Исследование свойств спектральных моделей электромеханических систем горных машин в базисе ортонормированных функций Чебышева-Эрмита

© В.Л. Петров, 2012

УДК 622.23.05:510.67 В.П. Петров

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ СПЕКТРАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ГОРНЫХ МАШИН В БАЗИСЕ ОРТОНОРМИРОВАННЫ1Х ФУНКЦИЙ ЧЕБЫШЕВА-ЭРМИТА

Исследован класс математических моделей электромеханических систем горных машин, основанным на преобразованиях Фурье в негармоническом базисе орто-нормированных функций.

Ключевыю слова: горное дело, горные машины, математические модели, спектральные модели, ортонормированные функции Чебышева-Эрмита, преобразование Фурье.

Развитие современных машин и оборудования горнопромышленного комплекса характеризуется тенденциями увеличения производительности машин (увеличением их энергоемкости и быстроходности, сокращением времени протекания переходных процессов), ростом нагрузок, точности, экономичности и надежности. Удовлетворение этим достаточно противоречивым требованиям возможно только за счет проведения анализа всех основных силовых факторов, относящегося к классу задач динамики машин и механизмов. Конструкторские разработки в сочетании с решением задач динамики позволяют на стадии проектирования машины определить ее рациональную структуру, оценить точностные, прочностные и энергетические характеристики, обосновать технологические решения для ее изготовления.

Таким образом, выбор структуры и параметров машины, основанный на анализе протекающих в ней динамических процессов решает проблему повышения надежности машины и улучшения её экономических показателей.

Современные ЭМС горных машин представляют собой сложную многокомпонентную совокупность взаимодействующих подсистем и элементов различной природы. Динамические характеристики ЭМС большинства горных машин под воздействием внешних факторов приобретают свойства изменчивости, что в значительной степени определяется условиями эксплуатации оборудования, характером нагрузок в ЭМС, а также специфическими свойствами технологических процессов работы оборудования. В то же время исследователи и разработчики ЭМС и систем управления ими должны быть обеспечены достоверными данными о динамических характеристиках ЭМС. Поэтому возникает проблемы разработки единых подходов к анализу процессов в компонентах ЭМС и в системе в целом.

Известные в настоящее время методы анализа большинства классов электромеханических систем (ЭМС) в зависимости от формы математического описания можно разделить на четыре основные группы: методы на основе аппарата дифференциальных и разностных уравнений (линейных и нелинейных); методы, основанные на аппарате интегральных уравнений и соответствующих им

дискретных аналогов для цифровых систем; методы, основанные на анализе с помощью интегральных преобразований, из которых наиболее часто используются преобразования Лапласа и Фурье; методы, основанные на спектральных формах представления математических моделей. Характеристиками таких систем являются соответственно дифференциальные операторы, импульсные переходные характеристики (ИПХ) (ядра интегральных уравнений), передаточные функции (комплексные частотные характеристики), спектральные характеристики относительно выбранных или синтезированных базисных функций разложения.

Управляемые ЭМС современных горных машин имеют развитую механическую систему, которую в большинстве случаев стараются привести к линейным динамическим системам с линейными голономными связями стационарного типа [1]. Уравнения движения таких механических систем устанавливаются с помощью дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

Дифференциальные уравнения, описывающие процессы в ЭМС и ее компонентах, являются наиболее распространенной формой математического описания ЭМС. При представлении моделей ЭМС исследователи традиционно используют нормальную форму Коши для дифференциальных уравнений или реализуют процедуру приведения к этой форме [2]. В монографии [3] приведен универсальный алгоритм приведения дифференциальных уравнений к нормальной форме Коши.

При описании математических моделей, представляемых в виде систем дифференциальных или интегральных уравнений, конструирование моделей осуществляется на основе включения в общую систему (структурную схему) новых уравнений, описывающих динамику отдельных компонентов ЭМС, а также топологического определения взаимодействия между компонентами. При этом разработчик или исследователь должен решить принципиальную задачу уровня детализации модели. Необходимо определить, характеристики каких компонентов или процессов оказывают (не оказывают) влияние на динамику ЭМС в целом. В большинстве случаев эта задача решается на основе данных экспериментальных исследований, путем проведения специальных испытаний.

Под воздействием технологических факторов динамические характеристики ЭМС значительного класса горных машин приобретают свойства изменчивости, что приводит к изменению режимов работы машин, снижению производительности и показателей надежности. Все это приводит к необходимости разработки единообразного математического и алгоритмического обеспечения определения динамических характеристик ЭМС горных машин.

В последние годы в связи с интенсивным развитием средств вычислительной техники значительное развитие получили методы создания моделирующих комплексов различного назначения на основе спектрального представления сигналов и динамических характеристик систем [10-16]. При этом в качестве проекционных и функциональных базисов исследователи все чаще используют функции, не являющиеся тригонометрическими. Эти методы позволяют решать большую часть прикладных задач для модельных объектов, сводя их к задачам линейной алгебры [8-16].

Использование линейных интегральных преобразований Лапласа и Фурье позволяет значительно упрощать решение систем дифференциальных и интегральных уравнений, получать аналитические решения, использовать для син-

теза систем управления методы линейной алгебры и реализовывать методы частотного анализа. Преобразования Лапласа сформировали целый класс операторных моделей ЭМС, а также одну из самых распространенных в инженерной и исследовательской практике разновидностей представления математических моделей ЭМС - структурные операторные схемы.

Главными достоинствами спектральных методов являются:

• сведение операций над сигналами (в том числе интегрирования, дифференцирования) к алгебраическим операциям над числами (компонентами спектральных моделей);

• универсальность по отношению к классу моделируемых систем. Аппарат спектральных преобразований используется для моделирования одномерных и многомерных систем; стационарных и нестационарных систем; систем с распределенными и сосредоточенными параметрами; систем с запаздыванием и без запаздывания; систем, процессы в которых описываются разностными уравнениями; нелинейных систем;

• высокая алгоритмическая адаптация для реализации алгоритмов в системах с микропроцессорным управлением.

Исследуем некоторые аспекты формирования моделей (СМ) двухмассовых электромеханической системы (ДЭМС) на основе спектрального разложения импульсной переходной характеристики (ИПХ) в базисе синтезированных преобразованных ортонормированных функций Чебышева-Эрмита (СПОФЧЭ)[4-6]. С этой целью используем:

1. Дифференциальное уравнение разомкнутой ДЭМС:

З Л + "К-(2 )= Мй

йю2 / \ 32 ~йи -"1 "К-К2) = -М

с

йМ

а й е

й!М 7

и-ю, • к)• к = М ,+ Т--й

где ^, ^2 - моменты инерции первой и второй масс ДЭМС; с\ - коэффициент жесткости связи между первой и второй массами ДЭМС; ю,, (р,, Ю-,, ^2 -

координаты (угловая скорость и угол поворота) первой и второй масс ДЭМС; к , к а , Те - конструктивные постоянные электродвигательного устройства;

Мй - момент электродвигательного устройства; М- момент сопротивления

на исполнительном органе; и - координата управления. 2. Выражение для СМ ИПХ ДЭМС в базисе СПОФЧЭ

Ив(т) = £дДе, (и, Г) = £

О_^_е^ • £ (-1)кГ(? +1) (2шу-2к

V 2' Г

где Ив (и,t) - СПОФЧЭ; Г( ) - гамма функция Эйлера; и - масштабный параметр; ^ - коэффициенты разложения ИПХ ДЭМС, / - порядок модели. 3. Критерий для определения достоверных СМ ДЭМС -

ыт |а-н2 }=ыт

,

ёт

[

к е{т)ёт

Определение СМ ИПХ канала управления ДЭМС осуществим при следующих значениях параметров ДЭМС: Я = 0,112 Ом, Ь = 0,0031 Гн,

я

я

кс = 4,298, J1 = 5 кг • м2 , J1 = 2,5 кг • м2 , ^ = 1,33103Н • м , ю1с = 28,25с 1. Корни характеристического уравнения имеют вид: р^ ^ =-10,36±31,308• у,

р12 =-7,7±22,89у , где у = 4-1 .

Построим зависимости СМ ИПХ канала управления ДЭМС от значений масштабного параметра при различных порядках СМ (рисунок, где э1дН(и,4)-/=4; з1дН(и,8)-/=8; з1дН(и,12)-/=12; з1дН(и,16)-/=16).

Сравнение полученных зависимостей с аналогичными, установленными для других типов функций Чебышёва [2-4], позволяет сделать вывод о том, что СМ ДЭМ в базисе СПОФЧЭ обладают меньшей размерностью при достижении одинаковых условий достоверности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вейц В.Л., Царев Г.В. Динамика и моделирование электромеханических приводов. - Саранск: Издательство Мордовского государственного университета, 1992.

2. Башарин А.В., Постников Ю.В. Примеры расчета автоматизированного электропривода на ЭВМ. - Д.: Энергоатомиздат, 1990.

3. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. - М.: Догос, 2000.

4. Петров В.Л. Параметрическая идентификация линейных динамических систем на основе ортонормированных функций Чебышева-Эрмита// Обозрение прикладной и промышленной математики. т.10 вып. 3, 2003 г., с.730-732.

5. Петров В.Л. Ортогональные модели электромеханических систем с жесткой связью электродвигательного устройства с рабочим органом// Горный информационный аналитический бюллетень, - №4, МГГУ, 2002, с.5-8.

6. Петров В.Л. Исследование влияния степени колебательности электромеханических систем на процедуру синтеза спектральных моделей импульсной переходной характеристики в базисе ортонормированных функций// Обозрение прикладной и промышленной математики, т.11, вып. 3, 2004, с.577-578.

7. Петров В.Л. Обоснование класса модельно-проекционных функциональных оболочек для непараметрической идентификации моделей колебательных электромеханических систем// Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 13, вып.5, 2006, с.329-331.

8. Синтез адаптивного регулятора в электромеханической системе на основе параметров спектральной модели в базисе функций Чебышева Дежандра// Обозрение прикладной и промышленной математики, т.16, вып.3, 2009, с.552-553.

9. Александровский Н.М., Глазков В.И., Горинов В.В. и др. Аппаратура для статистического анализа динамических характеристик сложных объектов. - Идентификация и аппаратура для статистических исследований. - М.: Наука, 1970.

10. Бабич В.М., Григорьева Н.С. Ортогональные разложения и метод Фурье. - Д.: Издательство ДГУ, 1983.

11. Бессонов А.А., Загашвили Ю.В., Маркелов А.С. Методы и средства идентификации динамических объектов. - Д.: Энергоатомиздат, 1989.

12. Петров В.Л. Идентификация моделей электромеханических систем с использованием с использованием спектральных методов анализа в базисах непрерывных ортонормиро-ванных функций. - М.: Мехатроника, автоматизация, управление. - №10, 2003, с. 29-36.

13. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. - Минск: Наука и техника, 1978.

14. Трофимов А.И., Егупов Н.Д., Дмитриев А.Н. Методы теории автоматического управления, ориентированные на применение ЭВМ. - М.: Энергоатомиздат, 1997.

15. Heuberger P.S.C., Hof V., Bosgra O.H. A Generalized Orthonormal Basis for Linear Dynamical Systems. - IEEE Transactions on Automatic Control. - Vol. 40, No. 3, 1995, pp. 451-465.

16. МдкИд P.M., Partington J.R. On Linear Models for Nonlinear Systems. - Automática. Vol. 39, pp.1-13, 2003. EJE

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -

Петров Вадим Леонидович - доктор технических наук, профессор, проректор, Московский государственный горный университет, Moscow State Mining University, Russia, ud@msmu.ru