Метод корректного определения весовых коэффициентов альтернатив в процедуре анализа иерархии

В работе комплексно оценивается процедура управления информационным риском на основе качественных показателей, при этом показаны элементы оценки оптимальности ряда внутренних процессов данной процедуры, что имеет практическую и теоретическую ценность в рамках рассматриваемой проблемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Золотарев В. В., Ткаченко К. П., Ширкова Е. А. Управление информационными рисками несоответствия требованиям нормативных документов в области защищенного электронного документооборота // Управление риском. 2008. №1 (13). С. 47-53.

2. Золотарев В. В. Метод исследования программных средств защиты информации на основе компонентной модели информационной среды // Изв. ЮФУ. Технические науки. 2008. №8. С. 87-94.

3. Золотарев В. В., Ширкова Е. А. Фундаментальные основы методик базового экспертного анализа информационных рисков // Прикладная дискретная математика. 2008. №2 (2). С. 71-76.

УДК 519.7; 519.81

МЕТОД КОРРЕКТНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕСОВЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ АЛЬТЕРНАТИВ В ПРОЦЕДУРЕ АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ1

С. И. Колесникова

Исследуется проблема, касающаяся противоречия метода анализа иерархий (МАИ), связанного с эффектом единичной нормировки, приводящей к тому, что предпочтения, выявленные на всем множестве альтернатив, могут не совпадать с «частными» предпочтениями на подмножестве альтернатив.

В МАИ на каждом этапе формируется матрица парных сравнений (МПС) альтернатив (признаков) (далее в контексте работы будем считать понятия альтернативы и признака идентичными) 0 = {21,22,... , 2д}. Прежде чем сформулировать и доказать результат, в котором выясняются условия, при которых бинарное отношение (выражающее предпочтение альтернатив) 2і У 2/ (2/ У 2і) сохраняется на множествах 0; = {^1, 22,... , 2д-1} (0; = {^1, 22,... , гд+і}), напомним требования к матрице относительных весов [1] А = \\aij ||д , аі/ = /wj, где /ші, — компоненты

весового вектора Ш = ^1 ^2,...^д}т, д — количество сравниваемых альтернатив: 1) а/ ^ 0; 2) аі/ = а-1; 3) а/ = аіка/; 4) число д является максимальным собственным значением матрицы А и для некоторого единственного (нормированного) вектор-столбца Ш = ^1^2,... , wg }т с положительными компонентами выполняется равенство А • Ш = д • Ш.

Обозначим через р бинарное отношение предпочтения одной альтернативы перед другой. Пусть заданы множества (наборы) альтернатив 01 = {21,22,... , 2д-1} и

02 = {21,22, . . . ,2д-1,2д}.

Теорема 1. Бинарные отношения (предпочтения) 2ір12/, 2ір22/, где 2і, 2/ Є 01 С С 02 (і, І Є {1, 2,...,д},і = і), индуцированные на множествах 01, 02 посредством применения стандартной процедуры МАИ Саати, в общем случае не совпадают.

Изложим обобщенную процедуру вычисления весовых коэффициентов альтернатив (ВКА), ссылаясь на работы [1-3].

Построим МПС на каждом из этапов МАИ (по числу мер относительной важности альтернатив). Результатом каждого s-го этапа (s Є {1, 2,... , v}) является g-компонентный вектор нормализованных значений ВКА Ws = {w-, w-,... , wg}T. Введем весовые коэффициенты мер относительной важности признаков, обозначенные че-

V

рез C-, Cs =1.

s=1

Формируем всевозможные векторы (wj = w|j1,w|,/2) локальных ВКА уровня 1 по формулам

w

s1

Wi s2

-------------w,,

w

w,s + w-

(s Є {1, 2,... , v}), (i,j) Є {1, 2,... , g}.

3. Формируем матрицу W = ||w„ ||, где векторы w, = (w,,wj) —локальные ВКА (уровня 2) альтернатив z,, z, относительно всей совокупности мер относительной важности признаков, компоненты векторов находим по формулам

w, = Cs

s=1

w

—

s2

; w, = 2_^c-  w,j

s=1

4.

Глобальные значения ВКА считаем по одной из формул:

9 ( 9 \ 1/9

V1?1 = V wij, , = ( П wi, І (і Є 1,2-----------g).

j=1

1

Свойство данной процедуры сформулировано в теореме 2.

Теорема 2. Бинарные отношения (предпочтения) ^¿р^, ^¿р^, Є ©і С 02,

і = І, индуцированные посредством применения стандартной процедуры МАИ на множестве ©і и обобщенной процедуры интегрированного учета признаков на множестве ©2, совпадают.

Доказательство теорем 1 и 2 опирается на свойства 1-4 МПС и специфику формул п. 2 процедуры.

Пример 1. Пусть оцениваются две альтернативы (два признака) г1, г2 по двум равновесным мерам относительной важности со следующими МПС:

A1

1/2

1

А

2=

1

1/4

В результате стандартного применения МАИ получим

1 1/2 3 1 4 1/3

2 1 7 , А2 = 1/4 1 1/5

3 1 1/7 1 3 5 1

для альтернатив z1, z2 вектор ВКА w = (w1,w2) = (0,567, 0,433). Так как w1 ^ w2, то z1 У z2. При оценивании трех альтернатив z1, z2, z3 по тем же двум мерам отно-

сительной важности со следующими МПС: A1 =

после стандартного применения МАИ получаем ,ш = (^, ^2, и>3) = (0,286, 0,354, 0,360), т. е. г2 У г1. Вектор ВКА в соответствии с вышеприведенной обобщенной процедурой (по шагам) для этих же исходных данных следующий: ,ш = (^1,^2,^3) = = (0,349, 0,325, 0,326). Таким образом, предпочтения между альтернативами г1, г2 не изменились: г1 У г2.

Дальнейшее развитие МАИ (и обобщенной процедуры) должно быть связано с выяснением условий правомочности применения линейной свертки при оценивании ВКА (шаг 4 вышеизложенного алгоритма), поскольку данный способ агрегирования не всегда корректен и может приводить к неточности в принятии решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Саати Т. Л. Принятие решений. Метод анализа иерархий. M.: Радио и связь, 1989. 311 с.

2. Клир Дж. Системология. Автоматизация решения системных задач. М.: Радио и связь, 1990. 538 с.

3. Самохвалов Ю. Я. Групповой учет относительного превосходства альтернатив в задачах принятия решений // Кибернетика и системный анализ. 2003. №6. С. 141-145.

УДК 519.7; 519.81

ПОДХОД К РАСПОЗНАВАНИЮ СОСТОЯНИЙ ТЕХНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА ОСНОВЕ МУЛЬТИМНОЖЕСТВ1

С. И. Колесникова, В. Г. Букреев

Предлагается подход к распознаванию состояний сложного динамического объекта на основе математического аппарата энтропии и формализма мультимножеств, в рамках которого излагается двухэтапная процедура идентификации состояния технической системы.

Введение. Энтропию системы можно рассматривать как количество информации, связанной со структурой системы. Другими словами, энтропия может рассматриваться как мера «структурированности» некоторого состояния или мера «удаленности» структуры одного состояния от структуры другого [1]. Именно этот подход и положен в основу предложенного ниже метода распознавания технического состояния (ТС) динамической системы (ДС).

Введем случайную величину Y — значение квантованного цифрового сигнала, выраженное числом уровней квантования (в терминах распознавания образов выраженное числом градаций признака — уровня квантования) v Е U, где множество U = {1, 2,... v} —домен, или универсальное множество, мощность которого равна максимальному уровню квантования, характерному для данной модели. Под структурным составом сигналов ТС ДС будем понимать набор значений шагов квантования, выделенных для кодирования сигналов, присущих фиксированному ТС (выделенному по обучающей выборке (ОВ) в виде реализаций временного ряда — дискретных отсчетов случайного процесса — модели ДС).

Постановка задачи. Пусть задан случайный процесс (СП) (X, Y), характеризующий состояние динамического объекта (системы), функционирующего на интервале времени от t0 до T, где X (t) — вектор переменных состояния системы; Y (t) = = f(X(t),n) + С(t) —случайная наблюдаемая Ny-мерная векторная функция; £(t), n(t) — шумы достаточно общей природы. Относительно СП (X, Y) выдвинуто 1 > 1 альтернативных гипотез П = {П^ П2,... , П/}, составляющих полную группу событий и физически интерпретируемых как классы технических состояний частично наблюдаемой ДС. Наблюдение величины Y(t) осуществляется в моменты tj = t0 + jА, j = 0, n, с шагом дискретизации А > 0, по имитационной модели данной ДС. Задача состоит в отнесении (в момент t или на некотором фиксированном интервале [t , t ]) наблюдаемой реализации Y(t) к ТС (классу) П^, i = 0,1.

Решение задачи. Поставим в соответствие каждому выделенному ТС H мультимножество [2] 0j = {k©.