Влияние испарения и диффузии поверхностно-активного вещества на неустойчивость стекающей пленки жидкости

Предложенная методика была использована при проведении испытаний корпуса на непробиваемость на разгонном стенде. Таким образом, разработанная методика расчета на прочность лопатки с ослабленным сечением является эффективной и ее можно использовать для проектирования (выбора схемы подрезки) любой другой аналогичной лопатки с целью проведения испытаний корпусов на непробиваемость.

Авторы признательны Д.В. Георгиевскому за советы и интересное обсуждение результатов работы. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-08-00332).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. BR715 clears last certification hurdle before 717 flight // Flight Int. 1998. № 4634. 12.

2. Moffat T, Nasr M. A design methodology for fan blade-off based on structural failure // Conf. ISABE. Montreal, Canada, 2009. 6.

3. Лепвшкин А.Р., Бычков Н.Г. Способ испытаний корпуса ротора лопаточных машин на непробиваемость и устройство для его реализации. Патент РФ № 2371692. Бюл. № 30. М., 2009.

4. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: Учеб. пособие. М.: Наука, 1986.

5. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматгиз, 2006.

Поступила в редакцию 13.02.2012

УДК 532.69

ВЛИЯНИЕ ИСПАРЕНИЯ И ДИФФУЗИИ ПОВЕРХНОСТНО-АКТИВНОГО ВЕЩЕСТВА НА НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТЕКАЮЩЕЙ ПЛЕНКИ ЖИДКОСТИ

С. В. Герасимов1, Е. И. Могилевский2, В. П. Шкадова3

В работе проведен анализ линейной устойчивости стекающей пленки раствора поверхностно-активного вещества на участке активного испарения. Вычислены фазовые скорости и коэффициенты усиления гидродинамической и диффузионной мод возмущений.

Ключевые слова: стекающая пленка, раствор поверхностно-активного вещества, гидродинамическая неустойчивость, эффект Марангони.

The linear stability of a flowing-down film of a surface-active solute in the region of active evaporation is analyzed. The phase velocities and the gain coefficients are calculated for the hydrodynamic and diffusion modes of disturbances.

Key words: flowing-down film, surface-active solute, hydrodynamic instability, Marangoni effect.

Пленочные технологии активно используются для организации процессов тепло- и массообмена. Течение формируется под действием гравитационных, капиллярных и вязких сил. Большое внимание исследователей привлекает течение однородной пленки под действием силы тяжести: изучены стационарное течение, гидродинамическая устойчивость в линейном приближении и режимы нелинейных волн [1]. В настоящей работе исследуется влияние растворенного поверхностно-активного вещества (ПАВ) на стекание и неустойчивость пленки. Это влияние выражается через зависимость поверхностного натяжения от концентрации ПАВ, а также через эффект Марангони — появление касательных напряжений при наличии градиента коэффициента поверхностного натяжения. Концентрация ПАВ изменяется за счет испарения со свободной поверхности. В [2] показано, что учет этих эффектов приводит к появлению целого семейства собственных значений в задаче об устойчивости, которые отсутствуют при изучении устойчивости

1 Герасимов Сергей Владимирович — асп. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: s.gerasimov@mail.ru.

Могилевский Евгений Ильич — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: euginemog@gmail.com.

1 Шкадова Валентина Петровна — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail: shkaad@imec.msu.su.

однородной пленки. В [3] установлено, что для одной из таких мод (она названа диффузионной) коэффициент усиления возмущения положителен не только для малых, но и для достаточно больших волновых чисел.

Общая модель течения пленки с ПАВ предложена в [4]. В этой работе учитывается, что ПАВ может находиться как в растворенном виде, так и в связанном в адсорбированном слое вблизи поверхности. Методом работы [5] получена система эволюционных уравнений, описывающих динамику пленки. Параметрическое исследование устойчивости стекающего раствора ПАВ на основе уравнений [5] и обобщенной задачи Орра-Зоммерфельда проведено в [6].

Целью настоящей работы является исследование гидродинамической устойчивости протяженной стекающей пленки с растворенным ПАВ, изучение эволюции растущей диффузионной моды возмущений на всем интервале активного испарения.

Пусть слой вязкой жидкости стекает по вертикальной стенке под действием силы тяжести. Жидкость представляет собой слабый раствор, содержащий летучее ПАВ. Распределение ПАВ в слое управляется процессами адсорбции-десорбции между жидким объемом и адсорбированным приповерхностным слоем, а также испарением с поверхности в граничную газовую среду. Пусть в декартовой системе координат Оху ось х направлена вниз, вдоль вертикальной твердой поверхности, а ось у — внутрь жидкости. Введем безразмерные переменные:

н

(х,у,к) = Нс(х1,у1,к1), t = т^t1,

(п,у) = и с (П1,У1), р — Ро + Ре^Р!,

и

рУ - Rv,cpv1,

Рв — Rs,cРs1,

где Ь — время; и, V — компоненты скорости; р, ро — давление в жидкости и газе; Н — толщина пленки; , рв — объемная в жидкости и поверхностная на поверхности пленки концентрации ПАВ; рс — плотность жидкости. Индексом с обозначены масштабные величины, индексом 1 — безразмерные величины.

Движение жидкости и распределение ПАВ описываются уравнениями Навье-Стокса, неразрывности и конвекции-диффузии (индекс 1 опущен):

ди ди ди др 1 / д2и д2и\ 1 сМ дх ду дх Ые \дх2 ду2) Ег'

ду ду ду др 1 / д2у д2у

ду Ые \дх2 ду2

<9£ ^ и дх ^ У ду

ди ду ^ дх ду '

др,

у - —

дЬ дх ду Ре

д2ру д2р,и

дх2 ду2

На твердой поверхности ставятся условия прилипания и непротекания для жидкости и условие отсутствия потока массы ПАВ:

у = 0 : и = 0, у = 0, ^ = 0.

ду

Кинематическое и динамические условия на свободной поверхности пленки у — Н(х,Ь):

Ь2 Ие

дН

дН

дЬ ^ и дх / дк \ 2 ди ду дк / ди ду \дх) дх ду дх \ду дх

/ дк \ 2 \ / ди ду\ дк ду \дх ) I \ду дх) дх ду

Ъ2 =

дх

+

а

_

Ъ3We дх2 Ие да

0,

^'е дх

0,

Массообмен ПАВ определяется процессами адсорбции-десорбции, испарения и диффузии:

2

Р

2

\idpv__dpv_ dh\ =к к

Ъ \ ду dx dx) а v S)

dps _ 1 д_

dt b dx

El (u + v—\ b \ dx J

1 д /1 dp.

b Pes dx \b dx

+

Ka - Bi

G

Kd

Pv -~Q Ps-

Предполагается линейная зависимость коэффициента поверхностного натяжения а от концентрации ПАВ в адсорбированном слое (pv) и объемной концентрации вблизи поверхности (pv,h):

1 WeMav, 1Л We Mas , 1Л

О" = 1---- {pv,h - 1)--- {ps - 1) •

Re

Задача содержит следующие безразмерные параметры:

Re =

UCHC

U2

Fr- c

Bi

Ke H

Dv

gHc'

Ka =

Mav = -

We =

KgyCHc Dv '

da Rv c

pUH

к

Re

Pe =

UcHc

Dv

Pes =

UcHc

Ds

Kd =

Kd,cHcRs,c

Dv R

G =

dpv,h pcvUc

Mas =

v± bv,c

da Rs

Rs,cUc Rv,cDv

dps pcVUc

В этих определениях использованы следующие величины: Нс — характерная толщина пленки; ис = (gH2)/(3v); V — кинематический коэффициент вязкости; д — ускорение свободного падения; Хс — характерное значение поверхностного натяжения; , — коэффициенты диффузии растворенного и адсорбированного ПАВ; Ке, Ка,с, К^,с — константы скоростей испарения, адсорбции и десорбции; Яь,с — характерное значение объемной концентрации ПАВ; Я3,с = >с(Ка>с — Ке,с)/К^,с. Такой выбор масштабных величин приводит к соотношениям

Рг = 1 Ие, Кл = Ка- В1.

Указанная постановка задача приведена в [3, 5].

При больших значениях числа Ре гидродинамическая задача отделяется от диффузионной, поле скоростей не зависит от концентрации ПАВ и описывается решением

и(х,у) = и(у) = 3 [у - yj .

Стационарное распределение ПАВ pv = Rv определяется уравнением

dRv d2 Rv

U

dx\ dy

2

с граничными условиями

n dR" n У = 0 : -7— = 0;

dy BR

У = 1: = KdR8 - KaRv,

dy

G dR

P^Ud^ = {Ka~B[)Rv~KdRs'

Здесь хг = —.

Ре

Если неравновесность кинетики адсорбции-десорбции незначительна (С/ Ре ^ 1), граничные условия на свободной поверхности упрощаются:

У = 1 : Rs = Rv,

dRv dy

-Bi Rv.

V

Рис. 1. Профили концентрации ПАВ: кривые 1 -8 соответствуют значениям х! = 0,001; 0,01; 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1

Ял

0,5

0

1 3 \ \ 2

0,5

0

0,5

0

' I

Рис. 2. Зависимость концентрации адсорбированного слоя 1, интегральной концентрации ПАВ 2 и толщины пограничного слоя 3 от продольной координаты

у = 0 : V = 0, V = 0, р'у = 0; а2

В случае равновесной адсорбции-десорбции распределение Яу(х!,у) описывается уравнением параболического типа (5) с граничными условиями второго рода (6). Эта задача решалась с помощью конечно-разностной аппроксимации методом прогонки.

На рис. 1 показаны профили концентрации при разных значениях х\. На рис. 2 представлена зависимость поверхностной концентрации ПАВ, интегральной концентрации и толщины диффузионного пограничного слоя от х1. Интегральная концентрация Яг — количество ПАВ на единицу длины твердой поверхности — определяется соотношением

1

/О

Яг, <1у + — Я3.

о

Толщиной диффузионного пограничного слоя 5 называется длина отрезка, на котором |1 — Яу | < 10_3. Пограничный слой прорастает на всю толщину пленки при х! = 0,041. Раствор практически полностью обедняется (Яг < 10_3) при х! = Х1 = 2,6.

Исследуем гидродинамическую устойчивость течения на отрезке 0 < х ^ Х1 в приближении локальной плоскопарал-лельности. Будем фиксировать значение переменной х и рассматривать эту переменную лишь как параметр. Также будем фиксировать профиль концентрации Я(у) при данном значении х.

Для анализа устойчивости стационарного течения в линейном приближении воспользуемся методом нормальных мод. Представим решение в виде

и = и (у)+и, V = V, р = р, Н = 1+ Н,

ру = Яу (у) + ру, рв = Яв + рв.

При этом / = /(у)ехр(га(х — сЬ)), а — волновое число, с = сг + гсг — комплексная скорость, сг — фазовая скорость, асг — коэффициент усиления возмущения.

После подстановки решения в указанном виде в уравнения (1)-(4) получим задачу на собственные значения [2]:

V"" — 2а2 V" + = га Ие [(и — с)^" — а2v) — и "и] , рУ — [а2 + га Ре(и — с) ру = Ре Я'уV;

га3 Ие Е

у = 1 : V1" - [За + га Ие(и - с)] V + ттгттт-г V = 0,

We

и" + — (Ма, +Е3К^)Я3и' + Е1

2 гаЕ3

а + 77

ис

га

ис

К _\ и"

(д; + к) <р -1

V — о?Е3 Ре У ЯУ ри йу = 0.

В уравнениях (7) и граничных условиях (8) приняты обозначения:

Ие

а К

Е1 = га{1Т+ — + Е2 =

Ие

га(и — с) +

а

+

КЛ В1

С '

В условиях

Так как Ре ^ 1, то уравнение (9) является жестким; для его интегрирования выполнялась замена переменной у = (1 — ехр(—п/к))/(1 — ехр(—1/к)) и использовались конечно-разностная аппроксимация и метод прогонки. Для интегрирования уравнения Орра-Зоммерфельда применялся метод Рунге-Кутты 4-го порядка.

Задачи на собственные значения (7)-(9) для фиксированного значения а включают определение числа с и функций г>(у), ф(у) и ру (у). Для получения характеристического уравнения ¥ (с, а) = 0 используется метод дифференциальной прогонки.

Известно [4], что задача (7)-(9) имеет несколько собственных чисел с положительной мнимой частью, соответствующих неустойчивым возмущениям. Одно из собственных чисел близко к решению задачи об устойчивости пленки однородной жидкости. Такая мода возмущений в [3] названа гидродинамической. Для других собственных чисел с мало отличается от V(1) = 1,5, и возмущения движутся практически вместе с частицами жидкости на поверхности. Такие моды названы диффузионными. Среди диффузионных мод есть такая, коэффициент усиления асг которой растет с увеличением а, что принципиально отличается от классической картины гидродинамической неустойчивости пленки [5].

Расчеты проводились для следующего набора значений безразмерных параметров: Ие = 32; Pe = 106; We = 0,077; Б1 = 10; С = 2000; Ре5 = 2 • 105; Ма5 = 0; Мау = —10.

Для гидродинамической моды значения с с точностью до 10_2 совпадают с собственными значениями решения задачи об устойчивости однородной пленки, и влияние ПАВ выражается только через изменение коэффициента поверхностного натяжения. В таблице указаны значения собственных чисел для некоторых значений параметров.

На рис. 3 кривой 1 показана граница области в плоскости (а,Х\), где коэффициент усиления положителен. Неустойчивым возмущениям отвечают точки выше кривой. Видно, что область неустойчивости при увеличении Х1 смещается в область коротких волн, при этом коэффициент усиления быстро падает. Кривая 2 иллюстрирует зависимость коэффициента усиления асг от Х1 при а =1. На рис. 4 представлены зависимости мнимой части собственного числа сг от а при Х1 =0,001; 0,1; 1.

Таким образом, показано, что при фиксированных физических параметрах задачи в разных точках стекающей пленки наблюдаются существенно различные характеристики линейной устойчивости, что обусловлено в первую очередь развитием диффузионного пограничного слоя и общим обеднением смеси. Неустойчивость, связанная с возмущениями концентрации ПАВ, не является длинноволновой и носит взрывной характер: коэффициент усиления не убывает с ростом волнового числа. Фазовые скорости таких возмущений мало отличаются от скорости жидкости вблизи свободной поверхности. Такая неустойчивость приводит к формированию

;

V2 1 У

0 0,6 Рис. 3. Характеристики неустойчивости стационарного течения пленки: 1 — граница области неустойчивости (т = а); 2 — зависимость коэффициента усиления (т = ас^) от продольной коор-

динаты

1___

- 2

0 1 а

Рис. 4. Зависимость мнимой части собственного числа с от волнового числа а: кривые 1 -3 соответствуют значениям Х1 = 0,001; 0,1; 1

Собственные значения краевой задачи

Х\ а Гидродинамическая мода Диффузионная мода

0,001 0,25 с = 2,10 + ¿0,132 с= 1,557 + г 0,050

0,001 0,5 С-1 < 0 (устойчива) с= 1,497 + г 0,1374

0.001 1 С-1 < 0 (устойчива) с= 1,478 + ¿0,1838

0,1 0,25 с = 2,147 + ¿0,1297 с= 1,486 + г 0,00779

0,1 0,5 С-1 < 0 (устойчива) с= 1,490 + ¿0,01984

0,1 1 С-1 < 0 (устойчива) с= 1,4880 + г 0,06245

1 0,25 с = 2,094+ ¿0,1566 Сг < 0

1 0,5 С-1 < 0

1 1 С-1 < 0 (устойчива) с= 1,4918 + г 0,001111

38

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2013. №2

на поверхности структур, неподвижных относительно слоя жидкости. Этот процесс носит существенно нелинейный характер. Ограничение коэффициента усиления при больших волновых числах может происходить также за счет неравновесной адсорбции-десорбции в приповерхностном слое.

Большое количество учитываемых эффектов и параметров, определяющих поведение рассматриваемой системы, не позволяет провести сравнение с экспериментальными данными. Тем не менее результаты работы качественно согласуются с экспериментальными наблюдениями [7, 8], где формировались поверхностные волны в неподвижных пленках с испарением ПАВ.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 12-01-00405).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шкадов В.Я., Демехин Е.А. Волновые движения пленок жидкости на вертикальной поверхности (теория для истолкования экспериментов) // Успехи механики. 2006. 4. 3-65.

2. Ji W., Setterwall F. On istabilities of vertical falling liquid films in the presence of surface-active solute //J. Fluid Mech. 1994. 278. 297-323.

3. Карпилова О.И., Сисоев Г.М., Шкадов В.Я. К задаче о неустойчивости стекающей пленки вязкой жидкости с растворенным поверхностно-активным веществом // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2001. № 6. 31-41.

4. Веларде М.Г., Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Влияние поверхностно-активного вещества на неустойчивость стекающей пленки жидкости // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2000. № 4. 56-67.

5. Шкадов В.Я. Волновые режимы течения тонкого слоя вязкой жидкости под действием силы тяжести // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. 1967. № 1. 43-51.

6. Веларде М.Г., Шкадов В.Я., Шкадова В.П. Устойчивость стекающей пленки жидкости с неравновесным адсорбированным подслоем растворимого поверхностно-активного вещества // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2003. № 5. 20-35.

7. Hennenberg M., Chu X.-L, Velarde M.G., Sanfeld A. Transverse and longitudinal waves at the air-liquid interface in presence of an adsorption barrier //J. Colloid Interf. Sci. 1992. 150. 7-21.

8. Shkadov V. Ya, Velarde M.G, Shkadova V.P. Falling films and the Marangoni effect // Phys. Rev. E. 2004. 69. 056310. 1-15.

Поступила в редакцию 14.05.2012