Нормальность вполне регулярной топологии раздельной непрерывности

Я. С. Гриншпон

НОРМАЛЬНОСТЬ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНОЙ ТОПОЛОГИИ РАЗДЕЛЬНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Исследуется свойство нормальности вполне регулярной топологии раздельной непрерывности в случае произведения сепарабельного метрического пространства на себя и в случае произведения паракомпактного пространства на разреженное пространство.

Пусть X и У - произвольные вполне регулярные пространства. В [1] Найт, Моран и Пим определили на множестве X х У топологическое пространство X <§> У, удовлетворяющее следующему условию: X <§> У вполне регулярно, и для любого вполне регулярного пространства 2 отображение /: X х У ^ 2 раздельно непрерывно тогда и только тогда, когда /: X <§> У ^ 2 непрерывно. Пространство X <§> У будем называть произведением пространств X и У с вполне регулярной топологией раздельной непрерывности. В [1 и 2] приведены некоторые достаточные условия нормальности вполне регулярной топологии раздельной непрерывности в случае, когда хотя бы один из сомножителей обладает свойством типа счет-ности (счетность или локальная счетность). В данной работе исследована нормальность для произведения широких классов топологических пространств с вполне регулярной топологией раздельной непрерывности.

КВАДРАТ СЕПАРАБЕЛЬНОГО МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

Пусть X - сепарабельное метрическое пространство, Б : X ^ X х X - отображение, заданное по правилу Б(х) = (х, х). Множество Б (X) будем называть

диагональю пространства X.

Лемма 1. Пусть X - метрическое пространство. Тогда диагональ пространства X дискретна в

X <§> X .

Доказательство. Пусть а е X . Так как множества {а, х); х е X } {х, а); х е X }\{Б (а )} и

Б (X \ {а}) замкнуты в метрическом пространстве X х X \ { (а )} то существует непрерывная функция /: X х X \ {Б (а)} [0;1], которая равна нулю в точ-

ке (х, у), как только х = а или у = а, и равна единице на диагонали. Продолжим функцию / на X х X , положив / (а, а) = 0. Тогда / раздельно непрерывна и значит непрерывна относительно топологии X  X . Следовательно, любая точка в пространстве Б (X) с топологией, наследуемой из пространства

X  X , изолирована.

Лемма 2. Пусть У - топологическое пространство со счетной базой без изолированных точек. Тогда существуют всюду плотные в У множества А и В , такие, что А п В = 0 .

Доказательство. Пусть {Un - база пространства Y . Для каждого натурального n обозначим через an и bn две произвольные различные точки из

множества Un \ {a1s —, an —, b1,..., bn-1} . Тогда множества A = {an и B = {bn , очевидно, будут иско-

мыми.

Пусть X и Y - метрические пространства и V -произвольная окрестность точки (х, у) в пространстве X <§> Y. Назовем крестовым радиусом окрестности V число r (V), вычисляемое по правилу

r (V) = sup{e > 0;{х}х UY (у, е)и UX (х, е)х{у} с V}, где UX (х, е) - шар радиуса е с центром в точке х в

пространстве X .

Заметим, что если даны две окрестности V0 и V1

точек (х0, у0) и (х1, у1) соответственно, причем

min {r (Vo), r (V1)} > max {р X (^ х1) Py ^, У1)} (*Х то

V0 п V *0.

Теорема 3. Пусть X - сепарабельное метрическое пространство, содержащее полное подпространство без изолированных точек. Тогда пространство X  X не является нормальным.

Доказательство. Пусть Y с X - полное сепарабельное метрическое пространство без изолированных точек. Обозначим тогда F0 = Б (A) и

F1 = Б (Y \ A) з Б (B), где A и B - множества из

леммы 2. Так как диагональ пространства X замкнута и дискретна (лемма 1), то F0 и F1 замкнуты в пространстве X  X . Покажем, что F0 и F1 нельзя отделить окрестностями в пространстве X  X .

Пусть G0 и G1 - произвольные окрестности множеств F0 и F1 соответственно. Тогда для каждого у e Y существует такое открытое в X  X множество Vy , что Б (у) e Vy с Gi, где i = 0 или i = 1.

Для каждого натурального n обозначим:

Yn ={у e Y;r (Уу )> 1/n} . Очевидно, что Y = ^ Yn .

n=1

Тогда, применяя теорему Бэра о категориях, получаем, что при некотором n0 множество Yn0 не является

нигде не плотным в Y, т.е. существуют z e Y и е > 0, / \ ---Y

такие, что UY (z, е) с Yn0 , причем можно считать,

что е<1/2п0 . Для множества U = UУ (z, е) возможны три случая: а) UпA = 0 ; б) Uп(У \ A) = 0 ; в) U п A Ф0 и U п(У \ A)Ф0 .

Рассмотрим все эти случаи.

а) Пусть а е UУ ^,е)п A и Ь е UпUУ (а,г (¥а)) . Тогда окрестности Уа и Vь удовлетворяют условию (*), и значит G0 п G1 ф 0 .

б) Пусть Ь е UУ (z, е)п(У \ A) и а е U п

(ь, г V)). Тогда окрестности Va и Vь удовлетворяют условию (*), и значит G0 п G1 ф 0 .

в) Пусть а е U п A и Ь е U п(У \ A). Тогда окрестности Va и Уь удовлетворяют условию (*), и значит G0 п G1 ф0 .

Итак, в любом случае окрестности G0 и G1 пересекаются, и значит теорема доказана.

Рассмотрим примеры. Пусть Я - пространство действительных чисел, 2 - пространство рациональных чисел, К - канторов дисконтинуум, I = [0; 1]. Тогда пространства Я Я, (Я\2)<§>(Я\2), К К

и I  I не являются нормальными. Таким образом, получаем следующий результат.

Следствие 4. Пусть X - метрический компакт. Тогда пространство X  X не обязательно является нормальным.

Заметим, что если X счетно, то X  X как линде-лефово регулярное пространство будет нормальным. Значит пространства 2 <§> 2, а также £ <§> £ , где £ -произвольное разреженное сепарабельное метрическое пространство [3. § 23], являются нормальными.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПАРАКОМПАКТНОГО И РАЗРЕЖЕННОГО ПРОСТРАНСТВ

Лемма 5. Пусть X - паракомпакт, и пусть в топологическом пространстве У существует точка да, такая, что X <§> (У \ {да}) нормально. Тогда X <§> У также

нормально.

Доказательство. Пусть множества A и В замкнуты в пространстве X <§> У. Докажем сначала, что множества A и В можно отделить окрестностями в некоторых частных случаях расположения множеств A и В.

Случай I. Пусть A с X х (у \ { да}) и В с X х {да} . Обозначим 2 = {х е X; (х, да) е В}. В силу регулярности пространства X <§> У, для каждой точки z е 2 существует открытое в X <§> У множество иг, такое, что ( да)е иг с иг х У)\ A . Так как В гомео-

морфно замкнутому подпространству 2 паракомпак-

та X, то в открытое покрытие {иг п В} простран-

ства В можно вписать локально конечное открытое покрытие V х {да}} е£ . Для каждого индекса 5 е £

зафиксируем точку z (5), такую, что Vs х {да} с и), и обозначим V х У)п иг^). Семейство {К5 }5е£

локально конечно в X <§> У, следовательно,

В с Ц К с ЦК = Ц К с Ц ~ с (X х У )\A .

5е£ 5е£ 5е£ 5е£

Случай II. Пусть В с X х (у \ { да}). Применяя случай I, найдем открытое в X <§> У множество и , такое, что A п (X х {да}) с и с и с (X х У ) \ В. Множества A \ и и В замкнуты в нормальном пространстве X <§> (у ' { да}) , поэтому существует открытое множество V , такое, что A \ и с V с V с (X х У) \ В . Получили, что A с и и V с (и и V) = и и V с (X х У ) \ В.

Случай III. Пусть В с X х {да}. Так как пространство X нормально, то найдется открытое в X множество и , такое, что

A п (X х {да}) с и х {да} с и х {да} с (X х {да}) \ В .

Применяя случай I, найдем открытое в X <§> У множество V , такое, что A \ (и х У) с V с V с(X х У) \В .

Получили, что A с (и х У) и V с (и х У) и V = = и х У и V с (X х У) \ В .

Докажем теперь утверждение леммы в общем случае. Применяя случай III, найдем открытое в X <§> У множество и , такое, что

В п (X х {да}) с и с и (X х У) \ A ,

а применяя случай II, можно найти открытое в X <§> У множество V , такое, что В \ и с V с V с(X х У) \ . Получили, что

В с и и V с и и V = и и V с( х У )\A .

Для произвольного разряженного множества У обозначим А (У) = шт {а; У(а) = 0} , где У- производное множество порядка а для пространства У .

Теорема 6. Пусть X - паракомпакт, У - коллективно нормальное пространство, причем А (У) - натуральное число. Тогда X <§> У нормально.

Доказательство. Пусть А (У) = п +1, и предположим, что для всех пространств У, у которых А (г) < п , утверждение теоремы верно.

Так как множество Удискретно в коллективно нормальном пространстве У(п-1), то для каждой точки у е Усуществует окрестность и1у в пространстве

У(п-1), такая, что и1у п иУ2 =0 при у1 ф у2. Множе-

ство Y(n J) \ U Uj открыто в Y(n J). Поэтому мож-

yeY

но считать, что Y(n J) = © Uly .

yeY

Множества Uly образуют дискретное семейство

замкнутых множеств в пространстве Y(n 2). Следова-

лАп-2)

тельно, существуют открытые в Y ' множества, такие, что U\, с U2 и U2 n U2 = 0 . При этом можно

’ У У yi Уг *

считать, что Y(n-2) = © U2y .

yeY

Проводя данное построение n раз, получим, что

Y = © Uny, причем U'n n Y(n) = {y} . Значит, для до-

yeY

казательства нормальности пространства X <§> Y достаточно показать, что при всяком y e Y(n) пространство X <§> Uy нормально. Другими словами, не умаляя общности, можно считать, что в Y существует точка да, такая, что (Y \ {да })(n)=0.

По предположению индукции пространство X <§> Y \ { да}) нормально, и для окончания доказательства теоремы осталось применить лемму 5.

Пример 7. Приведем пример компакта X и коллективно нормального разреженного пространства Y , таких, что пространство X <§> Y не является нормальным. Пусть X = [1;k>j ], Y =[l; k>j ), где raj - первый

несчетный ординал. В пространстве X <§> Y возьмем два замкнутых множества A = {z, z); z <ra1} и

B = {co1}x Y.

Предположим, что X <§> Y нормально. Тогда существует открытое в X <§> Y множество U , такое, что A с U с U с (X x Y ) \ B. Пусть z1 - произвольный ординал, меньший ra1. Для каждого натурального n обозначим

zn+1 = min{z; для всех z' > z выполняется (z, zn) g U}.

Заметим, что определенные таким образом ординалы удовлетворяют условиям: zn < zn+1 и zn <ra1. Пусть

z0 = sup {zn; n - натуральное число}. Тогда (z0, zn) g U для всякого натурального n , и, следовательно, (z0, z0) i U . Противоречие.

Пример 7 показывает, что утверждение теоремы 6 для произвольного ординала h (Y) оказывается неверным. Однако если наложить некоторые дополнительные ограничения на пространство Y , то можно доказать результат о нормальности пространства X <§> Y для пространств Y с произвольным h (Y).

При этом нам придется воспользоваться следующим критерием сильной нульмерности [4. § 6.2]:

Лемма 8. Нормальное пространство У сильно нульмерно тогда и только тогда, когда для любого замкнутого множества ^ и его окрестности и существует открыто-замкнутое множество V, такое, что

^ с V с и .

Лемма 9. Пусть У - сильно нульмерный паракомпакт. Тогда в любое открытое покрытие пространства У можно вписать дизъюнктное открытое покрытие.

Доказательство. Пусть О - произвольное открытое покрытие пространства У . Так как У - паракомпакт, то в О можно вписать локально конечное открытое покрытие и = {и5} . В силу регулярности

пространства У , для каждой точки у е У существуют окрестность Ну и индекс 5 (у), такие, что Ну с и5(у). Впишем в покрытие {Ну} ^ локально конечное открытое покрытие ^ } и для каждого t е Т зафиксируем 5 (t) так, чтобы Л с и^). Об°-значим У5 = и л. Тогда V = {V }5е£ - открытое

5 ( )=5

покрытие пространства У , комбинаторно вписанное с замыканием в покрытие и .

По лемме 8 получаем, что для каждого 5 е £ существует открыто-замкнутое множество В5, такое,

что с В5 с и5. Считая множество £ вполне упорядоченным, положим К = В5 \ и В5' . Тогда семей-

5 '<5

ство V = {К} будет искомым дизъюнктным открытым покрытием, вписанным в покрытие О .

Теорема 10. Пусть X - паракомпакт, У - разреженный сильно нульмерный паракомпакт. Тогда X <§> У нормально.

Доказательство. А) Пусть А (У ) = а + 1 - изолированный ординал, и предположим, что для всех пространств У , у которых А (У) <а , утверждение теоремы верно. Для каждой точки у е У(а) существует открытое в У множество иу , такое, что

иу п У(а) = {у} . Для всех же точек у е У \ У(а) через иу обозначим произвольную окрестность в пространстве У \ У(а). По лемме 9 в открытое покрытие {иу} можно вписать открытое дизъюнктное пок-

V -^уеУ

рытие V }5е£ . Тогда X <§> У = @ (X <§> Vs). По лем-

5е£

ме 5 и по предположению индукции все пространства X <§> являются нормальными, следовательно, и

X <§> У также будет нормальным.

Б) Пусть А (У) = а - предельный ординал, и предположим, что для всех пространств У, у которых

А (У )<а, утверждение теоремы верно. Для каждой точки у е У зафиксирум ординал ру < а , такой, что

у г У(ву), и обозначим через иу произвольную окрестность точки у в пространстве У \ У(ву ^. По лемме 9 в открытое покрытие {иу} у можно вписать открытое дизъюнктное покрытие {V } е£ . Тогда по предположению индукции пространство X <§> нормально

при любом 5 є £, и, следовательно, пространство X <§> У = @(X <§> Ув) также нормально.

5Є5

Следствие 11. Пусть X - паракомпакт, У - разреженное нульмерное линделефово пространство. Тогда X <§> У нормально.

Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 9 и из того факта, что любое нульмерное линделефово пространство является сильно нульмерным [4. § 6.2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Knight C. J., Moran W., Pym J. S. The topologies of separate continuity. II//Proc. Camb. Phil. Soc. 1972. No. 71. P. 307-319.

2. Knight C. J., Moran W., Pym J. S. The topologies of separate continuity. I//Proc. Camb. Phil. Soc. 1970. No. 68. P. 663-671.

3. Куратовский К. Топология. Том 1. М.: Мир, 1966. - 594 c.

4. ЭнгелькингР. Общая топология. М.: Мир, 1986. - 752 с.

Статья представлена кафедрой теории функций механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Математика» 9 июня 2003 г.