Об определении разложимой матрицы и ее нормальной формы

УДК 512.64

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 3

Г. М. Хитпров

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ РАЗЛОЖИМОИ МАТРИЦЫ И ЕЕ НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЫ

В наиболее популярных и фундаментальных монографиях по теории матриц - монографии Ф. Р. Гантмахера «Теория матриц» [1] и книге Р. Хорна и Ч. Джонсона «Матричный анализ» [2] - по-разному дано определение «разложимая матрица». Использование этих работ предполагает, что читатель, с одной стороны, должен остановиться на одном из определений, с другой - должен не потерять ничего полезного из той книги, определение из которой будет отвергнуто. С этой целью в статье приведены определения из [1, 2], выписанные в единообразных обозначениях, что должно облегчить читателю их сравнение, а также указано, какие изменения, по нашему мнению, необходимо внести в книгу, определение из которой отвергается, чтобы максимально сохранить приведенные в ней результаты. Кроме того, показано, что определение разложимой матрицы - грубое, оно недостаточно для характеристики нормальной формы разложимой матрицы. Потому наряду с уточнением понятия разложимой матрицы в статье вводятся понятия сильно- и слаборазложимой матриц и для каждой указывается своя нормальная форма. Поскольку определение слабой разложимости введено через определение сильной разложимости (т. е. последнее является доминирующим), то также приведен эффективный критерий выявления сильной разложимости.

Обозначения. Множество квадратных матриц порядка п будем обозначать через Мп, а множество прямоугольных матриц размерности т х п - через Мт,п.

Через А' будем обозначать матрицу, полученную из матрицы А с помощью операции транспонирования, т. е. соответствующую транспонированную матрицу.

Определение]. [2, с. 431]. Матрица А € Мп называется разложимой, если либо

(а) п = 1 и А = 0, либо

(б) п ^ 2 и существует матрица перестановки Р € Мп и некоторое целое число и, 1 ^ и ^ п — 1, такие, что

Здесь В е И е М„, С 6 М„)А(, 0 € Мц^ - нулевая матрица, ц + V = п.

О п р е д е л е н и е 1' [2, с. 432]. Неразложимой называется матрица А е Мп, не являющаяся разложимой.

О п р е д е л е н и е 2 [1, с. 352]. Матрица А € Мп называется разложимой, если при некотором разбиении индексов 1,2,..., п на две дополнительные системы (без общих индексов) &1,/с2,— > К Ы + и = п)> агаЬ = 0 (а = 1,2,...,//; /3 = 1,2,...,!/).

В противном случае матрицу А будем называть неразложимой.

Под перестановкой рядов в матрице А € Мп будем понимать соединение перестановки строк с такой же перестановкой столбцов матрицы А.

Определение разложимой и неразложимой матриц может быть сформулировано

так:

© Г. М. Хитров, 2006

Определение 2' [1, с. 352]. Матрица А € Мп называется разложимой, если перестановке)!! рядов она может быть приведена к виду

~ (В О \ С В

где В и В - квадратные матрицы. В противном случае матрица А называется неразложимой.

Пусть матрица А € Мп соответствует линейному оператору А в п-мерном векторном пространстве И с базисом ех, е2, ...,еп. Перестановке рядов в матрице А соответствует перенумерация базисных векторов, т. е. переход от базиса е1,е2,...,еп к новому базису е[ — ел, е'2 — еГ2,..., е'п — е]п, где •>3п) ~ некоторая перестановка индек-

сов 1,2,...,п. При этом матрица А переходит в подобную ей матрицу А — Т~1АТ

Под ¿/-мерным координатным подпространством в И мы будем понимать любое подпространство в И, с базисом е^, ..., е^ (1 ^ кх < к2 <  < ки ^ п). С каждым базисом б1, б2,..., еп пространства И связаны СЦ ¿/-мерных координатных подпространств.

Определение разложимой матрицы может быть еще дано в следующей форме:

О п р е д е л е н и е 2" [1, с. 352]. Матрица А & Мп называется разложимой в том и только в том случае, если соответствующий ей оператор А имеет ¿/-мерное инвариантное координатное подпространство с V < п.

Займемся сравнением и анализом определений 1,1', 2,2', 2". Нетрудно видеть, глядя на них, что определение 1 из [2] относит число 0 к разложимым матрицам, а из определений 2,2', 2" из [1] следует, что число 0 отнесено к неразложимым матрицам. Поскольку в [1] об этом прямо не говорится, процитируем начало раздела «§4. Нормальная форма разложимой матрицы» [1, с. 372-373]:

«Рассмотрим произвольную разложимую матрицу А € Мп. Перестановкой рядов ее можно представить в виде

В О

А~ \ С В где В и В - квадратные матрицы.

Если какая-то из матриц В и В разложима, то ее тоже можно также представить в виде, аналогичном предыдущему, после чего матрица А примет вид

/ ( К 0 0

А=[ н ь 0

К Р в м

Если какая-либо из матриц К, Ь, М разложима, то этот процесс можно продолжить. В результате надлежащей перестановкой рядов мы матрице А придадим треугольную блочную форму

( Ли 0 . . 0 \

А = А21 А22  . 0

\ Ав1 А3 2 А88 /

где диагональные блоки - квадратные неразложимые матрицы».

Чтобы пояснить смысл цитаты, рассмотрим матрицу второго порядка

А =

0 О

1 О

которая дальше неразложима, т. е. уже имеет искомый вид (2). Вдоль диагонали стоят нули, которые в соответствии с цитатой представляют собой «квадратные неразложимые матрицы». По нашему мнению определения 2, 2', 2", приведенная выше цитата и пояснения к ней позволяют однозначно сказать, что в книге [1] число 0 отнесено к неразложимым матрицам первого порядка.

С тем, что число 0 отнесено в [1] к неразложимым матрицам, можно было бы согласиться, если бы это было на протяжении всей книги. Однако в [1] приводится теорема Фробениуса, в которой говорится (см. [1, с. 355]: «Неразложимая неотрицательная матрица А € Мп всегда имеет положительное характеристическое число г, которое является простым корнем характеристического уравнения ...». Последнее утверждение, очевидно, неверно для числа 0, рассматриваемого в качестве неразложимой матри-1Ц>1 первого порядка. К сожалению, это не единственное место в [1], где отнесение числа О к неразложимым матрицам ведет к противоречиям. Поэтому при определении разложимой и неразложимой матриц предлагаем остановиться на определениях 1, 1' из [2]. Понятно, что если пользоваться ими, то в общем будут неверными процитированные утверждения из §4 книги [1].

Вернемся вновь к ним. Нетрудно видеть, что они будут верны, даже если пользоваться определениями 1 и 1' из [2], тогда и только тогда, когда у фигурирующей там неотрицательной матрицы А Е Мп все диагональные элементы положительные.

Если мы хотим иметь утверждение о нормальной форме разложимой матрицы для всех неотрицательных матриц и при этом пользоваться определениями 1 и 1' из [2], то будем вынуждены внести в соответствующий текст из книги [1] некоторые изменения. А именно, вместо неотрицательной матрицы А б Мп будем рассматривать неотрицательную матрицу А + Е е Мп (Е - единичная матрица), для которой, как было указано выше, соответствующее утверждение о нормальной форме разложимой матрице верно. Переход от матрицы А € Мп к матрице А + Е € Мп оправдан, так как при п ^ 2 эти матрицы одновременно или разложимы, или неразложимы.

Опираясь на вышесказанное, можно было бы постараться спасти определение нормальной формы, данное в [1] (см. [1, с. 373, формула (70)]) заменив его уточненным.

Опреде.лениеЗ. Если неотрицательная матрица А 6 Мп разложима, то существует такая матрица перестановки Р 6 Мп, что матрица Р'(А + Е)Р будет иметь

нормальную (в соответствии с [1]) форму

(

А = Р'(А)Р

\

Ах 0 0 0 . 0

0 Л2 . 0 0 . 0

0 0 . Ад 0 . 0

Ад+1,1 Ад+1,2 •  Ад+1>д Ад+1 - . 0

ав1 А8 2 Адд Ав,д+1 • А

/

(здесь А.1, А-2, —,А3 - неразложимые матрицы, а в каждом ряду Л/х,/,/—1 (/ = д + 1,..., в) по крайней мере одна из матриц не равна нулю) и при этом удовлетворять

определениям 1 и 1'. Тогда матрицу Р'АР можно было бы называть нормальной формой разложимой матрицы А. Данное определение 3 имело бы место уже для п ^ 1.

Определение 3, написанное в сослагательной форме, понадобилось нам, чтобы пояснить некоторые цитируемые утверждения из [1], находясь уже в рамках определений 1 и V .

Как будет показано ниже на примере, проще отказаться от определения 3 и ввести два новых определения нормальной формы, основываясь на разделении на два определения самого понятия разложимой матрицы.

Замечание 1. Переход в определении 3 от неотрицательной матрицы А Е Мп к матрице А + Е € Мп оправдан егце и потому, что он действительно используется при практическом создании алгоритмов построения нормальной формы разложимой матрицы (см., например, [3]).

Замечание 2. В определении 2" следует оговорить, что А 6 Мп, где п ^ 2.

Замечание 3. В цитированном §4 книги [1] говорится, что нормальная форма (3) определяется однозначно с точностью до перестановки блочных рядов. К этому утверждению там же делается примечание: «Не нарушая нормальной формы, можно произвольно переставлять между собой первые д блочных рядов. Кроме того, иногда возможны некоторые перестановки между последними в — д блочными рядами, сохраняющие нормальность формы».

К сказанному выше в замечании 3 следует добавить, что нормальная форма (3) не нарушится, если матрицу А подвергнуть преобразованию Р'АР при условии, что матрица Р берется из класса:

Р\ 0 . . 0 0 . 0

0 р2 . . 0 0 . 0

0 0 . • р9 0 . 0

0 0 . . 0 Рд+1 • . 0

0 0 . . 0 0 . р,

где Р\, , •  , Ря ~ произвольные матрицы перестановок таких же размерностей, как и матрицы А1, Ач-, -•, А8 соответственно.

Определен ие4. Если в (1) блок С = 0, то матрицу А будем называть сильноразложимой.

Определение 4'. Матрица А & Мп(п ^ 2) называется сильноразложимой, если с помощью перестановки рядов она может быть приведена к блочно-диагональному [2, с. 38] виду.

Очевидно, что если А симметрическая и разложимая, то она сильноразложимая.

По аналогии с 2" сформулируем следующее определение.

Определение 4". Матрица А € Мп называется сильноразложимой в том и только в том случае, если пространство Я раскладывается в прямую сумму [4, с. 309] нетривиальных инвариантных относительно оператора, соответствующего матрице А, координатных подпространств.

Утверждение 1. Пространство IX будет разлагаться в прямую сумму координатных инвариантных относительно оператора, соответствующего неотрицательной матрице А, подпространств тогда и только тогда, когда матрица А + А' разложима.

Другая формулировка этого утверждения - неотрицательная матрица А € Мп(п ^ 2) будет сильноразложимой тогда и только тогда, когда матрица А + А' разложима -делает доказательство утверждения очевидным.

Определен ие5. Если А - разложимая матрица и не является сильноразложимой, то ее будем называть слаборазложимой.

Утверждение 2. Если А € Мп (п ^ 2) слаборазложимая неотрицательная матрица, то А + А' - неразложимая матрица.

Доказательство. Предположим противное: пусть А - слаборазложимая и А+А' - разложимая матрицы, тогда А+А' - сильноразложимая. Из неотрицательности матрицы А и разложимости матрицы А+А' следует, что матрица А силыюразложимая. Противоречие с предположением, что А слаборазложимая. Следовательно, А + А! -неразложимая, что и требовалось доказать.

Пример. Рассмотрим матрицу

( 1 0 0 0 \

0 1 0 0

1 0 1 0

\ 0 1 0 ч

которая, как нетрудно видеть, имеет вид (3). С помощью перестановки второй и третьей строк и второго и третьего столбцов она приводится к виду

(1 0 0 0 \

1 1 0 0

0 0 1 0

^0 0 1 1)

Это означает, что матрица (4) сильноразложима. В матрице (5) вдоль диагонали стоят слаборазложимые матрицы-блоки второго порядка.

Приведенный пример показывает, что хотя матрица (4) и имеет вид (3), т. е. представляет из себя нормальную форму в соответствии с [1], но перестановкой рядов может быть приведена и к виду (5), т. е. тоже к некоторой нормальной форме. Чтобы избежать этой неоднозначности, предлагается рассматривать отдельно нормальные формы сильно- и слаборазложимых матриц.

Исследование неотрицательной матрицы А е Мп (п ^ 2) на разложимость следует начинать с проверки - является ли она сильноразложимой? Технически это достаточно простая задача, поскольку сводится к проверке на разложимость матрицы А + А', или, что то же самое, к проверке на разложимость матрицы А + А' + Е. Разница только в том, что блоки квазидиагональной матрицы, к которой приводится с помощью перестановки рядов матрица А + А' + Е, т. е. с помощью преобразования Р'(А + А' + Е)Р с некоторой матрицей перестановки Р, будут неразложимыми матрицами в смысле определений 1 и 1'. При этом матрица Р'АР с той же самой матрицей Р будет иметь блочно-диагональный вид, с диагональными квадратными матрицами-блоками, являющимися либо неразложимыми, либо слаборазложимыми (предлагается число 0, рассматриваемое в качестве матрицы первого порядка, отнести к слаборазложимым матрицам). Описанный блочно-диагональный вид сильноразложимой матрицы и можно назвать нормальной формой сильноразложимой матрицы. Сформулируем это определение в явном виде.

Определение 6. Если А € Мп(п ^ 2) - неотрицательная сильноразложимая матрица, то существует такая матрица перестановки Р, что матрица Р(А + А' + Е)Р' имеет блочно-диагональный вид с неразложимыми диагональными блоками. Матрицу PAP1 в этом случае будем называть нормальной формой силъноразложимой матрицы.

Остается дать определение нормальной формы слаборазложимой матрицы. В качестве такой формы предлагается назвать матрицу вида (3) с необходимыми уточнениями.

Определение 7. Преобразование матрицы А € Мп, задаваемое формулой (1), будем называть перестановочным преобразованием, а матрицы Л и Л в (1) -перестановочно подобными или Р-подобными [3].

Замечание При цитировании определения 1 из [2] вместо верхней блочно-треугольной [2, с. 39] матрицы (нулевой блок снизу) использована нижняя блочно-треугольная матрица (1) (нулевой блок сверху). Произведенное изменение не принципиально, поскольку переход от нижней блочно-треугольной матрицы А к верхней блочно-треугольной матрице QAQ задается перестановочным преобразованием с матрицей перестановки

( о

О

Q =

1 \

о

о

О )

Однако это изменение позволило использовать единообразные обозначения при цитировании из [1, 2].

Замечание 4 подчеркивает симметричность роли использования строк и столбцов при определении разложимой матрицы, которую мы и используем для определения нормальной формы слаборазложимой матрицы.

Определение 8. Нормальной формой слаборазложимой матрицы назовем

матрицу вида (

А —

А\ 0 0 0 0 0 . 0 \

0 A"i . 0 0 0 0 . 0

0 0  Л 0 0 0 . 0

Ад+1,1 Ag+1,2  Ag+1 0 0 . 0

Ah,i Ah, 2 • • Aht3 Ah,9+1 • Ah 0 . 0

Ah+i,i Ah+1,2 -  Ah+l,g Ah+i,g+i .  Ah+i,h Ah+1 . . 0

As, i As,2 As,g As,g+1  As,h 0 . л /

,

V

где Аг таковы, что + Е{ - неразложимые матрицы (А{,Е{ € М.^ Ei - единичная матрица), а каждая блочная строка, начиная с (д + 1)-й по в-ю, и каждый блочный столбец, начиная с первого и кончая /г-м, содержат ненулевой недиагональный блок. При этом в (6) д может равняться нулю, а Н равняться в — 1.

Замечание 5. Выпишем матрицу (6) в блочном укрупненном виде

А =

Vi 0 0 \

V21 0 ,

V31 ^32 J

где Vi и Уз - блочно-диагональные матрицы, а Vi - нижняя блочно-треугольная матрица. С помощью перестановки блочных рядов в матрице А матрицу V2 можно привести к виду (6), при этом матрица А по-прежнему будет иметь структуру (7). Этот процесс по возможности можно продолжить дальше.

Замечание 6. Определение 3 использовалось как вспомогательное. Основными определениями нормальной формы разложимой матрицы следует считать определения б и 8. Объединяя их, можно дать и общее определение нормальной формы разложимой матрицы.

Определение!}. Нормальной формой разложимой матрицы А будем называть: а) нормальную форму сильноразложимой матрицы, в которой диагональные блоки, являющиеся слаборазложимыми матрицами, имеют свою нормальную форму, если матрица А сильноразложима; б) нормальную форму (б), если матрица А слаборазложима.

Замечание 7. При решении вопросов, связанных с разложимостью и неразложимостью произвольных квадратных матриц, можно вместо изучаемых матриц рассматривать их индикаторные матрицы (см. [2, с. 427]), т. е. матрицы, полученные из исходных заменой всех ненулевых элементов единицами.

Замечание 7 лишний раз подчеркивает важность изучения (ОД)-матриц как самостоятельного объекта исследований.

Summary

Chitrov G. М. On the determination of decomposable matrix and its normal form.

The comparison of the definitions of decomposable and non-decomposable matrices given in "Matrix Theory" by F. Gantmakher and "Matrix analysis" by R. A. Horn and C. R. Johnson is conducted in the article Graph's diversity.

Литература

1. Гаптмахер Ф. P. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 576 с.

2. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ/ Пер. с англ.; Под ред. X. Д. Икрамова. М.: Мир, 1989. 655 с.

3. Беспалов А. А., Хитрое Г. М. Один алгоритм исследования матриц на разложимость и примитивность // Процессы управления и устойчивость: Труды XXXIV конференции аспирантов и студентов факультета IIM IIУ. СПб., 2003. С. 321-328.

4. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984. 416 с.

Статья поступила в редакцию 6 марта 2006 г.