Об аппроксимации факторов дифференциальной модели социально-экономической системы

УДК 338.27 ОБ АППРОКСИМАЦИИ ФАКТОРОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Сиротина Н.А., Янченко Т.В., Затонский А.В.

Целью работы является исследование применимости различных аппроксимаций факторов для многофакторной модели социальноэкономической системы, основанной на дифференциальном уравнении первого порядка. Исследование проведено на основе данных о развитии сельского хозяйства Пермского края за 2005-2010 года. Решение уравнения производится модифицированным методом Эйлера. Коэффициенты модели подбирались модифицированным методом покоординатного спуска, который заключается в построении сечений поверхности функции квадратичного рассогласования по каждому фактору на каждом шаге. Исследованы три вида аппроксимации, имеющие смысл предварительного действия, последействия и линейного изменения фактора в течение года. Для этого создано специальное программное средство и произведен ряд модельных расчетов. В результате предложена и опробована методика выбора вида аппроксимации факторов, не противоречащая их экономическому смыслу и подтвержденная уменьшением рассогласования прогноза и фактических данных.

Ключевые слова: экономика, моделирование, прогнозирование,

дифференциальные уравнения.

ABOUT APPROXIMATION OF FACTORS IN DEVELOPMENT’S DIFFERENTIAL MODEL FOR AGRICULTURE OF PERM REGION

Sirotina N.A., Yanchenko T.V., Zatonskiy A.V.

The aim is to study the applicability of various approximations for multi-factor model of socio-economic system based on a first-order differential equation. The study is based on data about agriculture of Perm Region for the 2005-2010year. Modified Euler method is used for solving the equation. Coefficients of the model are calculated by the modified method of descent, where the sections of the quadratic error function for each factor in each step are calculated. Three types of approximations are consumed: pre-, post- and linear effect factor at the any year. The special software is made for this task and series of modeling are calculated. As a result, the method of form factor approximation choice is proposed and tested, and besides consideration of economic meaning of factors aren't belied error reduction of disperancy calculed on actual data.

Keywords: economy, modeling, prediction, differential equations.

В [1] показано, что модели на основе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) более перспективны при прогнозировании экологических и социально-экономических процессов, чем полиномиальные модели. Однако там не уделено внимания виду аппроксимации исходных данных. В реальных задачах моделирования и прогнозирования деятельности социальноэкономических систем исходные статистические данные сильно разрежены. Как правило, они приводятся в источниках с шагом в 1 год. Например, рассмотрим реальные данные о состоянии сельского хозяйства Пермского края (табл. 1).

Таблица 1

Исходные данные для расчета

Год 2005 2006 2007 2008 2009 2010

и о к Продукция сельского хозяйства в хозяйствах всех категорий (в фактически действовавших ценах), млн. руб. 18127 19010 20238 26971 27352 30056

Х1(0 Посевная площадь всех сельскохозяйственных культур в хозяйствах всех категорий, тыс. га 999,5 959,5 935,3 914,0 867,7 795,2

Х2(0 Внесено минеральных удобрений (в пересчете на 100% питательных веществ), тыс.т. 12,2 11,9 13,0 10,7 11,6 10,4

Хэ(0 Внесено органических удобрений, тыс.т. 1542 1339 1050 1053 1052 1009

Х4(0 Количество сельскохозяйственных организаций 400 403 396 380 351 353

Х5(t) Основные фонды в сельском хозяйстве, млн. руб. 21626 20010 18156 17351 15453 14117

Задача заключатся в следующем. Представим себе ситуацию, что в 2008 году нам известны как история развития сельского хозяйства за прошлые года уг-(0 при t = 2005...2008, так и управляющие воздействия х(), г = 1...5. Запланировав управляющие воздействия х() на 2009 и 2010 года, мы в 2008-м году хотим спрогнозировать, какие значения примет с при t = 2009.2010.

Рассмотрим прогнозирование развития событий путем построения дифференциальной модели, в основе которой лежит ОДУ 1-го порядка

Для исключения влияния размерности нормируем данные {у, Хг} по формуле

чтобы нормированное значение у0 находилось в интервале [0,1];

аналогично нормируем массивы Хг, а также пронумеруем года.

Будем интегрировать ОДУ (1) явным методом Эйлера 1-го порядка:

где tk+l = tk + Дt, Дt - шаг интегрирования (2) по времени, в массиве уг(гк) накапливаются результаты интегрирования ОДУ, а массив уг(гк) требует специальных пояснений.

Пробные расчеты [3] показали, что 4-х или 6-ти точек совершенно недостаточно для эффективной аппроксимации данных ОДУ. Связано это с тем, что большинство численных методов решения ОДУ основано на дискретизации расчетной области с небольшим шагом. Совместим дискретизацию области и увеличение количества исходных точек. Перейдем от массива нормированных значений у0(г) длиной 6 точек к массиву уг(гк) длиной 51 точка, разбив каждый год на L = 10 интервалов. Это значение L выбрано достаточно произвольно, но далее показано, что при нем условие сходимости численного метода решения ОДУ выполняется, а следовательно, такую дискретизацию использовать можно.

Для заполнения массива у() на каждом интервале [у0(г), у0(г+1)] вычислим методом линейной интерполяции внутренние точки по формуле

у - тт

твх (у (г))- тт(у (г)) ’

у

л (гк+1 ) = л (гк)+ж  а0а  Хг (гк)+а6  уг (гк) , к >0

У

где y0(i) и y0(i+1) - значение функции y0(t) на левой и правой границах отрезка интерполяции; t0(i), t0(i+1) - значение нормированного времени на левой и правой границах отрезка интерполяции, то есть в массиве t0 в программе содержатся значения {0,1,...5}; y,(k) - значение в k-й точке внутри отрезка интерполяции, к = 0,51; t,(k) - время в k-й точке внутри отрезка интерполяции, то есть в массиве t, содержатся значения {0, 0.1, 0.2, ... 4.9, 5.0}.

После интегрирования вычислим сумму квадратичных отклонений от исходных интерполированных значений

51 о

S=Ё

k=1

и поставим задачу минимизации

аг : S

При этом верхний индекс в (4) будет принимать значение km = 51 - для аппроксимации по годам 0.5, km = 41 - для аппроксимации по годам 0.4 и прогнозу года 5, km = 31 - для аппроксимации по годам 0.3 и прогнозу годов 4.5 (исходная задача) и т.п.

Поиск коэффициентов ОДУ (1) произведем специальной программой, реализованной в Borland C Builder, осуществляющей модифицированный покоординатный спуск для решения задачи (4).

Для факторов x, подход (3) оправдан только в том случае, если достоверно известны моменты их воздействия на систему. В данном же случае, например, что означает «изменение посевной площади с 999,5 тыс. га в 2005 г. до 959,5 тыс. га в 2006 г.»? Одна из возможностей - в течение всего 2005 г. была одна посевная площадь, а с начала 2006 г. стала другая. Другая - площадь менялась линейно. В первом случае необходимо использовать ступенчатую интерполяцию, «распространяя» значение в начале года на весь год («левая» регрессия), во втором - линейную интерполяцию. Возможно так же, что

статистические данные получены в конце года, тогда надо «распространить» их на весь год «вправо». Так или иначе, для каждого нормированного воздействия XI получим интерполированные значения хг{£) одним из методов:

• «левым» (далее в таблицах обозначен «0»);

• «правым» (далее обозначен «1»);

• линейным (далее обозначен «Л»).

Расчеты показали, что в отличие от задачи в [2], где изменение факторов априорно непрерывно, применение линейной интерполяции для всех хг{£) дает плохой результат прогнозирования (рис. 1).

Рис. 1. Прогнозирование развития сельского хозяйства при линейной

аппроксимации факторов

Это вполне объяснимо с экономической точки зрения, так как, действительно, в течение всего летнего периода производства сельскохозяйственных продуктов поддерживается постоянная площадь пахотных земель и значения других факторов (рис. 2).

Рис. 2. Прогнозирование развития сельского хозяйства при ступенчатой

аппроксимации факторов

Рис. 3. Прогнозирование развития сельского хозяйства при ступенчатой

аппроксимации факторов

В программе сделан выбор вида интерполяции по всем факторам (рис. 3). Исследуем погрешность прогнозирования в зависимости от установки движков, определяющих вид интерполяции. Это необходимо, так как одно дело

- экспертные предположения, наподобие приведенных выше о посевной площади, а другое - фактический результат моделирования.

Будем изменять аппроксимацию каждого из факторов, устанавливая движки в «0» (слева) и «1» (справа). Для них и для базового варианта (вид регрессии «00000») получим погрешность прогнозирования исходя из предположения, что известно 4 из 6-ти исходных точек (табл. 2).

Таблица 2

Зависимость погрешности прогнозирования по 4-м точкам от вида

ступенчатой регрессии одиночных факторов

Установка вида регрессии Погрешность

00000 8,19%

10000 3,15%

01000 16,9%

00100 53,8%

00010 0,703%

00001 0,535%

11111 42,6%

Поскольку уменьшение погрешности достигается при установке «правой» регрессии для факторов 1, 4 и 5, исследуем возможность одновременной установки вида правой регрессии для этих факторов (табл. 3).

Таблица 3

Зависимость погрешности прогнозирования по 4-м точкам от вида ступенчатой регрессии комбинаций факторов

Установка вида регрессии Погрешность

10011 9,05%

00011 3,84%

10010 10,5%

10001 2,33%

Поскольку при совместной установке «правой» регрессии для нескольких факторов погрешность прогноза выше, делаем вывод, что только один фактор № 5 (основные фонды в сельском хозяйстве края) в статистике представлен значением на конец года, тогда как все остальные - на начало года.

Кроме того, возможно, что какие-то факторы линейно изменялись в течение года. Проверим эту гипотезу, устанавливая поочередно и для всех факторов вместе линейную регрессию (обозначена буквой «Л», табл. 4).

Таблица 4

Зависимость погрешности прогнозирования по 4-м точкам от вида

линейной регрессии одиночных факторов

Установка вида регрессии Погрешность

Л0000 2,57%

0Л000 59,1%

00Л00 42,6%

000Л0 3,59%

0000Л 5,01%

ЛЛЛЛЛ 35,8%

Также скомбинируем ранее полученный вывод о «правом» характере фактора № 5 и предположение о линейной регрессии для других факторов

Таблица 5

Зависимость погрешности прогнозирования по 4-м точкам от вида

регрессии комбинаций факторов

Установка вида регрессии Погрешность

Л0001 3,73%

0Л001 85,9%

00Л01 28,8%

000Л1 3,11%

ЛЛЛЛ1 37,8%

Таким образом, гипотеза о возможном линейном характере изменения факторов в течение года не подтверждается ни для одного фактора, ни для сочетания факторов.

Поскольку погрешность исходных статистических данных неизвестна, но точно не нулевая, выберем лучшие варианты регрессий и проверим приведенные выше выводы построением модели по 6-ти известным точкам (табл. 6). При этом в качестве основного критерия качества модели разумно использовать значение критерия (6), поскольку он характеризует погрешность полученной модели на всем протяжении модельного времени.

Таблица 6

Зависимость погрешности прогнозирования по 6-ти точкам от вида

регрессии комбинаций факторов

Установка вида регрессии Погрешность по 4м исходным точкам Погрешность по 6-ти исходным точкам Значение критерия (6) по 6-ти точкам

10000 3,15% 4,55% 0,01896

00010 0,703% 3,37% 0,01802

00001 0,535% 2,19% 0,01436

00011 3,84% 2,31% 0,01544

10001 2,33% 1,96% 0,01612

000Л1 3,11% 2,63% 0,01561

Таким образом, предварительно выбранный вид регрессии факторов «00001», определенный по 4-м известным точкам, оказывается наилучшим и при переходе к 6-ти известным точкам.

На основании изложенного можно сделать следующий вывод. Предположения о виде регрессии факторов, принятые по подмножеству известных точек, не изменяются существенно при расчете всего множества

известных точек. Определить наилучшее сочетание видов регрессий факторов несложно прямым перебором, так как количество факторов невелико, и допустимо всего три вида их регрессии. Поэтому основная идея работы -о предпочтительности дифференциальных моделей по сравнению с линейными

- остается справедливой. Предложенный метод моделирования и прогнозирования может после уточнения видов регрессий факторов применяться для прогнозирования поведения многофакторных социальноэкономических систем.

Список литературы

1. Арнольд В.А. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.

2. Затонский А.В. Выбор вида модели для прогнозирования развития экономических систем // Новый университет. 2012. №1. С. 47-41.

3. Затонский А.В. Преимущества дифференциальных моделей в экологоэкономическом моделировании // Известия Томского политехнического университета. 2012. № 5. С. 134-139.

References

1. Arnold V.A. Teoriya katastrof [Catastrophe theory]. Moscow: Nauka, 1990.

128 p.

2. Zatonskiy A.V. Vybor vida modeli dlya prognozirovaniya razvitiya ekonomicheskikh system [Selection of the model to predict the development of economic systems]. Novyy universitet, no. (2012): 47-41.

3 Zatonskiy A.V. Preimushchestva differentsial'nykh modeley v ekologo-ekonomicheskom modelirovanii [Advantages of differential models in ecological-economic modeling]. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo universiteta, no. 5 (2012): 134-139.

ДАННЫЕ ОБ АВТОРАХ

Затонский Андрей Владимирович, доктор технических наук, профессор РАЕ по кафедре АТП

Березниковский филиал Пермский национальный исследовательский

политехнический университет

ул. Тельмана, д. 7, г. Березники, Пермский край, 618404, Россия zxenon@narod. ru

Сиротина Наталья Александровна, ассистент кафедры экономики

Березниковский филиал Пермский национальный исследовательский

политехнический университет

ул. Тельмана, д. 7, г. Березники, Пермский край, 618404, Россия ndemkina@mail. ru

Янченко Татьяна Васильевна, ассистент кафедры экономики

Березниковский филиал Пермский национальный исследовательский

политехнический университет

ул. Тельмана, д. 7, г. Березники, Пермский край, 618404, Россия yagyumunenori@mail. ru

DATA ABOUT THE AUTHORS

Zatonsky Andrey Vladimirovich, Dr. Prof., head of ATP department

Bereznikovsky branch the Perm national research polytechnical university 7, Thalmana str., Berezniki, Perm Region, 618404, Russia zxenon@narod. ru

Sirotina Natalia Aleksandrovna, assistant to chair of economy

Bereznikovsky branch the Perm national research polytechnical university 7, Thalmana str., Berezniki, Perm Region, 618404, Russia ndemkina@mail. ru

Janchenko Tatyana Vasilevna, assistant to chair of economy

Bereznikovsky branch the Perm national research polytechnical university

Z, Thalmana str., Berezniki, Perm Region, 618404, Russia yagyumunenori@mail. ru