Система задач как основа содержательного и процессуального компонентов методики формирования у будущих учителей математики умения работать со структурой математических утверждений

УДК 378. 147

СИСТЕМА ЗАДАЧ КАК ОСНОВА СОДЕРЖАТЕЛЬНОГО И ПРОЦЕССУАЛЬНОГО КОМПОНЕНТОВ МЕТОДИКИ ФОРМИРОВАНИЯ У БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ УМЕНИЯ РАБОТАТЬ СО СТРУКТУРОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

УТВЕРЖДЕНИЙ

О.А. Маслова

В данной статье выделены сущностные характеристики понятия «умения работать со структурой математических утверждений», а также смоделирована его компонентная модель. Выделены системы задач как основное средство формирования данного умения, перечислены требования к задачам, описаны их особенности. Приведены примеры задач курса математической логики, формирующие у будущих учителей математики умение работать со структурой математических утверждений.

Ключевые слова: умение работать со структурой математических утверждений, теорема, определение, система задач, математическая логика.

Согласно концепции развития российского математического образования, математика лежит в основе всех современных технологий и научных исследований. Ввиду такого «повышенного внимания» к математическому образованию особое значение приобретает проблема совершенствования (модернизации) профессиональной подготовки будущих учителей математики и, как следствие, проблема их методической подготовки. Решение этой проблемы лежит в плоскости формирования профессиональной компетентности будущих учителей математики в процессе изучения математических дисциплин и требует реструктуризации их теоретического содержания, а также переработки содержания практикумов.

Сформированность умений организовывать процесс обучения является одним из основных показателей готовности бакалавра к осуществлению профессиональной деятельности. Так как любая наука, в том числе и математика, оперирует понятиями и изучает их свойства, то через обучение строению математических утверждений, методам доказательств математических теорем, строению математических теорий строится вся методика обучения математике.

Не осознавая логической структуры формулировки определения некоторого математического понятия невозможно сформировать у учащихся представление об объеме этого понятия, привести контрпримеры, распознать эквивалентности приведенных формулировок определений одного и того же понятия, научить использовать его в решении задач и доказательствах теорем. В свою очередь, не осознавая логической структуры формулировки теоремы, невозможно организовать процесс её изучения, невозможно научить применять теорему, в том числе и для построения собственных математических теорий. Таким образом, умение работать со структурой математических утверждений является одним из основополагающих.

Понимая под методическим умением освоенные способы выполнения действия учителя математики, обеспечивающие обучение и развитие учащихся дадим определение умений работать с математическими утверждениями. Под умением работать со структурой математических утверждений будем понимать методическое умение учителя математики, обеспечивающее анализ его структуры, конструирование систем задач для каждого этапа изучения математического утверждения.

В ходе теоретического анализа и обобщения результатов констатирующего эксперимента нами смоделирована модель умения работать со структурой математических утверждений, включающая два компонента.

Умения первого компонента обеспечивают всесторонний анализ структуры математического утверждения:

- умение выполнять логико-математический анализ структуры математического утверждения;

- умение делать запись определения математического утверждения на языке математической

логики;

- умение преобразовывать его логическую структуру, в том числе, с целью перевода в импликативную форму;

- умение строить отрицание математического утверждения;

- умение выполнять проверку математического утверждения на соответствие требованиям корректности к нему;

- умение выделять необходимые и достаточные условия теоремы;

- умение формулировать утверждения: обратное, противоположное и обратное

противоположному (определять их истинностное значение);

Второй компонент составляют умения, обеспечивающие конструирование систем задач для каждого этапа изучения математического утверждения, такие как

- умение конструировать задачи на варьирование несущественных и выделение существенных свойств понятия, на синтез выделенных существенных свойств и формулировку определения понятия, на отработку понимания учащимися каждого слова в определении понятия и уяснения связи между ними, на выделение ближайшего рода и видового отличия, на математическую запись определения, на усвоение логической структуры определения понятия, на сопоставление понятий, на классификацию и т.д.;

- умение конструировать задачи на проведение работы по открытию факта, о котором идет речь в теореме, на уяснение формулировки теоремы, на уяснение содержания теоремы, на применение теоремы и пр.

Процесс формирования у будущих учителей математики умения работать со структурой математических утверждений понимается нами как система целенаправленных воздействий, вызывающих качественные изменения в тех или иных характеристиках умений. Формирование умения не одномоментный, а многоступенчатый процесс, представленный тремя этапами: мотивационным, ориентационным и преобразующим. Цель первого - мотивационного - этапа: сформировать устойчивый интерес к процессу формирования умения работать со структурой математических утверждений. Цель второго этапа - сформировать знания, лежащие в основе формируемых умений, входящих в состав умения работать с математическим утверждением и вооружить технологией конструирования задач для организации изучения математических утверждений. Научить конструировать системы задач для организации изучения математических утверждений - цель третьего, преобразующего этапа.

В рамках настоящего исследования необходимо определиться со средствами формирования методических умений. Существуют различные средства формирования методических умений: системы индивидуальных заданий, создание проблемных ситуаций, самостоятельные работы, тренинг, системы усложняющихся заданий, постепенно поднимающих уровень обучающихся от репродуктивного до творческого и пр.

Формирование умения работать со структурой математических утверждений происходит в процессе изучения предметного содержания курса математической логики, который, как и всякий процесс изучения математической дисциплины, представляет собой процесс решения, задаваемый математической наукой, логической системы учебных задач. Такие учебные задачи и являются средством формирования методических умений.

Таким образом, соглашаясь с позицией Г.И. Ковалевой [2], выделим систему задач как основное средство формирования умения работать со структурой математических утверждений у бакалавров педагогического образования по профилю «Математика» на занятиях по математической логике.

А.Г. Мордковичем [3] разработаны общие требования к системе упражнений в математическом курсе педвуза, в соответствии его концепцией профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей, согласно которой каждый предмет, изучаемый в ВУЗе, должен вносить вклад в решение проблемы совершенствования подготовки бакалавров педагогического образования. Перечислим эти требования:

- система должна быть полной, т.е. включать в себя упражнения на все основные понятия и методы курса в количестве, достаточном для того, чтобы с надёжностью обеспечить достаточный уровень практических навыков и умений, предопределённый целью, задачами и программой курса;

- упражнения в системе должны иметь явно выраженную школьную направленность, проявляющуюся как в содержании задач, так и выборе аппарата, который используется при решении задач;

- при составлении системы упражнений должен использоваться принцип наглядности;

- при составлении системы упражнений должен использоваться принцип политехнизма;

- система должна включать в себя большое число упражнений, с помощью которых у студентов вырабатываются навыки и умения составления примеров и задач;

- в системе должны содержаться упражнения по формированию понятий.

Исходя их контекста нашего исследования, а, также принимая во внимание требования, перечисленные выше, сформулируем требования, предъявляемые к системам задач в содержании практикума математической логики как к основному средству формирования умения работать со структурой математических утверждений у бакалавров педагогического образования по профилю «Математика» на занятиях по математической логике:

- задачи должны способствовать развитию профессионального мышления, формированию у будущих учителей умений профессиональной деятельности;

- в систему должны быть включены задачи, решение которых моделирует профессиональный этап работы учителя математики с новыми понятиями и теоремами;

- в систему должны быть включены задачи, с помощью которых реализуется каждое действие, входящее в состав формируемого умения.

- систему должны быть включены задачи, с помощью которых может быть реализован каждый из этапов формирования умения.

Выделим особенности системы задач как к основному средству формирования умения работать со структурой математических утверждений у бакалавров педагогического образования по профилю «Математика» на занятиях по математической логике.

Первая - использование парных задач: одна нацелена на формирование умений, обеспечивающих анализ структуры математических утверждений, вторая - конструирование задач для организации процесса изучения математических утверждений. Необходимость умения составлять задачи доказана в работе Н.А. Астаховой [1]. Вторая особенность - использование материала из различных школьных учебников по алгебре и геометрии. Это позволяет не только систематически актуализировать знания школьной математики у студентов академической группы, но и моделировать профессиональный этап подготовки к введению нового математического понятия в ходе решения указанных выше задач. Третья особенность (относится только к определению понятий) - адаптация определений из школьных учебников по алгебре и геометрии при формулировании задач по математической логике. К примеру, в школьном учебнике приводится следующее определение: 'Простым называют натуральное число, имеющее ровно два натуральных делителя: единицу и само это число'. Однако, с точки зрения логики, такая формулировка определения не является высказыванием, поэтому вместо глагола «называют» будем использовать глагол «является». Таким образом, мы будем «адаптировать» определение некоторого математического понятия при формулировании задач по математической логике. Четвертая особенность заключается в отсутствии четких границ между системами задач, они взаимно пересекаются. Так, например, задачи входящие в систему задач, используемую как средство формирование умения строить предложения, ассоциированные с данным, также включаются и в систему задач на формирование умения преобразовывать логическую структуру математического предложения.

Данная статья является одной из серии статей посвященных проблеме формирования умения работать со структурой математических утверждений у бакалавров педагогического образования по профилю «Математика» на занятиях по математической логике. В содержании этих статей приводится множество примеров задач, решение которых направлено на формирование умений, обеспечивающих анализ логической структуры математических утверждений (определений математических понятий, теорем), поэтому более подробно хотелось бы остановиться на системах задач, направленных на формирование умения конструировать задачи для каждого этапа изучения математического утверждения.

Приведем примеры задач курса математической логики, классифицированных в соответствии с некоторыми умениями, обеспечивающими конструирование систем задач для некоторых этапов изучения математического утверждения (определения понятия, теоремы).

Задачи на формирование умения конструировать задачи на выделение существенных свойств математического понятия и уяснения логических связок между ними.

Существует несколько видов взаимосвязи существенных свойств. Они могут быть связаны конъюнктивно, дизъюнктивно или в их сочетании.

Выделение существенных свойств понятия происходит пошагово. Сначала учитель предлагает учащимся найти различительные свойства математических объектов. Покажем как происходит процесс конструирования указанных объектов. В большинстве случаев существенные свойства математического понятия связаны конъюнктивно: д Л д л ... л A . Тогда объекты, удовлетворяющие

условиям Д л ... л Д л ... л Д и a л ... л a л ... л д, заведомо отличаются свойством Д . Таким

образом, следующая задача в содержании практикума курса математической логики позволяет моделировать процесс конструирования задач (устного характера) типа: «Чем отличаются следующие объекты?»

Задача 1. Найдите область истинности предикатов (vx)(v_y )д Л Д Л Д, (v*)(vy)д л Д л Д, (v*)(vy)д л Д л Д, (v)(vy)д л Д л Д , заданных на множестве всех прямых в пространстве, где Д : 'прямые различные'; Д : 'прямые лежат в одной плоскости'; Д: 'прямые не пересекаются'.

Привести по три примера объектов, лежащих в областях истинности каждого из предикатов.

Решение.

В области истинности предиката (V*)(Уу)д а Д а Д лежат пары параллельных прямых в пространстве; в области истинности предиката (у*)л а Л2 а Л3 - пары совпадающих прямых в пространстве; в области истинности предиката (у*)(у)д а Л а Л - пары скрещивающих прямых в пространстве; в области истинности предиката (у*)(уу)д а Л2 а Д - пары пересекающихся

прямых в пространстве.

Требуемые примеры пар прямых следует приводить, что наиболее естественно, в графическом виде.

Приведенную задачу можно усложнить. Для начала студентам предложить самостоятельно перевести определение параллельных прямых в пространстве на язык математической логики, а уже затем предложить вторую часть задания: Найдите область истинности предикатов (у*Хуу )А а Д а А, (у*)(У)А а А а А, (у*ХУ )Д а А а А , заданных на множестве всех прямых в пространстве. Привести по три примера объектов, лежащих в областях истинности каждого из предикатов.

Задача 1'. Составьте и решите аналогичные задачи, используя определения обратных тригонометрических функций.

Далее учитель математики предлагает учащимся найти общие свойства математических объектов. Следующая задача в содержании практикума курса математической логики позволяет моделировать процесс конструирования задач (устного характера) типа, в ходе решения которых учащимся (школьникам) предстоит найти общие свойства объектов.

Задача 2. Найдите область истинности предикатов в = (у*)(У )А а Л2 а Д ,

в = (у* ху )д а А а А, В = (у* ху )Д а А а А , заданных на множестве всех прямых в пространстве, где Л1 : 'прямые различные'; Л2 : 'прямые лежат в одной плоскости'; Л3: 'прямые не пересекаются'.

Привести по три примера объектов, лежащих в областях истинности каждого из предикатов: В1, В2, В3, В1 V В2, В1 V В3, В2 V В3.

Решение. Отметим, что в области истинности последних трех предикатов лежат пары прямых, обладающих только одним из предложенных свойств Л3, Л2 и Л соответственно.

Задача 2'. Составьте и решите аналогичные задачи, используя определения обратных тригонометрических функций.

Для конструирования задач, используемых на этапе уяснения логической структуры определения некоторого математического понятия, учителем математики зачастую используются задачи устного характера типа: «Верно ли, что ...?», основанные на умении строить отрицание математического утверждения.

Задача 3. Составьте задачи, основанные на отрицании определения параллельных прямых в пространстве.

Решение. Связка между существенными свойствами носит конъюнктивный характер. Поэтому для конструирования математических объектов, не относящихся к объему определяемого понятия параллельных прямых, построим сначала отрицание формулы А а А а А . Получим -Д V V -Лъ. Таким образом, для конструирования таких объектов или формулирования неверных определений параллельных прямых достаточно сделать одно из условий Л , Д , А3 ложным или просто «забыть» о нем.

Учитель может предложить учащимся, например, задание (устного характера): «Верно ли, что две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются», взяв за основу «отработку» условия различности прямых. Верный ответ «Нет», поскольку можно построить контрпример: пару совпадающих параллельных прямых, которые и лежат в одной плоскости, и не пересекаются.

Очевидно, что любое задание на равносильное преобразование формул алгебры высказывания, логики предикатов также входит в систему задач, используемое как средство формирования умения конструировать задачи на выделение существенных свойств математического понятия и уяснения логических связок между ними.

Задачи на формирование умения конструировать задачи на уяснение содержания

теоремы, в частности необходимых и достаточных условий.

Рассмотрим пример. «Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости».

Данная теорема имеет вид: (Vx е M) (B(x)^- A, (x)v A (x)). Условия A1 (x) и A2 (x) (по-отдельности) не являются необходимыми для B(x), т.е. B(x) не является достаточным для каждого из A (x) и A2 (x) по-отдельности. Тогда утверждение вида: (vx е м) (B(x)^ A 0е)) (/ = 1, 2) является ложным. Знание этого факта, позволяет сконструировать предложение, заведомо ложное, и предложить его для рассмотрения учащимся.

«Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна этой плоскости».

«Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости».

Студентам в качестве организации их самостоятельной работы предлагается сконструировать аналогичные системы задачи по заданным темам из школьных курсов алгебры и геометрии. По итогам выполнения этой работы можно провести минизащиты, обсудить ошибки, разобрать возникшие вопросы.

Таким образом, при выполнении вышеперечисленных требований системы задач являются эффективным средством формирования у будущих учителей математики умения работать со структурой математических утверждений на занятиях по математической логике.

In this article intrinsic characteristics of concept "abilities to work with structure of mathematical statements" are allocated, and also its component model is simulated. Systems of tasks as the main means of formation of this ability are allocated, requirements to tasks are listed, their features are described. Examples of problems of a course of the mathematical logic, forming at future mathematics teachers ability to work with structure of mathematical statements are given.

The key words: ability to work with structure of mathematical statements, the theorem, definition, system of tasks, mathematical logic.

Список литературы

1. Астахова, Н.А. Методика обучения будущих учителей математики составлению задач: дис. канд. пед. наук / Н.А. Астахова. Волгоград, 2009. 169 c.

2. Ковалева, Г.И. Теория и практика обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: монография / Г.И. Ковалева. Волгоград: Изд-во ВГСПУ «Перемена», 2012. 214 с.

3. Мордкович, А.Г. Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: дис. д-ра пед. наук / Мордкович А.Г. М., 1986. 355 с.

Об авторе

Маслова О.А.- старший преподаватель Волгоградского государственного социально-педагогического университета, alloo@yandex.ru