Синтез адаптивного наблюдателя для хаотической системы Дуффинга

СИНТЕЗ АДАПТИВНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ ДЛЯ ХАОТИЧЕСКОИ

СИСТЕМЫ ДУФФИНГА

С.В. Арановский, Н.А. Николаев Научный руководитель - д.т.н., профессор А.А. Бобцов

С использованием процедуры синтеза адаптивного наблюдателя для хаотической системы Дуффинга решается задача восстановления неизвестного закодированного параметра. Данная задача, в отличие от известных аналогов, решается только по измерениям выходного сигнала хаотической системы, а также в условиях полной параметрической неопределенности.

1. Введение

Проблема построения адаптивных наблюдателей для нелинейных динамических систем находится в центре внимания в течение последних лет. Одна из причин подобного интереса состоит в возможности применения адаптивных наблюдателей для кодирования и передачи информации. Это одно из новых направлений передачи данных, когда информация кодируется в параметрах динамической системы «передатчика». Сигнал выхода этой системы передается «приемнику», в задачу которого входит восстановление неизмеряемых сигналов «передатчика» и параметров модели «передатчика». Структурная схема подобной системы приведена на рис. 1, где в - вектор параметров модели системы «передатчика», кодирующий передаваемую информацию; y -

передаваемый по каналу связи выход «передатчика»; в - оценка вектора в, вырабатываемая приемником.

Рис. 1. Структурная схема системы передачи данных

Особенно перспективным представляется использование хаотических динамических систем в качестве моделей «передатчиков», так как сигнал выхода хаотической системы, с одной стороны, имеет широкий частотный диапазон, а с другой стороны, решения подобных систем демонстрируют слабую зависимость от начальных условий, что повышает защищенность системы от несанкционированного восстановления информационной составляющей сигнала. В этом случае в задачу «приемника» входит построение адаптивного наблюдателя хаотической системы [1].

Для синтеза адаптивных наблюдателей обычно используется несколько групп методов [2, 3], большинство из которых основываются на возможности пассификации обратной связью модели системы «передатчика» в предположении, что эта модель имеет нулевую или единичную относительную степень. Другие решения предполагают доступность для измерения всего вектора состояния системы «передатчика» [4, 5]. В статье [6] было предложено решение, позволяющее синтезировать адаптивные наблюдатели для моделей «передатчика», имеющих высокую (выше единичной) относительную степень и не допускающих пассификацию обратной связью по выходу. Эти результаты основаны на использовании новой канонической формы нелинейных адаптивных наблюдателей, предложенной в [6].

Результат работы [6] был усилен в [7-9], где рассматривалась задача построения адаптивных наблюдателей по части переменных для неавтономных нелинейных динамических систем. Использование внешнего возбуждающего сигнала является одним из подходов к созданию хаотических режимов движения в нелинейных системах. Приме-

рами таких систем являются модель Дуффинга и модель брюсселятора [9, 10], демонстрирующие хаотическое поведение только в присутствии соответствующего гармонического возмущения. Распространение классических результатов на задачу построения адаптивных наблюдателей для неавтономных систем, во-первых, позволяет существенно расширить класс допустимых моделей для системы «передатчика», а, во-вторых, увеличивает защищенность системы от несанкционированного доступа.

В данной статье рассматривается задача синтеза адаптивного наблюдателя для хаотических сигналов, генерируемых хаотической системой Дуффинга. Суть этой задачи связана с выделением из хаотического сигнала полезной информации, передаваемой по каналу связи. В отличие от известных результатов (см., например, [9]), в данной статье будет рассмотрена задача синтеза наблюдателя только по измерению выходной переменной хаотического сигнала при полной параметрической неопределенности его модели.

2. Постановка задачи

Рассмотрим хаотическую систему Дуффинга, описываемую уравнением вида

у

— 3

где С1, С2 и 0 - неизвестные числа, нелинейная функция /(у) = у , м>{г) = А sin(шг + ф) - неизмеримый гармонический сигнал.

Ставится задача синтеза наблюдателя, обеспечивающего восстановление неизвестного параметра 0 модели (1) (см., например, [9]).

Будем допускать, что измеряется только выходная переменная у (г) модели (1).

Также предполагается, что параметры хаотической системы (1) с^, с2, 0 , А, ш и ф являются неизвестными числами.

3. Синтез адаптивного наблюдателя

Для вывода основного результата перепишем модель (1) следующим образом:

у( г) = 1

а{ р)

0у3 + ^

где полином а(р) = р 2 + с1 р + с2 и р = ё / ёг.

Переходя к изображениям Лапласа, для уравнения (2) имеем

ад = -----,

5 + С^ + С2 Я + С^ + С2 Я + СцЯ + С2

где я - комплексная переменная, У (я ) = ь{у(г)}, ¥ ( я) = ь{/ (у(г))}, Ж (я) = ь{м(г)} -образы Лапласа, соответственно, функций у(г), / (у(г)) и ^(г), полином Б( я) обозначает сумму всех членов, содержащих ненулевые начальные условия. Преобразуем модель (3) следующим образом:

У(Я) = „ 0¥+ , +

222 Я + С\Я + С 2 Я + С\Я + С 2 Я + С\Я + С 2

( я +1)2 У ( Я) = а\ (Я)У (Я) + 0¥ ( Я) + Ж (Я) + ,

откуда

(я +1)2 (Я +1)2 (Я + 1)2 (Я + 1)2

2 2

где полиномы a^(s) = (s +1) - a(s) и a(s) = s + c^s + C2. Из уравнения (4) имеем

y (t) = -^^т y(t)+—y3 (t) +—^T w(t) + (p+1)2 (p+1)2 (p+1)2

где /(у) = у3 и (;) = Ь 1 ] ^ - экспоненциально затухающая функция време-

У [ (5 + 1)2

ни, определяемая ненулевыми начальными условиями.

_1] ОД

Пренебрегая экспоненциально затухающим слагаемым еу (;) = Ь

> + 1)2

произведем параметризацию модели (5). Для этого рассмотрим вспомогательные фильтры вида

Ш(;)=—у(;),

6(t) =

(Р +1) 1

2

ч2

y 3(t).

(р + 1У

Подставляя (6) и (7) в уравнение (5), получаем у(;) = а1( рШ;) + ^2(/) + и (;),

где функция и (;) =-1—— ) . Из уравнения (8) имеем

(Р +1)2

у(;) = 8($) + и (;), _

где функция 8

Шх(о=у(;)=т+-

(Р +1)'

(Р +1)'

1

w (t),

2

откуда

1

-w (t) = £(t)-

1

(Р +1)2 (Р +1)2

Поскольку сигнал ) = А 8т(; + ф), то в силу гурвицевости полинома (р +1) функцию и (;) можно представить следующим образом: и (;) = & б1П(; + <),

2_ 2 _

р и(;) = _от б1п(; + <) = 0и(;),

где 0 = _о>2.

Запишем последнее уравнение следующим образом:

(р +1)2 и (;) = р 2 и (;) + 2 ри (;) + и (;) = = 0 и (;) + 2 ри (;) + и (;) = (2 р +1) и (;) + 0и (;),

(р +1)2 и (;) = (2 р +1) и (;) + 0 и (;).

Поскольку и( ;) = у(;) _ 5(;), то

(р +1)2 (у( ;) _ 3(;)) = (2 р +1)( у( ;) _ 3(;)) + 0(у (;) _ 5(;)) =

= (Р + 1У

(2 р +1) (Р +1)2

(y( t) -S(t)) +

в

(Р +1)2

-

Из последнего уравнения получаем

* (г) = (у(г) -5(г)) =

(2 р + щ + ё^ + (-5(г)) + -

ё

(2 р +1 + 0)^1 + (-5(1)) + -ёт

(р +1)2 (р +1)2

(р + Г

[(2 р +1 + 0)^1 -5(г) + 5(г)],

где функция

(р + 1Г

5(г) 5(0 = р

2

(р +1)2

5( г) -

ё

(р + 1У

5( г) =

2 2 — р а!<р»й(,)-^Щ.ш-

ёё

(р+1)^

-&(г).

(р+1Г (р+1) (р+1)'

Проведем преобразования модели (11):

(г) + 5( г) = ^( г) + 5(г) - 2^ ( г) - £ ( г) = у( г) - 2^ ( г) - £ ( г).

Обозначим

z(t) = (г) + 5( г) = у( г) - 2^ (г) - £ ( г),

где в силу измеримости сигналов у(г), г) и ¿&\(г) функция г(г) также измеряется. Подставляя в (14) уравнение (12), получаем

г(г) = ё^( г) +

р а1(р) (р +1)2

£х( г) -

ёа1( р) (р +1)2

£х( г) +

+ 6(0 --ё- &(г) =,

(р +1) г

2

= ё

1-

а1 (р) (р +1)2

(р+1)2

-^2 (г) -ёё-

(р +1)2

-&(г) +

+*(г).

Учитывая, что а^ (р) = а^ р + ао, имеем

ё

^ 2 „ Л

р + 2 р +1 - а\ р - ао

(р +1)2

Ш = ё-

(р +1)2

-£х(г) +

+ (2ё - а^ё)-

(р +1)2

-£(г) + (ё-а оё)-

(р +1)'

-£х(г),

22 р (а1 р + ао) , (г) = а р %1(г) = аг

- £(г) + а о 2

(р +1)2 (р +1)2 (р +1)2

Подставляя (16), (17) в уравнение (15), получаем

-6(г).

2

1

2

1

2

2 _ 2 _ 1

z(t) = (в + ao) — j-£(t) + в D—~(t) - вв--^2 (t) +

(p + 1)2 (p + 1)2 (p + 1)2

+ ai-^—т ä(t) + (2в - а^в) Р — £(t) + (Р +1)2 (Р +1)2

+

(Р +1)2 Из уравнения (18) имеем

z

где неизвестные параметры

в =в + a0, в2 =в, в3 = -вв, в4 = a1, в5 = 2в-a1в, в6 =

и известные функции

2 2 1

W\ (t) = —£ (t), ¥2 (t) ^2 (t) , ¥3 (t) =-2 ^2 (t) ,

(Р + 1)2 (Р + 1)2 (Р + 1)2

¥4(t) = -£—Г Ш, ¥5 (t) = -^гт, ¥б (t) = ^i(t).

(Р +1)2 (Р +1)2 (Р +1)2

Для оценки неизвестных параметров модели (19) будем использовать адаптивный наблюдатель вида

Z

вг = k,¥,

где постоянный коэффициент kj > 0, i = 1,6.

Легко показать, что адаптивный наблюдатель вида

lim|ei -ei

t I

4. Результаты моделирования

Произведем моделирование предлагаемой в статье схемы адаптивного восстановления неизвестного параметра в . Моделирования проводилось при следующих параметрах хаотической системы Дуффинга (1): q = -0,5 , C0 = 0, w(t) = 7sin(t) . Алгоритм настройки параметров имеет вид

^ = 18¥1(t)& -Z(t)), в2 = 14¥2(t)& -Z(t)), 0э = 14¥3(t)(j&1 -Z(t)),

^4 = 14¥4(t)& -Z(t)), в5 = 14¥5(t)(j&1 -Z(t)), вб = 14¥6(t)& -Z(t)). _

Результаты компьютерного моделирования для различных значений параметра в приведены на рис. 2-5. На рис. 2-3 приведены результаты моделирования для в = -0,5 . Из результатов моделирования видно, что ö2 ^ -0,5.

На рис. 4-5 приведены результаты моделирования при в = -0,75 . Из результатов моделирования видно, что ö2 ^ -0,75.

+ УЮ

д _I_I_I_I__I_I_I_I_

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Рис. 2. Результаты моделирования при ё = -о,5 . Фазовый портрет

л

Рис. 3. Результаты моделирования при ё = -о,5 . График функции 02 = 9

У

Рис. 4. Результаты моделирования при ё = -о,75. Фазовый портрет

1.2

О 50 100 150 200 250 300

Рис. 5. Результаты моделирования при в =-0,75. График функции 02 = 0

Таким образом, результаты моделирования иллюстрируют работоспособность предлагаемой схемы адаптивной оценки неизвестного параметра в модели Дуффинга вида (1).

5. Заключение

С использованием адаптивного наблюдателя вида (20), (21) для хаотической системы Дуффинга решена задача восстановления неизвестного закодированного параметра в . Данный результат, в отличие от известных аналогов, предусматривает измерение только выходного сигнала хаотической системы, а также позволяет находить неизвестный закодированный параметр в в условиях полной параметрической неопределенности модели (1).

Литература

1. Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. СПб: Наука, 2003.

2. Fradkov A.L., Nijmeijer H., Markov A. Adaptive observer-based synchronization for communications // Int. J. Bifurcations and Chaos. 1997. 10, 12, P. 2807-2814.

3. Markov A.Yu., Fradkov A.L. Adaptive synchronization of coupled chaotic system // Proc. Int. Conf. «Fractals and Chaos in Chemical Engineering», Rome, 1996, P. 153-154.

4. Fradkov A.L., Hill D. Exponential feedback passivity and stabilizability of nonlinear systems // Automatica, 1998, 6, P. 697-703.

5. Huijberts H., Nijmeijer H.,Willems R. System identification in communication with chaotic system // IEEE trans. Circ. Syst. - I. 2000. V. 47, P. 800-808.

6. Nikiforov V.O., Andrievsky B.R. Adaptive observers for nonlinear nonpassifiable systems with applications to signal transmittion // Proc. 41th IEEE Conf. Decision and Control, Las Vegas, 2002, 10-13 Dec.

7. Efimov D.V. Robust adaptive nonlinear partial observers for time-varying chaotic systems // Proc. IEEE CDC 2004, Atlantis, Paradise Island, Bahamas, 13-15 Dec.

8. Efimov D.V., Fradkov A.L. Adaptive partial observers with applications to time-varying chaotic systems // Proc. IUTAM symp. On chaotic dynamics and control of systems and processes in mechanics, Springer, 2005, P. 27-35.

9. Ефимов Д.В. Робастное и адаптивное управление нелинейными колебаниями. СПб: Наука, 2005.

10. Nikolis G., Prigogine I.R. Self-organization in non-equilibrium systems. Wiley, New York, 1977.