Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений

УДК 517.9 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 1

МБС 34Б08, 37С29, 34С37

Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений*

Е. В. Васильева

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Васильева Е. В. Устойчивые периодические решения периодических систем дифференциальных уравнений // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 1. С. 14-21. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.102

Рассматривается дифференцируемая бесконечное число раз периодическая двумерная система дифференциальных уравнений. Предполагается наличие гиперболического периодического решения, а также наличие решения, гомоклинического к периодическому. Показано, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий произвольная окрестность нетрансверсального гомоклинического решения содержит счетное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Ключевые слова: нетрансверсальное гомоклиническое решение, устойчивость, характеристический показатель.

В работе выделяется класс бесконечно гладких двумерных периодических систем дифференциальных уравнений, имеющих в произвольной окрестности нетранс-версального гомоклинического решения бесконечное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями. В работах [1, 2] изучались диффеоморфизмы с неподвижной периодической точкой и нетрансверсальной гомоклинической к ней точкой и были получены условия существования в окрестности гомоклинической точки бесконечного множества устойчивых периодических точек с отделенными от нуля характеристическими показателями. Цель данной работы — указать класс периодических систем, преобразование Пуанкаре которых удовлетворяет условиям теорем работ [1, 2].

Рассмотрим систему вида

где г, Z — двумерные векторы, вектор Z(Ь, г) непрерывно дифференцируем бесконечное число раз по всем аргументам. Кроме того, предполагается, что вектор Z(Ь, г) периодичен по Ь с периодом, равным единице: Z(Ь + 1, г) = Z(Ь, г).

Обозначим через г(Ь, го) решение с начальными данными Ь = 0, г = го. Предположим, что решение г(Ь, 0) является гиперболическим периодическим решением с периодом, равным единице. Пусть А, ц — мультипликаторы этого решения. Предположим справедливость неравенств

0 < А < 1 < ^ А^ < 1.

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №16-01-00452).

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2018

Ws(0) = <! zo e R2 : lim ||z(t, zo) - z(t,

Wu(0) ^ z0 e R2 : lim ||z(t,zo) - z(t,0)|| =0

I t^—w

Ясно, что эти множества лежат в устойчивом и неустойчивом многообразиях соответственно и, в силу условий (2), в них содержатся отличные от нуля точки. В свою очередь устойчивое и неустойчивое многообразия определим как

Ws(t) = {(t,z) : z = z(t,zo),zo e Ws(0)} ,

Wu(t) = {(t, z) : z = z(t, zo), zo e Wu(0)} .

Пусть w e Ws(0)p| W"(0), w = 0, тогда решение z(t, w) системы (1) называется решением, гомоклиническим к решению z(t, 0). Ясно, что справедливо соотношение

t^+w t^—w

Гомоклиническое решение называется трансверсальным, если устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются трансверсально в точках этого решения, в противном случае решение называется нетрансверсальным гомоклиническим.

Из работы С. Смейла [3] известно, что в окрестности трансверсального гомокли-нического решения существует бесконечно много периодических решений, и все эти решения неустойчивы. В работах [4-6] изучалась окрестность нетрансверсального го-моклинического решения и было показано, что при определенном способе касания устойчивого и неустойчивого многообразий в произвольной окрестности нетрансвер-сального гомоклинического решения может лежать бесконечное множество устойчивых периодических решений, но хотя бы один из характеристических показателей таких решений стремится к нулю с ростом периода. В данной статье рассматривается иной способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий, чем в [4-6], и показывается, что в этом случае произвольная окрестность нетрансверсального гомо-клинического решения содержит бесконечное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями. В книге [7] приведен пример двумерной периодической системы, которая имеет в окрестности гомо-клинического контура бесконечное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Определим преобразование Пуанкаре системы (1) как

T(zo) = z(1, zo).

Известно, что преобразование Пуанкаре — диффеоморфизм того же класса гладкости, что и система (1).

Наряду с системой (1) рассмотрим двумерную систему дифференциальных уравнений вида

где t e [0,1], x, y — произвольные, а X, Y — непрерывно дифференцируемые бесконечное число раз скалярные функции трех переменных. Через x(t,xo,yo), y(t, xo,yo) обозначим решение системы (3) с начальными данными t = 0, x = xo, y = yo.

0

хо N

Уо / V у(1,*о,уо) ) '

Предположим, что частные производные Щ- ограничены при любых

х, у и Ь € [0,1], тогда / является диффеоморфизмом плоскости в себя класса С Как следует из [7], существует двумерная периодическая система вида (1) с бесконечно дифференцируемой правой частью, преобразование Пуанкаре которой совпадает с f. Дальнейшие рассуждения покажут, что существует класс систем вида (3), у которых соответствующий диффеоморфизм / удовлетворяет условиям теорем из [1, 2]. Таким образом, выделяется класс систем вида (1), у которых в произвольной окрестности нетрансверсального гомоклинического решения лежит бесконечное множество устойчивых периодических решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Как следует из вышеизложенного, структура окрестности нетрансверсального гомоклинического решения зависит, прежде всего, от характера касания устойчивого и неустойчивого многообразий. Определим способ касания этих многообразий. Пусть

Щ) = - зт щ, ак = {2-пк)-1.

Ясно, что функция Л. (г) определена при любых Ь = 0.

Пусть уо > 0, ^ > 1, а 7 такова, что 72п = Определим функцию д(г):

д(Ь) = 7+ (^(Ь))-1 ], Ь = 0,

5

Теорема 1. Пусть д(г) задана условиями (5), тогда она является бесконечно гладкой на всей действительной оси функцией такой, что

,УК ' = 0, то = 1,2,...,

дК ) = М-к

Для любого положительного а существует такое ко, что при к > ко и Ь € (ак — + ) справедливы неравенства

< м-

Доказательство. Ясно, что для любого натурального числа т справедливо равенство

Иш Ы-т>-141 =0. ^ о 1 1

Из этих соотношений следует, что у функции д существуют в точке 0 производные любого порядка, и все они равны 0. Очевидно, равенства (6) выполняются для любого к.

Следующие равенства очевидны при Ь > 0:

(Ш) 1 ( 1N 2 2 (1

- —^ 1 — соэ — = —т ЙШ^ —

(И г2 \ г) г2 \2Ь,

16 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 1

Ml = _7-мо [in7(yo + (Mi))-1) + тп Ш

Фиксируем положительное число а. Пусть t G (а к — afc + ). Определим

u = t — <7k. Ясно, что |u| < . Получим

2nk A 2nk

/lit) = -;--Sill

—

1 + 2nku V1 + 2nku У откуда, учитывая периодичность синуса, имеем

dh

dt

2(2nk)2 . 2 / nk

sin

- тгА + тгИ = 8("fc)2 sin2 Г 2("fc)2M ^ {1+2пки)2"ш \l + 2nku J (1 + 2тг ku)2 \1 + 2тгки)'

Ясно, что для достаточно больших к справедливы неравенства

а х 1 / а \

1--< - < 1 + - .

2 ) ~ 1 + 2ттки ~ V 2 У

Из последних равенств и неравенств следует, что при г € (<т& — , + ) имеют место следующие соотношения:

dh

dg

dt

^ (1 + 2.Ы)4 " ^ + 2J '

< 32 (l + (In7 (1 + y°) + 1) (^)6 M-(1+1-5a>fc.

Из этих неравенств следует справедливость условий (7). Теорема доказана.

Как будет видно из дальнейших рассуждений, свойства функции д определяют способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий в гомоклинической точке диффеоморфизма f.

Пусть А, А1, М, ж0, у0, £ — такие положительные постоянные, что

< у0 < ж0 < А < А1,

2£ < шт[А — ж0, у0 — м-1А1,0.4у0],

М > шах[2^2Аьж0 — у0 — А11пЛ].

Обозначим

в(г) = (ж0 — у0 — М )г + М + у0.

Определим множества

А = {(£, ж, у) : г € [0,1], |Л-4ж| < А, |^-4у| < А} ,

А = {(г,ж,у): г € [0,1], |Л-гж| < А1, |м-4у| < А^ , а2 = {(г, ж, у): г € [0,1], |л4-1 (ж — мг)| < £, |м4-1(у — мг) — у0| < £}, А2 = {(г,ж,у): г € [0,1], |л4-1(ж — мг^ < 2£, ^4-1(у — мг) — у^ < 2£},

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5(63). Вып. 1 17

(t,x,y) : t G [0,1], jos (f Trt) - (y - (yc | (x - (y° + M)) sin (|trt) + (y- (y° + M)) eos (§7rf) | < £

Í3 = < Iy° + (x- (y° + M)) eos (f 7rt) - {y - (y° + M)) sin (f 7rf) | < e,

(t,x,y) : t G [0,1],

F3 = <( |y° + (x - (y° + M)) eos (§7rf) - (y - (y° + M)) sin (§7rí) | < 2e, I (ж - (y° + M)) sin (§7Tí) + (y - (y° + M)) eos (f irt) \ < 2e

(t,x,y) : t G [0,1], F4 = { |x - s(t)| < £,

|y - g(-x + s(t))t + Mt - M| < £

(t,x,y) : t G [0,1], F4 = { |x - s(t)| < 2£,

|y - g(-x + s(t))t + Mt - M| < 2£

где Л, у удовлетворяют неравенствам (2), а функция g задана условиями (5). Ясно, что Fi С Fi, i = 1, 2, 3, 4, и, в силу условий (8), F, г = 1, 2, 3,4, попарно не пересекаются. Пусть система (3) удовлетворяет следующим свойствам:

X

при любых (t, x, y) G Fi,

X

при любых (t, x, y) G F2,

3 3

X

при любых (t, x, y) G F3,

X

при любых (t, x, y) G F4,

X

4

при любых (t, x, y) G U -F, t G [0,1].

i=i

Ясно, что диффеоморфизм f, определенный в (4), является диффеоморфизмом плоскости в себя класса Cс неподвижной гиперболической точкой в начале координат. Пусть имеются множества

Ui = {(x,y) : |x| < £, |y - y0| < £} , U2 = {(x,y) : |x| < Л£, |y - «y01 < , U3 = {(x,y) : |x - M| < £,|y - y0 - M| < £} , U4 = {(x, y) : |x - M - y0| < £, |y - M| < £} ,

и*5 = {(ж, у) : |ж — ж01 < £, |у — д (ж0 — ж) | < £} .

Ясно, что и1 С V, и, С V, г = 2, 3,4, и5 С V и множества и,, г = 1, 2, 3,4, 5, попарно не пересекаются. Кроме того, из условий (9)-(13) следует равенство / (и,) = и,+1, г = 1, 2, 3,4.

Пусть Ь = /41 и , тогда будем иметь

Ь ( ж \ = / ж0 — (у — у0) \

V у ) V ж + д

Последнее соотношение следует из условий (9)-(13). Очевидно, что диффеоморфизм / имеет гиперболическую неподвижную точку и нетрансверсальную гомоклиниче-скую точку (ж0, 0), причем способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий в этой точке определяется свойствами функции д.

В работах [4-6] предполагалось, что функция д удовлетворяет условиям

д 0 = = ... = , У\ ' = 0, , ^ ' + 0, то> 2.

Из этих работ следует, что если способ касания устойчивого и неустойчивого многообразий в гомоклинической точке определяется указанными условиями, то в произвольной окрестности нетрансверсального гомоклинического решения может лежать бесконечное множество устойчивых периодических решений, но хотя бы один из характеристических показателей таких решений стремится к нулю с ростом периода.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть система (3) удовлетворяет условиям (2), (9)-(13), тогда у диффеоморфизма /, определенного 'равенством (4), в произвольной окрестности нетрансверсальной гомоклинической точки (ж0, 0) лежит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля.

Доказательство. Функция д, определенная соотношениями (5), по теореме 1 удовлетворяет условиям (6), (7).

Пусть выполняется неравенство

1п Л

0 < а <---1,

1п ^

тогда для любого положительного Б существует такое натуральное число к0, что при к > к0 справедливы соотношения

|дК) + Лк (ж0 + ак) — М-к (у0 — ак) | < БМ-(а+1)к.

Учитывая последние неравенства, легко видеть, что диффеоморфизм / удовлетворяет условиям теоремы из [2], поэтому произвольная окрестность точки (ж0, 0) содержит счетное множество устойчивых периодических точек, характеристические показатели которых отделены от нуля. Теорема доказана.

Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 2, предположим, что диффеоморфизм / является преобразованием Пуанкаре двумерной бесконечно гладкой периодической системы дифференциальных уравнений (1). Тогда система (1) имеет

в произвольной окрестности нетрансверсальной гомоклинической траектории бесконечное множество устойчивых периодических 'решений с отделенными от нуля характеристическими показателями.

Литература

1. Васильева Е. В. Устойчивые периодические точки двумерных диффеоморфизмов класса C1 // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2007. Вып. 2. С. 20-26.

2. Васильева Е. В. Диффеоморфизмы многомерного пространства с бесконечным множеством устойчивых периодических точек // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2012. Вып. 3. С. 3-13.

3. Смейл С. Диффеоморфизмы со многими периодическими точками // Математика. Сб. переводов. 1967. Т. 11, № 4. С. 88-106.

4. Иванов Б. Ф. Устойчивость траекторий, не покидающих окрестность гомоклинической кривой // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, №8. С. 1411-1419.

5. Newhou.se Sh. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology. 1973. Vol. 12. P. 9-18.

6. Гонченко С. В., Шильников Л. П. О динамических системах с негрубыми гомоклиническими кривыми // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286, №5. С. 1049-1053.

7. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 304 с.

Статья поступила в редакцию 17 августа 2017 г.; рекомендована в печать 21 сентября 2017 г.

Контактная информация:

Васильева Екатерина Викторовна — доц.; ekvas1962@mail.ru

Stable periodic solutions of periodic systems of differential equations

E. V. Vasil'eva

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Vasil'eva E. V. Stable periodic solutions of periodic systems of differential equations. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2018, vol. 5 (63), issue 1, pp. 1421. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.102

An infinitely differentiable periodic two-dimensional system of differential equations is considered. It is assumed that there is a hyperbolic periodic solution, as well as the presence of a homoclinic solution to the periodic solution. It follows from the works of Sh. Newhouse, L. P. Shil'nikov, B. F. Ivanov and others that under certain conditions a neighborhood of the non-transversal homoclinic solution contains a countable set of stable periodic solutions, but at least one of the characteristic exponents in these solutions tends to zero with increasing period. Earlier, in the author's work a two-dimensional diffeomorphism was considered and it was shown that for a certain type of tangency of the stable and unstable manifolds, a neighborhood homoclinic point contains a countable set of stable periodic points with characteristic exponents bounded away from zero. The aim of the present paper is to distinguish a class of two-dimensional periodic systems of differential equations which Poincare transformation is a diffeomorphism that has an infinite set of stable periodic points in the neighborhood of a nontransversal homoclinic point. It is shown that for a certain method of tangency of a stable and unstable manifolds an arbitrary neighborhood of a nontransversal homoclinic solution contains a countable set of stable periodic solutions. Characteristic exponents of these solutions are separated from zero. Keywords : nontransversal homoclinic solution, stability, characteristic exponent.

References

1. Vasil'eva E.V., "Stable Periodic Points of Two-dimensional C 1-Diffeomorphisms", Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 40(2), 107-113 (2007).

2. Vasil'eva E.V., "Diffeomorphisms of Multidimensional Space with Infinite Set of Stable Periodic Points", Vestnik St. Petersburg University, Mathematics 45(3), 115-124 (2012).

3. Smale S., Diffeomorfisms with Many Periodic Points. In: Differential and Combinatorial Topology (Prinseton University Press, 1965, pp. 63-80).

4. Ivanov B. F., "Stability of the Trajectories That Do Not Leave the Neighborhood of a Homoclinic Curve", Differ. Uravn. 15(8), 1411-1419 (1979) [in Russian].

5. Newhouse Sh., "Diffeomorphisms with Infinitely Many Sinks", Topology 12, 9-18 (1973).

6. Gonchenko S.V., Shil'nikov L. P., "Dynamical Systems with Structurally Unstable Homoclinic Curve", Dokl. Akad. Nauk SSSR 286(5), 1049-1053 (1986) [in Russian].

7. Pliss V. A., Integral Sets of Periodic Systems of Differential Equations (Nauka Publ., Moscow, 1977, 304 p.) [in Russian].

A u t h o r's i n f o r m a t i o n:

Vasil'eva Ekaterina V. — ekvas1962@mail.ru