Теоретическое исследование пространственного распределения термических остаточных напряжений в цилиндре

УДК 621.91

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕРМИЧЕСКИХ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЦИЛИНДРЕ

С.И. Ботвенко1, И.А. Огнёв2

Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Представлены результаты теоретических исследований объемного распределения остаточных напряжений в цилиндре после закалки. В качестве исходной эпюры принято распределение остаточных напряжений по параболической зависимости. Установлено положение нулевой плоскости для параболоида вращения, относительно которой выполняется условие статического равновесия остаточных напряжений. Ил. 2. Библиогр. 9 назв.

Ключевые слова: остаточные напряжения; остаточные деформации; заготовка; система координат; термическая обработка.

THEORETICAL STUDY FOR THREE-DIMENSIONAL DISTRIBUTION OF THERMAL RESIDUAL STRESSES IN A CYLINDER

S.I. Botvenko, I.A. Ognev

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St. Irkutsk, 664074.

The paper presents the results of theoretical researches for three-dimensional distribution of residual stresses in a cylinder after quenching. The distribution of residual stresses in relation to the parabolic dependence is accepted as an initial diagram. The position of zero plane, in respect to which the condition of residual stress static equilibrium is met, is determined for a paraboloid of revolution. 2 figures. 9 sources.

Key words: residual stresses; residual strains; workpiece; coordinate system; thermal treatment.

При изготовлении большинства маложестких деталей из алюминиевых сплавов после механической обработки возникают остаточные деформации в виде различного рода погрешностей, среди них - саблевидность и скручивание. Эти виды погрешностей характерны для нервюр, лонжеронов, пространственно-ориентированных рам и т.д. Потеря плоскостности (депланация) наблюдается у деталей, имеющих гладкую базовую поверхность, с одной стороны, и элементы силового набора в виде однонаправленных ребер или ребер, создающих ячеистые конструкции, с другой стороны. Местная потеря устойчивости полотна (дна) деталей (часто называемая «хлопу-нами»), имеющих коробчатые конструкции, наблюдаются при одностороннем или двухстороннем перекрестном оребрении и др. [1, 2]. Известно [3, 4], что указанные погрешности - это, в основном, проявление двух факторов: имеющихся в заготовке остаточных напряжений, полученных (наведенных) на стадиях упрочняющей термической обработки (закалки), и остаточных напряжений, вносимых собственно процессом резания. Прогнозирование и расчет остаточных деформаций, в том числе и маложестких деталей, исходя из напряженного состояния заготовки, в настоящее время носит эвристический характер по нескольким причинам. Одной из них является то, что исследователями, занимающимися вопросами изучения остаточных напряжений и деформаций, достаточно хорошо изучены одноосное и плоское остаточно напряженное и деформированное состояния деталей. Использование основных теоретических и эмпирических положений плоского остаточного напряженного состояния применительно к пространственно ориентированным деталям не отвечает предъявляемым требованиям по точности и другим показателям. В работе [2] для расчета устойчивости полотна вафельных конструкций используют распределение остаточных напряжений в заготовке по параболической зависимости. Следует отметить, что эпюра остаточных напряжений в виде параболы - это усредненное распределение. При этом сечение, для которого справедлива эта зависимость, неизвестно. Аналогичным образом поступают авторы работ [5, 6, 7], используя при расчете остаточных деформаций пространственно ориентированной рамы зависимость, близкую к параболической. Таким образом, возникает необходимость в исследованиях пространственного распределения остаточных напряжений в заготовках и деталях.

1Ботвенко Сергей Иванович, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации машиностроения, тел.: 89025610151, e-mail: bsll110@yandex.ru

Botvenko Sergey, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Automation of Mechanical Engineering, tel.: 89025610151, e-mail: bsll110@yandex.ru

2Огнёв Игорь Анатольевич, кандидат технических наук, доцент кафедры высшей математики, тел.: 89149426951, e-mail: ognev@istu.edu

Ognev Igor, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of High Mathematics, tel.: 89149426951, e-mail: ognev@istu.edu

Рассмотрим цилиндр высотой Ь, в котором в результате закалки наведены остаточные напряжения. В системе координат, принятой на рис. 1, распределение остаточных напряжений по сечению цилиндра в плоскости Ъ0У можно описать зависимостью вида

о

о (

п 4

6 2 6 Ч

— У--У +1),

^ Б 7

Б

где оП- остаточные напряжения на поверхности цилиндра; О - диаметр цилиндра.

Следует отметить, что выражение (1) справедливо для любого радиального сечения цилиндра в плоскости Ъ0У. Следовательно, объемным представлением распределения остаточных напряжений в цилиндре будет параболоид вращения. Перенесем начало системы координат таким образом, чтобы ось Ъ совпадала с продольной осью симметрии цилиндра, а оси симметрии его поперечного сечения соответственно совпадали с осями X и У, при этом направление осей координат остается неизменным (рис. 2).

Рис. 1. Эпюра термических остаточных напряжений в цилиндре

Рис. 2. Распределение термических остаточных напряжений в цилиндре

В результате переноса начала координат уравнение (1) для пространственной системы координат примет

вид

6 , 6 6

00 = 0 (-г-у у . ,

гу п 4 Б Ъ Ъ

2 6 У +"6х2 -* +1)

_6 —

или

60

~0 ~ ~ гт // 2 „ — Б\/2 „б и~\ — — \

О0 =—П ((у2 -2 — у + — ) + ( х2 -2 — * + — )--+ — ).

7У и 2 4 4 2 4 у 2 6 у

2 тл2 тл2

После упрощений получим выражение вида

—2

60 4 гУ

п

О + 20 ) = (У - —2)2 + (х - — )2'

— ~2

После введения в выражение (4) значения обобщенных координат дальнейшая работа значительно упроща-

ется:

Ъ * *? *2 г = У + х

60

* ~ о ~ ^ . — — где 2 = 07У + 20 , У*= У--; х* = х--.

У ^ 2 2

Для параболоида вращения (см. рис. 2) найдем положение нулевой плоскости, отстоящей на расстоянии ^ от начала системы координат, относительно которой будет выполняться условие статического равновесия, а именно: объем в области сжимающих остаточных напряжений V будет равен объему в области растягивающих остаточных напряжений ¥2 , т.е. в силу начальной симметрии будет выполнено условие

Из уравнения (5) выразим 2 *:

Приравнивая получим

V = ¥2.

60П , 2 2 1 7 * =-— ( У *2 + х *2 ).

ъ2

7 = Ьц ,

6 0П , 2 2 , Ь =-г (У *2 + х *2 ).

ъ2

При этом величина г может быть найдена как

г =

60

Ь

из равенства

2 2 2 х2 + У2 = г .

Для вычисления объема спроецируем область на плоскость Х0У. Геометрически этот объем можно описать системой неравенств:

0 < х < г;

0 < у ;

7 *< 7 < Ь.

Согласно [8, 9] объем может быть найден с помощью двойного интеграла

п

п

V = Jdx J ( h—-а ( У2 + x2)) dy.

0 0

После вычисления внутреннего интеграла получим

DL

V = J (hi

2 2 r - x -

((r2 - x2)ir^

D

3

+ x2 -yjr2 - x2 )) dx.

Чтобы избавиться от иррациональности, используем тригонометрическую подстановку

о

х = r sin t; r dx = r cos t dt,

2 2 2 2 I 22 x = r sin t; r - x = r cos t; yjr - x = r cos t;

при x=0; t=0; x=r, t= n/2. .

После подстановки (13) в (12) имеем

— 3 3

и 6 ап Í r cos t u V = I ( h¡r cos t--l (-+ r sin t cos t)) r cos t dt.

0 D 3

Разбиваем на два интеграла

—

—

, 2 2 2 i 6&L 4 2 /COS41 2 2 \ ,

V1 = h1r2 I cos2 tdt--Lr4 I (-+ sin2 tcos2 t) dt,

0 D2 У 3

После применения формул понижения степени имеем — Г —

22 6а i 2-

V =

h r

J (1 + cos2t) dt--L r4

D

12 o

2

— J(l + 2cos2t + - + — cos4t)dt + - J(l-cos4t)dt. 22

.

После интегрирования выражения (17) получим

3—а

V— r4 —

1 4 4D

L r4, при r J-D-h ,

или

— за n2

V— = - (h—--L r2) r2, при r2 =—

1 4 1 d 2 6а

и окончательно

тг — D2 V1 = ^ T"Z hi.

8 6а

L

В свою очередь, проекция объема V2 на плоскость ХОУ представляет собой кольцо, поэтому объем V2 может быть найден как сумма двух объемов с соответствующими проекциями на плоскость ХОУ:

V2 = V^ + V22.

Геометрически объем V2— описывается системой неравенств:

o < x < r; ir2 - x2 < y D- - x2; h < z < z:

Аналогично для объема V2 имеем

2 ..2

r - x

r

o

2

0

0

L

L

D п r < x < —; 0 < y, 2 V

Интеграл для вычисления VI имеет вид

D2

- x ; h < z < z * •

2

2

ID

- x

r V 4

0 Js-Xc2 D После вычисления внутреннего интеграла получим

V' = jdx f_

V' = • 2

-t-3

D2_ 2

í (C (^ + W D - xo - JD - x2) -

0 Ъ 3

Г

0 Ъ 3

Для упрощения решения введем следующие обозначения. Первый интеграл в (25) обозначим

D2

D г2 , ,

- x 1^2 Гч2

т. = J

где r =

D h

К

ва

П

Второй интеграл в выражении (25) обозначим V2. Решение интегралов V1 и V2 упрощается с помощью тригонометрической подстановки

х = — sin t,

2

откуда

D2 2 D2 2 D2 2 D

--x = — cos t; J--x = — cos t;

4 4 V 4 2

dx = D cos t dt,

2

при следующих пределах интегрирования

D 2r

x = 0; t = 0; x = r; r = — sin t; t = arcsin —.

2D

В результате подстановки (27), (28) в уравнение (26) с учетом пределов интегрирования (29) получим . 2 r

arcsin — D з

D (—cos t) тл2 тл тл тл

f (60 п г 2 D . 2 D \ , D \ D 1

T = I (—П(-+ — sin2 t —cos t ) - fy — cos t ) —cos tdt.

i j \ D2 v 3 4 2 2 2

o D 342 2 2

После упрощений

D2 / Cj г — зо — — \

T=—

A. / " 7 J J

2r  2r  2r

arcsin— arcsin— arcsin—

2 D D D

D / ^ n f /1, ц f 2 ^___2 4 и f ___2

4 v 2 j 2

4 2 0 2 0 0

Решим интегралы, стоящие в скобках (31), отдельно:

• 2r • 2r

arcsin— arcsin—

- D 4 , г D A + cos 2t \2

cos tdt =

I (—

2

)2 dt.

0 0

После понижения степени и ряда преобразований интеграла (32) получим

• 2r arcsin—

г D 4 . 1/3 . 2r . . 2r4 1 . ^ . 2r \

cos га? = — (—arcsin--+sin(2arcsin—) + -sin(4arcsin—)).

J 4 v2 D D R D

D

D 8

D

0

Второй интеграл в выражении (31) может быть найден аналогичным образом

2r  2r

arcsin — arcsin —

f D — f D — 2r 1 2r

sin t cos tdt =— 4 sin t cos tdt = — arcsin---sin

J 4 J 8 D 32 D

Так же получим решение третьего интеграла в выражении

• 2r arcsin —

D

Í1, 2r 1 2r \

cos2 tdt = —

2V D 2 D

0

Подставив выражения (33), (34), (35) в исходное уравнение (31), запишем:

D2 / <П 13 . 2r .2r. 1 . 2гЛ 3<П 1

шл =— ( —П — (—arcsin—) + sin(2arcsin —) + — sin(4arcsin—)) н--П —

4 v 2 4 2 D D 8 D ' 28

/ . 2г 1 . . 2гч\ 1 / . 2г 1 . _ . 2т\\

(arcsin---sin ((4 arcsin —)) - h— ( arcsin--н—sin (2 arcsin —)).

v D 4 DJ 2V D 2 D

После упрощений выражение (36) примет вид

D2 \/ 3aL К\ • 2r (aL . (п • 2г \ aL . ( . . 2г \ I

Щ1 =Т L

Второй интеграл в уравнении (25) обозначим как

r а 2

D2 3

r / 2 2

* = I (а +x'J^F) - ) dr.

0

Опуская аналогичные, достаточно громоздкие выкладки при вычислении интеграла У2, запишем результаты интегрирования выражения (38) в виде

27я г4 3ж 67 п г4 ж , 2 ж 7П г43ж , 2 ж

Щ2 =-П--+-П---V- = ---^г-.

Б2 1 6 Б2 1 6 4 Б2 4 4

По выражению

Vl=vx-v2.

После подстановки (37) и (39) в выражение (40) получим

В2

VI =—

2 4

Ь

0П г 3- , 2

--+ Ь г2

Ъ2 4 П

14 • 2г , / ^ п «14 •

-)аГС81П — + (——-4Г)81П(2

агсБт

0п  (л — ) -~3281п(4

Б1П

По (21) определим второе слагаемое

Ъ

Ъ2

— 2

2 V 4 60 2 ггг (А

V2 = 1 Сх I (-#(У2+х2)-Ь)СУ = 1 (0(

С —2 -

2 — 2 2 - + х \--х

) -

- ь

—2 4

-х

) Сх.

Как и в предыдущем случае, решение выражения (42) упрощается с введением тригонометрической подстановки:

— . В2 2 Ъ2 2,

х = — Б1П г;--х = — соб г;

2 4 4

—2 2 — —

--х = — соб г; ах = — соб г аг,

422

в пределах

Ъ . .2 г

х = г; г =—Б1Пг; г = агсБ1П — ;

2 Ъ

х = 2 ; = 2 .

Замена переменных приводит выражение (42) к виду

- — ч3

2 с^гт (—соб г )3

. 2г агсБ1п —

Ъ

— . . 2 и \ , и \ и

--+

3 2 2 7 2 7 2

и

и

и

Дальнейшая методика расчетов и преобразований выражения (45) аналогична описанной выше при вычислениях V1, поэтому мы ее опускаем и приводим конечное выражение для величины V22 :

Ъ20п/3- 3 . 2г . . 2г 1 . . 2гЛ 3Ъ20П — . 2г

V =-п (---агсБ1п--б1п( 2 агат —) — б1п (4 агат —)) +--п (--агат--+

32 4 2 Ъ — 8 Ъ 64 2

Ъ

1 • /„ • 2гч\ Ъ Ь /- . 2г 1 . . 2гч\

+ — Б1П (4 агат —))--1 (--агат---б1п (2 агат —)).

4 — у 8 2 Ъ 2 Б '

Складывая согласно (20) полученные выражения (41) и (46), окончательно имеем:

8

4

2

3

4

*=^

2 4

3ап h, 2r /ап hi , . 2r , ап . 2r ,

[ 8 2 D [ 8 4 7 У D7 32 [ D 7

а-п r4 3л 2 л D2an ,3л 3 2r 2r 1 2r ,

------+ mr--\--(---arcsin--sin ( 2 arcsin — )--sin ( 4 arcsin — )) + /¿-?\

D2 4 1 4 32 [ 4 2 D D 8 D

3D2 ап л 2r 1 2r > D2h, л 2r 1 2r ,,

+--

64 2 D 4 D 8 2 D 2 D

После упрощений

3лап 4 , л 2 3л Dan лD2h

V =--П r + h—r +-п----

2 4D2 4 64 16

Подставим значение r по выражению (26), после упрощений окончательно получим

л D2 ,2 л D2 3л D2an

V =-h--h +-п.

2 48 а 16 64

Подставив в условие (6) выражения (20) и (49), запишем:

л D2 2 л D2 ,2 л D2 , 3л D2an

--h =-h--h +-п.

8 6а 48а 16 64

После преобразований получим равенство вида

h = 3а„.

Таким образом, определено положение нулевой плоскости, относительно которой соблюдается условие статического равновесия объемов в области растягивающих и сжимающих остаточных напряжений в параболоиде вращения (рис. 2) . Следует отметить, что геометрические построения как образующей параболы по уравнению (1.2), так и параболоида вращения для конкретных размеров цилиндра не составляют особого труда.

Представленная в рамках данной статьи работа проводится при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (Минобрнауки России) в рамках комплексного проекта «Разработка и внедрение комплекса высокоэффективных технологий проектирования, конструкторско-технологической подготовки и изготовления самолета МС-21», шифр 2010-218-02-312.

Библиографический список

1. Пашков А.Е. Технологические связи в процессе изготовления длинномерных листовых деталей. Иркутск: 2005. 138 с.

2.Каргапольцев С.К. Остаточные деформации при фрезеровании маложестких деталей с подкреплением. Иркутск, 1999. 136 с.

3. Zamashchikov Y.I. Machining residual stresses and part distortions. IJMMM, 2007. Vol. 2. № 3/4. Р. 378-412.

4. Ботвенко С.И. Остаточные напряжения и деформации при изготовлении деталей типа пластин с подкреплениями. Иркутск, 2012. 132 с.

5. T.D. Marusich, D.A. Stephenson, S. Usui, S. Lankalapalli Modeling Capabilities for Part Machined Components.Third Wave Systems, Inc. 7900, MN 55439.

6. Prime M.B., Hill M.R. 2002, Residial stress, stress relief and inhomogeneity in aluminum plate. Scripta Materialia 46, 77-82.

7. Younger M.S., Eckelmeyer K.H. Overcoming Residual Stresses and Machining Distortion in the Production of Aluminum Satellite Boxes. Sandia National Laboratories, SAND 2007. 6811

8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. 544 с.

9. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3 т. Т. 1, М.: Высш. шк. 1988. 712 с.