О РЕШЕНИЯХ ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩёННЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВёРТОГО ПОРЯДКА

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2012, том 55, №2________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.927.2

Б.Алиев, Г.Х.Джураева О РЕШЕНИЯХ ПРЕДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОВОЗМУЩЁННЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА

Таджикский национальный университет

Излагается способ нахождения решений предельной задачи для сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка с малым параметром при старших производных, которые близки к решению задачи для предельного (невозмущённого) уравнения.

Ключевые слова: предельная задача - сингулярное возмущение -малый параметр.

1. Изучая то или иное сложное явление природы, исследователь из некоторого известного ему набора опытных фактов или наблюдений отбирает наиболее существенные и, исходя из отобранного материала, строит модель, более или менее адекватно отражающую реальность. Необходимо отметить относительность наших представлений о том, что существенно и что несущественно при изучении данного явления. Ведь вполне может случиться так, что те факторы, которые первоначально представлялись несущественными, могут в результате дальнейших исследований оказаться существенными, и наоборот. Кроме того, модель изучаемого явления не должна быть чрезмерно сложной. Особенно это относится к математическим моделям и математическому моделированию, которое играет исключительную роль в решении современных практически важных прикладных задач. Оно включает в себя как описание модели на языке современной математики, так и исследование свойств модели при помощи современных математических и технических средств. Именно этими обстоятельствами можно объяснить то, что задачи, принадлежащие различными областям науки и техники, часто поддаются исследованию при помощи одного и того же математического аппарата. Одной из таких моделей является математическая модель процесса теплопередачи (см. [1,2]).

В монографиях [1-4] для решения обратной задачи теплопроводности предложен ряд подходов. Эти подходы состоят из использования метода квазиобращения, методов конечных разностей и конечных элементов, метода регуляризации, метода сингулярных разложений и др. Идея метода квазиобращения состоит в том, что вместо уравнения теплопроводности строится «близкое» ему уравнение (возмущенное уравнение), для которого задача с обращением отсчёта времени устойчива. Каждый из этапов исследования в какой-то мере связан с изучением зависимости поведения решения от одного или нескольких параметров. Очевидно, что среди исследования методов линейных моделей [2] фундаментальным является метод Фурье (метод разделения переменных). При применении мето-

Адрес для корреспонденции: Алиев Боймурод. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: marliohh@mail.com

да Фурье к возмущённой задаче для уравнения теплопроводности приходится иметь дело с сингулярно-возмущёнными обыкновенными дифференциальными уравнениями четвёртого порядка. В связи с этим представляет интерес изучение поведения решения сингулярно-возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка.

В [5-7] рассматривается вопрос нахождения приближённых решений возмущенного разностного уравнения второго порядка и краевых задач для сингулярно-возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Аналогично этим публикациям настоящая работа посвящена нахождению приближённого решения и исследованию его поведения для сингулярно-возмущённых обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка.

2. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

е ¿Ще) + + яМх,£) = 0, х £ [ад а)

йх йх

с предельными условиями

/2

v(0,e) = v(l,s) = 0, dvM

dx2

d2v

dx2

x =0

= 0,

x=l

где s - малый параметр, Л = const > 0 .

Если положить s = 0, то получим уравнение второго порядка

d z

dx

с условиями

z

Видно, что порядок невозмущённого уравнения на два меньше, чем порядок возмущённого дифференциального уравнения. Это означает, что любое дифференциальное уравнение описывает процесс лишь приближённо. Поэтому какие-то факторы, влияние которых на исследуемый процесс предполагается “малым”, сводятся к изучению зависимости решения дифференциальных уравнений от малых параметров. В математической постановке прикладных задач возникает вопрос изучения поведения решений задач (1) - (2) при значениях коэффициентов, характеризуемых “малыми” параметрами.

Известно [8], что задача (3) - (4) всегда имеет тривиальное решение z(x) = 0. Те значения

параметра Л , при которых граничная задача имеет нетривиальные (отличные от нуля) решения, яв-

ляются собственными значениями. Если Л0 есть собственное значение, то решение граничной задачи (3) - (4) при Л = Л0 является собственной функцией, соответствующей собственному значению Л0 .

Если функция z

z( х) =

-- 2 ‘г

ZckVk(х) С =7Jz(x>k(x)dx

k=1 ‘ n

Теперь рассмотрим задачу

ж 21

v

k=1 l 0

Справедлива

Лемма. Решение задачи (1) - (2) выражается в виде (5). При этом имеет место предельный переход lim v(x, s) = z(x) для любого x є [0, l], где z(x) решение задачи (3)-(4).

S^0

Доказательство. Воспользовавшись найденными функциями вида (5), находим решение задачи (1)-(2). Оно имеет вид

v( х,є) = Z ak (£)sin

k=1

г

7lk

х-----,

‘ к

1 -є

V

VI )2'

Пользуясь этим и переходя к пределу в (6), ввиду её равномерной сходимости, получим

“ . (лк I

lim v(x,s) = z(x), где z(x) = ^sinI — x I - решение задачи (3) - (4).

к= V l J

3. Теперь, чтобы убедиться в близости v(x,s) к z(x), воспользуемся разложением, приведённым в [9]:

st —t + Ä = s(t + (s))(t + (s)),

2д2 i-------

где <yx(s) =----------------, , (о2 (s) = s¿q(s) + V 1 - 422s.

1W1 - 422s

Очевидно [10], что разложение имеет место для задачи (1)-(2), если

fsa + ß = 1,

\aß = Ä2.

222 i--------

Откуда a(s) =------------------, , ß(s) = V1 - 4sÄ + sa(s) .

1W1 - 4s22

В задаче (1)-(2) вводим новую неизвестную функцию

d2v

u( x, є) = -

dx

+ а(є)г(х,є).

В результате приходим к необходимости решить следующую задачу:

й и(Х,е) +^(е)м(х,е) = 0, и(0,е) = и{1,е) = 0 . йх е

Решение задачи (8) выражается формулой

и( х,е) =

Р

-sin

х„

№)

Пользуясь найденной функцией и( х, е), из (7) находим решение задачи (1)-(2) в виде

v( х,є) =  1 sin L\J а(є) )н------

7«

sin

х.

Р

Если vk (x,Ak (s)) - к -ая собственная функция задачи (1)-(2), то соответствующее ей собственное

( ттк Y

1 — s|^“l (к = 1,2,3,...). Вставив значения a(s) и ß(s) в выражение

у(х,е) и проделав несложные преобразования, убедимся, что решение (1)-(2) имеет вид

4 хє)=Z [ІJ sin

І ] '

—х l + єл/є Sin

V ‘ J

х

Так как при s ^ 0

С ¡— . f х ^ ^/єsm —¡=

<є j

^ x , то решение вида (9) задачи (1) — (2) стремится к решению

задачи (3) — (4) при s ^ 0, то есть lim v(x,s) = z(x) для любого x e [0, l]. Здесь

є^0

'(x) = j sin (-^xj является решением задачи (3)-(4).

к=1

Итак, справедлива

Теорема. Решение задачи (1)-(2) выражается в виде функции (9). При этом имеет место предельный переход lim v(x,s) = z(x) для любого x e [0, l], где z(x) решение задачи (3)-(4).

s^0

Поступило 10.11.2011 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. - М.: Машиностроение, 1990, 264 с.

2. Латтес Р. Лионс Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения. - М.: Мир, 1970, 507 с.

є

є

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986, 288 с.

4. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч.-мл. Некорректные обратные задачи теплопроводности. Пер. с англ. - М.: Мир, 1989, 312 с.

5. Джураеа Г.Х. - Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук, 2009, №1(49), с.47-49.

6. Алиев Б., Джураева Г.Х. - ДАН РТ, 2010, т.53, №6, с.432-436.

7. Джураева Г.Х. - Математическое моделирование и краевые задачи: М33. Труды седьмой Всероссийский научной конференции с международным участием. ч. 3. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2010, с.92-95.

8. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1978, 327 с.

9. Алиев Б., Джураев Х.Ш. - ДАН РТ, 2004, т.47, №4, с.92-98.

10. Джураев Х.Ш. - Матер. II межд. науч. конф. «Переспективы развития науки и образования в XXI веке», ч.2. - Душанбе: ТТУ им. акад. М.Осими, 2006, с.21-23.

Б.Алиев, Г.Х.Ч,Ураева

ДОИР БА Х,АЛХ,ОИ МАСЪАЛАИ ^УДУДЙ БАРОИ МУОДИЛА^ОИ ОШУБИИ ДИФФЕРЕНТСИАЛИИ ОДИИ ТАРТИБИ ЧОРУМ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола нишон дода шудааст, ки хдлли масъалаи худудй барои муодилаи ошубии дифферентсиалии одии тартиби чорум ба хдлли масъалае, ки он аз масъалаи додашуда хднгоми ба нул баробар будани параметр х,осил мешавад, наздик мебошад.

Калима^ои калиди: масъалаи уудудй - ошуби сингулярй - параметри хурд.

B.Aliev, G.Kh.Dzhuraeva ON SOLUTION OF LIMITING PROBLEM FOR SINGULAR INDIGNANT ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION OF FOURTH ORDER

Tajik National University It is shown that solution of limiting problem for singular indignant ordinary differential equations of fourth order under striving of parameter to zero converge to solution of equation which come of when the parameter is equal to zero.

Key words: limiting problem - singular indignant - smote parameter.