Нелинейные модели циклического развития экономических систем

УДК 338

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ЦИКЛИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

Егорова Т.Н., к.э.н., доцент Орловского государственного института экономики и торговли Шманёв С. В., д.э.н., профессор Финансового университета при Правительстве РФ

Волновые процессы или циклы, как последнее время все чаще встречается в литературе, вскрывают еще одну проблему - степень участия государства в экономике и его способность своими координирующими действиями сглаживать колебания. От подхода к данной проблеме зависит соотношение сил между бизнесом и государством, а, следовательно, вектор развития страны.

Рассмотренная в статье волновая модель раскрывает механизмы возникновения цикличности процесса инвестирования в инновации, устанавливает её зависимость от величины дисфункции и определяет влияние этих факторов на стабильность управляющей системы.

Ключевые слова: инновации, инвестиции, циклы, фазы, энтропия.

NONLINEAR MODELS OF CYCLIC DEVELOPMENT OF ECONOMIC SYSTEMS

Egorova T., the senior lecturer of the Oryol state Economy and trade institute Shmanyov S., the professor Financial university at the government of the Russian Federation

Wave processes or cycles as lately even more often meets in the literature, open one more problem - degree of participation of the state in economy and its ability the coordinating actions to smooth fluctuations. The parity of forces depends on the approach to the given problem between business and the state, and, hence, a vector of development of the country.

The wave model considered in article opens mechanisms of occurrence of recurrence of process of investment in an innovation, establishes its dependence on size of dysfunction and defines influence of these factors on stability of operating system.

Keywords: innovations, investments, cycles, phases, entropy.

В экономической жизни автоколебания наиболее ярко иллюстрируются наличием долгосрочных циклов, и представляют собой периодические изменения экономических показателей, описанные известным русским экономистом 20 века Н. Д. Кондратьевым.

Базой его теории длинных волн послужил обширный эмпирический материал, основанный на большом числе экономических показателей. В своих исследованиях Н.Д. Кондратьев пришел к выводу, что флуктуации, происходящие в экономики, обусловлены внедрением инноваций и появлением новых отраслей промышленности.

Следует отметить, что циклам экономических процессов посвящено огромное число работ, причем исследователи обращают особое внимание на циклы с различной продолжительностью:

1. 4-5 летние циклы (Китчина (циклы запасов));

2. 6-12 летние циклы (Жугляра (циклы инвестиций));

3. 15-25 летние циклы (Кузнеца (строительные циклы));

4. 40-60 летние циклы (Кондратьева (длинные циклы, связанные с внедрением в производство новых технологий));

5. 100-150 летние циклы (цикл лидерства).

В данной работе на основании исследований Д.И. Трубецкова мы провели анализ математической модели, демонстрирующей проявление циклов в экономике.

Пусть в любой момент времени t предприятие вкладывает в новые технологии инвестиции I со скоростью dI/dt. Обозначим объем производства инновационной продукции через Q, а потребление через С.

Тогда

C_аQ+в

dI

Q _ C+— dt

а В а , В п

где и 1 - действительные константы, такие, что  < 1, 1 < C.

Предположим далее, что инвестициями управляют так, чтобы поддержать основной капитал в определенной пропорции к объему производства.

™ 6(1 -а) = в+ Л (¿О-1

Из уравнений (1) и (2) следует, что ^^ ' 1 4 ' .

Откуда,

-1

q _ в+ dI

1 -а

Из соотношения (3) видно, что если инвестиции меняются по определенному закону, например, происходит колебательный процесс, то объем производства также будет проявлять определенную периодичность.

Рассмотренная модель хорошо отражает экономический цикл. Во время периодов инвестирования в новые технологии объем производства растет и экономика находится в периоде подъема. Когда же не вкладываем средства в инновации, объем производства постепенно падает и экономика переходит в состояние депрессии.

dI (dt)-1 _ F • dQ(dt)-1 dQ(dt)-1

Предположим, что , тогда вынужденные инвестиции для малых равны оптимальным

значениям I, при больших значениях ограничены нижним и верхним пределом.

dI (dt )-1 _ Ip + F • dQ(dt)-1

При достижении инвестиций max значений его значения подчиняются зависимости p .

После математических преобразований уравнение (3) примет вид:

TRANSPORT BUSINESS IN RUSSIA | №2 2015 | 31

и

Q =

1Р+F  ¿е^)-1 = а (dt)-1

где р - индуцированные инвестиции, вызванные изменением объема производства;

I - влияние прочих инвестиций; [ - положительная константа.

Если учесть запаздывание инвестиций в новые технологии относительно принятия решения об их необходимости, то формула при-г вид:

Q

. , (5) где А'. - время запаздывания.

* * dQ(t)(dt)-1 А F аа{А-е  )(dt)-1

Чтобы получить график функции увзависимости ' , следует сдвинуть функцию ^^

1р I- 1

р 1 -а

на величину .

Уравнение имеет устойчивый предельный цикл, который соответствует периодическим автоколебаниям. Таким образом, построенная модель показывает, как различные механизмы инвестирования в инновации приводят к возникновению циклических процессов в экономике.

Для описания фазовых переходов волновых процессов инновационно-инвестиционной системы воспользуемся понятийным математическим аппаратом теории фазовых переходов Ландау и законами термодинамики, основанных на изменении структуры и симметрии исходной фазы.

Данную попытку в свое время предпринял Б.Л. Кузнецов. Поведение системы в области фазового перехода определяется так называемым «фактором объединенного поведения», который отражает склонность системы развиваться по синергетическому пути.

В реальных процессах, согласно теории фазовых переходов, прослеживается нечеткость и размытость, т.е. - поэтапность этих преобразований. При этом описать эти преобразования можно только с помощью фрактальной геометрии, т.е. математически с помощью нелинейных функций.

Мы в представленной работе попытались подойти к этой проблеме со следующей позиции:

В связи с тем, что мерой порядка системы служит энтропия В, то образование новой фазы сопровождается отрицательным скачком -Б^ энтропии. Тогда связь энтропии с возможным числом состояний системы будет иметь вид:

где к - коэффициент пропорциональности; W - структура системы.

Каждому значению W1, W2 соответствует свое состояние энтропии, при этом: £ = В2 - В1 = к(1п'№2 -¡п'№1).

Для образования новой фазы необходимо совершить работы, связанные с образованием поверхности раздела фазами. Поэтому ее появление -энергетически невыгодный эффект, к тому же, процесс сопровождается подводом энергии извне системы, которая больше

энергии, вырабатываемой самой системой. Изменение

энтропии сопровождается работой А создания новой фазы и выражается:

£ = 1(А).

Найдем функциональный вид работы А: образование новой фазы является неравновесным процессом и выражение работы, связанной

¥

с фазовым переходом, можно вычислить, используя понятие потенциал (энергии) фазового перехода . Тогда, до образования новой

фазы: 1(1' ^' А К),

где 1 - объем инвестиций;

V— структура системы до и после фазового перехода;

V - скорость усвоения инвестиций; Б - внешнее воздействие на систему; К - параметры системы.

Работа, связанная с фазовыми переходами системы, будет равна:

А = -¥.

Этот процесс имеет случайный характер, кроме того термодинамика в данном контексте не рассматривает скорость фазового превращения на стадии образования новой структуры системы.

Изменение плотности вероятности распределения элементов в структуре при переходе может быть представлено:

Ар = р,-р0 Уи

где ' 1 - компоненты системы;

к - вектор, характеризующий изменение при переходе системы из одной фазы в другую;

Хп«' ф

- вес изменения при фазовом переходе системы;

- базисные функции или вектора изменений. Система характеризуется энергией Ш, принимающая в любой точке пространства значение:

Причем - является вариационной энергией системы, которая становится равновесной при условии:

32 ТКАШРОЮ" БШШБББ Ш КШБТЛ | №2 2015 |

а у £

0

^ .

Преобразование системы описывается уравнением: . 2 , „ — 4 , „ „ 6

V£ (П ) = а1 п + а2 П + аз п .

Равновесное значение системы получают как решение уравнения состояния:

а V

2л (а1 + 2а2п2 + 3а3п4) = 0

аП .

Два типа решений уравнения:

л'

1. =0 - система в симметричном (устойчивом состоянии);

(а + 2ал2 + 3а3п4) = 0

2. 1 2 3 - деформированное неустойчивое состояние системы.

Скрытая энергия перехода системы из одной фазы в другую пропорциональна разности энтропий в точке бифуркации и характеризуется константой скорости фазового перехода: А5 АУ

к = к0еК е ш

где к0 - константа скорости процессов системы в устойчивом состоянии.

Таким образом, проведенные исследования показали, что инновационно-инвестиционную деятельность можно описать с позиций цикличности экономических процессов, происходящих в расслоенном экономическом пространстве. Математическая модель фазовых переходов волновых процессов, отражающая связь циклов инновационно-инвестиционной деятельности на предприятии с принятием конкретного решения, устанавливает влияние скорости изменений (колебаний) процессов хозяйственной деятельности на возникновение кризисных ситуаций.

Литература:

1. Егоров, А.Ю., Сельсков А.В. Волновая модель развития экономического цикла промышленной корпорации / А.Ю. Егоров, А.В. Сельсков // М.: Инновационная экономика. 2012. - № 1-2. - С. 17-21.

2. Егорова, Т.Н. Институционально-синергетический подход к инновационно-инвестиционной деятельности / Т.Н. Егорова, С.В. Шманёв, О.Н. Герасин //Известия Юго-Западного государственного университета.-2012.-№2.-С.239-248.

3. Кузнецов, Б.Л. Введение в экономическую синергетику. Наб. Челны: Изд-во КамПИ, 1996-1999, 398 с.

4. Кузнецов, Б.Л. «Гипотеза синергетического рынка в свете феноменологической теории фазовых переходов Л. Ландау» /Вопросы экономики №8 2005 г.

5. Трубецков, Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры. М. Едиториал УРСС, 2004 г.-235 с.

6. Шманёв, С.В. Динамическая модель прогнозирования эффективности инвестиций в инновационные проекты на промышленном предприятии/ С.В. Шманёв, И.Г. Паршутина// Вестник ОрелГИЭТ. - 2011. - №4(18). - С.34-38.

7. Шманёв, С.В. Управление инвестиционными процессами в промышленности (синергетико-институциональный подход). / С.В.Шманев. - М.: «Машиностроение», 2007 - 207 с.

8. Шманёв С.В. Синергетика инвестиций/С.В. Шманёв, О.С. Сухарев, А.М. Курьянов// Учебно-методическое пособие / Москва, 2011.-С.366.

9. Шманёв С.В. Проблемы и перспективы осуществления инновационной деятельности российских промышленных предприятий/ С.В. Шманёв, И.Г Паршутина//Известия Юго-Западного государственного университета. 2012. № 1-2 (40). С. 166-178.

ТКАШРОЮ" БШШБББ Ш РШБТА | №2 2015 | 33