Моделирование структуры ударных волн в диссоцирующем двухатомном газе

О. В. Жаркова, М. А. Рыдалевская

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ УДАРНЫХ ВОЛН В ДИССОЦИРУЮЩЕМ ДВУХАТОМНОМ ГАЗЕ

В работе рассматриваются ударные волны в высокотемпературном двухатомном газе из гомоядерных молекул. Предполагается, что в газе возбуждены вращательные и колебательные степени свободы молекул, идут процессы диссоциации и рекомбинации.

Как известно (см., например, [1]), ударные волны в газах с внутренними степенями свободы и химическими реакциями значительно утолщаются по сравнению с ударными волнами в простом газе. В классической газовой динамике ударная волна рассматривается как поверхность сильного разрыва между двумя равновесными состояниями, соответствующими разным значениям газодинамических параметров [2].

Согласно имеющимся в литературе данным (см., например, [1]), процесс установления нового равновесия в большинстве случаев проходит ряд промежуточных этапов. Каждый из них характеризуется определенным временем релаксации и формированием некоторого квазистационарного распределения молекул за счет некоторой части их столкновений. Именно это послужило основой осуществленного в [1] разбиения ударной волны на релаксационные зоны разной толщины в соответствии с приведенной там иерархией времен релаксации.

При прохождении каждой из таких зон в газе устанавливаются квазистационарные распределения, которые в газе с физико-химическими процессами можно представить в виде

где Н — постоянная Планка; индекс I определяется заданием химического сорта микрочастицы и набора квантовых чисел, характеризующих ее внутреннюю энергию; Ш1 — масса частицы, c — собственная скорость (с = u — V, u — ее скорость в неподвижной системе координат, v(r,t) —среднемассовая скорость газа); Е1 —внутренняя энергия молекулы, которая может обмениваться с поступательной при столкновениях микрочастиц, учитываемых в масштабах выделенной зоны; — статистический вес, соответствующий энергии Е;у ф\ХА (А = 0,Л) —аддитивные инварианты упомянутых выше столкновений; 7л(г, t) (Л = 1,Л)—интенсивные макроскопические параметры, сопряженные определяющим экстенсивным параметрам фо = еи ф1 (Л = 1,Л), которые являются плотностями суммарных значений независимых аддитивных инвариантов 1фз011 = ттцс2/2 + Еиф\Хл (Л = 1, Л) [3]. При этом справедливо равенство

где к — постоянная Больцмана, Т — температура газа.

На границах релаксационных зон могут быть выписаны обобщенные условия динамической совместности [3]. Если ограничиться рассмотрением прямых скачков уплотнения, эти условия могут быть представлены в симметричной форме:

70 = -

А

Q+V+ + р+ — О-У2- + р—

© О.В.Жаркова, М.А.Рыдалевская, 2007

2 — 2 v± + р_±±е± = у_ + р_±елл 2 е+ 2 е-

ф+у+ = флу-, Л = ТД.

Здесь Ь- и Ь + — значения параметра Ь, вычисленные до ударной волны и за релаксационной зоной в ударной волне, и — скорость газа, перпендикулярная плоскости волны, Q — массовая плотность газа, р —давление.

Значения газодинамических параметров за релаксационными зонами выражаются через функцию распределения (1), а следовательно, являются функциями интенсивных параметров 7л (Л = 0,Л). Если известны параметры потока до ударной волны, то соотношения (3) — (5) могут рассматриваться как система алгебраических уравнений для определения параметров 7+, ]+,..., 7+ и скорости и+. В работе [4] было показано, что для решения таких систем может быть применен метод Ньютона.

В диссоциирующем двухатомном газе из гомоядерных молекул присутствуют свободные атомы (при этом можно положить і = 1) и двухатомные молекулы (при этом і = '2ут, и и г — номера уровней колебательной и вращательной энергии молекулы). При столкновениях микрочастиц может меняться их скорость, внутренняя энергия и химический состав. Известно (см., например, [1]), что изменения колебательной энергии молекул, а тем более их химическая перестройка значительно менее вероятны, чем изменения поступательной и вращательной энергии. В последние десятилетия в научной литературе (см., например, [5-7]) отмечалась экспоненциальная зависимость вероятностей колебательных обменов и реактивных столкновений от относительных дефектов резонанса соответствующих видов энергии.

На основе этих данных была предложена схема разделения во времени процесса релаксации диссоциирующего двухатомного газа [8, 9], которая соответствует системе неравенств

ТКТ << 4Т8) << 4У-И << 4У-И << т.

о -

Здесь т —полное время релаксации газовой смеси; ТуТ_БЙ или ТуТ_БЙ — время релаксации, соответствующее формированию квазистационарных распределений вида (1) за счет столкновений любого типа с относительным дефектом резонанса внутренней энергии, не превосходящим 1/4 или 1/2; ТуТ2 —время релаксации за счет столкновений, не приводящих к химической перестройке молекул с относительным дефектом резонанса колебательной энергии, не превосходящим 1/8; ТКТ —время поступательно-вращательной релаксации.

Разделение процесса релаксации на стадии в соответствии с системой неравенств (6) позволило оценить влияние разного вида энергетических переходов и реактивных столкновений на химический состав смеси, систему газодинамических уравнений для определяющих макропараметров и скорость звука [10,11].

По аналогии с тем, как это делалось в [1], в ударных волнах, сформировавшихся в равновесных потоках диссоциирующих двухатомных газов, можно выделить релаксационные зоны, соответствующие системе неравенств (6). Конкретизируя функции распределения (1) и условия совместности (3)-(5), получим уравнения относительно неизвестных значений скорости и+ и определяющих интенсивных параметров 7+ на границе каждой из зон.

Ранее были исследованы значения газодинамических параметров на границе зоны КТ-релаксации, которая отождествляется с фронтом волны, и их дальнейшая эволюция [12], а также поведение газа на границе зоны частичной колебательной релаксации УТ(1/8) в химически однородном двухатомном газе [13].

На границах зон частичной колебательно-химической релаксации УТ — БК(1/4) и УТ — БК(1/2) в функции

распределения (1) должны входить аддитивные инварианты Л(°) = тіс2/2 и ”^лМг = т2 С2/2 + еЛЦ) + £2у — d2, связанные с

сохранением полной энергии (е2 л и £2у — вращательная и колебательная энергии, ё2 — энергия диссоциации молекулы),

ф1 = кіі = 1 и ф

—число атомов в частице сорта с); ф2 = 0 и "2 Иг = "а(Л)е2і —дополнительные инварианты, связанные с учетом части

колебательных переходов и реактивных столкновений (фа(и) —кусочно-линейные функции от номера колебательного уровня и (а = 1/4 и 1/2) [9,10], е2і —энергия 1-го

колебательного уровня молекулы). Инварианты "(У можно рассматривать как некоторые обобщения инварианта Тринора ф2 иг = и, поэтому коэффициенты 72 при этих инвариантах по аналогии с [14] можно представить в виде

1

п+ у+ — п_у-,

Ф+У+ = ф-у-.

В соответствии с набором аддитивных инвариантов, входящих в распределение (1), соотношения (3), (8)-(10) можно

рассматривать как уравнения относительно скорости и+ и интенсивных параметров 7+,7++ и 7+. Если учесть формулы (2),

(7) и (9), то соответствующие соотношения можно рассматривать как уравнения относительно и+,п+А,Т+ и Т+. В результате решения этих уравнений можно определить состояние диссоциирующего газа на границах зон частичной колебательно -химической релаксации.

За прямым скачком уплотнения квазистационарное распределение (1) формируется за счет всех типов молекулярных столкновений. Аддитивными инвариантами всех столкновений наряду с импульсом являются полная энергия (ф(0) и "2°,) и число атомов, входящих в частицы газа ("(1) и "2 и,). Обобщенные условия совместности при этом включают соотношения

(3), (8), (9), которые можно рассматривать как уравнения относительно v+, 7+ и 7+ (или у+, п+) и Т+). Решая эти уравнения, получим значения определяющих макропараметров, полностью характеризующих состояние газа за прямым скачком уплотнения.

Ші

где Т — температура первого колебательного уровня.

Перечисленным выше скалярным аддитивным инвариантам соответствуют плотности экстенсивных параметров: полной энергии е; числа атомов п(1), из которых состоят все частицы смеси; суммарного значения дополнительных инвариантов Ф/ или Ф1/2. В условия динамической совместности на границе этих зон наряду с равенством (3) будут входить соотношения

22 у т*

+ , Р++е+ V- , Р- + е_

' А

Рис. 1.

Рис. 2.

Л

Предложенная схема разделения во времени процесса релаксации двухатомного диссоциирующего газа и соответствующего выделения релаксационных зон в ударных волнах, возникающих в таком газе, позволяет моделировать структуру ударной волны и проводить ее послойное исследование, решая системы алгебраических уравнений, число которых в каждом слое удается минимизировать.

В рамках предложенной схемы были проведены исследования структуры прямых скачков уплотнения в диссоциирующем азоте. При этом параметры газа до ударной волны варьировались в широких пределах. Особое внимание уделялось рассмотрению состояний газа за скачком и на границах зон частичной колебательно-химической релаксации.

На рис. 1 показана зависимость температуры Т+ от температуры Т- в набегающем потоке на границах релаксационной зоны УТ — БК(1/2) и за скачком при разных зна-

0.8 0.6 0.4 0,2 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 <1000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 T_ Рис. 3.

чениях его скорости v_ = 1000 м/с (кривые 1 и 2); v_ = 2000 м/с (кривые V и 2'); v_ = 3000 м/с (кривые 1" и 2").

На рис. 2 приведены кривые зависимости числа Маха M+ на границе той же релаксационной зоны и за скачком от числа М_ набегающего потока, когда температура Т_ = 5000 К (кривые 1 и 2).

На рис. 3 приведены кривые зависимости относительной концентрации атомов и молекул n + /n+ и n+ /n+ (n+ = n+ + n+) на границе зоны частичной колебательно- химической релаксации (кривые 1 и 2) и за скачком (кривые 1' и 2') от температуры Т_ набегающего потока.

Все приведенные кривые соответствуют тому случаю, когда атомарная плотность до ударной волны равна удвоенному числу Лошмидта nA (nA = 2nA).

Как и следовало ожидать, скачки температуры, локального числа Маха и степень диссоциации газа внутри ударной волны (на этапах завершения частичной колебательно-химической релаксации) выше, чем за волной.

Summary

0. V. Zharkova, М. A. Rydalevskaya. Modelling of the shock waves structures in dissociating diatomic gas.

The model for investigation of shock waves structures in dissociating diatomic gas is proposed and is illustrated through the example of plane shock waves in high temperature nitrogen.

Литература

1. Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М., 1965. 485 с.

2. Черный Г. Г. Газовая динамика. М., 1988. 424 с.

3. Рыдалевская М. А. Статистические и кинетические модели в физико-химической газодинамике. СПб., 2003. 248 с.

4. Жаркова О. В., Рыдалевская М. А. Состояние диссоциирующего азота за прямым скачком уплотнения // Аэродинамика / Под ред. Р.Н.Мирошина. СПб., 2002. С.44-53.

5. Никитин Е. Е., Осипов А. И. Колебательная релаксация в газах // Итоги науки и техники. Кинетика и катализ. Т.4. М., 1977. 172 с.

6. Осипов А. И., Уваров А. В. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике // Успехи физ. наук. 1992. Т. 162. №11. С. 1-42.

7. Кузнецов Н. М. Кинетика мономолекулярных реакций. М., 1982. 221 с.

8. Rydalevskaya М. A. Quazi-stationary states of vibrational relaxation-dissociation coupling in gases // Nonequilibrium Processes and their Applications. III. Minsk, 1996. P.50-54.

9. Жаркова О. В., Рыдалевская М. А. Релаксация двухатомного газа с диссоциацией и рекомбинацией // Аэродинамика / Под ред. Р.Н.Мирошина. СПб., 2003. С.94-113.

10. Жаркова О. В. Г азодинамика диссоциирующего двухатомного газа на разных стадиях релаксации // Вестн. С. -Петерб. ун-та. Сер. 1, 2005. №4. С.87-91.

11. Жаркова О.В., Рыдалевская М.А. Интегралы движения и скорость звука изоэнтро- пийных течений диссоциирующего газа // Избр. труды Четвертых Поляховских чтений. СПб., 2006. С. 347-357.

12. Нагнибеда Е. А., Кустова Е. В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесного диссоциирующего газа. СПб., 2003. 272 с.

13. Ворошилова Ю. Н. Структура прямых скачков уплотнения в колебательно неравновесном газе // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер.1, 2005. №1. С.70-78.

14. Treanor C. E., Rich J. W., Rehm R. G. Vibrational relaxation of anharmonic oscillators with exchenga-dominated collisions // J. Chem. 1968. Vol.48. N4. P.1798-1807.

Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.