МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ MIMO В РЕЛЕЕВСКОМ КАНАЛЕ

УДК 621.396

Модель системы MIMO в релеевском канале Коняева О.С.

Аннотация: В работе представлена схема системы MIMO с конфигурацией 2х2. Обе ветви на передающей стороне являются независимыми. На приемной стороне потоки данных также обрабатываются отдельно, за исключением пространственно-временного эквалайзера (ПВЭ), который выравнивает сигнал. В итоге была получена оценка принятой последовательности символов - битовый коэффициент ошибок (BER). Моделируется система MIMO, в которой ПВЭ использует адаптивный линейный алгоритм сведения к нулю (ZF) и алгоритм наименьших квадратов (MMSE) для компенсации помех и искажений сигнала. Ключевые слова: MIMO, алгоритм наименьших квадратов, алгоритм сведения к нулю, битовый коэффициент ошибок, релеевская модель канала, пространственно-временной эквалайзер.

Введение

В настоящее время системы связи с многоканальным входом и многоканальным выходом (Multiple Input Multiple Output, MIMO) широко используются на практике. MIMO системы - это системы, имеющие больше, чем один вход и выход, то есть и передатчик, и приемник таких систем имеет несколько антенн, работающих на одинаковых частотах. В последнее десятилетие возник большой интерес к изучению беспроводной технологии MIMO, вызванный новаторскими работами Джексона Винтерса (Jack Winters) и Джеральда Дж. Фошини (Gerald J. Foschini). Постепенно интерес к таким системам будет расти, так как в современных системах связи существует необходимость повышения пропускной способности. Способность передавать и принимать большее число бит за счет использования меньшей части спектра стала действительно очень ценной. Технология MIMO позволяет обеспечивать расширение зоны покрытия радиосигналами и сглаживание в ней мертвых зон, а также использование нескольких путей распространения сигнала, что дает возможность использовать трасы с замираниями, переотражениями и т.п. Помимо пространственного мультиплексирования, еще одним преимуществом системы MIMO яв-

ляется формирование адаптивной диаграммы направленности.

Система MIMO

Простейшая схема системы MIMO с N передающими и M приемными антеннами представлена на рис.1. Данные поступают в MIMO передатчик, обрабатываются там и распределяются между антеннами. Далее сигнал передается по каналу H. Когда объединенный сигнал достигает всех приемных антенн, то приемник MIMO выполняет работу по разделению и обработке принимаемого потока сигналов для воспроизведения данных, которые были переданы.

Рис. 1. Блок-схема простой системы MIMO с N передающими и M приемными антеннами

Весь канал может быть задан канальной матрицей H комплексных коэффициентов передачи h . Тогда принимаемый

сигнал описывается:

Г rim I Si1 "' Sin hn1 hn

где гт - это 7-ыи принятым символ приемной антенной М, sin - переданные символы, ^т - комплексные числа, описывающие канал между передающей антенной N и приемной антенной М, птт представляет собой гауссовский шум. Используя матричное представление, (1) можно записать, как г = sH + п . Задача приема состоит в том, чтобы противодействовать влиянию канала. Один из способов сделать это, найти матрицу B так, что бы И • Б = I, если ^Ы, или Б • И = I, если N^ М. Предполагая знание о канале И на приемной стороне, матрица Б может быть найдена с помощью обратной матрицы Мура-Пентроуза [1]:

B

Í(hhh)^Hh , если N > M [hh (HHH jf1, если N < M

где (H)H - знак эрмитово-сопряжённой матрицы, (H)1 - знак обратной матрицы.

2х2 MIMO канал

Рассмотрим модель системы MIMO с конфигурацией 2х2, то есть с 2 передающими и 2 приемными антеннами (рис. 2).

Поскольку имеется две передающие антенны, можно группировать передаваемые символы {s^s2,s3,s4,...,sn}по два. В первый интервал времени передаются s1 и s2 с помощью первой и второй антенн, во второй временной интервал передаются s3 и s4 из первой и второй антенны и т.д. Тем самым увеличивая скорость передачи в 2 раза.

На рис.2 проиллюстрированы различные пути распространения сигнала Нпт .

Данные коэффициенты образуют канальную матрицу И:

( h

H

1,1

h

h >

1,2

h

" 2 У

2,1 2,2 у

Будем считать канал в моделируемой системе MIMO релеевским с медленными амплитудными замираниями [2].

Вещественная и мнимая компоненты hnm являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым математическим ожиданием

¡ = 0 и дисперсией ст2. Функция плот-

имеет

hnm

ности вероятности величины |hn вид [3]:

h hn¿_

p (hnm )= "f * 2CT2 .

В этом случае, все полученные компоненты символа поступают в течение времени передачи символа. Ухудшение характеристик происходит, поскольку компоненты вектора сигнала могут деструктивно суммироваться, что приводит к значительному уменьшению отношения сигнал/шум (ОСШ).

Пространственно-временной эквалайзер

Одним из самых важных компонентов MIMO приемника является эквалайзер. На рис.3 представлена блок-схема линейного эквалайзера [1].

h

h

s

s

11

1m

11

1 n

11

1m

+

n

n

11

1m

+

n

n

Поскольку система в целом рассматривается как линейная, принимаемый сигнал может быть выражен через мультипликативную помеху и аддитивный белый гаус-совский шум

L

г ^) h

г =-L

где г(k) - это ^ый дискретный отсчет полученных сигналов, s(k) - переданный сигнал, п(к) - гауссовский шум, Щг) - импульсная характеристика (ИХ) канала, L -длина ИХ Щг). Используя дискретное преобразование Фурье и умножив выражение (3) на проходящий через эквалайзер принимаемый сигнал, получим выражение: У (ю) = R(ю) НЭК (ю) = 5 (ю) Н (ю) НЭК (ю) + + N (ю) Нж (ю).

Искажения, вносимые каналом Н (ю), можно подавить, используя эквалайзер НЭК(ю), то есть:

Нж(а) =

1

Y (а) = S (а) +

N

H

В моделируемой системе MIMO будет использован пространственно-временной эквалайзер (ПВЭ).

На рис.4 изображена схема MIMO ПВЭ.

Тогда выходные данные от m-ой приемной антенны:

N

rm (k) = Z Sn (k) • h nm (k) + nm (k) ,

n=1

где rm (k) - это выходной сигнал от m-ой приемной антенны в момент времени k, а n m (k) - это АБГШ, добавленный m-ой приемной антенной в момент времени k.

sn (k) представляет собой входной сигнал от n-ой передающей антенны, h nm (k) -это ИХ канала между n-ой передающей и m-ой приемной антеннами. Сигнал эквалайзера может быть описан следующей матрицей:

y(k) = rk W(k), где y(k) - это вектор с M символами в момент времени k, W(k) - матрица коэффициентов эквалайзера, rk - это k-ая вектор-строка матрицы приема R.

Моделируемая система будет построена на основе адаптивного эквалайзера, то есть коэффициенты эквалайзера будут подстраиваться, периодически отправляя обучающие символы, что позволяет настроить его параметры в ответ на полученную информацию. Сигнал, полученный после обработки эквалайзером, будет с некоторой задержкой, то есть s3K (k) = s(k - 5), где 5- это время задержки сигнала [1].

В рассматриваемой системе MIMO работа пространственно-временного эквалайзера будет основана на алгоритме сведения к нулю (Zero Forcing, ZF) [2-4]. Весовые коэффициенты ПВЭ регулируются таким образом, чтобы подавить межсимвольные искажения путем обращения их в нуль в моменты взятия отсчетов. Теоретически любой канал может быть уравнен ZF эквалайзером за бесконечное число итераций.

Для моделируемой системы MIMO 2х2 в первый временной слот принимаемый сигнал первой приемной антенны

Рис.4. Структура MIMO ПВЭ

Г1 = + hi,2 s2 + п1 = [h1,A,2 ]

+ n

принимаемым сигнал второй приемном антенны

Г = Ks + h2,2 S2 + П2 = К,А,2 ]

+n

где г и г2 - принимаемые символы первой и второй антеннами, соответственно; hnm - это ИХ канала между п-ой передающей и т-ой приемной антеннами; и s2 являются передаваемыми символами; п1 и п2- шум первой и второй приемной антенны. Тогда необходимо найти матрицу В такую, чтобы Н • В = I. Данное ограничение для линейного эквалайзера на основе алгоритма сведения к нулю будет иметь следующий вид:

1ттН

в = (нинг xhh .

ZF '

Выражение (4) представляет собой псевдообратную матрицу:

HhH

h * h *

1,1 1,2

h * h *

2,1 2,2

hh

1,1 1,2

hh

2,1 2,2

h 2 + h 2 h *h + h *h

1,1 2,1 1,1 1,2 2,1 2,2

h *h + h *h

1,2 1,1 2,2 2,1

2

h + h

1,2 2,2

Данный алгоритм является концептуально простым и легким в реализации, но не учитывающим шум приемника, что в итоге может привести к увеличению ОСШ. Это учитывается в алгоритме наименьших квадратов, где происходит минимизация среднеквадратической

ошибки между передаваемыми символами и входом линейного детектора (Minimum Mean Square Error, MMSE) [2-3, 5]. Необходимо найти такую матрицу B, которая минимизировала среднеквадратическое значение ошибок, то есть е{[Вг - s][Br - sf }:

f

B

hHhI

N

с

E

V1

HH

b J

где Ев / N0 - отношение сигнал/шум (ОСШ).

Теоретическое значение битового коэффициента ошибок для КАМ-М

Вероятность битовой ошибки (BER) определяется, как отношение среднего числа неправильно принятых бит к общему числу переданных бит.

s

s

2

s

i

s

2

2

Для прямоугольного множества, гауссова канала и приема с помощью согласованных фильтров вероятность битовой ошибки при модуляции КАМ-М, где

М = 2k четное число, выражается следующим образом [6]:

P

BG

2(1 - L1) log 2 L

Q

3(log2 LЛ 2E

L2 -1

N

В (5) Q (х) называется гауссовым интегралом ошибок, эта функция определяется

[3]:

1 ад

Q( X) = -7= f в \2ж X

-u

2 du,

а Ь = 4М представляет количество уровней амплитуды в одном измерении.

ОСШ равно ув = к1Ев / Ы0, где h - канальный коэффициент, имеющий релеев-ское распределение, вида (2). Для получения вероятности ошибки, когда h случайная величина, необходимо усреднить Рво по ув с функцией плотности вероятности р(ув), т.е. необходимо вычислить интеграл вида [3]:

PBRL = f PBG (Гв ) Р(Ув )d7B.

h2

Поскольку h распределено по Релею, имеет хи-квадрат распределения с двумя степенями свободы, то ув также распределено по закону хи-квадрат. Легко показать, что

Р(7в) = = е

-ув Ув

> 0.

ув - среднее значение ОСШ. Теперь можно подставить (7) в (6) и выполнить интегрирование. Результат интегрирования для КАМ-16:

P = 3

BRL ~ 8

(

1 -

"11

Л

0,4yB

1 + 0,4уБ

для КАМ-64:

P =_

Pbrl = 24

1 -

Л

7 + '

Результаты моделирования

Общая схема моделируемой системы MIMO с конфигурацией 2х2 представлена на рис.5.

-Ф-

-Ф

ПВЭ

Д

Рис.5. Общая блок-схема моделируемой MIMO системы с конфигурацией 2х2

Обе ветви на передаче генерируют независимые потоки данных, которые перемешиваются в канале MIMO, описанном выше. В приемнике потоки данных также обрабатываются отдельно, за исключением пространственно-временного эквалайзера (ПВЭ). Промодулированный сигнал (КАМ-16 и КАМ-64) проходит в MIMO канал, представляющий из себя канал, замирающий по релеевскому закону. В приемнике к каждому потоку сигналов добавляется независимая реализация аддитивного белого гауссовского шума (АБГШ). После этого сигнал поступает в ПВЭ, где он выравнивается. ПВЭ подстраивает коэффициенты фильтра в зависимости от сигналов ошибки, генерируемых детектором (Д).

Программное обеспечение было реализовано в системе Matlab, позволяющей с помощью модульной архитектуры легко выбирать и сочетать различные блоки.

Для программного моделирования схемы, представленной на рис. 5, следует сделать ряд предположений: 1) моделируемый канал является с амплитудными замираниями (flat fading); 2) канал каждой передающей антенны не зависит от канала

других передающих антенн; 3) каналы между передающими и приемными антеннами являются независимыми и случайно изменяющимися во времени; 4) на приемной стороне шум имеет гауссов-скую функцию плотности вероятности; 5) канал hnm известен на приемной стороне.

Моделирование рассматриваемой системы MIMO происходило следующим образом. Вначале создается случайная двоичная последовательность, затем группируются два символа в пару, которая передается в один слот времени. Далее сигнал умножается на канальную матрицу и добавляется АБГШ. Потом происходит процесс выравнивания с помощью ZF и MMSE алгоритмов. Завершением является процесс декодирования и подсчет битовых ошибок (BER). Данные действия повторяются для некоторого значения ОСШ. На рис.6 и рис.7 представлены график BER соответственно для 2-х видов модуляции КАМ-16 и КАМ-64 и теоретическое значение BER в однолучевых гауссовском и релеевском каналах.

BER системы MIMO 2к2 в Релеевском канале

--.BER MIMO ZF ---- BER MIMO MMSE -"*-' T<S)&Ha4.BER в PK — Э--Теор знач BER в ГК 1

..... х> * .............. ..........* . .......* ......."S^-;............ .........На.......... . ..........! SE щш .........*>.*>

ш шш: .................;.....................\........ = ,:,.:,.:,.::;::,::............Ч .....V ...........................V"

10 15

осш.йв.

Рис. 6. BER системы MIMO 2x2 для КАМ-16

Выводы

В статье представлена модель системы MIMO с конфигурацией 2х2, работа которой основана на ZF эквалайзере и MMSE эквалайзере. Моделью для канала MIMO

была выбрана релеевская модель канала с медленными амплитудными замираниями. В результате моделирования были построены графики битовых коэффициентов ошибок для двух видов адаптивных алгоритмов и теоретические значения BER для двух видов модуляции КАМ-16 и КАМ-64 в однолучевых гауссовском и релеевском каналах.

BER системы MIMO 2x2 в Релеевском канале для КАМ-64

---ЕЕГ ИМС--Г-1ЕЕ - *--~mi|i : =F~ - "-: , — &- • "сор :на а : "К

10 15 ш

ОСШ.dB

Рис. 7. BER системы MIMO 2x2 для КАМ-64

Из результатов моделирования следует, что алгоритм эквалайзера MMSE обеспечивает большее значение вероятности ошибки, чем ZF. Например, для вероятности ошибки 10~2 при КАМ-16 энергетический выигрыш ZF эквалайзера по отношению к MMSE составляет примерно 1,8 дБ, а при КАМ-64 3,5 дБ. Так же видно, что ОСШ, требуемое для достижения заданной вероятности, уменьшается с ростом М. Так, для ZF эквалайзера при PB = 10 2 ОСШ для КАМ-16 составляет порядка 12 дБ, а для КАМ-64 около 9 дБ.

Литература

1. Tryggvi Ingason, Liu Haonan Line-of-Sight MIMO for Microwave Links Adaptive Dual Polarized and Spatially Separated Systems. Göteborg, Sweden, 2009.- p.117.

2. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. - М.: Издательский дом "Вильямс", 2003.- 1104 с.

3. Прокис Дж. Цифровая связь. Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. - М.: Радио и связь, 2000. - 800 с.

4. Qureshi U.H. Proceedings of the IEEE, 1985, Vol.73, № 9, pp. 1349-1387.

Поступила 20 июня 2013 г.

5. Saltzburg, B. R., IEEE Trans. Inform. Theory, 1968, Vol. IT-14, pp. 563-568.

6. Korn I. Digital Communications. Van Nos-trand Reinhoid Company, Inc., New York, 1985.676 p.

Информация об авторе

Коняева Ольга Сергеевна - аспирант ФГБОУ ВПО «Поволжский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики». E-mail: konyaeva2012@gmail.com. Адрес: 443010, г. Самара, ул, Л.Толстого, д. 23.

English

The MIMO system model in Rayleigh channel

Konyaeva Olga Sergeevna - a postgraduate student of the "Povolzsky State University of Telecommunications and Informatics".

Address: 443010, Samara, L. Tolstogo street, 23.

Abstract: In the last decade there has been a great interest in research into the wireless MIMO technologies, as these technologies make it possible to ensure the coverage by radio signals and reduce blind spot, and the use of multiple signal pathways and the formation of the adaptive array pattern. This article shows the model and the analysis of a 2x2 MIMO system, wherein the space-time equalizer (STE) uses adaptive linear algorithms Zero Forcing (ZF) and a Minimizing Mean Square Error (MMSE) to compensate for the noise and signal distortion. Both branches of the transfer generate independent data streams that are mixed in a channel MIMO. At the receiver, the data streams are also processed separately, except the STE. The QAM-modulated signal (QAM-16 and QAM-64) passes the MIMO channel. The model for the MIMO channel has been selected Rayleigh channel model with flat fading. In the receiver, independent realizations of an additive white Gaussian noise (AWGN) are added to each signal stream. After that, the signal enters the STE, wherein it equalized. The STE tunes its equalizers by using the error signals generated by the detectors. Also this paper describes obtained formulas for finding the bit error rate (BER) in a single-beam Rayleigh channel for 16-QAM and 64-QAM. In the simulation, the graphs were bit error rates for the two types of adaptive algorithms and theoretical values of the BER for the two types of QAM-16 and QAM-64 single beam Gaussian and Ray-leigh channels. The simulation software was written in the Matlab.

Key words: MIMO, Zero Forcing algorithm, Minimizing Mean Square Error algorithm, bit error rate, Rayleigh channel model, space-time equalizer.

References

2. Skliar B. Tsifrovaia sviaz'. Teoreticheskie osnovy i prakticheskoe primenenie. [Digital communication. The theoretical basis and practical application of] M.: Izdatel'skii dom "Vil'iams", 2003, 1104 p.

3. Prokis Dzh. Tsifrovaia sviaz'. [Digital communication] Pod red. D. D. Klovskogo. M.: Radio i sviaz', 2000. 800 p.