Нечеткий тензор как основа для определения деформационных свойств природного мультифрактального объекта в упругопластическом состоянии с упрочнением

5. Халкечев Р.К. Стохастический метод определения элементарных объемов кристаллических и композиционных геоматериалов. - Нальчик: Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. - 2012. -№2. - С.: 38-41.

6. Халкечев Р.К. Мультифрактальная модель неоднородного поля давлений в газонаполненных порах поликристалла при постоянном внешнем поле. - М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск - Математическое моделирование трудноформализуемых объектов). - 2012. - №7. -С.: 3-7.

7. Noll W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. - New York: Architecture Rational Mechanical Analisys. - № 2. - 1958. - P. 197-226.

УДК 004.942; 001.57; 539.3 © Р.К. Халкечев, 2013

НЕЧЕТКИЙ ТЕНЗОР КАК ОСНОВА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИОННЫХ СВОЙСТВ ПРИРОДНОГО МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО ОБЪЕКТА В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ С УПРОЧНЕНИЕМ

Введено новое математическое понятие - нечеткий тензор. Введение данного понятия позволило определить деформационные свойства природного муль-тифрактального объекта в упругопластическом состоянии с упрочнением. Ключевые слова: природный мультифрактальный объект, нечеткий тензор, упругопластическое состояние с упрочнением, математическое моделирование, деформационные свойства.

Экспериментально установлено, что при упругопластическом течении природного мультифрактального объекта на некоторой стадии наблюдается его упрочнение. Такой эффект объясняют тем, что в структуре таких объектов происходит сплетение

дислокаций. Разработаем математическую модель природного мультифрактального объекта относительно деформационных свойств в упругопластическом состоянии с упрочнением.

В математической модели минерала в упругопластическом состоянии, предложенной в [1], количество дислокаций N, совершающих движение в структуре минерала постоянно, т.е. N = const. В свою очередь в разрабатываемой модели количество дислокаций N, кроме начального значения N0, имеет нечеткий вид и изменяется во времени по некоторому закону N (t) (здесь и далее параметры, задаваемые в нечеткой форме, имеют помету «~»).

Это обстоятельство позволяет задачу по определению деформационных свойств природного мультифрактального объекта в упругопластическом состоянии с упрочнением свести к разработке процедурной математической модели, позволяющей получать величины эффективных тензоров модулей упругости и упругих податливостей путем подстановки различных значений N(t = 1),N(t = 2),...,N(t = t^) (где t^ - конечный момент модельного времени) в математическую модель минерала в упругопла-стическом состоянии.

Количество движущихся дислокаций NV(t = 1), NV(t = 2),..., N (t = t^) можно получить из следующей нечеткой математической модели:

dN „лт2 „лт _ .1Ч

— = qN2 + pN - g ,

dt

где q - параметр, характеризующий процесс увеличения коэффициента прироста движущихся дислокаций в структуре природного мультифрактального объекта; p - начальный параметр прироста движущихся дислокаций; g - относительная скорость поглощения поверхностными дефектами движущихся дислокаций.

Решив данное уравнение, найдем выражение:

_

N

2q

1 - ехр

4д 3?

(V4^ + Р2 )3

4д3

ехр

4д 3?

(V 4дЁ + Р2 )3

Т4¥

4С3

х 1п

N

2с[

N

2с

л л

-1

позволяющее получить значения Т^(?) в моменты времени t = 1,2..?^.

Прежде чем подставить N (? = 1), N (? = 2),..., N (? = ) в математическую модель минерала в упругопластическом состоянии введем новое математическое понятие - нечеткий тензор.

Нечетким тензором й , определенным на некоторой тензорной предметной области У , называется множество пар:

й = {

где для каждого элемента X е У, являющегося тензорной величиной, степень це его принадлежности тензору й задается с помощью функции принадлежности це (X), при этом це (X) е [0,1].

Тогда, согласно данному определению, нечеткий эффективный тензор модулей упругости представляет собой множество пар:

С =

( ( ((ейп)Л (ейп)Л

цС I С I, С

( ( ( (ейп) Л (ейп) Л

МС I С[1] I, С[1]

( ( (ейп) Л (ейп) Л]

мС [ С[ л ] |, С[ л ] Л,

при этом У С е Z, где Z - предметная область (базисный диа-

пазон) нечеткого тензора С ; квадратные скобки с индексом у тензоров, указывают на порядок (номер) пары в нечетком множе-

стве С .

х

С учетом введенного понятия, можно подставить значения N (( = 1), N (( = 2),..., N (( = ^) в математическую модель минерала

в упругопластическом состоянии, и тем самым получить следующую математическую модель природного мультифракталь-ного объекта относительно деформационных свойств в упруго-пластическом состоянии с упрочнением:

И

е£т) Г( ((е£т) Л (ейп) Л] I )( ((е£т) Л (ейп) Л

С

(efm) Г( ((efm) Л (efm) Л] И(^(()]( ((e£m) Л

С (() = |(^С( С' (0| С'(оЦ = Ц (цС(С^)^]«

де

/

и С['1](() определяются путем подстановки значений N^ (N(()) в

математическую модель минерала в упругопластическом состоянии; И ((V(()) - функция, определяющая количество упорядочен-

ных пар в нечетком множестве С (().

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Халкечев Р.К. Математическая модель упругопластического деформирования пористых минералов с учетом изменения количества дислокаций. - М.: Издательство «Горная книга» Горный информационно-аналитический бюллетень (специальный выпуск - Методы математического моделирования в горной промышленности). - 2011. - №12. -С. 12-18.