Применение теории обобщенных нечетких чисел к проблеме ранжирования проектов по уровню риска

Математические методы анализа

УДК 08.00.13

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ НЕЧЕТКИХ ЧИСЕЛ К ПРОБЛЕМЕ РАНЖИРОВАНИЯ ПРОЕКТОВ

ПО УРОВНЮ РИСКА

М.А. ГАВРИЛЕНКО,

аспирант экономического факультета E-mail: maksgavrilenko@gmail.com Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

В условиях постоянно меняющейся экономической конъюнктуры разработка и внедрение эффективной системы анализа риска является одним из наиболее приоритетных направлений развития бизнеса. В данных условиях внедрение новейших подходов к риск-менеджменту способно значительно снизить возможность потерь в инвестиционной деятельности.

Цель статьи - разработка алгоритма, на основе которого может быть осуществлено сравнение инвестиционных проектов по уровню риска. Задачи:

- применение качественного анализа риска на этапе идентификации рисков;

- использование теории обобщенных нечетких чисел в оценке риска;

- создание (применение) адекватного математического аппарата;

- возможность применения алгоритма к широкому классу инвестиционных проектов.

В работе сформулирован алгоритм, на основе которого можно сравнить инвестиционные проекты по уровню риска. В основу алгоритма положена теория обобщенных нечетких чисел, которая открывает перед исследователем значительные преимущества, позволяя оценивать риски инвестиционных проектов в условиях ограниченной информации.

Предложенный алгоритм является универсальным, так как может быть успешно применен к широкому кругу инвестиционных проектов. Разработанная методика проста для понимания и удобна в использовании.

Предлагаемый алгоритм может быть успешно применен при оценке рисков инвестиционных проектов совместно с общепринятыми методами. Он предполагает проведение достаточно большой работы на этапе идентификации факторов риска, что является большим преимуществом, так как точное и аккуратное определение факторов риска способствует наиболее точной оценке риска. Теория обобщенных нечетких чисел позволяет в полной мере ввести в рассмотрение экспертное мнение, придавая алгоритму определенную степень гибкости.

Предложенная методика способствует развитию теории нечетких множеств и демонстрирует преимущества ее использования применительно к проблемам риск-менеджмента.

Ключевые слова: инвестиционный проект, риск, неопределенность, нечеткое множество, нечеткое число, функция принадлежности, обобщенное нечеткое число

Теория обобщенных нечетких чисел (ОНЧ) относительно молода, но в последнее десятилетие приобретает все большую популярность. Эта концепция дает возможность отойти от повсеместного использования нормальных нечетких чисел в анализе различных экономических проблем, позволяя варьировать степень принадлежности переменной к нечеткому множеству.

Если эксперт не обладает полной уверен- у ностью относительно принадлежности элементов к тому или иному множеству то, согласно ^ теории ОНЧ, он вправе варьировать степень принадлежности (уверенности) к нечеткому 0,8 множеству. Другими словами, ОНЧ обобщает и расширяет теорию нормальных нечетких чисел. Все выводы, которые будут получены в данной статье в рамках теории ОНЧ, также верны и для нечетких чисел стандартного вида.

Введение в теорию обобщенных нечетких чисел. Обобщенным нечеткое число может быть описано с помощью функции принадлеж- о ности произвольного вида. Однако наиболее распространенным в различных исследованиях видом функции принадлежности является трапециевидная функция.

Основной причиной ее популярности является то, что она состоит из линейных участков, и это делает возможным проведение точных и негромоздких вычислений. Кроме того, она хорошо описывает различные виды неопределенности и может быть легко трансформирована в треугольную функцию. Для текущего анализа будут рассмотрены именно трапециевидные нечеткие числа, однако все расчеты могут быть проведены и для других видов функций принадлежности.

Рассмотрим определение обобщенного трапециевидного нечеткого числа и методы проведения основных арифметических операций с ними.

Обобщенное трапециевидное нечеткое число можно представить в виде А = (а,Ь, с, d, w), где а, Ь, с, d, w являются действительными числами, а 0 < w < 1. Обобщенное трапециевидное нечеткое число - это нечеткое подмножество действительной оси Я, функция принадлежности иА (х) которого описывается следующим образом:

(1) иЛ (х) является непрерывным отображением из Я на отрезок [0; w], где 0 < w < 1;

(2) иЛ(х) = 0для всех х е (-да;а];

(3) иЛ(х) строго возрастает на участке х е [а;Ь];

(4) иЛ(х) для всех х е [Ь;с];

(5) иЛ (х) строго убывает на участке х е [с; ё];

(6) иЛ (х) = 0 для всех х е ^; +да].

Графическое изображение трапециевидного

нечеткого числа приведено на рис. 1.

Если w = 1, то обобщенное трапециевидное нечеткое число является нормальным трапециевидным нечетким числом. В задачах принятия решений

j (2) \

L(h) / / \\R(h) \ .

a

c

d

X

Рис. 1. Графическое представление обобщенного нечеткого числа

переменная w является степенью уверенности в том или ином мнении лица, принимающего решение. Данное число может принимать любые значения из отрезка [0, 1]. Если we [0,1), такое нечеткое число называется обобщенным нечетким числом. На рис. 1 число (1) является трапециевидным числом нормального вида, тогда как число (2) - ОНЧ со степенью принадлежности на уровне 0,8.

Арифметические операции с ОНЧ. Рассмотрим два трапециевидных нечетких числа A = (a1, a2, a3, a4, wA )и B = (b1, b2, b3, b4, wB). Арифметические операции с ОНЧ осуществляются по следующим алгоритмам.

1. Сложение двух ОНЧ может быть выполнено по следующей формуле:

A + B = (at + bt; a2 + b2; a3 + b3; a4 + b4; min(wA, wB)).

2. Вычитание двух ОНЧ может быть выполнено по следующей формуле:

A - B = (a1 - b{; a2 - b2; a3 - b3; a4 - b4; min(wA, wB)).

3. Умножение двух ОНЧ может быть выполнено по следующей формуле:

A • B = (a1 • b{; a2 • b2; a3 • b3; a4 • b4 ;min(wA, wB)).

4. Деление двух ОНЧ может быть выполнено по следующей формуле:

A0B = (at + b1; a2 +b2; a3 +b3; a4 +b4; min(wA,wB)).

Стандартизация ОНЧ проходит следующим образом:

л / ч (ай at 2 ai3 at 4 Л

A = (a,1 , a 2, a,3, a,4, wA, ) = I -f ^-Y ^, wA, I =

s * * * * »

(afl , a*2, a*3 , a*4, wAiX

где k = max.. (a. ,1).

Алгоритм сравнения проектов по уровню риска. Предположим, что перед экспертом стоит задача сравнения некоторого количества проектов по уровню риска. Данная задача может быть решена посредством реализации приведенного далее алгоритма1.

1. Задание переменных в лингвистической форме. Первым этапом реализации алгоритма анализа риска является процедура задания экспертом (группой экспертов) его видения лингвистических термов. Исследователь должен определиться относительно соответствия лингвистических термов и числовых характеристик всех входящих в модель переменных.

Для проведения анализа риска эксперт должен задать три лингвистические переменные: риск проекта, вероятность реализации риска, величина ущерба при реализации риска.

Зададим лингвистическую переменную в форме табл. 1.

Графически данная переменная представлена на рис. 2.

Переменная риска в лингвистической форме задается следующим образом:

Риск = {Крайне низкий, Очень низкий, Низкий, Достаточно низкий, Средний, Достаточно высокий, Высокий, Очень высокий, Экстремальный}.

Данный способ задания переменной риска был впервые выбран в работе [6]. Большинство последующих трудов, затрагивающих теорию обобщенных нечетких чисел, также используют такой вид переменной риска. Это связано в первую очередь с тем, что после разработки (модификации) новой модели ученые проводят процедуру сравнения результатов моделирования с результатами, полученными в более ранних работах. Данное сравнение имеет смысл только в том случае, если все работы используют в исследовании одинаковую запись переменной риска.

Также данная переменная включает девять термов, что указывает на то, что эксперт стремится получить наиболее точную оценку риска.

Вероятность неудачи по каждому виду риска и возможная величина ущерба должны быть также заданы в лингвистической форме. В общем случае эксперт задает эти переменные на основе собственного восприятия. В дальнейшем анализе вероятность неудачи по каждому фактору риска и

1 Пункты алгоритма 1-4 являются базовыми и подробно описаны в работе [1].

-45

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА: проблемы и решения

Таблица 1

Табличное представление лингвистической переменной

Название терма Координаты

Крайне низкий

Очень низкий

Низкий

Достаточно низкий

Средний

Достаточно высокий

Высокий

Очень высокий

Экстремальный

величина возможного ущерба задаются по аналогии с переменной «риск», то есть могут быть описаны в соответствии с табл. 1.

Для задания величины ущерба эксперту необходимо вначале провести процедуру стандартизации данной переменной.

2. Модифицированный качественный анализ риска инвестиционного проекта. Наиболее важным этапом оценки риска инвестиционного проекта является проведение качественного анализа риска. Основной целью такого анализа является выявление основных факторов риска проекта, вероятности их реализации и величины возможного ущерба каждого из них.

Согласно работе [2], самым распространенным видом представления качественного анализа риска является таблица, состоящая из четырех столбцов (рис. 3).

Аккуратное заполнение первых трех столбцов данной таблицы является крайне важным для последующего рассмотрения риска инвестиционного проекта, тогда как оценка мер по предотвращению не является необходимой для оценки риска проекта.

Для дальнейшего анализа риска на основе ОНЧ эксперту необходимо оценить вероятность реализации того или иного фактора риска. В этой связи предлагается использовать следующую модификацию качественного анализа риска

Наименование риска. В настоящее время в теории риск-менеджмента существуют различные классификации рисков. Согласно работе, к основным видам рисков могут быть отнесены следующие виды:

• строительный;

• технический;

• маркетинговый;

• экологический;

- 2014-

FINANCIAL ANALYTICS science and experience

Рис. 2. Графическое представление лингвистической переменной

ные последствия. Так, осуществление одних угроз ведет к краху проекта и потере первоначальных инвестиций. Другие риски могут привести к потере только части будущих денежных потоков.

Для оценки возможного ущерба эксперт может прибегать к различным способам. Самым распространенным является использование финансовой модели для определения количественного изменения чистого приведенного дохода2 проекта при реализации того или иного риска. В данном случае эксперт должен варьировать входные переменные финансовой модели, чтобы получать величину возможного ущерба (величина уменьшения чистого приведенного дохода).

Однако существуют факторы риска, которые достаточно сложно отразить в финансовой модели. К ним, например, может быть отнесен риск участников проекта. В данном случае эксперт может как применять все известные методы оценки величины ущерба, так и основываться на здравой логике.

Поскольку величина ущерба должна быть задана в лингвистической форме, после оценки возможного ущерба эксперт должен описать полученную величину ущерба в лингвистической форме (по аналогии с первым пунктом текущего алгоритма).

Оценка вероятности реализации риска. После изучения потенциального ущерба эксперт должен рассмотреть вероятность реализации всех видов

2 Или любого другого критерия эффективности проекта.

Наименование риска Факторы риска Последствия и возможный ущерб Меры по предотвращению, приближенная оценка их стоимости

Рис. 3. Форма для проведения качественного анализа риска

Наименование Факторы Оценка вероятности

риска риска реализации риска

Рис. 4. Модификация качественного анализа риска

• социальный;

• организационно-управленческий;

• финансовый;

• юридическо-правовой;

• военно-политический;

• специфический;

• риск участников проекта;

• форс-мажор.

Первым шагом, который должен сделать эксперт, начавший модифицированный качественный анализ, является выделение основных видов рисков, характерных для данного инвестиционного проекта. Эта процедура может быть аккуратно проведена только на основе тщательного разбора всех информационных материалов, таких как бизнес-план, финансовая модель, маркетинговые исследования и т.д. Эксперт может определить основные факторы риска только после того, как приобретет должное понимание сущности проекта посредством детального анализа проектной документации.

Последствия и возможный ущерб. Реализация того или иного вида риска влечет за собой негатив-

риска, свойственных данному инвестиционному проекту. Получить такую оценку чаще всего можно только экспертным путем.

В данном случае на основе имеющихся знаний, опроса других экспертов или анализа прочих источников информации эксперт приписывает каждому фактору риска вероятность его реализации. Если в оценке возможного ущерба существуют некоторые популярные и обоснованные методы проведения оценки, то проблема оценки вероятности реализации риска является субъективной. Эксперт должен использовать все свои знания относительно сущности проекта, текущей экономической ситуации в стране и мире, и т.д.

Результаты реализации второго пункта алгоритма можно отразить в табл. 2.

Итак, начальным разделом алгоритма оценки риска инвестиционного проекта является проведение модифицированного качественного анализа риска. Раздел является крайне важным, так как все входные переменные формируются именно на этом этапе. Эксперт должен сосредоточить все усилия на глубинном анализе проекта, рассмотрении его как системы взаимосвязанных процессов, каждому из которых присущ тот или иной риск.

3. Приписывание степени уверенности в вероятности реализации того или иного фактора. После проведения качественного анализа риска исследователь формирует определенный список факторов риска. Каждый из них характеризуется тремя параметрами: вероятностью реализации, величиной возможного ущерба и степенью уверенности эксперта в оценке вероятности реализации.

На основе проведенного качественного анализа эксперт, опираясь на свое понимание процесса, дол-

Таблица 2

Оценка вероятности реализации риска

Риск Возможный ущерб Оценка вероятности реализации риска

Риск 1 Средний Высокая

Риск N Низкий Высокая

жен придать переменным вероятности реализации и величины возможного ущерба те или иные лингвистические термы. В зависимости от уверенности в своем решении относительно отнесения вероятности неудачи к тому или иному терму эксперт должен приписать каждому фактору риска свой показатель степени уверенности ^ е [0,1]).

При поиске вероятностей реализации тех или иных факторов риска эксперт может обладать разной степенью уверенности в своих решениях. В каких-то случаях существует убежденность в том, что определенный фактор риска имеет ту или иную вероятность. В иных случаях эксперт испытывает сильные сомнения на этот счет, и сомнения вводятся в модель через переменную степени уверенности.

Схематично с использованием трех факторов риска данный процесс может быть представлен в табл. 3.

После описания исследователем всех возможных факторов риска необходимо перейти к расчету показателя риска проекта.

4. Получение переменной риска проекта в форме ОНЧ. Рассчитать показатель риска проекта с учетом имеющихся характеристик вероятности реализации, величины возможного ущерба и степени уверенности эксперта в оценке вероятности реализации можно как средневзвешенное вероятности неудачи по каждому фактору риска, где в качестве весов выступают величины ущерба:

* = I^ I^.

Так как все показатели, входящие в данную формулу, являются ОНЧ, то все расчеты должны проводиться в соответствии с методами проведения арифметических операций с ОНЧ. В результате расчетов эксперт должен получить следующий вид переменной риска:

* = (а1, а2, а3, а4, wR).

Пункты 5-8 алгоритма представляют собой модификацию алгоритма Ка1а Sanguansat.

5. Расчет площади фигур, ограниченных нулевым и единичным стандартизированными ОНЧ и функциями /£ и /ЯЯ соответственно. Эти фун-

Таблица 3

Определение степени уверенности в вероятности реализации факторов риска

Фактор риска Вероятность реализации фактора Pt Величина ущерба W Степень уверенности в вероятности реализации риска w

Ai Крайне низкая Низкая 1,00

а2 Высокая Очень высокая 0,80

A3 Средняя Средняя 0,70

-45 (231) - 2014-

ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА: FINANCIAL ANALYTICS

проблемы и решения science and experience

кции описывают левую и правую боковые грани трапециевидного ОНЧ и могут быть аналитически записаны следующим образом:

принадлежности, слева нулевым ОНЧ - числом

(0, 0, 0, 0, 1). Формула расчета:

* *

Агеай,= .

fL = w

fR = WA

X - ai1

* *

a*2 - ai 1

*

X - aг 4

* *

a -a

* * , a* ^х< a*2

a з ^х<a 4.

Площади фигур, ограниченных нулевым и единичным стандартизированными ОНЧ и функциями и , рассчитываются по приведенным далее формулам.

Агеа-1 - это площадь фигуры (рис. 5), ограниченной справа левой боковой гранью функции принадлежности, слева нулевым ОНЧ - числом (0, 0, 0, 0, 1). Формула расчета:

Агеа+К - это площадь фигуры (рис. 7), ограниченной слева правой боковой гранью функции принадлежности, справа единичным ОНЧ - числом (1, 1, 1, 1, 1). Формула расчета:

Агеа^ = (' - "") +(1 - ^).

Агеа+Ь - это площадь фигуры

Area!l = WAi

2

Area-L = WAi

* * a + ain

6. Расчет величины XIк и ХБК по следующим формулам:

Агеат - это площадь фигуры (рис. 6), ограниченной справа правой боковой гранью функции

XIR = AreaL + AreaiR, XDr = Area+L + AreaiR.

а3 а3 a, \ RISK

Рис. 5. Графическое представление фигуры Area

0 а, а2 а3 а, 1 risk

Рис. 7. Графическое представление фигуры Area+

Рис. 6. Графическое представление фигуры Агеа1К Рис. 8. Графическое представление фигуры Агва+1

-45 (231) - 2014-

математические методы анализа mathematical methods of analysis -64-

Таблица 4

Результаты модифицированного качественного анализа риска

Вид риска Вероятность реализации Ущерб Степень уверенности

Проект 1

Строительный Средняя Большой 1,0

Технический Низкая Средний 1,0

Экологический Достаточно низкая Средний 0,8

Проект 2

Маркетинговый Достаточно большие 1,0

Социальный Низкая Средний 0,5

Риск участников проекта Низкая Средний 0,7

Проект 3

Технический Средняя Большой 1,0

Финансовый Очень низкая Средний 0,6

Маркетинговый Достаточно высокая Средний 1,0

7. Расчет величины Score (R) по следующей формуле:

Score (R) = -

XIr, - XDR

-, -1 < Score(R) < 1.

Таблица 5

Лингвистическое представление риска проектов

XIR + XDr + (1 - w, у

8. Ранжирование проектов в соответствии со значениями Score (R). Основное правило гласит: чем выше Score(Ri), тем больше риск.

Приведенный алгоритм сравнения проектов по уровню риска является своего рода геометрическим подходом. Оценка риска производится на основе расположения переменной риска проекта относительно нулевого или максимального стандартизованного ОНЧ. Чем ближе переменная риска проекта к нулевому ОНЧ, тем меньше риск. Чем ближе переменная риска проекта к максимальному ОНЧ, тем больше риск. Также проекты сравниваются на основе принадлежности переменных к нечеткому множеству. Так, чем менее эксперт уверен в принадлежности элементов множества к самому множеству, тем выше риск. Обратное также верно.

Практическая иллюстрация применения алгоритма. Предположим, что перед группой экспертов стоит задача сравнения трех проектов по уровню риска. По результатам изучения имеющейся проектной документации эксперты провели качественный анализ риска, результаты которого были собраны в табл. 4.

Далее эксперты проводят расчет лингвистической переменной риска проекта на основе методики, описанной в п. 4 приведенного алгоритма. Результаты расчетов лингвистической переменной риска представлены в табл. 5.

На основе пп. 5-8 приведенного алгоритма рассчитываем показатель Score (R) для каждого

Объект а1 а2 а3 а4 w

Проект 1 0,22 0,28 0,41 0,46 0,8

Проект 2 0,30 0,33 0,43 0,48 0,5

Проект 3 0,31 0,36 0,49 0,54 0,6

проекта: -0,28 для проекта 1; -0,15 для проекта 2; -0,11 для проекта 3.

Таким образом, в соответствии с изложенным проекты могут быть ранжированы по показателю риска следующим образом: проект 1 < проект 2 < проект 3. Другими словами, наибольший риск содержит в себе проект 3, наименьший - проект 1.

Заключение. Применение теории обобщенных нечетких к оценке риска инвестиционного проекта несет в себе ряд преимуществ.

Во-первых, разработанный алгоритм предполагает проведение серьезной работы на этапе идентификации факторов риска, что является большим преимуществом, так как точная и аккуратная идентификация является необходимым условием точной оценки риска.

Во-вторых, теория обобщенных нечетких чисел позволяет ввести с рассмотрение степень уверенности эксперта в своем мнении относительно возможности реализации тех или иных факторов риска.

Отличительным преимуществом разработанного алгоритма является то, что он применим к любым инвестиционным проектам, так как для каждого из них может быть проведен качественный анализ риска.

Основным недостатком рассмотренного подхода является трудность восприятия постулатов

данной теории. Если классический способ основывается на привычной всем булевой логике, то в данном случае необходимо сменить не только математический аппарат, но и логику, в рамках которой приходится действовать.

Список литературы

1. Гавриленко М.А. Применение теории нечетких множеств в оценке рисков инвестиционных проектов // Аудит и финансовый анализ. 2013. N° 5. URL: http ://www. auditfin.com/fin/2013/5/2013_V_03_03.pdf.

2. Грачева М.В., Секерин А.Б. Риск-менеджмент инвестиционного проекта. М.: ЮНИТИ, 2009. 326 с.

3. Птускин А.С. Решение стратегических задач в условиях размытой информации». М.: Дашков и Ко, 2003. 240 с.

4. BellmanR.E., Zadeh L.A. Decision-Making in Fuzzy Environment // Management Science. 1970. Vol. 17. № 4. P. 141-160.

5. Chen S.H. Ranking fuzzy numbers with maximizing set and minimizing set // Fuzzy Sets and Systems. Vol. 17. № 2. P. 113-129.

6. Chen S.J., Chen S.M. Fuzzy risk analysis based on similarity measures of generalized fuzzy numbers // Expert Systems with Applications. 2008. № 35. P. 6833-6842.

7. Chen S.M. New methods for subjective mental workload assessment and fuzzy risk analysis // Cybernetics and Systems. 1996. Vol. 27. Iss. 5. P. 449-472.

8. Hsieh C.H., Chen S.H. Similarity of generalized fuzzy numbers with graded mean integration representation // Proc. 8th Int. Fuzzy Systems Association World Congress. 1999. Vol. 2. P. 551-555.

9. Jim-Ho Chen, Shyi-Ming Chen. A New Method for Ranking Generalized Fuzzy Numbers for Handling Fuzzy Risk Analysis Problems // Systems, Man, and Cybernetics. 2011. P. 2307-2312.

10. Kangari R., Riggs L.S. Construction risk assessment by linguistics // IEEE Transactions on Engineering Management. 1989. P. 126-131.

11. Lee H.S. Optimal consensus of fuzzy opinions under group decision making environment // Fuzzy Sets and Systems. 2002. Vol. 132. Iss. 3. P. 303-315.

12. Liu Qi, Xiong Jia, Deng Yong. A subjective Methodology for risk quantification based on generalized fuzzy numbers // International Journal of General Systems. 2008. P. 234-256.

13. Peida Xu, Xiaoyan Su, Jiyi Wu, Xiaohong Sun, Yajuan Zhang, Yong Deng. A note on ranking generalized fuzzy numbers // Expert Systems with Applications. 2012. Vol. 39. Iss. 7. P. 6454-6457.

14. Shih-Hua Wei, Shyi-Ming Chen. A new approach for fuzzy risk analysis based on similarity measures of generalized fuzzy numbers // Expert Systems with Applications. 2009. Vol. 36. Iss. 1. P. 589-598.

15. Shyi-Ming Chen, Kata Sanguansat. Analyzing fuzzy risk based on a new fuzzy ranking method between generalized fuzzy numbers // Expert Systems with Applications. 2011. № 38. P. 2163-2171.

16. Shyi-Ming Chen, Chih-Huang Wang. Fuzzy risk analysis based on ranking fuzzy numbers using alfa-cuts, belief features and signal/noise ratios // Expert Systems with Applications. 2009. № 36. P. 5576-5581.

17. Shyi-Ming Chen, Abdul Munif, Guey-Shya Chen, Hsiang-Chuan Liu, Bor-Chen Kuo. Fuzzy risk analysis based on ranking generalized fuzzy numbers with different left heights and right heights // Expert Systems with Applications. 2012. № 39. P. 6320-6334.

18. Smolyak S.A. Optimality criteria for investment projects under uncertainty // Non convex Optimization and Its Applications. 2002. Vol. 59. P. 221-233.

19. Sridevi B., Nadarajan R. Fuzzy Similarity Measure for Generalized Fuzzy Numbers // International Journal of Open Problems in Computer Science and Mathematics. 2009. Vol. 2. № 2. P. 67-89.

20. Xiaoyan Su, Wen Jiang, Jianling Xu, Peida Xu, Yong Deng A New Fuzzy Risk Analysis Method Based on Generalized Fuzzy Numbers // Journal of Software. 2011. Vol. 6. № 9. P. 1755-1762.

Financial analytics: science and experience Mathematical methods of analysis

ISSN 2311-8768

APPLYING THE GENERALIZED FUZZY NUMBERS THEORY TO PROJECT RANKING BY RISK LEVEL

Maksim A. GAVRILENKO

Abstract

Importance One of the most crucial priorities of business development under the current changing economic environment is developing and implementing an efficient risk analysis system. Implementing new approaches to risk management

can lead to substantial reduction in probability of losses from investment activity.

Objectives The article deals with developing an algorithm of comparing investment projects by risk level. The tasks were as follows: application of the qualitative risk analysis

at the risk identification stage; application of the generalized fuzzy sets theory to the risk assessment procedure; development (application) of an adequate mathematic methodology; possibility to implement the algorithm to a vast class of investment projects.

Methods I have developed an algorithm of comparing investment projects by risk level. This algorithm bases on the generalized fuzzy numbers theory, which reveals substantial advantages to an analyst through assessing risks of investment projects in conditions of limited information. Results The proposed algorithm is universal because it can be implemented in many investment projects. The developed methodology is simple for understanding and convenient for practical implementation.

Conclusions and Relevance It is possible to apply the proposed algorithm to risk assessment together with generally accepted methods. This algorithm implies major job at the stage of risk factors identification. This is a great advantage as accurate and precise identification of risk factors leads to more precise risk assessment. The generalized fuzzy numbers theory enables to introduce expert judgment. This implies a certain level of flexibility of the proposed algorithm. The proposed methodology contributes to developing the theory of fuzzy sets and demonstrates the benefits of its use in relation to risk management issues.

Keywords: investment project, risk, uncertainty, fuzzy, set, number, membership function, generalized

References

1. Gavrilenko M.A. Primenenie teorii nechetkikh mnozhestv v otsenke riskov investitsionnykh proektov [Applying the fuzzy sets theory to assess the risks of investment projects]. Audit i finansoviy analiz - Audit and financial analysis, 2013, no. 5. Available at: http://www.auditfin. com/fin/2013/5/2013_V_03_03.pdf.

2. Gracheva M.V., Sekerin A.B. Risk-menedzhment in-vestitsionnogo proekta [Risk management of an investment project]. Moscow, YUNITI Publ., 2009, p. 326.

3. Ptuskin A.S. Resheneie strategicheskikh zadach v usloviyakh razmytoi informatsii [Strategic task solving in conditions of fuzzy information]. Moscow, Dashkov i Ko Publ., 2003, p. 240.

4. Bellman R.E., Zadeh L.A. Decision-Making in Fuzzy Environment. Management Science, 1970, vol. 17, no. 4, pp. 141-160.

5. Chen S.H. Ranking fuzzy numbers with maximizing set and minimizing set. Fuzzy Sets and Systems, vol. 17, no. 2, pp. 113-129.

6. Chen S.J., Chen S.M. Fuzzy risk analysis based on similarity measures of generalized fuzzy numbers. Expert Systems with Applications, 2008, no. 35, pp. 6833-6842.

7. Chen S.M. New methods for subjective mental workload assessment and fuzzy risk analysis. Cybernetics and Systems, 1996, vol. 27, iss. 5, pp. 449-472.

8. Hsieh C.H., Chen S.H. Similarity of generalized fuzzy numbers with graded mean integration representation. Proc. 8th Int. Fuzzy Systems Association World Congress, 1999, vol. 2, pp. 551-555.

9. Jim-Ho Chen, Shyi-Ming Chen. A New Method for Ranking Generalized Fuzzy Numbers for Handling Fuzzy Risk Analysis Problems. Systems, Man, and Cybernetics,

2011, pp. 2307-2312.

10. Kangari R., Riggs L.S. Construction risk assessment by linguistics. IEEE Transactions on Engineering Management, 1989, pp. 126-131.

11. Lee H.S. Optimal consensus of fuzzy opinions under group decision making environment. Fuzzy Sets and Systems, 2002, vol. 132, iss. 3, pp. 303-315.

12. Liu Qi, Xiong Jia, Deng Yong. A subjective methodology for risk quantification based on generalized fuzzy numbers. International Journal of General Systems, 2008, pp. 234-256.

13. Peida Xu, Xiaoyan Su, Jiyi Wu, Xiaohong Sun, Yajuan Zhang, Yong Deng. A note on ranking generalized fuzzy numbers. Expert Systems with Applications, 2012, vol. 39, iss. 7, pp. 6454-6457.

14. Shih-Hua Wei, Shyi-Ming Chen. A new approach for fuzzy risk analysis based on similarity measures of generalized fuzzy numbers. Expert Systems with Applications, 2009, vol. 36, iss. 1, pp. 589-598.

15. Shyi-Ming Chen, Kata Sanguansat. Analyzing fuzzy risk based on a new fuzzy ranking method between generalized fuzzy numbers. Expert Systems with Applications, 2011, no. 38, pp. 2163-2171.

16. Shyi-Ming Chen, Chih-Huang Wang. Fuzzy risk analysis based on ranking fuzzy numbers using alfa-cuts, belief features and signal/noise ratios. Expert Systems with Applications, 2009, no. 36, pp. 5576-5581.

17. Shyi-Ming Chen, Abdul Munif, Guey-Shya Chen, Hsiang-Chuan Liu, Bor-Chen Kuo. Fuzzy risk analysis based on ranking generalized fuzzy numbers with different left heights and right heights. Expert Systems with Applications,

2012, vol. 39, pp. 6320-6334.

18. Smolyak S.A. Optimality criteria for investment projects under uncertainty. Nonconvex Optimization and Its Applications, 2002, vol. 59, pp. 221-233.

19. Sridevi B., Nadarajan R. Fuzzy Similarity Measure for Generalized Fuzzy Numbers. International Journal of Open Problems in Computer Science and Mathematics, 2009, vol. 2, no. 2, pp. 67-89.

20. Xiaoyan Su, Wen Jiang, Jianling Xu, Peida Xu, Yong Deng. A New Fuzzy Risk Analysis Method Based on Generalized Fuzzy Numbers. Journal of Software, 2011, vol. 6, no 9, pp. 1755-1762.

Maksim A. GAVRILENKO

Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation maksgavrilenko@gmail.com