Обратная краевая задача для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с интегральным условием

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 4

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ

Я. Т. Мегралиев, Ф. Х. Ализаде

Аннотация

В работе исследована одна обратная краевая задача для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с интегральным условием. Сначала исходная задача сводится к эквивалентной задаче для которой доказывается теорема существования и единственности решения. Далее, пользуясь этими фактами, доказываются существование и единственность классического решения задачи.

Ключевые слова: Обратная краевая задача, уравнения Буссинеска, метод Фурье, классическое решение.

AN INVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A SINGLE FOURTH-ORDER BOUSSINESQ EQUATION WITH AN INTEGRAL CONDITION

Y. T. Megraliev, F. Kh. Alizade

Abstract

In this paper an inverse boundary problem for the fourth order Boussinesq equation with integral conditions is investigated. First of all the initial problem reduced to the equivalent problem, for which the theorem of existence and uniqueness proved. Then using these facts the existence and uniqueness of the classical solution of initial problem is proved.

Keywords: Inverse boundary problem, Boussinesq equation, method Fourier, classic solution.

1. Введение

В последнее время уделяется большое внимание изучению различных нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в средах с дисперсией. Одним из них является уравнение Буссинеска, выведенное автором в [1] и описывающее распространение длинных волн на мелкой воде. Это уравнение интересно как с физической, так и с математической точки зрения, и ему посвящено немало работ [2]-[5].

Известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов или правой части дифференциального уравнения по некоторым известным данным от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Обратные задачи возникают в самых различных областях человеческой деятельности таких, как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т. д., что ставит их в ряд актуальных проблем современной математики.

В данной работе, следуя [6], [7], доказаны существование и единственность решения обратной краевой задачи для одного уравнения Буссинеска четвертого порядка с интегральным условием.

2. Постановка задачи и ее сведение к эквивалентной задаче

Рассмотрим для уравнения [4]

в области Бт = {(:г,£): 0 ^ х ^ 1, 0 ^ Ь ^ Т} обратную краевую задачу с начальными условиями

и

иы

и(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = ф(х) (0 ^ х ^ 1),

периодическими условиями

интегральным условием

1

о

и с дополнительным условием

где хо Е (0,1) — фиксированное число, а > 0, в > а2 — заданные числа, / (х, Ь) , ф (х) ,ф (х) , к (Ь) — заданные функции, а и(х, Ь) и а(Ь) — искомые функции.

Определение 1. Классическим решением обратной краевой задачи (1) — (5) назовём пару {и (х, Ь) ,а (Ь)} функций и(х, Ь) и а(Ь), обладающих следующими свойствами:

1) функция и(х,Ь) непрерывна в БТ вместе со всеми своими производными, входящими в уравнение (1);

2) функция а(Ь) непрерывна на [0,Т] ;

3) все условия (1) — (5) удовлетворяются в обычном смысле.

Справедлива следующая

Лемма 1. Пусть /(х,Ь) Е С(БТ),ф(х),ф(х) Е С[0,1],к(Ь) Е С2[0,Т},

к(Ь) = 0,

1 1 1

J /(х, t)dx = 0 (0 ^ Ь ^ Т), J ф(х)йх = 0^ ф(х)йх = 0,

0 0 0

ф(хо) = к(0),ф(хо) = к (0).

Тогда задача нахождения классического решения задачи (1) — (5) эквивалентна задаче определения функций и(х,Ь) и а(Ь) , обладающих свойствами 1) и 2) определения классического решения задачи (1)- (5), из (1) — (3) ,

иххх

а

Доказательство. Пусть {и (х,Ь) ,а (Ь)} является решением задачи (1) — (5). Интегрируя уравнение (1) по Ь от 0 до 1, имеем:

1

^2 [

--^2 и(х,Ь^х - 2а(щх(1,Ь) - Щх(0,Ь)) + в(иххх(1,Ь) - иххх(0,Ь)) =

о

1 1

= ^ +1/«> « Ь « Т).

о о

1

Допуская, что / / (х, t)dx = 0(0 ^ Ь ^ Т) ис учётом (3) , (4), легко приходим

о

к выполнению (6).

Далее, считая h(t) Е C2[0,T] и дифференцируя два раза (5), получаем:

Utt

Из (1) имеем:

utt

Отсюда, с учетом (5) и (9), приходим к выполнению (7).

Теперь, предположим, что {u (x, t) ,a (t)} является решением задачи (1) —

(3), (6), (7) . Тогда из (8), с учётом (3) и (6), находим:

2 i 1

J u

0 0

i i

В силу (2) и J ф(x)dx = 0, f ф(x)dx = 0, очевидно, что

00

i i i i J u

0 0 0 0

i

Так как задача (11) , (12) имеет только тривиальное решение, то J u(x, t)dx =

0

0 (0 ^ t ^ T), т.е. выполняется условие (4) .

Далее из (8) и (10) получаем:

d2

dt2

В силу (2) и p(x0) = h(0),ip(x0) = h'(0), имеем:

u

Из (13) и (14) заключаем, что выполняется условие (5). Лемма доказана.

3. Исследование существования и единственности

о о

классического решения обратной краевой задачи

Известно [8], что система

1, cos \1x, sin\1x,..., cos Xk x, sin Xk x,...

образует базис в L2(0,1), где Xk = 2kn(k = 1, 2,...).

Так как система (15) образует базис в L2(0,1), то очевидно, что для каждого решения {u (x,t) ,a (t)} задачи (1)- (3), (6), (7) его первая компонента u(x,t) имеет вид:

ГО ОО

u

k=0 k=l

где

l l

ul0(t) = J u(x,t)dx, ulk (t) = 2 J u(x,t)cos Xk xdx (k = 1, 2,...),

00

l

u2k (t) = 2 J u(x,t)sin Xk xdx (k = 1, 2,...).

0

Применяя формальную схему метода Фурье, для определения искомых коэффициентов ul0 (t) , ulk (t) (k = 1, 2,...) и u2k (t) (k = 1, 2,...) функции, из (1) и (2) ) получаем:

u'w

u![k

ulk

u2k

u2k

где

Flk(t; u, a) = a(t)ulk(t) + flk(t), (k = 0,1,...),

l l

flo(t) = j f(x,t)dx, flk (t) = 2 J f(x,t)cos Xk xdx (k = 1, 2,...),

00

l l

Фіо = J ip(x)dx, фю = j ф(x)dx,

00

l l

= 2j ф^) cos Xk xdx, фlk = 2j ф^сов Xk xdx (k = 1, 2,...),

00

l

F2k (t; u, a) = a(t)u2k (t) + f2k (t),f2k (t) = 2 J f (x,t)sin Xk xdx (k = 1, 2,...),

0

l l

ф2k = 2j ф^) sin Xk xdx, ф2k = 2j ф^)віп Xk xdx (k = 1, 2,...).

00

Далее, из (17) - (21) находим:

Що

щк (г) = еак

СОБ в к г - а в к ^ фгк + в1 ^ вкг

+

1

+— ^к(т; и, а) втвк (г — т)еак( Т^йт (г = 1, 2; к = 1, 2,...; 0 ^ г ^ Т),

вк

0

где

к

—а\к, вк = Хк\/в — а2.

После подстановки выражений и10(г), и1к(г) (к = 1, 2,...) и и2к(г) (к = 1, 2,...) в (16), для определения компоненты и(х,г) решения {и (х,г) ,а (¿)} задачи (1) — (3), (6), (7) получаем:

и(х,г) = ф10 + Ьф 10 + J (г — т)Рю(т; и,а)йт+

0

+ У У^и е“кМ СОБ вк г — °г Бт вк М ф1к +

Ее»‘(

к=1 ^ '

вк

ф1к  о ,

— вт вкЪ

вк

+

1

+ — J ^1к(т; и,а)ят вк (г — т)еак( Т^¿тсов Акх+ к0

+£

к=1

+ вк J ^2к(т; и, а) вт вк (г — т)еак(~Т^твт Акх. к0

Теперь из (16), с учетом (11), имеем:

!ГО

к"(г) — /(х0, г) + ^ А2к (2аи'1к (г) + вА2ки1к (г)) сов Акх0+ к=1

оо ^

+ У^ Ак (2аи2к (г) + вАки2к (г)) бЬ АкхЛ .

к=1

£

ъ

ъ

Ь

Дифференцируя (23), получим:

[ 1

вк

uik (t) = eakt

- вк («2 + вк) фік sin вк t + ^ 0^ sin вк t + cos в к t ) Фік

t

+

1

+в~ J Fík

о

Далее, из (24) и (27), получаем:

2auik (t) + в>кUik (t) = e»kt\ íв\k cos вкt - вк (в^кak + 2a (ak + вк)) sin вк^ Vik+

+ ^вк (в>к + 2аак) sin вкt + 2a cos вкt ) Фік

+

1

+вк J Fik (т; u,a)((2aak + вХ2к) sin вк (t-т ) + 2aвk cos вк (t - т)) eak (t T)dr.

о

Тогда из (25), с учетом (28), находим: a(t) = h-1(t) {h"(t) - f (x0,t) +

+ E eakt (в>к cos í^kt - i (вхкak + 2a (ak + вк))^п вк^ ф1к+

+ ^вк (вХк + 2аак) sin вкt + 2a cos вкt^ Фік

+

+jk ¡ Рік(т; u, a) ((2аак + в\2к) sin вк (t - т) +

+ +2авк cos вк (t - т)) eak(t т)0,т} cos Хкхо+

+ Е Хк{eakt [вХк cos вht - j~ (вХкак + 2а (ак + ві)) sin вкt) фік+

+ ^вк (вХк + 2аак) sin вкt + 2а cos вк^ Фі

1

+вк J Рік(т; и,а)((2аак + вХк) sin вк (t - т) +

0

+2aвk cos вк (t - т)) eak(t T^dт} sin Xkx0.

Таким образом, решение задачи (1) — (3), (6), (7) сведено к решению системы (24), (29) относительно неизвестных функций u(x,t) и a(t).

Для изучения вопроса единственности решения задачи (1) — (3), (6), (7) важную роль играет следующая

t

t

t

Лемма 2. Если {u (x,t) ,a (t)} — любое решение задачи (1) — (3), (6), (7), то функции

i i

ui0(t) = J u(x,t)dx,uik(t) = 2j u(x,t) cos Xkxdx,

0 0

i

u2k

0

удовлетворяют на [0,T] системе (22), (23).

Замечание 1. Из леммы 2 следует,, что для доказательства единственности решения задачи (1) — (3), (6), (7) достаточно доказать единственность решения системы (24), (29).

Теперь рассмотрим следующие пространства:

З5 ’2

Обозначим через B2, Т [9] совокупность всех функций вида

Uik

U(

k=0 k=0

рассматриваемых в DT, где каждая из функций u1k(t) (k = 0,1,...) и u2k(t) (k

1, 2,...) непрерывна на [0, T] и

. I 1

(OO \ 2 / O \ 2

У1 (Xk \\u1k (t)Wo [0 , T])2J +|У1 (Xk \\U2k (t)\\o [0 , T])2J

(u) = ||ul0 (t)\\c[0, T] + ()'(Xk \\uik (t)\\c [0 , T])2 + /^(Xk \\u2k (t)\\c [0 , T ])2| <

Норму в этом множестве определим так:

\\u(x,t)WBlT = JT(u).

Через ET обозначим пространство B^T х C[0,T] вектор-функций z(x,t) {u(x.t),a(t)} с нормой

\\z\\eT = \\u(x>t)WBl T + IIa(t) W C[0 ,T] '

Очевидно, что B2 T и ET являются банаховыми пространствами.

Теперь рассмотрим в пространстве ET оператор

^(u,a) = {Ф1(u,a), ^2(u,a)},

где

OO

Ф^х, a) = u(x, t) = u1k(t) cos Xkx + E u,2k (t) sin Xkx,

k=0 k=1

Ф2(щ a) = a(t),

причём u10(t), uik(t) (i частям (21),(22) и (29). Очевидно, что

1, 2; к = 1, 2,...) и a(t) равны соответственно правым

cos f3k t - а sin f3k t

Pk

1

a

•/її-

= Єї,

-1 sin 13kt

Pk

1 1 _ 1 ^ V7P - a2 Xk 2 Xk ,

f3X2k cos Pkt - (fiXla.k + 2a (a2k + Pk)) sinPkt

Pk

( +1^

V Vp - a¿ J

+ 1 ) pXk = ЄзXk,

— (PXk + 2aak) sin Pkt + 2a cos Pkt

Pk

^ p + 2a2 _

^ —. = + 2a = Є4,

vrP-

— | (2aak + PXk) sin Pk (t - т) + 2aPk cos Pk (t - т) | ^ Є4. Учитывая эти соотношения, имеем:

T

\\ai0(t)\\ C[0,T] ^ ІФ10І + T Vhv] + TVT I J\fi„(T)|2 dT

+

+T Wa(t)Wc[0,T] Wu10(t)\\c{0,T]

(O

E

k=1

111 \ 2 / O \ 2 / O \ 2

(Xl Wuik(t)Wc[0 ,T])2J ^ 2є 1yX/ x Wh 1)2) +2є 1¡ ^(Xk bhk1)2J +

+2є 1^T í í^(Xk \fík(т)i)2dT j +

0

k=1

+2є 1T iia(t)W

c [0 , T ] (EX Hu.» (t)W c[0,T ]

)2)

,k=1

Wa(t) W c [0,T] ^ \ \h 1(t)\\c [0,T ^11h” (t) - f (x0, t) W c [0,T] + é 3

2 / o \

(XkІф.k |)2) + i=1 \k=1 J

T

Г6. 2 / <° \ 2 i пт 2 / г 10

+ Т2“Є 4^( ^2(Xk \Фі» |)2 j + Є^Х/ i I X/ (Xk lfik (т ')l)2dT ) +

i=1 \k=1 J

12

+ ~12Є4T Wa\°J 11 c[0,T]

2 / 0

ЕЕ

.=1 \k=1

i=1 \ 0 k=1

2

2

Предположим, что данные задачи (1) — (3), (6), (7) удовлетворяют следующим условиям:

1. ф(х) е СА[0,1},ф{ъ)(х) е 1,2(0,1), ф(0) = ф(1),

ф (0) = ф (1),ф"(0) = ф'(1),фн(0) = фн(1),ф4)(0) = ф4)(1).

2. ф(х) е С2[0,1],ф((3)(х) е Ь2(0,1),ф(0) = ф(1),ф'(0) = ф1 (1),ф"(0) = ф" (1).

3. /(х,г), ¡Х(х,г), ¡хх(х,г) е С(Бт),/ххх(х,г) е Ь2(Бт),

/(0,г) = /(1,г),/х(0,г) = /х(1,г),/хх(0^) = /хх(1,г)(0 ^ г ^ т). 4. к(г) е С2[0,т},к(г) = 0 (0 ^ г ^ т).

Тогда из (30) — (32) получаем:

¡МП

С[0,Т] ^ 11ф

+тVт II/(х,г)\\ь2(От) + Т На(г)11с[0,т] 11и10(г)\\с[0,т] ,

(ГО \ 2

Я \\vikШоЮТ])2) < 2є 1 Ік(5)ИІЬ2(0,і) + 2є2 +

(ГО \ 2

ЕЯт о[0,Т]) )

к=

Ш^\\о{0,Т] ^ Р Ш0[0,т] \\\к (і) - /(хо,і)\о[о,т] +

'/б И (5). чМ ^

+ -уI|^'(х)||Ь2(0,і) + -уI(х)\\Ь2(01) +

/ Г-ГТ1 /7? I

+ 6 \\їххх

Далее из (33) и (34) находим:

\\й(х,тЩт ^ Аг(Т) + Л2(Т) ||а(*)\|

о [0,т ]

\\й

где

Аг(Т) = \\ф(х)\\ь2(0,1) + Т \\ф(х)\\ь2(0,1) + Т'/Т \\/(х,і)\\ь2(Вт) +

+4є 1 МФ(5)(х)МЬ2(0А) + 4є2 МФ(3)(х)МЬ2т + 4є2^Т\\/ххх(хМЫВт) ,

Л2(Т) = (Т + 4є 2)Т.

Теперь из (35) имеем:

1а(^)11с[0,т] ^

Ві(Т) + В2(Т) ||а(і)\|

0[0,т ]

\й

где

{'

В1 = \\к 0[0,т]\ \\к”(і) - /(х0,і)\о[0,т] + Є3 (0>1) +

V и ,(3)/ , и ^6Т 1

+ —64 \\ф{ (х^ 11 ^2(0,1) + — 6‘ \\/ххх(х,г)\\ъ,(Вт л ,

я2(т ) = \|Л_1(г)Ис Т

Из неравенств (36) и (37) заключаем:

Ых,г)\\в22т + Ыг)\\с{0,т] < А

где

А(т) = А1(т) + В1(т), В(т) = А2(т) + В2(т).

Итак, можно доказать следующую теорему.

Теорема 1. . Пусть выполнены условия 1 — 4 и

В

Тогда задача (1) — (3), (6), (7) имеет в шаре К = Ки(||г||Еб ^ Я = А(т) + 2) из ЕТ единственное решение.

Доказательство. В пространстве ЕТ рассмотрим уравнение

г = Фг,

где г = {и, а}, а компоненты Ф^(I = 1, 2) оператора Ф(и, а) определены правыми частями (24), (29) соответственно.

Рассмотрим, оператор Ф(и,а) в шаре К = Ки из ЕТ . Аналогично (38) получаем, что для любых г,г1,г2 е К и справедливы оценки:

с[0,Т] \и

\\фг1 - фг2\\ЕТ ^ В

Тогда из оценок

действует в шаре К = К и и является сжимающим. Поэтому в шаре К = К и оператор Ф(и,а) имеет единственную неподвижную точку (и, а), которая является единственным в шаре К = К и решением (40), т.е. является единственным в шаре К = Ки решением системы (24), (29).

Функция и(х,г), как элемент пространства В2,т, непрерывна и имеет непрерывные производные их(х,г),ихх(х,г),иххх(х,г),ихххх(х,г) в Бт.

Теперь из (27) находим:

(ГО £

к=1

2

2в

•/в-

(№к \фгк |)2^ +

+2

а

л/в-

+1

а2

а

ув-

+1

а2

)

Т

^т I ПГ № /

или

к=1

(го

У

к=1

(ГО £

к=1

2

2

2в

+2

а

л/ё-

а2

)

+ 1 ) \ф(3) (х)\\Ь2(0.1) + 2

а

уГв-

т \/ххх

(ГО

к=1

к=1

а2

2

+1

(г =1,2).

Отсюда следует, что щ(х,г),щх(х,г),щхх(х,г) непрерывны в Бт. Далее, из(18) и (20), имеем:

(ГО

к=1

к=1

(№к \\и‘

к || агк (г) II с[0.Т]

\ 12 /го

...... п ‘ •- (к?

№ \\<к(г)\с[0.т])Ч +

2

(ГО £

к=1

2

+ 2в I У № 11игкШс[0,Т])Ч +2 \/х (х,г) + а (г) их (х,

1с [0.Т ]

Ь2

(г =1,2).

Из последнего соотношения ясно, что иа(х,г) непрерывна в Бт.

Легко проверить, что уравнение (1) и условия (2), (3), (6) и (7) удовлетворяются в обычном смысле. Значит, {и (х,г) ,а (г)} является решением задачи (1) — (3), (6), (7) и в силу леммы 2 это решение единственно. Теорема доказана. С помощью леммы 1, легко доказывается следующая

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и 1 1 1 / /(х,Ь)йх = 0 (0 ^ г ^ т), ф(х)йх = 0, ф(х)йх = 0,

2

2

2

2

2

2

ф(хо) = к(0),ф(хо) = h' (0).

Тогда задача (1) — (5) имеет в шаре K = KR(||^||еБ ^ R = A(T) + 2) из ET единственное классическое решение.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Boussinesq J. Theorie des ondes et des remous qui se propagent le long d’un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide content dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de surface au fond // J. Math. Pures Appl. 1872. Vol. 17. P. 55 - 108.

2. Clarkson P. A New exact solutions of the Boussinesq equation // European J.

Appl. Math. 1990. Vol. 1. P. 279 - 300.

3. Hirota , R. Classical Boussinesq equation is a reduction of the modified KP

equation // J. Phys. Soc. Japan. 1985. Vol. 54. P. 2409 - 2415.

4. Z. Y. Yan, F. D. Xie , H. Q. Zhang Symmetry Reductions, Integrability and Solitary Wave Solutions to High-Order Modified Boussinesq Equations with Damping Term // Communications in Theoretical Physics. 2001. Vol. 36, № 1. P. 1 - 6.

5. Варламов В. В. Асимтотика при больших временах решения уравнения Бус-синеска с диссипацией // Журн. вычисл. мат. и мат. физика. 1994. Т. 34, № 8-9. С. 1194 - 1205.

6. Мегралиев Я. Т. Обратная краевая задача для дифференциального уравнения с частными производными четвертого порядка с интегральным условием // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математика. Механика. Физика. 2011. Т. 32(249), № 5. С. 51-56.

7. Мегралиев Я. Т. Об одной обратной краевой задаче для гиберболическо-го уравнения второго порядка с интегральным условием первого рода // Вестник Брянского государственного университета. 2011. № 4. С. 22-28.

8. Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972.

9. Худавердиев К. И., Велиев А. А. Исследование одномерной смешанной задачи для одного класса псевдогиперболических уравнений третьего порядка с нелинейной операторной правой частью. Баку: Чашыоглы, 2010.

Бакинский Государственный Университет Поступило 3.11.2013