Зависимость текущего такта измерения от структурных свойств сигнала при адаптивной временной дискретизации интерполяционного типа

Зависимость текущего такта измерения от структурных свойств сигнала при адаптивной временной дискретизации интерполяционного типа

Г.И. Ткаченко1, М.Г. Ткаченко2

1 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону 2ООО НПКФ «Медиком МТД», Таганрог

Аннотация: Эффективность алгоритмов адаптивной временной дискретизации (АВД) определяется сжимаемостью аналогового сигнала. В целях априорной оценки сжимаемости измерительных сигналов рассматривается зависимость текущего такта измерения при АВД от динамических свойств сигнала. В зависимости от априори известных характеристик динамических свойств сигналов и заданной погрешности аппроксимации выбирают способ интерполяции или экстраполяции. В статье получена зависимость текущего такта измерения от дифференциальных свойств сигнала для идеального алгоритма АВД интерполяционного типа. Предполагается восстановление сигнала после АВД интерполяционным полиномом Лагранжа п-ой степени. Качество аппроксимации устанавливается критерием равномерного приближения. Показано, что анализ идеальной АВД интерполяционного типа сводится к анализу эквивалентной по величине участка аппроксимации идеальной АВД экстраполяционного типа. Ключевые слова: Адаптивная временная дискретизация, такт измерения, структурные свойства сигнала, интерполяция, погрешность воспроизведения.

Одним из методов сокращения измерительной информации на этапе аналого-цифрового преобразования аналоговых сигналов является адаптивная временная дискретизация (АВД) [1-4]. Эффективность применения алгоритмов АВД по сравнению с равномерной временной дискретизацией (РВД) [3, 5] в цифровых информационно-измерительных системах определяется коэффициентом сокращения числа отсчетов (сжатия), который зависит как от вида аппроксимации и критерия приближения, так и от динамических свойств аналогового сигнала измерительной информации. При выбранном способе аппроксимации величина сжатия посредством АВД в основном зависит от сжимаемости сигнала, т.е. от его способности как материала к сжатию.

Для теоретической оценки сжимаемости аналоговых сигналов прежде всего требуется определять [5, 6] зависимость текущего такта измерения т при идеальной в смысле качества воспроизведения АВД от динамических

:

свойств сигнала. Под идеальной АВД понимается дискретизация, реализуемая идеальным устройством, которое не имеет инструментальных погрешностей и обеспечивает неограниченный набор возможных тактов измерения т (0 < т < да).

Рассмотрим решение этой задачи при следующих условиях. Восстановление сигнала после АВД производится интерполяционным полиномом n -ой степени. Качество воспроизведения (аппроксимации) устанавливается согласно критерию равномерного приближения [3].

Чтобы математически найти величину т необходимо, во-первых, выбрать, конкретизируя класс функций, математическую модель сигнала и, во-вторых, наложить соответствующие ограничения на величину допустимой погрешности воспроизведения 8 0.

В качестве математической модели сигнала [7, 8, 9] целесообразно принять аналитическую функцию x(t),t е [0,tm]. Эта полная, контурная

модель является определенной идеализацией реальных сигналов. Однако она позволяет достаточно хорошо их описать на каждом ограниченном интервале [t1_1 ,tj е [0,tm] оценочной функцией x*(t),t е [ti_1 ,tjв виде степенного

алгебраического полинома.

В отличие от допущения, принятого в [6], будем полагать, что величина модуля допустимой погрешности воспроизведения 80 ограничена менее

жестким условием. Пусть она принадлежит области А1 таких значений, при которых на каждом участке аппроксимации длительности At производная сигнала (п+2)-го порядка x(n+2) (t) = const, t е [t1_1 ,t1_1 + At] или, вводя новую переменную t' = t _ t1_1, в другой форме x(n+2^ (t1_1 +1') = const, t' е [0, At] (сокращенно t' е At). Для принятого ограничения на величину 80 е А1 правомерно считать, что на каждом участке

аппроксимации сигнал достаточно точно описывается полиномом (п+2)-го порядка.

Рассмотрим теперь определение величины текущего такта измерения для идеального в смысле качества алгоритма АВД интерполяционного типа, ориентированного на воспроизведение сигнала интерполяционным полиномом Лагранжа п -ой степени по равноотстоящим отсчетам на интервале интерполяции, величина которого при заданном п определяет величину такта измерения:

т = Лt|n при п > 1 и т = Лt при п = 0.

Известно [7, 8] , что при интерполяции функции x(t') полиномом Лагранжа Ln(t')при равноотстоящих узлах интерполяции погрешность аппроксимации 5( t') определяется остаточным членом Rn+1 (t') интерполяционного полинома Ньютона в форме Коши:

5

(п +1)! k=o

где п - некоторая точка, зависящая от ^, ^ и п (tl-1 < п ^ tl-1 +1'); и -

безразмерный коэффициент, и = 1'/х . Однако использовать (2) для точного определения величины такта измерения т (а, следовательно, и связанного с ним соотношением (1) участка аппроксимации Д^ практически невозможно, так как неизвестны как момент времени ^, при котором ) = 5 }п = ±5 0, так

и положение точки п на интервале [tl-1 X + tl-1 ] .

Приближенное решение, дающее оценку снизу величины такта измерения т, может быть получено из оценки сверху остаточного члена (2) [7, 10]

К\ = 5о =

К+х( О

<

M

п+1

п+1

(п +1)!

П ^ - Ю

k=0

max

где Mn+1 - модуль-максимум (п+1)-ой производной в рассматриваемом

интервале интерполяции, Mn+1 = maxx(n+1 )(t') = х(п+1 'и£еAt; £ -

некоторая точка интервала интерполяции. Как правило, модуль-максимум (п+1)-ой производной неизвестен, так как неизвестно положение точки £ на интервале [ti_1 + А], а попытка определения ее положения приводит к неразрешимой в общем виде задаче. Требовать же априорного знания

локальных свойств сигнала в виде

x

(п+1 л

(£) ,£ е At для каждого возможного

такта измерения т практически нереально. Поэтому при разумных требованиях к характеру априорной информации и принятых ограничениях для погрешности 80 невозможно оценить такт измерения на основании

предельного случая неравенства (3).

Рациональную с точки зрения характера априорных данных и принятого ограничения на погрешность 80 е А1 оценку величины т можно найти, если вместо Mn+1 рассматривать среднее значение (п +1)-ой производной на интервале аппроксимации,

хс;+' '( А)=аа Г^'с' м'.

Тогда для оценки величины т вместо (3) можно использовать приближенное равенство:

8о

х

ср

(п +1)!

апТ

п+1

где ап

П

к=0

В то время как неравенство (3) дает заведомо заниженную оценку действительной величины такта измерения т, приближенное равенство (5) может давать как заниженную, так и завышенную оценку. Однако при этом оценка такта по (5) всегда будет ближе к истинной величине такта измерения, поскольку замена Мп+1 на х(р+1'(At) ослабляет неравенство (3). В

тах

этом легко убедиться путем рассмотрения ряда конкретных примеров при фиксированном п и ^ (или т).

Обе оценки с уменьшением допустимой погрешности воспроизведения 5 0 сходятся к истинной величине такта измерения т. Если еще учесть, что оценка сжимаемости измерительных сигналов связана с операцией осреднения, при которой сглаживается разброс оценок такта измерения по (5) для каждого интервала аппроксимации, то дальнейшее применение приближенного равенства (5) можно считать допустимым.

Разлагая функцию х( п+1)(г') в ряд Маклорена при сделанных ограничениях на величину 5 0, представим (5), учитывая (4) и (1), в виде двух уравнений:

х(н2)т2 + 2 • х(н 1)т - 250/а0 = 0 при п = 0,5т У 0; п • хНп+2)тп+2 + 2 • хНп+1 )тп+1 - 250(п +1 )!/ап = 0 прип > 1,5т ^ 0. (6 а) хН2)т1 + 2 • хН11 т + 2д0/а0 = 0 при п = 0,5т < 0; п • х(нп+2)тп+2 + 2 • хНп+1 )тп+1 + 250(п +1 )!/ап = 0 прип > 1, 5т < 0, (6 б) где ап - коэффициент, зависящий от степени полинома, например, как

показано в таблице № 1:

Таблица № 1.

Величина коэффициентов в зависимости от степени полинома

n 0 1 2 3 4

an 1/2 1/4 2л/3/9 1 3,6

Уравнениям (6 а, б) соответствует эквивалентная функция погрешности аппроксимации:

S'(t') = x(Hn+11 • a"(t")(П+11 + x(Hn+21 • na"(t" )(П+22, t' er(t' = t/n,n > 1). (n + 1)! 2(n + 1)! '

Функция S'

принимает максимальное значение 8m и который невозможно определить аналитически. Тем самым анализ идеальной АВД интерполяционного типа сводится к анализу эквивалентной по величине участка аппроксимации At

идеальной АВД экстраполяционного типа.

Решение уравнений (6 а, б) дает зависимость текущего такта измерения т = у и ( 8 0 ,x("+l} ,x("+2}) от дифференциальных свойств сигнала для идеального алгоритма АВД интерполяционного типа.

Таким образом, на основании уравнений (6 а, б) можно найти функциональную зависимость у и1 текущего такта измерения i(t) от структурных свойств сигнала для случая интерполяции полиномами Лагранжа. Полученные соотношения позволяют также оценивать сжимаемость случайных сигналов, полагая функцию x(t) реализацией дифференцируемого случайного процесса X(t).

Литература

1. Адаптивные телеизмерительные системы / Авдеев Б.Я., Антонюк Е.М., Долинов С.Н., Журавин Л.Г., Семенов Е.И., Фремке А.В., Под ред. Фремке А.В. Л.: Энерго-издат. Ленингр. отд-ние, 1981. 248 с.

2. Куревин В.В., Морозов О.Г., Морозов Г.А. и др. Новые интегральные решения для разработки сборщиков энергии из окружающей среды. // Инженерный вестник Дона. 2016. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_79_Sinyutin.pdf_e8c1c28197.pdf.

3. Нгуен Суан Мань, Попов Г.А. Система сбора данных по параметрам конструкций интеллектуального здания на основе волоконно-оптических датчиков. // Инженерный вестник Дона. 2015. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_53_Nguyen.pdf_29bf05efed.pdf.

4. Кавчук С.В. Зависимость текущего такта измерения при адаптивной временной дискретизации экстраполяционного типа от структурных свойств сигнала. // Инженерный вестник Дона. 2016. №4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_173_kavchuk.pdf_c921d62655.pdf.

5. Qaisar, S.M., L.L. Fesquet and M.R. Laurent, 2009. Adaptive Rate Sampling and Filtering Based on Level Crossing Sampling. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2009(10.1155/2009/971656), 160 p.

6. Кавчук С.В., Ткаченко Г.И., Ткаченко М.Г. Оценка сжимаемости измерительных сигналов на основании априорных данных об их динамических свойствах // Естественные и технические науки. 2008. № 3. С. 15-18.

7. Кавчук С.В., Ткаченко Г.И., Савченко Я.С. Априорная оценка средней длительности такта измерения и числа отсчетов при адаптивной временной дискретизации // Известия ЮФУ. Технические науки. 2014. №4. С. 147-155.

8. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М.: Гостехиздат, 1954. 327 с.

9. Заездный А.М., Плоткин Е.И., Черкасский Ю.А. Основы разделения и измерения сигналов по структурным свойствам. Л.: ЛЭИС, 1971. 124 с.

10. Mark, J.W. and T.D. Todd, 1981. A nonuniform sampling approach to data compression. IEEE Transactions on Communications (issue 29), Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc, pp: 24-32.

References

1. Adaptivnye teleizmeritel'nye sistemy [Adaptive telemeasuring system]. Avdeev B.Ya., Antonyuk E.M., Dolinov S.N., Zhuravin L.G., Semenov E.I., Fremke A.V., Pod red. Fremke A.V. L.: Energo-izdat. Leningr. otd-nie, 1981. 248 p.

2. Kurevin V.V., Morozov O.G., Morozov G.A. i dr. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2016. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_79_Sinyutin.pdf_e8c1c28197.pdf.

3. Nguen Suan Man', Popov G.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2015. №3. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_53_Nguyen.pdf_29bf05efed.pdf.

4. Kavchuk S.V. Inzhenernyy vestnik Dona (Rus). 2016. №4. URL: ivdon.ru/uploads/article/pdf/IVD_173_kavchuk.pdf_c921d62655.pdf.

5. Qaisar, S.M., L.L. Fesquet and M.R. Laurent, 2009. Adaptive Rate Sampling and Filtering Based on Level Crossing Sampling. EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, 2009(10.1155/2009/971656), 160 p.

6. Kavchuk S.V., Tkachenko G.I., Tkachenko M.G. [Estestvennye i tekhnicheskie nauki. 2008. № 3. pp. 15-18.

7. Kavchuk S.V., Tkachenko G.I., Savchenko Ya.S. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki. 2014. №4. pp. 147-155.

8. Goncharov V.L. Teoriya interpolirovaniya i priblizheniya funktsiy [The theory of interpolation and approximation of functions]. M.: Gostekhizdat, 1954. 327 p.

9. Zaezdnyy A.M., Plotkin E.I., Cherkasskiy Yu.A. Osnovy razdeleniya i izmereniya signalov po strukturnym svoystvam. L.: LEIS, 1971. 124 p.

10. Mark, J.W. and T.D. Todd, 1981. A nonuniform sampling approach to data compression. IEEE Transactions on Communications (issue 29), Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc, pp: 24-32.