Геомеханическое обоснование газодинамической модели движения метана в подработанных горных породах

УДК 622.831

ГЕОМЕХАНИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ

МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ МЕТАНА В ПОДРАБОТАННЫХ

ГОРНЫХ ПОРОДАХ

Н.М. Качурин, С.А. Воробьев, А.Н. Качурин, Д.Н. Шкуратский

Приведены результаты обобщения исследований геомеханических процессов при подработке газоносных вмещающих пород. Обоснованы физическая модель и математическое описание фильтрации метана в трещиновато-пористом подработанном горном массиве.

Ключевые слова: метан, фильтрация, подработанные горные породы, выработанное пространство, математическая модель.

Натурные наблюдения за геомеханическими процессами при отработке угольных пластов показывает, что физическая модель движения газа в подработанных породах должна формироваться на основании физических положений фильтрационного массопереноса для случая малого значения масштаба корреляции процесса. Это связано с тем, что вмещающие породы, как правило, имеют слабо выраженные сорбционные свойства и процесс релаксации давления свободного газа определяется интенсивностью диссипации его энергии, обусловленной сопротивлением трения. Движение газа в подработанной толще следует рассматривать с позиций фильтрационного переноса в трещиновато-пористой среде. Наличие трещин технологического происхождения, даже при их незначительном объеме в пустотах твердого скелета, может оказывать определяющее влияние на интенсивность газовыделения. Подработанная толща представляет собой куски породы, имеющие пористость и проницаемость, близкие к их значениям, существовавшим до подработки (рисунок).

Газовая проводимость системы трещин во много раз больше породных блоков. Поэтому в пористых блоках находится газ, который выделяется в трещины, являющиеся транспортными каналами [1].Зона беспорядочного обрушения состоит из породных блоков произвольной формы, нерегулярно располагающихся в выработанном пространстве. Зона газового дренирования основной кровли отличается большими размерами блоков и менее развитой системой транспортных каналов. Характерной особенностью движения газа в такой среде является повышенная проницаемость трещин при содержании основных запасов газа в малопроницаемых породных блоках. В начальный момент процесса давление в трещинах падает до значения р, а в блоках равно природному давлению р0. При этом возникает перепад давления между газом, находящимся в трещинах, и газом в блоках, что приводит к возникновению локальных градиентов давления в блоках (р0 - р1)!-1, где I -характерный размер блока. Они существенно пре-

вышают градиент давления в трещинах. Этим обусловлены фильтрационные потоки газа из блоков в трещины [2].

Система уравнений баланса газа в транспортных трещинах и блоках имеет следующий вид [3]:

д

—(тср) + Шу (рУ) - д = 0;

д?

д_ д?

(тьр)+д = 0

где тс, ть - пористость, обусловленная пустотностью обрушенных пород кровли, и пористость породных блоков соответственно; р - плотность газа; V - главный вектор скорости фильтрации газа; q - количество газа, поступающего из блоков в трещины.

Г.И. Баренблатт обосновал следующую зависимость [3]:

д = л

где А = 0,5 аркъ (12р0ц) ; А - коэффициент, характеризующий газовую

проницаемость блоков и свойства газа; а - параметр геометрии пористо-трещиноватой среды выработанного пространства очистного забоя; р0 -плотность газа при начальном давлении в породных блоках р0; ц - динамическая вязкость газа; къ - газовая проницаемость породных блоков; рь, р -давление в породных блоках и транспортных трещинах соответственно.

Схема подработки вмещающих пород при выемке угольного пласта: 1- породы основной кровли; 2 - породы непосредственной кровли; 3 - разрабатываемый угольный пласт

>

Движение метана в трещинах и пустотах подработанных пород можно считать ламинарной, следовательно, массовая скорость фильтрации будет соответствовать закону Дарси:

рУ = -к grad (р2),

где к = 0,5 р0кс (р0ц) ; к - коэффициент, характеризующий фильтрационное сопротивление обрушенных пород; кс - газовая проницаемость зоны обрушения.

Следовательно, для стационарной фильтрации в трещинах можно записать следующую систему уравнений:

к div

grad (р2)]- А (р- - р2 ) = 0;

£ М + А (Рр - р2 ) = 0,

где р - давление газа в породных блоках.

Из первого уравнения системы (4) можно определить давление газа в породных блоках в следующим образом:

рр = р2 - К ^ [grad

Тогда из второго уравнения системы (4) получим следующее уравнение:

^р--Л^div grad

Движение метана в подработанной толще можно считать одномерным, тогда уравнение (6) примет вид

др2

д3р2 д-р Л^тг = Х

- „-

дг ' дгд2- дz2 где 2 - аппликата декартовой системы координат с началом отсчета, расположенным на почве разрабатываемого угольного пласта.

Выделение метана из подработанных пород описывается уравнением (7) при следующих начальных и граничных условиях:

р2

где р - давление газовой смеси в выработанном пространстве очистного

забоя на уровне почвы разрабатываемого угольного пласта.

Следует отметить, что газовая проницаемость зоны обрушения в общем случае является переменной величиной, зависящей от координаты 2. Для того, чтобы воспользоваться уравнением (7), будем считать, что подработанные породы являются трещиновато-пористой средой с общим

сопротивлением равным суммарному сопротивлению зон беспорядочного обрушения и газового дренирования основной кровли. В этом случае газовую проницаемость зоны обрушения можно рассматривать как эффективную проницаемость такой среды, то есть можно записать

кс = к1 -

где к! , к2 - газовая проницаемость зон беспорядочного обрушения и газового дренирования основной кровли соответственно; Н , Н2 - мощность зон беспорядочного обрушения и газового дренирования основной кровли соответственно.

Используя интегральное преобразование Лапласа, получим изображение уравнения (7) и условий (8) в следующем виде:

J2 2 ( 2 \

d pL s п2_ P^

pL

V s У

dz2 л

= 0;

p2

S z^ro

где pz - изображение давления метана в фильтрационных трещинах р; ß -параметр, характеризующий фильтрационное сопротивление; s - комплексный параметр преобразования Лапласа.

Решение уравнения (10) для условий (11) имеет вид

pI = 4 - 1(pL - PL) «P[-z^

dpl

dz

Для расчета метановыделения необходимо вычислить производную функции (12) в точке 2 = 0:

2 2 -I

ро - р1_1___

2=0 Тл Т^+Р ^

Таким образом, оригинал выражения (13) будет представлять собой градиент давления метана в фильтрационных трещинах на уровне почвы разрабатываемого угольного пласта. Тогда, используя оригинал выражения (13), получим изменение во времени метановыделения в очистной забой из подработанных пород 1Г в следующем виде:

1Г

где Ц - шаг обрушения основной кровли; ^ - длина очистного забоя; а -параметр линеаризации; /0 (0,5(;) - модифицированная функция Бесселя

нулевого порядка для аргумента, записанного в круглых скобках. Введем следующее обозначение:

21 ( г ) р и/

I =_ ^ ^^_,

Й акьК (р02 - Р12)'

тогда зависимость (14) можно представить следующим образом:

1к

где х - аргумент, определяемый по формуле х = 0,5рг.

Модифицированная функция Бесселя нулевого порядка для удобства вычислений может быть представлена в виде многочленов [4]: при 0 <х< 3,75

10 (т) = (1 + 3,51562 2902 + 3,08994 24 04 +1,20674 9206 +

+0,26597 3208 + 0,03607 68010 + 0,00458 13012); (17) при 3,75 <т<го

1о (х) = х-0,5 ехр(-х)(0,39894 228+0,01328 5920-1 + 0,00225 3190-2 -

-0,00157 5650-3 + 0,00916 2810^ - 0,02057 7060-5 + +0,02635 5370-6 - 0,01647 6330-7 + 0,00392 3770-8),

л х где 0 =-.

3,75

Таким образом, для инженерных расчетов формулу (16) можно представить в следующем виде: при 0 < 0,5рг < 3,75

-21 (1) р и- = (1 + 3,51562 29£2 + 3,08994 24 £4 +1,20674 92£6 +

^кЪкс

+0,26597 32£8 + 0,03607 68£10 + 0,00458 13£12); (19) при 3,75 < 0,5рг <<ю

-21 (1) Ра и- = (0,5рг )-0,5 ехр (-0,5рг)(0,39894 228+0,01328 592£+

акъкс

+0,00225 319£-2 - 0,00157 565£-3 + 0,00916 281 £-4 - 0,02057 706£-5 + +0,02635 537£-6 - 0,01647 633£-7 + 0,00392 377£-8), (20) где £ = 0,133 рг.

Формулы (19) - (20) позволяют прогнозировать динамику метано-выделения из вмещающих пород, начиная с момента обрушения основной кровли. Следовательно, используя эти математические модели, можно осуществлять вычислительные эксперименты, моделируя ситуации экстренного выделения метана, обусловленного геомеханическими факторами.

Список литературы

1. Качурин Н.М., Борщевич А.М., Бухтияров А.А. Метановыделе-ние в очистной забой из подработанных и надработанных пород // Известия ТулГУ. Науки о Земле. Вып. 1. Тула: Изд-во ТулГУ. 2011. С. 62-68.

2. Качурин Н.М. Выделение метана из подработанных и надработанных пород в выработанное пространство очистного участка // Известия вузов. Горный журнал. 1987. № 2. С. 54-59.

3. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра. 1972. 288 с.

4. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. 1979. 834 с.

Качурин Николай Михайлович, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, ecology@tsu.tula.ru , Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Воробьев Сергей Александрович, научный сотрудник, vorobjov@rudmet.ru, Россия, Белгород, Белгородский национальный исследовательский университет,

Шкуратский Дмитрий Николаевич, генеральный директор, ecology@tsu.tula.ru, Россия, Пермь, ОАО «Галургия»,

Сидоров Роман Владимирович, директор, pgu@pk-ugol.ru , Россия, г. Прокопьевск Кемеровской области, ООО «ПРОКОПГИПРОУГОЛЬ

GEOMECHANICAL SUBSTANTIATING GAS-DYNAMICAL MODEL OF MOVING METHANE IN UNDERWORKING ROCKS

N.M. Kachurin, S.A. Vorobev, D.N. Shkuratskiy, R.V. Sidorov

Results of generalizing geomechanical processes investigation by underworking enclosing rocks were shown. Physical model and mathematical description of filtrating methane in crumbling-porous underworking rock massif were substantiated.

Key words: methane, filtration, underworking rocks, open area, mathematical model.

Kachurin Nikolai Mihilovich,, Doctor of Sciences, Full Professor, Chief of a Department, ecology@tsu.tula.ru, Russia, Tula City, Tula State University,

Vorobev Sergei Alexandrovch, Scientific Associate, vorobjov@rudmet.ru, Russia, Belgorod City, Belgorod National Researching University,

Shkuratciy Dmitriy Nikolaevich, General Director, ecology@tsu.tula.ru, Russia, Perm City, Company of the "Galurgiy ",

Sidorov Roman Vladimirovich, Director, pgu@pk-ugol.ru , Russia, Prokopievsk City, Kemerovo Region, Company of the "PROCOPGIPROUGOL"