Специальные вложения графов в трехмерное пространство

УДК 515.162.6

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЛОЖЕНИЯ ГРАФОВ В ТРЕХМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Т. А. Антонова, К. И. Облаков

Введение. Данная работа посвящена специальным вложениям графов в трехмерное линейное пространство М3, таким, что произвольная прямая пересекает граф по минимальному множеству. Для графов Петерсена (в частности, для графа К4,4 без ребра и графа Кб) доказывается как существование прямой, пересекающей граф не менее чем по четырем точкам (теорема 1), так и минимальность этих графов (теорема 2).

Вопросы вложения графов являются важной частью теории графов. Известно, что любой граф можно вложить в М3. Часто бывает необходимо среди всех вложений графа в евклидово пространство выделить множество некоторых специальных вложений. В задаче суперпозиции возникают базисные вложения [1], в задачах интерполяции и аппроксимации — ^-регулярные вложения [2]. Вложения, рассматриваемые в данной работе, являются обобщением ^-регулярных вложений. Богатый [3] доказал, что всякое отображение /: X М3 одномерного компакта в М3 сколь угодно малым изменением может быть превращено в такое вложение /: X ^ М3, что на всякой прямой в М3 будет лежать не более четырех точек образа /е(Х) компакта X. Укажем, что существование таких "экономичных вложений" доказал также Гудселл [4]. Оказывается, что число 4 не может быть уменьшено не только на уровне теоремы плотности "экономичных" отображений, но и на уровне теоремы существования. Именно Живаевич доказал, что для всякого вложения Кб,б в М3 существует прямая, пересекающая граф не менее чем по четырем точкам [5]. В настоящей работе доказано наличие такой прямой для меньших графов (граф К44 без ребра является подграфом Кб,б), что является усилением результата Живаевича.

Определим свойство графов, изучению которого посвящена работа.

Определение 1. Граф называется п-вложимым, если существует вложение в М3, такое, что на любой прямой находится не более п точек графа.

Очевидно, что если граф п-вложим, то он к-вложим для любого к > п.

В данной работе мы рассматриваем вопрос п-вложимости графов для различных п. 4-вложимость всех графов следует из теорем, доказанных в [3, 4]. Случаю 3-вложимости посвящены теоремы 1 и 2. Характеризация всех 2-вложимых графов дается в теореме 3.

Зацепленные окружности. Сформулируем необходимое условие 3-вложимости графа.

Теорема 1. Для заданного вложения двух окружностей в М3 с ненулевым числом зацепления существует 4-прямая.

Теорема 1 позволяет во многих случаях доказывать отсутствие 3-вложения. В работах [6-9] описаны все графы, всякое вложение которых в М3 имеет пару окружностей с ненулевым числом зацепления. Именно дан полный список минимальных графов, вложения которых содержат окружности с ненулевым числом зацепления. Такой полный список графов образуют графы семейства Петерсена (рис. 1). Так как теорема 1 дает необходимое условие 3-вложимости, то графы Петерсена не являются 3-вложимыми, но вопрос о минимальности этих графов (с точки зрения существования 3-вложимости) и полноте этого списка остается открытым. Следующая теорема показывает, что все эти графы минимальны. Авторы предполагают, что эта система не полна (гипотезы 1, 2).

Теорема 2. Все графы семейства Петерсена являются минимальными 3-невложимыми графами.

Доказательство теоремы 1. Пусть задано вложение /1>2: 51 и 51 ^ М3. Обозначим через X, У образы окружностей в пространстве, через Т — тор, являющийся прямым произведением окружностей X и У. Обозначим через А множество таких точек (х, у) С Т, что на луче (х, у) за точкой у найдется еще хотя бы одна точка X. Множество пар (х, у) на торе, таких, что на луче (у, х) за точкой х найдется точка У, обозначим через В. Если мы докажем, что А и В пересекаются, то это будет означать наличие 4-прямой, причем из этих четырех точек точки пересечения с окружностью X и точки пересечения с окружностью У "зацеплены" как нульмерные окружности (чередуются). Однократные обходы X и У являются образующими фундаментальной группы тора Т. Воспользуемся следующими леммами, доказательства которых приведены в конце статьи.

Лемма 1. Носитель замкнутого пути на торе, нетривиально обходящего вдоль У, содержит точку А, и носитель замкнутого пути, нетривиально обходящего вдоль X, содержит точку В.

Лемма 2. Множества А и В замкнуты.

Теперь докажем теорему от противного. Предположим, что А и В не пересекаются. Так как они замкнуты, расстояние между ними ненулевое и равно некоторому числу 5. Выберем на торе конечное число параллелей и меридианов таким образом, чтобы расстояние от каждой точки тора до ближайшей параллели и ближайшего меридиана не превышало 5/12. Дополнение объединения этих параллелей и меридианов на торе представляет собой несвязное объединение открытых множеств — будем называть их клетками. Клетки, замыкания которых пересекаются, будем называть соседними. Так как диаметр каждой клетки меньше 5,

ни одна клетка не может содер-

л образованные из него операциями ДУ и У А; в — граф К4 4 без ребра

жать ни точки множества А, ни

точки множества В. Более того, в силу выбора расстояния между параллелями и меридианами не может быть и двух соседних клеток, таких, что одна из них содержит точку множества А, а другая — точку множества В.

Обозначим через А замыкание объединения всех клеток, содержащих точки множества А; аналогично введем множество В. Из вышесказанного следует, что множества А и В не пересекаются. Так как А £ А и В £ В, носитель замкнутого пути на торе, нетривиально обходящего вдоль У, содержит точку А и носитель замкнутого пути, нетривиально обходящего вдоль X, содержит точку В. Введем еще одно обозначение: О = Т \ (А У В).

Для заданного разбиения тора на конечное число клеток существует конечное число разбиений этих клеток на множества А, В и О. Назовем допустимым такое разбиение, которое обладает следующими свойствами:

1) нет соседних клеток, таких, что одна из них принадлежит А, а другая — В;

2) носитель любого замкнутого пути на торе, нетривиально обходящего вдоль У, содержит точку А, а нетривиальный обходящий вдоль X содержит точку В.

Из сделанного выше предположения следует, что как минимум одно допустимое разбиение существует. Введем на множестве допустимых разбиений следующую функцию: Ф = Ь(А) + Ь(В) + Ь(О), где функция Ь(С) — число компонент линейной связности множества С. Функция определена на непустом конечном множестве, а значит, достигает минимума. Будем в дальнейшем рассматривать разбиение £ — одно из тех разбиений, на которых функция Ф достигает минимума.

Пусть е — минимальная длина стороны клетки. Пусть А — объединение множества А и всех точек тора, находящихся на расстоянии < е/4 от множества А. Граница дА этого множества представляет собой несвязное объединение гладких жордановых кривых, лежащих в множестве О. Пусть 7 — одна из них. Так как разбиение £ допустимо, кривая 7 не может содержать нетривиальный обход вдоль X или У. Пусть С — та из компонент связности множества Т \ 7, которая гомеоморфна двумерному диску. Рассмотрим два случая:

1) множество С содержит компоненту линейной связности А или В. В таком случае построим разбиение £1, отличающееся от разбиения £ тем, что клетки, входящие в эту компоненту, будут отнесены к множеству О;

2) множество С входит в О. Построим разбиение £1, отличающееся от £ тем, что все клетки, имеющие непустое пересечение с С, будут отнесены к множеству А.

В обоих случаях легко проверить, что разбиение £1 допустимо и что Ф(£1) < Ф(£). Полученное противоречие с минимальностью £ доказывает теорему 1.

"Ш^апочка" и графы Петерсена. Докажем 3-вложимость графов Петерсена без ребра. Предъявим 3-вложения графов в пространство с помощью так называемой конструкции с "шапочкой".

Определение 2. Конструкция с "шапочкой" — это объединение единичной сферы и сегмента сферы большего радиуса, граничная окружность которого лежит на единичной сфере.

Граничную окружность сегмента будем называть границей "шапочки". Она разбивает единичную сферу на две части. Объединение той из частей, которая выпукла в ту же сторону, что и сегмент, с самим сегментом будем называть собственно "шапочкой". Сегмент сферы большего радиуса будем называть нижним слоем "шапочки", сегмент единичной сферы — верхним слоем, а часть сферы, не входящую в "шапочку", — внешностью "шапочки". Сформулируем утверждение, доказательство которого дадим позже.

Утверждение 1. Вложение любой фигуры в конструкцию с "шапочкой", образ которой, пересеченный с самой "шапочкой", является подмножеством одной из фигур, изображенных на рис. 2, является 3-вложением.

На рис. 2 представлены проекции конструкций на плоскость а, содержащую границу "шапочки". Пунктирные линии принадлежат нижнему слою "шапочки", а сплошные — верхнему. Изображенные в виде отрезков линии на "шапочке" являются дугами больших окружностей соответствующих сфер.

Рис. 2. 3-вложимые конфигурации "на шапочке"

Доказательство теоремы 2. 3-невложимость графов Петерсена является очевидным следствием теоремы 1, так как, согласно теореме Робертсона-Сеймура-Томаса, все они имеют пару зацепленных окружностей при любом вложении в М3. Для доказательства минимальности этих графов вложим каждый из графов Петерсена без одного ребра в одну из 3-вложимых конструкций на "шапочке".

Заметим, что у Кб все ребра эквивалентны друг другу, и потому не важно, которое из них мы выкинем. Для 3-вложения Кб без ребра воспользуемся конструкцией д (рис. 2) на "шапочке". Вершины 1 и 2 поместим соответственно на верхний и нижний слои "шапочки". Ребро 5-6 отсутствует (рис. 3, а).

Аналогичным образом на рис. 3, а-ж изображены 3-вложения графов Петерсена без всех возможных ребер с помощью 3-вложимых конфигураций на "шапочке". На рисунке окружность всегда обозначает только границу "шапочки"; пунктирными линиями изображена часть графа, лежащая на нижнем слое "шапочки", сплошными линиями внутри круга — содержимое верхнего слоя, сплошными линиями вне круга — содержимое внешности "шапочки". Минимальность графов Петерсена доказана.

2-вложимость. Теорема 3. 2-вложимость графа в М3 эквивалентна его планарности.

Доказательство. ^ Так как плоскость гомеоморфна открытому диску, а двумерная сфера содержит диск, то из планарности графа следует его вложимость в сферу. Любая прямая пересекает сферу не более чем по двум точкам, и потому вложение графа в единичную сферу будет 2-вложением в М3.

^ Для доказательства планарности всех 2-вложимых графов, ссылаясь на теорему Куратовского, достаточно установить, что графы К5 и К33 не являются 2-вложимыми. Докажем от противного. Пусть С — граф К5 или К3,3, 2-вложенный в М3, А — некоторая фиксированная вершина. Обозначим через {аг} образы середин входящих в нее ребер, {Вг} — вторые концы этих ребер. Пусть (С — образ графа без полуребер {Ааг}. Спроецируем (С на единичную сферу с центром в точке А по лучам, выходящим из нее же. Так как на любой прямой содержится не более двух точек графа С, то на любой прямой, проходящей через А, содержится не более одной точки С, потому такая проекция будет вложением (С в сферу. Пусть (С — образ С на сфере, точки {щ} — образы {аг}, точки {Вг} — образы {Вг}. Образ С графа разбивает сферу на конечное число компонент связности. Покажем, что точки {Вг} можно соединить с некоторой точкой одной из компонент дополнения. Докажем для этого, что существует компонента дополнения, на границе которой лежат все точки {Вг}.

Будем пользоваться тем, что С \иП=1АВг не содержит висячих вершин. В таком случае границей каждой компоненты связности на сфере будет образ некоторого цикла графа, а значит, по известной теореме Римана это будет некоторая замкнутая жорданова кривая.

Так как граф С компактен, то он отдален от точки А на некоторое расстояние. Для любого числа

£ найдется такая малая окрестность и£ точки А, что для любой точки А\ £ и£ при проецировании на сферу из точки А1 образ каждой точки из С передвинется не более чем на £ от образа при проекции из точки А (расстояние измеряется в трехмерном пространстве для множеств, расположенных на единичной сфере в точке А и единичной сфере в точке А1 соответственно). Выберем число £, меньшее минимума из расстояний от каждой точки щ до множества С \ ¡¿, где ¡^ — образ полуребра сцЕ^. В таком случае при проекции из любой точки множества 17е точки а^ останутся в тех же компонентах связности дополнения

С, что и при проекции из А.

6

Без ребра 5-6

Без ребра 3-5 Без ребра 5-7 Без ребра 1-3

Без ребра 1-5 Без ребра 4-Й

Без ребра 6-7 Без ребра 1-5

Без ребра 5-7 Без ребра 3-4

Без ребра 5-6 Беэ ребра 3-4 Без ребра 1-7

Ж

Без ребра 4-5 Без ребра 9-7 Без ребра 6-9

Без ребра 3-8

Рис. 3. 3-вложения графов Петерсена без ребра

Докажем, что {а{\ лежат в одной компоненте связности. Выбрав точку А1 £ и£ на ребре АЕ1, спроецируем из нее на сферу не только С, но и все точки С \ А1. Такая проекция тоже будет вложением. На сфере появился образ точки А, и он соединен со всеми точками {щ}, кроме аь Значит, {щ}(г = 1) лежат в одной компоненте связности. Выбрав точку А2 £ и£ на ребре АЕ2, аналогичным образом получим, что точки {щ}(г = 2) лежат в одной компоненте связности. Таким образом, так как степень вершины А не меньше трех, получаем, что все {а{} лежат в одной компоненте связности.

Обозначим через 7 границу той компоненты связности, в которой лежат все а^. Так как 7 — замкнутая жорданова кривая, то существует гомеоморфизм ф, отображающий односвязную область, ограниченную кривой 7, на единичный круг, и этот гомеоморфизм продолжается на границу. Возьмем в круге отрезки {Оц)(Ег)}. Обозначим ф-1 (О) = А, прообразы отрезков станут ребрами {АЕ{}. Граф С \ ЦП^Ег^ вместе с А и прообразами указанных отрезков гомеоморфен С и вложен в сферу. Так как С — это К5 или Кз,з, получаем противоречие с теоремой Куратовского, из чего делаем вывод, что К5, Кз,з и все другие непланарные графы 2-вложимыми не являются.

Доказательства вспомогательных лемм и утверждений.

Доказательство леммы 1. Предположим противное: пусть существует замкнутый путь 7: [0,1] ^ Т, нетривиально обходящий У и не содержащий точек множества А.

Рассмотрим функции 71: [0,1] ^ X, 72 : [0,1] ^ У, являющиеся проекциями пути 7 на X и У. Заметим, что отображения 72 и /1: Б1 ^ X имеют ненулевое число зацепления. Действительно, число зацепления 72 и /1 равняется произведению числа зацепления X и У на кратность обхода путем 72 окружности У. Оба сомножителя ненулевые.

3 -*

Пусть отображение Н: [0,1] х [0, то) ^ М построено следующим образом: Н(в,Ь) = 72• 71(-§)72(-§). При этом Н(в, 0) = 72(5) и Н(в, Ь) уходит на бесконечность при Ь ^ то. Согласно определению множества А, для каждой точки (х, у) = (71 ^),72(•§)) £ Т носителя пути 7 на луче (х, у) за точкой у не найдется других точек X. Потому образ Н(в, Ь) не пересекает X. Мы построили гомотопию отображения 72 в отображение на бесконечность, не пересекая отображения /1: Б1 ^ X. Это означает, что число зацепления /1 и 72 стало нулевым. Противоречие. Для X и В доказательство аналогично.

Доказательство леммы 2. Рассмотрим последовательность (хг,уг) С А, (хг,уг) ^ (х,у). Пусть Хг — точка множества X, лежащая на луче (хг, уг) за точкой уг. Так как {хг} — бесконечная последовательность на компакте X, то у нее есть сходящаяся подпоследовательность. Без ограничения общности считаем, что это {хг}.

Прямые хгуг = хгхг сходятся к прямой ху, откуда следует, что х1 лежит на ху за точкой у, так как

соотношение хгхг = Л • хгуг (А > 1) сохраняется и в пределе.

Полученное включение (х,у) £ А и означает, что множество А замкнуто. Замкнутость В доказывается аналогично.

Для доказательства утверждения 1 потребуется следующее

Утверждение 2. Прямая пересекает конструкцию с "шапочкой" не более чем по 4 точкам, и 4-прямой может стать только прямая, пересекающая в двух точках верхний и в двух точках — нижний слой "шапочки".

Доказательство утверждения 2. Если прямая I имеет точку М на внешности "шапочки", то она не может пересечь нижний слой более чем в одной точке, значит, 4-прямой она не является, откуда и получаем утверждение.

Из этого утверждения тривиально следует, что любое вложение графа в конструкцию с "шапочкой" — 4-вложение.

Доказательство утверждения 1. От противного. Пусть 4-прямая нашлась. Рассмотрим проекцию получившейся картинки на плоскость а, содержащую границу "шапочки". Пользуясь утверждением 2 и тем, что проекции пересекающихся множеств на любую плоскость пересекаются, получим, что проекция 4-прямой обязана в двух точках пересечь проекцию части образа, попавшей на верхний слой "шапочки", и в двух — попавшей на нижний слой. При этом обе точки нижнего слоя обязательно должны быть расположены между двумя точками верхнего слоя. Для фигур на рис. 2, б — д таких прямых не существует.

Для фигуры на рис. 2, а 4-прямой может стать только прямая, проектирующаяся в пунктирный отрезок. Выберем радиус сферы, являющейся нижним слоем "шапочки", таким большим, чтобы вершина конуса, касающегося нижнего слоя по границе "шапочки", лежала между верхнем и нижним слоями "шапочки". Тогда ширину полосы на верхнем слое можно выбрать так, чтобы никакая прямая, пересекающая дугу на нижнем слое в двух точках, не пересекала полосу. Возможность такого выбора ширины очевидна, если рассмотреть

Рис. 4. Сечение сечение конструкции плоскостью в, перпендикулярной а и содержащей дугу

плоскостью в на нижнем слое (рис. 4). В дополнение скажем, что при таком радиусе сферы,

являющейся нижним слоем "шапочки", к рис. 2, б-е можно добавить на верхнем слое малый диск в центре.

Осталось рассмотреть фигуру на рис. 2, е. Приведем только план решения, так как технические детали полного доказательства требуют большого количества не представляющих интереса рассуждений.

Очевидно, что если 4-прямая нашлась, то ее проекция либо совпадает с одним из прямолинейных отрезков, либо пересекает два или три из них. Первый случай противоречит утверждению 2, так как каждый прямолинейный отрезок на рис. 2, д пересекает пунктир только в одной точке. Докажем, что кривые на нижнем слое можно разместить так, чтобы 4-прямой не возникло. Обозначим через Г объединение трех дуг большой окружности на верхнем слое "шапочки", а через 7 — одну (произвольную) из них. Через ) обозначим множество прямых (х,у), где х £ 7 и у £ (Г\7) (при х = у мы считаем прямую касательной к верхнему слою, возможно, в любом направлении). В силу компактности 7, (Г\7) и объединения нижнего слоя с границей "шапочки" множество точек на нижнем слое "шапочки", не ле-

жащих на прямых из L(y), открыто. Так как проекция j лежит в этом множестве (при большом радиусе сферы нижнего слоя), то можно выбрать близкий путь Y из той же точки на границе "шапочки" в центр нижнего слоя, не пересекающий 7, но по-прежнему лежащий в этом множестве. Чтобы такие пути для разных дуг не пересекались, их можно располагать строго по определенную сторону от проекций дуг, как это и показано на рис. 2, е. Теперь 3-вложимость очевидна — прямая, пересекающая две различные дуги на верхнем слое "шапочки", не может на нижнем слое пересечь пути, лежащие близко к их проекциям, а третью дугу нижнего слоя может пересечь не более чем в одной точке.

Несмотря на то что найден широкий класс 3-невложимых графов, общая задача о критерии 3-вложимости остается нерешенной. Очевидным следствием утверждения 1 является 3-вложимость графов K3,n для n < 6.

Гипотеза 1. Граф K37 не является 3-вложимым.

Гипотеза 2. Несвязное объединение двух графов Куратовского является минимальным 3-невложимым графом.

Замечание. Существование 3-вложения букета двух графов Куратовского выводится из утверждения 1.

Авторы приносят благодарность научному руководителю С. А. Богатому за постановку задачи и помощь в работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ostrand P. Dimension of metric spaces and Hilbert's problem 13 // Bull. Amer. Math. Soc. 1965. 7. 619-622.

2. Богатый С.А. Гипотеза Борсука, препятствие Рышкова, интерполяция, аппроксимация Чебышева, трансвер-сальная теорема Тверберг, задачи // Тр. Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2002. 239. 63-82.

3. Богатый С.А. Цветная теорема Тверберг // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1999. № 3. 14-19.

4. Goodsell T.H. Strong general position and Menger curses // Topol. Appl. 2002. 120, N 1-2. 47-55.

5. Zivaljevic R.T. The Tverberg-Vrecica problem and the combinatorial geometry on vector bundles // Isr. J. Math. 1999. 111. 53-76.

6. Conway J., Gordon C. Knots and links in spatial graphs //J. Graph Theory. 1983. 7. 445-453.

7. Sachs H. On spatial representation of finite graphs // Finite and Infinite Sets (Eger, 1981). North-Holland, Amsterdam; N.Y., 1984. 649-662.

8. Seymour P.D. Progress on the Four Color Theorem // Proc. Int. Congr. Math. Vol. 1. Switzerland, Zurich, 1994. 183195.

9. Robertson N., Seymour P.D., Thomas R. Sachs' linkless embedding conjecture //J. Combin. Theory. Ser. B. 1995. 64. 185-227.

Поступила в редакцию 12.03.2007

УДК 519.95

О ЗАДАЧЕ ПРОВЕРКИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОЛНОТЫ В КЛАССЕ КУСОЧНО-ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

В. С. Половников

В работах [1, 2] показано, как получить произвольную кусочно-параллельную функцию схемами из линейных элементов и одного нелинейного элемента, реализующего ^-функцию. Таким образом была доказана полнота [3] конкретной системы функций в классе кусочно-параллельных функций. В настоящей работе исследуются на полноту в этом классе системы функций, замыкания которых содержат все линейные функции. Для таких систем удалось сформулировать и доказать критерий полноты в терминах предполных классов [3].

Рассматриваются функции действительных переменных. Используя понятия, принятые в [1, 2], введем следующие обозначения: Ь — множество линейных функций, РС — множество кусочно-постоянных функций, РР = {/1 f = ¡с + ¡, /с £ РС, I £ Ь} — множество кусочно-параллельных функций.

Для класса функций ^ обозначим множество функций, зависящих ровно от т переменных, через ^ (т).