Дистанционная поддержка лабораторного практикума по дифференциальным уравнениям в педвузе

РАЗВИТИЕ СЕТИ ОТКРЫТОГО ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ДИСТАНЦИОННАЯ ПОДДЕРЖКА ЛАБОРАТОРНОГО ПРАКТИКУМА ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ В ПЕДВУЗЕ

Р.М. Асланов, О.Г. Игнатова, А.И. Нижников

Кафедра математического анализа Московский педагогический государственный университет ул. Малая Пироговская, 1/1, Москва, Россия, 119991

В статье рассматриваются возможности применения дистанционных форм обучения по курсу «Дифференциальные уравнения» с использованием компьютерного математического пакета Maple.

Ключевые слова: дистанционное обучение, компьютерные технологии, дифференциальные уравнения, лабораторный практикум, Maple.

В математических приложениях дифференциальные уравнения занимают особое место: многие реальные процессы в биологии, экономике, физике описываются просто и понятно с помощью дифференциальных уравнений. Именно поэтому дисциплина «Дифференциальные уравнения» является одной из базовых в общем математическом образовании бакалавра. Ознакомление студентов с начальными навыками математического моделирования, демонстрация возникающих при этом дифференциальных уравнений и рассмотрение методов их решения, формирование представлений о понятиях и методах теории обыкновенных дифференциальных уравнений — основные цели курса.

На практических занятиях студенты приобретают навыки аналитического решения дифференциальных уравнений, изучают их основные типы. Так как дифференциальные уравнения связанны с другими, существует возможность изучения прикладных задач в данном курсе. Для более эффективного решения и анализа решения прикладных задач целесообразно применять системы компьютерной математики, позволяющие решить исследуемое дифференциальное уравнения аналитическими, графическими и численными методами.

В связи с ускорением научно-технического прогресса все больше возможностей появляется для получения информации в виртуальной реальности. Это можно использовать и в качестве основы для дистанционной поддержки обучения. Интернет сокращает расстояния между городами, поселками и деревнями до одного клика, следовательно, предоставляет неограниченные возможности для образования и решения самых разнообразных задач.

В последние десятилетия в области естественных наук проводятся исследования, которые требуют использования все более сложных математических методов и моделей. Решение ряда задач, требующих большого численного расчета с увеличением мощностей компьютеров, удалось решить, но новое время выдвигает новые требования. Наметилась потребность наличия компьютерных пакетов, в которых были бы одновременно возможны символьные расчеты, расчеты численными методами и представление полученных результатов в графическом виде. Необходимы также грамотные специалисты, способные работать с такими программами. Наличие компьютерных пакетов и программ, несомненно, упрощает обучение, дает визуализацию процессов, позволяет выявлять ряд теоретических закономерностей в различных областях науки. В связи с переходом на новый стандарт образования и выделением большого количества времени на самостоятельное изучение предметов, наиболее перспективным является дистанционное образование.

При выборе программы мы руководствовались возможностью свободного распространения и доступностью компьютерного математического пакета. На самом деле каждая программа имеет свои преимущества, но если вы знаете, как использовать некоторое программное обеспечение, то будете легко использовать другие сходные с ним.

Приведем примеры из лабораторного практикума по курсу дифференциальных уравнений на тему «Уравнения в полных дифференциалах»

Пример 1. Решить уравнение (2xy + 3y )dx + (x ' + 6xy - 3y2)dy = 0.

Решение. Найдем общий интеграл уравнения

> 2*x*y+3*yA2)*dx+(xA2+6*x*y-3*yA2)*dy=0;

(2xy+3y2)dx+(x2+6xy-3y2)dy=0

Обозначим

> P(x, y):=2*x*y+3*yA2; Q(x, y):=xA2+6*x*y-3*yA2;

P(x, y) := 2xy + 3y2 Q(x, y) := x + 6xy - 3y2

Покажем, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах

>. if (simplify(diff(P(x,y),y)-diff(Q(x,y),x))=0) then print(3TO уравнение в полных дифференциалах') else ргт^'Левая часть уравнения не есть полный дифференциал') end if;

Это уравнение в полных дифференциалах

Найдем общий интеграл уравнения

> u:=int(P(x,y),x)+int(Q(x,y),y)-int(diff((int(

P(x,y),x)),y),y);

2 , ~ 2 3

u := x y + 3y x - y

Общий интеграл уравнения имеет вид:

> э1тр11Гу(и)=С;

у1 у + 3у2х - у3 = C

Если уравнение

Р(х,у)ёх + Q(x,y)dy = 0 не является уравнением в полных дифференциалах, то иногда удается подобрать такую функцию т(х, у), после умножения на которую всех членов уравнения уравнение становится полным дифференциалом.

Пример 2. Решить уравнение (у - ху2^х - xdy = 0.

Решение. Найдем общий интеграл уравнения

> (у+х*уЛ2)*ах-х*ау=0;

(y+xy2)dx-xdy=0

Обозначим

> P(x,y): =y+x*yA2; Q(x,y):=-x;

P(x, y) := y + xy2 Q(x, y) := -x

Проверим, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах

> if (simplify(diff(P(x,y),y)-diff(Q(x,y),x))=0) then print(3TO уравнение в полных дифференциалах') else рпп^'Левая часть уравнения не есть полный дифференциал') end if;

Левая часть уравнения не есть полный дифференциал Найдем интегрирующий множитель m(x, y) >/m(x,y):=exp(int(simplify((diff(Q(x,y),x)-diff(P(x,y),y))/ P(x,y)),y));

m( x, y) := —

y

Найдем общий интеграл уравнения

> u:=int(m(x,y)*P(x,y), x)+int(m(x,y)*Q(x,y),y)-int(diff((int(m(x,y)*P(x,y),x)),y),y);

. 1 2 2 xy + — x y

u :=- 2

2

y

Общий интеграл уравнения имеет вид: > simplify(u)=C;

x

= C

2 У

Узнав начальное условие данного уравнения, мы сможем наглядно проиллюстрировать полученный результат, например, здесь положим, что у(0) = 0. Тогда общий интеграл уравнения имеет вид: [> у:=-2/х: у=-2/х;

2

У = -х

> р1о(;(у,х=-0.05..0.05,со1ог=Ыаск,Шскпеаа=1);

40000;

20000; X

-0,04 -0,02 ] ] 0,02 0,04

и г 1

-20000;

-40000;

-60000;

-80000;

-100000;

В результате изучения дисциплины студент должен:

— знать основные понятия и методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений;

— знать историю возникновения и развития теории дифференциальных уравнений;

— уметь решать задачи на составление дифференциальных уравнений;

— уметь решать элементарные типы дифференциальных уравнений первого порядка с использованием компьютерного математического пакета Maple;

— уметь решать дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка, с использованием компьютерного математического пакета Maple;

— иметь представление об основных положениях операционного исчисления;

— уметь применять операционный метод для решения дифференциальных уравнений с использованием компьютерного математического пакета Maple;

— находить общее и частное решения (решать задачу Коши) для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида (квазимногочлен) при различных начальных условиях с использованием компьютерного математического пакета Maple;

— владеть навыком исследования и решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем с использованием компьютерного математического пакета Maple.

Таким образом можно отметить, что дистанционное образование в настоящее время — одна из наиболее перспективных сфер педагогического образования позволяющая контролировать весь процесс обучения и проверять остаточные знания и степень освоения дисциплины.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Асланов Р.М. Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе: монография. — М.: Прометей, 1996.

[2] Асланов Р.М., Мань Н.Д., Синчуков А.В. Лабораторный практикум по дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие. — Архангельск: КИРА, 2011.

[3] Эдвардс Г., Пенни Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи моделирования и вычисление с помощью Mathematica, Maple, и MATLAB / Пер. с англ. — М.: И.Д. Виль-ямс, 2008.

REMOTE SUPPORT OF THE LABORATORY PRACTICAL WORK ON THE DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PEDEGOGIAL HIGHER SCHOOL INSTITUTION

R.M. Aslanov, O.G. Ignatova, A.I. Nizhnikov

Chair of the mathematical analysis Moscow pedagogical state university Malaya Pirogovskaya str., 1/1, Moscow, Russia, 119991

In article possibilities of application of remote forms of education at the rate «The differential equations» with use of a computer mathematical Maple package are considered.

Key words: distant education, computer technologies, differential equations, laboratory practical work, Maple.