Расширенное пространство и модель объединенного взаимодействия

УДК 535.32

РАСШИРЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО И МОДЕЛЬ ОБЪЕДИНЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Д. Ю. Ципенюк, В. А. Андреев

Вводится (1+4)-мерное пространство, являющееся расширением пространства Минковского. В этом расширенном пространстве строится обобщение специальной теории относительности, допускающее изменение массы покоя частиц. Используя развитый формализм, строится модель теории поля, объединяющая электромагнетизм и гравитацию.

Предложена модель, являющаяся обобщением специальной теории относительности Эйнштейна (СТО). В рамках этой модели рассматривается возможность объединения

гравитации и электромагнетизма в одно единое поле. Формально обобщение СТО со-

—*

стоит в том, что вместо (1+3)-мерного пространства Минковского М(Т] X) рассматривается его (1+4)-мерное расширение.

Попытки объединения гравитации и электромагнетизма имеют большую историю. Современные подходы к данной проблеме восходят к работе Ф. Клейна [1], в которой он показал, что классическую гамильтонову механику можно представить как оптику в пространстве большего числа измерений. Затем Т. Калуца предпринял попытку обобщить теорию гравитации Эйнштейна с тем, чтобы включить в нее и электромагнетизм [2]. Он предложил рассмотреть (1+4)-мерное пространство с метрикой, зависящей от потенциалов электромагнитного поля. Идея Калуцы была развита О. Клейном [3], Г. Манделем [4] и В. Фоком [5]; построенная ими модель получила название теории Калуцы-Клейна. Было показано, что траектория заряженной частицы имеет вид геодезической линии нулевой длины в 5-мерном пространстве.

Ю. Румер в своих работах по 5-оптике [6] предложил приписать новому измерению размерность действия и считать его периодическим с периодом, равным постоянной

Планка. Отметим, что во всех их построениях масса покоя частиц считалась фиксированной величиной.

Последующее развитие многомерных теорий изложено в монографии [7]. Отдельное направление образуют многомерные конструкции в теории струн и суперструн [8].

Нами развивается другой подход к построению многомерных физических пространств.

В качестве пятой дополнительной координаты используется та величина, которая уже существует в пространстве Минковского, а именно, интервал S

s2 =

Эта величина сохраняется при обычных преобразованиях Лоренца в пространстве Мин-—* ___ —♦

ковского М(Г; X), но меняется при поворотах в расширенном пространстве G(T\ X, 5).

—*

Таким образом, пространство Минковского М(Т; X) - это конус в расширенном про-—*

странстве G(T; X, S). Сохраняется же только величина

Известно, что энергия, импульс и масса свободной частицы связаны соотношением [9]

zti2 22 22 22 2 4 п /о\

Е -с рх-с ру-с р2-тс = 0,

—»

которое служит аналогом соотношения (1) в пространстве G'(E\ Р, М), сопряженное к

—*

пространству G(T\ X, S). Масса т является величиной, сопряженной к интервалу s. В данной работе мы всюду, специально этого не оговаривая, будем понимать под массой частицы т и ее массу покоя, которая является лоренцевским скаляром. Никаких других масс у нас появляться не будет. Здесь мы следуем рекомендациям обзора [10].

Таким образом, с физической точки зрения наше расширение СТО состоит в том, что теперь считаются допустимыми и такие процессы, в которых меняется масса покоя частиц. Возможность существования таких процессов обсуждается в литературе. Так, например, если фотон попадает в среду или оказывается в резонаторе или волноводе, то ему можно приписать некоторую ненулевую массу [11, 12]. Мы не будем сейчас обсуждать вопрос о том, в какой степени эту массу можно считать реальной, важно лишь то, что развиваемый нами формализм учитывает такую возможность.

Эта возможность для нас чрезвычайно важна, она позволяет связать формальную геометрическую величину - координату дополнительного (5-го) измерения, с физическим параметром - показателем преломления п, задающим величину скорости света

в среде. Фактически, наше расширенное пространство есть набор обычных

пространств Минковского М(Т, X), каждое из которых заполнено средой со своим показателем преломления п.

По этой причине близкой задачей является и разработка ковариантной модели элек тродинамики сплошных сред, т.е. такой модели, в которой материальные характеристики среды р, и е получают естественную геометрическую интерпретацию в терминах

—»

расширенного пространства

Поскольку пространство, в котором задаются все физические объекты, пятимерно, вектор-потенциал электромагнитного поля тоже имеет пять компонент. Четыре из них, относящиеся к пространству Минковского М(Т; X), мы связываем с обычным электромагнитным полем, а пятую интепретируем как потенциал гравитационного поля. Таким образом, в нашей модели эти два поля объединяются в одно и возможны ситуации, когда они будут переходить друг в друга.

Примером таких процессов служат реакции превращения элементарных частиц друг в друга, протекающие с возникновением дефекта масс. Именно в этом случае и происходит переход гравитационной массы в электромагнитное излучение. Такие процессы и служат источником плоских электромагнитных волн. Отметим, что вопрос о воздействии гравитационного поля на электромагнитное излучение вновь начал активно обсуждаться в последнее время [13].

Проблем, связанных с излучением нейтрино и, вообще, частиц с полуцелым спином, мы в данной работе не касаемся.

Более подробное изложение всех этих вопросов содержится в работах авторов [14

17].

—♦

Вектора свободных частиц. В пространстве Минковского М'(Е\Р) свободным ча стицам сопоставляется 4-компонентный вектор энергии-импульса, компоненты которого связаны соотношением (3). В зависимости от того, равна масса т частицы нулю или

нет, точка, соответстующая этому вектору, лежит либо на конусе, либо на гипербо-

—# —*

лоиде в пространстве М'(Е]Р). В расширенном пространстве С(Е] Р, М) свободным частицам сопоставляется 5-компонентный вектор энергии-импульса-массы, компоненты которого связаны тем же самым соотношением (3). Только теперь величина т уже не

постоянный внешний параметр, а равноправная переменная, все эти вектора изотропии

—*

и соответствующие им точки лежат на конусе (3) в пространстве С(Е; Р, М).

Частицы, находящиеся во внешнем поле, описываются неизотропными векторами, лежащими на гиперболоидах (2) [16].

В пространстве Минковского все частицы делятся на два типа: массивные, характеризующиеся массой т, и безмассовые (фотоны), характеризующиеся частотой ш. В нашей модели покоящейся массивной частице сопоставляется 5-вектор энергии-импульса-массы

а фотону, летящему в пустом пространстве со скоростью с в направлении к, сопоставляется 5-вектор энергии-импульса-массы

Видно, что оба эти 5-вектора изотропны. Повороты в пространстве С?(Т; X, 5), дополнительные к преобразованиям Лоренца, перемешивают координаты, соответствующие пространству и времени с новой координатой 5. В сопряженном пространстве —*

С(Е\ Р, М) такйе повороты переводят энергию и импульс в массу и обратно. Приведем их явный вид. Для этого будем использовать две параметризации. Одна из них задается углами поворотов в плоскостях (ТБ), (ХБ), (УБ), ^Э), первый из них является гиперболическим, а остальные три тригонометрическими.

Другая параметризация имеет непосредственный физический смысл. Известно, что фотон, попадая в среду с показателем преломления п > 1, начинает двигаться со скоростью V = с/п < с. В нашей модели такое уменьшение скорости фотона связывается с тем, что у него появляется ненулевая масса т. Величина этой массы зависит, с одной стороны, от величины угла, на который совершается поворот, и его типа, а с другой стороны, она зависит и от показателя преломления. Сравнивая получающиеся выражения, находим связь угла поворота с п. Применим эти преобразования к векторам (4),

—*

(5). При этом будем считать, что вектор к направлен по оси X.

При гиперболических поворотах в плоскости (ТБ) меняется энергия и масса частицы, но сохраняется ее импульс. Фотонный вектор (4) преобразуется следующим образом:

(тс, 0, тс),

Ни, —(1,1,0)-

Ни

(собЬ 0,1, втЬ 0) = —(п, 1, у/п2 — 1).

с

В результате такого преобразования возникает частица с массой

гп =

Ни . Нш /-—--

—— втпр = —\п2 — 1.

ГТ. г

& с

Нш

При том же самом повороте вектор (5) массивной частицы преобразуется следующим образом:

При таком повороте массивная частица меняет свою массу

т -> me', 0 < в < оо.

Угол поворота 9 и показатель преломления п связаны соотношением

п = cosh в, ев± =п± у/п2 - 1.

Это означает, что при преобразовании (8) из частицы с массой m может возникнуть частица с двумя разными массами

т.

Таким образом, при поворотах в плоскости (TS) массы частиц, обладающих массами покоя, могут изменяться по двум разным законам (10) и (11). Одна ветвь монотонно растет, а вторая монотонно убывает. При больших тг они имеют следующий характер поведения:

ев+ = п + л/п2 — 1 — 2п — —, прип — оо,

ев~ = п — у/тг2 — 1 —> —, при п —> оо.

Характерно, что фотоны имеют только одну массовую ветвь (7).

При тригонометрических поворотах на угол ф в плоскости (ХС) сохраняется энергия, а меняются импульс и масса частиц. Фотонный вектор (4) преобразуется следующие образом:

bu. , . ñu .„ , . hu Л i \/n2 —1\ — 1,1,0 — l,cosV>,smV = —1,-,- •

с с с \ п п J

При этом фотон приобретает массу

. Кшу/п2 - 1 /1сЧ

и = -г- эш гр =-Г-.

С ПС*

Вектор (5) массивной частицы при таких поворотах преобразуется по закону

( у/п2 - 1 1\

пс

Энергия частицы при таком преобразовании сохраняется, но меняется ее масса

ТП

тп т соб ф = —

с

и импульс

JJIQ _

О — —me sin ф —--v гг2 — 1.

п

Электромагнитно-гравитационное поле и расширенные уравнения Максвелла. Источником электромагнитного поля служит ток. В традиционной формулировке электромагнитный ток описывается 4-вектором в пространстве Минковского:

- i Л ( р°с PoíJ \ Д2 / 1 Q \

Здесь p0(t, х,у, z) - плотность электрического заряда в точке (t,x,y,z), а

vx(t, х, у, z), vy(t, х, у, z), vz{t, х, у, 2) - локальная скорость плотности зарядов.

—*

При переходе к расширенному пространству G(T; X, S) 4-вектор тока (19) следует заменить 5-вектором р. В соответствие с теми принципами, которые положены в основу развиваемой модели, дополнительная координата вектора р вводится таким образом, чтобы получающийся 5-вектор был изотропен. Поэтому получаем

Р =

Отметим, что вектор тока (20) похож на вектор энергии-импульса-массы частицы, обладающей массой покоя. Разница между ними состоит в том, что в векторе (20) вместо

массы покоя т0 стоит локальная плотность заряда ро В расширенном пространстве —*

G(T; X, S) ток (20) порождает поле, которое описывается 5-вектор-потенциалом

Потенциалы (21) и ток (20) связаны уравнениями

О At = -4тг р,

О А = -—1

с

Здесь

д2 д2 д2 д2 1 д2

О =

дв2 ^ дх2 ^ ду2 дг2 с2 д¿2

+

Поле, соответствующее потенциалу (21), содержит помимо обычных электрических и магнитных компонент еще и дополнительные компоненты, отражающие тот факт, что в процессе взаимодействия может меняться масса частиц. В нашей модели эти ком поненты ассоциируются с гравитационным полем. На эту мысль наводит тот факт, что потенциал является лоренцевским скаляром и, если ограничиться преобразованиями Лоренца, система (22) - (24) разбивается на две не связанные друг с другом части: систему (22), (23) и уравнение (24). При отсутствии зависимости от дополнительной координаты 5 система (22), (23) совпадает с системой уравнений на потенциалы электромагнитного поля, а уравнение (24) представляется естественным отождествить с уравнением для скалярного потенциала ф гравитационного поля [18, 19]

Возможность такого отождествления основана еще и на том, что в правых частях уравнений (24), (26) стоит одна и та же плотность распределения масс покоя. Потенциалы ]а и ф связаны соотношением

Итак, если масса покоя частиц не меняется и физические величины не зависят от дополнительной переменной 5, то электромагнитное и гравитационное поля существуют независимо друг от друга. Если же масса покоя становится переменной и возникает зависимость от 5, то они объединяются в одно единое поле.

По потенциалам (А4, Ах, Ау, Аг, можно построить тензор напряжений этого поля

= 47Г7М(х, у, г).

А„ = --ф.

7

дАг дАк

; г, к = 0,1,2,3,4.

дхк дх{

/ 0 -Ех -Еу -Ег -Q)

Ех 0 -нг Ну -Gx

Еу Н2 0 —Нх -Gy

Ег -Ну Нх 0 -Gz

\ Q Gx Gy Gz 0 )

=

Здесь в тензор напряжений вошли новые поля Q и G

Q = F40 = Gx = F4i =

Gy = F4 2 =

Gz = F43 =

дА4 дА0 dAs dip

дх0 дх4 cdt ds*

дА4 дАг дА3 дАх

дх\ дх4 дх ds '

дА4 дА2 дА3 дАу

дх2 дх4 ду ds '

дА4 дА3 дА, dAz

дх3 дх4 dz ds "

Систему уравнений, которой удовлетворяют напряженности , мы будем называть расширенной системой Максвелла. Как и в обычном случае она состоит из двух частей. Уравнения первого типа не зависят от выбора калибровки и не включают в себя токи, они связывают между собой только напряженности. Имеется 10 таких уравнений, их можно объединить в три векторных уравнения и одно скалярное. Первая пара уравнений Максвелла сохраняет свой вид:

-» -»1 дН

div Я = 0, rot É + —— = 0.

с at

Два других уравнения включают в себя новые поля и производную по новой переменной 5:

- дН п дЕ 1 dG , ^ „ rot G + — = 0, — + -— + grad Q = 0. os os с at

Векторные операторы div, rot, grad имеют обычный трехмерный вид. Уравнения второго типа связывают напряженности с источниками, их вид зависит от выбора калибровки. Если выбрано условие калибровки Лоренца

1 dAt дАх дАу dAz дА

+

+

+

+

с dt дх ду dz ds

= 0,

то они принимают вид 30

=

Гг дб 1 дЁ 47г

хоШ------57 = —7, 36

с от с

с оъ

Взаимодействия и сила Ньютона-Лоренца. В качестве примера взаимодействия двух объектов рассмотрим систему, состоящую из электромагнитно-гравитационного поля и массивной заряженной частицы, движущейся в этом поле. Такой системе мы по аналогии с обычной электродинамикой [9] сопоставляем изотропный 5-вектор

Р = — е<р — трф),

Здесь М - масса системы частица+поле, а т/ - масса поля. Е - энергия системы частица+поле, а Р - ее импульс; тр - масса частицы, а е - ее заряд.

Условие изотропности этого вектора приводит к уравнению Гамильтона-Якоби для частицы во внешнем поле. Покажем это.

Лагранжиан массивной заряженной частицы, находящейся во внешнем электромагнитно-гравитационном поле, имеет вид

!- £

Ь = —трс2у 1 — /?2 -

е с

По этому лагранжиану можно построить гамильтониан

Я = = + +

и обобщенные импульсы Рх =

дЬ Эу, '

^ е -> т„и е . .

р=г+-са = 7Т^Р + са- <41>

= р, + -Д, = трс + -А, = Мс.

с с

С помощью прямой подстановки можно проверить, что величины, входящие в формулы (40) - (42), удовлетворяют соотношению

Н — е

Если теперь учесть, что гамильтониан Я соответствует энергии системы, а потенциал

As пропорционален массе поля = m/j, то уравнение (43) принимает вид условия

—*

изотропности вектора (38) в расширенном пространстве G(T, X, S). При этом следует учитывать, что в обычной электродинамике масса поля равна нулю (т/ = 0), а масса частицы шр не меняется. Если же вместо вектора (38) рассмотреть два отдельных 5-вектора, отвечающих взаимодействующим полю и частице и образующих его, то ни один из них сам по себе не будет изотропным.

Из равенства (43) можно получить и уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в электромагнитном поле. Это уравнение пишется на функцию действия

S = S(t,x,y,z,s). Из свойств этой функции следует, что

Н--— Р=— i = 1 4

dt' ' dxS 1 '

Теперь, подставляя

___

Это и есть уравнение Гамильтона-Якоби в расширенном пространстве G(T, X, S) для частицы во внешнем поле.

На эту частицу со стороны поля действует сила, являющаяся обобщением элек тромагнитной силы Лоренца и гравитационной силы Ньютона. Уравнения движения частицы, находящейся под действием такой силы Ньютона-Лоренца, имеет вид

^ = -[v, Я] + 7-grad Л„

dt с е

dm е е - m дА3

+ +

Основным результатом данной работы является построение схемы модели, обобщающей специальную теорию относительности и позволяющей рассмотреть с единой точки зрения электромагнетизм и ньютоновскую теорию гравитации. Формально обобщение состоит в переходе от (1+3)-мерного пространства Минковского М(Т,Х) к (1+4)-мерному расширенному пространству G(T, X, S). Новая дополнительная координата S позволяет наряду с пустым пространством Минковского рассматривать и

пространства, заполненные той или иной средой. Свойства среды характеризуются одним параметром - показателем преломления п. Этот параметр определяет скорость света в данной среде. Переход частицы из пространства с одним п в пространство с другим п сопровождается изменением массы этой частицы. Такая связь массы со свойствами пространства-времени позволяет естественным образом объединить гравитационное и электромагнитное поля в одно поле. Свободным частицам в пространстве G(T, X, S) сопоставляются изотропные вектора, а взаимодействующим - неизотропные. Этот принцип позволяет при рассмотрении составных объектов регулярным образом вводить взаимодействие между его отдельными частями.

Важнейшей задачей при таком подходе является установление связи между конкретными силовыми полями и геометрией расширенного пространства. Не все поля и среды удается описать в терминах показателя преломления п. Свободным частицам сопоставляются плоские волны, взаимодействие должно приводить к их локализации. Эти проблемы мы предполагаем рассмотреть в последующих работах.

Авторы благодарны В. Г. Михалевичу за постоянное внимание и большую поддержку работы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Klein F. Zeits. Math. Phys., 375, (1901) (перевод см. в сборнике "Вариационные принципы механики", М., Физматгиз, 1960).

[2] К а 1 u z a Th. Sitz. Preuss. Akad., 966, (1921) (перевод см. в сборнике "Альберт Эйнштейн и теория гравитации", М., Мир, 1979).

[3] К 1 е i п О. Zeits. Phys., 37, 895 (1926).

[4] M a n d е 1 H. Zeits. Phys., 39, 136 (1926).

[5] F о с k V. Zeits. Phys., 39, 226 (1926).

[6] P y m e p Ю. Б. Исследования по 5-оптике, M., Гостехиздат, 1956.

[7] Владимиров Ю.С. Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий, М., МГУ, 1987.

[8] Грин М., Шварц Дж., В и т т е н Э. Теория суперструн, 1, 2, М., Мир, 1990.

[9] Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Теория поля, М., Наука, 1967.

[10] Окунь Л. Б. УФН, 158, 511 (1989).

[11] Гинзбург В. Л. Теоретическапя физика и астрофизика, М., Наука, 1981.

[12] Р и в л и н Л. А. УФН, 167, 309 (1997).

[13] Окунь Л. Б. УФН, 169, 1141 (1999).

[14] Циненюк Д. Ю., Андреев В. А. Препринт ИОФАН N 5, М., 1999.

[15] Ципенюк Д. Ю., Андреев В. А. Препринт ИОФАН N 9, М., 1999.

[16] Ципенюк Д. Ю., Андреев В. А. Препринт ИОФАН N 2, М., 2000.

[17] Ципенюк Д. Ю.,Андреев В. А. Электронный журнал "Исследовано в России", 60, (1999). http://zhurnal. mipt. rssi. ru/articles/1990/060/ pdf

[18] Паули В. Теория относительности. М., Наука, 1983.

[19] Фок В. А. Теория пространства времени и тяготения. М., Физматлит, 1961. Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 30 марта 2000 г.