АВТОЭКВИДИСТАНТАЛЬНОЕ РОТОРНО-ПОРШНЕВОЕ УСТРОЙСТВО

Изобретение предназначено для применения в двигателях (например, в двигателях внутреннего сгорания), в компрессорах, в насосах.
Техническая задача, решаемая с помощью предлагаемого устройства, - кинематический синтез замкнутой рабочей полости с циклическим непрерывным монотонным изменением рабочего объема. Известное решение этой задачи - устройство, включающее неподвижный корпус (цилиндр), подвижный поршень и механизм герметизирующего уплотнения между поршнем и корпусом, при этом изменение рабочего объема осуществляется путем позиционирования поршня относительно корпуса с помощью кинематически связанного с поршнем механизма, который обычно выполняет еще функции синхронизации рабочего процесса и отбора (в двигателе) или подвода (в компрессоре, насосе) мощности.
Известен рабочий цилиндр с возвратно-поступательным движением поршня, применяемый в поршневых двигателях внутреннего сгорания (В.П.Алексеев, В.Ф.Воронин и др.. Двигатели внутреннего сгорания. Устройство и работа поршневых и комбинированных двигателей. М. Машиностроение. 1990., стр.5) и компрессорах.
Недостаток данного устройства - неравномерность возвратно-поступательного движения поршня: скорость поршня циклически изменяется от нуля в точке возврата до определенного максимума и, обратно, - до нуля в парной точке возврата. В результате возникают инерционные силы, также циклически (с частотой рабочего цикла) изменяющиеся по величине и направлению и генерирующие вынужденные упругие колебания, что приводит к проблеме динамического уравновешивания возвратно-поступательно движущихся масс и к проблеме профилактики разрушающих резонансных явлений. В конечном итоге эти проблемы компромиссно решаются за счет уменьшения номинальной мощности устройства.
Наиболее близко к предлагаемому автоэквидистантальному роторно-поршневому устройству стоит известное циклоидальное роторно-поршневое устройство (прототип), применяемое в двигателях внутреннего сгорания Ванкеля (В.П.Алексеев, В.Ф.Воронин и др.. Двигатели внутреннего сгорания. Устройство и работа поршневых и комбинированных двигателей. М. Машиностроение. 1990., стр.253-260). Это устройство представляет собой плоский механизм, включающий корпус-статор, поршень-ротор, механизм герметизирующего уплотнения между ротором и статором и механизм позиционирования ротора относительно статора. Внешняя рабочая поверхность ротора имеет вид прямой правильной призмы с криволинейными цилиндрическими гранями и ребрами-образующими, перпендикулярными плоскости движения; рабочий контур (линия пересечения рабочей поверхности с плоскостью движения) ротора имеет вид правильного многоугольника с криволинейными сторонами. Ротор движется планетарно: геометрическая ось ротора вращается вокруг центральной геометрической оси устройства (перпендикулярно плоскости движения) и, синхронно, сам ротор вращается вокруг своей геометрической оси. Внутренняя рабочая поверхность статора включает радиальную цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными плоскости движения, и две закрывающие плоские торцовые рабочие поверхности, параллельные плоскости движения. Кинематическая огибающая вершин рабочего контура ротора является эпитрохоидой (укороченная эпициклоида). Рабочий контур ротора определяется как кинематическая огибающая этой эпитрохоиды, а рабочий контур статора - как замкнутая кривая, эквидистантная (вовне, на величину технологического допуска) той же эпитрохоиде. Механизм герметизирующего уплотнения включает радиальные и торцовые пластины, устанавливаемые на плоских пружинах (эспандерах) в пазах на рабочей поверхности ротора: радиальные - по образующим-ребрам, а торцовые - по периметру торцовых плоскостей ротора.
Так, в данном устройстве, осуществляется синтез рабочих полостей с непрерывно циклически монотонно изменяющимся объемом, каждая из которых ограничена: с одной стороны рабочей поверхностью статора, а с другой - гранью рабочей поверхности ротора. В процессе работы эти рабочие полости перемещаются по рабочей поверхности статора вместе с замыкающими рабочими гранями ротора. Механизм позиционирования включает эксцентриковый вал, соосный с центральной геометрической осью устройства и обеспечивающий планетарное движение ротора, и механизм синхронизации в виде двух сцепленных круглых зубчатых колес, одно из которых, шестерня меньшего радиуса, с внешним зацеплением, установлена неподвижно в теле статора соосно с центральной осью устройства, а другое - большего радиуса, с внутренним зацеплением, жестко установлено в теле ротора соосно с осью вращения. В процессе движения большое колесо, обкатывая малую шестерню, обеспечивает поворот ротора, свободно посаженного на подшипнике в эксцентрике, на определенный угол, синхронно с поворотом эксцентрикового вала. При этом рабочие радиусы колес должны относиться как целые числа, отличающиеся на единицу.
Недостаток прототипа - неблагоприятные кинематика и динамика взаимодействия радиальных пластин уплотнения с радиальной рабочей поверхностью статора: в процессе планетарного движения ротора непрерывно циклически изменяется угол между плоскостью радиальной пластины уплотнения и радиальной рабочей поверхностью статора; поэтому контактные кромки радиальных пластин уплотнения скругляют и герметизирующий контакт возможен только по линии-образующей радиальной рабочей поверхности статора; при этом возникают значительные контактные давления, обусловленные переменными центробежными силами инерции ротора и приводящие к быстрому износу радиальной рабочей поверхности статора и контактных кромок радиальных пластин уплотнения,
что предопределяет необходимость применения специальных износостойких материалов и ограничивает номинальное максимальное давление в рабочих полостях и, как следствие, номинальную мощность устройства.
Другой недостаток прототипа - неблагоприятная динамика взаимодействия ротора с механизмом позиционирования и отбора мощности в двигателе Ванкеля: в начальный период такта расширения, когда рабочий объем рабочей полости близок к минимуму, а давление рабочего тела быстро нарастает до максимума, угол между линией действия результирующей силы давления рабочего тела на рабочую поверхность ротора и линией, проходящей через ось эксцентрикового вала и ось эксцентрика, близок к нулю, что приводит к вредным ударным нагрузкам на опорные подшипники эксцентрикового вала и ротора на эксцентрике.
Предлагаемое автоэквидистантальное роторно-поршневое устройство аналогично прототипу представляет собой плоский механизм, обеспечивающий кинематический синтез замкнутых рабочих полостей с циклически непрерывно монотонно изменяемым рабочим объемом и включающий корпус-статор, поршень-ротор, механизм герметизирующего уплотнения между статором и ротором и механизм позиционирования ротора относительно статора.
Технический результат предлагаемого изобретения:
1. повышение надежности и снижение избыточных контактных давлений радиальных пластин герметизирующего уплотнения между рабочими поверхностями статора и ротора;
2. исключение вредных нагрузок на опорные элементы устройства от сил давления рабочего тела в рабочих полостях;
3. компенсирующее противодействие центробежным силам инерции ротора;
4. увеличение крутящею момента, создаваемого ротором в процессе работы устройства.
Этот результат достигается тем, что:
1. используется ротор с радиальной рабочей поверхностью, пересечение которой с любой плоскостью движения (рабочий контур) является овалом постоянной ширины (Шикин Е.В., Франк-Каменецкий М.М., Кривые на плоскости и в пространстве, М., ФАЗИС, 1997, стр.50, 51);
2. механизм позиционирования ротора относительно статора включает несущий обод ротора с опорными дорожками и опорные катки, свободно вращающиеся на неподвижных осях; опорные дорожки располагаются на внутренней поверхности несущего обода, рабочие контуры опорных дорожек в любом сечении плоскостью движения эквидистантны (Шикин Е.В., Франк-Каменецкий М.М., Кривые на плоскости и в пространстве, М., ФАЗИС, 1997, стр.53) вовнутрь рабочему контуру ротора в этой же плоскости; опорные катки устанавливаются попарно в распор изнутри обода ротора касательно сопряженно опорным дорожкам; неподвижные оси вращения катков располагаются в диаметральной плоскости, проходящей через центральную ось устройства перпендикулярно плоскости движения; позиционирование ротора относительно статора осуществляется путем обкатывания опорных катков опорными дорожками несущего обода;
3. радиальная рабочая поверхность статора эквидистантна вовне, на величину технологического допуска, кинематической огибающей радиальной поверхности ротора;
4. механизм герметизирующего уплотнения между рабочими поверхностями ротора и статора включает радиальные и торцовые пластины уплотнения, устанавливаемые в пазах на рабочих поверхностях ротора и статора; радиальные пластины уплотнения располагаются на статоре перпендикулярно плоскости движения ротора, вокруг диаметральной плоскости, проходящей через оси парных опорных катков; торцовые пластины уплотнения располагаются на торцовых плоскостях ротора эквидистантно периметрам радиальной рабочей поверхности ротора;
5. рабочие поверхности статора и ротора обеспечивают синтез двух рабочих полостей с циклическим синхронным непрерывным монотонным изменением рабочих объемов при постоянном суммарном объеме;
Для корректности вышеописанной конструкции радиусы окружностей-рабочих контуров опорных катков должны быть меньше наименьшего радиуса кривизны сопряженного рабочего контура опорной дорожки.
Принципиальные схемы предлагаемого автоэквидистантального устройства представлены на фиг.1, 2.
Описание иллюстраций к изобретению.
Фиг.1, 2: принципиальные схемы предлагаемого устройства,
фиг.1 - с треугольным ротором, фиг.2 - с пятиугольным ротором;
1 - ротор, несущий обод ротора; 2 - статор; 3 - опорные катки;
4 - опорная дорожка; 5 - радиальные уплотнения; 6 - рабочие полости;
7 - траектория движения геометрического центра ротора.
Фиг.3-5: синтез правильных автоэквидистант с непрерывной кривизной; исходная эволюта - гипоциклоида (Шикин Е.В., Франк-Каменецкий М.М., Кривые на плоскости и в пространстве, М., ФАЗИС, 1997, стр.81-83) с отношением производящих радиусов 3/1 (фиг.1, 2) и 5/2 (фиг.3); фиг.3 - один (первый) шаг построения, d - длина ветви эволюты-гипоциклоиды, длина развертывающего отрезка D=r+d+r,r>О, 1, 2 - результат эвольвентной развертки ветви гипоциклоиды; фиг.4, 5: правильные («гипоциклоидные») автоэквидистанты (фиг.4 - треугольная, фиг.6, 7 - пятиугольная), результаты построения.
Фиг.6-9: синтез правильных полиокружностей;
фиг.6, 7 - треугольная, фиг.8, 9 - пятиугольная правильные полиокружности; фиг.6, 8: один (первый) шаг построения, d - длина длинной диагонали в правильном многоугольнике центров кривизны, r(>0)HR=d+r- малый и большой производящие радиусы; 1, 2 - пара дуг окружностей - результат эвольвентной развертки центра кривизны правильной полиокружности; фиг.7, 9: правильные полиокружности - результаты построения.
Фиг.10: к анализу кинематики и динамики предлагаемого устройства;
О - мгновенный центр вращения, М - геометрический центр правильной полиокружности-рабочего контура ротора,
φ - угол поворота ротора;
UV - диаметр рабочего контура ротора, соединяющий точки контакта с радиальными пластинами уплотнения,
АВ - положение диаметра UV в результате поворота ротора;
V и p - текущие объем и давление рабочего тела в рабочей полости,
p
F - результирующая сил давления p на радиальную рабочую поверхность ротора по периметру AVB (линия действия проходит через точку М перпендикулярно диаметру АВ, направление действия - от М к АВ),
B
F - результирующая сил давления p на радиальную рабочую поверхность ротора по периметрам UA и VB (линия действия проходит через точку О по биссектрисе секторов AOU и VOB, направление действия - от О к VB),
p
B
N - точка пересечения линий действия сил F и F,
O
T
p
F, F - радиальная (по линии NO) и тангенциальная (по линии из точки N перпендикулярно радиусу ON) составляющие разложения силы F.
Овалы постоянной ширины. Автоэквидистанты. Полиокружности. Правильные автоэквидистанты. Правильные полиокружности. Синтез правильных автоэквидистант.
1. По определению, овал - плоская простая замкнутая регулярная кривая, кривизна которой в каждой точке не равна нулю; ширина овала в точке - расстояние между параллельными касательными к овалу в данной и в противоположной точках овала (точка овала, противоположная данной точке овала, существует и однозначно определена).
В овале постоянной ширины отрезок прямой, соединяющий взаимно противоположные точки, (диаметральный отрезок) перпендикулярен параллельным касательным к овалу в этих точках, т.е. является частью общей нормали в данных точках. При этом длина диаметрального отрезка (диаметр овала), по определению, постоянна и равна ширине, одинаковой во всех точках, овала; центры кривизны, определенные для взаимно противоположных точек овала, совпадают, и общий центр кривизны располагается на соответствующем диаметральном отрезке, так что сумма радиусов кривизны, определенных для взаимно противоположных точек овала постоянной ширины, постоянна и равна диаметру овала.
Далее вместо термина овал постоянной ширины используется более короткий термин автоэквидистанта, трактуемый как плоская простая замкнутая регулярная выпуклая кривая, эквидистантная самой себе.
2. Автоэквидистанта, в общем случае, состоит из вершин, т.е. точек с локально экстремальным (минимальным или максимальным) радиусом кривизны, и дуг, соединяющих эти вершины. При этом возможны случаи, когда вершины объединяются в непрерывную дугу - протяженную вершину (термин автора). Составляющие такую дугу вершины имеют общий центр кривизны. Следовательно, протяженная вершина является дугой окружности (с центром в соответствующем центре кривизны). Автоэквидистанта может не иметь изолированных вершин. Такие автоэквидистанты, «составленные» только из протяженных вершин, далее именуются полиокружностями.
3. Автоэквидистанты с бесконечным числом вершин неконструктивны. Поэтому в последующем тексте изложения термин автоэквидистанта будет обозначать автоэквидистанту с конечным числом вершин. Существует множество форм и способов построения автоэквидистант. Выбор формы автоэквидистант для синтеза рабочей радиальной поверхности ротора предлагаемого устройства обусловлен вышеуказанной функцией изменения рабочего объема рабочих полостей; правильный выбор обеспечивают правильные (термин автора) автоэквидистанты.
Правильная автоэквидистанта имеет вид правильного многоугольника, в котором стороны и вершины заменены последовательно (касательно) сопряженными выпуклыми дугами; при этом фигура, получаемая в результате такой операции замены, должна быть конгруэнтно инвариантной при любой (в прямом и обратном порядке) последовательной перенумерации вершин исходного правильного многоугольника. Это значит, что при совмещении одноименных (с одним и тем же номером) вершин исходного многоугольника, с исходной последовательной нумерацией вершин, и (идентичного) экземпляра многоугольника, с последовательно перенумерованными вершинами, соответствующие экземпляры фигур-автоэквидистант также будут совмещены. При перенумерации в обратном порядке с исходной фигурой совмещается ее зеркальный образ.
3. Синтез правильных автоэквидистант осуществляется путем эвольвентной развертки заданной эволюты.
Эволюта правильной автоэквидистанты с непрерывной кривизной имеет вид правильной звезды с нечетным числом вершин, в которой каждая вершина соединена с двумя смежными противоположными вершинами, при этом форма соединяющих дуг (ветвей) обусловлена тремя факторами:
1) вогнутость дуг (к геометрическому центру звезды),
2) соприкасание дуг в точке схождения (точка возврата эволюты),
3) конгруэнтная инвариантность звезды при любой (в прямом и обратном порядке) последовательной перенумерации вершин.
Эвольвентную развертку производят, последовательно «обкатывая» ветви эволюты отрезком прямой с длиной, большей, чем длина ветви; при этом средняя точка отрезка в процессе «обкатки» должна пройти через («обкатать») среднюю точку ветви. Результат эвольвентной развертки одной ветви эволюты - две траектории концов развертывающего отрезка, обозначающие пару противоположных фрагментов синтезируемого объекта. Описанный способ проиллюстрирован на фиг.3-5.
Фиг.6-9 иллюстрируют способ синтеза правильных полиокружностей. Правильная полиокружность является вырожденной автоэквидистантой: эволюта вырождается в совокупность изолированных центров кривизны, составляющих множество вершин правильного многоугольника, число которых всегда нечетное; каждый центр кривизны является геометрическим центром соответствующей составляющей дуги окружности.
Способ синтеза правильной полиокружности аналогичен вышеописанному способу синтеза правильной автоэквидистанты с непрерывной функцией кривизны. Только в данном случае развертывающий отрезок, «обкатывая» изолированную точку эволюты, вращается в границах секторов, обозначенных двумя прямыми, проходящими через эту точку и две смежные противоположные, «дальние», вершины многоугольника эволюты.
Анализ кинематики и динамики автоэквидистантального роторно-поршневого устройства.
Ниже приведены основные расчетные характеристики устройства: функция мгновенного центра вращения ротора, функция рабочего объема, число рабочих тактов за один оборот ротора, функция результирующей силы давления рабочего тела в рабочей полости, функция крутящего момента. Данные характеристики рассчитаны для устройств с цилиндрической радиальной рабочей поверхностью ротора и с рабочими контурами - правильными полиокружностями.
Принятые обозначения: k - геометрический параметр (число центров кривизны) правильной полиокружности, r и R - производящие радиусы, D=R+r - диаметр ротора, d=R-r, Н - длина образующей цилиндра радиальной рабочей поверхности ротора, φ - угол поворота ротора, F (с нижними индексами) - вектор силы,  - модуль силы, М - крутящий момент.
min
max
max
min
min
1. Поведение мгновенного центра (оси) вращения. На схеме, фиг.10, легко видно, что мгновенный центр вращения О, совпадающий в данный момент с одним из центров кривизны правильной полиокружности - рабочего контура, неподвижен в течение такта изменения рабочего объема и находится на диаметральной линии UV, соединяющей точки контакта ротора с радиальными пластинами уплотнения, на расстоянии производящего радиуса r от одной из этих точек контакта. Полный такт осуществляется при изменении угла поворота φ ротора от 0 до π/k. При этом, рабочие объемы двух рабочих полостей непрерывно монотонно изменяются синхронно в противофазе: один, возрастая от V до V, другой, убывая от V до V, где V - фиксированный минимальный рабочий объем, обусловленный технологическим допуском и назначением устройства. В следующем такте характер изменения рабочих объемов в рабочих полостях меняется на противоположный.
В момент завершения такта мгновенный центр вращения ротора «скачком» перемещается в противоположную позицию (на диаметральной линии UV, на расстоянии производящего радиуса r от противоположной точки контакта ротора с радиальной пластиной уплотнения).
Такое скачкообразное изменение положения мгновенной оси вращения ротора характерно для предлагаемых устройств, в которых рабочие контуры ротора являются правильными полиокружностями; в устройствах с непрерывной кривизной рабочих контуров ротора мгновенная ось вращения ротора перемещается непрерывно между двумя противоположными позициями на диаметральной линии, соединяющей точки контакта ротора с радиальными пластинами уплотнения.
2. Рабочие объемы. Из схемы на фиг.10 видно, что приращение площади рабочего контура рабочей полости при повороте ротора на угол φ равно разности площадей секторов VOB и AOU. Отсюда следует
+
min
-
min
2
2
2
V=V+H·(R-r)·φ/2, V=V+H·(R2-r)·(π/k-φ))/2,
+
-
где V, V - соответственно, возрастающая, убывающая функции рабочего объема в рабочих полостях, (р возрастает от 0 до к π/k,
max
min
min
2
2
V=V+H·(R-r)·π/(2·k)=V+H·D·d·π/(2·k),
3. Число рабочих тактов за полный оборот ротора, определяется угловой длиной π/k одного такта и числом 2 рабочих полостей:
j=4·k.
p
B
p
B
4. Динамика ротора при взаимодействии с рабочим телом. На схеме, фиг.10. видно, что результирующая F сил давления р газообразного рабочего тела на рабочую поверхность ротора равна результирующей силе F давления на цилиндрические поверхности секторов ротора по периметру AVB (линия действия проходит через геометрический центр М рабочего контура ротора перпендикулярно диаметру АВ, направление действия - от М к АВ) за вычетом результирующей силы F давления на цилиндрические поверхности секторов AOU и VOB (линия действия проходит через точку О мгновенного центра вращения по общей биссектрисе секторальных углов, направление действия - от О): F=F-F.
p
B
N - точка приложения результирующей F (на пересечении линий действия сил F и F). Интегрирование сил по контурам AVB, AOU и VOB дает:
|Fp|=p·H·D,
B
|F|=p·H·d·2·sin(φ/2),
p
O
T
O
T
R
T
R
O
B
T
0≤φ≤π/k - угол поворота диаметра ротора из положения UV в положение АВ. Разложение силы F=F+F на радиальную F и тангенциальную Fсоставляющие силы приводит к разложению F=F+F результирующей F на радиальную F=F-F и тангенциальную Fсоставляющие силы, при этом
Т
|F|=p·H·D·cos(φ/2),
O
|F|=p·H·D·sin(φ/2),
R
О
B
|F|=|F|-|F|=р·Н·|D-2·d|·sin(φ/2)=р·Н·|3·r-R|·sin(φ/2).
Последнее означает, что радиальная составляющая fr результирующей F:
1) при R/r=3 всегда равна нулю;
2) при R/r<3 направлена к оси О вращения ротора и, следовательно, определенным образом компенсирует центробежные силы инерции ротора, создающие вредные нагрузки на опорные катки;
3) при R/r>3 направлена от оси О и, следовательно, усиливает вредные нагрузки на опорные катки;
В течение рабочего такта, при изменении φ от 0 до π/k:
T
функция |F| непрерывно монотонно убывает
T
max
T
min
от |F|=p·H·D до |F|=p·H·D·cos(π/(2·k)),
R
функция |F| непрерывно монотонно возрастает
R
min
R
mах
от |F|=0 до |F|=p·Н·|3·r-R|·sin(π/(2·k));
+
min
T
T
T
max
R
R
при этом в начальный момент, когда рабочий объем минимален (V=V), движущая сила F максимальна (|F|=|F|), а сила F, нагружающая ось вращения (опорный каток), минимальна (|F|=0).
5. Крутящий момент ротора. На схеме, фиг.10. видно, что
О
Т
М=|F|·|ON|=p·H·D·cos(φ/2)·(d/(2·cos(φ/2))=p·H·D·d/2.
O
Отсюда следует, что в предлагаемом устройстве крутящий момент M не зависит от угла поворота ротора, а зависит только от геометрических параметров устройства (R, r и Н) и давления p в рабочей полости (в данный момент).
max
Из данной выше формулы максимального рабочего объема V:
max
Н·D·d=ΔV·2·k/π, где
max
max
min
ΔV=V-V;
откуда:
O
max
М=p·ΔV·k/π.
max
В прототипе с такими же ΔV и p максимальный крутящий момент, создаваемый движущей (ротор) силой давления рабочего тела в рабочей полости в процессе расширения:
П
max
П
П
2
M=p·ΔV·(k-1)/(2·k),
П
П
где k - геометрический параметр (число вершин рабочего контура) ротора (Бениович B.C., Гостев В.Б., К расчету кинематики и рабочих объемов ротопоршневого двигателя. «Тракторы и сельхозмашины». 1961. №11). Из предыдущего, при k=3 (треугольный ротор в двигателе Ванкеля), следует:
для k=3
М<sub>О</sub>/М<sub>П</sub>>1.43,
для k=5
М<sub>О</sub>/М<sub>П</sub>>2.48.
ВЫВОДЫ
по обозначенным выше пунктам технического результата изобретения:
1. надежность механизма герметизирующего уплотнения между ротором и статором в предлагаемом устройстве, при достаточно малой кривизне гладкой радиальной рабочей поверхности ротора, может быть повышена путем установки рядов радиальных пластин уплотнения в «полярных» областях радиальной рабочей поверхности статора (вокруг диаметральной плоскости, проходящей через оси опорных катков перпендикулярно плоскости движения ротора);
избыточные контактные давления радиальных пластин уплотнения, на которые, в отличие от прототипа, напрямую не воздействуют центробежные силы инерции ротора, в предлагаемом устройстве могут быть снижены путем применения либо эспандеров с расчетной предельной упругостью, либо автоматики, обеспечивающей минимально необходимое герметизирующее контактное давление пропорционально давлению рабочего тела в рабочей полости;
2., 3. вредные динамические нагрузки на опорные элементы предлагаемого устройства (опорные катки, статор), обусловленные силами давления рабочего тела в рабочих полостях и центробежными силами инерции ротора, могут быть существенно ослаблены путем оптимального выбора отношения производящих радиусов радиальной рабочей поверхности ротора (стр.13 выше);
4. величина крутящего момента ротора в предлагаемом устройстве, в отличие от прототипа, зависит только от геометрии ротора и давления рабочего тела в рабочей полости и значительно больше величины крутящего момента ротора в термодинамически эквивалентном прототипе (стр.14 выше).