Дискретная модель измерения эргодических случайных процессов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ

УДК 519.876.5

Н.А. ЗАИКО

ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЯ ЭРГОДИЧЕСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Для анализа вероятностных характеристик случайных процессов, обладающих эргодическим свойством, построена математическая модель, учитывающая дискретность процессов измерений, имеющих место при использовании цифровой техники. Получены характеристики случайных процессов и оценки их погрешностей. Эргодический случайный процесс ; вероятностные характеристики ;

дискретные измерения

ВВЕДЕНИЕ

Эргодические случайные процессы позволяют находить свои вероятностные характеристики по одной реализации, поэтому эта модель получила широкое распространение в теории измерений.

Эргодическое свойство случайных процессов заключается в том, что осреднение по времени эквивалентно осреднению по параметру измерения при большой длительности реализации.

При статических измерениях значительную роль играет оценка погрешности, поскольку пренебрежение погрешностями или их некорректный учет приводят к серьезным ошибкам и неправильным решениям. Поэтому задача повышения точности при исследовании вероятностных характеристик случайных процессов в настоящее время является весьма актуальной.

Общепринятая теория погрешности основывается на элементарном подходе к определению погрешностей и упрощенных моделях, которые сложились исторически. Сущность этого подхода заключается в том, что каждый фактор, влияющий на результат измерения, учитывается своей элементарной моделью погрешности. Так, при статистической обработке цифровых измерений случайных процессов отдельно учитываются погрешности квантования по уровню и дискретизации во времени показаний, ограниченности объема выборки и длины реализации, способа восстановления сигнала между отсчетами. По ним отдельно выбираются апертура квантования по уровню и шаг дискретизации во времени, объем выборки и длина реализации. Для оценки погрешности измерения ве-

роятностных характеристик случайных процессов оценки элементарных погрешностей суммируются. При этом они считаются или функционально связанными, или полностью независимыми. Найти их априорную корреляцию между собой практически невозможно. Поэтому элементарный подход к определению погрешностей обладает малой достоверностью. Это объясняется тем, что каждая элементарная погрешность в нарушение единства измерений находится своим методом, на основе своей математической модели и не учитывает влияние остальных факторов.

Расширить возможности указанного выше элементарного подхода можно за счет комплексного учета основных факторов, влияющих на точность статистических измерений: погрешности отсчетов, алгоритмов восстановления сигналов между отсчетами, шага дискретизации, объема выборки и длины реализации. Идея комплексного подхода заключается в том, чтобы рассматривать погрешность измерений как единое и неделимое целое, трансформирующееся с изменением режимов измерений, условий эксплуатации и других факторов [1] и определять их вероятностные характеристики на основе изучения реализаций самих процессов.

Ранее были изучены процессы непрерывного измерения [2], которые характерны для аналоговых устройств. В связи с широким использованием цифровой техники и компьютеров для анализа результатов измерений, возникает необходимость исследования влияния дискретизации на результат измерений.

1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассмотрим функцию

( \ Г 1 ; 0 < X < Є ,

{Р£ ('Т) — , х < 0 , х > є .

Тогда

ь ь

1

Ііт j -ірє (х) сіх = j 8 (х) сіх =

1, О Є [а, Ь]

О , 0 $ [а, Ь]

Функция единичного скачка

8 — функция Дирака.

X

О , х < 0 . х > 0.

В силу свойств эргодичности

р {х < х (г) < х + е} =

1

N

N

^2 <Рє [х (и,) - X]

П=1

где п — номер измерения,Ж — количество измерений.

Плотность вероятности

(X) = Ііт

Р{Х < х(і) <Х + є}

є^О

N

= „Ег[х(і,,)-х].

71—1

Функция распределения вероятностей

А'

Оі (X) = У (х) сіх =

— ОО

Л- л'

8 [х (іГІ) — х] сіх =

1

N

и=1

N

N

£ЧИ*П)-Х].

п=1

Математическое ожидание

тх = / Хил (X) (IX =

-оо

сю

N

77 = 1

N

N

п=1

Дисперсия

Ох = (г'х =

N

п= 1

ші (X) АХ =

1

N

N

^2 х1 (1Л

71—1

Дисперсия дисперсии

N

N

^2 х (гГ1

П=1

я(ВД =

1

N

N

N

71—1

71—1

N

N

71—1

I

х иг (X) (IX = ^ Я ^ ^2 (я (*і) “ х (*")) х

77 = 1 ^ і' = 1

'2

X

N

х(^)+х(І„) - ^^2 X (и

і=г

2. УЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

Пусть известна (измерена заранее) плотность вероятности погрешности и[А], где — погрешность измерения (символом обозначается измеряемое значение искомого параметра ж, т. е. (х) = х + А).

Погрешности измерений в разные моменты времени считаются независимыми случайными величинами.

Пусть также задана выборка

. Тогда вероятность попадания в диапазон с учетом погрешности измерения определяется как математическое ожидание вероятности

(Р) {X <х(1) <Х + е} =

= тР {X <х(г) <Х + е) =

ОО СЮ

Р{Х < я (і) < X + є} х х оо [Д і] сІА і... оо [Д д ] (ІАд =

-СЮ —СЮ

1

N

N

^ ^ <Рє [(з^) X Д.,,]а) [Д.,,] (іД.„ —

д {хп)-Х

77=1

N

Е

п=1

оо [Д] сІА.

Математическое ожидание плотности вероятности

іт(і№<£й<А±£} =

є^О Є

1

N

=

п= 1

Математическое ожидание распределения вероятности

(Пі (X)) = (Р) { ос < X (і) < X} =

ОО ОО др-

= / ••• / А"1Х

-оо —ОО

72.—1

1

Ж

х ш [Д і] <іД і... оо [Д д ] сІА дг = л;

Е / 1 Х “ Л"]а; [Л"]с1Лл =

N

N

Е / ИА] •

71—1/ \ -гг

{хп)-Х

Дисперсия плотности вероятности равна бесконечности, поскольку в подынтегральную функцию входит квадрат -функции.

Дисперсия распределения вероятности в силу (1) равна

оо оо

(Л) (О, (*)> =

[«! № - (Пі (X))]2 X

-оо —оо

х и [Ді] (іАі.. .и [Адг] (іАдг =

N

N " Лг~

= ^№(-ї))-жЕ

г=1

и! [Д] (ІД

Дисперсия дисперсии распределения вероятности

<Г>) (Б) <«! (*)> =

= г/» {[Пі (X) - (Пі (X))]2 - (Б) (Пі (.¥))}'

ОО оо

-оо —оо

N

П=1

(ІЗ) (ЇЇ! (Л-)) }2 и; [Ді] «іДі... и; [Ддг] //Д% =

= 4(«і(^))2 + ^(«і (*)>-

Лг

Лгз

N

і=і

и [Д] (ІД

7 №

— У

ДГ4

і=1

<>• і)-х и [Д] (ІД

V

ДГ4 2^

І = 1

О! [Д] (ІД

І = 1

О! [Д] (ІД

N

Лг4

Е

і=1

О! [Д] (ІД

3. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

С УЧЕТОМ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЯ

Полученную функцию плотности апостериорной вероятности используем для получения статистических характеристик измеряемого сигнала.

Математическое ожидание X, согласно

д °0

((тх)) = ^ Е [ Хш «я") ^х)с1х =

П=1_

1

N

п= 1

ЛГ

= Е ^ "" ШД ’

N

77 = 1

где — математическое ожидание погрешности.

Дисперсия в силу (2) равна

«ДО) = м ([X - (Ы)]!) =

N

Х ~ n Е + ША

П=1

{ил (X)) аIX =

Дисперсия дисперсии

((DDx))=m{Dx-((Dx))}2 =

N

Х ~ N Y1 + тА

П= 1

-ВА}2(ил (X))dX =

1 л ( 1 л'

= sEbEw -<*,>]* i=i \ j=i

N

n= 1

{{DX))DA-Dl + D

4. АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

В качестве тестового примера была взята функция у = 1 + сГ~ Тиии sill

Рассмотрим зависимость относительной погрешности математического ожидания (4) от количества отсчетов N (рис. 1). Данную зависимость удобнее всего проиллюстрировать в логарифмическом масштабе, поэтому по оси абсцисс будем откладывать десятичный логарифм от количества отсчетов , а по оси ординат — десятичный логарифм относительной погрешности вычисления величины математического ожидания ((тх)). Цифрой О обозначена зависимость погрешности вычисленных результатов, цифрами 1-3 показаны результаты фильтрации численных данных, проведенные согласно методике, описанной в [3].

Рис. 1. Оценка погрешности математического ожидания. Прямая у = 16,5 — ^ lg N

Как видно из результатов, представленных на рис. 1, при суммировании погрешность округления накапливается по статистическому закону (примерно пропорционально VN), что совпадает с выводами, сделанными в [3]. Уменьшение точности наблюдается при IgN > 3 (используются переменные типа double).

/ ' "

/

/

/

/

у *—-*

0-

1.5 lg5/1000

Рис.2. Результаты фильтрации зависимости значений математического ожидания от величины диапазона измерения

Для изучения характера изменения математического ожидания при расширении диапазона были проведены расчеты, результаты которых представлены на рис. 2. По оси абсцисс откладывается ^5/1000, где В — величина диапазона измерения, а по оси ординат — ^ 8, где <5 — относительное отличие текущего вычисленного значения от эталонного предельного значения. Каждое использованное значение исследуемой зависимости для каждого получалось в результате фильтрации по , аналогичной рассмотренному выше примеру (см. рис. 1).

Как видно из рис. 2, зависимость математического ожидания от величины диапазона В приближенно можно представить функцией т0с, — со^. Фильтрация позволяет уточнить предельное значение математического ожидания на несколько значащих цифр.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, эргодическое свойство стационарных случайных процессов определяется с использованием плотности распределения вероятностей, а не моментных характеристик. А уже через плотности распределения вероятностей оно должно распространяться на моментные характеристики случайных процессов. Это позволяет системно определить характеристики погрешностей алгоритмов дискретных измерений эргодических случайных процессов и во взаимосвязи учесть вклад в достоверность получаемых характеристик погрешностей.

Эти идеи легли в основу разработки интеллектуальной системы для исследования вероятностных характеристик случайных процессов, позволяющей с требуемой точностью выдавать рекомендации для их инженерного использования. В качестве методологического стержня для решения сформулированной задачи предполагается использовать комплексный подход к определению погрешностей [4].

Построенная дискретная модель измерения дает возможность использовать извест-

ные методы и алгоритмы оценки погрешности дискретизации вычислительных процессов [3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Заико, Н.А. Интеллектуальная система для моделирования случайных процессов на базе комплексного подхода к определению погрешностей / Н. А. Заико // Вестник УГАТУ. 2007. Т. 9, № 5 (23). С. 101-107.

2. Заико, А. И. Определения и алгоритмы измерения характеристик эргодических процессов / А. И. Заико // Метрология. 2003. № 4. С. 3-15.

3. Житников, В. П. Основы многокомпонентного анализа численных результатов : учеб. пособие / В. П. Житников, Н. М. Шерыхали-на, Г. И. Федорова, О. Р. Зиннатуллина. Уфа: УГАТУ, 2007.117 с.

4. Заико, Н.А. Интеллектуальная система для анализа вероятностных характеристик случайных процессов / Н. А. Заико // Полет. 2007. № 9. С. 39-44.

ОБ АВТОРЕ

Заико Наталья Александровна, асп. каф. компьют. матем. Дипл. инж.-сист. (УГАТУ, 2004). Готовит дис. в обл. повыш. точности и уменьш. длительности измерений интел. систем обработки информации.