Неустойчивость струи магнитной жидкости в поле соленоида

УДК 537.84:532.59

Н. Г. Тактаров, А. А. Кормилицин

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ СТРУИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ СОЛЕНОИДА

Аннотация.

Актуальность и цели. Магнитные жидкости синтезируют искусственно посредством коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости. Обладая способностью к намагничиванию, такие жидкости взаимодействуют с приложенным магнитным полем, которое способно влиять на их движение. На этом основаны разнообразные практические применения магнитных жидкостей в различных областях техники и технологии. В данной работе сформулирована математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности струи магнитной жидкости, находящейся в магнитном поле коаксиального с ней соленоида.

Материалы и методы. Для решения задачи используются методы математической физики. Задача решается в цилиндрической системе координат (r, 9, z). Дисперсионное уравнение исследовано численными методами.

Результаты. Сформулирована и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности струи магнитной жидкости в магнитном поле соленоида. Найдено полное решение краевой задачи для гидродинамических и магнитных величин. Проведен численный анализ полученного дисперсионного уравнения. Показано, что магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на движение струи.

Выводы. Размер капель, образующихся при распаде струи жидкости, увеличивается с увеличением магнитного поля, а скорость их роста и частота возникновения уменьшаются.

Ключевые слова: магнитная жидкость, магнитное поле, струя жидкости, поверхностные волны, неустойчивость.

N. G. Taktarov, A. A. Kormilitsin

INSTABILITY AND BREAKUP OF A MAGNETIC FLUID JET IN A SOLENOID FIELD

Abstract.

Background. Magnetic fluids are synthesized artificially by colloidally dissolving of solid ferromagnetic's nanoparticle in a usual non-magnetic fluid. Having the magnetization ability, such fluids interact with an applied magnetic field capable of affecting their motion. A wide variety of practical applications of magnetic fluids in various fields of engineering and technology is based on this fact. The study formulates a mathematical model of waves propagation and instability of waves on the surface of a magnetic fluid jet that is situated in a magnetic field of a coaxial solenoid.

Materials and methods. The authors used the methods of mathematical physics and solved the problem in a cylindrical coordinate system (r, 9, z). The dispersion equation was investigated by numerical methods.

Results. A mathematical model of propagation and instability of waves on the surface of a magnetic fluid jet in a solenoid magnetic field was formulated and investigated. The full solution of the boundary value problem for hydrodynamic and magnetic quantities was found. The numerical analysis of the dispersion equation

was completed. It is shown that the magnetic field has a stabilizing effect on jet's motion.

Conclusions. The size of droplets, occurring during fragmentation of the fluid jet, increases with the growth of the magnetic field, while the droplets growth rate and appearance frequency decrease.

Key words: magnetic fluid, magnetic field, fluid jet, surface waves, instability.

Введение

Магнитные жидкости синтезируют искусственно посредством коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости. Такие жидкости обладают способностью намагничиваться в приложенном магнитном поле, которое способно влиять на их движение. На этом свойстве основаны разнообразные практические применения магнитных жидкостей в различных областях техники и технологии [1]. Одним из таких применений является использование струй чернил на основе магнитной жидкости в струйных принтерах. В связи с этим представляет интерес изучение устойчивости струи магнитной жидкости в приложенном магнитном поле, направленном вдоль струи.

1. Постановка и решение задачи

Рассматриваются неустойчивость и распад струи несжимаемой неэлектропроводной магнитной жидкости с постоянной магнитной проницаемостью. Предполагается, что струя жидкости имеет форму круглого бесконечно длинного цилиндра с радиусом Tq . Учитывается наличие поверхностного натяжения. Однородное магнитное поле с напряженностью Hq создается круглым соленоидом с радиусом Rq , ось которого совпадает с осью струи магнитной жидкости. Задача решается в цилиндрической системе координат (r, 0, z) с осью z, направленной по общей оси струи и соленоида. Величины, относящиеся к струе, обозначаются в необходимых случаях индексом 1, а к жидкости - 2. Пусть X - длина поверхностной волны и ю - ее частота.

2

Предполагается выполненным неравенство /v >> 1, где v - кинематическая вязкость. Используется модель идеальной жидкости [2, § 116]. Рассматриваемая задача о струе в поле соленоида является обобщением задачи, решенной в [3], в которой изучается неустойчивость струи жидкости в однородном магнитном поле в неограниченном пространстве.

Уравнения движения магнитной жидкости при сделанных предположениях имеют вид [1]:

dv

р — = -grad p, div v = 0,

здесь р, v, p - плотность, скорость, давление. Влияние магнитного поля на движение жидкости здесь связано с механическими максвелловскими напряжениями на поверхности струи, возникающими вследствие скачка магнитного поля на ее поверхности.

Предполагая, что амплитуда поверхностной волны много меньше ее длины [2, § 123], отбросим нелинейные слагаемые в первом уравнении (1) и

введем потенциал скорости ф (у = grad ф), удовлетворяющий уравнению Лапласа в цилиндрических координатах

I д (г дф 1+I

г дг ( дг ) г2 Э02 дг2

аФ = ^|г^ I+-^2 +tr = 0

Потенциал скорости ищем в виде бегущей волны: ф = ф(г )ехр [ (кг + п0-юг1 )],

здесь к = 2лЛ - продольное волновое число; п = 0, 1, 2, ... - азимутальное волновое число.

Подставляя ф в (2), получим дифференциальное уравнение Бесселя

( 2 ^ 2 , n

Ф''(г) +—Ф'(г)- k2 Ф(г) = 0,

r r2

\ /

общее решение которого имеет вид

Ф(г) = cxln (kr) + dxKn (kr),

где In и Kn - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка n. Следует принять d1 = 0, так как Kn ^ ^ при r ^ 0 (т.е. на оси струи).

Уравнение деформированной поверхности струи запишем в виде r = ro + ^(0,z,t), где ^ = ^oexp[i(kz + n0-rot), ^ - малая по сравнению с X

величина. На поверхности струи нормальная компонента скорости жидкости должна быть равна нормальной скорости перемещения поверхности, т.е. vn = Э^/dt, или в линейном приближении vr = Э^/dt при r = r Отсюда

с учетом равенства vr = Эф/dr определяется потенциал скорости ф = -^ШМ exp [i (kz + n0-fflt).

kin (kro) PLl

Магнитное поле в области струи и окружающего воздуха в зазоре соленоида определяется из уравнений Максвелла для неэлектропроводной среды в магнитостатическом приближении [4]:

rot Hj = 0 , div |jHj = 0 (j = 1,2). Здесь |j - магнитная проницаемость. Из этих уравнений следует, что магнитное поле имеет потенциал у j (H j = grad у j), удовлетворяющий уравнению Лапласа Ayj = 0. Потенциал yj запишем в виде у j = #0 z + у jw (j = 1,2), где H0z - потенциал невозмущенного поля, а уjw - малое возмущение, связанное с деформацией поверхности струи. Функции уjw будем искать в виде

= x¥j (г)ехр[(кг + n0-юt)] .

Записывая уравнения Лапласа Ду^ = 0 в цилиндрических координатах в областях 1 и 2, получим два уравнения Бесселя для функций ¥ j (г). Решения этих двух уравнений имеют вид

Ч] (г ) = «А ('г) + Ъ}-Кп (кг) (] = 1,2).

Здесь следует принять Ъ1 = 0, так как Кп (кг при г ^ 0, что при-

водит к бесконечно большим значениям потенциалов.

Граничные условия для магнитного поля на поверхности струи г = а + ^ [4]:

(цЯп )1 =(цЯп )2, (Их)1 =(ИХ)2,

где индексами п и т обозначены нормальная и тангенциальная компоненты вектора. Выражая поле через потенциал, эти условия можно записать в следующем виде [4]:

где п - нормаль к поверхности струи.

Учитывая, что на поверхности соленоида при г = Яр возмущение потенциала У2w равно нулю, с помощью условий (3) находим

у^ = а11п (кг)ехр[ (кг + п0-Ш)] , У2w = [«2!п (кг) + Ъ2Кп (кг)]ехр (кг + п0 - Ш)],

здесь

«1 = ^0Я0 ( - ^2 ) [мп (кг0 ) - ^2А1п (кг0 , «2 = ^0Я0 ( )п (кг0 )Кп (кЯ0 )[Мп (кг0 ) --Ц2А1п (кГо )]-1 [ 1п (кГо ) Кп (кЯр ) - 1п (кЯр) Кп (ко )]- ,

Ъ2 =-«21п (кЩо)К"!(кЯр),

А = !'п(кго )Кп (кЯр)- 1п (кЯр )К'п(кго) 1п (кгр )Кп (кЯр)- 1п (кЯо )Кп (кгр) '

Дисперсионное уравнение, связывающее частоту ю с волновыми числами к и п, находится с помощью условия баланса сил на поверхности струи г=«:

здесь а - коэффициент поверхностного натяжения; Cm - средняя кривизна поверхности, известная из дифференциальной геометрии; с^ - тензор механических напряжений [1, 4]:

Давления в областях 1 и 2 имеют вид

P1 = P10 + Pw , P2 = P20 = const

где Pw - возмущение давления в жидкости; P1q , P2q - невозмущенные давления. Возмущение давления в жидкости определяется равенством [2]: Pw = -р Эф/dt. Поскольку плотность воздуха мала по сравнению с плотностью жидкости, считаем ее равной нулю. Поэтому возмущение давления в воздухе тоже будет равно нулю. Из условия (4) следует

P + iMlH 0 k V1w - Ф2 H 0 k ¥ 2 w =-а Pw "r . . — IX

4n 4n

JL+-L .dii+dli

r02 r02 Э02 dz2

Подставляя в формулу (5) выражения для ^, у^, У2w и рм,, получим дисперсионное уравнение для волн на поверхности струи, которое, вводя безразмерные величины П2 =ю2 (а/ргд ) и Л = (кгр) 1 = ^(2гор)) 1, можно за-

писать в виде

4пЛ 2

2 Q( -^2 )21'n (Л-1) 1 I'n (Л-1 V 2

=-Т-/ п -Г"ййГ~Т\

..7' А -1 \ .. AT / А -1 \ ^ А-1И '

МП

здесь Q - безразмерная частота; Л - безразмерная длина волны; Q = HqTq/а - безразмерный параметр, характеризующий отношение магнитных и капиллярных сил, действующих на поверхности струи. Если Q = 0 (или = ц 2), то получается результат, приведенный в [2].

2. Анализ результатов

Из (6) следует, что все возмущения с n > 1 устойчивы в рассматриваемом приближении, так как в силу свойств бесселевых функций [5] (I'n > 0,

K'n < 0) выполняется неравенство П2 > 0 при любых значениях Л и n > 1.

Рассмотрим далее случай n = 0, учитывая равенства [5]: I'n (x) = I1(x),

KQ (x) = -K[(x). Величину kRQ будем записывать в виде

kRQ = k (Rq/ro )ro =(R о/ro )Л-1.

На рис. 1 приведены графики зависимости квадрата безразмерной частоты Q от безразмерной длины волны Л для нескольких значений безраз-

мерного параметра Q . Магнитная проницаемость воздуха во всех расчетах бралась равной 1 (= 1).

Q2

ОД

0.05

-0.05

-0.1

\

I 2\3\ Д

Л

Рис. 1. Зависимость О2 от Л : Q = 0; 20; 40; 80; 100 (1 - 5); п = 0, ц1 = 2, Я0/г0 = 2

Оси координат - асимптоты для всех графиков. При Л = Лс частота О2 = 0. Длина волны Лс называется критической. Части графиков при Л < Лс лежат выше оси абсцисс и соответствуют устойчивости струи, поскольку при этом О2 > 0, и частота О имеет вещественные значения. Область Л > Лс соответствует неустойчивости струи, так как при этом О2 < 0, и частота будет иметь два комплексно сопряженных значения, что приводит к неустойчивости. Как известно [2], размер капель, образующихся при распаде струи, будет порядка длины волны Хт = Лт-(2лг0), соответствующей величине Лт, при ко-

22 торой О достигает минимума От, поскольку амплитуда растет в этом случае с наибольшей скоростью. В самом деле, рост амплитуды определяется множителем ~ ехр(|ю|0, принимающим наибольшее значение при Л = Лт, при

В табл. 1 приведены значения Лс, Лт и |От| при п = 0, = 2, ^ / г0 = 2 для различных значений Q. В частности, значению Q = 20 соответствуют, например, следующие значения: г0 = 1 см, р = 1 г/см3, Н0 = 20 Э (эрстед), а = 20 г/с2.

Таблица 1

0 0 20 40 80 100

Лс 1 1,317 1,628 2,168 2,401

Лт 1,433 1,912 2,365 3,128 3,455

jOij 0,118 0,064 0,042 0,025 0,020

Видно, что при увеличении Q (т.е. с возрастанием магнитного поля) критическая длина волны Лс увеличивается, размер образующихся капель Лт также увеличивается. Величина |йт| при этом уменьшается. Это означает, что с увеличением размера капель скорость их роста и частота возникновения уменьшаются. Неустойчивость струи при возрастании магнитного поля сдвигается в область более длинных волн, рост возмущений при этом замедляется.

На рис. 2 приведены графики зависимости от Л для различных значений Ц.

Рис. 2. Зависимость от Л: ц = 1; 1,5; 2; 2,5 (1 - 4); п = 0, Q = 20, Л0/г0 = 2

В табл. 2 приведены значения Лс, Лт и |^т| при п = 0, Q = 20, Л / г0 = 2 для различных значений ц1 .

Таблица 2

№ 1 1,5 2 2,5

Лс 1 1,083 1,317 1,674

Лт 1,435 1,561 1,912 2,437

Ю>| 0,118 0,098 0,064 0,039

Видно, что при увеличении ц1 величины Лс и Лт возрастают, а |йт| -уменьшается.

На рис. 3 приведены графики зависимости от Л для различных значений отношения Л0/ г0 .

В табл. 3 приведены значения Лс, Лт и |йт| при п = 0, Q = 20, ц1 = 2 для различных значений Л / г0 .

Видно, что при увеличении Щ / г величины Лс и Лт возрастают, а |йт| уменьшается. Следовательно, при увеличении радиуса соленоида

неустойчивость струи сдвигается в область более длинных волн, а скорость роста возмущений уменьшается. При дальнейшем увеличении отношения до/г0 (превышающем значение 8) величины Лс, Лт и \От\ практически не изменяются, достигнув значений, полученных в [3]. Отметим, что аналогичные результаты для магнитной жидкости, окружающей пористое ядро, получены в работе [6].

Таблица 3

Ro/ r0 1,5 2 2,5 3 8

лс 1,224 1,317 1,363 1,388 1,414

Лт 1,765 1,912 1,991 2,035 2,075

jOij 0,077 0,064 0,058 0,054 0,049

Результаты, полученные в настоящей статье, согласуются с экспериментом [1].

Заключение

Исследованы распространение и неустойчивость волн на поверхности цилиндрической струи магнитной жидкости в магнитном поле соленоида, ось которого совпадает с осью струи. Для симметричных возмущений (п = 0) область безразмерных длин волн (Л > 0) делится критической точкой Лс (в которой О = 0) на две области, в одной из которых (0 < Л < Лс) существуют незатухающие волны, а в другой (Л > Лс) все возмущения нарастают со временем, приводя к неустойчивости струи и ее распаду на капли. Показано, что при увеличении магнитного поля критическая длина волны Лс и размер

капель Am, образующихся при распаде струи, увеличиваются, а скорость роста капель и частота их возникновения уменьшаются. Таким образом, магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на струю, сдвигая неустойчивость в область более длинных волн и замедляя скорость роста возмущений.

Полученные теоретические результаты согласуются с экспериментом.

Список литературы

1. Розенцвейг, Р. Феррогидродинамика / Р. Розенцвейг. - М. : Мир, 1989. - 356 с.

2. Левич, В. Г. Физико-химическая гидродинамика / В. Г. Левич. - М. : ГИФМЛ, 1959. - 700 с.

3. Тактаров, Н. Г. Распад струи магнитной жидкости / Н. Г. Тактаров // Магнитная гидродинамика. - 1975. - № 2. - С. 35-38.

4. Ландау, Л. Д. Электродинамика сплошных сред / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. -М. : Физматлит, 2003. - 656 с.

5. Янке, Е. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы / Е. Янке, Ф. Эм-де, Ф. Леш. - М. : Наука, 1977. - 344 с.

6. Тактаров, Н. Г. Распад цилиндрического столба магнитной жидкости с неоднородным пористым ядром / Н. Г. Тактаров, О. А. Рунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2015. -№ 1 (33). - С. 98-109.

References

1. Rozentsveyg R. Ferrogidrodinamika [Ferrohydrodynamics]. Moscow: Mir, 1989, 356 p.

2. Levich V. G. Fiziko-khimicheskaya gidrodinamika [Physicochemical hydrodynamics]. Moscow: GIFML, 1959, 700 p.

3. Taktarov N. G. Magnitnaya gidrodinamika [Magnetic hydrodynamics]. 1975, no. 2, pp. 35-38.

4. Landau L. D., Lifshits E. M. Elektrodinamika sploshnykh sred [Electrodynamics of continuous media]. Moscow: Fizmatlit, 2003, 656 p.

5. Yanke E., Emde F., Lesh F. Spetsial'nye funktsii. Formuly, grafiki, tablitsy [Special functions. Formulas, graphs, tables]. Moscow: Nauka, 1977, 344 p.

6. Taktarov N. G., Runova O. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 1 (33), pp. 98-109.

Тактаров Николай Григорьевич

доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и методики обучения математике, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: colonnt@mail.rummm@pnzgu.ru

Taktarov Nikolay Grigor'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-departament of mathematics and mathematics teaching methods, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev

Кормилицин Анатолий Андреевич аспирант, Мордовский государственный педагогический институт имени М. Е. Евсевьева

E-mail: aa.korm@yandex.ru_medv@mail.ru

УДК 537.84:532.59 Тактаров, Н. Г.

Неустойчивость струи магнитной жидкости в поле соленоида /

Н. Г. Тактаров, А. А. Кормилицин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 1 (37). -С.13-22.

Kormilitsin Anatoliy Andreevich Postgraduate student, Mordovia State Pedagogical Institute named after M. E. Evsevyev