Фрактальный анализ в задачах калибровки оптоволоконных датчиков

(Информационная безопасность). -Воронеж: Изд-во Воронежского ин-та МВД России, 2005. -№ 5. -С.82-83.

9. Еременко, В.Т. Моделирование процессов анализа реализаций протоколов информационного обмена для решения задач описания их статического и динамического взаимодействия [Текст] / В.Т. Еременко, И.С. Константинов // Вестник компьютерных и информационных технологий. -2004. -№ 4. -С. 11-15.

10. Еременко, В.Т. Методологический аспект построения теории функциональной стандартизации протоколов информационного обмена [Текст] / В.Т. Еременко // Вестник компьютерных и информационных технологий. -М.: Машиностроение, 2004. -№ 1. -С. 14-17.

11. Савенков, А.Н. Методика обнаружения и предотвращения блокировок процессов информационного обмена с использованием маркированных потоковых графов [Текст] / А.Н. Савенков // Информационные технологии в науке, образовании и производстве. Матер. Междунар. науч.-технич. конф. -Орел: ОрелГТУ, 2006. -Т. 1. -С. 188-191.

12. Еременко, В.Т. Проблемы функциональной стандартизации протоколов информационного обмена в распределенных управляющих системах [Текст] / В.Т. Еременко // Изв. Орловского гос. технического ун-та. Сер. Информационные системы и технологии. -2005. -№ 1. -С. 3-7.

13. Еременко, В.Т. Математическое моделирование процессов информационного обмена в распределенных управляющих системах: Монография [Текст] / В.Т. Еременко; Под общ. ред. И.С. Константинова. -М.: Машиностроение, 2004. -224 с.

14. Еременко, В.Т. Алгоритмы поиска угроз в пространстве состояний процессов информационного обмена распределенной управляющей системы [Текст] / В.Т. Еременко И.С. Константинов // Вестник Тамбовского гос. технического ун-та. - 2004. -Т. 10. -№ 4А. -С. 912-918.

15. Савенков, А.Н. Управление процессами информационного обмена в сетях передачи данных АСУ машиностроительного предприятия: Дис. ... канд. техн. наук [Текст] / А.Н. Савенков. -Орел, 2007. -144 с.

УДК 681.7

В.П. Первадчук, Д.Б. Шумкова, М.О. Колчанов

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ КАЛИБРОВКИ ОПТОВОЛОКОННЫХ ДАТЧИКОВ

Одним из современных методов анализа динамических систем является теория фрактального анализа. Особый интерес представляет применение фрактальных методов к анализу временных рядов, т. е. совокупности наблюдаемых параметров изучаемой системы во времени.

Фракталы - это структуры, которые, несмотря на свою крайнюю нерегулярность на разных масштабах, выглядят типичным образом. Диапазон масштабов, где наблюдаются фрактальные структуры, огромен и любые сильные нерегулярности в природе стремятся обрести фрактальную структуру [1, 2]. Огромное количество естественных систем, поведение которых внешне воспринимается как хаотическое, объединяет одно обще свойство. Это свойство - самоподобие или фрактальность. Важнейшей областью применения фракталов является анализ временных рядов: последовательностей измерения физиче-

ских величин, упорядоченных по времени. Широкая распространенность фрактальных свойств временных рядов указывает на наличие единого универсального механизма, приводящего к возникновению фрактальности в совершенно различных естественных системах.

Многие экспериментальные данные обладают фрактальной статистикой, анализ и моделирование которой могут быть произведены с помощью методов фрактального анализа. Одним из самых перспективных направлений фрактального анализа является изучение динамики во времени такой характеристики, как фрактальная размерность. Особое значение фрактального анализа временных рядов в том, что он учитывает поведение системы не только в период измерений, но и его предысторию.

В данной работе предпринята попытка использовать фрактальный анализ при калибровке

оптоволоконных датчиков, которые в последнее время находят все более широкое применение. Особенностью этих датчиков является то, что они имеют простую конструкцию, долговечны и обладают рядом других преимуществ. В то же время они весьма чувствительны к самым незначительным изменениям свойств световодов и процесса их сборки из различных элементов. Исследуются временные ряды, полученные при калибровке оптоволоконных датчиков. Эти ряды образуются последовательностями значений, снятых с приборов при проведении экспериментальных испытаний. В процессе этих испытаний волоконный датчик подвергается внешним воздействиям, а его ответные реакции (отклики), снимаемые с регулярной частотой, образуют исследуемые временные ряды. Анализируя чередование участков временного ряда с различной фрактальной размерностью и тем, как на систему воздействуют внешние и внутренние факторы, можно прогнозировать поведение системы, и, что самое главное, диагностировать и предсказывать ее нестабильные состояния.

Для решения поставленной задачи необходимо провести полный анализ временных рядов с помощью основных индексов. Наиболее простым способом исследования фрактальной структуры временных рядов является вычисление их фрактальной размерности Б. Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция у = АД имеющая не более конечного числа точек разрыва первого рода: именно такие функции целесообразно рассматривать в качестве модельных [3]. Введем равномерное разбиение заданного отрезка

=[а = ¡0 < ^ <... < 1т = Ь^

где ti - ti-1 = 5 = (Ь - а) / m (I = 1, 2 ... т). Покроем

график этой функции прямоугольниками таким образом, чтобы это покрытие было минимальным по площади в классе покрытий прямоугольниками с основанием 5 (рис. 1) [4]. Тогда высота прямоугольника на отрезке будет равна

амплитуде А (5), которая является разностью между максимальным и минимальным значением функции на этом отрезке.

Рассмотрим величину

Г,(5) = *(5),

называемую амплитудной вариацией функции А?) на рассматриваемом отрезке. Тогда полную площадь минимального покрытия (5) можно записать в виде:

5Ц

Из (2) следует, что

Vf (5) ~ 5-1 при 5^ 0:

где

носит название индекса фрактальности временного ряда. Определим фрактальную размерность Б через показатель Херста Н, который для гауссовых процессов связан с Б соотношением Н = = 2 - Б. Следует иметь в виду, что для надежного вычисления Н требуется большой репрезентативный масштаб, содержащий несколько тысяч данных. Внутри такого масштаба временной ряд, как правило, меняет характер своего поведения много раз. Далее, при анализе временных рядов мы будем рассматривать индекс фрактальности как основной фрактальный показатель.

Как отмечено выше, объектом исследования в данной статье являлись показания, снятые с волоконно-оптического датчика. Рассматрива-

Рис. 1. Построение минимального покрытия

Таблица 1

Основные фрактальные индексы

Волоконные датчики d Индекс фрактальности Показатель Херста Фрактальная размерность

1 0,7174 0,2826 1,7174

2 0,8848 0,1152 1,8848

3 0,8655 0,1345 1,8655

4 0,5592 0,4808 1,5192

5 0,1879 0,8121 1,1879

6 0,6137 0,3863 1,6137

лись временные ряды шести различных волоконных датчиков ^1, d2, d3, d4, d5, d6), каждый из которых содержал 3520 значений.

На первом этапе исследований проверялось, является ли исходный ряд фрактальным. Для этого выявлялись максимумы и минимумы значений временных рядов по интервалам (по 55 значений в каждом из них). В результате получено 6 функций с 64 значениями каждая. Затем рассчитывался индекс фрактальности и проводилась классификация временных радов по трем основным фрактальным показателям, которые приведены в табл. 1.

Из анализа данных следует, что индекс фрак-тальности, указывающий на тренд, соответствует только одному временному ряду показателей датчика d5, т. к. остальные показатели значительно больше 0,5. Кроме того, для всех временных рядов фрактальная размерность дробная, что подтверждает гипотезу о фрактальности исследуемых рядов и позволяет, как следствие, корректное применение методов фрактального анализа.

Для визуализации имеющейся фрактальности

исходных данных проведено сглаживание всех рядов фрактальной скользящей средней с альфа-коэффициентом. При этом использовалась следующая формула перехода:

alpha = exp (-4,6  ф-1)) .

В результате получено шесть графиков, один из которых в качестве примера приведен на рис. 2. Здесь черным обозначена линия FRAMA [5], серым - текущее значение.

На следующем этапе работы проводился подробный анализ исходных данных для уточнения фрактальных показателей, полученных ранее.

Исследуемый временной ряд формировался двумя различными способами. В первом из них данные группировались по два значения (определялся максимум/минимум среди двух соседних значений), во втором - по четыре (максимум/минимум среди четырех соседних значений).

На рис. 3 показано поведение амплитудной вариации в двойном логарифмическом масштабе для датчика d1 (макс/мин по двум значениям).

Щ ^Wm . HLMift i

-Г1 "IV/teMHiU Ц-: №

!! —UUmm

Рис. 2. Поведение индекса FRAMA для датчика d5

4

Рис. 3. Поведение амплитудной вариации в двойном логарифмическом масштабе для датчика d1

Из данного графика для датчика ^ (уровень надежности а = 0,95) был определен индекс фрактальности ц, равный 0,6778±0,003 при Я2 = 0,994, где Я2 - коэффициент детерминации для линии регрессии. Аналогично были определены индексы фрактальности для каждого ряда.

Известно, что при ц < 0,5 корреляция положительна, т. е. тенденция к увеличению (положительное приращение) в прошлом означает в среднем тенденцию к увеличению в будущем, и наоборот, тенденция к уменьшению (отрицательное приращение) в прошлом означает тенденцию к уменьшению в будущем. Такой процесс называется персистентным (сохраняющим тенденцию) и его можно рассматривать как модель тренда. При ц > 0,5 корреляция отрицательна, т. е. в этом случае увеличение в прошлом означает вероятное уменьшение в будущем, а тенденция к уменьшению в прошлом означает увеличение в будущем. Такой процесс называется антиперсистентным и его можно рассматривать как флэт. И, наконец, при ц = 0,5 корреляция отсутствует и имеется промежуточное состояние между флэтом и трендом [6].

Выбор способа разбиения для определения минимума и максимума внутри каждого из них является важной задачей при проведении фрактального анализа данных. Для решения этой задачи проведен численный эксперимент, в котором рассмотрено несколько типов разбиений по 2' элементов в каждом из них (я = 1, 2 ... 6). Для всех указанных разбиений по формуле (2) определена амплитудная вариация VI (' - номер разбиения), которая сравнивалась с амплитудной вариацией исходного временного ряда V. Величина V находилась при помощи разбиений с непересекающимися интервалами первоначальных данных датчика d5 при среднем показателе индекса фрактальности 0,33 < ц < 0,49. В качестве расчетного выбиралось такое разбиение, для которого значение сумма невязок [V во всех расчетных точках оказывалась минимальной. Результаты эксперимента проиллюстрированы на рис. 4. Здесь нижняя кривая соответствует амплитудной вариации V исходного ряда, кривые Ряд_' - амплитудным вариациям для разбиений, содержащих 2' элементов. Из анализа полученных

ЬИ (VI) -1

Рис. 4. Поведение амплитудной вариации при увеличении количества объединяемых значений временного ряда

Ш(*Ц

1Ы

Рис. 5. Поведение амплитудной вариации в двойном логарифмическом масштабе для датчика d5

результатов следует, что, более мелкое разбиение для определения максимума и минимума для всех временных рядов приводит к наиболее точному определению как амплитудной вариации, так и индекса фрактальности.

Для проверки гипотезы о том, что пересечение интервалов при определении максимума и минимума не дает искажения данных, исходные значения временных рядов, разбитые указанным выше

способом, были проанализированы по индексу фрактальности. Из рис. 5 видно, что амплитудная вариация, а значит, и индекс фрактальности с пересечением интервалов приблизился к значению, полученному по начальным данным ряда, что также подтверждает сформулированную гипотезу. Получено значение индекса фрактальности ц = 0,2214± 0,004 при Я2 = 0,8118 .

В заключительной части работы построены

Таблица 2

Основные индексы для датчика d5 по интервалам в 32 значения

Интервал наблюдения Индекс фрактальности Показатель Херста Фрактальная размерность

1-32 0,37 0,63 1,37

32-64 0,46 0,54 1,46

64-96 0,36 0,64 1,36

96-128 0,39 0,61 1,39

128-160 0,47 0,53 1,47

160-192 0,40 0,60 1,40

192-224 0,46 0,54 1,46

224-256 0,36 0,64 1,36

256-288 0,46 0,54 1,46

288-320 0,49 0,51 1,49

320-352 0,38 0,62 1,38

352-384 0,44 0,56 1,44

387-416 0,33 0,67 1,33

416-448 0,33 0,67 1,33

0,33 < ц < 0,49 1,33 < Б < 1,49

Таблица 3

Основные индексы для датчика d6 по интервалам в 32 значения

Интервал наблюдения Индекс фрактальности Показатель Херста Фрактальная размерность

32 0,58 0,42 1,58

64 0,58 0,42 1,58

96 0,58 0,42 1,58

128 0,57 0,43 1,57

160 0,55 0,45 1,55

192 0,50 0,50 1,50

224 0,58 0,42 1,58

256 0,57 0,43 1,57

288 0,44 0,56 1,44

320 0,48 0,52 1,48

352 0,59 0,41 1,59

384 0,57 0,43 1,57

416 0,58 0,42 1,58

448 0,58 0,42 1,58

0,44 < ц < 0,59

функции ц(?), соответствующие каждому оптическому датчику. Данная процедура выполнена с целью локального определения фрактальных показателей и вариации индекса фрактальности.

Локальные участки исходных данных (448 значений), снятые с датчиков, разделены на 14 непересекающихся отрезков. На каждом из этих отрезков вычислены три основных фрактальных индекса: индекс фрактальности, показатель Херста, фрактальная размерность D. Полученные результаты для датчиков d5 и d6 представлены в табл. 2 и 3 соответственно.

Данные из таблиц окончательно подтверждают трендовую составляющую на всем временном интервале для датчика d5 (вариация индекса фрактальности не превышает 0,5) и частичную составляющую для d6. Таким образом, появляется возможность прогнозирования данных этих

СПИСОКЛ

1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы [Текст] / Б. Мандельброт. -М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

2. Федер, Е. Фракталы [Текст] / Е. Федер. -М.: Мир, 1991.

3. Старченко, Н.В. Локальный фрактальный анализ в физических приложениях [Текст] / Н.В. Старченко // Препринт № 006-2005. -М.: МИФИ, 2005.

4. Dubovikov M.M. Variation index and its applications

1,44 < D < 1,59

временных рядов и выявление проблемных частей на всем временном интервале.

В завершение отметим основные полученные результаты. Проведенный фрактальный анализ для шести временных рядов, снятых в процессе калибровки волоконно-оптических датчиков, выявил наличие фрактальной составляющей в рассматриваемых рядах.

С помощью основных фрактальных показателей, таких, как индекс фрактальности, показатель Херста и фрактальная размерность D получены результаты, численно характеризующие то или иное поведение ряда. В частности, на временном ряде, построенном по показаниям датчика d5, выявлено преобладание трендовой составляющей (ц < 0,5), что соответствует черному шуму, который, в свою очередь, указывает на возможность построения наиболее точного прогноза и диагностики.

ГЕРАТУРЫ

to analysis of fractal structures [Text] / M.M. Dubovikov, N.S. Starchenko//Sci. Almanac Gordon.-2003.-№> 1.-P. 1-30.

5. Копыркин, К. Динамические скользящие средние: Ч. I [Текст] / К. Копыркин // Современный трейдинг. -2001. -№ 5-6. -С. 8-12.

6. Сергаев, С. Fractal Adaptive Moving Average (FRAMA) Фрактальная адаптивная скользящая средняя Дж. Эйлерса [Электронный ресурс] / С. Сергаев. -Режим доступа: http://stocktrade.narod.ru/indicators/ FRAMA.pdf