Численное исследование формирования деформационного рельефа на поверхности модельных поликристаллов в условиях одноосного растяжения

УДК 539.3

Численное исследование формирования деформационного рельефа на поверхности модельных поликристаллов в условиях одноосного растяжения

В.А. Романова, Н.И. Карпенко, P.P. Балохонов, О.С. Емельянова1, В.А. Ковалев1

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

Проведено численное исследование формирования деформационного рельефа на свободной поверхности трехмерных поликристаллов с периодической структурой в условиях одноосного растяжения. Проанализировано влияние условий нагружения мезообъемов и размера зерна на характеристики рельефных образований. С целью последующей оптимизации численного анализа исследовано влияние толщины трехмерного модельного образца на формирующиеся деформационные складки. Показано, что основное влияние на деформационный рельеф оказывает микроструктура приповерхностных слоев, лежащая в пределах 3-4 зеренных диаметров.

Ключевые слова: поликристаллические материалы, деформационный рельеф, свободная поверхность, одноосное растяжение, трехмерные модели, численный анализ

Numerical study of the formation of a deformation-induced surface relief in model polycrystals under uniaxial tension

VA. Romanova, N.I. Karpenko, R.R. Balokhonov, O.S. Emelyanova1 and V.A. Kovalev1

Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia 1 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia

The formation of a deformation-induced relief on the free surface of 3D polycrystals with a periodic microstructure under uniaxial tension was studied in numerical simulation. The effect of loading conditions and grain size on the characteristics of relief was analyzed. For subsequent optimization of the numerical analysis, the influence of the thickness of a 3D model specimen on arising deformation folds was investigated. It is shown that the microstructure of subsurface layers lying within three-four grain diameters makes a major contribution to the deformation-induced relief.

Keywords: polycrystalline materials, deformation-induced relief, free surface, uniaxial tension, 3D models, numerical analysis

1. Введение

Морфологические изменения, происходящие на поверхности нагруженных материалов, являются объектом исследования физиков, механиков и материаловедов на протяжении многих десятилетий. Экспериментальные и теоретические данные [1-15] свидетельствуют о том, что на свободной поверхности нагруженных материалов формируется деформационный рельеф в виде складок различного масштаба, шахматного распределения областей экструзии и интрузии, деформационных спиралей, микрогофра и т.д. В [1-3] в рамках концеп-

ций физической мезомеханики и неравновесной термодинамики была обоснована многомасштабность этого явления, связанная с границами раздела различной природы.

Обобщая известные экспериментальные и теоретические данные, можно отметить, что причины возникновения деформационных складок на изначально плоской свободной поверхности могут быть различными. Известен механизм возникновения модуляций напряжений и деформаций на поверхности нагруженных материалов, связанный с потерей устойчивости [16, 17]. К

© Романова В.А., Карпенко Н.И., Балохонов P.P., Емельянова О.С., Ковалев В.А., 2011

другому типу явлений, приводящих к морфологическим изменениям на свободной поверхности, можно отнести нестабильность Гринфельда [18].

Большое количество экспериментальных и теоретических данных получено для материалов с модифицированными поверхностными слоями и материалов с покрытиями. В [19] было показано, что в поверхностных слоях нагруженного материала возникает шахматное распределение нормальных напряжений, связанное с наличием ослабленного слоя толщиной в несколько атомов, испытывающего несовместную пластическую деформацию с основным материалом. К образованию гофра на поверхности может приводить несовместная пластическая деформация поверхностного слоя и основного материала, накапливающаяся при циклическом нагружении [1, 3, 10, 20]. В [21] аналитически было показано, что модуляция напряжений на границе раздела «покрытие - подложка» может возникать при термическом нагружении вследствие различия коэффициентов термического расширения основного материала и поверхностного слоя, что может приводить к нормальным смещениям на поверхности. Этот вывод подтверждается многочисленными экспериментами (в частности, для тонких пленок [22]), а также результатами численного анализа [17]. В [23, 24] методом численного анализа было показано, что периодические нормальные напряжения в поверхностных слоях нагруженных материалов с покрытиями могут быть обусловлены геометрической кривизной границы раздела «модифицированный слой - подложка».

В работах [1-8, 11-15] показано, что возникновение периодического деформационного рельефа в условиях одноосного нагружения характерно для многих поли-кристаллических материалов. В [24, 25] эволюция деформационного рельефа на поверхности поликристал-лических трехмерных образцов описана и проанализирована в рамках физической механики. Было показано, что учет внутренней неоднородности придает материалу нелинейные свойства, что в процессе нагружения приводит к возникновению специфических нелинейных мод деформационного поведения — локализации деформации, сдвигу и повороту отдельных фрагментов материала, коллективному движению конгломератов зерен и т.д. Наличие внутренних интерфейсов (межзеренных границ) обуславливает возникновение периодических нормальных напряжений в объеме образца, действующих в направлении свободной поверхности и приводящих к формированию периодических рельефных складок.

Несмотря на накопленный экспериментальный и теоретический материал, целый ряд вопросов относительно влияния на деформационный рельеф размера, формы и механических характеристик структурных элементов, условий нагружения, состояния поверхностного слоя и других факторов требует дальнейшего изучения.

Следует отметить, что поведение реальных материалов определяется крайне сложной многоуровневой структурой и процессы, происходящие в реальных системах, зависят от целого комплекса факторов. Отделить и исследовать влияние индивидуальных факторов на процессы деформации и разрушения в эксперименте зачастую не представляется возможным. В этой связи модельный эксперимент является важным дополнением к экспериментальным исследованиям. Настоящая работа посвящена численному исследованию влияния условий нагружения и размера зерна на характеристики деформационного рельефа, образующегося на поверхности трехмерных поликристаллов в условиях одноосного растяжения. Поликристаллические структуры генерировались методом пошагового заполнения [26]. Модели механического отклика кристаллитов учитывали деформационное упрочнение и различие упругопластических характеристик зерен. Трехмерная задача механики в динамической постановке решалась методом конечных разностей [27]. Для оптимизации численного анализа было исследовано влияние толщины трехмерной модели на деформационный рельеф и выбраны оптимальные размеры расчетной области.

2. Процедура численного анализа

В общем случае этапы моделирования включают разработку структурно-механической модели материала, задание начальных и граничных условий и численное решение системы уравнений континуальной механики с учетом внутренних границ раздела. Общая система динамических уравнений континуальной механики для описания упругопластического поведения материалов включает законы сохранения массы, энергии и количества движения в дифференциальной форме и релаксационные определяющие соотношения в форме закона Гука. Подробная математическая формулировка задачи для случая трех пространственных переменных приведена во многих работах (например в [27]). Остановимся на построении микроструктурной модели материала, определении механического отклика зерен и формулировке граничных условий.

2.1. Генерация трехмерных поликристаллических моделей с периодической структурой

Построение модели материала предполагает определение в явном виде зависимости физико-механических свойств от координат и задание определяющих соотношений для каждой фазы. Если в плоском случае задание структуры в точках дискретизированного пространства не представляет трудности, то в случае трех пространственных переменных эта задача является далеко не тривиальной. В числе наиболее распространенных методов получения трехмерных поликристаллических структур можно назвать различные модификации метода Воро-

ного [28], методы фазового поля [29], клеточных автоматов [30] и др.

В [26] для генерации структур различного типа был предложен метод пошагового заполнения, основанный на заполнении дискретного пространства структурными элементами по заданным геометрическим законам. В настоящей работе этот метод применен для генерации трехмерных поликристаллов с периодической структурой. Периодичность предполагает бесконечную трансляцию структуры в заданном направлении. При последующем решении задачи механики на соответствующих поверхностях могут быть заданы периодические граничные условия, необходимые, например, для более реалистичного моделирования условий стесненной деформации.

На первом этапе генерации структуры заданный объем дискретизировался регулярной расчетной сеткой с кубическими ячейками. В качестве начальных условий в объеме случайным образом распределялись зародыши зерен, каждый из которых характеризовался индивидуальным структурным индексом. В процессе дальнейшей процедуры генерации рост всех зерен подчинялся сферическому закону и происходил с одинаковой скоростью. Для этого на каждом шаге генерации радиус г-го зерна изменялся на величину dri:

Я” = RГ1 + dr1, i = 1,...,

где п — шаг генерации. Затем путем последовательного перебора ячеек с нулевым структурным индексом проверялось условие их попадания в область какого-либо растущего зерна:

X - х)2 + ¥ - ¥1 )2 + г - г,)2 < я2,

где X,, ¥,, г, и X,, ¥, г, — координаты j-й ячейки с нулевым индексом и г-го зерна соответственно. В случае выполнения условия (2) j-я ячейка присоединялась к г-му зерну, получая соответствующий индекс. Критерием окончания процедуры заполнения является отсут-

ствие в рассматриваемой области ячеек с нулевым индексом.

Для получения периодической структуры в заданном направлении для приповерхностных зерен проверялось дополнительное условие. Если зерно в процессе роста выходило за пределы поверхности, его рост продолжался на противоположной стороне объема путем параллельного переноса. Периодические в направлении оси

Х1 поликристаллические структуры, сгенерированные на сетке 200x75x200 с шагом 10 мкм, приведены на рис. 1. Размер расчетной области во всех трех случаях составлял 2000x750x2000 мкм, а количество зерен варьировалось от 200 до 1000. Средний диаметр зерна составлял соответственно 300, 200 и 170 мкм. В рамках численной реализации диаметр зерна рассчитывался как диаметр сферы такого же объема:

где V — объем сферы; Nc — число расчетных ячеек, приходящихся на зерно; h — шаг расчетной сетки.

2.2. Механические свойства зерен и условия нагружения

Строгое описание упругопластического отклика зерен требует использования моделей, в явном виде учитывающих кристаллографическую ориентацию зерен и плоскостей скольжения, например, как это сделано в работах [28, 31, 32]. Применение таких моделей является принципиально важным для материалов с ограниченным числом систем скольжения, пластически анизотропных материалов (например в результате прокатки), и условий нагружения, при которых зерна испытывают значительные повороты.

В настоящей работе в качестве модельного материала был выбран макроскопически изотропный алюминиевый сплав А16061-Т3. Поскольку алюминиевые сплавы, характеризующиеся ГЦК-решеткой, имеют 12 сис-

Рис. 1. Модельные поликристаллы с периодической структурой, сгенерированные на сетках 200 х 75 х 200, и схема трансляции микроструктуры в направлении оси Х1 при расчете с периодическими граничными условиями. Растяжение приложено вдоль оси Х3. Средний диаметр зерна составлял 300

тем скольжения, напряжение пластического течения в зерне слабо зависит от его кристаллографической ориентации по отношению к приложенной нагрузке. Поэтому влияние кристаллографической ориентации зерен учитывалось неявно, через разброс упругих модулей и характеристик текучести относительно среднего значения в пределах ±2-5 %. Хотя для поликристаллических алюминиевых сплавов эффект Холла-Петча имеет существенное значение, в рассмотренных моделях он намеренно не учитывался, для того чтобы отделить эффекты, связанные с размером зерна и механическими свойствами. По этой же причине в моделях не учитывались явления прерывистой текучести, характерные для исследуемого алюминиевого сплава [33].

Переход локальных объемов материала из упругого состояния в пластическое определялся критерием текучести Мизеса с учетом изотропного упрочнения:

°еЧ = 1/2^ =4

где сту^е^) — предел текучести г-го зерна с учетом деформационного упрочнения. Функция упрочнения для А16061-Т3 была задана в виде:

стгу = + 65

где — начальный предел текучести г-го зерна; ееч — интенсивность накопленной пластической деформации.

Различие упругих свойств зерен в зависимости от кристаллографической ориентации по отношению к приложенной нагрузке учитывалось путем случайного разброса модулей упругости между зернами в пределах ±2.5 % относительно среднего значения. При этом внутри зерна упругие характеристики остаются постоянными, но меняются при переходе через межзеренную границу. В соответствии с цветовой шкалой, использованной для изображения поликристаллических конгломератов на рис. 1, чем темнее зерно, тем выше его упругопластические характеристики. Средние значения модуля сдвига и модуля объемного сжатия, заданные в расчетах, составляли 28.4 и 82.0 ГПа. Среднее значение начального предела текучести — 107 МПа.

2.3. Граничные условия

В общем случае на шести поверхностях расчетного образца необходимо задать кинематические или динамические граничные условия. Введем систему координат, как показано на рис. 1, и обозначим за Ц, Ь2 и Ь3 линейные размеры образца в соответствующих направлениях. Во всех рассмотренных случаях растяжение прикладывалось вдоль оси Х3. Для этого на поверхностях нагружения х3 = 0 и х3 = Ь3 задавались кинематические граничные условия в виде:

Щ

где V — относительная скорость перемещения поверхностей, а в направлениях Х1 и X2 предполагалось отсутствие внешних сил (см. подробно в [27]). Верхняя

поверхность х2 = Ь2 — основной объект исследования — считалась свободной от воздействия внешних сил. На нижней поверхности х2 = 0 задавались условия симметрии относительно плоскости (х1,0, х3):

и2

и свободные перемещения в направлениях осей X1 и Xз.

На боковых поверхностях х1 = 0 и х1 = Ц формулировались либо условия отсутствия внешних сил (свободные поверхности), либо периодические граничные условия. Во втором случае граничные условия в кинематической форме задавались в псевдоячейках, образованных при трансляции расчетной области в направлении оси X1 и примыкающих к плоскостям х1 = 0 и х1 = Ц слева и справа (рис. 1). Обозначим за Дх1 и Дхг расстояния между плоскостями х1 = 0 и х1 = Ц и примыкающими к ним псевдоплоскостями. Тогда кинематические граничные условия на псевдоплоскостях могут быть записаны в виде:

и1 (-Дх1, х2 > х3 ) = и1(Ц > х2 > х3 )>

и (Ц +Дхг, х2, хз) = и (0, х2, хз).

Периодические граничные условия соответствуют условиям, близким к плоской деформации, и позволяют транслировать расчетные поля напряжений и деформаций в направлении оси X1.

3. Результаты моделирования

3.1. Механические аспекты формирования мезоскопического деформационного рельефа

Построение модели образования деформационного рельефа на свободной поверхности в рамках классической механики, рассматривающей изотропные однородные среды, не представляется возможным без специальных допущений (например потеря устойчивости). Действительно, с точки зрения макроскопической механики на плоской свободной поверхности однородного образца нормальные напряжения, которые могут привести к формированию рельефных складок, в принципе отсутствуют (рис. 2, а).

Принципиально иная ситуация возникает в материалах с внутренними границами раздела. В работах [2325] было показано, что наличие неоднородной внутренней структуры приводит к тому, что в локальных областях материала все компоненты тензоров напряжений и деформаций принимают ненулевые значения, включая напряжения, действующие в направлении свободной поверхности. Более того, в условиях одноосного растяжения напряжения, возникающие в объеме материала и действующие по нормали к свободной поверхности, демонстрируют «шахматное» распределение положительных и отрицательных значений, удовлетворяя тем самым условиям макроскопического равновесия. Области положительных и отрицательных значений взаи-

0.1 Х3, см

X-!, см

0.0

Рис. 2. Свободные поверхности однородного (а) и поликристаллического образца (б) при растяжении до 0.22 %

мокомпенсируют друг друга, обеспечивая нулевой уровень макроскопических напряжений, действующих по нормали к свободной поверхности. Таким образом, с макроскопической точки зрения от нуля отлична только одна компонента тензора напряжений — действующая в направлении оси нагружения. Вместе с тем периодические поля нормальных напряжений и деформаций, возникающие в объеме материала на мезоуровне, действуют со стороны объема на свободную поверхность и вызывают нормальные смещения в виде периодических деформационных складок (рис. 2, б).

Относительно поверхности однородного образца (рис. 2, а) нормальные смещения на поверхности поликристалла (рис. 2, б) принимают положительные и отрицательные значения, формируя возвышения и впадины. Далее, для количественного сравнения рельефных образований, полученных при различных условиях нагружения, в различных структурах и при разных степенях деформации, будем приводить деформационный рельеф относительно поверхности однородного образца такой же геометрии и средних механических свойств, нагруженного в аналогичных условиях. Будем определять относительные смещения как

Sх2 = хр

где верхние символы р и h относятся соответственно к поликристаллу и однородному образцу.

3.2. Выбор оптимальной толщины трехмерного модельного образца для исследования деформационного рельефа

В [24, 25] было показано, что основное влияние на деформационные процессы, происходящие на поверхности, оказывает структура приповерхностных слоев. В этой связи представляется возможным оптимизировать геометрические размеры расчетной области, исключив из анализа глубоко лежащие слои материала. Для определения минимальной толщины модельного образца, необходимой для воспроизведения деформационного рельефа с приемлемой степенью точности, были проведены расчеты для поликристаллических структур размерами 500 х 350 х 1000, 500 х 200 х 1000 и

500x100x1000 мкм (рис. 3, а-в). Средний диаметр зерна составлял около 50 мкм. Таким образом, в направлении перпендикулярном свободной поверхности содержалось порядка семи, четырех и двух слоев зерен. Граничные условия, моделирующие растяжение, задавались в виде (6), (7). Боковые поверхности считались свободными от действия внешних сил.

На рис. 3 приведены распределения интенсивности пластических деформаций и деформационный рельеф на свободной поверхности поликристаллов различной толщины при растяжении до 0.3 %. Результаты проведенных расчетов показали, что при учете четырех и семи слоев зерен картины деформационного рельефа (рис. 3, г, д) на поверхности поликристаллов демонстрируют качественное и количественное совпадение. Аналогичный вывод можно сделать в отношении пластических деформаций (рис. 3, а, б). При учете двух слоев зерен (рис. 3, в, е) деформационная картина на поверхности меняется — степень пластической деформации в области локализации и глубина рельефной складки увеличивается, а ширина области локализации уменьшается по сравнению с предыдущими случаями.

Основное влияние на деформационные процессы, происходящие на поверхности, оказывает микроструктура, лежащая в пределах 1-2 диаметров зерна. Модель, учитывающая по глубине только два слоя зерен, не позволяет описать деформационный рельеф на поверхности с достаточной степенью точности, поскольку в этом случае сказывается влияние нижней закрепленной поверхности. Вместе с тем использование моделей толщиной более четырех средних диаметров зерна для рассмотренных условий нагружения является нецелесообразным, поскольку поверхностный рельеф при этом меняется слабо.

3.3. Влияние размера зерна и условий нагружения поликристаллических мезообъемов на характеристики деформационного рельефа

Задание граничных условий, которые бы описывали нагружение мезообъема с максимальным приближением к реальности, является далеко не тривиальной задачей численного моделирования. В двумерном при-

X-!, СМ

Рис. 3. Интенсивность пластических деформаций

ближении на границах расчетной области могут быть заданы смещения, определенные из экспериментальных наблюдений in situ поверхности образца. Извлечь подобную информацию из эксперимента для трехмерной модели становится практически невозможным, поскольку это требует знания об эволюции смещений или напряжений не только на поверхности, но и в объеме материала.

Альтернативным методом является определение смещений или напряжений на поверхностях мезообъе-ма из решения задачи о нагружении макроскопического однородного образца, полученного на более крупных сетках. В этом случае мезообъем «вырезается» из макроскопического образца. В граничных узлах мезострукту-ры, совпадающих с узлами макроскопической расчетной сетки, задаются смещения из решения макроскопической задачи, а в промежуточных граничных узлах соответствующие смещения определяются путем интерполяции. Такой метод позволяет задать достаточно реалистичные условия нагружения мезообъема, однако его практическая реализация при решении динамических задач достаточно сложна, а иногда и невозможна.

В настоящей работе для анализа влияния условий нагружения мезообъема на характеристики деформа-

ционного рельефа были рассмотрены два идеализированных случая граничных условий, которые отличались описанием поведения боковых поверхностей (см. раздел 2.3). В первом случае боковые поверхности считались свободными от действия внешних сил, во втором случае на них задавались периодические граничные условия. Растяжение прикладывалось вдоль оси X3, на нижней поверхности выполнялись условия симметрии относительно плоскости (х1,0, х3), верхняя поверхность была свободной от внешней нагрузки. Расчеты проводились для поликристаллической структуры, содержащей 1000 зерен (рис. 1, в).

На рис. 4 приведены распределения пластических деформаций и соответствующие картины деформационного рельефа в образцах со свободными границами и в условиях стесненной деформации. Качественное отличие рельефных образований заключается в ориентации складок и областей локализации пластической деформации. На поверхности образца, боковые грани которого свободны от действия внешних сил, рельефные складки и полосы локализации ориентированы под углом 45° к оси растяжения (рис. 4, а, в). Такая ориентация связана с направлением максимальных касательных напряжений, обеспеченных макроскопическим напряженно-де-

0.05 0.10 0.15

Рис. 4. Интенсивность пластических деформаций (а, б) и деформационный рельеф (в, г) в поликристаллах со свободными боковыми поверхностями (а, в) и с периодическими граничными условиями (б, г) при растяжении до 0.18 %

формированным состоянием. Во втором случае складки мезоскопического рельефа проходят через всю поверхность образца перпендикулярно оси нагружения (рис. 4, б, г).

Для количественного сравнения рельефных складок, образованных в различных условиях, были построены профили поверхностей вдоль линий, перпендикулярных направлению складок (рис. 5). В образце с периодичес-

-0.02-

Рис. 5. Профили поверхностей вдоль диагональной линии в поликристалле со свободными боковыми поверхностями (а) и вдоль средней линии в образце с периодическими граничными условиями (б), растяжение 0.18 %

0.04

0.00

0.04

0.08

Рис. 6. Деформационный рельеф поликристаллов с размером зерна 300 (а), 200 (б) и 170 мкм (в) и профили поверхностей вдоль пунктирной линии (кривые 1) относительно профилей в однородном образце (кривые 2). Растяжение до 0.22 %

кими граничными условиями это средняя линия, ориентированная параллельно оси растяжения (рис. 5, б), а в образце со свободными границами — диагональная линия (рис. 5, а). В образце со свободными боковыми гранями высота рельефных складок меньше, а ширина больше, чем в образце с периодическими граничными условиями. В последнем случае ограничение деформации в поперечном направлении приводит к увеличению высоты и глубины рельефных складок относительно среднего уровня. В обоих образцах профили поверхностей демонстрируют наличие нескольких крупных складок, состоящих из двух-трех более мелких. Такая структура придает крупным складкам вид переплетающихся спиралей (см. рис. 4, в, г). Появление спирале-

видных складок на поверхности нагруженных образцов наблюдалось экспериментально во многих работах

[1-7].

В реальных экспериментах наблюдается одновременное наличие складок разной ориентации, формы и амплитуды. Одним из факторов, влияющих на это, могут быть различные условия нагружения микрообъемов материала в зависимости от их местоположения в образце. Причем нагрузка, передаваемая на границы выбранного микрообъема со стороны материала, может существенно отличаться как степенями деформации, так и характером приложения. Так, например, в области шейки деформация может на порядок превышать средний уровень в образце. Очевидные отличия в способе

нагружения демонстрируют области, находящиеся на разном расстоянии от средней линии образца и боковых поверхностей. Фактически в различных областях нагруженного образца может реализовываться сложное нагружение в виде комбинации растяжения, сжатия, поворотных и сдвиговых мод деформации, и, соответственно, будут отличаться картины деформационного рельефа.

Для исследования влияния размера зерна на характеристики деформационного рельефа расчеты проводились для поликристаллических структур со средним размером зерна 300, 200 и 170 мкм (рис. 1). На боковых поверхностях поликристаллов задавались периодические граничные условия, что позволяет транслировать структуры в соответствующем направлении.

На рис. 6 приведены картины деформационного рельефа на поверхности поликристаллов с различным размером зерна и профили поверхностей, снятые вдоль средней линии образцов. Трансляция в направлении перпендикулярном оси растяжения делает рельефные образования более наглядными. Во всех случаях ярко выраженные спиралевидные складки, ориентированные перпендикулярно оси растяжения, возникают на поверхности образцов на ранней стадии пластического течения. Такая картина согласуется с данными многих экспериментов (см., например, монографию [1]). С уменьшением размера зерна высота и глубина рельефных складок относительно среднего уровня, соответствующего поверхности однородного образца, также уменьшается, а количество складок, соответственно, возрастает (ср. рис. 6, а и в). Во всех случаях поперечные размеры складок, образовавшихся на ранней стадии растяжения, составляют 3-4 диаметра зерна. При последующем нагружении высота и ширина складок растут пропорционально степени деформации по линейному закону, что также согласуется с экспериментальными данными [1].

4. Заключение

В работе проведено численное исследование образования деформационного рельефа на свободной поверхности модельных поликристаллов в условиях одноосного растяжения. Предложен метод генерации трехмерных поликристаллических моделей с периодической структурой. Периодичность предполагает возможность трансляции структуры в заданном направлении. При последующем решении задачи механики на соответствующих поверхностях могут быть заданы периодические граничные условия, более реалистично описывающие условия стесненной деформации. Методом численного эксперимента исследовано влияние толщины трехмерной модели, условий нагружения и размера зерна на качественные и количественные характеристики деформационного рельефа.

На основе результатов моделирования были сделаны следующие выводы.

В рамках рассмотренных моделей формирование деформационного рельефа обусловлено возникновением в объеме образца внутренних напряжений, действующих перпендикулярно свободной поверхности и характеризующихся «шахматным» распределением областей растяжения и сжатия. Периодические поля нормальных напряжений действуют со стороны объема на свободную поверхность и вызывают нормальные смещения в виде периодических деформационных складок.

Основное влияние на деформационные процессы, происходящие на поверхности, оказывает микроструктура, лежащая в пределах 1-2 диаметров зерна от поверхности. Этим может быть определена оптимальная толщина трехмерной модели, выбранная для исследования.

Граничные условия на боковых поверхностях поликристаллов влияют на качественные и количественные характеристики деформационного рельефа. Так, в случае свободных поверхностей рельефные складки ориентированы под углом 45° к оси растяжения, а в условиях стесненной деформации (периодические граничные условия) протяженные спиралевидные складки располагаются перпендикулярно оси растяжения. Высота складок в первом случае меньше, а ширина больше, что обусловлено дополнительной степенью свободы в направлении боковых поверхностей.

Во всех рассмотренных случаях поперечный размер складок составлял 2-5 средних диаметров зерна. С уменьшением размера зерна высота и глубина рельефных складок также уменьшаются, а их количество возрастает.

В заключение еще раз отметим, что поведение реальных материалов, характеризующихся сложной многомасштабной структурой, зависит от целого комплекса факторов, все из которых невозможно учесть в моделях. Поэтому полученные результаты численных расчетов и выводы не претендуют на обобщение и справедливы в рамках рассмотренных структур и условий нагружения. Вместе с тем согласие расчетных данных с результатами экспериментов позволяет полагать, что в рассмотренном масштабе и диапазоне нагрузок предложенные модели являются достаточно корректными.

Работа выполнена при поддержке Президента РФ (грант МД-6370.2010.1), РАН (Программа фундаментальных исследований № 11) и РФФИ (проект № 10-08-00084-а). Расчеты проводились на многопроцессорном кластере «СКИФ» Национального исследовательского Томского государственного университета. Авторы выражают признательность д.ф.-м.н. А.В. Панину за полезные дискуссии и ценные замечания.

Литература

1. Поверхностные слои и внутренние границы раздела в гетерогенных материалах / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006. - 520 с.

2. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Физическая мезомеханика и неравновесная термодинамика как методологическая основа наноматериаловедения // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 4. - С. 7-26.

3. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Панин А.В. Эффект каналирования пластических сдвигов и нелинейные волны локализованной пластической деформации и разрушения // Физ. мезомех. - 2010. -Т. 13. - № 5. - C. 7-26.

4. Панин В.Е., Панин А.В. Эффект поверхностного слоя в деформируе-

мом твердом теле // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 5. - С. 7-15.

5. Панин А.В., Клименов В.А., Абрамовская Н.Л., Сон A.A. Зарождение

и развитие потоков дефектов на поверхности деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 1. - С. 83-92.

6. Панин А.В., Леонтьева-Смирнова М.В., Чернов В.М., Панин В.Е., Почивалов Ю.И., Мельникова Е.А. Повышение прочностных характеристик конструкционной стали ЭК-181 на основе многоуровневого подхода физической мезомеханики // Физ. мезомех. - 2007. -Т. 10. - № 4. - С. 73-86.

7. Панин А.В. Особенности пластической деформации и разрушения технического титана и малоуглеродистой стали, подвергнутых ультразвуковой обработке // ФММ. - 2004. - Т. 98. - № 1. - C. 109-118.

8. Веттегрень В.И., Pахимов С.Ш., Светлов В.Н. Исследование эволюции рельефа поверхности отожженных образцов Cu и Pd под нагрузкой // ФТТ. - 1997. - Т. 39. - № 9. - С. 1560-1563.

9. Корсуков В.Е., Лукьяненко А.С., Обидов Б.А., Светлов В.Н., Степин Е.В. Рост шероховатости на поверхности фольги из аморфного сплава Fe70Cr15B15 как отклик на растягивающую нагрузку // Письма в ЖЭТФ. - 1993. - Т. 57. - № 6. - С. 343-345.

10. Засимчук Е.Э., Гордиенко Ю.Г., Гонтарева PT., Засимчук И.К. Сенсоры для оценки деформационного повреждения в структурно-неоднородных авиационных сплавах // Физ. мезомех. -2002. - Т. 5. - № 2. - С. 87-95.

11. Stoudt M.R., Hubbard J.B. Analysis of deformation-induced surface morphologies in steel sheet // Acta Mater. - 2005. - V. 53. - P. 42934304.

12. Wouters O., Vellinga W.P., van Tjum R., de Hosson J.Th.M. On the evolution of surface roughness during deformation of polycrystalline aluminum alloys // Acta Mater. - 2005. - V. 53. - P. 4043-4050.

13. Wilson D., Roberts W., Rodrigues P. Effects of grain anisotropy on limit strains in biaxial stretching: Part I: Influence of sheet thickness and grain size in weakly textured sheet // Metall Trans. A. - 1981. -No. 12. - P. 1603-1611.

14. Wittridge N.J., Knutsen R.D. A microtexture based analysis of the surface roughening behaviour of an aluminium alloy during tensile deformation // Mater. Sci. Eng. A. - 1999. - V. 269. - No. 1-2. -P. 205-216.

15. Zhao Z., Radovitzky R., Cuitino A. A study of surface roughening in fcc metals using direct numerical simulation // Acta Mater. - 2004. -V. 52. - P. 5791-5804.

16. Люкшин П.А., Люкшин Б.А., Матолыгина Н.Ю., Панин С.В. Моделирование напряженно-деформированного состояния и потери устойчивости термобарьерного покрытия при тепловом ударе // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 1. - С. 33-41.

17. Черепанов О.И. Численное решение некоторых квазистатических задач мезомеханики. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2003. - 180 с.

18. Гринфельд М.А. Неустойчивость границы раздела между негидростатически напряженным упругим телом и расплавом // ДАН СССР. - 1986. - Т. 290. - № 6. - С. 1558-1563.

19. Панин В.Е., Панин А.В., Моисеенко Д.Д. «Шахматный» мезоэф-фект интерфейса в гетерогенных средах в полях внешних воздействий // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 6. - С. 5-15.

20. Кузнецов П.В., Панин В.Е., Деревягина Л.С., Петракова И.В. Образование кордовой и твидовой структуры на фольгах поликристаллов высокочистого алюминия, жестко закрепленных на образцах алюминиевого сплава при усталостных испытаниях // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - Спец. выпуск. - С. 75-78.

21. Cherepanov G.P. On the theory of thermal stresses in a thin bonding layer // J. Appl. Phys. - 1995. - V. 78. - P. 6826-6832.

22. Панин В.Е., Панин А.В., Сергеев В.П., Шугуров А.Р. Эффекты скейлинга в структурно-фазовой самоорганизации на интерфейсе «тонкая пленка - подложка» // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. -№3. - С. 9-21.

23. BalokhonovR.R., Romanova V.A. The effect of the irregular interface geometry in deformation and fracture of a steel substrate-boride coating composite // Int. J. Plast. - 2009 - V. 25. - No. 11. - P. 20252248.

24. Романова В.А., Балохонов P.P. О роли внутренних границ в процессах формирования мезоскопического деформационного рельефа на свободной поверхности нагруженных материалов // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 4. - C. 35^4.

25. Панин А.В., Романова В.А., Балохонов P.P., Перевалова О.Б., СиняковаЕ.А., Емельянова О.С., Леонтьева-СмирноваМ.В., Карпенко Н.И. Формирование мезоскопических складчатых структур на поверхности поликристаллов стали ЭК-181 в условиях одноосного растяжения // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 5768.

26. Pоманова В.А., Балохонов P.P., Карпенко Н.И. Моделирование механического поведения материалов с учетом трехмерной внутренней структуры // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - № 2. - С. 7179.

27. Wilkins M. Computer Simulation of Dynamic Phenomena. - Berlin: Springer-Verlag, 1999. - 265 p.

28. Diard O., Leclercq S., Rousselier G., Cailletaud G. Evaluation of finite element based analysis of 3D multicrystalline aggregates plasticity. Application to crystal plasticity model identification and the study of stress and strain fields near grain boundaries // Int. J. Plast. -2005. - V. 21. - P. 691-772.

29. Krill C.E., Chen L.-Q. Computer simulation of 3-D grain growth using a phase-field model // Acta Mater. - 2002. - V. 50. - P. 30573073.

30. Raabe D. Cellular automata in materials science with particular reference to recrystallization simulation // Annu. Rev. Mater. Res. -2002.- V. 32. - P. 53-76.

31. Barbe F., Decker L., Jeulin D., Cailletaud G. Intergranular and intragranular behavior of polycrystalline aggregates. Part 1: F.E. model // Int. J. Plast. - 2001. - V. 17. - P. 513-536.

32. Трусов П.В., ВолеговП.С., Янц А.Ю. Несимметричная физическая теория пластичности для описания эволюции микроструктуры поликристаллов // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 1. - С. 1931.

33. Дерюгин Е.Е., Панин В.Е., Шмаудер 3., Суворов Б.И. Исследование локальных характеристик прерывистой текучести дисперсно-упрочненного алюминия как многоуровневой системы // Физ. мезомех. - 2006. - Т. 9. - № 5. - С. 27-32.

Поступила в редакцию 08.04.2011 г., после переработки 14.06.2011 г.

Сведения об авторах

Романова Варвара Александровна, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, varvara@ispms.tsc.ru Карпенко Николай Иванович, асп. ИФПМ СО РАН, kolas@ngs.ru Балохонов Руслан Ревович, д.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, rusy@ispms.tsc.ru Емельянова Ольга Сергеевна, студ. НИ ТГУ, genyayes@mail.ru Ковалев Василий Александрович, студ. НИ ТГУ, nakeed33@gmail.com