Конкурентное однотоварное производство с учетом налоговых ставок

Сер. 10. 2009. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 519.8

А. И. Галегов, А. Ю. Гарнаев

КОНКУРЕНТНОЕ ОДНОТОВАРНОЕ ПРОИЗВОДСТВО С УЧЕТОМ НАЛОГОВЫХ СТАВОК

1. Введение. Модель Штакельберга для иерархических олигопольных рынков с однородными продуктами, обобщенная в данной работе, исследовалась учеными довольно интенсивно. В основном рассматривались два типа моделей. Первый тип - это иерархическая игра Штакельберга, в которой каждая фирма выбирает свой выпуск последовательно в виде многошаговой игры [1-3]; второй тип - двухшаговая игра, в которой на первом шаге несколько лидеров определяют свои выпуски одновременно и независимо, учитывая, что на втором шаге несколько последователей установят свой выпуск, основываясь на сделанном выборе лидеров [4, 5]. Отметим, что иерархические структуры и моделирующие их иерархические игры находят широкое применение при описании экономических взаимодействий [6].

Первая цель данной работы - развить на общий случай иерархической структуры решение по Штакельбергу [7] в аналитическом виде. Игра может рассматриваться как многошаговая с полной информацией. Главной ее особенностью является наличие лидирующих групп фирм, которые первыми устанавливают объем выпуска товаров, а остальные фирмы ориентируются в своих расчетах на них.

Вторая цель - анализ влияния различных налоговых ставок на поведение участников подобных олигопольных рынков.

На современном рынке можно найти множество примеров иерархических структур. Например, рынок операционных систем преимущественно разбит между Windows (67.1%) и Linux (22.8%), оставшиеся операционные системы занимают 10.1% рынка. В первом, довольно грубом, приближении можно рассмотреть рынок операционных систем как трехуровневую иерархическую структуру, в которой первый и второй уровни состоят из одной фирмы (Windows и Linux), а третий - из всех остальных операционных систем. Мировой рынок табачной продукции (кроме Китая) разбит на четыре уровня. Первый занимают Altria (28%) и British American Tobacco (25%), второй - Japan Tobacco (16%), а третий - Imperial Tobacco (6%) и Altadis (3%) [8, 9]. Остальные равные конкуренты делят четвертый уровень.

Когда мы сталкиваемся с такими иерархическими структурами в первом приближении, можем рассмотреть производимый продукт как однородный. Конечно, продукты, продаваемые на обоих упомянутых рынках, отичаются. Важность различия продуктов

Галегов Александр Игоревич — аспирант кафедры компьютерного моделирования и многопроцессорных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

проф. А.Ю. Гарнаев. Количество опубликованных работ: 8. Научные направления: математические модели в экономике, теория игр. E-mail: galegov@rambler.ru.

Гарнаев Андрей Юрьевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры компьютерного моделирования и многопроцессорных систем факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 72. Научные направления: математическое моделирование, теория игр. E-mail: agarnaev@rambler.ru.

© А. И. Галегов, А. Ю. Гарнаев, 2009

подчеркивается курильщиками в приверженности к бренду на рынке табака и совместимостью операционных систем с другими приложениями на рынке операционных систем. Но в первом, довольно грубом, приближении можно предположить однородность продуктов на этих рынках в рамках моделей Штакельберга и Курно. При изучении модели Курно даже для двух фирм, представленных на рынке, возникают два обычных вопроса - найти Курно и Нэш равновесия, а также равновесие Штакельберга и сравнить их [10]. Задача настоящей работы - расширить классическую модель Шта-кельберга на случай обобщенных иерархических структур, в котором фирмы разбиты на разные иерархические группы.

Во многих странах налоговая ставка зависит от суммы налогообложения. В России в 2003 г. для поддержания малого бизнеса была введена упрощенная система налогообложения, которая состоит из двух налоговых ставок: 15% (когда налог платится с общей выручки за минусом всех затрат) и 6% (когда налог платится с общей выручки) [11]. Налоговая ставка для чистой прибыли больше, чем для общей выручки, так как сумма налогообложения в первом случае меньше. Поэтому некоторые фирмы столкнулись с проблемой выбора одной из налоговых ставок [12]. При конкуренции, когда фирмы производят однородный продукт на рынке, эта проблема выбора становится игровой, ибо каждая фирма должна учитывать поведение своего оппонента, исследование которой и является третьей целью данной работы.

Статья имеет следующую структуру. В п. 2 изучаются модель Курно и ее частные случаи. В п. 3 определяется, как влияют основные налоговые системы на равновесие Курно. В п. 4 исследуется двухшаговый сценарий дуополии с выбором налоговой ставки. В п. 5 изучаются общая модель Штакельберга, состоящая из М фирм, разделенных на N групп, и частные случаи данной модели. В п. 6 анализируется налоговое расширение модели Штакельберга. В п. 7 приводятся результаты численного моделирования и выводы.

2. Модель Курно. Ниже рассматриваются оптимальные стратегии производства однородного товара в рамках модели Курно. В олигополистической модели Курно присутствуют М фирм, производящих одинаковый продукт. Каждая фирма г, г € {1,..., М}, имеет постоянные издержки производства одной единицы продукта с*. Каждая фирма независимо и одновременно определяет выпуск ^. Обратная функция совокупного спроса р(д) = тах{А — д, 0}, где д = д1 + ... + дм определены. Переменная А - это максимальная цена, возможная на рынке, т. е. та цена, при которой фирмы отказываются от производства (д = 0). В классической модели Курно функция спроса имеет вид р = А — Ьд, со следующими размерностями: п,А,р,с - рубли, д - штуки и Ь - рубли/штуки. Переменная Ь интерпретируется как коэффициент обратной зависимости количества произведенного продукта и соответствующей ему цены, сложившейся на рынке. Здесь, не теряя общности, предполагаем Ь =1 (так как равенство единицы данной переменной может быть достигнуто благодаря замене переменной ц = Ьд). Таким образом, прибыли фирмы г (г € {1, ...,М}) определяются как

м

П (д1,.. .,дм) = (А — ^2 .з УЬ — сд%.

3=1

Приводимый ниже результат хорошо известен (см., например, [10]) и дается исключительно для удобства читателя.

Теорема 1. В случае модели Курно равновесные стратегии определяются по формуле

1 ( М \ М

41 = МТТ Л + ^ С* ~МТТ^пРи ге{1,...,М}

\ 3=1,3= )

с соответствующими выигрышами:

м

. ( Л -I- Г. - ( М -I- 1 ^Л2 П —

(М +1)2

П* =7мХТ^(А + ^-(М + 1Ь)2’ с = 12с*-

3=1

Суммарный выпуск фирм определяется формулой

м 1

Е«=мтт(АМ-г')-

М + 1

і=1

В случае равных издержек сі = с, і є{1,М}, равновесные стратегии равны

1

Чг = ~Т7----

4 М +1к '

с соответствующими выигрышами:

п* = (мТТ?('4-с»2-

Суммарный выпуск рассчитывается по выражению

М М

1>=мтт

і=1

3. Налоговое расширение модели Курно. Покажем, как влияют основные налоговые системы, используемые в Российской Федерации [13], при условии, что фирмы на рынке конкурируют при производстве однородного продукта. А именно, рассмотрим следующие налоги: с продаж, акцизный, на прибыль и на добавленную стоимость. В рамках модели Курно для этих налогов функция прибыли Пі фирмы і имеет следующий вид:

й) При налоге с продаж

пі = ¡Зг (А — ^~~^ Чз | Ці — СіЧі, і Є {1, ..., М},

3Е{1,...,м }

где вг = 1 — Тг, а Тг - ставка налога с продаж. Переменная /Зг не имеет размерности, так как является постоянной, и налог выплачивается уже с общей выручки фирмы. б) В случае акцизного налога

пі = ( А — Чз — ^ 1 Ці — СіЧі, і Є{1, ..., М},

\ 3Є[1,М] )

здесь £ - акцизная ставка, размерность которой - рубли, так как она участвует в ценообразовании продукта.

в) Для налога на прибыль

П

Эр

А — д- I — I , г б{1, ..., М},

Зе[1,м ]

где вр = 1 — Тр, а Тр - ставка налога на прибыль. Переменная вр не имеет размерности, так как является постоянной, и налог выплачивается уже с чистой прибыли фирмы. г) При оплате фирмой налога на добавленную стоимость

Пг = ¡Эи I А — Чз — сх I Чг — ^, г & {1, ...,М},

V зФ,м] )

где Эи = 1 — Ти, а Ти - ставка НДС, с2 - расходы на приобретенные товары, в условиях однородности производимого продукта нами было сделано предположение о том, что эти издержки равны, с, - внутренние издержки предприятия. Переменная [Эи не имеет размерности по причине того, что данный налог оплачивается с прибыли, а размерность с2 - рубли, так как данная переменная участвует в формировании себестоимости продукта.

Следующее утверждение переформулирует результат теоремы 1 на случай учета уплаты перечисленных налогов.

Теорема 2. С учетом налогов в модели Курно с М фирмами равновесные стратегии определяются следующим образом: а) Налог с продаж

(ЗгА + С - (М + 1)с* .

Чг = ----а/л/г I 1 \---- ПРИ * € •">

с выплатами

Суммарный выпуск

б) Акцизный налог

пн

Эг

= А(М+1)2 '

м

Т

Чг =

(ЗгМА - С ГММ +1)'

А — £ + С — (М + 1)а .

Чг =-------------------------------при * 6 М}

с выплатами

п*

Суммарный выпуск

м

^Чг =

(М +1)2

м(А-г) - с м +1 ’

А-\-С — (М-\-1)сі .

Чі =-----Л/Г , -і-- при * Є {1,М}

М + 1

с выплатами

Суммарный выпуск

П*

вР (А + (7 - (М + !)<*)'

(М + 1)2

М

Е

і=і

Чі

МА-С М + 1 '

г) Налог на добавленную стоимость

Чі =

Ри(А — с%) + С — (М + 1)сі

¡Эи

при і Є {1, ...,М}

с выплатами

П*

/?п(М+1)2

Суммарный выпуск

М

М

і=1

Чі

/3ПМ

4. Конкурентная борьба в рамках модели Курно. В России для поддержания малого бизнеса была введена упрощенная система налогообложения, которая состоит из двух налоговых ставок: 15% (когда налог платится с общей выручки за минусом всех затрат) и 6% (когда налог платится с общей выручки) [11]. В данной модели предположим, что фирмы сначала устанавливают плановый объем производства, а затем выбирают вид налоговой ставки. Эту задачу выбора налоговой ставки в конкурентной среде исследуем с помощью двухшаговой игры, в которой две фирмы производят один и тот же однородный продукт. Фирмы на первом шаге планируют выпуск в рамках модели Курно, а на втором шаге выбирают налоговую ставку.

Пусть чі будет количеством продукта, произведенного фирмой і,ир - цена продукта, которая зависит от общего количества товара на рынке: р = А — ч, где ч = Чі + 42. Пусть А - максимальная цена продукта, возможная на рынке. Кроме того, пусть стоимость производства единицы продукции для обеих фирм одна и та же и равна с, причем А > с. Размерности переменных аналогичны размерностям из п. 2, 3: п, А,р, с - рубли, 4 - штуки.

На первом шаге игры фирмы определяют план производства при фиксированных налоговых ставках, а на втором - выбирают их. Поэтому на втором шаге получаем следующую биматричную игру:

Р

Р

Т

гРР )

Т

(ПТР ПТР) (ПТТ п

(п1* , п2* ) (п1* , п

ТТ\

где , в,Ь & {Т, Р}, - оптимальная прибыль фирмы г, определяемая с помощью модели Курно, при выборе первой фирмой стратегии в, а второй - £. Из соответствующих уравнений Курно имеем

1* д I 2* д

тт (ЭТА — с)2 тт (ЭТА — с)2

х* 9/Зт ’ 2* 9/Зт ’

рт Рр{Рта + с — 2/3'гс)2 ру (РтА + /?тс — 2с)2 ^ = 9Ж ’ ^2* = 9/?р

тр (РтА + /?тс — 2с)2 тр (Зр{(ЗтА + с — 2/3'рс)2

х* 9/Зт ’ 2* 9/3?

Причем Эр = 1 — Тр и Тр - ставка налогообложения с чистой прибыли, Эт = 1 — Тт и Тт - ставка налогообложения с общего дохода. Эти переменные так же, как и раньше, не имеют размерности, так как являются постоянными, и налоги уплачиваются с прибыли или общей выручки фирмы. В РФ Тт = 0.06 и Тр = 0.15. Так как сумма налогообложения в случае налогообложения с общей выручки больше, чем в случае налогообложения с чистой прибыли, то в реальных экономических системах (в частности, как и для ставок, применяемых в РФ) Тт < Тр. Итак, Эт > Эр. Пусть

А

/Зг(Рг ~/Зр) ’ /Зг(Рг ~/Зр) ’

эдг ~[ЗгА^ + (2Ас + 4/ЗрС2 — 4/ЗрАс + /ЗрА2)/32 + (2/3РАс — 4/3рс2 — с2)/3( + /Зрс2 ((с+ 2А)/3^ + (З/ЗрС — 2(ЗрА — 2А — 4с)/32 + (Зс+ 2(ЗрА — 4/Зрс)/3( + [Зрс)с

Замечание 1. Для введенных обозначений справедливы следующие соотношения: ¿2 > ¿1 тогда и только тогда, когда

Приведем решение биматричной игры, которая представляет критерий выбора налоговой ставки.

Теорема 3. В двухшаговой игре выбора налоговой ставки возможны варианты:

11 * А

с

а) если А € (——, ^ 1 с], то ((И7,1—ТУ), (И7,1—И7)) является равновесием по Нэшу;

¡Эь

б) если А & (¿1_с, £2с], то (Р,Р) является равновесием по Нэшу;

в) если А > ¿2с, то (Т,Т) является равновесием по Нэшу;

2) < А

с

а) если А € ( — ,^2с], то ((И7,1—И7), (И7,1—И7)) является равновесием по Нэшу;

б) если А > ¿2 с, то (Т,Т) является равновесием по Нэшу.

Полученный результат можно проинтерпретировать следующим образом.

Вариант 1) наиболее реалистичен, он типичен для случая, когда налоговые ставки существенно не отличаются, что чаще всего встречается в реальных налоговых системах. В рамках данного случая мы получаем сначала смешанную стратегию - при А € (----, ^ 1 с], что характеризует наиболее конкурентную среду при малых

Эгс

прибылях у фирм. Затем при А & (¿\с, ¿2с] фирмы выбирают налогообложение с чистой прибыли, что соотносится и с экономическим смыслом - фирмы выбирают налогообложение с чистой прибыли, если она не велика по отношению к общей выручке. В последнем случае при А > ¿2 с фирма выбирает налогообложение с общей выручки, что также встречается на практике - если чистая прибыль у фирмы занимает достаточно большую долю в общей выручке, то фирма выбирает налогообложение с общей выручки. В силу полученных результатов можно заметить, что мы получили единственную точку переключения с налогообложения с чистой прибыли на налогообложение с общей выручки - ¿2 с.

Перейдем к варианту 2), его можно назвать предельным, так как он предполагает, что налоговая ставка при налогообложении с чистой прибыли очень велика:

—-¡=-----/Зр < /?(. Поэтому полученный результат логичен: используем налогообло-

(%/5 — 2)2

жение с чистой прибыли только в смешанной стратегии при малых прибылях, когда ситуация особенно конкурентна, а затем отказываемся от него и применяем только налогообложение с общей выручки.

5. Общий случай модели Штакельберга. Развитием модели дуополии Курно стала модель асимметричной дуополии Г. Штакельберга [7].

Исследуем общую модель Штакельберга, состоящую из М фирм, делящихся на N групп различной иерархии, а затем рассмотрим частные случаи этой модели.

В общем случае опишем иерархическую структуру, состоящую из М фирм, делящихся на N групп Г1,..., Г^ с различными иерархическими уровнями, задающими уровни приоритетов в порядке убывания, так что у группы Г1 самый высокий приоритет. Таким образом, группа Г* находится на г-м уровне и состоит из М.\ фирм. Пусть Г = Ц=1 Г., г & [1,^, и М* = $^}=1 М* - количество фирм с уровня 1 по г. Тогда МN = М. Примем Мо = 0. Прибыль фирмы г в новых обозначениях определим по формуле

Причем размерности переменных, приведенных здесь и далее, совпадают с размерностями аналогичных переменных в п. 2 и 3.

Игра состоит из N шагов, совпадающих с количеством групп фирм, причем первой ходит группа с низшим уровнем иерархии, т. е. группа Г^. Фирмы группы данного иерархического уровня на своем шаге выбирают собственный объем производства в соответствии с совершенным подигровым равновесием по Нэшу (sub-game perfect Nash equilibrium) [14] методом обратной индукции, полагая выпуски лидирующих фирм заданными.

Рассмотрим первый шаг игры - ход фирм из группы Г^ .В соответствии с моделью Штакельберга, лидирующие группы фирм из групп Г^_1 на первом шаге назначают свои выпуски, после чего фирмы с самого низкого уровня Гn , анализируя действия фирм-лидеров, определяют свой выпуск.

На этом шаге данные фирмы знают объем оптимального выпуска продукции оставшихся лидирующих групп фирм Г N -1. Тогда задача определения оптимального выпуска для фирм группы Г N сводится к решению задачи нахождения точки максимума своей функции прибыли. Так как д ^П^/д^ч* = —2, то далее фирмы из группы Г N устанавливают свои стратегии как решение системы уравнений дП*/дд* = 0, г & ГN, или

— 2Чг + А — Ч] — сг = 0 г & Г

\И

N

Тогда выпуски фирм из низшей иерархической группы Г N определяются в зависимости от выпусков фирм со следующих (более высоких) иерархических уровней:

9< = м“Тт

где

зетN-1

Ок =^ сз, к &{1,-^}

зегк

Фирмы, лидирующие над группой Г N, могут максимизировать свои прибыли, учитывая вид функции

1и = м^П\А~ ? ^) “ {Сн ~ м^ПСм)Чи геГ*-1- ^

\ ЗеГМ-1 )

Переходим к следующему уровню (второй шаг), а именно к уровню N — 1, состоящему из фирм из группы ^-1. Так как д2П*/д2д* = —2/(MN +1), то далее эти фирмы устанавливают свои стратегии как решение системы уравнений дП*/дд* = 0 , г & Г N-1, где П* определяются из (3). Итак,

—2Ч* + А — Чз — (MN + 1)с* + = 0 г & ГN-1-

Тогда

]еТм — 1 \{г}

«-м^тттИ-.Е -й|-

\ ЗеГМ—2/

(Рр?-\сг — Р]\[Сн-1 — Сдт) при г € Глг-Ь

где

к=

Р?Т = 1 при в > Г-

Итак, подставляя д* из (4) в (3), получаем следующие выигрыши фирм из группы Г N-2'-

П* = ~тШ I ^ _ Чз \ Чг

N-1 ' з'ег N—2

— — (Р^Сдг-! + С'дг)^ (/¿, * € Гдг-2-

Далее перейдем к уровню М—к, состоящему из фирм группы Г N-к. Так как д2П*/д2д* = —2/Р^_ 1, то далее данные фирмы устанавливают свои стратегии равными решению системы уравнений дП*/дд* = 0 , г & Г N-к. Итак,

1

Ми-к + 1

“ Т7~~ТТ \Л~ Е %

3ЄГ^-к-1

к

ыи-к + 1 г м-кі *=0 н

3=0

Пі - ~Ш~ \А~ Е Чз) Чг -

-к \ 3ЄГМ-к-1

~ Сі —

1к 1

ЕРЇЇ-3+1 Си-з ) Яі при і е ГК-к-1-

Р N /_^1 N

ГМ-к з=о

Так, для высшего (первого) уровня получаем данную оптимальную стратегию

1 I и-1 \ Ри

1 I . ^ „дг /=,__ \ г1 _

Сі

Чі М1 + ЛА+^ Рк-і+іСм > І Мі + 1

3=0

и суммарный выпуск фирм на этом уровне равен

іЄГі 1 \ 3=1

Возвращаясь назад, находим, что на уровне к, к е [1,^], фирмы имеют оптимальные стратегии

и-1 \ оИ

1 / ”-1 - \ РТ

Чі = ~рк | А + Е РЇЇ-з+1СК-з I - Мкк+1С^ * є Гь

и суммарный выпуск фирм на к-м уровне равен

£ « = ж И + А

ієгь РМ 3=1

и

Итак, был доказан такой результат:

Теорема 4. В модели Штакельберга с N группами равновесные стратегии определяются следующим образом:

= ~рк ^ с* ) , * ^ Гй,

с выплатами

(а + 3 РЦА - рN с

11/ ------------- 1 ЛТ , ? ^ ГI;

Р ^Р N ь

Суммарный выпуск составляет

м / 1 \ 1 *

= (1 “ рй) Л~ ~рк ¿^+1^-

г=1 V Р1 / Р1 =

Конечно, в теореме 4 были рассмотрены только внутренние решения, которые существуют при предположении, что все параметры модели такие, что все , определяемые в (5), положительны, а именно - если выполняются данные неравенства:

N

А + Х) Р?+С > РN а при * € Гь, к }.

3 = 1

Для частного случая с равными общими издержками с, = с, г € {!,..., М}, получаем из теоремы 4.

Теорема 5. В случае равных издержек производства с, = сс, * € {!,..., М}, в модели Штакельберга с N группами равновесные стратегии определяются следующим образом:

1

~ Т>к (А —с), гбГй, Р1

с выплатами

П,

(А-с)2

ркрМ

ге Гь.

Суммарный выпуск равен

м

Стоит отметить, что теорема 5 обобщает результат статьи [15], в которой определен оптимальный план производства для случая структуры рынка, состоящего из одного лидера и М последователей.

Для частного случая, когда в каждой группе существует только одна фирма, из теоремы 4 имеем

Теорема 6. В модели Штакельберга оптимальные стратегии определяются следующим образом:

1 / М—

Чг = | А ^См~3 ~ 2МС* ) 1 * € {1; •••;

с прибылями

1 I М-1

= 2М+* ( А - ^ + Е 2’с^ I > * 6 ^ -> М>'

Суммарный выпуск равен

М ( 1 \ 1 М-1

_ 2М ) 4“^мЕ Усм-з-

Понятно, что фирма расширяет свое производство, если стоимость производства соперника увеличивается, и уменьшает его, если собственные издержки возрастают. На самом деле, д. становится больше с каждым с^, где ] = г, и д. понижается с увеличением с..

Для частного случая с равными функциями издержек с. = с, г € {1,..., М}, из теоремы 6 получаем

Теорема 7. Для случая равных издержек с. = с, г €{1, ...,М}, равновесные стратегии определяются следующим образом:

Чг = ~ с), г е {1,..., М},

с выплатами

= 2М+'1 ^ _ С'*2’ * 6 {*’^1’

Суммарные выплаты равны

М ( 1 \

^Чг = (Л ~ с) ^ •

Если число фирм с разными издержками с возрастает, то суммарный выпуск стремится к А — с.

6. Налоговое расширение модели Штакельберга. Рассмотрим влияние основных налоговых систем, модели которых приведены в [13], на равновесие Штакельберга. Функции прибыли в случае уплаты налогов будут определяться аналогично функциям, приведенным в п. 3. Переформулируем теорему 4 на случай уплаты данных налогов.

Теорема 8. В модели Штакельберга с N группами равновесные стратегии определяются следующим образом:

&Р? , у=1

с выплатами

. 2

+ 2^11 Р?+& - Рі Сі)

П? — --------------—г?---, ъ (Е Г ь.

(ЗіРіР*

Суммарный выпуск составляет

М , 1 1 N

у4і = 1------^ ) А-----мУрЦіСі-

¿г V р?) /^¿Г

б) Акцизный налог

= ~рк “ ^ + ^Я-1^' - Р1 с*^ ’ * Є

с выплатами

, 2

(а - І + £N=1 - Р? а)2

П* = Л-------------рГрл?-------------> *еГь

1Р1

Суммарный выпуск равен

М / 1 \ 1 N

ЕЧі= Iі _ ~ш) и _і) - жЕ^+і^'

¿=1 \ рі / рі і=і

в) Налог на прибыль

Чі - + Е РІ + ^С3 ~ Р^Сі ) ’ ІЄГк,

с выплатами

2

вр (а + £N=1Р+А - рNъ)2 п* = —-------рьр*--------і- і є г*.

11

Суммарный выпуск

М / 1 \ 1 N

= Vі “р^)"4 - ~рмЕрі+^Сі-

¿=і \ Рі ; Рі ¿=і

Чг = р рк {^¡Зп(А - сг) + ~ > г еГк,

с выплатами

Шл - Сг ) +3 Р+ С - РN Сг)2

П* = —----------------—г—Гг------—, геТ'к-

г рпР?Р?

Суммарный выпуск определяется так:

М , 1 1 N

= I1 “ рТг) (А~с^ - п pH

г=1 ^ Р1 ' впР1 г=1

7. Заключение. В данной работе были рассмотрены иерархические структуры в обобщенной форме моделей олигополии Курно-Штакельберга, выведены оптимальные стратегии в случаях различных налоговых систем в аналитическом виде и проведен анализ конкурентной борьбы в рамках модели Курно. Данные аналитические решения можно применить для расчета влияния на рынок. В качестве критерия этого влияния рассмотрим цену товарар или общий объем производства всех фирм ^ = Л— р). Таким образом, в силу теорем 1, 2, 4, 6 и 8, объем производства Q определяется следующим образом:

• в случае отсутствия иерархических структур между М фирм:

(Э{1,2,...,м}=м^Г[(МА-С);

• в случае линейной структуры, где каждая из М фирм находится на своем уровне:

М

• в общем случае, когда иерархическая структура состоит из М фирм, разбитых на N групп ({1,..., Мі} - первая, (Мі + 1,..., М2} - вторая, ..., (М^-1 + 1,..., МN} - группа номер N):

Ф{1,...,Мі},{Мі + 1,...,М2},...,{М^-і + 1,...,М^} — А ~ рлг У^-^+1 Сі]

• в общем случае с налогом с продаж, когда иерархическая структура состоит из М фирм, разбитых на N групп:

^{1,...,М1},{М1 + 1,...,М2},...,{М^-1 + 1,...,М^}Т — А - П^ркг У^^РЦ\Сг\

• в общем случае с акцизным налогом, когда иерархическая структура состоит из М фирм, разбитых на N групп:

(3{1,...,М1},{М1 + 1,...,М2},...,{М?,-1 + 1,...,М?,}А = {А ~ ^ ~ ~ры У^+1^

• в общем случае с налогом на прибыль, когда иерархическая структура состоит из М фирм, разбитых на N групп:

N

1 / г 1 І=1

• в общем случае с налогом на добавленную стоимость, когда иерархическая структура состоит из М фирм, разбитых на N групп:

( 1 А 1 \ " N

(3{1,...,Мі},{Мі + 1,...,М2},...,{Млг_і + 1,...,Млг}ЛГ = ^1 - JÏNj _ cz) - р pN У^-Рг+lQ-

г N

i=1

Легко заметить, что только налог на прибыль никак не влияет на суммарный выпуск Q - производители не меняют свои стратегии.

В качестве численного примера рассмотрим рынок, состоящий из трех фирм (M = 3) с предельными издержками производства q = i, i = 1, 2, 3, и A = 10. Кроме того, считаем, что к данным фирмам применяются ставки упрощенной системы налогообложения Российской Федерации, т. е. вр = 1 — 0.15 = 0.85, ¡3t = 1 — 0.06 = 0.94. Ставка НДС считается равной [Зп = 1 — 0.18 = 0.82, расходы на приобретенные товары равны cz = 0.5 и акциз t = 0.4. Тогда суммарные выпуски равны Q{ 1,2,3} = 6, Q{1,2},{3} = 6.833,

Q{1},{2,3} = 7 Q{1},{2},{3} = 7.375, а рыночные Цены будут Р{1,2,3} = 4 Р{1,2},{3} = 3.167,

Р{1},{2,3} = 3 и р{ 1},{2},{3} = 2.625. Таким образом, видим, что в данном случае самым выгодным для потребителей вариантом будет модель Штакельберга с одной фирмой на каждом уровне, так как наблюдается максимальный суммарный выпуск при минимальной равновесной цене. Зададимся вопросом, какая система налогообложения будет оптимальной в этом случае. В четырех вариантах налоговых ставок суммарный выпуск и равновесная цена равны: а) Q{1},{2},{3} = 7.2872 и Р{1},{2},{3} = 2.7128 при налоге с продаж; б) Q{1},{2},{3} = 7.375 и Р{1},{2},{3} = 2.625 при налоге на прибыль;

в) Q{1},{2},{3} = 7.025 и р{ 1},{2},{3} = 2.975 при акцизном налоге; г) Q{1},{2},{3} = 6.6357 и Р{1},{2},{3} = 3.3644 для НДС. Таким образом, налог на прибыль - единственный налог, который не уменьшает общий выпуск и не увеличивает равновесную цену.

Рассмотрим численный пример двухшаговой конкурентной игры при налоговых ставках Российской Федерации: с =1, A = 10, вр = 1 — 0.15 = 0.85, ¡3t = 1 — 0.06 = 0.94, nff = npPP = 7.65, nTT = П7 « 8.23, прТ = nTP « 7, 76,п\? = п?? « 8,22,t « 1.07, t2 « 3.54. Таким образом, легко заметить что стратегия (T,Т) будет оптимальной, так как птт является наибольшей прибылью из всех возможных вариантов, а A > t2c.

Литература

1. Boyer M., Moreaux M. Perfect Competition as the Limit of a Hierarchical Market Game // Econ Letters. 1986. Vol. 22. P. 115-118.

2. Robson A. Stackelberg and Marshall // Amer. Econ. Review. 1990. Vol. 80. P. 69-82.

3. Vives X. Sequential Entry. Industry Structure and Welfare // Europ. Econ. Review. 1988. Vol. 32. P. 1671-1687.

4. Okamura M., Futagami K. Ohkawa T. On the Stackelberg Equilibrium-Existence. Uniqueness. and Stability // Indian Economic Journal. 1998. Vol. 45. P. 187-100.

5. Sherali H. D., Soyster A. L., Murphy F. H. Stackelberg-Nash-Cournot Equilibria: Characterizations and Computations // Operations Research. 1983. Vol. 31. P. 253-276.

6. Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Семина Е. А. Теория игр. М.: Высшая школа, 1998. 300 с.

7. Деньгов В. В. Микроэкономика 2. СПб.: ОЦЭиМ, 2004. 234 с.

8. British American Tobacco - Annual Report and Accounts. URL: http://www.bat.com/group/sites/

uk_____3mnfen.nsf/vwPagesWebLive/DO52AK34/$FILE/medMD7D9KKN.pdf?openelement.

9. Japan Tabacco International Annual reports. URL: http://www.altria.com/AnnualReport/ar2006/ 2006ar_05_0200.aspx.

10. Gibbons R. Game Theory for Applied Economists. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992. 288 p.

11. Налоговый кодекс Российской Федерации. № 346.20. Части первая и вторая: по состоянию на 1 февраля 2001 г. СПб.: Lex star, 2001. 313 c. (Новый нормативный акт).

12. Нарежный В. В. Управление малым предприятием: выгоден ли переход с 2003 г. на упрощенную систему налогообложения // Финансовая газета ЭКСПО. 2002. № 10. С. 15—18.

13. Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. М.: Макс пресс, 2005. 277 c.

14. Romp G. Game Theory, Introduction and Applications. Oxford: Oxford University Press, 1997. 296 p.

15. Pollock R. Innovation and Imitation with and without Intellectual Property Rights. MPRA Paper: 5025, 2007. 30 p.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном.

Статья принята к печати 28 мая 2009 г.