Оценивание корреляционной функции случайной помехи

ЭЛЕКТРОНИКА, ИЗМЕРИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И РАДИОТЕХНИКА

УДК 621.391:621.396

Б01 10.21685/2072-3059-2018-3-8

Д. И. Попов

ОЦЕНИВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНОЙ ПОМЕХИ

Аннотация.

Актуальность и цели. Объектом исследования являются измерители корреляционной функции случайных помех. Целью работы является построение аналоговых и цифровых рекуррентных алгоритмов и соответствующих структурных схем оценивания параметров корреляционной функции.

Материалы и методы. Введена аппроксимация корреляционной функции в виде разложения в ряд по ортогональным полиномам. Оценивание корреляционной функции на основе ее разложения в ряд по ортогональным полиномам осуществляется путем определения методом стохастической аппроксимации по поступающим данным искомых коэффициентов разложения с помощью цифровых ортогональных фильтров, задаваемых выбранной системой полиномов.

Результаты. Получены аналоговые и цифровые рекуррентные алгоритмы оценивания текущих значений коэффициентов разложения по мере поступления исходных данных. Искомые оценки сходятся к их истинным значениям с вероятностью, равной единице. Оценки коэффициентов разложения вместе с выбранной системой ортонормированных полиномов однозначно задают аналитическую аппроксимацию искомой корреляционной функции случайной помехи или ее дискретные значения.

Выводы. Текущие оценки коэффициентов разложения, получаемые как в переходном, так и в установившемся режиме, можно непосредственно использовать при адаптации параметров или структуры системы обработки сигналов. При этом оценки, получаемые в переходном режиме, должны использоваться с некоторым весом, величина которого до начала адаптации устанавливается на основе имеющейся априорной информации и изменяется в процессе адаптации в зависимости от скорости сходимости рассмотренных алгоритмов.

Ключевые слова: корреляционная функция, коэффициенты разложения, метод стохастической аппроксимации, ортогональные полиномы, ортогональные фильтры, рекуррентные алгоритмы оценивания, случайная помеха, сходимость оценок.

© Попов Д. И., 2018. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

D. I. Popov

ESTIMATION OF A CORRELATION FUNCTION OF RANDOM INTERFERENCE

Abstract.

Background. The object of the study is the meters of a correlation function of random interference. The aim of the work is to construct analog and digital recurrent algorithms and the corresponding structural schemes for estimating the parameters of the correlation function.

Materials and methods. Approximation of the correlation function in the form of an expansion in a series of orthogonal polynomials is introduced. Estimation of the correlation function on the basis of its expansion in a series of orthogonal polynomials is carried out by determining the desired coefficients of expansion by the method of stochastic approximation from the input data using digital orthogonal filters determined by the chosen system of polynomials.

Results. Analog and digital recurrent algorithms for estimating the current values of the expansion coefficients are obtained as the input data arrive. The required estimates converge to their true values with probability one. The estimates of the coefficients of the expansion together with the chosen system of orthonormal polynomials uniquely determine the analytic approximation of the unknown correlation function of the random noise or its discrete values.

Conclusions. Current estimates of the expansion coefficients obtained both in the transient and steady state can be directly used in the adaptation of the parameters or structure of the signal processing system. In this case, the estimates obtained in the transient regime should be used with a certain weight, the value of which before the beginning of adaptation is established on the basis of the available a priori information and varies during the adaptation process depending on the rate of convergence of the considered algorithms.

Keywords: correlation function, expansion coefficients, stochastic approximation method, orthogonal polynomials, orthogonal filters, recurrent estimation algorithms, random interference, convergence of estimates.

Введение

Проблема статистической априорной неопределенности и адаптация информационных систем в течение длительного времени не теряет своей актуальности [1-4]. В задачах обнаружения радиолокационных сигналов на фоне помех, образованных собственным шумом и внешними помехами, априорная неопределенность спектрально-корреляционных характеристик внешней помехи (например, пассивной) предполагает оптимизацию адаптивно перестраиваемой структуры и параметров системы обработки сигналов. Один из методов оптимизации состоит в итеративном изменении параметров системы на основе оценки градиента фиксируемого показателя эффективности системы [5]. Данный метод является непараметрическим, так как он не требует оценивания параметров помехи и в связи с этим достаточно просто реализуется. Однако скорость сходимости соответствующего алгоритма адаптации оказывается весьма низкой, так как для оценивания градиента показателя эффективности системы, как правило, требуется большое число реализаций. Избежать данного недостатка удается на основе методов прямого оценивания искомых параметров помехи.

№ 3 (47), 2018 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника 1. Аналоговые алгоритмы оценивания

Прямые методы оценивания корреляционной функции Л(т) случайной помехи х(^) основываются на соотношении

R

Для стационарных эргодических случайных процессов вместо усреднения по множеству производится усреднение по времени, что предполагает возможность применения к выражению (1) метода стохастической аппроксимации [1, 6]. Полученные при этом алгоритмы дают текущие оценки искомой характеристики, которые могут быть использованы для адаптации систем в процессе их работы.

При полностью неизвестной функции корреляции такой способ оценивания обладает определенными недостатками. Во-первых, для построения зависимости R(t) требуется осуществить временную задержку исходного процесса с плавным или дискретным изменением величины задержки т . Во-вторых, остается открытым вопрос о выборе аналитической аппроксимации эмпирической функции корреляции. Указанных трудностей удается избежать, если корреляционную функцию аппроксимировать разложением в ряд по ортогональным полиномам.

Представим данную аппроксимацию в виде конечного ряда:

N

R

k=0

где Pk (т) - совокупность полиномов, ортонормированных относительно весовой функции 0(т), определенной в интервале (0, .

Тогда

JPj

0

где 5jk - символ Кронекера; т.е. 5jj = 1, 5jk = 0 при j Ф k .

Таким образом, задача сводится к определению коэффициентов ak в разложении (2). Оптимальные значения величин ak соответствуют условию минимума среднеквадратичной ошибки воспроизведения функции R(т) в виде ряда (2):

п2

Q(x)dт = min .

N

R(т)- 2 akPk (т) k=0

Приравняв производную данного выражения по ак к нулю, с учетом (1) и (3) найдем

ak = Jх(t)x(t-т)Рк (T)Q(T)dт.

Изменив теперь порядок интегрирования и статистического усреднения, получим

ak = x(t)Jx(t-T)Pk (x)Q(x)dт = x(t)yk (t),

где

yk (t) = Jx(t-T)Pk (x)e(x)d-

T -

отклик линейного фильтра с импульсной характеристикой hk () = Pk (t) Э(t) и передаточной функцией

Wk (p) = JPk (t)©(t)e-ptdt

на входную реализацию x ().

Для определения ak перепишем (4) в виде

ak - x(t)yk (y) = 0

и по аналогии с работой [6] применим непрерывный стохастический алгоритм. Тогда получим следующее дифференциальное уравнение:

=

Если положительная функция у() удовлетворяет условиям

ж ж

|у()Л = <~, |у2()Л-

то при t величины ak () сходятся с вероятностью, равной единице, к величинам ak, удовлетворяющим равенству (5).

На рис. 1 представлена структурная схема аналогового устройства, реализующего вычисление ak () в соответствии с уравнением (6). Линейные

звенья с передаточными функциями Wk ^) ( = 0,1,2,...,N) образуют систему ортогональных фильтров.

Рис. 1. Структурная схема аналогового измерителя

№ 3 (47), 2018 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника 2. Цифровые алгоритмы оценивания

Рассмотрим алгоритмы, реализуемые цифровым устройством оценивания. В этом случае исходный процесс х (7) после аналого-цифрового преобразования представляется в виде последовательности цифровых кодов хп = х (п), поступающих в дискретные моменты времени 1п = пТ . Тогда

ak = хпУп ) ,

где

n

x -mhm ,

У(к]= yk (tn ) = Z Xn-mh{h) m=0

)= hk (mT ) = Pk (mT )Q(mT).

В случае дискретных отсчетов дифференциальному уравнению (6) соответствует разностное уравнение

Да

ak = Yn (ak xnyn

или в рекуррентной форме:

a

k

aV _Yn \ak ~xnYn ),

что соответствует текущим оценкам коэффициентов ak на (n +1 )-м шаге.

Если последовательность чисел Yn удовлетворяет условиям

Yn >ZYn =~, ZY2

n=1 n=1

(n) /ОЧ

то при n — ^ оценки ak по алгоритму (8) сходятся к величинам ak, удовлетворяющим равенству (7), с вероятностью, равной единице [6], т.е.

Вер{ lim a^ ) = ak } = 1.

[ n—^^ J

Условиям (9), в частности, удовлетворяет ряд 1/ n , при использовании которого наблюдается достаточно медленная сходимость оценки a() к истинному значению. Скорость сходимости при этом определяется степенным законом [6]. Более высокая скорость сходимости, определяемая показательным законом, достигается при yn = Yo = const. В этом случае постоянная обратная связь обеспечивает более быстродействующий процесс, чем обратная связь, убывающая с каждой итерацией. Однако использование значений Yn = Yo целесообразно при усреднении по алгоритму (8) нефлюктуирующих

отсчетов хп . Один из приемлемых для практики вариантов выбора закона изменения уп основывается на сочетании рассмотренных выше законов, т.е. уп = 1/ п при п < п0 и уп =Уо = 1/ п0 при п > п0 . При таком сочетании осуществляется усреднение отсчетов хп и отслеживание за изменением оце-

нок a

(n) k •

Структурная схема цифрового устройства, реализующего алгоритм (8), изображена на рис. 2.

Рис. 2. Структурная схема цифрового измерителя

Передаточная функция цифровых ортогональных фильтров определяется как z-преобразование импульсной характеристики hj^) :

W (z) = Y hi]z-n.

n=0

Определим передаточную функцию цифровых фильтров, основанных на ортогональных полиномах Лежандра. Учитывая, что при этом Q(t) = 1, запишем:

(-1)v (2k - 2v) ! fk-2v

hk (t ) = Y-r

V=0 2k V !(k-v)!(k - 2v)!

= Y f

v=0

k -2v

где [5] обозначает целую часть числа 5 .

Можно показать, что передаточная функция в этом случае имеет вид

ж

^ (2) (1 - z-1)к+1,

где

Hk ( z ) = z-k Y f (k, v)( z - 1)2v Ak-2v ( z ) ;

2v

v=0

Ap (Z) = Y bqZP-q ; bq = Y (-1)q-llPCp+rl ,

q=1 l=1

откуда следует:

№ 3 (47), 2018 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника

Но(= 1; Н1(г) = 2-1; Н2(г) = --2+ |2-1 + 2-2;

Нз(2) = 2 1 + 13г 2 + г 3 и т.д.

Заключение

Определение коэффициентов разложения ак ряда (2) аналоговыми или цифровыми устройствами не связано с необходимостью временной задержки или запоминания исходных данных. Алгоритмы (6), (8) заменяют операции усреднения по множеству операциями усреднения по времени, что позволяет определять текущие оценки искомых величин по мере поступления данных, а также предполагает стационарность и эргодичность исходного процесса.

Оценивание корреляционной функции на основе ее разложения в ряд по ортогональным полиномам осуществляется путем определения по поступающим исходным данным искомых коэффициентов разложения ак с помощью цифровых ортогональных фильтров, задаваемых выбранной системой полиномов. Оценки коэффициентов разложения ак вместе с выбранной системой ортонормированных полиномов однозначно задают аналитическую аппроксимацию искомой корреляционной функции случайной помехи или ее дискретные значения. При этом определение значений корреляционной функции

N

Я(Т) = 2 акРк (Т) к=0

можно осуществить непосредственно в измерительном устройстве, используя в качестве отсчетов Рк (Т) реакции цифровых фильтров на входной сигнал типа единичного импульса

1 при 7 = 0, 0 при 7 Ф 0.

Текущие оценки коэффициентов ак, получаемые как в переходном, так и в установившемся режиме, можно непосредственно использовать при адаптации параметров или структуры системы обработки сигналов. При этом оценки, получаемые в переходном режиме, должны использоваться с некоторым весом, величина которого до начала адаптации устанавливается на основе имеющейся априорной информации и изменяется в процессе адаптации в зависимости от скорости сходимости рассмотренных алгоритмов.

Библиографический список

1. Репин, В. Г. Статистический синтез при априорной неопределенности и адаптация информационных систем / В. Г. Репин, Г. П. Тартаковский. - М. : Сов. радио, 1977. - 432 с.

2. Родионов, В. В. Помехоустойчивость адаптивных импульсно-доплеровских обнаружителей на фоне пассивных помех / В. В. Родионов // Антенны. - 2014. -№ 1 (200). - С. 023-029.

ЫгТ)

3. Попов, Д. И. Адаптивное подавление пассивных помех / Д. И. Попов // Цифровая обработка сигналов. - 2014. - № 4. - С. 32-37.

4. Попов, Д. И. Адаптивная когерентная обработка сигналов на фоне пассивных помех / Д. И. Попов // Радиопромышленность. - 2017. - № 3. - С. 13-18.

5. Уидроу, Б. Адаптивная обработка сигналов : пер с англ. / Б. Уидроу, С. Стирнз. -М. : Радио и связь, 1989. - 440 с.

6. Невельсон, М. Б. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание / М. Б. Невельсон, Р. З. Хасьминский. - М. : Наука, 1972. - 304 с.

References

1. Repin V. G., Tartakovskiy G. P. Statisticheskij sintez pri apriornoj neopredelennosti i adaptacija informacionnyh sistem [Statistical synthesis under a priori uncertainty and adaptation of information systems]. Moscow: Sovetskoe radio Publ., 1977, 432 p.

2. Rodionov V. V. Antennas. 2014, no 1 (200), pp. 023-029.

3. Popov D. I. Cifrovaja obrabotka signalov [Digital signal processing]. 2014, no. 4, pp. 32-37.

4. Popov D. I. Radiopromyshlennost [Radio industry]. 2017, no. 3, pp. 13-18.

5. Uidrou B., Stirnz S. Adaptivnaja obrabotka signalov [Adaptive signal processing]. Transl. from Engl. Moscow: Radio i svjaz' Publ., 1989, 440 p.

6. Nevel'son M. B., Has'minskij R. Z. Stohasticheskaja approksimacija i rekurrentnoe ocenivanie [Stochastic approximation and recurrent estimation]. Moscow: Nauka Publ., 1972, 304 p.

Попов Дмитрий Иванович

доктор технических наук, профессор, кафедра радиотехнических систем, Рязанский государственный радиотехнический университет

E-mail: adop@mail.ru

Popov Dmitriy Ivanovich Doctor of engineering sciences, professor, sub-department of radio systems, Ryazan State Radio Engineering University

УДК 621.391:621.396 Попов, Д. И.

Оценивание корреляционной функции случайной помехи / Д. И. Попов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2018. - № 3 (47). - С. 83-90. - БОТ 10.21685/2072-3059-2018-3-8.