Моделирование кластерных структур в материале: силовые поля и дескрипторы

УДК 303.092.5:519.876.5:538.913:620.18

Моделирование кластерных структур в материале: силовые поля и дескрипторы

А.Н. Герега

Одесская государственная академия строительства и архитектуры, Одесса, 65029, Украина

Проведено моделирование силовых полей внутренних границ вещества как суперпозиции полей модифицированных квадратов Серпинского. Установлено ограничение на применимость коэффициентов поврежденности материала; предложен эффективный информационный дескриптор внутренних границ. Введено представление об «эффекте дальнодействия» в облученных кристаллах как о различных проявлениях фазового перехода второго рода. Предложена феноменологическая перколяционная модель явления, приведена интерпретация экспериментальных данных, обсуждается возможный механизм эффекта.

Ключевые слова: внутренние границы, силовое поле, квадрат Серпинского, перколяция, эффект дальнодействия, фрактальный кластер, структурный фазовый переход, информационный дескриптор

Modeling of cluster structures in a material: force fields and descriptors

A.N. Herega

Odessa State Academy of Civil Engineering and Architecture, Odessa, 65029, Ukraine

The force fields of interior boundaries of matters are calculated as a superposition of fields of modified Sierpinski carpet. Limitation on the applicability of damage coefficients is established; an efficient descriptor of interior boundaries is proposed. The long-range effect interaction in irradiated crystals is introduced as various manifestations of second order phase transition. A phenomenological percolation model of the effect is proposed; interpretation of experimental data is given; and a possible mechanism for the effect is discussed.

Keywords: interior boundaries, force field, Sierpinski carpet, percolation, effect of long-range interaction, fractal cluster, structural phase transition, data descriptor

1. Введение

Материал и внутренние границы — взаимообусловленные и совместно развивающиеся кластерные системы. Перераспределяя деформации в материале, внутренние границы эволюционируют, изменяя характерные размеры и «осваивая» новые масштабы, тем самым модифицируя материал. Хорошо известны сложности, возникающие при расчете силовых полей сетей трещин и внутренних границ. В статье предложена модель произвольных сетей внутренних границ в виде суперпозиции модифицированных предфракталов Сер-пинского, позволившая получить итерационные алгоритмы для расчета силовых полей.

Регулярно используемые для описания состояния поверхности материала коэффициенты поврежденнос-

ти являются важными интегральными характеристиками дефектности. В работе определены пределы применимости коэффициентов поврежденности и рассмотрена возможность описания внутренних границ с помощью предлагаемого информационного дескриптора — относительной степени упорядоченности внутренних границ.

Ряд физических эффектов в веществе, как известно, объясняется существованием связных (или квазисвязных) областей перколяционного типа [1-3]. Размерность, лакунарность, степень анизотропии и разветв-ленности и другие параметры таких кластерных систем существенно влияют на кинетические коэффициенты, приводят к аномальной упругости материала и другим эффектам. В статье предложена феноменологическая

© Герега А.Н., 2013

перколяционная модель так называемого «эффекта дальнодействия», возникающего в кристаллических материалах при ионной имплантации. В модели рассматривается возможный механизм явления, который позволяет интерпретировать ряд хорошо установленных фактов: немонотонную зависимость микротвердости образца от дозы облучения, пороговый характер эффекта, независимость от сорта имплантируемых ионов и вида материала и др.

2. Модель силового поля мультимасштабной сети внутренних границ

Многочисленные вариации сетей интерьерных границ поддаются спонтанной визуальной классификации: в замысловатых и неповторимых рисунках их структуры легко угадываются закономерности [4]. Предлагаемая модель силового поля базируется на статистическом подобии сетей границ и предфракталов Серпинского и их модификаций. Она строится в предположении, что любая сеть внутренних границ может быть получена с наперед заданной точностью наложением необходимого количества модификаций регулярных предфракталов произвольных поколений, по аналогии с тем, как любая функция может быть разложена в ряд Фурье.

Определим аналитически силовое поле, создаваемое полимасштабной сетью внутренних границ, модификацией квадрата Серпинского, не имеющей осей симметрии (рис. 1).

Рассмотрим «проволочную» модель несимметричной модификации ковра Серпинского. Пусть исходная квадратная рамка разделена четырьмя «проволоками» на девять равных квадратов. Процедура многократно повторяется на каждой из 7т получаемых на очередном шаге рамок. Пусть также на каждой образующей рамок любого «поколения» с линейной плотностью X содержатся точечные источники, создающие поля напряженностью Е ~1 г 2

Пусть ковер Серпинского с длиной стороны образующего квадрата, равной 2H, расположен так, что его центр совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям. Составляющие вектора напряженности, создаваемой отрезком, определятся соотношениями Ex =A(sinа2-sina)/r, Ey =X(cosa2-cosa1)/r, где ai — угол между перпендикуляром длиной r, опущенным из точки, в которой определяется напряженность, на отрезок или его продолжение, и соответствующим направлением на концевые точки отрезка. Обозначим:

A(u, v) = (u2 + v2)-i/2, B(u, v) = v/[u(u2 + v2)i/2], l(n, p) = -l+ (-1)np, n(n, p) = -n + (-1)nP,

тогда составляющие вектора напряженности, создаваемой ковром m-го поколения в произвольных точках, не лежащих на прямых, которые содержат отрезки сети, можно вычислить по рекуррентным соотношениям:

X & П) = í í í (-1)¿[A(l(i, hi); ц( j, (2l -1) h/3)) -

i=i j =ii=i

-B(l(j, (2l-1)h//3;n(i, h/))], У/(Ь, n) = Xi(n; &

Xn (& n) = Xn-1 (£ + 2hn-i; n - 2hn_/) +

2

+ í{Xn_ife n(i, hn-i)- hn-i) + i=1

+ (-1/[A(S-hn; n(i,2hn-i)- hn-i)-

-B(l(i, 2hn_i)-hn_i;n-hn)] +

+ í [Xn-i m 2hn_i); n (j, К-/) + hn-i) + j=i

+ (-i) {A(£(i, hn-i); n(j, hn-i) + 2hn-i) -- A(£(i, 2hn-i) + hn-i; n(i, hn-i) +

+ ((-i)j -i)hn-i) + B(l(i, hn-i) + + ((-i)j -i)hn-i;n(i,hn-i))}]},

Yn (& П) = Yn-1 (& + 2ЙП-1; П - 2К-1) +

+ -1(&; п(",К-1)- К-1) +

'=1

+ (- 1)'" [(1,2Ап-1)- К-1;п-hn)-

- ЖпО',2Кп-1) - К-,;Кп)]+

+ АШ К-1) + ((-1)-1)Кп_1; ПО', К_1))}]},

п = 2, 3,т,

Ех = Ех (х; у) = Хт(-х; - у\

Еу = Еу (х; у) = 7т(-х; - у)?

Кп = Н • 3п-т.

Силовые поля, создаваемые полимасштабной сетью внутренних границ квадрата Серпинского и его разновидностью с одной осью симметрии второго порядка, рассмотрены в [5, 6].

3. Внутренние границы и их дескрипторы

Отличающиеся поразительным разнообразием сети внутренних границ — хороший индикатор структуры и состояния материала. Для их описания можно использовать по-разному определяемые коэффициенты по-врежденности, которые дают усредненную оценку состояния поверхности материала. Как правило, это позволяет судить о дефектности материала, но есть и исключения. Например, коэффициент пологости, определяемый как отношение расстояния между крайними точками внутренней границы к ее длине К = Lрaс| ^^, не всегда решает задачу: оказывается, что границы, существенно различающиеся визуально, могут иметь равные К. Этот эффект объясняется развитой фракталь-ностью одной из внутренних границ, именно она нивелирует дескрипторную способность коэффициента (рис. 2).

Значительно более эффективный дескриптор основан на определении относительной степени упорядоченности двух внутренних границ по размерам составляющих их участков. Он базируется на введенном в [7] понятии относительной степени упорядоченности изоб-

ражений, идеологически связанном с S-теоремой Кли-монтовича для открытых систем [8].

Для определения относительной характеристики необходимо обеспечить корректность сравнения. В случае внутренних границ это можно сделать по аналогии с теоремой Гиббса о сравнении энтропии равновесного и произвольного состояний при условии неизменности среднего значения энергии [9, 10]. В нашем случае это значит, что должно быть обеспечено равенство значений средних длин участков, т.е. одинаковое количество участков в сравниваемых границах должны иметь равную суммарную длину. Для выполнения этого условия по значениям длин последовательно расположенных участков восстанавливаются функции плотности распределения участков по длине /1(") и f2('), затем по формуле

X ЛО)

Рис. 2. Эскиз к пояснению потери коэффициентом пологости трещины дескрипторной способности

/2С) = /2(0ТГТ7:7

X /2

проводится перенормировка одной из них. В [7] показано, что функционал Ляпунова

51 - Я 2 = -X [/1 (') 1п /1 (') - /2 (') 1п /2 (')] =

-X ШОЬШ')//2(0)]

для элементов двух равновеликих последовательностей данных есть мера относительной степени упорядоченности, где 5, 5, /, / — энтропии и плотности функций распределения длин участков

Возможные варианты оценки относительной степени упорядоченности связаны со сравнением по отношению или разности длин соседних участков границ, по абсолютной величине этой разности и другим. Наиболее чувствительной, по нашим данным, является оценка, сделанная по значениям длин.

Таким образом, величина относительной степени упорядоченности — параметр чрезвычайно чувствительный к локальной структуре материала — обнаруживает себя как эффективный дескриптор внутренних границ.

4. К теории «эффекта дальнодействия» при ионной имплантации

Наблюдаемая в кристаллах при ионной имплантации и облучении светом совокупность явлений, за которой закрепилось название «эффект дальнодействия», исследуется в течение примерно сорока лет, но, как отмечают авторы [12-14], ни убедительного объяснения в рамках классических моделей радиационной физики твердого тела, ни сколько-нибудь законченной теории,

ни единства взглядов на механизмы, лежащие в основе этих явлений, сегодня нет.

Суть эффекта — в изменении структуры материала на расстояниях от облучаемой поверхности, на несколько порядков превышающих длину проективных пробегов ионов (или глубину проникновения энергии облучения). Обычно это проявляется в увеличении плотности дефектов упаковки в объеме кристалла по сравнению с областью пробега ионов [13], возникновении в облученном кристалле аномальной диффузии [15, 16], в немонотонном изменении (по мере набора дозы облучения) микротвердости образца на расстояниях до нескольких сотен микрометров от дефектного слоя [14, 17] и некоторых других.

4.1. Экспериментальные данные

Обзор даже основных экспериментальных результатов исследования дефектных структур в имплантированных или облученных кристаллах потребовал бы рассмотрения многих работ [12, 18]. Ниже приведены три эксперимента, характерные для работ по изучению эффекта дальнодействия.

1. В [19] описаны эксперименты по облучению галогенной лампой мощностью 300 Вт фольги из пермаллоя толщиной 20 мкм. В работе обнаружено изменение микротвердости на обеих сторонах фольги. Авторами установлено, что зависимость относительного изменения микротвердости от длительности облучения немонотонна, что интервал доз облучения ограничен сверху и снизу: вне этого интервала микротвердость не изменялась, и что эффект не зависит от нагрева образца.

Объяснение эффекта авторы [19] строят на аналогии между ионным и световым облучением: они считают, в отсутствие температурных градиентов, а также возбуждения его электронной подсистемы материала «наиболее вероятным является механизм возбуждения ионами упругих (деформационных) волн и их взаимодействие с исходными структурными несовершенствами». Нужно согласиться с авторами: «допущение, что генерация деформационных волн происходит при воздействии света от лампы накаливания, является наиболее трудным пунктом модели [19]».

2. В [17, 20] наблюдалось изменение микротвердости поликристаллических металлов и сплавов толщиной несколько сотен микрометров при дозах облучения ионами 1013-1016 см-2. В работе показано, что величина микротвердости является немонотонной функцией дозы с резко выраженными максимумами и что явление носит пороговый (по энергии облучения) характер, практически не зависит от сорта ионов, вида металла, толщины фольги, плотности ионного тока и возникает с обеих сторон фольги.

Авторы [21] полагают ответственными за эффект дальнодействия гиперзвуковые волны. Они считают,

что «ион, сталкиваясь с поверхностью, производит своего рода микровзрыв, порождая высокочастотную акустическую волну», и хотя, «как правило, волны быстро затухают и сами по себе не могут достичь обратной стороны пластины, но, встречая на своем пути протяженные дефекты, они вызывают их перестройку, которая сопровождается испусканием вторичных волн. Возникает своего рода цепной процесс, который, в конечном счете, способен охватить всю толщу пластины и привести к изменению ее свойств».

3. Недавняя работа [13] существенно дополнила экспериментальные данные об эффекте. Авторы провели металлографическое исследование образцов кремния, облученных альфа-частицами с энергией 27.2 МэВ при интегральной плотности потока Ф = 1017 см-2 с интенсивностью в пределах 1012 см-2 • с-1. Образцы во время облучения охлаждались, их температура не превышала 100 °С.

При проекционной глубине проникновения Rp = = 360 мкм авторы [13] обнаружили не только пять слоев дефектов, расположенных ниже слоя внедрения (380, 423, 627, 720, 764 мкм), но и три — на глубине меньшей, чем проекционная (132, 242 и 341 мкм). Кроме того, в области Rp обнаружена мелкомасштабная структура дефектной системы. В работе отмечается, что наличие мелкомасштабной структуры и периодичность дефектной системы свидетельствуют о волновом механизме их образования. При этом авторы отмечают, что, с другой стороны, известный автоволновой механизм не может объяснить воздействие облучения в области ниже слоя внедрения, т.к. предусматривает поддержание амплитуды распространения концентрационного фронта радиационных дефектов за счет пластической деформации, которая возможна лишь при более высокой температуре образцов.

Эти результаты, устраняющие «односторонность» экспериментальных данных, явились существенным компонентом в череде фактов, позволивших сформулировать представление об эффекте дальнодействия как о различных проявлениях фазового перехода второго рода.

4.2. Перколяционная модель эффекта дальнодействия

Непреходящая актуальность перколяционных методов исследования вещества в течение последних пятидесяти лет показала эффективность теории протекания [1-3] при рассмотрении обширной области вопросов, относящихся к генезису и эволюции связных областей в стохастических процессах в материале.

В таких задачах одновременно изучается кластерная система физического тела и ее влияние на объект в целом. Когда концентрация элементов некоторой из подсистем материала достаточно возрастает, то возникает

перколяционныи кластер, что приводит к качественному скачку в развитии тела — реализации структурного фазового перехода. В момент перехода один из характерных размеров перколяционного кластера становится сравнимым с габаритами физического тела, и, как следствие, в материале скачкообразно изменяется корреляционная длина, появляется выделенное направление, уменьшается симметрия объекта. В зависимости от физическоИ природы перколяционного кластера это может привести к возникновению аномальноИ диффузии, к эффектам упрочнения или к деструкции материала, к появлению спонтанноИ намагниченности в ферромагнетиках, к переходу Мотта в примесных полупроводниках, изменению тепло- и влагоемкости тела и др.

Предлагаемая перколяционная модель позволяет интерпретировать эффект дальнодействия как результат критического поведения аморфизированного (дефектного) слоя.

Положения модели:

- дефектный слоИ, расположенный на глубине максимально вероятного проективного пробега ионов, представляет собоИ квазиплоское несплошное «облако» аморфизированных областеИ различных размеров;

- при критическоИ дозе облучения часть областеИ объединяется и в кристалле возникает перколяционныИ кластер аморфизированного слоя [1, 3];

- поле механических напряжениИ, создаваемое таким слоем, дальнодеИствующее, убывающее с расстоянием пропорционально г~ь при Ь ~ 1.

Разработанная компьютерная программа реализует континуальную перколяционную модель образования аморфизированного слоя.

В модели координаты центров модифицированных областеИ, из которых формируется перколяционныИ кластер, определяются методом Монте-Карло; величину областеИ можно варьировать, что соответствует изменению энергии имплантируемых ионов. Области считаются соединенными в случае контакта; если они перекрываются, степень разупорядочения возрастает. Предусмотрены четыре степени разупорядочения, а также режимы, «включающие» любое сочетание типов модифицированных областеИ, т.е. имеется возможность проследить образование перколяционного кластера из всевозможных сочетаниИ малых кластеров.

На рис. 3 показана эволюция областеИ различноИ степени аморфизации по мере набора модельноИ дозы. Видно, что первоначальныИ рост сменяется убыванием: образование более разупорядоченных областеИ происходит за счет имеющих большую упорядоченность. В модельных экспериментах можно наблюдать и за изменением характера процесса формирования областеИ различноИ аморфизации. Например, на рис. 3 видно, что на заключительноИ стадии формирования перколяционного кластера в дефектном слое скорость генера-

Рис. 3. Модельные области различноИ степени разупорядочения: а — одна из возможных реализациИ; б — кинетика раз-упорядочения областеИ дефектного слоя по мере роста его аморфизации. Числа у кривых — степень аморфизации

ции четырежды разупорядоченных модельных областеИ убывает, т.е. процесс роста этих областеИ идет с замедлением; трижды разупорядоченных — с положительным ускорением.

В модельных экспериментах определяются значения перколяционного и кластерного порогов, радиуса гира-ции, корреляционноИ длины, радиус-вектора центра масс кластера, степени анизотропии и первые пять членов спектра размерностеИ Реньи для перколяционных кластеров, построенных по различным алгоритмам, а также реализована возможность наблюдения динамики процесса построения кластерноИ системы.

Обсудим кинетику изменения напряжениИ и возмож-ныИ механизм явления.

При малых дозах облучения дефектные образования можно рассматривать как отдельные скопления, которые создают механические напряжения, убывающие как а ~ г~3 [22]. По мере роста дозы в материале возникает разупорядоченная область перколяционного типа, которая превращается в бесконечныИ кластер «только при условии, что его плотность превышает некоторую критическую величину» [23]. При этом скачкообразно изменяется закон падения напряжениИ: оно уменьшается заметно медленнеИ и может быть аппроксимировано законом а ~ г_1. При дальнеИшем увеличении дозы перколяционныИ кластер аморфизированного слоя превращается в «сплошную стенку» с экспоненциально

спадающим полем напряжений [22]. Естественно, что столь резкие изменения характера механических полей в материале существенно видоизменяют равновесное распределение дефектов и могут приводить к образованию областей с повышенным содержанием дефектов вдали от области вероятнейшего пробега ионов.

Постулирование в модели дальнодействующего характера поля напряжений дает возможность оценить значение фрактальной размерности перколяционного кластера в дефектном слое. Положим, что закон убывания величины механических напряжений с расстоянием имеет вид: ст ~ г- , где Ь = 3 - 2D, D — размерность дефектов. Тогда при D = 0 и D = 1 получаются известные зависимости соответственно для точечных дефектов (~ г_3) и линейных дислокаций (~ г_1) [22], а величина фрактальной размерности перколяционного кластера в дефектном слое, при которой порождаемое им поле напряжений является дальнодействующим, окажется в пределах 1.0 < D < 1.5.

Модель позволяет также интерпретировать немонотонность в зависимости свойств образца от дозы облучения: по мере набора дозы области одной степени раз-упорядоченности теряют связность и заменяются перко-ляционным кластером более разупорядоченных областей. В процессе облучения это происходит неоднократно и приводит к колебанию величины механических напряжений, к выраженной немонотонности свойств облучаемого образца, в частности микротвердости, а также позволяет объяснить наличие «магических» доз, при которых наблюдаются экстремумы свойств.

5. Заключение

Соотношения для расчета силовых полей могут быть применены ко всему диапазону размеров сетей, в котором проявляется самоподобие. Границы мезоскопи-ческой асимптотики могут быть определены по методике, предложенной, например, в [1, 24].

Не видно ограничений в возможности обобщения модели на внутренние границы, расположенные в объеме тела: элементы квадрата Серпинского в «проволочной» модели могут быть заменены на ребра кубов губки Менгера и ее разновидностей.

Возможности предложенного информационного дескриптора определяются масштабом разбиения исследуемого объекта на части и могут быть повышены до любого разумного предела. (Интересно, что и дифференциальные операторы, примененные к различным параметрам силовых полей внутренних границ, могут рассматриваться как достаточно чувствительные дескрипторы.) По аналогии с рассмотренным может быть построено семейство однотипных дескрипторов по различным характерным параметрам сетей. По другой аналогии, сравнивая такое описание с мультифрактальным, можно представить сеть границ как мультидескриптор-

ный объект, для описания которого нужен бесконечный ряд дескрипторов, аналогичный спектру обобщенных размерностей Реньи.

Помимо описания начальной стадии аморфизации кристаллических тел перколяционная модель эффекта дальнодействия позволит описать кинетику накопления промежуточных веществ и конечных продуктов в основных группах цепных процессов — полимеризации, крекинге, окислении, а также содействовать решению задач установления связей между структурой веществ и кинетическими константами, характеризующими реакционную способность.

Автор благодарен к.ф.-м.н. Н.Г. Дрик за помощь в проведении расчетов.

Литература

1. Соколов И.М. Размерности и другие критические показатели в теории протекания // УФН. - 1986. - Т. 150. - № 2. - С. 221-255.

2. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

3. ШкловскийБ.И., Эфрос А.Л. Электронные свойства легированных

полупроводников. - М.: Наука, 1979. - 416 с.

4. Уолкер Дж. Сетки поверхностных трещин // В мире науки. -1986. - № 12. - С. 158-164.

5. Герега А.Н., Дрик Н.Г., Угольников А.П. Ковер Серпинского с гибридной разветвленностью: перколяционный переход, критические показатели, силовое поле // УФН. - 2012. - Т. 182. - № 5. - С. 555557.

6. Герега А.Н., Выровой В.Н. Интерьерные границы композитов: полимасштабность структуры и свойства силовых полей // Механика композиционных материалов и конструкций. - М.: ИПРИМ, 2012.- С. 204-209.

7. Герега А.Н. Об одном критерии относительной степени упорядоченности изображений // ЖТФ. - 2010. - Т. 80. - № 5. - С. 149150.

8. Климонтович Ю.Л. Критерии относительной степени упорядочен-

ности открытых систем // УФН. - 1996. - Т. 166. - № 11. - С. 12311243.

9. Гиббс Дж.В. Термодинамика. Статистическая физика. - М.: Наука,

1982. - 584 с.

10. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. - М.: Наука, 1982. -608 с.

11. Kullback S., Leibler R.A. On information and sufficiency // Annals Math. Statistics. - 1951. - V. 22. - No. 1. - P. 79-86.

12. Овчинников В.В. Радиационно-динамические эффекты. Возможности формирования уникальных структурных состояний и свойств конденсированных сред // УФН. - 2008. - Т. 178. - №9.-С. 991-1001.

13. Гроза А.А., Литовченко П.Г., Старчик М.1., Хгврич В.1., Шмат-ко Г.Г. Особливост ефекту далекодй в кремни при 1мплантаци ядер водню та гел1ю // Украшський ф1зичний журнал. - 2010. -Т. 55. - № 6. - С. 699-705.

14. Тетельбаум Д.И., Баянкин В.Я. Эффект дальнодействия // Природа. - 2005. - № 4. - С. 9-17.

15. Блейхер Г.А., Кривобоков В.П., Пащенко О.В. Тепломассоперенос в твердом теле под воздействием мощных пучков заряженных частиц. - Новосибирск: Наука, 1999. - 176 с.

16. Ovchinnikov V.V., Chernoborodov V.I., Ignatenko Yu.G. Change of electrical properties of alloys and excitation of low-temperature atom mobility by ion bombardment // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. B. -1995. - V. 103. - Р. 313-317.

17. Tetelbaum D.I., AzovA.Yu., Kuril'chikE.V., Bayankin V.Ya., Gilmut-dinov F.Z., Mendeleva Yu.A. The long-range influence of the ion and photon irradiation on the mechanical properties and on the composi-

tion of the permalloy-79 // Vacuum. - 2003. - V. 70. - No. 2-3. -P. 169-173.

18. Челядинский А.Р., Комаров Ф. Ф. Дефектно-примесная инженерия в имплантированном кремнии // УФН. - 2003. - Т. 173. - № 8. -С. 813-846.

19. Тетелъбаум Д.И., Азов А.Ю., Голяков П.И. Влияние облучения светом на механические свойства металлов // Письма в ЖТФ. -2003. - Т. 29. - № 2. - С. 35-41.

20. Tetelbaum D.I., Kuril'chikE. V., Latisheva N.D. Long-range effect of low-dose ion and electron irradiation of metals // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. B. - 1997. - V. 127/128. - P. 153-156.

21. Павлов П.В., Семин Ю.А., Скупое В.Д., Тетелъбаум Д.И. Ударно-акустические эффекты в кристаллах при ионном облучении // ФТП. - 1986. - Т. 20. - № 3. - С. 503-507.

22. КосевичА.М. Физическая механика реальных кристаллов. - Киев: Наукова думка, 1981. - 328 с.

23. СмирновБ.М. Свойства фрактального агрегата // УФН. - 1989. -Т. 157. - № 2. - С. 357-360.

24. Асланов А.М., Беккер М.Б., Выровой В.Н., Герега А.Н. Имитационная модель синергетических процессов в динамических дисперсных системах. Н-критерий // ЖТФ. - 2010. - Т. 80. - №» 1. - С. 148151.

Поступила в редакцию 04.03.2013 г.

Сведения об авторе

Герега Александр Николаевич, д.т.н., проф., зав. каф. ОГАСА, aherega@gmail.com