Построение математических моделей в задачах обработки экспериментально-статистической информации

УДК 681.5

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКОЙ

ИНФОРМАЦИИ

© 2012 И.А. Прошин, Д.И. Прошин, Р.Д. Прошина

Пензенская государственная технологическая академия

Поступила в редакцию 23.03.2012

Рассматривается система структурно-параметрического синтеза математических моделей на базе принципов систематизации моделей по видам преобразования координат, многоуровневого синтеза и выбора пакетов функциональных зависимостей, получения состоятельных, несмещённых и эффективных оценок в преобразованных координатах.

Ключевые слова: автоматизированный синтез, математическая модель, преобразование координат, программный комплекс

Одна из важнейших проблем при проведении научных и учебных исследований в условиях интегрированного комплекса сетевых автоматизированных лабораторий (ИКСАЛ) -это моделирование, центральным звеном которого является построение математической модели (ММ) исследуемого объекта [1-3]. Независимо от способа построения модели важной частью её структурной и параметрической идентификации остаётся обработка экспериментально-статистической информации, получаемой либо в лабораторных условиях, либо при натурных испытаниях, либо с функционирующего объекта.

Цель настоящей работы: разработка методов и алгоритмов структурно-параметрического синтеза математических моделей, создание единого комплекса программ, обеспечивающего повышение эффективности обработки экспериментально-статистической информации в ИКСАЛ.

Методология построения математических моделей по экспериментальным данным. Предлагается единая система структурно-параметрического синтеза математических моделей в задачах обработки экспериментальных данных в ИКСАЛ, основу которой составляют три следующих принципа [1, 2]. • Систематизация ММ по видам преобразования координат.

Прошин Иван Александрович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Автоматизация и управление». E-mail: proshin@pgta.ru Прошин Дмитрий Иванович, кандидат технических наук, доцент. E-mail: ProshinDI@Softlocalizer.com Прошина Раиса Дмитриевна, старший преподаватель кафедры «Автоматизация и управление»

• Многоуровневый синтез пакетов функциональных зависимостей.

• Получение состоятельных, несмещённых и эффективных оценок ММ в преобразованных координатах.

В работе ставится задача создания системы автоматизированного выбора структуры нелинейной модели, что определяет необходимость автоматического подбора нужной функциональной зависимости по совокупности экспериментальных данных. Предлагается выбор моделей проводить на базе системы функций с заданным набором преобразования координат. Под функционально-полным набором математических моделей будем понимать совокупность моделей, объединяющих все возможные математические модели, которые могут быть синтезированы на заданном наборе нелинейных преобразований координат и одновременно среди которых нет хотя бы одной пары функций, получаемой с использованием одних и тех же преобразований координат [2]. Предложенный метод структурно-параметрического синтеза моделей по видам преобразования координат состоит в формировании функционально-полных наборов пакетов ММ по заданным видам функциональных преобразований у(х) и ф(у) определённого х и результативного у признаков

ф( У У х )J

^ y = Ф 1

и в организации для каждого пакета множества линейно-зависимых ММ, наиболее полно отражающих свойства исследуемого объекта.

ф21 (а0 + х)) = {/г (а0 + ах)}, Таким образом, предлагаемый метод синтеза ММ может быть представлен следующими преобразованиями

Ф( У У

х )

^ У = {/, (а

ах

)} •

У = Ф,

I1 ( -Ф21 (ф"1 (а0 + а1^(Х)))) •

При автоматизированном синтезе функционально-полных наборов линейно-независимых ММ с использованием п видов преобразования координат возможно построение П од-нофакторных моделей. С целью расширения набора функций и возможностей учёта различных нелинейностей в моделях предлагается проводить синтез моделей с многократным использованием одних и тех же видов преобразования координат:

Здесь п и т - количество уровней преобразований результативного и определённого признаков.

Одной из основных проблем построения моделей с использованием известных методов определения параметров моделей в преобразованных координатах является неэффективность получаемых оценок ММ. Для обеспечения построения ММ в преобразованных координатах разработан метод реверсивного преобразования координат (РПК) [2], обеспечивающий эффективность, состоятельность и несмещённость оценок моделей в непреобразо-ванных координатах.

Выбор преобраз координат

М (1Н М (2 )}

Синтез функционально-

набора I Пакет 1

Выбор уровня преобра

-1/ -к

-1/ -к

-1/

-к

М(1)= ¡М|2)]

Выбор пакета М

М

Первичная обработка экспериментально-статистической информации

1 ¡X Исходные данные Р

Искомая математическая модель

м—

Перерасчёт оценок параметров Выбор общих закономерностей „

ММ м—

1Г

Выбор из ранжированных пакетов моделей удобной формы записи „

м—

1 г

Синтез многофакторной модели и- Выбор единой системы „

N- координат У м— 6

заданному критерию

у Ч Ё? § в а

и К

8 «

ё « я ^ к 4 с о

а я

с

§

та

аз

5. < 5

Пакет 2

< 5

Пакет 3

< 5

5

4

1

3

2

Рис. 1. Схема построения стохастических математических моделей

Систематизация математических моделей. Первый принцип предложенного подхода заключается в систематизации пакетов функций с использованием простейших видов преобразований координат результативного и определённого признака. Такой подход сводит процесс выбора к сравнению ограниченного и в то же время функционально полного набора функций, обеспечивает эффективность сравнительного анализа моделей. Если в основу систематизации и приведения ММ к линейному виду положить прямо пропорциональное Х=х, логарифмическое Х=1п х и обратно пропорциональное Х=1/х преобразования, то для двух переменных при однократном их преобразовании можно получить девять видов функций. При пяти преобразованиях, взятых в качестве основных, можно синтезировать набор из 25 линейно независимых функций [2].

Схема построения стохастических математических моделей. Структурная схема построения математической модели на базе предложенных принципов представлена на рис. 1 и включает в себя следующие процедуры:

1. Синтез функционально-полных пакетов ММ. Наборы пакетов моделей задаются видом и уровнем преобразования координат.

2. Предварительная обработка экспериментально-статистической информации, включающая нормировку, сглаживание и преобразование исходных данных в соответствии с выбранными видами и уровнем координатных преобразований.

3. Структурная и параметрическая идентификация математических моделей.

4. Ранжирование пакетов математических моделей по заданному критерию (минимум среднеквадратического отклонения или относительной ошибки).

5. Накопление пакетов полученных математических моделей и исходных данных.

6. Получение однофакторных и многофакторных моделей удобной формы записи, описывающих общие закономерности рассматриваемых явлений.

Предложенные принципы систематизации и многоуровневого преобразования координат - основа синтеза функционально-полных линейно-независимых наборов пакетов математических моделей в первом блоке. Во втором блоке производится преобразование экспериментальных данных в соответствии с заданными видами и уровнем преобразования координат. Использование в третьем блоке метода РПК обеспечивает получение состоятельных, несмещенных и эффективных оценок при структурной и параметрической идентификации математических моделей. Накопленная в блоке 5 экспериментально-статистическая

информация и ранжированные в блоке 4 пакеты моделей используются на заключительном этапе построения математических моделей в блоке 6. В блоке 6 решаются четыре основные задачи:

• получение однофакторной математической модели удобной формы записи (выбор из пакета линейно-зависимых моделей - модели удобной формы записи);

• выбор единой системы координат для результативного признака и синтез многофакторных моделей по совокупности однофактор-ных экспериментов;

• выбор общих оценок параметров моделей по совокупности разнородных экспериментов с однотипными переменными;

• пересчет оценок параметров математических моделей для выбранной структуры и формы.

На основе представленной структурной схемы разработан программный комплекс структурно-параметрического синтеза математических моделей. Результаты исследования, полученные методами РПК, последовательного спуска с полиномиальной аппроксимацией (ПСПА) и методом наименьших квадратов (МНК) математических моделей вида, на основе экспериментальных данных, приведены на рис. 2 и в табл. 1 .

Данныси выбранная модель 12,6 | I 2'65 I 12,6 |

2

123456789 10

Рис. 2. Графики модели Y=1/(Ln(Ln(А0+А1* *Ехр(1/(Ехр(Х)))))) с параметрами А1, А0, рассчитанными тремя методами МНК, РПК, ПСПА

Поскольку процедура выбора вида математической модели предполагает сравнение между собой большого числа линейно независимых функций, а, следовательно, и вычисление параметров для каждой ММ в процессе структурной идентификации, использование методов многомерной оптимизации для определения оценок параметров оказывается дорогостоящим с точки зрения вычислительных затрат. Кроме того, при некоторых комбинациях результативного и определённого признаков такие методы требуют установки дополнительных условий, что затрудняет их программирование.

Таблица 1. Параметры рассчитанных математических моделей

Название метода Модель Ост. дисп. Сред. зн. от. ош. на инт.

МНК Y=lI(Ln(Ln( - 20,146+26,024*Exp(1I(Exp(X)))))) 0,421 0,58094

РПК Y=lI(Ln(Ln( - 67,972+72,280*Exp(lI(Exp(X)))))) 0,017 0,11694

ПСПА Y=lI(Ln(Ln( - 68,244+72,559*Exp(lI(Exp(X)))))) 0,016 0,11655

Предлагаемый способ расчёта оценок параметров ММ свободен от вышеперечисленных недостатков. Так, например, трёхуровневый выбор ММ с использованием метода расчёта оценок ПСПА для 20 экспериментальных точек при применении ЭВМ класса Р5/16 занимает 1 час 40 минут, в то время как расчёт с применением предложенного метода - 20 секунд, что сравнимо со временем, затраченным на поиск при использовании метода наименьших квадратов в преобразованных координатах - 18 секунд. Вместе с тем, как показывают расчёты, во всех случаях оценки, полученные с использованием предлагаемых методов, близки к точным и значительно превосходят по точности оценки, получаемые методом наименьших квадратов в преобразованных координатах, что свидетельствует об их высокой эффективности.

Проведенные исследования предложенных подходов и принципов, разработанных

методов в ИКСАЛ показали их высокую эффективность и преимущества перед существующими методами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Прошин, И.А. Структурно-параметрический синтез математических моделей объектов исследования по экспериментальным данным / И.А. Прошин, Д.И. Прошин, Р.Д. Прошина // Вестник Астраханского государственного технического университета. Серия: Морская техника и технология. 2009. № 1. С. 110-115.

2. Прошин, И.А. Математическое моделирование и обработка информации в исследованиях на ЭВМ / И.А. Прошин, Д.И. Прошин, Н.Н. Мишина и др. Под ред. ИА. Прошина. - Пенза: ПТИ, 2000. 422 с.

3. Прошин, И.А. Структурно-параметрический синтез математических моделей в задачах обработки экспериментально-статистической информации / И.А. Прошин, Д.И. Прошин, Н.Н. Прошина- Пенза: ПГТА, 2007. 178 с.

CREATION THE MATHEMATICAL MODELS IN PROBLEMS OF PROCESSING THE EXPERIMENTAL AND STATISTICAL

INFORMATION

© 2012 I.A. Proshin, D.I. Proshin, R.D. Proshina Penza State Technological Academy

The system of structural and parametrical synthesis of mathematical models on the basis of systematiza-tion models principles by types of coordinates transformation, multilevel synthesis and choice of functional dependences packages, receiving consistent, non-displaced and effective valuations in the transformed coordinates is considered.

Key words: automated synthesis, mathematical model, transformation of coordinates, program complex

Ivan Proshin, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department "Automation and Management". E-mail: proshin@pgta.ru Dmitriy Proshin, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor. E-mail: ProshinDI@Softlocalizer. com

Raisa Proshina, Senior Teacher at the Department "Automation and Management"