Моделирование распространения короткого двумерного импульса света

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОРОТКОГО ДВУМЕРНОГО ИМПУЛЬСА СВЕТА

Козлова Е.С., Котляр В.В.

Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва

Аннотация

Получено аналитическое решение в виде ряда общей краевой задачи для двунаправленного волнового уравнения для светового поля с ТЕ-поляризацией. Для моделирования прохождения двумерных импульсов света в планарном волноводе с «электрическими стенками» применялось разностное решение волнового уравнения. Численное решение совпадало с аналитическим с погрешностью менее 1%. Полученное разностное решение волнового уравнения на порядок точнее, чем разностное решение уравнений Максвелла, полученное ГБТБ-методом с помощью программы Ги1^ауе при одних и тех же параметрах. Численно показано, что при отражении и прохождении ультракороткого импульса света (=4 фс) через стеклянную плоскопараллельную пластинку рассчитанные коэффициенты Френеля совпадают с теоретическими с точностью 0,47% (без учёта дисперсии материала). Прошедшие пластину импульсы уширяются больше (в среднем на 3 фс), чем отражённые.

Ключевые слова: волновое уравнение, явная конечно-разностная схема, численное моделирование, ультракороткий импульс, коэффициенты Френеля, эффект уширения.

Введение

Задачи моделирования процессов распространения электромагнитных волн в различных средах были и остаются актуальными в связи с широким практическим применением различных оптических устройств: световодов, волноводов, ДОЭ. Численное моделирование прохождения света в среде позволяет решать как прямые задачи (расчёт электромагнитного поля в некоторой области), так и обратные (подбор параметров ДОЭ для формирования заданного распределения интенсивности).

Сам процесс распространения волны может описываться различными способами. Наиболее общее представление даёт система уравнений Максвелла. Однако их решение - трудоёмкий процесс. Вторым наиболее распространённым вариантом является применение волнового уравнения. В случае, когда не интересует временная динамика процесса, а требуется рассчитать стационарное электромагнитное поле, используют уравнение Гельмгольца или уравнение Шрёдингера.

Для каждой физической модели применяется свой численный метод расчёта. Так, для уравнений Максвелла характерно применение метода ГБТБ [1], [2]. Данный метод реализован, например, в коммерческом пакете Ги1^ауе компании ЯБой. Для случая решения уравнения Гельмгольца или уравнения Шрёдингера применяют метод ВРМ, который реализован, например, в коммерческом пакете ВеатРгоЬ компании ЯБой [3]. Применяют и различные гибридные методы, к примеру, для решения однонаправленного волнового уравнения используют метод ТБ-ВРМ [4] - [6].

Отдельно стоит отметить большой интерес к вопросу моделирования прохождения ультракоротких импульсов через различные оптические системы [7] - [9]. Современные лазеры способны генерировать световые импульсы длительностью несколь-

ко циклов оптического поля [10] - [11], обеспечивая инструменты для контроля самых быстрых движений атомов в молекулярных системах.

В данной статье рассматривается процесс распространения ультракороткого импульса в планарном волноводе, в основу описания которого положено волновое уравнения. В первой части для первой краевой задачи в общем виде с помощью метода разделения переменных находится аналитическое решение. Во второй части производится построение явной конечно-разностной схемы и сравнение численных решений, рассчитанных с помощью разработанной схемы и коммерческого пакета Ги1^ауе, и аналитического решения. В третьей части проводится моделирование процесса прохождения ультракороткого импульса через тонкую плёнку. Сравниваются теоретические и расчётные коэффициенты отражения и преломления.

1. Аналитическое решение

Общий случай

Рассмотрим следующую краевую задачу для волнового уравнения в двумерном пространстве [11]:

Г Э2 Е,, 1

--2 А =ЕУ = / ( ^ ^ Х) ,

Эт2 п

хе(а;ьх), 2е(а;Ь,), те(а;Ьт];

Е

ЕуЦ

Е,1

Еу I=Ь2

= ф (z,т), г е (аг;Ьг),

= Ф2 (z, т), г е(аг; Ьг ) ,

= у (х т), х е( ах; Ьх),

= У2 (хт), х е(ах;Ьх),

=%1 (x, г), х е( ах; Ьх),

те (а.

те (а.

те (а.

те (а.

г е (а.

(а;Ьт]; (ат;Ьт]; (ат;Ьт];

(ат;Ьт];

(а2; Ь);

Эт

= %2

х=а

г =а

т=а

э2 э2

где Ах =—- +--- - оператор Лапласа, Еу - проек-

Эх Эг

ция вектора напряжённости (ТЕ-поляризация) электрического поля на ось у, В/м; п - коэффициент преломления; х и г - пространственные координаты, м; т = о1 - аналог времени распространения, м; I - время, с, с - скорость света, м/с; [ах; Ьх] и [аг; Ьг] - границы расчётной области в пространстве, а [ат; Ьт] -во времени, пары функций ф^г, т) и ф2(г, т), а также и ^(х, т) и у2(х, т) - граничные условия, а %1(х, г) и Х2(х, г) - начальные условия, /(х, г, т) - функция источников.

Для её решения перейдём к краевой задаче с однородными краевыми условиями, используя следующие замены:

Еу (х, г, т) = Е(х, г,т) + и (х, г, т) + V (х, г, т);

и (^^ т)=Ьг-г (^1 (x, т)-К ==,)+

+ О-Ьт (У2(х, т)- пч);

V (х, г, т) =

Ьх - ах

Ф1 (г,т) +

( ах - х) ах - Ьх

Ф2(г,т).

Стоит отметить, что должно выполняться условие согласованности граничных функций:

и (ах, г, т) = и (Ьх, г, т) = 0.

После подстановки выражений (2) в систему (1) получим:

Ц " "Г АхгЕ = / (^ г т) ,

Эт п

хе(ах;Ьх), ге(а;Ьг), те(а;Ьт];

Е

х

1т=

ЭЕ

Эт

=Е1=Ь = 0 ге(а;Ьг), те(а;Ьт];

= Е1г=Ь = 0 хе(ах;Ьх), те(а;Ьт]; = 5С1 (x, г), х е(ах; Ьх), г е (а; Ь2);

= %2 ( x, г ) , х е(ах; Ьх ) , г е(аг ; Ьг ) ,

где

/ (х, г, т) =

= , (х,г, + А^;

Эт п

%1 (хг)=%1 (x,г+и)1 ;

%2 (х, г ) = %2 (х, г )-

Э

Эт

Используя метод разделения переменных Фурье, найдём решение краевой задачи (4):

Е(х,г,т) = (т)X (х)(х);

1=1 т=1

X 1 (х) = соб а,ах • бш а,х - бш а,ах • соб а,х; (8) 2т ( г) = С0Б Ртаг ' 5Ш ртг - ^ ' Рт^

Т 1т (т) = С1 (т) С0Б Т1тт+ С2 (т) ЯШ Т1тT,

где X (х), 2т (г), Ты (т); а , = я/Д^ - ах),

1т \

Рт = Рт/(Ьг - аг ) , Тт = Vа2 + Й /П - собственные функции и собственные числа оператора Лапласа по переменным х, г и т, соответственно.

Коэффициенты С1(т) и С2(т) найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов Лагранжа:

С1 (т) = I"Е,т (т) • зшТтт •ат + С1 (ат);

Т ^

т

С2 (т) = — [ Р,т (^ С0Б Т т^ ^ + С2 ( ат) ,

У*1

т

КК

4 Л / (х, г, т)X (х)2т (х) ах<к

где ¥ы (т) = "

- коэффициенты разложения в ряд Фурье правой части уравнения системы (4); константы С1(ат) и С2(Ьт) определяются из начальных условий.

Таким образом, решение исходной задачи пред-ставимо в следующем виде: I м

ЕУ (x,т) = XXТт (т)X (х)2т (х) +

1=1 т=1

+и (х, г, т) + V (х, г, т).

Частный случай

Рассмотрим планарный волновод, оболочка которого выполнена из материала, идеально отражающего излучение. В волновод подаётся импульс, но в начальный момент времени источник выключен. Запишем математическую модель представленной задачи:

Э2 Еу 1

Эт2 п2

Г Э2Е Э2 Е ^

Эх2 Эг2

\ /

= 0,

х6 (-2, 2 6 (0;К), те (0;Т];

Еу\х=_х = ЩхЛ = 0, ге (0; ), те (0;Т];

Еу \г=0

= у(х,т), хе 12, те(0;Т];

Еу|г=4 =0,хе [-^I,те(0;Т];

I ЭЕ' ^ =—у

у 'т=0 Эт

= 0, хе |- 1Т;1т1, ге (0;К).

а а

т=а

т=а

где lx и lz - ширина и длина волновода (в метрах), соответственно, T - время моделирования (в секундах), y(x, т) - напряжённость электрического поля на входе в волновод в момент времени т, (В/м). Зададим начальное условие следующим образом:

y

2p

где w = ---несущая частота, рад/с;

^o - длина волны в свободном пространстве, м.

Найдём решение задачи (11) в виде ряда, воспользовавшись вышеизложенным методом:

Ey (x,z,т) = ^(Bsinют + Csing1mт)х

m=1

х cos a1 x sin bmz, где C = -2W(1 + A) ; B = L+2A ; A = - w2-a?

bmlz Ъ,

Kh

!

Стоит отметить, что полученный ряд является медленно сходящимся.

Заметим также, что частное решение (13) задачи было получено ранее и другими авторами [12, 13], в то время как решение (10) краевой задачи для волнового уравнения в наиболее общей постановке (1) получено впервые в этой статье, но с использованием известных методов.

2. Конечно-разностная схема

Построение конечно-разностной схемы Построим на равномерной сетке явную конечно-разностную схему [14]:

Lte=л лE+Л lE,

j nn 1 nn 1

i = 1,1 -1; j = 1, J -1; k = 1, K -1;

ek

e:

= e k

= 0, j = 1, J -1, k = 2, K;

lj=0

= yk, i = 1,1 -1 , k = 2, K;

Ek

= 0, i = 1,1 -1, k = 2, K;

ij=j

ek

= 0, i = 0,1, j = 0, J;

E".+1 - E".

ij_j

A,

= 0, i = 0,1, j = 0, J,

где е. и y. - сеточная функция, взятая в узле

E,.,,- 2E + E, ,

(i,j, k); LE, =-

A

разностный оператор

Лапласа; I, 3, К - количество интервалов разбиения

/ / Т

по переменным х, 2 и т; Нх = —, Нг = —, Нх = — -

I 3 К

шаги аппроксимации по переменным х, г и т.

Представленная конечно-разностная схема обладает вторым порядком аппроксимации по всем шагам дискретизации, а также обладает следующим условием устойчивости:

2: A2+* 1 s'

Сравнение аналитического и разностных решений

Для оценки практической сходимости численного решения, получаемого с помощью схемы (14), проводилось сравнение результатов моделирования с аналитическим решением, а также с результатами моделирования, полученными с помощью коммерческого пакета Ги1^ауе, в котором решаются уравнения Максвелла.

Стоит отметить, что вследствие медленной сходимости ряда (13) необходимо брать не менее М = 900 членов ряда для получения приемлемой точности, которая характеризуется средней квадратичной ошибкой (СКО) 0,01% (максимальное отклонение 4-10"3 В/м, т.е. 0,4%) в сравнении с решением, полученным путём учёта 1500 членов ряда. В случае М = 300 погрешность характеризуется величиной в 0,3% (максимальное отклонение 0,01 В/м, т.е. 1%).

На рис. 1 приведены графики численных решений, полученных с помощью разработанной схемы и коммерческого пакета Ги1^ауе, в сравнении с аналитическим решением, полученным по формуле (13). Расчёты проводились для сеток, представленных в табл. 1, и при следующих параметрах: ^о = 0,633 мкм, 1х = 3 мкм, 4 = 10 мкм, п = 1, Т = 9 мкм.

Таблица 1. Значения погрешностей

D hx hz hr

1 V6,33 V63,3 /1266

2 V6,33 / 633 /1266

Еу, В/мкм 1

2,5 сТ, мкм

Рис. 1. Напряжённость электрического поля,

рассчитанная аналитически

n

=0

i=I

k=0

k=0

Из графиков видно, что даже на достаточно крупной сетке схема (14) даёт совпадение порядка 99%, в то время как Ги1^ауе на аналогичной сетке даёт решение со смещением, вследствие чего совпадение характеризуется величиной лишь 10%. Однако на мелких сетках оба численных решения совпадают с аналитическим. СКО для численного решения, полученного с помощью схемы (14), составляет 0,014%, а для решения, полученного с помощью пакета ГиШауе, СКО = 1%.

Также численные эксперименты показали, что схема (14) менее чувствительна к величине шага по времени, нежели к величине шага по пространственной переменной г. Таким образом, для достижения эквивалентной точности предложенному методу требуются сетки меньшей размерности, нежели методу ГБТБ, реализованному в пакете Ги1^ауе, вследствие чего сокращается требуемый объём оперативной памяти и время расчёта самого решения.

Для схемы (14) было проведено численное исследование сходимости. Результаты исследования сходимости представлены на рис. 2 и в табл. 2, где Б - номер сетки с соответствующими шагами дискретизации, а 4 - среднеквадратическая погрешность аппроксимации, %. Расчёты производились при вышеприведённых параметрах.

Таблица 2. Значения погрешностей

Зададим начальное условие следующим образом:

Б Кх К К %

1 ^ /128 /2024 V2400 0,0053

2 /64 /1024 /1200 0,0144

3 / 32 V 512 /600 0,0382

4 /16 V 256 / 300 0,0937

5 / 8 /128 /150 0,1837

1 2 3 4 И

Рис. 2. Погрешность в среднеквадратической норме

Из приведённых выше результатов очевидна сходимость численного решения к аналитическому. Порядок сходимости близок к квадратичному.

3. Моделирование ультракороткого импульса

В настоящее время актуально исследование поведения в различных оптических системах коротких и ультракоротких импульсов. Смоделируем прохождение ультракороткого импульса через стеклянную плоскопараллельную пластинку, считая, что среда обладает мгновенным откликом (без учёта дисперсии материала).

У

где

8цр (т) =

Д.х], - [о, т„);

1, те(т„,Т];

);

и ёсюъпп (т) =

Б1П

те [0,т,-т Г р[т,-т] ^

V

2т

а

те (т,-та,т,];

/

- функции вхождения и затухания сигнала, ти - время нарастания амплитуды сигнала; та - время спада амплитуды сигнала; т, - время подачи сигнала.

Расположим стеклянную пластинку шириной Ь на расстоянии а от источника. На рис. 3 представлена мгновенная картина амплитуды поля, полученная вследствие прохождения ультракороткого импульса через тонкую пластину. Расчёты производились при следующих значениях параметров: п1 = 1, п2 = 1,55, а = 14,367 мкм, Ь = 1,266 мкм, = 0,633 мкм, 1х = 3 мкм, = 30 мкм, Т = 9 мкм, Нх = ^0/ 6,33 мкм, = / 633 мкм, Нт = /1266 мкм, ти = 0,633 мкм; та = 0,633 мкм; т, = 1,266 мкм. Еу, В/мкм

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0

К»

И1

№ .1 I к3

г-

п2

0

10

15

20

25 30

г, мкм

Рис. 3. Мгновенная картина амплитуды поля на оптической оси в момент времени í = 88,898 фс для импульса длиной 4,223 фс: входящий импульс

На рис. 3 можно наблюдать явление многократного отражения и прохождения импульса от поверхности плёнки, где 10 - входящий импульс, К1, К2 и Я3 - отражённые импульсы, Т1, Т2 и Т3 - прошедшие импульсы [15].

В табл. 2 приведены теоретические и расчётные коэффициенты отражения / пропускания для соответствующих отразившихся / прошедших волн, где и 3,. - коэффициенты отражения и преломления соответствующего 1-го импульса.

Таблица 3. Коэффициенты для прошедших и отражённых импульсов

Тип импульса Теоретические % / з, Расчётные % / з, Длина, фс

Я1 0,0465 0,0421 8,7494

Я2 0,0423 0,0430 10,3405

Яз 9,1563-10-5 5,1596-10-5

Т1 0,9091 0,9081 12,5554

Т2 0,0020 0,0021 13,3492

Тз 4,2601-10-6 1,5996-10-5

Всего 1 0,9953

Из таблицы видно, что результаты численного эксперимента хорошо согласуются с теорией. СКО составила 0,47%. Отражение и прохождение ультра-мкм

короткого импульса от тонкой пластины подчиняется законам Френеля. Также замечено уширение отразившихся и прошедших импульсов по сравнению с входным сигналом (четвёртый столбец табл. 3).

Известно, что при полном внутреннем отражении ультракороткого импульса происходит фазовый сдвиг, который приводит к изменению распределения интенсивности отразившегося импульса [16]. Смоделируем полное отражение ультракороткого импульса от границы раздела двух сред.

Пусть импульс падает на поверхность под углом 0. Расчёты производились при следующих значениях параметров: п1 = 1,5, п2 = 1, 0 = 60°, = 0,633 мкм, 1х = 6 мкм, 4 = 6 мкм, Т = 6 мкм, Нг = /422 мкм, Нт = / 528 мкм, тс1=0 мкм; т = 0 мкм.

Нх = /10 мкм, ти = 0,3165 мкм;

X, мкм 0

5 6

г, мкм

1 фс в момент времени: 1,3609 фс (до отражения) нпульса отразилась) (б) Еу, В/мкм 0,3

0,4 0,46

МКМ

'5,971 фс: падающего, 10

0 1 2 3 4 5 6

а) б)

Рис. 4. Картина дифракции для импульса длинной 1 фс в мол

15,971 фс (часть импульса о;

Еу,

Еу, В/мкм

0,3 0,1

-0,1 -0,3 -0,5

0,18 0,24 4

б)

Рис. 5. Сечение импульса в момент времени 15,971 фс:

На рис. 4 можно наблюдать явление полного внутреннего отражения от границы двух сред: оптического стекла и воздуха (граница представлена чёрной линией), где 10 - падающий импульс, Я -отражённый импульс, а направление распространения импульсов указано стрелками. Из рис. 4 видно, что отражённый импульс исказил свою форму и состоит из двух «лепестков», вместо одного падающего «лепестка». Сравним распределения интенсивности падающего и отразившегося импульсов.

На рис. 5 видно, что формы отразившегося и падающего импульсов различны, что согласуется с экспериментальными результатами, представлен-

ными в работе [16]. Стоит отметить и значительное (практически в два раза) уширение отражённого импульса по сравнению с падающим.

Заключение

Получены следующие результаты:

1. Для общей постановки краевой задачи для волнового уравнения получено аналитическое решение в виде ряда (10).

2. Построена и численно исследована явная схема для краевой задачи (11). Скорость сходимости схемы близка к квадратичной.

3. В частном случае получено совпадение между численным и аналитическим решением.

4. Показано, что разностное решение волнового уравнения на порядок точнее, чем разностное решение уравнений Максвелла FDTD-методом с помощью программы Fullwave при одних и тех же параметрах сетки (СКО 0,014% и 1%).

5. Произведено сравнение теоретических и расчётных коэффициентов отражения и пропускания для ультракороткого импульса света длиной 4,223 фс при прохождении через стеклянную пластину; СКО составила 0,47%.

6. Численно показано, что при полном внутреннем отражении ультракороткого импульса (1 фс) от раздела двух сред даже без учёта дисперсии материала происходит искажение и уширение импульса.

Благодарности

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной

России» (госконтракт № 14.740.11.0016), гранта

Президента РФ поддержки ведущих научных школ

(НШ-4128.2012.2) и гранта РФФИ (12-07-00269).

Литература

1. Zhou, G. Wave Equation-Based Semivectorial Compact 2-D-FDTD Method for Optical Waveguide Modal Analysis / G. Zhou, X. Li // J. Lightwave Technol. - 2004. -V. 22(2). - P. 677-683.

2. Головашкин, Д.Л. Применение метода конечных разностей для решения задачи дифракции H-волны на двумерных диэлектрических решётках / Д.Л. Головашкин, Н.Л. Казанский, В.Н. Сафина // Компьютерная оптика. - 2003. - Т. 25 - С. 36-40.

3. Khai, Q.L. Wide-angle Beam Propagation Method without Using Slowly Varying Envelope Approximation / Q.L. Khai, P. Bienstman // J. Opt. Soc. Am. B. - 2009. -V. 26(2) - P. 353-356.

4. Koshiba, M. Time-Domain Beam Propagation Method and Its Application to Photonic Crystal Circuits / M. Koshiba, Y. Tsuji, M. Hikari // J. Lightwave Technol. - 2000.

- V. 18(1). - P. 102-109.

5. Shibayama, J. Efficient Time-Domain Finite-Difference Beam Propagation Methods for the Analysis of Slab and Circularly Symmetric Waveguides / J. Shibayama, T. Ta-kahashi, J. Yamauchi, H. Nakano // J. Lightwave Technol.

- 2000. - V. 18(3). - P. 437-442.

6. Masoudi, H.M. A Novel Nonparaxial Time-Domain Beam-Propagation Method for Modeling Ultrashort Pulses in Optical Structures / H.M. Masoudi // J. Lightwave Technol. - 2007. - V. 25(10). - P. 1-10.

7. Horvath, Z.L. Diffraction of Short Pulses with Boundary Diffraction Wave Theory / Z.L. Horvat, Zs. Bor // Phys. Rev. E. - 2001. - V. 63(2) - P. 1-11.

8. Kempe, M. Spatial and Temporal Transformation of Femtosecond Laser Pulses by Lenses and Lens Systems / V. Kempe, U. Stamm, B. Wilhelmi, W. Rudolph // J. Opt. Soc. Am. B. - 1992. - V. 9(7). - P. 1158-1165.

9. Piglosiewicz, B. Ultrasmall Bullets of Light - Focusing Few-Cycle Light Pulses to Diffraction Limit / B. Pi-glosiewicz, D. Sadiq, M. Masxheck, S. Schmidt, M. Silies, P. Vasa, C. Lienau // Optic Express. - 2011. - V. 19(7). -P. 14451-14463.

10. Hecht, J. Spectral Broadening Advances Quest for Single-Cycle Pulses / J. Hecht // Laser Focus World. - 2011. -V. 47(8). - P. 65-70.

11. Yamane, K. Optical Pulse Compression to 3.4 fs in the Monocycle Region by FeedBack Phase Compensation / K. Yamane, Z. Zhang, K. Oka, R. Morita, M. Yamashita // Optics Letters. - 2003. - V. 28(22). - P. 2258-2260.

12. Неганов, В.А. Линейная макроскопическая электродинамика / В.А. Неганов, С.Б. Раевский, Г.П. Яровой.

- М.: Радио и связь, 2000. - Т. 1. - 509 с.

13. Самарский, А.А. Уравнения математической физики / А.А. Самарский, А.Н. Тихонов. - М.: Наука, 1966. - 724 с.

14. Самарский, А.А. Численные методы / А.А. Самарский. - М: Наука, 1958. - 812 c.

15. Борн, М. Основы оптики / М. Борн, Э. Вольф. - М.: Наука, 1973. - 720 с.

16. Cheung, K.P. Distortion of Ultrashort Pulses on Total Internal Reflection / K.P. Cheung, D.H. Auston // Optic Letters. - 1985. - V. 10(5). - P. 218-219.

17. Адамс, М. Введение в теорию оптических волноводов / М. Адамс. - М.: Мир, 1984. - 512 с.

References

1. Zhou, G. Wave Equation-Based Semivectorial Compact 2-D-FDTD Method for Optical Waveguide Modal Analysis / G. Zhou, X. Li // J. Lightwave Technol. - 2004. -V. 22(2). - P. 677-683.

2. Golovashkin, D.L. Application of the finite difference method for solving the problem of diffraction of H-waves on two-dimensional dielectric lattices / D.L. Golovashkin, N.L. Kazanskiy, V.N. Safina // Computer Optics. - 2003.

- V. 25. - P. 36-40. - (In Russian).

3. Khai, Q.L. Wide-angle Beam Propagation Method without Using Slowly Varying Envelope Approximation / Q.L. Khai, P. Bienstman // J. Opt. Soc. Am. B. - 2009. -V. 26(2) - P. 353-356.

4. Koshiba, M. Time-Domain Beam Propagation Method and Its Application to Photonic Crystal Circuits / M. Koshiba, Y. Tsuji, M. Hikari // J. Lightwave Technol. - 2000.

- V. 18(1). - P. 102-109.

5. Shibayama, J. Efficient Time-Domain Finite-Difference Beam Propagation Methods for the Analysis of Slab and Circularly Symmetric Waveguides / J. Shibayama, T. Ta-kahashi, J. Yamauchi, H. Nakano // J. Lightwave Technol.

- 2000. - V. 18(3). - P. 437-442.

6. Masoudi, H.M. A Novel Nonparaxial Time-Domain Beam-Propagation Method for Modeling Ultrashort Pulses in Optical Structures / H.M. Masoudi // J. Lightwave Technol. - 2007. - V. 25(10). - P. 1-10.

7. Horvath, Z.L. Diffraction of Short Pulses with Boundary Diffraction Wave Theory / Z.L. Horvat, Zs. Bor // Phys. Rev. E. - 2001. - V. 63(2) - P. 1-11.

8. Kempe, M. Spatial and Temporal Transformation of Femtosecond Laser Pulses by Lenses and Lens Systems / V. Kempe, U. Stamm, B. Wilhelmi, W. Rudolph // J. Opt. Soc. Am. B. - 1992. - V. 9(7). - P. 1158-1165.

9. Piglosiewicz, B. Ultrasmall Bullets of Light - Focusing Few-Cycle Light Pulses to Diffraction Limit / B. Pi-glosiewicz, D. Sadiq, M. Masxheck, S. Schmidt, M. Silies, P. Vasa, C. Lienau // Optic Express. - 2011. - V. 19(7). -P. 14451-14463

10. Hecht, J. Spectral Broadening Advances Quest for Single-Cycle Pulses / J. Hecht // Laser Focus World. - 2011. -V. 47(8). - P. 65-70

11. Yamane, K. Optical Pulse Compression to 3.4 fs in the Monocycle Region by FeedBack Phase Compensation / K. Yamane, Z. Zhang, K. Oka, R. Morita, M. Yamashita // Optics Letters. - 2003. - V. 28(22). -P. 2258-2260.

12. Neganov, V.A. Linear macroscopic electro-dinamics / V.A. Neganov, S.B. Raevsky, G.P. Yarovoi - Moscow: "Radio I svyas" Publisher, 2000. - V. 1. - 509 p. - (In Russian).

13. Samarsky, A.A. Equations of Mathematical Physics / A.A. Samarsky, A.N. Tihonov. - Moscow: "Nauka" Publisher, 1966. - 724 p. - (In Russian).

14. Samarsky, A.A. Numerical methods / A.A. Samarsky. -Moscow: "Nauka" Publisher, 1958. - 812 p. - (In Russian).

15. Born, M. Fundamentals of optics / M. Born, E. Wolf. -Moscow: "Nauka" Publisher, 1973. - 720 p. - (In Russian).

16. Cheung, K.P. Distortion of Ultrashort Pulses on Total Internal Reflection / K.P. Cheung, D.H. Auston // Optic Letters. - 1985. - V. 10(5). - P. 218-219.

17. Adams, M. Introduction to the theory of optical waveguides / M. Adams. - Moscow: "Mir" Publisher, 1984. - 512 p. - (In Russian).

SIMULATION OF ULTRAFAST 2D LIGHT PULSE

E. S. Kozlova, V.V. Kotlyar Image Processing Systems Institute of the RAS, S.P. Korolyov Samara State Aerospace University

Abstract

An analytical solution of the general boundary value problem for two-way wave equation for the light field with the TE-polarization is found. Finite difference solution of the wave equation used for simulation of 2D light pulses in a planar waveguide with the "electric walls". The numerical solution and the analytical coincides with with the accuracy of 0.0005%. The resulting difference solution of the wave equation more accurate than the finite difference solution of Maxwell's equations, obtained by FDTD-method using Fullwave with the same parameters. Numerically shown that calculated and the theoretical Fresnel coefficients coincide with the accuracy of 0.47% during the reflection and transmission of ultrashort light pulse (~ 4 fs) through a glass plane-parallel plate. Pasted plate pulses broaden more (an average of 3 fs) than reflected pulses.

Key words: wave equation, an explicit finite-difference scheme, simulation, ultrashort pulse, the Fresnel coefficients, the broadening effect.

Сведения об авторах

Козлова Елена Сергеевна, магистр прикладной математики и информатики, аспирант кафедры технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета. Область научных интересов: дифракционная оптика, численные методы. E-mail: kozlova.elena.s@gmail.com .

Elena Sergeevna Kozlova, Master of Mathematics and Computer Science. Currently studies at Samara State Aerospace University. Research interests are diffractive optics and numerical methods.

Котляр Виктор Викторович, 1957 года рождения, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией лазерных измерений ИСОИ РАН и, по совместительству, профессор кафедры технической кибернетики Самарского государственного аэрокосмического университета (СГАУ). В 1979 году окончил физический факультет Куйбышевского государственного университета, в 1988 году защитил кандидатскую диссертацию в Саратовском государственном университете, а в 1992 году - докторскую диссертацию в Центральном конструкторском бюро Уникального приборостроения РАН (г. Москва). Область научных интересов: нанофотоника, дифракционная компьютерная оптика. Публикации: 300 научных трудов, 5 монографий, 7 авторских свидетельств. E-mail: kotlyar@smr.ru.

Victor Victorovich Kotlyar is a head of Laboratory at the Image Processing Systems Institute (Samara) of the Russian Academy of Sciences and professor of Computer Science Department at Samara State Aerospace University. He received his MS, PhD and DrSc degrees in physics and mathematics from Samara State University (1979), Saratov State University (1988) and Moscow Central Design Institute of Unique Instrumentation, the Russian Academy of Sciences (1992). He is SPIE and OSA member. He is co-author of 300 scientific papers, 5 books and 7 inventions. His current interests are diffractive optics, gradient optics, nanophotonics, optical vortices.

Поступила в редакцию 8 февраля 2012 г.