Анализ сходимости модифицированного итерационного метода решения систем линейных алгебраических уравнений

О.М Булгаков,

доктор технических наук, профессор

М.Ю. Пакляченко

АНАЛИЗ СХОДИМОСТИ МОДИФИЦИРОВАННОГО ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

TREATMENT OF ITERATIVE METHOD OF COMBINED LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS CONVERGENCE SOLUTION

В статье затрагиваются вопросы сходимости итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Обобщаются полученные экспериментальным путем данные по исследованию сходимости модифицированного итерационного метода решения СЛАУ, описывающих свойства многоканальных информационных систем, которые могут быть использованы при математическом моделировании сложных систем.

The article deals with the knowledge on iterative methods of combined linear algebraic equation convergence solution . The work summarizes obtained and experimental material on the analysis of modified iterative method of solution combined linear algebraic equation, describing multichannel systems characteristics, that can be applied for mathematical modelling the compound systems.

Применение аппарата численных методов при создании математических моделей многоканальных систем может быть основано на использовании системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в матрице коэффициентов которых диагональные элементы выражают характеристики канала, а все остальные элементы характеризуют количественные показатели взаимодействия каналов.

Для получения решения СЛАУ с необходимой точностью постановка задачи и условий решения должна быть корректной, а метод, применяемый для нахождения искомых величин системы, должен обладать устойчивостью и сходимостью [1].

Проведем исследование итерационного метода, предложенного в [2], на сходимость в зависимости от вида матрицы коэффициентов уравнений. При этом качественным показателем сходимости будет являться сам факт получения решения при заданной точности (е = 0,01), а количественным показателем будет число итераций KI, за которое решение попадает в окрестность точного решения, т.е. скорость решения, измеряемая в циклах итерационного алгоритма. Также следует учесть соблюдение достаточного условия сходимости метода простых итераций относительно погрешности округления (преобладание значений диагональных элементов) [3].

Сформируем симметричную матрицу системы M1 из элементов последовательности у(ц), убывающей по экспоненциальному закону:

Y = exp

По отношению к многоканальным системам значения элементов выборки можно интерпретировать как количественную характеристику межканального затухания — ослабления взаимодействия (взаимосвязи) между каналами, коэффициент ц в степени экспоненты играет роль декремента межканального затухания — величины ослабления

взаимодействия (взаимосвязи) между соседними каналами с номерами i и i+1; i=0...N — номер элемента последовательности (канала).

Матрица М1 симметричного вида характеризует выполнение принципа взаимности для любой пары каналов:

Из (1) следует, что при уменьшении декремента межканального затухания значения элементов выборки ряда возрастают:

.

При фиксированной размерности ряда (il = i' = i3 = const) отношение максимального значения элемента к минимальному, т.е разброс значений элементов выборки, который характеризует неоднородность, будет больше у ряда, моделирующего многоканальную систему с большим декрементом межканального затухания.

Зависимость скорости сходимости итерационного метода от декремента межканального затухания для матрицы коэффициентов фиксированного размера (N=10) носит экспоненциальный характер (рис. 1).

Из рис. 1 видно, что с увеличением неоднородности значений элементов выборки отдельного ряда (m1>>m2) скорость сходимости увеличивается.

Интересен характер зависимости скорости сходимости метода от размера NxN симметричной матрицы, т.е порядка СЛАУ(рис. 2).

Как видно из графиков, приведенных на рис. 2, характер сходимость метода при ц=0,01 значительно отличается от скорости сходимости матриц с большей неоднородностью элементов.

0.5 1

Рис. 1. Зависимость количества итераций от декремента межканального затухания

Рис. 2. Зависимость скорости сходимости итерационного алгоритма от порядка N = 3...100 системы линейных алгебраических уравнений при различных значениях декремента межканального затухания ц = 0,01; 0,1; 0,5 ;0,8; 1; 1,5

При малых размерах матрицы для любых значений ц из рассмотренного диапазона [0,01; 1,5] наблюдается нестабильность сходимости. С увеличением неоднородности значений элементов первой строки и увеличением размерности симметричной матрицы наблюдается улучшение сходимости итерационного алгоритма, выражающееся в уменьшении числа итераций К1, в свою очередь, сходящегося к некоторому предельному значению К1пред. Существует минимально достаточный размер матрицы Nmin — размер, начиная с которого при заданной неоднородности т соседних значений в строке величина К1 не возрастает (рис. 3).

N

Рис. 3. Зависимость предельного значения итераций от неоднородности коэффициентов

и размера симметричной матрицы

Выполним формирование несимметричной матрицы М2 (рис. 4) на основе элементов последовательностей уг(цг) и у1(щ), убывающих по экспоненциальному закону (1).

Условие

М1; Ф М}1

свидетельствует о нарушении принципа взаимности в моделях межканального взаимодействия, обусловленного, например, установлением приоритетов в направленности информационных потоков.

Применительно к транспортным задачам условие (4) может иллюстрироваться примером двух магистралей, соединенных проездами, из которых часть — однонаправленные, или двух сообщающихся трубопроводов, расположенных на одном уровне.

Рис. 4. Изображение распределения элементов первой строки несимметричной матрицы с разными декрементами межканального затухания для элементов

относительно главной диагонали

Матрица M2 будет иметь вид

М2

1 Уп Ул УгЗ ”г Ут

У] і 1 Уп Угі mm. У гп

У12 У] і 1 Уп ”Г :

Уі* Ун 1 Уп У ті .

У|П У\2 Уп 1 Уп

У\п Уп Ум Уп 1

Динамика сходимости в зависимости от размера матрицы (N=3.^100) для разных значений ц для правой части матрицы (относительно главной диагонали) при условии постоянства щ, определяющего значения элементов, стоящих слева от диагонали, показана на рис. 5.

Рис. 5. Зависимость скорости сходимости алгоритма от порядка N = 3...100 системы линейных алгебраических уравнений при различных значениях декремента межканаль-ного затухания ^ щ1 =1,5

Как видно из графиков, приведенных на рис. 5, характер сходимости метода при цг=0,01 значительно отличается от скорости сходимости несимметричных матриц с большей неоднородностью элементов. При малых N для любых значений ^ из рассмотренного диапазона [0,01; 1,5] наблюдается нестабильность скорости сходимости.

С увеличением неоднородности значений элементов строки и увеличением размера матрицы наблюдается улучшение скорости работы алгоритма, сходящегося к числу предельного количества итераций К1пред. Данная величина одинакова для матрицы, содержащей элементы разных последовательностей уг(цг) и у1(щ), независимо от их положения:

К1пред(М )= К1пред(М ’),

где

М =

1 Ун Ун Ун У та 1 Ун Ум Уїз УІП

Ун 1 Ун Уп У та Ун 1 Уп Ум Уіп

Уа Ун 1 Уг1 м  = Ун Уп 1 Уп ’ ’ ' Уы

У|П ’ т ' Ун 1 Ун Угг У та ЯШ-Ш Уп 1 Уп Ум

Уі, У\2 Ун 1 Уг1 У та Ун Ун 1 Уп

Уі. Ун Ун Уп 1 У та Ун Ун Ун 1

Характер зависимости скорости сходимости метода от минимально достаточного размера матрицы Нпю = 4...9 для разных пар ^ и ц (рис. 6) также представляет интерес.

Рис. 6. Гистограмма зависимости значений числа предельного количества итераций Кіпред от минимально достаточного размера матрицы Кш]п для различных пар ^ и щ

Так, для СЛАУ, содержащей значения декремента межканального затухания, равные 1,3 и 1,5, начиная с минимально достаточного размера матрицы Nmm, равного 4, скорость сходимости не будет превышать 5 итераций.

Из гистограммы видно, что матрицы со слабой неоднородностью обладают худшей сходимостью (большое К1пред). Высокая скорость сходимости свойственна матрицам малого размера и с высокой неоднородностью (рис. 7) .

Из графиков рис. 7 видно, что К1пред определяется в большей мере не комбинацией декрементов межканального затухания, а их значением: чем выше ц, тем скорее сходится метод.

Таким образом, исследование метода на сходимость решения для симметричных и несимметричных матриц, коэффициенты которых образуют убывающую последовательность относительно диагональных элементов, позволяет сделать следующие выводы.

В качестве характеристики (скорости) сходимости наиболее универсальным показателем является количество итераций при заданной относительной точности решения.

Ю

Рис.7. Зависимость сходимости итерационного алгоритма от минимально достаточного размера матрицы Nmin= 4..9 при различных комбинациях декремента межканального затухания для симметричных и несимметричных матриц

Показателем устойчивости является чувствительность метода к неоднородности коэффициентов матрицы, характеризующейся для экспоненциального закона формирования их последовательности, отражающего особенности межканального взаимодействия многоканальных систем, значением декремента межканального затухания.

При фиксированном размере матрицы увеличение неоднородности ее коэффициентов приводит к увеличению скорости сходимости. Это справедливо как для симметричных, так и для несимметричных матриц.

Возможно введение дополнительных характеристик сходимости: минимально достаточного размера матрицы Nmin — размера, начиная с которого при заданной неоднородности m соседних значений в строке величина KI не возрастает, и числа предельного количества итераций К1пред, к которому стремится функция KI (N) при m= const

С увеличением неоднородности значений элементов строки матрицы и увеличением ее размера наблюдается улучшение сходимости итерационного алгоритма, сходящегося к К1пред, которое одинаково для несимметричных матриц, независимо от положения элементов последовательностей с разным характером неоднородности. Это означает, что рассмотренная неоднородность в матрице обладает характером взаимности для исследуемого метода.

ЛИТЕРАТУРА

1. Пакляченко М.Ю. Применение итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений для анализа многоканальных систем обработки информации // Молодежный научно-исследовательский журнал. — 2013. — № 12 (19). — С.118—120.

2. Булгаков О.М., Пакляченко М.Ю. Итерационный способ и алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений // Вестник Воронежского института МВД России. — 2013. — № 4. — С. 236—241.

3. Демидович Б.П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1966. — 665 с.

REFERENCES

1. Paklyachenko M.Yu. Primenenie iteratsionnyih metodov resheniya sistem lineynyih algebraicheskih uravneniy dlya analiza mnogokanalnyih sistem obrabotki informatsii // Molodezhnyiy nauchno-issledovatelskiy zhurnal. — 2013. — N 12 (19). — S.118—120.

2. Bulgakov O.M., Paklyachenko M.Yu. Iteratsionnyiy sposob i algoritm resheniya sistem lineynyih algebraicheskih uravneniy // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. — 2013. — N 4. — S. 236—241.

3. Demidovich B.P., Maron I.A. Osnovyi vyichislitelnoy matematiki — M.: Nauka, 1966. — 665 s.