Модифицированная дифракционная модель электромагнитного поля оболочек для расчета экранирующих характеристик тонкостенных конструкций

О.В. Гримальский

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург

МОДИФИЦИРОВАННАЯ ДИФРАКЦИОННАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ОБОЛОЧЕК ДЛЯ РАСЧЕТА ЭКРАНИРУЮЩИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Объект и цель научной работы. Целью работы являлась разработка физико-математической модели электромагнитного поля тонких оболочек, слоев и тонкостенных конструкций для анализа их экранирующих характеристик.

Материалы и методы. Методологической основой являются дифракционные модели электромагнитного поля оболочек и слоев, сформулированные на основе импедансных граничных условий.

Основные результаты. Задача расчета электромагнитного поля внутри замкнутых оболочек сведена к системам интегральных уравнений относительно вторичных источников (поверхностных электрических и магнитных токов), характеризующих результирующее поле в экранируемой области. Получены характеристики ряда металлических экранов, рассмотрено влияние малых отверстий на их экранирующее действие.

Заключение. Предложенные интегральные уравнения эффективны в задачах излучения и дифракции на объектах, состоящих из проводящих либо магнитодиэлектрических тонкостенных элементов. Такой подход не накладывает принципиальных ограничений на геометрию расчетной модели и позволяет решить многие задачи электромагнитного экранирования и электромагнитной совместимости.

Ключевые слова: интегральные уравнения, экранирование, импедансные граничные условия. Автор заявляет об отсутствии возможных конфликтов интересов.

Для цитирования: Гримальский О.В. Модифицированная дифракционная модель электромагнитного поля оболочек для расчета экранирующих характеристик тонкостенных конструкций. Труды Крыловского государственного научного центра. 2017; 4(382): 147-154.

УДК 534.83.001.573 DOI: 10.24937/2542-2324-2017-4-382-147-154

O. Grimalskiy

Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia

MODIFIED DIFFRACTION-BASED OF ELECTROMAGNETIC FIELD OF SHELL MODEL FOR SHIELDING PERFORMANCE CALCULATIONS OF THIN-WALLED STRUCTURES

Object and purpose of research. The purpose of the study was to develop physical & mathematical model for the electromagnetic field of thin shells, layers and thin-walled structures to analyse their shielding performance.

Materials and methods. Methodologically, the study is based on diffraction models of electromagnetic field for shells and layers, formulated as per impedance boundary conditions.

Main results. The problem of electromagnetic field calculation inside closed shells is reduced to systems of integral equations with respect to secondary sources (surface electric and magnetic currents) that characterize resulting field in the shielded area. The study yielded the parameters for a number of metal shields, as well as investigated how their performance depends on small holes.

Conclusion. Suggested integral equations can be effectively applied to solve radiation and diffraction problems for objects consisting of conducting or magnetodielectric thin-walled elements. This approach does not impose any principal requirements on the geometry of the analytical model and makes it possible to solve numerous problems of electromagnetic shielding and electromagnetic compatibility.

Key words: integral equations, shielding, impedance boundary conditions. Author declares lack of the possible conflicts of interests.

For citations: Grimalskiy O. Modified diffraction-based of electromagnetic field of shell model for shielding performance calculations of thin-walled structures. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2017; 4(382): 147-154 (in Russian).

УДК 534.83.001.573 DOI: 10.24937/2542-2324-2017-4-382-147-154

Введение

Introduction

При решении задач электромагнитной совместимости возникает необходимость анализа экранирующего действия различных тонкостенных конструкций (экранов). Дифракционные численные модели, сформулированные на основе интегральных уравнений электрического (ИУЭП) и магнитного (ИУМП) полей, охватывают широкий диапазон частот и эффективны для анализа электромагнитного поля, рассеянного проводящими либо магнито-диэлектрическими оболочками и слоями.

Известные дифракционные модели оболочек [14] предусматривают расчет источников рассеянного (индуцированного) ES, HS поля - электрических Î и магнитных J токов, возбуждаемых в материале экрана сторонним полем. Соответственно, результирующее поле E, H вычисляется как суперпозиция E _ ES + E0, H _ HS + H0, где E0, H0 - стороннее поле. Однако в случае сильного экранирующего эффекта результирующее поле E, H, как правило, соизмеримо с погрешностью вычисления рассеянного поля ES, HS, поскольку внутри экранируемой области HS »-H0, ES »-E0. Поэтому использование интегральных уравнений относительно I, J (исходная дифракционная модель) оказывается неприемлемым для анализа характеристик поля внутри сильно экранируемых областей.

В настоящей статье рассматривается специальная формулировка интегральных уравнений электрического и магнитного поля (модифицированная дифракционная модель), предназначенная для расчета экранирующих характеристик слоев и оболочек (проводящих либо магнитодиэлектрических).

Интегро-дифференциальные уравнения относительно эквивалентных токов, характеризующих рассеянное поле оболочек и слоев

Integro-differential equations for the equivalent currents characterizing scattered fields of shells and layers

Задача расчета рассеянного (индуцированного) оболочкой S поля ES, HS, сводится к решению ИУЭП-ИУМП относительно поверхностных элек-

трических I и магнитных J токов, возбуждаемых внешним полем E0, H0 :

ZeI

E+ + E-

z j _ ht+ + h-

q î S,

где Е±, Н± - тангенциальные компоненты результирующего поля на лицевых поверхностях 5*, которые в рамках принятого тонкостенного приближения соответствуют срединной поверхности 5 слоя (оболочки); Е± = пх (Е± х п), Н± = пх (Н± х п), п -нормаль на Б;

E_ ES + E0, H_ HS + H0;

-divî.

ES _ -J ÎGdS - gradJ--GdS - rotJ jGdS,

s s >£0 s

HS _ - jœe0 J JGdS - gradJ^^-vJGdS+roJ ÎGdS;

S s >^0 S

G

eXP

4nr,

pq

2rnth

Zm 2юцй( jkh /2);

к0 = 0)ф0ц0, к = ю^/ед; е0, ц0 - электрическая и магнитная постоянные; е, ц - абсолютные комплексные проницаемости материала оболочки; И - толщина оболочки. Зависимость от времени принята в виде ехр(/ю/).

Основные положения и допущения, приводящие к формулировке (1), анализировались в [1-3], где показано, что область приложений (1) ограничена требованиями И / ^0 << 1, |к0|/ Щ << 1, где Х0 = 2п/к0.

Система (1) в рамках принятых выше ограничений характеризует исходную дифракционную модель оболочек. Схема численной реализации системы (1) рассматривалась в [4]. Для расчета результирующего поля данная модель явно использует вычислительную процедуру Е = ЕБ + Е0, Н = НБ + Н0, что ограничивает возможности модели в задачах экранирования.

2

Интегро-дифференциальные уравнения относительно вспомогательных вторичных источников, характеризующих результирующее поле внутри экранируемой области

Integra-differential equations for auxiliary secondary sources that characterize the resulting field inside the shielded area

Специальная формулировка интегральных уравнений для анализа электромагнитного экранирования рассматривалась в [5] в квазистационарном двухмерном приближении. В этой связи представляет интерес использование основных положений [5] по отношению к системе (1) с целью построения модифицированной дифракционной модели с расширенной областью приложений, включающей задачи экранирования.

Запишем исходную систему (1) в следующей эквивалентной форме:

zi _ E + (I, J) + ET_ (I, J) + E0

ZmJ _

Щ +

q e S,

+ Ho

Соответственно, рассеянное поле ES, H S

примет вид

iES _ ES

\hs _ HS ( Io, Jo) + HS ( Ii, Ji)'

Следуя [5], рассмотрим вспомогательную систему интегро-дифференциальных уравнений, которая следует из (1 ), если формально принять Т = 1. Также потребуем, чтобы токи 70, 70 удовлетворяли данной вспомогательной системе, т.е.:

Zj (Es + ( Io, Jo) + ES_ ( Io, Jo)) + j

1 Io _-2-+E

J _ (H + (Io, Jo) + HS_ (Io, Jo)) + Ho 2Z o 2 T

q î S.

Соответственно, токи I согласно (1 ), (2), (3), (4) должны удовлетворять следующей системе:

zjk _ ( es (Ii, Ji)+es- ( Ii, Ji)) _rz _ Ze j Io

(HS + (Ii,Ji)+hs_(Ii,Ji)) ( i

ZmJi

q e S.

2Z

: Zm I Jo

7Z i hi k

где Ze _—, Zm _-, Z _ I—_--волновой

e 2T m 2ZT Ve me

импеданс материала оболочки, T = th(jkhl2),

ES ( I, J) _

_ _ j'mio J IGdS _ gradJ—-GdS _ rot J JGdS,

s s jmeo s

HS (I, J) _

_ _ jmeo J JGdS _ gradJ _^GdS+rot J IGdS. s s jmio s

Результирующее поле Е, Н для любой точки наблюдения д принимает вид

\E(q) _ ES(Io, Jo) + ES(Ii, Ji) + Eo [H(q) _ HS(Io, Jo) + HS(Ii, Ji) + H° '

Если произвольная поверхность 5, характеризующая экранирующую конструкцию, содержит замкнутую поверхность 50, внутри которой отсутствуют источники внешнего поля, то решение /о, I

вспомогательной системы (4) обладает следующим свойством:

Представим искомые токи /, I, т.е. решение системы (1 ), в следующем виде:

|/_ Io + Ij

[J _ Jo + Ji'

\E° + ES(Io, Jo) _ o [H° + HS(Io, Jo) _ o

q e Vo<

где У0 - объем, охватываемый поверхностью 50. Соответственно, результирующее поле для точек

наблюдения ц, расположенных внутри 50, принимает вид

Е

, Яе Ко,

т.е. токи II, удовлетворяющие системе (5), характеризуют результирующее поле в экранируемой области У0. С другой стороны, если источники внешнего поля расположены исключительно внутри 50, т.е. в объеме У0, то выражения (7) и (8) справедливы во внешнем по отношению к 5о пространстве V = Vго/КО

Таким образом, расчет результирующего поля внутри либо вне замкнутых экранов сводится к последовательному решению систем интегральных уравнений (4) и (5), что характеризует модифицированную дифракционную модель оболочек.

Докажем свойство (7), полагая, что источники внешнего поля Е0, И0 расположены вне замкнутой поверхности 50. Принимая во внимание соотношения

|/о = п+х(И+- И-) 1Л =- п+х (Е+- Е-),

где Е± = Е5± (V Л) + ЕО; И±= И5± (Iо, Л) + И0,

вспомогательную систему (4) можно представить в следующем виде:

|Е+ = г(п + х И+), Яе 5+ [Е- = -г(п+х И-), Яе 5-

Согласно (9), вспомогательная система (4) формально реализует граничные условия Леонтовича на лицевых поверхностях 5+, 5" слоя (оболочки).

Применяя теорему Пойнтинга к объему У0 и преобразуя выражение для вектора Пойнтинга с учетом (9), т.е.

Е- п+

г\И-\ п+

Е- х(И-)* =_=_

2 2г* 2 '

получим:

]2ю(Н/ш - Не) + ф 1т(г)\щI2 /2/5 = 0,

50

ф Ке(г)\И-12 /2^5 = 0,

где ИЩ, = /^0 |И|2 / 4с/К; Н = / ^ |Е|'/4/^; п+

v) к0

внешняя к 50 нормаль.

Поскольку импеданс г пассивных сред (материалов) удовлетворяет условию Ке(2) > 0, то из (10), (11) следует, что электромагнитное поле в объеме У0 равно нулю за исключением частот юл где - собственные частоты объема К0 (объемного резонатора). В случае ю = ю1 электрическая и магнитная энергии в объеме могут находиться в колебательном состоянии, причем Нш(ю/) = Не(ю;) ф 0, соответственно, Е ^ 0, И ^ 0.

Таким образом, соотношение (7) справедливо при наличии двух условий:

Ые(г) > 0; ю ,

где - собственные частоты объемного резонатора V0 с идеально проводящими стенками.

В случае расположения источников внешнего поля исключительно внутри 50, свойство (7) для внешнего объема V = Vго/К0 по отношению к 50 доказывается аналогично.

Предложенные выше системы интегральных уравнений (4) и (5) также применимы для анализа проникновения поля через отверстия в экранах. Рассмотрим электромагнитное поле внутри незамкнутой оболочки 5 , которая характеризуется параметрами д', е', Л'. Добавим к рассматриваемой поверхности 5 фиктивную поверхность 5 ' с параметрами д', е', Л'', образовав тем самым замкнутую поверхность 50 = 5 и 5', причем значение Л' ' примем равным нулю (Л' ' = 0). Очевидно, что исходная формулировка (1*) дает одинаковые решения как для 5, так и для 50, поскольку Л' ' = 0. То же самое справедливо при последовательном решении систем (4), (5) как для 5, так и для 50, где г, ге, гш имеют вид

г

гш

г', г',

9«

я(

1

5';

5";

ге (я) =

г"

2Т',

5'

5"

2гТ'

¥, я е 5 "

Я е 5'

Соответственно, при расчете результирующего поля внутри замкнутой поверхности 50 можно вместо выражения (6) использовать выражение (8).

Заметим, что данная расчетная процедура правомерна при условии малости толщины Л стенок экрана 5 по сравнению с характерным размером х = л/5" отверстия 5'. В противном случае непо-

Рис. 1. Коэффициент экранирования электрического поля Ke в центре сферического экрана при падении на экран плоской волны

Fig. 1. Shielding coefficient of electric field Ke at the center of spherical shield hit by a plane wave

Ke, дБ "

-60

-80

-100

-120

-140

-160

-180

I

Численные значения Аналитические значения Собственные частоты (1, 4, 7, 9, 17) идеально проводящей сферы

-200

1,Е+06

1,Е+07

1,Е+08

1,Е+09

Рис. 2. Коэффициент экранирования магнитного поля Km в центре сферического экрана при падении на экран плоской волны

Fig. 2. Shielding coefficient of magnetic field Km at the center of spherical shield hit by a plane wave

Кт,дБ -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200

- Численные значения

О Аналитические значения

....... Собственные частоты

идеально проводящей сферы

1,Е+06

1,Е+07

1,Е+08

1,Е+09

Рис. 3. Коэффициент экранирования электрического поля Ke в центре сферического экрана с круглым отверстием (г = 0,05 м) при падении на экран плоской волны

Fig. 3. Shielding coefficient of electric field Ke at the center of spherical shield with round hole (г = 0.05 m) hit by a plane wave

Ke, дБ -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140

1

J ЧУ V

__________ f, Гц

1,Е+06

1,Е+07

1,Е+08

1,Е+09

Кт,дБ -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140

>i 1

/Гц

Рис. 4. Коэффициент экранирования магнитного поля Km в центре сферического экрана с круглым отверстием (r = 0,05 м) при падении на экран плоской волны

Fig. 4. Shielding coefficient of magnetic field Ke at the center of spherical shield with round hole (r = 0.05 m) hit by a plane wave

1,Е+06

1.Е+07

1,Е+08

1,Е+09

Ке,дБ -20 -40 -60 -80 -100 -120

140

1 I

К

Лг

^ V

f Гц

Рис. 5. Коэффициент экранирования электрического поля Ke в центре кубического экрана с квадратным отверстием (I = 0,05 м) при падении на экран плоской волны

Fig. 5. Shielding coefficient of electric field Ke at the centre of cubic shield with square hole (I = 0.05 m) hit by a plane wave

1,Е+06

1,Е+07

1,Е+08

1,Е+09

Кт,дБ ' -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140

/

f, Гц

Рис. 6. Коэффициент экранирования магнитного поля Km в центре кубического экрана с квадратным отверстием (I = 0,05 м) при падении на экран плоской волны

Fig. 6. Shielding coefficient of electric field Km at the centre of cubic shield with square hole (I = 0.05 m) hit by a plane wave

1,Е+06

1,Е+07

1,Е+08

1,Е+09

средственно на периферийном контуре S (на торцах S) может протекать эффективный ток, вклад которого не учитывается в рамках тонкостенного приближения, на основе которого сформулирована исходная система (1) и, соответственно, системы (4) и (5).

Результаты расчетов

Calculation results

Рассмотренные выше системы интегральных уравнений (4) и (5), характеризующие модифицированную дифракционную модель оболочек, по структуре аналогичны исходной системе (1). Поэтому схема численной реализации (1), рассмотренная в [4], т.е. выбор и построение системы базисных функций, построение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Галеркина, применимы по отношению к системам (4) и (5) без каких-либо изменений.

Адекватность модифицированной дифракционной модели проверялась при помощи тестовых задач. В качестве одной из тестовых задач рассматривался сферический экран с параметрами: R = 1 м, h = 10-4 м, с = 107 См/м, ц = ц0 в поле плоской однородной волны k0, E0, H0. На рис. 1 представлена зависимость от частоты коэффициента экранирования электрического поля Ke = | E / E | в центре экрана. Как следует из рисунка, пять резонансных частот практически совпадают с собственными (1, 4, 7, 9, 17) частотами идеально проводящей сферы, которые обозначены вертикальным пунктиром. Сравнение численных и аналитических данных показывают, что два резонанса, соответствующих 4 и 9 собственным частотам, являются ложными. На рис. 2 представлен коэффициент экранирования магнитного поля Km = | H / H0 | в центре экрана. Здесь также имеется пять резонансных частот, которые соответствуют (2, 3, 8, 11, 19) собственным частотам, причем три резонанса на 2, 8 и 11 собственной частоте являются ложными. Ложные резонансы, как правило, имеют отличительный признак в виде очень узкого всплеска или провала, который можно использовать для их идентификации.

Характеристики экранирования сферического экрана с круглым отверстием (г = 0,05 м) представлены на рис . 3-4. На экран падает плоская волна, причем i0, E параллельны плоскости отверстия.

Эффективность предложенного подхода в задачах экранирования и электромагнитной совмести-

мости показана на примере кубического экрана с параметрами L = 1 м; h = 10-4 м; с = 107 См/м; ц = ц0. Коэффициенты экранирования кубического экрана с квадратным отверстием, расположенным в центре одной из граней (ребро отверстия 1 = 0,05 м параллельно ребру грани L), даны на рис. 5-6. Плоская волна падает нормально к одной из граней экрана, вектор E0 параллелен ребру грани, причем волна падает параллельно плоскости отверстия.

Предложенные формулировки интегро-диффе-ренциальных уравнений эффективны в задачах излучения и дифракции на объектах, состоящих из проводящих либо магнитодиэлектрических поверхностей. Такой подход не накладывает принципиальных ограничений на геометрию расчетной модели, а также охватывает большой круг задач электромагнитного экранирования и электромагнитной совместимости.

Библиографический список

References

1. Hoppe D.J., Rahmar-Samii Y. Impedance boundary condition in electromagnetics. Washington: Taylor and Francis, 1995.

2. Апполонский СМ., Ерофеенко В.Т. Эквивалентные граничные условия в электродинамике. СПб: Безопасность, 1998. [S. Appolonsky, V. Yerofeenko. Equivalent boundary conditions in electrodynamics. St. Petersburg: Bezopasnost, 1998. (in Russian)].

3. Гримальский ОВ. Модели электромагнитной дифракции на однородных оболочках // Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. № 3. С. 285-291 [O. Gri-malskiy. Models of electromagnetic diffraction on homogeneous shells // Radiotekhnika i Elektronika (Journal of Communications Technology and Electronics). 2005; 50(3): 285-91. (in Russian)].

4. Гримальский О.В., ЛаповокАЯ. Устранение низкочастотной неустойчивости в вычислительных моделях электромагнитного поля оболочек и проводников // Известия РАН. Энергетика. 2006. № 4. С. 26-38. [O. Grimalskiy, A. Lapovok. Eliminating low-frequency instability in analytical models for electromagnetic field of shells and conductors // Proceedings of Russian Academy of Sciences. Power Engineering Journal. 2006; 4: 26-38. (in Russian)].

5. Grimalskiy O.V. Improvment of boundary elements method with its application to electro-magnetic field calculation in a shell under strong screening conditions // IEEE Transactions on Magnetics. 1996; 32(2): 426-30.

Сведения об авторе

Гримальский Олег Владимирович, ведущий научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Телефон: 8 (812) 748-46-73; e-mail: krylov@krylov.spb.ru.

About the author

Grimalskiy, Oleg V., Lead Researcher, KSRC,

address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia,

post code 196158. Tel.: 8 (812) 748-46-73; e-mail: krylov@krylov.spb.ru.

Поступила / Received: 19.04.17 Принята в печать / Accepted: 07.07.17 © Гримальский О.В., 2017