Парные интегральные операторы с однородно-разностными ядрами

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 2, С. 3-11

УДК 517.9

ПАРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОРОДНО-РАЗНОСТНЫМИ ЯДРАМИ

О. Г. Авсянкин

Рассматриваются парные многомерные интегральные операторы с однородно-разностными ядрами, действующие в Ьр-пространствах. Для таких операторов определен символ, в терминах которого получены необходимые и достаточные условия обратимости операторов.

Ключевые слова: интегральный оператор, однородно-разностное ядро, символ, обратимость, сферические гармоники.

Введение

В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам с однородными степени (—п) ядрами и их обобщениями (см., например, [1-4] и цитированные в них источники). В работе [5] были введены и изучены операторы с однородно-разностными ядрами, т. е. с ядрами, которые являются однородными степени (—п) по одним переменным и разностными по другим. Развитием этого направления стала статья [6], в которой была построена и исследована банахова алгебра, порожденная многомерными интегральными операторами с однородно-разностными ядрами.

Данная работа продолжает исследования, начатые в статьях [5] и [6]. Ее целью является изучение парных многомерных интегральных операторов с однородно-разностными ядрами, действующих в пространствах суммируемых функций. Для этих операторов определен символ, представляющий собой совокупность пар функций специального вида. В работе получены необходимые и достаточные условия обратимости парных операторов с однородно-разностными ядрами, которые формулируются в терминах невырожденности их символов.

В работе использованы следующие обозначения: Ж™ — п-мерное евклидово пространство; ж = (х\,..., хп) £ \х\ = \/х\ + ... + х\; х' = ж/|ж|; х  у = Х\у\ + ... + хпуп; Бп-1 = {х £ Ж": \х\ = 1} Ъ+ — множество целых неотрицательных чисел; =

{х £ : XI > 0} У^(а) — сферические гармоники порядка V ) — размерность

пространства сферических гармоник порядка V:

I — тождественный оператор (ниже из контекста всегда будет ясно в каком пространстве рассматривается этот оператор).

© 2016 Авсянкин О. Г.

Постановка задачи и основной результат. Пусть 1 ^ р ^ то. В пространстве Ьр(Мп+т) рассмотрим оператор

где х £ МП Ь £ Мт, предполагая, что функция к(х, у, Ь), заданная на Ж" х Ж" х Мт, удовлетворяет следующим условиям:

[1°] однородность степени (—п) по переменным х и у, т. е.

к(ах,ау,Ь) = а-пк(х,у,Ь) (Vа> 0);

|2°| ИНВариантность относительно группы вращений БО(п) то переменным х и у, т. е.

к(ш(х),ш(у),Ь) = к(х, у, Ь) (Vш £ БО(п));

[3°] суммируемость, т. е.

к:= ] J |к(е1,у,Ь)||у|-п/р йуйЬ < то, вг = (1,0,..., 0).

Известно [5], что оператор К ограничен в пространстве Ьр(Мп+т), причем ||К|| ^ к. Далее, определим в Ьр(Мп+т) проектор Р формулой

(Р^)(х,г) = I ^ Л

[о, |х| > 1, Ь £ Мт,

и обозначим через Q дополнительный проектор.

Основным объектом исследования в данной работе является парный оператор

А = XI + КгР +

где К^ — оператор вид а (1), ] = 1, 2. Наша цель — установить критерий обратимости А

А

Ьр(Жп+т) уравнение, порожденное этим оператором:

Х(р(х,Ь)+ J ! кг(х,у,Ь - в)(р(у,в) йуйв |у|<1 кт

+ J J к2(х,у,Ь - в)(р(у,.в) йуйв = /(х,Ь). (3) |у|>1 Кт

Так как функция kj(х, у, Ь), где ] = 1,2, удовлетворяет условию 2°, то по лемме 4.6 книги [7] найдется такая функция ^ (т,р,г,Ь), что

^(х,у,Ь) = ^(|х|, |у|,х'  у',Ь).

Это позволяет переписать уравнение (3) в виде

\<р(х,г)+ У ! ^кох^^ух'-у'8^1£{у,8)(1у(18

ху

полагая х = та, у = рв, приходим к уравнению

АФ(г<т,Ь) + 1 У У^А ^,а-в,г-в)ф(рв,в)г1рг1вг18

0 Кт

со

+ УУ У в,1-8^Ф{рв,8)йрйвй8 = Р{га,г),

1 Кт

где

Ф(та, Ь) = (р(та, Ь)т(п-1)/р, Р(та, Ь) = /(та, Ь)т(п-1)/р,

Dj (р, т, Ь) = ^ (1,р,т,Ь)р(п-1)/р', з = 1, 2. ^

3°

со 1

0 -1 Кт

Умножив обе части уравнения (4) на Уи^(а) и проинтегрировав по единичной сфере, получим следующую систему интегральных уравнений:

1

У ^ ] В,  в,Ь - в) Ф(рв,в)г1рг1вг1в

Яп-1 0 5п_1Кт

со

+ У ¥и^{а)

где т £ М+, V £ р = 1, 2,..., йп(V),

Ф^(т,Ь)= У Ф(та,Ь)У^(а) йа, Р^(т,Ь) = ^ Р(та,Ь)У^(а) йа.

Преобразуем интегралы из левой части формулы (7). Меняя порядок интегрирования и используя формулу Функа — Гекке [7, с. 43], получим следующую бесконечную диаго-

1

6'

п— 1

6

6

п—1

п—1

нальную систему интегральных уравнении: 1

A$vtl(r,t) + J J (^í-s) <5>v^p,s)dpds

0 Rm

со

+ j j ^D2v

где

1

2n(n-1)/2 p

Div{p,t) = r

-1

Здесь Pv (т) — многочлены Лежандра, определяемые равенством

Ícos(v arceos т), n = 2;

где

— многочлены Гегенбауэра (см., например, [7, с. 41]). В пространстве Lp(R++m) рассмотрим оператор Av, где v G Z+, определяемый левой частью уравнения (8):

1

(Avg)(г, t) = Xg(r,t) + J J д(р, s)dpds

сс

+ J J - sj g(p,s)dpds.

1 Km

Лемма 1. Пусть А = 0. Тогда существует такое число щ £ Z+, что для всех V > щ операторы Аи обратимы.

< Запишем опер атор Аи в виде

Аи = А1 + К1и Р1 + К2„

где оператор KjV задается формулой

со

(Kjvg)(r,t) = J J - s) g(p,s)dpds, j = l,2, 0

P1

(f1í)(r,t) = lS(rJ)- r G (0'4l ' G Rm;

10 , r G (1 , то), t G ,

a Q1 — дополнительный к P1 проектор. Для нормы оператора Kjv справедлива оценка см. [5]:

с

IIKjv || У lDjv(p,t)|p-1/p dpdt.

В силу формулы (9) функции (р,Ь), V £ являются коэффициентами Фурье функции (р, т, Ь) то системе многочленов Лежандра, а потому (р,Ь) ^ 0 при V ^ то для почти всех р £ М+, Ь £ Ж™. Тогда, применяя мажорантную теорему Лебега, с учетом (6), заключаем, что || ^ 0 при V ^ то. Следовательно, существует такое число vo £ что для всех V > vo выполняется неравенство Р\ + \ ^ |А|, а значит,

оператор Ли обратим. >

Лемма 2. Пусть А = 0 и vo — число, определенное в лемме 1. Для того чтобы оператор Л вида (2) был обратим в пространстве Ьр(Жп+т), необходимо и достаточно, чтобы все операторы Л„, где V = 0,1,..., были обратимы в пространстве Ьр(Ж1)+т).

< В пространстве

Ьр(Жп+т) = {ф(та,г) : Ф(та,Ь)т-(п-1)/р £ Ь

Jp\

определим оператор А следующим образом:

А = XI + KiP + K2Q, где I3 и Q — естественные аналоги проекторов P и Q в пространстве Lp(Rn+m), а

со

(K^)(ra,t) = j j j ^Dj e,t-s^(pe,s)dpdeds, j = 1,2.

0 S„-i

Очевидно, что оператор А обратим в пространстве Lp(Rn+m) тогда и только тогда, когда оператор А обратим в пространстве Lp(Rn+m).

Определим в пространстве Lp(Rn+m) проектор Pn равенством

N dn

v=0 ц=1

QN

непосредственно проверяется, что PnAQn = 0 Qn APn = 0. Учитывая эти соотношения, запишем матричное равенство

Pn Qn\ (А 0 \ ( Pn Qn Qn Pn) V0 XV \Qn Pn

= ÍXI + Pn (KiP + K2Q)Pn _ 0

\ 0 XI + On(KIP + K2Q)Qn) '

Ясно, что оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратимы операторы XI + Pn(K1P+K2Q)Pnh XI+On (K1P+K2Q)Qn Покажем, что последний оператор обратим при достаточно большом значении N.

В [1, с. 80-81] показано, что для любого е > 0 найдется функция bjN(p,r,t), j = 1, 2, вида

v=0

где Ру (т) — многочлены Лежандра, для которой оператор

со

(В^Ф)(га,г) = ! [ ! ^Ъ^ -в^-8^Ф{рв,з)(1р(Ш(1з

0 £„-1 Кт

удовлетворяет неравенству

-

При этом всегда можно считать, что N > С помощью формулы сложения сферических гармоник [7, с. 38] легко проверить, что QNBjN = 0. Тогда

А/ + QN(К1Р + К2Q?)Qw = А/ + QN(К - Вш)pPQw + Qw(К - В2^)QQN. Учитывая (10), имеем

(КР1 — ВШ )-РQN + QN (КР2 — В2М )QQN\\^ (£р(к„+т)) < \\К1 - В1М(Ьр(К„+т)) + \\К2 - В2М(£р(К„+т)) < е.

Выберем число N столь большим, чтобы выполнялось неравенство

(КР1 — ВШ)-РQN + QN(КР2 — В2М)QQN\\^(£Р(В„+ш)) < |А|,

из которого следует обратимость оператора А/ + QN(К Р + K2C¿)QN

Таким образом, оператор А обратим тогда и только тогда, когда обратим оператор А/ + PN(К1 Р + K2C¿)PN Обратимость последнего равносильна обратимости оператора

AN := PN

1т Р^

(см., например, [1, с. 6]). Нетрудно видеть, что уравнение, порожденное оператором А^ сводится к конечной системе уравнений (8), где V = 0,1,..., N. Следовательно, необхо-

АР

операторов А^, V = 0,1,... , N. Так как, согласно лемме 1, при ^ < V ^ N операторы А^

обратимы, то достаточно считать, что V = 0,1,..., >

Таким образом, задача свелась к изучению обратимости в Рр(Ж++т) операторов А^, где V = 0,1,... ,

Определим изоморфизм Шр: Рр(Ж++т) ^ Ьр(М1+т) формулой (^)(и,;£) = е-и/р^(е-и,*), и е к1, * е ж™.

Непосредственно проверяется, что оператор С = Шр-1 задается в пространстве

Рр(Ж1+т) равенством

со

о Кт

о

J ! Н2^

о

+

-с Кт

где

Н^М) =

а DjV (р, Г) определяется формулой (9).

Операторы вида (11) были изучены в работе [8]. Согласно теореме 1.4 из [8] оператор Ои обратим тогда и только тогда, когда обрати мы операторы А/ + и А/ + где

со

-с К"

Как известно, символом оператора А/ + HjV, Э = 1, 2, является функция

со

О (е) = А + V (е) = А + I ! Н^ (и, аи аг,

-с Кт

где е =

и (9), а затем формулу Каталана (см., например, [7, с. 20]), получим

с

(jv (е) = А + I ^ Djv (р, Г)р-1/р+^ е*4 ар ^

В"

со

= А +/ / р-1/р+^ е^ / Dj(р,е1  (е1  0) а0.

"г араг / (

•У .УК" У

0

Наконец, используя равенство (5), после несложных преобразований приходим к форму-

ле

I» В"

Совокупность пар функций (ст^(е),(^(е)), V £ определяемых формулой (13), будем называть символом оператора А. Основным результатом данной работы является следующая

Теорема 1. Для того чтобы оператор А вида (2) был обратим в пространстве ), необходимо и достаточно, чтобы для любого V £ Ъ+ выполнялось условие

где Ж1+™ — одноточечная компактификация пространства Ж1+™. < Проанализируем два случая.

А=о

сти всех операторов А/ + HjV, где V £ Э = 1,2, а значит, и всех операторов С1/ вида (11). Так как AV = ^р"1^ Шр, то оператор А^ ^^^^^^^ ^ пространстве Рр(Ж++т) тогда и только тогда, когда оператор CV обратим в пространстве Рр(Ж1+т). Следовательно, условие (14), необходимо и достаточно, для обратимости всех операторов А^ V £ что в силу леммы 2 равносильно обратимо сти оператора А. А = о А

6 > 0 чт0 все операторы из ¿-окрестности оператора А обратимы. Подберем такие числа

v1 G Z+ и £0 £ R1+m, что |<1vi (£0)| < Тогда оператор A — <1vi (£0)I обратим. С другой стороны, символом оператора A — aiv1 (£o)I является совокупность пар функций

{«1v (£) — <1vi (£0 ),<2v (£) — <T1V1 (£0)) ,

где v G Z+. Поскольку функция <1vi (£) — <1vi (£0) при £ = £0 обращается в нуль, то оператор A—<1Vl (£0)1 необратим. Получили противоречие. То что оператор A необратим, согласуется с условием (14), так как в этом случае <jv (то) = 0 для всex v G Z+, j = 1, 2. >

Замечание. Отметим, что фактически достаточно требовать выполнения условия (14) для v = 0,1,... , V0- Однако использование в записях «неопределенного» числа V0 неудобно. Поэтому мы полагаем, что условие (14) выполнено для всех v G Z+.

Из этой теоремы легко получается критерий обратимости оператора XI + K, ранее установленный в [5]. Так как XI + K = XI + KP + KQ, то символом этого оператора является совокупность функций

(£) = X + J J k(e1,y,t)Pv(e1  y')lvl-n/p+liildydt.

Rm

Следствие 1. Для того чтобы оператор XI + K был обратим в пространстве Lp(Rn+m), необходимо и достаточно, чтобы для любого v G Z+ выполнялось условие

(£)=0 (V£ G R1+m).

Литература

1. Karapetiaats N., Samko S. Equations with Involutive Operators.—Boston-Basel-Berlin: Birkhauser, 2001.-427 p.

2. Авсянкин О. Г. О С*-алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига // Докл. РАН.—2008.—Т. 419, № 6.— С. 727-728.

3. Авсянкин О. Г., Перетятъкин Ф. Г. Об ограниченности и компактности многомерных интегральных операторов с однородными ядрами // Изв. вузов. Математика.—2013.—№ 11.—С. 64-68.

4. Авсянкин О. Г. Проекционный метод для интегральных операторов с однородными ядрами, возмущенных односторонними мультипликативными сдвигами // Изв. вузов. Математика.—2015.— № 2.-С. 10-17.

5. Авсянкин О. Г. Многомерные интегральные операторы с однородно-разностными ядрами // Диф. уравнения.—2012,—Т. 48, № 1—С. 64-69.

6. Авсянкин О. Г. Об алгебре многомерных интегральных операторов с однородно-разностными ядрами // Мат. заметки.—2014.—Т. 95, вып. 2.—С. 163-169.

7. Самко С. Г. Гиперсингулярные интегралы и их приложения.—Ростов н/Д: Изд-во РГУ, 1984.— 208 с.

8. Симоненко И. В. Операторы типа свертки в конусах // Мат. сборник.—1967.—Т. 74, № 2.—С. 298313.

Статья поступила 19 ноября 2015 г.

Авсянкин Олег Геннадиевич Южный федеральный университет,

профессор каф. дифференц. и интегральных уравнений РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: avsyanki@math.rsu.ru

PAIRED INTEGRAL OPERATORS WITH HOMOGENEOUS-DIFFERENCE KERNELS

Avsyankin 0. G.

We consider the paired multidimensional integral operators with homogeneous-difference kernels, acting in Lp-spaces. For these operators the symbol is defined. In term of the symbol the necessary and sufficient conditions for the invertibility of operators are obtained.

Key words: integral operator, homogeneous-difference kernel, symbol, invertibility, spherical harmonics.