Учет температурных деформаций и напряжений в вязкоупругих 3D моделях

Вестник ХНАДУ, вып. 69, 2015

65

УДК 519.87

УЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ В ВЯЗКОУПРУГИХ 3D МОДЕЛЯХ

В.А. Богомолов, проф., д.т.н., В.К. Жданюк, проф., д.т.н.,

И.Л. Разницын, доц., к.ф.-м.н., С.В. Богомолов, инж.,

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет

Аннотация. Предложена математическая модель учета температурных деформаций и напряжений в сложных вязкоупругих 3D моделях.

Ключевые слова: температурные деформации, температурные напряжения, вязкоупругая модель, девиатор, шаровой тензор.

ВРАХУВАННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ ДЕФОРМАЦІЙ ТА НАПРУЖЕНЬ У В’ЯЗКОПРУЖНИХ 3D МОДЕЛЯХ

В.О. Богомолов, проф., д.т.н., В.К. Жданюк, проф., д.т.н.,

І.Л. Разніцин, доц., к.ф.-м.н., С.В. Богомолов, інж.,

Харківський національний автомобільно-дорожній університет

Анотація. Запропоновано математичну модель урахування температурних деформацій та напружень у складних в ’язкопружних 3D моделях.

Ключові слова: температурні деформації, температурні напруження, в ’язкопружна модель, девіатор, шаровий тензор.

ACCOUNT OF TEMPERATURE STRAINS AND STRESSES IN 3D VISCOELASTIC

MODELS

V. Bogomolov, Prof., D. Sc. (Eng.), V. Zhdaniuk, Prof., D. Sc. (Eng.),

I. Raznitsyn, Assoc. Prof., Ph. D. (Phys.-Math.), S. Bogomolov, Eng.,

Kharkrv National Automobile and Highway University

Abstract. A mathematical model for account of temperature strains and stresses in complex 3D viscoelastic models is offered.

Key words: temperature strains, temperature stresses, viscoelastic model, deviator, ball tensor.

Введение

В вязкоупругих реологических системах, например таких, как асфальтобетон, значительную роль играют температурные напряжения и вызывающие их температурные деформации [1, 2]. Заметим, что эти напряжения становятся главной причиной процесса трещинообразования в холодное время эксплуатации дорожной одежды [3].

Анализ публикаций

В работах [4, 5, 7] предложено, при одновременном наличии механических напряжений и теплового эффекта, компоненты деформации в упругом теле записывать в виде

s x = ^[ст x у +ст z)]+аАТ;

E

в у = -1[^у-^К +стх)]+аАТ;

66

Вестник ХНАДУ, вып. 69, 2015

s z = -1[^z - ц(с + с y)]+аАТ;

E

1 ™ х х

у =-^  у =-XL  у = _x

I xy G ’ ' xz G ’ ' zx G ?

Зависимость между сср и вср для упругого

тела [4, 5] определяется следующим образом [4]. Сложим три первых уравнения (1) и, после соответствующих преобразований, получим

где сx , сy ; az - напряжения в точке по соответствующим осям декартовых координат; х^, хyz; хzx - касательные напряжения [4];

вx ; sy; sz - относительные деформации; ц -

коэффициент Пуассона; E - модуль упругости

G =

E ; 2(1 + ц);

а - коэффициент линейного теплового расширения

АТ = Т - Т,

где Т - температура тела в точке; Т0 - температура, при которой температурная деформация считается равной нулю.

[<

sx +sy +sz I -

с x + C y +cz =

x y z 1 - 2ц

откуда, с учетом (2), (4), (5) [4],

E

)-3аАТ]E

с = —

ср 1 Т,, v ср

1 - 2ц 2G(1 + ц) 1 - 2ц

(scp -аАТ) = (scp -аАТ).

,

Напряжения

В правой части первого уравнения (1) добавляется и вычитается величина цс x, тогда для упругого тела можно получить [4]

с

X

s xE + ц(сх + с у + с z) - Ea АТ 1 + ц

В работах [6, 7] предложены методы расчета, позволяющие учитывать влияние температуры на характеристики ползучести материала. Эти методы предполагают предварительную оценку мгновенного модуля упругости E (t, Т ) и ядра K (t, х, Т ) наследственной зависимости деформаций от напряжений.

Проделав подобные операции со вторым и третьим уравнениями, с учетом (2), (6), (7), из (1) получаем шесть известных в теории упругости [4] физических уравнений

с X = 2G

X

3Ц

1 - 2ц

ср

1 + ц 1 - 2ц

аАТ

Цель и постановка задачи

Для практики инженерных расчетов таких вязкоупругих систем, как дорожная одежда, более удобными были бы методики, предложенные в [4, 7], связывающие необходимые математические модели с построением структурных реологических моделей. Теория последних достаточно подробно представлена в работах [4, 8-12].

Средняя деформация и напряжение

Как известно [4], под средними деформацией и напряжением понимается

сср =

с x +су +сz

3

s

ср

s x +sу +sz

3

с у = 2G

3ц

1 - 2ц

ср

1 + ц 1 - 2ц

АТ

;

Cz = 2G

3ц 1 + ц

-----s^-------«АТ

1 - 2ц ср 1 - 2ц

z

хxy = Gyxy ; хyz = Gyyz ; Xzx = Gyzx .

Если из левой и правой частей первых трех уравнений (9) вычесть величину сср (7), то

эти же уравнения приводятся к известной разновидности записи закона Гука [4]

с - с = 2G(s - s );

x ср x ср

с -с = 2G(s -s );

y ср y ср

с -сср = 2G

х xy =2G 2 у xy; х yz =2G 2 у yz; х zx =2G 2 у zx, где сср, s^ - определены в (7).

Вестник ХНАДУ, вып. 69, 2015

67

Таким образом, исходя из (10), напряженнодеформированное состояние такого тела удобнее всего представлять в виде [4]

Таким образом, для рассматриваемого случая закон Гука может быть записан в обобщенном виде [4]

T = DH + Dm,

DH = 2GDд.

где (О , Т , Т xz

x xy

T = Т , О , Т

н yx yz

Т , Т , О

v zx zy z

тензор напряжении;

Dh =

^О — О Т Т ^

x x^’ wxz

Т ,О —О , Т

yx? у ср ’ yz

Т ,Т , О —О

V zx? zy? z ср у

девиатор напря-

жении;

(

D,,, =

Оср, 0, 0 0, Оср, 0

v °, 0, Оср у

= JОср - шаровоИ тензор;

J =

а 0, 0 Ї 0, 1, 0

V0, 0, 1у

единичная матрица;

Тд = Dд + Тд0

где

Тд =

1 1

2 1 xy, 21 xz

- X

yx y 2 yz

1

'zx, 21 S zy z

- тензор деформации;

S x ^р,

D = 2 X yx, Sy

1x zx, - V 2 zx 2

формаций;

4 0, 0 ^

T о тд = 0 Sср 0 v0 0 S<* J

1 1 ^

2 Jxy, 21 xz

Єср , 2 Xyz 1 zy , Sz — Єср

девиатор де-

= всрJ - шаровоИ тензор де-

формации.

По виду выражения (13) напрашивается вывод о том, что для построения зависимостей напряжении от деформаций у упругих тел, с учетом термических деформаций, упругий структурный элемент просто заменяется на упруго-термический, представленный на рис. 1.

G

Рис. 1. Упругий и упруго-термический элементы в структурных моделях

Возникает вопрос: возможна ли такая же замена в вязкоупругих схемах, как это показано на рис. 2, а, б?

Рис. 2. Структурные термовязкоупругие схемы: а - обобщенная модель Максвелла; б, в - модель Бюргерса

а

а

в

68

Вестник ХНАДУ, вып. 69, 2015

Очевидно, что последовательные и параллельные соединения упруго-термических элементов (рис. 2, а, б) при одинаковых коэффициентах теплового расширения (например, оц = а 2 3 = а 2 4) приведут к различным суммарным деформациям. Значит, применяя, например, схему Бюргерса, необходимо либо соглашаться с неравенством а23 Фа24, либо

использовать как упругие, так и упруготермические элементы (рис. 2, в).

Второй способ лишен универсальности и может привести к значительным затруднениям при математическом моделировании и экспериментальной оценке сц, а2 и т.д.

Выводы

Учитывая выше сказанное, реологическую термовязкоупругую модель можно создавать в следующей последовательности:

1. Структурную вязкоупругую модель необходимо привести либо к обобщенной модели Максвелла (рис. 3, а), либо к обобщенной модели Кельвина (рис. 3, в), в соответствии с выводами работы [9].

а

2. Упругие элементы в схеме по п. 1 заменить на термовязкоупругие (рис. 3, б, г) [13].

3. В случае обобщенной схемы Максвелла (рис. 3, б) принимаем

а1 = а2 = ... = аi = ... = ап = а,

где а - обозначено в (1); а1, а2, ап - коэффициенты линейного теплового расширения соответствующих упругих элементов (рис. 3, б).

4. В случае обобщенной схемы Кельвина (рис. 3, г), принимаются допущения:

- сумма тепловых деформаций во всех термоупругих элементах равна суммарной термоупругой деформации;

- напряжения от термо-упругих деформаций во всех термоупругих элементах равны.

Из (1), (9) можно получить соотношения

а1 +а2 +... + ai +... + ап =а;

1 + ц1

1 - 2ц

а1 = G

1 + Ц2

2 , » ^2 1 - 2ц

2=

= G 1 + Ці а = G 1 + Цп а

1 - 2ц

1 - 2Цп

где ц - коэффициент поперечной деформации в /-м упругом элементе схемы (рис. 3, г).

б

в

г

Откуда

а;. = а

1 1 - 2ц j

G 1 + ц j

п V 1 - 2Ці

=1(1 + ці )Gi

5. Дифференциальные зависимости деформаций от напряжений для схем по п. 2 могут быть получены в соответствии с рекомендациями работы [10].

6. Решения линейных дифференциальных уравнений могут быть получены в соответствии с [11], учитывая, что сср и вср определяются в (4)-(7).

Литература

Рис. 3. Обобщенные модели Максвелла и Кельвина

1. Мозговой В.В. Научные основы обеспечения температурной трещиностойкости

Вестник ХНАДУ, вып. 69, 2015

69

асфальтобетонных покрытий: дисс...

доктора техн. наук: 05.22.11 / В.В. Мозговой. - К., 1996. - 344 с.

2. Радовский Б.С. Проектирование дорожных одежд для движения большегрузных автомобилей / Б.С. Радовский, А.С. Супрун, И.И. Козаков. - К.: Будівельник, 1989. - 168 с.

3. Сюньи Г.К. Исследование трещинообразования в асфальтобетонных покрытиях под влиянием температурных напряжений: дис. ... канд. техн. наук / Сюньи Георгий Камилович. - Харьков, 1940. -128 с.

4. Безруков Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безруков. - М.: Высшая школа, 1968. - 512 с.

5. Коваленко А.Д. Введение в термоупругость / А.Д. Коваленко. - К.: Наукова думка, 1965. - 204 с.

6. Ржаницын А.Р. Теория ползучести / А.Р. Ржаницын. - М.: Стройиздат, 1968. - 416 с.

7. Ильюшин А.А. Основы математической теории термовязкоупругости / А.А. Ильюшин, Б.Е. Победря. - М.: Наука, 1970. - 280 с.

8. Богомолов В.А. Простейшие звенья линейной пространственной реологической модели асфальтобетона / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт: сб. науч. тр. - 2010. - Вып. 27. - С. 157-162.

9. Богомолов В.А. Универсальный метод составления линейных вязкоупругих

структурных моделей / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Автомобильный транспорт: сб. науч. тр. -2011. - Вып. 28. - С. 125-131.

10. Богомолов В.А. Общий метод получения дифференциальных зависимостей деформаций от напряжений для линейных реологических 3D моделей / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Вестник ХНАДУ: сб. науч. тр. - 2011. - Вып. 52. - С. 54-59.

11. Богомолов В.А. Общий подход к решению линейных трехмерных вязкоупругих обобщенных моделей Максвелла / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Вестник ХНАДУ: сб. науч. тр. - 2011. - Вып. 54. - С. 153-158.

12. Богомолов В.А. Общее решение для четырехэлементных, линейных, вязкоупругих 3D моделей / В.А. Богомолов, В.К. Жданюк, С.В. Богомолов // Вестник ХНАДУ: сб науч. тр. - 2011. - Вып. 29. - С. 43-47.

13. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности; пер. с англ. / К. Васидзу. - М.: Мир, 1987. -542 с.

Рецензент: В.К. Жданюк, профессор, д.т.н., ХНАДУ.

Статья поступила в редакцию 15 июня 2015 г.