Решение задач нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек на упругом основании методом граничных элементов

АЛ. ГРИБОВ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассматривается применение метода граничных элементов для исследования нелинейного деформирования гибких пластин и пологих оболочек, находящихся под действием распределенных и локальных нагрузок.

Применение метода граничных элементов (МГЭ) часто осложняется отсутствием фундаментальных решений дифференциальных уравнений или громоздкими сложными выражениями, определяющими фундаментальные решения. В настоящей работе, которая представляет развитие методики [1,2], рассматривается построение итерационного процесса непрямого метода граничных элементов для решения задач изгиба пологих оболочек на упругом основании в геометрически нелинейной постановке, Итерационный процесс основан на применении фундаментальных решений зада« изгиба и растяжения пластины, которые имеют более простую структуру, чем фундаментальные решения пологих ""оболочек на упругом основании. Для реализации алгоритма в системе нелинейных дифференциальных уравнений в перемещениях выделяются линейные операторы изгиба и растяжения пластины. Такой подход позволяет построить итерационный процесс решения нелинейных задач, при котором на каждой итерации непрямым методом граничных элементов решаются линейные задачи изгиба и растяжения пластины.

I. Система нелинейных дифференциальных уравнений в перемещения*; описывающая деформирование гибкой тонкой линейно-упругой пологой оболочки* на упругом основании (модель Винклера), при действии попереч-

нту/ адгпи^о* ПМРРТ вия"

----------- ------------

'2и>ху) = \ 0)

ЛД2>у = /3 (и, V, и>) + км? + р, где и, у, и1 - компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности оболочки; К = ЕИ/^Х- у1^ — жесткость оболочки на растяжение;

О - £/г3Д 12(1 - V211 - жесткость оболочки на изгиб; Е, V - модуль Юнга и

коэффициент Цуядсона материала; Н — толщина оболочки; р — интенсив-

«•«о

лесть поперечной нагрузки; к - коэффициент постели, характеризующий свойства упругого основания; V, - (1 - у)/2, у2 = (1 + у)/2;

/2(и, у,Н>)= V*,м>,у+к2- V,м>,у - );

/3(и,у,м>) = К\

+

где кх, к2 — главные кривизны оболочки в направлении координатных осей

х,у.

На контуре Г, ограничивающем область О, занимаемую оболочкой, рассматриваются следующие граничные условия: дю

= 0, — = 0, и = О, v = 0 - жесткая заделка,

дп

н1 = О, Мп — 0, и ~ О, V = 0 - шарнирное закрепление,

М„ = 0, К„ = 0, Тп = О, Тлх - О-свободный край,

где Тп, Тпт - проекции вектора контурного усилия на нормаль п и касательную т к контуру Г; Мп) У„ - проекция вектора контурного момента на касательную к контуру и обобщенная поперечная сила на контуре Г.

Процесс последовательных приближений для решения системы (1) с граничными условиями (3)-(5) принимается в виде

/л., Л г "Л I (ь\\

и>~'- и> ' + |;

- V 1 ¡¿у \" " ' ' ь

\ /

= + сф-*«); {к = ОД, 2,...),

гт*а /V гч « >* 1 ^ г* ^ 1 > /у : \ _ ггчгчажгаттт ЛНдлттлпц^

& ЧЛц ) ЧА- у 5 ^ ^ V ^ ^ 1} V V I ^ к^ршиу АрШу VWWUV лД

вающие сходимость итерационного процесса. Вектор С/(и,у,>у) определяется

из решения системы линейных уравнений, описывающей изгиб и растяжение пластины

с граничными условиями

Оуу

м> = 0, — = 0, и = 0, у = 0 - жесткая заделка, (8) дп

= 0. и'-__тУ». = 0 . и — 0 . V = П — мШПийПНОб ^аККПЛснйс. ¡9^1

г ?пп -'П -' 1 Л X 1 '

Г"»Я Т '  «I Л ** ЦП ЛППАМ^ПУППЛЛ 1 тттлпт ^ ХЧПЛАП  »»I*«» ТТ»Т» I" 11Л

Аил ^аиииАпии; лрол, пС шд^Аощии )1ЛОоыл ШИ/Л,

довия записываются в виде:

+ = +(X ~ V)—= 0,

ôu„ du

k + = (10) i дг V /

Эй Эт V '

где /4lwv ',мг ) - -k„w '— - , (}Ih1 \vl ') = -2k„w '---,

* > 2{ dn j \ ' dn dz

u„ = uni + v«2 ; uT = -un2 + vrt,; «j = cos(n,x) ; «2 = cos(w,^).

Решение системы (7) с граничными условиями (8)—(10) выполняется методом компенсирующих нагрузок [3,4], в соответствии с которым область Q, представляющая план пологой оболочки, дополняется до бесконечной плоскости и на контуре Г к бесконечной пластине прикладываются компенсирующие нагрузки.

По методу компенсирующих нагрузок решение системы (7) ищется в виде:

40 = +о^ьЫсШ)+*Ч<);

i

г

G{i,Qq{Q ~ + ^ W *

»"3__/____\ :—\ V \ -J-. * ___ _ _________у. _

.здесь iiX^/yi е wj ^Xbt'J) ^ 1 » ~ :-шбмент длины коКгдм i ,

Gv = -C^Qb. Inr -уу(í»7= U'2) - матрица фундаментальных решений Кельвина для плоского напряженного состояния пластины [5]; С1=-(1+у)2/(4я£/|); С, =(3-v)/(l+ v); >,«(*-£)//; v2 =(y-ri)!r>

5¡j - символ Кронекера; л- — |(лг — qf + (у- rjf^; G{t¿) = r2 Inr / (8лО) - фундаментальное решение задачи изгиба пластины; внешняя нормаль к kohtvüv Г: ©,í¿L o-, . oÍlí . mí О- компоненты вектоюа компенсшто-

» 1 » ' ( i \ •> / - i \ •• / - i \ / - т, * / » -

щих нагрузок на контуре Г (<рр ф2 - усилия в срединной поверхности, направленные вдоль координатных осей х, у; q, т - усилие нормальное срединной поверхности и момент вокруг касательной к контуру Г ). Функции «'(?), vr{t), wr{t) определяются соотношениями :

= Па (, r\i.UkHr\ 4kUñ Jk)(r\\+e..(t ñUJ'Uñ vW(r\ J'UrWhalrY

V' I j - i [ \ Wi I - \->r  \-}!>  4*3 ij • - ii V • 1I¿ i - W " V-/H----V3' '

I 4 v - j

»-

где (Ю -элемент площади плана оболочки, т]) е П.

Разрешающая система сингулярных интегральных уравнений с неизвестными компенсирующими нагрузками получается при подстановке (11) в граничные условия (8) - (10).

Условие окончания итерационного процесса (6) принимается в виде:

Ц^-с/^Ц/Ц^Цс*,

где = ; б - малая положительная величина;

Перемещения и усилия в области О и на контуре Г определяются соотношениями вида (11). При определении усилий на контуре Г необходимо учитывать разрывы, возникающие за счет предельных значений потенциала двойного слоя.

Ядра граничных интегральных уравнений содержат особенности типа 1пг, 1/г, 1/г2 при г —> 0. Интегралы с особенностью типа 1/г определяются

в смысле главного значения по Коши, а интегралы с особенностями I/Г - в смысле конечных значений по Адамару [6].

При численной реализации алгоритма контур Г аппроксимируется отрезками прямых линий или дугами окружностей й разбивается на граничные элементы, в пределах которых компенсирующие нагрузки считаются посто-йннымй. Интегралы, не содержащие особенностей, вычисляются на элементах контура по восьмиузловой формуле Гаусса. Сингулярные интегралы вычисляются аналитически.

Функции и'", v'", и>'~ определяются интегральными операторами со слабой особенностью (интегрирование проводится по срединной поверхности О). Для вычисления этих интегралов срединная поверхность разбивается на треугольники или секторы. Далее каждый треугольник разбивается на отдельные элементы (ячейки). На срединную поверхность О. наносится сеточная область, узлы которой являются центрами тяжести отдельных ячеек.

Исследование нелинейного деформирования пластин и пологих оболочек проводится с помощью зависимостей «нагрузка - прогиб». За ведущий

параметр принимались поперечная нагрузка р или прогиб в заданной точке срединной поверхности оболочки.

2. Приведем результаты решения ряда задач

2.1. Жестко закрепленная по контуру прямоугольная пластина на упругом основании с коэффициентом постели к и размерами в плане а ,Ь находится под действием равномерно распределенного нормального давления интенсивности р ( а-размер в направлении оси *). Значения геометриче-

ских и физических параметров пластины следующие: а - 20см; Ь = 60 ом; А = 1 см; Е = 2 • 106 кг/о*2; V = 03; к = 462кг/сл<3; р = кг/см2. Отношение сторон пластины ¿/а = 3. При Ь(а>Ъ результаты решения в сечении у = 0 прямоугольной пластины близки к решению длинной пластины [7].

В таблице 1 приведены результаты решения МГЭ для прямоугольной пластины в сечении у = 0, полученные при разбиении каждой стороны на 10 равных по длине элементов , и для длинной пластины.

Таблица 1.

х (см) Прямоугольная пластина Ь/а = 3 Длинная пластина

IV-10

0.0 0.1 413.4 0.1007 420.5

2.0 0.0925 375.0 0.0932 378.7

4.0 0.0716 241.2 0.0722 244.7

6.0 0.0421 -11.1 0.0426 -3.21

8.0 0.0132 -391.2 0.0137 -396.9

10.0 0.0 -960.0 0.0 -967.6

2.2. Четырехугольная пластина на упругом основании с коэффициентом

(основание представляет песок к гравий [8]) находится под действием равномерно распределенного нормального давления интенсивности р (рис. 1). Геометрические и физичсскис параметры пластины следующие: а - 10сл<; к -! см\ Е = 2  10й кг/см2; V - 0.3.

ш , ; • >;.-„. .• . _ На рис. 2 приведены зависимости «нагрузка - максимальный прогиб», полученные МГЭ при разбиении каждой стороны пластины на 10 равных по длине элементов. Максимальный прогиб и> возникает в точке с коИ пол

ординатами (0.125#; 0.0).

Сплошные линии соответствуют граничным условиям жесткой заделки: штриховые линии - граничным условиям шарнирного Рис.!. План четырехугольной пластины закрепления.

Рис.2. Зависимость*нагрузка-прогиб*для Рис.3. Зависимость"нагрузка-прогиб*для четырехугольной пластины круглой пластины

За ведущий параметр принимался прогиб м>0 в центре пластины. Отрезок [0; ЗА] изменения был разбит на 20 частей. € нулевого начального

приближения при е = Ю"4 итерационный процесс (6) сходился за 10-30 итераций. Безразмерные параметры приняты в виде

р = оя4/

1 \ г " '

2.3. Круглая пластина на уппугом основании с коэффициентом постели

1 » * X * А А *

к = 1540кг/см (основание представляет песок и гравий) находится под действием равномерно распределенного иормальнсто давления интенсивности р. Радиус пластины равен а. Геометрические и физические параметры пластины следующие: а - 10см; А = 1 см; Е = 2 •106кг/см2; V = 0,3.

На рис. 3 приведены зависимости «нагрузка - максимальный прогиб», полученные МГЭ при разбиении контура пластины на 40 дуговых элементов. Прогиб в центре и-у, является максимальным. Сплошные линии соответствуют граничным условиям жесткой заделки; штриховые линии - граничным условиям шарнирного закрепления. За ведущий параметр принимался прогиб в центре пластины. Отрезок [О, ЗЛ] изменения м>0 был разбит на 20 частей. С нулевого начального приближения при б = 10"4 итерационный процесс (6) сходился за 10-20 итерации. Безразмерные параметры приняты в виде (14).

2.4. Жестко заделанный по контуру сферический купол на упругом основании с коэффициентом постели к = 1540 кг/см3 находится под действием равномерно распределенного нормального давления интенсивности р. Радиус основания купола равен а. Геометрические и физические параметры купола следующие: а = 10 см; И = 1 см; Е = 2406 кг/см2; V = 0,3;

=*2 =\/Я =0,04 см'1.

р 10

На рис. 4 приведены зависимость Р ~ н'тах > полученная МГЭ при разбиении контура, ограничивающего купол, на 40 дуговых элементов. Итерационный процесс (6) сходился за 10-30 итераций. Безразмерные параметры приняты в виде (14).

Как видно из рисунка, потеря устойчивости купола не наблюдается.

Рис.4. Зависимость"нагрузка-прогиб* для пологого сферического купола

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грибов А.П. О построении итерационных алгоритмов метода граничных элементов для задач изгиба пологих оболочек и пластин на упругом основании; // Труды XVII Международной конференции по теории оболочек к пластин. Т.2.* Казань, 1996. С. 112-117.

2. Грибов А.П. Решение задач нелинейного деформирования пологих оболочек методом граничных элементов /У Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин. Т.З. Саратов, 1997. С. 49 - 54.

3. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. М.: Физматгиз, 1960.

4. Толкачев В.М. Метод компенсирующих нагрузок в теории изгиба пластин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1988. № 3. С. 155-180.

5. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.

6. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978.

7. Корншпин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. М.: Наука. 1968.

9 Хт*^*тттлг4»^л Г1 I 1 Олтттглплтпп! 1 I ттл т.лт» тг пКлп

и. 1 пгаиш^пли V- .11., ииппиоьКля'АршV}; V. илаСТпшия п уиил1

ли-ал«.

АЛ

1ТА.

Наука, 1966.

Грибое .Александр Павлович, дохтиор физико-матёмашич^ских ^зук, профессор

(рьдрЫ

—г

«1 £ОрвЖиЧ$СК£2Я и г1риКЯ иОН£1Я М6ХЯ1ШКЯ)) УлГТУ, ОКОНЧИЛ МёХйНЫКО-

математический факультет Казанского государственного университета. Имеет статьи в области механики оболочек.