Нелинейная динамика заряженных частиц в накопительном кольце и методы компенсации влияния высших порядков магнитного поля

УДК 517.928+517.938+621.384.6

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2007, вып. 4

А. Н. Чеченин

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В НАКОПИТЕЛЬНОМ КОЛЬЦЕ И МЕТОДЫ КОМПЕНСАЦИИ ВЛИЯНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

1. Введение. Известно, что для описания движения заряженных частиц в электромагнитном поле широко используется гамильтонов формализм [1-3]. Огромное значение он имеет и для приближенных методов теории возмущений. Обоснование методов теории возмущений существенно отличается в таком случае от применяемых для нега-мильтоновых систем [4]. В целом данный математический аппарат позволяет исследовать нелинейную динамику заряженных частиц в циклических ускорителях. Важность этой проблемы связана как с самим объектом наблюдения, так и с повышением требований к выбору и точности параметров современной ускорительной техники. Во-первых, по своей природе данная динамическая система описывается нелинейными уравнениями. Во-вторых, в ходе длительной эволюции пучка частиц в циклических ускорителях успевают проявиться и оказывают решающее воздействие нелинейные эффекты высших порядков. В настоящей работе приводится последовательный вывод основных соотношений вплоть до гамильтониана, описывающего движение заряженных частиц в поперечном магнитном поле ускорителя, во втором порядке резонансной канонической теории возмущений. На основе полученных результатов проводится качественный анализ динамической системы в резонансном случае и предлагаются критерии и схемы подавления нежелательных нелинейных эффектов применительно к проекту высокоэнергетического антипротонного накопительного кольца HESR (High Energy Storage Ring) в рамках международной программы FAIR (Facility of Antiproton and Ion Research) [5].

2. Основные соотношения. Гамильтониан заряженной частицы в поперечном магнитном поле циклического ускорителя. Рассмотрим функцию Гамильтона в общем виде для частицы с зарядом е, двигающуюся в электромагнитном поле с векторным и скалярным потенциалами А и уз в декартовой (лабораторной) системе координат {x,y,z} (см. [1-3]):

/ 2\ H

где то - масса покоя частицы; с - скорость света; q,P - векторы канонически сопряженных координат и импульсов соответственно; t - независимая переменная, «время». Уравнения движения получаются при подстановке гамильтониана (1) в систему канонических уравнений

dt ~ дР ' dt ~ <9q ' ( '

В теории ускорителей из всего множества траекторий, описываемых уравнениями (2), принято выделять одну, которую называют равновесной, рассматривая относительно нее траектории движения других частиц. Равновесная траектория задается радиус-вектором го (s), где в качестве независимой переменной s рассматривается длина дуги

© А. Н. Чеченин, 2007

кривой, отсчитываемой от некоторой начальной точки. Для циклических ускорителей в качестве равновесной траектории обычно выбирается замкнутая через один оборот траектория частицы с некоторым расчетным («проектным») импульсом Р0. С точкой, движущейся вдоль этой траектории и определяемой радиус-вектором г0(в), связывается подвижный трехгранник векторов {п,Ь,т}. Для удобства вводится криволинейная система координат сопровождающего трехгранника {х, у, в} (натуральная система координат) и при помощи канонических преобразований (см. [6]) совершается переход в уравнениях движения из лабораторной системы координат в криволинейную систему - от набора канонически сопряженных переменных {х,у, г, Рх, Ру, Рг} к набору {х,у,8,Рх,Ру,Р3}. Так как рассматриваемая установка имеет магнитное поле, обладающее медианной плоскостью симметрии, то в качестве равновесной траектории будем рассматривать плоскую кривую (с нулевым кручением х — 0) - орбиту равновесной частицы с импульсом Ро. Совершая канонические преобразования к новым переменным {х,у^,Рх,Ру, — Е} с а в качестве независимой переменной, получим следующее выражение для гамильтониана:

{2 Ч г/2

в котором Ни Ео обозначают кривизну орбиты и полную энергию равновесной частицы. В зависимости от поставленной задачи в гамильтониане (3) возможно произвести допустимые с физической точки зрения упрощения. Нас интересуют машины коллайдерного типа (например, проектируемое накопительное кольцо НЕБЕ [5]), в которых важным условием является устойчивое движение частиц относительно равновесной траектории в течение длительного времени (имеется ввиду огромный путь частиц за время рабочего цикла). Поскольку для данной задачи нет необходимости рассматривать режим ускорения, то будем исследовать движение частиц в управляющем стационарном поперечном магнитном поле ускорителя в отсутствие сторонних токов и без учета собственного поля пучка заряженных частиц. В этом случае для потенциала электрического поля нужно положить = 0, а для компонент векторного потенциала можно записать Ах = Ау = 0. Нормализуем компоненты поперечного импульса Рхл на полный импульс Ро и) воспользовавшись оценкой 2Е$ >> е<р, разложим квадратный корень в ряд Тейлора в (3) по степеням малой величины

2еР , о2 , П2

+ р + р,

т0с2 /327 у'

Оставляя в данном разложении члены вплоть до первого порядка малости по переходим к гамильтониану

Р1 + Ру е Н = —Их + * " ~—Ав, 2 Р0с

где - компонента векторного потенциала внешнего управляющего магнитного поля, которая может быть найдена из решения уравнений Максвелла для любого магнитооптического элемента с соответствующими граничными условиями. Опуская громоздкие выкладки, сразу же запишем выражение для гамильтониана невозмущенного движения заряженной частицы с учетом разложения поперечного магнитного поля по мультипольным составляющим до четвертого порядка включительно:

(Рж2+Р2) (К + Ъ2) К 2 5 , О „ 2, О , 4 оо 44 Я = 2 + 2 Х ~~ ~2У+ 6 ( ~ У^ + 24 ( 6 У + У ^ +

+ ^

Коэффициенты К, Б, О в (4) отвечают квадрупольной, секступольной и октуполь-ной составляющим управляющего магнитного поля соответственно (или, по-другому, мультипольным компонентам Мп порядка п, где п = i + индексы - степени при х, у-координатах). Они являются функциями независимой переменной в и выражаются через производные компонент вектора магнитной индукции, которые могут быть найдены по так называемым картам поля, описывающим распределение поля, генерируемого тем или иным магнитным элементом. Карты поля могут быть построены с использованием датчика Холла, измеряющего разности потенциалов для различных сечений вдоль электрической оси исследуемой магнитной линзы.

Вводя относительное отклонение от импульса равновесной частицы <5 = АР/Ро для описания движения заряженных частиц с произвольным импульсом Р = Ро{1 + <5) вблизи равновесной траектории, используем. уравнения возмущенного движения. В этом случае, придерживаясь предыдущих рассуждений, из выражения для гамильтониана (3) несложно вывести гамильтониан возмущенного движения заряженной частицы в поперечном магнитном поле ускорителя:

(Р2 + Р2) [К + Н2) „ К 2 5 , з „ 2^

я = ~5Нх + + —г* - ~2У + 6 -Зху ) +

+ | (х4 - 6*У + 2/4) + ^ (2*3 - Зху2) +

+ ^

В выражении (5) учтены члены, содержащие компоненты импульса Рх<у, не выше второй степени. Для дальнейшего описания движения введем ряд специфических для физики ускорителей понятий, таких как бетатронная и дисперсионная функции, набег фазы бетатронных колебаний (см., например, [3,7]). Подставляя (5) в систему канонических уравнений (2), получим необходимые уравнения движения. Линеаризация этих уравнений при <5 = 0 позволяет прийти к известному уравнению Хилла для поперечного движения в обеих фазовых плоскостях. Его решение удобно представить в комплексной форме через бетатронную функцию /^(в) и набег фазы бетатронных колебаний на одном периоде ца в следующем виде (здесь и далее индекс а означает х или у в соответствии с рассматриваемой фазовой плоскостью):

Ф) = ехр[±г/хх], у(з) - /^/2(в) ехр[±г/ху].

Отсюда следует, что частица с равновесным импульсом и ненулевыми начальными координатами будет совершать бетатронные колебания вокруг равновесной траектории. Также отметим, что бетатронная функция определяется управляющим магнитным полем, т. е. самой структурой ускорителя, а под периодом подразумевается повторяющаяся последовательность магнитных элементов.

Для случая частиц с неравновесным импульсом ((5 ф 0) частное решение системы уравнений движения (2), (5) ищется в виде

ф) = £>

где дисперсионная функция £>(в) = £>о(в) + .¿Мв)^ + (в)62 + — Коэффициенты Di(s) могут быть найдены из последовательности рекуррентных дифференциальных

уравнений, которая строится при подстановке разложения £>(в) в систему (2), (5) и разделении по степеням 6. Физический же смысл дисперсионной функции заключается в описании траектории движения частицы с неравновесным импульсом. Итак, используя найденное частное решение (6), можно уничтожить линейный член в гамильтониане (5) при помощи канонической замены переменных {х,Рх} с производящей функцией , зависящей от новых импульсов Рт и старых координат дгп:

*1(Рт,<ы) = (х-П(з)б) {Рх + Г>'(«Ж1 + 5)) ,

тем самым сместив замкнутую орбиту для частицы с неравновесным импульсом в начало координат. Таким образом, исходный гамильтониан (5) в новых переменных будет иметь следующий вид:

Н1=Н°1+У1,

где Я° и Рх отвечают линейной части уравнений движения и нелинейному возмущению соответственно и определяются соотношениями

гго _ РХ + РУ , Кх+_Кх& 2 Ку + Куб 2

~~ 2

у, = + ^ху2 + 4 + 0^х2у2 + С±у4

Здесь введены обозначения:

Кх = 1г2 + К, Кх6 = В(2НК + Б)6 + (Ш)2(3ЛЯ + О)/2, Ку = -К, Ку6 = + 5)6 - (£><5)2(2ЛЯ + 0)/2,

Ях = 2М< + 5 + £>(ЗЛЯ + 5ху = -НК - 5 - £>(2ЛЯ + 0)5, Ох = ЗЛ5 + О, Оху = -2ЛЯ - О, Оу =-Л2Л" + ЛЯ + 0.

Формулы (7)-(9) описывают гамильтониан возмущенного движения заряженной частицы в поперечном магнитном поле циклического ускорителя с учетом членов до четвертого порядка включительно.

3. Резонансная каноническая теория возмущений динамики заряженной частицы в циклическом ускорителе. Для дальнейшего исследования динамики заряженной частицы удобно перейти в гамильтониане (7) к переменным «действие-угол» /х,у, Фх,у Производящая функция для этой замены переменных задается выражением

{X'

Ж

V

+ у

2

2

2/Зу

+

1ап (Фу + Шу(3))-^

В котором функция \Vais) = ¡¿(¡в/Ра^) - «Зс^/Д = Ца(з) - <3„в/Я, С]а = 1/27Г /0С (1з//За(з) - бетатронная частота, /ла(в) - набег фазы на интервале в, а Я — С/2-к - средний радиус циклического ускорителя, С - ее длина (для удобства за начало отсчета по в взято значение во =0). Тогда гамильтониан в новых переменных

Ненулевые коэффициенты Е31т

№ Формула X» Формула

1 тр20 _ "оо — -5(КХ - Кх)/ЗхЯ./2Д 11 ,7.40 "20 = 0*/32Я/ 12Д2

2 тг20 _ С-20 — -8 (Кх - Кх)ртЯ/2А 12 гр40 "40 = Ох/32Я/48Д2

3 1-.02 _ "00 — -6(Ку-Ку)/Зу Я/2Д 13 17.22 "00 = Оху0х/Зуя/АА2

4 р02 _ "02 — -5{Ку-Ку)руН12Д 14 тт.22 "20 = ОхурхруЯ/4 Д2

5 рЗО < — ч/25,^/2Я/4Д3/2 15 17.22 "02 = Оху(5хруП/4Д2

6 Е.30 _ "30 — уДБ^^Я/ 12Д3/2 16 Р22 "2-2 = ОхурхРуВ./8А2

7 р!2 _ "10 — У251у/зУ2/3,/Я/2Д3''2 17 Р22 "22 = ОхурхРу Я/8Д2

8 р 12 _ "1-2 - \/2£С!,ДУ2/3„Я/4Д3''2 18 с.04 "00 = 0„/?2Я/16Д2

9 Г? 12 _ "12 — уДЗХуР1/2/ЗуП./4Д3/2 19 р.04 "02 = Оу^Я/ПА2

10 пИО _ "оо — 0*/32Я/16Д2 20 п.04 "04 = ОуруВ,/48Д2

можно записать в виде

Я2 = Я2 + 1^2, Я° = <5х!х +

Е Е^

к,/, т

где - невозмущенная часть, линейно зависящая от переменных «действие», а -нелинейное возмущение, периодическое по фазам фх^у и в\ независимая угловая переменная 9 связана с старой в по формуле 9 = в/Щ индексы к} € М, {I, т} £ Ъ\ коэффициенты Е^ задаются таблицей ненулевых значений.

Наряду с тригонометрической формой записи гамильтониана (10) существует тождественная ей экспоненциальная форма, использование которой существенно упрощает дальнейшие выкладки. Для перехода к ней расширим множество коэффициентов, приведенных в таблице, за счет равенства Е^п = Е3^1_т. Тогда справедливо следующее разложение V?:

Ъ = \ Е Е£

Рассматривая выражение (11) как 27г-периодическую функцию независимой переменной 9, ее можно разложить в ряд Фурье.

В итоге гамильтониан

Я2 = Но + У2, Я2° = Х1Х + <5у1у,

-Ьоо

У2= Е Е }г^1тр13х,21у/2 ехр

], к,1,тр = —оо

В (12) коэффициенты И¡ытр определяются на множестве ненулевых Е31т по формуле

2тт

¡1]к,тр = ~ I Е^{9) ехр

о

Принимая во внимание выражение для IVа(в), можно утверждать, что нелинейное возмущение Vi в (12) содержит резонансные члены с медленно изменяющейся фазой при выполнении условия

nxQx+nyQy - р = 0 <=>

Здесь введено обозначение пх = I, пу = т. Причем величина \пх \ + \пу\ обусловливает порядок резонанса, ар- номер гармоники в разложении в ряд Фурье.

Наиболее полный качественный анализ движения системы с гамильтонианом (12), (13) становится возможным в случаях, когда система находится вблизи или, наоборот, вдали от сильных резонансов. В рамках задач по исследованию нелинейных эффектов в циклических ускорителях, в том числе накопительном кольце HESR, особый интерес представляет как раз резонансный случай. Для его изучения воспользуемся одним из методов усреднения - методом Цейпеля [4], суть которого заключается в поиске симлек-тической замены переменных, приводящей к гамильтониану, зависящему от медленных переменных (действия), а также, возможно, от быстрых (фазы), но только через их целочисленные резонансные комбинации.

Приведем систему (12) к стандартной для применения принципа усреднения форме. Формально домножим нелинейное возмущение V-, на малый параметр £, по степени которого будем определять порядок теории возмущений. Согласно методу Цейпеля, новые переменные {J, гр}, производящая функция S и новый гамильтониан Я3 ищутся в виде формальных рядов по е:

г т dS , , dS

S{J, ф,в,е) = J<fr + eS(J,4>,e,e), S(J,0,0,e) = 5i(J, ф,в) + eS2{ J, ф,в) + ..., (15) Я3( J, ф, в, е) = Я3°( J) + eVi (J, ф, в) + e2V32(J, ф,в) + ....

Следуя правилам канонических преобразований, получаем такое соотношение между новым и старым гамильтонианами:

H3

Раскладывая в выражении (16) Яз в ряд Тейлора по переменным гр вблизи ф, V2 -по переменным I вблизи ,7 и, группируя члены по степеням е, нетрудно прийти к рекуррентным уравнениям для определения 5j(J, ф,в) и V3l(J, ф,д). Их решения удобно выразить через оператор усреднения и интегрирующий оператор .

Определение 1. Пусть дана функция

f(J,(f>,6) = MJ)+ J2 /пР(^)ехр(г[(п ,ф)-рв]).

(п,р)ф О

Оператор усреднения и интегрирующий оператор по переменным ф, в для

функции f определяются формулами

(ЛФ'в =/о + £ fnp ехр (г [(п, ф) - рв]), Ir 1

в которых частоты Q = dfo/dJ, а 1г\ и Ir\ - множества целочисленных индексов п, р, образующих и не образующих резонансные комбинации (14) соответственно.

С учетом определения 1 решения представимы в виде

H3°(J) = H°2(J),

УЦЗ,ф,в) =

= (ф гЫ,Ф,в))Ф'в, Si(J, ф, в) = -{Ф^,ф,в)}Ф'е,

где г ^ 2, функции Фг(J, ф, в) известны по построению и представляют собой полиномы от OSi/дф, dSi/d.J, ..., dSi^i/Эф, dSi-i/dJ. После применения вышеописанной процедуры формальный параметр е полагается равным 1, тем самым выводим выражение для гамильтониана на резонансном множестве индексов n, р в необходимом порядке теории возмущений. В качестве недостатка данного метода можно указать на быстрое «усложнение» выражений с ростом порядка. Однако для анализа резонансных явлений в рассматриваемой динамической системе вполне достаточно ограничиться вторым порядком теории возмущений.

Получение гамильтониана в первом порядке теории возмущений фактически сводится к усреднению нелинейного возмущения V2 по фазам, что приводит к тому, что осциллирующие нерезонансные члены становятся равными нулю. Причем роль малого параметра возлагается на коэффициенты hjkimp> в силу малости рассматриваемого возмущения магнитного поля или отклонения от равновесного импульса. Для вывода гамильтониана во втором порядке используется каноническая замена переменных с производящей функцией S2, тем самым исключаются нерезонансные члены второго порядка малости по hjkimp• Опуская громоздкие выкладки, запишем гамильтониан во втором порядке теории возмущений:

H3(J, ф, в) =QXJX + QyJy +

+ \ Е hikimpJ3x/2 jу'2 ехр (г [I1фх + тфу - рв]) -

1г\

_ 1 V""4 hjjkjlimip! hj2k2hm2P2 J31+j2~2 x

8^ [l2Qx +m2Qy -p2] x X Jy 2 {jihJy + hm2Jx)exp(i[(h + 12)фх +Ц + т2)фу - {px р2)в)), (19) здесь резонансные множества индексов Ir\, Ir2 и нерезонансные Iv\, 1г2 определяются

In = {(j,k,l,m,p) € Z : ф 0, IQX + mQy-p = о} , Trx ={(j,k,l,m,p)eZ:Efa^ 0, IQX + mQy - p ф о} ,

Ir2 = {(ji,ki,h,mi,pi) £ In, (ji,k2,l2,m2,p2) € Ir1:

(h + h)Qx + (mi + m2)Qy - (pi + p2) - 0} , Ir2 ={üi,h,h,m1,pi) G In, (j2,k2,l2,m2,p2) 6 Ir1} {h + h)Qx + + m2)Qy - (pi + p2) ф 0} .

Гамильтониан (19) содержит «старые» фазы ф, которые могут быть выражены через «новые» ф по формулам (15) с использованием метода простых итераций, причем можно положить в первом приближении фМ = ф. Тогда во втором приближении можно записать ф^ = ф — 95(7, на нерезонансных множествах индексов 1г\,

1г2 (см. (17), (18)), что приводит лишь к появлению быстрых фаз и соответствующих им малых осциллирующих членов, которыми можно пренебречь в усредненной по этим фазам системе. Значит, достаточно использовать первое приближение ф = гр. Формулу (19) принято записывать более компактно в следующих обозначениях:

г—V М. К

Нъ^,ф,в) =<Эх^+

где суммирование производится по целочисленным индексам М, N ^ 0, п\,п2,р € (-оо;+оо). Подфункцией (/(М, ./V, Пх, п2,р) подразумевается выражение

д{М,И,п 1,п2,р) = <5(гс1<2х +п2С}у -р)х

¡¡тгрг ^?2^2<2™2Р2 XIПММп1П2Р-12^ [/2<9х + ГП2Яу - Р2]

Я

в [кЯх + Ш2Цу -р2]

в котором ¿(П1<5Х + п2С}у - р) = 6\р - символ Кронекера (Л = пх<Зх + п2<2у 6 Z), а множество индексов разбито на два подмножества А и В:

А : М/2 = (л+^-2)/2, N/2 = (к1+к2)/2; В: М/2 = (л+^)/2, N/2 = (к1+к2-2)/2;

А, В : П1 - (/х + 12), п2 = {тх + т2), р = (рх + р2).

4. Нелинейная динамика заряженной частицы в циклическом ускорителе.

Как указывалось ранее, идеология исследования нелинейной динамики заряженной частицы в циклическом ускорителе сводится к описанию явлений, к которым приводит воздействие возмущений в виде малых нелинейностей на идеализированную линейную колебательную систему. Из теории [2,3,7,8] известно, что наличие возмущений может привести к неустойчивости движения частиц. Например, для движения частиц в поперечном магнитном поле в циклических ускорителях это может быть неустойчивость бетатронных колебаний в силу возникновения резонансов возмущающей силы с колебаниями невозмущенной системы. Отсюда возникает необходимость компенсации нежелательных нелинейных эффектов, особенно в накопительных машинах с большим временем жизни пучка частиц (как, например, в НЕБЕ). Определяющую роль в изучении данных вопросов теории циклических ускорителей играет такой параметр как частота бетатронных колебаний (ее изменение). Эти частоты в обеих плоскостях <5х1г/ выбираются при проектировании и называются рабочей точкой. К причинам возникновения возмущающей силы можно отнести как саму структуру управляющего магнитного поля, так и ошибки в нем, вызванные отклонениями в силах и расположении магнитных элементов от расчетных значений.

4-1- Происхождение нелинейных эффектов. Присутствие нелинейностей с очевидностью следует из выражений для гамильтонианов (4), (7)-(9). Их можно классифицировать по причине возникновения следующим образом:

компоненты магнитного поля Мп в сочетании с кривизной К"1 (/г ф 0) порождают все мультиполи высших порядков М^щ (га+т) ;

любой мультиполь гг-го порядка Л/„ дает вклад во все низшие компоненты поля МТ1—[) в случае немонохроматического пучка (<5 ф 0) в местах с ненулевой дисперсией И (в) ф 0;

возможен случай, связанный с отклонением от равновесной орбиты, описываемый выражением

{х + Ах)п(у + Ду)т = хпут + Хп £ СгтАу{ут-'+

+ утЕ C{Ax>xn-i+ £ ClnCiAxi Ау1хп-*ут-\

j = l,n ¿=1,771

j=l,n

где п ф 0 и т ф 0 одновременно. Откуда следует, что любой мультиполь (п + т)-го порядка Мп+т дает вклад во все низшие компоненты поля Mj ^п+т_1у 4-2. Нелинейные эффекты в первом порядке теории возмущений. В общем случае магнитная оптика любого циклического ускорителя включает в себя поворотные магниты (диполи), квадрупольные, секступольные линзы и мультипольные корректоры. Последними называют магнитные линзы, которые при необходимости могут быть задействованы в различных корректирующих схемах путем возбуждения соответствующих компонент магнитного поля. Конкретный вид структуры, конечно, зависит от поставленных физических задач и возможности технической реализации. Не умаляя общности нижеследующих рассуждений, для удобства изложения будем рассматривать структуру проектируемого антипротонного накопителя HESR [5,9].

Данное накопительное кольцо с периметром 570 м состоит из двух «арок» и двух «прямых секций». Под арками подразумевается та часть элементов установки, проходя которую пучок частиц изменяет направление продольного движения на 180° (за счет дипольных магнитов). Прямые секции предназначены для экспериментальных установок и систем охлаждения частиц и «не разворачивают» пучок. Арки имеют 4-или 6-периодическую симметричную структуру (частоты бетатронных колебаний на арке равны соответственно 3 или 5). Каждый так называемый суперпериод включает в себя одинаковую последовательность магнитных элементов. Фокусировка частиц осуществляется квадрупольными линзами как на арках, объединенными в каждом суперпериоде в трех FODO-ячейках, так и на прямолинейных участках. Оптика с поворотными магнитами и квадруполями достаточно хорошо описывается линейными дифференциальными уравнениями, что следует из гамильтониана (7)-(9) с учетом малости кривизны h в большой кольцевой машине. Однако для частиц с отклонением от равновесного импульса эти уравнения дадут искаженные траектории из-за эффекта хроматической аберрации - изменения траектории частиц вследствие отклонения от равновесного импульса (аналогия заимствована из оптики). Хорошо известно, что данный эффект может быть скомпенсирован секступольными линзами, расположенными на арках в местах с ненулевой дисперсией. Математическое выражение этих фактов задается изменением частот бетатронных колебаний на всем периметре кольца следующими формулами:

с с

dQx,y _ 1 Г Й dQx,y

= -¿/^fp = J 0x,„(s)D(s)S{8)ds. о о

Здесь учитывается вклад секступолей в квадрупольную компоненту поля в сочетании с дисперсией (см. п. 4.1).

В свою очередь, секступольные линзы оказывают сильное воздействие на динамику движения частиц, приводя к нелинейным эффектам высших порядков. Рассмотрим возможность компенсации нелинейного влияния добавленных секступолей в первом порядке теории возмущений. Для этого обратимся к выражению (12) для гамильтониана Я2 с учетом ненулевых секступольных (г + з = 3) коэффициентов Е3^п, взятых из таблицы. Откуда видно, что в случае нелинейного резонанса подавить влияние секступолей в пределах одной арки можно приравниванием к нулю соответствующих коэффициентов Фурье hjklmp Это равносильно выполнению условия

]Г Я;£

¿=1,АГ 4=1,п

для всех значений з,к,1,т, где индексы ! и ( обозначают номера суперпериодов на арке и номера секступолей в каждом из них соответственно. Условие (22) может быть реализовано путем расстановки секступолей с набегом фазы ~рх за период с учетом четного числа суперпериодов на арке. При этом нужно «подобрать» пары секступольных линз, дающих близкий по модулю нелинейный вклад, и расположить их на арке с набегом фазы между ними 2тг(ЯхГу/М)(М/2) = 2-кЯхГу/2 (Ы - четное число суперпериодов, - частоты бетатронных колебаний на арке). Тогда с учетом периодичности ^-функций и равенства фаз в местах расположения секступолей в рамках суперпериода условие (22) можно заменить простым выражением

() — Зх,ху{@г+М/2,4) ~ 0.

Например, для НЕБЛ с 6-периодической структурой арок парные секступоли должны располагаться с набегом фазы 27г(5/6)(6/2) = 5тт через 3 суперпериода. Для увеличения эффективности действия данной схемы и уменьшения сил секступолей они размещаются в местах максимумов дисперсии и как можно ближе к квадруполям.

Также следует отметить, что благодаря октуполям в первом порядке теории возмущений появляется нелинейный сдвиг частоты. Данный вопрос будет изучен ниже в п. 4.3.

4-3. Нелинейные эффекты во втором порядке теории возмущений. Перейдем к рассмотрению нелинейных эффектов, которые описываются гамильтонианом Яз из (20), (21) во втором порядке теории возмущений. Обратимся к случаю нахождения системы в области сильного резонанса третьего порядка:

30* =Р0, 0ж = <2х + Д*,

где <5Х - резонансная частота, а Ах - расстройка частоты, причем |ЗДХ| < 1. Гамильтониан (20), (21) на расширенном множестве ненулевых коэффициентов Е^ вблизи резонанса (23) принимает следующий вид:

Я3 — С^х^Х Оу^у ^зХХ^х Сху^х^у Суу'1у~\~ + {/гзозоро ехр (г [Ж - Ров]) + с.с.}+^х {д(4,0,6,0,2р0) ехр (г [6фх - 2р0в\) + с.с.} ,

где «с.с.» обозначает комплексно сопряженный член. Величина

/л п с п о 27 д /¿3030po-p^3030po+p

6'2ро) = Т £ (здж-р0)2-р2

отвечает силе резонанса 6Qx — 2ро = 0. Коэффициенты

г _ /-sext , /•oct / _ /-sext I /-oct г _ /-sext , /-oct

sxx — ^xx ~r <,xx , l>xy — Чху ' Чху , Чуу — Чуу "Г Цуу

определяют сдвиги частот, зависящие от амплитуд колебаний, причем индексами «sext» и «ос£» обозначены вклады от секступолей и октуполей соответственно. Формулами

/-sext _ _*

.>хх

3]/г.зозор]2

+оо ,, (2 +оо

Qx-P ^ з Qx-P

р= —оо ^ г р=-оо

+оо

/sext - \ '

1^121-2р|2

р= —оо

+ 0О

____^

Qx-2Qy-p Qx + 2Qy-p Qx~P

/-sell _ V^

Чу 4 Z^

p= — oo

|^1210pl2 ^ 1^1212-2p[2 __

. Qx -p Qx-2Qy-p Qx + 2Qy-p,

задаются сдвиги частот, вызванные секступольными компонентами поля во втором порядке теории возмущений. Коэффициенты

2тг

2л-

AOCt

= 8^10l°*Rd9' С*У = 8ТЕ? j Wy°*yRdB> С = ьЬ I Р»0уШв

соответствуют сдвигам частот, вызванным октупольными компонентами поля в первом порядке теории возмущений.

Формулы (24) -(27) позволяют решить проблему подавления секступольного сдвига частот во втором порядке теории возмущений. Эта возможность приобретает большое значение в случае НЕ811, где, в силу конструктивных особенностей и требований, возникает необходимость в сильных секступольных линзах. Как следует из (25), равенства нулю величин можно добиться добавлением в структуру машины октупольных корректоров так, чтобы выполнялось

roct _ _Asext /-oct _ _/-sext

Sxx Sxx > ъху ^>x

Siy >

/-Oct _ _A

^УУ ~ ^

УУ

Так как расположение и геометрические параметры мультипольных корректоров известны, то задача нахождения сил возбуждаемых октупольных компонент сводится к решению системы из трех линейных алгебраических уравнений относительно этих неизвестных с правыми частями из выражения (28). Очевидно, что для реальной машины количество неизвестных N превышает число уравнений, что дает возможность подобрать единственное решение системы с (./У — 3) свободными параметрами, потребовав минимизации энергетических затрат на возбуждение октупольных компонент. Расстановку корректоров следует производить с учетом максимумов и минимумов функций

Рх<у, так как это позволит создать схему коррекции с независимым действием по поперечным х, ¿/-плоскостям движения. Следует также отметить, что подобная задача является многокритериальной, при этом большинство критериев антагонистические. Действительно, задача минимизации сил октупольных линз приводит к росту /^-функции на соответствующих участках, что весьма нежелательно, так как могут быть превышены апертурные ограничения.

Выше уже упоминалось, что коэффициенты в (25) определяют сдвиги частот, зависящие от амплитуд колебаний. Как известно [2,4], зависимость частоты от амплитуды является наиболее существенной особенностью ангармонического осциллятора. При этом в отличие от случая линейного резонанса, когда линеаризованные уравнения дают неограниченный рост амплитуды, данная зависимость уводит собственную частоту системы от резонансной, тем самым ограничивая рост амплитуды и стабилизируя движение. Такой эффект согласуется с реальными условиями движения заряженных частиц в произвольном магнитном поле, в которых частицы, естественно, имеют замкнутые траектории, что было бы верно и для циклических ускорителей, не будь ограничений на физическую апертуру. Однако возможны случаи нарушения стабилизирующего действия нелинейного резонанса, при которых система совершает колебания вблизи резонанса, не покидая его. Исследование данного феномена квази-изохронизма для нелинейного резонанса было проведено Н. Н. Нехорошевым [10]. Согласно [10,11], стабилизация резонансного возмущения будет иметь место в случае, если система не удовлетворяет условию квази-изохронизма. Это можно проверить, исследовав функцию Гамильтона на выпуклость - в изучаемом случае на выпуклость поверхности энергии, описываемой нерезонансной частью гамильтониана, квадратично зависящей от переменных «действие»:

Нз

Рассмотрим резонансную поверхность с вектором п = {пх,пу), проходящую через точку Jr = (Jx, Jy). Вектор частот в этой точке равен

Тогда можно записать условие квази-изохронизма в виде двух равенств (см. [10,11]):

ПХ

С хХПх Cxyl^x Пу + СууПу = 0.

Решение (30) дает

пх ~Сху у 4 CxxCyy

Ну %Схх

Таким образом, поверхность, заданная (29), будет выпукла при выполнении условия (1у < 4СххСуу  Из (30) также получаем, что для нарушения условия квази-изохронизма величины Схх, Сху, Суу должны иметь одинаковый знак. Для того чтобы нелинейность оказывала как можно большее стабилизирующее действие на движение системы, необходимо следовать этим требованиям.

В заключение отметим, что приведенные методы следует рассматривать как довольно общие, пригодные для исследования различных типов кольцевых машин. Случай компенсации секступольного влияния во втором порядке теории возмущения путем

возбуждения октунольных компонент в корректорах может быть по аналогии применен для компенсации нелинейностей высших порядков. Подобные схемы могут быть реализованы за счет возбуждения соответствующих более высоких компонент в корректирующих линзах (см. п. 4.1). Некоторые численные результаты использования этого приема для накопителя НЕБИ. приведены в работах [12,13].

Summary

Chechenin А. N. Non-linear dynamics of charged particles in storage ring and the methods of compensation of magnetic field high orders effect.

The problem of investigation of charged particles non-linear dynamics in a cyclic accelerator is very important by two reasons at least. The object is described with non-linear equations. The quality technical requirements of modern accelerator projects become more stringent. The sequential development of basic formulas including Hamiltonian of particle motion in a transverse magnetic field, are presented. According to the results the qualitative analysis of dynamical system and possible schemes of non-linear effect compensation are proposed for a storage ring High Energy Storage Ring of FAIR (Facility of Antiproton and Ion Research) project.

Литература

1. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теоретическая физика: В 10 т./ Под ред. JI. П. Питаев-ского. Т. 2: Теория поля. М.: Наука, 1988. 53G с.

2. Коломенский А. А., Лебедев А.Н. Теория циклических ускорителей. М.: Физматгиз, 1962. 352 с.

3. Bengtsson J. Non-linear transverse dynamics for storage rings with applications to the Low-Energy Antiproton Ring (LEAR) at CERN. Geneva: CERN, 1988. 137 p. http://doc.cern.ch/-yellowrep /1988/1988-005/fulltext .pdf.

4. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 3. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР) М., 1985. С. 5 -304.

5. An International Accelerator Facility for Beams of Ions and Antiprotons: Conceptual Design Report. Darmstadt: GSI, November 2001. 695 p. http://www.gsi.de/GSI-Future/cdr/.

6. Бутенин H. В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. 264 с.

7. Брук Г. Циклические ускорители заряженных частиц. Введение в теорию. М.: Атомиз-дат, 1970. 312 с.

8. Courant E.D., Snyder H.S. Theory of the alternating-gradient synchrotron //Annals of Physics. Vol. 281. New York: BNL, 1957. P. 360-408. http://ab-abp-rlc.web.cern.ch/ab-abp-rlc/AP-literature/Courant-Snyder-1958.pdf.

9. Senichev Yu. Lattice design study for HESR // Proc. of EPAC-2004. Lucerne, 2004. P. 653-655.

10. Нехорошее H. H. Метод последовательных канонических замен переменных. Добавление в книге: Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах / Пер. с англ. Ю. С. Осипова, Л. Д. Пустышкова; Под ред. В. М. Алексеева. М.: Мир, 1973. 168 с.

11. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во Новосибирск. гос. ун-та, 1977. 79 с.

12. Chechenin A., Senicheva E., Maier R., Senichev Yu. The high order non-lineax beam dynamics in High Energy Storage Ring of FAIR//Proc. ofEPAC-2006. Edinburgh, 2006. P. 2083-2085.

13. Chechenin A., Maier R., Senichev Yu. The non-linear space charge field compensation of the electron beam in High Energy Storage Ring of FAIR // Proc. of EPAC-2006. Edinburgh, 2006. P. 2802-2804.

Статья рекомендована к печати членом редколлегии проф. Д. А. Овсянниковым.

Статья принята к печати 24 мая 2007 г.