Численное моделирование движения твердых частиц в нелинейном волновом поле акустического резонатора

ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА

УДК 539.37:519.63

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ В НЕЛИНЕЙНОМ ВОЛНОВОМ ПОЛЕ АКУСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА

А.Л. ТУКМАКОВ, Д.А. ГУБАЙДУЛЛИН Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН

Методами численного моделирования исследуется процесс дрейфа твердых сферических частиц, находящихся под действием периодических колебаний газового столба в закрытой трубе. Получено поле скоростей стационарного акустического течения газа при различных режимах возбуждения колебаний. Приведены характерные для первого и второго линейного резонансов распределения частиц в трубе.

Исследование влияния волновых полей на взвешенные в газе частицы связано с возможностью управления пространственным распределением частиц за счет выбора параметров акустического воздействия. Под действием акустического излучения частицы могут приобретать ненулевую среднюю скорость и дрейфовать в заданном направлении. Наиболее интенсивное воздействие поля на частицу достигается в резонансном режиме, поскольку при возбуждении продольных колебаний газа на резонансных частотах наблюдается возникновение волн разрывного типа [1, 2]. Для закрытых труб резонансные для газового столба частоты определяются следующим образом: ^^пе/^тЬ), где с - скорость звука; Ь - длина трубы, числа п, т определяют порядок резонанса. Известно, что во многих технологических процессах рабочим телом служит аэрозоль. При описании поведения аэрозолей в акустических полях возникает задача изучения движения одиночной частицы [3-4]. Известно, что частицы аэрозоля, находящиеся в акустическом поле, движутся как под действием радиационного давления со стороны поля, так и под действием акустического течения [5-8, 9, 10]. Величина радиационного давления определяется разностью количества движения, которое приобретает частица за период изменения внешнего поля, включающего в себя как фазу сжатия, так и фазу разрежения газа. Расчеты показывают, что чем более несимметрична форма волны на фазах разрежения и сжатия, тем больший импульс приобретает частица за период внешнего воздействия [9, 10]. Дрейф частицы вызывается также акустическим течением. Так, источник звука с движущимися по гармоническому закону излучающими поверхностями может создавать поля, которые, наряду с периодической, содержат стационарную составляющую [5-7, 11]. Звуковое поле вызывает движение среды вдоль границ раздела и приводит к появлению вихревых акустических течений. Знание распределения скоростей средних течений позволяет более точно описывать процессы тепломассопереноса и может быть использовано, например, при оптимизации процессов горения взвесей распыленного жидкого или твердого горючего. Сила радиационного давления на частицу со стороны акустического поля устанавливается за то же время, за которое происходит установление

© А.Л. Тукмаков, Д.А. Губайдуллин Проблемы энергетики, 2008, № 3-4

параметров поля, тогда как среднее течение устанавливается значительно дольше [5]. В результате возникает возможность избирательно использовать тот или иной механизм воздействия на частицы со стороны поля. Для этого необходимо определить параметры поля скоростей среднего течения частиц и описать процесс его установления. Классические результаты, касающиеся теоретического описания акустических течений и радиационного механизма воздействия поля на частицу, получены методом малого параметра во втором приближении [5-7]. Такой подход позволяет установить общие закономерности развития стационарных течений. При конечных же амплитудах возбуждения внешнего поля, приводящих к колебаниям разрывного типа, для описания движения в нем частиц требуется постановка физического или численного эксперимента. Таким образом, численный эксперимент по исследованию дрейфа частицы в акустическом поле предполагает учет как радиационного воздействия на частицу со стороны поля, так и анализ возникающих в резонаторе акустических течений.

Для описания колебаний газа в трубе используем систему уравнений Навье — Стокса в цилиндрической системе координат:

Я t + Р х + О у = Н ;

Я =

Р

ри

рv

E

р и " РУ "

; Р = ( Р и + Р - т хх ; О = Риу - т ху

ч Р Ы + 'р 1 т уу

Р иу - т ху

( + р - т хх )и - т хуу + йх _ ( + Р - т уу )у - т хуи + йу _

Н =

Р v/y " ху,

(- р иу + т ху )/ у

»V + т уу )/у

(- р v ( ^ ^

( \ дT

>(Б + p - туу )+ У---------------------+ uт

ду

ху

/у

; Р = (У - 1)(б - 0,5р(и( + V( ));

дТ

0-х =- У---------------;

дх

г ду (

дТ

0.у =-У-------------;

т уу = М

(------------Б

ду 3 _

ду

г ди ду

т ху = М

т хх = М

ди (

(-----------Б

дх 3

------1---

ду дх;

ди ду V Б = — + — + —. дх ду у

Здесь р, р, и, V, Б, У, ц - давление, плотность, осевая и радиальная составляющие скорости газа, его полная энергия, коэффициенты теплопроводности и вязкости. Система (1) в области с изменяющимися границами решалась в обобщенных подвижных координатах [1(-13 ]: £ = £(х, у, ¿), п = п(х, у, ¿), т = ¿. В новых переменных система (1) имеет вид

я =

р

р и J Р V Е

Н =

- Р (— р иг + т

ху )/ У

(- Р V 2 + Т уу )/ У

— V (

\ дТ

)+ к----------+ и

VI,Е + р — т

УУ

ду

ху

/ у

о =-

J

р- = I

J

П Р+ П X ри + П у рv

2

% р и + П х

%Е + п х

41Р+ 4хРи + 4 yРV "

4t Р и + 4 х

41Рv + 4х

41 Е + 4 х

1

*

4х 4у 41

J = пх п у п 1 ; 41 = х1 4 х + у 1 4 у ; п 1 = х1 п х + у 1п у

0 0 1

Решение системы (2) будем искать при помощи явного метода Мак-Кормака второго порядка аппроксимации, дополненного схемой коррекции потоков [12]. На однородной сетке переход на следующий временной слой по схеме Мак-Кормака содержит шаги предиктор и корректор:

~ = qn.-------1 , — ¥п, ]--]дп, + — дп, ]+ АШп, ;

]>к ч1,к а^ 1+1 к ],к\ а^ }’к+1 1’к J 1,к'

qn+k = 0,5( qn,k + ~ 1,к

. ) — 0,5—\р.. — Р 1 . ]— 0,5—\д .. — д .. 1 ]+ 0,5 А Н .. . 1 А4 1’к 1—1 ’ Ап —И’ 1,к

Каждая пространственная группа Р и О на шагах предиктор и корректор представляется односторонними конечно-разностными операторами. Так, например, на шаге предиктор для аппроксимации производных по £, входящих

в Р’п+1 к, ^'¡к, применяются левые разностные схемы первого порядка

точности, а на шаге корректор — правые. Производные по п приближаются центральными разностными схемами второго порядка. Производные по п,

входящие в дпк+1, дпк , аппроксимируются левыми разностными схемами первого порядка, по £ — центральными. Производные по п, входящие в Н © Проблемы энергетики, 2008, № 3-4

как на шаге предиктор, так и на шаге корректор, аппроксимируются центральными разностными схемами второго порядка.

Фрагмент расчетной области приведен на рис. 1. Решение задач о колебаниях газа и движении частиц будем искать в осесимметричной постановке. Граничные условия задавались следующим образом: на оси трубы - граничные условия симметрии; на твердых поверхностях, в том числе на поверхности движущегося поршня, для составляющих скорости задавались условия прилипания. Для плотности, давления, энергии, температуры — однородные граничные условия второго рода. В конечно-разностной постановке граничные условия выглядели так:

на оси трубы (к = 1, 2 </ < N - 1); и (/, 1) = и(/, 2), у(/, 1) = — у(/, 2), р(/, 1) = рЦ, 2), Е(/, 1) = Е(/, 2), Т(/, 1) = Т(/, 2), р(/, 1) = р(/, 2);

на боковой поверхности (к = Nk, 2 <Ц < N/-1): и(/, N ) = 0, у(/, N ) = 0, р(/, Щ = р/ N-1 ), Е/ ^ ) = Е/ Nk-1), Т(/, ^ ) = Т(/, Nk-1), р(/, N ) = р(/, Nk-1);

на закрытом конце трубы (/ = Щ, 2 < к < N/£-1): и(^, к) = 0, v(N¡, к ) = 0, рЩ, к) = р(^-1, к), ЕЩ, к) = Е(^-1, к), ТЩ, к) = Т(^-1, к), р(Л/, к) = р (N/-1, к);

на поверхности поршня (/=1, 2 < к < Nk-1): и(1, к) = и а соз(ю^), у(1, к) = 0, р(1, к) = р(2, к), Е (1, к) = Е (2, к), Т (1, к) = Т( 2, к ), р (1, к) = р (2, к).

Поршень

Рис. 1. Схема резонатора

В начальный момент времени во внутренних узлах расчетной области задавались температура, плотность и скорость газа. Предполагалось, что при і=0 во внутренних узлах газ неподвижен. Поршень перемещался по гармоническому закону х(і)=я8іп(аі). В начальный момент времени продольная скорость газа на поверхности поршня составляла н=яча.

Движение частицы в волновом поле описывалось либо законом Стокса, либо квадратичным законом обтекания — в зависимости от скорости частицы относительно газа [13]:

дК ді

9

Д

2 Я 2 Р *

(^4 — w), Яе

р — w s

2 Я

при Яе <0,5,

Д

4

,3

-яЯ р*

3 ді

дw * 1 2 - - 24 2/з

* -Са я Я2 р ws — w (ws — w), С^ = — ( 1 + Яе 2/3 / 6 ),

2

Яе

при Яе >0,5.

Здесь - скорости частицы и газа; ц — динамическая вязкость газа;

Я, р* - радиус и плотность сферической частицы. Решение уравнения (3) будем искать численно, используя явную схему с перешагиванием третьего порядка аппроксимации по времени [15]:

дм? 1

А м? = 2 А/------------А м? ,

где А м? = ю?+ — м? ; А/ - временной шаг. Координаты частицы определялись по той же схеме, что и скорости:

х%+1 = 2 А/ ы^1 + х?—1 ;

уг1 = 2 А< у?+1 + у?—1.

При моделировании акустического течения осевая и радиальная составляющие его скорости получались путем осреднения составляющих скорости газа по целому числу периодов внешнего возбуждения [11]:

1 /+?То 1 /+яТо

и =-------- [ый, V =----- [,

пТо ( пТо (

где Г0 —период внешнего возбуждения.

Акустическое течение при колебаниях газа в закрытой трубе. Одна из причин возникновения дрейфа частицы, находящейся в волновом поле - среднее течение. Численное моделирование поля скоростей среднего течения проводилось при

возбуждении колебаний на частотах первого и второго линейных резонансов /11 = с0

1/2

/2Ь, /21 = с0 /Ь в трубе длиной Ь = 1 м, диаметром й = 0,064 м. Здесь с0 = (у Я Т) —

скорость звука в воздухе; у = 1,4 — постоянная адиабаты; Я = 278 Дж/кгК — универсальная газовая постоянная. Начальная температура и плотность невозмущенного газа: Т = 290 К, р = 1,2 кг/м3. Конечно-разностная сетка содержала N! = 200 узлов в осевом и N = 49 узлов в радиальном направлении. Временной шаг

выбирался из условия устойчивости и составлял А/ « 3*10—6 с. Частоты возбуждения составляли соответственно /11 = 170 Гц и /21 = 340 Гц. Поршень совершал возвратнопоступательное движение с амплитудой а = 0,005 м. Рассматривался процесс установления стационарного течения и его конфигурация.

На рис. 2, а, б приведены безразмерные давление и скорость газа у поверхности поршня. Наибольший относительный перепад давления в течение периода колебаний Ар/р0 =0,15. Амплитудное значение скорости газа у поршня ы » 6,8 м/с. К моменту времени / « 0,04 с (рис. 2, а) колебания приближенно можно считать

установившимися.

рфо

0,8

0,7

0,6

-0,04-I I I I I I I Т Т у Т Т I I I I I Т Т у Т Т 1 I I I I I ! [ Т Т Т Т I I I I I )

О 0,2 0,4 0,6 А С

б)

Рис. 2.: а — давление, б— скорость газа у поверхности поршня. Давление и скорость отнесены к давлению в и скорости звука в невозмущенном газе

На рис. 3, а-в показаны полученные расчетным путем поля скоростей стационарного акустического течения газа в окрестности первого линейного резонанса /11. На рисунках левая граница образована осью симметрии трубы, верхняя и правая — ее жесткие стенки, а нижняя граница — поверхность поршня. Темным фоном выделены области, в которых осевая составляющая скорости газа положительна, т.е. направлена к верхней стенке. Более светлый фон соответствует областям, где осевая составляющая скорости газа направлена к поршню. Когда частота внешнего возбуждения совпадает с частотой первого линейного резонанса /11 , поле скоростей акустического течения состоит из двух пар тороидальных вихрей Рэлея в центральной части трубы, примыкающей к ее оси, и из двух пар тороидальных вихрей Шлихтинга, примыкающих к боковой стенке (рис. 3, б). Для получения полной картины течения рисунок следует отобразить симметрично относительно левой границы. При этом вихрь Рэлея в верхней части трубы (Ъ/2 < x < V) ориентирован так, что продольная составляющая скорости вблизи оси трубы направлена к поршню — вихрь вращается против часовой стрелки. Примыкающий к вихрю Рэлея и расположенный вблизи стенки вихрь Шлихтинга имеет противоположное направление вращения. В нижней части трубы ^поршня < x < Ь/2) направление вращения вихрей Рэлея таково, что продольная составляющая скорости на оси направлена от поршня к закрытому концу трубы. Соответственно, в противоположную сторону вращается вихрь Шлихтинга ^поршня < x < ^2). В целом, картина стационарного течения симметрична относительно продольной оси трубы. Строгая симметрия вихрей, расположенных в верхней и нижней частях трубы относительно прямой x = ^2 при нелинейных колебаниях газа отсутствует. При этом асимметрия в распределении акустического течения нарастает по мере увеличения частотной расстройки в обе стороны относительно частоты первого линейного резонанса (рис. 3, а-в). Можно отметить, что, по мере увеличения частотной расстройки при /</11, картина стационарного течения деформируется следующим образом: уменьшается вихрь Рэлея, примыкающий к поршню, но расширяется вихревая область, изначально расположенная при ^2 < x < Ь со стороны закрытого конца трубы. При превышении резонансной частоты />/11 картина стационарного течения изменяется и начинается

зарождение еще двух вихрей Рэлея (рис. 3, в). При дальнейшем увеличении частоты возбуждения акустических колебаний и достижении второго линейного резонанса /21 стационарное течение содержит уже четыре сформировавшихся вихря Релея, которые вблизи стенки связаны с вихрями Шлихтинга (рис. 4).

в)

Рис. 3. Акустические течения, возникающие в закрытой трубе в окрестности первой собственной частоты возбуждения продольных колебаний газового столба: а — частота колебаний поршня ./=0,73 /11; б— /=/11 ; в — ./=1,27 /11. Левая граница образована осью симметрии трубы. Верхняя и правая границы- стенки трубы. Нижняя граница — поверхность поршня. Темный фон — осевая составляющая скорости газа направлена вверх. Светлый фон — осевая

составляющая скорости направлена вниз

Рассмотрим теперь процесс установления среднего течения. На рис. 5 показана зависимость осредненной по периоду скорости газа в точке с координатами ^ = 0,75/,, у= 0,25 £). Характерным является выброс средней за период скорости, соответствующий переходному процессу установления колебаний в резонаторе при 0 < К 0,04 с. К моменту времени * и 0, 6 с акустическое течение можно считать установившимся, тогда как колебания давления газа, как показывают расчеты, устанавливаются значительно раньше, к моменту времени * и 0,06 с (рис. 2, а).

Рис. 4. Акустическое течение при возбуждении колебаний на частоте второго линейного

резонанса /21

и, м/с -1

0,6 —1—1—1—•—1—1—1—*—1—1—1—1—1—1—гп—1—1—I—1—1—1—1—г_1—1—1—1—I—1—1

0 0,2 0,4 и С

Рис. 5. Процесс установления среднего течения при возбуждении колебаний на частоте /11 . Зависимость от времени осевой составляющей скорости акустического течения в точке с

координатами

Динамика частиц в нелинейном волновом поле закрытой трубы. Рассмотрим теперь движение частиц в волновом поле закрытой трубы, происходящее как под действием радиационного давления, так и под действием акустического течения. Численный эксперимент проводился при колебаниях поршня с амплитудой а = 0,005 м на частотах первого и второго линейных резонансов /11= с0 / 2Ь, /21 = с01Ь. Труба имела радиус й = 0,05 м и длину Ь = 1м. Частоты возбуждения составляли соответственно /и = 170 Гц и /21 = 340 Гц. Моделировалось поведение сферических частиц диаметром й = 2*10-6 м, имеющих плотность р5 = 1000 кг/м3. Расчеты проводились в предположении о том, что малое объемное содержание частиц не оказывает влияния на течение газа. В начальный момент времени задавались координаты неподвижных частиц в узлах сетки, равномерной в осевом и радиальном направлениях.

Первый линейный резонанс. На рис. 6, а, б сопоставлены поле скоростей акустического течения и картина распределения частиц к моменту времени его установления. На рис. 6, в схематически приведено расположение узлов и пучностей стоячей волны поля скоростей в закрытой трубе на первом линейном © Проблемы энергетики, 2008, № 3-4

резонансе. В начальный момент времени частицы равномерно распределены в трубе. При установлении вихри Релея сносят частицы, находящиеся вблизи поршня и вблизи закрытого конца трубы (узлы скорости) по направлению к ее середине, где располагается пучность стоячей волны осевой составляющей скорости. В результате плотность облака частиц в окрестности пучности скорости возрастает и снижается в окрестности узлов скорости (поршень и закрытый конец). В соответствии с направлением радиальной составляющей скорости акустического течения, в середине трубы частицы смещаются от начального расположения по направлению к боковой стенке, а в начале и в конце трубы - в направлении к оси.

Я

Рис. 6. Распределение частиц при колебаниях газа на частоте первого линейного резонанса: а - поле акустического течения, б - распределение частиц, в - схема узлов и пучностей осевой составляющей скорости газа для первого линейного резонанса

Второй линейный резонанс. На рис. 7, а, б приведены поле скоростей установившегося акустического течения и соответствующее расположение частиц. На рис. 7 в показано распределение узлов и пучностей стоячей волны поля скоростей в закрытой трубе при колебаниях на втором линейном резонансе. Установившиеся вихри Релея сносят частицы в осевом направлении к пучностям стоячей волны осевой составляющей скорости (x = L/4, x = 3L/4). В результате плотность облака частиц в окрестности пучностей скорости возрастает и снижается в окрестности узлов скорости (x = 0, x = L/2, x = L). Радиальные смещения частиц также происходят под действием вихрей Релея (вблизи стенки играют роль и вихри Шлихтинга), (рис. 7) и направлены, преимущественно, к боковой стенке.

в)

Рис. 7. Распределение частиц при колебаниях газа на частоте второго линейного резонанса: а -поле акустического течения, б - распределение частиц, в - схема узлов и пучностей осевой составляющей скорости газа для второго линейного резонанса

Таким образом, моделирование воздействия нелинейных колебаний газа на равномерно распределенное облако частиц в закрытой трубе позволило выяснить конфигурацию вторичного течения на первой и второй собственных частотах возбуждения и определить характерное для первой и второй собственных частот колебаний газового столба распределение частиц в резонаторе.

Работа выполнена в рамках программы ОЭММПУ РАН (№ 14 ОЭ) при финансовой поддержке РФФИ ( грант №04 -01-00107) и аналитической ведомственной целевой программы “Развитие научного потенциала Высшей школы”.

Summary

Process of the firm sphcrical particles drift which are being ипйег the periodic fluctuations of а gas со1итп in the closed pipe is investigated by mathematical modeling mеthоds. Movement of gas is described by means of Navier-Stokes equations which is solved by MakKormak sрlittiпg sсhеmе. F'ields of stationary acoustic speeds are received for the first and the second lincar resonances of the lоngitudinаl fluctuations of the gas mlumn. Are resulted particles distributiоns, which arе characteristic for the first and the second linear resonances, arising under aotwn of acoustic ш^еШ.

Литература

1. Ilgamov M. A., Zaripov R. G., Galiullin R. R., Repin V. B. // Appl. Mech. Rev. 1996. Vol. 49. No3. P.137-154.

2. Медников Е.П. Акустическая коагуляция и осаждение аэрозолей. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 263 с.

3. Экспериментальное исследование коагуляции аэрозоля в трубе вблизи субгармонического резонанса // Д.А. Губайдуллин, Р.Г. Зарипов, Р.Г. Галиуллин, Э.Р. Галиуллина и др. / Теплофизика высоких температур. - 2004. -Т.42.- С.788-795.

4. Ганиев Р.Ф., Украинский Л.Е. Динамика частиц при воздействии вибрации. - Киев: Наукова думка, 1975. - 168 с.

5. Ниборг В. Акустические течения // В кн. Физическая акустика. Под редакцией У. Мэзона. - М.: Мир. 1969. - Т.2. - Часть Б. - С.302.

6. Галиуллин Р. Г., Тимохина Л.А., Филиппов С.Е. Акустические течения при резонансных колебаниях газа в цилиндрической трубе // Акустический журнал. - 2001. - Т.47. - №5. - С.611-615.

7. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. -М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. - 1966. - 520 с.

8. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. - Т. 1. - М.: Наука, 1987. - 464 с.

9. Губайдуллин Д.А., Тукмаков А.Л. Движение частиц различного размера в нелинейном волновом поле акустического резонатора // Изв. вузов. Проблемы энергетики. - 2005. - №9-10. - С.3-7.

10. Тукмаков А.Л. Распределение твердых частиц в акустическом поле резонансной трубы при различных режимах возбуждения колебаний // Теплофизика и аэромеханика. - 2005. - Т.12. - №2. - С.219-227.

11. Тукмаков А.Л. Численное моделирование акустических течений при резонансных колебаниях газа в закрытой трубе // Изв. вузов. Авиационная техника. - 2006. - №4. - C.33 - 36.

12. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. - М., 1991.

13. Steger J. L. // AIAA Journal. 1978. Vol. 16, No 7. - P. 679-686.

14. Стернин Л.Е. Двухфазные моно - и полидисперсные течения газа с частицами. - М.: Машиностроение, 1980. - 176 с.

15. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972. - 418 с.

Поступила 08.10.2007