Построение двухэтапной модели математического программирования для решения задачи оптимального управления финансовым портфелем коммерческого банка

УДК 517.929+517.534

ПОСТРОЕНИЕ ДВУХЭТАПНОЙ МОДЕЛИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ФИНАНСОВЫМ ПОРТФЕЛЕМ

КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА

© А.Ю. Морозов

Morozov A.U. Two-stage model construction of mathematical programming for the problem solution of the optimum management of the business bank financial portfolio. The basic problem of optimal management of bank portfolio is the impossibility of taking into account both short-term, and long-term bank objectives. As a result all models are divided on “the strategic”, which give recommendations on structure of a bank portfolio in long-term prospect and “the tactical” which allow its users to obtain answers to problems of current, tactical optimum control. Two-stage approach to modelling helps to find the optimum distribution of bank assets and to obtain concrete managerial effects for reaching any concrete short-term objective. Value of the indicated approach is the possibility of two-stage model realization in any mathematical software package (Maple, Mathcad, Excel).

Введение. Классические решения оптимального управления банковским портфелем сопряжены с серьезными недостатками. Условия справедливости многих, существующих моделей слишком узки, и, как следствие, модели находят ограниченное применение на практике. Указанная ограниченность или узость связана с тем, что зачастую невозможно построить качественную оптимизационную модель, позволяющую одновременно учитывать как краткосрочные, так и долгосрочные цели банка. Напротив, в существующих моделях достижение оптимального состояния обеспечивается лишь на некотором ограниченном и изначально определенном временном отрезке. В связи с этим, необходима разработка подходов, позволяющих учитывать цели банка, относящиеся к разным моментам времен в будущем, потому что модель может быть полноценно применена на практике управления только при условии соблюдения и достижения организацией стратегических планов и ориентиров. Назрела необходимость разработки универсальной модели, которая бы, с одной стороны вырабатывала текущие управленческие воздей-ствия, с другой стороны, чтобы на основе этих управленческих воздействий было возможно формирование оптимальной структуры банковского портфеля и достижение его долгосрочных и стратегических целей.

1. Основные недостатки моделей оптимального управления финансовыми ресурсами банка. Приведем наиболее общую постановку модели оптимального управления банковскими ресурсами, представленную в [1]:

± ((У,"' ) < 50 ,

± г ,(1/ ) < О 0 ,

У= 1

1(1 -*/*) -IV, ((/,“)- ,(17') + Ж > 0,

± ,((/;)- ± р:гг,((7," ) < и ,

±и гг ,(и ])< ь ,

!=1

г](и*)>(), ВД“)>0;

шах {с = /[ шхи:г),г^и') ]}.

В представленной постановке источники привлечения и размещения ZJ являются нелинейными

функциями соответствующих процентных ставок и"

и иг. Первые два соотношения отражают ограничения

на возможности, соответственно, депозитного и кредитного рынков (привлечение и размещение лимитируется спросом). Третье соотношение отражает уравнение баланса с учетом отчислений в фонд обязательных резервов Центробанка (ЯК обозначает величину собст-венного капитала банка, _ долю отчислений в

фонд обязательных резервов). Четвертое и пятое соотношения предложенной модели представляют собой ограничения на структуру баланса банка. Так, четвертое ограничение можно трактовать, например, как ограничение на валютную позицию банка, а можно как задание соотношения между отдельными разделами баланса банка. Пятое ограничение отражает требования определенной ликвидности активов. В указанных выражениях величины , (5“ и и' являются параметрами, позволяющими задать требуемые соотношения. Для наибольшей универсальности модели критерий модели носит максимально обобщенный характер.

Абстрагируясь от возможности решения представленной модели и использования ее в практической деятельности, констатируем, что это наиболее полный вид модели оптимального управления банком. Именно от модели подобного вида и следует отталкиваться в дальнейших исследованиях. С достаточной долей дос-

товерности, можно утверждать, что все предложенные различными авторами модели являются частными случаями приведенной модели. Таким образом, задачей исследователей является возможно лучшая модификация и уточнение предложенной модели с тем, чтобы стало возможным воспользоваться полученными результатами разработанных моделей на практике.

Большинство авторов концентрировались на достоинствах или недостатках только одного какого-то подхода, пытались построить единую наилучшую модель. На наш взгляд, при разных уровнях агрегации, при различных уровнях решаемых проблем, преимущества получают и различающиеся подходы и методики.

Банк представляет собой сложную многоуровневую систему, поэтому необходимо отдавать себе отчет, что система управления банком не может быть по своей сути простой. Известно, что для эффективного управления объектом управления система управления должна обладать не меньшим разнообразием, чем указанный объект. Поэтому величины, полученные в результате решения задачи математического программирования, представляющего собой совокупность нескольких десятков величин, не могут дать исчерпывающего ответа руководству банка на вопрос оптимального управления им.

Представим все модели оптимального управления финансовыми ресурсами банка в виде следующих двух типов:

1. Первый тип может быть представлен в следующем виде:

ї' -ІІ —> шах У є А

где К - вектор-столбец неизвестных управляемых переменных, и - вектор-столбец параметров, А - множе-ство допустимых значений У.

Существенной чертой моделей вышеуказанного типа является отсутствие в них в явном виде временного параметра.

2. Модели второго типа можно представить в следующем виде:

Модели второго типа являются динамическими, учитывающими параметр времени.

Хотя, с точки зрения моделей математического программирования, указанные два типа моделей идентичны, так как можно произвести переобозначение Х0) через У, но с позиции моделирования некого динамического процесса указанное различие становится существенным.

Положим, что обе модели являются задачами оптимального управления финансовыми ресурсами банка. Тогда У и ДО будут обозначать объемные характеристики активов банка, £/(/) = К(7) • /г, где Г(?) - стоимость активов банка, к - величина временного шага, А и /)(/) - множества допустимых значений, соответст-

нием (активы равны пассивам), требованиями соблюдения обязательных банковских нормативов и пр.

В представленной постановке модель первого типа позволит решить задачу оптимального распределения ресурсов банка вне привязки ко времени. При этом, очевидно, что она не даст ответ на вопрос о механизме перехода банковского портфеля активов и пассивов из начального состояния (Уо) в оптимальное (У). Применяя же для решения той же задачи модель второго уровня, как раз и будет найден переход из У0 в У’. Однако у модели второго типа существует серьезный недостаток - она позволяет найти оптимальный портфель применительно только к конкретному интервалу времени [0,...,7].

В общем случае, у двух моделей второго типа, отличающихся длинной временного промежутка, решения будут различаться. Например, пусть {Х(іУ, / = 0,...,Т\ - решение первой задачи, {А'(/)", / = = 0,...,Г + Ц - решение второй задачи. Тогда Х(1)' Ф *(/)",/ = 0..Т.

Это означает, что применяя для решения задачи оптимального управления активами банка модель второго типа, можно получить модель оптимального управления лишь для одного заранее заданного временного отрезка.

Решая задачу максимизации реального дохода за определенный промежуток времени, мы столкнемся с отсутствием мотивации работы банка на последних промежутках временного интервала, потому что все доходы уже проявятся только за горизонтом оптимизации. Найдя управляющие воздействия, приводящие к максимизации прибыли за один год, мы, следуя им, не сможем максимизировать прибыль за полтора года или, к примеру, за десять месяцев. Кроме того, руководству быстрее всего заранее неизвестно, что привлекательнее: максимизировать прибыль за год, за два года, или за полгода. Часто не удается ранжировать эти цели, так как временной отрезок можно разбить на различное количество частей. Даже создавая многокритериальную модель, где ранжирован конечный набор частных целей (по максимизации процентной прибыли за определенные отрезки времени), мы получим неограниченное количество таких многокритериальных вариантов. В результате трудно сделать единственно правильный выбор. Построенная модель будет достигать одну цель и мешать достижению других, но. что особенно важно, эти другие цели столь же важны, как и первая.

Таким образом, если поставлена задача оптимального управления банковскими ресурсами, то использование для ее решения модели 2-го типа позволит найти оптимальное управление лишь для одного заранее заданного временного отрезка. Если воспользоваться моделью 1-го типа, то руководство не получит рекомендаций относительно конкретных управленческих воздействий.

Предлагается искать такую модель оптимального управления, для которой бы выполнялось следующее условие:

Шг,)’ =Х((2)Ш,(, =(2 =0,...,Т,Т <со} .

Это условие означает: какой бы ни был интервал моделирования, решение модели на общем для моделей промежутке времени остается неизменным.

Решением подобной проблемы является построение такой модели, которая бы позволила максимизировать процентную прибыль банка на любом временном отрезке! Строго говоря, наилучшей будет та стратегия, которая позволит извлечь максимум прибыли за любой, в том числе достаточно большой промежуток времени.

2. Основные особенности и характеристики долгосрочной оптимальной траектории банка. Процедура проверки качества модели. Рассмотрим поведение долгосрочной оптимальной траектории.

Обозначим через Х^)к решение следующей модели А-:

max

1=0

X(t) є A(t),t = 0,1,..., Г

при этом Т - имеет достаточно большое значение.

Обозначим через Х(£)м («М-траектория») решение следующей модели «М»:

' г-\м

X Х(1)-У(1)-И —» шах

/=0+/м

X(t)eA(t)czC,t = 0 + lM,...,T-lM.

Сформулируем общее соотношение для моделей «М»:

7

max X X(t)-V{t)-h<

х('> >=0+1м

Т-!м

X та xX(l)-V(t)-h

1=0+1„ X

Если взять N моделей типа М, с параметрами, соответственно, 1М , 1М ... 1М и положить, что:

V(?) = V,\/t, A(t) = А, множество С (Т-2-1м временной многоразмерный цилиндр) состоит из объединения множеств А (многомерное сечение цилиндра) по t, то:

1. maxX(t.)-V-h = maxX(t,)-V-h

XV,) ' Х

/,,/2 =0,1

Назовем (5) условием задачи М.

Применительно к задаче оптимального управления портфелем коммерческого банка можно так интерпретировать условие (5): большая часть долгосрочнооптимальной траектории соответствует траектории максимальной доходности портфеля банка ( ^(/) • (/(/) •/г - математическое выражение для доходности портфеля активов в момент времени I). Критерием при получении двух траекторий является прибыль, при этом в случае долгосрочно-оптимальной траектории считаются реально полученные прибыли, а при траектории, соответствующей максимальной доходности портфеля - сформированные. Происходит некое временное смещение из-за запаздывания реально полученной прибыли от сформированной. Отличаться эти две траектории будут лишь конечными отрезками (и тем меньше они будут отличаться, чем длиннее временной промежуток, для которого ищется долгосрочно-оптимальная траектория).

Таким образом, при постоянстве экзогенных переменных и «ровности» наложения ограничений долгосрочная оптимальная траектория будет соответствовать траектории максимальной доходности портфеля. Другими словами условие (5) представляет собой условие прохождения оптимальной траектории через точки максимальной доходности портфеля банка.

При соблюдении условия (5) для моделей М, можно утверждать, что на некотором внутреннем промежутке времени по отношению к промежутку [0,...,Г|, там, где выполняется условие: Х(1)еА, будет выполняться:

Х{1)м = Х{1)к.

Можно утверждать, что за некий момент времени до конца промежутка целесообразно иметь максимально возможную доходность (идти по «Л/» траектории), поскольку мы сможем так перестроить портфель, что все доходы, даже теоретически возможные, приходящиеся на момент за горизонтом расчета, могут быть сколь угодно сильно перестроены. Таким образом, удастся перейти с траектории на максимальную доходность на траекторию максимума прибыли.

Введем понятие точки «А». Под точкой «А» понимается такое состояние банка, при котором достигается максимальная доходность портфеля банка с учетом наложенных ограничений. Другими словами, это то состояние, которого достигнет банк, если решить задачу на максимизацию сформированной доходности банковского портфеля в конце некоторого определенного конечного промежутка времени. Достигнутое в конце промежутка состояние и представляет собой точку «А».

Рассмотрим следующую модель:

V" w*\ т/ґ/„ _

шал / s\\i )' у \i )' п —

х<'>

{Т -2-Ім +l)-maxX(0)-F •h

М X

Запишем менее жесткое условие для множества задач М\

ти V Y(t\ .V(t\.U -‘““7 “ V/ ' V>y -

!=(> + /„

^Х(Т -lu)-V{T -lSI)-h-> max, [Х(1)є A(t)<zC,t = 0 + lu,..., T-lu.

Точкой «А» назовем часть решения вышеуказанной модели математического программирования (только для 1 = Т -1и ): Х'(Т-1и).

Тогда в силу (5) на промежутке ? = 0 + 1М — 1М

решение Х(/)м будет состоять из совокупности точек «А». Кроме того, в случае выполнения (5) решения всех задач математического программирования на любом

промежутке / - 0 + 1И,...,Т — 1м будут одинаковы (назовем эту характеристику «непрерывной оптимальностью» залами математического программирования на промежутке I — 0 + /М,...,Г - 1М ). Таким образом, условие (5) представляет собой условие существования непрерывно оптимальной задачи математического программирования, когда решения задач математическою программирования, построенных на разных промежутках времени, будут совпадать. В том случае, если «М-траектория» всюду на внутреннем интервале моделирования проходит через точки «А», то достигается возможность получения такой модели оптимального управления активами коммерческого банка, при которой становится возможной максимизация сформированной процентной прибыли на любом внутреннем промежутке времени. Лишь в этом случае возможно получение модели, по-настояшему являющейся моделью оптимального управления. Тогда, на каком бы промежутке времени ни решалась модель оптимального управления, полученное решение будет соответствовать любой другой модели оптимальною управления, построенной на другом промежутке времени.

1'аким образом, одной из главнейших задач, стоящих перед исследователями, является проверка выше сформулированного условия (5). Процедура проверки данного фак та сводится к решению задач разной «длины» и сравнению доходностей в одной и той же временной точке. Вели окажется, что доходности в точках «А» для моделей разной длины совпадают, то можно быть уверенным, что учитываются как краткосрочные, так и долгосрочные цели банка. Таким образом, общим итогом проведенных рассуждений является осознание необходимости дополнительной верификации «оптимальности» модели.

Автору известен пример модели, которая удовлетворяет требованию, сформулированному выше: решение задачи на промежутке [0; 7] идет через последовательность точек «,4». Однако ограничение на объем публикации не позволяет опубликовать здесь указанный пример модели. Таким образом, показано, что существуют непрерывно оптимальные модели математического профаммирования. Однако, очевидно, что условия М слишком жесткие условия. Предложенная модель достаточно примитивна. В реальности множество С не является многоразмерным цилиндром по времени, а следовательно, модель второго типа не является непрерывно оптимальной. Применяя модель второго типа для решения задачи оптимального управления (в частности оптимального управления портфелем коммерческого банка), необходимо проверить ее на свойство непрерывной оптимальности. Процедура проверки основана на проверке прохождения решения через несколько точек «А» (решении нескольких задач М с разными промежутками времени). При этом используется соотношение (5).

3. Двухступенчатый подход к моделированию банковской деятельности. Для преодоления представленных выше недостатков моделей первого и второго типов предлагается двухэтапная модель математического программирования, состоящая из моделей перво 10 и второго типа.

Пусть поставлена задача оптимального управления банковским портфелем. Нели воспользоваться моделью 2-го типа, то возникают следующие две проблемы:

1. Все без исключения пассивы являются условно-управляемыми величинами, портфель активов, в свою очередь, также состоит как из управляемых, так и из условно-управлясмых активов. К условно-управляемой части активов относятся кредиты и прочие кредитные продукты. К управляемой части относятся, например, ликвидные ценные бумаги, деньги на кор. счетах других банков. Таким образом, решив задачу математическою программирования второго типа, руководство банка не сможет действовать в соответствии с полученным решением, поскольку не сможет полноправно управлять условно-управляемыми величинами. Ведь строгое управление банком пассивами невозможно, возможно лишь задание общей структуры и определенных ориентиров привлечения средств. То же можно сказать и про условно-управляемые активы -на практике неизменно возникнут отклонения от директив, выработанных моделью второго уровня.

2. Построенная модель математического программирования может не удовлетворять условию (5).

Если воспользоваться моделью 1-го типа, руководство не получит рекомендаций относительно конкретных управленческих воздействий.

Предлагается следующее.

1. Разбить портфель активов на 2 части: условно-управляемую и управляемую.

2. На основе укрупненных группировок активов и пассивов построить модель первого типа.

3. Построить модель второго типа, где в качестве управляемых переменных будут выступать только управляемые активы. Величины условно-управляемых активов и пассивов войдут в модель второго уровня в виде экзогенных данных.

В результате построения вышеописанной 2-х уров-невой модели множество значений модели второго уровня будет сн’раничено оптимальным распределением портфеля активов, полученным в результате решения модели первого уровня, т. с. сумма всех управляемых активов будет равна тому значению, которое будет получено в результате решения первой задачи. Это достигается посредством использования в балансовых ограничениях (ограничениях, обеспечивающих равенство банковских активов и пассивов) обеих задач одних и тех же величин. Для использования единых экзогенных величин в модели второго уровня используются следующие соотношения:

О(/)=А/№(Щ/0)±

±д/^(/-/дорш^тюкк),

где КЯ(1п) - величина кредитов в начальный момент

времени (момент расчета), А А'/? - возможность банка по увеличению (снижению) кредитного портфеля за единицу времени. ОРТКН - величина оптимального количества кредитов, полученная после решения задачи линейного программирования первого этапа принятия решений. 8Р1ЮЗКЯ - емкость рынка кредитов (на промежутке [0,...,7]). Значение знака в уравнении для состояния кредитного портфеля в момент I зависит от соотношения между КК(10) и ОРТКК. Ясли Л7?(/(|) меньше ОРТКК, то используется знак «+», иначе «•».

Л4ЯВД = МШ(РАЗЗ(10)± АРАЗЗ  {(- /0), ОРТРЛЗЗ, БРИОБРАБЗ),

где РАЗ- величина пассивов в начальный момент времени (момент расчета), АРАЗЗ - возможность банка по увеличению (снижению) портфеля пассивов за единицу времени, ОРТРАЗЗ - величина оптимального количества кредитов, полученная после решения задачи линейного программирования первого этапа принятия решений, ЗРЯОЗРАЗЗ - емкость рынка кредитов (на промежутке [0,...,7]).

Таким образом, модель второго уровня будет являться моделью оптимального управления управляемыми активами коммерческого банка. В соответствии с вышеприведенными утверждениями полученная модель может не являться непрерывно оптимальной. Это означает, что только на одном временном промежутке (заранее определенном руководством банка) прибыль, полученная от управляемых активов, будет максимальной. Вместе с тем любое решение модели второго уровня будет соответствовать тому оптимальному распределению совокупных банковских активов и пассивов. которые получены в результате реализации модели первого уровня. В свою очередь, модель первого уровня соответствует долгосрочной цели банка, выражает его общую линию поведения, стратегию.

Заключение. Автором статьи предложена прикладная двухэтапная (двухуровневая) модель оптимального управления активами коммерческого банка. Однако в данной статье изложить указанный подход не представляется возможным вследствие ограничения на объем публикации.

Отметим лишь, что, решив «задачу первого уровня». получим экзогенны для определения конкретных параметров «управляемых активов» в модели следующего уровня. Помимо этого с помощью указанной модели решается самостоятельно поставленная задача об определении оптимальной структуры портфеля банка. Это является первым этапов в процессе оптимального управления финансовыми ресурсами банка. Вырабатывается общая линия поведения - стратегия развития банка. Модель первого уровня позволяет найти оптимальную структуру банка в долгосрочной перспективе, на достаточно большом промежутке времени. Это происходит вследствие отсутствия фактора времени в модели. Таким образом, она служит инструментом для отыскания оптимальной структуры в определенных экономических условиях (при задании конкретною сценария) на промежутке достаточно большой длины. Вторым применением модели является выполнение ею роли некого промежуточного этапа в более летальном и конкретном моделировании финансовой деятельности банка. Речь идет о получении такой оптимальной структуры активов и пассивов банка, при наличии которой можно будет непосредственно предпринимать конкретные действия. В этом случае данный этап позволит разграничить сопоставимые величины на два отдельных блока. Второй этап моделирования заклю-

чается в определении конкретных сроков вложений в активы и в определении срочности и типа ликвидного актива. На первом этапе мы задаем границы и пределы, на базе которых на втором этапе определяем более точно стратегию распределения управляемых активов банка, а также находим управления.

Модель второго уровня должна позволить получить решение, на основе которого можно принимать конкретные решения по управлению ресурсами банка. Задаче детальной оптимизации подвергаются лишь менее доходные активы банка: портфель государственных ценных бумаг, состоящий из нескольких ценных бумаг, и портфель межбанковских депозитов, состоящий из депозитов разной срочности. Получив решение модели второго уровня, мы получим конкретные руководства к действию. Сможем ответить на вопрос: какие ценные бумаги следует покупать, например, через два месяца и в каком объеме. Фактически, на основе полученною решения можно непосредственно формировать задания для соответствующих управлений и отделов банка.

Таким образом, предложенная двухэтапная модель позволяет, с одной стороны, получить оптимальное распределение банковских активов, соответствующее стратегии банка, с другой - получить конкретные управленческие воздействия дня достижения какой-то конкретной краткосрочной цели (получения максимума прибыли на некотором определенном отрезке времени). Таким образом, предложенный подход имеет преимущества и по сравнению с моделями первого уровня (полученное оптимальное решение дополняется управляющими воздействиями), и по сравнению с моделями второго уровня (в предложенной модели вторая модель соответствует стратегии банка).

ЛИТЕРАТУРА

1. Егорова Н.!', Смулов Л.М. Предприятия и банки: Взаимодействие, экономический анализ, моделирование. М.; Дело, 2002. 456 с.

2 Антонов А.Я.. Поманский А.П. Рационирование кредитов и алгоритм эффективности распределения заемных средств // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30, вып. 1. С 29-42.

3 Карабашгва Т.В. Построение двухступенчатой оптимизационной модели управления ресурсами банка: дис. ... канд. эконом, наук: 08.00.13. М., 1999.

4. Козлов А.С. Модель нормативного регулирования банковской деятельности // Банковские технологии, январь 2000. С. 48-51.

5. Колчанов А.П. Модель оптимального управления банковским портфелем /У Весгник ПГТУ. Математика и прикладная математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1999. С 52-56.

6. Купнинский В.А., Улишч А.С. Система управления ресурсами банков. М.: Экзамен, 2000. 224 с.

7. Меркурьев И.Л.. Виноградов Г.В.. Алешина И.Ф.. Сидоров М.А. Моделирование финансово-экономической деятельности коммерческого банка. М.: Изд-во Рос. экон акад., 2000. 160 с.

8. Рассказов К.А. Управление свободными ресурсами банка М.: Финансы и статистика, 1996. 94 с.

9. Романюк Д.В. Методы управления активно-пассивными операциями в банке // Денежный рынок. 1997, № 12. С. 13-18.

10. Писарь И.Ф., Чистое Н.П., Лукьашш А.И. Оптимизация финансовых портфелей банков, страховых компаний, пенсионных фондов. М.: Изд-во «Депо», 1998. 128 е.

Поступила в редакцию 18 июля 2006 г.