Учет динамики разрушения вихрей при математическом модfлировании нестационарныix аэродинамических характеристик трeyголъного крыла

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVIII 1997 :

№1

УДК 517.9S5-.532.527

УЧЕТ ДИНАМИКИ РАЗРУШЕНИЯ ВИХРЕЙ ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА

Ю. А. Виноградов, А. Н. Жук, К. А. Колинько, А. Н. Храброе

Представлен краткий обзор математических моделей для описания нестационарных аэродинамических характеристик самолетов с учетом влияния предыстории движения на отрывных режимах обтекания. Часть моделей основана на использовании концепции переходных функций, другая — на описании нестационарных аэродинамических характеристик с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обсуждаются основные особенности нестационарной нормальной силы треугольного крыла на режимах отрывного обтекания.

На примере треугольного крыла удлинением X = 1,5 проведена идентификация математической модели нестационарного коэффициента нормальной силы при колебаниях на больших ушах атаки с различными частотами и амплитудами. При этом для описания динамики точки разрушения вихрей над крылом использовалось дифференциальное уравнение. Определены неизвестные параметры математической модели. Рассмотрено линеаризированное представление модели, применимое при малых колебаниях крыла с различной частотой. Показано, что предложенный подход позволяет удовлетворительно моделировать нестационарные аэродинамические характеристики и при движениях крыла с большими амплитудами, ще традиционная математическая модель с использованием нестационарных и вращательных аэродинамических производных не применима.

1. Традиционно описание аэродинамических характеристик самолета при решении задач динамики осуществляется в виде линейного разложения в ряд по кинематическим параметрам движения [1], [2]. В этом случае математические модели коэффициентов аэродинамических сил и моментов {сх, су, cz, тх, ту, mz) представляются в виде линейного разложения в ряд по приращениям углов атаки и скольжения (а, р), угловых скоростей (юх, у, шг), производных по времени

от угла атаки и скольжения (а, р) и углам отклонения органов управления (бэ, 8В, 5Н). При этом характеристики устойчивости и управ-

ляемости в линейных разложениях определяются по результатам статического эксперимента в аэродинамической трубе, проводимого при юх = (оу = = а = р = 0. Вращение самолета учитывают введением до-

полнительных слагаемых в виде произведений вращательных производных на соответствующие угловые скорости, а нестационарность — в виде произведений нестационарных производных коэффициентов сил и моментов по а и р на соответствующие значения этих производных. Например, для коэффициента нормальной силы будем иметь

су М = суо + “М + V'  + + ^8,

Вращательные и нестационарные производные аэродинамических коэффициентов обычно определяются по результатам динамического эксперимента в аэродинамической трубе.

Учет нелинейной зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки

су = су{ а) +

позволил расширить область применения такой математической модели для описания аэродинамических характеристик при полетах на значительных углах атаки.

В настоящее время линейные и нелинейные математические модели описания аэродинамических характеристик широко используются как при численном решении задач динамики полета в широком диапазоне изменения параметров движения, так и при аналитических исследованиях особенностей динамики самолета.

Правомерность и возможность использования традиционных моделей при исследовании режимов полета с безотрывным обтеканием хорошо подтверждаются результатами экспериментов и многолетней летной практикой. При этом следует отметить, что линейные или нелинейные аэродинамические характеристики в традиционных математических моделях, как предполагается, не зависят от частоты и амплитуды колебаний при возмущенном движении самолета, а аэродинамические нагрузки в каждый момент времени пропорциональны мгновенным возмущенным значениям кинематических параметров.

Однако, как показывают многочисленные экспериментальные исследования, аэродинамика на режимах развития отрывного обтекания существенно отличается от аэродинамики безотрывных режимов. При колебаниях с малой амплитудой на углах атаки, превышающих критический, величины нестационарных и вращательных аэродинамических производных начинают зависеть от частоты и амплитуды колебаний модели. При максимальном угле атаки, когда угловая скорость модели равна нулю, значения коэффициента нормальной силы могут существенно превышать величины, наблюдающиеся при стационарных испытаниях. При неустановившемся движении самолета в условиях отрывного обтекания происходит затягивание начала отрыва потока при

выходе самолета на большие углы атаки и возникает запаздывание восстановления безотрывного обтекания по сравнению со статическими условиями при обратном ходе. Это приводит к существенному динамическому гистерезису интегральных аэродинамических характеристик. Влияние предыстории движения самолета на его мгновенные аэродинамические характеристики в рамках традиционных математических моделей не позволяет однозначно связать состояние отрывного обтекания с текущими значениями кинематических параметров движения.

Вследствие этого встает вопрос: какая математическая модель аэродинамических сил и моментов может быть использована при моделировании динамики полета на больших углах атаки? Расширение полетных диапазонов углов атаки современных самолетов данный вопрос делает все более важным. Это заставляет предпринимать попытки разработки математических моделей, которые позволили бы адекватно описать нестационарные аэродинамические нагрузки, действующие на летательный аппарат при неустановившемся движении на больших углах атаки. В настоящей статье сделан краткий обзор существующих подходов к описанию нестационарных аэродинамических характеристик на больших углах атаки. Затем на примере нестационарного обтекания треугольного крыла на больших углах атаки рассматривается один из подходов, использующий обыкновенное дифференциальное уравнение для моделирования динамики точки разрушения вихрей.

2. Все известные в настоящее время математические модели аэродинамики с учетом предыстории движения можно условно разделить на две большие группы. В одной для описания влияния предыстории движения на нелинейные нестационарные аэродинамические на1рузки используют переходные аэродинамические функции. Первой работой с использованием этого подхода является статья [3].

Дальнейшее развитие это направление получило в работах [4], [5]. Математическая модель нелинейных нестационарных аэродинамических характеристик, использующая нелинейные переходные функции, может быть представлена в виде интеграла Дюамеля. Например, коэффициент нормальной силы можно определить выражением

су

где су{{) — коэффициент аэродинамической силы, а су(1о) — установившееся значение аэродинамического коэффициент^ при начале маневра, Т — индекс транспонирования. Вектор % обозначает вектор кинематических параметров движения самолета, например при движении самолета только в продольной плоскости %т = (а, шг). Элементами вектора переходных функций су§ являются реакции зависимости су на

ступенчатое изменение соответствующего кинематического параметра из вектора £ в некоторый момент времени.

При малых углах атаки в условиях безотрывного обтекания широко используется линейный вариант формулы (3), в которой переходные функции не зависят от значений параметров % и являются только функциями времени с^(/ - т) [2]. При отрывных режимах обтекания

это допущение несправедливо. Приходится учитывать зависимость переходных функций от кинематических параметров движения, что значительно усложняет математическую модель. Кроме того, данный подход при исследовании динамики полета самолета приводит к необходимости решать интегродифференциальные уравнения. Методы решения таких уравнений достаточно сложны. Поэтому с точки зрения практического применения этот подход нуждается в значительном упрощении и конкретизации. Например, в работах [6], [7] переходные функции в интеграле (3) заменялись экспонентами, что позволило получить некоторые конкретные результаты. В работе [8] в развитие данного подхода использовалось преобразование Фурье, что позволило достаточно хорошо описать изменение аэродинамических нагрузок при гармонических движениях крыла. Использование же этого метода в случае произвольного движения модели затруднительно.

К другой группе относятся работы, в которых для описания влияния предыстории движения самолета на его аэродинамические характеристики используются обыкновенные дифференциальные уравнения. Эти уравнения помогают учесть собственные динамические свойства аэродинамических характеристик и позволяют решать задачи динамики полета и исследования устойчивости движения в рамках классических систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Этот подход давно используется для описания нестационарных аэродинамических характеристик профиля на срывных режимах обтекания [9]. Для самолета в целом такой подход использовался в работе [10]. Кратко идею этого подхода можно продемонстрировать следующим образом. Например, для коэффициента нормальной силы на отрывных режимах обтекания можно записать следующее динамическое уравнение:

^ — — ____________________________

т-^- + Су = суо

В этом уравнении суо (а) — стационарная зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки, су — динамическая переменная, описывающая мгновенное значение коэффициента нормальной силы, ит — некоторая характерная постоянная времени, соответствующая времени установления отрывного обтекания. При т = 0, т. е. при отсутствии запаздывания развития потока, модель (4) сводится к традиционной математической модели (2). Естественно, что такое простое уравнение, хотя и описывает некоторые динамические свойства су, не позволяет учесть некоторые важные особенности, наблюдающиеся в нестационарном аэродинамическом эксперименте.

В развита этого подхода было предложено строить математические модели нестационарных аэродинамических коэффициентов в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами на основе линейных переходных функций [11, [12]. В случае применения для моделирования аэродинамики самолета переходных функций ни из теории, ни из эксперимента неяснЬ, какую аналитическую форму должны иметь эти функции. В линейном нестационарном подходе был предложен также метод введения некоторых внутренних переменных, для описания динамики которых вводились дополнительные дифференциальные уравнения, а коэффициенты аэродинамических нагрузок зависели от этих переменных, как и от других кинематических параметров [13].

В общетеоретическом плане вопрос об использовании обыкновенных дифференциальных уравнений для математического моделирования нестационарных нелинейных аэродинамических характеристик самолета достаточно полно исследуется в работе [14]. Рассмотрены как общие принципы построения данного класса математических моделей и определения их структуры, так и состав экспериментальных данных, необходимый для их идентификации.

В последние годы в ЦАГИ продолжают развиваться подходы, связанные с построением математических моделей нестационарных аэродинамических коэффициентов на основе использования обыкновенных дифференциальных уравнений для внутренних переменных, которые описывают структуру отрывного обтекания самолета [15]— [17]. При таком подходе вектор кинематических параметров движения самолета £ дополняется вектором внутренних переменных х, который описывает состояние вихревого и отрывного обтекания. Этот вектор содержит дополнительную информацию, необходимую для определения мгновенных значений аэродинамических сил и моментов в данный момент времени. Добавочные переменные х обладают определенными динамическими свойствами, которые могут быть описаны при помощи динамических уравнений. В этом случае математическая модель, например, для коэффициента нормальной силы может быть представлена в виде

су = /(§, х),

ЛХ / Ч

Следует отметить, что в рамках линейной нестационарной аэродинамики подход с использованием переходных функций и подход с использованием внутренних переменных состояния (5), как показано в работе [6], являются эквивалентными.

3. Предложеннную математическую модель (5) проиллюстрируем на примере моделирования нестационарных аэродинамических характеристик треугольного крыла при его движении в продольной плоскости.

Основой для построения математических моделей аэродинамических характеристик на больших углах атаки, учитывающих динамические свойства развития вихревого и отрывного обтекания, являются динамические зависимости аэродинамических характеристик, полученные при нестационарных экспериментах в аэродинамических трубах. В работе [18] были получены нестационарные аэродинамические производные треугольного крыла в результате испытаний модели методом вынужденных колебаний с малой амплитудой. В данной работе предпринимается попытка создания общей математической модели на основе этих экспериментальных данных, а также результатов эксперимента при колебаниях крыла с большими амплитудами для различных значений частот и средних значений углов атаки.

Остановимся сначала более подробно на построении математической модели. В случае симметричного обтекания треугольного крыла большой стреловидности достаточно использовать одну безразмерную внутреннюю переменную х — координату точки разрушения вихрей, отнесенную к корневой хорде крыла. Случай х = 1 соответствует обтеканию крыла, при котором точка разрушения вихрей расположена в потоке за задней кромкой крыла. Величина х — 0 соответствует случаю обтекания с полностью разрушенными вихрями.

Математическая модель коэффициента нестационарной нормальной силы может быть представлена в виде

су = су

(в условиях эксперимента а = юг). Здесь су(а, х) — неизвестная нелинейная функция двух переменных — угла атаки а и координаты разрушения вихрей х, (cj* +с“ j — комплекс вращательной и нестационарной производных, который определяется в эксперименте на малых углах атаки. В случае нестационарного обтекания нормальная сила треугольного крыла зависит от мгновенного значения угла атаки а(/), a

также от мгновенного положения точки разрушения вихрей x(t), которое может значительно отличаться от своего положения в статике Хо(а). Примем приближенно, что неизвестная функция су (а, х) может

быть представлена в виде

Су

где су1 (а) — зависимость коэффициента нормальной силы от >тла атаки, которая реализуется при условии обтекания крыла без разрушения его вихревых структур обтекания, суа (а) — зависимость коэффициента

нормальной силы от угла атаки в случае безотрывного обтекания крыла без учета дополнительной нормальной силы, индуцируемой вихрями. На рис. 1 показан качественный вид кривых cyi(a), cyQ(а) и

Лсу (а) наряду с экспериментальными стационарными данными

Рис. 1

Суст(а)> а также стационарной зависимостью точки разрушения вихрей хо(а) от утла атаки, вычисленной с помощью соотношения

_СУМ-Су0

х0-------г~\-----ГГ»

су1{а.) - суо

вытекающего из выражения (7). Следует отметить, что для данного крыла статический аэродинамический гистерезис отсутствует, т. е. экспериментальные зависимости, полученные в статике для поляр с увеличением и уменьшением угла атаки, совпадают.

Для построения замкнутой математической модели в форме (5) используется дифференциальное уравнение для описания динамики точки разрушения вихрей при нестационарном изменении угла атаки крыла. По результатам экспериментов хорошо известно,что в случае, когда угол атаки крыла изменяется ступенчато, точка разрушения вихрей принимает свое новое положение не сразу, а через некоторое характерное время — время релаксации. Экспериментальные исследования также показывают, что, если движение модели происходит с постоянной угловой скоростью а>г = а > 0, разрушение вихрей затягивается на большие углы атаки. При а < 0 восстановление вихрей происходит соответственно на меньших углах атаки. Получаемое запаздывание угла атаки в некотором диапазоне а пропорционально темпу изменения угла атаки. Если обозначить коэффициент этой пропорциональности через Т2, то простейшее динамическое уравнение, описывающее особенности нестационарного обтекания, наблюдаемые в эксперименте, может быть представлено в виде

Впервые это уравнение использовалось в работе [15]. Уравнения (6), (9) составляют замкнутую систему уравнений, которая является математической моделью коэффициента нормальной силы крыла при произвольном движении модели.

Предложенная математическая модель достаточно проста, однако способна описать основные динамические особенности нормальной силы, наблюдаемые в эксперименте. Математическая модель содержит три неизвестные функции от угла атаки суо (а), ДеДа), Хо(а) и две

неизвестные константы времени т^, т2. Для идентификации этих функций и констант времени могут быть использованы результаты статического и нестационарного (вынужденные колебания с малой и большой амплитудами) экспериментов с моделью крыла в аэродинамической трубе.

4. Остановимся на использовании рассматриваемой математической модели для описания результатов экспериментов при вынужденных гармонических колебаниях крыла с малыми амплитудами. Для этого целесообразно рассмотреть линеаризированную форму предлагаемой нелинейной математической модели. Кроме того, в процессе линеаризации математической модели можно получить аналитические

п СО 7 о

соотношения для оценки производных с“ и су + Су на углах атаки,

при которых развивается отрыв в зависимости от частоты колебаний, и сравнить эти оценки с результатами обработки данных эксперимента с малыми амплитудами.

В случае гармонических колебаний крыла

где ю = 2л/ — круговая частота.

При малых изменениях угла атаки правую часть уравнения (9) можно представить в виде линейного разложения в окрестности угла атаки а = ад:

Тогда решение дифференциального уравнения (9) в окрестности а = а0 можно записать в виде

Для определения величин Дхх и Дх2 представим уравнение (9) с учетом соотношений (11) и (12) в виде

а = ад + Да віп аґ, а = Даю соею?,

х(?) = хо(ао) + Дх* віпю/ + ДХ2 совшЛ

(-Т1юДх2 + + (т^юАх^ + Алисов со/ =

с1х0 А . _ ёх0 А ,

= —51 Давш Ы - т2 — Дасо совю/. аа да

Из этого уравнения можно получить

1 + Т2Ю

*„ ^0 Л

Дх2 = -—а. Да--------——.

«а 1 + т2ю

Разложим функцию двух переменных су(а, х) в рад в окрестности точки (ад, *о): '

су = су(а0,х0) + ^Аа.и) + ^-АхЬ) =

ООС ОХ -

= Су(ао, *о) + (с“ + Дс“х)да8тсо7 +

Л с1хо 1-Т1г2а>2 л . . А <£с0

н-Дс,,— -----,  -1 Да ятю? - Дс-у— ----- ——Досю соею/.

у Ла 1 + х2ю2 У 1 + т2ю2

В рамках традиционной линейной модели при вынужденных колебаниях с малой амплитудой имеем

Су(0 = су(ао) + с“в.к(а)Да^п^ + (^суг(а) + с“(а)^ —ЬаасоъЫ, (16) где с“ и [ с“г (а) + с“ (а) ] — аэродинамические производные в фа-

у ’ V у у 'В.К

зе с изменением угла атаки и в фазе с еш производной, которые находятся по экспериментам при вынужденных колебаниях с малой амплитудой.

Поэтому с учетом выражений (15), (16) и (14) имеем

с“ (а) = са + Асах + Ас ,дЬс° 1 ~ т1т2ю2 сув.к^ СУ0+АСУХ + АСУ аа 1 + х2а2 >

1

У Л. <Мт1+*2)

У <** 1 + т2ю2 '

Принимая во внимание выражение для стационарной производной

с“ = с“ + Дс“х +-Дс,

Лс0

'уст УО У у йа ’ соотношения (17) можно переписать в виде

из

сЬс0 (тг +Т2)т1Ю2

У-Ил,. ^0

) Ьа у <1<х 1 + х2а>2 ’

Таким образом, на основании линеаризированного представления нелинейной математической модели получены явные выражения для аэродинамических производных, которые выделяются при обработке нестационарного эксперимента методом малых колебаний.

Анализ этих выражений свидетельствует о том, что производная с“ „ в данной математической модели совпадает со своим статическим значением с“ст в диапазонах углов атаки, где вихри не разрушаются над поверхностью крыла или полностью разрушены —- = 0 .

При наличии же зависимости положения точки разрушения вихрей от угла атаки величина производной отличается от своего статического значения, при этом величина рассогласования зависит от частоты вынужденных колебаний. Это качественно согласуется с экспериментальными результатами для производной с“в к [18].

Как показывает второе соотношение (18), комплекс нестационарных аэродинамических производных при малых углах атаки также не зависит от частоты колебаний. Зависимость от частоты проявляется

динамических производных также наблюдаются в эксперименте.

5. В работах [15] — [17] выражения типа (18) использовались для идентификации неизвестных параметров математической модели: неизвестных постоянных времени и т2, а также неизвестной функции

кации всей нелинейной модели (6),. (9), которая содержит три неизвестные функции от угла атаки Су0(а), Ас^Да), х0{а) и две неиз-

Идентификация параметров проводилась на основе результатов эксперимента при колебаниях крыла с большими амплитудами, полученных авторами. Исследования проводились с моделью треугольного крыла ^ = 1,5 ([18]) с хордой Ьа = 0,725 м при скорости потока Уж = 25 м/с. Амплитуда колебаний составляла Да =14-5- 24°, безразмерная частота колебаний а - со Ьа/Уж = 0,012 -ь 0,035.

Процедура идентификации неизвестных параметров математической модели осуществлялась следующим образом. Значение ком-

с!х

ЛТ(а)= Асу—В настоящей работе предпринята попытка идентифи-

" ///V

вестные константы времени т1( т2.

входящего в выражение (6), принималось равным

значению, полученному при обработке результатов испытаний треугольного крыла в аэродинамической трубе методом вынужденных колебаний с малыми амплитудами при малых углах атаки:

+су) *1,4-

Построение нулевого приближения для зависимостей суо (а) и су1(а) осуществлялось с использованием данных измерения коэффициента су при вынужденных колебаниях с различными частотами и большими амплитудами. За нулевые приближения су^ (а) и су{ (а) были

взяты огибающие сверху и снизу для всех экспериментальных зависимостей коэффициента нормальной силы при вычете из них составляющих демпфирования +су )  процессе идентификации

зависимости суо (а) и су{ (а) были несколько уточнены.

Построение функции х0(а) в правой части уравнения (9), характеризующей структуру отрыва в зависимости от угла атаки в стационарных условиях(а = 0), осуществлялось следующим образом: для углов атаки безотрывного обтекания а<аг (где а! = 30°) полагалось, что х0 = 1, на углах атаки полного отрыва а > а2 (где а2 ~ 58°) считалось, что х0 = 0.

На углах атаки ах <а <а2, характеризующихся перестройкой обтекания, параметр х0 определялся по формуле (8). Полученные нелинейные зависимости параметров математической модели от угла атаки вместе со статической зависимостью с>,ст(а) показаны на рис. 1.

Оценка неизвестных параметров X] и т2 осуществлялась комбинированным способом, включающим в себя метод сопряженных градиентов и метод покоординатного спуска для минимизации срёднеквад-ратического рассогласования между данными трубных испытаний и расчетными значениями, полученными с помощью математической модели.

В результате обработки данных испытаний при колебании модели крыла с амплитудой Да = 15° относительно среднего угла атаки а0 = 38° с частотами ю = 0,012; 0,023; 0,035 были получены следующие значения параметров хх и т2:

. ш х1>с т2, с

0,012 0,359 0,059

0,023 0,336 0,069

0,035 0,332 0,088

Средние значения параметров хг и т2 для обработанных трех реализаций составляют X! = 0,342 с, х2 = 0,073 с, а их безразмерные значения х = хКте/6а соответственно х1 = 11,8, х2 =2,5.

Таким образом, выбранные постоянные времени т1, т2, зависимости су] (а), Су0 (а), Су ст(а) и стационарная зависимость х0(а) определяют математическую модель для описания коэффициента су при

произвольном нестационарном движении крыла.

6. Для проверки адекватности полученной математической модели было проведено сравнение результатов моделирования с экспериментальными результатами, полученными в аэродинамической трубе при колебании треугольного крыла с малыми и большими амплитудами для различных значений частот колебаний.

С использованием нелинейной математической модели (6), (9) было проведено численное моделирование вынужденных гармонических колебаний треугольного крыла с малой амплитудой Да = 3° и частотами колебаний м = 0,015; 0,029; 0,041.

На рис. 2 сплошными линиями приведены расчетные динамические зависимости Су (а) для одного периода колебаний, а также зависимости внутренней переменной х(а), характеризующей развитие разрушения вихрей над крылом, для средних значений угла атаки а = 10, 20, 30, 38, 46, 55°. Маркерами на этих же рисунках приведены зависимости Су (а), полученные в эксперименте. Видно, что значения су (а), полученные с использованием математической модели, достаточно хорошо совпадают с экспериментом.

, т « г* СО - Г1

На рис. 3 приведено сравнение производных су и с <• +су , полученных при обработке результатов эксперимента при вынужденных колебаниях с малой амплитудой в аэродинамической трубе (маркеры), с результатами расчета этих производных (сплошные линии), полученными с использованием аналитических соотношений (7) линеаризированной математической модели для значений частот ш = 0,015; 0,029; 0,041. Анализ результатов показывает, что предлагаемая модель позволяет качественно и количественно описать наблюдаемое в эксперименте поведение нестационарных аэродинамических характеристик.

7. С использованием предлагаемой нелинейной математической модели было проведено также численное моделирование вынужденных колебаний треугольного крыла с большими амплитудами.

На рис. 4 сплошной линией обозначены зависимости су (а) и х(а), полученные в результате расчета с использованием математической модели. Маркерами обозначена зависимость су(а), полученная в процессе эксперимента в аэродинамической трубе при колебаниях с амплитудой Да = 16° и частотами ю = 0,012; 0,023, 0,035 относительно среднего угла атаки а0 =16°. Штриховыми линиями обозначены зависимости суст{а) и хо(а). Штрихпунктирной линией показаны результаты расчета нестационарных зависимостей при использовании традиционной математической модели (2). Как видно из рисунка, на углах атаки, при которых вихри еще не разрушаются над поверхностью кры-

г,s -

2,0 -

1,s -

t.o

0,015

0,023

o,s

' \ V

сі? \ 1 t 1 1 •—

10е 20“ 30“ 40* SO"

Рис. 2

го* и* 40" и* о.

-т—|—)-|—| -гт т-1 | 1 I I I I 11 1! I

г-0,015

т~~*. .% . I.

40* SO* ОС

_ 0,023 / / / і 1

0,036 N \ \ \ \ \

'V \

\ V

\ N

1 » І і'**'-*.

ла, обе математические модели дают близкие результаты, хорошо описывающие результаты эксперимента.

На рис. 5 приведены соответствующие зависимости, полученные при колебаниях треугольного крыла относительно угла атаки а0 = 38° с амплитудой Да = 15°. При этом крыло выходит на углы атаки, при которых наблюдается разрушение вихрей над его верхней поверхностью. Видно, что в этом случае традиционная модель уже не в состоянии описать наблюдаемые в эксперименте результаты не только количественно, но и качественно. Нелинейная же математическая модель с использованием динамической внутренней переменной достаточно хорошо описывает представленные экспериментальные результаты при осредненных значениях временных констант.

На рис. 6 приведены зависимости су(а) и х(а), полученные при

моделировании колебаний треугольного крыла относительно среднего угла атаки а0 = 32° с большой амплитудой Да = 24° и частотами колебаний ш - 0,012; 0,023. Для этой амплитуды количественное согласование результатов эксперимента и математического моделирования несколько ухудшается. Однако можно отметить, что рассматриваемая математическая модель и на режимах развитого отрывного обтекания удовлетворительно описывает основные особенности нестационарных аэродинамических характеристик, чего нельзя сказать о традиционно применяемой математической модели. ,

Предлагаемая модель настраивалась и проверялась при периодических движениях, близких к гармоническим колебаниям с различными амплитудами и частотами. Модель может быть применена для произвольных движений самолета, но результаты такого моделирования нуждаются в дальнейших проверках.

В настоящей работе исследовалась математическая модель только для нестационарного коэффициента нормальной силы крыла. Для исследования динамики полета на больших углах атаки необходима также математическая модель для коэффициента продольного момента, которая также может быть построена с использованием рассмотренного подхода. В этом случае необходимо учесть не только динамику развития нестационарной силы, но и динамику ее перераспределения по поверхности крыла, что является несколько более сложной задачей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения.— М.Машиностроение.—1979.

2. Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа.—М.:Наука.—1971.

3. Tobak М., Schiff L. В. On the formulation of the aerodynamic • characteristics in aircraft dynamics // NASA TR R-456.—1976.

4. Jenkins J. E. Relationships among nonlinear aerodynamic indicial response models, oscillatory motion data, and stability derivatives // AIAA Paper 89-3351-CP.—1989.

5. Huang X. Z., Hanff E. S. Prediction of normal force on a delta wing rolling at high incidence // AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference,

August 9—11.—1993. AIAA Paper 93-3686.

6. Klein V., Noderer К. D. Modeling of aircraft unsteady

aerodynamic characteristics. Part 1. Postulated models // NASA Technical

Memorandum 109120.—May 1994.

7. Klein V., Noderer K. D. Modeling of aircraft unsteady

aerodynamic characteristics. Part 2. Parameters estimated from wind tunnel data // NASA Technical Memorandum 110161.—April 1995.

8. Chin S., Lan С. E. Fourier functional analysis for unsteady aerodynamic modeling // AIAA Paper 91-2867-CP.—1991.

9. Peters D. A. Toward a unified lift model for use in rotor blade stability // J. of American Helicopter Society.—1985, N 6.

10. Гоман М. Г. Математическое описание аэродинамических сил и моментов на неустановившихся режимах обтекания с неединственной структурой // Труды ЦАГИ.-1983. Вып. 2195.

И. Прудников Ю. А., Пето шин В. И., Часовни-ков Е. А. Математическое моделирование нестационарных аэродинамических характеристик треугольного крыла на больших ушах атаки. Вопросы аэродинамики и динамики полета летательных аппаратов.—Сб. научных трудов,—М.: ЦНТИ «Волна»,—1985.

12. Бендяков Н. Ф., Виноградов Ю. А., Колин И. В., Лацоев К. Ф., Макаров Ю. О., Поединок А. М. Описание математической модели линейных нестационарных аэродинамических характеристик самолета // Труды ЦАГИ.—1989. Вып. 2449.

13. L е i s h m a n J. G., Nguyen K. Q. State-space representation of unsteady airfoil behaviour // AIAA J.—1990. Vol. 28, N 5.

14. П о г о д а е в А. А., С в я т о д у х В. К. Математическое описание нестационарных нелинейных аэродинамических характеристик для задач динамики полета // Труды ЦАГИ.—1989. Вып. 2449.

15. Г о м а н М. Г., С т о л я р о в Г. И., Тартышников С. Л., Усольцев С. П., X р а б р о в А. Н. Описание продольных аэродинамических характеристик самолета на больших ушах атаки с учетом динамических эффектов отрывного обтекания // Препринт ЦАГИ.—1990, №9.

16. Goman М., Khrabrov A. State-space representation of aerodynamic characteristics of an aircraft at high angles of attack // J. of Aircraft, Sept.—Oct. 1994. Vol. 31, N 5.

17. Goman М., Khrabrov A., Usoltsev S. Identification of unsteady aerodynamic model of a delta wing at high angles of attack // Proceedings of 10th IFAC Symposium on System Identification.— July 1994. Vol.,3.

18. Жук A. H., Иоселевич А. С., Столяров Г. И., Табачников В. Г. Экспериментальное исследование демпфирования крена и тангажа треугольного крыла X = 1,5 на больших углах атаки // Труды ЦАГИ.—1985. Вып. 2290.

Рукопись поступила 27/11996 г.