О представлении в виде пространств Кёте пространств голоморфных функций

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2005, Том 7, Выпуск 4

УДК 513.8+517.55

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ В ВИДЕ ПРОСТРАНСТВ КЕТЕ ПРОСТРАНСТВ ГОЛОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

В. П. Кондаков

Семену Самсоновичу Кутателадзе к его шестидесятилетию

В статье изучаются свойства разложений по системе мономов голоморфных функций, определенных на пространствах Кете — Фреше. Дается представление пространств голоморфных функций на ядерных пространствах Кете — Фреше с топологией компактной сходимости в виде (неметризу-емых) пространств Кете.

В работах [1-4] исследовались пространства голоморфных отображений между локально выпуклыми пространствами, что относится к так называемой бесконечномерной голоморфности. Сначала в [1] было показано, что в пространствах C-значных голоморфных функций на совершенно (fully) ядерных пространствах с базисом система мономов (zm) образует абсолютный базис (относительно компактно открытой топологии). Затем в [2, 3] для пространства голоморфных функций на монтелевском пространстве E получены некоторые результаты в противоположном направлении, т. е. из абсолютной базисности системы мономов выводилось свойство ядерности пространства E (и E^).

В [4], в частности, показано, что система мономов образует равностепенно непрерывный безусловный базис (Шаудера) в пространстве голоморфных функций на пространстве 11 (относительно топологии то равномерной сходимости на компактных множествах).

В настоящей работе рассматриваются пространства H(E, то) C-значных голоморфных функций на пространствах Кете — Фреше и для этих пространств при условии ядерности пространства Кете E приводится реализация H(E,to) в виде пространства Кете с матрицей Кете, элементы которой выражаются через элементы аналогичной матрицы представления для E. В доказательстве совершенствуется техника работ [1-4]. В частности, уточняются и снабжаются более доступными ссылками) оценки мономальных разложений из [1, 3].

Заметим, что случай p = ж, частично рассмотренный в [1], исследуется с привлечением более тонких, по сравнению с [1], оценок норм случайных тригонометрических полиномов из [5].

Пусть E и F — локально выпуклые пространства над полем C, U — открытое подмножество E.

Определение [3]. Функцию f : U ^ F называют голоморфной, если она непрерывна и для любых u Е U, v Е E и (р Е F' отображение C Э А ^ p(f (u + Xv)) голоморфно как функция одного комплексного переменного на ее области определения.

© 2005 Кондаков В. П.

Бесконечномерной голоморфностью называют исследование голоморфных отображений между локально выпуклыми пространствами. Эта область анализа особенно быстро расширяется в последние десятилетия (библиографию см., например, в [1-4]).

Сосредоточим внимание на С-значных голоморфных функциях. Множество всех С-значных голоморфных функций на и обычно обозначают Н(и).

Пусть А : Е — Еп := Е х    х Е обозначает диагональное отображение, т. е.

г '

п

А(г) = (г,...,,г). Отображение вида Р = Ь о А, где Ь есть п-линейное отображение

п

на Еп, называют п-однородным полиномом на Е. Через Р(пЕ) обозначают линейное пространство всех непрерывных п-однородных полиномов на Е. Полиномами называют конечные суммы однородных полиномов.

Если ^ € Е', то ^>п € Р(пЕ). Элементы алгебры, порождаемой ^>п, п £ N и ^ £ Е' называются полиномами конечного типа.

Рассмотрим теперь локально выпуклое пространство Е с базисом (еп)^=1. Символ обозначает множество финитных последовательностей целых чисел, т. е. т € ^^ означает, что т = (т1, т2,..., тп,...) и т^ = 0 для всех г > г2.

Мономом г2 (относительно базиса (еп)^=1) называют отображение

те

(гпеп 1 ^ г2 ' г2 п=1

где подразумевается а0 = 1 для любого а € Ж. Каждый моном определяет элемент Р(|т|Е), где |т| = ^^ |т»|. С использованием полиномов можно получить разложение в ряд голоморфной функции (аналог разложения в ряд Тейлора).

Отображение f : и ^ С голоморфно тогда и только тогда, когда для каждого и € и существует последовательность (Рп,и)£=о, Рп,и € Р(пЕ) для всех п, такая, что

те

f

п=0

для всех г из некоторой окрестности нуля, и ряд сходится равномерно к f на некоторой окрестности нуля. Представление (1) называют разложением f в ряд Тейлора в точке и. Согласно интегральной формуле Коши (размерности 1),

Р = ±- / f

Рп'и = 2пг У Ап+1 ЙА = п! дгп (и) |Л|=5

для всех и € и, п € N г € Е и достаточно малом 5 = ¿(и).

Естественной областью сходимости (1) является уравновешенное подмножество Е, и когда и само уравновешенно, тейлоровское разложение в нуле сходится к функции во всех точках и.

В частности, если Е — пространство Фреше, (^>п)те=1 — последовательность в Е', то

те

п

п=1

f = £ ^п € Н

тогда и только тогда, когда ^>п ^ 0 при п ^ то равномерно на компактных подмноже-

те

ствах Е. В этом случае ^ — разложение в ряд Тэйлора функции f в нуле.

п=1

Если Е — локально выпуклое пространство с базисом (еп)^=1 и f £ Н(Е), то для каждого т £ определяются по f мономиальные коэффициенты (а()тобМ№, как и в конечномерном случае, по формулам

1

(2пг)г

'/1 п2

Пг

т т

где г = г(т) таково, что т» = „ для г > г, множество Т определяется формулой

Т =

^П^е»; Ы = а» > „ для г = 1,2,.

1

и ... ^Пг — мера Лебега на Т. Коэффициенты (ат)не зависят от г и положительных чисел а», г = 1, 2,...,г. Таким образом, получается мономиальное разложение f

^ ^ а(П<

Так как множество индексов в сумме (2) неупорядочено, приходится сначала рассматривать ее безусловную или абсолютную сходимости. При рассмотрении мономиальных разложений вводится несколько видов сходимостей и топологий на пространствах голоморфных функций. Наиболее часто используется компактно открытая топология то.

Для мономиальных разложений обычно предполагается любо безусловная, либо абсолютная сходимость. Естественной областью такого разложения является полидиск.

Пусть Е — ядерное пространство Фреше с базисом Шаудера. Тогда Е изоморфно пространству Кете с абсолютным базисом ортов. Можно сразу считать Е = ¿1 [аг (п)] и предполагать условие ядерности в виде (см. [6]):

те £

аг

< то.

Для элементов Е введем новые обозначения: || (<2^)^=1 ||г — ^^п |<п|аг (п), < = (<п) £ Е. Пусть V — открытый полидиск в Е, т. е. V = {(<п)^°=1 £ Е : 8ирп |<п|а(п) < 1}, где (а(п))те=1 — последовательность неотрицательных чисел с оценками для некоторых с > „ и г(„) £ N а(п) ^ саг(о)(п), п £ N. Если К — компактное подмножество V, то можно указать последовательность положительных чисел (ап)^=1 таких, что К С К = {(<п)£=1 £ Е : 8ирп |<п|ап ^ 1}, где К — компактный полидиск в V.

В работе [1] было показано, что если V — открытый полидиск в ядерном пространстве Кете Е = ¿1 [аг(п)], то мономы образуют абсолютный базис Кете в (Н(V),то). В частности, в пространстве (Н(Е),то) мономы образуют абсолютный базис Кете, если Е — ядерное пространство Фреше с базисом. Докажем некоторое обобщение результата из [2].

Теорема. В пространстве (Н(X),то) голоморфных функций, заданных на пространстве Кёте X = ¿р[аг(п)], 1 ^ р ^ то, система мономов (<т)является абсолютным базисом Кёте в том и только том случае, когда пространство X ядерно. Пространство (Н(X), то) в этих случаях изоморфно пространству Кёте

¿1 Ит, (г(п)))] темот;(г(п))б5

= ¿1

м1)

г(к(т.)) *

тобМ(м),(г(п))б5

а

т

г

1

где S — совокупность всех последовательностей натуральных чисел r(n) с lim r(n) = то.

< Чтобы получить представление пространства аналитических функций, определенных на пространстве Кете E = 1P[ar(n)], 1 ^ p < то, в виде пространства Кете, подсчитаем нормы элементов базиса (мономов). Для этого воспользуемся свойствами фундаментальных систем ограниченных и компактных множеств. Предположим в E наличие монотонной системы полунорм |  |r ^ ^Г|  |r+i, r € N, и тогда каждое ограниченное множество содержится в ограниченном p-эллипсоиде вида

C^z = (zn)£=i :£ |zn|p ^ < 4 ' 0

где Ап описаны выше как Аап, а каждое компактное множество содержится в компактном р-эллипсоиде

= C z = (zn)~i : £ |z„|paP(„)(n) < 1 , C > 0

где (г(п)) — последовательность натуральных индексов с г(п) = то. Соответ-

ствующие компактным р-эллипсоидам нормы будем обозначать

Elz«lP«P

(n),

1(г(п)) = йиР {|/(^)| : * £ К(г(п))} .

Матрицу Кете пространства (Н(и), то) образуют нормы мономов т\\(г(п)), где т £ и индекс (г(п)) пробегает все последовательности натуральных чисел с г(п) = то.

Для подсчета указанных норм мономов воспользуемся известным неравенством между средним геометрическим и средним арифметическим

aPi aPn < (Piai + ••• + Puan\

0 ' ••• ' an H Pi + ...Pn )

P1 +-----+Pn

где а» ^ 0, рь ^ 0, причем равенство будет только в том случае, когда все а» равны. Это неравенство в эквивалентной форме прямо следует из неравенства Йенсена для выпуклой функции. Применение неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим дает оценку

Izrapm1

m"

r

П

i=i

|Zi|PaP(i)(i) m.

<

Здесь для финитной последовательности т = (т-1,..., тЬ(т)) из считаем к(т) максимальным индексом, для которого т^(то) = 0, а среди т», I < к(т), могут быть и равные нулю. Вводя обозначение

a-i(m, (r(n))) = arg)(1)ar(2)(2). . .a"^)) (k(m)),

m

перепишем полученную оценку для нормы монома

a(m, (r(n))).

С другой стороны, подсчитывая значение монома на элементе

k(m) p

zo

£

-ei, где ei = (öij)°=b i G N.

|z01 (r(n)) = I E

k(m) v \ p fk(m) \ p

ar

mi ^r

Ео I =!'

i=1

получим

m z0

k

П

mip m P

mi m p —г-=-гa(m, (r(n))),

I l—i г m; / I imг

p

а значит,

a(m, (r(n))), m G N(n).

Таким образом, с точностью до «диагонального» преобразования, искомая матрица Кете имеет вид

[a(m, (r(n)))]m6NW,(r(n))6S =

1

amr,

r

r

m€N(N),(r(n))€S

где S — совокупность всех последовательностей натуральных чисел r(n) с lim r(n) = то.

n—

Рассмотрим теперь пространство H(E) аналитических функций на пространстве Кете E = 11 [ar (n)] и будем предполагать, что система мономов образует в нем абсолютный базис, более точно, p-абсолютный базис Кете (p = 1). Это значит, что для любого абсолютно выпуклого компактного множества К существуют константа C > 0 и компактное абсолютно выпуклое множество К такие, что

mgL

zgK

z€K ' mgL

для любого набора чисел (ат)т6^№ и каждого конечного множества Ь С

Считаем систему полунорм (|  |г), определяющую топологию Е, монотонной с неравенствами |  |г ^ т^г|  |г+1, г С N. В этом случае можно рассматривать равномерную сходимость в Н(Е) только на компактных множествах вида

K(r(n)) = C\z = (zn) : |z|Vr(n)) = Е |zn|Pap(n)(n) < 1

n=1

mm \ p

mm \ p

m

z

m

где С > 0 и г(п) = то. С учетом найденных выше значений \\гт\\(г(п)) перепишем

(3) в следующем виде:

тбМ(м) 11

< Саи^ ^ ста(т, (в(и)))тт : \\ш\\гр = ^ К|р < Л,

К тбМ

где (ст)тбМ№ может быть любым набором коэффициентов мономиального разложения функции / £ Н(Е). Обозначив ста(т, (з(п)) = йт, т £

приходим к виду

Е Idmi f";(;("'»»"';„ < Csu^ Е dm»- : iMI,, < 1

to6N

Так как (3) справедливо для полиномов, в частности, п-однородных полиномов, посредством рассмотрения в приведенных неравенствах конечных сумм с |т| = 2 покажем ядерность пространства Кете — Фреше Е.

Рассмотрение конечных сумм в (3) с |т| =2 и оценками 1 ^ ^Ы ^ 1 для этого случая приводит к условию

|aij| — (.) -j (.) < CsuP S aijniVj i,j=1 ar(i) (i)öV(j)(j) { i,j = 1

i<n

(C = 4C, "i + "j = 2) для любой симметрической матрицы ((aij))fnj=i с |aj| ^ 1 при любом n £ N.

Для оценки правой части последнего неравенства воспользуемся следующим следствием теоремы 3 главы VI из [5].

Лемма [5]. Если заданы комплексные числа aij, |aj| ^ 1, i,j = 1, 2,..., n, то существует такой набор знаков + и —, что

1

n / n \ 2

sup ±ak,jei(ktk +jtj) <C\n^2 |akj|2log2n < Cn2 log2n,

tl't2'->tn k,j=i V k,j=1 ' )

где C — некоторая абсолютная постоянная. Соединяя последние неравенства, получаем

( . as(i)(i)\ А as(i)(i)\ 2. 3

n mm —^ > —^ CCn2 log2n, \ K^n ar(i) (iW l i=1 ar(i) (i) I

т. е.

as(i)(i) ^ log 2n min — ' < D-1—.

ar(i)(i^ n4

Можно повторить достаточное число к > 5 раз процедуру выбора для последовательности (з(п))^=1 в условии (3) и проведенные оценки, чтобы получить последовательность (5г(п))^=1, для которой сходится ряд

Е оЦП) < DV (log2n)5 <

n=1 ar(n)(n) П= n 5

Но найти для любой последовательности (г(п))^=1 с г(п) = то другую такую

последовательность (5Т(п))^=1 с 5Т(п) = то, чтобы сходился указанный ряд, можно

лишь в случае, когда для Б справедливо условие ядерности Гротендика — Пича (см., например, [6]):

Предположим, что условие ядерности Б не выполняется, т. е. существует г(0) £ N такое, что при любом в £ N ряд

^ аг

£

а5

П=1

расходится. Тогда выбрав, согласно расходимости соответствующих рядов, последовательность натуральных индексов (п&)£=1 так, чтобы

У > 2к, к = 1, 2,...,

аг

построим последовательность (г(п))£= следующим образом:

г(п) = г(0), п ^ п1, г(п) = г(0) + к, <п ^ п&+1, к = 1,2,...

Теперь для любой последовательности (в(п)), у которой 5Т(п) = 0, с некоторого

номера т будет в(п) > г(0) и для п& > М выполняется

"к+1-1 „ Пк+1-1 _ у^ «?(»)(п) > у^ аг(0)(п) > 2&

(п) " „ аг(0)+^(п) " '

так что ряд

«5Г

Е

=1 «г

расходится. Полученное противоречие означает, что условие ядерности для пространства Кете Б = ¿1[аг (п)] должно быть выполнено, если мономы образуют абсолютный базис Кете в Н(Б). Оставшаяся часть утверждения теоремы следует из упоминавшегося результата работы [1] (см. и [3]). >

По сравнению с результатом из [2, 3] здесь не накладывается требование монтелевости Б и добавлен случай р =1.

Было бы интересно исследовать характер базисности мономов в случае пространств аналитических функций на пространствах Кете без условия ядерности. Приведенные оценки норм мономов и часть рассуждений остаются справедливыми и в этом случае.

Литература

1. Boland P. J., Dineen S. Holomorphic functions on fully nuclear spaces // Bull. Soc. Math. France.— 1978.-V. 106.—P. 311-336.

2. Dineen S., Timoney R. M. Absolute bases, tensor products and a theorem of Bohr // Studia Math.— 1989.—V. 84.—P. 227-234.

3. Dineen S. Monomial expansions in infinite dimensional holomorphy // In: Advances in the Theory of Frechet Spaces. T. Terzioglu (ed).—Ankara: Kluwer Academic Publishers, 1989.—P. 155-171.

4. Ryan R. A. Holomorphic mappings on h // Trans. Amer. Math. Soc.—1987.—V. 302.—P. 797-811.

5. Кахан Ж. П. Случайные функциональные ряды.—М.: Мир, 1973.—302 с.

6. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства.—М.: Мир, 1967.—266 с.

Статья поступила 22 июня 2005 г.

Кондаков Владимир Петрович, д. ф.-м. н. г. Ростов, Ростовский государственный университет E-mail: kond@ns.math.rsu.ru