Строение окрестностей 5-вершин в плоских триангуляциях с минимальной степенью 5

УДК 519.172.2

СТРОЕНИЕ ОКРЕСТНОСТЕЙ 5-ВЕРШИН В ПЛОСКИХ ТРИАНГУЛЯЦИЯХ С МИНИМАЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ 5*)

А. О, Иванова, Д. В, Никифоров

1. Введение

Интерес к строению плоских графов с минимальной степенью 5 частично объясняется их ролью в решении известной проблемы четырех красок. Важной вехой на этом пути была таблица Лебега [1, с. 36], дающая приблизительное описание окрестностей вершин степени 5 в плоских триангуляциях с минимальной степенью 5. Для решения проблемы четырех красок Аппелю и Хакену в 1976 г. [2] потребовалось изучить строение окрестностей второго порядка вершин степени 5, т. е. шаров радиуса 2 с центрами в 5-вершинах, тогда как таблица Лебега дает описание окрестностей первого порядка.

Как доказано Штейницем [3], конечные 3-связные плоские графы взаимно однозначно отвечают конечным выпуклым трехмерным многогранникам, называемым 3-многогранниками. Поэтому, изучая строение плоских графов, мы исследуем, в частности, комбинаторное строение 3-многогранников. Под графом понимаем неориентированный граф без петель и кратных ребер.

Степень ¿(у) вершины V в плоском графе О есть число инцидентных ей ребер, к-вершина— вершина степени к, к- -вершина — вершина степени не более к, а к+ -вершина — вершина степени не менее к.

Работа первого автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 124)1-98510, 12-01—00631 и 12-01— 00448).

© 2013 Иванова А. О., Никифоров Д. В.

В 1904 г. Вернике [4] доказал, что в любом плоском графе с минимальной степенью 5 существует 5-вершина, смежная с 6--вершиной. В 1922 г. Франклин усилил это утверждение, доказав в [5], что любой плоский граф с минимальной степенью 5 содержит 5-вершину, смежную с двумя 6--вершинами.

Обозначим через VI,..., г^) соседей вершины г в циклическом порядке вокруг г. Будем говорить, что 5-вершина г имеет тип ..., ¿б), если ¿(гг) ^ ¿г. Если порядок соседей в типе не важен, то над соответствующими степенями ставится черта. Следующее описание окрестностей 5-вершин в плоских триангуляциях с минимальной степенью 5, обозначаемых далее через дано Лебегом [1, с. 36] в 1940 г. и включает результаты Вернике и Франклина.

Теорема 1. В любой плоской триангуляции с минимальной степенью 5 существует 5-вершина одного из следующих типов:

(6.6.7.7.7), (6,6,6,7,9), (6,6,6,6,11),

(5.6.7.7.8), (5,6,6/7,11), (5,6, бД 8),

(5,6,679, 7), (5, 7,6,6,12), (5,8,6,6,10), (5,6,6,6,17),

(5,5,77Щ, (5,13,5, 7,7), (5,10, 5,7,8), (5,8,5,7,9),

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

(5,11,5,6,9), (5, 7,5,6,13), (5,8,5,6,11), (5,9, 5,6,10), (5,6,6, 5, ж),

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

Нормальной плоской картой называется плоский псевдограф, в котором разрешены петли и кратные ребра, но каждая вершина и каждая грань имеют степень не менее 3 (степенью грани считается количество инцидентных ей ребер); М5 — нормальная плоская карта с минимальной степенью 5. Весом шт5 (Н) (ш^ (Н)) подграфа Н карты Т5 (М5) назовем минимальную сумму степеней вершин подграфа Н в карте Т (М5). Через шм(Н) (Н)) обозначим максимум (Н) (ш>т5 (Н)) то всем М5 (по всем Т5). Цикл па к вершинах обозначим через Ск, а к-звезду с центром в 5-вершине — через Як.

В 1963 г. Коциг [6] вывел из теоремы Лебега [1, с. 36], что тт (О ^ 18, и предположил, что тт (О ^ 17. Конструкция, получающаяся из додекаэдра добавлением в каждую грань 5-вершнны, соединенной с инцидентными этой грани вершинами додекаэдра, показывает точность оценки. В 1989 г. О. В. Бородин [7], не используя теорему Лебега, доказал гипотезу Коцига.

Оценки Вернике тм(£1) ^ 11 [4] и Франклина и>м(£2) ^ 17 [5] точны. В [1] доказано, что тм(£3) ^ 24 и тм(£4) ^ 31. Позднее эти два результата были улучшены до точных оценок: тм(£3) ^ 23 [8] и тм (£4) ^ 30 [9]. Заметим, что неравенство тм (£3) ^ 23 легко влечет оценку тм(£2) ^ 17 и немедленно следует из того, что тм(£4) ^ 30 (достаточно удалить вершину максимальной степени из звезды минимального веса).

Из теоремы Лебега [1, с. 36] также следует, что тт(С) ^ 26 и тТ(С) < 31. В 1998 г. О. В. Бородин и Вудал [9] доказали, что тт(С) = 25 и тт(С) = 30, причем обе оценки точны.

Таблица Лебега (см. теорему 1) в качестве следствий дает различные факты о строении плоских графов с минимальной степенью 5, допускающие улучшения (примеры см. выше). Несколько таких следствий доведено до неулучитаемых результатов, но на это потребовались десятки лет и новые идеи. В целом же нам неизвестны улучшения ни одного из параметров этой таблицы, не ухудшающие остальных ее параметров.

В [1] Лебег не дает доказательства теоремы 1, а лишь указывает его идею. Кроме того, нами были замечены явные неточности (или опечатки) в теореме 1. В связи с этим мы решили дать независимое доказательство теоремы 1 и исправить эти ошибки (или опечатки). А именно, наше доказательство выявило следующие неточности в теореме 1:

(1) в типе (5,11, 5,6,8) вместо 11 должно быть 15;

(2) в типе (5,17, 5,6, 7) вместо 17 должно быть 27;

,,,,

(4) вместо типа (5,6,7, 7,8) должны быть (5,8,6,7, 7) и (5,7,6,8, 7);

(5) тип (5,6, 6, 9, 7) является излишним;

(6) вместо (5,5, 7, 7,8) достаточно писать (5,5, 7,7,8).

Далее мы поставили перед собой задачу с помощью дополнитель-

ных соображений усилить полученный нами исправленный вариант

,,,,

А именно доказана следующая

Теорема 2. В любой плоской триангуляции с минимальной степенью 5 существует Ъ-вершпна одного нз следующих типов:

(6,6,7,7,7), (6,6,6,7,9), (6,6,6,6,11),

(5,8,677/7), (5,7,6,8, 7), (5,6, (ТТ. 11), (5,6,6Д 8),

, , , , , , , , , , , , , , ,

(5,5, 7,778), (5,13,5, 7,7), (5,10, 5,7,8), (5,8,5,7,9),

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

(5,11,5,6,9), (5, 7,5,6,13), (5,8,5,6,11), (5,9, 5,6,10), (5,6,6, 5, ж),

, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .

2. Доказательство теоремы 2

Пусть О — контрпример к теореме 2, т. е. О — плоская триангуляция с минимальной степенью 5, в которой нет ни одного из типов, указанных в теореме 2. Через ^(О), Е(О) и ^(О) обозначим множества

О

Формулу Эйлера |^(О)| — |Е(О)| + |^(О)| = 2 перепишем в виде (2|£(О) | — 6|У(О) |) + (4|£(О) | — 6ЩО) |) = — 2.

Отсюда

]Г

УЕУ

где ¿(г) — степень вершины г, а г(/) — ранг грани /.

Начальный заряд г) каждой вершины г € У(О) положим равным ¿(г) — 6, а заряд каждой грани / графа О равен 2г(/) —6 = 0. Из (1) имеем

$>

уЕУ

Заметим, что заряд 5-вершины равен —1, заряд 6-вершипы равен 0, а заряды всех остальных вершин положительны. Перераспределим заряды вершин так, чтобы новый заряд ^* (у) каждой вершины V стал неотрицательным. Поскольку сумма зарядов вершин при перераспределении сохраняется, получим противоречие с (2), что и завершит доказательство теоремы.

Будем использовать следующие правила перераспределения зарядов.

Ш. Каждая вершина V степени > 7 отдает в грань заряд =

с1

112. Пусть Т = хуг, где ¿(х) = 5, тогда ж получат от грани Т:

(a) £(у) + £(г), если ¿(у) > 6 и ¿(г) > 6,

(b) £(у)/2, еели ¿{у) >6, ф) = 5.

2.1. Проверка того, что ^* (у) > 0 для всех V € У (О). Будем говорить, что тип (¿1,..., ¿5) поглощается типом (¿',..., ¿'), если ¿г < ¿' для всех 1 ^ г ^5.

Далее рассматриваем варианты окрестности 5-вершины V по числу смежных с ней 5-вершин. Имеем пять вариантов: (1) нет 5-вершин; (2) одна 5-вершина; (3) две 5-вершины; (4) три 5-вершины и (5) четыре 5-вершины.

Случай 1. Пет 5-вершин.

Заметим, что порядок вершин вокруг V в данном случае не имеет значения. Если в окрестности V имеется не менее четырех вершин степени ^ 7, то по нашим правилам /х*(г>) ^ -1 + 8 х ^ >0. Пусть в окрестности V не более трех 7+-вершин.

ПОДСЛУЧАЙ 1.1. Три 7+-вершины. Если существует хотя бы одна вершина степени 8, то вершина V получает не менее 4ху + 2х^>1, т. е. V) > 0. Если все три вершины имеют степень 7, то V) = — 1 + 6 х у <0, но типа (6,6, 7, 7, 7) нет в контрпримере, поскольку он присутствует в формулировке теоремы 2.

подслучай 1.2. Две 7+-вершипы (т. е. V имеет тип (6,6,6,х,у), где х > 7 и у > 7). Если х > 8 и у > 8, то /х*(г>) > -1 + 4 х = 0. Если хотя бы одна из степеней ж, г/не менее 10, то/х*(г>) ^ — 1+2x^+2х| > 0.

Пусть х = 7, а у < 9, тогда ¡л* (у) < —1 + 2 х у + 2 х | < 0, но типа (6, б, б, 7, 9) нет в контрпримере.

Подслучай 1.3. Одна 7+-вершина х. Вершина V получает заряд 2 х что не меньше 1 при х ^ 12. При х ^ 11 получаем тип

(б, б, б, б, 11), отсутствующий в контрпримере.

Случай 2. Одна 5-вершина.

Если в окрестности V имеется четыре 7+-вершины, то

^ 3 1 3 1 , 1 п

Пусть в окрестности V не более трех 7+-вершин.

Подслучай 2.1. Три 7+-вершины. Вершина v имеет тип (1) (5,х, 6,1/, г) или (2) (5,6,^717, А (рис. 1).

Рис. 1. Подслучай 2.1 случая 2.

(1) Пусть V типа (5, х, б, у, г). Если х > 9 или г > 9, то у получает

| + 2ху + |ху = 1. Пусть 7<х<8и7<г<

не менее | х

Ввиду симметрии между х и г будем считать, что х ^ г. Если х = 8, то >-1 + §х± + 2х± + §х±>0. Пусть х = 7 и г = 8, тогда

*/ч ^ у — б 3 1 3 1

при у ^ 8, откуда следует тип (5, 7, б, 7, 8), который содержится в типе (5, 8, б, 7, 7), отсутствующем в контрпримере. Если х = г = 7, то

*/ч ^ У — 6 3 1 3 1.,

при у > 9. Отсюда получаем тип (5,7,6,8,7) (ввиду симметрии здесь черты над б, 8 не требуется).

(2) Пусть V типа (5, б, ж, у, г), тогда

*/ч . 3 г — 6 Л у — б Л х — б а* (у) = -1 + - х -+ 2 х --+ 2 х -.

2 г у х

Если г > 9, то

Пусть 7 ^ г ^ 8. Если г = 8 и хотя бы одна из степеней х у не менее 8, то

3 1 1 1

//» >-1 + -х- + 2х- + 2х->0.

2 4 4 7

При х = у = 7 получаем V) < 0 и тип (5,6,7,7,8), который содержится в типе (5,8, б, 7, 7).

Если же г = 7, то для типа (5, б, 7,8, 7) имеем

М» = -1 + ^x^ + 2x^ + 2x^ = 0,

а тип (5, б, 7, 7, 7) поглощается типом (5,8, б, 7, 7).

Подслучай 2.2. Две 7+-вершины. Вершина V имеет тип (1) (5,6, , х, у , , х, у, , х, , , у

5 5 5

Рис. 2. Подслучай 2.2 случая 2.

(1) Пусть V типа (5, б, б, ж, у). Если ж > 10, то /¿*(г;) > -1 + 2 х | + | х \ > 0. Пусть 7 < ж < 9.

Если х = 7, то /х*(г>) = -1 + § х ^ + 2 х | > О при у > 12, откуда получаем тип (5,6,6,7,11). Если х = 8, то /«*(«) = —1 + § х + 2 х | > 0 при у ^ 9, т. е. имеем (5,6,6,8,8). Наконец, если х = 9, то /х*(г>) = -1 + | х ^ + 2 х | >0 при у > 8, и получаем тип (5, 6,9Д 7), который поглощается типом (6, 6,6, 7, 9) из случая 1.2.

(2) Пусть ^ша (5,6, х, у, 6). Из симметрии положим х ^ у. Если х > 8, то /Г» > -1 + 2 х \ = 0. Если ж = 7, то ¡л*{и) = -1 + 2x^5 + 2 х у ^ 0 при у ;:г 10, т. е. имеем тип (5,6, 7, 9,6), который поглощается типом (6, 6,6, 7, 9).

(3) Пусть V типа (5, х, 6, 6, у). Из симметрии х ^ у. Если х ^9, то /х*(г>) ^ -1 + | х | + | х | = 0. Пусть х < 8. Если ж = 7, то //(<;) = -1 + | х | + | х^ > 0 при у > 13, т. е. имеем тип (5,7,6,6,12).

Если х = 8, то /х*(г>) = -1 + |х| + |х ^ > 0 при у > 11, откуда ,,,,

подслучай 2.3. Одна 7+-вершина. Вершина V имеет тип (5,6, 6, х, , , , , х

Если V типа (5, 6,6, ж, 6), то /х*(г>) > -1 + 2 х ^^ > 0 при ж > 12, , , , ,

ным выше типом (6,6, 6,6,11). Если же V типа (5,6, 6,6, х), то (V) ^ — 1 + | х > 0 при ж > 18, откуда получаем (5,6, 6,6,17).

Случай 3. Две 5-вершины.

Вершина V получает § х + 2 х ^^ + | х если V типа

(5, 5, ж, у, г), и ^ + | х ^ + | х если V типа (5, ж, 5, у, г) (рис. 3).

ПОДСЛУЧАЙ 3.1. Три 7+-вершины. Пусть V типа (5, 5, х, у, г). Если х ^ 9 или 2 ^ 9, то

А*» > -1 + ^ х 1 + 2 х 1 + ^ х 1 = 0.

Пусть 7 < х ^ 8, 7 ^ г ^ 8 и из симметрии х ^ г. Если х = г = 8,

то

^-1 + -х- + 2х- + -х->0.

хг

у

при у ^ 9, откуда следует тип (5, 5, 7, 8, 7). Если же х = 7 и г = 8, то

при у ^ 8, откуда получаем (5, 5, 7, 7, 8). Тем самым имеем тип (5, 5, 7, 7, 8), указанный в теореме 2.

Пусть V имеет тип (5, х, 5, у, г). Если у ^ 11 ил и г ^ 11, то

*/ ч , 1 3 1 3 5 П

^ ^^-1+7 + 2Х7 + 2Х11>0-Пусть 7 ^ у ^ 10, 7 ^ г ^ 10 и из симметрии у ^ г. Если у = г = 7,

то /х*(г>) > — 1 + | х у х 2 + > 0 при х > 14, откуда получаем тип

(5,13,5,7,7).

уху 5

(5,5, ж, у, г) (5, ж, 5, г/,

Рис. 3. Случай 3.

Если у = 7 и г = 8, то

, х - 6 3 1 3 1

при х ^ 11, получаем тип (5,10, 5, 7, 8). Если у = 7 и г = 9, то

х-

при х ^ 9, откуда имеем тип (5, 8, 5, 7, 9). Если у = 7 и г = 10, то

х-

при х ^ 8, что влечет тип (5, 7, 5, 7,10). Если у = г = 8, то

х-

при х ^ 8, откуда следует тип (5,7,5,8,8). Если у ^ 9 и г ^ 9, то

ч ^ , 3 1 3 1 п

подслучай 3.2. Две 7+-вершины. Имеем следующие варианты: , , , у, г , , х, , г , х, , , г , , , у, г

метим, что варианты (2) и (4) совпадают с точки зрения получаемого вершиной V заряда. Заметим также, что тип (5, 5,6, у, г) поглощается , , , у, г

ти у нас остаются только варианты (2) и (3) (а типы, получающиеся при переборе варианта (4), можно легко выписать из решения варианта (2))-

подслучай 3.2.1. Вершина V типа (5,5, х, 6, г). Из симметрии будем считать, что х ^ г. Если х > 9, то /х*(г>) > — 1 + § х | + | х | = 0. Если х = 7, то /х*(г>) = — 1 + § х + | х | > 0 при 2 > 13, получаем (5, 5, 7,6,12). Если ж = 8, то ¡л* (г;) = -1 + § х ^ + § х \ > 0 при г ^ 11, откуда следует тип (5, 5, 8,6,10).

Согласно замечанию, сделанному выше, из случая 3.2.1 получаем , , , , , , , ,

подслучай 3.2.2. Вершина V типа (5, х, 5,6, г). Вершина V получает ф(х,г) = + § х Чтобы найти все типы вершин, для которых (V) < 0, решаем неравенство ф(х, г) < 1, равносильное неравенству (х — 4) (г — 6) < 24 (напомним, что х ^7, г ^7). Поскольку ф( 10,10) = 24, получаем 7 < х < 9 или 7 < г <9.

Если г = 7, то х < 24 + 4, получаем тип (5, 27, 5,6, 7). Если г = 8, то х < Щ- + 4, откуда следует тип (5,15, 5,6, 8). Если г = 9, то I < 12, получаем (5,11, 5,6,9). Если х = 7, то г < у + 6, имеем (5,7, 5,6,13). Если х = 8, то г < + 6, откуда следует (5,8, 5,6,11). Если х = 9, то г < тр + 6, и получаем тип (5,9, 5,6,10).

подслучай 3.3. Одна 7+-вершина. Имеем следующие варианты: (1) (5, 5,6, 6, г), (2) (5, 5,6, у, 6), (3) (5, х, 5,6, 6). Заметим, что тип (5, 5,6,6, г) поглощается типом (5,6, 6,6, г), уже рассмотренным в случае 2.3, а тип (5, 5, 6, у, 6) — типом (6,6, 6,6,11) (см. случай 1.3). Если же V имеет тип (5, х, 5,6, 6), то (V) < 0 при сколь угодно больших х, получаем тип (5, го, 5,6, 6), которого пет в контрпримере.

Случай 4. Три 5-вершины.

Имеем два варианта: (5, 5, 5, х, у) и (5, 5, х, 5, у), первый из которых поглощается типом (5,6,5, х, у) (см. случай 3.2). Пусть V — вершина

типа (5,5, х, 5, у). Из симметрии пусть х ^ у. Если х ^ 12, то V) ^ -1 + ^ + ^ = 0. Пусть б < ж < 11.

Если х = 6, то имеем (5,5,5,6, го) благодаря случаю 3.3. Пусть

х = 7, тогда /х*(г>) = —1 + у + ^^ > 0 при у > 42, откуда получаем ,,,,

у

заряд

Если ж = 8, то /х* (г?) = -1 + \ + ^ > 0 при у > 24, откуда получаем (5,5,8,5,23). Если ж = 9, то /¿*(г;) = -1 + ± + ^>0

при у ^ 18, имеем (5, 5, 9, 5,17). Аналогичным образом получаем типы

, , , , , , , ,

Случай четырех 5-вершин в окрестности V не нуждается в рассмотрении, поскольку тип (5, 5, 5, 5, х) поглощается типом (5, 6, 6, 5, го).

2.2. Завершение доказательства теоремы 2. Мы доказали

,,,,

,,,,

типов в теореме 2 отрицательный заряд имеет только вершина типа

,,,,

,,,,

,,,,

полученных параметров.

Назовем 5-вершину V плохой, если = ¿^2) = ¿^4) = 5,

= 7 и ^V5) = 41 (рис. 4).

После применения Ш и 112 имеем V) = — 1 + ||| < 0, т. е. нам не хватает е — для того, чтобы заряд плохой вершины V стал равен нулю. Чтобы завершить доказательство теоремы 2, достаточно показать, что в окрестности плохой вершины V всегда найдутся вершины, которые могут дать

Рис. 4. Плохая 5-вершина.

вершине V недостающий заряд £, сохранив при этом неотрицательность своего заряда

ф) > 9

Рис. 5. Вершина V смежна с плохой вершиной 5

Действительно, если также плохая, то благодаря отсутствию в О вершин типа (5, 5, 7, 7,8) вершина У2 смежна с вершиной х степени не менее 9 (рис. 5), а значит, у2 получает не менее 2х^+2х^+2х|=

1 + Ж > 1 + 2 х

у

каждой из плохих вершин у и У1 заряд г, сохранив при этом неотрицательность своего заряда.

у

у

у

2 х || = 1 + || > 1 + 2е, т. е. У\ может дать каждой из плохих вершин у и у2 заряд г, сохранив при этом неотрицательность своего заряда.

уу

хая, то наша плохая у, получив заряд г от

уу

уу

няют заряды >0).

у

и у2 не является плохой и у\ смежна с вершинами у у^ у, х, у$ в циклическом порядке (рис. 7).

Рис. 6. Вершина V смежна

С ПЛОХОЙ верШИНОЙ V2.

> В

Рис. 7. Ни одна из вершин VI и V2 не является плохой.

Если ¿(ж) = 5, то ^ 8 (так как v\ не является плохой) и

*/ ч ^ , о 1 1 о 1 35 20

2 4

20

Значит, VI может дать заряд е вершине V (заметим, что вершина х не является плохой). Если же ¿(х) ^ 6, то 1л*{го\) 1 + |х|| = ||>е. Теорема 2 доказана.

Авторы благодарят О. В. Бородина за тщательную проверку доказательства и полезные замечания.

1. Lebesgue Я. Quelques conséquences simples de la formule d'Euler // J. Math. Pures Appl. 1940. V. 19. P. 27-43.

2. Appel K., Haken W. Every planar map is four colorable. I. Discharging // Illinois J. Math. 1977. V. 21. P. 429-490.

3. Steinitz E. Polyheder und Raumeinteilungen // Enzykl. Math. Wiss. (Geometrie), ЗАВ. 1922. Heft 12. S. 1-139.

4. Wernicke P. Über den Kartographischen Vierfarbensatz // Math. Ann. 1904. Bd 58. S. 413-426.

5. Franklin Pb. The four colour problem // Amer. J. Math. 1922. V. 44. P. 225-236.

6. Kotzig A. From the theory of Eulerian polyhedra // Mat.-Fyz. Cas. 1963. V. 13. P. 20-34.

7. Бородин О. В. Решение задач Коцига и Грюнбаума об отделимости цикла в плоском графе // Мат. заметки. 1989. Т. 46, №5. С. 9-12.

8. Jendrol' S., Madaras T. On light subgraphs in plane graphs with minimum degree five 11 Discuss. Math., Graph Theory. 1996. V. 16. P. 207-217.

9. Borodin О. V., Woodall D. R. Short cycles of low weight in normal plane maps with minimum degree 5 // Discuss. Math., Graph Theory. 1998. V. 18, N2. P. 159-164.

ЛИТЕРАТУРА

г. Якутск

10 июня 2013 г.