Стабилизация систем с гистерезисными нелинейностями гармоническим внешним воздействием

МАТЕМАТИКА

MATHEMATICS

УДК 517.977.1 ББК 22.19+22.161.6 Ш 96

Шумафов М.М.

Кандидат физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, тел. (8772) 59-39-05

Стабилизация систем с гистерезисными нелинейностями гармоническим внешним воздействием

Аннотация

Рассматривается задача о стабилизации систем дифференциальных уравнений с гистерезисными нелинейностями гармоническим внешним воздействием. Для класса динамических систем с гистерезисными элементами получен частотный критерий гармонической стабилизации. Этот критерий может быть применен также для стабилизации нелинейных систем, допускаюших хаотическое .

Ключевые слова: гистерезисная функция, система с гистерезисной нелинейностью, стабилизация, частотный критерий стабилизации, гармоническое внешнее воздействие, частотное условие.

Shumafov M.M.

Candidate of Physics and Mathematics, Professor, Head of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, ph. (8772) 59-39-05

Stabilization of systems with hysteresis nonlinearities by harmonic external action

Abstract

A problem of stabilization of systems of differential equations with hysteresis nonlinearities by harmonic external action is considered. A frequency criterion of stabilization by using harmonic external action is obtained for a class of the dynamical systems with hysteresis elements. This criterion can also be applied for stabilization of the nonlinear systems which may behave chaotically.

Keywords: hysteresis function, a system with hysteresis nonlinearity, stabilization, frequency criterion of stabilization, harmonic external action, frequency condition.

1. Введение

Проблемы захватывания частоты автоколебаний внешним гармоническим воздействием являются классическими в нелинейной теории колебаний и в теории управления автогенераторами. Проблеме захвата различных автоколебательных режимов под частоту периодического внешнего воздействия посвящено большое число работ (см., например, [1-11] и библиографию в них). Одним из важнейших свойств вынужденных периодических процессов является их устойчивость в целом. С другой стороны, имеется ряд экспериментальных результатов, показывающих, что различные нелинейные системы, допускающие хаотическое поведение, могут быть стабилизируемы гармоническим внешним воздействием [12-14].

В настоящей статье получен частотный критерий стабилизации динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с гистерезисными функциями, гармоническим внешним воздействием. Этот критерий может быть применен к анализу захватывания как автоколебаний, так и хаотических режимов. Результаты получены с помощью идей и методов работ [11, 15-18] и являются распространением результатов статьи [11] на системы с нелинейностями гистерезисного типа.

2. Постановка задачи

Рассмотрим систему

х = Рх + q

% = р\о,р0]г, хе Яп

где Р - вещественная постоянная (п х п) -матрица, q, г - вещественные постоянные п -мерные векторы, а, V - положительные числа, р\о, о0] г - гистерезисная функция, х = х(г) - вектор состояния системы, % = %(г) и о = о(г) - вход и выход системы, яв-люющиеся скалярными функциями от г (г - время).

Будем придерживаться следующего определения гистерезисной функции. Пусть для каждого о0 е (-«>,+то) задано множество Е\о0 ] «начальных значений» (гистерезисной функции). Пусть далее любому г е [0, + <^), каждой непрерывной на [0, г] функции о(т) и любому р0 е Е\о0 ] (о0 = о(0)) сопоставлено число Р[о(т),Р0] ( (0 <т< г), причем р[о,р0]0 =р0. В этом случае говорят, что задана гистерезисная функция р[о,р0] г для ге [0, + ~). (Подробности см. в [16-19]). Если значение р[о,р0] г представляет собой непрерывную функцию двух численных аргументов г и о, то гистерезисная функция называется непрерывной. Если функция р[о, р0] г не является непрерывной, то гистерезисная функция называется разрывной или релейно-гистерезисной. В этом случае под р[о, р0] г в (2) следует понимать «дополненную функцию», подобно тому, как это делается для обычных разрывных функций [15, с. 144-158; 20, с. 39-47].

Под решением системы (1), (2) на интервале (г1, г2) понимается такая пара функций (х(г), %(г)) , что:

1) х(г) абсолютно непрерывная вектор-функция;

2) соотношения (1), (2) выполнены почти всюду на (г1, г2);

3) %(г)е Е\о(г)] при всех г е (г1,г2).

Предположим, что гистерезисная функция р[о,р0] г удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование и продолжимость решений на [0,+<^). Таким условием является, например, условие того, чтобы оператор р\о(т),р0] (0<т< г) был определен только для абсолютно непрерывных функций [18-20].

В дальнейшем будем предполагать, что матрица Р гурвицева, а гистерезисная функция р\о(т),р0 ] г удовлетворяет следующим условиям:

1) существуют константы о1 и о2 такие, что

0 < dfla,^]t' da(t) fda(t)л2

йг йг

почти для всех г, для которых с(г )ё [с1 ,с2 ];

2) справедливо неравенство

dt

d^[a,^0] t da < к ' da

dt dt t ^3

почти для всех г;

3) функция р[с,р0] г ограничена,

рСр]^ < I,

для всех г и с(г) (0 < т < г). Здесь /и, к, I - некоторые положительные числа.

Введем в рассмотрение передаточную функцию системы

Х(р) = г *(Р - р1 )-1 q , импульсную переходную функцию у(г) = г * вРгд и следующие обозначения:

+^>

к -

р = lim px( p) = -r * q.

p

T = -v

. o2 + Kl . a - Kl

arcsin —г2-------------г - arcsin - 1

a\x(iv)\

Здесь предполагается, что

a2 +Kl\ < a\x(iv)\.

В работе [11] был получен частотный критерий стабилизации системы (1), (2) в частном случае, когда р[с,р0]г = р(с(г)), где р(&) - обычная однозначная функция.

Целью настоящей статьи является обобщение результатов работы [11] на системы вида (1), (2) с гистерезисными нелинейностями.

3. Формулировка результатата

Сформулируем основной результат. Имеет место следующая

Теорема. Предположим, что гистерезисная функция удовлетворяет условиям (3) -(5). Пусть для некоторых чисел 81 > 0, 82 > 0 и X > 0 выполнены следующие условия:

1) все полюсы передаточной функции х(Р -X) имеют отрицательные вещественные части;

2) при всех (й> 0 выполнено неравенство

,0

. . . .

3) выполнены неравенства:

\а„ - у1\ < а\х(1у)\, \с* +у1\ < а\х(1у)\,

1/u + Rex(i-A) -S1\x(iai) -Х\ -S2\(ia-Ä)x(i-X) - р\ ^ 0;

avlx(iv) > l р

0

* w w / * \

где о* и о соответственно левый и правый концы интервала (о*, о ) оси о, на который проецируется петля графика гистерезисной функции р[о, р0 ] t;

4) выполнено неравенство

2п \к (l + кл 1)-Si

Л—> Tl——^.

v 4SA

Тогда для любых решений (x1(t ),^(t)) и (x2(t ),^2(t)) системы (1), (2) имеет место предельное соотношение

t 1

Более того, существует решение (x0(t),^0(t)) системы (1), (2) такое, что x0(t) -периодическая функция с периодом 2п / V . К этой функции стремятся при t ^ любые функции x(t), составляющие с некоторой функцией i;(t), решение системы (1), (2).

Замечание 1. Последнее утверждение теоремы следует из диссипативности системы (1), (2) (так как матрица P гурвицева и функция р[о,р0 ]t - ограничена) и теоремы Браудера о неподвижной точке [22]. Утверждение теоремы адекватно захватыванию под частоту внешнего воздействия.

Замечание 2. При достаточно малых л и достаточно больших а для некоторых

Л> 0, S1 > 0, S2 > 0 выполнены все условия теоремы. Следовательно, при малых л

гармоническое воздействие с достаточно большой амплитудой а стабилизирует систему (1), (2).

Замечание 3. При применении теоремы часто оказывается удобным в качестве параметра Л брать половину расстояния от мнимой оси до ближайшего к ней полюса передаточной функции х(Р).

Следствие. Пусть в условиях теоремы л = 0. Тогда, если выполнено неравенство

Лп/V > кТ^В(Л)\к2А(Л) -1,

где Л = ReР*|/2 , Р* - ближайший к мнимой оси полюс передаточной функции х(Р), и

А(Л) = тщх(1а>) -ЛЛ , В(Л0) = max\(ia-Л)%(1а-Л) -Р\ ,

т>0 т>0

то для любых двух решений (x1 (t),£ (t)) и (x2(t),g2(t)) системы (1), (2) справедливо соотношение (11).

Рассмотрим примеры применения сформулированной выше теоремы.

4. Примеры

Пример 1. Рассмотрим уравнение автогенератора с гистерезисом, на который действует внешняя гармоническая сила

7

dt

где р[а,р0]( - гистерезисная функция, а - константа.

В случае, когда р[а,р0]( = р(а()), р - однозначная функция, уравнение (12) было рассмотрено в [5, 10, 11]. Уравнение (12) приводится к системе (1), (2) с передаточной функцией от входа р к выходу (- а):

Х( Р):

p + ap +1

Применяя следствие теоремы к системе с передаточной функцией (13), получим следующее

Предложение 1. Пусть в (12) а > 0 и гистерезисная функция р[а,р0]( удовлетворяет неравенствам (3) - (5), где и = 0 . Тогда, если выполнено неравенство

arcsin

Ö-2 + Ь

а

Z

arcsin-

О - Ь

а

JbU ) к2 А(Л)-1

Ь

в случае 0 < а < 2, и неравенство

= 8/л/1+а2 (ал! 4 - а2) , Л0 = а/4,

пЛо

4

> к

О2 + С . О, - с

arcsin—и2----------г - arcsin- 1

а%(іу)\

ax(iv)\

в(Ло ) к2А(Л)-1

с = I (а + л/а2 - 4 ) -\j(1 + а2 )(а2 - 4) , Ло

а-л/ а2 - 4

2

в случае а > 2 , то в любом режиме работы автогенератора будет наблюдаться явление захватывания под частоту внешнего гармонического воздействия.

Пример 2. Рассмотрим систему уравнений, описывающую динамику автогенератора радиодиапозона с гистерезисом [23]

| г} - 4hf] + n + go = 0,

\єО = П -[ fo, fo ], -asinvi,

где g, к, а, V - положительные константы, £ > 0 - малый параметр, гистерезисная функция /[а, /0]( имеет вид / [а,/0] (= та + р[а,р0] (, причем т > 0, g > 2тк .

Введем обозначения:

АР ) = Р2 - 2кр +1;

Л = •

- 2шк)/ 4т, если g < 2ш(к +1),

-2тк)/4т + у]^ -2тк)2 /16т-1/4, если g > 2т(к +1);

M = max

ю>0

N = max

ю>0

Л

g

тЛ

Є[є

Применяя следствие теоремы к системе (14), получаем следующий результат. Предложение 2. Если выполнено неравенство

Mk2 — 1

то для системы (14) при любых є > 0 имеет место явление захватывания в классе всех гистерезисных функций p[ö\p0 ] t, удовлетворяющих неравенствам (3) - (5), где U = 0.

5. Доказательство теоремы

Доказательство теоремы использует следующие две леммы.

Лемма 1. Для любого решения (x(t), %(t)) системы (1), (2) справедливо соотношение

lim sup\a(t) — y(t)| < lv,

t 1 1

где a(t) = r*x(t), а y (t) - решение системы

X = Px + qa sinvt.

Лемма 2. Для любого решения (x(t), %(t)) системы (1), (2) имеет место соотношение

lim sup|<j(t) — y(t)| < lIP.

t 1 III

Доказательства лемм 1 и 2 аналогичны доказательствам соответствующих лемм работы [11].

Идея доказательства теоремы состоит в том, что при достаточно большом значении амплитуды а внешнего воздействия любое решение системы, начиная с некоторого момента времени, будет находиться большую часть времени в области фазового пространства, где происходит сжатие траекторий. Применение специальной функции ляпуновского типа позволяет оценить степени сжатия внутри области и растяжения вне области, при этом сжатие вдоль любой траектории оказывается более сильным, чем расхождение траекторий.

Приведем основные этапы доказательства теоремы.

1. Получение частотного условия

1/JU + Reх(ію—Л)> 0 Vog R

существования вещественной матрицы H, удовлетворяющей неравенству

2 г * Н [(Р + Л1 )г + дС] + £{п~£/м)^ 0 V2 е к“, VZе К,

где г = х1 (г)-х2 (г), ^ = £ (г )-С2 (г), а Н - матрица квадратичной формы V (г ) = г * Нг.

2. Оценка производной V (г) в силу системы

| г = Рг + д^, П = г * г,

К = £ -&,

где

£ = ^, ,Polt , П = &1 {t)~02 (t), (t)= Г**, (i) (j = 1,2),

а именно, получение оценки вида V < ßV, где ß

-2Л, если aj(t)g [ö'1,a2] k(l + ß~lk)-^J /-yjS1S2 -2Л, если a^t)e R.

Здесь а1, <т2 - числа, фигурирующие в неравенствах (6); м, к ,Л,31,32 - константы в неравенствах (3), (4) и (7) соответственно.

3. Оценка сверху наибольшего возможного времени пребывания любого решения системы (1), (2) в полосе {х: г * х е (о1,о1)} при достаточно больших г :г тах < я/у .

4. Оценка снизу времени пребывания решения системы (1), (2) вне полосы {х: г *х е (о-1,^2)}:

1 у

( 7 ^

. о2 + lv

я+arcsin , ,—гг

V ax(iv\ j

5. Доказательство предельных соотношений

lim V (t ) = 0, lim I x1 (t)- *2 (t ) = 0.

Примечания:

1. Appleton E. The automatic synchronization of triode oscillators // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1922. Vol. 21, Pt. 3. P. 231-248.

2. Van der Pol B. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance // Philos. Mag. 1927. Ser. 7. Vol. 3, No. 13. P. 65-80.

3. Ollendorf F. Erzwungene Schwingungen in angefachten Systemen // Arch. Elektrotechnik.

1926. Vol. 16, No. 4. P. 280-288.

4. Andronow A., Witt A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Arch. Elektrotechnik. 1930. Vol. 24, No 1. P. 99-110.

References:

1. Appleton E. The automatic synchronization of triode oscillators // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1922. Vol. 21, Pt. 3. P. 231-248.

2. Van der Pol B. Forced oscillations in a circuit with non-linear resistance // Philos. Mag.

1927. Ser. 7. Vol. 3, No. 13. P. 65-80.

3. Ollendorf F. Erzwungene Schwingungen in angefachten Systemen // Arch. Elektrotechnik. 1926. Vol. 16, No. 4. P. 280-288.

4. Andronow A., Witt A. Zur Theorie des Mitnehmens von van der Pol // Arch. Elektrotechnik. 1930. Vol. 24, No 1. P. 99-110.

5. Андронов А A., Витт АА. К математической теории захватывания // Андронов А А. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956. С. 70-84.

6. Cartwright M.L., Littltewood G.E. On nonlinear differential equations of the second order // J. London Math. Soc. 1945. Vol. 20. P. 180189.

7. . .

колебаний. М.: Наука, 1964. 369 с.

8. .

устойчивость решений обыкновенных

. .: ,

1964. 483 с.

9. . -

ханических и электрических системах. М.: , 1954. 264 .

10. .

связи и управлении. М.: Сов. радио, 1978. 597 .

11. . . -

лизации нелинейных систем гармониче-

// -

ка и телемеханика. 1986. № 1. С. 169-174.

12. Синхронизация системы Лоренца периодическим внешним воздействием / Е.Н. Дудник, Ю.И. Кузнецов, И.И. Минакова, Ю.М. Романовский. М.: Изд-во МГУ (Физ. фак. Препринт № 3), 1983. С. 1-4.

13.

фазового перехода «хаос-порядок» / ЮЛ. Кузнецов, П.С. Ланда, А.Ф. Ольховой, . . . .: - ( . фак. Препринт № 9), 1984. С. 1-4.

14 -

/ . . , . . , . . , . . // . СССР. 1984. Т. 275, № 6. С. 1388-1391.

15. . ., . ., . .

Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

16. . . -

лютной устойчивости регулируемых сис-

//

Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, № 2. С. 288-291.

17. . . -

венств в теории устойчивости нелинейных регулируемых систем. III. Абсолютная устойчивость систем с гистерезисны-// -

5. Andronov A.A., Vitt A.A. On the mathematical theory of capture // Andronov A.A. Collected works. M.: Publishing house of the USSR AS, 1956. P. 70-84.

6. Cartwright M.L., Littltewood G.E. On nonlinear differential equations of the second order // J. London Math. Soc. 1945. Vol. 20. P. 180189.

7. Pliss V.A. Nonlocal problems of the vibration theory. M.: Nauka, 1964. 369 pp.

8. Chezari L. Asymptotic behavior and stability of solutions of the ordinary differential equations. M.: Mir, 1964. 483 pp.

9. Stocker J. Non-linear vibrations in mechanical and electric systems. M.: Gosenergoizdat, 1954. 264 pp.

10. Lindsey V. Synchronization systems in communication and management. M.: Sov. radio, 1978. 597 pp.

11. Leonov G.A. Frequency criterion of stabilization of nonlinear systems by the harmonic external influence // Automatics and telemechanics. 1986. No. 1. P. 169-174.

12. Synchronization of Lorents’ system by periodic external influence / E.N. Dudnik, Yu.I. Kuznetsov, I.I. Minakova, Yu.M. Ro-manovskiy. M.: MSU publishing house (Phys. faculty. Pre-print No. 3), 1983. P. 1-4.

13. Synchronization threshold as characteristic of phase transition of «chaos-order» / Yu.I. Kuznetsov, P.S. Landa, A.F. Olkhovoy, S.M. Perminov. M.: MSU publishing house (Phys. Faculty. Pre-print No. 9), 1984. P. 1-4.

14. Synchronization of chaotic autooscillations / Yu.I. Kuznetsov, V.V. Migulin, I.I. Minakova, B.A. Silnov // Reports of the USSR AS. 1984. Vol. 275, No. 6. P. 1388-1391.

15. Gelig A.Kh., Leonov G.A., Yakubovich V.A. Stability of nonlinear systems with nonunique state of balance. M.: Nauka, 1978. 400 pp.

16. Yakubovich V.A. Frequency conditions of absolute stability of controlled systems with hysteresis non-linearities // Reports of the USSR AS. 1963. Vol. 149, No. 2. P. 288291.

17. Yakubovich V.A. The method of matrix inequalities in the theory of stability of nonlinear controlled systems. III. Absolute stability of systems with hysteresis non-linearities // Automatics and telemechanics. 1965. No. 5.

механика. 1965. № 5. С. 753-763.

18. Барабанов Н.Е., Якубович В А. Абсолютная устойчивость систем регулирования с одной гистерезисной нелинейностью // Автоматика и телемеханика. 1979. № 12. С. 5-11.

19. . ., . .

Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 271 с.

20. . .

уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

21. . .

решений дифференциальных уравнений с гистерезисными функциями: автореф.

дис. ... канд. физико-математ. наук. Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. 12 с.

22. . .

траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 331 с.

23. Кияшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович ..

// -

ника и электротехника. 1980. Т. 25, № 3. С.336-343.

P. 753-763.

18. Barabanov N.E., Yakubovich V.A. Absolute stability of control system with one hysteresis nonlinearity // Automatics and telemechanics. 1979. No. 12. P. 5-11.

19. Krasnoselskiy M.A., Pokrovskiy A.V. Systems with hysteresis. M.: Nauka, 1983. 271 pp.

20. Filippov A.F. The differential equations with discontinuous right part. M.: Nauka, 1985. 224 pp.

21. Filina M.Yu. Stability and oscillations of solutions of the differential equations with hysteresis functions: Dissertation abstract for the Candidate of Physics and Mathematics degree. L.: LGU publishing house, 1984. 12 pp.

22. Krasnoselskiy M.A. Operator of trajectory shift of the differential equations. M.: Nauka, 1966. 331 pp.

23. Kiyashko S.V., Pikovskiy A.S., Rabinovich M.I. The radio frequency band selfcontained generator with stochastic behavior // Radio engineering and electrotechnology. 1980. Vol. 25, No. 3. P. 336-343.