Экспоненциальная устойчивость повторяющихся процессов с нарушениями. I - общая теория

УДК 681.51

Ю.П. Емельянова

аспирант, кафедра прикладной математики, Арзамасский политехнический институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева»

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОВТОРЯЮЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ С НАРУШЕНИЯМИ. I - ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Аннотация. Рассматриваются нелинейные повторяющиеся процессы с возможными нарушениями. Для таких систем водится новое понятие - экспоненциальная устойчивость по профилю повторения, обобщающее известное для линейных процессов понятие устойчивости вдоль повторений. На основе метода векторных функций Ляпунова получены достаточные условия такого вида устойчивости.

Ключевые слова: нелинейные повторяющиеся процессы, устойчивость, векторная функция Ляпунова, нарушения.

J.P. Emelianova, Nizhni Novgorod State Technical University

EXPONENTIAL STABILITY OF REPETITIVE PROCESSES WITH FAILURES. I - GENERAL THEORY

Abstract. This paper considers nonlinear discrete-time repetitive processes with possible failures. For such systems a new notion of pass profile exponential stability is defined, that generalizes well known notion of stability along the pass, used for linear processes. Based on vector Lyapunov function approach sufficient conditions of this type of stability are obtained.

Keywords: Nonlinear repetitive processes, stability, vector Lyapunov functions, failures.

Введение

Многие процессы в природе и технике имеют двумерный характер динамики, определяемый их зависимостью от двух переменных, из которых одна обычно представляет время. Такие системы широко исследуются в современной литературе [1, 2] и называются 2D системами. Примерами могут служить многие производственные процессы, связанные с повторением однородных операций: конвейерное производство, многопроходная сварка и т.д. Другим наглядным примером являются процессы в системах с итеративным обучением; здесь одной из независимых переменных служит время на текущем шаге обучения, другой - номер шага обучения.

Теорию 2D систем не удается построить как простое обобщение известных результатов теории обычных (1D) систем, в которых единственной независимой переменной является время. Даже в тех частных случаях, когда удается построить эквивалентную 1D модель, наблюдается катастрофическое возрастание размерности задачи, что приводит к серьезным техническим трудностям. В общем случае построение такой эквивалентной модели невозможно, и для изучения 2D систем развиваются специфические методы и подходы.

Среди 2D систем выделился ряд моделей, которые можно считать классическими в данной области. Это модель Роессера [3], связанная с задачами обработки изображений, модель Форназини-Маркезини [4, 5], появившаяся в связи с задачами построения двумерных цифровых фильтров и модель в форме повторяющегося процесса [1, 2] близкая к модели Роессера, связанная с задачами итеративного обучения в робототехнике.

Подавляющее большинство работ в рассматриваемой области посвящено исследованию линейных 2D систем с постоянными параметрами [1] и обширный список литературы в этом источнике. Как и для других динамических систем здесь важнейшей характеристикой является устойчивость. Понятие устойчивости для систем Роессера и Форназини-Маркезини обычно понимается как условие ограниченности выходного сигнала при ограниченном входном сигнале. Для повторяющихся процессов, принципиальной особенностью которых является конечная продолжительность одной из компонент, вводится учитывающее этот факт понятие устойчивости вдоль повторений [1], формализуемое в виде ограниченности линейного оператора в банаховом пространстве.

Работы связанные с изучением устойчивости нелинейных 2D систем стали появляться лишь совсем недавно. B [6, 7] рассматривались системы Форназини-Маркезини, в [8] - системы Роессера и в [9] - повторяющиеся процессы. Понятие устойчивости в классе линейных повторяющихся процессов основано на свойствах линейного оператора в банаховом пространстве [1] и поэтому не может быть непосредственно перенесено на нелинейные системы. В связи с этим в данной работе вводится новое понятие устойчивости для класса нелинейных повторяющихся процессов - экспоненциальная устойчивость по профилю повторения.

Эффективной областью применения 2D моделей в форме повторяющихся процессов является управление с итеративным обучением. На современном этапе существенный интерес представляют

задачи сетевого управления с итеративным обучением множеством систем, где ввиду сложности коммуникационной сети возможны информационные нарушения и, естественно, что система должна сохранять устойчивость в этих условиях. Таким образом важно получить конструктивные условия устойчивости, учитывающие указанные нарушений.

В соответствии с изложенной аргументацией данная работа посвящена нахождению условий экспоненциальной устойчивости по профилю повторения нелинейных повторяющихся процессов с возможными нарушениями.

Экспоненциальная устойчивость нелинейных повторяющихся процессов с возможными нарушениями

Рассмотрим нелинейный повторяющийся процесс с возможными нарушениями, описываемый следующей моделью в пространстве состояний:

+ 1) = Шк+1^ ), Ук

где к - номер повторения, ' - дискретное время на к -м повторении, хк(') е Rnx - вектор состояния

текущего повторения, ук(') е R"У - вектор профиля повторения, / и /2 - нелинейные функции такие, что <1(0,0,0) = 0, /2(0,0,0) = 0 . Нарушения моделируются однородной марковской цепью г(')(' > 0) с конечным

числом состояний N = {1.....V} и вероятностями перехода

Р

где р1 и ср2 - нелинейные функции такие, что для любых г е N р,(0,0,г) = 0, р2(0,0,г) = 0.

Граничные условия предполагаются заданными в виде последовательности начальных значений вектора состояния текущего повторения и начального профиля повторения:

Хк+1

У0(*) = 0,' > Т,

где бк+1 и /(') - известные векторы размерности пх х1 и пУ х 1 соответственно.

Предположим, что граничные условия бк+1 и / (') удовлетворяют неравенствам:

I /(')|2< М/

| бк+112< к^+1,к = 0,1

где М{ >0, к6 - некоторые конечные действительные числа и 0<г6 <1. Число г6 определяет скорость сходимости последовательности начальных значений вектора состояния.

В теории линейных повторяющихся процессов эффективно используется понятие устойчивости вдоль повторений [1]. Это понятие основано на свойствах линейного оператора в банаховом пространстве и поэтому не может быть непосредственно перенесено на нелинейные системы. В связи с этим введем новое понятие устойчивости - устойчивость по профилю повторения, которое, как будет показано ниже, в линейном случае гарантирует устойчивость вдоль повторений.

Определим норму вектора профиля повторения как

2 к+1

II Ук Не=, Е£ | Ук

V '=0

где Е - оператор математического ожидания.

Введем следующее определение экспоненциальной устойчивости по профилю повторения в среднем квадратическом повторяющегося процесса (1).

Определение. Система (1), (2) называется экспоненциально устойчивой по профилю повторения в среднем квадратическом, если для любых граничных условий (3), удовлетворяющих (4) существуют постоянные к>0 и 0< г <1 такие, что

Далее в работе будет показано, что в линейном случае условия экспоненциальной устойчивости по профилю повторения совпадают с условиями устойчивости вдоль повторений, т.е вводимое понятие согласуется с известным и широко используемым в линейной теории.

Как было отмечено в [9, 10], для изучения устойчивости 2D систем, в силу того, что их модели явно задают лишь частные приращения переменных, естественным является метод векторных функций Ляпунова [11], в котором вместо производной скалярной функции в силу системы используется дивергенция векторной функции или ее дискретный аналог [12, 13].

Следуя этой концепции для получения условий экспоненциальной устойчивости по профилю

V (X,), у, ('), г (' )) =

повторения в среднем квадратическом процесса (1), (2), рассмотрим следующую векторную функцию Ляпунова

ЦК+1С), г ('))" К(у, ('), г (')) ],

где г )>0, X * 0, V2(у, г )>0, у * 0, Ц(0, г ) = 0, V2(0,г ) = 0.

Введем операторы Dt и Dk вдоль траекторий системы (1):

DtV(^ л,/) = Е[Ц(X,+1(f +1), г(' +1) - Ц(X,+1(f), г(')) | X,+1(f) = 4, у,(') = лк, г(' ) = i],

DkV(4,л,/) = E[V2(у,+1(f),г('))- V2(Лk,i) | X,) = 4,+1,у,(') = пк,г(f) = i],

и определим оператор D как стохастический аналог оператора дивергенции векторной функции V :

DV

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Рассмотрим нелинейный повторяющийся процесс (1), (2) с граничными условиями (3), удовлетворяющими (4). Предположим, что существуют положительные постоянные с1, с2, с3 такие, что функция (7) и её оператор D (8) вдоль траекторий системы (1), (2) удовлетворяет неравенствам

С 1412* 4

С1М2) < V2

DV

/ е N. Тогда повторяющийся процесс (1), (2) экспоненциально устойчив по профилю повторения в среднем квадратическом.

Доказательство. Из (9), (10) и (11) следует, что

Е[Ц

с

где Х =1—3 е (0,1). С2

Решая неравенство (12) относительно V1(xk)), получим

Е[Ц

р=0

Обозначим

I

Н, (') = Е

Тогда из (13),(9) следует

^ у,

Р=0

1'-Р

Нк+1

Решая неравенство (14) с учётом граничных условий (3), (4), получим

н,

/=1

и, в завершение, мажорируя правую часть

Н, (') < i

'+1

Н0 + I,

1

где z = тах{Х,^}, £ = z2, z = тах^,Х}.

Полагая ' = Т с учетом (10), легко убеждаемся, что выполняется (6). Теорема доказана. Рассмотрим частный случай линейной системы с нарушениями

X,+1(' +1) = Ац(г (' ))Xk+1(') + А12(г (' ))у, ('), у,+1(' ) = А12(г (' ))Xk+1(') + А22 (г (' ))у, ('), где Ау(г('))/,у = 1,2 - матрицы соответствующих размеров, элементы которых могут скачкообразно изменяться в зависимости от нарушений; остальные обозначения соответствуют принятым ранее. Выберем элементы векторной функции Ляпунова V в виде квадратичных форм

Ц^,+1('), г(')) = xT+1(íР(г('+1('), V2(Уk('), г(')) = уТ(')р2(г('))у,('),

где Р1(г) и Р2(г), г е N - положительно определенные симметричные матрицы. Тогда, вычисляя оператор

DV вдоль траекторий системы (17) получим, что эта система будет экспоненциально устойчива по профилю повторения в среднем квадратическом, если разрешима система матричных неравенств:

Р(/ ) = ^ад[Р1(/) Р2(/)] > 0,

P(i) = diag[P1(i) P2(i)] > 0, AT(i(j)A(i) - P(i) + Q(i) < 0, i e N,

j=i

"Ai

_A2i

параметрами неравенства (18) сводятся к 2D неравенству Ляпунова

где H/(j) = diag[Pi(j) P2(i)], Q(i) = QT(/ )>0, A(i) =

/, j e N. В случае системы с постоянными

A1 A12 T 'P 0" A11 A12 'P1 0" < '0 0"

_ A21 A22 _ 0 P2 _ _ A21 A22 _ 0 P2. 0 0

разрешимость которого относительно матрицы P = diag[P1 P2] > 0 гарантирует устойчивость вдоль повторений, т.е. известные ранее результаты линейной теории вытекают из доказанной теоремы как частный случай.

Заключение

Полученные условия устойчивости по форме близки к классическим результатам Н.Н. Красовского [14], относящимся к построению функций Ляпунова, удовлетворяющим оценкам, характерным для квадратичных форм, но в классе 2D систем они, не всегда гарантируют экспоненциальный характер сходимости в отличие от случая обычных (1D) систем. Здесь принципиальную роль играют требования, предъявляемые к характеру граничных условий. Использование стохастического дискретного аналогов дивергенции вместо полного приращения функции Ляпунова оказалось достаточно эффективным и согласуется с качественным предположением о том, что отрицательность дивергенции, векторного поля, определямого функцией Ляпунова на плоскости, гарантируя отсутствие источников, должна обеспечивать в том или ином смысле устойчивый характер поведения траекторий системы. В данном случае конкретный тип устойчивости определяется принятым определением. Следует отметить, что идея использования понятия дивергенции в задачах устойчивости была известна ранее, но использовалась для нелинейных 1D систем в совершенно другом аспекте и для линейных 2D систем в рамках поведенческих моделей Роессера.

Список литературы:

1. Rogers, E. Control Systems Theory and Applications for Linear Repetitive Processes / E. Rogers, K. Galkowski, D.H. Owens // Lecture Notes in Control and Inform. Sci. V. 349. - Berlin: Springer-Verlag, 2007.

2. Rogers, E. Stability Analysis for Linear Repetitive Processes / E. Rogers, D.H. Owens // Lecture Notes in Control and Inform. Sci. V. 175. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

3. Roesser, R.P. A discrete state-space model for linear image processing // IEEE Transactions on Automatic Control. - 1975. - V. AC-20. - P. 1-10.

4. Fornasini, E. Doubly indexed dynamical systems:state models and structural properties / E. Fornasini, G. Marchesini // Mathematical Systems Theory. - 1978. - V. 12. - P. 59-72.

5. Fornasini, E. Stability analysis of 2D systems / E. Fornasini, G. Marchesini // IEEE Transactions on Circuits and Systems. - 1980. - V. 27. - P. 1210-1217.

6. Kurek, J.E. Stability of nonlinear time-varying digital 2-D Fornasini-Marchesini system // Multidimens. Syst. Signal Proc. - 2012. - V. 23. URL: http://link.springer.com/article/10.1007/s11045-012-0193-

7. Liu, D. Lyapunov Stability of Two-Dimensional Digital Filters with Overflow Nonlinearities // IEEE Trans. Circuits Syst.-I: Fundamental Theory and Application. - 1998. - V. 45. - P. 574-577.

8. Yeganefar, N. Lyapunov Theory for 2-D Nonlinear Roesser Models: Application to Asymptotic and Exponential Stability / N. Yeganefar [et al.] // IEEE Transact. Automat. Control. - 2013. - V. 58. - P. 1299-1304.

9. Emelianova, J. Stabilization and H~Control of 2D Systems / J. Eelianova [et al.] // Proceedings of the 8th Int. Workshop on Multidimensional Systems (nDS'13), Erlangen, Germany, Sep. 9-11. 2013. VDEVerlag. Berlin. 2013. - P. 1-6.

10. Kojima, C. Lyapunov Stability Analysis of Higher-Order 2-D Systems / N. Kojima, P. Rapisarda, K. Takaba // Multidimensiomal Systems and Signal Processing. - 2011. - V. 22. - P. 287-302.

11. Матросов, В.М. Метод векторных функций Ляпунова: Анализ динамических свойств нелинейных систем. - М.: Физматлит, 2001.

12. Жуков В.П. Полевые методы в исследовании нелинейных динамических систем. - М.: Наука. 1992.

13. Rantzer A. A dual to Lyapunov's stability theorem // Systems & Control Letters. - 2001. - V. 42. - P.161-168.

14. Крассовский, Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. - М.: ГИФМЛ, 1959.