Анализ взаимодействия зонной пластинки с плоской волной импульсным методом

УДК 535.42

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 1

М. В. Разманова, Ю. А. Толмачев

АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗОННОЙ ПЛАСТИНКИ С ПЛОСКОЙ ВОЛНОЙ ИМПУЛЬСНЫМ МЕТОДОМ

Одним из быстро развивающихся направлений современной оптики и, в частности, оптоэлектроники является широкое применение дифракционных элементов самой разнообразной конструкции [1]. Как правило, описание работы таких элементов строится в предположении монохроматичности падающего на них излучения. Вместе с тем тенденция применения все более и более коротких световых импульсов для обработки информации требует изменения подхода к исследованию базовых принципов работы дифракционных устройств, учитывающего принципиально импульсный характер соответствующих процессов и особенностей их спектрального состава. Представленная статья основывается на развиваемом нами в последнее десятилетие методе, использующем основные положения теории анализа линейных систем. В своей основе она базируется на возможности изучения их отклика на ¿-образное возмущение вместо монохроматического процесса. Взаимно дополнительное соответствие двух таких подходов давно и широко известно. Как показывают представленные ниже материалы, разработанные приемы имеют важное методическое значение и позволяют по-новому взглянуть на процессы дифракции и работу различных дифракционных систем.

Рассмотрим частный случай дифракционного устройства, наиболее часто встречающегося на практике, так называемую зонную пластинку Соре—Френеля или Вуда, именуемую иногда в соответствующих описаниях «дифракционным фокусатором» [1]. Она представляет собой систему чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец или колец разной оптической толщины. Будем исследовать только первый случай — амплитудную зонную пластинку, а не фазовую. В работах [2, 3] была решена задача о дифракции ультракороткого импульса (плоской 5-образной во времени волны) на круглом отверстии. Полученные выводы могут быть применены для описания действия зонной пластинки. С этой целью кратко остановимся на основных результатах [2, 3].

Рассмотрим плоскую скалярную импульсную волну вида

Импульс освещает экран, расположенный в плоскости л = 0 и имеющий отверстие радиуса а с центром в точке (0,0,0) (рис. 1). Как было показано в [3], если в качестве граничных условий на экране принять нулевые значения амплитуды, то в приближении Кирхгофа отклик приемника, помещенного на оси симметрии за экраном в точку (0,0, г > 0) и регистрирующего амплитуду поля, а не его интенсивность (энергию), имеет вид

Физический смысл этого соотношения достаточно прост: первое слагаемое представляет собой сигнал участка падающей волны, «вырезанного» отверстием, а второе —

© М. В. Разманова, Ю. А. Толмачев, 2003

Рис. 1. Система координат при вычислении отклика.

К')

г/с Г

Рис. 2. Форма отклика круглого отверстия на 5-образное возмущение на оси симметрии системы.

Стрелками обозначены ¿-функции (то же для рис. 4-8).

волну, рассеянную краем. При больших 2 (г а) амплитуда второго импульса быстро приближается к амплитуде первого:

Л(0,0,2,4)«»« и б(г-а)-

1

6 (>Д2 + а2-с*) ^ 5{г-а)-5 + а? - с^ .

Вид этой функции приведен на рис. 2, длина стрелки пропорциональна коэффициенту при ¿-функции.

В более общей форме импульсный отклик круглого отверстия дается соотношением

Цх, 2,4) = 5{г —

2тг

1 +

сг(А2 + а

22)

сЬ\

х ©

где 0 — функция Хевисайда. Знак «минус» в этой формуле относится к области пространства, освещенной падающей волной в приближении геометрической оптики, а «плюс» — к области тени. Естественно, что в области тени первое слагаемое — 8 (г — с£) — обращается в нуль. Подчеркнем, что в освещенной зоне, в том числе на оси симметрии системы, знак волны, связанной с краем отверстия, противоположен знаку исходного возмущения и совпадает с ним в области тени. Импульс отклика, связанный с рассеянием волны краем отверстия, всегда конечен во времени. Длительность его равна разности моментов времени прихода волны от ближайшего к точке наблюдения и наиболее удаленного от нее краев отверстия (границы сигнала во времени фиксируются функцией Хевисайда).

Соотношения (1) и (2) позволяют построить импульсный отклик зонной пластинки на оси 2 в достаточно простой и легко интерпретируемой форме. Как уже упоминалось, зонная пластинка представляет собой чередующиеся прозрачные и непрозрачные

концентрические кольца, центральная часть пластинки изготавливается, как правило, непрозрачной.

КО

__Л_ус -

Ь,!с Г

"

Рис. 4- Вид отклика на оси симметрии кольца на ¿-образное возмущение.

Рассмотрим импульсный отклик одного прозрачного кольца. Оно образовано непрозрачным внутренним диском радиуса сч и концентрическим ему круглым отверстием радиуса а2 > а\ (рис. 3). Зная отклик круглого отверстия и пользуясь принципом Ба-бине [4], находим из (2) отклик в точке (0,0, г а) внутреннего непрозрачного диска на плоскую ¿-волну:

/11(0, г,г) = <5 (у г2 + а? - а^ = 6 {Ьх - с£),

где Ь\ — расстояние от края непрозрачного диска до точки наблюдения. Сигнал положителен, поскольку край диска излучает в область тени от диска.

Отклик внешнего по отношению к диску отверстия радиуса а2 в той же точКе будет

/г2(0 ,г^) = -5(Ь2-<Л),

здесь Ь2 — расстояние от края отверстия до точки наблюдения. Ситуация противоположна предыдущей: относительно края отверстия излучение краевой волны происходит в освещенную зону. Таким образом, для всего прозрачного кольца имеем

/1(0,2, *) = /ц + Н2 = 5 (1,1 - сЬ) - 8 (Ь2 - а).

Качественно отклик прозрачного кольца на ¿-образное возмущение показан на рис. 4. Он формируется из импульсов положительного, образованного волной, испущенной краем непрозрачного диска, и отрицательного, созданного волной от края отверстия.

Полученный результат позволяет легко найти импульсный отклик на оси симметрии системы, состоящей из концентрических колец произвольного радиуса. Учтем, что для любого к, и радиус колец возрастает с ростом их номера, т. е. ак+г > а к при Ь > 0. С помощью (2) получаем

'У

Рис. 3. Образование в проводящем экране круглого кольца как комбинации концентрических диска и круглого отверстия.

N

hW^^i-l^SiLk-ct). fc=i

В использованном приближении параксиальной оптики он состоит из чередующихся по знаку 5 (t) — импульсов одинаковой амплитуды, интервал времени между которыми задается шириной колец. Варьируя ширину колец, можно сформировать почти произвольное распределение импульсов во времени (при этом сохраняется обязательное чередование знаков).

Перейдем теперь к импульсной интерпретации способности зонной пластинки фокусировать монохроматическое излучение. Монохроматический процесс представляет собой периодический во времени гармонический сигнал вида / (t) = A cos (2пi/t) = Acos(2nt/T). Учитывая свойства ¿-функции, этот сигнал можно формально представить в виде свертки / (t) = / (i)  5 (i). Тогда, пользуясь линейностью исследуемой си-

оо

стемы, находим, что ее отклик на сигнал f(t) есть <p(t) = f(t)<gih(t) = f f(t — t')h(t')dt'.

— oo

Наиболее важным для нас свойством функции 5(t — tk) является то, что она «выкалывает» из непрерывного процесса /(£) отдельный отсчет его значения в некоторый момент времени t = £к. Для того чтобы амплитуда отклика ip(t) была максимальна, в нашем случае —для периодического сигнала с периодом Т, необходимо, чтобы отсчеты также осуществлялись с периодом Т (или кратным ему, что будет, правда, сопровождаться соответствующей потерей амплитуды результирующего сигнала). В рассматриваемом случае гармонического сигнала этому отвечают периодически во времени расположенные ¿-функции, причем расстояние между положительной и отрицательной ¿-функциями должно соответствовать полупериоду гармонического колебания. Такая последовательность показана на рис. 5. Нечетные положительные импульсы соответствуют дифракции ¿-волны на внешних (по отношению к центру) краях непрозрачных зон, четные отрицательные — на внутренних.

h

\Т/2 --- /1 4

1 \ 2 /

Рис. 5. Вид отклика системы колец на ¿-образное возмущение при условии формирования последовательности эквидистантных импульсов.

Докажем этот качественный вывод. Будем считать, что ширины зон выполнены так, что интервал между импульсами каждой пары, образованной положительным и отрицательным импульсами, одинаков и равен г, а период пар составляет Т. Примем за £ = 0 момент рассеяния ¿-волны на экране. Тогда импульсный отклик имеет вид

N N

Н{1) = ]Г 5 [* -

п=0 п=0

где ¿о — момент прихода в точку наблюдения первого импульса, соответствующего краю центрального непрозрачного диска.

Амплитуда отклика зонной пластинки на монохроматическое колебание есть фурье-образ функции /г(£):

Г/. Л __I. . — ¿271

— ¿2тп/«

ио.

Найдем, каким условиям должны соответствовать радиусы зон, чтобы положительные и отрицательные импульсы чередовались с полу периодом Т/2, т. е. чтобы для положительных импульсов выполнялось соотношение tk = ¿о + кТ, а для отрицательных — Ък — Ъо + (2к — 1)Т/2. Поскольку расстояние Ьк от края зоны к до точки наблюдения есть Ь\ — ¿1 + г2, то при ак г имеем

йк & V2кгсТ = \Z2kzX.

Получаем известное условие для радиуса зон- Френеля [5]. Отметим, что величина г входит во все исходные соотношения как г2. Это означает, что выводы одинаково верны для положительных и отрицательных т. е. для действительного, рассматриваемого нами, и мнимого фокусов. Очевидно также, что можно изготовить зонную пластинку-фокусатор и для более сложных по форме сигналов, нужно только заранее знать зависимость их амплитуды от времени.

А(0

г/2

-т/2

V Рис. 6. Центрированный импульсный отклик одного кольца.

Импульсный метод анализа позволяет достаточно просто исследовать и проблему формирования аппаратной функции зонной пластинки для монохроматического излучения. Для этого сделаем несколько простых преобразований, позволяющих легко интерпретировать физический смысл полученного результата. Прежде всего приведем импульсный отклик (3) в форме свертки последовательности ¿-функций, интервал между которыми есть Т, с сигналом (£), представляющим собой сумму двух разнополяр-ных ¿-импульсов, показанных на рис. 6:

Лх = <5(£ + т/2) -¿(¿- г/2). Получаем эквивалентную (3) формулу

N

Л

п=О

Затем перенесем начало отсчета времени импульсного отклика (4) в середину образующейся последовательности импульсов. Для этого воспользуемся еще раз операцией свертки с ¿-функцией, и представим конечное число элементов суммы (4) как произведение бесконечной последовательности ¿-функций на прямоугольное «окно» длительностью Л¡Т. Это позволяет нам использовать фурье-образы из стандартного для оптики набора.

Имеем

£ Ш-пТ).

где гесЛ (¿/Т) =

1, И < т/2,

О, Щ > Т/2.

Пользуясь тем, что преобразование Фурье свертки функций есть произведение их фурье-образов, находим из

Н

— оо

здесь Н\ есть фурье-образ /ц(¿):

#1 = —2г8т(7г^т).

В соотношении (6) первый, фазовый, множитель описывает задержку сигнала при распространении волны от экрана до точки 2, он обращается в единицу при переходе к освещенности. Вид произведения Н\ на функцию, стоящую в фигурных скобках, показан в качественной форме на рис. 7.

Щу)

УТ

Рис. 7. Подбор ширины кольца, обращающей в нуль одну из гармоник спектра.

Ь>т=1

Наличие бесконечной последовательности равноотстоящих ¿-функций в пространстве частот с расстоянием между ними 1/Т указывает на то, что в точке 2 будет фокусироваться излучение не только с частотой и0 — 1/Т, но и с частотами, кратными ио. Собственно аппаратная функция в пространстве частот, которую можно в данном рассмотрении найти только для точки г, определяется сверткой бесконечной последовательности ¿-функций с фурье-образом прямоугольника—классической для оптики функции вида зш(х)/х. Ее ширина (расстояние от максимума до первого нуля) есть

Аи — 1/ЛТ.

Очевидно, что, варьируя соотношение ширины прозрачной и непрозрачной зон, можно добиться обращения в нуль некоторых гармоник спектра, как это демонстрирует рис. 7.

При N 1, что обычно выполняется для зонной пластинки, крылья соседних функций 8т(х)/х можно считать не перекрывающимися и рассматривать каждую из них независимо от всех остальных. Следовательно, в качестве меры разрешающей способности зонной пластинки по отношению к излучению с разными частотами можно принять величину, определенную соотношением (8).

В применении к квазимонохроматическому излучению учет перекрытия крыльев функций зш(х)/х несколько облегчается еще и тем, что можно изменять распределение

а 6

Н

1 и г=Т/2 К ,--1

/ V .---"* V

V

Рис. 8. Взаимодействие спектров двух функций при условии г = Т/2. а — исходные функции; 5—произведение функций.

амплитуд гармоник сфокусированного излучения, меняя значение т. Например, как видно из формул (6), (7), при г = Т/2 амплитуды четных гармоник обращаются в нуль (рис. 8).

Разработанная модель позволяет также просто рассмотреть влияние продольной деформации зонной пластинки. Пусть край пластинки сместится в положительном направлении на Аг. Сравним возникающее при этом изменение оптической длины пути луча с линейным параметром, соответствующим расстоянию I, которое проходит световой импульс за время Т (для монохроматического сигнала — с длиной волны Л, см. рис. 9). Воспользуемся простейшим методом оценки сверху, предполагая, что максимально допустимое изменение времени прихода краевой волны в соответствии с критерием Рэлея не должно превышать Т/4. При малом смещении Аг края пластинки имеем

АЬ =

бш а +

4

= 2А2

вт а + — 41

откуда из условия АЬ < Т/4 получаем, пренебрегая малыми величинами высших порядков:

Неравенство (9) выполняется тем более для зон, радиус которых меньше г, следовательно, интегрирование по всей поверхности зонной пластинки может только усилить его. Учитывая, что для монохроматического света Л = сТ, данное неравенство оценивает допустимую деформацию (или наклон) края пластинки в этом случае.

Нетрудно видеть, что приведенное выше рассмотрение качественно не отличается от использования принципа Ферма в лучевой оптике. Таким образом, типично дифракционные явления оказывается возможным описать в рамках лучевого приближения.

Простота интерпретации результатов, полученных для плоской формы пластинки, позволяет предположить, что и в случае системы зон, каждая из которых представляет собой элемент искривленной поверхности, можно использовать тот же принцип. Расчет формы зон при заданной форме поверхности (или формы поверхности при заданной системе зон) в таком случае имеет тот же порядок трудности, что и задание самой поверхности. Результаты проведенного нами исследования приближенного описания отклика круглого отверстия на ¿-образное возмущение вне оси симметрии [6] дают возможность построить зависимость амплитуды сигнала от расстояния до оси, т. е. найти форму распределения амплитуд и освещенностей в пятне рассеяния как в фокальной плоскости, так и вне нее.

Представленные в этой статье данные, согласуясь в конечном результате с выводами классической теории дифракции монохроматического излучения, позволяют по-новому интерпретировать процесс формирования отклика зонной пластинки. Хотелось бы обратить также внимание на следующую особенность импульсного отклика: дифрагированные на кольцах зонной пластинки импульсы в окрестности оси симметрии не перекрываются друг с другом ни во времени, ни в пространстве. Следовательно, собственно интерференции волн в этой области пространства не происходит, и зонная пластинка должна рассматриваться как чисто дифракционное устройство. Интерференция вблизи оси оказывается возможной, если освещающий пластинку процесс имеет длительность больше, чем время между парой импульсов, в том числе для монохроматической волны. Иная возможность, ведущая к тому же результату, возникает, когда дифрагированные импульсы регистрируются инерционным приемником и отклик на один из импульсов перекрывается во времени с другим. Однако в этом случае мы имеем дело уже с более сложной системой, включающей в себя устройство регистрации, влиянием которой классическая оптика обычно пренебрегает.

Summary

Razmanova M. V., Tolmachev Yu.A. The study of the interaction of plane wave and zone plate using the pulse method.

The pulse method has been used for the first time to study the interaction of a plane wave and Fresnel zone plate. The pulse response for the wave 6(t — z/c) has been calculated and afterwards the transition to the monochrome wave has been fulfilled. The influence of the relation of the zone widths on pulse response form is demonstrated. Calculations have been made for the distribution of amplitude of harmonics in the vicinity of focal point. The maximum possible longitudinal deformation of the zone plane has been estimated.

Литература

1. Методы компьютерной оптики / Под ред. В.А.Сойфера. М., 2000. 2. Lebedev М.К., Tolmachev Yu.A. // Proc. SPIE. 2000. N 4071. P. 184-190. 3. Лебедев M.K., Толмачев Ю.А. // Оптика и спектроскопия 2001. Т. 90, № 3. С. 457-463. 4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики / Пер. с англ.; Под ред. Г. П. Мотулевич. М., 1970. 5. Калитеевский Н.И. Волновая оптика. Изд. 2-е. М., 1978. 6. Лебедев М.К., Толмачев Ю.А. // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2002. Вып. 4 (№28). С. 83-87.

Статья поступила в редакцию 10 мая 2002 г.