Тестирование алгоритма оптимизации стержневых конструкций

служивание обеспечит комплексность при минимальной доступности в жилых зонах. В этих условиях жесткая иерархическая соподчиненность учреждений обслуживания, характерная для ступенчатой организации, трансформируется в адресный подбор необходимых типов зданий и комплексов в соответствии с требуемым для данной территории функциональным наполнением. Многообразие форм планировочного регулирования будет определяться целями выравнивания функционально-территориальных балансов. При этом нормативно-регламентирующая база «не более» заменяется на нормативно-регламентирующую базу «не менее». Необходимо установление определенного социального минимума обеспеченности обслуживанием в большинстве отраслей общественной сферы.

Проделанный обзор свидетельствует о том, что в новых условиях развития российских городов проявляются направления организации общественного обслуживания, устойчиво существующие на протяжении длительного исторического периода. Это свидетель-

ство проявления принципа преемственности. Сюда можно отнести новые формы ступенчатости, сетевого распределения обслуживающего потенциала по городу, ранжирования обслуживания. Кроме того, это рассмотрение обслуживания на микро- и макроуровне в рамках системы всего города, сохранение в радиусе пешеходной доступности блока функций массового обслуживания, вынос функций «обслуживание по пути» на транспортные магистрали (рис. 4).

Приведенный в статье подход имеет прямую практическую ценность, т.к. последовательное рассмотрение процесса формирования территориально-организационной основы общественного обслуживания в наших городах поможет соотнести наследие распределительной экономики и современные рыночные механизмы, сложившиеся формы планировочного регулирования и новые требования функционального насыщения городских территорий, сложившуюся систему нормирования и свободу предпринимательства и т.п.

1. Градов Г.А. Город и быт. М.: Стройиздат, 1968. 252 с.

2. Гайкова Л.В. Архитектурное проектирование многофункциональных общественных комплексов: учеб. пособие для студентов спец. «Архитектура». Красноярск: КрасГАСА, 2006. 202 с.

3. Гайкова Л.В. Проблемы безопасности как основа для градостроительного проектирования // Природно-техногенная безопасность Сибири: сб. науч. тр. II Всероссийской конференции: в 2-х т. (Красноярск 29 окт.-2 нояб. 2001 г). Красноярск, 2001. Т. 2. С. 41-47.

ский список

4. Гайкова Л.В. Особенности формирования системы общественного обслуживания в городах Сибири // Известия вузов. Строительство, 1999. №4. С. 115-119.

5. Коган Л.Б. Быть горожанами. М.: Мысль, 1990. 205 с.

6. Орлов М.А., Федосеева И.Р., Хайт В.Л. [и др]. Проектирование сети предприятий торгово-бытового обслуживания в городах. М.: Стройиздат, 1975. 160 с.

7. Степанов Н.И. Основы проектирования гражданских и промышленных зданий. М.: Стройиздат, 1973. С. 140-141.

УДК 519.6

ТЕСТИРОВАНИЕ АЛГОРИТМА ОПТИМИЗАЦИИ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ Т.Л. Дмитриева1

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Представлены результаты решения задачи оптимизации статически неопределимой 10-ти стержневой консольной фермы, которая широко известна как тестовая. Дано сравнение решений этой задачи с помощью программного комплекса OPTIDEST и решений, приведённых в других источниках. Ил. 7. Табл. 1. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: оптимальное проектирование; стальные конструкции; ферма; нелинейное математическое программирование; метод конечных элементов.

TESTING OF THE LATTICE STRUCTURE OPTIMIZATION ALGORITHM T.L. Dmitrieva

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.

The article presents the results of solving an optimization problem of statically indeterminable 10-bar cantilever truss, which is widely known as a test truss. The comparison of this problem solutions obtained with the use of a software package OPTIDEST and solutions given in other sources is given. 7 figures. 1 table. 6 sources.

Key words: optimal designing; steel structures; truss; non-linear mathematical programming; finite element method.

1Дмитриева Татьяна Львовна, кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, тел.: (3952) 405144, 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu

Dmitrieva Tatiana, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, tel.: (3952) 405144, 89149136725, e-mail: dmital@istu.edu

Постановка задачи. В [1, 2] представлен алгоритм оптимального проектирования стальных конструкций, где задача оптимизации решается в форме задачи нелинейного математического программирования, а статический анализ стержневых систем выполнен при помощи метода конечных элементов в перемещениях.

Общая постановка задачи выглядела следующим образом: найти

min f

при ограничениях

gj

xL <x <xU,i = 1,2,...,n.

{X} - вектор варьируемых параметров на интервале

{XVX}.

Задача условной минимизации (выражения (1)-(3)) была приведена к задаче на безусловный экстремум при помощи модифицированной функции Ла-гранжа Fp [3, 4]. Далее на каждой итерации алгоритма решалась задача на максимум и миниум: найти max7 minx Fp(X,Y),

где вектор основных переменных {X} вычислялся решением задачи на безусловный минимум с применением как прямых, так и градиентных методов безусловной минимизации. Вектор двойственных переменных {Y} определялся по выражениям, дающим линейную либо квадратичную сходимость по этим переменным. Для проверки робастности алгоритма были решены тестовые задачи. Рассмотрим одну их них.

Задача оптимизации статически неопределимой 10-стержневой фермы (рис. 1) широко известна как тестовая [5, 6]. Оптимальный вариант при данном за-гружении (с точки зрения минимума объёма) представляет собой ферму, в которой стержни 3, 5, 6, 8 вырождаются и ферма становится статически определимой (рис. 2).

7 8

> /

1 А 2 5 3 4 чз 6

/ 9 1

d Уз. 1 F Уз. 2 d F

Рис. 1. Исходная 10-ти стержневая ферма

Было решено несколько вариантов задачи: вариант 1, когда площади стержней 3, 5, 6, 8 имеют ниж-

ний предел; вариант 2, когда нижний предел отсутствует, и вариант 3, когда площади этих стержней фиксированы.

Приведём исходные данные, используемые в монографии [6]:

- длина панели фермы б = 9,144 м (360 дюйм);

- значение узловых сил Р = 444,8 кН (10010 фунт);

- предельное значение напряжений [а] = 172380 кПа (25103 фунт/дюйм2);

- модуль упругости Е = 6,89475729-107 кПа (107 фунт/дюйм2);

- предел на перемещение узлов 1 и 2 Адоп = 0,05 м (2 дюйма).

Варьируемые параметры алгоритма (в общем виде обозначенные X) в данной задаче представляли собой площади поперечных сечений элементов фермы.

Нижние и верхние пределы изменения площадей следующие:

А 9 9 9

АтШ = 0,645-10 м2 (0,1 дюйм2); Атах = 1 м2.

Постановка задачи оптимизации фермы была следующей.

Целевая функция представляет собой объём фермы

/ (х) = ^ а  ц,

1=1

где в - число элементов фермы; А,, Ц - площадь и длина /-го элемента фермы.

Имело место 2 вида ограничений, приведённых к безразмерному виду;

- ограничение на напряжения в элементах:

& =4,-1 < 0, / = 1,2, ...10; X и

- ограничение на перемещения узлов 1 и 2:

811 -1 < 0;812 =-1 < 0.

доп доп

Варианты решений. Вариант 1. В этом варианте был задан нижний предел изменения всех варьируемых параметров Ат,„=0,645-10"4 м2. Устойчивая работа алгоритма была получена с использованием метода деформируемого многогранника. Точность полученных результатов оценивалась по невязкам ограничений, которые имели порядок 10-4. Начальные значения площадей во всех элементах А0=0,1 м2.

Исходные данные задачи оптимизации: общее число переменных проекта -10; число варьируемых параметров - 10; заданная точность вычислений х - 10-3; заданная точность вычислений д- 10"; начальное значение функции цели - 10,65903 м3; число ограничений - 12; минимальное значение коэфф. штрафа - 100; максимальное значение сдвига - 0,3.

Последовательность методов безусловной минимизации:

- на 1-й итерации используется метод деформируемого многогранника;

- до стабилизации числа активных ограничений -метод деформируемого многогранника;

- после стабилизации числа активных ограничений - метод деформируемого многогранника.

Решение задачи оптимизации: значение целевой функции X - 0,82340573 м3; число вычислений X - 2906; число вычислений функций д - 2911; число итераций - 7.

Вектор оптимальных параметров А ор1 (м2): 0,13623-10-1; 0,48074-10-2; 0,64852-10-4; 0,13895-10-1; 0,64517-10-4; 0,64852-10-4; 0,19467-10-1; 0,65714-10-4; 0,15037-10-1; 0,95416-10-2.

Значения невязок ограничений: д5 =0,236010-10-3; 912 =0,149706-10-4. В полученном решении активными были ограничения по напряжениям в стержне 5 (д5) и ограничение по перемещению узла 2 (д12).

Вариант 2. Здесь площади стержней 3, 5, 6, 8 фиксированы и принимают минимальное значение А3=А5=А6=А8=0,645-10-4 м2.

В этом варианте хорошая сходимость была получена при использовании как метода деформируемого многогранника, так и метода Ньютона, что обеспечило получение результатов высокой точности. Начальные значения площадей принимались равными 0,3 м2. Исходные данные задачи оптимизации: общее число переменных проекта - 10; число варьируемых параметров - 6; заданная точность вычислений х - 10-3; заданная точность вычислений д - 10'5; начальное значение функции цели - 18,7062 м3; число ограничений - 12; минимальное значение коэфф. штрафа - 100; максимальное значение сдвига - 0,3. Последовательность методов безусловной минимизации:

- на 1-й итерации используется метод деформируемого многогранника;

- до стабилизации числа активных ограничений -метод деформируемого многогранника;

- после стабилизации числа активных ограничений - метод Ньютона.

Решение задачи оптимизации: значение целевой функции к - 0,82311129 м3; число вычислений X - 2234; число вычислений д - 2245; число итераций - 6.

Вектор оптимальных параметров А_ор1 (м2): 0,133876-10-1; 0,478941-10-2; 0,645160-10-4; 0,140457-10-1; 0,645160-10-4; 0,645160-10-4; 0,194358-10-1; 0,645160-10-4; 0,147943-10-1; 0,993181-10-2.

Значения невязок активных ограничений: д5 =0,618394-10-12; д12 =0,215283-10-11. Высокая точность в вычислении ограничений была получена за счёт того, что на двух последних итерациях при пересчёте прямых и двойственных переменных использовался метод Ньютона.

Вариант 3. Ограничение на минимальное значение площадей принималось равным нулю. Сходимость к оптимальному решению была получена благодаря использованию метода деформируемого многогранника (А0=0,1 м2).

Исходные данные задачи оптимизации: общее число переменных проекта - 10; число варьируемых параметров - 10; заданная точность вычислений х - 10-3; заданная точность вычислений д - 10-; начальное значение функции цели - 10,65903 м3; число ограничений - 12; минимальное значение коэфф. штрафа - 100; максимальное значение сдвига - 0,3. Последовательность методов безусловной минимизации:

- на 1-й итерации используется метод деформируемого многогранника;

- до стабилизации числа активных ограничений метод деформируемого многогранника;

- после стабилизации числа активных ограничений метод деформируемого многогранника.

Решение задачи оптимизации: значение целевой функции 1х - 81718673 м3; число вычислений X - 105642; число вычислений функций д - 105656 ; число итераций - 20.

Вектор оптимальных параметров А ор1 (м2): 0,13623-10-1; 0,497799-10-2; 0,100899-10; 0,140211-10-1; 0,960476-10-8; 0,14063-10-6; 0,190952-10-1; 0,896553-10-6; 0,145625-10-1; 0,100385-10-2.

Значения невязок активных ограничений: д5 =0,474823-10-3; д12 =0,168666-10-3.

В полученном оптимальном проекте площади стержней 3, 5, 6, 8 стремятся к нулю. Ферма близка к статически определимой (рис. 2). Невязки в активных

ограничениях достаточно большие, что не даёт высокой точности вычислений. При этом сходимость к решению заданной точности не была достигнута, и окончание итерационного процесса обусловлено максимально возможным числом итераций - 20. Значение целевой функции на итерациях 14-20 одинаково.

Таблица 1

Значения целевой функции на итерациях

№ итерации Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

А_ор

1 10,659028 19,87061603 10,659028

2 0,829217 0,77297564 0,779168

3 0,834062 0,8187566 0,8136386

4 0,817142 0,82184801 0,8107882

5 0,823941 0,82184801 0,8183606

6 0,825165 0,82311097 0,81707113

7 0,823406 0,82311129 0,8155987

8 0,823406 0,81902285

9 0,81753304

13 0,81642603

14 0,81718673

20 0,81718673

Метод Ньютона в этом варианте не показал сходимости из-за того, что целевая и ограничительные функции не выпуклы по ряду переменных даже вблизи оптимума.

Приведём сравнение результатов трёх вариантов задачи оптимизации. В табл. 1 показаны изменения целевой функции на итерациях (м3).

Исследование сходимости алгоритма. Для исследования сходимости алгоритма были построены графики функций ограничений по каждой переменной (рис. 3-5). На рис. 3 приведены графики этих функций на интервале изменения переменной х7 (площадь в элементе 7) от 0,0003 м2 до 0,5 м2. Из графика видно, что наибольшие изменения в значениях функций приходятся на интервал от 0,003 м2 до 0,5 м . На рис. 4 эти функции показаны в более крупном масштабе.

Из рис. 4 видно, что при значениях х7 ниже 5-10-3 функции представляют собой ломаные негладкие функции. Такой характер функций можно объяснить тем, что задача анализа при малых значениях площадей в элементах фермы решается с погрешностями, связанными с неустойчивостью разрешающего уравнения метода конечных элементов (МКЭ).

Для дальнейшего исследования были построены графики зависимости модифицированной функции Лагранжа Рр от варьируемых параметров. Кривизна функции зависит от таких параметров метода, как коэффициент штрафа к и величина сдвига оптимума за пределы допустимой области М. На рис. 6 показан график в осях Рр - х7 при заданном минимальном значении коэффициента штрафа ктп=10 . Из графика видно, что даже при небольших значениях штрафных коэффициентов функция за границей допустимой области достаточно крутая.

Рис. 3. Зависимость ограничений по напряжениям от Х7 на интервале от 0 до 0,5

X

Рис. 4. Зависимость ограничений по напряжениям от Х7 на интервале от 0 до 0,05

Рр

Рис. 5. Зависимость ограничений по перемещениям от Х7 на интервале от 0 до 0,05

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Рис. 6. Функция Ер на диапазоне изменения Х7

На рис. 7 показаны изменения целевой функции на итерациях при различных значениях ктП,. Лучшая сходимость имеет место, когда этот параметр принимается в диапазоне от 5 до 20.

Существенное влияние на результаты задачи также оказал выбор начальных значений варьируемых параметров. Лучшая сходимость алгоритма была получена при начальных значениях, взятых «выше» оптимума (А0 =0, 1 м2 - в варианте 1 и А0=0,3 м2 - в варианте 2). При А0 > 0,5 алгоритм расходится. При начальном проекте, взятом «ниже» оптимального значения (А0=0,645 10-4), алгоритм даёт большее число обращений к целевой и ограничительным функциям (порядка 6000).

Сравнение результатов. Задача оптимизации 10-стержневой фермы была исследована в литерату-

2

1

0

X

10 1] 12 13 14 15 16 17 18 19

V

Рис. 7. Значения целевой функции на итерациях при различных к„

Значения оптимальных параметров

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант [6]

Значение целевой функции

0,82340573 0,82311129 0,81689703 0,8294476

Номера активных ограничений

5,12 5,12 5,12 5,12

Максимальные невязки ограничений

0,236010-10-л 0,618394-10"" 0,474823 Ю"Л 0,27-10"4

Число итераций

7 6 20 15

Таблица 2

ре [5, 6]. В табл. 2. приведены значения оптимальных параметров, полученные в вариантах 1, 2, 3, а также в варианте задачи, который был рассмотрен в монографии Э. Хога и Я. Ароры [6], где были использованы градиентные методы первого порядка. Для сопоставимости решений данные задачи [6] были переведены из дюймов в метры, из фунтов в килоньютоны (для перевода использовалась программа МаМСЛй).

Данные, приведённые в таблице, показывают высокую результативность метода Ньютона, который был реализован в варианте 2. Однако устойчивую работу этот метод дал только при фиксированных значениях площадей в элементах 3, 5, 6, 8. В целом, сравнивая результаты варианта 2 и варианта [6], следует отметить, что метод Ньютона в данной задаче даёт меньшее значение в невязках ограничений (10-12) при более низком значении целевой функции. Число итераций поискового алгоритма здесь также самое низкое.

Решение задачи оптимизации фермы подтвердило, что на сходимость поисковых алгоритмов оказы-

вают существенное влияние параметры методов, в частности, минимальное значение коэффициента штрафа. Это делает затруднительным применение алгоритмов оптимизации инженером-проектировщиком, который не знаком с их особенностями. В этом случае может быть использован диалоговый режим, когда пользователь может переопределять параметры методов согласно указаниям, которые предлагает программа. С другой стороны, исследование сходимости алгоритмов оптимизации реальных конструкций подчёркивает актуальность разработки эвристических подходов, обеспечивающих автоматическую настройку параметров поисковых методов.

Все оптимальные решения, полученные с разных начальных точек, практически совпадают, что подтверждает устойчивость алгоритма. Невязки ограничений получены с достаточной степенью точности. Таким образом, решение тестовой задачи показало эффективность методики и алгоритма, разработанного на её основе.

Библиографический список

1. Безделев В.В., Дмитриева Т.Л. Использование многоме-тодной стратегии оптимизации в проектировании строительных конструкций // Известия вузов. Строительство. 2010. № 2. С. 90-95.

2. Дмитриева Т.Л. Алгоритм решения условно-экстремальных задач, использующий методы модифициро-

ванных функций Лагранжа первого и второго порядка // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2010. № 4. С. 115-121.

3. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

4. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и

их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982, 432 с.

5. Андерсон М.С., Арман Ж.-Л. Новые направления оптимизации в строительном проектировании / под ред. Э. Атрека.

М.: Стройиздат, 1989. 592 с.

6. Хог Э., Арора Я.С. Прикладное оптимальное проектирование: Механические системы и конструкции. М.: Мир, 1983. 478 с.

УДК 622.257.1

ЗАВИСИМОСТЬ КОМПРЕССИОННЫХ СВОЙСТВ ШЛАКО-ИЗВЕСТКОВЫХ АВТОКЛАВНЫХ МАТЕРИАЛОВ ОТ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ ИХ ВЫДЕРЖКИ ПРИ МАКСИМАЛЬНОМ ДАВЛЕНИИ ВОДЯНОГО ПАРА

А.В. Исаенко1, А.Л. Рябова2

Кузбасский государственный технический университет, 650000, г. Кемерово, ул. Весенняя, 28.

При закрытии шахт все вертикальные горные выработки необходимо закладывать безусадочным материалом. Отвалы шлака топливных предприятий занимают большие площади по всей территории РФ, их необходимо рекультивировать. Целесообразно использовать шлаки топливных предприятий для закладки вертикальных горных выработок, для чего необходима смесь молотого шлака и негашеной извести, которая твердеет только в результате автоклавного синтеза. Представлены зависимости компрессии шлако-известковых закладочных материалов от продолжительности их выдержки при максимальном давлении. Ил. 3. Табл. 1. Библиогр. 4 назв.

Ключевые слова: автоклавные материалы; вертикальные горные выработки; закладка; шлак топливных предприятий.

DEPENDENCE OF COMPRESSIVE PROPERTIES OF SLAG-LIME AUTOCLAVE MATERIALS ON THE DURATION OF THEIR EXPOSURE AT THE MAXIMUM PRESSURE OF WATER VAPOUR A.V. Isayenko, A.L. Ryabova

Kuzbass State Technical University, 28, Vesennyaya St., Kemerovo, 650000.

When closing mines, all vertical mine workings should be stowed with unshrinkable material. Slag-heaps from fuel enterprises occupy large areas throughout Russia, they must be recultivated. It is advisable to use the slag-heaps from fuel enterprises for stowing vertical mine workings. It requires a mixture of ground slag and quicklime, which hardens only as a result of autoclave synthesis. The dependencies of the compression of slag-lime stowing materials on the duration of their exposure at maximum pressure are presented. 3 figures. 1 table. 4 sources.

Key words: autoclave materials; vertical mine workings; stowing; slag of fuel enterprises.

При закрытии шахт, согласно требованиям нормативных документов [1], необходимо производить закладку ликвидируемых вертикальных выработок безусадочным и водоупорным материалом. В ходе реструктуризации угольной промышленности РФ эти требования не соблюдались - все стволы были либо просто перекрыты изолирующей перемычкой в устьевой части, либо засыпаны горелой породой или глиной. Такой подход привел к значительному нарушению экологии Кузбасса и даже к гибели людей.

Причиной несоблюдения требований нормативных документов при закладке стволов послужило отсутствие недорогого и эффективного способа закладки вертикальных выработок безусадочным и водоупорным материалом. Выполненный в КузГТУ анализ известных способов закладки выработанного пространства показал, что все они разработаны для за-

кладки горизонтальных и наклонных горных выработок, обладают значительной трудоемкостью и стоимостью, и для закладки вертикальных выработок не пригодны.

Настоящее исследование выполнялось с целью изучения компрессионных свойств автоклавного материала, на основе дешевого вяжущего из молотого шлака топливных предприятий Кузбасса и извести, и возможности его применения для закладки вертикальных горных выработок.

Известно, что на физико-механические свойства автоклавных материалов оказывает влияние продолжительность их выдержки при максимальном давлении водяного пара. Продолжительность выдержки образцов при максимальном давлении (изотермической выдержки) определяется требованиями, предъявляемыми к качеству изделия в зависимости от ве-

1 Исаенко Алексей Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры строительного производства и экспертизы недвижимости, тел.: 89236111737, e-mail: K073797@yandex.ru

Isayenko Aleksei, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Construction Industry and Real Estate Expertise, tel.: 89236111737, e-mail: K073797@yandex.ru

2Рябова Анна Леонидовна, студент, тел.: 89511753595. Ryabova Anna, Student, tel.: 89511753595.