Синергетический подход к решению задачи упорядочения процессов в нелинейной и фазовой системе

СИНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ УПОРЯДОЧЕНИЯ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНОЙ И ФАЗОВОЙ СИСТЕМЕ

Ю.А. Геложе

Таганрогский государственный радиотехнический университет

Введение

В современной радиотехнике для формирования и обработки сигналов широко используются системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). Например, диапазонно-кварцевая стабилизация частоты осуществляется цифровыми синтезаторами частоты (ЦСЧ), построенными на основе систем ФАПЧ с программируемыми делителями частоты [1], на основе этих систем с цифровыми делителями частоты, обеспечивающими высокую точность необходимых сдвигов фаз, строят устройства восстановления несущей (УВН) для осуществления когерентной обработки сигналов и высокоэффективные устройства тактовой синхронизации (УТС) демодуляторов[2]. Все эти устройства работают в режиме дискретного действия. Для формирования управляющего напряжения в фазовых системах упомянутых устройств широко используют развертывающее уравновешивание. При этом характеристика импульсно-фазового дискриминатора (ИФД) типа «выборка-хранение» имеет пилообразный вид [1,2].

Кроме того, общим для ФАПЧ в упомянутых устройствах является применение инерционных ФНЧ. В ЦСЧ эти фильтры подавляют пульсации выходного напряжения ИФД и имеют полосу пропускания в несколько десятков раз меньше частоты дискретизации [1]. При этом обеспечивается обычно требуемый уровень негармонических составляющих синтезируемого сигнала (минус) 120-130 дБ. В УВН и УТС для повышения эффективности обработки сигналов инерция ФНЧ выбирается столь высокой, чтобы усреднение осуществлялось по нескольким десяткам элементов дискретного сообщения [2].

Для систем ФАПЧ при столь инерционных ФНЧ полоса захвата становится значительно меньше полосы удержания. Это затрудняет функционирование систем в условиях больших дестабилизирующих воздействий, вызванных значительными изменениями параметров окружающей среды, и приводит к повышению вероятности выхода начальных расстроек за пределы полосы захвата. При этом система стохастически реагирует на переключение ее режимов и на кратковременные большие помехи, прерывающие синхронизацию. В результате захват частоты (фазы) и возвращение в равновесное состояние становится случайным событием [3], а система -статистически устойчивой.

Обеспечить детерминированную надлежащую реакцию системы путем изменения ее параметров затруднительно в связи с тем, что ФАПЧ грубая динамическая система [4].

В настоящей работе на основе идей современной физической теории управления (синергетического подхода) [5] упорядочение процессов в нелинейной системе с возможной неравновесной ситуацией осуществляется путем введения дополнительной энергии, когерентно с ее внутренними процессами. Таким образом, используя дополнительное управление, формулируемое на основе анализа внутренних процессов в системе, обеспечивается детерминированная реакция системы, и, следовательно, устойчивость в целом.

1. Цель работы

Целью настоящей работы является разработка стратегии дополнительного управления переходными процессами, обеспечивающей с вероятностью, равной единице, установление режима синхронизма при начальных расстройках, близких к полосе удержания, в системах ФАПЧ с пилообразной характеристикой ИФД и высокой инерционностью ФНЧ.

Под стратегией дополнительного управления понимается некоторая функция, связывающая управляющее воздействие с координатами системы

и = К(Х),

обеспечивающая перевод объекта управления из некоторого начального состояния Х(0) в некоторое другое детерминированное состояние Хт(Т), где Т момент времени, в который формируется состояние Ху.

2. Постановка задачи

При полосе пропускания приведенной непрерывной части системы дискретного действия значительно меньшей, чем частота дискретизации процессов в системе, дифференциальное уравнение контура ФАПЧ имеет вид [3]:

d?(p 1 dip . 1 ^ , + % н’

где: <р -разность фаз сигналов на входах ИФД; Тф -постоянная времени резистивноемкостного ФНЧ; fly -полоса удержания, приведенная ко входу ИФД [1]; F(tp) -нормированная характеристика ИФД [3].

При использовании развертывающего уравновешивания, нормированная характеристика ИФД имеет пилообразную форму, периодичность характеристики 2тг. Математическое выражение для одной из ветвей его характеристики имеет вид:

F

7Г

Дифференциальное уравнение (1) с учетом математического выражения (2) имеет вид:

d2ip 1 dip Qy 1 _

dfi + П di + = Tin- I-* « * <+*J- . <3>

Решение этого дифференциального уравнения для случая, когда корни характе-

ристического уравнения

^2 + 7гГ^ + 7fT~ =0

•* ф * фТГ

комплексные сопряженные (что соответствует большим инерционностям ФНЧ) и для больших начальных расстроек, близких к полосе удержания, представлено на фазовой плоскости на рис. 1.

На рис. 1 показаны устойчивый предельный цикл и инвариантное многообразие [5] (зона (Лг захвата). Из начальный условий, принадлежащих этой зоне, все траектории ведут изображающие точки к аттрактору О], которому соответствует состояние покоя и, следовательно, синхронизма.

Ставится задача, имея решение нелинейного дифференциального уравнения базовой системы ФАПЧ, разработать стратегию управления переходными процессами, обеспечивающую приведение системы в равновесное состояние (аттрактор О1) из произвольных начальных условий.

3. Обоснование стратегии управления переходными

процессами

Для формирования релейного закона включения и выключения дополнительного управления переходными процессами ФАПЧ введем вертикальную линию переключения (см. рис. 1). Причем ее абсциссу свяжем с абсциссами точек разрыва пилообразной характеристики дискриминатора. Это связано с тем, что очень простыми техническими средствами можно определить точки разрыва характеристики ИФД [6, 7, 8]. Из рис. 1 видно, что все траектории, ведущие к предельному циклу, пересекают линию переключения. Поэтому при соответствующей организации системы можно прервать все возможные движения к предельному циклу и установившиеся орбитальные движения изображающей точки по траектории предельного цикла.

Возьмем на линии переключения отрезок АВ, принадлежащий области (см. рис. 1). Заметим, что отрезок прямой АВ будет областью притяжения аттрактора О1, поскольку из начальных условий, принадлежащих этому отрезку все траектории ведут к аттрактору О1 . Поскольку область притяжения АВ принадлежит линии переключения, абсцисса которой равна абсциссе точки разрыва характеристики ИФД, принадлежность текущих координат системы области АВ, как выше отмечалось, легко определяется простыми техническими средствами [6, 7, 8] и, следовательно, реализация разрабатываемой стратегии управления также будет достигаться простыми средствами.

4. Необходимые и достаточные условия установления в системе равновесных состояний при больших начальных расстройках

Введение понятия области притяжения АВ аттрактора Ох позволяет свести задачу управления переходными процессами с целью установления режима синхронизма при больших начальных расстройках к задаче формирования дополнительного управляющего воздействия, приводящего изображающую точку на фазовой плоскости в область притяжения АВ.

Из рис. 1 видно, что предельный цикл и траектории близкие к нему, расположены в верхней полуплоскости фазового портрета, а область притяжения АВ аттрактора О1 - в нижней. Поэтому необходимым условием установления в системе равновесного состояния является формирование такого дополнительного управляющего воздействия, которое изменяет знак производной разности фаз (мгновенного значения расстройки по частоте [3]) на противоположный.

Для обеспечения управления при расстройках, близких к полосе удержания, необходимо величину дополнительного управляющего воздействия выбрать равной максимальному управляющему напряжению ИФД. При этом дополнительно повышается быстродействие установления требуемой частоты, поскольку быстро устраняется расстройка по частоте.

На основании вышеизложенного сформулируем необходимые условия установления в рассматриваемой системе равновесного состояния при начальных расстройках, близких к полосе удержания.

Необходимое условие. Если в рассматриваемой системе разность фаз сигналов на входах ИФД достигает значения ±7г, управление частотой с помощью сигнала ИФД прекращается и на вход ФНЧ вводится дополнительное управляющее воздействие, равное по величине максимальному управляющему напряжению дискриминатора. При этом знак напряжения выбирается таким, чтобы изменить знак производной разности фаз на противоположный. Выключение дополнительного управления и возвращение к основному режиму работы, когда управление частотой производится сигналом ИФД, осуществляется после изменения знака производной разности фаз на противоположный и только тогда, когда сдвиг фаз в системе достигает значения ±7г ± 2ттк, где А: = 0,1,2, —

Величина к определяется как целая часть отношения величины набега фаз в системе уз,, от момента времени включения дополнительного управления до момента времени, начиная с которого знак производной разности фаз изменяется на противоположный, к разности фаз, равной 2тг:

Для определения достаточных условий необходимо знать координату точки В области притяжения АВ. Однако ордината этой точки зависит от параметров ФНЧ и других параметров контура ФАПЧ, которые изменяются в широких пределах при изменении температуры окружающей среды. Учитывая вышеизложенное, в настоящей работе проведено исследование поведения интегрированной системы, в которой стратегия дополнительного управления точно реализует требование необходимых условий при произвольных начальных условиях. Результаты этих исследований (смотри ниже) показали, что необходимые условия являются и достаточными.

5. Стратегия управления переходными процессами

На основании вышеприведенной формулировки необходимых условий запишем математическое выражение стратегии дополнительного управления при переводе системы из начального состояния ^±7г, /1 — , где т - момент времени начала

действия дополнительного управления, В конечное ^±7Г ± 2як, 1-Щр-/£ = Т^, где численное значение к определяется из выражения (5); Т - момент времени окончания действия дополнительного управления.

Для положительного значения крутизны модуляционной характеристики управляемого генератора контура ФАПЧ математическое выражение стратегии дополнительного управления имеет вид:

а) включение дополнительного управляющего воздействия

где г - момент времени начала действия дополнительного управления, определяемый из следующего уравнения

<р(т) = ±тг;

Г/фдм - максимальное управляющее напряжения ИФД; 1[...] функция;

б) выключение дополнительного управления

единичная

dt ) t_T

) =0,

и переключения на управление частотой сигналом ИФД производится при условии

'cfsp(t) і '<kp{t)'

sign dt t—т —sign dt t—r

<р(Т) = ±тг ± 2ттк,

где численное значение к определяется из выражения (5).

Фазовые портреты процессов в системе при реализации вышеприведенной стратеги управления приведены на рис. 2, 3, и 4.

Фазовый портрет, приведенный на рис. 2, отражает процесс в системе с колебательным переходным процессом, но при сравнительно высоком коэффициенте демпфирования. Фазовая траектория, реализованная в результате применения дополнительного управления приводит изображающую точку в область притяжения АВ, поэтому достаточно однократного применения дополнительного управления. Фазовый портрет, приведенный на рис. 3, отражает процессы в системе с малым коэффициентом демпфирования, когда протяженность области притяжения меньше, чем

на рис. 2. Здесь после однократного дополнительного управления изображающая точка достигает линии переключения в точке, лежащей ниже области притяжения. Поэтому переключение в обычный режим работы, когда управляющее напряжение формируется в ИФД, сразу не приводит систему в состояние покоя. Однако, поскольку система ФАПЧ устойчива в «малом» повторное достижение линии переключения происходит при меньшем значении производной разности фаз. Повторное включение дополнительного управления при этом начальном условии обеспечивает введение изображающей точки в область притяжения, и, следовательно, в системе устанавливается равновесное состояние.

На рис. 4 показан фазовый портрет при больших начальных расстройках, когда изменение знака производной в процессе дополнительного управления происходит при набеге фаз, превышающем 2тг. Как видно из этого рисунка точная реализация предлагаемой стратегии формирует линию переключения, совершающую перескок из начального состояния к зоне захвата, наиболее близкой к сдвигу фаз, начиная с которого знак производной разности фаз изменяется на противоположный. Формирование релейного режима работы, при котором линия переключения совершает перескок, обеспечивает не только расширение полосы захвата практически до пределов полосы удержания, но и значительно повышает быстродействие системы.

Кроме приведенного выше, проведены исследования интегрированной системы во всех четырех квадрантах фазовой плоскости. Результаты этих исследований показали, что за несколько циклов «включения-выключения» дополнительного управления система приходит в равновесное состояние. Это позволяет сделать вывод, что приведенные выше необходимые условия являются и достаточными для установления равновесного состояния даже при начальных расстройках близких к полосе удержания. -

6. Экспериментальные исследования реализации предлагаемой стратегии управления

На рис. 5 представлена фотография семейства фазовых траекторий статистически устойчивой системы. Часть траекторий ведут изображающую точку к предельному циклу, а другая, небольшая часть, - к точке покоя типа «устойчивый фокус».

На рис. 6 представлена фазовая траектория в системе, реализующей предлагаемую стратегию управления при начальной расстройке, превышающей полосу захвата и составляющей приблизительно 0,95 от полосы удержания. Коэффициент демпфирования меньше 0,3. Из этого рисунка видно, что изображающая точка из удаленных начальных условий идет к области притяжения. Причем это движение не прерывается. После достижения области притяжения изображающая точка по траектории сворачивающейся логарифмической спирали идет к особой точке «устойчивый фокус».

Рис. 5 Рис. 6

Заключение

В работе определены необходимые и достаточные условия приведения нелинейной системы в равновесные состояния, определяемые задающими воздействиями. Разработана стратегия управления переходными процессами, обеспечивающая повышение статуса нелинейных систем за счет перевода их из класса статистически устойчивых в класс систем, устойчивых в целом.

Результаты работы могут быть распространены на фазовые системы с треугольной и синусоидальной характеристиками фазовых дискриминаторов. При этом абсциссы областей притяжения точечных аттракторов должны быть равны абсциссам экстремумов характеристик ИФД.

На основании приведенных исследований можно сделать вывод о том, что управление переходными процессами в контуре стабилизации частоты в соответствие с предлагаемой стратегией позволяет осуществить быстрый захват с вероятностью, равной единице, даже при расстройках, близких к полосе удержания, в системах с высокой инерционностью ФНЧ.

Предлагаемая здесь стратегия управления реализована с высокой точностью в устройствах, описанных в [6, 7, 8].

Литература

1. Манасевич В. Синтезаторы частоты (Теория и проектирование): Пер.с англ. / Под.ред. А.С. Галкина. М.: Связь, 1979. 384 с.: ил.

2. Спилкер Дж. Цифровая спутниковая связь. Пер. с англ. / Под ред.З.В. Марков. М.: Связь, 1979. 592 с.: ил.

3. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972, 448 с.: ил.

4. Андронов А.А., Витт А.А. и Хайкин С.Э. Теория колебания. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. 915 с.: ил.

5. Колесников А.А. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994, 344 с.: ил.

6. А .с. 403008 (СССР) Устройство импульсно-фазовой автоподстройки частоты / Ю.А. Геложе. А.И. Даниленко. Опубл. Бюл. 1973, ЛМ2.

7. А.с.484617(СССР) Устройство импульсно-фазовой автоподстройки частоты / Ю.А. Геложе Опубл. Бюл 1975, Л*34.

8. А.с.479215(СССР) Синтезатор частот Ю.А. Геложе Опубл. Бюл. 1975, Д>28.