Формирование системного мышления в обучении математике

ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ

Л.С. САГАТЕЛОВА

ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМНОГО МЫШЛЕНИЯ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ

Рассматривается системное мышление старшеклассников как приоритетная цель обучения на старшей ступени в средней школе.

Обосновывается тезис о том, что идея системности окружающего мира может стать концептуальной основой для интеграции научного знания в содержании образования. Дается краткое описание технологии процесса формирования системного мышления на материале математики.

Становление нового типа научной рациональности (постнеклассической), происходящее в настоящее время на фоне перехода развитых стран мира к постиндустриальному обществу, обусловливает востребованность в нем людей, обладающих качественно новым мышлением, в целом характеризуемым как системное. В современных условиях формирование системного мышления учащихся приобретает особую актуальность и предполагает обязательное решение двух задач: 1) дать каждому выпускнику знания, достоверно отражающие в его сознании объективно существующий мир как систему; 2) организовать знания в определенном порядке таким образом, чтобы они были взаимосвязаны своими составными частями и представляли некоторую целостность.

Системное мышление определяется как мышление, учитывающее положения системного подхода. В широком смысле слова под системным подходом понимают такой способ познания, при котором изучаемые объекты рассматриваются как определенные целостные образования, состоящие из частей, элементов или компонентов, взаимодействующих друг с другом таким образом, что в результате этого возникают новые свойства или качества, несводимые к совокупности составных частей. Системный подход - важнейшее методологическое направление современной

науки. Использование его категориального аппарата как методологического инструментария для исследования объектов окружающего мира способствует формированию системных знаний, системного мышления и, как результат, - личностной системной картины мира. Процесс формирования системного мышления учащихся можно представить в виде следующей упрощенной линейной схемы: системный подход ^ системный анализ ^ системные знания ^ системное мышление.

Системное мышление предполагает интеграцию знаний различных наук. Такие понятия, как «система», «элемент», «процесс», «структура», «информация», «организация», «самоорганизация» и др., составляющие понятийный аппарат системного подхода, представляют естественную основу для понимания целостности и взаимосвязи физических, химических, биологических, социальных, языковых, научных и других систем, механизмов их развития и взаимодействия с другими системами. Таким образом, идея системности окружающего мира может стать концептуальной основой для интеграции научного знания в содержании образования, способствовать становлению целостности мировосприятия в сознании учащихся. На формирование системного мышления направлено проектирование интегрального образовательного пространства, которое определяется как образовательная система, локализованная внутри образовательного процесса в четких пространственновременных границах, выполняющая определенные дидактические задачи и организуемая на следующих дидактических принципах: диалектического единства интеграции и дифференциации, антропоцентризма, культуросообразности. Технология обучения дисциплинам, способствующим формированию системного мышления, должна последовательно включать постановку задач предметной области, изучение концепции их решения, изучение способов и средств, овладение методикой решения. Чем больше дисциплин изучается

© Сагателова Л.С., 2008

по этой технологии, тем быстрее формируется и тем выше уровень системного мышления.

Формирование системного мышления в обучении рассматривается с точки зрения изменений, вносимых в деятельность, прежде всего - изменения ее предмета и метода (способа организации познавательной деятельности). При формировании системного мышления учащихся предметом деятельности выступает изучение объектов как определенных целостных образований - систем, а способом организации познавательной деятельности - метод системного анализа. Принципы (положения) системного подхода позволяют произвести системный анализ предмета (объекта) и являются своего рода программой деятельности, которая проектирует те познавательные действия и операции, которые последовательно открывают в предмете разные аспекты его системно-структурной организации и выстраивают структуру знаний о нем как о целостности.

Покажем возможности урока математики в формировании системного мышления учащихся.

Системное мышление у учащихся формируется только при явном выделении в изучаемом материале системообразующего фактора, объединяющего элементы в целостность. Одним из системообразующих факторов является отношение, понимаемое как единство, связь между элементами, скрепляющая их в единое целое. С самого начала изучения необходимо акцентировать внимание на понятии «отношение». Отношение показывает: а) во сколько раз одно число больше другого; б) какую часть одно число составляет от другого; в) как быстро изменяется одна величина при изменении другой. Таким образом, в основе понятия «отношение» лежит сравнение чисел (величин).

Изучаемая тема должна содержать материал, требующий осознать в том или ином аспекте системообразующую единицу, поэтому следует рассмотреть различные интерпретации системообразующего понятия. Например, существуют величины, которые по своей природе являются «отношениями». Это следующие: скорость (отношение длины пути к соответствующему отрезку времени); число А (отношение длины отрезка к ее диаметру); всхожесть (отношение числа проросших семян к числу посеянных); цена; крутизна; плотность; масштаб и т.д. Рассмотрение этих величин как

различных интерпретаций понятия «отношение», во-первых, способствует более глубокому пониманию его смысла, во-вторых, делает ясной необходимость рассмотрения перечисленных понятий именно в контексте изучаемого материала.

После панорамного изложения материала учащимся предлагается выделить элементы и системообразующие факторы в таких объектах-системах, как Эвклидова геометрия (объект концептуальный), игра в футбол (объект спортивный), матрешки (объект эстетический), формула Е=тхс2 (закон природы), способ производства (объект социальный). Следует акцентировать внимание учащихся на том, что законы системности позволяют установить необычное и вместе с тем глубокое единство между объектами, внешне мало сходными друг с другом.

Элементы: точки, прямые, плоскости -в Эвклидовой геометрии; поле, пара ворот, мяч, 11 игроков в каждой из двух команд, судья на поле - в игре в футбол; матрешки - в матрешке; две переменные и одна постоянная - в формуле Е=тхс2; производственные силы и производственные отношения - в способе производства.

Системообразующие факторы: отношения единства, связи между элементами («лежит на», «между», «конгруэнтны») - в Эвклидовой геометрии; отношения игрового соперничества - в футболе; отношения принадлежности - в матрешке; отношения равенства и прямой пропорциональности -в формуле Е=тхс2, социально-экономические отношения в способах производства.

Здесь целесообразно показать учащимся, что каждая из названных систем является элементом системы объектов одного и того же рода: Эвклидова геометрия принадлежит системе геометрий Эвклида - Лобачевского - Римана - Гильберта и др.; игра в футбол принадлежит системе игр с мячом, включающей в себя футбол, гандбол, волейбол и т.д.; формула Е=тхс2 - системе формул специальной теории относительности; способ производства - системе способов производства (первобытнообщинного, рабовладельческого, феодального, капиталистического, коммунистического). Далее учащимся предлагается самим выбрать систему и провести простейший системный анализ (например, несложной текстовой задачи, уравнения, системы уравнений, функций). В рамках данной статьи остановимся на описании деятельности учащихся при решении

текстовых задач с системным типом ориентировки. Выделяется пять этапов: 1) анализ условий текстовой задачи; 2) составление ее математического описания; 3) анализ уравнений; 4) решение; 5) проверка полученных результатов. Остановимся на каждом этапе решения задачи.

Первый этап посвящен системному исследованию условий текстовой задачи. Уровни строения этой системы составляют подсистемы - «носители величин». «Носителями величин» выступают однородные по качеству объекты, процессы, ситуации, описываемые в задаче, которые возможно сравнить количественно. В задачах на «движение» в качестве «носителей» могут выступать процессы движения поездов, пешеходов и пр., в задачах на «работу» - деятельность каждой бригады и совместная деятельность бригад. Количество выделенных в задачах подсистем - «носителей» определяет количество уровней строения исходной системы (условия текстовой задачи).

Изучение всякой системы предполагает выделение ее структуры, т.е. элементов и связей. В данном случае элементами служат параметры «носителей», характеризующие «носители» количественно. Например, в задачах на «движение» элементами выступают путь, скорость, время, а в задачах на «работу» - работа, производительность, время (конечно, этот перечень может быть дополнен, исходя из условий конкретной задачи). Необходимо различать «название элемента» (параметра) и «значение элемента» (его количественное выражение). Название -это скорость, путь, время и т.д., а значения - это те конкретные количественные выражения (известные или искомые), которые указанные параметры могут принимать. Системообразующие связи - связи между разными параметрами одного и того же «носителя» (горизонтальные), к примеру, (б - путь, V - скорость, t - время) или А=рt (А - работа, р - производительность, t -время). Помимо связей горизонтальных, выделяются вертикальные или межуровневые. Межуровневые связи - связи между общими параметрами разных носителей. Итак, структура исходной системы (условия задачи) включает в себя подсистемы - «носители», образующие разные уровни ее строения, элементы на каждом уровне (параметры «носителей»), связи между элементами одного уровня и между элементами разных уровней (межуровневые связи). Таким образом, все многообразие текстовых задач можно

классифицировать по типу структуры, а не по тому предметному материалу, на котором строится сюжет задачи.

Второй этап - составление математического описания текстовой задачи. Третий этап - анализ системы математического описания (анализ уравнений) - посвящен системному анализу полученного описания как математической модели «оригинала». На этом этапе раскрываются системные свойства уравнения как математического объекта - существование одного или нескольких его решений. Выявляется структура уравнения. Четвертый этап - решение текстовой задачи. Пятый этап посвящен проверке адекватности полученного математического описания (модели) оригиналу. Фиксируются выделенные структуры оригинала (условия задачи) и математического объекта (математического описания задачи). Проверяется их соответствие, после чего математическое описание рассматривается как модель, адекватная оригиналу.

Логика изложения предметного материала с использованием возможностей системного подхода позволяет учащимся увидеть существенные связи в математических объектах. Кроме того, системный подход к изучению различных объектов позволяет раскрывать общие связи в объектах любой природы.

Формирование обобщенных алгоритмов системного подхода у учащихся с последующим системным анализом изучаемого объекта может протекать по-разному - в зависимости от уровня представления информации, уровня контроля и уровня владения обучаемыми способами умственных действий. В своей работе мы применяем четырехуровневый алгоритм. Первый уровень - изложение, при котором сообщение материала имеет характер воспроизведения системы, выдвижения гипотез, их обоснования и проверки. Второй уровень -преподаватель предлагает учащимся самим выделить систему, т.е. организует проблемную ситуацию, а сама ситуация формируется учащимся при помощи преподавателя. Третий уровень - ситуация полностью разрешается учащимися (высокий уровень). Четвертый уровень - учащимся предлагается ряд неупорядоченных данных, ставится задача самим увидеть систему и решить поставленную задачу. В этих условиях у учащихся есть возможность самим проявить свои способности.

Овладение методологией системного подхода представляется актуальной и значимой в условиях современной системы образования задачей, т.к. системные знания, системное мышление как компоненты качества личности обучаемых определяют новые характеристики усваиваемых знаний и умений, новый уровень интеллектуальных способностей. Переход учащегося к новому способу мышления - важный шаг в его развитии, меняющий его отношение к миру и определяющий способы его многогранного освоения как целостности. Но, к сожалению, в массовом педагогическом опыте в целях и содержании деятельности общеобразовательных учреждений не проектируется формирование системного мышления учащихся. Анализ теории и педагогической практики показал, что формирование системного мышления еще не стало объектом теоретико-методологического осознания и практической реализации. Причина этого состоит в том, что парадигма системного мышления не нашла собственной смысловой ниши в личностных профессиональных приоритетах большинства учителей.

Н.А. АСТАХОВА

ОБУЧЕНИЕ СТУДЕНТОВ СОСТАВЛЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ СПЕЦИАЛЬНЫХ УМЕНИЙ ПО ИХ РЕШЕНИЮ

Описаны элементы содержания модели обучения студентов составлению задач. Рассматривается

их взаимосвязь со специальными умениями, связанными с решением задач.

Быстрое развитие науки и техники, увеличение потока информации требуют от современного специалиста не только знаний конкретных алгоритмов и методов решения тех или иных задач, но и, что более важно, умения принимать творческие решения, знания способов и методов самостоятельного добывания информации, готовности к постоянному самообразова-

нию. Это обусловливает необходимость формирования творчески мыслящей личности студента. Одним из дидактических средств развития творческого мышления может выступать составление задач.

В общем случае можно выделить основные этапы процесса составления задачи: создание в своем воображении жизненной ситуации, соответствующей задаче; привлечение теоретического материала, соответствующего предметной области; установление вида или структуры задачи; постановка вопроса, соответствующего виду или структуре задачи и выбранной ситуации; подбор числовых значений исходных величин или установление начальных связей между ними; формулировка условия и вопроса задачи, запись на языке, соответствующем предметной области; решение и анализ составленной задачи.

Самостоятельное составление задач - это новый вид деятельности для студентов, который необходимо предварять работой с готовыми задачами. В процессе и по окончании решения этих задач обучаемые наблюдают и фиксируют особенности их построения, сравнивают задачи по их существенным и несущественным элементам. Среди готовых задач могут встречаться неопределенные и переопределенные, решение которых в любом случае вынудит к такого рода действиям. Затем можно организовать работу по преобразованию задач, когда за основу берется текст готовой задачи и изменяются ее элементы, приходится дополнять текст задачи недостающими элементами (исходными данными или требованием). На следующей стадии полезно составлять задачи определенного типа, удовлетворяющие некоторому набору требований. Закончить работу можно составлением системы задач по выбранной теме.

В связи с вышесказанным и в соответствии с приемами эвристической деятельности, которые применяются при решении и составлении задач, автором построена модель обучения составлению задач как средства формирования специальных умений по решению задач, в основу которой положены следующие элементы содержания:

1. Решение задач с неопределенностью по ходу решения.

Поскольку решение задач - более привычное занятие, нежели составление, следу-

© Астахова Н.А., 2008