Спектральный анализ одного класса разностных операторов с растущим потенциалом

Math2015, vol. 284, pp. 202-215. DOI: 10.1016/ j.cam.2014.09.015.

6. Lopez G., Marcelian F., Van Assche W. Relative asymptotics for polynomials orthogonal with respect to a discrete Sobolev inner-product. Constr. Approx., 1995, vol. 11, iss. 1, pp. 107-137. DOI: 10.1007/BF01294341

7. Gonchar A. A. On convergence of Pade approxi-mants for some classes of meromorphic functions. Math. USSR-Sb., 1975, vol. 26, iss. 4, pp. 555-575. DOI: 10.1070/SM1975v026n04ABEH002494.

8. Sharapudinov I. I. Approximation properties of the operators Yn+2r (f) and of their discrete analogs. Math. Notes, 2002, vol. 72, iss. 5, pp. 705-732. DOI: 10.1023/A:1021421425474.

9. Sharapudinov I. I. Smeshannye rjady po ortogo-nal'nym polinomam. Teorija i prilozhenija [Mixed series of orthogonal polynomials. Theory and Applications]. Makhachkala, Dagestan Scientific Center RAS, 2004. 276 p. (in Russian).

10. Sharapudinov I. I. Mixed series of Chebyshev polynomials orthogonal on a uniform grid. Math. Notes, 2005, vol. 78, iss. 3, pp. 403-423. DOI: 10.1007/s11006-005-0139-3.

11. Sharapudinov I. I. Approximation properties of

mixed series in terms of Legendre polynomials on the classes Wr. Sb. Math., 2006, vol. 197, no. 3, pp. 433-452. DOI: 10.1070/SM2006v197n03 ABEH003765.

12. Sharapudinov I. I. Approximation properties of the Valle - Poussin means of partial sums of a mixed series of Legendre polynomials. Math. Notes, 2008, vol. 84, iss. 3-4, pp. 417-434. DOI: 10.1134/S0001434608090125.

13. Gadzhieva Z. D. Smeshannye riady po polinomam Meiksnera : Diss. ... kand. fiz.-mat. nauk [Mixed series of Meixner polynomials : Diss. phys. and math. sci.]. Saratov State Univ., Saratov, 2004. 103 p. (in Russian).

14. Sharapudinov I. I. Special (mixed) series of the classical Laguerre polynomials and some of their applications. Poriadkovyi analiz i smezhnye vo-prosy matematicheskogo modelirovaniia : tez. dokl. XII Mezhdunar. nauch. konf. [Sequential analysis and related questions of mathematical modeling: Book of Abstracts of the XII Intern. Sci. Conf.] (village Tsey, 12-18 July 2015 ). Vladikavkaz, UMI VSC RAS, pp. 48-49 (in Russian).

Please cite this article in press as:

Gadzhimirzaev R. M. The Fourier Series of the Meixner Polynomials Orthogonal with Respect to the Sobolev-type Inner Product. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 388-395 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-388-395.

УДК 517.19

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОДНОГО КЛАССА РАЗНОСТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

С РАСТУЩИМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Г. В. Гаркавенко1, Н. Б. Ускова2

1 Гаркавенко Галина Валериевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информатики и методики преподавания математики, Воронежский государственный педагогический университет, g.garkavenko@mail.ru 2Ускова Наталья Борисовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики и физико-математического моделирования, Воронежский государственный технический университет, nat-uskova@mail.ru

В работе метод подобных операторов применяется для спектрального анализа разностного замкнутого оператора вида (Ах)(п) = х(п + 1) + х(п - 1) - 2х(п) + а(п)х(п),п е рассматриваемого в гильбертовом пространстве 12 (Ъ) двусторонних последовательностей комплексных чисел с растущим потенциалом а : Z ^ С. Получены асимптотики собственных значений, собственных векторов, оценки равносходимости спектральных разложений для исследуемого оператора и оператора умножения на последовательность а : Z ^ С. Для исследования рассматриваемого оператора он представляется в виде А - В, где (Ах)(п) = а(п)х(п),п е Ъ,х е ¿2с естественной областью определения. Этот оператор является нормальным с известными спектральными свойствами и выступает в качестве невозмущенного оператора в методе подобных операторов. В качестве возмущения выступает ограниченный оператор (Вх)(п) = —х(п + 1) - х(п - 1) + 2х(п),п е Z, х е

Ключевые слова: метод подобных операторов, спектр, разностный оператор, спектральные проекторы. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-4-395-402

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим гильбертово пространство двусторонних комплексных последовательностей 12 (Ж) со

скалярным произведением (х,у) = ^ х(п)у(п), где х, у <Е 12(Ж), х : Ж ^ С, у : Ж ^ С, и нор-( ™ \ 1/2

зададим линейный замкнутый оператор A : D(A) с 12(Z) ^ 12(Z) формулой

с областью определения D(A) с 12(Z) вида

D(A) = j x G l2(Z) : ^ |a(n)|2|x(n)|2 < œ 1 ,

l n£Z )

где a : Z ^ C — последовательность, обладающая свойствами:

1) a(i) = a(j) при i = j, i, j G Z;

2) lim |a(n)| = œ;

3) 0 < di = infi=j |a(i) — a(j)| ^ œ, |i| ^ œ.

Символом p(A) обозначим резольвентное множество оператора A, а символом a(A) — его спектр. Из условий на последовательность a : Z ^ C следует, что a"(A) = {a(n), n G Z}, т.е. спектр оператора A состоит из простых изолированных собственных значений. Если число Ао не совпадает ни с одним a(n), то А0 G p(A), и оператор (A — А0I)-1 : 12(Z) ^ 12(Z) действует по формуле ((A — А01)-1 x)(n) = ((a(n) — А0)-1 x)(n), n G Z. Такой оператор является нормальным компактным оператором. Поэтому оператор A также является нормальным оператором.

Рассмотрим самосопряженный ограниченный оператор B : 12(Z) ^ 12 (Z) вида

Рассматриваемый класс разностных операторов и их матриц соответствует уравнениям Штурма -Лиувилля при их дискретизации [1].

Основные результаты статьи содержатся в следующих теоремах.

Теорема 1. Существует такое целое число k ^ 0, что спектр a(A — B) оператора A — B представим в виде

a

где и(k) содержит не более чем 2k + 1 собственных значений, и = {pi}, |i| > k — одноточечные множества, и имеют место следующие асимптотические формулы:

Pi = a

a(i + 1) — 2a(i) + a(i — 1) -2

Pi = a

(a(i + 1) — a(i))(a(i — 1) — a(i)) i

Соответствующие собственные векторы ëi, |i| > k, образуют базис Рисса в 12(Z) и допускают асимптотическую оценку

где

1, i = j, Di (j )=<(a(i ± 1) — a(i))-1, j = i ± 1,

0, в остальных случаях,

C > 0 — некоторая константа.

Обозначим символом Pn, n G Z, проектор Рисса, построенный по спектральному множеству {a(n)}, n G Z, оператора A, т.е. Pn = P({a(n)},A), а символом Pn, n G Z, проектор Pn = P({pn}, A — B). Здесь числа pn, |n| ^ k, определяются формулами (4) или (5).

ж

п= — ж

Теорема 2. Для спектральных проекторов Pi, \i\ > k имеют место оценки

N N

|\£ Pi Pi \\ = O

i^m i^m

где m > k, N > m, N e N. Имеют место следующие оценки равносходимости спектральных разложений:

i i

\\P

где I > k и множество U(k) определено в теореме 1.

Исследовать оператор A - B будем методом подобных операторов, который и изложим в адаптированном для рассматриваемого случая виде. Отметим, что для анализа спектральных свойств операторов, близких к оператору A - B, метод подобных операторов ранее не применялся.

1. О МЕТОДЕ ПОДОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Метод подобных операторов берёт начало из работ А. Пуанкаре, А. А. Ляпунова, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, К. Фридрихса, Р. Тернера и окончательно оформляется в работах А. Г. Баскакова [2-5]. Мы будем придерживаться идеологии и методологии работы [5]. Обычно метод подобных операторов применяется для получения спектральных характеристик дифференциальных операторов (см. например [6-11]).

Линейные операторы, действующие в пространстве операторов, будем согласно терминологии М. Г. Крейна называть трансформаторами. Наиболее важным понятием метода подобных операторов является понятие допустимой тройки.

Пусть H — сепарабельное гильбертово пространство и EndH — банахова алгебра ограниченных линейных операторов, действующих в H.

Определение 1 (см. [5]). Пусть J : EndH ^ EndH, Г : EndH ^ EndH — трансформаторы. Тройку (EndH, J, Г) назовём допустимой для невозмущенного оператора A, а EndH — допустимым пространством возмущений, если

1) J и Г — непрерывные трансформаторы, причём J — проектор;

2) (ГХ)(D(A)) С D(A), при этом

AFX - ГXA = X - JX, X e EndH

и Y = ГX e EndH — единственное решение уравнения AY - YA = X - JX, удовлетворяющее условию JY = 0;

3) существует постоянная y > 0 такая, что \\Г\\ ^ y, max{\\XГY\\, \\TXY\\} ^ y\\X\\\\Y\\;

4) для любого X e EndH и е> 0 существует Ае e p(A) такое, что \\X(A - АеI)-1 \\ < е.

Теорема 3 (см. [5]). Пусть (EndH, J, Г) — допустимая тройка для оператора A : D(A) с H ^ ^ H и B — некоторый оператор из EndH. Тогда если y\\B\\ < 1/4, то оператор A - B подобен оператору A - JX*, где оператор X* e EndH является решением нелинейного операторного уравнения

X = BГX - ^X)

Решение X* может быть найдено методом простых итераций X0 = 0, X1 = B,.... (Оператор Ф: EndH ^ EndH, определённый правой частью равенства (10), является сжимающим в шаре {X e EndH : \\X - B\\ < 3\\B\\}). Преобразование подобия оператора A - B в оператор A - JX* осуществляет оператор I + TX* e EndH.

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ ИСХОДНОГО ОПЕРАТОРА

В этом параграфе символом H будет обозначаться гильбертово пространство 12(Z). Отметим, что в дальнейшем удобно будет пользоваться матричным представлением операторов A и B, определённых формулами (1) и (2) соответственно.

Собственными векторами оператора A являются базисные векторы en, n е Z, а соответствующие спектральные проекторы задаются формулой Pnx = (x,en)en.

Представим оператор A — B в виде A — B = A — B, где (Ax)(n) = a(n)x(n) + 2x(n), (Bx)(n) = x(n — 1) + x(n + 1). Очевидно, что D(A) = D(A). Тогда o-(A) = {a(n) + 2,n е Z}, собственные векторы и спектральные проекторы у оператора A те же, что и у оператора A. B е EndH, ||B|| = 2, и главная диагональ у матрицы оператора B нулевая.

Перейдём к определению трансформаторов J : EndH ^ EndH и Г : EndH ^ EndH. Положим

JX = PnXPn, X е EndH.

пег

Очевидно, что трансформатор J диагонализует матрицу оператора X и JB = 0 в силу определения оператора B.

Перепишем равенство (9) для матричных элементов матрицы Y = (ylm), где Y = ГХ:

a(1)yim — yim a(m) = x^m, l = m,

откуда

xlm /-.-.ч У1т = —Ту.-f-^T

a

и уц = 0, l е Z. Так как a(l) = a(m) при l = m, то формула (11) корректна. Таким образом, матричные элементы оператора Y = ГХ определены. При этом Y е EndH и

p p

Здесь для вычисления нормы оператора ГХ используется оценка нормы оператора, обратного к оператору коммутирования. Эта оценка является следствием более общих оценок, приводимых в [2, теорема 1.3]. В случае если A — самосопряженный оператор, c = п/2 [2, теорема 1.3, а]. В случае если A — нормальный оператор, точное значение константы c неизвестно, известны лишь её оценки: c < 5 [2, теорема 1.3, б]. Так как мы далее получаем асимптотические оценки, то в дальнейшем изложении эти оценки не используются.

Пусть Qk = J2 Pi. Наряду с трансформаторами J и Г рассмотрим семейство трансформаторов Jk H^fc

и Гк, k ^ 0, задаваемых формулами

JkX = ^ РгХРг + QkXQk,

Гк X = ГХ — ^Qk XQk) = ГХ — Qk

Ясно, что J0X = JX, ГoX = ГX.

Замечание 1. Из формул (11)—(13) следует, что операторы J, Г и Jk, Tk не изменятся, если вместо оператора A рассматривать оператор А — А01, где А0 е p(A). Отметим, что D(A) = D(A — А01).

Лемма 1. Тройка (End12 (Z), Jk, Гk) является допустимой для оператора A тройкой при любом k ^ 0.

Доказательство. Выполнение условия 1) и равенства (9) определения 1 вытекает непосредственно из построения операторов Jk : EndH ^ EndH и Tk : EndH ^ EndH, k ^ 0.

Проверим выполнение условия ^X)(D(A)) С D(A), для этого нам потребуется семейство проекторов Qn = J2 Pi, где n > k,n ^ го. Возьмем x е 12(Z). В случае когда A является обра-

тимым оператором, имеем A-1x е D(A). Пусть x0 = ГkXA-1x, покажем, что x0 е D(A). Рассмотрим семейство операторов AL(QnГkX)AL-1, k ^ 0, и представим их на векторе x е 12(Z) в

виде yn = a4(Q„ГкX)А-1ж = Q„TkXx + Qn(X - JkX)А-1 x. Так как lim QnГкXx = ГкXx,

n —

lim Qn(X - JkX)А-1 x = (X - JkX)A-1 x, то lim yn = А(ГкX)Ä-1x = y0,y0 G l2(Z). Тогда в

силу замкнутости оператора A имеем xo G D(Ä) и a4xo = y0.

Если же оператор А необратим, то при доказательстве вместо A рассмотрим оператор A — X0I, А0 G р(А), и учтем замечание 1.

Перейдем к условию 3) определения 1.

Элементы матрицы оператора ГкX также определяются формулой (11) при max{l,m} > k и yim = 0, в противном случае, или при l = m, что следует из формулы (13) (т. е. у матрицы оператора ГкX нулевая главная диагональ и центральный блок размера 2k + 1).

Для получения оценок на норму оператора Гк снова обратимся к работе [2] и рассмотрим оператор adAY = AY — YA, Y G EndH. Представим пространство EndH как прямую сумму подпространств EndH = Im Jk ф Ker Jk и adA| im Jk = 0, обозначим adA|Ker Jk = Ак. Тогда опять же из [2] получаем,

что ГкX = А-1, и так как а(Ак) = {А^ — Aj}, где i > k или (и) j > k, то ||Гк|| = ||А-11| ^ —.

dk

Условие 4) выполняется ввиду того что величину ||(А — ASI)-1|| можно сделать малой за счёт

подходящего выбора числа Ае G р(А). А именно Ае берём такое, что р(Ае,а(к)) ^ . Здесь через

р(Ае,а(А)) обозначено расстояние от точки Ае до спектра оператора А.

Теорема 4. Существует такое k ^ 0, что оператор А — B подобен оператору блочно-диагонального вида А — JkX,, т. е.

(А — B)(I + Гк X,) = (I + Гк X,)(Ä — Jk X,),

где оператор X, есть решение уравнения (9) с Гк и Jk и возмущением B.

Так как по условию dn ^ ж при n ^ ж, то теорема 4 вытекает из леммы 1 и теоремы 3.

Замечание 2. Оператор B таков, что JB = 0, JkB = 0. Матрица оператора BrB имеет пятидиа-гональную структуру, у неё являются ненулевыми —2, 0, 2 диагонали, остальные диагонали равны нулю. Кроме того, непосредственно из определения операторов Jk и Гк следует, что Jk((ГкX,)JkB) = 0 и Jk ((ГкX,)Jk (ВГкX,)) = 0.

Если X =

z = x (i 1) j__I x(i+1)j

а(г — 1) — а(2) а(г + 1) — а(2)' а оператор ВГкX* отличается от £>ГХ* на оператор конечного ранга. Поэтому ^1 = с^"1, ^1 = cd~x, |г|,21 > к, 2 = г ± 13. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Доказательство теоремы 1. Из подобия операторов А — В и А — ЗкX* следует, что спектр оператора А — В (и Ак — ЗкX*) допускает представление (3), где аг = а(Аг) и Аг = (а (г) + 2)1 — РгХ*|н., |г| > к, Нг = 1тРг. Таким образом, для асимптотической оценки собственных значений оператора Ак — В нам нужен оператор РгХ*|н., но нам известен не сам оператор X*, а последовательные приближения к нему, причём первым приближением является оператор В. Второе приближение имеет вид ВГк В — Гк В Зк В — Гк В Зк (ВГк В) (и так далее).

Представим оператор P^X*|нi в виде (РгВ + Рг(X* — В))|н., при этом РгВ|н. = 0, |г| > к. Из уравнения (10) следует, что

X* — В = ВГк X* — (Гк X*) Зк (ВГк X*), при этом Рг(X* — В)|н = Рг(ВГкX*)|H.. Здесь учтено замечание 2, следовательно,

У^ Bii (ГкX, )ii

-1

Таким образом, оценка (4) имеет место. Оценка (5) устанавливается аналогично, если в качестве X* берём второе приближение к нему и учитываем, что

*(Вг*В)|«- = («(, -11 - «(,) + „.(, + 11 - „(о) Л |г| >к

Перейдём к оценкам собственных векторов. Так как ГкX* е Еп^Н при всех к ^ 0, то собственные векторы оператора А — В образуют базис Рисса в пространстве Н. Опять же из подобия операторов следуют соотношения

ёг = (I + ГкX,)ei = ег + rfcВег + ^(X, - B)ei = yP + Гк(X, - B)ei, |i| > k,

где ei — собственный вектор оператора A-B, отвечающий собственному значению ^, определенному формулой (4), а ei — собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению a(i) + 2, |i| > k. Отметим, что ei также является вектором стандартного базиса пространства 12(Z). Так как ГкBei есть i-столбец матрицы ГкB, то

ГkBei = (о,..., 0, -—г1-р-, 0, ——1-р-, 0,...) ,

[ a(i - 1) - a(i) a(i + 1) - a(i) J

и вектор yi = ei + ГкBei определяется формулой

yi(k) =

1, i = k,

(a(i ± 1) - a(i))-1, k = i ± 1,

0, в остальных случаях,

при этом |ei - yi| = O(d- ).

Лемма 2. Пусть имеет место теорема 1. Для спектральных проекторов Pi = PA - B)), |i| > k, и Qk = рр имеют место формулы

r-1 1 rX, pi U

Qk = Qk U-1 + rX, Qk U-1,

P = PiU-1 + rX,PiU-1, |i| >k, U = I + rX,,

Qk = Qk U-1 + rX, Qk U-1,

P - Pi =

Qk - Qk =

Доказательство. Из подобия операторов A - B и A - JkX, следует, что спектральные проекторы Pi, |i| > k, оператора A (или оператора A) и спектральные проекторы Pi = P(5, A - B) связаны равенством

Pi = (1 + Tk X, )Pi(1 + Tk X,)-1,

откуда и следуют формулы (14), (16). Аналогично получаются формулы (15), (17) для проектора Qk.  Доказательство теоремы 2. Из леммы 2 следует, что

поэтому верно (6).

Обозначим символом О произвольное множество из Ж\{—к,..., —1,0,1,...,к}. Для множества △ = Д(О) = {Ап, п е О} проектор Рисса Р(Д, А) определим равенством Рдж = Р(Д, А)х = Рпх,

U"

nGfi

x G H. Аналогично Ä = Ä(O) = {дп, n G О}, PAx = P(Ä, A)x = Pnx, x G H.

nGfi

и

Г. В. Гаркавенко, t1. Б. Ускова. Спектральный анализ одного класса разностных операторов

Из подобия операторов A - B и A - JkX, следуют равенства

Pa = (I + Tk X, )PA(1 + Tk X,)-1, Pa - Pa = (TkX,Pa - PaTkX,)(1 + TkX,)-1.

Следовательно,

Оператор (I+TkX,)-1 ограничен, а нормы ||TkX,Pa||, ||PaTkX,|| оцениваются величиной C(d(O))-1, где d(O) = mindi, ||Pa - Pa|| = O(d-1 (О)). В формуле (7) берем в качестве О множества

iEß

О = {m, m + 1,..., N}, m > k, N > k. А в формуле (8) О = {n : |n| > l}, где l > k.

Определение 2 (см. [12]). Пусть C : D(C) С H ^ H — линейный оператор, спектр которого представим в виде объединения

5

взаимно непересекающихся компактных подмножеств из 5k, k e Z, и Pk — проектор Рисса, построенный по множеству 5k. Оператор C называется спектральным относительно разложения (18) или обобщенно спектральным, если ряд Pkx сходится для любого вектора x e H.

kGZ

Отметим, что если 5k = {Ak}, k e Z, — одноточечные множества, а проекторы Pk, k ^ 0, обладают свойством CPk = AkPk, k e Z, исключая конечное число, то оператор C является спектральным по Данфорду, причём C — спектральный оператор скалярного типа, если CPk = AkPk при всех k e Z.

Следствие 1. Оператор A - B является спектральным относительно разложения (3).

Пример. Пусть числа a(n), n e Z, таковы, что a(n) = c1  sign(n)|n|a + c2, а > 1, и оператор B определен равенством (2). Тогда имеют место теоремы 1 и 2 об асимптотической оценке собственных векторов, собственных значений и спектральных проекторов оператора A - B. Заметим, что в этом случае di = 1i|а 1, а > 1, di ^ го при |i| ^ го.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 16-01-00197).

Библиографический список

1. Мусилимов Б., Отелбаев М. Оценка наименьшего собственного значения одного класса матриц, соответствующих разностному уравнению Штурма - Лиувилля // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1981. Т. 21, № 6. С. 1430-1434.

2. Баскаков А. Г. Методы абстрактного гармонического анализа в теории возмущений линейных операторов // Сиб. матем. журн. 1983. Т. 24, № 1. С. 21-39.

3. Баскаков А. Г. Теорема о расщиплении оператора и некоторые смежные вопросы аналитической теории возмущений // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. Т. 50, № 3. С. 435-457.

4. Баскаков А. Г. Спектральный анализ возмущенных неквазианалитических и спектральных операторов // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. Т. 54, № 4. С. 3-32.

5. Баскаков А. Г., Дербушев А. В., Щербаков А. О. Метод подобных операторов в спектральном анализе несамосопряженного оператора Дирака с негладким потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. Т. 75, № 3. С. 3-28. 001: 10.4213/!ш4202.

6. Ускова Н. Б. О спектральных свойствах оператора Штурма - Лиувилля с матричным потенциалом //

Уфимск. матем. журн. 2015. Т. 7, № 3. С. 88-99.

7. Поляков Д. М. Спектральный анализ несамосопряженного оператора четвертого порядка с негладкими коэффициентами // Сиб. матем. журн. 2015. Т. 56, № 1. С. 165-184.

8. Баскаков А. Г. Оценки функции Грина и параметров экспоненциальной дихотомии гиперболической полугруппы операторов и линейных отношений // Матем. сб. 2015. Т. 206, № 8. С. 23-62. 001: 10.4213/зш8193.

9. Гаркавенко Г. В. О диагонализации некоторых классов линейных операторов // Изв. вузов. Ма-тем. 1994. № 11. С. 14-19.

10. Ускова Н. Б. К методу подобных операторов в банаховых алгебрах // Изв. вузов. Матем. 2005. № 3 (514). С. 79-85.

11. Ускова Н. Б. О спектральных свойствах одного диффнренциального оператора второго порядка с матричным потенциалом // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52, № 5. С. 579-588.

12. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы : в 3 т. Т. 3 : Спектральные операторы. М. : Мир, 1974. 664 с.

Образец для цитирования:

Гаркавенко Г. В., Ускова Н. Б. Спектральный анализ одного класса разностных операторов с растущим потенциалом // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 4. С. 395-402. 001: 10.18500/1816-9791-2016-16-4-395-402.

Spectral Analysis of a Class of Difference Operators with Growing Potential

G. V. Garkavenko1, N. B. Uskova2

1 Galina V. Garkavenko, Voronezh State Pedagogical University, 86, Leninastr., 394043, Voronezh, Russia, g.garkavenko@mail.ru 2Natal'ya B. Uskova, Voronezh State Technical University, 14, Moskovskiy Prospect str., 394026, Voronezh, Russia, nat-uskova@mail.ru

The similar operator method is used for the spectral analysis of the closed difference operator of the form (Ax)(n) = x(n + 1) + x(n - 1) - 2x(n) + a(n)x(n),n e Z under consideration in the Hilbert space I2(Z) of bilateral sequences of complex numbers, with a growing potential a : Z ^ C. The asymptotic estimates of eigenvalue, eigenvectors, spectral estimation of equiconvergence applications forthetest operator and the operator of multiplication by a sequence a : Z ^ C. For the study of the operator, it is represented in the form of A - B, where (Ax)(n) = a(n)x(n), n e Z, x e I2(Z) with the natural domain. This operator is normal with known spectral properties and acts as the unperturbed operator in the method of similar operators. The bounded operator (Bx)(n) = -x(n +1) - x(n - 1) + 2x(n), n e Z, x e I2(Z), acts as the perturbation.

Key words: similar operator method, spectrum, difference operator, spectral projections.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 16-01-00197).

References

1. Musilimov B., Otelbaev M. Estimation of the least eigenvalues for the matrix class corresponding to the Sturm-Liouville difference equation. U.S.S.R. Comput. Math. Math. Phys., 1981, vol. 21, iss. 6, pp. 68-73. DOI: 10.1016/0041-5553(81)90151-8.

2. Baskakov A. G. Method of abstract harmonic analysis in the theory of perturbation of linear operators. Siberian Math. J., 1983, vol. 24, no. 1, pp. 1732 (in Russian).

3. Baskakov A. G. A theorem on splitting an operator, and some related questions in the analytic theory of perturbations. Math. USSR-Izv., 1987, vol. 28, iss. 3, pp. 421-444. DOI: 10.1070/IM1987v028n03ABEH000891.

4. Baskakov A. G. Spectral analysis of perturbed nonquasianalytic and spectral operators. Russian Acad. Sci. Izv. Math., 1995, vol. 45, iss. 1, pp. 131. DOI: 10.1070/IM1995v045n01ABEH001621.

5. Baskakov A. G., Derbushev A. V., Shcherbakov A. O. The method of similar operators in the spectral analysis of non-self-adjoint Dirac operators with non-smooth potentials. Izv. Math., 2011, vol. 75, iss. 3, pp. 445-469. DOI: 10.1070/IM2011v075n03ABEH002540.

6. Uskova N. B. On spectral properties of Shturm -Liouville operator with matrix potential. Ufa

Math. J., 2015, vol. 7, iss. 3, pp. 84-94. DOI: 10.13108/2015-7-3-84.

7. Polyakov D. M. Spectral analiysis of a forth-order nonsefaioint operator with nonsmoth coefficients. Siberian Math. J., 2015, vol. 56, iss. 1, pp. 138154. DOI: 10.1134/S0037446615010140.

8. Baskakov A. G. Estimates for the Green's function and parameters of exponential dichotomy of a hyperbolic operator semigroup and linear relation. Sb. Math., 2015, vol. 206, no. 8, pp. 1049-1086. DOI: 10.1070/SM2015v206n08ABEH004489.

9. Garkavenko G. V. On diagonalization of certian classes of linear operator. Russian Math. (Iz. VUZ), 1994, vol. 38, iss. 11, pp. 11-16.

10. Uskova N. B. On the method of similar operators in Banach algebras. Russian Math. (Iz. VUZ), 2005, vol. 49, iss. 3, pp. 75-81.

11. Uskova N. B. On the spectral properties of a second-order differential operator with a matrix potential. Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 5, pp. 557-567.

12. Danford N., Schwartz J. T. Linear Operators. Pt. III : Spectral Operators. New York, Interscience Publ., 1971. 689 p.

Please cite this article in press as:

Garkavenko G. V., Uskova N. B. Spectral Analysis of a Class of Difference Operators with Growing Potential. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2016, vol. 16, iss. 4, pp. 395-402 (in Russian). DOI: 10.18500/18169791-2016-16-4-395-402.