Сглаживание аналоговых сигналов в реальном времени апертурным алгоритмом нерегулярной дискретизации

Секция автоматизации научных исследований и экспериментов

УДК 681.325.3

В.В. Сарычев

СГЛАЖИВАНИЕ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ АПЕРТУРНЫМ АЛГОРИТМОМ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Подавляющее преимущество цифровой электроники во многом определяет характер шумовой составляющей в первичных аналоговых сигналах. Потоки цифровых данных, служебной информации, результатов обработки, управляющих воздействий в основном концентрируются в единой среде обмена сигналами - шине. Шумовое напряжение от множества импульсов можно представлять в виде случайного процесса, образованного флуктуациями мгновенного значения относительно среднего значения амплитуды импульса. Если известен механизм образования случайного процесса, то можно говорить о полосе частот распределения мощности процесса или спектральной плотности среднего (по времени) квадрата случайной функции.

Получившие заметное развитие процедуры сглаживания сигналов с помощью полиномов, на наш взгляд, имеют ряд ограничений на пути к достижению оптимальных показателей.

Прежде всего это касается процедуры определения отсчетов сигнала, которые могут быть узлами сглаживающего полинома (интерполяции). При регулярной дискретизации всегда остаются вопросы выбора частоты взятия отсчетов и степени интерполирующего полинома. Математически С.Н. Бернштейном было установлено, что последовательность интерполяционных многочленов, построенных для непрерывной функции на отрезке по равностоящим узлам, с ростом степени многочленов не стремится к аппроксимируемой функции.

Далее имеет место явление «раскачки», которое обусловлено постановкой первоначальной задачи приближенного задания функциональной зависимости простым аналитическим выражением по методу наименьших квадратов. Между узлами интерполяции отклонение полинома от сигнала может приводить к значительному искажению формы восстановленного сигнала.

И последнее - интерполяция кусочными многочленами не обеспечивает гладкого перехода от одного звена к другому.

В данном докладе проводится синтез алгоритма шумоподавления в рамках теории приближения при оценке близости аппроксимирующей и аппроксимируемой функции с использованием критерия равномерного приближения или максимальной ошибки. По мнению автора, при таком подходе задача подавления шума, распределенного и в области спектра сигнала, может быть решена для условий реального масштаба времени.

За основу синтеза нового алгоритма возьмем следующие известные утверждения.

1. Математическая теория аппроксимации и интерполяции функций не предполагает в качестве обязательного условия равномерность отсчетов [1].

2. Для аппроксимации без скачков производных необходимо использовать куски функций с переменной кривизной, располагая их между смежными отрезками кусочно-многочленных функций с разнородной структурой, составленных из многочленов разной степени [2].

3. Для гладкого сопряжения кусков аппроксимации узлы должны выбираться на участках сигнала с минимальными значениями первой и второй производных.

За основу предлагается взять апертурный алгоритм адаптивной дискретизации нулевого порядка (НП), получивший широкое распространение за счет предельной простоты и имеющий высокую эффективность при обработке сигналов с низкой динамичностью. Неравенство, при выполнении которого отсчет сигнала в момент времени 1] признается существенным, записывается следующим образом:

I х(?) - х(*} )1> Ео >

где Ео - величина апертуры, составляющая десятки процентов от динамического диапазона сигнала. Участок сигнала между существенными отсчетами 1] - 1 и 1] при восстановлении аппроксимируется линией и составляющие шума в пределах Ео подавляются (рис. 1).

Свойство подавления шума для алгоритма нулевого порядка теряется на наклонных и нелинейных участках сигнала. Синтезируя дополнительные условия, которые бы следили за уклонением сигнала от аппроксимирующей наклонной прямой, можно распространить эффект шумоподавления и на участки сигнала, где есть первая производная (рис. 2).

Рис. 2. Слежение за сигналом на линейном участке

Сформированные алгоритмом НП отрезки времени tj - tj - 1 называются адаптивными интервалами Taj в терминах нерегулярной дискретизации. Эти интервалы содержат информацию о первой производной в сигнале (косвенно, как Е0/Та). На линейных участках сигнала адаптивные интервалы должны быть равны между собой. Устанавливая допуск на неравенство интервалов Taj, тем самым устанавливается допуск на линейность участка. Если решение о существенности отсчета принимается путем поочередного сравнения одного из адаптивных интервалов (назовем его базовым Тб, сформированным алгоритмом НП) с последующими интервалами, то получим апертурный алгоритм первого порядка (ПП):

Система неравенств подчеркивает тот факт, что существенные отсчеты НП

(1) исключаются из потока по условию (2). Следовательно, предлагаемое ступенчатое наращивание действий с отсчетами сигнала по эффективности не может быть хуже алгоритма НП. Величина кТ б выбрана в качестве ограничения условия

(2) по соображениям равенства величины допустимого уклонения сигнала от аппроксимирующей прямой для НП и ПП.

Дополняя систему неравенств новыми условиями учета нелинейности, получаем алгоритм второго порядка (ВП), как следующую дополнительную ступень. Обработку нелинейного участка предлагается вести по двум направлениям, в зависимости от знака первой производной в сигнале.

При смене знака первой производной в сигнале отсчет 11 признается существенным и вместе с базовыми отсчетами НП составляет опорную выборку для проведения через них параболической кривой (рис. 3). Система неравенств дополняется контролем знака производной в сигнале:

so

Выполнение неравенства (3) свидетельствует о нелинейности участка сигнала. При этом новый базовый интервал не измеряется и продолжается слежение за линейностью сигнала.

В случае заметного увеличения первой производной в сигнале предлагается

вести слежение за смежными адаптивными интервалами Та. На крутых участках составляющие шума сливаются с сигналом и величина допуска на уклонение сигнала от аппроксимирующей кривой может быть уменьшена без снижения эффекта шумоподавления при снижении ошибки аппроксимации. Система условий для алгоритма ВП в этом случае может быть представлена следующим образом:

С учетом утверждения (3) в начале участка, где первая и вторая производные равны нулю, алгоритм ПП или ВП дополнительно без выполнения неравенства (1) должны формировать существенный отсчет. Условие определения такого участка для ступени ПП:

для ступени ВП:

і - пТб > 2кТ6,

Та. > 2кТа

] ]-і

При восстановлении сигнала по существенным отсчетам интерполяционным полиномом второй степени составляющие шума в пределах 2Е0 подавляются.

Реализацию устройства предлагается сделать в виде последовательно соединенных ступеней обработки сигнала (рис. 4).

Рис. 4. Устройство по алгоритму второго порядка

Реализацию второй и третьей ступеней алгоритма можно свести к разработке цифрового автомата с жесткой программой при к=1. При этом можно достичь минимальных аппаратных затрат и высокого быстродействия. Если неравенства (2) и (5), являющиеся условием постоянства величины первой производной сигнала, записать как

Тб < і-

пТб < 2Тб,

то в этом случае реализация может быть следующая. После измерения Тб генерируется последовательность импульсов с периодом, равным Тб. Узел вычитания частот определяет расхождение между генерируемой последовательностью и выборками, поступающими со ступени НП. Если за время Тб зафиксируется две и более выборки НП, то фиксируется существенный отсчет и включается третья сту-

пень алгоритма, или же если за промежуток времени 2Тб не зафиксируется ни одной выборки НП, то фиксируется существенный отсчет входного сигнала. Функциональная схема, реализующая ступень ВП, представлена на рис. 5. В ее состав входят:

♦ блок определения смены знака приращения (СЗП);

♦ преобразователь временных интервалов (ПВИ);

♦ счетный блок (СБ);

♦ блок сравнения смежных временных интервалов (ССВИ);

♦ логические элементы.

Рис. 5. Функциональная схема устройства по алгоритму ВП

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лоран П.Ж. Аппроксимация и интерполяция. - М.: Мир, 1975.

2. Победоносцев В.А. Основания информметрии. - М.: Радио и связь, 2000.