Оптимизация значений геометрических параметров в методе открытого слоя

УДК 537.874.6

А. В. Крапивной, В. П. Чумаченко

ОПТИМИЗАЦИЯ ЗНАЧЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

В МЕТОДЕ ОТКРЫТОГО СЛОЯ

Определен набор внутренних параметров метода открытого слоя, которые существенно влияют на расчет характеристик рассеяния электромагнитных волн на выпуклых цилиндрах со сложным контуром поперечного сечения и проведено исследование влияния этих величин на конечные результаты. Полученные данные позволяют определить критерии подбора значений этих параметров в зависимости от геометрии задачи.

ВВЕДЕНИЕ

Некоторое время назад одним из авторов был предложен [1] новый подход к решению задачи рассеяния электромагнитных волн на идеально проводящих цилиндрах со сложным выпуклым контуром поперечного сечения, названный методом открытого слоя (ОС). Он является логическим развитием метода произведения областей (ПО) [2]. Затем этот метод был модифицирован и применен к рассеянию на импедансных цилиндрах [3, 4]. Несмотря на то, что метод ОС является приближенным в виду замены стандартного условия излучения на бесконечности условием на фиктивной конечной поверхности, окружающей рассеивающий цилиндр, он является достаточно эффективным при анализе дифракции волн и на многоугольных цилиндрах. Причем он дает хорошие результаты и в высокочастотной области.

Вместе с тем качество результатов, получаемых при помощи метода ОС, существенно зависит от ряда геометрических параметров, которые являются внутренними для математической модели и не определяются сразу из начальных условий задачи. Таковыми являются толщина открытого слоя, радиусы закруглений острых кромок, радиусы кривизны боковых сторон ячеек, на которые делится открытый слой и число элементов, на которые делится каждое прямолинейное ребро или дуга контура поперечного сечения рассеивающего цилиндра.

В данной работе дано краткое описание метода ОС и проведено исследование влияния указанных величин на точность результатов рассеяния по методу открытого слоя.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим задачу рассеяния электромагнитных волн на цилиндре, часть контура которого изображена на рис. 1, а. Граница его поперечного сечения состоит из N частей: прямолинейных отрезков и дуг окружностей. В число таких элементов могут быть также включены дуги эллипсов. Все острые углы контура закругляются дугами окружностей малого радиус Rj. Цилиндр возбуждается плоской электромагнитной волной с г -компонентой вида:

2 п

м0

В равенстве (1) a - угол падения первичной волны по отношению к оси Ox основной системы координат (x,y,z); X - длина падающей волны. Зависимость от времени выбираем в виде exp(imt) и опускаем.

У поверхности рассеивающего цилиндра выделяем слой толщиной 2 А и делим его на перекрывающиеся ячейки. На рис. 1, 6, j-я ячейка, прилегающая к дуге окружности MjMj +1 радиуса Rj, представляется в виде общей части (произведения) четырех областей, которые определены неравенствами:

pj > Rj; р

/ л , (1) (1\ , (2) (2)л

где (pj,фу), (pj ,') и (pj ') - вспомогательные полярные системы координат с центрами в точках O:, O) и O) соответственно.

а) 6)

Рисунок 1

© Крапивной А. В., Чумаченко В. П., 2005 12 ISSN 1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 2, 2005

А. В. Крапивной, В. П. Чумаченко: ОПТИМИЗАЦИЯ ЗНАЧЕНИЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ В МЕТОДЕ ОТКРЫТОГО СЛОЯ

Внутри этой ячейки, в соответствии с [1], мы записываем ¿-компоненту рассеянного поля как сумму

и _ Л(%02)( кр/1') + В(%02)( кр/2)) +

N.

+ £ СС8

п _ о /

т( 2)/

где НО (Ь) - функция Ханкеля второго рода; Ь / -длина /-го элемента контура поперечного сечения цилиндра;

г/+1

и/ +1

ди/ Р / +1; дУ]

_ ди/+ 1

дУ

+1

/ + 1

+1

Эти уравнения связывают поля в соседних ячейках. После подстановки в них выражения В^ из уравнений (6), возникает система из 2N линейных алгебраических уравнений относительно А и В , которая обладает простой разреженной матрицей.

Зная значение поля на поверхности цилиндра, рассеянное поле может быть получено из выражения:

я(Л _

п

(ехр)(-у„ Х] ) для прямолинейного

элемента К: _ ж,

Н

(2) К±п

Н

К,п

для криволинейного элемента,

К, _ ¡Л".; в/ - угол М/О/М/ +1; п _ ^пк/Ь/)2 _ к2;

N: - число усечения суммы; (х :,уЛ - декартовая систе-/ / / (/) (/) (/) ма координат, связанная с точкой М/; А , В , Вп -

искомые коэффициенты разложения поля.

Здесь первые два слагаемых соответствуют областям, связанным с боковыми дугами а последняя сумма соответствует дуге М М + 1 .

Вдоль дуги М/М / + 1, полное поле и _ ио + и/ должно удовлетворять в общем случае импедансному условию

ди

_ гкСи,

дп

где дт - производная по внешней нормали;

С _

П для Н-поляризации, 1

для Е -поляризации;

П - нормированный поверхностный импеданс цилиндра. Если рассеивающий цилиндр идеально проводящий, то условие (4) автоматически преобразуется в идеальное граничное условие в соответствии с выбранной поляризацией падающей волны.

Учитывая это условие, а также ортогональность тригонометрических функций, мы получим

Ь/ви) + с/, / _ 1,^ п _ 0,N ,

где ап ,

Ьп , сп известные величины (различные для

ТМ- и ТЕ-плоскостей). В точках Р, (х; _ А, у _ О,

_ ] ]

/ _ 1^), слагаемые и/_ 1 и и/, и их производные в направлении вдоль поверхности должны быть непрерывны:

_ _ Г( О(г,т')—ит' _ и(г')—О(г,т'))с11', (8) Л V дп' дп' /

д

где О (г, г') _ _4н02)( к|г_г' |) - функция Грина, Ь -

контур, совпадающий с границей поперечного сечения

цилиндра и г - радиус-вектор, описывающий контур интегрирования.

Таким образом, построенная методом ОС математическая модель рассматриваемого цилиндра содержит такие параметры, как толщина поверхностного слоя 2 А, величины радиусов дополнительных боковых дуг

4

, разделяющих слой на перекрывающиеся ячейки,

величины радиусов К/ закруглений острых углов в контуре поперечного сечения и число частей N, на которые дробится каждый элемент этого контура.

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

Для исследования допустимых значений указанных выше геометрических параметров был проведен расчет бистатического поперечника обратного рассеяния 5 электромагнитной волны на импедансных цилиндрах квадратного и треугольного сечений при разных значениях угла падения первичной волны. Квадратный цилиндр имеет ребро I _ X и импеданс п _ 4, а у треугольного все стороны равны I _ 1X и импеданс п _

_ 2 + 2г. Оба цилиндра возбуждаются плоской Е-по-ляризованной волной. Для максимального уменьшения областей перекрытия ячеек, углы между основной и дополнительными системами координат выбирались

близкими к 90°: АОМ_ ^л.

45

Полученные результаты сравнивались с эталонными, в качестве которых использовались данные, полученные в работе [5] методом моментов (табл. 1). Оценивался корень суммы квадратов отклонений получен-

эт

ных значений ст от эталонных ст :

£ (ст_ст")2.

г _ 1

и

и

Ь

*

Таблица 1

Квадратный цилиндр

угол падения, град. 9 54 89 121 146

эт ст -26,7521 -12,3379 3,6589 -26,6755 -25,9548

Треугольный цилиндр

угол падения, град. 0 30 150 295 356

эт ст -7,3394 -13,0425 -14,8162 -9,1416 -9,4469

Величины оцениваемых геометрических параметров устанавливались в единицах длины ребер поперечного сечения цилиндров. Толщина слоя А выбиралась в диапазоне от 0, 05/ до 0, 21 с шагом 0, 05/; радиусы закруглений К^ - в диапазоне от 0, 01/ до 0, 05 / с шагом 0, 01/; радиусы боковых дуг С^' - в диапазоне от 0, 1 / до 0, 45/ с шагом 0, 05/. Расчеты проводились при условии, что каждая сторона поперечного сечения цилиндра представляет собой один элемент, а также при условии дробления каждой стороны пополам. В первом случае поверхностный слой у квадратного цилиндра разбивается на 8 ячеек: 4 прямолинейных и 4 дуговых, а у треугольного цилиндра - на 6 ячеек: 3 прямолинейных и 3 дуговых. Во втором случае разбиение поверхностного слоя было таким: 12 ячеек, из которых 8 прямолинейных, для квадратного цилиндра и 9 ячеек для треугольного цилиндра, 6 из которых прямолинейные.

Результаты исследования представлены на рис. 2 и 3.

Для обеих цилиндров наилучшие результаты получаются если каждое ребро поперечного сечения делится на два элемента, а остальные геометрические параметры принимают начальные значения в своем диапазоне. Следует отметить, что при любой форме поперечного сечения цилиндра значения бистатического поперечника ст не зависят от радиусов закруглений острых кромок К^ из выбранного диапазона. Можно полагать, что такая закономерность будет соблюдаться, пока радиус закругления К^ будет меньше размера линейного элемента слоя / на порядок.

Интересной особенностью рассеяния на треугольном цилиндре является то, что для получения конечного результата значение радиуса боковых дуг ячеек дС^ достаточно выбрать равным 0, 1/ независимо от значений других параметров. При увеличении дС^ отклонение ст от эталонного ст резко возрастает. При рассеянии на квадратном цилиндре оптимальным значением является 0, 25/~ 0, 3/ для широких интервалов значений других геометрических параметров.

Рисунок 2 - Результаты исследования для квадратного цилиндра

Рисунок 3 - Результаты исследования для треугольного цилиндра

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе проведено исследование влияния величин внутренних геометрических параметров метода открытого слоя на расчетные значения характеристик рассеяния электромагнитных волн на выпуклых телах со сложным контуром поперечного сечения. Полученные результаты позволяют определить критерии подбора значений этих параметров в зависимости от геометрии задачи. Однако необходимы дополнительные исследования, связанные с оптимизацией представлений поля в ячейках открытого слоя.

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

1. Chumachenko V. P. An Open-cell Layer Approach for Scattering and Radiation // Microwave and Optical Technology Letters. - Vol. 37. - June 2003. - P. 444-447.

2. Chumachenko V. P. Domain-Product Technique Solution for the Problem of Electromagnetic Scattering from Multi-

14

ISSN 1607-3274 «Радюелектрошка. 1нформатика. Управлшня» № 2, 2005

А. О. Micrnpa, В. М. Онуфр1енко, О. В. Крапивный: ФРАКТАЛЬН1 ВЛАСТИВОСТ1 ПРЯМОКУТНОГО ХВИЛЕВОДУ 3 МЕТАМАТЕР1АЛЬНОЮ ПЛАСТИНОЮ

angular Composite Cylinders// IEEE Trans. Antennas Propagat. - Vol. AP-51. - Oct. 2003. - P. 2845-2851.

3. Chumachenko V. P., Krapyvny A. V. Open-cell Layer Approach for Scattering on the Impedance Cylinder // Proceedings of 2004 Int. Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory, Dnepropetrovsk, Ukraine. - September 14-17, 2004. - P. 577-579.

4. Крапивной А. В., Чумаченко В. П. Применение метода открытого слоя к расчету рассеяния электромагнитных волн на импедансных цилиндрах // Радиоэлектроника, информатика, управление. - 2005. - № 1. - С. 9-13.

5. Jin J. M., Volakis J. L, and Liepa V. V. A Comparative Study of the OSRC Approach in Electromagnetic Scattering / / IEEE Trans. Antennas and Propagation. - Vol. AP-37.-Jan. 1989. - P. 118-124.

Надшшла 13.09.05

Визначений na6ip enympirnnix napaMempie методу eid-критого шару, як cymmeeo еплиеають на розрахунок характеристик розстеання електромагттних хеиль на

опуклих цилiндpax 3i складним контуром поперечного nepepiзy i проеедено дocлiджeння еплиеу цих ееличин на кiнцeei результати. Отримат дат дозеоляють еиз-начити критерп тдбору значень цих napaмempie е за-лeжнocmi eid геометрп зaдaчi.

In the paper the set of inner parameters the open-cell layer approach has been defined. Those parameters essentially effect on the calculation of characteristics of the electromagnetic waves scattered from convex cylinders with combined cross-section contours. The analysis of the influence of these variables on the final results is carried out. Obtained data allow to define the selection criterions for the parameters under study depending on initial geometry of the structure.

УДК 537.8:621.372.8

A. 0. Micrapa, В. M. Онуфр1енко, 0. В. Крапивний

ФРАКТАЛЬШ ВЛАСТИВ0СТ1 ПРЯМОКУТНОГО ХВИЛЕВОДУ 3 МЕТАМАТЕР1АЛЬНОЮ ПЛАСТИНОЮ

Наведено результати досл1дження фрактальних влас-тивостей поверхневого 1мпедансу у прямокутному хвиле-eodi з метаматер1альною пластиною. Для знаходження а-характеристик компонент поля у наведеному середо-вищi використаний апарат дробового штегро-диферен-щювання. Визначена залежтсть поверхневого iмпедансу вiд величини скейлтгового показника, що характеризуе стутнь фрактальнoстi магттод^електричноЧ пластини.

ВСТУП

Метаматер1али, широко BiflOMi як штучно струк-туроваш середовища з незвичайними електромагштни-ми властивостями, що визначаються елементами i'x внутршньо! структури, розташоваш за заданою схемою на мжроскошчному рiвнi та замщають атоми або молекули природно шнуючих матерiалiв, е новою парадигмою у фiзицi та шженери [1-10]. Ix можна вщ-нести до класу однорщних середовищ з зануреними у них фрактальними неоднор^ностями, що характеризуются одночасно в^'емними еквiвалентними параметрами 8, ц; вщ'емним показником заломлення n та дробовим показником фрактальноси а. Для них запропоновано кшька термшолопчних назв типу «на-лежних до лiвоi' системи координат» середовищ, середовища «з в^'емним показником заломлення» [1-3], «поворотш середовища» (BW середовища) [4], «двiчi вщ'емш (DNG)» метаматерiали [5], «вщ'емно-показ-никовi середовища (NIM)» [6].

© М1сюра А. О., Онуфр1енко В. М., Крапивний О. В., 2005

Досл1дженню та конструюванню метаматер1ал1в присвячено велику к1льк1сть роб1т. Так, у 1968 р. В. Веселаго теоретично дослщжував розповсюдження плоско! хвил1 у матер1ал1 з одночасно в1д'емними д1електричною та магштною проникностями [1]. Його теоретичне дослщження показало, що для монохрома-тично! однорщно! плоско'! хвил1 у такому середовищд напрямок вектора Пойнтинга антипаралельний до напрямку фазово! швидкоси, всупереч випадку розповсюдження плоско! хвил1 у звичайних середовищах. У 1996 р. Д. См1т та ш. сконструювали таке складне середовище для мжрохвильового режиму та експе-риментально продемонстрували наявшсть аномально! рефракцГ! у цьому середовищ! [2]. Припущення Д. Пендр1 про можлив1сть комплексних середовищ з вщ'емним показником заломлення [3] уловлювати та «перефокусовувати» еванесцентш хвил1 (загасаюч! хвил1, що м1стять велику юльюсть 1нформац1! про м1к-роскотчну структуру об'екту) призвело до констру-ювання так званих «суперл1нз». У 2003 р. групою Цанга експериментально доведено, що у такому се-редовишД виникае процес збудження поверхневих хвиль, вщомих також, як «поверхнев! плазмони», що шдсилюе та в!дновлюе еванесцентн! хвил! [6]. А. Грбик та Д. Елефтер!андес розробили аналоговий метаматер!ал на основ! ланцюг!в електропередач!, що складаються з ком!рок посл!довно з'еднаних !ндуктив-ностей та паралельно з'еднаних конденсатор!в. Вико-ристанням такого матер!алу ними було проведено пе-