Вдувание газа в гиперзвуковой поток

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том III 1972 Мб

УДК 533.6.04.55

ВДУВАНИЕ ГАЗА В ГИПЕРЗВУКОВОЙ ПОТОК

В. Я. Иейланд

Изучено течение, возникающее при интенсивном вдувании газа через поверхность тела и сильном взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. При использовании уравнений Навье— Стокса и метода сращивания асимптотических разложений установлены параметры подобия, основные режимы обтекания, постановка краевых задач и получены некоторые решения. Особое внимание уделено эффекту передачи возмущений вверх по потоку и характеру течения вблизи донного среза при наличии вдува и на непроницаемой поверхности.

1. Интерес к изучению течений, возникающих при интенсивном вдувании газа через поверхность летательного аппарата в поток, вызывается тем, что таким способом можно уменьшить тепловые потоки и трение, а также создать нужное распределение давления. Кроме того, режим сильного вдувания может появиться иногда „естественным" путем при разрушении теплозащитого покрытия.

Цель статьи — исследование течений около тонких тел, для которых их толщина по порядку не превышает толщину области, занятой вдуваемым газом, или около тел с малой продольной кривизной поверхности (клин, пластина и т. п.). В этих случаях распределение давления определяется распределением толщины вытеснения слоя вдуваемого газа, которое в свою очередь зависит от распределения давления. Обзор работ зарубежных авторов для течений со вдувом, относящихся к этому типу, приведен в статьях [1] и [2]. В работе [3] исследованы эффекты, возникающие при вдувании газа в сверхзвуковой поток, при использовании уравнений Навье—Стокса и метода сращивания асимптотических разложений, а также изучен переход от режима течения, описываемого классической теорией пограничного слоя, к режиму сильного вдува, для которого вблизи поверхности тела образуется область невязкого в первом приближении течения вдуваемого газа. Течение в этом слое описывается уравнениями Прандтля без вязких членов. Распределение давления по телу заранее не известно и определяется при совместном решении задачи в слое и во внешнем течении. Подобная модель рассматривалась в работе [4], где были решены некоторые обратные задачи. Проведенный в работе [3]

анализ постановки краевой задачи показал, что для течений этого типа важную роль играет распространение возмущений вверх по потоку, и при решении необходимо учитывать краевое условие, поставленное на заднем конце тела. При отсутствии вдува подобный эффект имеет место для локальных областей сверхзвуковых течений со „свободным взаимодействием" [5], [6] и при гиперзвуковых скоростях с умеренным и сильным взаимодействием пограничных слоев с внешним потоком [7], [8] — на всей поверхности тела.

Фиг. 1

В настоящей статье исследуются течения с вдуванием газа в гиперзвуковой поток, для которых возникают новые качественные особенности.

2. Рассматривается течение вблизи верхней стороны клина, через поверхность которого по нормали к ней производится распределенный вдув газа (фиг. 1). Набегающий гиперзвуковой поток направлен параллельно этой стороне клина. Как будет видно из дальнейшего, нижняя часть течения также оказывает в определенных пределах влияние на верхнюю через величину донного давления. Но в данной работе донное давление будет считаться заданным. (Его можно регулировать, например, меняя толщину клина или воздействуя на течение в донной области).

Около верхней стороны клина гиперзвуковой поток обтекает „эффективное тело“, образованное с учетом влияния вязкости и вдува. Рассматриваются лишь такие режимы, для которых характерный наклон „эффективного тела“ т<С! 1. Тогда невязкий ударный слой 1 (см. фиг. 1) в первом приближении описывается гиперзвуковой теорией малых возмущений, изложенной, например, в работе [9]. Можно показать, что режим слабого взаимодействия Мх<С1 1, Для которого индуцируемый перепад давления мал по сравнению с давлением в набегающем потоке, в главных чертах описывается теорией, развитой в работе [3] для умеренных сверхзвуковых скоростей. (Как показано в работе [7], такая же ситуация имеет место для течений без вдува). Поэтому в настоящей работе рассматриваются течения сМх^>1. Следуя гиперзвуковой теории малых

возмущений, введем следующие координаты и функции для обла-

где / — длина клина; и, V, р, р, 7 —продольный и поперечный компоненты скорости, давление, плотность и отношение удельных теплоемкостей, соответственно; индексом „оо“ отмечены значения переменных в невозмущенном потоке, а цифровыми индексами — безразмерные переменные, сохраняющие порядок 0 (1) в соответствующей области.

Подстановка (2.1) в уравнения Навье — Стокса и предельный переход при Моо -> зо, Яе -» оо, х~^оо, где Ие — число Рейнольдса, дают обычные уравнения гиперзвуковой теории малых возмущений для невязкого гиперзвукового потока [9]. В дальнейшей части работы используется приближенная формула метода касательного клина при х °°:

где В, — толщина вытеснения, создаваемая за счет вдува и влияния вязкости.

Обычные оценки теории гиперзвукового пограничного слоя позволяют для области 2 (см. фиг. 1), в которой главные вязкие и инерционные члены уравнений Навье —Стокса имеют одинаковый порядок, ввести следующие координаты и функции:

где (а, //—динамический коэффициент вязкости и энтальпия торможения, а координаты 5, и связаны с нулевой линией тока (или с телом при отсутствии вдува); индексом „0“ отмечены параметры торможения набегающего потока. Подстановка (2.3) в уравнения Навье—Стокса и предельный переход при М.х^оо, Не0-*оо, х~*°° приводят к обычным уравнениям Прандтля, например, [7].

Ниже будет показано, как при увеличении интенсивности вдува пограничный слой 2 оттесняется от поверхности тела и образуется область невязкого в первом приближении течения 3 (см. фиг. 1),

сти 1:

х = 1х1; у = т 1ух; / = М.,, т;

и = и» [1 + '2и1(хи уи х)+ •••];

Р —Ров[р1(^1,^1, х) +

р = ?<»&>*%\р1{хьуи х) + •••]; ъ^Чю^^х^у^ х) + •••],

5 = /; п = т21п2', Ие0 — рсо Мсо //(а0; ^ = Ке0 1/2/т;

р — рсо «а, X2 \р2 («2, П2, х) + ...]; р = Рсо ^ [р2 («2. «2, X) + ••]:

и = «со [и, («„ п2, х) + ...]; V = их Т2 [г/2 (в2, п2, х) + - ];

и2

^ = Н-о[р-2(-52, я2,х)+ ...]; н = ~\н2(8г, пг, X) + •••],

в которой тангенциальный импульс создается лишь за счет индуцируемого отрицательного градиента давления. Если область 3 возникла, то координаты и функции течения имеют вид:

х — хг1\ у = ъ1Уъ, Я =

2

р = Роо«оо*2(Рз + ...); Р

роо иа

(р.ч

Индексом да отмечены значения параметров около стенки. Эти оценки можно получить, зная порядок величины давления (2.2), принимая энтальпию торможения газа равной Нт и используя уравнение движения невязкого газа, уравнения неразрывности и состояния.

Подстановка (2.4) в уравнения Навье—Стокса и выполнение предельного перехода т3-*0 приводят к уравнениям вида

Рз И;

дио

V

дхг

д (р3 из) дх.

диЛ дрз 3 дуа) дх3

д

= 0;

+

0:

4У.

Я3= 1.

:0:

Таким образом, в отличие от течения с — 0(1) [3], в области 3 теперь существенна сжимаемость, т. е. М3~0(1).

Безразмерная толщина т3 более точно будет выведена ниже,, пока дадим лишь оценку, следующую из (2.4):

Л I ')

Роо Иоо «'

(2.6>

где — расход газа через поверхность тела.

3. Проследим последовательность режимов течения, возникающих при увеличении интенсивности вдува. Начнем изучение с режима слабого вдува в обычный пограничный слой, для которого справедливы формулы (2.3), если принять т = т2 = {?ео"1/4 [7], [9]. Удобно от переменных (2.3) перейти к переменным Дородницына— Лиза: ,

X '

ё = и =/(5, *1);

О

„ _ 2 чр Г Оп

Ч-/„. ,ч/оЕ1„2 ) •

О

(Т — 1)(2Е|

(3.1>

Для исходного режима слабого вдува в пограничный слой

(индекс „2“ опущен, так как пока нет области 3, т = т2 = Кео ) уравнения и граничные условия принимают обычный вид

(М/Т +//" - ,3 (г -/'2) = 2% (/'/'• -/• Л;

где штрихами отмечено дифференцирование по к], а точками—по 5; о — число Прандтля; со — показатель степени для степенной зависимости коэффициента вязкости от энтальпии.

Чтобы найти Р($), используя (2.2), необходимо знать наклон внешней границы

Для гиперзвукового режима часто характерным является условие Поэтому для изучения режимов, возникающих при

увеличении интенсивности вдува, выполним двойной предельный переход:

Чтобы упростить выкладки, примем ш = о=1 и введем переменные для той области, которая расположена около поверхности тела:

Подстановка (3.5) в (3.2) и выполнение предельного перехода

(3.4) дают в первом приближении:

Однако решение (3.6), соответствующее невязкому течению вдуваемого газа, не позволяет удовлетворить условиям на внешней границе пограничного слоя. Поэтому необходимо рассмотреть область 2, для которой и при предельном переходе (3.4) уравнения содержат вязкие члены

где 7} — координата разделительной линии тока, оттесненной при вдуве от поверхности тела. При предельном переходе (3.4) для области (3.7) уравнения сохраняют вид (3.2), остаются без изменений условия при тг)2ос, а вместо условий на поверхности тела сращивание с решением в области 3 дает:

где у\3е — координата внешней границы области 3, которая определяется из условия /8 (т)з е) = 0, как это следует из третьего соотношения (3.5) и (3.4). Наибольший интерес представляет вычисление 8Ь что необходимо для определения градиента давления р с использованием (3.3) и (2.2):

00

г,-о, /;=/ш(*= 1)-оо.

ё— ёи>ёъ\ /'—"Ц — ’Чзё'О!^

/»/з-Р(?)(1-/з2)=-25(/^/а-/з/з); 1;

/.(5,0)-/.(«)/(-/;); /з (6, 0) — 0.

ъ = ») — V, /=/2; ё=#2,

ё2

где параметр подобия

3—Ученые записки ЦАГИ № 6

33

Физический смысл параметра N—квадрат отношения характерных толщин областей 3 и 2. Это обстоятельство более подробно рассмотрено ниже. Величина N характеризует влияние эффектов вдува и вязкости на величину давления и тем самым определяет режим течения. Если предельный переход (3.4) совершается так, что N -* 0, то из (3.9) следует, что независимо от распределения вдува распределение давления полностью определяется распределением толщины вытеснения вязкой зоны смещения, a T=x2=Re^1/4. В частности, для автомодельного решения (полубесконечное тело или специально подобранное значение донного давления и /да = fw = const) получаем:

A =

+ 00

_А

&

ir(-r + i)*/72;

j igi—f'i2) ^2=0,525 (з =

1).

Интересно отметить, что тот же результат справедлив при

— 0 для конечных значений 1/^,1, превышающих величину I/(£,—ос) I для вязкой зоны смешения и получающейся при решении уравнений (3.2) с учетом граничных условий (3.8). Для автомодельного решения эта критическая величина/да=—1,003(з=со=1). На фиг. й приведены расчетные зависимости трения /© и

оо

/?=|(^'—/'2) й-г\ от интенсивности вдува /то, квадратиком обозна-

Ч-со

чено значение /7= J (£•—/'2)*/т), полученное для вязкой зоны

смешения. Для ^ = 0 видно, что /щ, = 0 при /ш = — 1,003, для

/„,<—1,003 решения в рамках теории пограничного слоя нет. Это означает, что начинает развиваться зона 3. Подобный результат получен для сверхзвукового течения около плоской пластинки, когда градиент давления не влияет в первом приближении на исходный пограничный слой. Если же при М~1 отрицательный градиент давления существует, то переход к режиму сильного вдува, сопровождающемуся образованием области невязкого течения 3, происходит лишь при ^^оо, т. е. при расходах вдуваемого газа, значительно превышающих расход в вязком пограничном слое. Здесь же при Мсо-»ос и ёХ!)—0 переход к режиму сильного вдува происходит при конечных несмотря на наличие ^^0.

Наиболее общим и сложным является решение задачи для тех режимов, когда толщины вязкой и невязкой областей течения имеют одинаковый порядок, т. е. N = 0(1) при (3.4). Распределение давления в этом случае имеет вид

Наконец, при N-» + оо получается режим течения, для которого распределение давления по телу связано лишь с невязким течением в области 3. Заметим, что к этому же случаю относятся течения газа с ^ = 0(1) при /°т — оо („теплая“ стенка и сильный

вдув). Заранее можно ожидать, что течение в области 3 и распределение давления не должны зависеть от Ие0, а нормировка должна соответствовать формулам (2.4). Чтобы показать это, введем переменные (3.5), а также

Подстановка (3.5) и (3.12) в (3.1) —(3.3) и выполнение предельного перехода (3.4) при N-+оо приводят к уравнениям и граничным условиям (3.6). Вместо (3.9) получаем

которые использованы для получения (3.1) — (3.3) (напомним, что при этом был опущен индекс „2“), приводит к переменным (2.4). Толщина слоя т3 и давление не зависят от Ке0:

Это выражение согласуется с (2.6), если учесть, что на этом режиме с~'с3.

Интересно заметить, что при ^ = 1 решение уравнений (3.6), которые описывают невязкое течение в области 3, дает на внешней границе /зе-ёз=\- Это означает, что разрывы значений скорости и энтальпии торможения между областями 1 и 3 отсутст-

•з

= Иео'1/4 Ап/2; р = л^3; р = Л^р3; \ = М„; у = 8 = Л^83.

вуют, т. е. зона смешения 2 обычного типа не возникает. (Вязкость влияет лишь на сглаживание разрывов в значениях производных). Этот результат можно получить и из физических соображений, не решая (3.6).

В заключение этого раздела заметим, что формулировки краевых задач для различных режимов течения в рамках первого приближения, найденные в разд. 2 при использовании полных уравнений Навье—Стокса и в разд. 3 из уравнений Прандтля, полностью совпадают. Однако для второго приближения это уже было бы не так.

4. Уравнения, описывающие движение газа в первом приближении для областей 1, 2 и 3, относятся либо к гиперболическому, либо к параболическому типу. Однако эллиптический характер исходных уравнений Навье—Стокса проявляется в том, что при совместном решении задачи о взаимодействии различных областей течения для определения решения около носка тела необходимо учитывать краевое условие, заданное при х=1. (Подобная ситуация уже исследовалась для других течений в работах [3], [7], [8]).

Чтобы показать это, рассмотрим задачу о сильном вдуве для наиболее общего режима Л=0 (1), принимая /ш постоянным. Для области 2 уравнения совпадают с (3.2), только вместо условий на поверхности тела приняты условия (3.8). Область 3 описывается уравнениями и граничными условиями (3.6). Наконец, распределение давления определено формулами (3.9) и (2.2). Докажем теперь, что, кроме приведенного выше автомодельного решения, уже при % — 0 задача обладает семейством решений, зависящим от одного параметра, для определения которого необходимо задать еще одно краевое условие, например, значение р(х=\).

Удобно вначале сделать замену переменных

С ~ р = С-1'* Р; Vе = С~1/2° I/.

Уравнения и граничные условия принимают вид /а + Л/а ~ Р (Я* — /г2)= 2Са (/2/2 - /2/2);

£2 4 Л £2 = 2Са (/2 & — /2 Ы;

Л/з - Р(1 -/з2) - 2Са(/;/з —/з/з);

V = а 1/2 С (Т7- + ЛГФ-) + (3/1/2) (/" + АГФ) —

- а 1/2 (Т7 + N0) й 1п Р/й 1п С;

+°° Ъе

Р= $ ф=/ (1—/а2)^в;

— со О

/2 (С, + оо) = + 00) = 1; /2 (С, 0) = 0;

/2 = (С, — оо) = £2 (С, — оо) = 0;

/з(С,0) = 0; Л (С, 0) = — 1; /.(С, ъ.)-0.

Здесь и дальше точкой обозначено дифференцирование по С.

Решение вблизи С = 0 ищем в виде степенного ряда по С, например,

Л

Собирая члены при одинаковых степенях С, получаем следующие рекуррентные системы уравнений:

/20 4- /20/20 — Ро (£20 —/ао) = 0; £20 +/20 = 0;

/зо/ю — Ро(1 -/2) = 0; Ц, = (3/1/2) (/=-0 + ДГФ0);

^0= /(&о - /зо2)^; Ф0 = /е(1-/зо)^а;

—00 0 /ю(+°°)=£20(+оо)==1; /2О(0)==0; /20(— oo) = gi0(-- оо)=0;

/зо(0) = — 1; /зо(0) = 0; /,Кв0)==О; р0 = - Т_

Т

/21 ч /20/21+/21/20 — Р1 (£>„ — /20) Н---------—(£21 —2/20/21) —

= 2а (/20/21 —/21 /20);

„ , , , Ъе , ,

£21 4- /20 £21 + /21 £20 = 2а (/20 £21 - /21 £20); Ф, = — 21 /30/31 ;

О

/30/31 +/31/30 — ^1(1 —/зо2) — ~— 2/ зо / 31 = ^

= 2а (/30/31 — /31 /зо);

/21(00) = £21 (+ ОО)=/21(0) =/я(— ОО) = £г1(-Оо) = 0;

+ ОО

/з! (0) =/з1 (0) = 0; ]* (*21 - 2/20Л1) Л*

Р^^^Р^о); Л=(т+1)Ц>^Г,

П Р1 + У1Р„ = а /2 [Р0 Л - Я, /=•„ + Л^(Ф1 Р0 - Ф0 Р,)] + + - А, 1Р0 ^ + Р, ^ + А^(Р0 Ф, - Рх Ф0)].

Краевая задача (4.4) определяет автомодельное решение, распределение давления для которого приведено выше.

Система уравнения для /а1, gn, /31, Ф^ Ри ри Ри при заданном значении а является линейной и однородной. Ее решения существуют только для собственных значений а и определены с точностью до одной произвольной постоянной. В этом можно убедиться, если заметить, что для каждого значения а, задав произвольно, например, р,, можно найти единственным образом /*1, £21- /31, затем и /V Первые два уравнения (4.6) дают Рг и V,. После этого остается проверить, удовлетворяется ли последнее соотношение (4.6).

Такие вычисления были проведены для предельного случая Nоо. В области а>0 найдено одно собственное значение, равное примерно 0,23, и, следовательно, влияние краевых условий на

течение в области, лежащей выше по потоку, должно быть очень сильным. Для следующих членов разложения (4.3) система уравнений получается также линейной, но неоднородной, и поэтому при заданном значении произвольной постоянной для системы (4.5) и (4.6) решение в следующих приближениях определяется единственным образом.

Таким образом, краевая задача (4.2), кроме автомодельного решения, соответствующего формулам (4.4), имеет однопараметрическое семейство решений.

5. Заметим, что все краевые задачи для течений с сильным вдувом, когда возникает область невязкого течения 3, не могут иметь стационарных безотрывных решений с положительными градиентами давления. Это следует из условия иш=0 и уравнения Бернулли. Далее, для любых 1 О, так как иначе при

> 0 на конечной длине толщина невязкой области течения 83 -»оо из-за расширения сверхзвуковых струек тока, но тогда, начиная с некоторой точки, давление должно было бы возрастать (2.2).

Если имеется однопараметрическое семейство решений задачи на основной части тела, т. е. при х— 1, и донное давление р1 задано, то естественно попытаться отобрать нужное решение из условия р(х = 1 )=/?4. Однако для этого необходимо, чтобы вблизи донного среза на расстояниях Дх<С]1 не могло возникнуть' области, в которой Д/>~0(1). Выясним условия, при выполнении которых такая область может возникнуть. Для этого предположим, что такая область существует. Так как в ней Ар — р, то толщина дозвуковых струек тока уменьшается (течение разрежения) на основной порядок по величине, а сверхзвуковых—увеличивается. Эти изменения в первом приближении должны в точности компенсировать друг друга, т. е. ёЬ/йр = 0. В самом деле, если это не так, то на длине Дл:<^1 полная толщина области 8 изменяется на Д8~8. Это в силу (2.2) должно было привести к Ар—(Д8/Дх)2^>р, что невозможно. Таким образом, при (1Ь/йрфО на длинах Ах<^_\ Ар<^р. Следовательно, вблизи донного среза при х=1 на малых расстояниях (Дл:<^1) конечный перепад давления может появиться только при йЩйр = 0. Выполнение последнего условия соответствует появлению особой точки на интегральной кривой краевой задачи, описывающей течение на основной части тела. Из (2.2) следует

Для малых х (в окрестности автомодельного решения) {йЫ,йр)<^0, йр<0 и ^л:>0. За особую точку йЬ)йр = 0 решение продолжить нельзя, так как при этом для (1х^>0 необходимо йр^> 0, что невозможно.

Заметим, что уравнения и граничные условия (4.2) инвариантны относительно следующей однопараметрической группы преобразований:

Предположим, что, задав ^ в системе (4.5), получим всю интегральную кривую, например, путем численного интегрирования на ЭЦВМ вплоть до особой точки йЬ\йр = 0. Все остальные кривые можно тогда получить с помощью группы преобразований (5.2). Кривые, для которых йЬ\йр = 0 при х<^\, не имеют физического смысла. Если особая точка расположена при х^>\, то часть интегральной кривой описывает течение, для которого донное давление р4 = р (х = 1). Наконец, интегральная кривая, имеющая особую точку при х=1 [обозначим для нее р(х = 1) = /?Б], соответствует всем течениям, для которых донное давление В этом слу-

чае вблизи донного среза образуется область течения, в которой на длине Дл:~т<^1 давление падает на Др — 0

ниже, чем до (—I /?5, так как при этом на конце тела

Мщ, = 1 и дальнейшее расширение потока может происходить лишь в волне, начинающейся в угловой точке тела, поскольку в потоке уже нет сужающихся дозвуковых линий тока. Следовательно, для

/Т + 1 \—т/

всех значений донного давления /?4 < I ^ 1 Рь распределе-

ние давления по телу одинаково везде, включая и малую окрестность донного среза с длиной Ах^т.

Таким образом, при р^рь течение полностью описывается частью интегральной кривой краевой задачи для основной части тела и р (х = 1) = /?4, а области с большими локальными градиен-

тами давления не возникает. При ръ^>р4>—р-г рь появ. . \Т+1/

ляется локальная область течения с большими локальными градиентами давления, но в конце ее р = /?4 и Мто < 1. Наконец, при

/ 2 \т/

Рь < I ^ у 1 ръ в конце локальной области /7 = 1 ^ ^ \ ръ

и Мто=1. Дальнейшее уменьшение донного давления не влияет на течение вверх по потоку. На основной же части тела (х — 1) при всех Р^<СРъ течение описывается всей интегральной кривой до особой точки йЩйр — 0 при х = 1.

6. Качественный анализ физических особенностей течения вблизи донного среза, проведенный в разд. 5 настоящей статьи, целиком справедлив и для течений без вдува при сильном взаимодействии пограничного слоя с гиперзвуковым потоком, рассмотренных в работе [7].

Пусть рассматривается течение, изображенное на фиг. 1, но при отсутствии вдува. В работе [7] показано, что при изменении донного давления решение для основной части тела перестраивается таким образом, чтобы р(х— 1) было равно донному. Но при очень малых значениях донного давления этого достичь нельзя. Во-первых, при р -»0 толщина вытеснения 8 - оо, а это согласно (2.2) должно было вести к росту давления. Во-вторых, на интегральной кривой существует особая точка, в которой ёЬ/йр-*0 и йр!с1х^> — оо, и за нее решение продолжить нельзя по изложенным в разд. 5 причинам. Для этого течения расчетным

путем получено предельное минимальное значение давления на конце тела в области, где ру = 0, равное р = Роойм ИвсТ1'20,636*. Из-за возникновения области с большими продольными и поперечными градиентами давления на расстояниях х—т=Не<Г1/4 давление на теле может еще упасть в [(т~Ь 1)/2]т/(т_1) раз. При более низких значениях донного давления дальнейшее расширение потока происходит' в центрированной волне разрежения около угловой точки тела и не влияет на течение вверх по потоку.

В заключение автор благодарит В. В. Лунева за полезное и плодотворное обсуждение вопросов, касающихся разд. 6 статьи; В. А. Баринова, сделавшего полезные замечания, Л. А. Соколова и 3. А. Степченкову за проведение расчетов на ЭЦВМ.

* Принято 7 = 7/5; з = u> = gw= 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. И нгер, Гайтез. Сверхзвуковое ламинарное обтекание плоских и осесимметричных тел при наличии интенсивного вдува. .Ракетная техника и космонавтика", 1971, т. 9, № 3.

2. Лиз, Ч э п к и с. Вдув при сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях как задача о турбулентном смешении. .Ракетная техника и космонавтика", 1969, т. 7, Je 4, 1971, т. 9, № 6.

3. Матвеева Н. С., Нейланд В. Я. Сильный вдув на теле конечной длины в сверхзвуковом потоке. .Ученые записки ЦАГИ“, 1970, т. 1, № 5.

4. Cole J. D., Aroesty J. The blowhard problem lnviscid flow with surface Injection. Int. Journ. of Heat and Mass Transfer, 1968, v. 11, No 7.

5. Нейланд В. Я. К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке. Изв. АН СССР, МЖГ, 1969, № 4.

6. Stewartson К., Williams P. Self-induced separation. Proc. of Royal Soc. Ser. A. Math, and Phys. Sci. 1969, v. 312, No 1509.

7. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, № 4.

8. Козлова И. Г., Михайлов В. В. О сильном вязком взаимодействии на треугольном и скользящем крыльях. Изв. АН СССР, МЖГ, 1970, *6 6.

9. Хейз У. Д, Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит., 1962.

Рукопись поступила 4/IV 1972 г.