Теплообмен и трение в неньютоновских жидкостях при свободной конвекции

С. И. Кузьмин

ТЕПЛООБМЕН И ТРЕНИЕ В НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЯХ ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ

Все возрастающие насущные потребности производства - энергетика (высокотемпературные теплоносители на основе полимеров и суспензий, пасты и суспензии ядерного горючего, высококонцентрированные наполненные ракетные топлива и топливные смеси), массовое производство и переработка синтетических и естественных материалов (в частности, строительных), нефтедобыча и нефтехимия, фармацевтическое, пищевое, бумажное, лакокрасочное производства - стимулируют исследования и инженерные разработки по реодинамике и тепломассообмену реологически сложных сред.

Кроме больших прямых затрат на переработку неньютоновских материалов, на них затрачивается значительное количество различных видов энергии, в частности тепловой. Следовательно, обоснованный выбор и эффективное использование энергетического оборудования при переработке и транспортировке реологически сложных текучих сред (в первую очередь высоковязких) представляются с энергетической точки зрения важной народнохозяйственной проблемой. В настоящее время все еще велик разрыв между громадными запросами практики и ограниченными масштабами научно-исследовательских работ в этой области.

Огромное значение имеет исследование гидродинамики и теплообмена в жидкостях у поверхностей, имеющих температуру, отличную от температуры жидкости. Теплообмен у поверхностей, нагретых по отношению к жидкости, изучен достаточно, в то время как работ по теплообмену у охлажденных поверхностей практически нет. Данное исследование призвано восполнить существующий пробел.

Сложные по структуре жидкости в большинстве случаев имеют кривую течения, отличную от ньютоновской. Это отличие для реостабильных текучих систем может выражаться, во-первых, в том, что кривая течения криволинейна, но проходит через начало отсчета; во-вторых, у другого рода жидкостей течение начинается лишь тогда, когда сдвиговое напряжение превышает предел текучести. Первые жидкости называются чисто вязкими, нелинейно-вязкими и аномально вязкими, часто неньютоновскими, а вторые - вязкопластичными [1].

Непластичные жидкости, представляющие собой объект нашего исследования, подразделяются на псевдопластичные с кривой течения, обращенной выпуклостью в сторону оси напряжений, и дилатантные с кривой течения, обращенной выпуклостью в сторону оси скоростей сдвига. Примерами псевдопластиков могут служить растворы каучука, смазки, расплавы и растворы полимеров, нефть и многие высоковязкие нефтепро-

дукты, бумажные пульпы, краски, фармацевтические средства (эмульсии, кремы, пасты), многие пищевые продукты (сметана, жиры), биологические жидкости (кровь, плазма, синовиальные жидкости) и др. Дилатансию проявляют высококонцентрированные водные суспензии порошков двуокиси титана, железа, слюды, кварца, крахмала, водные растворы гуммиарабика, мокрый речной песок и др.

Цель настоящей работы - изучение локального теплообмена и трения при свободной конвекции неньютоновских жидкостей у изотермической поверхности, охлажденной по отношению к омывающей ее среде. При решении использовалась степенная реологическая модель:

I ёы Iп

х^ = I -— I , которая достаточно хорошо описывает кривую течения не-

ёу

пластичных жидкостей.

Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена в приближении Буссинеска для пограничного слоя при свободной конвекции с учетом переменной вязкости в обобщенных переменных следующая [2]:

2п

вг *

п+3 [(п + 2)Р(л)Р'(п) - (п +1)(Р'(л))2 ]

+ Н (л) +

^ II I п

Р '

- *

= 0;

Н'(л)+ (п + 2)Р(л)Н'(л) = 0 ;

П = 0: Р(п) = 0, Р'(п) = 0, Я(п) = 1; Р"(л) = 0 , Я(п) = 0.

При РГж  да уравнение (1) упрощается и приобретает вид

Н (л)+

^ — I п

Р "

- ж

=0.

Здесь зависимость вязкости от температуры дается выражением:

- ж

(1+Т ~)е А 1+Г 'е

-с

которое получено из уравнения ц = шпвкт

[2].

Система (2)-(4) описывает поля скоростей и температур внутри теплового пограничного слоя. Ее решения получены численно методом пристрелки с помощью стандартной программы в среде математического пакета МАТНСАБ 2001 в диапазоне изменения параметров: ц = цж/цс = 0,005-1; п = = 0,4-10; Т' = -0,5.

Анализ полученных решений при ц =1 позволил выявить влияние реологии на гидродинамику и теплообмен. Профили скорости и температуры для этого случая при различных значениях показателя структурной

*

+

Е

вязкости приведены на рис. 1. В целом влияние п на динамические параметры пограничного слоя значительно больше, чем на тепловые.

п

Рис. 1. Влияние показателя структурной вязкости на профили скорости и температуры при постоянных физических свойствах жидкости

С ростом реологического фактора п толщина динамического пограничного слоя уменьшается, степень влияния данного параметра при этом также уменьшается. Толщина же теплового пограничного слоя с ростом п увеличивается, но масштаб этих изменений мал по сравнению с изменениями толщины динамического пограничного слоя, что совпадает с анализом дифференциального уравнения (2).

Профили скорости с ростом п становятся менее заполненными (более пологими), максимальная скорость уменьшается, но форма кривых практически не изменяется. На температурные профили показатель структурной вязкости не оказывает столь сильного влияния, как на профили скорости.

Градиенты скорости и температуры с увеличением п уменьшаются по всей толщине слоя.

На рис. 2, а представлено влияние переменной вязкости жидкости на профили скорости и температуры при п = 0,4. Изменения параметра д сказываются на динамическом пограничном слое сильнее, чем на тепловом. Анализ полученных результатов показал, что на тепловые параметры более сильное влияние оказывает относительная вязкость, по сравнению с показателем структурной вязкости, а на динамические параметры - наоборот.

Рис. 2. Влияние переменной вязкости на профиль скорости и температуры:

а - п = 0,4; б - п = 3

С ростом д толщина теплового пограничного слоя растет (степень влияния относительной вязкости при этом меняется мало), а толщина динамического пограничного слоя практически не зависит от параметра д . Дело в том, что вязкость меняется с температурой в пределах теплового пограничного слоя. Последний же для высоковязких жидкостей гораздо тоньше динамического, и т. к. продольные скорости различных слоев жидкости при удалении от стенки имеют тенденцию постепенно уравниваться, то различие в профилях скорости для разных значений переменной вязкости успевает нивелироваться на оставшемся участке динамического пограничного слоя.

Профили температуры с ростом д становятся более пологими. Чем меньше данный параметр, тем ниже проходит температурная кривая. Профили скорости при д < 1 постепенно деформируются, на них появляется точка перегиба, кривые приобретают «^-образную форму, которая становится все более выраженной, максимальная продольная скорость при этом уменьшается. «^-образный профиль скорости наблюдается и у ньютоновских жидкостей (п = 1) в том же диапазоне изменения относительной вязкости [3], что говорит о наличии у охлажденной поверхности малоподвижного слоя, но у дилатантных жидкостей эффект «ползущего» течения проявляется гораздо сильнее.

Градиенты скорости и температуры на стенке с ростом д уменьшаются. Более выраженный «^-образный профиль скорости снижает устойчивость ламинарного течения дилатантных сред по сравнению с ньютоновскими жидкостями, что может привести к отрыву пограничного слоя или вызвать более ранний переход к турбулентному течению. А для отдельно

взятой дилатантнои среды то же самое имеет место при стремлении градиента скорости к нулю с уменьшением параметра д .

При больших значениях показателя структурной вязкости влияние д уменьшается (рис. 2, б).

Анализ результатов решений показал, что влияние переменной вязкости на градиенты скорости и температуры на стенке достаточно полно оценивается параметром д (рис. 3, 4).

Рис. 3. Зависимость градиента скорости на стенке от переменной вязкости при различных п

Рис. 3. Зависимость градиента температуры на стенке от переменной вязкости при различных п

Эти градиенты для каждого значения показателя структурной вязкости относительно постоянных свойств жидкости хорошо аппроксимируются следующими зависимостями:

—к-1

^"(0)/^"о(0) = дк, С/С р = дк Я'(0)/Я'о(0) = Киж/Кижо = д *.

Показатели к и * являются функциями показателя структурной вязкости п и обобщаются полиномиальными зависимостями следующего вида:

к = -0,0006п + 0,0152п2 - 0,1614п +1,0021;

s = 0,0007«2 - 0,0167п + 0,173 .

Уровень достоверности полиномиальной аппроксимации для к равен единице, а для 5 - 0,999.

Градиенты температуры и скорости на стенке при постоянной вязкости жидкости обобщаются с уровнем достоверности 0,994 зависимостями:

рД0)=-0,0012п3 + 0,0227п2 - 0,132п + 0,9421; Н0 (0) = 0,0004п3 - 0,0086п2 + 0,0505п - 0,7559 .

С учетом выражений (7)-(10) градиенты скорости и температуры на стенке при переменной вязкости могут быть найдены из зависимостей

(5),(6):

Р"(0)= Р0'(0)тк; Н '(0)=Н 0 (0)ц5.

Используя значения параметров Н'(0) и Р"(0), получили критериальные уравнения для локального и среднего теплообмена и трения в двух случаях. В случае вертикальной пластины:

Ми = Ми,

п + 3 п + 2

= -Яа,

(п + 3)-п+з Н '(0);

^ п+2

+3 (п + 3)п+3 (п + 2)-1 Н '(0);

Сх = 2ЯаX _п+3Ог; >-2п(п + 3)п+3[р'№;

Су = Сугп+3 = 2Яа* ^вг/ 1-1п(п + 3)^(п + 4)-1 [р'(0)]п. В случае горизонтального цилиндра:

3 g (у)Н '(0),;

1 -

-1 g Ш-

Ми х =а-х^ = -2Яа X п+3'

Ми = -2 п+3 Яа,

сх = 2-2п-1

п+3 г;г* 1-2п

Яа х п+3СГх

Н '(0),;

[/ (y)g2 (у)]” [р '№ ;

С/ = 2 п+3Яа 1 ~п+3Ог/ 1_2п

-{[/ (у)g2 (у)]п

[р '(0)1

п

*

п

п

В результате исследований гидродинамики и теплообмена неньютоновских жидкостей у охлажденной изотермической поверхности при ламинарной свободной конвекции с учетом изменения вязкости жидкости с температурой получены следующие результаты:

1. Влияние переменной вязкости жидкости на относительный теплообмен и трение зависит только от д . Степень влияния этого параметра зависит от направления теплового потока и показателя структурной вязкости. Степень влияния относительной вязкости у охлажденной поверхности на теплообмен меньше, а на трение больше, чем у нагретой.

2. Влияние переменной вязкости и реологии на гидродинамику значительно больше, чем на теплообмен.

3. Получены критериальные уравнения для расчета локальных и средних чисел Нуссельта и коэффициентов трения в случае вертикальной пластины и горизонтального цилиндра (13)-(20).

4. Результаты теоретических решений согласуются с опытными данными и результатами, полученными другими авторами, и могут рекомендоваться для инженерных расчетов локальной и средней теплоотдачи и трения.

Условные обозначения

д - динамическая вязкость; д = дж/дс - относительная вязкость;

Т - Т

Т '=— ж— температурный напор; Т - температура; р - плотность жидко-

Т ж

сти; g - ускорение свободного падения; в - коэффициент объемного расширения; а - коэффициент температуропроводности; X - коэффициент теплопроводности; с - удельная теплоемкость; п - показатель структурной вязкости; т -постоянный параметр; Еу - энергия активации одного моля; Я - универсальня газовая постоянная; тх - локальное сдвиговое напряжение вдоль стенки; I - характерный размер тела (длина пластины, диаметр цилиндра); г, ё - радиус и диаметр цилиндра; х и у - продольная и поперечная координаты; и -скоость вдоль оси х; и*=р'^прп(Тс -Тж)пхп+1/дж - характерная скорость свободно-конвективного движения; р - безразмерная функция тока при свободной конвекции; п - переменная подобия; Н = 0 = (Т - Тж)/(Тс - Тж) - безразмерная температура; а и а - локальный и средний коэффициенты теплоотдачи; Ких = о>х/Х и Ми - локальное и среднее числа Нуссельта; С/х = 2тх/р и *2 и С/ - локальный и средний коэффициенты трения; Яа* = вг* Рг* 1/(2п-1),

вг * = р2п / (2п-1^р(Т - Т )х(2п+1)/(2п-1)ц-2/(2п-1) Рг * = р(п-1)/п1(2п-2)/пц1/пс(2п-1)/п1-(2п-1)/ п -

обобщенные числа подобия Рэлея, Грасгофа, Прандтля соответственно; у = уЯах п(п+2)/(п+3); у - функция тока. В случае вертикальной пластины: Л = (у/х)ЯаI"/(п+3)(п + 3)-1/(п+3); р(л) = у[(п + 3)х]-(п+2)/(п+3). В случае горизонтального цилиндра: у = х/г - угловая координата относительно лобовой точки; х - дуговая координата, отсчитываемая вдоль окружности попереч-

ного сечения цилиндра от лобовой точки; h = (y / x)21/(n+3)Ra*n/(n+3)g(x) ;

xl/

g (g) = [(n + 3)-1/(n+3) sinn / (n+2) x]/|j sinn

n+2 f x ^

f (g) = (n + 3)n+3 J sin n+2 xdx

/

xdx

; F(h)=yf— (x) ;

. Индексы: ж - жидкость; с - стенка; x -

локальное значение; 0 - при постоянных физических свойствах жидкости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шульман З. П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей. - М.: Энергия, 1975. - 352 с.

2. Acagi S. Heat Transfer by free convection Non-Newtonian Fluids // Trans. Jpn. Soc. Mech. Eng. - 1966. - Vol. 32, No. 238. - P. 919-929.

3. Селиванов Н. В. Влияние переменной вязкости жидкости на теплообмен при ламинарной конвекции // Инженерно-физический журнал. - 2002. - Т. 75, № 6. - C. 133-136.

о