Методика контекстного формирования у будущих учителей математики представления о методическом объекте - «Методика работы с теоремой и ее доказательством»

Стаж сорокалетней работы в подготовке учителей начальных классов дает основание утверждать: не нужно думать, что подбор интересного лекционного материала или задач для семинарских занятий требует особого таланта от лектора или преподавателя. Многое зависит только от того, как поставить даже совершенного очевидный вопрос, и от того, как вовлечь всех студентов в обсуждение сложившейся ситуации. Без преувеличения можно сказать, что интерес - лучший проводник науки в сознание человека. И потому обучение необходимо строить не на принципе долга и воли («Я должен...»), а на интересе («Я хочу...»). Интерес воодушевляет человека, пробуждает в нем волю к достижению цели, окрыляет его.

В заключение сделаем несколько частных замечаний:

1. Для оказания помощи студентам в овладении учебным предметом, обеспечении прочности знаний, лектор не должен спешить при изложении элементарных, начальных, так называемых, простейших вопросов курса, так как для студента на самом деле они далеко не всегда так просты, как это кажется, хотя и требуют знания понятийного математического аппарата. В процессе изложения наиболее трудных тем курса важно, чтобы студент не упускал из виду основных проблем и ясно отдавал себе отчет в том, какую роль, изучаемая в данный момент тема, играет для всего курса, поскольку трудность отдельных доказательств лежит не в непонятных выкладках, а в непонятном смысле изучаемой темы, проблемы.

2. Заключительные темы, разделы курса математики должны сопровождаться обстоятельными замечаниями итогового и обобщающего характера, указывающими на их место и роль в науке и т.д. Студент этого сделать не может, поскольку умение задать вопросы, обобщив изложенный материал, требует широких и глубоких знаний предмета и его приложений, заведомо еще не доступных студенту.

3. Завершение курса (или раздела) должно перекликаться с его введением. Курс должен заканчиваться так, чтобы студент видел, что предмет не просто оборвался на какой-то теореме за истечением отведенного на него времени, а завершается в виду разрешения тех проблем, которые были поставлены вначале изучения раздела, курса. И если некоторые из этих проблем были решены раньше (в середине курса), то следует хотя бы путем перечисления напомнить о них, подведя тем самым итог.

Таким образом, студент педагогического института должен знать, чем изучаемый предмет помог ему как будущему учителю, осветить с точки зрения высшей математики определенные вопросы школьного курса математики.

«Вот чего я достиг, изучив этот предмет, вот результаты моего труда!» - должен чувствовать студент, подходя к концу изучения курса.

М.Г. Макарченко

МЕТОДИКА КОНТЕКСТНОГО ФОРМИРОВАНИЯ У БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О МЕТОДИЧЕСКОМ ОБЪЕКТЕ -«МЕТОДИКА РАБОТЫ С ТЕОРЕМОЙ И ЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВОМ»

Под методическим объектом (МО) понимаем компонент школьного математического образования (КШМО), целостно представленный в полной или частичной методической обработке.

Под деятельностно-ориентированным методическим объектом (ДОМО) понимаем прообраз МО, осмысленный субъектом на разных уровнях взаимосвязи теории МО и собственных действий, которые осуществлены в реальной образовательной или квазипрофессиональной деятельно-стях.

Формирование МО проходит циклы: образ восприятия МО, представления МО, обобщенного представления МО и собственно понятия МО. Полное формирование МО требует организации следующих этапов.

Образ восприятия МО. 1. Изучение субъектного опыта (СО) студента: а) выявление знаний, связанных с КШМО; б) выявление умений в создании ДОМО; в) выявление знаний, связанных с МО. 2. Актуализация необходимости изучения теории МО. 3. Пополнение СО студента.

Представление МО. 4. Самостоятельное пополнение СО: изучение части теории МО. 5. Выявление СО и актуализация необходимости освоения методических действий. 6. Разработка и создание части ДОМО. 7. Практическое пополнение СО: обсуждение результатов и подведение итогов создания ДОМО: выявление осмысленного и неосмысленного.

Обобщенное представление МО. 8. Теоретическое или практическое пополнение СО студента: теоретическое - если получено новое качество осмысления МО, практическое - если изменять масштаб восприятия еще рано. 9. Выявление СО студента и актуализация необходимости изменения масштаба восприятия МО. Повторное создание ДОМО. 10. Пополнение СО: рефлексия результатов создания ДОМО: выявление индивидуальных особенностей и способностей студентов.

Собственно понятие МО. 11. Создание МО: а) в крупном блоке; б) в условиях уменьшения масштаба восприятия МО. 12. Выявление СО: создание соответствующего ДОМО. 13. Пополнение СО: рефлексия результатов создания ДОМО: подведение итогов.

В данной статье речь пойдет о формировании МО на первом и втором циклах, т.е. вплоть до - представления МО.

I. Цикл - образ восприятия МО. Первый этап, его задачами являются: 1) выявление у студентов знаний некоторых формулировок теорем и их доказательств; 2) выявление у студентов умений передавать знание теоремы и ее доказательства «ученикам»; 3) выявление у студентов знаний о теореме, доказательстве и методике работы с ними как с понятиями курса теории и методики обучения математики (ТМОМ).

Для решения первой задачи на первом занятии по ТМОМ студентам предлагается письменно сформулировать и доказать теоремы: свойство параллелограмма о равенстве сторон; теорему о сумме углов треугольника; теорему «неравенство треугольника».

Это задание позволяет, во-первых, обратить внимание студентов на три аспекта их «видения» теорем: 1) им легко и быстро сформулировать теорему, обозначить идею ее доказательства и доказать (хотя прошло два года обучения в вузе, а не в школе), 2) студентам легко сформулировать и доказать теорему, но очень трудно выделить идею ее доказательства и 3) наличие теорем (например, «неравенство треугольника»), которые студентам сформулировать не просто, а к доказательству перейти сложно, почти невозможно. Во-вторых, даже частичное выполнение этого задания дает возможность перейти к решению второй задачи - выявление умений по передаче математических знаний.

Решение этой задачи предваряется выполнением задания: «Какие трудности Вы можете встретить при организации изучения «свойства параллелограмма» с учениками школы?». Студенты, как правило, считают, что никаких трудностей с этой теоремой у них не будет. Предлагаем желающим это продемонстрировать, организовав квазиучебный школьный процесс. Преподаватель ТМОМ кратко разъясняет студентам их роли, правила действий. Анализ созданной учебной методико-математической ситуации (УММС) показывает: 1) очень трудно, но крайне необходимо, выявить положительные стороны созданного квазиучебного процесса и приписать их студенту, выполняющему роль учителя; 2) выявлять достоинства и недостатки действий «учителя» следует с обсуждения достоинств, мнение преподавателя ТМОМ должно быть заключительным; 3) негативные стороны организации квазиучебного процесса следует ненавязчиво «распространить» и на других - на всех остальных студентов; 4) если найдутся студенты, которые считают, что эти недостатки к ним не относятся, то предложить им создать «свою УММС»; 5) выявленные недостатки, как правило, имеют отношения к внешним аспектам деятельности студента - наблюдаемым сторонам, созданного ДОМО; 6) корректировка структуры внешних действий не делает вторую пробу лучше первой, но ее желательно провести, чтобы сконцентрировать внимание студентов на необходимости тщательно и глубоко изучать теорию МО.

Заметим, что некоторые элементы теории МО - «методика изучения теорем и их доказательств» знакомы студентам. В связи с этим следует выявить соответствующие знания, изначально находящиеся в СО студента.

Переходим к методике решения третьей задачи.

Для этого предлагаем студентам письменно ответить на следующие вопросы:

1) сформулируйте определение понятия «теорема».

2) определите термин «доказательство» или перечислите слова, которые могли бы, на ваш

взгляд, лежать в основе такого определения.

3) как вы понимаете термин «идея доказательства теоремы»? Укажите хотя бы одну «идею».

4) какие виды теорем вы знаете?

5) какие методы доказательства теорем вы знаете?

6) вспомните, как ваш учитель математики организовывал изучение теорем и их доказательств? Сформулируйте этапы работы с теоремой.

Получив письменные ответы, преподаватель ТМОМ должен на доске выписать ключевые слова отдельно по каждому вопросу.

Это целесообразно сделать для выявления объективных и субъективных элементов представлений студентов, связанных с МО - методика работы с теоремой и её доказательством. Можно считать, что условно на этом первый этап завершается и закономерно переходит в следующий. Этап актуализации необходимости изучения теории рассматриваемого МО.

Первым шагом этого этапа является установление соответствия между выявленными знаниями и реально выполняемыми умениями. Для описания результатов установления этого соответствия представим результаты качественного анализа ответов на вышеприведенные вопросы.

Правильно понимая под теоремой «утверждение, которое требует доказательства», студенты не могли продемонстрировать переход от ее условия к заключению в ходе организации «урока» по объяснению теоремы. Условие и заключение не были выделены в действиях, эти действия как бы предполагались, как бы домысливались со стороны.

На второй вопрос студенты не дали полных правильных ответов. Однако, почти все студенты ассоциировали «доказательство» со словами «процесс», «последовательность шагов», «рассуждение». В действиях у доски приведенные ассоциации реализованы не были: шаги доказательства не отделялись друг от друга; рассуждения предъявлялись в основном в виде утверждений, а иногда - в виде утверждений и части аргументов.

Термин «идея доказательства» одна часть студентов ассоциирует со словом «главное», причем расшифровать смысл этого слова студенты не могут. Другая часть студентов видит в «идее» дополнительное построение (например, провести диагональ параллелограмма). В действиях студентов не было даже попытки выявить «главное» в доказательстве.

Виды теорем студенты соотносят с изучаемыми разделами математики, к методам доказательства относят: «обычное», «метод от противного» и, иногда, «метод математической индукции».

На шестой вопрос студенты отвечают: учитель в основном сам доказывал теорему в соответствии с текстом учебника. Лишь некоторые студенты отмечали использование учителем математики поиска доказательства теоремы. Этапов работы с теоремой студенты выделяют, как правило, три: формулировка теоремы, доказательство теоремы и применение теоремы.

Как видно из вышесказанного, «на входе» в изучение данного МО у студентов отсутствует целостное его представление. Отсутствие целостного представления закономерно отразилось в действиях студентов у доски. Как правило, после осуществления «действий у доски» все студенты понимают, что имевшиеся у них представления о собственных методических умениях не соответствую действительному положению, и они изменяются ближе к реалистичному. Можно считать, что на первом цикле выявленные знания соответствуют реализованным умениям, что выразилось в «хаотичности» действий «учителя», погружением «учителя» в собственные мысли и в отсутствии работы с «классом».

Из всего сказанного вытекает проблема, возникшая и в аудитории, и в сознании каждого студента (второй шаг) — изучить теорию МО и научиться его реализовывать. 1. Этап пополнения СО студента.

Не смотря на то, что вся предыдущая работа была направлена на выявление СО и проявившиеся методические знания и умения были очень низкого качества, пополнение СО все-таки уже

произошло самопознание «своего методического Я» привело к самопониманию необходимости познания методики. Не следует этот вывод оставлять без должного развития. Считаем целесообразным проведение беседы, результатом которой будет пополнение СО - осмысление студентами средств изменения данного положения дел и необходимость теоретического пополнения СО.

К средствам пополнения СО следует отнести: 1) первичное самостоятельное изучение теории МО по учебникам ТМОМ; 2) корректировка преподавателем ТМОМ смыслов самостоятельно изученных методических знаний; 3) создание ДОМО и анализ его результатов; 4) личностно — ориентированная корректировка преподавателем ТМОМ смыслов формируемых методических умений; 5) систематизация методических знаний и умений студентов, направленная на создание целостного образа МО.

В рамках этого цикла пополнение СО заключается: 1) в разъяснении предназначения изучаемого МО, возможных целей его использования; 2) в сообщении определения КШМО, например - целесообразно использовать определение теоремы и доказательства, приведенное А.А Столяром; 3) в разъяснении логики построения теоретического материала в учебнике ТМОМ; 4) в формулировке ближайших целей и задач изучения МО, а также перспективных целей и задач изучения курса ТМОМ.

В качестве перспективных учебных задач целесообразно выделить следующие: научиться разрабатывать и реализовывать методику работы с теоремой и ее доказательством; научиться осмысливать «себя в методике»: от субъективного «понимаю» и «могу» перейти к объективному; говоря себе «не понимаю» и «не могу», научиться выявлять соответствующий элемент (формулировать вопрос) и устанавливать причины.

Ближайшими учебными задачами следует считать: осмысление и изучение логических особенностей теоремы и доказательства; знать предназначение и содержание логико-математического анализа теоремы и доказательства; понять как особенности теоремы и доказательства влияют на разработку методики работы с ними.

II. Цикл формирования представления МО. 4. Самостоятельное пополнение СО: изучение части теории МО. 5. Выявление СО и актуализация необходимости освоения методических действий. 6. Разработка и создание части ДОМО. 7. Практическое пополнение СО: обсуждение результатов и подведение итогов создания ДОМО: выявление осмысленного и неосмысленного.

Опишем совместно четвертый и пятый этапы лишь иногда их условно отделяя друг от друга в описании.

Изучение теории МО. Деятельность, организованная преподавателем ТМОМ в ходе I цикла, привела к необходимости изучения теории, которая связана с рассматриваемым МО. Изучение теории студентами можно охарактеризовать так:

побуждающим моментом обращения к теории МО стал результат осознания студентами противоречий внутри собственной профессиональной составляющей СО; активизирующим моментом стало определение набора направлений работы, выделенных при подведении итогов I цикла и желание студентов приобрести личностно-значимые методические знания;

- деятельностный момент был определен самостоятельной работой студентов с учебно-методической литературой, результаты которой нуждаются в корректировке и контроле; содержательный момент включал в себя: первоначальное ознакомление с частью теоретического материала МО; обнаружение в нем «понимаемого» и «непонимаемого» материала на уровне самопознания; самостоятельное построение первого прообраза МО как целостного феномена;

организующим моментом явилось установление каждым студентом рефлексивной обратной связи с компонентами имеющегося и пополняемого собственного СО;

контролирующим и самоконтролирующим моментом было обращение к себе с помощью вопросов предстоящего семинарского занятия и последующих практических. Представляется целесообразным кратко раскрыть организацию последнего момента (контролирующего), который имел место на семинарском и практических занятиях.

Цели семинарского занятия:

1) выявить умениевую и знаниевую составляющие СО, пополненные студентами самостоятельно;

2) оказать помощь студентам: а) в осмыслении теории МО; б) в осознании качества собственных усилий в изучении теории МО.

Умениевая составляющая может выявляться двумя способами. Первый связан с выполнением кратковременной контрольной работы, например, следующего содержания.

1. Из данного набора суждений выделить: а) утверждения; б) теоремы. Определить их вид.

2. Какие структурные различия вы видите в следующих теоремах (они здесь не приводятся).

Укажите их, используя следующие схемы: А) А => В ; Б) 4(1 л В С; В) 4(1 V В С; Т)А ^лС; Д)Ух е А : Р(х);Е)Зх0 е А : Р(х0).

3. Перед вами краткие записи доказательств теорем (первая запись - логические шаги не отделены друг от друга; вторая - логические шаги отделены друг от друга, но отсутствует четность в их описании и нет полоты набора шагов; третья - не имеет недостатков первых двух и структура логического шага имеет вид: утверждение - аргументы). Охарактеризуйте каждую из них.

4. Составьте краткую запись доказательства теоремы: вертикальные углы равны.

Второй способ - это самостоятельное указание студентами на не освоенность «определенных» умений. Обычно этот способ студенты начинают использовать тогда, когда у них прогрессируют процессы самопознания и самопонимания.

Выявления умениевой составляющей СО студента позволяет судить о качестве осмысления им теоретического материала.

Перейдем к рассмотрению вопросов выявления знаниевой составляющей СО студентов, которая также пополнена ими самостоятельно.

В ходе семинарского занятия преподавателю следует выявить непонимание студентами частей и элементов теоретического материала. Средством выявления «этого» следует считать вопросы, которые студенты сами сформулировали в начале семинара в качестве трудных и до конца не осмысленных. Получив набор этих вопросов, преподавателю следует установить их последовательность и включить ее в общий список вопросов семинарского занятия. Обсуждая вопросы семинарского занятия, целесообразно особое внимание уделять «студенческим» вопросам. К поиску ответов на эти вопросы необходимо привлекать их авторов.

Опыт использования данного приема привел к необходимости анализировать качество самостоятельно пополненных знаниевой и умениевой составляющих СО. Результаты этого анализа свидетельствуют, во-первых, о необходимой организации совместной (студенты и преподаватель) взаимопополняемой корректировке обеих составляющих СО студентов. Во-вторых, качество овладения методическим умением во многом определяет осмысление теоретической методической информации. В-третьих, априорное понимание взаимосвязи качеств сформированности «умений и знаний» само по себе не побуждает студентов тщательно осмысливать теорию через практику; качество осмысления становится выше после личностного обнаружения действенной полезности вскрытия этой «взаимосвязи». В-четвертых, к умениям, которые необходимо корректировать, относим: проведение логико-математического анализа теоремы, выделение логических шагов доказательства и развернутое подведение утверждения под теорему. Например, СО, связанный с умением выделять логические шаги доказательства, можно охарактеризовать следующим образом:

1) до специальных разъяснений студент выделяет логический шаг согласно содержанию предложения в тексте доказательства, которое часто включает несколько логических шагов;

2) логический шаг студент описывает произвольно, вне определенной структуры (например, вне структуры: утверждение - аргументы); 3) часто выделенная студентом последовательность логических шагов не соответствует последовательности реальных рассуждений (пробелы, нарушение последовательности).

Заметим, что мотивация необходимости освоения этих умений, являясь личностно значимой, существенно влияет на качество овладения указанными умениями. Особенно роль мотивации важна при формировании умения проводить логико-математический анализ теоремы. При изуче-

нии простых теорем, глубокое осмысление разъяснительных частей которых не влияет на понимание шагов доказательства, мотивация изучения логико-математического анализа выглядит надуманной и может в глазах студентов потерять свою значимость. Повысить востребованность изучения логико-математического анализа теорем можно, соединив этот анализ с логико-математическим анализом идей доказательств теорем и с идейно-математическим анализом формулировок теорем.

Итак, результатами семинарского занятия следует считать: 1) изучение теории МО на лич-ностно значимом уровне и осмысление этого факта; 2) выявление проблем в понимании методической информации и овладение методическими умениями и придание им личностно значимого статуса; 3) возникновение необходимости повторного изучения теории МО; причем с осознанием объективности этого шага; 4) появление начальных навыков управления пополнением профессиональной составляющей собственного СО; 5) ощущение потребности в переходе от семинара к практическим занятиям и опять к семинару как средству переосмысления теоретического материала.

Хочется обратить внимание на тот факт, что изучение теории и овладение умениями остаются «открытыми», что свидетельствует о формировании кообраза МО, а не «жесткого, слабо поддающегося корректировке и пополнению» образа МО - методика работы с теоремой и ее доказательством - как это происходит в результате традиционного обучения ТМОМ.

Целями практического занятия являются:

1) изучение методических действий: логико-математический анализ теоремы, идеи ее доказательства, самого доказательства; идейно-математический анализ утверждений; подведение

утверждения под теорему; выделение логических шагов доказательства;

2) дальнейшее осмысление теории через практику;

3) выявление СО студентов, связанного с созданием ДОМО или его части.

Реализация первой цели осуществляется в соответствии с описаниями в пособиях [1; 2].

Достижение второй цели предполагает актуализацию взаимосвязей изучения методических

действий с логикой изучаемой теории. Локальное вскрытие взаимосвязей должно приводить к осмыслению труднопонимаемого аспекта теории и к включению его в собственную когнитивную структуру студента. Для этого можно использовать: 1) разъяснения в «нужном» месте; 2) двойные диалоги с заголовками теории (диалог 1 - диалог с заголовком теории, диалог 2 - диалог с заголовком теории через диалог с практическим заданием); 3) организацию проблемных ситуаций, разрешение которых направленно на установление нужной взаимосвязи. Глобальное вскрытие взаимосвязей должно приводить к осмыслению логики устройства методической структуры, к целостному представлению теории МО. Глобальные взаимосвязи поддаются осмыслению индивидуально, а не массово - указать на них необходимо, требовать «мгновенного» осмысления - нельзя.

Третья цель достигается аналогично тому, как выявлялся СО в ходе I цикла.

Таким образом, раскрыта организационная работа на 4 и 5 этапах, которые относятся ко II

циклу.

Обратимся теперь к описанию работы на 6 и 7 этапах этого цикла: 6. Разработка и создание части ДОМО. 7. Практическое пополнение СО: обсуждение результатов и подведение итогов создания ДОМО: выявление осмысленного и неосмысленного. Считаем, что даже условное разделение описаний 6 и 7 этапов существенно снизит качество описания данной методики.

Основной целью данного цикла следует считать создание ДОМО,который, во-первых, разрабатывается на основе изученного теоретического материала МО, а, во-вторых, - с опорой на «бумажный» и деятельностный образцы. Ориентируясь на эту цель и опираясь на СО студента, предлагаем студентам сначала самостоятельно создать такой ДОМО.

«Второй» студенческий ДОМО характеризуется: 1) разработан самостоятельно; 2) данный ДОМО отражает образ МО в СО студента: 3) он построен на основе ДОМО в I цикл; 4) ДОМО учитывает два этапа - формулировка теоремы, доказательство теоремы, остальные этапы работы с теоремой не представлены; 5) основной метод обучения - объяснительно - иллюстративный, в

форме рассказа, у некоторых студентов проявляется потребность в диалоге - форма «вопрос-ответ»; 6) направление рассуждений - от данных к искомым - синтез; рассуждения анализом, если и имеют место, то не ярко и формально; 7) поиск доказательства в полном объеме отсутствует. К недостаткам ДОМО можно отнести: • направленность на реализацию составленного конспекта преобладает над направленностью на обучение ученика: на ученика смотрят, но не видят; слушают, но не слышат; наличие слабой продуктивности собственных методических действий: нарушена взаимосвязанность собственной устной и письменной речи; взаимодействия «учителя» и «ученика» часто нерентабельны;

практически у всех студентов отсутствует методическая вариативность изменения запланированных, но не адекватных обстановке, методических средств (мгновенной адекватной реакции на управление совместными действиями нет);

скороспешность принятия мгновенных решений характерна для большинства студентов и вызвана боязнью отступать от намеченного пути; «другой» путь заранее не мог быть предусмотрен, но в условиях УММС и реальной проблемной ситуации «другие» пути находятся быстрее и имеют более качественное обоснование, нежели «разбор бумажной проблемной ситуации»;

неверное, импульсивное, мгновенное решение рассматривается студентом в качестве негативного личностно значимого результата; такой результат может «подавить» студента, если не будет «выведена» причина методической ошибки.

Итак, именно таким без специальной помощи преподавателя ТМОМ выглядит ДОМО после теоретического изучения МО. Как видно из сказанного, на данном этапе студент нуждается в активной помощи преподавателя: а) в создании «бумажного» МО по образцу или с опорой на разрабатываемый в аудитории образец; б) в создании ДОМО на основе «бумажного» МО, где очень важно поддержать студента положительными оценками, эмоциями, а позже и включением студента в «диалог профессионалов».

Как показывает опыт проведения подобных занятий создание и корректировка ДОМО на данном цикле должна быть направлена:

а) на создание целостного образа МО в крупном блоке;

б) на включение в создание ДОМО: поисковой деятельности; большинства этапов работы с теоремой и ее доказательством;

в) на активное использование методико-математических и социально-поведенческих проекций, направленных на обоснование и изменение паттерна созданной УММС.

Для этого работу по созданию и разработке «бумажного» МО следует индивидуализировать, но после того как собственный замысел методической линии он изложит у доски. Заметим, что важным является постановка цели - оказание помощи в создании МО. Цель - обсуждение результатов самостоятельных изысканий - является значительно менее продуктивной. Работа студента у доски (процесс создания ДОМО) может проходить в двух режимах:1) «я расскажу, как бы я сделал»; 2) вместо рассказа - «я делаю». С первого режима студента психологически удобнее перевести во второй режим.

Подведем итог работы на этом цикле.

В рамках этого цикла пополнение СО студентов заключается:

1) в изучении теории МО в рамках указанных пособий;

2) в создании прообраза МО, обладающего следующими качествами: это один из первоначальных образов МО; он обладает качеством кообраза - открыт, нуждается в пополнении, находится в зоне ближайшего профессионального развития студента; индивидуализирован и внешне, и внутренне, является целостным образованием; он создан в соответствии с индивидуальными возможностями и способностями студента;

3) в осознании студентами практической и теоретической необходимости создания ДОМО, а также в понимании важности корректировки извне и изнутри собственного СО, т.е. начинают проявляться качественные изменения в самопознании;

4) в понимании студентами, что ДОМО еще не так качественно выражен в их деятельности, как представления о нем в сознании.

Дальнейшими ближайшими учебными задачами следует считать: 1) осмысление МО в логике собственных методических действий через логику конструирования МО, понимание возможности по разному интерпретировать бумажный МО, и, при этом, получая разные ДОМО; 2) дальнейшее осмысление теории МО через раскрытие взаимосвязей этой теории с выполнением практических действий; 3) активизировать самопонимание через качественное осмысление результатов самопознания себя и своих возможностей в сведении данным МО.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Методика и технология обучения математике / под научн. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подхо-довой. М.: Дрофа, 2005. С. 128-144.

2. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум: учеб. пособие для студентов матем. факультетов пед. ун-тов / под ред. В.В. Орлова. М.: Дрофа, 2007. С. 62-74.

М.Г. Макарченко, Н.Е. Ляхова

ОБУЧЕНИЕ СТУДЕНТОВ ИСПОЛЬЗОВАНИЮ ИДЕИ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ В КАЧЕСТВЕ МЕТОДИЧЕСКОГО СРЕДСТВА

Идея доказательства теоремы является составляющей профессионального контекста будущего учителя математики. Под «идеей» понимается результат некоторого мыслительного процесса, который, с одной стороны, отражает его сущностную, предметную, содержательную характеристику, а, с другой - отражает его деятельностную характеристику. К составляющим понятия «идея» относят «инсайт», «сущность», «форму» и «способ действия» [3]. Рассматривая «идею» в качестве учебного средства, целесообразно понимать ее как единство трех составляющих: сущности, формы и способа действия.

Под идеей доказательства теоремы понимаем основу обобщенного способа действия или сам способ, который: опирается на теоретический факт (определенный учебником, либо выводимый, либо априорно допущенный, но явно не сформулированный в учебнике); характеризуется глобальным и (или) локальным направлением хода (или изучения по тексту) доказательства данной теоремы от ее заключения к условию.

Идеи можно условно разделить по следующим основаниям: по принадлежности идеи к школьной математической дисциплине или разделу; по принадлежности идеи к методам научного познания; по принадлежности к математическим методам; по отражению в идее особенностей структуры ее источника; по составленности из других идей.

Основой обучения студентов использованию идей в качестве методических средств целесообразно рассматривать систему учебно-методических заданий и задач. Ниже приведены группы этих заданий, сформулированные в обобщенном виде, среди которых имеются и конкретизированные задания.

Задания, направленные на формирование понятия «идея доказательства», умение ее формулировать по соответствующему теоретическому факту, умение определять вид идеи.

1. По сформулированному способу действия (идее) установить теоретический факт, лежащий в основе данного способа (например, чтобы доказать, что один отрезок больше другого достаточно доказать, что им равные отрезки, являясь сторонами треугольника, лежат против соответственно неравных углов этого треугольника).