Формула для числа сочетаний с повторениями при ограничениях и её применение

2013 Вычислительные методы в дискретной математике №2

УДК 519.1

ФОРМУЛА ДЛЯ ЧИСЛА СОЧЕТАНИЙ С ПОВТОРЕНИЯМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ

В. В. Гоцуленко

Институт технической теплофизики НАН Украины, г. Киев, Украина

E-mail: gosul@ukr.net

Получены различные обобщения понятия числа сочетаний с повторениями. Найдены формулы для вычисления введённых комбинаторных чисел и рассмотрены различные задачи, которые решаются с их применением.

Ключевые слова: сочетания с повторениями при ограничениях, диофантовы уравнения, формальный полином, производящие функции, мультимножества.

Введение

Всё разнообразие комбинаторных формул может быть фактически выведено из нескольких основных утверждений, касающихся конечных множеств [1, 2]. Тем не менее во многих отношениях полезно вводить различные комбинаторные числа, характеризующие те или иные количественные соотношения на множествах произвольной природы. Классические понятия числа сочетаний, размещений и перестановок в случае возможности дублирования элементов в выборках обобщаются в различных направлениях. Так, в частности, возникают сочетания, размещения и перестановки с повторениями [1]. Существует множество комбинаторных задач, которые можно эффективно решать, не обращаясь всякий раз к основным принципам комбинаторики, например к правилу произведения, а используя различные обобщения основных комбинаторных чисел.

Непосредственное прикладное применение комбинаторных чисел связано с подсчётом количества подмультимножеств заданного мультимножества [3], обладающих определёнными свойствами. При этом данная задача может рассматриваться и как универсальный способ построения и классификации комбинаторных чисел в зависимости от задаваемых свойств подмультимножеств.

Первичная спецификация мультимножества приводит к задаче подсчета m-элементных подмультимножеств заданного мультимножества с фиксированными весами его элементов. Например, в [4] получена формула для решения данной задачи. В [5] на основе данной формулы получено выражение, более удобное для проведения вычислений. В этой же работе получена формула для числа упорядоченных подмультимно-жеств. Другой подход для определения количества m-элементных подмультимножеств заданного мультимножества через их вторичные спецификации рассматривается в [6].

В данной работе получено несколько новых возможных способов обобщения понятия числа сочетаний с повторениями и рассмотрены некоторые комбинаторные задачи, решаемые с их помощью. В частности, полученные результаты имеют непосредственное применение к задаче о подсчёте количества подмультимножеств заданного мультимножества.

1. Определение числа сочетаний с повторениями при ограничениях

Формулировка достаточно общей комбинаторной задачи, приводящей к сочетаниям с повторениями, может быть следующей: имеется большое число предметов, например бесконечное, п различных типов. Необходимо определить, сколько из них можно составить различных т-элементных наборов, не принимая во внимание порядок элементов. В качестве точной формализации понятия к-элементного набора можно рассматривать п-компонентный вектор (х1, х2,... , хп), где Хк означает количество элементов к-го типа, к = 1,... , п, в соответствующем т-элементном наборе.

Следовательно, исходная задача эквивалентна задаче определения количества неотрицательных решений линейного диофантова уравнения

Х1 + Х2 + ... + Хп = т,

где Хк ^ 0, к = 1,... , п. Для числа сочетаний с повторениями в литературе используются различные обозначения, например Сп или /П; будем придерживаться последнего обозначения. Решение задачи (1) дается следующей формулой [1]:

/п _ СП—1

/п Сп— 1+п<,

где С” — число сочетаний без повторений из п элементов по т элементов.

Если в исходной задаче количество элементов каждого типа не является бесконечным, а ограничено некоторым числом, для каждого типа своим, то приходим к понятию числа сочетаний с повторениями при ограничениях. Иными словами, рассмотрим следующую комбинаторную задачу. Имеется п ящиков с конфетами. Разрешается взять ровно т конфет из этих ящиков, причём из к-го ящика разрешается взять не более тк конфет. Необходимо найти, сколькими способами это можно сделать. Формулировка данной задачи в терминах диофантовых уравнений следующая: необходимо найти количество неотрицательных решений линейного диофантова уравнения (1) при наличии ограничений

0 ^ Хк ^ тк, к = 1,..., п.

Обозначим данное число символом /П [т1,т2,... ,тп] и будем его называть числом сочетаний с повторениями из п типов элементов по т элементов при (простых) ограничениях, определяемых неравенствами (2).

Замечание 1. Несложно проверить, что решение задачи (1), (2), т. е. формула для /П [т1, т2,... , тП], имеет смысл лишь при тк ^ 0 для к = 1,... , п и т1 + т2 + + ... + тп ^ т.

Задача (1), (2) также может быть сформулирована как задача подсчёта т-эле-ментных подмультимножеств заданного мультимножества с весами элементов т1, т2, ..., тП. Применяя метод производящих функций, далее мы получим новую формулу для решения задачи (1), (2) и некоторых её обобщений.

Отметим, что конфеты в ящиках могут быть упакованы не насыпью, а находиться в коробках или блоках по rj штук, ] = 1,...,Ж. Таким образом, имеется N типов коробок, где в коробке ]-го типа находится г^ конфет.

Замечание 2. В отношении последней задачи возможны два варианта. В первом случае разрешается из каждого ящика брать не более одной коробки конфет. Решение задачи в этом случае будем называть числом сочетаний с повторениями при блочных

т1, т2,..., тП

ограничениях и обозначать символом /

п

П

Во втором случае огра-

Г1,Г2, . . . ,Глг

ничений на количество коробок нет. Необходимо лишь, чтобы суммарное количество

конфет, взятых из к-го ящика, не превышало Шк, к = 1,...,п. Решение второй задачи будем называть числом сочетаний второго типа с повторениями при блочных

Ш1,Ш2,...,Ш„

ограничениях и обозначать символом гг' '

Ш1,Ш2

m

n

Интерпретация формулы f

m

n

Гі,Г2,. . . ,rN

, mn

в терминах числа решений диофан-

Г1,Г2, . . . ,гм

това уравнения (1) приводит к следующим ограничениям для допустимых решений:

О 4 Xk 4 mk, Xk Є {гі, r2,..., rN} , k = l,..., n,

l,

, N, —произвольные целые неотрицательные числа, удовлетворяющие ^ шт {шк}.

Введём в рассмотрение следующие множества целых чисел (к = 1,... , п):

где Tj, j

условию min {тЛ ^ min |mkj.

J i^j^N { j J ЫМ/n { k J

N

I (mk; гі, r2,..., rN) = <J r : r = Y, akprp 4 mk, akp Є Z+ = N U {0}, p = l,..., N

p=l

m

n

ml, m2, . . . , mn

через целочис-

Тогда для определения комбинаторного числа Fn

T1,T2, ...,Tn

ленные решения уравнения (1) приходим к следующим ограничениям:

0 ^ Xk ^ mk, Xk е I (mk; Ti,T2,..., tn), k = 1,..., n.

2. Формулы для числа сочетаний с повторениями при ограничениях

Для вывода формул числа сочетаний с повторениями при ограничениях воспользуемся следующей конструкцией метода производящих функций [7]. Рассмотрим формальный полином

P(t) = (1 + t + t2 + ... + tmi) (1 + t + t2 + ... + tm2) ... (1 + t + t2 + ... + tmn) =

mi+m2+...+m„ /q\

= E t^l t^2 tXn

j = 0,xi + X2 + ...+xn=j,

0^.xfc ,k=1,...,n

Представим P(t) в стандартной форме по возрастающим показателям степеней:

P (t) = 1 + pit + p2t2 + ... + PntR, R = mi + m2 + ... + mn.

Тогда из тождества (3) следует, что fm [m1, m2,... , mn] = pm. Для вычисления данного коэффициента положим в тождестве (3) t = exp {i‘}, где i = V —1 —мнимая единица. Умножим обе части полученного соотношения на exp {—im‘} и проинтегрируем его по переменной ‘ на отрезке [—п,п]. Учитывая, что система функций {exp {ik‘}}^0 является ортогональной в пространстве L2 [—п, п], получим следующее представление:

,m г 1 1 п / • m eXP {i (mk + 1) ‘Л — 1 .

fn [mi, m2,... ,m„] = — J exp (—im‘^ --------------____ r . ,-- -----d‘.

2n.

Аналогично, рассматривая тождество

k=l exp {i^} - l

tj tj

tj

E

txltx2 ...tx

.j:rj 4m l

,j:rj 4m2

Kj:rj 4mn

Q^Xk^mk, k=l,...,n,

Xke{rl,r2,...,rN }

n

приходим к представлению

ml, m2,..., mn

m

n

l П n

2“/ П Е exp {i^ (rj - m)} d^.

2n —п p=l j:04rj<mp

Т1,Т2,. . . ,Глг Наконец, используя тождество

Е «*) ( Е I    I Е V

е/

= Е «Х1 «Х2 ...«Ж" ,

^т^, к = 1,...,п,

хке1

получаем выражение для числа сочетаний второго типа с повторениями при блочных ограничениях:

Fm

n

ml, m2, . . . , mn

Г1, Г2,

rN

inn

^ 1 11 Е

^/l —п p=l j:rjЄДш^гі,^,...,^)

exp {i^ (rj - m)}d^.

3. Некоторые следствия и обобщения

Отметим, что если элементы в последовательности {т1, т2, . . . , Tn} рекуррентно связаны, например образуют геометрическую прогрессию, то подынтегральные выражения в соотношениях (4), (5) допускают дальнейшее упрощение. Например, если Tj/Tj-1 = a = const для j = 2,... , N, то, учитывая, что

^—1  ••• W. (—

tj = t

rl

где ф

j :r j 4mk

rl

« - 1

соотношение (4) примет в этом случае более простую форму

Ш1, Ш2, . . . , Шп

[z] — целая часть числа z,

f

n

m

n

Г1,Г2, . . . ,rN

l п

— \ exp {-im^} A (i^)d^, 2п _ п

где

A

tnrl

(t - l)n k=l

- 0-

Выше мы рассмотрели задачи о количестве выборок конфет различного состава для одного ребенка. В качестве небольшого обобщения рассмотрим задачу, когда конфеты необходимо распределить между несколькими детьми. Пусть имеется п ящиков с конфетами, причём в разных ящиках конфеты разных видов. Пусть также в ^-м ящике находится г/ конфет. Конфеты из всех ящиков необходимо распределить между Ш детьми так, чтобы первому досталось ровно к1 конфет, второму — к2 конфет и т. д., последнему — кт конфет. Необходимо определить, сколькими способами это можно сделать. Интерпретация данной задачи в терминах решений диофантовых уравнений приводит к следующей формулировке.

Рассматривается система линейных диофантовых уравнений

X11 + X12 + ... + Xln — kl, X21 + X22 + ... + X2n = k2,

Xml + Xm2 + ... + Xmn =

X11 + X21 + ... + Xml

Г1,

X12 + X22 + ... + Xm2 = r 2,

Xln + X2n + ... + Xm

Гп,

где

п т

Е г, = Е кг; кг ^ 0, г = 1,... ,т; г,- ^ 0,3 = 1,..., п.

,=1 г=1

Необходимо определить количество её неотрицательных решений. Решение задачи (6), (7) обозначим символом /т1.ПП"’кт’Г1’'"’Гп, который также может рассматриваться как некоторое расширение понятия числа сочетаний с повторениями. Для определения данного комбинаторного числа рассмотрим следующую промежуточную подзадачу. Обозначим через А = ||а, : г = 1,... , т;3 = 1,... ,п|| произвольную матрицу с целыми неотрицательными элементами. Через Ь = ||Ьг : г = 1,...,т|| обозначим произвольный вектор-столбец с целыми неотрицательными элементами. Рассматривается задача определения количества неотрицательных решений системы линейных диофантовых уравнений

«г1Х1 + а»2Х2 + ... + «гпХп = Ь», г = 1,... ,т.

Обозначим решение рассматриваемой задачи через N (А, Ь). Данное число равно коэффициенту при ^ ^22 ... ^ в разложении по возрастающим показателям степеней производящей функции

к

]“[ ^

j=1 k=0

r ь n\ ^

Vi = 1,..., m (ajj > 0) >, j = 1,..., n.

+ sgn 1 (j — [bj!

_ aij _ \ V aij . aij _

где Kj = 1 + max

Поступая по аналогии, как и ранее, положим в (9) tk = exp {iVk}, k = 1,... , m. Далее, интегрируя полученное выражение на кубе [—п,п]т по переменным Vk, учитывая ортогональность системы функций -|exp —i Е qk Vk : ^ Z+, k = 1,... , m

в пространстве L2 [—n,n]m, приходим к следующему результату:

1 п п 'jraKj f m

N (A, b) = j—rm I ... j exp — i ^ bk Vk f П E exp ^ ik a^ Vi f dvi... dVm.

/о \т ,} • • • Л ч о ^ г | | / ^ \ ыь ^

(2п) —п —п I. к=1 J ,=1 к=0 I. г=1

Для применения полученной формулы к определению числа целочисленных неотрицательных решений системы диофантовых уравнений (6), (7) перенумеруем неизвестные , г = 1,... , т, 3 = 1,... , п, с помощью одного индекса к построчно слева направо и сверху вниз. Это соответствие для к = 1,...,тп задаётся правилом: ^п,т (к) = (г, 3), если к = (г - 1) п + 3.

Следовательно, задача (6), (7) допускает представление в виде (8), если положить

А = ||а, : г = 1,... ,т + п,3 = 1,..., тп||, Ь = ||Ьг : г = 1,..., т + п||,

где для г = 1,..., т + п, 3 = 1,..., тп

1, если г € {1, 2,..., т} и ^пт (3) е {(г, д) : 1 ^ q ^ п} ,

1, если г = т + р, 1 ^ р ^ п и ^п>т

0 в остальных случаях;

кг, если 1 ^ г ^ т,

Ьг = <

г,, если г = т + 3,1 ^ 3 ^ п.

aij

Таким образом, справедлива формула /?к1.П"’кт;Г1’'"’Гп = N (А, Ь), где матрица А и вектор Ь определяются с помощью соотношений (10), (11).

Пример. Рассмотрим применение полученных выше формул для решения задачи (6), (7). Пусть т = 3 и п = 2. Необходимо найти количество всех целых неотрицательных решений системы уравнений

Хц + Ж]_2 — ^1,

Х21 + Х22 = &2,

Х31 + Х32 = кз,

Х11 + Х21 + Х31 = ГЪ Х11 + Х21 + Х31 = Г 2.

Пусть также к1 = 3, к2 = 5, к3 = 2, г1 = 4 и г2 = 6. Очевидно, что условие (7) при этом выполнено. Матрица А и вектор Ь имеют вид

А

1 1 0 0 0 0 3

0 0 1 1 0 0 5

0 0 0 0 1 1 , Ь = 2

1 0 1 0 1 0 4

0 1 0 1 0 1 6

Таким образом, количество всех целых неотрицательных решений рассматриваемой системы уравнений даётся формулой

(•3,5,2;4,6

/3;2

1

1111 (<£1,<£2,<£3,<£4,<£5) ^1 ^2^3^4^5 =11,

(2п ) —п —п —п —п —

где

^ (^1, ^2, ¥>3, ¥4, ^5) = е—^1+5^2+4^б) П ^ (^1, ^2, ¥3, ¥4, Ы

.7=1

^1

^2

*3

^4

^5

^6

+ е»

+ е»

+ е»

+ е»

+ е»(^3+^4)+ е2»(^3+^4)+ е3»(^3+^4)+ 64»(^3+^4)+ е5»(^3 +Ы + е6»(^3+Ы

+ е»

Заключение

Получены некоторые обобщения понятия числа сочетаний с повторениями. Найдены интегральные формулы для рассматриваемых комбинаторных чисел, применение которых может рассматриваться как альтернатива использованию различных переборных алгоритмов, реализуемых на ЭВМ с помощью языков программирования. Однако использование данных формул приводит к вычислению определённых интегралов; вопросы, связанные с эффективностью реализации операции интегрирования, требуют дальнейшего исследования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. М.: Наука, 1969. 323 с.

2. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов. СПб.: Питер, 2009. 384 с.

3. Петровский А. Б. Пространства множеств и мультимножеств. М.: УРСС, 2003. 248 с.

4. MacMahon P. A. Combinatory analysis. Cambridge: The University Press, 1915. 296 p.

5. Juric Z. and Siljak H. A new formula for the number of combinations and permutations of multisets // Appl. Math. Sci. 2011. V. 5. No. 18. P. 875-881.

6. Заторский Р. А. Подсчет m-подмультимножеств через их вторичные спецификации // Комбинаторный анализ. Вып. 7. М.: МГУ, 1986. С. 136-145.

7. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. М.: Наука, 1978. 391 с.