О методике расчета электромагнитного поля кабеля

УДК 537.872

В. Е. Пониматкин, А. А. Шпилевой, В. Л. Евстратов

О МЕТОДИКЕ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ КАБЕЛЯ

Предложена методика приближенного расчета компонент электромагнитного поля, создаваемого кабельной системой. Такой подход способствует эффективному решению проблемы электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств в широком диапазоне изменений параметров кабельных структур.

This article presents a method for approximate calculation of the components of an electromagnetic field produced by a cable system. This approach contributes to an efficient solution to the problem of electromagnetic compatibility of radioelectronic equipment in a wide range of cable structure parameters.

Ключевые слова: дипольный источник, заземленные отрезки кабеля, квазистационарное электромагнитное поле.

Key words: dipole source, grounded cable lengths, quasi-stationary electromagnetic field.

45

В задачах по оценке электромагнитной совместимости радиоэлектронных средств зачастую возникает вопрос определения уровней электромагнитных полей, создаваемых у поверхности земли токами, протекающими в кабельных структурах. Традиционный алгоритм расчета [1] на практике может быть использован не всегда. Иногда возникает потребность многократных вычислений, что приводит к значительным затратам времени. Использование рекомендованных таблиц затруднено ввиду определенных условий нормировки, связанных со спецификой задач электропрофилирования. Обилие параметров в таблицах приводит к необходимости выбора крупного шага, препятствующего уверенному интерполированию. Во многих случаях вопрос оценки численных значений электромагнитного поля предшествует точному расчету или заменяет его. Исходя из вышесказанного, апробируем для решения задачи приближенную методику.

Рассмотрим случай прямолинейного провода, заземленного по концам (рис. 1). Используем принятую в [1] систему обозначений, считая, что нижнее полупространство (Ъ < 0) представляет собой однородную

среду с удельной проводимостью О и магнитной проницаемостью /Л0.

Квазистационарное поле в точке М (х,у) на поверхности земли описывается уравнениями:

© Пониматкин В. Е., Шпилевой А. А., Евстратов В. Л., 2015

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 4. С. 45 — 50.

ЕЕ х = -

^Х

2жа

£ + х £ - х г 1 - (1 + кг) - е-к-г ,

—^ + I ——И-¿Ц

Еу =

I-У

2ло

1 1

3 + 3

46

Н х =

2п

у -I, Г ^1- г, Г ^ л Г КI-г,

2 11 о Г2 ^ 2

21 г \ 2

н у = гИ'

г1 2

£ + х Г кг ] Г кг ] £ - х Г кг2 ] „ Г кг2

111-I-К1 ——

г2 -11 {ТК {Тг* -1 2

2 £

+

+

£ 1 [I „ {* к. {^ Л-12 Г ^к2 ( ^

I-У г3 - (3 + 3кг + к2г2)-е-к-'

Н Т =

2ж- к2

- ¿ц,

где г = л/ (и -

- ц)2 + у2 , ц — текущая координата на кабеле;

г =4(£ + х)2 + у2; г =

У(£-х)2 + у2 ; 10,11,12,К0,К1,К

фицированные функции Бесселя, к = ^ — волновое

- МоДИ-число земли.

г

г

г

2

5

г

Рис. 1. Геометрическое представление задачи

Заметим, что результат может быть представлен в виде геометрической суммы полей двух однотипных заземленных отрезков кабеля с длинами (£ + х) и (£ - х) . Сходство этих полей в том, что в обоих случаях они определяются на перпендикуляре, опущенном на конец отрезка. Это простое соображение позволяет ограничиться исследованием случая, изображенного на рисунке 2.

47

Рис. 2. Упрощенное геометрическое представление решаемой задачи

Тогда формулы (1) принимают вид:

Ех ="

2жг • у

008Р^т2 Р + | [1 -(1 + кг)• ехр(-кг)]Сю1;

ЕУ =

У о 2

2па^ у

• (1 - 8т3 Р);

Нх =

2я--у

1,| кУ]• к/ку|-йп2р.1,

28Шр] I 28ШР

НУ =

2ж. у

8Ш Р • 008 Р • 11

к2у2 00-Р

ку

\

8

I [I

ч 28Ш Р

кг

К

(

ку

28Ш Р

01 2 ]'Ко I 2) 12 (2)К [ 2 / (1 - и2)32

СЮ

Н 2 =

I

008 Р

3 - (3 + 3кг + к2г2) • е-к4

2п • у

• СЮ,

где г =

у

л/1-

Комплексные функции, описывающие в (2) значения ЕХ, ЕУ, Нх, НУ, Нг зависят от двух переменных Р и ку, что упрощает их аналитическое и численное исследование, а кроме того, позволяет существенно сократить объем таблиц, необходимых для расчета поля, так как таблицы [1], составленные по формулам (1), зависят от трех параметров.

Приближенное выражение для величины Ех можно получить, исследуя численные значения интеграла, входящего в первое уравнение системы (2). Семейство фазовых диаграмм рассчитывается по формуле

+

• <

5

г

2

48

~ cos ß

Q(k0y, cos ß) =--í [1 - (1 + kr) • exp(-kr)] • dU,

V 0

где k0 = J^; r = (1 - jk0y .

0 V 2 71-и2 Очевидно, что

Q(k0y, cosß) » cosß • Q'(k0y),

Q(k 0 y) = -i— J [1 - (1 + kr) • exp(-kr )]• dU

1 - Лу-^,

где ^(к о у) = ---ш - (, + кг) - ехр(-кг )j - аи =---.

Ко у 0 к о у

Снижение точности вычисления 0(Коу, cos по приближенной формуле при К0 у ^ 0 компенсируется в выражении для Е большим весом вне интегрального члена. Таким образом,

Ех «-2^4'(sin2ß+1 -ky-K,(ky)).

Используем приближенное выражение интеграла Карсона [2], описывающего электрическое поле бесконечной линии. Тогда

(1 -ky • K(ky)) «-f- ln(1 + —).

^ •ind +-^4 4 V k2 y

Таким образом,

I I- cosß , . 2 o k y 4

EX ---(sin ß + -^n(1 + .

2n—- y 4 k y

Выражение для расчета EY не нуждается в упрощении.

Для получения приближенных выражений горизонтальных составляющих магнитного поля, используя способ «предельных точек» [3],

1 п запишем: I1(Z)K1(Z) «— . При этом для arg Z =— погрешность

2V1+Z2 4

в определении модуля не превосходит 8 %. Формула для вычисления HX приобретает вид:

1 1 sin3 ß

HX «--( ----^ =).

y J4 + k2y2) ^sm2 ß + k2y2

Вычисление Н является наиболее трудоемким из всех прочих составляющих, поскольку в его состав входит выражение:

' {/' • (т Ь' (Т)-' 2 (т) к 2 (кТ ЬЗг}

Введем замену переменных ^L = z

2

2

U = j Z 2 - *У- / z

учитывая,

что 10 (Z)K0 (Z) -12 (Z)K2 (Z) = -- [/1 (Z)K (Z)] Z.

Тогда

1=ky Д/(Z) K.(Z)]'

dZ

4 I1(Z)Kj(Z) 4 rI1(Z)Kj(Z)ZdZ

Z2 -

k2 y2

ky

Z2 -

k2 y2

- P

( z 2 - )32

Выполняя замену произведения функций Бесселя приближенным выражением, после ряда преобразований получим:

i=—.

Z 2 - kizi

ky (4 + k2y2)л/1 + Z2

Используя способ «предельных точек» для функции двух переменных, получаем выражение:

H y

I

cos Р

(

2 + -

k2 y2 sin2 Р

2,,2

Л

2ny (4 + k2y2) I 4sin2 Р + k2y

Приближенные решения для электромагнитного поля, создаваемого током прямолинейного проводника конечной длины, при k ^ 0 переходят в равенства, справедливые для провода, питаемого постоянным током. При больших значениях |ky| они вырождаются в формулы, совпадающие с результатами, полученными из точного решения (1).

При cos Р ^ 0 и cos Р ^ 1 получаем приближенные выражения для поля дипольного источника и полубесконечной линии соответственно. В частности, для полубесконечной линии имеем:

H X

2ny^j 4 + k

Г, H y

kl

+ k 2 y2

При этом H X = H2 + H Z;

Н

Н 7

4 + k2 y2

=ky = 2 .

H v

I

ny

44+k

+ k 2 y2

Проверка численных значений приближенных решений с помощью таблиц [1] показала, что погрешность не превышает ± 10 %, и это соответствует единицам градусов по углу.

Таким образом, полученные приближенные решения охватывают всю область изменений исходных параметров и могут быть использованы для решения прикладных задач, связанных с оценкой электромагнитной совместимости [4] радиоэлектронных средств и систем.

49

4

50

Список литературы

1. Вешев А. В. Электропрофилирование на постоянном и переменном токе. Л., 1990.

2. Костенко М. В. Взаимные сопротивления между воздушными линиями с учетом поверхностного эффекта в земле// Электричество. 1955. № 10. С. 53 — 65.

3. Костенко М. В. Приближенная аппроксимация монотонных функция способом «предельных точек»// Известия вузов: Энергетика. 1958. № 9. С. 28 — 41.

4. Пониматкин В. Е., Шпилевой А. А., Типикин А. А. Способ укорочения антенны включением преобразователя импедансов в плечо вибратора // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. № 4. С. 74 — 81.

Об авторах

Виктор Ефимович Пониматкин — канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: VPonimatkin@kantiana.ru

Андрей Алексеевич Шпилевой - канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: AShpilevoi@kantiana.ru

Вячеслав Леонидович Евстратов — ст. преп., филиал ВУНЦ ВМФ ВМА, Калининград.

E-mail: VPonimatkin@kantiana.ru

About the authors

Dr Viktor Ponimatkin, Senior Research Fellow, Associate Professor, I. Kant Baltic Federal University.

E-mail: VPonimatkin@kantiana.ru

Dr Andrey Shpilevoy, Associate Professor, I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: AShpilevoi@kantiana.ru

Vyacheslav Evstratov, Assistant Professor, Branch of the Naval Academy, Kaliningrad.

E-mail: VPonimatkin@kantiana.ru.