Формализация описания синтезируемого объекта в виде модели предметной области произвольной природы

УДК 004.8

ФОРМАЛИЗАЦИЯ ОПИСАНИЯ СИНТЕЗИРУЕМОГО ОБЪЕКТА В ВИДЕ МОДЕЛИ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ПРИРОДЫ

© 2010 г. И.А. Кацко, Д.А. Крепышев

Кубанский государственный аграрный университет, г. Краснодар

Kuban State Agriculture University, Krasnodar

Предлагается для создания нового объекта (или описания проблемной ситуации) использовать формализованный подход, объединяющий результаты теории системно-структурного проектирования (ТССП) и построения модели предметной области произвольной природы, что позволяет для развития ТССП и практического применения использовать результаты теории множеств и теории категорий.

Ключевые слова: системно-структурное проектирование; модели предметной области произвольной природы.

The paper proposes to create a new object (or a description of the problem situation) to use the formal approach, combining the results of the theory of system-structural design (TCCT) and build a domain model of an arbitrary nature, which allows for the development of TCCT and practical application to use the results of set theory and category theory.

Keywords: systems-structural design; domain model of an arbitrary nature.

В настоящее время в теории системных исследований развивается теория системно-структурного проектирования (ТССП), позволяющая синтезировать новые объекты и системы. Сначала наблюдатель (ЛПР), описывающий и задающий цель системы на своем языке, постулирует необходимость в новом объекте (подсистеме) для достижения системой заданных целей. Исходя из свойств внешней системы, формулируются технологические, технические, эксплуатационные, экономические, экологические требования - ТЭТ.

Предлагаемый процесс системного синтеза (рис. 1) образно можно представить в виде воронки (вихря), внутри которой находятся сетки по числу этапов проектирования. Ячейки сетки изменяют свои размеры и конфигурацию по мере прохождения этапов. Сквозь сетку проходят только эффективные решения, т.е. решения, удовлетворяющие ТЭТ. Более подробно теория рассмотрена в работах ее автора - проф. Ю.И. Лыпаря [1, 2].

Достаточно большой диапазон возможностей применения указанной теории требует формализации первого этапа синтеза - описания модели синтезируемого объекта в рамках изучаемой предметной области.

Синтезируемый объект (система) должен создаваться при условии существования внешней среды, которая характеризуется некоторой предметной областью (ПрО) - частью реального мира в рамках заданного контекста (промышленной, сельскохозяйственной, финансовой, компьютерной и т.д.). Каждая предметная область имеет свой язык, который может быть формализован с использованием бинарных отношений [3]. Обычно под системой понимается совокупность связанного набора объектов. Чаще всего рассматриваются две стороны связности: как факт наличия взаимосвязи между отдельными элементами сис-

темы - реализующий познавательный концептуальный аспект (когнитивные карты); как описание процесса, соответствующего связности элементов, -функционального, информационного или поведенческого аспекта (семантические сети, фреймы, продукции, методы ситуационного моделирования). Оба подхода рассматриваются довольно редко.

Формализация задания Фу

Рис. 1. Спиралевидная модель процесса проектирования

Моделирование ПрО произвольной природы связано, прежде всего, с анализом категорий, его описывающих. Под категорией понимается конструкт или иначе - некоторое абстрактное вместилище, причем одни объекты входят в него, а другие - нет (это постулат нашего мышления на протяжении более чем

двух тысячелетий). Предполагается, что категории, которыми оперирует человек, можно расположить в следующей иерархии: вышестоящий уровень - базовый уровень - нижестоящий уровень. Базовый уровень - это уровень, на котором структурируется наибольшая часть нашего знания. Он дает возможность воспринимать геометрическую визуализацию концептуальной структуры объекта.

Алгебраические модели ПрО. В настоящее время алгебраический язык и стиль мышления являются стандартным подходом к представлению данных и знаний в информационных системах [3 - 6].

Рассмотрим, следуя работе Л.С. Болотовой [5], метод ситуационного анализа и проектирования конструкции модели ПрО, на базе теоретико-множественного (реляционного) подхода, в виде комплекса инвариантных конструктов применительно к описанию проектируемого объекта. Основой представления конструкта (рис. 2) является метанабор

< Xass, Xa, Xao, и X ac¡ '

где Xas - субъект действия (aktion subject)', Xa - действие (action), Xao - объект действия (action object); U Xac. - компоненты действия (action components).

Все элементы метанабора обладают свойствами (property): Xas= Xas (psl, •••, Psl), Xa= Xa(Pal, , Paq),

Xao = Xao (po1, •.., pot), X ac¡ = Xac¡ (pac¡1,---, pac¡h ) , результаты отношений которых между собой в рамках нашей задачи реализуют ТЭТ.

Ра\,

Pal,

Paq

UGci)

Pc\U

Рлъ

Pclu

Ps b

Ps2,

Psl

Рис. 2. Модель конструкта - фрагмента предметной области

Логическое представление конструкта предполагает две составляющих:

1) функциональную - Ф, связанную с целями построения нового объекта и описывающуюся как объединение бинарных отношений (R):

Ф = Ras (^as , ) U Rao (, Xflo ) ;

2) обеспечивающую (достижение цели) - Q:

Q = Ras (Xas , Xa ) U Raci (Xa , Xac¡ ) ,

к=ФиQ.

Каждый конструкт K представляет собой некоторое понятие предметной области, открытое для расширения и модификации, которое предназначено для многоразового использования при проектировании, получении продукционных правил и т.д.

Объединение всех конструктов U = U Kj дает

нам универсум U, структуру, именуемую в топологии полиэдром, описывающую ПрО произвольной природы.

Универсум представляет собой обобщенную модель определенной предметной области, которая может быть представлена в виде базы понятий (онтологии), предназначенных для многоразового, многоцелевого использования в различных приложениях и связях между ними, реализующих продукционные правила [4]. Рассмотрение онтологий с функциями выбора и механизмами их реализации позволяет говорить о базе знаний [7].

В рамках модели предметной области - создание нового объекта (или описание ситуации) сводится к операциям над отношениями между конструктами и их элементами.

В настоящее время для представления понятий (конструктов) наиболее актуальным является кате-горный подход, являющийся естественным развитием реляционного подхода и позволяющий изучать свойства соотношений между объектами, не зависимо от их внутренней структуры [4, 6].

Определение. Математическая структура C - называется категорией, если:

1) задан класс объектов ObC;

2) каждой паре объектов A и B из класса объектов ObC поставлено в соответствие множество морфизмов (стрелок или отображений) HomC (A, B) (морфизм -это стрелка ^ или отображение f например, f A^B);

3) для пары морфизмов определена операция композиции: если f е omc (A, B) и g е Homc (B, D), то

g o f е Homc (A, D);

4) операция композиции ассоциативна:

h o (g o f ) = ( h o g) o f ;

5) для любой области можно ввести тождественное отображение (морфизм) idA е Hom(A, A), причем для f е Hom(A, B) : f o idA = idA o f = f .

Категория, в которой объекты составляют множество, называется малой, т.е. реляционный подход к описанию предметной области - частный случай, который замкнут относительно объявленных операций над отношениями. В нашем случае введение понятия категории позволяет формализовать изменения синтезируемого объекта и ТЭТ в процессе проектирования. Цель проектирования - согласовать

желаемое описание синтезируемого объекта (по ТЭТ) с тем, которое возможно реализовать.

Принятие решения о таком согласовании в процессе синтеза нового объекта, согласно Р. Акоффу, может идти по одному из сценариев: невмешательство (absolution), частичное вмешательство (resolution), оптимальное (в нашем случае скорее эффективное) решение (solution), растворение проблемы (dissolution) [7].

Основной проблемой проектирования является согласование и синтез новых ТЭТ на разных этапах. Мы полагаем, что это возможно преобразованием ТЭТ: отбрасыванием тех из них, которые не удается реализовать (растворение проблемы); детализацией ТЭТ.

В нашем изложении более важным является именно вопрос детализации в рамках базы понятий, описывающей конкретную предметную область с заданными ТЭТ. Для формализации этого процесса оказывается удобным теоретико-категорный подход, предложенный В.Л. Стефанюком и А.В. Жожикашви-ли для описания динамических продукционных систем. В нашем случае речь идет не о динамических продукционных системах, а о процессе синтеза нового объекта, который также является динамическим.

Итак, согласно [6], пусть для каждой предметной области описана категория С, продукции которой представлены морфизмами, база знаний - множеством морфизмов.

Синтезируемый объект может быть реализуем при статичном состоянии ТЭТ или контекстно реализуем, если ТЭТ динамически изменяются.

Пусть P - множество всех возможных контекстов ТЭТ. Тогда если p е P, q е P и объект реализуем в контексте p и в контексте q, то это можно записать как p < q Таким образом, P - частично упорядоченное множество. Если объект реализуем в контексте p и в контексте q ( p е P, q е P ) и существует некоторый контекст r е P , такой что p < r и q < r , то в контексте r объект реализуем. Задача синтеза объекта заключается в поиске эффективного контекста r, в котором она разрешима. Для этого необходимо, чтобы множество всех контекстов P было бы решеткой, т.е. каждая пара элементов множества P имела точную верхнюю грань.

Определение. Если каждая пара элементов частично упорядоченного множества всех возможных контекстов P имеет точную верхнюю грань, то P -решетка.

Верхняя грань элементов p е P, q е P , обозначается p v q .

Решетку P, обладающую наименьшим элементом (0), называют контекстной решеткой.

Пусть С - категория, описывающая синтезируемый объект, а P - контекстная решетка, сформированная на основе ТЭТ. Для описания взаимодействия синтезируемого объекта и контекстной решетки можно ввести новую категорию CP которая строится на основе объектов категории С, расслоенной с помощью

решетки Р. Каждому контексту Р (ТЭТ) соответствует слой категории со своими морфизмами.

Пусть А, В - объекты категории С, f е Нотс(А, В). Множество морфизмов из А в В в категории СР определим как декартово произведение:

СР (А, В) = Нотс (А, В)Р,

Ур - элемент множества морфизмов в контексте р.

Если fp е Нотс (А, В) и qq е Нотс (В, D), то

морфизм fp о qq е Нотс (А, D) (А, D), определим

формулой ур о qq = (У о q) .

То есть композиция двух морфизмов определена в том контексте, в котором определен каждый из них.

Итак, в новой расслоенной категории СР , полученной расслоением категории С с помощью контекстной решетки Р, каждому контексту р е Р соответствует слой категории со своими морфизмами.

Следует отметить, что в рамках теории категорий можно описать и «растворение проблемы» с помощью укрупнения ТЭТ. Для этого вводится функтор F: С ^ Ср, где F(A)=A для каждого объекта А и

F(fp)=f для каждого морфизмаУр категории Ср.

Таким образом, в терминах теории категорий -задача системно-структурного синтеза нового объекта сводится к получению описания объекта в виде одного из слоев расслоенной категории с наиболее эффективным контекстом (не обязательно наименьшим или наибольшим), реализация которого дает устойчивые решения - удовлетворяющие ТЭТ при ограниченных изменениях параметров.

Контекстная решетка Р может быть определена различными способами [6]. Каждое из значений ТЭТ (вербальных, числовых) может быть реализуемым (тождественно истинным) или реализуемым в рамках, определяемых контекстом.

Мощность множества вариантов построения конструктов при синтезе нового объекта можно определить как функцию из допустимых вариантов свойств (к), числа отношений (N) и их значений:

У = 2 ^ П к,;

f2 = 2N2 П ¿2 j

f — 2 Nm J m

П km,

где ] - число свойств (элементов); к - число возможных значений каждого свойства; т - число конструктов, из которых должен состоять синтезируемый объект.

Тогда очевидно, что мощность множества вариантов синтеза нового объекта равна

f0 — f1 f1 ••• fm .

Учитывая психологические особенности человека при работе с информацией, можно дать оценку уо.

Согласно исследованиям Дж. Миллера [8] (1965 г.), на каждом уровне человек эффективно работает с числом объектов от 5 до 9 (в среднем 7). Сделав допущение, что каждый элемент конструкта имеет одинаковое количество свойств, по формулам (1) легко посчитать число возможных вариантов синтеза одного конструкта. Для среднестатистического субъекта при N=7 отношений, ] = 7 элементов, k = 7 свойств - 105413504 вариантов. Если объект состоит из 7 конструктов, то по формуле (2) /о=1054135047=1,44635-1056

Таким образом, задачу синтеза следует отнести к классу ^-сложных задач. Комбинаторный подход к построению модели ПрО произвольной природы, описанный выше, сводится к целенаправленному поиску из множества вариантов наиболее эффективного.

Теория системно-структурного проектирования позволяет свести проблему синтеза к перебору конечного числа вариантов (обычно не более тысячи), удовлетворяющих лексикографически упорядоченным ТЭТ [2, 9]. При этом важным этапом является первоначальная формулировка ТЭТ в виде модели предметной области, предлагаемая в данной статье. Формализация синтезируемого объекта позволяет для развития ТССП и практического применения использовать теоретические результаты теории множеств и теории категорий.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ, проект № 10-01-00070-а

Поступила в редакцию

Литература

1. Лыпарь Ю.И. Системное проектирование. Функциональный и структурный аспекты // Сб. статей, посвящённый 50-летию секции «Кибернетика» М., 2006. С. 217 - 238.

2. Лыпарь Ю.И. Системно-структурный синтез // Системный анализ и принятие решений: словарь-справочник / под общ. ред. В.Н. Волковой и В.Н. Козлова, М., 2004. С. 427 - 439.

3. Юдин Д.Б. Вычислительные методы теории принятия решений:. 2-е изд. М., 2010. 320 с.

4. Бениаминов А.М. Алгебраические методы в теории баз данных и представления знаний. М., 2003. 184 с.

5. Болотова Л.С., Смольянинова В.А., Смирнов С.С. Концептуальное проектирование модели предметной области при помощи программных систем разработки баз знаний дая интеллектуальных систем поддержки принятия решений // Наукоемкие технологии : науч.-техн. журн. 2009. Т. 10 № 8. С. 28 - 36.

6. Стефанюк В.Л., Жожикашвили А.В. Теоретико-категорный подход к описанию динамических продукционных систем // Тр. десятой национальной конференции по искусственному интеллекту с междунар. участием КИИ-2006: в 3 т. Т. 1. М., 2006. С. 77 - 82.

7. Тарасенко Ф.П. Прикладной системный анализ: учебное пособие. М., 2010. 224 с.

8. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений, а также хроника событий в Волшебных Странах : учебник М., 2000. 296 с.

9. Подиновский В.В., Гаврилов В.И. Оптимизация по последовательно применяемым критериям. М., 1975. 192 с.

7 июля 2010 г.

Кацко Игорь Александрович - д-р экономических наук, профессор, кафедра «Статистики и прикладной математики», Кубанский государственный аграрный университет. Тел. (861) 221-57-89. E-mail: ingward@mail.ru

Крепышев Дмитрий Александрович - старший преподаватель, кафедра «Компьютерных технологий и систем», Кубанский государственный аграрный университет. Тел. (861) 221-57-89. E-mail: s_web@mail.ru

Katsko Igor Aleksandrovich - Doctor of Economy Sciences, professor, department «Statistics and Applied Mathematics», Kuban State Agriculture University. Ph. (861) 221-57-89. E-mail: ingward@mail.ru

Krepyshev Dmitry Aleksandrovich - senior lector, department «Computer Technology and Systems», Kuban State Agriculture University. Ph. (861) 221-57-89. E-mail: ingward@mail.ru