Об уравнениях качения упругой шины

Том I

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И 1970

№ 4

УДК 629.735.33.027.23-254

ОБ УРАВНЕНИЯХ КАЧЕНИЯ УПРУГОЙ ШИНЫ

В. С. Гоздек

Рассматривается связь между движением катящегося колеса с упругой шиной и реакцией на него со стороны земли в предположении об отсутствии проскальзывания поверхности шины относительно земли. Показано, что эта задача математически формулируется без привлечения дополнительных гипотез о механизме качения шины. Изложен способ составления уравнений, приближенно характеризующих процесс качения колеса.

Изучение характера движения автомобиля или самолета при его пробеге по земле, шимми колес автомобиля или самолета и ряда других явлений неотделимо от исследования сил, действующих со стороны земли на шины катящихся колес. Остановимся на выяснении связей между движением корпуса катящегося колеса и реакцией на упругую шину со стороны земли в случае, когда эта реакция содержит составляющие, находящиеся в плоскости земли.

При составлении уравнений качения шины обычно предполагают, что материал шины идеально упруг. Это допущение позволяет выразить воздействие на колесо через смещение относительно его корпуса участка поверхности шины, прилегающего в данный момент к земле. Кроме того, принимают, что качение шины происходит без проскальзывания ее поверхности относительно земли. При таком допущении между движением корпуса колеса и смещением относительно него лежащих на земле точек поверхности шины существует определенная зависимость, которая, однако, не образует замкнутой системы уравнений. Для получения замкнутой системы уравнений качения упругой шины принимают различные гипотезы о существовании дополнительной связи между составляющими деформации катящейся шины. Наибольшее распространение получили гипотеза качения, введенная М. В. Келдышем [1], и гипотеза бокового увода [2].

Покажем, что процесс качения упругой шины можно представить решением краевой задачи для уравнений напряженного'

состояния шины без введения дополнительных связей между компонентами ее деформации. Тому же вопросу посвящена работа [3], однако изложенные в ней результаты применимы лишь в случае более грубой схематизации шины.

Пусть колесо, состоящее из недеформируемого корпуса и упругой шины, прямолинейно катится по плоской недеформируемой поверхности с постоянной скоростью V, находясь под постоянной внешней нагрузкой. Назовем это движение колеса невозмущенным. Введем прямоугольную систему координат Охуг, ось Ох которой параллельна земле и лежит в диаметральной плоскости корпуса колеса на постоянном расстоянии от его центра, а ось Оу проходит через центр колеса (фиг. 1). Кроме того, введем движущуюся со скоростью У прямоугольную систему координат О' х' у' г\ расположив оси О'х' и О' г' на поверхности земли и направив ось О' х' в направлении, противоположном вектору скорости невозмущенного движения. Пусть при невозмущенном движении соответствующие оси обеих систем координат совпадают, корпус колеса вращается с угловой скоростью а обжатие шины равно /0.

Опишем возмущенное движение корпуса колеса следующими величинами: скоростью Ух(Ь) точки О вдоль оси О'х', где ^ —время, скоростью Уг(() той же

точки вдоль оси О'г’, смещением /(£) £

центра колеса вдоль оси О'у', приращением шг(0 угловой скорости ю0, уг- фиг !

лом 6(£) между осями О'х' и Ох, а также углом Ф(0 между осями О'у' и Оу.

Компоненты возмущенного движения корпуса колеса вместе с производными /((), 6(£) и будем считать величинами первого порядка малости.

Пусть при невозмущенном движении нам известно движение каждой точки шины относительно корпуса колеса в виде функции

угла 7 между осью Оу и связанным с корпусом колеса вектором /?, лежащим в плоскости хОу (см. фиг. 1). Выразим смещение относительно корпуса колеса точек обращенной к земле части поверхности шины при возмущенном движении через смещение и(х, г, £) этих точек вдоль оси Ох, смещение ю(х, х, £) вдоль оси Оу и смещение че) (х, г, Ь) вдоль оси Ог из положения, которое они занимали при том же значении угла 7 в процессе невозмущенного движения.

Допустим, что при качении шины точки ее поверхности, находясь в зоне контакта с землей, не проскальзывают относительно земли. Выберем некоторую точку шины, лежащую в момент t<j на поверхности земли и имеющую в системе О' х'у' г1 координаты х’о, го-Спустя интервал времени М, та же точка шины, не двигаясь относительно земли, будет иметь координаты х0 + УМ, 20. Считая интервал малым, выразим смещение этой точки через компо-

ненты возмущенного движения корпуса колеса и составляющие смещения шины и{х, г, и т(х, г, £):

УХМ + (Ш0 + Д* - го0Л* + -^Д*0 + ^ и + 0(8») = УМ; Уг Ы + *0 Ш + 6Дл:0 + ^ Д*0 + М + О (8») = О,

(1>

где хй, г0 и Дл:0 — соответственно координаты выбранной точки в момент £0 и изменение величины л;0 в системе Охуг, а 8 — малая величина.

Переходя в системе (1) к пределу при стремлении к нулю-интервала времени Ы и компонентов возмущенного движения колеса, получим дифференциальные уравнения вида:

Неизвестная функция ю{х, г, Р) в зоне контакта шины с землей выражается через функции /(£) и ф(£):

Таким образом, смещение точек поверхности катящейся без проскальзывания шины в зоне ее контакта с землей подчинено соотношениям (2) — (4). Нетрудно убедиться в том, что эти соотношения еще не определяют полностью процесса качения упругой шины.

Считая шину состоящей из идеально упругого и не обладающего инерцией материала, остановимся на особенностях ее деформации в случае, когда колесо не катится, а его шина прижата к земле некоторой силой. Пусть вначале расположение всех точек: шины относительно корпуса колеса совпадает с их расположением в некоторый момент невозмущенного движения. Сместим корпус колеса из этого положения. Пусть при этом касающиеся земли точки поверхности шины остаются неподвижными. В результате шина займет новое положение равновесия, а в зоне контакта шины с землей произойдет изменение внешней нормальной и касательной нагрузки. Компоненты и(х, г) и т (х, г) смещения шины вместе с их первыми производными по х и г будут непрерывными всюду, за исключением линии, ограничивающей зону контакта шины с зем-

первого рода.

Форма равновесия шины и закон распределения нагрузки на нее со стороны земли при заданном законе смещения относительно корпуса колеса точек части ее поверхности в принципе могут быть всегда определены методами теории упругости. Не будем касаться здесь этой задачи, полагая известными компоненты реакции на колесо со стороны земли и компоненты деформации во всех точках шины, если известно смещение относительно корпуса колеса всех касающихся земли точек ее поверхности.

(2>

(3>

V (х, г, () 4- /(*) + (£) = 0.

(4>

лей, где производные

Обратимся к особенностям деформации катящейся шины вблизи линии, ограничивающей зону ее контакта с землей. На границе контакта в этом случае происходят два процесса. На части границы материал катящейся шины прилегает к земле. Будем называть ее передним фронтом контакта. На остальной части границы, называемой в дальнейшем задним фронтом контакта, поверхность шины отходит от земли.

Покажем, что при введенных нами допущениях производные ди да дтп дчю , ,

~дх ' ~дг ’ ~дх и ~дг УДУТ непРеРывными на переднем фронте

контакта. Выделим бесконечно малый элемент шины, одна из граней которого образована точками ее поверхности (фиг. 2). Пусть ребро АВ в момент t0 совпадает с передним фронтом контакта и далее, находясь в зоне контакта, не перемещается относительно земли, а ребро СО становится неподвижным с момента времени Пред-

ставим себе, что указанные выше производные имеют разрыв первого рода на переднем фронте контакта. Пусть, напри* ~ ди

мер, в момент (0 значения производной —— в окрестности точки А

(/Л

слева и справа от ребра АВ, т. е. внутри и вне зоны контакта шины с землей, отличаются на величину первого порядка малости. Проведем на поверхности земли ось Ах, совпадающую по направлению с осью Ох в момент t0. В этом случае точка й в течение интервала времени М должна переместиться вдоль оси Ах на расстояние второго порядка малости. Отметим, что за то же время смещение точки й вдоль оси Ах, обусловленное изменением деформации свободной от внешней нагрузки поверхности шины, выражается величиной третьего порядка малости. Следовательно, перед сцеплением поверхности шины с землей на эту поверхность должна действовать внешняя нагрузка, направленная вдоль оси Ах и вызывающая местное проскальзывание шины относительно земли. Однако такой процесс противоречил бы закону трения, поскольку направление проскальзывания шины при этом оказывается совпадающим с направлением действия внешней нагрузки. Отсюда следует, что на переднем фронте контакта катящейся без проскаль-

„ ди ди дт дтю

зывания упругой шины производные и -^-должны

оставаться непрерывными.

Существование разрыва первого рода этих производных на заднем фронте контакта, порождающее проскальзывание поверхности шины перед ее отходом от земли, находится в согласии с законом трения. В реальных условиях, когда функции и и и/, принимают некоторые конечные значения, задний фронт контакта представляет собой не линию, а полосу, в которой поверхность шины проскальзывает относительно земли, а внешняя касательная нагрузка постепенно уменьшается до нуля. Тем не менее мы пренебрежем влиянием проскальзывания поверхности шины перед отходом от земли и будем считать условия (2) и (3) выполненными во всей зоне контакта.

Итак, при введенных допущениях приращение реакции на катящуюся шину, порождаемое возмущенным движением корпуса колеса, определяется решением уравнений напряженного состояния покоящейся шины, имеющей с землей неизменную зону контакта, если выполнены следующие граничные условия:

1. Перемещение точек шины, лежащих на корпусе колеса, равно нулю.

2. На поверхность шины, находящуюся за пределами зоны ее контакта с землей и не касающуюся корпуса колеса, не действует внешняя нагрузка.

3. Перемещение точек поверхности шины внутри зоны контакта с землей подчинено соотношениям (2) — (4).

4. На части границы контакта, соответствующей переднему

, да ди дт

фронту в процессе качения шины, производные

дт

и остаются непрерывными.

Сформулированная задача представляется весьма сложной, поэтому укажем на один из способов составления замкнутой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, приближенно характеризующей процесс качения упругой шины. Представим функции и и те; на участке поверхности шины внутри зоны контакта в виде полиномов:

«»= ££**(*) **2*; г = 0, 1,2,..., т\ / = 0, 1,2

к = 0, 1, 2,... , р\ 1 = 0, 1, 2,...,

где аг;. (I) и рАг (£) — искомые функции времени.

Обозначим через и1;- (х, г), чюу (х, г) и иы (х, г), тк1 (х, г) компоненты смещения точек свободной поверхности шины, когда внутри зоны контакта точки шины смещены соответственно по законам: и — х1 , чю — 0 и и = 0, <11) = хк г1.

Представим функции и и т на участке поверхности шины вне зоны ее контакта с землей в следующем виде:

и = Еву (*) ич (X, г) + (/) ии (х, г) +/(0 и, (*, г) +

+ <1* (0 щ (х, г);

™ (*) чюп (х, г) + (0 (х< г) + / (*) Ч (•*. г) +

+ 4» (() да* (х, г); г = 0, 1, 2,. . ., /и; у = 0, 1, 2, . .. , и;

6 = 0, 1, 2,..., р\ I = 0, 1, 2,.. ., <7.

Здесь И/, «ф, и и/ф — составляющие смещения, порождаемые смещением корпуса колеса вдоль оси О' у' на единичное расстояние и его поворотом относительно чей О'х' на единичный угол (см. фиг. 1). Заданные в форме (5) и (6) функции и и да удовлетворяют уравнениям напряженного состояния шины при соблюдении первого и второго из указанных граничных условий. Подчиним приближенно функции и и ни остальным граничным условиям.

Выделим в зоне контакта шины с землей п-\-\ линий, параллельных линии 2 = 0. Отметим на каждой линии по т + 1 точек, расположив по одной из них на переднем фронте контакта. Потре* ди ди , 1 а

буем непрерывности производных и в п + 1 выбранных

точках переднего фронта контакта и выполнения условий, диктуемых уравнением (2) в остальных /и (л + 1) выбранных точках.

Первые производные по х и г от заданных в виде выражений (5) и (6) функций и и те» имеют на границе зоны контакта шины с землей, как и в рассмотренном выше случае нагружения неподвижной шины, разрыв первого рода. Разность значений указанных производных по обе стороны границы контакта в каждой ее точке выражается линейной функцией переменных а.ц ((), ((),

/ (£) и ф (0- Значит, непрерывность производных и в п+ 1

точках границы контакта может быть достигнута введением ге+1 линейных зависимостей между этими переменными, так как в направлении касательной к границе контакта производная от функции и остается непрерывной благодаря непрерывности самой функции и.

В результате мы получим и+1 алгебраических и т(п-\-\) дифференциальных линейных уравнений, содержащих (от+1) (я+1) функций а,у(^) и (/7 + 1) (?+1) функций (Ь): Поступая таким же образом по отношению к составляющей смещения но, можно получить (р + 1) (# + 1) уравнений, содержащих те же переменные.

Пользуясь изложенным способом, составим более точные уравнения качения шины по сравнению с полученными в работе [1].

Благодаря симметрии шины процессы ее продольного и поперечного возмущенного движения не связаны между собой, если параметры возмущенного движения малы. Поперечное движение корпуса колеса характеризуется переменными Уг (г1), 0(0 и Ф №• Функция и при этом должна быть кососимметричной, а функция т — симметричной относительно оси Ох. Полагая, что в выражениях (5) т. = 1, п = 1, р = 2, д = 0, зададим функции и и т внутри зоны контакта в следующей форме:

и = г[з(*) —?(*)] +лг[х(0 —8 (*)]; ]

41)-

X (Ь) + а: [з (0 + ср (£)] + -у- ['/ (р) -V г (£)]. |

Неизвестные функции времени X (£) и ср (^) здесь выражают движение поверхности контакта как жесткого тела, а функции о (/), з (^) и х (£) — деформацию шины в зоне контакта. Потребуем, чтобы функции (7) удовлетворяли уравнениям (2) и (3) в окрестности точки с координатами х = 0, г = 0 с точностью до малых порядка х2-\-г2. Это порождает следующие связи между переменными, входящими в соотношения (7), (2) и (3):

1/(? + а) + Х+^2+ 1/6 = 0; |

, 1/£ + ? + б = 0;

Уу; + а = 0. )

Представляя функции и и и за пределами зоны контакта шины с землей так же, как в выражениях (6), приблизим на перед-

, да да dw dw

нем фронте контакта производные и к непрерывным, сохраняя равной нулю величину их разрыва в точке

пересечения переднего фронта с линией z = 0 с точностью до малых порядка z2. Последнее требование, эквивалентное равенству д2 и dw

производных ^ дг и с Двух сторон границы контакта в окрестности указанной точки, приводит к появлению двух представленных ниже линейных зависимостей между переменными, входящими в выражение (7), и функцией ф (t):

s = аг X -f- а2ср -(- а3 а + а4 ф; 1

х = а5Х + авср + а7а + а8ф, J '

где а 1 — а8 — постоянные, определяемые деформацией шины при смещении ее точек в зоне контакта по заданным законам. Соотношения (8) и (9) образуют замкнутую систему уравнений; связывающих параметры поперечного возмущенного движения корпуса колеса с компонентами смещения точек шины в зоне ее контакта с землей. Компоненты реакции на колесо со стороны земли в этом случае выражаются линейными функциями переменных, участвующих в уравнениях (9).

Систему уравнений, приближенно характеризующую процесс качения шины при ее продольном возмущенном движении, можно получить таким же путем. Зададим внутри зоны контакта функции а и w, из которых первая теперь должна быть симметричной, а вторая кососимметричной относительно линии z = 0, в виде

u — l

где %{t)-—смещение зоны контакта в продольном направлении

как жесткого тела, ц. (t) —- деформация материала шины в продоль-

ном направлении.

Пусть функции (10) удовлетворяют уравнениям (2) и (3) в точке с координатами л: = 0, г = 0. Тогда между переменными X (t), j* (/) и параметрами возмущенного движения корпуса колеса существует зависимость

vx + -¥- сог=0.

Представим функции и и из за пределами зоны контакта

в виде, аналогичном (6), и потребуем равенства производных ^-

с обеих сторон границы контакта в окрестности точки пересечения переднего фронта с линией 2 = 0. Это приводит к появлению линейной зависимости между переменными \Ц), |а (0 и /(£)'•

ц = М + Й2/,

где Ьх и Ь2 — постоянные.

Соотношения (11) и (12) представляют собой замкнутую систему уравнений качения шины. Компоненты реакции на колесо со стороны земли в рассматриваемом случае выражаются линейно через переменные, входящие в уравнение (12).

В заключение укажем на некоторые различия процессов качения упругой шины, характеризуемых полученными здесь уравнениями и уравнениями, приведенными в работе [1]. Рассмотрим установившееся прямолинейное качение шины, когда диаметральная плоскость корпуса колеса повернута по отношению к вектору скорости на угол 60. Согласно уравнениям качения шины, представленным в указанной выше работе, на шину в этих условиях должен действовать такой же момент сил относительно вертикальной оси, что и при повороте зоны контакта покоящейся шины на угол 60 относительно корпуса колеса. Величина того же момента, найденная на основе уравнений (8) и (9), окажется другой, так как из-за составляющей смещения о, учитывающей деформацию сдвига в прилегающей к земле части шины, величины <р и 0О не будут равны между собой.

Уравнения (11) и (12) отличаются от принятых в работе [1] условий качения шины в случае продольного возмущенного движения колеса присутствием составляющей смещения точек шины, обозначенной через ц (£). Благодаря такому дополнению уравнения (11) и (12) отражают факт изменения угловой скорости установившегося вращения корпуса катящегося колеса под воздействием приложенной к шине со стороны земли продольной нагрузки. При колебаниях корпуса катящегося колеса в продольном направлении или при его угловых колебаниях относительно оси вращения действующая на шину со стороны земли продольная сила, найденная на основе уравнений (11) и (12), рассеивает энергию этих колебаний, что также связано с характеризуемой функцией [х (£) продольной деформацией шины в зоне контакта.

ЛИТЕРАТУРА

1. Келдыш М. В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси. Труды ЦАГИ, № 564, 1945.

2. Неймарк Ю. Н., Фу фа ев Н. А. Динамика неголоном-ных систем. М., .Наука”, 1967.

3. Г о з д е к В. С. К постановке задачи о взаимодействии с землей катящегося колеса с упругой шиной при его колебаниях. ДАН СССР, 1969, № 5.

Рукопись поступила 25/Х 1969 г.