Почти примитивные элементы свободных неассоциативных (анти)коммутативных алгебр малых рангов

11. Богатая С.И., Богатый С.А., Кудрявцева Е.А. Обращение теоремы об "экономичных" отображениях // Матем. сб. 2012. 203, № 4. 103-118.

Поступила в редакцию 27.12.2010

УДК 512.554

ПОЧТИ ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СВОБОДНЫХ НЕАССОЦИАТИВНЫХ (АНТИ)КОММУТАТИВНЫХ АЛГЕБР МАЛЫХ РАНГОВ

А. В. Климаков1

В работе получены критерии почти примитивности однородных элементов и построены алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов в свободных неассоциативных коммутативных и антикоммутативных алгебрах ранга 1 и 2.

Ключевые слова: свободные неассоциативные коммутативные алгебры, свободные неассоциативные антикоммутативные алгебры, примитивные элементы, почти примитивные элементы.

Criteria for homogeneous elements to be almost primitive are obtained and algorithms to recognize homogeneous almost primitive elements are constructed for free nonassociative commutative and anticommutative algebras of rank 1 and 2.

Key words: free nonassociative commutative algebras, free nonassociative anticommutative algebras, primitive elements, almost primitive elements.

1. Введение. Пусть K — поле, X — непустое конечное множество, Г(Х) — свободный группоид неассоциативных одночленов без единичного элемента в алфавите X, F (X) — свободная неассоциативная алгебра над полем K с множеством X свободных образующих. А.Г. Курош [1] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных алгебр свободны.

Пусть I — двусторонний идеал алгебры F(X), порожденный элементами (ab — ba | a, b G F(X)}. Тогда факторалгебра A_(X) = F (X)/I — свободная неассоциативная коммутативная алгебра с множеством свободных порождающих X. Пусть J — двусторонний идеал алгебры F(X), порожденный элементами (ab + ba | a, b G F(X)}. Тогда факторалгебра A+ (X) = F(X)/J — свободная неассоциативная антикоммутативная алгебра с множеством свободных порождающих X. В случае char K = 2 свободная антикоммутативная алгебра A+ (X) совпадает со свободной коммутативной алгеброй A_ (X), поэтому мы будем рассматривать свободные антикоммутативные алгебры над полем характеристики, отличной от двух. А.И. Ширшов [2] доказал, что подалгебры свободных неассоциативных коммутативных и антикоммутативных алгебр свободны.

Предположим, что множество r(X) упорядочено таким образом, что для a, b G r(X) если 1(a) > 1(b), то a > b, где 1(a) — степень элемента a. Построим индуктивно множества W_, W+ всех регулярных коммутативных и антикоммутативных одночленов для соответствующих алгебр: X С W_ (X С W+); w G W_(w G W+), если w = uv, u и v — регулярные коммутативные (антикоммутативные) одночлены и u ^ v (u > v). Тогда W_, W+ — базисы A_ (X) и A+ (X) как линейных пространств. Следуя терминологии А.И. Ширшова (см. [2]), единственное выражение элемента алгебры a G A_(X) (A+ (X)) в виде линейной комбинации регулярных одночленов из W_ (W+) будем называть регулярным (каноническим) разложением (представлением); степенью (весом, длиной) элемента a будем называть 1(a) — наибольшую степень одночленов, входящих в регулярное представление элемента a; старшей частью элемента a будем называть a° — совокупность членов регулярного представления элемента a степени 1(a).

Обозначим через F одну из свободных алгебр F (X), A_ (X) или A+ (X). Подмножество M алгебры F называется независимым, если M является множеством свободных образующих алгебры F, порожденной подмножеством M. Подмножество M = {a¿} ненулевых элементов алгебры F называется редуцированным, если для любого i старшая часть a° элемента a¿ не принадлежит подалгебре алгебры F, порожденной множеством (a° | j = i}.

Климаков Андрей Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: andrey.klimakov@gmail.com. 10 ВМУ, математика, механика, № 5

Пусть 5 = {ва | а € I} С ^. Отображение в: 5 ^ Б' С ^ называется элементарным преобразованием подмножества Б, если либо в — невырожденное линейное преобразование подмножества Б, либо найдется такое в € I, что в(ва) = ва для всех а € I, а = в, и

в(вд) = ^ + / (К | а = в}),

где / — элемент свободной алгебры ^(У), У = {уг | г € I}, в котором сделана подстановка уг = вг для всех г € I.

Любое конечное множество элементов алгебры ^ может быть приведено к редуцированному множеству с помощью конечного числа элементарных преобразований и, возможно, исключением нулевых элементов, и всякое редуцированное подмножество алгебры ^ является независимым подмножеством. Кроме того, используя метод А. Г. Куроша, можно построить редуцированное множество образующих для всякой подалгебры алгебры ^. Следовательно, всякая подалгебра свободной неассоциативной алгебры ^ является свободной (см. [1, 2]). Кроме того, старшая часть многочлена от редуцированного множества является многочленом от старших частей элементов этого множества, группа автоморфизмов алгебры ^ конечного ранга (|Х | < то) порождается элементарными автоморфизмами (см. также [3]).

Элемент и алгебры ^ называется примитивным, если он является элементом некоторого множества свободных образующих алгебры ^. Подмножество М различных ненулевых элементов алгебры ^ называется примитивным, если существует такое множество У свободных образующих алгебры ^, что М С У. Если X = {ж1,... , хп}, У — множество свободных образующих алгебры ^, то |У| = |Х| = п. Алгоритмы распознавания примитивных элементов были построены и реализованы в работах [4, 5](см. также монографию [3]).

Ненулевой элемент и алгебры ^ называется почти примитивным элементом, если и не является примитивным элементом алгебры ^, но является примитивным элементом любой собственной подалгебры Н алгебры ^, содержащей элемент и (и € Н, Н С 0 = Н = ^). Изучение почти примитивных элементов свободных неассоциативных алгебр было начато в работе [6]. В частности, были построены серии примеров почти примитивных элементов свободной неассоциативной алгебры ^(X). В работе [7] были получены критерии и алгоритмы распознавания почти примитивных однородных элементов алгебры ^ (X) ранга 1, 2.

В данной статье рассматриваются почти примитивные элементы малых весов в свободных неассоциативных коммутативных и антикоммутативных алгебрах А+(Х) и А_(Х) ранга 1, 2; получены критерии почти примитивности однородного элемента веса 3 и более (теоремы 1, 2), а также построены алгоритмы проверки почти примитивности однородных элементов произвольного веса в этих алгебрах.

2. Алгебры А_(х) и А+ (х). Отметим свойства примитивных элементов, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Предложение 1. Пусть А(Х) — свободная неассоциативная коммутативная или антикоммутативная алгебра с конечным множеством, X свободных образующих, {Н1 , } — редуцированное множество свободных образующих собственной подалгебры Н алгебры А(X). Если элемент является примитивным в подалгебре Н, то существует свободная образующая Нг подалгебры Н, входящая линейно в его представление (см. [3, 4]). Если существует свободная образующая Нг подалгебры Н, входящая только линейно в представление элемента, то этот элемент является примитивным в подалгебре Н. Если существует свободная образующая Нг подалгебры Н такого же веса, что и сам элемент, входящая линейно в представление элемента, то этот элемент является примитивным в подалгебре Н. Если существует свободная образующая Нг подалгебры Н, старшая часть которой входит только линейно в представление старшей части элемента, то этот элемент является примитивным в подалгебре Н.

Предложение 2. Пусть К — поле, еИаг К = 2, А+(х) — свободная неассоциативная антикоммутативная алгебра над полем К с одной свободной образующей х. Тогда любой элемент и € А+(х) не является почти примитивным.

Доказательство. Так как в алгебре А+(х) имеем х2 = 0, то А+(х) = {Ах | А € К}. Поскольку каждый ненулевой элемент алгебры А+ (х) является примитивным, то он не может быть почти примитивным.

Теорема 1. Однородный элемент и € А_(х) веса 1(и) = т ^ 2 является почти примитивным элементом тогда и только тогда, когда в каноническое разложение и = и(х) входит одночлен вида А  х, где А — регулярный одночлен веса 1(А) = т — 1.

Доказательство. Пусть однородный элемент и веса 1(и) = т ^ 2 почти примитивен. Если никакой одночлен вида А  х, где А — регулярный одночлен веса 1(А) = т — 1, не входит в разложение и, то имеет место каноническое разложение

и = Е Аз А В,

А,- =0

где (А,, В,) — различные пары регулярных одночленов веса больше единицы, А, ^ В, и -¿(А,)+1(В,) = т. Тогда и не является примитивным элементом в собственной подалгебре

Н = а^ и<А,, В,}

3

Действительно, приводя множества У,{А,, В,} к редуцированному множеству М, имеем 1(Н) < 1(и) для всех Н € М. Следовательно, старшая часть никакой свободной образующей подалгебры Н не входит линейно в представление элемента и. Согласно предложению 1, и не является примитивным элементом подалгебры Н.

С другой стороны, если элемент и € Н = ,..., Н} С А- (ж) содержит в каноническом пред-

ставлении одночлен вида А  ж и старшая часть Н° никакой свободной образующей Н, 1 ^ г ^ к, не входит линейно в разложение и, то ввиду скобочной структуры имеет место равенство А  ж = д(Н1,..., Н°к)  Н1, т.е. ж = Н°, значит, Н1 = ж. Следовательно, Н = А-(ж) и Н не является собственной подалгеброй в А-(ж). Теорема доказана.

Следствие 1. Существует алгоритм, распознающий почти примитивность однородного элемента и € А-(ж).

Доказательство. Если 1(и) = 2, 3, то элемент и всегда содержит в каноническом представлении одночлен А  ж, поэтому является почти примитивным. Если 1(и) > 3, то записываем элемент и как линейную комбинацию регулярных одночленов и проверяем наличие слагаемого вида А  ж.

3. Алгебры А-(ж, у) и А+(ж,у). Рассмотрим случай алгебр ранга 2.

Предложение 3. Пусть А-(ж, у) — свободная неассоциативная коммутативная алгебра над полем К со свободными образующими ж, у; А+ (ж, у) — свободная неассоциативная антикоммутативная алгебра над полем К со свободными образующими ж,у; алгебра А(ж,у) — одна из алгебр А-(ж,у), А+ (ж,у). Тогда выполняются следующие утверждения.

1. Любой элемент и € А+(ж,у) веса 2 является почти примитивным. Однородный элемент и € А- (ж, у) веса 2 является почти примитивным тогда и только тогда, когда не имеет места представление и = ахх, где х € А-(ж, у), 1(х) = 1, 0 = а € К.

2. Любой однородный элемент и € А+(ж,у) веса 3 не является почти примитивным. Однородный элемент и € А- (ж, у) веса 3 является почти примитивным тогда и только тогда, когда не имеет места представление и = ахА, где х € А-(ж,у), 1(х) = 1, однородный элемент А € А-(ж,у) имеет вес 1(А) = 2 и а € К отличен от нуля.

3. Однородный элемент и € А(ж, у) веса 1(и) = т > 3 является почти примитивным тогда и только тогда, когда не имеет места представление

и = ^ А,А,В, + аСх,

л,-=0

где (А, , В,) — различные пары регулярных одночленов веса 1(А,) ^ 2, 1(В,) ^ 2, 1(А,) + 1(В,) = т, С — однородный элемент веса 1(С) = т — 1, х — элемент веса 1(х) = 1 и хотя бы один из коэффициентов А, ,а € К отличен от нуля.

4. Всякий однородный элемент и € А(ж,у) веса 1(и) = т ^ 3 имеет следующее разложение:

и = I ^ ЪФ,Ф, I +

=0 /

где ифф = ^ =о 7,Ф,Ф,; й = 7(Ж;л)Лхж + 7(у>л)Луу (в случае 1(и) = 3 предполагаем ифф =0, и = й); (Ф,(ж, у), Ф,(ж, у)) — различные пары регулярных одночленов веса 1(Ф,) ^ 2, 1(Ф,) ^ 2, 1(Ф,) + 1(Ф,) = т; Лх,Лу — однородные элементы веса 1(ЛХ) = 1(ЛУ) = т — 1; 7,, 7(ж,л),7(у,л) € К и хотя бы один из этих коэффициентов отличен от нуля. Тогда почти примитивность элемента и в алгебре А(ж, у) эквивалентна почти примитивности элемента и в алгебре А(ж,у).

Доказательство. Пусть элемент и из пп. 1-4 принадлежит конечно-порожденной подалгебре Н С ^(ж), {Н1, ...,Нд;} — редуцированное множество свободных образующих подалгебры Н.

1. Старшая часть и° любого элемента и € А+ (ж, у) веса 2 имеет вид и° = ажу, поэтому либо старшая часть некоторой свободной образующей Н° подалгебры Н входит линейно в представление и°, и тогда по предложению 1 элемент и является почти примитивным, либо и° = Н°Н°, и тогда Н = ж, Н, = у, что противоречит собственности подалгебры Н.

Однородный элемент и = агг, где г € А_(х,у),1(г) = 1, 0 = а € К, не является примитивным в собственной подалгебре Н = а^{г}. С другой стороны, пусть однородный элемент и не является примитивным в Н, тогда никакая образующая подалгебры Н не входит линейно в его каноническое представление по предложению 1, поэтому

и = и° = ^^ А,НгН,,

г,,

где Н = {г | 1(Нг) = 1(Н°) = V} С {1,..., к}. В случае |Н 11 ^ 2 подалгебра Н совпадает с А_(х, у), поэтому |Н 11 = 1 и элемент и = АЙН4Н4, где Н1 = {Н}.

2. Любой однородный элемент и € А+ (х,у) веса 3 имеет каноническое представление и = а(ху)х + в(ху)у = (ху)(ах + ву), где а,в € К и хотя бы один из них отличен от нуля. Тогда и непримитивен в собственной подалгебре Н = а^{ах + ву,ху}.

Однородный элемент и = агА, где г € А+(х,у),1(г) = 1, однородный элемент А € А+ (х,у) имеет вес 1(А) =2 и коэффициент а € К отличен от нуля, не является примитивным в собственной подалгебре Н = а^{г, А}. С другой стороны, пусть однородный элемент и не является примитивным в Н, тогда никакая образующая подалгебры Н не входит линейно в его каноническое представление, согласно предложению 1, и, как было показано выше, Н1 состоит из одного элемента Н^, поэтому

и = и° = А(Н4Н4)Н4 + ^ ПгН°Н = АН4, г€Й2

где А = АНН + ^ген2 ПгН° — однородный элемент веса 2, коэффициенты А, п € К и хотя бы один из них отличен от нуля.

3. Пусть однородный элемент и не является примитивным в Н, тогда никакая старшая часть Нг° не входит линейно в представление и°. Так как 1(и°) = 1(и) = т > 3 и среди Н°,..., Н° не более одного элемента веса 1, то элемент и имеет вид

и = и° = ^ АлА*(Нь ..., Н)В*(НЬ..., Н) + П;С*(Н1,..., Н)Н = ^ А,-А*В* + п;С*Н4,

А, =0 А, =0

где Н — единственная свободная образующая подалгебры Н единичного веса или п = 0, (А*, В*) — различные пары одночленов алгебры А(х, у) веса 1(А*) ^ 2,1(В*) ^ 2,1(А*)+1(В*) = т, С* — однородный элемент алгебры А(х,у) веса 1(С*) = т — 1 и хотя бы один из коэффициентов А,, п € К отличен от нуля. Переставив, если нужно, А*, В* местами и взяв их регулярные представления, получаем искомое представление элемента и.

С другой стороны, элемент

и = ^ А, А, В, + аСг

А, =0

с канонической правой частью, где (А,, В,) — различные пары регулярных одночленов веса 1(А,) ^ 2, 1(В,) ^ 2, 1(А,) + 1(В,) = т, С — однородный элемент веса 1(С) = т — 1, г — элемент веса 1(г) = 1 и хотя бы один из коэффициентов А, ,а € К отличен от нуля, не является примитивным в подалгебре

Н = а^ |у{А,,В,},С,г| С А(х,у).

Действительно, приводя множество |Ц,{А,, В,},С, г| к редуцированному множеству М, имеем 1(Н) <

1(и) для всех Н € М. Следовательно, старшая часть свободной образующей подалгебры Н не может входить линейно в представление однородного элемента и. Согласно предложению 1, и не является примитивным элементом подалгебры Н.

4. Утверждение следует из пп. 2, 3.

Теорема 2. Однородный элемент и € А(х,у) веса 1(и) = т ^ 3, имеющий вид (1), является почти

примитивным тогда и только тогда, когда не существует такого коэффициента пропорциональности 0

в € К, что Лх ~ Лу (т.е. Лх = вЛу или вЛх = Лу).

Доказательство. По предложению 3, пп. 3, 4 необходимым и достаточным условием почти примитивности элемента и является невозможность представить элемент й = 7(Ж;а)Лхх + 7(у>а)Луу в виде й = аСг, где С — однородный элемент веса 1(С) = т — 1, г — элемент веса 1(г) = 1, что выполняется тогда и только тогда, когда элементы Лх, Лу непропорциональны. Теорема доказана.

Следствие 2. Существует алгоритм, распознающий почти примитивные однородные элементы свободной неассоциативной коммутативной (антикоммутативной) алгебры A(x,y).

Доказательство. Воспользуемся теоремой 2. Нам необходимо выяснить, существует ли для элемента u такой коэффициент пропорциональности в G K, что Лх ~ Лу. Это алгоритмически проверяется покомпонентным сравнением элементов ,..., ) G KL и ,..., ) G KL, где

Лх = ¿ m^ лу = ¿ m^

í=i í=i

M = {mi,..., m,c} — множество регулярных одночленов в A(x, y) веса l(u) — 1.

Теорема 3. Пусть n > 2, X = {xi,... , xn}. Тогда выполняются следующие утверждения.

1. Пусть элемент u G A(X) не является примитивным элементом в A(X), но старшая часть u° является примитивным элементом в любой собственной подалгебре u° G H° С A(X), порожденной однородными образующими. Тогда элемент u — почти примитивный элемент в алгебре A(X).

2. В обратную сторону утверждение 1 верно для однородных элементов.

3. Существует неоднородный элемент алгебры A_(x,y), для которого в обратную сторону утверждение 1 неверно. Для алгебры A+ (x, y) над полем K, в котором уравнение ß2 + 1 = 0 не имеет решения, существует неоднородный элемент, для которого в обратную сторону утверждение 1 неверно.

Доказательство. 1. Пусть элемент u не является почти примитивным, тогда существует собственная подалгебра H = alg{hi , ...,hk} с редуцированным множеством свободных образующих, в которой элемент u не является примитивным. Рассмотрим подалгебру H° = alg{h°,... , hk} С A(X) с редуцированным множеством свободных образующих и покажем, что в ней элемент u° не является примитивным. Во-первых, подалгебра H° является собственной, так как существует элемент v / H веса l(v) = 1, следовательно, v / H°. Во-вторых, так как u G H, то u = f (hi,... , hk), но тогда существует многочлен g, такой, что u° = g(hi,... , hk), значит, u° G H°. Наконец, элемент u° непримитивен в H°, так как в противном случае существует старшая часть h°, входящая линейно в представление элемента u°, но тогда образующая hj входит только линейно в представление элемента u в подалгебре H, а значит, u является примитивным элементом подалгебры H по предложению 1. Но по условию теоремы элемент u° является примитивным элементом в любой собственной подалгебре, порожденной однородными образующими, а значит, примитивен в подалгебре H°. Противоречие.

2. Утверждение очевидно.

3. Рассмотрим элемент u = x2y + x, тогда u° = x2y не является примитивным в alg{x2,y}. Пусть u G H = alg{hi,..., hk} С A_(x, y) с редуцированным множеством свободных образующих {hi,..., hk}. Тогда если никакая старшая часть h° не входит линейно в u, то без ограничения общности возможны два случая. В первом случае, когда hi = x2, h° = y, имеем hi = x2 + ax + ßy, h2 = y, тогда H Э u' = (hi — ßh2)h2 — u = axy — x. Если в u'° линейно входит h3, то h3 входит только линейно в u, значит, элемент u примитивный; в противном случае {x,y} С H, поэтому H = A_ (x,y). Во втором случае, когда (h°h°)h3 = (xx)y, имеем hi = x,h3 = y, поэтому H = A_ (x,y). Противоречие. Следовательно, u является примитивным элементом в H, поэтому u — почти примитивный элемент в A_(x,y).

Рассмотрим элемент u = x(xy) + y, тогда u° = x(xy) не является примитивным в alg{x,xy}. Пусть u G H = alg{hi,..., hk} С A+ (x, y) с редуцированным множеством свободных образующих {hi,..., hk}. Тогда если никакая старшая часть h° не входит линейно в u, то без ограничения общности возможны два случая. В первом случае, когда hi = x, h° = xy, имеем hi = x, h2 = xy + ax + ßy, тогда H Э u' = u — hih2 + ßh2 — aßhi = —ßxy + y + ßh2 — aßhi = (ß2 + 1)y. Так как в поле K уравнение ß2 + 1 = 0 не имеет решений, то u' = 0. Значит, {x,y} С H, поэтому H = A+(x,y). Во втором случае, когда h°(h°h°) = x(xy), имеем hi = x, h-з = y, поэтому H = A+ (x,y). Противоречие. Следовательно, u является примитивным элементом в H, поэтому u — почти примитивный элемент в A+(x,y). Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Курош А.Г. Неассоциативные свободные алгебры и свободные произведения алгебр // Матем. сб. 1947. 20. 239262.

2. Ширшов А.И. Подалгебры свободных коммутативных и антикоммутативных алгебр // Матем. сб. 1954. 34. 81-88.

3. Mikhalev A.A., Shpilrain V., Yu J.-T. Combinatorial Methods. Free Groups, Polynomials, and Free Algebras. N.Y.: Springer, 2004.

4. Mikhalev A.A., Umirbaev U. U., Yu J.-T. Automorphic orbits of elements of free non-associative algebras //J. Algebra. 2001. 243. 198-223.

24

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2012. №5

5. Михалев А.А., Михалев А.В., Чеповский А.А., Шампаньер К. Примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 5. 171-192.

6. Mikhalev A.A., Yu J.-T. Primitive, almost primitive, test, and Д-primitive elements of free algebras with the NielsenSchreier property //J. Algebra. 2000. 228. 603-623.

7. Климаков А.В., Михалев А.А. Почти примитивные элементы свободных неассоциативных алгебр малых рангов // Фунд. и прикл. матем. 2012. 17, № 1. 127-141.

Поступила в редакцию 17.10.2011 После доработки 02.11.2011

УДК 519.622

ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ В РЯД ПО МНОГОЧЛЕНАМ ЧЕБЫШЕВА

О. Б. Арушанян1, Н. И. Волченскова2, С. Ф. Залеткин3

Предложены два способа определения начального приближения коэффициентов разложения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в ряды по смещенным многочленам Чебышева первого рода. Данное приближение предназначено для применения в аналитическом методе интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием ортогональных разложений.

Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, приближенные аналитические методы интегрирования, численные методы интегрирования, ортогональные разложения, смещенные ряды Чебышева, квадратурные формулы Маркова.

Two approaches are proposed to determine an initial approximation for the coefficients of an expansion of the solution to a Cauchy problem for ordinary differential equations in the form of series in shifted Chebyshev polynomials of the first kind. This approximation is used in an analytical method to solve ordinary differential equations using orthogonal expansions.

Key words: ordinary differential equations, approximate analytical methods of integration, numerical methods of integration, orthogonal expansions, shifted Chebyshev polynomials, Markov quadrature formulas.

Рассматривается задача Коши для нормальной системы

y'

и задача Коши для канонической системы M обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

y''

В [1] предложен приближенный аналитический метод интегрирования уравнений (1), (2), основанный на разложении решения y(x) в ряд Фурье по смещенным многочленам Чебышева первого рода. Частичная сумма такого ряда принимается в качестве приближения к решению задачи Коши (1), (2). В [1] приведены соотношения, которые связывают коэффициенты Чебышева решения y(x) (и его производной y'(x) для задачи (2)) с коэффициентами Чебышева правой части системы (1) (или (2)), взятой на решении

1 Арушанян Олег Багратович — доктор техн. наук, проф., зав. лаб. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: arush@srcc.msu.ru.

2 Волченскова Надежда Ивановна — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: nad1946@mail.ru.

3 Залеткин Сергей Федорович — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. Научно-исслед. вычисл. центра МГУ, e-mail: iraz@srcc.msu.ru.