Некоторые аспекты преподавания математического анализа в педвузе

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ПЕДВУЗЕ

Н Р.М. Асланов, О.В. Ли, В.Л. Матросов

Аннотация. В статьерассматриваются некоторые аспекты преподавания математического анализа в педвузе. Анализируются реформы, происходящие в преподавании математики на протяжении сорока лет, которые пытались примирить два противоречащих педагоических императива: требование строгости и потребность в понимании и передаче смысла изучаемого математического объекта в курсе математическо го анализа, и предлагается выход из сложившейся проблемной итуации.

Ключевые слова: исторические аспекты преподавания математики, проблематика преподавания, парадоксы.

Summary. This article discusses some aspects of teaching the mathematical analysis in Teacher training university It also reflects on some reforms taking place in the teaching of mathematics for over 40 years, which tried to reconcile two contradicting pedagogical imperatives: the requirement of rigor and the need to understand and convey the meaning of the studied mathematical object in the course of mathematical analysis, and the way out of a problem situation is offered.

Keywords: historical aspects of teaching mathematics, teaching problems, paradoxes.

44 Т

е реформы в преподавании математики, которые происходят на протяжении сорока лет в российском педвузе, в большей степени касаются преподавания математического анализа. Эти реформы безуспешно пытаются примирить два противоречащих педагогических императива: требование строгости и потребность в понимании и передаче смысла изучаемого математического объекта в курсе математического анализа.

Рассмотрим периоды преподавания начал анализа в школьном курсе, начиная с 1945 г. [1]:

1. До 1961 г. понятие «анализ» в учебной программе школьного курса не встречалось, но эти темы входили

в разделы алгебры и тригонометрии. Такая ситуация оставалась неизменной вплоть до конца XX в.

2. 1961-1985 гг. стали периодом временной нестабильности в преподавании начал анализа. Эта нестабильность объясняется с желанием ввести современный подход к анализу, который существенно будет отличен от алгебры. Но изменения были колеблющимися и непостоянными. К примеру, если рассматривать программу Рптапе БаепйАс, то прослеживаются следующие изменения:

1) в 1966 г. рассматриваются идеи непрерывности и предела в точке вместе с понятием дифференциала;

2) в 1970 г. дифференциал становится линейной касательной функцией;

3) в 1982 г. эти идеи заменяются идеей ограниченного разложения порядка 0 и 1, также вводится изучение числовых последовательностей. То есть курс анализа использует интервалы, приближения и неравенства.

3. С 1985 г обнаруживаются два основополагающих требования в официальных математических программах:

1) стабильность, так как учебные программы должны сохранять цели, принятые в 1983 г., опыт использования которых за 3 года эксперимента убедил в их сохранении;

2) более практический подход к математическому образованию, то есть признание необходимости придать математическим объектам интуитивное и конкретное содержание, в котором будет развиваться геометрический взгляд на задачи в анализе для того, чтобы интуиция и воображение могли использовать геометрический язык в способе представления.

Эти требования, в свою очередь, поставят преподавателя математики в затруднительное положение.

На сегодняшний день проблема взаимосвязи преподавания школьного курса начал анализа и преподавания вузовского курса математического анализа в российском образовании исследуется в двух направлениях:

• взаимосвязь в рамках преемственности;

• взаимосвязь в профессиональной направленности.

Учащихся нужно готовить к успешному овладению материалом на последующих этапах обучения. Необходимо создать связь изучаемого материала в школьном курсе начал анализа с мате-

риалом, который будет изучаться в вузовском курсе математического анализа. Тогда можно будет сказать, что функция преемственности приближается к функции пропедевтики.

Проблема взаимосвязи специальных дисциплин в вузе со школьным курсом начал анализа имеет два аспекта, где вопросы преемственности и профессиональной направленности определяются изолированно. Выбор направления зависит от того, что определяется как объект исследования: процесс обучения школьного курса начал анализа или процесс обучения вузовского курса математического анализа.

При изучении курса математического анализа в вузе учащиеся будут сталкиваться с периодическим напоминанием тех знаний, которые они приобрели в школьном курсе начал анализа. Регулярная проверка информации, хранящейся в долговременной памяти учащегося, позволяет своевременно выявить и устранить закрепившиеся в ней искажения.

Чтобы в обучении преподаватель мог опираться на школьные знания учащихся, ему необходимо быть хорошо информированным об этих знаниях. Заметим, что знаний образовательных стандартов, учебных программ в данном случае недостаточно. Во-первых, в современных условиях учебные заведения имеют право выбора собственных учебных программ, а таких программ разработано немало, и изучить их все невозможно, тем более, что многие из них являются экспериментальными и требуют проверки временем. Во-вторых, существуют различия в индивидуальных особенностях учащихся, например, в уровне интеллекта или способностях.

45

46

Также не несут исчерпывающей информации о знаниях учащихся вступительные экзамены, которые, по сути, должны выявлять математическую подготовку абитуриентов. Поэтому в начале обучения в вузе для рациональной организации повторения необходима дополнительная диагностика знаний учащихся по вопросам школьного курса начал анализа.

Все изменения, колебания и поправки в математическом образовании показывали противоречие между двумя противоположными педагогическими требованиями, рассмотренными ниже. Это противоречие особенно заметно при рассмотрении понятия бесконечности.

Рассмотрим первое педагогическое требование, призывающее учить так, чтобы можно было стимулировать понимание и воображение учащихся педвузов. Такое учение предполагает использование слов, заряженных интуитивным смыслом, например: непрерывный, предел, бесконечность, бесконечно малые или большие величины, и т.д. Дело даже не в том, что эти слова не могут передавать богатство и утонченность соответствующих понятий математического анализа, а в том, что наша интуиция неспособна адекватно воспринять их смысл, а если и способна, то мы все равно легко можем впасть в ошибки или загнать себя в тупики неразрешимых парадоксов.

Считается, что математика - это воплощение строгости. Теперь рассмотрим второе педагогическое требование, предполагающее необходимость точного и строгого представления теорем, связанных с бесконечностью, что само по себе противоречит первому подходу. В большей степени

такое представление для большинства учащихся абстрактно и потому не может быть воспринято ими. Например, учащийся уже имеет интуитивное представление о мгновенной скорости, но в качестве математического определения преподаватель математики может предложить ему следующую трактовку:

Пусть f(t) есть расстояние в км, пройденное за время t. Тогда утверждение, что в момент времени t0 скорость равна 100 км/ч, означает, что

Vf > 0, > 0,| t - to | < h &

fit) - f

-100

< e.

г - и

В 1960-1970-е гг. математический анализ преподносился учащимся именно таким образом, когда идеи предела, непрерывности, дифференциала и т.д. вводились преждевременно и формально. С другой стороны, педагогические требования все же учитывают изменения, сделанные с 1985 г. Но эти изменения еще не означают, что трудности, связанные со вторым педагогическим требованием, были устранены [1].

Что касается современного подхода в преподавании в математическом анализе, то он основывается на отбрасывании всех математических определений и доказательств, так или иначе связанных с бесконечностью. В учебниках 1950-1960-х гг. можно было встретить краткое доказательство теоремы Фалеса или формулы для нахождения площади прямоугольника.

Маловероятно, что мы найдем сегодня такого рода доказательства в учебных математических пособиях. То, что нужно доказывать, сегодня просто постулируется. Поэтому очень важно, чтобы будущие преподаватели

математики, молодые специалисты педагогических вузов обращали свое внимание на доказательства таких элементарных свойств. Но доказательства таких свойств - непростое дело, так как оно опирается на идею бесконечности. Например, как можно вывести формулу для площади прямоугольника в случае, когда его стороны являются несоизмеримыми величинами. Конечно, для молодого специалиста, как и для его учащихся, такого рода свойство будет врожденной истиной. При всем этом учебная программа продолжает настаивать на том, что нужно передавать учащимся научный подход, развивать их способности экспериментировать и рассуждать, а также воображение и критический анализ [там же].

О многом говорит использование в процессе преподавания выражений «запрещено» и «разрешено». Например: делить на 0 запрещено, разрешено дифференцировать ряд почленно при таких-то условиях и т.д.

В XVII в. существовали идеи и методы по изучению теории бесконечного, но они противоречили евклидовой геометрии. Лишь в XIX в. трудами О.Л. Коши, Р. Абеля, Б. Больцано и К. Вейерштрасса теория бесконечного была успешно построена.

Модель, предложенная Вейерш-трассом, не могла справиться с парадоксами, выявленными спустя несколько десятилетий после того, как Кантор предложил свою теорию множеств на первом Международном конгрессе математиков (1СМ), который был проведен в Цюрихе 9-11 августа 1897 г. по инициативе Георга Кантора, основателя и первого президента Германского математического общества. В оргкомитет конгресса входили Фе-

ликс Клейн, А.А. Марков, Анри Пуанкаре. Всего было 208 участников, из них 12 - из России. На Конгрессе выступали Кантор, Адамар, Пикар, Гур-виц, Вольтерра, Пеано и другие известные математики. Пуанкаре из-за болезни приехать не смог, но прислал свой доклад «Об отношениях между чистым анализом и математической физикой», который за него прочитал швейцарский профессор Жером Фра-нель. Заключительный доклад Клейна был посвящен проблемам реформы математического образования. Целью этого съезда была популяризация теоретико-множественных идей Кантора, встречавших тогда серьезную оппозицию многих видных математиков. В выступлениях Кантора, Адамара и Гурвица были приведены разнообразные примеры плодотворного применения теории множеств в анализе [2].

Второй конгресс проходил в Париже с 6 по 12 августа 1900 г. В нем приняли участие 226 человек. Председателем Конгресса был избран Анри Пуанкаре, почетным председателем - отсутствовавший Шарль Эр-мит, генеральным секретарем -Э. Дюпорк. На Конгрессе работали шесть секций:

1) Арифметика и алгебра (председатель Д. Гильберт, секретарь Э. Кар-тан);

2) Анализ (председатель П. Пен-леве, секретарь Ж. Адамар);

3) Геометрия (председатель Г. Дарбу, секретарь Б. Нивенгловский);

4) Механика и математическая физика (председатель Ж. Лармо, секретарь Т. Леви-Чивита);

5) История и библиография математики (председатель принц Роланд Бонапарт, секретарь М. Окань);

47

48

6) Преподавание и методология математики (председатель М. Кантор, секретарь Ш. Лезан);

7) 5-я и 6-я секции заседали вместе.

Единственный выступавший делегат от России - М.А. Тихомандриц-кий.

Главным событием второго конгресса стал программный доклад Давида Гильберта, сделанный 8 августа 1900 г. на совместном заседании 5-й и 6-й секций. Доклад носил скромное название «Математические проблемы», но в нем Гильберт перечислил наиболее насущные и важнейшие, по его мнению, проблемы математики. Математический мир принял этот вызов, и в течение века большинство проблем так или иначе были решены [3].

Советские математики принимали участие в конгрессах, начиная с 1924 г. Международный конгресс математиков собирается раз в 4 года под эгидой Международного математического союза (1Ми). На церемонии открытия сообщаются имена лауреатов четырех премий за достижения в математике:

• Премия Филдса

• Премия Гаусса

• Премия Неванлинны.

• Премия Черна [2].

Развитие в истории математики

зависело от установления связи между этими двумя областями и того, что может быть сделано посредством этой связи. Греки тщательно различали числа и пространственные величины, для них эти сущности имели разную природу. При создании аналитической геометрии, представляя пространство с помощью координат, Декарт отождествил пространственную непрерывность с числовой непрерыв-

ностью. Это отождествление послужило основой для отождествления прямой линии с множеством точек, удовлетворяющих уравнению у = ах + Ь. Именно оно объясняет рекомендации учебных программ развивать «геометрическое представление задач, особенно в математическом анализе».

В XVП-XVШ вв. математический анализ состоял в изучении геометрических величин посредством алгебры. Дидро и Д'Аламбер определяли понятие математического анализа следующим образом: «Анализ представляет собой метод решения математических задач посредством их сведения к уравнениям. Для решения задач анализ привлекает алгебру и общее исчисление величин, поэтому два слова анализ и алгебра часто употребляются как синонимы».

Работы греческих геометров основывались на интуиции физического пространства. Ученые и математики XVП-XVШ вв. опирались на законы природы, которые они стремились открыть и описать. Например, слава Ньютона заключается не в его математических результатах как таковых, а в том, что он сумел установить математические начала натуральной философии [1].

Эйлер и его современники занимались развитием средств нового исчисления, увеличением числа открытий и результатов в гораздо большей мере, нежели оправданием собственных методов. Следует заметить, что они вряд ли бы смогли получить все свои результаты с учетом критериев строгости. Но другой стороны, их вычисления отражают необычайную веру в неоспоримое могущество символизма, и многочисленные результа-

ты, полученные с его помощью, только укрепляют эту веру.

В XVIII в. развитие математического анализа вело к конструированию математиками таких объектов, которые становились все менее и менее доступными для интуиции. К примеру, функции комплексной переменной, или многозначные функции. Новые исследования в физике вели к уравнениям колебаний струны или теплопроводности. Это развитие привело к изменению математических воззрений. Вместо рядов, получаемых разложением функций, мы все чаще встречаемся с противоположным случаем, когда функция определяется с помощью ряда. К примеру, в XVIII в. можно было встретить множество доказательств биномиальной формулы, но ни одно из них не является удовлетворительным [1; 4].

Вейерштрасс переформулировал все определения анализа, используя такие выражения, как 6е > 0, 7а... и т.п. Сделав это, он открыл дверь целому миру математических монстров, совершенно неподвластных интуитивному восприятию: функции, непрерывные на всем интервале, но нигде не дифференцируемые, или непрерывные функции, не являющиеся монотонными ни на каком интервале. Эти объекты заставляют удивляться, так как они представляются нам парадоксальными. Потому что они абсолютно оторваны от геометрической интуиции. Они обладают лишь формальным численным смыслом, избегая любого представления, доступного интуитивному схватыванию.

По мнению Гильберта, несмотря на то, что Вейерштрасс заложил в высшей степени строгие основания исчисления бесконечно малых, все

же дискуссия об основах математического анализа не была закончена. Объясняется это тем, что значение бесконечного для математики еще не выяснено до конца. Правда, бесконечно малое и бесконечно большое были из анализа Вейерштрасса исключены тем, что высказывания, относящиеся к этим понятиям, были сведены к отношениям между конечными величинами. Но бесконечное все же выступает снова в бесконечных числовых последовательностях, определяющих действительное число, и затем в понятии системы действительных чисел.

Базу для содержательного приложения результатов историко-матема-тических исследований к преподаванию математики дает метод доказательств и опровержений, введенный Имре Лакатосом. На примере теоремы Декарта-Эйлера о многогранниках Лакатос показал, что строгие математические понятия вырастают из попыток доказать первоначальную наивную догадку, относящуюся к тому или иному положению дел. Последовательно выдвигаемые доказательства и их опровержения, как правило, полностью уничтожают основные первоначальные понятия (в примере Лакатоса - наивное понятие многогранника), и заменяют их понятиями, рожденными доказательством. Тем самым смысл доказываемого открывается по-настоящему только в процессе доказательства и анализа доказательства. Согласно Лакатосу, неформальная квазиэмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества, несомненно, доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при

49

ВЕК

50

помощи логики доказательств и опровержений [4].

Фундаментальные теоремы современного математического анализа и других разделов современной математики исторически были осмыслены и сформулированы лишь через несколько столетий после возникновения самих этих дисциплин. Работа по обоснованию основных понятий анализа оказалась весьма тонкой и сложной, и она привела к сильному переосмыслению самих этих понятий.

С какими проблемами сегодня сталкиваются первокурсники, приступающие к изучению математического анализа? Сталкиваясь с объектами математического анализа, которые не согласуются с их интуитивным представлением, учащиеся испытывают своего рода шок. К примеру, со школы у первокурсника имеются некоторые представления, связанные с понятием «функция». Эти представления похожи на интуиции, которые имелись у математиков XVIII в., функция - это формула, в которой знаками арифметических действий соединены числа и иксы, а также содержатся такие значки, как sin или log. График такой функции обычно является гладкой непрерывной линией, иногда уходящей в бесконечность. Изредка встречаются изломы (если в формуле встречается знак модуль) и скачки. В результате, узнав про всюду разрывную функцию Дирихле, многие первокурсники неуверенны в том, что это своего рода функция. Учащиеся не совсем понимают формальное определение, о чем оно и для чего сформулировано.

Если говорить о самых первых теоремах курса математического анализа, то их утверждения очевидны

настолько, что многие учащиеся недоумевают, для чего их вообще надо доказывать. Но как раз доказательства этих теорем - весьма изощренные и нетривиальные. Тем самым в сознании учащегося доказательство отрывается от теоремы, хотя оно должно быть ее неотъемлемой частью, в которой и раскрывается действительное содержание теоремы. В результате смысл теоремы остается непонятым, а затем ускользает и смысл предмета в целом.

Лео Роджерс утверждает, что стандартный способ изложения зачастую производит на учащихся впечатление полной бессмыслицы, так как они ничего не знают ни о причинах, по которым преподаватель выбрал такой подход, ни о том, чем руководствовались математики, когда ставили свои задачи.

Фундаментальные понятия математического анализа могут быть действительно усвоены лишь в контексте рациональной реконструкции истории математических идей. Смысл понятия раскрывается, если восстановлены и прожиты основные этапы его становления, от первичных интуитивных представлений, через попытки оформить эти представления в строгие определения и теоремы, к их дальнейшей критике и исправлению путем предъявления парадоксальных примеров и контр-примеров, а в итоге - к переосмыслению собственных представлений и получению нового знания.

В заключении можно сказать, что тот краткий обзор периодов истории преподавания математического анализа от XVII до начала XXI в. показывает, что внутренние математические доводы, приведшие к математической

строгости, весьма далеки от тех вопросов, которые мы можем предложить учащимся. Вопрос состоит не в том, чтобы ввести в учебные программы историю преподавания математического анализа, а в том, чтобы преподаватели математики занялись исторической рефлексией.

Понятно, что существует свой специфический научный подход к математике, основывающийся на идее строгого доказательства. Но, в свою очередь, такой подход будет зависеть как от истории и культуры, так и от уровня обучения.

Будущий учитель математики должен переосмыслить образ каждого понятия, каждой задачи, сделав это на примитивном уровне, заглянув в историю. Тем самым учитель математики будет способен показать ступени создания фундаментальных понятий и методов анализа, а также помочь своим учащимся выделить их смысл и осознать необходимость строгости. Таким обра-

зом, учащиеся смогут увидеть необходимость этого определения или этой теоремы. В этом и заключается главная задача преподавания математического анализа.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фрейдельмейер Ж.-П. Что история говорит нам о преподавании анализа? // Актуальные проблемы подготовки будущего учителя математики: историко-математи-ческий и историко-методический аспекты. - Вып. 4. - Калуга: Изд. КГПУ, 2002. - С. 45-62.

2. Арнольд В.И. Международный математический конгресс в Берлине // Вестник РАН. - 1999. - № 2. - С. 163.

3. Демидов С.С. Предисловие: Проблемы Гильберта // II Международный Конгресс Математиков / Под общ. ред. П.С. Александрова. - М.: Наука, 1969.

4. Лакатос И. Доказательства и опровержения: Как доказываются теоремы. - М.: Наука, 1967.

5. Пуанкаре А. О науке. - М.: Наука, 1983.

51