Электромагнитное моделирование обтекания тел несжимаемым потоком жидкости

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том V 1974

№ 3

УДК 533.6.681.33

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ НЕСЖИМАЕМЫМ ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ

А. Г. Гнатенко, А. О. Дитман, Ю. И. Невоструев, С. Н. Окунев, В. Д. Савчук, С. М. Филатов, Р. Ш. Хайкин

Кратко изложен метод электромагнитогидродинамической аналогии ЭМГА, позволяющий решать широкий круг задач гидродинамики по исследованию обтекания тел и несущих поверхностей произвольной формы в плане и образующих профилей, систем, состоящих из нескольких тел или тел в ограниченных потоках. Приведено описание экспериментальной установки для исследования обтекания тел произвольной формы поступательно-циркуляционным потоком несжимаемой невязкой жидкости. Даны примеры решения задач и сравнение результатов, полученных методом ЭМГА, с результатами эксперимента в аэродинамических трубах.

Метод ЭМГА основан на подобии уравнений и граничных условий, описывающих обтекание тел поступательно-циркуляционным потоком невязкой несжимаемой жидкости, и уравнений, описывающих квазистационарное электромагнитное поле в однородном воздушном пространстве (или пустоте), ограниченный объем которого занимают электропроводные тела или проводники с током.

1. Постановка задачи. Задача обтекания тела произвольной формы потоком несжимаемой жидкости приводит, как известно [1], к решению системы уравнений Пуассона:

v2<fo = 0;

V2^ = -r.

V = grad if0 + rot A,

где V — скорость потока; tp0 — скалярный потенциал скорости потока; А — векторный потенциал, определяющий поле скорости возмущений по заданному полю вихрей; 0 — расхождение скорсти потока; 7 — интенсивность вихрей в объеме тела и на вихревой пелене, причем 0 и 7 равны нулю вне некоторого объема, являющегося математической моделью обтекаемого тела.

Вне поверхности, охватывающей замкнутые вихревые линии, расположенные в' неограниченном пространстве [1, 2]:

rot А = grad <р',

где ер' — скалярный потенциал скорости возмущения. Задача при 0 = 0 сводится к решению уравнения

V2<f = 0,

где 9 = <р0 + 9' — потенциал скорости течения.

Решение уравнения (5) должно удовлетворять граничным условиям:

I. На поверхности тела.

В системе координат, связанной с телом,

vn = дуїдп 0;

в неподвижной системе координат

•и'п ду'/д n = — v сое (V, я),

где л — внешняя нормаль к поверхности тела.

И. На задних (или боковых) кромках несущих поверхностей, а также на вихревой пелене — условие Чаплыгина, записываемое в наиболее общем виде как рв=рп, где р — давление, индексы „в“ и „н“ обозначают соответственно верхнюю и нижнюю поверхности.

Поскольку динамические условия не могут быть заданы, то обычно используются соответствующие им кинематические. Например, для изолированного крыла с прямой задней кромкой эти условия имеют вид:

а) =^ы —условие, определяющее закон изменения интенсивности свободных вихрей;

б) V = — vz —условие, определяющее угол схода пелены в данной точке

в н

за крылом.

Здесь N и т— соответственно нормаль и касательная в рассматриваемой точке линии задней кромки крыла в плоскости срединных хорд.

К этому условию, естественно, примыкает условие безотрывного обтекания донного среза корпуса, в качестве которого можно использовать аналог условия Чаплыгина: в осевой кормовой точке вектор скорости течения должен совпадать с осью корпуса.

III. На бесконечности

2. Метод электромагнитогидродинамической аналогии ЭМГА. Электромагнитное поле при гармоническом изменении векторов поля во времени и при выполнении условий квазистационарности, заключающихся в том, что рассматриваемая область поля I мала по сравнению с длиной ЭМ-волны X, (Х>/), т. е. поле меняется одновременно во всей рассматриваемой области, и в проводниках токи смещения пренебрежимо малы по сравнению с токами проводимости, (1/ш>е/о) описывается уравнением [4]:

где В — вектор магнитной индукции, /—мнимая единица, е, ц — электрическая и магнитная проницаемость среды, а — электропроводность, о> — круговая частота.

Используя значения проводимости (статические) для обычных металлов, и полагая е = I, для правой части неравенства (второе условие квазистационарности) получим величины порядка 10~19 с, что позволяет применять уравнение (6) для описания электромагнитных полей в очень широком диапазоне частот.

Если в переменное электромагнитное поле поместить неферромагнитное проводящее тело, то под воздействием вихревого электрического поля в объеме тела возникают замкнутые токи, вызывающие магнитное поле, в котором направление вектора магнитной индукции противоположно направлению вектора магнитной индукции первичного магнитного поля.

С увеличением электропроводности тела вследствие развития скин-эффекта основная часть индуцированных токов начинает протекать в поверхностном слое тела. Толщину этого слоя для проводящего полупространства можно оценить, используя выражение [6]:

где 5 — эквивалентная глубина проникновения — расстояние, на котором напряженность поля уменьшается в е раз. При частоте 30 кГц величина 8 равна для меди 0,38 мм, алюминия — 0,5 мм, цинка — 0,71 мм.

Таким образом, в рассматриваемом случае мы можем выделить три области электромагнитного поля: область вне тела, где электропроводность, а следовательно, и токи проводимости равны нулю; область тонкого поверхностного слоя с распределенными по нему токами проводимости; внутреннюю область тела,

V'

= 0; <р' = 0; К= Ус

СО *

ГО( ХОІ В + jli.au> В = 0,

где токи проводимости отсутствуют.

Решение уравнения (6) имеет вид

B = grad<fSo+ rot Ав,

где — скалярный потенциал невозмущенного поля вектора магнитной индукции; Ав — векторный потенциал, определяющий поле вектора магнитной индукции, вызванное токами проводимости, распределенными в теле.

Для первой области электромагнитного поля уравнение (6) переходит в уравнение Лапласа у2В = 0, так как

rot rot В = grad div В — у2 В, div В = О, а — 0.

Поскольку rot В — [ju = 0, то в этой области можно ввести скалярный В-потенциал tpB = + <рв, так что

В = grad <рв, v2 Фв =0 (9>

(/ — вектор плотности тока).

В области тонкого поверхностного слоя

rot rot В + /'

или

grad div В — у2 В + Уртм В = 0.

Учитывая, что div В =0, получим уравнение Гельмгольца

у2 В = /и.аш в.

В этой области rot В = и Ф 0, и уравнение для векторного потенциала Ав будет иметь вид

rot rot Ав = [ii. ,

С учетом того, 4Todiv^4B=0, получим

v2 3B = iui.

Поверхностные токи характеризуются поверхностным ротором В (Rot В), равным по абсолютной величине скачку касательной составляющей вектора В при переходе из области вне тела в область проводящего тела и лежащим в плоскости касательной к поверхности, на которой они распределены.

При определенных размерах тела, электропроводности материала и в частоте поля внутренняя область будет экранирована от внешнего магнитного поля токами, текущими в поверхностном слое. В этом случае полный вектор В равен касательной составляющей, а поверхностный вихрь его будет пропорционален вектору плотности поверхностного тока:

[я X В] = Rot В= [лг.

Сопоставляя уравнения (3) и (8), (5) и (9), (2) и (11) и граничные условия, видим соответствие между потенциальным потоком невязкой несжимаемой жидкости и квазистационарным электромагнитным полем.

Заметим, что для аналогии несуществен вид скалярного потенциала, накладывающего большие ограничения на решение задач численными методами. Так, к примеру, метод ЭМГА может быть применен для изучения взаимного влияния тел или взаимодействия тел с экранами, для изучения вихревых областей (например, сворачивания вихревой пелены), где необходимо учитывать векторный потенциал, и т. д.

Токи, появляющиеся „автоматически" в поверхностном слое проводящего тела под действием внешнего электромагнитного поля, аналогичны присоединенным вихрям, интенсивность которых 7 = Rot V при решении гидродинамической задачи численными методами обычно определяется исходя из условия непроте-кания. Внутри проводящего тела, как внутри твердого тела, находящегося в потоке жидкости, поля отсутствуют.

Все это дает возможность, проводя опыты в электромагнитном поле с геометрически подобными проводящими моделями, изучать обтекание тел поступательным потоком невязкой несжимаемой жидкости. Задачи определения поля скоростей вне обтекаемого тела и поля вектора магнитной индукции вне проводящего тела будут автомодельны, так как описываются уравнением Лапласа. Роль присоединенных вихрей, обеспечивающих условие непротекания по

поверхности твердого тела, в электромагнитом поле выполняют реальные электрические токи, текущие в поверхностном слое. Граничные условия в-этом случае могут быть автомодельными при стремлении эквивалентной : глубины проникновения электромагнитного поля в металл к нулю. Это может быть выполнено с необходимой точностью при соответствующем выборе трех основных параметров а, ш, 1(1 — характерный размер модели).

Для проводящего полупространства толщина проникновения оценивается выражением (7), для тел конечных размеров должна вводиться величина безраз* мерной глубины проникновения 5= 8//. На геометрически подобных моделях в электромагнитном поле, граничные условия будут Подобны, если безразмерные глубины проникновения будут одинаковы, т. е. будет выполняться условие [5]:

ца<й/2 = idem.

Заметим, что моделью поля скоростей на поверхности проводящей модели может служить как распределение скалярного потенциала ув, так и распределение электрического потенциала <рэ, вызываемого током, текущим по поверхности проводящей модели. В первом случае вектор В и потенциал <рв можно измерить индукционными датчиками (бесконтактным способом), во втором случае измерения можно проводить щупами (контактным способом).

Линии потенциалов <fB и потенциалов <р9 представляют собой на поверхности проводящего тела взаимно ортогональную сеть линий, т. е. пОлоски поверхности, выделенные эквипотенциальными линиями <рв, построенными с одинаковым шагом приращения, являются трубками поверхностного тока (присоединенными вихрями одинаковой интенсивности).

Если по найденной картине распределения трубок тока выложить витки провода, то можно получить модель обтекаемого тела, аналогичную сплошной металлической модели. Такие системы проводов с током могут применяться как самостоятельно, так и в сочетании со сплошными металлическими моделями.

Известно, что при обтекании тел реальной несжимаемой жидкостью вблизи тела образуется пограничный слой, толщина которого стремится к нулю при стремлении числа Re к бесконечности. В области автомодельных течений толщиной пограничного слоя по поверхности тела можно пренебречь, однако за телом существует поверхность разрыва скорости, представляющая собой пелену свободных вихрей, замыкающихся на некотором расстоянии за телом. Эта пелена индуцирует поле скоростей, существенно меняя картину течения на самом теле. Следовательно, расширение области применения метода ЭМГА на поступательно-циркуляционные течения заключается в создании в электромагнитном поле модели пелены свободных вихрей.

. , Поле скоростей, рндуцир^емре рихревой линией произвольной формы, опи^ сывается выражением .... ....

. , . , . т/_ - L Г 117x7 . . .

' '  4тс J г3 ’ '' ‘ ‘ ' '  '

являющимся гидродинамическим аналогом полученной в теории электромагнетизма формулы Био — Савара .  ^ • i

1 : 1 ' : :

,   .  : ...'.I.-" • J. Г3 , - ,  ' .

..... ' ' е ' . ' , . • , ,, ')

где Г -• циркуляция, г — радиус-вектор текущей точки пЬля ' по отношению к элементу объема вихревой лйпии или Проводника,  !сила тока в,проводнике, ' При йтбм циркуляция Лектора скорбсти по А’ЙВо.му замкнутому контуру; охватывающему вихревую линию, пропорциональна току, текущему по проводнику. 1 , I-'" \ ' : 1 ", ’ ' ' .... ' ' ,

Таким образом, поместив в электромагнитном поле проводящее тело с определенной толщиной оболочки (Например, при толщине Оболочки < = 4,65 условие непротекания выполняется неп рерывно по всей поверхности с точностью 1%), мы получаем модель обтекания' тела той Зке формы бесциркуляционным потоком несжимаемой жидкости. Такая м одель соответствует принятой в гидродинамике расчетной схеме безвихревог о обтеканйя 'на основе Замены Teiii системой замкнутых присоединенных вихрей, расположенных бесконечно тонким Слоем на поверхности тела. ; > : ;

Магнитная модель поступатедьно-цирку ляционного обтекания воспроизводится следующим образом. К выходящим хромк ам проводящего тела, геометрически подобного исследуемому, присоединяется си стема линейных проводников с током

Ю_____Ученые записки ЦАГИ № 3

137

От1 внешнего ' источника:Частота и фаза внешнего МагНитногс» поля и поля, сцепленного с каждым (Проводником, одинаковы. Направление оси вихря при выполнении условия II изменяется при изгибе проводника и фиксйциёй в заданной точке пространства >' с помощью1 специального координатного устройства. При такой схеме граничные 1 условия выполняются непрерывно на теле и дискретно на вихревой пелене. м : > . . . , •

Решение задачи получают в виде поЛя скоростей с последующим определением'аэродинамических характеристик численными методами. : 1 * I

. 3« Электромагнитный интегратор трехмерных циркуляционных потоков (ЭМИ ТЦП). Для реализации метода ЭМГА был разработан ; и изготовлен электромагнитный интегратор [7]. , : > , , ; - : >м ,

Структурная схема ЭМИ ТЦП приведена на фиг. 1.

Устройство содержит следующие блоки:

а) генератор однородного переменного магнитного поля ультразвуковой частоты с моделями обтекаемых' тел, линейными проводниками, имитирующими пелену .свободных цихрей в-потоке за: телом, измерительными и контролирующими, ицдукцирнными датчик а да,, координатником, выполненным из диэлектрика

и позволяющим задавать и контролировать положение модели в пространстве, устройством для крепления вихревой пелены;

б) блок компенсации емкостной наводки;

в) блок питания генератора однородного магнитного поля, состоящий из задающего генератора и усилителя мощности;

г) блок питания вихревой пелены;

у,- д) .блок^ реле, предназначенный для поочередного 'подключения датчиков к измерительному блоку;

е) блок трансформаторов тока, предназначенный для измерения токов в проводниках, имитирующих вихревую пелену;

ж) кнопочный пульт, предназначенный для управления блоком реле и блоком трансформаторов тока;

, , з) измерительный блок, предназначенный для измерения величин-аналогов.

. Генератор однородного магнитного поля включает в себя магнитную кабину с. Подключенной, параллельно ее обмоткр емкостью, которые образуют колебательный контур,, настроенный на частоту 30 кГЦ. ' ,

Магнитная кабина экспериментальной установки представляет собой специальный соленоид ,с размерами рабочей части 3,5Х2,5Х1,9 м, витки обмотки Которого расположены но расчетной разметке, определяемой из условия однородности магнитного прІя в .рабочей части кабины.

, ЕЦок питания, позволяет изменять напряженность магнитного поля в магнат,ной кабине. Блок пит'ан.ия вихревой пелены позволяет задавать й регулировать т.о^и в 30 независимых проводниках и в 30 дублирующих проводниках, дм^тцру^цуїх. вихревую пелену. _

Как отмечалось выше, вектор магнитной индукции В является аналогом Скорости течения Р. Величина вектора магнитной индукции в точке характеризуется'величиной э. д. с., индуцируемой в катушке датчикй, в пределах размеров «второй поле можно считать однородным. . !

1-38

Для измерения вектора В в установке используются однокомпонентный датчик, конструктивно оформленный в виде измерительной катушки, состоящей из каркаса, изготовленного из органического стекла, с обмоткой, содержащей 500—1500 витков провода диаметром 0,02—0,03 мм. Внешний диаметр такой катушки составляет 1,5—3 мм при высоте 2—3 мм; двух- и трехкомпонентные датчики, содержащие соответственно две и три идентичные взаимноортогональные катушки, аналогичные вышеописанной. : ,

Выполнение условия Чаплыгина контролируется с помощью двух однокомпонентных датчиков, установленных в У-образном зажиме на выходящих кромках крыла. Обмотки катушек в этих датчиках соединяются или последовательно друг с другом таким образом, чтобы при одинаковом магнитном потоке, сцепленном с витками катушек, з. д. с., индуцируемая в датчике, была равна нулю (выполнение условия II, а), или параллельно, так, чтобы при равных по модулю и противоположно направленных магнитных потоках, сцепленных с витками катушек, э. д. с, индуцируемая датчиком, была равна нулю (условие П,<5).По этому же принципу изготавливаются и датчики для выполнения граничных условий на самой вихревой пелене.

В установке используется также датчик потенциалов (пояс Роговского), представляющий собой гибкий двухслойный соленоид диаметром около 6 мм и длиной около 1000 мм, о назначении которого говорится ниже.

Измерительный блок ЭМИ ТЦП, представляющий собой двухкоординатный компенсатор переменного тока с безотсчетной компенсацией реактивной составляющей, позволяет измерять составляющие вектора скорости на модели, или в пространстве около модели при помощи одно-, двух- или трехкомпонентного датчика и разность потенциалов <рд любых двух точек пространства магнитной кабины при помощи датчика потенциалов, а также измерять величины циркуляции в пелене свободных вихрей при помощи блока трансформаторов тока или по любому замкнутому контуру с помощью датчика потенциалов.

Эксперимент осуществляется в следующей последовательности. В магнитной кабине устанавливается модель с подсоединенной к выходящим кромкам системой проводников, имитирующей вихревую пелену за телом, и с установленными контролирующими и измерительными датчиками. Затем методом последовательных приближений выполняется условие Чаплыгина на выходящих кромках в местах установки контролирующих датчиков и построение вихревой пелены путем регулирования величины и фазы токов в проводниках с помощью блока питания вихревой пелены и изгиба проводников, моделирующих вихревую пелену. •

После выполнения условия Чаплыгина производятся замеры величин-аналогов при помощи измерительного блока, блока трансформаторов тока и измерительных датчиков. Потребляемая мощность электромагнитного интегратора не превышает 100 Вт.

4. Результаты экспериментов. Отработка методики моделирования и экспериментальной установки проводилась в исследованиях обтекания магнитным потоком тела простой формк. При этом выдвигалось требование о наличии точного аналитического решения задачи обтекания несжимаемым, невязкиМ бесциркуляционным потоком газа тела, взятого за эталон. В качестве такого тела был взят сплошной цилиндр большого удлинения диаметром 180 мм. Замеры значений производились в срединном сечении, перпендикулярном оси цилиндра. При этом отличие относительных скоростей, полученных методом ЭМГА, 6т' точного аналитического решения составляло не более 2%.

Как уже отмечалось, измерения в магнитном поле проводятся с помощью индукционных датчиков с измерительными катушками, имеющими конечные размеры. Для оценки экспериментальной точности и определения необходимых поправок, обусловленных конечностью размеров измерительных катушек, было, проведено исследование распределения В в магнитном поле на поверхности и вне металлических цилиндров, диаметры которых варьировались в диапазоне: 30—250 мм. При этом диаметры измерительных катушек изменялись от 1,5 до 5 мм. Полученные результаты приведены на фиг. 2 (О — диаметр модели, й— диаметр датчика).

Наряду с этим исследовался характер распределения по поверхности цилиндров большого удлинения диаметром 180 мм, составленных как из одинаковых, так и из различных по своим электрическим свойствам металлов (фйг. 3). При этом исследовались как механические стыки со шлифованными торцами, так и стыки без дополнительной шлифовки, сварные стыки.

Результаты этих исследований позволяют сделать следующие выводы.

Метод ЭМГА позволяет использовать обтекание тел, давая при этом высокую сходимость с известными аналитическими решениями. •

*

20

10

О

1

іии С 7! С *0 Ю Пи цилиндру

Вблизи мі ідели

<*-г* Еэ

18' і і

0,1 0,2 0,3 0,4 ' . АІ А ’ оА 0,7 0,1 0,9 Н

г о• V

МП ж\

_Х і

-1 1 і.

М 30 70 60° 50 но 30 20 Ю О

Фиг. 2

Фиг. 4

----- теоретическое

решение

Вдали от поверхностей, находящихся в Магнитном поле, в объеме, занимаемом измерительной катушкой, градиент вектора магнитной индукции В можно считать постоянным. При соотношении характерных размеров модели и датчика рісі^ 20 показания датчика соответствуют значению В по оси измерительной катушки. , . ,

При >50 и значениях магнитной индукции на оси датчика в пределах

0,65 В0<2?г< 1,45 В0 показания датчика соответствуют значению на поверхности цилиндра с погрешностью не более 0,5%. Таким образом, в области чаще всего встречающихся значений относительных скоростей на моделях хорошо обтекаемых тел !>* = (0,65—1,45) і>0 не требуемся введения каких-либо поправок к результатам, полученным экспериментально.

Масштабный эффект в случае 0,65 Во 1.45 В0 может быть учтен в виде

относительной поправки или абсолютной величины безразмерной скорости.

Модели для ЭМИ ТЦП могут изготовляться как из одного, так и из различных немагнитных металлов с близкой электрической проводимостью. При этом могут- допускаться механические стыки без специальной обработки.

На фиг. 4 приведены результаты определения системы присоединенных вихрей на поверхности квадратной пластины при бесциркуляционном и циркуляционном обтеканиях. Вихревая пелена моделировалась 14 проводниками, подключенными к задней кромкё, и 8 проводниками, подключенными к боковым торцам. : , ’

На фиг. 5 приведено сравнение результатов расчета методом ЭМГА малого крыла (X = 1, і) = 1, с = 0,18) с результатами расчета этого же крыла численным методом (8] и результатами эксперимента [8]. Из фиг. 5 видно, что между результатами линейной теории [8] и опытными данными имеется существенное расхождение, увеличивающееся с ростом углов атаки.

ш

0,4

0,3

0,2

-15 * Щ,£

я Ь и, !

О X

ч > ч ч Я» / ч. у/ 1Ф

|=г Я ?’ \ —ч А / • » •

*с А к — !• / / /- N

5е \ */

V д. 0,1 !

-о. -<ч • ) V

- метод ЭМ ГЛ V V

о -линейная те ария — озродино/чический жое/аменАЖ г д. • аэродинамический энспевимент

1,0 X

----результат ЭМ ГА

Фиг. 5

Фиг. 6

Этот факт объясняется влиянием торцевых вихревых шнуров, которые имеют конечные размеры, что линейной теорией не учитывается. Расчет методом ЭМГА дает удовлетворительное совпадение с экспериментом. В этом случае пелена свободных вихрей моделировалась при следующих допущениях:

—линией схода вихревой пелены является линия пересечения верхней поверхности крыла с плоскостями боковых торцов и линия задней кромки;

— поверхность пелены определяется из условия отсутствия на ней нормальной составляющей скорости потока;

— граничным условием на линии схода торцовой вихревой пелены является равенство по модулю скоростей сверху и снизу в точке схода вихря (условия И, а, II, б).

На фиг. 6 приведены результаты по определению боковых и вертикальных скосов потока вблизи летательного аппарата со стреловидным крылом ^ = 70°, расположенным по схеме высокоплана на фюзеляже прямоугольного сечения.

Вихревая пелена, сходящая с задних кромок крыла и оперения, моделировалась системой проводников, расположенных параллельно невозмущенному потоку. Последняя состояла из 16 проводников, присоединенных к задней кромке крыла (по восьми на каждую консоль), и восьми проводников, моделирующих вихревую пелену, сбегающую с горизонтального оперения (по четыре на консоль). Модель летательного аппарата выполнена в виде деревянного каркаса, обшитого дюралевыми листами. Крылья и оперение выполнены целиком металлическими.

Хорошая сходимость полученных результатов с известными решениями или результатами эксперимента в аэродинамических трубах позволяет сделать вывод о возможности применения метода ЭМГА для решения сложных задач гидродинамики.

ЛИТЕРАТУРА

1. К о ч и н Н. Е„ К и б е л ь И. А., Р о з е Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч. I, М., ГИ ФМЛ, 1963.

2. ЛойцянскийЛ. Г. Механика жидкости и газа. М., ГИ ФМЛ, 1950.

3. Рязанов Г. А. Электрическое моделирование с применением вихревых полей. М., .Наука*, 1969.

4. Т а м м И. Е. Основы теории электричества, М., ,Наука', 1966.

5. Веников В. А. Теория подобия и моделирования применительно к задачам электроэнергетики. М., .Высшая школа", 1966.

6. К а д е н Г. Электромагнитные экраны. М.—Л., Госэнергоиз-дат, 1957.

7. Д и т м а н А. О., О к у н е в С. Н., Филатове. М. Устрой- , ство для моделирования трехмерных поступательно-циркуляционных потоков. М., „Официальный бюллетень Комитета по делам изобретений и открытий", № 18, 1971.

8. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М., .Наука”, 1965.

Рукопись поступила 13/VII 1973 г.