Кооперативные эффекты на мнкрои наноструктурном уровнях при динамическом разрушении твердых тел

УДК 550.3:534.6:535.378

Кооперативные эффекты на мнкро- и наноструктурном уровнях при динамическом разрушении твердых тел

И.П. Щербаков, B.C. Куксенко, А.Е. Чмель

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, Санкт-Петербург, 194021, Россия

Лабораторные образцы ряда материалов, существенно различных по степени однородности (граниты, мрамор, полиметилме-такрилат), подвергались ударному разрушению. Временные серии сигналов акустической эмиссии и фрактолюминесценции регистрировались с разрешением 10 нс. Полученные распределения энергии в акустических и световых импульсах анализировались с помощью статистики Тсаллиса, которая позволяет оценить степень коррелированности процессов в открытой термодинамической системе, в частности в разрушаемом твердом теле. Данные акустической эмиссии показали, что коррелированное развитие повреждения хорошо выражено на микроструктурном уровне в неоднородных материалах, но отсутствует при формировании макроскопических дефектов во всех образцах. На наноструктурном уровне (данные фрактолюминесценции), напротив, кооперативные эффекты всегда имеют место и не связаны с микроскопической неоднородностью испытанных образцов. Определенную роль во всех случаях играет пластичность материалов. Сделан вывод о том, что инициация разрушения всегда является коррелированным, неаддитивным процессом.

Ключевые слова: динамическое разрушение, горные породы, акустическая эмиссия, фрактолюминесценция, статистика Тсаллиса

Micro- and nanostructural cooperative effects in dynamic fracture of solids

I.P. Shcherbakov, VS. Kuksenko, and A.E. Chmel

Ioffe Physical Technical Institute, RAS, St. Petersburg, 194021, Russia

In the study, laboratory specimens of several materials much differing in homogeneity degree (granite, marble, polymethyl methacrylate) were subjected to impact fracture. Signals of acoustic emission and visible light emission (fractoluminescence) were recorded with a time resolution of 10 ns. The acoustic and light pulse energy distributions were analyzed using Tsallis statistics, which allows estimating the correlation degree of the processes in an open thermodynamic system, in particular in a fractured solid. The acoustic emission data show that damaging in the heterogeneous materials is well correlated on the microscale and is not correlated on the macroscale. On the nanoscale (fractoluminescence data), cooperative effects are always present and are unrelated to microscopic heterogeneity of the test specimens. In all cases, plasticity of the materials plays a part in the processes. The conclusion is made that initiation of fracture proceeds at all times as a correlated nonadditive process.

Keywords: dynamic fracture, rocks, acoustic emission, fractoluminescence, Tsallis statistics

1. Введение. Самоорганизация при динамическом разрушении

Нагруженное твердое тело является неравновесной открытой термодинамической системой, в которой одновременно с необратимыми изменениями, связанными с разрывом структурных связей, происходит самоорганизация ансамбля образующихся дефектов, позволяющая поддерживать некоторое время метастабильное (критическое) состояние тела. Источником самоорганизации является дальнодействие в ансамбле дефектов, т.е. диапазон влияния вновь возникшего повреждения

на поведение окружающей среды (радиус корреляции) существенно превышает размер повреждения. Это выводит процесс разрушения из ряда классических экстенсивных процессов, в которых все события происходят независимо друг от друга вследствие экспоненциального затухания действия локального возмущения с расстоянием и временем. Формальным признаком дальнодействия могут служить степенные распределения пространственных, временных и энергетических параметров процесса разрушения. Степенной закон отражает идентичность динамики разрушения на всех иерархических уровнях. В конце прошлого века были развиты

© Щербаков И.П., Куксенко B.C., Чмель А.Е., 2013

феноменологические подходы к описанию поведения деформируемых и разрушаемых материалов путем оценки фрактальной размерности и других степенных индексов пространственно-энергетических распределений на всех доступных исследованию масштабных уровнях (см. обзоры [1-3]). По мере расширения экспериментальной базы исследований самоорганизации разрушения были предложены модели поведения нагружаемых/деформируемых твердых тел различных — от наноструктурного [4, 5] до геофизического [6, 7] — масштабов, основанные на принципах неравновесной термодинамики.

Основой для описания динамики открытых неравновесных систем стала концепция самоорганизованной критичности [8-10], которая предполагает «медленный драйв» системы через цепь метастабильных состояний в направлении балансирования на грани хаоса/катастрофы, не проявляя при этом характеристических временных , пространственных и энергетических параметров [11-13]. Время спонтанного перехода от начальной (некоррелированной) динамики до перманентно-критического состояния зависит от размера открытой системы [14]; при этом радиус корреляции растет по мере приближения к этому состоянию [15, 16], достигая, в принципе, размера всей системы. В рамках двухстадийной концепции разрушения [13, 17, 18] (накопление дефектов различных структурных уровней ^ сверхбыстрый рост макроскопической трещины) коррелированный процесс следует ожидать только на первой стадии.

В то же время, начиная с первых работ Мандельброта (см. краткий обзор [19]), хорошо известно, что профиль (шероховатость) поверхности откола имеет выраженную фрактальную структуру, т.е. самоорганизация происходит со скоростью движения трещины. Это должно накладывать отпечаток на динамику «быстрого» (ударного) разрушения, и можно ожидать, что высвобождение энергии при образовании первичных дефектов будет проявлять отклонения от степенных соотношений типа закона Гуттенберга-Рихтера. Но если дальнодействие действительно нарушается, то с какого структурного уровня?

В недавней работе [20] ударное разрушение гранита и плавленого кварца изучалось методом акустической эмиссии с использованием скоростной регистрации, обеспечивающей временное разрешение измерения сигналов 10 нс. Для высокогетерогенного гранита было получено фрактальное распределение энергии, высвобождающейся при образовании микротрещин, тогда как данные для кварца свидетельствовали об отсутствии коррелированного процесса. Результат был объяснен различием в степени однородности материалов, которая регулирует развитие множественного либо локализованного повреждения. Однако микротрещины не являются первичными дефектами, поэтому полученный результат не позволяет судить о корреляции разрушения

на наиболее неравновесном наноструктурном уровне (<30 нм согласно классификации иерархии масштабов разрушения, предложенной В.Е. Паниным [5]). Поэтому в настоящей работе измерения акустической эмиссии в аналогичном эксперименте по динамическому разрушению были дополнены регистрацией фрактолюминес-ценции поверхности образцов. Последний метод чувствителен к образованию первичных дефектов в деформируемом материале, поскольку излучение фотонов в этом случае происходит в результате генерации свободных радикалов при разрыве химических связей в твердых диэлектриках или в результате аннигиляции дислокаций в проводниках. Ранее метод фрактолюминесцен-ции применялся для исследования деградации поверхности металлов волной деформации, приходящей от удаленного очага разрушения [21] (и ссылки в этой работе). Такая же схема опыта была применена в настоящем исследовании, т.е. эмиссия фотонов наблюдалась не из зоны образования макроскопического откола, а с боковой поверхности образца.

Сочетание методов высокоскоростной регистрации акустоэмиссии и люминесценции позволило сравнить течение динамического разрушения на микро- и наноструктурном уровнях.

Для исследования были выбраны четыре материала, существенно различающихся по физико-механическим свойствам, прежде всего по степени однородности и пластичности. Мрамор и два образца гранита представляли классические гетерогенные горные породы, но мрамор гораздо более пластичен, чем гранит. Набор минералов был дополнен однородным и пластичным полиметиметакрилатом.

Для выявления кооперативных явлений при динамическом разрушении мы воспользовались статистикой Тсаллиса [22, 23], которая является обобщением классической статистики Больцмана на случай неравновесных термодинамических систем. На основе концепции Тсал-лиса в последние годы была развита так называемая не-экстенсивная статистическая механика [23-26]. Ниже мы кратко изложим ее базовые принципы, чтобы показать преимущества этого нового подхода к динамике неравновесных процессов.

2. Неэкстенсивная статистическая механика

Классическая (равновесная) термодинамика предполагает аддитивность вклада отдельных «событий» в интегральный процесс. В неравновесных термодинамических системах закон аддитивности может нарушаться, что на опыте определяется по степенному характеру энергетических и других статистических распределений. Однако оценка коррелированности процесса путем выявления степенных распределений является лишь качественной и не всегда однозначной. При небольшом отклонении от равновесного состояния закон может выполняться лишь в узком диапазоне числа событий (ме-

нее одного порядка величины), и вывод о наличии/ отсутствии корреляций будет плохо обоснован. Поэтому в настоящей работе характер распределения энергии, выделяемой при разрушении, оценивался с помощью статистики Тсаллиса [22], в которой принимается во внимание корреляция индивидуальных событий посредством введения в определение энтропии «параметра неэкстенсивности» q, который служит мерой неаддитивности отдельных событий. Соответственно, классическое определение энтропии

S = -kX Pi ln р}

i=1

приобретает вид:

ґ ™ Л

-X рЯ

i=1

Kq -1),

где рі — вероятности появлення ^ возможных конфигураций; к — постоянная Больцмана. При этом распределение Гиббса

р

(здесь Е — энергия) преобразуется в обобщенное выражение для равновесных и неравновесных систем:

р

а суммарная энтропия системы из двух независимых подсистем А и В приобретает перекрестный член:

Sq

Статистика Больцмана-Гиббса отвечает пределу q ^ 1, поскольку в этом случае

рі = РіРІ1 -1)=Рі ехр[(і-1) 1п Рі] *

* Рі[1+(і-1) 1п Рі]=Рі [ехр(і-1) 1п Рі] *

* Рі[1+(і- 1)1пРі ]>

и, следовательно, уравнение (2) переходит в классическое уравнение (1). Одновременно перекрестный член в уравнении (5) равен нулю при q = 1.

Случай q < 1 означает наличие предела по высоким энергиям, поскольку р1 = 0, когда аргумент степенной функции отрицателен; это может иметь место в равновесной системе при ограниченном числе событий. Наконец, q > 1 указывает на наличие корреляций в неравновесной системе, когда аддитивность энтропии нарушается (неэкстенсивный процесс). Поэтому величину q можно рассматривать также как параметр, характеризующий корреляционный радиус взаимодействий (чем больше q, тем больше радиус).

Неэкстенсивная статистическая механика является реализацией концепции Тсаллиса для описания процессов перераспределения энергии в открытых статистических системах. В работе [24], исходя из определения энтропии Тсаллиса, авторы получили аналитическое выражение для распределения магнитуд сейсмических толчков. Соответствующее выражение для энергии, выделяющейся при механическом разрушении, имеет вид [20]:

N І E > E') = N

1 -

1-я

2-q

'E'2/3

2-q

1-q

где Щ(Е > Е) — число отдельных актов разрушения, в которых выделяется энергия Е, превышающая порог Е; N — число событий разрушения (на практике число зарегистрированных сигналов, амплитуда которых превышала уровень дискриминации); а — плотность энергии. Ранее формула (6) применялась для описания сейсмической активности различных типов [7, 24, 26] и для неэкстенсивного анализа других физических процессов [20, 25].

Рис. 1. Схема установки для регистрации акустической эмиссии и фрактолюминесценции при ударном разрушении (а): 1 — электромагнит, 2 — груз, 3 — боек, 4 — образец, 5 — кварцевая линза, 6 — ФЭУ-136, 7 — пьезоэлемент, 8 — АЦП-АСК-3106, 9 — ПК; фотографии повреждений поверхности мелкозернистого (б) и крупнозернистого гранитов (в), мрамора (г) и полиметилме-такрилата (д); размер изображений на всех фотографиях 20 х 20 мм

В настоящей работе мы использовали уравнение (6) для анализа корреляции образования дефектов различного масштаба при динамическом разрушении твердых тел путем подбора параметра д и постоянной а для наилучшего совпадения с экспериментальными распределениями энергии сигналов акустической эмиссии и фрактолюминесценции разрушаемого образца.

3. Эксперимент

Схематическое изображение установки приведено на рис. 1, а. Полированные образцы в виде блоков с приблизительным размером 25 х 15 х 25 мм помещались на массивную металлическую подставку. Локализованное разрушение производилось ударом груза, падающего с высоты 10 см на стальной боек, поставленный на поверхность образца. Изображения возникших повреждений показаны на рис. 1, б - д.

200

400 Время, мкс

600

Для регистрации акустической эмиссии на расстоянии 3 мм от бойка устанавливали квадратную (4 х 4 мм) пластину из пьезокерамики. Люминесценция боковой поверхности образца собиралась кварцевой линзой и направлялась на вход фотоумножителя ФЭУ-136. Сигналы акустической эмиссии и фрактолюминесценции поступали на входы аналогово-цифрового преобразователя АСК-3106. Система запускалась в момент касания грузом бойка. Напряжение на выходе преобразователя записывалось в память компьютера с шагом 10 нс при максимальной продолжительности сбора сигналов 1.3 мс. Предельная частота регистрируемых сигналов составляла 100 МГц. Кроме того, сигналы акустической эмиссии подвергались низкочастотной фильтрации на уровне 50 кГц, чтобы отделить вклад паразитных колебаний элементов экспериментальной установки и пьезокерамической пластины из-за прогиба образца при ударе.

Временные развертки интенсивности сигналов акустической эмиссии и люминесценции разрушаемых образцов показаны на рис. 2 и 3 соответственно. Точкой

200

400 Время, мкс

600

Рис. 2. Временные развертки интенсивности сигналов акустической эмиссии образцов мелкозернистого

Рис. 3. Временные развертки интенсивности сигналов фрактолюминесценции поверхности образцов. Здесь и на рис. 4, 5 обозначения идентичны таковым на рис. 2

N

10000 Г 0

1000 Г q= 1.466^*'"^%^^ N : а = 0.025

100 Л

10 : q = 0.66 \ .

10000 Г б

1000 г q= 1.363 *^, ! а = 0.16

100

10 q = 0.64 S : a = 13.5 |

10000 : X И

1000  \ q = 0.92

100 V a = 1.5

10 : \

10000 [ 0

1000

100 i q = 0.62

10 a = 28 I

1 10 100

E', отн. ед.

Рис. 4. Распределение сигналов акустической эмиссии по энергии. Здесь и на рис. 5: значки — эксперимент, линии — результат подбора параметров д и а по формуле (6) для оптимального совпадения с экспериментом

отсчета служит момент касания грузом бойка. Запаздывание сигнала примерно на 50-70 мкс связано с прохождением упругих волн через боек и образец.

Можно видеть, что в развертках сигналов акустической эмиссии и люминесценции из обоих гранитов имеются короткие (длительностью менее 10 мкс) вспышки активности в области 87-92 мкс, интенсивность которых многократно (в мелкозернистом граните — на порядок величины) превышает интенсивность эмиссии на участках вне этого интервала. Очевидно, что эти доминирующие пики отвечают образованию макроскопического откола в образцах. Совпадение положений пиков максимальной интенсивности в развертках акустической эмиссии и люминесценции свидетельствует о том, что оба метода регистрируют один и тот же процесс.

Разрушение мрамора и полиметилметакрилата не приводит к появлению доминирующих деталей в развертках эмиссии обоих типов, хотя во временной зависимости сигнала фрактолюминесценции можно выделить несколько разнесенных во времени областей повышенной активности процесса, что указывает на ступенчатый характер формирования повреждения.

Энергия, высвобождаемая в одиночном акте разрушения (образование микротрещины или разорванной химической связи), пропорциональна интенсивности (квадрату амплитуды) акустического или светового сиг-

0.01 0.1 1 10 100 Е', отн. ед.

Рис. 5. Распределение сигналов фрактолюминесценции по энергии

Таблица 1

Рассчитанные параметры д и а для энерговыделения в импульсах акустической эмиссии при ударном разрушения некоторых материалов

Образец Характерный размер зерна, мм Плотность энергии а, отн. ед. Параметр неэкстенсивности q

Мелкозернистый гранит 2-3 0.025* 0.16** 1.47* 0.66*

Крупнозернистый гранит 5-7 7. 3 * 13.5** 1.36* 0.64**

Мрамор ~1 1.50 0.92

Полиметилметакрилат - 28 0.62

* Пологий участок зависимости N(E > E) от E.

* * Крутой участок зависимости N(E > E) от E.

нала. Поэтому показанные на рис. 2 и 3 развертки были использованы для определения распределений энергии в зарегистрированных событиях, которые можно было бы сопоставить с аналитическим выражением (6) и определить величины параметров д и а при динамическом разрушении изученных материалов.

4. Статистический анализ

4.1. Микроструктурный уровень

На рис. 4 в двойных логарифмических координатах приведены экспериментальные зависимости числа импульсов акустической эмиссии Ы(Е > Е) от величины Е', а также результаты аппроксимации этих зависимостей, выполненной посредством подбора оптимальных параметров д и а в уравнении (6).

В распределениях гранитов (рис. 4, а и б) хорошо видны участки с различным наклоном. Аналитическое описание этих кривых с помощью уравнения (6) возможно только двумя наборами параметров д и а — отдельно для пологих и крутых участков в каждом распределении. Величины этих параметров, найденные путем их подбора до оптимального совпадения экспериментальной и аналитической зависимостей, приведены в табл. 1.

Как говорилось выше, временные серии сигналов акустической эмиссии из мрамора и полиметилметакри-лата не имеют явно выраженных доминирующих пиков (рис. 4, в и г), т.е. сильные «выбросы» энергии в коротком временном интервале отсутствуют. Соответственно, экспериментальные распределения энергии в импульсах акустической эмиссии из этих материалов представлены плавными кривыми, которые хорошо описываются одиночными парами параметров д и а (табл. 1). Это свидетельствует об отсутствии событий с плотностью энергии, значительно превышающей средний уровень.

4.2. Наноструктурный уровень

На рис. 5 показаны экспериментальные и рассчитанные распределения энергии в импульсах фрактолюми-несценции. В отличие от акустических распределений,

все материалы имеют кривые с плавно изменяющимся наклоном. Можно отметить, что конечные (высокоэнергетические) участки распределений в гранитах близки к логлинейным зависимостям log(E > E') ^ blog E', т.е. отражают степенную зависимость между числом импульсов люминесценции и энергией в импульсе (b — показатель степени). Зависимости такого типа, характерные для высококоррелированных процессов, неоднократно наблюдались при исследованиях компрессионного разрушения гранитов методом акустической эмиссии [27-29].

Все распределения хорошо описываются парами параметров q и а (табл. 2). Конкретные величины плотности энергии а и параметра q (т.е. степени неаддитивного развития разрушения) определяются фундаментальными свойствами материала, такими как прочность химических связей и способность к пластической деформации на наноструктурном уровне.

5. Обсуждение результатов

Кривые распределения энергии в импульсах акустической эмиссии, полученные при разрушении гранитов с различным размером зерен, качественно совпадают. Их характерной особенностью является сочетание двух участков с существенно различным наклоном. Пологие

Таблица 2

Рассчитанные параметры д и а для энерговыделения в импульсах фрактолюминесценции при ударном разрушения некоторых материалов

Образец Плотность энергии а, отн. ед. Параметр неэкс-тенсивности q

Мелкозернистый гранит 0.019 1.51

Крупнозернистый гранит 0.145 1.45

Мрамор 0.24 1.31

Полиметилмета- крилат 0.34 1.14

участки соответствуют вкладу импульсов относительно малой интенсивности, тогда как крутые участки отвечают пикам энерговыделения, лежащим в обоих образцах в очень узком временном интервале вблизи 90 мкс (рис. 2, а и б). Как видно на этих рисунках, интенсивность акустической эмиссии в указанном интервале превышает более чем на порядок величины интенсивность «низкоэнергетичного» процесса, который на кривых распределений представлен пологими участками. Это дает основания полагать, что участки с большим наклоном соответствуют стадии формирования макроскопического (в масштабе образца) повреждения. О том же свидетельствует сравнение средних плотностей энергии в импульсах для пологого и крутого участка в каждом из гранитов, для которых величины средней плотности энергии различаются на порядок величины (табл. 1).

Величины параметра д для крутых участков распределений для гранитов обоих типов совпадают в пределах погрешности измерений и заметно ниже единицы (д = 0.65). Для пологих участков величины д составляют примерно 1.47 и 1.36 для мелко- и крупнозернистого гранитов соответственно.

Как говорилось выше, значения д > 1 характерны для кооперативных процессов в неравновесных системах; в случае генерации множества микротрещин (область низкого энерговыделения) это означает корреляцию событий на расстояниях, существенно превышающих размер отдельного повреждения. Случай д < 1, напротив, относится к некоррелированному развитию разрушения, при котором ограниченное число трещин развивается независимо. Это имеет место на стадии макроразрушения (крутой участок на распределении энергии).

Экспериментальные зависимости Ы(Е > Е') от Е' для мрамора не имеют резких изменений наклона и укладываются на плавные кривые. Параметр экстенсивности оказался чуть ниже единицы, т.е. кооперативные явления не проявляются. Это неожиданный результат, поскольку коррелированное разрушение принято считать типичным для гетерогенных материалов, в которых под нагрузкой происходит множественное зарождение дефектов микроскопического уровня, эффективно взаимодействующих между собой [30-32]. Однако особенностью мрамора является его пластичность, что, очевидно, вносит коррективы в представления о роли гетерогенности, развитые для хрупких материалов. Значительная пластическая деформация, предшествующая образованию микроскопического дефекта сплошности с выделением импульса акустической эмиссии, нарушает прямые взаимодействия между вновь образующимися микротрещинами. Этот эффект может не проявляться при «медленной» компрессионной нагрузке, но при ударном разрушении временная задержка образования центров, активных в акустической эмиссии, по-видимому, является решающей для установления дальних взаимодействий. Отметим, что влияние микропластич-

ности горных пород на характер акустической эмиссии при малых деформациях ранее исследовался в работе [33].

Напомним, что д ^ 1 характерно для независимых событий в статистической системе, тогда как д < 1 указывает на «нестатистический» характер процесса (в нашем случае, это «медленное» формирование одиночного макроскопического повреждения).

Распределения энергии в событиях акустической эмиссии качественно (д < 1 или д > 1) различны не только для различных материалов, но (в случае гранитов) также для сигналов акустической эмиссии высокой и низкой интенсивности. Отметим, что средняя плотность энергии в импульсах растет с увеличением величины параметра д, т.е. крупные события менее коррелированны (или вообще не коррелированны) по сравнению с более мелкомасштабными.

Все сказанное выше в этом разделе относится к развитию разрушения на масштабных уровнях, начиная с размера одиночной микроскопической трещины и включая более крупные повреждения. Картина накопления наноструктурных дефектов, регистрируемых методом фрактолюминесценции, существенно иная. Для всех материалов было получено д > 1, хотя величина этого параметра несколько меньше для более пластичных материалов, что повторяет тенденцию, отмеченную в опытах по измерению акустической эмиссии. Это означает, что на наноструктурном уровне процесс всегда коррелирован: микроскопическая неоднородность не проявляется при зарождении первичных дефектов. Иначе говоря, инициация разрушения всегда является кооперативным процессом. Мы считаем, что это самый важный результат проведенного статистического анализа. Он также находится в качественном согласии с результатами модельного [34] и экспериментального [35] исследований, в которых было показано, что первичные дефекты размером в несколько нанометров в аморфном кварце обладают фрактальной геометрией.

Что касается различий в степени коррелированности процессов на нано-, микро- и макроструктурном уровнях, то при динамическом разрушении важную роль играет временной фактор. Как известно, коррелированное поведение (самоорганизация) предполагает «медленную» динамику [16]. Очевидно, что это условие хорошо выполняется при накоплении первичных дефектов, время образования которых на несколько порядков величины меньше периода ожидания кластеризации — иными словами, процесс развивается медленно в масштабе времен событий. Время образования повреждений на более высоких иерархических уровнях может быть или сравнимо с обратной частотой появления новых дефектов (как в случае микротрещин), или быть больше времени ожидания следующего события (развитие очага из нескольких макроскопических трещин). Соответственно, самоорганизация возникает в ансамбле микроде-

фектов, но отсутствует при малом числе крупных событий.

6. Заключение

Динамическое (ударное) разрушение неоднородных и однородных твердых тел начинается на наноструктурном уровне как коррелированный процесс образования первичных дефектов. В высокогетерогенных материалах корреляция накопления дефектов сохраняется до микроструктурного уровня, хотя способность к пластической деформации может в той или иной степени подавлять кооперативные эффекты при разрушении. На макроскопическом уровне (отколы, магистральные трещины) разрушение развивается экстенсивно, т.е. взаимное влияние растущих кластеров/очагов незначительно.

Авторы признательны Э.И. Машинскому, указавшему на возможную роль микропластичности в проявлении кооперативных эффектов при разрушении горных пород.

Литература

1. Гейликман М.Б., Писаренко В.Ф. О самоподобии в геофизических

системах // Дискретные свойства геофизической среды / Под ред. М.А. Садовского. - М.: Наука, 1989. - С. 109-130.

2. Bouchaud E. Scaling properties of cracks // J. Phys.: Condens. Matter.- 1997. - V. 9. - P. 4319-4344.

3. Alava M.J., Nukala P.K.N.N., Zapperi S. Statistical models of fracture // Adv. Phys. - 2006. - V. 55. - P. 349-476.

4. Панин B.E., Егорушкин B.E. Неравновесная термодинамика дефор-

мируемого твердого тела как многоуровневой системы // Физ. ме-зомех. - 2008. - Т. 11. - № 2. - С. 9-30.

5. Панин B.E., Егорушкин B.E. Физическая мезомеханика и неравно-

весная термодинамика как методологическая основа наноматериаловедения // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 4. - С. 7-26.

6. Геншафт Ю. C. Земля — открытая система: геологические и геофи-

зические следствия // Физика Земли - 2009. - № 8. - С. 4-12.

7. Vallianatos F, Sammonds P. Is plate tectonics a case of non-extensive thermodynamics? // Physica A. - 2010. - V. 389. - P. 4989-4993.

8. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of 1/f noise // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 59. - No. 4. - P. 381384.

9. Sornette A., Sornette D. Self-organized criticality and earthquakes // Europhys. Lett. - 1989. - V. 9. - P. 197-201.

10. Chen K., Bak P., Obukhov S.P. Self-organized criticality in a crack propagation model of earthquakes // Phys. Rev. A. - 1991. - V. 43. -P. 625-630.

11. Petri A., Paparo G., Vespignani A., Alippi A., Costantini M. Experimental evidence for critical dynamics in microfracturing processes // Phys. Rev. Lett. - 1994. - V. 73. - P. 3423-3427.

12. Paczuski M., Maslov S., Bak P. Avalanch dynamics in evolution, growth and depinning models // Phys. Rev. E. - 1996. - V. 53. -No. 1. - P. 414-430.

13. МакаровП.В. Эволюционная природа деструкции твердых тел и сред // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 3. - С. 23-38.

14. Olami Z., Feder H.J.S., Christensen K. Self-organized criticality in continuous, nonconservative, cellular automation modeling earthquakes // Phys. Rev. Lett. - 1992. - V. 68. - P. 1244-1247.

15. Turcotte D. Self-organized criticality: Does it have anything to do with criticality and is it itself? // Nonlin. Proc. Geophys. - 2001. -V. 8. - P. 193-201.

16. Макаров П.В. Самоорганизованная критичность деформируемых твердых тел и сред и перспектива прогноза разрушения // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 5. - С. 97-112.

17. Дамаскинская Е.Е., Куксенко B.C., Томилин Н.Г. Двухстадийная модель разрушения горных пород // Физика Земли. - 1994. -№ 10.- P. 47-53.

18. Kuksenko V, Tomilin N., Damaskinskaya, E., Lockner D. A two-stage model of fracture of rocks // Pure Appl. Geophys. - 1996. - V. 146. -P. 253-263.

19. Mandelbrot B.B. Fractal analysis and synthesis of fracture surface roughness and related forms of comlexy and disorder // Int. J. Fract. -2006. - V. 138. - P. 13-17.

20. Щербаков И.П., Куксенко B.C., Чмелъ А.Е. Неэкстенсивный статистический анализ высокоскоростной регистрации ударного разрушения твердых тел // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 94. - № 3. -С. 410-413.

21. Shcherbakov I., Chmel A. Non-thermal Effects in Metal Targets Irradiated by Subthreshold Laser Pulses // Horizons in World Physics. -NY: Nova Science Publishers, 2012. - V. 275. - P. 173-186.

22. Tsallis C. Possible generalization of Boltzmann-Gibbs statistics // J. Stat. Phys. - 1988. - V. 52. - P. 479-487.

23. Tsallis C. The nonadditive entropy Sq and its applications in physics and elsewhere: Some remarks // Entropy. - 2011. - V. 13. - P. 17651804.

24. Silva R., Franga G.S., Vilar S.C., Alcaniz J.S. Nonextensive models for earthqukes // Phys. Rev. E. - 2006. - V. 73. - P. 026102 (1-5).

25. Balasis G., Daglis I.A., Anastasiadis A., Papadimitriou C., Man-deaM., Eftaxias K. Universality in solar flare, magnetic storm and earthquake dynamics using Tsallis statistical mechanics // Physica A. -2011.- V. 390. - P. 341-346.

26. Telesca L. Nonextensive analysis of seismic sequences // Physica A. - 2010. - V. 389. - P. 1911-1914.

27. Kuksenko V, Tomilin N., Chmel A. The role of driving rate in scaling characteristics of rock fracture // J. Stat. Mech. - 2005. - doi: 10.1088/ 1742-5468/2005/06/P06012.

28. Cмирнов B.Б., Пономарев A.B., Завьялов АД. Структура акустического режима в образцах горных пород и сейсмический процесс // Физика Земли. - 1995. - № 1. - С. 38-58.

29. Lei X., Satoh T. Indicators of critical point behavior prior to rock failure inferred from pre-failure damage // Tectonophys. - 2007. -V. 431. - P. 97-111.

30. Shirman M.G., Blanter E.M. Mixed hierarchical model of seismicity: scaling and prediction // Phys. Earth Planet Interior. - 1999. - V. 111. — No. 3-4. - P. 295-303.

31. Davidsen J., Stanchits S., Dresen G. Scaling and universality in rock fracture // Phys. Rev. Lett. - 2007. - V. 98. - P. 125502 (1-4).

32. Telesca L., Lovallo M. Investigating non-uniform scaling behavior in temporal fluctuations of seismicity // Nat. Hazards Earth System Sci. -2008. - V. 8. - P. 973-976.

33. Машинский Э.И. Микропластичность и акустическая эмиссия // Рос. геофиз. журн. - 1999. - № 13-14. - С. 14-16.

34. West J.K., Mecholsky J.J., Hench L.L. The application of fractal and quantum geometry to brittle fracture // J. Non-Crystal. Solids. - 1999. -V. 260. - No. 1. - P. 99-108.

35. Chmel A., Shashkin VS. Observation of Raman scattering by acoustic vibrations of fractal voids // Europhys. Letters. - 2001. - V. 55. -No. 2. - P. 235-238.

Поступила в редакцию 21.09.2012 г.

Сведения об авторах

Щербаков Игорь Петрович, к.ф.-м.н., нс ФТИ РАН, sherbakov.mhd@mail.ioffe.ru Куксенко Виктор Степанович, д.ф.-м.н., проф., гнс ФТИ РАН, victor.kuksenko@mail.ioffe.ru Чмель Александр Евгеньевич, нс ФТИ РАН, chmel@mail.ioffe.ru