Оценка надежности плиты на линейно деформируемом основании с переменным в плане модулем деформации

УДК 624.04

О.В. Мкртычев, Е.С. Мясникова

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ ПЛИТЫ НА ЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМОМ ОСНОВАНИИ С ПЕРЕМЕННЫМ В ПЛАНЕ МОДУЛЕМ ДЕФОРМАЦИИ

Приведены результаты решения задачи о плите на линейно деформируемом основании, с переменной в плане жесткостью. Задача решена в вероятностной постановке. В результате получены эмпирические распределения максимальных вертикальных перемещений плиты и значений крена, что позволяет оценить надежность плиты.

Ключевые слова: линейно деформируемое основание, надежность, безопасность, вероятность отказа, эмпирическое распределение, грунт.

При расчете фундаментных конструкций в настоящее время основным является детерминированный подход к определению деформаций и напряжений в конструкции.

Характеристики прочности материалов и нагрузки имеют вероятностную природу, которую представляется важным учитывать, особенно, когда речь идет о таком материале, как грунт. Свойства грунта неодинаковы во всех точках, поэтому даже подробные результаты геологических испытаний не могут дать исчерпывающих сведений о прочностных и деформативных свойствах основания. Но эту проблему можно решить, приняв характеристики грунта случайными. Также для фундамента не столь критична равномерная осадка, как возникновение крена, которое приводит к дополнительным неучтенным напряжениям в конструкции.

Была решена задача о действии равномерно распределенной нагрузки на плиту конечной жесткости размерами 2а = 2Ь = 10 м (рис. 1) [1].

Рис. 1. Расчетная модель

Модуль деформации основания Е = 25 МПа; коэффициент Пуассона V = 0,3; удельное сцепление с = 3,4102 МПа; угол внутреннего трения ф = 23°; плотность р = 2 т/м3. Физико-механические свойства материала плиты: модуль упругости Е = 3-104 МПа; коэффициент Пуассона V = 0,2. Для решения задачи в вероятностной постановке случайными были приняты: модуль деформации основания с математическим ожиданием тЕ = 25 МПа и коэффициентом изменчивости vE = 0,2; равномерно распределенная нагрузка с математическим ожиданием т= 0,5 МПа и коэффициентом изменчивости V = 0,1. В аналогичных условиях находятся основания высотных зданий.

Распределение всех случайных величин принято нормальным.

© Мкртычев О.В., Мясникова Е С., 2012

29

ВЕСТНИК

5/2012

Параметры грунтового основания обладают большой изменчивостью в плане. Чтобы учесть это, разобьем основание на участки с различными значениями модуля деформации (рис. 2).

Рис. 2. Грунтовое основание с переменными в плане параметрами

Значение коэффициента корреляции, учитывающего взаимное влияние параметров на соседних участках, примем равным

ЕЕ(Е1г -т

г

)(Е2г - тЕг ) Р }

= 0,

%Ег .

''Е1 ''Е2

где р — вероятность того, что система примет значения Ег и Е2; тЕ — математические ожидания случайных величин; '— средние квадратические отклонения случайных величин.

Задача теории надежности была решена методом статистических испытаний. Было проведено 100 испытаний по схеме Бернулли. На рис. 3 показаны значения модуля деформации для каждого испытания.

48000

Y О

и

N

44000 40000 36000 32000 28000

О

2 24000 20000 16000 12000 8000

♦

4 * ♦ . ♦ »

V % *  * *

♦ ♦ ♦ # ♦

♦ * ... и ♦ ♦ —%-  1 ♦ ♦

♦ * / г ♦

* ♦

1

10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 12500 17500 22500 27500 32500 37500 42500 YOUNG1

Рис. 3. Облако реализаций случайных значений модуля деформации

30

КБИ 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 5

В результате были получены эмпирические распределения для значений максимального перемещения основания и значения крена (разницы между вертикальными перемещениями центров противоположных граней рассматриваемой плиты).

Аппроксимируем полученное эмпирическое распределение перемещений теоретическим. Для этого определим моменты полученного статистического распределения

по формулам

п

£ х* ; 1 т* = 1-=— = 20,96;

Ё( xi- щ

i=1

= 2,41,

п

* *

где тх — математическое ожидание случайной величины, см; — среднеквадрати-ческое отклонение случайной величины, см.

Аппроксимируем эмпирическое распределение несколькими теоретическими: нормальным распределением, распределением Гумбеля и распределением Вейбулла. для того чтобы определить вероятность того, что перемещения распределены по тому или иному закону, воспользуемся критерием Пирсона. Для наиболее подходящего нормального распределения значение критерия согласия %2 = 6,91, отсюда вероятность того, что перемещения распределены по нормальному закону Р = 0,999999987.

На рис. 4 показаны эмпирическое распределение и различные его аппроксимации теоретическими распределениями.

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

Максимальные прогибы плиты w, см

i ! i 1 lili Эмпирическое распределение Нормальное распределение Распределение Гумбеля Распределение Вейбулла

V

\

i i r Ü / -A í f - i 'l

] j \ s \

J \ \ \ \ lj..........

--it? •F / / i 1 1

Рис. 4. Аппроксимация распределения перемещений различными теоретическими распределениями

Аппроксимируем полученное эмпирическое распределение значений крена теоретическим. Для этого определим моменты полученного статистического распределения по формулам:

ВЕСТНИК

5/2012

* »—1 m* = 0,017;

n

П / \2 Z

1=1-= 2,13.

п

Для нормального распределения значение критерия согласия х2 -30,08, отсюда вероятность того, что значения крена распределены по нормальному закону Р = 0,0258.

Чтобы оценить надежность фундаментной конструкции, определим вероятность отказа основания.

За отказ примем: 1) превышение максимальным значением вертикальных перемещений предельного значения wпр = 20 см; 2) превышение значением крена предельного значения Aw -5 см.

Вероятность отказа в этом случае может быть найдена как = 1-^(х), где Е(х) — это значение функции распределения в искомой точке. Вероятность отказа по перемещениям Р/ -0,635, вероятность превышения значениями крена предельного значения 5 см Рг = 0,0187.

Использование вероятностных методов при расчете оснований позволяет количественно оценить надежность фундаментных конструкций и проектировать фундаменты с оптимальным соотношением прочности и экономичности.

Библиографический список

1. Мкртычев О.В., Мясникова Е.С. Надежность фундаментных конструкций на нелинейно деформируемом основании // Вестник МГСУ 2011. № 4. Т. 5.

2. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных расчетов на надежность. М. : Стройиздат,

1978.

3. Соболев Д.Н. Статистические модели упругого основания / Моск. инж.-строит. ин-т им. В.В. Куйбышева. М., 1973.

Поступила в редакцию в апреле 2012 г.

Об авторах: Мкртычев Олег Вартанович — доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, шЫу-chev@ya.ru;

Мясникова Елена Станиславовна — аспирантка кафедры сопротивления материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 6april@mail.ru.

Для цитирования: Мкртычев О.В., Мясникова Е.С. Оценка надежности плиты на линейно деформируемом основании, с переменным в плане модулем деформации // Вестник МГСУ 2012. № 5. С. 29—33.

O.V. Mkrtychev, E.S. Myasnikova

ASSESSMENT OF RELIABILITY OF THE FOUNDATION SLAB RESTING ON THE LINEARLY DEFORMABLE BED AND CHARACTERIZED BY THE MODULUS OF DEFORMATION VARIABLE IN X- AND Y-AXIS DIRECTIONS

In the proposed article, the behaviour of a foundation slab resting on the linearly deformable bed and characterized by the modulus of deformation variable in x- and y-axis directions is considered. The modulus of deformation and the load distribution are based on a regular pattern that features the following parameters: modulus of deformation mean mE=25IVPa coefficient of variation vE=0,2, load distribution mean m =0,5 MPa; coefficient of variation v =0,1. Correlation coefficients between

q ' ' q '

32

ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 5

As a result of the research, the authors have identified the empirical deflection to approximate the theoretical load distribution. The research has demonstrated that both deflection and slope values follow a regular load distribution pattern. If the deflection value exceeds 20 cm and the slope value exceeds 5cm, the structure fails. Therefore, the theory of probability may be applied to assess the probability of failure of any structure.

Key words: reliability, safety, probabilistic methods, failure probability, foundation, nonlinear foundation behaviour, soil.

References

1. Mkrtychev O.V., Myasnikova E.S. Nadezhnost' fundamentnykh konstruktsiy na nelineyno deformiruemom osnovanii [Reliability of Structures of Foundations Resting on the Nonlinearly Deformable Bedding]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 4.

2. Rzhanitsyn A.R. Teoriya rascheta stroitel'nykh raschetov na nadezhnost' [Theory of Structural Analysis in terms of Reliability]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1978.

3. Sobolev D.N. Statisticheskie modeli uprugogo osnovaniya [Statistical Models of the Elastic Bedding]. Moscow, Moscow Institute of Civil Engineering named after V.V. Kuybyshev, 1973.

About the authors: Mkrtychev Oleg Vartanovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; mkrtychev@ya.ru;

Myasnikova Elena Stanislavovna — postgraduate student, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation, 6april@mail.ru.

For citation: Mkrtychev O.V., Myasnikova E.S. Otsenka nadezhnosti plity na lineyno deformiruemom osnovanii, s peremennym v plane modulem deformatsii [Assessment of Reliability of the Foundation Slab Resting on the Linearly Deformable Bed and Characterized by the Modulus of Deformation Variable in X- and Y-axis Directions]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 5, pp. 29—33.