Использование многочленов Эрмита для аналитического решения задачи перемещения груза на гибком маятниковом подвесе по заданной траектории

Список литературы

1. Жулай В. А., Тюнин В. Л., Крестников А. В. Оценка топливной экономичности самоходных колёсных землеройно-транспортных машин // Механизация строительства. 2016. Т. 77, № 8. С. 27-31.

2. Song Q., Wand W. and Jia C. Research on fuel consumption of hybrid bulldozer under typical duty cycle. The 2015 Int. Conf. on Mechanical Engineering and Control Systems (MECS2015), 2016, pp. 54-57. DOI:10.1142/9789814740616_0012.

3. Игнатов С. Д., Портнова А. А. Способы решения проблемы управляемости дорожных машин // Архитектура. Строительство. Транспорт. Технологии. Инновации: материалы Междунар. конгресса / ФГБОУ ВПО «Си-бАДИ». Омск, 2013. С. 51-57.

4. Щербаков В. С., Белов И. И. Анализ математической модели взаимодействия рабочего органа автогрейдера с микрорельефом // Техника и технологии строительства. 2016. № 4 (8). С. 60-66.

5. Агарков А. М., Чеховской Е. И. Анализ конструкции рабочего оборудования автогрейдера с целью повышения надежности // Инновационная наука. 2016. № 12-2. С. 9-11.

6. Мукушев Ш. К., Филиппи В .В. Обзор конструкций отвалов автогрейдеров // Техника и технологии строительства. 2016. № 4 (8). С. 50-54.

7. Скопцов М. В. Анализ тенденций совершенствования автогрейдеров с целью повышения производительности на планирующих работах // Велес. 2016. № 6-1 (36). С. 101-105.

8. Bulgakov A., Emelianov S., Bock T. and Tokmakov G. Adaptive control of bulldozer's workflows. Proc. of the 33rd ISARC (Auburn, AL, USA). 2016, pp. 90-97. DOI: 10.22260/ISARC2016/0012.

9. Hayashi К., Shimada К. et al. Development of D61EXi/PXi-23 bulldozer with automatic control system of work equipment // Komatsu Technical Report, 2013, Vol. 59, No. 166, 8 pp. URL: http ://www.komatsu. com/CompanyInfo/profile/report/pdf/166-E02.pdf (дата обращения : 25.08.2018).

10. Михайловская В. А. Кинематический анализ рабочего оборудования автогрейдера // Механизация строительства. 2016. Т. 77, № 9. С. 59-61.

11. Шевченко В. О., Рагулин В. Н. Анализ подвески рабочего оборудования автогрейдера методом компьютерного моделирования // Вестник Харьковского национального автомобильно-дорожного университета. 2016. № 73. С. 234-238.

УДК 62-503.5 ; 531.11

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ ЭРМИТА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ГРУЗА НА ГИБКОМ МАЯТНИКОВОМ ПОДВЕСЕ ПО ЗАДАННОЙ ТРАЕКТОРИИ

THE USE OF HERMITE POLYNOMIALS FOR THE ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF CARGO MOVEMENT ON FLEXIBLE PENDULUM SUSPENSION ON A GIVEN TRAJECTORY

М. С. Корытов1, В. С. Щербаков1, В. В. Титенко2

'Сибирский государственный автомобильно-дорожный университет, г. Омск, Россия 2Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

M. S. Korytov1, V. S. Shcherbakov1, V. V. Titenko2

'Siberian automobile and highway university, Omsk, Russia 2Omsk State Technical University, Omsk, Russia

Аннотация. Разработана методика полного аналитического решения задачи перемещения груза на нежестком маятниковом подвесе постоянной длины по заданной траектории в плоской постановке. Для задания требуемой траектории в виде временной зависимости линейной горизонтальной координаты груза на ограниченном интервале времени использованы двухточечные многочлены Эрмита. При равенстве нулю определенного количества первых производных линейной координаты груза в горизон-

тальном направлении на концах отрезка, обеспечивается вертикальное расположение грузового каната крана в граничных точках и отсутствие неуправляемых угловых колебаний грузового каната в процессе всего перемещения. Методами прямого вывода и поиска аналитических решений дифференциальных уравнений получены аналитические зависимости горизонтальной координаты груза, ее первой и второй производных, угла отклонения грузового каната от вертикали, его первой и второй производных, а также горизонтальной координаты верхней точки подвеса груза, ее первой и второй производных от времени перемещения. Область применения методики - системы автоматического управления перемещением мостовых и козловых кранов, а также моделирование рабочих процессов кранов. Применение ограничивается малыми углами отклонения грузового каната мостового крана от гравитационной вертикали. Методика открывает возможность быстрого синтеза оптимальной траектории перемещения точки подвеса, достаточно точно обеспечивающей требуемую траекторию перемещения груза. Отпадает необходимость в использовании сравнительно сложного математического аппарата теории оптимального управления либо ресурсоемких алгоритмов многомерной и итерационной оптимизации.

Ключевые слова: раскачивание, заданная траектория, маятниковый подвес, мостовой кран, движение точки, вынужденное движение.

Б01: 10.25206/2310-9793-2018-6-1-85-92

I. Введение

Перемещение штучных грузов кранами мостового типа (МК), а также другими типами кранов с нежестким грузовым канатом, сопровождается периодическими отклонениями грузового канатного подвеса от вертикали. При ручном управлении перемещением подвижных элементов крана (мост и грузовая тележка МК) возникают неуправляемые колебания груза маятникового типа. Они увеличивают время цикла перемещения груза, энергоемкость выполняемых работ. Также эти колебания создают потенциальную опасность столкновения груза с окружающими предметами и поломки крана. Это обусловливает необходимость увеличения габаритных коридоров свободного пространства, в котором располагаются траектории перемещения груза. И, как следствие, необходимо увеличение длины самих траекторий, что также снижает производительность работ.

Одним из наиболее перспективных способов ограничения неуправляемых колебаний груза на гибком подвесе является следующий. Это способ оптимизации траектории перемещения точки подвеса груза (далее - точка подвеса). Эта точка расположена на грузовой тележке МК. Существует большое число различных методик и алгоритмов, реализующих сформулированный общий принцип оптимизация траектории перемещения точки подвеса с большей или меньшей эффективностью.

Так, например, в работе [1] используется прогностический контроль модели для минимизации целевой функции, которая выражена как интеграл энергии и угла отклонения грузового каната МК. В работе [2] учитываются неопределенности и ограниченная длина рельсов, по которым движется грузовая тележка.

В работе [3] система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих МК, переводится в линейную каноническую форму посредством замены переменных. В работе [4] авторы рассматривают трехэтапный разгон с постоянным ускорением. Динамическая система линеаризована. В работах [5] и [6] для гашения колебаний груза используется аппарат нечеткой логики. Автор работы [7] использует для гашения колебаний груза корректирующий сигнал, пропорциональный величине отклонения груза от положения равновесия в плоскости. При этом колебания гасятся не полностью. Математические модели МК с различной степенью упрощения приводятся авторами в работе [8]. В работе [9] используются шейпинг-регуляторы, удлиняющие время разгона или торможения грузовой тележки. В работе [10] решается задача выхода на режим заданной максимальной скорости перемещения точки подвеса груза при выполнении условия полного устранения колебаний грузового каната вокруг гравитационной вертикали. Авторами работы [11] разработано решение для обхода препятствий грузом с учетом запрещенной зоны вокруг препятствий. Использовалась оптимизация функции стоимости траектории по энергетическому критерию для ограничения колебательных движений грузовой тележки.

Недостатком подавляющего большинства известных алгоритмов и методик является то, что в них, как правило, не решается задача точного перемещения груза по заданной траектории. Решается другая задача - огра-

ничения неуправляемых колебаний груза. Она формулируется как уменьшение амплитуды отклонений грузового каната от вертикали.

Для решения задачи перемещения груза на маятниковом подвесе по заданной траектории могут использоваться пропорционально-интегрально-дифференциальные регуляторы. Последние располагают в цепи обратной связи между требуемыми и фактическими координатами груза [12, 13].

Недостатками использования моделей данной группы являются: 1) некоторая, хотя и незначительная (до 1015 см в зависимости от скорости перемещения груза и длины грузового каната), погрешность фактической траектории относительно заданной [14]; 2) априорная неопределенность траектории перемещения точки подвеса. Эта траектория неизвестна до момента полного осуществления перемещения на реальном объекте, либо на имитационной модели. При имитационном моделировании траектория перемещения точки подвеса формируется путем решения систем дифференциальных уравнений движения, и до этого остается неизвестной. Это усложняет планирование траекторий перемещения груза.

Для устранения отмеченных недостатков методики с регуляторами, с участием авторов была разработана методика определения траектории перемещения грузовой тележки МК в режиме подавления неуправляемых колебаний груза [15, 16]. Применен принцип пересчета временной зависимости угла отклонения грузового каната от вертикали в зависимости ускорений, скоростей и перемещений точки подвеса на грузовой тележке. Часть решения получена в аналитическом виде с использованием функции изменения угла наклона каната в виде суммы четырех сигмоидальных функций.

Последняя методика также не лишена ряда недостатков. Производные сигмоидальной функции стремятся к нулю в пределах на плюс бесконечности и на минус бесконечности. При их использовании на конечном отрезке времени присутствуют скачки на границах отрезка. Необходимо суммирование сигмоидальной функции с корректирующими слагаемыми. Расстояние, на которое перемещается груз в результате определенного отклонения грузового каната, заранее неизвестно. Для выполнения требуемого перемещения груза и соответствующего ему перемещения точки подвеса необходимо каждый раз решать оптимизационную задачу. Она заключается в многократном повторении расчетов зависимостей ускорения, скорости и перемещения точки подвеса от времени. Как по аналитическим зависимостям, так и путем численного интегрирования.

Для устранения отмеченных недостатков существующих методик целесообразна разработка новой методики, в которой все этапы решения задачи перемещения груза по заданной траектории на заданное расстояние, начиная от задания требуемой траектории груза до формирования траектории перемещения точки подвеса, были бы получены в явном аналитическом виде. Для этого предлагается использовать сплайны Эрмита [17, 18].

Рассматриваются перемещения маятниковой системы в плоскости. Пространственные колебания груза при малых углах отклонения грузового каната от вертикали (менее 5 угловых градусов) могут с достаточной для практических целей точностью рассматриваться как суперпозиция плоских колебаний в двух взаимно перпендикулярных вертикальных плоскостях трехмерного пространства.

II. Описание методики

Приняты обозначения: / - текущее время, с; Т - конечное время рассматриваемого процесса перемещения, с; Ь - длина грузового каната МК от точки подвеса на грузовой тележке до центра масс груза, м; g - ускорение свободного падения, м/с2; Ь=Б/(тЬ2) - коэффициент затухания колебаний, с-1; т - масса груза, кг; Б - условно-постоянный коэффициент момента сил сопротивления повороту грузового каната относительно гравитационной вертикали, кг м2/с; д - угол отклонения грузового каната МК от вертикали, рад; х10 - линейная горизонтальная координата груза в момент времени /=0, м; хТ - линейная горизонтальная координата груза в момент времени Т (конечное заданное перемещение груза), м; х{ - линейная горизонтальная координата точки подвеса на грузовой тележке МК, м; верхними точками над переменными обозначены их производные по времени /.

Колебания груза в отдельной вертикальной плоскости пространства при малых углах д отклонения грузового каната от вертикали (менее 10 °) описываются известным линейным дифференциальным уравнением (ДУ) 2-го порядка вида [19, 20]

с} + х,/Ь + Ы1 + с1^/Ь = 0.

Геометрическая связь между горизонтальной линейной координатой точки подвеса Х1 и горизонтальной линейной координатой груза Х1 при малых углах д может быть линеаризована выражением:

х

Вторая производная по времени выражения (2) дает линеаризованную формулу связи между ускорениями точки подвеса х( и груза щ :

хг

При подстановке выражения (3) в ДУ (1), последнее редуцируется от 2-го порядка до ДУ 1-го порядка. Выражение старшей производной скорости угла () принимает вид:

с1 = -

Для дальнейших преобразований необходимо выразить ускорение точки подвеса х? из ДУ (4) в виде аналитической функции от времени. Для этого были использованы двухточечные многочлены Эрмита, имеющие две узловые точки - в начальный и конечный моменты времени [17, 18].

В общей формуле многочлена Эрмита приняты следующие обозначения. Значения линейной горизонтальной координаты груза XI и ее]-й производной по времени (до порядка_/=1,2,...т включительно) в начальный и конечный моменты времени обозначены х^-1 и х^ соответственно. Порядок т наивысших производных, используемых для построения двухточечного многочлена Эрмита, принят одинаковым в обеих узловых точках (на границах интервала времени).

Общая формула многочлена Эрмита для порядка наивысших производных т, при принятии значения времени в начальный момент равным нулю (для отрезка времени [0, 7]), будет иметь вид [17, 18]: ,Т лт+1 т х {/) т-] ( \к / \т+1 т х (/) ,т~1 (т г'\к

хо=

V т у у=0 ^  к=0 Vт у Vт у у=0 J к=0 V т у

к

где 'т = П I .

к т

Для ограничения колебаний груза в начальный и конечный моменты времени было принято условие равенства нулю всех производных горизонтальной координаты XI груза по времени в обеих узловых точках времени. За исключением нулевой производной в конечный момент времени:

хт

Значение координаты груза (нулевой производной) в начальный момент времени также принято равным нулю для упрощения многочленов (х10=0 при /=0).

При т=3 многочлен Эрмита, описывающий заданное изменение горизонтальной координаты груза XI в зависимости от времени t, будет иметь вид:

х

где яь ..., я4 - постоянные, вычисляемые по формулам:

20 • х,г 10 • х,г 84 • х,г 35 • х,т

я =---г-; я9 =—тТ; я3 =--т^; я4 =—-г-.

1 гр1 ' 2 гр6 ' 3 гр5 ' 4 грА У '

Первая и вторая производные горизонтальной координаты груза XI по времени будут при этом иметь вид:

Х1

хД/) = 4251/5 + 30я2?4+20я3Г3 +12 я4Г.

При подстановке выражения ускорения груза (10) в ДУ (4) решение последнего принимает вид:

2 г2

Я Я6 8*

120Ь4 Ъ4

5 3 1 2 .

Я Я я

Выражение постоянного коэффициента С1, определяемое подстановкой начального значения д0=0 в (11), имеет вид:

^ 24Ь2 Ъ2 я4 120 Ь3 Ъ3 я3 120 Ь4 Ъ4 я2 5040Ь5 Ъ5 я, С1 =---^+-^--6—1.

Я Я Я Я

Выражения первой и второй производных по времени угла наклона грузового каната будут иметь вид:

120 I? Ь3

№ =-Ч1------:---^—1----:-~ +

8 Я Я Я

6 ЬЬ

--"-2----"-з- +

Г я

я'

6ЬЬ'(105в'2 + 40+10в3) сяе ЬЬ

___1 яе

+ я2 ьь •

5040Й Ьъ 5, 2/2 (3052 +126л 0 8/(бЗлг1/2+ЗОя2/ + 10я3) 4(21^ /3 + 15*2 + 10*3* +

т=-г—L—-—2-——---—--—

я 8 8 8

, , я

24Ь2 Ь2 (30в2 +210в?) 12ЬЬ(105в '2 + 40в2' +10вз) 6ЬЬ'(40в2 +210в^) С^2 е ЬЬ

---1---1---1--.

3 2 2 т2 ,2

Я Я Я Ь Ь

Выражения перемещения и ускорения точки подвеса могут быть определены непосредственно по формулам (2) и (3). Выражение скорости точки подвеса имеет аналогичный им вид:

х,«) = х, «)-£•№

Для порядков наивысших производных многочлена Эрмита т=4 и т=5 были получены зависимости, аналогичные приведенным выше. Ввиду ограниченного объема статьи, выражения производных угла наклона каната не приводятся. Дальнейшие формулы приводятся без пояснений. При т=4:

х1

в1 =

х1

2? (36 в'4 + 28 в^3 + 21 в^2 +15 в^ + 10 в5) 362880Ь7 Ь7 в 5040 ЬЬ Ь5 (36 в'2 + 8в2^ + в3) д(') = С е ЬЬ--*-+---1 +-*-6-+

я я8 я6

120 Ь Ь3

я я я

6 ЬЫ2

+ 2 3 .

я2 я

720Ь4 Ь4 в4 120Ь3 Ь3 в5 5040Ь5 Ь5 в3 40320Ь6 Ь6 в2 362880Ь7 Ь7 в!

С1 =-5---4---6-+-7---8-.

я я я я я

При т=5:

х

вх = (-(252• хт)/Т11); в2 = ((1386 • хп)/ Т10); в3 = (-(3080 • хп)/Т9);в4 = ((3465 • хп)/ Т8);

= (-(1980-х/г)/Г7); 56 =((462-х1т)/Т6).

хД/) = 1151?10+Ю52/9+953/8+854/7 + 755/б+б56/5.

хД/) = 11051/9+9052/8+ 7253 /7 + 5654 /б + 4255 /5 + 3056 /4 .

2Г4 (55& Г5 + 45Г4 + 36& Г3 + 28^4 Г2 + 21& г + 15я6 ) 39915300Ь9 Ь9 &

?(/) = С е--^--1

72014 Ь4

5040 Ь Ь5

§

Г462 & г5 + 210 &2 г4 + 84 &3 г3

+28 г2 + 7 &5 г + &6 у

?

Г330 & г4 +120 &2 г3

+36 ^ г2 + 8 + &

,10

§

362880 Ь Ь1

+--—;-- +

.4 1 -т ¿>5 у

3628800Ь8 Ь8

40320 Ь6 Ь6

Г165 3 + 45 2 ч+9 г +

-+

120 ь3 Ь3 г

я

г462 & г5 + 252 г4 +126 г3 у+56 ^ г2 + 21 +6 56

, , 330 + 210 ^г4 +126 ^г3 +л 24ь2 Ь2 г2 1 2 3

у+70 2 + 35 +15 56

6ьЫ3 (165^г5 +120я2г4 + 84^г3 + 56я4г2 + 35+20

72

2 1.5 1

0.5 0

-0.5 -1 -1.5 -2

1

0.75 0.5 0.25 0

-0.25 -0.5

0.5 0.25 0

-0.25 -0.5

д, град

,------

/// V

г

ш=3 Л

Ж «=4

ш II

с/ , град/с

д , град/с2

ш=5

/Т^ ш=4

ш=4 ш =5 /

/ ш=3 ч^У

10

хи м

X ^—

т=3 ш=4 ^ ш=5

Л', , м/с

1

0.75 0.5 0.25 0

О

10

15 г с 20

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

-0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.25

, м/с2

ш= 5

ш=4 ж ^ . ш=3

ш

т=Ь У^

^ / =4

V

V

г

О

10

15 г, с 20

+

9

7

§

§

+

)

5

0

5

5

Рис. 1. Временные зависимости угла отклонения грузового каната д, линейной координаты точки подвеса хь а также их первых двух производных для порядков наивысших производных многочлена Эрмита линейной

координаты груза ш=3, 4, 5

720Ь4 Ь4 5040 Ь5 Ь5 40320 Ь6 Ь6 362880 Ь Ь7 & 3628800 Ь8 Ь8 39916800 Ь9 Ь9 &

С1 "-5---6-+-7---8-+-9---10-

Я Я Я Я § §

III. результаты эксперимента

На рис. 1 в качестве примера приведены полученные в результате выполнения вычислительных экспериментов временные зависимости угла q отклонения грузового каната от вертикали и соответствующей линейной координаты точки подвеса xt. Также приводятся временные зависимости первых двух производных указанных параметров. Графики получены для порядков наивысших производных многочлена Эрмита линейной координаты груза m=3, 4, 5. Полное время перемещения груза и подвеса составило 7=20 с. Длина подвеса принимала значение L=10 м.

IV. Обсуждение результатов

Выражения (7) - (15) при m=3, (16) - (21) при m=4 и (22) - (27) при m=5 полностью определяют линейные и угловую координаты, а также их производные. Для всех элементов рассматриваемой маятниковой системы (груз, точка подвеса груза, грузовой канат). В любой момент времени переходного процесса.

Наибольшие значения угла q, линейной координаты точки подвеса xt, а также их первых двух производных достигаются при максимальном рассматриваемом порядке наивысших производных многочлена Эрмита m=5. Соответственно, минимальные значения достигаются при минимальном значении m=3. В последнем случае, однако, присутствуют скачки требуемых значений ускорений точки подвеса в начальный и конечный моменты времени процесса. Величина скачка в примере составляет 0,0532 м/с2.

Максимальные ускорения точки подвеса маятниковой системы при возрастании порядка наивысших производных многочлена Эрмита с 3 до 5 возрастают на 37 %.

Верификация полученных выражений была выполнена путем подачи полученных по формулам (2), (7), (11) для m=3, (2), (16), (20) для m=4 и (2), (22), (26) для m=5 временных зависимостей перемещений точки подвеса xt(t) в имитационную математическую модель мостового крана с грузом. Модель была разработана в системе MATLAB Simscape Multibody [10, 11]. Зависимость xt(t) выступала в качестве входного сигнала модели. Была подтверждена адекватность всех выведенных аналитических формул. Величина максимального значения полученной на имитационной модели абсолютной погрешности горизонтальной координаты груза составила менее 2 мм в самом неблагоприятном расчетном случае (для m=5). Абсолютная погрешность определялась как разность текущих значений координаты груза, полученных по формулам (7), (16), (22), и соответствующих значений, полученных на имитационной модели. Это может считаться пренебрежимо малой величиной.

V. Выводы и заключение

1. При использовании выведенных с использованием многочленов Эрмита аналитических выражений перемещений груза, точки его подвеса, угла отклонения подвеса от вертикали и их производных отпадает необходимость в численном решении ДУ, описывающих маятниковую систему, на всем промежутке времени процесса. Производные линейной координаты груза в начальный и конечный моменты времени при выводе выражений принимали нулевые значения.

Немаловажным является факт, что перемещение груза по заданной траектории из одной точку в другую осуществляется в режиме отсутствия неуправляемых колебаний грузового каната, в том числе остаточных маятниковых колебаний. При этом не используется сложный математический аппарат теории автоматического управления, многомерной оптимизации и т.п.

2. На приближенном к реальным условиям эксплуатации МК примере исследован процесс перемещения груза на заданное расстояние за определенное время. Максимальный рассматриваемый порядок наивысших производных многочлена Эрмита составлял 3, 4 и 5. Установлено, что увеличение порядка наивысших производных многочлена Эрмита, описывающего заданное перемещение груза, повышает максимальное значение угла отклонения подвеса (грузового каната) от вертикали. А также максимальные значения его первых двух производных. Также на 30-40 % повышаются максимальные значения скорости и ускорения линейной координаты точки подвеса груза. При максимальном порядке наивысших производных многочлена Эрмита, равном 3, временная зависимость ускорения точки подвеса претерпевает скачки в начальный и конечный моменты времени. Величина скачков сравнительно невелика. При большем порядке наивысших производных (4 или 5) скачки ускорения отсутствуют. Это позволяет рекомендовать использовать для задания требуемой траектории груза порядок наивысших производных многочлена Эрмита, равный 4, если привод точки подвеса мостового крана не способен обеспечить изменение ускорения, приближенное к скачкообразному.

3. Использование общей формулы многочлена Эрмита при ненулевых значениях производных линейной координаты груза в начальный момент процесса открывает в перспективе возможность произвольного изменения не пройденного участка заданной траектории груза в любой момент времени. В том числе непосредственно в процессе реализации траектории.

Список литературы

1. Wu Z., Xia X., Zhu B. Model predictive control for improving operational efficiency of overhead cranes // Nonlinear Dynamics. 2015. Vol. 79, no. 4. P. 2639-2657.

2. Sun N., Fang Y., Chen H. Adaptive antiswing control for cranes in the presence of rail length constraints and uncertainties // Nonlinear Dynamics. 2015. Vol. 81, no. 1-2. P. 41-51.

3. Zhang Z., Wu Y., Huang J. Differential-flatness-based finite-time anti-swing control of underactuated crane systems // Nonlinear Dynamics. 2017. Vol. 87, no. 3. P. 1749-1761.

4. Толочко О. И., Бажутин Д. В. Сравнительный анализ методов гашения колебаний груза, подвешенного к механизму поступательного движения мостового крана // Электромашиностроение и электрооборудование. 2010. № 75. С. 22-28.

5. Xiaoou Li, Wen Yu Anti-Swing Control For An Overhead Crane With Fuzzy Compensation // Intelligent Automation. 2012. Vol. 18, no. 1. P. 1-11.

6. Omar F., Karray F., Basir O., Yu L. Autonomous overhead crane system using a fuzzy logic controller // J. of vibr. and control. 2004. Vol. 10, Issue 9. P. 22-28.

7. Сериков С. А. Способ успокоения колебаний груза, транспортируемого мостовым краном // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2006. № 9. С. 4-8.

8. Кузнецов А. П., Марков А. В., Шмарловский А. С. Математические модели портальных кранов // Доклады БГУИР. 2009. №8. С. 93-100.

9. Blackburn, D. Command Shaping for Nonlinear Crane Dynamics // Journal of Vibration and Control. 2010. № 16. P. 477-501.

10. Korytov M., Shcherbakov V., Titenko V. Analytical solution of the problem of acceleration of cargo by a bridge crane with constant acceleration at elimination of swings of a cargo rope // Journal of Physics: Conference Series. 2018. Vol. 944, no. 1. P. 012062.

11. Akira I., Yoshiyuki N. Fast trajectory planning by design of initial trajectory in overhead traveling crane with considering obstacle avoidance and load vibration suppression // Journal of Physics: Conference Series. 2016. Vol. 744, no. 1. P. 012070.

12. Shcherbakov V., Korytov M., Sukharev R., Volf E. Mathematical modeling of process moving cargo by overhead crane // Applied Mechanics and Materials. Volume: Industrial Engineering, Computation and Information Technologies. Papers from the 2014 2nd International Conference on Mechatronics and Information Technology (ICMIT 2014), October 18-19, 2014, Chongqing, China. Vols. 701-702 (2015). P. 715-720.

13. Korytov M., Shcherbakov V., Volf E. Impact sigmoidal cargo movement paths on the efficiency of bridge cranes // International J. of Mechanics and Control, 2015. Vol. 16, no. 2. P. 3-8.

14. Корытов М. С., Щербаков В. С., Шершнева Е. О. Обоснование значений коэффициентов регуляторов гашения колебаний груза мостового крана // Вестник СибАДИ. 2017. № 1 (53). С. 12-18.

15. Корытов М. С. Перемещение грузовой тележки мостового крана в режиме подавления неуправляемых колебаний груза // Проблемы управления. 2017. № 2. С. 10-16.

16. Корытов М. С., Щербаков В. С. Перемещение груза мостовым краном на заданное расстояние с подавлением колебаний за минимальное время при наличии ограничений // Механизация строительства. 2017. № 3. С. 40-44.

17. Shustov V. V. Approximation of functions by asymmetric two-point Hermite polynomials and its optimization // Computational mathematics and mathematical physics. 2015. Vol. 55, no. 12. P. 1960-1974.

18. Shustov V. V. Approximation of functions by two-point Hermite interpolating polynomials // Computational mathematics and mathematical physics. 2015. Vol. 55, no. 7. P. 1077-1093.

19. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Физматлит, 1994. 400 с.

20. Бутиков Е. И. Необычное поведение маятника при синусоидальном внешнем воздействии // Компьютерные инструменты в образовании. 2008. № 2. С. 24-36.