Математическая модель привода главного движения пилорамы

УДК 62.932

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРИВОДА ГЛАВНОГО ДВИЖЕНИЯ ПИЛОРАМЫ Д.О. КОЗЫРЕВ

(Донской государственный технический университет),

А.А. АВАКЯН

Проведен анализ динамических характеристик процесса механической обработки. Построена математическая модель привода главного движения пилорамы.

Ключевые слова: математическая модель, привод, ременная передача, кривошипно-шатунный механизм.

Введение. Важнейшим звеном в лесопильном производстве являются лесопильные рамы. Их существенным недостатком являются неуравновешенные силы инерции подвижных масс кривошипно-шатунного механизма, вызывающие вибрацию. Для анализа явлений, происходящих в механизме пилорамы и оценке технологического процесса, представляется возможным использование теории регулярных колебательных систем [1], основываясь на теории цепочек, позволяющей аналитически исследовать динамические характеристики систем с большим числом степеней свободы, базируясь на анализе одного структурного элемента [2-6].

Исследование процесса силового взаимодействия при распилке лесоматериала на пилорамах неизбежно сводится к построению математической модели механизмов, формообразующее движение которых и приводит к его образованию. Одна из парциальных систем пилорамы совершает неравномерное программное движение, имеется в виду кривошипно-шатунный механизм привода рамы. Кроме того, на этот привод накладываются нежелательные колебания, вызванные кинематическим возбуждением. Согласно многочисленным работам по этой теме, особенно значительные динамические ошибки возникают из-за виброускорений [1, 6]. Одной из основных задач в снижении виброактивности, а соответственно и уровня акустической эмиссии исследуемого процесса, является обеспечение требуемого закона движения (гармонического) инструмента. Таким образом, особое значение представляет исследование формообразующих движений. При исследовании динамики упругих элементов машин и механизмов, как правило, предполагается, что влияние вынуждающих колебания устройств одностороннее, т.е. отсутствует обратное влияние упругой подсистемы на источник энергии.

Целью настоящей работы является создание математической модели привода главного движения пилорамы, которая и позволит решить все указанные выше задачи.

Построение математической модели привода главного движения пилорамы. Рассмотрим механизм привода пилорамы, представляющий собой последовательно соединённую ремённую передачу, и кривошипно-шатунный механизм, который реализует кинематическую функцию положения ведомого звена.

Рассматриваемый механизм относится к классу устройств, преобразующих вращательное движение приводного вала в неравномерное движение рабочего органа. В таком случае зависимость, связывающая положение ведомого звена с углом поворота приводного электродвигателя, является нелинейной. Анализ кинематической схемы исследуемого механизма позволяет сделать вывод, что динамическая модель пилорамы может быть классифицирована как неголономная система из-за наличия ремённой передачи. Однако при этом нужно учитывать возможность проявления параметрических резонансов, так как приведённый момент инерции механизма также является функцией ф.

В этом случае динамическая модель исследуемого объекта представлена в виде расчетной схемы (рис.1).

Рис.1. Расчётная схема привода пилорамы

Так как звенья этого механизма совершают сложное плоское движение в вертикальной плоскости, необходимо учитывать работу сил тяжести. Кроме того, в механизме имеется звено, совершающее плоскопараллельное движение. Для таких звеньев, согласно [4], инерционные характеристики могут быть приведены к звеньям, совершающим вращательное и поступательное движения, т.е. к кривошипу и раме. Используя метод замещения масс, получим:

ДД = т • - • R32;

3 ш 2 3 •

Дт = тш •—

Электромеханическая система не может быть описана адекватной моделью без учёта инерционности процессов, протекающих в двигателе [3]. Уравнения, описывающие движения асинхронного электродвигателя, имеют вид:

d Ш Г • — •Ш Г • — • Ш

иТ1х ТТ Ч ^2 Т1х , 4^0 2 X I о Ш •

= и1х---------------------------^-+-^--+ О0 -Ш1 г ;

Д

Д

ё Ш1у г • -2 •Ш1у Г • — •Ш 2 V

= и 1 2 1у + 1 0 2у _о • ш •

^ ~и1у * + * ^0 Т1х>

Д

+

Д

+(^0 _о>ш 2 V;

ё ш

2 V

ё Д

и, = 72 • ит • cos ю Р • ґ;

Г ' • — •Ш Г ' • — •Ш

Г2 - ш2у- + _(^0-п)-ш2х;

Д

и = л/2 • и • sin ю • ґ;

1V т Р ’

ё ю 3 • Z —

• (ш • / _Ш • і )_ — • М

\Т2 х *1 у 2 у 1х} ^

где Zv - число пар полюсов электродвигателя; Ш1х - проекция потокосцепления обмотки статора на ось х; Ш1 у - проекция потокосцепления обмотки статора на ось у; Ш2х - проекция потокосцепления обмотки ротора на ось х; Ш 2у - проекция потокосцепления обмотки ротора на ось у; J - сумма момента инерции ротора электродвигателя и шкива; О0 - угловая частота вращения поля статора; О - угловая частота вращения ротора; ю - угловая частота.

Таким образом, исследуемая электромеханическая система включает в себя электродвигатель, описываемый системой нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, а так-

же системой уравнений, описывающих механическую часть привода. Для подобных задач обычно используют особую форму уравнений Лагранжа II рода с «лишними» координатами (их ещё называют уравнениями Феррерса) [1, 2, 6]. Для рассматриваемого случая имеем:

d

дT

c>qi

дT CP

k J

і k = 1,..., 5 );

Z ajkqk+aj = ° (j=1,..., n).

k=1

Обобщённые координаты выбираем, пользуясь рекомендациями, приведенными в работе [6]. Задаёмся абсолютной координатой, соответствующей перемещению в начале кинематической цепи ф1 = q1, и далее вводим координаты, двигаясь по кинематической цепи. Выпишем основные кинематические соотношения:

Ф1 = Q. t = q1;

ф2 = фл + q2 = ад + q2;

фз =ф1 • i + q2+q3 = ад + q2 + q3;

Y = П(фз) = П( q^ + q2 + q3);

Z = Y + q4; Z = q5 + q4, где Q - угловая частота вращения приводного электродвигателя; ф1, ф2, ф3 - угловые координаты соответствующих сечений в абсолютном движении; Y — абсолютная координата массы m. Последнее замечание означает, что в качестве обобщённых координат, за исключением q1, приняты относительные координаты, отвечающие за деформацию упругих элементов.

Уравнение связи запишем исходя из условия, что Z является функцией положения [1, 6].

П (q^ + q2 + q3)_ Z = П (фз) — Z = 0.

Продифференцируем это выражение по времени:

п q^! +п с^2 + п с[з — Z = 0.

В качестве «лишней» координаты примем Y = q5. Число степеней свободы исследуемой системы H = 4, число «лишних» координат n = 1.

В связи с тем, что рама с пилами движется в вертикальной плоскости (рис.2), её перемещение удобно представить в следующем виде: Smax = L + R.

S = L • cos 5 — R • cos ф.

Общий катет прямоугольников ОАС и АВС определяет-

• к • ^ R

ся равенством вида: sin 5 = q- sin I— — ф1, где g = — .

Піф) = S = L • cos5 + R • sinф-л/L2 -R2; Піф) = L ^ 1 -g2 • cos2 ф + R • sin ф-л/L2 - R2 .

После преобразования имеем:

dS

Рис.2. Кривошипно-шатунный механизм пилорамы

— = -L sin 5--------------------+ R cos ф;

( ля г

- Я sin ф;

—( sin 5) = — (с- sin ф) = -д- sin ф;

—фу ’ —фу !

—5 . . — 5 sin ф

—cos 5 =-с- sin ф или — = -с----------------------------

—ф — ф cos 5

П (ф) = -Ь - — sin 5 + Я - cos ф = Ь - с - - sin 5 + Я - cos ф;

—ф cos5

—

\

------СОЭ 5

—

= —(-с-^п ф);

—25

ГияГ

- cos 5-

- sin 5 = -д- cos ф;

—25

—2 S

cos 5

2 | sin ф .

С -І-----г I -С-cosф

cos 5

—25

ГияГ

П "(ф) = —^ = -Ьsin 5---------2 - Ьсоэ5 — - Яcosф;

П "(ф) = Ь

sin 5 cos 5

С -|-----г | -С-cosф

cos 5

- Ь cos 5-І с-SІn ф I - Я - cos ф. 1 cos5 1 *

Проведём оценку спектра координаты У с целью выявления частот возбуждения механизма механической частью привода. С этой целью проведем расчёт с использованием возможностей системы Mathcad (рис.3):

R := 03 - радиус кривошипа;

L := 2 - длина шатуна; п:= 325 ;

п := 2.п — = 34 034 - угловая скорость кривошипа;

ЛЛЛЛЛ 60 *

R

? := — = 0.15 - отношение длин кривошипа и шатуна;

к := 1.. 1000; Ъ := 0 0005 -к; ф к := ^ •tk; б к := asin п к := 1 - ^2-^(ф к) + R•sin(ф к)) - Ь;

С-эт

ЛЛ

УУ

т §Іп(ф к) ( \ о ( V

ПІ к := L^--8ІП(5к) + Я-СОЭ(ф к);

п2к := L-

сОэ

Цф к)

Л2

С-соэ

L-CОs(5 к )-

С-

sin

Л2

R-cos(ф к).

2

1

2

К

2

0.5

п к

п1к 0 п2 к

- 0.5

0 5 10 15 20

ф к

Рис.3. Соотношение выходного смещения нелинейного звена, его скорости и ускорения от угла поворота ведущего звена

Проведём Фурье-анализ с использованием системы Mathcad (рис.4).

Как видно из анализа полученных графиков, наличие кратных гармоник просматривается,

в наличии фазовые сдвиги, отличные от ^2. Последнее означает, что можно ввести некоторые упрощения в систему уравнений динамики механизма.

6 4

2 0

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

P---

N0

Рис.4. Фурье-спектр выходной координаты нелинейного элемента

Для составления математической модели механической части привода пилорамы выражаем кинетическую и потенциальную энергию через принятые обобщённые координаты, включая и «лишние»:

2Т = 71(ф2 + J2ф2 + J3ф2 + т • 22;

2Р = С1 (ф2 -ф1 )2 + С2 (ф3 -ф2 )2 + С3 •(2 - Г)2 .

Диссипативная функция системы (функция Релея):

2Ф = И (ф2 — ^^1 ) + И (ф3 — ф2 ) + И2 .

Выражение для виртуальной работы может быть записано в виде:

бА = Md • 5q1 - Fpez -62 - Ь2 • q2 • 5q2 - Ь42 • 62 ,

где Ь2 - приведённый коэффициент линейного демпфирования привода и ведомого звена, полученный путём эквивалентной линеаризации диссипативных сил [1, 4, 6]; Ь4 - коэффициент вязкого трения при резании.

J 1 ^ J2^\ ^ JЗ^'! 2 ^ з ,1311 0

J2 І ^ J3І1 ,12 + Jз Jз 0

'І3І1 Jз Jз 0

0 0 0 т

Запишем выражение кинетической энергии с учётом кинематических соотношений:

2Т = -Л<?12 + Л (ад + 4 )2 + Л (ад + 4 + 4 )2 + т • ( 4 + 4 )2;

2Т = /141 + ^2 (41 *1 + 2*14142 + 42 ) + /3 (41 *1 + 2*141 • (42 + 43 ) + 42 + 43 + 24243 ) + т • (45 + 24445 + 4 4 ) '

2Т = ^1 (./ + /2*1 + -/3*1 ) + ^2 (/2 + / ) + 43 / + 244 (^2^1 + Л* ) + 2<?2Чз/ +

+244* / + тч52 + 2т44 45 + «4^.

Исходя из матричного представления кинетической энергии системы 2Т = 4Т • М • 4 и того, что коэффициенты при обобщённых скоростях постоянны, инерционные коэффициенты приравниваем к соответствующим коэффициентам квадратичной формы, представляющей кинетическую энергию системы, получим матрицу инерционных коэффициентов в виде:

М =

Согласно работам [1, 4] необходимо рассматривать отсчёт потенциальной энергии от положения устойчивого равновесия Р(0,0,...,0) = Р|0 = 0 . Кроме того, считаем, что все связи стационарны, процесс резания рассматривается не как составляющая механизма, а как внешнее воздействие. Если же принять, что передаточное отношение не зависит от скорости звеньев, матрица жёсткостей аппроксимирующей системы дифференциальных уравнений исследуемого объекта может быть принята постоянной [4].

2Р = С1 (ф2 - Ф1 )2 + С2 (Ф3 - ф2 )2 + С3 (2 - Y)2;

2Р = С1 (41 (*1 - 1) + 42 ) + С2 (41*1 + 42 + 43 - ^ А ) + С3 (45 + 44 - 45 ) ;

2Р = 412 • С1 • (*1 - 1) + 4142С1 (*1 - 1) + 42 • С1 + 432 • С2 + 44 • С3 .

Исходя из матричного представления потенциальной энергии системы 2Р = 4Т • С • 4 и то-

го, что жёсткости связей постоянны, коэффициенты матрицы жёсткостей получим приравниванием соответствующих коэффициентов квадратичной формы, представляющей потенциальную энергию системы, в виде:

С =

В выражение потенциальной энергии вошла координата X, но хотя она посредством нелинейной функции П(ф3) жёстко связанна с координатой ч3, изменение потенциальной энергии

исследуемой системы определяется перемещением инерционных масс в вертикальной плоскости [1, 4, 6].

Представим функцию демпфирования в матричном виде:

2Ф= 1\ (ф2 -ф1 ) + К2 (ф3 ф2 ) + К (2 - ^) ;

2Ф = К (41 (*1 - 1) + 42 )2 + К2 (41*1 + 42 + 43 - 41*142 )2 + К (45 + 44 - 45 )2 ;

(_ !)2 і 0 0

(г1 _0 С 0 0

0 0 С Ы 0

0 0 0 Сз

2Ф = 41 • к • (*1 -1) + 42 • К + 4з • К + К • 4з + 24142 • К (*1 -1).

Исходя из представления матрицы демпфирования в виде 2Ф = 4Т • Н • 4, получим матри-

цу Н:

К •(*1 -1 )2 К •(*1 -1 0 0

К •(*1 - 1) К 0 0

0 0 К2 0

0 0 0 К

Н =

Обозначим диссипативные силы Rk, сохранив нумерацию, принятую для упругих элементов. В данном случае R1 - момент диссипативных сил в ремённой передаче, R2 и R3 - момент

диссипативных сил, связанных с внутренним трением в валах. Моментами сил трения в опорах пренебрегаем [1, 6]. Дальнейшие действия сводятся к записи системы дифференциальных уравнений движения и исключению множителей Лагранжа [1, 6]. Полное число уравнений равно Н + п = 5. В первой части, помимо обобщённых сил, стоит слагаемое Аа1, так как п = 1. Запишем уравнения, устанавливающие связь «лишних» и независимых координат.

Определим коэффициенты уравнений дополнительных связей:

Y = 45 =П(ф) = П(41*1 + 42 + 43);

45 =П(ф3 )• 41*1 +П(ф3 )• 42 +П(ф3 )• 43 или П(ф3 )• 41*1 +П(ф3 )• 42 +П(ф3 )• 43 - 45 = 0.

Общий вид уравнения связи:

Е акак+а1=0,

к=1

где Н + п = 5 .

Сопоставим полученный результат с уравнением связи в общем виде [1,6]. Учитывая, что индекс коэффициента соответствует обобщённой скорости, запишем:

а141 + а242 + а343 + а444 + а545 + а1 = 0 .

Из последнего равенства следует:

а1 =П(ф3 )• *1; а2 =П(ф3); а3 =П(ф3); а4 = 0; а5 =-1.

Определение обобщённых сил проводим, составляя выражение суммы работ на виртуальных перемещениях:

5Л = Md • 5ч1 - R2 • 5ч2 - R3 • 5ч3 - mg • 5 (44 + ч5) - Frez • 5 (ч4 + 45);

Ql = Мё; Q2 = - R2; Qз = - Rз; Q4 = -mg - Frez; Q5 = -mg - Frez. Окончательно систему уравнений вынужденного движения механизма можно записать в матричном виде, выделив пятое уравнение, которое предназначено для определения множителя Лагранжа А :

М4 + Н4 + Сд =

т44 + т'4ъ = -mg - Frez - А.

Последнее уравнение приведённой системы используем для определения множителя Ла-

А = -m44 - m'4ъ - mg -Frez.

Md + Аа1 Md + АЩ

—R2 + Аа2 - R2 + АП'

—Rз + Аа3 - R3 + АП'

-mg - Frez + Аа4 -mg - Frez

гранжа:

Окончательно систему уравнений привода пилорамы получаем в виде матричного равен-

ства:

( M • р' + H • р + c)• q = F( X, t);

F (q, t )=

Ыё + ЛП'/1 Ыё - П'і •

- R2 +ЛП' -R2 - П' •

- R3 +ЛП' -R3 - П' •

-mg - Frez -mg - Frez

Ыё - П'і •

-R2 - П' • (mg + Frez) - тП'- 5 4 + 5 5 II - 3 5 4 + 5 5

-R3 - П' • (mg + Frez) 5 4 + 5 5 5 4 + 5 5

-mg - Frez 0 0

Проведём преобразования вектора, определяемого «лишней» координатой:

д5 = П''-( 1у • q)- + П'- 1т • q;

І •( 54 + 45 ) ( ^- q )-

тП' • 5 4 + Ч 5 = тП' • IV • д4 + тП' • !т • q + тП' • П'' (Iv - q )-

5 4 + Ч 5 (Iv - q )-

0 0

где

IV =

О > 'і

1

1

V 0 у

1т =

11

11

11

V 0 0 0 0 у

Матрица инерционных коэффициентов, очевидно, будет иметь вид:

М = М + IV • т • П' + 1т • т • П' • П".

Тогда система уравнений, описывающая механическую часть привода, может быть представлена матричным уравнением вида:

(^ •q )-

Mq + Щ + Cq = Р0 (t) - тП' • П"

(Iv •q )-(Iv •q )-

0

= Fsum.

Таким образом, нами получено матричное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно выбранных обобщённых координат. Для дальнейшего исследования желательно иметь систему дифференциальных уравнений первого порядка. С этой целью проведём следующие преобразования: матрицы М, Н, С рассматриваем как составляющие блочных матриц:

" Н М " " С ШМ" Fsum "1"

R = ; к = ; Q = ; X =

М NulM NulM -М NulV 2

где Ш1М - нулевая матрица 4 х 4; - нулевой вектор 4 х 1.

' Н м " 4 +

м ШМ _4 _

4 Fsum

_4 _ ШУ

Система дифференциальных уравнений первого порядка может быть записана в виде:

R • X + К • X = Е • Q,

где Е - единичная матрица 4 х 4 .

Проводим проверку сделанных преобразований:

" С ШМ'

^ ШМ -м

В результате получаем:

Н • 4 + 4 • М + С • 4 = Fsum;

М • 4 - М • 4 = №1М.

Этот результат означает, что нами получена система уравнений, описывающая поведение станка в переменных состояния. Собственная матрица объекта получается в виде:

А = -Я-1 • К,

матрица управления в виде:

В = Я 1 • Е,

где

П"(ф) = ь

П (ф) =-Ь------------------------8ш 5 + R • со8 ф = Ь •д-

8ІП ф

8Ш ф

С08 5

• 8Іп 5 + R • со8 ф;

8Ш 5 С08 5

д

С08 5

-д^ С08 ф

- Ь со 8 5^1 д

8ІП ф

С08 5

- R • С08 ф.

Заключение. Полученная система уравнений привода в дальнейшем может быть использована для анализа соотношения спектра колебаний, возбуждаемых приводом, как за счёт его динамических свойств, так и за счёт существенной нелинейности закона движения рабочего органа и собственных частот пилы. Кроме того, она может быть использована и при анализе вынужденных движений пилы. Таким образом, поставленная цель настоящей работы реализована, создана математическая модель привода главного движения пилорамы.

Библиографический список

1. Вульфсон И.И. Колебания машин с механизмами циклового действия / И.И. Вульфсон. -Л.: Машиностроение, 1990.

2. Вульфсон И.И. О колебаниях систем с параметрами, зависящими от времени / И.И. Вульфсон // Прикладная математика и механика. - 1969. - Т.33, №2. - С.331-337.

3. Вульфсон И.И. Кинематические задачи динамики машин / И.И. Вульфсон, М.З. Козловский. - Л.: Машиностроение, 1968. - С.281.

4. Крейнин Г.В. Динамика машин и управление машинами: справ. / Г.В. Крейнин. - М.: Машиностроение, 1988. - С.239.

5. Вейц В.Л. Динамика машинных агрегатов / В.Л. Вейц. - Л.: Машиностроение, 1969.

6. Вульфсон И.И. Динамический расчёт цикловых механизмов / И.И. Вульфсон. - Л.: Машиностроение, 1976. - С.327.

2

Материал поступил в редакцию 27.10.2011.

References

1. Vul'fson I.I. Kolebaniya mashin s mexanizmami ciklovogo dejstviya / I.I. Vul'fson. - L.: Mashinostroenie, 1990. - In Russian.

2. Vul'fson I.I. O kolebaniyax sistem s parametrami, zavisyashhimi ot vremeni / I.I. Vul'fson // Prikladnaya matematika i mexanika. - 1969. - T.33, #2. - S.331-337. - In Russian.

3. Vul'fson I.I. Kinematicheskie zadachi dinamiki mashin / I.I. Vul'fson, M.Z. Kozlovskij. - L.: Mashinostroenie, 1968. - S.281. - In Russian.

4. Krejnin G.V. Dinamika mashin i upravlenie mashinami: sprav. / G.V. Krejnin. - M.: Mashinostroenie, 1988. - S.239. - In Russian.

5. Vejcz V.L. Dinamika mashinny'x agregatov / V.L. Vejcz. - L.: Mashinostroenie, 1969. - In

Russian.

6. Vul'fson I.I. Dinamicheskij raschyot ciklovy'x mexanizmov / I.I. Vul'fson. - L.: Mashinostroenie, 1976. - S.327. - In Russian.

MATHEMATICAL MODEL OF HEADRIG PRINCIPAL MOVEMENT DRIVE D.O. KOZYREV

(Don State Technical University),

A.A. AVAKYAN

The dynamic characteristics of the mechanical operation are analyzed. The mathematical model of the drive of the power-saw bench principal movement is built.

Keywords: mathematical mode, drive, drive belting, crank mechanism.