Анализ эффективности смешанного резервирования невосстанавливаемых систем

—^ ЯКІСТЬ, НАДІЙНІСТЬ І СЕРТИФІКАЦІЯ ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ І ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ

УДК 621.3.019.3 А. В. ФЕДУХИН

АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ СМЕШАННОГО РЕЗЕРВИРОВАНИЯ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

Abstract: The questions of constant mixed reservation efficiency of the non-restorable systems are considered. The analysis of systems reliability by a logical-likelihood method with use of the device Boolean algebra, lambda method on the basis of exponential distributions and PP-method on the basis of DN -distributions is lead, and recommendations on use of the constant mixed reservation of non-restorable systems are given.

Key words: reliability of non-restorable system, a way of the reservation, the mixed reservation.

Анотація: Розглянуті питання ефективності постійного змішаного резервування невідновлювальних систем. Проведено аналіз надійності систем логіко-ймовірносним методом з використанням апарата булевої алгебри, лямбда-методом на основі експоненційного розподілу та ВФ-методом на основі DN -розподілу, надано рекомендації щодо використання постійного змішаного резервування невідновлювальних систем.

Ключові слова: надійність невідновлювальної системи, спосіб резервування, змішане резервування.

Аннотация: Рассмотрены вопросы эффективности постоянного смешанного резервирования

невосстанавливаемых систем. Проведен анализ надежности систем логико-вероятностным методом с использованием аппарата булевой алгебры, лямбда-методом на основе экспоненциального распределения и ВФ-методом на основе DN -распределения, даны рекомендации по использованию постоянного смешанного резервирования невосстанавливаемых систем.

Ключевые слова: надежность невосстанавливаемой системы, способ резервирования, смешанное резервирование.

1. Введение

Одним из способов повышения надежности системы является введение избыточности. В зависимости от конструктивного исполнения и структуры системы избыточность можно вводить на уровне элементов, блоков, функциональных узлов, подсистем и системы в целом. Вопросы расчета надежности систем с общим (на уровне системы) и поблочным резервированием достаточно хорошо изучены в [1, 2]. Однако такие способы резервирования систем в чистом виде редко используются на практике, а наибольшее распространение имеют способы смешанного резервирования. Анализу эффективности таких способов резервирования невосстанавливаемых систем и посвящена данная работа.

2. Оценка эффективности введения избыточности в систему

2.1. Последовательная система с функцией выхода Х0

Рассмотрим последовательную неизбыточную систему, структурная схема надежности которой приведена на рис. 1.

Запишем функцию выхода системы:

Х0 = ACEG.

© Федухин А.В., 2008

ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2008, № 2

Запишем выражение для вероятности безотказной работы:

Я

Для иллюстрации полученных результатов в численном виде используем следующие данные контрольного примера.

Пример. Все составные части систем равнонадежны со средней наработкой до отказа Т = Т = 1000 ч. Вероятность безотказной работы составной части системы на момент суммарной

наработки -н равна Я. (-) = Я = 0,9.

Расчеты безотказности избыточных невосстанавливаемых систем будем производить логико-вероятностным методом с использованием аппарата булевой алгебры [3], лямбда-методом на основе экспоненциального распределения и ВФ - методом на основе БЫ - распределения [4]. Логико-вероятностный метод

Вычислим вероятность безотказной работы по полученному выражению (2):

Я(Х0) = Я(А) • Я(С) • Я(Е) • Я(О) = 0,9 0,90,9 0,9=0,94=0,6561.

Лямбда-метод

Вычислим интенсивность отказов блока системы:

о 1

1 = — = 0,001 1 /ч.

Т

Вычислим интенсивность отказов системы:

Л(Х0) = 41 = 0,004 1/ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

2 1

Вычислим Я(Х0) для -н =110 ч.

Т (X о) = ^тт = 250 ч.

Так как Я(А) = Я(С) = Я(Е) = Я(О) = Я(-н), то вычислим х = =0,11.

По таблицам экспоненциального распределения находим Q(tн) =0,10, откуда

Я(-н) = 1 - Q(tн) =0,9.

Я(Х0) = Я(А) • Я(С) • Я(Е) • Я(О) =0,94=0,6561.

ВФ-метод

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

T ( X0) = T = 500 ч.

Для x = =0,24 и V = VE =1 по таблицам DN -распределения находим Q(tH) =0,10, откуда

R(tH) = 1 - Q(-h ) =0,9.

R( X0) = R( A)  R(C)  R(E)  R(G) =0,94=0,6561.

Примечание. С целью обеспечения сопоставимости результатов расчетов параметрическими методами с классическим логико-вероятностным методом для лямбда-метода и ВФ-метода были приняты разные значения їн, приводящие к одинаковому значению вероятности безотказной

работы блока Я(їн) =0,9.

2.2. Система с поблочным резервированием и функцией выхода Xі

Рассмотрим избыточную систему с поблочным резервированием, структурная схема надежности которой приведена на рис. 2.

A

G Xi

C

E

B D F н

Рис. 2. Структурная схема надежности избыточной системы с поблочным резервированием

Запишем функцию выхода системы с использованием аппарата булевой алгебры [1].

X, =

Запишем выражение для вероятности безотказной работы.

R

Логико-вероятностный метод

Вычислим вероятность безотказной работы по полученному выражению (4).

R(X,) = (0,9+ 0,9-0,9 0,9) (0,9+0,9-0,9 0,9) (0,9+0,9-0,9 0,9) (0,9+ 0,9-0,9 0,9)=0,994=0,96059. Лямбда-метод

Вычислим среднюю наработку до отказа дублированного блока системы:

ТДБ = J,5T = 1500 ч.

Вычислим интенсивность отказов дублированного блока системы:

ЛГБ = — = 0,000666 1/ч.

дь т ’

1 ДБ

Вычислим интенсивность отказов системы:

1( Х,) = 4Лдб = 0,002664 1 /ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

Т (X,) = —1— = 375,4 ч.

ЧХг)

Вычислим Я(Х,) для tн =110 ч.

Так как вероятности безотказной работы дублированных блоков равны ЯдБ(А) = ЯдБ(С) = ЯдБ(Е) = ЯдБ(О) = ЯдБ^н) , то вычислим х =-^- =0,07. По таблицам

ТДБ

экспоненциального распределения находим QдБ ^н) =0,06761, откуда

ЯДБ (К ) = 1 - QДБ (К ) =0,93239.

Я( Х,) = [ядб (^ )}* =0,932394=0,75577.

ВФ-метод

Вычислим среднюю наработку до отказа дублированного блока системы:

ТДБ =у[2Т = 1414 ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

Т( X,) = \4Т~Б = 707,1 ч.

Вычислим Я(Х,) для tн =240 ч.

Для х = —^ =0,17 и у = ПП= =0,7 по таблицам БЫ -распределения находим QдБ ^н) =0,00352,

ТДБ ^2

откуда Ядб (і(н) = 1 - О ДБ (?н) =0,"648.

Я( Хх) = [я (ін )Ґ =0,996484=0,98599.

2.3. Система со смешанным (узловым и блочным) резервированием и функцией выхода Х2

Рассмотрим избыточную систему со смешанным резервированием, структурная схема надежности которой приведена на рис. 3.

Запишем функцию выхода системы в виде

X2 =

H

Рис. 3. Структурная схема надежности избыточной системы с узловым и блочным резервированием

Запишем выражение для вероятности безотказной работы.

R(X2) = R[(AC + BD)(E + F)(G + H)] = [R(AC) + R(BD) - R(ACBD)] x x [R(E) + R(F) - R(E)R(F)] • [R(G) + R(H) - R(G)R(H)] =

= [R

Логико-вероятностный метод

Вычислим вероятность безотказной работы по полученному выражению (6):

R( X2) = (0,92+0,92-0,94) 0,992=0,944718.

Лямбда-метод

Вычислим интенсивность отказов функционального узла, состоящего из последовательного соединения 2 блоков:

Iac = Ibd = 1фу = 21= 0,002 1/ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа функционального узла:

1

Т

-L-

500 ч.

ФУ

Вычислим среднюю наработку до отказа дублированного функционального узла системы:

ТдФУ = 1,5Тфу = 750 ч.

Вычислим интенсивность отказов дублированного функционального узла системы:

1

ДФУ

= 0,001333 1/ч.

ДФУ

Вычислим интенсивность отказов системы:

1(Х2) = 1ДФУ + 21дб = 0,001333+2 0,000666= 0,002665 1/ч. Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

1

Т

1

375,2 ч.

Вычислим R(X2) для tH =110 ч.

B

D

F

Для х = ^~н— =0,15 по таблицам экспоненциального распределения находим (tH) =0,13929,

T

ДФУ

откуда RДФУ (tH ) = 1 - йдфу (tH ) =0,86071 .

R(X2) = Rдфу(tH) Ыдб(tH)] =0,86071 0,932392=0,74826.

ВФ-метод

Вычислим среднюю наработку до отказа функционального узла системы:

TAC = TBD = ТФУ = = 707,1 ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа дублированного функционального узла системы:

Тдфу =^2ТфУ = Т = 1000 ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

Т (Х 2) = [тдФ у + 2ТДБ ]% = 707,1 ч.

Вычислим Я(Х2) для tн =240 ч.

Для х = —^— =0,24 и V = —фу = =0,7 по таблицам БЫ -распределения находим

Тдфу у!2 >/2

QдФУ (К ) =0,02222, откуда Ядфу (^ ) = 1 - QДфy (гн) =0,97778.

Я(Х2) = Ядфу(^) [Ядб(^)] =0,97778 0,996482=0,97091.

2.4. Система со смешанным (узловым и блочным) резервированием и функцией выхода Х3

Рассмотрим избыточную систему со смешанным резервированием, структурная схема надежности которой приведена на рис. 4.

A

G Хз

C

E

B D F н

Рис. 4. Структурная схема надежности избыточной системы с узловым и блочным резервированием

Запишем функцию выхода системы в виде

Х3 =

Запишем выражение для вероятности безотказной работы.

R(X3) = R[(ACE + BDF)(G + H)] = [R(ACE) + R(BDF) - R(ACEBDF)] x x [R(G) + R(H) - R(G)R(H)] = = [R(A)R(C)R(E) + R(B)R(D)R(F) - R(A)R(B)R(C)R(D)R(E)R(F)]x

x [R

Логико-вероятностный метод

Вычислим вероятность безотказной работы по полученному выражению (8):

R(X3) = (0,93+0,93-0,96) 0,99=0,917334.

Лямбда-метод

Вычислим интенсивность отказов функционального узла, состоящего из последовательного соединения 3 блоков:

Iace = Ibdf = 1фу = 31 = 0,003 1/ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа функционального узла:

Тфу =1- = 333 ч.

ЛфУ

Вычислим среднюю наработку до отказа дублированного функционального узла системы:

ТДФУ = \,5Тфу = 499 ч.

Вычислим интенсивность отказов дублированного функционального узла системы:

1дфу = Т— = 0'002 1/ч.

Т ДФУ

Вычислим интенсивность отказов системы:

1( X3) = 1ДФУ +1ДБ = 0,002+0,000666= 0,002666 1/ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

J_

1

Вычислим R(X3) для tH =110 ч.

Т (X3) = = 375,1 ч.

Для х = —H— =0,22 по таблицам экспоненциального распределения находим QдФУ (tH) =0,19748,

ТДФУ

откуда RДФУ (tH ) = 1 - QДФУ (tH ) =0,80252.

R( X3) = Rдфу (tH)  RдБ (tH) =0,80252 0,93239=0,74826.

ВФ-метод

Вычислим среднюю наработку до отказа функционального узла системы:

Т

Т = Т = Т =______________= 577 ч

-‘-ACE -‘-BDF -‘ФУ 0 114.

Вычислим среднюю наработку до отказа дублированного функционального узла системы:

Тдфу =42тфу — 816 ч.

т (X з) = [тдфф у + ГЛ — 707,1 ч.

Вычислим Я(Х3) для ін =240 ч.

Для х:

=0,29 и V

Тдфу ' 42 42

Пфу — =0,7 по таблицам БЫ -распределения находим

Одфу (ін) =0,04823, откуда Ядфу (ін) — 1 ~0дфу (ін) =0,95177.

Я( Хз) — Ядфу (ін)  ЯдБ (ін) =0,95177 0,99648=0,94842.

2.5. Система с резервированием на уровне системы и функцией выхода Х4

Рассмотрим избыточную систему с резервированием на уровне системы, структурная схема надежности которой приведена на рис. 5.

А

О Х4

Н

Рис. 5. Структурная схема надежности избыточной системы с системным резервированием

Запишем функцию выхода системы в виде

Х4 = (ЛСЕО + ВБЕЙ) .

Запишем выражение для вероятности безотказной работы.

Я(Х4 ) = Я[(ЛСЕО + ВБЕЙ)] = [Я(ЛСЕО) + Я(ВБЕИ) - Я(ЛСЕОВБЕИ)] = = Я(Л)Я(С)Я(Е)Я(О) + Я(В)Я(Б)Я(Е)Я(И) - Я(Л)Я(В)Я(С)Я(Б)Я(Е)Я(Е)Я(О)Я(И) .

Логико-вероятностный метод

Вычислим вероятность безотказной работы по полученному выражению (10):

Я(Х4) = (0,94+0,94-0,98)=0,881733.

Лямбда-метод

Вычислим интенсивность отказов функционального узла, состоящего из последовательного соединения 4 блоков:

1ЛСЕО = 1ВБЕЙ = 1ФУ = 41 = 0,004 1/ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа функционального узла:

і

н

с

Е

В

и

Тфу Л = 250 ч.

ЛФУ

Тдфу = 1,5Тфу = 375 ч.

Вычислим интенсивность отказов дублированного функционального узла системы:

1

Лдфу = Т------= 0,002666 1/ч.

Т дфу

Вычислим интенсивность отказов системы:

Л( Х4) = 1Дфу = 0,002666 1/ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

1

Т (Х4) =--------= 375 ч.

1

Вычислим Я(Х4) для tн =110 ч.

Для х = —н— =0,29 по таблицам экспоненциального распределения находим QдФУ ^н) =0,25174,

Тдфу

откуда Я дфу (^ ) = 1 - Qдфy (^ ) =0,74826.

Я( Х4) = Ядфу (^ ) =0,74826.

ВФ-метод

Вычислим среднюю наработку до отказа функционального узла системы:

ТЛСЕО = ТВБЕИ = ТФу = = 500 ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа дублированного функционального узла системы:

Тдфу =^2Тфу = 707,1 ч.

Вычислим среднюю наработку до отказа системы:

Т (Х4) = Тдфу = 707,1 ч.

Вычислим Я(Х4) для tн =240 ч.

Для х = —н— =0,34 и — = —Фу = ——= =0,7 по таблицам БЫ -распределения находим

ТДфу \ 2 V 2

Qдфу (К ) =0,08338, откуда Ядфу (^ ) = 1 - Qдфy (^ ) =0,91662.

Я( Х4) = Ядфу (^ ) =0,91662.

о

ID

ГО

CL

Ф О ю. §

ш

ш

0,8

0,6

0,4

0,2

0

- Логико-вероятностный

метод

- Лямбда-метод

- ВФ-метод

---------1----------1---------1----------1----------1

X0 X1 X2 X3 X4

Рис. 6. Завис имость вероятности безотказно 0 работ ві систем ы от способа введения избыточности

Зависимость вероятности безотказной работы системы от способа введения избыточности приведена на рис. 6.

3. Выводы

Не трудно видеть, что наибольшим значением вероятности безотказной работы

характеризуется система с поблочным резервированием и функцией выхода Х1, что подтверждает выводы, сделанные в [1, 2].

По критерию вероятности безотказной работы все способы смешанного резервирования, а

также резервирование на уровне системы, являются менее предпочтительными.

Оценка вероятности безотказной работы, рассчитанная лямбда-методом, не зависит от способа смешанного резервирования системы. Наиболее близкие оценки вероятности безотказной работы по отношению к логико-вероятностному методу расчета, основанному на классических теоремах теории вероятностей, дает ВФ-метод.

При условии равнонадежности блоков и изменении способа смешанного резервирования системы оценка средней наработки до отказа практически не изменяется как в рамках экспоненциального распределения, так и в рамках БЫ -распределения. Это подтверждает вывод [2] о том, что среднее время исправной работы резервированной системы является неудовлетворительным критерием оценки эффективности способа резервирования. Наиболее информативным является такой показатель, как вероятность безотказной работы или вероятность отказа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шишонок Н.А. Основы теории надежности и эксплуатации радиоэлектронной техники / Н.А. Шишонок, В.Ф. Репкин, Л.Л. Барвинский. - М.: Советское радио, 1964. - 551 с.

2. Половко А.М. Основы теории надежности. - М.: Наука, 1964. - 446 с.

3. Надежность радиоэлектронных систем / Пер. с англ.; Под ред. А.М. Половко, А.Г. Варжапетяна. - М.: Советское радио, 1968. - 326 с.

4. Стрельников В.П., Федухин А.В. Оценка и прогнозирование надежности электронных элементов и систем. -К.: Логос, 2002. - 486 с.

Стаття надійшла до редакції 20.12.2007