Эффекты размера в спектре ридберговских состояний наночастиц

УДК 535.341+539.186.3

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 1 (59). 2014. Вып. 2

Г. В. Жувикин

ЭФФЕКТЫ РАЗМЕРА В СПЕКТРЕ РИДБЕРГОВСКИХ СОСТОЯНИЙ НАНОЧАСТИЦ

Санкт-Петербургский государственный университет, 199034, Санкт-Петербург, Российская Федерация

Исследована квантовая задача взаимодействия электрона с положительно заряженной металлической сферической наночастицей. В зависимости от размера, зарядового состояния и орбитального углового момента изучены ридберговские состояния, образованные кулонов-ским потенциалом заряженной наночастицы и поляризационным потенциалом изображения с учётом центробежного члена. Изучен характерный вид потенциальной кривой и волновой функции в этих условиях. В общем случае потенциальная кривая обнаруживает две ямы, разделённые барьером. Высота барьера зависит от размера наночастицы, заряда и орбитального момента. Существует пороговое значение размера наночастицы, выше которого двойная потенциальная яма превращается в одинарную. Показано существование области параметров, когда состояния изображения существенно взаимодействуют с кулоновскими состояниями. Явление сопровождается немонотонным изменением энергии электронных состояний в зависимости от размера наночастиц в области 2—20 нм, когда энергия связи электрона может увеличиваться с ростом размера кластера. Библиогр. 31 назв. Ил. 8.

Ключевые слова: наночастица, размерный параметр, электронные состояния, ридбергов-ские состояния, потенциал изображенния, поляризационный потенциал, кулоновские состояния, наносфера, энергия связи электрона, кластер, квантовая задача.

G. V. Zhuvikin

THE SIZE EFFECTS IN THE SPECTRUM OF THE RYDBERG STATES OF NANOPARTICLES

St. Petersburg State University, 199034, St. Petersburg, Russian Federation

The quantum problem in the interaction of the electron with metal spherical nanoparticle is studied. Depending on the size, charge and orbital momentum of the system, Rydberg states, formed by the joint action of the Coulomb, image and centrifugal potentials are considered. Characteristic features of the interaction potential profiles as well as of the wavefunctions are studied. Generally the potential curve has two wells separated by the potential barrier. The barrier parameters depend on the particle size, charge, and orbital momentum. The threshold parameter of the nanoparticle size is defined. If the nanoparticle size exceeds the threshold then the potential curve has one well only. The phenomenon can be accompanied by the nonmonotonous dependence of the electron states energy on the nanoparticle size. The growth of the electron energy bonding in the nanoparticle can be observed in the size interval 2—20 nm. Refs 31. Figs 8.

Keywords: nanoparticle, size parameters, electron states, Rydberg states, the image surface states, the image surface potential, Coulomb states, nanosphere, the electron affinity, cluster, quantum problem.

Введение. Частицы вещества нанометровых размеров занимают промежуточное положение между отдельными атомами и массивными телами. Их свойства могут существенно изменяться даже при небольшом изменении размера. Особый интерес представляет исследование размерных эффектов в частицах 1-100 нм. По сложившейся терминологии в указанный диапазон попадают атомные кластеры и наночастицы [1]. Помимо фундаментального интереса такие объекты играют важную роль в прикладных задачах химической физики, оптоэлектроники, физики гетерогенных сред, а также в нанотех-нологиях [2]. С одной стороны, частицы нанометровых размеров проявляют свойства, придающие им сходство с атомами, с другой стороны, можно обоснованно говорить

о наличии у них поверхности как границы раздела двух сред. Именно такие свойства де-монструет, например, желе-модель металлических кластеров, прототипом которой является модель атома Томсона [3, 5]. В рамках желе-модели нашли объяснение такие явления, как электронные оболочки и супероболочки [3], а также «магические числа» кластеров [4], периодичность заполнения электронных оболочек «гигантских атомов» [6, 7]. Другой пример размерных эффектов даёт префрактальная модель нанокластеров [22].

Вместе с тем на границе раздела вещества и вакуума кластеры и наночастицы обнаруживают квантовые эффекты, связаные с поверхностыми электронными состояниями, например, в ступенчатом фотоэффекте [18], с участием ридберговских поверхностных состояний [12]. Оказалось, что многие концепции и методы физики поверхностных состояний макроскопических тел можно с успехом применять для изучения электронных состояний наночастиц [13].

Изучая механизмы фотоэффекта в кристаллах, И. Е. Тамм в 1932 г. предсказал возможность образования ранее неизвестных поверхностных электронных состояний [8, с. 216]. По теории Тамма, электрон может находиться в связанном состоянии на поверхности, если его выходу в вакуум препятствует потенциальный барьер на плоской границе тела, а его уход внутрь тела блокируется потенциалом периодической решётки кристалла. Другими словами, электрон не может проникнуть в объём вещества, если его энергия попадает в область запрещённой энергетической зоны. Отметим, что с оптическими аналогами данного явления мы встречаемся в диэлектрических многослойных зеркалах и фотонных кристаллах [17]. Для конкретных расчётов Тамм использовал ограниченный с одной стороны одномерный потенциал Кронига—Пенни [9] и ступенчатый потенциальный барьер. Предложенный им механизм локализации частицы в пространстве с помощью отражательной периодической решётки и потенциального барьера оказался универсальным. В 1939 г. У. Шокли применил механизм Тамма, используя более реалистичные потенциалы отражательной решётки и барьера [10]. Существование состояний Тамма—Шокли было подтверждено экспериментально [14]. Они локализуются в пределах малого расстояния, порядка одного атомного диаметра от поверхности.

Новое применение механизм Тамма нашёл в связи с теоретическим предсказанием и экспериментальным обнаружением ранее неизвестного типа поверхностных состояний — состояний потенциала изображения [11, 12, 15, 18]. Оказалось, что если при выходе электрона из тела в вакуум учесть поляризационное взаимодействие точечного заряда с поверхностью, то это заметно изменит характер поверхностных состояний. Этот потенциал может быть найден, например, одним из методов электростатики — методом изображений. Состояния изображения ("image states") образуются так же, как и состояния Тамма—Шокли, но барьером теперь служит потенциал изображения.

Квантовая задача с потенциалом изображения была впервые поставлена в работе [11] для плоской поверхности диэлектрика. В этом случае легко обеспечиваются условия, когда электрон не может проникнуть в среду через поверхность, а над поверхностью электрон оказывается в яме потенциала изображения:

где х — координата, отсчитываемая в ортогональном направлении от поверхности в вакуум; е — диэлектрическая проницаемость вещества.

В случае непроницаемой поверхности для волновой функции принимаются граничные условия

(е - 1) е2

у(0) = у(<х>) = 0.

В уравнении Шрёдингера разделяются переменные движения параллельно и ортогонально поверхности, так что для связанных с поверхностью состояний спектр энергии имеет вид

Еп,к = —Еп,

2т

где к — волновой вектор электрона параллельно поверхности; т — масса электрона; Еп — энергия дискретного спектра связанных состояний одномерного уравнения Шрёдингера с потенциалом и (х).

Для координаты х квантовая задача эквивалентна задаче для 8-состояний водоро-доподобного иона с эффективным зарядом ядра Zeff = (е — 1)/4(е + 1). Такую систему иногда называют также одномерным водородоподобным атомом. Спектр энергии Еп при этом имет вид

п

где п = 1,2,3... — главное квантовое число; Ку — постоянная Ридберга, Ку « « 13,56 эВ [11].

В состояниях изображения электрон удаляется на гораздо большее расстояние от поверхности по сравнению с состояниями Тамма—Шокли. По аналогии с высоковозбуждёнными состояниями атомов такие состояния также называют ридберговскими. Для материалов с е ^ 1 энергия основного состояния ридберговского спектра Е\ « « —0,85 эВ. Далее всюду будем пользоваться атомной системой единиц: т = е = Н = 1.

При переходе от макроскопических тел к объектам нанометрового размера ридбер-говские состояния могут существенно изменяться, обнаруживая новые свойства.

Модели сферически симметричных наночастиц. Сферически симметричные наночастицы относятся к числу наиболее изученных. Радиус сферы является их единственным параметром размера. Однако даже в этом случае поляризационное взаимодействие электрона с поверхностью является существенно более сложным, чем в случае плоской поверхности. Кроме того, необходимо учитывать условия контакта частицы с окружающими телами. Для наночастиц металлов выделяют две возможности в зависимости от того, имеется электрический контакт наночастицы с большим проводящим телом (заземлённый случай) или нет (изолированный случай). Потенциальная энергия взаимодействия электрона с частицей в этих двух случаях разная. Если же частица изолирована, она может обладать электрическим зарядом, который в отсутствие процессов ионизации или рекомбинации является сохраняющейся величиной. Это даёт дополнительный параметр — зарядовое состояние наночастицы.

Необходимо также учитывать топологические характеристики — является ли сферическая частица сплошным шаром, пустотелой сферой или сферической порой [20, 26]. В зависимости от того, в какой области пространства по отношению к поверхности может находиться электрон, можно говорить о задаче внутренней, внешней или их комбинации. Иногда это выражают в терминах проницаемой или непроницаемой для электрона сферы.

Очень важным является представление о структуре вещества наночастицы. Обычно в нём выделяют электроны и остов. В наиболее простом случае остов представляется моделью желе с равномерно распределённым по объёму наночастицы положительным зарядом. В более сложных моделях остов наночастицы представляется в виде регулярной структуры атомных остовов, в поле которых находятся обобществлённые электро-

Из других морфологических принципов в современных нанотехнологиях используется модель искусственно структурированной наночастицы с концентрическими сферическими слоями веществ разного сорта ("core-shell nanoparticles") [16].

Следует также отметить, что поверхностные состояния изображения могут наблюдаться в нанообъектах, не обладающих сферической симметрией, например в нанотруб-ках и нанопроводах, а также в разного рода структурах с усечёнными сферическими поверхностями [20, 26].

Введём сокращения: GR — заземлённая частица; IS — изолированная частица; Q0, QP и QM — нейтрально, положительно и отрицательно заряженные частицы соответственно; HD — сплошной шар; HL — полый шар, CS — структура "core-shell"; IN, EX и AL — внутренняя, внешняя и комбинированная задачи соответственно; JM — модель желе; AC — атомные остовы.

Для каждого из перечисленных случаев или их комбинаций возникает соответствующая квантовая задача, которая может исследоваться численными или аналитическими методами.

Спектр электронных состояний в задаче IS-QP-JM-EX. Для металлических частиц сферической симметрии потенциалы изображения ранее изучались в задачах GR-JM-EX, GR-JM-IN [19], IS-QP-JM-EX [21] и IS-QM-JM-EX [23]. Здесь мы продолжаем исследование задачи IS-QP-JM-EX [21]. Но если в предыдущей работе использовался метод теории групп динамической симметрии, то теперь наша работа основана на численном решении уравнения Шрёдингера с прежним потенциалом изображения, имеющим вид

U(г) =-0--

2r2

r > a,

где г — расстояние от центра сферы до электрона; г > а, Q — заряд сферы. Уровни энергии находятся из уравнения Шрёдингера

Р_

2

2r2

-E

Ф(г) = 0,

радиальную часть которого после разделения переменных в сферической системе координат можно представить в виде [24]

2 dr2

Q

+

l

r 2r2(r2 — a2) 2r2

— E Xni

0,

где функция Хпь(г) связана с обычной радиальной функцией Нга(г) соотношением Хпь(г) = гЕП1 (г), п и I — главное и орбитальное квантовые числа.

Для внешней задачи с непроницаемой поверхностью используем граничные условия (2). Эти граничные условия обеспечивались при численном решении задачи с применением общего программного пакета линейной алгебры LAPACK [25]. При этом удобно использовать отсчитываемую от поверхности сферы, нормированную на радиус сферы переменную £ = (г — а)/а. С учётом этого радиальное уравнение принимает вид

1 d2 aQ

2 dt2 t + 1 2t(t + 1)2(t + 2) 2(t +1)2

+ 3^l~E}xnl(t)= 0,

где %ni,(t) = Xni(a(t + 1)).

3

a

3

a

3

a

a

Эффективная потенциальная энергия задачи зависит от трёх параметров: Q, а и I, но при этом форма кривой зависит только от двух параметров. Введём параметр X = = 1(1 +1)/а и представим эффективный потенциал в виде ие^(£) = аи(Ь), где

ии) =__+_*___I__

Функция и(£) является монотонной при X = 0 и может быть немонотонной при X = 0. Если зафиксировать значения Q и X, то монотонность и (£) будет зависеть только от размера наночастицы. Переход потенциальной кривой от монотонного вида к немонотонному происходит при пороговом значении размера. При Q = 1 численный расчёт даёт пороговые значения радиуса 0,72, 2,16, 4,33, 7,22, 10,82, 15,15 (а. и.) для I =1, 2, 3, 4, 5, 6 соответственно. На рис. 1 приведён характерный вид потенциальных кривых для монотонного и немонотонного случаев с пороговым значением радиуса а = 7,22. В немонотонном случае имеются две потенциальные ямы, разделённые барьером. С увеличением размера наночастицы барьер уменьшается и исчезает при прохождении порогового значения размера.

Первая яма образуется за счёт потенциала изображения, а вторая — за счёт ку-лоновского поля заряда наночастицы и центробежного потенциала. В первой яме могут образовываться состояния изображения наночастиц сферической формы. Во второй — внешней яме образуются обычные ридберговские состояния кулоновского потенциала.

Рассмотрим зависимость характера спектра от радиуса наночастиц.

Следует иметь в виду, что для наночастиц существует ещё один параметр критического размера. При размере наночастицы меньше некоторого критического [19, 21, 23] связанные состояния изображения отсутствуют. С увеличением размера наночастиц растёт мощность потенциальной ямы изображения и, следовательно, могут появляться связанные состояния. Для нейтральной наночастицы эти уровни появляются на границе сплошного спектра и с увеличением размера наночастицы перемещаются вниз, переходя в пределе в обычные состояния изображения плоской поверхности.

Для состояний электрона в кулоновском поле заряда Q и центробежного члена наблюдаем обратную картину. С ростом радиуса наночастицы уровни энергии поднимаются вверх и в пределе бесконечного значения а уходят в область сплошного спектра.

В действительности вид потенциальной ямы определяется суммой всех трёх слагаемых в выражении (9).

Существует область параметров, когда ямы потенциала изображения и кулоновско-го центра Q разделены в пространстве, как, например, показано на рисунке. Здесь же приведены примеры, когда ямы двух типов не конкурируют друг с другом, а сливаются, образуя общую мощную потенциальную яму. При размере наночастиц больше 100 а. е. на расстоянии 30 а. е. от поверхности основной вклад в потенциальную яму даёт потенциал изображения. На рисунке также видно, что с ростом размера наноча-стицы мощность потенциальной ямы меняется немонотонно. Сначала яма углубляется, достигая максимума глубины при а =10 + 30 а. е., а потом глубина ямы начинает уменьшаться и потенциальная кривая переходит в кривую потенциала изображения плоской поверхности. Некоторые моменты перехода от случая раздельных ям к общей показаны на рис. 2, 3. Здесь также показаны волновые функции, найденные путём численного решения уравнения Шрёдингера для этих случаев.

На рис. 4-8 приведены результаты расчёта энергетического спектра ридберговских состояний при Q = 1, I = 0,1, 2, 3, 4 в зависимости от размера наночастиц. Отчётливо

б

Рис. 1. Кривые эффективной потенциальной энергии при различных значениях радиуса наночастицы для ( = 1, I =4, а = 7,22:

размер наночастицы меньше порогового значения

видна характерная немонотонная зависимость положения энергетических уровней от размера наночастицы для состояний углового момента I > 2. При этом кривые не пересекаются друг с другом из-за одинакового типа симметрии по числу I. В том случае, когда кривые идут на сближение, неизменно образуется характерная область отталкивания кривых [27, § 90]. Такой случай особенно выражен для двух нижних кривых в левой части рис. 4. Кривые перенумерованы в порядке роста энергии возбуждения.

При увеличении размера частиц до 200-400 нм энергетические уровни практически сопадают с уровнями состояний изображения плоской проводящей поверхности.

-0,01

-0,015

н b

-0,02

-0,025

0 20 40 60 80 100

х, а. и.

Рис. 2. Кривые эффективной потенциальной энергии, уровни энергии и волновые функции при значении параметров ( = 1, I = 4, а = 7,22

х, a. u.

Рис. 3. Кривые эффективной потенциальной энергии, уровни энергии и волновые функции при значении параметров Q = 1, l =4, a = 6,0

Эффекты, связанные с конкуренцией трёх слагаемых потенциала (9), зависят от орбитального квантового числа и при l = 2, 3, 4 наблюдаются в области частиц размером 2-20 нм.

Заключение. Взаимодействие электрона с металлической сферической наночасти-цей исследовалось в рамках модельной задачи IS-QP-JM-EX с поляризационным потенциалом изображения. Изучение ридберговских состояний в зависимости от орбитального углового момента показало существование области параметров, когда состояния

Рис. 4- Зависимость энергии ридберговских состояний от размера наночастиц при ( = 1, I = 4

Рис. 5. Зависимость энергии ридберговских состояний от размера наночастиц при ( = 1, I = 3

изображения активно взаимодействуют с состояниями кулоновского поля заряженой наночастицы. Явление сопровождается немонотонным изменением энергии электронных состояний в зависимости от размера наночастицы в области 2-20 нм при I = 2, 3,4.

Исследование показало, что использование модельного потенциала изображения позволяет проследить характер изменения ридберговского спектра состояний положительно заряженных наночастиц во всём диапазоне размеров, начиная от момента образования первого связанного состояния в случае малых частиц до формирования состояний изображения макроскопических тел. Для наночастиц большого размера ре-

Рис. 6. Зависимость энергии ридберговских состояний от размера наночастиц при Q = 1, l = 2

Рис. 7. Зависимость энергии ридберговских состояний от размера наночастиц при Q = 1, l = 1

зультаты согласуются с хорошо изученным случаем плоской поверхности. В промежуточной области существенно проявляют себя квантовые размерные эффекты. Именно в этой области размеров наблюдаются резонансные явления с участием поверхностных электронных состояний наночастиц, например Ag (30-100 нм) [30, 31] и Eu3+—Ag (30 нм)@БЮ2 [16].

Использование граничных условий (2) связано с условием непроницаемости поверхности сферической наночастицы. Расчёты ab initio для кластеров металлов показывают, что для частиц малого размера вклад высоковозбуждённых состояний изображения в локализацию электрона внутри сферы существенно мал [29]. Это оправдывает

/

1

2

3

4

-0,2 -1-1-1-1-1-1-1-1-1-

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

a, a. u.

Рис. 8. Зависимость энергии ридберговских состояний от размера наночастиц при Q = 1, l = 0

использование условий (2) для ридберговских состояний особо малых наночастиц. Для частиц большего размера уже возможно говорить об использовании механизма Тамма, пусть даже в ослабленной формулировке.

Иногда вопрос об учёте проницаемости плоской поверхности сводят к смещению положения плоскости отражения. Применительно к сферическим частицам это можно свести к коррекции эффективного радиуса наночастицы. Проницаемость поверхности можно учитывать также с помощью квантового дефекта [28].

С экспериментальной точки зрения для изменения проницаемости электронов через поверхность можно использовать технологию CS покрытия металлической наносферы слоем диэлектрика (Ag@SiO2, Au@SiO2 [16]).

Вопрос о взаимосвязи внутренних и ридберговских электронных состояний является общим и требует дальнейших исследований, например, в рамках моделей IS-JM-CS-AL или IS-AC-AL.

Литература

1. BlackmanJ., HetchtN. Metallic nanoparticles // ed. by J. A. Blackman. Elsewier, 2009. 628 p.

2. Novotny L., HechtB. Principles of nano-optics. Camdridge: Univ. Press, 2006. 558 p.

3. Brack M. The physics of simple metal clusters: self-consistent jellium model and semiclassical approaches // Rev. Mod. Phys. 1993. Vol. 65. P. 677-732.

4. BrackM. Metal clusters and magic numbers // The Scientific American. 1997. Vol. 277, N 6. P. 50-55.

5. de Heer W. A. The physics of simple metal clusters: experimental aspects and simple models // Rev. Mod. Phys. 1993. Vol. 65. P. 677-700.

6. NishiokaH., Hansen K., Mottelson B. Supershells in metal clusters // Phys. Rev. (B). 1990. Vol. 42, N 15. P. 9377-9386.

7. Ohnishi S., Ikeda T., Watari N. Metal clusters as giant atoms // Nanotechnology. 1992. Vol. 3, N 4. P. 173-177.

8. ТаммИ. Е. Собрание научных трудов: в 2 т. М.: Наука, 1975. Т. 1. 443 с.

9. KronigR. deL., Penney W. G. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices // Proc. Roy. Soc. (A). 1931. Vol. 130. P. 499-513.

10. Shockley W. On the surface states associated with a periodic potential // Phys. Rev. 1939. Vol. 56. P. 317-323.

11. ColeM. W., Cohen M. H. Image-potential-induced surface bands in insulators // Phys. Rev. Lett. 1969. Vol. 23. P. 1238-1241.

12. EcheniqueP. M., Pendry J. B. The existence and detection of Rydberg states at surfaces //J. Phys. (C). 1978. Vol. 11, P. 2065-2075.

13. Zijlstra P., OrritM. The existence and detection of Rydberg states at surfaces //J. Phys. (C). 1978. Vol. 11. P. 2065-2075.

14. Hovel H., Grimm B., ReihlB. Modification of the Shockley-type surface state on Ag(111) by an adsorbed xenon layer // Surface Sci. 2001. Vol. 477, N 1. P. 43-49.

15. McRaeE. G. Electronic surface resonance of crystals // Rev. Mod. Phys. 1979. Vol. 51. P. 541-568.

16. Derom S., BerthelotA., Pillonnet A. et al. Metal enhanced fluorescence in rare earth doped plasmonic core-shell nanoparticles // Nanotechnology. 2013. Vol. 24, N 49. 495704.

17. Жувикин Г. В. Лабиринты фотонных кристаллов // Компьютерра. 2001. № 30 (407). С. 18-23.

18. SmithN. V. Image states, surface states and inverse photoemission // Physica Scripta. 1987. Vol. T17. P. 214-220.

19. ТулубА. В. Ридберговский спектр в задаче о движении электрона вблизи сферических поверхностей // Опт. и спектр. 1992. Т. 73. Вып. 1. С. 48-54.

20. Тулуб А. В. Модель неоднородной поверхности металла // Проблемы теоретической физики III: сб. статей. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1988. С. 114-126.

21. ZhuvikinG. V., Nesvetaev Y. A. Quantum problem of charged particle interacting with conducting sphere // Proc. First International Arctic Seminar. Murmansk, Russia, 1996. P. 61-64.

22. Zhuvikin G. V. Fragmentation symmetry and prefractal structure of nanoclusters //J. Tech. Phys. (Warszawa). 1997. Vol. 38, N 2. P. 396-398.

23. Жувикин Г. В., Викторов E. А. Исследование критического параметра спектра состояний электрона в квантовой яме вблизи поверхности проводящей сферы // Лазеры. Измерения. Информация: труды междунар. научн. конф. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2013. С. 116.

24. Галицкий В. М., Карнаков Б. М., Коган В. И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1992. 880 с.

25. LAPACK, Univ. of Tennessee, Univ. of California Berkeley, NAG Ltd., Courant Institute, Argonne National Lab, and Rice Univ., v.3.0. June 30. 1990.

26. Tulub A. V. The cavity model with a surface formed by two intersecting spheres. An Analytical Treatment // Fundamental world of quantum chemistry. Vol. III. P. 497-520.

27. Ландау Л. Д., ЛифшицЕ.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1974. 752 с.

28. Fauster Th. Quantization of electronic states on metal surfaces // Appl. Phys. (A). Vol. 59. P. 479-486.

29. RinkeP., Delaney K., Garcia-Gonzalez P., GodbyR. V. Image states in metal clusters // Phys. Rev. (A). 2004. Vol. 70. 063201.

30. Гадомский О. Н., Шалин А. С. Электронные состояния металлических кластеров // Журн. эксп. теор. физики. 2007. Т. 131, № 1. С. 5-13.

31. Mertens H., Koenderink A. F., PolmanA. Plasmon-enhanced luminescence near nobel-metal nano-spheres: Comparison of exact theory and improved Gersten and Nitzan model // Phys. Rev. (B). 2007. Vol. 76. 115123.

Статья поступила в редакцию 18 марта 2014 г.

Контактная информация

Жувикин Георгий Викторович — кандидат физико-математических наук, доцент; e-mail: george.zhuvikin@pobox.spbu.ru

Zhuvikin Georgii Viktorovich — Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor; e-mail: george.zhuvikin@pobox.spbu.ru