Геометродинамические модели мезомеханики сплошной среды: динамические степени свободы с неэйлеровой пространственно-временной эволюцией

УДК 517.9

Геометродинамические модели мезомеханики сплошной среды: динамические степени свободы с неэйлеровой пространственно-временной эволюцией

A.M. Мухамедов

Казанский национальный исследовательский технический университет им. A.H. Туполева, Казань, 420111, Россия

Предлагается лагранжев формализм для описания динамики сложных режимов движения сплошной среды, в которых возбуждаются дополнительные, динамические, степени свободы, развивающиеся в неэйлеровом варианте пространственно-временной эволюции. Объясняется механический смысл новых переменных, дается их геометрическая интерпретация, а также обсуждаются принципиальные способы их наблюдения в натурных экспериментах. Предложены инвариантно-тензорные способы задания лагранжианов в системе расширенного числа независимых переменных, указан механический смысл входящих в них коэффициентов, записаны уравнения Эйлера-Лагранжа соответствующей многомерной вариационной задачи. Выдвинута гипотеза, согласно которой геометрия расслоения динамических степеней свободы представляет собой обобщающую структуру для флуктуационных и других способов моделирования сложных процессов эволюции континуума. Обсуждены перспективы применения предложенного метода для построения динамических уравнений развитой турбулентности. Предложена интерпретация процессов вырождения турбулентной динамики в нестационарные поля эйлеровой гидромеханической парадигмы.

Ключевые слова: расслоение динамических степеней свободы, неэйлерова динамика среды, системы Пфаффа турбулентной динамики, геодезические развертки турбулентных пульсаций, мезомеханические лагранжианы

DOI 10.24411/1683-805X-2018-14002

Geometrodynamical models of the mesomechanics of a continuum: dynamical degrees of freedom with a non-Eulerian space-time evolution

A.M. Mukhamedov

Kazan National Research Technical University named after A.N. Tupolev, Kazan, 420111, Russia

A Lagrangian formalism is proposed for describing the dynamics of complex motion patterns of a continuum in which additional, dynamical, degrees of freedom are excited and develop in a non-Eulerian space-time evolution. The mechanical meaning of the new variables is explained, their geometric interpretation is given, and the principal methods of their observation in full-scale experiments are discussed. Invariant tensor methods for specifying Lagrangians in a system of an expanded set of independent variables are proposed, and the mechanical meaning of the coefficients entering into them is indicated. The Euler-Lagrange equations of the corresponding multidimensional variational problem are derived. A hypothesis is suggested according to which the splitting geometry of the dynamical degrees of freedom is a generalized structure for fluctuation and other methods of modeling complex processes of continuum evolution. The application of the proposed method to the derivation of dynamic equations of developed turbulence is discussed. An interpretation is given for the degeneration of turbulent dynamics into nonstationary fields of the Eulerian hydromechanical paradigm.

Keywords: splitting of dynamical degrees of freedom, non-Eulerian dynamics of the medium, Pfaffian systems of turbulent dynamics, geodetic imaging of turbulent fluctuations, mesomechanical Lagrangians

1. Введение

В классической гидромеханической парадигме для описания движения сплошной среды используются четыре независимые переменные: пространственные ко-

ординаты и время. Адекватность описания достигается путем расширения числа зависимых переменных, т.е. характеристик движения среды, а также в уточнении уравнений, служащих для их нахождения.

© Мухамедов A.M., 2018

Однако для описания турбулентных режимов эволюции классической гидромеханики недостаточно. Поэтому для турбулентности была разработана статистическая гидромеханика, которая дает возможность оценить согласие экспериментальных и теоретических данных на основе вероятностных, т.е. гораздо менее жестких, критериев согласия [1]. При этом набор независимых переменных, теперь уже в вероятностной модели турбулентности, оставался прежним и исчерпывался теми же тремя пространственными координатами и временем.

Идея о том, что в турбулентном движении могут появиться степени свободы, которые не функционируют в режиме пространственно-временных полей, но при этом существенным образом перестраивают пространственно-временные развертки картины турбулентных проявлений, входит в противоречие с принципом причинности, принятым в классической гидромеханике. Однако известный в гидромеханике эффект потери индивидуальности турбулентными пространственно-временными образованиями не получил адекватного объяснения ни в формализме классической гидромеханики, ни в физической кинетике [2, 3].

В действительности аппарат высших расслоений, развитый в геометрии, хорошо приспособлен для введения новых степеней свободы. Расслоения могут стать геометродинамической основой для разработки многомерного формализма механики турбулентного движения. Попытка реализовать эту идею предпринята в работах [3-5]. В этих работах был разработан вариант формализма, в котором турбулентное движение погружалось в расслоение над пространственно-временной базой, слои которого определяли дополнительные степени свободы, возникающие в развитых турбулентных режимах эволюции. В них с использованием потоковых форм задания уравнений движения классическая термодинамика сплошной среды обобщена на случай возбуждения новых степеней свободы [5].

Очевидно, что на основе теории расслоенных пространств возможна разработка лагранжева варианта формализма. Поэтому в данной работе предпринята попытка дать решение этой задачи.

2. Внутренняя геометрия расслоенного пространства динамических степеней свободы сплошной среды

Идея о том, что в развитой турбулентности возникают и существенным образом функционируют дополнительные, турбулентные, степени свободы, всегда присутствовала в гидромеханике. Однако формализация этих переменных наталкивалась на запрет классической гидромеханической парадигмы, состоящий в том, что все переменные должны быть разделены на два класса. Первый состоит из пространственных

координат и времени, а второй — из функций этих координат. В эйлеровой модели движения сплошной среды для новых степеней свободы не находилось места. Соответственно, режимы с дополнительными степенями свободы не могли стать предметом моделирования.

С формальной точки зрения ничто не мешает произвести расширение числа независимых переменных и постулировать тот факт, что гидромеханические величины в турбулентном движении должны описываться функциями расширенного набора величин. Но в этом случае неизбежно встанет вопрос о том, в каком точном математическом смысле эти переменные должны считаться независимыми по отношению к координатам пространства-времени.

Экспериментатор всегда может выбрать пространственно-временную траекторию и вдоль этой траектории произвести слежение за любой из новых координат. В результате он получит пространственно-временную развертку этой динамики. Поэтому он вправе поставить вопрос о том, можно ли без потери общности исключить новые координаты из числа независимых переменных.

Ответ на этот вопрос заключается в неинтегрируемости структур, которые соединяют весь набор независимых координат в один расслоенный комплекс [4, 6]. Хорошо известно, что системы Пфаффа, представляющие собой системы уравнений в частных производных, имеют множество одномерных интегральных многообразий, т.е. интегральных кривых. Каждая из них определяет развертку динамики искомых величин, т.е. величин, для которых записаны уравнения этой системы. Однако собрать развертки в многообразия большей размерности можно только в исключительных случаях. Поэтому такие величины не могут стать зависимыми переменными в эйлеровом смысле. Для сплошной среды такие переменные представляли бы собой аналоги неголономных координат, известных из механики систем с сосредоточенными параметрами.

Отсюда следует, что если степени свободы, возбуждаемые в турбулентном режиме, вводить с помощью неинтегрируемых систем типа Пфаффа, то эти величины будут занимать промежуточное положение между независимыми переменными, которые в сплошной среде представлены пространственными координатами и временем, и зависимыми величинами, представленными полями эйлеровой парадигмы.

Введение координат такого вида позволяет легко воспроизвести характерную особенность турбулентного движения, состоящую в том, что частицы турбулентной среды в процессе движения теряют свою индивидуальность. Неголономность разрушает целостность любого объемного образования в процессе его собственного движения.

Предположим, что в турбулентном режиме движения возбуждаются дополнительные, турбулентные, степени свободы сплошной среды. Обозначим их через (у1, к, уп). Соединим эти степени свободы в единый комплекс вместе с пространственными координатами и временем, который будем называть расслоением: Гх хХ^ТхХхУ. Полученное расслоение само по себе является (п+4)-мерным многообразием с координатами

1 2 3\ . /, 1 2 3 1 п\ /1Ч

Отметим, что на базе, в зависимости от принимаемой модели пространства-времени: галилеевского или релятивистского, уже определены известные геометрические структуры. Это метрика, позволяющая находить величины длин четырех векторов, касательных к пространственно-временной базе, объект связности, определяющий правило параллельного перенесения этих векторов вдоль любой пространственно-временной кривой, и некоторые другие. Для расслоения только лишь этих структур оказывается недостаточно. Геометризация динамики предполагает знание правил параллельного перенесения (п + 4)-мерных касательных векторов, которые должны быть введены отдельным образом.

В этой связи уместно заметить, что в геометрии расслоений различают два параллелизма. Один из них (внутренний) определяет параллельное перенесение слоев вдоль базовых кривых. Другой (внешний) определяет правило параллельного перенесения касательных к расслоению векторов вдоль любой кривой, поднятой в расслоение. Мы начнем с введения внутреннего параллелизма и отвечающего ему объекта связности.

С этой целью зададим в расслоении неинтегрируе-мую систему типа Пфаффа

dya + ^, X, у)дак = Аа ^, X, у)<к.

Очевидно, что это уравнение позволяет определять развертки слоевых координат вдоль любой базовой кривой. Действительно, добавляя к (2) информацию о выбираемой траектории слежения в виде

dxk = /x)dt,

получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2) и (3), решения которой в зависимости от выбранных начальных данных, будут давать искомые развертки. Эти развертки представляют собой результаты параллельного переноса слоев вдоль базовых кривых.

Отметим, что в силу неинтегрируемости системы (2), введенный параллелизм оказывается неабсолютным. Параллельное перенесение по замкнутому пространственно-временному контуру не дает тождественного совпадения слоевых координат, отвечающих начальной и конечной точкам слежения. Отклонения от совпадения легко могут быть записаны в терминах второй формы кривизны введенной связности (2).

Перейдем к механическому смыслу системы (2) и (3). Примем следующее допущение. Будем считать, что интегральные кривые этой системы определяют собой именно те развертки, которые экспериментатор получал бы, наблюдая пульсации турбулентных координат. Это допущение имеет принципиальный характер. Существенно в нем то, что связность не является абстрактно вводимой конструкцией, а представляет собой структуру, которая извлекается из эксперимента.

Последнее обстоятельство роднит разрабатываемую модель турбулентности с отдельными постулатами теории относительности Эйнштейна. В теории относительности, объединяющей пространство, время и тяготение, принят постулат, согласно которому геодезические линии пространственно-временной метрики представляют собой класс траекторий пробных тел, движущихся в гравитационном поле. Иначе говоря, геометрические характеристики пространства-времени оказываются физическими характеристиками движущейся материи.

В нашем случае следует говорить о траекториях турбулентной вихревой пелены, а не о траекториях пробных тел, запущенных в турбулентную среду. Пробные тела могут воспроизвести движение в самой среде только на малом участке своей траектории. Это связано с тем, что эти тела не теряют индивидуальность в процессе движения. Поэтому в турбулентной среде, где потеря индивидуальности объемных образований является характеристическим свойством движения, неизбежно будет происходить рассогласование путей пробных тел и собственно турбулентной динамики. Однако для малых участков траекторий совпадение должно иметь место.

3. Гидромеханические наблюдаемые в режимах функционирования динамических степеней свободы сплошной среды

Объект связности, задаваемый коэффициентами системы (2), может считаться структурой, наблюдаемой в экспериментах. В классической гидромеханике набор характеристик, описывающих динамику сплошной среды: это поле скоростей, распределение плотности массы и др. Естественно считать, что эти величины будут иметь свои прототипы и в турбулентной динамике. Новым при этом становится то, что в их выражения будут входить турбулентные, дополнительные к пространственным координатам и времени, степени свободы. Тогда для них будем иметь следующие обобщенные представления:

Gа= Gа

В классической гидромеханике предметом моделирования являются пространственно-временные поля гидромеханических характеристик G = G(t, х). Представляющие их функции дают однозначный ответ на

вопрос о том, какое значение примет рассматриваемая наблюдаемая в указанной точке и в указанный момент времени. Уравнения движения дают ответы на вопрос о том, как получить такие зависимости в конкретном механическом контексте.

Такую же функцию должны выполнять и уравнения (4). Эта задача будет решена далее. Поясним, как содержащаяся в (4) информация может быть получена из экспериментальных данных.

Наблюдателю, находящемуся в четырех измерениях, недоступны значения дополнительных координат. Он может лишь получать развертки этих переменных вдоль траекторий слежения, выбираемых им самим. Выбирая ту или иную траекторию, наблюдатель сможет редуцировать неопределенность в знании дополнительных координат к неопределенности в начальных значениях этих переменных. Однако получаемые им значения будут привязаны к соответствующей траектории.

Очевидно, что здесь возникает несоответствие с классическими представлениями. Разным траекториям слежения, выходящим из одной точки и пересекающимся в другой, будут отвечать разные значения дополнительных координат. Такая многозначность становится неизбежной в силу того, что неинтегрируемый параллелизм (2) в данной модели нагружен динамическими интерпретациями. Тем не менее, если траектории слежения образуют конгруэнцию, т.е. через каждую пространственно-временную точку проходит одна и только одна траектория, то получаемая картина значений дополнительных переменных не будет иметь ветвлений.

Если же траектории слежения будут иметь пересечения, то ветвления станут правилом. В частности, обход по замкнутому контуру будет производить сдвиги по слоям. Если контуры слежения брать малыми, то им будут отвечать операторы инфинитезимальных сдвигов в слоях расслоения. В свою очередь эти операторы дадут начало группе голономии связности. Эта группа показывает то, как устроены переходы между интегральными кривыми системы (2) в расслоенном многообразии при выборе разных путей на базе расслоения, ведущих в одну и ту же точку пространства-времени. Эта группа даст возможность упорядочить множество разверток в развитой турбулентности, предоставляя инвариантно-тензорные характеристики для соотнесения результатов слежения.

В оценке указанных возможностей для переработки информации, получаемой из пространственно-временных разверток, следует заметить, что в настоящее время имеется большой объем данных, касающихся динамики отдельных турбулентных образований [7]. Однако все они относятся к стадии формирования турбулентного режима, когда классические представления о том, что происходит в моменты зарождения турбулентности, еще

остаются состоятельными. Растяжки и перекрутки в динамике этих отдельных турбулентных образований рассматривались как особенности формирования той или иной разновидности турбулентности.

Разложим (4) в ряд Тейлора по турбулентным координатам:

G а = Gа ^, х, 0) + Gpa х) у р + ....

Первый член не зависит от новых координат и может быть определен в классической гидромеханике. В таком случае его естественно отождествить с тем, что в статистической гидромеханике называют осредненным значением соответствующей гидромеханической величины.

Оставшиеся члены разложения естественно отождествить с пульсациями Рейнольдса из статистической теории. Подчеркнем, что в данной модели пульсации являются вполне детерминированными функциями расширенного набора координат. Это обстоятельство позволяет расширить область применения данной схемы построения динамики на сложные вопросы пластических деформаций и текучести материалов, где вторые и выше члены разложения (5) уже не будут иметь характер турбулентных пульсаций.

4. Внешняя геометрия расслоения динамических степеней свободы сплошной среды

Под внешней геометрией введенного расслоения будем понимать структуры в касательном расслоении, построенном над исходным расслоением пульсаций. С этой целью введем в рассмотрение касательное расслоение. Имеем следующую цепочку вложений:

Т х X ^ Т х X х У ^ Т х X х У х dT х ¿X х dY,

в которой касательное расслоение представлено крайним правым членом этой цепочки. Отметим, что в касательном расслоении число координат удваивается. Добавляется еще один набор координат, которые имеют смысл инфинитезимальных перемещений в нижележащем расслоении, понимаемом как база для касательного расслоения.

Зададим метрику в исходном расслоении. Каждому инфинитезимальному перемещению в этом нижележащем расслоении ^, ¿хк, ¿уа), т.е. элементу касательного расслоения к исходному расслоению, следует приписать число, которое будет интерпретироваться как длина соответствующего касательного вектора.

Введение такой метрики открывает путь для лагран-жевых методов построения динамики. В частности, можно будет задать лагранжиан для траекторий турбулентной вихревой пелены и записать уравнения движения аналогично тому, как это делается для механических систем с сосредоточенными параметрами. Также может быть задан лагранжиан динамики гидромеханических переменных (4), уравнения которых ста-

нут уравнениями Эйлера-Лагранжа соответствующей многомерной вариационной задачи.

Подчеркнем, что отмеченная двухуровневая структура описания, в которой траекторная динамика турбулентной вихревой пелены определяет мезоскопическое устройство расслоения динамических степеней свободы в форме (2), а континуальная динамика гидромеханических величин (4) определяет собственное поведение сплошной среды, оказывается отличительной особенностью картины проявлений динамики среды с динамическими степенями свободы.

Введение в дифференцируемое многообразие, например в расслоение, метрики любого вида сразу определит класс кратчайших (геодезических) линий. Этот класс кривых в некотором смысле станет выделенным. По отношению к нему все прочие кривые, отклоняющиеся от геодезических путей, будут получать силовые интерпретации. Представляется, что неметризуемая связность (2), которая дает иное определение геодезическим, также имеет шанс найти практическое применение. В этой связи заметим, что различия между геодезическими как кратчайшими и геодезическими как прямейшими существенны в случае систем с неголоном-ными ограничениями [8].

При введении метрики естественно сделать так, чтобы геодезические линии являлись развертками, т.е. лежали в распределении (2). В таком случае во множестве разверток будет выделен класс геодезических разверток. Этот класс кривых станет опорным для получения информации о структуре связности, согласованной с введенной метрикой.

Геодезические развертки принадлежат неголоном-ному распределению (2). В таком случае они составляют класс неголономных геодезических, изучение которых в настоящее время достаточно продвинуто. В частности, в [8] на основе редукции к неголономному распределению, которое в нашем случае образовано системой (2), построено сужение метрики на неголо-номное многообразие и с помощью этой метрики дано определение неголономного шара и неголономных волновых фронтов для движений по неголономным геодезическим.

Зададим метрику в виде

¿©^ = ¿12 + 2^1, dL> + dL2.

Здесь первый член в правой части (6) представляет собой метрику пространства-времени

¿12 = 2 + 2goi ^¿х' + gik ¿х'' ¿хк.

Третье слагаемое в правой части (6) определяет метрику в слоях

¿¿2 = gaвDуa D/,

Dуa^ ¿уа+юа¿Х - Аа

В силу того, что в (8) взяты ковариантные выражения для приращений, эта часть будет инвариантна относительно базовых преобразований пространственных координат и времени. В частности, такой вид метрики был принят за основу при изучении геометрии касательного расслоения второго порядка в [9]. В этой работе размерность слоев первого этажа расслоения совпадала с размерностью базы, что позволило произвести ряд отождествлений, выделяющих структуры конкретного вида, значительно упрощающих рассмотрение. Эти жесткие конструкции дают ориентир для более мягких, связанных с большей свободой в выборе размерности слоев расслоения, обобщений данной статьи.

Метрические коэффициенты в (8) тесно связаны с кинетическими коэффициентами Онсагера из теории необратимых процессов в сплошной среде. Для метрики в [9] такой возможности нет. Способ определения, принятый в этой работе, приводит к совпадению метрики (8) с метрикой базы (7).

Второе слагаемое также обладает указанной инвариантностью, как и третье слагаемое. В нашем случае этот член принимается в виде

<¿1 ^> =

Коэффициенты в (10) связаны с конвективными слагаемыми в потоках величин (4).

Отметим, что (10) как самостоятельный вид метрики, по-видимому, впервые был введен в [10] для частного случая второго касательного расслоения. В [10] эта метрика названа метрикой полного лифта. Метод построения полного лифта с необходимостью приводит к отождествлению метрических коэффициентов в (10) с метрическими коэффициентами базы. В нашем случае размерность слоев может не совпадать с размерностью базы. Поэтому модель (10) открыта для других определений и соответствующих им механических интерпретаций.

5. Лагранжианы динамики сплошной среды в расслоенных пространствах динамических степеней свободы

Введем лагранжиан для гидромеханических величин (4). Применим для удобства обозначений единую четырехмерную индексацию для пространственных координат и времени: (х) = х1, х2, х3). Тогда имеем

3 = 2 gapgгk DгG +

+ gikgiaDkGa+Ф

Этот лагранжиан содержит некоторое множество неопределенных коэффициентов, которые затрудняют его применение для конкретных задач механики.

Зафиксируем исходную систему величин (4). Эти величины должны иметь конкретный смысл. Естествен-

ные требования, которое мы наложим на величины (4), заключаются в следующем.

Будем считать, что величины (4) имеют экстенсивный характер. В этом случае для них будут иметь смысл балансовые уравнения термодинамики с потоками и производствами этих величин.

Набор величин (4) должен быть функционально независимым по динамическим координатам, т.е. матрица (dGa/dye) имеет максимально возможный ранг.

Помимо (4) будем предполагать, что имеется еще одна экстенсивная величина, не входящая в (4), которую будем называть энтропией и которая является функцией величин (4):

5 = S

В этом случае с помощью уравнения Гиббса

TSS = /«SGа,

для каждой из величин Gа однозначно определяется сопряженная величина /а.

Помимо указанных величин выделим еще одну величину, которая будет иметь смысл скорости движения сплошной среды:

u1 = u1

Эта величина не имеет экстенсивного характера. Тем не менее в сочетании с другими характеристикам скорость может входить в выражения величин (4).

Перейдем к геометрическим величинам.

1) Метрика пространства-времени gik и обратная к

" ik ней g .

Во избежание сложностей с неевклидовостью пространства-времени будем полагать, что система координат декартова. В этом случае коэффициенты метрики являются постоянными. При этом сама метрика определена однозначно без какого-либо произвола.

2) Метрика в слоях gaß и обратная к ней g а1

Для этой метрики пока еще нет естественных способов для выбора. Как будет показано в следующем параграфе, одним из вариантов может быть следующий:

g«ß= T

где матрица Laß является матрицей кинетических коэффициентов Онсагера из механики необратимых процессов. Стоящий перед кинетическими коэффициентами множитель имеет смысл температуры среды.

В этой связи отметим, что в теории необратимых процессов матрица кинетических коэффициентов Онсагера считается невырожденной и положительно определенной. Отсюда следует, что ее можно принять в качестве слоевой метрики.

3) Промежуточные метрические коэффициенты

gia'

Для этих коэффициентов также нет однозначного выбора. В следующем параграфе будут приведены

аргументы в пользу следующей формы этих коэффициентов:

giа О^ у) = у)^ар^

Таким образом, в силу сказанного выше, неопределенность в выборе лагранжиана редуцирована к произволу в выборе энтропии как функции величин (4).

Для записи уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана (11) с принятыми уточнениями геометрических структур запишем производную лагранжиана по частным производным величин (4). Имеем

ЭЗ

ik , 1k ^ kG g + g gka.

Э

Выражению этой производной в лагранжевом формализме отвечает обобщенный импульс. В данном случае выражение (17) содержит два слагаемых. Первое из них определяется ковариантными градиентами гидромеханических величин. В нелинейной термодинамике необратимых процессов градиентам механических величин отвечают диссипативные потоки. В таком случае первое слагаемое определяет часть обобщенного импульса, которая отвечает диссипации в среде. Второе слагаемое в (17) естественно отождествить с конвективной частью импульса.

Главное применение лагранжианов (11) связано с приложениями к моделированию турбулентного движения. Эффект потери индивидуальности в турбулентном движении воспроизводится динамическими степенями свободы с неголономным характером эволюции. В частности, конвективный член, за который отвечают промежуточные метрические коэффициенты, в этом случае должен попасть в объясняющий формализм.

Другое возможное применение связано с описанием динамики пластических деформаций. В этом случае можно полагать, что пластическим деформациям отвечает динамика дополнительных степеней свободы. Очевидное отличие от турбулентности будет заключаться в том, что конвективными слагаемыми в этом случае можно будет пренебречь. Соответственно этому должна обнулиться вся промежуточная часть метрики касательного расслоения. В этом случае динамика приобретет волновой характер.

Подчеркнем, что в данном случае речь идет о пластических деформациях, в которых возбуждаются него-лономные степени свободы. Такие деформации не описываются полями механических характеристик. При этом в них представлены диссипативные процессы в явном виде, что отличает лагранжеву механику данной модели от классических прототипов. Заметим, что в работах с голономной динамикой степеней свободы диссипацию приходится вводить дополнительными, нелагранжевыми, приемами [11, 12].

Определенные перспективы применения лагранжианов (11) имеются и для описания динамики процессов

разрушения материалов. В этом случае быстро протекающие процессы разрушения могут описываться динамикой дополнительных степеней свободы, кратковременно возникающих в процессе разрушения. Конвективные слагаемые при этом также должны быть опущены.

Новое, что механика разрушения привносит в данную модель, заключается в том, что по истечении некоторого малого отрезка времени динамика дополнительных степеней свободы должна затухать. При этом финальные значения характеристик среды должны получаться в процессе эволюции величин (4) и эти значения можно сопоставить с экспериментом.

Вернемся к лагранжеву формализму и запишем уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана (11). Имеем

g ^

(

Э3

л

ЭФ дGa

= 0.

)

Отсюда получаем

¿к Dk

Уравнения (19) представляют собой систему для нахождения величин (4). При этом выбор метрических коэффициентов сведен к этому набору искомых величин.

Таким образом, теоретическое моделирование динамики сплошной среды с динамическими степенями свободы свелось к нахождению решений системы (19).

Разумеется, решение уравнений (19) является сложной задачей. Но эта сложность всего лишь вычислительная. Если трудности вычислений будут преодолены и решения будут получены, то открывается путь к прямому сравнению получаемых теоретических результатов с экспериментом. Вспомогательным элементом в таком сопоставлении являются развертки, т.е. интегральные кривые системы (2), которые следует подставлять в найденные решения для получения теоретической картины динамики величин (4).

6. Приведение формы уравнений лагранжевой модели к форме потоковых уравнений неравновесной термодинамики

Следуя [13], примем для энтропии (12) квадратичную зависимость

5 = 1/2 LaвG ,

где Ьав представляют собой кинетические коэффициенты Онсагера. Тогда из уравнения Гиббса (13) и принятой слоевой метрики (15) получим явные выражения для сопряженных величин

/а= gaвGв.

Пользуясь линейными законами феноменологической теории необратимых процессов [14], запишем выражения для диссипативных потоков

где представляет собой обратную матрицу по отношению к

Из (21) и (22) следует

^ = DiGa

Подставим (23) в (19) и свернем получающееся уравнение с gaв. Перенося некоторые из членов в правую часть, получим уравнение следующего вида:

(

Т

g" Dk/f + Di (и'&) = ст1

в) = СТ

где

ств = gвaЭaФ- UDTGв.

Тем самым уравнению (19) придана форма балансовых уравнений (24) с диссипативными потоками (23) и производствами (25).

Совместимость с потоковыми уравнениями движения показывает, что выбор метрики в форме (15) является одним из возможных вариантов выбора слоевой метрики. В этом случае слоевая метрика определяется матрицей кинетических коэффициентов Онсагера с небольшим добавлением в виде конформного множителя, представляющего собой температуру среды.

Геометрические структуры (6)-(10) являются обобщающими конструкциями для определения динамики возникающих степеней свободы. В частности, если для динамических степеней свободы принять флуктуацион-ный механизм эволюции, то в этом случае геометрические объекты принимают конкретный вид (15), (16).

Сравнение со статистическим подходом показывает, что флуктуации формально могут рассматриваться как новые степени свободы. Однако их динамика в этом случае управляется вероятностными положениями. При этом геометрия также может стать предметом статистических построений.

В общем случае геометрия будет давать новые вклады в динамику сплошной среды, в частности, привносить собственные характеристики, которые включатся в динамику сплошной среды на равных правах с механическими характеристиками (4). Прототипом для такого включения служит релятивистская теория тяготения Эйнштейна, в которой геометрические характеристики пространства-времени вместе с характеристиками материи трактуются как единая динамическая система.

Те же самые соображения можно адресовать и конвективным членам. Эти характеристики движения отвечают потоковым моделям описания динамики сплошной среды, которые хорошо определены только в случае классической механики. В ситуации, когда возбуждаются новые степени свободы, несводимые к эйлеровым полям гидромеханических наблюдаемых, смысл конвекции начинает теряться.

Промежуточные метрические коэффициенты (16) могут играть роль обобщающих конструкций для разных вариантов определения конвекции в сложных режимах эволюции континуума.

7. Сценарии вырождения турбулентной эволюции в нестационарные течения классической эйлеровой парадигмы

Как уже отмечалось ранее, обязательным элементом неэйлеровой динамики континуума является неинтегрируемость системы Пфаффа

ю2 = ВО dxi Лdxk + Та dxk Лdt,

где

ВО:dxiЛdxk =

Тка<^к =

Однако может оказаться, что в некоторой дальней зоне от места развивающейся турбулентности указанная вторая форма кривизны окажется малой или равной нулю. Тогда турбулентная среда, попадая в эту зону, становится классическим нестационарным течением. В этой зоне турбулентные образования не будут терять свою индивидуальность и течение станет описываться классической гидромеханикой с тем лишь изменением, что начальные данные для соответствующих задач окажутся не вполне определенными из-за турбулентной предыстории движения.

Динамика среды, складывающаяся в результате такого последействия, представляет определенный интерес. Здесь предметом рассмотрения становится не возникновение турбулентности, а ее вырождение в классическое нестационарное течение. В таком случае решения, полученные для многомерного режима турбулентных пульсаций, позволяют воссоздать картины последующей эволюции.

Предположим, что решения уравнений (19) найдены:

G а= Gа ^, X, у),

где динамические степени свободы являются всего лишь интегральными кривыми системы Пфаффа (2). В дальней зоне вторая форма кривизны обращается в нуль. Поэтому интегральные кривые системы (2) могут быть собраны в классические пространственно-временные поля

уа =

Тогда подстановка (30) в (29) дает

Gа = Gа

В окончательном выражении (31) движение будет представлено многопараметрическим семейством классических полей, каждое из которых получается выбором

произвольных постоянных, имеющих смысл начальных данных.

В общем случае процесс перехода к (31) может иметь разные сценарии. В частности, часть из динамических степеней свободы может затухнуть на подходах к дальней зоне. В результате только оставшаяся часть степеней свободы будет трансформироваться в классические эйлеровы поля наблюдаемых. В первую очередь это будет отражаться на размерности возбуждаемых степеней свободы.

Кроме того, область голономизации динамических степеней свободы может иметь простое строение в расслоенном пространстве. Проекция же этих областей на пространственно-временную базу не будет иметь четких границ.

8. Заключение

В данной статье предложен лагранжев формализм для гидромеханических наблюдаемых, рассматриваемых как функции расширенного набора координат, представленных пространственными координатами, временем и дополнительными (динамическими) степенями свободы сплошной среды.

Расширение числа независимых степеней свободы обусловлено неэйлеровым характером эволюции дополнительных координат. Это обстоятельство является необходимым и достаточным условием, для того чтобы дополнительные степени свободы не могли быть редуцированы к классическим гидромеханическим наблюдаемым.

В режимах с дополнительными степенями свободы гидромеханические наблюдаемые оказываются функциями, определенными на расслоении дополнительных степеней свободы. В работе представлены варианты метризации этих расслоений, превращающие их в ри-мановы (n + 4)-мерные пространства. В результате динамика наблюдаемых оказывается погруженной в многомерные римановы пространства.

Показана связь метрических коэффициентов, вводимых в касательное расслоение метрик, с кинетическими коэффициентами Онсагера. Этот случай отвечает флуктуационной модели динамики сплошной среды, но не сводится к ней, если пространственно-временная динамика флуктуаций имеет неголономный характер.

Литература

1. Монин A.C., Яглом Я.М. Статистическая гидромеханика. - М.: Наука, 1965. - 639 с.

2. Кутателадзе C. C. Проблема турбулентности в современном естествознании // Методологические проблемы научного познания. - Новосибирск: Наука, 1977. - C. 133-142.

3. Мухамедое А.М. Эффект потери индивидуальности частицами турбулентной среды в процессе движения: связь между турбулентной мезодинамикой и турбулентной макроскопической феноменологией // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. - № 2. - С. 25-34.

4. Mukhamedov A.M. Towards a gauge theory of turbulence // Chaos Solitons Fractals. - 2006. - V. 29. - P. 253-261.

5. Мухамедов A.M. Термодинамика калибровочной модели турбулентности // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 4. - С. 15-22.

6. Мухамедов A.M. Неголономная модель хаотической динамики континуума // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 2. - С. 5361.

7. Козлов В.В., Грек Г.Р., Лефдалъ Л.П., Чернорай В.Г., Литвинен-ко М.В. Роль продольных локализованных структур в процессе перехода к турбулентности в пограничных слоях и струях (обзор) // ПМТФ. - 2002. - Т. 43. - № 2. - С. 62-76.

8. Вершик A.M., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Совр. пробл. мат., фундам. направления. -1987. - Т. 16. - С. 5-86.

9. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Rieman-nian manifolds // Tohoky Math. J. - 1958. - V. 10. - P. 338-354.

10. Yano K., Kobayashi S. Prolongations of tensor fields and connections to tangent bundles I - General theory // J. Math. Soc. Japan. -1966. - V. 18. - № 2. - P. 194-210.

11. Попов В.Л., Чертова Н.В. Спектр нормальных колебаний упруго-пластической среды с диссипацией // ПМТФ. - 1993. - № 4. -C. 108-112.

12. Киселев С.П., Белай О.В. Континуальная калибровочная теория дефектов при наличии диссипации энергии // Физ. мезомех. -1999. - Т. 2. - № 5. - С. 69-72.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Т. V. - М.: Наука, 1976. - 583 с.

14. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 240 с.

Поступила в редакцию 07.05.2018 г.

Сведения об авторе

Мухамедов Альфэрид Мавиевич, к.ф.-м.н., доц., доц. КНИТУ, alfared@yandex.ru