Окрестность точки как основной инструмент исследования функций на убывание и возрастание

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (95) 2011

ональное ядро» («выявление ядра фундаментальной подготовки) и «универсальные действия» («ведущие методы» [5, с. 38] или «действия над объектами и их моделями» в определении предмета математики одним из авторов [5, с. 10]) являются ведущими в идеологии (интеллектике) построения стандартов второго поколения общего среднего образования [6, 7].

Следовательно, концепция единой математики и идеология синтетического подхода в методике преподавания математики, как утверждают вице-президент РАО академик А.А.Кузнецов и академик-секретарь РАО академик Я.В.Рыжаков, уже внедряются на федеральном уровне.

Библиографический список

1. Асмус, В. Ф. Античная философия [Текст] : учеб. пособие / В. Ф. Асмус. — изд. 2-е, доп. — М. : «Высшая школа», 1976. — 543 с.

2. Философский энциклопедический словарь [Текст]. — М. : ИНФРА, 2004. - 576 с.

3. Чанышев, А.Н. Курс лекций по древней философии [Текст] : учеб. пособие для филос. фак. и отделений ун-тов / А. Н. Чанышев. -М. : Высшая школа, 1981. — 374 с.

4. Канин, Е.С. Федор Федорович Нагибин (к 100-летию со дня рождения) [Текст] / Е.С. Канин. — Математика в школе. — 2009. — № 3. - С. 75.

5. Сечкин, Г. И. Звездообразный анализ. Фундаментальные проблемы. Интегральные представления. Геометрическая теория [Текст] / Г. И. Сечкин : монография. — Омск : Изд-во ОмГПУ, 2001. — 153 с.

6. Кузнецов, А.А. О стандарте второго поколения [Текст] / А.А. Кузнецов, М.В. Рыжаков. — «Математика в школе». — 2009. — № 2. — С. 3 — 7.

7. Сечкина, И. В. Принцип единой теории межпредметных и вну-трипредметных связей. [Текст] / И.В. Сечкина, Г.И. Сечкин. — Омский научный вестник. — 2010. —№ 2 (86). — С. 211 — 213.

СЕЧКИНА Ирина Викторовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики. СЕЧКИН Геннадий Иванович, кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры прикладной математики и фундаментальной информатики.

Адрес для переписки: e-mail: bardina_55@mail.ru

Статья поступила в редакцию 30.06.2010 г.

© И. В. Сечкина, Г. И. Сечкин

УДК 517.і/.2I 372.851 А. Д. НОВИКОВ

Армавирский государственный педагогический университет

ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ КАК ОСНОВНОЙ ИНСТРУМЕНТ ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ_________________________________

В результате анализа традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание, в данной статье делается вывод о наличии неустранимых в рамках этого подхода противоречий. В качестве альтернативного подхода в аспекте фундамен-тализации математического образования автором предлагаются новая концепция, инструментарий и схема исследования функций на убывание и возрастание, отвечающая требованиям непротиворечивости и полноты теории и позволяющая классифицировать точки области определения функции.

Ключевые слова: методика преподавания математики, возрастание, убывание и постоянство функций, исследование функций, фундаментализация математического образования.

Высокое качество образования невозможно обеспечить вне рамок непрерывного процесса его фун-даментализации. Фундаментализация среднего и высшего образования — это сложный процесс, основой которого является сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации на основе современных достижений методики обучения и воспитания.

Фундаментализация математического образования, как в высшей школе, так и в старших классах средней школы, предполагает использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин новых научных исследований

и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у школьников и студентов гибкого научного мышления. Значительную роль в таком образовательном процессе играют современные достижения методики обучения математике как научной области педагогики. При этом методика преподавания математики призвана не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить и заменять на более адекватные те традиционные подходы к изучению некоторых тем и разделов математики, которые по мере развития математики начинают входить в противоречие с современным её

содержанием. Одна из таких тем — это исследование функций. Основными критериями такой методической работы должны быть требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов к изучению этих тем или разделов математики.

Благодаря введению элементов математического анализа в школьный курс математики, удалось не только существенно углубить и расширить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к изучению функций на убывание и возрастание. Как будет показано ниже, этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия, связанные с самой постановкой основной задачи исследования функ-ций. Однако, используя понятия точек убывания и возрастания функции, введённые в математику значительно позже понятий убывающей и возрастающей функций, нами разработана новая концепция и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.

Под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание в современных учебниках по математическому анализу понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция соответственно возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа (см., например [1]) под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики кроме промежутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции, определения которых в конце 80-ых годов прошлого были необоснованно и без всякого обсуждения изъяты из школьных учебников по алгебре и началам анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в школе и вызвало серьёзную озабоченность и справедливые нарекания учителей средней школы и преподавателей вузов.

Московский автор, А.Я. Блох, отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции в статье [2], пишет « ... одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции». И далее автор приводит пример исследования на монотонность функции у = х2. По его мнению, совпадающему с точкой зрения авторов современных школьных учебников по алгебре и началам математического анализа (например, [1]), исследование функций на монотонность сводится к нахождению их промежутков убывания и возрастания. Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (— ; 0) и возрастает на полуинтервале [0; + ¥). Другими словами, точка х = 0, не являясь ни точкой убывания, ни точкой возрастания функции у = х2, а являясь точкой минимума этой функции, оказывается включённой как в промежуток убывания, так и в промежуток возрастания.

Отнесёмся к этому выводу критически и проанализируем метод получения такого результата. Первая часть утверждения получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве к функции у=х2 с областью определения ( — ¥ ; 0], а вторая — в результате применения определения возрастающей на множестве функции к функции у = х2 и областью определения [0; + ¥). Спрашивается, а где же иссле-

дование заявленной функции у = х2 с областью определения (— ¥; + ¥)? Его просто нет. Ведь в ходе такого «исследования» потерян сам его объект — исследуемая функция. Дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной функций, нельзя заменить исследования данной функции, поскольку все три функции, задаются одинаковой формулой, но имеют различные области определения. Если же определения монотонных на множестве функций применить к функции у = х2 с областью определения (- ¥, + ¥), то единственный результат, который может быть получен на основе этих определений таков: функция у=х2 с областью определения ( — ¥, + ¥) не является монотонной. Другими словами, исследуемая на возрастание и убывание функция у = х2 с П(у) = ( — ¥, + ¥) так и осталась неисследованной. Этот пример также наглядно демонстрирует неадекватность инструментария исследования (определения монотонных на множестве функций) решению поставленной задачи (исследованию функции на убывание и возрастание).

Аналогичная ситуация складывается и при исследовании любой другой функции, имеющей как точки возрастания, так и точки убывания. Это означает, что такие функции остаются фактически неисследованными. Причина этого заключается, прежде всего, в некорректности концепции подхода к исследованию. А именно, в разбиении области определения исследуемой функции на промежутки с последующим исследованием получившейся совокупности функций на этих промежутках. То есть, фактической подменой исследования исходной функции исследованием совокупности других функций.

Более того, как было отмечено выше и будет показано далее, выбор инструментария исследования (определения монотонных функций и точек убывания и возрастания функции) неадекватен поставленной задаче. В самом деле, считая, что основной задачей исследования функций на возрастание (убывание) является определение её промежутков возрастания и убывания, мы одновременно отказываемся от исследования исходной функции, так как она неизбежно заменяется совокупностью других функций, задаваемых той же формулой, но другие области определения. Уже этого факта достаточно для того, чтобы отказаться от столь противоречивого и логически необоснованного подхода. Пользуясь же определениями возрастающей и убывающей на множестве функции, можно лишь выяснить, является ли исследуемая функция возрастающей или убывающей. И не более того, что следует из самой сути этих определений.

Опираясь на изложенное выше, приходим к выводу, что используемая ныне постановка основной задачи исследования функций на возрастание и убывание некорректна, поскольку поиск «промежутков возрастания и убывания функции» автоматически

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (95) 2011 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (95) 2011

Точки убывания функции

Точки постоянства функции

--------ТГ----------

Точки возрастания функции

Область определения функции О

Точки минимума функции

Остальные точки функции

Точки максимума функции

Рис. 2. Схема классификации точек области орпеделения функции

Д)-----------------©_

©:

Определения точек убывания, возрастания и постоянства функции

""Определения точек убывания и возрастания функции в односторонних окрестностях

Монотонность функции на интервале

© о

Монотонность функции на полуинтервалах и отрезках

©

Производная

функции

Точки

минимума

Область

постоянства

Область

возрастания

О

Точки

максимума

Область

убывания

Возможно,

убывающая

функция

Возможно,

постоянная

функция

Возможно, возрастающая функция

Рис. 3. Схема исследования функций на убывание и возрастание

приводит к потере объекта исследования — исследуемой функции.

Для исправления этой ситуации мы предлагаем исследовать функции на возрастание и убывание на основе другой, непротиворечивой системы определений, считая основной задачей такого исследования определение областей возрастания и убывания функций [3].

Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.

Определения точек возрастания и убывания функций приведены в [4, с. 224] и [5, с. 175] и используют понятие ^-окрестности точки. Однако в силу симметрии ^-окрестности относительно исследуемой точки х0 в случае дискретных функций с её помощью далеко не всегда можно найти все точки возрастания (убывания) функции. Поэтому обобщим определения точек убывания и возрастания функции, отказавшись от использования только симметричных окрестностей точек.

Определение 2. Точка х0 области определения функции у =/(х) называется точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки (х0 — §1, х0 + 32), в которой/(х) > (х0) при х < х0, хеВ(/) и/(х) </(х0) при х > х0, хеВ(/).

Определение 3. Точка области определения функции у =/х) называется точкой возрастания, если существует такая окрестность этой точки (х0 — х0 + 32), в которой /(х) </х0) при х < х0, хеВ/ и /(х) >/х0) при х > х0, хеВ/).

В соответствии с этими определениями, где В/) — область определения функции, точка минимума этой функции х = 0 в примере, рассмотренном выше, не может быть включена ни в область возрастания, ни в область убывания исследуемой функции. Аналогичные заключения, очевидно, будет иметь место и для точек экстремума любых других функций. Такой результат исследования существенно отличается в лучшую сторону от соответствующего результата при традиционном исследовании, поскольку позволяет классифицировать точку х = 0.

Ясно также, что если функция не определена справа (слева) от рассматриваемой точки, то определения 2 и 3 для этих точек неприменимы. Поэтому для их классификации потребуются ещё два определения.

Определение 4. Точка х0 называется точкой убывания функции у =/х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х0, х0+3) ((х0-S, х0]) в кот°р°йДх) </(х0) (Дх)>

>Ах0)) при х > х0 (х<х0), хеВ/).

Определение 5. Точка х0 называется точкой возрастания функции у =/х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х0, х0 +£) ((х0 — 8, х0]), в которой /(х) >Лх0) (/(х) </Х)) при х > х0 (х < х0), хеВ(/).

Заметим, что определения 4 и 5 можно использовать при исследовании функций на возрастание и убывание, применяя их лишь к наименьшему и наибольшему значениям независимой переменной из области определения функции. Так, например, для фун-

кции у=х2 с В(у) = ( —¥ , +¥ ) определения 4, 5 не применимы для точки х = 0, поскольку данная функция определена как слева, так и справа от этой точки.

Остановимся далее на точках, в которых функция нестрого убывает или возрастает. Для этого достаточно воспользоваться системой определений, аналогичной системе определений 2 — 5.

Рассмотрим пример исследования такой функции, график которой изображён на рис.1, имеет область нестрогого убывания В^ = [а, с] и область нестрогого возрастания ВТ[Ь, ё]. Отсюда видно, что отрезок, параллельный оси (х) входит как в область нестрогого убывания функции, так и в область нестрогого её возрастания, т.е. не классифицируется. Поэтому разумно ввести понятие области постоянства функции В_.

Определение 6. Областью постоянства функции называется объединение подмножеств области определения функции, содержащих не менее двух последовательных точек, в которых функция принимает равные значения, либо промежуток, в каждой точке которого значения функции одинаковы.

Как и для выявления точек убывания и возрастания функции, в качестве инструментария определения точек постоянства функции, используются окрестности точек.

Определения 2 — 6 вместе с определениями точек экстремумов позволяют при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки её области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, область возрастания, область постоянства, точки минимума, точки максимума и точки, не входящие в первые пять классов.

Таким образом, предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание представляет собой не только полноценную и, скорее всего, безальтернативную схему, позволяющую классифицировать все точки области определения исследуемой функции (рис. 1).

Используя определения 2 — 6 и схему на рис. 2, нетрудно получить следующие результаты исследования функции, график которой изображён на рис. 1: область убывания Вх= [а, Ь), область постоянства В_= [Ь, с], область возрастания В^= (с, ё]. Определения нестрого возрастающих и убывающих функций, как видно из приведённого примера, становятся излишними ввиду исчерпывающего исследования функции.

Заметим также, что при определении области убывания (возрастания) функции в качестве инструмента классификации необходимо пользоваться двусторонней окрестностью исследуемой точки. И только при классификации точек, соответствующих наименьшему и наибольшему значениям аргумента (если они

существуют) использовать односторонние окрестности этих точек. В качестве универсального инструмента для выявления точек постоянства функции удобно пользоваться замкнутыми окрестностями исследуемых точек.

Таким образом, мы приходим к схеме исследования функций на убывание и возрастание, изображённой на рис. 3, где под символом * в обозначении В* понимается один из трёх символов Т, Т, —

На схеме цифрами 1 и 2 обозначены определения, позволяющие классифицировать точки области определения функции; цифрами 3 и 4 обозначены обобщения определений 1 и 2 на любые промежутки; цифрой 5 обозначена производная функции, используемая только для исследования дифференцируемых функций. Блок, обозначенный цифрой 6, позволяет классифицировать точки области определения исследуемой функцию на монотонность.

Предложенная концепция и соответствующий подход к исследованию функций действительной переменной устраняют противоречия, содержащиеся в традиционном подходе к исследованию функций на убывание и возрастание, и должны быть приняты во внимание авторами школьных и вузовских учебников по математическому анализу. Материалы статьи могут быть также использованы для чтения спецкурсов и курсов по выбору в высших учебных заведениях и в ходе дополнительных занятий с учащимися старших классов средних учебных заведений.

Библиографический список

1. Алгебра и начала анализа [Текст] : учеб. для 10 — 11 кл. об-щеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров [и др.] ; под ред. А. Н. Колмогорова, — 14-е изд. — М. : Просвещение, 2004. — 384 с.

2. Блох, А. Я. Возрастание функции в точке и на множестве [Текст] / А. Я. Блох// Математика в школе. — 1978. — № 6. — С. 21 — 23.

3. Новиков, А. Д. Новый подход к исследованию функций на возрастание и убывание в вузе и школе [Текст] / А. Д. Новиков // Наука и школа. — 2008. — № 1. — С. 23 — 26.

4. Райков, Д. А. Одномерный математический анализ [Текст] : учеб. пособие / Д. А. Райков. — М. : Высш. школа, 1982. — 415 с.

5. Ильин, В. А. Математический анализ. Начальный курс [Текст]. В 2 ч. Ч. 1. Математический анализ 1 / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов ; под ред. А. Н. Тихонова. — 2-е изд., перераб. — М. : Изд-во МГУ, 1985. - 425 с.

НОВИКОВ Александр Дмитриевич, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа математического факультета.

Адрес для переписки: е-таіі: novikovnad@mail.m

Статья поступила в редакцию 27.07.2010 г.

© А. Д. Новиков

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №1 (95) 2011 МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ