Бифуркационные диаграммы натуральных гамильтоновых систем на многообразиях Бертрана

УДК 511

БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ НАТУРАЛЬНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ НА МНОГООБРАЗИЯХ БЕРТРАНА

Д. А. Федосеев1

В работе строятся бифуркационные диаграммы натуральных интегрируемых гамиль-тоновых систем на многообразиях Бертрана, т.е. конфигурационных пространствах одной из обратных задач динамики. Также исследуются некоторые свойства соответствующих слоений Лиувилля, а именно компактность и количество слоев в прообразе при отображении момента.

Ключевые слова: многообразие Бертрана, поверхность вращения, гамильтоновы системы, бифуркационная диаграмма.

Bifurcation diagrams for natural integrable Hamiltonian systems on Bertrand manifolds (i.e., on configuration spaces of one inverse problem of dynamics) are constructed. Some properties of the corresponding Liuoville foliations are studied, namely, the compactness and the number of foliation components in the preimage under momentum map.

Key words: Bertrand's Riemannian manifold, surface of revolution, Hamiltonian systems, bifurcation diagram.

1. Введение. Рассмотрим двумерное риманово многообразие S — (a,b) х S1 с метрикой ds2 = dr2 + f2(r)d(p2 в натуральных "полярных" координатах (r,tp mod 2-/г), г € (а,Ь). Функция /(г) при этом является очевидным обобщением "меридиана" поверхности вращения, вложенной в R3, на случай абстрактных римановых многообразий; полагается, что она не имеет нулей на интервале (а,Ь). Рассмотрим динамическую систему движения точки в потенциальном поле, заданном центральным потенциалом V(г), по многообразию S. На кокасательном расслоении к многообразию S с координатами (r,tp,pr,pv) эта система является гамильтоновой с натуральным гамильтонианом

Система допускает очевидный дополнительный интеграл p¡p, почти всюду функционально независимый с гамильтонианом Н. Тем самым она оказывается вполне интегрируемой по Лиувиллю. Представляет интерес как изучение таких систем в общем виде, так и исследование различных частных случаев, в частности гамильтоновых систем на многообразиях Бертрана [1].

1. Общие замечания. Изучим отображение момента и бифуркационные диаграммы этой системы. В первую очередь выясним области функциональной зависимости интегралов Н и pv. Для этого вычислим матрицу (gradií gia,ápip)T :

fgradHX _ Í-ЩШ + V'(r)0p

, - i

grad pv) \ o

Очевидно, что необходимым и достаточным условием функциональной зависимости первых интегралов системы в данном случае оказывается

*• = <>, -Р^ + У{г) = 0.

Следует отметить, что, вообще говоря, эти рассуждения верны лишь вне множества {р,р = 0}, где возникают точки ранга нуль. В дальнейшем мы будем полагать, что р^ ф 0. С механической точки зрения это означает, что движение точки никогда не направлено по меридиану — "точка не падает на притягивающий центр (звезду)".

1 Федосеев Денис Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

denfedexQyandex .ru.

Рассмотрим уравнение

Г)2 f'(->Л

+ V'

vlf'{r)

Р{г)

Пусть точка Го является корнем этого уравнения, причем /'(го) ф 0- Существуют в точности два семейства особых точек ранга 1 с таким значением координаты г: ^Го, (р, 0, )> каждому из этих семейств

на бифуркационной диаграмме отвечает точка

У'ЫРЫ V'(ro)f(ro) , Л

ГЫ ' 2/'(го) +ПГ0))-

Пусть теперь /'(го) = 0, т.е. {го} х S*1 — экватор многообразия вращения S. Ясно, что Го является корнем уравнения (1) тогда и только тогда, когда V'(ro) = 0. Такой экватор мы будем называть особым. Всякому

особому экватору отвечает целая парабола (р<р, 2f2(r0) на бифуркационной диаграмме.

2. Многообразия Берт,рама. В 1873 г. Ж. Бертраном была поставлена и решена задача о нахождении центральных потенциалов, обеспечивающих замкнутость определенного класса траекторий движения точки в центральном поле на плоскости [5]. Впоследствии задача Бертрана была обобщена до задачи поиска пар "риманово многообразие вращения - центральный потенциал", для которых некоторый класс Р начальных условий на движение точки в центральном поле дает замкнутые траектории и только их, — обобщенная задача Берт,рана класса Р (см. [1, 6]). Решения такой обобщенной задачи называются бертра-новскими парам,и, а соответствующие многообразия — многообразиями Берт,рана. В работе [1] показано, что все многообразия Бертрана без экваторов (т.е. такие, что /'(г) ф 0 на всей области изменения переменной г) для классов замыкающих, локально, полулокально, сильно и слабо замыкающих потенциалов в некоторых координатах (©,<£>) имеют риманову метрику

ds2 = {в2 + с- te~2)-2de2 + i?{e2 + с - te~2)-ldv2,

где си t — некоторые действительные константы (параметры семейства), а /л — рациональная константа. При этом потенциалов соответствующего класса существует ровно два, если t = 0; в противном случае потенциал единствен и имеет вид где А — ненулевая мультипликативная константа, sgnA = sgn(B4+i).

Мы будем изучать бифуркационные диаграммы и отображение момента для описанных выше натуральных гамильтоновых систем, конфигурационное многообразие которых является многообразием Бертрана без экваторов, а потенциал V(©) = ^j.

2. Бифуркационные диаграммы и образ отображения момента. Подставляя выражения для метрики и потенциала рассматриваемой системы в общие формулы, легко заметить, что на плоскости R2(pv,H) критические (бифуркационные) кривые могут быть записаны в следующем параметрическом виде:

2 2 А 2 е2 + с

+ e4 + t'

В настоящей заметке для каждого семейства многообразий Бертрана получены следующие результаты:

построена бифуркационная диаграмма;

найден минимум функции Н по переменной В на подпространстве {р@ = 0};

при помощи анализа количества корней уравнения ii|Pe=0 =: W = h установлены количество и компактность слоев слоения Лиувилля в каждой камере.

Для всех многообразий Бертрана функция ii|pe=0 =: W имеет вид

l?pl(в2 + с - Ш"2) 9

2

Как следствие уравнение W = h является биквадратным уравнением относительно В:

[i2p%В4 +

Теперь рассмотрим каждое из семейств многообразий Бертрана. В дальнейшем через (р^,Н) будет обозначаться указанная выше параметризация бифуркационной кривой, если не оговорено иное.

1. Сферы, и конусы: {t кривая имеет вид

0, с ^ 0}. В этом частном случае бифуркационная

р1 =

2 А

¡¡204'

Н = А

2 е2 + с в4 "

Нижняя граница образа отображения момента совпадает с этой кривой (рис. 1). Прообразом каждой точки образа отображения момента является один тор (компактный слой слоения Лиувилля).

2. Полубесконечные поверхности и плоскости Лобачевского: > 0} и = 0, с < 0}. В данном случае область изменения неременной В имеет вид

—оо, —-1

-с + Vc2 +4 i

=: ( оо, в0).

Рис. 1. Случай сферы

Н'

\ / .

Рис. 2. Случай полубесконечной поверхности

валов:

Обозначим через рvo предел р^ при в —> во- Для р2 < р20 минимум функции W достигается внутри интервала изменения В, а потому совпадает с точкой особой кривой для соответствующего р^. При р2 ^ р2о минимум W не достигается, поэтому нижней границей отображения момента будет точка (р^, W(©o)). Тем самым вне интервала Р<ро->Р>ро) нижней границей образа отображения момента является прямая, не включенная в образ, изображенная на рис. 2 горизонтальными пунктирными линиями.

Вычисление количества корней уравнения (2) показывает, что иод прямой Н = W(©o) в прообразе каждой точки находится один тор, а над этой прямой один некомпактный слой.

3. Пары полубесконечных поверхностей: {i < 0, с ^ — 2л/—t}. Область изменения В состоит из двух непересекающихся интер-

6 € -оо, -1

-с + Vc2 + At

-с - sfc2 + At

0 =: (—оо, ©i) U (©2, 0).

В соответствии с обозначениями из работы [1| будем называть многообразие, отвечающее интервалу (—оо, ©i), основным, а интервалу (©2,0) дополнительным.

Легко видеть, что в случае ochobhoixj мшихюбразия бифуркационная диаграмма и свойства слоения Лиувилля совпадают с рассмотренным выше случаем полубееконечных поверхностей. Дополнительное мжнхюбразие устроено иначе.

Обозначим через р¡р0 предел р^ при © —> 0, а через рпредел при © —> ©2- При р2 € (р^о'Р^з) нижняя граница образа отображения момента совпадает с бифуркационной кривой, в то время как при р2 ^ имеем не включенную в образ прямую W(pV2) (на рис. 3 изображенную пунктиром); при р2 < р20 функция W не охраничена снизу; в точках ip^ функция W охраничена снизу значением т.е. нижняя граница образа отображения момента совпадает с концом бифуркационной кривой (рис. 3).

Исследование корней уравнения (2) показывает, что в прообразе точек из криволинейных треух'оль-

ников, образованных бифуркационными кривыми и прямыми Н = W(©2) и р^ = ip^g, находится один тор Лиувилля; в прообразе всех прочих точек находится один некомпактный слой.

4- Грушевидные поверхности: {i < 0, с > —2-*/—t}. Здесь область изменения © имеет вид (—00, — v^-i)U (-¿tt, 0).

Бифуркационная диаграмма в данном случае строится совершенно аналогично предыдущему случаю. Однако концы бифуркационных кривых, отвечавшие ©i и ©2 на основном и дополнительном мнох'ообразии соответственно, устремляются к бесконечности но обеим координатам. Количество и компактность прообразов определяются так же, как и для нар полубееконечных поверхностей.

Н

"Л

Г

Рис. 3. Случай дополнительной полубесконечной поверхности

Автор приносит благодарности О. А. Загрядскому, Е.А. Кудрявцевой и А. Т. Фоменко за полезные замечания и обсуждения.

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ № 11.G34.31.0054, гранта РФФИ № 13 0Ю0664-а и программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-1410.2012.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Загрядский О.А., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.

2. Fomenko А. Т. The integrability of some Hamiltonian systems // Ann. Global Anal, and Geom. 1983. 1, N 2. 1-10.

3. Trofimov V.V., Fomenko A.T. Liouville integrability of Hamiltonian systems on Lie algebras // Russ. Math. Surveys. 1984. 39, N 2. 1-67.

4. Fomenko A.T. The topology of surfaces of constant energy in integrable Hamiltonian systems, and obstructions to integrability // Math. USSR Izvestija. 1987. 29, N 3. 629-658.

5. Bertrand J. Théorème relatif au mouvement d'un point attire vers un centre fixe // C. r. Acad. sci. Paris. 1873. 77. 849-853.

6. Darboux G. Sur un problème de mécanique // Despeyrous T. Cours de mécanique. Vol. 2. Note XIV. P.: A. Herman, 1886. 461-466.

Поступила в редакцию 22.01.2014

УДК 519.716.5

ОПИСАНИЕ ВСЕХ МИНИМАЛЬНЫХ КЛАССОВ В ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОМ МНОЖЕСТВЕ С\ ВСЕХ ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ ТРЕХЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ, КОТОРЫЕ МОЖНО ГОМОМОРФНО ОТОБРАЗИТЬ НА ДВУЗНАЧНУЮ ЛОГИКУ

А. В. Макаров1

Описаны все минимальные классы в частично упорядоченном множестве С\ всех замкнутых классов трехзначной логики, которые можно гомоморфно отобразить на двузначную логику.

Ключевые слова: трехзначная логика, замкнутый класс, частично упорядоченное множество, гомоморфизм, минимальный класс.

The description of all minimal classes in the partially ordered set C\ of closed classes of the three-valued logic that can be homomorphically mapped onto the two-valued logic is given.

Key words: three-valued logic, closed class, partially ordered set, homomorphism, minimal

class.

Все необходимые определения можно найти в статье автора [1, введение]. Там же доказано, что в частично упорядоченном множестве (далее ч.у.м.) С\ всех тех замкнутых классов трехзначной логики фз, которые можно отобразить на двузначную логику есть лишь конечное число минимальных элементов, каждый из которых имеет базис из одной функции двух переменных.

В настоящей работе дается описание всех 15 минимальных классов ч.у.м. \ из них 6 классов указаны А. И. Мальцевым в работе [2], а 9 классов найдены автором.

А. И. Мальцев нашел 6 классов трехзначной логики, изоморфных двузначной логике, с применением операции введения фиктивной переменной. Два из них порождены следующими функциями:

/1 0 1\ /1 о 0\ 000 , 000 . \1 0 1/ \о о о/

(аоо o-oi 0-02\

аю ац я>12 задает функцию <р(х, у) следующим соотношением: <р(х, у) = аху. «20 Й21 0-22/

1 Макаров Алексей Владимирович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vvmavmmakarovQyandex.ru.