Геомеханическая модель оценки механических свойств мерзлых горных пород в массиве

УДК 622.23.02

М.М. Иудин

ГЕОМЕХАНИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МЕРЗЛЫХ ГОРНЫХ ПОРОД В МАССИВЕ

Рассмотрены распределения модуля упругости и коэффициента Пуассона в зависимости от реологического поведения минерального скелета и льда в горных породах.

Ключевые слова: модуль упругости горных пород, коэффициент Пуассона, многолетнемерзлый массив, ползучесть горных пород, оттаивание мерзлых пород, трещиноватость, модуль деформации.

Массив многолетнемерзлых горных пород представляет собой твердое тело, состоящее из минеральных частиц и кристаллов льда, сцементированных в многофазную систему, находящуюся в естественном температурном режиме, уровень которого формирует соотношение различных фаз (незамерзшая вода, газообразные вещества в порах, льдистость горных пород). Механическое поведение мерзлых пород в значительной мере определяется развитием термодинамических, тепломассообменных, химических, физико-химических процессов в жидкой, газообразной и твердой фазах.

Известно, что в мерзлом состоянии горные породы обладают повышенной прочностью и устойчивостью за счет цементирующего действия замерзшей воды в порах и трещинах массива. В практике ведения горных работ зафиксированы случаи, когда горные выработки, пройденные и эксплуатирующиеся в мерзлых породах, длительное время сохраняли свою устойчивость без крепления. Следует отметить, что это характерно для горных выработок, в которых сохраняется отрицательный тепловой режим круглогодично.

Многолетнемерзлый массив горных пород обладает существенным элементом в своей структуре: наличие льда в порах и трещинах, который в значительной степени определяет физико-механические свойства горных пород. Коэффициент Пуассона горной породы в мерзлом состоянии будет определяться свойствами следующих компонентов: минеральный скелет горной породы и лед, находящийся в порах и трещинах.

ИУДИНМихаил Михайлович - к.т.н., профессор ГГИ ЯГУ

Как считают авторы [1], коэффициент Пуассона, равный 0,4 для льда, является наиболее подходящей величиной. В составе мерзлых горных пород коэффициент Пуассона льда может принимать значения 0,3-0,4 [2]. Таким образом, можно констатировать, что лед в порах и трещинах горной породы имеет коэффициент Пуассона, близкий к величине 0,4, которую можно принимать в расчетах по оценке протекания геомеханических процессов в породном массиве вокруг вертикальной выработки. Коэффициент Пуассона горных пород имеет широкий диапазон значений от 0,1 до 0,5.

Поэтому средневзвешенный коэффициент Пуассона для многолетнемерзлого породного массива будет определяться соотношением коэффициента Пуассона горной породы и льда:

V = /

пм ^ V гп' л-'?

где V- коэффициент Пуассона, индексы означают: «пм» -породный массив; «гп» - горная порода; «л» - лед.

Вид функции коэффициента Пуассона породного массива описывается сложной зависимостью и определяется многими факторами, в частности, характером деформирования элементов породного массива.

В качестве практической функции примем зависимость А.И. Мороза [3], в которой теоретически обоснован вид зависимости для определения обобщенного коэффициента Пуассона среды от двух систем напряжений.

В многолетнемерзлом породном массиве две системы напряжений могут образовываться независимо в процессе деформирования минерального скелета породы и льда, обладающих разными исходными коэффициентами Пуассона.

В модифицированном виде обобщенный коэффициент Пуассона для многолетнемерзлого породного массива определяется следующим образом:

к« -а.

= -

к (1 + агп ) - 1 “«л

=-

1 — V,

=

1 -V,

где к - коэффициент, определяемый соотношением двух систем напряжений.

Выполним расчеты по формуле (1) для разных соотношений коэффициентов Пуассона минерального скелета и льда, причем коэффициенты имеют значения, характерные для деформирования породного массива кимберлитовых месторождений (табл. 1).

Другим способом учета свойств ползучести пород при расчете крепи горной выработки является применение метода переменных модулей из теории линейной вязкоупругости. Суть метода заключается в следующем: сначала решается упругая задача по определению напряжений и деформаций в соответствующей постановке, затем вместо упругих параметров среды подставляются интегральные временные операторы, которые позволяют учитывать свойства ползучести пород, и далее получается решение, которое можно считать решением упруговязкой модели. Например, этим способом Ж.С. Ержанов определил распределение напряжений вокруг закрепленного ствола на основе решения упругой задачи Г.Н. Савина.

Временной аналог коэффициента Пуассона имеет следующий вид, выраженный через функцию ползучести Ф [4]:

Таблица 1

Обобщенный коэффициент Пуассона в мерзлом породном массиве

г(г) = 0,5 -

0,5 -г

Ф =

5т1

Коэффициент Пуассона составляющих массива Коэффициент к

0 -1 -5 -50 -500

уги=0,2; ул =0,4 0,4 0,315 0,242 0,205 0,2

Уги=0,3; =0,4 0,4 0,355 0,321 0,303 0,3

уги=0,45; ул =0,4 0,4 0,426 0,443 0,449 0,45

Результаты расчетов показывают, что значение обобщенного коэффициента Пуассона зависит от соотношения напряженного состояния двух систем, формирующегося в мерзлом породном массиве. Этот вывод подтверждается теоретическими результатами исследований А.И. Мороза [3].

Как отмечает И.В. БаклашовиБ.А. Картозия [4], упругие перемещения пород происходят практически мгновенно со скоростью распространения упругих волн в массиве. По причине малости упругих перемещений основная доля конечных перемещений породного массива приходится на неупругие, которые обычно развиваются со временем.

Существует несколько способов расчета ползучести горных пород в геомеханике. В зависимости от вида решаемой геомеханической задачи используются теории ползучести, уравнения которой позволяют выразить связь ме^ду напряжением, деформацией, ее скоростью и временем в явном виде: теория наследственной ползучести, теории старения, упрочнения и течения, а также кинетическая теория ползучести. Например, Ж.С. Ержанов и Ю.А. Векслер предложили учитывать ползучесть горных пород при расчете смещений в зоне разрушения вокруг выработки. Смещения породного массива возрастают из-за увеличения объема пород при растрескивании в результате ползучести. При этом может произойти отделение от массива некоторых объемов пород и возникновение нового породного контура. Тогда общее смещение определяется суммированием смещений за счет увеличения объема разрушенных пород и ползучести породного массива.

1 + Ф 1 -а

где г- время, а, 8- характеристики ползучести пород.

Таким образом, чтобы адекватно определить влияние свойств пород на характер деформирования мерзлых горных пород, достаточно применить метод переменных модулей теории линейной вязкоупругости к уже полученному решению задачи соответствующей упругой модели деформирования породного массива вокруг выработки.

Лед в отличие от минерального скелета горной породы под действием длительной нагрузки чаще проявляет ползучесть при деформировании. Горная порода в зависимости от составляющих ее минералов тоже может проявлять свойства ползучести. Поэтому в мерзлом породном массиве проявление ползучести может быть как со стороны льда, так и со стороны горной породы.

Тогда коэффициенты в формуле (1) найдем в следующем виде:

агп (7) =

0,5(1 + Ф) - 0,5

«л (т) =

0,5(1 + Ф) + 0,5 — V г 0,5(1 + Ф) - 0,1

0,5(1 + Ф) + 0 ,1 .

Параметры, входящие в функцию ползучести, имеют достаточно широкий статистический разброс, по данным экспериментальных исследований, что подчеркивает необходимость выполнения аналитической оценки влияния ползучести. Результаты расчетов приведены в табл. 2. Для анализа исходных данных по свойствам горных пород примем имеющиеся практические значения, соответствующие горно-геологическим условиям кимберлитовых месторождений: V = 0,4; V = 0,2; к = -2; г = 1; а= 0,7; 5= 0,002. * ”

Таблица 2

Параметры функции ползучести Ф

а 5 Время г, сутки

1 5 10 20

0,6 0,001 0,24 0,45 0,59 0,78

0,002 0,47 0,89 1,18 1,56

0,003 0,69 1,34 1,77 2,34

0,004 0,94 1,78 2,37 3,12

0,7 0,001 0,09 0,16 0,19 0,24

0,002 0,21 0,33 0,39 0,49

0,003 0,31 0,49 0,61 0,74

0,004 0,39 0,64 0,79 0,97

0,8 0,001 0,05 0,07 0,08 0,09

0,002 0,11 0,13 0,15 0,17

0,003 0,15 0,19 0,23 0,26

0,004 0,19 0,25 0,29 0,35

При анализе коэффициента Пуассона в мерзлом состоянии возможны два варианта проявлений ползучести. В первом варианте свойства ползучести в мерзлом породном массиве могут проявлять только один элемент - лед. Во втором варианте свойства ползучести проявляют оба элемента породного массива - минеральный элемент горной породы и лед.

Результаты расчетов по формуле 2 для 1-го варианта приведены в табл. 3, в которой учтено только влияние пол -зучести льда. Результаты расчетов по формуле 2 для 2-го варианта приведены в табл. 4, в которой учитываются ползучесть минерального скелета и льда одновременно.

Таблица 3

Коэффициент влияния ползучести для 1-го варианта

Параметр Время г, сутки

1 5 10 20

Ф(т) 0,21 0,33 0,39 0,49

ал(т) 0,716 0,738 0,748 0,755

Таблица 4

Коэффициенты влияния ползучести для 2-го варианта

Параметр Время т, сутки

1 5 10 20

аг„(х) 0,337 0,378 0,397 0,426

ал(х) 0,716 0,738 0,748 0,755

Модуль упругости мерзлых пород с учетом ползучее -ти всех элементов, так как выделить влияние каждого отдельного элемента не представляется возможным, найдем в виде:

Е (Т) = Ем Ем (Т) 1 + Ф ’

где Ем - модуль упругости породы, определяемой в лабораторных условиях при естественной температуре породного массива; Ем(т) - изменение модуля упругости в процессе длительного деформирования породы.

Если в выработке поддерживается положительный тепловой режим воздуха, то по мере оттаивания мерзлого массива горные породы значительно снижают свою устойчивость, а иногда переходят в разрушенное состояние. Поэтому в зоне протаивания горные породы в случае их разрушения представляются несвязной, сыпучей средой. Такой подход действительно характерен для описания механического состояния дисперсных, сильнотрещиноватых горных пород. Мерзлые коренные, осадочные породы при оттаивании хотя и имеют меньшую прочность, чем в мерзлом состоянии, но сохраняют свою связность, а устойчи-

вость породного обнажения будет зависеть от текстурного, структурного строения и трещиноватости пород при-контурного слоя массива. Поэтому оценку влияния трещиноватости мерзлых горных пород целесообразно производить, когда мерзлые породы перейдут в талое состояние вокруг горной выработки. Лед как цементирующий элемент потеряет свое свойство, и трещины в зоне протаи-вания будут определять упругие свойства горных пород в талом состоянии. Трещиноватость горных пород образуется в результате длительного воздействия геомеханичес-ких, тектонических и физико-механических процессов, действовавших и происходящих в породном массиве и земной коре. Трещиноватость является определяющей структурно-механической особенностью породного массива. Трещины наблюдаются в породах любого происхождения (осадочных, магматических и метаморфических) и по генетическому признаку подразделяются на естественные (природные) и искусственные (техногенные) трещины.

Влияние трещиноватости на упругие свойства горных пород оцениваются разными способами. Руппенейт К.В. [5] предлагает реальный породный трещиноватый массив заменить эквивалентным по деформируемости сплошным твердым телом. Это позволит применить основные дифференциальные уравнения теории упругости к эквивалентному массиву горных пород и оценивать уровень напряженно-деформированного состояния породного массива в окрестности горной выработки. Эквивалентный массив горных пород наделяется приведенным модулем деформации. Значение модуля деформации подбирается таким образом, чтобы перемещение на контакте поверхности породного массива и подземного сооружения было бы одинаковым для реального и эквивалентного массива.

Приведенный модуль деформации для одной системы макротрещин определяется по формуле [5]:

Л =

К

где Ет - модуль деформации горных пород в трещиноватом массиве; Е0 - модуль упругости породы в монолитном состоянии; г) - расстояние между трещинами;

8- ширина раскрытия трещины; ж - относительная площадь фактического касания шероховатых поверхностей трещины, практически равняется 0,0003.

Величина 1/И при анализе трещиноватости породного массива имеет смысл модуля трещиноватости или интенсивности трещиноватости или густоты трещин [5, 6]. Тогда после преобразований формулы (3) целесообразно привести к следующему виду:

Ет =

1 + ^- Мт

где у - определяется соотношением 8/ж; Мт - модуль трещиноватости горной породы.

Снижение модуля упругости горных пород в зоне трещиноватости породного массива можно оценить по формуле [6]:

Ет =

Ег

1 + 0,5МТ

Если сравнить формулы (4 и 5), то в принципе формула (5) имеет ограниченное применение, т.к. коэффициент ш определен только для фиксированного случая, который сконцентрирован в величине 0,5. В то время как формула (4) имеет широкое применение, т.к. коэффициент ш определяется экспериментальным путем, и его можно оценивать для конкретного месторождения.

Из формулы (4) следует выделить коэффициент, который имеет смысл такой же, как коэффициент структурного ослабления горных пород в массиве:

к =

1

1 + щ  Мт

Рассчитаем значения коэффициента к для разных соотношений 81 ж, которые приведены в табл. 5.

На рисунке показан характер влияния трещиноватости горных пород на параметры ослабления приконтурной области породного массива.

Таблица 5

Значения коэффициента к

Показатель модуля трещиноватости Мт Отношение 8/ж

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

1 0,91 0.83 0,77 0,72 0.67

2 0,83 0,72 0,63 0,56 0,33

6 0,63 0,45 0,36 0,29 0,14

7 0,59 0,42 0,32 0,26 0,13

10 0,50 0,33 0,25 0,20 0,09

11 0,48 0,31 0,23 0,18 0,08

20 0,33 0,20 0,14 0,11 0,05

Рис. Степень влияния интенсивности трещиноватости

Анализ результатов расчета показывает, что чем меньше соотношение д/ж, тем меньше влияние трещиноватости на снижение модуля упругости горных пород в массиве. В целом, соотношение д/ж оценивает полноту контактов шероховатых поверхностей в трещине: чем меньше это соотношение, тем больше площадь контакта поверхностей в трещине. Чем больше показатель модуля трещиноватости горных пород, тем сильнее влияние трещиноватости на модуль упругости. Этот вывод в основном не противоречит современному представлению механизма развития геомеханических процессов в породном массиве вокруг горной выработки.

Таким образом, существующие системы трещиноватости горных пород неодинаково влияют на геомеханичес-кие процессы, происходящие в породном массиве вокруг горных выработок. Это влияние можно оценить через снижение упругих свойств горных пород в зоне трещиноватости породного массива.

При проявлении ползучести горных пород в зоне про-таивания мерзлого породного массива модуль деформа -ции по формуле (4) изменяется следующим образом:

ЕТ (7) =-------^----------й

1 + ^- Мт [1 + Ф\

Коэффициент Пуассона горных пород в массиве формируется или «интегрируется» в величину, которую можно назвать обобщенным коэффициентом Пуассона породного массива в пределах области решаемой геомеханичес-кой задачи, и определяется многими факторами.

Существенное значение на обобщенный коэффициент

Пуассона имеет принимаемая геомеханическая модель массива горных пород, в которой коэффициент Пуассона должен адекватно описывать процесс деформирования горных пород в окрестности выработки и особенно характер перемещения породного контура выработки. Упругая модель деформирования породного массива предполагает зависимость обобщенного коэффициента Пуассона от структурных особенностей горных пород (блочность, слоистость, трещиноватость). Реологическая модель предполагает зависимость коэффициента Пуассона от проявлений ползучести пород в массиве. Горная порода редко деформируется по одной геомеханической модели; как правило, целесообразно применять комбинированные модели деформирования. Тогда обобщенный коэффициент Пуассона будет определяться интегрированной суммой составляющих коэффициента от разных влияющих факторов. Геомеханическую модель формирования коэффициента Пуассона в зоне протаивания мерзлого породного массива вокруг выработки можно построить следующим образом. В зоне протаивания мерзлых пород вокруг выработки исчезает лед-цемент в трещинах и порах, и появляются в ней дополнительные трещины и микротрещины в окрестности породного обнажения. Это вызывает изменение коэффициента Пуассона мерзлых пород в зоне протаивания. Минеральный скелет горной породы в диапазоне положительных температур может проявлять свойства ползучести, т.к. с температурой изменяются механические свойства минералов, составляющих горную породу. Поэтому коэффициент Пуассона горной породы претерпевает изменения в зоне протаивания вокруг выработки, обусловленные трещиноватостью и ползучестью.

В зоне протаивания мерзлых пород коэффициент Пуассона будет определяться по формуле:

0,5-ут ут (г) = 0,5---------—

1 + Ф

где пт - коэффициент Пуассона горной породы в талом состоянии, определяемой в лабораторных условиях.

Таким образом, обоснована и предложена геомехани-ческая модель оценки механических свойств горных пород в мерзлом и талом состоянии, которые формируются и определяются структурным состоянием породного массива в окрестности выработки. Это позволит вести расчет напряженно-деформированного состояния мерзлого породного массива с учетом перераспределения механических свойств горных пород в зависимости от изменения тем -пературного режима в окрестности выработки.

Литература

1. ЭмериДж., Мирза Ф. Моделирование методом конечных элементов течения больших масс льда // Физика и механика льда: Пер. с англ. / Под ред. П. Трюде. М.: Мир, 1983. С. 82-94.

2. Ржевский В.В., НовикГ.Я. Основы физики горныхпород: Учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1984. 359 с.

3. Мороз А.И. К вопросу об определении коэффициента Пуассона осадочной горной породы // ФТПРПИ. 2006. № 4. С. 5968.

4. Баклашов И.В., Картозия Б.А. Механические процессы в породных массивах. М.: Недра, 1986. 272 с.

5. Руппенейт К.В. Деформируемость массивов трещиноватых горных пород. М.: Недра, 1975. 223 с.

6. Тектонические напряжения в земной коре и устойчивость горных выработок / И.А. Турчанинов, Г.А. Марков, В.И. Иванов, А.А. Козырев и др. Л.: Наука, 1978. 256 с.

M.M. Iudin

Geo-mechanical model of evaluation of mechanical properties of frozen rocks in massif

The author studies a distribution of modulus of elasticity and Poisson ratio depending on deformation behavior of framework of grains and ice in rocks.

Key-words: module of elasticity, Poisson ratio of rocks, Poisson coefficient, everfrost solid mass, rock creep, defrostation of frost rocks, cleavage, deformation module.