Математическое моделирование напряженного состояния неоднородной полосы с наружным макродефектом

УДК 517.958:539.4

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ПОЛОСЫ С НАРУЖНЫМ МАКРОДЕФЕКТОМ

А.И. Носачева

Аналитическими и численными методами исследуется напряженное состояние дискретно неоднородной полосы с наружным макродефектом. На этой основе получен и реализован алгоритм нахождения критической растягивающей нагрузки в зависимости от размеров и расположения дефекта, угла наклона контактной поверхности и коэффициента механической неоднородности.

Ключевые слова: математическое моделирование, напряженное состояние, неоднородное соединение, дефект.

Введение

Измерение распределений напряжений в неоднородных образцах и конструкциях с осложненной геометрией, в том числе при наличиии дефектов, вызывает в натурных экспериментах труднопреодолимые сложности. В то же время среднеинтегральные по нетто-сечениям напряжения легко находятся через измерения критических нагрузок. Определение местных напряжений опосредовано, на основе измерения деформаций, основывается на теории малых деформаций, неприменимой к упрочняемым, то есть реальным, материалам. С другой стороны, знание распределения напряжений в различных частях конструкций необходимо для оценки несущей способности этих конструкций. Поэтому актуально теоретическое, на основе разработки адекватных математических моделей, исследование напряженного состояния этих конструкций. Возникающие в этих моделях граничные задачи для нелинейных уравнений в частных производных требуют для их изучения разработки соответствующих аналитических и численных методов. В работе рассматривается напряженное состояние неоднородной полосы с наружним макродефектом в более прочной части или на границе между более прочным и менее прочным участками под растягивающей нагрузкой (см. рис. 1, а). Граница между более прочной и менее прочной частью (контактная граница), как часто бывает в реальных сварных соединениях, не предполагается ортогональной напрявлению нагрузки. Более прочная часть испытывает в процессе пластического деформирования ослабляющее влияние менее прочной части. Изучение напряженного состояния таких неоднородных соединений необходимо для определения прочностных свойств реальных сварных соединений, содержащих наклонные контактные границы и дефекты различной формы и расположения [1—4]. Краевая задача для системы уравнений гиперболического типа (при плоской деформации) относительно компонент тензора напряжений, моделирующая напряженное состояние на более прочном участке, оказывается переопределенной [5, 6], следствием чего является разрывность ее решения и негладкость характеристик. Линии разрыва напряжений определяются формой границы и граничными условиями [5, 6]. Цель работы - на основе численного решения [7] задачи сопряжения для напряжений на контактной границе и исследования полей характеристик описать напряженное состояние неоднородной полосы с наружным макродефектом и, как следствие, получить алгоритмы и программы для нахождения критической нагрузки в зависимости от параметров соединения: размеров и расположения дефекта, угла наклона контактной границы и коэффициента

механической неоднородности соединения. Заметим также, что решение [7] задачи сопряжения для напряжений на контактной границе позволило установить критерий вовлечения более прочной части соединения в пластическое деформирование в зависимости от угла контактной поверхности и коэффициента контактного упрочнения (рис. 1, б).

Основної і металл

пластически не деформируется

Зона вовлечения ^-ч.

в цластичесрое

деформирование

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

-0.4

а) б)

Рис. 1. а) Варианты расположения дефекта. б) Критерий вовлечения более прочной части соединения (основной металл) в пластическое деформирование в зависимости от угла наклона контактной поверхности а и коэффициента К контактного упрочнения

Уравнения равновесия для напряжений на контактной поверхности в безразмерных координатах имеют вид:

т / / = Кт + /;

х'у' х'у' ’

К = к+/к-

где к+ и к- - параметры пластичности более прочного и менее прочного участков соответственно. Здесь (х'; у') - декартовы координаты с осью Ох', направленной вдоль контактной границы. Будем называть уравнения (1) условиями сопряжения. Задача сопряжения [7] для напряжений на контактной границе формулируется так:

на основе граничных условий и заданных на контактной поверхности условий сопряжения

(1) для напряжений найти напряжения а± и т±у, на контактной поверхности.

В работе [6] установлен количественный критерий вовлечения материала более прочного участка в процесс пластического деформирования. В частности, показано, что если угол наклона контактной поверхности к направлению, ортогональному направлению нагрузки, равен нулю, то более прочный материал начинает течь при К < 2. В общем случае метод основан на ограниченности угла и- поворота характеристик в менее прочной части величиной п/4 — а. С увеличением внешней нагрузки угол и- возрастает от нуля до тех пор, пока выполняется неравенство

либо в какой-то момент более прочный материал перейдет в пластическое состояние, и рост угла и~ прекратится. Углы поворота характеристик и~ и и+ связаны с напряжениями на контактной поверхности уравнениями

= 1 — 2и+ + 008 2и+, (гу = 1 + 2и + 008 2и .

Используя условия сопряжения (1), эти уравнения и представляя неизвестные функции и- и и+ в виде степенного ряда по параметру Л = К — 1:

и

= £ u-Ak, и+ = £ u+Ak,

получим решением трансцендентной системы уравнений [7] аналитические выражения для вычисления углов и- и и+. Эти выражения имеют в общем случае (когда а = 0) громоздкий вид:

1 + cos 2а + sin 2а 1

U~ = ------------------------------;-1-A + -

U+ =

4 cos 2а 1 + cos 2а — sin 2а

8 \ cos 2а

1 \ sin2 2а + sin 2а „

+ 1 -------------------^---------A2 + ...

4 cos 2а

A +

1

11

-tan 2а-,

4 8 cos 2а

+ 1

cos2 2а 1 — sin 2а \ cos2 2а

+1

A2 + ...

В работе [7] разработан алгоритм численного решения упомянутой системы методом итераций. Написанная на его основе в среде MATLAB программа позволяет вычислять значения нормальных и касательных напряжений на контактной границе в зависимости от параметров а и K в критический момент нагружения (т.е. в момент начала течения при-контактной зоны более прочного участка соединения).

Наклон контактной поверхности и расположение относительно этой поверхности дефекта приводят к большому разнообразию распределения напряжений по нетто-сечению (рис. 2). Сложность исследования напряженного состояния такого соединения обусловлена также разрывностью напряжений в более прочной части [6] (на рис. 2 пунктиром показана линия разрыва нормальных напряжений). Различие ситуаций определяется расстоянием g между точками выхода на свободную поверхность контактной поверхности и нетто-сечения, точнее зависимостью g от параметров m, а, и- и и+. На рис. 2 а показана одна из наиболее сложных ситуаций, когда нетто-сечение пересекает контактную границу, и на эпюру напряжений по нетто-сечению влияют искажения полей характеристик как в более прочной, так и в менее прочной части, возникшие в результате взаимного воздействия этих частей под нагрузкой в критический момент нагружения. Здесь эпюра напряжений может иметь шесть участков, на которых величина напряжения определяется различными зависимостями (см. рис. 2 а). Длина каждого участка зависит от соотношения между величинами g, m, а, и- и и+. Углы и- и и+ зависят, в свою очередь, от угла а и коэффициента контактного упрочнения K. На основе этих соотношений и алгоритмов работ [6, 7] написана программа для вычисления среднего критического напряжения в данной ситуации.

На рис. 2 б показан другой сложный случай, при котором нетто-сечение не пересекает контактную границу. В этом случае на эпюру напряжений по нетто-сечению влияют искажения полей характеристик в более прочной части, возникшие в результате воздействия менее прочной части под нагрузкой в критический момент нагружения, и расстояния g между точками выхода на свободную поверхность контактной поверхности и нетто-сечения. Анализ полей характеристик (линии скольжения, см. рис. 2) показывает, что возможны три подслучая, определяемые зависимостями между параметрами g, m, а и и+:

m

Я >----------------+------,

3 + tan а + Щг

а) б)

Рис. 2. Поле характеристик и эпюры напряжений m

+ 3 < g < + ,

3 — + tan а

m

g <---------+------------^------.

3 — + tan а

Случай (4) приводит к ситуации, соответствующей рисунку 2, б). В каждом из случаев

- (4). Полученные результаты для наружного дефекта глубины 0,1t, расположенном на расстоянии g = 0, 2t (t - толщина полосы) от контактной поверхности, представлены на рис. 3.

Если а = 0, то возможно в некоторых ситуациях получение среднего критического напряжения в аналитической форме [6].

Литература

1. Dil’man, V.L. Static Strength of Mechanically Nonuniform Welded Joints with a One-Sided Surface Defect Subject to Ductile Failure / V.L. Dil’man, A.A Ostsemin // Chemical and Petroleum Engineering. - 2005. - V. 41, № 9-10. - P. 522-529.

2. Dil’man, V.L. Effect of Defects on the Load Carrying Capacity of Pipes of Transmission Oil and Gas Pipelines under Biaxial Loading / V.L. Dil’man, A.A Ostsemin // Welding International. - 2006. - V. 20, № 1. - P. 63-67.

3. Dil’man, V.L. Analysis of the Ductile Strength of Welds Weakened by Notches in Longitudinally Welded Pipes of Large Diameter by the Method of Slip Lines / V.L. Dil’man, A.A Ostsemin // Strength of Materials. - 2004. - V. 36, № 3. - P. 274-282.

2'10 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 а

Рис. 3. Среднее значение критических напряжений в зависимости от угла наклона контактной поверхности для соединения с наружным дефектом в более прочной части для различных коэффициентов механической неоднородности: 1) К=1,1; 2) К=1,2; 3) К=1,3

4. Дильман, В.Л. Влияние дефектов сварки, расположенных на границе сплавления, на прочность сварного соединения / В.Л. Дильман // Вестник машиностроения. - 2006. -№ 2.- С. 21-26.

5. Дильман, В.Л. Анализ напряженного состояния неоднородной полосы с дефектом в более прочной части / В.Л. Дильман // Обозрение прикл. и пром. математики. - 2008.

- Т. 15, вып. 3. - С. 463-464.

6. Dilman, V.L. Stress State and Strength of an Inhomogeneous Plastic Strip with a Defect in a Stronger Part / V.L. Dilman // Mechanics of Solids. - 2010. - V. 45, № 2. - P. 227-236.

7. Дильман, В.Л. Анализ напряженно-деформированного состояния неоднородной пластической полосы / В.Л. Дильман, А.И. Носачева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. - 2012. - № 40 (299), вып. 14. - С. 164-168.

Алия Исламовна Носачева, ассистент, кафедра математического анализа, ЮжноУральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), dilman49@mail.ru.

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software>,

2013, vol. 6, no. 3, pp. 79—84.

MSC 35L72, 74C05

Mathematical Modelling a Stress State of Inhomogeneous Band with External Macrodefect

A.I. Nosacheva, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation, dilman49@mail.ru

Analytical and numerical methods are applied to examine the stress state of discrete inhomogeneous band with macrodefect. On this basis the algorithm of finding a critical tensile load is received and realized depending on the size and the defect arrangement, the tilt angle of contact surface and the coefficient of mechanical heterogeneity.

Keywords: mathematical modeling, tension, non-uniform connection, defect.

References

1. Dil’man V.L., Ostsemin A.A. Static Strength of Mechanically Nonuniform Welded Joints with a One-Sided Surface Defect Subject to Ductile Failure. Chemical and Petroleum Engineering, 2005, vol. 41, no. 9-10, pp. 522-529.

2. Dil’man V.L., Ostsemin A.A. Effect of Defects on the Load Carrying Capacity of Pipes of Transmission Oil and Gas Pipelines under Biaxial Loading. Welding International, 2006, vol. 20, no. 1, pp. 63-67.

3. Dil’man V.L., Ostsemin A.A. Analysis of the Ductile Strength of Welds Weakened by Notches in Longitudinally Welded Pipes of Large Diameter by the Method of Slip Lines. Strength of Materials, 2004, vol. 36, no. 3, pp. 274-282.

4. Dil’man V.L. Influence of Welding Defects Located on the Boundary Alloying on Weld Strength [Vliyanie defektov svarki, raspolozhennih na granice splavleniya, na prochnost’ svarnogo soedineniya]. Vestnik mashinostroeniya, 2006, no. 2, pp. 21-26.

5. Dil’man V.L. Analysis of the Stress State of the Inhomogeneous Band with a Defect in a Stronger Part [Analiz napryazhennogo sostoyaniya neodnorodnoj polosi s defektom v bolee prochnoj chasti]. Obozrenie prikladnoj i promishlennoj matematiki, 2008, vol. 15, no. 3,

pp. 463-464.

6. Dilman V.L. Stress State and Strength of an Inhomogeneous Plastic Strip with a Defect in a Stronger Part. Mechanics of Solids, 2010, vol. 45, no. 2, pp. 227-236.

7. Dil’man V.L., Nosacheva A.I. The Numerical Analysis of Tensions on the Inclined Contact Surface at Stretching of Discrete-Heterogeneous Solid [Analiz napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya neodnorodnoj plasticheskoj polosi]. Bulletin of the South Ural State University. Series «:Mathematical Modelling, Programming & Computer Softwares, 2012, no. 40 (299), issue 14, pp. 164-168.

Поступила в редакцию 25 мая 2013 г.