Об одном свойстве минимальной гиперповерхности в евклидовом пространстве e 4

УДК 514.75

М. А. Чешкова Об одном свойстве минимальной гиперповерхности в евклидовом пространстве Е4

Известно, что единственная минимальная линейчатая поверхность (исключая плоскость) в евклидовом пространстве Е3 является прямой геликоид, причем асимптотическими линиями являются прямолинейные образующие и винтовые линии, касательные к которым делят пополам углы между главными направлениями. Однако, если мы рассмотрим в Еп,п > 3 цилиндр над любой минимальной поверхностью в Е4, то он является минимальной линейчатой гиперповерхностью в Е4.

Рассмотрим в евклидовом пространстве Е4 гиперповерхность М, у которой главные кривизны различные. Тогда определится сеть линий кривизны и главные направления. Дадим следующее определение.

Определение 1. Направление называется изоклинным, если оно образует равные углы с главными направлениями.

Для гиперповерхности М С Е4 определятся четыре изоклинные направления Уо = Х\+Х2 + Х3, VI = -Хх + Х2 + Х3, У2 = X! - Х2 + Ха, Уз = Х1 + Х2 - Х3, где Х{, г = 1,2,3 - орты главных направлений. Если гиперповерхность М минимальная, то изоклинные направления являются асимптотическими. Действительно, если Ь - вторая фундаментальная форма гиперповерхности, ki - главные кривизны, то 6(Х,-,Х*) = &<,» = 1,2,3,6(^,1^) = к\ + к2 + = 0,1,2,3, и для

минимальной гиперповерхности = 0.

Определение 2. Асимптотическая линия называется изоклинной, если ее касательная есть изоклинная прямая.

Теорема 1. Если у минимальной гиперповерхности М С Е4, несущей голономную сеть линий кривизны, две изоклинные асимптотические — прямые линии, то две другие изоклинные асимптотические есть 3-мерные винтовые линии.

Теорема 2. Если у минимальной гиперповерхности М С Е4, несущей голономную сеть линий кривизны, две изоклинные асимптотические — прямые линии, то гиперповерхность М есть цилиндр над геликоидом.

1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Рассмотрим гладкую гиперповерхность М в евклидовом пространстве Е4.

Обозначим Е(М) - /2-алгебру дифференци-

руемых на М функций, Т% - ^-модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (7,в), Х(М) - алгебру Ли векторных полей на М, д -дифференцирование и <,> - скалярное произведение в Еп.

Формулы Гаусса-Вейнгартена гиперповерхности М имеют вид [1, с. 36]:

дхУ = Vл•У + Ь

где А € Т}(М), Х,Уех(М), Ь € 7?(М) , Ь(Х,У) = д(АХ,У) - вторая фундаментальная форма А - оператор Вейнгартена, V связность Леви-Чивита метрики д(Х,У) =< Х,У >. Выполняются уравнения Гаусса-Кодацци

щх, у)г = б(у, г)Ах - ъ(х,г)АУ,

где я{х,у)г =

тензор кривизны связности V, ЛА(Х,У) = Vх АУ — Чу АХ — А[Х,У] - внешний дифференциал поля А в связности V.

Обозначим через Х{,{ = 1,2,3 - орты главных направлений, - главные кривизны. Тогда АХ{ = к{Х{. Рассмотрим с1А(Х{,Х^ = 0,1* ф .?• Имеем

<ЛА[ХиХл) = Ъх'АХ, - Уд}АХ{ - А[ХиХЦ = (ХгЪ)Х> + к^хЛ - (Х^)Х{ - к^х,Х{-ЬфхЛ - ЪХ;Х{у - к5(Чх%Х5 - Чх,Х{)>-к,(ЧхЛ-Ъх;Х{у= 0,

где Z* ./-тая составляющая поля Z. Приравнивая к нулю различные составляющие, имеем

№ - кв)(?хЛУ - (*, - кв)(Чх,Х,У = 0,

г ф б ф г, у. Потребуем голономность сети, т.е. потребуем, чтобы каждое 2-распределение, определяемое двумя главными направлениями было инволютивное. Тогда [2, с. 19] [Л’1,Х;]* = 0,* ф j) з ф г^. Имеем

МАТЕМАТИКА

При ф к] из (4), (5) получим (У^Х,)' =

О, в ф ф у. Так как X, орты, то (Уд-.Х^)-7 =

0. Таким образом,

V*.*; = ТцХиГи = , ,• ф 1.

Дифференцируя равенства < Xi,Xj >= 0 вдоль Х<, получим

Vл^X, = -]Гг,1Л:.

Рассмотрим уравнения Гаусса (2) Л(Х7-,Х,)Х,- = kikjXj, используя (6), (7). Имеем

Я(Х,,Х,)Х,- = У*,Уа-.*, - VA^УxiXl-

^чХ;Х,Х{ + Учх%х,Х{ =

ЧхЛ-Т, Г"Х‘'> ~ У*.г-Л -$ф » Г;,Л7хД, = - Х|№Г.0*. -(хпм-ТцЧхМ-т^+гж- £ г. А) = -№гт,)хт - (xjГji)Xj - rmiгmjxj-Ы- Е Т*х’) - №г*;№ - г.ЛЛ-

^0' X] — ГяГт,Хт — Tj^Xj = kikjXjl

1*,^, т - разные.

Откуда

Х,Га| = Г^

Х,-Г*+*,Г« +

(Г,,)2 4- Гт»Гтз + к{к^ = 0,ш ф I,

Равенства Я(Х,-,Х^)Х* = 0, когда г,/т-разные, не дают дополнительных соотношений.

Дифференцируя равенство А*1 + А?г -+- Л?з = 0 и используя (6), получим

Х,Аг, + Г#

^*,в ^ i)j ф з. Применим операцию скобки к

ХуХ,*, - Х{Хлк{ - [**,*<]*, = о,

используем [Xi,Xj] = Ух.Х; -У^X, и (6), (7), (8), получим

Г^г<, - Г*#Г^)Л#, в ф *,7,1 ^

2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1 Потребуем, чтобы асимптотическая с касательным полем У0 = XI Х2 + Х3 была прямой линией, т.е.0|гоУо||Й). Так как |Ко|2 = 3,6

^у0Уо = — Г21Х2 — Г31Х3 + Г21Х1 Г31Х1 +

г 12X2 — Г12X1 — Г 32X3 + Г 32X2+

Г13X3 + Г 23X3 — Г13X1 — Г 23X2 = 0.

Откуда получим

Г[21] = Г[13], Г[12] = Г[23], Г[1з] = Г[32].

Потребуем, чтобы асимптотическая с касательным полем У3 = Х\ + Х2 - Х3 была прямой линией. Тогда Уу8Уз = 0. Имеем

^ У3Уз = — Г21Х2 — Г31Х3 + Г21Х1 — Г31Х1 + Г12Х2 — Г12Х1 — Г32Х3 — Г32Х2—

Г13X3 — Г23Х3 — Г13Х1 — Г03Х2 = 0.

Г[21] = Г13 + Г31, Г[12] = Г2з + Гэг, (13) %

Г13 + Г32 •+ Г23 + Г31 =0.

Из (12), (13) получим

Г[12] — Ггз, Г31 = Г32 = 0, Г23 + Г13 = 0.

Дифференцируем равенство Г13 + Г2з = 0 вдоль Х1 и используем (8). Имеем

Х1Г13 Ч- Г 1з(Г21 — Г23) = 0.

С другой стороны, в силу (9) и (14) имеем

Х^Гхз + Г^3 + к\кэ + Г21Г23 = 0.

Откуда следует

к\кз = 2Г21Г13.

Дифференцируем равенство Г13 + Г23 = 0 вдоль Хг. Имеем

&2&3 = 2Гх2Г23-

Откуда

(&1 4- къ)кз = 2Г212] = —А?з-Таким образом,

*3 = 0, *2 = -*1

Г21 — Г12, Г13 = Г31 = Г32 = Г2з = 0.

Уравнения

V*,*, =о,ух,л-2 =0,

Ул'|-^1 = —Г12Х2, V х,Х2 = —Г 12X1, Ух,^2 = Г]2Х1, = ГхгЛ'г,

*3*1 =0,*3Г12 = 0,

*1*1 = -2Т12киХ2к1 = -2Г 12*ь

№ - Аг)Г 12 = 0,

Рассмотрим изоклинную асимптотическую У1 ~ — Х\ •+• Х2 + Хз,

В силу

Г12 = 0, У\к1 = 0.

Положим Г1, Г2, Г3, Г4 — репер Френе, К1.К2. «з — кривнзны интегральной кривой векторного поля У1 = -^1 + Х2 + А3. Имеем используя

! 1 == УЗ Г}, ду11/1 = — 2Г 12(^1 + Х2) — Зк\т2.

В силу (25) следует

К1/С1 = 0.

Рассмотрим

У\ = — 4Г12(Г12(—А 1 4- Х2) — кхп) =

3\/3л1(—К1Г1 +к2г3),

Сравнивая модули, в силу (25), (26) замечаем

^1«2 = 0.

Имеем

ду,ду1ду, К, = 4Ги(2Г?2 + к*)(Х1 + Х2) =

—6«1(21 12 + Ат)Тз = —9«1((/С^ -)- к\)т2 — К2Л3Г4).

Откуда получаем, что к3 = 0, а к,, к2 - постоянные вдоль У\. Таким образом, интегральная кривая векторного поля У\ есть 3-мерная винтовая линия. Так как

ЦГ12 = 0, У2ку = о, ду,У2 = -2Ги(ДГ1 + А2),

ду,ду, у2 = —4Г12 (г 12(^1 — х2) + Аг1 п),

ду,ду,ду,У2 = 4Г12(2Г?2 + к%)(Х 1 + Х2),

то следует, что интегральная кривая векторного поля \'2 также - 3-мерная винтовая линия.

3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2

Так как в силу

гх3 =о,/е \(м),

то следует, что гиперповерхность М - цилиндрическая с образующей Х3. По условию теоремы сеть линий кривизны голономная, следовательно, распределение Д = {ХиХ2} - инво-лютивное. Соприкасающееся пространство интегрального многообразия N распределения А, определяемое векторами дх.Х] = Ух,А', + {АХ,,Х])п^ = 1,2 в силу (20), (17) имеет вид £3 = {Х1,Х2,п}. Х3 является нормалью к Е3. А так как дх,Х3 = 0, » = 1,2, то Ея постоянное, и поверхность N С Е3. Нормаль п к гиперповерхности М является нормалью к N, принадлежащей Е3. Так как дх,п = -kiX^}i = 1,2, то следует, что &,• — главные кривизны поверхности N С Е3 и поверхность N С Е3 - минимальная поверхность. А так как <9лг,+х3(*1 + А2) = ^7А1+дг2(А1 + А2) + (&! + к2)п = 0, в силу (17), (20), то следует, что поверхность N С Е3 линейчатая с образующей / = Х\ + Л'2. Известно [3, с. 314], что единственная линейчатая минимальная поверхность в Е3 есть геликоид. Таким образом, гиперповерхность А/ есть цилиндр над геликоидом.

Литература

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М., 1981. Т. 2.

2. Кобаяси III., Номидзу К. Основы дифферен-

циальной геометрии. М., 1981. Т. 1.

3. (Пуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. М., 1963.