Математическое моделирование локализации пластических сдвигов в окрестности круглого отверстия

УДК 519.6

О. П. Бушманова, С. Б. Бушманов,

A.B. Устюжанова

Математическое моделирование локализации пластических сдвигов в окрестности круглого отверстия*

Ключевые слова: локализация сдвигов, линии сдвига, упруго-пластический материал. Key words: localization of shear strain, shear band, elastoplastic material.

Задачи о напряженно-деформированном состоянии упруго-пластических материалов в окрестности отверстий имеют хорошо известные решения в рамках классических моделей [1—4].

Отверстия с равномерно размещенными краевыми радиальными трещинами исследовались в монографии [5]. В работах [6, 7] представлено решение задачи о деформировании вокруг отверстия материала с блочной структурой.

На основе известных экспериментальных данных и решений в рамках классических пластических моделей [2, 3] можно сделать предположение о возникновении в окрестности круглого отверстия локализации сдвигов вдоль семейств логарифмических спиралей.

В работах [8, 9] получено численное решение задачи о деформировании материала в окрестности круглого отверстия в условиях локализации сдвигов на дискретных системах одного семейства логарифмических спиралей, пересекающих радиусы под углом в = п/4 + ф/2 : £ = в — в1пг(ф = const, 0 ^ ф < п/2, (r,6) -полярные координаты).

Показано, что решения задачи с достаточно большим числом линий сдвига (порядка 100) близки к известным аналитическим решениям упруго-пластической задачи в рамках идеальной пластичности или модели с внутренним трением и сцеплением.

Представляет интерес решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упруго-пластического материала в окрестности круглого отверстия в предположении о локализации сдвигов как на одном, так и на другом семействах логарифмических спиралей.

В рамках плоской деформации представим исследуемую область в виде кольца. Все величины в задаче будем считать безразмерными. В качестве характерного напряжения выберем модуль упругости, в качестве характерного линейного размера - радиус отверстия. Внешний радиус кольца обозначим через R.

Рассмотрим вначале решение задачи о напряженно-деформированном состоянии упругопластического материала в окрестности круглого отверстия в рамках континуальных моделей. На контуре отверстия примем нормальное радиальное напряжение аг = 0, па внешнем контуре кольца - радиальное перемещение иг = —и, где и > д _ параметр нагружения. Касательное напряжение агд = 0 как на внутренней, так и на внешней границах. В этом случае агд = 0 и во всей области.

Решение в рамках линейной теории упругости имеет вид [1]:

1

-Л[г2(1 — 2^) — 1 ], ид = 0,

где

= -Л

Л =

ад = —A-

uR

[((1 — 2^)R2 + 1](1 + ^)'

Здесь ад, ид - нормальное напряжение и нормальное перемещение в окружном направлении. Главные напряжения в кольце:

О — ад,

Предположим, что максимальное касательное напряжение (<72 — а)/2 в исследуемой области не превышает предел текучести при сдвиге т.

Увеличение параметра нагружения приводит к образованию вокруг отверстия пластической области (1 ^ г ^ с), в которой выполняется условие идеальной пластичности:

(а2 — о)/2 = т.

В этом случае упруго-пластическое решение задачи имеет следующий вид [2]:

аг = —2 т1пг, ад = —2 т1пг — 2т,

при (1 ^ г ^ с) и

or = —2т1пс — т-——, ад = —2т1пс — т —

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №08-05-00543).

u

r

Г

а

r

Г

Г

с

Г

при (с ^ r ^ R).

Формально континуальному пластическому решению задачи соответствует бесконечно много линий скольжения. В пластической области линии скольжения имеют вид логарифмических спиралей в ± In r = const, пересекающих полярный радиус под углами ±п/4.

c

раметра нагружения и и предела текучести T. Уравнения равновесия и условия непрерывности напряжений на упруго-пластической границе приводят к следующему соотношению:

т[(1 — 2v)(1 + 2 In c)R2 + с2](1 + v) = uR.

Будем далее считать, что, в отличие от классического упруго-пластического решения, в процессе нагружения в исследуемой области в материале возникло конечное число линий сдвига, расположенных вдоль двух семейств логарифмических спиралей £ = в ± In r, пересекающих радиусы под углом ±п/4 .

Рассмотрим краевую задачу о деформировании материала в условиях несимметричного развития линий сдвига. Учитывая достаточно малую ширину данных линий, представим их в виде разрезов.

Процесс нагружения разобьем на N шагов. Границу исследуемой области представим в виде объединения контуров кольца и к разрезов, расположенных вдоль логарифмических спиралей.

На каждом шаге для заданного приращения параметра нагружения поставим задачу определения в исследуемой области полей приращений перемещений ui (г = 1,2) и приращений напряжений aij (i,j = 1,2), которые должны удовлетворять уравнениям равновесия

aij,j = о.

Напряжения па текущем /-м шаге нагружения определяются методом последовательных нагружений в виде суммы приращений напря-/

ное напряжение для материала между разрезами не превышает предел текучести при сдвиге, то поведение материала описывается законом Гука

E

1

:(£i

-i r, wi^mml:

!—2v

где Ej, (i,j = 1, 2) - компоненты тензора приращений деформаций:

V - коэффициент Пуассона; по т проводится суммирование от 1 до 2.

В пластических областях должно выполняться условие

(ад — а122)2 + 4(а£2)2 = 2т,

где а^ (¿,7 = 1,2) - полные напряжения на текущем /-шаге нагружения.

Для моделирования возникновения и распространения любого количества произвольно направленных разрезов криволинейной формы с различными типами условий, обеспечивающих возможность разрывов перемещений, разработан численный алгоритм, реализующий метод конечных элементов на проблемноориентированных адаптивных сетках с двойными узлами [9-11].

Предлагаемый алгоритм позволяет рассматривать неупругие свойства материала, локализованные на дискретной системе линий. Разрезы, моделирующие линии локализации сдвиговых деформаций, считаются частью границы исследуемой области, а уравнения состояния в зоне локализации заменяются условиями на разрезах.

Для разбиения области сеткой треугольных конечных элементов выберем семейства логарифмических спиралей и концентрических окружностей. Существенной особенностью сетки конечных элементов является то, что все ее узлы - двойные. Вдоль определенных линий как на одном, так и на другом из семейств логарифмических спиралей могут быть расположены разрезы, на которых допускаются сильные разрывы перемещений.

Рассмотрим граничные условия на данном шаге нагружения.

На внешнем контуре кольца и на границе отверстия зададим нормальные рп или ип и касательные рТ ил и ит, составляющие векторов приращений напряжений и приращений перемещений соответственно

pn — Оij ni nj,

un — uini

pT — Оij niTj ,

ut — uiTi.

где щ, (¿,.7 = 1,2)- направляющие косинусы

нормали и касательной соответственно.

На внешнем контуре кольца

un u,

PT .

Отверстие будем считать свободным от напряжений. На его границе

Pn = 0, Pt = 0.

^J,iJ

V

Он =

ij

Рис. 3. Изолинии максимального касательного напряжения

Граничные условия, описывающие взаимодействие берегов разрезов, представим в виде функциональных зависимостей между приращениями напряжений и приращениями перемещений. Существенно отметить, что соответствующие составляющие векторов приращений напряжений и приращений перемещений, входящие в такие зависимости до решения задачи, неизвестны и определяются в ходе ее решения.

Рис. 4. Изолинии максимального касательного напряжения

На площадке разрыва перемещений вектор приращений напряжений должен быть непреры-

вен

(Рп)+ = (Рп

(Рт)+ = (Рт

—

сторонам линии разрыва.

Нормальная составляющая вектора приращений перемещений вдоль разрезов непрерывна.

Разрывы отсутствуют, если

отсутствует:

и+ = ип.

Предположим также, что на линиях сдвига задано условие пластичности

Рт = т ,

где т' зависит от шага нагружения.

Если на определенных участках разрезов условие пластичности не выполняется, то скольжения берегов разрезов друг относительно друга на данном шаге нагружения не возникает и касательный разрыв приращений перемещений

На рисунках 1-4 приведены изолинии максимального касательного напряжения для областей с различным числом линий сдвига.

При расчетах принимались следующие значения параметров: V = 0.3, К = 5.63, и = 0.003, т = 0.03.

Результаты расчетов позволяют анализировать влияние расположения, протяженности и количества линий сдвига на напряженно-деформированное состояние в окрестности отверстия.

Библиографический список

1. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. - М., 1975.

2. Соколовский, В.В. Теория пластичности /

В.В. Соколовский. - М., 1969.

3. Падай, А. Пластичность и разрушение твердых тел / А. Надаи. - М., 1969. - Т. 2.

4. Савин, Г.Н. Распределение напряжений около отверстий / Г.Н. Савин. - Киев, 1968.

5. Лавриков, С.В. О деформировании блочной среды вокруг выработки / С.В. Лавриков, А.Ф. Ревуженко // ФТПРПИ. - 1990. - JY4 6.

6. Лавриков, С.В. Об устойчивости деформи-

рования блочного массива вокруг выработки / С.В. Лавриков, А.Ф. Ревуженко // ФТПРПИ. - 1991. .V' 1.

7. Саврук, М.П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами / М.П.Саврук. - Киев, 1981.

8. Бушманова, О.П. Напряженное состояние породного массива вокруг выработки в условиях локализации сдвигов / О.П. Бушманова, А.Ф. Ревуженко // ФТПРПИ. - 2002. -JY 2.

9. Bushmanova, О.P. Numerical modeling of shear localization in elastoplastic materials / O.P. Bushmanova, A.F. Revuzhenko // Abstract book of the 11 International Conference on Fracture. - Turin, 2005.

10. Бушманова, О.П. Моделирование локализа-

ции сдвигов / О.П. Бушманова // ПМТФ. -2003. - 6.

11. Бушманова, О.П. Численное моделирова-

ние процесса деформирования материала в сходящемся канале в условиях возникновения линий локализации/ О.П. Бушманова,

С.Б. Бушманов // ФТПРПИ. - 2009. - 4.

ит = и