О корректных нелокальных обобщенных теориях упругости

УДК 539.3

О корректных нелокальных обобщенных теориях упругости

В.В. Васильев1, С.А. Лурье1,2

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия 2 Институт прикладной механика РАН, Москва, 125040, Россия В работе рассмотрены нелокальные теории упругости, включая модели сред с полями дефектов, градиентные теории упругости и гибридные нелокальные теории упругости. Проведен анализ градиентных теорий, исследованы признаки их корректности, построены прикладные теории, удовлетворяющие условиям корректности, приведено тестирование известных прикладных градиентных теорий на свойства корректности. Развита новая нелокальная обобщенная теория, для которой оператор уравнений баланса представляется в виде произведения оператора равновесия классической теории упругости и оператора Гельмгольца. Показано, что такая теория является однопараметрической и единственной из класса гибридных моделей, строящихся по полной системе уравнений для сил и моментов. В отличие от классической упругости, в которой нет масштабных параметров, характеризующих внутреннюю структуру материала, в нелокальных теориях упругости такие параметры появляются естественным образом. Поэтому они подходят для моделирования масштабных эффектов и находят применение при решении многочисленных прикладных задач для неоднородных структур с развитой границей раздела фаз, где степень влияния масштабных эффектов связана плотностью межфазных границ. Особенно привлекательными нелокальные модели сплошных сред являются при моделировании свойств различных микро/наноструктур, упругих свойств композиционных материалов и структурированных материалов с субмикронными и наноразмерными внутренними структурами, в которых эффективные свойства в значительной степени определяются масштабными эффектами (эффектами ближнего взаимодействия когезии и адгезии). Обобщенные теории упругости даже для изотропных материалов включают много дополнительных физических постоянных, экспериментальное определение которых затруднено или вовсе не возможно. В связи с этим значительный интерес представляют прикладные теории с малым числом дополнительных физических параметров. Однако процесс редукции нелокальных теорий, имеющий цель уменьшить число дополнительных параметров, является не вполне тривиальным и может приводить к некорректным результатам. Целью данной работы является исследование свойств симметрии в градиентных теориях, анализ корректности градиентных теорий и развитие прикладных однопара-метрических теорий упругости.

Ключевые слова: градиентные теории дисторсии, симметрия тензора моментных напряжений, критерий корректности, полностью симметричные градиентные теории, обобщенные напряжения, обобщенные уравнения баланса, нелокальная теория упругости

Correct nonlocal generalized theories of elasticity

V.V. Vasilyev1 and S.A. Lurie2

1 Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia 2 Institute of Applied Mechanics RAS, Moscow, 125040, Russia The paper discusses nonlocal theories of elasticity, including models of media with defect fields, gradient theories of elasticity and hybrid nonlocal theories of elasticity. Gradient theories are analyzed and their correctness characteristics are studied. Applied theories that satisfy the correctness conditions are developed and known applied gradient theories are verified for the correctness characteristics. A new nonlocal generalized theory has been developed for which the operator of the balance equation is represented as the product of the equilibrium operator of the classical theory of elasticity and Helmholtz operator. It is shown that this theory is one-parameter and the only representative of hybrid models constructed by a complete system of equations for forces and torques. Unlike classical elasticity that is free from scale parameters characterizing the internal structure of the material, nonlocal theories of elasticity naturally incorporate these parameters. That is why they are suitable for the modeling of scale effects and find application in the solution of numerous applied problems for heterogeneous structures with developed phase interfaces where the degree of influence of scale effects is related to the density of phase boundaries. Nonlocal continuum models are especially attractive for modeling the properties of various micro/nanostructures, elastic properties of composite materials and structured materials with submicron- and nanosized internal structures in which effective properties are to a great extent defined by scale effects (short-range interaction effects (cohesion) and adhesion). Generalized theories of elasticity even for isotropic materials contain many additional physical constants that are difficult or impossible to determine experimentally. Applied models with a small number of additional physical parameters are therefore of great interest. However, the reduction of nonlocal theories aimed at reducing the number of additional parameters is a nontrivial task and may lead to incorrect theories. The goal of this paper is to study the symmetry properties in gradient theories, to analyze the correctness of gradient theories and to develop applied one-parameter theories of elasticity.

Keywords: gradient theories of distortion, symmetry of couple stress tensor, correctness criterion, fully symmetric gradient theories, generalized stresses, generalized balance equations, nonlocal theory of elasticity

© Васильев В.В., Лурье С.А., 2016

1. Введение

Начало развития градиентных теорий упругости следует связывать с оригинальными работами [1-3]. В дальнейшем значительный интерес к обобщенным теориям упругости во многом определялся необходимостью объяснять и моделировать необычные физико-механические свойства новых материалов с тонкой и сверхтонкой структурой (например микро- и наночас-тицы, наполненные композиты с микро/нановключения-ми, металлокомпозиты, наномодифицированные керамики и пр.). В этом отношении большие надежды возлагались на обобщенные модели сплошных сред при моделировании свойств различных микро/наноструктур, в которых эффекты ближнего взаимодействия когезии и адгезии и других проявлений масштабных эффектов могут иметь решающее значение [4-9]. Прикладные градиентные теории были разработаны первоначально для теории пластичности [10, 11] и теории упругости [12-14]. Содержательный обзор исследований, посвященных разработке прикладных градиентных теорий, представлен в работе [15]. Дальнейший прогресс в области развития градиентных теорий связан с расширением области приложения этих теорий на задачи тер-мо-упругопластичности [16], а также на прикладные статические и динамические задачи упругости, проблемы теплопроводности и диффузии [17]. В перечисленных работах разрабатывались варианты градиентных моделей сред для описания масштабных эффектов без учета адгезионных взаимодействий. Весьма перспективными являются градиентные теории для моделирования межфазных взаимодействий в неоднородных и многофазных материалах (см., например, [18]). Особенно перспективны они при моделировании упругих свойств композиционных материалов, структурированных материалов с субмикронными и наноразмерными внутренними структурами. В работах [19-23] предложена градиентная теория межфазного слоя, которая привлекалась для учета масштабных эффектов и эффектов адгезии при моделировании свойств композитов. Нелокальные модели сред с полями дефектов, учитывающие адгезионные взаимодействия, развиты в работах [22-26].

Экспериментально размерные эффекты стали наблюдать сравнительно недавно, например, в работах [27-29] экспериментально обнаружено влияние масштабных эффектов на жесткостные характеристики сверхтонких алюминиевых и эпоксидных консольных балок. Общая градиентная теория упругости, разработанная Миндлиным [2, 3], содержит в качестве дополнительных физических постоянных для изотропных сред пять физических постоянных, через которые записываются компоненты тензора градиентных модулей упругости. Тем не менее оказывается, что даже в случае изотропных материалов трудно или даже невозможно определить эти дополнительные постоянные экспери-

ментально. Очевидным является стремление получить рационально упрощенную градиентную теорию с меньшим количеством дополнительных коэффициентов, предпочтительно только с одним. Отметим, что с точки зрения построения прикладных теорий важными представляются соображения, связанные с определением фундаментальных свойств симметрии механических свойств структур, которые могут использоваться как строгие ограничения на тензоры упругих постоянных при построении физических моделей деформирования. Например, в классической теории упругости Коши-Пуассона упругие константы представлены тензором четвертого ранга, который удовлетворяет так называемым условиям симметрии по деформациям. Тензор модулей упругости в таком случае должен оставаться неизменным при перестановке индексов в первой и второй парах индексов. Фундаментальным свойством является симметрия, связанная с требованием потенциальности и сводящаяся к неизменности тензора модулей при перестановке первой и второй пар индексов. В результате подобные свойства симметрии позволяют существенно упростить физическую модель материала.

В градиентной теории упругости физические свойства сред, которые представлены через тензор градиентных модулей упругости шестого ранга, также должны подчиняться некоторым условиям симметрии. Именно условия симметрии позволили снизить общее число физических постоянных в градиентных теориях с трехсот до семи для изотропных центрально-симметричных материалов. Свойства симметрии материалов в приложении к градиентной упругости исследовали в работах [30-32]. Тем не менее на протяжении достаточно длительного периода изучения градиентных теорий исследованию условий симметрии в градиентных теориях и степени их влияния на физические постоянные уделялось мало внимания. Только в недавних работах [33, 34] представлены систематические исследования в этой области.

Одна из целей этой работы состоит в объяснении роли условия симметрии при построении прикладных теорий упругости. Этому вопросу посвящен второй раздел статьи. Предварительно в первом разделе делается попытка представить общую структуру нелокальных теорий упругости и дать их классификацию. В последнем разделе работы с использованием вариационного подхода развивается недавно предложенный новый вариант нелокальной теории упругости, основанный на введении уравнений равновесия для обобщенных напряжений, учитывающих высокие градиенты по координатам.

2. Об общей структуре нелокальных теорий упругости

Будем использовать традиционный подход, формулируя обобщенную модель деформирования в переме-

щениях. Предполагается, что имеют место расширенные соотношения Коши, определяющие тензор дистор-сий dij по вектору непрерывных перемещений:

дЩ

1

^ = дХ~- = ^' ^ = ^ + 3 98- Юкерк'

где у- — компоненты тензора девиатора деформаций; 9 — объемная деформация; тк — псевдовектор поворотов или упругих вращений; е^к — компоненты тензора Леви-Чивиты; 8- — тензор Кронекера.

Полагаем, что для тензора дисторсий выполняются однородные условия Папковича

^е - = 0

д епт/ у '

дХт

Следовательно, по тензору дисторсий dij можно однозначно восстановить вектор перемещений, используя формулы Чезаро:

м

1

Щ = Щ + м Р + 3 98-- -^е— J .

Здесь &у, — элемент выбранной траектории интегри-

о

рования; Щ — значение вектора Щ в точке М0. Тензор дисторсий dij в этом случае называют тензором стесненных дисторсий, акцентируя внимание на том, что он однозначно связан с вектором перемещений.

В общем случае будем рассматривать среду с полями дефектов-дислокаций. Следовательно, будем полагать, что наряду с непрерывными перемещениями Щ имеется поле дефектов, которое определяется плотностью дислокаций Е- [35]. Если в среде имеются поля дефектов, то наряду с тензором стесненных деформаций деформационное состояние среды определяется также непрерывным тензором свободных дисторсий Р-, отражающим наличие полей дефектов, которые не связаны с полем перемещений. Поэтому для свободных дисторсий имеют место неоднородные условия Папковича [22]:

дв^е — = Е ,0

дхтпт] Е

Правая часть уравнения (2) является плотностью дислокаций. Следовательно, уравнение (2) можно рассматривать как определение характеристики полей дефектов — плотности дислокаций. Учитывая равенства (1) и (2), можем найти полный тензор дисторсий

О- = dj+вij.

Напомним, что только тензор стесненных дисторсий dij в правой части равенства (3) может быть записан через вектор перемещений Щ с помощью соотношения Ко-ши. Следовательно,

Щ

дх.

Соотношениями (1)-(3) полностью определяется кинематическая сторона моделей сред с полями дефектов-дислокаций.

Существенно, что уравнение (2) является неоднородным в случае существования полей дефектов. Иначе тензор вы был бы интегрируемым, его можно было бы отождествить с тензором dij и он определял бы непрерывное поле перемещений с помощью формулы Чезаро, а не поле дефектов.

Замечание. К сожалению, именно при определении кинематической стороны моделей сред с полями дефектов-дислокаций (модели сред Миндлина) в значительной части научных публикаций допускаются прямые ошибки. Эти досадные ошибки связаны с тем, что соотношения Коши навязываются полным дисторсиям, забывая, что для полных дисторсий условия интегрируе-

= Е- , 0 в силу

мости не выполняются

: дDln/д.

О- = = Я^ + Р-, =-

Хтептт

соотношений (2), (3). Можно только предположить, что подобное досадное недоразумение могло возникнуть, вероятно, в силу неверной аналогии с термоупругостью, где соотношение Коши справедливо для полных деформаций.

Будем использовать вариационный подход к формулировке моделей сред с расширенной кинематикой, согласно которому потенциальная энергия деформаций, записанная относительно списка аргументов, определяющих кинематическую модель среды, дает полную математическую модель среды, включая определяющие соотношения, разрешающие уравнения равновесия среды (рассматривается статическая постановка) и краевую задачу в целом. Действительно, потенциальная энергия, определяемая как квадратичная форма аргументов, дает систему физических соотношений (формулы Грина), а вариационный принцип Лагранжа обеспечивает получение корректной и энергетически согласованной математической постановки (краевой задачи). Дадим краткий сравнительный анализ нелокальных теорий упругости. Если рассматривать среду с центрально-симметричными свойствами и не учитывать адгезионные взаимодействия, то наиболее общая формулировка модели деформирования сред с полями дислокаций описывается лагранжианом [36]:

Ь = А - 2Ж (Cijmndijdmn + Суктп^у^тп^ +

+ Еутп(1увтп + Е-ктп^у ,к втп,1 +

+ -п^тп + ^ктп1вц,к втп,1

Здесь модули упругости С--тп, С--ктп1 определяют градиентную теорию упругости (теорию дисторсии), модули упругости Fijmn, Fijkmn¡ характеризуют соответственно поврежденную дислокациями среду и градиентные эффекты поврежденной дислокациями среды, модули упругости Е-тп, Е--ктп1 определяют взаимодейст-

вие полей деформаций и полей поврежденности и связность краевых задач эволюции полей дефектов и полей деформаций при нагружении.

Существующие нелокальные теории можно разделить на две группы. В первую входят градиентные теории Миндлина-Тупина [1, 3], теории типа Аэро-Кув-шинского [36, 37], во вторую — теории Миндлина [2], теории сред с сохраняющимися дислокациями [23, 36]. Первая группа характеризуется тем, что все теории этой группы построены на основе классической кинематической модели, когда каждой точке среды приписывают три степени свободы, определяемые компонентами вектора перемещений. Соответственно, уравнений равновесия в этих теориях три. Вторая группа характеризуется тем, что входящие в нее модели построены на основе неклассической кинематической модели. Каждой точке среды в этих теориях приписываются дополнительные степени свободы: в теории Коссера — три компоненты псевдовектора свободных поворотов, в теории Минд-лина и в теории сред с сохраняющимися дислокациями — три компоненты псевдовектора свободных поворотов и шесть компонент тензора свободных деформаций. Соответственно, уравнений равновесия в этих теориях больше: в теории Коссера— шесть, в теориях Миндлина [2] — двенадцать. Полагая в (4) равными

нулю модули упругости Еутп = Еуктп1 = 0 и ^тп =

=Fijkmnl = 0, получим градиентную теорию упругости (теорию дисторсии) Миндлина-Тупина, которая является наиболее общей теорией первой группы и содержит теории типа Аэро-Кувшинского [37] как строгие частные случаи. Отметим, что формулировки теорий Миндлина-Тупина, Аэро-Кувшинского в «напряжениях» совпадают, а в перемещениях отличаются в силу различной структуры тензоров моментных модулей. Полагая далее дополнительно, что модули упругости Сутп, СуЫп1 симметричны по первым двум индексам, получим, в частности, градиентную теорию деформаций, записанную через производные от тензора деформаций. Модель сред с полями дефектов Миндлина [2] можно получить, полагая, что в (4) равны нулю модули

упругости Суктп1 = °> Еуктп1 = Теория Миндлина является наиболее общей теорией второй группы и содержит теорию сред Коссера и теорию сред с сохраняющимися дефектами [23] как строгие частные случаи.

Вариационная модель (4) является обобщением теории сред Миндлина. В ней не только учитываются поля дефектов-дислокаций: Fijmn Ф 0, Fijkmn¡ Ф 0, но дополнительно предполагается учет градиентных эффектов полей стесненных деформаций (постоянные Суктп1 и Еуып1 не равны нулю). В результате имеет место обобщение и теории Миндлина с полями дефектов, и градиентной теории Миндлина-Тупина за счет появления билинейных слагаемых со стесненными и свободными

дисторсиями. Такие теории будем называть гибридными теориями нелокальных сред.

В частности, из общего представления (4) можно получить «простейший» вариант теории сред с сохраняющимися дислокациями, изученный в недавних работах [23, 36]. Для этого следует принять, что модули упругости в теории Миндлина имеют следующую структуру:

Уп1 = ^атЬЭукаЭп1Ь • Тогда вариационное уравнение

наиболее простой модели с полями дефектов приобретает вид

^ = А — ~~2(Сутп^у^тп + 2ЕЦтп^Цвтп + + Е'утпву втп + Fijmn"ij"тп )•

Определяющие соотношения находятся с помощью формул Грина стУ = дигIдRi у и т.д. и имеют вид

СТу = Сутп^тп + Еутпвтп, СТу = Еутп^тп + ^утпвтп,

= диг = к „

ту д".. "утп"тп •

Тензор моментных модулей Fipmq имеет структуру

Р'фтд = Р'Ар8тц + (^ + pq + (^ - рт.

Обсуждаемая модель среды определяется девятью дифференциальными уравнениями второго порядка специального вида, т.к. дивергенция уравнений равновесия моментов приводит к локальному закону сохранения стУу = 0. Следовательно, общий дифференциальный порядок будет ниже, чем в теории Миндлина. Спектр краевых задач для такой модели определен девятью граничными условиями в каждой неособенной точке поверхности вместо двенадцати в теории Минд-лина. В этом нетрудно убедиться, обратив внимание на то, что в возможной работе моментных силовых факторов содержатся только шесть из девяти слагаемых (Я тп (пупкеукп ) 8(Ртппт ) ^ = 0):

§ тыпкеукп 8Ру ^ = § тппкеукп 8Рт (8;- + птпу =

= §ттпкеукп 8(Р;8; ^ +

+ §тп (пупкеукп )8(Ртпт ^ = 0. Следовательно, в формулировках краевых задач «простейшей» теории с полями дефектов фигурируют только шесть неклассических граничных условий (в дополнение к трем классическим).

3. Условия симметрии в градиентных теориях упругости

Рассмотрим плотность потенциальной энергии в градиентной теории упругости:

у, щ, ук) = у(стЩ у +^укЩ, ук ) =

= 1

Для градиентной теории упругости (градиентная теория дисторсий) плотность потенциальной энергии (5) полностью определяет физическую модель, которая строится с помощью формул Грина:

°и = СШик¡1 + ВукШик¡¡т,

Щук = ВЫуки1,т + Aijk¡mnu¡,mn

В общем случае компоненты -тп, ВМук и СуЫ упругих тензоров A, B и C удовлетворяют условию потенциальности

СуИ = СИу , АЫтп = А1тпук,

но не удовлетворяют условиям симметрии, соответствующим теории деформаций. Если дополнительно учесть условия симметрии деформаций, то получим

Сук1 = Су1к, ВуЫт = Вjiklm = Ву1кт, АуИтп = АЦкж1п

В результате определяющие соотношения (6) записываются в деформациях:

°у = СуМ% + ВуИт£Ит ,

Щук = В1тук + АЦк1тп^1т,п

Рассмотрим общий случай изотропного материала. Для центрально-симметричных материалов тензор пятого ранга B отсутствует. В результате число независимых упругих постоянных материала уменьшается, определяющие соотношения градиентной теории дисторсий (6) становятся несвязанными:

°у = Сук1ик¡1, Щук = А]Итпик¡¡т ,

СуИ ^ Сук, ЛуИтп ^ ^ктЫ

Соответственно, для градиентной теории деформаций (8) вместо (9) получим

°у = СуШ41, Щук = ЛуИтп^т

Очевидно, что соотношения (11) могут быть также представлены в форме (10), если воспользоваться равенством е- = щ -+и- ^

Остановимся более подробно на градиентной части плотности потенциальной энергии деформации 1/ 2 -тЛ, укЩтп  Обратим внимание на то, что вторые производные от компонент вектора перемещений щ -к являются компонентами тензора второго ранга и удовлетворяют условию симметрии в отношении перестановки индексов в последней паре:

Щ ,-к = Щкд

Условие симметрии (12) является необходимым и достаточным условием непрерывности первых производных вектора перемещений. Это качество непрерывных полей перемещений отмечается здесь специально, как характерное свойство градиентных теорий упругости, поскольку для градиентных теорий градиентная часть потенциальной энергии является квадратичной формой кривизн перемещений. Очевидно, что в классической теории упругости нет причин обсуждения этого свойства симметрии.

Рассмотрим физическое соотношение для тензора моментных напряжений (10) и выделим в тензоре модулей упругости симметричные и антисимметричные составляющие по индексам, соответствующим порядку дифференцирования:

Щук = Aijklmnu¡ ¡тп =

= ЛуИтп + А/кЫт ) + (А/Итп - А/Ипт ^^¡тп- (13) Очевидно, что антисимметричная часть тензора градиентных модулей (-тп - -пт )/2 в (13) не будет

входить в выражение для неклассической плотности энергии деформации А-МптЩ,¡кЩ тп и поэтому является энергетически невидимой. Только симметричная часть тензора градиентных модулей Ауктп является энергетически существенной. Псевдотензор моментных напряжений у— может быть представлен в виде следующего разложения:

где &ук > Щ- — компоненты симметричного и антисимметричного тензоров Д и Д соответственно.

Поскольку в градиентной теории упругости в силу симметрии тензора и1 тп по порядку дифференцирования имеет место равенство 8и1тп =8и1пт; то только симметричная часть ¡1— тензора моментов определяет вариацию градиентной части плотности потенциальной энергии 8w = о- 8щ-- + \Ьук 8 щ-к  Следовательно, уравнения равновесия и естественные граничные условия определяются только симметричной частью тензоров моментов по порядку дифференцирования. Антисимметричная часть является энергетически невидимой и должна быть опущена.

Приведем математическое доказательство этого утверждения. Рассмотрим вариацию плотности упругой энергии

^ = 0у 8щ-- + Щ-к8и/

Так как щ -- = щ - ¡ то вариация 8щ -- в (15) не может использоваться как свободная независимая переменная. Следуя методу множителей Лагранжа, мы записываем

^ = 0у 8щ-- + Щук8и/ + Хук 8щ--к ¡

где 8W — расширенный функционал; щ -- — компоненты антисимметричной части второго градиента вектора перемещений УУи в (15), (16); X¡к — компоненты тензора третьего ранга — неизвестного пока тензора множителей Лагранжа.

Используя разложение (14) для тензора щ-к и 8ui¡ ¡к ¡ найдем

Щук 8щ--к = Щук 8Щ-к +Щук 8щ--к

и соответственно

^ = 0у 8ui¡j + Щук8Щ-к + (Хук + Щук )8Щ-к  Сейчас мы можем добиться исключения 8щ- -- ¡ используя свойства множителей Лагранжа и полагая Х— =

= -Ду. В результате из (16) получим следующую вариационную задачу со свободными переменными, записанную в терминах симметричной части Д:

= стг;/ + \1ук Ыи]к = а у Зм^ + Ьщук = 0, где 8и; ук может быть рассмотрена как свободная переменная. Следовательно, имеет место следующее утверждение.

Теорема. Вариационное уравнение для градиентной теории упругости может быть записано только для симметричной части тензора моментов (из-за условия и./к = и;к/). Следовательно, для градиентной упругости краевая задача в целом должна быть сформулирована только для симметричной части тензора д : Ду = .

Таким образом, для градиентной теории упругости тензор градиентных модулей А должен удовлетворять условию потенциальности (7) и условию симметрии по порядку дифференцирования. Заметим, что доказанная теорема остается справедливой и для более общей теории когда в1тук *

Есть два пути, для того чтобы удовлетворить этим требованиям. Первый путь основан на привлечении градиентной теории упругости, которая автоматически удовлетворяет условию потенциальности и условию симметрии по порядку дифференцирования (по второму и третьему, а также по пятому и шестому индексам). Этот путь будет обсуждаться позже.

Второй путь связан с тем, что обычно в качестве прикладных теорий применяются градиентные теории деформаций (11). Тогда использование условия симметрии по порядку дифференцирования связано с выбором подмножества теорий с требуемыми свойствами симметрии из общих градиентных теорий деформаций, удовлетворяющих всем трем условиям симметрии. Градиентную теорию с такими свойствами можно называть полностью симметричной градиентной теорией.

4. Корректные градиентные теории упругости

В общем случае для изотропного центрально-симметричного материала тензор градиентных модулей упругости записывается через пятнадцать независимых постоянных материала:

АуЫтп = а18у 8к18тп + а28у 8кт81п + а38у 8кп81т + + а48;к 8 /18 тп + а58;к8 ут 81п + а68;к8 уп 1т "г

+ а78 й 8/к8 тп + а88 И8 /п8к1 + а98И8 уп8 кт + + а108

8 ук 81п + а118 т 8 у18кп + а128

+ а138 ;п8 ук 81т + а148 ;п8 у18кт + а158

где 8у — тензор Кронекера; а1,..., а15 — физические постоянные материала.

Требования выполнения условия потенциальности и условия симметрии по порядку дифференцирования приводят к тому, что тензор градиентных модулей упругости зависит только от пяти физических постоянных:

АуЫтп = а1(8у 8к18тп + 8т8ук 81т +8;к 8у18тп +

т 8ук81п ) + а2 (8;у8 кт81п + 8 ;к8 уп81т + + 8у 8кп81т + 8;к8 ут 81п ) + а78И8ук8 тп + а8 (8И8ут8кп + 8И8уп8кт ) + а11 (8;т8у18кп + + 8 ш^у^И + 8 т 8у18кт + 8

).

При таком подходе к построению физической модели среды реализуется первый путь. Каждое из выделенных слагаемых в (18) удовлетворяет условию корректности (симметрии по порядку дифференцирования). Поэтому любая частная модель, полученная из (18) путем редуцирования, также будет корректной. Отметим, что при этом условие симметрии по первой паре индексов в первой и во второй тройках индексов (условие симметрии в теории деформаций) в общем случае не выполняется, т.е. в общем случае физическая модель корректной градиентной теории определяется соотношениями (10), (18). Такая теория является теорией дис-торсии.

Для рассматриваемой теории определяющие соотношения имеют вид ау = 'к98у + 2Де;у'

Д;ук = а1 (Л ик 8у + Аиу 8Л + 9,;8 ук) + + ^(6, к 8у + 9, у 8;к) + а7 АЩ 8 ]Ъ + + 2а8и;,ук + 2а11(иу;к + ик;у ).

5. Полностью симметричная градиентная теория упругости

Рассмотрим теперь второй путь, когда при построении градиентной теории упругости от тензоров модулей А (17) требуется выполнение условий потенциальности и условий симметрии теории деформаций (симметрия по первым парам индексов в обеих тройках для компонент (17)) [33]. В таком случае получим

АуЫтп = а1 (8у 8к18тп + 8;п8ук 81т + 8;у8кт81п +

к уп

81т ) + а38гу8кп81т + а4 (8;к8 тп т 8 ук 81п + 8;к8 ут 81п + 8Й8 ук8 тп + а8 (8Й8ут8кп + 8;т8А8кп ) + а9 (8И8уп8кт + + 8 ш8 у^И + 8 ш

8 у18 кт + 8 т8 к1

).

Соотношения (20) описывают общий класс градиентных теорий деформаций, для которых, вообще говоря, не выполняются условия корректности — условия симметрии по порядку дифференцирования. В результате есть опасность получить градиентную теорию, не являющуюся корректной. Вводя в (20) дополнительно условие симметрии по порядку дифференцирования, получим выражения для компонент градиентного тензора модулей упругости в полностью симметричной градиентной теории:

Ак1тп = а1 (8у 8к18тп + 8;п8ук81т + 8;к8]18тп " + 8;т8ук 81п + 8;у 8кт81п + 8;к 8уп8т +

+ 8;у 8кп8т + 8;к 8 ут8ы + 8и 8 ук 8тп) + + а8 (8 И8 ут8кп + 8И 8 уп8кт + 8ш8 у18кп + + 8 ш^у^И + 8 т 8у18кт + 8 ;п8ут8к1)*

Тем самым доказано утверждение, что полностью симметричная корректная градиентная теория деформаций является в общем случае двухпараметрической, и ее физическая модель определяется равенствами (11), (21). Для полностью симметричной теории деформации имеем

а;у = А98у + 2Дгу ,

Дук = а1 [(2е;1,1 + 9,;)8ук + (2гу1,1 + е,у )8к +

+ (2Ч11 + 9 к)8у] + 2а8 (гу к + гук; + гы,у)-

Здесь 9 = гII — обЪемная деф°рмация; Дук = АуЫтпг1т,п  Нетрудно убедиться [33], что вариационная постановка дает следующие уравнения равновесия:

ауу -Дуку + Л = 0.

Учитывая физические уравнения (11) (или (22)) и соотношения Коши, получим

Н^кик + Л = 0,

= (А + д)дду + Д8уА, Ну = 8у - 1?8уА - 1*2дду, где Л — компоненты вектора объемных сил £ Lij — оператор Ламе (оператор уравнений равновесия изотропной классической упругости); Ну — оператор Гельм-гольца изотропной теории деформаций; А = д1 д1 — лапласиан; 11 и 12 — масштабные параметры.

Для общей корректной теории, удовлетворяющей условиям симметрии по порядку дифференцирования, (18), (19), имеем

11 =

а1 + 2а8

Д

12 =

4д

д

Общее решение для корректной градиентной теории зависит от двух дополнительных параметров 11 и 12, однако краевые условия, записанные с учетом (10), (18), будут содержать пять дополнительных постоянных а1, а2, Оу, а8, а11.

Для полностью симметричной градиентной теории (21), (22) имеем

11 =

12 =

а1 + 2о8

Д

4д

д

Решение для полностью симметричной теории зависит только от двух дополнительных постоянных, т.е. модель градиентных эффектов является двухпараметрической.

Краевые условия в градиентной теории упругости (в частности в полностью симметричной теории) находятся из вариационной постановки как естественные краевые условия.

6. О корректности прикладных градиентных теорий упругости

Рассмотрим известную прикладную градиентную теорию [38, 39], для которой предложены следующие

определяющие соотношения: ау = А98у + 2Дгу,

2 2 2

Дук = I аук = I А9к8у+2д1 у.

Нетрудно найти тензор градиентных модулей упругости этой теории:

Аук1тп = дД^ = 11"А8;у8кп81т +

дг

1т ,п

+ l1Д

Тензор градиентных модулей А (28) удовлетворяет условиям потенциальности и симметрии по первым двум индексам. Такая градиентная теория относится к градиентным теориям деформаций. Однако, как нетрудно убедиться непосредственными вычислениями, тензор градиентных модулей А не удовлетворяет условиям симметрии по порядку дифференцирования, т.е. является, вообще говоря, некорректным. Попытка «улучшить» эту теорию, вводя симметрирование для псевдотензора моментов по последним двум индексам, приводит к равенству

1 2

Д;ук = 21 (а;у,к + а;к, у) =

= 212А

и к следующему выражению для компонент тензора градиентных модулей упругости:

2

Актп =1 А(8;у8кп81т +8;к8 уп8т) + + 12Д(8;18 ут8кп + 8 у18;т8кп + + 8;18кт8уп +8к18;т8уп ).

Тензор модулей, определяемый формулами (29), удовлетворяет условиям симметрии по порядку дифференцирования и условиям симметрии в отношении деформаций (в первой паре индексов). Однако этот тензор не удовлетворяет фундаментальным условиям потенциальности. Следовательно, рассматриваемая прикладная теория является некорректной и не может быть улучшена.

В качестве второго примера рассмотрим широко известную однопараметрическую прикладную градиентную теорию [40], используемую, например, для моделирования деформаций тонких масштабно-зависимых стержней и пластин. Градиентная часть плотности потенциальной энергии в этой теории записывается в виде

2 1

w = ¡ ЩХуХ- ¡ Ху = 4

где еш — тензор Леви-Чивиты.

Плотность потенциальной энергии (5) с учетом (30) имеет вид

w = ¡ ЩХу Х- = 4 ¡ Щ(етреур8Ы + еткеуп )иикЩ,тп

Следовательно, для этой теории компоненты тензора градиентных модулей записываются следующим образом:

1 2

1 2

Ajklmn = Т l №(eimpeijp8kn + elmkeijn )•

Нетрудно убедиться, что компоненты тензора градиентных модулей (31) удовлетворяют условию потенциальности, но не удовлетворяют условиям симметрии по порядку дифференцирования (см., например, А123132 -- А132123 = -1/2 ¡2Щ Ф 0). Это может привести к появлению паразитных составляющих и ошибкам при формулировке неклассических краевых условий для момент-ных напряжений.

В работе [34] показано, что игнорирование условий симметрии по порядку дифференцирования, т.е. симметрии по двум последним индексам в выражении для псевдотензора моментов (условия корректности), может приводить к разрывным решениям, недопустимым в градиентной теории упругости. Заметим, что сформулированные условия симметрии для псевдотензора мо-ментных напряжений в градиентных теориях, вероятно, являются актуальными только для градиентных теорий. Действительно, дополнительные условия симметрии вводились исходя из требования отсутствия дефектов, т.е. непрерывности перемещений и соответствующих им дисторсий. В теориях деформирования сред с полями дефектов сразу предполагается наличие распределенных свободных и неинтегрируемых дефектов-дис-торсий.

7. Нелокальная однопараметрическая теория упругости

В работах [41-43] развивается новый вариант нелокальной теории упругости. В отличие от известных подходов построение обобщенной градиентной теории в этих работах основано на анализе уравнений равновесия, а не геометрической стороны задачи теории упругости. При этом при анализе равновесия представительного фрагмента не вводится предположение о равномерности распределения напряжений по его граням, а используется разложение напряжений в степенные ряды по локальным координатам с дальнейшим осреднением по представительному фрагменту. В результате, вводится тензор обобщенных напряжений, учитывающий в отличие от классической теории упругости градиенты традиционных напряжений, и параметр, характеризующий микроструктуру среды, определяемый эксперименталь-

но. Такой подход для градиентной теории любого порядка приводит к однопараметрической модели, содержит лишь единственный масштабный параметр, связанный с характерным размером представительного фрагмента.

Показано [41, 42], что система уравнений равновесия имеет вид

Lx = Sx-—ASX + ••• = 0,

Ly = S - й ^+••• =

Lxy = Sxy - ~^Sxy + ••• = 0,

Sx =

3Gx дт

yx

d°v дтx

dx dy

y dy dx

S = т — т

uxy xy yx>

д 2(*) д 2(*) Д(*) = —V + —^

дх2 ду2

Первые два уравнения системы (32) соответствуют двум уравнениям равновесия классической упругости, третье уравнение — уравнение моментов, которого нет в классической теории упругости, записываемой фактически для точки. Это уравнение отражает свойство нелокальности обобщенной теории.

Отметим, что связь между нормальными напряжениями ох; о и деформациями ех; е в предлагаемой теории сохраняется:

Ох = Е(е х + vе у )¡ Оу = Е(Ъу + vеx )¡ Е = Е(1 -v2)¡

а соотношение упругости для касательного напряжения нуждается в обобщении, т.к. в общем случае тху Ф тух. Имеют место следующие определяющие соотношения:

т =т+т , т =т -т ,

xy s a? yx s а?

т, = Gу, та = 2G(m-0),

где

ex = du/dx, ey = 3v/3y, Y = 3v/3x + 3и/dy, ю = У2 (dv/dx - ди/dy). Таким образом, получена полная система уравнений градиентной упругости для плоской задачи, в которой уравнения равновесия (32) записываются относительно обобщенных напряжений, а соотношения упругости (33) имеют традиционную форму и не включают, в отличие от известных вариантов градиентных и моментных теорий, дополнительных упругих постоянных. Граничные условия краевой задачи могут быть получены с помощью принципа возможных перемещений, согласно которому

\\(LX 8и + Ly 8v + Lxy 86) dxdy = 0. Показано, что граничные условия, например для края х = const, можно представить в виде

^ ( Л \

( с2 Л г -—Да

x 24

V у

Ьи = 0,

с2 Л

т„ -—ЛТу

xy 24 xy

\ у

bv = 0,

с2 -^x Ьг x = 0, с2 $у = 0, с3 ^ 8(ю-0) = 0.

dx

dx

dx

Здесь 6 — угол поворота (спин), не зависящий от перемещений и, V; у и ю определяются формулами

£х = Эи/дх, еу = ЭV Эу,

у = д^дх + Эи/Эу, ю = 1/2 (Эv/Эх - Эи/Эу).

Для трехмерной теории упругости уравнения равновесия обобщаются следующим образом:

ц+рV = [(...) - к2Д(...)]^.}+р? = 0, Мк =-[(...)-к2 Д(...)](а^к ) = 0,

где к2 = с2/24; Р? — плотность объемных сил; ауу — тензор напряжений; вук — тензор Леви-Чивиты.

Для формулировки краевой задачи в кинематических переменных (в перемещениях щ и спинах 6к) используем принцип возможных перемещений и, учитывая (35), запишем следующую вариационную форму:

Ж [(Ц + Р? )8щ- + Мк 86к ]dV =

= 1 [(а у, у - к2 Да у,} + Р? )8щ +

+

Проведем в (36) интегрирование по частям и перепишем это выражение в следующем виде:

Ж[(Ц + Р?)8и - Мк86к ]dV -

-§{[(ау - k2Да j - Pf ] 8щ +

+ k 2ау, pnp8ui, у + кЧу, peyknp80k}dF = = 8[|Ц PVUidV + § PFuidF -

-Ж Uv (Щ, у, Щур, 0k, 0k, p )dV ] -

-Ж а

а j - du.

8ui, у +

k а у, p -aUT

V

i,jp

8ui, ур +

dUv

а e-1--V

d0k

80k +

k ау,peyk -

dUv

Э0

l,

k, p

80,

k, p

dV.

В левой части уравнения

Ц = А - и,

А =|Л + #

и = ж ^ (щ, у, , 6к, 6к, р )дУ

и линейная вариационная форма. Из требования равенства нулю этой линейной вариационной формы, состоящей из четырех слагаемых, следуют формулы Грина

а = U k2a = dUv у dui, у' у ,p dui, Jp ' = dUv 2 = dUv

^ d0k ' k ^^ d0k

k k,p Считаем далее, что равенства (38) выполняются, поскольку формулы Грина являются условиями потенциальности плотности энергии деформации

UV(uiJ> ^^p > 0k > 0k,p).

В таком случае вариационное уравнение (37) приобретает вид вариационного уравнения лагранжиана:

Ж [(Li + P[ )8щ - Mk 80k ]dV -

-#{[(сту -k2Дсту)пу -P-F]8щ. +

+ k 2агу, p«p8ui, у + k 2агу ^np 80k }dF = 8L. (39) Вариационное уравнение (39) полностью определяет краевую задачу. Равенство нулю поверхностного интеграла в левой части (39) определяет спектр краевых условий из девяти пар альтернативных граничных условий:

-0{[(ау - k2 Да у )пу - PF ] 8щ. +

+ k Чу, pnp8uiJ + ^и. peiikeiiknp80k}dF =

=§{Р - (ау- к2 Дау п+(к 2ау,кпк 8;-] ч--

- к 2ау ,кпупк 8

Здесь 8ру = 8ру - прпу — «плоский» тензор Кронекера; Пу — орт нормали к гладкой части кусочно-гладкой поверхности F, ограничивающей объем тела V. Последнее слагаемое определяет краевые условия на ребрах, если поверхность, ограничивающая упругое тело, не является гладкой. Нетрудно видеть, что левая часть уравнения (40) определяет формулировку краевых условий, записанных выше в форме уравнений (34).

Рассмотрим подробнее потенциальную энергию, которая формально представляет собой квадратичную форму аргументов линейной вариационной формы (37):

m,nl

U = "J Ж (СутпЩ, уЩт,п + Cykmnlui, уЛ

+ 2х12юг-0г- + X220i0i + 2 DL«. /0m,n +

+ DL 0i, у 0m,n )dV.

Тензоры модулей в общем случае определяются следующим образом:

Сутп = щу 8mn + G(8im8 уп + 8ш8ут ) +

+ X11(8im8Jn - 8in8Jm )> dl = А128у 8mn + Dl2(8im8Jn +8^ ) + + D^2(8im8уп -8in8Jm )>

D

22

jjmn _ D1 8ij8 mn + D2 (8im8 jn + 8in8 jm ) + 22

+ D3 (8im8 in - 8in8 jm )-

Здесь G, X — коэффициенты Ламе; Ciymn — тензор классических модулей, записанный для несимметричной теории упругости; Dm — тензоры неклассических модулей упругости, учитывающие вклад в потенциальную энергию полей дефектности, связанных с полем свободных поворотов (вектор свободных поворотов 6г-),

pq _ 12, 22; Dpq, Dfq — неклассические физические

12

постоянные. В тензоре неклассических модулей Dmn

12 ijmn

без ущерба для общности можно положить D = 0, т.к. он стоит при свертке, содержащей нулевой множитель

ю

k k

_ 0.

Важно отметить, что выражение для потенциальной энергии (41) соответствует модели среды, являющейся синтезом градиентной модели (Сутп, СуЫп1) и модели сред Коссера. Действительно, вариационная модель сред

Коссера формально следует из (41), если в этом урав-

12

нении принять суктп1 = 0, dijmn = 0. Следовательно, теорию с потенциальной энергией (41) следует относить к гибридным нелокальным теориям. Особенность рассматриваемой теории состоит в том, что соотношения Грина имеют особую частную структуру, которая навязана необходимостью выполнения трех уравнений равновесия (35). Форма соотношений Грина (38) устанавливает достаточно жесткие связи на физические параметры исследуемой среды. Поэтому соотношения (38) приводят к дополнительным требованиям к параметрам физической модели среды.

Рассмотрим первое и второе соотношения системы (38). Дифференцируя первое уравнение и исключая <5у к, получим

Из равенства (42) следует, что тензор градиентных модулей упругости СуЫп1 имеет следующую частную структуру:

Суктп1 = к 2 Сутп 8Й = ^ 8у 8тп 8к1 + О Я? (8т8уп +

+ 8ш8 ут )8Й + Х к (8т8уп ~8т8ут)8к1. (43) Учтем также необходимость симметрии тензора ра-диентных модулей в отношении порядка дифференцирования. Окончательно, будем принимать в дальнейшем следующее выражение для тензора градиентных модулей:

Cij

ijkmnl

k

Нетрудно убедиться, что при этом условия потенциальности для тензора градиентных модулей выполняются.

Рассмотрим третье и четвертое соотношения системы (38). Дифференцируя третье соотношение и исключая 5у реуук, приходим к следующим ограничениям на физические постоянные модели:

Д22 = 0, Д222 = Д22 = х22к2 , £>12 = Д12 = х12к2. (45) Наконец, рассмотрим первое и третье соотношения системы (38). Умножая первое уравнение первой системы на еуук и исключая , получим

11 22 12 22 X =Х , X =-Х .

Окончательно, учитывая соотношения (44)-(46), запишем лагранжиан для рассматриваемой нелокальной теории:

L _ A - U _ JflPVUid V +0PfutdF -

- V2 Ж [Cijmn (ejemn + k%kemnk ) +

+ 4х22

Определяющие соотношения для напряжений имеют вид

_ =dUV _ E „ -2у22(ю -6 )e _ j du Ejmnc-mn 2 А (шq "q )eljq

_X8ijurn,m + (G +X22)ui, j +

+ (G -x22)uu + 2x226qej

Псевдотензор моментных напряжений Цу и вектор моментов Цк также легко записываются с помощью формул Грина:

vjk _ k <*ij k _

2„ _ dUv dui, jk

_ k 2[ Eijmn^mn,k - 2X2Vq - 6q )eijq \k,

Vk _ k\ejk _ U _ -4X22k2(ю¿ - 6k) _ d6k ,22/

= к [Еутп^тп - 2Х (% - 0?)еу ]еук.

Математическая формулировка рассматриваемой нелокальной теории полностью определяется с помощью лагранжиана (47) на основе принципа Лагранжа. Физические соотношения (48), (49) полностью соответствуют физическим соотношениям, полученным ранее для плоской задачи, достаточно принять, что параметр X22 равен модулю сдвига G. Сформулированная теория упругости (х22 = О) является, очевидно, единственной из класса гибридных моделей, в которых нелокальность определяется учетом изменяемости напряжений по представительному фрагменту, т.е. требованием выполнения трех уравнений равновесия (для сил и моментов) для обобщенных напряжений.

Развиваемая нелокальная теория упругости обладает той особенностью, что обобщенные решения, полученные с ее использованием, учитывают высокие градиенты искомых функций и позволяют получать регулярные решения задач, являющихся в классической постановке сингулярными. В работах [41, 43] приводятся конкретные примеры построения регулярных обобщенных решений для задач, сингулярных в классической

теории упругости, которые демонстрируют регуляри-зующие свойства обобщенных решений. Обобщенная теория является однопараметрической и достаточно простой при реализации решений, что определяется структурой разрешающих уравнений, записанных относительно обобщенных напряжений. В результате решение задачи может осуществляться в два этапа. На первом этапе рассматривается традиционная классическая краевая задача для обобщенных напряжений. Примечательно, что краевые условия (34) (см. также (40)) позволяют в случае статических краевых условий строить такие решения, как классические, отдельно. На втором этапе полученное решение определяет правую часть разрешающих уравнений для искомых решений обобщенной теории. При этом разрешающие уравнения относительно искомых решений являются уравнениями Гельмгольца, и решения обобщенной теории включают и ««медленные» решения классической теории упругости, и экспоненциально изменяемые «быстрые» решения, локализуемые в окрестности сингулярных точек, в зонах концентрации напряжений.

В качестве примера рассмотрим модельную плоскую задачу о полубесконечной трещине в неограниченном композитном слое, отнесенном к декартовым координатам х, у. Слой считается недеформируемым в направлении продольной координаты х. Следовательно, поле перемещений определяется проекцией вектора перемещения Я = Я(х, у) на ось у, проекция вектора перемещения на ось х равна нулю. Считается, что слой обладает ортотропными свойствами с модулем Юнга Е в направлении поперечной координаты у и модулем поперечного сдвига G.

В классической теории упругости для рассматриваемой модели поле напряжений определяется нормальными напряжениями ау = ЕЯ у и касательными напряжениями т = вЯх, удовлетворяющими уравнениям равновесия ау у + т х = 0, ах х + ту = 0. При этом основным уравнением является первое из записанных уравнений равновесия. С учетом физических уравнений оно сводится к гармоническому уравнению

ЕЯуу + Яххх =

в

Второе уравнение используется для определения напряжений ах в направлении оси х путем интегрирования.

Рассмотрим задачу о трещине нормального отрыва, полагая, что напряжения ау равны нулю на берегах трещины:

ау = 0 при х > 0, ф = 0 и ф = 2п.

Асимптотическое сингулярное решение этой задачи, записанное в полярных координатах, имеет вид ау (г, ф) = К!гч/28ш(ф/2) ,

и (г, ф) = 2 К7г1/2со8(ф/ 2)/Е, г = [ х 2( Е/в ) + у 2112.

Рис. 1. Зависимость относительных напряжений а

Нетрудно проверить, что для записанного решения касательные напряжения т равны нулю при у = 0, х < 0.

Для обобщенной теории упругости уравнение равновесия (50) записывается относительно обобщенных нормальных ( - к Ыу и обобщенных касательных ^ - к 2 Ау

напряжений (вместо ау, т соответственно). Для трещины нормального отрыва «классические» однородные краевые условия (51) формулируются для обобщенных напряжений 1у - к2 А1у (см. уравнения (34)). Нетрудно видеть, что в таком случае, с учетом граничных условий (51), решение исследуемой проблемы относительно напряжений сводится к решению неоднородного уравнения Гельмгольца:

ty - k Му =ъу,

где а у (r, ф) = K r 1/2ят(ф/ 2).

Неклассическое краевое условие для искомых напряжений ty сводится к выполнению условия

ty = о

на свободных берегах трещины, включая вершину трещины.

Асимптотическое решение задачи (52), (53) имеет следующий простой вид:

ty = Kkz-1/2 -

z = r/k.

Это решение всюду регулярное и имеет в пределе при r ^ ж классическую асимптотику.

На рис. 1 представлены зависимости асимптотического решения для напряжений (54) a = ty/KI, показывающие, что напряжения не имеют особенности в вершине трещины. Более полный анализ решения, полученного в рамках обобщенной теории упругости, показывает, что это решение дает нулевой угол между берегами трещины у ее вершины, что соответствует моделям равновесных трещин [44].

8. Заключение

В статье предложена классификация нелокальных теорий, указаны особенности градиентных теорий упру-

гости, связанные с необходимостью учета дополнительного требования к свойствам симметрии градиентных модулей упругости. Эти требования предложено рассматривать как критерии корректности градиентных теорий. Предложены варианты прикладных теорий, удовлетворяющих критерию симметрии. Показано, что далеко не все известные прикладные нелокальные теории удовлетворяют этим критериям, что приводит к изменению неклассических краевых условий, сформулированных относительно моментных напряжений. Представлена математическая формулировка пространственной обобщенной теории упругости, предложенной в работах [41-43], которая учитывает неоднородность распределения напряжений по представительному фрагменту (нелокальность). Предложено использовать эту нелокальную теорию как инструмент для получения регулярных решений задач, являющихся в классической постановке сингулярными и не вполне корректными как в математическом, так и в физическом отношении.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проекты №№ 15-01-03649 и 16-01-00623).

Литература

1. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Rational Mech. Anal. - 1962. - No. 11. - P. 385-414.

2. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity //Arch. Rational Mech.

Anal. - 1964. - No. 16. - P. 51-78.

3. Mindlin R.D., Eshel N.N. On first strain-gradient theories in linear elasticity // Int. J. Solids Struct. - 1968. - No. 4. - P. 109-124.

4. Mindlin R.D. Elasticity, piezoelasticity and crystal lattice dynamics // J. Elasticity. - 1972. - V 2. - No. 4. - P. 217-280.

5. Maugin G.A. Material forces: concepts and applications // Appl. Mech.

Rev. - 1995. - No. 48. - P. 213-245.

6. Maugin G.A., Alshits V.I., Kirchner H.O.K. Elasticity in multilayers: properties of the propagation matrix and some applications // Math. Mech. Solids. - 2001. - No. 6. - P. 481-502.

7. Aifantis K.E., Willis J.R. The role of interfaces in enhancing the yield

strength of composites and polycrystals // J. Mech. Phys. Solids. -2005. - No. 53. - P. 1047-1070.

8. Aifantis E.C. Exploring the applicability of gradient elasticity to certain micro/nano reliability problems // Microsyst. Technol. - 2009. -No. 15. - P. 109-115.

9. Evans A.G., Hutchinson J.W. A critical assessment of theories of strain

gradient plasticity // Acta Mater. - 2009. - V. 57. - No. 5. - P. 16751688.

10. Aifantis E.C. On the microstructural origin of certain inelastic models // J. Eng. Mater. Tech. Trans. ASME. - 1984. - No. 106. - P. 326-330.

11. Aifantis E.C. The physics of plastic deformation // Int. J. Plasticity. -1987. - No. 3. - P. 211-247.

12. Aifantis E.C. On the role of gradient in the localization of deformation and fracture // Int. J. Eng. Sci. - 1992. - No. 30. - P. 1279-1299.

13. Ru C.Q., Aifantis E.C. A simple approach to solve boundary value problems in gradient elasticity // Acta Mech. - 1993. - No. 101. -P. 59-68.

14. Fleck N.A., Hutchinson J.W. Strain Gradient Plasticity // Advances in Applied Mechanics / Ed. by J.W. Hutchinson, T.Y. Wu. - New York: Academic Press, 1997. - V. 33. - P. 295-361.

15. Gao X.-L., Park S.K. Variational formulation of a simplified strain gradient elasticity theory and its application to a pressurized thick-walled cylinder problem // Int. J. Solids Struct. - 2007. - No. 44. -P. 7486-7499.

16. Forest S., Aifantis E.C. Some links between recent gradient thermo-elasto-plasticity theories and the thermodynamics of generalized continua // Int. J. Solids Struct. - 2010. - No. 47. - P. 3367-3376.

17. Askes H., Aifantis E.C. Gradient elasticity in statics and dynamics an overview of formulations, length, scale identifications procedures, finite element implementation procedures and new results // Int. J. Solids Struct. - 2011. - No. 48. - P. 1962-1990.

18. Mindlin R.D. Second gradient of strain and surface-tension in linear elasticity // Int. J. Solids Struct. - 1965. - No. 1. - P. 417-438.

19. Lurie S.A., Belov P.A., Volkov-Bogorodsky D.B., Tuchkova N.P. Na-nomechanical мodeling of the nanostructures and dispersed composites // Comp. Mater. Sci. - 2003. - V. 28. - No. 3-4. - P. 529-539.

20. Lurie S.A., Belov P.A., Tuchkova N.P. The application ofthe multiscale models for description of the dispersed composites // Int. J. Comp. Mater. Sci. - 2005. - V. 36. - No. 2. - P. 145-152.

21. Lurie S.A., Belov P.A., Volkov-Bogorodsky D.B., Tuchkova N.P. Interphase layer theory and application in the mechanics of composite materials // J. Mater. Sci. - 2006. - V. 41. - No. 20. - P. 6693-6707.

22. БеловП.А., Лурье С.А. К общей геометрической теории дефектных сред // Физ. мезомех. - 2007. - T. 10. - № 6. - C. 49-61.

23. Lurie S, Kalamkarov A. General theory of continuous media with conserved dislocations // Int. J. Solids Struct. - 2007. - No. 44. -P. 7468-7485.

24. Lurie S.A., Belov P.A. Cohesion field: Barenblatt's hypothesis as formal corollary of theory of continuous media with conserved dislocations // Int. J. Fract. - 2008. - V. 50. - No. 1-2. - P. 181-194.

25. Lurie S.A., Volkov-Bogorodsky D.B., Zubov V.I., Tuchkova N.P. Advanced theoretical and numerical multiscale modeling of cohesion/ adhesion interactions in continuum mechanics and its applications for filled nanocomposites // Int. J. Comp. Mater. Sci. - 2009. - V. 5. -No. 3. - P. 709-714.

26. Lurie S.A., Belov P.A., Tuchkova N.P. Gradient Theory of Media with Conserved Dislocations: Application to Microstructured Materials // One Hundred Years after the Cosserats. Advances in Mechanics and Mathematics / Ed. by G.A. Maugin, A.V. Metrikine. - New York: Springer, 2010. - V. 21. - P. 223-232.

27. Kakunai S., Masaki J., Kuroda R., Iwata K., Nagata R. Measurement of apparent Young's modulus in the bending of cantilever beam by heterodyne holographic interferometry // Exp. Mech. - 1985. -V. 25. - No. 4. - P. 408-412.

28. Lam D.C.C., Yang F., Chong A.C.M., Wang J., Tong P. Experiments and theory in strain gradient elasticity // J. Mech. Phys. Solids. -2003. - No. 51. - P. 1477-1508.

29. Liebold C., Muller W.H. Applications of strain gradient theories to the size effect in submicro-structures incl. experimental analysis of elastic material parameters // Bull. TICMI. - 2015. - V. 19. - No. 1. -P. 45-55.

30. Auffray N., Bouchet R., Brechet Y. Deviation of anisotropic matrix for bi-dimensional strain-gradient elasticity behavior // Int. J. Solids Struct. - 2009. - No. 46. - P. 440-454.

31. Auffray N., Le Quang H., He H.C. Matrix representations for 3D strain-gradient elasticity // J. Mech. Phys. Solids. - 2013. - No. 61. -P. 1202-1223.

32. dell'Isola F., Sciarra G., Vidoli S. Generalized Hooke's law for isotropic second gradient materials // Proc. R. Soc. A. - 2009. - V. 465. -P. 2177-2196.

33. Gusev A.A., Lurie S.A. Symmetry conditions in strain gradient elasticity // Math. Mech. Solids. - 2015. - P. 1-9. - doi 10.1177/1081286 515606960.

34. Lurie S., Volkov-Bogorodskii D., Tuchkova N. Exact solution of Eshel-by-Christensen problem in gradient elasticity for composites with spherical inclusions // Acta Mech. - 2016. - No. 227. - P. 127-138.

35. de Wit R. The Continual Theory of the Stationary Dislocations. Solid State Physics. - New York: Academic Press, 1960. - V. 10. - 249 p.

36. Белов П.А., Лурье С.А. Математическая теория дефектных сред. Градиентные теории упругости, Формулировки. Иерархия. Сравнительный анализ. Приложения. - Palmarium Academic Publishing, 2014. - 337 c.

37. Аэро Э.Л. Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. -1960. - № 2. - С. 1399-1409.

38. Altan B.S., Aifantis E. C. On the structure of the mode III crack-tip in gradient elasticity // Scripta Met. - 1992. - No. 26. - P. 319-324.

39. Altan B.S., Aifantis E.C. On some aspects in the special theory of gradient elasticity // J. Mech. Behav. Mater. - 1997. - V. 8. - No. 3. -P. 231-282.

40. Yang F., Chong A.C.M., Lam D.C.C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory of elasticity // Int. J. Solids Struct. - 2002. -No. 39. - P. 2731-2743.

41. Васильев В.В., Лурье С.А. Модель сплошной среды с микроструктурой // Композиты и наноструктуры. - 2015. - Т. 7. - №2 1. - С. 210.

42. Васильев В.В., Лурье С.А. Обобщенная теория упругости // Изв. РАН. МТТ. - 2015. - № 4. - С. 16-27.

43. Васильев В.В., Лурье С.А. Обобщенное решение задачи о круглой мембране, нагруженной сосредоточенной силой // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - № 3. - (в печати).

44. Goodier J. Mathematical Theory of Equilibrium Cracks // Fracture. V. 2: Mathematical Fundamentals / Ed. by Liebowitz. - New York-London: Academic Press, 1968.

Поступила в редакцию 14.01.2016 г.

Сведения об авторах

Васильев Валерий Витальевич, д.т.н., чл.-к. РАН, гнс ИПМех РАН, vvvas@dol.ru

Лурье Сергей Альбертович, д.т.н., проф., внс ИПМех РАН, гнс, зав. лаб. ИПРИМ РАН, salurie@mail.ru