Локальная разрешимость одного класса линейных уравнений с памятью

ЛОКАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ОДНОГО КЛАССА

_ _ К» _ «-» _ _ -I

ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ С ПАМЯТЬЮ1

Доказана локальная однозначная разрешимость задачи Коши для линейного эволюционного уравнения в банаховом пространстве с секториальным оператором и с интегральным оператором памяти, имеющим операторнозначное ядро. Результат работы проиллюстрирован на примере начально-краевой задачи для интегро-дифференциального уравнения с частными производными.

Ключевые слова: эволюционное уравнение, интегро-дифференциальное уравнение, уравнение с памятью, секториальный оператор, аналитическая полугруппа операторов.

Введение

При математическом моделировании некоторых процессов в естественных и технических науках встречаются так называемые системы с памятью, поведение которых не определяется целиком состоянием в настоящий момент, а зависит от всей "истории" системы (см. по этому поводу [1]) и поэтому описывается интегро-дифференциальным уравнением, содержащим соответствующий интеграл по временной переменной. Такие уравнения возникают, например, при описании термомеханического поведения полимеров [2; 3], вязкоупругих жидкостей при низких температурах [4; 5].

В работах [2—5] исследованы конкретные уравнения в частных производных с памятью. Эти уравнения могут быть записаны в виде эволюционного уравнения с памятью в банаховом пространстве. Данная работа посвящена рассмотрению такого абстрактного линейного уравнения, в котором интегральный оператор памяти имеет операторнозначное ядро. С помощью принципа сжимающих отображений доказана однозначная локальная разрешимость этой задачи. Полученный результат использован при исследовании начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с памятью (см. [1—3]).

1. Секториальный оператор и его дробные степени

В этом параграфе изложены используемые при получении основного результаты факты из классической теории полугрупп операторов (см. [6]).

Обозначим через р(А) резольвентное множество оператора А, а через а(А) — его спектр.

Определение 1. Будем называть линейный замкнутый плотно определенный в банаховом пространстве X оператор А секториальным, если существуют такие константы а € К, К € К+ и 9 € (| ,п), что сектор Ба>в(А) = € С : |а^(р, — а)| <

1Работа поддержана грантом РФФИ (код проекта 07-01-96030-р_урал_а).

9, ц = а} лежит в р(А), причем

К

||(ц — А) 1\\с(Х) ^ |ц — а| ^ € 5^,0(А).

Замечание 1. В монографии [6] оператор А называется секториальным, если условиям определения 1 удовлетворяет оператор — А. В данной работе будут использоваться более удобные для ее автора формулировки.

Определение 2. Аналитическая полугруппа в банаховом пространстве X — это семейство непрерывных линейных операторов (Т(£)}*^0 в X, удовлетворяющее условиям:

1. Т(0) = I, Т(£)Т(з) = Т(£ + з) для £ ^ 0, з ^ 0.

2. Т(£)х ^ х при £ ^ 0+ для всех х € X.

3. Отображение £ ^ Т(£)х аналитически продолжимо в некоторую область, содержащую множество (£ € К : £ > 0} для всех х € X.

Инфинитезимальный генератор Ь этой полугруппы определяется следующим образом:

Ьх = Иш -(Т(£)х — х).

^о+ £1 '

Его область определения Д(Ь) состоит из всех х € X, для которых этот предел в X существует. Будет использоваться обозначение Т (£) = е^*.

Теорема 1. Если А — секториальный оператор, то А — инфинитезимальный генератор аналитической полугруппы (еА*}*^0; где

ем = — /(А — А)-1ел*ИА,

2пг ] г

Г — контур в р(А) такой, что arg А ^ ±9 при |А| ^ то. При этом еА* можно аналитически продолжить в сектор (£ € С : | arg £| < 9 — п/2}, содержащий положительную вещественную полуось, и

ЗС> 0 У£> 0 ||еА*\ ^ Сеа*, ||АеА*\ ^ уеа*.

Наконец,

И

^еА* = АеА* У£> 0.

Определение 3. Пусть —А — секториальный оператор, Б,ец > 0 при всех ц € а(А). Определим для любого а > 0

А-а = I е-1е-М<И, £(Аа) = Я(А-а), Аа = М-а) 1

Г(а) '

о

Ao — тождественный оператор в X.

Теорема 2. Пусть —A — секториальный оператор, inf{Re^ : ^ Є 0"(A)} > 6 > О. Тогда

Va ^ 0 3Ca > 0 Vt> 0 ||Aae-At|| ^ C«rae-<5t.

Если при этом x Є D(Aa), 0 < a ^ 1, то

C fa

а

2. Эволюционное уравнение с памятью

Пусть X — банахово пространство, X(T) = C([0,T]; X), ||u||X(T) =

max ||u(t)||x, R- = {x Є R : x < 0}. Оператор (Ju)(t) имеет вид te[o,T]

СЮ t СЮ

(Ju)(t)= / K(s)u(t — s)ds = K(s)u(t — s)ds + K(t + s)u-(—s)ds,

где {К(£) € £(Х)}*>о — семейство оператор-функций, и_ : М- ^ X — функция, описывающая «:историю> системы. Рассмотрим задачу Коши

и

для эволюционного уравнения с памятью

й

Ее решением на отрезке [0,Т] называется функция и € С:((0,Т]; X) ПС([0,Т]; X), удовлетворяющая условию (1) и уравнению (2) на (0,Т].

Основным результатом данной работы является доказательство однозначной локальной разрешимости этой задачи.

Теорема 3. Пусть А — секториальный оператор, вир{Ке^ : ^ € ^(А)} < 0, и_ € ^1(К_; X). Если

ЗЖ > 0 За € (0,1] У£,з > 0 ||К(£) — К(з)||£(Х) ^ N|£ — з|“,

то при некотором Т > 0 существует единственное решение задачи (1), (2) на

отрезке [0,Т].

Доказательство. Рассмотрим вспомогательное уравнение

и

Зафиксируем некоторое Т0 > 0 и положим

СО

д0 = К(з)и_(—з)^з € X, Т € (0,Т0],

В(Т) = {# € х(Т) : #(0) = #0, |Ы|х(т) ^ 1Ы|х + 1, 11#С0 — #(в)1|х ^ Ж1^ — в|* ^ € [0,Т]},

при этом константы N1,8 > 0 зависят от выбора функции #. При # € В(Т) решение задачи Коши (1) для уравнения (3) на отрезке [0,Т] существует, единственно и имеет вид

£

и

0

поэтому в силу теоремы 1

Далее, при * > в > 0 и при любом 8 € (0,1), применяя теорему 3, получим

||и(*) — и(в)|х ^ |(еА(£_5) — I)еА5и0|х +

8 £

+ / ||(еА(£_в) — I)еА(8_т)#(т)|хАт + 1 ||еА(£_т)#(т)|хАт ^

0 8

— _8_^ в ^ (* — в)Й Ии0^Х + — -8_^ (* — в)* |Ы|х (Т) J (в — т )* +

0

+—

Кз = —*—1_||«0Пх + (—^ + —) (Ы1* + 1)Т.

Определим на В (Т) оператор

СО

[Ф #](*) = У К(в)и(* — в)Ав,

0

где функция и определяется функцией д из задачи (1), (3) по формуле (4). Имеем очевидное равенство [Ф#](0) = #0. Далее, используя неравенство (5), получим

£ СО

11[Ф#]С011х ^ У ||к(в)||£(х)Ии(£ — в)||х|к(* + в) — к(в)|£(х)|и_(—в)|хАв+ 00

?

2

при значении

Т < шт^ (2Ж —ь +'/Ь2Т^

+ ||до||х ^ тах ||К(з)|І£(х) Кіі + К—^ + ^і^Цм-Ц^к^х) + ІІй'оІІх ^

о^з^Т у 2 )

где

Здесь использована непрерывность гёльдеровой функции.

Кроме того, в силу неравенства (6) при Ь' > * и при 8 € (0,а]

£' £

11[Ф#]С0 — [Ф#]С01и ^ У нвдни*7 — в)|хАв+^нвдщщ^— в)—и(*— в)||хАв+

£ 0 СО

— ||К||с([0,То];£(Х))К3(^ - ^)'

;(* - «)1-Й

1- 8

+ Ж(У — ^)а|м-|^1(К-;Х) ^ К4(^ — ^)Й•

Таким образом, имеем действие оператора Ф : В(Т) ^ В(Т) при выбранном Т. Для произвольных функций #1,#2 € В(Т) выполняется

ИМИ — [%2](«)||х « / ИОДИдх)^ / |к4(‘-'-т)Ыт) — ,,2(т)]||х* ^

£

Г Т2

^ —1|#1 — #2^х (ТМ (* — в)|К(в)|£(Х)Ав ^ — ||К||с([0,То];£(Х))||#1 — #2^Х (Т) “у

0

Поэтому, если помимо вышеупомянутых ограничений на Т будет выполняться неравенство

Т < ' 2

то на соответствующем полном метрическом пространстве В(Т) с метрикой, порожденной вир-нормой, Ф является сжимающим оператором. Следовательно, по теореме о сжимающем отображении найдется единственный элемент #1 € В (Т), такой, что #1 = Ф#1. В этом случае функция

£

и(*) = еА£и0 + [ еА(£_8)#1(в)Ав

является одновременно решением задач (1), (2) и (1), (3), так как $і(і) = (/и)(і).

С другой стороны, если V — решение задачи (1), (2) на некотором отрезке [0,То], то нетрудно показать, что д(і) = (^)(і) — неподвижная точка оператора Ф, лежащая в В(Т) при достаточно малом Т > 0. Отсюда следует сопадение и и V на [0,Т] и единственность решения задачи (1), (2).

і

і

і

0

і

Замечание 2. Все ограничения на Т определялись только оператором А, значением и0 и функциями К и и_.

Замечание 3. Если требовать непрерывности изменения процесса, описываемого задачей (1), (2), то необходимо в условия теоремы добавить требования и_ € Ь1(Е_; X) П — (Е_; X), и_(0) = и0, где Е_ = Е_ и {0}.

3. Уравнение теплопроводности с памятью

В качестве примера применения полученного абстрактного результата рассмотрим начально-краевую задачу

и(х, 0) = и0(х), х € П,

и(х,*) = 0, (х,*) € дП х (0,Т],

для уравнения теплопроводности с памятью

и£

0 п

описывающего процесс теплопроводности в некоторых материалах [2, 3]. Пусть ограниченная область П С имеет гладкую границу. В пространстве X = Ь2(П) оператор Аи = Ди с областью определения

Д(А) = {и € Н2(П) : и(х) = 0, х € дП},

как известно [1], является секториальным, причем вир{Ке^ : ^ € ^(А)} < —8 < 0. Имеем семейство интегральных операторов К(в) : ^2 (П) —— ^2 (П), в > 0,

вида

К(вМ0 = У

п

Н^МОН^П)

2 ч 1/2

к(х, у, з^(у)йу йх | <

п

1/2 / \ 1/2

/ КУ)|2^У ] < ( / [ |к(х,у,з)|2^х ] ІМ^п).

п п п п п

Таким образом,

1/2

|к(х,у, з)|2йуйх

пп

|К(«)|£(Ь2(П)) <

2а

Теорема 4. Пусть и_ € Ь1(К_; Ь2(П)),

Ув > 0 У |к(х,у, в)|2АуАх I < то,

пп

Э*> О Эа € (°, 1] уМ > 0 //^/.О - к(х,у,в)|2Л/* «^ -в|

пп

Тогда при некотором Т > 0 существует единственное решение

и € —1

задачи (7)—(9).

Автор считает своим долгом выразить благодарность проф. В. Е. Федорову за поддержку и внимание к работе.

Список литературы

1. Grasselli, M. Uniform attractors of nonautonomous dynamical systems with memory / M. Grasselli, V. Pata // Progress in nonlinear differential equations and their applications. Basel: Birkhauser Verlag, 2002.— Vol. 50.— P. 155—178.

2. Coleman, B. D. Equipresence and costitutive equations for rigid heat conductors / B. D. Coleman, M. E. Gurtin. Z. Angew // Math. Phys.— 1967.— Vol. 18.— P. 199—208.

3. Gurtin, M. E. A general theory of heat conduction with finite wave speeds / M. E. Gurtin, A. C. Pipkin // Arch. Rational Mech. Anal.— 1968.— Vol. 31.— P. 113—126.

4. Fabrizio, M. Mathematical problems in linear viscoelasticity / M. Fabrizio, A. Morro. — SIAM Studies Appl. Math.— Vol. 12.— Philadelphia: SIAM, 1992.

5. Renardy, M. Mathematical problems in linear viscoelasticity / M. Renardy, W. J. Hrusa, J. A. Nohel. — N. Y.: Longman Scientific and Technical; Harlow John Wiley and Sons, Inc., 1987.

6. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений /

Д. Хенри. — М.: Мир, 1985.