Математическое моделирование эволюции разориентированных структур пластической деформации в меди и никеле

докритерия позволяет с большей вероятностью анализировать наборы статистических данных независимо от их распределения. При этом наборы статистических данных преобразуются по приведенному в статье [2] алгоритму в СКО нормального закона распределения, характеризующего теперь уже исследуемую выборку.

Авторы приносят свою искреннюю благодарность профессору М.И. Слободскому, рецензировавшему рукопись этой статьи, за конструктивные замечания, позволившие устранить разнообразные недостатки как логического, так и стилистического характера, а также отдельные нечеткости в изложении.

Библиографический список

1. Айвазян, С.А. Теория вероятностей и прикладная статистика / С.А. Айвазян, В.С. Мхита-рян. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 656 с.

2. Янковский, Б.Е. Оценивание опытных данных при статистической обработке в управлении качеством / Б.Е. Янковский, А.Е. Янковская // Радиоэлектроника. Информатика. Управление. - 2002. - № 1. - С. 95-98.

3. Новицкий, П.В. Основы информационной теории измерительных устройств / П.В. Новицкий. - Л. : Энергия, 1968. - 248 с.

B.E. YANKOVSKIY, A E. YANKOVSKAYA

ON GENERALIZED GOODNESS-OF-FIT TEST BASED ON SHENNON’S ENTROPY

Generalized goodness-of-fit test for analyzing the experimental data, which can be considered as ones modeled by Gauss law, is proposed in the paper. The prepared goodness-of-fit test can be categorized as non-parametric pseudo test. This test allows to analyze statistical data with higher precision independent on their probable distributions.

УДК 539.37

С.Н. КОЛУПАЕВА, докт. физ.-мат. наук, доцент,

Т. В. НОВИКОВА, ТГПУ,

В.А. СТАРЕНЧЕНКО, докт. физ.-мат. наук, профессор

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ РАЗОРИЕНТИРОВАННЫХ СТРУКТУР ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ В МЕДИ И НИКЕЛЕ

Описана математическая модель, включающая уравнения баланса дислокаций и дислокационных стенок, которая была использована для анализа возможных сценариев развития дефектной подсистемы в процессе пластической деформации. Проведен анализ возможных сценариев развития дефектной подсистемы для меди и никеля в зависимости от взаимного расположения стационарных точек. Исследовано поведение кривых деформационного упрочнения, соответствующих различным фазовым портретам деформационной дефектной подсистемы.

При исследовании процессов пластической деформации в кристаллических материалах успешно используются математические модели, основанные на уравнениях баланса деформационных дефектов [1-7]. Формулировка математической модели в виде системы дифференциальных уравнений (в данном случае уравнений баланса деформационных дефектов) позволяет использовать аппарат теории устойчивости и методы качественного анализа динамических систем, что, в свою очередь, позволяет получить полную картину возможных путей развития исследуемой системы при различных исходных состояниях и возможных изменениях значений параметров.

Проведем исследование эволюции дефектной подсистемы, состоящей из дислокаций и дислокационных стенок, для монокристаллов ГЦК металлов для квазистатических условий деформирования, когда напряжение течения удовлетворительно описывается соотношением т = Tf + аGЬр1/2, где т - напряжение сдвига, G - модуль сдвига, Ь - модуль вектора Бюргерса, Tf- напряжение трения, а - параметр междислокационных взаимодействий. Даже в таких условиях напряжение, необходимое для начала работы дислокационного источника, обычно превышает величину напряжения, при котором может осуществляться дальнейшее испускание дислокационных петель. Поэтому движение дислокаций в процессе распространения элементарных скольжений, их взаимодействие и формирование первичных (нерелаксированных) дислокационных структур происходит в динамическом режиме под действием избыточного напряжения т¿уп = аdynGbp1/2, где т^п - избыточное напряжение, а^п - параметр, характеризующий избыточное напряжение [5]. Пороги, скользящие вместе с дислокациями, порождают точечные дефекты - межузельные атомы и вакансии, которые являются важным структурообразующим фактором, определяющим интенсивность аннигиляции дислокаций в процессе деформации. В процессе движения дислокаций при формировании зоны кристаллографического сдвига точечные дефекты могут захватываться и поглощаться их экстраплоскостями, в результате чего у границы зоны сдвига могут возникать зародыши дислокационных стенок [6, 7].

Динамическое формирование зародышей дислокационных стенок на границе зоны сдвига происходит при выполнении условия [6, 7]:

> пр-1/2 , В

>*5

где п - число дислокаций в стенке; V - коэффициент Пуассона; В - диаметр зоны сдвига. Для широкого спектра условий диаметр зоны сдвига определяется соотношением [3]: В = Вт/^Ьр), где В - вычисляемый параметр, характеризующий вероятность формирования протяженных барьеров, ограничивающих зону сдвига. Расстояние между дислокациями стенки И определяется соотношением [6-8]

И = р/£,рВ2Ь/[8(п+1)], где Р] - вероятность образования порога при пересечении дислокации леса; £ -доля дислокаций леса.

Бездиффузионная модель дефектной среды, состоящей из дислокаций и дислокационных стенок, для ГЦК-монокристаллов имеет вид [6-9]:

¿Ы GFp

= И - (1 -ю) - КтN,

¿а 5т т

¿р ОЕр

-г = ^Г- (ю- Ар),

5т

где

Ю „ если а йуп

пр

-1/2

-1п

Б

пБ( 1 - V) 3Ип

пр

-1/2

1п

Б

пБ(1 - V) 3Ип

В уравнениях (2)-(4) используются следующие обозначения: а - степень деформации; ^ - вычисляемый параметр, характеризующий геометрическую конфигурацию зоны сдвига; ю, - доля винтовых дислокаций; Кт - константа, характеризующая интенсивность силового разрушения стенок [6, 7].

Первое слагаемое в уравнении баланса дислокационных стенок (2) описывает интенсивность динамической генерации стенок в процессе деформации при условии, что все вновь образованные невинтовые дислокации перестраиваются в стенки [6, 7]. При этом необходимо учитывать, что динамическое формирование стенок происходит лишь при выполнении условия (1). Второе слагаемое - скорость распада стенок силовым путем при повышении деформирующего напряжения.

В уравнении баланса дислокаций (3) первое слагаемое - скорость генерации дислокаций, второе - скорость аннигиляции винтовых дислокаций поперечным скольжением, А = 1/48л(ю^В/т/)2 - параметр аннигиляции [3]. Система уравнений (2)-(4) с учетом выражений для Б, И, т и А примет вид:

РВР, £ V2

1 -(1 -ю)(т7 + аОЬр 2)-КтЫ,

¿а

8(п + 1^Ь 0¥р

В

1

(

ю --

48п

ю,ОЬ

2 Л

где

ю =

Ю, , если а ¿уп )

1 если а¿уп <

пОЬр

-1/2

п(1 -V) В( т у +аGЬp ) паьр-1/2

-1п

8(п+1)6

п

1п

3npj £ В

8

Система уравнений (5) является системой обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-сшитой правой частью, т.е. в процессе эволюции системы происходит ее переключение в зависимости от выполнения условия (1). Условие (1) будем называть условием переключения системы (5).

>

р

X

С использованием методов качественного анализа динамических систем было проведено исследование возможных сценариев развития дефектной подсистемы, описываемой уравнениями (5)-(6).

Для случая ю = 1 (т.е. когда невозможно динамическое формирование дислокационных стенок) система уравнений (5) имеет две стационарные точки:

1) Ы? = 0, р? = 0,

7? а ло_/_ /_ /~'1^\2

2) Ы2? = 0, р? = 48п(ту /ю8ОЬ)2.

Для случая, когда возможно динамическое формирование дислокационных стенок, т.е. при ю = ю5, система уравнений (5) также имеет две стационарные точки:

РВР1£т /

1) N =

•(1 -,), Рз =0,

2) N =

рвРі /

8(п + 1)ОЪКт

(

•

1 + а

48п

48п ( т,

ОЪ

В обоих случаях первая точка является седлом, вторая точка - устойчивым узлом. Стационарная точка типа «седло» лежит в области физически нереализуемых значений плотности дислокаций и дислокационных стенок. Поэтому поведение дефектной подсистемы рассматривается в окрестности стационарной точки типа «узел», которая соответствует физически реальным значениям параметров и переменных модели. Стационарную точку системы уравнений (5), имеющую координаты (Ы2?, р2?), определяемые по формулам (7), (ю = 1 и дислокационные стенки не формируются) обозначим ?. Стационарную точку системы уравнений (5), имеющую координаты (Ы4?, р4?), определяемые по формулам (8), (ю = ю, и формирование дислокационных стенок происходит) обозначим ?2.

Условие переключения (1) системы уравнений (5) в широком интервале значений адуп (левой части неравенства (1)) дает: ни одной границы сшивания; одну границу сшивания; две границы сшивания системы уравнений (5) по плотности дислокаций р. Наиболее интересен случай, когда существуют две границы сшивания (рис. 1).

В зависимости от взаимного расположения стационарных точек и границ сшивания системы уравнений (5)-(6) возникают различные сценарии поведения дефектной подсистемы при физически реализуемых значениях параметров модели для никеля рис.2, а-е и меди рис. 2, а-е. Координаты стационарных точек на рис. 2: а - 81 (0, 8,681-1012), 82 (2,3 62-105,

5,209-1012); б - 81 (0, 9,1011013), 82 (3,079-104,

Рис. 1. Схема, иллюстрирующая условие формирования зародышей дислокационных стенок

8,645 1013); в - 81 (0, 5,556 1012), 82 (1,338 105, 4,167 1012); г - 81 (0, 1,3161014), 82 (5,437 104, 1,049 1014); д - 81 (0, 8,978 1 012), 82 (2,44-105, 5,297 1 012); е - 81 (0, 2,392-1014), 82 (1,84-105, 1,401-1014). Координаты стационарных точек на рис. 3: а - 81 (0, 8,681 1012), 82 (2,3 62-105, 5,209 1 012); б - 81 (0, 9,1011013), 82 (3,079 1 04, 8,645-1013); в - 81 (0, 5,5 5 6 1 012), 82 (1,3 3 8 1 05, 4,167 1 012); г - 81 (0, 1,3 1 6 1 014), 82 (5,43 7-104, 1,049 1 014); д - 81 (0, 8,978 1 012), 82 (2,44-105, 5,297 1012); е - 81 (0, 2,392-1014), 82 (1,84 1 05, 1,401 1014).

На рис. 2, а-в и 3, а-в наблюдается развитие дефектной подсистемы в направлении некоторого стационарного состояния, характеризующегося ненулевыми значениями плотностей дислокаций и дислокационных стенок независимо от исходного состояния. При этом на линиях р = р1 и р = р2 будет происходить излом фазовых траекторий.

На рис. 2, г и рис. 3, г наблюдается выход на одно из двух стационарных состояний в зависимости от начальных условий. Если начальная плотность дислокаций р > р1, то происходит разрушение дислокационных стенок и состояние дефектной подсистемы характеризуется некоторым ненулевым значением плотности дислокаций и нулевым значением плотности дислокационных стенок. Если же начальная плотность дислокаций р < р1, то дефектная подсистема приходит к некоторому стационарному состоянию с ненулевыми значениями плотности дислокаций и дислокационных стенок.

Фазовые портреты, представленные на рис. 2, д и 3, д, характеризуются тем, что развитие дефектной подсистемы идёт в направлении двух стационарных состояний, но эти стационарные состояния не достигаются, т.к. стационарные значения плотности дислокаций лежат по другую сторону границ сшивания. Таким образом, дефектная подсистема как бы «стабилизируется» при достижении плотности дислокаций р = р2 независимо от начальных условий и достигнутой плотности дислокационных стенок.

В случае, представленном на рис. 2, е и 3, е, развитие дефектной подсистемы может идти двумя путями в зависимости от начальных условий. Если начальная плотность дислокаций р < р1, то дефектная подсистема приходит к некоторому стационарному состоянию с ненулевыми значениями плотности дислокаций и дислокационных стенок. Если начальная плотность дислокаций р > р1, то дефектная подсистема «стабилизируется» при достижении плотности дислокаций р = р2 независимо от достигнутой плотности дислокационных стенок.

Фазовые портреты для случая, когда не существует границы сшивания или существует одна граница сшивания, аналогичен рис. 2, а и 3, а.

Анализируя поведение кривых деформационного упрочнения (напряжение-деформация), соответствующих фазовым портретам деформационной дефектной подсистемы, описываемой уравнениями (5)-(6), можно сделать следующие выводы:

1. На кривых напряжение-деформация, соответствующих фазовым портретам а, в, д, дефектная подсистема достигает стационарного состояния практически при одинаковой деформации для меди и никеля (фазовые портреты получаются при физически реальных значениях параметров модели).

Р

0

8

V

ао4

0

. 8

~5:

=24

<£

0

4

V

"о 2 0

3,5 4,0 4,5 5,0

N 105 м'1

2 53 1

N 105 м1

. 1 2 г •

у '

. , . N5.4

2 м 4 5 '1 6 Ы, 10 м

6 5 1 Ы 105 м'1

0,15

Рис. 2. Фазовые портреты системы уравнений (5)-(6) и соответствующие им кривые упрочнения (напряжение - деформация) для никеля при £, = 0,5 (а-е); Т£ = 3-106 Н/м2 (в), 5-106 Н/м2 (б, г, д, е),107 Н/м2 (а); п = 50 (а, б, г, д, е), 100 (в); О = 8-1010 Н/м2 (а, е),

9,881010 Н/м2

Рис. 3. Фазовые портреты системы уравнений

2. На кривых напряжение-деформация, соответствующих фазовым портретам б, г, е, дефектная подсистема достигает стационарных состояний при деформации для меди приблизительно на порядок больше соответствующей деформации для никеля (фазовые портреты соответствуют экстремальным значениям параметров модели).

3. Наблюдается выход на стационарное состояние при различных деформациях. При высоких значениях плотности дислокаций может наблюдаться деформационное разупрочнение. В случае реализации фазовых портретов г, д, е поведение материала при различных начальных значения плотности дислокаций существенно различно.

Библиографический список

1. Lagneborg, R. Dislocation mechanisms in creep / R. Lagneborg // Intem. Metals. Rev. - 1972. -P. 130-146.

2. Essmann, V. Annihilation of dislocations during tensile and cyclic deformation and limits of dislocation densities / V. Essmann, H. Mughrabi // Phil. Mag. (a). - 1979. - № 6. - Р. 731-756.

3. Попов, Л.Е. Пластическая деформация сплавов / Л.Е. Попов, В.С. Кобытев, Т.А. Ковалевская. - М. : Металлургия, 1984. - 182 с.

4. Математическое моделирование пластической деформации / Л.Е. Попов, Л.Я. Пудан, С.Н. Колупаева [и др.]. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1990. - 185 с.

5. Колупаева, С.Н. Неустойчивости пластической деформации кристаллов / С.Н. Колупаева, В.А. Старенченко, Л.Е. Попов. - Томск : Изд-во Том. ун-та, 1994. - 301 с.

6. Старенченко, В.А. Математическое моделирование разориентированных структур деформации / В.А. Старенченко, С.Н. Колупаева, А.В. Коцюрбенко // Зав. лаборатория. - 1995. -№ 8 - С. 28-35.

7. Старенченко, В.А. Моделирование формирования разориентированных структур при деформации Г.Ц.К. материалов / В.А. Старенченко, С.Н. Колупаева, А.В. Коцюрбенко // Металловедение и термическая обработка металлов. - 1998. - № 4. - С. 9-12.

8. Онипченко, Т.В. Качественное исследование модели формирования разориентированных структур пластической деформации ГЦК-металлов / Т.В. Онипченко, С.Н. Колупаева, В.А. Старенченко //Физическая мезомеханика. - 2000. - № 6. - С. 65-73.

9. Онипченко, Т.В. Математическое моделирование эволюции разориентированных структур в ГЦК монокристаллах / Т.В. Онипченко, С.Н. Колупаева, В.А. Старенченко // Конденсированные среды и межфазные границы. - 2002. - Т. 4. - № 2. - С. 133-139.

S.N. KOLUPAEVA, T.V. NOVIKOVA, V.A. STARENCHENKO

MATHEMATICAL MODELING FOR EVOLUTION OF DISORIENTED STRUCTURES IN COPPER AND NIKEL

The mathematical model consisting of two equations of balance for dislocations and dislocation walls is used for analysis of the possible scenarios of the defect subsystem evolution during plastic deformation in copper and nickel. All possible variants of phase space structure of the model are defined. The behavior of the stress-strain curves was analyzed.