Использование численного расчета трехмерного электростатического поля для определения собственных и взаимных емкостей проводов воздушной линии

плуатационных задач, связанных с точным расчетом электромагнитных параметров воздушных линий электропередач, в их числе: математическое моделирование ВЛ для расчета установившихся режимов; расчет наведенного напряжения на протяженных конструкциях; определение характеристик высокочастотной связи по проводам линии; исследование волновых процессов, происходящих в В Л; определение места повреждения; исследование способов повышения пропускной способности ЛЭП.

Основные результаты следующие:

1. Разработана методика расчета создаваемого воздушными линиями электропередач трехмерного электромагнитного поля, основанная на методе конечных элементов, которая позволяет учитывать провисание проводов, поворот трасс

ВЛ, сложную структуру подстилающего грунта и наличие в непосредственной близости от линии объектов, искажающих картину поля.

2. Разработан способ расчета продольных параметров ВЛ, основанный на численном расчете создаваемого ими трехмерного магнитного поля. Предложенный подход позволяет отказаться от упрощений, принимаемых при расчете параметров линий общепринятыми аналитическими методами.

3. Выполнена оценка влияния на точность численного расчета параметров ВЛ различных факторов, связанных как с условиями решаемой задачи, так и с особенностями реализации предлагаемой численной методики. Установлена взаимосвязь между размерами расчетной области и погрешностью определения продольных сопротивлений проводов ВЛ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Булатников, М.В. Определение первичных продольных параметров воздушных и подземных линий электропередачи на основе расчета электромагнитного поля [Текст] / М.В. Булатников, К.П. Кадомская, С.А. Кандаков |и др.| // Электричество,- 2006,- № 5,- С. 17-24.

2. Дьяков, А.Ф. Методические вопросы расчета зависимости продольных параметров кабельных линий от частоты [Текст] / А.Ф. Дьяков, Б.К. Максимов, Д.А. Матвеев |и др.] // Вестник МЭИ. — 2003. - № 4. - С. 17-25.

3. Christoforidis, G.C. inductive interference on pipelines buried in multilayer soil due to magnetic fields

from nearby faulted power lines [Текст] / G.C. Christoforidis, D.P. Labridis, P.S. Dokopoulos // IEEE Transactions on electromagnetic compatibility. 2005. — Vol. 47, № 2,- P. 254-262.

4. Сильвестер, П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков |Текст|: пер. с англ. / П. Сильвестер, Р. Феррари. - М.: Мир, 1986,- С. 229.

5. Руководящие указания по релейной защите. Вып. 11: Расчеты токов короткого замыкания для релейной защиты и системной автоматики в сетях 110-750 кВ [ТекстМ.: Энергия, 1979.

УДК621.316:621.314

A.B. Бессолицын, М.Г. Попов, E.H. Хорошинина

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ТРЕХМЕРНОГО ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ И ВЗАИМНЫХ ЕМКОСТЕЙ ПРОВОДОВ ВОЗДУШНОЙ линии

Поперечные сопротивления воздушных ли- землей, а также токами короны на ВЛ высокого

ний (ВЛ) электропередач имеют две составляю- напряжения, и составляющую, которая связана

щие — активную, обусловленную несовершен- с емкостями, образованными противостоящими

ством изоляции между проводами линии и друг другу проводами ВЛ и землей. Из-за высо-

кого совершенства изоляции воздушных линий и конструкций фаз высоковольтных ВЛ, минимизирующего вероятность возникновения короны, активной составляющей поперечного сопротивления в большинстве случаев пренебрегают [1]. По этой причине при моделировании ВЛ в качестве поперечных параметров рассматриваются только собственные и взаимные емкости проводов линии, что делает весьма актуальной разработку методики их точного расчета.

Численный расчет электрического поля

Емкостная составляющая поперечного сопротивления определяется электрическим полем, которое создается проводами линий электропередач, находящимися под высоким напряжением, и влиянием проводящей земли. Электрическое поле на частоте 50 Гц может рассматриваться как квазистатическое, поэтому распределение электрического потенциала описывается уравнением Пуассона

2 2 2 дф + дф + дф_ р

Эх2 ду1 дг1 г'

Для каждого отдельного конечного элемента в данное выражение подставляются свои постоянные коэффициенты а,, а2, а3, а4. Поскольку искомыми величинами являются узловые значения потенциала, аппроксимирующие полиномы целесообразно записывать относительно них с помощью так называемых функций формы N. Например, для конечного элемента с номером е, вершинами которого являются узловые точки /, у, к, /:

чл

фу ф^

ф/

Для упрощения записи целесообразно ввести вектор-строку функций формы когорыеопре-деляются через координаты вершин (X,., , (ХУ'7У'^')> (Хк,Ук,гк), (^„У,,^) рассматриваемого конечного элемента,—

Поскольку в рассматриваемой задаче отсутствуют свободные заряды, данное дифференциальное уравнение упрощается до уравнения Лапласа с нулем в правой части. Решение этого дифференциального уравнения может быть выполнено методом конечных элементов (МКЭ). На первом этапе реализации данного метода необходимо разбить расчетную область на совокупность подобластей — конечных элементов, в каждом из которых распределение скалярного потенциала электрического поля описывает аппроксимирующими функциями простейшего вида [2]. При решении рассматриваемой задачи целесообразно использовать конечные элементы в виде простейшей трехмерной фигуры — тетраэдра. Цель расчета по МКЭ — определение величин рассматриваемого потенциала в узловых точках области решения. Если приметать наиболее простой подход и задавать узловые точки только в вершинах тетраэдальных конечных элементов, то в качестве аппроксимирующей функции, которая моделирует зависимость скалярного электрического потенциала от координат внутри одной минимальной подобласти, можно использовать только линейный полином вида

Ф = а

=а

Г1 у, 2Л

1

/ 1 ук

I1 У,

и вектор-столбец ф , содержащий значения скалярного электрического потенциала в вершинах /, у, к, / конечного элемента с номером е,

фМг =

Если рассмотреть решение дифференциального уравнения (1) на области, состоящей из одного конечного элемента е объемом У(е\ то использование метода Галёркина [2] позволяет свести дифференциальное уравнение Лапласа к интегро-дифференциальному уравнению

(Я2тМ Я2тМ Я2тМ ^

Л д„2 ду2 а_2

дх

Исключив вторые производные по координатам и подставив в уравнение формулу (3), после некоторых преобразований можно получить следующую систему линейных алгебраических

уравнений (СЛАУ) относительно узловых потенциалов е-го конечного элемента:

8(е)Ф(е) =0.

Элементы матрицы 8| е) определяются через координаты вершин е-го конечного элемента и не зависят от граничных условий [3]. Данное уравнение сформировано только для одного конечного элемента. На его основе следует построить глобальную систему уравнений относительно потенциалов во всех узловых точках рассматриваемой области. Элементы глобальной матрицы в рассчитываются как суммы соответствующих элементов локальных матриц 8(е) для всех конечных элементов области решения. После задания граничных условий путем исключения из глобальной матрицы в строк и столбцов, соответствующих узлам с известными потенциалами, решение полученной системы уравнений позволит определить величины потенциалов во всех узловых точках области решения. В качестве граничных условий используются потенциалы тех узлов на поверхности проводов, где известны напряжения, а также принимаемые равными нулю потенциалы узлов на поверхности земли и по границе расчетной области.

Определение собственных

и взаимных емкостей ВЛ

Для расчета собственных и взаимных емкостей проводов ВЛ целесообразно использовать вторую группу формул Максвелла, которая представляет собой систему линейных уравнений, связывающих потенциалы проводов и их заряды:

<7( 2 РцФ|+ 3 + Р|/Ф/ + 3 + Р|уФу + 3 + Р1„Ф„;

41 = рлФ| + 3+рдф/+3+Руфу+3+р/„Ф„; ...................................................................

Ч;= р /|ф| + 3 + р //Ф/ + 3 + р,;ф,-+ 3 + ртФп;

1п = рИ|Ф| + 3 + ри,Ф, + 3 + риуфу + 3 + ряяф

Мы предлагаем потенциальные коэффициенты р для проводов рассматриваемой В Л находить по следующему алгоритму:

1) предполагается, что один из проводов (например /-й) имеет потенциал относительно зем-

ли равный единице, а все другие провода и земля — равный нулю;

2) методом конечных элементов следует рассчитать распределение скалярного электрического потенциала, сформировав и решив глобальное матричное уравнение относительно узловых значений этого потенциала с учетом граничных условий, заданных в первом пункте алгоритма;

3) затем необходимо найти проекции на оси координат вектора напряженности электрического поля в конечных элементах, граничащих с поверхностью проводников, по формуле

йе)

ди(1) ди^ дЛ^О

дх д д дх ( Ф' ]

ди^ ди^ Фу

ду ду ду ду

ди^ д^р д^ке) 1фJ

д д д дг

,

где ф,-, фу, фд., ф/ — величины потенциалов в вершинах е-го конечного элемента;

4) для каждого провода следует рассчитать его заряд на рассматриваемом участке ВЛ. После выполнения дискретизации расчетной области на трехмерные конечные элементы боковая поверхность каждого провода формируется совокупностью граней конечных элементов. Причем с поверхностью провода может совпадать не более чем одна грань конечного элемента. Вектор напряженности электрического поля перпендикулярен границе раздела проводника и диэлектрика, а потому для любого провода поток вектора напряженности электрического поля через его боковую поверхность равен сумме произведений площадей граней конечных элементов, образующих эту поверхность, на рассчитанную в предыдущем пункте величину напряженности электрического поля в данных конечных элементах:

4 ш=

где 5,- — площадь боковой поверхности /-го провода; — площадь грани е-го конечного эле-

мента, входящей в боковую поверхность /-го провода; Е1у \ — рассчитанные по формуле (9) проекции на оси координат вектора напряженности электрического поля в е-м конечном элементе. При суммировании в формуле (10) индекс е принимает значения номеров всех конечных элементов, одна из граней которых входит в боковую поверхность /-го провода.

Если пренебречь потоком вектора напряженности электрического поля через торцевые сечения рассматриваемого участка провода, так как их площадь на несколько порядков меньше площади боковой поверхности провода, то согласно закону Гаусса для электрического поля в интегральной форме заряд рассматриваемого участка провода равен

=

$

5) подставляя принятые на первом этапе алгоритма потенциалы проводов (9,- = 1, 9 у = 0 при

У = 1,... п, кроме у = /) и рассчитанные на пре-

=

тему уравнений (8), получим

Ч\ =Р1/.

= РЙ-

= Рл

Яп = р«/>

т. е. рассчитанные заряды, содержащиеся на рассматриваемом участке проводов, численно равны собственным и взаимным емкостным коэффициентам участка /-го провода, потенциал которого был принят равным единице при нулевых потенциалах остальных проводов и земли.

После выполнения расчетов по данному алгоритму емкостных коэффициентов для всех проводов рассматриваемой системы будут получены все элементы матрицы р емкостных коэффициентов для рассматриваемого участка ВЛ. После этого собственные частичные емкости

проводов рассчитываются как суммы элементов

р

для /-го провода собственная емкость равна

Си = 1 Р*-

к=1

Взаимные частичные емкости равны взятым с обратным знаком соответствующим элементам матрицы емкостных коэффициентов р :

Сц=- р,у

Если ВЛ, поперечные параметры которой рассчитываются, имеет п проводов, то при использовании предлагаемого алгоритма требуется п раз рассчитать распределение скалярного электрического потенциала в пространстве вокруг рассматриваемой линии электропередачи. Однако из-за того, что рассчитываемые случаи отличаются друг от друга только граничными условиями (величинами потенциалов на поверхности проводов), матрицы коэффициентов решаемых СЛАУ во всех п вариантах одинаковы. Это позволяет использовать совместное решение систем линейных уравнений при нахождении распределения скалярного электрического потенциала.

Точность предлагаемой численной методики расчета емкостных параметров воздушной линии зависит главным образом от следующих факторов: размера области, в которой рассчитывается электростатическое поле; числа узловых точек в расчетной области; числа узловых точек на поверхности проводов.

Чем больше размер расчетной области, тем точнее моделируется отсутствие границ распространению электрического поля над поверхностью проводящей земли. Число узловых точек в расчетной области определяет точность аппроксимации распределения скалярного электрического потенциала. При увеличении количества узлов в области решения погрешность аппроксимации электрического поля снижается, однако возрастает размерность системы линейных уравнений, сформированной относительно узловых значений скалярного электрического потенциала, что приводит к повышению трудоемкости расчетов.

По причине того, что в основе предлагаемого алгоритма лежит расчет заряда проводов через интегрирование потока вектора напряженности электрического поля по их поверхности, больше всего на точность расчета собственных и взаимных емкостей ВЛ влияет число узловых точек, расположенных на поверхности проводов воздушной линии. Увеличение числа узлов на гра-

нице провода приводит к более точному моделированию формы его поверхности. Следствием же сокращения размеров конечных элементов, примыкающих к проводу, является более точный расчет напряженности электрического поля в непосредственной близости от рассматриваемого проводника.

Рассмотрен способ использования метода конечных элементов для численного расчета трехмерного электрического поля воздушных

линий электропередач, находящихся под высоким напряжением.

Предложен алгоритм определения собственных и взаимных емкостей проводов ВЛ, основанный начисленном расчете создаваемого ими электростатического поля.

Данную методику расчета поперечных параметров ВЛ целесообразно использовать при больших стрелах провеса проводов или наличии в непосредственной близости от ЛЭП объектов, искажающих картину поля.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кононов, Ю.Г. Учет емкости линий электропередач в расчетах энергораспределения и потерь энергии в электрических сетях [Текст] / Ю.Г. Кононов, В.М. Пейзель // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Сер.: Технические науки,— 2008,— N° 3. — С. 63-69.

2. Сегерлинд, Л. Применение метода конечных элементов |Текст|: пер. с англ. / Л. Сегерлинд,— М.: Мир, 1979,- 392 с„ ил.

3. Сильвестер, П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков |Текст|: пер. с англ. / П. Сильвестер, Р. Феррари. — М.: Мир, 1986,- 229 е., ил.

УДК621.341.572

А.Н. Головин

МЕТОДИКА РАСЧЕТА И ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ ТРАНЗИСТОРОВ В РЕЗОНАНСНОМ ИНВЕРТОРЕ ТОКА

Постановка задачи и цель работы

В научных публикациях, посвященных вопросам повышения эффективности мощных преобразователей электрической энергии, и в практических разработках этих устройств четко прослеживается тенденция все более широкого применения резонансных инверторов, работающих в режимах мягкого переключения (soft switching) силовых транзисторов [1—4], когда напряжение на транзисторе или ток через него в моменты переключений близки к нулю. Этим обеспечивается минимизация потерь мощности и, следовательно, более высокие КПД и частота коммутации, чем в режиме класса D с прямоугольной формой напряжения и тока на транзисторном ключе. Новое, перспективное направление исследований в этой области — разработка

так называемых распределенных систем питания переменным током высокой частоты (High Frequency Alternating Current Power Distributed Systems) [5—7]. Основу таких систем также составляют резонансные инверторы, параллельно работающие на общую высокочастотную и высоковольтную шину, напряжение которой подвергается преобразованию с помощью местных (локальных) AC-DC конверторов, питающих оконечные нагрузки. Актуальна также научно-техническая проблема создания высокоэффективных сверхмощных транзисторных резонансных инверторов с электронным регулированием мощности электродвигателей транспортных средств [8].

Одно из главных условий рационального проектирования и надежного использования