Оценка степени изоморфизма на основе нечетких множеств внутренней устойчивости и клик нечетких графов

рующих фазу отраженной ЭМВ. Отражательные ФВ представляют собой периодические решетки микро-полосковых элементов (МПЭ) Фазовый сдвиг управляется изменением размеров и формы МПЭ от зоны к зоне.

Необходимо синтезировать рефлектор, фокусирующий поле полуволнового вибратора таким образом, чтобы диаграмма направленности зеркальной антенны, состоящей из вибраторного облучателя и плоского зеркала, имела ширину луча по нулям, равную 20°, и уровень боковых лепестков не выше 20 дБ. На рисунке 5 приведена топология синтезированной с помощью программного комплекса микро-полосковой ОАР, выполняющей функции ФКР с указанными характеристиками. На основе результатов,

изложенных выше, разработан, изготовлен и экспериментально испытан лабораторный макет. Результаты эксперимента находятся в хорошем соответствии с расчетом [3].

Список литературы

1. Бартеньев О.В. Фортран для студентов. - М.: "Диалог-МИФИ", 1999. - 400 с.

2. Курейчик В.М., Обуховец В.А. Особенности применения генетических алгоритмов к решению задач синтеза антенных систем// Тр. 55-й науч. сессии, посвященной Дню Радио. -М., 2000. - С. 64.

3. Касьянов А.О., Обуховец В.А. Конструктивный синтез зеркальной антенны с рефлектором в виде плоской решетки печатных излучателей// Сб. статей: Антенны.- М.: ИПРЖР. -1999. - №2(43). - С. 10-17.

ОЦЕНКА СТЕПЕНИ ИЗОМОРФИЗМА НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ВНУТРЕННЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ И КЛИК НЕЧЕТКИХ ГРАФОВ

Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк

Одной из важных проблем теории графов является распознавание изоморфизма, или эквивалентности двух графов. Задача состоит в том, чтобы между множествами вершин заданных графов определить существование взаимно однозначного соответствия, сохраняющего отношение смежности вершин [1]. В случае нечетких графов понятие изоморфизма является нечетким.

Рассмотрим нечеткие ориентированные графы [2] Ох=(Х,их) и Оу=(У,и¥), где X и У - множества вершин, а их=|<цх(х^)/(х|^) > 1(Х|^)е X2},

0у=|<цу(у1^)/(у^) > 1(У!,У_|)е У2} - нечеткие множества ребер с функциями принадлежности соответственно, цх :Х2 ^[0,1] и цу : У2 ^ [0,1] • Пусть число вершин в графах совпадает, то есть 1х1=1У1 = п .

В работе [3] рассматривалось понятие нечеткого изоморфизма нечетких графов в виде 1= & &(цх(х^) ^ цу(УьУ_])) и решалась задача

!=1,п j=1,n

нахождения (или доказательства его отсутствия) такого взаимно однозначного соответствия Е: х ^ У , при котором величина 1 достигала некоторого заранее заданного значения 1о е [0,1]. Здесь под & подразумевается операция минимум, а эквивалентность определяется как а ^ Ь = (а ^ Ь) & (Ь ^ а), где ^ -операция нечеткой импликации, в частности, определяемая в логике Лукасевича (а^Ь=тт{1,1-а+Ь}).

Нечеткие графы являются обобщением четких графов, которые, в свою очередь, можно рассматривать как квазинечеткие, у которых функции принадлежности принимают два значения - 0 и 1 и, следо-

вательно, значение изоморфизма fe {0,1}. Если f=1, то четкие графы изоморфны, если f=0, то нет. Четкие графы характеризуются инвариантами, такими как числа внутренней и внешней устойчивости, хроматическое число и пр. [1]. Если четкие графы изоморфны (f=1), то их инварианты совпадают. Если те или иные инварианты рассматриваемых графов совпадают, то это не значит, что графы изоморфны. В этом смысле совпадение инвариантов является необходимым, но не достаточным условием изоморфизма четких графов. Если инварианты не совпадают, то рассматриваемые графы не являются изоморфными.

При рассмотрении нечетких графов их инварианты также являются нечеткими величинами. В связи с этим возникает задача оценки влияния нечетких инвариантов на величину возможного изоморфизма f рассматриваемых нечетких графов.

В данной работе устанавливается взаимосвязь между степенью изоморфизма и нечеткими множествами внутренней устойчивости и нечеткими множествами клик нечетких графов.

Рассмотрим произвольный подграф GXk =

=(Xk,UXk) нечеткого графа GX=(X,UX) на k вершин (k = 1,n ).

Определение 1 [4]. Степенью внутренней устойчивости aXk e [0,1] подграфа GXk назовем величину, определяемую как a Xk = 1 -- max ^X(X|,Xj).

X,,XjeXk

Определение 2 [4]. Подмножество Xk с X называется максимальным нечетким внутренне устой-

чивым множеством со степенью внутренней устойчивости а»к , если справедливо неравенство

(УХ'э ХК)(аХ'< а»к).

Пусть Тк = {ХК1,ХК2,...,ХК1} - семейство максимальных нечетких внутренне устойчивых к вершинных множеств со степенями внутренней устойчивости аХ, ,аХ2,...,аХ1 соответственно. Обозначим

через а mx = max{a, а^2 аX, } . Если семейство

max _п max

. Величина а5

т2 = 0 , то положим а„ .

2 ' Х2 Х2-1 Xk

означает, что в графе GX=(X,UX) существует подграф на 2 вершин со степенью внутренней устойчивости amax и не существует никакого другого подграфа с 2 вершинами, чья степень внутренней устойчивости была бы больше величины аmax .

X2

Определение 3. Множество Ах = {< а¡^/1 >,

< аmax /2 >,...,< аmax /n >} назовем нечетким множе-X2 Xn

ством внутренней устойчивости нечеткого графа

Gx .

Свойство 1. Из определения 3 непосредственно вытекает неравенство:

1 > а™* > а^ > ... > аmax > 0 .

X1 X2 Xn

Заметим, что величина аmax равна 1, если в графе существует хотя бы одна вершина без петли, а величина а"?1* равна 0, если в графе существует хотя

Xn

бы одно ребро со степенью 1.

Определение 4. Подмножество вершин X' с X

назовем нечеткой кликой со степенью

Sx'= min min (^(x^xj)v^(x^)) . Vx^X'VxjeX' J J

xj *xi

Определение 5. Подмножество вершин X' с X назовем максимальной кликой со степенью 8 х'ё[0,1] , если справедливо выражение:

(VX'c Х)(Х'з X' —^8х'<öх'), иначе говоря, если любое подмножество X'' включающее в себя подмножество X , является кликой со степенью меньшей величины öX .

Как и для внутренне устойчивых множеств, рассмотрим семейство всех максимальных нечетких клик т2 = {XK1,XK2,...,XKj }, содержащих ровно 2

вершин со степенями 8« , 8« ,..., 8°, соответст-

1 v1 Y2 vi

Х2 Х2 Х2

венно. Обозначим через 8max=max{8°,,8 ,...,8 }.

Р Х2 Х2 Х2 Х2

Если семейство т2 =0, то положим 8max = 8max .

2 Х2 Х2-1

Величина 8Xma2x означает, что в графе GX существует 2-вершинный подграф, в котором между любыми двумя вершинами существует ребро со степенью не

менее 8!£ах и не существует никакого другого подграфа с к вершинами, чья степень была бы больше

величины 8тах.

Хк

Определение 6. Множество К = {< 8 ^ /1 >, < 8тах/2 >,...,< 8тах/п >} назовем нечетким множе-

Х2 Хп

ством клик нечеткого графа О Х .

Свойство 2. Из определения 6 непосредственно вытекает неравенство:

1 = 8^ > 8тах >... > 8^ > 0 .

Х1 Х2 Хп

Величина 8^ равна 0, если любой к-вершин-

ный подграф содержит хотя бы одну пару вершин, например (x¡,xj), между которыми нет никакого

ребра, то есть = ^U(xj,x¡) = 0 .

Построим дополнительный неориентированный нечеткий граф ОХ = (Х,и'), для которого справедливо: (Ух^ е Х)(Ци'(х^) = Ци'^^) = = т1п{1 - Ци(х^),1 - Цц^Л)}) .

Свойство 3. Семейство максимальных нечетких клик исходного графа ОХ = (Х,Ц) совпадает с семейством максимальных нечетких внутренне устойчивых множеств дополнительного графа ОХ =

= (Х,Ц').

Данное свойство непосредственно вытекает из определений максимальной нечеткой клики и максимального нечеткого внутренне устойчивого множества. Из свойства 3 непосредственно вытекает следующее следствие: нечеткое множество клик нечеткого графа ОХ = (Х, Ц) совпадает с нечетким множеством внутренней устойчивости дополнительного графа ОХ = (Х,Ц').

Рассмотрим теперь некоторое взаимно однозначное соответствие Е : Х ^ У между множествами вершин Х и У, в результате которого нечеткие графы ОХ=(Х,иХ) иОУ=(У,иу) изоморфны со степенью Г Пусть ОХк=(Хк,иХк) - произвольный нечеткий подграф на к вершин. Обозначим через Оук=(Ук,иук) нечеткий подграф графа Оу , вершины которого УК соответствуют вершинам Х К подграфа ¿Хк . Обозначим через Гк степень изоморфизма нечетких подграфов ОХк и ОУк .

Свойство 4. Справедливо выражение

(Ук = !,П)(Гк > о.

Доказательство. Перенумеруем вершины множеств Х и У следующим образом: присвоим номера 1,2,...,к вершинам, входящим в подмножества ХК и Ук , а номера к+1,к+2,...,п - оставшимся вершинам из подмножеств Х/ХК и У/УК . Тогда степень изоморфизма можно записать в виде:

1= ^ ^(цх(х^) О цу(уi,Уj)) = !=1,п j=1,n

= ^ ^(цх(х!,х.) О цу(У!,У|))& !=1,к j=1,k

^ _&_(цх(х^) О цу(У!^))&

i=1,п j=к+1,п

& ^(цх(х^) О цY(Уi,Уj)) = i=к+1,п j=1,n

Гк& ^ & (цх(х^) О цу(У!^))& i=1,п j=к+1,п

& ^(цх(х^) О цY(Уi,Уj)) < 1к-i=к+1,п j=1,n

Свойство 4 доказано.

Свойство 5. Пусть ахк и аук - степени внутренней устойчивости подграфов Охк и Оук соответственно. Тогда справедливо выражение:

Доказательство. Если ахк и аук - степени внутренней устойчивости, тогда в подграфе Охк существует пара вершин х1,х2 е хк , для которой справедливо ахк = 1 -цх(х1,хз), а в подграфе Оук существует пара вершин У1,У2 е Ук , для которых аук = 1 - цу(У1,У2) (рис.1). Рассмотрим два взаимоисключающих случая.

Случай 1. Вершине х1 соответствует вершина У1, а вершине х2 соответствует вершина У2 , то есть выполняются равенства Е(х^ = У! и Е(х2) = У2 . Тогда величина 1к оценится как Гк < (цх(х1,х2) О ОцУ(У1,У2)) =(1 -ахк)О(1 -аук) = ахк Оаук .

Случай 2. Вершине х1 соответствует вершина У1, а вершине х2 соответствует вершина у2 , то есть выполняются равенства Е(х1) = у1 и Е(х2) = у2 . Причем значения у1 £ у1 и (или) У2 ^ у2 . Тогда справедливо неравенство цу(У1,У2) > цу(У1,У2), откуда следует, что величина 1:у =

= 1 -цу (у1,у2) > аук (рис. 2). Опять рассмотрим два взаимоисключающих случая.

Случай 2.1. Справедливо неравенство ахк О О аук > ахк О 1У . Тогда величина 1к опять оценится как: 1к < (цх(х1,х2) О цу(у1,у2)) = = (1 - а хк ) О (1 - 1У) = а хк О 1У = ахк О аук .

Случай 2.2. Справедливо неравенство ахк О аУк < ахк О 1У.

Рассмотрим вершины х1,х2 е хк , соответствующие вершинам У1,У2 е Ук (Е-1(у1) = х1 и Р-1(У2) = х2). Справедливо неравенство

цх(х^,х2)>цх(х1,х2), откуда следует справедливость условия

Iх = 1 - цх

Выполнение неравенства (2) при условии (3) непосредственно влечет за собой справедливость условия ахк О аУк > Iх о аУк . В этом случае величину

1к опять можно оценить как:

Гк < (цх(х1,х2) О ц У(У1,У2)) =

= (1 - 1х) О (1 - а Ук ) = Iх О а Ук < а хк О а Ук.

В силу произвольного значения к =1,п свойство 5 доказано.

Пусть Ах = {<а^Л >,<а™*/2>,..., <а^/п >} и АУ = {< ау1ах/1 >,< ат2"/2>,..., < а^/п>} - не-

четкие множества внутренней устойчивости нечетких графов Ох и соответственно; 1 - степень изоморфизма рассматриваемых графов. Тогда справедливо следующее свойство.

Свойство 6. Справедливо неравенство

Г < ^(атах О атах) . к=1,п хк Ук

Доказательство. Пусть бхк=(хк,Схк) и ОУк=(Ук,иУк) - некоторые подграфы со степенями внутренней устойчивости соответственно ахтакх и атУах . Рассмотрим два случая.

Случай 1. Е(хк) = Ук , то есть подмножество вершин хк соответствует подмножеству вершин

Ук (рис. 3). Тогда согласно свойствам 2 и 3 можно

записать Г < Гк < (а!?ах О а5?ах).

Хк Ук

Случай 2. Е(Хк) = Ук Ф Ук (рис. 4). Тогда степень внутренней устойчивости аУ подграфа

ОУк =(Ук,иУк) оценится как аУк < ау^ . Рассмотрим два подслучая.

Рис. 4

Случай 2.1. Справедливо

неравенство

ауаХ О а^^ ^ а^?^ о аУ2 . Тогда степень изоморфизма оценится как Г < Гк < аук" О аУ2 <

<: «шах «шах

<аХк ОаУ2 .

Случай 2.2. Справедливо неравенство аукх О а™35 < аукх О а'У2 .

Рассмотрим подмножество вершин Хк , соответствующее подмножеству вершин Ук (Е(Х'к) = Ук).

Пусть а' - степень внутренней устойчивости под-Хк

множества Хк . Можно записать, что а' < а"ах .

к Хк Хк

Если выполняется неравенство (4), то обязательно выполнится неравенство а""" о а<

< а Хк О ашах . В этом случае степень изоморфизма

оценится как Г < Гк < а ' о аШах < а"ах О а"ах .

к Хк У2 Хк У2

Рассмотрев все возможные случаи, мы тем самым доказали свойство 6.

Пусть КХ = {< вуах/1 >,< 6у2х/2 >,..., <бу]ах/п>} и КУ = {< 8шх/1 >,< 8шах/2>,..., < 8уах/п>} - не-

1 У1 У2 Уп

четкие множества клик нечетких графов Ох и Ох соответственно. Тогда справедливо следующее свойство.

Свойство 7. Справедливо неравенство Г < ^_(8уах О 8уах) .

к=1,п Хк Ук

Данное свойство доказывается аналогично свойству 6.

Пример. Рассмотрим пример оценки изоморфизма нечетких графов Ох и Ох , приведенных на рисунке 5.

х, 0,5 Х2 У,, °,2 У2

0,7 °,6 °,3

°'4 N..

х4 °,3 хз У4 У3

Рис. 5

Нечеткие множества внутренней устойчивости и клик графов Ох и Ох определятся соответственно как

АХ = {< 1/1 >,< 1/2 >,< 0,7/3 >,< 0/4 >}, АУ = {< 1/1 >,< 0,9/2 >,< 0,6/3 >,< 0,2/4 >} , КХ = {< 1/1 >,< 1/2 >,< 0,3/3 >,< 0/4 >}, КУ = {< 1/1 >,< 0,7/2>,< 0,4/3 >,< 0,1/4 >} .

Тогда степень изоморфизма рассматриваемых графов оценится как

Г < & (ауах о ашах)& & (85?» о 8шах) =

к=14 Хк Ук к=м Хк Ук = шт(1 о 1;1 О 0,9; 0,7 о 0,6; 0 о 0,2) & & шт(1 о 1; 1О 0,7; 0,3 о 0,4; 0 о 0,1) = = 0,8 & 0,7 = 0,7.

Таким образом, степень изоморфизма нечетких графов, приведенных на рисунке 5, не может превышать значения 0,7.

Доказанные свойства 6 и 7 позволяют по нечетким множествам внутренней устойчивости и нечетким множествам клик оценивать возможную степень изоморфизма нечетких графов. Необходимо отметить, что оценка степени изоморфизма нечетких графов возможна и с помощью других инвариантов.

Список литературы

1. Зыков А.А. Основы теории графов. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1987. - 384 с.

2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982.

3. Берштейн Л.С., Карелин В.П., Целых А.Н. Модели и методы принятия решений в интегрированных интеллектуальных системах. - Р-н-Д: Изд-во Ростовского ун-та, 1999. -278 с.

4. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Определение нечетких внутренне устойчивых, внешне устойчивых множеств и ядер нечетких ориентированных графов //ТиСУ.-1999.-№1. - С.161-165.