АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ТЕЛА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫВ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2

УДК 539.3

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ТЕЛА ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ФОРМЫ В МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Ю. М. Григорьев, А. А. Гаврильева

Аннотация. Рассматривается плоская задача о собственных гармонических колебаниях прямоугольника со смешанными краевыми условиями в рамках линейной микрополярной теории упругости. Микрополярная модель или модель Коссера применяется для многих современных материалов с микроструктурой, когда элементарная частица сплошной среды имеет шесть степеней свободы. Предложен метод решения, когда исходная краевая задача разделяется на отдельные последовательности согласованных скалярных краевых задач, отвечающих и за вращательную компоненту. Выявлено, что в микрополярной среде возникают два «сорта частот» собственных колебаний прямоугольника, одна из которых ограничена снизу, тогда как в классической среде существует только один «сорт» собственных частот и таких ограничений нет. Предложенный метод может быть развит на случай других граничных условий и на трехмерный случай.

Б01: 10.25587/8УРи.2023.93.57.002 Ключевые слова: модель Коссера, микрополярная теория упругости, собственные колебания, прямоугольник.

Введение

Механика обобщенных сплошных сред имеет более чем столетнюю историю и берет свое начало со знаменитой книги братьев Коссера [1]. В этой книге авторы обобщили предыдущие подходы других исследователей к построению модели упругих сред с кинематически независимыми поступательными и вращательными степенями свободы. В теории Коссера, в отличие от классической теории упругости, каждая точка среды характеризуется двумя независимыми векторами смещения и вращения. Эта основополагающая работа братьев Коссера не была своевременно оценена.

Однако после некоторого забвения идеи Коссера были переоткрыты и развиты в работах [2-6] и др., появились основы новых теорий обобщенных сред. Сейчас теории микрополярной, микроморфной, градиентной упругости и т. д. описаны в монографиях [7-14] и др., в тысячах статей. Причина такого возрождения моделей обобщенных сред заключается в том, что некоторые эффекты механического поведения твердых тел и жидкостей не могли быть объяснены

© 2023 Григорьев Ю. М., Гаврильева А. А.

с помощью имеющихся классических моделей. На первое время оказалось, что для практических приложений разработанные модели оказались мало полезными. Причиной этого был разрыв между уровнем формулировки определяющих уравнений и возможностями идентификации параметров материала. Таких новых параметров было гораздо больше, чем в классических моделях. С началом 2000-х годов ситуация изменилась. Доступность гораздо больше вычислительных возможностей позволяет численно моделировать очень сложные задачи. Внимание к большому количеству материалов со сложной микроструктурой значительно повысилось в связи с возрастающими практическими запросами, связанными с современными технологиями.

Большую популярность имеет микрополярная теория упругости (МТУ), разработанная на основе модели упругой среды Коссера. В русскоязычной литературе для МТУ иногда пользуются термином «моментная теория упругости». МТУ используется для описания сред с микроструктурой, таких как: зернистые среды, включая кирпичную кладку; композиты, включая композиты со случайными частицами; балочно-решетчатые материалы, включая пенопласты и другие пористые материалы; теория тонкостенных конструкций; магнитные жидкости и жидкие кристаллы; кости, биокерамика, геоматериалы и другие среды с вращательными взаимодействиями (см., например, [14]).

В данной работе исследуется задача МТУ для упругой изотропной однородной модели среды Коссера, характеризующейся шестью упругими константами [8]: две постоянные Ламе и четыре новые константы, отвечающие за микроструктуру. Несмотря на достаточное развитие основ МТУ известно лишь ограниченное количество точных аналитических решений задач равновесия и колебаний микрополярных упругих тел конечных размеров. При этом только некоторые из них подходят для разработки методов идентификации микрополярных констант упругости по лабораторным измерениям.

Точные аналитические решения для круговых цилиндров получены в [1520]. Эти решения были распространены на изотропные полые цилиндры в работе [21]. Первая попытка определить все шесть констант упругости, основанная на решениях задач о кручении круглого цилиндра и изгибе прямоугольной пластины, была предпринята Готье и Джасманом [16, 22]. В [23] Чаухан из точных аналитических решений вывел эффект увеличения макроскопической жесткости для полукруглого кольца прямоугольного сечения, изгибаемого равнодействующими поперечного радиального сдвига. В работе [24] Сингх получил точные аналитические решения для областей со сферическими границами. В [25] Р. Меладзе получил точные аналитические решения основных задач равновесия микрополярного упругого шара в терминах абсолютно и равномерно сходящихся рядов. В [26] проведен параметрический анализ точных аналитических решений некоторых одномерных и двумерных задач деформации пластины и шайбы, при этом введенные макропараметры микрополярной среды могут быть

конструктивно экспериментально измерены. Имеются успешные работы Лейка и Янга по экспериментальному определению микрополярных упругих констант кости, полимерных и металлических пен [27, 28] и др. В [29] можно найти широкий литературный обзор по экспериментальному определению микрополярных упругих констант.

Для параллелепипеда и прямоугольника известны некоторые точные аналитические решения. В [30] Н. Г. Хомасуридзе показал, что для параллелепипеда в случае согласованных краевых условий возникают задачи Дирихле или Неймана для дивергенции векторного поля смещения. В развитие этих результатов в работах [31-33] разработаны основы метода получения точных аналитических решений задач равновесия и колебания микрополярного прямоугольника. В [34] получено точное аналитическое решение задачи равновесия микрополярного прямоугольника, на границе которого заданы нормальные напряжения, касательные составляющие вектора перемещения и моментных напряжений. Вместе с тем для частного случая граничных условий выделено слагаемое, отвечающее за микрополярный эффект — повышение жесткости прямоугольника.

Выше были отмечены все известные работы, в которых имеются точные аналитические решения статических задач микрополярной упругости в ограниченных областях в М2 и М3.

Цель настоящей статьи состоит в том, чтобы в рамках микрополярной теории упругости получить точное аналитическое решение задачи о собственных гармонических колебаний тела прямоугольной формы со смешанными краевыми условиями: когда на границе заданы нулевые касательные компоненты напряжений, нормальные компоненты вектора перемещения и вектора вращения.

1. Основные соотношения микрополярной теории упругости

Введем декартовы координаты х, здесь и всюду в дальнейшем латинские индексы принимают значения от1до3: г =1, 2, 3. В среде Коссера движение каждой частицы среды описывается независимыми векторами перемещения и и вращения ш, их компоненты соответственно обозначаются щ и ш.

Уравнения движения в МТУ при отсутствии массовых сил и моментов имеют вид [8]

3 3 3

= рщ' + Сгзказк =

3 = 1 3 = 1 3,к=1

где а— компоненты несимметричного тензора силовых напряжений, — компонента тензора моментных напряжений; е^к — антисимметричный тензор Леви-Чивита, р — плотность среды, ] — локальная динамическая характеристика среды (плотность момента инерции, мера инерции при вращении); точка

вверху буквы означает частную производную по времени; здесь и далее запятая и переменная в индексе обозначают соответствующую частную производную.

Геометрические соотношения для компоненты тензора деформаций ^^ и компоненты тензора изгиба-кручения х^ имеют вид

3

Ъъ = , Xji = ^ъ^

к=1

Компоненты 7ъъ тензора деформаций идентичны компонентам тензора деформаций в классическом случае, а компоненты , где г = тензора деформаций характеризуют отличие вектора вращения ш от половины вектора вихря перемещения х и; компоненты \и описывают крутильные деформации, а компоненты хч, где г = , — изгибные.

Определяющие уравнения МТУ (закон Гука) для изотропной однородной центрально-симметричной среды Коссера имеют вид

3

= 7кк + (м + + (м - &)ъъ,

к=1

Мч = Хкк + (7 + ^Хч + (7 - ,

к=1

где А, м — постоянные Ламе; а, в, 7, £ — микрополярные упругие постоянные среды, отвечающие за микроструктуру. Из условия положительности внутренней энергии вытекают следующие неравенства для упругих постоянных [7, 35]:

М > 0, ЗА + 2м> 0, а > 0, 7> 0, е> 0, Зв + 27 > 0.

При подстановке формул (1.3) в уравнения движения в напряжениях (1.1) получаем уравнения движения в перемещениях-вращениях:

(м + а]Ди + (А + м - а)У(У • и) + 2аУ х ш = ри,

(7 + е)Аш + (в + 7 -  ш) + 2аУ х и - 4аш = ,ш

Компоненты поверхностных усилий Т и моментов М, действующих на границе области, даются соответственно формулами Тъ = ^j ajinj, Мъ = ^j Мjinj, где пъ — компоненты единичного вектора внешней нормали.

2. Постановка задачи

Рассматриваются собственные гармонические колебания тела прямоугольной формы в виде бесконечно длинного прямоугольного параллелепипеда в случае отсутствия массовых сил и массовых моментов, действующих на тело; а само тело помещено в гладкий жесткий котлован с размерами, совпадающими с его размерами. В случае плоской деформации при этом возникает задача о деформации прямоугольника при однородных краевых условиях.

Пусть прямоугольник заполняет область

Р = {(ж, у) : 0 < ж < а, 0 < у < 6},

а собственные гармонические колебания имеют частоту и форму в виде

и =

где г = т — круговая частота, и\(х, у), и2(ж, у), ш(х, у) — амплитуды векто-

ров перемещения и вращения. Физический смысл имеют только вещественные части данных комплекснозначных функций.

Далее определяются амплитуды деформаций согласно (1.2):

7хх = И^х, Тху = И2,х - Ш, 7ух = + Ш, 7уу = И2,у, Ххг = Щг, =

и амплитуд напряжений согласно (1.3) — закон Гука:

стхх = Л У  и + 2ми1,х, = Л У  и + , сгг = Л У  и,

(а) Стху = (м + а)и2,х + (м - а)и1,у - 2аш,

(б) Стух = (м + а)и1,у + (м - а)и2,х + 2аш, Мхг = Муг = , Мгх = (7 - е)ш,х, Мгу = (7 - е)ш,у.

Наконец, после подстановки выражений (2.1)—(2.3) в основные соотношения (1.1)—(1.3) возникает следующая задача о нахождении собственных гармонических колебаний (2.1) прямоугольника со смешанными однородными краевыми условиями:

(а) (м + а)Аи1 + (Л + м - а)(У  и),х + 2аУ х + рт2и1 = 0, (м + а)Аи2 + (Л + м - а)(У  и),у - 2аУ х ш,х + рт2и2 = 0, (б) ВАш + 2а(и2,х - ) - 4аш + ^'т2ш = 0 в Р; (в), (г) СТху |х=а,0 = Стху (у) = 0, СТух|у=Ь,0 = ^ху (ж) = 0, (д), (е) И1|х=а,0 = Й1(у) = 0, И2|у=ь,0 = Й2(ж) = 0, (е) ш|х=а,0 = Ш(у) = 0, ш|у=ь,0 = Ш(ж) = 0.

Здесь В = 7 + е и В > 0 (1.4), следовательно, в случае плоской деформации (2.1) имеются четыре микрополярно-упругие постоянные.

Отметим, что смешанные краевые условия задачи (2.4) является однородными краевыми условиями V типа по классификации В. Д. Купрадзе [7].

3. Метод согласованных краевых задач

Введем векторную вспомогательную функцию

f = (м + а)Ух и, f =(0, 0, (м + а)(и2,х - )) = (0, 0,/з(ж,у)), (3.1) где согласно (1.4) м + а > 0.

3.1. Безвихревое решение.

Теорема 1. Пусть и £ С3

f = 0.

Тогда имеются два вида решений задачи (2.4):

щ(х,у) = Е Е Спт 13111 (—х)сов (~]~у)' И1 ^

п= 1 т= 1

М*, = С08

п= 1 т= 1

ш(ж, у) = 0,

2 А + 2м 2 (п2 т2

7Г2 I--Ь

пт \ 2 ^2

р у а2 Ь2

и1(х, у) =0, и2(х, у) = 0,

°о оо

<"

п= 1 т= 1

2 1 ( 9 (П2 Ш2'

Доказательство. При f = 0 возникает краевая задача для амплитуды вращения ш (2.1) согласно (2.4(б)) и (2.4(е)) в следующем виде:

(7Т2 — 4а \

-—--I ш = 0 в Р; ш = 0на дР.

Покажем, что А + 2м > 0. От противного, пусть А < -2м. Тогда согласно (1.4) А < -2м < 0. Рассмотрим неравенство 3А+2м > 0 (1.4) или 2А+(А+2м) > 0, тогда 2А > -(А + 2м) > 0; пришли к противоречию.

Покажем, что скалярная вспомогательная функция в виде

/ =

удовлетворяет уравнению 2-го порядка и для нее выполняются краевые условия Неймана.

Применив V- к уравнениям (2.4(а)), получим

(А + 2м)А(У • и) + рт2(У • и) = 0 ^ Д/ + ^1-/ = о.

Найдем краевые условия для вспомогательной функции /. Согласно закону Гука

&ху,у = (м + а)и2,ху + (м - а)и1,уу - 2аш,у

^ аху,у = (м + а)((V  u),х - и1,хх) + (м - а)и^уу - 2аш,у

и

Выражая и1хх с помощью уравнения движения для компоненты перемещения и1 (2.4(а)), получим

= (Л + 2м)(У  и),х + 2ми1,уу + рт2И1. На границе ж = а, 0 это выражение преобразуется в

(У  и),х|х=а,0 = 0 ^ /,х|х=а,0 = 0,

так как на этой границе компоненты (2.4(в)), и1 (2.4(д)) не зависят от у и и1 = 0 (2.4(д)). Аналогично

(У ' и),у |у=Ь,0 = 0 ^ /,у |у=Ь,0 = 0.

Таким образом, для вспомогательной скалярной функции (3.1.5) получили искомую задачу

рт 2

Д/+А + 2^/ = 0вР; /,*!*=<.,

Итак, ищем решение (и1(ж, у), и2(ж, у), ш(ж, у), т), удовлетворяющее соотношению (3.1.1) и краевым задачам (3.1.4), (3.1.6). Краевые задачи можно решить методом разделения переменных [36].

Решение краевой задачи (3.1.6) имеет вид

{ТО ТО 2 2

п=1 т=1

/ = 0, т любое.

В первом случае решение краевой задачи (3.1.4) может быть только ш = 0 и, учитывая (3.1.1), получим решение исходной задачи (2.4) в виде (3.1.2). Во втором случае при любом т решение краевой задачи (3.1.4) имеет вид

то то

ш(х, у) = Спт sin (—х)sin i~y)'

n=l m=l a

2 1 ( 2 / n2 m2N '

т„т = Д4а + £^ ^ +

Учитывая (3.1.1) и граничные условия (2.4(д)), (2.4(е)), получим, что u1(x,y) = 0 и u2(x, y) = 0. Стало быть, решение исходной задачи имеет вид (3.1.3).

Таким образом, безвихревое решение (f = 0) имеет вид (3.1.2) и (3.1.3). Одно решение (3.1.2) отвечает классическому рассмотрению задачи гармонических колебаний прямоугольника (а = 0), другое (3.1.3) — микрополярному бездивергентному случаю (/ = 0).

3.2. Вихревое решение.

Теорема 2. Пусть и £ С5(Р)Г\С3(Р) и векторная вспомогательная функция f = 0 (3.1). Тогда решение исходной задачи (2.4) имеет вид

°°

V а / V Ь

п=1 т=1

°°

+ ££ с

2 (пп \ / пт

Т1 -Т ГПК -

-» ап •х) СОЙ { — У

п=1 т= 1

°°

пп/а 1 /пп \ . /пШ \ П2

п= 1 т= 1

°°

ПП/^2 (ПП \ . ( ПШ

-ЕЕ С08 8111 \—у

п=1 т= 1

00 00 М^Т + ЧЩг)

Пт В,2 + зт21пп - V а "7 ^ V Ь

, Ч \ - \ - „1 6 т тгт/Ь ) . /та \ . /7ГТО ;(ж, у) = С, -=-=---я'" I —т 1 кил I-

вт —х вт —— у

Ктг^ I ±1— -к 1 -к — 1 г" ~

п=1 т=1

2„2 / 2

°°

4- ^ п /а \

\ - \ - _,2 V Ь 7ТТТ1 /Ъ ) . /7ГП \ . /7ГТО + / / Цт-ГТ^--о-13111 -ж Й111 ——у

п=1 т=1 ^ (£ + Ж) + 4« " ^ V ° ^ "" V Ь

22 2 • . п2 ш2 \

2 1 / 2 / п т \ . .

Т1,2пт = I ^ Сам + а) + Вр) +

2,Р

±

2 2 \ 2 п2 т2

^2+-¿Г) +

+

Доказательство. Покажем, что вспомогательная векторная функция f удовлетворяет уравнению 4-го порядка и для нее выполняются краевые условия типа Рикье.

Применим Vх к уравнению (2.4(а)). Используя определение для f (3.1), свойства V х V(V  u) = 0, V х (V х ш) = V(V  ш) - Аш и для плоской деформации (V  ш) = 0, придем к соотношению

м + ^ 2а \ м + а) '

Применим А к уравнению (2.4(б)). Используя определение для f (3.1), придем к

= +

В \м + а )

4

п

Применим А к уравнению (3.2.2(а)). Используя (3.2.3) и (3.2.2(б)), придем к уравнению для вспомогательной функции f:

А2{ +

^

,2 , л2 _

Найдем краевые условия для функции f. Используя выражение для и2 х, из закона Гука (2.3(а)) получим

f = (0, 0, — 2ми1;У + 2аш).

На границе ж = а, 0 согласно (2.4(в)), (2.4(д)), (2.4(е)) это выражение равно нулю:

f |х=а,0 = 0.

Аналогично получим

f =

Тем самым функция f обращается в нуль в точках границы.

Подставляя в (3.2.2(а)) выражение для А^ из (2.4(б)), получим

=

В(м + а) В

Отсюда согласно граничным условиям (2.4(е)), (3.2.5), (3.2.6) получим, что значения Аf обращаются в нуль на границе прямоугольника.

Таким образом, для векторной функции f (3.1) получили искомую задачу:

(А + Л2)(А + Л2^ = 0 в Р;

Аf = °, f = 0на дР,

Л2 , _

Учитывая соотношение для Аf (3.2.7) и граничное условие (2.4(е)), получим, что решение для задачи Рикье (3.2.8) имеет вид f = С1 f1 + С|f2, где С, С| — произвольные постоянные, а f1, f2 удовлетворяют следующим двум задачам Штурма — Лиувилля:

л2 , л2 _ ((м + ор.7 +рВ)т2 -Аар Л2л2 _ рт2Цт2 -Аа) А1+Аз" В(р + а) ' А1Аз" В(р + а) '

Итак, пусть векторная вспомогательная функция ненулевая f = 0, тогда в силу произвольности постоянных , С| решаем отдельно две последовательности задач. Первая последовательность: решаем краевую задачу (3.2.9.1) для ненулевой компоненты /3. Тогда при известной /3 уравнение (2.4(б)) для амплитуды вращения (2.1) преобразуется в следующую краевую задачу:

Аш+

\ В ) Вд + а

Далее, зная ш и /3, для амплитуд перемещения получаем следующие краевые задачи, используя определение (3.1), согласно (2.4(а)), (2.4(е)), (3.2.6):

л рт 2 1 (Л + М - а „ \

¿ли 1 + --141 = — -- -Гз „ + 2аш „ в К

А + 2р А + 2р \ р + а 'V '

и1|ж=а,0 = и1,у |у=Ь,0 =

и согласно

Л рт2 1 /Л + М - а „ \

Аи2 + ——и2 = ---/3,х + 2аш х в Р.

Л + 2м Л + 2м\м + а /

И2|у=Ь,0 = и2,х|ж=а,0 = Такие же задачи получаем для второй последовательности краевых задач (3.2.9.2), (3.2.10), (3.2.11), (3.2.12), заменяя Л1 на Л2. Эти последовательности задач решаются стандартными методами математической физики, например, методом разделения переменных [36].

Итак, решение краевой задачи Штурма — Лиувилля (3.2.9.1) и (3.2.9.2) имеет вид

то то

-.1,2 / , ^ (Птг< 1,2 1,2 \ • /пп \ . /пт N

/з + ГГ Си2пт) 81П {—X) 8Ш {—у)

п=1 т= 1

/л2 \ /п2 т2

(Л1,2)„т = ^ ( + "¿2

где , Си22 т определяются из начальных условий при I = 0 для амплитуд

перемещения и1(ж, у), и2(ж, у). Далее находим решение для каждого значения п, т (индекс п, т опускаем).

Выражая Л2 через Л1 в соотношениях (3.2.9), приходим к квадратному 2

уравнению для т2:

ЭР 4 (з{р + а) + Вр Аар \ _2 2 Аар = Го о 14ч

В

В силу того, что свободный член + и множитель в^+^Х1 ПРИ т4

положительны, а множитель + ) ПРИ 1-2 отРиЦателен) всегда

2 2 1

существует два положительных корня т-2, т£, если показать, что дискриминант всегда положителен, т. е. выполняется неравенство

^

Действительно, минимальное значение имеет вид

_ 64jp2a3(jp ~ Вр) гоолк\

«min — / ./ . \ л \2 ' (^O.Z.IOJ

(др + a) - ВР)2

если jp — Вр > 0, то dm;n > 0, тогда и d(Af) > 0; если jp — Вр < 0, то ja + Вр — jp > 0, тогда и d(Af) > 0.

Таким образом, всегда существуют два положительных корня

^1,2 = + а) + Вр) + Apa

± (Al(j(p + а) - Bp)2 + A?(8ap(ja + Bp - jp)) + 16р2а2)1/2], (3.2.17) при этом

о 4а 4а 9

т? > —, — >т|>0.

j j

Для краевой задачи Штурма — Лиувилля (3.2.9.2) при А| = тг + 2р-) получим то же самое соотношение для т2 (3.2.14).

Итак, при т2 = rf решаем краевую задачу для амплитуды вращения (3.2.10), для амплитуд перемещения (3.2.11), (3.2.12) получим

9ni77™1 4- 7г2"2/"2'j I, , „1 V Ь + -¡тт/Ь ) . /7ГП \ . /7ГТО \

CJ (ж, «) = С„1 -г—---- sin —х sin ——у ,

v у' ul Вт2 + + 4a - JT2 v a > V b yJ

u¡(x, y) = C1! sin (Jyxj eos i^yv) ,

w N nn/tt 1 /nn \ /nm

(ж, у =--кСи1 eos —ж sin —y

nm/b V a / V b

Такое же решение получим при т2 = т|, заменяя т^ на т^. Таким образом, если f = 0, то решение исходной линейной задачи (2.4) имеет вид (3.2.1).

Таким образом, вихревое решение f = 0 (3.1) приводит к краевой задаче (3.2.8) для вспомогательной векторной функции (3.1) и решение исходной задачи (2.4) имеет вид (3.2.1) с двумя микрополярными «сортами» собственных

2 4а

частот, при этом одна частота ограничена снизу: rf > —, а вторая сверху: т| < ^ (3.2.18).

4. Заключение

В случае плоской деформации получено точное аналитическое решение краевой задачи о собственных гармонических колебаниях бесконечно длинного прямоугольного параллелепипеда, помещенного в гладкий (без трения) жесткий котлован с размерами, совпадающими с его размерами, в микрополярной упругости. В отличие от плоской статической задачи о равновесии прямоугольника в микрополярной теории упругости [34] дано решение плоской задачи о колебаниях прямоугольника в микрополярной теории упругости непредставимо в виде

суммы классического и микрополярного решений. В микрополярной среде возникают два «сорта частот» собственных колебаний прямоугольника, одна из которых ограничена снизу, тогда как в классической среде существует только один «сорт» собственных частот. Полученное точное решение может быть использовано для разработки метода идентификации микрополярных параметров среды Коссера по лабораторным измерениям, может также служить тестовым примером для различных численных методов нахождения частот собственных колебаний. Предложенный метод может быть развит на случай других граничных условий и на трехмерный случай.

ЛИТЕРАТУРА

1. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des corps deformables. Paris: Herman et Fils, 1909.

2. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2, № 9. С. 1399—1409.

3. Mindlin R., Tiersten H. Effects of couple-stresses in linear elasticity // Arch. Rat. Mech. Anal. 1962. V. 11, N 1. P. 415-448. https://doi.org/10.1007/BF00253946.

4. Koiter W. T. Couple-stress in the theory of elasticity // Proc. K. Ned. Akad. Wet. 1964. V. 67. P. 17-44.

5. Пальмов В. А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // Прикл. математика и механика. 1964. Т. 28, № 3. С. 401-408.

6. Eringen A. Linear theory of micropolar elasticity //J. Math. Mech. 1966. V. 15, N 6. P. 909923.

7. Купразде В. Д. Трехмерные задачи систематической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.

8. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986.

9. Eringen A. C. Microcontinuum field theories. I. Foundations and solids. Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verl., 1999.

10. Ерофеев В. И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1999.

11. Altenbach H., Maugin G. A., Erofeev V. Mechanics of generalized continua. Berlin; Heidelberg: Springer-Verl., 2011. https://doi.org/10.1007/978-3-642-19219-7

12. Dyszlewicz J. Micropolar theory of elasticity. Berlin: Springer-Verl., 2012. https://doi.org/10. 1007/978-3-540-45286-7.

13. Altenbach H„ Forest S. Generalized continua as models for classical and advanced materials. Springer, 2016. (Adv. Struct. Mat.; V. 42).

14. Eremeyev V. A., Lebedev L. P., Altenbach H. Foundations of micropolar mechanics. Heidelberg: Springer-Verl., 2013. https://doi.org/10.1007/978-3-642-28353-6.

15. Smith A. C. Torsion and vibrations of cylinders of a micropolar elastic solid // Recent Adv. Eng. Sci. 1970. V. 5, N 2. P. 129-137.

16. Gauthier R. D., Jahsman W. E. A quest for micropolar elastic constants //J. Appl. Mech. 1975. V. 42, N 2. P. 369-374.

17. Reddy Krishna G. V., Venkatasubramanian N. K. Saint-Venant's problem for a micropolar elastic circular cylinder // Int. J. Eng. Sci. 1976. V. 14, N 11. P. 1047-1057.

18. Iesan D., Chiripa S. Saint-Venant's problem for composite micropolar elastic cylinders // Int. J. Eng. Sci. 1979. V. 17, N 5. P. 573-586.

19. Chiripa S. Deformation of loaded micropolar elastic cylinders // Int. J. Eng. Sci. 1981. V. 19. P. 845-853.

20. Gauthier R. D. Experimental investigations on micropolar media // Mechanics of Micropolar Media. Singapore: World Sci., 1982. P. 395-463.

21. Taliercio A. Torsion of micropolar hollow circular cylinders // Mech. Res. Commun. 2010.

V. 34. P. 406-411.

22. Gauthier R., Jahsman W. Bending of a curved bar of micropolar elastic material //J. Appl. Mech. 1976. V. 43. P. 502-503.

23. Chauhan R. S. Couple stresses in a curved bar // Int. J. Eng. Sci. 1969. V. 7. P. 895-903.

24. Singh S. J. A spherical cavity in a micropolar medium and related problems // Gerlands Beitrage ziir Geophysik. Leipzig, 1975. V. 84. P. 55-66.

25. Меладзе Р. В. Решение III и IV краевых задач статической теории микрополярной упругости для шара // Тр. ИПМ им. В. Векуа. 1987. Т. 84. С. 55-66.

26. Kulesh M. A., Matveenko V. P., Shardakov I. N. Parametric analysis of analytical solutions to one-and two-dimensional problems in couple-stress theory of elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2003. V. 23, N 4. P. 238-48.

27. Yang J. F. C., Lakes S. Experimental study of micropolar and couple stress elasticity in compact bone in bending // Biomech. 1981. V. 15. P. 91-98.

28. Yang J. F. C., Lakes S. Transient study of couple stress effects in human compact bone: Torsion //J. Biomech. 1982. V. 103. P. 275-279.

29. Hassanpour S., Heppler G. R. Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 2. P. 224-242.

30. Хомасуридзе H. Г. О решении трехмерных граничных задач безмоментной и момент-ной теорий упругости // Исследование некоторых уравнений математической физики. Тбилиси: Изд-во Тбил. гос. ун-та, 1972. Вып. 1. С. 123-147.

31. Григорьев Ю. М. Аналитическое решение некоторых основных задач классической и моментной теорий упругости для прямоугольного параллелепипеда // Моделирование в механике. 1992. Т. 6, № 4. С. 21-26.

32. Григорьев Ю. М. Аналитическое решение задачи о равновесии прямоугольника в мо-ментной теории упругости // Вестн. СВФУ. 2007. № 4. С. 19-26.

33. Григорьев Ю. М. Аналитическое решение задачи о гармонических колебаниях прямоугольника в моментной теории упругости // Моделирование и механика. Красноярск: СибГАУ, 2012. С. 37-42.

34. Grigor'ev Yu. M., Gavrilieva A. A. An equilibrium of a micropolar elastic rectangle with mixed boundary conditions // Continuum Mech. Thermodyn. 2019. V. 31, N 6. P. 1699-1718.

35. Hassanpour S., Heppler G. R. Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations // Math. Mech. Solids. 2017. V. 22, N 2. P. 224-242.

36. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962.

Поступила в редакцию 14 .марта 2023 г. После доработки 13 мая 2023 г. Принята к публикации 29 мая 2023 г.

Григорьев Юрий Михайлович

Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова,

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000;

Академия наук Республики Саха (Якутия),

пр. Ленина, 33, Якутск 677007

grigyum@yandex.ru

Гаврильева Aнна Aндреевна

ФИЦ «Якутский научный центр СО РАН»,

Обособленное подразделение

Институт физико-технических проблем Севера им. В. П. Ларионова СО РАН, ул. Октябрьская, 1, Якутск 677980 gav-ann@yandex.ru

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2023. Том 30, № 2

UDC 539.3

A PROBLEM OF HARMONIC OSCILLATIONS OF A RECTANGLE IN THE THEORY OF MICROPOLAR ELASTICITY: THE ANALYTICAL SOLUTION Yu. M. Grigor'ev and A. A. Gavrilieva

Abstract: We consider the plane problem of natural harmonic oscillations of a rectangle with mixed boundary conditions in the framework of the linear micropolar theory of elasticity. The micropolar or Cosserat model is used for many modern materials with microstructure, when an elementary particle of a continuous medium has six degrees of freedom. A method for solving the original boundary value problem, when it is divided into separate sequences of consistent scalar boundary value problems, including one for rotational component, is proposed. It was revealed that in a micropolar medium there are two «sorts» of natural oscillations of a rectangle, one of which is bounded from below, while in a classical medium there is only one «sort» of natural oscillations and there are no such restrictions. The proposed method can be developed for the case of other boundary conditions and for the three-dimensional case.

DOI: 10.25587/SVFU.2023.93.57.002

Keywords: Cosserat model, micropolar theory of elasticity, natural oscillations, rectangle.

REFERENCES

1. Cosserat E. and Cosserat F., Theorie des Corps Deformables, Herman et Fils, Paris (1909).

2. Aero E. L. and Kuvshinskij E. V., "Basic equations of elasticity theory with rotational interaction of particles [in Russian]," Fizika Tvyordogo Tela, 2, No. 9, 1399-1409 (1960).

3. Mindlin R. and Tiersten H., "Effects of couple-stresses in linear elasticity," Arch. Rat. Mech. Anal., 11, No. 1, 415-448 (1962).

4. Koiter W. T., "Couple-stress in the theory of elasticity," Proc. K. Ned. Akad. Wet., North-Holland Publ., 67, 17-44 (1964).

5. Pal'mov V. A., "Basic equations of the theory of asymmetric elasticity [in Russian]," Prikl. Mat. Mekh., 28, No. 3, 401-408 (1964).

6. Eringen A., "Linear theory of micropolar elasticity," J. Math. Mech., 15, No. 6, 909-923 (1966).

7. Kuprazde V. D., Three-Dimensional Problems of the Systematic Theory of Elasticity and Thermoelasticity [in Russian], Nauka, Moscow (1976).

8. Nowacki W., Theory of Asymmetric Elasticity, Pergamon Press, Oxford (1986).

9. Eringen A. C., Microcontinuum Field Theories, I: Foundations and Solids, Springer, Berlin; Heidelberg; New York (1999).

10. Erofeev V. I., Wave Processes in Solids with Microstructure [in Russian], Izdat. Mosk. Univ., Moscow (1999).

11. Altenbach H., Maugin G. A., and Erofeev V., Mechanics of Generalized Continua, Springer, Berlin; Heidelberg (2011).

© 2023 Yu. M. Grigor'ev, A. A. Gavrilieva

12. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity, Springer, Berlin (2012).

13. Altenbach H. and Forest S., Generalized Continua as Models for Classical and Advanced Materials, Springer (2016) (Adv. Struct. Mat.; vol. 42).

14. Eremeyev, V. A., Lebedev L. P., and Altenbach H., Foundations of Micropolar Mechanics, Springer, Heidelberg (2013).

15. Smith A. C., "Torsion and vibrations of cylinders of a micropolar elastic solid," Recent Adv. Eng. Sci., 5, No. 2, 129-137 (1970).

16. Gauthier R. D. and Jahsman W. E., "A quest for micropolar elastic constants," J. Appl. Mech., 42, No. 2, 369-374 (1975).

17. Krishna Reddy G. V. and Venkatasubramanian N. K., "Saint-Venant's problem for a micropolar elastic circular cylinder," Int. J. Eng. Sci., 14, No. 11, 1047-1057 (1976).

18. Iesan D. and Chiripa S., "Saint-Venant's problem for composite micropolar elastic cylinders," Int. J. Eng. Sci., 17, No. 5, 573-586 (1979).

19. Chiripa S., "Deformation of loaded micropolar elastic cylinders," Int. J. Eng. Sci., 19, 845-853 (1981).

20. Gauthier R. D., "Experimental investigations on micropolar media," in: Mechanics of Micropolar Media, pp. 395-463, World Sci., Singapore (1982).

21. Taliercio A., "Torsion of micropolar hollow circular cylinders," Mech. Res. Commun., 34, 406-411 (2010).

22. Gauthier R. and Jahsman W. "Bending of a curved bar of micropolar elastic material," J. Appl. Mech., 43, 502-503 (1976).

23. Chauhan R. S., "Couple stresses in a curved bar," Int. J. Eng. Sci., 7, 895-903 (1969).

24. Singh S. J., "A spherical cavity in a micropolar medium and related problems," Gerlands Beitr. Geophys., Leipzig, 84, 55-66 (1975).

25. Meladze R. V., "Solution III and IV of boundary value problems of the static theory of micropolar elasticity for a ball [in Russian]," Tr. IPM im. V. Vekua, 84, 55-66 (1987).

26. Kulesh M. A., Matveenko V. P., and Shardakov I. N., "Parametric analysis of analytical solutions to one-and two-dimensional problems in couple-stress theory of elasticity," Z. Angew. Math. Mech., 23, No. 4, 238-248 (2003).

27. Yang J. F. C. and Lakes S., "Experimental study of micropolar and couple stress elasticity in compact bone in bending," Biomech., 15, 91-98 (1981).

28. Yang J. F. C. and Lakes S., "Transient study of couple stress effects in human compact bone: Torsion," J. Biomech., 103, 275-279 (1982).

29. Hassanpour S. and Heppler G. R., "Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations," Math. Mech. Solids, 22, No. 2, 224-242 (2017).

30. Homasuridze H. G., "On the solution of three-dimensional boundary problems of the moment-less and moment theories of elasticity [in Russian]," in: Study of Some Equations of Mathematical Physics, No. 1, pp. 123-147, Izdat. Tbilis. Gos. Univ., Tbilisi (1972).

31. Grigor'ev Yu. M., "Analytical solution of some basic problems of classical and moment theories of elasticity for a rectangular parallelepiped [in Russian]," Model. Mekh., 6, No. 4, 21-26 (1992).

32. Grigor'ev Yu. M., "Analytical solution of the rectangle equilibrium problem in the moment theory of elasticity [in Russian]," Vestn. SVFU, No. 4, 19-26 (2007).

33. Grigor'ev Yu. M., "Analytical solution of the problem of harmonic oscillations of a rectangle in the moment theory of elasticity [in Russian]," in: Modelling and Mechanics, pp. 37-42, SibGAU, Krasnoyarsk (2012).

34. Grigor'ev Yu. M. and Gavrilieva A. A., "An equilibrium of a micropolar elastic rectangle with mixed boundary conditions," Continuum Mech. Thermodyn., 31, No. 6, 1699-1718 (2019).

35. Hassanpour S. and Heppler G. R., "Micropolar elasticity theory: a survey of linear isotropic equations, representative notations, and experimental investigations," Math. Mech. Solids, 22, 224-242 (2017).

36. Budak B. M., Tikhonov A. N., and Samarsky A. A., Collection of Problems in Mathematical

Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1980).

Submitted March 14, 2023 Revised May 13, 2023 Accepted May 29, 2023

Yuriy M. Grigor'ev

Ammosov North-Eastern Federal University,

Theoretical Physics Department,

58 Belinsky Street, Yakutsk, 677000 Russia;

Academy of Sciences of the Republic of Sakha (Yakutia),

33 Lenin Avenue, Yakutsk 677007, Russia.

grigyum@yandex.ru.

Anna A. Gavrilieva

Larionov Institute of the Physical-Technical Problems of the North of the Siberian Branch of the RAS, Division of Federal Research Centre

"The Yakut Scientific Centre of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences," 1 Oktyabrskaya street, Yakutsk 677980, Russia gav-ann@yandex.ru