Подходы к конструированию математических задач как основы для создания их систем

ве составлена задача. Так, в некоторых задачах на доказательство можно поменять местами условие и требование. Если обратная (или «противоположная») задача, сформулированная учащимися, нелогична, под решением поставленной перед школьниками проблемы следует понимать сам тот факт, что они могут это доказать.

В-четвертых, составление задач учащимися целесообразно тогда, когда одна из задач является базисной для каких-либо других задач. Базисная задача может выступать в двух качествах: демонстрировать идею (метод) решения целого класса задач или представлять собой некоторый факт, используемый в решении последующих задач. При этом следует сформулировать еще и саму базисную задачу. В-пятых, составление задач может иметь место при использовании в обучении какого-либо нового способа реализации внутрипредметных связей. В таких случаях целесообразно пользоваться системами задач, специально составленных для освоения этого нового способа.

Обобщая все сделанные ранее выводы, заключаем: процедура составления задач и процесс поиска их решений опираются на одни и те же ресурсы (внутрипредметные связи, методы решения, приемы преобразований, компоненты информационной структуры задачи и т. д.); составление задач и поиск их решений идентичны по сути деятельности, выполняемой при этом школьниками; составление задач требует того, чтобы все задействованные при этом компоненты и связи между ними были осмыслены в полной мере; составление задач позволяет регулярнее применять в обучении метод использования базисных задач; при правильной организации работа по составлению задач посильна и интересна для школьников и часто выполняется в русле педагогики взаимоо бучения. Таким образом, если в процессе обучения математике учащиеся регулярно составляют задачи, все вышеизложенное в совокупности способствует повышению их умения вести поиск решений задач.

Литература

1. Аксенов, А.А. Теория обучения поиску решения школьных математических задач: монография / А.А. Аксёнов, Орел: ОГУ; Полиграфическая фирма «Картуш», 2007. 200 с.

2. Колягин, Ю.М. Задачи в обучении математике | Ю.М. Колягин. М.: Просвещение, 1977.

Ч. I. 110 с.

The importance of making

the mathematical problem in teaching

the school students the problem solving

The issue of making the mathematical problems by schoolchildren is discussed. It’s shown that this making done systematically encourages the formation of the skill to do the search of problem solving but the same themes done by students.

Key words: problem, search, making, solving, teaching.

М.Ю.МОИСЕЕВА

ПОДХОДЫ

К КОНСТРУИРОВАНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК ОСНОВЫ ДЛЯ СОЗДАНИЯ ИХ СИСТЕМ

Показана роль активной исследовательской деятельности студентов в обеспечении качества профессиональной подготовки в высшей школе. Эффективным средством обучения математике является система задач. Рассмотрены некоторые способы и приемы конструирования задач для систем.

Ключевые слова: система, задача, исследовательская деятельность, способы конструирования задач.

Быстрое развитие различных сфер жизни делает актуальным вопрос об адаптации молодежи в новых условиях, их готовности принимать правильные решения. Возросла потребность в подготовке людей, не только обладающих некоторой системой математических знаний, но и умеющих их применять в неизвестной ситуации, обладающих критичностью, избирательностью, инициативностью.

Мы придерживаемся позиции В.В. Афанасьева, Н.В. Кузьминой в том, что владение элементарными исследовательскими умениями в области математики не-

© Моисеева М.Ю., 2009

обходимо для обеспечения подготовки к творческому труду в широкой сфере деятельности. Как показывает практика, важной проблемой высшей школы является обеспечение качества профессиональной подготовки, что в соответствии с основными положениями реформы высшей школы невозможно без высокого научного уровня преподавания предметов, повышения качества знаний, привития студентам навыков преобразования явлений, вещей, процессов, поиска новых комбинаций. Этому, по мнению Р.А. Низамова [5], способствует вовлечение студентов в активную исследовательскую деятельность.

В рамках совершенствования процесса обучения математике важную роль играет задачный подход. Он предполагает включение в обучение специально подобранных задач для достижения поставленных целей. Г.В. Дорофеев, Ю.М. Колягин, И.Г. Ша-рыгин выделяют системы задач в качестве основных средств, повышающих эффективность обучения математике. Их использование позволяет сформировать у учащихся более осознанное и полное представление об изучаемом предмете.

Анализируя приведенные И.В. Блаубер-гом и Э.Г. Юдиным [3] подходы к определению понятия системы, выделим следующие признаки: система - непустое множество элементов, существует процесс преобразования элементов, определена характеристика связей между элементами, система обладает определенной структурой, взаимодействует со средой, имеет назначение и функции, которые, в свою очередь, определяются целями и задачами.

В соответствии с данными признаками и определением В.П. Радченко [7], под системой задач мы понимаем комплекс взаимосвязанных элементов, имеющий определенную структуру; взаимодействие элементов с некоторой средой приводит к достижению поставленных целей. В рамках нашего исследования к таким целям мы относим формирование у студентов исследовательских умений.

Следует подчеркнуть важность условия взаимодействия системы задач со средой, к которой в рамках педагогического процесса можно отнести социальный запрос общества, государственные образовательные стандарты, технические и дидактические возможности, определенным образом построенное воздействие на внешнюю или внутреннюю деятельность обу-

чаемого, которое приводит к намеченному результату, и др.

Анализ состояния математического образования позволяет сделать вывод, что в практике преподавания математики в школе и вузе системам задач не уделяется должного внимания. Работа с системами задач на занятиях открывает более широкие возможности, такие как эффективное использование учебного материала, создание проблемных ситуаций, требующих от студентов исследовательских умений. В методическом отношении конструирование системы задач - сложная проблема. Анализируя и систематизируя различные приемы и методы конструирования системы задач, мы выделили следующие.

1. Метод ключевых задач. Идея состоит в выделении опорной задачи, вокруг которой группируется определенный набор задач. Существуют две точки зрения на понятие ключевой задачи. Первая из них состоит в том, что ключевая задача может быть рассмотрена как задача-факт или задача-метод, результат решения которой может быть использован при решении каждой из задач системы. Вторая заключается в том, что можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме.

2. Метод варьирования задачи. Система задач строится таким образом, что задачи системы связаны с данной по содержанию. Под содержанием понимают совокупность ее компонентов: условие, требование, базис и способ решения. Можно выделить основные приемы варьирования: прием взаимно-обратных и противоположных задач; прием обобщения и конкретизации (замена задачи более общей, из решения которой непосредственно следует получение новых фактов и результатов); прием аналогии (перенесение некоторого знания, полученного при рассмотрении какого-либо объекта, на другой объект); прием варьирования объектов и отношений задачи (включение объектов и отношений компонентов задачи в новые связи посредством изменений, вносимых в условие или требование задачи).

Е.И. Машбиц [4] выделил следующие требования к построению системы задач:

1) необходимо конструировать не отдельную задачу, а систему задач - это требование следует из того, что говорить о пользе той или иной задачи, о ее развивающем

характере можно только в том случае, если известно ее место в системе задач; 2) при конструировании системы задач надо стремиться, чтобы она обеспечивала достижение не только ближайших учебных целей, но и перспективных; 3) задачи должны обеспечивать усвоение системы средств, необходимых и достаточных для успешного осуществления учебной деятельности; 4) задачи необходимо конструировать так, чтобы соответствующие средства деятельности, усвоение которых предусматривается в процессе решения задачи, выступали как прямой продукт обучения.

Мы исходим из того, что при построении системы задач желательно выбирать задачи, которые предоставляют возможность проведения исследования на своей основе, позволяют получать новые интересные задачи, открывают новые свойства объекта, рассматриваемого в исходной задаче. Особое внимание стоит обратить на задачи, которые допускают обобщение, аналогию, рассмотрение частных и предельных случаев, разделение на самостоятельные подзадачи, построение обратных утверждений [2].

Приведем примеры конструирования задач.

• Конструирование задач по аналогии. Исходная задача: зная стороны а, Ь, с треугольника АВС, вычислите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

Задача решается по аналогии с вычислением радиуса окружности, вписанной в А АВС. Осуществив переход по аналогии к случаю описанной вокруг данного треугольника окружности, получим задачу: доказать, что в правильном треугольнике сумма расстояний от точки, расположенной внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная. Аналогичной задачей о свойстве данной точки в пространстве будет следующая: доказать, что в правильном тетраэдре сумма расстояний от точки, произвольно взятой внутри него, до его граней есть величина постоянная.

2. Конструирование задач через обобщение. Исходная задача: в выпуклом четырехугольнике последовательно соединили середины сторон - доказать, что полученный при этом четырехугольник - параллелограмм.

Необходимо отметить, что эта задача играет роль ключевой при решении многих задач, при этом используется как сам факт, заявленный в этой задаче, так и метод ее

решения. Данная задача обобщается - выпуклый четырехугольник меняется на произвольный или пространственный. Представляет интерес конкретизация задачи на следующие случаи: а) четырехугольник с равными диагоналями; б) четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

При обобщении исходной задачи получим следующее: 1) средние линии любого четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам; 2) средние линии любого четырехугольника и отрезок, соединяющий середины диагоналей этого четырехугольника, пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам; 3) в выпуклом четырехугольнике середины диагоналей и середины средних линий лежат на одной прямой (следует из предыдущих двух); 4) площадь четырехугольника, образованного последовательным соединением середин сторон некоторого выпуклого четырехугольника, в два раза меньше площади исходного четырехугольника; 5) если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению его средних линий (следует из предыдущей).

3. Конструирование задач с помощью конкретизации исходной задачи. Исходная задача. В неравнобедренном треугольнике из одной и той же вершины проведены биссектриса, медиана и высота. Доказать, что биссектриса лежит между медианой и высотой.

Данную задачу можно переформулировать следующим образом: как расположены относительно друг друга биссектриса, медиана и высота неравнобедренного треугольника, проведенные из одной его вершины? В таком виде она будет иметь больший интерес для исследования.

Конкретизацией данной задачи будет следующая: какими новыми свойствами обладают высота, медиана, биссектриса треугольника, проведенные из одной вершины, если он будет прямоугольным?

4. Сочетание нескольких приемов при конструировании системы задач. Исходная задача 1. Доказать, что в параллелограмме биссектрисы его углов, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Обобщая данную исходную задачу, мы имеем: 1) в каком случае рассматриваемый прямоугольник будет квадратом?;

2) в каком случае две вершины прямоугольника лежат на сторонах параллелограмма?

Проводя аналогию с данной исходной задачей, получаем следующую задачу: доказать, что в параллелограмме биссектрисы его внешних углов, пересекаясь, образуют прямоугольник.

Можно повысить проблемность и вместе с тем сложность системы задач, если распространить условие исходной задачи 1 на случай трапеции или произвольного выпуклого треугольника, а также провести исследование свойств, которыми будет обладать тот четырехугольник, который образуется пересечением биссектрис данного параллелограмма. Помимо этого, при анализе данной исходной задачи получаются подзадачи, отдельные из которых можно использовать как ключевые: ^биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от противоположной его стороны отрезок, равный боковой стороне (предложение верно и для трапеции); 2) биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны.

Исходная задача 2. Найти диагональ прямоугольника, полученного в результате пересечения биссектрис углов параллелограмма.

При решении данной задачи выясняется, что диагональ этого прямоугольника равна разности соседних сторон параллелограмма. Аналогично исходной задаче 2 для случая биссектрис внешних углов параллелограмма получаем задачу по нахождению диагонали получающегося здесь прямоугольника, и оказывается, что в этом случае она равна сумме двух соседних сторон параллелограмма.

Для того чтобы задача оставляла возможность для исследования, ее формулировка должна содержать минимум информации. Поэтому представляют интерес задачи, в которых вводимая информация прямо не декларируется и заключение (результат, цель) или условие (или и то, и другое) заданы неявно.

Для повышения исследовательского уровня задачи [6] вместо традиционных «Доказать», «Найти», «Построить» используем «Верно ли, что ...?», «Существует ли ...?», «Каждый ли ...?», «Что можно сказать о...?», «Какие еще фигуры обладают тем же свойством?», «Верно ли это утверждение для ...?», «Что можно доказать?», «Что можно вычислить?», «Чего нельзя и почему?», «Если да, то почему?», «Если нет, то когда?», «Всегда ли этот способ самый удобный?», «А что, если ...?» или требований «Придумайте»,

«Найдите закономерность», «Попробуйте обнаружить свойство», «Выделите и исследуйте частные случаи», «Найдите различные способы решения и сравните их» и т.п.

Потенциал использования задач и их систем при правильной организации работы с ними, в зависимости от поставленных целей, может приблизить учебный процесс к наиболее эффективным его характеристикам.

Литература

1. Гусев, В.А. Психолого-педагогические основы обучения математике / В.А. Гусев. М.: ООО «Издательство “Вербум-М”»: ООО «Изд. центр “Академия”», 2003. С. 105.

2. Денисова, Г.В. Учебно - исследовательская деятельность студентов как фактор профессионализации подготовки будущих учителей математики в педагогическом вузе: дис. ... канд. пед. наук / Г.В. Денисова. Рязань, 1999.

3. Краткий словарь по философии / под ред. И.В. Блауберга, И.К.Пантина. 4-е изд. М.: Политиздат, 1982. 431 с.

4. Машбиц, Е.И. Психологические основы управления учебной деятельностью / Е.И. Машбиц. М., 1987. С.19.

5. Низамов, Р.А. Дидактические основы активизации учебной деятельности студентов / Р.А. Низамов. Казань: Изд-во КГУ, 1975. 302 с.

6. Орлова, Л.Э. Открытые и замкнутые задачи / Л.Э. Орлова // Математика в школе. 1993. №4. С. 27 - 28.

7. Радченко, В.П. К вопросу о методике обучения решению задач / В.П. Радченко // Задачи как цель и средство обучения математике учащихся средней школы / под ред. Е.И. Лященко. Л., 1981. С. 123 - 131.

8. Шоленкова, С.П. Формирование системы задач для курса информатики факультета педагогики и методики начального образования педагогического вуза: автореф. дис. ... канд. пед. наук / С.П. Шоленкова. М., 2000.

The approaches to the construction

of the mathematical tasks as the basis for

the making systems

The role of student active research activity in the provision of the quality of the professional training in the higher school is shown. The effective means of teaching Math is a system of tasks. Some methods and techniques of constructing the system of tasks are examined.

Key words: the system, the research activity, the ways of constructing the tasks.