МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ТРЕБУЕМЫМИ ЗВУКООТРАЖАЮЩИМИ СВОЙСТВАМИ

The article proposes a method for planning the functioning of a multi-satellite space observation system, implemented using the mathematical apparatus of the theory of evolutionary calculations (modified genetic algorithm). This technique makes it possible to carry out the formation ofplans for observing specified areas on the Earth's surface by spacecraft and the use of ground-based controls, taking into account dynamically changing conditions for the functioning of the system, namely: technical, technological and spatio-temporal restrictions imposed on this process. The results of comparing the effectiveness of using the methodology with existing approaches based on the implementation of heuristic procedures are presented.

Key words: sampling, genetic algorithm, observation spacecraft, multi-satellite system, maintenance operation, planning.

Prorok Valeriy Yaroslavovich, doctor of technical sciences, professor, vka@mil.ru, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy,

Timofeev Aleksey Vladimirovich, research officer, vka@mil.ru, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy

УДК 539.3:534.26

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-10-188-192

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОГО АНИЗОТРОПНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ТРЕБУЕМЫМИ ЗВУКООТРАЖАЮЩИМИ

СВОЙСТВАМИ

Н.В. Ларин, Л.А. Толоконников

Решена обратная задача дифракции плоской гармонической звуковой волны на однородной упругой пластине произвольной толщины с непрерывно-слоистым анизотропным упругим покрытием. Найдены квадратичные законы неоднородности покрытия, обеспечивающие наименьшую интенсивность отраженной пластиной с покрытием звуковой волны.

Ключевые слова: обратная задача, отражение звуковых волн, упругая пластина, неоднородный анизотропный упругий слой, законы неоднородности.

Прямая дифракционная задача о наклонном падении плоской гармонической звуковой волны на однородную изотропную упругую произвольной толщины пластину, имеющую непрерывно-слоистое упругое покрытие, обладающее анизотропией общего вида, решена в [1]. На основе этого решения, в настоящей работе строится решение обратной задачи, в которой определяются квадратичные функции для плотности и модулей упругости покрытия пластины, обеспечивающие минимальное звукоотражение.

Постановка задачи. Рассмотрим однородную изотропную упругую плоскую пластину толщиной H , имеющую покрытие в виде непрерывно-слоистого анизотропного упругого плоского слоя толщиной h. Материал пластины имеет плотность р0 и упругие постоянные Ламе Я0, Ц0 Плотность

р = р(^з ) и модули упругости Я= Я ук (Х3 ) материала покрытия являются непрерывными функциями координаты Х3 прямоугольной системы координат (х1, Х2, Х3 ), ось Х1 которой лежит в плоскости, разделяющей пластину и покрытие, а ось Х3 направлена вниз по нормали к поверхности пластины (рис. 1).

Верхнее и нижнее полупространства, с которыми граничит пластина с покрытием, заполнены идеальными однородными сжимаемыми жидкостями, имеющими плотности рц, р2 и скорости звука

с1, с2 соответственно.

Пусть из верхнего полупространства на пластину с покрытием наклонно падает плоская гармоническая звуковая волна, волновой вектор ^ которой лежит в плоскости Х1Х3 . Потенциал скорости падающей волны

^0 = ^0ехР(71^11Х1 + ^3(Х3 + ^-ю^]), кц = к^т00, к13 = k1cos00, где А0 - амплитуда волны; кц, ^3 - проекции волнового вектора ^ на координатные оси Х1 и Х3 соответственно; к[ = ю/с1 - волновое число в верхнем полупространстве; ю - круговая частота; 00 - угол падения плоской волны, составляемый нормалью к фронту волны с осью Х3; / - время.

Р1 >С1 к!\ео

И Л

н • РоДо^о Г

,*3

Рис. 1. Схема задачи

При падении плоской звуковой волны на рассматриваемое упругое плоское тело, граничащее с идеальными жидкостями, возникают отраженная от тела и прошедшая через него плоские звуковые волны, а также происходит малая деформация самого тела. На рис. 1 через к1 и к 2 обозначены волновые

векторы отраженной и прошедшей звуковых волн соответственно.

Определим законы неоднородности материала покрытия, обеспечивающие наименьшую интенсивность отраженной пластиной с покрытием звуковой волны в заданном диапазоне частот при фиксированном угле падения 0о, равном , а также в заданном интервале углов падения 01 <0о <02 при фиксированной частоте. При этом диапазон частот будем определять интервалом изменения волнового размера пластины ш = А^Н, то есть интервалом ш1 < ш < ш2, а фиксированную частоту - фиксированным значением волнового размера пластины, равным ш*. Кроме того, полагаем, что плотность и модули упругости материала покрытия описываются многочленами второй степени

ц

где

ц

Здесь ц = {р, X ум }; ~ - характерная величина однородного материала; ц(о), ц(1), ц(2) - коэффициенты, которые подлежат определению.

Решение задачи. Поставленную обратную задачу будем решать методом, основывающимся исключительно на решении прямой задачи, предложенным в [2, 3] применительно к изотропным плоским телам. В настоящей работе при использовании данного метода воспользуемся результатами, полученными в [1], где в прямой задаче при известных функциях р = р(х3 ), X = X (х3 ) определяются коэффициенты отражения и прохождения звуковых волн, а также волновые поля в пластине и покрытии.

Введем в рассмотрение величину I(ш, 0 о ) = (ш, 0 о ))Ао|2 - интенсивность отраженной звуковой волны, где ^(ш, 0о ) - коэффициент отражения (см. [1]). Построим функционалы 11, 12 вида

Г 11 ш 2

ш 2 -ш1 ш 1 Г 11 0 2

12 [Р, XуЫ ] = —-- /1

0 2 -01 е1

определенные на классе квадратичных функций (1) и выражающие осредненные значения интенсивности звукоотражения в заданных диапазоне частот и интервале углов падения.

Для каждого функционала найдем такие значения коэффициентов функций (1), при которых он достигает минимального значения.

Для минимизации функционалов (3), (4) введем ограничения

С1л<Ц

где С 1ц , С2ц - некоторые положительные константы.

Геометрически каждое из неравенств (5) задает в прямоугольной системе координат с осью абсцисс х3 и осью ординат f бесконечное множество кривых ц(х3), лежащих в прямоугольной области

О(Л(0), Л(1), Л (2)) = {(*3,/): -н < Х3 < Н, С^ < / < С2л},

показанной на рис. 2,а.

/ 1.5

г ич /Г ч / & а \\#/ /улх ЛЦ

ь г' л Ч У\У \

0.5

(Н-10/2

- 0.005 0

хз

0.0225

0.05

Рис. 2. Область П

В области О(л(0), Л(1), Л(2)) каждую функцию (2) определим тремя точками С0Л(- Н, /)л),

01ц ((Н — н)/2,/1л ), 02ц (н,/2л ),где / е [С2л ] ((=0,1,2). Подстановкой координат этих точек

в выражение (2), получим систему трех линейных алгебраических уравнений, решение которой имеет вид

п = я—%,

((1), Л(2))Т, Г„ = (, /1Л, /2Л)Т Г1 Н Н 2 '

где п = I

'Я =

1 — н н

1 (Н — н )/2 (Н — н )2/4

1

н

н

2

Выбирая из отрезка [С1л, С2Л] значения для ординат /0Л, /^, /2л и вычисляя с помощью соотношений (6) значения коэффициентов Л(0),Л(1),Л(2), получим квадратичные (линейные при Л(

1

,(2) = 0) законы неоднородности материала покрытия. При этом, если абсцисса вершины параболы

принадлежит отрезку [— Н,Н], то ордината этой вершины должна принадлежать отрезку С!л , С2л ], т. е. требуется проверка совместного выполнения условий

,

— Н Н, С1Л<Л(0)— 4§)< С2Л.

-2Л

2л ^ "' 4Л

Нахождение значений неизвестных коэффициентов функций (2), удовлетворяющих условиям (5) и минимизирующих функцию многих переменных

I. И.Р

осуществим с помощью следующего алгоритма.

Для ординаы / точки 0(Л (( = 0,1,2) на отрезке [с1л , С2Л ] введем равномерную сетку

ДЛ(Л ) = С, +1 Н , ( = 0 12' qЛ 1л (Л (Л

1,2,

где ( = 0,1,...,п(Л - номер узла сетки, Н(Л = (С2л — С1л)/п(Л - шаг (-й сетки, п(Л - количество равных частей, на которые разбит отрезок [с^ , С2л ]. Таким образом, построены двумерные сетки в каждой

из областей О, соответствующих неравенствам (5). На этих сетках с использованием соотношений (6) и условий (7) рассчитываются наборы значений коэффициентов функций (2).

Нахождение оптимального набора коэффициентов л(0), л(1), л(2) осуществим с помощью процедуры поиска минимума функции (8). Эта вычислительная процедура построена на основе комбинации методов случайного поиска и покоординатного спуска и включает два этапа. При этом в качестве

/0) л(1) л(2),

величин /0 л, /1Л, /2 л, присутствующие в выражениях (6).

искомых координат выступают не сами коэффициенты л ,ЛЛ^2, а соответствующие им наборы

На первом этапе случайным образом выбирается начальная точка f - совокупность значений fоц, Лц, я2ц из множества допустимых дискретных сочетаний на введенной многомерной сетке:

г = 1/Ър, яр,я2р ,я,я1ХуЫ,ягу).

На втором этапе в случайном порядке выбирается одна из координат и выполняется поиск минимума функции I т (т = 1,2) при изменении значений этой координаты во всех возможных узлах с

номерами / . При этом значения других координат не меняются. Процедура случайного выбора координат повторяется до тех пор, пока не будет осуществлен поиск по всем координатам. По окончании второго этапа получаем значение локального минимума функции I т и соответствующий набор координат Г, по которому с помощью формул (6) вычисляются искомые коэффициенты

ц(о), ц(1), ц(2).

Локальный минимум функции I т и соответствующий ему набор материальных параметров

зависят и от выбора начальной точки, и от порядка перебора координат при покоординатном спуске. Поэтому процедура поиска локального минимума повторяется м раз. В качестве конечного решения выбирается набор коэффициентов

ц(о), ц(1), ц(2), обеспечивающий наименьшее значение I среди локальных решений. Получаемое таким образом оптимальное решение является приближенным, точность которого зависит от выбора шага сетки и^ц и числа м.

Результаты расчетов. Были рассчитаны зависимости (1) для плотности и модулей упругости покрытия пластины, обеспечивающие наименьшую интенсивность звукоотражения в интервале

волновых чисел 5 < та < 1о при фиксированном угле падения волны 0* = 25°. При этом рассматривался случай, когда плоская звуковая волна с единичной амплитудой падает на находящуюся в воде стальную пластину толщиной н = о.о5м, оснащенную покрытием из трансверсально-изотропного материала на основе цинка, имеющим толщину и = о.оо5 м.

Следует заметить, что трансверсально-изотропный материал покрытия имеет пять независимых модулей упругости, которые при использовании двухиндексного обозначения записываются в виде [1] Х11, Х12, Х13, X 33, X 44.

В расчетах использовались следующие значения механических параметров жидкости и однородных материалов [1]:

р1 =р2 = 1о3 кг/м3, С1 = с2 = 1485 м/с (вода), ро = 7.7 • Ю3 кг/м3, Xо = 5.3 • ЮЮ Н/м2,

цо = 2.6• Н/м2(сталь), р = 7.1 • Ю3 кг/м3, ~11 = 16.1 • ЮШ Н/м2, ~12 = 3.42-1оШ Н/м2,

X13 = 5.о1 • 1010 Н/м2, X33 = 6.1 • 1010 Н/м2, ~44 = 3.83 • ЮШ Н/м2 (цинк). При расчетах полагали, что С1ц = о.5, С2ц = 1.5. При этом в шести областях

0(ц(о), ц(1), ц(2)), соответствующих шести материальным параметрам покрытия (плотности и пяти

модулям упругости), строились одинаковые сетки (9), такие что И = о.5 (Ч = о, 1,2). Рассчитанные на

Чц

этих сетках допустимые функции для материальных параметров покрытия показаны на рис. 2,б. Из этих параметров при м = 63 выбирались те, для которых значение 11 минимально.

Результаты расчетов показали, что минимальному значению 11 равному о.723 соответствует

трансверсально-изотропное упругое покрытие с оптимальным законом неоднородности, в котором безразмерные плотность и модули упругости описываются зависимостями

р(х3) = о.665 + 29.752х3 -661.157х3,

!11(х3 ) = о.591 +18.182х3, 112 (х3 ) = 1.4о9 - 18.182х3,

!13

2

X33 (х3) = о.835 - 29.752х3 + 661.157х3

43

144 (х3) = 1.372 - 23.967х3 + 33о.579х|.

Размерные оптимальные материальные параметры неоднородного анизотропного покрытия пластины получаются путем умножения зависимостей (1о) на соответствующие характерные величины однородного материала покрытия (цинка).

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 18-11-оо199, https://rscf.ru/project/18-11 -оо 199/

Список литературы

1. Толоконников Л.А., Толоконников С.Л. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругой пластиной с неоднородным анизотропным покрытием // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. Вып. 3. С. 423 - 437.

2. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами // Акустический журнал. 2015. Т. 61. № 5. С. 552 - 558.

3. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480 - 488.

Ларин Николай Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доцент, Larinaelen@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Толоконников Лев Алексеевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, tolokonnikovla@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MATHEMATICAL MODELING THEINHOMOGENEOUSANISOTROPIC COATING OF AN ELASTIC PLATE WITH THE REQUIRED SOUND-REFLECTING PROPERTIES

N.V. Larin, L.A. Tolokonnikov

The inverse problem of diffraction of a plane harmonic sound wave on a homogeneous elastic plate of arbitrary thickness with a countinuously layered anisotropic elastic coating is solved. Quadratic laws of coating inhomogeneity providing the lowest intensity of the sound wave reflected by the coated plate are found.

Key words: inverse problem, reflection of sound waves, elastic plate, inhomogeneous anisotropic elastic layer, laws of inhomogeneity.

Larin Nikolay Vladimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, Larinaelen@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Tolokonnikov Lev Alekseevich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, tolokonni-kovla@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 536.2:62-192:623.5

DOI: 1о.24412/2о71-6168-2о22-1о-192-199

ВАРИАТИВНО-КОМПЛЕКСИРОВАННЫЙ ПОДХОД К ВЫРАБОТКЕ РЕКОМЕНДАЦИЙ ПО СОВЕРШЕНСТВОВАНИЮ БЕЗОПАСНЫХ РЕЖИМОВ ВОЗДУШНОЙ СТРЕЛЬБЫ

И.А. Подкопаев, А.Б. Бабаджанов, А.В. Подкопаев, В.И. Должиков

Апробированными детерминированными и стохастическими аппаратами аргументированы версии численных воспроизведений предельных режимов применения авиационного артиллерийского оружия (ААО). Общие положения иллюстрированы примером, конкретизирующим набор количественных параметров и показателей ААО.

Ключевые слова: малокалиберный артиллерийский ствол, определяющий и аварийный параметры, температурное поле, закон Гаусса.

Результаты анализа структуры, организации функциональных связей, направлений разработок и модернизации комплексов авиационного вооружения (КАВ) предопределяют дальнейшие перспективы применения ААО как многоразового, наиболее универсального и недорогостоящего средства решения задач поражения целей различных классов [1-3]. В зависимости от специфики решаемых задач, состав интегрированных КАВ различных типов весьма многообразен, но, несмотря на специализацию КАВ, важную роль в решении учебных и боевых задач родами авиации Вооруженных сил продолжает играть ААО.