Математическая модель аналого-цифрового преобразователя с оптимальной процедурой подбора кода

2. Кочетов О С. Текстильная виброакустика. Учебное пособие для вузов. М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, группа «Совьяж Бево» 2003.-191 с.

3. Кочетов О С., Сажин Б.С., Елин А.М., Чунаев М.В. Охрана труда на предприятиях текстильной промышленности. Учебное пособие для вузов. М.: МГТУ им. А.Н.Косыгина, группа «Совьяж Бево» 2004.-433 с.

4. Кочетов О С., Сажин Б.С.Производственная санитария. Учебное пособие для вузов. М.:МГТУ им. А.Н.Косыгина, группа «Совьяж Бево» 2005.-384 с.

5. Гетия И.Г., Кочетов О.С., Шумилин В.К. Оптимизация подбора необходимых средств снижения шума с помощью ПЭВМ в помещениях с однотипным оборудованием. М.: МГУПИ, «Вестник МГУПИ», серия «Машиностроение», № 28, 2010. С.85-100.

6. Кочетов О С., Кочетова М.О., Ходакова Т.Д. Способ изготовления ячеек в звукопоглощающем материале акустического экрана // Патент на изобретение № 2274710. Опубликовано 20.04.2006. Бюллетень изобретений № 11.

7. Кочетов О.С., Кочетова М.О., Ходакова Т.Д. Акустическая плита // Патент на изобретение № 2268966. Опубликовано 27.01.2006. Бюллетень изобретений № 3.

8. Кочетов О С., Кочетова М.О., Ходакова Т.Д., Елин А.М. Конический штучный звукопоглотитель // Патент на изобретение № 2282004. Опубликовано 20.08.2006. Бюллетень изобретений № 23.

© Т.Д.Ходакова, М.О.Стареева, 2015

УДК 681.335

Н.Н. Хрисанов

к.т.н., доцент

Факультет автоматики и информационных технологий Самарский государственный технический университет г. Самара, Российская Федерация

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ С ОПТИМАЛЬНОЙ ПРОЦЕДУРОЙ ПОДБОРА КОДА

Аннотация

Рассматривается математическая модель функционирования аналого-цифрового преобразователя (АЦП) последовательного приближения с оптимальной процедурой подбора кода. Приведена оценка повышения быстродействия АЦП при учете вероятностных характеристик входного сигнала, применении произвольного числа цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП), учете динамических параметров ЦАП.

Ключевые слова

Аналого-цифровой преобразователь, математическая модель, стратегия поиска.

В [1-3] предложены АЦП последовательного приближения, особенностью которых является то, что процедура подбора кода строится в соответствии с оптимальной стратегией поиска, учитывающей как динамические параметры ЦАП, так и вероятностные характеристики преобразуемого сигнала. Кроме того, возможно применение произвольного числа ЦАП.

Структура АЦП. Возможная структура АЦП последовательного приближения, обладающего вышеперечисленными свойствами, приведена на рис.1. АЦП содержит K цифро-аналоговых преобразователей и такое же число схем сравнения.

Конец преобразования

Рисунок 1 - Структура АЦП Алгоритм подбора определяется содержимым постоянного запоминающего устройства (ПЗУ), на старшие адресные входы которого подается результат сравнения преобразуемого напряжения с напряжениями, формируемыми с помощью цифро-аналоговых преобразователей, а на младшие адресные входы - код с первых выходов регистра (который подается на вход первого ЦАП). Вместо ПЗУ возможно использование разделяемого оперативного запоминающего устройства (ОЗУ), если АЦП используется в составе периферии персонального компьютера, что позволяет оперативно менять алгоритм аналого-цифрового преобразования. Таким образом, код на выходе ПЗУ определяется результатом сравнения напряжений на выходах ЦАП с входным преобразуемым сигналом, а также значением кода, поступающего на первый ЦАП с выхода регистра. АЦП также содержит генератор тактовых импульсов, счетчик для формирования заданных интервалов времени, регистр для хранения промежуточных значений выходного кода, триггер. Возможный алгоритм подбора кода для АЦП с двумя ЦАП приведен на рис.2 в виде графа.

Рисунок 2 - Алгоритм подбора кода для АЦП с двумя ЦАП

В вершинах графа на рис. 2 записаны значения кодов (в десятичной системе счисления), подаваемых соответственно на нижний и верхний ЦАПы. Левые ветви графа соответствуют случаю, когда ^ВХ ^ — ^^п 1 . Эта ветвь графа помечена комбинацией «00» (результат сравнения на выходах

схем сравнения, причем первая цифра соответствует выходу первой схемы сравнения, а вторая - второй).

Центральные ветви соответствуют случаю U^^u. — Ugx < и обозначены как «01». Аналогично

правые ветви соответствуют случаю Uцап2 — Uцап1 — Uвх и обозначены как «11». Процесс подбора

кода прекращается по достижении висячей вершины. В качестве выходного кода, соответствующего входному напряжению UBX, берется код, указанный на рис. 2 в прямоугольниках.

Длительность одного такта преобразования определяется содержимым счетчика, которое обновляется в начале каждого такта. Новое значение записывается с выходов S ПЗУ. Счетчик работает в режиме вычитания, и очередной такт заканчивается, когда его содержимое станет равным нулю. При этом на выходе счетчика формируется сигнал, по которому в регистр записываются очередные значения кодов, и этот же сигнал переводит сам счетчик в режим записи, что позволяет записать в счетчик значение задержки для следующего такта преобразования.

Рассмотрим работу устройства. Пусть на вход АЦП подано напряжение, соответствующее коду 6. Процесс преобразования для 4-х разрядного АЦП в соответствии с графом, приведенным на рис. 2, осуществляется следующим образом.

Вначале триггер устанавливается в единичное состояние внешним сигналом «Пуск», в счетчик записывается единица, а регистр обнуляется и, независимо от уровня сигналов на выходе схем сравнения, на первых и вторых выходах ПЗУ устанавливаются соответственно двоичные коды чисел 9 и 6. С генератора начинают поступать импульсы на счетчик и после первого импульса, содержимое счетчика становится равным нулю, на его выходе формируется импульс, по переднему фронту которого коды с выхода ПЗУ (в данном случае 6 и 9) записываются в регистр. В счетчик из ПЗУ записывается число, пропорциональное времени установления напряжения на выходе верхнего ЦАП, поскольку на него подается больший код 9. Счетчик переходит в режим вычитания. По мере поступления импульсов на его вход с выхода генератора импульсов, содержимое счетчика уменьшается. Когда оно станет равным нулю (к этому моменту времени переходные процессы в ЦАП закончатся) на выходе счетчика сформируется импульс, который зафиксирует код на выходе схем сравнения. Исходя из принятого предположения (входное напряжение соответствует коду 6, а это означает что U^^ — UBX < U^jjj), на выходе схем сравнения установится комбинация «01»,

которая поступит на старшие адресные входы ПЗУ. В результате на выходе ПЗУ появятся коды 7 и 8, которые будут записаны в регистр и далее поданы соответственно на нижний и верхний ЦАПы. В счетчик из ПЗУ будет записано число, пропорциональное времени установления напряжения на выходе ЦАП, при подаче на его вход кода 8, при условии, что ранее на его входе был код 9. Счетчик переходит в режим вычитания. Когда содержимое его станет равным нулю, на выходе схем сравнения установится комбинация «00», поскольку в данном случае Ц/щщ — 1 — Ugx. По импульсу, формируемого счетчиком при его обнулении, в ту

часть регистра, которая подключена к выходной шине АЦП, будет записан код 6. На последнем выходе ПЗУ установится сигнал логической единицы, который вернет триггер в исходное состояние. Процесс преобразования на этом заканчивается. Заметим, что преобразование закончилось через два такта работы устройства. Для обычного четырехразрядного АЦП последовательного приближения время преобразования всегда равно четырем тактам.

Математическая модель процесса преобразования. Аналого-цифровое преобразование в данном случае представляет собой процесс параллельно-последовательной проверки возможных кодовых комбинаций, поступающих с ПЗУ. Очередной код подается на вход соответствующего ЦАП, напряжение на

выходе которого сравнивается с входным преобразуемым напряжением Uвх с помощью схем сравнения.

Следующая кодовая комбинация на выходе формирователя кодов определяется на основе результатов этих сравнений. Совокупность операций по проверке одного кода будем называть тестом. В данном случае тест включает формирование очередного цифрового кода, преобразование его в аналоговый сигнал с помощью ЦАП, сравнение этого сигнала с входным с помощью схемы сравнения и выдачу результата сравнения на соответствующий вход ПЗУ. Пусть все возможные кодовые комбинации, которые можно сопоставить

преобразуемому напряжению, составляют множество Q , причем |Q| = 2п и Q = [0,1,2,...,N — 1], где п -

разрядность АЦП и N = 2п. Кодовые комбинации, которые можно использовать в процессе преобразования, будем обозначать через к j, причем j = 0,N — 1 .Тесты будем обозначать как tj , причем

применение теста tj означает подачу на вход ЦАП двоичного кода числа i . Применение любого теста tj

68

разбивает исходное множество Q на два подмножества а а- . Будем считать, что результат применения теста t- положителен, если после его применения становится ясным, что искомая кодовая комбинация принадлежит множеству

а . Отрицательный исход теста t- означает, что искомая кодовая комбинация

принадлежит множеству Q- . Пусть разрядность АЦП равна четырем, т.е. П =4, N = 16 . В этом случае Q = [0,1,... 15]. Тогда применение теста t§ разбивает исходное множество

а на подмножества

а= [8,9,...,7] и Qs = [8,9,...15], или, в общем виде, тест t- разбивает исходное множество на подмножества Q = [0,1,...,- -1] и Q, = [-, i + 1,...,N -1].

Всю совокупность применяемых тестов можно представить в табличном виде, табл. 1. Каждый тест представляется своим двоичным кодом, в частности код теста t- есть i -тая строка матрицы

A = {ij j, - = 1M, j = 1N,

причем а = 1, если - < j, и а = 0, если - > j. Учитывая, что тест L разбивает исходное V J ч J 1

множество а на два подмножества Q- и Q-, можно также записать

11, если k,- е Q,

а = I

I ( ) РГ пи У

j

1 0, если kQ, - = 1,M, j = 1, N.

Из (1) следует, что М = N, т.е. матрица А является квадратной, в которой все элементы главной диагонали и все элементы ниже ее равны единице, а остальные элементы равны нулю. Множеству тестов Т = }, ( = 1,М поставим в соответствие матрицу Т = ||Т„||, ( = 1,М, у = 1,М затрат на их проведение, где

Ту - затраты времени на проведение теста , если перед ним выполнялся тест Iу . Диагональные элементы

матрицы То соответствуют затратам на проведение теста ^ , если этот тест выполняется первым (перед ним АЦП находился в исходном состоянии).

Величина Т., в значительной степени определяется быстродействием ЦАП, который можно

и

представить как инерционное звено первого порядка. Тогда

, 0,5

Т = —Т 1П :

(—у

где Т - постоянная времени инерционного звена.

Таблица 1.

Табличное представление тестов

Тесты Элементы множества Q Затраты

T 0 1 N-1 Т

t1 a11 а12 a1N Т10 Т12 Т13 Т1М

t2 а21 а22 а2 N Т21 Т20 Т23 Т2 М

tM аМ 1 аМ 2 aMN ТМ1 ТМ 2 ТМ 3 ТМ 0

Q 41 42 4n

Каждому элементу множества всех возможных кодов О поставим в соответствие вектор-строку априорных вероятностей Q = {цу} у = 0, N — 1, где Цу - вероятность того, что входному сигналу

соответствует выходной код к у . Заметим, что все априорные вероятности Ц у составляют полную группу

событий Д ,,

£ 4} =1

у=0

поскольку в результате аналого-цифрового преобразования входному сигналу всегда будет поставлен в соответствие только один какой-либо код. Если условие (2) не выполняется, априорные вероятности необходимо нормировать:

Q=-

Учитывая (2), для можно определить вероятность положительного исхода:

1 -1

а = 1 Ч; ;=1

Вероятность отрицательного исхода теста ti соответственно равна:

~ ~ N-1

<2,1 = 1 - а = IЧ; •

Определим алгоритм подбора выходного кода как некоторую стратегию <(О) = |, где

каждый тест применяется непосредственно после предыдущего при отрицательном исходе. Верхний индекс в обозначении теста означает номер стратегии, в которую входит данный тест (нулевой номер имеет

стратегия для исходного множества О). При положительном исходе, например, теста tj , производится

поиск в подмножестве О? в соответствии с частичной стратегией ), после чего применяется

следующий тест стратегии . Задать алгоритм подбора выходного кода значит определить стратегию

, а также все частичные стратегии. Считаем, что если задана стратегия , то определены все

частичные стратегии . Таким образом, стратегия определяет аналитическую форму записи

стратегии подбора кода. Графически стратегию подбора кода можно представить деревом, вершины которого обозначают применяемые тесты, горизонтальные дуги - отрицательные исходы тестов, вертикальные - положительные исходы тестов (рис. 3).

Г, _ v

о

Рисунок 3- Алгоритм подбора кода для АЦП

Если одновременно применяются несколько тестов (в АЦП, содержащем несколько ЦАП), применяются так называемые комплексные тесты. Так при применении двух ЦАП может использоваться

комплексный тест , , соответствующий одновременному применению тестов и .

Пусть определена некоторая стратегия со всеми частичными стратегиями о(О^) .

q

1=0

Международный научный журнал «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»_ISSN 2410-6070_№ 4/2015

Тогда соответствующие ей затраты, необходимые для определения выходного кода из множества Q, в наибольшей степени соответствующего входному сигналу, являются случайной величиной, значение

которой зависит от уровня входного преобразуемого сигнала. Пусть C[^(Q)]- математическое ожидание этой случайной величины. Тогда задача построения оптимальной стратегии подбора кода сводится к построению такой стратегии cr*(Q) (и следовательно всех частичных стратегий cr*(Q- )), для которой

справедливо

с|с*(О)| = Ш1П С[с(О)] •

Определим средние затраты на реализацию какой-либо частичной стратегии ) . К моменту применения этой стратегии тестами, проведенными на предыдущих шагах процесса, установлено, что

элемент с данными свойствами принадлежит множеству . Пусть стратегия ) имеет следующий вид:

) = И1, - А ].

Заметим, что

к

Щ = 1 •

и=1

В соответствии со стратегией (3), первым применятся тест , разбивающий исходное множество О.

л 1

на два подмножества О', и О у , причем О1, и О} = О,, О1, П О} = 0. Поиск в подмножествах О', и

О у производится в соответствии со стратегиями (о1 ) и (0} ). Тогда выражение для средних затрат на реализацию стратегии ) можно записать следующим образом:

с[г

Qi

где

Апостериорная информация того, что искомый код находится в множестве О , если на предыдущем

Л

установлено, что искомый код принадлежит множеству О. (О ^ О ), вычисляется по формуле:

1 1

= •

Заметим, что

1—

и=2

С учетом (4) и (6) запишем (5) в виде

к к

сиа )]=тт Ул ти+тА°

0 1 J1' Ju Ju

1 I и=1 и=2

На втором шаге стратегии (3) применяется тест ^ , разбивающий подмножество Оу на два

подмножества О1'- и О/9, причем о1. || о1, = о} , О', П Оу =0. С учетом этого, (7) можно переписать в следующем виде:

1 I k ^ k ^ k ^

сиц)]=I к т. + т2 л s Qtj,+s jа

Q- I и=1 и=2 и=2

+йк скаЛ)]+Qj, CL^(Qj-2 )]j.

a

+

Продолжая далее подобные рассуждения, получим окончательную формулу для средних затрат на реализацию стратегии о(О):

1 I к-1

фй )] = ~Т + X

Qt I p=2

J pJ p—

к

1

u=p

+

p=1

Заметим, что в стратегии о(Ог) последний тест ^^ не выполняется вследствие так называемого

«конечного эффекта», заключающегося в том, что преобразуемому напряжению может быть сопоставлен единственный код из множества О¡ . Тогда при отрицательном исходе тестов ^ можно сделать

вывод о том, что искомый код находится в подмножестве О' . Поэтому во втором слагаемом в

суммирование проводится до (к — 1) .

Таким образом, построение оптимальной процедуры подбора кода соответствует известной задаче технической диагностики поиска единственного отказа в объекте.

Если используются комплексные тесты, т.е. в АЦП установлены, например, V ЦАП, то (8) запишется в виде:

Qt [l=1,v+1,2v+1

к

где тГ^-i = max

тах ^ пг

Т1,1+V—1 ^

и =1

(г/ г-,Т/+1 / ,.. /+у), т.е. затраты на комплексный тест равны затратам на

+ XJQic[a{Q.tl)]

i=1

тест, входящий в состав комплексного и имеющий максимальное значение.

Метод построения оптимальных стратегий, основанный на решении задачи о минимальном покрытии, предложен в [4].

На рис. 4 приведена зависимость среднего времени преобразования для 8-ми разрядного АЦП от отношения Хт / О, для различных значений V - количества ЦАП.

6

ПР 4

3

2

1

О

V = 1

,, _ О

V = 2

1 V II 4

О 2 4 Хт /о 8

Рисунок 4 - Зависимость среднего времени преобразования от с.к.о. входного сигнала

При этом предполагалось, что входной сигнал Х изменяется в пределах [0, Хт ], закон распределения

входного сигнала - нормальный, математическое ожидание равно тх = Хт / 2, среднеквадратичное отклонение О .

Международный научный журнал «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА»_ISSN 2410-6070_№ 4/2015

Величина среднего времени преобразования нормирована к величине максимального значения одного такта преобразования (времени необходимого для установления напряжения на выходе ЦАП при изменении от нуля до уровня, соответствующего середине диапазона).

Из рис. 4 следует, что учет вероятностных характеристик входного сигнала, применение большего количества ЦАП, учет динамических параметров ЦАП позволяет значительно повысить быстродействие

АЦП последовательного приближения. Заметим, что для обычного 8-разрядного АЦП ТПр = 8.

Список использованной литературы:

1. Пат. 2178948 России МКИ3 H03M 1/26. Аналого-цифровой преобразователь логического развертывания / Н.Н. Хрисанов (Россия); № 2000104350; заявлено 21.02.2000; Опубл. 27.01.2002. Бюл. № 3.

2. Пат. 2187885 России МКИ3 H03M 1/26. Аналого-цифровой преобразователь/ Н.Н. Хрисанов(Россия); №2001105121/09; заявлено 21.02.2001;. Опубл. 20.08.2002. Бюл. №23.

3. Пат. 2183381 России МКИ3 H03M 1/26. Аналого-цифровой преобразователь/ Н.Н. Хрисанов(Россия); №2001108023/09; заявлено 26.03.2001; Опубл. 10.06.2002. Бюл. №16.

4. Хрисанов Н.Н., Фролагин Д.Б. Метод решения задач поиска неисправностей// Вестник СамГТУ, серия "Физико-математические науки", вып. №12/ Самарский госуд. техн. ун-т. - 2001, стр.170-178.

© Н.Н. Хрисанов, 2015