Задачи Соболева для действий конечных групп

УДК 515.168.5

Л. Л. Нгуен

Российский университет дружбы народов

Задачи Соболева для действий конечных групп

Рассматриваются нелокальные задачи Соболева, отвечающие действиям конечных групп на гладких многообразиях. С помощью теории эллиптических трансляторов и G-трансляторов получены условия эллиптичности, установлены теорема конечности и формула индекса для рассматриваемых задач.

Ключевые слова: эллиптические операторы, краевые задачи для эллиптических уравнений, стратифицированные многообразия, G-трансляторы, задачи Соболева.

1. Введение

Пусть М — n-мерное гладкое компактное многообразие и X его подмногообразие. Пусть D - эллиптический оператор на многообразии М. Мы будем искать решение сравнения

Du = f mod X,

которое означает, что равенство Du = f выполняется всюду на многообразии М, за исключением точек подмногообразия X. Сравнение (1) не определяет, вообще говоря, фредголь-мов оператор. Однако если задать дополнительно некоторый оператор В на подмногообразии X, связанный специальным условием (коэрцитивности) в точках подмногообразия X с оператором D, то пар a (D, В) будет уже определять оператор Фредгольма в подходящих функциональных пространствах. Впервые этот эффект заметил С.Л. Соболев (см. [1]). Общая постановка и исследование этой проблемы принадлежат Б.Ю. Стернину (см. [2]). Впоследствии теория таких задач была развита не только для гладких подмногообразий, но также для подмногообразий с особенностями.

В работе строится эллиптическая теория для одного класса нелокальных задач Соболева, или, более точно, задач Соболева, в которые входят операторы сдвига, отвечающие действию некоторой данной группы на многообразии М.

2. Постановка нелокальных задач Соболева

Пусть G - конечная группа порядка N и пусть задано бесконечно дифференцируемое левое действие группы G па гладком замкнутом многообразии М, т.е. задан гомоморфизм группы G в группу диффеоморфизмов многообразия М. При этом любой диффеоморфизм g естественным образом порождает в пространствах функций, заданных на М, оператор Тд:

Тдu(x) = и(д-1х), х е М,

называемый оператором сдвига.

Если диффеоморфизмы gi (г = 0,..., N — 1) задают действие группы G на М, то операторы Tgi задают представление группы G в пространстве функций.

Эллиптическая теория для псевдодифференциальных операторов с конечной группой сдвигов вида

где Dg - псевдодифференциальный оператор (ПДО) порядка т на М, была построена А.Б. Антоневичем в [3].

Пусть X - подмногообразие коразмерности v в М.

Определение 1. Задачей Соболева, с конечной группой сдвигов на многообразии М будем называть следующую задачу:

I

Би = / шоё Н3-т(М,Х), Ви = к на X,

где

£ А, (х,^)тв, в = £ вв

г,(^п \ \ /

део ' / йес

- псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов на М,

Ид - ПДО порядка не выше т, Вд - ИДО порядка не выше Ъ,

и е Н 3(М), / е Н3-т (М )/Н3-т(М,Х), к е Н3-ь- 2 (X), 8-Ъ-У- > 0,

где Н3-т(М, X) - подпространство пространства Соболева Н3-т(М), которое состоит из функций (распределений), сосредоточенных на подмногообразии X.

Замечание 1. Отметим, что в определении 1 не требуется, чтобы подмногообразие X было С-инвариантным.

Цель работы состоит в том, чтобы дать условия, при которых задача (2) фредгольмова и вычислить её индекс. Решение этих проблем, которое даётся в данной работе, опирается на теорию трансляторов и С-трансляторов. Напомним необходимые сведения из этих теорий.

3. Трансляторы и С-трансляторы

При изучении задачи Соболева для граничных подмногообразий с особенностями возникает новый класс операторов, которые называются трансляторами. Такие операторы впервые были введены в 1971 г. в работе [4] (см. также [5-8]). Они определяются следующим образом. Пусть граничное подмногообразие представляет собой объединение некоторого числа к гладких подмногообразий Ур, р = 1,..., к, пересекающихся трансверсально по

гладкому подмногообразию. Транслятор, ассоциированный с парой (М,1]р Ур), имеет вид

Т

( Я?! Т-12 .. Т1к\

Т21 И0 .. Т2к

V Тк\ Тк2 .. &кк )

где

Трд = : Н3«

- элементарные трансляторы, - псевдодифференциальные операторы порядков (1РЯ на соответствующих многообразиях, ир - коразмерность Ур в М,

ер : Н3

- граничный оператор, индуцированный вложением гр : Ур ^ М,

V : Н-*+"Р/2

_ КОГраничный оператор, двойственный к г*.

Пусть теперь на М действует группа С, как и в параграфе 1, а подмногообразие с особенностями Ур является С-инвариантным. Если транслятор Т является С-инвариантным, т.е. он коммутирует с действием группы С, то отвечающий ему С-транслятор Т с определяется как сужение Т на пространство инвариантных функций относительно действия группы С. Эллиптическая теория для трансляторов была построена в работах [6-8], а для С-трансляторов — в работах [9,10].

4. Эллиптичность и теорема конечности

Для простоты записи допустим, что С = %2 = {е,д}, и соответствующие операторы сдвига обозначим через М, Т. Действие произвольной конечной группы рассматривается аналогично.

Задача (2) может быть переписана в следующем виде (ср. [11]):

{Их + И2Т )и + І^х V = /, і*х (Вх + В2Т)и = к,

где V - вектор-функция на подмногообразии X, і*х - граничный оператор, индуцированный вложением г : X ^ М, і^х - кограничный оператор, отвечающий оператору джета по переменным трансверсальным к подмногообразию X. В локальных координатах этот оператор содержит все производные по трансверсальным переменным до порядка £, который определяется следующим соотношением:

ь

[т — в — у/2], если т — 8 — у/2

т — 8 — у/2 — 1, если т — 8 — у/2

не целое число, целое число.

Задачу (3) будем обозначать (И, В).

Применяя оператор сдвига Т к каждому уравнению системы (3), получим систему

(Их + )и + г^х V = f,

(ТБх + ТИ2 Т)и + Ті^х V = Т/, і*х (Вх + В2Т )и = к,

Тг*х (Вх + В2Т)и = Тк.

Лемма 1. Имеют место следующие равенства:

Тг*х = і*дХ Т,

Ті*х = і*дх Т,

где г

4Ь

9Х, дХ

граничныи и кограничныи операторы, соответствующие вложению

гдХ : дХ ^ М.

Доказательство. Так как дгх

ідХд, то отсюда следует

• >к >к >к • >к • >к ГТ1—1 /~П—1 '

гх9 = 9 гдХ ,шжгх Т = т гдх.

Отсюда следует первое соотношение в (5), так как Т-1 = Т. Второе соотношение в (5) следует из первого соотношения в силу двойственности.

С помощью леммы 1 мы можем переписать систему (4) в матричном виде:

(

Вх ТБ2Т г*х Вх

02 твхт-х г* В2

\і*дХ ТВ2Т г*х ТВхТ

х

0

0

0

0 \

/

/ и \

Ти

V

\ту;

( Ґ \

Т/

к

\п)

Обозначим последний оператор через Ф. Этот оператор запишем в блочном виде:

Ф--

В

^diag(г

*Х, * *дХ )

diag (і

ь

аЬ

( Н 3(М) \

Н 3

\Н°-т+"/2

-»

( Н3-т(М) \

Н 3-т

Н з-Ь-"/2

\Я 3-Ъ-и/2(дХ)}

здесь

В =

Вх 02

ТИ2Т ТБхТ

) в = (

Вх

В2 \

ТВ2т ТВхТ )

ь

ь

В формуле (7) и ниже мы для краткости опускаем числа компонент вектор-функций на подмногообразиях X и дХ.

Оператор Ф будет непрерывным оператором, если выполнены неравенства

Ъ + у/2 < 8 <т — у/2.

Напомним, что для исевдодифференциального оператора А оператор ТАТ = ТАТ-1 также является псевдодифференциальным, и имеется следующее равенство для символов:

<г(ТАТ )(х,0 = а(А)(д(х),Ьд £),

где Ьд — матрица, обратная к транспонированной матрице Якоби преобразования д. В частности, операторы В и В являются псевдодифференциальными.

Ф

функции вида

Пусть на пространстве вектор-функций (Н3-п(М) Н3-п(М) Н3~ь~и/2(Х) Н3~ь~и/2(дХ)) определено действие группы С в следующем виде:

тогда по построению можно проверить, что оператор Ф является С-инвариантным, при этом существует сужение Фс в пространстве С-инвариантных функций вида (8). Отсюда следует

Предложение 1. Задача (3) эквивалентна задаче, отвечающей оператору Фс.

Далее, используя стандартную процедуру (см., например, [11]), получим следующее

Предложение 2. Если оператор В является эллиптическим, то оператор Фс фред-гольмов тогда и только тогда, когда фредгольмов следующий оператор:

Тс = &^(і*х,і*дХ)ВВ х&щ(^х, і*дХ) :

Н*~т+"/2(х) \ ° ( н*-ь~»/2(х) V

Н *~т+"/2

і

( Н8~ь~у/2(Х) \ ^

где \ц3_ь_и/2( ^ \ ~ пространство вектор-функций вида (у,Ту), у Є Н3~Ь~у/2(Х).

Выясним тип оператора Тс.

Предложение 3. Оператор Тс есть С-транслятор.

Доказательство. Так как операторы В В являются псевдодифференциальными, то по определению оператор Т будет транслятором, ассоциированным с парой многообразий (М,Х и дХ). Теперь надо показать, что он инвариантен относительно действия группы С и действует на пространстве С-инвариантных функций.

Т

определяющего действие группы С, равен нулю. Причем из замечания 2 получим, что оператор Тс действует только на пространстве функций вида (и, Ти), т.е. на инвариантном относительно действия группы С. Следовательно, оператор Тс является С-транслятором.

Определение 2. Задача Соболева с конечной группой сдвигов (3) называется эллиптической, если выполнены следующие условия:

В

2) оператор TG является эллиптическим G-транслятором в смысле работ [9,10].

Теорема 1. Если задача Соболева с конечной группой сдвигов эллиптична, то она фредгольмова.

Доказательство. Действительно, если выполняются условия эллиптичности, то для операторов D TG существуют почти обратные. Пользуясь стандартным методом решения системы уравнения, мы можем найти и почти обратный для оператора Фс, что означает фредгольмовость задачи (3).

Поскольку задача (3) может быть редуцирована к оператору Фс и при условии эллиптичности D к G-транслятоpv TG, то отсюда получаем формулу индекса.

Следствие 1.

ind(D, B) = indDG + indTG.

Отметим, что индекс оператора BG вычислен в [3] .Индекс оп ератора TG можно вычислить применяя методы работы [6](см. [12]).

5. Пример

Пусть на многообразии М = T4 с координатами х1, х2, у1, у2 действует группа G = по правилу

д(х\х2,у\у2) = (у1,у2,х1,х2),

а подмногообразия X и дХ - его образ при действии группы G - определяются следующим образом:

х = {у1 = у2 = 0}, дХ = [х1 = х2 = 0}.

Рассмотрим задачу Соболева с группой сдвигов на М:

f А2и = f mod Нs-4 (М,Х),

| (1 + ХТ)и = ^ на X,

где А - положительный оператор Лапласа на T4, Л - ненулевой вещественный параметр. При этом для простоты рассмотрим интервал 2 < s < 3. Для этого интервала максимальный порядок производной по трансверсальным переменным равен нулю.

Прямое вычисление показывает, что эта задача сводится к G-транслятору:

'G _ ( 1 ^ХА 2Ъ*дХ(І*дХА 2І*дХ) iN\

\\i*gX А-2г*х

= _ _

\мдхА 2г*х(гхА 2г*х) 1

^(Х)\ “ (Н*~\Х) \

\

Н*- 1(Х)\ G /Н*- 1(Х)\ G Hs~ 1(gX)J ^ \Ha- 1(gX)J '

Предложение 4. Оператор (і*хА-2г*х)-1 с точностью до компактного оператора равен оператору Лапласа на подмногообразии X, умноженном у на 4к.

Доказательство. Пусть В

я

2

В(х, О, (, y)dy.

Применяя этот результат к оператору В = А , получим

а(г*хА 2г*х)(£i,b) = (2к) 2

І

-те (Єї Т & Т ІЇ Т ії2)2

d^1d^2.

Переходя к полярным координатам, получим

а(і*х А-2і*х )(£і,&) = (2л)-2

-2ж

о

•ОС

rdr

]с + 8 + г2)2 М8 +

Итак, компоненты транслятора (10) определяются следующим образом: Т-12 = : Н°-\дХ) ^ Н8-1(Х),

Т21 = ^ : Н°-1(Х) ^ Н°-1(дХ),

где символы соответствующих ИДО имеют вид

1

+ С22 + V2! + VI)2

ЯпЮ = К 0212(^,гІ) = , С2 , е2 , „2 , „2^ , °312(^) = + ^1),

о\М = \ оіі&ч) = ^ + £ + ^2 + 4)2, °31^) = + &

Теперь исследуем символ ст(Т) транслятора.

Напомним, что символ а(Т)(г) транслятора (10) вычисляется следующим образом (см. [7]). Заморозим коэффициенты оператора Т в начале координат и сделаем преобразование Фурье от переменных х, у к двойственным переменным £,'ц. Получим интегральный оператор Т1. Далее переходим в сферическую систем у координат: (£і,&) ^ (г1,ш1), (Лі, Л2) ^ (г2,^2). Редукция оператора Т' к меллиновской свертке по радиальным переменным с последующим применением преобразования Меллина приводит к оператору умножения на символ:

( 1

\К 21

^(Т)(^) = ( т> ^ К11(г^ : фрЬ2(81) ^ фрЬ2(81).

Здесь компонента Крд(г) является результатом применения преобразования Меллина по радиальной переменной г к интегральному оператору Крд(г) с ядром:

V

Крд (Г, Шp, Шд) = ^ (Шр)0^ (rшp, Шд) ^ (Шд), Г =

гя

В связи с тем, что оператор Т является С-инвариантным, его символ ст(Т) сужается на пространство инвариантных функций (и(ш1 ),и(ш2))- Поэтому мы можем записать действие символа ст(Тс)(г) (см. [9]) в следующем виде:

' 'К

и

J —-к

где при 2 < Ре,г = в < 3

1 '1 '^ 2 1

тйг.

ф) = 1

о

(т2 + 1)2 Г 2л/2/к

л/2к

Применяя следующую формулу для Г-функции Г(х)Г(у) г° іх—1

(г + 1)2

Г

(И, Реж > 0, Реу > 0,

^ (1 + г)х+у

получим явный вид для функции ^(х):

™ = Ш = ^

= 1 (2- 1)'к 2^2ж йіп(2 - 1)и'

1

о

Напомним, что С-транслятор (10) эллиптичен, если его символ обратим всюду на прямой Ре,г = в. Решение уравнения (11) имеет вид

u

1

v(W2 )d,W2.

Следовательно, символ ct(Tg)(z) обратим всюду на прямой Rez = s тогда и только тогда, когда функция Q(z) = 1 + 8п2Xip(z) не принимает нулевое значение всюду на этой прямой. Ниже для простоты записи будем использовать обозначения

X' = 2’kV2kX, z' = к — l) = а + fti, а = п — l) .

Тогда в полосе 0 < Rez' < 2 рассмотрим следующую функцию:

d(z') = sin z! + X' z!.

Если ft = 0, то

w sin a Q(z ') = 0 X! =---------,

a

а если ft = 0, то функцию d(z') можно переписать в следующем виде:

d(z') = sin z' + X'z' = sin a ch ft + Уa + (cos a sh ft + У ft )i,

Эта функция обращается в нуль, если её вещественная часть и мнимая часть равны нулю:

{sin a ch ft + Х'а = 0, cos a sh ft + X' ft = 0.

Следовательно,

tga th ft a ft

Однако последнее условие противоречит тому, что

tgа к th ft

---- > 1 при 0 < а < —, —— ^ 1 при V ft £

2 ft

Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что задача (9) эллиптична, если

Л = —

^п ъ( § — 1) 2ж2^2ж( 2 — 1)’

Далее будем предполагать, что задача (9) является эллиптической. Вычислим её индекс. Так как в этом примере В есть оператор Лапласа, который имеет нулевой индекс, то достаточно найти индекс оператора (10).

Через іпс15(Тс) обозначаем индекс С-транслятора (10), действующего в пространстве (.НЯ—1(Х)  Ня—1(дХ))С, он равен числу вращения обратимой функции ст(Тс)(г) (ср. [10]):

іпсЦТс) = ш3

при изменении г на весовой прямой Ре,г = в по направлению сверху вниз. Так как ст(Тс)(,г) имеет вид (11), то число вращения семейства ст(Тс)(г) просто равно числу вращения скалярной функции:

У

р

8ІП ^

на прямой Ре,г = а = ж (| — 1).

7Г

— 'К

Рассмотрим разбиение полосы значений параметров ( X', од), 0 < а < ^ :

,w sin а, л w sin а, ^

А = (Л'>-}, В = { —1 < X'<-------------}, С = (Л' ^ —1}.

од од

Сначала ищем индекс в области А.

Покажем, что в области А образ прямой Re z = од комплексной плоскости при отображении z ^ p(z) не пересекается с отрицательным лучом вещественной оси, то есть число вращения функции ^(z) равно нулю.

В самом деле, заметим, что

, . ft sin a chft — од cos од sh ft .

'm^{z) =----------------------------A'

Следовательно,

ImLp(z) = 0 ft = thft.

од

Поэтому, сравнивая последнее с (12), делаем вывод, что мнимая часть функции ^(z) равна

ft = 0

ft = 0

, од

Re ^(z) = 1 + X------> 0.

sin а

А В

помощью относительной теоремы об индексе (см. [7]).

Для каждой точки ( \',а\) области В существуют числа ОД0,ОД2 со следующими свойствами:

1) точка ( Xf, од) находится на границе между областями А и В, т.е. А; = — sl"“° (од соответствует особое значение sо = 2(+ 1), при котором задача (9) не эллиптична),

2) точка ( X!, а2) принадлежит области А т.е. 0 < а2 < а0 < од1 < 2-Рассмотрим разложение Тейлора функции ^(z) в окрестности точки од:

1 + = 1+ fsinaoA ________________ао + (z — од)______________=

sinz \ од ) sina0 +

. . одоcos од0 — sinод0 Л2\

= (Z — од0)-------------------+ 0((z — од0) ).

ОД0

Поэтому число полюсов функции p(z)—1 в полосе комплексной плоскости между прямыми Re z = Од1 и Rez = Од2 равно 1. А так как од2 < Од1, то индекс в области А будет равен

indai (TG) = шёа2 (TG) — 1 = 0 — 1 = —1.

С

В

Итак, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Задача (9) эллиптична, если выполняются следующие условия:

2 < s < 3, X = —

sin^

2k2V2k( 2 — 1)'

При выполнении этих условий индекс задачи

Л X ^п ж

1) равен и, если X > — ^—2-^2—(я—1^ ’

2

-1 1 sin ж

2) ра,вен —1, если X < — . — 1)

Замечание 3. В предыдущем примере нелокальный оператор присутствует только в

граничном условии. Однако этим же методом можно рассмотреть задачи Соболева с конечной группой сдвигов, в которых нелокальный оператор присутствует в основном уравнении.

Например, рассмотрим задачу

J ((д2х + д2у) — V2d2xT)и = f mod НS—2(M, X),

[ и = g на X.

И соответственно задача может быть сведена к G-транслятору:

/ 1 о * ду a Х (а* д*+ду a Х)—1

TG = I 1 %хд4 +д4 г*аХ

1 0 * дУ 0 Х (о * дх +дУ I Х) — 1 1

у Хд4+д4 г*дХ (г Хд4 +д4 г*Х) 1

(Н S+1(X) \G f HS+1(X) nG

4Hs+1(g X)) ^Hs+1(g X),

Литература

1. Соболев С. Л. Об одной краевой задаче для полигармонического уравнения // Математический сборник. — 1937. — Т. 2, N8 3. — С. 467-500.

2. Стернин Б. Ю. Эллиптические и параболические задачи на многообразиях с границей, состоящей из компонент различной размерности // Труды Моск. мат. общ-ва. — 1966. - № 15. - С. 346-382.

3. Аптопевич А. Б. Эллиптические псевдодифференциальные операторы с конечной группой сдвигов // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1973. - Т. 37, № 3. - С. 663-675.

4. Стернин Б. Ю. Эллиптические морфизмы на многообразиях с особенностями (оснащение эллиптического оператора) j j ДАН СССР. — 1971. — Т. 200, Л*8 1. — С. 45-48.

5. Стернин Б. Ю. Эллиптическая теория на компактных многообразиях с особенностя-

ми. - М.: МИЭМ, 1971. - 84 с.

6. Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Об индексе эллиптических трансляторов // Доклады

академии наук. - 2011. - Т. 436, № 4. - С. 443-447.

7. Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Эллиптические трансляторы на многообразиях с особенностями. I. Точечные особенности // Дифференциальные уравнения. — 2011 (в печати).

8. Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Эллиптические трансляторы на многообразиях с особенностями. II. Многомерные особенности // Дифференциальные уравнения. — 2011 (в печати).

9. Нгуен Л. Л. Об эллиптичности G-трансляторов на многообразиях с изолированными особенностями // Вестник РУДН. Серия Математика. — 2011. — N8 3. — С. 24-33.

10. Нгуен Л. Л. О фредгольмовых оснащениях G-трансляторов // Дифференциальные уравнения. - Т. 48, № 8. - 2012. - С. 1204-1208.

11. Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Относительная эллиптическая теория и задача Соболева // Математический сборник. — 1996. — Т. 187, N8 11. — С. 115-144.

G

Труды 54-й научной конференции МФТИ. — 2011. — № 1. — С. 35-36.

Поступила в редакцию 18.02.2012.