Моделирование траекторий электронов в канальных вторично-эмиссионных умножителях

УДК 621.383.8

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ ЭЛЕКТРОНОВ В КАНАЛЬНЫХ ВТОРИЧНО-ЭМИССИОННЫХ УМНОЖИТЕЛЯХ

И.Н. ГОНЧАРОВ, Е.Н. КОЗЫРЕВ, А.Г. МОУРАОВ

Северо-Кавказский горно-металлургический институт

Рассматривается математическая модель поведения электронов в электрическом поле канала микроканальной пластины (МКП), используемой в качестве вторично-эмиссионного умножителя пространственно-распределенных потоков электронов.

Ключевые слова: вторичная электронная эмиссия, математическая модель поведения электронов, электрическое поле, усилительная способность вторично-эмиссионного канала, микроканальные пластины (МКП).

Микроканальные пластины являются компактными вакуумными усилителями пространственно-распределенных потоков частиц и излучений. Конструкция МКП представляет собой диск из свинцово-силикатного стекла и состоит из спеченного вместе множества (700-1000 шт.) идентичных микроканальных сот, каждая из которых, в свою очередь, включает до 5000-6000 шт. регулярно уложенных и спеченных вместе идентичных миниатюрных трубчатых каналов диаметром от 5 до 10 мкм в зависимости от разновидности МКП.

При приложении напряжения к металлизированным торцам пластины в процессе её эксплуатации по стенкам каждого из каналов структуры течёт ток проводимости, создающий в них однородное электрическое поле с линейно возрастающим потенциалом. Таким образом все каналы превращаются в идентичные вторично-эмиссионные усилители. Первичный фотоэлектрон, несущий информацию об объекте, испущенный фотокатодом изделия применения, например электронно-оптическим преобразователем (ЭОП), испытывает у входа в канал первое соударение и генерирует определенное количество вторичных электронов, характерное для восстановленного свинцово-силикатного стекла. Далее вторичные электроны под влиянием ускоряющего электрического поля канала движутся в сторону его выхода, многократно бомбардируя стенки и выбивая новые вторичные электроны. Таким образом по каналу проходит размножающаяся электронная лавина (рис. 1). Общий коэффициент усиления сигнала на выходе МКП может достигать 10000.

Рис. 1. Процесс электронного усиления в канале МКП

Математическую модель ускоряющего поля канала, обеспечивающего усиление, можно построить на основе уравнения Пуассона для электрического поля в вакууме:

2 Р V 2 и 0 =--

£ 0

V 2

где у - дифференциальный оператор Лапласа, форма которого зависит от выбора координатной системы, 1/м2; и - потенциал поля, В; Р - плотность объемного заряда, Кл/м3 (суммарный электрический заряд всех электронов в импульсе: в случае с электронами он имеет отрицательный знак, поэтому правая часть уравнения (1) становится положительной).

Уравнение (1), описывающее в декартовой системе координат поле, обладающее вращательной симметрией, приобретает вид

д2 и д2и д2и р -+-+-= —

дх2 ду2 дг2 £ 0

где х, у, I - значения координат в декартовой системе, м.

Уравнение (2) является моделью распределения электрического поля в канале МКП и его необходимо решить. Наиболее удобно, с точки зрения последующей реализации модели в виде программного продукта, произвести приближенное (численное) решение данного уравнения методом конечных разностей. Его основные принципы таковы.

Непрерывное распределение потенциала внутри рассчитываемой области заменяется дискретным, т.е. значения потенциала определяются в некотором конечном множестве точек (узлов). Совокупность узлов называется сеткой.

Дифференциальные уравнения в частных производных заменяются соответствующими уравнениями в конечных разностях, которые получаются заменой производных приближенными выражениями через конечные разности.

Результатом расчета распределения потенциала в канале методом конечных разностей являются значения потенциалов в ячейках сетки, расположенных внутри канала при известных значениях потенциала на границе области (на стенках канала), т.е. решается задача Дирихле для уравнения Пуассона.

Рассмотрим систему канала МКП, приведенную на рис. 2. Разделим рассчитываемую область путем нанесения на объем канала квадратной сетки. Стоит задача найти значения потенциалов, удовлетворяющие уравнению Пуассона (2) в ячейках сетки, расположенных внутри области, при известных граничных условиях, т.е. при известном распределении потенциала в стенках канала, а также на его входе и выходе.

Линии сетки целесообразно выбрать совпадающими с направлением

координатных осей Х, У и 2. Шаг сетки следует принять равным 1'10 м, поскольку: во-первых, каналы МКП имеют близкие габариты; во-вторых, это обеспечит достаточную точность производимых расчетов; в-третьих, как будет показано далее, в таком случае значительно упростится решение уравнения Пуассона.

Рис. 2. Схема канала МКП: 1 - ячейки внутри канала (потенциал в них неизвестен);

2 - граничные ячейки с известным значением потенциала

Обозначим линии сетки (рис. 2), определяющие приращение: вдоль оси X -через г, вдоль оси У - через у, вдоль 2 - через к. В этом случае каждой ячейке сетки будут соответствовать свои индексы г,у, к. Выберем произвольную ячейку с индексами г,у, к (рис. 2). Если задача решена, то потенциалы в ячейках сетки должны удовлетворять уравнению Пуассона, записанному в форме для декартовой системы координат (2).

С помощью формулы Тейлора, которая позволяет для известного значения функции и её производных в точке а определить значение функции в соседней точке х, отстоящей от неё на малое расстояние (х-а), равное шагу сетки, можно записать приближенные выражения для частных производных, входящих в уравнение (2). Формула Тейлора имеет вид [4]

Г (а + (х - а ))= Г (х ) = / (а ) + — Г '(а )=*—^ г "(а ) + к

1 2!

(х - а)п (п) (х - а)п+1 (я+1) г К + ^-}— f (п) (а--f (п+1) • [а + 0(х - а)],

п!

где 0 - число, заключенное между 0 и 1.

Пусть (х-а) - шаг сетки, обозначим его через И. Т.к. данное значение мало, перепишем выражение (3), ограничившись тремя первыми членами:

И И2

f (а + И )= f (х )= f (а ) + - Г (а ) + — Г (а ).

1 2!

Примем за величину а узел с индексами г и у, тогда можно записать:

V;-1, у, к = V;, у, к - к-+

V;+1,7, к = V;¿, к + к-+

и;,7-1,к = V;,у,к - к-+

и;, у+1, к = V;, у, к + к-+

и;,у,к-1 = V;,у,к - к-+

к2 д 2V

2 дх2 . 9

к2 д 2 V

2 дх2 '

к2 д 2 V

2 ду2 .

к2 д 2V

2 д 2 ' ду

к2 д 2V

2 Эт 2'

к2 д 2 V

V;, у, к+1 = V;, у, к + к-+

дт 2 д,2

Сложив почленно три группы, получим:

к 2 д 2 V

V;-1, у, к + V;+1, у, к = 2Vi, у, к +-

V;, у-1, к + V;, у+1, к = 2Vi, у, к +

дх'

к 2 д 2V

V;, у, к-1 + V;, у, к+1 = 2 V;, у, к +

Из уравнений (6) следует:

Эу 2 к 2 д V

д2 V Vi-l,j,к + V;+1,у,к - 2Viк

ду'

д2V V;,у-1,к + V;,у+1,к -2Vi,у,к

Эх2

д 2 V V;, у, к-1 + V;, у, к+1 + 2 V;, у, к

к'

дт2 к

Подставляя выражения (7) в уравнение Пуассона (2), получим V;-1, у, к + V;+1, у, к + V;, у-1, к + V;, у+1, к + V;,у, к-1 + V;, у, к+1 - 6 V;, у, к _ Р

£ 0

2

к

2

С учетом того, что к=1'10 м, величину потенциала центральной ячейки через потенциалы соседних можно определить из выражения

2

к

Uij =

Ui-1,1 k + U i+1, у k + Ui, у-1, k + U i, у+1, k + U i, у, k-1 + U i, у k+1 Р

4 £0

Вычитаемое в выражении (9) учитывает степень влияния пространственного заряда, формируемого электронной лавиной в канале, на распределение электрического поля в нем. Следует иметь в виду, что в режиме применения, в частности в электронно-оптических преобразователях, коэффициент усиления МКП не превышает 103ч5*103 (при Uмкп=700ч800 В), что недостаточно для развития процессов зарядового насыщение в канале. Зарядовое насыщение - это ограничение размножения электронной лавины вследствие того, что на выходе канала плотность поверхностного положительного заряда становится весьма значительной и начинается искажение ускоряющего поля. В работе [3] отмечается, что объемный заряд влияет на электрическое поле канала при условии, когда напряжение на МКП и усиление М достаточно велики (М=104ч105 и выше). Следует отметить, что такие режимы значительно более жесткие, чем те, что рассматриваются в данной работе, поэтому уравнение (9) можно переписать в виде

^-1,у,k + VI +1,у,k + VI k + VI ,у+1,k + VI к-1 + V k+1

VI ,],к =-

6

Если далее для каждой внутренней ячейки сетки записать такое выражение, получится система линейных алгебраических уравнений, которая и является математической моделью электрического поля в канале МКП. Для её решения эффективно использовать итерационный метод, сущность которого заключается в последовательном неоднократном пересчете потенциалов в ячейках сетки, при известных граничных условиях. Количество итераций определяет точность расчета. Результирующее распределение считается достоверным, если разница в величине потенциала одних и тех же ячеек сетки соседних итераций очень невелика. Она не должна превышать долей вольт.

Говоря о граничных условиях, необходимо учитывать следующее:

1 диаметр и длину канала;

2 распределение потенциала вдоль стенки канала;

3 глубину металлизации во входной и выходной части канала;

4 влияние внешних электрических полей, в частности в выходной части канала.

После того, как решена задача о поле внутри канала МКП, можно произвести расчет траектории первичных и вторичных электронов в нем. Движение электрона в электрическом поле описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

йх йУх е

— = Ух; =--ЕХ

йг йг т

йу йУу е

— =уу; =--Еу ;

йг йг т

йг йУг = е

— = Уг ; --Ег ,

. йг йг т

где йх, йу - приращения поперечных координат, м; йг - приращение продольной

1. Ух Уу Уг

координаты, м; т - приращение времени, с; х, у , ^ - проекции вектора

. ек Еу Е7

скорости на оси х, у, г соответственно, м/с; х, * , ^ - рассчитанные напряженности поля в проекции к осям х, у, г, В/м.

Согласно методу Рунге - Кутта, координаты и скорости электрона в конце каждого шага интегрирования находятся из уравнений:

xi+1 = xi + At y i+1 = y i + At

Zi+1 = Zi + At

At ( At

Vx ¿ +- f7 2

хi +— Vx¡; y i +— Vyi; zi +— v4

At

Vv: +— f8

At

vz¡ +—f9

2

At

At 2

At

At 2 ' )J At

х i +—v х i; y i +— Vvi; zi +— vZi

\ 2 2 2 )J

At

At

At

х i +—vх i; y i +— vyi; zi +— vzí 2 2 2 )J

vx i+1 = vx i + Atf7

At

At

At

х i +— vх;; y i +— vyi; zi +— vzt

vy i+1 = vy i + Atf8

vzi+1 = vzi + Atf9

2

At

2

At

2) At

х i +— v х i; y i +— ^; zi +— vzí 2 2 2 )

( At

At

At

х i +—v х i; y i +— vyi; zi +— vz,-

2

2

2

где ^ - временной интервал, являющийся шагом интегрирования и определяющий

частоту пересчета точки местонахождения электрона, с (примем При этом:

At = 10

14

с).

( At At At е

f7 х i + -v х i ; y i + ~vyi ; zi + ~vzi = __E • x

4 2 2 2 ) m

( At At At N е

f8 х i + -vх i ; y i + ~vyi ; zi + ~vzi = __E • L* у »

2 2 2 ) m

( At At At N е

f9 х i + -vх i ; y i + ~vyi ; zi + ~vz¡ = __E

2 2 2 ) m

Ex Ey Ez

где x, у , z - значения напряженности поля в конкретной точке рассчитываемого объема (внутри некоторой ячейки), В/м.

На рис. 3 приведены проекции некоторой ячейки на три плоскости декартовой системы координат: xoz, xoy, yoz. Величины /1, I2,1з обозначают расстояние от точки М - элемента траектории до соответствующей границы ячейки в проекции на оси z, x, y соответственно (рис. 3). Значения /1, /2, /з определяются легко. Для этого надо из величин координаты проекции точки М на оси z, x, y соответственно вычесть количество ячеек сетки, разместившихся в пределах этих величин.

Рис. 3. Схема привязки положения электрона в трехмерной системе координат: а - система координат канала; б - проекции точки М на три плоскости

Значения /1, /2, /3 необходимы при переходе к следующему этапу - расчету

Ex Ey Ez ин x , , в п

(рис. 3). Можно записать:

Ex Ey Ez

величин x , , в приложении к каждой из трех соответствующих плоскостей

1

Ex 1 =--

h

Ex 3 = —

h - / 2 , ч / 2 ¡ ч

-{Ui+1 ,j,k - Ui,j,k )+—

hh

h - / 2 , ч / 2 t ч

-{Ui+1 ,j,k - Ui,j,k )+ — {Ui+1 ,j+1 ,k - Ui,j,k+1)

hh

2

2

1

h

Ех =

Е у 2 =--

И 1

Ех 1 +Ех3

2

Е у з = —

Е у =

И

Е у 2 + Е у 3

И - 13 ( ч 13 ч

-^^ ,к - и,/,к )+—\/+1 ,к+1 - ич,к+1 )

ИИ

И - 13 , V 13 , Ч

-\иу+1 ,к - и/ )+ —

ИИ

Ег 1 = — И

1

Ег 2 = —

2

И - 11 , V 11 , ч

-1,],к+1 - и ¿,],к )+—

И И .

И - 11 , ч 11 , ч

-\и¿,/,к+1 - и¿,/,к )+ —\и¿,./+1 ,к+1 - и ¿,/+1 ,к )

ИИ

Ег =

Ег 1 + Ег 2

2

где И - шаг сетки, принят равным 1 мкм.

Далее для решения уравнений движения (11) требуется задать начальные условия. К ним относятся стартовые координаты хц , уц , го и начальные скорости Ущ, Ууц, ^гц, а также соответствующие углы и направления влета фотоэлектрона в

канал. Аналогичные условия необходимо задавать и при моделировании процесса эмиссии каждого вторичного электрона со стенки канала. При этом следует отметить, что команда на старт вторичного электрона (электронов) вырабатывается при наличии двух условий:

1. Первичный электрон ударился о стенку канала. Данное условие выявляется с помощью следующего неравенства:

х2 + у 2 > (йк /2)2

. йк

где х,у -текущие поперечные координаты траектории первичного электрона, м диаметр канала, м.

2. Энергии первичного электрона ик достаточно, чтобы вызвать ответную эмиссию. Для соблюдения данного условия необходимо вести учет энергетики каждого первичного электрона Е\. Она приблизительно равна разнице между потенциалом в точке удара первичного электрона о стенку канала и значением потенциала стенки в месте его старта.

Зная энергию первичного электрона, можно определить коэффициент вторичной эмиссии одного каскада усиления. При этом следует использовать выражение

о к

= Рл/ЦТ

где о к - коэффициент вторичной эмиссии каскада; Р - параметр, учитывающий вторично-электронную эффективность резистивно-эмиссионного слоя (РЭС) канала;

согласно [3] Р принимает значения 0,21ч0,25; ик - энергия каскада, В.

Среди начальных условий движения электрона следует отметить скорость старта, которая определяется из выражения

1

1

И

U o =

2 e

—AU, m

где - энергия старта электрона, В.

В случае влета электрона в канал, ^и зависит от особенностей электронно-оптической системы ЭОП в промежутке фотокатод - МКП. Когда рассматривается старт вторичного электрона со стенки, стартовая энергия определяется из выражения

Е 2 m = и к • У,

где ^ - характеристика РЭС канала, принимает значения 0,04ч0,06.

Угловое распределение стартующих вторичных электронов носит косинусоидальный характер [1, 2] с отсчетом относительно перпендикуляра к поверхности канала, исходящего из точки падения первичного электрона.

В заключение следует остановиться на основных результатах работы, они таковы:

1. Разработана математическая модель ускоряющего электрического поля в условиях канала МКП с учетом граничных условий. Проведенное численное решение данного уравнения позволило получить форму описания однородных и неоднородных полей, удобную для реализации в виде программного продукта.

2. Разработана модель, предназначенная для рассмотрения поведения как первичных, так и вторичных электронов в канале вторично-эмиссионного умножителя, а также определения соответствующих коэффициентов вторичной электронной эмиссии и общего уровня усиления канала.

Представленные математические модели электрического поля и поведения электронов в канале МКП, как показали соответствующие расчеты, имеют высокую степень адекватности и удобны для проведения инженерных теоретических исследований, а также при проектировании канальных электронных умножителей и других изделий вакуумной электроники.

Summary

Describing model of behavior of electrons in electrical field condition in channel of microchannelplate (MCP). MCP is used in night vision devises and contactless photoelectric pick-ups of control isolator in high-voltage power line.

Key words: secondary electronic emission, mathematical model of behaviour of electrons, electrical field, amplificational ability of secondary-emission channel, microchannel plates (MCP).

Литература

1. Бронштейн И.М, Фрайман Б.С. Вторичная электронная эмиссия. М.: Наука, 1979. 350 с.

2. Добрецов Л.Н, Гомоюнова Н.В. Эмиссионная электроника. М.: Наука, 1986.

540 с.

3. Б. Кейзан. Достижения в технике передачи и воспроизведения изображений. М.: Мир, 1978. Т.1. 335 с.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1974. 544 с.

Поступила в редакцию 19 января 2009 г.

Гончаров Игорь Николаевич - канд. техн. наук, доцент кафедры «Электронные приборы» СевероКавказского горно-металлургического института (государственного технологического университета) (СКГМИ (ГТУ)). Тел.: 8-918-8219247.

Козырев Евгений Николаевич - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой кафедры «Электронные

приборы» Северо-Кавказского горно-металлургического института (государственного технологического университета) (СКГМИ (ГТУ)). Тел.: 8(8672)407-443; E-mail: kozyrev@skgtu.ru.

Моураов Алан Георгиевич - канд. техн. наук, проректор по общим вопросам, доцент кафедры «Электронные приборы» Северо-Кавказского горно-металлургического института (государственного технологического университета) (СКГМИ (ГТУ)). Тел.: 8(8762) 407-115.