Открытые задачи

1УДК 372.851 ББК 74.262.21

ОТКРЫТЫЕ ЗАДАЧИ

И. С. Овсянникова

Статья посвящена возможностям использования открытого подхода при организации исследовательской работы учащихся на уроках математики. Изучение идеологии открытого подхода, разработанного в 1970-х гг. японскими педагогами, анализ его дидактических возможностей и возможностей синтеза с лучшими российскими педагогическими практиками исследовательского обучения легло в основу исследования по формированию методической системы использования открытых задач на уроках математики. В статье предложена классификация открытых задач, приведены рекомендации к составлению собственных задач открытого типа; представлен вариант системы оценивания с учетом развития исследовательских компетенций в процессе решения открытых задач; приводится пример открытой задачи базового типа с двумя вариантами решений учащихся; а также результаты проведения эксперимента по использованию открытых задач на уроке, подтверждающие эффективность открытого подхода.

Ключевые слова: исследовательское обучение, открытый подход, открытые задачи.

OPEN-ENDED TASKS I. S. Ovsyannikova

The article is devoted to possibilities of using the open-ended approach by organizing pupils' research activity at the lessons of mathematics. Studying the ideology of the given approach, developed in 1970s by Japanese pedagogues, as well as analyzing its didactic possibilities and possibilities of its synthesis with the best Russian pedagogical practices of inquiry-based learning allowed the research on developing an effective methodical system of using open-ended tasks at the lessons of mathematics. Classification of open-ended tasks, recommendations for composing own open-ended tasks as well as the model of system of evaluating with account of research competences development in the process of solving open-ended tasks are offered. An example of an open-ended task of basic type with two alternate solutions is cited. The experiment has confirmed the usefulness of open-ended approach as a lesson form of research activity.

Keywords: inquiry-based learning, open-ended approach, open-ended tasks.

В настоящее время система образования нашей страны находится в процессе обширного реформирования. Вступившие в силу образовательные стандарты второго поколения ставят перед педагогом уже несколько иные ориентиры. Приоритетной задачей образования становится подготовка учащихся к быстро меняющимся условиям окружающей действительности, развитие их способности самостоятельно принимать решения, критически мыслить и получать новые знаний. Исследовательская деятельность учащихся в свою очередь является эффективным способом достижения поставленных целей.

Сложившийся за многие годы опыт учебно-исследовательской деятельности учащихся стал базой для разработки новых подходов к организации образовательного процесса в рамках идеологии исследовательского обучения. Изучая зарубежный опыт преподавания математики, можно найти множество интересных и эффективных подходов к обучению.

Традиционно высокий уровень математического образования показывают японские школьники. Результаты последних международных исследований опровергли распространенный стереотип о том, что образование в Японии сводится к зубрежке и не допускает самостоятельной деятельности. Безусловно, уча-

щиеся школ Японии проводят за учебой значительно больше времени, чем их сверстники с Запада. Однако исследования показывают, что японские ученики превосходят своих ровесников в других странах в умении решать задачи, требующие понимания, применения полученных знаний и использования таких научных методов, как формулировка гипотез.

Как отмечает Такеши Миакава в своей статье «Опыт "хорошего" преподавания математики» [1], исторически обучение в японских школах построено таким образом, что учитель играет менее заметную роль на уроке, оставляя возможность учащимся самостоятельно разрабатывать собственные алгоритмы и методы решения задач. Именно поэтому в Японии и был разработан целый ряд методик по организации исследовательской, поисковой работы учащихся, одним из которых является подход, основанный на решении открытых задач.

Истоки открытого подхода можно найти в Японии 1970-х гг. В период 1971-1976 гг. японские исследователи провели ряд экспериментов по проверке его эффективности на уроках математики. Выявленные положительные тенденции нашли свое отражение в трудах японского ученого, родоначальника открытого подхода Нобухико Нохда [2-3].

Особенности открытого подхода

Использование открытого подхода базируется на применении так называемых открытых задач -задач, которые имеют не одно, а множество правильных решений. Это обусловлено тем, что открытые задачи могут:

• либо содержать недостаточное количество данных и для ее решения, учащиеся самостоятельно выбирают дополняющие параметры, которые могут быть разными как по количественной характеристике, так и по сути;

• либо в задаче может быть неявно задана цель, то есть ученик находится в ситуации, когда даже не понимает, что конкретно нужно найти в процессе решения.

Второй существенной особенностью открытого подхода является то, что в процессе решения исходной задачи учащиеся могут прийти к постановке новой задачи и по возможности решить ее. Таким образом, один школьник может остановиться на решении исходной задачи, а другой в процессе исследования сможет, решая ряд вытекающих друг из друга задач, установить какие-либо фундаментальные закономерности, вывести формулы, доказать теоремы. Более наглядно эта особенность открытых задач представлена на рис. 1.

Открытые задачи

Итак, какие задачи мы можем считать открытыми? Открытые задачи - противоположность закрытым. В открытых задачах исходные данные или конечная цель явно не заданы, учащимся дается свобода в постановке вопроса своего исследования, в выборе метода рассуждений, в введении дополнительных параметров необходимых для решения. В связи с этим в процессе решения могут получиться совершенно разные, но абсолютно правильные результаты, в силу сделанного учащимся выбора и принятых допущений. Стоит отметить, что в реальной жизни мы сталкиваемся в основном с задачами открытого типа, трудно представить себе жизненную ситуацию, в которой были бы

Исходила тадлча

Решение Решение Решение

\/ «

Решение Решение

равнение и обсуждение^

ИДЕИ / ВОПРОСЫ / НОВЫЕ ЗАДАЧИ

Рис 1. Ход решения открытой задачи

Вариант 1

Сделано работы: 6600 Потрачено денег: 6500 Вывод:

Выполнено большое количество работы, но стоимость найма также высока

Вариант 2

Сделано работы: 6100 Потрачено денег: 5600 Вывод:

Работы выполнено несколько меньше, чем в первом варианте, но и стоимость затрат значительно ниже

Рис. 2. Графический способ решения задачи

даны все исходные данные, четко поставлена цель и имеется только один выход из сложившей ситуации.

Пример использования открытых задач на уроке математике

Рассмотрим простой пример использования открытой задачи на уроке математики. Предложенная задача с математической точки зрения не представляет никакой сложности, она может быть использована как на уроке в 6-м классе, так и, например, в качестве задачи-повторения на отработку экзаменационных заданий типа «Анализ практической ситуации». Время выполнения: не более 15 мин.

Задача. Строительной фирме нужно нанять рабочих для выполнения проекта. Задание должно быть выполнено за 5 дней, и фирма может нанимать только 14 рабочих в один день. Представьте, что вы менеджер данной фирмы, и вы можете нанимать рабочих из различных компаний (А^). Если вы выбираете компанию, то вы нанимаете всех имеющихся у нее рабочих. Каждую компанию можно выбрать только один раз. Считается, что каждый рабочий в день выполняет одинаковое количество работы (условно можно принять величину выполняемой работы за 100). В табл. 1 приведена стоимость найма рабочих и их количество у каждой компании. Выберите оптимальное решение данной проблемы.

Таблица 1

Таблица к задаче

Фирма А В С Б Е Р л н I л

Число рабочих 8 12 2 3 7 6 9 10 11 5

Стоимость найма 600 1400 300 400 500 600 700 800 1200 50

Таблица 2

Табличный способ решения задачи

День 1-й способ 2-й способ 3-й способ

1-й день B& C D & I E & J

2-й день A & D C & B I

3-й день E & F F & A F & A

4-й день G & J J & G C & G

5-й день I H B

Общая стоимость: 6 200 6 500 5 800

Произведенная работа 6 300 6 600 6 000

Средняя стоимость единицы работы 0,98 0,98 0,96

Вывод Оптимальный вариант

Алгоритм работы над задачей:

• Знакомство с задачей;

• Постановка цели;

• Проведение исследования;

• Вывод (устно).

При работе с открытой задачей самое главное для преподавателя - оказывать минимальное содействие учащимся. Именно поэтому знакомство с задачами открытого типа должно проходить на простых примерах. Трудностью для школьников станет уже вопрос оформления задачи, представления результатов и формулировка ответа.

При обсуждении решений задачи стоит обратить внимание: на выбор способа записи решения, отметить наиболее удачные варианты; на выбранный критерий оптимальности; на правильность проведения вычислений. На рис. 2 приведены два примера решения учащимися предложенной задачи.

Данный вариант решения очень удачен с точки зрения наглядности, однако недостаточно ясно обозначен критерий оптимальности.

Второй вариант решения уступает первому по наглядности, но в то же время значительно превосходит предыдущий по степени проработки. В этом случае учащийся вводит критерий оптимальности в виде средней стоимости единицы работы и уже по нему делает вывод об эффективности предложенного плана найма.

Еще раз отметим, что представленная выше задача является наиболее простым примером использования открытых задач и отлично подходит для учащихся, которые только начинают знакомство с задачами нового типа. Однако и ее обсуждение можно продолжить, например, в направлении подсчета числа возможных сочетаний вариантов найма. Решение таких задач не-

обходимо, чтобы учащиеся привыкли к тому, что их ответы могут не совпадать, форма записи решений также может быть различной, но учитель все равно считает их верными, если отсутствуют явные математические ошибки и противоречащие здравому смыслу утверждения.

Уровень знаний обучающихся, а также профиль классов может оказывать значительное влияние на уровень сложности и тематику предлагаемых задач. При правильной организации обучения в рамках открытого подхода решение задач из процесса творческого поиска может перейти непосредственно в исследовательскую деятельность, и в этом случае учащимся могут предлагаться для решения комплексные задачи на вывод базовых отношений, закономерностей и даже доказательство теорем.

Классификация открытых задач

Согласно статье Н. Нохда [2], мы можем классифицировать задачи по виду их «открытости». Таким образом, в зависимости от открытого параметра выделяются три вида задач:

• задачи с множественными ответами;

• задачи с множественными вариантами решений;

• задачи типа «от задачи к задаче».

Также в зависимости от исходных данных,

смыслового содержания задачи, поставленного вопроса и времени затрачиваемого на ее решение выделяют:

• задачи-исследования;

• жизненные задачи;

• задачи без явного вопроса;

• вариативные задачи («что - если?»);

• проекты.

Стоит отметить, что одна и та же задача может быть отнесена к нескольким категориям в

зависимости от целей урока, уровня учащихся и пожеланий преподавателя.

Рекомендации по созданию собственных задач открытого типа

Источниками учебных открытых задач могут служить исторические факты, научные и научно-популярные книги, периодика, документальные фильмы, патентный фонд и т. д. Для того чтобы научиться составлять открытые задачи, удобно рассматривать их основные характеристики в сравнении с классическими («закрытыми») задачами (табл. 3). Тогда создание открытой задачи сводится к переформулировке (если это возможно) задачи «закрытого» типа. В результате исследования были выделены следующие отличительные характеристики открытых задач.

Открытая задача, прежде всего, отличается от классической достаточно высокой степенью свободы. В зависимости от уровня учащихся открытую задачу можно дополнять данными для того, чтобы сделать более очевидными первоначальные шаги исследования.

Рекомендации по оцениванию

Одним из наиболее трудных вопросов при использовании открытого подхода на уроках является вопрос оценивания решений открытых задач. Формализация системы оценок до сих пор является основным из направлений исследования применения открытого подхода. В связи с тем, что основной задачей его использования является развитие исследовательских компетенций учащихся, основным критерием

Характеристики задач о!

при оценке работы на настоящий момент становится овладение учащимся методологическим аппаратом исследовательской деятельности. Педагогу необходимость оценить, отвечает ли исследование на поставленный в задаче вопрос, соблюдены ли основные этапы проведения исследования, правильно ли используется терминологический аппарат, верно ли выбран метод проведения исследования, удовлетворяет ли требованиям представленный результат работы. Дополнительно стоит оценивать глубину проработки вопроса, какие дополнительные задачи смог поставить учащийся из исходной, а также оригинальность представленных идей. В табл. 4 приведены базовые критерии оценки исследовательской работы.

Стоит еще раз подчеркнуть, что в предложенном подходе использования открытых задач на уроках математики основным ориентиром является развитие исследовательских навыков учащихся, поэтому именно этот параметр и лежит в основе системы оценивания.

Для того чтобы учащиеся смогли продемонстрировать владение исследовательскими навыками, необходимо, чтобы они имели четкое представление о методах научного исследования, основных этапах его проведения, о различных способах представление результатов исследовательской работы. Такая работа должна вестись с учащимися на разных предметах учебной программы, так как тема исследования и предметная область не оказывает существенно влияния на ход его проведения.

Таблица 3

эытого и закрытого типа

Параметр «Закрытые» задачи Открытые задачи

Условие Данных достаточно, чтобы решить задачу; в условии нет лишних данных Исходных данных для решения задачи может быть недостаточно или, наоборот, избыточное количество

Постановка вопроса Найдите ... (величину или алгоритм построения) Докажите. (данное утверждение, о котором уже известно, что оно верное) Верно ли данное утверждение? Что можно, а что нельзя найти по данным задачи? Нельзя ли ослабить условие? Нельзя ли усилить утверждение?

Ход решения Теоретических знаний учащегося достаточно, чтобы решить задачу; существует единственное или ограниченное количество стратегий решения поставленной задачи Знаний для решения задачи недостаточно, учащемуся необходимо решать подзадачи, накапливая необходимый опыт; методов решений задачи может быть достаточно много

Результат Существует только одно решение задачи «Правильных» решений в задаче может быть несколько, в зависимости от того, какое направление исследования было выбрано

Результаты использования открытых задач на уроке математики

В процессе обзорного изучения литературы по данному направлению был рассмотрен опыт организации работы в рамках открытого подхода в японских школах, результаты апробации в школах ряда европейских странах, таких как Финляндия, Франция и Германия, а также в Таиланде и Корее [4-6].

Эксперимент в российской школе также подтвердил, что среди результатов использования открытого подхода на уроках математики стоит отметить следующие положительные тенденции:

• повышение познавательной активности и заинтересованности учащихся математикой не только как школьным предметом, но и как наукой;

• улучшилась оценка атмосферы на уроке математики:

• учащимися освоены разные формы проведения исследования, как индивидуальных, так и групповых;

• весь контингент учащихся включен в исследовательскую работу, и получил базовые исследовательские умения;

• получен немаловажный для личностных результатов обучения опыт публичной защиты своей работы и работы в группе.

Таким образом, использование открытого подхода на уроках математики своими результатами оправдывает затраты на подготовку уроков с их применением и преодоление трудностей, встречаемых на первых этапах организации новой для учащихся формы работы на уроке.

Естественно, что открытый подход является нестандартной педагогической технологией, его внедрение в образовательный процесс связано с рядом серьезных трудностей. Во-первых, это объективная неготовность педагогов к тому, что задача может иметь несколько верных решений, и вполне возможен случай, когда сам педагог не рассматривал возможность такого решения, при этом оно является абсолютно правильным. Во-вторых, до сих пор остается открытым вопрос оценивания такого рода за-

Таблица 4

Критерии оценивания открытой задачи

Уровень исследовательской работы Критерии

Высокий уровень («отлично») Проведенное исследование отражает полное понимание учащимся проблемной ситуации, а также овладение научными методами исследования. Оригинальный (нетрадиционный) подход к проведению эксперимента. Правильно интерпретированы все исходные данные (отброшены ненужные компоненты, введены дополнительные необходимые для решения параметры) Количество проведенных экспериментов не избыточно, т.е. учащийся смог аналитически спрогнозировать необходимое количество экспериментов для выдвижения гипотезы и ее подтверждения/опровержения. В процессе решения исходной задачи, получены результаты позволяющие провести обобщение и провести более глубокое исследование. На основе полученных результатов эксперимента сделаны верные выводы. Результаты исследования оформлены согласно заявленным критериям.

Базовый уровень («хорошо») Результаты исследования демонстрируют понимание исследовательского подхода и его методов. В процессе проведения исследования не было допущено серьезных ошибок в рассуждениях, искажающих суть исследуемого явления, но были сделаны некоторые вычислительные ошибки. В процессе исследования не были достигнуты все возможные прогнозируемые результаты. Т.е. ученик не смог обобщить результаты исследования и выйти на новые задачи. В этом случае, далее оценивается качество работы, а не её масштабность. Оформление результатов исследования содержит некоторые незначительные ошибки.

Низкий уровень («удовлетворительно») Очевидны некоторые недостатки в проведении исследования, не использованы все предоставленные материалы по исследованию, однако просматриваются основные этапы проведения исследовательской работы. Недостаточное владение терминологией, связанной с изучаемым вопросом. Выводы основываются не на проведении собственного эксперимента, а на результатах анализа литературы по теме исследования. Разобраны только частные случаи задачи. Оформление результатов исследования содержит некоторые незначительные ошибки.

дач. В-третьих, до сих пор не разработана методическая система, позволяющая использовать открытый подход на уроках математики во всех параллелях. Даже в Японии эта система развита на достаточном уровне только для начальной школы.

Дальнейшее направление исследования по вопросу применения открытого подхода на уроках математики в отечественной школе лежит в развитии системы пропедевтической подготовки учащихся к исследовательской работе на базе открытых заданий, расширении форм работы, педагогического инструментария и накоплении банка задач.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Miyakawa, Takeshi. A study of "good" mathematics teaching in Japan [Text] / Miyakawa, Takeshi. - University of Tsukuba, 2006.

2. Nohda, N. A Study of "open-approach" method in school mathematics teaching [Text]: paper presented at the 10th ICME by N. Nohda / N. Nohda. - Makuhari, 2000. - P. 39-51.

3. Nohda, N. Paradigm of the "open-approach" method in mathematics teaching: Focus on mathematical problem solving [Text] / N. Noh-da. - International Reviews on Mathematical Education, 1991. - No. 23 (2). - P. 32-37.

4. Boaler, Jo. Open and Closed Mathematics: Student Experiences and Understandings [Text] / Jo Boaler // Journal for Research in Mathematics Education. - London, 1998. - Vol. 29, No. 1. P. 41-62.

5. Inprasitha, Maitree. Open-ended approach and teacher education [Text] / Maitree Inprasitha //

Tsukuba Journal of Educational Study in Mathematics. - Center for Research in Mathematics Education Faculty of Education, Khon Kaen University, Thailand, 2006. - Vol. 25.

6. Oh Nam Kwon. Cultivating Divergent Thinking in Mathematics through an Open-Ended Approach [Text] / Nam Kwon, Jung Sook Park, Jee Hyun // Asia Pacific Education Review. -2006. - Vol. 7, No. 1. P. 51-61.

REFERENCES

1. Miyakawa T. A study of "good" mathematics teaching in Japan. University of Tsukuba, 2006.

2. Nohda N. A Study of "open-approach" method in school mathematics teaching: paper presented at the 10th ICME by N. Nohda. Makuhari, 2000, pp. 39-51.

3. Nohda N. Paradigm of the "open-approach" method in mathematics teaching: Focus on mathematical problem solving. International Reviews on Mathematical Education, 1991, 23 (2), pp. 32-37.

4. Boaler Jo. Open and Closed Mathematics: Student Experiences and Understandings. Journal for Research in Mathematics Education. London, 1998. Vol. 29, no. 1, pp. 41-62.

5. Inprasitha M. Open-ended approach and teacher education. Tsukuba Journal of Educational Study in Mathematics. Center for Research in Mathematics Education Faculty of Education, Khon Kaen University, Thailand, 2006. Vol. 25.

6. Oh Nam Kwon. Cultivating Divergent Thinking in Mathematics through an Open-Ended Approach. Asia Pacific Education Review, 2006. Vol. 7, no. 1, pp. 51-61.

Овсянникова Ирина Станиславовна, аспирантка кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания Московского городского педагогического университета; учитель ГБОУ СОШ № 1862 г. Москвы e-mail: is_ovsyannikova@mail.ru

Ovsyannikova Irina S., Post-Graduate Student, Department of Algebra, Geometry and Their Teaching Methods, Moscow City Pedagogical University; Teacher, Comprehensive school No. 1862, Moscow e-mail: is_ovsyannikova@mail.ru