Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации L1

В. А. Шмыров

СТАБИЛИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЕМОГО

ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОКРЕСТНОСТИ КОЛЛИНЕАРНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ Lx

1. Введение. Одной из распространенных математических моделей, применяющихся для описания движения космического аппарата (КА), является модель ограниченной круговой задачи трех тел [1, 2]. Она используется, когда КА движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например звезды и планеты, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам. При описании полетов в околоземном пространстве на достаточно далекие расстояния (порядка 106 км) уже требуется учитывать притяжение Солнца, и, хотя эксцентриситет земной орбиты отличен от нуля (ев — 0,0167), уравнения круговой задачи трех тел достаточно точно описывают движение. Они существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных их решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию. Это коллинеарные (прямолинейные) и треугольные точки либрации.

Коллинеарная точка либрации Li, определенная в рамках круговой задачи трех тел, находится на отрезке Солнце-Земля на расстоянии около 0,01 а.е. (примерно 1,5 млн км) от центра Земли. Данная область пространства, обладая замечательными теоретическими свойствами, связана со многими космическими проектами. В окрестности коллинеарной точки либрации можно, например, разместить экраны, локально затемняющие Землю, и таким образом уменьшить развитие парникового эффекта (greenhouse effect). Можно расположить обсерваторию для слежения за солнечной активностью (и такой проект уже действует - SOHO) или космическую станцию в рамках программы борьбы с астероидной опасностью.

Точка либрации L\ неустойчивая. С одной стороны, это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной «удерживающей» системы управления. С другой стороны, неустойчивость можно использовать как положительный фактор при полете в Li или для перехода на другие орбиты. Данное свойство можно также применить для борьбы с астероидной опасностью - большая (по массе и размерам) космическая станция может гораздо эффективнее повлиять на движение астероида, опасно сближающегося с Землей [3], чем отдельный космический корабль. Таким образом, неустойчивость коллинеарной точки либрации имеет свои плюсы, однако, чтобы их использовать, нужно уметь удерживать КА (или космическую станцию) в окрестности этой точки достаточно длительное время.

Идея удержания КА (или станции) в окрестности коллинеарной точки либрации разрабатывалась многими авторами, обзор работ на эту тему можно найти в фундаментальном труде [4].

Основной вопрос предлагаемого исследования заключается в следующем: можно ли с помощью управляющего воздействия, направленного по линии Земля-Солнце, стабилизировать движение КА в окрестности коллинеарной точки либрации L\. В случае положительного ответа на него открывается возможность для использования в

© В. А. Шмыров, 2005

качестве стабилизирующего фактора сил светового давления (парус-баллон). В работе показано, что такое управление может обеспечить в пространственном случае устойчивость движения, а в плоском случае - асимптотическую устойчивость.

2. Уравнения движения и задача стабилизации. Уравнения неуправляемого движения КА в геоцентрических координатах в рамках круговой задачи трех тел имеют вид

» jmix ( Rl(t) — х 1 f/Л

* “ ~~\\W + 7™2 (iW)-i||3 ~ в? (}

где х = (¿1,Ж2,Жз) - геоцентрические координаты КА; 7 - гравитационная постоянная; т 1, ГП‘2 - массы Земли и Солнца; R - расстояние между Землей и Солнцем (1 а.е.); l(t) - единичный вектор, направленный по линии Земля-Солнце; ||я|| = ^/хх.

Если первый и второй координатные орты расположены в плоскости эклиптики, то

l(t) = (cosa;£,sinu;t,0),

причем угловая скорость и определяется по формуле [5]

üj2R3 = 7(mi + тг).

Уравнение (1) имеет при подходящем выборе константы с частное решение

x*(t)=Rcl(t),

которое и называется прямолинейной или коллинеарной точкой либрации. Нетрудно видеть, что параметр с удовлетворяет уравнению пятого порядка [6]

с3(3 - 3с + (?) _ гп\

(1-с)2(1-с3) т2

Для ближайшей от Земли коллинеарной точки либрации L\ имеем приближенное равенство

\3 т2)

т. е. точка либрации L\ расположена на расстоянии около 0,01 а.е. от Земли. Это позволяет несколько упростить уравнения движения в окрестности L\. Заметим сначала, что если положить у = х, то уравнение (1) приводится к гамильтоновой системе с гамильтонианом

„ ~ ^ 1~~ 7mi 7^2 ( 1 l(t)x\

№

Если теперь, следуя Хиллу [1, 5], разложить солнечный потенциал по величинам отбрасывая члены выше второго порядка, то с точностью до несущественной константы получим

я„(м,0 = \уу - g - (-iü + |(i(t)i)2) .

Выберем единицы времени и расстояния так, чтобы выполнялось

Lü — 1,7Ш1 = 3,

т. е. 1 год равен 27г единиц времени. Поскольку и2R3 = 7(7721 + т2), то

77712 _ 7712 _ 1

——— — ~ 1,

№ 7711 + 772-2

и гамильтониан H2(x,y,t) примет вид

H2(x,y,t) = \уу--щ~

Тогда уравнения движения запишем следующим образом:

Зх

* = “рЦз + 3i

Уравнение (2) имеет частное решение

X** = Z

которое и является точкой либрации. Таким образом, точка либрации L\, определяемая формулой (3), удалена от Земли на единицу расстояния.

Точка либрации Ь\ неустойчива по Ляпунову [6], поэтому длительное пребывание КА в ее окрестности обеспечивается с помощью некоторого управления. Рассмотрим случай, когда сила от управляющего воздействия направлена по линии Земля-Солнце. Такое управление можно реализовать с помощью сравнительно простого управляющего устройства, в частности солнечного паруса-баллона.

Уравнения управляемого движения КА запишем так:

Зж

X = -JTZTTo + 3l(t)(l(t)x) - X + ul(t),

где и - величина управляющего ускорения, скалярная функция времени или фазовых переменных. При замене переменных (х,у) на переменные (х,у) с помощью канонического преобразования поворота с производящей функцией [5, 7]

S

получим уравнения во вращающейся системе координат в следующей форме:

¿1 = 2/1 + #2, 2/1 = + 2xi + 2/2;

¿2 = 2/2 — #1 , 2/2 = “ jj^jj — #2 ~ 2/15

• • Зхз

Хз = Уз, J/3 = -pj|3 - Жз-

Точка либрации во вращающейся системе неподвижна и имеет координаты

** = (1,0,0), 2/* = (0,1,0).

Задача стабилизации [8] заключается в том, чтобы построить синтезирующее управление и(х, у) такое, что у системы уравнений

ii=yi+x2, у1 = -щр + 2х1+у2+и(х,у);

Х2 — У2—Х1, У2 = — — Х2 — J/1;

• • За; я

Хз = уз, Уз = -цщрг -Хз,

точка либрации (ж*,?/*) будет стационарным и устойчивым по Ляпунову решением.

Трудность этой задачи стабилизации заключается в том, что в ней предлагается с помощью скалярного управления изменить качественные свойства шестимерной системы. В общем случае такая задача может и не иметь решения. Тем не менее рассматриваемая задача стабилизации решается в положительном смысле с помощью простейшего синтезирующего управления - линейного регулятора.

3. Исследование линейного приближения. Рассмотрим устойчивость по линейному приближению. Линеаризованные уравнения системы (4) в окрестности точки либрации (х*,у*) имеют вид

Х\=Х2+ 2/х, ÿi = 8(a:i - 1) + (у2 - 1) + и(х,у)\

х2 = -xi + з/2, У2 = -4ж2 - ух]

хз = Уз, Уз = —4*3.

Неуправляемая (и(х, у) = 0) линейная система (5) имеет набор собственных значе-

ний:

(^/1 + 2\/7, -\11 + 2л/7,гу^2-\/7 — 1, —iyfïÿfî — 1, 2г, —2г).

Неустойчивость точки либрации L\ следует из положительности первого собственного значения. Последние два уравнения системы (5), описывающие пространственные переменные (хз, уз), не связаны с остальными уравнениями. Однако для них имеет место устойчивость по Ляпунову нулевого решения в силу интеграла

Ах\ + yf = const.

Систему из первых четырех уравнений можно стабилизировать с помощью линейного регулятора, указав частный вид, обеспечивающий устойчивость по Ляпунову стационарной точки уравнений

и

Действительно, в этом случае система (5) приводится к виду

¿1 = х2 +2/ь 2/1 = -I/i ;

¿2 = -xi + 2/2, 2/2 = -4*2 “ 2/1-

Ее матрица имеет набор собственных значений: (0, -1,гл/5, —гл/б), откуда и следует устойчивость стационарного решения (х*,у*). Таким образом, оказывается справедливым следующий результат.

Теорема 1. Существует линейный регулятор и(х,у) такой, что точка либрации (х*,у*) является стационарным решением системы (4), устойчивым по Ляпунову в линейном приближении.

Линейный регулятор (6) - далеко не единственно возможное стабилизирующее управление. Поэтому возникает проблема поиска наиболее эффективных законов управления, стабилизирующих управление КА в окрестности коллинеарной точки либрации с наименьшими затратами.

4. Стабилизация орбитального движения в общем случае. Стабилизация орбитального движения возможна не только в линейном приближении, но и в общем случае.

Теорема 2. Существует линейный регулятор и\(х, у) такой, что точка либрации (ж*, у*) есть стационарное решение нелинейной управляемой системы (4), устойчивое по Ляпунову.

Доказательство. Покажем, что синтезирующее управление щ(х,у) = а(х 1 — 1), где а < — 9, является стабилизирующим, т. е. точка либрации устойчива по Ляпунову [8] системы

¿1 = i/i +ж2, 2/1 = + 2ж1 +2/2 + a(a:i - 1);

¿2 = 2/2 - XI, 2/2 = “}]^|з — ж2 — 2/1;

Хз = 2/з ? 2/з — Пж]Тз “ жз-

Прежде всего заметим, что система (7) гамильтонова с гамильтонианом

Н*(х,у) = ^\\у\\2 “ +X2yi ~ XlV2 ~ “ -1)2’

не зависящим от времени. Поэтому на траекториях системы (7) имеет место интеграл

Н* (ж, у) = const.

Покажем, что гамильтониан Н*(х,у) в некоторой окрестности L\ есть функция Ляпунова исследуемой системы. Действительно, гамильтониан Hfin(x,y) линеаризованной системы уравнений является положительно-определенной квадратичной формой, так как

Нйп&У) = \у\ + - !)2 + \у1 - (4 + ¡>*1 - !)2 + 2х1 + 2хз +

+ 2/1*2 - (2/2 - 1)(*1 - 1),

или

Щгп(х,у) - 2 (2/2 - Xi)2 -f —(2/1 +Х2)2 + ^ 2'"”)(Ж1 _ +

+ 2 2/з+2жз>

откуда видно, что при а < —9 квадратичная форма (8) положительно-определенная. Поскольку производная от гамильтониана Н*(х,у) на траекториях системы (7) равна нулю, то из положительной определенности квадратичной формы Hfin(x,y) следует, что гамильтониан Н*(х,у) будет функцией Ляпунова системы (7) в некоторой окрестности точки либрации (в фазовом пространстве), что и доказывает теорему.

5. Плоский случай. Пусть в начальный момент времени пространственные переменные жз, 2/з равны нулю, тогда орбитальное движение КА будет плоским, т. е. на траекториях в фазовом пространстве будет выполняться

хз — 0,2/з = 0.

В этом случае оказывается возможным добиться асимптотической устойчивости по переменным (х\ , Х2, 2/1» У 2 ) •

Теорема 3. Существует синтезирующая функция и2(х,у) такая, что точка либрации (х*, у*) является стационарной точкой системы (4), асимптотически устойчивой по Ляпунову по переменным (жх, Ж2? 2/1 ? 2/2)*

Доказательство. Существует общий метод доказательства подобных утверждений [8]. Здесь мы воспользуемся приемом, позволяющим упростить выкладки. Как и в теореме 2, доказательство проведем с помощью выбора конкретной синтезирующей функции U2(x,y). Положим

3xi

U2(x,у) - ij-TTo + 2*1 + 2/2 = -19*1 - Ю3/1 + II3/2 + 8.

IfII

Тогда линеаризованная система уравнений плоского движения примет вид

¿1 = х2 +2/1,

¿2 = -XI +2/2,

2/1 = -19a?i - Ю2/1 + И2/2 + 8,

2/2 = ~4х2 - 2/1-

Собственные числа этой линейной системы равны (—1, —2, —3, —4), откуда и следует асимптотическая устойчивость по переменным (Х1,Х2,У1,У2) для стационарного решения линейной системы. По теореме Ляпунова это влечет за собой асимптотическую устойчивость и для нелинейной системы (4) [8, 9].

6. Заключение. Предложенные законы управления, конечно, не являются единственно возможными, поэтому весьма актуальной становится задача выбора стабилизирующего управления, оптимального по некоторому критерию. Если в качестве «удерживающего» управляющего устройства выбран солнечный парус-баллон, то качественные результаты по стабилизации, аналогичные приведенным выше, следует отнести к фотогравитационной точке либрации. Реалистичность такого устройства следует из расчетов, приведенных в работе [10].

Summary

Shmyrov V. A. Stabilization of the controlled orbital movement of a space vehicle in the neighbourhood of collinear libration point L\.

The basic opportunity of stabilization of orbital movement of a space vehicle in the neighbourhood of collinear libration point L\ with the help of the controlling force directed on the line Earth-Sun is shown. Generally this force may provide Lyapunov stability, in the flat case asymptotical stability.

Литература

1. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике / Пер. с франц. Е. А. Гребеникова; Под ред. Г. Н. Дубошина. М., 1965. 572 с.

2. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М., 1990. 448 с.

3. Поляхова Е. Я. Обзор современных исследований по проблеме предотвращения астероидной опасности с помощью эффектов светового давления солнечной радиации // Астероидная опасность-96. 1996. С. 101-102.

4. Gomes G., Llibre J., Martinez R., Simo C. Dynamics and mission design near libration points. Vol. 1. River Edge, 2001. 443 p.

5. Дубошин Г. H. Небесная механика. Основные задачи и методы. М., 1975. 799 с,

6. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.* 1978. 312 с.

7. Шмыров А. С. Устойчивость в гамильтоновых системах. СПб., 1995. 127 с.

8. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М., 1975. 495 с.

9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1970. 332 с.

10. Поляхова Е. Н. Динамические и астрономические аспекты проекта размещения солнечного экрана в первой точке либрации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1993. Вып. 1 (№1). С. 111-121.

Статья поступила в редакцию 21 апреля 2005 г. .