О некоторых возможностях формирования амплитудночастотной характеристики в объемных резонаторах стоячих волн

которой известно. Приведены результаты численного моделирования для случая с гармонически моделируемой во времени средой, а также со средой, моделируемой во времени и пространстве.

Литература: 1 Hagness S.C., Joseph R.M. and Taflove A., Subpicosecond electrodynamics of distributed Bragg reflector microlasera: Results from finite difference time domain simulations, Radio Science. 1996. Vol. 31, No 4, P. 931-941. 2 F.R.Morgenthaler, Velocity Modulation of Electromagnetic Waves // IRE Trans. on Microwave Theory and Techniques. 1958. MTT-6. P. 167-172. 3 Hepyx А.Г., Хижняк ff.A. Современные проблемы нестационарной макроскопической электродинамики. Тест-Радио: Харьков, 1991. 4 Taflove A.: Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method, Boston, Artech House, 1995. 5 Nerukh A.G., Scherbatko I.V., Marciniak M., Electromagnetics of Modulated Media with Applications to Photonics, Nat. Institute of Telecommunic. Publishing House, Warsaw, 2001. 6 FedotovF.V., NerukhA.G., Benson T.M., SewellPh. Solution of non-stationary electrodynamics boundary value problem by FDTD and Volterra Integral Equation methods.

УДК 621.372

О НЕКОТОРЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ ФОРМИРОВАНИЯ АМПЛИТУДНОЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ В ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРАХ СТОЯЧИХ ВОЛН

БОНДАРЕНКО И.Н._________________________

На основании представления процесса формирования амплитудно-частотных характеристик объемных резонаторов стоячих волн как суперпозиции большого числа колебаний возбуждающей электромагнитной волны предлагается воздействовать на него с помощью профилирования рабочих поверхностей резонатора.

Основными факторами, определяющими частотную избирательность различных устройств, являются амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) их элементов. Предполагается, что АЧХ одиночного колебательного контура полностью определяется его добротностью, а АЧХ связанных контуров — добротностями, частотами настройки и коэффициентами связи между контурами и внешними цепями.

Для формирования АЧХ заданной формы необходимо, как правило, использование нескольких связанных контуров, что ведет к усложнению конструкции устройства в целом, необходимости введения дополнительных регулировок и настроек, а также к снижению добротности резонансных элементов и, соответственно, к уменьшению крутизны скатов АЧХ.

В этой связи представляется актуальной разработка методов формирования АЧХ заданной формы путем воздействия на резонансную кривую одиночного колебательного контура.

Proc. Of 4th International Conference on Transparent Optical Networks. April 24-25, 2002, Warsaw, Poland. Vol. 1. P. 180-183.

Поступила в редколлегию 24.02.2003

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Сухоиванов И.А.

Федотов Фёдор Владимирович, аспирант кафедры высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: разработка численных алгоритмов и специализированных программ для моделирования задач нестационарной электродинамики. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. +38 0572 409372. E-mail: ffedor@ukr.net

Нерух Александр Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики ХНУРЭ. Научные интересы: математическая физика, нестационарная электродинамика сред с меняющимися во времени свойствами и движущимися границами, новые аналитические и численные методы решения электродинамических задач. Адрес: Украина,

61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. +38 0572 409372. Email: Nerukh@ddan.kharkov.ua

Целью работы является обоснование метода воздействия на АЧХ одиночного объемного колебательного контура с помощью профилирования его рабочих поверхностей.

Сущность предлагаемого метода заключается в том, что процесс формирования АЧХ в объемном резонаторе рассматривается как суперпозиция большого числа колебаний возбуждающей электромагнитной волны, условия сложения которых существенно (в пределах полосы частот, занимаемой АЧХ) зависят от характеристик отражающих поверхностей.

Известно, что собственную добротность объемного резонатора с воздушным или вакуумным заполнением и стенками из хорошо проводящего материала можно найти с помощью следующего соотношения [1,2]:

В0 J|H|2dv ^ м J|H|2dv Q0 = V-----------= -V------= А ,

V 2ст s s

где Юр — резонансная частота; р о — магнитная проницаемость вакуума; а — проводимость материала стенок резонатора; R п р р 0/2ст — повер-

хностное сопротивление материала стенок резона-

• •

22

тора; G = Юрро J|H| dv/j|Hт | ds — геометри-V S

ческий фактор, зависящий от геометрии и размеров резонатора, а также от структуры электромагнитных полей (вида колебаний).

Анализируя (1) при ю = Юр + Аю , 0 < дю < Аюр и Дю << Юр (Дюр — полуширина полосы пропускания резонатора), можно прийти к выводу, что значения добротности объемного резонатора на частотах, лежащих в полосе пропускания, не отличаются от его добротности на резонансной частоте.

РИ, 2003, № 4

15

Действительно, величина G практически не меняется, а значение поверхностного сопротивления слабо зависит от частоты (Rп — для нор-

мальных металлов и Rп «ю 2 — для сверхпроводников [2]).

Следовательно, выражение f(х) = (1 + х2)_1/2 (х = ф2Дю/ю р = Дю/Дю р ), полученное из рассмотрения условий резонанса в колебательном контуре с сосредоточенными параметрами (R, C, L), при которых форма АЧХ определяется величиной и характером изменения реактивных сопротивлений (ы L и 1/ы С), в данном случае не совсем применимо.

Поскольку большинство объемных резонаторов являются резонаторами стоячих волн, то, по-видимому, их резонансная характеристика будет зависеть от условий интерференции колебаний на резонансной частоте и частотах, лежащих вблизи неё.

Рассмотрим условия резонанса в одномерном резонаторе стоячих волн (из объемных резонаторов к этому типу можно отнести, например, резонаторы на отрезках коаксиальных линий, возбуждаемых на волнах ТЕМ).

Предположим, что в резонаторе отсутствуют потери, а сам резонатор представляет собой линию, закрытую на концах торцевыми крышками.

Условие резонанса для такой системы:

Фі +Ф2 + 2pi = 2nn ,

где фі, ф2 — изменение фазы сигнала при отражении от торцевых стенок резонатора; Р = 2%/Х л = ю/ v фл — постоянная распространения линии; X л, Уфл — длина и фазовая скорость волны в линии; l — длина линии; n = 1,2,3, ....

При зеркальном отражении от торцевых стенок условие резонанса — l = n X л/2.

В дальнейшем для простоты будем рассматривать полуволновый резонатор (l= X л/2).

Допустим, что на входе резонатора действует сигнал с частотой ю . При ы = ы p за время t = T (T—период колебания) электромагнитная волна дважды пройдет по резонатору с отражением от обеих стенок и сложится в фазе со следующим колебанием, поступившим в резонатор. В последующий период про -изойдет сложение уже удвоенного значения с вновь поступившим колебанием, и т.д. При ы ^ Юр каждое последующее колебание будет алгебраически складываться с предыдущими, поскольку набег фазы за период в этом случае будет определяться отношением 21/ X , а для каждой составляющей — 2n1/ X , где n — соответствующее количество колебаний.

Для системы без потерь функция, описывающая характер изменения n-го колебания в резонаторе,

S(t,f) = е»; реальная часть — ReS(t,f) = cos2npi.

Функция, описывающая резонансную кривую, которая формируется за счет сложения колебаний, поступающих и существующих в полуволновом резонаторе, может быть записана следующим образом:

S(t,f) = £ £ cos

k=1k=1

2rckA, р

n n

Z E cos

k=1k =1

2rckf

р

.

Типичный график абсолютных значений функции S(t, f) (3) приведен на рисунке. При увеличении числа n амплитуда центрального максимума будет расти, его ширина - уменьшаться, амплитуды боковых максимумов также будут уменьшаться, а их количество - расти. В качестве резонансной кривой в данном случае следует, по-видимому, принять огибающую графика функции S(t,f).

Влияние активных потерь в резонаторе на форму его резонансной кривой можно учесть путем введения постоянной затухания а, которая характеризует потери в сигнале за время одного колебания. Тогда (3) трансформируется к такому виду:

/ ч n n

S(t,f) =ZZ e

k=1k=1

(n+1-k)a cos 2л^P v ^ cos-------------

e -(n +1-k )a 2^kf

= e v ^cos_і—

k=1k=1 f р

Характер изменения функции S(t, f) (4) по сравнению с S(t,f) (3) остается тем же, с той лишь разницей, что амплитуды максимумов будут существенно зависеть от величины а, а при больших ее значениях форма огибающей будет слабо меняться при возрастании n.

I S(t,f)|

Типичный график функции |S(t, f)|

По-видимому, окончательно сформировавшейся резонансную характеристику можно считать тогда, когда мощность потерь в резонаторе за период станет равной мощности поступающего внешнего сигнала, т. е. после окончания переходных процессов установления колебаний в резонаторе. Обычно эта величина характеризуется временем t = Q/pf, за которое амплитуда колебаний в резонаторе достиг-

16

РИ, 2003, № 4

нет значения A = (1 - 1/e)Aмакс [3]. Для достижения A и 0,95A макс необходимо время t и 3т . При реальных значениях добротности объемных резонаторов ~ 103 это соответствует t и 103 T или n ~ 103 в (3) и (4).

При расчете характеристик объемного резонатора обычно считают, что его линейные размеры определяют значение резонансной частоты, а форма резонансной кривой может зависеть от размеров в том случае, когда добротность резонатора меняется в зависимости от его объема (запасенная энергия меняется пропорционально объему, а потери — пропорционально площади рабочих поверхностей).

В то же время для реальных резонаторов их геометрические размеры являются функцией технологий изготовления и условий эксплуатации.

Известно, что рабочие поверхности волноводов и резонаторов должны быть обработаны по 8-10 классу чистоты обработки [4]. Это значит, что средняя высота неровностей ~ 3,2 и ~ 0,8 мкм на базовых длинах 0,8 и 0,25 мм, соответственно [5]. Поскольку размеры большинства резонаторов значительно превышают соответствующие базовые длины, то можно утверждать, что те размеры, которые используются при расчете характеристик резонатора, представляют собой некоторое усредненное значение.

Проведем для выбранного полуволнового резонатора грубую оценку влияния изменений его размеров на значение резонансной частоты. Допустим, что резонансная частота нашего резонатора ^~3 ГГц. Тогда его линейный размер составляет l~5-10-2 м, а изменению резонансной частоты на величину Af ~3-103 Гц будет соответствовать изменение длины Д! = l- Af Др ~ 0,05 мкм.

На основании проведенных оценок, а также соотношения (4) можно утверждать, что процесс формирования АЧХ будет носить статистический характер, при котором длину резонатора l можно считать равной 1р с некоторой степенью вероятности. Можно предположить, что вероятность отклонения величины 1 от 1р будет оцениваться нормальным законом. Тогда для плотности вероятности можно записать следующее [6]:

(l-ір )2

1 2 p(1) = —^=e 2а

<5tJ 2% ’

где а2 — дисперсия величины 1 (по «правилу трех сигм» [6] можно определить величину а, зная класс чистоты обработки поверхности — 3 а ~ А 1макс).

Выражение (5) можно переписать как закон распределения плотности вероятности резонанса на частотах, близких к ^:

(f-fP ?

pf

e

2ai

здесь о f = Ді максfр /31 р — дисперсия величины f,

зависящая от А 1макс, которая, в свою очередь, будет определяться качеством обработки поверхности.

Таким образом, процесс формирования АЧХ описывается соотношением (4), в котором ^ р = 1 • p(l).

Закон нормального распределения имеет один максимум, а ширина кривой, описывающей распределение плотности вероятности (гауссова кривая), зависит от величины а. Поскольку величина s достаточно мала, то влияние данного фактора, связанного с неоднозначностью величины 1, на АЧХ будет проявляться в некотором расширении и сглаживании максимумов и минимумов характеристики S(t,f). Также можно предположить, что указанный фактор будет сильнее влиять на искажения АЧХ высокодобротных резонаторов (Q> 104), чем низкодобротных (Q ~ 102-104).

Закон распределения плотности вероятности для размеров резонатора в принципе может иметь не один, а несколько максимумов. Это приведет к тому, что главный максимум АЧХ резонатора, который, собственно, главным образом и характеризует резонансную кривую, будет расширяться или даже приобретать дополнительные максимумы, степень выраженности которых зависит от соответствующей функции распределения плотности вероятностей (т.е. от количества и степени выраженности ее мод).

Следовательно, если искусственным образом( например, обработкой) создать условия для формирования функции распределения с несколькими максимумами, то можно, соответственно, изменить и форму АЧХ резонатора.

Для одномерного резонатора стоячих волн этого можно достичь профилированием торцевой поверхности, причем разность высот профиля должна превышать средний размер шероховатости, определяемый классом чистоты обработки поверхности, и не превышать величины, которая может привести к возникновению в резонаторе нежелательных видов колебаний. Площадь поверхности, занимаемая тем или иным размером профиля, будет определяться степенью требуемого выделения того или иного максимума в АЧХ резонатора.

Наиболее часто используемые резонаторы стоячих волн представляют собой, как правило, полуволновые замкнутые отрезки прямоугольных или круглых волноводов. В таких резонансных системах значение резонансной частоты будет определяться в общем случае всеми размерами резонатора (для призматического резонатора: размером широкой стенки — а, узкой — b и длиной — 1; для цилиндрического: радиусом — R и длиной — 1). Процесс формирования АЧХ таких резонаторов может быть также представлен как формирование суперпозиции большого числа колебаний какого-то конкретного типа электромагнитной волны, возможной в прямо -угольном волноводе сечением axb или в круглом -радиуса R. В таком случае шероховатость рабочей

РИ, 2003, № 4

17

поверхности и неоднозначность линейного размера резонатора также будет приводить к размытию максимума резонансной характеристики, а профилирование соответствующих поверхностей — к изменению формы АЧХ.

Предложенные в работе подходы позволяют: более детально рассмотреть переходные процессы в резонаторах стоячих волн и связать их с формированием АЧХ, изучить характер изменения за время переходных процессов сигнала, проходящего через высокодобротный резонатор, разработать методы синтеза фильтрующих устройств на основе одиночных высокодобротных резонаторов с заданными АЧХ.

Существующие в настоящее время фильтры СВЧ создаются на основе принципов, изложенных в работах [7-9], и являются, как правило, многоэлементные и, соответственно, имеют все недостатки, упомянутые в начале статьи. Предложенный путь построения устройств с заданными АЧХ ведет к значительному упрощению их конструкции и улучшению основных характеристик по избирательности за счет сохранения высокой добротности на рабочих частотах.

Таким образом, проведенное в работе рассмотрение процесса формирования АЧХ в резонаторах стоячих волн позволяет выявить дополнительные возможно-

сти для анализа процесса установления колебаний в высокодобротных резонаторах и синтеза избирательных устройств с улучшенными характеристиками.

Литература: 1. Федоров И.Н. Основы электродинамики. М.: Высш. шк., 1980. 399с. 2. Менде Ф.Ф., Спицын А.И. Поверхностный импеданс сверхпроводников. К.: Наук. думка, 1985. 240с. 3. Альтман Дж. Устройства сверхвысоких частот. М.: Мир, 1968. 487с. 4. Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ. Т.1. М.: Высш. шк., 1970. 440с. 5. Барановский М.А., Молочков А.В. Справочник токаря. Минск: Госиздат БССР,1962. 492с. 6. Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений. М.: ГИФМЛ, 1962. 344с. 7. Модель А.М. Фильтры СВЧ в радиорелейных системах. М.: Связь, 1967. 352с. 8. Маттей Д.Л., Янг Л., Джонс Е.М. Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т.1. М.: Связь, 1971. 440с. 9. МаттейДЛ, Янг Л., Джонс Е.М. Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи. Т.2. М.: Связь, 1971.496с.

Поступила в редколлегию 24.02.2003

Рецензент: д-р техн. наук Менде Ф.Ф.

Бондаренко Игорь Николаевич, канд. техн. наук, доцент кафедры авиационных средств связи Харьковского института ВВС. Научные интересы: криогенная радиофизика, техника СВЧ, системы радиосвязи. Адрес: Украина, 61165, Харьков, ул. Клочковская, 228, каф. №306, тел. 30-82-16.

УДК 517.958:537.8

РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НЕЗАМКНУТЫМ КОНИЧЕСКИМ ОТРАЖАТЕЛЕМ

ДОРОШЕНКО В.А, СЕМЕНОВА ЕЖ.__________

Рассматривается задача дифракции плоской электромагнитной волны на конусе с периодическими продольными щелями. Описывается численное решение этой задачи и строятся диаграммы рассеяния в горизонтальной плоскости. Изучается влияние щелей на основные характеристики.

1. Введение

Неоднородные конические структуры применяются не только в антенной технике, но и в радиолокации. На их основе могут создаваться отражатели с определенными свойствами [1, 2]. Рассматриваемая коническая поверхность имеет неоднородности в виде продольных щелей и является моделью конического отражателя с управляемыми характеристиками в зависимости от угла раскрыва конуса, размеров щелей и их количества. Результаты теоретических исследований граничных электродинамических задач для соответствующих структур необходимы на стадии проектирования и разработки систем, которые содержат эти структуры в качестве элементов.

В работах [3, 4] предложен и развит подход для решения задач рассеяния поля сосредоточенного источника на конусе с продольными щелями, а в [5] найдено аналитическое решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны на конусе с продольными щелями в частных случаях большого числа щелей; конуса с узкими щелями и узких конических секторов (лент). На основе полученного асимптотического решения проведен качественный анализ спектра граничной задачи, структуры рассеянного поля и его поведения вблизи вершины конуса в этих предельных случаях.

Целью данной работы является численное решение задачи рассеяния поля плоской волны конусом с продольными щелями произвольных размеров и изучение их влияния на основные характеристики рассеяния.

2. Постановка задачи и метод решения

Плоская электромагнитная волна, поле которой изменяется по гармоническому закону e_irot, падает на незамкнутую коническую структуру (рис. 1) и распространяется вдоль ее оси. Рассматриваемая коническая структура представляет собой полубесконечный идеально проводящий круговой конус с периодически прорезанными вдоль образующих N щелями. Обозначим через 2у угол раскрыва конуса, d —угловую ширину щелей, l = 2л / N — период конической структуры. Поскольку конус является координатной поверхностью сферической системы

18

РИ, 2003, № 4