Формирование высокочастотных интерференционных картин мод диэлектрических фотонных кристаллов при резонансах Фабри–Перо

ФОРМИРОВАНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ КАРТИН МОД ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛОВ ПРИ РЕЗОНАНСАХ ФАБРИ-ПЕРО

Е.А. Кадомина1-2, Е.А. Безус1,2, Л.Л. Досколович1-2 1 Институт систем обработки изображений РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, Самара, Россия, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, Самара, Россия

Аннотация

Предложена дифракционная структура для формирования высокочастотных интерференционных картин затухающих электромагнитных волн в задачах фотолитографии, основанная на интерференции «объемных» мод диэлектрических фотонных кристаллов при ре-зонансах Фабри-Перо. Для предсказания положений резонансов Фабри-Перо предложен простой подход к описанию дифракции плоской волны на фотонном кристалле из конечного числа периодов, основанный на представлении поля внутри фотонного кристалла в виде суперпозиции двух «объемных» мод фотонного кристалла, распространяющихся в противоположных направлениях. Результаты работы могут найти применение при создании новых устройств для ближнепольной интерференционной фотолитографии.

Ключевые слова: фотонный кристалл, блоховская поверхностная волна, резонанс Фабри-Перо, плазмонная мода, ближнее поле, уравнения Максвелла.

Цитирование: Кадомина, Е.А. Формирование высокочастотных интерференционных картин мод диэлектрических фотонных кристаллов при резонансах Фабри-Перо / Е.А. Кадомина, Е.А. Безус, Л.Л. Досколович // Компьютерная оптика. - 2017. - Т. 41, № 3. -С. 322-329. - Б01: 10.18287/2412-6179-2017-41-3-322-329.

Введение

Оптические устройства, основанные на резонансных эффектах, в настоящее время широко применяются в качестве оптических фильтров [1 - 4], химических и биологических датчиков [5 - 8] и в области фотолитографии [9 - 12]. Применительно к литографии, использование резонансных структур позволяет достичь значительного усиления ближнего поля и преодоления дифракционного предела за счет использования затухающих волн.

Пожалуй, наиболее изученным и широко применяемым в различных устройствах является плазмонный резонанс [1, 5, 9]. Плазмонные структуры основаны на возбуждении поверхностных плазмон-поляритонов (ППП) - поверхностных электромагнитных волн, распространяющихся вдоль границ раздела металл/диэлектрик. Существенный недостаток плазмонных структур -относительно высокие потери, связанные с поглощением поверхностного ППП в металле. Эти потери уменьшают добротность плазмонного резонанса.

Однако существуют поверхностные волны, которые распространяются в полностью диэлектрических средах, при этом потери энергии на поглощение практически отсутствуют. Примером таких волн являются блоховские поверхностные волны (БПВ), распространяющиеся на границе фотонного кристалла (ФК) и диэлектрика [13 - 15], а также волны Дьяконова, распространяющиеся на границах слоев из анизотропных материалов [16].

В последнее время большое внимание уделяется устройствам на основе БПВ, рассматриваемым в качестве альтернативы плазмонным устройствам [7, 11, 13]. В случае БПВ добротность резонанса ограничена лишь технологическими погрешностями изготовления, поэтому в структурах на основе БПВ достижимо гигантское усиление полей, на несколько порядков

превышающее аналогичные эффекты в структурах с плазмонным резонансом. Возможность использования ТЕ-поляризованного излучения в отличие от плазмонных структур, которые поддерживают только ТМ-поляризованные моды, позволяет достигать близких к 1 значений контраста при формировании высокочастотных интерференционных картин в ближнем поле, что важно для задач фотолитографии.

Однако структуры на основе БПВ очень чувствительны к технологическим погрешностям изготовления, и малые отклонения параметров от расчетных приводят к «исчезновению» эффекта резонанса. В настоящей работе показано, что альтернативой структур на основе БПВ могут стать структуры на основе резонанса Фабри-Перо «объёмных» мод ФК. По аналогии с резонансами Фабри-Перо плоских электромагнитных волн в плоскопараллельной пластинке, ре-зонансы Фабри-Перо «объёмных» мод ФК можно наблюдать в разрешённой зоне ФК, состоящего из конечного числа периодов. Основным предметом настоящей работы является исследование возможности применения данного резонансного эффекта в задачах формирования высокочастотных интерференционных картин затухающих электромагнитных волн в сравнении с другими видами резонансов, соответствующих возбуждению плазмонной моды и БПВ.

1. Постановка задачи. Дифракция плоской волны на одномерном фотонном кристалле из конечного числа периодов

На рис. 1 схематично показан фотонный кристалл, содержащий N периодов (К пар плоскопараллельных однородных слоев с толщинами И\ и Н2 и диэлектрическими проницаемостями £1 и е2). Обозначим величину периода ФК ё = Й1+Й2. Падающий сверху под углом 9 и длиной волны в вакууме X свет распространяется в оптически плотной среде (призме) с диэлектрической про-

ницаемостью е1. Под ФК располагается полу бесконечная среда с диэлектрической проницаемостью ет. Отметим, что рассматриваемая геометрия задачи аналогична т. н. схеме Кречмана для возбуждения поверхностных плазмон-поляритонов, содержащей призму из оптически плотного материала и металлический слой.

о

-та

У

С

hi I Ei h2 | e2 hi I B! h2 $ e2

R

Ф

(D

-hi -d

-

hi i Ei

X

-Nd

Рис. 1. Геометрия задачи дифракции на фотонном кристалле

Для описания дифракции падающей волны на ФК воспользуемся следующим подходом. Представим поле внутри ФК как суперпозицию двух «объёмных» мод ФК (мод периодической слоистой среды), распространяющихся в противоположных направлениях. Как будет показано ниже, такой подход является точным (совпадает с решением задачи дифракции методом матрицы пропускания) и позволяет определить положения резонансов Фабри-Перо «объёмных» мод ФК.

Получим в методических целях дисперсионное соотношение и представление поля «объёмной» моды ФК. Для этого выпишем тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей в ФК. Будем рассматривать случай ТЕ-поляризации: Е = (0, Еу,0),

И = ( Их ,0, Иг). Запишем представление электромагнитного поля в слоях ФК. Компоненту Еу электрического поля в слоях ФК, опуская множитель ехр(кх), где

кх = к04е(ко=2я / 1), можно представить в следующем виде:

Еу1 = С ехр [к 1 (г + к,)] +

+ С, ехр [-/к2д г ], Е? = С+ ехр[¿к2,2 (г + й)] +

+ С2- ехр [-к^ (г + к,)], Е<- ) = С3+ ехр[¡кгД (г + к, + й)] + + С3- ехр [-кг1 (г + й)],

где

kz,1 = Vk0 е1 ^х , kz,2 = Vk0 e2 k

C+

С, , С+ , С2 , С3+ , С3 - неизвестные коэффициенты.

Запишем теперь компоненту Нх (из уравнений Максвелла Нх~дЕу / дг):

H

H

х

Нхг> ~ 1к2ЛС+ ехр[¡к„ (г + к,)] -

- ¡КС ехр [-'кгДг ] , ''КС ехр ['кг,2 ( г + й )] -

- 'кгС ехр[-/'кг,2 (г + к,)], • 'кгС ехр[кгд (г + к, + й)] -

- 'кгС ехр [-'кг,, (г + й)].

Используя условия непрерывности тангенциальных компонент Еу''2), Их1'2-1 на границе раздела г = -к,, а также условия квазипериодичности на границе раздела г = -й: С3+ = С+ ехр(-¡кй), С3- = С,- ехр(-¡кй), где к - волновое число моды, и, вводя обозначения е, = ехрСкгдк,), е2 = ехр^кг^), е = ехр (-¡кй), запишем систему линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов С^

Г 1

к,

е1 ~e2 ~K,iei ~К,2в2

e -1

-1

kz,2

-e„

kz,2e2 J

(C C1

C1-

C+

V C2 J

= 0.

^2

,kz,ee, -kz1e -kz2

V z,1 1 z,1 z,2

Система (3) имеет нетривиальное решение, если её определитель равен нулю. Приравнивая определитель матрицы к 0, получим дисперсионное соотношение «объёмной» моды ФК:

(kd) = cos (kz 1h1) cos (kz 2h2 )-

cos

-[(kz2,1 + <2) / 2kzJkz,2 ] sin (kzh) sin (k^).

После нахождения из (4) значения к и подстановки его в систему (3) можно, зафиксировав одну из амплитуд волн (например, положив С2- = ,), получить из (3) значения остальных амплитуд.

Представим поле в ФК в виде суперпозиции двух «объёмных» мод, распространяющихся (или затухающих) в противоположных направлениях. Принимая во

ехр (¡кг) = ехр (¡к'г) ехр (-к'г

внимание,

что

(к = к' + ¡к"), видим, что при к' > 0 и к" > 0 волна распространяется или затухает в положительном направлении оси г. Поэтому для численной устойчивости расчетов такую волну нужно задавать на нижней границе ФК. Обозначим её амплитуду А, а амплитуды плоских волн в слоях ФК А,+, А,-, А+, А-. Аналогично

волну, распространяющуюся или затухающую в отрицательном направлении оси г, нужно задавать на верхней границе ФК. Обозначим её амплитуду В, а амплитуды плоских волн в слоях В,+, В-, В+, В-. При этом для двух волн справедливы следующие соотношения: А, — С, , А, — С, , -А2 — С2, -А2 — С2, В+= А-, В-= А+,

В+ = А- ехр (¡кй), В- = А+ ехр (¡кй).

Связь коэффициентов Аг, Вг можно получить, повторяя вывод для «объёмной» моды, распространяющейся в противоположном направлении. При N периодах ФК волна, задаваемая на нижней границе ФК, на верхней границе ФК приобретёт дополнительный

множитель ехр\1Ш'й), где N' = N-1. Такой же мно-

житель приобретёт противоположно направленная волна на нижней границе ФК. Таким образом, компоненты поля на верхней ^ = 0) и нижней ^ = -N¿1) границах структуры будут иметь следующий вид:

Е{ир) = А ехр (Ш'ё) [А+ е1 + А" ] +

+ В [ В1+е1 + В- ],

Н(ир) ~ А1к21 ехр (Ш'ё) [ А1+ е1 - А- ] +

+В1к1Х [ В+е - В- ],

Е^= А [ А2++ А2- е2 ] +

+ В ехр (¡т'ё) [В2+ + В2-е2 ],

Н™ ~ А1к^ [ А2+-А-е2 ] +

+ Вгкг 2 ехр (ikN'ё) [В2+ - В2-е2 ].

Отметим, что значения Аг, Вг в (6) предполагаются определёнными из системы (3). Запишем выражения для компонент поля над и под ФК, опуская при этом для компактности множитель ехр(кх):

ЕУ) = I ехр [-ikZ)iZ ] + я ехр ],

НХ) ~¡К, (-I ехр [-¡к^] + Я ехр ]), Е/ )= Техр[-¡к,, (г + М)], НР ~ -¡К/ ехр [-¡к,, (г + Ш)],

где кг1 к£ - к2х , км =7к20еТ - к2х .

На верхней и нижней границах ФК формулы (7) примут следующий вид:

е{; )= I+я,

т

Щ) ~ ¡К, [-1+Я],

Е(Т )= Т,

НХ) ~ -¡к2 , Т.

Сшивая компоненты поля (6) и (8) на границах ФК, получим систему линейных уравнений вида Ах = Ь, решением которой являются искомые комплексные коэффициенты отражения и пропускания Я и Т, а также амплитуды «объёмных» мод А и В.

Рассмотрим также случай, когда снизу к ФК добавлен дополнительный слой с диэлектрической проницаемостью £1 и толщиной к' = к1+кс. Величину кс будем называть величиной «обрезки». Величина «обрезки» может быть как отрицательной, так и положительной и, как будет показано ниже, позволяет управлять константой распространения БПВ. Используя выражения для

компонент поля в первом слое из (1) и (2) и вводя обозначения еэ = (-¡кгдкс), еъ = [-¡^(к+кс)], запишем выражения компонент поля на нижней границе структуры:

Е^= А{ А+е3 + АГе4} +

+ В ехр [¡кШ ] {В+ е3 + В-е4}, Н(-"] ~ ¡К, А (А>3 - А- е4) +

+ ¡к21В ехр [¡кШ ] [В+ е3 - В1-е4 ].

Используя компоненты поля для верхней границы структуры из (6), для нижней границы структуры (9) и выражения (8), сшивкой легко получить систему линейных уравнений, решением которой будут являться неизвестные коэффициенты отражения и пропускания.

2. Определение угловых положений резонансов Фабри-Перо мод ФК

Положение точек резонанса Фабри-Перо для ФК определяется из использованного в описанном выше подходе предположения, что ФК можно представить аналогично плоскопараллельной пластинке, на границах которой происходят многократные отражения «объёмных» мод ФК. Рассмотрим сначала случай ФК без дополнительного «обрезанного» слоя. Первое отражение происходит на нижней границе ФК (при г=^ё). Запишем компоненты поля на этой границе. Для падающей моды с амплитудой В1, заданной на нижней границе ФК, справедливо:

Е2)= В, [В+ + В-е2 ], У -1

~ ¡КлВI [В+ В2-е2 ].

Отраженная от нижней границы ФК мода с амплитудой АЯ:

Еу]= Ая [ А2++ А2-е2 ], У J

Н? ~ ¡К ,2 Ая [ А2+- А2- е2 ].

Прошедшая волна с амплитудой Т1 на границе раздела совпадает с выражениями из (8). Тогда можно записать следующие граничные условия:

В, [В2+ + В2-е2 ] + Ая [А+ + А-е2 ] = Т1,

ВАа [В+ - В-е2 ] + АКк^ [А2+ - А2-е2 ] = -к^х.

Аналогичным образом можно записать граничные условия для второго отражения, которое происходит на верхней границе ФК (при г = 0):

А, [А+ е1 + А-] + Вя [В+е, + В-] = Т2,

г ] п [ г ] п

ЛкгД [ А+ е1 - А- ] + ВКк11 [В+е1 - В- ] = к^Т.

В данном случае амплитуда падающей моды задана на верхней границе ФК. Граничные условия (12) и (13) представляют собой системы линейных уравнений, решением которых при единичных амплитудах падающих мод В, = 1 и А, = 1 являются неизвестные коэффициенты Ая и Вя, которые можно представить в виде Ая = А ехр (¡фА) и Вя = В ехр (¡фВ). Проходя

через ФК, фаза моды Ек приобретёт набег, равный 2Шё. Тогда условие конструктивной интерференции на нижней границе фотонного кристалла можно записать в следующем виде:

фЕ + 2kNd + фА = 2ли, п е г.

Отметим, что выражение (14) полностью аналогично условию резонанса Фабри-Перо плоской электромагнитной волны при прохождении через плоскопараллельную пластинку. При кх, обеспечивающих выполнение равенства (14), можно ожидать связанного с резонансом Фабри-Перо увеличения модуля комплексного коэффициента пропускания.

Для ФК с дополнительным «обрезанным» слоем изменится лишь вид граничных условий (12):

Е [Е^3 + ЕЛ ] + Ак [А+ е + А-е ] = т„

ЕК, [Е+ез - Е-е4 ] +

+ ААД [А1+ ез - А1-е4 ] = -КЛ Для проведения сравнения интерференционных картин, формируемых при резонансе Фабри-Перо и при возбуждении БПВ, приведенного ниже, запишем условия возбуждения БПВ [14, 15] на нижней границе ФК с «обрезанным» слоем. Для этого введем понятие эффективного показателя преломления БПВ пед = кх / ко. Для существования БПВ на границе ФК и диэлектрика должны выполняться два условия, обеспечивающие затухание поля при удалении от границы раздела: соб^) > 1 (затухание в ФК) и

leff

>

47 (затухание в диэлектрике). Из условий

не-

прерывности тангенциальных компонент поля можно получить дисперсионное уравнение БПВ [14, 15]:

exp

K, + kz,1

kz,t - kz,1

где C = C1+/C1- . Выражение (16) при заданных длине

волны и параметрах фотонного кристалла определяет константу распространения kx БПВ как функцию от hc. Определим теперь угол падения 9 на ФК, при котором возбуждается БПВ:

0 = arcsin

Сравним теперь результаты применения предложенного выше подхода к описанию дифракции плоской волны на ФК с результатами расчета в рамках строгой электромагнитной теории дифракции с помощью устойчивой модификации метода матрицы пропускания [17]. Зададим параметры ФК следующим образом: h1 = 103,3 нм, h2 = 156,7 нм, hc = 34,7 нм, показатели преломления слоёв n1 = 2,13(Zr02), n2 = 1,45(<Si'02), N = 10. Длину волны в свободном пространстве l примем равной 800 нм. Отметим также, что такое значение величины «обрезки» соответствует БПВ с эффективным показателем преломления neff = 1,82. Угол падения будем варьировать от 0° до 90°. Показатели преломления сред над и под кристал-

лом примем равными п1 = 1,95 (галлий-гадолиниевый гранат) и пк = 1,69 (некоторые типы фоторезистов). Показатели преломления слоёв ФК и сред выбирались близкими к реальным показателям преломления материалов слоёв ФК, призмы, резиста, которые используются для моделирования примеров в пункте з. На рис. 2 показана зависимость модуля комплексного пропускания от угла падения, рассчитанная двумя различными методами. Из рис. 2 следует, что результаты расчёта обоих методов совпадают (наложение линий двух графиков идеальное), что подтверждает корректность предложенного подхода к описанию дифракции плоской волны на ФК.

IТ

Предлагаемый подход

Метод

матрицы

пропускания

0

1М

е,

О 20 40 60 80

Рис. 2. Зависимость модуля коэффициента пропускания от угла падения, рассчитанная двумя методами

Сплошными вертикальными линиями на рис. 2 показаны границы фотонных запрещённых зон, область левее первой линии и область правее второй лежат в запрещённых зонах, между двумя линиями — разрешённая зона. В запрещённой зоне ФК вертикальной пунктирной линией обозначен рассчитанный по формуле (17) угол, при котором на нижней границе ФК возбуждается БПВ. В разрешённой зоне вертикальными пунктирными линиями показаны рассчитанные из условия (14) положения резонанса Фабри-Перо. Совпадение рассчитанных значений с максимумами модуля коэффициента пропускания также подтверждает корректность используемого подхода.

3. Применение резонансов Фабри-Перо для формирования интерференционных картин в схеме Кречмана

Рассмотрим для сравнения четыре способа формирования интерференционных картин в схеме Кречмана, в которой свет падает на призму из оптически плотного материала с двух сторон под симметричными углами. Значение угла падения зафиксируем и примем равным 65,4°. Отметим также, что значение угла определялось из положения одного из пиков Фабри-Перо. Первый способ, самый простой, заключается в непосредственном формировании интерференционных картин в слое резиста с показателем преломления пгеым = пк толщиной кгеыш = 200 нм на

длине волны 1 = 800 нм, с одной стороны от которого расположена призма из материала с показателем преломления ПрГ = п1, а с другой — подложка с показателем преломления п,шь = 1,45.

Во втором случае поместим между призмой и ре-зистом металлическую пленку с показателем преломления п/цт = 0,189+4,705i (золото) и толщиной к/йт = 46,1 нм. Второй случай соответствует возбуждению и интерференции плазмонных мод, при этом, в отличие от других способов, засветка производится ТМ-поляризованным излучением.

В третьем случае поместим между призмой и ре-зистом ФК с показателями преломления слоёв п1, п2, толщинами слоев к1 = 223,3 нм, к2 = 236,7 нм и высотой обрезки кс = -93,8 нм. Количество периодов ФК было выбрано равным 6. Третий случай соответствует генерации БПВ с эффективным показателем преломления пе// = 1,77.

В четвертом случае рассмотрим интерференцию затухающих волн при резонансе Фабри-Перо «объёмных» мод ФК. Для этого зададим толщины слоёв ФК равными к1 = 223,3 нм, к2 = 236,7 нм (как в примере из параграфа 2), которые обеспечивают разрешённую зону ФК в требуемой области при тех же, что и в прошлом примере, показателях преломления слоёв. Число периодов ФК примем равным 9. При таких параметрах ФК положение одного из пиков Фабри-Перо (рис. 2) приходится на значение эффективного показателя преломления пе// = 1,77. Выбор таких параметров обусловлен необходимостью сравнения результатов работы всех четырёх методов. Заметим также, что для всех примеров, кроме первого, параметры структуры выбирались с помощью оптимизационной процедуры из условия максимального усиления поля.

На рис. 3 приведены интенсивности поля на верхней границе резиста для всех четырех примеров. Из рис. 3 следует, что наибольшее усиление поля (порядка 108) при единичном контрасте достигается при интерференции БПВ. Резонанс Фабри-Перо дает усиление в 328 раз при единичном контрасте. Плазмон-ный резонанс даёт усиление поля в 124 раза, но контраст при этом равен 0,77. Период дифракционной картины во всех случаях составляет 225 нм, что в 3,56 раза меньше длины волны падающего излучения.

Более подробно рассмотрим два вида резонансов: БПВ и Фабри-Перо. В случае возбуждения БПВ добротность резонанса существенно выше, чем в остальных рассматриваемых случаях, что может привести к требованиям к точности по углу падения, превышающим точность существующих поворотных столиков, составляющую 0,01°. В рассмотренном примере величины ширины пика модуля коэффициента пропускания на полувысоте составили 0,22° для случая резонанса Фабри-Перо и 2-10-6° - для резонанса БПВ. Таким образом, требуемая точность по углу для резонанса БПВ намного превышает достижимую «аппаратную» точность, тогда как резонанс Фабри-Перо не требует такой высокой точности по углу. На практике

добротность резонанса БПВ резко снижается при наличии в материалах структуры даже небольшого поглощения, а также сильно зависит от точности изготовления параметров структуры и количества периодов ФК, что отчасти снимает полученные ограничения по углу. Однако в приложениях, где вместо схемы Кречмана может быть использована дифракционная решётка [4, 8, 11], период которой выбирается из условия возбуждения БПВ или формирования требуемых «объёмных» мод в ФК, точность по углу в схеме Кречмана «перейдёт» в точность изготовления периода дифракционной решётки. В этом случае резонанс Фабри -Перо за счет меньшей требовательности к точности изготовления структуры может оказаться более перспективным для практического применения, чем резонанс на основе БПВ. Рассмотрение структуры с потерями на поглощение и с дифракционной решеткой вместо призмы будет являться предметом дальнейших исследований.

границе резиста для четырех случаев: без резонанса

Заключение

В работе приведено описание подхода к решению задачи дифракции на ФК, основанного на представлении электромагнитного поля в ФК в виде «объемных» мод периодической слоистой среды. Показано, что результаты расчёта с использованием предложенного подхода совпадают с результатами численного моделирования в рамках строгой электромагнитной теории дифракции. Более того, такой подход позволяет предсказать положение резонансов Фабри-Перо «объёмных» мод.

Было проведено сравнительное исследование эффективности использования структур на основе резо-нансов Фабри-Перо в задаче формирования интерференционных картин в схеме Кречмана. Показано, что усиление поля при резонансе Фабри-Перо для выбранного примера достигает значения 328 при единичном контрасте. При этом точность по углу составляет 0,22°. Рассчитанное усиление поля значительно ниже, чем при резонансе БПВ, однако резонанс БПВ требует точности по углу порядка 2-10-6°, что значи-

тельно превышает точность современных поворотных столиков. Этот факт делает перспективным применение Фабри-Перо резонансов в качестве альтернативы плазмонным и БПВ резонансам.

Предметом дальнейших исследований будет являться моделирование и исследование планарных дифракционных структур, в которых призма заменяется дифракционной решёткой.

Благодарности

Работа выполнена за счёт гранта Российского научного фонда - РНФ (№14-19-00796).

Литература

1. Laux, E. Plasmonic photon sorters for spectral and polar-imetric imaging / E. Laux, C. Genet, T. Skauli, T.W. Eb-besen // Nature Photonics. - 2008. - Vol. 2. - P. 161-164.

- DOI: 10.1038/nphoton .2008.1.

2. Mahboub, O. Optimization of bull's eye structures for transmission enhancement / O. Mahboub, S. Palacios, C. Genet, F. Garcia-Vidal, S. Rodrigo, L. Martin-Moreno, T. Ebbesen // Optics Express. - 2010. - Vol. 18, Issue 11. - P. 11292-11299.

- DOI: 10.1364/OE.18.011292.

3. Emadi, A. Linear variable optical filter-based ultraviolet microspectrometer / A. Emadi, H. Wu, G. de Graaf, P. Enoksson, J.H. Correia, R. Wolffenbuttel // Applied Optics. - 2012. - Vol. 51, Issue 19. - P. 4308-4315. -DOI: 10.1364/AO.51.004308.

4. Кадомина, Е.А. Спектрально-селективное усиление ближнего поля в фотоннокристаллической структуре с дифракционной решёткой / Е.А. Кадомина, Е.А. Безус, Л.Л. Досколович // Компьютерная оптика. - 2015. -Т. 39, № 4. - С. 462-468. - DOI: 10.18287/0134-24522015-39-4-462-468.

5. Piliarik, M. Surface plasmon resonance (SPR) sensors: approaching their limits? / M. Piliarik, J. Homola // Optics Express. - 2009. - Vol. 17, Issue 19. - P. 16505-16517. -DOI: 10.1364/OE.17.016505.

6. Sinibaldi, A. Direct comparison of the performance of Bloch surface wave and surface plasmon polariton sensors / A. Sinibaldi, N. Danz, E. Descrovi, P. Munzert, U. Schulz, F. Sonntag, L. Dominici, F. Michelotti // Sensors and Actuators B: Chemical. - 2012. - Vol. 174. - P. 292-298. -DOI: 10.1016/j.snb.2012.07.015.

7. Li, Y. Phase-sensitive Bloch surface wave sensor based on variable angle spectroscopic ellipsometry / Y. Li, T. Yang, Z. Pang,

G. Du, S. Song, S. Han // Optics Express. - 2014. - Vol. 22, Issue 18. - P. 21403-21410. - DOI: 10.1364/O-E.22.021403.

8. Кадомина, Е.А. Резонансные фотонно-кристаллические структуры с дифракционной решёткой для измерения показателя преломления среды / Е.А. Кадомина, Е.А. Безус, Л.Л. Досколович // Компьютерная оптика. -2016. - Т. 40, № 2. - С. 164-172. - DOI: 10.18287/24126179-2016-40-2-164-172.

9. Luo, X. Surface plasmon resonant interference nanolithog-raphy technique / X. Luo, T. Ishihara // Applied Physics Letters. - 2004. - Vol. 84(23). - P. 4780-4782. - DOI: 10.1063/1.1760221.

10. Liu, Z.W. Surface plasmon interference nanolithography / Z.W. Liu, Q.H. Wei, X. Zhang // Nano Letters. - 2006. -Vol. 5, Issue 5. - P. 957-961. - DOI: 10.1021/nl0506094.

11. Кадомина, Е.А. Формирование одномерных интерференционных картин блоховских поверхностных волн / Е.А. Кадомина, Е.А. Безус, Л.Л. Досколович // Журнал технической физики. - 2016. - Т. 86, Вып. 9. - С. 107-112.

12. Murukeshan, V.M. Nano-scale three dimensional surface relief features using single exposure counterpropagating multiple evanescent waves interference phenomenon / V.M. Murukeshan, J.K. Chua, S.K. Tan, Q.Y. Lin // Optics Express. - 2008. - Vol. 16, Issue 18. - P. 13857-13870. -DOI: 10.1364/OE.16.013857.

13. Yu, L. Manipulating Bloch surface waves in 2D: a platform concept-based flat lens / L. Yu, E. Barakat, T. Sfez, L. Hvozdara, J.D. Francesco, H.P. Herzig // Light: Science & Applications. -2014. - Vol. 3. - P. e124-e127. - DOI: 10.1038/lsa.2014.5.

14. Saldana, X.I. Electromagnetic surface waves in semiinfinite superlattices / X.I. Saldana, G.G. de la Cruz // Journal of the Optical Society of America A. - 1991. -Vol. 8(1). - P. 36-40. - DOI: 10.1364/JOSAA.8.000036.

15. Безус, Е.А. Фазовая модуляция поверхностных электромагнитных волн c помощью дифракционного микрорельефа на границе одномерного фотонного кристалла / Е.А. Безус, Л.Л. Досколович, Д.А. Быков, В.А. Сой-фер // Письма в ЖЭТФ. - 2014. - Т. 99, № 2. - С. 67-71. - DOI: 10.7868/S0370274X14020027.

16. Dyakonov, M.I. New type of electromagnetic wave propagating at an interface / M.I. Dyakonov // Soviet Physics, JETP. - 1988. - Vol. 67, No. 4. - P. 714-716.

17. Moharam, M.G. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach / M.G. Moharam, D.A. Pommet, E.B. Grann, T.K. Gaylord // Journal of the Optical Society of America A. - 1995. - Vol. 12, Issue 5. -P. 1077-1086. - DOI: 10.1364/JOSAA.12.001077.

Сведения об авторах

Кадомина Елена Андреевна в 2006 году с отличием окончила Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (СГАУ) по специальности «Прикладная математика и физика». Инженер НИЛ-97 Самарского университета, стажер-исследователь лаборатории дифракционной оптики Института систем обработки изображений РАН (ИСОИ РАН — филиала ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН). Области научных интересов: нанофотоника, плазмоника, электромагнитная теория дифракции. E-mail: kadomina_elena@mail.ru .

Безус Евгений Анатольевич в 2009 году с отличием окончил Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королёва (СГАУ) по специальности «Прикладная математика и информатика». Кандидат физико-математических наук (2012 г.), научный сотрудник лаборатории дифракционной оптики Института систем обработки изображений РАН (ИСОИ РАН — филиала ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН), доцент кафедры технической кибернетики Самарского университета. Области научных интересов: нанофотоника, плазмоника, электромагнитная теория дифракции. E-mail: evgeni.bezus@gmail.com .

Досколович Леонид Леонидович в 1989 году с отличием окончил Куйбышевский авиационный институт (КуАИ, ныне — Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва) по специальности «Прикладная математика». Доктор физико-математических наук (2001 год), профессор РАН, работает заведующим лабораторией дифракционной оптики Института систем обработки изображений РАН (ИСОИ РАН — филиала ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН), профессором кафедры технической кибернетики Самарского университета. Специалист в области дифракционной оптики, лазерных информационных технологий, нанофотоники. E-mail: leonid@smr.ru .

ГРНТИ: 29.31.15 Поступила в редакцию 28 апреля 2017 г. Окончательный вариант

19 мая 2017 г.

GENERATION OF HIGH-FREQUENCY INTERFERENCE PATTERNS OF EVANESCENT ELECTROMAGNETIC WAVES AT FABRY-PEROT RESONANCES IN DIELECTRIC PHOTONIC CRYSTALS

E.A. Kadomina 12, E.A. Bezus 12, L.L. Doskolovich 1,2 1 Image Processing Systems Institute of RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics " RAS Samara,

Russia,

2 Samara State Aerospace University, Samara, Russia Abstract

A diffraction structure for generating high-frequency interference patterns of evanescent electromagnetic waves based on the interference of "volume" modes of dielectric photonic crystals at Fabry-Perot resonances is discussed. For the prediction of the angular locations of the Fabry-Perot resonances, a simple approach for the description of diffraction of a plane electromagnetic wave by a finite photonic crystal is proposed, which is based on the representation of the field inside the photonic crystal in the form of superposition of two counterpropagating "volume" modes of the photonic crystal. The results obtained may find an application in the design of new near-field interference lithography devices.

Keywords: photonic crystal, Bloch surface wave, Fabry-Perot resonance, plasmonic mode, Maxwell's equations.

Citation: Kadomina EA, Bezus EA, Doskolovich LL. Generation of high-frequency interference patterns of evanescent electromagnetic waves at Fabry-Perot resonances in dielectric photonic crystals. Computer Optics 2017; 41(3): 322-329. DOI: 10.18287/2412-6179-2017-41-3-322-329.

Acknowledgements: This work was funded by the Russian Science Foundation, project # 1419-00796.

References

[1] Laux E, Genet C, Skauli T, Ebbesen TW. Plasmonic photon sorters for spectral and polarimetric imaging. Nature Photonics 2008; 2: 161-164.

[2] Mahboub O, Palacios S, Genet C, Garcia-Vidal F, Rodrigo S, Martin-Moreno L, Ebbesen T. Optimization of bull's eye structures for transmission enhancement. Opt Express 2010; 18(11): 11292-11299. DOI: 10.1364/OE.18.011292.

[3] Emadi A, Wu H, de Graaf G, Enoksson P, Correia JH, Wolffenbuttel R. Linear variable optical filter-based ultraviolet microspectrometer. Appl Opt 2012; 51(19): 43084315. DOI: 10.1364/AO. 51.004308.

[4] Kadomina EA, Bezus EA, Doskolovich LL. Spectrally selective near-field enhancement in a photonic crystal structure with a diffraction grating. Computer Optics 2015; 39(4): 462468. DOI: 10.18287/0134-2452-2015-39-4-462-468.

[5] Piliarik M, Homola J. Surface plasmon resonance (SPR) sensors: approaching their limits? Opt Express 2009; 17(19): 16505-16517. DOI: 10.1364/OE.17.016505.

[6] Sinibaldi A, Danz N, Descrovi E, Munzert P, Schulz U, Sonntag F, Dominici L, Michelotti F. Direct comparison of the performance of Bloch surface wave and surface plas-mon polariton sensors. Sensors and Actuators B: Chemical 2012; 174: 292-298. DOI: 10.1016/j.snb.2012.07.015.

[7] Li Y, Yang T, Pang Z, Du G, Song S, Han S. Phasesensitive Bloch surface wave sensor based on variable an-

gle spectroscopic ellipsometry. Opt Express 2014; 22(18): 21403-21410. DOI: 10.1364/OE.22.021403.

[8] Kadomina EA, Bezus EA, Doskolovich LL. Resonant photonic-crystal structures with a diffraction grating for refractive index sensing. Computer Optics 2016; 40(2): 164-172. DOI: 10.18287/2412-6179-2016-40-2-164-172.

[9] Luo X, Ishihara T. Surface plasmon resonant interference nanolithography technique. Appl Phys Lett 2004; 84(23): 4780-4782. DOI: 10.1063/1.1760221.

[10] Liu ZW, Wei QH, Zhang X. Surface plasmon interference nanolithography. Nano Lett 2006; 5(5): 957-961. DOI: 10.1021/nl0506094.

[11] Kadomina EA, Bezus EA, Doskolovich LL. Generation of 1D interference patterns of Bloch surface waves. Tech Phys 2016; 61(9): 1389-1394. DOI: 10.1134/S1063784216090103.

[12] Murukeshan VM, Chua JK, Tan SK, Lin QY. Nano-scale three dimensional surface relief features using single exposure counterpropagating multiple evanescent waves interference phenomenon. Opt Express 2008; 16(18): 1385713870. DOI: 10.1364/OE.16.013857.

[13] Yu L, Barakat E, Sfez T, Hvozdara L, Francesco JD, Herzig HP. Manipulating Bloch surface waves in 2D: a platform concept-based flat lens. Light: Science & Applications 2014; 3: e124-e127. DOI: 10.1038/lsa.2014.5.

[14] Saldana XI, de la Cruz GG. Electromagnetic surface waves in semi-infinite superlattices. J Opt Soc Am A 1991; 8(1): 36-40. DOI: 10.1364/JOSAA.8.000036.

[15] Bezus EA, Doskolovich LL, Bykov DA, Soifer VA. Phase modulation of Bloch surface waves with the use of a diffraction microrelief at the boundary of a one-dimensional photonic crystal. JETP Lett 2014; 99(2): 63-66. DOI: 10.1134/S0021364014020040.

[16] Dyakonov MI. New type of electromagnetic wave propa-ga-ting at an interface. Sov Phys JETP 1988; 67(4): 714716.

[17] Moharam MG, Pommet DA, Grann EB, Gaylord TK. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach. J Opt Soc Am A 1995; 12(5): 1077-1086. DOI: 10.1364/JOSAA.12.001077.

Authors' information

Elena Andreevna Kadomina graduated with honors (2006) from the Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (SSAU), majoring in Applied Mathematics and Physics. Engineer at NIL-97 laboratory of Samara University, trainee-researcher at Diffractive Optics laboratory of the Image Processing Systems Institute (IPSI RAS — Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics RAS"). Her current research interests include nano-photonics, plasmonics and electromagnetic diffraction theory.

Evgeni Anatolievich Bezus graduated with honors (2009) from the Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (SSAU), majoring in Applied Mathematics and Computer Science. Candidate in Physics and Mathematics (2012). Currently he is a researcher at the Diffractive Optics laboratory of the Image Processing Systems Institute (IPSI RAS — Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics RAS") and an associate professor at Technical Cybernetics department of Samara University. His current research interests include nanophotonics, plasmonics and electromagnetic diffraction theory.

Leonid Leonidovich Doskolovich graduated with honors (1989) from the S.P. Korolyov Kuibyshev Aviation Institute (presently, Samara State Aerospace University, SSAU), majoring in Applied Mathematics. He received his Doctor in Physics & Maths (2001) degree from Samara State Aerospace University. Head of Diffractive Optics laboratory at the Image Processing Systems Institute (IPSI RAS — Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics RAS"), professor at Technical Cybernetics department of Samara University. Current research interests include diffractive optics, laser information technologies, nanophotonics.

Received April 28, 2017. The final version - May 19, 2017.