Нечеткое управление структурно неустойчивыми объектами

УДК 62-50:681.3

НЕЧЕТКОЕ УПРАВЛЕНИЕ СТРУКТУРНО НЕУСТОЙЧИВЫМИ ОБЪЕКТАМИ

Е.М. Васильев, Д.М. Прокофьева

Статья посвящена анализу возможностей нечёткого управления в реализации концепций многоальтернативных систем регулирования объектами в критических режимах. В качестве примера объекта используется модель обратного маятника, обладающая свойствами структурной неустойчивости. В координатах пространства состояний объекта на основе нечётких решающих правил логического вывода синтезирован регулятор, осуществляющий стабилизацию маятника с одновременным приведением его опоры в заданное положение. Результаты моделирования подтверждают эффективность предложенного подхода к построению робастных многоальтернативных систем

Ключевые слова: многоальтернативные системы, критические режимы, нечёткое управление

1. Обсуждение проблемы

В теории управления к структурно неустойчивым относятся объекты, которые остаются неустойчивыми при любых значениях своих параметров [1]. Примерами таких объектов являются космические аппараты вертикального взлёта и посадки, подводные корабли, атомные и химические реакторы без самовыравнивания.

При всём разнообразии процессов, происходящих в перечисленных устройствах, для них характерна общая необходимость выполнения своих функций в критическом режиме - состоянии неустойчивого равновесия, задача поддержания которого должна решаться средствами автоматического управления.

К таким средствам относится, прежде всего, модальное управление, предусматривающее введение в структуру линеаризованной системы модального регулятора Я, обеспечивающего её характеристическому полиному |sE-B+NЯ|=0 значения корней с отрицательными вещественными частями (В, N -характеристическая матрица и матрица управления объекта соответственно, Е - единичная матрица, 5 -переменная в изображениях по Лапласу) [2].

В существенно нелинейных системах поддержание критического состояния достигается переходом в режимы скольжения или автоколебаний [3-5].

Общей проблемой указанных методов является зависимость первоначально заданного расположения корней или условия возникновения переключений от изменяющихся параметров объекта, а в нелинейных системах и от амплитуды внешних воздействий.

Компенсация этой зависимости осуществляется методами адаптивного управления, а также дополнительными мерами по сохранению режимов скольжения или заданных автоколебаний в нестационарных объектах [5-9]. Однако указанные приёмы обеспечения робастности приводят к значительному усложнению систем и затрудняют их инженерную реализацию [10,11].

Васильев Евгений Михайлович - ВГТУ, канд. техн. наук, ст. науч. сотрудник, e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, тел. 84732437776

Прокофьева Дарья Михайловна - ВГТУ, студент, e-mail: vgtu-aits@yandex.ru, тел. 84732437776

Сложившееся “рассогласование” теории адаптивного и робастного управления с практикой её применения предлагается преодолеть на основе перехода к многоальтернативным системам, принципы построения которых сформулированы С.Л. Подвальным [12,13], и эмпирически, в простейшем виде реализуются, например, в системах с переменной структурой путём переключения законов управления (обычно - двух) в соответствии с текущим состоянием объекта. К таким системам относятся упомянутые выше системы со скользящими режимами.

Идеи многоальтернативности имеют ярко выраженные биологические аналогии, определённые в виде закона необходимого разнообразия У. Эшби [14], и, в частности, хорошо соответствуют содержанию предложенных Л. Заде процедур нечёткого управления, отражающих в определённой мере процедуры мышления человека [15].

Действительно, для процесса импликативного принятия управляющего решения по правилу нечёткого вывода “если..., то...” характерны наиболее важные черты многоальтернативных систем [16,17]:

многоальтернативность выбора: для каждой значимой текущей ситуации устанавливается своё нечёткое правило вывода с соответствующим весом, т.е. способ формирования управления в системе непрерывно изменяется в соответствии с состоянием объекта;

многокритериальность выбора: нечёткие решающие правила в состоянии одновременно оперировать несколькими критериями, характеризующими состояние объекта;

параллельность выбора: принятие решения по каждому правилу нечёткого вывода может осуществляться независимо - параллельно во времени, с последующим объединением частных решений в результирующее управление.

Перечисленные обстоятельства позволяют ожидать от нечёткого управления эффективного использования принципиальных возможностей многоальтернативных систем в задачах регулирования объектами в критических режимах.

Примеру реализации этих возможностей посвящена настоящая работа.

2. Модель объекта управления

В качестве типового представителя структурно неустойчивых объектов в работе используется обратный маятник [18], установленный на опоре, гори-

зонтально перемещаемой с некоторым трением под действием внешней управляющей силы (рис. 1).

-юЬ

Рис. 1. Расчётная схема объекта управления

На рис. 1 обозначены: ть т2 - массы опоры и сосредоточенная масса маятника соответственно, кг; Ь - длина маятника, м; х - координата, характеризующая горизонтальное положение опоры маятника, м; а - угол отклонения мятника от вертикали, рад; g

- ускорение свободного падения, м/с2; ю -угловая скорость, рад/с; ц - коэффициент сухого трения опоры; Етр - сила сухого трения, Н; Е - внешняя сила, приложенная к подвижной опоре, Н; Ест - сила, действующая вдоль стержня маятника, Н.

Для описания объекта составим дифференциальные уравнения его движения в координатах х и а в виде уравнений Лагранжа:

_дЕ + ^дВ = f _ f ,

dx dt дх тр ’

дЕ d дЕ -------I-------г = m2gL sin а,

да dt да

где Е - кинетическая энергия системы:

m2v2

Е=+.

2 2

Получая абсолютную скорость v массы т2 в

виде:

2 2 2 v = х + (_oL) _ 2xrnL cos а =

= Х2 + L2a2 _ 2Lxa cos а, придём к развёрнутому выражению для Е:

2

mi + m2 .2 m2L . 2

Е =

-х +

а _ m2LXa cos а.

2 2 Подставив (2) в (1), получим:

I (mi + m2)x - m2¿(acosa-á2 sin a) = F — Fmp;

[— x cos a + La = g sin a.

Силу Fmp сухого трения определим в виде:

Fmp = Kmlg + Fcm COs a) si8n

где продольная сила Fcm:

. 2

Fcm = m2g cos a — m2xsm a — m2a L. (4) В итоге, движение рассматриваемого объекта полностью опишется системой уравнений:

• 2

(mi + m2)x — m2L(a cos a —a sin a) = F — Fmp;

а2Ljsign( Х)];

Fmp = l^[mig + m2 cos ag • cos a — x sin a — a L

— xcos a + La — g sin a = 0,

формально определяющей в качестве регулируемых величин угловое положение a(t) маятника и коор-

динату х(ґ) его подвижной опоры, а также общий порядок объекта, равный четырём.

3. Синтез нечёткого регулятора

Будем использовать типовую структуру системы с регулятором, на вход которого поступает информация о состоянии объекта, а с выхода снимается сигнал, пропорционально преобразуемый в управляющее воздействие на объект. Коэффициенты передачи датчиков обратной связи принимаются единичными.

Для принятой структуры синтез нечёткого регулятора включает в себя:

построение перечня лингвистических и нечётких входных и выходных переменных регулятора;

формирование функций принадлежности для указанных переменных;

построение решающих правил нечёткого логического вывода, определяющих в своей совокупности управление на объект.

В качестве входных лингвистических переменных регулятора использовались полученные в модели переменные состояния объекта: і\, і2 - угловое положение (угол) а(/), и угловая скорость а(/) маятника; і3, - отклонение Дх(ґ)=х0-х(ґ) коор-

динаты опоры х(ґ) от заданного значения х0 и скорость х(ґ) опоры.

Выходной лингвистической переменной регулятора принято управляющее воздействие (управление) и, характеризующее сигнал у, например, напряжение, преобразуемое в исполнительном механизме в силовое воздействие Е с коэффициентом передачи £=150 Н/В.

Для указанных лингвистических переменных сформированы соответствующие нечёткие значения и их функции принадлежности ц (рис. 2-5):

2і={угол отрицательный; близок к нулю; по-1 2 3

ложительный}={ ,7^ }, рис. 2;

Рис. 2. Функции принадлежности углового положения маятника

^2={угловая скорость отрицательная; близка к 12 3

нулю; положительная}={ 22, ^2,}, рис. 3;

г3={опора находится слева далеко от задания; слева недалеко от задания; слева близко от задания; справа близко от задания; справа недалеко

х

от задания; справа далеко от задания}= { ¿3’¿3’¿3’23’23 }, рис. 4;

Рис. 3. Функции принадлежности угловой скорости маятника и линейной скорости его опоры

24= {скорость опоры отрицательная; близка к

123

нулю; скорость опоры положительная}={ 24,24,24 }, рис. 3;

Рис. 4. Функции принадлежности отклонения координаты опоры от заданного значения

и={управление отрицательное; отрицательное среднее; отрицательное малое; положительное малое; положительное среднее; положительное }=

{м1,м2,м3,м4,м5,м6}, рис. 5.

Рис. 5. Функции принадлежности выходной переменной регулятора

Для формирования решающих правил введём нечёткие высказывания, сохраняющие наименование нечётких значений лингвистических переменных: - угловое отклонение маятника отрицатель-

ное; ~2 - угловое отклонение маятника близко к нулю; и т.д.

Целью управления поставим перемещение опоры маятника из произвольной начальной координаты х(0) в заданную точку х0 при одновременной стабилизации его оси в вертикальном положении на всех этапах перемещения опоры. При этом алгоритм должен быть нечувствительным, грубым к существенным изменениям параметров объекта (подразумевается, что энергетические возможности исполнительного механизма во всех случаях достаточны для управления).

Основная особенность задачи построения алгоритма управления заключается в её многокрите-риальности - одним воздействием у необходимо обеспечивать управление двумя координатами объекта: угловым отклонением а маятника и положением х его опоры.

В связи с этим, в основу построения решающих правил была положена идея разделения регулирования движений: как только угол и его скорость

2 2

достигают малых значений 22 и 2|, осуществляется переход к регулированию по состоянию опоры. Но если значение а или а выходят из малого диапазона, приоритетным становится регулирование по значению угла или скорости его изменения.

В результате такого подхода к решению поставленной задачи управления маятником получено десять нечётких решающих правил:

~2 ~2 Л 22 Л ~1 ~1. л ¿4 — и ;

~12 Л ~22 Л ~з6 л ~4 —— и ;

~2 Л ~22 Л ~32 —— и ;

~2 Л ~22 Л ~33 — ~4;

~2 Л ~22 Л ~34 — ии3 ;

~2 Л ~22 Л ~35 — ии2 ;

~1 ~1 — ~6;

~3 ~1 —— и ;

~1 ~2 — ~6;

~3 ~2 —— ~ ,

с весовыми коэффициентами {^1...^10}={1; 1; 0,1;

0,1; 0,1; 0,1; 1; 1; 0,1; 0,1], которые будут использованы ниже при формировании текущих компонент управляющего воздействия.

Правила (5.3)-(5.10) формируют очевидные по знаку и модулю величины управления, приводящие координаты маятника в заданное состояние. Например, по правилу (5.3) при практически установившемся угловом положении маятника, близкому к

вертикальному ( 212 и 222 ), и положении опоры слева недалеко от задания ( 232 ), вырабатывается положительное среднее управление ~5.

По правилам (5.1), (5.2) осуществляется принудительное угловое отклонение маятника в сторо-

ну требуемого движения опоры так, что происходит передача управления к правилам (5.7)-(5.10) по угловым координатам, и далее, после попадания

22

этих координат в диапазоны 2^ и ¿2 , движение регулируется по правилам (5.3)-(5.6), приводящим опору в заданное положение х0.

На основе правил логического вывода (5.3)-(5.10) формируется результирующее управляющее воздействие у*, соответствующее текущему состоянию объекта. Для этого в рассматриваемом примере была использована ситуационная модель принятия решения, не требующая формального преобразования входных переменных [а(г) а(/) Дх(г) х(ґ) ]Т в нечёткую форму [19]:

текущему вектору входных координат [а(г*) а(/*) Дх(г*) х(ґ*) ]Т=[а* а * Дх* х * ]Т ставятся в соответствие значения функций принадлежности

. И«

ц * (а*,а*, Дх*,х*) = ц *. , і = 1,4 , ^і=^2=Л4=3, &3=6,

2і 2

и степени истинности ^ у, у = 1,10 ситуаций-посылок в правилах (5.1)-(5.10):

г|1 = тіп ( ц _2, ц _2, ц _ь ці

' 21 22 23 24

* * * Л . ( * * * Л

^3 = тт ^^, ц22 ^ П4 = тт ^, Ц.2, ^

. ( * * * Л . / * * * Л

^5 = пт ^^, Цг4 ^ П6 = пт , Цг2, Цг|)

П7 = И 1(а*); П8 = И з(а*);

21 21

П9 = И 1(а*); ^10 = И з(а*);

22 22

формируются текущие компоненты управления в виде нечётких множеств с функциями принадлежности:

Н*у

отметим, что каждое из вычислений (6) и (7) по индексу у может выполняться параллельно, т.е. одновременно;

*

найденные компоненты управления у

объединяются в результирующее нечёткое множество:

10

и-и

у=1

определяется значение выходной переменной регулятора с помощью первого момента функции

принадлежности ии (у):

утах

А *

] у -Ии(у^у

-----,

у* = утіп

утах

где [ушіп, Утах]=[-20, 20] - область определения переменной у.

4. Проверка качества системы

Проверка стабилизирующих и робастных свойств синтезированной системы проводилась на построенной выше модели обратного маятника с параметрами: ті=100 кг; т2=20...200 кг; Ь=5 м; £=9,81 м/с2; ц=0,05, среди которых масса т2 изменялась в десять раз.

Во всех исследованиях начальное угловое положения маятника а(0)=0,2 рад и положение опоры х(0)=0.

На рис. 6 показан процесс движения маятника без требования переместить опору в точку х0^0, т.е. целью управления являлась только задача стабилизации маятника в вертикальном положении.

а, рад 0.15

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1

т2= 20... 200 к ;г

7^'

ш.

т2= 200 кг

1

0 5 10 15 20 25 30 35 г, с

/» *

] ци(у^у

утіп

В этом опыте начальное угловое отклонение, равное 0,2 рад, при массе т2=20 кг устраняется системой за 3 с и при т2=200 кг - за 4 с. Стабилизация осуществляется путём соответствующих перемещений опоры. Время возвращения опоры в исходное положение после завершения процесса угловой стабилизации составляет в обоих случаях 35 с.

Проверка качества работы системы при совмещении задач угловой стабилизации маятника и перемещения его опоры представлена на рис. 7.

Как и упоминалось в описании алгоритма, из рис. 7 следует, что движение опоры первоначально, в течение 3...5 с, подчинено задаче компенсации углового отклонение маятника от вертикали. После стабилизации маятника начинается перемещение опоры в заданное положение х0.

Несущественные различия в траекториях и времени регулирования маятника при десятикрат-

*

*

*

*

*

*

*

*

ном изменении его массы свидетельствуют о робастности системы.

Рис. 7. Движение маятника при перемещении опоры в сторону его начального углового отклонения а0=0,2 рад

Полученные результаты подтверждают эффективность нечёткого регулирования как примера использования многоальтернативных систем в задачах управления объектами в критических режимах.

Литература

1. Теория автоматического управления / Под ред А.В. Нетушила. - М.: Высш. шк., і9б7. - 424 с.

2. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 3. / Под ред. К.А. Пупкова,

Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2004. —

616 с.

3. Емельянов С.В. Системы автоматического регулирования с переменной структурой / С.В. Емельянов. -М.: Наука, 1967. - 336 с.

4. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой / В.И. Уткин. - М.: Наука, 1974. - 272 с.

5. Мирошник И.В. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / И.В. Мирошник, В.О.Никифоров, А.Л.Фрадков. - СПб.: Наука,

2000. - 549 с.

Воронежский государственный технический университет

6. Поляк Б.Т. Робастная устойчивость и управление / Б.Т. Поляк, П.С. Щербаков. - М.: Наука, 2002. - 303 с.

7. Никифоров В. О. Робастное управление линейным объектом по выходу / В.О. Никифоров // Автоматика и телемеханика, 1998, № 9, с. 87-99.

8. Методы классической и современной теории автоматического управления. Т. 5. / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2004. — 784 с.

9. Васильев Е.М. Модальное управление нестационарными системами / Е.М. Васильев, К.Ю. Гусев // Вестник Воронежского государственного технического университета, 2008, №8, с. 46-54.

10. Дружинина М.В. Методы адаптивного управления нелинейными объектами по выходу / М.В. Дружинина, В.О. Никифоров, А.Л. Фрадков //Автоматика и телемеханика, 1996, №2, с. 3-33.

11. Бобцов А.А. Развитие методов робастного управления в задачах адаптации / А.А. Бобцов, С.А. Хо-лунин // Научно-технический вестник СПб ГИТМО, вып.

6. Информационные, вычислительные и управляющие системы. - СПб.: ГИТМО, 2002 . - С. 223-228.

12. Подвальный С.Л. Адаптация и оптимизация при построении АСУТП с использованием методов имитационного моделирования / С.Л. Подвальный // Структурная адаптация сложных систем управления: Сб. науч. тр. -Воронеж: ВПИ, 1977. - С. 114-116.

13. Подвальный С.Л. Эволюционные принципы формирования структуры вычислительных систем / С.Л. Подвальный // Адаптация в сложных системах управления: Сб.науч.тр. - Воронеж: ВПИ, 1979 . - С. 60-63.

14. Эшби У.Р. Введение в кибернетику / У.Р. Эшби.

- М.: Изд. иностр. лит., 1959.- 432 с.

15. Заде Л.А. Основы нового подхода к анализу сложных систем и процессов принятия решений / Л.А. Заде. - М.: Знание, 1974. - 64 с.

16. Подвальный С.Л. Эволюционные структуры специального математического обеспечения интегрированных систем моделирования / С.Л. Подвальный // В кн. Проблемы оптимального выбора в прикладных задачах. -Воронеж: ВГУ, 1980. - С. 90-139.

17. Подвальный С.Л. Многоальтернативные системы: обзор и классификация / С.Л. Подвальный // Системы управления и информационные технологии, 2012, №2, с. 4-13.

18. Неспирный В.Н. Стабилизация колебаний маятника с подвижной точкой подвеса относительно наклонного равновесия / В.Н. Неспирный, В.А. Королев // Механика твердого тела, 2009, вып. 39, с. 195-206.

19. Рутковская Д. Нейронные сети, генетические ал-

горитмы и нечёткие системы / Д. Рутковская, М. Пилинь-ский, Л. Рутковский. - М.: Горячая линия - Телеком,

2006. - 452 с.

FUZZY CONTROL OF STRUCTURALLY UNSTABLE OBJECTS

E.M. Vasiljev, D.M. Prokofjeva

Article is devoted to the analysis of opportunities indistinct control in realization of concepts multiple-choice systems of regulation by objects in critical behaviors. As an example of object the model of a return pendulum having properties of structural instability is used. In coordinates of space conditions of object on the basis of fuzzy rules a logic conclusion the regulator which is carrying out stabilization of a pendulum with simultaneous reduction of his support in the set point is synthesized. Results of modelling confirm efficiency of the offered approach to construction robust multiple-choice systems

Key words: multiple-choice systems, critical behaviors, fuzzy control