Оператор истины для классической сентенциональной логики и ее расширения на область неправильно построенных формул

Оператор истины для классической сентенциональной логики и ее расширения на область неправильно построенных формул1

С. А. Павлов

abstract. In the paper axiomatic truth theory with truth operator for classical sentential logic is proposed. Such theory is extended on domain of not well-formed formulae and on sentential logic that was enriched by quantifiers.

Ключевые слова: оператор истинности, теория истины, аксиоматический подход, неправильно построенные формулы, кванторы по сентешщоналъным переменным.

Цель данной работы состоит в построении аксиоматической теории истины с оператором истинности для классической сетт-тетщиотталытой логики, обогащении языка кванторами pi ее расширении па область неправильно построенных формул.

Пусть имеем язык классической септепциопальпой (пропозициональной) логики высказываний с отрицанием ~ и импликацией —к Сентенциональные переменные: s,s\,s2 ... (Var — множество переменных).

Правила построения формул стандартные.

Пусть A, ~ A, (A —> Б) есть формулы этого языка. A,B — метапеременные для формул (For — множество формул, предложений) .

Символически обозначим этот язык L(s, S\,S2 ..., —) или более кратко L(—).

Построим интерпретацию языка L(—).

Функция оценки v есть отображение множества Var на множество {T,F} (сокр. v : Var ^ {T,F}).

'Работа поддержана РГНФ, грант Л 07-()3-()0242.

I Т, если v(A) = F, { F, если v(A) = Т. J

( , _ в) = I T, если v(A) = F или v(B) = T, I

' \ F, если v(A) = T и v(B) = F. j

Для построения аксиоматической теории истины с оператором истины необходимо сформулировать основные положения, касающиеся свойств этого оператора. Сначала в качестве метаязыка будем использовать фрагмент естественного языка, в котором действует классическая логика.

Первым положением, которое отвечает утверждению For ^ {T,F}, является принцип бивалентности: всякая формула (вы-

A

Будем символически обозначать операторы истинности pi ложности посредством знаков \, — , соответственно. Тогда принцип бивалентности можно записать так: \ A либо —A.

Условия истинности для отрицания будем задавать, следуя Д. Гильберту и В. Аккерману [3], которые принимали, что X обозначает высказывание, которое истинно, если X ложно, и X

Используя язык L(^, —) и операторы истинности и ложности, выразим эти условия следующим образом: A е.т.е. —A,

— ~ A е.т.е. \ A.

Также эти условия отвечают функции оценки для отрицания.

Условия истинности для импликации, гласящие в [3], что X —> Y обозначает высказывание, которое ложно в том и только том случае, когда X истинно, a Y ложно.

Также эти условия отвечают функции оценки для импликации.

— (A — B )е .т.е. \ A Л—B,

\ (A — B)е.т.е. — Av \ B.

Завершающим положением могла бы быть выраженная с помощью оператора истинности Т-эквивалентность: | A A

Однако для оператора истинности имеются еще два положения, отвечающие особенностям его употребления в языке. Одно

касается возможности его итерировать, т. е. иметь дело с формулами вида: (|| А), (||| А) и т.д. И второе, связанное с возможностью ввести этот оператор в язык-объект. Тем самым этот подход отличается от подхода, реализованного в семантической теории истины Тарского. Обсуждение использования оператора истинности в логических построениях смотри в [4], а также в статье [2].

Эти положения реализуются при обогащении исходного языка Ь(—) оператором истинности. Таким образом получаем язык ЬТ (в,вЬв2 I —).

Также для формализации вышеприведенных положений необходимо вместо естественного языка ввести формальный. В качестве такового будем использовать язык Ьт(|, —).

Перейдем к формулировке теории истины с оператором истинности для классической септепциопальпой логики.

1 Формулировка теории истины ТТ2

Алфавит ТТ2:

в, в1, в2   сентенциальные переменные; ^ — логические константы, обозначающие оператор истинности, отрицание и импликацию;

Правила образования ппф

Если д есть сентенциональная переменная, то (д) есть правильно построенная формула (ппф).

Если А, В есть ппф, то А), (| А), (А — В) есть ппф.

(ш) Ничто иное не является ппф.

Метапеременные: А, В, С,    для ппф.

Примем стандартные соглашения относительно опускания скобок.

Введем следующие сокращения для формул.

А

как сокращение для высказывания об истинности отрицания А

01.1. -А ^ А.

01.2.1-01.2.3. Конъюнкция & , дизъюнкция V и эквиваленция <— определяется классическим образом.

Для высказывания о строгой истинности предложения А: «[А» содержательно означает «есть истинно и неложно».

Б1.3. [А -(А —> -А).

Определим импликацию Э, которую назовем Б-импликацией, и ряд производных связок.

01.4.1. (А Э В) =<М ([А — [В),

Б1.4.2. (А Л В) -(А Э-В),

Б1.4.3. (А V В) (-А Э В),

Б1.4.4.

Б1.4.5.

Из всего класса ппф выделим подкласс формул, которые образованы из префиксироваппых оператором истинности формул. Будем Нс13ЫВс1ТЬ ИХ Т-формулами (Т-ф.).

Если А есть ппф, то (| А ) есть Т-ф.

Если Р\, Р2 теть Т-ф., то Р\\ (Р\ — Р2), теть Т-ф.

Метапеременные: Р, Р\, Р2,... для Т-ф. Аксиомы теории истины ТТ2

Исходные положения теории истины выразим в языке Ьт(|, —). Разобьем аксиомы на 3 группы:

Т

2) аксиомы, выражающие условия истинности для отрицания и для импликации,

Т

в ал бн '1' м о сть •

4) аксиомы классической септептцгопалыгой логики.

Некоторые из них зависимы от других, поэтому не все войдут в список исходных аксиом. Схемы аксиом

А1.1.

А1.2.

А1.3.

А2.1.--А Щ А

А2.2.1. |

А2.2.2. -

АЗ.

Правило вывода А, (А Э В)/В МР Определение вывода стандартное.

Еще одно соотношение для отрицания следует из определения оператора ложности.

Т1. Н А = -А

Т

мой.

Т2.1.

Т2.2. | Р = Р

В формулировке данной теории используются два сорта ме-тапеременных: А, В, С,  для ипф языка исчисления и Р,Рг, Р2,    Т

Для каждого сорта переменных можно поставить вопрос о том, к какой логике относятся теоремы, в формулировке которых присутствуют те или иные метаперемеппые.

На вопрос о классической септепциопальпой логике отвечают теоремы Т3.1-3.4, соответствующие ее аксиомам и правилу вывода.

Тем самым имеем метатеорему:

Классическая сентенциональная логика CL(s, 81,82 ..., —, —) является подспстемой TT2.

Для T-формул имеем следующую метатеорему:

Логика со схемами аксиом Acl является иодсистемой TT2 рт является классической логикой. Будем обозначать ее CL(-, э).

Также имеем метатеорему:

МТЗ. Исчисление TT2(s, S\,S2 ..., \, —, —О дедуктивно эквивалентно классической сентенциональной логике CL(s,s\,

82,..., -, -О-

Другими словами, особенностью выше сформулированного исчисления является то, что оно дедуктивно эквивалентно своей собственной часта.

TT2

тты противоречия и исключенного третьего в семантической и несематттической формулировках.

Т.4.1. —

Т4.2. -

Т5.1.

(A V - A) Также имеем теоремы:

Т6.1 \--A =\ A

Т6.2--A <— A

TT2

мами о непротиворечивости и семантической полноте.

МТ4. h A \= A МТ5. = A ^ ЬА

2 Включение кванторов в язык Ьт

Для полноты рассмотрения обобщим рассматриваемую теорию истины для септептцтопальпой логики па случай включения в язык последней кванторов.

Введем квантор всеобщности по переменной для предложений (сентенциальной переменной). Такой способ введения кванторов подобен использованию кванторов с пропозициональными переменными в качестве операторных переменных в расширенном пропозициональном исчислении Лукасевича-Тарского, Рассела, в прототетике Леспевского.

Наличие квантора в языке логики позволяет задать тождественно-ложную формулу / и затем определить отрицание. Тем самым пет необходимости иметь отрицание в алфавите языка. В этом случае достаточно иметь оператор истинности, импликацию и квантор всеобщности.

Сформулируем теорию истины ТТ2(|, —>, У).

Для того чтобы липший раз не повторяться, запишем ниже только изменения в формулировках языка и аксиом ТТ2(|, Н —).

Об изменениях в алфавите сказано выпте.

В правилах образования ппф замен»™ пункт (и) па (и)*.

Если А, В есть ппф и д есть сентенциональная переменная, то (| А) (А — В), (Уд А) есть ппф.

Добавим метапеременные: д для сентенциальных переменных; В(д), С (А) для пп ф В, С, в которые входят сентенциальная пе-дА

Определим формулу /, являющуюся тождественно ложной, и отрицание.

01.0.1. / =#

Т

Рг , Р2 Т д

пая, то (Рг — Р2) и (Уд Рг) теть Т-ф.

Аксиому А2.1. замен»™ тта аксиому А2.1*. А2.1*. -f.

К схемам аксиом добавим следующие:

А4.1. (Vq B(q) —> B(A)), если ппф A не содержит свободных вхождений q, если ппф A свободна для q в B(q).

А4.2. (yq (A —> B) —> (A —> УqB)).

К правилу вывода МР добавим следующее:

A/ yqA Gen

Имеем следующее соотношение истинности для квантора всеобщности

Т7. (| (yq A)) ^ (yq | A).

Расширенное пропозициональное исчисление сводимо к классической логике CL. Подобным образом можно показать, что ТТ2(1, —>, У) сводимо KTT2(|, —>).

В расширенном пропозициональном исчислении константа «ложь» задается с помощью формулы У в в. Имеем теорему, связывающую различные определения (имеющие разный смысл, который обнаружится при дальнейшем обобщении ТТ2(1, —>, У)) константы «ложь» в расширенном пропозициональном исчислении и тождественно-ложной формулы в ТТ2(1, —>, У).

Т8. (Ув I в) <— Ув в.

3 Расширение теории истины на область нестандартных формул

Несмотря на эквивалентность исчислений ТТ2(1, —>) и CL(~, —^формулировка исчи сления ТТ2 сложнее, чем форму-

CL ТТ2

в случае расширения области определения операторов истинности и ложности за пределы области двузначных высказываний и предложений.

Понятая истинности и ложности обычно применяют к высказываниям PI предложениям. А. Тарский пишет об этом так:«Предикат "истинно" ... относят к определенным физическим объектам — языковым выражениям, в частности, к предложениям» [о]. В то же время имеются трудности, связанные с определением того, что есть высказывание и предложение. А. Тарский пишет об этом: «Мы не знаем в точности, какие выражения являются предложениями» [о]. Там же А. Тарский говорит о новых возможностях: «тот факт, что пас прежде всего интересует понятие истины для предложений, не исключает возможности последующего расширения сферы применимости этого понятия па другие виды объектов».

Уже Аристотель не ограничивает применимость истинностных оценок только к утвердительным или отрицательным высказываниям, по применяет Pix к Pix частям, составляющим эта высказывания. Так, в главе четвертой Категорий [1] он пишет:

«утверждение или отрицание получается сочетанием их [категорий], ведь всякое утверждение или отрицание, надо полагать, или истинно, или ложно, а из сказанного без какой-либо связи ничто не истинно и не ложно, например "человек", "белое", "бежит", "побеждает"».

А в главе десятой Категорий Аристотель утверждает: «Да и вообще все, о чем говоррттся без какой-либо связи, не истинно и не ложно».

Д. Гильберт PI В. Аккермап пишут в [3]: «Взятые сами по себе предикаты тш истинны, тш ложны».

У Г. Фреге в его статье «Функция и понятие» [6] имеется пример расширения сферы применимости функции, изображаемой в виде горизонтальной черты —x на другие виды объектов. Он устанавливает, что «значением этой функции должна быть истина, когда в качестве аргумента берется истина, во всех же остальных случаях ее значение есть ложь — стало быть и тогда, когда он вообще не является значением истинности. В соответ-ctbpipi с этим, например,

—1 + 3 = 4, есть истина, тогда как —1 + 3 = 5, есть ложь, так же как 4

Выражение «4» не есть предложение, в отличие от предыдущих аргументов функции, но, тем не менее, Г. Фреге не затрудняется определить значение функции —x с аргументом «4».

С точки зрения теории слов, которые определяются как цепочка символов языка, все формулы языка, как правильно построенные, так и неправильно построенные являются словами этого языка. Символьным выражением некоторого языка L называется любая конечная линейная последовательность (упорядоченная n-ка) символов из алфавита этого языка L. Синонимом символьного выражения являются слово, выражение или строка в алфавите, а также цепочка символов.

Язык логики, которая допускает логические операции в области символьных выражений языка, строится следующим образом.

К языку сентенциальной логики добавляем операторы истинности и ложности. Расширяем применение понятая истинности и ложности па класс выражений языка, которые определяются индуктивно. Такое расширение сферы применимости понятий истинности и ложности па универсум символьных выражений языка не ведет к трудностям или неясностям, так как все выражения, которые не являются предложениями (для любого определения предложения), заведомо пи истинны, пи ложны.

Неправильно построенные формулы обычно в логике не рассматриваются. Относительно них можно утверждать: 1) что они бессмысленны pi 2) что они пи истинны, пи ложны. В стандартном языке септептцгопалыгой логики нельзя выразить тот факт, что они пи истинны и пи ложны, так как в нем отсутствуют операторы истинности pi ложности. Однако в предложенном выше языке LT(s, si,s2,   , \, —>) утверждения о неистинности pi пеложпостр! формул выразимы. В случае расширения области определения оператора истинности па область выражений языка, являющихся iipi истинными, iipi ложными, для последних будет иметь место следующее положение:

Обозначим неправильно построенную формулу Non-wff. Тогда

(- \ (Non - wff ) А-- (Non - wff )).

Определение неправильно построенной формулы может рассматриваться как парафраз последнего пункта правил образования ппф «Нртчто иное не является ппф»: всякое иное выражение

данного языка есть неправильно построенная формула. Такое определение неправильно построенных формул не индуктивно в отличие от определения ппф, однако для всякого выражения языка возможно выяснить, является ли оно ппф или пет.

В качестве исходных неправильно построенных формул возьмем отдельно записанные символы \, —> логических констант (оператора истинности, отрицания и импликации). Это ограничение не снизит общности рассмотрения. В этом частном случае будем называть Pix для определенности нестандартными формулами. Метапеременными для них будут служить N, N\, N2,... Затем можно расширить классическую область определения оператора истинности присоединением к пей множества нестандартных формул. Метапеременные E,Ei ,E2,... для этой расширенной области будем называть метапереметшыми для символьных выражений (сокращенно св).

Рассмотрим, какие необходимо внести изменения в формулировку ТТ2(\, —). Отметим сразу, что будут только добав-летшя PI обобщения.

Начнем с правил образования. К ним добавятся:

(i)+ Если N есть \, ~ или —то N есть нестандартная формула (пф).

(i)++ Если E есть ппф или пф, то E есть символьное выражение (св).

(ii)+ Если N есть нф, то N), (N —> N1), есть пф.

(iii)+ Ничто иное не является нф и св.

(iv)+ Если E есть св, то (\ E) есть Т-ф.

В определениях все вхождения метаперемеппых для ппф замещаются (обобщаются) па метапеременные для св.

Для 3 групп схем аксиом: в первой добавляется аксиома

AI.4. \ P = P.

Во второй группе все вхождепрш метаперемеппых для ппф замещаются па метапеременные для св. В третьей добавляются следующие:

A3+. (- | N) Л (-- N).

В силу наличия предыдущей аксиомы принцип бивалетттпости отвергается и остается принцип ттепротиворечия.

АЗ++. -

И, наконец, в правиле вывода все вхождения метаперемеппых для ппф замещаются па метаперемеппые для св.

Отметим те теоремы, которые остаются доказуемыми при замещении всех вхождений метаперемеппых для ппф па метаперемеппые для св. Это Tl., Т.4.1., Т.6.1.

Добавляется ряд теорем, среди которых выделим следующую:

Т2.1+. (| E <—> E) = (| E У —E), которая говорит о взаимоотношении Т-эквивалентности и принципа бивалентности.

Обозначим полученную теорию ТТз(1, —), так как она имеет трехзначную интерпретацию, к которой и перейдем.

Значения введем по аналогии с тем, как Pix вводит Дж. Дани в [7]. Он отождествляет множества со значениями следующим образом (приведем здесь тррт из четырех):

({а}, {})= Т, ({}, {а}) = F, ({}, {}) = N.

Для теоррш истины в качестве исходного множества имеет содержательный смысл выбрать одноэлементное множество {}

подобно предыдущему построению отождествить пары множеств со значениями:

< {истина}, {} >= Т, < {}, {истина} >= F, < {}, {} >= N.

И, совсем абстрактно, можно в качестве исходного взять мно-{{}}

затем построить следующие пары:

< {{}}, {} >,< {}, {{}} >,< {}, {} >

Табличная интерпретация для исходных логических операторов следующая:

A ~ A I A

Т F Т

F Т F

N N F

Т F N

Т Т F N

F Т Т Т

N Т N N

Отметим, что таблицы для связок отрицания pi импликации в области трех значений подобны таблицам для соответствующих связок сильной логики Клини K^.

В связрт с тем, что для символьных выражений отбрасывается принцип бивалептпости, имеет смысл вопрос о выразимости связок трехзначной логики Лукасевртча, па который имеется по-ложрттельпый ответ.

В завершение, пользуясь вышеприведенными таблицами, доказываются метатеоремы непротиворечивости pi семантической полноты для ТТэ(|, —>):

МТ6. h A ^hs A. MT7. hs A ^h A.

Отметим, что сигнатура языка теории TT2(|, —>) не изменилась при переходе к TTs(|, —>).

Таким образом, построены аксиоматическая теория истины с оператором истинности для классической септепдргопалыгой логики, для классической септетщргопалыгой логики, язык которой обогащен кванторами, pi также для ее расширения па пекласси-ческуто область неправильно построенных формул.

Литература

[1] Аристотель. Категории // Сочинения. Т. 2. М., 1978. С.51- 90.

[2] Бессонов А.Б. Истина внутри языка выразима // Язык и логическая теория.

М., 1987. С. 51-61.

[3] Гильберт Д., Аккерман Б. Основы теоретической логики. М., 1917.

[1] Павлов С.А. Логика с операторами истинности и ложности. М., 2001.

[5] Тарский А. Семантическая концепция истины // Аналитическая философия:

Становление и развитие. М., 1998.

[6] Фреге Г. Функция и понятие // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика.

М., 2000.

[7] Dunn J.M. Partiality and its Dual // Studia Lógica. 2000. Vol. 65. P. 5-10.