d •g3 + V,g2 j

, F = С

Записывая (6) для рассматриваемой системы, можно заметить, что коэффициент интегральной составляющей ПИД-регулятора получается как линейная комбинация коэффициентов пропорциональной и дифференциальной составляющих:

kI = gkP g kD

(Tg + g3 ) k (d g + V ) .

Тот же результат получается, если выразить к из уравнения (1) и провести замену

^ ^^.

Сформируем вектор-строку полиномов Р (5) и квазиполином Q (^), введенных в уравнение (7):

P

d •

T

(T g4 +g3 ) eg Q (s ) = -k ( ^ + + -T^s' + s3 ) e",

тогда

P ( s ) = -kd (d • s + V )(g-s ),

P ( s ) = -k (d • s + V )(d •(g2 - s2 ) + Vr (g-s )).

Произведем замену s ^S + jo и запишем уравнение (11) в виде

í k> f Re P

У kD j

При  = 0 определитель первой матрицы, находящейся в правой части равенства, становится равным нулю, поскольку 1тР(8,0) = (1тр(£,0) 1тр(8,0)) = (0 0). С учетом

того, что и 1тQ(8,0) = 0, особую прямую при  = 0 можно получить из первого уравнения системы (10):

Яе р (8, 0) кр + Яе р (8,0) кд + Яе Q (8,0) = 0,

откуда

=_ Яер

д Яер

Выражения (14), (15) позволяет получить для заданных значений интервальных параметров и частоты  пару значений кр и к0, являющихся координатами точки кривой D-разбиения.

Результаты исследования динамики мобильного робота

Синтез ПИД-регулятора произведен для системы управления боковым отклонением мобильного робота, имеющей следующие фиксированные параметры: = 11,

км = 2,9057 рад/(В• с), кд = 0,025, кя = 0,1875, к5 = 50 В/м, й = 0,7 м, т = 0,01 с. Интервальные параметры заданы в диапазонах: ^ е[0,5245; 0,5360] с, что соответствует диапазону полной массы мобильного робота т е[100; 250] кг, V е[0,01; 1,1781] м/с.

Граница контура, внутри которого должны находиться корни характеристического уравнения, задана исходя из желаемых показателей качества переходного процесса: времени регулирования Тр = 2 с, перерегулирования а = 25 %. Показатель задает вертикальную

границу в плоскости корней (8;у), задаваемую в виде 8() = 80. Положение указанной гра-

ницы, т.е. 5й, рассчитывается по формуле 50 =—— 1п— , где еь - ширина полосы, использу-

Тр £ь

емой для определения времени регулирования. Перерегулирование а определяет сектор в левой полуплоскости, ограниченный прямыми, проходящими через начало координат, с углом

наклона -—±ф, где ф = аг^——. Результирующая граница в плоскости корней (рис. 4) зада-

lna

ется системой:

Ô{a) =

о

lnS

к

\rn<-

KÔ,

о

а, Ш>-

lna

KÔ0 lna

Корень £ зададим таким, чтобы он находился внутри границы Л = 3(а>) + ja, например, £ = 230.

Рис. 4. Граница расположения корней Fig. 4. Boundary of root location

На рис. 5 показано полученное D-разбиение для четырех сочетаний граничных значений интервальных параметров, а именно: (Тм , (Тм ;Vr+), (т* , (т^ ;Vr+). Штриховка

нанесена в соответствии с тем, что для рассматриваемой системы для всех частот с и сочетаний граничных значений интервальных параметров определитель матрицы > 0.

На основании штриховки определена область-претендент, содержащая наибольшее количество корней слева от заданной границы (см. рис. 5, b), внутри которой выберем точку K*. Координатами точки K* являются коэффициенты пропорциональной кр = 20 и дифференциальной kD = 2,5 составляющей ПИД-регулятора. Коэффициент интегральной составляющей к определим по выражению (14), в котором значения интервальных параметров Т

M

и Ут выберем равными середине соответствующего интервала изменения, т.е. тм =

T- + T+ 2

v = FL

v T

-v:

2

a b

Рис. 5. Граница D-разбиения: а - общий вид; b - увеличенный вид области-претендента Fig. 5. Boundary of D-partition: а - general view; b - enlarged view of the applicant area

Подставим найденные значения коэффициентов kp, k,, kD в характеристическое уравнение (1) и убедимся, что все корни замкнутой системы управления боковым отклонением лежат левее заданной границы Л для всех сочетаний граничных параметров Тм и V

(рис. 6). Ввиду того что таких корней для системы с запаздыванием бесконечного много, воспользуемся приближенным описанием системы, которое получается при разложении звена с запаздыванием в ряд Паде. На рис. 6 положение корней определено при использовании ряда Паде четвертого порядка.

а b

Рис. 6. Граница D-разбиения: а - общий вид; b - увеличенный вид вблизи заданного корня £

Fig. 6. Boundary of D-partition: а - general view; b - enlarged view in proximity of the specified root £

Построив переходные процессы системы для каждого сочетания граничных значений интервальных параметров, убедимся, что в результате синтеза управление удовлетворяет заданным показателям качества (рис. 7).

А, м 0,2^

0,15 -

0,1 -

0,05 -

0 -

-0,05

0

Рис. 7. Реакция системы на ненулевое начальное отклонение Fig. 7. System response to non-zero initial deviation

Анализируя рис. 7, можно заключить, что величина перерегулирования при любых значениях интервальных параметров не превышает значения 25%, а время регулирования значительно меньше заданных 2 секунд.

Заключение

Систему управления движением мобильного транспортного средства в первом приближении можно рассматривать как линейную систему с интервальными параметрами и запаздыванием в канале управления. Для параметрического синтеза ПИД-регулятора такой системы метод D-разбиения, в отличие от других методов, позволяет получить сразу области значений параметров регулятора, при которых система обладает робастной модальностью, т.е. соответствует требованиям, предъявляемым к качеству процесса управления, задаваемым расположением корней характеристического уравнения системы на комплексной плоскости корней.

Предложенная методика D-разбиения применена для синтеза робастного ПИД-регулятора для системы управления боковым отклонением мобильного робота, математическая модель которой была получена ранее. В результате корни характеристического уравне-

ния системы с регулятором были расположены в пределах области с границей, заданной на основании требуемых корневых показателей качества. Численные вычисления с использованием компьютерной модели в среде Matlab подтвердили соответствие качества управления заданию.

Работа выполнена в рамках государственного задания РФ 2.1396.2017/ПЧ «Разработка методов обеспечения живучести интеллектуальных бортовых систем управления беспилотных транспортных средств».

Библиографический список

1. Schulze L., Behling S., Buhrs S. Automated Guided Vehicle Systems: a Driver for Increased Business Performance // Proceedings of the International MultiConference of Engineers and Computer Scientists IMECS 2008, 19-21 March, 2008, Hong Kong. 2008. Vol. II. P. 1275-1280.

2. Shneier M., Bostelman R. Literature Review of Mobile Robots for Manufacturing // National Institute of Standards and Technology (U.S.). Engineering Laboratory. Intelligent Systems Division. 2015. 21 p.

3. Золотухин Ю.Н., Котов К.Ю., Мальцев А.С., Нестеров А.А., Филиппов М.Н., Ян А.П. Коррекция транспортного запаздывания в системе управления мобильным роботом // Автометрия. 2011. Т. 47. № 2. С. 46-57.

4. Рыбин И.А., Рубанов В.Г. Робастная модальность мобильного робота с интервальной неопределенностью параметров и запаздыванием в канале управления // Известия ЮФУ. Технические науки. Ростов н/Д.: Изд-во ЮФУ, 2017. № 1-2. С. 209-220. DOI: 10.18522/2311-3103-2017-1-209220.

5. Неймарк Ю.И. Об определении значений параметров, при которых система автоматического регулирования устойчива // Автоматика и телемеханика. 1948. Т. 9. Вып. 3. С. 190-203.

6. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем (дискретных и распределенных). Л.: ЛКВВиА им. Ф.А. Можайского, 1949. 140 с.

7. Айзерман М.А. Краткий очерк становления и развития классической теории регулирования в управлении // Автоматика и телемеханика. 1993. Вып. 7. С. 6-18.

8. Поляк Б.Т. Развитие теории автоматического управления // Проблемы управления. 2009. Спец. вып. 3.1. С. 13-18.

9. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость и D-разбиение // Автоматика и телемеханика. 1992. № 7. С. 10-18.

10. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость по нелинейным параметрам // Дифференциальные уравнения. 19 92. Т. 28, № 12. С. 2185-2187.

11. Новокшонов С.В. Анализ и синтез интервальных систем с гарантируемой динамикой на основе робастных и адаптивных алгоритмов: дис. ... канд. техн. наук. Томск, 2003. 182 с.

12. Рыбин И.А., Рубанов В.Г. Математическая модель системы управления мобильного транспортного средства // Мехатроника, автоматизация, управление. М.: Изд-во «Новые технологии», 2017. Т. 18. № 5. С. 333-340. DOI: 10.17587/mau.18.333-340.

References

1. Schulze L., Behling S., Buhrs S. Automated Guided Vehicle Systems: a Driver for Increased Business Performance. Proceedings of the International MultiConference of Engineers and Computer Scientists IMECS 2008, 19-21 March, 2008, Hong Kong, 2008, vol. II, pp. 1275-1280.

2. Shneier M., Bostelman R. Literature Review of Mobile Robots for Manufacturing // National Institute of Standards and Technology (U.S.). Engineering Laboratory. Intelligent Systems Division. 2015, 21 p.

3. Zolotuhin Ju.N., Kotov K.Ju., Mal'cev A.S., Nesterov A.A., Filippov M.N., Jan A.P. Correction of transportation lag in the mobile robot control system. Avtometrija [Autometry]. 2011, vol. 47, no. 2, pp. 46-57.

4. Rybin I.A., Rubanov V.G. Robust modality of mobile robot with parameters interval uncertainty and time delay in control channel. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki [Izvestiya SFedU. Engineering Sciences]. Rostov-on-Don: SFedU Publ., 2017, no. 1-2, pp. 209-220. (In Russian). DOI: 10.18522/2311-3103-2017-1-209220.

5. Neimark Yu.I. On the determination of parameter values under which the automatic control system is stable // Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control]. 1948, vol. 9, no. 3, pp. 190-203.

6. Nejmark Yu.I. Ustoichivost' linearizovannykh sistem

7. Aizerman M.A. A brief essay on the formation and development of a classical control theory// Avtomatika i Teleme-hanika [Automation and Remote Control] 1993, no. 7, pp. 6-18.

8. Polyak B.T. Development of the automatic control theory. Problemy upravleniya [Control Sciences]. 2009, no. 3.1, pp. 13-18.

9. Nejmark Yu.I. Robust stability and D-partition // Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control]. 1992, no. 7, pp. 10-18.

10. Neimark Yu.I. Robust stability in nonlinear parameters. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations]. 1992, vol. 28, no. 12, pp. 2185-2187.

11. Novokshonov S.V. Analiz i sintez interval'nyh sistem s garantiruemoj dinamikoj na osnove robastnyh i adaptivnyh algoritmov [Analysis and synthesis of interval systems with guaranteed dynamics based on robust and adaptive algorithms]. Candidate's Dissertation in technical sciences, Tomsk, 2003, 182 p.

12. Rybin I.A., Rubanov V.G. Mathematical Model of a Mobile Vehicle Control System // Mekhatronika, avtomatizatsiya, upravlenie [Mechatronics, automation, control]. 2017, vol. 18, no. 5, pp. 333-340. (In Russian). DOI: 10.17587/mau.18.333-340.

Критерии авторства

Рыбин И.А., Рубанов В.Г. имеют на статью равные авторские права и несут равную ответственность за

Authorship criteria

Rybin I.A., Rubanov V.G. have equal authors rights and bear equal responsibility for plagiarism.

плагиат.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.

Статья поступила 31.08.2017 г.

The article was received 31 August 2017