Анализ напряженно-деформированного состояния оболочек вращения в зоне ветвления меридиана на основе метода конечных элементов

АНАЛИЗ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ В ЗОНЕ ВЕТВЛЕНИЯ МЕРИДИАНА НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Ю.В. КЛОЧКОВ, д-р техн. наук, проф.,

А.П. НИКОЛАЕВ, д-р техн. наук, проф.,

O.A. ПРОСКУРНОВА, аспирант.

Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия

Оболочечные конструкции различной конфигурации в настоящее время находят все более широкое применение во многих отраслях науки и техники. Наибольшее распространение получили конструкции с резкими изменениями геометрии, в частности, оболочки вращения с ветвящимся меридианом.

Анализируя напряженно-деформированное состояние (НДС) такого типа конструкций, необходимо уделить особое внимание зоне, непосредственно примыкающей к узлу ветвления меридиана, так как в ней наблюдается значительная концентрация напряжений. Точных формул для расчета подобных оболочек не существует, и поэтому необходимо использовать современные численные методы расчета, наиболее распространенным из которых является численный метод конечных элементов.

В настоящей работе представлен сравнительный анализ эффективности использования конечных элементов с различным числом узловых варьируемых параметров для расчета осесимметричных оболочек с ветвящимся меридианом. В качестве элементов дискретизации использовался фрагмент меридиана срединной поверхности оболочки с узлами i и j, выделенный двумя плоскостями, перпендикулярными оси вращения.

Столбец узловых варьируемых параметров конечного элемента в локальной системе координат rj (-1 <r)< 1) выбирался в двух вариантах, которые различались между собой количеством степеней свободы в узле

к Г и4 u>Jw}{w'wJw>n w>n w'ni w'Jnf}\;

1x12 L 1x6 1x6 J

fef =l{MVi4 u'h u'm u'nn и'чт Kiv)

1x16 l 1x8

1x8 J

где и и м> - меридиональная и нормальная компоненты вектора перемещения соответственно, а запятая обозначает операцию дифференцирования.

Глобальная координата £ (5 - длина дуги меридиана) выражается через локальную координату г\ следующей формулой

2 2

Компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента интерполируются через свои узловые значения повариантно следующими соот-

ношениями ч, = {ср}т }• Чз = {у}т }

1x6 6x1 1x8 8x1

где под я понимается компонента вектора перемещения и или н>; цифра 1,2 указывает на номер варианта столбца узловых неизвестных. Входящие в (4) матрицы-строки {ср}т и {у}т содержат полиномы Эрмита пятой и седьмой степеней соответственно.

Условия сопряжения п оболочек. Для вывода условий сопряжения п оболочек столбец узловых варьируемых параметров одной из них (например, /-ой) в узле соединения принимается за основной. Компоненты векторов перемещений и их производные остальных (п-1) оболочек в узле сопряжения выражаются через соответствующие компоненты основного столбца узловых неизвестных, исходя из кинематических и статических условий сопряжения.

В качестве кинематических условий сопряжения использовались: инвариантность векторов перемещений узла соединения п оболочек

и^ =иг2; = ... = иги = ... = Ъ<а>

и предположение о том, что углы поворота нормалей в узле сопряжения в процессе деформирования остаются равными для всех оболочек

дй

--п =---Г— • П

дБ

где п(1) и п^ . орты нормалей к срединным поверхностям г'-й и к-й оболочек в узле соединения п оболочек; верхние индексы (1), (2), ...,(0,..., (к),...,(п) обозначают номер сопрягаемой оболочки.

Из равенств (5) можно выразить меридиональные и^ и нормальные у/к>) компоненты векторов перемещений (п-1) сопрягаемых оболочек через меридиональную и^ и нормальную у/1^ компоненты вектора перемещения основной /-й оболочки.

Используя соотношения (6), можно получить выражения для первых производных нормальных компонент векторов перемещения (и - 1) оболочек

через столбец узловых неизвестных основной /-й оболочки.

В ненагруженном узле соединения п оболочек должно выполняться условие статики о равенстве нулю суммы моментов:

М

Из соотношения (7) можно выразить вторую производную нормальной

компоненты вектора перемещения £-й оболочки через столбец узловых

неизвестных основной /-й оболочки и вторые производные нормальных компонент векторов перемещений остальных (и - 2) сопрягаемых оболочек, которые принимаются свободно варьируемыми.

При использовании второго варианта набора узловых параметров {и^}

конечного элемента дополнительно было рассмотрено статическое уравнение равновесия сил:

+ +... + +... + = О.

Входящие в (8) векторы сил могут быть представлены компонентами, отнесенными к локальному базису узла соединения п оболочек

(Ю

где \(к) - орт, касательный к срединной поверхности к-й оболочки в узле ветв-

ления меридианов. Входящие в (9) продольные Т > и поперечные Сг' силы определяются соотношениями [1,2]

тги =.

И 22

О

(к) _

1-У 1

\

тП-ЬЛ™

(к) \ п

дг

м

(V 22

где Е<к) - модуль упругости, у*^- коэффициент Пуассона и х(к) - радиус вра-

щения оболочки в узле ветвления меридиана, а моменты М^ и М22 числяются по формулам [1]

СЬ)

вы-

л

12

Входящие в структуру (10) и (11) деформации е^.

е^ и искривления

У^п '^12 срединной поверхности к-й оболочки определяются согласно [1].

Из равенства (8) с учетом (9) - (11) можно получить выражения для первой

производной меридиональной и,^ и третьей производной нормальной

компонент вектора перемещения к-й оболочки через компоненты вектора перемещения основной оболочки и первые производные меридиональных и третьи производные нормальных перемещений остальных (п-2) сопрягаемых оболочек, которые остаются свободно варьируемыми в узле ветвления меридиана. На основании вышеприведенных условий (5) - (8) сопряжения п оболочек формируется матричное соотношение

где {и^ } - столбец узловых неизвестных к-й оболочки; { и} - столбец узловых варьируемых параметров основной оболочки; [Ри] - матрица преобразования, размер которой зависит от варианта набора узловых неизвестных и количества сопрягаемых оболочек.

При реализации конечно-элементной процедуры матрицы жесткостей и столбцы узловых нагрузок элементов оболочек, примыкающих к узлу ветвления

меридиана (за исключением основной оболочки) умножаются на матрицу преобразований, в структуру которой входит матрица [Ря].

Пример расчета. В качестве примера была рассчитана конструкция, состоящая из цилиндра и двух примыкающих конусов (рис. 1). Исходные данные имели следующие значения: внутреннее давление в цилиндре ц =5 МПа; в конусах 0,5<7; модуль упругости Е = 2 105МПа; коэффициент Пуассона V = 0,3; толщина оболочки / = 0,01 м; длина цилиндра Ь\ = 1,0 м; радиус цилиндра Я2= 0,9 м; длина образующей внутреннего конуса Ь2 - 1,1м; длина образующей наружного конуса Ь3 = 0,6 м; углы между образующими наружного и внутреннего конуса и осью симметрии соответственно р = 30°, а = 45°.

¡\ 1 '1)1 / 1 /' 4»

4.....1 \) , ч я, / 1 !

1 1 1

¡к

рТ

-V........ь

0,5Я

—I.

\ \ сиг

/ г Г

1л

V

Рис. 1

Расчеты были выполнены в двух вариантах: в первом варианте в качестве элемента дискретизации использовался конечный элемент с набором узловых варьируемых параметров (1); а во втором варианте столбец узловых неизвестных выбирался в виде (2). Результаты расчета представлены в таблице 1, в которой при различных числах элементов дискретизации пэ каждой из трех сопрягаемых оболочек приведены значения меридиональных напряжений на срединной поверхности цилиндра, а также моментов на цилиндре, верхнем и нижнем конусах в узле ветвления меридиана. Из условия равновесия было вычислено точное значение меридионального напряжения на срединной поверхности цилиндра в узле сопряжения оботочек стцм =22,98 МПа. Сравнение результатов повариантного расчета показывает, что во II варианте расчета (с третьими производными компонент вектора перемещения) значение о м приближается к точному решению уже при количестве конечных элементов, равном 4, тогда как в I варианте расчета - только при 12 элементах. Из таблицы 1 видно, что при минимальном количестве элементов дискретизации (2 элемента) в I варианте значения изгибающих моментов отличаются от значений, полученных при пэ =

12 (при котором стцм совпадает с точным значением) на 26..53%. Во II варианте расчета процент подобных расхождений варьируется в пределах от 0,6 до 2,7%, т.е. более, чем на порядок меньше.

Таблица 1

Значе- № варианта

ние I II

пара- Количество элементов дискретизации пэ

метра 2 3 4 6 12 2 3 4 6

_ Ц Ом , МПа 67,9 7 43,5 0 31,2 4 24, 50 22,9 7 35,8 2 23, 63 22,7 7 22, 88

Мц,кН 16,3 5 23,5 5 25,8 5 26,7' 26,8 1 27,2 1 27,1 1 26,8 9 26,7 9

Мвнутк, кН -6,08 10,6 6 12,2 3 12,8( 12,8 8 13,2 3 13,1 3 12,9 6 12,8 8

эдвнеш.к. кН ' 10,2 6 12,8 7 13,6 0 13,8' 13,9 1 13,9 8 13,9 8 13,9 3 13,9 1

1629,2

На рисунках 2 и 3 представлены эпюры меридиональных напряжений во внутренних и внешних волокнах оболочек соответственно. Анализируя характер распределения напряжений, можно отметить наличие значительной концентрации напряжений в зоне ветвления меридиана.

На основании выполненных исследований можно сделать вывод о том, что при анализе напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций в зоне ветвления меридиана наиболее предпочтительным следует признать использование конечного элемента с набором узловых варьируемых параметров

(2), включающим компоненты вектора перемещения, а также их первые, вторые и третьи производные.

О

22,9

237,4

ПтгттТГ!

1550,6

Рис.3

1583,4

Литература:

1. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. - Л.: Судпромгиз, 1962. - 432 С.

2. Колкунов Н. В. Основы расчета упругих оболочек. - М.: Высшая школа, 1972.-296 с.

ANALYSIS OF STRESS-SRAINED STATE OF SHELLS OF REVOLUTION AT ZONE OF THE BRANCHING THE MERIDIAN WITH THE APPLICATION OF FINAL ELEMENT METHOD

Y.V. Klochkov, A.P. Nikolaev, O.A. Proskuraova

Algorithm of the calculation of axisymmetric shells of revolution with branching meridians on base of the finite element method is presented. As element to sampling there are used univariate finite elements with two variants of the set node running parameter. At realization certainly-element procedure, correct kinematics and steady-state conditions of the interfacing in node of the branching the meridian were designed.