Дискретная математическая модель синхронной электрической машины с системой самовозбуждения

УДК 621.311.32

ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИНХРОННОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ МАШИНЫ С СИСТЕМОЙ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ

А.Е. УСАЧЕВ, Е.А. ФЕДОТОВ

Для систем самовозбуждения отсутствует корректная математическая модель, позволяющая исследовать электромагнитные переходные процессы в синхронной машине безотносительно к коммутации вентилей преобразователя. В настоящей работе обоснована возможность формирования математической модели работающей на холостом ходу синхронной машины с системой самовозбуждения без учета «шумовых» процессов, связанных с текущей коммутацией вентилей.

Общие положения

Как правило, математические модели синхронных машин для исследования электромагнитных и электромеханических переходных процессов в самих электрических машинах и системах в целом, куда входят эти машины, строятся на базе методов непрерывной математики. При наличии электромашинных возбудителей это вполне оправданно, поскольку как сами процессы, так и моделируемые объекты являются непрерывными по своей сути и принципу работы. Однако появление в цепи возбуждения синхронной машины ключевых элементов - тиристоров - меняет ситуацию. Полная система дифференциальных уравнений, описывающая синхронную машину совместно с вентильным возбудителем, содержит периодические коэффициенты и имеет переменную структуру, нелинейно изменяющуюся во времени.

В то же время отслеживать работу каждого вентиля тиристорных систем возбуждения синхронных генераторов в составе энергосистемы нет необходимости, если ставится задача исследования процессов в энергосистеме в целом. Помимо этого, использовать критериальные оценки качества регулирования, искать оптимизационные решения на основе нелинейных дифференциальных уравнений с переменной структурой практически не удается без перехода к некоторым упрощенным эквивалентным моделям.

Достоинства дискретных математических моделей проявляются, прежде всего, в том, что из непосредственного рассмотрения выводятся локальные переходные процессы, связанные с переключением вентилей преобразователя, и предметом изучения становятся собственно переходные процессы электрической машины (в составе с вентильным преобразователем) в энергосистеме. Для этого модель формируется относительно отсчетов в коммутационных точках, т.е. она позволяет получать информацию о режимных параметрах электромашинно-вентильной системы в те моменты времени, когда подается сигнал управления на очередной тиристор вентильного преобразователя.

Необходимо отметить, что для синхронных электрических машин с системами самовозбуждения помимо модели на основе понятий "неискаженная ЭДС" и "индуктивность коммутации", предложенной в [1], практически отсутствуют какие-либо другие, выводящие из рассмотрения текущую коммутацию вентилей преобразователя. Эти понятия, обоснованные для системы

© А.Е. Усачев, Е.А. Федотов Проблемы энергетики, 2003, № 5-6

независимого тиристорного возбуждения, перенесены, исходя из общих представлений, на системы самовозбуждения, а также и на системы возбуждения от гармоник магнитного поля [2]. Основное достоинство такого приема заключается в возможности исследований электромагнитных процессов на любом выбранном отрезке времени вне связи с конкретной схемной структурой преобразователя на данный момент времени. Тем не менее, отсутствие строгого математического доказательства корректности такого приема заставляет искать другие методы моделирования систем самовозбуждения.

Так, при работе синхронной машины параллельно с системой "неискаженная ЭДС" и "индуктивность коммутации" должны быть зависимы от параметров связывающей их цепи. Действительно, в предельном случае, когда преобразовательный трансформатор и синхронный генератор подключены непосредственно к системе бесконечной мощности (т.е. к шинам неизменного напряжения), "неискаженная ЭДС" совпадает с напряжением системы, а "индуктивность коммутации" равна индуктивности преобразовательного трансформатора. На холостом ходу синхронной машины эти параметры вводятся классическим образом [1] с учетом индуктивности преобразовательного трансформатора.

Таким образом, для систем самовозбуждения фактически отсутствует корректная математическая модель, позволяющая исследовать электромагнитные переходные процессы в синхронной машине безотносительно к коммутации вентилей преобразователя. Ниже представлена методика решения поставленной задачи на основе дискретных моделей.

Уравнения в мгновенных значениях переменных

Запишем уравнения связи синхронного генератора с системой в относительных единицах "системы Хагї " при синхронной скорости вращения шс

без учета влияния последовательного трансформатора УТ с первичной стороны, рис. 1.

ий исй = гс1сй + хс в + xc^cq'

йісй йв йіс

щ

где токи и напряжения системы преобразованы к й, q -координатам.

Прежде, чем переходить к уравнениям цепи самовозбуждения, условимся, что преобразовательный трансформатор Т с коэффициентом трансформации кт вводится в схему замещения индуктивностями, сосредоточенными во вторичных обмотках [1], но его параметры приведены к базису обмотки статора генератора. Предполагая работу управляемого преобразователя УЄ в основном режиме — режиме поочередной проводимости двух и трех вентилей, с учетом использования шагающей системы координат на локальном интервале повторяемости

преобразователя [а;а + к(т) ] можем записать следующее уравнение:

+ 2( хт + хуТ )—— хСуТ4ъ йв

Г3[(иа sin(в — п/3) — Uq ^(в — п3)] = 2(гт + Гут)і/ — к(у)(гт + Гут)і'г +

йі/ г й[(ій sin(в — п3) — iq cos(в — п3)]

V _1_ V, --- ^_________V ------ л.і'Х __________________' 3___________________' 3_____1г( *ж\( V .

йі /

»

к(г)( хт +

йв

+ хут)~вё + ил — к(^Ь/3[(ий sin(в — 2п3) — ^ cos(в — 2п3)] =

йі,

В уравнении (2) приняты следующие обозначения: Гт, Гут, хт, хут -соответственно активные и индуктивные сопротивления с вторичной стороны преобразовательного и последовательного трансформаторов; х^ут -сопротивление взаимной индукции. Все эти параметры записаны в базисе обмотки статора генератора. Ток и напряжение обмотки возбуждения также пересчитаны к этому базису, в связи с чем введен дополнительный индекс вверху.

Наконец, необходимо связать токи іь с высшей стороны преобразовательного трансформатора Т с токами на его низшей стороне. Учтем, что іь = іс — і8, тогда

Уравнения (1-3) образуют замкнутую систему, позволяющую методом припасовывания на интервалах постоянства структуры преобразователя рассчитывать переходные процессы в синхронном генераторе с системой самовозбуждения. При записи уравнений ток и напряжение возбуждения использованы в разных базисах. Связаны они между собой следующим образом:

где I/ б, и л б, I б, и б — соответственно базисные значения для токов и

напряжений обмотки возбуждения и обмотки статора синхронной машины в "системе хай". Объединив необходимые уравнения, получаем следующую систему дифференциальных уравнений в нормальном виде:

кт(ісй — ій) = -^=[і/ *ш(в —П3) + к(у)іу sin(в + П3)],

кт (^ — і^) = —^[і/ ^(в — Пэ) + к(ї)іу <^(в + П3)].

-уг = --к3[ией «1«(д - */$ - ищ соз(0 - Пз)]- (г/ + 2г'{ )1/ + ^^х

—в ки ки

х [г'е- зт(в - п3) - С С0«(в - Пз)] + кр)Г р,

—У1- . dWqе . . —у1

= ГЫ1Ы, ,д = uеq rlq rеlеq + у—е, ,д _ г1*:1*

—в — в ^ с ^ —в

ур к (г) = к р)|- Зт(в - 2п3) - Uеq С0«(в - 2п3)] - Г I / +:кг х

х [1е— зт(в - П3) - С С0«(в - 2п3)] + 2гг'1р }

и

I+: '

где х¥—е,,^1—,- определяются по уравнениям Парка - Горева для

потокосцеплений [1], остальные потокосцепления определяются следующим образом:

( ^зх (

У/е = [ха— + х'сут зт(в-Пз)]1—------к С«1п(в-Пз)1е— - кР)х‘ р +

К ц

( ( ^х

+ (х/ + 2х‘)1 / + Хаа^а -43Хсут С0«(в-ПзЩ +—ТхГС0*(в-Пз)lеq•

ки

' л/3х *

Ур = л/зх'с ут зт(в - 2Пз)1—---Тхг **п(в - 2Пз)1е— + х‘ I / -

ки

' л/з '

-л/зхСут С0«(в-Пз)р +—тхгС0«(в-Пз)С -2хр,

ки

в свою очередь,

' К; . ч ' к: ' хсут

Гг = — (гт + Ут), х = к~ (хт + хут ), хвут = —к— •

ки ки ки

К выражениям (6) необходимо присовокупить уравнения, записанные в следующем виде:

1— = _ Тзк^ [; / - Пз)+кр)р **п(в+Пз)],

2к

1* = Тэк^ [I / С0*(в - Пз) + к р)р С0*(в + Пз)].

Уравнения холостого хода в области Р-нзобпаженнн

Локальное преобразование Фурье сопоставляет на локальном т-ом интервале шириной к(т) функции /(в) ее ^-изображение в соответствии с формулой

в(т) + И(т) /- ч

Г(т,к) = -2- \ Д6)е-'к(6-6 т ^6, к = -251, п = 0, ± 1, ± 2, •••

к

В случае использования "шагающей" системы координат, постоянства И(т) и его совмещения с интервалом повторяемости преобразователя 6(т) = а, И = п/ 3.

Переход от Г-изображений к уравнениям в конечных разностях осуществляется согласно следующему выражению [3]:

г (т) = 1 *1 = 2

2 Г (т, к) -А// у п=-со

к =

2пп

Уравнения (5) и (6) можно формально подвергнуть Р-преобразованию [3, 4], однако в результате не удастся получить Р-изображения всех переменных, поскольку часть интегралов Р-преобразования будут содержать в качестве подынтегрального выражения произведение искомой переменной и периодического коэффициента. Очевидно, следует пойти на определенные упрощения исходной модели. Основанием для таких упрощений служит различный порядок величин параметров, входящих в уравнение цепи возбуждения. Разберем этот вопрос более подробно.

И

Наибольшим распространением для синхронных машин обладают относительные единицы "системы хад ", согласно которой базисные токи

вторичных обмоток определяются как токи, создающие в воздушном зазоре такую же основную гармонику поля, какую создают номинальные токи в первичной обмотке. Коэффициенты приведения и ки для синхронных машин имеют следующие значения: к1 » 0,08 + 0,14; ки »12 + 20. Коэффициент трансформации преобразовательного трансформатора существенно зависит от номинального напряжения синхронного генератора. Для генераторов с номинальным напряжением 10 кВ и выше он может быть принят кт »10*15. С учетом этих значений составим уравнения в области ^-изображений для наиболее простого случая, когда генератор работает на холостом ходу и отсутствует последовательный трансформатор. Такой подход необходим для исследования на более простой математической модели особенностей записи дискретных уравнений.

Как уже отмечалось выше, нельзя применить формально Р-преобразование к записанным уравнениям в мгновенных значениях переменных, так как часть уравнений содержит при искомых переменных периодические коэффициенты. Подставив в правую часть второго уравнения системы (5) выражения для напряжений из первого и четвертого уравнений, получаем

Перепишем уравнение

-6 = кі[і- „ІП(6 - - Іч соз(6 - п3)] - ('/ + 2г'( )і/ + к(у)іу =

где

I ki

Wfc = [xf + 2xt +T1~(xd + xq )- xad kTku

- -k^r-(Xd - Xq )cos2(<9-n3)]if + Xad [1- sm(0-n3)]*1d +

kTku ku

43

43 2ki

ku + 43k V3 .

sin(0 -

— 1 —

+x

V3 - n/v // u ' ki

aq r; cos<e-n3)‘iq+k (Y)[ xt + 2kTku

ki 2k

- (xd - xq )C0S— - xad -k- Sin(- - nJ)]V ’

kTku ku

2k 2k

W1d = xad[1 -~^3k^~Sin(- - n3)]if + x1di1d - xadk Sin(- + П3)]Р'

2k 2k

W1q = xaq;^k- C0s(--^)if + x1qi1q + xaqk C0s(- + П3)]Р *

С учетом полученных для потокосцеплений выражений (12) применим к уравнению (11) и к уравнениям для демпферных обмоток в системе (5) Г-преобразование, задаваемое при использовании шагающей системы координат формулой (8).

Получаем в области Г-изображений следующую систему уравнений:

П Ayf + jky/fc (m, k) = -rfcl f (m, k) + r^A (m, k) if,

“ WU + jkii&1d (m,k ) = -r1dI1d (m,k ),

П Д^н? + jk\?1q (m, k) = -r1ql1q (m, k),

где

ki

rfc = r f + 2rt + 2r----, rtc = rt + r----.

fc f t kukT tC t kukT

Д Wi!1) = Yu+1) - W/“) = W{rm (а + П3) - W(im)(a), i = fc, 1d,1q; I^f} = i ^) (a).

Коэффициент A (m, k), строго говоря, может быть найден только после того, как будет рассчитан локальный переходный процесс, связанный с коммутацией вентилей преобразователя. Однако в таком усложнении нет необходимости, достаточно положить форму коммутационного тока линейной и взять интеграл (12). Тогда

A (m, k) = —

п

1 - coskY(m) .kr(m> - sin ky

(m) _«

- j

Зависимость угла коммутации от величины выпрямленного тока делает уравнения (14) нелинейными. Исследования, проведенные для управляемых преобразователей и систем независимого тиристорного возбуждения синхронных генераторов [3-5], показали, что допустимо положить в переходных режимах значение угла коммутации постоянным — равным его значению в установившемся режиме. В этом случае A(m, k) = A(k).

Для конечных разностей уравнений (13) с учетом выражений (12) имеем:

< kj V3 2k; kj

A¥fs = [ xf + 2 xt +^-т- (xd + xq )— xad (^— + ^=—)sina--—-— (xd - Xq ) X kTku ku \3kT kTku

(m) ' k; (xd + xq) J3 2k;

x cos2a]A/( f) - [xt +--——+ xad (— + ~rL-) cos(a - n /6) -

kTku ku V3kT

- xad k-sin(a-n/3) + kjkL(xd - xq )cos2a]/(ff} + xad (1 -k3sina)A/(fd) -

ku kTku ku

- xad~,—COS(a-n/6)/(fd) + xaqk^ C0SaA/(fq) - xaqk^- sin(«-n/6)/JfJ);

tV ft tlfi tv fI

Д/Ы = xad(1 —~2^+ x1dMl” ;

У = ^ СтаМ17 + Х1«

При записи Г-изображений от потокосцеплений следует воспользоваться ранее полученными оценками величин коэффициентов приведения по току и напряжению к[ и ки, а также коэффициента трансформации кт. После выполнения соответствующих упрощений получаем:

1 к: • •

к) = [хг + 2 х( +—1—(ха + хч)]/ у(m, к) + хай/1й (m, к), ктки

уи

(т,к) = Хщ/£ (т,к) + хц/ц (т,к), к = 6п, п = 0, ± 1,± 2,---.

Объединяя уравнения (15—18), запишем их обобщенно в следующем виде:

где

«11 «12 0 ' I f (т, к) = 6 п 2 1 1 1 и13 м

«21 « 22 0 1и(т к ) 2 2 1 2 0 м

0 0 «33 _ _ 1ц(т, к )_ и31 0 1 3 3 М

т

г

+

" т (т) "

'с11 с12 с13 "

0 0 0 т (т ) тш

0 0 0 т

тщ

«11 = ^ + к xf + 2 х{ + «12 = «21 = ]кхай,

-к— (ха + хч )], кТки «22 = г1й + ]кх1й,

«33 = ГЦ + ЛхЦ-

43 2к: . к}

Ь11 = х/^1 - хаа(^“ + -7=—) 8Ш а - ——(ха - хч )С0«2а , р ки л/3кТ ктки 4

Ь12 = х«Д Ь22 = хЫ ,

' 1 '

1------эта

ки V и

и ^

ь13 = хщ-— соэа

2к;

из1=х«чк^соа

ки

изз = хц .

и21 = х«а

1------- эта

кТ

• 6. > к1(хй + ^) ,43 2к:

С11 = rfsA(k) +—[ х1 +---------Г1-+ х«Д (Т“ + ~КГ~

Я кТки ки л/Зкт

2к: к: 43

-х«й^~зт(а-п/3) + ^-^-(ха -х9)соэ2а], к

)соэ(а-п/6) -

кТ к

Тки

6

43

6

43 .

с12 = — х«д-— соэ(а -п/6), С13 =—х«ц-— зт(а-п/6).

п

к

п

ки

Уравнения (19), записанные относительно комплексных переменных, могут быть преобразованы к уравнениям в конечных разностях аналитически или численно [3].

Для проверки корректности используемого метода на рис.2, 3 представлены результаты расчетов переходного процесса самовозбуждения, работающего на холостом ходу синхронного генератора без демпферных обмоток с системой самовозбуждения без последовательного трансформатора при следующих исходных данных в относительных единицах: хд = 0,4(0,5); х^ = 0,4;

+

= 0,4(0,5); хЯц = 0,68 ; х у = 1,43 ; х( = 0,1; г = 0.01; гу = 0.01; г( = кі = 0,1; ки = 15; кт = 15; а = 0.61 рад.

1Г, А

2.0-----------

1.5

1.0

0.5

0

=зе

т

123456789 10

Рис.2. Значения тока возбуждения синхронного генератора при хад=0,5; хд=0,5. Дискретные токи - Щ мгновенные токи - §

\,А 2.0

1.5

1.0

0.5

у

Л Г..

у

-л г

г*'

Г

т

123456789 10

Рис. 3. Значения тока возбуждения синхронного генератора при хад=0,4; хд=0,4. Дискретные токи - Щ мгновенные токи - §

0

0.02;

Сравнение результатов расчета по мгновенным значениям переменных на интервалах постоянства структуры преобразователя (эталонная модель) и на дискретной модели по уравнениям (19) при изменении индуктивных сопротивлений показало практически полное их совпадение в коммутационных точках. Причем шаг расчета в дискретной модели на два порядка больше, чем в эталонной модели.

Таким образом, в настоящей работе обоснована возможность формирования математической модели работающей на холостом ходу синхронной машины с системой самовозбуждения без учета "шумовых" процессов, связанных с текущей коммутацией вентилей.

Summary

For systems of self-excitation there is no the correct mathematical model, allowing to investigate electromagnetic transients in the synchronous machine regardless to switching of gates of the converter. In the present work the opportunity of formation of mathematical model of the idling synchronous machine with system of self-excitation without taking into account "small-ripple" the processes connected to the current switching of gates is proved. This model can be used for research of conditions of self-excitation at small current loadings, when influence of the exciting transformer insignificant.

Литература

1. Глебов И.А. Системы возбуждения синхронных генераторов с управляемыми преобразователями. - М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1960. -335 с.

2. Арутюнян В.С. Расчет токов в цепи дополнительной обмотки синхронной машины // Электричество. - 1982. - №12. - С.37-40.

3. Кузнецов В.А., Федотов А.И. Использование локального преобразования Фурье для математического моделирования синхронных машин с вентильными системами возбуждения // Электричество. - 1999. - № 4. - С. 13-22.

4. Кузнецов В.А., Федотов А.И. Расчет электромагнитных переходных процессов в системе синхронный генератор - выпрямительная нагрузка // Электричество.- 1997. - № 1. - С. 34-37.

5. Кузнецов В.А., Федотов А.И. Дискретная математическая модель системы синхронный генератор - выпрямительная нагрузка // Электричество. - 1995. -№ 4. - С. 23-26.