Торможение и ускорение электронов в плотном газе, находящемся в электрическом поле

УДК 537.52

ТОРМОЖЕНИЕ И УСКОРЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ПЛОТНОМ ГАЗЕ, НАХОДЯЩЕМСЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

А. Н. Ткачев, С. И. Яковленко

Проведено моделирование распространения электронов в газе при их энергии, превышающей энергию возбуждения К-оболочки атомов газа. Расчеты показывают, что в отсутствие внешнего поля глубина проникновения электронов в газ тяжелее азота ограничена, прежде всего, упругими столкновениями с ядрами атомов. При движении электронов в электрическом поле упругие столкновения приводят к тому, что нет точно определенного критического значения напряженности поля, при котором электрон с заданной энергией будет непрерывно ускоряться. Даже при существенном превышении критического значения напряженности поля ускоряется лишь некоторая доля электронов. Остальные электроны в результате упругих столкновений разворачиваются и теряют энергию за счет торможения полем. Центр тяжести группы электронов движется даже при больших значениях напряженности поля с установившейся постоянной скоростью.

При рассмотрении движения быстрых электронов в газах, находящихся в электрическом поле, сила их торможения о газ рассматривается обычно [1 - 4] как заданная функция энергии. Однако такой подход не учитывает лобовые столкновения, т.е. столкновения с изменением направления скорости на угол больше и порядка единицы. В то же время, роль лобовых столкновений может быть существенной [5]. Например, расчеты [5 - 7] показали, что из-за них группа быстрых электронов движется в среднем не с

ускорением, а с постоянной скоростью. Кроме того, при наносекундном разряде в газе атмосферного давления наблюдалось рентгеновское излучение не с поверхности анода, а из объема [7, 8]. Есть основания считать, что это объемное рентгеновское излучение обусловлено изменением скорости быстрых электронов при лобовых столкновениях.

В данной работе рассмотрена роль упругого рассеяния электронов на ядрах атомов газа в формировании характеристик распространения быстрых электронов в газе. Речь идет об электронах, имеющих энергию, большую энергии возбуждения Л'-оболочки атомов газа.

Постановка задачи и метод решения. Моделирование движения группы быстрых электронов, не взаимодействующих между собой, было проведено так же, как и в рабо тах, подытоженных в обзорах [9, 10], на основе одной из модификаций метода частиц (подробнее см. [11]). Электроны рождались в начале координат. Была предусмотрена возможность различных распределений начальных направлений скоростей и начальной энергии электронов. В представленных ниже результатах расчетов начальная скорость всех электронов считалась направленной по направлению электрического поля (по оси ж), а начальная энергия электронов - одинаковой. На малых временных шагах решались уравнения движения всех рассматриваемых электронов, и разыгрывались упругие и неупругие столкновения с атомами. Движение электронов рассматривалось на основе релятивистской механики, так же как в работах [12, 13].

Уравнение движения электрона. Движение отдельного электрона между упругими столкновениями описывалось уравнением:

(1р _ _ р телг

= еЕ- - р = .

Здесь £ - время; р, V - импульс и скорость электрона; е, те - его заряд и масса; = и/с; с - скорость света в вакууме; Е - напряженность электрического поля; .Р/у - сила трения (торможения), обусловленная неупругими столкновениями электрона с частицами (она направлена против направления скорости).

Для силы трения использовалось выражение [14]:

=4

тс2

= ^гм  Ы/?),

. 1 [. т2с4

ЫЯ-^ь-^ + ь.

-(2^1 - /?2 -1 + /?2)1П2 + 1-^ + 1(1- /г -

Здесь 2 - число электронов в атоме нейтрального газа; N - плотность атомов нейтрального газа; еср - средняя энергия неупругих потерь;

с =

тРС2 2

--— — тес

л/1 -/?2 '

- кинетическая энергия электрона, при этом /?(с) = г>/с = — [(е/шес2) + I]-2.

При движении электрона вдоль поля уравнение движения (1) принимает вид:

(1 - /?2(е))3/2 dt

Зависимость силы торможения от кинетической энергии имеет минимум при t 2.54mec2 « 1.3 МэВ, ¡3 « 0.96. Этому минимуму соответствует сила

4—4

FminB = ZN = (5.3 • 1(Г18 V  cm2)  eZN.

m г

Например, при 2 — 7(азот), N = 2  2.5 • 1019 см,~3 имеем Ет.;пв — -Рт,„в/е ~ 2 к В/см.

Для моделирования движения электронов, как и в [12, 13], использовалось аналитическое решение для движения электрона во внешнем однородном электрическом поле. На каждом временном шаге по аналитическим формулам вычислялись новые координаты электрона и длина пути, пройденного электроном за этот шаг. Шаг по времени выбирался так, чтобы длина пути, проходимая наиболее энергичными из электронов за шаг, не превышала четверти длины пробега за счет столкновений с ядрами. Сила трения учитывалась в конце каждого временного шага уменьшением полной энергии электрона (соответственно и модуля импульса) на работу силы трения за данный временной шаг.

Рассеяние электрона на ядре. Упругие столкновения электронов с ядрами учитывались для прицельных параметров р, меньших радиуса орбиты А'-электрона: р < aв/Z, ав = Тг2!тее2 - боровский радиус. При этом угол х, характеризующий изменение направления скорости электрона в результате упругого рассеяния электрона на ядре, определялся выражением [15] (см. рис. 1):

Х(У» 7) =

I'

I тг

__1

_2у_

—, =агccos ,

V(!/-l)(!/+l) LV3/2-7-2(y-l)(»+l).

2 1

____^У от*r*rAr*

I " \/

L

при у > 1

\

где у = ррс^е2 - приведенный момент импульса (прицельное расстояние); 7 = (1 — /З2)-1/2 - полная энергия электрона, нормированная на энергию покоя. Величи ны у и 7 рассматриваются как функции кинетической энергии е. Отметим, что при

у > 1, согласно релятивистской механике, электрон совершает несколько оборотов вокруг ядра.

ст^г2, сш2

ррс^е^

1 10 100 в, МеУ

Рис. 1. Зависимость угла рассеяния электрона от нормированного прицельного параметра ррс^е2. Сплошная кривая соответствует энергии налетающего электрона е = 511 эВ, пунктирная кривая е = ЫАМэВ (энергия налетающего электрона не учитывает энергию покоя).

Рис. 2. Зависимость от энергии электрона сечения, при котором в ходе столкновения происходит поворот скорости на угол ж/2 (для максимального прицельного параметра). Пунктирная кривая соответствует нерелятивистскому случаю стх(б)/^2 = 7г(е2/2б)2.

Полагая в (5) х — 7г/2, имеем уравнение, определяющее максимальное прицельное расстояния р±, при котором имеет место отклонение скорости на прямой угол, как функцию кинетической энергии е:

р

\ •

7Г

2=П

2 у±

2 у±

У(У± ~ 1)(Ул + 1) aгctg

- 1

\

у/

Здесь у± = рхрс/ге2, р± > (2е2/тес2)(1//?2 - I)1/2

(г/х - 1)(у± + 1) 1 - -г

Решая численно уравнение (6) для различных значений б, имеем зависимость соответствующего сечения а± = тгр2± от кинетической энергии налетающего электрона

/_„„ о\

В конце каждого временного шага моделирования движения электронов с помощью генератора случайных чисел разыгрывалось - состоялось столкновение электрона с ядром атома или нет. Столкновение считалось состоявшимся, если выброшенное в интервале 0-1 случайное число не превышало 1 — ехр(—¿¿х//), где ¿х - пройденное электроном за 1 шаг расстояние, / - длина свободного пробега. В случае, если столкновение состоялось, направление импульса электрона изменялось в соответствии с (5). Угол рассеяния в плоскости, нормальной к направлению импульса электрона до рассеяния, принимался случайным в интервале углов 0 — 2тг (с однородным распределением).

Функции распределения электронов по проекции импульса и полной энергии вычислялись по задаваемому отрезку времени на заданной сетке. На каждом временном шаге выбранного для набора статистики временного отрезка для каждой ячейки соответствующей сетки подсчитывалось и запоминалось (суммировалось) количество попаданий проекций импульса и энергии электрона в ячейку.

Релаксация электронов в отсутствие поля. При инжекции быстрых электронов в газ вдоль оси х их скорость хаотизуется за счет упругих столкновений, а энергия падает за счет трения о газ. Хаотизация скорости приводит к тому, что координата центра тяжести группы электронов хтеап не вырастает более некоторой величины (рис. 3), которую мы будем называть глубиной проникновения электронов в газ.

Величина ¿с характеризуется длиной свободного пробега между упругими столкновениями электрона с ядрами. Как известно, при кулоновских столкновениях рассеяние электронов на большие углы происходит за счет накопления небольших изменений скорости при дальних пролетах. При этом совокупность таких столкновений характеризуется сечением кулоновского столкновения сгс0и1 = тг(2р±)2А [16, 17], где А - кулоновский логарифм. В данном случае в качестве кулоновского логарифма следует брать величину: Л = \n(aв/Zpx). Для длины свободного пробега имеем: 1сои1 = 1 /(ссои^)-

Длина свободного пробега характеризует расстояние, на, котором происходи! ио-

\

ворот скорости электрона на угол х ~ 7г/2. Глубина проникновения соответствует повороту на угол х ~ тг- Поэтому естественно сравнивать величины и 21с0и1 (рис. 4).

Трение ограничивает пробег (т.е. длину траектории) электронов в среде величиной:

1.5 1

0.5

те;

шЛо

хтеап> т> етеаг/80 о

10

е, МеУ

хтеап

. . „4. ГШ

2/сои1> зт; хе, ПБ

МО3 100 10

Рис. 3. Зависимость от времени средней координаты хтеап и средней энергии ете0п электронов. Начальная энергия электронов б0 = 1 МэВ, азот = 7, еср — 40 эВ) при атмосферном давлении (ТУ = 2 • 2.5  1019 см~3).

Рис. 4. Зависимость от энергии характерных длин - глубины проникновения электронов, 1}г - длины торможения, 21Сои1 ~ удвоенной длины свободного пробега относительно кулоновских столкновений), а также времени релаксации энергии Т]Г, для азота = 7, Еср = 40 эВ) при атмосферном давлении (./V = 2  2.5 • 1019сле_3). Тонкая кривая Т]Т, полученная на основе формулы (76), практически совпадает с пунктирной кривой Т/Т, полученной на основе численного моделирования.

/хс1х тп2с*

Ро

где Д, = 2(2Еет/те)^2/с.

Время пробега электрона дается выражением:

\

с/ж

(1 +х2)з/2/(х)' Т/г0 = ыШ'

Ро

Эти формулы следуют из уравнения (4).

Время пробега Tjr, рассчитанное по формуле (76), практически совпадает с результатами моделирования (см. рис. 4). В то же время пробег ljT превышает глубину проникновения dt. Ото естественно, поскольку электрон движется не по прямой линии. Самой короткой длиной оказывается глубина проникновения, поскольку в нее вносят вклад как упругое рассеяние, так и торможение. Из рис. 4 видно, что вклад упругого рассеяния наиболее существенен даже для азота (Z = 7). Для более тяжелых газов, например, для ксенона (Z = 54) вклад упругих столкновений еще более существенен, поскольку эффективность упругих столкновений ос Z2, а эффективность неупругих потерь ос Z.

Движение электронов в поле. При инжекции быстрых электронов в газ вдоль оси х, по которой направлено поле напряженности Е, длина и время их пробега вдоль поля

описываются выражениями (см. (4)):

ß

f xdx

lfr(0,E) = lfr0 / --r^TT^-TfJ0,E) =

......J [L + x')->''[f{x)-U/b0y.....

00

ß dx

= 7>0/

ßo

где E0 = %£zN(E0 « 180 В/см, при Z = 7,еср =40 эВ, N = 2 • 2.5 • 1019 см'3).

Напряженность критического поля Еср, при котором, согласно [8], должно иметь место постоянное увеличение энергии электронов, определяется выражением £,сг(е) = Ffr{t)/e (рис. 5).

Численное моделирование показывает, что ситуация несколько сложнее. При полях, ненамного выше критического, электроны по-прежнему тормозятся за время пробега Tfr. Однако это время заметно превосходит время, определяемое по формуле (8). При существенном превышении критического поля падение средней энергии электронов как функции времени через некоторое время сменяется ее ростом (рис. 6). При этом координата центра тяжести группы электронов хтеап монотонно растет.

Это связано с тем, что некоторая доля (6) рассматриваемых электронов начинает набирать энергию от поля (рис. 7). В распределении электронов по энергии /е(е) формируется группа быстрых электронов. В то же время существенная доля электронов (1 — 6) теряет энергию. Конкуренция этих процессов и приводит к немонотонной зависимости средней энергии етеап от времени. Доля ускорившихся электронов 8 растет с увеличени ем напряженности поля, причем основная доля электронов становится убегающей лишь при напряженности поля, вдвое превышающей ЕСТ (рис. 8).

xmean> m> emean/'sO 3 -1-г

»

emeai/eO .»"*

vmean

ЕСГ) kV/cm 100

0

10 100 0 с

25

t nc

Рис. 5. Зависимость от энергии критической напряженности поля, при которой должно происходить убегание электрона, (Z = 7, N = 2 • 2.5 • 1019 см~3).

Рис. 6. Зависимость от времени средней координаты хтеап и средней энергии emeon электронов при наличии поля напряженностью Е — 7 кВ (выше критической, ЕСГ = 4.68 кВ). Начальная энергия электронов е0 = 0.1 МэВ, азот (Z = 7, еср = 40 эВ) при атмосферном давлении (N = 2 • 2.5 • 1019 см~3).

Существенное различие времени пробега, вычисленного па основе формулы (8) и полученного на основе моделирования (рис. 8) при Е ¡=а Е„ связано с тем, что электрическое поле мешает набрать большую совокупность малых отклонений в кулоновских столкновениях. Это приводит к уменьшению эффективного кулоновского сечения crcouh которое может в принципе упасть до сечения лобовых столкновений а±.

При Е > ЕСТ движение как центра тяжести электронов, так и группы быстрых электронов происходит с установившимися постоянными скоростями

dx

_ mean _ _ max

йтеап " TT ? йmax — [77 •

at at

Зависимость этих скоростей от напряженности поля представлена на рис. 8. Более резкая зависимость vmean от Е связана с тем, что увеличивается доля быстрых частиц. Итак, в данной работе проведено моделирование распространения электронов в газе

¿е> т;

Рис. 7. Распределение по энергии электронов при наличии поля напряженностью Е = 7 кВ (выше критической, ЕСГ — 4.68 кВ). Начальная энергия электронов £0 — 0.1 МэВ, азот = 7, еср = 40 эВ) при атмосферном давлении (И = 2 • 2.5 • 1019сл«-3). Распределение получено на временном промежутке 50 не < I < 70 не и нормировано условием / /(е)де = 1.

Рис. 8. Зависимость от напряженности поля характерных длин - глубины проникновения электронов, 1}Т - длины торможения), а также времени релаксации энергии т5т. Началъ ная энергия электронов е0 = 0.1 МэВ, 2 = 7, Еср = 40 эВ, N = 2-2.5-1019 см~3, Есг = 4.68 кВ. Тонкая штриховая кривая туг, полученная на основе формулы (8), существенно отличается пунктирной кривой Т}г, полученной на основе численного моделирования. Глубина проникновения электронов дс для Е > Е„ определялась для моментов времени £ = туг.

при их энергии, превышающей энергию возбуждения /^-оболочки атомов газа. Такие электроны рассеиваются преимущественно на атомном ядре, а теряют энергию за счет

I

неупругих столкновений с электронными оболочками атомов. Расчеты показывают, что в отсутствие поля глубина проникновения электронов в газ тяжелее азота ограничена, прежде всего, упругими столкновениями с ядрами атомов. Длина траектории электрона существенно меньше глубины проникновения электронов в газ.

При движении электронов в электрическом поле упругие столкновения приводят к тому, что нет точно определенного критического значения напряженности поля, при котором электрон с заданной энергией будет непрерывно ускоряться. Даже при существенном превышении критического значения напряженности поля ускоряется лишь некоторая доля электронов. Остальные электроны в результате упругих столкновений разворачиваются и теряют энергию за счет торможения полем. Кроме того, упругие столкновения приводят к тому, что центр тяжести группы электронов движется даже при больших значениях напряженности поля с установившейся постоянной скоростью. При малых значениях напряженности поля эта скорость равна нулю.

ЛИТЕРАТУРА [1] Бабич Л. П., Л о й к о Т. В., Ц у к е р м а н В. А. УФН, 160(7), 49 (1990).

ТУ _ _ _ ___Т/~\ TT Ш - ____У А ----------- „„„„„ ___СГ„ ______ N /I Ц„......

[¿J XV о р о л с а ю. Д., ivi е с я Ц X . п. тимьа iaiviiij'jiöcriwiи ирииил iojud. ivi., иа)ла,

1991.

[3] Р а й з е р Ю. П. Физика газового разряда. М., Наука, 1992.

[4] Г у р е в и ч А. В., 3 ы б и н К. П. УФН, 171(11), 1177 (2001).

[5] Т к а ч е в А. Н., Яковленко С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 36 (2005).

[6] Т к а ч е в А. Н., Яковленко С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 10, 8 (2005).

[7] К о с т ы р я И. Д., Тарасенко В. Ф., Ткачев А. Н., Яковленко С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, 2005 (в печати).

[8] Р е п и н П. Б., Р е п ь е в А. Г. ЖТФ, 74(7), 33 (2004).

[9] Т а р а с е н к о В. Ф., Я к о в л е н к о С. И. УФН, 174(9), 953 (2004).

[10] Tkachev А. N. and Yakovlenko S. I. Central European Journal of Physics (CEJP), 2(4), 579 (2004). (www.cesj.com/physics.html).

[11] Tkachev A. N. and Yakovlenko S. I. Laser physics, 12(7), 1022 (2002).

[12] Ткачев A. H., Яковленко С. И. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 2, 43 (2004).

[13] Ткачев А. Н., Яковленко С. И. ЖТФ, 75(4), 118 (2005);

[14] Далгарно А. Пробеги и потери энергии. В сб. Атомные и молекулярные процессы. Под ред. Д. Бейтса, М., Мир, 1964.

[15] Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. Сборник задач по электродинамике М., ГИФМЛ, 1962.

[16] Трубников Б. А. Столкновения частиц в полностью ионизованной плазме. Вопросы теории плазмы. Вып. 1. Под ред. М. А. Леонтовича. М., Госатомиздат, 1 акч ^ ОЙ

[17] Сивухин Д. В. Кулоновские столкновения в полностью ионизованной плазме. Вопросы теории плазмы. Вып. 4. Под ред. М. А. Леонтовича. М., Госатомиздат, 1964, с. 81.

Институт общей физики

им. A.M. Прохорова РАН Поступила в редакцию 18 марта 2005 г.

\