Дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

УДК 515.17 + 517.545

ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ПРИМА НА КОМПАКТНОЙ РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В. В. Чуешев

PRYM DIFFERENTIALS ON COMPACT RIEMANN SURFACE

V. V. Chueshev

Теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для случая специальных характеров на компактной римановой поверхности нашла приложения в геометрической теории функций комплексного переменного, аналитической теории чисел и в уравнениях математической физики [1-9]. В [8] начато построение общей теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности для произвольных характеров.

В данном обзоре представлены результаты по теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на переменных компактных римановых поверхностях рода g > 1, полученные в работах В.В. Чуешева, М.И. Головиной и Т.А. Пушкаревой [15-19].

Аналогичные результаты есть для дифференциалов Прима на торах (Т.С. Крепицина) и на конечных римановых поверхностях (А.А. Казанцева). Эти три случая существенно отличаются друг от друга и по результатам, и по методам.

The theory of multiplicative functions and Prym differentials for case special characters on a compact Riemann surface has found numerous applications in geometrical theory function complex variable, analytic number theory and equations of mathematical physics [1-9]. In [8] is begun construction a general theory of multiplicative functions and Prym differentials on a compact Riemann surface for arbitrary characters.

In this survey is represented results on theory of multiplicative functions and Prym differentials on a variable compact Riemann surfaces of genus g > 1, which obtained in papers V.V. Chueshev, M.I. Golovina and T.A. Pushkareva.

There are analogous results for Prym differentials on torus (T.S. Krepizina) and on finite Riemann surfaces (A.A. Kazanzeva). These three cases essentially differ from each other and by results, and by methods.

Ключевые слова: дифференциал Прима, дивизоры, абелевы дифференциалы, переменная рима-нова поверхность, переменные характеры, мероморфные дифференциалы, гармонический дифференциал Прима, пространство Тейхмюллера.

Keywords: Prym differential, divisors, abelians differentials, variable Riemann surfaces, variable characters, meromorphic differentials, harmonic Prym differential, Teichmueller space.

Работа поддержана грантами: АВЦП, 2.1.1.3707; ФЦП, №-02.740.11.0457; РФФИ 09 - 01 - 00255; НШ - 7347.2010.1; РФФИ 11 - 01 - 90709.

1. Предварительные сведения

Пусть Г - фиксированная гладкая компактная ориентированная поверхность рода д > 2, с отмечанием {а^,Ь^ }^=і, т. е. упорядоченным набором образующих для п1(Г), а Г0 - рима-нова поверхность с фиксированной комплексноаналитической структурой на Г По теореме уни-формизации существует конечно порожденная фуксова группа Г первого рода, инвариантно действующая на единичном круге

и = {г Є С : \г\ < 1},

такая, что и/Г конформно эквивалентна Г0, Г изоморфна п1(Г). Эта группа имеет представление Г = {Лі,..., Ад ,Ві ,...,Вд : П С і = !), где

і=1

Сі = [Аі,Ві] = АіВіА- Ві ,3 = 1,...,д, а 1 -тождественное отображение [10; 11] .

Любая другая комплексно-аналитическая структура на Г задается некоторым дифференциалом Бельтрами ¡л на Го, т. е. выражением вида

ц(х)ІЇх/д,х, которое инвариантно относительно выбора локального параметра на Г0, где л(г) - комплекснозначная функция на Г0 и (_р0) < 1

Эту структуру на Г будем обозначать через Г^. Ясно, что л = 0 соответствует Го. Пусть М(Г) -множество всех комплексно-аналитических структур на Г с топологией Ссходимости на Го, Diff +(Г) - группа всех сохраняющих ориентацию гладких диффеоморфизмов поверхности Г на себя, а Diff0 (Г) - нормальная подгруппа в Diff + (Г), состоящая из всех диффеоморфизмов гомотопных тождественному диффеоморфизму на Г0. Группа Diff + (Г) действует на М(Г) по правилу ц ^ Г л, где f е Diff +(Г ),л Є М (Г). Тогда пространство Тейхмюллера Тд(Г) = Тд(Г0) есть фактор-пространство М(Г)/Diff0(Г) [10; 11].

Так как отображение и ^ Г0 = и/Г

локальный диффеоморфизм, то любой дифференциал Бельтрами л на Г0 поднимается до Г-дифференциала Бельтрами ц на и, т. е.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

у Є (и), |

взввирг^и |у(х)| < 1 и

у(Т(г))Т (г)/Т (г) = у(г), г £ и,Т £ Г.

Если Г-дифференциал у на V продолжить на С\и, положив у = 0, то существует единственный квазиконформный гомеоморфизм тр : С ^ С с неподвижными точками +1, — 1,г, который является решением уравнения Бельтрами = у(г)тг.

Отображение Т ^ Тр = трТ(тр)-1 задает изоморфизм группы Г на квазифуксову группу

д

Гр = трГ(тр)-1 = {Л?,...,Б% : П А,Б%] = I).

з=1

Классические результаты Л. Альфорса, Л. Берса [10] и других авторов утверждают, что: 1) Тд (Г) является комплексно аналитическим многообразием размерности 3д — 3

при д > 2; 2) Тд (Г) имеет единствен-

ную комплексно-аналитическую структуру такую, что естественное отображение Ф: М(Г) ^ М(Г)/В1Цо(Г) = Тд (Г) будет голоморфным и при этом Ф имеет только локальные голоморфные сечения; 3) элементы из Гр голоморфно зависят от [у].

Два Г-дифференциала Бельтрами у и V будут конформно эквивалентными, если и только если трТ(тр)-1 = Т(ти)-1,Т £ Г. Естественно, что выбор образующих {ак,Ък}дк=1 в П1(Г) эквивалентен выбору системы образующих

{ак(у),Ък(у)}1=1 в пl(Гр), и {лр,Бр}д=1 в Гр для

любого [у] из Тд. Отсюда получим отождествления М(Г)/В1Ц0(Г) = Тд(Г) = Тд(Г). При этом имеем взаимно однозначное соответствие между классами дифференциалов Бельтрами [у], классами конформно эквивалентных отмеченных рима-новых поверхностей [Гр; {ак(у), Ък(у)}дк=1] и отмеченными квазифуксовыми группами Гр [11].

Универсальное многообразие Якоби рода д есть расслоенное пространство над Тд, слой которого над [у] £ Тд есть якобиан Т(Гр) для поверхности Гр [12].

В работе Л. Берса [10, с. 99] построены голоморфные формы ^1[у] = (1([у],0^,..., сд [у] = Сд([у],0^£, удовлетворяющие условиям:

О МО = 0 (Т МО) Щ МО,

¿Ж)

I Сз([у],ю)аю = 5^, а

для всех Т £ Г, [у] £ Тд, £ £ тр(П), ],к = 1, ... , д, где интеграл берется по любому пути в тр(и) от £ до Лр(£). Для любого фиксированного [у] £ Тд эти формы являются поднятиями на тр(и) голоморфных на Гр абелевых дифференциалов СМ ...,Сд[у], которые образуют канонический базис на Гр, двойственный к каноническому гомотопическому базису {ак(у),Ък(у)}дк=1 на Гр. Указанный базис голоморфно зависит от модулей [у] отмеченной компактной римановой поверхности Гр. Кроме того, матрица Ъ—периодов

П(у) ных чисел п^к[у]

(п]к[у])д^к=1 по, ±р

на Ер состоит из комплексую

І Сі([у],іи)с]м, С Є імр(и) и

голоморфно зависит от [у].

Для любых фиксированных [у] Є Тд и Со Є юр(и) определим классическое отображение Якоби ф : тр(и) ^ Сд по правилу:

5

Фі(С) = І Сі([у],™)йы,2 = д. Тогда ф инду-

50

цирует послойное голоморфное вложение из Ер в

3 (Ер).

Далее, для любого натурального числа п > 1 существует расслоенное пространство над Тд, у которого слой над [у] Є Тд есть пространство всех целых дивизоров степени п на компактной рима-новой поверхности Ер. Голоморфные сечения этого расслоения определяют на каждой Ер целый дивизор Вр степени п, который голоморфно зависит от [у]. Также существует голоморфное отображение фп из этого расслоения на универсальное расслоение Якоби (п > 1) ограничение которого на слои является продолжением классического отображения Якоби ф : Ер ^ 3(Ер). Известно, что для п = д отображение ф : Ед [у\\В11[у] ^ Шд [у]\Ш ^[у] является аналитическим изоморфизмом, где Ед [у] - д—кратное симметрическое произведение поверхности Ер и Ш ^[у] = ф(В^[у]) имеет комплексную размерность, не превышающую д — 2 [6; 13]. Локальные голоморфные сечения этих расслоений над окрестностью V ([уо]) С Тд можно получить (для любого п > 1) из локальных голоморфных сечений К. Эрла в для Ф : М(Е) ^ Тд над и ([уо]) [12].

Характером р для Ер называется любой гомоморфизм р : (п\(Ер), ) ^ (С*, ), С* = С \ {0}. Характер единственным образом задается упорядоченным набором (р(ар), р(Ьр), ...,р(ар), р(Ьр)) Є (С*)2д.

Определение 1.1. Мультипликативной функцией / на Ер для характера р назовем ме-

роморфную на юр(и) функцию /, такую, что

і(Тх) = р(Т)/(г), г Є тр(и), Т Є Гр.

Определение 1.2. т—дифференциалом Прима относительно фуксовой группы Г для р, или (р, т)-дифференциалом, называется дифференциал ф = ф(х)ё,хт, такой, что

ф(Тх)(Т'х)т = р(Т)ф(х),х Є и,Т Є Г, р : Г ^ С*. В частности, при т = 0 это мультипликативная функция относительно Г для р.

Если /о - мультипликативная функция на

Ер для р без нулей и полюсов, то =

2пі^2 сі([у],р)Сі([у]) и

і = 1

Р д

¡о([у],Р) = ехр І 2пі^Сі([у],р)Сі([у]),

Ро[р]

і = 1

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

где Ро[р] = /в[р](Ро) Є Рр, с3([р],р) Є С, і = 1,...,д, С3 зависят голоморфно от [р] и от р. При этом интегрирование от фиксированной Ро[р] до текущей Р на переменной поверхности Рр, и в[р] -сечение К. Эрла [12] над и([ро]) С Тд. Получим, что характер р для /0 имеет вид: р(ар) = ехр2піск([р], р),

Р(Ьк) = ехР(2пі Е с3 ([р],р)пзк

3=1

к = 1, ..., д.

Будем называть такие характеры р несущественными, а /о (с таким характером) - единицей. Характеры, которые не являются несущественными, будем называть существенными на п1(Рр). Обозначим через Нот(Г, С*) группу всех характеров на Г с естественным умножением. Несущественные характеры образуют подгруппу Ьд в группе Нот (Г, С*). Обозначим через [Б1]^ подгруппу нормированных характеров на Р, т. е. эти характеры принимают свои значения только на единичной окружности Б1.

Лемма 1.1. [8, с. 106]. Голоморфное главное Нот(Г, С*)-расслоение Е биголоморфно изоморфно тривиальному расслоению Тд(Р) х Нот(Г, С*) над Тд(Р).

Определение 1.3. Дифференциал Прима ф класса С1 на Р = и/Г для р называется мультипликативно точным, если ф = /(г) и /(Тг) = р(Т)/(г),Т Є Г, г Є и, т. е. / - мультипликативная функция на Р класса С2 для р.

Обозначим через Z 1(Гр,р) для р Є Нот(Гр, С*) множество всех отображений ф :Гр ^ С, таких, что ф(БТ) = ф(Б) + р(Б)ф(Т), Б,Т Є Гр [4].

Каждый элемент ф Є Z1

будет единственно определяться упорядоченным набором комплексных чисел ф(А1),..., ф(Ад), ф(В{),..., ф(Вд), удовлетворяющих д

уравнению Е [а(Вз)ф(А3) — а(Аз)ф(Вз)] = 0, ко-

3=1

д

торое получается из соотношения П Сз = I в

3=1

Гр, где а

- комплексное векторное (2д — 1)-мерное про-

странство для р = 1 и 2д-мерное пространство для р = 1. Пусть В 1

- комплексное векторное (2д — 2)-мерное пространство для р = 1. Будем называть множество

О = и Н 1(Гр,р) когомологическим расслое-

р=1,[р]

нием Ганнинга над Тд х (Нот(Г, С*)\{1}) [4].

Пусть ф - замкнутый дифференциал Прима на Р = Р0 для р. Проинтегрировав этот дифференциал от фиксированной точки го до г Є и, получим, что /(Тг) — /(Тго) = р(Т)(/(г) — /(го)), где

ф = /(г), г Є и, /(г) - интеграл Прима на круге и для дифференциала Прима ф, определенный с точностью до аддитивного слагаемого. Отсюда для Т Є Г верно равенство /(Тг) = р(Т)/(г) +

ф1,*0 (Т), где ф!,го (Т) = /(Тг0) — р(Т)/Ы'). Таким образом, каждому Т Є Г соответствует число ф^^а (Т), а значит, определено отображение ф!,г0 : Г ^ С. Это отображение называется отображением периодов для ф. Оно зависит от выбора интеграла Прима /(г) на и и базисной точки го. Если /1(г) = /(г) + с - другой интеграл Прима для того же дифференциала Прима ф, то фЛ,*0 (Т) = /1(Тго) — р(Т )/1(го) = фі,Ха (Т)+ са(Т), Т Є Г. Легко проверить, что оба отображения ф^, *0 и ф{\, х0 удовлетворяют коциклическому соотношению ф(БТ) = ф(Б) + р(Б)ф(Т), Б, Т Є Г. Это означает, что они принадлежат пространству Z 1(Г,р) и представляют один и тот же класс периодов [ф] из Н 1(Г, р) для дифференциала Прима ф на Р.

Для замкнутого дифференциала Прима ф можно определить так называемые классические периоды. Для Т Є Г соответствующий ему классический период ф*0 (Т) = /Тго ф и верно равенство фго (Т) = фf , *0 (Т) — /(гоМТ).

Следовательно, отображения вида Т ^ фf,z0 (Т) (периоды по Р. Ганнингу) и вида Т ^ ф*0 (Т) (классические периоды [8]) определяют один и тот же класс периодов [ф] Є Н 1(Г,р) для дифференциала Прима ф на Р для р. Поэтому корректно определено С-линейное отображение р : ф ^ [ф] из векторного пространства замкнутых дифференциалов Прима ф на Р для р в векторное пространство Н 1(Г, р).

Обозначим через &2,р(Рр) пространство дифференциалов Прима второго рода на Рр для характера р [8; 13].

Лемма 1.2. Если и Є &2,р(Рр) имеет класс периодов [и] = 0 в Н 1(Гр,р), то и - мультипликативно точный дифференциал на Рр для р.

Доказательство. Достаточно доказать это для фиксированных поверхности и характера. Будем рассматривать классические периоды и*0 (71),..., и*0 (7т), которые получаются при обходе по петлям 71,..., 7т вокруг отдельных полюсов Р1,...,Рт для дифференциала и соответственно. Число этих полюсов конечно ввиду компактности Рр. Периоды и*0 (т1),..., и*0 (7т) все обращаются в нуль, так как эти периоды равны вычетам для ветвей нашего многозначного дифференциала, а эти полюса второго или большего порядка.

Если класс периодов [и] = 0, то отсюда классический период и*0 (Т) = са(Т), с = 0 для любого Т, где и*0 (Т) = /(Тго) — /(го) = с(1 — р(Т)), а /

- некоторый интеграл Прима для дифференциала и. Тогда / = (/ — с) будет мультипликативной функцией для р и и = ¿/ = ¿(/ — с). Поэтому периоды и*0 (а1),..., и*0 (Ьд) все равны нулю для некоторого представителя из класса [и]. Следовательно,

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

ш является мультипликативно точным дифференциалом для р на . Лемма доказана.

Дивизором на назовем формальное произведение Б = РП ...РПк, Р] € п] € Ъ, з = 1,к.

Имеет место следующая

Теорема (Римана-Роха для характеров) [6; 8]. Пусть Б - компактная риманова поверхность рода д > 1. Тогда для любого дивизора Б на Б и любого характера р верно равенство

гр(Б-1) = Б - д + 1 + V- (Б).

Теорема (Абеля для характеров) [6;

8]. Пусть Б - дивизор на отмеченной переменной компактной римановой поверхности [Бр, {а1(у), ...,Од(у),Ь (у),...,Ьд(у)}] рода д > 1 и р - характер на п1(Гр). Тогда Б будет дивизором мультипликативной функции / на для характера р ёеё Б = 0 и

1д

р(Б) = 1оё р(ьз (У))е(з) у]—

3 = 1 1д

— 10ёР

3 = 1

в Сд по модулю целочисленной решетки Ь

- периодов на ¥р, где ф[у] - отображение Якоби из Рр в многообразие Якоби Т(Бр).

Отметим, что, по теореме Л. Берса [10, с. 99], отображение ф зависит локально голоморфно от р и [у].

Теорема 1.1. Для любого существенного характера р на компактной римановой поверхности

рода д > 2 существуют д — 1 различных точек Р1, ...,Рд-1, локально голоморфно зависящих от [у] и р, таких, что не существует мультипликативных функций для р на чьи особенности в этих точках - полюса порядка не выше 1, т.е. гр( Р1..1Рд_1) = 0 или Ър-1 (Р1...Рд-1) = 0.

Теорема 1.2. Для любого несущественного характера р = 1 на компактной римановой поверхности Рр рода д > 2 существует д различных точек Р1, ...,Рд, голоморфно зависящих от р и от [у], таких, что не существует мультипликативных функций для р на чьи особенности в этих точках - полюса порядка не выше 1, т.е.

гр( Р1 рд ) 1 или Ър-1 (Р1 ...Рд) °.

Определение 1.4. Точка Р на компактной римановой поверхности Б рода д > 1 называется мультипликативной точкой Вейерштрасса для существенного (несущественного) характера р, если

в ней можно задавать единственный полюс, меро-морфной мультипликативной функции для р, порядка, не превышающего д — 1 (порядка, не превышающего д).

Определение 1.5. Точка Р Є Б называется мультипликативной д—точкой Вейерштрасса (д > 1) для существенного характера р на Б, если строго положителен ее вес трл (Р), относительно пространства ^р_і (1) голоморфных д—дифференциалов Прима для р-1 на Р.

Последнее условие при д > 2 эквивалентно тому, что существует нетривиальный голоморфный д—дифференциал Прима ф для р-1 на Б, такой, что от!рф > сИшО,р_1 (1) = !, причем ! = д — 1 при д = 1 и ! = (2д — 1)(д — 1) при д> 1.

Э. Арбарелло [14] доказал, что (классические) точки Вейерштрасса на переменной компактной римановой поверхности локально голоморфно зависят от модулей [у] для поверхности. Установим аналог этого результата для мультипликативных точек Вейерштрасса

Теорема 1.3. Для любого д > 1, д Є К, мультипликативные д—точки Вейерштрасса для переменной компактной римановой поверхности рода д > 1 локально голоморфно зависят от модулей [у] и от характеров р, а пробелы в мультипликативных 1-точках Вейерштрасса и вес мультипликативных д-точек Вейерштрасса являются локально постоянными функциями от [у] и от р со значениями в N.

Доказательство . По заданному базису [8, с. 105] голоморфных (р, д)-дифференциалов Прима на составим вронскиан , который также локально голоморфно зависит от [у] и от р. Его нули есть мультипликативные д—точки Вейерштрасса на Бр.

Для несущественного характера р числа п1 — 1,п2 — 1,...,пд — 1 являются порядками нулей, а для существенного характера р числа п1 — 1,п2 — 1, ...,пд-1 — 1 являются порядками нулей, адаптированного базиса 1-дифференциалов, где числа п^

- мультипликативные пробелы в 1-точках Вейерштрасса на Бр.

По теореме о неявной функции, нули вронскиана, а значит и мультипликативные д—точки Вейерштрасса на Гр, порядки нулей вронскиана (веса мультипликативных д-точек Вейерштрасса) локально голоморфно зависят от [у] и от р. В силу целочисленности пробелов и целочисленности весов в 1-точках Вейерштрасса, числа пробелы п, а также все веса д-точек Вейерштрасса будут локально постоянными функциями от [у] и от р. Теорема 1.3 доказана.

2. Элементарные дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности

Для построения общей теории однозначных и мультипликативных дифференциалов большую

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

роль играют так называемые элементарные дифференциалы [6; 13] любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов, т. е. либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса, и голоморфно зависящие от характеров р и от модулей [р] отмеченных компактных римановых поверхностей.

В этом параграфе будет найден общий вид элементарных (р, д)-дифференциалов Прима на Б р. Сначала найдем общий вид (р, д)-дифференци-

алов второго рода тр пП с единственным полюсом

р,Ч;п

Я = Я[р] точно порядка т > 2 на Бр, где д > 1.

При т > 2, по теореме Римана-Роха, для (р, д)-дифференциалов на найдем размерность

гр,ч(т^т) = Лгтс^чр(^т. ) =

Я*

Я

1

^РЛ

Я

Здесь г{ )

(д — 1)(2д — 1) + т > 3.

то

многообразии Якоби 7(Бр), где К[р] - вектор констант Римана, голоморфно зависящий от модулей римановых поверхностей и от выбора базисной точки, а также зависящий от выбора канонического базиса аз(р),Ъз(р) петель на Уравнение

№[р]

понимаем как равенство в переменном якобиане 7(Ер), т. е. в слое из универсального расслоения Якоби, лежащем над отмеченной поверхностью = [р]. Отсюда,

<f(Rl..ЛN) == -2К [р]д + ф(Ят) + ф(р) = а,

ф(К\...Кд ) — а — ф(Ед+1...Е^ ).

и [р\)Zf-1

= (д - 1)(2д - 1) - degВ + ^ М ),

где В = Пт, Zq~1 - канонический класс дивизоров абелевых

(д - 1)-дифференциалов на /[р] - любая мультипликативная функция для р на голоморфно зависящая от [р] и р [8, с.43]. Отсюда

0, так как deg (/' > 0

в ) в при наших условиях. Действительно, deg(/ [р]) — 0, degZlfí-l — (д — 1)(2д — 2) > 0 и deg(±) — т> 0. Это же можно доказать другим способом. От противного, предположим, что существует функция д на с условием (д) > Ят(/[р})Zfl-1, тогда

0 — deg(д) > degЯт(/р]^л- > 3.

Противоречие.

Так как

deg(/[рШ^Я* — 0+(д—1)(2д—2)+т—1 > 1 > 0,

Ърл(я*) — (д—1)(2д—1)— —deg( я*)+г((/[р^^яп

— (д — 1)(2д — 1) + т

Ър,Ч ( Ят-1 ) = (д - 1)(2д - ^ + т - 1.

Следовательно, грл(Щт) = ¿р,я(щ-т) + 1. Значит, существует (р, д)-дифференциал тр^щ с полюсом точно порядка т в точке Я на т. е.

(трттП) = Птп™м на = Я,3 = 1,...,Н, где

N = (2д - 2)д + т.

Из [8, с. 67] получаем уравнение №[р}(^...^) - ^Ро[р](Ят) = -2К[р]д + Ф(р) в

или

N).

Таким образом, для определения нулей дифференциала имеем

N — д — т +

свободных параметров, которые можно выбирать произвольно на Б р, и локально голоморфно зависящих от [р] и р. По теореме К. Эрла [12], можно выбрать дивизор Rд+l...RN на как локально го-

ломорфное сечение для расслоения дивизоров степени N — д над пространством Тейхмюллера Тд.

Решая проблему обращения Якоби в универсальном расслоении Якоби над Тд, найдем дивизор Rl...Rg на Б р, который будет единственным решением уравнения (1), если его правая часть равенства не принадлежит ^д[р] С J(Бр) [6]. Размерность этого подмножества не превышает д — 2, но N — д > д — 2 при наших условиях, и при этом Rl, ...^д голоморфно зависят от наших параметров, так как правая сторона (1) была выбрана голоморфно зависящей от [р] и р. Следовательно, доказана

Теорема 2.1. Для любого характера р на Бц рода д,д > 2 и любых натуральных чи-

сел т > 1, д > 0 существует элементарный (р, д)-дифференциал тр1^ второго рода с полюсом в любой точке Я — Я[р] Є Б р точно порядка т, локально голоморфно зависящий от р и [р], у которого общий вид дивизора (т^Лд) — П10,тМ, где

Ф(^..^д) — —2К [р]д+ф(яm)—ф(Rg+l...RN )+'Ф(р).

При этом точки Rg+l,..., RN выбираются как локально голоморфное сечение дивизоров степени N — д над Тд, N — (2д — 2)д + т и Я — Я[р]

- локально голоморфное сечение дивизоров степени 1 на Бц для любого [р] из односвязной окрестности и[р0] С Тд и для любого р Є V(р0) С Нот(Гр, С*).

Рассуждая аналогично, как в доказательстве теоремы 2.1, получим :

Теорема 2.2. Для любого характера р на рода д, д > 2 и любого натурального числа д >

1 существует элементарный (р, д)-дифференциал

и

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

тРл',Я\Я2 третьего рода точно с простыми полюсами Яі = Яі[у],Я2 = Я2[у] Є Бр, локально голоморфно зависящий от р и [у], у которого общий вид дивизора (трЛ-^^2) = , где

ф(Еі...Ед ) =

= -2К [у]д + ф{Я\Я2) — ф{В-д+і...В-и) + Ф{р).

При этом точки Ид+і,..., RN выбираются как локально голоморфное сечение дивизоров степени N — д над Тд, N = (2д — 2)д + 2, и Я і = ЯАу], Я2 = Я2[у] - локально голоморфные сечения дивизоров степени 1 на для любого [у] из односвязной окрестности и [у0] С Тд и для любого р Є и(ро) С Нот(Гр, С*).

Теорема 2.3. 1) Для любого существенного характера р, точки Яі Є Бр, натурального числа д > 1 и несущественного характера р, точки Я і Є Бр, натурального числа д > 1 существует элементарный (р, д)-дифференциал трЛ-^1 третьего рода с единственным простым полюсом Яі = Яі[у] на Ер, локально голоморфно зависящий от р и [у];

2) Для любого несущественного характера р, точки Я і Є при д = 1 не существует элементарный (р, 1)-дифференциал тр;Q1 третьего рода с единственным простым полюсом Я і на Б^.

Доказательство. 1) Если р — существенный характер и д = 1, то, по теореме Римана-Роха, для характеров имеем равенство :

V (~^) = — 1 + д + 1 + гр-1 (Яl),

Яі

ір() = д и ір(1) = д — 1. Отсюда следует, что ір(^) = ір(1) + 1. Поэтому существует дифференциал Прима тр; Q1 для р на с единственным полюсом в Я і точно порядка один.

Если р — произвольный характер и д >

1, то, по теореме Римана-Роха, для (р,д)-дифференциалов [8, с. 43] имеем :

2 ч-і

ірл

и ірл(1) = (2д — 1)(д — 1), где / — мультипликативная функция для р и 2 — канонический класс для абелевых дифференциалов на Б^. Поэтому

ір,« (Ят) = ір* (1) + 1 + г((ї )2 Ч-іЯі).

Яі

Таким образом, имеем равенство

ір, ч (7^) = іР, ч(1) + 1,

Яі

так как 6.е^((/)2ч-іЯі) = 0 + (д — 1)(2д — 2) + 1 > 0. Следовательно, существует (р, д)-дифференциал Прима тр,ч; Q1 для р на с единственным полюсом в Я і точно порядка один.

Построим конструктивно такие дифференциалы, локально голоморфно зависящие от р и [р] :

a) такой (р, д)-дифференциал Прима трл;q1

можно задать в виде трл; q1 = , где f — мульти-

пликативная функция для существенного характера р на Fp, д > 1 и ш0 — любой голоморфный абелев дифференциал на Fp. Дивизор

_ R(...rn f

(Tp,q;Ql) = (шо)qQi(ш0^ ’

где N = д(2д — 2) + 1 и точка Qi не принадлежит дивизору (ш0). Отсюда получаем равенство

ip(Ri...Rg) = —2Кд + ф(Qi) —

—<f

в многообразии Якоби J(Fp) для Fp;

b) в случае р = 1 или р — несущественный характер при д > 1 такой дифференциал ищем в следующем виде TpqQ = fofi^q, где fi — однозначная мероморфная функция с дивизором (fi) = (to.qQl и f0 — мультипликативная единица для р на Fp. Здесь ф(р) =0 и, по теореме Абеля, имеем равенство :

f{Rl...Rg ) = —2Кд + <P(Ql) — <f(Rg+l...RN) = а.

При наших условиях в обоих случаях а) и b) верно неравенство N — д > д — 1 и dim Wg < д — 2. Шевелением дивизоров Rg+i...RN можно добиться, что а не принадлежит и уравнения (*) и (**), в многообразии Якоби, имеют единственные решения Ri ... R .

Выбирая локально голоморфное сечение по [р] и р дивизоров Rg+i...Rn над Tg, получим дивизор Ri...Rg (как единственное решение предыдущих уравнений в J(Fp)), тоже голоморфно зависящий от р и [р]. Причем малым шевелением дивизоров Rg+i...RN можно добиться, чтобы точка Qi не совпадала с точками Ri,..., RN.

2) Если существует дифференциал tp;q1 для несущественного характера р с вычетом resQl tp;q1 = cq1 = 0 для некоторой его ветви, то folTP;Ql — абелев дифференциал с единственным простым полюсом в Qi и f0 — мультипликативная функция для р на Fp. По теореме о вычетах f-i(Qi)cQl = 0, где Qi = Qi. Противоречие.

Это утверждение также следует из теоремы Римана-Роха так как ip(Q-i) = д = ip(l) для несущественного характера р. Действительно,

0 = Гр-i (Qi) = deg(Ql) — д + 1 + ip(Q) =

= —1 — д + 1 + ip(Qi). Теорема 2.3 доказана.

Ясно, что (р, т)-дифференциал ш имеет единственный дивизор D = (ш) из своих нулей и полюсов, с учетом кратности, на F рода д > 2, и deg D = (2д — 2)т, т > 1.

Выясним будет ли по заданному дивизору D на F рода д > 2, deg D = (2д — 2)т определяться (р, т)-дифференциал ш с точностью до умножения на ненулевую константу на F.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Известно из [8, с. 23], что любой дивизор D на F рода g > 2 степени (2g — 2)m, g > 1, m > 1 есть дивизор единственного (с точностью до умножения на ненулевую константу) (р, m)-дифференциала, принадлежащего к единственному нормированному характеру р.

Теорема 2.4. Пусть D — дивизор, deg D = (2g — 2)m, m > 0 на компактной римано-вой поверхности F рода g > 2, тогда:

1) если существуют два дифференциала и ш2, (шх) = (ш2) = D, для одного и того же характера р, то ш1 = сш2, где с = const = 0 на F;

2) если существуют два дифференциала и ш2, (шх) = (ш2) = D, для различных характеров рх и р2, Pi = р2, то ш1 = ¡M2g, где g — мультипликативная единица для несущественного характера ро на F, где pi = P2P0;

3) если существуют два дифференциала и ш2, (ш1) = (ш2) = D, для нормированных характеров рх и р2, то рх = р2 и = сш2, где с = const = 0 на F.

3. Однозначные мероморфные дифференциалы на переменной компактной римановой поверхности

Обозначим через Q2(Fp) пространство однозначных (абелевых) дифференциалов второго рода с конечным числом полюсов на Fp, а через &2,e(Fp) — подпространство всех точных дифференциалов второго рода на переменной поверхности Fp.

Рассмотрим Ei = \J&2(Fp)/&2,e(Fp), вектор- Ci

И

ное расслоение у которого над точкой [р] из базы Тд лежит слой &2(Рр)/0,2,е(Гр).

Теорема 3.1. Векторное расслоение Е\ является голоморфным векторным расслоением ранга

2д над базой Тд при д > 2. При этом наборы классов смежности дифференциалов

Съ-;Сд ,Г-Рі

Cl, ---Хд,Т

Т

Рі

W

задают базис локально голоморфных сечений этого расслоения, где п1,..,пд — пробелы Вейер-штрасса в Р1 на Бр и г( ~ 1 ~ ) = 1 на Бр.

Р\...Рд

Доказательство. Зададим отображение Ф1 из пространства &2{Рр)/&2е(Рр) на С2д по правилу: сопоставляем ш его базисные периоды, т. е.

Ф

(j u,-,J u,J u,-,j ш) Є C2g.

ai ag bl bg

Ядро отображения Фх совпадает с И2е(Рр). Действительно, если все указанные периоды для дифференциала ш равны нулю, то и все остальные периоды тоже равны нулю. Поэтому дифференциал

ш будет точным на Fp, а значит, принадлежит пространству Q2,e(Fp). Ясно также, что если дифференциал принадлежит пространству Q2,e(Fp), то все его периоды равны нулю. Так как отображение Фі взаимнооднозначно и линейно на фактор пространстве, то dime $h(Fp)/Sh,e(Fp) < 2g.

Докажем обратное неравенство

dime ^2(Fp)/Ü2,e(Fp) > 2g

и построим базис этого фактор-пространства.

Возьмем мероморфные дифференциалы из набора (*) на поверхности Fp. Покажем, что классы смежности с такими дифференциалами будут линейно независимы над C на Fp. От противного. Предположим, что существует линейная комбинация, у которой не все коэффициенты нули, равная нулевому классу, тогда верно равенство

ClCl + ... + Cg Zg + С\Гр11 + 1') + ... + Сд Тр"g + l) = df,

где df — точный дифференциал второго рода, а f - однозначная мероморфная функция на Fp.

Выберем среди коэффициентов Cj = 0 коэффициент с максимальным номером, например, j = jo. Тогда f будет иметь в качестве особенностей только один полюс Pi порядка nj0. Это противоречит выбору пробелов в точке Pi на Fp. Поэтому Ci = ... = Сд =0.

Осталось равенство С1С1 + ... + СдСд = df.

Теперь рассмотрим коэффициенты С1,...,Сд. Так как С1,...,Сд — канонический базис, то aj —период левой части будет равен Cj, а для правой части все периоды равны нулю. Отсюда

. = Сд = 0. Таким образом, доказали линейную независимость классов смежности дифференциалов из набора (*).

Рассмотрим набор (**). Если существует линейная комбинация

С1С1 + ... + СдСд + С1ТР ) + ... + СдТр* = df

(2) =

Рі

то все коэффициенты =0, з = 1, ...,д, так как в противном случае функция ] будет иметь диви-

зор (f) >

, что противоречит выбору точек

Рг---Рд

Pi,...,Pg на Fp. Аналогично, как для набора (*), показывается, что C =0, к = 1,..., g.

Поэтому dime ^(Fp)/&2,e(Fp) = 2g.

Известно, что дифференциалы тP"3+i) можно

-Pi

выбрать голоморфно зависящими от [р] [10; 11]. Теорема 3.1 доказана.

Следствие 3.1. Расслоение Ех является голоморфным (глобально) тривиальным над пространством Тейхмюллера и существуют глобальные сечения для Ех над Tg, т.е. существуют 2g абелевых дифференциалов первого и второго рода, которые являются глобальными функциями от [р] на Tg.

Доказательство. Это следует из теоремы Грауэрта, в силу односвязности базы Tg, о том,

g

1

и

g

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

что над такой базой расслоение становится глобально тривиальным или комплексно аналитически эквивалентным Tg х C2g. Следствие 3.1 доказано.

Обозначим через Q( qi 1 q ,Fm) пространство абелевых дифференциалов с дивизорами кратными qi 1 q , где Qi...Qs — локально голоморфное сечение в пространстве дивизоров степени s над Tg, где s > 2.

Пусть E2 = Ufi(QT-Q,FP) — векторное

[м]

расслоение над Tg. По теореме Римана-Роха, r(Qi...Qs) = -s - g + 1 + i(). Отсюда i( QT 1 Qs) = s + g - 1, так как r(Qi ...Qs) = 0.

Рассмотрим набор дифференциалов

Ci, ...,Cg,TQ2Qi ,...,TQsQi,

которые, по теореме Берса и по классическим результатам, локально голоморфно зависят от ].

Этот набор линейно независим над C. Если ClCl + ...+CgCg+C1TQ2Qi + ...+Cs-1TQsQi = 0 на Fp, то Cl = ... = Cs-i = 0, так как нет особенностей в правой части. Коэффициенты C1 = ... = Cg =0 в силу независимости Zi,..., Zg над C на FM. Таким образом, доказано предложение.

Предложение 3.1. Векторное расслоение Е2 ранга g + s - 1 при s > 2 является голоморфным векторным расслоением над Tg, а набор дифференциалов (1) дает базис локально голоморфных сечений этого расслоения.

Следствие 3.2. Векторное расслоение Е2 комплексно аналитически эквивалентно прямому произведению Tg х Cg+s-1 и существуют g + s — 1 глобальных голоморфных сечений этого расслоения над Tg.

Обозначим через Е3 = 1М Q71Q7 F )№,F„)

[м]

векторное расслоение над Tg, s > 2, где Q

— пространство голоморфных абелевых дифференциалов на FM.

По теореме Римана-Роха, i( qi 1 q ) = g + s — 1 и i(1) = g поэтому

dime 1 ^ ,Fm)/^(1,Fm) = s - 1.

Qi...Qs

Докажем, что набор классов смежности дифференциалов

TQ2Qi ,...,TQsQi

будет линейно независим над C на FM. Если CiTQ2Qi + ... + Cs-iTQsQi = ш, где ш — голоморфный дифференциал, то все коэффициенты Ci = ... = Cs-i = 0, так как особые точки правой и левой сторон различны. Таким образом, доказали предложение.

Предложение 3.2. Векторное расслоение Е3 будет голоморфным векторным расслоением ран-

га в — 1 над Тд, и классы смежности дифференциалов набора (2) образуют базис локально голоморфных сечений этого расслоения. Кроме того, Е3 комплексно аналитически эквивалентно прямому произведению Тд х Ся-1 и существуют в — 1 глобальных голоморфных сечений этого расслоения над Тд.

4. Пространства дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности

Обозначим через &2,р(Ер) пространство меро-морфных дифференциалов второго рода для характера р на Бр, а через Иер(Ер) - подпространство всех мультипликативно точных дифференциалов для р. Пусть и^ - абелев дифференциал второго рода на с единственным полюсом в точке Р3 точно второго порядка с нулевыми а-периодами, і = 1,...,д. Пусть £і,...,£д_і - любой базис пространства голоморфных дифференциалов Прима для существенного характера р на Бр, которые голоморфно зависят от модулей ] и характера р [8, с. 105].

Введем наборы дифференциалов, представляющих классы смежности в фактор пространстве ^2,р(Бр)/Ие,р(Ер)\

(г) для несущественных характеров

foCl, ..., ІоСд, f0и1, ..., І0ид,

Мі,..., кСд, ктрП1+1),..., кря+1),

где трт) - абелев дифференциал, п1,..., пд - мультипликативные пробелы Вейерштрасса в точке Р1 на и Г р ( р1 . . ря ) 1;

(гг) для существенных характеров

С1,.»,Сд-1,?Р1),...,тРЯ)_і,

Сь^Сд-!,^1^,...,^Я-1 + 1),

где трт) - дифференциал Прима, П^ - мультипликативные пробелы Вейерштрасса на в точке Р>1,

и ГР( Рі ... Ря-1 )=°.

Обозначим через Е1 = и ІЇ2,р

Ы,р

векторное расслоение над Тд х (Ьд\1), а Е2 =

= и И2р(Ер)/ИР,р(Ер) - векторное расслоение

Ы,р

над Тд х Нот(Г, С*) \ Ьд. В силу леммы 1.1, указанные расслоения корректно определены над такими базами.

Для любого характера р = 1 определим отображение из ії2,Р(Рр) в Н 1(Гр, р), сопоставляя дифференциалу и его класс периодов [и] Є Н 1(Гр,р) [4]. При р = 1 пространство Н 1(Гр,р) является комплексным векторным пространством размерности 2д — 2.

Поднимем и Є &2}Р (Бр) на и, где = и/Г . Найдем классические периоды

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Тг0

шХо(Т) = / ш + Ш1 / ш + ... + шк $ ш, где обо-

2о 71

значили через 73 петлю обходящую только вокруг полюса Яз и не обходящую вокруг остальных полюсов для ш на Б» и Шу € Ъ,] = 1,..., к. При этом

Тго

интеграл / ш берется по некоторому специального

му пути в круге и, не проходящему через полюса дифференциала ш.

Так как ш - дифференциал Прима второго рода, то все вычеты для всех ветвей ш в полюсах равны нулю. Поэтому существует первообразная мероморфная функция /(г) на и такая, что ш = сС/

Тго

на Р\Я1,...,Як} и шзд (Т) = / С/(г) для любого

20

Т € Г.

Зададим отображение

^2,р(Б») Э ш ^ [ш] =

= {шго (А1), ..., шго (Вд ), шго (71), -., ш2о (7к )} €

чений векторного расслоения Е1. Кроме того, Е1 аналитически изоморфно тривиальному векторному расслоению над Тд х (Ьд\{1}) ранга 2д — 2.

Доказательство. Покажем, что верно обратное неравенство для размерностей и построим базис в нашем фактор-пространстве.

Рассмотрим наборы (1) и (2). Нужно показать, что два класса из перечисленных будут линейно зависеть от 2д — 2 остальных классов. Вместо одного из дифференциалов /оСъ — , 1оСд можно взять ¿/о, который представляет нулевой класс смежности. Действительно, если р0 = 1 на , то существует Ак Є Гм, такое, что ехр2піск = ро(Ак) = 1. Поэтому ск = 0 для любого р из достаточно малой окрестности и(р0) С Ьд\{1} и для любого [р] Є и[ро]. Так как ¿/о = 2-піс/оСі +... + 2пісд/оСд, то /оСк выражается линейно через остальные.

Заметим, что верно неравенство (/отр^1+1)) > п1+1 > П-+1 для любого і = 2,...,д и первый

где р'(7з) = 1,3 = !,..., к, р = р на П1(Б») = Г . Здесь Г - фуксова группа первого рода уни-формизирующая поверхность Б»\{Я1,..., Як} в круге и. Так как все шго (-уу),] = 1,...,к, равны нулю, то класс [ш] выражается только через шго (А1), ...,шго (Вд), которые удовлетворяют урав-д

нению 0 = Е [&(Ву )ш^ (Ау) — а(Ау )ш(Ву)], и для

3=1

р = 1 существует такое к, что при р(Ак) = 1 период шго (Ак) = 0 и при р(Вк) = 1 период шго (Вк) = 0

[4].

Значит, отображение &2,Р(Е») Э ш ^ [ш] € Н 1(Г»,р) корректно определено, хотя сначала [ш] € Н1(Г" ,Р).

По лемме 1.2, если класс периодов [ш] = 0 в Н 1(Г»,р) для некоторого ш € И2р(Е»), то дифференциал ш является мультипликативно точным для р на Б», а значит, ш € 0.ер(Е»).

Если ш € 0.ер(Е»), то как раньше все шго (73) = 0, 3 = 1, ...,к. По условию ш = (С/, где / - мультипликативная мероморфная функция на Б». Отсюда все периоды, по Р. Ганнингу, для ш принадлежат пространству В1 (Г», р). Следовательно, [ш] = 0 в Н 1(Г»,р).

Поэтому для любого р = 1 отображение периодов из &2,р(Р»)/^е,р(Р») в Н 1(Г»,р), задаваемое по правилу ш + 0.ер ^ [ш + 0.ер] = [ш] будет корректно определено, взаимнооднозначно и линейно. Следовательно, Мшс&2,Р(Б»)/&е,Р(Р») < 2д — 2 для любого р = 1.

Теорема 4.1. Векторное расслоение Е1 над Тд х (Ьд\{1}) будет голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2, причем сокращенные наборы (1) и (2) из 2д — 2 классов смежности дифференциалов будут базисами локально голоморфных се-

дифференциал /отрП_1 + 1'> лежит во всех простран-€ Н 1(Г” р') ствах 0,р( р„1+1 ),3 = 2, ...,д, а значит, выражается

как линейная комбинация через д — 1 остальных дифференциалов.

Покажем, что сокращенный набор (1) классов смежности для дифференциалов /0(1,...,/о(к,..., /оСд ,/ош2,...,/ошд будет линейно независим над С.

Предположим, что существует линейная комбинация, с коэффициентами не всеми равными нулю, вида

С1М1 + ... + Ск /оСк + ... + Сд /оСд +

+С2/0ш2 + ... + Сд /ошд = С/, где / - (мероморфная) функция для р и с/ € Пе,Р(Р»), а р(Ак) = 1. Верно неравенство (/) > р21р > Р1 1 р , но в силу выбора точек Р1, ...,Рд не существует таких функций / на Б» для р. Поэтому коэффициенты С2 = ... = Сд =0.

Оставшееся равенство влечет, что / является мультипликативной единицей и / = С'/о. Если С'1 = 0, то Съ ...,Ск, ...,Сд будут линейно зависимы

на Б^. Противоречие. Если С'1 = 0, то С1 ¿/о

ро = 1,ро(Ак) = 1, имеем

¿/ = Е С3/оСз. Для

3 = к

С'1 С/о = (^2 С'12пгез/оСз) + С'12пгвк/оСк

3 = к

на Б», где С1 ск = 0. Отсюда получаем на Б» равенство вида ( Е (С[2пгсз — С3)£з) + С'12пгскСк = 0. 3=к

Противоречие с линейной независимостью абелевых дифференциалов С1,-.,Сд. Поэтому С3 = 0 для всех 3 = к.

Покажем, что сокращенный набор (2) классов смежности для дифференциалов М1,..., /оСк,..., /оСд, /отрП2+1),..., /отрп19+1) будет

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

линейно независим над C. Предположим, что существует линейная комбинация, с коэффициентами не всеми равными нулю, вида

CifoCi + ... + CkfoCk + ... + Cg foCg +

+^2/qt^2+1) + ... + Cg /отрП9+i) = df, где f - мероморфная функция для p и df &

Выберем среди коэффициентов Cj = 0 коэффициент с максимальным номером, например, j = jo. Тогда f будет иметь в качестве особенностей только один полюс Pi порядка nj0. Это противоречит выбору мультипликативных пробелов в точке Pi на F^. Поэтому C2 = ... = Cg =0. Обращение в нуль коэффициентов Ci,...,Ck,...,Cg доказывается также, как для предыдущего набора.

Таким образом, построили два вида наборов классов смежности, локально голоморфно зависящих от [у] и p, которые являются линейно независимыми над C. Следовательно, верно обратное неравенство dime Q2,p(F^)/Qe,p(F^) > 2g — 2. Поэтому dime Q2,p(F^)/Qe,p(F^) = 2g — 2.

По теореме Грауэрта [4; 11], в силу односвязности базы Tg х (Lg \ {1}), это расслоение аналитически эквивалентно тривиальному векторному расслоению над Tg х (Lg \ {1}) ранга 2g — 2. Теорема 4.1 доказана.

Замечание 4.1. Из теоремы 4.1 следует, что для расслоения Ei существуют 2g — 2 глобальных голоморфных сечений над базой Tg X (Lg \{1}).

Теорема 4.2. Векторное расслоение Е2 над Tg х (Нот(Г, C*) \ Lg) будет голоморфным векторным расслоением ранга 2g — 2. При этом наборы (3) и (4) классов смежности дифференциалов будут базисами локально голоморфных сечений этого расслоения.

Доказательство. Нужно только доказать, что верно обратное неравенство для размерностей и построить базис в нашем фактор-пространстве. По теореме 1.1 существует g — 1 различных точек Pi, ...,Pg-i на F^, голоморфно зависящих от [у] и р, таких, что rp(p—P—i) = 0, или не существует мультипликативных функций f для р на F^, чьи особенности только полюса порядка не выше 1 в этих точках.

Кроме того, по теореме 1.3 о мультипликативных пробелах Вейерштрасса для существенного характера р в точке Pi на F^, голоморфно зависящей от [у] и р, имеется ровно g — 1 мультипликативных пробелов ni, ...,ng-i, удовлетворяющих условию 1 < ni <П2 <    < ng-i < 2g [8, c. 76].

Покажем, что классы смежности, задаваемые дифференциалами Прима из набора (3) или (4) для р, будут линейно независимы над C на F^.

Докажем от противного. Если набор (3) линейно зависим, то верно равенство

C1 Cl + ... + Cg-lpg-l + C1 C^1) + ... + Cg-l TP—1 = df,

в котором не все коэффициенты равны нулю, где f - мероморфная функция для p на Fß. Коэффициенты Cl = C2 = ... = Cg_l = О, так как не существует функции f для p, у которой только точки Pl, ...,Pg-l будут простыми полюсами.

Если числа C\,..., Cg-l не все равны нулю, то ввиду голоморфности левой части получим, что f - единица для p и характер p - несущественный. Получили противоречие с условием. Поэтому Cl = ... = Cg-l = О.

Таким образом, показали, что набор (З) дает линейно независимые над C классы смежности нашего фактор пространства.

Покажем, что набор (4) представляет линейно независимые классы смежности. Предположим, что есть линейная зависимость и верно равенство

C1 Cl + ... + Cg-lCg-l + +C1 pl”1+l) + ... + C—Ppn-+l) = df,

где f - мероморфная функция для p на Fß. Если не все коэффициенты C1,..., Cg-l равны нулю, то существует коэффициент Cj0 = О с максимальным номером, а значит, функция f имеет полюс только в точке Pi точно порядка ñj0. Противоречие, так как ñj0 - мультипликативный пробел Вейерштрасса в P1 на Fß для p. Равенство нулю коэффициентов Cl,...,Cg-l доказывается также, как выше. Таким образом, dimQ2jP(FM)/Qe,p(FM) > 2g — 2 для существенных характеров p на Fß. Теорема 4.2 доказана.

Обозначим через Qp( qi 1 q ; Fß) пространство мероморфных дифференциалов Прима для p с полюсами не выше первого порядка в точках Ql,...,Qs, s > 2, а через üe,p (і; FM) - подпространство мультипликативно точных голоморфных дифференциалов для p, где дивизор Ql...Qs на Fß понимается как глобальное вещественно аналитическое сечение К. Эрла [12] расслоения целых дивизоров степени s над пространством Тейх-мюллера Tg [S].

Введем наборы дифференциалов, представляющих классы смежности нашего фактор пространства: для несущественных характеров

Мь .. ЛСь .. foCg, foTQ2Qi, ..., foTQsQi ;

для существенных характеров

Cl, ..., Cg-l, Pp;Q2Qi , ..., Tp;QsQi, pp;Qi.

Для несущественного p = І дифференциал dfo = О порождает одномерное подпространство в Qp(1; Fß), т.е. Qp(1; Fß) =< dfo > H, где H будет (g — 1)—мерным подпространством. Так если

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

ро = 1, то существует ak такое, что exp2nick = р0(ак) = 1 или ck = 0(mod Z). Далее

f = 2ni(ciZi + ... + Cg Çg ).

J0

Отсюда 2nick fo Zk = dJo - E 2nicj fo Q и H =

j=k

(f0Cj ). В достаточно малых окрестностях

j=k

U([y0]) и U(ро) для такого характера р0 для всех р е U(ро) верно p(ak) = 1 или ck = 0.

Обозначим через

Ез = U Qp

M,p s

векторное расслоение над Tg х (Lg\{1}).

Используя формулу Римана-Роха, для любого характера найдем размерность Qp(q1 1 q ; Fp). Имеем

rp-i(Qi ...Qs) = deg( Q 1 Q ) - g + 1 + ip( Q 1 Q ).

Q1.. .Qs Q1... Qs

Предположим, что существует f = 0, f е

Lp-i (Qi...Qs), т. е. f для р-1, такая, что (f ) > Q1...Qs,s > 1. Следовательно,

0 = deg(f) > s > 1 > 0.

Противоречие. Поэтому rp-i(Q1...Qs) = 0 и

гР( Qi...Qs ) = 3 +

= g + s - 1.

dime ttp(

1

Для несущественного характера р построим базис в этом фактор пространстве. Возьмем для ро = 1,р0(ак) = ехр2пгск следующие дифференциалы : /0С1, -,]оСк, -,Мд,/отЯ2Ягт--,!отдад1, где 2пгск/оСк = С/о — 2п% ^ с/оС?, Ск = 0. Пусть

о=к

существует линейная комбинация, у которой не все нулевые коэффициенты, такая, что

С1/оС1 + ... + Ск /оСк + ... + Сд /оСд +

С2 /0тQ2Ql + ... + Cs/0тQsQl = С/

на Ер, где / - голоморфная мультипликативная функция на Ер. Тогда коэффициенты С2 = 0,..., С'л = 0, так как дифференциалы в правой и левой частях имеют разные особые точки.

Теперь, как в доказательстве теоремы 4.1, получим, что С3 = 0 для всех ] = к.

Таким образом, набор классов смежности

[Ьи ..., [/оСкЪ ..., [/оСд^ [/0тQ2Ql К .. [/0^^ ] будет базисом в нашем фактор пространстве для несущественного характера р = 1, который голоморфно зависит от [у] € и[уо] и от р € V(р0). Теорема 4.3 доказана.

Заметим, что для р = 1,в > 1, дифференциалы С1,..., Сд,TQ2Ql ,...,^^1 образуют базис в пространстве &( Ql 1 Q ; Ер) и Пе(1; Ер) = {0}, так как, по классической теореме Римана-Роха,

Теорема 4.3. Векторное расслоение Е3 над Тд х (Lg\{1}) будет голоморфным векторным расслоением ранга g + s — 2, причем сокращенный набор (*) из g + s — 2 классов смежности дифференциалов будет базисом локально голоморфных сечений этого векторного расслоения, где s > 2. Кроме того, Е3 аналитически изоморфно тривиальному векторному расслоению над Тд X(Lg\{1}) ранга g + s — 2.

Доказательство. Пусть р - несущественный характер и р = 1. Тогда существует f0 мультипликативная единица, т. е. (fo) = 1 такая, что

0 = dfo € Qe,p(1; Fp). Покажем, что нет других базисных элементов, кроме cdfo,c = 0, в Qe,p(1; Fp). Предположим противное, пусть существует ш = 0 и ш = cdfo, принадлежащий Qe,p(1; F^). Тогда ш = df - мультипликативно точный голоморфный дифференциал, и существует голоморфная функция f для р и deg( f) = 0. Так как у f нет полюсов, то нет и нулей, и f - мультипликативная единица для р на Fp. Поделив f на f0, получим функцию

g = -j-, такую что (g) = (-f-) = (f) = 1, где g -однозначная голоморфная функция на Fp, а значит, g константа, отличная от нуля. Тогда f = cfo, и ш = df = cdfo, c = 0. Противоречие. Поэтому &e,p(1\Fp) =< dfo > и dime &в,р(1; F^) = 1.

Отсюда получаем, что

1

Qî...Q.

-) = s + 3 — 1+ r(Qi ...Qs) = s + 3 — 1.

Теорема 4.4. Векторное расслоение Е4 над Тд х (Нот(Г, С*) \ Ьд) будет голоморфным векторным расслоением ранга д + в — 1. При этом набор (**) классов смежности дифференциалов будет базисом локально голоморфных сечений этого векторного расслоения, где в > 1,д > 1.

Доказательство. Пусть р — существенный характер. Рассмотрим пространство Иер(1; Ер). Предположим, что существует ш = 0,ш €

0.ер(1; Ер), тогда ш = ¿/ — голоморфный мультипликативно точный дифференциал для р. Следовательно, / — глобальная голоморфная мультипликативная функция для существенного р. Известно, что Сед(/) = 0, поэтому / — мультипликативная единица для р, а значит р — несущественный. Получили противоречие. Поэтому Пе,р(1; Ер) = {0}.

Таким образом :

dime ^р(

1

Qi  Q,

FM)/^e,p(1; Fp) =

= dime ^p(

1

Qi  q.

; Fp) = 3 +s — 1.

Qi...Q:

Fp)/^e,p(1; Fp) = 3 + s — 2.

С учетом теоремы 2.3, для существенного характера р имеем д + в — 1 линейно независимых дифференциалов Съ ...,Cg-1,Tp;Q2Ql ,...,'p;Qs Ql,Тp;Ql.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Действительно, если существует линейная где

комбинация с ненулевыми коэффициентами вида

clC\. + ••• + cg-lCg-1 + clTp;Qi +

+ c2 tp;Q2Qi + ••• + csTp;QsQi = df,

где df — голоморфный мультипликативно точный дифференциал Прима для р, то коэффициенты С2 = ••• = cs = 0, поскольку точки Q2, • ••, Qs не являются особыми для правой части. Затем ci = 0, так как в противном случае функция f не будет локально однозначна в проколотой окрестности точки Qi, что противоречит условию p(yi) = 1, где Y1 — петля, обходящая точку Q1• Остается равенство c1T1 + ••• + cg-1Zg-1 = df• В нашем случае df = 0, а значит, коэффициенты c1 = ••• = cg-1 = 0^ Теорема 4.4 доказана.

Теорема 4.5. На компактной римановой поверхности Fp рода g > 2 для первой голоморфной группы когомологий де Рама

H1holp(Fp)=Qp(l; Fp)/QeJl; FJ

для характеров верно, что dimC Hjiol p(Fp) = g-1, если р =!• В этих фактор пространствах на Fp :

(i) для несущественного характера

ро = 1, p0(ak) = 1, классы смежности

[fo (1], •••,[foZk], •••, [foZg ] дифференциалов образуют базис, которые локально голоморфно зависят от [р] и р;

(ii) для существенного характера р классы смежности [T1],[Tg-1] дифференциалов образуют базис, где Тъ •••, Tg-1 _ любой базис голоморфных дифференциалов в пространстве Пр(1; Fp), которые локально голоморфно зависят от [р] и от р.

5. Гармонические дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности

Гармоническим дифференциалом Прима ф на F для р Є Нот(Г, C*) называется гармоническая (однозначная) дифференциальная 1-форма

ф = фl(z)dz + Ф2 (z)dz

на U, такая, что ф1(Тz)dTz + ф2(Тz)dTz = р(Т)^1(z)dz + ф2(z)dz), Т Є Г, z Є U•

Гармонический дифференциал Прима ф на U представляется в виде ф = фl(z)dz + ф2(~z)d~z, где фl(z)dz = df1(z)^2(z)dz = df2 (z),fj (z) — голоморфные функции на U,j = 1,2, которые определяются с точностью до аддитивных комплексных констант. Поэтому ф = df(z), где f(z) = f1(z)+ f2 (z) — комплекснозначная гармоническая функция на U (гармонический интеграл Прима для дифференциала ф)• Также получаем следующие соотношения:

f (Tz) = р(Т)f (z) + ф(Т), ф(БТ) = ф(Б)+ р(Б)ф(Т),

ф(Т) = f (Тzo) - р(Т)f (zo) = ф1(Т) + ф2(Т), ф1(Т)= f^zo) - р(Т)f1(zo),

Ф2(Т) = Ь(Тго) - р(Т)/2Ы.

Здесь фl(Tz)dTz = р(Т)фl(z)dz,ф2(Tz)dTz = р(Т)ф2(^)іїї,Т Є Г^ Є и. Следовательно, отображение периодов ф : Т ^ ф(Т) или ф : Г ^

С, относительно гармонического интеграла Прима f ^), есть элемент из Z 1(Г, р). Если /і^) = Ь^) + С1 , f2(z) = f2(z) + С2 — другие интегралы Прима для фl(z)dz,ф2(~z)dz соответственно, то

ф1(Т ) = ф1(Т) + c1 а(Т),

ф2

(f2(Tzo) + С2) - р(Т )^2^о) + С2 ) =

= ф2(Т)+ ~20(Т).

Таким образом,

ф(Т) = ф(Т) + (сі + с2)(1 - р(Т)), Т Є Г,

и отображения периодов при различных гармонических интегралах Прима для одного и того же гармонического дифференциала Прима будут отличаться на элемент из В1(Г,р). Поэтому С-линейное отображение р : ф ^ [ф] Є Н1 (Г,р), которое гармонический дифференциал Прима ф переводит в его класс периодов [ф], корректно определено.

Обозначим через Г^, Н1(р)) пространство всех гармонических дифференциалов Прима для р на F.

Теорема 5.1. Пусть F — компактная рима-нова поверхность рода д > 2, ф — гармонический дифференциал Прима на F для р Є [й1]23 и [ф]=0 в Н1 (Г, р). Тогда ф = 0 на F.

Доказательство 1. [8, с. 155]. По лемме 3.2.1

[8] дифференциал ф = ш + ф, где ш и ф — голоморфные дифференциалы Прима для р и р соответственно на F. Из условия [ф] = 0 и леммы

3.2.2 [8] следует существование мультипликативной функции f на F для р, такой, что ш+ф = df ^) на и. Покажем, что ш = 0 = ф на и. От противного. Предположим, что ф = 0 на фундаментальной области Д для группы Г (или на F). Тогда, положив ф = g(z)dz на Д, имеем :

if I ^ А ^ = \ I !g(z)!2dx А dy> 0.

/Д J JA

С другой стороны,

ф Л ф = ф Л т + ф Л ф = ф Л df = -d(fф)•

Отсюда

ф Л ф

Д

ф Л df = - fф -Д ЗдД

0

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

по теореме 3.2.3 [8, с. 155], так как р1 = р,р2 = р, рр = 1 и для дифференциала З/ все а—периоды и Ь—периоды равны 0. Получили противоречие. Поэтому ф = ш.

Повторяя предыдущие рассуждения с ш, получим, что ш = 0 на и.

Доказательство 2. Используя обозначения предыдущего доказательства, получим, что

0 < (ф,ф) = ф Л*ф = / /(г)(*ф)=°.

3 .М -1дА

Последнее равенство снова выводится из теоремы

3.2.3 [8]. Отсюда, (ф,ф) =0 на Д и ф = 0 на Д. Следовательно, ф = 0 на Г. Теорема доказана.

Следствие 5.1. Гармонический дифференциал Прима ф на Г для р € [£1 ]2д\1 единственно определяется своим классом периодов [ф] € Н 1(Г,р) и Г(Ь, Н1(р)) = Н 1(Г,р).

Множество всех гармонических дифференциалов Прима ф для р € Нот(Гр, С*) образует комплексное (2д — 2)-мерное векторное пространство Г(Гр, Н1(р)) при р € и Ьд, так как

вд, н1(р)) = вд, о1,0(р)) 0 ВД, О0,1(р)),

где Ьд — образ Ьд при отображении р ^ р. Выберем базис {фз(г; р, [р])Зг}9^-1 для Г(Ер, О1,0(р)), голоморфно зависящий от р в достаточно малой окрестности и(р0) С Нот(Гр, С*)\(Ьд и Ьд) и голоморфно зависящий от [р] в достаточно малой окрестности и([р0]) С Тд [8, с. 105; 4]. Од-

новременно выберем базис {фз (г; р, [р])Зг}д—1 в Г(Ер, О1’0(р)), голоморфно зависящий от р в и(р0) (образ и(р0) при отображении р ^ р, это отображение будет автоморфизмом на Ьд и Ьд) и голоморфно зависящий от [р] в достаточно малой окрестности и([р0]). Здесь класс [р] имеет модули (с1, С2, ..., с3д-3) € С^д 3, а класс [р] имеет модули

(С1, С2, ..., С3д-3) € с3д 3.

Поэтому набор гармонических дифференциалов Прима

ф1(г; р, [р])Зг, ..., фд-1(г; р, [р])Зг,

фі(г;р, [р])3г, ..., фд-і(г; р, [р])3г

образует базис, голоморфно зависящий от р Є и (ро) и от [р].

Таким образом, на комплексном векторном расслоении

нр = и

Н-1(р)) = Р1,0 Ф Р0,і

[^},Р</Ьд У

ранга 2д — 2 над Тд х Нот(Г, С* )\(Ьд иЬд) определена структура голоморфного векторного расслоения.

Скалярное произведение на слое Г

определено по формуле:

где Д — фиксированная фундаментальная область для Г в и; фз = из (г)3г + Уз (г)3г, і = 1, 2. Здесь в([р)] - локально голоморфное сечение Эрла над пространством Тейхмюллера [12].

Скалярное произведение эрмитово, так как (фі, Ф2) = (Ф2, фі). Легко видеть, что С—линейный оператор * (звезда Ходжа) будет изометрией на слое Г(Гр, Н1(р)). Оператор * также изометрия слоя Г(Гр,Оі’0(р)) на себя и изометрия слоя Г(Ер, О0,і(р)) на себя.

Относительно этого скалярного произведения пространства Г(Гр,Оі’0(р)) и Г(Гр,О0’і(р)) ортогональны, так как, если фі = и(г)3г Є Г(Гр,О1’0(р)),ф2 = у(г)3г Є Г(Гр,О°’і(р)), тогда (фі,ф2) = і и3гЛ*у(г)3г = 0. Векторные

расслоения Рі,0, Р0,і и НР являются эрмитовыми голоморфными векторными расслоениями над Тд х Нот(Г, С*)\(Ьд и Ьд). Следовательно, доказана

Теорема 5.2. Гармоническое расслоение Прима НР = и ^р) Г(Ьр, О1’°(р)) Ф Г^О0’1 (р)) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2. Кроме того, НР является прямой суммой ортогональных эрмитовых голоморфных * —инвариантных векторных подрассло-ений Рі,0 и Р0д ранга д — 1 над

Тд х Нот

при любом д > 2.

Зададим конечное покрытие для Нот(Г, С*)\1 открытыми окрестностями из = {р : р(Аз) = 1}, ид+з = {р : р(Вз) = 1},і = 1,...,д. Рассмотрим характер р Є ([51]2д\1) П и1. Для других окрестностей из, і = 2,..., 2д рассмотрения будут аналогичны.

Следствие 5.2. Для любого р0 Є [51]2д\1 существует окрестность и(р0) С {[51]2д\1}, такая, что для р Є и(р0) П и1 в Г(Р, Ні(р)) существует базис гармонических дифференциалов Прима фі = фі(р; г),...,ф2д-2 = ф2д-2(р; г), вещественно-аналитически зависящий от р и имеющий матрицу периодов, относительно А2,...,Ад,В2,...,Вд, вида 12д-2 (единичная матрица порядка 2д — 2).

Обозначим через Zі(Г,р) при р Є Нот(Г, С*) множество всех отображений ф : Г ^ С, таких, что ф(БТ) = ф(Б) + р(Б)ф(Т), БД Є Г.

Приведем основные свойства таких отображений:

1) ф

и р(Б) = 0;

2) ф(Б-і) = — , так как

0 = ф

(фі,ф2) = і (иіи2 + УіУ2)3г Л 3г,

І І к>в

» ф(5-1) = — фі;

3) ф

как р([А, В]) = 1;

ф([А,В])+ ф([С,В]), так

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

4) ф([А, В]) = а(В)ф(А) — а(А)ф(В) для любых

А, В Є Г, где а(Т) = 1 — р(Т), Т Є Г;

5)

ф(АВА-1) = ф([А, В]В) = ф([А,В]) + ф(В), А, В Є Г;

6) ф(АВА-1) = р(А)ф(В), А Є Г,В Є [Г, Г].

Теорема 5.3. Когомологическое расслоение Ганнинга О является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 над

Тд(Б) х (Нот(Г, С*)\1).

Доказательство. При рЧ = 1 существует изоморфизм векторного пространства Н 1(ГЧ,рЧ) и векторного пространства Нотр ([ГЧ, ГЧ], С), состоящего из гомоморфизмов фо : [ГЧ, ГЧ] ^ (С, +), таких, что фо(БЧТЧ(БЧ)-1) = рр(БЧ)фо(ТЧ), где ТЧ Є [ГЧ, Гм],^м Є ГЧ, [Г, Г] — коммутант группы Г. Таким образом, расслоение О над Тд(Б) х (Нот(Г, С*)\1) изоморфно расслоению со слоем Нотр^ ([Гм, Г Л, С) над ([у],р), где

р(Аз) = Рч(аЧ),р(вз) = Рч(вЧ),і = 1 ...,д.

Зададим карту 0(иі, {Ад,Вд}9д=1) над Тд(Б) х иі биективно отображающую О |т8р)хщ на Тд(Б) х и х С2д-2 по правилу: элементу ф0([у],рЧ) Є Нотр ([ГЧ, ГЧ], С) сопоставляется набор :

([Р],Р; , ..Лд-1,П1 , ...,П1д-1).

Здесь над иі имеем:

3 = фо(Ы,р,)([А?,А?]),Пз = фо([р],р,Щ,А? ]), а над ид+і -

Єд+1 = фо(Ы,Рр)([А?,В?]),

П3д+і = фо ЫррЩ,В?]),

где 3 = і, при 1 < і < I — 1, и 3 = і + 1, при

I < І < д — 1. Для р Є и1, например, будет ярАЧ) = 1 — рр(АЧ) = о и любой элемент фо = фо([у],Рр) Є Нотр^ ([Гм, Гм], С) можно задать как

фо = ф1 |[гм,гм] для ф1 = ф1([У],Рр) Є Я1 (Гч,Pч), такого, что

ф1(АЧ) = 0, ф1(ТЧ) = Яч(АЧ)-1фо([ТЧ, АЧ]), ТЧ Є Гр. Отсюда получаем соотношения:

$ = М[АЧ+1,АЧ]) = ф1 ([АЧ+1,АЧ]) =

= °ч(Аі)ф1(АЧ+1),

= фо([ВЧ+1,АЧ ]) = ф1([ВЧ+1 ,АЧ]) =

= яч(Al)фl(Bj+l), і = 1,...,д — 1.

Кроме того, из основного коциклического соотношения и задания координат над и1 следует, что :

-1

ф1(ВЧ) = яч(АЧі)-2^2 [ач(ВЧ+1)^ — ач(АЧ+1 Н].

3=1

Таким образом, ф1(АЧ),ф1(Вд),і = 1,...,д, выражаются через £д,г/д,І = 1, ...,д — 1, и последние можно взять в качестве координат для фо в слоях над Тд (Б) х и1. Аналогично можно поступить для остальных окрестностей.

Координаты £3, Пд являются линейными комбинациями от фі

— линейные комбинации от £д ,пк с голоморфными коэффициентами на и([уо]) х ии. Поэтому координаты £3 ,щ1д будут линейными комбинациями от £к,пк с голоморфными коэффициентами на и([уо]) х ии П иі. Таким образом, получим, что матрицы перехода Тк,і голоморфны на

Тд

для всех к,1 = 1,..., 2д. Следовательно, такие карты 0(иі, {Ад, Вд}9д=1), I = 1,..., 2д, задают структуру голоморфного векторного расслоения на О над Тд(Б) х (Нот(Г, С*)\1). Теорема доказана.

Теорема 5.4. Векторные расслоения Ганнинга О = иач] р) Н1 (ГЧ,р) и Прима НР над Тд х [^1]2д\1 будут вещественно-аналитично изоморфными, и расслоение Ганнинга О над

Тд х [5 Тд\1

равно прямой сумме двух вещественноаналитических комплексных векторных подрас-слоений ранга д — 1 для любого д > 2.

Доказательство. Имеем включения

[51]2д\1 С Нот(Г, С*)\(Ьд и Т~д) С Нот(Г, С*)\1,

что сразу следует из теоремы Фаркаша-Кра [6, с.130], по которой любой нормированный несущественный характер будет тривиальным. На [51]2д\1 есть естественная вещественно-аналитическая структура, согласованная с комплексно-аналитической структурой на Нот(Г, С*)\(Ьд и Бд). Поэтому голоморфные векторные расслоения О и НР над Тд х Нот(Г, С*)\(Ьд и Бд), ограниченные на Тд х [51]2д\1, будут вещественно-аналитическими комплексными векторными расслоениями [8; 4], а послойный С —линейный изоморфизм р будет

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

также вещественно-аналитическим изоморфизмом расслоений G и HP над Tg х [S 1]2д\1.

Второе утверждение следует из теорем 3.1, 3.3 и 4.1, а также из теоремы 3.1.3 [8, с. 140]. Теорема доказана.

Литература

[1] Prym, F. Theorie der Prymschen Funktionen erster Ordnung im Anschluss an die Schoepfungen Riemann’s / F. Prym, G. Rost. - Leipzig: Teubner, 1911.

[2] Appell, P. Sur les integrales de fonctions a multiplicateurs et leur application an developpement des fonctions abeliennes en series trigonometriques/ P. Appell // Acta Math. - 1890. - Vol. 13:3/4. -P. 1 - 174.

[3] Petersson, H. Uber eine metrisierung der automorphen Formen im die Theorie der Poincareschen Reinen / H. Petersson // Math. Ann.

- 1940. - Vol. 117:4. - P. 453 - 457.

[4] Gunning, R. C. On the period classes of Prym differentials/ R. C. Gunning // J. Reine Angew. Math. - 1980. - Vol. 319. - P. 153 - 171.

[5] Fay, J. Analytic Torsion and Prym differential / J. Fay // Proc. of the 1978 Stony Brook Conf. - Princeton : Princeton Univ. Press. - 1980. -P. 107 - 122.

[6] Farkas, H. M.Riemann surfaces/ H. M. Farkas,

I. Kra // Grad. Text’s Math.. - Vol. 71. - New-York: Springer, 1992.

[7] Дубровин, Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Ч.1 / Б. А. Дубровин - М.: МГУ, 1986.

[8] Чуешев, В.В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч.2 / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2003.

[9] Чуешев, В. В. Мультипликативные точки Вейерштрасса и многообразия Якоби компактной римановой поверхности/ В. В. Чуешев // Матем. заметки. - 2003 - Vol. 74:4. - C. 629 - 636.

[10] Альфорс Л. В., Берс, Л. Пространства ри-мановых поверхностей и квазиконформные отображения/ Л. В. Альфорс, Л. Берс. - М.:ИЛ, 1961.

[11] Чуешев, В. В. Геометрическая теория функций на компактной римановой поверхности/

В.В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2005.

[12] Earle, C. J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties / C. J. Earle // Annals of Mathematics. - 1978. - Vol. 107. - P. 255 - 286.

[13] Спрингер, Дж. Введение в теорию рима-новых поверхностей/ Дж. Спрингер. - М.: ИЛ, 1960.

[14] Arbarello, E. Weierstrass points and moduli of curves/ E. Arbarello // Compositio Math. - 29 (1974). - P. 325 - 342.

[15] Головина, М. И. Дивизоры дифференциалов Прима на римановой поверхности / М. И. Головина // Вестник КемГУ. - 2011. - Vol. 3/1. - C. 193 - 199.

[16] Пушкарева, Т. А. Гармонические дифференциалы Прима и их классы периодов на переменной компактной римановой поверхности / Т. А. Пушкарева, В. В. Чуешев // Вестник Кем-ГУ. - 2011. - Vol. 3/1. - C. 211 - 216.

[17] Golovina, М. I. Meromorphic Prym differentials on a variable Riemann surface / M.I. Golovina // International conference ISAAK. -Moscow, August 2011. -1c.

[18] Пушкарева, Т.А. Классы периодов гармонических дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности / Т.А. Пушкарева // [Электронный ресурс]. Тезисы Международной школы-конференции по геометрии и анализу. Кемерово. - 2011. 2 c. Зарегистрировано в Депозитарии электронных изданий ”Ин-формрегистр”. - № 0321102235. - Режим доступа: http://conference.kemsu.ru/conf/GA2011/tesis.zip, свободный.

[19] Казанцева, А. А., Чуешев, В. В. Элементарные мероморфные дифференциалы Прима на конечной римановой поверхности / А. А. Казанцева, В. В. Чуешев // [Электронный ресурс]. Тезисы Международной школы-конференции по геометрии и анализу. Кемерово. - 2011. 4 c. Зарегистрировано в Депозитарии электронных изданий ”Ин-формрегистр”. - № 0321102235. - Режим доступа: http://conference.kemsu.ru/conf/GA2011/tesis.zip, свободный.