О кватернионах I. конeчные перемещения твердого тела и точки

О КВАТЕРНИОНАХ I. КОНЕЧНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И ТОЧКИ

Ханукаев Ю.И.

Рассматривается техника кватернионов, как альтернатива векторного и матричного описания пространственных конечных перемещений твердого тела. Дано кватернионное описание преобразования Х.Лоренца

1. В 1853 году У.Гамильтон (1805-1865) ввел понятие кватернионов [1] как обобщение комплексных чисел на четырехмерное пространство. Аппарат кватернионов представляет собой пример четырехмерной алгебры, в которой для операции умножения однозначно определена обратная операция - деление. Особенность кватернионов состоит в правиле их умножения.

Итак, А = {а0, а1, а2, а3 } = а0 + Т1а1 + Т2а2 + Т3а3, а е Я.

Операции умножения отражают возведение во вторую степень мнимой единицы и векторное перемножение элементов базиса декартовой системы координат:

2 2 2-, Т = т2 = Т3 =-1,

т °т2 =т3, т2 °т =-т3,

Т2 °Т3 = Т т3 °т2 = —т

т3 °т

Т °Т3 = Т2 .

Таким образом, имеет место гиперкомплексное пространство ао — скалярная часть кватерниона,

а = ао + Т1а1 + Т2 а2 + Т3 а3 — векторная часть кватерниона. Операции перемножения мнимых единиц позволяют записать

С = А о В = а0Ь0 — (а  Ь) + а0Ь + Ь0а + (а X Ь).

Отсюда видно, что перемножение кватернионов не коммутативно. В скалярной и матричной форме имеем

с0 = а0Ь0 — а1Ь1 — а 2ь2 — а3ь3,

с1 = а0Ь1 + Ь0а1 + а2Ь3 — а3Ь2, с2 = а0Ь2 + Ь0а2 + а3Ь1 — а1Ь3, с3 = а0Ь3 + Ь0а3 + а1Ь2 — а 2 Ь1,

с = А  Ь = В  а,

где А

а„

а,

а.

а.

а1 а0

— а3 а 2

а

v а3

а

а

а

а

а

В

0

Ь0 — Ь1 — Ь2 — Ь3

Ь3 — Ь2

ь1 Ь0

Ь3 Ь0

V ь3 ь2

Ь1 Ьа ;

Матрицы А и В ортогональны при условии ^ а.2 = 1, ^ 2 = 1, то есть

имеем

1=0

1=0

дело с четырехмерными матрицами поворота типа

Ь

Ь

2

2

3

3

Л =

Ао — А

А1 Ао

а 2 а3

А3 —А

а1 — а2 А3

„ ^2 х0 -хх

2 а1 ао

Произведение л - В/ = Л т

Вт =

Ао —А1 —А2 —А

а1 Ао а3 —А

а2 —А3 Ао а1

а3 а2 —А1 Ао

коммутативно и также дает ортогональную

матрицу

Л т

0

2 0 2 0 2 а2 — а3

0 V+а1

0 2

2

2 2 2 2 Ао +Я2 -к3

2

0 2(А3А1 — АоА2) 2(А3А2 +АоА1) Ао 2 — А12 — А22 +А32

'"3 у

которая поворачивает векторную часть кватерниона, оставляя неизменной его скалярную часть. Матрицы Лт и Вт выделяют между ортогональными базисами Ео, Е1 ,Е 2 ,Е 3 и ео, е1 ,е 2 ,е 3 ортогональный базис а о ,d1 ,d 2 ,d 3:

Е = Лт а, е = Вт а , Е = Л т е.

По аналогии с комплексными числами вводится понятия сопряженного кватерниона, нормы кватерниона и обратного кватерниона:

Л = ао — а - кватернион, сопряженный кватерниону Л = ао + а ,

Л о Л = Л о Л = ао2 + а12 + а22 + а32 — норма кватерниона А , Л

Л"1 =

кватернион обратный А .

Операции сопряжения и определения нормы обладают следующими свойствами: С = Л ° В, С = В ° Л, ||С|| = С ° С = Л ° В ° В ° Л =||Л||-Щ.

Если кватернион нормирован, то обратный кватернион равен сопряженному кватерниону. Операция деления определяется как умножение на обратный кватернион Л о Л"1 = Л— о Л = 1.

Требование Ао 2 + А12 + А22 + А32 = 1, обеспечивающее ортогональность матриц Лт и Вт (16), будет выполнено, если ввести параметризацию

Чг

А; =

2 , 2 , 2 2 Чо + Ч1 + Ч2 + Ч3

г = 0,1,2,3.

Каждый кватернион определяет некоторое положительное число, равное норме кватерниона, единичный вектор Т = т1а1 + Т2а2 + Тъаъ, Т2 = —1, где

а2 +а22 +а32 = 1 и угол р. Соотношения между этими величинами

выражается формулой и = д/Щ

' ( ( СОБ — + Т БШ —

^л/М

ехр

2

У

. 2 2 у

Представление кватерниона (1.8) аналогично представлению комплексного числа 2 = г ехр(гр), что позволяет рассматривать функции комплексного переменного как неразвернутые функции кватерниона. Точка мнимой оси

3

2

2

0

0

разворачивается в плоскость трехмерного пространства г = т1а1 + Т2а2 + Т3а3,

. и—и

гу =-.

2

2. Свойство (1.7) матриц (1.6) позволяет использовать кватернионы для описания вращения твердого тела - трехмерной декартовой системы координат. Для этого полагают, что радиус-вектор г принадлежит четырехмерному пространству г е Н , тогда отображение Н — Н по правилу

эквивалентно преобразованию поворота. Проведем вычисления

Я =

= (Л/ +Л/ +Л2 +Л3 )т0 + r(Л / -Л ) + 2Л(Л • r) + 2Л0Лхr.

В скалярной форме имеем Яо = (Л0 2 +Л12 + Л22 + Л32)го,

r1 =

= (Ло 2 +л12 Л 2 2 -л32)гг1 + 2(Л 1Л 2 Л оЛ 3 )r2 + 2(л1л3 + Л оЛ 2 )r3 ' я2 = (Ло 2 -л12 Л 2 2 -л32)г2 + 2 Л 2 (Л 1 r1 +л2 r2 +л3 r3) + 2Л о (Л 3 r1 -л1г3):

= 2(Л2Л1 +ЛЛ3У1 + (Ло2-Л 2 +Л22 -Л32)г2 + 2(Л2Л3 - ЛоЛ>3,

2 1 о 3 1 о 1 2 3 2 2 3

я3 = (Ло2 -л12 Л 2 2 -л32)г3 + 2л3(л1г1 +л2 r2 +л3 r3) + 2Л о (л1г2 -л2 r1) = = 2(л3л1 Л оЛ 2 )r1 + 2(Л 3Л 2 +лол1)г2 + (Ло 2 -л12 Л 2 2 +л32)г3

или в матричном виде Я = Л-r , где Л-матрица (1.7). Норма кватерниона и норма его векторной части сохраняются.

Векторная часть преобразования (2.2) может быть получена прямым геометрическим построением.

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси точки тела описывают окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а радиус-вектор r любой точки с началом на оси вращения описывает коническую поверхность и преобразуется в вектор R.

Поворот вокруг оси, совпадающей по направлению с единичным вектором e = e1a1 + e2 a2 + e3 a3,

на угол (О можно определить скаляром Л = CoS—

о 2

и вектором L = e sin — 2 = e1 Л1 + e 2 Л2 + e3 Л3,

O Л1 =ai sin— 2, а12 +а22 +а32 = 1.

Величины Лi, i = 0,1,2,3 называются параметрами Эйлера, которые можно считать прямоугольными декартовыми координатами точки в четырехмерном пространстве. Точки на гиперсфере Ло2 +Л12 +Л22 + Л32 = 1 определяют конечное положение тела. Выразим матрицу поворота через параметры Эйлера.

Пусть N общее основание перпендикуляров, опущенных из точек p и P на вектор L . Единичный вектор вдоль отрезка Np обозначим через n и введем единичный вектор s = e X n. Разложим вектор R по трем взаимно ортогональным направлениям e,n, s. R = eON + nNP cos p + sNP sin p, где ON = e • r, NP = Np, nNp = r - eON , sNP = e X nNp = e X r и, значит,

R = r cosp+e(e • r)(1 - cos p) + (e Xr)sinp =

= r

г 2 p -2 рл cos — - sin

+ 2e(e • r)sin2 P+2(e X r) sin P cos P = 2 2 2

v 2 2 У

= r

Это выражение совпадает с векторной частью (2.2).

Проведенное построение показывает, что преобразование R = L о r о L = Л • r есть поворот вектора r в положительную сторону вокруг оси e , либо изменение описания вектора r при повороте в противоположную сторону системы координат.

Аналогично, преобразование r = L о R о L = Л • R есть поворот вектора R в отрицательную сторону, либо изменение описания вектора R при повороте системы координат в положительную сторону.

Формуле (2.3) можно придать другой вид введением вектора конечного

поворота F = e tgР

2

Равенства sNP = e X nNp = e X r, ON = e • r, r = eON + nNp или - nNp = (r • e)e - r = e X (e X r) позволяют записать исходное выражение

R = eON + nNP cos p + sNP sin p в виде

1"tgJ P 2tg P 2tg2 p 2tg p

R = eON + nNp-2 + (e X r)-— = r + e X (e X r)-— + (e X r) 2

1 + £ 1 + ^2 £ ! + ^2 £ ! + ^2 £ 2 2 2 2

Получили формулу Родрига

1 + Г2

Кватернионы поворота, записанные в виде N = Уа

Ь = Яо(1 + Х!Хо)=Ао(1 + Тх\ М = ,(1 + Р/МО) = МО(1 +

устанавливают также связь между векторами конечного поворота ^ = гу Ъ£, Гя= ея Ъ£, е, Ъ£,

N = у0 (1+к)=М о ь = Мо (1+Г)о яо (1+Тя)=,л (1 - Гя+ Г + Гя+ Гх ¥х)=

V

А (1 - Fr Fx]

V

r Fy + Fa + FvX FА

1 + у л у л

1 - F- Fx

V у л j

Из этого равенства получаем правило сложения векторов поворота

¥„+ Г, + ¥„х Г / ч , ч

Г = \ Я , Я, V = ,0Я0

1 - Fy- Fa

3. Аппарат кватернионов может быть использован для описания метрики Г.Минковского (1864-1909), инвариантной относительно преобразования

Х.Лоренца (1853-1928). Обозначим какое-либо событие в пространстве-времени кватернионом X = Хо + таХа, где Хо = гсТ, Т — время, с — скорость света

(фундаментальная постоянная), Xа — декартовы координаты точки. Интервал

между двумя событиями метрики Минковского определяется формулой

52 = х о ~ = X о X = Б2. Результаты измерений одного и того же события, наблюдаемого двумя наблюдателями 5 и Б, связаны преобразованием Лоренца

г // = (я // — ут ), т± = я±, г =

Т-

У  я

7, 7 = ¿1—Ут ,

оставляющим инвариантным интервал

5

^ + у±2 — с2г2

:Я/ + я±2 — с 2Т2 = Б2.

Формально преобразование Лоренца есть "жесткое" преобразование пространства-времени в себя и описывается ортогональной матрицей Б:

ха = БарXр . Например, при движении вдоль оси OX1

' скш — ¡8к ш 0 0 ^ Г г —гуУ/с 0 0

Б = ¡8кш скш 0 0 гуУ/с 7 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

V 0 0 0 1) V 0 0 0 1

Рассмотрим преобразование Ь о Я о Г,

. ^ ^ ^ ^ гШ . гш , Ш . , Ш

где я = гсТ + Т1 X1 + т2 X2 + Т3 X3, Ь = со^-^ + Т1$,т-^- = ск у + Т1 г$к у.

Запишем в матричном виде произведение

Ь о Я = Л0Xо — I  X + Л0X + XoЛ + Лx X = = ( X — ¿1Xi —12 X 2 — ¿3 X 3 ) ( X + Л0 XI —Л3 X 2 + Л 2 X 3 )+

+ Т2 (¿2Xо +Л3X1 +¿0X2 — ¿1 X3 ) (¿3X —¿2X1 +¿1X2 +¿0X3 ).

В произведении кватернионов Ь ° Я первому сомножителю соответствует квадратная матрица, а второму - матрица столбец

Ь о Я ^

¿0 — ¿1 — ¿2 — ¿3 ^ г ^ ^

¿1 ¿0 — ¿3 ¿2 X1

¿2 ¿3 ¿0 — ¿1 X 2

¿3 — ¿2 ¿1 ¿0 ) 1X 3 )

= а2я

Далее запишем в явном виде произведение

Я о ~ =Л0Xo +1 * X + Л*0X — X0Л*+Л*x X = = (¿0X0 +л; X1 +¿2 X 2 +¿3 X 3 ) (—л; х +¿0X1 — ¿3 X2 +¿2 Xз)-(—¿2 ^0 +¿3 X1 +¿0X2 — л; X 3 ) (—¿3 ^0 —¿2 X1 +¿2 X2 +¿0X3),

+

+ Т

Я о Ь ^

Ло — ¿1 —¿2 — Л 3 ] г Xo >

¿1 ¿0 ¿3 — ¿2 Xl

¿2 — ¿3 ¿0 ¿1 X2

¿3 ¿2 — ¿1 Ло ) 1X3 )

В2я.

В последнем равенстве учтено, что Л* =Л и ¿* = —Л , а = 1,2,3.

По сравнению с выражением (3.4) транспонированным оказался блок, соответствующий векторной части. Это понятно: кватернионное и комплексное

сопряжения в рассматриваемом случае совпадают, то есть Ь* = Ь, а

произведение Я ° Ь* = Я о Ь отличается от произведения Ь ° Я знаком векторного произведения.

Вычислим результирующую матрицу преобразования

S = AZ • BZ = BZ • AZ =

^2Яo 2 — 1 — 2ЯЯ1 — 2ЯЯ2 — 2Я/?Я3^

2A2Ao V 2Я3Я

1 — 2Я12 — 2Я1Я2 — 2Я1Я — 2Я2Я1 1 — 2Я22

—2Я3Я1 —2Я3Я2

— 2Я 2 Я 3 1 — 2Я 32

В рассматриваемом случае Я = ек— Я, = ish— Я2 =Я3 = 0 и £ совпадает

0 2 2 3 с

V

ict = icTy — i—X ху = ic

T —

VXl

c2 y

Y, X = —VTy+ X y, x2 = X 2, x3 = X 3.

В общем случае V = e V и кватернион преобразования имеет вид

iw . iw . iw . iw L = cos--i-та, sin--+T9a9 sin--+т3а3 sin—,

2 11 2 2 2 2 3 3 2

V2 V V2

где cos iw = chw = Y= 1 J1--^, sin iw = ishy = i—y = iV cJ 1--— •

Матрица поворота (3.3) в рассматриваемом случае принимает вид

S

— г—y c

•V2 — i—y

c

V3 — i—y

c

Y

V 2

^Y 1 + a

c

v2 2 i-2-y aa(Y—1) 1 + a2 (y—1) a2a3(Y—1) c

v3 2

^Y a3ai

V c

Запишем само преобразование Лоренца

ict = icTY—iY^VaX,

a, c XJ

= —VjTY+ Xj YakXk

a=1

k=1

t =

T

V • R ~ У

Y,

r = R

V (R • V) f V (R • V) ----+---

VV

VV

VT

Y

или

4. В 1873 году У.Клиффорд (1845-1879) дал оригинальное описание [2]

движения твердого тела с помощью кватерниона, у которого компонентами

являются величины а + еа0, где а, а" — вещественные и комплексные числа и

£2 = 0. Впоследствии величины А = а + £а" Э.Штуди (1862-1930) назвал

дуальными числами [3]. А.Котельникову (1865-1944) в 1895 году удалось

истолковать все формулы теории кватернионов, как "неразвернутые" формулы

теории дуальных кватернионов [4], то есть установить полную аналогию тех и

других формул. Применительно к кинематике эта аналогия устанавливает

c

соотношение между движениями тела с одной неподвижном точкой и движениями произвольного вида.

Действия над дуальными числами ассоциативны по отношению к умножению и дистрибутивны по отношению к сложению. В дуальном числе

А = a + £a° = a

a

1 + £ —

V a У

°

a

[1 + £ p

а — главная часть, а° = тот(А) — моментная часть, а° /а = р(А) — параметр числа. Если а° = 0, то р( А) = 0 и дуальное число вещественно. За модуль дуального числа принимают модуль его главной части |А| = |а|. Равенство А = а + еа° = 0

означает, что одновременно а = 0 и а о = 0 . А ± В = (а ± Ъ) + е(а° ± Ь°), А • В = (а + £ а° )(Ъ + £ Ъ°) = аЪ + £(а°Ъ + аЪ°), А = (а + £ а°) = (а + £ а°)(Ъ-£ Ъ°) = аЪ +£ а°Ъ —аЪ°

В (Ъ + £ Ъ°) (Ъ + £ Ъ°)(Ъ — £ Ъ°) Ъ2 Ъ2

Возведение в степень и извлечение корня (п — целое) производится по формулам бинома И.Ньютона:

Ап = (а + £а°)п = ап +£ па°ап—1, 4А = \¡а + £ а° = 4а + £ -.

п

Функции дуальной переменной представляют также в виде дуальной величины и считают дифференцируемыми [5]. Общее выражение для функции дуальной переменной представляет собой первые два члена ряда Тейлора, в котором

£ Ax° играет роль приращения: F(X) = f (x) + £

х°4Цх1+f°

dx

Например, для функции exp X имеем exp X = exp x • exp £ x° = ex (1 + £x°). Для дифференцируемых функций дуальных переменных сохраняются все формулы и теоремы дифференциального и интегрального исчислений,

dXn vn 1 deX X d ln X 1 d sin X

например, -= nXn 1, -= eX, -= —, -= cos X,

dX dX dX X dX

d cos X

= -sin X, J XAdX = a+1 XA+1 + C, J cos( AX )dX = A sin( AX) + C.

dX J A +1

Фигуру, образованную двумя скрещивающимися осями Ex, E 2 и осью E,

пересекающей Ex и E2 под прямым углом, называют дуальным углом. Для

приведения единичного вектора E1 к совпадению с единичным вектором E2

необходимо оси Ex сообщить винтовое движение, состоящее из смещения §

вдоль оси E и поворота на угол (р вокруг оси E . Дуальное число Ф = ф + £§

принимают за меру дуального угла между осями Ex и E2 . Числа р,§

считаются положительными, если вращение происходит в положительную

сторону, а смещение - в положительном направлении оси винта E .

Можем написать cos Ф = cos р - £ § sin р, sin Ф = sin р + £ § cos р,

„„ sin р + £ § cos р sin р cos р + £ § „„ 2 .

= —--= —"—Г-= *§р + £§(1 + tg р).

cos р — £ О sin р cos р

Дуальный кватернион вводится равенством

Ф + Е • Ф cos—+ Е sin — = f р ^ . рЛ cos— + E sin — +e ó ( • р+E р^ sin —+E cos— =

2 2 l 2 2 2 l 2 2)

_ f р + E  р^ cos—+E sin — o f -ó^ 1 + eE-

L 2 2 У L 2)

где

E

tjoj + т2а2 + т3а3

2 , 2 2 а1 + а2 + а3

= 1.

и

собой

представляет

произведение кватерниона поворота и соосного ему кватерниона сдвига.

Кватернион сдвига получается из кватерниона поворота простой заменой

„ « eó — . eó , — ó гл АЛ

угла р на смещение eó: cos-+ E sin— = 1 + eE —.

2 2 2

ó ó

При этом вектор Родрига 0 = Etg< перейдет в 00 = Etge — = e E— и

2 2 2

1 + (0 0)2 = 1, 00 X(00 xR) = 0.

Рассмотрим преобразование L0 o f o L0, где f - произвольный вектор-

кватернион и Lo

ó

1 + e E— - кватернион сдвига. 2

/

1 г ó

1 + e E —

V 2 j

ó

ó

E ó e E — 2j

\ r

f -e-E • f + e-Ex f

1 -eE ó

V 2,

= f + e ó E x f.

Преобразование (2.5) f + 2

0 X f + 0 x

, эквивалентное L o f o L , при замене

1 + в 2

вектора 0 на вектор 00сразу дает (4.5) Г + ед ЕхГ .

Итак, преобразуемый вектор заменяется совокупностью того же вектора и момента вектора относительно исходного полюса.

Поскольку скользящий вектор Г, приложенный в точке с радиус-вектором

r, эквивалентен в начале координат вектору

рассматриваемое преобразование

1 + e

f

/

и моменту

r x f

то

1 -e

= f + e r x f есть

приведение скользящего вектора Г к началу координат. Тогда преобразование

Ь о (/ + £ г х /) о Ь , где Ь = Яа +А, есть поворот вектора Г, приложенного в

точке с радиус-вектором г .

Так возникает понятие дуального вектора и винтовое исчисление [7]

Ж = Т + £ Г0 = ег

где Г — главная часть дуального вектора,

Го

- моментная часть дуального вектора, момент. Если момент (моментная часть) дуального вектора пропорционален его главной части, то дуальный вектор (Г, рГ) называется винтом, р — параметр винта.

Вектор т0 (Ж) = рГ + г х Г называется моментом винта относительно точки О, а дуальный вектор (, р{ + г х Г) — мотором винта относительно точки О. Винт полностью определяет мотор для любой точки пространства, этот мотор в свою очередь единственным образом определяет параметр винта, и,

следовательно, сам винт

f • f0 f •

p =-= ——--.

f • f f • f

Моментная часть мотора винта имеет минимальное значение для точек оси винта min fo = pf, г = af. При переходе к какой-либо другой точке пространства момент винта увеличивается, получая приращение, перпендикулярное вектору винта foх = г х f . Компонента момента винта коллинеарная вектору винта, остается неизменной f // = pf . Таким образом, любой дуальный вектор (f, fo), заданный в некоторой точке O, можно рассматривать, как мотор винта (f, pf) для этой точки O.

Выбором точки приведения C на оси винта компонента foх моментной

f х fo

f

2

части дуального вектора может быть обращена в нуль. Полагая гос =

{ х Го Го • Г

получаем Гс = Го + г х Г = Го--— х Г = Г—— = рГ .

ОС I2 I2

В основу всех действий над винтами положено действие над моторами, которые соответствуют этим винтам. При рассмотрении двух и более винтов выбирается в пространстве общая точка приведения О, и к ней относятся

моторы всех винтов F = f + е fo = ^ I 1 + еГ- I о

далее переход к точке C на оси винта

2

f r \

1+

V 2 у

o

О

' гЛ 1 -е-°-

V 2 у

/ r \

1 -е-^

V 2 у

дает один из четырех винтов Г = 0 + е0, Г = Г + е0, Г = 0 + еГо, Г = Г + ерГ.

Любая алгебраическая операция над винтами (умножение на число, сложение и перемножение винтов) определяется как операция над моторами этих винтов, а так как каждый мотор формально выражается дуальным вектором, то алгебра винтов сводится к алгебре дуальных векторов, в которой работают обычные и дуальные кватернионы. О перенесении дуального формализма на трехмерное векторное пространство, тензорный анализ и т.д. укажем обзор [7].

Аналогия операций над дуальными объектами с операциями обычной векторной алгебры позволила А.П.Котельникову и Э.Штуди [6] сформулировать «принцип перенесения»: все формулы векторной алгебры сохраняют силу при замене векторов Г = Г или винтов Г = Г + е рГ моторами Г = { + е(рГ + г х Г), отнесенными к новой точке, и углов между винтами -дуальными углами между осями винтов.

Техника кватернионов весьма эффективна при сложении поворотов. Пусть кватернионы Ь и М заданы в исходной системе координат, и каждый из них поворачивает произвольный вектор вокруг некоторой оси: & = Ь о Я о Ь ,

& = М о я о М = М о Ь о Я о Ь о М К = N ° я ° Й, где N =М о Ь . Кватернион результирующего поворота N равен произведению составляющих кватернионов Ь и М в обратном порядке, то есть произведение кватернионов в обратном порядке есть два последовательных поворота вокруг двух осей, фиксированных в исходной системе координат. Это правило получения кватерниона результирующего поворота не изменяется при отображении составляющих кватернионов на любой базис. Пусть, например, это отображение задается кватернионом Б, то есть

NS = Б о N о Б, = Б о Ь о Б, = Б о М о Б,

NS = ~ о М о Ь о Б = ~ о М о Б о ~ о Ь о Б = М5 о ЬБ. В большинстве практических случаев кватернионы составляющих поворотов заданы своими компонентами в осях, которые они сами поворачивают. В этих же осях требуется найти компоненты кватерниона результирующего поворота. Кватернионы, заданные таким образом, называются собственными. Один кватернион всегда можно считать собственным, так как его описание в исходных и повернутых им самим осях совпадают. Если же преобразование задается двумя собственными кватернионами, то их нужно выразить в какой либо одной системе осей, то есть преобразовать первый кватернион Ь к системе осей, преобразованной вторым кватернионом ЬМ = М о Ь о М , либо записать второй кватернион М в исходной системе осей

МЬ = Ь о М о Ь . Далее кватернионы, выраженные в одной системе осей, перемножаем в обратном порядке

N = М о ЬМ = М о о Ь о М = Ь о М, N = МЬ о Ь = Ь ° М ° о Ь = Ь о М. Наконец, можно считать, что оба кватерниона Ь и М заданы в промежуточной системе координат, то есть в системе координат, в которую переходит исходная после первого преобразования. Кватернион результирующего поворота М ° Ь преобразуем к исходной и конечной системам координат

N = Ь о М о Ь о Ь = ММ о М о Ь о М = Ь о М

Литература

1. Hamilton W.R. Lectures on Quaternions. Dublin, 1853

2. Clifford W. Preliminary Scetch of Biquaternions.

Proc. of London Math. Soc., 1873, v. IV, p. 381-393.

3. Study E. Ueber Nicht-Euklidische und Liniengeometrie.

Festschr. der Philos. Fakult. zu Greifswald, 1900.

4. Котельников А.П. Винтовое счисление и некоторые приложения

его к геометрии и механике. Казань, 1895.

5. Зейлигер Д.Н. Комплексная линейчатая геометрия. ОНТИ, 1934.

6. Котельников А.П. Теория винтов и комплексные числа.

Сб. Некоторые приложения идей Лобачевского в механике и физике. Гостехиздат, 1950

7. Диментберг Ф.М. Теория винтов и ее приложения.

М., Наука, Гл. ред. физ-мат лит.,1978

Реализованы два приложения 0иаРа1ейе и Биа1Ра1ейе к пакету МАТНЕМАТ1СА 4, позволяющие проводить аналитические преобразования с комплексными и дуальными кватернионами.

Работа выполнена при поддержке РФФИ. Проект 02-07-90327