Применение альтернативных методов анализа инвестиционных рисков

-

Экономико-математические методы и модели

Демиденко Д.С.

Применение альтернативных методов анализа инвестиционных рисков

Достоверность анализа эффективности инвестиционных проектов зависит от степени неопределенности в оценке ожидаемыгс затрат (инвестиций) и результатов (получаемых доходов).

В настоящее время наибольшее распространение имеют два подхода к анализу неопределенности и инвестиционного риска:

1. Оценка нестабильности ожидаемых доходов от инвестиций посредством установления величины компенсирующей надбавки к процентной ставке;

2. Оценка ожидаемой вариации величины прогнозируемые доходов от инвестиций.

В первом случае риск неполучения доходов учитывается посредством установления рисковой надбавки к процентной ставке для дисконтирования потока доходов от инвестиций. Преимущества подхода в том, что может быть установлена единообразная методика определения рисковых надбавок для всех инвестиции.

Во втором случае необходимо откорректировать доходы от инвестиций с учетом вероятности их неполучения в прогнозируемом размере. Преимущества подхода в том, что все инвестиции оцениваются по единой безрисковой процентной ставке.

Установление рисковых надбавок главным образом используется для оценки риска инвестиционного портфеля (портфельного риска), но в то же время применяется и при инвестиционном анализе, важную часть которого составляет определение цены активов, обращающихся на финансовом рынке и приносящих негарантированный доход в будущем. Наиболее известной и распространенной у нас моделью для решения этой задачи является модель цены капитальных активов (Capital Asset Pricinq Model — CAPM). Эта модель хорошо известна, описана в научной и учебной литературе [1,2]. Она непосредственно связана с теорией выбора оптимального инвестиционного портфеля и ее приложениями. Основная идея подхода состоит в том, чтобы осуществить диверсификацию рисков, т.е. выбрать сочетание

без рисковых и обладающих риском финансовых активов, способное минимизировать общий риск портфеля или по крайней мере обеспечить его приемлемый уровень. Иными словами, инвестор должен определить наиболее разумную форму диверсификации рисков инвестиционного портфеля финансовых активов. Особенность модели в том, что требования к доходности рисковых инвестиций определяются на основе установления рисковой надбавки к без рисковой процентной ставке.

Инвестиционный портфель может содержать как безрисковые, так и рисковые финансовые активы. Пусть портфель содержит одну рисковую и одну без рисковую финансовую позицию, такие, что доля первой в инвестиционном портфеле равна м>, а второй -1 - м>. Безрисковая процентная ставка пусть равна Кбр (ставка доходности идеального финансового рынка, на котором, как принято считать, риски отсутствуют), а зависимая от ситуации ожидаемая доходность рисковой позиции в инвестиционном портфеле пусть равна Кр. Тогда доходность всего портфеля вычисляется как средневзвешенная величина следующим образом:

К = ы • К + (1 - w) • К

п р 4 ' бр

При этом имеются следующие очевидные условия:

£(Кбр) = К* СоЧК, Кбр) = 0, Гог(Кбр) = 0,

(среднее значение или математическое ожидание случайной величины обозначается Е).

Ожидаемая доходность всего портфеля вычисляется следующим образом:

£(К) = w • E(Kp) + (1 - w) • £(Кбр) =

= Кбр + w •

при этом

Far

п Р

(1),

(2).

Определив из (2) w

и подставив в

(1), получим математическое ожидание доходности всего портфеля:

Е

стКп сКр

Из этого условия определяем ожидаемое или требуемое значение доходности рискового актива:

Е(Кр) = Кбр+(Е(Кп)-Кбр)-^

Последнее выражение известно в экономической теории как модель САРМ. Второй сомножитель второго слагаемого в правой части (3) выражает так называемый показатель систематического или рыночного риска. Он показывает, во сколько раз риск рискового финансового актива больше (меньше), чем риск портфеля в целом. В обобщенном смысле риск портфеля может трактоваться как риск реального финансового рынка (по принципу «рынок — большой портфель, портфель — маленький рынок»). С этой же точки зрения ожидаемая доходность портфеля соответствует ожидаемой доходности реального финансового рынка. Второе слагаемое в правой части (3) выражает величину рисковой надбавки, соответствующей величине систематического риска инвестиций. Для уточнения этого понятии рассмотрим подробнее классификацию инвестиционных рисков.

Если (п) инвестиций объединяются в портфель с целью уменьшения рисков путем их распределения на большее количество инвестиций (диверсификация), то, согласно правилам математической статистики, риск портфеля определяется как сумма ковариаций доходности инвестиций в портфеле:

Var

i=i j=1

Это следует из преобразования формулы портфельного риска (4) с учетом того, что:

Сог(г г) = м!г. • а2. = • уаг(г), так как р.. = 1

Тогда риск портфеля инвестиций равен:

п п п

Уаг

I=1 I=1 у=1

Рассмотрим портфель, состоящий из п рисковых инвестиций при ряде упрощающих предпосылок:

1. Все инвестиции равны по величине и их

1

удельные веса равны — ;

п

2. Доходности всех инвестиций имеют одинаковый риск, измеряемый дисперсией Уаг;

3. Ковариация доходностей инвестиций одинакова и равна Соу.

При этих условиях риск портфеля состоит из (и2) ковариаций, (и) из которых являются дисперсиями (уаг), а (и2 - и) — ковариациями (Соу) и определяемый согласно (2):

Var(n)=

f 1

n

\

n x var + n

С 1

n

V

cov =

n

V /

var +

1 --

cov

где Уаг (и) — риск (вариация или дисперсия доходности) инвестиционного портфеля;

^ ж — удельный вес инвестиций в портфеле; Соу(г г) = а(г) • а(г) • ау — ковариация между доходностями инвестиций,

г г — доходность инвестиций; а (г.), а(г) — среднее квадратическое отклонение доходности инвестиций (а2 = Уаг).

р) — мера тесноты связи между доходностя-ми инвестиций (коэффицент линейной корреляции).

Риск портфеля инвестиций всегда состоит из двух элементов:

1. Сумма рисков доходностей всех инвестиций в портфеле;

2. Сумма ковариаций между доходностями инвестиций.

Упрощенная формула (6) раскрывает смысл базового принципа классификации рисков. Риск неполучения требуемой доходности инвестиций Var(n) складывается из двух составляющих:

1. Систематический риск (Cov), второе слагаемое в (6), (далее (СР)).

2. Несистематический риск (Var), первое слагаемое в (6), (далее (НСР)).

Если осуществляется только одна инвестиция (n = 1, диверсификация отсутствует), то она подвержена только НСР Var, СР отсутствует, поскольку нет ковариации с другими инвестициями Cor = 0.

При большом количестве инвестиций (диверсификации, n ^ те) НСР отсутствует (Var = 0), риск инвестиций сводится только к СР (Cov).

Таким образом, СР — часть риска, которую инвестор принимает на себя даже при самой совершенной диверсификации. (недиверсифициру-емый или рыночный риск). НСР — та часть риска, которую можно исключить путем диверсификации (диверсифицируемый, нерыночный риск).

Поскольку СР неустраним, инвестор должен получить компенсацию за принятие на себя этого риска. Для определения размера компенсации необходимо численно определить величину СР, по-

1

казателем которого служит коэффициент СР (в). Он показывает относительную величину вариации доходности отдельной инвестиции по отношению к средней величине доходности портфеля (финансового рынка в целом) Коэффициент СР отдельной инвестиции равен:

e _ Cov(i,m) _ q Pi 2 _ ' Рй

где Соу(/,т) — ковариация доходности инвестиции и рынка.

о — среднее квадратическое отклонение (риск) доходности финансового рынка;

о. — среднее квадратическое отклонение доходности (риск) г-ой инвестиции;

о.т — коэффициент линейной корреляции доходности г-ой инвестиции и финансового рынка.

Для практических целей используется упрошенный подход к определению СР:

е-

ат

Реализация инвестиционного проекта предусматривает единовременные инвестиционные затраты в начале периода и получение потока доходов от инвестиций в форме бесконечного равномерного аннуитета доходов. Для оценки эффективности проекта без учета и с учетом СР используются основные положения инвестиционного анализа. Показателем эффективности является чисты дисконтированный доход, рассматриваемый как функция инвестиций, (ЧДД(Т)). При этом инвестиции являются случайной переменной, вариация которой вызывает риск. Для простейшего инвестиционного проекта одного периода (в начале периода — инвестиции, в конце периода — отдача от них в форме чистого дохода), показатель чистого дисконтированного дохода выражается в следующем виде:

ЧДД(/) = -/ +

1

1 + К,

-чдсо,

бР

Согласно модели САРМ,

К . = Кб + (К - Кб)Р ,

трг бр 4 т бр/гг

где Кт — среднерыночная доходность инвестиций, учитывающая риски минимально приемлемая для среднестатистического инвестора, средняя за период доходность инвестиций должна выполнять следующие задачи:

1. Покрыть доходность Кбр, упускаемую от невложения инвестируемых средств в государственные облигации или страхуемые банковские депозиты;

2. Принести дохода на каждый рубль дополнительно к Кбр в размере (Кт - Кбр), если коэффициент «бета» равен единице и инвестиция стала бы средне рискованной

3. Принести дохода на каждый рубль дополнительно к Кбр в размере (Кт - Кбр), увеличенном в в раз, если инвестиция имеет повышенный риск относительно средних в экономике рисков во столько раз, во сколько раз коэффициент в > 1 или уменьшенном в в раз, если инвестиция имеет риск, пониженный относительно средних в экономике рисков во столько же раз. Фактор СР может повлиять на экономическую эффективность инвестиций таким образом, что инвестиционный проект с приемлемой эффективностью, если критерием является безрисковая процентная ставка, может оказаться неэффективным с учетом СР. Рассмотрим пример:

где ЧД(Т) — чистый доход от инвестиций, который. Согласно экономической теории (в рамках неоклассического подхода), чистый доход является функцией инвестиций и обладает свойством убывающей предельной отдачи (доходности). С математической точки зрения это условие выражается через характер производных функции

ЧД'(/) =

¿ЧДСО

ЧД"(/) =

d2 W)

dl..... (dlf

4Z)'(/)>0,4Z>TO<0

возрастающая, дважды дифференцируемая функция с убывающим ростом.

Если поток чистого дохода от единовременных инвестиции выражается в форме равномерного бесконечного аннуитета, то показатель чистого дисконтированного дохода равен:

ЧДД(/) = -/ + —• ЧД(7).

Ктр

Если при этом зависимость чистого дохода от инвестиций является линейной функцией ЧД(Т) = r • I, где r — внутренняя доходность инвестиционного проекта, то получим:

ЧДД(1) = 1(~Р—1),

Ктр

Выражение в скобках можно характеризовать как «мультипликатор добавленной стоимости (МДС)». Показатель в^1ражает чистую добавленную стоимость предприятия, или прирост собственного капитала по отношению к инвестициям в реальные активы (английская аббревиатуры показателя, соответствующего ЧДД — NPV(net present

m

m

value), чистая добавленная стоимость). Положительное значение МДС соответствует приросту стоимости (собственного капитала) предприятия по отношению к инвестициям, вызвавшим прирост, (для эффективных инвестиционных проектов, у которых внутренняя доходность больше, чем требуемая). Отрицательное значение МДС соответствует снижению стоимости предприятия (для неэффективных инвестиционных проектов, у которых требуемая доходность больше, чем внутренняя).

Другой составляющей риска является НСР. Он равен сумме всех рисков кроме (Уаг) и в принципе может быть устранен путем диверсификации. Поэтому компенсационная надбавка за него не требуется.

Методы определения численной величины НСР индивидуальны для каждого предприятия. В ряде случаев возникает необходимость определять численную величину НСР (например в оценочной деятельности).

С учетом НСР рисковая надбавка может быть дополнена рядом элементов:

1. премия за риск инвестирования в малый бизнес, если инвестиции относятся к этой категории

2. премия за риск инвестирования в закрытую компанию, если инвестиции осуществляются в закрытую компанию

3. премия за страновой риск (риск ненадежности прав собственности, нестабильности законодательства, экономического спада и др.), также воздействующий на стабильность дохода при

Исходные данные и решение примера приведены в таблице. Результаты показывают, что без учета СР эффективность проекта является приемлемой, т. к. требуемая доходность инвестиций, равная безрисковой доходности, может быть обеспечена, т. к. она меньше, чем внутренняя доходность проекта. С учетом СР оценка эффективности проекта меняется на противоположную — проект неэффективен, т. к. требуемая доходность, включающая поправку на СР, больше внутренней доходности.

оценке процентной ставки применительно к иностранным инвесторам; для отечественных инвесторов уровень странового риска неявным образом отображен в повышенном уровне рыночной премии за риск и даже в увеличенном уровне номинальной безрисковой процентной ставки.

Обычно в числе факторов НСР выделяют следующие:

— недостаточной финансовой устойчивости предприятия, осуществляющего инвестиции;

— повышенной доли краткосрочной задолженности в структуре капитала предприятия-инвестора — эффект финансового рычага или финансовый риск (риск не покрыть постоянные финансовые расходы);

— повышенной доли постоянных расходов в операционных издержках, эффект операционного рычага или операционный риск (риск не покрыть постоянные операционные расходы);

— «ключевой фигуры» в составе менеджеров предприятия (или контролирующих его инвесторов), что создает предпосылки для обострения на предприятии так называемой «агентской проблемы» в отношениях между собственниками и менеджментом;

Таблица

Показатель Обоз-нач. Ед. изм. Числен. знач.

Инвестиции I Де. 1000

Доход от инвестиций Д Д.е./период 150

Безрисковая ставка доходности кб бр % 10

Среднерыночная ставка доходности к m % 12

Риск (вариация) доходности о i % 5,0

Среднерыночный риск доходности инвестиций о m % 2,63

Коэффициент систематического риска Р - 1,9

Внутренняя доходность инвестиций K вн % 13

Требуемая доходность инвестиций с учетом систематического риска к тр % 13,8

— недостаточной диверсифицированное™ продукции (хозяйственной деятельности) предприятия;

— недостаточной диверсифицированности источников приобретения покупных ресурсов (включая труд);

— узости набора источников финансирования (особенно в случаях неформирования надлежащего амортизационного фонда и его недоиспользования как важнейшего источника самофинансирования, недооценки важности привлеченных средств, неиспользования финансового лизинга и других схем финансирования).

Все перечисленные риски, будучи несистематическими, характеризуют не рискованность инвестиций, а рискованность управления предприятием, ведущим бизнес. Они влияют на волатильность доходов от инвестиций на данном предприятии .

Рассмотренные выше и другие имеющиеся модели определению цены (требуемой доходности) финансовых активов путем установления рисковых надбавок не получили у нас развития. Одна из причин в том, что финансовый рынок у нас еще развивается и происходящие на нем процессы не играют ключевой роли в экономике. Ведущие экономисты отмечают «ослабленную» роль процентной ставки, которая выполняет скорее роль статистического индикатора и не является критерием экономической эффективности инвестиций.

В этих условиях усиливается значение альтернативных подходов к анализу инвестиционных рисков. Рассмотрим альтернативную модель инвестиционного риска, основанную на прямом расчете компенсации отклонения величины чистого дохода. Заметим, что во избежании «двойного учета», при использовании этого подхода для расчета чистой приведенной стоимости дохода от инвестиций используется без рисковая процентная ставка.

Отклонения величины чистого дохода представляют собой величину риска, а сам чистый доход является случайной величиной, характеризуемой дисперсией и математическим ожиданием (Е). С учетом данных предположений величина ЧД может быть выражена в виде следующего вектора:

ЧД(1) = [(ЧД.(Т), д], 7=1...и,

ЧДД(7) = + -Ц- • £(Ч ОД), 1 + к

где £(ЧЩ1)) = ¿<7, Чд, = 1

¿=1 /=1

в дальнейшем для упрощения обозначим ЧДЦ(Т) = = У(1).

Рассмотрим балансовое условие, основанное на ряде фундаментальных положений:

Е(У(1)) = У(Е(1)) + П

Данное балансовое уравнение принято называть условием «нейтральности к риску». В левой части равенства находится стоимостной эквивалент результата инвестиций, т. е. математическое ожидание прироста стоимости (собственного капитала) для инвестора, наступающее в результате инвестиций. В правой части — математическое ожидание результата инвестиций. Их равенство соответствует ситуации «нейтральности к риску». Степень рискованности инвестиционного проекта измеряется с помощью «рисковой надбавки» (П). В зависимости от степени рискованности, П может принимать положительное (надбавка), отрицательное (скидка) или нулевое значение. Исходя из этого, левую часть (9) принято также называть «безрисковым эквивалентом» результата рисковых инвестиций. Рисковая надбавка в этом смысле является разностью между ожидаемым конечным результатом инвестиций и безрисковым эквивалентом результата инвестиций.

Для последующего анализа представим обе части (9) в виде рада Тейлора.

Правая часть:

У

Левую часть представим в следующей эквивалентной форме:

Е(У(1)) = Е(У(1 + Е(1) - Е(1)).

Выражение под знаком математического ожидания представляется как ряд Тейлора до членов второго порядка (обоснование этого положения здесь не приводится, оно есть в работе [1, стр.102105] , которой мы следуем в этой части):

У(1 + Е(1) - Е(1)) = У(Е(1)) + (I - Е(1)) = = У(Е(1)) + У(Е(1)) • (I - Е(1)) +

+ у • У'(Е(1)) • (I - Е(1))2

Переходя к математическому ожиданию, получим:

Е(У(1)) = Е(У(Е(1)) + У(Е(1)) •

Е

Здесь второй член в правой части равен нулю (сумма отклонений от средней величины равна нулю), математическое ожидание квадратов откло-

нений от средней величины представляет собой дисперсию Уаг(I) = Е(1 - Е(1))2, а математическое ожидание постоянной величины есть сама величина: Е(¥(Е(1))) = ¥(Е(1)). С учетом этого, исходя из (9, 10, 11) , получим: с одной стороны:

Е(¥(1)) = ¥(Е(1)) + ¥'(Е(1)) • П,

с другой стороны:

Е(¥(1)) = ¥(Е(1)) + у • У"(Е(1)) • Е(1 - Е(1))2

Приравнивая эти выражения, после несложных преобразований, получим аналитическое выражение для численного определения величины рисковой надбавки к ожидаемой величине чистого дисконтированного дохода от инвестиций:

2 Г

Е(ЧД) = (12 • 0,7) + (10 • 0,3) = 11,4 д. е.

Уаг(ЧД) = (12 - 11,4)2 • 0,7 + + (10 - 11,4)2 • 0,3 = 0,84 д. е.

Очевидно, что при данных условиях, с учетом дисконтирования, проект неэффективен (ЧДД(1) < 0). Рисковая надбавка рассчитывается по формуле (12). Коэффициент риска при заданной функции чистого дохода равен:

Кк = _

К

I

= _0 00929 а рисковая над-

Данное выражение представляет собой формулу расчета надбавки к ожидаемой величине чистого дисконтированного дохода за инвестиционный риск, являющейся косвенной характеристикой этого риска. Можно отметить, что рисковая надбавка является половиной произведения объективно содержащегося в инвестициях риска на коэффициент (последний сомножитель в правой части (12)), который характеризует «не расположенность» инвестиций (инвестора) к риску (обозначим его как «коэффициент риска» Кд). Содержательный смысл рисковой надбавки следующий. Основная часть риска — это половина дисперсии ожидаемой величины чистого дохода. Коэффициент нерасположенности к риску представляет собой цену риска. Цена тем выше, чем больше коэффициент. Рассмотрим в качестве условного примера тот же инвестиционный проект длительностью в один период. Проект может приводить только к двум результатам, наступающим с определенной вероятностью. Результаты и вероятности состояний заданы в виде вектора условий:

[ЧД, = 12 д.е., ЧД2 = 10 е.д., ^ = 0,7, д2 = 0,3.], известны также инвестиции в начале периода I = 10 д. е., процентная ставка соответствует коэффициенту дисконтирования К = 0,8. Дополнительное условие — задана функция ^,(7) = -77. Необходимо рассчитать рисковую надбавку П.

Исходя из этих условий, рассчитана ожидаемая величина чистого дохода от инвестиций и вариация чистого дохода:

бавка равна: = - - 0,84 - 0,00929 = -0,00394.5.

2

Коэффициент риска и рисковая надбавка имеют отрицательное значение, а следовательно учет риска только усиливает оценку проекта как неэффективного.

Из проведенного анализа и примера становится очевидным существенный (по нашему мнению) недостаток альтернативного подхода к анализу рисков, основанного на неоклассических принципах. Если зависимость чистого дохода от инвестиций является линейной функцией то рисковая надбавка равна нулю, т. к. цена риска нулевая (вторая производная функции чистого дохода равна нулю). По сути это означает, что риск обусловлен криволинейным характером функций, отражающих затраты и результаты инвестиционной деятельности. Использование криволинейных зависимостей для отражения затрат и результатов связано с попыткой учесть реалии рыночных процессов, т. к. прямолинейные зависимости существуют только на идеальном рынке, где, как известно, рисков нет. Возможно, следовало бы критичнее относиться к использованию российской экономической наукой неоклассических принципов и подходов. В последнее же время наблюдается как раз противоположная тенденция. Достаточно сказать, что все используемые на практике методы инвестиционного анализа основаны на неоклассических принципах маржинального анализа. Все же, в условиях несовершенства финансового рынка, рассмотренный здесь альтернативный подход к анализу рисков, может иметь значение и быть полезным для нашей хозяйственной практики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крушвиц Л. Финансирование и инвести-

ции. Изд.Питер, 2000.

2. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. Москва, «Олимп-Бизнес», 1997.