Об одном методе расчета напряженного состояния массива горных пород при разработке пластовых месторождений

УДК 622.273.2:622.831

А.П.ГОСПОДАРИКОВ, В.В.ИВАКИН, О.Е.КАРПУХИНА, М.А.КЕРЕЙЧУК

Санкт-Петербургский государственный горный институт

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД ПРИ РАЗРАБОТКЕ ПЛАСТОВЫХ

МЕСТОРОЖДЕНИЙ

Разработан алгоритм (численно-аналитический) решения нелинейных задач геомеханики, основанный на комбинации вариационного метода Власова, метода линеаризации Ньютона - Канторовича и общего итерационного процесса. Физическая нелинейность процесса деформирования материала горных пород рассматривается в рамках основных гипотез малых упругопластических деформаций Генки - Ильюшина.

The numerical analytic method of solution of nonlinear tasks of geomechanics is elaborated. This method is based on combination of variation method by Vlasov, the method lianeration by Newton-Kantorovich and common iteration process method. The physical nonlinear of mining rock material deformation process is considered in the limits of the main hypothesizes of the small elastic and plastic deformation by Genki-Ilushin.

Упругопластические задачи о напряженно-деформированном состоянии (НДС) возмущенного массива представляют обширный раздел современной горной геомеханики. Современные методы расчета НДС подработанного массива горных пород, базирующиеся на различных условиях пластичности в упругопластической области и аналитических решениях в упругой области, являются весьма сложными. Точные решения получены лишь для ограниченного числа частных задач. Существующая тенденция разработки полезных ископаемых на больших глубинах предопределяет построение эффективных расчетных методов и более широкое их внедрение в инженерную практику. Предлагаемый метод основан на сочетании вариационного метода Власова [1], метода линеаризации Ньютона - Канторовича [4], гипотезах теории малых упруго-пластических деформаций Ильюшина [3, 5], метода продолжения решения по числовому параметру X и общего итерационного процесса.

Рассмотрим НДС массива горных пород, удовлетворяющих следующим условиям:

1. Зависимость напряжений от деформаций при пропорциональном возрастании внешних сил: диаграмму а - 8 при растяжении с некоторой скоростью полагаем нелинейной. Зависимость а - 8, установленную диаграммой растяжения, примем в виде

а = ф

где функция Ф обладает свойством

Е > 1 Ф(8)>0. 8 d8

Это означает, что материал массива в общем случае обладает упрочнением.

2. Процессы разгрузки и повторной загрузки считаем упругими. Если разгрузка

начинается при напряжении а = а и дефор-

*

мации 8 = 8 , то текущие напряжение а и деформация 8 определяются законом Гука в виде а - а = Е(8 - 8 ) или а = А(8 -8р); 8р = 8 - а /Е, где 8р - пластическая деформация. Кроме того, предполагается, что в процессе разгрузки никогда не возникает вторичная пластическая деформация (эффект Баушингера), и поэтому в результате повторной нагрузки, как только напряжение

достигает исходного значения а , вновь вступает в силу зависимость (1).

Отметим, что рассматриваем активную деформацию элемента породного массива, когда интенсивность напряжений аi принимает значение, превышающее все предшествующие. Если аi меньше хотя бы одного предшествующего значения, деформацию элемента полагаем пассивной. Таким образом, в случае активной деформации (процесс нагружения) за пределами упругости пластическая деформация элемента породного массива возрастает, а в случае пассивной остается постоянной (при разгрузке).

3. Объемное напряжение (а0 = 3К80) элемента массива подчиняется закону Гука (является упругим как при активной, так и при пассивной деформации), согласно которому

К =

E

; а0 = — (ах +ау +а, ); 3(1 -2у) 0 Г х у г'

£о = 3(е.+8 у +8 г ); у = -0

Это означает, что изменение объема происходит только за счет упругих деформаций, а при пластических деформациях материал ведет себя как несжимаемый.

Так как главные оси тензоров напряжений и деформаций совпадают [3], то это приводит к пропорциональности компонентов девиатора деформаций компонентам де-виатора напряжений. Тогда в проекциях на оси Ох, Оу (при плоском напряженном состоянии) данную связь между девиаторами напряжений и деформаций примем в форме, предложенной А.А.Ильюшиным [3] для случая малых упругопластических деформаций:

,); е = 3^0.

1

а.

1

а.

а —а = —1-8 ; а--а =—-8 ;

х 2 у 8  у 2 х 8. у

а

т = ——у .

^ 38. 1ху

Отсюда

а. = л/а2 -ахау +а;У + 3т% ;

2/2 2 3 2

8 = — ,8 -8 8 +8 +--У

1 3^ х х у у 4 I ху

Интенсивность напряжений а. для каждого материала породного массива является функцией интенсивности деформаций 8i и не зависит от характера напряженного состояния:

аi =Ф(8..),

или, выделяя упругую часть,

а1 = 3<^1 [1-ш(81)];

3G8l -а. 1 а.

ш =---- = 1----,

3G8i 3G 8.

где G - модуль сдвига.

Согласно гипотезе упрочнения для горных пород, между величинами а. и 8i имеется определенная зависимость (4), которая достаточно точно согласуется с результатами экспериментов в случае простого нагру-жения, когда она аппроксимируется степенной функцией

а. =Ф(8.) = Л8$

где параметры А, s определяются экспериментально.

Представив компоненты вектора перемещений

и v(х, у)) в виде и(х,у)=£и.(х)ф. (у);

1=1

V (х, y) = ^yj (х)% (у) и подставляя в известные уравнения равновесия зависимости для напряжений и производных от них, а также функции ш, дш/дх, получим систему (п + т) нелинейных уравнений второго порядка [2], решая которую определим компоненты напряжений и деформаций (ввиду громоздкости общий вид данной системы не приводится).

Таким образом, для определения НДС массива горных пород при малых упруго-пластических деформациях необходимо задать зависимость а. = Ф(8.), определяемую экспериментально. Для горных пород вид этой функциональной связи зависит от условий испытаний и соотношения дейст-

вующих напряжений. При определении функции Ф(8г.) были использованы экспериментальные диаграммы, полученные для образцов калийной соли Березниковского месторождения. Эти диаграммы были пере-

строены в координатах то

"У о

связанных

с величинами ai и si (3) следующими соотношениями:

3

1

а =—¡=т ; 8 = —¡=у ,

1 окт' 1 ПГ I окт'

где токт, уокт - октаэдрические напряжение и деформация соответственно.

Аппроксимируя данные графические (экспериментальные) зависимости (при условии достижения минимума средне-квадратического отклонения), получим токт = (45^53) уок3т2 - 0,38; для одноосного сжатия т0Кт = 44,5у 0к3т8.

Учитывая приближенный характер инженерных расчетов, при описании поведения реальных породных массивов принимаем а. = 3(35,8^42,2)8.13 (модуль сдвига на начальном участке диаграммы напряжений G0 = 3, 3103 МПа).

Так как для теоретических расчетов а. = Ф(8.) с выделением упругой составляющей а1 = 3G081. [1 -©(8.)], где ©(8.) = = 1 - (29,54^34,83)10-3 8-2/3, то поведение калийной соли при объемном напряженном состоянии можно описать зависимостью (5), где коэффициенты А = 120 МПа, 5 = 1/3.

Для определения деформации массива горных пород при линейной аппроксимации диаграммы напряжений можно использовать метод упругих решений, предложенный А.А.Ильюшиным [3]. В частности, принимая обобщенные перемещения в виде и(х у) = и1(х)ф1(у), ^х у) = х)^!(у) и подставляя их в уравнения равновесия, получим на основе принципа возможных перемещений Лагранжа (с учетом введения «эквивалентного» упругого слоя) следующую систему:

ч оа ч

¡-^ ф^у -!т хуф!Ф = 0;

0 ОХ 0

h ÖX h

j Widy "jayу dy + у^у

0 0

+

h;

+

У j ty;dy = 0.

Согласно принятому условию линейной аппроксимации диаграммы напряжений doi/dzi = const, функция <а(в i) имеет вид

ю =

' вs Y, 1 da I

1 —-

V В- у

1"-

V 3G dsi у

а уравнения равновесия (6) преобразуются к следующей системе нелинейных уравнений:

и 1 "V , I 1 "v i * 1 "Vn

--— u1b11 + I vtn--— cn Iv = —Rx;

1 "v i, 1"v и

"I vtn —— cni+

1 "V 1 "V „

+-q =-R

2

2

У

где коэффициенты аи = ¡ф^dy; ги = ¡^аУ ;

ьи =¡(ф; )2Ф; = К^1 )2аУ; сп ^ф^Ф;

*„ =¡фly'ldy; ^ =1 (уЧ2^1(Ч1) + удп);

G

дп = ¡^y1dy вычисляются интегрированием

по всей толщине эквивалентного упругого слоя Ч1.

Нелинейная система уравнений равновесия решается методом упругих решений А.А.Ильюшина [3]. В качестве первого приближения отыскивается решение (7), в случае Rx = Ry = 0 получается чисто упругое решение. Симметричная система уравнений (7) может быть сведена к некоторым дифференциальным уравнениям 4-го порядка относительно любого из обобщенных перемещений ^(х) или и^х)). Кроме того, полученные решения должны удовлетворять заданным граничным условиям.

ЛИТЕРАТУРА

1. Власов В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З.Власов, Н.Н.Леонтьев. М.: Физматгиз, 1960. 491 с.

2. Господариков А.П. Метод расчета нелинейных задач механики горных пород при подземной разработке

пластовых месторождений / Санкт-Петербургский горный ин-т. СПб, 1999. 127 с.

3. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

4. Красносельский М.А. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

5. Сборник статей «Теория пластичности». М., Л., 1948. 452 с.