Численный анализ сопряженного конвективно-радиационного теплопереноса в замкнутой области

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 1

УДК 669.86:536.21

С.Г. Мартюшев, М.А. Шеремет

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ СОПРЯЖЕННОГО КОНВЕКТИВНО-РАДИАЦИОННОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ1

Проведено математическое моделирование сложного теплопереноса в замкнутой прямоугольной области с теплопроводными стенками конечной толщины при наличии локального источника тепловыделения. В качестве механизмов переноса тепла в газовой полости рассматривались естественная конвекция и излучение, а в элементах ограждающей твердой оболочки - теплопроводность. Получены поля скорости и температуры, характеризующие основные закономерности исследуемого процесса в широком диапазоне изменения определяющих параметров.

Ключевые слова: сопряженный теплоперенос, естественная конвекция, излучение, математическое моделирование.

Математическое моделирование сопряженного конвективно-радиационного теплопереноса в газовой полости и теплопроводности в элементах твердого материала имеет достаточно широкие области приложения [1, 2]. С точки зрения теоретического значения большой интерес вызывает наиболее полный анализ возможных режимов взаимодействия термогравитационной конвекции и излучения в газовой полости. Исследование процессов теплопереноса в областях при наличии теплопроводных стенок приобретает существенные связи с практикой (анализ теплового состояния радиоэлектронной аппаратуры; исследование технологических режимов в машиностроении; поиск оптимальных параметров по созданию комфортных условий в жилых помещениях) [1 - 3].

Целью настоящей работы является математическое моделирование нестационарной сопряженной естественной конвекции в замкнутой области при наличии локального источника тепловыделения в условиях радиационного теплопереноса в газовой полости и неоднородного теплообмена с внешней средой.

Постановка задачи

Рассматривается краевая задача нестационарного конвективно-радиационного теплопереноса в прямоугольной области, представленной на рис 1. Область решения представляет собой газовую полость, ограниченную теплопроводными стенками конечной толщины. На внутренней стороне левой стенки находится источник тепловыделения, имеющий постоянную температуру в течение всего процесса. Считается, что в начальный момент времени стенки полости и заполняющая ее несжимаемая жидкость имеют постоянную и одинаковую во всех точках температуру, причем жидкость неподвижна. Горизонтальные стенки у = 0, у = 2И1+И и вертикальная стенка х = 211+Ь предполагаются теплоизолированными с наружной

1 Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (ГК № П357).

стороны. На границе х = 0 осуществляется конвективно-радиационный теплообмен с окружающей средой. Газ, занимающий внутреннюю полость, считается вязкой, ньютоновской, несжимаемой, излучающей жидкостью, удовлетворяющей приближению Буссинеска.

В такой постановке процесс переноса тепла в анализируемой области решения (рис. 1) описывается системой нестационарных двумерных уравнений конвекции в приближении Буссинеска в газовой полости [4], где слагаемое в уравнении энергии, характеризующее излучение, описывается на основе приближения Россе-ланда [5] . Для анализа поля температуры в твердых стенках используется нестационарное двумерное уравнение теплопроводности [2] с нелинейными граничными условиями. Основным в приближении Буссинеска является предположение о том, что рассматривается «слабая» конвекция: вызванные неоднородно-

стью температуры отклонения плотности от среднего значения предполагаются настолько малыми, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения, где это отклонение учитывается в члене с подъемной силой. В приближении Росселанда [5] излучающую среду можно рассматривать, как некоторый континуум фотонов, т.е. можно считать, что на каждый элемент среды, как и в случае молекулярной проводимости, непосредственно влияют только его соседние элементы. В таких условиях перенос энергии излучения в среде можно уподобить диффузионному переносу.

Если пренебрегать вязкой диссипацией энергии, то уравнения неразрывности, движения и энергии в газовой полости для рассматриваемой задачи будут иметь вид

Рис. 1. Область решения: 1 - твердые стенки, 2 - газовая полость, 3 - источник тепла §

ди ду

— + — = 0 ;

дх ду

ди ди ди Л др

— + и — + V— 1 = — дt дх ду) дх

д 2и

д 2 и

Зу Зу Зу Л др — + и — + у— I = ——+ ц дt дх ду) ду

д 2 у

дх ду

дх 2 ду2 ^

+ рРёу (тг - то ) ;

дГг дТт

дТг

РгСрг \ + и-^ + У-^ I = Xг

дt

дх

ду

д 2Гг

д2Т, Л

дх2 ду2

- ,

где дг = —— +

гу

дх ду

На основе приближения Росселанда [5] тепловые потоки можно переписать следующим образом:

Чгх =

4ест дТг

Чгу =

4ест дТг

3рг дх у 3РГ дУ

Подставляя эти соотношения в уравнение энергии (4), получим выражение

[дТ дТг дТг .

ргС \ —- + и—- + V—- I = Хг г рг| д1 дх ду 1 г

4ест

(д 2Тг

д2Тг Л

дх2 дУ2

зрг

( 12Тг2 2 2 -з д2Тг д2Тг" Л

\ —-1 +\ —-1 + 4Тг3 г I г

г V V дх ) V ду ) г _ дх2 ду2 _ )

Область изменения независимых переменных для системы уравнений (1) - (3), (5) в газовой полости (рис. 1):

к1 < у < к + к2, 11 < х < 11 + Ь; к + к2 < у < к + к2 + кш, 11 + 1Ш < х < 11 + Ь;

к + к2 + кит < у < к + Н, 11 < х < 11 + Ь; 0 < t < /кон.

Для элементов твердой стенки уравнение теплопроводности:

дТст

рстС

ст рст

- = К

( д2Т

^ ст

дх 2

д 2Тс Л

ду2

Область изменения независимых переменных для уравнения теплопроводно -сти в элементах твердой стенки (рис. 1):

0 < у < к1, 0 < х < 2/1 + Ь; к1 < у < к1 + Н, 0 < х < /1, 11 + Ь < х < 2/1 + Ь; к + Н < у < 2к + Н, 0 < х < 2^ + Ь; 0 < t < tKон.

В этой системе уравнений (1) - (3), (5), (6) искомыми функциями являются компоненты вектора скорости и, V, давление р, температура Тг и Тст, которые зависят от пространственных координат х, у и времени t. Параметрами будут плотность газа и стенки рг и рст, коэффициент динамической вязкости ц, приведенная степень черноты е, постоянная Стефана - Больцмана ст, средний интегральный коэффициент ослабления по Росселанду ра, радиационный поток дг, температурный коэффициент объемного расширения в, составляющая ускорения силы тяжести в проекции на ось у gy (дх = 0), начальная температура области решения Т0, удельная теплоемкость при постоянном давлении газа и материала стенки Срг и Срст, коэффициент теплопроводности газа и материала стенки Хг и Хст.

Поскольку целью настоящей работы является анализ теплового состояния системы в условиях взаимного влияния естественной конвекции в ячейке, заполненной газом, и кондуктивного теплообмена в элементах твердой стенки, то наиболее целесообразным представляется преобразование сформулированной системы дифференциальных уравнений (1) - (3), (5), (6) к виду, исключающему непосредственный поиск поля давления. Для этого введем в рассмотрение функцию тока у и вектор вихря скорости ю, которые задаются следующим образом:

дш дш (дv ди

и = —-, V =-—, ю = го\У =-------------------

ду дх \дх ду

Тогда с учетом (7) уравнения (1) - (3), (5), (6) примут вид

1 в газовой полости

дю

да дю -------+ и-----------------+ V—

д1 дх ду

(д 2ю

д V

дх1 ду1

+рРя,

дТг

дх

д2ш д2ш —?- + —?- = -ю

дх2

ду

дТг

дТг дТг

+ и—L + V-

д1 дх ду

( д 2Тг

д2Тг Л

дх2 ду2

4ест

3Ри

1 в элементах твердой стенки

Г 12Тг2 (Ч 2 ~д2Тг д2Тг" Л

1 —- \ +1 —L \ + 4Тг3 г I г

V V дх \ V ду ) 2 2 )

РстСр

дТст

д1

=к

( д 2Т

^ ± ст

дх 2

д 2Т

ст

ду2

В новых переменных уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно. Связь вектора завихренности с функцией тока (9) следует из определения вектора завихренности (7). Уравнение диффузии вихря (8) можно получить из уравнений (2) и (3), воспользовавшись методикой перекрестного дифференцирования.

Вследствие большого разнообразия геометрических параметров и теплофизических характеристик рассматриваемого объекта воспользуемся безразмерной формой записи исходных уравнений. При этом использование безразмерной системы преследует две цели: приведение значений вычисляемых величин к соответствующей шкале, а также расчет и обработка результатов в общей критериальной форме, содержащей минимальное число параметров. Эти цели могут достигаться соответствующим выбором масштабов.

В качестве масштабов расстояния, времени, скорости, температуры, функции

тока и завихренности были выбраны Ь, ^Ь^ув(Тит - Т0), ^уР(Тит - Т0 )Ь ,

(Тит - Т0 ) , ^ув(Тит - Т0 )Ь , 4^ЖРЩ~Ь . Безразмерные переменные примут следующий вид:

X = х/Ь, 7 = у/Ь, т = Г^ув(Тш - Т )Ь,  = (Т - Т0 )1(Тт - Т0), и = и в (Тит - Т0 )Ь , V = ^у в (Тит - Т0 )Ь ,

Т = ш/ ^ув(Тит - Т0 )Ь , 0 = ^ЛЬ^ур(7ит^70),

где X, У - безразмерные координаты, соответствующие координатам х, у; Ь - длина газовой полости рассматриваемой области решения по оси х; т - безразмерное время; и, V - безразмерные скорости, соответствующие скоростям и, V; 0 - безразмерная температура; Тит - температура источника тепловыделения; ¥ - безразмерный аналог функции тока; ^ - безразмерный аналог вектора вихря.

Безразмерные уравнения Буссинеска в переменных «вихрь скорости - функция тока - температура» для рассматриваемой задачи:

• в газовой полости (2 на рис. 1):

дО дТ дО.

дт дУ дХ

дТ дО

дХ дУ

д 2О

д2 О

дХ2 дУ2

д&г

дХ

д2 ¥ д2 ¥

дХ 2 дУ2

= -0,

д©г + д¥ д©г д¥ д©г

дт дУ дХ дХ дУ ТрТ^Яа

!3| ©г + -

Т0

Тит - Т0

д0г

дХ

д©г

дУ

( д2©г д2© л

----2“ +

дХ2

+ 1 ©г +

д 2 +

Тс

ит - О

168к

3тя л/Рг- Яа

3 ( д2©г д2© 3

дХ2

дУ2

1 в элементах твердой стенки (1 на рис. 1):

д©.

д2©с

д 2©с

дРост дХ2 дУ2

Здесь Яа = gyв(Tш -Т0)1?/у^г - число Рэлея; V - кинематический коэффициент

вязкости; 8кг =&<зЬ (Тит -Т0 )3/^г - число Старка в газовой полости; Рг = v/аг -

число Прандтля; т^ - монохроматическая оптическая толщина среды; аг - коэффициент температуроповодности газа; аст - коэффициент температуроповодности

материала стенки; Рост = ^а1т^у$ (Тит - Т0 )Ь - число Фурье, соответствующее

материалу твердой стенки.

Начальные условия для системы уравнений (12) - (15):

¥ (Х, У ,0) =( Х, У ,0) = 0;

©( Х, У ,0) = 0;

©(Х, У,0) = 1 при ¡±¡2 < У < А1 + к2 + К

Ь

Граничные условия:

• на внешних границах области решения:

д©с

ь

1± < х < 1 +/ит ь ь

дХ

©ст +-

Тит - Т0

дХ

д©ст

дУ

при X = 0, 0 < У < (2ИХ + Н)/Ь, 0 < т < /конД0 ;

= 0 при X = 2^/Ь +1, 0 < У < (2\ + Н)Ь, 0 < т < /конД0

= 0

при У = 0, 0 < X < 2^/ Ь +1, 0 <т< ^онД0 ,

при У = (2НХ + Н)/Ь, 0 < X < 2^/ Ь +1, 0 <т< ¿конД0 ;

на внутренних границах области решения:

^ст. = 1?©г

при

д¥

¥=--------= 0; ©ст = ©г,

дХ дХ дХ

X = А/Ь, ыь < У <(И1 + Н2)/Ь, 0 < т < /ЮНД0,

X = А/Ь, ( + к2 + Иш )/Ь < У <(Н1 + Н )/Ь, 0 <т< гкои/г0, X = ЦЬ +1, ЫЬ < У <(¡7! + Н )/Ь, 0 < т < Гкон/Г0;

д¥

¥ =--------= 0; ©ст =©г

дУ

д© ст. = хд©г

дУ дУ

У = А]/Ь, А/Ь < X < А/Ь +1, 0 < т < /ЮНД,,

У =(¡1 + Н)/Ь, А/Ь < X < А/Ь +1, 0 < т < ;

= i

пРи X = li/L,

¥=-------= 0,  = 1

dY

при

Y = (hi + h2)/L, li/L — X — (li + 1иТ)/L, 0 — t — tKoJto ,

Y = (hi + h2 + Кт)L, IJL — X — (li + Іит)L, 0 — t — t„H/to ;

¥=------= 0,  = i

dX

пРи X =

Особенность постановки граничных условий для системы (i2) - (i5) состоит в том, что они заданы лишь для функции тока и формально не заданы для вихря непосредственно на границе области.

Краевая задача (i2) - (24) решена методом конечных разностей [7] на равномерной сетке.

Для аппроксимации конвективных слагаемых в эволюционных уравнениях применялась схема с донорными ячейками [8], обладающая свойствами консервативности и транспортивности и сохраняющая некоторые свойства схемы второго порядка точности. Значения вектора завихренности на поверхностях стенок определялись по формуле Вудса второго порядка точности [7, 9]. Уравнения параболического типа (i2), (i4), (i5) решались с использованием локально одномерной схемы А.А. Самарского [iQ], т.е. совершался переход на промежуточный временной слой. Полученная таким образом система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с трехдиагональной матрицей разрешалась методом прогонки. Для дискретизации уравнения Пуассона (i3) применялся пятиточечный шаблон «крест» на основе формул симметричной аппроксимации вторых производных. При этом полученная СЛАУ разрешалась методом последовательной верхней релаксации [6]. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов.

Разработанный метод решения был протестирован на задаче естественной конвекции в замкнутой квадратной полости [ii]. В таблице представлено сравнение значений среднего числа Нуссельта на вертикальной стенке при различных Ra, полученных на основе разработанного алгоритма, с результатами других авторов.

Значения среднего числа Нуссельта при различных числах Рэлея

Ra [ii] [i2] [i3] [i4] [i5] [i6] Полученные результаты

io3 i,ii8 - - - - - i,i2i

io4 2,243 2,244 2,245 2,4i8 2,244 2,254 2,247

io5 4,5i9 4,52i 4,522 4,7i5 4,536 4,56i 4,536

io6 8,800 8,825 8,829 9,i94 8,860 8,923 8,98i

Из представленной таблицы видно, что полученные результаты согласуются с данными других работ. Максимальная относительная погрешность соответствует Яа = 106 и равна 2 %.

Результаты численного моделирования

Численные исследования краевой задачи (12) - (24) проведены при следующих значениях безразмерных комплексов:

104 < Яа < 106, Рг = 0,7, X = X г/ X ст = 3,7-10-2, 5,7 -10-4, 6,8 -10-5. Безразмерные определяющие температуры принимали значения: ©е = -1, ©ит = 1, ©0 = 0. Особое внимание было уделено анализу влияния числа Рэлея, фактора неста-ционарности, теплофизических характеристик материала твердой стенки, а также оптической толщины среды на формирование термогидродинамических режимов.

Влияние числа Рэлея

На рис. 2 представлены линии тока и поля температуры, соответствующие « I

-4 , IX = 50.

б

различным режимам естественной конвекции Яа = 104, 105, 106, при т = 600,

Х = 5,7 -10-4, тх = 50.

а

0.4 0.8

Рис. 2. Линии тока и поля температуры при т = 600, Х = 5.7-10 4, тх = 50: а - Яа = 104; б - Яа = 105; в - Яа = 106

Увеличение числа Рэлея, обусловленное ростом температурного напора в полости, приводит к появлению вторичных циркуляций в зоне левого верхнего угла, а также отражается на росте скорости движения жидкости в полости. Необходимо отметить, что переход от Яа = 105 к Яа = 106 проявляется в существенной модификации линий тока - значительно увеличивается вихрь, располагавшийся в зоне верхнего левого угла, что приводит к деформации основной конвективной ячейки, обусловленной воздействием источника тепла. Причиной такого изменения в гидродинамике процесса, по всей видимости, является распространение возмущений от левого элемента твердой стенки вследствие опосредованного воздействия низкой температуры окружающей среды. На границе Х = 0 моделируется конвектив-

но-радиационный теплообмен с внешней средой, что отражается на проникновении пониженной температуры вглубь левой стенки и приводит к формированию некоторого поля возмущений вблизи внутренней поверхности этой стенки. Увеличение числа Рэлея в свою очередь способствует зарождению неустойчивого термического факела над источником тепла, который, изменяя свою ориентацию, вследствие продвижения фронта пониженной температуры от границы Х = 0, приводит к увеличению масштабов вторичной циркуляции.

Таким образом, увеличение роли подъемной силы отражается на смещении теплового факела в сторону правой стенки, что сказывается на смене гидродинамической картины: из одномасштабной конвективной ячейки формируются две вихревые структуры.

Влияние фактора нестационарности

Рассматриваемая задача является нестационарной, что обусловлено наличием зоны существенной температурной неоднородности, а также теплообменом с окружающей средой. Следует отметить, что для сложных технических устройств нестационарные процессы конвективного теплообмена практически всегда возникают при запуске и прекращении работы. В ходе таких процессов могут возникать опасные режимы. Характерным примером служит рабочий объем ядерного реактора, в котором перепады температуры при переходных процессах могут стать критическими для элементов конструкции. Те же соображения важны и для электрического оборудования и электронных приборов, охлаждаемых естественной конвекцией.

На рис. 3 показаны линии тока и поля температуры, отражающие динамику формирования режимов течения и теплообмена с течением времени при Яа =105, Х = 5,7 -10-4 и тх = 50.

а 6 в

1.2

0.8

0.4-

1.2

0.8'

0.4-

0 0.4 0.8 1.2 0 0.4 0.8 1.2 0 0.4 0.8 1.2 X

Рис. 3. Линии тока и поля температуры при Яа =105, Х = 5.7 -10-4 и тх = 50: а - т = 100; б - т = 300; в - т = 800

Увеличение безразмерного времени приводит к росту температуры как в газовой полости, так и в элементах твердой стенки. При т = 100 (рис. 3, а) в полости над источником тепла формируется вторичный вихрь, обусловленный влиянием внешней среды. С ростом т (рис. 3, б) заметно значительное увеличение температуры в левой стенке, что приводит к уменьшению степени влияния распространения поля пониженной температуры от границы Х = 0 и, следовательно, наблюдается уменьшение размеров вторичной циркуляции. Поле температуры при этом в газовой полости также изменяется - тепловой факел незначительно смещается к левой стенке. Дальнейший рост временного параметра (рис. 3, в) приводит к значительному прогреву области решения. Вторичное течение в левом верхнем углу полости диссипирует, наблюдается также увеличении скорости циркуляции газа в конвективной ячейке. Тепловой факел полностью присоединяется к левой стенке вследствие повышения температуры в этом элементе.

Был проведен также анализ влияния безразмерного времени на среднее число

1 52

1 Г

Нуссельта на внутренней поверхности правой стенки МиаУё = J

0,12

дХ

X=1,34

•^avg

--------- Яа = 104

.........Яа = 105

-  - Яа = 106

В сопряженных задачах теплообмена локальное и среднее числа Нуссельта зависят не ТОЛЬКО ОТ СВОЙСТВ ЖИДКОСТИ \ 1..

1М1а

и характеристик течения в полости, но от взаимодействия кондук-тивного теплопереноса в стенках с конвекцией в полости.

С ростом т заметно формирование трех переходных нестационарных режимов теплопереноса в области решения, судя по рис. 4.

При 0 < т < 300 (Яа = 105, 106) наблюдается уменьшение Киа^, что соответствует прогреву газовой полости. При 300 < т < 700 график среднего числа Нуссельта выходит на площадку, что определяет формирование квазистационарно-го режима, а далее при 700 < т < 900 наблюдается увеличение градиента температуры, что связано с перестройкой поля температуры как в полости, так и в правой стенке. Дальнейшее увеличение т не приводит к существенным изменениям в распределении среднего числа Нуссельта. При Яа = 104 выход на стационар происходит при т = 400.

200

400

600

800

Рис. 4. Зависимость Киято от т и Яа

Влияние относительного коэффициента теплопроводности

На рис. 5 представлены линии тока и поля температуры, характеризующие влияние относительного коэффициента теплопроводности на термогидродинамические параметры системы при Яа = 105, т = 600 и тх = 50.

Уменьшение относительного коэффициента теплопроводности X связано с ростом коэффициента теплопроводности материала твердых стенок, что отража-

ется и на картине течения, и на поле температуры. В случае, когда материал стенки является теплоизолятором (рис. 5, а), заметно влияние внешней среды - в левой стенке присутствуют изотермы пониженной температуры, а в газовой полости формируется вторичный вихрь в зоне верхнего левого угла. При \ = 5,7 -10-4 (рис. 5, б) источник тепла полностью ослабляет влияние окружающей среды, что приводит к уменьшению размеров вторичной циркуляции, а также к увеличению скорости движения газа в конвективной ячейке. Дальнейшее увеличение ^ст

1.2-

0.8-

0.4-

1.2-

0.8-

0.4-

0 0.4 0.8 1.2 0 0.4 0.8 1.2 0 0.4 0.8 1.2 X

Рис. 5. Линии тока и поля температуры при Яа = 105, т = 600:

а - 1 = 3,7 -10-2; б - 1 = 5,7 -10-4 ; в - 1 = 6,8 -10-5

(рис. 5, в) сказывается на значительном прогреве полости, что отражается на понижение градиента температуры в газе, и соответственно заметно уменьшение скорости циркуляции в конвективной ячейке. Последнее указывает на существование оптимального набора теплофизических характеристик материала стенок, который позволил бы интенсифицировать конвективный теплоперенос в полости и увеличить отвод тепла от нагреваемых элементов.

Заключение

Проведено математическое моделирование нестационарного конвективнорадиационного теплопереноса в замкнутой области с теплопроводными стенками конечной толщины при наличии источника тепла в условиях неоднородного теплообмена с внешней средой. Сопряженная задача численно проанализирована в широком диапазоне изменения определяющих параметров: Яа = 104, 105, 106, Рг = 0,71, т = 100 - 1000, X = 6,8-10"5, 5,7-10"4, 3,7-10"2. В результате получены ти-

а б в

' ¿р' ' ' ч 1 : /*/';>. \ 1 \ \ ’ь V'7 : ? ‘ \ ' ъ / ; ! ^ ''-0.015"' 1

пичные распределения линий тока и поля температуры. Исследовано влияние числа Рэлея, фактора нестационарности и относительного коэффициента теплопроводности на формирование термогидродинамических режимов. Установлено, что учет механизма излучения приводит к повышению температуры в газовой полости. Определены масштабы нелинейного влияния внешней среды, вследствие кондуктивного теплопереноса в твердых стенках, ограничивающих газовую полость. Установлено, что уменьшение относительного коэффициента теплопроводности приводит к уменьшению среднего числа Нуссельта на характерных границах раздела. Показано, что при уменьшении X прослеживается гидродинамический переход от двухмасштабной вихревой структуры к одномасштабной. Установлено, что с течением времени в результате прогрева стенок замкнутой области вторичная циркуляция, расположенная в зоне верхнего левого угла, уменьшается и начинает преобладать одномасштабная вихревая структура.

ЛИТЕРАТУРА

1. ЖукаускасА.А. Конвективный перенос в теплообменниках. М.: Наука, 1982. 472 с.

2. ЛыковА.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

3. Андрижиевский А.А., Лукашевич А.Г., Трифонов А.Г. Пространственное моделирование тепловых сборосов в водные системы // V Минский Международный форум по тепло- и массообмену (электронная версия докладов). Минск: Институт тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова, 2004.

4. Соковишин Ю.А., Мартыненко О.Г. Введение в теорию свободно-конвективного теплообмена. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 224 с.

5. Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. Л.: Энергия, 1971. 296 с

6. Вержбицкий Г.В. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 840 с.

7. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. М.: Наука, 1984. 288 с.

8. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

9. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. 225 с.

10. СамарскийА.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с.

11. De Vahl Davis G. Natural convection of air in a square cavity: a bench mark numerical solution // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1983. V. 3. Р. 249 - 264.

12. Hortmann M., Peric M., Sheuerer G. Finite volume multigrid prediction of laminar natural convection: benchmark solutions // Int. J. Numer. Methods Fluids. 1990. V. 11. Р. 189 - 207.

13. Kalita J.C., Dalal D.C., Dass A.K. Fully compact higherorder computation of steady-state natural convection in a square cavity // Phys. Rev. E64. 2001. Р. 1 - 13.

14. Bejan A. Convection Heat Transfer. John Wiley & Sons Inc., 1995.

15. Merrikh A.A., Lage J.L. Natural convection in an enclosure with disconnected and conducting solid blocks // Int. J. Heat and Mass Transfer. 2004. V. 46. P. 995 - 1008.

16. House J.M., Beckermann C., Smith T.F. Effect of a centered conducting body on natural convection heat transfer in an enclosure // Numer. Heat Transfer. Part A. 1990. V. 18. Р. 213 -225.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

МАРТЮШЕВ Семен Григорьевич - аспирант кафедры теоретической механики Томского государственного университета.

ШЕРЕМЕТ Михаил Александрович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики Томского государственного университета. E-mail: sheremet@math.tsu.ru

Статья принята в печать 15.12.2009 г.