Оценка сложности основных положений математики в 5-11-х классах общеобразовательной школы

УДК 37.02

ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ ОСНОВНЫХ ПОЛОЖЕНИЙ МАТЕМАТИКИ В 5-11-х КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ

Обсуждается проблема измерения коэффициента свернутости учебной информации для теоретической составляющей учебников математики в различных классах общеобразовательной школы. Для ее решения из стандартных учебников математики были сделаны текстовые выборки и выборки формул, которые характерны для 5-11 классов. Выявлены используемые термины, оценена их сложность путем разложения сложных понятий на простые и методом парного сравнения. Созданы текстовые файлы, содержащие текстовые выборки, выборки формул и списки используемых терминов с указанием их сложностей. С помощью специальной компьютерной программы произведен анализ соответствующих текстовых и формульных выборок, определены их приведенный объем, рассчитаны коэффициенты свернутости. Установлено, что коэффициент свернутости теоретической информации для одиннадцатого класса примерно в 5 раз выше, чем для пятого класса.

Ключевые слова: дидактика, информация, свернутость, сложность, учебник.

P. B. Mauep R. V. Mayer

THE COMPLEXITY ESTIMATION OF MAJOR PROVISIONS OF MATHEMATICS IN 5-11 CLASSES OF SECONDARY SCHOOL

The article discusses the issue of measuring the convolution coefficient of educational information for the theoretical component of mathematics textbooks in various classes of secondary school. Some typical samples of text and formulas for 511 classes were chosen from standard mathematics textbooks. The used terms are revealed, their complexity is estimated by decomposing complex concepts into simple ones and using the method of pairwise comparison. Text files containing text samples, formulas and lists of used terms with an indication of their complexity have been created. With the help of a special computer program, the analysis of the corresponding text and formula samples was carried out, their reduced volume was determined, and the convolution coefficients were calculated. It is established that the coefficient of reduction of theoretical information for the eleventh class is about 5 times higher than for the fifth class.

Keywords: didactics, information, convolution, complexity, textbook.

Развитие дидактики идет по пути интеграции педагогических идей с математическими методами исследования, к которым относятся контент-анализ, статистические методы, методы математического и компьютерного моделирования социально-образовательных систем. Одна из важнейших проблем дидактики состоит в разработке методов оценки дидактических характеристик различных элементов учебного материала (ЭУМ), в частности учебных текстов. Прочность усвоенных школьником знаний определяется степенью их осознанности, глубиной понимания связей между различными ЭУМ, что, в свою очередь, зависит от их сложности и объема.

Знания учащегося характеризуются сложностью системы имеющихся у него понятий и связей между ними, а уровень интеллектуального развития определяется количеством, сложностью и разнообразием типов учебных заданий, которые он умеет выполнять. Ведущую роль в развитии умственных способностей человека играет математика; именно на уроках математики, школьник учится мыслить логично, оперировать объектами с высокой степенью абстрактности, моделировать различные процессы. Одна из трудностей усвоения основ математики состоит в высокой степени сворачиваемости знаний, необходимости запоминания терминов, их определений, математических фактов, теорем и логических рассуждений, а также в умении решать разнообразные математические задачи с высокой степенью абстрактности. Чтобы оценить уровень абстрактно-логического мышления школьника, успешно справляющегося с учебной программой, следует проанализировать учебники

математики, которые фактически являются моделью изучаемой дисциплины, источником информации для ученика.

Цель статьи состоит в оценке сложности изучения математической теории в 5-11 классах общеобразовательной школы путем определения коэффициента свернутости (КС) теоретического материала в соответствующих учебниках математики. КС равен отношению количества информации, заключенной в тексте, к его информационному объему и пропорционален информационной плотности текста. Результаты позволят сопоставить сложность уроков математики, проводимых в различных классах, и определить количество знаний, получаемых успешным школьником.

Обозначенная проблема находится на пересечении следующих научных направлений: создание теории учебника и оптимизация сложности учебного текста [1; 2], разработка системы формализованных критериев оценки школьного учебника [3], определение количества семантической информации в тексте [4], разработка автоматических методов анализа сложности учебных текстов [5; 6], оценка сложности дидактических объектов [7; 8; 9]. Для ее решения применялись методы контент-анализа [10; 11], попарного сравнения, автоматического анализа текста путем подсчета слов-маркеров [12] и т. д.

Обсуждая сложность текста, обычно различают: 1) содержательную сложность текста, характеризующуюся долей незнакомых слов, средней длиной слов и предложений, насыщенностью текста терминами, долей формул, рисунков, таблиц и т. п.; 2) структурную сложность, определяемую силой логических связей между отдельными

словами и предложениями. В. П. Беспалько отмечал, что школьники в первую очередь интуитивно «реагируют» на степень абстрактности изучаемых вопросов. Сложность текста зависит от соотношения между опытом ученика и содержанием учебного материала: «учебный предмет представляется учащемуся тем более сложным, чем больше разница в ступенях абстракции учебника и прошлого опыта ученика» [1, с. 97-98]. Будем считать, что ученик не испытывает трудностей с чтением длинных слов и предложений; тогда сложность учебника приближенно равна его уровню абстрактности, зависящему от количества и сложности используемых понятий, суждений, логических выводов и математических выражений. Для большинства школьников наибольшая трудность состоит в понимании математических абстракций и операций, а не в чтении текста. Учебные тексты, содержащие понятия «логарифм» или «производная», заметно сложнее текстов, в которых обсуждаются сложение дробей или решение уравнения первой степени.

Обсуждение. К основным характеристикам учебного текста относятся: 1) объем V, равный количеству значимых слов, присутствующих в тексте; 2) сложность 5, которая зависит от доли абстрактных понятий, формул, символов, и характеризуется КС знаний. Примерами свертывания информации являются: использование сложных понятий («синус», «логарифм»), математических символов, обозначающих факториал, корень, интеграл, применение операций умножения, деления, дифференцирования, потенцирования и т. д. При свертывании учебной информации (или выполняемых операций) происходит их аналитико-синтетическая переработка; это приводит к повышению плотности (а значит и сложности) информации, усвоению терминов, имеющих высокую информационную емкость, автоматическому выполнению более сложных операций. Учебник математики (алгебры, геометрии) включает в себя теоретическую составляющую (определения, теоремы, правила, рассуждения и т. д.) и практическую составляющую (примеры и задачи). Теоретический материал состоит из текста и формул, поэтому для оценки КС информации в различных учебниках математики следует отдельно учитывать их текстовую и формульную составляющие.

Приведенным информационным объемом У/ текста Т относительно уровня знаний 2й будем называть количество значимых слов, содержащихся в тексте Т и в определениях всех используемых терминов, которые необходимо произнести, чтобы объяснить текст Т ученику с уровнем знаний 2й. Этот подход близок к методу А. М. Сохора [2, с. 34-35], который для оценки сложности текста делил понятия на знакомые (житейские) и незнакомые (научные). К знакомым были отнесены понятия, которым в учебнике не дается определений. Из текста выписывались все незнакомые для ученика понятия, которые вводятся в учебнике, и тут же записывались их определения. Это повторялось до тех пор, пока в определениях не останутся только знакомые понятия. Число записанных определений характеризует информационную глубину текста и его сложность.

Для оценки сложности изучения математики в 5-11 классах нами проанализированы учебники математики за 56 классы и алгебры за 7-11 классы. При этом не рассматривались учебники геометрии, так как предполагалось, что их сложность примерно такая же, как у учебников алгебры. Для

оценки КС для текстовой составляющей учебников использовалась следующая методика: 1. Для каждого класса делают выборку важных утверждений, характерных для данного года обучения; объем каждой выборки 150-250 слов. Например, в 11 классе изучают логарифмы, поэтому к важным идеям, характеризующим данный курс, относятся определение логарифма и описание его свойств. 2. Путем подсчета количества значимых слов определяют объем текстовой выборки V. 3. Составляют список математических терминов, присутствующих во всех выборках («множество», «логарифм», «производная» и т. д.); их количество обозначим через N. 4. Определяют сложность используемых математических терминов s ,, i = 1, 2, ..., N. 5. С помощью специальной компьютерной программы анализируют текстовые выборки и подсчитывают количество n упоминаний каждого термина. 6. Вычисляют приведенный информационный объем W выборки по формуле: W = V + n1s1 + n2s2 +... + nNsN. 7. Вычисляют КС информации KT = W/ V.

Чтобы оценить КС для формульной составляющей учебного материала следует выписать 15-20 характерных для данного класса формул и создать текстовый файл, в котором каждая формула заменяется предложением (вместо коэффициентов a или b пишем «коэф»; вместо «+», «/», пишем «плюс»,»делить» и т. д.). Получившийся файл можно проанализировать специальной компьютерной программой, определяющей ее объем ^суммирующей произведения сложности терминов s на число вхождений n каждого термина и вычисляющей W0. КС для формульной информации Кф = W, / V0.

При оценке сложности терминов уровень знаний Z0 удобно выбрать так, чтобы он соответствовал выпускнику 4 класса, который знаком с натуральными числами, хорошо владеет арифметическими операциями с натуральными числами, с обыкновенными и десятичными дробями, знает понятия «тысяча», «миллион», «миллиард», «площадь фигуры», «объем тела», «квадрат числа», умеет решать уравнения первой степени и т. д. Будем считать, что: 1) слово, не являющееся математическим термином, имеет сложность s. = 1; 2) термины «число», «постоянная», «равно», «больше», «меньше» имеют сложность s. = 2; 3) термины «сложение», «вычитание» - сложность s = 3; 4) «умножение», «деление» - сложность s. = 5. Для оценки сложности ключевых понятий с высокой степенью абстрактности («функция», «логарифм», «первообразная») выписывались все определения терминов, которые необходимо произнести, чтобы объяснить данное понятие ученику с уровнем знаний Z0. Например: Первообразная функции f - это функция F, производная которой равна функции f(x) при всех x из заданного промежутка. Функция - отношение между множествами D и E, при котором каждому элементу x из множества D соответствует единственный элемент y из множества E. Аргумент - независимая переменная x. Производная функции в точке x0 - предел отношения приращения функции в точке x0 к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Предел функции f(x) при х, стремящемся к а, равен числу b, если, какова бы ни была е - окрестность точки b, найдется такая 5 - окрестность точки а, что для любого значения x, не равного а, принадлежащего 5 - окрестности точки а,

148

Гуманитарные исследования • 2018 • № 3

значение Щ принадлежит £ - окрестности точки Ь. Приращение функции Щ в точке х0 - разность между новым значением функции f(x0 + Ах) и первоначальным ее значением Приращение аргумента - небольшое изменение аргумента. Множество - совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Количество значимых слов е.« 70 (слова, выделенные жирным шрифтом, повторяются и поэтому их считать не следует). Этим способом были определены сложности следующих ключевых понятий школьного курса математики: 1) «множество» - & = 5; 2) «степень числа» - & = 10; 3) «синус» или «косинус» - & = 15; 4) «функция» - & = 20; 5) «логарифм» - & = 20; 6) «предел» -& = 40; 7) «производная» - & = 65; 8) «первообразная» -& = 70 и т. д. Сложность остальных терминов определялась «методом карточек». Эксперт раскладывал карточки с напечатанными на них терминами на заранее заготовленной шкале сложности, на которой уже были размещены оцененные ранее понятия. При этом он сопоставлял различные термины друг с другом и, исходя из сложности их объяснения, количества слов в определении, оценивал их сложность.

Результаты оценки КС информации в различных классах. Для определения приведенного объема У/ использовались две программы, подсчитывающие количества использований в тексте двойных терминов («криволинейная трапеция», «натуральный логарифм»), одиночных терминов («степень», «интеграл») и вычисляющие сумму их сложностей. Используемая программа обращается к текстовому файлу, содержащему словарь математических терминов с указанной сложностью &, и файлу с анализируемым текстом. Словарь содержит общие части однокоренных терминов без окончаний, что позволяет отличить данный термин от других. Программа выбирает термин из словаря и строчка за строчкой анализирует файл с текстовой выборкой, подсчитывая количество вхождений в него данного термина. Для создания словаря-тезауруса (отдельно - для двойных терминов, отдельно - для одиночных терминов) из текстовых выборок, сделанных из учебников за 5-11 класс, было отобрано более двухсот математических терминов и оценена их сложность.

Результаты проведенного анализа представлены в таблице, состоящей из столбцов: 1) номер класса (5-11); 2) объем анализируемой текстовой выборки в значимых словах; 3) суммарная сложность 5Т математических терминов (одиночных и двойных), присутствующих в текстовой выборке; 4) общее количество математических терминов в текстовой выборке ЫТ; 5) КС для текста КТ; 6) объем анализируемой выборки формул в словах; 7) суммарная сложность математических терминов БФ, присутствующих в формульной выборке; 8) КС для формул КФ; 9) среднее значение КС Кс = (КТ + Кф)/2. Вычисления производились по формулам:

N

Яг=Еп&'

I=1

кг = Жг /¥г = (Бг + V -Nг)/V, Кф = Жф / Vф = Яф / Vф,

где V - ЫТ - количество слов в текстовой выборке, не являющихся терминами и имеющими сложность в = 1. Погрешность оценки КТ и КФ примерно 10 %.

Результаты оценки сложности курса математики за 5-11 классы

Класс ТЕКСТОВАЯ ВЫБОРКА ФОРМУЛЬНАЯ ВЫБОРКА КСР

VT St nt Кт V, кф

5 172 256 89 1,97 89 274 3,08 2,5

6 180 304 118 2,03 117 440 3,76 2,9

7 210 367 131 2,12 123 405 3,29 2,7

8 229 466 138 2,43 102 417 4,09 3,3

9 251 777 145 3,52 242 1046 4,32 3.9

10 238 1459 150 6,50 194 1929 9,94 8,2

11 199 2185 139 11,28 22 2544 11,41 11,3

Коэффициент корреляции между Кт и КФ, вычисленный в Excel, равен 0,96, т. е. довольно высок; если на координатной плоскости, образованной осями KT и КФ поставить 7 точек, соответствующих 5, 6, ..., 11 классам, то они окажутся расположенными рядом с возрастающей прямой. Это объясняется тем, что уровень абстрактности формул соответствует уровню абстрактности текста; в текстовых и формульных выборках за один и тот же класс используются одинаковые понятия.

Из анализа результатов оценки КС учебников математики следует: 1) КС учебной информации при обучении школьника в пятом - девятом классах (за четыре года) медленно повышается от 2,5 до 3,9, т. е. в 1,6 раза (на 0,4 в год); 2) при обучении в 10 и 11 классах КС увеличивается гораздо быстрее: К10 / К9 = 2,1; К11 / К9 = 2,9 (на 1,5 -2 раза в год). Это вызвано тем, что после 9 класса происходят качественные изменения в преподавании математики, в 10 и 11 классах изучается материал с высокой степенью абстрактности и большой плотностью информации. При этом используются понятия «предел», «производная», «экстремум» (10 класс); «первообразная», «интеграл», «криволинейная трапеция» (11 класс). За время обучения в пятом-одиннадцатом классах КС, а значит и плотность учебной информации возрастает примерно в пять раз.

Выводы. С целью оценки сложности теоретической части школьного курса математики предложена методика определения КС информации в текстовой и формульной составляющей учебников. Она предполагает создание выборки текстовых утверждений и математических высказываний, характеризующих данный курс, и подсчет встречающихся терминов с учетом их сложности. Сложность терминов определяется путем подсчета значащих слов в их определениях, а также методом парных сравнений. В результате оценки сложности теоретической части школьного курса математики (5-6 классы) и алгебры (7-11 классы) установлено, что КС для 11 класса примерно в пять раз выше, чем для 5 класса. Если оценить КС теоретической информации, изучаемой в 1, 2, ..., 11 классах, и ее объем, то можно определить общее количество учебной информации, получаемой учеником на уроках математики в каждом классе. Так как именно математические знания характеризуют уровень абстрактного мышления, то это позволит сделать вывод о закономерностях умственного развития школьников.

1. Беспалько В. П. Теория учебника: Дидактический аспект. М. : Педагогика, 1988. 160 с.

2. Микк Я. А. Оптимизация сложности учебного текста: В помощь авторам и редакторам. М. : Просвещение, 1981. 119 с.

3. Михеева С. А. Система формализованных критериев оценки школьного учебника // Вопросы образования. 2015. № 4. С. 147-183.

4. Зеркаль О. В. Семантическая информация и подходы к ее оценке. Ч. 1. Семантико-прагматическая информация и логико-семантическая концепция // Философия науки. 2014. № 1. C. 53-69.

5. Криони Н. К., Никин А. Д., Филлипова А. В. Автоматизированная система анализа сложности учебных текстов // Вестник УГАТУ (Уфа). 2008, Т. 11. № 1(28). С. 101-107.

6. Оборнева И. В. Автоматизированная оценка сложности учебных текстов на основе статистических параметров : дис. ... канд. пед. наук. М., 2006. 165 с.

7. Davis В., Sumara D. Complexity and Education: Inquiries Into Learning, Teaching, and Research. Mahwah, New Jersey, London, 2006. 201 p.

УДК 37.013.43

НАУЧНАЯ ШКОЛА КАК МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ БАЗА СОХРАНЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ЭТНОКУЛЬТУРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

В статье рассматривается взаимосвязь развития этнокультурного образования с решением проблем социально-культурной деятельности в сфере воспитания культуры межнационального и межконфессионального общения. Дается краткая характеристика деятельности научной школы «Поликультурный подход в образовании и культурной сфере» в направлении развития этнокультурного образования, научного обеспечения развития исследований в сфере межнациональных отношений. Обозначена роль школы в обеспечении консолидации этнокультурных коллективов, обозначены основные формы сотрудничества с этнокультурными общественными объединениями региона.

Ключевые слова: этническая культура, научная школа, культура межнационального общения, поликультурная личность.

8. Майер Р. В. Контент-анализ школьных учебников по естественно-научным дисциплинам : моногр. [Электронное научное издание на компакт-диске]. Глазов: Глазов. гос. пед. ин-т, 2016. 137 с.

9. Майер Р. В. Оценка терминологической и математической сложности учебников природоведения и физики // Вестник Владимирского государственного университета. 2017. № 31(50). С. 63-70.

10. Шалак В. И. Современный контент-анализ. Приложения в области: политологии, психологии, социологии, культурологии, экономики, рекламы. М. : Омега-Л, 2004. 272 с.

11. White M.D., Marsh E.E. Content analysis: A flexible methodology // Library trends. 2006. Vol. 55. № 1. P. 22-45. URL: http://muse.jhu.edu

12. Майер Р. В. Оценка уровня абстрактности изложения материала в школьных учебниках по естественным наукам // Стандарты и мониторинг в образовании. 2017. № 1. С. 5863. DOI 10.12737/24530 (дата обращения: 12.09.2018).

© Майер Р. В., 2018

B. M. Mamuc, n. n. AÜKUHa W. I. Matis, L. P. Aikina

SCIENTIFIC SCHOOL AS THE METHODOLOGICAL BASIS FOR THE PRESERVATION AND DEVELOPMENT OF ETHNO-CULTURAL EDUCATION

The article reviews the interrelationship of development of ethno-cultural education with the solution of problems of social and cultural activity in the sphere of cultural education of international and inter-confessional communication. The article presents a brief description of the activities of the scientific school "Multicultural approach in education and cultural sphere" in the direction of the development of ethno-cultural education, scientific support for the development of research in the field of inter-ethnic relations. The role of the school in ensuring the consolidation of ethnocultural groups is designated, the main forms of cooperation with ethnocultural public associations of the region are indicated.

Keywords: ethnic culture, scientific school, culture of intercultural communication, multicultural personality.

Очевидно, что каждый народ, для того чтобы сохранить свою самобытность, сам определяет судьбу культуры в своей стране. И важнейшим направлением этой деятельности может стать развитие этнокультурного образования как основы освоения культурного наследия своего народа при условии формирования уважительного отношения к культуре народов, проживающих в регионе. Однако, как показывает практика, никакое общество, никакой отдельно взятый соци-

альный институт, если их коснулся всеобщий кризис (кризис культуры в том числе), не смогут справиться с этой задачей самостоятельно. Поэтому стремление к этнокультурному сотрудничеству в самых широких масштабах должно стать главным направлением культурной стратегии для любого поликультурного общества и всего мирового сообщества.

Не отрицая важности обмена мнениями на различных международных форумах, необходимо стремиться к поис-

1SC

Гуманитарные исследования • 2018 • № 3