Системная целостность концепции обоснования современной математики

УДК 101.1:510.2

Н. В. Михайлова

Системная целостность концепции обоснования современной математики

В статье обосновывается необходимость системной целостности концепции обоснования современной математики на основе раскрытия продуктивности основных направлений обоснования и экспликации недостаточности методологических предпосылок программ формализма и интуиционизма в приращении математического знания. Опираясь в обосновании познавательных теорий математики на синтез различных аспектов математической реальности, автор обращает внимание на развитие существующих направлений математики в контексте философского единства современной математики. Поскольку современную математику можно рассматривать как специфическую систему понятий и идей в контексте целостного научного знания, то проблема обоснования математики в работе обсуждается с философской точки зрения в плане общих принципов математического познания.

The article explains the need for system integrity of the concept of substantiation of contemporary mathematics, based on the disclosure of the productivity of the main directions of substantiation and explication of the failure of methodological presuppositions of programs of formalism and intuitionism in increment of mathematical knowledge. Based on the synthesis of various aspects of mathematical reality in the substantiation of cognitive theories of mathematics the author draws attention to the development of existing areas of mathematics in the context of the philosophical unity of contemporary mathematics. So as contemporary mathematics can be regarded as a specific system of concepts and ideas in the context of a holistic scientific knowledge, the problem of substantiation of mathematics is discussed from the philosophical point of view in terms of the general principles of the mathematical knowledge.

Ключевые слова: философия математики, системно-методологический подход, проблема обоснования, системная целостность, современная математика.

Keywords: philosophy of mathematics, system and methodological approach, the problem of substantiation, system integrity, contemporary mathematics.

Слово «обоснование» часто употребляется в научном лексиконе. В литературе по философии и методологии науки проанализированы следующие методы обоснования: доказательство, опровержение, подтверждение, объяснение, интерпретация, оправдание. Для полноты понимания можно привести философское определение, согласно которому обоснование - это «способ рациональной аргументации» в пользу истинности теории. В соответствии с этим определением в обосновании математики выделяются три способа обоснования: доказательство, или дедукция; подтверждение, или индукция; практическая реализация. Если акцентировать внимание на первом способе, то понятие обоснования оказывается производным от понятия доказательства, что не очень способствует философскому выявлению самостоятельного осмысления проблемы обоснования математики. С точки зрения подтверждения, неявно укрепляющего веру в обосновываемое знание, под обоснованием математики в широком философском контексте иногда понимается попытка найти такую содержательную теорию, из которой можно вывести всю математику при предварительном методологическом условии непротиворечивости используемой концепции обоснования. Если говорить о практической реализации, то следует отметить укоренившуюся в математике практику собирательного употребления словосочетания «обоснование математики», которое предполагает обоснование современных математических теорий имеющимися в математике методологическими средствами.

Еще Платон пришел к выводу о необходимости обоснования математического знания, которое понималось как проблема обоснования исходных посылок математических выводов и как проблема правильности этих выводов. Начиная с XVII в., проблема обоснования научного знания становится центральной и называется «эпистемологическим поворотом». Тем не менее необходимо выяснить, что сейчас понимается под словосочетанием «обоснование математики». В философской литературе содержание категории «обоснование» традиционно сопрягается с содержанием категории «основа», или «основание», как целостной сущности, которую составляет основание в концептуальном плане. Продолжавшиеся в течение первых десятилетий ХХ в. жаркие

© Михайлова Н. В., 2016 16

дискуссии по поводу оснований математики не привели к решению ни одной из обсуждавшихся философских проблем. В действительности «основание» составляет лишь часть математической сущности, а другую часть, являющуюся важнейшим звеном основания и которую можно рассматривать как «совокупность необходимых свойств и отношений, обусловленных главным определяющим звеном и развивающихся под воздействием этого главного звена (основания), составляет "обоснование"» [1]. Отметим также, что само сочетание слов «обоснование математики» звучит для практикующих математиков, возможно, отчасти парадоксально, так как математика всегда считалась эталоном достоверности научного познания.

Для полноценного анализа проблемы обоснования математики необходимо прояснить различие математической и философской методологий. Если первая стремится определить «дорогу» к математическому знанию, будучи убежденной в его объективной истинности, то вторая пытается выяснить, что считать истиной, как получить истинное знание, то есть каким образом система принципов выявляет философские критерии достоверного знания, которые использует наука в процессе познания. С точки зрения проблемы обоснования математики нельзя абсолютизировать ни один из этих подходов. Можно выделить следующие два понимания методологии. Во-первых, как учения о методах познания, которые являются объектом методологических исследований, что приводит к представлению об их относительно самостоятельном характере. Во-вторых, как инструмента преобразования философского мировоззрения в познавательную деятельность, благодаря чему методологию можно интерпретировать как философскую рефлексию, или «мышление мышления». Более широкое определение методологии и методологии математики состоит в том, что методология понимается как философское учение о методах познания, как применение принципов мировоззрения к процессу познания и к математической практике. При таком понимании методологическая проблема обоснования математики получает общефилософское истолкование. Поскольку математику можно рассматривать как специфическую систему понятий и идей в контексте целостного научного знания, то обоснование следует обсуждать с философской точки зрения в плане общих принципов математического познания.

Основания математики - это реальный пример взаимодействия математики и философии. Но следует отметить, что при наличии выдающихся математических результатов исследование методологических аспектов оснований математики столкнулось с принципиальными философскими трудностями. В такой ситуации обоснованием математики можно также считать любую деятельность, направленную на объяснение оснований таких свойств математического познания, как достоверность, строгость и незаменимость. В разделе «Вопросы обоснования математики» известной энциклопедической статьи «Математика» выдающийся математик А. Н. Колмогоров определяет обоснование так: «Чрезвычайное расширение предмета математики привлекло в 19 в. усиленное внимание к вопросам ее "обоснования", т. е. критического пересмотра ее исходных положений (аксиом), построения строгой системы определений и доказательств, а также критического рассмотрения логических приемов, употребляемых при этих доказательствах» [2]. Важность такой работы становится понятной, если учесть изменившийся характер взаимоотношений между формированием математической теории и ее практической проверкой. Мы будем исходить из естественного предположения, что предметом обоснования современной математики выступает вся математика как целостная наука.

В таком контексте можно выявить философский смысл изменений в развитии проблемы обоснования математики, а именно отмену одной целостности и замену ее другой, то есть «системной целостностью». Но что представляет собой эта системная целостность? Системность концепции обоснования означает, что она выступает неким неразрывным целым, в котором следствия и посылки взаимно поддерживают друг друга, а целостность, в отличие от «суммативности» системы, означает, что изменения в отдельной части системы вызывают изменения других частей. Математика устроена так, что ее части тесно связаны между собой, и развитие одной части затрагивает другие части. Сведя эти процессы генезиса математики к общей схеме, можно получить концепцию обоснования, анализируемую с различных точек зрения и обеспечивающую целостность восприятия в контексте рассматриваемой методологии. Для экспликации системной целостности в обосновании современной математики необходимо предварительно выявить общую схему, по которой строятся в настоящее время по-философски обобщенные системные концепции. Учитывая разнообразие подходов к исследованию систем и структур, на первых этапах анализа такое исследование, как правило, сопряжено с некоторым приближением к реальной ситуации. Это обусловлено тем, что системный подход - это не созидание, не воссоздание, не конструирование, а реконструкция системы.

Соответственно получаются два метода реконструкции системы развития математических теорий, с одной стороны, это ее философский анализ, то есть разложение целого на части, а с дру-

17

гой стороны, это ее концептуальный синтез, то есть придание системе обоснования упорядоченности, единства и целостности. Например, стремление к целостности неразрывно связано с идеей триадичности, позволяющей замкнуть бинарную оппозицию «формализм Гильберта - интуиционизм Брауэра» в системную триаду, объединяющую три равноправных элемента обоснования, а именно «формализм Гильберта - платонизм Гёделя - интуиционизм Брауэра», каждый из которых позволяет участвовать в совмещении противоположностей как специфическая философская интерпретация компромисса. Философско-методологической аргументации этой системной триады направлений обоснования современной математики на специально подобранных математических примерах посвящена работа автора [3]. Чтобы проиллюстрировать, как реализуется эта триада обоснования математики, в указанной работе рассмотрены различные точки зрения на известные математические объекты, которые способствуют пониманию структуры системной целостности обоснования и которые отражают альтернативность точек зрения на современную математику. Акцентирование системной целостности в обосновании математики можно рассматривать как философскую реакцию на длительный процесс дифференциации в обосновании математических теорий, переосмысливая действующие направления обоснования в контексте методологического единства математического знания.

Целостное познание проблемы обоснования как единство включает в себя множество процессов, состояний и структур. Системная целостность концепции обоснования современной математики позволяет объяснить и познать во всей специфике то, что нельзя вывести, исходя лишь из внешних признаков по отношению к исследуемой проблеме. Необходимость системного подхода в обосновании математики обусловлена: во-первых, утратой целостности структуры обоснования; во-вторых, появлением новых форм математической деятельности; в-третьих, экспликацией единства математического знания. Системные представления в науке, по мнению А. П. Огурцова, характеризуются следующим: «Во-первых, системность научного знания может анализироваться под углом зрения системности понятий, развитых в той или иной теории. Это гносеологический аспект системности научного знания. Во-вторых, системность научного знания может рассматриваться под углом зрения некоторой системной модели предмета исследования -онтологический аспект. В-третьих, системные представления о науке могут получить методологическую форму. В этом случае речь идет об определенных нормах построения систем теоретического знания» [4]. Методологическая особенность целостной концепции системы обоснования математики состоит в системном синтезе направлений обоснования, существующих в философ-ско-методологическом контексте целого.

Исследование системной целостности концепции обоснования математики предполагает решение двух взаимосвязанных задач. Одна из них связана со структуризацией направлений обоснования математики в соответствии с принципом целостности, а другая - с адекватным отображением на предметно-содержательном уровне целостных характеристик развития математического знания на современном этапе. Если рассуждать о целостности системы обоснования современной математики, то, применяя системную методологию, надо предварительно построить ее как идеальный объект. Как справедливо отмечает В. Я. Перминов, «размышляя об универсальности математических образов, об их полисемантичности и полифункциональности, мы затрагиваем, таким образом, общую системную закономерность: во всех этих случаях элемент системы, созданной в конкретной ситуации для определенной цели, оказывается затем более универсальным, пригодным для других целей, предвосхищающих другие требования» [5]. Качественное своеобразие структуры системной целостности в проблеме обоснования современной математики заключается в отказе от полноты, поскольку стремление к полноте - это стратегия философско-методологичес-кого поиска в рамках прежней парадигмы обоснования современной математики.

Специфика системного стиля математического мышления как способа познания, обладающего высокой степенью общности, определяется общенаучными понятиями и принципами, характеризующими целостность и взаимосвязь частей, образующих единое целое. С точки зрения методологии системного стиля мышления основной методикой его изучения служит вычленение из реального познавательного процесса обоснования математики обобщающих тенденций, которые, во-первых, констатируют реальное состояние математики, а во-вторых, отчасти неявно прогнозируют методологически возможные пути ее прогресса. В частности, можно утверждать, что системный стиль математического мышления - это рефлексивное мышление математика, предполагающее глубокий анализ направлений математики, выявляющий их взаимодействия и отношения, учитывая целостную природу и единство математического знания, которые философски интерпретируются в системном подходе. К методологическим особенностям системного подхода к проблеме обоснования математики можно отнести его ориентацию на интеграцию различных подходов к обоснованию, реализуемую в компьютерной математике. Отсюда следует важный философ-18

ский вывод о том, что стратегия исследования обоснования современной математики должна включать анализ как актуального, так и потенциального состояния этой сложной системы знания.

После различных безуспешных попыток внутриматематического обоснования математики формируется новый уровень рефлексии целостной концепции - системной целостности, то есть такой ее организованности, которая, дифференцируясь в процессе развития математических теорий, порождает новые соотношения в соответствии с философскими и методологическими запросами современных математических теорий. С точки зрения самоорганизующихся систем, категории части и целого включают в свое содержание новые смыслы. Поэтому В. С. Степин необходимость введения понятия системная целостность аргументирует следующим образом: «При формировании новых уровней организации происходит перестройка прежней целостности, появление новых параметров порядка. Иначе говоря, необходимо, но не достаточно зафиксировать наличие системного качества целого, а следует дополнить это понимание идеей изменения видов системной целостности по мере развития системы» [6]. Известно, что удачная философская идея по мере ее развертывания «обосновывает сама себя». Поэтому в контексте философской идеи триадичности наиболее адекватным будет определение такой целостности, которую, вообще говоря, невозможно познать во всей ее специфике, если исходить только из внутренних характеристик по отношению к исследуемой проблеме обоснования современной математики.

Применительно к структурно сложным самообосновывающимся системам, например к системе направлений обоснования современной математики, философские категории части и целого обретают новые характеристики. Новая концепция обоснования математических теорий фиксирует, что в философской дихотомии «часть - целое» разными свойствами обладает часть внутри целого и вне его. Целостная концепция обоснования современной математики уже не исчерпывается только свойствами ее частей, хотя и характеризуется их свойствами. Поэтому возникает методологическая необходимость учитывать системное качество целого. Методологический сдвиг в решении проблемы обоснования математики зависит не только от достижений в логике и генезисе аксиоматических систем, а также от понимания проблем философии математики в контексте расширения допустимых подходов к обоснованию математических теорий. Системная целостность концепции обоснования математики реализуется в философско-методо-логическом балансе различных компонент перспективных направлений обоснования математики, что отражает общую системную закономерность.

В философии и методологии науки идет смена обосновательного идеала, а именно переход к целостности как более фундаментальному понятию, чем полнота. Системная целостность может служить философским показателем достаточно высокого уровня развития математического познания. Главное отличие нового подхода к обоснованию математики состоит в отказе от устоявшегося «линейного мировоззрения» и освобождении от традиционного «бинарного стереотипа» как разделяющей структуры. Например, как отмечает Е. М. Вечтомов, «на роль современной научной картины мира претендует синергетика, которая в отличие от кибернетики ставит во главу угла математику, синтез математики с диалектикой, при этом в методологии науки оппозиционная бинарность заменяется согласованной тернарностью» [7]. С точки зрения системного синтеза направлений обоснования математики каждый элемент приобретает значение системной целостности, поскольку целое - это всегда отношение, которое не может быть законченным, а, будучи реализованным, открывается для изменения. В этом и заключается суть философско-методологического синтеза направлений обоснования математики на основе имеющегося опыта, в котором потенциально реализуемый синтез является существенной стороной диалектики.

Примечания

1. Билялов А. К. Об определении категорий «основа» и «обоснованное» // Философские науки. 1976. № 5. С. 141.

2. Колмогоров А. Н. Математика // Математический энциклопедический словарь. М.: Большая российская энциклопедия, 1995. С. 29.

3. Михайлова Н. В. Философская интерпретация объектов математики в формализме, интуиционизме и платонизме / / Российский гуманитарный журнал. 2015. Т. 4. № 4. С. 257-268.

4. Огурцов А. П. Этапы интерпретации системности научного знания // Системные исследования. М.: Наука, 1974. С. 154.

5. Перминов В. Я. «Предустановленная гармония» Лейбница и системный подход к обоснованию практической эффективности математики // Российский гуманитарный журнал. 2012. Т. 1. № 1. С. 49.

6. Степин В. С. Саморазвивающиеся системы и постнеклассическая рациональность // Вопросы философии. 2003. № 8. С. 7.

7. Вечтомов Е. М. Математика как исследование границ научного познания // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2015. № 4. С. 9.