Метод косвенных предпочтений формирования весов критериев с многоуровневой структурой

МЕТОДЫ И ТЕХНОЛОГИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

УДК 519.816 Научная статья DOLIO. 18287/2223-9537-2023-13-4-580-596

Метод косвенных предпочтений формирования весов критериев с многоуровневой структурой

© 2023, В.П. Корнеенко

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва, Россия

Аннотация

Представлен метод формирования весов критериев в задачах многокритериального оценивания объектов с многоуровневой структурой показателей, представленных в виде иерархического дерева. Значения весов вычисляются на основе косвенного измерения предпочтений смежных пар локальных весов критериев, входящих в вершины более высокого уровня иерархического дерева, в виде экспертных оценок в количественной шкале отношений. Вычисление количественных весов вначале сводится к лексикографическому упорядочению по убыванию важности критериев на каждом уровне иерархии, входящих в вершины более высокого уровня, вследствие чего сокращается число экспертных сравнений смежных пар в шкале отношений. Формирование локальных коэффициентов важности критериев математически обосновано и базируется на матрице, обладающей особыми свойствами. Дан сравнительный анализ предлагаемого метода формирования количественных весов с методом анализа иерархий, методом наименьших квадратов и методом аппроксимационной матрицы, базирующимися на матрице парных сравнений. Приводится пример решения задачи многокритериального оценивания боевых самолётов, принимавших участие в тендере, по тактико-техническим характеристикам, представленным в различных шкалах измерения.

Ключевые слова: важность критериев, матрица парных сравнений, иерархическое дерево, шкала измерения, упорядочение критериев.

Цитирование: Корнеенко В.П. Метод косвенных предпочтений формирования весов критериев с многоуровневой структурой // Онтология проектирования. 2023. Т.13, №4(50). С.580-596. 001:10.18287/2223-9537-2023-13-4-580-596.

Конфликт интересов: автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Введение

Принятие управленческих решений часто сопряжено с решением прикладных задач оценивания и выбора эффективных объектов (вариантов решений, альтернатив, стратегий), которые относятся к классу многокритериальных задач. На практике к этому классу относятся задачи: построения рейтингов компаний, банков; оценки эффективности деятельности коллективов в организационных системах; синтеза сложной технической системы.

Для объектов с многоуровневой структурой характерно представление системы критериев в виде иерархического дерева [1-3]. При этом возникает проблема оценки количественной важности локальных критериев, входящих в вершину более высокого уровня.

Обзору и классификации методов формирования весовых коэффициентов посвящено большое число работ [4-9]. Известно более двадцати различных методов определения весов, часть из которых подробно рассмотрена в статье [8].

Настоящая статья посвящена развитию методов косвенного измерения предпочтений критериев в шкале отношений [10].

1 Определение важности критериев

Одна из первых методик решения многокритериальных задач с многоуровневой структурой была разработана для оценки эффективности вариантов прогнозирования и планирования при разработке сложных научных и научно-технических программ (ПАТТЕРН, PATTERN\ США) [2]. Методика включает построение дерева целей, которое служит для оценки относительной важности критериев, и применение прямого метода экспертного оценивания количественных весов критериев.

Оценки количественной важности локальных критериев, входящих в вершины более высокого уровня, эксперты проставляют на бланке (в долях единицы). Процедура определения коэффициентов проходит в несколько туров, пока не будет согласована со всеми экспертами. Пересчёт их в глобальные веса для концевых (висячих) вершин дерева осуществляется перемножением весов всех вершин, лежащих на пути, ведущем к данной вершине. Для каждой альтернативы (объекта, проекта, варианта) находится агрегированная оценка, равная сумме произведений глобальных весов и оценок критериев в концевых вершинах дерева.

В соответствии с теорией измерений [11] веса важности критериев могут быть измерены в градациях различных шкал, например: в номинальных шкалах с двумя градациями «равно-важны» и «неравноважны»; в количественных (разности, отношений) с различными весами важности (предпочтительности) по числу критериев.

Понятие важности критериев c точки зрения теории измерений можно рассмотреть следующим образом. Пусть объекты множества А = = 1 , ?гл] оцениваются по /у £ F = {/i,    , /т} критериям. _

Определение 1. В количественной шкале отношений критерий /j, i = 1, m, считается более важным, чем критерий /у (обозначение / > /у), если количественный вес Wj = w (/j) критерия / будет превосходить количественный вес W; = w (/) критерия /у в — > 1 раз, т.е.

J J J wy

/ > /у ^ W

и наоборот, менее важен, если — < 1, а при — = 1, т.е. равенстве весов, критерии равноваж-

Wy Wy

ны

/j « /у <=> W (/) = W (/у).

Известно следующее определение однородных критериев по важности [12, 13].

Определение 2. Утверждение «критерий Kj важнее критерия Ку» (обозначение i > _/') означает, что каждая векторная оценка х, в которой Xj > Ху, предподчительнее, чем х ^.

Здесь х ^ - обозначение векторной оценки, которая получена из векторной х = (х1,   ., хт) оценки, например, если х = ( 5,4, 3,4) , то х23 = ( 5, 3,4,4) .

Замечание 1. Сравнение определений 1 и 2 приводит к выводу о том, что определение 1 не привязано к векторным оценкам, в отличие от определения 2. Можно показать, что утверждение «каждая векторная оценка х, в которой Xj > ху, предподчительнее, чем х ^» следует из предпочтительности критерия /j относительно /у и условия Xj > ху.

1 PATTERN (от англ. Planning Assistance Through Technical Evaluation from Relevans Number) поддержка планирования посредством относительных показателей технической оценки.

Действительно, пусть критерий / важнее критерия /у, т.е. для количественных весов справедливо неравенство: > м/у. Очевидно, векторы х и х1] несравнимы по предпочтительности, однако в силу однородности шкалы измерения в задачах векторной оптимизации они сравнимы по аддитивной свёртке [5]:

Р (хМ = ?1Т=1м5х5,

где = м(/) - количественный вес критерия /, б = 1, т; х = (х1,...,х5,...,хт). Агрегированные оценки векторов х и х1] представляются в виде:

Р (х,м) = М[х[ + Муху + %т5 = 1, м3х3. Р (х1]',м) = М^у + Мух^ + 2.^=1, М3хБ.

ЭФ],БЫ ЭФу , БФ1

Разность Р(х, м) — Р( х1}, м) агрегированных оценок х и х1} имеет вид:

Р(х,м) — Р(х1у,м) = (М[х[ + Муху) — (М[ху + Мух{) = (мм^ — Му)(х[ — ху) > О,

т.е. векторная оценка х, в которой хI > ху, предподчительнее, чем х11 в силу предпочтительности критерия /\ над критерием /у.

В работе [14] в качестве количественных весов предлагается использовать числовую последовательность П. Фишберна [15]:

2 (т+1-1) (

= —,-г,

1 т(т+1) , 4 '

где / - номер критерия в порядке убывания его важности, при этом 2т=1 М{ = 1 .

В работе [16] предложена формула для вычисления задающих коэффициентов в виде:

-1 при 5 = 1,

С3+2п-1л

——— при 1 < б < п,

п2(п-1) Г

где ^ - группа важности, апз - универсальные коэффициенты важности в политике выбора для п критериев, в которой каждая группа важности включает ровно один критерий. Задающий параметр С5 для п = 2, 3,4,. . ., 1 О принимает значения 0, 6, 18,..., 216.

В силу того, что нормированные веса частных критериев характеризуют долю вклада в обобщённый критерий и формируются обычно методами экспертного оценивания [8], то вследствие этого формулы (1) и (2) не могут быть применимы в качестве весов критериев, связанных с различными предметными областями решаемых многокритериальных задач.

Таким образом, предпочтительность одного критерия относительно другого, а также их количественные веса не зависят от векторных оценок объектов и определяются экспертами. В дальнейшем для оценки количественной важности критериев используется определение 1 .

2 Алгоритм метода

В основе вычисления весов критериев метода косвенных предпочтений (МКП) лежит предварительная процедура упорядочения критериев, представленных в виде иерархического дерева. Процедура базируется на экспертном выявлении косвенной предпочтительности одного критерия относительно другого смежного критерия на каждом уровне иерархии при предположении о неизвестности количественных значений важности. Алгоритм рассматриваемого метода состоит из следующих шагов.

Шаг 1. Построение иерархического дерева упорядоченных критериев по убыванию предпочтительности. На этом шаге эксперты ранжируют по убыванию важности критерии, входящие в вершины более высокого уровня иерархического дерева. При наличии нескольких

экспертов, участвующих в ранжировании, находится результирующее ранжирование (медиана Кемени), метод формирования которого представлен в работе [17].

Для деревьев в основном применяются два способа перечисления: «по ветвям», когда индекс вершины указывает путь к этой вершине; «по уровням», когда по очереди рассматриваются все уровни сверху вниз, а вершины одного уровня нумеруются подряд слева направо. Способом перечисления «по ветвям» дерево задаётся в виде множества упорядоченных вершин [18]:

IБ = { %,Ъ },

где % = { Fo , Р]1,..., F]l . . ]к | = 1,71^. . к = 1,п%} - множество вершин (критериев), в которых индекс вершины указывает путь к этой вершине от корневой вершины (к = 0); { 0 ,1,. . .,к,.. .,77%} - номера уровней в дереве;

= { ( Fj1 . . .¡к-г^к.. .¡к) IА = 1,7/1 . . .¡к-!'к = 1,7%} - множество дуг, в которых множество вершин { . . ¡¡к}, инцидентно вершине Fj1. . ¡/с_1;

- глобальный (обобщённый) критерий верхнего (нулевого) уровня иерархии; Fj - групповые критерии 1 -го уровня иерархии, являющиеся концевыми вершинами

множества дуг { ( Р0, Fjl) | }1 = 1, п0 }; п0 - число дуг, инцидентных вершине ;

И/ . . / - групповые критерии к-го уровня, являющиеся концевыми вершинами дуг

{(рк. . ¡к- 1, ¥/г. . ¡М* = 1 пк. . ¡к- 1 пк.. ¡к-I- число ДУГ, инцидентных вершине ^ . . ¡к_^

Концевые вершины -го нижнего уровня условно обозначены строчными

ми . . ¡п. Каждому Эя эксперту, где 5 = 1 , пэ, предъявляется множество подкритериев

РК = рк-1к-Л>

на к-м уровне иерархии упорядоченных по убыванию важности и входящих в вершину И ¡к -1 = И ¡1 . . ¡к -

> р2 > >Ь > > Рп]к-^ Ъ = ЪПк-V 7к-1 = 71 . . .¡к-V

где > - обозначение нестрогого предпочтения, которое означает для пары критериев строгого предпочтения (обозначение ) или отношение равнозначности (обозначение ).

{Fj1 . . ¡к-1 1 ,. . , . . ¡к-\П]1 ]к } - множество подкритериев (к — 1 )-го уровня, входящих в

вершину F]l. . ¡к к-го уровня; = 1, п^ . . .¡/с_1'к = 1, п%. Подкритерии, входящие в вершины более высокого уровня, упорядочиваются по важности:

F]1 . . .¡к-11 >    > F]1 . . ¡к- 1П] 1 . . ]к-1 * А = Т~п~~'к = "Цщ.

Шаг 2. Экспертное оценивание степеней превосходства смежных критериев на к-м уровне иерархического дерева в шкале отношений. Эксперту предъявляется множество подкритериев = Fj1 . . ¡¡^^ , на к-м уровне иерархии упорядоченных по убыванию важности и входящих в вершину F]^ = Fj1 . . ^ (см. выражение (3)).

Результаты сравнения 1 « ~~~ смежных пар подкритериев { +1} на к-м уровне

иерархии, входящих в вершину F ¡к1 = Fj1 . . .¡/с_1, локальные веса и I^ = и1 ( F^) которых заранее неизвестны, представляются в виде ( ) наддиагональных элементов

квадратной матрицы попарного сравнения смежных подкритериев { } :

Ос-1

/ 1 О ... о

1 .  0

1,2

1

......... 1 /..,* ип ,. - 1 , п ,.

/И',,. _1 п. ¡к

у О 0 0 ' хп1к г у

При этом количественная оценка м/^ 1 означает, что эксперт считает критерий Р^ важнее критерия Р^+1 (Р^ > Р^+1) в и^,^+1 « и/¿т/и/ /^+1 раз, если и^,^+1 >1, а при и^,^+1 = 1 критерии равноважны (Р^ « Р^+1 ).

Исходя из свойства обратной симметрии, равенство +1 , ^ = —-< 1 , означает, что количественно критерий Р?+1 в и^+1, ^ раз менее важен критерия Р^.

При таком подходе достаточно всего лишь (^у — 1)-го экспертного сравнения вместо

(71; )2-П,-

——— при попарном сравнении как, например, в методе анализа иерархий (МАИ) Т. Саати [1].

Шаг 3. Формирование элементов столбцов матрицы коэффициентов важности критериев. По экспертным оценкам (4) предпочтительности смежных критериев, входящих в вершину критерия более высокого уровня иерархического дерева, формируются элементы

столбцов матрицы 1/Кр. (5):

1к-1

= ?,Ш2 ?.....?.....V 5 =

Любой элемент произвольного столбца матрицы можно вычислить по экспертным оценкам относительно критерия, принимаемого за базовый, которому соответствует единичный элемент и^ = 1 на главной диагонали матрицы.

Теорема 1. Пусть даны экспертные оценки 1 , 5 = 1,Пуй_1 — 1, предпочтительности смежных подкритериев Р^ на к-м уровне, входящие в вершину Р/^ на ( к — 1) -м уровне

иерархии. Тогда любой элемент столбца матрицы Ир. (4) может быть вычислен по эле-

1к-1

ментам оценок, расположенным над главной диагональю матрицы по формуле:

IV с+1 , ^ < ^ ц = 1 ^ — 1

ил ? = ^ V ^

' с, с+1) ^ = 5 + 1,п/к _

Доказательство. Действительно, для номеров строк ^ < 5 можно записать:

= с+1 = ^ х ^ х. . = ^ ,

'/ь --'/ '-.'-т.1 м^-ц wг7J+2 и7^

аналогично для номеров строк ^ > 5 можно записать:

- - ( Ыц-2 _ Л^/Л _ \vljj

с с+1 ' 1 и/?+2 "' : 1 / и/^

что и требовалось доказать.

Пример 1. Пусть для четырёх упорядоченных по важности Д > /2 > Д > /4 критериев известны количественные веса .

Их нормированные веса имеют значения 0,4; 0,3; 0,2 и 0,1. Пусть локальные веса заранее неизвестны, но эксперт результаты сравнения смежных пар представил в виде:

И 2 « 4; И з « з ; ш34 « 2,

которые приняты за наддиагональные элементы матрицы. С учётом обратной симметрии матрицу можно представить в виде

/ 1 4/ 3 * 0 0\ 3/4* 1 3/2* 0 \

0 2 / 3 * 1 2 * I" \ 0 0 1 / 2 * 1/

Ж =

Остальные элементы столбцов Иу = (и у, и2 у, и 3 у,,и4у) ' , _/' = 1 ,4, матрицы вычисляются по формулам, в которые обязательно входят наддиагональные элементы:

I 2* 3* 1

и1 : Из 1 = Из 2 И 1 = - — = -;

1* 1 1 И4 1 = И43 Из 1 = - - = -;

1* 2* 1 И : И42 = И43 Из 2 = -  - = -;

И : Из 1 = и з И 2 = з  4 =2 ;

I 4* 3*

И : И14 = и^И* з Из*4 = -  -  2* = 4;

* * 3 Г4 1|( Г»

И 4 = И з Из 4 = -  2 = 3 " В результате получается матрица:

/ 1 4/ 3 * 2

Ш = 3 / 4* 13 / 2 3|

/ /

/ / /

Замечание 2. Можно убедиться, что ранг матрицы Ш (8) равен 1, и она является мультипликативной, например, для элемента и1 4 матрицы (8) справедливо и1 4 = и з Из 4 = и1 2и24" Матрица Шр. (4) с вычисленными элементами по формуле и ? (7) называется полной

матрицей.

Шаг 4. Формирование локальных коэффициентов важности критериев. За локальные

коэффициенты принимаются нормированные элементы любого столбца матрицы вы-

1к-1

численные по формуле (7). Можно доказать, что нормированные элементы полной матрицы совпадают между собой и равны нормированным локальным весам критериев.

Теорема 2 (о взаимосвязи между нормированными элементами полной матрицы и нормированными весами критериев). Нормированные элементы столбцов И (6) Д = 1 ,Т1ук1, вычисленные по наддиагональным элементам по формуле и ^ (6) матрицы Шр (4), совпадают между собой и равны нормированным весам критериев, т.е.

/ иц \ / ИГ/1

ИН~" " " И-   I * ^ = 1,пУ*- ^

- ^ ) \ИЧ - .

где И^ ^ = --нормированный элемент \-го столбца и^;

лмI, = ——--нормированный вес Ц, локального критерия.

Доказательство. Из формулы (6) следует, что для полной матрицы для любого столбца

I ---

( 5) Д = 1,п]к1 справедливо лл^* = ^,ц = 1,п]к1. Откуда

л I ^¡лл I * л I ^

IV =

К *====Ьп''-"

что и требовалось доказать.

Если в примере 1 пронормировать столбцы матрицы V (8), то они совпадут между собой и будут равны нормированным весам критериев:

/0,4 0,4 0,4 0,^ 0,3 0,3 0,3 0,3 0,2 0,2 0,2 0,2 \о,1 0,1 0,1 0,1;

Таким образом, за коэффициенты важности критериев можно взять нормированные элементы любого столбца, которые вычисляются по наддиагональным элементам матрицы попарных сравнений смежных критериев.

При решении прикладных задач проще использовать элементы последнего столбца матрицы, которые можно вычислить через произведения экспертных оценок по формуле:

м =Ш~ ГЧ г+г ,П<п]к _ ^

1 к - 1 I 1 п = п]к _ ^

а затем нормировать и принять за коэффициенты важности критериев.

Из примера 1 видно, что по формуле лл^ , п легко вычисляются элементы столбца лм^.

Шаг 5. Формирование глобальных коэффициентов важности критериев. Глобальные коэффициенты формируются путём вычисления произведения локальных коэффициентов вершин, лежащих на пути от корневой вершины к произвольной концевой вершине.

Пусть веса нормированы, т.е. их сумма по всем подвершинам произвольной

вершины равна единице:

I]П1 1к - ^ 1(ркк, . ,к) = 1 V к^ .

Произведение весов вершин, лежащих на пути от корневой вершины Ро к произвольной концевой вершине будет представлять собой интегральный (глобальный) вес

данной концевой вершины:

М8(/'¡1к.  -О = К ^ ^    ^ К ^1112.  -О = ПП= 1М1 (Рк к.  ¡к),

где

Тогда постановку многокритериальной задачи оценки объектов с многоуровневой структурой можно представить в виде аддитивной свёртки:

„(0 _ уп° УП^к -Ы,Л7С1 „(0 /оч

Ъ =1к = 1^1,1 = 1   .1]п = 1 . .¡пГк ¡2. . ¡п,

где г(у2 = /¡^¡^  ¡¡п(а 1) - оценка аг Е А объекта в концевой вершине /¡112 ,¡п дерева IИ в

результирующей однородной шкале.

Решение задачи можно представить в виде упорядочения объектов в соответствии с зна-

чениями агрегированных оценок:

аЧ1 >

> а

Яп,

<=> п

>

X —

>ГХ

(ЛпД

В качестве примера на рисунке 1 представлено трёхуровневое иерархическое дерево упорядоченных по важности критериев, где

веса обозначены в виде: ж/,-

жЬ

о

Номера уровней

2

71 = ж1(рк)' Л = 1 'т'

)1)2 = ж1(Ъи2)' к = 1

п

711

Замечание 3. Глобальные коэффициенты, вычисляемые на шаге 5 данного метода, аналогично вычисляются и в методе ПАТТЕРН [2] и в МАИ [1]. При этом глобальный вес концевого критерия в иерархическом дереве характеризует (относительную) долю, которую он вносит в глобальный критерий верхнего (нулевого) уровня иерархии.

3 Анализ эффективности методов, базирующихся на матрицах парных сравнений

Локальные веса

Глобальные веса

wgu = wll х wlu

1"1 = Ч х ^

Групповые критерии

wl

Концевые критерии

О-/21 wg21 = wl2 х wl21 >/2Щ^2П2 = Ч х Чп2

/т1 Wgm1 = ^т Х wlm1

= wL х wl,„

Рисунок 1 - Трёхуровневое иерархическое дерево критериев оценки объектов

Для сравнения методов используются данные из работы [19], в которой оцениваются сравнительные расстояния между городами Каир, Токио, Чикаго, Сан-Франциско, Лондон, Монреаль. Матрица парных сравнений получена методом экспертных оценок [19]:

А =

1 3 1 /8 1/3

\ 1/7

/ 8 3 3

1 9 3 3

/9 1 /6 /

/ 6 1 /

/ 5 3 1

/9 / /6 /6

2 6 6 1)

Упорядочив города в виде Токио, Каир, Лондон, Сан-Франциско, Чикаго, Монреаль по убыванию расстояния по методу данной работы, можно сравнить расстояния между смежными парами городов Токио-Каир, Каир-Лондон, Лондон-Сан-Франциско, Сан-Франциско-Чикаго, Чикаго-Монреаль, результаты которого можно представить наддиагональными элементами { 1' 2 ; 1'6; 1' 5 ; 2' 9 ; 1 2 } мультипликативной матрицы ИМп и вычисленными элементами правого столбца:

^МКП =

V

нормированные элементы которого принять за количественные веса расстояний и представить в виде вектора: жмкп = ( 0' 342; 0'2 85; 0' 178; 0' 1 1 9; 0' 0 4 1 ; 0'0 34) .

1 1,2 0 0 0 10,02\ 8

0 1 1'6 0 0

0 0 1 1,5 0 5'2 2

0 0 0 1 2'9 3 ' 48

0 0 0 0 1 1,2 )

0 0 0 0 0

т

Поскольку по нормированным элементам весов критериев восстанавливаются все эле-

Wi

менты и£у = — мультипликативном матрицы, то за критерии сравнения принимается матричный критерий близости восстановленной мультипликативной матрицы Ш к исходной матрице А в виде матричной /^норма [20]:

й (АЮ = НА-ШН1 = 2?=12?=1

w,

ац--

4 Wj

Мультипликативная матрица обладает особым свойством - любой элемент можно представить через произведение пары других

Щ] = Щк^к]' VI, / к = 1, п,

где и» = — , ии = 1,= 1, п.

wij

Можно показать взаимосвязь между нормированными элементами важности критериев и элементами восстановленной мультипликативной матрицы.

Теорема 3. Между любыми элементами и£у мультипликативной матрицы Ш = [и£у] V ¿,у = 1 , п и любой парой компонент ( и и/у) вектора важности критериев и = (и1,. . ., и у .. .,ип)Т,} = 1, п справедливо биективное отображение ^ ^ и^у, ставящее

каждому отношению ^ в однозначное соответствие элемент и£у матрицы Ж, и обратно

и£у ^ WL, при этом справедливо равенство :

и^у = = 1п.

Доказательство. Так как матрица Ш = [и£у] мультипликативная, то если для любой пары чисел (и£, иу) из {и1,. . .,ип}, представленных в виде отношения ^,иу > 0 , выполняется

условие мультипликативности (11), то между любыми элементами матрицы Ш = [и^у], и£у = существует взаимно однозначное отображение между элементами иу и ^•

ТТ " j wi W^ Л1/-.Ч wi W^ Wi

Действительно, если и£к = — и ику = —, то согласно (12): и£кик,- = — X — = — = и£,-,

Wд у Wj у Wд Wj Wj ^

т.е. для всех /,_/',& = 1, п выполняется условие мультипликативности (11), что и требовалось доказать.

Представленный МКП нахождения весов по парным смежным (п — 1 ) сравнениям можно сравнить с МАИ [1], методом наименьших квадратов (МНК) [21] и методом аппроксимаци-онной матрицы (МАМ) [22].

По МАИ решением служит нормированный собственной вектор матрицы А, соответствующий максимальному собственному значению. По МНК в качестве искомого вектора и принимается решение оптимизационной задачи [21]:

ЕП=1ЕП=1 (а1уиу — и£) 2 ^ шт

при ограничениях ЕП^и = 1 и и£ > 0 для всех ! = 1, п .

Эти методы трудоёмки, и для построения матрицы А необходимо проведение (п2 — п) / 2 попарных сравнений. В МАИ для числа объектов не менее пяти процедура нахождения собственных значений матрицы степеней превосходства важностей критериев или предпочтений альтернатив осуществляется с применением численных методов нахождения корней полинома, реализованных в [23]. По МАМ в качестве искомого вектора и принимается решение оптимизационной задачи [22]:

Я= 1 С а ¿у —_ш1п

' С™ 1 ,   -

где а ¿у = ^тт^--нормированные элементы матрицы суждений Л = [ а ^ у] , / ,_/' = 1 , п ;

Л ¡= 1т

М = - нормированный элемент ^-го столбца мультипликативной матрицы, совпадающий с любым элементом нормированного столбца (см. теорему 2). Исходные данные для сравнения методов представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Нормализованные относительные расстояния

Город 1

И^ИР М'МАИ М'мнк М'МАМ М'мкп

1 2 3 4 5 6

Токио 0,361 0,397 0,459 0,389 0,342

Каир 0,278 0,263 0,221 0,255 0,285

Лондон 0,177 0,164 0,141 0,167 0,178

Сан-Франциско 0,132 0,116 0,107 0,126 0,119

Чикаго 0,032 0,033 0,036 0,036 0,041

Монреаль 0,019 0,027 0,036 0,028 0,034

В столбцах 2 - 6 таблицы 1 представлены нормализованные относительные расстояния, где в столбце 2 - истинные нормализованные относительные расстояния, и/и Р; 3 - расстояния по МАИ, м/МАИ; 4 - расстояния по МНК, м/м нк; 5 - расстояния по МАМ, м/МАМ; 6 - расстояния по МКП, м/м кп. Данные в столбцах 2, 3 и 4 взяты из работы [19, с. 188].

Результаты сравнений по критерию й (Л ,//) (10) близости к исходной матрице парных сравнений представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Результаты сравнений по критерию й

Метод ИР МАИ МНК МАМ МКП

а (Л ,/) 36,41 24,62 29,22 23,10 20,26

Эффективность методов можно оценить по критерию близости между векторами:

¿(IV ¿,Шу) = Л = 1

Результаты сравнения представлены в таблице 3. Таблица 3 - Результаты сравнений по критерию ^

№

Метод МАИ МНК МАМ МКП

0,089 0,237 0,080 0,064

Таким образом, методы, базирующиеся на матрице парных сравнений, можно ранжировать по убыванию эффективности:

Замечание 4. Преимущество МКП относительно методов, базирующихся на матрице парных сравнений, в том, что этап построения иерархического дерева упорядоченных критериев по убыванию важности позволяет снизить число экспертных смежных пар сравнений критериев до С п — 1 ) по сравнению с числом при парном сравнении ( п 2 — п) / 2.

4 Пример решения задачи многокритериального оценивания

Эффективность МКП можно рассмотреть на примере решения многокритериальной задачи сравнения боевых самолётов по тактико-техническим характеристикам (ТТХ), принимавших участие в индийском тендере ММКСА [24]. Исходные данные по девяти показателям

в виде множества F = {f,..., f9} и оценки Xyl) = f(СI) шести самолётов в виде множества

С = { С ,..., С6} представлены в таблице 4, где приняты обозначения самолётов: С - Dassault Rafale; С2 - Eurofighter Typhoon; С3 - F-16IN Super Viper; С4 - F/A-18E/F Super Hornet; С5 -JAS 39 NG ^IN^; С6 - МиГ-35. Эталонные самолёты обозначены: С* - наихудший по показателям ТТХ и стоимости (эталон - худший вариант); С* - наилучший по показателям ТТХ и стоимости (эталон - лучший вариант).

Таблица 4 - ТТХ самолётов, участвовавших в тендере

Оценки самолётов в Эталоны

Показатели ТТХ

q с, С3 с4 с, Се, с, с*

/- боевая нагрузка, т 9,5 7,5 7,8 8,05 5,3 7,0 5,3 9,5

/2 - управляемый вектор тяги нет нет нет нет нет есть нет есть

/з - скороподъёмность, м/с 305 315 254 228 255 330 228 330

/- максимальная взлётная масса, т 24,5 23,5 21,8 29,9 14,3 23,5 14,3 29,9

/ - максимальное число Маха на высоте 1,80 2,25 2,00 1,80 2,00 2,25 1,80 2,25

/- практический потолок, км 15,24 19,81 18,00 15,00 15,24 17,50 15,00 19,81

/7- стоимость, млн. $ (2011 г.) 124 120 50 55 48 45 124 45

/д- тяговооружённость 1,03 1,18 1,10 0,93 1,18 1,10 0,93 1,18

/- масса топлива, т 4,70 5,00 3,37 6,78 3,36 4,80 3,36 6,78

В соответствии с шагом 1 алгоритма представленные в таблице 4 показатели используются как критерии. Пусть эксперты разбили критерии на три группы по предпочтительности: ^ - целевая эффективность; F2 - техническая эффективность и Fз - технико-экономическая эффективность:

F1 > F2 >

В каждой группе подкритерии также упорядочены по убыванию важности:

Рг- /и > /12 > Аз; /21 > /22 > /23; Р3: /31 > /32 « /33.

На рисунке 2 представлено трёх-

уровневое иерархическое дерево.

В соответствии с шагами 2 и 3 представлены матрицы попарных смежных сравнений и вычисленные правые столбцы:

F0:W0 =

Fl: W1 =

Fy.Wn =

F3: W3 =

5/2^ 3/2

4/3\

i)'

8/6> 7/6

I)

г °

А f-

O

0

1 Ш S

<D «

cd К К

:<D

3

ю о ю О

Боевая нагрузка, fxx

Целевая эффективность, F1 W Управляемый вектор таги f2

W -

Скороподъёмность, f13

Техническая эффективность, F

Максимальная взлётная масса, f

21

А

Максимальная полёта на высоте

скорость-

2

Практический потолок,

f23

Технико -экономи-номическая эффективность,

Стоимость,

f31

F

Тяговооружённость, f32

Масса топлива,

f33

Рисунок 2 - Иерархическое дерево критериев оценки эффективности самолётов

В соответствии с шагом 4 сформированы локальные коэффициенты важности критериев: F0: w^ = 0 , 5 ; wZ2 = 0 , 3 ; wZ3 = 0 , 2 ;

: w/n = 0,4; w/12 = 0, 3 ; w/13 = 0, 3 ; F2: w/21 = 0, 3 8; w/22 = 0, 3 3 ; w/23 = 0, 29 . F3: w/31 = 0, 3 6; wZ32 = 0, 3 2 ; wZ33 = 0, 3 2 . Глобальные коэффициенты важности критериев на шаге 5 формируются путём вычисления произведения локальных коэффициентов вершин, лежащих на пути от корневой вершины F0 к произвольной концевой вершине.

F1 : wg11 = 0,5 X 0,40 = 0,2 0; wg12 = 0, 5 X 0, 3 = 0, 1 5; wg13 = 0, 5 X 0, 3 = 0, 1 5; F2 : wg21 = 0, 3 X 0, 3 8 = 0, 1 1 4; wg22 = 0, 3 X 0,3 3 = 0,099; wg23 = 0,3 X 0,29 = 0,087. F3: wg31 = 0,2 X 0,3 6 = 0,072; wg32 = 0,2 X 0,3 2 = 0,064; wg33 = 0,2 X 0, 32 = 0,064.

Поскольку исходные данные представлены в различных шкалах измерения, то для применения аддитивного механизма агрегирования необходимо перейти к результирующей однородной шкале [19]. Правило перехода "n¿ от исходных оценок х самолётов в количественной шкале по / критерию к r¿(í) оценкам в результирующей балльной шкале можно представить в виде множественно-точечного отображения:

: [/¿* + (r - 1 ) h¿,/¿* + rfy] ^ r, f-*—f

где ^¿(m) = ' '*— шаг дискретизации шкалы / критерия, /¿* - минимальное значение, /¿*- максимальное значение критерия;

X¿,r= [х г—1, х r] = [/¿* + (r — 1 ) ft¿, /¿* + rft¿] - отрезки разбиения исходной шкалы; г£й = { 1, 2 ,..., Ь) - градации результирующей шкалы; b - число шкальных градаций в порядковой (балльной) шкале .

При этом каждой оценке, попадающей в класс Xг разбиения ставится в соответствие

(0 - (0 (0 о

оценка r¿ в результирующей шкале по правилу: х> . В случае попадания оценки

объекта на смежные классы ей присваивается связанный ранг, равный среднему арифмети-

ГОСТ (0^'-(0 (^ + 1) (0 v

ческому значению смежных рангов [25]: х> ^ r¿ = —-—, если х> G X¿,rI |X¿,r+1.

В качестве механизма агрегирования оценок самолётов, представленных в результирующей шкале, применён интегральный метод с учётом весов и без учёта в виде аддитивной свёртки оценок а^, q = 1 — 6, по концевым критериям с весами важности в виде [26]:

F

где r¿ (г) = /¿(аг) - оценка самолёта аг G А = {аг|Z = 1 ,пл),пл = 6 в результирующей шкале по критерию /¿, í = 1, m, т = 9; wg¿ = wg (/¿) - глобальный вес / критерия.

В таблице 5 представлены ТТХ самолётов в 100-балльной результирующей шкале, где

r = rfV,   -,r¿(í) ,. . ,,r9(0) - профиль Сг самолёта, Z = 1-9. , а также результат агрегирования без учёта весов критериев (в последней строке таблицы).

Ранжирование самолётов по обобщённым оценкам без учёта весов критериев можно представить в виде:

{МиГ - ч-П V (Eurofighter) v í F — 1 6 I N ) fF/A 1 8E/F — } rD assault) ( JAS 3 9 ) { 3 5 } { Typhoon } { Su p e r Viper} { Supe r H o rn et} { Rafal e J { N G ( I N ) }.

Результаты агрегирования с учётом глобальных весов по формуле (14) представлены в таблице 6, а также на рисунке 3.

Таблица 5 - Оценки самолётов в однородной 100-балльной шкале без учёта весов критериев

Оценки самолётов в однородной 100-балльной шкале, Эталоны

Показатели II

fi f2 f3 f4 fS h f* f*

fi = /и 100 53 60 66 1 41 1 100

/2 = /12 1 1 1 1 1 100 1 100

/з = /13 76 86 26 1 27 100 1 100

/4 = f?. 1 66 59 49 100 1 59 1 100

/5 = /22 1 100 45 1 45 100 1 100

Sr1» III L0 5 100 63 1 5 52 1 100

/7 — /31 1 6 94 88 97 100 1 100

f8 = /32 40 100 68,5 1 100 68,5 1 100

> III ¡г» OJ 40 48 1,0 100 1 43 1 100

's — Li=i 'i 330,0 553,0 407,5 359,0 278,0 663,5 9 900

Таблица 6 - Показатели самолётов в результирующей шкале с учётом весов критериев

Показатели Глобальные веса критриев Оценки самолётов в однородной 100-балльной шкале с учётом весов Эталоны

Ci с2 С3 С4 с5 с6 с. С*

fi = /11 0,200 20,00 10,60 12,00 13,20 0,20 8,20 0,20 20,00

/2 = /12 0,150 0,15 0,15 0,15 0,15 0,15 15,00 0,15 15,00

/з = /13 0,150 11,40 12,90 3,90 0,15 4,05 15,00 0,15 15,00

/4 = /21 0,114 7,52 6,73 5,59 11,40 0,11 6,73 0,11 11,40

/5 = /22 0,099 0,10 9,90 4,46 0,10 4,46 9,90 0,10 9,90

fe, = f?. з 0,087 0,44 8,70 5,48 0,09 0,44 4,52 0,09 8,70

/7 = /31 0,072 0,07 0,43 6,77 6,34 6,98 7,20 0,07 7,20

fe = /32 0,064 2,56 6,40 4,38 0,06 6,40 4,38 0,06 6,40

/9 = /зз 0,064 2,56 3,07 0,06 6,40 0,06 2,75 0,06 6,40

V9 Ч7ГГ l%> Li=iWgifi 44,80 58,88 42,79 37,89 22,85 73,69 1,00 100,00

100

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

74

59

45

43

38

23

Эталон -идеал

Dassault Eurofighter F-16 IN Rafale Typhoon Super Viper

F/A-18E/F Super Hornet

JAS 39 NG

МиГ-35

Эталон - не идеал

Рисунок 3 - Результат оценивания самолётов в 100-балльной шкале с учётом весов критериев

В этом случае ранжирование самолётов по обобщённым оценкам с учётом весов критериев можно представить в виде:

ÍMur - ч-П V (Eurofighter) v (D assault) f F- 1 6 I N ) ÍF/A 1 8E/F -) ( JAS 3 9 ) U 1И1 3 э^ { Typh Qon ^ { Rafale J { Su p e г Vip er} {Supeг Hornet} {N G (I N )}'

На первом месте оказался самолёт МиГ-35, так как по трём показателям у него максимальные баллы. Кроме того, преимущество самолёта связано с наличием управляемого вектора тяги, который отсутствует у других самолётов.

По результатам агрегирования рейтинг боевых самолётов по эффективности представлен в таблице 7. Таким образом, самолёт МиГ-35 оказался лучшим по ТТХ и по стоимости.

Таблица 7 - Рейтинг самолётов по эффективности

№ Самолёт Балльная оценка Место в рейтинге

Без учёта весов С учётом весов Без учёта весов С учётом весов

1 Dassault Rafale 37 45 5 3

2 Eurofighter Typhoon 60 58 2 2

3 F-16 IN Super Viper 45 43 3 4

4 F/A 1 8 E / F - Super H ornet 40 38 4 5

5 JAS 39 NG(IN) 31 23 6 6

6 МиГ-35 63 59 1 1

Заключение

Основное преимущество предложенного МКП - в его простоте относительно МНК и МАИ, в отсутствии выполнения всех попарных сравнений, число которых нелинейно зависит от исходного числа объектов и равно (п -п)/2. Снижение числа сравнений смежных пар критериев до значения (п-1) достигнуто за счёт предварительного упорядочения критериев по важности (предпочтительности) и особых свойств матрицы с наддиагональными экспертными оценками критериев, измеренных в шкале отношений.

Предложенный метод формирования весов критериев для многокритериальных задачах с многоуровневой структурой может быть использован для решения задач оценивания, ранжирования и построения рейтингов.

Список источников

[1] Саати Т. Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети. М.: ЛКИ, 2008. 360 с.

[2] Лопухин М.М. «ПАТТЕРН» - метод планирования и прогнозирования научных работ. М.: Советское радио, 1971. 160 с.

[3] Keeney R.L., Raiffa H. Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Trade-Offs. New York: Wiley, 1976. 569 p.

[4] Belton V., Stewart T.J. Multiple criteria decision analysis. An integrated approach. Boston: Cluwer, 2003. 374 p.

[5] Бормотов А.Н. Обоснование метода формирования весовых коэффициентов критерия практической оптимальности по результатам математического моделирования композитов // Технические науки. 2016. № 8. С.14-18.

[6] Полищук Л.И. Об обобщённых критериях с коэффициентами важности в задачах векторной оптимизации // Автомат. и телемех. 1982. № 2. С.55-60.

[7] Зотьев Д.Б. К проблеме определения весовых коэффициентов на основании экспертных оценок // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2011. Т.77. № 1. С.75-78.

[8] Анохин А.М. Глотов В. А., Павельев В. В., Черкашин А.М. Методы определения коэффициентов важности критериев // Автомат. и телемех. 1997. №. 8. С. 3-35.

[9] Дмитриев М.Г., Ломазов В.А. Оценка чувствительности линейной свертки частных критериев при экспертном определении весовых коэффициентов // Искусственный интелект и принятие решений. 2014. № 1. С.52-56.

[10] Корнеенко В.П. Метод косвенных предпочтений // Обозрение прикладной и промышленной математике. 2008. Т. 15. №5. С. 890-891.

[11 [12 [13

Pfanzsagl J. Theory of measurement. Berlin, Heidelberg: Spriger-Verlag, 1971. 235 p. Подиновский В.В. Количественная важность критериев // Автомат. и телемех. 2000. № 5. С. 110-123. Подиновский В.В. Идеи и методы теории важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. М.: Наука, 2019. 103 с.

Ремесленик Е. С. Применение последовательностей Фишберна в моделях с количественными факторами // Теория и практика экономики и предпринимательства / Труды XVI Всероссийской с международным участием научно-практической конференция "Теория и практика экономики и предпринимательства" (Симферополь-Гурзуф, 2019). Симферополь: ИП Зуева Т.В., 2019. С. 210-212. Fishburn P. C. Utility Theory for Decision Making. New York: Wiley, 1970. 234 p.

Пиявский С.А. Формулы для вычисления универсальных коэффициентов при принятии многокритериальных решений // Онтология проектирования. 2019. Т. 9. № 2(32). С.282-298. DOI: 10.18287/2223-9537-20199-2-282-298.

Корнеенко В.П. Оптимизационный метод выбора результирующего ранжирования объектов, представленных в ранговой шкале измерения // Управление большими системами. 2019. Выпуск 82. С.44-60. Корнеенко В.П. Методы многокритериального оценивания объектов с многоуровневой структурой показателей эффективности. М.: МАКС Пресс, 2018. 292 с.

Юшманов С.В. Метод нахождения весов, не требующий полной матрицы попарных сравнений // Автомат. и телемех. 1990. № 2. С. 186-189.

Horn R., Johnson Ch. Matrix analysis. New York: Cambridge University, 1990. 561 p.

Chu A., Kalaba RE., Springarn K. A Comparison of two methods for determining the weights of belonging to fuzzy sets. Journal of Optimization Theory and Applications. 1979. Vol. 27. P.531-538.

Корнеенко В.П. Метод аппроксимационной матрицы формирования весов объектов в многокритериальных задачах выбора // Вестник кибернетики. 2021. № 1. С. 51-62. Expert Choice. URL: https://www.expertchoice.com/2021 (дата обращения: 25.04.2023).

Сравнительные ТТХ самолётов, принимавших участие в индийском тендере MMRCA https://I"u.wikipedia.org/wiki/Шаблон:Сравнительные_ТТХ_самолëтов_принимавших_участие_в_индийском _тендере_MMRCA.

KendallM.G. Rank correlation methods. New York: Oxford University, 1990. 260 p.

Корнеенко В.П. Метод локального агрегирования данных объектов с многоуровневой структурой в порядковых шкалах // Труды 14-й Международной конференции "Управление развитием крупномасштабных систем" (MLSD-2021). М.: ИПУ РАН, 2021. С.485-493. https://mlsd2021.ipu.ru/proceedings/485-493.pdf.

Сведения об авторе

Корнеенко Виктор Павлович, 1953 г. рождения. Окончил факультет радиоэлектроники Ленинградской военной инженерной академии им. А.Ф. Можайского в 1975 году. В 1986 году окончил факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова. Старший научный сотрудник Института проблем управления им. В.А Трапезникова РАН, доцент кафедры математических методов и информационных технологий Высшей школы промышленной политики и предпринимательства РУДН им. Патриса Лумумбы. К.т.н., доцент. В списке научных трудов более 100 работ в области комбинаторной оптимизации, математических методов в аналитической деятельности и многокритериального оценивания объектов с многоуровневой структурой: Researcher ID (WoS): JGD-2807-2023; Author ID (Scopus): 57222359318; Author ID (РИНЦ): 1043413; ORCID: 0000-0002-3643-1609. vkorn@ipu.ru.

Поступила в редакцию 24.10.2023, после рецензирования 13.11.2023. Принята к публикации 17.11.2023.

Scientific article DOI: 10.18287/2223-9537-2023-13-4-580-596

Method of indirect preferences for forming criterion weights with a multi-level structure

© 2023, V.P. Korneenko

R UDN University, Moscow, Russia

V.A. Trapeznikov Institute of Management Problems of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia Abstract

The method of forming criterion weights in tasks of multi-criteria evaluation of objects with a multi-level structure of indicators presented in the form of a hierarchical tree, is shown. The weights values are calculated on the basis of indirect measurement of preferences of adjacent pairs of local weights of criteria included in the vertices of a higher level of the hierarchical tree, in the form of expert assessments in the quantitative scale of relations. The calculation of quantitative weights first comes down to lexicographic sorting by descending order of criteria importance at each level of the hierarchy that are included in the vertices of a higher level, as a result of which the number of expert comparisons of adjacent pairs in the scale of relations is reduced. The formation of local coefficients of the criteria importance is mathematically justified and is based on a matrix with special properties. A comparative analysis of the proposed method for forming quantitative weights with the method of hierarchy analysis, the least squares method and the approximation matrix method based on the matrix of paired comparisons, is given. An example is given of solving the problem of multi-criteria evaluation of combat aircraft that participated in the tender, according to the tactical and technical characteristics presented in various measurement scales.

Keywords: importance of criteria, paired comparison matrix, hierarchical tree, measurement scale, ordering of criteria.

For citation: Korneenko VP. Method of indirect preferences for forming criterion weights with a multi-level structure [In Russian]. Ontology of designing. 2023; 13(4): 580-596. DOI: 10.18287/2223-9537-2023-13-4-580-596.

Conflict of Interest: The author declares no conflict of interest.

List of figures and tables

Figure 1 - Three-level hierarchical tree of object evaluation criteria Figure 2 - Hierarchical tree of criteria for assessing aircraft efficiency

Figure 3 - Result of aircraft evaluation on a 100-point scale, taking into account criteria weights

Table 1 - Normalized relative distances

Table 2 - Results of comparisons using the d(A,W) criterion

Table 3 - Results of comparisons using the d(w1,wj) criterion

Table 4 - Performance characteristics of aircraft participating in the tender

Table 5 - Aircraft ratings on a uniform 100-point scale without taking into account criterion weights Table 6 - Aircraft performance in the resulting scale, taking into account criteria weights Table 7 - Aircraft rating by efficiency

References

[1] Saati T. Decision-making with dependencies and feedbacks: Analytical networks [In Russian]. M.: LKI, 2008. 360 p.

[2] Lopukhin MM. "PATTERN", a method of planning and forecasting scientific papers [In Russian]. M.: Soviet radio, 1971. 160 p.

[3] Keeney RL, Raiffa H. Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Trade-Offs. New York: Wiley, 1976. 569 p.

[4] Belton V., Stewart TJ. Multiple criteria decision analysis. An integrated approach. Boston: Cluwer, 2003. 374 p.

[5] Bormotov AN. Substantiation of the method of forming the weighting coefficients of the criterion of practical opti-

maleness based on the results of mathematical modeling of composites [In Russian]. Technical Sciences. 2016; 8: 14-18.

[6] PolishchukLI. On generalized criteria with importance coefficients in vector optimization problems [In Russian]. Automaton. and telemech. 1982; 2: 55-60.

[7] ZotyevDB. On the problem of determining weight coefficients based on expert assessments [In Russian]. Factory laboratory. Diagnostics of materials. 2011; 77(1): 75-78.

[8] Anokhin AM. Glotov VA., Paveliev VV., Cherkashin AM. Methods for determining the coefficients of the importance of criteria [In Russian]. Automaton and telemech. 1997; 8: 3-35.

[9] Dmitriev MG., Lomazov VA. Evaluation of the sensitivity of linear convolution of particular criteria in the expert determination of weighting coefficients [In Russian]. Artificial intelligence and decision-making. 2014; 1: 52-56.

[10] Korneenko VP. Method of indirect preferences [In Russian]. Review of applied and industrial mathematics. 2008; 15(5): 890-891.

[11] Pfanzsagl J. Theory of measurement. Berlin, Heidelberg: Spriger-Verlag, 1971. 235 p.

[12] Podinovsky VV. Quantitative importance of criteria [In Russian]. AiT. 2000; 5: 110-123.

[13] Podinovsky VV. Ideas and methods of the theory of the importance of criteria in multi-criteria decision-making tasks [In Russian]. Moscow: Nauka, 2019. 103 p.

[14] Remesnik E.S. Application of Fishburne sequences in models with quantitative factors // Theory and Practice of Economics and Entrepreneurship / Proceedings of the XVI All-Russian Scientific and Practical conference with International participation "Theory and Practice of Economics and Entrepreneurship" (Simferopol-Gurzuf, 2019). Simferopol: IP Zueva T.V., 2019. P.210-212.

[15] Fishburn PC. Utility Theory for Decision Making. New York: Wiley, 1970. 234 p.

[16] Piyavsky SA. Forms for calculation of universal coefficients when adopting multiple critical decisions [In Russian]. Ontology of designing. 2019; 9(2): 282-298. DOI: 10.18287/2223-9537-2019-9-2-282-298.

[17] Korneenko VP. Optimization method for selecting the resulting ranking of objects presented in the rank scale of measurement [In Russian]. Management of large systems. 2019; 82: 44-60.

[18] Korneenko VP. Methods of multi-criteria evaluation of objects with a multi-level structure of performance indicators [In Russian]. Moscow: MAKS Press, 2018. 292 p.

[19] Yushmanov SV. A method for finding weights that does not require a complete matrix of pairwise comparisons [In Russian]. AiT. 1990; 2: 186-189.

[20] Horn R., Johnson Ch. Matrix analysis. New York: Cambridge University, 1990. 561 p.

[21] Chu A., Kalaba RE., Springarn K. A Comparison of two methods for determining the weights of Belonging to fuzzy sets. Journal of Optimization Theory and Applications. 1979; 27: 531-538.

[22] Korneenko VP. Method of approximation matrix of object weights formation in multi-criteria selection problems [In Russian]. Bulletin of Cybernetics. 2021; 1: 51-62.

[23] Expert Choice. https://www.expertchoice.com/2021 (accessed: 04/25/2023).

[24] Comparative technical characteristics of aircraft participating in the Indian MMRCA tender [In Russian]. https://ru.wikipedia.org/wiki/ffla6fl0H:CpaBHHTeflbHMe_TTX_caM0neT0B_npHHHMaBmHx_yHacTHe_B_HHgHHCK0M _TeHgepe_MMRCA.

[25] Kendall MG. Rank correlation methods. New York: Oxford University, 1990. 260 p.

[26] Korneenko VP. Method for local aggregation of data of objects with multi-level structure in sequential scales [In Russian]. Proceedings of the 14th International Conference "Management of Large-scale systems Development" (MLSD-2021). Moscow: IPU RAS, 2021. P.485-493. https://mlsd2021.ipu.ru/proceedings/485-493.pdf.

About the author

Viktor Pavlovich Korneenko (b. 1953) graduated from the Faculty of Radio Electronics of the Leningrad Military Engineering Academy named after A.F. Mozhaisky in 1975. In 1986 he graduated from the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics of Lomonosov Moscow State University. Senior Researcher at the V.A. Trapeznikov Institute of Management Problems of the Russian Academy of Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical Methods and Information Technologies of the Higher School of Industrial Policy and Entrepreneurship of the RUDN named after Patrice Lumumba. Candidate of Technical Sciences, Associate Professor. The list of scientific papers includes more than 100 works in the field of combinatorial optimization, mathematical methods in analytical activity, and multi-criteria evaluation of objects with a multi-level structure: Researcher ID (WoS): JGD-2807-2023; Author ID (Scopus): 57222359318; Author ID (RSCI): 1043413; ORCID: 0000-0002-3643-1609. vkorn@ipu.ru.

Received on October 24, 2023, after review on November 13, 2023. Accepted for publication on November 17, 2023.