Вероятностный анализ состояний IDEF3-моделей технологических процессов

УДК 681.324

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ СОСТОЯНИЙ ЮЕРЭ-МОДЕЛЕЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Г. С. Бритов,

канд. техн. наук, доцент

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

А. В. Лупал,

главный специалист ЗАО «Компания ТрансТелеКом»

Приводится один из подходов к исследованию технологических моделей бизнес-процессов, основанных на вероятностном анализе отказов связей между единицами работы и позволяющих рассчитать вероятности различных состояний технологического процесса и вычислить время исправной работы системы.

Ключевые слова — бизнес-процесс, вероятность, граф, марковский процесс, надежность, перекресток, рекуррентные уравнения, состояние, узкие места.

Под технологическим моделированием бизнес-процессов понимается процесс создания сценариев и описания последовательности операций для каждого бизнес-процесса [1, 2]. Для разработки сценариев бизнес-процессов предназначена методология IDEF3, которая успешно реализована на базе CASE-средства BPWin.

Стандарт IDEF3 был создан для описания последовательностей и логики взаимодействия операций и событий в анализируемой системе. IDEF3 обеспечивает аналитика методологией структурированного подхода и графическим языком для наглядного представления с необходимой степенью детализации знаний об очередности событий и действий описываемого бизнес-процесса.

Для описания процесса в IDEF3 определены две стратегии и, соответственно, два типа диаграмм [1]:

1) proceSS-centered Strategy — стратегия описания процесса как последовательности выполняемых действий. Диаграммы этого типа получили название ProceSS FloW Description Diagrams (PFDD) — диаграммы потокового описания процесса;

2) object-centered Strategy — стратегия описания процесса как последовательности изменений состояний объекта, над которым выполняются действия. Диаграммы такого типа получили название Object State Transition NetWork (OSTN) — диаграммы последовательности изменений состояний объекта.

Описание процесса в IDEF3 может содержать диаграммы какого-либо одного или обоих типов.

Для того чтобы обеспечить аналитика инструментом, описывающим возможные ветвления и параллельность выполнения ряда действий в описываемом процессе, в диаграмме PFDD технологической модели используются перекрестки. Перекрестки усиливают описание временных отношений и отношений очередности выполнения различных частей процесса. Они применяются для отображения логики взаимодействия стрелок при слиянии и разветвлении или для отображения множества событий, которые могут или должны быть завершены перед началом следующей работы.

Использование перекрестков позволяет в технологической модели анализировать «узкие места», отрицательно влияющие на эффективность деятельности и определяющие надежность процесса.

На основе анализа PFDD-диаграммы можно разработать OSTN-диаграмму (диаграмму состояний объекта), которая представляет собой граф переходов состояний технологического процесса (ТП) в зависимости от внешних факторов [3].

Используя OSTN-диаграммы, можно проводить вероятностный анализ соответствующих процессов [4], который заключается в расчете вероятности исправной работы системы и вероятности достижения того или иного критического состояния при заданных вероятностях отказов ее

элементов. Для примера рассмотрим ТП, состоящий из трех работ и одного перекрестка с О-раз-ветвлением. PFDD-диаграмма этого процесса показана на рис. 1.

В этом технологическом процессе могут происходить следующие события:

• С1 — не срабатывает (отказ) верхняя связь перекрестка, вероятность такого события

• С2 — противоположное событие, когда верхняя связь исправна, вероятность такого события (1 - р1);

• С3 — не срабатывает (отказ) нижняя связь перекрестка, вероятность такого события р2;

• С4 — противоположное событие, когда нижняя связь исправна, вероятность такого события (1 - р2);

• С5 — не срабатывают (отказ) обе связи перекрестка одновременно, вероятность такого события р1р2;

• С6 — событие, когда обе связи исправны, вероятность такого события (1 - р1)(1 - р2).

Возможны четыре состояния рассматриваемого ТП, определяемые тем, как происходят указанные события:

• 51 — перекресток работает правильно, так как происходят события С2, С4 и С6 и, следовательно, выполняются все три работы W1, W2, W3;

• S2 — перекресток работает неправильно, так как происходят события С1 и С4 и, следовательно, выполняются только две работы W1, W3, а W2 — нет;

• S3 — перекресток работает неправильно, так как происходят события С2 и С3 и, следовательно, выполняются только две работы W1, W2, а W3 — нет;

• &4 — перекресток работает неправильно, так как происходит событие С5 и, следовательно, выполняется только одна работа W1, а W2 и W3 — нет.

Состояния S2, S3 и S4 являются проблемными, так как характеризуют неполноценное выполнение ТП. OSTN-диаграмма процесса показана на рис. 2.

Переходы, зафиксированные в диаграмме, характеризуют появление одного из четырех независимых событий: неисправность верхней связи, неисправность нижней связи, неисправность обеих связей или отсутствие неисправностей.

Попадание ТП в определенное состояние зависит как от происходящих событий, так и от того, в каком состоянии процесс находился раньше. Например, в состояние S4 можно попасть из состояния S1, если происходит событие С5, или из состояния S2, если происходит событие С3, или из состояния S3, если происходит событие С1. Граф возможных переходов из одного состояния в другое представляет собой OSTN-диаграмму (см. рис. 2). Ребра графа отмечены вероятностями событий или их совокупностей, которые вызывают соответствующий переход. Так, ТП будет постоянно находиться в работоспособном состоянии S1 только тогда, когда происходит событие С6, причем вероятность этого равна (1 - р^(1 - р2). В то же время из состояния S1 в состояние S2 можно перейти, если произойдут события С1 и С4. Вероятность такого перехода р1(1 - р2).

Вероятности состояний S1 - S4 зависят от времени. Будем полагать время дискретным, когда t = 0, 1, 2, ..., где единица времени зависит от вида ТП.

USED AT: AUTHOR: Бритов Г.С., Лупал А.В. ЭЛТЕ: 05.02.2008  WORKING READER DATE CONTEXT:

PROJECT: Пример КЕУ: 05.02.2008 DRAFT

RECOMMENDED о

NOTES: 1 2 3 4 6 7 3 9 10 PUBLICATION 1

0р. W2

7 1

V

W1

6 1

Jl

V

W3

3 1

NODE: TITLE: Context NUMBER:

1.1 і

Рис. 1. Использование О-перекрестка

Рис. 2. OSTN-диаграмма

Вероятности состояний обозначим Р(), I = 1,4. Рассматриваемый процесс переходов состояний можно описать с помощью уравнений марковского процесса, который является одним из методов анализа надежности сложных систем.

Известно, что в марковском процессе каждое состояние системы в некоторый момент времени t не зависит от того, как процесс попал в предыдущие состояния. В соответствии с графом (см. рис. 1) рекуррентные уравнения марковского процесса будут иметь вид

+ 1) = р[(*)(1 - Л)(1- Р2);

Р2 +1) = Р1 (^)(1 — р2 )р1 + Р2 №(1 — р2 );

Р3 (^ +1) = Р1 №(1 — р1)р2 + Р3 №(1 — р1);

р4 (£ + 1) = р р2 + р2 (^) р2 + Р3 (^) р1 + Р4 №•

Начальные условия целесообразно задать следующим образом:

Р,(0) = 1, р2(0) = 0, Рз(0) = 0, р4(0) = 0.

Матрица рассматриваемого марковского процесса

А =

Она имеет единичное собственное число, так как по построению является стохастической. Значит, рекуррентные уравнения марковского процесса имеют нетривиальное стационарное решение. Оно может быть получено из рекуррент-

1-Рі - Р2 + РіР2 0 0 0

Рі - Р1Р2 2 - 1 0 0

Р2 - Рі Р2 0 1-Р1 0

Р1Р2 Р2 Р1 1

ных уравнений процесса, записанных для стационарного случая:

—р1 Р1— р1 Р2+р1 Р1Р2 = р1(1 — Р2) Р1 — р2 Р2 = 0 р1 (1—Р1) Р2—рз Р1 = 0; р1 Р1Р2 + р2 Р2 + р3 Р1 = 0-

Отсюда, учитывая условие полноты

Р1 + Р2 + Р3 + Р4 = 1,

получим

Р1 = Р2 = Р3 = 0, Р4 = 1.

Это значит, что через некоторое время ТП попадает в неисправное состояние &4 и остается там навсегда. Момент времени, при котором устанавливается значение Р4 = 1, определяет время Т исправной работы ТП, зависящее от вероятностей р1 и р2.

Результаты расчетов вероятностей Р(), Ь = = 1, ..., 4 показаны на рис. 3, а, б.

Хорошо видно, что в первом случае время исправной работы Т = 55 тактам, а во втором — Т = 12 тактам, т. е. произошло уменьшение времени исправной работы в 4,6 раза.

Аналогичный анализ справедлив и для &-пе-рекрестка. Это объясняется тем, что расчеты выполняются для самого «тяжелого» случая, когда должны выполняться обе работы W1, W2. Что касается Х-перекрестка, то следует отметить, что обе работы здесь выполняться не могут, а может выполняться только или W3, или W4. Тем не ме-

Рис. 3. Результаты расчетов: а — при р1 = р2 = 0,1; б

при р1 = 0,4 и р2 = 0,5

нее, отказ обеих связей приводит к полной неисправности ТП и, таким образом, может рассматриваться аналогично «тяжелому» случаю О-перекрестка.

Следовательно, разветвленный ТП разрушается при отказах в связях между выполняемыми работами.

Можно усложнить анализ работы перекрестка, добавив три дополнительных события: С7 — восстановление верхней связи с вероятностью q1, С8 — восстановление нижней связи с вероятностью q2 и С9 — восстановление обеих связей одновременно с вероятностью q1q2. Предложенный подход вероятностного анализа дает возможность рассчитать вероятности различных состояний ТП и вычислить время исправной работы и коэффициент готовности.

Итак, предложен вероятностный анализ ТП, имеющих зависимые работы, выполняемые параллельно или альтернативно, когда выходные

данные работы-источника преобразуются несколькими работами-приемниками или только одной из нескольких возможных работ-приемников соответственно.

Литература

1. Маклаков С. В. Создание информационных систем. — М.: ДИАЛОГ МИФИ, 2003. — 432 с.

2. Черемных С. В., Семенов И. О., Ручкин В. С. Структурный анализ систем: IDEF-технология. — М.: Финансы и статистика, 2001. — 208 с.

3. Райншке К., Ушаков И. А. Оценка надежности систем с использованием графов. — М.: Радио и связь, 1988. — 209 с.

4. Половко А. М., Гуров С. В. Основы теории надежности. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 704 с.