Динамика газодисперсного потока в вертикальном канале

УДК 66.048

Е. В. Сугак, Е. В. Кузнецов, С. Г. Шахрай

ДИНАМИКА ГАЗОДИСПЕРСНОГО ПОТОКА В ВЕРТИКАЛЬНОМ КАНАЛЕ

Рассмотрены вопросы моделирования движения дисперсной фазы в турбулентных газодисперсных восходящих и нисходящих потоках. Область применения модели - повышение эффективности процессов и аппаратов для очистки промышленных газовых выбросов от газообразных и высокодисперсных примесей в аппаратах с интенсивными гидродинамическими режимами.

Анализ состояния исследований аэродинамики гете-рофазных систем показывает, что для решения многих технологических проблем требуется создание математических моделей движения, учитывающих целый комплекс физических явлений межфазного обмена массой, импульсом и энергией и специфику конкретных процессов и аппаратов. Возникающие при этом трудности связаны со сложностью описания взаимодействия с газом даже отдельной твердой шаровой частицы в достаточно широком диапазоне режимов ее обтекания. Детальное исследование взаимодействия дисперсной твердой частицы или капли с газом с учетом процессов, происходящих внутри нее и на ее поверхности (тепло- и массопереноса, конденсации или испарения, внутренней циркуляции, деформации и т. д.), потребовало бы привлечения практически всех методов газодинамики, термодинамики и физико-химической кинетики [1]. Противоречие между необходимостью детального описания процессов, происходящих с отдельной частицей или каплей, и требованием их учета в виде элементарных актов в общей динамике аэродисперсной смеси требует принятия компромиссных решений и упрощающих допущений при построении моделей динамики и массообмена отдельной частицы и газодинамики смеси в целом.

Для турбулентного течения газа характерны беспорядочные хаотические пульсации скорости во всех направлениях и во всех точках потока, придающие практически всем происходящим процессам стохастический характер. При таком течении отдельные объемы газа с определенной вероятностью могут перемещаться в любом направлении и истинное значение любой характеристики газа в конкретной точке в конкретный момент времени представляет собой сумму величин, характеризующих основное и пульсационное течения. Следствием хаотических пульсационных движений является беспорядочное интенсивное перемешивание и специфическая турбулентная диффузия, турбулентная вязкость газа, более равномерное (чем при ламинарном течении) распределение ос-редненной скорости и ее резкое падение в пристенной области, увеличение потерь на трение и т. д.

Профиль скоростей газа в турбулентном потоке. Мгновенную скорость газа в любой точке потока в каждом из направлений можно представить как сумму осреднен-ной скорости и скорости пульсаций. Соответственно в уравнения движения Рейнольдса входят добавочные касательные напряжения, обусловливающие повышение вязкости и гидравлического сопротивления. Для замыкания системы уравнений применяются статистические или полуэмпирические теории турбулентности, широко используется аналогия между турбулентными и молекуляр-

ными напряжениями, экспериментальные данные о статистических связях между пульсациями в пространстве и времени [2]. Однако для инженерных расчетов обычно используются феноменологические теории и полуэмпи-рические методы расчета [3; 4].

Профиль осредненной осевой скорости газа по сечению канала наиболее точно можно аппроксимировать универсальным профилем скорости (трехслойной моделью), полученным Прандтлем и Тейлором и дополненным Карманом [5]:

w+ = у+ при у+ < 5

где w+ = w / w* - скоростной параметр (универсальная скорость); у+ = w*py / ц - параметр расстояния трения (универсальная координата); у - расстояние от стенки, м; w* = Л, / р - скорость трения (динамическая скорость), м / с; Т0 = ^р™ср2 / 8 - касательное напряжение трения на стенке, Н / м2; X - коэффициент сопротивления; - средняя скорость газа, м / с.

При моделировании газовых потоков в цилиндрических трубах на основании универсального профиля (1).. .(3) можно построить профиль скорости газа без привлечения дополнительных эмпирических или полуэмпиричес-ких зависимостей и коэффициентов из условия обеспечения заданного объемного расхода газа или среднерасходной скорости.

Расход газа в канале складывается из расходов в ламинарном пристенном слое, буферном слое и турбулентном ядре, границы между которыми определяются в соответствии с условиями формул (1).. .(3):

Ж = Wl + Ж2 + Ж, = S1w1 + S2w2 + S2w2 =

= + ^22™*™3+ =

2пц2

х( +- у +)у ++ |(5,5 + 2,51п у + )( +- у + )у+

После интегрирования и преобразований можно получить соотношение между средней и динамической скоростями газа в виде [4]

Ж пЯ2

= 2,5ю

ю * рЯ : 1п------!— + 1,75^ * -

ц

-127,792 ——10 603,449 — рЯ ю

ц2

:р2 Я2

или, через динамический критерий Рейнольдса Re* = = w*Dp / ц = 2w*Rp / ц,

№ Яе -1

= — = 2,51пЯе* -255,584

-42 413,796(Яе*)-2 + 0,017.

Уравнения (4) и (5) показывают взаимосвязь средней wcp и динамической w* скоростей газового потока в неявном виде. При заданном значении средней скорости уравнение может быть решено итерационными методами. В качестве начального приближения можно использовать известные оценки характеристик турбулентного потока.

Расчеты и сравнение с экспериментальными данными показывают, что формула (5) при Re > 104 позволяет рассчитать и другие параметры потока, в частности -коэффициент сопротивления X и, соответственно, гидравлическое сопротивление канала [4]. Профили скорости газа в координатах (у / R, w / wшax) и (у / R, w / w ) при различных значениях критерия Рейнольдса Re, рассчитанные по формулам (1).. .(3) и (5), показаны на рис. 1.

Уравнения (1).. .(3) дают возможность рассчитать градиенты осевой скорости газа по радиусу канала. После подстановки w+ = w / w* и у+=yw*p / ц можно получить [4]

dw / dy = р^*)2 / ц при 0 < у < 5ц/^*р), dw /dy = 5w* /у при 5ц / (рw*) <у < 30ц / (рw*),

dw /dy = 2,5w* /у при 30ц / (рw*) <у < R, или, учитывая, что в цилиндрическом канале у = R-r и dw / dy = -dw / dy,

dw /dr = -2,5w* / ^ - г) при 0 < г < R - 30ц / (рw*), йж / йг=-5w* / (R - г) при R - 30ц / (рw*) < г < R - 5ц / (ш*),

dw /йг = -р(w*)2 / ц при R - 5ц / (рw*) < г < R. Следует отметить, что полученные соотношения справедливы только для однофазного потока. Однако исходные выражения (1).(3) можно использовать и для двухфазного потока, если определить его транспортные свойства с учетом влияния дисперсной фазы, зависисящего от ее объемной или массовой концентрации [4].

2. Движение частиц в турбулентном потоке. Движение твердых или жидких частиц в турбулентном потоке газа отличается от ламинарного потока большей сложностью

жМтах 1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

и интенсивностью межфазного взаимодействия. Это обусловлено прежде всего беспорядочными турбулентными пульсациями среды и связанными с ними колебательными движениями частиц и их турбулентной диффузией.

Можно считать, что движение частиц в турбулентном газовом потоке складывается из поступательного движения под действием приложенных сил (в том числе связанных с их обтеканием) и хаотического движения под влиянием турбулентных пульсаций газа. Первое из них подчиняется законам классической механики, второе носит стохастический характер. Используя принцип аддитивности скоростей и движений, мы можем считать, что частица одновременно участвует в двух движениях и рассматривать их основные закономерности отдельно.

На частицу в турбулентном потоке в общем случае действуют силы тяжести, Архимеда, лобового аэродинамического сопротивления, Магнуса - Жуковского, Сэффмена, Тейлора, Буссинеска и силы, возникающие из-за пульсаций давления, скорости и касательных напряжений [4; 6]. Уравнение одномерного движения сферической частицы получено Бассе, Буссинеском и Озееном для случая покоящейся среды [7] и обобщено Ченом [9] для случая среды, движущейся с переменной скоростью [4; 8; 9; 11]:

~ ёы „ „ , ч п „3 ёр п „3 (ём ёыл

:83рё — = 3пц8( - ы) +—83 —+—83р

6 ё Ж у ’ 6 ёх 12

3 I---г( ём> ёы

+28 ''ПрцЛёГ-Тт

ём>

2 ' ' ' * I ё т ё т

*0 V

Уравнение (6) справедливо при допущениях, что турбулентность является однородной, невырождающейся и бесконечно протяженной, размер частицы меньше, чем наименьший вихрь в потоке, а скорость движения мала по сравнению со скоростью окружающей ее среды [16]. Первое слагаемое в уравнении выражает силу вязкостного трения (силу сопротивления Стокса), вычисленную в пренебрежении инерцией сплошной фазы, а остальные три связаны с неравномерным характером движения частицы и среды: второе слагаемое отражает влияние градиента давления, третье учитывает дополнительную силу, связанную с относительным ускорением среды вокруг частицы (эффект присоединенной массы), четвертое показывает влияние отклонения течения от установившегося (сила Бассе) [4].

м>/и>с„

4

5

^3

и 2

1

1 - Re = 5103; 2 - Re = 1104; 3 - Re = 1105; 4 - Re = 1106; 5 - Re = 5106.

1

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

у^

0,0

0,0

3 2 / 1

5

4

1 - Re = 5103; 2 - Re = 1104; 3 - Re = 1105; 4 - Re = 1106; 5 - Re = 5106.

0,2

0,4

0,6

0,8

ут

Рис. 1. Профили скорости газа в турбулентном потоке

При больших значениях отношения плотностей дисперсной фазы и среды из всех слагаемых в уравнении (6) первое имеет гораздо большее значение, чем остальные. К примеру, сила Бассе, может быть существенной только в случае очень быстрого ускорения частицы под действием большой внешней силы, как это происходит в ударной волне [15]. Использование для описания движения частицы закона Стокса также не вносит большой погрешности. Так, при рл / р > 1 000 решения, полученные по уравнению (6), практически совпадают с рассчитанными по закону Стокса, а при рл / р = 100 и 1 < Red < 6 погрешность не превышает 5.. .10 % [11].

С учетом принятых упрощающих допущений уравнение (6) примет вид

du 18u , ,

— _^— (w - и).

dt § Pd

Уравнения (6) и (7) справедливы при небольших относительных скоростях дисперсной фазы и среды и малых размерах частиц, когда сопротивление среды определяется в основном вязкими силами, т. е. силами инерции можно пренебречь, а критерий Рейнольдса Red = | ™ - и| 5 • р / ц << 1. В этом случае коэффициент аэродинамического (лобового) сопротивления движению частицы (с погрешностью не более 1 % при Red = 0,05 [11] и 12,5 % при Red = 1 [12]) определяется формулой Стокса [15]

у = 24 / Re^г

Соответственно сила аэродинамического (лобового) сопротивления будет

п52 р

Е=у—^-------------------------------— = 0,44^——-

с 4 2 4 2

В восходящем или нисходящем потоке можно считать, что при р^ >> р на частицу, кроме силы сопротивления, действует только сила тяжести, направленная вдоль вектора скорости (для нисходящего потока) или в противоположную сторону (для восходящего потока). Тогда уравнение движения примет вид

du 3 р^/ // ч

17_7^T(w - и ((w - и ^ g dt 4 Pd §

лах от 10-8 до 10-2 с, значение предельной скорости относительного движения частиц в осевом направлении - в пределах от 10-7 до 0,1 м / с, что также значительно меньше обычных скоростей газа, поэтому скорость мелких частиц часто принимается равной скорости газа. Кроме того, в большинстве случаев с некоторой погрешностью при t > т можно считать движение частицы безынерционным, а производные от их скорости по времени в уравнении движения равными нулю [13].

Если в уравнении движения (10) коэффициент сопротивления выразить в виде степенной эмпирической зависимости общего вида у = a / Re" то при w = const и v = w - u оно примет вид

dv _ 3 p dt 4 a pd § v 7 Тогда установившаяся скорость относительного движения частиц (при §v / §t = 0), равная скорости витания (седиментации), будет

( v

,2-n _ v +;

v. _±

± Pdg §n 3a pvn

При a = 24 и n = 1 (закон Стокса) vs _ ±

Pdg§2

18ц

(верхний знак относится к нисходящему потоку, нижний

- к восходящему).

При постоянной скорости потока (w = const) и сто-ксовском режиме обтекания (8) уравнение движения допускает аналитическое решение:

u = w ± gT + C  exp

где т = §2pd / 18ц - время релаксации скорости частицы [15], с; C- константа, зависящая от начальных условий. Если при t = 0 u = u0, то в уравнении (11) C = u0 - w ± gT, тогда

u = w - (w - u0)exp(-t / т) ± gT^[1 - exp(-t / т)];(12) если при t = 0 u = w, то в уравнении (11) C = ±gr, соответственно

u = w ± gr^[1 - exp

Таким образом, что при t >> т (реально, при t > 5т ) скорость относительного движения принимает постоянное максимальное предельное значение |w - u| = gr (при этом u = w ± gr). Обычные значения времени релаксации частиц диаметром от 0,1 до 100 мкм в газах лежат в преде-

= ± Я т,

8Ц

что соответствует уравнению (13) при t ^

При а = 0,44 и п = 0 (закон Ньютона) V = ± 1,74^—я5.

Наличие градиентов осредненной и пульсационной составляющих скорости газа приводит к появлению специфической формы продольного движения частиц, в результате чего относительная скорость частиц меняет по сечению канала не только свое значение, но и направление. В общем случае в ядре потока локальные скорости частиц могут быть выше скорости газа, а в периферийной области - ниже, причем средняя по сечению скорость частиц может быть меньше средней скорости газа (на 1,5.2 м / с для высокодисперсных и на 8.10 м / с для крупных частиц) [4]. Отставание частиц дисперсной фазы от сплошной не всегда удается объяснить влиянием только силы тяжести, так как, во-первых, оно характерно и для высокодисперсных частиц и, во-вторых, аналогичная картина наблюдается при течении двухфазных систем в горизонтальных каналах. Определенное влияние на величину продольного скольжения частиц оказывают изменение скорости (разгон) частиц по длине канала, взаимодействие частиц друг с другом (концентрация дисперсной фазы) и со стенками канала, однако основную роль, видимо, играют процессы, связанные с перераспределением частиц с разной скоростью по сечению канала: турбулентная диффузия, подъемная и турбулентная поперечная миграция [4].

При обычных параметрах и условиях течения на частицу, кроме сил, связанных с ее обтеканием (силы аэродинамического сопротивления), и силы тяжести (с поправкой на выталкивающую силу Архимеда), действует поперечная сила Магнуса - Жуковского, возникающая при вращении частицы вокруг собственной оси из-за градиента скорости газа [15]:

пи

т— = XЕ = Е + Е + 0 + Е .,

Пг I I ЖС А

где и - вектор скорости частицы; Fж, Fc, G и FA - векторы сил Магнуса - Жуковского, сопротивления, тяжести и Архимеда соответственно.

Градиент продольной скорости газа приводит к вращению частицы вокруг своей оси и поперечному движению (подъемной миграции) частиц, причиной которого является поперечная сила, действующая на обтекаемое тело при его вращении вокруг оси, перпендикулярной направлению движения (эффект Магнуса), отсюда сила Магнуса - Жуковского [9]:

Fж = 3 [ОхV],

где О - угловая скорость вращения частицы, с-1; V - вектор скорости относительного движения частицы, м / с. Сила Магнуса - Жуковского направлена под прямым углом к вектору относительной скорости частицы в сторону максимального значения суммы тангенциальных составляющих скоростей обтекания и вращения (рис. 2).

Система уравнений двухмерного нисходящего или восходящего движения частицы в газовом потоке в проекциях на оси координат может быть записана в виде

dw dr

Система дифференциальных уравнений (14)...(15) в общем виде при заданных начальных условиях (г = 0, г = 0, г = г0, 5г / 5г = и0 5г / 5г = и0) в общем виде может быть решена только численными методами. Некоторые результаты численного решения методом Рунге - Кутта второго порядка для восходящего и нисходящего двухфазных потоков представлены на рис. 3.

Анализ результатов расчетов для системы воздух - вода в широких интервалах изменения основных параметров (D = 10.100 мм, = 5.100 м / с, 5 = 1.1 000 мкм,

г0 / R = 0.1, и0 / w(r) = 0.1) позволяет сделать следующие выводы:

- в восходящем газодисперсном потоке частицы под действием градиента осевой скорости в целом перемещаются к оси канала, в нисходящем - к стенке. Но для турбулентных потоков, в которых траектории частиц определяются не только детерминированными силами, но и случайными воздействиями турбулентных пульсаций газа, это явление проявляется только как общая тенденция и на больших расстояниях от входа;

- при обычных значениях основных параметров газодисперсных потоков относительная осевая скорость частиц быстро становится равной скорости седиментации;

- подъемная сила Магнуса - Жуковского при обычных значениях основных параметров турбулентного газодисперсного потока может оказывать существенное влияние на движение только достаточно крупных частиц (5 > 50.100 мкм) с небольшими начальными скоростями и в пределах ламинарного пристенного и буферного слоя.

В реальных условиях поведение дисперсных систем при турбулентном режиме отличается от идеального. Отклонения траекторий дисперсных частиц от расчетных (равновесных) могут быть вызваны турбулентными пульсациями газа, регенерацией свободной поверхности частиц за счет их взаимодействия с поверхностью канала или между собой, а также дробления. Поэтому расчетные зависимости и траектории частиц в турбулентном газодисперсном потоке можно рассматривать только как ос-редненные или как тенденции поведения частиц.

Полученные результаты расчетов экспериментально подтверждаются данными экспериментальных исследований [4; 11; 16]. Установлено, что в зависимости от направления течения и соотношения плотностей фаз частицы могут перемещаться перпендикулярно оси канала в обоих направлениях. В вертикальном нисходящем течении частицы при рл / р > 1 перемещаются к стенке, при-

Рис. 2. Схема возникновения подъемной силы в восходящем (а) и нисходящем (б) потоках

чем максимальная концентрация частиц наблюдается при г / R ~ 0,85. В восходящем потоке при значениях Re^г ~ 10 тяжелые частицы монотонно приближаются к оси трубы, а при 16 < Re^г < 120 они сначала осциллируют относительно оси [16]. Относительная скорость мелких частиц становится равной скорости витания на расстоянии не более 0,1 м от входа.

Библиографический список

1. Кафаров, В. В. Математическое моделирование основных процессов химических производств / В. В. Кафаров, М. Б. Глебов. М. : Высш. шк., 1991. 400 с.

2. Роди, В. Модели турбулентности окружающей среды / В. Роди // Методы расчета турбулентных течений. М., 1984. С. 227-322.

-1,0 -0,5 0 0,5 гЖ

3. Сабуров, Э. Н. Теплообмен и аэродинамика закрученного потока в циклонных устройствах / Э. Н. Сабуров, С. В. Карпов, С. И. Осташев. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 1989. 276 с.

4. Сугак, Е. В. Очистка газовых выбросов в аппаратах с интенсивными гидродинамическими режимами / Е. В. Сугак, Н. А. Войнов, Н. А. Николаев. Казань : Школа, 1999. 224 с.

5. Хьюитт, Дж. Кольцевые двухфазные течения / Дж. Хьюитт, Н. Холл-Тейлор. М. : Энергия, 1974. 408 с.

6. Овчинников, А. А. Основы гидромеханики двухфазных сред / А. А. Овчинников, А. Н. Николаев : Казан. гос. технол. ун-т. Казань, 1998. 112 с.

7. Фукс, Н. А. Механика аэрозолей / Н. А. Фукс. М. : Изд-во АН СССР, 1955. 352 с.

8. Гилинский, М. М. Сверхзвуковые газодисперсные

-1,0 -0,5 0 0,5 гЖ

б

а

Рис. 3. Равновесные траектории частиц в восходящем (а) и нисходящем (б) потоках для системы воздух - вода при нормальных условиях: у0 = 0; и0 = 0; В = 50 мм; w^ = 50 м / с; 5 = 20 мкм (1);

50 мкм

струи / М. М. Гилинский, А. Л. Стасенко. М. : Машиностроение, 1990. 176 с.

9. Протодьяконов, И. О. Гидродинамика и массооб-мен в дисперсных системах жидкость-твердое тело / И. О. Протодьяконов, И. Е. Люблинская, А. Е. Рыжков. Л. : Химия. Ленингр. отд-ние, 1987. 336 с.

10. Нигматулин, Р. И. Динамика многофазных сред.

Ч. 1 / Р. И. Нигматулин. М. : Наука, 1987. 464 с.

11. Страус, В. Промышленная очистка газов / В. Страус. М. : Химия, 1981. 616 с.

12. Протодьяконов, И. О. Гидромеханические основы процессов химической технологии / И. О. Протодьяконов, Ю. Г. Чесноков. Л. : Химия. Ленингр. отд-ние, 1987. 360 с.

13. Кафаров, В. В. Математическое моделирование основных процессов химических производств / В. В. Кафаров, М. Б. Глебов. М. : Высш. шк., 1991. 400 с.

14. Soo, S. L. Turbulent pipe flow ofmagnesia particles in air / S. L. Soo, G. L. Trezek // Ind. and Eng. Chem. Fundam. 1966. Vol. 5, № 3. P. 388-392.

15. Колыхан, Л. И. Тепломассоперенос при фазовых превращениях диссоциирующих теплоносителей / Л. И. Колыхан, В. Ф. Пуляев, В. Н. Соловьев. Минск : Наука и техника, 1984. 256 с.

16. Denson, C. D. Particle migration in shear fields / C. D. Denson, E. B. Christiansen, D. L. Salt // AIChE J. 1966. Vol. 12, №» 3. P. 589-595.

E. V. Sugak, E. V. Kuznetsov, S. G. Shakhrai

THE DYNAMICS OF GAS-DISPERSION FLOW IN THE UPTAKE

Questions of the simulation of the motion of dispersed phase in the turbulent gas-dispersion ascending and descending flows are examined. Range of model’s application - increase in the effectiveness ofprocesses and apparatuses for removal ofgaseous and highly dispersed admixtures from industrial gas wastes in the apparatuses with the intensive hydrodynamic regimes.