Условия предельной ограниченности решений одной дискретной модели динамики популяций с переключениями

УСЛОВИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ

ОГРАНИЧЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ

ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ*

А. Ю. Александров, А- В. Платонов

Исследуются условия равномерной диссипативности и перманентности дискретной модели популяционной динамики. Предполагается, что параметры рассматриваемой системы могут переключаться с одного набора значений на другой. Для подсистем, составляющих гибридную систему, строится общая функция Ляпунова, с помощью которой условия равномерной диссипативности и перманентности сводятся к условиям разрешимости системы линейных матричных неравенств специального вида. Получены оценки области диссипативности и времени попадания решений в эту область.

1. Введение. Для моделирования динамики биологических сообществ широко используются системы дифференциальных и разностных уравнений [4; 6], Важной задачей, возникающей при анализе таких моделей, является исследование условий ограниченности их решений.

С практической точки зрения особый интерес представляет ситуация, когда в фазовом пространстве изучаемой системы существует ограниченная область, такая, что каждое решение за конечное время попадает в эту область и остается там при дальнейшем возрастании времени [6]. В этом случае говорят, что решения предельно ограничены, а системы, обладающие указанным свойством, называются диссипативными [2; 11].

Другая актуальная проблема, связанная с анализом моделей, описывающих взаимодействие нескольких видов, - это проблема персистентности [6]. Биологический смысл свойства персистентности заключается в том, что в процессе эволюции виды не вымирают, и, более того, какой бы малой ни была их первоначальная численность, найдется момент времени, начиная с которого численности видов будут превосходить некоторые фиксированные положительные значения.

Системы, обладающие и свойством диссипативности и свойством персистентности, называются перманентными [6].

В настоящей статье исследуется некоторый класс дискретных моделей популяционной динамики. Предполагается, что в процессе эволюции параметры моделей могут переключаться с одних значений на другие. С помощью дискретного аналога прямого метода Ляпунова определяются условия диссипативности и перманентности изучаемых систем.

2. Постановка задачи. Пусть задана система разностных уравнений

х{(к + 1) = Xi(k) exp (h(c(f)+

+ 5^pij>/i(i(fc)))), г = 1, ...,n, j=i

описывающая динамику численности n взаимодействующих популяций. Здесь Хг(к) - численность (плотность) г-й популяции при к-й итерации, к = 0,1,...; функции fi(zi) определены при Zi G [0,-foo) и обладают рядом специальных свойств; а = cr(fc) - функция, задающая закон переключения параметров с одного набора значений на другие, <т(к) €

А. Ю. Александров, А. В. Платонов, 2010

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 08-08-92208ГФЕН_а).

6 {1,...,ЛГ}; /г - положительное число (шаг

дискретизации); и р^ - постоянные величины; 5 = 1, 1,з — 1,

Система (1) относится к классу так называемых гибридных систем [8-9]. При каждом значении к ее динамика описывается одной из подсистем

Х{(к + 1) = Хг{к) ехр (й(сгЫ-Ь

П

+

i=1

l<i « • * ) s — 1 ^ ♦ » » ^ «

Модели вида (2) представляют собой дискретные аналоги широко известной непрерывной модели межвидового взаимодействия типа Лотки-Вольтерра [4; 6-7; 10].

Величины с)

определяют скорость

естественного прироста популяций; члены

PiiVt(*«(£))> где < 0, характеризуют

процессы самолимитирования популяций по численности при наличии ограниченных ресурсов; наконец, выражения рФ fj(xj (к)) при jф i задают степень и характер межвидового взаимодействия. Переключения значений параметров в изучаемой модели могут быть вызваны внешними факторами, влияющими на рассматриваемую экосистему, например, сезонными изменениями.

Согласно обычным предположениям [4; 6-7] будем считать, что функции /¿(z*), i = 1,..., п обладают следующими свойства-ми:

1) fi(zi) непрерывны при z\ G [0,+оо);

2) /¿(0) = 0 и fi(zi) > 0 при Zi > 0;

3) fi(zi) +00 при Zi — +оо.

Кроме того, предположим, что:

ч

fi

dr < -boo;

о

5) функции /г-(^) = /г(ехр(^)) удовлетво-ряют условию Липшица с константой Ь для всех Zi 6 (—оо,+оо).

Например, свойствами 1)-5) обладают функции /¿(гг) = 4-1), г = 1,..., п.

Цель настоящей работы - определить условия диссипативности и перманентности системы (1). Такие условия хорошо известны для обобщенных моделей Лотки-Вольтерра, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями без переключений [4;

6-7]. В данной статье изучается гибридная разностная система.

Следует отметить, что при решении задач анализа и синтеза систем с переключениями в широком классе случаев требуется, чтобы система имела заданные характеристики при любом законе переключения [8-9]. Это требование обусловлено тем, что закон переключения может быть или неизвестен или слишком сложен для того, чтобы его можно было в явном виде учитывать при исследовании динамики системы.

3. Условия равномерной диссипативности. Введем обозначения. Пусть х = (х 1,..., хп) *; - неотрицательный ор-тант в п-мерном пространстве, а - мно-

жество его внутренних точек; х(/с, хо, ~ решение системы (1), выходящее из точки хо при к = ко.

Определение 1. Гибридная система (1) называется равномерно диссипативной в Я!}:, если существует такое число Б > 0, что для любого <2 > 0 найдется К = К((2) > 0, для которого ||х(/с,хо,ко)\\ < Б при всех ко > 0, хо Е Вез, к > ко 4- К, и при любом законе переключения о{к). Здесь

Bq = {х : х 6 R+,

< Q}-

Основным методом качественного анализа гибридных систем с произвольным режимом переключения правых частей является построение общей функции Ляпунова для соответствующего семейства подсистем [8-9].

Чтобы применить этот метод к системе (1), рассмотрим линейные матричные неравенства

P;A4APs <0, 5 = 1

где Р,

s — 1,..., N. Неравенства

(3) понимаются как условия отрицательной определенности соответствующих квадратичных форм, а решение ищется в виде диагональной положительно определенной матрицы Л = diag{Лl,...,Лп}. Проблема разрешимости таких систем исследовалась во многих работах [1; 3; 5].

Теорема 1. Пусть существует диагональная положительно определенная матрица А, удовлетворяющая неравенствам (3). Тогда молено указать такое значение ко > 0, что при любом /г € (0, Но) система (1) будет равномерно диссипативной в Я+.

Доказательство. Рассмотрим положительно определенную матрицу Л = diag{Лl,..., Лп}, являющуюся решени-

ем системы (3). Общую функцию Ляпунова Функция У(ъ) непрерывна при я е Я+ и

для подсистем (2) строим в виде У(я) -> +оо при ||г|| -> оо. Вычислим ее при-

21 . . ращение на решениях 5-й подсистемы из се-

- мейства (2). При этом очевидно, что достаг

точно рассматривать лишь решения, принадлежащие шПолучим

i=i

где z = (zi,Zn)*

xi

AV = V(x(k+l))-V(x(k)) = ¿Ái Í = [ fi(r) dr

J T í= i l,

i=i

k)

y i 00

w<rV

n

n

h^\Ji

i—1

i=i

¿=i \ i=i / ¿=i

n

j=i

Здесь 2/г(/с) = 1п(хг(/с)), Дт/г(/с) = 2/г(АЯ-1)~-— уг(Л:), в{к £ (0,1), г = 1,...,п. Следовательно, найдутся такие положительные постоянные а\, аг, аз, не зависящие от з, что при всех к = 0,1,у (к) € #п будет выполнена оценка

+

a3Lh2 {l + \\{(у(к))\\2).

Выберем ho > 0 в соответствии с условием

ho <

a i

азЬ

Тогда для любого Ь £ (0, /10) можно указать такие положительные постоянные 6 и сц, что при всех к = 0,1,х(/с) 6 будет иметь

место неравенство

AV < -a4h\\f(x(k))\\2 + bh.

Положим А = Ь/а,4, М = max||f(z)||2<>iVr(z), Mi = М 4- bh. Рассмотрим область

G={z: V(z) < Mi}.

С учетом (5) получаем V(x(/c + 1)) < Mi, если ||f(x(A:))||2 < А, и V(x(k + 1)) < V(x(k)),

если ||f(x(/c))||2 > А. Значит, если решение х(к7хо,ко) системы (1) попадет в область G при некотором к = к\ > ко, то оно будет оставаться в этой области и для всех к > к\.

Зададим Q > 0. Покажем, что найдется такое К = K(Q) > 0, что V(x(fc, х0, ко)) < Мг для всех ко > 0, хо £ Bq и к > ко 4- K(Q).

Пусть U = maxz€Bq V'(z). Если U < Mi, то if(Q) = 0.

Предположим теперь, что U > М\. Если

V(x(fc,xo, ко)) > Mi при к = feo,/со 4-

то для всех этих значений к будут выполнены

неравенства

Mi < V(x(k,x0,k0)) < < V(xo) - ~ /со) < U - 7(fc - fco)>

где

7 = /ia4lM1<^)<J|f(z)l1

А

Следовательно, к < ко + (С/ - Mi)/7-Полагая = (С/ — Mi)/7, получим

V(x(k, хо, /со)) < Mi при всех к > ко 4- if(Q).

Таким образом, система (1) равномерно диссипативна. Теорема доказана.

Замечание 1. Условие 5) раздела 2 представляет собой довольно сильное ограничение на функции /1 (zi),..., fn (zn)• Предположим теперь, что для любого Я > 0 функци

/1 (zi),..., fn(zn) удовлетворяют условию Липшица в области Вн с константой L(H), причем L(#) —> 4-оо при Я -> 4-оо. Тогда из существования решения системы неравенств

(3) в виде диагональной положительно определенной матрицы Л следует, что для каждого Q > О число ho > 0 можно выбрать так, чтобы при любом к £ (0,/io) и любом законе переключения решения х(/с, хо, ко) системы (1) с начальными данными ко > О, хо Е Bq за конечное время попадали в область (6) и оставались там при дальнейшем возрастании времени. Таким образом, свойство предельной ограниченности гарантируется только для решений, начинающихся в заданной области Bq . Подобная ситуация будет, например, иметь место, если fi(zi) = Zi, i = 1,...,п, что соответствует классической модели Лотки-Вольтерра [4; 6].

4. Достаточные условия перманентности. Исследуем теперь условия перманентности гибридной системы (1).

Определение 2. Система (1) называется перманентной, если существует компакт F, содержащийся в intÄ+, такой, что для любого закона переключения и для любых ко > О, хо 6 intÄ* решение х(/с,хо,А;о) за конечное время попадает в множество F и далее там остается.

Теорема 2. Предположим, что

сГ>0, р\у> О

при j ф г; г, j = 1, ...,п; s = l,...,iV,

и существует диагональная положительно определенная матрица А, удовлетворяющая неравенствам (3). Тогда найдется такое значение ко > 0, что при всех И Е (0, Но) система (1) будет перманентной.

Доказательство. Пусть положительное число Но удовлетворяет неравенству (4). Зафиксируем некоторое Н £ (0, Но) и рассмотрим соответствующую систему (1).

Согласно доказательству теоремы 1, существует р2 > 0 такое, что для любого <2 > О числа К = К(С2) ир = /о(<2) можно выбрать

так, чтобы для решений х(/с,хо,/со) с начальными данными, удовлетворяющими условиям ко > 0, х0 € Bq, при к > ко выполнялись неравенства 0 < Xi(k, хо, ко) < г = 1,...,п, а при к > ко 4- К - неравенства О < х»(/с,х0, fco) < р2, г = 1, ...,гг. Пусть

CJ

mm

*=1,...,п; 5=1,../V 0<

min (

<*г<Р \

ciä) +

р^лс*)}

Если справедливы соотношения (7), то найдутся числа 8 > 0 и ß > 0 такие, что

C!S) + Р«)/»0г.) > ß 1фИ 0 < Z{ < <5, i = 1, ...,7i;

S - 1 5 • • * ^ ^/Nf.

Значит, 4- 1) > xi(k)exp(hß) при

О < Xi(k) < 8, а при 8 < Xi(/c) < р имеет место оценка 4- 1) > 8 exp(hu), г = 1,..., п.

Зададим число Q > 0 и найдем соответствующие ему значения K(Q), p(Q) и ш. Рассмотрим решение х(/с,xo,fco) с начальными данными, удовлетворяющими условиям ко > 0, ||хо|| < Q, хо Е int Я". Для каждого i = 1,..., п существует Ki > 0 такое, что rci(/co + fco) > 8. Тогда если положить

К = max{if(<2),Ki,...,Kn}, то при к > fco+i? имеем pi < Xi(fc,xo, fco) < P2, г = 1,... ,п, где pi = <5 min {1; exp(/ic<;)}. Теорема доказана.

Замечание 2. Несложно заметить, что для любых чисел 8г и 82, 0 < <Si <82 значение К можно выбрать общим для всех решений, начинающихся при fco > 0 в области Si < Zi < 82, г = 1, ...,72. Следовательно, перманентность системы (1) будет равномерной относительно начальных данных решений.

Замечание 3. Условия (7) означают, что каждая популяция имеет положительный естественный прирост, и при этом популяции положительно влияют друг на друга, т. е. между ними установлены отношения типа симбиоз, компенсализм или нейтрализм

И].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК

1. Александров А. Ю. Об абсолютной устойчивости одного класса нелинейных систем с переключениями / А. Ю. Александров, А. В. Платонов // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 7. -С. 3-18.

2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. - М. : Наука, 1967. - 472 с.

3. Каменецкий В. А. Градиентный метод построения функций Ляпунова в задачах абсолютной устойчивости / В. А. Каменецкий, Е. С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. - 1987. - № 1. -

С. 3-12.

4. Пых Ю. А. Равновесие и устойчивость в моделях популяционной динамики / Ю. А. Пых. -М. : Наука, 1983. - 184 с.

5. Boyd S. Linear matrix inequalities in system and control theory / S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. - Philadelphia : SIAM, 1994. - 193 p.

6. Hofbauer J. Evolutionary games and population dynamics / J. Hofbauer, K. Sigmund. - Cambridge :

Cambridge University Press, 1998. - 351 p.

7. Kazkurewicz E. Matrix diagonal stability in systems and computation / E. Kazkurewicz, A. Bhaya. -

Boston ; Basel ; Berlin : Birkhauser, 1999.

8. Liberzon D. Basic problems in stability and design of switched systems / D. Liberzon, A. S. Morse //

IEEE Control Systems Magazine. - 1999. - Vol. 19, No. 5. — P. 59-70.

9. Liberzon D. Switching in systems and control / D. Liberzon. - Boston, MA: Birkhauser, 2003. -

243 p.

10. Redheffer R. Solution of the stability problem for a class of generalized Volterra prey-predator systems / R. Redheffer, W. Walter // Journal of Differential Equations. - 1984. - Vol. 52. - P. 245-263.

11. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov's second method / T. Yoshizawa. - Tokyo : The Math. Soc. of Japan, 1966. - 233 p.

IIocmyniLAa 26.10.10.

ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

ОБЛАСТИ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

У. П. Зараник, А. П. Жабко

В статье рассмотрена нелинейная стационарная система дифференциально-разностных уравнений с одним запаздыванием. Найдено приближение решения дифференциально-разностной системы решением разностной системы уравнений. На основе полученных оценок построено приближение области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием. Предложены способы описания области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы. Приведен иллюстративный пример. На основе полученных оценок построено приближение области асимптотической устойчивости системы с запаздыванием в функциональном пространстве.

Введение. Для построения области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы уравнений запаздывающего типа был разработан подход, состоящий из двух этапов. Первый этап заключается в приближении решений диффереициально-разностной системы уравнений решениями разностной системы и оценки близости полученных решений. Второй этап состоит из построения области асимптотической устойчивости разностной системы уравнений и описания приближаемой области асимптотической устойчивости дифференциально-разностной системы,

используя оценки приближения соответствующих решений, полученных на первом этапе.

Рассмотрим дифференциально-разност-ную стационарную систему вида

¿ = /

с начальной функцией Ь £ [—Г; 0], где /(ж(£),х(£ — Т)) - непрерывная функция своих аргументов. Будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение /(0,0) = 0 и линейное приближение

у{1) = Ау

экспоненциально устойчиво по Ляпунову.

© У. П. Зараник, А. П. Жабко, 2010