Эффекты переориентации молекул в планарных нематических жидких кристаллах

Вестник Челябинского государственного университета. 2010. № 12 (193).

Физика. Вып. 7. С. 47-56.

Ю. А. Еникеев, Н. Г. Мигранов

ЭФФЕКТЫ ПЕРЕОРИЕНТАЦИИ МОЛЕКУЛ В ПЛАНАРНЫХ НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ

В работе рассматривается влияние электрического поля и внутренних параметров флек-соэлектрического нематического жидкого кристалла (НЖК) на пространственно-периодическое распределение единичного вектора — директора п, характеризующего усредненное направление в мезофазе длинных осей молекул. Исследуются условия возникновения структур и их периоды. Приведены численные расчеты величин пороговых полей и соответствующих им волновых чисел пространственных структур в распределении директора п.

Ключевые слова: нематический жидкий кристалл, планарная ячейка, флексоэлек-трический эффект, переориентация директора.

Введение

В последнее время все больше внимания уделяют изучению поведения анизотропных физических систем во внешних электрических, магнитных, концентрационных и тепловых полях. Важной характеристикой рассматриваемых объектов является отклик на внешнее возмущение. Когда реакция системы на внешнее воздействие происходит при значениях внешних определенных полей, превышающих некоторую предельную величину, мы имеем дело с пороговыми эффектами. Для некоторых систем, особенно твердых фаз вещества, величины пороговых полей могут достигать значительных величин и их энергия становится сравнимой с энергией ионизации, теплотой плавления, энергией внутри- или межмолекулярного взаимодействия и т. д.

Совершенно иная картина наблюдается в жидких кристаллах. Здесь наиболее интересные эффекты связаны с изменением ориентации молекул, составляющих систему, а это, как правило, требует меньших затрат энергии, в отличие от твердых тел. Изучение пороговых эффектов в жидких кристаллах вызывает большой интерес для исследователей физики конденсированного состояния [1], поскольку эти мезофазные анизотропные жидкости относятся к до-

вольно мягким системам, существующим при комнатных температурах, обычных атмосферных давлениях, легко визуализируются. Удается детально исследовать появляющиеся структуры, проследить их зарождение, динамику и переходы в другие макроструктуры. Это также обусловлено тем, что пороговые эффекты широко используются в качестве одного из многих методов исследования вещества [2. С. 105]. Значительный интерес к физике процессов в ячейках жидких кристаллов во внешних электрических, магнитных полях и, в частности, к эффектам, связанным с пороговыми явлениями в НЖК (эффект Фредерикса), связан, прежде всего, с широким использованием этих ячеек в различного рода элек-трооптических устройствах, системах отображения информации [2. С. 6; 3. С. 8-9].

В рассматриваемой работе исследовались механизмы пороговой переориентации директора п, возникающие пространственно-периодические структуры в тонких пленках планарно-ориентированных НЖК.

На рисунках представлены различные распределения молекул в ячейке НЖК: 1 — при отсутствии внешнего электрического поля; 2 — случай периодической структуры, вызванной внешним ориентирующим полем; 3 — однородная структура — однородный переход Фредерикса.

777777777777777777777777777

Рис. 1. Нематик в отсутствии поля

77777777777777777777777777777

Рис. 2. Периодическая структура директора при действии

внешнего поля

777777777777777777777777777

Рис. 3. Переход Фредерикса с однородной структурой директора

Возможность образования периодических структур флексоэлектрического происхождения в планарной ячейке НЖК рассматривалась и ранее в работах [1; 2; 3;

4], однако в них не учитывалось влияние внутренних параметров нематика на ориентационные эффекты. К примеру, в работе [6; С. 898-906] было показано, что в планарно ориентированной нематической ячейке пространственно-периодическая

структура поля директора может возникать и в отсутствии флексополяризации. Главными характеристиками в этом случае выступали упругие константы Франка Кп и К22, и появление структур зависело от их соотношения. Если выражение К22/К11 меньше г0, где г0 — некоторое пороговое значение отношения этих коэффициентов, то имеет место переход Фредерикса, с образованием пространственно-периодиче-

ских структур, а при К22/К11 > г0, наблюдается, как правило, однородный переход Фредерикса.

1. Уравнение для директора

Рассмотрим плоскопараллельную ячейку флексоэлектрического НЖК, ограниченную плоскостями z = -L/2 и z = L/2, с исходной планарной ориентацией директора вдоль оси х, помещенную во внешнее однородное электрическое поле с вектором напряженности E = (0, 0, E). Свободная энергия такой ячейки НЖК может быть записана в виде [2; 4]:

F - Fel + Fe + Fd + FS ,

где

Fel ——I {K— (div(n))2 + K2(n • rot(n))2 + K[n • rot(n)]2 }dV,

2 V

Fe- -8" I (n • E)2 dV,

8" V

Fd — -1 {e— (n • E )div(n) + e3 ([rot (n) • n]E)}dV,

FS = -^ J cos2ф-dS-1-0 J cos20-dS,

2 Sl,2 2 Sj,2

Wtp> 0, W0> 0.

Здесь Fei — упругая энергия Франка, FE, Fd — соответственно анизотропный и флек-соэлектрический вклады в энергию взаимодействия НЖК с электрическим полем,

FS — поверхностная свободная энергия НЖК, єа = єа -Єї > 0, — анизотропия статической диэлектрической проницаемости, e¡, е3 — флексоэлектрические коэффициенты [5], W<p, W9 — соответственно полярная и азимутальная энергии сцепления директора с поверхностью ячейки, 9, ф — углы отклонения директора, соответственно

в плоскостях xz и xy.

Поверхностную свободную энергию, как это обычно принято, мы выписали в виде потенциала Рапини [6; 7. C. 32]. В нем энергия взаимодействия НЖК с поверхностью пропорциональна квадрату косинуса угла между директором и его легкой осью на поверхности ячейки. Мы учли, что изменение поверхностной энергии может быть различным при отклонении директора от его легкой оси в азимутальном и полярном направлениях [5].

Поскольку при планарной геометрии пороговая переориентация директора приводит к возникновению пространственно-периодической структуры вдоль оси y [4], то распределение директора возьмем в виде

n = i • cos 0( y, z) cos ф( y, z) +

+j • cos 0( y, z) sin ф( y, z) + k • sin 0( y, z),' где i, j, k — орты соответствующих осей декартовой системы координат.

В случае малых деформаций в распределении директора (|ф|, |9| << 1), минимизация свободной энергии (1) по углам ф и 9 дает следующие стационарные уравнения:

a20 a20

+ ^E 20 +

а 2ф

а 20

dy2 az2

а2ф а2ф 20 л ч —2 + г—2 + ^E 20 +

ay2 az2

и граничные условия к ним:

W+eo E )0±

k1 az ay

^ф+

—ф + r

k, az ay

+ eE 0,

ayaz ay

,a0

- eE— = 0

ayaz ay

= o,

z=±L/2

= 0.

z=±L/2

Здесь введены следующие обозначения:

K

4xK,

r =

22

Єї — Єз Єї + Єз

e = -------------, Є0 = - 1 3

K

K

41 “11

Симметрия системы уравнений

где функции 01(z), 91(z) удовлетворяют

уравнениям:

(d2 2 d Л

-rq +S"

d_

dz

- rq2 +є0E2;(1- r )q^- + eEq

dz dz2

eEq - (1 -r)qd;r^-r - q2

A( z).

= 0.

В системе уравнений (6) функции 91(z) и ф^) представим в виде

ф1

= e

ф

10 y

тогда (6) запишется в виде однородной системы двух алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов 910, ф10. Условие совместности системы (6) позволяет выписать дисперсионное соотношение для определения значений X:

(А2 - q2)2 +є0E2(А2 - q2) --[є0E2q2(1 - r) + {eEq)2 ] = 0, r ^ 0.

Решение полученного уравнения (8) дает X = ±/рь ±р2, где р1 и р2 сами являются действительными:

Pi =<

P2 =iq

Є0 E2 +І(Є0 E2)2 + 4q2 Є0 E:

Є0E2 -І (Є0E2)2 + 4q2Є0E2

1 - r +1/v I2

,

где v = Є0 / e2.

Из уравнений (6) также находим отно-

шение

ф10 _ eEq - (1 - r) qA

010 Ч2 - г^2

Тогда общее решение системы уравнений (6) будет иметь следующий вид 01 (е) = а1 cos(p1 г) + а2 sin(p2г) +

+ Ь, cosh(p2z) + Ь2 sinh(p2z),

ь

а

ф1(z) = ai (ai cos(Piz) - ßi sln(Piz)) + + a2(a1 sln(p1 z ) + ß1 cos(p1 z )) +

+ b1 (a2 cosh(p2z) + ß2 slnh(p2z)) +

+ b2(a2 slnh(P2z) + ß2 cosh(P2z)), здесь

eEq eEq

ai = 2

q + rPi

2 ’ 2

a =

2 , 2 q + rP2

ßi =-

Ч + ГР! Ч + ГР2

Причем аг-, Ьг- (/ = 1, 2) — произвольные постоянные, значения которых определяются из граничный условий (4).

2. Зависимость порога переориентации от параметров НЖК

Для начала будем считать, что полярная энергия сцепления Же директора с поверхностью ячейки является бесконечно большой (Же = го), а азимутальная энергия сцепления Жф может быть произвольной. В этом случае граничные условия (4) принимают вид

\z=±1 /2 = 0

= G.

z=±LІ2

Подставив решение (10) в граничные условия (13), получаем однородную систему четырех алгебраических уравнений для определения коэффициентов аІ, ЬІ, (І = 1, 2). Условие ее нетривиального решения приводит к уравнению (14).

Решая уравнение (14), получим значение электрического поля E как функцию параметра q. На самом деле в нашей задаче параметр q является функцией поля E, но в момент образования структуры функция q = q(E) претерпевает разрыв, а следовательно, dq/dE = ±да, значит, dE/dq = 0. Иными словами, порог Ec возникновения неустойчивости определяется экстремумом на кривой E(q).

Учтем флексоэффекты, т. е. будем считать, что v Ф да. Тогда график зависимости E = E(q) можно представить в следующем виде (рис. 4).

Из рис. 4. видно, что наличие флексо-электричества изменяет величину порогового поля Ec, при котором происходит образование периодических структур в слое нематика. Чем больше значение флексо-электричества для жидких кристаллов, тем меньше величина Ec. Следовательно, флек-соэффект способствует образованию периодических деформаций в нематиках (понижает величину прикладываемого электрического поля).

При исследовании явлений переориентации в НЖК, при отсутствии флексоэлектрического эффекта (ФЭЭ) максимальное значение r0 составило r0 = 0,5, что хорошо согласуется с результатами работы [6]. Наличие флексоэлектрического эффекта увеличивает эту величину. Аналитическое выражение для неё принимает следующий

1 v +1 _

вид r0 =------. В отсутствии ФЭЭ, то есть

2 v

когда v ^ œ мы видим, что r0 ^ 0,5.

p1L f W$ p2 L Л

ß2 cot—1—-¿-+rp2 coth—2~

p2 L f Щф p1L Л

+ß1 cot—2—+ rp2 cot—1—

V K1

x

a2cot

у

ßfWф thPL Л ßfWф tPiL )

ß2 Kcoth^r + rp2 -ßi K"ca^~T + rPi

_ VKi 2 у vKi 2 у.

P1L f W +UP2 L

—-----ф coth—— + rp2

VKi 2 ^

у

x

Л

th PiLf W t PiL '

a2 coth—2—cot—- rp1

V K1

x

a1

W tpiL\ fWt t, pL

K + rp1cot—-a2 k + rP2coth—

V Ki

V K1

G.

О

Рис. 4. Зависимость безразмерного поля Е' = Е'^) при различных значениях флексоэлектрического параметра V и г = 0,2, Е’ = у/г0ЕЬ, = qL

Из серии кривых, приведенных на рис. 5, видна важная особенность влияния молекул с флексоэлектричеством на возникновение периодической структуры в образце нематика. Если при определенных условиях в нефлексоэлектрическом жидком кри-

сталле (V = да) периодическая структура не возникает (отсутствие минимума кривой Е(0)), то при наличии флексоявлений такая структура может появиться. Таким образом, флексоэффект оказывает влияние на критическую величину параметра г0: чем

С

V = 0.1

v = 0.2

V = 0.3

— - v = 0.4

v = 0.5

V - 00

Рис. 5. Зависимость Е' = Е' (0) при г = 0,5

больше величина флексоэффекта, тем больше величина г0. Это можно объяснить следующим образом: величина г описывает отношение упругости продольного изгиба и

к

упругости кручения ( г = ——). Флексо-

К11

электрический эффект способствует возникновению дополнительных деформаций продольного изгиба, иными словами, уменьшается величина упругости продольного изгиба Кп, и величина г возрастает.

В случае, если Q не существует, либо равен нулю (к примеру, для нефлексоэлек-трического жидкого кристалла (V ^ да) при г > 0,5), это означает, что возникновения периодической структуры не происходит. Таким образом, из рис. 6 также можно сделать вывод о том, что флексоэлектрический эффект оказывает влияние на величину г0.

На рис. 7 показано влияние ФЭ-эффекта на величину возникающего порогового поля, при котором происходит образование периодических макроструктур. Таким образом, наличие флексоэффекта приводит к уменьшению величины Ес, но максимальная величина порогового поля остается постоянной.

Рассмотрим теперь случай бесконечно жесткого азимутального сцепления. Соответствующие граничные условия имеют вид

У

К

Л

V *1

+ ео Е

0, ±

ё 0, dz

= о,

Фі

т 1 z=4

z=±L/2 = 0.

Ь=±Ь/2

Подставив решение (10) в эти граничные условия, получаем, аналогично предыдущему случаю, однородную систему четырех алгебраических уравнений для определения коэффициентов а\, а2, Ъ\, Ъ2. К сожалению, условие ее нетривиального решения приводит нас к слишком громоздкому уравнению, поэтому мы здесь его не приводим. Его решение ищется также в виде Е = Е^).

Сравнение графиков Е = Е(О), полученных для бесконечно жесткого полярного сцепления (рис. 8) с аналогичной серией кривых для бесконечно жесткого полярного сцепления (рис. 4), показывает различие в значениях периода возникающей структуры директора.

Влияние флексоэлектричества на пороговую переориентацию директора поясняется на рис. 9-11.

- V = со ^ = 0.1

V = 0.2

у = 0.3 у = 0.4 у = 0.5

Рис. 6. Зависимость безразмерного волнового числа возникающей структуры Q = qL от параметра г при различных значениях ФЭ-параметра V

а

Рис. 8. Зависимость безразмерного поля Е' = Е'^) при различных значениях флексоэлектрического параметра vи г = 0,2

Сравнивая рис. 9 и 5 можно отметить, что пороговое значение параметра г, выше которого образование структур в нефлексо-электрических нематиках не происходит,

одинаково для случаев бесконечно жестких азимутального и полярных сцеплений. Дальнейшие расчеты показали, что в случае

14 -

10 -

V - 0.1

V = 0.2

V = 0.3

- У = 0.4

— - — V = 0.5

V - со

О

Рис. 9. Зависимость безразмерного поля Е' = Е'^) при различных значениях флексоэлектрического параметра vи г = 0,5

Ї

V = со

У = 0.1

V = 0.2

— “ V = 0.3

V — 0.4

- - V = 0.5

Рис. 10. Зависимость безразмерного волнового числа возникающей структуры Q = q  Ь от параметра г при различных значениях ФЭ-параметра V

абсолютно жесткого азимутального сцеп-

1 V +1 ления г0 =-------.

0 2 V

При сравнении серий кривых из рис. 9 и 6 можно заметить, что в случае абсолютно жесткого азимутального сцепления волно-

вое число образующейся структуры вдвое больше, чем в случае абсолютно жесткого полярного сцепления.

Сравнение кривых (рис. 9 и 7) позволяет утверждать, что максимальная величина безразмерного порогового поля, при котором

происходит образование периодической структуры для случая абсолютно жесткого азимутального сцепления вдвое больше, чем для случая абсолютно жесткого полярного сцепления.

Выводы

Для математической модели тонкого слоя нематического жидкого кристалла во внешнем электрическом поле в континуальном приближении показано образование пространственных структур, возникающих при величине параметра г, не превышающим его порогового значения г0, величина которого для нефлексоэлектрического НЖК составляет величину, равную 0,5. Можно отметить следующее:

1) период возникающей структуры растет с увеличением толщины ячейки Ь;

2) значение порогового поля, при котором возникают периодические структуры растет с увеличением параметра г, достигая максимума при г0. Значение максимального

безразмерного порогового поля в случае бесконечной полярной энергии сцепления

равно Enax =4^0EcmaxL = к; в случае бесконечной азимутальной энергии сцепления

Ecnax Ec max L ;

3) величина порогового поля уменьшается с ростом параметра 80; характеризующего диэлектрическую анизотропию вещества;

4) пороговое электрическое поле уменьшается с увеличением толщины ячейки L, при этом выполняется соотношение, показанное Фредериксом: EcL = const;

5) наличие флексоэлектрического эффекта влияет на пороговую переориентацию директора: с увеличением флексоэф-фекта растет критическое значение параметра г0, причем, чем больше флексоэф-фект, тем меньше период возникающей структуры в распределении директора п.

Список литературы

1. Романов, В. П. Пороговые эффекты в жидких кристаллах / В. П. Романов // Сорос. образоват. журн. 2001. Т. 7. № 1. С. 96-101.

2. Де Жен, П. Физика жидких кристаллов / П. Де Жен. М. : Мир, 1977.

3. Сонин, А. С. Введение в физику жидких кристаллов / А. С. Сонин // М. : Наука, 1983.

4. Ледней, М. Ф. Пороговая неоднородная переориентация директора в планарной нематической флексоэлектрической ячейке с конечной энергией сцепления / М. Ф. Ледней, И. П. Пинкевич // ЖЭТФ. 2005. Т. 127, вып. 4.

5. Barbero, G. Adsorbtion phenomena and anchoring energy in nematic liquid crystals / L. G. Barbero. CRC Press, 2006.

6. Zhao, Wei. Weak boundary anchoring, twisted nematic effect, and homeotropic to twisted-planar transition / Wei Zhao, Chen-Xu Wu, Mitsumasa Iwamoto // Physical Review E. Vol. 65. Id. 031709.

7. Barbero, G. Modulated structures of flex-oelectric origin in nemathic liquid crystals / G. Barbero, I. Lelidis // Physical Review E. Vol. 67. Id. 061708.