Особенности диссипации энергии в нелинейных электрических цепях

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

удк 621.318 В.К.ФЕДОРОВ

П. В. РЫСЕВ Е. Ю- СВЕШНИКОВА

Омский государственный технический университет

ОСОБЕННОСТИ ДИССИПАЦИИ ЭНЕРГИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Наличие хаотических колебаний в нелинейной электрической цепи ведет к потере детерминированной предсказуемости параметров режима электрической цепи. С точки зрения энергосбережения хаотические режимы могут быть предпочтительнее, нежели детерминированные режимы нелинейной электрической цепи. Иначе говоря, потери энергии в нелинейных электрических цепях в режиме хаотических колебаний меньше, чем в режиме квазипериодических колебаний.

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы и его называют законом эволюции. Динамические системы - это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание динамических систем в смысле знания закона эволюции также допускает большое разнообразие:

оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.

В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответ-

ствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении[7].

Математической моделью схемы Чжуа, исследования которой проводились в программе Micro cap 6, является система уравнений 1 .Сама схема двух симметричных связанных через емкость осцилляторов Чжуа изображена на рис. 1.

где

У. =xl-y,+z1 +

+ y((x2-xI)-(y1-y,) + (z2-zl)), Z, = -РУ,

х2 =а

y2=x2-y2+z2 +

+ У((х, -x2)-(y, -y2) + (z, -z,)), _ z2 =-(3y2,

[Ьх-а + Ь,если х<-1, h(x) = < ax, если |x| < 1, bx + a - b, если x > 1.

у = С5/С1 - управляющий параметр.

Важную группу динамических систем представляют системы, в которых возможны колебания. Колебательные системы с точки зрения их математических моделей разделяют на определенные классы. Различают линейные и нелинейные колебательные системы, сосредоточенные и распределенные, консервативные и диссипативные, автономные и неавтономные. Особый класс представляют так называемые автоколебательные системы.

Схема, которая исследовалась, является автономной диссипативной нелинейной системой. Поясним, что это означает.

Колебательная система называется линейной или нелинейной в зависимости от того, линейна или нелинейна описывающая ее система дифференциальных уравнений. Линейные системы являются частным случаем нелинейных.

Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться как сосредоточенная либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния. В теории электрических колебаний систему рассматривают как сосредоточенную в тех случаях, когда длина волны колебаний существенно превышает геометрические размеры самой системы. Если размеры прибора соизмеримы с длиной волны генерируемых колебаний, то систему необходимо рассматривать как распределенную.

По энергетическому признаку динамические системы делятся на консервативные и неконсервативные. Консервативные системы характеризуются неизменным во времени запасом энергии. В механике их называют гамильтоновыми.

Динамические системы с изменяющимся во времени запасом энергии называются соответственно неконсервативными. Системы, в которых энергия уменьшается во времени из-за трения или рассеяния, называются диссипативными. В соответствии с этим системы, энергия которых во времени нарастает,

132

Рис. 1. Схема двух связанных через емкость идентичных генератора Чжуа.

Рис. 2. Странный аттрактор, образуемый напряжением на конденсаторе С2 при у = 0.3.

Рис. 3. Зависимость напряжения от времени на конденсаторе С2 при у=0.3.

ЦИОЬМАЦОУХиВНЛЛННЫХ! ЬНЬРАШНЦН ЧЖУА.Ц1Н

и 00

В 00 4.00 0.00 -1.00 в 00

0.00т >

Рис. 4. Зависимость колебания напряжения конденсаторов СI ,С2,С5 от времени, а также временная зависимость колебания тока в индуктивности 1.1 при у = 0.6.

Рис. 5. Зависимости напряжения на конденсаторе С2 и мощности рассеиваемой в резисторе отвремени при граничном значении управляющего параметра.

называются системами с отрицательным трением или отрицательной диссипацией. Такие системы можно рассматривать как диссипативные при смене направления отсчета времени на противоположное. Принципиальной особенностью диссипативных систем является зависимость элемента фазового объема отвремени. В системах с поглощением энергии фазовый объем во времени уменьшается, в системах с отрицательным трением - увеличивается.

А если система нелинейна и диссипативна, как в нашем случае, то фазовый объем примет весьма нетривиальную форму. [7].

Неустойчивость режима ведет к росту возмущений. Это одно обстоятельство. Второе - диссипативные системы вне зависимости от вида устойчивости вызывают уменьшение элемента фазового объема во времени до нуля, что связано с потерями энергии. Как совместить эти два фактора? Существует единственное решение этой дилеммы: элемент фазового объема по некоторым направлениям должен растягиваться, а по другим сжиматься. Причем степень сжатия в среднем должна обязательно превалировать над степенью расширения, чтобы в итоге фазовый объем во времени уменьшался! В нелинейных диссипативных системах это оказывается возможным.

Динамические системы называются автономными, если они не подвержены действию внешних сил, переменных во времени. Уравнения автономных систем явной зависимости от времени не содержат.

Большинство реальных колебательных систем в физике, радиофизике, биологии, химии и других областях знаний неконсервативны. Среди них выделяется особый класс так называемых автоколебательных систем, которые принципиально неконсервативны и нелинейны. Автоколебательной называют динамическую систему, преобразующую энергию источника в энергию незатухающих колебаний, причем основные характеристики установившихся колебаний (амплитуда, частота, форма колебаний и т.д.) определяются параметрами системы и в некоторых пределах не зависят от выбора исходного начального состояния. [7].

В схеме Чжуа нелинейным ограничением роста фазового объема служит рассеивание энергии в резисторе Я1,К9. Причем, это рассеивание зависит от того, в каком режиме находится схема: в режиме хаотических колебаний или квазипериодических ко-

лебаний. Вводить схему в режим хаотических колебаний можно путем изменения управляющего параметра.

С помощью стандартного критерия Рауса-Гур-вица, зафиксировав все остальные динамические переменные, определяем интервал значений управляющего параметра, при котором схема будет демонстрировать хаотическое поведение.

Анализ на устойчивость дал результат, что данная схема демонстрирует хаотическое поведение при значении управляющего параметра 0< у <0.5.

Ниже приведены графики и фазовые портреты тока, напряжений, соответствующих области соотношения управляющих параметров в этом интервале и вне его.

Ниже приведены графики колебаний при изменении управляющего параметра, при значении управляющего параметра больше чем граничное значение 0.5 мы наблюдаем выход системы из хаотического поведения к квазипериодическим колебаниям.

Таким образом, получается, что потери энергии в нелинейных цепях в режиме хаотических колебаний меньше, чем в режиме квазипериодических колебаний. С точки зрения экономии электрической энергии этот режим может быть предпочтителен, так как в соответствии с полученными в программе Micro cap 6 результатами, рассеивание мощности в резисторе возрастает в среднем в два раза при выходе системы из режима хаотических колебаний.

На рис. 5 изображено, как при граничном управляющем параметре происходит возрастание рассеиваемой мощности в резисторе, а также график колебаний напряжения на конденсаторе С2. На графике виден переход колебаний напряжения на конденсаторе С2 к квазипериодическим и одновременное возрастание потерь мощности.

Наличие хаотических колебаний может носить и негативный характер. Неустойчивость режима ведет к потере детерминированной предсказуемости, становится сложно прогнозировать надежностные характеристики элементов энергосистемы. Хаотические колебания токов и напряжений в элементах энергосистемы ведет к более быстрому износу электрооборудования, следовательно, к росту амортизационных издержек в процессе эксплуатации, что соответственно будет отражаться на росте себестоимости электроэнергии.

Библиографический список

1. Мун Ф. Введение в хаотическую динамику. - М.: Наука, 1990.- 140 с.

2. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. - М.: Наука. Гл. ред. физ. -мат. лит., 1990.-312 с.

3. Разевиг В.Д, Система схемотехнического моделирования Micro-Cap 6. - М.: Горячая линия -Телеком, 2001. - 344 с.

5. Федоров В.К. Введение в теорию хаотических режимов нелинейных электрических цепей и систем: Учеб. пособие / ОмПИ. Омск, 1992.44 с.

6. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соровского профессора: Учеб.пособие.Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002.144 с.

ФЕДОРОВ Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

РЫСЕВ Павел Валерьевич, аспирант кафедры « Электроснабжение промышленных предприятий». СВЕШНИКОВА Елена Юрьевна, преподаватель-стажер кафедры «Электроснабжение промышленных предприятий».

удк 621313 Г. В. МАЛЬГИН

А. В. БЕСПАЛОВ А. Г. ЩЕРБАКОВ

Омский государственный технический университет

ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА, СОДЕРЖАЩЕГО АСИНХРОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ С ФАЗНЫМ РОТОРОМ

Асинхронный электродвигатель с фазным ротором, релейно-контактное устройство управления и регулирования скорости и момента, а также рабочая машина - механизм перемещения мостового крана -"Крановый механизм" - в совокупности образуют электротехнический комплекс (ЭТК) (рис. 1).

Общая модель ЭТК содержит модель электрической машины, модель системы управления и модель технологического механизма. Динамические переменные моделей составных частей ЭТК находятся в глубокой взаимосвязи между собой и оказывают взаимовлияние друг на друга. В этом смысле и сами процессы в ЭТК и его разработка и проектирование, как связанной системы, оказывается значительно сложнее, чем каждый его элемент в отдельности.

Математическая модель асинхронного электродвигателя, записанная в фазной системе координат, позволяет исследовать несимметричные режимы работы асинхронного электропривода, т.е. динамику при изменении параметров одной или нескольких фаз статора и ротора, несимметрию питающего напряжения и т.д. Для решения системы уравнений, составляющих математическую модель сложного электротехнического комплекса, записанной непосредственно по законам Кирхгофа, без преобразования к нормальной форме Коши, эффективны специализированные численные методы, обладающие свойством жесткой устойчивости, что означает возможность введения в общую математическую модель электротехнического комплекса непрерывных моделей быстродействующих электронных (диод, тиристор, транзистор) и релейных приборов и одновре-

менный учет "медленных" механических и термодинамических процессов. Кроме того, решение задачи в естественной системе координат позволяет непосредственно определять из дифференциальных уравнений величины, которые можно проверить экспериментально, то есть измерить их.

Для двух трехфазных систем электромагнитно связанных контуров и выбранного направления токов, используя второй закон Кирхгофа и закон Фара-дея (закон электромагнитной индукции), уравнения электромагнитного равновесия (уравнения напряжений) запишем в виде: для обмоток статора

сЩ1 аг с№

—а- = ии-Яя1 „ =

СП

—-^ = ис-Яс1с, ас={(1,со,М,...); а.1

для обмоток ротора

ах сГ¥

-± = -1ЦЬ1Иь=т,а>,М),

0.1

¿У