Характеристики оптимального распределения мощности в многопользовательской релейной сети в условиях многолучевого канала

УДК 621.391

А. А. Заболотский, Е. А. Маврычев Нижегородский государственный технический университет им Р. Е. Алексеева

Характеристики оптимального распределения мощности в многопользовательской релейной сети в условиях многолучевого канала1

Рассмотрена оптимизация энергетических ресурсов в релейной сети с множественным доступом. Предполагается, что беспроводная релейная сеть работает в условиях многолучевого распространения сигналов. Оптимизация мощности осуществлена по критериям максимизации минимального отношения "сигнал/шум", минимизации максимальной передаваемой мощности источников и максимизации пропускной способности. Для решения оптимизационных задач использован метод геометрического программирования. Проанализировано оптимальное распределение мощности в случае точного знания коэффициентов передачи между узлами и в случае знания их статистик второго порядка.

Релейная сеть, множественный доступ, распределение мощности, геометрическое программирование

Важнейшей задачей для беспроводных сетей передачи данных является повышение пропускной способности. Методы пространственного разнесения на прием и на передачу позволяют повышать скорость передачи данных в условиях многолучевого распространения [1]. Дальнейшим направлением повышения эффективности беспроводных систем связи является использование распределенных систем, в том числе технологии релейных сетей [2], [3], в которых используются промежуточные узлы для ретрансляции сигнала от источника к приемнику. Техника релейных сетей позволяет повысить пропускную способность и улучшить качество обслуживания, что привлекает широкое внимание исследователей к указанному направлению.

Одним из ключевых вопросов является оптимизация параметров сети с целью достижения наилучших характеристик, в частности за счет эффективного распределения энергетических ресурсов. Предложены различные алгоритмы распределения мощности, в том числе метод геометрического программирования [4].

В настоящей статье рассмотрена сеть, в кото -рой каждую пару "источник-приемник" обслуживает отдельный многопользовательский релейный узел. Данная модель релейной сети проанализирована в работе [5], в которой разработаны алгоритмы оптимизации распределения мощности по различным критериям: максимума минимального

отношения "сигнал/шум", минимума максимальной передаваемой мощности источников и максимума пропускной способности сети. Целью настоящей статьи является анализ оптимальных характеристик, достигаемых в многолучевых каналах с замираниями, при условии, что известны либо мгновенные коэффициенты передачи канала, либо статистическая информация о канале. Приведены результаты математического моделирования, показывающие эффективность оптимизации мощности в релейной сети в различных каналах.

Модель релейной сети с множественным доступом. Рассмотрим многопользовательскую релейную сеть, в которой узлы-источники Sj,

г е 1, М, передают информацию соответствующим узлам-приемникам О^, г е 1, М, через релейные узлы Rj,  е1, Ь [5]. Каждая пара "источник-приемник" Sj - Ог обслуживается одним релейным узлом R (Si). Каждый релейный узел

может обслуживать произвольное количество пар "источник-приемник" или узлов-пользователей, поэтому введем обозначение S (Rj) - множество

узлов-источников, обслуживаемых релейным узлом Rj. Положим, что для каждого источника

обслуживающий релейный узел назначается за-

1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (договор № 02.G25.31.0061 от 12 февраля 2013 г.). Постановление Правительства Российской Федерации N° 218 от 9 апреля 2010 г.

© Заболотский А. А., Маврычев Е. А., 2013

ЖБ

Рис. 1

ранее (задача администрирования узлов сети в данной работе не рассмотрена). Предполагается двухэтапная релейная схема с использованием протокола "усиление и передача" [1]. Структурная схема релейной сети показана на рис. 1.

Пусть Р\, Qi - мощности, передаваемые источником Б; и релейным узлом Я (Б;) соответственно. В первый временной интервал (первый этап релейного протокола) источник Б; передает сигнал s; релейному узлу Я (Б;), а во второй временной интервал (второй этап релейного протокола) релейный узел Я (Б;) передает сигнал

приемнику О;. Обозначим: к; - коэффициент передачи между источником Б; и релейным узлом Я (Б;) и g; - коэффициент передачи между релейным узлом Я (Б;) и приемником О;. В общем случае будем считать, что сигналы распространяются в многолучевых каналах и коэффициенты передачи кI и g; являются случайными величинами.

Принятый на релейном узле сигнал опишется

как

х; = '\[Ррк;5;

+ щ

где щ - аддитивный "белый" гауссовский шум

на релейном узле Я (Б;) с дисперсией стщ.

На втором этапе релейного протокола сигнал на узле-приемнике О; запишем в виде

У;

+ V

где V; - аддитивный "белый" гауссовский шум на

приемнике О; с дисперсией ст^;; Е{•} - математическое ожидание.

Использовав (1), сигнал на приемном узле (2) преобразуем следующим образом:

У; =.

PiQi

1Щ\

2 2 + СТщ

-higisi + ъ,

где V; - эквивалентный аддитивный шум в канале Б; - Я (Б;)- О; между источником, релейным узлом и приемником, который имеет дисперсию

Qi\g1

|2 ст2 стщ

Г

+ СТ

Таким образом, учитывая мощность полезного сигнала в (3) и приняв во внимание дисперсию эквивалентного шума на приемном узле (4), эквивалентное отношение "сигнал/шум" виртуального канала Б; - Я (Б;)- О; между источником и приемником запишем в виде

Р; =-

I2 к; I2

Рк

|2 ст2 + Qi\gi

-2_2

Выражение (5) является отношением "сигнал/шум" для случайной реализации каналов, так как коэффициенты передачи каналов к; и gj являются случайными величинами. Рассмотрим также среднее отношение "сигнал/шум", получаемое подстановкой в (5) средних значений усиления

каналов по мощности Е {к; |2} и Е { gi |2 }

вместо

мгновенных значений

к I2 и

1&

Р; =•

РЕ{{ |2 >2 + йе{{; |2 >

2 2 2 Стщ + CTwCTv

Критерии оптимизации. Рассмотрим два подхода к оптимизации характеристик сети, основанных на различном знании информации о канале. В первом случае считаем, что коэффициенты передачи точно известны, поэтому для оптимизации можно использовать выражение для мгновенного отношения "сигнал/шум" (5). Во втором случае положим, что точное знание коэффициентов отсутствует, а имеется лишь статистическая информация о канале, т. е. известны средние значения Е {|к; |2} и Е {|gi |2}. В этом случае

оптимизировалось среднее отношение "сигнал/шум" (6). Так как задачи оптимизации сформулированы одинаково и независимо от уровня знаний о канальной информации, введем переменную у;, ко-

2

торая принимает значение мгновенного отношения "сигнал/шум" p« при точном знании коэффициентов и значение среднего отношения "сигнал/шум" p« при статистическом знании о них.

На практике канальная информация, как в первом, так и во втором случаях, может быть получена в результате оценки коэффициентов передачи или оценки средних значений их квадратов. Поэтому коэффициенты передачи или их статистические значения известны с точностью до ошибки оценивания. В дальнейшем ошибками оценки коэффициентов передачи пренебрежем.

Рассмотрим оптимизацию распределения мощности в релейной сети на основе трех критериев из [5]. При этом наложим ограничения на мощности, излучаемые источниками и релейными узлами, а именно, на суммарную мощность, излучаемую каждым релейным узлом, на суммарную мощность, излучаемую источниками, и на мощность, излучаемую отдельными источниками.

Первый критерий основан на максимизации минимального отношения "сигнал/шум". Данный критерий нацелен на улучшение качества приема сигнала для пользователя сети с наихудшим отношением "сигнал/шум". Математически данная задача может быть выражена в следующем виде:

max min j«

P,Q «=!..M

при ограничениях X Q« <Qjmax, j = 1, L, и

«e{S (R)}

M _

XP < P, 0 < P« < Pmax, « = 1, M, где « e {S(Rj)} «=1

означает, что индекс « принимает значения номеров источников, обслуживаемых релейным узлом Rj; Qj max - максимальная доступная мощность

релейного узла Rj; P - максимальная суммарная мощность всех источников; P«max - максимальная доступная мощность источника Si .

Второй критерий основан на минимизации максимальной передаваемой мощности источника. В дополнение к ограничениям на энергетические ресурсы сети наложено ограничение на эквивалентное отношение "сигнал/шум" для каждого пользователя, а ограничение на суммарную излучаемую источниками мощность не использовалось. В результате обеспечивалась оптимизация мощностей при качестве обслуживания не хуже заданного. В этом случае оптимизационную задачу можно представить следующим образом: 10

min max P« P«,Q« «=1...M

при ограничениях

J« - J« mi^ « = Ъ M; X Q« < Qj max, «e{S (Rj)}

= 1, Ь; 0 <р <ртах, г = 1, М.

Наконец, третий критерий заключается в максимизации пропускной способности релейной системы за счет оптимального распределения мощности. Ограничения на энергетические ресурсы заданы аналогично первому случаю. Задача оптимизации

max log2

P, Qi

M

Ш

. «=1

записана при ограничениях X Q« < Qjmax,

E{S (Rj)}

«e{

M

j = 1, L, и X P < P, 0 < P < P« max, « = 1, M, где

«e •

«=1 {S(Rj )} .

Метод геометрического программирования.

Оптимизационные задачи (7)-(9) решены средствами математического программирования, а именно, эти задачи сведены к специальной форме, для решения которой использован метод геометрического программирования [6].

В общем виде задача геометрического программирования представляется следующим образом:

min f0

а

при ограничениях фп (а) < 1, n = 1, N; уk (a) = 1,

к = 1, К, где а - вектор параметров; /0 (•) - целевая функция; фп (•), Ук (•) - функции ограничений, причем функции фп (0, п = 1, N, представляются многочленами, а функции Ук ,

к = 1, К, - одночленами [6].

В [5] показано, что задачи (7)-(9) представи-мы в виде (10). С вводом новой переменной t задача (7) переформулируется в виде

min 1/1,

P, Qr, t-0

при ограничениях

J«- t, «= 1, M; X Q« < Qj max, j = 1, L;

«e{S(Rj)}

M

ХР < Р, 0 < Р; < РРтах, ; = 1, М.

;=1

Задача (8) при введении указанной вспомогательной переменной для решения средствами геометрического программирования представлена в следующем эквивалентном виде:

min t

P , Qj

при ограничениях

P < t; Yi - Yimin, j = 1, M; Z Q < Qjmax,

)}

j = 1, L; 0 < Pj < Ph

i = 1, M.

Задача (9) переформулирована как 1

min

P, Qr

M

ПУ;

;=1

при ограничениях

Х й < ^max, У =1, ЧБ (ЯУ)}

М _

ХР < Р, 0 < Р < РРтах, ; = 1, М.

;=1

Таким образом, задачи оптимизации мощности релейной сети (7)-(9) представлены в эквивалентном виде (11)—(13) соответственно и решены методами геометрического программирования. Для решения задач геометрического программирования использован высокоэффективный алгоритм граничных точек [6], который является алгоритмом полиномиальной сложности. Специальное приложение СУХ4 для среды МЛТЬЛБ позволяет найти численное решение задачи геометрического программирования.

Результаты моделирования. Эффективность распределения мощности исследована с помощью математического моделирования. При моделировании полагалось, что сеть состоит из девяти пользователей и трех релейных узлов (см. рис. 1). Узлы-источники и узлы-приемники расположены произвольно в прямоугольной области 200x200 м; релейные узлы размещаются по заданным фиксированным координатам. Каждый источник использует случайным образом выбранный релейный узел.

Предполагалось, что требуется обеспечить одинаковый минимальный уровень отношения "сигнал/шум" для всех пользователей. Для каждого узла-источника и релейного узла заданы идентичные максимальные уровни мощности. Мощности заданы в относительных единицах, при этом уровень мощности Р^ = 1 соответствует уровню принятого сигнала, превышающего уровень собственного шума на 50 дБ при расстоянии между узлами 1 м. Мощности шумов на релейных узлах и узлах-приемниках полагаются одинаковыми.

В качестве статистической модели канала рассматривалась обобщенная модель Релея-Райса, при этом коэффициенты передачи каналов моделировались в соответствии с выражениями

h =(Vr )[k + (1 - k)^ ]; g =(l/d )[k + (1 - ],

где r - расстояние от i-го источника до релейного узла; di - расстояние от релейного узла до /-го приемника; k - коэффициент распределения Релея-Райса; и Q - комплексные гауссовские случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Коэффициент k определяет соотношение между детерминированной и случайной составляющими многолучевого канала: k = 1 соответствует детерминированному коэффициенту передачи (статический канал) с однолучевым распространением сигнала в условиях прямой видимости, k = 0 соответствует релеевскому каналу с многолучевым распространением без превалирующего луча. Средние значения коэффициентов передачи по мощности: E{|h/12} = V//2 и E{|g{|2}= 1/ d2.

Сравнение характеристик сети выполнено для трех подходов к распределению мощности: оптимального распределения с точным знанием канала, оптимального распределения со статистическим знанием канала и равномерного распределения мощности для всех пользователей. В качестве сетевых характеристик, по которым оценивается эффективность релейной сети, использовались суммарная

M

пропускная способность сети Ca = ^ log2

i=1

и пропускная способность для пользователя, находящегося в наихудших условиях (далее - "наихудшего" пользователя) Cw = log2 (1 + у/), l = arg min Yi •

i=1. .M

Grant M., Boyd S. CVX: MATLAB software for disciplined convex programming (web page and software) // URL: http://stanford.edu/~boyd/cvx

На графиках, приведенных на рис. 2-4, представлены усредненные значения Са и С^ по ансамблю реализаций канала.

Исследована эффективность распределения мощности для трех критериев оптимизации в случаях релеевского и статического каналов. На рис. 2-4 штриховые кривые соответствуют статическому каналу (к = 1): кривые 1 - оптимально-

му распределению мощности, кривые 2 - равномерному распределению мощности. Сплошные кривые соответствуют релеевскому многолучевому каналу (к = 0): кривая 3 - оптимальному распределению мощности при точном знании канала, кривая 4 - оптимальному распределению мощности при статистическом знании канала, кривая 5 -равномерному распределению мощности.

С„, бит/

б,

Са, бит/

тах р 15 10 5 0

вит р 150 100

50

б

, тах

С„, бит/

10

40

70

Са, бит/

5 4

32 1

10

Рис. 2

тах р 20 15 10 5 0

тах р 150 100 50 0

2 1

10

30

21

40

70

50 70

в

р

р

бгг

10

30

50

70

бгг

Рис. 3

3

а

в

3

б

г

5

3

а

3

б

г

С№, бит/

2

. —-

1

5 4

Смп бит/

4-

2 1

2-

_1_

10

40

70

б

] тах

10

40 70

в

р

Са, бит/

50

45

40

35 30

Са, бит/

1

^ 2

/

3 5

10

40

70

б

50

40

30 20

] тах

10

40

70

р

б

Рис. 4

Результаты оптимизации с использованием критерия (7) представлены на рис. 2, на котором изображены зависимости пропускной способности для "наихудшего" пользователя от максимальной доступной мощности релейного узла (рис. 2, а), суммарной пропускной способности сети от максимальной доступной мощности релейного узла (рис. 2, б), пропускной способности для "наихудшего" пользователя от максимальной суммарной мощности источников (рис. 2, в), суммарной пропускной способности сети от максимальной суммарной мощности источников (рис. 2, г). Из рис. 2 следует, во-первых, что пропускные способности статического канала выше, чем пропускные способности релеевского канала, что согласуется с известными результатами теории информации [1]. Во-вторых, оптимизация (7) с точным знанием канала дает улучшение пропускной способности для "наихудшего" пользователя по сравнению с равномерным распределением мощности, что, однако, приводит к снижению суммарной пропускной способности сети. И, наконец, оптимизация, использующая статистическое знание канала, дает результат, близкий к равномерному распределению мощности в релеевском канале и эквивалентна оптимизации с точным знанием канала в статическом канале, у которого коэффициент передачи является детерминированной величиной.

На рис. 3 показаны результаты оптимизации по критерию (8): зависимости суммарной мощности источника от минимального отношения "сигнал/шум" (рис. 3, а), максимальной мощности источника от минимального отношения "сигнал/шум" (рис. 3, б), суммарной мощности источника от максимальной доступной мощности релейного узла (рис. 3, в), максимальной мощности источника от максимальной доступной мощности релейного узла (рис. 3, г).

Результаты для третьего критерия оптимизации (9) представлены на рис. 4, где приведены зависимости, аналогичные зависимостям на рис. 2. В данном случае оптимизация мощности позволяет лишь незначительно повысить суммарную пропускную способность сети. Наряду с этим пропускная способность для "наихудшего" пользователя существенно снижается по сравнению с оптимизацией при равномерном распределении мощности, что связано с логарифмической зависимостью пропускной способности от отношения "сигнал/шум".

В настоящей статье рассмотрена задача оптимизации распределения мощности в многопользовательской релейной сети. Проведен анализ характеристик распределения мощности в условиях многолучевого распространения сигналов для алгоритма с точным знанием канала и алгоритма со статистическим знанием канала.

0

а

г

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ермолаев В. Т., Маврычев Е. А., Флаксман А. Г. Применение адаптивных антенных решеток для повышения темпа передачи информации в перспективных системах связи // Зарубеж. радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2001. № 9. С. 50-58.

2. Kramer G., Gastpar M., Gupta P. Cooperative strategies and capacity theorems for relay networks // IEEE Trans. Inform. theory. 2005. Vol. IT-51, № 9. P. 3037-3063.

3. Capacity scaling laws in MIMO relay networks / H. Bolcskei, R. U. Nabar, O. Oyman, A. J. Paulraj // IEEE Trans. Wireless comm. 2006. Vol. WC-5, № 6. P. 1433-1444.

A. A. Zabolotsky, E. A. Mavrychev Nizhny Novgorod state technical university

4. Power control by geometrical programming / M. Chiang, C. W. Tan, D. P. Palomar et al. // Resource allocation in next generation wireless networks / ed. by W. Li, Y. Pan. 2005. Vol. 5, ch. 13. P. 289-313.

5. Power allocation in wireless multi-user relay networks / K. T. Phan, T. Le-Ngoc, S. A. Vorobyov, C. Tellam-bura // IEEE Trans. Wireless comm. 2009. Vol. WC-8, № 5. P. 2335-2545.

6. Boyd S., Vandenberghe L. Convex optimization. Cambridge: Cambridge university press, 2004. 716 p.

Optimal power allocation for multiuser relay network in fading channels

Power resource optimization of relay network with multiple access is considered. It is supposed that relay network operates in wireless fading channels. Power allocation is based on maximization of minimal signal to noise ratio, minimization of maximal transmit source power and maximization of aggregative capacity. Geometrical programming is used for optimization problem solving Analysis of optimal power allocation is performed in the case of exact knowledge of channel coefficients and in the case of knowledge of second order channel statistic.

Relay network, multiple access, power allocation, geometrical programming

Статья поступила в редакцию 30 сентября 2013 г.

УДК 621.372.55

А. А. Головков, С. А. Кершис Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет

"ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова

Частотные характеристики фазы

и группового времени задержки многополосовых фильтров

Рассмотрена математическая модель многополосового фильтра с идеальными характеристиками полос пропускания и задерживания. Приведены выражения общего вида для фазочастотной характеристики (ФЧХ) и частотной зависимости группового времени запаздывания (ГВЗ). Результаты проиллюстрированы на примере ФЧХ и частотной зависимости ГВЗ двухполосового фильтра.

Многополосовый фильтр, фазочастотная характеристика, групповое время запаздывания

В настоящее время в радиоаппаратуре различного назначения широко применяются полосовые фильтры с несколькими полосами пропускания. Например, часто приходится разрабатывать фильтры для аппаратуры связи с полосами пропускания, соответствующими двум диапазонам из используемых сетями GSM, Wi-Fi, WLAN и др. Для аппаратуры потребителей спутниковых навигационных систем ГЛОНАСС и GPS требуются фильтры, пропускающие полосы частот, соответствующие диапазонам L1 и L2. В литературе

опубликовано много сообщений, посвященных вопросам построения многополосовых фильтров. Такие фильтры могут быть реализованы по нескольким принципам: в виде каскадного соединения полосно-пропускающих фильтров и полосно-заграждающих фильтров, комбинированием нескольких фильтров с одной полосой пропускания и двух мультиплексоров на входе и на выходе для разделения и объединения сигналов, на основе многочастотных резонаторов и др. [1]-[3].

© Головков А. А., Кершис С. А., 2013