Корректность задач Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 2, С. 3-11

УДК 517.956

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И ПУАНКАРЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА

С. А. Алдашев

В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного

уравнения Чаплыгина имеют единственные решения.

Ключевые слова: задача Дирихле, задача Пуанкаре, корректность, разрешимость, многомерное

уравнение, вырождение.

В [1] было показано, что на плоскости одна из фундаментальных задач математической физики — изучение поведения колеблющейся струны — некорректна, в случае когда краевые условия заданы на всей границе области. Как замечено в [2, 3], задача Дирихле некорректна не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. В [4], показано, что решение задачи Дирихле существует в прямоугольных областях. В дальнейшем эта задача исследовалась методами функционального анализа [5], которые сложно применимы в приложениях.

В [6, 7] получены теоремы единственности решения задачи Дирихле для строго гиперболического уравнения, а [8, 9] доказана корректность задач Дирихле и Пуанкаре для многомерного волнового уравнения.

Насколько нам известно, многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре для вырождающихся гиперболических уравнений ранее не изучались.

В работе показано, что задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для многомерного уравнения Чаплыгина имеют единственные решения.

Пусть П/з — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+\ точек (ж1,... ,хт, £), ограниченная цилиндром Г = {(х,£) : |х| = 1}, плоскостями £ = в > 0 и £ = 0, где |х| — длина вектора х = (х1,... ,хт). Части этих поверхностей, образующих границу ОВр области Вв, обозначим через Гв, ¿в, йо соответственно.

В области В в рассмотрим многомерное уравнение Чаплыгина

д

где д(£) > 0 при £ > 0, д(0) = 0, д(£) £ С([0, в]) п С2((0,в)), Дх — оператор Лапласа по переменным х1,..., хт, т ^ 2.

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат х1,..., хт, £ к сферическим г,01,... ,0т-1 г ^ 0, 0 < 01 < 2п, 0 < вг < п, г = 2,3,... ,т - 1.

Рассмотрим следующие многомерные задачи Дирихле и Пуанкаре:

© 2013 Алдашев С. А.

Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Бв из класса С (Б в) П С 2(Б), удовлетворяющее краевым условиям

или

uL = ¥

Пусть {Упт(О)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 ^ к ^ кп, (т — 2)! п! кп = (п + т — 3)! (2п + т — 2), Жг(¿0), I = 0,1,..., — пространства Соболева.

Лемма 1 [10]. Пусть /(г, 0) £ Ж](¿о). Если I ^ т — 1, то ряд

ж k

)n

n=0k=1

/ M) = £E /k

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ I — т +1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2 [10]. Для того чтобы /(г, 0) £ Ш2 (£о), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам

ж kn

| /о (r) | ^ С1, |/П (r)|2 < С2, С1 ,С2 = const .

n=1k=1

Через </?П(г)) 1рП (t), T-iik (r), (r) обозначим коэффициенты разложения в ряд вида (4) функций ^>(r, 0), ^(t, 0), т(r, 0), v(r, 0) соответственно.

Пусть ^(r,0) g W0(Se), ^(r,0) g W2(Гв), т(r, 0), v(r, 0) g W2(S0), l > и выполняются условия согласования

¥>(1,0) = ^(в>0)> ^(0,0)= т (1,0).

Тогда справедлива Теорема. Если

cos = 0, s = 1, 2,...,

то задача 1 однозначно разрешима, где ^s>n — положительные нули функций Бесселя первого рода Jn+ (m-2) (z), n g N, в = J|f \/g(0 d£.

< В сферических координатах уравнение (1) имеет вид:

, .( m — 1 ¿u\ ^

g

т-1 1 д / д \ § = -1: ^-Д- 0, Д Е'Пт'Д-1 д07) • »1 = 1- - = (81П01 0-1)2' 1

Известно [10], что спектр оператора § состоит из собственных чисел Ап = п(п+т — 2), п = 0,1,... , каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций 1^(0), к = 1,..., кп.

Так как искомое решение задачи 1 принадлежит классу С(Ов)пС2(—в), то его можно искать в виде

те кп

«М,*) = ЕЕ иПМ)^

п=0 к=1

где иП(г, 4) — функции, подлежащие определению.

Подставив (7) в (6) и используя ортогональность сферических функций [10],

имеем

5

при этом краевые условия

йП(г,в)= <аП(г), йП(1,4) = -г^пП(4), и^(г,0) = аП(г), к = 1,...,кп, (п = 0,1,

...).

, (1 — т) ,

Выполнив в (8) замену иП(г, 4) = г 2 иП(г, 4) и положив затем г = г,

2 /о ^)3, получим

к к АпУ к 7 / \ к г\

Уиптт ипуу + г2 ип Ь(у) ипу 0,

У=

_ ((т - 1)(3 - т) - 4Лп) , 1

ап =-4-, ь(у) = 20

5

¿У У.

Полагая иП = иП ехр - 1 / 6(£) , уравнение (11) приводим к виду

УАк

к

пгг ипуу +

АпУип=с(у) Ак

С(У) = -4(б2 + 2ьу) е С (у > 0).

Уравнение (12), в свою очередь, с помощью замены переменных г = г, хо переходит в уравнение

ик — ик

^пгг ^пжожо

1

АП

Зхо ипх0 + г2 ип 5П(г, х0),

ик

п

3

г, 1 2 хо

5П(г,хо) = ( 3x0

Зхо N 3

иП (г, хо).

ип (г, хо) = А

При этом краевые условия (9) и (10) соответственно примут вид:

иП М' ) = ^ ^ иП (1,хо ) = -П (хо^ иП (г, 0)= т^г^

1 д

иП(г,в') = ^(г), иП(1,хо) = (хо), Ишо х|— иП =

хо ^о дхо

3

2

У2

3

<dП (r) = r Wkn (r) exp

f b(e) , /?= ( У Vg(i) ,

^n (xo) = й (t) exp

b

T° (r) = r (m2 1) тП (r), ^П(г) = r (m2 1) ^ (r).

Наряду с уравнением (13) рассмотрим уравнение

uO = _

J<aua,n — ua,nrr ua,n%0%0

a — 1

Xo

'a,nxо + r2 Ua,n ga,n(r, x0 ),

L0uO,n — uO,nrr uO,n^0x0 + r2 UO,n = gO,n(r, x0),

£an (r,x0 ) =

Xo 1a

-2a

X0 1a

1 — a-

X0

1a

1—a"

g0,n(r, x0) = c(x0) u°>n(r, x0), 0 < a = const < 1.

Отметим, что уравнение (13) совпадает с уравнением (16а) при a = 3. Как доказано в [11, 12] (см. также [13]), существует следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнений (16а) и (160).

Утверждение 1. Если ь^П (r, x0) —решение задачи Коши для уравнения (160), удовлетворяющее условиям

ч0;П(r,0) = Tn0(r), ^X- u0,n(r,0) = 0,

то функция

<n(r,X0)= Ya I %;1(r,^X0)(1 - e2)2-Ч — 2-1 YaГ(- ) xi-aD0x2

чП^ x0 )

x

при а > 0 является решением уравнения (16а) с условиями (17).

Утверждение 2. Если х0) — решение задачи Коши для уравнения (16о), удо-

влетворяющее условиям

%'n(r, 0) =

vn

(1 — a)(3 — a)... (2q + 1 — a) ' dx0

, i^u0;,1(r, 0)=0,

то при 0 < a < 1 функция

иаД (r,x0 ) = Y2- O+2q(

_d_

x0 dx0

1-a+2q / O,1

f uji(r,ex0)(1 — e2)q-a de

— Y2-O+2q2q-1 Г (q — a+ 1) Dl

(r, x0) x0

e

1

2

y

1

2

k

c

и

r

1

2

1

q

0

является решением уравнения (16а) с начальными данными

д

^

жо^о дхп

где л/ПГ (а) 7а = 2Г (Ор-) , Г(г) — гамма-функция, — оператор Римана — Лиувил-ля [14], а д ^ 0 — наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 2 — а + 2д ^ т — 1.

При этом функции дО п(г, хо) и д0 п(г, хо) связаны формулами (18) в случае утверждения 1 и формулами (20) в случае утверждения 2.

Теперь переходим к решению задачи (16а), (14) и (16а), (15). Решение задачи (16а), (14) будем искать в виде

,„

где иа , п (г, хо) — решение задачи Коши (16а), (17), а иа',п(г, хо) — решение краевой задачи для уравнения (16а), с условиями

иа ;„

Учитывая формулы (18), (20), а также обратимость оператора [14], задачи (16а), (17) и (16а), (23) соответственно сводим наши задачи к задаче Коши (16о), (17), имеющей единственное решение [12,15], и к задаче для уравнения (16о) с условиями

д

и*£

где ,0п(г), ф 0п(хо) — функции, выражающиеся, соответственно, через ,П(г), т,(г) и

фпО^ т,(г).

Теперь будем решать задачу (16о), (24). Произведя замену -¡^(г,хо) = и°'п(г,хо) — Ф 0п(хо), задачу (16о), (24) приведем к следующей задаче

¿<п = <ПГГ— и°;пхожо + ^г <п = хо),

^¿

,0, 1 (г в/) = ,-0 (г) „-,0, 1 (1 х ) _ о д „-,0, 1 (г о) = ф0

¿^п(г, хо) = доп^ хо) + ф 10пжожо — ^Ф 0п, —п(г) = ,0п(г) — ф 0п(в0-

г

Решение задачи (25), (26) ищем в виде

^оп

где ш0п (г, хо) — решение задачи

0п = 9о,п

ш 0п

а ш|п (г, жо) — решение задачи

Ьш*п = с

д

шк2п

Решение вышеуказанных задач рассмотрим в виде

те

шп

5 = 1

при этом пусть

те те

a.s.raiЖо )Rs(r), <1nV ; —

s=1 s=1 s=1

g0,n

Подставляя (32) в (28), (29), с учетом (33), получим

Rsrr + ^ Rs + |Rs = 0, 0 < r < 1,

Rs

Tsxoxo + ^Ts

Ts (в') = 0, Tsxo (0) = 0. (37) Ограниченным решением задачи (33), (34) является [16]

Rs

n+(m—2) 2

где v = —^—, | = ^n-

Общее решение уравнения (36) представимо в виде [16]

Т5,п(жо) = Cis cos ^пЖо + C2s sin ^s,nЖo

xo xo

cos ^,пЖо [ . tAt sin ^,пЖо [ tAt

+--:- as,n(0 sin |s,n4«4--!- as,n(0 COs |s,n£a£,

№s,n J 1s,n J

оо cis, c2s — произвольные постоянные. Удовлетворив второе условие (37), будем иметь

^^^^(Жо) — c1s|s,n COs |s,nж0 xo xo

+ cos is^J as,n(^) sin |s,n^ - sin ^пЖо J as,n(^)cos |s,n£d£-оо

Подставляя (38) в (33), получим

тете

r-2 5о,п(г,жо) = ^ as.n^oJv (|s,nr), r-2 <П(г) = ^ bs,nJv (|s,nr),

s=1 s=1

те

r-2Co = ^es,nJv(|s,nr), 0 <r< 1.

s=i

Ряды (40) — разложения в ряды Фурье — Бесселя [17], если

(хо) = 2[7„+1 (Рз,п)] 2 ! \/е<7о,п(е>хо)Л(Рз,п£) ¿е

= 2[л+1 (^,и)]-21Уе

С

Л

б5,п = 2[/^+1 (^5,п)] лИфы(е)л(^е) ¿е, е5,п = 2[/^+1 (^5,п)] со\/£ло^е) ¿е

о

Учитывая свойства ортогональности функций Бесселя [17] 1

/ . (ХтбЛ (^,пе) = | п)]2

0 I 2' '

из (32), (38) и (41) имеем равенство

1

аз,п(хо) = с(хо)Тя,п(хо) + 2[Л^+1 (^,п)]-2 ^ лД

п = т; п = т,

^1пхо хо _2 Лп

Подставляя (42) в (39), получим интегральное уравнение Вольтерра второго рода

хо

т5,п(хо) = Дп(хо) + / а,п(хо ,е)гя>п(е)^е,

которое имеет единственное решение [18]

хо

где

т5,п(хо ) = Дп(хо) + у л5,п(хо,е;1)/5,п(е) ¿е,

^,пДп(хо) = с 1СОЯ ^5,пхо - Со ЯШ ^,пхо

хо 1

+ 2[Л + 1 (^5,п)]

2

А.

- ПТ .V (^,пП^П 8Ш ^5,п(е - хоП ¿е

оо

п

^5,пС5;п(хо,е) = с(е)81п^5,п(е - хо), Я5,п(хо,е; 1) — резольвента ядра С5,п(хо,е). Из (37), (43) будем иметь

хо

/5,п(в' ) + / яв>п(в ,е;1)/«,п(е) ¿е = 0.

Далее, подставляя (44) в (45), при выполнении условии (5) однозначно определим постоянные с 1« (в = 1, 2 ...).

1

а

1

1

1

Таким образом, решением задачи (28), (29) является функция

те

s=1

где Ts,n(xo) находится из (43).

Теперь, подставляя (32) в (30), (31), с учетом (33) имеем задачу

Vsxoxo + = -c(xo)Vs,

Vs(e') = bs,n, Vsxo (0) = es,n, решение которой определяется по формуле (43), где

) = cis cos + es,n sin

Из (43), (45), (47) при выполнении условий (5) определим постоянные cis (s = 1, 2,...).

Таким образом, решение задачи (30), (31) записывается в виде

те

w2n

s=1

Следовательно, единственным решением задачи (25), (26) является функция (27), где ^1„(r,xo) определяется из (46), а w2n(r,xo) из (48).

Далее, используя утверждения 1 и 2, устанавливается однозначная разрешимость задач (16а), (17) и (16«), (23).

Значит, из (22) следует, что задача (16а), (14), также имеет единственное решение.

Теперь будем решать задачу (16а), (15) в виде (22), где и^'Д^,xo) — решение задачи Коши (16а), (21), а иа , n (r, xo) — решение задачи для (16а) с данными

' )=^П(г) - ),

д

ua,n(1,xo) = ^n(xo) - ua,n(1,xo), д^ П(г, 0) = 0.

Используя формулы (18), (20), задачи (16а), (21) и (16а), (49) соответственно приведем к задаче Коши (16o), (19) и к задаче (16o), (24), где (r), ^kn(xo) — функции, теперь выражающиеся соответственно через ^П(г), Vi(r) и ^n (xo), ^(r).

Таким образом, задача (16а), (15) также однозначно разрешима.

Следовательно, решением задачи 1 является функция (7), где пП(г, t) находятся из задачи (8), (9) в случае (1), (2) и из (8), (10) в случае задачи (1), (3).

Учитывая формулу [17] 2 J(z) = Jv-1 (z) — Jv+1 (z), оценки [10,19]

Jv(г:) = ^cos(z—2v—£>+0(z^), v ^

д q

|kn| < Cinm-2, ^Fn'm

^ c2n2 1+q, j = 1,m — 1, q = 0,1,____

а также леммы 1 и 2, ограничения на заданные функции g(t), ^>(r, 0), ^(t, 0), т(r, 0), v(r, 0), как в [8, 9], можно показать, что полученное решение (7) принадлежит требуемому классу C(Dв) п C 1(De u So) п C2(Dp). >

Отметим, что эта теорема при g(t) = tp, p = const > 0 получена в [20].

Литература

1. Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification physique // Princeton University Bulletin.—1902.—Vol. 13.—P. 49-52.

2. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа.—М.: Изд. АН СССР, 1959.—164 с.

3. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных.—М.: Наука, 2006.— 287 с.

4. Bourgin D. G., Duffin R. The Dirichlet problem the vibrating string eguation // Bull. Amer. Math. Soc.—1939.—Vol. 45.—P. 851-858.

5. Fox D. W., Pucci C. The Dirichlet problem the wave eguation // Ann. Math. Pura Appl.—1958.— Vol. 46.—P. 155-182.

6. Нахушев А. М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнения смешанного типа в цилиндрической области // Диф. уравнения.—1970.—Т. 6, № 1.—C. 190-191.

7. Dunninger D. R., Zachmanoglou E. C. The condition for uniqueness of the Diriclet problem for hyperbolic equations in cilindrical domains // J. Math. Mech.—1969.—Vol. 18, № 8.

8. Aldashev S. A. The well-posedness of the Dirichlet problem in the cylindric domain for the multidimensional wave equation // Math. Problems Engineering.—2010.—Article ID 653215.—7 p.

9. Aldashev S. A. The well-posedness of the Poincare problem in a cylindrical domain for the higher-dimensional wave equation // J. of Math. Science.—2011.—Vol. 173, № 2.—P. 150-154.

10. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.—М.: Физматгиз, 1962.—254 с.

11. Алдашев С. А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений.— Алматы: Гылым, 1994.—170 с.

12. Алдашев С. А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения.—Орал: ЗКАТУ, 2007.—139 с.

13. Терсенов С. А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе.—Новосибирск: НГУ, 1973.—139 c.

14. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии.—М.: Высшая школа, 1985.—301 с.

15. Алдашев С. А. Спектральные задачи Дарбу — Проттера для одного класса многомерных гиперболических уравнений // Украинский мат. журн.—2003.—Т. 55, № 1.—C. 100-107.

16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.—М.: Наука, 1965.— 703 с.

17. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2.—М.: Наука, 1974.—295 с.

18. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4, ч. 1.—М.: Наука, 1974.—334 с.

19. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1966.—724 с.

20. Алдашев С. А. Задача Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Геллер-стедта // Материалы II Междунар. Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики».—Нальчик: НИИ ПМ и КБНЦ РАН, 2011.—C. 21-22.

Статья поступила 19 марта 2012 г.

АЛДАШЕВ СЕРИК АйМУРЗАЕВИЧ Институт прикладной математики и информатики Актюбинского гос. ун-та им. К. Жубанова, директор КАЗАХСТАН, 030000, Актобе, ул. Бр. Жубановых, 263 E-mail: aldash51@mail.ru

THE WELL-POSEDNESS OF THE DIRICHLET AND POINCARE PROBLEMS IN A CYLINDRIC DOMAIN FOR THE MULTI-DIMENSIONAL CHAPLIGIN EQUATION

Aldashev S. A.

This paper proves the unique solvability of the Dirichlet and Poincare problems in a cylindric domain for

the multi-dimensional Chapligin equation.

Key words: multi-dimensional Chapligin equation, Dirichlet problem, Poincare problem.