Постньютоновские орбитальные эффекты в движении близких спутников Юпитера

УДК 521.1

Т. С. Бороненко

ПОСТНЬЮТОНОВСКИЕ ОРБИТАЛЬНЫЕ эФФЕКТЫ В ДВИЖЕНИИ БЛИЗКИХ СПУТНИКОВ ЮПИТЕРА

Делается оценка постньютоновских релятивистских эффектов в движении близких спутников Юпитера: Амальтеи J5, Тебы Л4, Адрастеи J5 и Метиса Л6. На примере пятого спутника Юпитера Амальтеи изучается вопрос о возможности отделения релятивистских поправок от больших по величине возмущений ньютоновой гравитации. Рассматриваются основные трудности, связанные с экспериментальной проверкой небесномеханических эффектов общей теории относительности для рассматриваемых объектов.

Ключевые слова: небесная механика, теория возмущений, релятивистские эффекты, спутники Юпитера.

Введение

В настоящее время в связи с совершенствованием наблюдательной техники и повышающейся точностью наблюдений тел Солнечной системы возникает необходимость в построении таких теорий их движения, которые бы учитывали всю необходимую совокупность возмущающих факторов, в том числе и релятивистские эффекты. Известно [1—3], что в системах отсчета планет-гигантов релятивистские вековые эффекты в движении внутренних спутников, обусловленные шварцшиль-довским смещением перицентра орбиты спутника и собственным вращением планеты, достигают значительных величин. Следует отметить, что из-за большой удаленности точность современных наземных наблюдений еще недостаточна для непосредственного обнаружения релятивистских эффектов в движении этих объектов. Однако представляется возможным проявление таких возмущений при построении теорий движения указанных спутников. Например, в аналитических теориях [4-6] закон движения спутника обычно представляется в системе отсчета планеты и поэтому, если не принять во внимание столь значительное смещение перицентров, которые имеют рассматриваемые спутники, то это может сказаться на прогнозировании их движения на больших временных отрезках.

В данной работе предпринимается попытка оценки возмущений в вековых движениях перицентров орбит близких спутников Юпитера, а также возможные пути экспериментальной проверки постньютоновских эффектов вблизи Юпитера. Гравитационные поля планет-гигантов являются прекрасными лабораториями для измерения эффектов общей теории относительности. Это объясняется тем, что окрестности этих планет не являются слишком горячими, как это наблюдается для окрестностей Солнца, солнечный ветер не столь интенсивен и гравитационные поля значительно мощнее гравитационного поля Земли. Исследование орбитальных возмущений можно проводить на примере естественных спутников и космических аппаратов. Трудности, связанные с ис-

пользованием естественных спутников, можно разделить на два класса. Во-первых, сложно определить из наблюдений с Земли элементы орбит рассматриваемых спутников с достаточной точностью. Это объясняется близостью яркой планеты. Во-вторых, достаточно трудно отделить релятивистские эффекты от больших по величине возмущений ньютоновой гравитации, которые максимально проявляются в плоскости экватора Юпитера, вблизи которой и лежат орбиты спутников. Элементы орбит космических аппаратов отличаются большим разнообразием, но в процессе моделирования их траекторий необходимо учитывать возмущения негравитационного характера, такие как влияние солнечного ветра и радиационного давления.

1. Постньютоновские эффекты в движении близких спутников Юпитера

Согласно оценкам, сделанным в работах [1-3], наибольшие релятивистские эффекты возможны для внутренних спутников Юпитера. Это Амальтея J5, Теба J14, Адрастея J5, Метис J16. Амальтея J5 является наиболее известным спутником, который был открыт Е. Е. Барнардом в 1892 году [7]. Теба J14, Адрастея J5 и Метис J16 были открыты межпланетными аппаратами Voyager в 1979 году [8]. Из табл. 1 видно, что спутники движутся по почти круговым орбитам в плоскостях, близких к экваториальной плоскости Юпитера. Из-за чрезвычайной близости к планете движение этих спутников главным образом подчинено мощному гравитационному полю Юпитера. Вследствие этого орбитальные периоды спутников малы и лежат в пределах 0.30.7 сут.

Таблица 1

Параметр орбит Метис J16 Адрастея J15 Амальтея J5 Теба J14

Большие полуоси в км 127969 128 980 181300 221895

Периоды обращения вокруг Юпитера (сут) 0.294779 0.298260 0.498179 0.674536

Наклоны орбит к плоскости экватора Юпитера (0 0.0000° 0.0000° 0.04° 1.0659°

Эксцентриситеты орбит (е) 0.0000 0.0000 0.003 0.015

Постньютоновское (ПН) смещение перицентров орбит спутников может быть представлено так [2]:

Таблица 2

иг =

И =

ЦП

(2 + ly-P),

a

Й (ОТО) Метис J16 Адрастея J15 Амальтея J5 Теба J14

ЙГ ("/за 100 лет) 5 286.64 5 283.65 2 212.85 1 335.57

ЯГ ("/за год) 52.8664 52.8365 22.1285 13.3557

В (1) ш =№ + 0 - долгота перицентра орбиты спутника (рис. 1), со - аргумент перицентра, О -долгота восходящего узла орбиты спутника, л -гравитационный радиус (для Юпитера Л = 0.00140985 км), д = Gm, G - гравитационная постоянная Ньютона, т - масса Юпитера, с - скорость света, а и е - большая полуось и эксцентриситет орбиты спутника, п - среднее движение (средняя угловая скорость) спутника, у и Ь - параметры параметризованного ПН формализма [2]. В общей теории относительности (ОТО) у = 1.

Р = 1.

Теоретически вычисленные релятивистские смещения перицентров для внутренних спутников Юпитера имеют значительные величины. Существует ряд причин, по которым эти эффекты трудно определить из наблюдений. Одна из них состоит в том, что орбиты спутников недостаточно точно определены. Но существует прогресс в этом направлении. В 2006 г. орбита Амальтеи была уточнена непосредственным измерением ее элементов космическим аппаратом New Horizons (NASA) во время его маневра вблизи Юпитера. Оценивается также возможность определения параметров у и b с помощью космических аппаратов [2, 7].

Изучим, насколько ощутимым является влияние ПН ускорения на элементы орбит близких спутников Юпитера. Рассмотрим модельный пример, когда возмущающие факторы теории Ньютона отсутствуют.

Векторное уравнение движения спутника представляем в виде

r = Fk + Fe ,

где часть

Fk =-^t r, Mi= Gm r

определяет кеплеровское движение теории Ньютона.

Frel =

(іу+ір)) — уї'

, ч

+ ^

Рис. 1. Элементы орбиты спутника

Размерность т определяется только параметром п. Для почти круговых орбит можно положить е = 0, а = гср, где гср - средний радиус орбиты спутника. В этом случае по формуле (1) фактически вычисляется вековое смещение средней долготы спутника в эпоху.

Численные значения т для четырех внутренних спутников Юпитера представлены в табл. 2.

Релятивистские эффекты, вызванные собственным вращением планеты, приблизительно на порядок меньше и в данной работе не рассматриваются.

- возмущающая часть силовой функции в данном случае является ПН ускорением.

Таким образом, релятивистские эффекты в ПН приближении входят в виде небольших поправок в правые части уравнений, описывающих кеплеров-ское движение. Величина этих поправок определяется малым параметром ¡л.

Как видно из структуры правой части уравнения

и модель М(Рел) - движение в соответствии с уравнениями (2).

Численное интегрирование уравнений (2) и (5) выполнялось в планетоцентрической прямоугольной системе координат (основная плоскость - плоскость эклиптики). Начальные координаты и скорости, а также значения всех констант взяты на

сайте эфемеридной службы ГАИШ [8]. Для более наглядного представления ПН влияния на ускорение спутника модель М(Рел) запускается на одну секунду позже.

Рис. 2. Метис: самый близкий спутник. Изменение расстояний между объектами М

На рис. 2 видим, что начальная скорость частицы М(К) около 30 км/с. Частица М(Рел) сближается с частицей М(К) приблизительно через 174 сут.

Рис. 4. Адрастея: второй по удаленности спутник. Влияние ПН эффектов на эксцентриситет орбиты на промежутке времени^=10сут

Рис. 5. Амальтея: третий по удаленности спутник. Влияние ПН эффектов на эксцентриситет орбиты на промежутке времени^=10сут

Рис. 3. Амальтея: третий по удаленности от Юпитера спутник.

Изменение расстояний между объектами М

Для Амальтеи получились следующие результаты. Начальная скорость частицы М(К) около 26 км/с. Частица М(Рел) сближается с частицей М(К) приблизительно через 243 сут.

Рассмотренный метод может быть полезен для теоретической оценки влияния тех или иных возмущающих факторов на орбиту исследуемого объекта.

Влияние ПН эффектов на такие элементы орбиты, как большая полуось (а), эксцентриситет (е) и наклон орбиты к плоскости экватора планеты, незначительно. Это только периодические колебания. Но характер возмущений различен для разных спутников. Приведем в качестве примера несколько графиков.

Рис. 6. Теба: самый удаленный спутник из этой группы.

Влияние ПН эффектов на эксцентриситет орбиты на промежутке времени At = 10 сут

2. Вековые возмущения в движении V спутника Юпитера Амальтеи

Одной и основных трудностей экспериментальной проверки ПН эффектов в движении внутренних спутников Юпитера является наличие больших по величине возмущений ньютоновой гравитации. На примере пятого спутника Юпитера Амальтеи рассмотрим возможные способы отделения ПН эффектов от ньютоновских возмущений. Орбита этого спутника наблюдается на протяжении более ста лет и изучена лучше, чем орбиты других близких спутников [9, 10]. Поэтому рассмотрим подробнее именно этот объект.

Сделаем оценку возмущающих факторов в движении Амальтеи. Конкретно будем определять вклады в средние движения перицентра и узла со стороны различных возмущений. Основное возмущение орбиты Амальтеи вызывается сжатием Юпитера и составляет примерно 0.3-10—2 от ускорения центрального тела. Вековые движения перицентра и узла, обусловленные сжатием планеты были сначала найдены из известных [11, 12] аналитических соотношений, определяющих вековые движения линии апсид и линии узлов, в которых отброшены члены, содержащие в качестве сомножителей е1 и sin2 i:

dn f3 J2 R2

= ns

dt s 12 2 a2

d Q ' 3 J R1

= -n

dt s 12 2 a2

R

15 4 '

4

R

4 4

a

4 Л

R

4

44

а

27 г2 R4 15 8 2 а4 4 ^

где J2 = 14 736-10-6 и J4 = -587-10-6 коэффициенты гравитационного поля Юпитера [13], R = 71 398 км

- экваториальный радиус Юпитера, а - большая полуось орбиты спутника, п - сидерическое среднее движение спутника, определяемое третьим законом Кеплера

GM = о’п].

Здесь М - масса системы Юпитера (масса Юпитера плюс массы всех спутников). ОМ = 12 671 276.1 км3/с2. Из (8) для Амальтеи получаем п,=722°.220945 за сутки = 9 496 483 209” за 100 лет. Вычисления по формулам (6), (7) дали следующие результаты:

ЙП

— = 330 019 986". 0 за 100 лет,

Й

=-328 898 257". 7 за 100 лет.

&

Далее определялись возмущения в движении перицентра и узла от галилеевых спутников Юпитера. При этом были использованы известные формулы для вековых планетных возмущений [1]

dp 1 2 г 1 / \

— = — mna a c3(a), dt 4 s 3

= — mnsa2 a 'c3(a),

Возмущения в движениях узлов не приведены, так как они имеют такую же величину, как и в движениях перицентров, но с противоположными знаками. Возмущение от Солнца было определено по следующим формулам [9]:

dp 3 n!2

— =-------------------------(1 + M '),

dt 4 ns

dQ 3 n2 ,

-------=---------------------(1 + M ).

dt 4 n.

1

Л 4

где а' - большая полуось орбиты возмущающего

спутника, с« - коэффициент Лапласа, а = аа^,

т - масса возмущающего спутника, отнесенная к массе системы Юпитера. После вычисления были получены следующие оценки:

1. Возмущения от Ио

Ип

— = 195774".98 за 100 лет.

И

2. Возмущения от Европы

— =20 469" .15 за 100 лет.

3. Возмущение от Ганимеда

=14 277".0 за 100 лет.

4. Возмущение от Каллисто

— = 1834" .01 за 100 лет.

Здесь n' - среднее движение Солнца, M' -масса системы Юпитера, выраженная в солнечной массе. В результате вычислений было получено

dn

— = 973 ".75 за 100 лет, dt

— = -973 ".75 за 100 лет. dt

Суммарное ньютоновское возмущение в движении перицентра от несферичности Юпитера, галилеевых спутников и Солнца определяется следующей величиной:

dn

— =330 253 285".3 за 100 лет.

dt En

Наблюдаемое смещение перицентра [14]

dn

— =330 264 001". 0

dt

Разность (15) и (16) составляет следующую величину:

Д —=10 715" .7. dt

Аналогичное суммарное возмущение в движении узла имеет значение

— =-329 146 704".2 за 100 лет.

dt En

Наблюдаемое вековое движение узла есть [9]

— =-329 155 202". 2

dt

и д ^ = -8497" .8. dt

При сопоставлении вычисленных значений вековых возмущений с наблюдаемыми для движения узла было использовано улучшенное Sudbury значение этого элемента.

Далее вычисления проводились по более точным формулам. В соотношениях (6) и (7) были сохранены вторые степени эксцентриситета и функций наклона, а в соотношениях (11), (12) соответ-

ственно четвертые степени этих величин. Результат получился следующий:

A dn = 4356'' .7, А — = -645" .8. dt dt

Введение более высоких степеней эксцентриситетов и функций наклонов в указанные выше соотношения приводит к изменению результатов в пределах 100 ". По-видимому, для получения более точных результатов необходимо добавить в соотношения (6), (7) более высокие степени коэффициентов У2 и гравитационного поля Юпитера, а также коэффициент

Заключение

В работе изучены различные подходы к определению ПН эффектов в движении внутренних спутников Юпитера. Предложен метод, являющийся одним из возможных способов визуализации релятивистских эффектов в движении различных небесных тел. Следует заметить, что речь в данном случае идет о вычислении таких эффектов для различных теоретических моделей, когда предполагается, что принимаемая нами теория гравитации является правильной.

Релятивистские поправки в движении внутренних спутников Юпитера достаточно большие. Они имеют такой же порядок, что и возмущения от Солнца. Точность современных оптических наблюдений внутренних спутников Юпитера пока недостаточна для непосредственного обнаружения этих эффектов. Существенный прогресс в данном вопросе может быть достигнут только с помощью специальных программ наблюдений внутренних спутников Юпитера с бортов КА.

На примере пятого спутника Юпитера Амальтеи рассмотрена возможность отделения релятивистских эффектов от больших по величине возмущений ньютоновой гравитации, которые максимально проявляются в плоскости экватора Юпитера, вблизи которой и лежат орбиты спутников. Оказалось, что даже сравнительно приближенные вычисления, основанные на имеющихся в настоящее время наблюдениях, дают по порядку величин то смещение перицентра спутника, которое предсказывается ПН формализмом. Для более точных вычислений такого рода необходимо знание более точных значений коэффициентов гравитационного поля Юпитера, что можно сделать только с помощью программ, реализуемых космическими аппаратами.

Список литературы

Брумберг В. А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 382 с.

Hiscock W. A., Lindblom L. Post-Newtonian effects on satellite orbit near Jupiter and Saturn // The Astrophys. J. 1979. 231. P. 224-228. Бороненко Т. С. Вековые возмущения в движении V и XIV спутников Юпитера // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: докл. III Всерос. науч. конф. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. С. 65-66.

Boronenko T S., Shmidt Ju. B. Analitical theory of motion of Phoebe, the Ninth satellite of Saturn // Celest. Mech. and Dynamic. Astr. 1990. Vol. 48. P. 289-298.

Бороненко Т. С. Об использовании динамических уравнений Пфаффа в методе преобразований Ли // Вестн. Томского гос. пед. ун-та (Tomsk State Pedagogical University Bulletin). 2011. Вып. 5 (107). С. 11-17.

Boronenko T S. The use of modified Hill's variables in the method of averaging // Ibid. Issue 8 (110). P. 53-56.

Anderson J. D., Armstrong J. W., Campbell J. K., Estabrook F. B. et al. Gravitation and Celestial mechanics investigation with Galileo // Space Sci. Rev. 1991. Vol. 60. P. 591-610.

URL: http://lnfm1.sai.msu.ru/neb/nss/index.htm

Sudbury P. V. The motion of Jupiter's fifth satellite // Icarus. 1969. Vol. 10. P. 116-143.

10. Synnott S. P. Orbits of small inner satellites of Jupiter // Icarus. 1984. Vol. 58. № 2. P. 178.

11. Brouwer D., Clemence G. M. Methods of celestial mechanics. New York: Academic Press, 1961. P. 514.

12. Бордовицына Т. В., Быкова Л. Е., Бороненко Т. С. Тамаров В. А. и др. Численные и полуаналитические алгоритмы прогнозирования движения ИСЗ. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 156 с.

13. Campbell J. K., Synnott S. P. Gravity field of the Jovian system from Pioneer and Voyager tracking data // The Astrophys. J. 1985. Vol. 90. № 2. P. 364-372.

14. Struve J. // Sitz. Preuss. Akad. Der Wissencheften. Berlin, 1906. Vol. 44. P. 790.

9.

Бороненко Т. С., кандидат физико-математических наук, доцент, доцент.

Томский государственный педагогический университет.

Ул. Киевская, 60, Томск, Россия, 634061.

E-mail: boron@tspu.edu.ru

Материал поступил в редакцию 14.05.2012.

T. S. Boronenko

POST-NEWTONIAN EFFECTS IN THE MOTION OF THE INNERMOST JUPITER’S SATELLITES

In the present paper the possibility of measuring general relativistic effects on the orbits of the inner Jupiter’s satellites are discussed. We consider for Amalthea J5 the question if the PN components of orbital precession can be isolated from the far larger Newtonian precession. The results of several numerical simulations have shown that all larger contributions of Newtonian perturbations can be modeled and subtracted out.

Key words: celestial mechanics, perturbation theory, satellites dynamics, relativistic effects, Jupiter’s satellites.

Tomsk State Pedagogical University.

Ul. Kievskaya, Tomsk, 60, Russia, 634061.

E-mail: boron@tspu.edu.ru