Магнитооптический отклик ферронематика в однородном электрическом поле

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика Вып. 3

УДК 532.783; 539.22

Магнитооптический отклик ферронематика в однородном электрическом поле

А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров

Пермский государственный национальный исследовательский университет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Изучены индуцированные совместным действием электрического и магнитного полей ориентационные переходы в слое ферронематика с жестким планарным сцеплением на границах. Получено выражение для угла поворота директора вблизи точки фазового перехода. Рассчитана оптическая разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей в слое ферронематика для последовательности возвратных переходов Фредерикса.

Ключевые слова: ферронематик, жидкий кристалл, двулучепреломление, ориентационные переходы, возвратные фазы.

1. Введение

Мягкие конденсированные вещества [1] на протяжении многих лет привлекают к себе внимание исследователей. В первую очередь это связано с богатством и разнообразием наблюдаемых в них физических эффектов, которые обусловлены сложностью и высокой чувствительностью мягких сред к внешним условиям. Одним из таких материалов является ферронематик (ФН) [2] - суспензия анизометричных магнитных частиц на основе нематического жидкого кристалла (НЖК). Как и жидкие кристаллы, ФН обладает хорошей текучестью и анизотропией физических свойств. Внедренные магнитные частицы, обусловливающие высокую магнитную восприимчивость ФН, позволяют управлять его ориентационной структурой с помощью более слабых магнитных полей по сравнению с полями, необходимыми для переориентации чистых жидких кристаллов.

Ферронематикам свойственно такое явление, как перераспределение примеси феррочастиц в однородном магнитном поле. Поскольку магнитные частицы не закреплены в жидкокристаллической матрице, они имеют возможность пространственного перемещения, мигрируя в те области ФН, где сумма их магнитной и ориентационной энергий в НЖК-матрице минимальна. Это явление накапливания магнитных частиц в «выгодных» областях ферронематического образца, помещенного в однородное магнитное поле, получило название эффекта магнитной сегрегации. Как показано в работах [3-6], наличие эффекта сегрегации

обусловливает трикритическое поведение ориентационных магнитных переходов в ферронематиках и феррохолестериках (суспензиях магнитных частиц на основе холестерических жидких кристаллов). Благодаря сцеплению магнитных частиц с молекулами жидкого кристалла существуют два механизма влияния магнитного поля на ориентационную структуру суспензии: магнитный квадру-польный (воздействие на жидкокристаллическую матрицу) и магнитный дипольный (воздействие на магнитные частицы). Как показано в работе [7], конкуренция между этими механизмами приводит к возвратным ориентационным переходам в феррохолестериках. Наличие электрического поля, способного напрямую влиять только на ЖК-матрицу, дает еще один механизм влияния - квад-рупольный электрический. Конкуренция между этими тремя механизмами приводит уже к возвратным ориентационным переходам в ферронематиках [8]. В последние годы появилось множество экспериментальных и теоретических работ, посвященных ферронематическим жидким кристаллам [9-18].

В настоящей работе анализируются магнитооптический отклик ферронематика, помещенного в однородное электрическое поле. Магнитное и электрическое поля параллельны друг другу и направлены ортогонально слою ферронематика, на границах которого заданы условия жесткого планарного сцепления. На поверхности магнитных частиц сцепление предполагалось мягким и гомео-тропным.

С учетом эффекта магнитной сегрегации найдены поля директора и намагниченности в ферро-

© А. Н. Захлевных, Д. В. Макаров, 2011

нематике. Получено выражение для угла поворота директора вблизи точки фазового перехода. Рассчитана оптическая разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей после их прохождения через слой ферронематика для последовательности возвратных переходов Фредерикса как функция напряженности магнитного поля.

2. Уравнения равновесия

Рассмотрим слой ферронематического жидкого кристалла толщиной Ь , заключенный между двумя параллельными пластинами (см. рис.1). Введем прямоугольную систему координат, ось х направим вдоль пластин, ось г - перпендикулярно пластинам; начало координат выберем в середине слоя. Сцепление директора п на границах слоя будем считать жестким (т.е. заданная ориентация директора на границе не меняется под действием внешнего поля) и планарным (ось легкого ориентирования п параллельна оси х на поверхности слоя). Приложим ортогонально слою ферронематика электрическое Е = (0, 0, Е) и магнитное Н = (0, 0, Н ) поля.

г Ь '////////////////////// ,п», '/////////////////////////у

2

і \ А х

е п

ь

П„

Рис. 1. Ориентация слоя ферронематика в электрическом Е и магнитном Н полях

Свободная энергия ферронематика в электрическом и магнитном полях с учетом мягкого поверхностного сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей имеет вид Е = | Еуё¥, где [1, 19]

РУ = Р1 + Р2 + Р3 + Р4 + Р5 + Р6 .

р = 1 ^К1 (divп)2 + К2(п гйп)2 + К3(пхгйп)2^ .

1 9

Р2 = -~Н>Ха (п Н ) , Рз = ~^0М*1т Н ,

2

КТ

р4 = —ІІПI , Е = (п  Ш)2

а

1 2

Р6 =-~е0еа (п Е ) .

Здесь К , К2, К3- модули ориентационной упругости нематика (константы Франка), ха - анизотропия диамагнитной восприимчивости ЖК, /и0 -магнитная проницаемость вакуума, М - намагниченность насыщения материала магнитных частиц, е0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, еа - анизотропия диэлектрической проницаемости ЖК, /(г) - локальная объемная доля магнитных частиц в суспензии, т - единичный вектор намагниченности суспензии, V - объем феррочастицы, ё - диаметр феррочастицы, кв - постоянная Больцмана, Т - температура, V -поверхностная плотность энергии сцепления молекул нематического жидкого кристалла с поверхностью магнитных частиц. Будем полагать V > 0, так что в отсутствие внешних полей минимуму энергии Е5 отвечает взаимная ортогональная ориентация директора и намагниченности (п ± т), которую будем называть гомеотропным сцеплением. Анизотропии диамагнитной восприимчивости ха и диэлектрической проницаемости еа НЖК-матрицы будем считать положительными. В этом случае директор, как и намагниченность, стремится ориентироваться вдоль электрического и магнитного полей, чему противодействует гомеотроп-ное сцепление между п и т .

Слагаемое Е1 представляет собой объемную плотность энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Озеена-Франка), Е - объемная плотность энергии взаимодействия магнитного поля с нематической матрицей (квад-рупольный механизм влияния магнитного поля на ФН), Е - объемная плотность энергии взаимодействия магнитного поля с магнитными моментами феррочастиц (дипольный механизм влияния магнитного поля на ФН), Е - вклад энтропии смешения идеального раствора магнитных частиц в объемную плотность свободной энергии, Е -объемная плотность энергии поверхностного взаимодействия магнитных частиц с директором, Е6 - объемная плотность энергии взаимодействия электрического поля с нематиком. Магнитными диполь-дипольными взаимодействиями будем пренебрегать вследствие малой объемной доли феррочастиц (/ << 1) в суспензии.

Директор п и единичный вектор намагниченности т будем искать в виде (рис. 1):

П = [сОБ^

В качестве единицы длины выберем толщину слоя Ь и введем безразмерную координату

2 = 2 / Ь . В дальнейшем для упрощения записи мы

опускаем знак тильда над безразмерными переменными в уравнениях. Определим безразмерные величины:

H = H Ь

УрХа

К

E = ЕЬ їЄ()Єа

К

к = Кз,

К

ст = ^ ь = м7ьи±

К1а

ХаК\

д = ^.

Здесь / = N /V - средняя объемная доля магнитных частиц в ФН. Когда магнитные частицы однородно распределены внутри слоя, /(2) = /. Параметр Н является безразмерной напряженностью магнитного поля, где в качестве единицы измерения напряженности выбрана величина

Н = ГУК1 /(р0ха). Она определена из условия, что при Н иН энергия упругих деформаций Е1 (потенциал Озеена-Франка) и диамагнитный вклад Е2 в свободную энергию ферронематика (1) оказываются одного порядка. При Н > Н ориентационные искажения возникают благодаря диамагнитной анизотропии ЖК-матрицы (квадрупольный механизм воздействия магнитного поля на ФН). Аналогичное сопоставление упругого Е1 и дипольного Е3 вкладов дает другую характерную величину напряженности поля Нё = К1 /(р0Мх/Ь2). В этом случае при Н > Нё ориентационные искажения вызваны влиянием магнитного поля на частицы (дипольный механизм). Параметр Ь = Нд /Нй

представляет собой отношение указанных выше полей и потому характеризует режим воздействия магнитного поля на ФН [20]. При Ь >> 1 (На << Нд) искажение ориентационной структуры

ФН в слабых полях осуществляется дипольным механизмом, а при Ь << 1 (Н << Нй) - квадру-

польным механизмом. Смена режима воздействия от дипольного к квадрупольному (и наоборот) происходит в полях, для которых вклады Е и Е в свободную энергию становятся одного порядка, т.е. при Н и Н0 = Мх// Ха .

Мы также определили безразмерную напряженность электрического поля Е, где в качестве единицы измерения напряженности выбрана величина Ед = Ь_ук1 /(е0£а), которая задает характерную величину поля перехода Фредерикса в нематике. Она определяется из условия равенства энергии упругих деформаций Е1 и диэлектрического вклада Е6 в свободную энергию ферронематика (1).

Так называемый сегрегационный параметр [20] д = (Ь / X)2 представляет собой квадрат отношения двух характерных длин: толщины слоя Ь и сегре-

гационной длины Х = /КТ /)1/2, характери-

зующей масштаб области концентрационного расслоения ферронематика. При д >> 1 распределение магнитных частиц внутри слоя ферронематика близко к однородному, поскольку характерный размер области, где имеет место концентрационное перераспределение, становится малым по сравнению с толщиной слоя. В случае д < 1 неоднородность распределения магнитных частиц в слое становится существенной.

Кроме того, введены безразмерная энергия сцепления магнитных частиц с НЖК-матрицей ст и коэффициент анизотропии модулей ориентационной упругости к .

Как уже отмечалось, ФН обладает двумя механизмами отклика на приложенное магнитное поле. Первый из них ( Е3 ) линеен по полю и определяет ориентационный отклик ФН в достаточно слабых магнитных полях. Этот вклад описывает влияние внешнего магнитного поля непосредственно на магнитные моменты феррочастиц и ввиду связи Е5 - опосредованно на нематическую матрицу. Второй механизм, квадратичный по полю, описывается слагаемым Е2 и отвечает воздействию поля на диамагнитную ЖК-матрицу, а через нее согласно Е5 - на магнитные моменты феррочастиц. В некоторых случаях необходимо разделить влияние на магнитные частицы и матрицу. Для этого ФН можно, наряду с магнитным полем, поместить в электрическое поле, воздействие которого на ЖК-матрицу описывается вкладом Е6 .

Ориентационная часть свободной энергии слоя ферронематика Е = | ЕVdV, определяемая соотношением (1), в безразмерном виде может быть записана следующим образом:

= —Р = [

12

К

-12

-1

ёг.

где £ - площадь пластин, ограничивающих слой ФН, и введены обозначения:

g(г) = I(г)/1,

К (р) = соє2 р + к єіп2 р .

Здесь g (г) - приведенная объемная доля магнитных частиц в ФН. Минимизация свободной энергии (4) по р(г) и /(г) дает уравнения, определяющие углы ориентации директора и намагниченности

К (р)р" +1 ^(р')2 + V2 + Е2)єіп2р-2 ар 2

-ag єіп2

bH sin^-asin2(p-^) = 0,

с граничными условиями

p(-1/2) = p(V2) = 0 ,

I fd

где

g = Qexpcos^-—sin2

dz

K (p) (p')2 - (H2 + E2) cos2 p + 2gg

= 0 .

отвечающими жесткому планарному сцеплению директора с поверхностью, для которого п = п0. Здесь и далее штрихом обозначена производная по безразмерной координате 2 .

Равновесное распределение ^-(2) магнитных частиц в слое ферронематика находится минимизацией свободной энергии (4) по /(2) при условии постоянства числа частиц в суспензии

-ёУ = т :

„_1 'f2 [bH ст . 2 ]

Q = I exp<--------cos/-----sin

-1/2 I S S J

Заметим, что так называемое уравнение связи

(8) определяет взаимную ориентацию директора и намагниченности [19], а выражение (10) описывает эффект сегрегации [1, 4], заключающийся в росте концентрации магнитных частиц в тех местах образца, где минимальна сумма их магнитной энергии в поле H и ориентационной энергии в ЖК-матрице. При д эффектами магнитной сегрегации можно пренебречь. В этом случае, как видно из уравнений (10) и (11), нормировочный интеграл Q ^ 1, а объемная доля магнитных частиц

g(z) ^ 1, т.е. f(z) ^ f .

Сделаем оценки безразмерных величин (3), используя типичные значения материальных параметров нематических жидких кристаллов [21, 22] и магнитных частиц [12]. Полагая Ха = 2.1 х10-6, K = 6.4 х10-12 H, K = 10 х10-11 H, T = 298 K, f = 2.0 х 10~7, Ms = 5 х 105 А • м-, w = 10-6 -10~4

H • м-1, d = 7.5 х 10~8 м, v = 8.8 х10~22 м3 и считая толщину слоя L = 250 мкм, находим к и 1, ст и 10-2 -1, b и 10 и д ~ 10 2 . Как видно из этих оценок, малость д свидетельствует о важности учета сегрегационных эффектов в рассматриваемой задаче.

Система уравнений (7) - (10) с граничными условиями (9) допускает однородное решение р(z) = /(z) = 0, отвечающее планарной текстуре ФН с гомеотропным сцеплением между директором и магнитными частицами (n ± m ||H ). Наряду

с ним имеется и неоднородное решение для полей директора. Для его нахождения умножим уравнение (7) на р , а уравнение (8) на g/ и вычтем из первого уравнения второе. В результате получим

Учитывая, что в середине слоя отклонение директора от оси легкого ориентирования максимально, т.е. p' = 0 при z = 0, первый интеграл уравнения (12) имеет вид

K 1I2(p)dp = ±[( H2 + E2) (cos2 p- cos2 p0) +

+2д

Здесь go = g(po,Wo), po = p(0) и щ =^(0) -функция распределения магнитных частиц, углы ориентации директора и намагниченности в середине слоя соответственно.

В середине слоя (z = 0) угол p принимает

максимальное значение p , поэтому интегрирование уравнения (13) с учетом граничных условий

(9) дает

po

где

R=

Г0 1

IR 1/2(p,/)dp = -,

cos2 p + k sin2 p

.

В уравнении (14) выбран знак плюс, т.е. записано решение для верхней половины слоя 2 > 0 , отвечающее положительным (вращение против часовой стрелки) значениям угла ориентации директора.

Преобразовав нормировочный интеграл Q в уравнении (10) с помощью выражения (13), получим уравнение для функции распределения g(2):

го 1

I gR 1I2(p,^)dp = 2 .

Таким образом, система уравнений (14) - (16) совместно с уравнением связи (8) определяет функции распределения магнитных частиц g0 и

углов ориентации директора ^0 и намагниченности ц/0 в середине слоя ферронематика от напряженности внешнего магнитного Н и электрического Е полей, энергии сцепления ст , константы анизотропии упругости к , параметра Ь и различных значений сегрегационного параметра д .

3. Фазовая диаграмма

Как уже отмечалось выше, система уравнений (7) - (8) с граничными условиями (9) допускает однородное решение <р(2) = у/(2) = 0, отвечающее планарной текстуре слоя ФН с ортогональной вза-

d

имнои ориентацией директора и намагниченности (п ± т \\Н ). Это решение, однако, становится неустойчивым и сменяется неоднородным решением при Н > Нс, где Нс - поле Фредерикса. Критическая напряженность магнитного поля Нс, выше которой появляется неоднородная ориентация поля директора и намагниченности, была найдена в работе [8]:

Н2 = л2 -Е2 + 2стЬНс/

Это выражение определяет порог перехода Фредерикса в ФН при совместном действии электрического Е и магнитного Н полей. В отсутствие магнитного поля (Н = 0) пороговое значение напряженности электрического поля Ес в ФН совпадает с полем Фредерикса Е^с = л в чистом нематике [21], а в отсутствие электрического поля ( Е = 0) совпадает с выражением, полученным в работе [23].

Характерной особенностью изображенной на рис. 2 фазовой диаграммы является наличие возвратных фазовых переходов в ферронематиках, обусловленных конкуренцией между квадруполь-ными электрическим [~ £0£а (п Е )2 ] и магнитным

[~ &Ла (п Н )2] механизмами влияния на НЖК-матрицу и дипольным [~ л00М5/т Н ] влиянием магнитного поля на магнитные моменты феррочастиц. При заданных значениях энергии сцепления ст и параметра Ь существует диапазон значений напряженности электрического поля г, для которого по мере роста Н осуществляется последовательность переходов из неоднородного состояния ФН (обусловленного электрическим переходом Фредерикса при Е = Е^с ) в однородное состояние и обратно. При этом, поскольку из соотношения (17) следует, что Е является однозначной функцией поля Нс , возвратные ориентационные переходы уже не могут быть вызваны изменением электрического поля.

Ширина области возвратных переходов г найдена аналитически в работе [8], где показано, что диапазон значений напряженности электрического поля, допускающий возвратную однородную фазу ФН, расширяется с ростом энергии сцепления ст и параметра Ь и не зависит от степени сегрегации, характеризуемой параметром д .

Вблизи поля Фредерикса Нс решение уравнений равновесия (7) - (9) имеет вид

. , Н - Нс Ф =± /--------------с

д -д

Рис. 2. Диаграмма ориентационных переходов второго рода в ФН на плоскости (Е, Н) для ст = 10 и Ь = 10. Здесь

Е^с = Н^с = л - поля электрического и магнитного переходов Фредерикса в чистом нематике, г - ширина области, в которой возможны возвратные фазы

На рис. 2 изображена диаграмма ориентационных переходов Фредерикса второго рода в ФН, построенная по формуле (17). Показанная на ней кривая определяет границу перехода Фредерикса в ФН при совместном действии электрического и магнитного полей. Область под кривой отвечает невозмущенному состоянию ФН, т.е. однородной планарной текстуре ФН с ортогональной взаимной ориентацией директора и намагниченности (п ± т), а область над кривой соответствует возмущенному, т.е. неоднородному, состоянию.

где

2ст

8д Г(2 - в)Н2 + в(л2 - Е2)1

--- -----------9---------- , 5 = --------

3Ь [ 5(2 - в)Нс ]2 + 4л2кНс 2ст + ЬНС

*

д =

Гн2 + Е2 -л2

т

3Ьв2(2 - в)2 Н + 4л 2к

Формула (20) показывает, что переход из однородного состояния ферронематика в неоднородное (переход Фредерикса) обнаруживает трикритиче-

ское поведение: при д>д* (случай слабой сегрегации магнитной фазы) этот переход является переходом второго рода, а при д <д* (сильная сегрегация) - переходом первого рода. Значение

*

сегрегационного параметра д = д соответствует трикритической точке, в которой меняется характер перехода между однородной и неоднородной фазами от второго рода к первому.

Кроме того, при наличии электрического поля л < Е < л +г (рис. 2) появляются возвратные ори-

ентационные переходы. В этом случае для одного и того же значения Е имеется два критических магнитных поля: Н1 - поле перехода из неоднородного состояния в однородное, и Н2 > Н - поле последующего перехода из однородного состояния в неоднородное (рис. 3). В первом случае параметр / < 0, во втором / > 0 . В отсутствие электрического поля (Е = 0) формулы (18) - (20) совпадают с соответствующими выражениями, полученными в работе [4], при этом трикритический характер перехода сохраняется, но возвратные ориентационные переходы отсутствуют.

Если сегрегационные эффекты достаточно сильные и переход Фредерикса между однородным и неоднородным состояниями ферронематика осуществляется по типу перехода первого рода, пороговое поле Нс, определяемое формулой (17), теряет смысл поля равновесного перехода. Равновесный переход Фредерикса происходит в поле Н, которое находится из условия равенства свободных энергий Р однородного и неоднородного состояний. При Н = Н( углы ориентации директора и намагниченности испытывают конечные скачки, характерные для перехода первого рода. Как будет показано ниже, это приводит к соответствующим скачкам оптической фазовой задержки в ферронематике (см. рис. 3).

4. Магнитооптический отклик ферронематика в электрическом поле

Искажения ориентационной структуры ферронематика могут быть обнаружены экспериментально при измерении оптической разности фаз обыкновенного (показатель преломления па) и необыкновенного (пе) лучей после их прохождения

через слой ферронематика. Найдем, как меняется с ростом напряженности магнитного поля разность фаз, определяемая формулой [22]:

8 = X I \п/ (г) - По ] ^

I/2

-I/2

где X - длина волны проходящего монохроматического пучка света, падающего нормально к поверхности слоя, пе// - эффективный показатель

преломления, определяемый соотношением

1

2 2 Б1П р

С помощью уравнений ориентационного равновесия фазовую задержку (18) можно записать в виде

с- Р0

~ = 2 ( 8 '

1 -?С082 рР + У11 -?

008 Р & 1/2(Р,/)^Р,

2

СОБ ф

где 80 = 2лЬ(пе - п0)/X - фазовая задержка в отсутствие магнитного поля и введено обозначение ? = (пе -п0)/пе2 ; значения углов р0 и /0 определяются уравнениями (8), (14)-(16).

Выражение (23) определяет приведенную разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей в деформированном магнитным и электрическим полями ферронематике.

Рис. 3. Зависимость приведенной разности фаз 8 / 80 обыкновенного и необыкновенного лучей в слое ферронематика от магнитного поля Н для Е = 3.8, ст = 10, к = 1.56,

Ь = 10, ?= 0.2. Здесь д* = 1.3, Н1 = 0.67,

Н = 2.59, Н = 1.54 - поле равновесного ориентационного перехода первого рода

На рис. 3 представлена приведенная фазовая задержка 8 / 80 в слое ферронематика как функция напряженности магнитного поля, полученная в результате численного решения уравнения (23) совместно с уравнениями (8), (14) - (16) для типичных значений материальных параметров

ферронематиков [4, 22]. Сплошными линиями показаны устойчивые состояния, штриховыми - ме-тастабильные и неустойчивые.

В электрическом поле при слабой магнитной сегрегации (д>д*, рис. 3, кривая 1) реализуется последовательность возвратных магнитных переходов: неоднородная фаза (Н < Н1) - однородная фаза (Н1 < Н < Н2) - неоднородная фаза

( Н > Н2 ) . С ростом напряженности магнитного поля фазовая задержка изменяется непрерывным

п

п

образом: - оба перехода происходят по типу фазового перехода второго рода. В интервале H < H < И2 слой ФН обладает максимальным

двулучепреломлением. Из-за абсолютно жесткого сцепления директора с границами слоя при H фазовая задержка асимптотически стремится к нулю. При уменьшении сегрегационного параметра (д <д*, рис. 3, кривая 2) фазовая задержка уменьшается скачком при Ht (переход первого рода), а затем с ростом поля убывает. Переход из неоднородного состояния в однородное при H = H по-прежнему является переходом второго рода. При последующем уменьшении сегрегационного параметра (д<д , рис. 3, кривая 3) последовательность возвратных ориентационных переходов в системе отсутствует. Включение магнитного поля сначала приводит к увеличению фазовой задержки, но ориентационная структура ФН в исходное однородное состояние не возвращается. Дальнейшее увеличение напряженности магнитного поля приводит уменьшению фазовой задержки.

Заметим, что в отсутствие электрического поля (E = 0) приведенная фазовая задержка рассчитана ранее в работе [14].

5. Заключение

В работе проанализировано влияние сегрегационных эффектов и внешнего электрического поля на магнитооптический отклик ферронематика. Рассмотрен плоский слой ферронематика, ортогонально плоскости которого приложено однородное магнитное поле. На границах слоя ферронематика были заданы условия жесткого планарного сцепления директора; на поверхности магнитных частиц сцепление предполагалось мягким и гомео-тропным.

С учетом эффекта магнитной сегрегации найдены поля директора и намагниченности в ферронематике, находящемся в электрическом и магнитном полях. Получено выражение для угла поворота директора вблизи точки фазового перехода. Рассчитана оптическая разность фаз обыкновенного и необыкновенного лучей после их прохождения через слой ферронематика, как функция напряженности магнитного поля.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта 10-02-96030 РФФИ.

Список литературы

1. Жен П. Ж. де. Мягкие вещества // Усп. физ. наук. 1991. Т. 162, № 9. С. 125-132.

2. Brochard F., Gennes de P. G. Theory of magnetic

suspensions in liquid crystals // J. Phys. (France).

1970. Vol. 31. P. 691-708.

3. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov, V. S. Onedimensional structures in ferrocholesteric film with weak homeotropic anchoring on the layer boundaries // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2001. Vol. 367. P. 175-182.

4. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phenomena at the Freedericksz transition in ferrone-matics // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. 051710.

9 pp.

5. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фредерикса первого рода в ферронематиках // Жидкие кристаллы и их практическое использование. 2010. Вып. 2(32). С. 58-66.

6. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First order orientational transitions in ferronematic liquid crystals //Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 219226.

7. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov, V. S. Structure of the domain walls in soft ferrocholesterics // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593-599.

8. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Reentrant phase transitions in ferronematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2012. Vol. 553. (in press).

9. Ouskova E., Buluy O., Blanc C., Dietsch H., Mertelj A. Enhanced magneto-optical properties of suspensions of spindle type mono-dispersed hematite nano-particles in liquid crystal // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2010. Vol. 525. P. 104-111.

10. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Shear flow of a ferronematic in a magnetic field // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2007. Vol. 475. P. 233-245.

11. Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic field-induced orientational phases of ferronematics in shear flow // J. Magn. Magn. Mater. 2008. Vol. 320. P. 1312-1321.

12. Zadorozhnii V. I., Sluckin T. J., Reshetnyak V. Yu., Thomas K. S. The Frederiks effect and related phenomena in ferronematic materials // SIAM J. Appl. Math. 2008. Vol. 68. P. 1688-1716.

13. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Переход Фредерикса в ферронематиках: трикритическое поведение // Вестн. Перм. ун-та. Сер.:Физика.

2009. Вып. 1(27). С. 62-68.

14. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Магнитооптический отклик ферронематика на внешнее магнитное поле // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2010. Вып. 1(38). С. 26-31.

15. Zadorozhnii V. I., Bashtova K. V., Reshetnyak V. Yu., Sluckin T. J. Magneto-optical response of twisted ferronematic cells // Mol. Cryst. Liq. Cryst.

2010. Vol. 526. P. 38-45.

16. Захлевных А. Н., Макаров Д. В. Эффекты магнитной сегрегации в слое ферронематического жидкого кристалла при наличии сдвигового течения // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2011. Вып. 1(16). С. 55-63.

17. Podoliak N., Buchnev O., Buluy O., D Alessandro G., Kaczmarek M., Reznikov Y., Sluckin T. J. Mac-

roscopic optical effects in low concentration ferronematics // Soft Matter. 2011. Vol. 7. P. 4742-4749.

18. Zakhlevnykh A. N., Makarov D. V. Magnetic Freedericksz transition in ferronematic layer under shear flow // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 135-144.

19. Burylov S. V., Raikher Y. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. I. Extended continuum model // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107-122.

20. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. Ferrocholesteric-ferronematic transition in an external magnetic field // J. Magn. Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P. 103-110.

21. Gennes P. G. de, Prost J. The Physics of Liquid Crystals. Oxford: Clarendon Press. 1993. 596 p.

22. Blinov L. M., Chigrinov V. G. Electrooptic Effects in Liquid Crystal Materials. N.Y.: Springer-Verlag. 1994. 459 p.

23. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Magnetic Freder-icksz transition in a ferronematic // J. Magn. Magn. Mater. 1993. Vol. 122. P. 62-65.

Magneto-optical response of a ferronematic in the uniform electric field

A. N. Zakhlevnykh, D. V. Makarov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990 Perm

We study magnetic- and electric-field-induced orientational transitions in a ferronematic layer with rigid planar coupling conditions on the boundaries. The expression for the angle of the director rotation in the vicinity of the orientational transition point is derived. We calculate the optical phase difference between ordinary and extraordinary rays in the ferronematic layer for a sequence of reentrant Freedericksz transitions.

Keywords: ferronematic, liquid crystal, birefringence, orientation transitions, reentrant phases.