Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности с сосредоточенной теплоемкостью

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 58-64

УДК 519.633

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ ТЕПЛОЕМКОСТЬЮ

М. Х. Шхануков-Лафишев, М. М. Лафишева, Ф. М. Нахушева, А. Б. Мамбетова

Работа посвящена исследованию локально-одномерных схем для уравнения теплопроводности с нестационарным краевым условием, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. В работе получена априорная оценка в равномерной метрике, откуда следует сходимость построенной схемы на кубической сетке.

Ключевые слова: краевая задача, сосредоточенная теплоемкость, локально-одномерная схема, сходимость, априорная оценка.

Локально-одномерные схемы (ЛОС) для решения многомерных задач математической физики впервые введены в рассмотрение А. А. Самарским [2]. Отказ от классического понятия аппроксимации и замена его более слабым условием суммарной аппроксимации существенно расширяет класс решаемых задач.

В работе рассмотрены ЛОС для уравнения теплопроводности, когда на границе области помещена сосредоточенная теплоемкость некоторой величины. Тогда для уравнения теплопроводности в одномерном случае, например, при x = 0 ставится краевое условие вида

du , du со^гг = к—, с0 = const > 0. dt dx

Подобные условия возникают в случае, когда рассматривается тело с большой теплопроводностью [1, с. 186], при решении задачи об установлении температуры в ограниченной среде при наличии нагревателя, трактуемого как сосредоточенная теплоемкость [2].

Аналогичные задачи возникают также в практике регулирования солевого режима почв, когда расслоение верхнего слоя достигается сливом слоя воды с поверхности затопленного на некоторое время участка [3, с. 233]. Если на поверхности поля имеется слой воды постоянной толщины h, то на верхней границе следует задать условие

дс ^дс dt dx'

где c — концентрация соли в почвенном растворе, D — коэффициент диффузивности [3].

В одномерном случае подобные задачи рассмотрены в [4, с. 426]. Здесь рассматривается случай многомерной задачи, когда на границах области по каждому направлению xa, a = 1,2 ,...,p, помещена сосредоточенная теплоемкость величины х±а, a = 1,2,...,p. Для рассматриваемой задачи построена схема повышенного порядка

© 2013 Шхануков-Лафишев М. Х., Лафишева М. М., Нахушева Ф. М., Мамбетова А. Б.

аппроксимации. С помощью принципа максимума для ЛОС получены априорные оценки в равномерной метрике, выражающие устойчивость ЛОС по начальным данным, по правой части и граничным данным.

1. Локально-одномерная схема. В цилиндре С}т = С х [0,Т], где С = {ж =

(ж1 , х2,..., хр) : 0 ^ ха ^ 1а,а = 1,... ,р} — р-мерный прямоугольный параллелепипед, рассматривается задача

ди

— = ьи + /

^ т- т- du / . . du \

а=1 х х

ka 11) Qx —X—+/3—a(x,t^)U fX—a(x,t^), Xa — 0, -A'a(x,t)g^ = X+a{x,t)-^ + P+a(x,t)u - ¡J,+a(x,t), xa — la,

п

где 0 < Со ^ ка (х, £) ^ С1, в±а ^ в* > 0, Х±а ^ 0, а = 1,... ,р.

Следуя [4, с. 520], заменим многомерное уравнение цепочкой одномерных уравнений теплопроводности

p dt с условиями

1 dV{a) = Lav{a) + fa, t e Да = a = l,...,p, ^J/Q = /,

p

а=1

ka{%jt) —X—a(x,t) ' + /3—а (ж, í)V(a) ¡l—a{x , t), Жа — 0,

— ka(x, t) gxaa — X+a (%, t) + /3+а (ж, í)f(a) — xa — la,

v

V(i)(x,tj) — V(p)(x,tj), j — 1,2,...,jo - 1.

Аппроксимируя каждое уравнение теплопроводности номера а на полуинтервале

< í ^ двухслойной схемой, получим цепочку р одномерных схем, которую и j-i- р JTp

назовем, следуя [4], локально-одномерной схемой (ЛОС):

y-f v=Ky p+

ta

i ce (Ice) ~V /э _

]+- a*a 'уХаЪ~Р-ау0 . ~ ~ ц_а

V" ' P — __'" __|_ Г, ñ —

yta,0 ~~ 0.5ha+px-a ^ V-a, V-a-

Na J + fí . д

+ 7 _ Vxa,Na+P+«VNa , _

N.. ~ 0.5L+»Yi„ T^+a, M+a — n.5h„+v

a+PX-a

y

J+f-J+

a — 1

где Aay = (aayxa)Xa, yla p = --^-, = ¿í_a+0.5hafafi, ц+а = fx+a+0.5hafatNa,

a — 1,... ,p.

2. Погрешность аппроксимации. Полагая х р у <' — п р и подставляя з+- з+- , з+-

• р - у/О • р | (-)!>-' 1 7

у р = г р +п р в уравнение (7), получим

& р =Ааг3+Р + фа Р, 4>а Р =Ааи3+Р +(ра Р - Щ

° ( 1 а \3 +^ V ° V

Обозначим через фа = (Ьаи + /а — ^^ ) и, замечая, что ^ фа = 0, если ^ /« = /

Р о

а=1

а=1

,3 +

представим Фа р = Фа + Ф*а, где

Фа = АаП3+Р ~ ЬаЬ? + Ъ + [<ра Р ~ Га ' 2

р\дЬ)

Га = + Т), Фа = 0(1), Ф = £ Фа = £ = 0(|Н|2 + Т),

а=1 а=1

2 , I 12 _ 1,2, 1,2

т. е. ЛОС обладает суммарной аппроксимацией 0(|Н|2 + т), |Н|2 = Н2 + Н2 + ... + Н^. Граничное условие при ха =0 запишем в следующем виде:

3+

(рх-а + 0.5 ко) Щ ' Р = а\\а)Ух'а о - /З-аУо ' Р + И-а + 0.5 ка/а,0-

3+

з+\

7 + — 7 + — 7 + — 7'+— 7'+— 7'+ —

Пусть х р = у р — и р . Подставим у р = х р + и р в

(рх-а + 0.5 На) %

3+

а а

р - а^г р -

3+

в_аZ0 р + ОТ>и

(1а),

з+-

р

~(3-аЩ Р + Ц-а + 0.5 На/а,0 ~ (РХ-а + 0.5/1«) Щ

з+-

р

Тогда

ф-а = Р0 - (3-аи^Р + ¡1-а + 0.5Л,а/а>0 ~ 0?Х-а + 0.5ка)Щ

-а — иа "х^О

- 0.5На д

Я--

р

р

д С . ди К а

дх

дха

+ /а -

1 ди р дЬ

3+

2

+ 0.5На

дха

ди

ка(х,г)— ) +fa-

1 ди р дЬ

= к

ха=0

ди

ди

ха=0

а п X—а

дха дЬ

где

- в—а и + + 0.5На Ф_ а + 0(Н2а + Т) = 0.5На Ф_ а + Ф-

Ф-а =

дха

ка Ь)

ди

+ /а рМ_

ха=0

Аналогично запишется граничное условие при ха = 1а. Итак,

3+

0?Х-а + 0.5/1«) хУ Р = ~ ' Р + 0.5каф-а + жа = 0

(^Х+а + 0.5/1а) = - ( а^а)4«,лга + ) + 0.5/га?/>+а + жа = 1С

Р

где Ф-а = 0(На + ТФ±а = 0, Ф±а = 0(1).

а=1

а:

а

а

а

а

Приведем разностное уравнение (7) и граничные условия (8) к каноническому виду (см. [5, с. 339]):

А(Р )у(Р) = в (Р, <)у(<) + ^ (Р),

деш'(Р >

где

А(Р) > 0, В(Р,<) > 0, В(Р) = А(Р) - ^ В(Р,<) ^ 0,

<Зеш'(Р >

Р, < — узлы сетки, Ш'

1 + о41а) + Р-а \

г (0.5/г„+рх_а)/га 0.5/г„ + £>Х-« ' 0

а{аа) з+^ . 1

(0.5h а + PX-a)ha Т

У\ Р+~Уо Р + А-а,

1 + О^ + ^ i+f

г (0.5ha+px+a)ha 0.5ha+px+aj Na

aiNa) з+% . 1 i+a~1

VnJ-I + ~Ума P +

(0.5ha + PX+a)ha Na— Т*

где Д_а = 0.5/гГ+РХ-а ' = 0.5/ia+PX+a ' = ^~a 0-5/la/a,O, Z^+a = Z^+a + 0-5hafayNa-Из (11)-(13) находим, что

D(P (x„ ,ti+1))=0,

о о

Представим решение задачи (7)-(9) в виде суммы y = У + у*, где У — решение задачи с Щ = Щ = 0, а у* — решение задачи с Uo(x) = 0, ip(x,t) = 0. Оценим сначала у*. Для оценки у* воспользуемся теоремой 3 (см. [4, с. 344]):

\\y*

в*

о

Для оценки У нам понадобится теорема 4 (см. [3, с. 347]). Перепишем (11) в виде

/1 aia+i+aia\ з+% 1 з+% 1 з+% ч

Р =Щ^а+1Уга^ + щагаУга_\+Ф(Ри+1)),

j I "-1 7 + —

где Ф(Ра+1)) = ij/ia р + Тогда

= ¡у,! ч Е =

Т ^ деш'П

Все условия теоремы 4 из [5] выполнены, поэтому имеем оценку

3+1 3 Р

+ ............^—Л ^—Л и •/ ,а

^ р

j'=0 а=1

Из оценок (14), (15) следует окончательная оценка для решения задачи (7)—(9):

\\уШ\\сь. < ||«о

1'=0 а=1

7 + —

3. Равномерная сходимость ЛОС. Перепишем задачу для погрешности г р

у р — и р в виде

. , а о

Ча = р + Ф» Р , Фа Р = Фа + С,

(1а) Э + % О * + %

<х(аа)гХа>0-Р-аг0 р | ф*-а 0.5Наф_а

__^а

to¿ п

РХ-а + 0.5Да Х-а + 0.5На РХ-а + 0.5Н0

(N0.) ? + ? п ° N —--^ „ 7--1--7ГТ1--

. /-ч с 7 /-ч с 7

РХ+а + 0.5Ла РХ+а + 0.5На РХ+а + 0.5На

г(х, 0) = 0.

I £

Представим по аналогии [4, с. 528] решение задачи для погрешности г р = г^ в виде суммы £(а) = + П(а), где П(а) определяется условием

П(а) — П(а-1) ◦

-= <фа, жаешЛа,

т

*7(а) - *7(а-1) _ 0-5/га °

— « г 7 г—а) —

т РХ-а + 0.5Ла

~РХ+а + 0.5Лв^' П(х, 0) = 0.

о о о

Отсюда находим П+1 = П(р) = П + т+ ф2 + ... + Фр) = П1 = 0. На кубической сетке Н1 = Н2 = ... = Нр = Н при условии

Х-1 = Х-2 = ... = Х-р = Х1, Х+1 = Х+2 = ... = Х+р = Х2

имеем

1+1 1 0.5Нт (о о 0 \ 1

= + ¿Г^к + ^ + - + К) = * = °>

о о о о о о

П(а) = т(ф1 + ф2 + ... + фа) = —т(фа+1 + фа+2 + ... + Фр) = 0(т). Функция ^(а) определяется условиями

и

" — - АаУ(а) + фа, фа= АаЩа) + Фа, %*) (ж> =

где Аат]а = —тАа[гра+1 + фа+2 + • • • + = 0(т), если в замкнутой области существуют непрерывные производные 9х2дх2 , а Ф Р-

(1с) З+Т о

У{а) - У(а-1) Ща) - У(а-1) _ «а Ча,0 ~ Р-аЩ 4>*_а 0.5/и/>_а

PXi + 0.5h pxi + 0.5h pxi + 0.5h

(i ) j+- j+-V{a) -V{a-l) = OL*VxJq -P-aVp P | j>*_a x =Q

т px1 + 0.5h px1 + 0.5h' а '

(Na) J + f n J+f

, г\ r 7 > a - a '

т PX2 + 0.5h PX2 + 0.5h

Для оценки V(a) воспользуемся оценкой (16):

Ik < o<T<ajVi(l^J + + Ik-

^ j'=0 a=1

Так как =0 для всех j = 0,1,... , jo, то для погрешности имеем оценку

lk'+1Lh ^ l|vi+1|Ch ^ M(h2 + т).

Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Пусть задача (1)—(3) имеет единственное непрерывное в QT вместе с производными Ц-, решение u(x,t) и существуют непрерывные в Qt производные

d2u d4u d3u d2f ^ < <

dt2' dx^dx2^ dtdx^ dx^ ^ ' ^ '

X-a = X1 = const, x+« = X2 = const, a = 1,2,...,p. Тогда схема (7)-(9) равномерно сходится на кубической сетке h1 = h2 = ... = hp = h со скоростью O(h2 + т).

Литература

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.—М.: Наука, 1996.—724 с.

2. Самарский А. А. Об одной задаче распространения тепла // Избр. тр. А. А. Самарского.—М.: МАКС Пресс, 2003.—С. 1-22.

3. Нерпин С. В., Чудновский А. Ф. Энерго- и массообмен в системе растение-почва-воздух.—Л.: Гидрометеоиздат, 1975.—358 с.

4. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1973.

5. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—415 с.

Статья поступила 12 декабря 2011 г.

шхануков-лафишев мухамед хабалович Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова, заведующий кафедрой вычислительной математики РОССИЯ, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 165 E-mail: shkhanukov-lafishev@mail.ru

лафишева мадина мухамедовна

Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова, доцент кафедры информатики и МОАС РОССИЯ, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 165 E-mail: taisauti@yandex.ru

Нахушева Фатима Мухамедовна

Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова, доцент кафедры вычислительной математики РОССИЯ, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 165

Мамбетова Альбина Борисовна

Сахалинский государственный университет,

старший преподаватель кафедры информатики

РОССИЯ, 693008, Южно-Сахалинск, ул. Пограничная, 70/106

Кабардино-Балкарский госуниверситет им. Х. М. Бербекова,

аспирант кафедры вычислительной математики

РОССИЯ, 360000, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 165

THE LOCALLY-ONE-DIMENSIONAL SCHEME FOR THE EQUATION OF HEAT CONDUCTIVITY WITH THE CONCENTRATED THERMAL CAPACITY

Shkhanukov M. Kh., Lafisheva M. M., Nakhusheva F. M., Mambetova A. B.

The work is devoted to locally-one-dimensional schemes for the equation of heat conductivity with a non-stationary boundary condition which imitate a concentrated thermal capacity placed on domain boundary. A priori estimate in the uniform metrics is obtained and the convergence of the constructed scheme on a cubic net is proved.

Key words: the regional problem, the concentrated thermal capacity, the locally-one-dimensional schemes, convergence, an aprioristic estamation.