Инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний сетей с многорежимными стратегиями обслуживания, разнотипными заявками и дисциплиной обслуживания LCFS PR

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Управление, вычислительная техника и информатика № 3

УДК 519.2

Ю.В. Малинковский, А.Н. Старовойтов, А.Р. Еремина

ИНВАРИАНТНОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ СЕТЕЙ С МНОГОРЕЖИМНЫМИ

СТРАТЕГИЯМИ ОБСЛУЖИВАНИЯ, РАЗНОТИПНЫМИ ЗАЯВКАМИ И ДИСЦИПЛИНОЙ ОБСЛУЖИВАНИЯ LCFS РЯ

В работе рассматриваются открытые сети массового обслуживания с многорежимными стратегиями, в которых циркулируют заявки нескольких типов. Входной поток - простейший. Время пребывания в каждом режиме имеет показательное распределение, а количество работы по обслуживанию поступающих в узел заявок - произвольное распределение с конечным математическим ожиданием. Устанавливается инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний сети по отношению к функциональной форме распределений величин работ, требующихся на обслуживание заявок.

Ключевые слова: сеть массового обслуживания, стационарное распределение, инвариантность.

Большую важность для практики представляет изучение сетей массового обслуживания, в которых обслуживающие приборы в узлах могут выходить из строя, так как любые технические средства в процессе их эксплуатации могут отказывать, требуя восстановления (ремонта или замены). Здесь возможны несколько различных постановок: обслуживающий прибор может полностью выходить из строя при обслуживании требования либо при обслуживании требования и в свободном состоянии, либо частично выходить из строя, при этом он продолжает работать, но с меньшей производительностью. Так, в работе [1] были введены в рассмотрение сети массового обслуживания с многорежимными стратегиями, в узлах которых приборы могут функционировать в различных режимах. Каждый режим обслуживания характеризуется своими показателями, то есть при переходе прибора в более “худший” режим его производительность уменьшается. Прибор может частично терять свою работоспособность, как при обслуживании требования, так и в незанятом состоянии. В [2] была установлена инвариантность стационарного распределения вероятностей состояний относительно функционального вида распределения количества работы, необходимого для обслуживания требования, когда дисциплиной обслуживания является «обобщенное разделение процессора со случайным выбором канала в узле». В [3] для открытой сети с многорежимными стратегиями, несколькими типами заявок и дисциплиной обслуживания ЬСБ8 РЯ было найдено стационарное распределение в мультипликативной форме. Однако в [3] считалось, что время обслуживания и время пребывания прибора в каждом режиме имеют экспоненциальное распределение. На практике указанные предположения чаще всего не выполняются. Поэтому в данной работе рассматриваются аналогичные сети, в которых величина работы по обслуживанию заявки имеет произвольный закон распределения.

Устанавливается, что стационарное распределение вероятностей состояний указанных сетей не зависит от вида законов распределения величин работ по обслуживанию заявок в узлах, если фиксированы первые моменты этих законов.

1. Постановка задачи

В сети массового обслуживания, состоящей из N однолинейных узлов, циркулируют заявки М типов. Поступающий поток заявок - простейший с интенсивностью X, а каждая заявка входного потока независимо от других заявок направляется в 1-й узел и становится заявкой и-го типа с вероятностью р0 (1,«). После обслуживания в 1-м узле заявка и-го типа независимо от других заявок мгновенно направляется в к-й узел и становится заявкой у-го типа с вероятностью Р(1,и)(к,у), а с вероятностью Р(/,и)о покидает сеть, где

N М N М ____ ____

X Ероу,и) =XX Ра,и)(к,у) + Р(і,и)о = і; ^к =1N;и,у =1М.

1=1 и=1 к=1 у=1

В каждом из N узлов находится единственный прибор, который может работать в г1 + 1 режимах, 1 = 1, N. Дисциплина обслуживания - ЬСБ8 РЯ (заявка, поступающая в 1-й узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться, а вытесненная заявка становится первой в очереди на обслуживание). Таким образом, поступающие в узел заявки имеют абсолютный приоритет. Нумерация заявок в очереди на каждый узел осуществляется от конца очереди к прибору.

Состояние сети в момент времени ґ характеризуется вектором х(ґ) = (х^ґ), х2(ґ), ..., х^/(ґ)), где состояние 1-го узла в момент времени ґ описывается вектором

х(ґ) = (х1 (ґ),і(ґ)) = (хП(ґ), ХЕ(ґ), ..., ХіМ1)(Ґ), ІО), хп(ґ) - тип заявки, стоящей последней в очереди на обслуживание в 1-м узле в момент времени ґ и т.д., х1я(1)-1(ґ) -тип заявки, стоящей первой в очереди на облуживание в і-м узле в момент времени ґ, х1я(1)(ґ) - тип заявки, находящейся на облуживании в 1-м узле в момент времени ґ, ]1(ґ) - режим, в котором работает 1-й узел в момент времени ґ, п(1) - общее количество заявок в 1-м узле. Тогда процесс х( ) имеет пространство состояний X = Х1 х Х2 х.х где Х1 = {(0,1), (Х11,1), (Х11, Х12,1), (Х11, хЕ, Х13, і), хш= 1, М , к = 1, 2, ...;І1 = 0,г }.

В качестве основного режима работы обслуживающего прибора полагается режим работы о. Переход возможен только на соседние режимы.

Время пребывания в основном режиме работы имеет показательное распределение с параметром v1 (х1,0), после чего прибор переходит в режим 1. Для состояний х1, у которых 1 <І1 < г1 -1, время пребывания в режиме і также имеет показательное распределение, при этом с интенсивностью ф1(х1) прибор 1-го узла переходит в І1 -1 режим, а с интенсивностью v1(x1) - в і і + 1 режим. Время пребывания в последнем г1-м режиме имеет показательное распределение с параметром Ф1 (х{, г), после чего прибор переходит в режим г1 -1. Во время переключения прибора с одного режима на другой число заявок в узле не меняется.

Для упрощения записи введём в рассмотрение операторы:

ТИ+ (Х1 ) = Т+ (xn,..., х1,п(1)) = ^І^..^ х1,п(1 ^«X Т (х1 ) = Т (х11,..., Х1 ,п(1)) = (х11,..., Х1 ,п(1 )-1),

Т(+,и) (Х) = Т(+,и) (Х1,..., ^ ) = (^ - , ZN X где ?к = Хк при к * 1, = (Ти+ (Х1 X і ) ,

Ті (х) = Т (Х1,...,ХN) = (^,...,ZN), где 2к = Хк при к* 1, ? = (Т (х,),і),

КМ +1(х) = ЯМ+1(Х1,..., хы) = (^,..., ), где 2к = хк при кф I, = (х1, М + 1),

Щ‘ -1(х) = Щ‘ -1(Х!,..., хы ) = (2Х,..., 2К ), где 2к = Хк при кф I, ^ = (х{, М - 1) .

Если в момент времени t состояние 1-го узла представляет собой вектор (х1, ] 1) и сразу после указанного момента в этот узел поступает заявка и-го типа, которая начинает немедленно обслуживаться, то количество работы по её обслуживанию является случайной величиной п (Т+ (хг)) с функцией распределения Б{ (ТИ+ (хг), 2) и математическим ожиданием тг (Ти+ (х{)) < ж, Бг (Ти+ (х{ ),0) = 0.

Если в момент времени t состояние 1-го узла есть вектор (хг, ]г), то обслуживание ведётся со скоростью аг (хг, М), то есть зависит от состояния узла.

Переход прибора из режима обслуживания 0 в режим обслуживания 1 можно трактовать как частичную потерю работоспособности прибора, влекущую уменьшение скорости обслуживания с а1 (х1,0) на а1 (х1,1).

Полагаем, что матрица (Р(г,м)(к,^), и, V = 1,М, I, к = 0, N, Р(0,и)(0,„)=0, неприводима. Тогда уравнение трафика

N М ________ ____

е1и = Р0

к=1 V=1

имеет единственное положительное решение е&, I = 1, N; и = 1, М.

Через у1к(0 обозначим количество работы, которое осталось выполнить с момента t до завершения обслуживания заявки, стоящей в момент времени t на к-й

позиции в 1-м узле, у&) = (ул(0, Уе(0, • ••, УгдО), (I = 1,N). Из вышесказанного

следует, что

Л У ,к

—-— = -аг(xгl, х12, • • •, %, МУ М

В общем случае процесс х(^ не является марковским, поэтому рассмотрим кусочно-линейный марковский процесс ^) = (х(0, у(0), добавляя к x(t) непрерывную компоненту у(0 = (^(0, ^2(0, •••, ^(0).

Под {Р(х), х е X} будем понимать стационарное распределение вероятностей состояний процесса х(^.

Функции

Р(х, У) = Р(х, у11, у12, У1,п(1); у21, У22 , ..., У2,п(2); ...; УN1, УN 2,..., yN,n(N)) =

= ИтР{х(1:) = х;у п(t) < УП,у12(t) < У12;...;у г п(1)(t) < У1 п(г^ 1 N}.

будем называть стационарными функциями распределения вероятностей состояний кусочно-линейного процесса £(0.

2. Марковский случай

В [3] рассмотрен случай, когда Бг(хг, 2)=1 - ехр{-,ыг(хг)2} (2 > 0) с единичной скоростью обслуживания аг(хг) = 1, то есть Бг(хг, 2) является функцией экспоненциально распределенного времени обслуживания. Тогда х(^ - марковский про-

цесс с непрерывным временем. В указанной работе показано, что при выполнении условий

VI

N

Л

хєХ 1=1

п

г(ї) п

П VI (0, к -1)'

1 Ці

< <Х,

где

N _ _ _

д( х) = Х + У( Ц 1 (ХІ, іі ) + VI (ХІ, ІІ ) + Фї (ХІ, іі ) ) :

ї=1

процесс х(/) эргодичен, а его стационарное распределение имеет мультипликативную форму

Р( х) = рх( ^) Р2 (х2) х ... X рК (хК ),

где

_ п

Рі(хі, іі)=^”(І) п

"І ,Хі*

=1 Ці

єіх находятся из (1), а

Рі (0,0) =

у у V п-----------------------^----------------П1 (0, к 1

V і=0 і=0 *=1 Ці ^ Хl2,•••, ХЬ , і) к=1 Фї

2. Основной результат Лемма. Если (єіи, і = 1, N; и = 1,М) является решением уравнения трафика (1),

то справедливо следующее равенство:

N М

У У 8Ьр(к,у)0 = 1

к=1 у=1

Доказательство. Просуммируем уравнение трафика (1) по и, затем по I и поменяем в правой части порядок суммирования:

N М N М N М N М

УУ^и =уу р0(, ,и ) + уууу гкур(к ,у)(/,и),

I=1 и=1 I=1 и =1 I=1 и =1 к=1 V=1

N М N М N М

ЁХе,и = 1+уу^ х X р(к

У)(ї,и)>

і=1 и =1

N М

к=1 у=1 і =1 и=1

N М

УУЄіи = 1 + УУЄку (1 - Р(к,у)0 )•

і =1 и =1 к=1 у=1

N М

Вычитая из обеих частей УУєіи , получим равенство (4), которое является

і =1 и =1

обобщением следствия уравнения трафика для классической сети Джексона на случай многих типов заявок. Лемма доказана.

Для описанных выше открытых сетей, в случае, когда количество работы по обслуживанию поступившей в узел заявки имеет произвольную функцию распределения Б{ (хг, х), имеет место

Теорема. Процесс £(0 эргодичен, если выполняются соотношения

vl

N

X <?(х)П

где

1 = l, N, ]I = I 'г, для х1 ,„(1 ^ „(г) > 1;

^„

. '=1 1 ^к=1 Фг(0,к) ,=1 аг(xll,хг2,•••,хь,Лг)_

N ___ __ __ ___

д( х) = Х + н Т '(х,)-аг(хг,Л) + Vг(хг,Л) + ф,(хг,Л)).

г=1

< 00,

г=1

При этом стационарные функции распределения вероятностей состояний ^ (х, у) определяются по формулам

„

л ,'

^

г=1

'=1

где

"г, хь

„

р, (х,, л )=^°) п'^ п^(00к1 Л5}1 ^ *.

к=1 Фг

Рг (0,0);

'=1

находятся из (1), а

Рг (0,0) =

О г,

Vг=0 л=0 '=1

к=1 Фг

Доказательство. Пусть выполнены условия (2), (3), то есть в случае, когда х(/) - марковский процесс, существует стационарное эргодическое распределение х(/) Тогда и в общем случае при выполнении условий (5), (6) существует стационарное эргодическое распределение процесса £(0, так как £(0 получается из х(/) добавлением непрерывных компонент, а ц-1 (х1, Лг) = тг (хг )а-1 (хг, Лг) • Строгое доказательство этого факта может быть проведено, если учесть, что процесс £(0 является регенерирующим^ Действительно, функционирование сети схематично можно представить как чередование периодов, когда сеть находится в состоянии «0» (в каждом узле сети нет заявок и прибор работает в нулевом режиме), и периодов занятости сети (в противном случае) Далее доказательство сводится к применению предельной теоремы Смита для регенерирующих процессов [4, с^41]^ Для F(x,у) справедлива следующая система дифференциально-разностных уравнений:

N ________ _ >

^ + X (г(( (г) + Фг(хг, Л)) |F (x, У) =

г=1

= Наг

г=1

дF

дуг ,„

дF

V дуг,„

У1, „(г)=0 /

N М __

+ХХаг (Т+(хі )> І) Р(і и )о

і=1 и=1

^Уі,

«(і )+1

уі, «(і )+1 =0

N ___

+^Х Ро(і ,хі „(і)) Ві (хі, Уі ,„(і) ) ^ (ТТ(х) у) + і=1

N N М _

+Х X Xа* (Т+ (х*, і м

і=1 *=і,*^і и =1

^ (Т(+,и )(Т - (х)), у) ^

ду

*,„ (* )+1

у*, „( *)+1 -

N М ___ ___

+ХХаі (Ти (Т (хі )), Іі )Р(і,и)(і,хі „(і))Ві (хі , уі,„(і)) і=1 и =1

дУі

і,„

У Уі, „ (і) =0

N ______ _ .V ______ _

+ХV

=1

N

X

=1

В полученных уравнениях предполагается, что если аргумент функции -Р(ху) не принадлежит фазовому пространству, то есть хг X, то ^(х,у)=0.

Разобьем данную систему на уравнения локального баланса следующим образом:

и )0

і =1 и =1

Хаі

і=1

( д¥ (х, у)Л V дуі,„(і) У

уі, „ (і) =0

і,„(і )+1

др

дуі,„

уі ,„(і)+1 -

N М __

+ X Xа * (Т+(х*, і )Р(

*=1, *^і и=1

= *Р0

ду

+Xаl

* ,„(*)+1

^(Т(+ и)(Т- (х)), у) ^

у* ,„ (*)+1=0

дуі,

„

;

У уі , „(і)=0

(V(хі, І) + ф(хі, І)) ^(x, у) =

= VI (хі, Іі - 1)^(Лі;і 1(х), у) + фі (хі, Іі + 1)^(ЯіЛ +1(х),у).

Покажем, что функции распределения вероятностей F(x,у), определенные формулами (7) - (9), являются решением уравнений (11) - (13), а следовательно, удовлетворяют системе уравнений (10) Действительно, подставляя (7) в (11), деля обе части полученного соотношения на №(х,у), получим следствие уравнения трафика (4) Подставляя (7) в (12), приводя подобные слагаемые, получим урав-

и =1

нение трафика (1). И, наконец, подставляя (7) в (13) и учитывая (5), получим тождество. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы с учётом равенства P(x)=F(x,+o>) вытекает следующее утверждение.

Следствие. Если выполняются соотношения (5), (6), то процесс x(t) эргодичен, а его стационарное распределение {P(x), xeX) не зависит от функционального вида распределения Б{ (x{, z) и имеет вид

P (x) = pi (x) p2( x2) x... x pN (xN), где p(xi) находятся по формулам (8), (9).

Заключение

В настоящей работе установлена независимость стационарного распределения вероятностей состояний открытых сетей с многорежимными стратегиями обслуживания и заявками разных типов от вида законов распределения величин работ, требующихся на обслуживание заявок в узлах, когда дисциплиной обслуживания является LCFS PR (абсолютный приоритет поступающего требования с дообслу-живанием). При этом показано, что стационарное распределение сети имеет форму произведения, где каждый множитель - стационарное распределение изолированного узла, помещенного в фиктивную окружающую среду с пуассоновским потоком. Этот результат является обобщением работы [3], а именно, снимается ограничение на экспоненциально распределенное время обслуживания заявки в узле. Следует отметить, что для описанной сети естественным образом возникает задача установления инвариантности стационарного распределения относительно функции распределения времени пребывания прибора в различных режимах, а также - задача исследования стационарного распределения сети, когда и время обслуживания, и время пребывания прибора в режимах имеют произвольные распределения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Малинковскмй Ю.В., Нуеман А.Ю. Мультипликативность стационарного распределения в открытых сетях с многорежимными стратегиями обслуживания // Весщ НАН Беларуси 2001. № 3. С. 129 - 134.

2. Старовойтов А.Н. Кусочно-линейные сети с многорежимными стратегиями обслуживания // Автоматика и телемеханика. 2008. № 6. С. 107 - 116.

3. Летунович Ю.Е. Стационарное распределение состояний открытой неоднородной сети с многорежимными стратегиями и немедленным обслуживанием // Современные информационные технологии: Сб. науч. статей: в 2 ч. Ч. 2. Гродно: Гродненский государственный университет им. Я.Купалы, 2008. С. 97 - 99.

4. Ивницкий В.А. Теория сетей массового обслуживания. М.: Физматлит, 2004. 772 с.

Малинковский Юрий Владимирович

Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины.

E-mail: Malinkovsky@gsu.by

Старовойтов Александр Николаевич

Белорусский государственный университет транспорта.

E-mail: Astarovoytov@tut.by Еремина Александра Рафаэловна.

Гродненский государственный университет им. Я.Купалы.

E-mail: AleksandraE@mail.ru Поступила в редакцию 10 апреля 2009 г.