Равновеликость как основа организации обобщающих уроков по теме "площадь многоугольника"

УДК 372.851

С. Н. Дорофеев

РАВНОВЕЛИКОСТЬ КАК ОСНОВА ОРГАНИЗАЦИИ ОБОБЩАЮЩИХ УРОКОВ ПО ТЕМЕ «ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА»

Аннотация. Исследуются проблемы организации обобщающих уроков по геометрии в основной школе. В научной литературе известна классификация обобщающих уроков по целям, формам и методам их организации. Очевидно, что урок, подчиненный только своим целям, немыслим без методов и форм его организации. Поэтому при разработке обобщающих уроков перед учителем постоянно возникает одна из трудных проблем, которая заключается в оптимальном соотнесении целей, методов и форм, обеспечивающих достаточно эффективный результат обобщающего урока. Обобщающие уроки по математике, как правило, носят полифункциональный характер, который подчеркивает их методическую ценность и педагогическую значимость. С целью усиления эффективности обобщающих уроков следует более обдуманно подходить к выбору фундаментальных основ (понятий, теорем, формул, фактов), опираясь на которые мы сможем достичь более глубоких математических знаний, более прочного и гибкого запоминания теорем и формул. В нашей работе за основу организации уроков такого типа взята тема «Площадь многоугольника». Выбор темы неслучаен хотя бы потому, что она достаточно объемна. Мир многоугольников богат и разнообразен; разнообразны и задачи, связанные с изучением свойств многоугольников и величин, характеризующих их. Значит, разнообразны приемы, методы и средства обучения школьников поиску решения планиметрических задач.

Ключевые слова: обобщающий урок по геометрии, цели обобщающего урока, методы и формы организации обобщающего урока, площадь многоугольника, равновеликость и равносоставленность многоугольников, методическая система заданий.

В современном образовательном пространстве представлено достаточно большое количество научной информации, связанной с организацией обобщающих уроков в общеобразовательной школе. Эта информация раскрывает ценность и значимость целей обобщающего урока, форм и методов его организации. Прежде всего отметим, что обобщающие уроки по математике можно классифицировать по целям, например, обобщающий урок с целью повторения пройденного материала, обобщающий урок с целью подготовки к определенным испытаниям, обобщающий урок с целью подготовки к изучению нового материала и т.д. Обобщающие уроки по математике можно классифицировать и по форме их организации, например, экскурсия, лекция, семинар, круглый стол, урок проектной деятельности. Достаточно широко известна классификация обобщающих уроков по методам их организации, например, по методу укрупнения дидактических единиц (УДЕ), по методу аналогии, по методу «взаимосвязанных задач», по методу «мозговой атаки» и т.д. В основу данной классификации положена та цель, форма или метод, которые на данном уроке играют ведущую роль. Отметим, что эта классификация не является универсальной и не удовлетворяет условию полноты, поэтому каждый из рассмотренных типов школьного урока обобщения имеет свои преимущества и недостатки. Они наиболее четко проявляются при изучении конкретных тем школьного курса алгебры, геометрии в основной школе или геометрии и алгебры и начал анализа в старшей школе. Школьный учитель, в совершенстве владеющий основными принципами организации обобщающих уроков всех типов, испытывает достаточно серьезные трудности в оптимальном соотнесении целей, методов и форм, обеспечивающих достаточно эффективный результат обобщающего урока. Следует отметить, что обобщающие уроки по математике, как правило, носят полифункциональный характер, который подчеркивает их методическую ценность и

педагогическую значимость [1, 3-4]. Ставя перед учащимися какую-то одну цель, реализуемую на данном этапе обобщающего урока, учитель контекстно может реализовать и другую, не менее важную, но официально заявленную цель.

Тема «Площадь многоугольника» изучается в курсе геометрии основной школы в 9 классе. Трудно переоценить ее значимость в плане развития у школьников эвристического мышления, способности к самостоятельному открытию новых знаний и новых фактов как в самой задаче, так и в способах ее решения. Важно в нужный момент времени, на нужном этапе обобщающего урока обратить внимание учащихся на тот значимый момент в решении задачи, который послужит мощным потенциалом, раскрывающим способности и интересы учеников к изучению математики. Мир многоугольников разнообразен, разнообразны и задачи, связанные с изучением их свойств [2]. В школьном курсе геометрии вводится понятие равновеликости фигур, в частности многоугольников. Понятие поистине удивительное хотя бы потому, что для любого многоугольника можно найти другой многоугольник, не равный данному, но имеющий с данным одну и ту же площадь. Более того, известная теорема Бояйи-Гервина утверждает, что если многоугольники равновелики, то они равносоставлены. На основании этой теоремы базируются известные задачи на разрезание, которых в школьных учебниках очень мало. Однако в заданиях ОГЭ этот тип заданий представлен достаточно широко. К сожалению, теорема Бояйи-Гервина и теорема о существовании многоугольника, равновеликого данному, выпадают из школьных учебников по геометрии. В связи с этим учащиеся общеобразовательной школы получают неполное представление о равновеликости и равносоставленности фигур, у большей части из них достаточно низкий уровень сформированности умения применять эти понятия и их свойства к решению планиметрических задач.

В данной работе мы предлагаем авторский подход к построению обобщающего урока по теме «Площадь многоугольника». Конечно, одного часа на проведение такого урока будет очень мало. Мы планируем объединить два урока в один и посвятить его данной теме. При подготовке к уроку учителю необходимо сосредоточить внимание на формировании у школьников умения отделять главное от второстепенного, существенное от несущественного. К сожалению, в последние годы мы встречаемся со студентами (в том числе и магистрантами), у которых уровень сформированности этих умений недостаточно высок. В связи с этим на уроках геометрии учителю необходимо акцентировать внимание на оформлении краткого условия задачи. Именно краткая запись условия задачи в форме «Дано:... Найти...» обусловливает формирование умения отделять главное от второстепенного. Следует отметить, что такой прием необходимо применять всякий раз, когда мы начинаем решать геометрическую задачу.

Разработанная нами методическая система заданий обладает определенной степенью универсальности. Во-первых, посредством входящих в нее задач у школьников формируются умения: проводить аналогию и использовать ее с целью нахождения более оптимального разрешения проблемной ситуации, переходить от конкретных способов разрешения задачных ситуаций к более общим и наоборот, видеть проблемную ситуацию и предвосхищать способы ее развития, отделять существенное от второстепенного.

Задача № 1. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной, равной стороне квадрата, площадь которого равна 16.

Дано: квадрат;

площадь квадрата равна 16;

правильный треугольник со стороной а;

сторона а треугольника равна стороне квадрата.

Найти: площадь треугольника.

Решение. Так как площадь данного квадрата равна 16, то длина его стороны равна 4. Здесь учащимся необходимо напомнить, что площадь правильного треугольника со сто-

роной а вычисляется по формуле S =a ^. Согласно этой формуле получаем, что

5 = М = 4JT.

4

Ответ:

Задача № 2. Найти площадь квадрата со стороной, равной стороне правильного треугольника площадью

S = 25^3.

Дано: правильный треугольник со стороной а;

площадь треугольника равна

2543;

квадрат со стороной b; a = b.

Найти: площадь квадрата.

Решение. Учителю необходимо обратить внимание на тот факт, что эта задача взаимосвязана с предыдущей, поскольку в ней известна площадь правильного треугольника, а найти следует площадь квадрата. Используем известную формулу для вычисле-

е a243 rz a 2V3

ния площади правильного треугольника S =—4—, составляем уравнение 25V3 =—4—,

откуда находим, что а2 = 100. Поскольку площадь квадрата равна квадрату длины его стороны, значит, она равна 100.

Ответ: 100.

Задача № 3. Найти площадь квадрата со стороной, равной диагонали прямоугольника со сторонами 3 см и 4 см.

Дано: прямоугольник со сторонами а и b;

а = 3 см, b = 4 см; квадрат;

сторона квадрата равна диагонали прямоугольника.

Найти: площадь квадрата.

Решение. Обозначим заданный прямоугольник через ABCD. Пусть АВ = 3 см, а CD = 4 см. Важно обратить внимание на тот факт, что треугольник ADC является прямоугольным. Значит, к нему можно применить теорему Пифагора. Следовательно, AC2 = AD2 + DC2 = 9 +16 = 25. Так как сторона квадрата равна диагонали, то площадь этого квадрата будет равна квадрату диагонали. Таким образом, получаем, что площадь квадрата равна 25.

Ответ: 25.

Задача № 4. Найти сторону квадрата, зная, что его площадь равна площади параллелограмма с боковой стороной 5 см и высотой, проведенной к этой стороне и равной

6 см.

Дано: параллелограмм ABCD;

АВ = 5 см, DH = 6 см; квадрат;

площадь квадрата равна площади параллелограмма.

Найти: сторону квадрата.

Решение. В начале решения этой задачи необходимо вспомнить совместно с учениками формулу для вычисления площади параллелограмма. Важно отметить, что эта формула справедлива как в случае, когда основанием служит сторона AD, так и в случае, когда основанием служит боковая сторона АВ. Согласно этой формуле получаем, что Sabcd = AB  DH = 5  6 = 30. Так как площадь квадрата, с одной стороны, равна площади параллелограмма, а с другой стороны, квадрату его стороны, значит, сторона квадрата равна л/30.

Ответ: л/зоТ

Задача № 5. Найти сторону квадрата, зная, что он равновелик с трапецией, диагонали которой равны 15 см и 12 см, а угол между ними равен 30°.

Дано: трапеция ABCD;

АС = 15 см, BD = 12 см, а = 30°;

квадрат со стороной х;

площадь квадрата равна площади трапеции ABCD.

Найти: сторону квадрата.

Решение. Важно обратить внимание учащихся на тот факт, что для вычисления площади трапеции можно использовать различные формулы и способы, в том числе и формулы, позволяющие находить площадь любого четырехугольника. В данном случае трапеция задана диагоналями и углом между ними, поэтому для нее можно использовать более общую формулу, которую обычно используют для вычисления площади четырехугольника. Здесь важное значение приобретает тот факт, что трапеция - это частный случай четырехугольника. Таким образом получаем, что

sabcd = 0,5АС BD sinа = 0,5 '15 '12 • sin30° =15 • 3 = 45.

Поскольку заданный нам квадрат имеет площадь, равную площади трапеции, то квадрат его стороны х равен 45. Значит, имеем уравнение х2 = 45. Решая это уравнение, находим, что сторона квадрата равна 3л/5

Ответ:

Задача № 6. Найти сторону правильного треугольника, зная, что его площадь численно равна площади параллелограмма ABCD с диагоналями AC =

см и BD = 22 см и

углом между ними 60°.

Дано: параллелограмм ABCD;

АС = см, BD = 22 см, а = 60°;

правильный треугольник со стороной х;

площадь правильного треугольника равна площади параллелограмма ABCD.

Найти: сторону треугольника.

Решение. Обычно учащиеся, правильно решившие предыдущую задачу и хорошо усвоившие ход ее решения, быстро ориентируются в том, что параллелограмм - это тоже частный случай четырехугольника. Поэтому для вычисления его площади можно использовать более общую формулу, а именно ту, которую мы использовали при решении предыдущей задачи. Ценность задач подобного рода состоит в том, что при их решении учащиеся обнаруживают общие видовые сходства и отличия. Таким образом, получаем, что

/3

SABCD = 0,5 АС  BD  sin а = 0,5 • 18>/з  11 ^ = 99  3 = 297.

Поскольку по условию задачи, с одной стороны, площадь правильного треугольника со стороной х равна площади трапеции, а с другой стороны, вычисляется по формуле S = 0,25x2V3, то получаем уравнение 0,25x2V3 = 297 или x2V3 = 4  297. Так как 297 = 9 3-11, то наше уравнение принимает вид x2V3 = 4 9 3-11 или x2 = 36л/з-11. Откуда следует, что x = 6

43 Vil

Ответ: 6  ^3 Тл.

В качестве домашнего задания можно предложить учащимся следующие задачи:

1. Найти площадь правильного треугольника, медиана которого равна средней линии трапеции с основаниями 5 см и 11 см.

2. Найти сторону квадрата, зная, что его площадь численно равна площади ромба АВСБ с диагоналями АС = 24 см и ВБ = 0,36 м.

3. Найти сторону правильного треугольника, зная, что его площадь численно равна площади прямоугольника АВСБ со сторонами АВ = 27 см, ВС = 15 см.

4. Найти площадь квадрата, зная, что его сторона равна стороне правильного треугольника с высотой л/э.

5. Найти высоту правильного треугольника, зная, что его сторона равна средней линии трапеции с диагоналями 7 см и 8 см и углом между ними 60°.

6. На большем основании АО трапеции АВСБ построен квадрат АБЕВ. Найти длину

его диагонали ОВ, зная, что АВ = 5, ВС = 3, СБ = 420, а высота СН = 4.

7. Найти площадь правильного треугольника, биссектриса которого равна высоте трапеции с боковыми сторонами 12 см и 0,8 дм и основаниями 11 см и 0,5 дм.

8. Найти длину прямоугольника, построенного на меньшей диагонали параллелограмма со сторонами 10 см и 5у/2 см и углом 45° между ними, зная, что этот прямоугольник равносоставлен с параллелограммом.

9. Найти ширину прямоугольника, построенного на медиане к боковой стороне

равнобедренного треугольника с основанием и углом в 30°, зная, что он и данный треугольник равносоставлены.

10. Найти длину прямоугольника, построенного на основании равнобедренного треугольника с углом в 120°, равносоставленного с ним, зная, что радиус круга, вписанного в него, равен

412.

Методическая ценность задач подобного рода заключается в том, что учащиеся в ходе их решения осваивают не только новые правила применения известных формул, но и новые способы поиска их решения. В процессе работы над такими задачами, предлагаемыми в определенной системе, как мы уже отмечали ранее [3, 6-7], у школьников формируются умения отделять главное от второстепенного, анализировать и синтезировать данную информацию, отождествлять исходные понятия с другими математическими эквивалентами; преобразовывать интересующие нас стороны исходного явления в строгую формулировку математической задачи; переходить от общих утверждений к их частным случаям. Также обусловливается усвоение методов проверки соответствия полученных решений исходной задачной ситуации и умения применять эти методы на практике; развивается критичность по отношению к полученным результатам и выводам, видение динамики развития задачной ситуации; развивается способность производить разбиение исходной задачи на ее мелкие составляющие; формируется умение проводить сравнение и устанавливать аналогию между задачами, а также использовать их с целью нахождения рационального решения.

Библиографический список

1. Дорофеев, С. Н. Теория и практика формирования творческой активности будущих учителей математики в педагогическом вузе : дис. ... д-ра пед. наук / Дорофеев С. Н. - Пенза, 2000. - 410 с.

2. Дорофеев, С. Н. Индивидуальные траектории обучения как средство реализации лично-стно ориентированного подхода / С. Н. Дорофеев // Вестник Северо-Арктического федерального университета. - 2013. - № 2. - С. 117-121.

3. Дорофеев, С. Н. УДЕ как метод подготовки будущих бакалавров педагогического образования к профессиональной деятельности / С. Н. Дорофеев // Гуманитарные науки и образование. -2013. - № 1. - С. 14-17.

4. Утеева, Р. А. Содержательно-методические особенности подготовки магистров математического образования в России / Р. А. Утеева // Science and Educaition a New Dimension. - 2015. -T. III, № 45 (22). - С. 14-17.

5. Лодатко, Е. А. Философия обучения математике как смысловая составляющая современного образовательного пространства / Е. А. Лодатко // Вектор науки ТГУ. Сер.: Педагогика, психология. - 2015. - № 1. - С. 107-111.

6. Дорофеев, С. Н. Деятельностный подход к обучению старшеклассников распознаванию геометрических образов / С. Н. Дорофеев, Н. В. Наземнова // Азимут научных исследований: педагогика и психология. - 2017. - № 2. - C. 52-55.

7. Дорофеев, С. Н. УДЕ в подготовке старшеклассников к творческой математической деятельности / С. Н. Дорофеев // Азимут научных исследований: педагогика и психология. - 2016. -№ 4. - С. 53-57.

Дорофеев Сергей Николаевич, доктор педагогических наук, профессор, кафедра «Высшая математика и математическое образование», Тольяттинский государственный университет. E-mail: komrad.dorofeev2010@yandex.ru

УДК 372.851 Дорофеев, С. Н.

Равновеликость как основа организации обобщающих уроков по теме «Площадь многоугольника» / С. Н. Дорофеев // Вестник Пензенского государственного университета. - 2018. - № 2 (22). -С. 8-13.