Об асимптотической устойчивости по отношению к части переменных орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 4

УДК 519.71

А. С. Шмыров, В. А. Шмыров

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПО ОТНОШЕНИЮ К ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ ОРБИТАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В ОКРЕСТНОСТИ КОЛЛИНЕАРНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ

1. Введение. В последние годы весьма актуальными стали проекты полетов к кол-линеарной точке либрации Ь\ системы Земля-Солнце в связи с удобством использования этой области пространства для астрономических наблюдений. Коллинеарная точка либрации является понятием круговой ограниченной задачи трех тел [1]. Эта распространенная математическая модель применяется, когда космический аппарат (КА) движется в поле притяжения двух массивных небесных тел, например Солнца и Земли, которые, в свою очередь, вращаются вокруг общего центра масс по околокруговым орбитам [2, 3]. Масса КА при этом несоизмерима мала по сравнению с двумя массивными телами и существенно не влияет на их движение. При описании полетов в околоземном пространстве на расстояния порядка 1 млн км от центра Земли требуется учитывать притяжение Солнца, и уравнения круговой задачи трех тел достаточно адекватно описывают движение КА в поле притяжения Земли и Солнца. Эти уравнения существенно сложнее уравнений движения в гравитационном поле одного притягивающего центра и не допускают точного аналитического представления. Известны, однако, несколько частных решений, при которых система трех тел сохраняет свою конфигурацию - это коллинеарные и треугольные точки либрации. В отечественной литературе наряду с термином «коллинеарная точка либрации» используется термин «прямолинейная точка либрации» [1,4].

Окрестность точки либрации Ь\ расположена вблизи линии Земля-Солнце на расстоянии порядка 1.5 млн км от центра Земли, что составляет примерно 0.01 астрономической единицы (а. е.). Точка либрации Ь\ неустойчивая, и это затрудняет длительное пребывание КА в ее окрестности без специальной «удерживающей» системы управления, стабилизирующей движение КА.

В 1978 г. был впервые реализован проект запуска в окрестность Ь\ научной станции ISEE-3 (The International Sun-Earth Explorer-3). Также был осуществлен целый ряд запусков космических аппаратов в окрестность первой внутренней коллинеар-ной точки либрации Li, в частности реализован и действует по настоящее время

Шмыров Александр Сергеевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 63. Научные направления: теория гамильтоновых систем, методы оптимизации в космической динамике, качественные методы механики. E-mail: ashmyrov@yandex.ru.

Шмыров Василий Александрович — кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры теории систем управления электрофизической аппаратурой факультета прикладной математики— процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 14. Научные направления: ограниченная задача трех тел, управление движением космических аппаратов, теория гамильтоновых систем. E-mail: vasilyshmyrov@yandex.ru.

© А. С. Шмыров, В. А. Шмыров, 2009

американо-европейский проект SOHO (Solar&Heliospheric Observatory) - станция наблюдения Солнца. Оказалось, что с помощью SOHO любителям астрономии удобно открывать кометы при прохождении их вблизи Солнца. В настоящий момент число комет, открытых с помощью SOHO, превышает 1500.

В работе [5] показана принципиальная возможность стабилизации управляемого движения с помощью управления, действующего по линии Земля-Солнце. В результате отработки такого стабилизирующего управления достигается устойчивость по Ляпунову для управляемого орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации системы Земля-Солнце. Развивая тему построения стабилизирующих управлений, постараемся ответить на вопрос: возможно ли при отработке управления, направленного по линии Земля-Солнце, достичь асимптотической устойчивости хотя бы по части переменных? В данной работе приводится построение семейства управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость по четырем из шести фазовым переменным, и показывается, что по оставшимся двум переменным обеспечивается устойчивость по Ляпунову.

2. Уравнения движения и задача стабилизации управляемого орбитального движения КА. Возьмем в качестве математической модели движения КА хилловское приближение круговой ограниченной задачи трех тел [5, 6]. За единицу расстояния примем расстояние от центра Земли до Li - величину, примерно равную 0.01 а. е., а время масштабируется так, чтобы период обращения Земли вокруг Солнца (год) составлял 2п единиц времени. В этом случае уравнения орбитального движения КА во вращающейся геоцентрической системе координат принимают удобный для исследования вид [5]

Х1=у1+Х2, У1 = + 2Ж1 + у2;

Х2=У2~Х1, У2 = - х2 - 2/1;

• • 3хз

хз = Уз, Уз = -щ\з-х3,

где x = (х1,х2,хз) - вектор положения КА; координатная ось xi направлена

на Солнце; (xi,x2) - плоскость эклиптики; у = (у1,у2,уз) - вектор импульсов;

IMI = (х1+х2 + хз) 2

Система (1) гамильтонова с гамильтонианом

тт / N 1м М2 3 3 2 WxW2 , .

Hi

Точка либрации во вращающейся системе неподвижна и имеет координаты

x* =

Уравнения управляемого движения с управлением и(x, у), действующим по линии Земля-Солнце, описываются системой

х1=у1+х2, У\ = + 2Ж1 +У2 + и(х,у);

Х2=У2~Х1, У2 = -\Щз - х2 - Уъ

• • 3 х з

хз=Уз, Уз = -тщтз~хз

3. Построение управлений, обеспечивающих асимптотическую устойчивость стационарного решения на интегральном многообразии. Пусть в начальный момент времени пространственные переменные (хз,уз) равны нулю, тогда орбитальное движение КА будет плоским, т. е. на траекториях в фазовом пространстве будет выполняться

хз =0, уз = 0.

В этом случае оказывается возможным добиться асимптотической устойчивости стационарного решения на интегральном многообразии (5). Исследование этого вопроса с помощью специальной методики построения линейных регуляторов содержится в работе И. А. Можейко, В. М. Морозова [7].

Теорема 1. Существует синтезирующая функция и1(х, у) такая, что точка либрации (х*, у*) является стационарной точкой системы (4), асимптотически устойчивой по Ляпунову на интегральном многообразии (5).

Доказательство. Существует общий метод доказательства подобных утверждений [8]. Проведем его с помощью выбора конкретной синтезирующей функции и\(х,у). Положим

и\(х,у) =

3x1

- 2х1 - у2 + к1х1 + &2х2 + кзу1 + к4у2 + к5,

управление и1 (х, у) естественно назвать управлением, построенным по линейному приближению.

Тогда линеаризованная система уравнений управляемого движения с и = и1(х,у) примет вид

х1 = х2 + у1, х2 = -х1 + у2,

у1 = к1х1 + к2'х2 + кзу1 + ку + к5, у2 = -4х2 - у1,

при этом между коэффициентами к имеется соотношение

к1 + к4 + к5 = 0,

обеспечивающее стационарность точки либрации.

Запишем матрицу системы уравнений

А

и характеристическое уравнение

ёе^ЛЕ - А) =

0 1 1 0

-1 0 0 1

к1 к2 к3 к4

0 -4 -1 0

Л -1 -1 0

1 Л 0 -1

-к1 к2 Л -к3 -к4

0 4 1 А

Л4 + (-кз)Лз + (-к1 + к4 + 5)А2 + (2к2 - 5кз)А + (-3к1 - 3к4).

х

Покажем, что всегда можно подобрать такие (к\,к2,кз,к4,к%), которые обеспечат собственные числа матрицы (8) с отрицательными действительными частями. Имеем следующие соотношения между коэффициентами характеристического полинома и параметрами (к\, к2, к3, к4, к5):

ai = -ks, a.2 = -ki + k4 + 5, аз = 2k2 — 5кз, а4 ^ —3ki — 3к4.

Вычислим определитель системы

0 0 —10

— 10 0 1

0 2 —5 0

-3 0 0-3

— 12.

Из (10) следует, что, в силу невырожденности системы (9), всегда можно подобрать такие (ki,k2,k3,k4,k5), которые обеспечат собственные числа с отрицательными действительными частями, что, в свою очередь, приводит к асимптотической устойчивости по Ляпунову системы уравнений (7) [8, 9].

4. Построение управлений, обеспечивающих устойчивость управляемого движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации и асимптотическую устойчивость по отношению к части переменных. Предположим теперь, что коэффициенты (ki, k2, k3, k4, k55) подобраны так, что точка либрации (1, 0, 0, 0, 1, 0) является стационарным решением, а собственные числа матрицы A имеют отрицательные действительные части. Это обеспечивает асимптотическую устойчивость стационарного решения по отношению к части переменных (xi, Х2,yi,y2). На основе управления ui(x, y) будем строить управление U2(x, y) для общего нелинейного пространственного случая, для чего возьмем управление U2(x,y), определяемое по формуле

3xi

U2

INI

Разница между управлениями U2(x,y) и ui(x,y) заключается в том, что в отличие от (6) в (11) функция ||x|| зависит от пространственной переменной x3

Нелинейная управляемая система (4) с управлением (11) примет вид

xi = yi + x2, yi = kixi + k2'x2 + k3yi + k4y2 + k5;

3ro

Х2=У2-Х1, У2 = -тф-Х2~УЪ

3r

x3 = УЗ, УЗ = “ х3-

Из формулы (13) видно, что по сравнению с линейным приближением правые части для xi, yi, x^2, x^3 остались неизменными. Управление U2(x, y), как и управление ui(x, y), назовем управлением, построенным по линейному приближению.

В нелинейном пространственном случае пространственные переменные не отделяются от остальных, на их движение влияет поведение переменных xi (t) и x2(t) через функцию ||x(t)||, определяемую по формуле (12) и входящую в правую часть

уравнений для у2 и уз в системе (13). Будет ли это влияние способно существенно отдалить пространственные координаты хз,уз от нулевых значений, или оно достаточно ограничено - вот основной вопрос при качественном исследовании системы (13) с управлением и2(х, у), построенным по линейному приближению. Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 2. Стационарное решение (х*,у*) управляемой системы (13) с управлением и2(х,у), построенным по линейному приближению, устойчиво по Ляпунову и асимптотически устойчиво по отношению к переменным (хх,х2,у1,у2).

Доказательство. Имеется глубоко разработанная общая теория [10-14], в которой содержатся подобные результаты. Поэтому ограничимся изложением схемы доказательства, которое основано на следующих соображениях.

Во-первых, точка Х1 = 1, Х2 =0, у1 =0, у2 = 1 является стационарным решением системы из первых четырех уравнений. Отсюда можно сделать вывод, что при незначительных возмущениях величины ||х(£)|| плоская компонента движения асимптотически устойчива. Более того, по переменным х1 — 1, х2, у1, у2 — 1 имеет место экспоненциальная устойчивость [8, 10].

Во-вторых, учитывая экспоненциальную устойчивость, можно оценить изменения гамильтониана Н1 основной неуправляемой системы, определяемой формулой (2). На траекториях неуправляемого движения полная производная по времени гамильтониана Н1 равна нулю, а на траекториях управляемого движения с управлением и вычисляется по формуле

Н дН1

^г = ^и = ы + хг)"-

Поскольку величины у1 и х2 экспоненциально стремятся к нулю, а и ограничено, то приращение Н1, вычисляемое с помощью формулы (14), допускает оценку и мало, если малы начальные значения «плоских» переменных х — 1, х0, у0, у0 — 1. Это, в свою очередь, позволяет оценить поведение пространственных переменных хз,уз, что гарантирует малость возмущений в | х| , малость изменений всех переменных, если начальные значения малы, т. е. устойчивость по Ляпунову.

Итак, управление, направленное по линии Земля-Солнце, способно обеспечить не только устойчивость стационарного решения по Ляпунову [5, 6], но и асимтотиче-скую устойчивость по отношению к части переменных, при этом устойчивость по Ляпунову сохраняется.

Интересно отметить, что гамильтоновость начальной системы позволяет достаточно эффективно проводить нелокальные исследования вопросов устойчивости. Рассмотрим в качестве примера еще один класс управлений, направленных по линии Земля-Солнце.

Пусть закон управления из(х,у) выбран в виде

из

где а и Ь - действительные параметры. При Ь = 0 соответствующая управляемая система гамильтонова с гамильтонианом

#з(ж, У) = Н1(х, у) - |(ж! - I)2.

Вычисляя производную гамильтониана Нз на траекториях управляемой системы (4) с управлением (15), получаем

Hs (x,y) = b(x2 + yi)2 и при b < 0 выполняется Hs(x, y) ^ 0. Таким образом, если в начальный момент

Hs(xo ,yo) = fc,

то на траекториях управляемой системы имеет место неравенство

Hs

Как показано в [5], при а < —9 гамильтониан Hs является функцией Ляпунова в некоторой окрестности точки либрации, а с помощью неравенства (16) можно исследовать область устойчивости.

Посмотрим, в частности, каким ограничениям удовлетворяет функция xi(t) при подходящем значении константы h. Для этого определим функцию

a

X2,X3,Vl,V2,V3

Нетрудно видеть, что минимум в (17) достигается при x2 =0, xs = 0, yi =0, y2 = xi, ys = 0. При xi > 0 функция a(xi) имеет вид

a

Она обладает локальным минимумом в точке xi = 1, строго монотонно стремится

к бесконечности на промежутке (1, ж) и имеет локальный максимум на (0,1) в точке xi = x*, зависящей от а. Если обозначить h* = a(x*), то условия ограниченности движения сводятся к выполнению неравенств

а< —9, b< 0, h < h*, xi

Пусть константа h удовлетворяет условиям (19). Обозначим через xmin решение уравнения

a

на промежутке [x*, 1), а через xmax - решение уравнения (20) на промежутке (1, ж).

Согласно свойствам функции a(xi), вытекающим из формулы (18), и выбору константы h, такие решения определяются однозначно. Поскольку на траектории управляемого движения a(xi(t)) ^ h, то имеет место ограничительное неравенство

xmin ^ xi(t) ^ xmax

на промежутке времени (0, ж). Управления рассмотренного класса (вида (15)) также обеспечивают (при выполнении условий (19)) асимптотическую устойчивость стационарного решения (3) по отношению к «плоским» переменным (xi, x2, yi, y2). Нелокальные свойства соответствующих траекторий будут рассмотрены в другой работе.

На рисунке представлена траектория управляемого движения с управлением U2(x,y) на временном промежутке порядка 16 лет.

Стабилизация управляемого движения в окрестности точки либрации Ь\ с управлением и 2

5. Заключение. Отметим, что в линейном случае свойство асимптотической устойчивости приводит к тому, что управляющее воздействие асимптотически стремится к нулю. В случае управления и2 (х, у), хотя «плоские» переменные и стремятся к стационарному значению, однако управляющее воздействие к нулю не стремится из-за наличия пространственной компоненты.

Литература

1. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.

2. Пуанкаре А. Лекции по небесной механике / пер. с фр. Е. А. Гребеникова; под ред. Г. Н. Дубо-шина. М.: Наука, 1965. 572 с.

3. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990. 448 с.

4. Дубошин Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы: для ун-тов по спец. «Астрономия». Изд. 3-е, доп. М.: Наука, 1975. 799 с.

5. Шмыров В. А. Стабилизация управляемого орбитального движения космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\ // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 2. С. 193-199.

6. Шмыьров А. С., Шмыьров В. А. Оптимальная стабилизация орбитального движения КА в окрестности коллинеарной точки либрации Ь\ // Четвертые Поляховские чтения: избр. труды. СПб., 2006. С. 296-300.

7. Можейко И. А., Морозов В. М. Стабилизация космического аппарата в окрестности коллинеарной точки либрации круговой задачи трех тел // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1: Математика. 1994. № 5. С. 45-48.

8. Зубов В. И. Лекции по теории управления: для вузов по спец. «Прикл. математика». М.: Наука, 1975. 495 с.

9. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения: учебник для гос. ун-тов. М.: Наука, 1970. 332 с.

10. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М., 1967. 224 с.

11. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1952. 432 с.

12. Матросова Н. И. Вектор-функции Ляпунова в изучении критических случаев // Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений: сб. науч. трудов / под ред. В. М. Матросова, Л. Ю. Анапольского. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1988. С. 195-203.

13. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М.: Наука, 1991. 288 с.

14. Александров А. Ю. Об устойчивости одного класса нелинейных систем // Прикл. математика и механика. 2000. № 4. С. 545-550.

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.