О некоторых концепциях по расчету прочности железобетонных элементов по наклонным сечениям при действии поперечных сил (на примере исследования работы газобетона)

О некоторых концепциях по расчету прочности железобетонных элементов по наклонным сечениям при действии поперечных сил

Морозов А. Н.

Морозов Алексей Николаевич /Morozov Aleksei Nikolaevich - кандидат технических наук, старший научный сотрудник,

пенсионер, г. Таллинн, Эстония

Аннотация: на примере газобетона изложены новые подходы к расчету прочности наклонных сечений, базирующихся на концепции предельного состояния по нормальным и касательным напряжениям в вертикальном сечении, проходящем через вершину критической наклонной трещины и деформирования этого сечения с учетом его депланации. Представлена формула распределения касательных напряжений в вертикальном сечении элементов, эпюра нормальных напряжений в котором имеет излом, что вносит изменения как в величину касательных напряжений, так и в место их максимума, не совпадая в ряде случаев с нейтральной осью.

Abstract: the Case of aerated concrete outlines new approaches to the calculation of the strength of oblique section, based on the concept of limit state normal and shear stresses in the vertical section at the top of the critical inclined crack and deformation of the cross-section view of its warping. Represented by formula shear stress distribution in the vertical cross-sectional view diagram of the normal stress which has a break, which introduces changes in both the magnitude of tangential stresses, and in place of the maximum does not coincide in many cases with the neutral axis.

Ключевые слова: нормальное сечение, проходящее через вершину наклонной трещины, касательные напряжения, поперечная сила, депланация сечения.

Keywords: normal section through the top of the inclined crack, shear stresses, shears force, warping section.

Расчет прочности наклонных сечений относится к числу наиболее сложных и проблематичных задач в железобетоне, что объясняется сложным напряженно-деформированным состоянием такого неоднородного материала, как бетон. Поэтому в практике этих расчетов применяются разные эмпирические методы с условными расчетными схемами, как например, виртуальная ферма в Европе. Вопросам этих расчетов посвящено много исследовательских работ. За рубежом следует отметить работы таких ученых как Е. Мерша и Г. Кани, а в России - ученых М. С. Боришанского и А. С. Залесова, работы которых явились отправным пунктом для проведения излагаемой ниже работы. Данная работа имеет целью разработку новых концепций, сделав эти расчеты более наглядными, простыми и наиболее соответствующими сложному напряженно-деформированному состоянию бетона в наклонном сечении. В качестве материала использовался газобетон, не имеющий крупного заполнителя и обладающий высокой упругостью (перед разрушением у = 0,9), что позволяет получать информацию на малых базах датчиков и наиболее точно оценивать напряжения. Одним из основных критериев при расчетах на поперечную силу является величина касательных напряжений - т, которые теоретически определяются из условия равновесия разности нормальных напряжений, действующих в двух соседних сечениях элемента на расстоянии д£ и приращением нормального напряжения - д&, а работа бетона на растяжение ниже нейтральной оси не учитывается. При этом принимается наиболее простая треугольная эпюра напряжений:

Q

т = у-.

bz

Х2 - ордината вершины наклонной трещины, Х0 - фактическая высота сжатой зоны

Одним из первых эту формулу вывел Е. Мерш. Принимая экспериментальные значения плеча внутренней пары, можно вычислить значения касательных напряжений при разрушении, которые в наших опытах с газобетонными балками с отсутствием в них поперечной арматуры оказались соответствующими

прочности газобетона на растяжение. Для обычного тяжелого бетона принимается Т = (2 — 2,5)Rbt. Разрушение наших опытных балок происходило от сжатия над вершиной критической наклонной трещины при Еъ > 200 -10 5, то есть соответствовали призменной прочности. Принятие Т = Rbt и опытных

значений внутренней пары в нормальном сечении, проходящем через вершину критической наклонной трещин, показало хорошее совпадение опытных и расчетных значений поперечной силы. Их среднее отношение составило 1,02 при и =0,10 [2]. Это свидетельствует о том, что несущую способность элементов по наклонному сечению можно определять по нормальному сечению, проходящему через вершину критической наклонной трещины. В [3] и [4]было показано, что эпюра нормальных напряжений в этом сечении имеет вырез, ориентированный на вершину наклонной трещины согласно рисунку. Поэтому там была выведена формула, соответствующая этой эпюре:

Т = Q 1 f 1 — Х22 ^ +( '2 —1 ] f f( 1 —

bz 2m x2 v OJ V Х0 J

V 0 У

которая для нейтральной оси, когда Х2 = 0 превращается в

Т0

Q 4ш — 1 bz 2ш

Из рисунка следует:

1

rn = — 2

^1 +

V Rb

x.

x,

о J

a

Здесь —- =

^b

Su

Согласно [3] и [4] изменение эпюры нормальных напряжений по параболическим зависимостям по максимальным касательным напряжениям приводит к результатам по (1). Лишь вырез в эпюре нормальных напряжений может привести как к увеличению значений максимальных касательных напряжений (при ю > 0,5), так и в некоторых случаях может сместить этот максимум к вершине наклонной трещины (при ю < 0,5). Оба случая эпюры нормальных напряжений могут иметь место и при разрушении по нормальным сечениям (например, в сечениях с изменяемой геометрией или в двуслойных конструкциях). Хотя приведенные выше данные свидетельствуют о правомерности изложенных подходов к расчету прочности наклонных сечений на действие поперечных сил, тем не менее, остается вопрос о том, в какой мере это соответствует реальному напряженно-деформированному состоянию газобетона в рассматриваемом случае, когда оно находится в плоском напряженном состоянии. Частично этот вопрос рассматривался в [2], выявив определенную специфику для газобетона. Коротко резюмируя проведенные исследования, рассмотрим формулу, используемую в экспериментальных исследованиях плоского напряженного состояния:

а2 = Т^Г

1 -и

где <Г2 - главные напряжения сжатия, S2- соответствующие им деформации, S1- деформации растяжения.

Коэффициент Пуассона и =0,2. В рассматриваемом нормальном сечении, проходящем через вершину критической наклонной трещины, располагалось четыре ряда розеток тензодатчиков, и по показаниям горизонтальных тензодатчиков строилась соответствующая им эпюра.

Как указывалось выше, газобетон позволял применять тензодатчики с базой 5 мм, что повышало точность измерений, а малая пластичность (перед разрушением V = 0,9) позволяет точнее оценивать напряжения.

Поэтому можно записать:

S2 =SbV >

где Sb - измеренные деформации, а S1 = flS2, и формулу (5) переписать:

а2 = -

( 2\ EbSbVb

2 \SbV + SbVU )-

(l + U)-

2 b b 2 1 - и 1 - и

Таким образом, измеренные деформации сжатия над концом трещины можно принять равными их

v(1 + иг L,

—-----т-*- = 1 и

главным значениям, так как

1 -и

a2 = EbSb . То есть главные напряжения соответствуют

измеренным. Об этом свидетельствуют и полученные нами ранее [2] значения угла наклона главных осей (X = 70, а главные напряжения сжатия а2 = 1,02Rb. Следует отметить, что во всех случаях разрушение

происходило при Sb > 200 • 10 5, то есть соответствовали призменной прочности. Таким образом,

концепция расчета прочности наклонных сечений по нормальному сечению, проходящему через вершину критической наклонной трещины, получает еще одно подтверждение, а величину касательных напряжений следует принимать равной прочности газобетона на растяжение. Хотя во всех расчетах принимается, что деформации (напряжения) в нормальном сечении следуют закону Гука, на самом деле фактически происходят отклонения от него, то есть линия, соединяющая деформации сжатия Sb и деформаций

арматуры S , не пересекается с фактической точкой нейтральной оси (см. рисунок). Это отклонение автор

выразил как К= —, то есть отношение высоты сжатой зоны, соответствующей закону плоских сечений

(Гука), к фактической высоте сжатой зоны. При

£=

1

1 + S

= K^0 = и ^R =

ю

ю

Г S л 1+S

(6).

K

V Sb J

x

0

S

b

Как показано в [5], при разрушении газобетона по нормальным сечениям К=0,90 - 0,95. При разрушении балок по наклонным сечениям, согласно [3] К>1, что свидетельствует о специфике этих видов разрушения, заключающейся в разных видах напряженно-деформированного состояния по нормальным сечениям в первом случае и по нормальным сечениям, проходящим через вершину наклонной трещины. Для более детального сравнения этих видов разрушения рассмотрим следующее условие, вытекающее из равенства фактического усилия в сжатой зоне его расчетному значению при прямоугольной эпюре

напряжений равных призменной прочности. То есть юе£ь^0 = £R^R, где - предельная относительная

деформация на сжатие при изгибе, £R = 200 • 10 5 - предельная относительная деформация газобетона

1

при центральном сжатии. Учитывая, что наше среднее опытное значение ю Е = —, имеем:

CR

3R

£o

3ю.

При Es

с

2 •lO5 МПа — сь

a

S

3ю200•lO 52•lO5

a

1200ю

Приравняв (6) £R

paS

----- и подставляя в (6) выражение (7), получаем:

Rb

a

S

600ю

i+—R— i 300juK

Л

Рассмотрение с этих позиций наших опытных данных по серии опытных балок с относительным

пролетом среза — = 2,5 R = 2,8MPa,^ = 0,0052, = 0 показывает, что характеристика сжатой

h0

зоны соответствует ю = 0,96 — 0,19R (9) при коэффициенте корреляции между этими параметрами - 0,72. Коэффициент корреляции между депланацией сечения К и характеристикой сжатой зоны составляет 0,91 при К= 2ю + 0,40 (10). Согласно (9) ю = 0,42, а по (10) К= 1,24 и по (8) as = 144 МПа, что соответствует

нашим опытным данным, а по

И.4 =(1 + A)—

Л А2 2т- а 2т- a

(1 + A)---------, где А=------- при этом, как ранее указывалось, т = Rbt, то gR

Rbh0

3Rbh0

=0,28. Полученные результаты свидетельствуют о том, что прочность, вычисленная для нормального сечения, проходящего через вершины наклонной трещины, соответствует таковой, вычисленной для чистого случая разрушения по тому же нормальному сечению и на основе тех же экспериментальных данных.

а

Следует отметить, что выбранная серия балок с — =2,5 является не случайной, так как, по данным Г. Кани,

h0

именно этому относительному пролету среза соответствует минимальная прочность наклонных сечений, а при значениях этого показателя 1 <, а также > 6 прочность по наклонным сечениям становится равной прочности по нормальным сечениям. Учитывая, что прочность по изгибающему моменту в рассматриваемом случае согласно [5] в 1.45 раза оказалась больше нашей опытной прочности по наклонным

а

сечениям при — =2,5, можно записать:

К

Mi

M

(1 0,5&i) = 1,45

^r (1 — 0,5£) ,

При принятии этого отношения равным единице, когда прочность по наклонным сечениям становится равной прочности по нормальным сечениям, увеличиваясь примерно в полтора раза, в общем виде можно записать:

2АД1

Ml

M

Если принимать изменение отношения этих моментов по линейному закону то можно записать:

М,

2 + —

К

М 3

а если по параболической зависимости, соответствующей опытным данным:

M a

— =---0,2

м к

( V

a

h

V ho

+ 0,2

а

S

400о

i+.r

200juK

Л

1

что при подстановке наших опытных данных Rb — 2,8MPa — /и — 0,0052 дает B,RX Результаты вычислений по представленным формулам приведены ниже.

0,43.

Таблица 1

a h0 1,0 1,3 1,5 1,8 2,0 2,5 3,0

Ml M 1,0 1,162 1,250 1,352 1,40 1,45 1,40

Sri 0,43 0,43 0,43 0,43 0,43 0,43 0,43

Sr 0,43 0,35 0,32 0,29 0,28 0,27 0,28

Pb 2 2,60 2,24 2,07 1,91 1,85 1,80 1,95

R

R

При вычислениях принималось —— = 0,13 , рй2 = Sr (l — 0,5^ )——, что получается из Q =

M

R

Rbt

a

так как во многих наших опытах а = с, принимаем это. Хотя интерполяция наших данных для вывода

a a

проводилась для — = 1 — 2,5, вследствие симметрии кривой получены данные для — = 3 — 4.

h0 h0

Что касается изменения значений относительной высоты сжатой зоны Sr в зависимости от величины

a

относительного пролета среза —, то согласно приведенной ранее формулы

К

Sr =(l + A)-

а2 2т  a

Rbh0

можно вычислить интересующие нас изменения, которые представлены в табличной форме. Для

R

газобетона В2,5 т = Rbt, —— = 0,13 , А=

3 Rbt- a

R

4 Rb К

о = 0,33.

и

Таблица 2

a h0 1 2 2,5 3 4

Sr 0,126 0,243 0,296 0,346 0,445

Sr I-h0 0,126 0,121 0,118 0,116 0,111

a

Как видно из таблицы, небольшое колебание последнего отношения позволяет принять <^R = 0,12—.

h0

Если рассмотреть данный вопрос для обычного тяжелого бетона класса В15, то следует принять т = 2Rbt, а

j^

отношение = 0,10. Аналогичные вычисления при той же типовой эпюре нормальных напряжений, представленной на рисунке с расчетной а = 0,33, а Р = 0,25 показаны в таблице.

Таблица 3

a h0 1 2 2,5 3 4

0,189 0,357 0,431 0,500 0,620

>т h0 0,189 0,179 0,172 0,167 0,156

a

Согласно таблице, можно принять <^R = 0,17 —.

h0

Приведенные данные дают определенные ориентировки по расчету прочности наклонных сечений при действии поперечных сил согласно предложенным концепциям. Одним из важных вопросов при расчете прочности наклонных сечений является определение длины горизонтальной проекции наклонного сечения -С. В нашем случае, приравняв значения поперечной силы по (1) и по (6.67) СП 52-101-2003 при т = Rbt,

(pb2  h02

можно записать С=----------, и согласно нашим данным [6], рЬ2 =1,5

z

С=

1,5h>

fl-V

V а .

(15).

Подстановка в эту формулу опытных значений а =

IF

b*0

где

IF

площадь эпюры нормальных

У

деформаций, и их максимальное значение на фибровом волокне - sR и Р = —. Было получено, что для

балок без поперечной арматуры средняя длина горизонтальной проекции наклонного сечения и ее

a a

расчетные значения по (15) при — = 2 соответственно составили 35,0 и 36,6 см, при — = 2,5 - 43,0 и

hn

hn

x

0

38,7 см, при

a = з

h

42,0 и 37,2 см. При наличии хомутов средние значения этого показателя

a

соответственно равнялись при — = 2 - 31,2 и 36,7см.

h

a

— = 2,5 - 35,7 и 37,2 см. Что касается

К

а при

0 h0

результатов испытания балок с поперечной арматурой, то в ее качестве использовались трубки диаметром 10 мм с целью вклейки в них после автоклавной обработки измерительных лент с тензодатчиками по методу В. Н. Гусакова [7]. На боковых поверхностях балок наклеивались ряды розеток с тензодатчиками для определения плоского напряженно-деформированного состояния газобетона. Измерения показали, что в

сечениях вблизи вершины наклонной трещины деформации сдвига у имеют свой максимум близко к середине сжатой зоны. Значения угла наклона ср, как правило, имеют свой максимум около нейтральной оси. У фибрового волокна значения этого угла очень малы, стремясь к нулю. Поэтому главные напряжения вверху сжатой зоны совпадают с нормальными напряжениями, как это было установлено выше с

разрушением от предельных деформаций сжатия - Еъ > 200  10 5, то есть как и в случае разрушения по

нормальным сечениям. Измерения показали, что прочность хомутов, работая на внецентренное растяжение со срезом, используется не полностью. Определяя

Qsw = Т£.е*Л* ,

где St - максимальная деформация хомута, соответствующая месту его пересечения трещиной,

а

sw

Q

sw

n  A

sw

, где n - количество хомутов в наклонном сечении при колебании этого напряжения 50-100

МПа, что составляет лишь небольшую долю прочности металла. Доля восприятия хомутами поперечной силы составила 0,3-0,6 от ее опытных значений. Часто, особенно в местах пересечения хомутов трещинами, тензодатчики на противоположных сторонах хомутов показывали деформации разных знаков. Это свидетельствует о том, что хомуты испытывают изгиб. Так как хомуты работают на растяжение с изгибом,

N

то S1,2 =

A E

AswEsw

My I E

± sw^* sw

Л/Г PwEsw ( \ д т S1 ~^S2

где М=----;— Si — S 2), а N = —

d

2

AswEsw,а S1,S2 — деформации на

противоположных сторонах хомута. Рассматривая хомут как балку на упругом основании с опорами по центрам тензодатчиков, то есть с пролетами по 20 мм, и используя схему расчетов по Б. Н. Жемочкину,

были получены значения отпора q < 3 МПа. Это меньше смятия газобетона, которое, по данным В. В. Макаричева [8], под круглыми стержнями достигает пятикратного превышения призменной прочности. Поскольку напряжения сцепления можно представить как изменение усилия в хомуте по его длине,

_ AswEsw dssw п о п ^

отнесенное к его поверхности, то Тс =------------. В нашем случае этот показатель составил 0,3-0,6 от

7tD  dl

призменной прочности. Чтобы определить долю участия сжатой зоны в восприятии поперечной силы, используем формулу (14), и на основе опытных данных определяем зависимость относительной высоты сжатой зоны от пролета среза, что представлено в таблице.

a

Из таблицы следует, что, как и в случае отсутствия хомутов, можно принять 4 = 0,12— (см. таблицу

К

2). Принимая это и подставляя в (1) z

1

Р

4

Ко, где в

Р

подставлялись их опытные значения,

\ о J о

получаем расчетное значение поперечной силы Q , воспринимаемой газобетоном при г = Rbt. Прибавляя опытное значение Q по (15), определяем полную величину поперечной силы Q. Ее сравнение с фактической поперечной силой показало, что их отношение колебалось в диапазоне 0,8-1,2 при среднем

_Q

Qfa.

1,013 . Таким образом, концепция по [2][6] получает подтверждение и для случая с хомутами, то

есть возможность определять поперечную силу в наклонном сечении по нормальному сечению, проходящему через вершину критической наклонной трещины. Следует отметить, что испытанные балки

были переармированы, то есть fJ.Rs У 4 Rb, а измеренные напряжения в растянутой арматуре составляли

70-280 МПа. Концепция [6][2] - Mfe = (1 — 0,54)4bh02Rb = Qba (16), базирующаяся на равновесии

моментов от действия поперечной силы в наклонном сечении и момента по сжатой зоне в нормальном сечении, проходящем через вершину критической наклонной трещины, позволяет оценивать в этом случае и прочность наклонного сечения на действие изгибающего момента по растянутой зоне, то есть

Ms = ARs (1 — 0,54 )h (17), и необходимым условием в этом случае является:

M < Ms + Msw,

где М = 0,5c^ , а М - момент всех внешних сил относительно конца наклонного сечения

по

R

2

пролету среза - а.

Выводы:

1. Исследование плоского напряженного состояния газобетона над вершиной критической наклонной трещины свидетельствует о том, что главные сжимающие напряжения соответствуют призменной прочности.

2. Разрушение балок по наклонным сечениям происходило от предельного сжатия газобетона, соответствующего призменной прочности.

3. Прочность наклонных сечений при действии поперечных сил находится в зависимости от величины

а М а

относительного пролета среза — =-----и стремится к минимуму при — = 2,5 .

Ko QK ho

4. Показана правомерность расчета прочности наклонных сечений при действии поперечных сил по нормальному сечению, проходящему через вершину критической наклонной трещины, что основано на концепции равновесия моментов по этим сечениям [6] [2]:

Мь = (1 - 0,5^к уRbho2 Rb = bzT-а ,

где

У =(1 + A)-

(1+a)2 - и z=fi-1й

Rbho l V

R \h0

A =

3-т  a

a- Rbho

5. Эпюра нормальных напряжений в нормальном сечении, проходящем через вершину критической наклонной трещины, у ее вершины имеет вырез, что приводит согласно [3][4] к иным значениям касательных напряжений и месту их максимума:

т =

Q

bz

1

2a

Г х 2^ 1 _ Х2

2

V xo J

+V2-a.

х

\ — XL

V

х

o J

на нейтральной оси при X2 = o

= Qll 4a-1 o bz 2a ’

6. При разрушении балок по наклонным сечениям поперечная арматура, работая на внецентренное растяжение со срезом, используется не полностью, достигая при разрушении лишь 50- 100 МПа.

7. Длина горизонтальной проекции наиболее опасного наклонного сечения, вычисленная по

г 1,5Ko

C =----—-----, хорошо согласуется с опытными данными.

1 -3Zr a

8. В проведенных опытах отмечено отклонение деформаций газобетона от закона плоских сечений, которое предложено оценивать как отношение высоты сжатой зоны, соответствующей этому закону к ее фактическому значению. При разрушении по нормальным сечениям К= 1,o8 - o,24a <1, а при разрушении

по наклонным сечениям К= 2a +0,4>1.

9. Прочность балок по нормальному сечению, проходящему через вершину наклонной трещины, при

а

— =2,5 примерно в полтора раза меньше прочности при обычном разрушении по нормальным сечениям. ho

10. Для расчетов по нормальным сечениям, проходящим через вершину наклонной трещины, можно

3 2

принять треугольную эпюру нормальных напряжений — = —, к которой близки опытные данные.

a 3

11. Изложенная концепция равновесия моментов по наклонному и нормальному сечениям позволяет одновременно вести расчет прочности наклонных сечений как на поперечную силу так и на момент согласно (17).

Литература

1. Залесов А. С., Ильин О. Ф. Сопротивление железобетонных балок действию поперечных сил. Новое о прочности железобетона. М.: Стройиздат. 1977. С. 115-140.

2. Морозов А. Н. Расчет прочности газобетонных конструкций на действие поперечных сил. Бетон и железобетон. - 1991. № 5. С. 13-14.

3. Морозов А. Н. О новых подходах в теории прочности газобетонных элементов по наклонным сечениям. Исследования по строительству НИИ строительства. - Таллин. 1992.

4. Морозов А. Н. К расчету прочности железобетонных элементов при действии поперечных сил. Издательство «Проблемы науки». Наука, техника и образование. 2014. № 5.

5. Морозов А. Н. Расчет прочности газобетонных конструкций по нормальным сечениям. Бетон и железобетон. - 1988. № 7.

6. Морозов А. Н. О расчете прочности наклонных сечений газобетонных балок. Долговечность конструкций из автоклавных бетонов. Таллин, Валгус. 1987. С. 150-154.

7. Гусаков В. Н., Фортученко Ю. А. Исследование деформированного состояния поперечной арматуры в конструкциях из тяжелого силикатного бетона. Сб. тр. ВНИИСТРОМа. № 8. 1966.

8. Макаричев В. В., Милейковская К. М. Исследование армированных конструкций из ячеистых бетонов. Стройиздат, М., 1963.