Резонансное усиление эффекта Фарадея в диэлектрических многослойных наноструктурах

Вестник Челябинского государственного университета. 2015. № 22 (377). Физика. Вып. 21. С. 83-88.

УДК 537.6, 537.311.33

РЕЗОНАНСНОЕ УСИЛЕНИЕ ЭФФЕКТА ФАРАДЕЯ В ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МНОГОСЛОЙНЫХ НАНОСТРУКТУРАХ

М. Р. Жумаев, М. З. Шарипов

Бухарский инженерно-технологический институт, Бухара, Республика Узбекистан

Исследовано явление поворота угла плоскости поляризации в диэлектрических средах и найдены условия усиления эффекта Фарадея в многослойных нано размерных структурах.

Ключевые слова: эффект Фарадея, резонансное усиление, показатель преломления, световое поле, поляризация.

Введение

Основной проблемой проектирования одномерных наноструктур для различных применений является увеличение величины угла поворота плоскости поляризации и интенсивности света, распространяющегося через многослойные кристаллы.

В настоящей работе исследуются выше названные задачи для наноразмерных многослойных немагнитных диэлектрических кристаллов. Этот выбор обусловлен тем, что только в чисто диэлектрических материалах возможно возбуждение волноводных мод. В то же время в металло-диэлектрических структурах происходят связанные колебания электронов и локализованного электромагнитного поля.

Вращения плоскости поляризации в диэлектрических средах

Диэлектрическая проницаемость изотропных и однородных сред, согласно теории Максвелла, определяется следующим выражением [1]:

в = 1+а.

Здесь а характеризует поляризуемость среды и определяет результирующий электрический дипольный момент электронов в единице объёма

Р = = е 0 аЕ0,

где N — концентрация электронов; ц = -е — заряд электрона; г0 — амплитуда смещения электрона относительно его положения равновесия;

е0 — электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума);

Е0 — амплитуда напряжённости электрического поля света.

Следовательно, для нахождения поляризумости диэлектрика а и его диэлектрической проницае-

мости е амплитуду электронных колебаний г0 надо выражать через амплитуду поля Е0 . Строго говоря, в этом случае следует рассматривать коллективизированные колебания электронов, так называемую волну поляризации, вместе с электромагнитным полем [2]. Но мы далее ограничимся случаем, когда задачу можно решать в линейном приближении.

В этом примере электрическое поле света можно считать однородным, а также полагать, что квази упругая возвращающая сила и сила сопротивления, действующие на электрон тоже линейны, то есть пропорциональна его смещению г и скорости 9.

Таким образом, в линейном приближении уравнение движения электронов можно записать в следующем виде:

й 9

m— = -ar + bü + q [Ё + [Ü, B ]),

где а — эффективный коэффициент упругости;

Ь — эффективный коэффициент сопротивления;

Е = (Ех, Еу ,0) — напряжённость электрического поля электромагнитной волны;

В = (0,0, В) — индукция приложенного магнитного поля.

Далее, записывая векторное уравнение движения (3) в скалярном виде, получаем следующую систему уравнений связанных колебаний:

й 9

т—— = -ах - Ь9х + цЕх + цВ9 у

dt

d г__

dt

= -ay - b9 у + qEy - qBüx

Последнюю систему уравнений движения можно решать, воспользовавшись её линейностью, полагая

Е = Е0 еш, г = г0 еш

и сведя её к системе линейных уравнений относительно составляющих

г0 = -V + Уо!. Однако применение преобразования

X = 2

E = 1(£+ + E " ), E =- - (E+- ET ) X 2 y 2

позволяет свести систему уравнении связанных колебаний к виду

mr + = - ar + - br + + qE + - iqBr+ mr - = - ar - - br - + qE - + iqBr -

то есть к системе независимых колебаний относи-

тельно переменных r и r .

Теперь, как обычно, считая, что

из системы (6) находим

qEo

(a - ma2 + qBa) + iba

Наконец, с помощью (2), учитывая выражения (9), определяем поляризуемость диэлектрической среды:

Ne2

а =

s0 |(a±eBa-ma2) + iba

Таким образом, благодаря действию внешнего магнитного поля с индукцией, перпендикулярной к диэлектрической среде, появляется двуполяри-зуемость среды: различие поляризуемостей право-(а+) и лево- (а") поляризованных составляющих света (е = 1,6 10-19 Кл — величина элементарного заряда, т — масса электрона).

Завершая раздел, находим выражения составляющих напряжённости электрического поля электромагнитной волны считая, что

Е+ = Е0 = Е0 и к = (0,0, к).

Тогда

77 ± 77 iat - ikn z :

E = Eoe e , n

где п — показатели преломления право- и лево-поляризованных компонент света; к — волновой вектор светового поля.

Далее, учитывая (11) и нижние выражения системы преобразования (6), определяем ЕХ и ЕУ:

. -L ( k ++ k - ) z

= E0 eiate 2 ,

cos(-z ),

2

• ( k -- k + ) sin(-z).

Отсюда следует, что происходит поворот плоскости поляризации электромагнитной волны (эффект Фарадея), величина угла вращения определяется разностью показателей преломления право- (п ) и лево- (п) поляризованных составляющих света:

ф(z) =— (n~ - n+ )z, 2с

где а — циклическая частота светового поля; с — скорость света в вакууме.

Увеличение фарадеевского угла вращения под действием внешнего поля

Теперь исследуем угол поворота плоскости поляризации в диэлектрическом слое толщиной ё:

a

ф = — (n - n )d. 2с

Выражения для разностей показателей преломления право- (п ) и лева (п ) поляризованных волн удаётся упростить, учитывая, что для диэлектрических сред поляризуемость а намного меньше единицы, то есть а± << 1. Тогда, согласно выражениям (1) и (11), получаем

n - n+ » -^(а -а+ ). 2

Далее, вводя функции

Л± = a ± eBa-ma2 + iba,

разность показателей преломления приведем к следующему виду:

_ + Ne2 A - A

n -n

-—1-V • 2eBa.

2so Л1 + Л2

Здесь А1 и А2 действительные и мнимые части произведения функций А+ и А", которые определяются согласно (16) и (17) следующими выражениями:

А1 = т2 а4-а2

Л2 = 2ba(a-ma2).

Как видно из (17) и (18), разность показателей преломления п~-п+ является сложной функцией циклической частоты световой волны а. Поэтому далее ограничиваемся анализом случая А2 = 0. Тогда из (18.2) следует, что

а1 = 0, а2 = .— =ас, (19) I т

где ас — циклическая частота собственных колебаний электронов.

Следовательно, при ш1 = 0, то есть под действием постоянного электрического поля различие поляризуемостей право- (а) и лево- (а) поляризованных световых волн исчезнет, эффект Фара-дея не будет происходить. Однако при частоте светового поля равной частоте собственных колебаний электронов из (17) следует, что, во первых, разность мнимых частей комплексных показателей преломлений право- (п+) и лево- (п) поляризованных компонент света равна нулю; во вторых, модуль фарадеевского угла вращения будет определяться разностью действительных частей (п ) и (и~) и будет выражаться следующим образом:

2s0c

+ е2 B2

Из последнего выражения вытекает, что модуль фарадеевского угла вращения будет максимальной при значении индукции внешнего магнитного поля (которую называем критическим) (см. рис. 1):

* - е-

Максимальное значение модуля фарадеевского угла вращения при этом будет равно

т1 й

4s0bc

Рис. 1. Зависимость разности показателей преломления право- и левополяризованных электромагнитных волн от индукции магнитного поля

Далее, учитывая, что статическая поляризуемость диэлектрической среды определяется выражением

те2

е0а

предыдущее соотношение можно записать в виде

к^й )| ^аот.

Так как обычно циклическая частота собственных колебаний электронов (шс = урт) существенно

преобладает над циклической частотой затуханий света (шз = Ь/т), то максимальная разность поляри-зуемостей право- (а) и лево- (а) поляризованных составляющих светового поля будет равна

max(a -a+ ) -a0

Таким образом, если частота световой волны равна частоте собственных колебаний электронов, а индукция внешнего магнитного поля равна Вкр (21), то максимальную разность поляризуемости лево- (а) и право- (а) поляризованных составляющих света можно увеличить на два-три порядка, поскольку шз / шс « 10-3-10-2 [3-4].

Заключая раздел, приведём выражение максимального значения модуля фарадеевского вращения (22) к следующему удобному для приложений виду:

, , а0 шс 1 2%й шс

т макс I Л с * л 0 V /

4с шз 4 Х0 шз

Здесь Х0 — длина волны света в вакууме.

Усиление магнитооптических эффектов в многослойных наноструктурах

Как было показано в предыдущем разделе, разность показателей преломления, а также величину фарадеевского угла вращения можно существенно увеличить при ю = юс действием небольшого внешнего магнитного поля. Это связано с тем, что удельный заряд электрона очень большой (~1,71011 Кл/кг).

В то же время разность мнимых частей комплексных показателей преломления право- (а) и лево- (а) поляризованных составляющих света равна нулю. В противном случае, если 1т(и~ - п ) Ф 0, то амплитуда светового поля будет уменьшаться при прохождении через среду экспоненциальным образом.

Таким образом, даже при наличии поглощения в диэлектрических средах можно усилить магнитооптические эффекты вышеуказанным способом. Но есть также и другие способы их усиления, в том числе на основе многослойных наноструктур. В последнем случае используется многократное прохождение и отражение света через периодически полислойных сред или кристаллов.

Далее для конкретности рассмотрим распространения света через диэлектрический слой с проницаемостью е2, ограниченный плоскостями г = 0 и г = й, который разделяет диэлектрические среды с проницаемостями 81 и е3.

Пусть на этот слой к его поверхности падает из области г < 0 электромагнитная волна. Мы хотим определить, при выполнении каких условий коэффициент отражения диэлектрического слоя будет минимальным. Ясно, что только в этом случае коэффициент прохождения будет максимальным, возможно усиление магнитооптических эффектов в многослойных структурах.

Отметим, что коэффициент отражения диэлектрического слоя можно найти двумя способами.

Первый метод осуществляется с помощью условий непрерывности электрического поля и его производной на границах соприкасающихся слоёв, то есть при г = 0 и г = ё. В этом случае надо решать систему алгебраических уравнений, которая определяет: амплитуду отражённого поля в первую среду, амплитуду поля в промежуточном слое (распространяющихся в противоположных направлениях) и амплитуду прошедшего поля в третью среду. Когда аналогичная проблема решается для многослойных структур с конечно-размерными слоями (например, четыре или пятислойная структура), эта система существенно осложняется, поэтому применяется численный способ решения (так называемый метод матриц распространения) [3-5].

Второй метод основан на использования формул Френеля для нахождения и отражения коэффициентов прохождения и отражения от соприкасающихся слоёв. В этом случае результирующий коэффициент отражения находится как сумма амплитуд многократных отражений:

Я = а12 + Р12а 23Р21 ^[а 21а 23 ехр

£ =1

2п

Здесь а* =

п - п,.

п + п.

Р* =-

а

к2 =— п2 с

. -

* п + щ с

описывают парциальные коэффициенты отражения и прохождения от соприкасающихся слоёв, к2 — волновой вектор света во втором, то есть в промежуточном слое.

Далее, используя формулу для бесконечно убывающей геометрической прогрессии (так как |ах21, |а231 < 1) и учитывая (27)-(28), получаем для коэффициента отражения от подобной трёхслойной структуры следующее выражение [6-7]

Я =

а12 +а „е^ 1 + а12а23е~2'Мг '

Теперь, используя (29), можно найти коэффициент отражения от многослойной структуры умножением коэффициентов отражения последовательно следующих слоёв:

Я =

П"Г

/= 0 1

1,1+1^ "7+1,/+2е

Здесь £ — номер слоя, с которого падает свет на последующие слои. Обычно вне диэлектрических мультислоёв располагается вакуум или воздух.

Следовательно, коэффициент отражения от одной трёхслойной структуры будет равняться нулю при выполнении следующих двух условий:

|а=|а,+ 1,, + 2 | ' (31.1) Ф,+1,,+2 - Ф,+1 - 2*+А+1 = 42 / +1). (31.2) Здесь / — произвольное целое число, ф;>;+1 — аргумент комплексного парциального коэффициента отражения.

Нетрудно убедиться, что условия (31.1)—(31.2) приводят при , = 1 к следующим соотношениям:

п3Х12 - п1Х32

tg (2к2 ё) =

п2

п1%3 + п3%1

Здесь пь п2 и п3 — показатели преломления диэлектрических сред, XI и х3 — показатели поглощения крайних слоёв, причём промежуточный слой считается прозрачным, то есть = 0. Очевидно, последнее принято только для упрощения окончательных формул системы (32).

Таким образом, если парциальные коэффициенты отражения соприкасающихся слоёв при произвольном I удовлетворяют условия (31.1) и (31.2), свет проходит в эту мультиструктуру не отражаясь, то есть полностью. Естественно, последнее заключение сохраняет силу для право- и левопо-ляризованных составляющих светового поля.

Заключая раздел, приведём выражение показателей преломление право- (+) и лево- (-) поляризованных компонент света в области частот, вблизи

_ еВ

резонансных частот, то есть при а +--а

2т

которое следует из (17) в этом приближении:

п = 1 + -

± еВ

ас ±--а

2т

еВ

4-I а„ ± —

2т

± еВ

ас ±--а

2т

+ ( 2т,

^ 0,

Здесь аэл = .

Ше2

те„

электронная плазменная

частота.

Таким образом, в области частот вблизи резонанса можно усилить магнитооптические эффекты, в том числе увеличить фарадеевский угол вращения, выбирая циклическую частоту света а так, чтобы разность показателей преломление право- (п ) и лево- (п ) поляризованных световых волн был наибольшей (рис. 2).

2

-2'кмй

а а

4 10*

2 1СГ6 О

- 2 10 е

- 4 10 е

SS -

&

б

4 КГ6 2 10"°

О

-2 10-"

- 4 1(Г6

88

Рис. 2. Дисперсионные

кривые: а) правополяризованных (+); б) левополяризованных (—) световых волн

Заключение

В работе исследован эффект Фарадея в многослойных диэлектрических наноструктур. Получены следующие результаты.

1. В чисто диэлектрических средах возможно возникновение магнитооптических эффектов под действием внешнего постоянного магнитного поля.

2. При частоте света, равной частоте собственных колебаний электронов, можно максимально

увеличить угол фарадеевского вращения при критической индукции магнитного поля.

3. Найдены условия усиления рассмотренных явлений в многослойных наноструктурах вблизи резонансных частот показателей преломления право-и левополяризованных компонент светового поля.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов ЁФ2-ОТ-0-19724 и ЁФ2-4 ККРНиТ при КМ РУз

Список литературы

1. Ахманов, С. А. Физическая оптика / С. А. Ахманов, С. Ю. Никитин. - М. : МГУ, 1998. - 656 с.

2. Звездин, А. К. Фазовые переходы и гигантский магнитоэлектрический эффект в мультиферроиках / А. К.Звездин, А. П. Пятаков // Успехи физ. наук. - 2004. - Т 4. - С. 465-470.

3. Belotelov, V. I. Enhanced magneto-optical effects in magnetoplasmonic crystals / V. I. Belotelov, I. A. Akimov, M. Pohl [et al.] // Nature Nanotechnology. - 2011. - Vol. 6. - P. 370-376.

4. Михайлова, Т. В. Одномерные магнитофотонные кристаллы с модифицированным магнитоактив-ным слоем : дис. ... канд. физ.-мат. наук / Т. В. Михайлова. - Симферополь, 2014. - 147 с.

5. Grunin, A. A. Magneto-optical response enhancement in 1d and 2d magnetoplasmonic crystals / A. A. Grunin, A. G. Zhdanov [et al.] // Proceedings of SPIE. - 2009. - Vol. 7353. - P. 73530F-1-73530F-10.

6. Шарипов, М. З. Исследование линейных магнитооптических эффектов во многослойных магнитных структурах : магистер. дис. / М. З. Шарипов. - Бухара. 2004.

7. Шарипов, М. З. Определения условий усиления магнитооптического эффекта Керра в трёхслойных структурах / М. З. Шарипов, М. Р. Жумаев, Д. Э. Хайитов [и др.] // Апробация. - 2014. - № 2 (17). - С. 7-10.

Поступила в редакцию 19 августа 2015 г.

Сведения об авторах

Жумаев Мустаким Рофиевич — кандидат физико-математических наук, профессор кафедры физики Бухарского инженерно-технологического института, Бухара, Республика Узбекистан. mrjumaev2011@mail.ru.

Шарипов Мирзо Зокирович — кандидат физико-математический наук, заведующий кафедрой физики Бухарского инженерно-технологического института, Бухара, Республика Узбекистан. m.z.sharipov@rambler.ru.

Bulletin of Chelyabinsk State University. 2015. № 22 (377). Physics. Issue 21. P. 83-88.

RESONANT ENHANCEMENT OF THE FARADAY EFFECT IN A DIELECTRIC MULTILAYER NANOSTRUCTURES

M. R. Zhumaev, M. Z. Sharipov

Bukhara Institute Of High Technologies, Bukhara, Republic Of Uzbekistan

Corresponding author M. Z. Sharipov, m.z.sharipov@rambler.ru

Studied of the phenomenon of rotation angle of the plane of polarization in dielectric media and found the conditions enhance the Faraday effect in multi-dimensional nano structures.

Keywords: Faraday effect, resonant amplification, index of refraction, the light field polarization.

References

1. Akhmanov S.A., Nikitin S.Yu. Fizicheskaya optika [Physical Optics]. Moscow, Moscow State Univ. Publ., 1998. 656 p. (In Russ.).

2. Zvezdin A.K., Pyatakov A.P. Fazovye perekhody i gigantskiy magnitoelektricheskiy effekt v mul'tiferroikakh [Phase transitions and the giant magnetoelectric effect in multiferroics]. Uspekhi fizicheskikh nauk [Advances in Physical Sciences], 2004, vol. 4, pp. 465-470. (In Russ.).

3. Belotelov V.I., Akimov I.A., Pohl M., Kotov V.A., Kasture S., Vengurlekar A.S., Gopal A.V, Yakovlev D., Zvezdin A.K., Bayer M. Enhanced magneto-optical effects in magnetoplasmonic crystals. Nature Nanotechnology, 2011, vol. 6, pp. 370-376.

4. Mikhaylova T.V Odnomernye magnitofotonnye kristally s modificirovannym magnitoaktivnym sloem: dis. ... kand.fiz.-mat. nauk [The one-dimensional magnetic photonic crystals with a modified magnetic active layer. Thesis]. Simferopol, 2014. 147 p. (In Russ.).

5. Grunin A.A., Zhdanov A.G., Tsema B.B., Ezhov A.A., Dolgova T.V., Ganshina E.A., Hong M.H., Fedyanin A.A. Magneto-optical response enhancement in 1d and 2d magnetoplasmonic crystals. Proceedings of SPIE, 2009, vol. 7353, pp. 73530F-1-73530F-10.

6. Sharipov M.Z. Issledovanie lineynykh magnitoopticheskikh effektov vo mnogosloynykh magnitnykh strukturakh: magister. dis. [Study of linear magneto-optical effects in multilayer magnetic structures. Thesis]. Bukhara, 2004.

7. Sharipov M.Z., Zhumaev M.R., Khayitov D. E., Urunov R.Zh., Khallokov F.K. Opredeleniya usloviy usileniya magnitoopticheskogo effekta Kerra v trekhsloynykh strukturakh [Certain conditions, strengthen the magneto-optical Kerr effect in sandwich structures]. Aprobatsiya [Testing], 2014, no. 2 (17), pp. 7-10. (In Russ.).

Submitted 19 August 2015