О спектральных свойствах многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым потенциалом

УДК 517.927 DOI: 10.17238/issn2541-8416.2017.17.4.376

Поступила 23.06.2017

о спектральных свойствах многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка

с суммируемым потенциалом

С.И. Митрохин *

*Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

Изучается краевая задача для дифференциального оператора высокого нечетного порядка. Потенциал оператора является суммируемой функцией на отрезке изучения оператора. Граничные условия заданы на границах отрезка и в нескольких внутренних точках, которые делят отрезок на несоизмеримые части. Таким образом, граничные условия являются многоточечными. Многоточечные граничные условия возникают при изучении колебаний мостов и балок, опоры которых находятся во внутренних точках. В статье найдена асимптотика решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального параметра при условии суммируемости потенциала. Ранее асимптотика решений дифференциальных уравнений изучалась в случае гладких коэффициентов, затем - в случае кусочно-гладких коэффициентов. Асимптотические оценки в различных секторах комплексной плоскости получаются аналогично выводу оценок методом М.А. Наймарка. С помощью полученной асимптотики решений исследованы граничные условия. Это исследование приводит к системе однородных уравнений, которая имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Таким образом, выведено уравнение, которому удовлетворяют собственные значения изучаемого оператора. Изучена индикаторная диаграмма этого уравнения. Функция, которой удовлетворяют собственные значения, является целой в различных секторах индикаторной диаграммы. С помощью индикаторной диаграммы найдена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. Доказано, что спектр изучаемого оператора является дискретным. Показано, что у этого оператора не наблюдается эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений. С помощью полученного спектра можно изучить поведение собственных функций исследуемого оператора.

Ключевые слова: многоточечная краевая задача, спектральный параметр, многоточечные граничные условия, суммируемый потенциал, индикаторная диаграмма, асимптотика собственных значе-

Контактное лицо: Митрохин Сергей Иванович, адрес: 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, стр. 4; e-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru

Для цитирования: Митрохин С.И. О спектральных свойствах многоточечной краевой задачи для дифференциального оператора нечетного порядка с суммируемым потенциалом // Arctic Environmental Research. 2017. Т. 17, № 4. С. 376-392. DOI: 10.17238/issn2541-8416.2017.17.4.376

1. Постановка задачи. Изучим следующую краевую задачу:

у

с многоточечными граничными условиями

У

При этом предполагается, что потенциал q(x) - суммируемая функция на отрезке [0; п]:

(х V

q

V 0 / х

почти для всех х из отрезка [0; п].

Цель статьи - найти асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1)-(2) с условием (3) суммируемости потенциала.

2. Исторический обзор. В современной спектральной теории дифференциальных операторов актуальной остается задача отыскания асимптотики собственных значений и собственных функций оператора в зависимости от гладкости коэффициентов дифференциального выражения. Также актуальна задача нахождения регуляризованных следов операторов. Для оператора второго порядка с дифференцируемым потенциалом основополагающие результаты получены в [1]. В работах [2-4] результаты [1] обобщены для случая операторов высших порядков с гладкими коэффициентами.

В [5] исследована сходимость разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора. В [6] рассмотрены спектральные свойства функционально-дифференциальных операторов с кусочно-гладкими коэффициентами, найдены асимптотики собственных значений и получены формулы регуляризованных следов. В [7] изучены необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка, в [8] - базисность корневых функций операторов с многоточечными краевыми условиями.

Авторами [9] рассмотрен оператор Штурма-Лиувилля с суммируемым потенциалом и найдены формулы для асимптотики собственных значений и собственных функций.

В [10] исследовалась локальная сходимость биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. В [11] результаты [9] обобщены для случая операторов порядка выше второго: получены асимптотики собственных значений и собственных функций для оператора шестого порядка с запаздывающим аргументом с суммируемым потенциалом. Авторами [12] проведен спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями. В [11] предварительно найдена асимптотика решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального параметра, обобщающая результаты работы [13, гл. 2].

Операторы второго порядка с негладкими потенциалами (типа дельта-функции или потенциалами-распределениями) рассмотрены в [14-16]: были найдены асимптотики собственных значений и собственных функций, а также вычислена формула регуляризованного следа таких операторов. В [17, 18] на основе методики работ [14-16] исследовано асимптотическое поведение собственных значений операторов с потенциалом, являющимся дельта-функцией Дирака либо импульсными потенциалами (потенциалами-распределениями).

В [19] изучена обратная задача для дифференциальных операторов с обобщенными многоточечными граничными условиями. В [20] для оператора восьмого порядка (с суммируемым потенциалом) исследованы такие многоточечные граничные условия, при которых у спектра оператора

наблюдается эффект «расщепления» кратных в главном собственных значений этого дифференциального оператора.

3. Асимптотика решений уравнения (1) при больших значениях спектрального параметра. Введем следующие обозначения: А = 5 = ^

W,

^

= e 111 \ k = 1, 2, ..., 11, wk =

wk = wk¥ wk - различные корни одиннадцатой степени из единицы:

1 7Т Г 2п1  • Г

w, = 1, w7 = e 11 = cos I — 1 + j sin I — 1 =

1 2 111J 111J

in ГГ

= D2 + iR2, w3 = e 11 = cos Iyyl + i sin I^j~l = D3 + iR3, ... .

Методами работ [10; 11; 13, гл. 2] доказывается следующее утверждение.

Теорема 1. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет следующий вид:

11 11

y

к=1 к =1

где Ck(k = 1, 2, ..., 11) - произвольные постоянные, при этом асимптотика фундаментальной системы решений {yk (х, 5)}= подчиняется следующим формулам и оценкам:

y к (X 5 ) = exP (awksx)—1

Ао,к

1a 5

10 10 —

k = 1, 2,..., 11,

a10,k (X s) = w1 eXP (aw1sx) • J q (t) • eXP (a ( wk - w1 ) st) • dtak1 +

0

х

+w2 • exp (aw2sx) • J q (t) • exp (a (wk - w2) st) • dtak2 +...

0

х

... + wn • exp(awusx) • Jq (t) • exp(a(Wk - wn )st) • dtak,n, k = 1, 2,..., 11;

ykm) (x, s) = (as )m j < • exp (awk sx) - ^

A1m0,k

1a10510 0

k = 1, 2,..., 11;m = 1, 2,..., 10; 4o,k (х, 5 ) = Z wr1 • exp (awn5x )jJ ...I , k = 1,2,...,11; m = 1,2,...,10.

0 У akn

4. Изучение граничных условий (2). Подставляя формулы (5) в граничные условия (2), имеем

У(-n,5) = 0(=)£Ck • yk(-n,5) = 0(n = 1,2,..., 11).

Система (10) представляет собой систему из одиннадцати однородных линейных уравнений с одиннадцатью неизвестными: С1, С2, ..., С11. По методу Крамера, такая система имеет ненулевые решения только в том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) имеет

вид

/ (* ) =

У

V

VI

У10

У10

У10

У10

= 0.

С использованием асимптотических формул (6)-(9) уравнение (11) переписывается в виде

/ ( * ) =

Ъц

ъ12

ъ11,1

ъ1,10

ъ11,10

= 0,

Ькп (* ) = еХР (™пхк* )- ^ (

Хи , 5

1а10 • 510

^ О |, k, п = 1, 2, . ..,11.

Разложим определитель /(я) из (12) по столбцам на сумму определителей:

1 -Ёл* (*)+оШ=0

/ (* )=/0 (*)-т

1а10 • 510

при этом основное приближение имеет вид

/(5) = 0,

/0 (* ) =

/11 /21

ехр

/12 /22

/10,1 /10,2 /11,1 /11,2 ехр ( аw2 х15 ) . ехр ( аw2 х2 5 ) .

ехр

1 10

ехр

2 10 ехр

/1,10 /2,10

/10,10 /11,10

/1,11 /2,11

/1й,11 /11,11

р

ехр

11

ехр

Ф (

10 10

ехр

ехр

11 10 ехр

определители /10к(л)(к = 1, 2, ..., 11) формулы (14) получаются из определителя /0(л) формулы (16) заменой к-го столбца на столбец (А10Л(х1, л); Ащк(х2, л); Лщк(х10, л); Лщк(хп,

Формула (16) показывает, что между элементами ехр(^пхкл) и/Дл), а также между ехр(<шхкл) и элементами Ькп(л) из (12), (13) существует взаимно-однозначное соответствие. Из формулы (16) находим

/о (5) = /11/22/33-/10,10/11,11 — /11/22/33"'/99/10,11/11,10 + ••• = = ехр (ал х1 + ^2х2 + ^3х3 +  + ^9х9 + ^10х10 + w11 х11 ))-

- ехр

fo

Yk

где Yk - всевозможные перестановки чисел {1, 2, ..., 11}; bk - знак этой перестановки,

MYk = W ^ Xi + W2 ^ xy2 + W3 • \ + ... + ^10 ^ xyio + W ^ xy„ .

Учитывая формулы (4), величина М^к из (19) принимает следующий вид:

myk = Ь \ +(D2 + iR2 )• \ +(D3 + iR3 )• \ +

+ (D4 + iR4 )• Xy4 + ... + (D4 - iR4 )• XYs +(D3 - iR3 )• XY^ +

+

Re (Myk ) = 1 xyi + D2 (xy2 + xyii ) + D3 (xy3 + xyio ) + + D4 ( xy4 + xys ) + D5 (xy5 + xy8 ) +

+ D6

Im (M yk ) = 0 • xy1 + R2 (*y2 - xy11 )+ R3 (xy3 - xyio ) +

+ R4

5. Индикаторная диаграмма уравнения (14)-(16). Для нахождения асимптотики корней уравнений (11)-(14) сначала необходимо решить уравнение (15), где функция f0(s) определена в (16), а для этого надо изучить индикаторную диаграмму (см. [21, гл. 12]) этого уравнения. При

исследовании индикаторной диаграммы следует подробно изучить уравнения (17)-(19), т. е. поведение величин из (20) и Re (MYt), Im (м^) из (21), (22). Сначала найдем ответ на вопрос, когда достигается max(Re (м^)).

Из формулы (21) следует, что это происходит в следующих случаях:

xy = mn • п = 1 • п; x = mi0 • п v m9 • п; х = mi0 • п v m9 • п; x,h = m8 • п v m7 • п; x = m8 • п v m7 • п; x = m6 • п v m5 • п; x = m6 • п v m5 • п; x = m4 • п v m3 • п; x = m4 • п v m3 • п;

x = m2 • п v mi • п, mi • п = 0; x = m2 • п v mt • п, mt • п = 0.

Из соотношений (23) следует, что на вертикальном отрезке ВВ2] индикаторной диаграммы уравнения (15) расположены 32 точки А1, А2, ..., А32 (при этом А1 = В1, А32 = В2), координаты которых определяются формулами (20)-(22) и по которым в силу выражений (17)-(19) находятся соответствующие им элементы определителей (16) и (12)-(13). Из общей теории (см. [21, гл. 12]) следует, что отрезку [В В 2] соответствует сектор Т бесконечно малого раствора, биссектрисой которого является срединный перпендикуляр к отрезку [В В] и корни уравнений (15)-(16) и (12)-(13) могут находиться только в секторе Т на асимптотику корней влияют только точки А А2, ..., А32 отрезка [В1В2]. Исследование точек А1, А2, ..., А32 из (23) показало, что уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)—(3) в секторе Т1 представляется в следующем виде:

gl (5) = ¿>16 • ь27 ' ь35 ' ь48 ' ь54 ' ь69 ' ь7,3 ' ь8,10 ' ь9,2 ' ь10,11 ' ь11,1 — — ь17 • ь26 • ь35 • ь48 • ь54 • ь69 • ь7,3 • ь8,10 • ь9,2 • ь10,11 • ь11,1 +

+ ь17 • ь26 • ь38 • ь45 • ь54 • ь69 • ь7,3 • ь8,10 • ь9,2 • ь10,11 • ь11,1 — ь16 • ь27 • ь38 • ь45 • ь54 • ь69 • ь7,3 • ь8,10 • ь9,2 • ь10,11 • ь11,1 + ... = 0.

Основное приближение уравнения (24) имеет корень кратности 5, поэтому у спектра дифференциального оператора (1)-(3) возможен «эффект "расщепления" кратных в главном собственных значений», рассмотренный автором в статье [20].

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в секторе Т1 индикаторной диаграммы имеет вид

& ( ^ ) =

Ь16 ь17 ь35 ь38 ь54 ь59

ь26 ь27 1,1 Ь 45 ь48 1,2 Ьб4 ь69

ь7,3 ь7,10 ь9,2 ь9,11

ь8,3 ь8,10 1,4 ь10,2 ь10,11

• ьи,1 = 0 ьп,1 = ьи,1

т. к. мы ввели обозначение

Кп = т п «Ч1,2,...,111.

Изучение индикаторной диаграммы показало, что в секторах Т3 и Т5 индикаторной диаграммы уравнения на собственные значения имеют следующий вид:

&3 ( 5 ) =

Ь17 8 Ь36 Ь39 ¿55 ь5,10

Ь27 Ь28 3,1 Ь46 Ь49 3,2 Ь65 ь6,10

ь74 ь7,11 ь9,3 ь9,12

ь84 ь8,11 3,4 ь10,3 ь10,12 3,5

• ¿11,2 = 0,

причем Ь ф 0 в силу формул (16) и (12), (13);

&5(5)=

1 8 Ь19 ь37 ь3,10 ¿56 ь5,11

Ь28 Ь29 5,1 ь47 ь4,10 5,2 ¿66 ь6,11

ь75 ь7,12 ь9,4 ь9,13

ъ ъ ъ ъ

85 8,12 5,4 10,4 "10,13

• ь11,14 = 0,

при этом Ь = Ь ф 0.

1,5

X

3,3

5,3

5,5

Исследуя остальные нечетные сектора индикаторной диаграммы аналогично получению уравнений (25)-(28), приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в нечетных секторах Т индикаторной диаграммы имеет вид

g 2 .-1 ( 5 ) =

ь1,5+ р ь1,6 + р ь3,4+ р ь3,7 + р X

ь2,5+ р ь2,6+ р 2 р -1,1 ь4,4+ р ь4,7+ р 2 р-1,2

ь5,3+ р ь5,8+ р ь7, р+ 2 ь7, р-2

ь6,3+ р ь6,8+ р 2 р-1,3 ь8, р+ 2 ь8, р-2 2 р-1,4

ь9, р+1 ь9, р -1 ь10, р+1 ь10, р -1

• Ь2 р-1,6 = 0,

2 р -1,5

где Т - номер сектора индикаторной диаграммы,р = 1, 2, 3, ..., 11; Ь ф 0. Формулу (29) можно переписать следующим образом:

g2р-1 (5) = Ь11,6 • П g2р-1,я (5 ) = 0, Ь11,6 * 0,

g 2 р-1, я ( 5 ) =

2 я-1,6+ р-я (s) b

2я -1,5+ р-я (s) 2я,6+ р-я (s) b

2я,5+ р-я

= 0,

2 р-1,я

при этом Т - номер сектора; п - номер серии собственных значений в секторе Т ; р =

= 1, 2, ..., 11Гп = 1, 2, ..., 6.

6. Асимптотика собственных значений. Уравнение (30)-(31) позволяет вычислить асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) в нечетных секторах. Подставляя формулы (13) в уравнение (31), получаем

g2 р-1,я (5 ) ~ ь2я-1,6+ р-я (5 ) • ь2я,5+ р+я (5) ь2я-1,5+ р+я (5 ) • ь2я,6+ р-я (5) =

exp ( а

' 6+ р-я 2 я

A

\ л10,6+ р-я -15)

Рб • s

+ — fj_

10 -1 s20

exp

10,5+р+я

Рб • s

(x^+-f_1_

10 -1 s20

exp (

A

5+ р+я 2 я

)- a10,5+р+я ( х2я-1,s ) + — f _

P • s10 — I s20

{exp (

аж x 5 -

6+ р-я 2я у

10,6+р-я (х2я , s ) + — f 1

Рб • s"

-I s20

= 0, P6 = 11a10; p = 1,2,..., 11; n = 1,2,..., 6.

Перепишем уравнение (32) в следующем виде:

&2р-1,п

&2р-1,п,0

&2р-1,п,10 (5 ) = еХР (aw6+ р-пх2п-15 ) • а10,5+ р + п ( х2п, 5 ) -- ехр (а^ъ+ р+пх2пэ)• аю,6+ р-п (х2п-1 , 5)- еХР (а^Ъ+ р+пх2п-15)• а10,6+ р-п (х2п, 5)" - ехР (а^6+ р-пХ2п5 ) • а10,5+ р + п ( х2п-1, 5 ).

Поделив в уравнении (33)-(35) левую и правую части на функцию ехр(а^5 х2и_15,)х хехр^5+р-пх2п5) ф 0, находим

/2 р-1,п ( 5 ) = / р -1,п ,0 ( 5 )-^^^ + О 1 = 0,

Я • 510 -I 520

/2 р-1,п,0 ( 5 ) = еХР (а (р + п " W6+ р-п ) • ( х2п " х2п-1 ) 5 ) " 1

(основное приближение при этом имеет вид / 1и0(?) = 0);

/2р-1,п,10

Отметим, что А10^(х, 5) задаются формулами (6)-(9), при этом в секторе Т на асимптотику корней влияют только экспоненты, зависящие от величин w6+p_n и ^5+р+п:

Г Х2п \

а10,5+ р+п ( х2п , 5 ) = ^6+ р-п • еХР (^6+ р-пХ2п5 )-| | ...

( Х2п

х еХр ( а^5+ р+пХ2п5 Н | ...

"^5+ р + п Х

У а,5+ р+п,6+ р-п +0 (1);

У а,5+ р + п,5+ р+п

-1 ^

а10,6+ р-п ( х2п -1, 5 ) = ^6+ р-п • еХР (а^6+ р-пх2п-15 н | ...

"^5+ р+п Х

-1 ^

<еХР (а^5+ р+ пХ2п-15 Н | ...

у а,6+ р-п,6+ р-п + 0 (1);

у а,6+ р-п,5+ р + п

a10,6+ р-я ( х2я, s ) = w6+ р-я • eXP (aw6+ р-яx2яS )•[ J ...

-1 Л

Xexp(aw5+ р+яx2яSИ J ...

, Л

' a,6+ р-я,6+ р-я + 0 (1);

"W5+ р+я X

У a,6+ р-я,5+ р + я

-1 Л

a10,5+ р+я (х2я-1, s) = w6+ р-я • eXP (aw6+ р-яХя-^) • I J ...

"W5+ р + я X

(exp (

-1 Л

aW5+ р+яХ2я -

s) J ..

/ a,5+ р+я,6+ р-я +0 (1).

/ a ,5+ р+я ,5+ р+я

Заметим, что

'x п-1 \

J -

Л

J q (t) dt

(это следует из формулы (7)), подставим формулы

(39)-(42) в формулу (38), проведем необходимые преобразования, получим

/2 р-1,п,10

( 5 ) = М т • F (-Х2п-1 )' G ( 0, Х2п , N2, )+ М2 п ' F ( х2 п - х2 п-1 )' G ( 0 х2п , N 2, ^2 ) +

+ Мп'F(х2п -х2п-)'G(0,х2п^,N,N) + М2п'F(х2п)'G(0,х2п_1,N,N2)-М1 п х

X G ( ° х2п , N1, N1 )-М2п ' F ( х2п )' G ( 0 х2п , N1, N2 )-М1п '( х2п - х2п-1 ) ' G ( 0, х2п-1,

N2 , N1 )-

- М2п ' С ( 0, Х2п-1, N2 , N2 ) + 0 (1),

где нами введены обозначения

Мш = ^6+ р-п ;М2п = ^5+р+„;F (х5 ) = ехР (а (М2п- Мш)Х5); N = N + р - п;

с

N = N + р + п; <(b,^k,т) = |q(t)'ехр(а(м>к -)st)'Жакт.

ь

Основное приближение уравнения (36)-(38) имеет вид

Лр-1,п,0

2гак

, k е N,

к,2 р-1, п,ос а

где Т - номер сектора; п - номер серии собственных значений оператора (1)-(3) в секторе Т ; р = 1, 2, ..., 11; п = 1, 2, ..., 5. Поэтому справедливо следующее утверждение (см. [3, 22]).

Теорема 5. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) в нечетных секторах Т (р = 1, 2, ..., 11) индикаторной диаграммы имеет вид

2га

к | 10,к,2р-1,я + — I

k + k10 +— I k20

k,2р-1,я"а

к е N; p е {1, 2, 3, ...,11};n е {1, 2, .. ., 6}.

Чтобы доказать теорему 5, нужно вычислить коэффициенты d10k п из (46) в явном виде. В силу формул (44) и (46) находим

Р ( х2 п - х2п-1 )|. = еХР ( а (М2п - М1п )( х2 п - х2 п-1 ) 5к,2 р-1,п )= еХР ( 2п1к )Х

'^к ,2 р-1 ,п 4 /

х еХр

2га

^0, к ,2 р—1,п „I 1

к10 + " I к20

= 1 •

1-

2пг^10,к,2р-1,п 0 I_1_ к10 + 01 к20

асимптотики получены с применением формулы Тейлора.

Подставим формулы (46), (47) в уравнение (36)-(38), учтем формулы (43), (44). Выводим, применяя формулы Тейлора:

1-

2га'а?,

10, к ,2 р —1,п

г 10

-Ь1

•(М2п - М1п )10 ( Х2п - Х2п-1 )10 1

11 а10 • 210

10 10 П • 1

1 + 0| -ТГ

-' к11

' /2 р -1

2 р -1, п ,10 |

0| -0 | = 0,р = 1, 2, ...,11;п = 1, 2,..., 6;k е 2.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к, видим:

1 1 (М2п - М1п )10 (Х2„ - Х2Я-1 )10

d,

10,к ,2 р-1,я

2га 11 210 • П

/!р-1,и,10 (5)|5

'к ,2 р - 1,п,осн

где 5

к,2р-1,п,осн

задано формулой (45).

Из формул (4) находим

М2 п - М1п = ^5+ р + п - ^6+ р - п = еХР| ^ (4 + р + " )| - еХР I ^ (5 + р - п) I =

(

= еХр

Л

2п1 ^ 3

-1 6 + р--

V 11 I 2 „

(

еХр

2п1 11

= еХр

2Т| 6+р -

• 21 sin

1

п —

2п1 11

Л

(

еХр

2п1 11

1

- п + —

п —

п = 1, 2,..., 6.

Подставим формулу (45) в (43)-(44), произведем необходимые преобразования:

/2 р-1

2 р-1,п,2 N-2^7

к ,2 р-\,п,осн

= (М2п -М1п )• ^ (Х2„-!, Х2„ ,1,1)+ Н2р-1в10 (5)|

к ,2 р-1,п ,осн

Н 2 р-1,п,10

к ,2 р-1,п,осн

Подставляя величины 5

к,2р-1,п,осн

из (45) в формулу (52), находим

Н2р-1,п,10 (5)|

к ,2 р-1,п,осн

= еХр|— (N - !)]• Р1 Х2п Х п-1

11

Р| -^^^2]•£(Х2и-„Х2И,Ж2,N)|5

2 у к ,2 р-\,п,осн

- еХР | 21 (N2 -1)} Р V

р! Х2п + Х2п

- } G ( Х2 „-, Х2И , N, N2 )|

'к ,2 р-1,п,осн

2

Из формул (45) и (44) видим:

F

= exp (nik) = (-1)k

k ,2я-1, я,осн

поэтому выражение (53) преобразуем к более удобному виду:

(

exp

h2р-1,я,10 |s

k ,2 р -1, я ,осн

2ni f О Л (

f 2ni

= (-1) • exp тг!6+р"о

11

n — 11 I 2

• exp

V i i V ^ j у

i^if Л\\ f

-nik • Х2я-

1 ]• J q

V Х2я Х2 я—1 J х2я_1

exp

( 2nik Л

V Х2я Х2я-1 J

exp

2ni f 1

я —

V 11 V 2JJ

• exp

nikХ2я + Х2 я

\ л2 п

Ч Jq

V Х2я Х2я-1 J Х1п-J

= (-1)k 2i exp ^ V 6 + р - 3

• exp

( 2nik л

V Х2я Х2 я-1 J

Ф.

л2я

Ф я = J q (t) sm

2nk t Л(2я - 1) - nk Х2я + Х2я-1

Х2я Х2я-1

11

Х2я Х2я-1

; p = 1,2, ...,11; n = 1,2,..., 6.

Подставляя формулы (54) в (52), используя формулы (50), находим

fр-1,я,10

k ,2 р -1,я,осн

""l я

J q (t) dtt

(- 1)k

a11 1 /

sin

п

-•ф.

v 11 j

Подставляя формулу (55) в формулу (49), применяя формулы (50) и (54), имеем

d,.

1 1 (М2я - М1я )11 (Хщ - Хщ-1 )"

2ni 11 2 •П

(-1)5

-In

J q (t) d

(- 1)k

Sin

1 1 (Х2я - Х2я-1 )1\ ,45 f f 2ni f, ^ЛЛ

2ni 11 210 •n10

•(-1)5

exp

V V

—I 6 + р —

11 V 2

• 211 • i11 •

/J

f f

sin

V V

п( 2я -1) 11

п( 2я -1) 11

•[...1.

J

X

Из (56) получим dwk2 _1п в явном виде, что завершает доказательство теоремы 5:

&

п

*,11 +"

10,к,2 р—1,п (

И'

6

11-п2

60 ( ( sin

V V

п

11

//

(

sin

п

-2 п

| q ^) sin

2пк t Л(2п — 1) —%к Х2п + Х2п—1

11

11

к е N;р = 1,2, ...,11;п = 1,2,...,5.

Здесь Т - номер сектора; п - номер серии собственных значений в этом секторе. Применяя формулу (50), формулу (46) перепишем в следующем виде:

2га ( , 3

ехр |--1 6 + р —

1 11 V 2

к ,2 р—1,п

( Х2 п — Х2п—1 )•

(

п

11

П0, к ,2 р—1,п

йо

коэффициенты &10к2р-1 п определены формулой (57).

Изучение индикаторной диаграммы уравнений (11)—(13) и (16)-(18) с помощью формул (19)-(22) приводит к доказательству следующего утверждения.

Теорема 6. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в секторе Т2 имеет вид

К (5 ) = ь

Ь26 Ь28 Ь45 Ь49 Ь64 ь6,10 ь83 ь8,11 ь10,2 ь10,12

Ь36 8 2,1 ь55 Ь59 2,2 Ь74 ь7,10 2,3 Ь93 ь9,11 2,4 ь11,2 ь11,12

= 0,

при этом Ь1012 = Ь101, Ь1112 = ЬП1 в силу обозначений формулы (26).

Таким же образом доказывается, что в секторах 4) и 6) уравнения на собственные значения имеют следующий вид:

К4 ( 5 )= К К6 ( 5 )= Ь19

Ь27 Ь29 ь46 ь4,10 ъ65 ь6,11 ь8,4 ь8,12 ь10,3 ь10,13

Ь37 Ь39 4,1 ь56 ь5,10 4,2 Ь75 ь7,11 4,3 ь9,4 ь9,12 4,4 ь11,3 ь11,13

Ь28 ь2,10 Ь47 ь4,11 ь66 ь6,12 ь8,5 ь8,13 ь10,4 ь10,14

3 8 ь3,10 6,1 Ь57 ь5,11 6,2 ь76 ь7,12 6,3 ь9,5 ь9,13 6,4 ь11,4 ь11,14

= 0;

= 0.

Обобщая формулы (59)-(61), приходим к теореме.

Теорема 7. В четных секторах Т2р (р = 1, 2, ..., 11) индикаторной диаграммы уравнения на собственные значения имеют следующий вид:

х

2,5

4,5

6,5

h2 p ( 5 )= b1,6 + p ( 5 )•

ь2,5+ p ь2,7 + p b4,4+ p b4,8+ p ь6,3+ p ь6,9+ p

ь3,5+ p ь3,7+ p 2 p ,1 b5,4+ p b5,8+ p 2 p ,2 ь7,3+ p b7,9+ p

2 p,3

X ь8, p+2 b8,10+ p b10, p+1 b10,11+ p

ь9, p+ 2 b9,10+ p 2 p ,4 ь11, p+1 b11,11+ p

= 0, p = 1, 2,..., 11.

2 p ,5

Уравнение (62) можно переписать следующим образом:

Кр (5 ) = ЬХ 6+р (5) ' П Кр,п (5) = 0, Ь1,6+ р (5 ) * 0,

7 / \ ь2п,6+ р-п \ / 2п,6+ р + п \ /

П2 р ,Д5) = , ' - - / - = 0,

2 p ,n

ь2п+1,0 + р-п

где Т2р - номер сектора; п - номер серии собственных значений в секторе Т2р; р = 1, 2, . п = 1, 2, ..., 5.

Используя формулы (12) и (13), из уравнения (63)-(64) получаем:

К2р,п (5) = Ь2п,6+р-п (5) ' Ь2п+1,6+ р+п (5) - Ь2п,6+ р+п (5) ' Ь2п+1,6+р-п (5) =

)( a (1

exp( a\w6+p

+n w6+p-n )( X2n+1 x2,

) ^ )- 1

hp, n,10

f

P • s

+ O

10 —

1

V ^ J = 0,

.., 11;

2 р ,п ,10

( 5 ) = ехр ( т

6+ р-п ( х2п+1 х2п

) 5)' ехр (-aw

6+ р + п Х2п 5 )' а10,6+ р + п (х2п+1, 5 ) +

+ехр(-а^

6 + р + пх2 п+1

5 )' ехр ( а^6+ р+ п ( х2 п+1 - х2 п ) 5 ) ' а10,6 + р-п ( х2 п, 5 )-

- ехр (-а^+ р-пх2п+15) ' 40,6+ р-п (х2п+1, 5) - ехр (-6+ р + пХ2п5) ' а10,6+ р+п (х2п , 5).

Применяя формулы (6)-(9), аналогично формулам (36)-(42) и (43)-(44) получаем:

"2 р,п,10 ( 5 )= Мщ Е (-Х2п)' < ( 0, Х2п+1, N2, N1)+ М3п Fl ( Х

2п+1 х2п )' < ( 0, Х2п+1, N2, N2 ) +

+ Мщ Е ( Х2п+1 - Х2п )' < ( 0, Х2п, N1, N1 )+ М3п Е ( Х2п+1 )' < ( 0, Х2п, N1, N2 )-Мщ< ( 0, Х2п+1, N1, N1 )-

-МЗпЕ (Х2п+1)'<(0,Х2п+1,N1,N2)-МщЕ (-Х2п)'<(0,Х2п,N2,N1)-Мзп<(0,Х2п,N2,N2),

N = 6 + р - п; N = 6 + р + п; М1п = w6+ р-п; Мзп = ^6+ р+п;

с

Е (Х 5) = ехр (а (МЗп -М1п )5Х); < (b, c, к, т) = | д ^)ехр (а (щ - wm ) ^)ЖаЫ.

ь

Основное приближение уравнения (65)-(68) имеет вид

Р1

a(MЪп -Mln)•(Х2и+1 -Х2и) поэтому верно следующее утверждение (см. [3, 22]).

Теорема 8. Асимптотика собственных значений в четных секторах Т2р (р = 1, 2, ..., 11) индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

ък ,2 р ,п

2л7 к + / 10,к ,2 р ,п

а (мЗп - М1п )( Х2п+1 - Х2п ) к10

ж10,к ,2 р ,п (Х2п+1 — Х2п ) 1 11 п11 Sin ( 2пп ^ V 11 J

01

Л2п+1

а11 +-

(-1)к

sm

2пп 11

2 п+1

| q ^) sin

2пк 2пп , х2 , + х2п -1---пк—2п+1-^

11

к е ^; ^ = 1,2, ...,11; и = 1,2,...,5. Чтобы доказать формулы (70)-(71) теоремы 8, вначале заметим, что из формулы (4) имеем

М3п -М1п = ™6+ р+п - ™6+ р-п

ехР I

(2л/ , Л . (2пп

:ехрIтг(5+р'sin1тГ

Подставляя формулы (69), (70) и (72) в (65)-(68), аналогично выкладкам (33)-(58) получаем доказательство формул (70) и (71) теоремы 8. Из формул (72) и (70) выводим

2п1

1 5 + р II

5

п ехр тг

к ,2 р ,п

а

sin

2пп 11

к + ~к— + 01 ^

Из формул (57), (58) и (71), (73) следует, что при условии х2п ^ х2п+1 (или при условии х2п-1 ^ ^ х2п) (при и ^ да) нельзя найти асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1)—(3) (в силу (2) краевая задача является недоопределенной).

Дифференциальный оператор четвертого порядка с многоточечными граничными условиями был рассмотрен в работе [23].

Список литературы

1. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. Акад. наук СССР. 1953. Т. 88, № 4. С. 593-596.

2. Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля // Успехи матем. наук. 1958. Т. 13, вып. 3(81). С. 111-143.

3. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Функциональный анализ и его приложения. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 52-59.

4. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра оператора Хилла // Матем. сб. 1975. Т. 97(139), № 4(8). С. 540-606.

х

5. Ильин В.А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Матем. заметки. 1977. Т. 22, № 5. С. 679-698.

6. Митрохин С.И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 6. С. 927-931.

7. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1986. Т. 22, № 12. С. 2059-2071.

8. Ломов И.С. О базисности корневых функций операторов с многоточечными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. 1989. Т. 25, № 6. С. 1053-1056.

9. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. математическая. 2000. Т. 64, № 4. С. 47-108.

10. Ломов И.С. О локальной сходимости биортогональных рядов, связанных с дифференциальными операторами с негладкими коэффициентами. II // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37, № 5. С. 648-660.

11. Митрохин С.И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфим. матем. журн. 2011. Т. 3, № 4. С. 95-115.

12. Баскаков А.Г., Кацаран Т.К. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 8. С. 1424-1433.

13. НаймаркМ.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

14. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. Т. 66, вып. 6. С. 897-912.

15. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями // Тр. Моск. матем. общ-ва. 2003. Т. 64. С. 159-212.

16. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 2001. Т. 69, вып. 3. С. 427-442.

17. Сафонова Т.А., Рябченко С.В. О собственных значениях оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом // Вестн. Сев. (Арктич.) федер. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2016. № 2. С. 115-125.

18. Конечная Н.Н., Сафонова Т.А., Тагирова Р.Н. Асимптотика собственных значений и регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с 5-потенциалом // Вестн. Сев. (Арктич.) федер. ун-та. Сер.: Естеств. науки. 2016. № 1. С. 104-113.

19. Юрко В.А. О восстановлении дифференциальных пучков на графе-кусте // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1. С. 51-61.

20. Митрохин С.И. Многоточечные дифференциальные операторы: «расщепление» кратных в главном собственных значений // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер.: Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1. С. 5-18.

21. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

22. Садовничий В.А., Любишкин В.А., Белабасси Ю. О регуляризованных суммах корней целой функции одного класса // Докл. Акад. наук СССР. 1980. Т. 254, № 6. С. 1346-1348.

23. Белабасси Ю. Регуляризованный след многоточечной задачи // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика, механика. 1981. № 2. С. 35-41.

References

1. Gel'fand I.M., Levitan B.M. Ob odnom prostom tozhdestve dlya sobstvennykh znacheniy differentsial'nogo operatora vtorogo poryadka [On a Simple Identity for Eigenvalues of a Second-Order Differential Operator]. Doklady Akademii NaukSSSR [Proceedings of the Russian Academy of Sciences], 1953, vol. 88, no. 4, pp. 593-596.

2. Dikiy L.A. Formuly sledov dlya differentsial'nykh operatorov Shturma-Liuvillya [Trace Formulas for Sturm-Liouville Differential Operators]. Uspekhi matematicheskikh nauk [Russian Mathematical Surveys], 1958, vol. 13, iss. 3(81), pp. 111-143.

3. Lidskii VB., Sadovnichii VA. Regulyarizovannye summy korney odnogo klassa tselykh funktsiy [Regularized Sums of Zeros of a Class of Entire Functions]. Funkt5ional'nyy analiz i ego prilozheniya [Functional Analysis and Its Applications], 1967, vol. 1, iss. 2, pp. 133-139.

4. Marchenko V.A., Ostrovskii I.V Kharakteristika spektra operatora Khilla [A Characterization of the Spectrum of Hill's Operator]. Matematicheskiy Sbornik [Mathematics of the USSR-Sbornik], 1975, vol. 26, iss. 4, pp. 493-554.

5. Il'in VA. O skhodimosti razlozheniy po sobstvennym funktsiyam v tochkakh razryva koeffitsientov differentsial'nogo operatora [Convergence of Eigenfunction Expansions at Points of Discontinuity of the Coefficients of a Differential Operator]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 1977, vol. 22, iss. 5, pp. 870-882.

6. Mitrokhin S.I. O formulakh sledov dlya odnoy kraevoy zadachi s funktsional'no-differentsial'nym uravneniem s razryvnym koeffitsientom [On the Trace Formulas for a Boundary Value Problem with a Functional Differential Equation with a Discontinuous Coefficient]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1986, vol. 22, iss. 6, pp. 927-931.

7. Il'in VA. Neobkhodimye i dostatochnye usloviya bazisnosti Rissa kornevykh vektorov razryvnykh operatorov vtorogo poryadka [Necessary and Sufficient Conditions for the Riesz Basis Property of the Root Vectors of a Second Order Discontinuous Operators]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1986, vol. 22, iss. 12, pp. 2059-2071.

8. Lomov I.S. O bazisnosti kornevykh funktsiy operatorov s mnogotochechnymi kraevymi usloviyami [On the Basis Property of the Root Functions of Operators with Multipoint Boundary Conditions]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1989, vol. 25, iss. 6, pp. 1053-1056.

9. Vinokurov V.A., Sadovnichii V.A. Asimptotika lyubogo poryadka sobstvennykh znacheniy i sobstvennykh funktsiy kraevoy zadachi Shturma-Liuvillya na otrezke s summiruemym potentsialom [Asymptotics of Any Order for the Eigenvalues and Eigenfunctions of the Sturm-Liouville Boundary-Value Problem on a Segment with a Summable Potential]. Izvestiya RAN. Seriya matematicheskaya [Izvestiya: Mathematics], 2000, vol. 64, iss. 4, pp. 695-754.

10. Lomov I.S. O lokal'noy skhodimosti biortogonal'nykh ryadov, svyazannykh s differentsial'nymi operatorami s negladkimi koeffitsientami. II [The Local Convergence of Biorthogonal Series Related to Differential Operators with Nonsmooth Coefficients: II]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 2001, vol. 37, iss. 5, pp. 680-694.

11. Mitrokhin S.I. O spektral'nykh svoystvakh odnogo differentsial'nogo operatora s summiruemymi koeffitsientami s zapazdyvayushchim argumentom [On Spectral Properties of a Differential Operator with Summable Coefficients with a Retarded Argument]. Ufimskiy matematicheskiy zhurnal [Ufa Mathematical Journal], 2011, vol. 3, iss. 4, pp. 95-115.

12. Baskakov A.G., Katsaran T.K. Spektral'nyy analiz integro-differentsial'nykh operatorov s nelokal'nymi kraevymi usloviyami [Spectral Analysis of Integro-Differential Operators with Nonlocal Boundary Conditions]. Differentsial'nye uravneniya [Differential Equations], 1988, vol. 24, iss. 8, pp. 1424-1433.

13. Naymark M.A. Lineynye differentsial'nye operatory [Linear Differential Operators]. Moscow, Nauka Publ., 1969. 528 p.

14. Savchuk A.M., Shkalikov A.A. Operatory Shturma-Liuvillya s singulyarnymi potentsialami [Sturm-Liouville Operators with Singular Potentials]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 1999, vol. 66, iss. 6, pp. 741-753.

15. Savchuk A.M., Shkalikov A.A. Operatory Shturma-Liuvillya s potentsialami-raspredeleniyami [Sturm-Liouville Operators with Distribution Potentials]. Trudy moskovskogo matematicheskogo obshchestva [Transactions of the Moscow Mathematical Society], 2003, vol. 64, pp. 159-212.

16. Savchuk A.M., Shkalikov A.A. Formula sleda dlya operatorov Shturma-Liuvillya s singulyarnymi potentsialami [Trace Formula for Sturm-Liouville Operators with Singular Potentials]. Matematicheskie zametki [Mathematical Notes], 2001, vol. 69, iss. 3, pp. 387-400.

17. Safonova T.A., Ryabchenko S.V. O sobstvennykh znacheniyakh operatora Shturma-Liuvillya s singulyarnym potentsialom [On the Eigenvalues of the Sturm-Liouville Operator with a Singular Potential]. Vestnik Severnogo (Arkticheskogo) federal'nogo universiteta. Ser.: Estestvennye nauki, 2016, no. 2, pp. 115-125.

18. Konechnaya N.N., Safonova T.A., Tagirova R.N. Asimptotika sobstvennykh znacheniy i regulyarizovannyy sled pervogo poryadka operatora Shturma-Liuvillya s 5-potentsialom [Asymptotics of the Eigenvalues and Regularized Trace of the First-Order Sturm-Liouville Operator with d-Potential]. Vestnik Severnogo (Arkticheskogo) federal'nogo universiteta. Ser.: Estestvennye nauki, 2016, no. 1, pp. 104-113.

19. Yurko V.A. O vosstanovlenii differentsial'nykh puchkov na grafe-kuste [On Recovering Differential Pencils on a Bush-type Graph]. Izvestiya Saratovskogo Universiteta. Novaya Seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika [Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics], 2017, vol. 17, iss. 1, pp. 51-61.

20. Mitrokhin S.I. Mnogotochechnye differentsial'nye operatory: «rasshcheplenie» kratnykh v glavnom sobstvennykh znacheniy [Multipoint Differential Operators: „Splitting" of the Multiple in Main Eigenvalues]. Izvestiya Saratovskogo Universiteta. Novaya Seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika [Izvestiya of Saratov University. New Series. Series: Mathematics. Mechanics. Informatics], 2017, vol. 17, iss. 1, pp. 5-18.

21. Bellman R., Cooke K.L. Differential-Difference Equations. New York; London, Academic Press, 1963. 448 p.

22. Sadovnichii V.A., Lyubishkin V.A., Belabassi Yu. O regulyarizovannykh summakh korney tseloy funktsii odnogo klassa [On Regularized Sums of the Roots of the Entire Function of a Class]. Doklady Akademii nauk SSSR [Proceedings of the Russian Academy of Sciences], 1980, vol. 254, iss. 6, pp. 1346-1348.

23. Belabassi Yu. Regulyarizovannyy sled mnogotochechnoy zadachi [A Regularized Trace of the Multipoint Problem]. VestnikMoskovskogo universiteta. Seriya 1: Matematika. Mekhanika, 1981, iss. 2, pp. 35-41.

DOI: 10.17238/issn2541-8416.2017.17.4.376 Received on June 23, 2017

Sergey I. Mitrokhin*

*Lomonosov Moscow State University

ON THE SPECTRAL PROPERTIES OF A MULTIPOINT BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR AN ODD-ORDER DIFFERENTIAL OPERATOR WITH SUMMABLE POTENTIAL

The paper studies the boundary value problem for a high odd order differential operator. The potential of an operator is a summable function on the segment of the operator's study. The boundary conditions are given on the boundaries of the segment and at several interior points that divide the segment into incommensurable parts. Thus, the boundary conditions are multipoint. Multipoint boundary conditions arise when studying the vibrations of bridges and beams, the bearings of which are located at internal points. The paper demonstrates the asymptotics of solutions of the corresponding differential equation for large values of the spectral parameter under the condition of potential summability. Previously, the asymptotics of solutions of differential equations was studied in the case of smooth coefficients and piecewise smooth coefficients. Asymptotic estimates in various sectors of the complex plane are obtained similarly to the derivation of estimates by the method of M.A. Naimark. Using the obtained asymptotics of the solutions, boundary conditions are investigated. This study leads to a system of homogeneous equations that has non-trivial solutions only when its determinant is zero. Thus, an equation is obtained which is satisfied by the eigenvalues of the studied operator. We investigate the indicator diagram of this equation. The function that the eigenvalues satisfy is an entire in various sectors of the indicator diagram. Using the indicator diagram, we find the asymptotics of the eigenvalues of the studied differential operator. The spectrum of the operator is discrete. This operator does not exhibit the effect of a "splitting" of multiples in the principal eigenvalues. We can investigate the behavior of eigenfunctions of the studied operator using the obtained spectrum.

Keywords: multipoint boundary value problem, spectral parameter, multipoint boundary conditions, summable potential, indicator diagram, asymptotics of eigenvalues.

Corresponding author: Sergey Mitrokhin, address: MPO-1, Leninskie gory, 1, stroenie 4, Moscow, 119991, Russian Federation; e-mail: mitrokhin-sergey@yandex.ru

For citation: Mitrokhin S.I. On the Spectral Properties of a Multipoint Boundary Value Problem for an Odd-Order Differential Operator with Summable Potential. Arctic Environmental Research, 2017, vol. 17, no. 4, pp. 376-392. DOI: 10.17238/issn2541-8416.2017.17.4.376