Метод декомпозиции при решении неравенств как обобщение идеи монотонности функции

УДК 372.016:51 ББК 74.262.21

С. И. Дяченко

МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ НЕРАВЕНСТВ КАК ОБОЩЕНИЕ ИДЕИ

МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИИ

Аннотация. В статье представлен метод декомпозиции неравенств с точки зрения монотонности функции, лежащей в структурной основе данного неравенства. Приведены примеры неравенств и их систем для решения с помощью метода декомпозиции.

Ключевые слова: метод декомпозиции, монотонность функции, равносильные преобразования неравенств.

METHOD TO DECOMPOSITION AT DECISION INEQUALITY AS GENERALIZATION TO IDEAS TO MONOTONICITY TO FUNCTIONS

Abstract. In article is presented method to decompositions inequality with standpoint of monoto-nicity to functions lying in structured base given inequality. Cite an instance inequality and their systems for decision by means of method of the decompositions.

Key words: method to decompositions, monotonicity to functions, tantamount transformations inequality.

В последние годы при решении математических задач группы С из ЕГЭ широко используются разнообразные методы и приемы, позволяющие решать структурно-сложные задачи. При этом очень важно умение выбрать наиболее оптимальные методы решения поставленных задач с целью сокращения времени выполнения каждого задания. К числу таких методов относится метод декомпозиции, который возможно использовать при решении неравенств в задачах С3 и С5.

Декомпозиция - процесс расчленения сложной системы, разрушения сложной структуры и замены ее на более простую. Декомпозиция как метод, использующий структуру задачи, позволяет заменить решение одной большой, сложной задачи решением серии взаимосвязанных, но более простых задач. Основой декомпозиции при решении неравенств является сведение этого неравенства к равносильной системе простейших неравенств, обоснованное монотонностью функции, лежащей в структурной основе данного неравенства. Переход обосновывается возрастанием или убыванием функции: Если функция F - монотонно возрастает на области своего определения, то F (f (x)) - F (g(x)) > 0 ^^ f (x) — g(x) > 0, и если функция F - монотонно убывает на области определения, то F(f (x)) — F(g(x)) > 0 ^^ f (x) — g(x) < 0, где f(x) и g(x) - из области определения функции F. Причем еще раз подчеркнем, что данные равносильности выполняются на области определения функции F.

На основе монотонностей на областях определения логарифмической функции, показательной функции, степенной функции с нечетным натуральным показателем и функции y = tfx можно получить следующие схемы равносильных высказываний:

S. I. Dyachenko

a — 1

i0ga f (x) — log a g(x) V 0 О j f (x) >

g(x) > 0,

a>0

af (x) — ag(x) v 0 oj a — 1

a > 0

(f (x) Г1 — (g (x) f—1 V 0 o f (x) — g (x) v 0

2ПдХ) - ig(X) V 0

о

f (x) - g (x) V 0,

f (x) > 0, g (x) > 0

2n-fx) - 2"4g(X) V 0 о f (x) - g (x) v 0

Как следствия из указанных равносильностей, можно получить высказывания, позволяющие эффективно сводить сложные иррациональные, степенные и трансцендентные неравенства к рациональным неравенствам, поэтому в литературе иногда говорят о методе рационализации. Причем, одни авторы считают, что название метода рационализации происходит от сведения неравенств к рациональным неравенствам (А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев) [2], а другие - от возможности более рационального решения неравенств (В. В. Мендель) [3]. Термин «рационализация неравенств» встречается в 1969 году у Г. В. Дорофеева [1], идея метода декомпозиции (без названия) - у В. П. Моденова в 1972 году [5], а в 2001 году - автор дает методу название [6]. Иногда используется термин «метод замены множителей», эта терминология относится к 90 -ым годам XX века.

Рассмотрим частные схемы равносильных высказываний, которые вытекают из указанных выше. С учетом, что (УЬ > 0) верно Ь = " и Ь = , из (1) получаем

flog af (x)- b V 0, b > 0

о

f (x)- ab

a-1

f (x) > 0,

a > 0,

V0,

а из (2) получаем

J

a (x)-b v 0,^ f (x)-log ab v() [b > 0 a-1 '

С учетом, что loga f (x) + log a g (x) = log a (f (x) g (x)) и 0 = log a 1, из (1) получаем

f ( x)-1.

log af (x) V 0

-V 0,

a-1 f (x) > 0, и a > 0

log af (x) + log ag(x) V 0 O

f (x) g ( x)-1 a-1

f (x) > 0, g(x) > 0,

a>0

V0,

Из (2) получаем способ преобразования более сложной структуру на основе показательной

af

функции: cf{ x)-ah

V 0,

V 0 о <

f (x)- g(x) _ p( x) - h( x) a > 0, a ^ 1

<

Причем при написании данных равносильных преобразований, мы считали, что в качестве а может выступать не только конкретное число, но и а = а(х) или а = а(х; р), где р - параметр. Поэтому эти преобразования можно использовать при решении задач с параметрами.

Зная, что \ f (x)| = f (x))2 , из (4) получаем

f (x)| — I g (x)| V 0 o (f (x) )2 — (g (x) )2 V 0.

Все предложенные равносильности не требуют от учащегося их запоминания, если он понимает смысл, заключенный в монотонности функции, лежащей в структурной основе данного неравенства, и позволяющий заменить сложное выражение на более простое. Рассмотрим решения неравенств и их систем из группы С3 ЕГЭ с применением метода декомпозиции.

Пример 1. Решите неравенство 1оёх+2(7х' - х3) + 1оВ(х+2)-1 (х' - 3х) ^ ^ - х

x + 2 > 0, x + 2 * 1,

Решение. ОДЗ неравенства: <¡7x2 — x3 > 0, О x е

x2 — 3x > 0, 5 — x > 0

Решаем неравенство с учетом ОДЗ:

l0gx + 2 (7x2 — x' )— l0gx+2 (x2 — 3x^ l0gx+2 (5 — x),

logx+2 (7x2 — x3)— logx+2 (x2 — 3x)(5 — x) > 0.

Применяя метод декомпозиции, получаем:

7x2 — x3 — (x2 — 3x15 — x) — x2 +15^ x2 —15x .. / Л гЛ1с1 -^--> 0 o-> 0 o-< 0 o x е (— да;—1) u [0;15J

x + 2 — 1 x +1 x +1

С учетом ОДЗ получаем ответ: x е (— 2;—1) u (3;5).

Пример 2. Решите неравенство x x > 10x"lg x + 3.

Решение. Обозначим x'g x = t , где t > 0, x > 0 .

10 _ t2 — 3t —10 Л , ~

t >--+ 3 o-> 0 ^ С учетом t > 0, получаем t > 5. Тогда

tt

xlgx > 5 o lg(xlgx)> lg5 o (lgx)2 > lg5. igx е (— да;—^)u

Ответ: x е (0;10)и(10^^;+да).

Пример 3. Решите неравенство log^2^2 1

v 3 у

> 0

Решение. ОДЗ неравенства:

х > 0,

2х2 - 7х + 6 > 0, О 2х2 -7х + 6 Ф1.

х > 0, 3

х < —, 2

х > 2,

х Ф1; х Ф — 2

чи чз

Решаем неравенство: --—--> 0 о —г--—--\ > 0 •

1/ \ 1„1о„.2

2

1В

-1

Применяем метод декомпозиции с учетом ОДЗ:

2 х - 7х + 6-1

> 0 О

х-3

2 х - 7 х + 5

> 0 •

Ответ: х е | 1;3 | и (2;2,5)У (3;+<ю).

Пример 4. Решите неравенство

1о§|х|(л/9 - х2 - х -1)> 1.

Решение. ОДЗ неравенства:

х Ф 0,

х Ф±1, О<!

л/9 - х2 > х +1

х Ф 0, х Ф±1, - 3 < х < 3, х < -1,

Гх > -1,

19 - х2 > х2 + 2 х +1

О <

х Ф 0, х Ф ±1, - 3 < х < 3, х < -1,

Iх>-..

х2 + х - 4 < 0

х е

- 3;-1) и(- 1;0)и(0;1)и

-1 + л/17

Применим метод декомпозиции для решения данного неравенства:

л/9 - х2 - х -1 - |х|

х -1

> 0

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля.

1. Если х > 0, то

л/9 - х2 -(2х +1) х-1

> 0 . Если х > 0, то 2х +1 > 0, применим метод деком-

9-х2-(2х +1)2 Л -5х2 -4х + 8 Л позиции -> 0 О-> 0. Итак, х е

х -1

х -1

- 2 + 2л/л

<

х

3

<

1;

2

5

2. Если X < 0,

9 - X2 -1

то

л/9 - х2 -1

х +1

< 0. Применим метод

X +

Ответ: х е

2 -1 Х2 - 8 I <— \

-< 0 О-> 0 . Итак, х е|- 2ы2;-11.

-1 х +1 1 '

х +

- 2л/2;-1)и

2 + 2л/П Л 1 ;

декомпозиции:

Пример 5. Решите неравенство:

^24 - 2 х - х2Л

25 - х 2

16 V

14

> 1

Решение. ОДЗ неравенства:

24 - 2х - х2 > 0,

25 - х2 > 0, О \ 25 - х2 * 16

- 6 < х < 4,

- 5 < х < 5, О х * ±3

|- 5 < х < 4, х *±3

Применим метод декомпозиции для решения неравенства и получим:

24 - 2х - х2 25 - х2

14

16

25 - х

> 0 О

-1

17 -16 х - х2 9 - х2

> 0 . Решаем методом интервалов и с учетом ОДЗ

16

получаем ответ: х е (- 3;1) ^ (3;4).

Для закрепления метода декомпозиции можно предложить решить следующий набор сис-

тем неравенств: Тип 1

1.

(1одх+1(2х2 - Зх + 1) < 2;

I 4*2 < 64 • 4~2х. 2 водх+8 (х2 + 5х - 6) < 2;

. I 3х2 < 9 • 3~х.

(1од!-х(2х2 + Зх + 1) < 2;

I 2х2 < 64 • 2х.

3.

4.

5.

6.

Тип 2

( 1од1одх3х(4х - 1) > 0;

(.21* - 9 • Iх - 3х + 9 < 0. ( 1од1одх2х(9х - 4) > 0;

\бх - 4 • 3х - 2х + 4 < 0. Г 1од1одх3х(7х - 2) > 0;

142х

36 • Iх - 6х + 36 < 0.

Тип 3

1од^з ^1од1(х + 1)^ > 2;

5. + (Г>2.

^]одфс + 2)^ > 2;

, 7*+(Э* >2-

!1од^(1одг(х - 1)) > 2;

4* + (У>2.

Тип 4

1 -

10.

11.

12.

1°8(Х-4)5

т< 1од3\х+ 21\;

> 1.

1 -

34Х-2

дХ+2

< 1од2\х + 17|; > 1.

1 -

5*х~*

25х+±

<1од2 |* + 11|; > 1.

Тип 5

12 +

13.

14.

15.

> 1од4(25 - ж2);

< 0.

12 +

1°В(Х+4)4

> ¿0^(81 - ж2);

[2 +

2"*-1

< 0.

1°В(х+1)2

> 1од2(49 — х У,

-3 +2

3"*-1

< 0.

тт (1одх+1(2х2 -Зх+ 1) < 2;

Для примера покажем решение системы неравенств |

4х <64- 4

-2л:

Решение. Найдем ОДЗ системы неравенств:

2х2 - 3х +1 > 0, < х +1 > 0, х +1 Ф 1

1

, х е

Решаем первое неравенство, используя метод декомпозиции:

2х2 - 3х +1 - (х +1)2 х2 - 5х ---— < 0 О-< 0

(х +1 -1 х , х е (-да;0) и(0;5]

Решаем второе неравенство, используя возрастание показательной функции:

4х2 < 43-2х о х2 < 3 - 2х х е [-3;1] Ответ: х е

тт ( 1од1оаг3х(4х - 1) > 0;

Наметим идею решения системы неравенств { о^их**-

р 121х - 9 • Iх - 3х + 9 < 0.

Решение. Найдем ОДЗ:

4х -1 > 0, х > 0, х Ф 1,

1оех 3х > 0, 1оех 3х ф 1

х е и (1; +да).

Первое неравенство можно решить, используя метод декомпозиции дважды.

Второе неравенство решаем путем группировки слагаемых и разложения на множители:

7х(3х -9)-(3х -9) < 0 О (3х -9)(7х -1) < 0.

Полученное неравенство решаем методом декомпозиции, который сводится к методу интервалов. Получаем х е [0; 2] и ответ: х е ^1 | и (1;2]

Итак, метод декомпозиции можно рассматривать как обобщение идеи монотонности функции, лежащей в структурной основе данного неравенства.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дорофеев, Г. В. Обобщение метода интервалов // Математика в школе. - 1969. - № 3.

2. Корянов, А. Г. Методы решения неравенств с одной переменной [Электронный ресурс] / А. Г. Корянов, А. А. Прокофьев. - Электрон. дан. - Режим доступа: http://alexlarin.net/ege/2011/c3-2011.pdf.

3. Мендель, В. В. Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств [Электронный ресурс] / В. В. Мендель. - Электрон. дан. - Режим доступа: khpms.khspu.ru/wp-content/ uploads/kr_2_m_11_12Мос.

4. Мирошин, В. В. Решение задач с параметрами. Теория и практика / В. В. Мирошин. - М.: Экзамен, 2009. -286 с.

5. Моденов, В. П. Пособие по математике / В. П. Моденов. - М.: Изд-во Москов. гос. ун-та, 1972. - Ч. 2.

6. Моденов, В. П. Метод декомпозиции при решении трансцендентных неравенств // Математика в школе. -2001. - № 5.

7. Потапов, М. К. О решении неравенств вида у(а(х)) > /(0(х)) / М. К. Потапов, А. В. Шевкин, Т. М. Вуколова // Математика в школе. - 2005. - № 5.

УДК 372.016:51 ББК 74.262.21

Н. Е. Ляхова

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА ПО ВЫБОРУ «МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ, МЕТОД ОБЛАСТЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ»*

Аннотация. В статье рассматривается идея построения курса по выбору «Метод интервалов, метод областей и их приложения», основанная на общности теоретического обоснования методов и приемов их реализации.

Ключевые слова: дисциплины и курсы по выбору, метод интервалов, метод областей.

N. E. Lyakhova

BASIC PROVISIONS OF CONSTRUCTION THE COURSE AT THE CHOICE

"METHOD OF INTERVALS, METHOD OF AREAS AND THEIR APPLICATIONS"

Abstract. The article deals with the idea of building a course on the choice of "the method of intervals, the method of areas and applications" based on common theoretical basis of methods and techniques to implement them.

Key words: discipline and elective courses, method of intervals, the method of areas.

Метод интервалов и метод областей являются наиболее эффективными методами нахождения множества точек, удовлетворяющих неравенствам с одной и двумя переменными соответственно. Значение этих методов в школьном курсе математики трудно переоценить. Заметим, например, что метод областей можно успешно применять для решения неравенств с параметрами

вида f (X, a) V 0 (под знаком v будем понимать любой из знаков >, >, <, < .), если считать параметр второй равносильной переменной. Такой подход к решению неравенств с параметрами, один из немногих допускающих алгоритмизацию и охватывающий большой класс задач.

Потребность в изучении указанных методов в школе возросла в связи с подготовкой учащихся к решению задач группы «С» единого государственного экзамена по математике, а именно, в соответствии со спецификацией последних лет, заданий С3 и С5. Однако, как показывает анализ школьных учебников, этому вопросу не уделяется должного внимания. Поэтому основная нагрузка по изложению указанных методов учащимся и формированию навыков их применения ложится

* Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А. П. Чехова» по проекту № 6.2058.2011, тема «Обучающие системы методико-математических заданий как средство моделирования самостоятельной работы студентов в процессе их методической подготовки». Научный руководитель - М. Г. Макарченко.