О разрешимости смешанных задач для двумерного псевдопараболического уравнения

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.95

Б.С. Аблабеков

д-р физ.-мат. наук, профессор, кафедра высшей и прикладной математики, Кыргызский государственный технический университет

им. И. Раззакова, г. Бишкек, Киргизия

А.Б. Байсеркеева

преподаватель,

кафедра высшей математики, Иссык-Кульский государственный университет

им. К. Тыныстанова, г. Каракол, Киргизия

О РАЗРЕШИМОСТИ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Аннотация. Рассматривается начально-краевая задача для линейного двумерного псевдопараболического уравнения. Для данной задачи получены достаточные условия однозначной разрешимости классического решения.

Ключевые слова: псевдопараболические уравнения, разрешимость, метод Фурье, нелокальная нелинейность.

B.S. Ablabekov, Kyrgyz State Technical University named after I. Razzakov, Bishkek, Kyrgyzstan

A.B. Baiserkeeva, Issyk-Kul State University named K. Tinisctanov, Karakol, Kyrgyzstan

ON THE SOLVABILITY OF A MIXED PROBLEM FOR THE TWO-DIMENSIONAL PSEUDO-PARABOLIC

EQUATIONS

Abstract. We consider the initial-boundary value problem for a linear two-dimensional pseudo equation. For the given problem obtained sufficient conditions for the unique solvability of the classical solution.

Keywords: pseudo-parabolic equations, solvability, Fourier method.

Введение

Уравнениям псевдопараболического типа и типа Соболева посвящено большое количество работ. Различные прямые и обратные задачи для псевдопараболических уравнений исследовались многими авторами, и библиографию по этому вопросу можно найти в [1; 4].

В работе [2] рассматривается задача Коши для двумерного псевдопараболического уравнения и с помощью фундаментального решения соответствующего оператора построены явное решение этой задачи.

Отметим, что моделированию физических процессов, приводящих к уравнениям псевдопараболического типа, посвящена работа [3].

Основным вопросом, изучаемым в этой статье, является вопрос о разрешимости (в классическом смысле) смешанной задачи для двумерного псевдопараболического уравнения.

Постановка задачи

Пусть ПТ = {(x,y,t): (x,y) еП, t е (0,7]}, П = {(х,y): 0 < x < l, 0 < y < m}.

Рассмотрим следующую первую краевую задачу: Найти классическое решение задачи

ut(x,t)-a2[(ut + u)xx + (ut + u)yy] = 0, (x,y)е П7; u(x, y,0) = j(x, y),(x, y) е П;

u(0, y,t) = u(l, y,t) = 0, 0 < y < m, 0 < t < T,

u

непрерывное в замкнутой области П7.

ТЕОРЕМА 1. Если p(x,y)е С2(П), j (x,y)e ^(П) и

p(0,y) = p(l,y) = 0, pxx (0,y) = pxx(l,y) = 0 , p(x,0) = p(x,m) = 0, j (x,0) = j(x,m) = 0, то существует единственное решение задачи (1)-(3), и оно представляется рядом

и(х,y,t) = YTj exP

(

11sin — xsin—y.

1 + a2\n ¡ l m

Доказательство. Будем искать нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (3) в виде двойного ряда:

и

к=1 п=1

Подставляя значения и(х,у^) из (5) в (1), получим, что оно заведомо выполняется, если равны члены рядов в левой и правой частях с одинаковыми номерами:

X, (х)Уп (у )Ткп«) = а2 (X, (х)Уп (у) + X, (х)У (у)) (Т^ «) + Ткп (/)} = 0. Отсюда, предполагая, что ТП + Ткп ф 0, и разделяя переменные, получим

Тп = х;

а2(Ткп + Тп) X, (х) Уп (у) Так как слева стоит функция, зависящая только от t, а справа - от (х, у), то это возможно, только если и левая, и правая части этого равенства равны константе. Итак, 3\п такая, что

Т„ +Л + Т„) = ^ + Щ = \п. <7>

Но сумма функций, одна из которых зависит только от х, а вторая - только от у, может быть константой лишь в случае, если обе эти функции - константы. Тогда 3^/с и чп такие, что

Таким образом, естественно начать решение задачи (1)-(3) с решения двух задач Штурма-Лиувилля - для X, (х) и для Уп (у).

Краевые условия дают для функций X,(х) и Уп(у) выполнение равенств:

X,(0) = X,(I) = 0, Уп(0) = Уп(т) = 0.. Итак, функции X, (х) и Уп (у) есть решения задачи Штурма-Лиувилля: X-, (х) + т Xк (х) = 0, [у; (у) + V У (т) = 0,

Хк

Собственные значения и собственные функции первой задачи (8) будут иметь вид:

m к= (kpJ, Хк(X) = sinкрх,к = 1,2,..., и образуют ортонормированный базис в пространстве L2(0,/). А для второй задачи

Vn= Ít) , Yn

k=l n=1

Tn + alJTn + Tn) = 0, f > 0, l =|РЧ + ipmi

В силу соотношения uk + vn = 1n для функций Tkn (t) имеем уравнение:

\ 2 / 1 f pm

/ J + Ьт.

Разложим функцию ((x,y) в ряд по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля:

( У) = t t Xk (x )Y¡ (У (,

k=1 n=1

где

IT 00 l m

А поскольку начальное условие u(x,y,0) = ((x,y) будет заведомо выполнено, если

Tkn(0) = (kn, то для функций Tkn(t) имеем задачу Коши:

T'nn + a2lkn

Tkn (0) = (kn.

Для каждого 1k из (12) находим

( о2

Tk„ (f) = С exp

a \n f

1 + a21k„ J

где С - произвольная постоянная. Подставив Ткп(?) в начальное условие Ткп(0) = сркп, получим, что С = (кп, откуда

^ a2lkn f |

1 + a21.

Ткп ) = (кп еХР

После подстановки найденных Ткп ) в искомый вид решения (4), получим

^ a2Ákn Л . kp . np ....

-—k^f Isin —xsin—У

v 1 + a1kn J 1 m

УЛ) = ХХ( ехР

к=1 п=1

Нетрудно показать, что функция, определённая по формуле (13), удовлетворяет уравнению (1) и граничным условиям (3).

Далее докажем, что ряд (13) с коэффициентами (ркп, определяемыми по формуле (10), удовлетворяет всем условиям задачи (1)-(3).

Для равномерной сходимости ряда (13) достаточно, чтобы мажорантный для него ряд

XXК сходился, а это зависит от начальной функции ((х,у). Так как

к=1 п=1

((х,у) е С1(П), ((0,у) = ((/,у) = 0, ((х,0) = (х,т) = 0 , то из (11), интегрируя по частям, получим

(к" = "Г" =

/т / т

оо . т

lm kp г np

knp21 R(^)cos тXcos nmdxdh=kp jk n,

где

j=m .i m j (h, h) cos x cos—hcfxcfh

/m 00 I m

• , kp J- 2 kpx I

Но cos—x - ортогональная система в L2(0,I), и . cos2-dx = — , следовательно, по

1 i-i 1 2

неравенству Бесселя

2 4 1т

£ £Ы < тИЫ(x, y)Гdxdy .

*=1 п=1 "" 0 0

Поэтому из неравенства Коши-Буняковского получаем

££ Ы = ££

4

^р

,2 ГКп

(

<

£

2

1<р

2

1/2

(

£

2

тр

21

21

< ¥ .

Следовательно, ряд ££ |ып| сходится.

Легко видеть, что ряд

|и(x,у,t^ <-= ££Ыехр

\1т ,=1 п=1

^ ,2

а 1,

1 + а21

2 о 0

to I < соп^££

где е =

а21.

1 + а21,

, тоже сходится. Отсюда, по теореме Вейерштрасса, функциональный ряд

сходится равномерно на П при "t > 0 к непрерывной по х,у функции, откуда, в свою очередь, вытекает, что (11) удовлетворяет граничным условиям (3) и начальному условию (2). Чтобы сходилась равномерно ряды

а21,

и ,(х у^) = -££. + о 1 ы ехр

,=1 п=1 1 + а 1п

( а2Лкп Л . Ир . пр

--2<^t IБ\П-хБ\П-у ,

V 1 + а21п У 1 т

Аи( х, y,t) = ££

(г, \2 , \2\

kp) ( пр

-) + V т

2

\п еХР

а 1,

\

V 1 + а 1 у

. . пр

Б\П-х Б\П-у ,

I т

Аи, (х, y,t) = -££

kp\ (пр

~г ) +1пр

а21.

1 + а21,

х ехр

с а2 7 ^ а 1 t

1 + а 1

Кп

. . пр

Б1П-х Б1П-у

I т

надо, чтобы сходился мажорантный ряд £,2|ы|. Учитывая условия, наложенные на функции

Ы(х,у), и интегрируя два раза по частям из (13), получим

4 1т

\ \Ы(£,т)Бт—£б1п И I т

х{| (Ы + Ы)(%,Л)Б\П ^р Хб1П—6%С!т

по 1 т

1т

(

т

р)

т

{pk)

(Ы+Ып),

где

ат-^ [? ы'(£,т)соб ^^П—6%С!Т1, 1т р )3 0 0 I т

4 т3 ...е . г  пр .... -—ггi \%(%Т)СОБ—хб\п—dXdт. (рп) 00 | т

-г I /п 1\ Г 2 ,рх . I

Так как соб—х - ортогональная система в L2(0,l) и \ соб2—бх = — , то, по неравен-

ству Бесселя, имеем

,=1 п=1

, =1 п=1

,=1

п=1

у V,=1 ,=1 у

, =1 п =1

е„ г,

,=1 п=1

,=1 п=1

х

,=1 п=1

,=1

т

3

I

х

п

13

Ек* £т1к'(х,у) Ек' £—||к'(х,У) ^<-

к=1 ' 0 *=1 — О

т.е. ряд ЕЕ(|кк'Г +|кТ) сходится.

к=1 п=1 ^ '

Тогда, с учетом (14) и неравенства Коши-Буняковского, имеем

/3

Е *2 к = Е *2

к=1 к=1

ЕЕ *2 к=ЕЕ *2

к =1 ... |2 \

р'и3 /3

к

ж3*

-к

/2 ^ 1, ж *=1 *

< .Л Е-I

< ж2 Е *1

/ 2 " 1 » <"2(Е + Ек ) <¥ ,

ж *=1 * *=1

/2 - 1 - 2 < + Ек ) <¥,

ж * = 1 * * = 1

т.е. ряд ЕЕ

*=1 п =1

сходится.

Отсюда следует, согласно признаку равномерной сходимости функционального ряда,

абсолютная и равномерная сходимость рядов Е " ""

Теорема доказана.

* =1 91

Е9 * к 9х2

ЕЕ

Ь 9х 29г'

Список литературы:

1. Аблабеков Б.С. Обратные задачи для псевдопараболических уравнений. - Бишкек: Илим, 2001. - 181 с.

2. Аблабеков Б.С. Фундаментальное решение задачи Коши для двумерного уравнения фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде // Известия КГТУ им. И. Раззакова. - Бишкек, 2009. - № 9. - С. 8-101.

3. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах // Прикладная математика и механика. - 1960. - Т. 24, № 5. - С. 852-864.

4. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа [Текст] / А.Г. Свешников, А.Б. Альшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. - М.: Физматлит, 2007. - 736 с.

* =1