Методика кинематического и прочностного расчётов редуктора потенциометрической следящей системы

Григорьев А.В., Стюхин В.В.

Пензенский государственный университет

МЕТОДИКА КИНЕМАТИЧЕСКОГО И ПРОЧНОСТНОГО РАСЧЁТОВ РЕДУКТОРА ПОТЕНЦИОМЕТРИЧЕСКОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ

Надёжность и качество систем телеуправления и телемеханики во многом определяются методикой расчёта механических узлов и деталей таких систем. В настоящей публикации представлена методика кинематического и прочностного расчётов редуктора потенциометрической следящей системы, обеспечивающая безотказность такой системы в пределах заданного срока службы.

1. Принцип действия потенциометрической следящей системы

Потенциометрическая следящая система (ПСС) предназначена для дистанционного управления исполнительным элементом. Таким элементом может быть, например, телевизионная антенна, размещённая на крыше многоэтажного дома, а оператор-пользователь может, сидя в одной из квартир этого дома, по своему усмотрению поворачивать эту антенну.

Рассмотрим обобщённую структурную схему ПСС (рисунок 1.).

Рисунок 1 - Структурная схема потенциометрической следящей системы

На рисунок 1.: ЭД — электродвигатель; Р1, Р2 — редукторы; ИЭ — исполнительный элемент; ЗП и ПП — соответственно, задающий и приёмный потенциометры; Uп — напряжение питания; ДУ — дифференци-

альный усилитель.

Принцип действия ПСС заключается в следующем. Оператор поворачивает ползунок ЗП. Между ползун-ковыми выводами ЗП и ПП возникает напряжение рассогласования, оно усиливается ДУ и приводит в движение ЭД. ЭД вращает Р1, Р2 и ИЭ. С выходным валом Р1 через муфту соединён ползунок ПП. Когда редуктор Р1 вращается, вращается и ползунок ПП. Это происходит до тех пор, пока ползунок ПП не займёт то же положение, что и ползунок ЗП. Тогда напряжение рассогласования на ползунковых выводах ЗП и ПП станет равным нулю, и двигатель остановится. В результате оператор имеет возможность с пульта управления, вращая ползунок ЗП, управлять углом поворота ИЭ.

Если по какой-либо причине ИЭ отклонится от заданного положения (например, если это антенна, которая под действием ветра отклоняется от положения равновесия), то повернётся (через редуктор Р2) и ползунок ПП. Возникнет напряжение рассогласования, заработает двигатель и вернёт ИЭ в положение, определённое положением ЗП.

Редуктор Р2 предназначен для согласования углов поворота ПП и ИЭ.

2. Примерная структурная схема механизма.

Составим примерную структурную схему механизма (рисунок 2.). Здесь Р1 образован зубчатыми колёсами Z1...Z4, а Р2 - зубчатыми колёсами Z5...Z6. Порядковые номера валов обозначим римскими цифрами.

Рисунок 2 - Примерная структурная схема механизма потенциометрической следящей системы

3. Расчет требуемой мощности электродвигателя, выбор его типа и оборотов

Расчёт механизма начинается с выбора ЭД. ЭД выбирают по мощности. Его полезная мощность с учётом коэффициента запаса должна быть не менее мощности сопротивления ИЭ и ПП.

При вращательном движении P = M О , где P - мощность, M - момент вращения, О - угловая

скорость. Для рассматриваемых редукторов P = K 3 (M пОп + M иОи) , где P

мощность сопротивления

механизма; Кз - коэффициент запаса; Mп И Оп - соответственно, момент и угловая скорость на валу

приёмного потенциометра; M и И Ои - соответственно, момент и угловая скорость на валу исполни-

тельного элемента. Примем Кз=1,2. Mп, Mи И Ои есть в карточке-задании на проектирование. оп вы-

числим следующим образом. Умножим и разделим Оп на Ои . Получится следующее очевидное тождество:

оп а

—— . По определению угловой скорости: О = — , где О - угловая скорость; a

О t

угол пово -

рота; t - время, в течение которого совершается поворот а. Редуктор Р2 согласует углы поворота приёмного потенциометра и исполнительного элемента так, что за то время, за которое исполнитель -ный элемент повернётся на свой полный угол, приёмный потенциометр также повернётся на свой полный

угол,

= > О = О

a

t

t аи

исполнительного элемента =>

, где ап и аи

углы поворота, соответственно, приёмного потенциометра и

aa P = K3(M пОи — + M иОи) => P = KзОи(M п а + M и) .

аи —и

Списком ЭД, разрешённых к применению, будем считать таблицы [1], т.2, с. 203.206.

Выбранный ЭД должен быть из этого списка, его номинальное напряжение питания должно быть таким, какое указано в карточке-задании, его полезная мощность должна быть не менее мощности сопро-

1

тивления редуктора P. В целях экономии электроэнергии, из тех ЭД, для которых выполняются эти условия, следует выбирать такой, у которого потребляемый ток как можно меньше.

В обоснование выбора ЭД, необходимо рассчитать полезную мощность двух двигателей разрешённого списка с номинальным напряжением питания по карточке-заданию: 1 - у которого максимальный потребляемый ток из тех, что не проходят по мощности; 2 - у которого минимальный потребляемый ток из тех, что проходят по мощности.

В таблицах [1], т.2, с. 204, 205 полезная мощность двигателей постоянного тока не дана. Зато

1

даны частота вращения, МИН (это значит: «оборотов в минуту») и номинальный момент вращения,

10 2Н • СМ . Это единица измерения такая: «сотые доли ньютон-сантиметра».

Как известно, полезная мощность на валу при вращательном движении: P _ М W , где Р - полезная

мощность при вращательном движении, М - момент вращения на валу, з - угловая скорость вращения вала => P _ M ЭД^ЭД , где PЭД, M ЭД И ^ЭД - номинальные значения соответственно полезной мощности,

момента и угловой скорости вращения ЭД. &Эд _ 2лУэд , где П

ЭД

частота вращения ЭД =>

РЭД _ 2р/ЭДМ ЭД . [Н *м] :

Для того, чтобы получить Рэд в [Вт] , следует Пэд выразить в [об/с] , а М

ЭД

ЭД

об ^ об ^ ^

Рэд[ — ] • Мэд[ 10-2Н • см] = 2рэд[60С 1 • Мэд[10"2Н • 10-2м] =

мин

— • 10-4 60

ЭД1

. об п с

~ 10-4 Пэд[—] • Мэд[Н • м] =>

Pэд[Вт] =-р •Пэд[— ] • Мэд[10-2Н • см] н 6 • 105 мин н

Подставляем в эту формулу числовые значения прямо из таблицы ([1], т.2, с. 204, 205) и получаем полезную мощность электродвигателя в ваттах.

4. Кинематический расчёт и уточнение схемы.

Определим номинальную угловую скорость вращения вала выбранного нами ЭД. По определению:

, рад, _ г рад 1 2р об

^ЭД[ ] _ 2рпэд[ ] .л ПЭД[ ] .

с с 60 мин

Определим коэффициент замедления редуктора Р1:

; _ ^ЭД

^-1 _

W W

a

-> ip _

a

^эд • a w a

в

Коэффициент замедления редуктора Р2: ip2 _ —— _ —— .

W «и

При проектировании маломощных следящих редукторов в целях минимизации погрешности передачи рекомендуемое максимальное значение коэффициента замедления ступени 8. Коэффициент замедления n-

n

ступенчатого редуктора: i _ ^^icrj . где i — коэффициент замедления всего редуктора; j — порядко-

j _1

вый номер ступени, начиная с первого; iCTj - коэффициент замедления j-й ступени; n — количество

ступеней редуктора. ->максимально возможный коэффициент замедления n-ступенчатого редуктора 8n

-> для n-ступенчатого маломощного следящего редуктора должно выполнятся условие 8n £i . Решим оx

уравнение

: 8x _ i . Прологарифмируем обе части этого уравнения:

1

xlg8 _ lgi -> x _ — Igi => x _ 1,11gi .

Ig8

Поскольку количество ступеней редуктора должно быть обязательно целым числом, оптимальное n — минимальное целое число, для которого выполняется условие П > X .

Составим уточнённую структурную схему редуктора. Если, например, П _ 3, то она будет выглядеть следующим образом: (рисунок 3.).

Рисунок 3 - Уточнённая структурная схема механизма потенциометрической следящей системы Редуктор Р1-трёхступенчатый: Z1...Z6.

Редуктор Р2-одноступенчатый: Z7...Z8.

Римскими цифрами I...V обозначим порядковые номера валов.

Для уменьшения погрешностей передачи примем коэффициенты замедления последней и предпоследней

п • ip1

ступеней редуктора Р1 одинаковыми и максимальными: i2 _ 1з _ 8 . тогда^ _- Если, например,

64

2

122 61

/™ = 122 , то / л =---= — . Именно так, в виде обыкновенной дроби, следует оставить L — коэффици-

Р1 1 64 32 1

ент замедления первой ступени редуктора. Так удобнее нам будет в дальнейшем назначать количество

зубьев зубчатых колёс, которое, как известно, может быть только целым числом.I

2

Z

Z1

=>если в

рассматриваемом случае назначить Z1 = 32 ; Z2 = 61 , то /'1 будет такой, какой нужно. /р2 = —— ;

z7

Z8

z7

5—

a

/Р2 = '

-7 Z 7

При назначении количества зубьев шестерён следует руководствоваться следующими соображениями. Неоправданно завышенное количество зубьев ведёт к возрастанию габаритов передачи и увеличению массы зубчатых колёс. Снижение количества зубьев ведёт к снижению к. п. д., плавности и точности работы. Рекомендуемое минимальное количество зубьев шестерён для эвольвентного зацепления лежит в пределах: 17<Z<28, причём в точных отсчётных передачах необходимо приближаться к верхнему пределу. Примем: Zmin = 28 , где Zmin — минимально допустимое количество зубьев шестерён для проекти-

руемого нами редуктора.

В рассматриваемом примере /2 = /3 = 8 ; /2 =—4 ; /3 =—6 . Это значит, что следует назначить:

Тогда:

Умножим

Z 4 i = Z 6

Z 3 ' 3 Z5

Z3 = Z5 = 28 ; Z4 = Z6 = 28  8 = 224 . Предположим, что в исходных данных 5— = 300°; a = 280°

Z8 300 15

---=----= — . Мы не можем назначить Z7 = 14 , Zo = 15 , поскольку эти числа меньше Z^ln

Z7 280 14 7 8 min

Z8 30

числитель и знаменатель на два. —8 = — . Теперь, если мы назначим Z7 = 28 , Z3 = 30 , условие

Z

7

28

min

другой причине.

Как видно из уточнённой структурной схемы механизма (рисунок 3.), радиус зубчатого колеса Z 6

должен быть меньше межосевого расстояния четвёртой ступени редуктора 3W 4 .

Диаметр зубчатого колеса прямо пропорционален количеству зубьев. Коэффициент пропорциональности - отношение диаметра зубчатого колеса к количеству зубьев - называют модулем зацепления. В целях унификации, как правило, модуль зацепления выбирают для всей зубчатой передачи один и тот же. Таким образом, d = mZ , где d - диаметр зубчатого колеса, m - модуль зацепления, Z - количество зубьев.

Таким образом, для того, чтобы четвёртая ступень редуктора была физически реализуема, должно выполняться условие: mZ6 < mZ7 + mZ8 или Z6 < Z7 + Z8 . Ну и естественно остаётся условие:

Zg = 15 Z 7 14 .

уравнение:

вышающее

Требуется найти такое минимальное целое число П , при котором 15л + 14п > Z 6

Z 224

15x + 14x = Z6 . Очевидно, X =—6 Z6 = 224 => X =-----= 7,7 . Минималь

6 29 6 29

X , 8. Примем П = 8 . Таким образом:

ное целое число

Z7 = 14  8 = 112 Z8 = 15  8 = 120 . При

Решим

пре -этом:

Z7 + Z8 = 112 + 120 = 232 . 232 > 224 => условие Z7 + Z8 > Z6 выполняется.

Результаты кинематического расчёта необходимо оформить в виде таблицы (табл. 1.). Таблица 1

Z1 Z 2 CO N Z 4 Z 5 Z 6 Z 7 N CO

В таблице указать количества зубьев зубчатых колёс, полученные в результате кинематического расчёта.

5. Прочностной расчёт механизма ПСС.

5.1. Определение модуля зацепления механизма.

Модулем зацепления называется отношение диаметра зубчатого колеса к количеству его зубьев:

d

m = — Z

где m

модуль зацепления, d — диаметр зубчатого колеса, Z

количество зубьев.

Сначала определим минимально допустимый модуль зацепления каждой ступени. Наибольшее расчётное значение этого параметра будет исходным для назначения модуля зацепления. По таблицам [1], т. 1, с. 62 (табл. 2. настоящего руководства) выберем значение, наименьшее из тех, которые превышают

это исходное.

Минимально допустимый модуль зацепления ступени определим на основании расчёта зубчатых колёс

на контактную выносливость. Межосевое расстояние ступени определяется по формуле:

a = da + db

Cl..,

w 2

где aw лении,

где Za

межосевое расстояние

ступени; da и db — диаметры зубча

тых колёс, находящихся в зацеп-

. -7 Za + Zb

соответственно. Из определения модуля зацепления следует, что d = mZ => aw = m-------------------

Zb — количества зубьев зубчатых колёс Za и Zb , находящихся

в зацеплении, соответст-

и

3

венно. => m =

2aw 2awmin n ^

----- =>mmin = —-----z- • Для того, чтобы определить минимально допустимый модуль

Z a + Zb

Za + Zb

зацепления ступени по этой формуле, необходимо сначала определить минимально допустимое межосевое расстояние.

Минимально допустимое межосевое расстояние ступени редуктора определяется по формуле, напри-

I MK bKvE

мер, из литературы [2]: aw min = 0,82  (У + 1)3 --а-

К ] 2 стУba

, где aw

минимально допустимое межосе-

вое расстояние ступени; / — коэффициент замедления ступени; M — момент сопротивления на выходном валу ступени; K р — коэффициент неравномерности нагрузки по ширине зубчатого колеса; коэффициент динамической нагрузки; E — модуль упругости материала зубчатых колёс; [sH ] — допустимое

контактное напряжение; Vba — коэффициент длины зуба.

Определим, в каких единицах измерения удобнее выразить входящие в формулу величины. 0,82 — безразмерный коэффициент, icy , Kр , Kv , Vba — безразмерные величины. Модуль упругости E и допустимое контактное напряжение [s] выражены в МПа . Посмотрим, в каких единицах измерения получится aw min , если M выразить в Н  ММ :

МПа, Гл/Н  мм

[aw min ] = [3Н  ММ ] = [3| ,д__ ] .

1М П а = 106П а = 106 -У = 10'

М па2 V М па

6 Н =< П6 Н = 1 _Н_ =>

м2 (103мм)2 мм2

[aw min] [\!

Нмммм

У

2

-] = [мм] . Таким образом, если момент сопротивления M выразить в Н  мм ,

то минимально допустимое межосевое расстояние aw min получится в мм .

Для удобства расчётов среди параметров, входящих в формулу для расчёта aw min , выделим парамет-

ры, общие для всех ступеней. Такими параметрами являются Kр , Kv , Vba и E . Модуль упругости E

материала зубчатых колес, указанного в карточке-задании, определим по [1], т.2, с. 211, прил. 15. Там модуль упругости дан в пределах «от и до». Поскольку с увеличением модуля упругости минимально допустимое межосевое расстояние растёт, следует принять верхнее предельное значение. Преобразуем формулу для aw min :

a

w min

0,82  (/с, + 1)3

1 MK pKvE [SH ИстУ*

= > a

w min

Cw (2ст + 1)3

M

[Sh ]2/c

где

Cw = 0,82  3

K pKvE Vba

При этом ко-

эффициент Cw вычисляется один раз для всех ступеней редуктора. В формулу для расчёта Cw модуль упругости E следует подставить в МПа. В формулу для расчёта aw min момент сопротивления M следу-

ет подставить в Н  мм , допустимое контактное напряжение [s ] — в МПа. aw min получится в мм.

Определим [s] . Известна (см., например, [2]) форма зависимости предельно допустимого контакт-

ного напряжения [s ] от десятичного логарифма количества циклов нагружения шестерни до её разрушения Nц (рисунок 4.).

Рисунок 4 - Форма зависимости предельно допустимого контактного напряжения от десятичного логарифма количества циклов нагружения шестерни до её разрушения

На рисунке 4 N н0, Nна, N н — количества циклов нагружения шестерни соответственно базовое, нижнее и за весь срок службы; Sho, — соответственно базовый и верхний пределы контактной вынос-

ливости .

Анализ графика показывает, что при N н £ N на [s ] = Sna ; при N н > N но [S ] = Sho ; при

N на < N н < N но

из подобия треугольников следует:

sH

[SH ]~SH,

'gNна - igNно ig nh - igNно

Предположим для определённости, что для изготовления зубчатых колёс используется сталь 38ХМЮА. Для зубчатых колёс, сделанных из материала, твёрдость по Бринеллю которого HB £ 350

4

0но = (2HB + 70) М па . Для стали 38ХМЮА HB = 269...302 (см. [1], т. 2, с. 224, прил. 38.). Примем

для расчётов минимальное значение 269. Тогда = 2  269 + 70 = 608 М па ; ана = 2, 4sH0 = 2, 4  608 М па = 1,459  103 М па ;

N

но

N

на

= 12( )4 10

= 5  10-3Nu„

= 12( 269 )4 = 6, 283  106 .

10

= 5  10-3  6, 283  106 = 3,142  104 .

Таким образом:

1,459  103 - 608 = [ан]-608

lg 3,142  104 - lg 6,283  106 = lg Nн - lg 6,283  106 .

Решим это уравнение относительно [0] . Левую часть

уравнения уже можно вычислить.

Обратим вни-

мание на то, что (см. рисунок) > 0но , но N на < N но . => Число в левой части уравнения будет

отрицательным.

-369,8 = [0н]-608 => -369,8  (lg Nн - 6,798) = [s.]-608 =>

lg Nн - 6,798 н н

[0н] = -369,8 lg Nн + 369,8  6,798 + 608 =>[0н] = -369,8  lg Nн + 3122 . Введём обозначения:

[0н] = V 'gNн + bs, где k0 и bs — коэффициенты, зависящие от материала зубчатых колёс. Как видим, для стали 3 8ХМЮА ka = -369, 8 , ba = 3122 .

Теперь для того, чтобы определить [0н] , достаточно определить Nн . Nн для каждой ступени

своя. Это количество циклов нагружения каждого зуба шестерни рассматриваемой ступени в течении всего заданного срока службы механизма. Срок службы механизма есть в исходных данных. Очевидно:

N

н

w [ с-1]

2р

3600ТСЛ[ ч]

где [ С"1]

угловая скорость шестерни в радианах в секунду, Т^[ ч] —

заданный срок службы механизма в часах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Элементы приборных устройств. Курсовое проектирование. В 2-х частях / Под ред. О.Ф. Тищенко. — М.: «Высшая школа», 1978.

2. Расчёт параметров механизмов РЭС на персональных ЭВМ. Методические указания к лабораторным работам. Составители: В.Е. Мячин, С.А. Лысак, А.В. Блинов. Пенза, ПГТУ, 1993.

5