Об алгоритмической неразрешимости задач математического моделирования функционально избыточных дискретных систем

АВТОМАТИЗАЦИЯ И УПРАВЛЕНИЕ

УДК 519.71

А.А. Сытник, Т.Э. Шульга

ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ НЕРАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО ИЗБЫТОЧНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ

Рассматриваются задачи математического моделирования функционально избыточных дискретных систем. Доказывается алгоритмическая неразрешимость данных задач для произвольного семейства дискретных систем. В качестве математической модели функционально избыточной системы используется универсальный конечный детерминированный автомат.

Функциональная избыточность, дискретная система, конечный детерминированный автомат, универсальный автомат, восстанавливающая последовательность

A.A. Sytnik, T.E. Shulga

ABOUT ALGORITHMIC INSOLUBILITY OF FUNCTIONAL REDUNDANT DISCRETE SYSTEMS

MATHEMATICAL MODELING PROBLEMS

The problems of mathematical simulation of functional redundant discrete systems are considered. Their algorithmic insolubility for arbitrary class of discrete systems is proved. A universal deterministic finite automata is used as the mathematical model of functional redundant discrete systems.

Functional redundancy, discrete system, deterministic finite automata, universal automata, recreational sequence

Одним из основных требований к современным системам (техническим объектам, программным, социально-экономическим системам и др.) является требование адаптивности, т.е. способности системы изменяться в соответствии с быстро меняющимися условиями внешней среды. Адаптивность системы достигается наличием в ней некоторой избыточности.

Для модификации поведения системы характерно использование двух основных типов избыточностей: аппаратной (структурной) и функциональной (временной). Аппаратная избыточность подразумевает введение в состав системы дополнительных резервных элементов, которые реализуют требуемое поведение. Функциональная избыточность предполагает использование свойств текущего закона функционирования для формирования на выходах требуемой совокупности реакций только на основе имеющегося в данный момент или искусственно создаваемого резерва времени. При этом для формирования на выходе требуемой совокупности реакций на вход следует подавать специальные последовательности входных символов, которые будем называть восстанавливающими. Восстанавливающая последовательность — это последовательность входных символов, при подаче которой в любом текущем состоянии система в качестве последнего выходного символа генерирует требуемый выходной символ. Система обладает функциональной избыточностью относительно заданной совокупности требуемых поведений, если возможно построить восстанавливающие последовательности для каждой требуемой реакции системы из данной совокупности. Функциональная избыточность может выявляться в созданной системе с целью получения требуемой реакции, а также целенаправленно создаваться на этапе проектирования системы. В данной статье формулируются основные задачи математического моделирования функционально избыточных дискретных систем на содержательном и формальном уровне и определяются основные пути решения данных задач.

В качестве математической модели дискретной системы будем рассматривать конечный детерминированный автомат Медведева [1]

A=

где 5 ={з 1, ... , sm} - конечное множество внутренних состояний; X={x 1 ,..., x п } - конечное множество входных сигналов; 8: XхБ ^5 - функция переходов.

Пронумеруем состояния автомата натуральными числами 5 ={0, 1,..., т-1} и представим функцию переходов данного автомата в виде обобщенных подстановок:

(0 1 ... т -11

V зо

, хеХ.

31 °т-1 У

Обозначим s = (0,1,...,т), $х = (зо,з^.^з^). Для краткости также будем использовать запись подстановки (2) в виде Зх (з) = $х .

Поведение автомата (1) может быть описано функцией 8 : Б X X ^ Б , где X - множество слов алфавита X.

Определение 1. Пусть текущее поведение системы М моделируется автоматом A=(XД8, X={x1,x2,.,xn}, а требуемое - автоматом В = (Х5, 8), X={x1,x2,.,xn}. Без ограничения общности будем считать 8' (з) ф8г (з),...,8Х (з) ф8г (з),8'г (з) = 8г (з),...,8Х (з) = 8г (з). Система М является

функционально избыточной системой относительно требуемых поведений {8'х }xex , если (V/,/ = 1,к) (Зг(- е X*) такое, что 8'х (з) = 81 (з). Последовательность и будем называть восстанавливающей последовательностью для преобразования 8'х (или для входного сигнала xi).

Таким образом, система М обладает функциональной избыточностью, если возможно представить все автоматные преобразования автомата В, моделирующего требуемое поведение системы, через преобразования автомата А, моделирующего текущее поведение системы (рис. 1).

Требуемое поведение

Текущее поведение

Рис. 1. Требуемое и текущее поведение функционально избыточной системы

С алгебраической точки зрения приложение последовательности входных сигналов индуцирует на множестве внутренних состояний преобразование, представляющее произведение преобразований, индуцируемых каждым из входных сигналов этой последовательности. При этом под произведением преобразований 8Х1 (з) • 8Х (з) понимается преобразование 8Х (8 (з)), обозначаемое как 8^ (з), т.е. все возможные преобразования, индуцируемые автоматом, представляют собой полугруппу преобразований относительно операции умножения, а автоматные подстановки { 8х }xеx - систему образующих этой полугруппы.

Замечание 1. Построение восстанавливающей последовательности для преобразования 8'х* автомата В означает нахождение представления этого элемента в виде произведения элементов системы образующих автомата А, т.е. элементов {8 }xеX .

В алгебре это называется проблемой тождества. Известны системы образующих, в которых можно выразить любой элемент симметрической полугруппы, т.е. любое автоматное преобразование. Однако с точки зрения построения восстанавливающих последовательностей интересны не только возможность самого выражения, но и его способ, количество элементов в этом выражении, т.е. длина восстанавливающей последовательности. Эти задачи являются нетривиальными и в теории полугрупп не решаются, т.к. предполагают исследование многочисленных систем образующих, для каждой из которых может быть предложено свое решение. Исследуя конкретные, практически значимые классы систем, можно выделять системы образующих полугруппы автоматных преобразований этих классов и именно для них решать проблему тождества.

Для описания функционально избыточной системы используется модель универсального автомата-перечислителя, способного моделировать поведение заданного класса требуемых поведений системы в перечислительной форме.

Определение 2. Конечный детерминированный автомат А =

L(Xi’") с L(X*), где L(X*) = {з I (3з* е 5)(3ре X*) 8р (з*) = з} - множество, перечислимое автоматом А,

*

ЦХ1 ) - множество, перечислимое автоматом Д., / е I.

Из определений 1 (определение функциональной избыточности) и 2 (определение универсального автомата) следует справедливость следующего утверждения.

Утверждение 1.

Дискретная система обладает функциональной избыточностью относительно заданного класса требуемых поведений тогда и только тогда, когда автомат, описывающий текущее поведение системы, является универсальным перечислителем для автоматов, описывающих требуемые поведения системы.

Сформулируем основные задачи математического моделирования функционально избыточных дискретных систем на содержательном уровне и в терминах теории универсальных автоматов.

Задача 1. Задача определения функциональной избыточности дискретной системы.

Пусть задано текущее поведение дискретной системы, которое описывается с помощью конечного детерминированного автомата А.

Содержательная постановка задачи: определить класс поведений I, отличных от текущего, относительно которого дискретная система обладает функциональной избыточностью.

Постановка задачи в терминах теории универсальных автоматов (задача анализа универсального автомата): для автомата А построить семейство автоматов {А/ }/е!, для которого автомат А является универсальным.

Данная задача обычно ставится на этапе эксплуатации системы. Кроме того, функциональная избыточность может целенаправленно создаваться в системе на этапе ее проектирования. В этом случае возникает следующая задача.

Задача 2. Задача проектирования функционально избыточной дискретной системы

Пусть задан класс I требуемых поведений системы и каждое требуемое поведение / е I описывается автоматом Аг. Таким образом, предполагается заданным семейство конечных детерминированных автоматов {А/ }iеI , моделирующих требуемые поведения системы.

Содержательная постановка задачи: спроектировать систему таким образом, чтобы она обладала функциональной избыточностью относительно заданного класса требуемых поведений.

Постановка задачи в терминах теории универсальных автоматов (задача синтеза универсального автомата): построить автомат А, задающий текущее поведение системы, который является универсальным для семейства автоматов {А/} /е 1.

Если данная задача разрешима, то в общем случае она имеет не единственное решение. Следовательно, при решении задачи 2 возникает вопрос о выборе одного из универсальных перечислителей в качестве модели проектируемой системы. Для решения этого вопроса необходимо изучить такие характеристики универсального перечислителя, как количество входных сигналов, количество состояний, длительность реализации требуемых поведений, их взаимовлияние.

Задача 3. Задача определения возможности реализации требуемых поведений дискретной системы на основе функциональной избыточности

Пусть задано текущее поведение дискретной системы и класс I требуемых поведений системы, отличных от текущего.

Пусть текущее поведение описывается с помощью конечного детерминированного автомата А, а каждое требуемое поведение, отличное от текущего, / е I - с помощью автомата Аг. Таким образом, предполагаются заданными:

- конечный детерминированный автомат А, моделирующий текущее поведение системы;

- семейство конечных детерминированных автоматов {А/ }/е!, моделирующих требуемые поведения системы.

Содержательная постановка задачи: определить возможность реализации класса требуемых поведений дискретной системы на основе функциональной избыточности.

Постановка задачи в терминах теории универсальных автоматов: для каждого автомата семейства {А/ }iеI проверить справедливость утверждения: А е ипА/, / е I, где ипА/ - множество всех универсальных автоматов для автомата Аг.

Таким образом, для определения возможности реализации требуемых поведений системы на основе функциональной избыточности необходимо и достаточно показать, что автомат А является универсальным для семейства автоматов {А/} /е 1.

Данную задачу можно решать одним из следующих способов:

- предложить критерий универсальности автомата для семейства автоматов и проверить выполнение данного критерия для заданного автомата А и семейства {АІ }ІєІ;

- для автомата А решить задачу анализа универсального автомата и проверить, что семейство {АІ }ІєІ принадлежит решению этой задачи;

- для семейства автоматов {АІ }Ієі проверить, является ли автомат А решением задачи синтеза

универсального автомата.

Если задача 1, задача 2 или задача 3 имеют положительное решение, т.е., если выполняется одно из следующих условий:

- заданный автомат А является универсальным для заданного семейства {АІ }ІЄІ,

- построен автомат А, являющийся универсальным для семейства {АІ }ІЄІ,

- для заданного автомата А построено семейство {АІ }ІєІ , для которого А является универсальным, то ставятся задачи разработки метода реализации требуемых поведений и его оптимизации. Для этих двух задач считаются заданными:

- конечный детерминированный автомат А, моделирующий текущее поведение системы;

- семейство конечных детерминированных автоматов {Аі }ієі, моделирующих требуемые поведения системы, для которого автомат А является универсальным.

Задача 4. Задача реализации требуемых поведений функционально избыточной дискретной системы

Содержательная постановка задачи: разработать метод реализации класса требуемых поведений функционально избыточной дискретной системы.

Постановка задачи в терминах теории универсальных автоматов: для каждого автомата АІ семейства І построить множество отображений {р- }ІєІ, каждое из которых удовлетворяет условию (рі (А) = Аі, І є І, или, иными словами, предложить метод построения восстанавливающих последовательностей автомата А, приложение которых моделирует преобразования автоматов семейства {АІ }Ієі.

Такой метод можно сконструировать таким образом, чтобы он одновременно осуществлял построение восстанавливающих последовательностей и проверку принципиальной возможности их построения, т.е. являлся не только решением задачи 4, но и задачи 3.

Кроме метода построения восстанавливающих последовательностей, для решения данной задачи необходимо также определить механизмы и процедуры их приложения и снятия выходных реакций. То есть решение задачи 4 подразумевает описание общей схемы реализации требуемых поведений дискретной системы на основе функциональной избыточности.

Задача 5. Задача оптимизации метода реализации требуемых поведений функционально избыточной системы

Содержательная постановка задачи: оптимизировать процесс реализации класса требуемых поведений функционально избыточной дискретной системы.

Постановка задачи в терминах теории универсальных автоматов: оптимизировать процесс построения и приложения восстанавливающих последовательностей универсального автомата А для моделирования в перечислительной форме поведения каждого из автоматов семейства {А- }ІєІ.

Как видно из приведенного перечня задач, основополагающими задачами математического моделирования функционально избыточных дискретных систем являются задачи анализа и синтеза универсальных автоматов-перечислителей, а также задача построения восстанавливающих последовательностей. Именно вопросы о разрешимости этих задач для класса конечных детерминированных автоматов являются центральными вопросами математического моделирования функционально избыточных дискретных систем и определяют направления исследований. Рассмотрим их подробно.

Универсальный автомат может быть построен не для произвольного семейства автоматов, что подтверждает следующая теорема.

Теорема 1. Задача построения универсального конечного детерминированного автомата относительно произвольного семейства конечных детерминированных автоматов алгоритмически неразрешима [2].

Следствие теоремы 1. Задача построения универсального конечного детерминированного автомата относительно конечного семейства конечных детерминированных автоматов алгоритмически разрешима [2].

На основании данных теорем можно сделать вывод, представленный в следующей теореме и являющийся основополагающим в развитии математического моделирования функционально избыточных дискретных систем.

Теорема 2. Класс задач математического моделирования функционально избыточных дискретных систем (задачи 1-5) алгоритмически неразрешим для произвольного семейства дискретных систем.

Доказательство

1. Докажем алгоритмическую неразрешимость задач 1-3.

В силу утверждения теоремы 1 проблема синтеза универсального автомата для произвольного класса объектов алгоритмически неразрешима. Таким образом, неразрешима задача проектирования (задача 2). Покажем, что на основании этого же утверждения можно сделать вывод и о неразрешимости задачи определения возможности реализации требуемых поведений (задача 3).

Для этого достаточно показать равносильность в плане алгоритмической неразрешимости задачи синтеза универсального автомата и задачи определения возможности реализации произвольного класса требуемых поведений системы на основе функциональной избыточности. Предположим противное.

Пусть проблема определения возможности реализации произвольного класса требуемых поведений системы на основе функциональной избыточности разрешима. Согласно утверждению 1, это означает возможность конструктивной проверки утверждения «автомат А, моделирующий текущее поведение системы, является универсальным для семейства автоматов {А/ }е, моделирующих класс требуемых поведений»,

т.е. предполагает наличие критерия универсальности относительного произвольного класса автоматов. Использование такого критерия позволяет формально определить процедуру нахождения универсального автомата в общем случае. Например, для каждого автомата семейства {А/ }е можно найти множество его решений задачи реализации требуемых поведений функционально избыточной системой. Пересечение всех найденных множеств содержит автомат, универсальный для этого семейства. Таким образом, универсальный автомат, если он существует, будет найден. Пришли к противоречию.

Так как неразрешима задача 3, для произвольного семейства автоматов не существует критерия универсальности. Следовательно, алгоритмически неразрешима и проблема анализа универсального автомата (задача 1).

2. Докажем алгоритмическую неразрешимость задач 4-5.

В данной задаче предполагается заданным универсальный перечислитель А для семейства автоматов {А/ }/е!. Чтобы автомат А мог моделировать поведение автоматов семейства {А/ }е, необходимо для каждого автоматного преобразования каждого автомата семейства {А/ }е построить восстанавливающую последовательность. Приложение такой последовательности инициирует последовательность преобразований автомата А, равную необходимому преобразованию автомата из семейства {А/ }iеI . Согласно замечанию 1 с алгебраической точки зрения проблема построения восстанавливающей последовательности универсального автомата А равносильна установлению способа выражения требуемого автоматного преобразования автомата из семейства {А/ }е, через элементы системы образующих полугруппы автомата А.

Проблема распознавания равенства элементов полугруппы, заданной образующими и определяющими соотношениями, называется проблемой тождества в теории полугрупп. Если для соотношений полугруппы существует каноническая форма представления, то эта задача разрешима. К сожалению, такой характер соотношений для автоматных преобразований является скорее исключением, чем правилом [3].

Для свободной группы она решается благодаря канонической записи в виде несократимых слов. Проблема также получила положительное решение для групп с одним соотношением. П.С. Новиков доказал, что не существует алгоритма решения проблемы тождества в общей постановке [4]. Более того, им построена такая система определяющих соотношений между элементами системы образующих, что проблема тождества для заданной таким образом группы оказывается алгоритмически неразрешимой.

Алгоритмическая неразрешимость задачи 5 является следствием алгоритмической неразрешимости задачи 4.

Теорема доказана.

Утверждение теоремы 2 дает отрицательный ответ на вопросы о возможности конструктивного способа:

- определения функциональной избыточности произвольной дискретной системы;

- проектирования системы, являющейся функционально избыточной относительно произвольного класса требуемых поведений;

- проверки возможности реализации произвольного класса требуемых поведений произвольной дискретной системы;

- построения восстанавливающих последовательностей относительно произвольного класса требуемых поведений.

Разумеется, алгоритмическая неразрешимость массовой проблемы не означает неразрешимости индивидуальной проблемы. Из того, что отсутствует общий алгоритм решения перечисленных выше за-

дач, не следует, что эти задачи не могут быть решены индивидуальным приемом для конкретной дискретной системы (или конкретного семейства дискретных систем) и конкретного класса требуемых поведений.

Исходя из полученных выводов, можно определить следующие направления развития математического моделирования функционально избыточных дискретных систем.

1. Математическое моделирование функционально избыточных дискретных систем может развиваться только по пути создания частных методов, т.е. решения задач 1-5 для частных классов дискретных систем.

2. Грань, разделяющая алгоритмически разрешимые (относительно задач математического моделирования функционально избыточных дискретных систем) классы дискретных систем от алгоритмически неразрешимых, обладает сложной конфигурацией. Основным подходом, используемым при выделении разрешимых классов, является изучение конкретных типов законов функционирования систем и разработка для них методов решения задач 1-5. При этом предполагается, что для автоматных преобразований определенного типа, представляющего класс дискретных систем, необходимо найти его каноническое представление и построить между ними определяющие соотношения. Кроме того, выбор исследуемых классов систем должен в значительной мере зависеть от их практической распространенности и значимости.

3. Разрабатываемые для частных классов методы решения задач математического моделирования функционально избыточных дискретных систем, как правило, будут обладать очень важной для приложений особенностью. Она заключается в том, что вопрос о возможности реализации требуемых поведений функционально избыточной дискретной системы и вопрос о построении восстанавливающих последовательностей относительно заданного класса решаются параллельно. Иными славами, сделать вывод о возможности реализации требуемого поведения можно лишь после завершения работы метода построения восстанавливающей последовательности для этого поведения. Следует отметить, что подобная ситуация характерна для современного состояния теории алгоритмов. Например, отсутствие конструктивно проверяемых условий существования гамильтоновых путей в графах заставляет разрабатывать алгоритмы, параллельно определяющие принципиальную возможность построения такого пути в заданном графе и вычисляющие его конкретній вид [5, 6].

Методы решения рассмотренных в данной статье задач математического моделирования для частных классов дискретных систем приведены в работах [7-10]. Общая схема реализации требуемых поведений функционально избыточной дискретной системы описана в [11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Медведев Ю.Т. О классе событий, допускающих представление в конченом автомате / Ю.Т. Медведев // Автоматы: пер. с англ. М., 1956. С. 385-401.

2. Сытник А.А. Восстановление поведения сложных систем / А.А. Сытник. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1992. 192 с.

3. Ляпин Е.С. Полугруппы / Е.С. Ляпин. М.: Физматгиз, 1960. 592 с.

4. Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической / П.С. Новиков. М.: Наука, 1977. 323 с.

5. Кристофидес Н. Теория графов / Н. Кристофидес. М.: Мир, 1978. 432 с.

6. Харари Ф. Перечисление графов / Ф. Харари, Э. Палмер. М.: Мир, 1977. 324 с.

7. Сытник А.А. Числовые методы функционального восстановления поведения систем / А.А. Сытник, Т.Э. Шульга // Автоматика и телемеханика. 2003. Вып. 10. С. 123-130.

8. Сытник А.А. Задачи синтеза и анализа теории управления поведением систем на основе свойств функциональной избыточности для класса групповых автоматов / А.А. Сытник, Т.Э. Шульга, Н.С. Вагарина // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. 2009. № 4 (20). С. 248-255.

9. Шульга Т.Э. Метод построения восстанавливающих последовательностей для систем без потери информации / Т.Э. Шульга // Системы управления и информационные технологии. 2009. 1.3(35). С. 407-411.

10. Сытник А.А. Об управлении поведением регистров на основе свойств функциональной избыточности / А.А. Сытник, Т.Э. Шульга // Вестник СГТУ. 2009. №3 (40). С. 107-114.

11. Шульга Т.Э. Общая схема управления дискретными системами на основе функциональной избыточности / Т.Э. Шульга // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. №1 (25). С. 167-175.

Сытник Александр Александрович - Aleksandr A. Sytnik -

доктор технических наук, профессор, заведующий Dr. Sc., Professor

кафедрой «Информационные системы и технологии» Head: Department of Information Technologies

Саратовского государственного технического and Systems

университета имени Гагарина Ю.А. Gagarin Saratov State Technical University

Шульга Т атьяна Эриковна - T atyana E. Shulga -

доктор физико-математических наук, доцент, Dr. Sc., Associate Professor

заведующий кафедрой «Информационные системы Head: Department of Information Systems

в гуманитарной области» Саратовского for Humanities

государственного технического университета Gagarin Saratov State Technical University

имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 15.11.11, принята к опубликованию 01.12.11