Разработка модели для расчета напряженно-деформированных состояний в полупроводниковых структурах при лазерном воздействии

Разработка модели для расчета напряженно-деформированных состояний в полупроводниковых структурах при лазерном воздействии

Текстурирование, рекристаллизация и отжиг при помощи лазеров широко применяются при создании сенсибилизированных красителем солнечных элементов (СКСЭ), жестких дисков, панелей и прочих полупроводниковых структур, позволяя управлять микрогеометрией поверхности и структурой пленок благодаря локальности термического воздействия [1 - 4]. Во многих случаях лазерный луч фокусируют в полоску, которая сканирует поверхность, а распределение плотности мощности лазера по координате х приводят к прямоугольному виду (рис. 1) [2, 3].

Рис. 1. - Структура СКСЭ, направление осей и нумерация границ

Однако локализация теплового воздействия приводит к большим градиентам температур в зоне воздействия лазерного луча, большим термомеханическим напряжениям и появлению дефектов. Это особенно актуально в случае с многослойными структурами, в которых пленки имеют различные термические и механические параметры, основным из которых в данном случае является коэффициент линейного расширения. Проведение экспериментальных исследований напряженно-деформированных состояний в зоне воздействия лазерного луча вызывает определенные трудности.

В настоящее время широко применяется математическое моделирование, в частности, численные методы, которые позволяют

И.В. Куликова

проводить численные эксперименты и определять оптимальные параметры и режимы [3-9].

Задачу нахождения термомеханических напряжений при воздействии лазерного излучения можно разделить на две независимые:

- нахождение распределения температуры при воздействии лазерного излучения;

- нахождение механических напряжений и смещений под воздействием температурного поля.

Моделированию распределения температуры при лазерном воздействии посвящено множество работ. Однако в большинстве случаев вводят допущение о том, что лазерное излучение полностью поглощается верхним слоем [4, 6, 7]. В случае со структурой СКСЭ на основе пористого оксида титана, в которой толщины пленок составляют менее 10 мкм [1], а подложкой является стекло прозрачное для длины волны 1064 нм, это допущение не может быть использовано. Именно поэтому, необходимо использовать модель серого тела и учитывать оптические свойства всех слоев, входящих в структуру, для расчета плотности мощности поглощенного лазерного излучения [2, 3, 8].

Термоупругие напряжения, возникающие при лазерной обработке, сильно зависят от формы лазерного луча и режима воздействия, а так же от физико-топологических параметров обрабатываемой структуры. При нахождении напряжений в большинстве случаев используют двумерную модель плоского напряженного состояния [7, 9, 10]. В работе [9] напряжения рассматривались для плоскости хг (см. рис. 1), что определялось задачей, а в работах [7, 10, 11], рассматривались напряжения в плоскости ху (см. рис. 1), но задача решалась в цилиндрической системе координат, поскольку форма сечения сфокусированного луча была круглой, и луч не перемещался по поверхности структуры.

Поэтому необходима модель, позволяющая учитывать процесс сканирования подложки лазерным лучом с учетом формы сфокусированного пятна и многослойности обрабатываемой структуры.

Задачу нахождения термомеханических напряжений при воздействии лазерного излучения для данного случая можно упростить до двумерной, поскольку длина сечения лазерного луча по координате z много больше размера по x (рис. 1).

Для расчета температурного поля было использовано нестационарное двумерное уравнение теплопроводности, которое в декартовой системе координат буде иметь следующий вид:

cpdT-ГАk — T +dk — t] = q,

dt vdx dx dy dy )

где с - удельная теплопроводность; p - плотность; Т - температура в структуре; t - время; k - коэффициент теплопроводности; q - плотность мощности источника тепла.

Источником тепла является лазерное излучение. Количество энергии лазерного излучения поглощенное серым телом может быть описано выражением Бугера-Ламберта-Бера:

q = a

где R - коэффициент отражения; a - коэффициент поглощения; I0 -плотность мощности лазерного излучения.

Для задачи термоупругости, в случае, представленном на рис. 1, вводятся следующие допущения: в направление оси z не может быть смещения и все компоненты деформации будут функциями только от x и y, поскольку по данной координате задача является протяженной. Данная задача сводится к двумерной задачи плоской деформации [12], для которой уравнения равновесия примут вид:

да

= 0;

= о,

dx dy

I

dx dy

где ахх, оху, Оуу - компоненты тензора напряжения.

Поскольку задача будет решаться в напряжениях, необходимо использовать уравнения совместимости [12], которые в данном случае будут сведены к следующему выражению:

д 2ег д28у д2у:

+

ху

ду2 дх2 дху

где ех, £у - продольная деформация; уху - деформация сдвига. Обобщенный закон Гука с учетом теплового расширения тела и вышеперечисленных допущений будет следующим:

^х =

1 (хх -А&уу + а I + ат(т - то);

Е

=

1 (уу -Л°хх + )) +ат (т - Т );

Е

О = Е( -у(хх У+а(т-т0);

2(1 + у) у = —--а ,

' ху е хУ

где Е - модуль Юнга; ат - коэффициент линейного теплового расширения; Т0 - начальная температура тела.

Подставив выражение (5) в (4) и выразив напряжения через охх и оу,, с учетом уравнений равновесия (3) получим следующую систему дифференциальных уравнений:

дV . дV . д2от , да

дх2 ду2

+

дх2

+

ду

2— + ат

Е

( д 2т д 2т ^

1 -V

+

дх2 дУ

= О;

дх

ду

= О;

дау дау

дх

+

ду

= О.

Использование уравнений 1-го порядка при дискретизации недопустимо, т.к. это приводит к неадекватным результатам [9].

Продифференцируем по х второе уравнения системы (6) и третье уравнение по у, а затем вычтем из второго уравнения третье, а так же

продифференцируем по у второе уравнения системы (6) и третье уравнение по х, а затем сложим оба уравнения, получим следующую систему:

д дх2 + д ^ ду2 + д ^ дх2 , д Ч ду2

д 2^хх д Ч = 0;

дх2 ду2

д Ч дх2 + д ^ ду2 + д дхду + д ^ дхду

Е

{ д2т д2тЛ

1 -V

+

дх ду

= 0;

= 0.

Начальное условие для уравнения теплопроводности (1) имеет вид:

т

На всех гранях была задана свободная конвекция, которая описывается граничными условиями второго рода:

кдт = а(Т - То дп

где п - нормаль к грани; а - коэффициент конвективного теплообмена. Граничные условия для системы (7) могут быть описаны при помощи уравнений равновесия, которые с учетом отсутствия механических воздействий для данной задачи будут иметь следующий вид [12]:

^пх°хх + пу°ху = 0; 1пх°ху + пу°уу = 0

где пх, пу - компоненты нормали к поверхности.

Подставляя соответствующие компоненты нормалей каждой грани, получим следующие граничные условия:

- для первого уравнения системы (7) на 1 и 3 гранях (см. рис. 1) ауу = 0;

- для второго уравнения системы (7) на 2 и 4 гранях (см. рис. 1) ахх = 0;

- для третьего уравнения системы (7) на всех гранях (см. рис. 1) оу = 0. Недостающие граничные условия для первого и второго уравнений

системы (7) будут следующими: на 2 и 4 гранях = 0, а на 1 и 3 - = 0.

дх

ду

Заключение

В работе представлена модель, позволяющая рассчитать распределение напряжения в полупроводниковой структуре под действием сканирующего лазерного излучения. Для решения системы, состоящей из уравнений (1), (2), (7) с соответствующими граничными условиями был использован метод конечных разностей. Для решения уравнения теплопроводности использовалась неявная схема. Для решения первых двух уравнений системы (7) использовался итерационный алгоритм. Что позволяет моделировать многослойные структуры с различными физическими и топологическими параметрами слоев, варьировать скорость сканирования и мощность лазерного луча. В модели, так же, внесены допущение о неизменности физических параметров слоев под действием температуры.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки России (уникальный системный номер заявки - 2014-14576-0055-1063 в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 20142020 годы»).

Литература:

1. Малюков С.П., Саенко А.В., Рукавишникова А.С., Куликова И.В., Теоретическое исследование влияния толщины и структуры электрода ТЮ2 на фотоэлектрические характеристики солнечного элемента [Текст] // Известия ЮФУ. Технические науки. 2012. - № 1. С. 63-71.

2. Малюков С.П., Куликова И.В., Калашников Г.В., Приступчик Н.К. Исследование влияния режимов работы №:УЛО лазера на напряженно-деформированные состояния в обрабатываемой полупроводниковой структуре [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник дона», 2013, № 4 Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2000 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. Рус.

3. С.П. Малюков, И.В. Куликова, Калашников Г.В. Моделирование процесса лазерного отжига структуры «кремний-стекловидный диэлектрик» [Текст] // Известия ЮФУ. Технические науки. 2011. - № 7. - С. 182-188.

4. Shakeel Safdar, Lin Li, M.A. Sheikh, Zhu Liu. Finite element simulation of laser tube bending: Effect of scanning schemes on bending angle, istortions and stress distribution [Text] // Optics & Laser Technology 39 (2007) pp. 1101 - 1110.

5. Малюков С.П., Куликова И.В., Петерс С.И.. Разработка модели взаимодействия лазерного излучения с биологическими тканями [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник дона», 2013, № 4 Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/1999 (доступ свободный) - Загл. с экрана. - Яз. Рус.

6. M. Mamat, N. Tofany, A. Kartono. Numerical Analysis of Heat Conduction and Phase Transformation in Laser Transformation Hardening: Influences of Heating Duration and Laser Beam Intensity [Text] // Applied Mathematical Sciences, Vol. 4, 2010, no. 61, pp. 3019 - 3033.

7. В.И. Мажукин, B.B. Hocoe, U.Semmler. Исследование тепловых и термоупругих полей в полупроводниках при импульсной обработке [Текст] // Матем. моделирование, 12:2 (2000). - С. 75-83.

8. Малюков С.П., Куликова И.В. Бростилов С.А. Моделирование теплового воздействия лазерного излучения на биологические ткани [Текст] // Фундаментальные исследования. Часть 2, 2012. - № 11. - С. 425-429.

9. Рындин Е.А., Рыжук Р.В., Исаева А.С. Математическая модель механических напряжений, инициированных лазерным импульсом [Текст] // Фундаментальные исследования, 2012. - №.11. - С.609 - 614

10. W.-S. Kim, L. G. Hector, R. B. Hetnarski. Thermoelastie stresses in a bonded layer due to repetitively pulsed laser radiation [Text] // Acta Mechanica 125, (1997). Springer-Verlag, pp. 107-128

11. B. S. Yilbas & N. Ageeli (2006) Thermal Stress Development Due to Laser Step Input Pulse Heating [Text] // Journal of Thermal Stresses, 29:8, pp. 721-751 To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/01495730600705349

12. Ван Цза-Де. Прикладная теория упругости [Текст] // - М: Изд-во Физ.-мат. лит., 1959. - 406 с.