Фракталы, скейлинг и дробные операторы в физике и радиотехнике

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ФРАКТАЛЫ УДК 530‘1: 537.86+621.396.96

СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ПотАпов А. А.

Институт радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН, 125009 Москва

В статье дан обзор многочисленных результатов, полученные автором с помощью теории фракталов и теории дробной размерности при учете скейлинговых эффектов реальных радиосигналов и электромагнитных полей. Исследования проведены в рамках фундаментального научного направления «Фрактальная радиофизика и фрактальная радиоэлектроника: проектирование фрактальных радиосистем», предложенного и развиваемого автором в ИРЭ РАН, начиная с 80-х гг. XX в.

ВВЕДЕНИЕ

Стационарные режимы и периодические движения долгое время считались единственно возможными состояниями для исчерпывающей полноты их описания. Однако открытия второй половины XX века кардинально изменили наше представление о характере динамических процессов. В настоящее время явно ощущается недостаточность традиционных физических моделей. Другими словами, полное описание процессов современной обработки сигналов и полей невозможно с помощью формул классической математики.

Совершенно очевидно, что применение в современных информационных технологиях идей масштабной инвариантности - «скейлинга» и разделов современного функционального анализа, которые связаны с теорией множеств, теорией дробной размерности, общей топологией, геометрической теорией меры и теорией динамических систем, открывают большие потенциальные возможности и новые перспективы в обработке многомерных сигналов и в родственных научных и технических областях. Начиная с 80-х гг. XX в., автором, а затем и научным коллективом под его руководством активно и последовательно ищутся новые радиофизические подходы, так или иначе связанные с этими разделами математики.

Одна из наиболее актуальных проблем в физических исследованиях - это обнаружение сверх-

слабых сигналов различного рода под уровнем реальных интенсивных помех. В частности, в радиолокации, при обнаружении малозаметных и малоконтрастных целей (малые ql - отношения сиг-нал/фон) на фоне земных покровов, использование традиционных классических алгоритмов фильтрации не всегда возможно, т.к. они требуют больших интервалов времени накопления отраженного радиолокационного сигнала. К тому же, в реальных условиях помехи почти всегда - негауссовские и имеют значительную интенсивность в различных спектральных интервалах. Для успешного и эффективного решения таких задач в современных условиях необходим поиск и разработка принципиально иных подходов к традиционным задачам радиолокации и радиоэлектроники в целом. Речь, прежде всего, идет о немарковости реальных процессов и учете эффектов «памяти» (эредитарность - hereditarity, лат.). Отсутствием памяти «страдает» большинство моделей теоретической физики, начиная с обычной гамильтоновой системы.

По сути дела, речь идет о новом фундаментальном направлении в физике и радиоэлектронике - применение теории фракталов, теории детерминированного хаоса, теории дробной меры и скейлинговых инвариантов в задачах повышения информативности радиосистем и устройств различного назначения. Основные принципы данного направления разрабатываются автором в ИРЭ РАН, как отмечено выше, начиная с 80-х гг. XX в., и вначале касались вопросов фильтрации сверхслабых радиосигналов и изображений при существенно негауссовских помехах. Затем стало абсолютно ясным, что такой «фрактальный» подход пригоден и для других задач.

За более чем 25-летний период автору данной статьи удалось разработать ряд важных «нелинейных» глав фрактальной радиофизики и фрактальной радиоэлектроники. Одновременно, полученные результаты открыли новые широкие выходы этих направлений в классическую радиофизи-

ШЯ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

65

ку, современную нелинейную физику колебаний и волн, а также в радиоэлектронику, и показали перспективы современных применений. Следует отметить, что по данному направлению выпущено в свет несколько монографий и опубликовано более 350 научных работ (см., например, [1-50] и ссылки в них).

Цель настоящей работы - дать аналитический обзор о принципиально новых методах, предложенных автором и развиваемых им в ИРЭ РАН, с использованием текстурных и фрактальных сигна-тур/мер на основе принципов детерминированного хаоса, скейлинга и дробных операторов для решения радиофизических, радиолокационных, радиоэлектронных и других задач в их современной постановке.

1. ЭВОЛЮЦИЯ «ФРАКТАЛЬНОГО» ПОДХОДА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ РАДИОФИЗИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Эволюция взглядов автора и развитие на сегодняшний момент в ИРЭ РАН «фрактальной идеологии» исследований показаны на рис. 1, где также приведены сведения о моменте их интенсивного развертывания и открытых публикаций (более

Рис. 1. Эскиз развития новых информационных технологий на основе фракталов и скейлинга.

подробно - в избранных работах [1-50]). Фракталы относятся к множествам с крайне нерегулярной разветвленной или изрезанной структурой. Разработанная автором классификация фракталов была в декабре 2005 г. в США лично одобрена основателем теории фракталов Б. Мандельбротом и приведена на рис. 2, где описаны их свойства при условии, что D0 - топологическая размерность пространства, в котором рассматривается фрактал с дробной размерностью D. Подробно математические вопросы теории фракталов и дробной меры изложены в монографиях [1-3, 50].

В дальнейшем, большое значение приобретает глубокая аналогия между современными задачами радиофизики и радиоэлектроники и современной флуктуационной теорией фазовых переходов и критических явлений. Как известно, в основе современной ренормгрупповой теории фазовых переходов лежит подход, базирующийся на гипотезе скейлинга или масштабной инвариантности. Аналогичный подход удалось разработать автору для решения радиофизических и радиотехнических задач. Таким образом, концепция фрактальных радиосистем, предложенная и последовательно развиваемая автором в последние десятилетия в ИРЭ РАН, имеет в своей основе, по сути, аналогичные предположения, и позволяет нам по-новому взглянуть на традиционные методы построения радиосистем.

Рис. 2. Авторская классификация и морфология фрактальных множеств.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

66

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

2. ТЕКСТУРНАЯ

И ФРАКТАЛЬНАЯ ОБРАБОТКА МАЛОКОНТРАСТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ И ОБНАРУЖЕНИЕ СВЕРХСЛАБЫХ СИГНАЛОВ В ИНТЕНСИВНЫХ НЕГАУССОВСКИХ ПОМЕХАХ И ШУМАХ

В монографиях [1-3, 50] вся математическая и физическая теория фракталов приведена в достаточно стройную логическую систему. При таком «фрактальном» подходе естественно сосредоточить внимание на описании, а также обработке радиофизических сигналов (полей), исключительно в пространстве дробной меры с применением гипотезы скейлинга и степенных распределений с «тяжелыми хвостами» или устойчивых распределений.

Начнем с работ, впервые выяснивших одно из основных актуальных приложений теории фракталов - обработка одномерных и многомерных сигналов (изображений и полей) при малых и сверхмалых отношениях сигнал/помеха q0.

На рис. 3 приведена полная структура исследований в ИРЭ РАН текстурных и фрактальных методов обработки малоконтрастных изображений и сверхслабых сигналов в интенсивных помехах.

Рис. 3. Текстурные и фрактальные методы обработки малоконтрастных изображений и сверхслабых сигналов в негауссовских помехах.

2.1. Текстурные сигнатуры. Впервые расчет полного ансамбля из 28 текстурных признаков и их детальный анализ для реальных (оптических и радиолокационных изображений (РЛИ) в диапазоне миллиметровых волн (ММВ)), а также синтезированных текстур на основе авторегрессионных моделей был проведен автором в ИРЭ РАН в середине 80-х гг. XX в.

Многолетние натурные эксперименты проводились автором совместно с ЦКБ «Алмаз» и другими организациями [52]. При этом была поставлена и решена задача расчета текстурных признаков с учетом дрейфа сигнатур при изменении времени года. Были также оптимизированы оценки влияния размера окон на точность определения текстурных признаков для изображений различных типов земных покровов. Как специально отмечено [52], продолжительное время работы автора в области исследования РЛИ земных покровов на ММВ с использованием текстурной информации фактически были единственными.

Анализ полученных данных позволил доказать очень важную особенность: одномерные области существования текстурных признаков РЛИ в диапазоне ММВ (множество R) почти полностью вкладываются в соответствующие области признаков аэрофотосъемки АФС (множество А): Re А.

Таким образом, области признаков РЛИ как бы сжимаются по сравнению с областями признаков АФС. Это происходит из-за сглаживания в РЛИ тонкой структуры текстур исследуемых покровов, характерной для АФС. На основе полученных автором результатов были впервые предложены и реализованы следующие нетрадиционные и достаточно эффективные методы обнаружения сигналов при малых отношениях сигнал/фон q0: дисперсионный метод, метод обнаружения с помощью линейно моделированных эталонов и метод с прямым использованием ансамбля текстурных признаков [52].

Анализ полученных экспериментально обширных баз данных (более чем 30 категорий земных покровов) в совокупности с визуальным исследованием степени сложности изолиний рассеянного излучения, зафиксированного на АФС и РЛИ, и привел впервые автора статьи к идеям введения ансамблей принципиально новых признаков, основанных на скейлинговых показателях и характеристиках дробной размерности, т.е. к синтезу фрактальных сигнатур.

2.2. Отказ от гауссовских статистик в экспериментах. Тонкая структура отраженных импульсных сигналов и новый класс признаков.

Как хорошо известно, на самых ранних и более поздних этапах экспериментальных работ по рассеянию метровых, дециметровых, сантиметровых и миллиметровых волн исследователи столкну-

ИИ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

67

лись с вопросами применимости теоретических гауссовских моделей. Вскоре начались многочисленные искусственные попытки создания моделей рассеяния с целью повышения «хвостов» вероятностных распределений отраженных сигналов.

Продолжительное и плодотворное участие автора в многомасштабных экспериментальных работах (1979-1990 гг.) совместно с ведущими организациями СССР привели его к необходимости принципиального отказа от гауссовских статистик в случае достаточно высокого разрешения радиолокаторов (рис. 3). Все исследования проводились автором на длинах волн \ = 2,2 и 8,6 мм (активное излучение) и \ = 3,5 мм (пассивное излучение) [52]. Именно в физических экспериментах на длине волны 2,2 мм автором была показана в 1979-1980 гг. неприменимость гауссовских статистик для почти всего диапазона углов падения электромагнитного излучения [52].

Самое главное, что экспериментальные исследования периода 1979-1990 гг. позволили помимо решения традиционных задач рассеяния установить общие закономерности формирования тонкой структуры модулированного сигнала в диапазоне ММВ и предложить принципиально новый класс признаков, основанных на тонкой структуре модулированных сигналов, рассеянных статистически неровной поверхностью [52]. К характеристикам тонкой структуры отраженных радиолокационных сигналов автор предложил отнести: внутриимпульсные флуктуации, их статистику, корреляционные и спектральные зависимости и среднее уширение импульса, определяемое величиной, обратной полосе когерентности Afk.

На втором этапе обработки были рассмотрены выборки внутриимпульсных амплитудных флуктуаций, полученные путем вычитания дискретов средних импульсов из отсчетов мгновенных огибающих. Ввиду того, что сформированные реализации относятся к периодически нестационарным случайным процессам, необходимо было провести исследования на стационарность внутриимпульсных амплитудных флуктуации. Контроль стационарности проводился методами непараметрической статистики.

Стационарность процессов оценивалась с помощью рангового критерия Вилкоксона. Асимптотическая эффективность этого критерия по сравнению с критерием Стьюдента равна 3/п. Кроме того, данный критерий применим к выборкам малого объема. Нулевая гипотеза Н0 в критерии Вилкоксона состоит в предположении, что двум выборкам соответствуют одинаковые функции распределения. Если отсчеты каждой из выборок отнесены к разным временным интервалам исследуемого процесса, то гипотеза Н0 означает предположение стационарности. Выяснилось, что для всех типов земных покровов соблюдается ста-

ционарность внутриимпульсных и внутрипериодных флуктуаций по среднему и по форме распределения с доверительной вероятностью Рд = 0,95. Показано, что функции распределения внутриимпульсных амплитудных флуктуаций р (n) отраженных импульсов в диапазоне ММВ для исследуемых типов земных покровов принадлежат к одному классу распределений (не гауссовскому и с увеличенными хвостами!).

Таким образом, многолетние радиофизические эксперименты, в которых активно участвовал автор, дали весьма убедительные доводы в пользу негауссовских статистик. Также более 10 лет назад (см. ниже) автором было показано, что негауссовские функции распределения с тяжелыми хвостами (степенные или устойчивые) естественно возникают (!) при фрактальной обработке одномерных и многомерных сигналов в радиочастотном и оптическом диапазонах с учетом скейлинговых соотношений.

2.3. Фрактальные меры, топология выборки и фрактальные сигнатуры. Отметим, что в работах ИРЭ РАН с самого начала была заложена идея фрактальной обработки преимущественно малоконтрастных оптических, радиолокационных и синтезированных сложных (при наличии целей) изображений. Впервые предложенные и разрабатываемые автором цифровые фрактальные методы позволяют частично преодолевать априорную неопределенность в радиолокационных и радиофизических задачах с помощью информации о топологии (геометрии) выборки - одномерной или многомерной, т.е. в случае сигнала и изображения. При этом большое значение приобретают топологические особенности индивидуальной выборки, а не усредненные реализации, имеющие зачастую совершенно другой характер [1-5, 11].

Для того, чтобы акцентировать внимание на учете этих особенностей автором был специально введен термин «размерностный склероз» физических сигналов и сигнатур. При описании немарковских процессов, как известно, для раскрытия физического смысла дробных производных в литературе широко используется термин «асимптотический склероз».

Сводная таблица характерных видов различных поверхностей, для которых по методам и алгоритмам, разработанным в ИРЭ РАН, были измерены их фрактальные размерности D и фрактальные сигнатуры, показана на рис. 4. Данные рис. 4 позволяют сделать важный вывод о достаточной трудоемкости и неоднозначности непосредственно прямого использования точечных оценок средней фрактальной размерности D для идентификации земных покровов и метеорологических образований, целей на их фоне и определения числа одинаковых объектов.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

68

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Тип изображений D

Синтезированные (1996-98 гг.) щ§р 2,50 - 2,90

Оптические - аэрофотосъемка (АФС) (1996-97 гг.) 2,55 - 2,75

РЛИ земной поверхности на волне 8,6 мм (1996 г.) 2,55 - 2,65

РЛИ поверхности планеты Венера (7. = 8,0 см, КА «Венера - 15,16») НшЩгаЯ 2,20 - 2,50

Оптические изображения планеты Марс (КА - «Opportunity», январь 2004 г.) 2,40 - 2,55

Нанокерамические материалы (март 2003 г.) л 2,35 - 2,55

Образцы металлических поверхностей для РКТ при различных видах обработки (сканирующий зондовый микроскоп (SPM) компании NT-MDT, г. Зеленоград, апрель 2003 г.) 2,10 - 2,40

Рис. 4. Характерные диапазоны значений фрактальной размерности D для природных и искусственных поверхностей: КА - космический аппарат, РКТ - ракетно-космическая техника.

В дальнейшем весьма плодотворным оказалось введение автором в практику измерений понятий фрактальных сигнатур и фрактальных кепстров, с помощью которых, например, эффективно решаются задачи обнаружения малоконтрастных целей и слабых сигналов на фоне интенсивных негауссовских (!) помех. При этом, в методах фрактальной обработки всегда необходим учет скейлинго-вых эффектов реальных радиосигналов и электромагнитных полей.

Метод фрактальных сигнатур, предложенный, как отмечено выше, в начале 90-х гг. XX в., оптимален для решения таких задач. Далее в 2000 г. нами было предложено вычислять фрактальную размерность с помощью локально-дисперсионного метода [5, 12]. Предложенный метод измерений фрактальной размерности D основан на измерении

дисперсии текущей интенсивности или яркости фрагментов изображения на двух масштабах.

Параметры измеряющих фрактальные сигнатуры D алгоритмов достаточно сильно влияют на ошибки измерений. В разработанных алгоритмах применяют два характерных окна: масштабное и измерительное. Объективные измерения получаются при масштабных окнах, превышающих размеры измерительного окна. С помощью масштабного окна выбирается необходимый масштаб измерений. Это окно определяет минимальное и максимальное значения масштабов, в которых наблюдается скейлинг. Поэтому масштабное окно служит для селекции распознаваемого объекта и последующего описания его в рамках фрактальной теории. С помощью измерительного окна по обычным методам статистики определяется ло-

ИЯ НОМЕР I ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

69

кальная дисперсия яркости или интенсивности изображения.

Проведенные многочисленные эксперименты показали потенциальные возможности применения фрактальных методов в различных научных и технических приложениях (в частности, при исследовании наноструктур и биологических материалов). Таким образом, в работах ИРЭ РАН были впервые введены в практику радиофизики и радиолокации качественно новые признаки, основанные на теории дробной меры и физическом скейлинге.

2.4. К понятию «фрактал» в радиолокации. В

общем виде РЛИ всегда можно представить как множество элементов Xk, значения которых пропорциональны ЭПР k-го элемента разрешения радиолокационной станции (РЛС). На рис. 5а показано РЛИ местности, полученное на длине волны \ = 8,6 мм с вертолета. На рис. 5б показано РЛИ того же участка местности, полученное РЛС на длине волны \ ~ 30 см. Оба изображения являются двумерными с уровнем «серого», пропорциональным ЭПР.

Предположим, что для каждого РЛИ построена поверхность (рис. 5в) с высотой h, также пропорциональной уровню серого. Пусть требуется измерить площадь получившейся поверхности.

На РЛИ, соответствующем \ « 30 см, площадь получится меньше, чем для РЛИ на \ = 8,6 мм из-за того, что с уменьшением длины волны различаем больше деталей местности. Зондирующая электромагнитная волна является в этом случае некоторой «измерительной» линейкой.

Уменьшая длину волны \, будем получать возрастающие значения площадей. Тогда возникает вопрос: а какова в действительности площадь поверхности, с которой получены РЛИ? Если поверхность покрыта простыми объектами, например, прямоугольным возвышением (рис. 5г), и размеры этого возвышения гораздо больше длины волны, то площади РЛИ объектов на коротких и длинных волнах будут примерно одинаковыми. Тогда на поставленный вопрос можно было бы ответить, подсчитав число элементов разрешения, покрывающих объект. Площадь S поверхности в этом случае была бы равна

s=s

где £(Я) - площадь элемента разрешения РЛС; N(2) - число элементов разрешения, необходимых для покрытия объекта; 2 - длина волны РЛС. Как уже было отмечено, для простого объекта (рис. 5г) величина S(2) = const.

Рис. 5. Примеры, объясняющие сущность фрактальной обработки (а-г), и фрактальный пространственный кепстр (д).

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА I НАНОСИСТЕМЫ I ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИЯ

70

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

Для РЛИ на рис. 5а и 5б можно построить зависимость У (Я) = _ДЯ), а предположив, что $(Я) = К(Я), где K - известная функция, затем построить зависимость У (Я) = Д<5). Оказывается, что измеренная площадь S поверхности прекрасно описывается формулой

5

Тогда, с помощью простой операции логарифмирования, мы можем вычислить параметр D. Зависимость 1о^(Я) = f(log^), определяющая собой фрактальную сигнатуру РЛИ, показана на рис. 5д. Она характеризует пространственный фрактальный кепстр изображения (данное понятие введено автором в 1997 г.). Дробный параметр D называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича или фрактальной размерностью [1-3]. Для РЛИ объектов, имеющих простой геометрический вид (прямоугольники, круги, гладкие кривые), эта размерность совпадает с топологической, т.е. равна значению 2 для двумерных РЛИ, и определяется угловым коэффициентом прямых (2) в двойных логарифмических координатах.

Однако значения D по нашим результатам для большинства реальных покровов, метеорологических образований и явлений типа замираний радиоволн в турбулентной атмосфере (тропосфере) и пылевых образованиях оказываются больше, чем их топологическая размерность, что подчеркивает их сложность (хаотичность) и говорит об их фрак-тальности [1].

2.5. Элементарное пояснение фрактального обнаружения. Условно наши фрактальные исследования можно подразделить на три этапа. На первом этапе акцент был сделан на экспериментальной проверке фрактальности различных природных и искусственных образований, что позволило к ним применить понятия дробной размерности и масштабной инвариантности, и начать разработки методов фрактальной фильтрации объектов в различных помехах. Второй этап был целиком посвящен усовершенствованию созданных алгоритмов фрактальной цифровой обработки сигналов и изображений, фрактальным методам обнаружения, распознавания, повышения контрастности, т.е. фрактальной обобщенной фильтрации. Третий, начавшийся в 2005 г. этап характеризуется постепенным переходом к проектированию фрактальной элементной базы и некоторых фрактальных радиосистем в целом.

Если текстурные методы формально использовали условие превышения обобщенным функционалом некоторого заданного порога (в том числе и адаптивного), то фрактальные методы, как отмечено выше, основаны на принципиально ином подходе. Они базируются на дробной фракталь-

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ной размерности D и соответствующих фрактальных сигнатурах физических процессов. Установление определенной инвариантности фрактальной размерности D сцен от их яркости и явилось основной предпосылкой для перехода к фрактальной цифровой обработке малоконтрастных изображений.

Один из возможных подходов к формализации данной задачи состоит в следующем. Любой детерминированный объект в ряде физически охватываемых масштабов наблюдения, остается неизменным, и оценка его характерных размеров или площади всегда стремится к определенному пределу, а в идеальном случае является величиной постоянной. В то же время, при изменении масштаба изображения местности, площадь фрактальных образований также изменяется. Следовательно, появление на любом изображении некоторого искусственного объекта (или другого фрактала) изменит величину фрактальной размерности D сложного изображения в целом. Разумеется, описываемый подход является лишь элементарным пояснением основ фрактальных методов обработки сложных изображений.

Применение стандартной фрактальной обработки обычно требует большого числа изображений местности в различных масштабах и значительных массивов данных. Созданные в ИРЭ РАН алгоритмы используют операции конволюции, позволяют обходиться только единичными изображениями и практически работают в режиме реального времени. Следует отметить, что разработанный пакет программ с самого начала был ориентирован на общие задачи распознавания фрактала на фрактале по значениям дробной размерности D и соответствующего ансамбля фрактальных сигнатур.

Гауссовские флуктуации площадей модельных прямоугольных объектов со среднеквадратичным отклонением порядка 30% практически не влияют на качество их обнаружения. Была доказана инвариантность фрактальной размерности D сложных изображений относительно ориентации объектов. С увеличением общего периметра объектов фрактальная размерность растет пропорционально их количеству. Средний наклон кривой 1og£(X) = fTogS) растет пропорционально количеству одинаковых целей. По периодичности амплитуд пространственного фрактального кепстра можно оценить размеры объектов.

3. ФРАКТАЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИЛИ ПАРЕТИАНЫ

Введение дробной размерности D и скейлин-говых инвариантов вызывает необходимость работы преимущественно со степенными вероятностными распределениями. Их называют еще фрактальными распределениями, распределения-

ШЯ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

71

ми с «тяжелыми хвостами» или паретианами. Отметим, что для распределений с «тяжелыми хвостами» выборочные средние неустойчивы и малоинформативны из-за неприменимости закона больших чисел. Простые системы обычно имеют экспоненциальное и гауссовское распределения. Природа степенных законов распределения связана с сильной взаимозависимостью событий (эффект не «домино», а «цепной реакции»). Отметим, что устойчивый паретиан является отличительной чертой многих сложных открытых систем, обменивающихся с окружающей средой веществом, энергией и информацией с перераспределением энтропии.

Кратко представим избранные результаты по экспериментальным вероятностным распределениям мгновенной фрактальной размерности D радиофизических процессов.

На рис. 6а приведен общий вид распределений фрактальных размерностей D. Фрактальная цифровая обработка реализаций двумерных сигналов в шумах показала (рис. 6б), что при отноше-

нии сигнал/шум ql = +10 дБ мы точно измеряем статистику сигнала. С уменьшением значения q в сторону отрицательных значений (например, ql = -3 дБ) происходит смещение максимума (моды) итогового фрактального распределения в сторону значений фрактальной размерности шума или помехи. При этом всегда (!) в окрестности значения фрактальной размерности D полезной составляющей присутствует «тяжелый хвост» фрактального распределения (паретиана), достигающий стабильной величины, порядка 10-20%. Данная тенденция сохраняется и при гораздо меньших значениях ql , например, равных -10 дБ и -20 дБ, как показано на рис. 6в, где приведены результаты фрактальной фильтрации двух синтезированных фрактальных сцен (А и Б) в гауссовских помехах.

Полученные экспериментальные данные подтверждают работоспособность созданных автором различных модификаций фрактальных методов фильтрации радиолокационных целей, замаскированных интенсивными негауссовскими шумами и помехами.

a

б

Рис. 6. Общий вид (а)распределений D с тяжелыми хвостами для фрактальных сцен; примеры (б) с ql ^ °о дБ (1), ql = 10 дБ (2), ql = 3 дБ (3), ql = -3 дБ (4); распределения D для сцен с сильными гауссовскими помехами (в): 1 и 3 - сцена А, 2 и 4 - сцена Б, 1 и 2 - ql = -10 дБ, 3 и 4 - ql = -20 дБ.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИЯ

72

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

В нашем случае применение устойчивых распределений мгновенных фрактальных размерностей D обрабатываемой выборки (неважно, одномерной или двумерной) позволяет в значительной степени снять указанные выше ограничения. Синтезированные на основе устойчивых распределений оптимальные решающие правила относятся непосредственно к классу робастных; поэтому они не требуют дополнительных эвристических приемов. Существенно то обстоятельство, что моделирование распределенных по Леви-Парето случайных величин может приводить к процессам аномальной диффузии широкой физической природы, описываемой дробными производными по пространственным и/или временным переменным. Явления аномальной диффузии возникают при переносе зарядов в полупроводниках, в квантовой оптике, в турбулентности, в хаотической динамике гамильтоновых систем, в сверхпроводниках, во фрактальных кластерах, в случае дально-действующих корреляций и т.д. [1, 50]. По сути дела уравнения с дробными производными описывают немарковские процессы с памятью.

Предложенные автором фрактальные методы существенно дополняют текстурные и позволяет более надежно производить операцию кластеризации. Интересно отметить, что после фрактальной обработки изображений поверхности, кроме устойчивого разделения по типам земных покровов, отмечаются невидимые (скрытые) до этой обработки особенности (как, например, данные кластеризации дистанционного зондирования

различных земных покровов и метеообразований). Это позволяет говорить о применении созданных методов фрактального распознавания для идентификации участков изображения, «невидимых» при классических методах кластеризации по полю яркостей.

4. ИЗБРАННЫЕ ПРИМЕРЫ ЦИФРОВОЙ ФРАКТАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ МАЛОКОНТРАСТНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Рассмотрим характерные примеры обобщенной фрактальной фильтрации (фрактальной цифровой обработки) протяженных объектов, в том числе и малоконтрастных. Все примеры иллюстрируют работу макета спецпроцессора фрактальной обработки радиосигналов (см. далее).

На рис. 7а приведено изображение самолета B-2 (Steаlth). Основные результаты представлены на рис. 7б-д. На рис. 7б показан вид полученного нормированного эмпирического фрактального распределения W(D)/Wmax(D). Оператор, выбирая на полученном распределении (паретиа-не) различные участки, автоматически определяет отфильтрованные по значению D изображения - рис. 7в.

Данное изображение (рис. 7в и аналогичные последующие) представляет не картину распределения обычной физической величины (яркости и т.п.) многомерных сигналов, а поле значений мгновенных фрактальных размерностей. После этого мы начинаем работать в пространстве дробных мер и

г

д

Рис. 7. Изображение (а) самолета и его фрактальная обработка: (б) - эмпирическое распределение фрактальных размерностей, (в) - выделенный контур цели, (г) - идеализированный контур цели, (д) - кепстр цели и его производная.

ДВД НОМЕР I ТОМ 1 I 2009 I РАДИОЭЛЕКТРОНИКА I НАНОСИСТЕМЫ I ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

73

фрактальных признаков изображений. Как мы увидим из полученных результатов (см. ниже), данная количественная мера, будучи представленной в виде изображения, дает картину с гораздо большей степенью подробностей, чем исходное изображение.

Полученное отфильтрованное изображение дает возможность построить идеализированное изображение контура цели (рис. 7г), необходимое для запоминания его кепстра (рис. 7д). По экспериментально полученному фрактальному кепстру также может быть произведено обнаружение данного класса целей. Кепстр S(D) = ф(д) на рис. 7д представлен одновременно со своей производной BS(D)/dd. В некоторых приложениях работа с производной удобней, чем с фрактальным кепстром, например, в случае классификации групповой цели.

Рассмотрим следующий пример фрактальной цифровой обработки.

Изображение самолета B-2 «Стеллс» (рис. 8а) маскировалось аддитивными гауссовскими шумами. Из данных рис. 8^ видно, что в этом случае вся полезная информация скрыта шумовым фоном. Выбор оптимального режима фрактальной фильтрации необходимых контуров или непосредственно объектов производится оператором также по автоматически построенному простран-

ственному распределению мгновенных фрактальных размерностей D сцены. Непосредственно фрактальные распределения или паретианы исследуемых сцен отображены на экране компьютера справа - рис. 8в,г.

Цифровая фрактальная обработка изображения самолета F-117 в интенсивных импульсных помехах подробно представлена на рис. 9 и не требует пояснений.

На рис. 10 приведен пример фрактальной обработки изображения атакующего вертолета. На исходном изображении можно выделить несколько классов областей - «вертолет», «ракета + газовое облако», «подстилающая поверхность».

Высокая чувствительность оценки фрактальной размерности D к наличию непрерывных контуров на изображениях позволяет говорить о возможности динамической фильтрации контуров объектов в помехах. В частности, с помощью фрактальных алгоритмов удается выделить номера автомобилей, оптические изображения которых получены в условиях очень сильных помех (пыль, дым, туман).

Результаты фрактальной кластеризации оптических изображений некоторых других объектов приведены на рис. 11 и 12.

Рис. 8. Фрактальная обработка изображения самолета (а) В-2 «Стеллс»: (б) - изображение самолета в гауссовских шумах при ql = -3 дБ, (в) - пример фрактальной фильтрации изображения самолета при значении D(1) оо X, (г) - пример фрактальной фильтрации изображения самолета при значении D(2) > D(1).

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИЯ

74

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Рис. 9. Фрактальная обработка изображения самолета (а) F-117: (б) - изображение F-117 в интенсивных импульсных помехах; (в) - пример фрактальной фильтрации изображения самолета при текущем значении D(1) о X; (г) - пример фрактальной фильтрации изображения самолета при текущем значении D(2) > D(1); (д) - пример фрактальной фильтрации изображения самолета при значении D(3) >D(2) > D(1).

Хорошо видно, что оценки размерности D изображения танка D * D2 заметно отличаются от оценок фрактальной размерности местности

D3 * D4 * D5*

5. ФРАКТАЛЬНАЯ ОБРАБОТКА МЕДИЦИНСКОЙ ИНФОРМАЦИИ

О зарубежном опыте применения некоторой фрактальной обработки медицинской информации автором сообщалось ранее в своих монографиях [1, 2]. В данном разделе мы достаточно кратко остановимся на некоторых проведенных нами исследованиях с помощью методов фрактального анализа.

5.1. Фрактальная обработка динамических малоконтрастных изображений в медицинской томографии. Исследования внутренней структуры различных объектов неразрушающими методами контроля имеют большое значение для биомедицины и развития современных информационных технологий. Восстановление трехмерной структуры объектов осуществляется различными методами томографии. В следующем цикле исследований проводился фрактальный экспрессанализ рентгеновских томограмм (рис. 13, 14), представленных нам из Института прикладной физики НАН Беларуси. Фрактальной обработке подвергались изображения нижней части головы

да НОМЕР I ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

75

Рис. 10. Результаты фрактальной обработки изображения атакующего вертолета: (а) - исходное изображение, (б) - вид полученного эмпирического распределения D, (в)-(е) - результаты фрактальной фильтрации при различных значениях текущей фрактальной размерности D.

а

б

Рис. 11. Фрактальная сегментация изображения детерминированного объекта (танка) на фоне неоднородной местности.

Рис. 12. Исходное изображение комплекса «Shuttle» - «Мир» (а) и результат применения (б-г) фрактальной сегментации.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА I НАНОСИСТЕМЫ I ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ I 2009 I ТОМ 1 I НОМЕР Ц£|

76

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Рис. 13. Результаты фрактальной фильтрации томограмм нижней части головы человека.

Рис. 14. Результаты фрактальной фильтрации томограмм верхней части головы человека.

02 НОМЕР I ТОМ 1 I 2009 I РАДИОЭЛЕКТРОНИКА I НАНОСИСТЕМЫ I ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

77

человека, включающее большое число контрастных деталей и изображения верхней части головы с малоконтрастным изображением срезов мозга.

Исходное томографическое изображение нижней части головы человека показано вверху слева на рис. 13. Реконструкции томограмм проводились с помощью фрактального метода при различных значениях выделенной по паретиану фрактальной размерности D, а именно, D(1), D(2) * D(1), и D(3) * D(2) * D(1) соответственно. Отчетливо видны разнообразные кластеры и другие области, незаметные на исходном снимке.

На рис. 14 показаны томографические изображения верхней части головы человека с малоконтрастными срезами мозга. Проведенная фрактальная фильтрация при различных массивах фрактальных размерностей D(3) * D(2) * D(1) также дала, как видно из приведенных данных, хорошую реконструкцию областей срезов с достаточно резким увеличением их контраста

Ниже на рис. 15 приведены результаты фрактальной цифровой обработки фотографий пациенток с диагнозом «жирная себорея», на фоне которой развивается угревая сыпь.

Оказалось, что оценка фрактальной размерности D (по измеренным фрактальным сигнатурам) имеет индивидуальный характер для каждого пациента, независимо от участка изображения,

по которому производился анализ. Используя сечения поля фрактальной размерности (при определенном значении порога), можно выделить изображения неоднородностей кожи, характерные для некоторого вида заболеваний.

Из полученных данных следует непосредственно возможность применения фрактального анализа в медицинской диагностике кожных заболеваний.

6. РАЗРАБОТКА ПЕРВОГО ЭТАЛОННОГО СЛОВАРЯ ФРАКТАЛЬНЫХ ПРИЗНАКОВ КЛАССОВ ЦЕЛЕЙ

Ниже кратко изложены результаты по разработке первого эталонного словаря фрактальных признаков [1, 2, 15]. Формализация задачи синтеза эталонного словаря классически предполагает следующие этапы: (i) - первоначальная априорная классификация целей или их классов, т.е. составление алфавита классов целей; (ii) - определение необходимого перечня фрактальных признаков, характеризующих цели; (iii) - разработка эталонного словаря фрактальных признаков целей или классов целей; (iv) - описание алфавита классов целей на языке ансамбля фрактальных признаков эталонного словаря или их сочетаний; (v) - разбиение пространства фрактальных признаков на об-

Рис. 15. Фото пациентки (а), фрактальный портрет (б), фрактальная сигнатура (в), сечения поля фрактальных размерностей (г, д, е).

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА I НАНОСИСТЕМЫ I ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ I 2009 I ТОМ 1 I НОМЕР ДА

78

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ласти, соответствующие исходным классам алфавита; (vi) - выбор метрики (решающего правила) или алгоритмов распознавания, обеспечивающего отнесение распознаваемой цели к тому или иному классу целей.

При разработке первого эталонного словаря фрактальных признаков, в качестве последних были выбраны: 1) - значение фрактальной (дробной) топологической размерности D; 2) - вид и особенности фрактальных сигнатур или фрактальных кепстров; 3) - вид пространственного спектра и значения пространственных частот, характеризующие текстуру изображений. В качестве фрактальных примитивов для исследования вопросов распознавания образов на изображениях был использован набор фигур из игры «Танграм». В экспериментах применялись 16 фигур «Танграма», включающие в себя многоугольники, силуэты различных объектов. Они имеют одинаковую площадь при разном числе уголков и граней - рис. 16.

В экспериментах нам удалось выявить ряд общих закономерностей в тонкой структуре фрактальных кепстров и определить ранги средних фрактальных размерностей D для всех одиночных танов и их совокупностей:

D(9) > D(5) > D(6) > D(12) > D(10) > D(14) >

>D(1) > D(16) > D(8) > D(3) > D(13) > D(2) >

> D

В неравенстве (3) D(i) - значение средней фрактальной размерности i-го тана. Также были определены характерные наклоны сигнатур при различных размерах измерительных окон.

Из полученного семейства признаков мы можем выбрать необходимый набор «фрактальных примитивов» - элементов «фрактального языка», чтобы моделировать реальные воздушные и наземные цели. При этом состав фрактальных примитивов (фрактальных символов'), являющихся наименьшими элементами фрактального языка, будет зависеть от числа классов целей, которые необходимо обнаруживать в реальных условиях. Полученное множество и есть необходимый на практике «фрактальный алфавит» или «фрактальный словарь».

7. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПЕРВОГО ФРАКТАЛЬНОГО ОБНАРУЖИТЕЛЯ РАДИОСИГНАЛОВ

Все суммарные результаты, полученные нами, были использованы в задаче проектирования и макетирования первого в мире фрактального непараметрического обнаружителя радиолокационных сигналов (ФНОРС). Фрактальные сигнатуры, включающие спектры фрактальных размерностей и фрактальные кепстры представляют собой, по существу, новый вектор признаков, однозначно и

Рис. 16. Китайский “Танграм” (вверху слева) и 16фигур, составленные из семи танов.

ИИ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

79

лучше определяющий широкий класс целей и объектов, чем использование только значений фрактальной размерности D. Далее конкретизируется структура фрактального обнаружителя, состоящего из детектора контуров и вычислителя фрактальных сигнатур. Полученные сигнатуры сравниваются с имеющейся базой эталонных сигнатур, и решение о наличии или отсутствии объекта принимается по заданнному критерию.

Укрупненная схема фрактального обнаружителя радиолокационных сигналов показана на рис. 17.

В ее состав входят фильтр контуров и вычислитель фрактальных кепстров. После сравнения с имеющейся базой эталонных фрактальных кеп-

стров принимается решение в устройстве сравнения. Дальнейшая конкретизация структурной схемы ФНОРС приведена на рис. 18.

Реальный сигнал (РЛИ или одномерная выборка) поступает на входной преобразователь. Его назначение состоит в предварительной подготовке анализируемой выборки. Подготовка может включать в себя либо принудительное зашум-ление (в случае низкой разрешающей способности аналого-цифрового преобразователя радиолокатора) или, например, уменьшение контраста - для выборки с высоким динамическим диапазоном.

Подготовленная входная выборка поступает затем на детектор контуров. Работа данного устройства основана на измерении локальной

Рис. 17. Первоначальная структура фрактального радиолокационного обнаружителя.

Рис. 18. Детальная структура фрактального радиолокационного обнаружителя.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

80

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

фрактальной размерности D по всем элементам выборки. Существенно то, что по характеру полученного эмпирического распределения фрактальных размерностей можно выполнять предварительное обнаружение.

После детектора контуров, входная выборка представляет, по сути, бинарный массив. «Единицы» в этом массиве означают принадлежность соответствующего элемента выборки контуру некоторого объекта. Если в выборке имеется несколько объектов, встает вопрос об их разделении. Данную задачу можно решить как на основе теории фракталов - многократно разделяя выборку, так и известными алгоритмами. При этом рассматривается случай, когда контура не связные. В данном устройстве эту задачу выполняет детектор кластеров.

Получившиеся подмножества исходной выборки, содержащие контура одного объекта, поступают на вход вычислителя сигнатур. Это устройство создает несколько «сглаженных» выборок - по ожидаемым масштабам наблюдения и вычисляет по этим выборкам «длину» или «площадь». На выходе устройства имеем зависимость ig^ = figS, которая является необходимой фрактальной сигнатурой анализируемой выборки. Процесс обнаружения производится путем сравнения фрактальной сигнатуры выборки с фрактальными сиг-

натурами из базы данных (банка данных). При положительном результате сравнения принимается решение о наличии объекта.

Структурная схема макета первого действующего двухканального ФНОРСа представлена на рис. 19 [2, 18, 19]. В схеме на рис. 19 приняты следующие обозначения: УВЧ - усилитель высокой частоты; СМ - смеситель; Г - гетеродин; ПФ - полосовой фильтр; УПЧ - усилитель промежуточной частоты; КД - квадратурный детектор (перенос спектра на нулевую частоту); Re, Im - действительная и мнимая квадратуры; АЦП - аналого-цифровой преобразователь; ЦП - центральный процессор; ОЗУ - оперативное запоминающее устройство; УВВ - устройство ввода/вы-вода; ЖМД - устройство накопления на жестких магнитных дисках; ОС - операционная система.

В НЖМД ФНОРС хранятся следующие программы: а) «ПО выч. дробн. мер» - вычисление мгновенных значений фрактальной размерности D; б) «ПО выч. фр. сигнатур» - вычисление полной сигнатуры, обрабатываемого массива данных; в) «ПО многомасшт. анализа» - вычисление в реальном времени реализаций наблюдаемых данных в разных временных масштабах, прореживание, интерполяция (сгущение); г) «ПО фр. фильтрации» отбор - данных по значениям их дробной меры; д) «ПО фр. обнаружения» - восстановле-

Рис. 19. Структурная схема первого макета ФНОРС.

ИИ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

81

ние полезного сигнала из входной смеси с помощью многомасштабного фрактального анализа.

Для дальнейших исследований мы использовали реальные сигналы промежуточной частоты телевизионного приемника. Помехами являлись обычные помехи, наблюдаемые в приемных трактах схемы макета ФНОРС. Полезным сигналом являлся полный телевизионный сигнал, имеющий полосу 6,5 МГц. На рис. 20 изображены результаты вычисления фрактальных сигнатур одномерных сигналов тракта ПЧ двух телевизионных каналов (1 - сигнал более черного цвета и 2 - сигнал серого оттенка).

В качестве сигналов выступали обыкновенные эфирные шумы. В верхнем окне спецпроцессора показаны анализируемые выборки длительностью т = 15 мкс, по которым вычислялись фрактальные сигнатуры. Непосредственно фрактальные сигнатуры приведены в нижнем правом окне монитора. Несмотря на, то, что уровни сигналов различные, фрактальные сигнатуры ведут себя практически одинаково. Появление полезного сигнала в выборке (при подключении антенны) изменяет характер поведения фрактальной сигнатуры. Результаты таких экспериментов показаны на рис. 21.

На масштабах до $ = 4 фрактальные сигнатуры помех (1-й канал) и смеси «сигнал + помеха» (2-й канал) ведут себя идентично, т.е. сливаются. Можно сказать, что масштаб $ 1:4 в данном случае является характерным для полезного сигнала. На данном эффекте можно синтезировать специальный непараметрический алгоритм обнаружения и различения сигналов. Зная характерный масштаб, можно устанавливать точное значение П - порога ФНОРСа. В данном случае П > 4. Размерность порога - отсчеты дискретизации, но не «вольты»! Использование многомасштабного фрактально -го анализа позволяет синтезировать простые, но эффективные, алгоритмы когерентного и некогерентного обнаружения сигналов. Эти алгоритмы могут конкурировать с классическими алгоритмами обнаружения [2, 18]. В другой серии экспериментов определялись основные фрактальные характеристики сигнала, полученного в тракте ПЧ телевизионного приемника. В первой серии опытов измерялись значения фрактальных размерностей при помощи локально дисперсионного метода. Среднее значение D = 2 - H « 1,5 говорит о том, что мы имеем дело с реализацией классической функции Винера. Это объясняется тем, что наблюдаемый сигнал в тракте ПЧ представляет смесь полезных сигналов (антенна ненаправленная), помех и внутренних шумов. Здесь Н - показатель Херста.

Один из способов фрактального обнаружения одномерного телевизионного сигнала показан на рис. 22. Вверху на рис. 22 приведена исходная ре-

Рис. 20. Измерение фрактальной сигнатуры помех из тракта ПЧ двух телевизионных приемников: длительности выборок т = 15 мкс.

1 2 4 8 16 б

—II 0  'A li 4|И-»___| Jij Un.l.cpp - Блокнот |[flfcP,oi.C. « ЛЬ»

Рис. 21. Измерение фрактальной сигнатуры смеси сигнал + помеха из тракта ПЧ двух телевизионных приемников: длительности выборок т = 1,5 мкс.

Рис. 22. Пример фрактального обнаружения одномерного телевизионного сигнала.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ДВЯ

82

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ализация с ПЧ тракта телевизора. На двух окнах в середине помещены результаты скейлинга или масштабирования исходной выборки на временных масштабах К < М. В нижнем окне показана оценка корреляционной функции между исследуемыми процессами с разными масштабами. Утолщенными вертикальными отрезками показаны границы области фрактального анализа, за ними - оценки, некорректные из-за краевого эффекта. Утолщенная черная горизонтальная линия показывает факт превышения взаимной корреляционной функцией некоторого априорно выставленного порога обнаружения. Это свидетельствует об инвариантности сигнала к скейлинговому показателю и тем самым показывает эффект обнаружения.

8. ОСНОВЫ МЕТОДОВ

ПОСТРОЕНИЯ ФРАКТАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ И ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ

Ниже кратко рассмотрим вопросы применения теории фракталов для разработки принципиально новых методов модуляции и демодуляции сигналов, а также синтеза фрактальных сигналов. Кратко остановимся на этом, ставшем уже историческим, аспекте. Первое упоминание о создании и работе макета РЛС (ЦКБ «Алмаз» и ИРЭ РАН) в диапазоне ММВ со сложным квазинепрерывным стохастическим сигналом на длине волны 8.6 мм сверхбольшой базы m = 217 - 1 и стохастическим квадратичным детектированием было опубликовано нами еще в 1988 г. [1, 2]. Для уменьшения времени обзора применялся параллельный анализ 20 элементов дистанции с помощью многоканальной цифровой обработки. В РЛС были предусмотрены квадратурные каналы. Работа комплекса на одну приемно-передающую антенну на ММВ была обусловлена оригинальным применением в трактах приема и передачи фазируемых и тактируемых параметрических делителей частоты или параметронов.

Именно на данном макете РЛС при выделении сигнала ММВ, рассеянного разнообразными земными покровами и атмосферными образованиями, автором уже в 1988 г. проводились операции выделения участков частотного и временного скейлинга, которые и предполагают наличие фрактальных свойств принятой выборки.

Затем был всесторонне исследован двухчастотный режим работы приема-передатчика для реализации фрактальной обработки на двух частотных интервалах. Второй действующий комплекс макета РЛС использовал метод двухчастотного зондирования на ММВ с разносом частот около 850 МГц. База сложного фазоманипулирован-

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ного сигнала (ФМ) была увеличена до значения m = 220 - 1.

Тогда же проводились работы по проектированию принципиально нового в то время радиофизического комплекса с применением несинусоидальных волн на основе элементов теории секвент-ного анализа. Сложные несинусоидальные сигналы позволяют добиваться эффектов, недостижимых при использовании традиционных синусоидальных несущих.

Отметим еще одно немаловажное обстоятельство. В секвентном анализе применяют частотнонезависимые антенны: биконические, плоские спиральные и логарифмически-периодические антенны. В настоящее время к таким антеннам, бесспорно, добавлен широкий класс фрактальных антенн разных конфигураций и фрактальных антенных решеток.

Автор совместно с представителями ЦКБ «Алмаз», по сути, в начале 90-х гг. XX в. и предпринимал первые попытки разработки и проектирования [53] таких необычных (для того времени) фрактальных антенных структур (конкретно, был изготовлен действующий макет фрактальной щелевой решетки в диапазоне ММВ). При совмещении указанного радиолокационного комплекса с радиометром был реализован пассивно-активный метод зондирования с использованием шумоподобного ФМ сигнала в качестве сигнала подсветки [53].

Разрабатываемые автором фрактальные методы объединены под общим названием фрактальных методов передачи информации. Декларируемый здесь подход позволяет перейти к конкретным структурным схемам фрактальных модуляторов и фрактальных демодуляторов сигналов. Рассмотрим кратко принципы фрактальной модуляции, когда любые модулируемые параметры высокочастотного сигнала формируют по фрактальному закону с заданным скейлингом. Можно использовать классические фрактальные функции и множества (канторово и т.п.) на основе г-той и ^-рекурсии.

Применяя фрактальные законы изменения параметров гармонического колебания и электромагнитной волны, получаем фрактальные: амплитудную (ФАМ), частотную (ФЧМ), фазовую (ФФМ) и поляризационную (ФПМ) виды модуляции. Также осуществляется двойная модуляция с поднесущей. Для дискретных систем передачи информации можно реализовать фрактальные: амплитудно-импульсную (ФАИМ), широтноимпульсную (ФШИМ), частотно-импульсную (ФЧИМ), фазоимпульсную (ФФИМ), импульснокодовую (ФИКМ) виды модуляции. Для радиоканалов вторая ступень модуляции может быть и традиционной (АМ, ЧМ, ФМ, поляризационная).

Аналогично автором был введен новый класс фрактальных шумоподобных сигналов - когда в

ШЯ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

83

качестве переносчика информации используется случайный процесс с распределением мгновенных амплитуд по закону «устойчивого паретиана», т.е. мы применяем фрактальное распределение с тяжелыми хвостами. Существует возможность синтеза фрактальных шумоподобных составных сигналов. Можно также использовать известное стохастическое кодирование информации, в котором необходимо выделить участки скейлинга. Кроме того, автором был предложен и абсолютно новый класс фрактальных сигналов на основе показателя Херста Н (подробнее см. ниже, п. 19 статьи).

Очень интересным и чрезвычайно перспективным является применение операторов дробного интегродифференцирования в синтезе новых классов простых и сложных сигналов. Насколько известно автору, этот факт никогда еще не рассматривался в литературе.

9. АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ФРАКТАЛЬНЫХ АНТЕНН

Опыт анализа и синтеза фрактальных антенн доказывает их широкополосность и многодиапа-зонность. Поэтому такие фрактальные антенны чрезвычайно эффективны при разработке двухчастотных или многочастотных систем.

Работа фрактальных антенн достигается через геометрию проводников, а не через накопление отдельных компонентов или элементов (как в классических антеннах), что, в последнем случае, увеличивает сложность и потенциальные точки отказа. Фрактальные антенны также позволяют создать многополосные варианты, уменьшенный размер, и оптимальную или «шикарную» технологию антенн. Несомненным достоинством фрактальных антенн (монополей и диполей) является тот факт, что они имеют меньшие резонансные частоты по сравнению с классическими (евклидовыми) антеннами тех же размеров.

В отличие от традиционных методов, когда синтезируются гладкие диаграммы направленности антенны, в основе теории фрактального синтеза заложена идея реализации характеристик излучения с повторяющейся структурой на произвольных масштабах. Это дает возможность создавать новые режимы во фрактальной электродинамике, а также получать принципиально новые свойства. Области применения фрактальных антенн: современные телекоммуникации, шумовая радиолокация, нелинейная радиолокация, системы поиска, локализации и трассировки мобильных объектов, пеленгация в сложных городских условиях, определение местоположения несанкционированных источников радиоизлучения при борьбе с террористами, оперативная связь в войсках, маркеры на различных предметах, космическая связь, современный физический эксперимент и т.п. [1, 2, 44, 50].

Под руководством автора и его непосредственном участии на основе различных алгоритмов численного решения был проведен анализ электродинамических свойств разнообразных фрактальных антенн (монополи и диполи с применением классической кривой Серпинского, снежинки Коха и дерева Кейли различного порядка итераций, кольцевые структуры; некоторые примеры фрактальных антенн приведены на рис. 23).

Анализ для фрактальных антенн на основе кривой Серпинского проводился с учетом изменяющегося угла раскрыва а при вершине. Строгие электродинамические исследования различных фрактальных монополей и диполей на основе универсальной треугольной кривой Серпинского и древа Кейли (рис. 23а, б) произведены на основе применения алгоритмов численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений. Были вычислены: диаграммы направленности (ДН) -пример на рис. 24, входные импедансы фрактальных антенн Z = ReZ + ilmZ в диапазоне частот 0,1-10,0 ГГц и все резонансные частоты fp исследуемых фрактальных антенн. На рис. 25 приведены результаты вычисления входного импеданса антенн Серпинского с изменяющимся углом раскры-ва а. Для угла а = 60° в диапазоне 0,1...10 ГГц можно выделить четыре резонансных частоты, на которых активная часть входного импеданса имеет минимум, а реактивная равна нулю.

Значения этих частот для монополя Серпинского составляют f = 0.53 ГГц; f = 1.1 ГГц; f = 2.25 ГГц и f = 4.70 ГГц. Кроме того, на частоте f = 0.14 ГГц имеется резонанс того же типа, что и для полуволнового вибратора. Резонансные частоты для диполя Серпинского равны 0.76 ГГц; 1.66 ГГц; 3.21 ГГц и 6.78 ГГц. Активная часть импеданса на всех значениях f составляет несколько десятков Ом, что удобно при согласовании её с распространенными типами фидеров.

Уменьшение угла раствора а приводит к увеличению значений резонансных частот и активных частей входного импеданса на этих частотах. Всегда отношение двух соседних частот примерно равно двум, что соответствует коэффициенту скейлинга для топологической универсальной треугольной кривой Серпинского. ДН антенны на основе кривой Серпинского приведены на рис. 26.

Построение Дерева Кейли (рис. 23 б) проводится следующим образом. Нулевая итерация -отрезок прямой заданной длины l. Первая и каждая следующая нечетная итерации представляет собой два отрезка точно такой же длины l как и предыдущая итерация, расположенных перпендикулярно отрезку предыдущей итерации так, что концы его соединены с серединой отрезков. Вторая и каждая следующая четная итерация фрактала - это два отрезка 1/2 в половину длины предыдущей итерации, расположенных, как и прежде,

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

84

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Рис. 23. Примеры фрактальных антенн: диполь на основе кривой Серпинского (а), дерево Кейли (б), монополь на основе снежинки Коха (в) и кластерный диполь (г).

X

Рис. 24. ДНдиполя на основе кривой Серпинского.

перпендикулярно предыдущей итерации. Общая высота фрактальной антенны в итоге составляет (15/8)/, а ширина - (7/4)/. В диапазоне частот от 1 ГГц до 6 ГГц были обнаружены следующие четко выраженные резонансные частоты: 1.8 ГГц, 2.2 ГГц, 3.8 ГГц. Средняя ширина полосы пропускания каждого резонансного канала ~ 0.1 ГГц. На рис. 27 а,б приведены ДН для случая вертикальной и горизонтальной поляризации излучения соответственно.

Многочастотные радиоизмерения в сочетании с фрактальной обработкой полученной информации при наличии фрактальных антенн также представляются серьезной альтернативой существующим методам увеличения отношения сигнал/по-меха. Так как цель имеет свои характерные масштабы, то подбором сетки зондирующих частот можно непосредственно определить признаки, помимо указанных выше, в виде фрактально-частотных сигнатур. Чрезвычайный широкополосный охват частот плюс компактные универсальные формфакторы позволяют фрактальным антеннам контролировать коммуникации при распознавании

03 НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

85

(в) - угол раствора а = 90°

(г) - фрактальный диполь Серпинского

Рис. 25. Теоретические зависимости импеданса фрактальных антенн.

сигналов, не обнаруживая себя. Широкополосные фрактальные антенны способствуют появлению наиболее передовых мобильных тактических

коммуникаций, комбинируя полосу пропускания, способность к взаимодействию, регулирование мощности и компактную форму.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР Ц21

86

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Плоскость ZX

Плоскость ZY

Плоскость XY

Рис. 26. Сечения теоретических ДН фрактальной антенны Серпинского на рабочих частотах f= 0.53 ГГц (б) и f= 0.53 ГГц (в) при а = 60°.

Рис. 27. Нормированные ДНфрактальной антенны “Дерево Кейли”на вертикальной (а) и горизонтальной (б) поляризациях излучения.

ИВЯ НОМЕР I ТОМ 1 | 2009 I РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

87

10. ФРАКТАЛЬНЫЕ

ЧАСТОТНО-ИЗБИРАТЕЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ И ФРАКТАЛЬНЫЕ РАДИОПОГЛОЩАЮЩИЕ МАТЕРИАЛЫ И ПОКРЫТИЯ = «УМНЫЕ» МАТЕРИАЛЫ

Как показано выше, скейлинговые свойства многодиапазонных или широкополосных фрактальных антенн позволяют наращивать функциональные возможности ФАР существующих радиосистем. Однако применение фрактальных антенн не ограничивается лишь приемно-передающими функциями. Автором в 2003 г. были предложены нетрадиционные методы конструирования на основе миниатюрных фрактальных антенн новых фрактальных селективных и поглощающих материалов (рис. 1). Таким образом, мы решаем «обратную» задачу, т.е. предлагаем достаточно необычное использование фрактальных антенн для маскировки и защиты различных объектов. В частности, размещение фрактальных элементов на корпусе объекта может существенно исказить сигнатуру или радиолокационный портрет объекта.

Можно соответствующим образом подобрать конфигурацию и размеры фрактальных структур и проверить такие необычные свойства для диапазона частот по схеме на рис. 28. Приемная антенна (не показана) размещалась на близком расстоянии от фрактальных пластин.

Справа на рис. 28 приведены картины вторичного электромагнитного поля для фрактальной и медной пластины. Видно, что «сверхволновая» фрактальная структура задерживает направленное излучение, в то время, как металлическая пластина не выполняет такой функции. Такие «сверхволновые» свойства означают, что фрактальная пластина может действовать как компактный отражатель.

Современные и перспективные радиопоглощающие покрытия и материалы должны обеспечивать поглощение широкого спектра электромагнитного излучения при произвольных углах зондирования и поляризации падающего излучения. С этой точки зрения наиболее перспективный путь - применение фрактальных искусственных композитов и метаматериалов, которые можно отнести к «интеллектуальным» или «умным».

Помимо прямого назначения, они могут иметь разнообразное функциональное назначение. Расчет коэффициентов отражения и пропускания таких материалов можно производить по методикам, изложенным в [1]. Затем решается обратная задача, т.е. определяются эффективные диэлектрические и магнитные проницаемости фрактальной многослойной среды, которые могут быть и тензорами в случае анизотропных материалов. При этом необходимо использовать многократное обращение к прямой задаче.

Применение планарных проводящих фракталов дает нам возможность создавать сложные отражающие и пропускающие зоны в широком диапазоне частот. В этом случае фрактальная структура может быть сверхволновой. Тем самым открывается новый путь синтеза фрактальных фотонных и магнонных кристаллов [1]. Всегда желательно, чтобы коэффициент отражения/прохождения фрактальной структуры можно было регулировать с помощью внешней «ручки управления». Каждый сегмент линии в фрактале соединен друг с другом. Вторичным источником может быть внешний электрический ток, который подводится к центру линии первого уровня с определенной фазой. Модулирование коэффициента пропускания определяется разностью фаз (или временной задержкой т принимаемого сигнала относительно основного падающего пучка) между падающей волной и подпитывающим током.

^0

Рис. 28. Схема «фрактальных» экспериментов.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

88

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

В этом случае мы можем говорить о моделировании интеллектуальных покрытий с целенаправленным управлением их характеристиками рассеяния или полем прошедшей волны в широкой полосе частот. При наложении двух идентичных фрактальных образцов, когда один повернут на 900 относительно другого, можно получить инвариантную относительно вращения структуру. Таким образом, такая «активная» фрактальная структура может моделировать полное отражение, не зависящее от угла падения и типа поляризации, что обычно является характерной особенностью 3D фотонных кристаллов.

Следует отметить, что размеры классического 3D фотонного кристалла должны составлять, по крайней мере, несколько длин волн, прежде чем он сможет полностью проявлять свои свойства. Например, для волны с частотой 1 ГГц толщина структуры должна быть порядка 1 метра.

Фрактал N-го порядка должен теоретически иметь N собственных резонансов. Каждый резонанс определяется током возбуждения в проводящих линиях определенного порядка итераций, который течет по направлению к структурам более высокого порядка. Для плоских фрактальных структур их полоса пропускания Aff, определяемая законом подобия (Aff ~ 5% для одной фрактальной пластины), может быть значительно увеличена с помощью наложения друг на друга одинаковых фракталов. Увеличение толщины фрактальных сборок приводит к возрастанию крутизны границ полос пропускания. Полосы ослабления также могут быть увеличены с помощью более широких металлических проводников фрактальных пластин.

Для фрактальных структур резонансные длины волн могут быть намного больше, чем размеры образца. Это происходит потому, что низкочастотный резонанс определяется самой длинной металлической линией во фрактале, а такая линия просто намного длиннее, чем линейные размеры самого фрактала. Это придает фракталу его «сверхволновые» свойства, т.е. фрактальная пластинка может эффективно отражать электромагнитные волны с длинами, намного большими, чем поперечные размеры.

«Сверхволновые» свойства означают, что фрактальная пластина может действовать как компактный отражатель. Для таких нанотехнологий были разработаны алгоритмы и программы, позволяющие рассчитывать различные конфигурации фрактальных структур рассматриваемых кристаллов. В качестве примера на рис. 29 представлены образцы некоторых заготовок на основе кривой Серпинско-го (а) и дерева Кэйли (б) соответственно.

Таким образом, фрактальные структуры всегда имеют самоподобный ряд резонансов, приводящих к логарифмической периодичности рабочих зон. Связанная топологическая фрактальная структура делает возможным модулирование коэффициента пропускания электромагнитных волн. Для управляемых интеллектуальных покрытий также можно использовать принцип реконфигурируемых ФАР с электронной коммутацией подрешеток, подробно изложенный в [1].

11. ФРАКТАЛЬНЫЕ ИМПЕ ДАНСЫ

И МОДЕЛИРОВАНИЕ ДРОБНЫХ ОПЕРАТОРОВ. ПЕРВЫЙ ФРАКТАЛЬНЫЙ КОНДЕНСАТОР

На практике довольно часто, как отмечено выше, сумма случайных величин сходится не к гауссовским, а к устойчивым или «Леви-Парето» распределениям с тяжелыми хвостами (т.е. фрактальным распределениям - паретианам). У таких распределений функция распределений является «широкой». Это приводит к тому, что некоторые моменты такого распределения формально будут бесконечными. Моделирование распределенных по Леви-Парето случайных величин приводит к процессам аномальной диффузии, описываемой дробными производными по пространственным и/или временным переменным. По сути дела, как отмечено выше, уравнения с дробными производными описывают немарковские процессы с памятью.

Рис. 29. Образцы первой (а) и второй (б) фрактальных заготовок.

ДВЯ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

89

Физическое моделирование дробных интегральных и дифференциальных операторов [2, 16] позволяет на основе нанотехнологий создавать радиоэлементы на пассивных элементах, моделирующие фрактальные импедансы Z(w) с частотным скейлингом

ВД - А

где 0 < п < 1, A - const, ы - угловая частота.

Для этого автором была создана модель импеданса Z(u>) в виде бесконечной цепной (непрерывной) дроби. В случае конечной стадии построения эквивалентной электрической схемы для RC цепочек, когда используем n-ую подходящую дробь к данной непрерывной дроби, можно регулировать диапазоны частот, в которых будет наблюдаться степенная зависимость импеданса вида ы-п.

В этом случае мы впервые реализуем на практике физический нелинейный «фрактальный конденсатор». К данному направлению следует также отнести целый массив задач моделирования фрактальных импедансов для фрактальных радиоэлементов низкочастотных и высокочастотных диапазонов длин волн.

В частности, можно показать, что n последовательно соединенных интегрирующих RC - цепочек на временном интервале

6CR < t < n2CR/6

работает как эффективный «полуинегратор», который развивает напряжение, пропорциональное «полуинтегралу» от входного тока i(t). Нижний предел времени для точного полуинтегрирования может быть сделан произвольно малым, путем выбора резисторов и конденсаторов с малыми номиналами. Верхний предел времени зависит от числа компонент и может быть сделан произвольно большим с помощью достаточного количества n RC-цепочек. Общее число 2n + 1 всех компонент схемы реализует «полуинегратор», точно работающий на временном диапазоне n2/36.

12. ФРАКТАЛЬНЫЕ СИГНАТУРЫ В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ МИКРОРЕЛЬЕФА ОБРАБОТАННЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ИЛИ СКЕЙЛИНГ ФРАКТАЛЬНОГО ШЕРОХОВАТОГО СЛОЯ

На основе проведенных экспериментов автором были впервые предложены методы оценок с использованием различных фрактальных характеристик качества поверхности изделий и свойств микрорельефа современных конструкционных материалов. В связи с интенсивным развитием мето-

дов обработки концентрированными потоками энергии - КПЭ (лазерной, плазменной, электроэрозионной), а также нанотехнологий (химическая сборка, золь-гель процессы, парофазное осаждение металлов, атомно-слоевая эпитаксия), возникают значительные трудности в описании и оценке шероховатости профильным методом. В этих случаях форма элементов шероховатости и их распределение на площади обработки сильно отличаются от традиционного представления о них, сформированного в рамках процесса обработки резанием, как о периодическом чередовании «выступов» и «впадин», описываемых в рамках Евклидовой геометрии (рис. 30).

Следовательно, проблемы формирования качества поверхности, и в частности, такой важнейшей его характеристики как шероховатость, приобретают в настоящее время особую актуальность в связи с созданием новых технологий обработки материалов.

Эти проблемы отчетливо проявляются в области нанотехнологий, для которых топология шероховатостей рассматривается не как вторичная характеристика, являющаяся «откликом» структуры поверхностного слоя на воздействие того или иного физического процесса (как в обработке резанием, например), а как свойство самой структуры, тем более, что размеры таких слоев сопоставимы с длиной свободного пробега в них электронов. В [13] было доказано существование на уровне микрорельефа таких обработанных поверхностей фрактальных кластеров с распределением неровностей по степенным законам (но не гауссовским!) с тяжелыми хвостами (в качестве примера -рис. 31).

В этих случаях представляется весьма затруднительным или совсем невозможным использовать для описания шероховатости поверхности классические геометрические параметры. Уместно отметить, что для идеализированной фрактальной шероховатой поверхности предполагается наличие неровностей всех масштабов. В случае модели с фрактальными высотами неровностей неизбежно следует ее недифференцируемость (тем самым исключаются понятия нормали к фронту рассеиваемой волны, лучевой траектории и эффектов геометрической оптики), а для модели с фрактальными наклонами неровностей допускается существование только первой производной. Поэтому, для фрактального рельефа наклоны, кривизна и распределение экстремумов не являются, как считалось в большинстве случаев, существенными свойствами поверхностей.

Наличие фрактальности в таких средах можно контролировать, в частности, по изменению скин - эффекта и импеданса. Именно пространствен-ная/временная эволюция тока позволяет электромагнитному полю «прощупать» фрактальные ха-

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

90

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

Название Элементы рельефа Название Элементы рельефа

Грибообразный Лунки

Т-образный  Глобулы

Пики Висперы

Сплэты  < *  Гребни

Ботироидальные ft) $ Муар

Рис. 30. Виды элементов рельефа микроповерхностей.

Рис. 31. Фрактальный анализ поверхности образца: (а) 2Б-изображение образца, обработанного алмазным точением с последующим оксидированием; (б) фрактальная сигнатура (кепстр) образца; (в) поле и гистограмма локальных фрактальных размерностей (обратить внимание на тяжелый хвост распределения (!).

ДВД НОМЕР I ТОМ 1 I 2009 I РАДИОЭЛЕКТРОНИКА I НАНОСИСТЕМЫ I ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

91

рактеристики (фрактальные сигнатуры) исследуемой физической среды. Скейлинговые модели шероховатого слоя поверхности твердого тела можно представить в виде эквивалентных электрических схем, имеющих вид, например, канторовой пыли и т.д. Существование фрактальных областей обработанных поверхностей подтверждает возможности кластерного механизма формирования поверхности (на микро-, мезо-, макроуровне), являющегося следствием динамических неравновесных процессов.

В связи с этим особенно интересным представляется разработка фрактально-синергетической модели процесса формирования рельефа поверхности, основанной на анализе заложенных в методах группового воздействия процессов самоорганизации. Такая модель позволит не только прогнозировать механизмы формирования шероховатости и физико-механических свойств поверхностного слоя, но и управлять ими.

13. ОСНОВЫ РАССЕЯНИЯ ВОЛН ФРАКТАЛЬНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ: «ДИФРАКЦИЯ НА ФРАКТАЛАХ» * «КЛАССИЧЕСКАЯ ДИФРАКЦИЯ»

13.1. Постановка задачи. Ранее задачи дифракции волн на статистически неровной поверхности были преимущественно ориентированы на неровности одного масштаба. Затем было осознано, что многомасштабные поверхности дают более адекватные результаты. Сейчас, опираясь на результаты наших работ в ИРЭ РАН, можно уверенно утверждать, что физическое содержание теории дифракции, включающей многомасштабные поверхности, становится более четким при фрактальном подходе и выделении фрактальной размерности или фрактальной сигнатуры D как параметра. Более того, учет фрактальности, по расчетам автора, значительно сближает теоретические и экспериментальные характеристики индикатрис рассеяния земных покровов в СВЧ-диапа-зоне. Этот факт всегда интерпретировался (и продолжает интерпретироваться) как, результат чисто инструментальных погрешностей (!).

В последнее время значительно возрос также интерес к исследованию рассеяния волн неровными поверхностями, имеющими негауссовскую статистику [1, 8, 21, 33, 44, 50]. Часто приводятся доводы, что пространственный коэффициент корреляции рассеивающей поверхности р(Дх = х2 - x , Ay = y2 - y1) не может быть экспоненциальным из-за недифференцируемости соответствующего стохастического процесса. Иногда в этом случае применяют регуляризирующую функ-

цию в окрестности нуля. Более глубокое физическое обоснование применимости недифференцируемых функций для описания процессов рассеяния волн появилось лишь при внесении теории фракталов, теории дробной меры, операторов дробного интегродифференцирования и скейлин-говых соотношений в данные радиофизические задачи.

Отметим, что гауссовская модель является параболической вблизи угла падения 0 « 0, в то время как экспоненциальная модель - линейной. Фрактальная поверхность предполагает наличие неровностей всех масштабов относительно длины рассеиваемой волны. Особенности рассеяния волн фрактальной поверхностью обусловлены ее недифференцируемостью. Поэтому фрактальный фронт волны, являясь недифференцируемым, не имеет нормали. Тем самым исключаются понятия «лучевая траектория» и «эффекты геометрической оптики». Однако хорды, соединяющие значения характерных высот неровностей на определенных расстояниях по горизонтали, все-таки имеют конечный среднеквадратичный наклон. В этом случае вводят «топотезу» фрактальной хаотической поверхности [1, 8]. Она равна длине, на которой наклоны поверхности близки к единичным. Далее автором показано, что результативность радиофизических исследований может быть значительно повышена благодаря учету фрактальности волновых явлений, развивающихся на этапах излучения, рассеяния и распространения волн в различных средах.

13.2. Рассеяние радиоволн фрактальными поверхностями в приближении Кирхгофа.

В наших расчетах была применена частотноограниченная функция Вейерштрасса, на которую налагается, естественно, меньше ограничений, чем на недифференцируемые функции. Данная модификация функции Вейерштрасса обладает как свойством самоподобия, так и все-таки конечным числом производных на отдельно взятом рассматриваемом диапазоне. Это смягчение условий использования функции Вейерштрасса позволяет выполнить аналитические и численные расчеты. Модифицированная двумерная диапазонноограниченная функция Вейерштрасса записывается в виде:

W(x,y) = Cw 2>(B-3)”£sin

я=0 т=1

[Kqn(xcos 2л7”+ ysin^” ) + ф ]

м м nm

В выражении (6) C - константа, обеспечивающая единичную нормировку; q > 1 - параметр пространственно-частотного масштабирования; D - фрактальная размерность (2 < D < 3); K -основное пространственное волновое число; N и

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

92

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

M - число гармоник; фпт- произвольная фаза, распределенная равномерно в интервале [-п, п]. Функция (6) является комбинацией случайной структуры и детерминированного периода. Эта функция также анизотропная в двух направлениях, если M и N не очень велики. Путем варьирования совокупности параметров мы получаем поверхности с любой фрактальной размерностью D (рис. 32).

Функция (6) имеет производные и в то же время - самоподобная. Примеры одномерных сечений фрактальных поверхностей на разных масштабах приведены на рис. 33.

Среднеквадратичное отклонение а и усредненный коэффициент пространственной автокорреляции р(т) двумерной функции Вейерштрасса (6) равны:

а = cw[M

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

, 2

Р

1 Ч я=0

где J (Kqnx) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

Усредненный интервал пространственной корреляции Г определяется как первый корень уравнения р(т) = 1/e при увеличении т от нуля:

1 _ /А-0-3) л-1 __

M

Из соотношений (6)-(9) устанавливается связь между усредненным интервалом корреляции и фрактальной размерностью D, а также q.

Выражение для поля рассеяния в приближении Кирхгофа имеет вид:

(^ = - ik ехр(г^г)2^(QQ2,Q) Jехр[Ц^х,у0)]

1 4тт-г 1 2 3 '

N=2, M=3, D=2.01, q=1.01 N=5, M=5, D=2.5, q=3 N=10, M=10, D=2.99, q=7

Рис. 32. Фрактальные поверхности для разных значений параметров двумерной функции Вейерштрасса.

D = 2,5; q=2,7; N=M=20; x=0,05 D = 2,5; q=2,7; N=M=20; x=0

Рис. 33. Сечения поверхностей функции Вейерштрасса плоскостями x = 0 и x = 0.05 на двух разных пространственных масштабах.

ДЯД НОМЕР | ТОМ 1 I 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА I НАНОСИСТЕМЫ I ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

93

dx0dy0 + Yx,

где 01 - угол падения, 02 - угол рассеяния,

Аа ВЬ

03 - азимутальный угол, F (01,02,03)=1/(^+“^Г+

+ c), ф(хо,Уо) = Axo + ВУо + Ch(xo,do), Ь(хоУо) = о’Ж[(хоуо), a = V()(sin01 - sin02cos03), b =

H()(sin02sin03), c = V()(cos01 + cos02), A = sin01 -sin02cos03, B = - sin02sin03, C = -(cos01 + cos02).

На основании (1о) индикатриса рассеяния по усредненной интенсивности поля g равна:

1—(кСа) 2

sinc\kALx) sin с2 (kBL ) +

f2AAA)

1 JV-1 M

+7

^ »=0 w=l

гж„\

^kA + Kqn cos ^

(&? + ^”sin^^

sinc2x

Обширная база данных из типовых характеристик поля рассеяния для различных фрактальных поверхностей в диапазоне СВЧ была получена нами в ИРЭ РАН в 2ооб г. Характерные примеры показаны на рис. 34 и 35. Расчеты проведены для

зоны Фраунгофера и падающей плоской волны; на поверхности нет точек с бесконечным градиентом; коэффициент Френеля VQ является постоянным на данной поверхности; масштабы поверхности значительно больше длины зондирующей волны. Отметим, что функция (6) W(x, у) описывает математические фракталы лишь при условии N ^ то и M ^ то. С возрастанием фрактальной размерности D моделируемой поверхности происходит увеличение неровностей и уменьшение их пространственного радиуса корреляции. Всегда при увеличении значения фрактальной размерности D необходимо контролировать точность расчетов характеристик поля рассеяния и условия выполнения приближения Кирхгофа для каждой пространственной гармоники рельефа.

При малых значениях D основная доля энергии рассеивается в зеркальном направлении. Боковые лепестки образуются из-за брэгговского рассеяния. С увеличением фрактальной размерности D поверхности рассеяния возрастает число боковых лепестков и их интенсивность. Угловой диапазон боковых лепестков также расширяется с увеличением D, когда высокие пространственные частоты начинают играть существенную роль.

В случае малых D классические и фрактальные методы расчета полей рассеяния совпадают. Значение D шероховатой поверхности может быть оце-

^jL

в

Рис. 34. Фрактальная поверхность и индикатриса рассеяния tg(0, О) при 1 = 2.2 мм и О г = 25°: (а) - фрактальная поверхность D = 2.2; N = M = 10; q = 2.7; (б) -g(Q, О); (в) -g(0, О) - вид сбоку.

Рис. 35. Фрактальная поверхность и индикатриса рассеяния g(Q, О3) при 1 = 3.0 см и Ог = 25°:(а) - фрактальная поверхность с D = 2.8; N = M = 10; q = 2.7; (б) -g(0, О); (в) -g(0, О3) - вид сбоку.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИЯ

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

нена из рассчитанных или измеренных характеристик поля рассеяния. На практике размеры облучаемой площадки должны быть, по крайней мере, в 2 раза больше основного периода структуры поверхности, чтобы информация об ее фрактальных параметрах содержалась в характеристиках рассеяния.

14. ХАОТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА В ПРОЦЕССАХ РАССЕЯНИЯ ММВ РАСТИТЕЛЬНЫМИ ЗЕМНЫМИ ПОКРОВАМИ

Обработка огибающих отраженных радиолокационных сигналов на длине волны 2.2 мм позволила впервые определить в фазовом пространстве характеристики странного аттрактора, управляющего рассеянием миллиметровых волн [1, 2, 7]. Радиолокационные данные получены лично автором на полигоне в натурных экспериментах еще в период 1979-1980 гг.

Для измерения и реконструкции странного аттрактора были использованы оценки фрактальной размерности D, размерности вложения т, максимального показателя Ляпунова \у, а также времени предсказания Tmax. Расчет корреляционного интеграла C(r) проводился с использованием теоремы Такенса. Были получены следующие значения (рис. 36): D = 1 ± 1,84 « 2,8; т = 7; 11 > 0,6 бит/c; Tmax ~ 1,7 c при экспериментальном времени корреляции интенсивности отраженного сигнала T ~ 210 мс и скорости ветра 3 м/с.

Следовательно, если текущие условия измеряются с точностью до 1 бита, то вся предсказательная мощность во времени потеряется примерно за 1,7 с. При этом интервал предсказания Tmax интенсивности радиолокационного сигнала превышает время корреляции примерно в 8 раз. Полученные результаты показывают, что для корректного описания процесса рассеяния радиоволн требуется не более 5 независимых переменных.

Корреляционный интеграл C(r) можно также применять как средство разделения режимов детерминированного хаоса и белого шума. Полу-

ченные данные совместно с семейством фрактальных распределений лежат в основе новой динамической модели сигналов, рассеянных растительными покровами.

Для дальнейшего развития предложенной автором динамической, с фрактальными параметрами, модели рассеяния электромагнитных волн растительными покровами были определены показатели Херста [1]. При фрактальной обработке одномерных выборок |(t) случайного процесса и временных рядов в настоящее время часто используется метод нормированного размаха или метод Херста. В этом случае указанные выше процессы характеризуются показателем Херста или коразмерностью H. Для расчета показателя Херста H одномерной выборки необходимо рассчитать ее нормированный размах R/S. Для всевозможных случайных процессов данная величина подчиняется следующему эмпирическому соотношению:

R/S =

В формуле (12) R(t) = m axX(t,T) - min X(t,T) -максимальный размах амплитуд случайного процесса в рассматриваемой выборке, t - дискретное время с целочисленными значениями, T - длительность рассматриваемого промежутка времени,

X(t,T) = —{4)i}- отклонение \(u) от

1-А

среднего значения, = — Х*м- среднее

значение на интервале T, S

-iim-it),}1

1/2

среднеквадратичное отклонение.

Необходимо отметить, что метод Херста - это исключительно устойчивый метод. В его основе нет изначального предположения о гауссовских распределениях. Для одномерного отраженного сигнала фрактальная размерность D, характеризующая его структурные свойства, при условии 0 < H < 1 связана следующим соотношением с показателем Херста:

Рис. 36. Вид экрана компьютера с зависимостями D и С(г) процессов: слева - радиолокационные отражения от травы (длина волны\=2,2 мм); справа - гауссовский шум.

ИИ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

95

D = 2 - H.

В случае двумерного процесса с параметром H соотношение (13), определяющее фрактальную размерность D, необходимо записывать в виде:

D = 3 - H.

Хорошо известно [1, 2], что случай У < H < 1 соответствует персистентному процессу (процессу, сохраняющему наблюдаемую тенденцию роста или уменьшения мгновенных амплитуд в выборке, т.е. процессу с памятью). При этом очевидны тренды в исследуемом процессе. Это справедливо в среднем и для произвольно больших временных интервалов t. Когда H ^ 1, временной ряд становится менее зашумленным.

Случай 0 < H < У соответствует антиперсистентному процессу (при этом рост амплитуд огибающей сигнала в «прошлом» означает уменьшение в «будущем», и наоборот). Антиперсистентное значение Н характеризует систему, более подверженную переменам. Данный тип систем часто называют «возврат к среднему». Значение H = У соответствует классическому броуновскому движению, являющемся марковским процессом. Для оценки параметра Херста также используют и структурные функции случайного процесса. На практике считают, что показатель Херста можно достаточно точно оценить, используя выборки, состоящие примерно из 2500 измерений [1].

Предложенная динамическая модель рассеяния электромагнитных волн земными покровами принципиально отличается от существующих классических моделей. Она имеет конечное число степеней свободы, описывает процессы негауссовского рассеяния и впервые вводит в рассмотрение интервал предсказания интенсивности принятого радиолокационного сигнала и его фрактальные характеристики (сигнатуры).

15. ЭФФЕКТЫ СКЕЙЛИНГА ПРИ ФРАКТАЛЬНОМ ОБНАРУЖЕНИИ АКУСТИЧЕСКОГО СИГНАЛА В СЛОЖНЫХ УСЛОВИЯХ НА МЕСТНОСТИ

Акустические сигналы с точки зрения их аналитического представления характеризуются большим разбросом определяющих параметров, в отличие от радиосигналов. Объясняется это произвольной природой формирования таких сигналов. Попытка построить пассивную систему акустической локации, основанную на разностно-дальномерном методе, привела в 2005 г. к необходимости разработки новых методов непараметрического обнаружения сигналов на фрактальных принципах [17].

Например, широко используемое для радиосигналов комплексное представление в случае акустического сигнала малоэффективно. В подтверждение этого рассмотрим временную реализацию типичного звукового сигнала - выстрел на открытой местности. Средняя дистанция до датчиков -600 м. Как видим (рис. 37), это некоторый периодический сигнал, близкий по форме к синусоиде с изменяющейся во времени амплитудой.

Может сложиться впечатление, что представление такого сигнала в виде u(t) = A(t)sin(w0t + ф) или в комплексной форме иД ) = A(t)(cosф + шпф), где A(t) - огибающая сигнала, позволит избавиться от осциллирующего характера сигнала и тем самым улучшить вид корреляционной функции, что важно для определения ее максимумов и последующего решения задачи определения местоположения источника сигнала (выстрела). Однако для корректной оценки эффективности такого представления следует обратиться к изображению процесса в фазовой плоскости (рис. 38).

20000

=t 10000 0)

>1

? -10000

-20000

-30000 J

л 11 1 А Д

_ _ _ _ III m 1 1 J ц\/

сз (м ч ш со о гм ш со о Td Цоо fTMf

t, и с

Рис. 37. Импульсный акустический сигнал от выстрела.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

96

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

-8000

uft), уел. ед.

Рис. 38. Выстрел на фазовой плоскости.

Из рис. 38 видно, что U = Vu2(t) + [u^t)]2 Ф const даже при малых, по сравнению с орбитальным периодом, значениях t. Если все же попытаться аппроксимировать фазовую траекторию процесса некоторой окружностью, т.е. представить процесс как узкополосный, то очевидно, что комплексное представление сигнала может дать значение некоторой «огибающей» процесса в целом. Однако такое представление будет весьма приближенным. Так, на рис. 39а представлена «огибающая» сигнала с частотой 600 Гц. Видно, что максимальное значение «опорной синусоиды» меньше максимального значения полного сигнала в 2 раза.

Самое важное то, что использование такого или подобного приближения (гармонической аппроксимации, измерения дисперсии по выборке), не позволяет отделить полезный сигнал от эхо-вого. На рис. 39б показана производная по огибающей, откуда видно, что даже обнаружение по фронту импульса в этом случае представляет сложную задачу. Взаимная корреляционная функция R(t) от двух узкополосных процессов представляет собой быстро осциллирующую функцию с большим числом максимумов. А ее огибающая - неинформативна; она имеет длительность, большей частью представляющей эхо (рис. 40 и 41).

Здесь показан тот же сигнал, что и ранее, но только полностью - вместе с пришедшим на пункт приема эхом. Общая длительность полезного сигнала и эха достигает одной секунды, тогда как длительность полезного сигнала составляет всего 35 мс при максимально возможной разности хода по базам - 65 мс. Последнее приводит к усложнению алгоритма обнаружения - необходимо «знать», что сигнал еще не закончился, так как в противном случае нельзя оценить время прихода и, соответственно, нельзя решить задачу местоопреде-

ления. Установка высокого порога обнаружения приведет лишь к ограничению зоны действия системы. Кроме того, длительное эхо будет маскировать другие слабые сигналы.

Таким образом, использование временного описания для всех акустических сигналов, кроме узкополосного непрерывного сигнала, является более предпочтительным. Функции взаимной корреляции имеют выраженный максимум, но выраженность этого максимума сильно зависит от предварительной оценки длительности полезного сигнала. В случае большого времени накопления (неправильной оценки длительности сигнала) выраженность максимума исчезает из-за квазигармонического характера помехи - эха. Слишком малая длительность ухудшает отношение сигнал/по-меха q\ на выходе коррелятора.

Поэтому более предпочтительным представляется использование многоканальной корреляционной обработки с различными «оценочными» временами накопления коррелятора. Обнаружение в этом случае может быть произведено по превышению порога по коэффициенту корреляции в каком-либо из каналов. Чем больше каналов, тем выше вероятность обнаружения. Результаты корреляционной обработки импульсного акустического сигнала представлены на рис. 42а.

Хорошо видна зависимость качества корреляционной функции от априорной оценки длительности сигнала. Однако, такой подход потребует больших затрат на обработку, и не ясно, что делать в случае появления противоречивых оценок максимума корреляционной функции R(t) в разных каналах.

Решить задачу в автоматическом режиме при неопределенности в частотно-временных параметрах сигнала помогла нам простейшая гипотеза самоподобия или фрактальности полезного сигна-

ДВЯ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

97

Рис. 39. Огибающая акустического импульса а) временная диаграмма,

б) производная.

t, и с

Рис.40. Звуковой импульс (выстрел) вместе с эхом.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИЯ

98

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

1 2000 п 1 0000 -$ 8000 -5 бооо - й 4000 - 4 2000 -п -

I I м 11 J L I .

Ml ш ш Jll 1 If |L 1 ll [L 1L J 1 1 1 .

щ\ W 111 И

С 0,1 63,6 127 191 254 318 381 445 508 572 635 J 699 о 762 826 889 953 1016 1080 1143 1207 1270 1334 1397

Рис. 41. Огибающая импульсного акустического сигнала (выстрел).

Рис. 42. Вид взаимной корреляционной функции R(t) акустического импульса (выстрел) при различных оценках длительности сигнала (а) и оценка c(t) для того же сигнала (б).

ла: s(t) = ks(t - 0.5 T)| 0< t< T где T - длительность сигнала, k - произвольная постоянная. Несмотря на очевидную простоту, данный подход позволил в натурных экспериментах уверенно отделить импульсный акустический сигнал от эхового сигнала - «хвоста».

Дело в том, что при допущении s0

мы имеем

c

l

jV (/ + t)s° (t + r)dr

^s(uf dr

s\t) = s{t~)

?o»l

+1-

Главное, что c(t) ^ 1 даже при ошибочном определении длительности сигнала (например, T = T/m) до тех пор, пока величина T не нарушит условия самоподобия хотя бы какой-то малой части сигнала. Если же T' > T, следует ожидать, что c(t) ^ 0, особенно при T' >> T.

Данные соображения были применены для синтеза алгоритма обнаружения импульсного акустического сигнала (выстрел). Задача решалась на разнесенной системе из трех датчиков, образующих две базы. Местоположение источника определялось разностно-дальномерным методом по абсолютным временам прихода сигнала. Размеры баз составляли 20 м.

ИИ НОМЕР I ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

99

На рис. 42б рядом с оценками R(t) показаны оценки c(t). Видно, что последние гораздо более устойчивы при различных значениях T. Таким образом, рассмотрение сигнала, как фрактального множества, позволило решить задачу его автоматического обнаружения даже в случае сильных коррелированных помех. При этом методы корреляционной обработки и различные амплитудные обнаружители являются малоэффективными из-за особенной структуры акустического импульса. Предложенный подход требует меньших затрат, т.к. на каждом шаге нужно не более kT/А вычислений (T - длительность сигнала, А - шаг дискретизации, k - постоянная), для корреляционной обработки необходимо не менее k(T/A)2.

16. ФРАКТАЛЬНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ РАДИОВОЛН, РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ В ТРОПОСФЕРЕ,

И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ D

При распространении электромагнитных волн в атмосфере необходимо принимать во внимание турбулентность, вызывающую флуктуации показателя преломления. Особенность атмосферной турбулентности - ее многомасштабность и перемежаемость. Структура турбулентного потока характеризуется наложением турбулентных пульсаций различных масштабов на крупномасштабный поток.

Принципиально новой идеей является идея о стохастизации турбулентности благодаря возникновениям в ее фазовом пространстве странных аттракторов без требования случайности в начальных условиях, а также когерентных структур (см., например, [1, 50]). В современной теории турбулентности полагается, что вихревые слои свертываются в бесконечно сложные фрактальные структуры.

Интенсивное развитие теории фракталов в приложении к радиофизике и радиолокации вызывает интерес получить на ее основе принципиально новые средства анализа процессов распространения и рассеяния радиоволн в атмосфере. В монографии [1] даны обзоры многих работ иностранных авторов по обнаружению эффектов скейлинга, малоразмерного хаоса и фрактально-сти при описании турбулентности, гидрометеоров, молний, атмосферных аэрозолей, а также при распространении волн во фрактальных средах.

Как отмечалось выше в п. 2, автором совместно с представителями ЦКБ «Алмаз» в начале 80-х гг. XX в. проводились многомасштабные экспериментальные работы по созданию банка дан-

ных по пространственно-временным характеристикам рассеяния ММВ для последующего анализа и синтеза текстур РЛИ земных покровов. При этом создавались новые методики формирования РЛИ неоднородной земной поверхности с помощью простых и сложных фазоманипулирован-ных сигналов сверхбольшой базы (>106), исследовались вклады пространственно-временного распределения гидрометеорных образований на характеристики изображений в диапазоне ММВ. В итоге была предложена и разработана обобщенная радиофизическая модель формирования радиолокационных карт (длина волны \ = 8,6 мм) неоднородной местности в различных метеоусловиях.

Наряду с этим был проведен и ряд натурных экспериментов по экспресс-анализу фрактальных флуктуаций сверхширокополосных и простых сигналов на ММВ и сантиметровых волнах (СМВ) в турбулентной тропосфере (в то время это было экзотикой) при стробировании дистанции по дальности [32, 37, 50]. Средняя скорость ветра при проведении натурных экспериментов равнялась 3 ± 0,5 м/с.

Простейшая обработка показала, что в летнее время (температура воздуха 20-25°) на приземной трассе протяженностью около 150 м на высоте 10 м и длине волны излучения \ = 8,6 мм для амплитудных флуктуаций фрактальная размерность D « 1,63. В этом случае параметр Херста (коразмерность) равен H « 0,37. В случае радиолокационного зондирования фрактальная размерность повышалась до D « 1,72 (H « 0,28).

При моросящем дожде фрактальная размерность амплитудных флуктуаций уменьшалась до значений порядка D « 1,59 (H « 0,41). Величина среднеквадратичного отклонения во всех случаях не превышала значения 0,02. В экспериментах никогда не наблюдались процессы с H = 1,5. Таким образом, в процессе наших натурных экспериментов наблюдались исключительно антиперсистентные процессы.

В моделях случайного каскада, позволяющих демонстрировать перемежаемость и получать нетривиальные скейлинговые законы, при использовании преобразований Лежандра часто возникают отрицательные фрактальные размерности D. В рамках процедуры ренормализации по Крамеру это просто означает, что коразмерность H больше трех, и вероятность pl встретить соответствующий скейлинг стремится к нулю быстрее, чем l [32, 37, 50]. Иначе говоря, отрицательную фрактальную размерность D (!) можно понимать как параметр, управляющий скоростью разрежения последовательности множеств, сходящихся к пустому множеству.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

100

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

17. АВТОРСКИЕ

КОНЦЕПЦИИ ФРАКТАЛЬНЫХ ИМПЕДАНСОВ И ФРАКТАЛЬНЫХ РАДИОСИСТЕМ

Основываясь на полученных и частично приведенных в данной статье результатах, мы можем смело говорить о проектировании не только фрактальных элементов (устройств), но и непосредственно фрактальных радиосистем (рис. 43).

Такие фрактальные радиосистемы включают в себя фрактальные антенны и цифровые фрактальные обнаружители, основаны на фрактальных методах обработки информации, а в перспективе могут использовать фрактальные методы модуляции и демодуляции радиосигналов [1, 2, 22, 23, 29-34, 48-50].

На основе нанофазных материалов также можно создать планарные и объемные наноструктуры, моделирующие рассмотренные выше «фрактальные» радиоэлементы и радиоустройства микроэлектроники, т.е. речь идет о построении элементной базы нового поколения на основе фрактальных эффектов и свойств (рис. 1). В частности, элементарное обобщение канторова множества на физическом уровне позволяет перейти к так называемым канторовым блокам в планарной технологии молекулярных наноструктур.

Применение рекурсивного процесса позволяет, в принципе, создавать самоподобную иерархическую структуру, вплоть до отдельных проводящих дорожек в микросхеме и в наноструктурах. При этом необходимо рассчитывать взаимное и коллективное влияние всех электромагнитных полей со всеми компонентами микросхемы: проводящие дорожки, полупроводник, диэлектрик и т.д.

Моделирование фрактальных импедансов в физическом виде непосредственно связано с вопросами конструирования фрактальных антенн и других фрактальных частотно-избирательных структур на основе соответствующих поверхностей и объемов. В настоящее время именно микроскопические фрактальные антенны составляют наиболее перспективную основу [1, 27, 44-46, 48-50] для синтеза новых фрактальных радиоэлементов и устройств на их основе (рис. 43). Набор фрактальных поверхностей в соответствующие «стопки» или «сборки» при их различном взаимном положении позволяет создавать широкий класс фрактальных устройств, имеющих достаточно необычные свойства, существенно расширяющие возможности классических радиоустройств (например, фрактальный резонатор, имеющий более малые размеры и более широкий спектральный набор мод по сравнению с классическим).

Рис. 43. Авторская концепция фрактальных радиосистем и устройств.

ДВЯ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

101

Относительно дробных операторов можно отметить следующее. Задолго до введения понятия динамической системы дробного порядка и появления работ о фрактальной природе реальных объектов было замечено, что поведение некоторых процессов и объектов (распространение тепла, вязкоупругие свойства материалов, диффузия и др.) не укладывается в рамки традиционного описания с помощью дифференциальных уравнений целого порядка. Более точно эти процессы и объекты количественно описываются операторами дробного интегродифференцирования (ДИД) Da[f(t)], где - 1 < а < 1.

Несмотря на то, что понятие оператора ДИД было известно уже в конце XVII в., начало широкого применения дробного исчисления в науке и технике можно отнести к концу восьмидесятых - началу девяностых годов прошлого века [1, 50]. Физически операторы дробного интегрирования играют роль своеобразных «фильтров», выделяющих только те составляющие, которые локализованы на фрактальных (дробных) множествах исследуемого процесса.

Наличие в уравнениях дробной производной современными исследователями интерпретируется как отражение особого свойства про-цесса/системы - память или немарковость (эре-дитарность). Отметим, что в последнее время в научном мире интенсивно обсуждаются фрактальные объекты и процессы, имеющие отрицательные и комплексные дробные степени [37, 45, 46, 50].

Физическое моделирование дробных интегральных и дифференциальных операторов позволяет на основе нанотехнологий создавать радиоэлементы на пассивных элементах, моделирующие фрактальные импедансы Z(w) с частотным скей-лингом Z(w) = A(jw)-n, где 0 < п < 1, A - const, ы - угловая частота (см. п. 11 статьи). В такие модели легко ввести элемент случайности в виде изменения числа веточек или кластеров, различных коэффициентов скейлинга, варьирования толщины и количества элементов сборки и т.п. Здесь можно говорить о «модных» в настоящее время «фрактальных лабиринтах». Такие фрактальные конструкции выполнимы при существующем уровне развития нанотехнологий. Для рассматриваемых задач автором предложены и используются в настоящее время следующие основные пути: а) миниатюрные фрактальные антенны, b) фрактальные структуры в фотонных и магнонных кристаллах, с) физическое моделирование фрактальных импе-дансов и дробных операторов, d) перколяцион-ный синтез наноструктурированных композитов и т.п.

Теория перколяции - теория, описывающая возникновение бесконечных связных структур или кластеров, состоящих из отдельных эле-

ментов. Представляя некую среду в виде решетки, можно сформулировать два типа задач. Можно выборочно случайным образом красить (открывать) узлы решетки, считая долю крашенных узлов основным независимым параметром и полагая два крашенных узла принадлежащими одному кластеру, если их можно соединить непрерывной цепочкой соседних крашенных узлов. Такие вопросы, как среднее число узлов в кластере, распределение кластеров по размерам, появление бесконечного кластера и доля входящих в него окрашенных узлов, составляют содержание математической задачи узлов.

Можно также выборочно красить (открывать) связи между соседними узлами и считать, что одному кластеру принадлежат узлы, соединенные цепочками открытых связей. Тогда те же самые вопросы о среднем числе узлов в кластере и т.д. составляют содержание задачи связей. Когда все узлы (или все связи) закрыты, решетка является моделью изолятора. Когда они все открыты и по проводящим связям через открытые узлы протекает ток, то решетка моделирует металл. При каком-то критическом значении произойдет перколяционный переход, являющийся геометрическим аналогом перехода металл-изолятор. Теория перколяции важна именно в окрестности перехода. Вдали от перехода достаточно аппроксимации эффективной среды. Перколяционный переход аналогичен фазовому переходу второго рода.

В настоящее время заметное внимание специалистов уделяется моделированию фрактальных объектов комплексной динамики различными диссипативными системами. Наиболее естественный путь моделирования - это использование сценария Фейгенбаума перехода к хаосу через удвоение периода. В контексте нашей работы множества Жюлиа, Фату и Мандельброта - также интересные объекты для физической разработки новых форм и видов фрактальных антенн и других фрактальных наноструктур и метаматериалов на их основе [1-3, 26-29, 32, 34, 41, 44, 50].

Предложенные впервые автором (рис. 43) фрактальные радиосистемы и фрактальные ра-диоэлементы/фрактальные импедансы открывают новые возможности в современной радиоэлектронике и могут иметь в будущем самые широкие перспективы практического применения.

Конечно, все многочисленные аспекты новых методов построения (анализ и синтез) радиосистем и радиоэлементов («фрактальных» в широком смысле) невозможно рассмотреть в данной статье. Главная цель - познакомить читателя с принципиально новыми фрактальными методами анализа и синтеза [1-50].

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

ЛО ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ W А. ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

18. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАТОРОВ ДРОБНОГО

ИНТЕГРИРОДИФФЕРЕНЦИРО-ВАНИЯ В СИНТЕЗЕ НОВЫХ ФРАКТАЛЬНЫХ РАДИОЭЛЕМЕНТОВ

Моделирование распределенных по Леви-Парето , а не по Гауссу, случайных величин приводит к процессам, описываемым дробными производными по пространственным и/или временным переменным. Напомним, что наличие в уравнениях дробной производной по времени интерпретируется как отражение особого свойства процесса - памяти или немарковости (эредитарность), а в случае дробной производной по координатам имеем самоподобную (т.е. фрактальную) неоднородную среду или структуру, в которой развивается процесс.

Математический аппарат операторов дробного интегрирования и дифференцирования (ДИД) незаменим для описания и исследования физических фрактальных систем, процессов стохастического переноса (фрактальные субдиффузия и супердиффузия, т.е. аномальная диффузия) и других фрактальных явлений. По сути дела, как неоднократно отмечено выше, дробные производные позволяют учитывать эффекты памяти и нелокальности в контексте единого математического формализма и описывают немарковские процессы с памятью [1, 50].

Работы по использованию этого аппарата в технических приложениях только начинаются и сдерживаются, по-видимому, необычностью математического аппарата дробных операторов для инженеров и отсутствием методов инженерного проектирования не только фрактальных радиосистем, но и фрактальных радиоэлементов и устройств. Из всего сказанного выше можно заключить, что практическая реализация фрактальных радиоэлементов, устройств и радиосистем может быть ускорена, в частности, путем физического моделирования дробных операторов [1, 16, 29, 32, 35, 38, 46, 50].

Физическое моделирование операторов ДИД позволяет на основе современных технологий (включая и нанотехнологии) создавать пассивные радиоэлементы, моделирующие фрактальные им-педансы Z(ra) с частотным скейлингом вида:

Z

где ы - угловая частота, Аа = const; а - порядок операции ДИД, которую можно реализовать, используя данный фрактальный импеданс вместо емкости в схеме классического интегратора или дифференциатора, 0 < а < 1; Za = Аа ы-а - модуль или амплитудно-частотная характеристика;

фа = а(п/2) = const - фазочастотная характеристика, представляющая собой постоянную величину при фиксированном показателе степени а.

Поэтому элементы, реализующие зависимость вида (16), в литературе еще называют «элементы с постоянной фазой» (сокращенно - ЭПФ), «фрактансы» или «фракторы». В работах автора впервые введено (и получило признание у специалистов) для таких элементов обобщенное название «фрактальные элементы» или «фрактальные импедансы», которое более точно отражает их физический смысл [1, 16, 29, 32, 35, 38, 46, 50].

19. ФРАКТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АДАПТАЦИИ

И ФРАКТАЛЬНЫЕ H-СИГНАЛЫ

Применение показателя Н в задачах распространения и рассеяния волн рассмотрено автором выше. Данные вопросы входят в круг общих вопросов эволюции открытых радиофизических систем при изменении внешних параметров и появления режима хаоса и точек бифуркаций; а более конкретно - к решению актуальных задач фрактальной адаптации обнаружителей радиолокационных сигналов [1-3, 22, 23, 28, 44-46, 48-50]. Как хорошо известно, для адаптивной задачи характерно изменение параметров и/или структуры системы в соответствии с внешними условиями.

Работа с выборкой сигнала на фоне помех и шума в пространстве дробной меры неизбежно приводит нас к алгоритмам (критериям) адаптивной фрактальной фильтрации. Адаптация такой нелинейной фрактальной фильтрации в условиях априорной неопределенности обеспечивается, в частности, текущей оценкой показателя Херста Н. Показатель Херста в зависимости от своего значения (см. выше) относительно величины H = 1/2 характеризует или персистентность (4 < H < 1) или антиперсистентность (0 < H < *4) текущей выборки.

В первом случае (см. п. 7), когда 4 < H < 1, мы наблюдаем процесс, сохраняющий тенденцию роста или уменьшения мгновенных амплитуд в выборке, т.е. процесс с памятью. Во втором случае, когда 0 < H < 4, мы наблюдаем процесс, более подверженный переменам, который часто обозначают как «возврат к среднему».

Фиксация значения H является встречной гипотезой, способствующей улучшению качества адаптации к реальным условиям. В общем случае устройство представляет следящую систему, адаптирующуюся по значениям показателя Херста Н к помеховой ситуации или, наоборот, к полезному сигналу. Примером адаптивной процедуры служит автоматическая регулировка усиления приемника в зависимости от текущей оценки H = f(t). В другой адаптивной процедуре происходит автома-

ИИ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

103

тическая регулировка порога обнаружения по значениям H = ft). При этом обеспечивается стабилизация вероятности ложной тревоги.

Необходимое значение параметра Н или его функциональную временную/частотную зависимость можно также предварительно «вкладывать» в зондирующий радиолокационный сигнал [1-3, 22, 23, 28, 44-46, 48-50]. При этом затрудняется обнаружение такого сигнала и измерение его параметров с целью создания преднамеренных помех. В этом случае мы синтезировали на практике абсолютно новые классы фрактальных простых или шумоподобных сигналов с использованием H-параметров (автор, впервые предложивший их, кратко обозначает такие фрактальные сигналы как «H-сигналы»).

Очевидно, что оценка текущего значения параметра Н легко может быть введена сегодня в теорию и практику классической обработки радиолокационной информации на фоне помех любого рода, не требуя существенных изменений в конструкции действующих радиосистем. Представляет также интерес вывести правила использования дополнительной информации о параметре Н выборки из соображений оптимальности. При этом учет значений показателя Херста Н повлияет на структуры оптимального или согласованного фильтра.

20. ЕЩЕ РАЗ О СКЕЙЛИНГЕ, СТЕПЕННЫХ ЗАКОНАХ И ДРОБНЫХ ОПЕРАТОРАХ

Фактически во всех естественных и искусственных динамических системах необходимо учитывать эффекты скейлинга, т.е. наличие множества различных пространственных и/или временных масштабов и всевозможные взаимодействия между ними (рис. 2). К обсуждению идей скейлин-га полезно подходить с точки зрения однородных функций. Как известно, функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая условию, что при одновременном умножении всех аргументов функции f (x, y, ..., и) на один и тот же произвольный множитель \ значение функции умножается на некоторую степень а этого множителя, называется однородной. Например, степенная функция ft) = bf удовлетворяет соотношению однородности или скейлингу

ft) = f)

при всех положительных значениях масштабного множителя \.

Естественно, что степенная функция, как и многие другие функции, удовлетворяющие скей-линговому соотношению (17), не являются фрактальными кривыми. Однако многие виды фракта-

лов (масштабно-инвариантные фракталы) обладают скейлинговой симметрией (рис. 2). Однородные функции обладают многими свойствами, делающими их весьма привлекательными для приближенного описания реальных процессов и объектов. Такие однородные функции играют очень важную роль в описании термодинамики фазовых переходов, в описании статистических свойств перколяции, в турбулентности, в современной ре-нормгрупповой теории критических явлений и т.п.

Очень часто из единственной посылки универсальности флуктуирующих систем с помощью скейлинговых оценок удается сделать далеко идущие выводы. Можно сказать, что степенные законы с целочисленными или дробными показателями являются генераторами самоподобия.

В математике на основе степенных функций построено дробное исчисление, введено понятие полюсов и создана теория вычетов, построена теория асимптотических разложений, введены устойчивые распределения. Негауссовские распределения, также как и недифференцируемые функции и сами фракталы очень часто гораздо точнее описывают временные и пространственные природные процессы [1-50]. Проникновение дробного исчисления в физику резко ускорилось после установления его тесной связи с устойчивыми распределениями теории вероятностей.

21. ПЕРСПЕКТИВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ

Здесь мы на основе работ [1-50] попытаемся дать общее видение наиболее перспективных направлений «фрактальных» исследований:

1. Исследование возможностей текстурных (пространственных и спектральных), фрактальных и энтропийных признаков для радиолокационных задач обнаружения.

2. Синтез новых моделей рассеяния радиолокационных сигналов земными покровами на основе теории детерминированного хаоса, странных аттракторов и фрактальных вероятностных распределений - устойчивых распределений.

3. Исследование волновых явлений (распространение и рассеяние волн, процессы диффузии) во фрактальных неоднородных средах на основе операторов дробного интегродифференци-рования. Дальнейшее развитие фрактальной электродинамики [1,43, 49, 50].

4. Синтез моделей каналов радиолокационных и телекоммуникационных систем на основе пространственных фрактальных обобщенных корреляторов и фрактальных частотных функций когерентности.

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

/Л А ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ W *+ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

5. Исследование возможностей распознавания формы или контуров целей с помощью фрактальных, текстурных и энтропийных признаков. Работа на сингулярностях входной функции.

6. Исследование потенциальных возможностей и ограничений фрактальных методов обработки радиолокационных и связных сигналов, в том числе фрактальной модуляции и демодуляции, фрактального кодирования и сжатия информации, фрактального синтеза изображений, фрактальных фильтров. Переход к фрактальным радиосистемам.

7. Исследование адаптивной пространственновременной обработки сигналов на основе дробной размерности и дробных операторов.

8. Поиск и исследование новых комбинированных методов обнаружения и распознавания классов малоконтрастных целей в интенсивных негауссовских помехах.

9. Исследование возможностей создания новых сред для передачи информации, многодиапазонных фрактальных поглощающих материалов, конструирование фрактальных антенн и фрактальных частотно - селективных поверхностей и объемов. Дальнейшее развитие теории и техники фрактальных импедансов.

10. Синтез новых классов фракталов и мультифракталов c обобщением понятия меры множеств.

11. Изучение вида или топологии выборки одномерного (многомерного) сигнала для задач, например, искусственного интеллекта с целью создания словарей фрактальных признаков на основе фрактальных примитивов, являющихся элементами фрактального языка с фрактальной грамматикой, т.е. исследование проблемы «размерностного склероза» физических сигналов и сигнатур. Эти понятия, введенные автором, предполагают исследование топологических особенностей каждой конкретной индивидуальной выборки, а не усредненных реализаций, имеющих зачастую другой характер.

12. Прогноз механизмов формирования и характеристик шероховатости с целью управления геометрическими параметрами микрорельефа для получения заданных физико-химических и эксплуатационных свойств изделий при современных неравновесных технологиях обработки их поверхностного слоя. Фракталы в нанотехнологиях (в 2008 г. автор предложил для широкого обсуждения еще одну свою новую, уже получившую развитие концепцию, а именно, «Скейлинг шероховатого фрактального слоя и нанотехнологии» [13, 16, 50]).

13. Развитие фрактальной неинерциальной релятивистской радиолокации в искривленном пространстве-времени связанных структур

[42], т.е. фрактальной геометрии пространства-

времени детерминированных структур.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время явно ощущается недостаточность традиционных физических моделей. Результативность радиофизических исследований может быть значительно повышена благодаря учету фрактальности волновых явлений, развивающихся на всех этапах излучения, рассеяния и распространения волн в различных средах. Кардинальные шаги, заключающиеся в переводе принятых радиосистемой сигналов целочисленной меры в пространство дробной меры и привлечение затем скейлинговых соотношений, позволяют привнести в традиционные области классической радиофизики и радиоэлектроники совершенно новые идеи и методы и получать на их основе достаточно неожиданные для практики, но физически обоснованные результаты.

Другими словами, полное описание процессов современной обработки сигналов и полей невозможно только с помощью формул классической математики. Учет фрактальности и скейлинга модифицирует основные уравнения физики. Дробное интегродифференцирование предлагает более богатый и более общий класс дифференциальных и интегральных операторов.

Для аппаратной реализации устройств и методов фрактальной радиоэлектроники необходима элементная база, позволяющая непосредственно выполнять обработку сигналов в пространстве дробной меры и моделировать фрактальные объекты и процессы, динамика которых подчиняется дифференциальным уравнениям дробного порядка - фрактальные импедансы.

Коренное отличие фрактальной радиофизики от классической связано с принципиально иным подходом к основным составляющим сигнала и поля. Это позволяет перейти на новый уровень информационной структуры реальных немарковских сигналов и полей.

В результате чтения лекций по разработанным автором «фрактальным» технологиям и докладам по проекту МНТЦ в 2000 г. и 2005 г. в США (Вашингтон, Нью-Йорк, Хантсвилл, Атланта, Франклин) в декабре 2005 г. американскими специалистами в официальном письме на имя директора ИРЭ РАН академика Ю.В. Гуляева были отмечены российский приоритет и важность данных исследований. Тогда же состоялась научная встреча А.А. Потапова с основателем фрактальной геометрии Б. Мандельбротом (см., авторский сайт http://www.potapov-fractal.com).

В книге [51] в подразделе «Локационные системы», раздел «Информационные технологии и вычислительные системы” (с. 41) размещен текст:

ИИ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

105

«Создан эталонный словарь фрактальных признаков оптических и радиоизображений, необходимый для реализации принципиально новых фрактальных методов обработки радиолокационной информации и синтеза высокоинформативных устройств обнаружения и распознавания слабых сигналов на фоне интенсивных негауссовских помех. Установлено, что для эффективного решения задач радиолокации и проектирования фрактальных обнаружителей многомерных радиосигналов существенное значение имеют дробная размерность, фрактальные сигнатуры и кепстры, а также текстурные сигнатуры фона местности (ИРЭ РАН)».

Становление теории фракталов - яркий пример развития нового направления науки, в равной мере основанного как на достижениях в весьма абстрактных областях математики, так и на новом взгляде на давно известный эмпирический материал, который до создания адекватных моделей не поддается даже научному описанию и интерпретации. Обладая большой объяснительной силой, теория фракталов стимулирует развитие естествознания. Применение теории фракталов позволяет вскрыть огромные неиспользуемые ранее резервы и применить их в области различных технических приложений.

Методы, аналогичные излагаемым в настоящей работе, могут быть применены при рассмотрении волновых и колебательных процессов в оптике, акустике и механике. Исходя из всего вышесказанного, можно объективно говорить о становлении московской научной школы фрактальных методов с центром в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН.

Автор надеется, что ему удалось показать Читателю на достаточно многочисленных примерах существующие и потенциальные фазовые точки применения фракталов, дробных операторов и эффектов скейлинга в науке и технике. По крайней мере: «При изучении наук примеры не менее поучительны, чем правила», И. Ньютон.

Работа выполнена частично при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 05-07-90349-в, № 0707-07005-д, № 07-07-12054 и № 07-08-00637-а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Потлпов А.А. Фракталы в радиофизике и радио-

локации: Топология выборки. Изд. 2-е, перераб. и доп. М.: Университетская книга, 2005, 848 с.

2. Потлпов А.А. Фракталы и хаос как основа новых прорывных технологий в современных радиосистемах. Дополнение к кн.: Кроновер Р. Фракталы и хаос в динамических системах / Пер. с англ.; Под ред. Т.Э. Кренкеля. М.: Техносфера, 2006,

с. 374-479.

3. Потлпов А.А., Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Пахомов А.А., Гермлн В.А. Новейшие методы обработки изображений / Под ред. А.А. Потапова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 496 с.

4. Potapov A.A., German V.A. Detection of Artificial Objects with Fractal Signatures // Pattern Recognition and Image Analysis. 1998, v. 8, № 2,

р. 226-229.

5. Потлпов А.А., Гермлн В.А. Применение фрактальных методов для обработки оптических и радиолокационных изображений земной поверхности // Радиотехника и электроника. 2000, т. 45, № 8, с. 946-953.

6. Потлпов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Фрактальный анализ сигналов // Радиотехника и электроника, 2001, т. 46, №3, с. 261-270.

7. Потлпов А.А., Гермлн В.А. Эффекты детерминированного хаоса и странный аттрактор при радиолокации динамической системы типа растительного покрова // Письма в ЖТФ. 2002, т. 28,

№ 14, с. 19-25.

8. Потлпов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. Основы теории рассеяния волн фрактальной поверхностью // Радиотехника и электроника.

2002, т. 47, № 5, с. 517-544.

9. Потлпов А.А. Новые информационные технологии на основе вероятностных текстурных и фрактальных признаков в радиолокационном обнаружении малоконтрастных целей // Радиотехника и электроника. 2003, т. 48, № 9, с. 1101-1119.

10. Потлпов А.А. Фракталы в задачах искусственного интеллекта: подходы, модели, некоторые результаты // Сб. тр. 3-го расширенного семинара «Использование методов искусственного интеллекта и высокопроизводительных вычислений в аэрокосмических исследованиях» (Переславль-Залесский, 26-27 ноября 2003 г., ИПС РАН).- М: Физматлит,

2003, с. 76-90.

11. Потлпов А.А. Топология выборки // Нелинейный мир. 2004, т. 2. №1, с. 4-13.

12. Потлпов А.А., Гермлн В.А. О методах измерения фрактальной размерности и фрактальных сигнатур многомерных стохастических сигналов // Радиотехника и электроника. 2004, т. 49, №12,

с. 1468-1491.

13. Потлпов А.А., Буллвкин В.В., Гермлн В.А., Вячесллвовл О.Ф. Исследование микрорельефа обработанных поверхностей с помощью методов фрактальных сигнатур // ЖТФ. 2005, т. 75, №5, с. 28-45.

14. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Потлпов А.А., Длвыдов А.Г. О проектировании фрактальных радиосистем. Численный анализ электродинамических свойств фрактальной антенны Серпинско-го // Радиотехника и электроника. 2005, т. 50, №9, с. 1070-1076.

15. Potapov A.A., Il’yin E.M., Chigin E.P. German V.A. Development and Structure of the

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

ГЛА. ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ W KJ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

First Etalon Dictionary of Fractal Properties of Target Classes// Electromagnetic Phenomena. 2005. V. 5, №2(15), р. 107-142.

16. Потлпов А.А., Потлпов А.А. (мл.), Потапов

В.А. Фрактальный конденсатор, дробные операторы и фрактальные импедансы // Нелинейный мир. 2006, т. 4, № 4-5, с. 172-187.

17. Герман В.А., Потлпов А.А. Пример использования гипотезы самоподобия в задаче обнаружения акустического сигнала // Нелинейный мир. 2006, т. 4, №4-5, с. 204-207.

18. Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Потлпов А.А., Герман В.А. Идеи скейлинга и дробной размерности в схеме фрактального обнаружителя радио-сигналов//Радиотехника и электроника. 2006, т. 51, № 8, с. 968-975.

19. Потлпов А.А., Герман В.А. Методы фрактальной обработки слабых сигналов и малоконтрастных изображений // Автометрия. 2006, т. 42, №5, с. 3-25.

20. Потлпов А.А. О фрактальной радиофизике и фрактальной радиоэлектронике // Сб. докл. Юбилейной науч.-техн. конф. «Инновации в радиотехнических инф ормационно -телекоммуникационных технологиях», посвященной 60-летию ОАО «РТИ им. ак. А.Л. Минца» и Факультета радиоэлектроники летательных аппаратов МАИ (Москва, 24-26 октября 2006 г.). М.: Изд. ЗАО «Экстра Принт», 2006. Часть 1, с. 66-84.

21. Потлпов А.А. К теории функционалов стохастических полей обратного рассеяния // Радиотехника и электроника. 2007, т. 52, №3, с. 261-310.

22. Потлпов А.А. О концепции фрактальных радиосистем и фрактальных устройств // Нелинейный мир. 2007, т. 5. №7-8, с. 415-444.

23. Потлпов А.А. Можно ли построить фрактальную радиосистему? // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007, т. 14, №4,

с. 742-744.

24. Potapov A.A., German V.A. Fractals, Fractal Target Selection and Fractal Antennas // Proc. 1st Int. Workshop on Mathematical Modeling of Physical Processes in Inhomogeneous Media, (Mexico, Guanajuato, Gto., March 20 - 22, 2001). Guanajuato. 2001, р. 44-46.

25. Potapov А.А. New Information Radiophysical Technologies Fractal in Radiolocation: Fractal and Synergetic // Proc. of 28th ESA Antenna Workshop on pace Antenna Systems and Technologies (Noordwijk, The Netherlands, 31May-03June 2005).-Noordwijk: ESTEC, 2005. Pt. 2, р. 1047-1050.

26. Потлпов А.А., Герман В.А., Потлпов В.А. Фрактальные антенны, фрактальные обнаружители слабых сигналов и фрактальные частотно-избирательные структуры, как основа новых радиоэлектронных систем и устройств // Тез. докл. Московской конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы современной физики» в рамках Российско-

го Научного Форума «Демидовские чтения» (Москва, 25-28 февраля 2006 г.). М.: Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН. 2006, с. 132-133.

27. Potapov A.A. Modern Classes of Fractal Antennas and Fractal Frequency Selective Surfaces and Volumes // Abstracts Int. Seminar «Days on Diffraction -2006» (Russia, SPb, 30 May-2 June 2006). SPb: SPbU, 2006, р. 84-85

28. Потлпов А.А. Фрактальные модели и методы в задачах нелинейной физики // Тез. докл. Между-нар. конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007», посвященный 150-летию со дня рождения академика А.М. Ляпунова (Санкт-Петербург, 4-8 июня 2007 г.). СПб.: Изд. СПГУ, 2007, с. 301.

29. Потлпов А.А. Дробные и целые топологические размерности как основные составляющие в топологии выборки многомерных сигналов и их обработке // Тез. докл. Междунар. конф. «Дифференциальные уравнения и топология», посв. 100-летию со дня рождения академика Л.С. Понтрягина (Москва, 17-22 июня 2008 г.). М.: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН и МГУ им. М.В. Ломоносова (Издательский отдел факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс), 2008. с. 478-479.

30. German V.A., Potapov A.A., Sykhonin E.V.

Fractal Characteristics of Radio Thermal Radiation of a Different Layer of Atmosphere in a Range of Millimeter Waves // Proc. PIERS 2009 in Moscow «Progress in Electromagnetics Research Symp.» (1821 August, 2009, Moscow, Russia). Cambridge, MA: Electromagnetics Academy, 2009, р. 1813-1817.

31. Matveev E.N., Potapov A.A. Fractal Antennas for the New Class of Radio Systems: Keily Tree and Circular Monopole // Proc. Int. Radar Symp.

(IRS - 2009)» (09-11 September, 2009, Hamburg, Germany) / Ed. H. Rohling.- Hamburg: Technical University Hamburg-Harburg and German Institute of Navigation (TUHH and DGON),

2009, р. 465-468.

32. Потлпов А.А. Фракталы, скейлинг, дробные операторы - применение в нанотехнологиях? // Сб. материалов Первой ежегодной НТК Нанотехнологического общества России «Развитие нанотехнологического проекта в России: состояние и перспективы» (Россия, Москва, 9 октября 2009 г.).-М.: НИЯУ-МИФИ, 2009. 5 стр. (http://ntsr.info/ nor/bulletin/seminars/index.php?ID=1601).

33. Потлпов А.А. Динамические фрактальные модели распространения и рассеяния волн случайнонеоднородными средами // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. 2008. № 4 (52), с. 11-17.

34. Potapov A.A. On Fractal Theory in Radio Engineering, Micro - and Nanoelectronics // Problems of Non-Linear Analysis in Engineering Systems. 2008. V. 14, № 1(29), р. 165-177.

35. Потлпов А.А. Фракталы, скейлинг и дробные операторы как основа новых методов обработ-

ИИ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

ПОТАПОВ А.А.

107

ки информации и конструирования фрактальных радиосистем // Технология и конструирование в электронной аппаратуре. 2008. № 5(77), с. 3-19.

36. ПотАпов А.А. О применении показателя Херста H в адаптивной фрактальной обработке информации и синтезе новых классов фрактальных «Н

- сигналов» // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008, т. 15, № 6, с. 1121-1123.

37. ПотАпов А.А. О фрактальных флуктуациях СВЧ

- радиоволн в поглощающей среде и об отрицательной фрактальной размерности // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008, т. 15, №6, с. 1123-1124.

38. Нигматуллин Р.Р., ПотАпов А.А. Дробные операторы и их приложения (итоги Международного симпозиума «Дробная производная и ее приложения») // Нелинейный мир. 2009, т. 7, №2,

с. 154-155.

39. ПотАпов А.А. Современное состояние применений в радиофизике фракталов, дробных операторов и скейлинга // Нелинейный мир. 2009. Т.7, №9, с. 658-664.

40. Матвеев Е.Н., ПотАпов А.А. Численное моделирование антенн с фрактальной геометрией // Нелинейный мир. 2009, т. 7, №9, с. 689-693.

41. Potapov A.A. The Textures, Fractal, Scaling Effects and Fractional Operators as a Basis of New Methods of Information Processing and Fractal Radio Systems Designing // Proc. SPIE. 2009. V. 7374, р. 73740E-1-73740E-14 (http://spie.org/x648.html ?product_ id=829032).

42. ПодосЕнов С.А., ПотАпов А.А.,

Соколов А.А. Импульсная электродинамика широкополосных радиосистем и поля связанных структур / Под ред. А.А. Потапова. М.: Радиотехника, 2003. 720 с.

43. Боголюбов А.Н., ПотАпов А.А., Рехвиаш-вили С.Ш. Способ введения дробного интегро-дифференцирования в классической электродинамике // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2009. №4, с. 9-12; Боголюбов А.Н., Потапов А.А., Рехвиашвили С.Ш. Интерпретация решения диффузионно-волнового уравнения с использованием дробного интегродифференцирования

// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2010. №2, с. 80-81.

44. ПотАпов А.А. Фрактальные модели и методы на основе скейлинга в фундаментальных и прикладных проблемах современной физики // Сб. науч. тр. «Необратимые процессы в природе и технике» / Под ред. В.С. Горелика и А.Н. Морозова. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. Вып. II, с. 5-107.

45. ПотАпов А.А. Фрактальные методы исследования флуктуаций сигналов и динамических систем в пространстве дробной размерности // Глава в книге «Флуктуации и шумы в сложных системах живой

и неживой природы» / Под ред. Р.М. Юльметьева и др.- Казань: Министерство образования и науки

Республики Татарстан, 2008, с. 257-310.

46. ПотАпов А.А., Гильмутдинов А.Х., Ушаков

П.А. Фрактальные элементы и радиосистемы: Физические аспекты / Под ред. А.А. Потапова (Библиотека журнала «Нелинейный мир»: Научная серия «Фракталы. Хаос. Вероятность»). М.: Радиотехника, 2009. 200 с.

47. Антипов О.И., Неганов В.А., ПотАпов А.А.

Детерминированный хаос и фракталы в дискретнонелинейных системах / Предисловие акад. Ю.В. Гуляева и чл.-корр. РАН С.А. Никитова. М.: Радиотехника, 2009. 234 с.

48. Potapov А.А. Fractal Radio Physics and Radio Electronics. The Design of Fractal Radio Systems // Proc. Int. Conf. «Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence» (MSS-09), devoted to Prof. S.S. Moiseev’s memory regards to his 80-th year birthday (Russia, Moscow, Space Research Institute of RAS, November 23 - 25, 2009). - M.: URSS Publishing House, 2009, р. 18 - 23. (http://www.iki. rssi.ru/conf/mss09/index.htm).

49. Potapov A.A. Can we Build an Adaptive Fractal Radio System? // Proc. PIERS 2009 in Moscow «Progress in Electromagnetics Research Symp.» (18-21 August, 2009, Moscow, Russia). Cambridge, MA: Electromagnetics Academy, 2009, р. 1798-1802.

50. ПотАпов А.А., Черных В.А. Дробное исчисление А.В. Летникова, теория фракталов и скейлинг / Под ред. А.А. Потапова. М.: Физматлит, 2010.

820 с.

51. Отчетный доклад Президиума Российской академии наук. Научные достижения Российской академии наук в 2007 году. М.: Наука, 2008. 204 с.

52. ПотАпов А.А. Синтез изображений земных покровов в оптическом и миллиметровом диапазонах волн. Дис. ... доктора физ.-мат. наук. ИРЭ РАН, Москва, 1994, 436 с.

53. Опаленов Ю.В., ПотАпов А.А., Федюнин

С.Ю. Формирование сложных фазоманипулиро-ванных сигналов в задачах дистанционного зондирования // Тез. докл. НТК «Формирование сложных сигналов» (Суздаль, 28 ноября - 1 декабря 1988 г.). М.: Союз НИО СССР, 1988, с. 49.

Потлпов Александр Алексеевич, д.ф.-м.н., гл.н.с. ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, действительный член РАЕН,

125009, г. Москва, ул. Моховая, д. 11, корп. 7, тел.: (495)629-3406,

e-mail: potapov@cplire.ru; www.potapov-fractal.com

РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ | 2009 | ТОМ 1 | НОМЕР ИД

108

ФРАКТАЛЫ, СКЕЙЛИНГ И ДРОБНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ФИЗИКЕ И РАДИОТЕХНИКЕ

ФРАКТАЛЬНАЯ РАДИОЭЛЕКТРОНИКА

FRACTALS, SCALING AND FRACTIONAL OPERATORS IN PHYSICS AND RADIO ENGINEERING

Potapov A.A.

Kotel’nikov Institute of Radio Engineering and Electronics of RAS, 125009 Moscow

Review of the numerous results that were obtained by the author using the fractal theory and the fractional measure theory by taking into account scaling effects of the real radio signals and electromagnetic fields has been presented in the paper. The investigations have been performed in the framework of fundamental science direction «Fractal radio physics and fractal radio electronics: Fractal radio systems designing» that was proposed and being developed by the author in IREE RAS since the eighties of XX.

ИИ НОМЕР | ТОМ 1 | 2009 | РАДИОЭЛЕКТРОНИКА | НАНОСИСТЕМЫ | ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ