Определение диапазонов управляемых координат автокрана для системы автоматического управления

УДК 621.87

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИАПАЗОНОВ УПРАВЛЯЕМЫХ КООРДИНАТ АВТОКРАНА ДЛЯ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

В.С. Щербаков, М.С. Корытов

Описывается методика определения диапазонов возможных значений управляемых координат стрелового автокрана - угла поворота поворотной платформы, угла подъема стрелы, величины выдвижения телескопического звена - в зависимости от требуемых координат точки закрепления груза, с учетом углов наклона шасси. Методика разработана для использования в системах автоматического управления автокранами

Ключевые слова: автокран, управляемые координаты, углы наклона шасси

При необходимости перемещения краном груза по заданной траектории (в процессе совместной работы двумя кранами с общим грузом, в стесненных условиях работы, при наличии преград) необходимо решить задачу определения значений управляемых координат крана по известным значениям координат точки груза. Она заключается в обеспечении требуемых трех координат отдельной точки груза (центра масс) в пространстве при помощи четырех управляемых координат автомобильного крана с телескопической стрелой (рис. 1): угла поворота поворотной платформы, угла подъема стрелы, величины выдвижения телескопического звена стрелы и длины грузового каната от оголовка стрелы до груза. Данная задача может иметь множество решений.

Однако для определенных значений декартовых координат точки груза все четыре управляемые координаты автокрана будут иметь диапазоны возможных значений со своими граничными значениями. Можно задать одну из четырех управляемых координат автокрана, но лишь внутри своего диапазона, а остальные три вычислить. Для этого предварительно нужно определить диапазоны четырех управляемых координат. Решение данной подзадачи (определение диапазонов четырех управляемых координат) и описывается в данной статье.

Задача усложняется, если учесть углы наклона базового шасси автокрана относительно горизонтальной плоскости, допустимые значения которых могут достигать 1,5°. Если этими углами пренебречь, то при длине стрелы в 35 м (стрелы такой и даже большей максимальной длины используются в конструкциях автомобильных кранов) абсолютная погрешность задания координат груза может достигать 0,9 м и более. Кроме того, в реальных условиях эксплуатации максимальный угол может превысить 1,5°, например, по причине просадки выносных опор крана уже в процессе работы. По этой причине было бы правильнее оперировать углом не в 1,5°, а как минимум удвоенным значением предельного

угла в 3°, а это уже до 1,8 м погрешности в декартовых координатах груза в горизонтальной плоскости. Этим объясняется необходимость учета углов наклона шасси.

Если рассматривать груз и отдельный автокран в неподвижной системе координат Х0Т0^0, ось Х0 которой направлена вдоль вертикали, то с базовым шасси крана будет связана локальная система координат Х11111 (см. рис. 1).

Щербаков Виталий Сергеевич - СибАДИ, д-р техн. наук, профессор, тел. (3812) 65-04-55

Корытов Михаил Сергеевич - СибАДИ, канд. техн. наук, доцент, тел. (3812) 65-03-18

Рис. 1. Обобщенная расчетная схема системы автокрана с грузом

Динамическая система крана представлена четырьмя звеньями. Это базовое шасси, поворотная платформа, стрела, телескопическое звено, Каждому звену соответствует своя локальная система координат.

Базовое шасси в транспортном режиме имеет 6 степеней свободы в неподвижной системе координат: перемещение центра масс базового шасси вдоль оси Х0 (ді); перемещение центра масс базового шасси вдоль оси 20 (^2); перемещение центра масс базового шасси вдоль оси У0 (^3); поворот базового шасси вокруг оси Х1 (д4); поворот базового шасси вокруг оси У1 (^5); поворот базового шасси вокруг оси ^1 (<?б).

Система автокрана в рабочем режиме будет иметь 4 степени свободы: поворот поворотной платформы вокруг оси 12 (^7); поворот стрелы вокруг оси У3 (д8); выдвижение телескопического звена вдоль оси Х4 (д9); расстояние между точками оголовка стрелы и закрепления груза грузозахватным

устройством (длина грузовой лебедки, ді0). q10 - это расстояние между точками 1 и 3 на рис. 1.

Задача более высокого иерархического уровня сформулирована следующим образом: нахождение значений управляемых координат автокрана q7, д8, q9, qlo, по известным (измеренным) постоянным в процессе работы значениям координат автокрана q1, q2, q3, q4, q5, q6, и заданным в неподвижной системе переменным значениям координат точки груза Х, 2, У (точки 1 на рис. 1).

Поскольку управляемых координат автокрана четыре ^7, q8, q9, q10), а независимых координат точки груза всего три (Х, 2, У), данная задача может иметь бесконечное множество решений.

Однако для определенных значений Х, 2, У все управляемые координаты будут иметь диапазоны возможных значений со своими граничными значениями.

Согласно Правилам техники безопасности при эксплуатации стреловых самоходных кранов ВСН 274-88, расположение грузового каната в процессе перемещения груза должно оставаться вертикальным [1, 3]. Следовательно, необходимо обеспечить равенство координат точек 1, 2 и 3 (см. рис. 1) по осям Х0 и У0 неподвижной системы координат.

Определение взаимного положения звеньев крана и груза удобнее и легче всего свести к задаче преобразования одной системы связанных осей в другую, используя метод однородных координат [4].

Рассматриваемую точку 1 груза определяет в неподвижной системе однородных координат Х020У0 вектор положения:

4 =[ 10 210 У10 1],

где Х10 210, У10 - координаты точки 1 в неподвижной декартовой системе координат Х020У0. где Х10 210, У10 - координаты точки 1 в неподвижной декартовой системе координат Х020У0.

Координаты точки 3 в неподвижной системе координат обозначим Х30, 230, У30. Координаты точки 3 должны удовлетворять условиям

Х30=Х10; 230=2^10; У30=У10,

где q10 - длина грузового каната, на которую конструктивно установлены известные предельные ограничения ^10_тіп<Ч10<Ч10_тахХ).

Поскольку диапазон значений управляемой координаты q10 ^10_В q10_н] пока неизвестен, координаты точки 3 на данном этапе еще не могут быть найдены.

Используем точку 2 с координатами Х20, 220, У20, расположенную также на грузовом канате, выше точки 1 на любую произвольную (заданную) длину, например на 1 м. Тогда ее координаты в неподвижной системе будут определены как

Х20=Х10; 220=210+1; У20=У10.

После того, как определены декартовы координаты точки 2 на грузовом канате и точки 1 подвеса груза, появляется возможность определения по ним диапазонов управляемых координат крана.

Базовое шасси крана в процессе работы должно оставаться неподвижным, поэтому первые 6 координат крана qь..., q6 фиксированы. Их значения

должны быть предварительно известны (измерены после установки выносных опор и фиксации базового шасси крана).

Разобьем задачу на несколько этапов. Вначале выразим координаты точек 1 и 2, заданных в неподвижной системе координат, в локальной системе координат базового шасси крана X1Z1Y1.

Матрица перехода от звена базового шасси к неподвижной системе координат T1 получается по формуле

Ti=Ax-Az-Ay-Ar-Av Aa,

где шесть матриц-сомножителей выражают три линейных (Ax, Az, Ay) и три угловых (AY Av Am) перемещения для общего случая преобразования систем координат в трехмерном пространстве.

Элементы каждой из приведенных матриц-сомножителей размером 4^4 содержат одну из шести обобщенных координат автокрана qb..., q6, которые известны [4].

Введем обозначения:

A = sinq6sinq4; B = sinq6 cosq4;

C = cos q6sin q4; D = cos q6 cos q4.

Тогда матрица T1 будет иметь окончательный

вид

- cosq6 cosq5 A - D sin q5 B + C sin q5

sin q5

-sin q6cos q5 q1

cosq5 cosq4 C + B sinq5 q2

- cosq5 sinq4 D - Asinq5 q3

.

0 0 0 1

Затем необходимо обратить эту матрицу. Обратная матрица (Т’1)-1 будет выражать переход от неподвижной системы координат к системе координат базового шасси. Тогда вектор точки 1 в системе Х121У1 определится как

4 =

где 410 - вектор положения точки 1 в неподвижной

системе координат вида [Х10 210 У10 1].

Вектор точки 2 в системе Х121У1 определится

как

4 =

Обозначим полученные значения координат в

системе базового шасси как х1, 21, у1 для точки 1 и х2, 22, у2 для точки 2.

Форма записи уравнения прямой линии в пространстве, проходящей через две точки с координатами х1, 21, у1 и х2, х2, у2:

X - X 2 - 21 у - У

Х2 - X1 z2 - zi У2 - Уі

Для того, чтобы определить диапазоны управляемых координат автокрана, необходимо найти точки пересечения этой прямой, совпадающей с направлением гравитационной вертикали, и границ некоторого пространства возможных значений первых трех управляемых координат крана q7, q8, q9. Сечение данного пространства плоскостью, проходящей через ось вращения поворотной колонки автокрана, показано на рис. 2. Это будет область возможных положений оголовка стрелы автокрана в

T

координатах р лы.

-2. Здесь р — д/X2 + у2 - вылет стре-

Телескопическая

стрела

Рис. 2. Область возможных положений оголовка стрелы

автокрана в координатах «вылет-высота»

На рис. 2 прямые 1 и 2 - это образующие конических поверхностей, на которых угол подъема стрелы д8 соответственно минимальный и максимальный, а дуги окружностей 3 и 4 - образующие торовых поверхностей, на которых величина выдвижения телескопического звена стрелы д9 соответственно минимальная и максимальная.

Чтобы определить диапазоны управляемых координат, необходимо найти две точки пересечения прямой линии грузового каната и граничных поверхностей пространства возможных положений оголовка стрелы, если таковые существуют. Каждая точка, расположенная как внутри пространства возможных положений оголовка стрелы, так и на его границе, однозначно определяет значения всех четырех управляемых координат автокрана д7, д8, д9, д10 для определенных координат груза X, 2, У.

Нижняя (по г) из найденных двух точек будет соответствовать минимальным значениям управляемых координат д8, д9, д10, а верхняя - соответственно максимальным. Назовем данные две точки образующими интервал.

Возможен вариант, когда точка подвеса груза сама расположена внутри пространства возможных положений оголовка стрелы. Тогда нижняя из двух образующих интервал точек положения оголовка будет находиться не на границе пространства, а внутри него, выше точки подвеса груза на минимально возможную длину грузового каната.

Таким образом, необходимо найти декартовы координаты двух образующих интервал точек в системе координат базового шасси, а по ним - диапазоны значений управляемых координат автокрана д7,

?8, ?9, ?10-

Решение первой из указанных задач возможно в трехмерном пространстве, путем нахождения точек пересечения прямой, описываемой уравнением (9), и конической, либо торовой поверхности.

Коническая поверхность описывается уравнением второго порядка:

2 2 2 X у 2 _

---------1--------------------— 0 .

а2 Ь2 с2

где а, Ь, с - постоянные.

Тор описывается уравнением четвертого порядка:

2 , , ,2 і _2 , о2 м2

X + у" + 2" +

Я2 -г2)2 -4• Я2 -

где Я - расстояние от центра окружности до оси вращения, г - радиус окружности.

Аналитическое решение системы уравнений (9), (11) для случая пересечения прямой с тором хотя и возможно путем сведения к полиному четвертой степени с одним неизвестным и нахождению его корней, но слишком сложно и громоздко для практического применения.

Можно найти корни полинома численным методом.

Задача нахождения координат образующих интервал точек в системе базового шасси может быть решена аналитически другим способом, путем упрощения и сведения пространственной задачи к плоской.

Если перейти от трехмерной декартовой системы координат базового шасси к цилиндрической, формулы перехода будут иметь вид:

Р = д/х2 + у2 , ф=аг^

Здесь координата ф будет соответствовать углу поворота поворотной колонки д7, а координата р -вылету стрелы.

Если временно исключить из рассмотрения координату поворота ф=д7, то получим плоскую задачу в декартовой системе координат «вылет-высота» (р—2). В данной системе координат коническая поверхность всегда проецируется в прямую линию, а торовая поверхность - в дугу окружности.

Прямая линия грузового каната, совпадающая с гравитационной вертикалью, при переводе в плоскую систему координат (р—2) получает вид кривой второго порядка с небольшой кривизной, если углы наклона базового шасси относительно гравитационной вертикали имеют ненулевые значения.

Чтобы получить наиболее простой вид уравнения прямой грузового каната в системе координат (р—2), воспользуемся схемой, приведенной на рис. 3.

Уравнение прямой (9) в плоскости х^у! будет иметь вид

х - Х1 _ у - у

у 2 - у

Уравнение данной прямой на плоскости можно записать в виде

Л-х+Б-у+С=0,

где

Л = 1/(х2~хі); Б=-1/(у2~уі);

С=у1/

Расстояние от данной прямой до точки с нулевыми координатами (начало системы координат на рис. 3) определится как

С

А1 =-/

л/Л2 + Б2

х~—х

2

Рис. 3. Схема для определения уравнения линии грузового каната

Зная координаты хь у1 точки 1, можно определить Р по формуле (10). В то же время по схеме (см. рис. 3) р2=к2+к2. Тогда

По данной формуле может быть найдено численное значение к2 для точки 1.

Поскольку к2 - расстояние между проекциями двух точек 1 и 3, лежащими на прямой линии в пространстве, можно представить к2 как функцию от вертикальной координаты г:

к2=г-к+г0,

где к и г0 — некоторые постоянные.

Поскольку координаты точек 1 и 2 в системе координат базового шасси были найдены по формулам (7), (8), коэффициент пропорциональности к может быть определен как

к=1\ 2/А21 2,

где 112 = )2 +(ДУ1-2) ; ДХ1_2= I Х1-Х2 | ;

Подставив в уравнение (18) значение 21 (7) для точки 1 , можно определить 20 как

г0=к2 -гук.

Формула (17) справедлива для любой точки на прямой гравитационной вертикали (для любых значений Р и к2), поэтому может быть получена зависимость вертикальной координаты 2 от вылета Р для конкретного расположения прямой в системе Х^У^.

г• к + 20 =А/р2 -к12 ,

отсюда

г=

Или обратная зависимость:

р2 = к/ + р • к + г0)2.

Границы области возможных положений оголовка стрелы в координатах «вылет-высота»

Линия 2: 2=k2p+202;

Линия 3:

Линия 4:

где кь к2, г0Ь г02, Я3, Я4, - конструктивно заданные постоянные.

После определения коэффициентов уравнений

(24)...(27), необходимо решить четыре системы уравнений: (23)-(24), (23)-(25), (23)-(26) и (23)-(27).

Решения систем уравнений (23)-(24) и (23)-

(25) имеют вид соответственно:

2 2 2

-кх •

-к •к; • к +К +

к• 20 • к1 +к • к1 • 201 +|+2к• 20 • 201 + | +202 +к • 2012

-+ 201,

- к •

2

к • 20 • к2 + к • к2 • 202 +

- к • к2 • К + К + + 2-к • 20 • 202 +

|+ 202 + к2 • 2022

-+202.

Системы уравнений (23)-(26) и (23)-(27) могут быть сведены к уравнению с одним неизвестным четвертой степени, которое легче решить численно, чем аналитически.

Однако, можно обойтись и без численных методов, если провести линеаризацию кривой грузового каната в координатах (р-2), описываемой уравнением (23), в окрестностях ее пересечения с заданной дугой 4 (или 3) окружности (рис. 4).

Рис. 4. Схема линеаризации уравнения грузового каната для пересечения с дугой 4

Линеаризация для пересечения линии грузового каната с дугой 4 включает предварительное определение вертикальной координаты г4 (см. рис. 4) пересечения вертикальной прямой линии вылета р0=свт1 точки 1 подвеса груза с координатами х1, у1

р0 = >/х12 + У2 ,

и дуги 4, описываемой уравнением (27):

г4 =>/Я42 -

Действительное значение вертикальной координаты точки пересечения линии грузового каната и дуги 4 будет отличаться от г4, если имеются ненулевые углы наклона базового шасси относительно гравитационной вертикали.

Определим значения вылета р двух точек на линии грузового каната, с вертикальными координа-

2 —

2

тами, большими и меньшими г4 на некоторую постоянную величину сг (см. рис. 4). Значение сг будет определяться конструкцией автокрана (типоразмером) и должно быть подобрано таким образом, чтобы для любых координат точки груза при любых допустимых углах наклона базового шасси точка пересечения гд4 линии грузового каната и дуги окружности 4 оказалась внутри интервала [г4+сг 24-с2]. Это означает, что сг должно быть больше определенного минимально допустимого значения.

Обозначим

гв 24+С2, 2н г4 сг.

Согласно (23), р определится как

р = VК +р • к + )2 .

Подставив гв и г н в формулу (33) вместо г, получим соответствующие значения рв и рн.

В координатах (р—г) уравнение прямой, проходящей через две точки (рв, гв) и (рн, гн), запишется следующим образом:

Р - Рн Р.- Рн

z - z.

Отсюда

p = z .<Р-- Р- ) +

Р Р. -z.) +

Обозначим

Рн

•

(Р - z.) .

к ='в-'н+, ро = Р- '--'У- -Р.-+.

'

Тогда уравнение (35) запишется в виде

Р = ' • кр + Pop •

Теперь остается решить систему из двух уравнений (37) и (27), т.е. найти точку пересечения пря-

мой и дуги окружности. Подставив (37) в (27), получим

' • к' +

После разложения получим:

'2 • кр2 + 2 • ' • kp -'op - C1 ) + ('op - C1 Г + '2 = R32 •

Скомплектуем по степеням z:

' '' + кР2)+z'

Обозначим

5i=1+kp2; S2=2-kp-

Тогда уравнение (39) запишется в виде

z2-sj+z-s2+s3=0.

Решения данного квадратного уравнения имеют вид:

- S2 ±д/S22 - 4 • с, • сз

2 • с,

После того, как два решения (42) найдены, необходимо отбросить все комплексные и отрицательные корни.

Останется одно решение, либо вообще ни одного. Последнее означает, что прямая не пересекает окружность.

Для пересечения линии грузового каната с дугой 3 может быть получено и решено уравнение, аналогичное (41).

Сравнительные расчеты показали, что полученное по формуле (42) приближенное решение расходится с истинным значением на несколько десятых долей миллиметра (максимально), что можно считать незначительной погрешностью при перемещении грузов.

После того, как найдено решение г по формулам (42), (28) или (29), по координате г оголовка стрелы и уравнению прямой в пространстве (9) могут быть найдены две других координаты оголовка х и у:

Р - г1 )-(х2 - х1 ) + х .

(г 2 - 21) + х1;

X = -

у =(^рНу1_у)+у.

р2 - г1 )

Затем могут быть определены все управляемые координаты автокрана, соответствующие данному положению точки оголовка стрелы:

д7=аг^

д9

Рис. 5. Схема для определения координат q7, q8 и q9

Подсчитав предварительно р по формуле (12) и используя схему на рис. 5, получим:

Я =у1(с2 + Ц, )2 + с

л/(с2 + ?9 )2 + с32 = г 2 +

(С1 + Р)2

q9 =yjz2 +pi + р)2 -сз2 -С2.

q8_l=arctg

q8_2=arctg

q8=q8_l+q8_2=arctg(cз/(c2+q9))+ arctg(cз/(c2+q9)).(51) Длина грузового каната от оголовка стрелы до точки подвеса груза определится как расстояние между двумя точками с координатами (х,2,у) и (хъ2Ьу1):

qm = д/

Таким образом, последовательность нахожде-

ния максимальных и минимальных значений диапазонов управляемых координат автокрана следующая:

- по формулам (28), (29) и (42) находится от 2 до 4 действительных неотрицательных решений систем уравнений;

- для каждого из найденных решений по формулам (45), (48), (51), (52) определяются соответствующие значения управляемых обобщенных координат автокрана q7, q8, q9, q10;

z. - z

Z1,2 =

- осуществляется проверка найденных значений q7, q8, q9, q10 на попадание каждого из них внутрь интервала допустимых конструкцией автокрана значений:

q7_mm<q7< q7_ тах; q8_mm<q8< q8_ тах; q9_min—q9— q9_ тах; q10_min—q10—q10_max.

Не попадающие внутрь соответствующего интервала значения q7, q8, q9, q10 отбрасываются. В результате остается по два значения каждой управляемой координаты, либо вообще ни одного. Два значения каждой координаты и определят искомые диапазоны управляемых координат.

В результате мы получим четыре диапазона управляемых координат:

|^7_В ^_нЬ [q8_В q8_Н],

^9_в q9_н], [qlo_в qlo_н],

где q7_в, q8_в, q9_в, qlo_в - верхние, а q7_н, q8_н, q9_н, q10 н - соответственно нижние значения координат.

2 А =80°

'9_B~49_max~10 м

Yoí£

q9 min

Верхняя возможная точка оголовка стрелы

Zo

Нижняя возможная точка оголовка стрелы =25 м =0,5 м

-V"

X10

Y»

Рис. 6. Пример предельных и диапазонных значений

^5 q8, q9и ^0

При выходе любой из четырех координат (q7, q8, q9, q10) за границы соответствующего диапазона, обеспечить требуемые координаты точки подвеса груза становится невозможно.

Конечные диапазонные значения управляемых координат определяются по формулам (45), (48), (51), (52), с предварительным использованием дру-

гих указанных формул в описанной в статье последовательности, и проверяются по условиям (53). Приведение формул (45), (48), (51), (52) в развернутом виде слишком громоздко, поэтому авторы ограничились последовательностью более простых формул.

Пример значений координат, определяемых по предложенной методике, приведен на рис. 6. Пусть предельные (ограниченные конструкцией) значения управляемых координат равны:

q8_min=10°, q8_max=80° (угол подъема стрелы), q9 min=0 м, q9 max=10 м (величина выдвижения телескопического звена),

qio_min=0,5 м, qi0_max=25 м (длина грузового каната от оголовка до точки груза).

По предложенной методике, описанной в статье, для координат точки груза X10 Y10 Z10 могут быть определены диапазонные значения управляемых координат q7 q8 q9 q10, например:

[qv_B q7_H]= [122° 122°]; ^_в q8_n]= [51° 10°];

[q9_B q9_H]= [10 5]; [q10_B q¡0_H]= [18 4,5].

Как видно из примера, некоторые значения диапазона могут совпадать с предельными.

При задании одной из 4-х управляемых координат остальные три вычисляются по предложенной методике.

Литература

1. Правила устройства и безопасной эксплуатации грузоподъемных кранов и кранов-манипуляторов: ПБ 10382-00 и ПБ 10-257-98. - Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2007. - 335 с.

2. Котельников, В.С. Комментарий к правилам устройства и безопасной эксплуатации грузоподъемных кранов (ПБ 10-382-00) / В.С. Котельников, Н.А. Шишков. -М.: МЦФЭР, 2007. - 720 с.

3. Правила техники безопасности при эксплуатации стреловых самоходных кранов: ВСН 274-88. - М.: Строй-Инфо, 2007. - 22 с.

4. Щербаков, В.С. Статическая и динамическая ус-

тойчивость фронтальных погрузчиков: Монография / В. С. Щербаков, М. С. Корытов. - Омск: Изд-во СибАДИ,

1998. - 100 с.

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

DEFINITION RANGES OF OPERATED COORDINATES OF A TRUCK CRANE FOR AUTOMATIC CONTROL SYSTEM

V.S. Shcerbakov, M.S. Korytov

Described definition procedure of possible values ranges the truck crane operated coordinates - angle of rotation platform, angle of rotation gibbet, truck crane boom extension - depending on required coordinates of cargo point, taking into account corners of an inclination of the chassis. The technique is intended for use in systems of automatic control of truck cranes

Key words: operated coordinates, inclination comers of the chassis