Динамика взаимодействия топологических вихрей с доменной стенкой в (2+1)-мерной нелинейной сигма-модели

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №4_

ФИЗИКА

УДК 537.611, 530.146

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров

ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ВИХРЕЙ С ДОМЕННОЙ СТЕНКОЙ В (2+1)-МЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ

Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан

Методами численного моделирования проведено исследование динамики взаимодействия топологических вихрей с 180-градусной доменной стенкой неёловского типа в (2+1)-мерной О(3) векторной нелинейной сигма-модели. Выявлен распад топологических вихрей на локализованные возмущения с половинными топологическими зарядами, движущиеся вдоль плоскости доменной стенки.

Ключевые слова: двумерный топологический солитон - неёловская доменная стенка - О(3) векторная нелинейная сигма-модель - динамика взаимодействий.

Исследование динамики локализованных границ магнитных доменов привлекает внимание исследователей в связи с возможностями их приложений в различных современных технологических процессах, например, в спиновой электронике, при создании производительных и надежных устройств считывания, записи, хранения и обработки цифровых данных (трековая память, спиновый транзистор) и т.д., использующих связь намагниченности и электрической поляризации. Исследование динамики распределения намагниченности доменных стенок (доменных границ магнитных доменов), их движение и перестройка под действием различных внешних полей, является важным составляющим процесса создания магнитных устройств, обладающих новыми функциональными возможностями. В настоящей работе получены модели столкновения движущихся топологических вихрей (топологических солитонов, ТВ) [1-4] с неподвижной доменной стенкой неёловского типа в (2+1)-мерной анизотропной О(3) векторной нелинейной сигма-модели (ВНСМ). Уравнения Лагран-жа-Эйлера исследуемой модели имеют вид [1-4]

ъръ +

г = 1,2,3, = 1,

где 51 = Бт^соБ^, 52 = втбвтф, 53 = совв, а в(х,у,^) и ф(х,у,I) эйлеровы углы. Напомним, что уравнения (1) в меридианном сечении изотопического пространства (ф( х, у, ^ ) = 0) сводятся к уравнению 8т-Гордон вида [1-4]:

2 Пв = 6ът2в.

Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович, Шокиров Фарход Шамсидинович. 734063, Республика Таджикистан. г. Душанбе, пр. Айни, 299/1, Физико-технический институт. E-mail: muminov@phti.tj; shokirov@rambler.ru

В данной работе на основе приведённого в работе [5] аналитического вида решения в виде доменной стенки неёловского типа

z (х, y, t) = 4arctg

( ni w w 1 n í w w 1

eB{ wх-wх0 J+B [ wy- wyo

(2+1)-мерного синус-уравнения Гордона следующего вида:

ztt - k12Zxx - k22zyy + w" Sin z = 0

была получена численная модель доменной стенки (2+1)-мерной О(3) ВНСМ (рис. 1с, DW). Далее в (2+1)-мерной О(3) ВНСМ рассматривается взаимодействие топологического солитона - вихря с ненулевым индексом Хопфа (Q) вида [6]

в = 2arctg

2 2,2 / • / r = х + y , cos x = х / r, sin x = y / r

с полученной доменной стенкой вида

в (х, y, t) = 2arctg

í f w w 1 n í w w 1 Л

e4 wх-wX0 Г21 wy-wyo

Топологические солитоны

(см., например [7]). В указанной работе, в частности, было показано, что при взаимодействии скир-мион поглощается доменной стенкой, а топологический заряд скирмиона передается волнам, которые распространяются со скоростью с = 1 вдоль плоскости доменной стенки [7].

Таким образом, в настоящей работе решалась эволюционная задача для динамических уравнений (1) с использованием вихрей вида (2) и доменной стенки вида (3) в качестве начальных ( / = 0.0) данных. В частности, при выводе численных моделей взаимодействия топологических соли-тонов (2) и (3) в О(3) ВНСМ мы опирались на основные принципы теории разностных схем [8] и стереографическую проекцию, где учитывались теоретико-групповые особенности конструкции класса О(№) ВНСМ теории поля [9]. Интеграл энергии (Еп) полученных в процессе исследования моделей системы взаимодействующих ТВ до и после столкновения сохраняется с хорошей точностью ЬЕп

-~ 10" —10" (рис.1ь). Также, во всех численных экспериментах при столкновении наблюдается

Еп

излучение круговых линейных волн малоамплитудных возмущений от центра резонансной зоны. На рис.Ы показано начальное и конечное состояние численной модели системы взаимодействующих

топологических солитонов (2) и (3) при г = 0.0 и г = 25.2 . На рис.2 приведён процесс взаимодействия (динамика спинов в изотопическом пространстве) ТВ вида (2) с ТЗ равным ^ = —3, движущегося с заданной преобразованием Лоренца начальной скоростью равной о(¿0)« 0.45 с неподвижной (оош = 0.0) доменной стенкой вида (3) описанных на рис.1. Движущийся ТВ (рис.2а) при приближении к доменной стенки постепенно теряет часть своей скорости (ц=9 < ц=0) (рис.2Ь). При взаимодействии с доменной стенкой (рис.2с) происходит распад ТВ вида (2) на локализованные возмущения (ЛВ) (рис^), которые распространяются вдоль плоскости доменной стенки со скоростью света (оьу ^ 1).

Рис.1. Численная модель эволюции лобового (а = 7 / 2) столкновения ТВ (ТУ) вида (2) с индексом Хопфа ^ =—3 > 0.0) с неподвижной = 0.0) доменной стенкой (DW) вида (3) модели (1): а) модель

столкновения () при г = 0.0 и DH при г = 25.2 (распад ТВ на 3 пары ЛВ); Ь) интеграл энергии системы взаимодействующих солитонов при г е [0.0,30.0]; о) 3D-модель изоспиновой структуры ТВ (ТУ, в е [0,7 / 2]) и доменной стенки (БЖ, в е [7 / 2,7]) при г = 0.0.

Анализ динамики моделей спинов в изотопическом пространстве показывает, что распад на ЛВ происходит дискретно, по дробным значениям ТЗ (Q = 1/2) [4,7]. После первого этапа распада

ТВ происходит второй этап (рис.2е, г = 21.3) излучения пары ЛВ (с ТЗ равным |022| = 1/2) распространяющихся со скоростью иьу ^ 1 вдоль плоскости доменной стенки в противоположных ±у-направлениях. На рис^ приведён момент (г = 25.2) полного распада ТВ вследствие последнего этапа излучения пары ЛВ (с ТЗ равным |033| = 1/2). Аналогичные результаты были получены при различных параметрах системы, в частности, при скоростях движения налетающего солитона (ТВ): оГУ е [0.28,0.82]; значений ТЗ ТВ вида (2): ^ = —2, ^ = —4; значений а : а <7 /2, а>7 /2 .

На рис.3 приведён процесс столкновения движущегося со скоростью ~ 0.445 ТВ вида (2), обладающего ТЗ равным ^ = —4 с неподвижной доменной стенкой вида (3) (рис.3а).

t = 0.0 10

lx

5 >-

-5 10

*

= У.иь 1х

н

Ь)

t = 15.5 10

5 >-

-5 -10

lx

Рис.2. Изоспиновая 2Б-структура системы взаимодействующих ТВ вида (2) с ТЗ равным Q = —3 и доменной стенки вида (3) модели (1): a),b) расположение ТВ при t = 0.0 иt = 9.05; c) взаимодействие ТВ с доменной стенкой при t = 15.5; d) распад ТВ на 2 ЛВ c ТЗ Qt| = 1/2 (t = 17.4, zoom - 2x); e) распад ТВ на 4 ЛВ c ТЗ

\Qt\ = 1/2 (t = 21.3, zoom: 2x, UP); f ) распад ТВ на 6 ЛВ c ТЗ \Q\ = 1/2 (t = 25.2, zoom: 2x, UP).

Вектор движения ТВ ортогонален относительно плоскости доменной стенки (см. рис.1, а = Ж /2). При взаимодействии, аналогично предыдущим экспериментам, наблюдается поэтапный распад налетающего ТВ на 2Q ЛВ (обладающих ТЗ равным |Q12| = 1/2), движущихся со скоростью uLV ^ 1 вдоль плоскости доменной стенки в противоположных ± у-направлениях (рис.ЗЬс). На рис.ЗЬ приведён момент распада ТВ на 2 ЛВ, оставшийся ТВ с ТЗ Qt = —3 отмечен окружностью. На рис.Зс приведена часть области моделирования L (Y > 0), где при t = 27.9 наблюдается 4 движущихся со скоростью vLV ^ 1 в +у-направлении ЛВ, образовавшиеся вследствие поэтапного распада ТВ. Аналогичный процесс наблюдается в остальной части L : Y < 0. Описанная предыдущими экс-

1602020101260101020101020201

периментами динамика взаимодействия наблюдается также при столкновении ТВ вида (2), обладающего положительным индексом Хопфа (например, ^ = 2,3,4) с доменной стенкой вида (3), описываемой решением типа антикинк. В этом случае, также наблюдается полный распад налетающего ТВ поэтапным излучением энергии в виде 2^ ЛВ обладающих ТЗ равным ^ = 1/2, распространяющиеся со скоростью иьу ^ 1 в противоположных ± у-направлениях вдоль плоскости доменной стенки.

t = 0.0 t = 18.3 t = 27.9

Рис.3. Численная модель эволюции лобового (X = 7 / 2) столкновения ТВ (TV) вида (2) с индексом Хопфа Q (Q = —4,ога « 0.445) с неподвижной (UDiV = 0.0) доменной стенкой (DW) вида (3) модели (1): a) модель столкновения при t = 0.0; b) Распад ТВ на 2 ЛВ c ТЗ |Q| = 1/2 (t = 18.3, zoom - 2x) c) Распад ТВ на 8 ЛВ c ТЗ |Q| = 1/2 (t = 27.9, zoom - 2x, UP).

Таким образом, наши исследования показали, что в (2+1)-мерной О(3) ВНСМ локализованные вихри вида (2) при столкновении с доменной границей вида (3) полностью распадаются путем поэтапного излучения энергии в виде 2Q ЛВ, каждое из которых обладает ТЗ равным |Q| = 1/2.

Образовавшиеся ЛВ движутся со скоростью oLF ^ 1 от центра резонансной зоны в противоположных ± у-направлениях (при движении налетающих ТВ вдоль ± х-направлениях) по поверхности доменной стенки образуя связанное состояние в виде поля ЛВ-доменная стенка. Аналогичный результат был также выявлен в работе [7], где численными моделированиями был показан распад скирмио-на при лобовом столкновении с доменной стенкой на две части, которые распространялись вдоль плоскости доменной стенки со скоростью о = c, при этом каждая из частей обладала ТЗ равным Q = 1/2 . В наших экспериментах, а также в моделях работы [7] доменная стенка действует как носитель волн в виде локализованных возмущений с половинными топологическими зарядами.

Поступило 06.01.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Numerical simulation of new types of topological solitons of O(3) vectorial non-linear sigma-model. - Science, Technology and Higher Education: materials of the III international research and practice conference, v. II, Westwood, October 16th, 2013 / Publishing office Accent Graphics communications - Westwood - Canada, 2013, pp. 349-357.

2. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Динамика взаимодействий двумерных топологических солитонов в О(3) нелинейной векторной сигма-модели. - ДАН РТ, 2010, т.53, №9, с. 679-684.

3. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Numerical simulation of new types of topological and dynamical solitons in non-linear sigma-model. - News of Science and Education / Publisher: Science and education LTD, Yorkshire, England, 2014, p. 69-77.

4. Шокиров Ф.Ш. Численный анализ структуры топологических солитонов двумерной О(3) векторной нелинейной сигма-модели. - Современные методы теории функций и смежные проблемы: Мат-лы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВГУ, 2013, с. 290.

5. Johnson S., Suarez P., Biswas A. New Exact Solutions for the Sine-Gordon Equation. - Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2012, v. 52, №1, pp. 98-104.

6. Белавин А.А., Поляков А.М. Метастабильные состояния двумерного изотропного ферромагнетика. - ЖЭТФ, 1975, 22(10), с. 503-506.

7. Kudryavtsev A., Piette B.M.A.G., Zakrjewsky W.J. Skyrmions and domain walls in (2+1) dimensions. -arXiv:hep-th/9709187v1 26 Sep 1997, DTP-97/25, 2008.

8. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977, 657 с.

9. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Пакет компьютерных программ для проведения численного моделирования визуализации эволюции и взаимодействий частицеподобных объектов в двумерных О(3) нелинейных сигма-моделях непертурбативных квантовых теорий поля. Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0241TJ от 16.03.2010 г.

^Д.Муминов, Ф.Ш.Шокиров

ДИНАМИКАИ ТАЪСИРИ МУТАЦОБИЛИ ОШУБ^ОИ ТОПОЛОГИ БО САРХДДИ ДОМЕНИ ДАР СИГМА-МОДЕЛИ ГАЙРИХАТТИИ (2+1)-ЧЕНА

Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон

Тавассути тархрезии ададй тадкикки динамикаи таъсири мутакобили ошубхои (солитонхои) топологй ва сархади домении навъи неёлии 180-градусй дар О(3) сигма-модели вектории гайрихаттии (2+1)-чена гузаронида шуд. Бо таъсири мутакобил парокандашавии солитонхои топологй ба ошубхои алохида, ки дар хати хамвории сархади доменй бо нисфи кимати вохиди бори топологй пахн мешаванд муайян шудааст.

Калима^ои калиди: солитони топологии дучена - сархади домении навъи неёлй - О(3) сигма-модели вектории гайрихаттй - динамикаи таъсири мутацобил.

Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov DYNAMICS OF INTERACTION OF TOPOLOGICAL VORTEX WITH DOMAIN WALL IN (2+1)-DIMENSIONAL NON-LINEAR SIGMA-MODEL

S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan By numerical simulation the dynamics of interaction of localized (topological) vortices with 180-degree Neel type domain walls in (2+1) dimensional O(3) vectorial nonlinear sigma model is investigated. The decay of the topological vortices onto the localized perturbations with half topological charge, moving along the plane of the domain wall is revealed.

Key words: two-dimensional topological soliton - Neel-type domain wall - 0(3) nonlinear vectorial sigma-model - dynamics of interaction.