Оптимизация структуры, повышение точности и моделирование характеристик двухканальных цифровых формирователей сигнала и измерителей импеданса

УДК 621.317.7

А.А. Львов, В.А. Пыльский

ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУРЫ, ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ И МОДЕЛИРОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК

ДВУХКАНАЛЬНЫХ ЦИФРОВЫХ ФОРМИРОВАТЕЛЕЙ СИГНАЛА И ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ИМПЕДАНСА

Рассматриваются методы аппаратной и алгоритмической оптимизации двухканальных формирователей сигнала параметрических датчиков и измерителей импеданса, нацеленные на повышение точности данных устройств. Приведено описание двухканальной измерительной структуры. Разработаны система параметров обрабатываемых сигналов и оптимальные процедуры их оценки, определяемые спецификой задачи. Изложены особенности и результаты моделирования характеристик оптимизированных измерительных устройств.

Измеритель импеданса, формирователь сигнала, планирование эксперимента.

A.A. L’vov, V.A. Pylsky

STRUCTURE OPTIMIZATION, ACCURACY INCREASING AND CHARACTERISTICS MODELING OF THE TWO-CHANNEL DIGITAL SIGNAL CONDITIONERS AND IMPEDANCE METERS

The article describes the methods of hardware and algorithmic optimization of two-channel signal conditioners for modulating transducers and impedance meters. The aim of them is the accuracy increasing of named measuring devices. The description of two-channel measuring structure is given. Processed signals parameters aggregate and optimal procedures of their estimation are developed especially for the considered tasks. Specificity and results of modeling of optimized measuring devices are mentioned.

Impedance meters, signal conditioner, experiment planning.

Формирование сигнала параметрических датчиков - задача, требующая решения для широкого класса измерительных и управляющих систем, построенных по принципу обратной связи. Ввиду разнообразия процессов, протекающих в современных технических системах, и увеличения объемов информации, обрабатываемой в них, усиливается потребность создания универсальных, гибких и высокоточных формирователей сигнала, оптимальных как по структуре, так и по точности производимых измерений. Задача включает в себя два аспекта - возбуждение (питание) параметрического датчика и преобразование изменения его рабочего параметра в форму, пригодную для обработки. Эти же аспекты характерны для задачи измерения импеданса элементов электрических цепей. Обеспечить указанные требования к устройствам такого класса позволяет метод, основанный на применении двухканальной измерительной структуры в совокупности со

специализированными оптимальными алгоритмами обработки цифровой измерительной информации.

Под термином «двухканальный формирователь сигнала параметрических датчиков» (а также «двухканальный измеритель импеданса») подразумевается

измерительная схема, основанная на методе сравнения сигналов, полученных по двум каналам - измерительному (sensitive) и опорному (reference). Измерительный канал формирует сигнал, полученный с подключенного к нему датчика или элемента, импеданс которого нужно определить; опорный канал - с подключенного к нему опорного элемента, характеризующегося определенным опорным импедансом. Обобщенная структура подобного устройства приведена на рисунке. Измерительных каналов может быть несколько, в соответствии с количеством включенных в цепь возбуждения исследуемых элементов.

Интерфейс у нрав.! єни я

Источник

возбуждения

Исследуемый

злемент

Опорный

элемент

Измеритель- к.

ный каши г Цифровое

устройство обработки и сравнения

Опорный

кати W-

Структура двухканального цифрового формирователя - измерителя импеданса

Авторами настоящей статьи разработаны методы обработки сигналов и структура устройства, построенного по двухканальному принципу и призванного заменить широко распространенные, но не свободные от существенных недостатков (нелинейность статической характеристики, влияние импеданса соединительных проводников и помех, наводимых в них и т.д. [1, 2]) мостовые схемы. Совокупность указанных методов и структуры получила название «токовая петля» ([2, 3]) и может быть применена в решении задач формирования сигнала пассивных датчиков и измерения импеданса.

Ряд зарубежных источников освещают разработки, базирующиеся на принципе, аналогичном описанному выше принципу двухканальности [7-9]. Однако в той или иной степени описанные разработки не являются оптимальными как с точки зрения структуры и полноты класса решаемых задач (а следовательно, универсальности), так и с точки зрения возможностей по достижению максимального уровня точности, предоставляемого двухканальной измерительной структурой. К примеру, разработка Карла Андерсона (Karl F. Anderson) [7] не предполагает работы с элементами с реактивным (а также смешанным, активно-реактивным) импедансом. Примененная же авторами публикации [8] схема возбуждения (питания) исследуемого элемента использует неоптимальный подход к выбору характера возбуждающего сигнала (как показано в [2], применение источника тока вместо источника напряжения более полно решает проблемы, характерные для мостовых схем и связанные с наличием соединительных проводников).

Более того, указанные разработки не предлагают вниманию исследователя методов цифровой обработки сигналов, которые все более актуальны ввиду предоставляемых потенциальных возможностей по увеличению точности производимых измерений и которые приобретают явную специфику в рамках подобных двухканальных измерительных устройств. С этой точки зрения наиболее проработана и близка к оптимальной разработка [9], включающая описание подобных методов. Однако и она по ряду параметров уступает вышеупомянутой «токовой петле».

Основной недостаток аппаратной структуры разработки, описанной в [9] -применение в цепи возбуждения исследуемого и опорного элементов источника

напряжения. Это обусловливает сохранение у рассматриваемого подхода недостатков, свойственных мостовым схемам - влияние импеданса соединительных проводников на результат измерения (что негативно проявляется как в задачах дистанционного сбора информации с датчиков, находящихся в сложных технологических условиях, так и в задачах прецизионного измерения импеданса), а также подмешивание к входному сигналу помех, наводимых в этих проводниках. Первая проблема частично решается посредством указанной авторами и широко распространенной четырехпроводной схемы подключения измеряемого элемента, однако в данном случае это требует применения высококачественного измерительного усилителя с большим входным сопротивлением для обработки полученного сигнала и удвоенного объема проводников, что удорожает конструкцию, но не приводит к решению второй проблемы. В работах, посвященных «токовой петле» ([2, 3]), показано, что применение источника тока вместо источника напряжения позволяет наиболее полно нивелировать эти недостатки.

Нерациональным представляется использование (особенно в портативном варианте устройства) в качестве задатчика синусоидального питающего напряжения специализированной цифровой микросхемы с 10-разрядным ЦАП на выходе, тогда как в распоряжении разработчиков имеется мощный сигнальный процессор (DSP), способный генерировать синусоидальный сигнал с разрешением вплоть до 16 разрядов на фоне основных вычислительных процессов оптимальной обработки сигналов.

Дальнейшие выкладки касаются повышения точности измерений путем оптимизации алгоритмов обработки сигналов двухканального измерителя. В первую очередь следует отметить примененную авторами [9] и, как будет показано ниже, неудачную в нескольких отношениях квадратурную запись сигналов u(t), получаемых в измерительном и опорном каналах:

u

где a, в - синфазная и квадратурная составляющие выходного гармонического сигнала;

Y - постоянная составляющая сигнала; f - частота возбуждающего генератора; t - время. В предположении, что получаемые в обоих каналах дискретные отсчеты напряжения u(ti) измеряются с малой погрешностью Xi, распределенной по нормальному закону, параметры

a, в и у после представления (1) в матричной форме оцениваются с помощью алгоритма, подобного методу наименьших квадратов (МНК). В [4] показано, что такая оценка соответствует оценке максимального правдоподобия и является несмещенной, состоятельной и асимптотически эффективной.

Далее делается предположение о том, что малые вариации частоты питающего измерительный контур генератора Af также могут быть оценены в рамках подобного же алгоритма, и после расширения вектора оцениваемых переменных компонентой Af и введения некоторых дополнительных обозначений предложена итерационная процедура оценивания параметров a, в и y и поправки частоты Af. Предложенную процедуру нельзя считать оптимальной, так как:

1) запись обрабатываемых сигналов в виде (1) после формального применения МНК для оценки расширенного за счет Af вектора параметров привела к зависимости матрицы плана эксперимента от значений оцениваемых параметров, полученных на предыдущей итерации; таким образом, полученная оценка теряет свойства состоятельности и эффективности, так как не является оценкой максимального правдоподобия;

2) из записи (1) не очевидно, что оцениваемые параметры a, в и Af связаны друг с другом соотношениями, ограничивающими области их возможных значений; поиск оценки параметров в таком случае должен производиться с учетом данных ограничений ([4, 5, 6]).

В [2, 3] приводится оптимальное решение данной задачи. В частности, предлагается воспользоваться следующим выражением для записи получаемых в измерительном и опорном каналах дискретных отсчетов сигналов:

ui=u

где A - амплитуда исследуемого сигнала; ш0 - круговая частота, задаваемая генератором;

V -частотная модуляционная составляющая, обусловленная нестабильностью генератора; ф - фаза сигнала; B - паразитная постоянная составляющая сигнала; X - шумы измерений, распределенные по закону Гаусса с неизвестной дисперсией; N - количество измерений в выборке.

Нетрудно убедиться, что выражения (1) и (2) эквивалентны, а их параметры однозначно связаны друг с другом следующими соотношениями:

A = yja2 +р2, ф = arctg

Проведя несложные тригонометрические преобразования и сделав замену

переменных [4], можно линеаризовать систему (2) и представить ее в следующем матричном виде:

U = XQ + Л ,

где

и = [ui,...,un]T, Q = [i,...,q5]T, Л = [Xi,...,Xn]T, X =

хп X21 X31 X41 X51

X = 5

_X1N X2N X3N X4N X5N _

= Av sin ф, q5 = B;

X4i = = -ti sin 0ti, X5i = 1

1? 0 і ’ 2і 0 і ’ Зі і

Вектор О представляет собой вектор новых оцениваемых переменных линейной системы (4). Однако из (5) видно, что его компоненты связаны друг с другом следующим соотношением:

<М4 - Ч2Ч3 = о .

Решение задачи поиска оценки О в классе оценок максимального правдоподобия описано в [2], [3] и представлено итерационным алгоритмом следующего вида:

^й-1^----------------( т х ) т 1, к = 1^-1,

Qk = Qk-і-

где к - номер итерации; К - общее число итераций; С - матрица квадратичной формы линеаризованного ограничения (6):

'0 0 0 1 0'

G =

0 0 -10 0 0 -10 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

Получив по алгоритму (7) состоятельную и эффективную [5] оценку вектора Q, оценку параметров функции (2) легко получить, подставляя его компоненты в следующие выражения [4]:

A = Vq2 + q2 , V =

*2 , *2 0, q3 > 0, q4 > 0 f ~ \

q3 + q4 ~2 ~2 ф = - 0 + n, q3 < 0 , 0 = arctg q4

q1 + q2 0 + 2n, q3 > 0, q4 < 0 1 q3 J

B = q5.

Таким образом, найденные оценки параметров позволяют учесть влияние факторов, способных породить неточность в проводимых измерениях - постоянных смещений и шумов аналоговых элементов устройства, а также нестабильности частоты питающего контур генератора. Однако тот факт, что оба канала - измерительный и опорный - имеют своим источником сигналы, полученные от соответствующих элементов, включенных в питаемый одним генератором контур, предоставляет дополнительную возможность по оптимизации производимой обработки сигналов. Она заключается в совместном оценивании нестабильности частоты по результатам измерений, полученным в обоих каналах.

Введем в рассмотрение систему 2N уравнений, аналогичных (2) и описывающих результаты произведенных в обоих каналах измерений:

uf = ASsin [К + v)t + ]+5f + Af,

uR = ARsin [К + v)t + фя ]+BR + XR, i = 1, N,

где верхние индексы S и R соответствуют параметрам сигналов измерительного (sensitive) и опорного (reference) каналов.

По аналогии со случаем одноканального оценивания, (10) можно преобразовать к следующему виду:

uf = AS sin (co0t¿) cos ^S)+AS vti cos (o 0ti) cos ^S) + AS cos (со 0ti) sin (фй) -

- AS vtisin(o0ti )sin ^S) + BS +Xf, uR = AR sin (o 0ti) cos ^R)+ARvtt cos (o 0ti) cos (фR)+AR cos (o 0ti) sin ^R) -

-AR v^sin (o0ti )sin(фR)+BR + XR.

После введения следующих обозначений:

Ч1 = AS cosф Чб = AR cos ф \i = sin ©0^

Ч2 = AS sin ф Ч7 = AR sin ф X2i = COs ©0^

Чз = AS vcosф • Ч8 = AR v cos ф X3i = t Cos ©0^

Ч4 = AS v sin ф q9 = ARv sin ф X4i =-ti sin ©0^

Яъ = BS Ґ 1 О = B R X5i = 1

VS _ VR ji ji

= X,

i = 1,...,N

-]г, J =

система (11) линеаризуется относительно параметров ц1, ..., ц10 и может быть представлена в матричном виде (4), где:

Q = [[l,...,Чю]T, U = [<,..^

,ui ¡ uR,

..., uN

]T, л = [xf,...,к \ xR,...,xr]

X =

"XS ¡0 ' 0 1XR , XS = XR = " X11 X21 X31 X41 X51 "

1— —1 N1 >X X2 N X3N X4 N 5X N

£ ^ и и и

Таким образом, вместо семи исходных переменных (А , в , ф , А , в , ф , V) предстоит оценить десять (чь ..., ч10). Соответственно, систему (4), (13) необходимо дополнить тремя уравнениями связи, которые могут быть выбраны по (12) следующим образом:

Чз + 44 _ Ч8 + Чэ

Ч1Ч4 = Ч2Ч3, Чб Ч9 = Ч7 Ч^

Чі + Ч2 Чб + Ч7

Ч1Ч4 - Ч2Ч3 _ 0,

<4б4э - Ч7Ч8 _ °

ЧзЧб + Ч3Ч7 + 44Чб + Ч4Ч7 - Ч1Ч8 - Ч1Ч9 - Ч2Ч8 - Ч2Ч9 _ 0.

Выражения (14) задают нелинейные ограничения на области значений оцениваемых параметров чг. Задача оценивания в этом случае может быть решена путем их линеаризации относительно величин Ачг, определяемых выражением:

Чг _ Ч + АЧг

T

и представляющих собой ошибки оценивания искомых параметров. С этой целью введем в рассмотрение систему уравнений относительно Л^-:

й = [..., ЯшГ, Л ...,Л^юГ ^ й = й+Л;

и = хй+л = х

ли = ХЛ2 + л, где ли = и - хй

Основываясь на предположении, что компоненты матрицы ошибок измерения Л, обусловливающие отличие оценок параметров от их истинных значений, малы, можно утверждать, что величины Лqj также малы: |Ляг|<<|яг|. Тогда, подставляя (15) в (14) и пренебрегая всеми величинами второго и более порядков, ограничения (14) можно привести к линейному виду относительно параметров Ля{.

Я1Я4 + Ч1ЛЧ4 + Я4ЛЯ1 — — Л<1з — <1зЛ<12 = 0,

Я6 + Я6 ЛЯ9 + Я9 ЛЯ6 — — ЛЯ8 — Ч%ЛЧ1 = 0, (

ЧзЧб + ЧзЛЧ6 + Ч6ЛЧз + Я3Я7 + ЧзЛЧп + Я7 ЛЯ3 + Я4 Я6 + Я4 Ля6 + Ч6ЛЧ4 + Я4 Я7 + Я4 ЛЯ7 + Я7 ЛЯ4 —

— Я1Я8 — Я1ЛЯ8 — Я8ЛЯ1 — Я1Я9 — Ч1ЛЧ9 — Я9 ЛЯ1 — Я2Я8 — Я2 ЛЯ8 — Ч%ЛЧ2 — Я2 Я9 — Ч2ЛЧ9 — Ч9ЛЧ2 = 0,

17)

или в матричном виде:

ОАО _ Б,

где матрицы О и Б определяются из (17) с учетом (14):

С _

44

Чз

42

Ч1

0

0

0

0

0

0

0 0 0 0 0 Ч9 - Ч8 - Ч7 Чб 0

- Ч8 - Ч9 - Ч8 - Ч9 Чб + Ч7 Чб + Ч7 0 Ч3 + Ч4 <Ч3 + Ч4 - Ч1 - Ч2 - Ч1 - Ч2 0

Б _ 0.

’

Из (16) и (19) видно, что

Ли = Ли

Решение поставленной задачи получения оценки максимального правдоподобия для вектора ошибок оценивания параметров Лр с учетом линейных ограничений (18) может быть получено в форме итерационного алгоритма методом множителей Лагранжа [6] и при Б = 0 принимает следующий вид:

т _А&_1 -(тх)смк-1 (хтхУ'сІ1

-1

ак-1Аік-1, к _ 1,* -1

где к - номер итерации; К - общее число итераций, и использованы следующие обозначения:

А1!к _Аи

Матрица Ак вычисляется по (19) с подстановкой компонент уточняемого на каждом шаге вектора оцениваемых переменных:

£к _ £к-1+ Ак-1.

Нулевое приближение оценки вектора поправок А()0 вычисляется по МНК следующим образом:

Аь _

Значения матриц Аи0 и О0 вычисляются по (22) с применением (1б) и (19) после подстановки в них компонент нулевого приближения оценки вектора параметров (?0. Последнее может быть получено по МНК для системы (4), (13) без учета ограничений

(14):

ft =

Применяемая система параметров (3) обрабатываемых сигналов (2) двухканальных измерительных устройств делится на две характерные группы:

1) параметры, характеризующие измеряемый и опорный элементы - амплитуда A и фаза ф сигнала в соответствующих каналах;

2) параметры, характеризующие погрешности работы элементов аппаратной части устройства - постоянное смещение сигнала B и вариации частоты v.

Оценки параметров первой группы определяются характеристиками включенных в контур элементов и помехами измерения. Оценки параметров второй группы несут иное содержание, так как определяются характеристиками узлов и элементов измерительного устройства. Следовательно, спланированные эксперименты по оценке параметров второй группы предоставляет исследователю аппарат калибровки и аттестации средства измерения, а также моделирования его характеристик.

В соответствии с этим положением работа алгоритма двухканальной оценки параметров (21), (24), (25) была промоделирована в системе Matlab в сравнении с алгоритмом из [9]. В качестве исследуемой характеристики выступала точность оценивания алгоритмом нестабильности частоты, искусственно введенной в программно синтезируемый входной гармонический сигнал. Точность оценивания нестабильности частоты, лежащей в коридоре ±0,1% для сигнала частотой 1000 Гц, составила для алгоритма (21) 0,016% уже после второй итерации, тогда как алгоритм [9] показал подобную точность после четвертой. Последующие итерации алгоритма (21) сохраняли точность на установившемся уровне, тогда как точность оценок по [9] характеризовалась наличием разброса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аш Ж. Датчики измерительных систем: в 2 т. / Ж. Аш; пер. с франц. М.: Мир, 1992. Т. 1. 480 с.; Т. 2. 424 с.

2. Львов А.А. Линейная петлевая схема точной обработки сигналов датчиков / А.А. Львов, В.А. Пыльский // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2004. № 2. С. 102-112.

3. L’vov A.A. Optimal Digital Signal Processing for Current Loop Circuit / A.A. L’vov, V.A. Pylskiy // Proceedings of the 25th IEEE Conference of Precision Electromagnetic Measurements CPEM-2006. Turin, Italy, 2006. P. 386-387.

4. Львов А. А. Основы статистической обработки измерительной информации в задачах автоматического управления: учеб. пособие / А.А. Львов. Саратов: СГТУ, 2005.

84 с.

5. Репин В.Г. Статистический синтез в условиях априорной неопределенности и адаптация информационных систем / В. Г. Репин, Г. П. Тартаковский. М.: Сов. радио, 1977. 242 с.

6. Вучков И.Н. Прикладной линейный регрессионный анализ / И.Н. Вучков, Л.Н. Бояджиева, Е.Б. Солаков. М.: Финансы и статистика, 1987. 239 с.

7. Anderson K.F. Your Successor to the Wheatstone Brige? NASA’s Anderson Loop / K.F. Anderson // IEEE Instrumentation and Measurement. 1998. Vol. 1, № 1. P. 5-15.

8. Preethichandra D.M. A Simple Interface Circuit to Measure Very Small Capacitance Changes in Capacitive Sensors / D.M. Preethichandra, K. Shida // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2001. Vol. 50, № 6. P. 1583-1586.

9. Radil T. Impedance Measurement With Sine-Fitting Algorithms Implemented in a DSP Portable Device / T. Radil, P.M. Ramos, A.C. Serra // IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. 2008. Vol. 57, № 1. P. 197-204.

Львов Алексей Арленович - L’vov Aleksey Arlenovich -

доктор технических наук, профессор кафедры Doctor of Technical Sciences, Professor

« Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

Пыльский Виктор Александрович -

аспирант кафедры

«Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного технического университета

of the Department of «Technical cybernetics and information science» of Saratov State Technical University

Pylsky Victor Aleksandrovich -

Graduate Student

of the Department of «Technical cybernetics and information science» of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 30.06.08, принята к опубликованию 05.09.08