Хопфовы вполне разложимые группы без кручения

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 4

УДК 512.541

Е.В. Кайгородов

ХОПФОВЫ ВПОЛНЕ РАЗЛОЖИМЫЕ ГРУППЫ БЕЗ КРУЧЕНИЯ1

Изучается свойство хопфовости в таком известном классе абелевых групп, как вполне разложимые группы. Построен пример нехопфовой вполне разложимой группы без кручения.

Ключевые слова: абелева группа, хопфова группа, вполне разложимая группа, однородная группа, группа без кручения.

Данная работа продолжает начатое автором ранее (см. [1, 2]) исследование хопфовых абелевых групп. В [1] это изучение проводилось в классах делимых групп и прямых сумм циклических групп. Там же приведены общие свойства хопфовых абелевых групп, в частности связанные с прямыми разложениями. На основе описания делимых групп исследование хопфовости произвольных абелевых групп было сведено к исследованию хопфовости редуцированных групп. В [2] получено полное описание хопфовых алгебраически компактных групп. В той же статье исследовались хопфовы SP-группы: установлено, что хопфовость SP-группы эквивалентна хопфовости ее примарных компонент.

Центральным результатом настоящей статьи является теорема 1, представляющая одно из условий хопфовости вполне разложимой группы без кручения. В заключение приводится пример нехопфовой вполне разложимой группы без кручения.

Все обозначения и терминология в работе стандартны и взяты из [3, 4]. Далее в тексте под словом «группа» будет пониматься аддитивно записанная абелева группа.

Теорема 1. Пусть А - вполне разложимая группа без кручения, причем все ее однородные компоненты имеют конечный ранг, а множество типов прямых слагаемых ранга 1 группы А удовлетворяют условию минимальности. Тогда А -хопфова группа.

Доказательство. Запишем каноническое прямое разложение А = ©А, где

-е1

А - однородные компоненты группы А . Согласно условию теоремы, множество типов 0(А) = {(А) | - е I} удовлетворяет условию минимальности. Для любого к е I можно записать А = Ак © Бк , где Бк = ©А .

- фк

Предположим, напротив, что группа А нехопфова. Зафиксируем некоторый эпиморфизм ф группы А, не являющийся автоморфизмом, на себя. Докажем, что для любого индекса к е I и любого отличного от нуля элемента ак е Ак верно, что ф(ак) / Бк, т. е. что ф(ак) имеет ненулевую координату в Ак (в частности,

ф(ак) * 0).

1 Исследование выполнено при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы, соглашение 14.В37.21.0354 «Сохранение алгебраических и топологических инвариантов и свойств отображениями» и частично в рамках темы 2.3684.2011 Томского государственного университета.

Пусть сначала индекс к е I таков, что тип t(Ак) минимален в множестве типов 0(А). Допустим, что нашелся элемент ак е Ак со свойствами: ф(ак) ф 0 и ф(ак) е Бк. Напомним, что для каждого - е I имеет место прямое разложение А = А © Б-. Поскольку тип t(Ак) минимален среди типов t(А-), то Нот (Бк, Ак) = 0 . Пусть пк : А ^ Ак - проекция относительно прямого разложения А = Ак © Бк . Тогда Ак с пкфАк (или, что все равно, Ак с пкф |Ак Ак), учитывая, что ф - эпиморфизм. Из ак е Кег пкф заключаем, что г (пк фАк) = = г (Ак/Кег пк ф) < г (Ак). Но это неравенство противоречит включению Ак с пкфАк .

Хорошо известно, что множество типов однородных компонент вполне разложимой группы без кручения является дистрибутивной решеткой [3, §85]. Мы знаем также, что в частично упорядоченном множестве условия минимальности и индуктивности эквивалентны [5, §5], поэтому дальнейшее доказательство проведем по индукции. Именно, предположим теперь, что к - такой индекс, что тип t(Ак) не является минимальным в множестве типов 0(А) и для всех I, таких, что t(Аг) < t(Ак), утверждение доказано.

Прежде покажем следующее. Пусть ак - некоторый ненулевой элемент однородной компоненты Ак . Если Ь - такой элемент группы А , что ф(Ь) = ак , то его можно представить в виде Ь = Ьк + у, где Ьк е Ак , у е Бк и ф(у) е Бк. Заметим, что Ьк ф 0. Предположим противное. Относительно прямого разложения А = ©4- запишем Ь = Ь1 +... + Ь{ + Ьк + с1 +... + с(. Здесь Ь1, ..., Ь{ - такие элемен-

-е1

ты, что ф(Ь1), ..., ф(Ьг) имеют ненулевую координату в Ак . В силу предположения такие элементы обязательно существуют. Элементы с1, ..., сг, если они есть, таковы, что ф(с1), ..., ф(^) имеют нулевую координату в Ак , т. е. образы этих элементов при эпиморфизме ф содержатся в Бк .

Запишем прямое разложение А = А1 ©... © А{ © Ак © А[ ©... © А[ © Б , где А}- и А'п для всех ] = 1,., I и п = 1, ., t суть подходящие прямые слагаемые А- из разложения А = ©А-, Б - дополнительное слагаемое. Понятно, что для всех ]

-е1

верны неравенства t(Ь;-) < t(ак). По предположению индукции, элементы ф(Ь1), ..., ф(Ьг) имеют ненулевые координаты в А1, ..., А{ соответственно. Пусть для определенности тип t(Ь1) минимален среди типов t(Ь1), ..., t(Ь{). Итак, ф(Ь1) имеет ненулевую координату в А1. Ясно, что среди элементов с1, ..., с( существует хотя бы один такой, что его образ при эпиморфизме ф имеет ненулевую координату в А1. Пусть с1 есть этот элемент. Тогда t(с1) < t(Ь1) < t(ак). Согласно индуктивному предположению, ф(с1) имеет ненулевую координату в А[. Значит, среди элементов Ь1, ..., Ь{, Ьк , с1, ..., с( найдется хотя бы один такой, что его образ при эпиморфизме ф имеет ненулевую координату в А1 . Обозначим этот

элемент через х. Тогда t(х) < t(с1). Учтя минимальность типа t(Ь1) и то, что t(с1) < t(ак), получаем, что x - есть один из элементов с2, ., с(. Пусть для простоты x = с2. Итак, t(с2) < t(с1) < t(ак). Отсюда заключаем, что ф(с2) имеет ненулевую координату в А2 . Далее рассуждаем аналогично для элементов с2 , . , с( и, ввиду конечности их числа, приходим к противоречию. Так что Ь1 =. = Ь1 = 0, и потому Ь = Ьк + с1 +. + с( = Ьк + у . Вспоминая, что элементы ф(с1), ..., ф(с) имеют нулевую координату в Ак , получаем ф(у) е Бк.

Вернемся к доказательству нашего утверждения. Допустим, что нашелся элемент ак е Ак , для которого ф(ак) ф 0 и ф(ак) е Бк. Выберем в группе А элемент

Ь со свойством ф(Ь) = ак . По доказанному Ь = Ьк + у, где Ьк е Ак , у е Бк и

ф(у) е Бк (как уже было замечено, Ьк ф 0).

Применяя лемму 86.8 [3], получим прямое разложение Ак = (ак)* ©С для некоторой группы С. Запишем элемент Ьк относительно этого разложения: Ьк = а' + ск . При этом ск ф 0. Действительно, если ск = 0, то ак = ф(Ь) = = ф(Ьк) + ф(у) = ф(а' ) + ф(у). Но а’ е (ак )*, а ф(ак) е Бк, поэтому и ф(а ') е Бк . Отсюда ак е Бк , что невозможно. Далее, ф(Ьк) = ф(Ь) -ф(у) е(ак )* © Бк и ф(ск) = ф(Ьк) - ф(а') е<ак )* © Бк .

Теперь запишем прямое разложение Ак = (ак )* © (ск )* © Е для какой-то группы Е . Выполним затем аналогичный шаг. Именно, существует элемент ё е А со свойством ф(ё) = ск . Тогда ё = ёк + г , где ёк е Ак, ёк ф 0 , ф(г) е Бк. Запишем ёк = а" + с" + ек , где а" е (ак)*, с" е{ск )*, ек е Е . Здесь снова ек ф 0, поскольку из ек = 0 получаем ск =ф(ё) =ф(ёк) + ф( г) = ф(а ") + ф(с ") + ф( г), поэтому ск е(ак )* © Бк. Но это невозможно. Следовательно, имеет место прямое разложение Ак = (ак )* © (ск )* © (ек )* © О для некоторой группы О , причем

ф(ек) е<ак)* ©<ск)* © Бк .

Рассуждая далее аналогично, будем получать прямые разложения однородной компоненты Ак со сколь угодно большим числом прямых слагаемых ранга 1. Но

этого не может быть в силу конечности ранга группы Ак . Получили противоречие. Итак, мы доказали, что для любого к е I и любого ненулевого ак е Ак будет ф(ак) е Бк.

Выберем теперь в группе А такой ненулевой элемент а, что ф(а) = 0. Запишем а = а1 +... + ап, где а- е А1, причем ф(аг-) ф 0 для каждого -. Пусть для определенности тип t(а1) минимален среди типов t(а1), ., t(ап). Утверждаем, что ф(а2) е Б1, ..., ф(ап) е Б1. Если, например, ф(а2) е Б1, то ф(а2) имеет ненулевую координату w в А1. Следовательно, t(а2) < t(w) = t(а1). Строгое неравенство невозможно на основании минимальности t(а1). Имеем t(а2) = . = t(ап) = t(а1), откуда ф(а2) е Б1, ..., ф(ап) е Б1. Ясно, что тогда ф(а1) е Б1. Получили, что а1 е А1,

а ф(а1) е Б1. Но такая ситуация невозможна, как установлено выше, поэтому наше

предположение о нехопфовости группы А неверно. Теорема доказана.

Опираясь на доказанную теорему, нетрудно понять, что существуют разнообразные нехопфовы вполне разложимые группы без кручения. Полезно построить примеры таких групп. Сформулируем сначала один вспомогательный вопрос и дадим на него ответ. Пусть А , Б , С - группы без кручения ранга 1, причем t(Б) < t(А) и t(С) < t(А). Выясним, когда существует эпиморфизм Б © С ^ А .

Так как t(Б) < t(А) и t(С) < t(А), то группы Б и С можно считать подгруппами в А . В таком случае существование эпиморфизма Б © С ^ А равносильно выполнению равенства t(Б + С) = t(А). Действительно, пусть ф: Б © С ^ А - некоторый эпиморфизм. Тогда ф(Б © С) = ф(Б) + ф(С) = А . Ясно, что ограничения ф |Б: Б ^ А , ф |С: С ^ А суть мономорфизмы. Следовательно, ф(Б) = Б и ф(С) = С. Если мы считаем Б и С подгруппами в А , то группы ф(Б) и Б ква-зиравны, аналогично квазиравны группы ф(С) и С. Тогда квазиравны группы Б + С и А . Следовательно, t(Б + С) = t(А).

Обратно, предположим, что t(Б + С) = t(А). Тогда группы Б + С и А квазиравны. Более точно, Б + С = пА для некоторого натурального числа п . Теперь несложно построить эпиморфизм Б © С ^ А . Пусть ф: Б © С ^ Б + С - сумма некоторых изоморфизмов Б = Б и С = С. Затем возьмем изоморфизм у: пА ^ А , у: па ^ а . Композиция уф будет эпиморфизмом Б © С ^ А .

Итак, существование эпиморфизма Б © С ^ А равносильно равенству t(Б + С) = t(А), если считать Б и С подгруппами в А .

Следующий простой факт можно вывести из теоремы 1.4 [6], содержащей описание факторгрупп группы без кручения ранга 1.

Лемма 2 [6, § 1, упр. 1.6]. Если Б и С - подгруппы группы без кручения А ранга 1, то t(Б + С) = 8ир{(Б), t(С)} .

Эта лемма вместе с предыдущими рассуждениями приводит к такому результату.

Следствие 3. Пусть А , Б, С - группы без кручения ранга 1, причем t (Б) < t (А) и t (С) < t (А). Тогда существование эпиморфизма Б © С ^ А равносильно справедливости равенства 8ир^(Б), t(С)} = t(А).

Отметим, что лемму 2 и следствие 3 можно распространить на любое конечное множество подгрупп группы без кручения ранга 1 [6, §1, упражнение 1.6].

С помощью следствия 3 теперь можно легко строить нехопфовы вполне разложимые группы без кручения, все однородные компоненты которых имеют конечный ранг. Именно, можно выбрать группы А1(1), А2;1), А22) без кручения ранга 1 так, что существует эпиморфизм А2;1) © А22) ^ А1(1). Затем выбираем группы А3(1) и А3(2), А3(3) и А3(4) , для которых имеются эпиморфизмы А^(1) © а32) ^ А, А33) © Д34) ^ А22). Далее повторяем аналогичные построения для каждой из групп А3 , А3 , А3 , А3 и! т. д,.

Пусть А обозначает прямую сумму

А1(1) © (А2;1} © А ) © (А3(1) © А3(2) © А3(3) © А3(4) )©... всех построенных указанным способом групп А1), і, 1 є N . Отображение, переводящее группу А(1) в ноль, совпадающее на А221) © а22) с каким-то эпиморфизмом А221) © а22) А1(1) , на А^1) © а32) с каким-то эпиморфизмом А^1) © А^2) ^ А« и т. д., будет эпиморфизмом, но не автоморфизмом группы А . Поэтому А - не-хопфова группа.

Группу А можно изобразить в виде дерева:

Положив, в частности, t(Aj(1)) = [(1, 1,1,1, )], t^A^^ [(1, 0,1,0, )], t() =

= [(0, 1, 0,1, _)] и т. д., получим конкретный пример нехопфовой вполне разложимой группы без кручения.

Очевидно, что существуют и более сложно устроенные нехопфовы вполне разложимые группы. В вершинах соответствующих деревьев, изображающих такие группы, могут находиться прямые суммы каких-то групп ранга 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кайгородов Е.В. Хопфовы абелевы группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2 (18). С. 5-12.

2. Кайгородов Е.В. О двух классах хопфовых абелевых групп // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 2 (22). С. 22-33.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы: в 2 т. М.: Мир, 1977. Т. 2. 417 с.

4. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006. 512 с.

5. КурошА.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1973. 400 с.

6. Arnold David M. Finite Rank Torsion Free Abelian Groups and Rings. Lecture Notes in Mathematics. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 1982.

Статья поступила 07.06.2013 г.

Kaygorodov E.V. HOPFIAN COMPLETELY DECOMPOSABLE TORSION-FREE GROUPS. The paper is devoted to the study of the property of Hopficity in a well-known class of Abelian groups - completely decomposable groups. An example of a non-Hopfian completely decomposable torsion-free group is presented.

Keywords: Abelian group, Hopfian group, completely decomposable group, homogeneous group, torsion-free group.

KAYGORODOV Evgeniy Vladimirovich

E-mail: gazetaintegral@gmail.com