Возможности применения линейных и нелинейных моделей для анализа региональной экономической системы

УДК 332.1

© К.П. Дырхеев

Возможности применения линейных и нелинейных моделей для анализа региональной экономической системы

Публикация подготовлена в рамках поддержанного РФФИ научного проекта №12-01-98011-р «Моделирование и оптимизация региональной эколого-экономической системы Республики Бурятия»

В статье рассматриваются возможности применения агрегированных и структурных моделей в нелинейной и линейной формах для анализа региональной экономической системы в статической и динамической постановках. Ключевые слова: моделирование, линейные и нелинейные модели, агрегированные и структурные модели, статика, динамика, региональная экономическая система, межотраслевые связи.

© K.P. Dyrkheev

The possibility of applying linear and nonlinear models for analysis of the regional economic system

The article deals with the possibility of applying aggregate and structural models in nonlinear and linear forms for analysis of the regional economic system in static and dynamic performances.

Keywords: modeling, linear and nonlinear models, aggregated and structural models, statics, dynamics, regional economic system, inter-industry linkages.

Для успешного выявления проблем и обоснованного выбора путей регионального социально-экономического развития необходимо системное представление об экономике региона как многоуровневом и динамично развивающемся хозяйственном комплексе. Достаточно большие масштабы региональной экономической системы, разветвленность связей между ее элементами и определенная инерционность придают высокую степень обусловленности будущих ее состояний предшествующими. В экономике региона, как в любой большой системе, на более низких уровнях иерархии, шире проявляются стохастические факторы. По мере перехода на более высокие уровни иерархии и роста масштабов анализируемого объекта все более начинают преобладать детерминированные факторы развития и возрастает устойчивость. Однако при этом приходится сталкиваться с недостатком априорной информации о количественных закономерно -стях, что существенно усложняется многообразием динамических свойств региональной экономической системы. Все это диктует неизбежность сочетания детерминированных и стохастических методов регионального экономического анализа.

При моделировании региональной экономики как динамической системы могут применяться различные типы динамических преобразовате-

лей. В зависимости от дискретного или непрерывного способа представления переменных могут применяться региональные модели, формируемые соответственно в виде конечно-разностных или дифференциальных уравнений. Так, выпуск валового регионального продукта вполне можно считать изменяющимся непрерывно, а ввод основного капитала - изменяющимся дискретно. При этом необходимо учитывать, что непрерывные модели дают более естественное представление о динамических свойствах региональной экономической системы и упрощают получение общих закономерностей в аналитической форме. В то же время дискретные модели облегчают построение алгоритмов их вычислительной реализации.

Типы динамических преобразователей, как известно, различаются нелинейной или линейной формой связи между включенными в модель переменными. В реальных процессах как национальной, так и региональной экономики зависимости между показателями в основном носят нелинейный характер. Однако аналитическое решение нелинейного дифференциального или конечно-разностного уравнения не всегда возможно, а в тех случаях, когда оно существует, сопряжено со значительными трудностями. В связи с этим часто зависимости между переменными линеаризируют. В ряде случаев стараются непосредственно применять линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Модели регионального экономического развития в значительной степени основываются на макроэкономических теориях и моделях, но с учетом большей открытости региона по сравнению с национальной экономикой. Для отражения долгосрочного экономического роста и его факторов возможно применение нелинейных непрерывных моделей, имеющих при этом малую размерность, например, таких как малосекторные неоклассические модели. Так, с использованием односекторной неоклассической модели роста Солоу региональная экономическая система как единое неструктурированное целое производит один универсальный продукт, который потребляется и инвестируется. Отражая процесс регионального расширенного воспроизводства, агрегированная модель позволяет в общих чертах анализировать соотношение между потреблением и накоплением.

Более детально процесс регионального воспроизводства можно отразить с использованием трехсекторной динамической нелинейной модели, в которой каждый из секторов (1 = 1, 2, 3) производит свой агрегированный продукт: материальный сектор (1 = 1) производит предметы труда, капиталосоздающий (1 = 2) - средства труда, потребительский (1 = 3) -предметы потребления. Как известно, предметы труда используются в одном производственном цикле, а средства труда - во многих. При этом появляется возможность непосредственно отразить функционирование сектора, производящего промежуточный продукт, который в агрегированной односекторной модели при определении валового внутреннего продукта выпадает из анализа. Так, выпуск продукции по секторам (Х1) создается с помощью статических линейно-однородных неоклассических производственных функций

X! = ^ (К, Ь), 1 = 1, 2, 3,

где К Ь1 - объем основного капитала и численность занятых в 1-м секторе.

Динамика занятых в экономике региона (Ь) и их распределение по секторам представляются следующим образом: ат = иЦ L = L(0)eut,

Ь = Ь1 + Ь2 + Ьз, где и - темп прироста занятых, X - период времени.

Динамика основного капитала по секторам задается в виде линейных динамических уравнений

Ж/Л = - цК + 11, 1 = 1,2,3, где Ц1, 11 - коэффициенты износа основного капитала и валовые инвестиции в 1-м секторе. Инвестиционный лаг отсутствует.

Распределение продукции материального и капиталосоздающего секторов задается в виде линейных статических уравнений Х1 = а1Х1 + а2Х2 + а3Х3, Х2 = ¡1 + ¡2 + 13,

где а1 - коэффициенты прямых материальных затрат в 1-м секторе

В данной модели проявляется эмерджентность региональной экономической системы, проявляющаяся во взаимосвязанном изменении выходных переменных: каждый сектор производит столько продукции, сколько нужно другим секторам и потребителям и столько, на сколько хватит ресурсов. Управление в модели осуществляется путем распределения трудовых и инвестиционных ресурсов.

В краткосрочном периоде линейной динамической моделью второго порядка могут быть описаны конъюнктурные циклы в региональной экономике. Так, модель Самуэльсона-Хикса для рынка благ, в которой кейнсианский мультипликатор взаимодействует с акселератором, дополняет статический анализ макроэкономических рынков и отражает динамику перехода от одного равновесного состояния к другому после изменения экзогенных параметров. В данной динамической модели переменные относятся к разным периодам времени, кроме того, в ней учитывается необходимость осуществления индуцированных инвестиций при исчерпании существующих производственных мощностей. Индуцированные инвестиции как часть совокупного спроса порождают очередной мультипликативный эффект, который снова увеличивает совокупный спрос и побуждает тем самым к новым индуцированным инвестициям. В отличие от моделей долгосрочного экономического роста воздействие инвестиций на совокупное предложение через ввод новых производственных мощностей не учитывается. При этом существуют определенные условия, связанные со значениями предельной склонности к потреблению и коэффициентом акселерации, которые гарантируют устойчивое приспособление к новому равновесному состоянию после экзогенных импульсов. Процесс приспособления при этом может быть монотонным или колебательным. Заметим, что с

включением в модель рынка денег, взаимодействующего с рынком благ через процентную ставку, область устойчивого равновесия сокращается. Тогда указанный процесс приспособления будет скорее колебательным.

Применяемые в региональных исследованиях агрегированные макроэкономические модели оперируют суммарными величинами валового регионального продукта и регионального дохода, занятости и безработицы, потребления, сбережения, инвестиций и т.п. При этом выпадают из анализа структурные проблемы в регионе. Кроме того, структура макропоказателей отдельного региона куда менее устойчива, чем структура макропоказателей всей национальной экономики. Более того, структурные сдвиги являются одним из важнейших факторов регионального экономического развития. В этой связи по сравнению с агрегированными макромоделями определенные преимущества в анализе региональной экономики имеют более детализированные модели, в которых структурные показатели являются эндогенными, а не экзогенными величинами.

Для анализа структурных сдвигов и сложной сети межотраслевых взаимосвязей широко используются балансовые матричные модели, в основе которых лежит межотраслевой баланс, характеризующий многообразные натуральные и стоимостные связи между отраслями экономической системы. Основной массив информации содержит первый квадрант, играющий главную роль в системе показателей межотраслевого баланса. В общей схеме последнего ортогонально совмещаются два специальных баланса - материальный по горизонтали и стоимостной по вертикали. Этим балансам соответствуют модель межотраслевых материальных связей с ограничениями по производственным ресурсам: X = AX + Y, X = (Е - А)"Х ДХ = ДЕ - А)"^ < Я, X > 0

и модель межотраслевых зависимостей цен и добавленной стоимости: Р = А'Р + г, г = (Е - А')Р, Р = (Е - А')-1г,

где X = (Х1) - вектор валового выпуска, Y = (у^ - вектор конечной продукции,

А = (а^) - технологическая матрица прямых затрат; Е - единичная матрица; f - матрица ресурсных коэффициентов; Я - вектор имеющихся в регионе ресурсов; Р - вектор индексов цен; г - вектор коэффициентов добавленной стоимости.

Для данных моделей, являющихся двойственными по отношению друг к другу, выполняется равенство гХ = PY.

Построенная базовая региональная модель межотраслевых материальных связей допускает возможность ее различных модификаций. Так, можно в явном виде выделить в модели переменные и параметры по ввозу и вывозу продуктов и услуг, отразив тем самым влияние внешних свя-

зей на открытую экономику региона. Кроме того, данная модель может интерпретироваться как частный случай более развитых оптимизационных моделей, которые упорядочивают и формализуют выбор наилучших из сбалансированных состояний экономики региона с ограничениями по производственным мощностям и ресурсам с точки зрения определенных критериев оптимальности.

Рассмотренные региональные межотраслевые модели являются статическими, отражая экономическую деятельность в регионе лишь в течение одного временного периода. Рассмотрение данных моделей в динамической постановке позволяет отразить прямые и обратные связи в региональной экономической системе с точки зрения воспроизводственного подхода к экономическому развитию. Динамическую межотраслевую модель можно записать в виде

Х(г) = АХф + Y(t), где t - временной период.

Вектор регионального конечного спроса состоит из двух компонентов - вектора потребления С и вектора инвестиций и: Y(t) = ОД + Щ).

Потребление отдельных видов благ можно представить как функцию от валового регионального дохода 2^):

Cl(t) = ¥17(4 (1 = 1,2,...,п), а z(t) можно представить в виде функции

= ГlХl(t) + Г2Х2(t) + ... + гпХп(4

где г1 - доля добавленной стоимости для 1-того продукта, (1 = 1,2,.. ,,п). Тогда вектор потребления можно представить следующим образом: C(t) = угХф.

В свою очередь вектор инвестиционного спроса запишем как И(t) = B[X(t+1) - X(t)] = BAX(t) = BpX(t), где В - матрица коэффициентов приростной капиталоемкости: В = (Ьщ), (у = 1,2,.,п); р - темп прироста производства. Тогда полученное уравнение X(t) = АЯф + угХф + BpX(t) с учетом А = А + уг можно записать как динамическое уравнение

(Е - АД = ВрХ, откуда после преобразований получим:

(Е - А)-^ = 1/рХ, или HX = XX, где Н = (Е - А)-1В; X = 1/р. Тогда (Н - ХЕД = 0.

Соответственно находим собственное значение X матрицы Н из характеристического уравнения | Н - ХЕ | = 0.

Согласно теореме Перрона-Фробениуса о положительно-определенных матрицах, максимальное по своему абсолютному значению собственное значение X и положительный собственный вектор X определяются однозначно, т. е. имеем обладающую экономическим смыслом траекторию равновесного роста в регионе с темпом прироста р = 1/Х.

Таким образом, динамическая межотраслевая модель является развитием статической модели. В ней учтено создание нового основного капитала и соответственно увеличение производственных мощностей. При этом характер технологических зависимостей остается линейным.

Литература

1. Аллен Р. Математическая экономия. - М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

2. Гранберг А.Г. Основы региональной экономики. - М.: ГУ ВШЭ, 2000.

3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. - М.: Прогресс, 1975.

4. Колемаев В.А. Математическая экономика: учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математические методы и модели для магистрантов экономики: учеб. пособие. - СПб.: Питер, 2006.

6. Тарасевич Л.С., Гребенников П.И., Леусский А.И. Макроэкономика: учебник. - М.: Юрайт-Издат, 2003.

Дырхеев Константин Павлович, кандидат экономических наук, доцент, Бурятский государственный университет, г. Улан-Удэ, ул. Ранжурова, 5.

Dyrkheev Konstantin Pavlovich, candidate of science in economics, assistant professor, Buryat State University. Ulan-Ude, Ranzhurova str., 5.