Контролирующие функционалы в задаче стабилизации систем с запаздыванием

М нализ и синтез систем управления

УДК 517.929.4:517.977.54

КОНТРОЛИРУЮЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ О ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫОАНИЕМ1

Н.О. Седова

Ульяновский государственный университет

Рассмотрена задача стабилизации управляемых систем, описываемых нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями запаздывающего типа. Для построения стабилизирующего управления применяются так называемые контролирующие вспомогательные функционалы, свойства которых позволяют установить возможность стабилизации и в некоторых случаях построить стабилизирующие законы управления в явном виде. Обсуждены «обратная оптимальность» и робастность построенных управлений.

ВВЕДЕНИЕ

Построение законов управления с заданными свойствами представляет собой одну из наиболее трудных задач в нелинейном случае. Метод Ляпунова, широко применяемый для исследования устойчивости нелинейных систем, в последние годы получил новый импульс распространения в теории управления благодаря так называемой контролирующей функции Ляпунова (КЛФ — от англ. CLF — control Lyapunov function, см., например, работы [1—9]). Если существует КЛФ, то существует и непрерывный закон управления, такой, что положение равновесия управляемой системы глобально асимптотически устойчиво; при этом для линейной по управлению системы соответствующий закон можно в явном виде выразить через КЛФ. Кроме того, полученное управление оказывается оптимальным по отношению к некоторому функционалу качества, определяемому по данной КЛФ. Это свойство управления играет важную роль в установлении робастности замкнутой системы, что послужило поводом для рассмотрения так называемой обратной задачи оптимального управления [3, 6, 7], когда по заданному закону управления требуется определить минимизируемый на этом

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект N 05-0100765, и программы «Ведущие научные школы», проект НШ-6667.2006.1.

управлении функционал качества. Эта проблема рассматривалась отечественными авторами как составная часть задачи синтеза стабилизирующего управления, в том числе оптимального по отношению к некоторому функционалу либо гарантирующего его априорную оценку (см., например, работы [10-13]).

В данной работе рассматриваются особенности применения КЛФ к функционально-дифференциальным уравнениям с конечным запаздыванием, а также возможные пути развития этого метода в направлении ослабления требований к КЛФ. Полученные утверждения и формулы развивают и обобщают ряд результатов из работ [4—6, 14, 15].

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В работе используются следующие обозначения: Rn — действительное и-мерное пространство с нормой |^|, r > 0 — фиксированная постоянная,

C — пространство C([—г, 0], Rn) функций ф с нормой ||ф|| = max |ф(я)| и для M > 0 определяется шар

-r < s < 0

CM = {ф є C: ||ф|| < M}. Если а > 0, x є C([-r, a), Rn) и t є [0, а), то xt є C: xt(s) = x(t + s), s є [—r, 0]. Непрерывная скалярная функция a принадлежит классуK, если она строго возрастает и a(0) = 0; a

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

т-' і

принадлежит классу _Кте, если вдобавок a(u) ^ то при и ^ то.

Рассматривается нелинейная система с запаздыванием вида

x

где функционалы f, g e C(C, Rn) ограничены на ограниченных множествах, и e R — управление, и f(0) = 0, так что при отсутствии управления система допускает нулевое решение. Требуется построить управление в виде u(t) = k(x) так, что решение x = 0 системы (1) (глобально) асимптотически устойчиво (такое управление будем называть стабилизирующим).

Для изложения идеи построения рассмотрим сначала систему без запаздывания:

x = f

где f, g e C(Rn, Rn), f(0) = 0.

Пусть V

для некоторой в e K . Обозначим LV = f — ' f

1 V dx >

L„V = Г'] g и предположим, что inf j/{LfV +

g \dx > е R 1

+ LgVu} < 0 для всех x ^ 0. В этом случае V(x) называется контролирующей функцией Ляпунова [1, 3, 9]. Определим управление в виде k(x) = argmin{|u|:

и е R

LjV + LgVu < —a(|x|)} для некоторой ст e K. Тогда производная функции V в силу системы (1') отрицательно определена, и нулевое решение системы (1') (глобально) равномерно асимптотически устойчиво.

В зависимости от выбора «параметра» ст получаются различные законы управления. Известно, что каждой КЛФ соответствует какой-нибудь функционал качества, по отношению к которому она удовлетворяет уравнению Беллмана, а соответствующее управление u = k(x) оптимально [3]. При этом управление k(x) вычисляется непосредственно из функций V, f и g (уравнение Беллмана не используется). Это свойство получило название «обратной оптимальности» [3, 5, 7] и замечательно тем, во многих случаях гарантирует не только глобальную равномерную асимптотическую устойчивость для исследуемой системы, но и сохранение этого свойства в случае наличия неопределенности на входе системы, т. е. робастность управления. Понятие робастности по отношению к входным неопределенностям трактуется здесь следующим образом: пусть номинальная система S описывает-

и 9 X к

-L

Структурная схема системы с неопределенностью А на входе

ся уравнением (1'), рассмотрим систему с неопределенностью на входе (см. рисунок):

X = /(х) + ,?(х)и, иА = -к(х),

г = р(1, г, ид),

и = Ъ

Если стабилизирующее управление и = —к(х) оптимально по отношению к функционалу качест-

да

ва вида J = |(#(х) + u2)dt, то устойчивость системы

0

(1") сохраняется для некоторого класса неопределенностей I. Этот класс включает в себя все неопределенности, удовлетворяющие неравенству

• 1 2

Щ (г) < иди — - ид для некоторой неотрицательной

функции ЩД(г). В качестве простейших примеров неопределенностей класса I (неравенство выполняется при ЩД = 0) можно привести следующие:

— неизвестный коэффициент при номинальном управлении к е (1/2, +то);

— будем говорить, что функция Ф: R х R+ ^ R принадлежит сектору (ср с2), если С152 < 5Ф(5, t) < С252 для всех 5 ф 0 и t 1 0; тогда «статическая неопределенность», заданная соотношением и = Ф(ид, 1), принадлежит классу I, если для нее (с1, с2) с (1/2, + то).

2. КОНТРОЛИРУЮЩИЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

Для исследования устойчивости систем с запаздыванием применяются как функции Разумихина [16], так и функционалы Красовского [17] — отсюда получаем два различных варианта распространения изложенной идеи на управляемые системы с запаздыванием.

Здесь мы рассмотрим случай функционала V:

С ^ R+. Для вычисления производной функционала вдоль решений системы (1) используем понятие инвариантной производной [15]. Представим функцию ф е С в виде пары (ф(0), у), где у(5) = ф(5) при 5 е [—г, 0). Эту пару мы можем рассматривать как элемент пространства С = {(х, у) е

е Rп х С([—г, 0), Rп): у(0—) = х}, изометричного С.

Для простоты обозначений будем считать С и С тождественными. Определим для функции ф е С непрерывные продолжения вправо на [0, А): Ф(5) =

= ф(5), 5 е [—г, 0], Ф(5) е С([0, А), Rп), и пусть У) = п;ф(0) + г у^

где г е Rn, У > 0, уу = {Ф(У + 5), 5 е [-Г, 0)}.

Предположим теперь, что функционал У(ф) = = Р(ф(0), у) можно продолжить на множество

Rпх 0([-г, 0), Rп), где 0([-г, 0), Rп) — множество кусочно-непрерывных функций. Тогда для него можно определить п частных производных по

ф.(0), образующих вектор

dV

и частную произ-

Зф

водную по функциональной составляющей 3^ V:

дфф = I т*(0- +0)- ^ = I т*(0- +0)-

n i 0

Например, для У(ф) = ^ фг- (0) + J фг- (s)ds

i = 1

V(l) (ф) = (fg$ T (/(ф) + g (ф)и) + 3vV(9). Поло-

жим

LfV(v) = 7(ф) + 3„Дф), ЬУ(ф) =

‘f y'v' ^Зф( о y

T

= £ (ф).

^5ф(0у

Предположим теперь, что существует контролирующий функционал Ляпунова—Красовского (КЛКФ), согласно следующему определению.

Определение 1 [4]. Функционал V: С ^ R+ является КЛКФ для системы (1), если существуют такие функции а е К, в1, в2 е Кж, что для всех ф е С

Ь/(ф) = 0 ^ Ь^(ф) т а(|ф(0)|).♦

3. ПОСТРОЕНИЕ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИИ. ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Для обыкновенных дифференциальных уравнений с известной КЛФ существует ряд «универсальных формул» стабилизирующих управлений [7]. Некоторые из них применимы и к системам с запаздыванием. Например, аналог самой распространенной в литературе «универсальной формулы» [9] для системы (1) имеет вид [4]:

иМ = -Kc(ф)L?V(ф),

где Ks (ф) =

Lf V<» + У ( Lf V(ф))2 + ( LgV(y))4

V»* 0;

10, V(ф) = 0.

Другая известная формула [2, 11] для системы (1) принимает вид [6]:

ир (ф) = -КР (ф)ZgV(ф),

имеем ^ = (2ф1(0), ..., 2фп(0)), = £ (ф2 (0) -

— ф2 (-г)). Если функция ¥ непрерывна в нуле и где Кр(ф) =

предельное значение не зависит от продолжения Ф, то функционал V — инвариантно непрерывен, а если инвариантно непрерывны его частные производные, то он инвариантно дифференцируем [15].

Далее будем предполагать, что функционал V инвариантно дифференцируем во всем пространстве С

Lf V

2 ,

(Lg V

Lf V» + а(|ф(0)|)> 0;

_0, LfV(ф) + а(|ф(0)|)< 0.

Заметим, что управление и^(ф) непрерывно, если Vудовлетворяет условию малого управления [4, 9]: для любого s > 0 существует 8(б) > 0 такое, что для всех ф е Cg и некоторого и: \и\ < s выполняется

LV + LVu < 0. Если в формуле (2) заменить (L V)4

f g g л

на (LgV ) (такая модификация часто используется), то управление и^ф) может оказаться разрывным в нуле.

Третья известная формула имеет вид ид(ф) = = -KDW)LgV^), где функция Кд(ф) = y(V»), у е

Т

е C(R+, (0, +то)) — такая, что lim Jy(s)ds = œ. Для

” о

того, чтобы управление uD было стабилизирующим, нужно, чтобы LfV — y(V)(LgV) < 0. Существуют, однако, уравнения (в том числе и без запаздывания) и КЛФ такие, что это неравенство не может выполняться при всех значениях аргумента, независимо от выбора у. Например, КЛФ V(x) = x2/2

3 2

и уравнение 5с (t) = x (t) + x (t)u. Чтобы избежать

таких проблем, потребуем, чтобы для каждого А > 0 выполнялось условие [4, 5]

< с

(Ь^)2

Для уравнения с запаздыванием характерна еще одна особенность: функционал V(ф) может оставаться ограниченным при неограниченном возрастании нормы ||ф||; это приводит к тому, что коэффициент у( Р(ф))не обязательно гарантирует глобальную устойчивость. Например, для уравнения

1 1 2

х

1 + х (1 - т) 2

является КЛКФ, но независимо от выбора коэф-

* 2 2 фициента /(•) производная V (ф) = ф (0) — у(ф (0)) х

Х ----ф ( 0 )—2 положительна при достаточно боль-

шом значении |ф(—т)|. Однако можно установить полуглобальную асимптотическую устойчивость, предположив, что начальные точки решений содержатся в шаре См для некоторого (произвольно большого) М > 0. В этом случае, если выполняется условие (4), то управление ид(ф) обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого решения для некоторой функции у(^) (зависящей в общем случае от М) [4].

Рассмотрим теперь для законов управления, построенных по формулам (2) и (3), задачу «обратной оптимальности». Минимизируемый функционал будем искать в виде

да

0

где функции #(ф) 1 0 и р(ф) > 0 выражаются через заданный КЛКФ V и функционалы / и £.

Запишем уравнение Беллмана [15]:

0 = тш{#(ф) + р(ф)и2 + ЬМф) + Ь И^ф)и} =

и е Я 1 8

= 4

1 4р

Если равенства (6) выполняются для некоторых ¥(ф) и и(ф), то управление и(ф) — оптимальное по отношению к функционалу (5), а V(ф) — функционал Беллмана, т. е. минимум функционала (5) вдоль решений системы (1) с начальной точкой ф (по всевозможным управлениям) равен Р(ф). На основе этих свойств доказываются следующие результаты (доказательства их довольно несложные и в целях уменьшения объема статьи опускаются).

Теорема 1. Пусть V(q>) — КЛКФ, функционалы Ку(ф) и КДф) определяются соответственно формулами (2) и (3). Тогда если выполняется условие (4), то управление

u s

стабилизирует нулевое решение системы (1) и минимизирует функционал (5), в котором

р^ф) = (2 Ks (ф))-1,

qs (ф) = 2 (-1(ф) + J( LfV(ф))2 +(Lg V^))A +

+ Cо(LgV(ф))2),

а для управления uF(ф) = — Кр (ф)LgV(ф):= -(с0 + + 2Kf(ф))LgV(ф) функционалы с теми же свойствами определяются формулами

PfW) = 2(Kf (ф))-1,

12

qF(ф) = max{— LfV(ф), а(ф)} + - C0(LgV(ф)) .♦

Заметим, что модификации формул (2) и (3), а также требование (4), связаны с необходимостью гарантировать ограниченность и неотрицательность функций р(ф) и q^).

Теорема 2. Предположим, что:

1) u^) = — —-— L V(ф)— глобально стабилизи-

2Р(ф) g

рующее для системы (1) управление, оптимальное относительно функционала (5), где V — КЛКФ для системы (1);

2) функционал 1/р(ф) ограничен на множествах Са для всех a > 0;

3) функция у e C(R+, (0, +то)) удовлетворяет неравенству у(Р(ф)) 1 1/р(ф).

Тогда управление uD(ф) = -1 у( V(ф))LgV(ф) явля-

2 g

ется стабилизирующим и оптимальным по отношению к функционалу вида (5), в котором

PD(Ф) = 1

qD(ф) = ?№)) ( 4 Y( V(ф))(LgV(ф))2 — LfVM ',

при этом функционал Беллмана равен V (ф) =

V»

= J y(s)ds.♦

о

Заметим, что при условии (4) управление uD (ф) будет оптимальным и стабилизирующим с об-

ластью притяжения Са также и для коэффициента /(•) 1 2(2 с + 1), где с = с(а) — оценка из условия (4).

На основе представленных законов управления можно рассмотреть также и «прямую» задачу оптимальной стабилизации, т. е. построения стабилизирующего управления, минимизирующего функционал вида (5) с заданными функциями #(ф) 1 0 и р(ф) > 0.

Рассмотрим закон управления и (ф) =

= —Х^ф^Цф), где

1,У

2

К>) =

Ь&У(ф)ф 0;

0, Х„У(ф) = 0.

Нетрудно убедиться, что если функционал и (ф) непрерывен, то данный закон управления — глобально стабилизирующий. Кроме того, справедлива

Теорема 3. Предположим, что V(ф) — КЛКФ для

системы (1), V (ф) — функционал Беллмана для функционала (5) (т. е. удовлетворяет уравнению (6)). Тогда если для некоторой функции в е К справедливо

V = ), то идр(ф) — оптимальное относительно

функционала (5).4

Нетрудно получить также следующий результат о робастности:

Теорема 4. Управление и^, ф) = Ф(и(^ ф), ^ является стабилизирующим для системы (1), если управление и(^ ф) совпадает с любым из управлений

и£, и £ или идр, а функция Ф принадлежит сектору

(1/2, +то). Управление ир^, ф) = Ф(ир(^ ф), ^ является стабилизирующим для системы (1), если функция Ф принадлежит сектору (1, +то).+

Приведенные результаты обобщаются на случай и е Rт, 1 < т < п: в этом случае Ь V есть вектор-столбец размерности т, ар(ф) в интеграле (5) — матрица размера т х т.

Пример 1. Рассмотрим линейную систему с квадратичным критерием качества:

х (і) = Ах(і) + Агх(і — г) + | С(8)х(і + s)ds + Ви,

J = І(х (і)Ох(і) + и (t)u(t))dt, о

где х е Rп и и е Rт (матрица Q предполагается положительно определенной). Нетрудно проверить, что если решения Р, D(s) и R(s, V), 5, V е [—г, 0], обобщенных уравнений Риккати [15] таковы, что функционал

У(ф) = фТ(0)Рф(0) + 2фТ(0) ІD(s)ф(s)ds

+

оо

+

положительно определен, то он является КЛКФ, и формула (7) совпадает с формулой оптимального глобально стабилизирующего управления для

линейной системы [15]: и(ф) = —В (Рф(0) +

+

4. ВОЗМОЖНЫЕ ОБОБЩЕНИЯ

В определении 1 свойства функционалов V и определяются, исходя из классической теоремы Красовского об асимптотической устойчивости [17]. Обобщения условий этой теоремы можно применять и к контролирующим функционалам. В частности, можно использовать знакопостоянный функционал со знакопостоянной производной для построения (локально) стабилизирующего управления системой (1).

Это осуществляется на основе соответствующего результата об асимптотической устойчивости. Рассмотрим неуправляемую систему с запаздыванием:

х (і) = Ах}

с непрерывным функционалом /: С ^ Rn, удовлетворяющим локальному условию Липшица и равенству /(0) = 0.

Решение х = 0 системы (8) назовем притягивающим относительно множества Л с С, если существует А > 0, такое, что из ф е Л п Сд следует х(1; ф) ^ 0 при t ^ +то, где х(1; ф) — решение уравнения (8) с начальной точкой х0(ф) = ф.

Сформулируем теперь результат об асимптотической устойчивости:

Лемма [14]. Пусть для некоторого М > 0 на множестве См существует функционал V: См ^ R такой, что:

1) V(ф) 1 0, V(0) = 0, %) т 0;

о

г

г -г

о

♦

г

о

-г

да

2) x = 0 — точка притяжения решений системы (8) относительно множества {ф: Г(ф) = 0}, и множество {ф: У(ф) > 0, V(8) (ф) = 0} не содержит положительных полутраекторий системы (8).

Тогда нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво. ♦

Изменив определение КЛКФ в соответствии с приведенным результатом, можно таким образом расширить возможности выбора КЛКФ:

Теорема 5. Пусть Г(ф): C ^ R+ — функционал, удовлетворяющий условиям V(0) = 0, Ь^У(ф) < 0 для всех ф, для которых Ь^(ф) = 0 (такой функционал назовем V вырожденным КЛКФ). Если управление uS(t, ф) (uS (t, ф)) (uqp(t, ф)) непрерывно и для замкнутой системы (1) выполняется условие 2 леммы, то: 1) оно является стабилизирующим; 2) соответствующее управление ur = Ф(и, t) также является стабилизирующим, если функция Ф принадлежит сектору (1/2, +то)>

Такое расширение определения V может значительно упростить поиск КЛКФ.

Однако отметим два очевидных недостатка вырожденного КЛКФ. Прежде всего, знакопостоянный функционал не гарантирует глобальной асимптотической устойчивости нулевого решения без дополнительного требования ограниченности всех решений системы. Так что использование вырожденного КЛКФ в общем случае позволяет построить лишь локально стабилизирующее управление. Далее, отсутствие знакоопределенности LjV может привести к разрыву управления uS на множестве {ф: LgV^) = 0} (как отмечено выше, в случае КЛКФ, удовлетворяющего определению 1, u^) непрерывно всюду, кроме нуля, а если выполняется условие малого управления, то и в нуле). Заметим, что условие малого управления можно записать в

виде lim sup , LfV( ф ^ , < 0. Модификация этого ус-

1ЫН о \Lg V»|

ловия может обеспечить непрерывность управления uS, построенного на основе вырожденного КЛКФ:

Теорема 6. Если V — вырожденный КЛКФ и выполняется условие

Lf4 ф ) IV^Tо \Lgv(ф)|

Если неравенство в теореме 6 не выполняется, то управление us может оказаться разрывным на множестве, где LfV^) и LgV^) одновременно обращаются в ноль (см. далее пример 2). В этом случае непрерывный закон управления можно построить,

исходя, например, из условия u s ^)sign(LgV^)) <

< — Ks (ф)|LgV(ф)|. Очевидно, что управление, удовлетворяющее такой оценке, является

(локально) стабилизирующим. В частности,

можно выбрать управление u s (ф) = — k s LgV(ф) с постоянным коэффициентом ks = max Кs (ф), a >

Ca

0 (в случае невырожденного функционала Ca при этом содержится в области притяжения). Однако такое управление необязательно оптимально по отношению к функционалу вида (5).

Пример 2. Рассмотрим систему

X 1 (t) = Xi(t)хг(t- r)fi(xt) + Xi(t- r)u,

Xl( t) = fl(Xt) - X2(t),

где х( = ((х1)^, (х2)^), /1(ф) и /2(ф) непрерывны на С, /2(0, ф2) = 0. Рассмотрим знакопостоянный функционал ^ф) = ф1 (0)/2. Если Ь^(ф) = ф1(0)ф1(—г) = 0, то Ь^(ф) = 0. Итак, V является вырожденным КЛКФ, и формула (2) для ф1(0)ф1(—г) = 0 задает функционал

и£

который, очевидно, непрерывен на множестве {ф: ф(0)ф(—г) = 0}. Используя результаты § 3, можно убедиться, что управление (10) минимизирует

+ да

функционал J = | [ х1 (^ х2 (t — г) + u2(t)]/(xí)dt, где

то управление ^(ф) непрерывно во всем пространстве C>

f(ф) = (2(7 (/1(ф))2 + 1 + /1(ф))) 1. Нетрудно проверить, что условие 2 леммы также выполняется, таким образом, нулевое решение системы (9) при управлении (10) асимптотически устойчиво. Асимптотическая устойчивость (локальная) нулевого

решения достигается также при управлениях u s (ф) = — ks ф1(0)ф1(—r) и urs (ф) = — krs ф1(0)ф1(—r) с постоянными коэффициентами k s 1 fM = max 1/2Дф),

Ca

ks 1 fM/2. Однако даже если fM не зависит от а, глобальная асимптотическая устойчивость в общем случае не имеет места. Например, пусть

0

2

f2(x) = Xj(t)x2 (t). Заметим, что решение Xj(t) замкнутой системы не меняет знак, если сохраняет знак на [-г, 0] начальная функция ф10. Решение второго уравнения системы с начальной точкой

-t

(ф10, ф20) имеет вид X2(t) = ---------—t---------, и

1/ф2о(0) - je-sXi(s)ds

0

для достаточно большого значения ф20(0) > 0 и положительного x1(t) знаменатель этой дроби обращается в ноль в конечный момент времени.

Если добавить в правую часть первого уравнения слагаемое — x1(t) и предположить, что /1(ф) l е > 0, то управление u (ф) = —2ф1(0)ф1(—г)/1(ф)будет стабилизирующим и оптимальным по отношению к функционалу (5) с $(ф) = ф1 (0), р(ф) = 1/(4f1(ф)).

Если же в правую часть первого уравнения добавить, например, слагаемое x1(t — г), то V и для такой системы является вырожденным КЛКФ, однако неравенство из теоремы 6 уже не выполняется: lim sup , LVф ) , = 1 > 0. Формула для управ-\LgV(v)\^ о \LgV(ф)|

ления uS в этом случае имеет вид

uS(^) = -1 - ф1(0)ф1(-г)/1(ф) -

- ^(ф^ф^-г)) S

х 7

для ф1(0)ф1(-г) ^ 0, т. е. на множестве {ф: ф(0)ф(-г) = = 0} управление разрывно.

Заметим, что без дополнительных предположений о функционале /2(ф) невозможно построить КЛКФ, удовлетворяющий первоначальному определению.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотрены особенности применения контролирующих функций для решения задачи стабилизации систем с запаздыванием. Приведены явные формулы стабилизирующих робастных законов управления для линейных по управлению систем, исследован вид функционалов качества, которые достигают минимума на этих управлениях; рассмотрена прямая задача оптимального управления с функционалом качества специального вида; изучаются некоторые пути развития рассмотренного метода на основе обобщения достаточных условий асимптотической устойчивости, анализируются преимущества такого обобщения, а также возможные проблемы и варианты их решения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бобцов А.А., Ефимов Д.В., Сергеев К.А. К задаче стабилизации нелинейных афинных систем // Навигация и управление движением / Материалы 3-й конф. молодых ученых. СПб.: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2001. -С. 113-122.

2. Freeman R.A., Kokotovic P.V. Robust Control of nonlinear systems. — Birkhauser, Boston, 1996.

3. Freeman R.A., Primbs J.A. Control Lyapunov functions: new ideas from an old source // Proc. of the 35th IEEE Conf. on Decision and Control, Kobe, Japan, 1996. — P. 3926—3931.

4. Jankovic M. Extension of control Lyapunov functions to time-delay systems // Proc. of the CDC, Sydney, Australia, 2000. — P. 4403—4408.

5. Jankovic M. Control Lyapunov-Razumikhin functions and robust stabilization of time delay systems // IEEE Trans. on Automatic Control. — 2001. — Vol. 46. — P. 1048—1060.

6. Jankovic M. Control of nonlinear systems with time delay // Proc. of the 42nd IEEE Conf. on Decision and Control, Maui, Hawaii USA, 2003. — P. 4545—4550.

7. Jankovic M., Sepulchre R., Kokotovic P.V. CLF based designs with robustness to dynamic input uncertainties // Systems and Control Letters. — 1999. — Vol. 37. — P. 45—54.

8. Threshold policies control for predator-prey systems using a control Liapunov function approach / M.E.M. Meza, A. Bhaya, E. Kaszkurewicz, M.I. Costa // Theor. Popul. Biol. — 2005. — Vol. 67, N 4. — P. 273—284.

9. Sontag E.D. A universal construction of Artstein’s theorem on nonlinear stabilization // Systems & Control Letters. — 1989. — Vol. 13. — P. 117—123.

10. Андреев А.С., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // Прикладная математика и механика. — 1997. — Т. 61, вып. 1. — С. 44—51.

11. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. — М.: Наука, 1977. — 400 с.

12. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикладная математика и механика. — 1970. — Т. 34, вып. 3. — С. 440—456.

13. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация по отношению к части переменных. — М.: Наука, 1987. — 253 с.

14. Андреев А.С., Павликов С.В. Незнакоопределенные функционалы Ляпунова в задаче об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений с конечным запаздыванием // Механика твердого тела. — 2004. — Вып. 34. — С. 112—118.

15. Ким А.В. i-гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. — Екатеринбург: УрО РАН, 1996. — 234 с.

16. Разумихин Б.С. Устойчивость эредитарных систем. — М.: Наука, 1988. — 112 с.

17. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 211 с.

Я/1 (8422) 32-20-22, e-mail: sedovano@ulsu.ru

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.