Математическая модель процесса разделения горной массы на полочном сепараторе с криволинейным трамплином переменного радиуса

УДК 622.232

П.М. Анохин, А.И. Афанасьев, В.Я. Потапов, В.В. Потапов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА РАЗДЕЛЕНИЯ ГОРНОЙ МАССЫ НА ПОЛОЧНОМ СЕПАРАТОРЕ С КРИВОЛИНЕЙНЫМ ТРАМПЛИНОМ ПЕРЕМЕННОГО РАДИУСА

Рассмотрен процесс разделения горной породы на полочном фрикционном сепараторе с криволинейным трамплином. Приведены уравнения движения частицы горной породы на криволинейном трамплине с переменным радиусом и получена скорость, а также направление скоростипри сходе ее с криволинейного трамплина. Это позволяет определить расстояние падения частицы. Приводятся результаты расчетов по модели и результаты экспериментов на физической модели, которые подтверждают адекватность математической модели. Установлено, что криволинейный трамплин с переменным радиусом кривизны позволяет получить больший веер распределения частиц по сравнению с трамплином имеющим постоянную кривизну.

Ключевые слова: фрикционный полочный сепаратор, коэффициент трения, уравнение движения частицы, скорость частицы, криволинейный трамплин, логарифмическая спираль.

При обогащении некоторых типов полезных ископаемых используют различие в их физико-механических характеристиках, в частности, коэффициентах трения [1, 2]. Разделение продуктов производится на полочных сепараторах. Известно несколько конструкций полочных фрикционных сепараторов. Наиболее простой из них является пассивный полочный сепаратор, состоящий из разгонной плоскости и криволинейного трамплина [3, 4]. Испытания по обогащению асбестовой руды, показали его потенциальную работоспособность. Процесс разделения в этом сепараторе начинается придвижение кусков горной массы по плоскости, продолжается на трамплине. Этот процесс является случайным, так как коэффициент трения

ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2016. № 8. С. 16-22. © 2016. П.М. Анохин, А.И. Афанасьев, В.Я. Потапов, В.В. Потапов.

3

Рис. 1. Распределение продуктов при разделении на плоскости без трамплина: 1 — асбест; 2 — порода

скольжения (кинетический коэффициент) является случайной величиной. Для получения математической модели процесса необходимо знать существенно влияющие на него факторы.

На рис. 1 приведены гистограммы распределения асбеста и пустой породы после их падения с разгонной плоскости в приемные ящики. Номера ящиков приведены на горизонтальной оси.

Из рис. 1 видно, что значительная часть полезного ископаемого смешивается с пустой породой и попадает в «хвосты». Это можно объяснить тем, что породные частицы, имеющие меньший по сравнению с асбестовыми коэффициент трения, ударяют асбестовые, увеличивают их скорость и падают вместе с ними в одну емкость.

На рис. 2 приведены гистограммы распределения асбеста и пустой породы после их падения с разгонной плоскости с трамплином, выполненным в виде части цилиндра радиусом 100 мм (длина дуги — 50 мм).

Результаты этого эксперимента показывают, что данный аппарат позволяет существенно уменьшить потери асбеста. Для

8

Рис. 2. Распределение продуктов при разделении на плоскости с трамплином: 1 — асбест; 2 — порода

дальнейшего повышения эффективности разделения использовать криволинейный трамплин с переменным радиусом кривизны. Трамплин был изготовлен в форме логарифмической спирали (рис. 3).

Уравнения движения материальной точки М массой m под действием силы тяжести, силы трения и реакции опоры в проекции на оси естественной системы координат (тМп)(см. рис. 1) имеют вид

dV . f.T m-= -mg sin ф- fN,

dt

mV2

-= -mg cos ф + N,

P

где V — скорость точки; f — коэффициент трения скольжения; N — реакция опоры; р — радиус кривизны спирали в месте, где находится материальная точка М; ф — угол наклона касательной Мт к положительному направлению оси Ox; r, 0, — полярные координаты. Направление отсчета полярного угла показано на рис. 3.

В результате общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

V2 = Ce'2fф + вк1

Очевидно, в практических расчетах положение точки удобнее определять не углом наклона касательной ф, а полярным углом 0. Окончательно скорость точки в зависимости от ее положения, определяемого полярным углом, определяется выражением.

У2 = Се-2 / (е+ц-п) +

в

Г2дк[1 - /(к +

-1 со8(е + ц - п) -

V

1 +

2дк (кг + 3/ 1 + кг2

1 + (кг + 2/)2

Л

81п

Привязка модели к реальному обогатительному аппарату осуществлялась по начальным условиям движения частицы. Так, частица вначале скатывается по наклонной плоскости с заданным углом наклона а = 30^40 °С и затем через сопряжение спирали с наклонной плоскостью в точке М0 (см. рис. 3) попадает на спираль. Это дает возможность задать начальный угол касательной. В результате в начальном положении частицы на спирали справедливы уравнения

1

г° = кек1е°, е0 + а + ц = п, Ьдц = — .

к1

Задаваясь здесь углом а наклона плоскости, величиной k — начальным значением радиус-вектора спирали при е = 0 и значением г0 — величиной радиус-вектора частицы в начале ее движения по спирали, находим угол ц как результат решения трансцендентного уравнения

4. и п-а , 1

гдц = а - Ьц, а =-, Ь =

1п г° - 1п к 1п г° - 1п к При известном значении ц остальные параметры — k1 и ео элементарно определяются из уравнений (4).

Для проверки модели произведены расчеты скорости точки при движении ее по логарифмической спирали при значениях начальных параметров а = 30°, k = 78 мм, г0 = 100 мм, f = 0,4, У0 = 3 м/с. Получены следующие значения параметров спирали ц = 77,4°, k1 = 0,22, е0 = 72,6°. В точке схода частицы со спирали, определяемой полярным углом е1 = 125,0°, ее скорость составила V = 1,56 м/с.

При такой скорости отрыва частицы расчетное расстояние до точки падения по горизонтали составило 43 см, а полученное экспериментально для куска хромита, имеющего коэффициент трения 0,38—0,42 составило 41 см.

На рис. 4 приведены фотографии кусков горной породы после разделения их на криволинейном спиральном (слева) и криволинейном цилиндрическом (справа) трамплине.

Рис. 4. Куски горной породы после разделения их на криволинейном спиральном (слева) и криволинейном цилиндрическом (справа) трамплине

Из рис. 4 видно, что веер разделения на спиральном трамплине больше, чем а цилиндрическом, что указывает на преимуществ спирального трамплина. После схода с плоскости, частица совершает свободный полет. При составлении уравнения движения частицы на этом этапе обычно учитывают силу сопротивления движению (давление воздуха), которая пропорциональна квадрату относительной скорости, размерам и коэффициенту, учитывающему ее форму. Это оправданопри описании траектории частиц движущихся в газовой среде со скоростями, близкими к скорости витания. Известно, что скорость витания распушенного асбеста имеет наименьшее значение из всех частиц составляющих продукт разделения — асбестовую руду. Обычно, в полочном сепараторе высота падения частиц не превышает 0,6 м, поэтому их максимальная скорость перед ударом

500 ____________

Рис. 5. Момент полета частиц горной породы на отметке — 600мм

о полку не может превышать 3,5 м/с. Эта скорость существенно меньше скорости витания распушенных частиц асбеста. Поэтому, была поставлена задача определить степень влияния воздушного сопротивления на траекторию и скорость движения частиц горной породы. Для решения поставленной задачи был произведен эксперимент с частицами породы, имеющими различную форму (кубовидную, лещадную, пластинчатую и распушенный асбест) и плотность от 1,0 до 7,8 т/м3, (уголь, асбест, медно-цинковая руда, кварцит, марганцевая руда, стальной шар). Следует отметить, что условная плотность распушенного асбеста (отношение массы к объему — произведению трех размеров куска) была в несколько раз меньше 1 т/м3. При проведении эксперимента на цифровую камеру со скоростью 240 кадров/с фиксировался процесс полета частиц, которые одновременно сбрасывались с одной плоскости. На рис. 5 показан момент прохождения частицами угля, медно-цинковой руды, кварца, асбеста и стального шара отметки — 600 мм.

Из рис. 5 видно, что скорости всех частиц на этой отметке практически не различаются. На других отметках эта картина не изменялась. Таким образом, при расчете траектории полета частицы, сопротивление воздуха можно не учитывать, что существенно упрощает алгоритм процесса разделения в полочном сепараторе.

Выводы

1. Математическая модель движения частицы по криволинейному трамплину с переменным радиусом адекватно отражает реальный процесс.

2. При расчете траектории движения частицы после ее схода с трамплина сопротивление воздуха можно не учитывать.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левенсон Л. Б. Машины для обогащения полезных ископаемых: учебн. пособие. — М.: Госмашметиздат, 1933. — 803 с.

2. Тимченко Н.К., Матросов А. А. Механические классификаторы щебня и гравия по прочности // Строительные материалы. — 1966. — № 11. - С. 4-5.

3. Потапов В. Я., Афанасьев А. И., Ляпцев С. А., Цыпин Е. Ф., Потапов В. В., Иванов В. В. Сепаратор для разделения материалов по трению и упругости. Патент Ru 111780, заявл. 24.06, опубл. 27.12.2011. Бюл. № 36.

4. Ляпцев С. А.,. Цыпин Е. Ф., Потапов В.Я., Иванов В. В. Математическое моделирование разделения частиц в барабанно-полочном фрикционном сепараторе // Известия вузов. Горный журнал. -1996. — № 7. - С. 147-150. [¡233

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Анохин Петр Михайлович1 — доцент, e-mail: Panokhin1@mail.ru, Афанасьев Анатолий Ильич1 — доктор технических наук, профессор, e-mail: 2c1@inbox.ru,

Потапов Валентин Яковлевич1 — доктор технических наук, профессор, доцент, e-mail: 2c1@inbox.ru,

Потапов Владимир Валентинович1 — кандидат технических наук, доцент, e-mail: 2c1@inbox.ru,

1 Уральский государственный горный университет.

UDC 622.232

Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2016. No. 8, pp. 16-22. P.M. Anokhin, A.I. Afanas'ev, V.Ya. Potapov, V.V. Potapov MATHEMATICAL MODEL OF PROCESS OF SEPARATION OF ROCK MASS IN THE SEPARATOR SHELF WITH A CURVED RAMP VARIABLE

The process of separation of rock friction shelf on the separator with a curved jump. The equations of motion of a particle of rock on the ramp curved with variable radius and the speed and direction score type the gathering with a curved jump. This allows to determine the distance of fall of the particles. The results of model calculations and the results of experiments on physical models, which confirm the adequacy of the mathematical model. Found that a curved ramp with a variable radius of curvature allows to obtain a greater fan of particle distribution compared with the ramp having a constant curvature.

Key words: friction shelf separator, the coefficient of friction, the equation of motion of a particle, speed of particle, curvilinear ramp, a logarithmic spiral.

AUTHORS

Anohin P.M.1, Assistant Professor, e-mail: Panokhinl@mail.ru, Afanasiev A.I.1, Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: 2c1@inbox.ru,

Potapov V.Ya.1, Doctor of Technical Sciences, Professor, Assistant Professor, e-mail: 2c1@inbox.ru,

Potapov V.V}, Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, e-mail: 2c1@inbox.ru,

1 Ural State Mining University, 620144, Ekaterinburg, Russia.

REFERENCES

1. Levenson L. B. Mashiny dlya obogashcheniya poleznykh iskopaemykh: uchebnoe posobie (Machines for mineral processing, Educational aid), Moscow, Gosmashmetizdat, 1933,803 p.

2. Timchenko N. K., Matrosov A. A. Stroitel'nye materialy. 1966, no 11, pp. 4—5.

3. Potapov V. Ya., Afanas'ev A. I., Lyaptsev S. A., Tsypin E. F., Potapov V. V., Ivanov V. V. Patent RU111780, 27.12.2011.

4. Lyaptsev S. A., Tsypin E. F., Potapov V. Ya., Ivanov V. V. Izvestiya vuzov. Gornyy zhur-nal. 1996, no 7, pp. 147-150.