Применение элементов линейной алгебры в экономике

УДК 512.64

ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ В

ЭКОНОМИКЕ APPLYING THE ELEMENTS OF LINEAR ALGEBRA IN

ECONOMY

Демьянчук У.В.

Южно-Российский институт управления - филиал Российской академии народного хозяйства и государственной службы

Demyanchuk U.V.

South-Russia Institute of Management - branch of Russian Presidential

Academy of

National Economy and Public Administration

Аннотация: обосновывается практичность использование элементов линейной алгебры для решения различных экономических задач. Определяется способ составления и решения системы линейных алгебраических уравнений при решении задач. Анализируется возможность применения таблиц межотраслевого баланса и моделей.

Ключевые слова: элементы линейной алгебры, балансовый анализ, таблица межотраслевого баланса, математическая модель Леонтьева.

Annotation: grounded practicality of the use of elements of linear algebra to solve different economic problems. Determined by the method of setting up and solving a system of linear algebraic equations to solve problems. The possibility of the use of input-output tables and models to analyze them.

Key words: elements of linear algebra, balance analysis, input-output tables, mathematical model of Leontief.

Для современной экономики характерно использование множества

математических методов для решения разнообразных задач. Среди таких

методов выделяется применение элементов алгебры матриц, что особенно

актуально при работе с базами данных, где практически вся информация

хранится и обрабатывается в матричной форме. А также составление и

решение системы линейных алгебраических уравнений на основе

прогноза выпуска продукции по известным запасам сырья. [1]

Для макроэкономики характерен вопрос: каким должен быть объем

производства каждой из п-отраслей, чтобы удовлетворить все потребности

в продукции этой отрасли? Целью балансового анализа является ответ на

этот вопрос. Как правило, таблицы межотраслевого баланса отражают

связь между отраслями, которые анализируются с помощью

математической модели, разработанной американским экономистом В. В.

Леонтьевым в 1936 г. [2]

Допустим, что требуется рассмотреть п-отраслей промышленности,

которые производят собственную продукцию. Однако часть продукции

потребляется этой же и другими отраслями в процессе производства, а

другая часть предназначена для целей конечного личного и общественного

потребления. Рассматривая производственный процесс за определенный

промежуток времени (например, год), необходимо ввести такие

обозначения, как:

- общий (валовой) объем продукции 1-ой отрасли (1=1,2,...,п.);

Хц - объем продукции 1-ой отрасли, потребляемой ]-ой отраслью при

производстве (у=1,2,...,п);

У1 - объем конечного продукта 1-ой отрасли для

непроизводственного потребления.

Тогда общий объем продукции каждой 1-ой отрасли равен

алгебраической сумме суммарного объема продукции, потребляемой п-

Электронный вестник Ростовского социально-экономического института. Выпуск № 3 - 4 (июль - декабрь) 2015

отраслями и конечного продукта: х^ = + х^2+... + у^ , 1 = (1,2,...,п). Уравнения такого вида будут называться соотношениями баланса. [3]

Когда же все величины данного уравнения имеют стоимостное выражение, то рассматривается стоимостный межотраслевой баланс. Здесь необходимо ввести коэффициенты прямых затрат, которые показывают затраты продукции 1-ой отрасли на производство единицы стоимости ]-ой отрасли:

а¿у = х^у/ху,

Предположим, что в определенном промежутке времени коэффициенты а¿у постоянные и зависящие от существующей технологии производства, что означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска: х¿у = а¿уXу, (у = 1,2,..,п). Тогда и сама модель будет линейной. Иной вид примут соотношения баланса: х¿ = ^¿^ + аг2х2+...+ агпхп+уг, (1 = 1,2,...,п). Обозначим:

где X - вектор валового выпуска; А - матрица прямых затрат; У - вектор конечного продукта.

Перепишем соотношения баланса в соответствующий вид: X = АХ+У. Матричное уравнение можно переписать: (Е - А)Х = У. И если матрица (Е - А) является невырожденной (определитель отличен от нуля), то уравнение будет выглядеть следующим образом:

элемент - это величина валового выпуска продукции 1-ой отрасли, требующегося для обеспечения выпуска единицы конечного продукта ]-ой

Х=

Матрица 8=(Е - А)-1 есть матрица полных затрат, где каждый

отрасли.[3]

Рассмотрим пример, в котором приведены данные об исполнении баланса за отчетный период (таблица 1) в условно взятых единицах. Требуется вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое.

Потребление Конечн Валово

Отрасль Энергети Машинострое ый й

ка ние продукт выпуск

Производ ство Энергетика 7 21 72 100

Машинострое ние 12 15 123 150

Таблица 1 - Данные об исполнении баланса за отчетный период

Первоначально, необходимо обозначить соответствующие данные: хх= 100, х2= 150, хХ1= 7, х12 = 21, х21= 12, х22= 15, ух= 72, у2 = 123.

Используя формулу (1) можно найти коэффициенты прямых затрат и составить матрицу A:

& = ( 07 0-14+.(4) V0.12 0.1 )KJ

В данном примере матрица, имея неотрицательные элементы, удовлетворяет критерию продуктивности, т.е. максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы.

шах-0.7 + 0.12; 0.14 + 0.1/ = шах-0.19; 0.24/ = 0.24 < 1.

Запишем матрицу полных затрат: S = (E - A)-1.

^ д ( 0.93 -0.14\ _

E - A =

Так как, |4 -&|= 0.8202, то

* = |4-&|-1=бБгг

При этом потребление энергетической отрасли увеличится: У =

/1444 (123+.

Подставим полученные данные в формулу (3):

х =

Исходя из чего, валовой выпуск в энергетической отрасли необходимо увеличить до 179 усл. ед., а в машиностроительной - до 160,5 усл. ед.

Созданная американским экономистом Василием Васильевичем Леонтьевым математическая модель необходима для решения проблемы баланса между отдельными отраслями мирового хозяйства. Несомненно, экономика и математика тесно взаимосвязаны и данной статье был представлен только один из используемых экономико-математических методов[6]. Математическое моделирование находит свое применение на всех уровнях управления: как в экономике целой страны, так и в экономике какой-либо фирмы, предприятия, небольшой компании или отдельного хозяйства. На наш взгляд, математические методы и модели могут послужить сильным средством прогнозирования, научного анализа, аналитического планирования разнообразных социально-экономических процессов.

Список литературы:

1. Цысь Ю.В., Долгополова А.Ф. Элементы линейной алгебры и их применение при решении экономических задач //Современные наукоемкие технологии. - 2013. - № 6. - С. 91-93.

2. Васильева Е.Г., Инхеева Л.И., Улымжиев М.Д. Применение линейной алгебры в экономике. - Издательство ВСГТУ. - 2004. - С. 3-17.

3. Высшая математика для экономистов: учебник /Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. - 479 с.

4. Некрасов В.Н., Шарников А.В. Динамическая модель конкурентного преимущества // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. -2013. - № 1. -С. 78-85.

5. Кисилев В.В. Экономико-математическое моделирование процессов устойчивого развития региона // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. 2009. № 3. С. 73-77.

6. Игнатов В.Г. Дифференциация российских регионов по социально-экономическому положению населения и пути ее смягчения // Государственное и муниципальное управление. Ученые записки СКАГС. 2009. № 4. С. 6-19.