О существовании сильных решений для дифференциальных включений типа Ланжевена на римановых многообразиях

УДК 514.8; 519.248.2

О СУЩЕСТВОВАНИИ СИЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ ТИПА ЛАНЖЕВЕНА НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

© 2006 Ю. Е. Гликлих, А. В. Обуховский

Ю. Е. Гликлих — профессор, доктор физико-математических наук, профессор,

уехапкаИ. уж. ги Курский государственный университет,

А. В. Обуховский — ассистент, кандидат физико-математических наук,

дуо-оЬ'атаИ. ги Воронежская государственная лесотехническая академия

Доказана новая теорема существования сильных решений дифференциальных включений типа Ланжевена на римановых многообразиях, описывающих механические системы на сложных конфигурационных пространствах с разрывными силами, которые содержат случайную составляющую.

Стохастические дифференциальные включения типа Ланжевена на римановых многообразиях возникают при описании механических систем на искривленных конфигурационных пространствах, у которых силовое поле содержит случайную составляющую и при этом может быть разрывно или иметь управляющий параметр. Математически корректное описание этих включений было осуществлено в [ОНкНкЬ 2001: 173-190]. Там же и в [Обуховский 2001: 102-106] были получены некоторые общие теоремы существования слабых решений, а также одно утверждение о существовании сильных решений в случае, когда случайное возмущение силы порождено одномерным винеровским процессом.

В настоящей работе доказывается теорема существования сильных решений для включений типа Ланжевена на п-мерном многообразии в случае, когда случайная составляющая силы имеет вид О1^), где о>0 -вещественная константа, 1(1) - п-мерный винеровский процесс, и

детерминированная составляющая силы удовлетворяет некоторым

естественным условиям.

Исследование частично поддержано грантами РФФИ N 03-01-00112 и N 04-01-00081, а также грантом У7-010-0 Министерства образования РФ и СКОБ.

Рассмотрим п-мерное риманово многообразие М как

конфигурационное пространство механической системы. В случае

детерминированных внешних сил траектории движения этой механической системы описываются вторым законом Ньютона, выраженным в терминах ковариантной производной связности Леви-Чивита римановой метрики (см. [Гликлих 1989: 1-189], [Гликлих 2005: 1-416]). Будем предполагать, что

риманово многообразие M полно. Механический смысл этого предположения заключается в том, что без действия внешних сил частица не уходит в бесконечность за конечное время.

Пусть F(t,m,X) - многозначное силовое векторное поле и A(t,m,X) -многозначное (1,1)-тензорное поле на M. Другими словами, для каждого tє [0,l], meM, и Xє TmM, мы имеем многозначный вектор F(t,m,X^TmM и многозначный линейный оператор A(t,m,X):TmM TmM.

Будем использовать конструкцию, рассмотренную, например, в [Гликлих 1989: 22-24], [Гликлих 2005: 248-250]. Зафиксируем винеровский процесс w(t) в Rn и реализуем его в касательных пространствах к M. Обозначим через w’(t) соответствующий белый шум в касательных пространствах. Тогда включение типа Ланжевена описывает поведение системы под действием силового поля F(t,m,X)+A(t,m,X)w’(t).

Пусть m0eM. Обозначим через S оператор, который переводит непрерывную кривую v(t) в Tm0M в С1-кривую Sv(t) в M такую, что v(0)=m0 и при любом t вектор (d/dt)Sv(t) є Tm(t)M параллелен относительно связности Леви-Чивита вдоль самой кривой S v(^) вектору v(t) є Tm0M. Через Г обозначим оператор, который для любой С1-кривой u(t) в M при любом t осуществляет параллельный перенос относительно связности Леви-Чивита вдоль кривой u(^) из точки u(t) в точку u(0). Конструкция и свойства этих операторов подробно изложены в [Гликлих 2005: 100-111].

Пусть f(t,m,X) - однозначное силовое векторное поле и a(t,m,X) -однозначное (1,1)-тензорное поле на M. В [Гликлих 1989: 93-97] (см. также [Гликлих 2005: 312-319]) показано, что движение механической системы под действием силы вида f(t,m,X)+a(t,m,X)w’(t) с начальными условиями X(0)=m0, Х’(0)= C є Tm0M описывается уравнением

tt x

00 (специальная форма уравнения Ланжевена). Заметим, что по построению процесс X(t) имеет п.н. С1-гладкие траектории, и поэтому производные X‘(t) корректно определены.

Уравнение

tt v(t)= J Гf (t,S v(x),(d/dx) S v(x))dx + J Г a(t,S v(x),(d/dx) S v(t))dw(t)+C

00

в Tm0M называется уравнением годографа скорости для (1). Показано (см., например, [Гликлих 1989: 93-97] и [Гликлих 2005: 312-319]), что если v(t) удовлетворяет (2), то Sv(t) удовлетворяет (1). Уравнение (2) является уравнением диффузионного типа в касательном (т.е., линейном) пространстве и поэтому более удобно для исследования.

Для многозначных F и A (см. выше) мы определяем включение Ланжевена, как формальное выражение вида

tt

X

00

Его точный математический смысл состоит в том, что случайный процесс X (t) является сильным решением (3) в смысле следующего определения.

Определение 1. Будем говорить, что (3) имеет сильное решение X (t) на [0,T]c R с начальными условиями X(0)=m0, X(0)=C, если на любом вероятностном пространстве (W , F , P), допускающем винеровский процесс, и для любого винеровского процесса w(t) в R1, определенного на (W, F, P), существуют: п.н. C1 стохастический процесс X(t) со значениями в M, определенный на(П, F, P), неупреждающий относительно w(t) и имеющий начальные условия X (0)=m0 и X'(0)=C, а также однозначное векторное поле f(t,m,X) на M и однозначное (1,1)-тензорное поле a(t,m,X) такие, что

(i) для всех t случайный вектор f(t, X(t), X’(t)) принадлежит F (t, X(t), X’(t)) P -п.н.;

(ii) для всех t случайный тензор a(t, X(t), X’(t)) принадлежит A(t, X(t), X’(t)) P -п.н.;

tt

(iii) интегралы J Tf(T, X(t), X’(t))dx, J Ta(T, X(t), X’(t))dw(x) корректно

00

определены для X(t), w(t), f и a и P-п.н. для всех t g[0,T] выполнено (1).

Далее, мы будем искать f и a из Определения 1 и процесс v(t) в Tm0M такие, что v(t) являющееся сильным решением уравнения (2) с этими a и f, и затем получим X(t)= Sv(t), удовлетворяющее (1), т.е. являющееся сильным решением (3).

Зафиксируем T > 0. Обозначим через B Борелевскую о-алгебру на отрезке [0,T] и через 1 меру Лебега на [0,T]. Рассмотрим в качестве W банахово пространство W = C0([0,l], Tm0M) непрерывных кривых x: [0,T]  Tm0M и в качестве F - о-алгебру, порожденную цилиндрическими множествами на W.

Мы будем использовать несколько мер на (W , F) для каждой из которых введем на [0,T]xW соответствующую меру.

Рассмотрим отображение f: [0,T]xW  TM, где f(t,x(^)) = f(t, Sx(t), (d/dt) S x(t)). Введем также a(t,x(^))=a(t, Sx(t), (d/dt) S x(t)). Тогда отображения Г£ Г a действуют из [0,T]xW в Tm0M.

Далее мы будем рассматривать случай, когда a(t,m,X) имеет вид a(t,m,X)=oI, где о>0 - вещественная константа, а I - тождественное отображение. Тогда включение (3) приобретает вид

t

X (t)e s (J ^ (t,X(t),X’(t))dt + sw(t) + C).

0

Определение 2. Мы будем говорить, что многозначное векторное поле B:[0,l]xTM  comp TM

(i) диссипативно если для всех tE [0,T], m є M, X,Ye TmM и Ue B(t,m,X), Ve B(t,m,Y) выполнено неравенство <X-Y,U-V> <0 .

(ii) максимально если для t, m, X, Y и Vиз (i) неравенство <X-Y,U-V> <0 эквивалентно предположению, что Ue B(t,m,X).

Теорема 1. Пусть для любых te [0,T], (m.X) e TM многозначное силовое поле F(t,m,X) максимально, диссипативно и существует такая положительная константа K, что в любом TmM Dist(0,F(t,m,X))<K, где Dist(0,F(t,m,X))=inf{\y\: ye F(t,m,X)}. Тогда для любого m0e M и X0e Tm0M существует сильное решение X(t) включения типа Ланжевена (4) с начальными условиями £(0)=m0, (d/dt) £(t)\t=0=X0, которое существует при te [0,T].

Доказательство. Пусть на вероятностном пространстве (W, F, P) задан винеровский процесс w(t) со значениями в Tm0M, подчиненный полной фильтрации F t . Рассмотрим в Tm0M включение

t

v

0

являющееся многозначным аналогом уравнения годографа скорости (2) для включения (4). В условиях теоремы для этого включения выполняются условия теоремы 4.1 из [Perttersson 1997: 29-45] и, таким образом, существует сильное решение v(t) включения (5) с начальными условиями v(0)=X0. Это означает, что v(t) задан на (W, F , P) при t є [0,T], не упреждает относительно F t и P-п.н. имеет непрерывные траектории. Кроме того, существует однозначное векторное поле f* (t,x) на Tm0M такое, что f*

(t,v(t)) P-п.н. принадлежит Г F (t,S v(t),(d/ dt) S v(t)) и v(t) =

t

J f(x,v(T))dxow(T) + C.

0

Рассмотрим на M процесс Sv(t) и обозначим через Г f*(t,x(^)) вектор в TSx(t) M параллельный вектору f* (t,x(^)) вдоль S x(^). Таким образом, Г f*(t,v(t)) является случайным векторным полем на M, т.е. отображением из [0,T]xW в TM. Обозначим через Nt о-подалгебру в F, порожденную прообразами борелевских множеств из TM при отображении (S v(t),{d/dt) S v(t)) из [0,T]xW в TM. Рассмотрим условное математическое ожидание Е(^ f*(t,v(t))| Nt ). Напомним (см., например, [Партасарати 1988: 1-343]), что существует измеримое по Борелю векторное поле f(t,m,X) такое, что Е(^

f*

выполняется равенство

t

x(t)= S ( j Gf (T,X(T),X,(T))dT + ow(t) + C),

0

(равенство (1) для (4)) и .f(t, Sv(t), (d/dt) Sv(t)) e F (t,S v(t),(d/ dt) S v(t))dt P-п.н.

Таким образом, X(t)= Sv(t) является искомым сильным решением

включения (4). Ч.Т.Д.

Библиографический список

Гликлих Ю. Е. Анализ на римановых многообразиях и задачи математической физики / Ю. Е. Гликлих. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1989. - 189 с.

Гликлих Ю. Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики / Ю. Е. Гликлих. - М.: КомКнига, 2005. - 416 с.

Обуховский А. В. О теоремах существования решений для включений типа Ланжевена на римановых многообразиях / А. В. Обуховский // Труды математического факультета ВГУ. - 2001. - № 6. - С. 102-106.

Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры / К. Партасарати. -М.: Мир, 1988. - 343 с.

Gliklikh Yu. E. Stochastic Differential Inclusions of Langevin Type on Riemannian Manifolds / Yu. E. Gliklikh, A. V. Obukhovskii // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization. - 2001. - Vol. 21. - No. 2. - P. 173-190.

Pettersson R. Existence theorem and Wong-Zakai approximations for multivalued stochastic differential equations // Probability and Mathematical Statistics. - 1997. - Vol. 17. No. 1. - P. 29-45.