Профессиональная направленность в обучении математике студентов специальности «Лингвистика»

А.А. Соловьева

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ «ЛИНГВИСТИКА»

Привлечение математического аппарата в языкознании началось еще в начале прошлого столетия. Тогда проводились первые попытки статистической обработки текста [5], [6], [7] и др., которые заключались в подсчете словоупотреблений в произведениях разных авторов или в текстах одного автора и сравнении полученных частот. Задачами подобных исследований являлись определение авторства или выявление плагиата. Бодуэн де Куртенэ в 1904 году писал: «Поскольку в языкознании применяются количественные понятия, желательно тоже знание математики, не только низшей, но и высшей...».

Сегодня для развития теории и практики языкознание привлекает методы из значительного большинства разделов математики, а области использования этих методов расширяются. Математические методы применяются для исследований изменений языковых процессов во времени (диахроническая лингвистика), географическом пространстве (диалектология), специально-профессиональном и художественном континууме (социолингвистика и стилистика), для решения прикладных вопросов, связанных с анализом, синтезом и информационной обработкой текста (компьютерная лингвистика) и др. Среди компьютерных программ особое место занимают лингвистические программы (Link Grammar Parser, Лингвоанализатор, TextAnalyst 2.0, Concordance 2.0.0 и др. [2]), как специализированные для проведения конкретных исследований, так и созданные для широкого круга пользователей.

В данной статье предлагается идея использования спиралей фундирования базовых учебных элементов в процессе

... имеющие уважение к слову должны знать, что существует математика слова

А. Блок

преподавания математики студентам-лингвистам. В ее основе - усиление профессионального компонента математического образования с последующим фундированием знаний на разных уровнях. В результате реализуются две задачи обучения: 1) обеспечение тесных связей математических задач с задачами профессионального развития будущего специалиста; 2) поддержание высокого уровня мотивации. Эта идея впервые была представлена в книге «Подготовка учителя математики: инновационные подходы» [10] и продолжена в [1], [11], [12] на процесс преподавания математических дисциплин студентам гуманитарных специальностей.

Развертывание спирали фундирования базовых учебных элементов при преподавании математики на специальности «лингвистика» можно разбить на три этапа. На первом рассматриваются представления о понятии, используемом в языкознании, которые иногда бывают интуитивными. На втором этапе осуществляется процесс фундирования этого понятия в математической дисциплине. Данный процесс реализуется с помощью нескольких шагов, на каждом из которых рассматриваются понятия и утверждения, необходимые для введения конечного понятия. На третьем этапе происходит проецирование теоретического материала на будущую деятельность студента в форме актуализированных практических приложений. Таким образом, в основе спиралевидной схемы развертывания и моделирования базовых учебных элементов лежит выделение профессионально-ориентированного теоретического материала.

Реализацию данной схемы рассмотрим на примерах спиралей фундирования двух базовых учебных элементов: понятия функции в лингвистике (рис. 1) и понятия предела функции в лингвистике (рис. 2).

Первый этап. Текст можно рассматривать как линейную цепочку отграниченных друг от друга символов (фонем, букв, слогов, слов). Символы образуют определенные совокупности. Каждый из символов встречается в тексте с

определенной частотой и обладает особыми «способностями сочетаться с другими символами» [8. С.9]. Также существуют и такие лингвистические явления, как употребительность слова или словосочетания, длина звука, длина буквосочетания, информационный вес слога, морфемы или слова, степень аналитичности языка. Подобные явления можно выражать в виде чисел, а значит, и рассматривать в качестве математических величин.

Спираль фундирования понятия функции в лингвистике

Рис. 1

Между различными лингвистическими явлениями наблюдаются определенные зависимости. Примерами являются зависимость между индоевропейскими звонкими смычными придыхательными согласными и их готскими производными [8. С. 22]; зависимость между частотой словоформы, которую она имеет в тексте определенной длины, и ее номером в частотном словаре; употребительность лингвистического явления на различных этапах его истории [8. С. 31-38]. Для указанных и других зависимостей существует возможность их описания средствами математического аппарата, а они, в свою очередь, открывают новые методы для решения задач лингвистики.

Второй этап. Для математического описания зависимостей между лингвистическими явлениями используются понятия отображения и функции, этап фундирования в математике которых начинается с рассмотрения понятия множества. В процессе введения этого понятия даются определения пустого, конечного, бесконечного, несобственного и собственного множеств, эквивалентности множеств, подмножества множества, рассматривается, что значит задать множество, и способы его задания.

Введение понятий дополняется примерами из лингвистики. Примерами множеств могут быть множество букв русского алфавита, множество словоупотреблений, содержащихся на данной странице. Пустым множеством является

множество двухбуквенных комбинаций сй, уь, чя, если иметь в виду русские тексты, не содержащие опечаток. Конечные множества в лингвистике встречаются чаще всего, хотя приходится рассматривать и бесконечные, примером которых является «множество всех словоупотреблений в текстах данного языка при условии, что этот язык беспрерывно порождает и будет порождать новые тексты без ограничения во времени» [8. С.13]. Множество губно-зубных твердых и мягких согласных {[ф], [ф'], [в], [в']} можно считать подмножеством множества губных согласных {[п], [п'], [б], [б'], [м], [м'], [ф], [ф'], [в], [в']} [3]. Сравнивая множество А, состоящее из словоформ они, их, им, ими, со множеством В, содержащим формы склонения местоимения они, убеждаемся, что множества А и В - эквивалентные.

Далее рассматриваются основные операции над множествами (объединение, пересечение, разность) и их свойства. В качестве примера объединения множеств можно привести следующий.

Пример 1. Рассмотрим два множества: множество сонорных согласных, А = {[м], [м'], [н], [н'], [л], [л'], [р], [р']} -согласных, образуемых при помощи голоса и незначительного шума, и множество губно-губных согласных В = { [б], [б'], [п], [п'], [м], [м']}. Объединением этих множеств является множество А и В = {[б], [б'], [п], [п'], [м], [м'], [н], [н'], [л], [л'], [р], [р']}, пересечением множеств - множество А О В = {[м], [м']}, разностью множеств В и А - множество В \ А = { [б], [б'], [п], [п']}.

Наряду с понятием множества квантитативная лингвистика, исследующая количественную сторону языка и речи, постоянно оперирует и понятием числа. Числовые множества находят свое применение для описания лингвистических явлений и процессов. Натуральные числа: в каждом слове имеется целое положительное число букв, в предложении - целое положительное число слов и т.п. Однако натурального ряда чисел недостаточно, например, для измерения средней встречаемости той или иной

грамматической, лексической, фонологической единицы используются дробные числа. В некоторых лингвистических зависимостях используются и отрицательные величины. Квантитативные измерения текста не ограничиваются четырьмя действиями (сложение, вычитание, умножение, деление) элементарной математики, в лингвистике приходится решать задачи, требующие использования, например, логарифмирования (исследования информационного веса лингвистических единиц). Запаса множества действительных чисел (рациональные и иррациональные) достаточно для решения основных задач квантитативной лингвистики.

Следующий шаг второго этапа -введение понятия отображения. Здесь рассматривается, что значит задать отображение, понятия взаимно однозначного (биективного), инъективного, сурьектив-ного отображения, оператора. В качестве примера отображения в лингвистике можно рассмотреть соотношение индоевропейских и готских согласных.

Пример 2. Индоевропейские звонкие смычные придыхательные согласные могут быть традиционно [4. С .11-116] представлены в виде множества

А = { ЪК dh, gh}, а соответствующие им готские согласные объединены во множество В = { ъ, d, g}. Каждому звукотипу во множестве А однозначно соответствует определенный звукотип во множестве В по определенному правилу: каждый из индоевропейских звукотипов теряет придыхательность. Значит, можно сказать, что задано отображение / : А ^ В из множества А во множество В, которое является еще и взаимно однозначным.

После рассмотрения понятия отображения вводится понятие функции, рассматриваются способы задания функции. Примером функции в лингвистике является формула

р( х) =---

(* + Р) '

которая описывает соответствие между множеством номеров словоформ частотного списка и множеством их вероятностей р( х). Величина х - независимая переменная, р( х) - функция, величины к, р, у - постоянные из множества действительных чисел [8. С.24].

Рассмотрим еще один пример, в котором указано обобщенное описание особенностей пушкинских ямбов.

Пример 3. Б.В. Томашевским было проведено статистическое исследование достаточно большого числа пушкинских текстов. В результате было установлено, что между числом стоп (четных слогов) в ямбе (х) и средним количеством пирри-хиев в одной стихотворной строке (у) существует вполне определенное соответствие:

у = 0,28(х -1).

Это значит, что количество пирри-хиев прямо пропорционально числу четных слогов в строке минус слог рифмующий, так как он не участвует в распределении пиррихиев.

В заключение второго этапа фундирования понятия функции в лингвистике рассматриваются основные элементарные функции: линейная, квадратичная, степенная, дробно-рациональная, показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические и их графики.

Третий этап. Описание многих лингвистических явлений с помощью понятия функции расширяет диапазон методов для проведения лингвистических исследований.

Пример 4. Побуквенное распределение синтактической информации I в слове можно представить в виде следующего аналитического выражения:

I (п) = I о е ^",

где в качестве аргумента выступает номер п буквы слова, I(п) - количество информации, которое несет буква п, параметр !0 (называемый информацией алфавита) показывает максимальную величину информации, которую несла бы буква языка, использующего алфавит 5, па-

раметр ^ показывает темп нарастания ограничений, накладываемых системой и нормой языка на неопределенность выбора n-й буквы слова при условии, что цепочка букв, находящихся слева, уже известна [9. С.80-89]. Смысл данного выражения в том, что начальные буквы письменного слова несут значительно больше информации, чем буквы, находящиеся в его середине и на конце.

Другие элементарные функции также используются для описания лингвистических явлений: с помощью показательной функции строятся модели распределения информации в слове, в тексте, контекстной обусловленности; логарифмическая функция используется при построении математического описания количества информации словаря [9]; сумма тригонометрических функций

y = sin х с введенными определенными коэффициентами отражает структуру гласных звуков [8. С.41-47]; с помощью обратных тригонометрических функций моделируется диахронический скачок и т. п.

Рассмотрим пример моделирования развития нулевых форм родительного падежа множественного числа у русских единиц измерения типа вольт, рентген, радиан [8. С.32-34].

Пример 5. Процесс формирования этой новой лексико-грамматической группы имен существительных, которая имеет в родительном падеже множественного числа нулевое окончание, развивался следующим образом. В русских научно-технических текстах XIX в. употреблялись регулярные образования родительного падежа множественного числа: вольтов, рентгенов. Начиная с конца 80-х годов того же века, отмечалось нарастание употребления форм: вольт(ъ), рентген(ъ), радиан(ъ), совпадающих с именительным падежом единственного числа. Через 20-30 лет новые формы утвердились не только в профессиональной речи, но и в литературном языке.

Статистический ход этого процесса по годам (t) представлен в табл. 1, где p -относительные частоты нулевых форм.

Таблица 1

г 1881 1885 1887 1889 1891 1895 1897 1899 1907 1910 1901

р 0,06 0,01 0,03 0,11 0,57 0,47 0,68 0,96 0,92 0,99 0,95

Для анализа процесса следует построить его аналитическую модель р = /(г). Выясним, какой из известных элементарных функций можно воспользоваться для описания полученной зависимости.

Если провести эмпирическую кривую, то становится видно, что значения аргумента г теоретически могут располагаться по всей числовой прямой, а значения функции лежат в интервале [0, 1]. Левая ветвь асимптотически приближается к оси Ог, а правая - к прямой р = 1. В середине кривой в промежутке между 1886 и 1905 годами график резко возрастает. Рассмотренным условиям больше всего соответствует график функции у = аг^ х. Учитывая с помощью дополнительных коэффициентов все особенности кривой, получаем следующее аналитическое выражение:

р(г) = — аг^ п

гг -1895л 3

+ 0,5

Построенную модель можно использовать при описании структурных

сдвигов в области лексики, морфологии, фонологии, синтаксисе, стилистике. Такие сдвиги обнаруживаются либо в появлении новых элементов, либо в исчезно-

вении старых. Так как структурные изменения языка при этом происходят скачкообразно, подобные явления в лингвистике носят название диахронического скачка.

Моделирование таким образом развития лингвистического процесса с помощью элементарных функций позволяет решать некоторые теоретические вопросы языкознания, например, служит средством восстановления не засвидетельствованных в памятниках и диалектах этапов исследуемого процесса.

Модель процесса формирования определенного артикля во французском языке (У-ХШ в.) [8.С. 34-38]

0,4 (г-1125^1 р(г) = — аг^

п

100

+ 0,2

помогла при описании некоторых деталей начального периода развития исследуемого явления, что невозможно было сделать непосредственно по народно-латинским текстам У-УШ в.

После введения понятия функции в математике и знакомства с его применениями в лингвистике предлагается рассмотреть понятие предела функции, спираль фундирования которого представлена на рис. 2.

Спираль фундирования понятия предела в лингвистике

Предел функции

Рис. 2

Первый этап. Среди лингвистических процессов существуют такие, которые являются непрерывно текущими (мало изменяющимися в малый момент времени) и неоднородными по своему темпу. К ним относятся процессы роста словаря, распада языка, построения информационной схемы слова, связного текста и др. Подобные диахронические и информационные процессы характеризуются ростом или убыванием какой-либо величины.

Для описания и анализа таких процессов следует применять более гибкий по сравнению с предыдущим математический аппарат, построенный на понятиях предела и бесконечно малой величины.

Второй этап начинается с введения самого понятия предела в математике. Дается определение предела функции в точке, рассматриваются пределы функции при х ^ х0, х ^±<х>, вводится понятие предела последовательности.

Понятие предела можно проиллюстрировать на примере роста употребительности нулевых форм родительного падежа множественного числа у существительных, обозначающих единицы измерения: вольт, рентген, радиан.

Пример 6. В предыдущем примере для указанного процесса была получена аналитическая модель:

р() - — arctg п

t-1895 3

+ 0,5

При t = 1905, 1907, 1908, ..., 1920, ..., 1950, функция р^) принимает соответствующие значения 0,906, 0,922, 0, 927, ..., 0,962, ..., 0,983. Видно, что по мере приближения t к го рассматриваемая функция стремится к единице, т. е

lim р(7) -1.

t ^от

Далее вводится понятие бесконечно малой функции и рассматриваются свойства бесконечно малых. Примером бесконечно малой может быть функция

р(п) вероятности того, что фонологическая система примет устойчивое положение при однократном случайном изменении одного из дифференциальных признаков этой системы [8].

Пример 7. Указанная вероятность определяется выражением

р(п) = —

2п •

При увеличении числа дифференциальных признаков фонологической системы (п = 0, 1, 2, 3, ...) вероятность принимает соответствующие значения 1,

1, 1, 1, —, ... Какое бы малое положи-2 4 8 16

тельное число £ мы ни взяли, найдется такое п, при котором значений р будет

меньшее, чем £ . Пусть £ = —1

1000

то при

п = 10 р принимает значение

1024

меньшее, чем £. При £ =

1

10000

нахо-

1

дится п = 14, при котором р = -

16384

снова меньше £ . Таким образом, функция р(п) = -1 - бесконечно малая.

Следующим шагом является рассмотрение основных теорем о пределах: единственность предела; теорема о пределе промежуточной функции; теорема о представлении функции в виде суммы числа, равного пределу этой функции в некоторой точке, и бесконечно малой в этой же точке; теорема об операциях над пределами.

В заключение рассматривается пре-

( 1 ^ *

дел Нш| 1 + — I , равный числу Эйлера е =

2,718...,и пример применения числа е для построения идеальной модели роста словаря [8.С. 56-57].

Пример 8. В результате постоянного расширения сферы деятельности человека его лексический запас неуклонно растет. Характеристикой увеличения словаря служит коэффициент к его прироста за определенный период времени:

-=АЬ,

Ь

где АЬ - количество новых слов, появившихся за данный период времени, за вычетом вышедших из употребления архаизмов, Ь - общий объем словаря на данный период времени. Зная начальный объем словаря Ь и коэффициент -, легко показать, что через 10 лет объем словаря составит

Ь0 +АЬ = Ь0 + Ь0 к = Ь0 (1+к).

Однако такой подсчет дает грубое приближение, так как в течение десятилетия прирост словаря происходит не от-

носительно исходной величины Ь0, а относительно сумм Ь0 + АЬ, где АЬ указывает на прирост словаря за год, месяц, неделю и т.д. Учитывая рост словаря по годам, выведем более точный результат. К концу первого года получаем

^ =Ь"(1+10}

к концу второго года имеем

к ( к 2 Ь2 = Ь + Ь — = Ь0\ 1 + —

2 1 1 10 0^ 10

а к концу десятилетия объем словаря составит

Ь10 = Ь01 1 +

10

При учете прироста словаря по месяцам результат объема словаря к концу десятилетия оказывается еще более точным

Ь10 = Ь0 I 1 +

_к_ 120

Теперь обобщим процесс роста словаря. Промежуток времени Т разделим на п равных частей. Объем словаря к концу периода Т будет составлять

ЬТ = Ьо\ 1 + ^

Введем условие неограниченного возрастания числа промежутков п, получаем

кТ

ЬТ = ИшЬ 1+— I = Нш1 \ 1+—

кТ\кГ

=Ь

4+мг

Ч-А п )

Получаем идеальную модель роста словаря, выраженную формулой

кТ

Ьт — "Ь" е

Третий этап. С помощью понятия предела решаются некоторые задачи квантитативной лингвистики, связанные с ростом или убыванием какой-либо величины в диахронических или информационных процессах.

Например, процесс распада некоторого языка характеризуется убыванием числа слов, обозначающих необходимые понятия (например, маленький, живот-

1

120

п

кТ

п

п

п

п

ное, все и др.), и представляет собой непрерывно текущий (мало изменяющийся в малый момент времени) лингвистический процесс. С целью определения приближенной датировки расхождения диалектов и родственных языков, а также для количественной оценки степени их родства применяется описанный математический аппарат [8.С. 57-59]. Подобные исследования в своей основе имеют пять утверждений, которые обозначены как постулаты:

1. Во всех языках мира существует некоторое множество слов, обозначающих наиболее древние, всегда необходимые и поэтому не изменяющиеся понятия-означаемые, называемое текстовым списком (ТС).

2. Доля означающих (слов или эквивалентных словам устойчивых словосочетаний) постоянна в течение некоторого промежутка времени Т и не зависит от способа выбора этих слов из ТС.

3. Каждый язык и диалект имеет свой коэффициент сохранности г относительно периода в 1000 лет. Величины г колеблются относительно периода в тысячу лет от 0,75 (для быстро развивающихся языков) до 0,91 (для «стабильных» языков), средняя величина г равна 0,81.

4. Все означающие из ТС данного языка имеют одинаковые шансы сохраниться на протяжении периода времени Т.

5. Вероятность означающего из ТС праязыка сохраниться в ТС первого потомка не зависит от вероятности сохраниться в ТС второго потомка.

Опираясь на рассуждения, приведенные в примере 8, получаем формулу для оценки числа Ьт общих означающих из ТС праязыка, которое сохраняется в двух языках-потомках за период их независимого развития:

Ьт = ¿0 е ,

где Ь0 - число означающих ТС, которые характеризуют праязык в момент выделения из него языков-потомков г и у, к - коэффициент потери общих слов за некоторый период Т (называемый периодом дивергенции). Этот коэффициент ра-

вен к = 1 - , где гг и Гу - коэффициенты

сохранности лексики каждого из сравниваемых языков.

Прологарифмировав выражение (*),

получаем

1п Ьт = 1п Ь0 - кТ,

значит, количественная оценка периода дивергенции определяется из равенства

Т = 1п ¿0 - 1п Ьт

= к

Пример 9. Известно, что из Ь0 = 202 латинских слова дакорумынский и арумынский языки сохраняют только Ьт = 149 общих лексем, а коэффициенты сохранности лексики соответственно г^ = 0,81 и га = 0,88. Определим период дивергенции для данной пары романских языков.

Коэффициент потери общих слов в ходе дивергенции равен

к = 1 - гйга = 1 - 0,81 • 0,88 « 0,29.

Тогда период дивергенции получаем из равенства (**): т 1п202 - 1п149

Т =-= 1,05 тысячелетия.

0,29

Таким образом, момент распада балканороманского языка относится к IX в.

Степень родства языков и диалектов оценивается через отношение

у = —. При у>0,81 два языка следует Ь0

считать диалектами, при 0,36< у <0,81 языки являются родственными, при 0,12< у <0,36 принадлежат к одной ветви. Так, языки из примера 9 являются родственными.

Введение (изучение?) базовых учебных элементов курса математики студентам специальности «лингвистика», построенное по спиралевидным схемам, описанным выше, создает позитивную познавательную и профессиональную основу для будущей деятельности студента. Это обусловлено тем, что, с одной стороны, позволяет дать ему достаточную математическую подготовку, а с другой - навыки использования полу-

ченных знаний для решения конкретной задачи теории и практики.

Библиографический список

1. Афанасьев В.В., Соловьева А.А. Спираль фундирования понятия информации при преподавании математики студентам специальности «реклама». Сб. материалов научн.-метод. конференции «Чтения Ушинского». Ярославль, 2003.

2. Каталог лингвистических программ и ресурсов в Сети. www. rvb. ru/soft/catalogue/catalogue .html

3. Классификация русских согласных по месту образования. www.pholol.msu.ru/rus/lena-1/conson/mesto1 .html

4. Мейе А. Сравнительное изучение индоевропейских языков. М. - Л.. Сосэкгиз, 1938.

5. Марков А. А. Об одном применении статистического метода // Известия Императорской Академии Наук, 1916.

6. Марков А.А. Применение статистическаго исследования // Известия Императорской Академии Наук, 1913.

7. Морозов Н.А. Лингвистические спектры: средство для отличения плагиатов от истинных произведений того или иного неизвестного автора. Стилеметрический этюд // Известия отд. русского языка и словесности Имп. Акад.наук. Т.ХХ. Кн.4. 1915.

8. Пиотровский Р.Г. и др. Математическая лингвистика: Учеб. пособие для пед. ин-тов. М., 1977.

9. Пиотровский Р.Г. Информационные измерения языка. Л.: Наука, 1968.

10. Подготовка учителя математики: инновационные подходы: Учеб. пособие / Под ред. В. Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002.

11. Соловьева А.А. Спираль фундирования «Риск принятия решений» при преподавании математики студентам специальности «менеджмент организации». Сб. материалов школы-семинара, посв. 100-летию А.Н. Колмогорова. Ярославль, 2003.

12. Afanas'ev V.V., Solov'eva A.A. Using spirals of foundiration in the process of teaching mathematics to students of humanitarian specialities. 2003.