Наблюдаемость кристаллических решёток по нескольким узлам на изображениях их проекций

НАБЛЮДАЕМОСТЬ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК ПО НЕСКОЛЬКИМ УЗЛАМ НА ИЗОБРАЖЕНИЯХ ИХ ПРОЕКЦИЙ

Куприянов А.В.

Институт систем обработки изображений РАН

Аннотация

В статье рассматривается задача о наблюдаемости трёхмерной кристаллической решётки. В предположении о вращательном характере движения решётки относительно плоскости наблюдения получены аналитические выражения определения наблюдаемости кристаллической решётки в общем случае при наблюдении двух и более узлов на проекции. Рассмотрены частные случаи для определения условий наблюдаемости кубической ячейки при некоторых значениях индексов узлов.

Ключевые слова: кристаллическая решётка, узел решётки, наблюдаемость, кинематические параметры Эйлера.

Введение

В работах [1] и [2] была рассмотрена постановка задачи анализа изображений кристаллических решёток. В статье [3] был предложен подход к решению задачи о наблюдаемости трёхмерной кристаллической решётки по её проекциям. Было показано, что при рассмотрении задачи восстановления решётки по проекциям или, в частном случае, определения её параметров необходимо ввести некоторую характеристику, которая показывала бы, насколько полно рассматриваемый объект представлен на той или иной проекции. Это привело к постановке новой для математики задачи о наблюдаемости сложной трёхмерной решётки по её проекциям.

Решение этой задачи было предложено искать в рамках теории кинематического движения системы материальных точек на основе дифференциальных кинематических уравнений. В предположении о вращательном характере движения решётки относительно плоскости наблюдения в работе [3] были получены необходимые и достаточные условия наблюдаемости кристаллической решётки для некоторых частных случаев.

Определение принадлежности исследуемой кристаллической решётки к тому или иному типу решёток Браве осуществляется путём сравнения полученных данных с эталонными: найденными ранее или теоретически смоделированными [4]. При наблюдении изображений кристаллических решёток с использованием электронной микроскопии появляется возможность прямого, непосредственного измерения искомых параметров. Однако эффективность подобного подхода и даже сама его возможность зависит от того, наблюдаемы ли измеряемые параметры на данной проекции или нет.

Настоящая работа является продолжением исследований, проведённых в работе [3], и посвящена решению задачи о наблюдаемости кристаллических решёток в случае анализа координат двух и более узлов решётки.

1. Определение наблюдаемости кристаллической решётки по координатам нескольких узлов Запишем в матричном виде выражение, определяющее координаты узлов кристаллической решёт-

ки в базовой системе координат относительно параметров вращения системы координат решётки на основе индексов её узла.

f У,1 У 2 У j

= л

(х1, х2, х3), е Ж. - декартовы координаты узла в системе координат решётки, которые определяются относительно индексов узла решётки - (кх, k2, ^),

kj е Z :

Г x ^ f a b cosy

Х2 = 0 b sin y

V x3 J 0 V 0

c cos ß

c(cosa-cosßcos y) sin y V

ab sin y

f k 1

V k3 J

л=

где a, b, c,a, в,y - параметры, определяющие элементарную ячейку решётки [4], V - объём ячейки:

V = abc^ 1 + 2 cos a cos в cos у - cos2 а - cos2 в - cos2 у. Матрица Л определяется как:

+22 -22 -22 222 + 222 222 - 222 ^ 222 - 2ЛЛ 22 - 2 + 22 - Л2 2/>2 + 2//3 22022 +2//2 22222 -22/21 22-2/ -2/ +2/^ где 2j, j = 0,1,2,2 кинематические параметры Эйлера или Родрига-Гамильтона [2,5]:

20 = cos—, 2, = c, sinj = 1,2,2 .

0 2 11 2

Выражение (1) можно записать используя функции преобразования координат fj относительно индексов узла решётки.

f У1 1 f /l(*1, Х2> Х3) 1

У2 .Уз/

/2

V /3( Х1' Х2' X3) J

Далее, как и в работе [3], рассмотрим наблюде-

ние кристаллической решётки. Уравнение наблюде-

ния узла системы можно записать используя выра-

жения для функций преобразования координат. По-

скольку наблюдение решётки будем осуществлять в результате проецирования, то для определения урав-

x

2

V x3 J

k

2

нения наблюдения можно использовать только две функции: /2(х1,х2,х3) и /3(х1,х2,х3).

Введём векторную функцию наблюдения решётки г (АЛЛА) как набор функций преобразования координат узлов решётки:

(¿1 (АААА ) = /2(п1, П2 , Щ), Л ¿2 (ЛААА )= /3(nl, ^ ПзХ

¿3 (Л0,Л1,Л2,Л3 ) = /2(ml, ^ Ы

¿4

•(ЛААА ) =

где (и1;п2,п3),(ш1,ш2,т3) и т.д. - координаты узлов в системе координат решётки.

Также отметим, как было показано в работе [3], что параметры Эйлера Л. (0 могут быть рассмотрены как функции, зависящие от времени / .Таким об-

разом, функции ¿. также являются зависящими от

времени /, и существуют производные г ., г ., '¿'.,...

Ответ на вопрос, является ли система наблюдаемой, определяется с помощью якобиана:

I =

дФ

дЛ

где ФТ =(¿т,¿т,¿т,...).

Если ранг матрицы I равен числу наблюдаемых параметров то система будет являться наблюдаемой.

2. Определение наблюдаемости по координатам двух узлов Рассмотрим случай наблюдения только двух узлов (п1, п2, п3) и (ш1, ш2, ш3) на проекции. Запишем в

явном виде якобиан I, используя выражения, полученные в [3]:

I =

2Л0я2 + 2Ли3 - 2Л3п1 2Л0п3 - 2Лп2 + 2Л2п1

2Л0п3 - 2Лп2 + 2Л2п1 2Л3п1 - 2Лп3 - 2Л0п2

2Л0т2 + 2Л1т3 - 2Л3т1 2Л0т3 - 2Лт2 + 2Л2т1

2Л0т3 - 2Лт2 + 2Л2т1 2Л3т1 - 2Л^т3 - 2Л0т2

2Лп1 + 2Л,п2 + 2Л3п3 2Л0п1 - 2 Лп3 + 2Л3п2 2Л1т1 + 2Л2т2 + 2Л3т3 2Л0т1 - 2Л2т3 + 2Л3т2

2Л2п3 - 2Л0п1 - 2Л3п2 2 Л1п1 + 2Л2п2 + 2Л3п3 2Л2т3 - 2Л0т1 - 2Л3т2 2Л1т1 + 2Л2т2 + 2Л3т3

Поскольку наблюдение двух узлов даёт потенциальную возможность определения всех параметров наблюдения, можно не использовать производные по времени. В этом случае критерием наблюдаемости является условие:

det I Ф 0.

Чтобы определить условия, при которых решётка будет ненаблюдаемой, необходимо решить уравне-

ние:

det I = 0.

Вычислим определитель матрицы I, получим:

det I = 64 (u1 + u2) - 64u3 (u1 + u2) + 16u3u3 -

-16((m1n2 -m2n1 )2 +(m1n3 -m3n1 )2 +(m2n3 -m3n242

)'Г

где u1 = (m1n2 - m2n1) (Л0Л2 - Л Л;) ^

22

u2 = (m1n3 - m3n1) (AA + Л Л;) ,

= («

2 )(Л02 + Л -Л22 -Л2 ) •

Решая уравнение (9), можно получить полный набор условий ненаблюдаемости для любой пары наблюдаемых узлов. Необходимо отметить, что в действительности использование дополнительных производных не даёт новых выражений для определения наблюдаемости решётки.

Рассмотрим на простейшем примере алгоритм определения условий ненаблюдаемости для решётки с элементарной кубической ячейкой для двух узлов с индексами (1,0,0) и (0,1,0), параметры ячейки -

: (а = Ь = с,а = в = у = п / 2):

1) Запишем уравнение (9):

det I = -16a (1 - 2ЛЛ + 2Л1Л3) (1 + 2Л0Л2 - 2Л1Л3) = 0 .

2) Решаем уравнение, получаем условия, при выполнении каждого из которых решётка будет нена-блюдаема:

1 - 2Л0Л2 + 2Л1Л3 = 0,

1 + 2Л0Л2 - 2Л1Л3 = 0.

3) Используем выражения (3), получаем тригонометрические уравнения:

c2 sinp + CjC3 COsp = CjC3 -1,

c2 sin( + CjC3 COS( = CjC3 + 1.

4) Решаем уравнения, получаем значения для параметров вращения, при которых решётка будет ненаблюдаемой относительно выбранной пары узлов:

Occ ±1

, то cos р = ;

2 с1с3

если c2 Ф 0 л 1 ± 2CjC3 = 0 , то tan-2 р = ±2- ;

если 1 - 2CjC3 Ф 0, то tan| р = -

с2 ±7cf +2c1c3 -1

если 1 + 2CjC3 Ф 0, то tan| р =

1 р = с2 WC2 - 2с1с3-1

2CjC3 +1

3. Определение наблюдаемости по координатам трёх узлов Рассмотрим случай наблюдения трёх узлов (/1, 12,13), (п1, п2, п3) и (ш1, ш2, ш3) на проекции. Запишем в явном виде якобиан I:

2сс-1

1-3

I =

22о^ + 22^2 - 22l 22ol2 - 22^ + 222^ 22l + 222I2 + 22I2 22^ - 22ol - 22^12

22ol2 - 22k + 222k 22h - 22h - 22ol2 22olj - 22^ + 22^ 22l + 22l2 + 222l2

220n2 + 22n2 - 22n 220n2 - 22n2 + 222n 22n + 222n2 + 22n2 222n2 - 220п - 222n2 220n2 - 22n2 + 222n1 222n1 - 22n2 - 220n2 220п - 222n2 + 222n2 22n + 222n2 + 222n2 22m2 + 22m2 - 222да1 220m2 - 221m2 + 222m1 221m1 + 222m2 + 222m2 222m2 - 220m1 - 222m2 220m2 - 221m2 + 222m1 222m1 - 221m2 - 220m2 2 20m1 - 222m2 + 222m2 221m1 + 222m2 + 222m

Если ранг матрицы I равен числу наблюдаемых параметров 2j, то система будет являться наблюдаемой, т.е. должно выполняться условие:

rank I = 4.

Чтобы определить условия наблюдаемости, в силу симметрии относительно перестановки узлов достаточно рассмотреть две матрицы, например: 11, полученную вычёркиванием 4-й и 6-й строки из матрицы I, и 12, полученную вычёркиванием 4-й и 5-й строки из матрицы I.

Решая систему уравнений:

[det I = 0, [det I2 = 0,

можно определить полный набор условий, при котором соответствующие миноры матрицы будут равны нулю, следовательно, ранг матрицы будет меньше 4, а значит, решётка будет ненаблюдаемой.

В тех случаях, когда наблюдению доступны координаты более чем трёх узлов, после отбрасывания тех узлов, которые совпадают при применении к ним трансляции решётки, необходимо проверить выполнение условий наблюдаемости для каждой тройки узлов.

Рассмотрим на простейшем примере алгоритм определения условий ненаблюдаемости для решётки с элементарной кубической ячейкой для трёх узлов с индексами (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1):

1) Запишем уравнение для 11:

det I = 16 (22 +22-22-22 ) = 0.

2) Запишем уравнение для 12:

det12 = 64 (202 +22 )(22-22 ) = 0.

3) Используем (2), получаем систему тригонометрических уравнений:

I cos — (c2 - c22 - c22 - 1) = cf - c22 - c32 +1

I(c2 sin — + c1c2 - c1c2 cos —) (c2 sin — - c1c2 + c1c2 cos —) = 0. 4) Решаем систему уравнений, получаем:

í c,2-c2-c2+1

|cos—= crcrcrr,

l(c2 + c2 ) (c2 - c2 ) = 0 v (c2 + c2 ) (c2 - c2 ) = 0.

Отсюда получаем значения параметров вращения, при которых система будет ненаблюдаемой:

I cos — = c--, [cos— =

|c22 + c22 = 0. Ic2 - c22 = 0.

- c2+1

- c2-1,

2 /

icos—= ^,

[cj2 - c22 = 0.

При рассмотрении выбранной тройки узлов решётки в другом порядке мы получим те же самые условия. Таким образом, при выполнении любого из условий (12) все миноры четвёртого порядка матрицы I будут равны 0.

Заключение

В предположении о вращательном характере движения решётки относительно плоскости наблюдения получены аналитические выражения определения наблюдаемости кристаллической решётки в общем случае при наблюдении двух и более узлов на проекции. Рассмотрены частные случаи для определения условий наблюдаемости кубической ячейки при некоторых значениях индексов узлов.

Необходимо отметить, что определение условий наблюдаемости кристаллической решётки для произвольного количества узлов было выполнено относительно параметров вращения. При этом было использовано предположение о том, что параметры самой решётки, позволяющие однозначно определить декартовы координаты узла по его индексам, являются известными.

При натурных наблюдениях кристаллических решёток это предположение может быть верно лишь частично. Например, при проведении эксперимента могут быть известными только углы между базисными векторами решётки, а сами длины сторон будут неизвестными.

Предложенные алгоритмы определения наблюдаемости могут быть востребованы при расчёте параметров кристаллических решёток по наблюдениям в электронных микроскопах высокого разрешения [6]. Для оценивания параметров решётки в общем случае потребуется использовать большее число проекций, а значит, необходимо будет рассмотреть подходы к решению задачи определения наблюдаемости решётки при использовании большего числа проекций.

Благодарности

Работа выполнялась при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (госконтракт № 02.740.11.0841, соглашения № 8027, 8231), гранта РФФИ 12-01-00237-а, гранта Президента РФ поддержки ведущей научной школы НШ-4128.2012.9, программы фундаментальных исследований РАН-ОНИТ6, в рамках выполнения государственного задания № 8.3195.2011 Минобрнауки РФ.

Литература

1. Сойфер, В.А. Анализ и распознавание наномас-штабных изображений: Традиционные подходы и новые постановки задач / В.А. Сойфер, А.В. Куприянов // Компьютерная оптика. - 2011. - Т. 35, № 2. - C. 136-144.

2. Куприянов, А.В. Анализ текстур и определение типа кристаллической решётки на наномасштабных изображениях / А.В. Куприянов // Компьютерная оптика. - 2011. - Т. 35, № 2. - C. 151-157.

3. Куприянов, А.В. О наблюдаемости кристаллических решёток по изображениям их проекций / А.В. Куприянов, В.А Сойфер // Компьютерная оптика - 2012. - Т. 36-2. - С. 249-256.

4. Егоров-Тисменко, Ю.К Кристаллография и кристаллохимия / Ю.К. Егоров-Тисменко. - М.: КДУ, 2005. - 592 с.

5. Челноков, Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные модели и методы механики твёрдого тела и их приложения. Геометрия и кинематика движения./ Ю.Н. Челноков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 512 с.

6. Уманский, Я.С. Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия / Я.С. Уманский, Ю.А. Ска-ков, А.Н. Иванов, Л.Н. Расторгуев. - М.: Металлургия, 1982. - 632 с.

References

1. Soifer, V.A Analysis and recognition of the nanoscale images: conventional approach and novel problem statement / V.A. Soifer, A.V. Kupriyanov // Computer Optics.

- 2011. - V. 35, № 2. - P. 136-144. - (in Russian).

2. Kupriyanov, A.V. Analysis and recognition of the nano-scale images: conventional approach and novel problem statement / A.V. Kupriyanov // Computer Optics. - 2011.

- V. 35, № 2. - P. 151-157. - (in Russian).

3. Kupriyanov, A.V. On the Observability of the crystal lattice with the images of their projections / A.V. Kupriyanov, V.A. Soifer // Computer Optics. - 2012. - V. 36, № 2. - P. 249-256. - (in Russian).

4. Egorov-Tismenko, Yu.K Kristallographiya i kristal-lokhimiya / Yu.K. Egorov-Ticmenko. - Moscow: KDU, 2005. - 592 p. - (in Russian).

5. Chelnokov, Yu. N. Quaternion an biquaternion models and methods In mechanics of a rigid body and their applications. / Yu. N. Chelnokov. - Moscow: Fismatlit Publisher, 2006. - 512 p.

6. Umansky, Ya.C. Krisltallographiya, rentgenographiya I electronnaya microskopiya / Ya.C. Umanskiy [et al.] -Moscow: "Metallurgiya Publisher", 1982. - 632 p. - (in Russian).

THE OBSERVABILITY OF THE CRYSTAL LATTICE BY MULTIPLE NODES UPON THE IMAGES OF THEIR PROJECTIONS

A. V. Kupriyanov Image Processing Systems Institute of the RAS

Abstract

In paper the problem of the observability of a three-dimensional crystalline lattice is considered. In assumption of rotary motion in space relatively the projection plane the analytical expressions for determination of the observability with the usage of two and more nodes of the lattice are presented The fulfillment of conditions for some special cases for a cubic mesh is viewed. Key words: a crystalline lattice, lattice node, observability, cinematic Euler's parameters.

Сведения об авторе

Куприянов Александр Викторович, 1978 года рождения. В 2001 году окончил с отличием Самарский государственный аэрокосмический университет (СГАУ). В 2004 году защитил диссертацию на соискание степени кандидата технических наук. В настоящее время работает старшим научным сотрудником в Учреждении Российской академии наук Институте систем обработки изображений РАН и, одновременно, доцентом кафедры технической кибернетики СГАУ. Круг научных интересов включает цифровую обработку сигналов и изображений, распознавание образов и искусственный интеллект, анализ и интерпретацию биомедицинских сигналов и изображений. Имеет более 80 публикаций, в том числе 35 статей и одну монографию, изданную на английском языке (в соавторстве). Член Российской ассоциации распознавания образов и анализа изображений. E-mail: akupr@smr.ru .

Alexandr Victorovich Kupriyanov, (b. 1978), graduated (2001) from the S.P. Korolyov Samara State Aerospace University (SSAU). He received his PhD in Technical sciences (2004). At present he is a senior researcher at the Image Processing Systems Institute of the Russian Academy of Sciences, and holding a part-time position of Associate Professor at SSAU's Technical Cybernetics sub-department.

The area of interests includes digital signals and image processing, pattern recognition and artificial intelligence, biomedical imaging and analysis. He's list of publications contains more than 80 scientific papers, including 35 articles and 1 monograph published.

Поступила в редакцию 30 сентября 2012 г.