Решение тестовых полевых задач в кусочно-однородной области методом стан дартных элементов

УДК 519.632.4

A.B. Пашковский

РЕШЕНИЕ ТЕСТОВЫХ ПОЛЕВЫХ ЗАДАЧ В КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ОБЛАСТИ МЕТОДОМ СТАНДАРТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Решение современных задач проектирования, разработка новых технологий, получение материалов и устройств с заранее заданными свойствами невозможны без привлечения программных средств, осуществляющих необходимые расчёты и сочетающих высокую точность и приемлемое время их выполнения. Среди современных численных методов наиболее популярен метод конечных элементов (МКЭ). По своей сущности — это вариационный метод с кусочно-полиномиальными пробными функциями, обладающий геометрической гибкостью и применяемый к большому классу уравнений с частными производными. Он позволяет достаточно точно описать сложные криволинейные границы области определения решений и краевые условия. Однако использование МКЭ для точного расчёта двух-и трехмерных электромагнитных и температурных полей в кусочно-однородных средах (КОС) при наличии в окрестностях угловых точек особенности решения, многофазных сред с тонкими включениями или неудовлетворительными свойствами решений, затруднено.

Таким образом, все насущнее становится задача создания новых численных методов, внедрения новых идей в их подходах, обеспечивающих при реальных затратах компьютерных памяти и времени высокую точность решения, в частности, полевых задач в КОС с особенностями решения, неудовлетворительными свойствами решений на границах.

Основная идея метода стандартных элементов (МСЭ) состоит в заполнении расчётной области совокупностью стандартных элементов (СЭ), в которых известны аналитические решения соответствующих краевых задач, найденные классическими методами. Такой подход позволяет не только резко сократить степень дискретизации расчётной области, но и на порядки повысить точность решения. Метод стандартных элементов, впервые введенный в [1] для тепловых расчётов электрических машин, при заполнении расчётных областей предполагал исполь-

зование таких СЭ, как: круг, сектор, сектор кольца и др. Комбинированное использование МСЭ с МКЭ также отличалось резким повышением точности расчётов.

Дальнейший анализ геометрии электромагнитных устройств (ЭУ), а также разнообразных КОС, показал значительные перспективы использования в моделировании электромагнитных и температурных полей СЭ типа: прямоугольник и параллелепипед. Результаты, полученные в [2, 3], показали стройность лежащей в основе метода математической теории и соответствующих выводов. Данные [4], кроме того, проиллюстрировали достаточную простоту использования СЭ прямоугольной геометрии для заполнения двух-и трехмерных расчётных областей, удобную склейку СЭ межцу собой, возможность комбинирования подобных СЭ с конечными элементами в расчётной области при сохранении высокой точности расчётов.

Разработка нового численного метода, оценка его преимуществ и недостатков, естественно, предполагает оценки его точности на разнообразных краевых задачах, геометриях расчётных областей и граничных условиях. Рассмотрим некоторые данные сравнительного анализаточ-ности МСЭ и МКЭ при решении тестовых задач в однородных и кусочно-однородных средах. Следует отметить, что большинство результатов, приведенных ниже, получены на соответствующих аналитических примерах и специально разработанной математической модели кусочно-неоднородной в магнитном отношении расчётной области. Такой подход — единственный способ объективной оценки точности и эффективности двух современных численных методов.

Первоначально для сравнительной оценки МСЭ и МКЭ получены распределения магнитного потенциала в однородной области (рис. 1). Геометрия области аналогична замкнутой системе П-образного магнита. Зазор в магнитопро-воде принимался равным 2 мм, что соответствовало размерам в реальной системе. Ставилась

^Научно-технические ведомости СПбГПУ 6'

задача не только получить численные решения краевой задачи МСЭ и МКЭ, но и сопоставить полученные данные с её аналитическим решением. В качестве аналитического решения в расчётной области в порядке усложнения рассматривались модельные функции

щ = 7 + Зз> + 4х + 5хз'; Щ = У3 - Зх2)';

щ = 51П

определяющие граничные условия (2) в задаче Дирихле для уравнения Лапласа:

сКу(1/мвга£1£/) = 0,

Мс, = иь ЦС2 = иъ Цсз = и3, = Щ.

Также для существования решения в аналитическом виде, считалось, что магнитные проницаемости материалов области одинаковы и

источники поля в области отсутствуют. Для ис-

У

17 39 40 4] 4?

Зь 35 34 • 33 32 31

.и }( 71 ?8 3"

24 23 22 21 20 19

П 14 И V. .17 ' ' 1»

12 11 10 • 9 7

1 2 3 4 5 Л

-

Рис. 1. Расчётная область

пользования МСЭ расчётная область была разбита на 48 СЭ (см. рис. 1) в виде прямоугольников, что продиктовано удобством их формы для её заполнения. Для контроля точности было выделено девять точек (см. рис. 1), включая точки в угловой части центрального сердечника и в узком зазоре, рассчитываемые обычно с наименьшей точностью. Значения аналитического решения в точках находились непосредственным вычислением значений тестовой функции. Для получения картины двухмерного поля МКЭ применялись программные пакеты БЕММ и МагЫаЬ. Разбиение расчётной области на конечные элементы представлено нарис. 3.

Полученные результаты показали, что МСЭ позволяет резко сократить степень дискретизации расчётной области (табл. 1).

Очевидны преимущества МСЭ и в точности расчёта поля при наличии в области узких включений и быстро осциллирующих функций.

Существует мнение, что увеличение степени дискретизации расчётной области при использовании МКЭ всегда влечет повышение точности. Как показали численные эксперименты,

Рис. 3. Разбиение расчётной области на КЭ

Таблица 1 Результаты расчёта значений тестовых функций

Метод Число Число IV, »2 Из

решения узлов элементов ^тах? /о ^гпах? ^шах?

Аналитика 0 0 0 0 0

МКЭ 1954 3784 0,0560 1,3 4,21

МСЭ 63 48 0,0612 0,1330 0,6035

проведенные нарассмотренном примере, увеличение числа элементов с 3760 до 15136, а затем и до 60544 (более чем в 16 раз) не принесло значительного уменьшения величины погрешности МКЭ (табл. 2).

В некоторых контрольных точках погрешность даже возросла, что обусловлено ростом погрешности решения систем уравнений с разреженными матрицами. Достичь такого преимущества в точности расчётов МСЭ по сравнению с МКЭ позволяет использование аналитических представлений функций решения в СЭ вместо их аппроксимации линейными полиномами.

Однако наибольший интерес представляет расчёт областей с кусочно-однородной структурой. Рассмотрим результаты численных экспериментов (табл. 3) по решению краевой задачи (2) в расчётной области (см. рис. 1) с учётом реальных магнитных характеристик входящих в нее материалов (цвоздуха = 1, цмеди = 1, цсталим-45 = 4985) и тестовых функций вида (1).

В силу отсутствия аналитического решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа при кусочно-однородной структуре области возьмём за эталон значения, полученные по МКЭ. Следует заметить, что в силу полученных выше фактов такое предположение является спорным. Тем не менее становится очевидным факт увеличения разницы в значениях сравниваемых методов при

Таблица 2

Результаты расчёта МКЭ значений И^ при увеличении степени дискретизации

3760 элементов ^тах, 0 1,3 1,2 1,2 1,2 1,1 1,24 1,1 1,2

15136 элементов ^тах, 0 1,39 1,24 1,23 1,32 1,31 1,29 1,24 1,25

60544 элементов ^тах, 0 1,44 1,26 1,26 1,2 1,28 1,31 1,34 1,33

Таблица 3 Результаты расчёта для тестовых функций

Метод решения Число узлов Число элементов И7! ^тах, 0 ИА ^тах, 0 ^тах, 0

МКЭ 1954 3784 - - -

МСЭ 63 48 0,064 2,6 20

усложнении вида тестовой функции и граничных условий. Кроме того, увеличение в МКЭ числа элементов, как и в предыдущем варианте, не принесло хоть какого-то значительного уменьшения величины погрешности.

На основании вышеизложенных результатов численных экспериментов, их сравнения с аналитическими решениями, результатами, полученными в [1], можно сделать следующие выводы:

МСЭФ позволяет резко сократить объём работы по дискретизации области;

МСЭФ обеспечивает более высокую точность расчёта однородных областей с осциллирующими функциями и наличием узких включений, чем МКЭ;

необходимо разработать математическую модель кусочно-однородной среды для полноценной сравнительной оценки точности МСЭ и МКЭ.

Математическая модель КОС

Рассмотрим несколько прямоугольных СЭ (рис. 4).

Зададим в каждом прямоугольнике гармонические модельные функции соответственно их, и2,... вида:

их = к/хж\(ких-у)й\(ких-х), и2 = к/2ж\(ких-у)с\\(ких-х)... ин = к/$со$,(ких-у)й\(ких-х), и1 = к/7со?,(ки{-у)с\\(ки{-х)...

Пусть в области поставлена краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа:

сЦ¥(1/цёгаа£0 = 0, 2

где условия^ вводятся в соответствии с выбранными в СЭ модельными функциями.

Проведём первоначальные рассуждения для пары функций их, и2. Функция решения в области должна бытьнепрерывна, а следовательно, на

ы

ь\

8 7 6 5

1 2 3 4

а 1

а.2

дЗ

а4

Рис. 4. Кусочно-однородная область

Научно-технические ведомости СПбГПУ 6'2009

границах "склейки" значения модельных функций должны совпадать, т. е.

и 11л- = й2 = и2\х = а2- мз1.г = йЗ = и2\х = йЗ О)

И Т. Д.

Таким образом, связь между коэффициентами, например на границе я2, с использованием (3) определена:

к/2 = к/х-1к{а2-ких).

Рассмотрим поведение производных функций на этой же границе:

1Д/2М1

С учётом стандартного вида условий на внутренних границах расчётной области в электромагнитных расчётах и (5), можно считать, что в первом СЭ задана среда с щ = к/1- сЬ(кщ  а2), во втором — с ц2 = к/2  яЬ(ки{  а2) и ц2 = М-1 • Ж2(ки1  а2).

Рассуждая аналогично, рассмотрим "склейку" 1-го и 8-го СЭ вдоль оси оу:

к/х  &к(ких  х^пт^А:^ • Ь2) = = к/ц  &к(ких  х)со&(ких  Ь2)\ -1/к/н/ш1(ких  Ь2)иЬу\х=Ь2 = = 1/к/х/со$(ких  Ь2)и1у\у=Ь2.

Ранее было получено, что в первом прямоугольном СЭ среда с ц, = к/х  ch(^«l • а2), тогда

-\/к^т{ких  Ь2)/сЩих  а2)сс&(ких  Ь2)иНу\у = Ь2 = = 1/к/х/сЬ(ких  а2)и1у\у = ь2-ц8 = —• tg(A;м1 • Ь2)  сЪ.(ких  а2) и ц = -щ-Щ2{ких  Ь2).

Таким образом, алгоритм определения связей коэффициентов и магнитных проницаемос-тей СЭ как по горизонтали, так и по вертикали подобны. Обобщая данную методику на рассмотренную выше область из сорока восьми СЭ и используя формулы типа (4), (5), получаем шахматную структуру неоднородности расчётной области (рис. 5). Таким образом, построена модельная краевая задачадля кусочно-однород-

к

У

0 к

Рис. 5. Структура неоднородности

ной среды с известным в каждом СЭ аналитическим решением.

Погрешности в расчёте потенциала для девяти контрольных точек, включая точки зазора, приведены в табл. 4.

Проведенные исследования показали, что МСЭ позволяет:

резко сократить объём работы по дискретизации области при сохранении точности расчётов благодаря выделению в расчётной области стандартных элементов, аналитическое решение поставленной задачи в которых известно;

достичь высокой точности расчётов благодаря замене аппроксимации расчётной функции полиномами (как в МКЭ) на аналитическое представление функции и получать непрерывно дифференцируемые решения внутри стандартных областей, что важно для вычисления потоков;

использовать классические решения для учёта особенностей поведения решения в окрестности угловых точек области;

не менять методику при изменении размерности задачи, причем количество стандартных элементов, их геометрия не являются сдерживающим фактором.

Таблица 4

Значения погрешностей методов

№ п/п 1 2 4 5 6 7 8 9

МКЭ 3,159 6,503 0,0071 0,0137 0,2380 0,0067 6,259 3,004 2,735

МСЭ (> 4раз) 0,6092 1,627 0,0058 0,0063 0,0920 0,0062 1,546 0,7485 0,6763

Дополнительно к выводам, сделанным выше, можно добавить:

МСЭ обеспечивает достаточную стабильность точности расчёта при усложнении вида функции и росте значений её градиента в расчётной области.

Рассмотренные модельные функции изменяются достаточно плавно, что приводит к стабильной точности как МКЭ, так и МСЭ.

Преимущества МСЭ по точности проявляются для быстро изменяющихся или быстро осциллирующих функций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пашковский A.B. Расчет температурных полей в элементах электрических машин и аппаратов: Дис. ... канд. техн. наук / НГТУ (НПИ). Новочеркасск. 1989. 216 с.

2. Пашковский A.B., Пашковская И.В. Прямоугольный стандартный элемент в моделировании температурных и электромагнитных полей в кусочно-однородных средах // Электромеханика. 2003. № 3. С. 9—12.

3. Пашковский A.B., Пашковская И.В. Прямоугольный стандартный элемент с условиями Ди-

№

С. 71-73.

4. Пашковский A.B., Пашковская И.В. "Склеенные" прямоугольные стандартные элементы в решении полевой задачи // Электромеханика.

№

УДК 622.24

A.A. Цуприков, В.Г. Чередниченко

РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В БУРИЛЬНОИ КОЛОННЕ

ПРИ ПОСАДКЕ НА ЗАБОЙ

Однойизхаракгфисппссистемы управления технологическим процессом (ТП) роторного бурения нефтяных и газовых скважин считается частота опроса первичных датчиков параметров контроля иуп-равления. Интервал между считываниями данных во многом определяется временем переходных процессов (ПП), происходящих в скважине в результате изменения режимных параметров. Основной параметр управления для ТП бурения — осевая нагрузка надолото, которая на60—70 % обеспечивает эффективность углубления скважины и является главной причиной возникновения ПП в скважине.

Вывод математической модели ПП, возникающих в скважине в результате изменения нагрузки на долото, приведен в настоящем сборнике (см. статью В.Г. Чередниченко, A.A. Цуприкова "Моделирование динамических нагрузок в бурильной колонне при посадке на забой"). В указанной статье приводятся результаты моделирования ПП в среде программирования Matlab 7.5 (R2007b)*.

* Алексеев Е.Р., Чеснокова O.B. MATLAB 7. М.: НТ Пресс. 2006. 464 е.: ил.

Результаты вычислений

Программные вычисления по модели ПП проводились в безразмерном виде при следующих значениях параметров: ук=1,5;а=1,5;?=10; к = 200, где ук — скорость движения колонны

при посадке; а = —

элементарного сечения 5 колонны труб с плотностью материала труб р; р — коэффициент, пропорциональный вязкости бурового раствора с р

ни; к — количество сечений колонны, в которых просчитывается деформация.

Профили деформации колонны по её длине (в относительных единицах деформации) враз-личные моменты в течение 10 относительных единиц времени представлены на рис. 1. Задняя плоскость соответствует нижней части бурильной колонны, т. е. забою (х= 0), передняя — верхней части, т. е. устью (х = 1).

На рис. 2 показано изменение во времени относительной деформации элементарного участка колонны сечением 5 и длиной ¿/хна концах