Интегральные и псевдоинтегральные операторы

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 1999, Том 1, Выпуск 2

УДК 517

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ПСЕВДОИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

К. Т. Тибилов

Цель настоящей работы — дать полные формулировки нескольких центральных результатов об интегральной и исевдоинтегральной представимости линейных операторов, действующих в пространствах измеримых функций. Попутно отмечаются близкие вопросы, а также сферы возможных приложений.

1. Среди операторов, действующих в пространствах измеримых функций, важный класс составляют так называемые интегральные и псевдоинтегральные операторы.

Линейный оператор Г : !.-> —» !.-> называется интегральным, если существует измеримая функция К(з,1) (ядро оператора Т) такая, что

для любой функции е € 1/2- Интеграл в (1) понимается в смысле Лебега. В 1936 году Дж. фон Нейман [1] поставил задачу о характеризации интегральных операторов в /.2. В 1974 году эта задача была решена А. В. Бухваловым [2-4]. Другие критерии интегральной представимости были получены С. И. Ждановым [5] и Л. Лесснером [6].

Изучение класса псевдоинтегральных операторов, порожденных измеримыми случайными ядрами началось в середине 1970-х годов. Такие операторы допускают представление

Впервые их ввел В. Арвесон в связи с изучением операторных алгебр в 1*2 в работе [7]. В [8, 9] А. Сурур развил общую теорию таких операторов — выяснилось, что это в точности порядково непрерывные операторы.

Результаты интегральной и псевдоинтегральной представимости носят порядковый характер и их доказательство существенно опирается на исчисление порядково ограниченных операторов. В работах [10-13] А. Г. Кусраев указал, что аналогичные вопросы для операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций, могут решаться на основе теории мажорируемых операторов. В этих работах приводится целый ряд интересных результатов об интегральном представлении линейных операторов в пространствах измеримых вектор-функций. Ряд результатов в этом направлении получен также В. Г. Наводновым [14], Ю. Н. Кузьминым [15], А. Кевином [16]. В заметке [17] автор ввел понятие слабого исевдоинтегрального оператора и установил аналог теоремы А. Сурура — критерий слабой псевдоинтегральной представимости для операторов, действующих в пространствах измеримых вектор-функций.

© 1999 Тибилов К. Т.

2. Перечислим обозначения, которые фиксированы на протяжении всего текста: ((2,Е,т) — произведение пространств с полными ст-конечными мерами (А,А,т,\) и (В, В, тг); X и У — банаховы пространства; 5(т) — ^-пространство классов эквива-лентностп всех измеримых почти всюду конечных функций на (ф, £,т); в(т,1,Х) := ,5(^4, А,ТП1, X) — пространство классов эквивалентности всех сильно т\-измеримых (= измеримых по Бохнеру) вектор-функций; Е и — идеальные пространства, содержащиеся в 3(т\) и Б{т2) соответственно; С{Х, У) — пространство линейных ограниченных операторов из X в У; СГ{Е,Е) пространство регулярных операторов из Е в X' := С{Х,К) — пространство, сопряженное к X. Каноническая билинейная форма всех встречающихся ниже двойственностей обозначается символом (, ). Векторные нормы обозначаются через |  |. Через Ь\(гп1,Х) обозначено пространство суммируемых по Бохнеру вектор-функций из А в X.

3. Приведем точные определения и формулировки теорем об интегральной и

псевдоинтегральной представимости в пространствах измеримых функций. Оператор Г : » /•’ называется интегральным, если существует т = т\ т-> — измеримая

функция двух переменных К : А х В —> К такая, что для любого класса эквивалентности с (г значение / = Те определяется функцией

Функция К называется ядром интегрального оператора Т. Говорят, что оператор Т допускает интегральное представление с ядром К и пишут

Имеет место следующий критерий интегральной представимости линейного оператора.

Теорема (А. В. Бухвалов [2, 4]). Для линейного оператора Г : » /•’ равносиль-

ны следующие условия:

(а) Т — интегральный оператор;

(б) если еп 0 по мере ті и \еп\ ^ е Є Е для всех п Є N, то Теп —> 0 шг-почти всюду.

Назовем случайной мерой функцию от двух переменных /л : В х А ^ К такую, что при фиксированном ,э Є В ) : А ^ В, является счетно-аддитивной мерой на Л, а при фиксированном а Є А ц(-а) : В ^ Н является тг-измеримой функцией, т. е. элементом пространства 5(тг). В дальнейшем вместо ц(з; сЙ) мы будем писать /ла(сИ).

Если (А, А, ті) — стандартное борелевское пространство с мерой, то оператор Т : Е ^ 3{пи) допускает, по определению, псевдоинтегральное представление, если существует случайная мера такая, что для любого класса эквивалентности ё Є Е значение / = Те определяется функцией

/(з) = / К{з,і)е{і)ті{сІі) (е Є В).

А

(Те)(з) = / К(з,і)е(і)ті((1і) (е Є Е).

А

/(з) = J е{і) ц8{йі) (,э Є В).

А

Говорят, что оператор Т допускает псевдоиптегральпое представление и пишут

(Те)(в) = ! (еЄЕ).

А

Имеет место следующий критерий псевдоинтегральной представимости линейного оператора.

Теорема (А. К. Боигоиг [9]). Если {А, А, ті) — стандартное борелевское пространство с мерой, то для линейного оператора Т : Е ^ 5(тг) равносильны следующие условия:

(а) Т — псевдоинтегральный оператор;

(б) Т — порядково непрерывный оператор, т.е. если \еп\ ^ Ь Є Е и еп —> О ті-почти всюду, то Теп ^>0 т,2-почти всюду.

4. Приведем необходимые для дальнейшего сведения из теории решеточно нормированных пространств и мажорируемых операторов.

Пусть V — вещественное векторное пространство, С — некоторое ^-пространство. Отображение |  | : V —» С называется решеточной или векторной нормой, если для |  | выполнены все аксиомы нормы:

(1) |г>| 5= 0(г> Є V), |г>| = 0 V = 0;

(2) |г>і + г>2| ^ Ы + |г>2| Є V);

Говорят, что |  | — норма Канторовича, если, кроме того, выполнено следующее условие разложимости:

(4) для любых V Є V и сі, с2 Є С+ из |г>| = сі + с2, сі Дс2 = 0 следует существование такого представления V = г>і + г>2 (г>і,г>2 Є V), что |г>*| = с* (г = 1, 2).

Векторное пространство V, снабженное нормой Канторовича |  |, называется решеточно нормированным пространством (РНП) и обозначается {V, \  |,С). РНП {V, |  |,(7) называется пространством Банаха-Канторовича (ПБК), если оно полно в

следующем смысле: для любого направления (г>а) С V из |г>а — у@\ 0 следует

существование такого V Є V, что |г>а — г>| —* 0.

Рассмотрим произвольные РНП (V, \  |,С) и {Ш, \  1,-0). Линейный оператор Т : V ^ Ш называют мажорируемым, если существует такой положительный оператор І/ Є Сг{С,и), что |Тг>| ^ и(\у\) для всех V Є V. Норма |Т| оператора Т — это наименьший элемент в ^Г-пространстве СГ{С, О) среди всех указанных II. При этом выполняется нормативное неравенство \Ти\ ^ |Т|(|г>|) (г> Є V). Множество всех мажорируемых операторов из V и IV обозначается символом М(У,\¥). Известно, что М(у,Ш) — пространство Банаха-Канторовича, нормированное посредством К-пространства Сг (С, Б) (см. [10, 13]). Отметим, что мажорируемые операторы впервые были введены Л. В. Канторовичем [18] под именем операторов с абстрактной нормой. Общая теория таких пространств с различными связями и приложениями развивается сейчас А. Г. Кусраевым и его учениками (см., например, [10-13, 17, 21]).

5. Введем в рассмотрение два класса измеримых вектор-функций. С каждым элементом V Є 3(ті,Х) свяжем измеримую функцию |г>| Є 3(ті) по формуле |г>| : £ —> ||и(£)||х (і Є ^4). Положим по определению Е(Х) := {г> Є 3(ті,Х) : |г>| Є Е}.

Оператор |  | : Е{Х) —> Е обладает всеми свойствами решеточной нормы, поэтому (Е(Х), |  | ,Е) — РНП. Зафиксируем нормирующее подпространство Я с У. Это означает, что для любого у € У норму можно вычислять по формуле

||У|| = 8ир{(у,у') : \\у'\\ ^ 1,у' € г}.

Обозначим через Мб (У\2) множество всех вектор-функций т : В —> У, удовлетворяющих условиям:

(а) для всех г € Z тг-измеримая функция з —> {и}(з),г) (в € В);

(б) существует измеримая функция ср € ^(шг) такая, что для всех г € ^, ||^|| ^ 1 выполняется неравенство (ги(з),;г) ^ <р(я) для тг-почти всех в € В.

Введем в Мв

в том и только в том случае, если для всех .г (г У. выполняется (101(5), г) = (гог^),^) для гпг-почти всех в € В. Для го € Мв(У\2) (а также для соответствующего класса эквивалентности, обозначаемого той же буквой) положим

где {ш, г) — класс эквивалентности измеримой функции ,з —> {и}(з),г) (в € В). Обозначим Еа(У,У) := {ю € Мв(У,У)\р : |го| € (Тогда (^8(У,^),|  |,^) — ПБК). Очевидно, также _Р(У) С Еа(У,У).

6. В соответствии с концепциями сильной и слабой интегрируемости (и измеримости) вектор-функций для операторов в пространствах измеримых вектор-функций возникает два различных подхода к изучению интегральной представимости линейных операторов.

Приведем один интересный результат в этом направлении для операторов со значениями в банаховых пространствах. Назовем оператор Т : Е{Х) —> У сильно интегральным, если существует оператор-функция К : А —> С{Х,У) такая, что Ки € Ь\(гп1,Х) для любого и € Е(Х) и

Ти = !к{г)и{г)ггц{йг) (иеЕ(х)).

А

Интеграл понимается в смысле Бохнера.

Теорема (В. Г. Наводнов [14]). Пусть банахово пространство У обладает свойством Радона-Ннкодима. Для того, чтобы линейный оператор Т : Е(Х) У был сильно интегральным, необходимо и достаточно, чтобы он был мажорируемым и порядково непрерывным.

Для дальнейшего введем определения слабого интегрального и сильного интегрального операторов (см. [10]). Оператор-функция К : С} ^ С(Х,УГ) называется слабо измеримой, если для любых х € X, г € Z' т-измерима функция

(Ь,з){К(Ь,з)х,г) ((Ь,з)€.(2).

Оператор Т : Е(Х) —> Е3(У,У) допускает (по определению) слабое интегральное представление (или что Т — слабый интегральный оператор) с ядром К : ^

С,{Х,У'), если К — это слабо измеримая оператор-функция такая, что для любого класса эквивалентности V € Е{Х) и всех .г (г У. имеет место равенство

ДЛЯ ГП2-ПОЧТИ всех 5 € В.

Оператор-функция К : (> —» С(Х,У) называется просто измеримой, если для любого х € X измерима по Бохнеру вектор-функция

Оператор Т : Е(Х) —> Е(У) допускает (по определению) сильное интегральное представление, если существует просто измеримая оператор-функция К : () —» С{Х,У) (ядро оператора Т) такая, что для любого класса эквивалентности V Є Е{Х) имеет место равенство

ДЛЯ ГП2-ПОЧТИ всех 8 € В.

Приведем критерии сильной и слабой интегральной представимости операторов.

Теорема (А. Г. Кусраев [10]). Для мажорируемого оператораТ : Е(Х) —» Е8(У, У) равносильны следующие условия:

(а) Т допускает слабое интегральное представление;

(б) \Т\ допускает интегральное представление;

(в) если (г>п) — ограниченная последовательность в Е(Х) и |г>| —> 0 по мере тг, ТО Туп\ —> 0 7712-ПОЧТИ ВСЮДУ-

Теорема (А. Г. Кусраев [10]). Пусть банахово пространство У обладает свойством Радона-Никодима. Мажорируемый оператор Т : Е(Х) -> Е(У) допускает сильное интегральное представление в том и только в том случае, если выполнено любое из условий (б)-(в) предшествующей теоремы.

7. Приведем определения слабого исевдоинтегрального и сильного псевдоинтег-рального операторов в пространствах измеримых вектор-функций. В этом пункте (А, А, гпг) — стандартное борелевское пространство с мерой. Оператор Т : Е(Х) —> Е8(У, У) называется слабым псевдоинтегральным, если существует случайная мера ц3 и слабо измеримая оператор-функция К : ( > —» С(Х, У) (ядро оператора Т) такие, что для всех V € Е{Х),г € У имеет место представление

ДЛЯ ГП2-ПОЧТИ всех в Є В.

Оператор Т : Е(Х) —> Е(У) называется сильным псевдоинтегральным, если существуют случайная мера ц3 и просто измеримая оператор-функция К : (> —» С(Х, У) (ядро оператора Т) такие, что для любого V Є Е(Х) справедливо представление

А

(£, в) К (£, в)х

А

А

А

Ш2-П0ЧТИ всех s G В.

Интеграл понимается в смысле Бохнера.

Сформулируем критерии слабой псевдоинтегральной и сильной псевдоинтег-ральной представимости для мажорируемых операторов в пространствах измеримых вектор-функций.

Теорема (Тибилов К. Т. [17]). Для мажорируемого оператора Т : Е(Х) —» FS(Y,Z) равносильны следующие условия: (а) оператор Т порядково непрерывен;

(б) оператор Т допускает слабое псевдоинтегральное представление; (в) оператор \Т\ : Е ^ F допускает псевдоинтегральное представление.

Теорема (Тибилов К. Т. [22]). Если банахово пространство Y обладает свойством Радона-Никодима, то для мажорируемого оператора Т : Е(Х) —> F(Y) равносильны следующие условия: (а) оператор Т порядково непрерывен; (б) оператор Т допускает сильное псевдоинтегральное представление; (в) оператор \Т\ : Е ^ F допускает псевдоинтегральное представление; (г) оператор Т допускает слабое псевдоинтегральное представление.

8. Заключительные замечания. Наряду с задачей о представимости линейного оператора в интегральной форме с произвольным измеримым ядром значительный интерес представляет задача о представимости линейных операторов в интегральной форме с ядрами, удовлетворяющими различным условиям. Первые важные результаты по этой задаче были получены в 1930-х годах И. М. Гельфандом, Л. В. Канторовичем, Н. Данфордом (см. [19, 20, 23-25]. Результаты этих авторов получили дальнейшее развитие в работах Д. А. Владимирова, В. Б. Короткова, А. В. Бухвалова, А. Р. Шепа и др. (см. [4, 23-25, 29]). С другими незатронутыми аспектами современной теории интегральных операторов можно познакомиться по монографиям [23-26, 29]. В 1980-х годах Л. Вайсом и Н. Колтоном активно изучались характеризации различных полос в пространстве порядково непрерывных операторов в терминах случайных ядер [i,s псевдоинтегральных операторов, а также приложения к геометрии банаховых и квазибанаховых пространств, изучению уравнения переноса и т. д. (см., например [27, 28]).

Литература

1. von Neumann J. Charakteresierung des Spektrums eiries Integraloperators // Actualites Sci. et

Ind. 1935. № 229.

2. Бухвалов А. В. Об интегральном представлении линейных операторов // Зап. науч. семинар.

ЛОМИ. 1974. Т. 17. С. 5-14.

3. Бухвалов А. В. Критерий интегральной представимости линейных операторов // Функц. анал.

и его прил. 1975. Т. 9. № 1. С. 51.

4. Бухвалов А. В. Приложения теории порядково ограниченных операторов к теории операторов

в пространствах Lp // Успехи мат. наук. 1983. Т. 38. № 6. С. 37-83.

5. Жданов С. И. О некоторых вопросах общей теории линейных систем // Оптимизация. 1973.

№ 12. С. 52-76.

6. Lessner L. A lattice theoretic charakterisation of an integral operator // Proc. Amer. Math. Soc.

1975. V. 53, № 2. P. 391-395.

7. Arveson W. Operator algebras and invariant subspaces // Ann. of Math. 1974. V. 100, № 2. P. 433532.

8. Sourour A. R. Pseudointegral operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1979. V. 253. P. 339-363.

9. Sourour A.R. Characterization and order properties of pseudo-integral operators // Pacific J. Math. 1982. V. 99, № 1. P. 145-158.

10. Кусраев А. Г. Линейные операторы в решеточно нормированных пространствах // Новосибирск: Наука, 1987 /Труды Института математики СО АН СССР. Т. 9. С. 84-158.

11. Кусраев А. Г. Об интегральном представлении мажорированных операторов в пространствах измеримых вектор-функций // Докл. АН СССР. 1987. Т. 293. № 4. С. 788-791.

12. Кусраев А. Г. Об аналитическом представлении мажорированных операторов // Докл АН СССР. 1987. Т. 294. № 5. С. 1055-1058.

13. Кусраев А. Г., Стрижевский В. 3. Решеточно нормированные пространства и мажорированные операторы //Новосибирск: Наука, 1987 / Тр. Ин-та мат-ки СО АН СССР. Т. 7. С. 132-158.

14. Наводнов В. Г. Об интегральном представлении операторов, действующих из банахова пространства измеримых вектор-функций в банахово пространство // Изв. вузов. Математика. 1983. № 3. С. 82-84.

15. Кузьмин Ю. Н. Совершенные пространства измеримых векторнозначных функций и интегральные операторы: Автореф. дисс. ... канд. физ.-мат. наук.: Казань, 1984.

16. Kevin Т. A. Representation of compact and weakly compact operators on the space of Bochner integrable functions // Pacif. J. Math. 1981. V. 92, № 2. P. 257-267.

17. Тибилов К. Т. О псевдоинтегральных операторах в пространствах измеримых вектор-функций // Сиб. мат. журн. 1990. Т. 31. № 5. С. 149-156.

18. Канторович Л. В. О функциональных уравнениях // Уч. зап. ЛГУ. 1937. Т. 3 (17). С. 17-33.

19. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Линекер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

20. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз, 1961.

21. Кусраев А. Г. Векторная двойственность и ее приложения. Новосибирск: Наука, 1985.

22. Тибилов К. Т. Аналитическое представление мажорируемых операторов: Автореф. дисс. . . . канд. физ. мат. наук: Новосибирск, 1990.

23. Красносельский М. А., Забрейко П. П., Пустылъник Е. И., Соболевский П. Е. Интегральные

операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966.

24. Коротков В. Б. Интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1983.

25. Бухвалов А. В., Коротков В. Б., Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С., Макаров В. Б. Векторные

решетки и интегральные операторы. Новосибирск: Наука, 1992.

26. Халмош П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в пространствах L2. М.: Наука, 1985.

27. Weis L. On the representation of order continuous operators bu random measures // Trans. Amer. Math.Soc. 1984. V. 285. № 2. P. 535-563.

28. Kalton N. J. The endomorthisms of Lp // Indiana Univ. Math. J. 1978. V. 27. P. 353-381.

29. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.