Математическая модель тепломассопереноса в противоточных газо- (паро-) жидкостных аппаратах

Башаров М.М., Лаптев А.Г., Саитбаталов М.В.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ПРОТИВОТОЧНЫХ ГАЗО - (ПАРО-) ЖИДКОСТНЫХ АППАРАТАХ

Для выбора энергоресурсосберегающих технических решений эффективным инструментом является математическое моделирование проводимых процессов в промышленных аппаратах. В статье рассмотрена математическая модель процессов переноса импульса, массы и энергии в про-тивоточных тепломассообменных аппаратах при непосредственном контакте фаз. В математической модели расчета колонны используются условия термодинамического равновесия, материального баланса и кинетические характеристики процесса взаимодействия фаз. Полученные системы уравнений могут применяться для расчета эффективности колонн с насадками и провальными тарелками.

Ключевые слова: массообменные насадки, провальные тарелки, эффективность колонны, процессы переноса импульса, массы и теплоты, энергоресурсосбережение, тепло- и массоперенос.

Теоретические основы. Расчет, проектирование и оценка эффективности процессов в новом оборудовании всегда сопровождается этапом моделирования его работы, целью которого является нахождение корреляционной связи между показателями работы и конструктивными характеристиками и нагрузкой. В массообменных колоннах под показателями эффективности, как правило, понимают следующие величины: КПД по Мерфи, высота единицы переноса, высота эквивалентной теоретической ступени (тарелки), теплогидравлическая эффективность. Все эти величины существенно зависят от гидродинамических и термодинамических свойств нестационарных двухфазных систем, образующихся в каналах массообменных устройств, и нагрузки по потокам. Если для упорядоченных насадок существует принципиальная возможность прямого численного моделирования потоков, хотя и требующая огромных вычислительных ресурсов, то для неупорядоченных насадок и барботажного слоя это практически невозможно.

Единственный путь моделирования в условиях сложной геометрии контактных устройств эмпирический или полуэмпирический поиск корреляционной связи между параметрами, определяющими гидродинамические и термодинамические условия в сечении аппарата, и собственно показателями работоспособности и эффективности. Степень совершенства модели будет определяться ее универсальностью, которая, в свою очередь,

основывается на степени использования без упрощений фундаментальных законов гидродинамики.

Экспериментальный путь моделирования, как правило, приводит к обобщению в виде законов подобия. Их недостатки очевидны. Это не только неприменимость полученных таким образом формул к контактным устройствам другого вида и даже иногда другого типоразмера, но и ограниченный диапазон по нагрузкам и теплофизическим свойствам смесей. В то же время само проведение опытов является довольно затратным мероприятием.

Теоретический (точнее численный) путь моделирования хотя и не может полностью исключить необходимость в экспериментальной поддержке ввиду уже упомянутой сложности и индивидуальности условий движения фаз в различных видах насадок, однако за счет опоры на фундаментальные законы способен дать более универсальные зависимости, обладающие предсказательной способностью в отношении новых насадок, для которых еще нет экспериментальных данных.

В работах [1-3] были сформулированы основные принципы теоретического моделирования, основанного на экспериментальной базе и получившего название сопряженного физического и математического моделирования. Физические процессы, протекающие в аппарате, представляются в математической модели в виде совокупности иерархически распределенных взаимодействующих систем с различными определяющими пространственно-временными масштабами. Для каждой такой системы можно выделить интегральные входные и выходные параметры, являющиеся следствием его внутренней структуры и имеющие связь с другими системами. При этом обычно реализуется правило: внутренние структуры взаимодействующих систем с существенно различающимися пространственно-временными масштабами обладают инвариантностью по отношению друг к другу; взаимодействие между системами осуществляется посредством определяющих параметров. В тех случаях, когда внутренняя структура какой-либо из подсистем неизвестна или слишком сложна, для нахождения математической взаимосвязи между определяющими параметрами используют феноменологический подход, позволяющий сократить необходимые вычислительные затраты. Задача моделирования, таким образом, сводится к следующим этапам: определение совокупности физико-химических процессов в аппарате как макросистемы, определение временных и пространственных масштабов.

Применительно к насадочным и тарельчатым аппаратам можно выделить несколько характерных областей, которые в модели могут быть представлены как системы одного порядка: область диспергирования жидкости специальными оросителями или форсунками (соплами); область капельноструйного взаимодействия жидкости с газовым потоком после области диспергирования; область пленочного и капельно-струйного течения жидкости по насадочным элементам; а также область барботажного взаимодействия фаз на тарелках.

В области движения фаз в элементах насадок можно выделить следующие процессы различных пространственных масштабов: движение и обменные процессы в ядре потока газовой фазы; движение и тепломассообменные процессы в пограничном слое газовой фазы; течение и обменные процессы в пленке жидкости. В барботажном слое на массообменных тарелках роль сплошной среды выполняет жидкая фаза, а таковая газовая представлена в виде дисперсной. Основные значимые процессы в барбо-тажном слое: движение и обменные процессы в ядре потока жидкой фазы; обменные процессы в пограничном слое у газовых струй и пузырьков; обменные процессы внутри пузырьков дисперсной газовой фазы, определяемые в основном диффузией, сообщаемой извне, и механической энергией.

Все эти процессы могут быть представлены математически как обменивающиеся независимые системы. При этом движение в пограничных слоях обеих фаз будут системами одного порядка, а система турбулентного движения в ядре потока - более высокого, включающая предыдущие как подсистемы. Таким образом, общая модель межфазного взаимодействия формируется следующим образом. Систему дифференциальных уравнений записывают для сплошной фазы, а влияние дисперсной учитывают параметрически за счет источников. Источниковые члены связаны с характеристиками пограничного слоя, который образуются на границе раздела фаз [3-4].

Целью расчета процессов в ядре потока сплошной фазы в тепломассообменных аппаратах является получение профилей движущих сил обменных процессов непосредственно в пограничных слоях. Это, прежде всего, профили осредненной скорости, температуры и концентрации целевого компонента по сечениям аппарата, а также профиль перепада давления и диссипации кинетической энергии. В случае, когда используется расчетный метод, основанный на гидродинамической аналогии или выражения для массо- или теплогидравлической эффективности, первичной задачей является получение профиля осредненной скорости и давления.

Некоторую трудность при расчетах представляет определение равномерности распределения потоков в сечении аппарата. Одной из наиболее наглядных с точки зрения физической обоснованности является способ учёта неравномерности потоков, предложенный Берманом. В нем поперечное сечение насадочного аппарата делится на условные зоны с постоянной осреднённой скоростью и давлением. На основании закона сохранения импульса и уравнения неразрывности давление и скорости в соседних зонах (к -ой и (к+1) - ой) связываются равенством:

Выражение (1) дает возможность учесть неравномерность распределения потоков, вызванную различным гидравлическим сопротивлением зон контактного устройства или аппарата.

Система уравнений тепломассопереноса. Использовав основные концепции модели многоскоростного континуума для многофазных потоков [5], авторами рассмотрена наиболее физически обоснованная модель движения сплошной среды в противоточном двухфазном слое в колонне, основанная на уравнениях Навье-Стокса и гипотезы Буссинеска о турбулентной вязкости. В цилиндрических координатах система уравнений турбулентного переноса импульса в газовой (паровой) фазе (уравнения движения) имеет вид:

где V - составляющая вектора скорости в радиальном направлении г, м/с; и - составляющая вектора скорости в проекции на ось z, м/с; Ярг, ЯРг -проекция силы межфазового взаимодействия на оси Ог и 02; ЛрГ - член, учитывающий изменение плотности среды в элементарном объеме; і?сг -поток массы компонента из одной фазы в другую в элементарном объеме с£Кс;дг,Дтг _ коэффициенты молекулярного и турбулентного переноса (вязкости); Па-с, рг — плотность газа, кг/м .

Уравнение переноса массы компонента в газовой фазе:

где <7- концентрация компонента; Д., 0Тг- коэффициенты молекулярной

2

и турбулентной диффузии, м /с; йсг- источник массы.

Уравнение переноса тепла в газовой фазе:

^ + =

где Н- энтальпия, Дж/кг; Гг- температура; К, Лг, ЛТг- коэффициенты молекулярной и турбулентной теплопроводности; Вт/(м-К); Ятг- источник тепла.

Применительно к двухфазному слою в колонне эти уравнения должны дополняться следующими краевыми условиями:

• при ъ = 0: и = ин, С = Сн, Тг = Ггн (на входе);

• при г= 1: ди/дг = 0,дС/дг = 0, дТ/дх = 0 (на выходе);

• при г = 0: ду/дг = 0, дС/дг = 0, дТ/дг = 0 (на оси симметрии);

дТ

• при г=±Ы: и — —игр,дС/дг = 0, ц = — Я— (на стенках),

где Угр - скорость на межфазной поверхности стекающей пленки жидкости по стенкам колонны, м/с. Краевые условия для давления определяются из уравнений (2).

Система уравнений (2-5) является незамкнутой. Неизвестными здесь являются коэффициенты турбулентного обмена ¡1Тт, 0Тг, ЛТг, а также источники импульса, массы и тепла: ЯРг, ЯР2, Ярг, ЯсТ, Ятт, которые учитывают взаимодействие фаз. Составляющая источника импульса по оси г, Крг может не учитываться ввиду своей малости. Остальные источниковые члены выражаются по следующим формулам:

п ___ ам

«Тг - - ,

п ___ Чук.ст{С —С)

Кг-—-—,

„ _ ад'Ч'уК+с/гр)

Кр2 - - ,

2 3

где сц, - удельная поверхность газожидкостного слоя, м /м ; <р- газосодер-

3 3

жащие слоя м /м ; ксг - коэффициент массопередачи со стороны газовой фазы; Ч*у- коэффициент, учитывающий несоответствие между полным со-

противлением (трения и формы) и сопротивлением трения; УУ0, игр - скорости на оси турбулентного ядра потока газовой фазы и на внешней границе жидкости соответственно м/с; ДЯГЖ - теплота, связанная с изменением агрегатного состояния для газовых смесей близких к идеальным, упрощенно ДЯГЖ = Нсп, где в свою очередь Ясп - теплота пара целевого компонента в состоянии насыщения при температуре жидкой фазы 7Ж, Дж/кг.

Диффузионная модель насадочного слоя. В слое насадочных элементов поперечное перемешивание даже при неупорядоченной укладке, как правило, незначительно, уравнения (3) и (4), таким образом, могут быть сведены к одномерной форме:

, ч с12Нг сШг , ч

-^РгС^св - £ж)£)пс ~^Г - 6 = ВДв - £ж)Лтг;

-5рт

3 3 3 3

где - свободный объем насадки, м /м ; £ж - задержка жидкости, м /м ; £ - поперечное сечение насадочного слоя, м ; /)пС - коэффициент продольного перемешивания, м/с. здесь не равен коэффициенту диффузии как в уравнении (3), а носит условный характер поправочного коэффициента на неравномерность движения потока в слое насадки. Как правило, коэффициент /)пС имеет гораздо меньший порядок, нежели остальные члены уравнений (8), и является фактором жёсткости обыкновенного дифференциального уравнения.

Уравнение переноса импульса с учетом изменения плотности по высоте колонны и пренебрежения за степенью малости коэффициентами перемешивания может быть записано в виде:

5«. = ЗДв - «.Ж» - ^+ЗД. -

Множитель Др2 в источниковом члене (9) в уравнении сохранения импульса является потерей давления в слое насадки при отсутствии градиента плотности и расхода по высоте насадки.

Ввиду незначительного влияния сил трения газовой фазы на характер движения пленки жидкости очевидно, что скорость поперечной миграции жидкости будет пренебрежимо малой по сравнению с аналогичной скоростью газовой фазы. Уравнения диффузионной модели по жидкой фазе получит вид:

-ж^пЬ I , и 11ж ^и11ж

¿7ор / ¿г2

1-^Г-1~ГГ = ОДв - £ж)Ят

-%)«„.

Система уравнений (8), (10) дополняется уравнениями баланса тепла и массы, а также условиями равновесия. Приведенная система уравнений переноса с источниками используется для расчета насадочных колонн и дает удовлетворительные результаты [6].

Массоперенос на провальных тарелках. На барботажных тарелках наиболее часто используемым допущением является допущение о полном перемешивании жидкой фазы по высоте слоя, что хорошо подтверждается экспериментально. Особенно это справедливо для пенного слоя на провальных тарелках (т.е. без специальных переливных устройств). Это значительно упрощает математическую модель тепло -и мас-сопереноса, используемую в практических целях для расчета эффективности контактных устройств и всей массообменной колонны. Используем секционную математическую модель для описания структуры потока жидкой фазы с учетом отмеченных особенностей (рис. 1).

Известно, что межфазный тепломассообмен в барботажном слое значительно (на порядок) более интенсивный, чем в капельно-струйной области взаимодействия. На основании этого допустимо в качестве элементарной секции в колонне с провальными тарелками рассматривать среднюю толщину барботажного слоя. В каждой секции (т.е. на тарелке) согласно модели происходит полное перемешивание жидкости, а паровой поток движется в режиме идеального вытеснения. Между секциями перемешивание отсутствует.

Двумерная модель (2-4) сводится к одномерной. Тогда одномерное уравнение массопереноса в жидкой фазе на провальной барботажной тарелке получит вид

тт Сжн — __ Сжн—Сж _ и /'114

ж Дг _ в ~ сг"

Рис. 1. Схема взаимодействия фаз

Дискретизация уравнения (11) для секционной модели колонны (рис. 1) с учетом выражения источникового члена (6) для /-ой секции получит вид:

а

ж(0

(сж(і-і)~сж(р) _ (ві^с)і(сж(р сж(р) ^

Мі

,2,3..., п,

где Сж (с соответствующим индексом) - концентрация компонента в жидкой фазе; Сжф - равновесная концентрация жидкости к концентрации пара в секции; ДЛ - размер секции в вертикальном направлении, м; п - число секций; ижф - средняя скорость жидкости в секции, м/с; кс - коэффициент массопередачи, м/с.

__ Саи — ^С^СжСО-^ж

Источник массы Т?сг(£) =

<Р

зависит от значения объ-

емного коэффициента массопередачи в секции и движущей силы процесса. Обычно коэффициенты массопередачи находят по уравнению аддитивности фазовых сопротивлений, где коэффициенты массоотдачи в жидкой и газовой (паровой) фазах вычисляются по критериальным выражениям различных авторов или математическим моделям [3; 4; 6; 7].

Концентрацию пара, покидающего /-ю ячейку, найдем из уравнения материального баланса:

С

Пренебрегая в первом приближении возможной нелинейностью рабочих линий обменных процессов на тарелке примем в качестве средней концентрации среднее арифметическое

Сгср =

Из уравнений (12-14), учитывая, что Сж = Ст/т, найдем концентрацию целевого компонента в жидкой фазе, с /-ой ячейки:

С„

Й7П+1+—

20

где Ь =  т - коэффициент распределения.

<риж(Лт ^ г г

С помощью аналогичных рассуждений получено выражение для вычисления температуры жидкой фазы на выходе из / - ой ячейки (при условии нагрева жидкости и охлаждения газа):

, ьтьсрж(0^

1 + Ьт+Ьт

тж

Г*н-1)....................... .¿„»а0------------, ¡ = 1,2,3...,п,

2есрг

где Ьт = ^ £рж(£-(£-1))- средняя теплоемкость жидкости в /-ой

ячейке; ^рг(у)- средняя теплоемкость газа в /-ой ячейке; £т - коэффициент теплопередачи, Вт/(м К).

Уравнения (15) и (16) для каждой отдельной ячейки являются незамкнутыми и могут быть решены лишь для всей колонны в целом как системы уравнений итерационным методом, удовлетворяющих общему материальному и энергетическому балансу.

Выводы. Полученные в работе уравнения позволяют рассчитать профиль концентраций и температур в массо- и теплообменных колоннах при противоточном движении фаз. Несмотря на простоту, они показали свою надежность в практических расчетах промышленных колонн с на-

садками и провальными тарелками при выборе энергосберегающих технических решений модернизации аппаратов [6].

Источники

1. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Кафаров В.В. Сопряженное физическое и математическое моделирование в задачах проектирования промышленных аппаратов // Журн. прикл. химии. 1986. Т. 59. № 9. С. 1927-1933.

2. Дьяконов С.Г, Елизаров В.И., Лаптев А.Г.Моделирование массотеплопереноса в промышленных аппаратах на основе исследования лабораторного макета // ТОХТ. 1993. Т. 27, № 1. С. 4-18.

3. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Лаптев А.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1993.

4. Лаптев А.Г.Модели пограничного слоя и расчет тепломассообменных процессов. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 2007.

5. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука, 1987.

6. Лаптев А.Г., Фарахов М.И., Минеев Н.Г. Основы расчета и модернизация тепломассообменных установок в нефтехимии. Казань: Изд-во Казанск. энергетического ун-та, 2010.

7. Холпанов Л.П. Гидродинамика и тепломассообмен с поверхностью раздела / под ред. В.Я. Шкадова. М.: Наука, 1990.

Зарегистрирована 14.02.2011 г.