Моделирование в профессиональной подготовке будущих учителей математики

4. Карташова, С.А. Профессиональная направленность обучения математическому моделированию студентов сельскохозяйственных вузов / С.А. Карташова // Математика. Образование. Экономика. Экология: тез. докл. 9-й Междунар. конф. Чебоксары, 2001. С. 136.

5. Новиков, Г.И. Сборник задач по вычислительной технике и программированию / Г.И. Новиков. М.: Финансы и статистика, 1991.

6. Карташова, С.А. Об особенностях преподавания курса «Моделирование технологических процессов в растениеводстве» для студентов агрономических специальностей / С.А. Карташова // Математика. Образование. Экономика: тез. докл. VI Междунар. конф. женгцин-математиков. г. Чебоксары. 25 - 30 мая 1998 г. Чебоксары, 1998. С. 128.

А.А. САДЫКОВА

МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКЕ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ

Обосновываются значение и возможности моделирования в процессе профессиональной подготовки

будущих учителей математики. Выделены этапы и функции моделирования в процессе обучения.

Проблема подготовки специалистов сферы образования всегда являлась важной для общества. Она обусловлена необходимостью подготовки специалистов, отвечающих требованиям научно-технического, социального и культурного прогресса.

В процессе реформирования среднего образования выделяются следующие направления: совершенствование содержания и структуры общего образования, переход на предпрофильное и профильное обучение, расширение вариативности учебных программ и учебников, создание базы оптимальных контрольно-измерительных материалов для объективной оценки уровня подготовки выпускников, активное внедрение в учебно-воспитательный процесс новых образовательных технологий. Реализация намеченных преобразований в системе общего образования будет во многом определяться профессионально-педагогической подготовкой учителей.

В связи с этим разработка методологических и теоретических основ профессиональной подготовки будущих учителей математики, выявление общих и конкретных путей, форм и методов учебно-воспитательного процесса стали все чаще привлекать внимание исследователей.

Одной из главных составляющих содержания учебного предмета «Математика» являются математические задачи. Их решение - основная деятельность при обучении математике. Задачу рассматривают как знаковую модель проблемной или задачной ситуации, а моделирование - как особую деятельность по построению или выбору моделей.

Вопросы моделирования исследовали философы (В.А.Штофф и др.), педагоги и психологи (Л.М.Фридман и др.). Необходимость использования моделей в обучении, их целесообразность неоднократно отмечались в литературе (О.Б. Епишева, В.И.Кру-пич и др.).

Использование моделирования в обучении имеет два аспекта: 1) как содержание, которое должно быть усвоено в процессе обучения, способ познания, которым обучаемые должны овладеть; 2) как одно из основных учебных действий, являющихся элементами учебной деятельности.

Первый аспект обусловлен задачей формирования у учащихся научно-теоретического типа мышления, т. е. мышления о действительности посредством моделей реальных явлений и процессов. Этот аспект обосновывает необходимость включения в содержание образования понятий модели и моделирования.

© Садыкова А.А., 2007

В современной науке конструирование и изучение моделей реальных объектов составляют основной метод научного познания. Формирование научно-теоретического типа мышления может быть успешным, если научные модели изучаемых явлений займут в содержании обучения подобающее им место и будут изучаться для того, чтобы обучаемые осознали и овладели моделированием как методом познания.

Второй аспект состоит в исследовании места и форм использования моделирования как высшей и особой формы наглядности для выявления и фиксации в легко обозримом виде существенных особенностей и отношений изучаемых явлений, а также в формировании умений использовать моделирование для построения и фиксации общих схем действий и операций, которые обучаемые должны проделать в процессе изучения сложных абстрактных понятий.

Принцип моделирования с точки зрения обучения математике означает, во-первых, изучение самого содержания школьного курса математики с точки зрения моделей; во-вторых, формирование у учащихся умений и навыков моделирования различных явлений и ситуаций и, наконец, в-третьих, широкое использование моделей как внешних опор для внутренней мыслительной деятельности, для развития научно-теоретического стиля мышления.

Понятия в математике представляют собой модели особых отношений (количественных, пространственных и др.) реальной действительности, а математические объекты и способы их преобразования, изучаемые в школе, являются средствами исследования этих моделей. Однако при изучении их в школе модельный характер понятий не вскрывается и учащимися часто не осознается. Содержание учебных предметов обычно строится так, что жизненный опыт учащихся, наблюдаемые ими эмпирические факты и явления не осмысливаются через модельные представления. Как показывает школьная и вузовская практика преподавания, подавляющее большинство учащихся отождествляют модели с теми наглядными пособиями, которые используют в школе для демонстрации различных геометрических объектов (предметов).

Процесс моделирования состоит из четырех этапов.

Первый этап - материальное или мысленное конструирование, построение модели. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригина-ле. Познавательные возможности модели обусловливаются тем, что она отражает какие-либо существенные черты оригинала. Модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом, так и в случае чрезмерного отличия от оригинала во всех существенных отношениях. Изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько «специализированных» моделей, концентрирующих внимание на определенных его сторонах или же характеризующих его с разной степенью детализации.

На втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является эксперимент на модели, когда сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются результаты эксперимента. Конечным результатом этого этапа является знание о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал, т.е. формирование знаний об объекте. Этот процесс осуществляется с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Таким образом проявляется эвристический характер моделирования. Логической формой вывода о новом свойстве оригинала является умозаключение по аналогии.

Четвертый этап - практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщенной системы знаний об объекте, его преобразования или управления им.

Поставим следующую задачу: выделить типологию функций моделирования в обучении.

На основе анализа литературы можно сделать вывод, что основными являются две типологии функций моделирования. В первой моделирование в обучении имеет

следующие функции: познавательную; систематизирующую; развивающую; функцию овладения научным методом познания; средства создания проблемных ситуаций; средства формирования математических способностей учащихся. Познавательная функция может быть расчленена на демонстрационную, объяснительную, предсказательную и эвристическую [2].

Все эти функции моделирования потенциально имеются в самом приеме моделирования. Та или иная функция проявляется в обучении при определенных условиях, в зависимости от того, на каком этапе обучения она оказывается задействованной, от вида модели и, конечно, от заданий учителя.

В соответствии с другим подходом, моделирование обладает рядом дидактических функций: познавательной; функцией управления деятельностью учащихся; интерпретационной [1; 3].

Методической целью познавательной функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта, которое происходит постоянно от простого к сложному. Ценность этой функции состоит в предоставлении наиболее короткого и доступного пути для осмысления изучаемого материала. Познавательная функция также делится на демонстрационную, объяснительную, прогностическую и эвристическую.

Функция управления деятельностью учащихся проявляется в ориентировочных, контрольных и коррекционных действиях. Ориентировочным действием служит построение модели, соответствующей рассматриваемому условию, а также обнаружение ошибок при сравнении модели с образцом, внесение в нее определенных коррективов.

Известно, что один и тот же объект можно моделировать по-разному. В соответствии с интерпретационной функцией модели необходимо как можно больше интерпретаций объекта с целью раскрытия познавательного образа со всех сторон.

На наш взгляд, первая типология не систематизирована должным образом, эклектична. Одни из названных функций включаются в другие. Например, развивающая функция моделирования не может быть выделена, т. к. каждая из названных функций включает развитие.

Вторая типология является составной частью первой. Она более соответствует нашему подходу. Мы согласны с позицией авторов, но считаем, что в данной типологии представлены не все функции.

Представим следующую типологию функций, выполняемых моделированием в процессе обучения:

• формирования;

• познавательная;

• прикладная;

• систематизации;

• полиморфная.

Все математические понятия абстрактны. Для формирования понятия, его усвоения в процессе обучения необходимо работать с ним в материализованной или идеализированной форме. Это и есть модель понятия. Проверка соответствия модели рассматриваемому условию, а также обнаружение ошибок при сравнении модели с образцом, внесение в нее определенных коррективов происходят в процессе усвоения понятия. В данном случае проявляется функция формирования. Примером может служить формирование самого понятия «функция»: изучая различные функции, мы формируем общее представление о них.

Познавательная функция обусловлена использованием модели при исследовании проблемных ситуаций и решении задач. Например, уравнение, составленное при решении текстовой задачи, является моделью взаимосвязи компонентов этой задачи.

Прикладная функция означает связь модели с практикой. С помощью модели мы пытаемся понять, прояснить для себя цель изучения данного понятия, область применения данного понятия. Например, после изучения производной раскрывается смысл геометрического и физического приложения производной.

Когда для одного процесса строится несколько неизоморфных моделей с целью изучения его с разных сторон, проявляется функция систематизации.

Полиморфная функция моделирования означает, что одна модель может быть построена для нескольких процессов. Например, система двух уравнений с двумя неизвестными может быть результатом решения текстовой задачи и исследования взаимного расположения двух прямых на плоскости.

Наша типология не отражает всей полноты функций моделирования в процессе обучения математике, т. к. мы не ставили задачу рассмотреть моделирование педагогических, социологических, психических процессов и т. д. Нас интересовали математические модели, возникающие в обучении математике. В зависимости от ситуаций, возникающих в учебном процессе, на первый план может выходить та или иная функция моделирования. Таким образом, моделирование выполняет различные функции в обучении математике, и это должно бьггь использовано в методике обучения.

В соответствии с формирующей и познавательной функциями моделирования, являющимися основными в обучении математике, содержание подготовки будущих учителей математики включает два этапа: первый - направленный на формирование понятий и умений, необходимых для моделирования решения математических задач; второй - направленный на обучение моделированию решения математических задач.

В решении задач моделирование выступает как основной метод познания, а именно:

• с помощью моделирования организуется деятельность учащихся, направленная на осознание текста задачи, установление известных и неизвестных величин и отношений между ними, выбор плана решения и решение задачи;

• модель является средством решения задачи разными способами, т.к. помогает студенту обнаружить различные логические основы условия и, опираясь на них, найти различные пути решения;

• модель выполняет познавательные функции в процессе работы над задачей.

Решая задачу, студенты анализируют, соотносят, выбирают, конструируют и преобразовывают модели. Способы приобретения ими необходимых для обнаружения различных путей решения задачи знаний, или методы их учебной работы, можно определить как исследовательские. Указанные методы создают богатые возможности для развития у студентов активности и умственной самостоятельности, интеллектуальной и волевой сфер.

Таким образом, функциональные возможности модели в процессе познания доказывают необходимость целенаправленного обучения моделированию в процессе профессиональной подготовки будущих учителей математики.

Достижение этой цели окажет влияние на развитие способностей студентов к педагогической деятельности и, в частности, к обучению учащихся приемам моделирования.

В обучении моделированию необходимо применять комплексный подход. Оно должно осуществляться в процессе изучения большинства дисциплин в профессиональной подготовке будущих учителей математики. Этот подход может быть реализован в рамках дисциплин естественно-математического, психолого-педагогического и методического блоков.

1. В процессе изучения предметов естественно-математического блока формируются основные умения, необходимые для моделирования. В рамках этих предметов моделирование используется в двух аспектах: объект изучения (математическая логика, компьютерное моделирование); средство обучения (все математические дисциплины).

2. В рамках изучения дисциплин психолого-педагогического блока формируются знания по моделированию различных педагогических ситуаций и психической деятельности человека, по изучению компонентов математического содержания.

3. Предметы методического цикла можно разделить на два блока: «Элементарная математика» и «Методика преподавания математики». В процессе изучения курса «Элементарная математика» студенты овладевают знаниями по решению задач с использованием моделирования.

В рамках предмета «Методика преподавания математики» студенты, обобщив полученные ранее знания, готовятся к обучению методу моделирования учащихся.

Литература

Межпредметные связи как необходимое условие повышения качества подготовки учителя физики в педагогическом вузе: межвуз. сб. науч. тр. Челябинск: Изд-во Челяб. пед. ин-та, 1981.

Обойгцикова, И.Г Обучение моделированию учащихся 5-6 классов при изучении математики: автореф. дис. ... канд. пед. наук / И.Г. Обойгцикова. Саранск, 2002.

Совершенствование процесса обучения математике в условиях модернизации российского образования: материалы Всерос. науч.-практ. конф. Волгоград: Перемена, 2004.

В.Н. МОИСЕЕВА

ВЛИЯНИЕ ОБЩЕЛОГИЧЕСКИХ ПРИЕМОВ НА ФОРМИРОВАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ У ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Изложены результаты исследования, описаны этапы, методические условия и способы формирования приемов логического мышления. Показан пример игровой ситуации с использованием логической задачи.

Психологические исследования В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина позволили выделить два типа мышления: эмпирический и теоретический. Многими исследователями были разработаны методики формирования теоретического мышления на примере различных предметов для учащихся младшей и основной школы. Вопрос формирования теоретического мышления в старшей школе остается недостаточно раскрытым. В связи с этим становится актуальной организация исследования сформированности приемов логического мышления у старшеклассников; уровня теоретического мышления; влияния общелогических приемов мышления на формирование теоретического мышления и усвоение математического материала.

Для углубленного анализа учебного процесса, его внутренней связи с психическим развитием старших учащихся были проведены констатирующий и формирующий эксперименты. При планировании формирующего эксперимента предполагалось активное вмешательство в изучаемый процесс формирования приемов логического мышления.

Эксперимент проводился в 2005 - 2007 гг. в 10 - 11-х классах общеобразовательных учреждений (ГОУ «Волгоградский лицей», МОУ «Староаннинская СОШ», МОУ «СОШ № 1 им. Горького» г. Фролово). Поскольку экспериментально-исследовательская работа проводилась в лицее и школах в течение трех лет, то в связи с переездом родителей учащихся, а также с их отчислением, количество испытуемых менялось. В экспериментальных классах в конце исследования обучалось 106 чел. Использовались стандартные учебники [2; 8; 9]. В соответствии с учебным планом в неделю отводилось 6 часов на математику в 10 - 11-х классах. В контрольных классах на 2007 г. обучалось 103 чел. Преподавание велось традиционным методом, по тем же учебникам и с тем же количеством часов математики в неделю, опытными учителями с большим стажем педагогической работы.

Исследование проводилось в три этапа. На первом этапе в начале учебного года в 2005 г. был проведен констатирующий эксперимент. В первую очередь, среди всех учащихся, участвующих в экспериментально-исследовательской работе, было проведено тестирование по определению 10 (коэффициента умственного развития) с использованием тестов Г. Айзенка. С целью выяснения представлений о приемах логического мышления и уровней владения ими предлагалось выполнить разработанные психологами (А.З. Зак, Л.К. Максимов, А.К. Дусавицкий) методики, ответить на вопросы специально составленной, исходя из задач исследования, анкеты.

© Моисеева В.Н., 2007