Представление решений линейных дискретно-непрерывных систем

34 ТРУДЫ БГТУ. 2012. № 6. Физико-математические науки и информатика. С. 34-37

УДК 519.71

Т. А. Любецкая, ассистент

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

Для линейных дискретно-непрерывных систем вводятся двойственные системы и доказывается двойственное соотношение, что позволяет получить аналитическое представление решений таких систем, аналогичное формуле Коши для решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Найденные представления имеют важные приложения в качественной теории управления в гибридных дифференциально-разностных системах, в частности при исследовании вопросов управляемости в таких системах.

In the paper we study linear hybrid discrete-continuous systems. Dual discrete-continuous systems are introduced and a duаl correlation is proved. As a result, for the system solutions, we obtain an analytical representation similar to the well-known for ordinary differential systems Cauchy's formula. The results obtained can be used in the qualitative control theory for discrete-continuous systems.

Введение. Во многих приложениях предполагается, что рассматриваемая система подчиняется закону причинности, т. е. будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим. Если к тому же предполагается, что система подчиняется уравнению, содержащему переменные состояния и скорости их изменения, то, как правило, мы приходим либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к уравнениям в частных производных.

Однако при более тщательном изучении часто становится очевидным, что закон причинности - это лишь первое приближение к реальной ситуации, и более адекватная модель должна включать некоторые из предшествующих состояний системы. Кроме того, многие задачи теряют смысл, если не рассматривается зависимость от прошлого. Поэтому, в частности, при изучении реальных физических процессов приходим к так называемым гибридным системам.

В зарубежной литературе термином «гибридные системы» (hybrid systems) определяют дискретно-дифференциальные системы управления, содержащие непрерывную и дискретную фазовые переменные и/или логическую переменную [1, 2]. Такие системы стали востребованными ввиду того, что огромное число реальных процессов в химической промышленности, робототехнике и электронной инженерии, в системах управления полетом и других отраслях человеческой деятельности моделируются сложными системами, обладающими иерархической структурой, описываемыми непрерывно изменяющейся динамикой на низшем уровне и созданием логического выбора - на высшем [3].

Исследование существования и единственности представления решений, а также некоторых задач управляемости для различных клас-

сов сложных динамических систем проведено в работах [4-10].

В настоящей статье рассматривается вопрос о представлении решений гибридной дифференциально-непрерывной системы с запаздывающим аргументом на основе решений соответствующих двойственных (сопряженных) систем, что по аналогии с известными представлениями [4-10] решений для других классов систем можно считать формулами типа Коши для дискретно-непрерывных систем.

1. Постановка задачи. Рассмотрим гибридную дискретно-непрерывную систему вида

X (t) = All (t) Xi(t) + A12 (t) X2(t0 + kh) + + B1 (t)u(t), te[t0 + kh, t0 + (k + 1)h), x2 (t0 + kh + h) = A21 (k) x1 (t0 + kh) + + A22 (k)x2(t0 + kh) + B2 (k)u(t0 + kh),

где

A„

A12

B

A21 (k)e M"2xn1, A22 (k)e M"2x"2, B2 (k)e Mrx"2,

te[t0, t*], k = 0,1,

T T

' x t*' t*

= lim

£—>0

t* 10 £

элементы матриц А11 (•), А12 (•), В1 (•) являются кусочно-непрерывными функциями; вектор-функция х () = X Х10 , х20

) предполагается непрерывной и кусочно-дифференцируемой на [/0, Ъ].

Начальные условия для системы (1) зададим в виде

x1(t0) X10, X2 (t0) X

•20-

Наряду с системой (1), (2) рассмотрим двойственную систему следующего вида:

) = -„

^ + кк+ к

+ | А12 () х*(:,

í0 + кк

х* ^) = 0,1 > и,

где х1 ($), х* (^ + кк) - матричные функции со значениями в пространствах М"1, М"2 соответственно, к = 0,1,..., Т*, tе |70, и],с начальными условиями вида

х*

2. Вспомогательные результаты.

Утверждение. (Двойственное соотношение). Справедливо следующее двойственное соотношение:

х*' - 0) х ) + х*' (( + Т* к + к) х2 (( + Т* к + к) =

t2

= х*' (t0 - 0)х10 + х*' (t0 )х20 + | х*' (t )В1 ()" (t )dt +

Тр*

+Xх*'

к=0

Доказательство. Умножим первое уравнение системы (1) слева на кусочно-непрерывную матричную функцию х*Т () с точками разрыва первого рода лишь в моменты т = t0 + кк, к = 0,1, ...,ТЬ, и проинтегрируем по т от 0 до 4:

0 = | х*' (т)- х1 (т)ё т -1 х*' (т)- А11 (т) х1 (т)ё т -

¡0 % Т* -1 ь0 + кк+к

- X I х*'(т)- А12 (т)ат-x2(to + кк) -

к=0 ^+кк

- | х*'(т)-А12(т)^т-х2(:0 + кк)-

% к

t»

-1 х*'

Поскольку матрица-функция х*Т (t) имеет разве лишь разрывы первого рода в точках т = :0 + кк, к = 0,1,..., Т, то интегрируя по частям первый интеграл равенства на каждом интервале (0 + кк, t0 + кк + к) и используя свойство аддитивности интеграла, получаем:

г* Т* -1 ^ +кк+к

| х*' (т)- хс1(т)ё т = X | х*'(т)- ,х1(т)^ т +

+ | х*' (т)- хс1(т)^т =

t0 +ТЛк

= X (х*' (t0 + кк + к - 0)х1 (0 + кк + к) -

к=0

- х* (( + кк + 0)х1 (0 + кк)) + х* - 0)х1 ) -

и

х*' (to + Т*к + 0) х (to + Т*к) -1 х*' (т)- х1 (т)т =

= X(х*' ( + кк - 0) - х*' (0 + кк + 0)) (0 + кк) +

к=0

+ х* - 0)х ) - х* (( - 0)х10 -1х* (т) - х1 (тт.

t0

Аналогично поступаем со вторым уравнением системы (1): умножаем его слева на дискретную матричную функцию к = -1,0,1,..., Т*, х*Т (0 + кк + к), и суммируем по к от 0 до Т*:

0 = X х*'(0 + кк + к )(0 + кк + к)-

к=0

- А21 (к)х1 (t0 + кк) - А22 (к)х2(:0 + кк) -

- В2

Преобразуем первое слагаемое этой суммы:

т:*

Xх2 (0 + кк + к)х2(:0 + кк + к) =

к=0

т:*

= Xх* (t0 + кк)x2(t0 + кк) +

к=0

+ х*'

х* ((:0 ) х20 .

Суммируя (6) и (7) и учитывая вид сопряженной системы (3), (4), имеем:

0 = - I х*'( т) + х*'(т) А11 (т) -х1(т) т +

V to

Тг*

+x ( х*'(:0 + кк - 0) - х*' (t0 + кк + 0) -

к=0

х*' (0 + кк + к)А21 (к)) х (0 + кк) +

т* (

к=0

+X х* (t0 + кк) - х* (0 + кк + к) А22 (к) -

^ + кк+к

Л

к=0

+кк

I х* (т)А12 (т)^т

t0 +кк

х2 (:03 + кк) +

0

Т

36

Т. А. Любеикая

t0 +T* h+h

+ J X*'(t)42 (T)d T ' X2(t0 + Tt* h)-

-Jx*' (t) • B1 (t)u(x)d

t-

x*'(t0 + kh + h )• B2 (k )u (t0 + kh) +

k =0

+ x*'( + T* h + h)) + Tt* h + h) -

— X2 (t0 )x20 + X1 (* — 0)х1 (* ) — X1 (0 — 0)X10 =

t*

= -jx* (t) • B1 (t)u(t)Jt

üt-

—^ х*' ('0 + кк + А )• В2 (к )и('0 + кк) +

к=0

+ х*' (^0 + Т* А + И) Х2 (^0 + Т* А + к) —

— Х2 ('0 )х20 + х1 — 0)х1 ) — х1 (0 — 0)х10,

что завершает доказательство утверждения.

3. Представление решений. Пусть матрицы функции х1 ( '), х* ( '0 + кк) - решения сопряженной системы (3), (4).

Обозначим символом 1к единичную к х к -матрицу.

Имеет место следующий аналог формулы Коши для представления решений динамической дискретно-непрерывной системы (1), (2).

Теорема. Решение системы (1) с начальными условиями (2) существует единственно и может быть представлено по формуле:

1)

Х1 — 0) = х1 (0 — 0)х10 + х2 (0 )х20 +

+1х*'(т) • В1 (т)и(т)^т +

'0

Т*

+^х*'

k =0

если

х12 - 0 ) =

x* (0 + Tt* h + h ) 0 e

)"2-

X2 ( f0 + Tt*h + h) = x2' (0 - 0) X10 +

t*

+ x* (t0)x20 + Jx* (t) • B1 (t)u(t)dt +

если

+^ x*'

k=0

x* ( + T* h + h ) = I„2; x* (t* - 0) 0e Ml

Доказательство. Из системы (3) с начальными условиями

x1*(* -0) = 1Щ;

x* (t0 + Tt* h + h ) 0 e M"2,

с учетом двойственного соотношения (5), получаем представление решения (8) для кусочно-непрерывной функции x1 (t*).

Если же для системы (3) выбрать начальные условия

x* (+Tt*h+h )=In2; x* (t* - 0) = 0e M"1,

с учетом двойственного соотношения (5), получаем представление решения (9) для дискретной функции x* (t0 + T* h + h).

В единственности решения можно убедиться, интегрируя исходную систему (1), (2) по «шагам».

Заключение. Таким образом, в работе доказано двойственное соотношение для гибридных дифференциально-непрерывных динамических систем с запаздыванием, установлен аналог формулы Коши для представления решений таких систем. Полученные результаты можно использовать для получения неявных критериев управляемости и наблюдаемости дискретно-непрерывных систем.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В. М. Марченко за научное руководство данной работы.

Литература

1. Van der Schaft, A. An introduction to hybrid dynamical systems / A. Van der Schaft, H. Schumacher. - Berlin: Springer, 2000. - P. 324.

2. Antsaklis, P. Hybrid Systems Modeling and Autonomous Control Systems / P. Antsaklis, J. Stiver, M. Lemmon // Lecture Notes in Computer Science, London: Springer-Verlag. - 1993. -Vol. 736. - P. 366-392.

3. Марченко, В. М. Гибридные дифференциально-разностные системы и их приложения в теории динамических систем / В. М. Марченко // Труды БГТУ. Сер. VI, Физ.-мат. науки и информатика. - 2009. -Вып. XVII. - С. 3-7.

4. Марченко, В. М. Представление решений управляемых гибридных систем /

T

0

T

T

B. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Проблемы управления и информатики. - 2002. - № 6. -

C. 17-25.

5. Марченко, В. М. Представление решений и относительная управляемость линейных дифференциально-алгебраических систем со многими запаздываниями / В. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Доклады РАН. - 2005. - Т. 404, № 4. -С.465-469.

6. Марченко, В. М. Линейные стационарные дифференциально-алгебраические системы. Представление решений / В. М. Марченко, О. Н. Поддубная // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2006. - № 5. -С. 24-38.

7. Беллман, Р Дифференциально-разностные уравнения / Р. Беллман, К. Л. Кук. - М.: Мир, 1967. - 548 с.

8. Гайшун, И. В. Многопараметрические системы управления / И. В. Гайшун. - Минск: Навука i тэхшка, 1996. - 200 с.

9. Bartosievicz, Z. Linear control systems on time seal: unification of continuous and descrete / Z. Bartosievicz, E. Pawiuszewicz // 10th IEEE Intern. Conf. on Methods and Models in Automation and Robotics. - Poland, 2004. - P. 263-266.

10. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. - М.: Мир, 1984. - 421 с.

Поступила 12.03.2012