О Мальцевском произведении классов частичных группоидов

УДК 519

О МАЛЬЦЕВСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ КЛАССОВ ЧАСТИЧНЫХ ГРУППОИДОВ

© 2007 г. Е.С. Арапина-Арапова

Inverse categorical in zero semigroups which are the union of Brandt's semigroups of are described. For this purpose multiplication of classes of partial groupoids is defined in terms of Maltsev's multiplication.

Один из способов изучения той или иной алгебраической системы состоит в разложении ее на подсистемы из некоторого достаточно изученного класса. В теории полугрупп широко применяются разложения в объединение попарно непересекающихся подполугрупп или попарно пересекающихся в общем нуле.

В этом направлении широко известны работы

A. Клиффорда, О. Андерсена, Р. Круазо и других. В своей основополагающей работе [1] А. Клиффорд описал строение инверсных полугрупп, являющихся объединением групп. Позже О. Андерсен и Р. Круазо независимо друг от друга указали строение полугрупп, являющихся объединением простых подполу-групп.

При изучении полугрупп с нулем естественно рассматривать разложения на подполугруппы, попарно пересекающиеся в нуле. В этом случае полугруппу называют 0-объединением этих подполугрупп.

Заметим, что всякое утверждение о полугруппах с нулем влечет в качестве очевидного следствия некоторое утверждение о полугруппах без нуля, если предположить, что в рассматриваемой полугруппе нуль является внешним. В частности, изучая те или иные свойства 0-простых (вполне 0-простых полугрупп, полугрупп Брандта), получаем соответствующее утверждение о простых полугруппах (вполне простых полугруппах, группах) [1].

Изучение полугрупп, являющихся 0-объединением полугрупп Брандта, представляется актуальным, так как в классе полугрупп с нулем полугруппа Брандта есть наиболее естественный аналог понятия группы: если группа - это инверсная вполне простая полугруппа (без нуля), то полугруппа Брандта - инверсная вполне 0-простая полугруппа (с нулем). Полугруппы Брандта интересовали многих исследователей. Так

B. Манн в 1964 г. [2] изучает гомоморфизмы на полугруппах Брандта; Д. Лаллеман и М. Петрич [3] дают описание идеальных расширений некоторых полугрупп Брандта при помощи подполугрупп Брандта; Д. Клоуда [4] находит их геометрическое приложение; К. Фихтнер [5] при помощи группоидов Брандта и Эресмана описывает симметрию кристаллов; Т.И. Ершова [6] рассматривает проектирования полугрупп Брандта; О.Б. Кожевников [7] ставит вопрос о строении полугрупп, являющихся 0-объединением полугрупп Брандта. Полугруппы Брандта изучались также Э.Г. Шутовым, Л. Михлером, Р. Спаниссиати и многими другими.

Большинство известных к настоящему времени результатов в теории инверсных полугрупп с нулем получены в предположении категорийности в нуле (В. Манн,

А. Клиффорд, Д. Хауи, Г. Гомеш, О.Б. Кожевников и др.). Полугруппа называется категорийной в нуле, если для любых а, Ь, се 5 равенство аЬс=0 влечет либо аЬ=0, либо Ьс=0. Например, нулевое расширение малой категории есть категорийная в нуле полугруппа. В классе инверсных полугрупп условие катего-рийности в нуле равносильно существованию 0-ограни-ченного примитивного гомоморфного образа. Категорийные в нуле полугруппы будем называть категорийными полугруппами, как это принято, например, в [8].

Учитывая всё возрастающий интерес к различным подклассам класса М инверсных категорийных полугрупп [8], естественно рассмотреть класс К тех полугрупп из М, которые являются 0-объединением полугрупп Брандта. Класс К достаточно широк: он содержит класс всех инверсных клиффордовых полугрупп с внешним нулем.

Примером полугруппы класса К может служить матричная полугруппа с единичной сэндвич-матрицей А над произвольной инверсной клиффордовой полугруппой 5 с нулем (не обязательно внешним) и единицей. Брандтовы компоненты здесь - матричные полугруппы с матрицей А над групповыми компонентами 5.

Нулевое расширение фундаментального группоида любого неориентированного графа [9] также является полугруппой класса К, а именно 0-прямым объединением полугрупп Брандта.

Еще пример. Пусть Б = {Ц-|/ е I} - множество попарно непересекающихся непустых множеств. Тогда множество всех биекций, области определения и значения которых принадлежат Б (эти области могут совпадать), относительно обычной суперпозиции отображений является частичным группоидом, нулевое расширение которого является полугруппой класса К. Например, в качестве Б можно взять множество открытых граней (без ребер) любого многогранника, в частности, какого-нибудь кристалла.

Вместо « а о Ь определено в 5» условимся писать: а о Ь Ф0 . Частичный группоид (5;•) называется идемпотентным (коммутативным, слабо ассоциативным, ассоциативным, катенарным), если а2 = а (аЬ = Ьа ; из того, что (аЬ)с Ф0 Ф а(Ьс) следует (аЬ)с = а(Ьс); (аЬ)с = а(Ьс); из того, что аЬ Ф0Ф Ьа следует (аЬ)с Ф 0 Ф а(Ьс)) для любых а, Ь, с е 5. Группоид 5 называется слабо идемпотентным, если

а2 Ф0 всегда влечет а2 = а для любого а е 5 . Группоид 5 называется связным, если для любых

a, Ь е 8 существует такой элемент x е S, что ax ^ 0, хЬ ^ 0 . Частичной полурешеткой назван идемпотентный коммутативный слабо ассоциативный частичный группоид. Ассоциативный группоид £ называется инверсным, если для любого а е £ существует единственный элемент ае £ такой, что а = аа~1а, а— = а~1аа. Подгруппоид В группоида (4;-) называется замкнутым [10], если для любых Ьь Ь2 е В таких, что Ь1 - Ь2 ^ 0 , следует Ь1 - Ь2 е В . Полугруппа, являющаяся 0-объединением подполугрупп Брандта, называется 0-вполне регулярной. Если при этом нуль внешний, то получаем вполне регулярную полугруппу. Группоид, являющийся объединением замкнутых подгруппоидов Брандта, назовем вполне регулярным группоидом.

А.И. Мальцевым в [11] введена операция умножения классов полных группоидов. Рассмотрим аналогичную операцию для классов частичных группоидов. Для произвольных абстрактных классов 2, Г частичных группоидов обозначим через 2 *Г класс всех тех частичных группоидов 8, для которых существует такая конгруэнция т, что факторгруппоид 8/т принадлежит Г, а каждый т -класс как частичный подгруппоид в 8 принадлежит 2 .

Если Г состоит из частичных полурешеток, изоморфных частичной полурешетке У, то 2 *Г -группоид называется частичной полурешеткой У группоидов класса 2.

Важным примером 2 *Г -группоида является понятие градуированной алгебры как линейной алгебры над полем, разложимой в прямую сумму собственных подпространств { Ьт | т е Nо } так, что Ьт - Ьп с Ьт+п

для всех т, п е N°.

Действительно, пусть Г - класс всех ограничений [10] аддитивной полугруппы целых неотрицательных чисел. Алгебра Ь градуируема тогда и только тогда, когда линейное пространство Ь обладает таким порождающим подпространством М, что мультипликативный частичный группоид М \{0} является Г -группоидом тех группоидов, нулевые расширения которых - собственные линейные подпространства в Ь .

Это равносильно следующему: алгебра Ь градуируема тогда и только тогда, когда существует такое порождающее подпространство М линейного пространства Ь и такой гомоморфизм р мультипликативного частичного группоида М \ {0} в (N°;+), что нулевое расширение каждого Кегр -класса является собственным подпространством линейного пространства Ь . Подобным образом характеризуются и так называемые 1т -градуируемые линейные алгебры. Таким образом, понятие градуированной алгебры можно определить в терминах гомоморфизмов частичных группоидов. Однако сделать это в терминах гомоморфизмов полного мультипликативного группоида алгебры Ь , вообще говоря, нельзя. Например, в

том случае, когда Ь содержит делители нуля. Иными словами, 2*Г - класс всех тех частичных группоидов, для которых существует такой гомоморфизм на некоторый частичный группоид из Г, что каждый класс ядра этого гомоморфизма принадлежит 2. Возможен случай 2 *Г = 0 .

Группоид из 2 *Г назовем Г -группоидом 2 -группоидов. Например, если Г - класс полурешеток, 2 - класс всех групп, то 2*Г - класс всех полурешеток групп. Если, к примеру, Г - класс антицепей, то 2*Г - класс всех прямых объединений группоидов класса 2 . В частности, если В - класс группоидов Брандта, то В *Г - класс группоидов Эресмана. Особый интерес представляет тот случай, когда Г -класс катенарных частичных полурешеток, а 2 = В .

Если Г - класс полугрупп, 2 - класс единичных групп, то 2 *Г - класс идемпотентных полугрупп.

Если Г - класс коммутативных полугрупп, 2 -класс единичных групп, то 2*Г - класс полурешеток.

Следовательно, если О - класс групп, Е - класс единичных групп, С - класс коммутативных полугрупп, то О * (Е * С) - класс полурешеток групп, т. е. класс инверсных клиффордовых полугрупп. Если Р -класс прямоугольных связок, 2 - произвольный класс полугрупп, то 2 * Р - класс прямоугольных связок полугрупп класса 2 , в частности, О * Р - класс прямоугольных связок групп, т. е. класс вполне простых полугрупп. Таким образом, (О * Р) * (Е * С) - класс клиф-фордовых полугрупп, т. е. полугрупп, являющихся объединением групп. К понятию 2 * Г -группоида возможен и несколько другой подход. Пусть (У;о) е Г ,

8(;-) - некоторый группоид, {8я|е У} - множество подгруппоидов в £ , принадлежащих 2 таких, что

1) 2) 3)

S = и Sa;

aeY а

Sa n Sß = 0 , при a Ф ß ;

Sa' Sß

Saoß, если ao ß^0 0, если ao ß = 0

Тогда отношение т принадлежности к одной компоненте разбиения {8я|ае У} - конгруэнция на 8 такая, что 8/т = У , и потому 8/т е Г . А так как т -классами являются группоиды 8а, то каждый т -класс принадлежит 2 и, стало быть, 8 есть 2 * Г -группоид. Очевидно, что всякий 2 * Г -группоид устроен подобным образом.

Если Г состоит из группоидов, изоморфных группоиду У, то 2 * Г -класс будем обозначать 2 * У, а 2 * У-группоид называть У-группо-идом 2 -группоидов, что представляется вполне естественным, если иметь в виду такие известные образования, как, например, полурешетка У групп, связка У антикоммутативных полугрупп и т. д.

Справедливы следующие свойства операции (*):

с

1. Пусть У - некоторый группоид, а 2 - произвольный класс, содержащий единичную группу и единичный группоид с пустым умножением. Существует хотя бы один 2 * У-группоид тогда, когда группоид У слабо идемпотентен.

2. Для любого класса 2 существует такой группоид У, что

2 * У/0.

3. 2 с2*Е для любого класса 2, не содержащего группоидов с пустым умножением, где Е - класс единичных групп.

4. У е 2*У для любого класса 2 , содержащего единичную группу и единичный группоид с пустым умножением и любого слабо идемпотентного группоида У.

Лемма 1. Пусть группоид является У-группоидом группоидов (а е У). Если группоид 5 связен, то и группоид У связен.

В условиях леммы связность группоида 5 еще не означает связности каждой компоненты 5а (а е У), например, для группоида 5, задаваемого табл. 1.

Таблица 1

Таблица 2

a b al a2 a3 a4 bj b2 b3 b4

a a - aj - a3 - bj - b3 -

b - b - a2 - a4 - b2 - b4

aj aj - a1 - a3 - - - - -

a2 - a2 - a2 - a4 - - - -

a3 - a3 - a3 a3 a1 - - - -

a4 a4 - a4 - a2 a4 - - - -

b bj - - - - - bj - b3 -

b2 - b2 - - - - - b2 - b4

Ьз - b3 - - - - - b3 b3 bj

b4 b4 - - - - - b4 - b2 b4

a b c d g h

a a - c - g -

b - b - d - h

c c - c - g -

d - d - d - h

g - g - g g C

h h - h - d h

5а (а е У); а - отношение связности на У;

8(г) = и 8а , где Уг - произвольный а -класс на У.

аеУ,-

Тогда 5 - прямое объединение замкнутых подгруппоидов 5(г) (г

Таблица 3

o а ß Y S

а а - Y -

ß - ß - S

Y Y - Y -

S - S - S

5а={а,Ь}, 5 р={е,с1&Н} - подгруппоиды 5, Ба-Бр/0, У={ а , в }. Группоид 5 является У-группоидом (действие в У определяется умножением в 5) группоидов 5а (а е У), причем, как видно из таблицы, группоид 5 связен, но группоид 5а не связен.

Лемма 2. Если ассоциативный катенарный группоид 5 есть У-группоид группоидов 5а (а е У) и группоиды У, 5а (а е У) связны, то связен и группоид 5.

Отметим в формулировке леммы 2 существенность требования катенарности группоида 5. Например, рассмотрим группоид, определяемый табл. 2.

Тогда 5а ={а}, 5й={Ь}, 5>г ={ а1, а2 , а3, а4 },

={ Ь1, Ь2, Ь3, Ь4 } - связные подгруппоиды группоида 5. Легко видеть, что 5 есть У-группоид группоидов 5а, 5в, , где У задается табл. 3.

Однако не связен сам группоид 5, так как, например, нет «связующего» элемента для а2 и Ь1.

Если У - частичная полурешетка, то всякий 2 * У -группоид назовем частичной полурешеткой У группоидов класса 2 .

Предложение 1. Пусть ассоциативный группоид 5 есть катенарная частичная полурешетка У группоидов

Предложение 2. Ассоциативный группоид 5 является ассоциативной катенарной частичной полурешеткой группоидов класса 2 тогда и только тогда, когда 5 - прямое объединение полурешеток группоидов класса 2 .

Известно, что полурешетка инверсных полугрупп является инверсной полугруппой. На самом деле имеет место более общая

Лемма 3. Пусть 5 - ассоциативный группоид. Если 5 - частичная полурешетка инверсных группоидов, то 5 - инверсный группоид.

Лемма 4. Пусть 5 - ассоциативный группоид. Если 5 - частичная полурешетка вполне регулярных группоидов, то 5 - вполне регулярный группоид.

Пусть 2 - класс полугрупп с нулем. Полугруппу 5 с нулем 0 назовем частичной полурешеткой У полугрупп класса 2 , если существует такая конгруэнция

т на 5* = 5 \{0}, что 5*ф = У , а нулевое расширение

каждого т -класса при помощи того же нуля 0 принадлежит 2 .

Согласно лемме 3 (лемме 4), полугруппа, являющаяся частичной полурешеткой инверсных (0-вполне регулярных) полугрупп, инверсна (0-вполне регулярна). Доказаны [12] следующие теоремы: Теорема 1. Произвольная категорийная полугруппа 5 является инверсной 0-вполне регулярной

полугруппой тогда и только тогда, когда 8 - катенар-ная частичная полурешетка полугрупп Брандта.

Как и для полных группоидов, рассматривается транзитивная система гомоморфизмов группоидов. Пусть <У; < > - частично упорядоченное множество; {8а|ае У} - множество попарно непересекающихся группоидов. Для каждой пары элементов а, в е У таких, что в < а, фиксируем отображение

Va,ß :

: Sa ^ S

ß-

Полученная система отображений

называется транзитивной системой отображений на данном частично упорядоченном множестве группоидов, если равРв,у = Ра,/, и для любого ре У отображение раа - тождественное преобразование множества 8а (а е У).

Следующая теорема устанавливает более точное строение указанных в теореме 1 полугрупп.

Теорема 2. Пусть (У; о) - катенарная частичная полурешетка; {Ва|ае У} - множество попарно пересекающихся в нуле 0 полугрупп Брандта, и пусть задана транзитивная система 0-ограниченных гомоморфизмов ра в : Ва ^ В в (а > в), удовлетворяющая условию: для любых Л, / е У :

Л о//0О (Зге У) (Эх е Вл) (Зу е В/) (V < Л) л (у</) л (хрлу = УР^ ).

На множестве 8 = и Ва определим действие (-),

аеУ

полагая для любых а е Ва , Ь е В в ,

I аРа,ао в ' ЬРв^в' если ао в*0,

a • b =

0,

если a o ß = 0

a-0=0=0-a=0-0.

Тогда (S;-) -инверсная категорийная 0-вполне регулярная полугруппа. Обратно, каждая инверсная ка-тегорийная 0-вполне регулярная полугруппа устроена подобным образом.

Если в формулировке теоремы 2 операция (o) в Y полная (т.е. Y - полурешетка), то полугруппа (S;-) есть строгая 0-полурешетка [10] полугрупп Брандта.

Если в теоремах 1, 2 предположить, что ноль внешний, то, удаляя его, получаем теоремы А. Клиффорда о строении инверсных полугрупп, являющихся объединением групп.

Литература

1. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М., 1972.

2. Munn W.D. // Proc. Lond. Math. Soc. 1964. № 14. Р. 154164.

3. Lallement G., Petrich M. // Can. J. Math. 1970. № 5. Р. 974-983.

4. Klouda J. // Geom. dedic. 1974. № 3. Р. 347-355.

5. Fichtner K. // Potsdam. Forsch. R. 1974. № 3. Р. 91-95.

6. Ершова Т.И. // Алгебраические системы и их многообразия. Свердловск, 1982. С. 27-39.

7. Кожевников О.Б. // 3-й всесоюз. симп. по теории полугрупп: Тез. сообщений. Свердловск, 1988. С. 40.

8. Gomes G. M. S., Howie J. Semigroups with zero whose idempotents form a semigroup. Edinburgh, 1998. Р. 265-281.

9. Линдон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп. М., 1980.

10. Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. Частичные алгебраические действия. СПб., 1991.

11. Мальцев А.И. // Сибирский мат. журн. 1967. № 2. С. 346-365.

12. Арапина-Арапова Е.С. // Мат. моделирование в научных исследованиях: Материалы Всерос. науч. конф. Ставрополь, 27-30 сентября 2000 г. Ставрополь, 2000. Ч. 1. С. 15-16.

Таганрогский государственный педагогический университет

28 ноября 2006 г.