Методы нелинейного программирования для решения задач линейного программирования

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №09/2017 ISSN 2410-6070_

ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 51

А.Р. Денисова

Студентка 2 курса Бизнес-факультета г. Ульяновск, Российская Федерация

МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Аннотация

Линейное программирование представляет важнейший класс задач принятия оптимальных решений. Можно привести множество различных примеров, где решение задач такого типа играет важную роль: задача планирования производства, задача составления рациона, задача о загрузке оборудования, задача о раскрое материала и т.д. Важно отметить что, одной из первых задач линейного программирования стала задача о раскрое материала, исследованная в конце 30-х годов советским математиком Л.В.Канторовичем. С этого момента встал вопрос о формировании общей задачи линейного программирования и методах ее решения.

Ключевые слова

Линейное программирование; экономический анализ; функция; транспортная задача

Важнейший метод решения задач ЛП был предложен американским математиком Дж.Данцигом и получил название - Симплекс-Метод. Этот метод позволяет в принципе решать любую задачу ЛП и в случае ее неразрешимости получать соответствующий обоснованный ответ. Современные модификации классического симплекс-метода реализованы в стандартном программном обеспечении ЭВМ и знакомство с его основами необходимо для экономистов и инженеров, использующих в своей работе современные компьютерные технологии.

Но существенными недостатками симплекс-метода является сложность и рутинность вычислений, поэтому с начала 80-х годов были предприняты попытки поиска альтернативных методов решения задач такого типа. Встал вопрос о возможности применения уже существующих методов нелинейного программирования к решению задач ЛП. Данные исследования проводятся и в настоящее время, однозначного ответа пока не найдено. Теоретические обоснования о применимости таких методов описываются достаточно логично, но при практическом применении возникает ряд проблем.

Линейное программирование в экономическом анализе.

Общая постановка задачи ЛП.

Общей задачей линейного программирования называется задача максимизации линейной функции.

n

(1) L(x) = L(xi, x2,..., xn) = Xcjxj

j=1

при условиях

(2) £ а,^ < b„l < i < m,

j=i n

(3) Xa4Xj= bi,l +1 < i < mi,

4

J=1

(4) Ху > 0,1 < у < к.

Здесь ау, Ъ, с у - заданные числа, или исходные данные задачи. Число ограничений равенств (3), т.е. т _т должно быть меньше размерности п искомого вектора Х = (Х1,...,Хп) . Действительно, если

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №09/2017 ISSN 2410-6070_

m— m = n, то (3) будет обычной системой линейных уравнений, и в правильной постановке

(невырожденность матрицы) определять единственный вектор, и если m— m >п, то это будет переопределенная система.

Функция L(x) называется целевой функцией задачи, а множество векторов x, удовлетворяющих условиям (2)-(4) - допустимым множеством задачи. Мы будем обозначать его через x . Допустимые векторы x в ЛП называются также планами.

Задача, отличающаяся от рассматриваемой заменой требования максимизации целевой функции (1) на требование ее минимизации также является задачей ЛП. Эти задачи по своим свойствам эквивалентны, т.к. легко сводятся одна к другой заменой вектора с на противоположный по знаку вектор (—с) . Действительно,

если x * - решение задачи (1)-(4), т.е. L(x*) > L(x), Vx e X, то — L(x*) < —L(x), Vx e X, т.е. x * является

решением задачи минимизации функции L (x*) < — L(x) на то же допустимом множестве x .

В изложении теории и методов решения задач ЛП особую роль играют два частных случая общей задачи (1)-(3).

Стандартной задачей ЛП называется задача (1)-(4) при m = m (ограничения (3) отсутствуют) и k = n

Канонической задачей ЛП является задача (1)-(4) при m = 0 (ограничения (2) отсутствуют) и k = n . Для записи стандартной и канонической задач удобна матричная форма. Пусть

A =

Га11.. a1n üi

Lam1.. ...amn J _am j

- матрица систем ограничений, строки которой также обозначим

Т

üj = (йц..,ain), b = (¿J...bm) — вектор столбец, c = (cy...cn) . Скалярное произведение векторов одной

размерности будем обозначать скобками

n

jxj

c, x) = ^ c , x,

j=1

чГ

Стандартная задача ЛП при этом будет (5) L(х) = (c, х) ^ max, х = (х^, x^,..., xn ) .

(6) Ax > b, x > 0.

Каноническая задача ЛП отличается от нее заменой неравенств (6) на систему неравенств (7) Ax = Ь, х > 0.

Применение ЛП в задачах планирования.

Начнем знакомство с этим классом задач на простом, но близком к реальным проблемам примере, допускающем полный анализ элементарными методами.

Некоторая фирма производит два вида технологически близкой продукции, скажем сковородок А и электрочайников Б. Объем производства ограничен производственными мощностями по выполнению штамповки, отделки (гальваническое покрытие) и сборки. При этом операции штамповки и обработки обоих изделий выполняются на общем оборудовании, а сборка производится на разных линиях. Производитель -ность операций (в штуках на 100 часов работы) представлена следующей таблицей.

Таблица 1

Операция Сковорода Электрочайник

Штамповка 25000 35000

Отделка 33333 1667

Сборка А 22500 0

Сборка Б 0 15000

Будем считать спрос на эти продукты неограниченным. Прибыль, т.е. разность цены реализации и издержек производства, получаемая от одной сковороды, составляет 15 евро, а от одного электрочайника -12.5 евро. Требуется определить, в каком количестве следует выпускать сковороды и электрочайники (за выделенное время 100 часов), чтобы максимизировать суммарную прибыль?

Формализацию задачи начнем с введения переменных величин Х1 и Х2, соответствующих намечаемому (неизвестному пока) плану выпуска сковородок и электрочайников соответственно. Очевидно суммарная прибыль при этом будет

£ = 15х + 12.5Х2 .

Выбор плана (Х1, Х2) ограничен технологическими возможностями, представленными таблицей 1.

Для формализации этих ограничений удобно перейти к временным затратам на производство изделий по операциям. Для этого следует общий ресурс времени 100 разделить на штучные производительности таблицы 1. При этом получим таблицу 2 (с точностью до третьей значащей цифры).

Таблица 2

Сковорода Электрочайник

Штамповка 0.004 0.00286

Отделка 0.003 0.006

Сборка А 0.00444 0

Сборка Б 0 0.00667

Теперь можно записать ограничения по производительности:

0.004X! + 0.00286x2 < 100

0.003xi + 0.006x2 < 100

1 2 (2) 0.00444x1 < 100

0.00667x2 < 100

Кроме того, обе переменные величины Xj, x 2 должны быть неотрицательными:

X > 0,i = 1,2

Итак, задача производственного планирования фирмы свелась к поиску вектора x = (X1, X2), удовлетворяющего условиям (2), (3) и доставляющего функции (1) наибольшее (максимальное) значение. Таким образом, мы пришли к задаче на условный максимум специального вида: максимизируемая функция f = f(x) и ограничения на выбор x - система (2), (3), определяются линейными функциями. Такие задачи называются задачами линейного программирования, они допускают эффективный анализ и решение.

Отметим, что линейность задачи (1)-(3) достигнута за счет определенной идеализации. Здесь принято, что прибыль от реализации не зависит от объема производства. В действительности этот объем влияет на издержки, и цены реализации обычно взаимосвязаны с предложением продукции. Все это в действительности ведет к нелинейной зависимости прибыли от плана производства. Такие модели, более адекватные действительности, мы рассмотрим во второй главе, посвященной нелинейным задачам оптимизации.

Под анализом вычислительных задач понимается выяснение вопросов существования решения, его единственности и зависимости от исходных данных. В нашем случае исходными данными задачи являются коэффициенты системы ограничений (2), т.е. элементы таблицы 2 и коэффициенты максимизируемой функции (1). В общем такой анализ достаточно сложен, но в линейном программировании существует эффективный метод решения, позволяющий также выяснить проблему существования решения. В случае двух переменных задача может быть решена графическим способом. Сделаем это.

Начертим в положительном ортанте декартовой плоскости прямые, определяемые равенствами, соответствующими системе ограничений (2):

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №09/2017 ISSN 2410-6070_

(2а) 0.004xj + 0.000286x2 = 100 (2б) 0.003x1 + 0.006x2 = 100 (2в) 0.00444x1 = 100 (2г) 0.00667x2 = 100

Каждая из прямых делит всю плоскость на две части так, что по одну сторону от прямой линейная функция, находящаяся в левой части соответствующего равенства, принимает значения, меньше числа в правой части, т.е. ста, а по другую - больше ста. Легко видеть, что область допустимых значений x, т.е. векторов, удовлетворяющих системе (2), (3), находится под прямыми (2а), (2б), (2г) и слева от (2в). Эта область на рисунке - многогранник с вершинами OPQRST

Исследуем поведение максимизируемой функции £(х) . Известно, что в любой точке х дифференцируемая функция локально возрастает в наибольшей степени в направлении своего градиента. Для линейной функции (1) градиент суть постоянный вектор (15,12.5), поэтому ее линии уровня (постоянных значений) образуют семейство прямых, перпендикулярных этому вектору. На рисунке приведены три линии уровня, соответствующие значениям £ соответственно 150, 300 и 386,562 тысяч евро.

Последняя линия проходит через вершину Я и, очевидно, соответствует максимальному значению функции F(x) на множестве допустимых планов и является решением поставленной задачи. Ее координаты определяются пересечением прямых (2а) и (2б), т.е. являются решением соответствующей системы линейных уравнений. Это решение суть х^ = 20370, х2 = 6481

Итак, наибольшая прибыль достигается фирмой (за 100 часов работы) при выпуске 20370 сковородок и 6481 электрочайников и равна 386562 евро. При этом плане оказываются полностью загруженными мощности по штамповке и отделке, а мощности сборочных линий используются соответственно 0,00444*20370=90,45ч. И 0,00667*6481=43,23 часа, т.е. являются недогруженными. Это позволяет фирме провести соответствующие мероприятия по избавлению от излишних для данного производства мощностей, или расширения номенклатуры изделий.

Данная задача является примером общей задачи ЛП.

Важным частным случаем задачи линейного программирования канонического типа является так называемая транспортная задача.

Транспортная задача.

Постановка ТЗ.

Рассмотрим транспортную задачу в следующей классической постановке [6].

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №09/2017 ISSN 2410-6070_

Пусть некоторый однородный продукт (песок, цемент, уголь и т. п.) производится в m пунктах S1,S2,..., Sm, причем объем производства (мощность поставщика) в пункте Si равен ai единиц продукции, i=1..m. Произведенный продукт (товар) потребляется в n пунктах Q1,Q2, ...,Qn, причем потребность (спрос) в этом продукте в пункте Qjравен bjединиц,j=1..n. Требуется составить план перевозок из пунктов Si, i=1..m, в пункты Qj, j=1..n, чтобы удовлетворить потребности каждого потребителя и минимизировать транспортные расходы. При этом предполагается, что в пунктах Si, Qj нет складов, и весь произведенный товар вывозится и потребляется.

Пусть стоимость перевозки одной единицы продукции из пункта Si, в пункт Qj равна cij, так что при перевозке xij единиц продукции из Si в Qj транспортные расходы равны cijxij, суммарные расходы по всем пунктам равны

n

f

Матрица C={cij, i=1..m, j=1..n} называется платежной матрицей. Матрица x={xij,, i=1,m} называется планом перевозок между пунктами производства { Si, i=1..m } и потребления { Qj, j=1..n}, если выполнены условия:

xij > 0 , i=1..m, j=1..n;

n

X xij = xi1 + • •• + xin = ai, i=1..m;

j=i _m

X ,xij = xij +... + xmi = bj j=1..n;

К естественным условиям неотрицательности здесь добавлены условия, выражающие, что весь произведенный в пункте Si товар ai вывозится в пункты потребления {Qj} , и условия, выражающие, что количество товара, поступившего в пункт Qj из пунктов {Si} равно потребностям этого пункта. Здесь учтено, что складов хранения продукта нет ни в пунктах производства, ни в пунктах потребления. Транспортная задача заключается в определении такого плана перевозок x={xij}, который минимизирует функцию (1.1).

Для того чтобы описанная задача выглядела более наглядно удобно записывать данные в таблицу. Рассмотрим следующий пример (1.1). Имеются три поставщика и четыре потребителя. Мощность поставщиков и спросы потребителей, а также затраты на перевозку единицы груза для каждой пары "поставщик- потребитель" сведены в таблицу поставок.

Таблица 3

Поставщики Мощность поставщиков Потребители и их спрос

1 2 3 4

20 21 22 23

1 60 1 X11 2 X12 5 X13 4 X14

2 120 2 X21 3 x22 6 X23 4 X24

3 100 3 X31 4 x32 7 X33 5 X34

В левом углу произвольной (у)-клетки (i- номер строки, j-номер столбца) стоит так называемый коэффициент затрат- затраты на перевозку единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю, например, в левом углу клетки (1,4) стоит число 3, следовательно, перевозка единицы груза от 10го поставщика к 4-му потребителю обойдется в 3 условных денежных единицы.

Транспортная задача является канонической задачей линейного программирования, и ее нетрудно записать в матрично-векторной форме:

f

Если план перевозок представить как вектор- столбец:

X =

С ) Г е Г

Xll' Xl2''''' Xln ' X21' X22''"' X2n Xml' Xm2''''' Xmn/ E

матрицу стоимостей c={cij, i=1..m, j=1..n}, как вектор-столбец:

c =

С у Т-Т

Cll' С12 '"'' Cln ' С21' С22 '"'' С2П ''''' Cml ' Cm2 '''' Cmn) E

и принять b = 1

А=

bl> 'b ) Г е E

b = Z(üv'' > bl'-' 'bJ T е E

1 1 '" 1 0 0. ,' 0 '" 0 0. .0

0 0... 0 1 1 ' ,' 1 '" 0 0. .0

0 0... 0 0 0. ,' 0 '" 1 1 '. ' 1

1 0... 0 1 0. ,' 0 '" 1 0. .0

0 1 '" 0 0 1 ' ,' 0 '" 0 1 '. .0

0 0

1 0 0

1

00

1

- матрица размера (т + п) х тп, столбцами которой являются векторы

Д/ =

В дальнейшем пару (у) мы часто будем называть номером и говорить, что Aij - столбец матрицы А с номером (у), xij - координата вектора с номером (у).

Для решения канонической задачи могут быть использованы различные варианты симплекс-метода.

Распределительный метод решения транспортной задачи.

Последовательность действий по решению произвольной закрытой транспортной задачи может быть изложена в виде следующего алгоритма.

1. Для данного базисного распределения поставок подбираем потенциалы строк и столбцов таблицы поставок так, чтобы коэффициенты затрат заполненных клеток стали равны нулю. Составляем матрицу оценок.

2. Если оценки всех свободных клеток неотрицательны, то найденное распределение оптимально — решение закончено. Если среди оценок свободных клеток есть отрицательные, то выбираем одну из них для передачи в нее поставки (для определенности можно брать, например, одну из клеток с наименьшей оценкой).

3. Для избранной свободной клетки строится означенный цикл пересчета. Поставка z, передаваемая по циклу, определяется как минимум среди поставок в клетках со знаком "-". Найденная поставка передвигается по циклу. При этом поставка в клетках цикла со знаком "+" увеличивается на z, а в клетках со знаком "-" уменьшается на z. Клетка, поставка в которой при этом станет равной нулю, будет считаться свободной (далее рассмотрен случай, когда таких клеток несколько), остальные клетки цикла — заполненными. Таким образом, получено новое базисное распределение поставок.

4. Переходим к пункту 1 алгоритма.

Рассмотрим особые случаи, которые могут возникнуть при решении транспортной задачи.

1. В некоторых случаях поставка, переводимая по циклу, может оказаться равной нулю. Это возможно тогда, когда клетка цикла со знаком "—" содержала нулевую поставку. В этом случае по циклу передается нулевая поставка. В результате та свободная клетка, для которой был построен цикл, становится заполненной (нулевой поставкой), а клетка с нулевой поставкой — свободной.

2. Если при переводе поставки по циклу поставка обращается в нуль сразу в нескольких заполненных клетках, то свободной из них следует считать только одну (любую), остальные клетки,

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №09/2017 ISSN 2410-6070_

поставка в которых стала равной нулю, следует считать заполненными нулевой поставкой. Описанный выше метод потенциалов обладает двумя существенными недостатками:

1. Накопление и рост вычислительных погрешностей с ростом числа итераций;

2. В некоторых случаях в ходе оптимизации перебирается слишком много опорных планов.

Для преодоления этих недостатков с начала 80-х гг. были предприняты поиски альтернативных методов решения задач линейного программирования, в частности попытки решить данные задачи методами нелинейного программирования.

Методы НП для решения задач ЛП. Метод Ньютона.

Пусть функция L(x) е C2(X), где X - заданное множество в Q . Для решения задачи минимизации L(x) на X можно использовать метод Ньютона, заключающийся в следующем [1].

Пусть взято некоторое начальное приближение x0 е X. Если уже известно n-е приближение x , то

приращение функции L(x) е C2(X) в точке x можно представить в виде:

1 ?

L(x) = L(xn) + (L'(xn),x-xn> + ^<L"(xn)(x -xn),x -xn> + o(||x -xn|| ) .

Возьмем квадратичную часть этого приращения:

Ln (x) = L(xn) + <L'(xn), x - xn > +1 <L"(xn)(x - xB),x - xn > . Следующее приближение xn+1 определяем из условия минимума Ln(x) на X:

Ln

В случае, когда L = Q, в точке минимума Ln (x) на X производная

L^ (x) = L'(xn ) + L"(xn )(x - xn ) обращается в нуль, т.е.

Ln(xn+i) = L'(xn) + L"(xn)(xn+i -xn) = 0 .

Если матрица L"(x ) не вырождена, то отсюда будем иметь

xn+i = xn -[L"

Нужно заметить, что задача (1) в общем случае может оказаться достаточно трудоемкой. Но несмотря на это, применение метода Ньютона во многих случаях оправдано, ибо он сходится быстрее, например градиентных методов, если только начальное приближение выбрано достаточно близко к искомой точке минимума функции. Обычно метод Ньютона и его модификации применяют на завершающем этапе поиска минимума, когда с помощью каких - либо грубых, но менее трудоемких методов уже найдена некоторая точка, достаточно близкая к точке минимума.

Правило остановки метода Ньютона выглядит так:

||xn+i - xn|| < s , где е- произвольное положительное малое число, 0< е<1, приблизительно равно 10-5.

Преобразование Валентайна.

Поскольку в общей задаче ЛП ограничения линейны и представлены в виде неравенств, то для применения методов НП можно использовать прием Валентайна. С помощью такого преобразования задача сводится к классической, что позволяет при ее решении использовать функцию Лагранжа [2].

Будем предполагать, что функции L(x), g (x), где g (x) -ограничения, определены и дифференцируемы во всех точках x eQ. Оказывается, если ввести новые вспомогательные переменные x 2 таким образом что:

1) gi

2) gi

То задача поиска экстремума функции L(x) сводится к классической задаче поиска экстремума. Таким образом, для поиска экстремумов функции L(x) при заданных ограничениях можно ввести функцию Лагранжа:

Z

r2

kn +i-m,

i=1 I=m, +1

Метод штрафных функций.

Пусть функция L(x) определена на всем пространстве Q и требуется минимизировать L(x) на множестве X ^Q. Идея метода штрафных функций заключается в переходе от задачи на условный экстремум к задаче на безусловный экстремум или же к минимизации вспомогательной функции при простых ограничениях [1].

Вспомогательная задача со штрафной функцией выглядит следующим образом:

Фк

p(x) -функция, выражающая собой «штраф» за нарушение ограничений x е X, записывается в следующем виде:

m mj +m

p

i=1 i=m+1

При g

иначе g

ц -параметр, регулирующий величину «штрафа», достаточно большое положительное число, ц ^ да . Задачи (7) решаются несколько раз с увеличением параметра ц, ц=10,100,1000,10000,... Увеличивается до «насыщения» процесса, т.е. пока не выполнится условие остановки процесса

Метод барьерных функций.

Методы штрафных функций идут к решению извне допустимого множества. Поэтому они не годятся для решения задач НП, требующих соблюдения ограничений в течение всего процесса поиска; здесь нужны методы допустимой точки, порождающие только допустимые приближения. К таким методам относится метод барьерных функций. Основная область применения этого метода - задачи, некоторые (или все) функции которых не определены или плохо определены за пределами допустимого множества. Кроме того, они предпочтительны тогда, когда не нужна высокая точность достижения оптимума, но ограничения важно выдержать [3].

Методы барьерных функций работают по тому же принципу, что и методы штрафных функций,

*

описанные выше: x (оптимальное решение) ищется как предел последовательности точек безусловных минимумов гладких модифицированных целевых функций ^^. Однако в них ^^ устроены так, что эти

точки ложатся строго внутрь допустимого множества: добавки в ^^ к L(x) служат «барьерами»,

удерживающими процедуру минимизации ^^ от нарушения ограничений. В качестве таких «барьеров»

используют взвешенные суммы непрерывных функций, обращающиеся на границе допустимого множества в бесконечность. По мере стремления весового параметра к нулю точка безусловного минимума соответствующей ^^ приближается к x . Отметим, что барьерное преобразование применимо лишь к тем

задачам, допустимые множества которых имеют непустые внутренности, и порождает приближения, удовлетворяющие всем ограничениям с запасом.

Барьерной функцией множества X называется функция В(х) > 0 , х е int X, если х е X -граница и

m

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №09/2017 ISSN 2410-6070_

X1 £ int X, х1 —^ X , то В(х) —» 00

^

m

B

j=i

Ранее, для задач с ограничениями равенствами данный метод был не применим, но совсем недавно в 2004 году вышла в свет статья Margaret H.Wright, в которой описано применение метода барьерных функций для задачи:

(c,x) ^ min

\ ' '

Ax = b, x > 0

n

Предполагается, что 3x' > 0, Ax' = b, такие что B

j=i

причем задача с барьерной функцией записывается аналогично ^^(x) = L(x) + p,B(x) ^ min

Для каждого ц классическая задача на условный экстремум решается с помощью применения метода Лагранжа

Z

Выполняется условие стационарности:

" 1 0

— = c — цХ 1E, где Е- единичная матрица, X 1 =

Sx

xi_1

0 x„

Заключение.

Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий), например, при решении проблем управления и планирования производственных процессов, в проектировании и перспективном планировании, в военном деле и т.д.

Значительное число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями, т.е. с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития общества, принималось оптимальное в некотором смысле решение на основании интуиции и опыта, а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении, - с помощью ряда прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных планов работы промышленных предприятий.

Совершенно иная картина возникает на современном промышленном предприятии с многосерийным и многономенклатурным производством, когда объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения компьютеров. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения. Проблема принятия решений в исследовании операций неразрывно связана с процессом моделирования.

Первый этап процесса моделирования состоит в построении качественной модели. Второй этап -построение математической модели рассматриваемой проблемы. Этот этап включает также построение целевой функции, т. е. такой числовой характеристики, большему (или меньшему) значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения принимающего решения. Итак, в результате этих двух этапов формируется соответствующая математическая задача.

Третий этап - исследование влияния переменных на значение целевой функции. Этот этап предусматривает владение математическим аппаратом для решения математических задач, возникающих на втором этапе процесса принятия решения.

Четвертый этап - сопоставление результатов вычислений, полученных на третьем этапе, с

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №09/2017 ISSN 2410-6070_

моделируемым объектом, т. е. экспертная проверка результатов (критерий практики). Таким образом, на этом этапе устанавливается степень адекватности модели и моделируемого объекта в пределах точности исходной информации.

Широкий класс задач управления составляют такие экстремальные задачи, в математических моделях которых условия на переменные задаются равенствами и неравенствами. Теория и методы решения этих задач как раз и составляют содержание математического программирования. Список использованной литературы:

1. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. - М.: Изд-во МГУ, 2013.

2. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.- М.: Наука, 2012.

3. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: Пер. с англ. - М.: Мир, 2013.

4. Горбунов В.К. Введение в теорию экстремума. - Ульяновск: Изд-во УлГУ, 2008.

5. Еремин И.И. Противоречивые модели оптимального планирования. - М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит.,2010.

6. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. - М.: Банки и биржи Юнити, 2013.

© Денисова А.Р., 2017

г. Челябинск, Российская федерация e-mail: dydarevn1993@mail.ru С.В. Дударев

Студент 4 курса кафедры конструирования и производство радиоаппаратуры

Южно-Уральский государственный университет г. Челябинск, Российская федерация А.В. Дударев

Студент 4 курса кафедры конструирования и производство радиоаппаратуры

Южно-Уральский государственный университет г. Челябинск, Российская федерация

ПРИМЕНЕНИЕ БЕСКОНТАКТНЫХ ПЕРЕХОДОВ В ОБЪЁМНО-МНОГОСЛОЙНЫХ УСТРОЙСТВАХ ДИАГРАММА ОБРАЗУЮЩЕЙ СХЕМЫ СВЧ И КВЧ ДИАПАЗОНОВ

Аннотация

В статье приводится способ межслойного соединения элементов СВЧ и КВЧ тракта диаграмма образующих устройств при использовании объёмно-модульной концепции их построения.

В большинстве существующих на сегодня радиолокационных комплексах можно в той или иной степени встретить диаграмма образующую схему (ДОС). Под ДОС понимают комплекс устройств, формирующих амплитудно-фазовое распределение, поступающее на антенную решётку с елью формирования диаграмм направленности нужно форм.

До сих пор во многих разрабатываемых компонентах диаграмма-образующей схемы радиоаппаратуры применяются хоть и надёжные, но не обеспечивающие достаточной степени компактности, методики построения РЭС на основе концепции плоскостного расположения микрополосковых или полосковых линий передачи. Данная технология имеет ряд недостатков: избыточные габариты и массу, трудность ремонта и перестройки параметров.

Перечисленные проблемы могут быть решены, если применить объёмно-модульный принцип построения диаграмма-образующих устройств [2]-[4].

Для осуществления межслойной коммутации в объёмно-модульном устройстве выгодно использовать объёмный щелевой переход (рисунок 1). Объёмный щелевой переход размещается на многослойной структуре, состоящей из фольгированных диэлектриков 1 и состоит из двух полосковых линий передачи 2 и одной щелевую линию передачи 3, размещённых на разных сторонах диэлектриков 1. Полосковые линии скрещиваются с щелевой линией и заканчиваются обрывом на расстоянии соответствующему четверти длины волны от места скрещивания.

2

Рисунок 1 - Объёмный щелевой переход