Предисловие редактора номера

Предисловие редактора номера

А. М. Райгородский

Настоящий номер посвящен нескольким актуальным разделам дискретной математики. Разумеется, это лишь небольшая часть современного комбинаторного анализа. Номер состоит из четырех разделов, в каждом из которых мы публикуем статьи по определенной тематике. Так, первый раздел номера посвящен теории случайных графов и их приложениям; во втором разделе речь идет о классической проблеме Борсука в комбинаторной геометрии; в третьем разделе собраны статьи о проблемах, связанных с раскрасками метрических пространств и дистанционных графов; в четвертом разделе изучаются гиперграфы. Каждому разделу предпосылается краткий обзор, в котором отражена история и нынешнее состояние проблематики этого раздела. Таким образом, мы не только рассчитываем собрать вместе небольшое количество работ сотрудников и аспирантов нашей кафедры — кафедры Дискретной математики ФИВТ, — но еще и надеемся познакомить читателя с тем контекстом, в котором ведутся некоторые из наших исследований.

1. Случайные графы

В первом разделе номера представлены работы, которые посвящены такой важной и богатой приложениями области дискретной математики, как теория случайных графов.

По-видимому, идея применить вероятностную технику для решения задач теории графов, будучи весьма естественной, так или иначе возникла в работах классиков XVIII—XIX века. Однако серьезную самостоятельную математическую дисциплину на основе этой идеи начали строить лишь в конце 50-х годов ХХ столетия. Основоположниками этой дисциплины, которая и называется теперь теорией случайных графов, выступили П. Эрдеш и А. Реньи, опубликовавшие серию ключевых работ [1—3]. В этих работах Эрдеш и Реньи рассмотрели две близких модели случайного графа. Первую модель обозначают С(и,М), вторую — С(и,р).

В обеих моделях Эрдеша—Реньи речь идет о вероятностном пространстве, в котором элементарные исходы — это графы без петель, кратных ребер и ориентации, имеющие и вершин. В первом случае изучают только графы с М ребрами, и вероятность каждого из этих графов полагают равной 1/6^2. Во втором случае число ребер у графов не

Сп

фиксировано, но каждое ребро графа возникает независимо ото всех остальных ребер с вероятностью р.

За последние десятилетия появилось огромное количество литературы о случайных графах в моделях Эрдеша—Реньи. Укажем лишь несколько книг: [4—8]. Тем не менее, во многих приложениях эти модели мало применительны. А потому исследуются альтернативные модели, которые призваны описывать зарождение и рост тех или иных «реальных» структур. Например, речь может идти о больших сетях типа социальных, биологических, транспортных. Среди этих сетей особое место занимает Интернет. И построению адекватных моделей его развития посвящены многочисленные работы специалистов в данной области. Здесь стоит процитировать книги [4, 8—10] и обзорные статьи [11, 12].

Еще один важный раздел современной теории случайных графов составляют модели так называемых случайных геометрических графов. С одной стороны, рассматривают такую типичную ситуацию: в многомерном кубе выбирается и независимых равномерно распределенных случайных точек, и точки соединяются ребрами, если и только если расстояние между ними не превосходит некоторой наперед заданной величины. Подоб-

ные графы играют огромную роль как в комбинаторной геометрии, так и, опять же, в моделировании различных сетей (см. [13]).

Наконец, интерес представляют обобщения модели Эрдеша—Реньи, которые устроены следующим образом. Фиксируется некоторый граф Н = (V, Е), а затем ребра этого графа удаляются независимо друг от друга с одной и той же вероятностью. Понятно, что если Н — полный граф на п вершинах, то мы возвращаемся к классической модели. Иначе мы имеем более общую и на самом деле более естественную модель. Например, если Н — некоторая «реальная» сеть — граф дорог, система телефонных линий, Интернет и пр.,— то удаление ребер в ней — это уничтожение связей, которое может разрушить сеть, и тогда вопрос о свойствах соответствующего случайного графа — это вопрос о том, как будет вести себя сеть в случае возникновения помех (скажем, вопрос о связности — это вопрос о надежности сети). Описанные случайные графы изучают и в ситуациях, когда исходные графы Н, подвергаемые разрушению, имеют геометрическое происхождение. Это совсем другого типа случайные геометрические графы, нежели графы, о которых мы говорили выше. Тем не менее и они играют значительную роль в комбинаторной геометрии (см. [4, 8]).

Статьи, которые мы публикуем в этом разделе номера, посвящены всем указанным направлениям теории случайных графов.

В первой статье исследуется вопрос о связности случайного дистанционного графа, который является частным случаем геометрического графа «второго типа». Мотивировкой для рассмотрения именно такого графа служат задачи Борсука и Нелсона—Эрдеша—Хадвигера. Это основополагающие задачи комбинаторной геометрии и теории геометрических графов, о которых мы подробнее скажем в разделах «Проблема Борсука» и «Хроматические числа пространств» этого номера.

Вторая статья связана с классическими графами Эрдеша—Реньи. В ней изучено свойство случайного графа содержать большие подграфы, которые изоморфны тем или иным графам диаметров на плоскости. Опять же, мотивировка для работы — это проблема Борсука, которая, по сути, связана как раз с раскрасками графов диаметров в пространствах.

Последние три статьи раздела относятся к теории случайных веб-графов, т.е. графов, призванных изображать Интернет (веб). Здесь изучены так называемые к-е входящие степени вершин веб-графа, его г-диаметр и некоторые арифметические свойства вторых степеней. Все это сделано для модели Боллобаша—Риордана (см. [4, 8—12]).

2. Проблема Борсука

Проблема Борсука, которой посвящен второй раздел номера, — это одна из самых важных проблем современной комбинаторной геометрии. Речь идет об отыскании величины f (п), равной минимальному количеству частей меньшего диаметра, на которые можно разбить произвольное множество диаметра 1 в пространстве Кга. Проблема была поставлена К. Борсуком в 1933 году (см. [14]). Борсук тогда спросил: верно ли, что f (п) = п + 1 ? Основания для вопроса были достаточно вескими. Во-первых, Борсук знал, что ответ на этот вопрос положителен при п ^ 2. Во-вторых, он также знал, что f (п) ^ п + 1. С одной стороны, это неравенство очевидно (достаточно взять множество вершин правильного п-мерного симплекса и сослаться на принцип Дирихле). С другой стороны, то же неравенство получается с помощью рассмотрения шара. Правда, тут доказательство основано на топологическом методе (см. [15, 16]), но зато нетрудно разбить шар на п +1 часть меньшего диаметра, а это означает, что для шара п + 1 и есть минимальное число частей меньшего диаметра, на которые он разбивается (равно, впрочем, как и для симплекса).

Короче, все эти обстоятельства привели Борсука к постановке вопроса, а многочисленных специалистов, которые вслед за ним занялись задачей, — к переименованию этого вопроса в «гипотезу Борсука». И вера в справедливость гипотезы была очень сильна (см., например, [17]).

Однако в 1993 году гипотеза была опровергнута. Первые контрпримеры построили Дж. Кан и Г. Калаи (см. [18]) во всех размерностях, начиная с n = 2015. При этом они

показали, что f(n) ^ (1.203... + о{1))^. Сейчас известно, что гипотеза верна при всех

n ^ 3 (см. [19]) и неверна при всех n ^ 298 (см. [20]). Кроме того,

(1.2255 ... + о( 1))^ ^ /(гг) ^ (1.224 ... + о(1))га.

Здесь нижняя оценка получена в [21], а верхняя — в [22] и [23].

Также известны различные частные результаты. Например, доказано, что любое множество диаметра 1, имеющее гладкую границу, разбивается на n +1 часть меньшего диаметра (см. [24]). Аналогичные результаты получены для центрально-симметричных множеств и для множеств, которые инвариантны относительно действия группы симметрий правильного n-мерного симплекса (см. [25]).

Далее, важный кусок современных исследований связан с тем, что практически все контрпримеры к гипотезе Борсука получены с помощью многогранников с вершинами в {0,1}n и в { —1, 0,1}n. С одной стороны, разбиением таких многогранников в малых размерностях занималась группа Г. М. Циглера в Германии, и им удалось показать, что при n ^ 9 контрпримеров с вершинами в {0,1}n нет (см. [26]). С другой стороны, в растущей размерности верхние оценки для минимального числа частей в разбиениях многогранников даже более общего вида (так называемых решетчатых многогранников) получал А. М. Райгородский (см., например, [27]).

Наконец, к гипотезе Борсука очень тесно примыкает следующая важная деятельность. Обозначим через

d (Ф, k) = inf {ж G R+ : Ф С Ф: U ... U Фк, Vi diam Ф; ^ ж}

точную нижнюю грань множества тех чисел ж, для которых существует разбиение данного множества Ф С на k частей с диаметрами, не превосходящими ж. Положим также

d (Ф, k) = inf {ж G R+ : Ф С Ф! U ... U Фк, V i V X,Y G Ф; p(X,Y ) = ж} .

Последняя величина мотивирована, скорее, задачей о хроматическом числе пространства, которая будет обсуждаться в разделе III номера, но здесь ее рассмотрение куда более уместно.

Положим

d(k, n) = sup d (Ф, k) , d;(k, n) = sup d! (Ф, k) ,

где супремумы берутся по всем множествам Ф С диаметра 1.

Даже при n =2 задача отыскания величин d(k, n), d;(k, n) крайне нетривиальна. Изначально ее поставил Х. Ленц (см. [28]), но большинство наилучших результатов в ней принадлежало до последнего времени В. П. Филимонову (см. [29]). Недавно был достигнут значительный прогресс в проблематике. Во-первых, В. В. Буланкина применила нетривиальное обобщение техники так назывемых универсальных покрывающих систем, предложенной в работах [30] и [31], и получила серьезное улучшение известных верхних оценок для d;(5, 2) и d;(6, 2). Во-вторых, дальнейшего улучшения добился Е. Ю. Воронецкий. В-третьих, Д. А. Белов и Н. А. Александров существенно уточнили прежние верхние оценки для d(6, 2). И первые три статьи второго раздела — это как раз статьи Буланкиной, Воронецкого и Александрова-Белова.

Стоит отметить, что, когда речь идет о разбиениях на части конечных множеств точек, разумно использовать теоретико-графовую терминологию. А именно, само множество интерпретируют как множество вершин графа, ребра которого — пары точек, отстоящих друг от друга на максимальное расстояние в множестве. Наукой о свойствах получающихся таким образом графов (так называемых графов диаметров) очень много занимались (см. [32]). И с этой наукой связана вторая статья первого раздела.

Другие аспекты проблематики можно найти в [17, 19, 25, 33—38].

Итак, первые три статьи второго раздела связаны с разбиениями множеств на части заданного диаметра и без данного расстояния. В четвертой статье обсуждаются интересные обобщения проблемы Борсука на случай, когда вместо обычного вещественного евклидова пространства рассматривается его рациональное подпространство Qn с той же евклидовой метрикой. А в пятой статье изучена проблема Борсука для многогранников с вершинами в {0,1}n и в {-1, 0,1}n. Новым способом передоказаны результаты Циглера и получены принципиально новые результаты для случая { —1, 0,1}n.

3. Хроматические числа пространств

Этот раздел посвящен еще одной классической проблеме комбинаторной геометрии — проблеме, не менее актуальной, нежели проблема Борсука, о которой шла речь в предыдущем разделе. В 1950 году Э. Нелсон предложил посчитать величину x(Rn), называемую сейчас хроматическим числом пространства и равную минимальному количеству цветов, в которые можно так покрасить все точки Rn, чтобы между одноцветными точками не было расстояния 1. Несколько раньше Хадвигер занимался очень близкой проблематикой (см. [39]). Поэтому проблема отыскания хроматического числа пространства носит имена обоих математиков.

Относительно проблемы Нелсона-Хадвигера имеется огромное количество результатов (см. [32, 35, 37, 40—45]). Перечислим лишь основные аспекты данной науки, отсылая заинтересованного читателя к указанным источникам.

Во-первых, практически ни одного точного значения величины x(Rn) не известно. Мы знаем лишь, что x(R!) = 2, и это все! Существует большое количество работ о хроматическом числе плоскости (см. ]45]) и о хроматических числах других пространств небольшой размерности. Наилучшие на сегодняшний день нижние и верхние оценки таких хроматических чисел приведены в статьях [35] и [37].

Во-вторых, изучались оценки хроматических чисел в растущей размерности. Наилучшие из них таковы:

(1.239 ... + o(1))n ^ x(Rn) ^ (3 + o(1))n.

Нижняя оценка получена в работе [46], а верхняя в работе [47].

В-третьих, много внимания было уделено и продолжает уделяться обобщениям понятия хроматического числа пространства. С одной стороны, вместо рассматривали произвольные метрические пространства. С другой стороны, одноцветным точкам запрещали отстоять друг от друга не только на расстояние 1, но и на каждое расстояние, величина которого принадлежит прозвольному множеству положительных вещественных чисел. Обо всем этом можно почитать в обзорах [35] и [44].

Далее, как и проблема Борсука, задача Нелсона-Хадвигера тесно связана с теорией графов. Назовем графом расстояний или дистанционным графом любой граф G = (V, E), у которого V С Rn, а E — это множество пар точек, отстоящих друг от друга на расстояние 1. Разумеется, аналогичное определение можно дать в случае любого метрического пространства и множества «запрещенных» расстояний. Ясно, что x(Rn) = maxx(G), где

максимум берется по всем графам расстояний в Ега, а х(С) — это хроматическое число графа, равное наименьшему количеству цветов, в которые можно так покрасить его вершины, чтобы одноцветные вершины не были соединены ребрами. Более того, максимум достигается на некотором конечном дистанционном графе, коль скоро мы принимаем аксиому выбора (см. [48]). В итоге свойства графов расстояний столь же интересны, как и свойства графов диаметров из раздела II. О них можно узнать, например, из книги [32].

Наконец, изучаются аналоги хроматических чисел в ситуациях, когда на множества одноцветных точек в раскраске накладываются некоторые ограничения (помимо отсутствия в них точек на данном расстоянии). Главное из таких ограничений — измеримость по Лебегу. О нем говорится, например, в книге [32] и обзорах [35, 44].

В этом разделе сборника представлены три статьи. Первая из них связана с отысканием больших измеримых множеств в пространствах размерности ^ 8, которые свободны от расстояния 1. Во второй статье строятся графы расстояний, у которых одновременно большое хроматическое число и нет клик большого размера. Третья статья посвящена хроматическому числу пространства Qn и его нетривиальным аналогам.

4. Раскраски гиперграфов

Наука о раскрасках гиперграфов, которой посвящен четвертый раздел, необозрима и исключительно важна как для теории, так и для приложений. Здесь мы дадим лишь основные определения и сформулируем ту конкретную задачу, которую решают авторы статей, публикуемых в разделе.

Прежде всего напомним, что гиперграфом называется пара Н = (V, Е), где V — некоторое (как правило, конечное) множество, называемое множеством вершин гиперграфа, а Е = Е(Н) — произвольная совокупность подмножеств множества V, называемых ребрами гиперграфа. Гиперграф является и-однородным, если каждое его ребро содержит ровно п вершин. Частным случаем однородного гиперграфа служит, разумеется, обыкновенный граф (без петель, кратных ребер и ориентации).

Раскраска множества вершин V(Н) гиперграфа Н называется правильной, если в этой раскраске все ребра из Е(Н) неодноцветны (содержат вершины обоих цветов). Хроматическим числом гиперграфа Н называется минимальное число х(Н) цветов, требуемое для правильной раскраски вершин этого гиперграфа.

Нетрудно понять, что если при данном п количество ребер в п-однородном гиперграфе достаточно мало, то такой гиперграф заведомо двудолен (т.е. его хроматическое число равно двум). Исходя из этого простого соображения, П. Эрдеш и А. Хайнал в 1961 году (см. [49]) предложили найти величину т(п), равную минимальному числу ребер гиперграфа в классе п-однородных гиперграфов с хроматическим числом, большим двух. Иными словами,

т(п) = тт{|Е(Н)| : Н — п-однородный гиперграф, х(Н) > 2} .

Естественное обобщение задачи Эрдеша-Хайнала было предложено в 1972 году М. Херцогом и Й. Шёнхаймом (см. [50]), которые определили величину т(п, г), равную минимальному числу ребер гиперграфа в классе п-однородных гиперграфов с хроматическим числом, большим г. Иначе говоря,

т(п, г) = тт {|Е(Н)| : Н — п-однородный гиперграф, х(Н) > г} .

Ясно, что т(п) = т(п, 2).

Многочисленные известные результаты, касающиеся величины m(n, r) и ее разнообразных обобщений, а также большое число смежных задач можно найти в обзорах [51] и [52].

Первая статья этого раздела посвящена доказательству нового достаточного условия того, что для неоднородного гиперграфа H выполнено неравенство x(H) ^ г. Во второй статье ищутся новые рекуррентные верхние оценки для классической величины m(n) при малых n. Наконец, в третьей статье рассматриваются так называемые гиперграфы-клики, т.е. гиперграфы, у которых ребра попарно пересекаются.

Заметим, что о гиперграфах можно почитать, в частности, в статьях и книгах [53—56].

Литература

1. Erdos P., Renyi A. On random graphs I // Publ. Math. Debrecen.— 1959.— V. 6.— P. 290-297.

2. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Publ. Math. Inst. Hungar. Acad. Sci.—1960.—V. 5.—P. 17—61.

3. Erdos P., Renyi A. On the evolution of random graphs // Bull. Inst. Int. Statist. Tokyo.— 1961.-V. 38.-P. 343-347.

4. Bollobas B. Random Graphs.— Cambridge Univ. Press, 2001.

5. Alon N., Spencer J. The probabilistic method // Wiley-Interscience Series in Discrete Math. and Optimization, 2000.

6. Janson S., Luczak T., Rucinski A. Random graphs.—New York: Wiley, 2000.

7. Колчин В. Ф. Случайные графы.— М.: Физматлит, 2002.

8. Райгородский А. М. Модели случайных графов.—М.: МЦНМО, 2011.

9. Райгородский А. М. Экстремальные задачи теории графов и анализ данных.— М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2009.

10. Durrett R. Random graph dynamics.— Cambridge, 2007.

11. Bollobas B., Riordan O. M. Mathematical results on scale-free random graphs. Handbook of graphs and networks.— Wiley-VCH, Weinheim, 2003.— P. 1-34.

12. Райгородский А.М. Модели случайных графов // Труды МФТИ. — 2010. — Т. 2, № 4 (8).-С. 130-140.

13. Penrose M. Random Geometric Graphs.— Oxford Studies in Probability, 2003.

14. Borsuk K. Drei Satze uber die n-dimensionale euklidische Sphare // Fundamenta Math.— 1933.-V. 20.-P. 177-190.

15. Matousek J. Using the Borsuk—Ulam theorem.— Berlin: Springer, 2003.

16. Райгородский А. М. Гипотеза Кнезера и топологический метод в комбинаторике. — М.: МЦНМО, 2011.

17. Болтянский В. Г., Гохберг И. Ц. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М: Наука, 1965.

18. Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk’s conjecture // Bulletin (new series) of the AMS. — 1933. — V. 29, N 1. — P. 60-62.

19. Райгородский А. М. Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств // УМН. — 2001.— Т. 56, вып. 1. — С. 107-146.

20. Hinrichs A. Spherical codes and Borsuk’s conjecture // Discr. Math. — 2002. — V. 243.

— P. 253-256.

21. Райгородский А. М. Об одной оценке в проблеме Борсука // УМН. — 1999. — Т. 54, вып. 2. — С. 185-186.

22. Schramm O. Illuminating sets of constant width // Mathematika. — 1988. — V. 35. — P. 180-189.

23. Bourgain J., Lindenstrauss J. On covering a set in Rd by balls of the same diameter // Lecture Notes in Math. — 1991. — V. 1469. — P. 138-144.

24. Hadwiger H. Uberdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers // Comm. Math. Helv. — 1945/46. — V. 18. — P. 73-75.

25. Райгородский А. М. Вокруг гипотезы Борсука // Итоги науки и техники.— Сер. «Современная математика». — 2007. — Т. 23. — С. 147-164.

26. Ziegler G.M. Coloring Hamming graphs, optimal binary codes, and the 0/1-Borsuk problem in low dimensions // Lect. Notes Comput. Sci. — 2001. — V. 2122. — P. 159-171.

27. Райгородский А. М. Проблемы Борсука и Грюнбаума для решетчатых многогранников // Известия РАН. — 2005. — Т. 69, № 3. — С. 81-108.

28. Lenz H. Zerlegung ebener Bereiche in konvexe Zellen von moglichst kleineren Durchmesser // Jahresbericht d. DMV Bd. — 1956. — V. 58. — P. 87-97.

29. Филимонов В. П. О покрытии плоских множеств // Матем. сборник. — 2010. — Т. 201, № 8. — C. 127-160.

30. Райгородский А. М., Калнишкан Ю. А. О проблеме Борсука в R3 // Матем. заметки.

— 2003. — Т. 74, № 1. — С. 149-151.

31. Купавский А. Б., Райгородский А. М. О разбиении трехмерных множеств на пять частей меньшего диаметра // Матем. заметки. — 2010. — Т. 87, № 2. — С. 208-219.

32. Brass P., Moser W., Pach J. Research problems in discrete geometry. — Berlin: Springer, 2005.

33. Raigorodskii A. M. Three lectures on the Borsuk partition problem // London Mathematical Society Lecture Note Series. — 2007. — V. 347. — P. 202-248.

34. Raigorodskii A. M. The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary // Math. Intelligencer. — 2004. — V. 26, N 3. — P. 4-12.

35. Raigorodskii A. M. Coloring distance graphs and graphs of diameters // in a collection of papers, ed. J. Pach, 2012.

36. Райгородский А. М. Проблема Борсука. — М.: МЦНМО, 2006.

37. Райгородский А. М. Избранные задачи комбинаторной геометрии и теории графов // Труды МФТИ. — 2011.-Т. 3, № 4.-С. 127-139.

38. Boltyanski V. G., Martini H., Soltan P. S.. Excursions into combinatorial geometry. — Berlin: Springer, 1997.

39. Hadwiger H. Ein Uberdeckungssatz fur den Euklidischen Raum // Portugaliae Math. — 1944. — V. 4. — P. 140-144.

40. Райгородский А. М. Хроматические числа. — М.: МЦНМО, 2003.

41. Райгородский А. М. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. — М.: МЦНМО, 2007.

42. Agarwal P. K., Pach J. Combinatorial geometry. — New York: John Wiley and Sons Inc., 1995.

43. Klee V., Wagon S. Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory.

— Math. Association of America, 1991.

44. Szekely L. A. Erdos on unit distances and the Szemeredi-Trotter theorems // J. Bolyai

Math. Soc. — 2002. — V. 11. — P. 649-666.

45. Soifer A. The Mathematical Coloring Book. — Springer, 2009.

46. Райгородский А. М. О хроматическом числе пространства // УМН. — 2000. — Т. 55,

вып. 2. — С. 147-148.

47. Larman D. G., Rogers C. A. The realization of distances within sets in Euclidean space // Mathematika. — 1972. — V. 19. — P. 1-24.

48. de Bruijn N. G., Erdos P. A colour problem for infinite graphs and a problem in the theory of relations // Proc. Koninkl. Nederl. Acad. Wet. Ser. A. — 1951. — V. 54, N 5. — P. 371-373.

49. Erdos P., Hajnal A. On a property of families of sets // Acta Mathematica of the Academy of Sciences, Hungary.—1961.—V. 12, N 1—2.—P. 87-123.

50. Herzog M., Schonheim J. The Br property and chromatic numbers of generalized graphs // J. Combinatorial Theory, Series B. — 1972.—V. 12.—P. 41-49.

51. Kostochka A. V. Color-Critical Graphs and Hypergraphs with Few Edges: A Survey // More Sets, Graphs and Numbers. Bolyai Society Mathematical Studies, eds. E. Gyori, G. O. H. Katona, L. Lovasz.— V. 15.— Springer, 2006.— P. 175-198.

52. Райгородский А. М., Шабанов Д. А. Задача Эрдеша-Хайнала о раскрасках гиперграфов, ее обобщения и смежные проблемы // УМН. — 2011.— Т. 66, вып. 5.— С. 109-182.

53. Зыков А. А. Гиперграфы // УМН. — 1974.— Т. 29, вып. 6.— С. 89-154.

54. Berge С. Graphes et hypergraphes.—Paris: Dunod, 1970.

55. Bollobas B. Combinatorics: Set Systems, Hypergraphs, Families of Vectors and Combinatorial Probability.— Cambridge Univ. Press, 1986.

56. Gross J. L., Yellen J. Handbook of Graph Theory.—CRC Press, 2004.