Способ расчета электрических цепей на основе квадратичного программирования

УДК 621.4.023.2 Е. Н. Иванов,

доцент,

СПГУВК;

А. В. Черничкова,

аспирант,

СПГУВК;

М. Б. Шамсиева,

аспирант,

СПГУВК

СПОСОБ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ НА ОСНОВЕ КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

DESIGN METHOD FOR ELECTRICAL CIRCUITS BAISED ON QUADRATIC

PROGRAMMING TOOL

Рассматривается способ расчета электрических цепей на базе принципа наименьшего действия как альтернативный существующим способам анализа стационарных режимов. Вычисления выполняются в терминах функций квадратичного программирования инструментария Optimization Toolbox вычислительной среды MatLAB. Приводится пример расчета конденсаторной цепи.

Design procedure for electrical circuits based on the minimum energy principle that is alternative to existing way is considered. Calculations are realized in quadratic programming terms by means of Optimization Toolbox in MatLAB. The example of capacitor circuit design ispresented.

Ключевые слова: электрическая цепь, принцип минимизации энергии, уравнения Лагранжа, голоном-ные и неголономные ограничения, вариационный принцип Гамильтона, квадратичное программирование.

Key words: electrical circuit, minimum energy principle, Lagrange equations, holonomic and nonholo-nomic constraints, Hamilton's variational principle, quadratic programming.

В ТЕОРИИ электрических цепей и электромеханических систем используются различные методы для построения моделей. В этой статье рассматривается альтернативный метод, основанный на вариационном принципе Гамильтона с использованием квадратичного программирования для определения стационарных точек.

Известно, что методы расчета электрических цепей постоянного и переменного тока основаны на законах Ома и Кирхгофа и аналогичны как для установившихся, так и для переходных процессов. Расчет заключается в составлении и решении системы уравнений, связывающих напряжения, токи и сопротивления (проводимости) ветвей цепи. После решения уравнений в символической или операторной формах осуществляется переход от символических и операторных изображений рассчитываемых величин к их оригиналам — реальным мгновенным значениям токов и напряжений.

В сложных цепях с большим числом ветвей и узлов система уравнений содержит большое число неизвестных, и ее решение связано с выполнением значительного объема вычислительных операций, для чего разработаны обобщенные аналитические и топологические методы. К ним относится матричный метод, позволяющий представлять математические модели электрических цепей в компактной форме, удобной для выполнения расчетов в различных вычислительных средах.

Существующий арсенал корректных методов и моделей электрических цепей и динамических систем, приводящих к одним и тем же результатам, позволяет выбирать для расчета наиболее подходящий метод, с учетом топологии цепи и эффективности применения стандартных функций вычислительных сред. Пополнение арсенала новыми способами вычислений является актуаль-

Выпуск 4

¡Выпуск 4

ным направлением исследований в данной предметной области, поскольку способствует расширению области использования электротехнических методов анализа и синтеза цепей в различных сферах производства.

Применение математических моделей и методов расчета электрических цепей, приводящих к одному и тому же результату, свидетельствует о следующем:

1) физические принципы и законы являются общими и, следовательно, применимы во многих физических системах и средах, в том числе в электротехнике;

2) для анализа и синтеза сложных систем представляет практический интерес принцип, базирующийся на минимизации энергии.

Принцип минимизации энергии основан на концептуальных положениях классической механики и вариационном принципе Гамильтона. В 1834 г. Гамильтон сформулировал важное положение аналитической механики, которое получило название принципа остаточного действия. Принцип гласит, что из всех возможных движений консервативной механической системы на любом временном интервале возникает такое движение, для которого функционал

ч

J = ^Ldt

Ч

достигает экстремального (устойчивого) значения. Траектория, на которой реализуется экстремум, является экстремальной траекторией функционала действия Ы. Величина Ь есть функция Лагранжа или лагранжиан.

Для линейной консервативной системы лагранжиан определяется по формуле

Ь = Т - и,

где Т — кинетическая энергия и и — потенциальная энергия. Лагранжиан Ь является функцией положения и скорости.

Для решения задачи (1), (2) следует определить лагранжиан (получить модель системы, используя скалярную функцию) и потребовать, чтобы функционал Ы принимал экстремальные значения.

Известно, что принципу Гамильтона соответствует равенство нулю вариации функционала действия J в виде математического соотношения:

Ы = 0.

На базе принципа Гамильтона сформулированы фундаментальные положения динамики систем, базирующиеся на концепции, согласно которой физический феномен направляется по пути наибольшей экономии. Его действие становится универсальным.

В общем случае лагранжиан является функцией времени, механических или электрических величин и их первых производных. Эти величины принято называть обобщенными координатами и обозначать как ^1, ..., д^. Их первые производные, обозначаемые как #15. называют обобщенными скоростями. Таким образом, лагранжиан системы

Ь = 1..., N.

Максвелл ввел по аналогии с аналитической механикой обобщенные координаты электрических величин: заряды были приняты как обобщенные координаты, токи как обобщенные скорости и магнитные поля индуктивностей как обобщенные моменты. В этой аналогии потенциальная и кинетическая энергия в механической системе соответствует энергии электрического и магнитного поля.

В электрических цепях вводятся ограничения, определяемые по законам Кирхгофа, которые устанавливают соотношения, зависящие от топологии цепи. Такие ограничения устанавливаются матрицей инциденции цепи. В большинстве случаев это — голономные ограничения.

В работах по аналитической механике и теории оптимального управления доказывается, что для консервативной системы с голономным ограничением на временном интервале ^ 1,]

вектор переменных состояния д(0 удовлетворяет принципу Гамильтона (то есть является экстремалью функционала Ы), если он получен путем решения уравнения

dL_d_8L_

dq dt dq

Для электрических цепей это соотношение не является достаточным, поскольку цепи в общем не являются консервативными. Для моделирования неконсервативных систем, в которых часть энергии необратимо преобразуется в тепловую энергию, применяют уравнения

где Я — диссипативная функция Рэлея; Q — обобщенные силы (внешние силы в механике или источники энергии в электрических цепях). Экспериментально доказано, что с достаточной точностью выполняется следующее соотношение:

где г. — элемент параметра диссипации.

Приведенные уравнения используются для составления математических моделей консервативных и неконсервативных систем в классической динамике и электротехнике. Модели, представленные матричными дифференциальными уравнениями вида

где M, K и C — матрицы масс, жесткостей пружин и коэффициентов демпфирования соответствующей размерности, ft) — внешние силы, воздействующие на систему, подлежат решению с применением функций различных вычислительных сред [3]. При составлении на основе принципа наименьшего действия уравнений динамики электрических цепей, аналогичных (3), вместо матриц M, K и C вводятся соответственно матрицы собственных и взаимных индуктивностей L, сопротивлений R и инверсных емкостей К. Способы их составления для цепей и электромеханических систем изложены в работе [2, р. 4-7].

Поскольку T, U в уравнении (1), а также диссипативная функция представляют собой квадратичные формы, то по методу Лагранжа они могут быть приведены к сумме квадратов [1]. Следовательно, для минимизации энергии можно использовать методы математического программирования, что существенно упрощает процедуру расчета и позволяет решать электротехнические задачи высокой размерности с ограничениями — неравенствами, нелинейными ограничениями и выполнять вычисления с помощью различных функций инструментария Optimization Toolbox среды MatLAB.

Для расчета стационарных режимов в электрических цепях предлагается альтернативный способ, основанный на применении квадратичного программирования для определения стационарных точек в системе с голономными и неголономными связями.

Рассмотрим электрическую цепь, представленную на рис. 1. Разветвленная цепь, подключенная к источнику постоянной ЭДС, состоит из конденсаторов различной емкости.

dt dq dq dq

d dL dL dR _

Adx + Cx + Kx = f(t),

Ct

E

Рис. 1. Электрическая цепь конденсаторов, подключенных к источнику постоянной ЭДС

Выпуск 4

¡Выпуск 4

Энергия электрического поля конденсаторов с учетом введенных на рис. 1 обозначений определится с помощью соотношения

1 11

т2

Вектор переменных состояния согласно рис. 1 содержит одиннадцать напряжений, подлежащих вычислению:

и = [Ц и2 и3... ию ц/.

Голономные связи представим в виде матричного уравнения:

А и = Ь .

ед ед

Матрица ограничений — равенств А , составленная для контурных напряжений, равна

4* =

0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0

-1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1

0 -1 1 0 0 0 0 1 0 -1 0

а вектор-столбец Ь соответственно содержит следующие элементы:

Ьд = [0 0 0 0е д 0 0 0 0 0 0 Е]т.

Решение получено для следующих значений параметров цепи:

— емкости (мкФ):

С = [ с1 с2 с3 с4 с5 с6 с7 с8 с9 с10 с11] = [2 5 1 4 3 7 2 5 4 2 3];

— ЭДС источника Е = 250 В.

Расчет выполнен с помощью файла 8аЬ762£т, составленного в кодах МаНАВ, фрагмент которого приведен ниже. В файле использована функция quadprog, предназначенная для решения задач квадратичного программирования, и уравнения (4)-(6).

% 8аЬ762£т

% Расчет цепи, состоящей из одиннадцати конденсаторов с1=2; с2=5; с3=1; с4=4; с5=3; с6=7; с7=2; с8=5; с9=4; с10=2; с11=3;

H=diag(1/2*[c1 с2 с3 с4 с5 с6 с7 с8 с9 с10 с11]);

^=[]; А=[]; Ь=[];

Aeq=[0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0;

1 -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0;

-1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1;

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 -1;

0 -1 1 0 0 0 0 1 0 -1 0]; beq=[0 0 0 0 0 -250]’;

[x,J]=quadprog(2*H,f,A,b,Aeq,beq);

х

J=J*1e-06 % Проверка:

%[0 0 1 0 1 -1 0 0 -1 0 0]*х %ап8 =

% -250

% Графические построения [U1,U2]=meshgrid(25:0.2:35,20:0.2:30);

We1=

Результаты расчета вектора х = U согласно (5) получены в вольтах:

х = [29.8725 25.1531 - 111.6072 106.8878 4.7194 50.5212 ...

20.6487 -28.8426 92.5910 84.397 8.1938],

J = 0.0674 Дж.

По расчетным данным, полученным по формуле

delt J = [{Ш - Ш)2 + (U2 - U02)2,

где Ш1=29.8725В и U02=25.1531В — координаты стационарной точки, выполнено построение сетчатой поверхности, представленной на рис. 2.

Изменения при отклонениях С/1 и С/2 от стационарной точки

Рис. 2. Приращения критерия качества delt/ при отклонениях U1 и Ш от стационарной точки с координатами Ші и Ш2

Изменения критерия приведены в отклонениях от расчетного минимума в стационарной

точке.

Список литературы

•Г

1. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1967. — 576 с.

2. Mayer D. Variations principle and circuit theory / D. Mayer // Czech. Casopis EE, 6. — 2000. —

№ 5.

3. Veseliс K. Damped oscillations of linear systems — a mathematical introduction / K. Veselic. — Springer, 2011. — 202 p.

Выпуск 4