Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета тонких изгибаемых плит на динамические нагрузки

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ

СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 691-41:517.962+624.042.8

Р.Ф. Габбасов, Хоанг Туан Ань, М.А. Шикунов

ФГБОУВПО «МГСУ»

ОБОБЩЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА ТОНКИХ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛИТ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ

Разработан численный алгоритм динамического расчета изгибаемых тонких пластин, основанный на обобщенных уравнениях метода конечных разностей. На базе разработанного алгоритма составлены компьютерные программы для динамического расчета изгибаемых тонких пластин. В расчете на динамические нагрузки с достаточно высокой точностью могут быть использованы более простые обобщенные уравнения метода конечных разностей. Обобщенные уравнения — одно из новых направлений в отрасли расчета конструкций. Наряду с другими методами, метод конечных разностей дает инженерам дополнительные возможности.

Ключевые слова: метод конечных разностей, метод последовательных аппроксимаций, тонкая изгибаемая плита, алгоритм расчета.

Изгибаемая плита широко применяется в строительстве большепролетных конструкций. Ее достоинства — легкий вес, промышленное производство, низкая себестоимость, удобство для монтажа. Реализация алгоритма расчета изгибаемых плит в инженерной практике является важной проблемой строительной науки [1—8]. Обобщенные уравнения метода конечных разностей (МКР) являются новым направлением в отрасли расчета конструкции. МКР дает дополнительные варианты для инженера, наряду с методом конечных элементов (МКЭ) и др. [9—11].

Пластинкой (тонкой плитой) называется цилиндрическое или призматическое тело, высота (толщина) которого мала по сравнению с остальными размерами. Техническая теория изгиба пластинок основывается на следующих допущениях:

при деформации пластинки нормали к срединной плоскости остаются прямыми;

нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности пластинки, отсутствуют.

При этом предполагается также, что деформации пластинки при изгибе остаются малыми, упругими и подчиняющимися закону Гука.

Разрешающее дифференциальное уравнение поперечных колебаний тонкой изгибаемой плиты постоянной толщины запишем относительно безразмерных неизвестных в виде системы двух дифференциальных уравнений второго порядка:

dm dm

дЪ- дц2 d2w d2w

f д2 w W - c—— dt

-2 dt

— -m,

У .

a a q0a

где £ = —; ц = — ; m — a

P = P ht)

M

; M —

M. + M„

У .

1 + v

w — -

WD q0 a 4

= q(x, y, t) ; t = D ; = kal

; t 2 Л — ; c —'

qo

a

где V — коэффициент Пуассона; W — прогиб; Б — цилиндрическая жесткость;

а — длина одной из сторон плиты; р — масса единицы площади; к — коэффициент поглощения энергии.

Безразмерные изгибающие моменты определяются по известным формулам:

т(^) ^(т^ + р,,™); (а)]

д2 ^

где ^ = —Т; w 11 = —Т; тх

д£2 ' дл2

Аппроксимация дифференциальных уравнений (1) и (2) в к-м временном слое в точке обобщенными уравнениями МКР [13, 16—20] на квадратной сетке выполняется так:

d 2w hh_d 2 ; m(h)— Му- [10, 12-15].

qoa qoa

mk + mk - 4mk + mk + mk +

'"i -1, j T '"i +1, j J i, j-1 i, j+1

+ - (I-IIA ^ mk + III-IV A^mk + HIIAn mk + ^AW) =

о \ ij lJ У У /

= 4(IPk + IIpk + ^pk + IVrt -4ч -4ctwk]);

4

..k , ,..k

где "wk =

д2 wk

wk-i, j + <i, j - 4wJ + -i + +1 = -hzm«, ..k

-2„ „k

• 'wk =

dt

-2 ij > ij

dwk dt

mk =1 *mk -11 *mk ; W =

" У У

dmk

I £ к I к

Шу; Ру принадлежат точке у элемента I (рис. 1). Остальные члены уравнения такого типа имеют аналогичный смысл. к отсчитываются вдоль безразмерной временной оси ^. __

тт К,к

Для вычисления w¡j и ^ и восполь-

V и

зуемся выражениями, полученными из построенного в [13] параболического сплайна:

i-1, J-1 i-1, j -1, j+1

I h III

j-1 h ij h i, j+1^.

II h IV 1

i+1, j-1 i+1,j i+1,j+1

Рис. 1

п

ВЕСТНИК

МГСУ-

9/2014

tt к 2 1 к - 1 2

W =--W —

'Ч ч 2

т т

1 к 1 к-1 2( к

W = - ^ - —( W

Ч ч \ 'Ч

т

где т — шаг по времени.

Рассмотрим квадратную шарнирно опертую по контуру плиту на действие

равномерно распределенного по всей площади прямоугольного мгновенного

$

импульса $ (с = 0) при начальных условиях (1 = 0) по [19]: W = 0; tW =

где Ж =

дЖ

~дГ'

ц

Начальные условия в безразмерных величинах: w = 0; /

д

( WD Л

д^

w = = -

\

д0 а

/

БлЩ дЖ Б^Щ

S S т

дt

(

д

,2

Л

д0 а дt д0 а ц д0 а ]/ ц

а у ц

Краевые условия: w = 0; т = 0.

,11

Решим задачу при п = —; т =-для иллюстрации предлагаемого алго-

2 100п

ритма расчета (рис. 2).

При к = 1 (1 = 0) имеем:

w¡ = 0; т1 = 0; Ч = 1.

При к = 2 из (4), (5) с учетом краевых условий получим:

00

01

02

-4т2 = - 4 Ч21;

-4wl2l=- 4 т121.

10

20

11 12

21 22

1/2

1/2

Рис. 2

'к. ,1

1/2

1/2

"мЦ определится по (6) при заданном ^^ = 1:

Ч

2 2 --1-4'

т т2

(о--2) •

Из решения системы уравнений (8), (9), (10) получим: т121 = 0,05102; М = 0,003189; = 0,8163.

Из (7) имеем ^^ = 1,003.

тт« 22 « 2 < 2 „

Найденные wn, ти, wn, wn позволяют перейти к следующему временному слою.

, 1 1,1 1

Результаты расчета на сетках с шагами п = — ,т =-;п = — ,т =-

з 8 64п 10 100п

приведены на рис. 3.

л

m/10w и

1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4

h=1/10

... ... .. ... - ! h= j/8

\4

A / 0,78 8 ~ a V

t / \

/ 1 0w

/ /

r

/

. . . ...... ....

1Л Ю h И ^

О^ ^ ^ ^ ©^ ©^ ©^ ©^ ©^

ООО

m чо О* ©^ ©^ ©^

ООО

Рис. 3

Величина максимального во времени изгибающего момента в центре плиты Мх = Му = 1,29595 =. Величина наибольшего прогиба в центре плиты

W = 0,0788

Sa2

Результаты в [13] по методу последовательных аппроксимаций (МПА):

Id с 2

M = M, = 1,244S D и W = 0,0775- a

Значение прогиба по решению [19] (расчет плиты как обобщенной система2

мы с одной степенью свободы) W = 0,0822

Разница при V = 0,17 составляет соответственно для изгибающего момента в сравнении с [13] 4 %; для прогиба в сравнении с [13] — 1,7 %, с [19] — 4,3 %.

Выводы. Разработан численный алгоритм динамического расчета изгибаемых тонких пластин. Алгоритм основывается на обобщенных уравнениях МКР.

На базе разработанного алгоритма составлены программы для ЭВМ для динамического расчета изгибаемых тонких пластин.

Для решения задачи на импульсивные нагрузки в расчете изгибаемой тонкой плиты на динамические нагрузки могут быть использованы с достаточно высокой точностью более простые обобщенные уравнения МКР.

Библиографический список

1. Белоцерковкий И.Я. Колебания прямоугольных пластин переменной жесткости // Теория пластин и оболочек. Киев : АН УССР, 1962. С. 300—304.

2. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки / пер. с англ. М. : Наука, 1966. 635 с.

3. Киселев В.А. Расчет пластин. М. : Стройиздат, 1973. 151 с.

4. Green A.E. On Reissner's theory of bending of elastic plates // Quart. Appl. Math. 1949. Vol. 7. No. 2. Рр. 223—228.

5. Naghdi P.M. On the theory of thin elastic shells // Quart. Appl. Math. 1957. Vol. 14. No. 4. Pp. 369—380.

6. Reissner E. On the theory of bending of elastic plates // J. Math. and Phys. 1944. Vol. 23. No. 4. Pp. 184—191.

7. Reissner E. On the transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation // Int. J. Solids and Struct. 1975. Vol. 11. No. 5. Pp. 569—573.

8. Salerno V.L., GoldbergM.A. Effect of shear deformation on the bending of rectangular plates // J. Appl. Mech. 1960. Vol. 27. No. 1. Pp. 54—59.

9. Бузун И.М. Метод конечных разностей и метод конечных элементов. Сравнение решений для пластин // Тр. Тюменского индустриального института. 1974. Вып. 40. С. 79—87.

10. Вайнберг Д.В. Численные методы в теории оболочек и пластин // Тр. VI Всесоюзной конф. по теории оболочек и пластин. М. : Наука, 1966. С. 890—895.

11. Иванов С.А. Анализ изгибаемых пластинок методом конечного элемента // Тр. МАРХИ. 1972. Вып. 4. С. 25—31.

12. Габбасов Р.Ф. Расчет плит с использованием разностных уравнений метода последовательных аппроксимаций // Строительная механика и расчет сооружений. 1980. № 3. С. 27—30.

13. Габбасов Р. Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М. : Изд-во АСВ, 2008. 277 с.

14. Габбасов Р.Ф., Низомов Д.Н. Численное решение некоторых динамических задач строительной механики // Строительная механика и расчет сооружений. 1985. № 6. С. 51—54.

15. Азархин А.М., Абовский Н.П. Об итерационных методах в некоторых задачах строительной механики // Исследования по теории сооружений. Т. 23. М. : Госстройиздат, 1977. С. 152—157.

16. Абовский Н.П., Енджиевский Л.В. Расчет ребристых плит методом сеток // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск, 1996. Вып. 2. С. 168—187.

17. Длугач М.И. Некоторые вопросы применения метода сеток к расчету пластин и оболочек // ЭЦВМ в строительной механике. М. ; Л. : Стройиздат, 1966. С. 555—560.

18. Рабинович И.М., Синицын А.П., Теренин Б.М. Расчет сооружений на действие кратковременных и мгновенных сил. М. : ВИА, 1956. Ч. 1. 464 с.

19. Рабинович И.М. Основы динамического расчета сооружений на действие мгновенных и кратковременных сил. М. ; Л. : Госстройиздат, 1945. 85 с.

20. Prager W., Synge J.L. Approximations in elasticity based on the concept of function space // Quart. Appl. Math. 1947. Vol. 5. No. 3. Pp. 241—269.

Поступила в редакцию в августе 2014 г.

Об авторах: Габбасов Радек Фатыхович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры строительной механики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 287-49-14, fofa@mail.ru;

Хоанг Туан Ань — аспирант кафедры строительной механики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 287-49-14, hoangtuananhk30a1@ gmail.com;

Шикунов Максим Алексеевич — аспирант кафедры строительной механики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 287-49-14, max.shik@ gmail.com.

Для цитирования: Габбасов Р. Ф., Хоанг Туан Ань, Шикунов М.А. Обобщенные уравнения метода конечных разностей в задачах расчета тонких изгибаемых плит на динамические нагрузки // Вестник МГСУ 2014. № 9. С. 32—38.

R.F. Gabbasov, Tuan Anh Hoang, M.A. Shikunov

GENERALIZED EQUATIONS OF FINITE DIFFERENCE METHOD IN THE PROBLEMS OF DYNAMIC LOAD CALCULATION FOR THIN BENDING PLATES

Bending plate is widely used in the construction of large-span structures. Its advantage is light weight, industrial production, low cost and easy installation. Implementing the algorithm for calculating bending plates in engineering practice is an important issue of the construction science. The generalized equations of finite difference method is a new trend in the calculation of building construction. FDM with generalized equation provides additional options for an engineer along with other methods (FEM).

In the article the algorithm for dynamic calculation of thin bending plates basing on FDM was developed. The computer programs for dynamic calculation were created on the basis of the algorithm. The authors come to the conclusion that the more simple equations of FDM can be used in case of solving the impulse load problems in dynamic load calculation of thin bending plate.

Key words: finite difference method, method of successive approximations, thin bendable plate, calculation algorithm.

References

1. Belotserkovkiy I.Ya. Kolebaniya pryamougol'nykh plastin peremennoy zhestkosti [Vibrations of Rectangular Plates of Variable Rigidity]. Teoriya plastin i obolochek [Theory of Plates and Shells]. Kiev, AN USSR Publ., 1962, pp. 300—304.

2. Timoshenko S.P., Voynovskiy-Kriger S. Plastinki i obolochki [Plates and Shells]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 635 p.

3. Kiselev V.A. Raschet plastin [Calculation of Plates]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1973, 151 p.

4. Green A.E. On Reissner's Theory of Bending of Elastic Plates. Quart. Appl. Math. 1949, vol. 7, no. 2, pp. 223—228.

5. Naghdi P.M. On the Theory of Thin Elastic Shells. Quart. Appl. Math. 1957, vol. 14, no. 4, pp. 369—380.

6. Reissner E. On the Theory of Bending of Elastic Plates. J. Math. and Phys. 1944, vol. 23, no. 4, pp. 184—191.

7. Reissner E. On the Transverse Bending of Plates, Including the Effect of Transverse Shear Deformation. Int. J. Solids and Struct. 1975, vol. 11, no. 5, pp. 569—573. DOI: http:// dx.doi.org/10.1016/0020-7683(75)90030-X.

8. Salerno V.L., Goldberg M.A. Effect of Shear Deformation on the Bending of Rectangular Plates. J. Appl. Mech. 1960, vol. 27, no. 1, pp. 54—59. DOI: http://dx.doi. org/10.1115/1.3643934.

9. Buzun I.M. Metod konechnykh raznostey i metod konechnykh elementov. Sravnenie resheniy dlya plastin [Finite Difference Method and Finite Element Method. Comparison of Solutions for Plate]. Trudy Tyumenskogo industrial'nogo instituta [Works of Tyumen Industrial Institute]. 1974, no. 40, pp. 79—87.

10. Vaynberg D.V. Chislennye metody v teorii obolochek i plastin [Numerical Methods in the Theory of Shells and Plates]. Trudy VI Vsesoyuznoy konferentsii po teorii obolocheki plastin [Proceedings of the VI All-Union Conference on the Theory of Shells and Plates]. Moscow, Nauka Publ., 1966, pp. 890—895.

11. Ivanov S.A. Analiz izgibaemykh plastinok metodom konechnogo elementa [Analysis of Bending Plates Using Finite Element Method]. Trudy MARKHI [Works of Moscow Institute of Architecture]. 1972, no. 4, pp. 25—31.

12. Gabbasov R.F. Raschet plit s ispol'zovaniem raznostnykh uravneniy metoda posledovatel'nykh approksimatsiy [Analysis of Plates Using the Differential Equations Method of Successive Approximation]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 1980, no. 3, pp. 27—30.

13. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Chislennoe postroenie razryvnykh resh-eniy zadach stroitel'noy mekhaniki [Numerical Construction of Discontinuous Solutions of Structural Mechanics Problems]. Moscow, ASV Publ., 2008, 277 p.

14. Gabbasov R.F., Nizomov D.N. Chislennoe reshenie nekotorykh dinamicheskikh zadach stroitel'noy mekhaniki [Numerical Calculation of Some Dynamical Problems of Structural Mechanics]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 1985, no. 6, pp. 51—54.

15. Azarkhin A.M., Abovskiy N.P. Ob iteratsionnykh metodakh v nekotorykh zadachakh stroitel'noy mekhaniki [Iterative Methods in Some Problems of Construction Mechanics]. Issle-dovaniya po teorii sooruzheniy [Studies in the Theory of Structures]. Vol. 23, Moscow, Stroy-izdat Publ., 1977, pp. 152—157.

16. Abovskiy N.P., Endzhievskiy L.V. Raschet rebristykh plit metodom setok [Calculation of Ribbed Slabs by Grid Method]. Prostranstvennye konstruktsii v Krasnoyarskom krae [Space Structures in Krasnodar Region]. Krasnoyarsk, 1996, no. 2, pp. 168—187.

17. Dlugach M.I. Nekotorye voprosy primeneniya metoda setok k raschetu plastin i obolo-chek [Some Questions of Net Method Application in the Calculation of Plates and Shells]. ETsVM v stroitel'noy mekhanike [Digital computer in the construction mechanics]. Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1966, pp. 555—560.

18. Rabinovich I.M., Sinitsyn A.P., Terenin B.M. Raschet sooruzheniy na deystvie kratkovremennykh i mgnovennykh sil [Calculation of Structures for Short-term and Instant Strength Impact]. Part 1, Moscow, VIA Publ., 1956, 464 p.

19. Rabinovich I.M. Osnovy dinamicheskogo rascheta sooruzheniy na deystvie mgno-vennykh i kratkovremennykh sil [Fundamentals of Dynamic Analysis of Structures on an Instantaneous and Short-term Forces]. Moscow. Gosstroyizdat Publ., 1945, 85 p.

20. Prager W., Synge J.L. Approximations in Elasticity Based on the Concept of Function Space. Quart. Appl. Math. 1947, vol. 5, no. 3, pp. 241—269.

About the authors: Gabbasov Radek Fatykhovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 287-49-14; fofa@mail.ru;

Hoang Tuan Anh — postgraduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 287-49-14; hoangtuananhk30a1@gmail.com;

Shikunov Maksim Alekseevich — postgraduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 287-49-14; max.shik@gmail.com.

For citation: Gabbasov R.F., Hoang Tuan Anh, Shikunov M.A. Obobshchennye uravneniya metoda konechnykh raznostey v zadachakh rascheta tonkikh izgibaemykh plit na dinamicheskie nagruzki [Generalized Equations of Finite Difference Method in the Problems of Dynamic Load Calculation for Thin Bending Plates]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 9, pp. 32—38.