Адаптация метода укорочения дифференциальных уравнений к решению краевой задачи о круглом экранированном однородном ферритовом резонаторе

УДК 535.417.2

1 2 Е.А. Михалицын , Т.В. Кожевникова

АДАПТАЦИЯ МЕТОДА УКОРОЧЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О КРУГЛОМ ЭКРАНИРОВАННОМ ОДНОРОДНОМ ФЕРРИТОВОМ РЕЗОНАТОРЕ

ФГУП «ФНПЦ НИИИС им. Ю.Е. Седакова»1,

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

Цель: Адаптировать метод укорочения дифференциальных уравнений к расчету собственных резонансных частот ферритовых резонаторов.

Дизайн/методология/подход: Анализ ферритовой среды основан на трансформации уравнений Максвелла к укороченному однородному дифференциальному уравнению типа Гельмгольца. Краевая задача о круглом экранированном однородном ферритовом резонаторе решается в строгой постановке.

Выводы: Проведен расчет резонансных частот экранированного круглого ферритового резонатора с однородным аксиальным подмагничиванием. Кроме того, даны рекомендации по практическому применению результатов анализа ферритового резонатора.

Ограничения исследований/развитие исследований: Адаптированный метод укорочения исходных дифференциальных уравнений обеспечивает нас отправной точкой для дальнейших исследований экранированных и открытых резонаторов с ферритовыми элементами.

Оригинальность/значение: Проведенные исследования дают инженерам и специалистам базовую информацию относительно спектра резонансных частот экранированного круглого однородного резонатора.

Ключевые слова: ферритовый резонатор, метод укорочения дифференциальных уравнений.

Введение

Резонансные структуры с ферритовыми элементами являются базовыми элементами широкого класса СВЧ и КВЧ невзаимных устройств. Специфические свойства гиротропной среды, которые проявляются под действием приложенного магнитного поля, определяют невзаимные свойства вентилей и циркуляторов, а также позволяют создавать управляемые фазовращатели, перестраиваемые фильтры и антенны с управляемой диаграммой направленности.

Ранее группой авторов были детально исследованы процессы распространения электромагнитных волн в направляющих структурах с аксиально-намагниченными продольно регулярными ферритовыми слоями [1]. Дальнейшим развитием этого направления исследований является переход от волноводных структур к резонансным. Ферритовые резонаторы являются базовыми элементами развязывающих и переключающих КВЧ устройств. Детальное исследование спектра собственных колебаний таких структур позволит уточнить существующие и разработать более строгие методики расчета ферритовых СВЧ и КВЧ вентилей, циркуляторов и переключателей, позволив тем самым минимизировать усилия по экспериментальной оптимизации частотных характеристик устройств.

В данной статье рассматривается адаптация разработанного ранее метода решения краевых задач о направляющих структурах с ферритовыми слоями к расчету р е-зонансных частот собственных колебаний круглого экранированного однородного ферри-тового резонатора.

1. Постановка краевой задачи о круглом экранированном ферритовом резонаторе

Рассмотрим круглый волноводный резонатор, образованный отрезком волновода длины h и радиуса а с заметаллизированными торцевыми плоскостями (рис. 1). Стенки резонатора принимаются идеально проводящими, а его заполнение - феррит с однородным внутренним магнитным состоянием. Магнитное поле смещения H однородно и направлено

© Михалицын Е.А., Кожевникова Т.В., 2014.

вдоль оси О1. Тогда тензор магнитной проницаемости ферритового элемента запишется в виде [2]:

И =

И - ] к 0

]к и 00

0 Иг

где и , к, и - элементы тензора (в общем случае комплексные величины). Диэлектрическую проницаемость ферритового материала обозначим е^. Можно отметить, что в случае насыщенности внутреннего магнитного состояния ферритового элемента компонент и2 = 1.

Рис. 1. Круглый экранированный однородный ферритовый резонатор

Уравнения Максвелла для комплексных амплитуд компонент электромагнитного поля Е и Н в ферритовой среде с аксиальным подмагничиванием записываются в виде:

Ух Н = ] Ю £0 Е Ух Е = - ] ю И и0 Н

(а - частота электромагнитного поля) и могут быть преобразованы к системе двух дифференциальных уравнений второго порядка относительно продольных компонент поля:

. ТТ И- д Н\ 2 тт т^ к дЕ,

А,Н + ^ —^ + К2 И2Н2 =-Кг лг

И дг2

К

АЕ + К2 иг«Е2 = и

И д г

к дН

д 2 2

Л f И д г

где лг

£/ £0

ИеЖ

Ио

2 , 2 И - к

И

- характеристический адмитанс ферритовой среды;

эффективная магнитная проницаемость феррита;

Ку = юфу£0и0 - постоянная распространения в безграничной ферритовой среде.

При этом поперечные компоненты поля будут выражаться через продольные согласно следующей системе двух дифференциальных уравнений второго порядка:

^д 2

2

а

—+К2и Н + ]К}к2охН = -Ун-]КГУГ20хУЕ;

дг

дг

д

+ К 2 И Е, + ]К}к2о х Е, = + Кг / уг

2. Адаптация метода укорочения к расчету продольно однородных резонансных ферритовых структур

Для решения полученной системы уравнений (3) и расчета поперечных компонент поля согласно (4) применим метод разделения переменных [3]: Н2 = Тн  Z, Ег = ТЕ  Z . Результирующее электромагнитное поле резонансной структуры при этом представляется в

виде суперпозиции прямой ( Е+, Н+ ) и обратной волн ( Е- , Н - ) закрытого ферритового волновода. Продольную зависимость компонент поля прямой волны будем полагать в виде

Z+ = ехр(-'Р z), обратной - Z~ = ехр('Р z) (Р - продольное волновое число).

Можно показать, что, рассматривая распространение лишь прямой волны в соответствующей направляющей структуре, система (3) преобразуется к неоднородному уравнению типа Гельмгольца относительно функции у = ^ + 'Ъ,ТЕ :

А,у+ »2 У = '

где »» = МК//У/Р к/ц -^р2;

ц

( \

а = мЛГ / У/Р к / м; ~ = К^ - ц2 )-р2 1 - — ; ~ = ¿ЛГУГР к/ц.

М

И если £ удовлетворяет уравнению

-а£2 -+ с = 0,

то (5) преобразуется в однородное дифференциальное уравнение Гельмгольца:

А,у + »2 у = 0.

Использованный прием называется методом укорочения исходного дифференциального уравнения. Подставляя корни (и ) уравнения (6) в выражения (5) получаем два 2 2

значения » и », которым соответствуют два различных решения у и у2 уравнения (5), через которые, в свою очередь, рассчитываются постоянные разделения:

+ -£1 У 2. + _ У1 -у 2 т

Тн =—:-:-; ТЕ = -—.

Применение данного подхода в рассматриваемой краевой задаче оправдано в силу продольной однородности резонатора. Отсутствие неоднородностей в направлении оси 02 приводит к линейной независимости решений для прямой и обратных волн, образующих в результате суперпозиции стоячую волну в резонаторе. При этом из выражений (5) не сложно видеть, что ТЕ = -ТЕ , а Тн = Т+. Необходимо отметить, что приведенные математические выкладки для метода укорочения справедливы для резонансных структур произвольной формы поперечного сечения и полным заполнением гиротропной средой по высоте.

3. Расчет резонансных частот собственных колебаний круглого экранированного

однородного ферритового резонатора

Применим разработанный метод к решению краевой задачи о круглом экранированном однородном ферритовом резонаторе (рис. 1). При этом для продольных компонент электромагнитного поля должны выполняться следующие граничные условия:

Н

= 0; Ж-

= 0.

z=0

z=0

Тогда решение дифференциального уравнения (7) в цилиндрической системе коорди

нат ( г,ф, г ) с учетом ограниченности поля при г = 0 и соотношений (8) приводит к следующим компактным выражениям для продольных компонент электромагнитного поля:

ЕТ =Е4 С08<Рт2/;

¿=1 •п

Н- = Vа1 (- 1)+1^з-г •(Дг) 51П(з /.

2 £ - -ъ •п

где т = 0, 1, 2 ... - продольный индекс собственных колебаний; Рт = .

к

п = 0, ±1, ±2 ... - азимутальный индекс собственных колебаний; •„ (Д г) - функция Бесселя порядка п;

А , А - неизвестные амплитудные коэффициенты линейно независимых решений. Разрешая систему (5) относительно поперечных компонент электрического поля, получаем:

Епт = /VА- ^^{в, Г"

Ф ^2-^1 ГЧ(Да) ' (Да)/ е

0 Р Рш -£з-,К/ / У/ [ч И - рк\ ч рт -Ъ-:Кг / У/[р И - чк]

где р =-2-2-; в =-2-2-;

Р - ч Р - ч

Р = К/и -Р2; ч = К/к.

•П(Д г) - производная функции Бесселя порядка п по всему аргументу.

Таким образом, решение рассматриваемой краевой задачи на системе дифференциальных уравнений (3) с граничными условиями (9) представляет собой линейную комбинацию двух колебаний с одинаковой гармонической зависимостью от продольной координаты и различным характером зависимости от поперечной координаты г, математически выраженном в разных поперечных постоянных Д и Д . Накладывая дополнительные граничные условия равенства тангенциальных компонент электрического поля на идеально проводящей боковой поверхности резонатора, приходим к системе двух линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов А и А. Характеристическое уравнение резонансных частот собственных колебаний резонатора получается из условия нетривиальности решения полученной системы в виде равенства нулю её главного определителя и записывается в виде:

1

^2 41

д в •лм -Д в^Ьа)+п р - Р)

1в1 Зп (»1 а) 2в2 Зп (»2а) а12 1 '

= 0.

Результаты расчета приведены на рис. 2 в виде зависимости нормированной резонансной частоты от модуля коэффициента невзаимности | к / и | для нескольких низших типов колебаний (Оп/т+(-)). Классификация собственных колебаний резонатора проводилась на основе предельного перехода к однородному диэлектрическому резонатору при | к 0. Первая буква в названии типа колебания подчеркивает гибридный характер структуры поля, вторая определяет модовое распределение при к=0.

Согласно (9) и (10) угловая зависимость полей в резонаторе имеет вид в± 1пф . Значениям ±п при к>0 соответствуют два независимых решения краевой задачи, описывающие гибридные волны с правым и левым вращением плоскости поляризации, соответственно. Поскольку направление вращения плоскости поляризации привязано к направлению оси 02, то при изменении направлении подмагничивания на противоположное, что приводит к изменению знака параметра к, при п=1 возбуждаются колебания с левой поляризацией. Поэтому в

обозначении типа колебаний вводится знаки: "+" - если направление вращения плоскости поляризации правое (по часовой стрелке, если смотреть вдоль оси Ох) и "-" при левом вращении плоскости поляризации (против часовой стрелки).

Индексное обозначение резонансных колебаний определяется тремя целыми числами: азимутальным индексом |п|, порядковым номером I корня характеристического уравнения (12) соответствующего типа колебания при фиксированных п и т, и продольным индексом колебания т.

Анализ графиков рис. 2 позволяет сделать вывод о том, что наименьшей резонансной частотой характеризуются колебания ЕНщ11+/--типа. Поэтому большинство развязывающих ферритовых устройств работает именно на этом низшем типе колебаний. Наибольшее расщепление частот колебаний с правым и левым вращением плоскости поляризации наблюдается для НЕш+(--) -колебаний. При реализации работы развязывающих ферритовых устройств на этом типе колебаний потенциально может быть достигнута более широкая полоса рабочих частот. Колебания ЕН2ц+/--типа с азимутальным индексом |п|=2, характеризуясь также значительной величиной частотной расстройки, занимают среднее положение на оси резонансных частот. Очевидно, что реализация работы циркуляторов на этом типе колебаний потенциально проще с точки зрения способа селективного возбуждения и подавления нежелательных низших типов, чем для НЕш+(-)-колебаний.

•   8.-5 .....с. kcoa(efn)M/ 2

с НЕШ"

7:5.....7-

НЕой

- 6:5 ** _____ _ _

.....   -5:5  — и«' * г НЕШ+

.....5 4:5 .....4-

EHoi!

- 3:5 - --- --- ---г-- --

EHni+

..... 2:5

\щ

0 o;i о 2 о;з о 4 0 5 0 6 0 7 о;8 0 9 1 1 1 1 2 1;з 1 4 1 5 >

Рис. 2. Резонансные частоты собственных колебаний круглого закрытого однородного ферритового резонатора с параметрами Н = 10 мм, а = Н, ¡л = ^ = 1

Заключение

Проведенная адаптация разработанного ранее для направляющих гиротропных структур так называемого метода укорочения исходного дифференциального уравнения к решению краевых задач о продольно однородных резонансных структурах позволила провести расчет спектра резонансных частот собственных колебаний круглого экранированного однородного ферритового резонатора. Описанная методика анализа продольно регулярных резо-

нансных структур открывает пути к строгому электродинамическому анализу новых типов ферритовых устройств различного функционального назначения.

Библиографический список

1. Виприцкий, Д.Д. Спектр волн круглого волновода с аксиальным продольно-намагниченным ферритовым стержнем / Д.Д. Виприцкий, А.В. Назаров, С.Б. Раевский // Антенны. 2005. Вып. 5 (96). С. 24-28.

2. Микаэлян, А.Л. Теория и применение ферритов на сверхвысоких частотах / А.Л. Микаэлян. - М.; Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 664 с.

3. Kales, M. L. Modes in waveguides containing ferrites // J. Appl. Phys. V. 24. May 1953. Р. 604-608.

Дата поступления в редакцию 20.11.2014

E.A. Mihalitsyn1, T.V. Kozhevnikova2

THE ADAPTATION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS CONTRACTION METHOD TO SOLVING BOUNDARY VALUE PROBLEMS ABOUT SHIELDED CIRCULAR HOMOGENEOUS FERRITE LOADED CAVITY

Federal State Owned Unitary Enterprise Federal Research and Production Center1, "Measuring system research institute named after Yu.Ye. Sedakov", Nizhny Novgorod state technical university n.a. R.E. A^eev

Purpose: To adapt the differential equations contraction method to find the ferrite loaded cavities eigenvalue frequencies. Design/methodology/approach: The ferrite medium analysis is based on the Maxwell equations transformation to the reduced homogeneous Helmholtz differential equation. The boundary value problem about shielded circular homogeneous ferrite loaded resonator is solved by an accurate way.

Findings The resonant frequencies of shielded circular homogeneous axial magnetized ferrite resonator are calculated. Moreover, the present study provides the recommendations of practice implementation of the ferrite resonator analyses results.

Research limitations/implications: The adapted contraction method of initial differential equations provides a starting point for further studies of open and shielded ferrite contained resonators.

Originality/value The present study provides the base information to concern resonant frequencies spectrum of the shielded circular homogeneous ferrite resonator for specialists and engineers.

Key words: ferrite resonator, the differential equations contraction method.