Моделирование и оптимизация области взаимодействия мюонного коллайдера

УДК 621.384.6:517.97 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2006, вып. 1

П. В. Снопок, Д. А. Овсянников, А. Д. Овсянников, К. Дж. Джонстон*) ; М. Берц

МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ

ОБЛАСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЮОННОГО КОЛЛАЙДЕРА

1. Введение. Мюонный коллайдер обладает рядом преимуществ по сравнению с протонными и электронными ускорителями, рассчитанными на высокие энергии. С одной стороны, его размер существенно меньше, чем протонного коллайдера, так как энергия покоя мюона значительно меньше энергии покоя протона. С другой - большая масса мюонов приводит к существенному снижению мощности синхротронного излучения, что позволяет использовать в поворотных магнитах более сильные поля и, следовательно, также вызывает уменьшение размеров мюонного коллайдера по сравнению с электронным.

Кроме достоинств, имеются и недостатки: мюоны нестабильны - они распадаются достаточно быстро (г = 2,2 мкс), поэтому ускорение должно быть по возможности более интенсивным, а длина окружности ускорителя - как можно меньшей, чтобы избежать потерь светимости в результате распада мюонов.

Ускорительный комплекс на мюонах включает в себя следующие элементы: производство мюонов, охладитель, ускоритель и, наконец, коллайдер [1, 2]. В коллайдере два пучка мюонов - и - движутся в противоположных направлениях. Столкновение происходит по завершении накопительного цикла в 1000 оборотов. Наиболее значительные усилия по моделированию были сосредоточены на двух моделях: 50 х 50 ГэВ мюонном коллайдере и 2 х 2 ТэВ коллайдере [3]. Для достижения порога светимости 1035 см~2-с-1 поперечный размер пучка в точке взаимодействия должен быть чрезвычайно мал: 3 мм для 2x2 ТэВ коллайдера.

В исследовательских целях полезно начать изучение динамики с рассмотрения случая с небольшой энергией взаимодействия. Тогда и ограничения на размер пучка будут не столь строгими. Так, для 50 х 50 ГэВ коллайдера желаемый размер пучка при столкновении составляет 4 см при отклонении импульса частиц в пучке от расчетного dp/p » 0,12%, mis. Ряд вопросов, связанных с моделированием такого коллайдера, рассмотрен в [4]. Отмечается, что важным фактором при разработке схем оптики коллайдера является изменение частоты бетатронных колебаний с изменением амплитуды (положения частицы в пучке), в особенности квадратичной зависимости от координат частицы [4, 5].

В настоящей работе рассматриваются различные схемы коррекции нелинейностей и влияние корректоров высоких порядков, расположенных в непосредственной близости к точке взаимодействия пучков, на динамику частиц, изменение хроматических и геометрических аберраций, которые возникают в секции секступольной хроматической коррекции. Динамическая апертура (ДА) накопительного кольца коллайдера служит основным критерием оптимизации. Увеличение ДА указывает на потенциал дальнейшего уменьшения размера пучка в точке взаимодействия и, как следствие, большую светимость при взаимодействии пучков.

*) К. Дж. Джонстон (cjj@fnal.gov). MS 221 Fermilab, P.O.Box 500, Batavia IL 60510, USA.

**) M. Берц (berz@msu.edu). Dept. of Physics and Astronomy, MSU, East Lansing MI 48824, USA.

© П. В. Снопок, Д. А. Овсянников, А. Д. Овсянников, К. Дж. Джонстон, М. Берц, 2006

Рис. 1. Сетка точек для определения ДА.

2. Динамическая апертура. Обзор текущих исследований ДА для мюонного коллайдера представлен в статье [5]. В этой работе мы попытались провести исследование и оптимизацию ДА более систематично, чем делалось ранее. В частности, рассматриваются различные подходы к оптимизации и по результатам производится выбор наиболее эффективного метода коррекции. Также формулируются предложения по дальнейшему изучению вопроса.

Так как накопительное кольцо мюонного коллайдера является циклическим ускорителем, в котором мюоны находятся на протяжении 1000 оборотов, удобно рассмотреть нелинейную матрицу перехода для одного полного оборота - матрицу коэффициентов, связывающих начальные координаты частиц с конечными (более подробно о матрицах перехода см. [6, 7]), а затем применять ее повторно необходимое количество раз для исследования поведения частиц и практической устойчивости движения. Если в некоторый момент времени координата частицы выходит за пределы апертуры канала или другого заданного ограничения, то такая частица считается потерянной. Количество потерянных частиц пучка заданного размера служит качественным критерием практической устойчивости. Согласно [6], изучение матрицы перехода дает достаточно информации для того, чтобы сделать заключение о практической устойчивости динамики частиц и, как следствие, качестве разработанной схемы оптики ускорителя. Основной инструмент исследования - программа COSY INFINITY [8], использующая разложение в ряды Тейлора решений уравнений, описывающих динамику частиц, а также техники автоматического дифференцирования при оперировании с полученными разложениями. COSY позволяет рассчитывать и оптимизировать такие комплексные объекты как нелинейные резонансы и нелинейные изменения частоты бетатронных колебаний с изменением амплитуды, а также работать с элементами этих объектов и индивидуальными компонентами нелинейных матриц перехода. Эти возможности позволяют не только проводить оптимизацию по различным критериям, но и демонстрировать ее эффективность и влияние на различные величины, характеризующие динамику пучка в ускорителе.

Здесь и далее под ДА понимается величина отклонения (в плоскости х или у) частицы, наиболее отстоящей от центра пучка (от траектории центральной частицы), но при этом остающейся в пределах апертуры канала ускорителя на протяжении цикла накопления 1000 оборотов. ДА может быть найдена методом, проиллюстрированным на рис. 1. Набор частиц, формирующих сетку концентрических окружностей с центром на траектории центральной частицы, пропускается через систему. Радиусы окружностей увеличиваются с фиксированным шагом до тех пор, пока траектории не перестают * быть устойчивыми, т. е. одна или более частиц на внешней окружности теряются

а

\х

б \Х'

X

Рис. 2. Сравнение фазовых портретов до (а) и после (б) оптимизации с применением первого подхода (минимизация отдельных коэффициентов высших порядков в матрице перехода, плоскость (х—х1), начальные координаты частиц распределены вдоль оси х с шагом а).

(выходят за пределы апертуры канала или нарушают другое наперед заданное ограничение). Наибольший радиус, при котором все частицы остаются в канете ускорителя заданное число оборотов, принимается за ДА. Шаг сетки измеряется в единицах о -параметра стандартного нормального распределения частиц в пучке с нормализованным rms-эмиттансом 90л мм-мрад (ст = 82 • 10~6 м). Пучок считается круглым, так что значения а одинаковы по направлениям х и у.

3. Достоинства и недостатки различных подходов к оптимизации. Оптимизация ДА посредством добавления мультипольных корректоров в сверхпроводящие квадруполи области взаимодействия и выбор сил соответствующих полей могут производиться различными методами в зависимости от выбранных функционалов качества или контролируемых элементов нелинейной матрицы перехода. До коррекции ДА составляет 7а.

Первый подход заключается в минимизации некоторых (или всех, если такое возможно) нелинейных коэффициентов до как можно более высокого порядка в матрице перехода одного полного оборота. Расчеты показывают, что данный метод не очень эффективен в силу того, что мы ограничены числом мультипольных корректоров, которое не хотим или не можем увеличивать. В то же время число нелинейных коэффициентов, которые нужно минимизировать, велико; так, например, только для третьего порядка их 20 (по десять в плоскостях х и у). Вместе с тем нелинейные коэффициенты связаны между собой, потому число параметров минимизации может быть меньше 20. Но эта же связь является самой серьезной проблемой: минимизируя одни нелинейности, мы вызываем возникновение других, которые могут оказать еще более деструктивное влияние на поведение рассматриваемой динамической системы. Тем не менее данный метод был испробован в различных вариациях и не привел к увеличению ДА: ни один из встроенных в COSY оптимизаторов не нашел конфигурации лучше исходной - без корректоров (рис. 2).

Второй подход (более систематичный) - подобрать такую схему коррекции, для которой минимальны нелинейные резонансы и/или изменения частоты бетатронных колебаний с преобразованием амплитуды. К сожалению, хотя он и обладает большим потенциалом, число корректоров, которые можно внедрить в имеющуюся схему, и в данном случае недостаточно, чтобы свести к минимуму влияние резонансов третьего порядка. Поэтому ситуация получается во многом аналогичной предыдущей: минимизация одних нелинейностей влечет рост других и вызывает те же проблемы устойчи-" вости. Тем не менее среди различных возможных конфигураций есть такая, которая

Рис. 3. Сравнение фазовых портретов после оптимизации с применением первого (а) и второго (б) подходов (плоскость (х — х'), начальные координаты частиц распределены вдоль оси х с шагом а).

увеличивает ДА с 7а до 12а. В ней требуются четыре корректора: три октуполя и додекаполь. Данная схема позволяет свести к минимуму следующие нелинейные коэффициенты в отклонении частоты бетатронных колебаний: (ж, 11), (у, 11), (ж,33), (у, 33), (ж, 1111), (у, 3333) (обозначения записаны в стандарте программы TRANSPORT [9]). Таким образом, все коэффициенты второго порядка, встречающиеся в разложении отклонений частоты бетатронных колебаний с изменением амплитуды, и часть коэффициентов четвертого порядка оказываются минимизированы. Все коэффициенты третьего и пятого порядков равны нулю, поэтому остаются лишь четыре коэффициента четвертого порядка, которые не удается минимизировать: (ж, 3333), (у, 1111), (ж, 1133), (у, 1133). Они и являются причиной невозможности дальнейшего увеличения ДА. Фазовые портреты на рис. 3 показывают, насколько более эффективен второй метод по сравнению с первым.

Наиболее эффективным и в то же время наиболее непосредственным методом максимизации ДА является третий подход. Используем ДА в качестве критерия оптимизации. С одной стороны, это влечет существенный рост объема расчетов внутри процедуры оптимизации, так как необходимо пересчитывать ДА на каждом шаге, а такой расчет - наиболее ресурсоемкая часть алгоритма, требующая отслеживания динамики некоторого числа частиц на протяжении 1000 оборотов (см. п. 2). Для седьмого порядка вычислений (разложения в ряды Тейлора рассматриваются до седьмого порядка, остатки отбрасываются) это не является серьезным ограничением по времени, и, как показывает сравнение с более высокими порядками вычислений, его вполне достаточно для определения ДА (оптимизатор довольно быстро сходится к решению). Такой метод позволяет найти схему, демонстрирующую увеличение ДА до 13а, с использованием всего лишь двух октуполей и без необходимости внедрения корректоров более высоких порядков. Вместе с тем большее число корректоров не приводит к существенному росту ДА с применением данного метода. Возможно, что 13а - верхний предел ДА для такой модели накопительного кольца.

Результаты третьего подхода демонстрируются в п. 4. Первые два показали худшие результаты и требуют дальнейшего изучения. Проблема этих подходов заключается в большом количестве параметров, которые должны быть минимизированы одновременно, и в отсутствии эффективных алгоритмов поиска связей между нелиней-ностями. В настоящее время в среде COSY разрабатывается программа, реализующая вариационные методы оптимизациии, разрабатываемые на факультете прикладной математики - процессов управления СПбГУ [10]. Ожидается, что она поможет решить проблему двух первых подходов к максимизации ДА.

13а

13а

Рис. 4- Фазовые портреты после оптимизации в плоскостях х — х' (а) 'и у — у' (б) (начальные координаты частиц распределены вдоль осей х и у, соответственно, с шагом а).

Рис. 5. Сравнение фазовых портретов в плоскостях х — х' (а) и У ~ у' (б) до и после оптимизации (начальные координаты частиц распределены вдоль диагонали х — у с шагом а).

4. Результаты оптимизации. Фазовые портреты, демонстрирующие состояние системы в течение заданного числа оборотов, являются эффективным средством визуализации и дают качественную оценку ДА, но не всегда с достаточной точностью, особенно для несвязных систем (под несвязностью понимается независимость динамики в плоскостях (х,х') и (у, у'))- Так, например, фазовые портреты в плоскостях (х,х') и (у,у') при условии, что начальные координаты частиц распределены вдоль осей ж и у соответственно, позволяют оценить ДА как 12-13а (рис. 4), но данная оценка далека от верного значения. Именно поэтому для точного определения ДА необходимо запускать частицы вдоль различных лучей в плоскости (х,у), чтобы затем из всех результатов расчетов выбрать минимум, как описано в п. 2. Тем не менее фазовые портреты -хорошее средство для сравнения различных подходов к оптимизации и разных схем, полученных в рамках одного подхода. Например, на рис. 5(а, б) видно, что ДА после оптимизации существенно (почти в 2 раза) больше, чем до оптимизации.

5. Заключение. В рамках исследования были изучены различные методы увеличения ДА, определен метод, дающий наилучшие результаты. Им проведена оптимизация, приводящая к почти двукратному росту ДА по сравнению со схемой до коррекции. Всего два октупольных корректора в непосредственной близости от точки взаимодействия пучков понадобились для достижения этого результата (октуполи ОКТ1 и ОКТ2 располагаются на пиках функций /Зх и (}у, хт — у/£у/Зх, ут — у/^уРу, где хт и ут - ширина пучка в плоскостях х и у соответственно (огибающие пучка), ех, еу - соответству-

РлА, М

Рис. б. Схема расположения октупольных корректоров.

ющие эмиттансы, рис. 6). Несмотря на то что критерием оптимизации было увеличение ДА, побочным результатом стало уменьшение части нелинейных коэффициентов в матрице резонансов на величину от одного до двух порядков, которое свидетельствует об эффективности использованного оптимизационного подхода. Следующим шагом может быть добавление мультиполей более высоких порядков (декаполей, додекаполей), хотя предварительный анализ нескольких конфигураций показывает, что дальнейшее повышение ДА вряд ли возможно для данной модели. В частности, можно найти конфигурации, в которых частицы с начальными координатами 14а по ж и у остаются стабильными в течение 1000 оборотов, в то время как частицы с начальными координатами 13а теряются. Вместе с тем большие надежды возлагаются на два первых го описанных подходов к оптимизации с применением вариационных методов.

Summary

Snopok P. V., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Johnstone C. J., Berz M. High-order simulation of muon collider interaction region.

Progress in the development of Interaction Regions for advanced future colliders, in particular the Muon Collider and the International Linear Collider, requirs systematical high-order dynamics study. The effects of high-order beam dynamics become more and more pronounced as the spot size at the Interaction Point decreases to very small values, 14 cm and 4 cm for the 50 on 50 GeV Muon Collider and Higgs Factory, respectively, and even less for the International Linear Collider. Simultaneous control of geometric and chromatic aberrations is critical to the success of future machines and can only be achieved through the deliberate addition of nonlinear fields in the Interaction Region itself. This work studies both the correction schemes and the unavoidable impact of high-order correctors - sextupoles, octupoles and even duodecapoles - located in the Interaction Region close to the low-beta quadrupoles or focusing elements. This study proposes and

systematically addresses the evolution of aberrations for different systems of nonlinear correctors and optimizes performance of advanced IRs.

Литература

1. Ahn S. et al. Muon colliders: A scenario for the evolution of the Fermilab accelerator complex: Technical Report Fermilab-FN-677, Fermilab, 1999.

2. Alsharoa M. M. et al. Recent progress in Neutrino Factory and Muon Collider research within the Muon Collaboration. Phys. Rev. ST Accel. Beams, 6:081001, 2003.

3. Trbojevic D., Palmer R. В., Courant E. D., Gallardo J., Peggs S. , Tepikian S., Ng K. Y. A lattice for the muon collider demonstration ring in the RHIC tunnel // Proc. of the 1997 Particle Accelerator Conference. 1997. P. 405-407.

4. Trbojevic D., Ng K. Y., Weishi W. A lattice for the 50 GeV muon collider ring // EPAC'98 Proceedings. 1998. P. 362-364.

5. Johnstone C., Garren A. 50 on 50-GeV muon collider storage ring // Higgs Factory 2001 Snowmass Report. 2001. P. 78-88.

6. Berz M. Modern Map Methods in Particle Beam Physics. San Diego: Academic Press, 1999. ISBN 0-12-014750-5

7. Snopok P., Johnstone C., Berz M. Simulation and optimization of the Tevatron accelerator // Automatic Differentiation: Applications, Theory, and Tools, Lecture Notes in Computational Science and Engineering / Eds. H. M. Biicker, G. Corliss, P. Hovland, U. Naumann and B. Norris. Berlin: Springer, 2005.

8. Berz M. COSY INFINITY version 8.1 user's guide and reference manual. Department of Physics and Astronomy MSUHEP-20704, Michigan State University, 2002.

9. Carey D. C., Brown K. L., Rothacker F. Third-order TRANSPORT with MAD input. A computer program for designing charged particle beam transport systems: Technical Report FERMILAB-Pub-98/310, Fermi National Accelerator Laboratory, 1998 (also available at http: //rampex.ihep.su/manuals / transport .pdf.).

10. Овсянников Д. А., Егоров H. В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1998. 276 с.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2005 г.