Напряженное состояние растягиваемой полосы с заполненным отверстием

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Т о м VII 197 6

М 6

УДК 620.171 5

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ РАСТЯГИВАЕМОЙ ПОЛОСЫ С ЗАПОЛНЕННЫМ ОТВЕРСТИЕМ

В. Ф. Кожевников

Поляризационно-оптическим методом исследовано напряженное состояние растягиваемой полосы с отверстием, в которое вставлена упругая шайба с различными степенями натяга. Напряженное состояние представлено эпюрами нормальных напряжений по поперечному сечению модели, а также эпюрами нормальных и касательных напряжений по линии контакта шайба — пластина, для чего была разработана методика определения напряжений по контактной поверхности.

Показано, что вставленная в отверстие шайба даже при отсутствии натяга приводит к сиижеиию концентрации напражений у отверстия до значения = 2,5. Натяг приводит к дальнейшему снижению коэффициента концентрации до значения около 2,1, которое, однако, может быть реализовано лишь при определенном соотношении растягивающего усилия и контактного напряжения от запрессовки шайбы.

Исследование напряженного состояния растягиваемой полосы с круглым отверстием, в которое вставлена свободно или с натягом плоская круглая шайба, представляет практический интерес для изучения работы болтового или заклепочного соединения.

Для случая свободно вложенной шайбы имеется точное теоретическое решение [1], в котором, однако, условия на поверхности контакта шайбы и пластины несколько идеализированы, так как предполагается отсутствие на ней касательных напряжений.

Эту задачу исследовали методами фотоупругости [2, 3], определяя зависимость концентрации напряжений у отверстия от величины натяга шайбы при различных соотношениях поперечных размеров и модулей упругости материалов шайбы и пластины. Было показано, что с ростом натяга и увеличением отношения диаметра отверстия к ширине пластины коэффициент концентрации напряжений снижается, тогда как различие модулей материала шайбы и пластины не оказывает на него существенного влияния.

Однако в работах [2, 3] напряженное состояние оценивалось преимущественно по значениям касательных напряжений. Для наиболее полного представления о характере взаимодействия шайбы с растягиваемой полосой необходимо знать распределение как

касательных, так и нормальных напряжений и, в особенности, на поверхности контакта шайба — пластина. С этой целью было проведено описываемое здесь исследование. Методами плоской фотоупругости на растягиваемой пластине из оптически чувствительного материала с заполненным отверстием было найдено распределение нормальных напряжений в поперечном сечении, проходящем через центр отверстия, а также нормальных и касательных напряжений на поверхности контакта пластина — шайба. Разделение разностей главных напряжений в поперечном сечении пластины было осуществлено стандартным способом, т. е. методом разности касательных напряжений [4]. Для разделения напряжений на поверхности контакта было использовано уравнение равновесия плоской задачи теории упругости в полярной системе координат, которое в проекции на окружное направление имеет следующий вид [5]:

дай дтг6

Отсюда получаем:

] (г—зг~ + 2Ггв)аь-

Здесь а0 — начальный параметр интегрирования, за который при° нимаем значение нормального напряжения в поперечном сечении у контура отверстия;

1гь — касательные напряжения, действующие на поверхности контакта, определяемые непосредственно из оптических измерений.

Производную касательного напряжения по радиальному направлению можно получить из интерполяционного полинома Лагранжа [6]:

-ЧГ "'2Аг Зт'в + 4хг9 - V)). где т'6 и т"е — касательные напряжения в пластине при удалении от контура на расстояние Дг и 2Дг соответственно при фиксированной угловой координате.

Исследовано напряженное состояние пластины с шайбой, вложенной без натяга, а также с натягами Д порядка 0,25 и 0,5% диаметра отверстия. Пластина и шайба были изготовлены из оптически чувствительного материала на основе эпоксидной смолы ЭД-20, отвержденной метилтетрагидрофталевым ангидридом по стандартной методике. Размер полосы составил 180X72X5 мм, диаметр отверстия 12 мм. Натяг 0,5% был осуществлен с предварительным охлаждением шайбы жидким азотом. Фактическая величина натяга была определена по величине радиального давления, которая легко вычисляется на основании картины полос по формуле [7]:

Д — - 2-°Ра_1. и

£ ^ОТВ*

К моделям прикладывали различные растягивающие усилия, вызывающие номинальные напряжения брутто в пластине от нуля

до 122,5 • 105-^-(125 ктс/см2) с шагом в 24,5 • 105-Д- (25 кгс/см2).

Картины полос моделей без натяга и с натягом при зН0М = 98,1Х X Ю5 Н/м2 (100 кгс/см2) показаны на фиг. 2 и 4 соответственно.

На фиг. 1 показаны эпюры напряжений ау и <зх в поперечном сечении пластины при различных нагрузках. Здесь же для сравнения нанесены пунктиром эпюры напряжений для растягиваемой пластины со свободным отверстием в случае аном = 49-105 Н/м2 (50 кгс/см2) и 98,1 • 105 Н/м2 (100 кгс/см2). Из представленных эпюр (фиг. 1, а) видно, что наличие свободно вложенной шайбы в отверстии растягиваемой пластины приводит к существенному снижению максимальных напряжений у отверстия, причем это снижение распространяется на глубину порядка одной трети радиуса

У

Фиг. 1

Фиг. 2

шайбы, на остальной же части сечения напряжения в пластине с шайбой и без нее практически совпадают.

Распределение напряжений по поверхности контакта показано на фиг. 2, где контур полуокружности развернут в прямую, параллельную продольной оси нластины. По своему характеру эпюры окружных напряжений а9 почти не отличаются от эпюр при свободном отверстии, однако абсолютные величины напряжений, особенно в зонах своих максимумов, как в области растяжения, так и в области сжатия в рассматриваемом случае несколько ниже. Смена знака напряжения происходит в окрестности угла 60° от поперечной оси пластины, причем незначительное увеличение этого угла происходит с возрастанием растягивающей нагрузки. Экстремумы окружных напряжений расположены на оси симметрии пластины, однако с увеличением нагрузок можно отметить сглаживание пиков и образование площадок на эпюрах в зоне максимума а, (см. фиг. 2).

Радиальные сжимающие напряжения увеличиваются с увеличением прикладываемой нагрузки, при этом происходит существенное их перераспределение по контуру отверстия, вызванное появлением зазора между шайбой и пластиной в зоне продольной оси пластины. Радиальный размер этого зазора возрастает пропорционально нагрузке, а его размер в окружном направлении имеет предел около 60° от продольной оси пластины. Это непосредственно следует из характера деформирования контура свободного отверстия растягиваемой пластины, которое описывается следующей формулой для перемещений точек контура в радиальном направлении [5|:

ии — “тр" го

где 6 — угловая координата, отсчитываемая от продольного диаметра.

Из формулы (1) видно, что радиальные перемещения контура отверстия иГа положительны, т. е. направлены от центра отверстия на дуге окружности, не превышающей значения 60° от продольной оси, на оставшемся участке дуги радиальные перемещения направлены к центру отверстия и приводят к возникновению здесь радиального давления. На поверхности контакта кроме радиальных и окружных напряжений действуют также касательные напряжения хгв, максимум которых расположен вблизи поперечной оси пластины, на которой происходит смена знака 1Л. Касательные напряжения растут пропорционально нагрузке, характер их распределения при этом остается примерно постоянным.

Проведенное на фиг. 1 ,а сопоставление эпюр нормальных напряжений су в поперечном сечении пластины со свободным и заполненным отверстием свидетельствует о том, что во втором случае через сечение нетто пластины передается усилие, меньшее на величину ДР, которая численно равна площади заштрихованного криволинейного треугольника, умноженной на толщину пластины. Очевидно, что эта часть растягивающего усилия, которая должна быть передана от верхней половины к нижней, проходит через прилегающий к отверстию участок вложенной шайбы, включающейся в работу в результате действия касательных напряжений на поверхности контакта. Этот факт подтверждается равенством равнодействующей касательных усилий величине ДР, иными

словами, площадь под соответствующей эпюрой на фиг. 2 с точностью до 10% равняется площади заштрихованного криволинейного треугольника на фиг. 1.

На фиг. 3 представлена кривая зависимости коэффициента концентрации напряжений, т. е. отношения максимального нормального напряжения на контуре отверстия к номинальному напряжению растяжения в сечении брутто пластины, от изменения последнего. Кривая показывает, что коэффициент концентрации возрастает от 2 при нулевой нагрузке, что соответствует теоретическому решению [1]- до 2,5 при некотором увеличении растягивающего усилия и, достигнув этой величины, остается постоянным независимо от дальнейшего увеличения нагрузки. Такое поведение

коэффициента концентрации может быть объяснено следующим образом. При очень малых нагрузках поверхность контакта пластина—шайба находится в условиях,весьма близких к расчетным. Затем с увеличением усилия возникает и начинает расти зазор, что приводит к уменьшению поверхности контакта. Этому моменту соответствует участок возрастания /га. После того как зазор достигнет своего предельного размера в окружном направлении, система становится геометрически неизменяемой, что и определяет постоянство коэффициента концентрации при дальнейшем увеличении растягивающего усилия.

Дальнейшим этапом исследования явилось изучение напряженного состояния растягиваемой полосы с впрессованной шайбой, при этом запрессовка была осуществлена с натягами порядка 0,25 и 0,5% диаметра шайбы.

На фиг. 1,6 показаны эпюры напряжений зу из, в поперечном сечении пластины, а на фиг. 4 — радиальных, окружных и касательных напряжений но поверхности контакта для модели с натягом 0,25% диаметра. По сравнению с описанной выше моделью в пластинах с впрессованной шайбой заметно значительное увеличение радиальных и, очевидно связанных с ними, касательных напряжений. У окружных напряжений смена знака с положительного на отрицательный в зоне вертикального диаметра происходит лишь при достижении некоторого значения номинальных напряжений растяжения, которое возрастает с увеличением натяга.

Можно также отметить, что зона максимальных напряжений смещена от горизонтального диаметра на угол примерно около 10э, причем проявление этих смещенных максимумов тем явственне, чем больше натяг и растягивающая нагрузка.

На фиг. 5 представлен график зависимости максимальных нормальных напряжений ое и <з-г от величины номинальных напряжений для всех рассмотренных моделей. Пунктиром нанесена прямая, соответствующая максимальным напряжениям в случае свободного отверстия в растягиваемой пластине. Как видно из графика, напряжения о, возрастают по абсолютной величине с повышением растягивающей нагрузки и увеличением натяга, причем зависимости эти близки к линейным. Кривые максимальных окружных напряжений за у отверстия являются пересекающимися, так

как напряжения при нулевой растягивающей нагрузке прямо пропорциональны натягу, а наклон кривых уменьшается с увеличением натяга. Иными словами, до некоторой величины растягивающего напряжения, которая зависит от величины натяга, максимальные напряжения в моделях с натягом выше, нежели в модели со свободно вложенной шайбой и даже в свободном отверстии, затем с увеличением растягивающей нагрузки максимальные напряжения 00, которые растут тем медленнее, чем больше натяг, могут оказаться меньшими для моделей с большим натягом.

Отсюда естественно следует, что для различных конкретных значений номинального растягивающего напряжения можно найти вполне определенные значения натяга, при которых произойдет снижение максимальных напряжений у отверстия, иными словами, найти оптимальную величину натяга, разумеется, в пределах упругости. На фиг. 6 дана зависимость отношения максимального напряжения у отверстия к величине номинального растягивающего напряжения, которое можно рассматривать как коэффициент концентрации напряжений, от отнесенной также к зН0М величины контактного давления на границе отверстия, вызванного натягом.

Фиг. 4

Экспериментальные значения, полученные на двух моделях с различными натягами, вполне удовлетворительно укладываются на одну кривую. Точка на оси ординат соответствует модели с вложенной без натяга шайбой. Кривая отчетливо обнаруживает минимум при значении знат/зном =^0,55, при этом названный коэффициент концентрации снижается до величины около 2,1.

Фиг. 6

Такой характер поведения кривой можно объяснить следующим образом. В случае, если напряжения от натяга начнут существенно превышать номинальные напряжения от растяжения, именно они и будут определять величину максимальных напряжений у отверстия и тогда названный коэффициент концентрации, резко увеличиваясь, теряет смысл как характеристика напряженного состояния. При напряжениях от натяга, составляющих около половины величины напряжений растяжения и меньше, положительные перемещения контура отверстия в зоне продольного диаметра, вызванные растягивающей нагрузкой, приведут к освобождению этого участка от контактного давления, а в дальнейшем и к возникновению здесь зазора, следствием чего и является рост коэффициента концентрации в области малых соотношений анат/ано„ с уменьшением последних.

Приведенные соображения можно подтвердить математическими выкладками. В самом деле, для того чтобы произошло освобождение участка от радиального давления, продольный размер отверстия должен сравняться с исходным диаметром шайбы, при этом контур отверстия станет эллипсом с полуосями

я= г0| 1 + -^х| и Ь = г0 ^1 + -^рзнат) • ПеРиметР такого эллипса определится следующей формулой [8]:

Цл = ЯГ0 1,5

2 + ~г

Е

V'

^(З + р) .

Е )

С другой стороны, на основании решения Кирша [4] периметр отверстия в растягиваемой пластине может быть выражен следующей зависимостью:

/ —9ГГ М а °ном\

о™"' °

Приравняв правые части уравнений (2) и (3) и отбросив члены, содержащие в знаменателе Ег как бесконечно малые величины второго порядка малости, получим соотношение напряжений от натяга и номинальных напряжений растяжения, при котором произойдет освобождение участка контура от радиального давления натяга:

днат _ _ ^

аном 3 4- {Л

При коэффициенте Пуассона материала модели ;х = 0,4 это соотношение составит знат/оном — 0,59, т. е. очень близко подобному соотношению, полученному нами экспериментально.

Подводя итог сказанному, можно заключить, что заполнение отверстия растягиваемой полосы шайбой приводит к снижению максимальных напряжений в пластине у отверстия, причем механизм этого снижения при отсутствии натяга состоит в том, что часть усилия, проходящего через сечение нетто растягиваемой пластины, воспринимается участками шайбы в зоне поперечного диаметра, плотно примыкающими к контуру отверстия на дуге не менее 60° с каждой стороны, при этом коэффициент концентрации напряжений в пластине у отверстия снижается до 2,5. Наличие натяга в соединении пластины с шайбой приводит к дальнейшему снижению коэффициента концентрации вплоть до 2,1 в зависимости от соотношения растягивающего напряжения и контактного напряжения натяга, несмотря на дополнительное растягивающее усилие в окружном направлении, вызванное запрессовкой шайбы. В этом случае взаимодействие пластины и шайбы имеет более сложный характер и снижение максимальных напряжений происходит не только вследствие включения в работу участков шайбы, но и вследствие общего стеснения деформаций контура отверстия, что, очевидно, и приводит к существенному перераспределению напряжений в поперечном сечении пластины (см. фиг. 4). По-видимому, коэффициент концентрации, равный примерно 2, является минимально возможным для растягиваемой полосы с отверстием, в которое впрессована шайба, и соответствует определенному значению отношения растягивающего напряжения к контактному давлению от натяга.

На первый взгляд, это утверждение как будто противоречит известному положению о том, что с ростом натяга вплоть до значений Д= 1,5% происходит повышение выносливости образцов, нагружаемых переменной нагрузкой по пульсирующему циклу. Видимо, это повышение выносливости обусловлено, в первую очередь, не величиной максимального напряжения, а изменением характеристик цикла, вызванного наличием начального напряжения от натяга. Кроме того, в настоящей работе было замечено, что при разгрузке образца с впрессованной шайбой картина полос не возвращается в исходное положение и в зоне действия максимальных напряжений имеет место приращение начальных напряжений. Величина этого приращения зависит как от прикладываемой растягивающей нагрузки, так и от величины натяга, достигая в предельном случае значения 0,6знат, но не более 0,3аном. Это обстоятельство приводит к дальнейшему уменьшению амплитуды цикла при неизменном максимальном напряжении, а следовательно, и к повышению выносливости образца.

7—Ученые записки № 6

97

Разумеется, полученные результаты не могут быть целиком перенесены на случай болтового или заклепочного соединения, это потребует специального обстоятельного исследования, тем не менее основные особенности взаимодействия запрессованного болта и стыкуемых деталей, подвергнутых растяжению, будут сходны с выявленными в настоящем исследовании.

На основании проведенных исследований можно предложить пути значительного, вплоть до иолуторакратного, снижения коэффициента концентрации напряжений у отверстия растягиваемой пластины с помощью запрессовки в него кольца с соответствующим значением натяга, определяемым На основании зависимостей, данных в работе [7], следующей формулой:

ат

1

1 — К2

1

Т

Е;

Здесь Еи , Е., и

— упругие постоянные кольца и пластины соответственно;

К — отношение внутреннего диаметра кольца к наружному.

Для пластины из алюминиевого сплава и стального кольца формула (4) примет следующий вид:

д__ днат 4.

_ *|(1 -К3) '

Варьируя в каждом конкретном случае значения К и Д, можно добиться наибольшего снижения коэффициента концентрации напряжений, исходя из условий нагружения пластины и учитывая, что отношение напряжения от натяга к номинальному напряжению должно быть в пределах 0,5—0,6.

В заключение необходимо заметить, что все полученнные в настоящей работе зависимости справедливы в полной мере лишь в случае упругого состояния материала.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шереметьев М. П. Упругое равновесие бесконечной пластинки с вложенной абсолютно жесткой или упругой шайбой. ПММ, т. 16, вып. 4, 1952.

2. J е s s о р Н. Т., S л е 1 1 С., Н о 1 і s t е г G. S. Photoelastic investigation in connection with the fatigue strength of bolted joints. The Aeronautical Quarterly, pt. 3, Aug., 1955.

3. Jess op H .Т., Snell C., Holister G. S. Photoelastic investigation on plate with single interference-fit pins with load applied to plate only. The Aeronautical. Quarterly, pt. 4, Nov., 1956.

4. Ф p о x г М. М. Фотоупругость. Т. 1. М., Гостехтеор-издат, 1948.

5. Тимошенко С. П. Теория упругости. Л.— М., ОНТИ,

1937.

6. Демидович Б. П., Марон А. И. Основы вычислительной математики. М., „Наука", 1966.

7. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М., „Наука", 1970.

8. Привалов И. И. Аналитическая геометрия. М., Физ-матгиз., 1962.

Рукопись поступила 251X11 1975 г.