Методы параметрической идентификации моделей неопределенных динамических объектов в системах двухпозиционного регулирования. Часть 1

УДК 669.295

Ю. П. Кирин, В. А. Тихонов

МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛЕЙ

НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

В СИСТЕМАХ ДВУХПОЗИЦИОННОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. ЧАСТЬ 1

Ключевые слова: неопределенный динамический объект, двухпозиционноерегулирование, идентификация, функция потерь, критерий качества идентификации.

Рассмотрены методы решения задачи параметрической идентификации модели неопределенного динамического объекта, представленного нестационарным объектом первого порядка без самовыравнивания. Решением системы конечных уравнений, описывающих автоколебания в системе двухпозиционного регулирования, определены значения неизвестных динамических параметров и возмущения объекта. Результаты параметрической идентификации модели нашли практическое применение для идентификации ситуаций функционирования технологических процессов производства губчатого титана.

Keywords: undefined dynamic object, on-off regulation, identification, loss function, identification quality criterion.

Methods for solving the problem ofparametric identification of a model of an indefinite dynamic object represented by a nonstationary first-order object without self-alignment are considered. By solving a system of finite equations describing self-oscillations in a two-position control system, the values of unknown dynamic parameters and perturbations of the object are determined. The results of the parametric identification of the model have found practical application for identifying the situations in which the technological processes ofproduction of sponge titanium.

В рамках теории автоматического управления сформировалось новое направление идентификации неопределенных динамических объектов по автоколебательным режимам систем многоканального двухпозиционного регулирования (СМДР). Впервые такие работы выполнены в производстве губчатого титана для идентификации в СМДР динамики процессов восстановления и вакуумной сепарации [1].

Для оценки динамических свойств технологические процессы представлены нестационарными объектами первого порядка без самовыравнивания и с самовыравниванием. Получены системы конечных уравнений, описывающие в СМДР автоколебательные режимы на интервалах идентификации (квази-стационарнарности) неопределенных динамических объектов. В качестве интервала идентификации рассматривается период автоколебаний. Задача параметрической идентификации в общем случае сводится к решению на интервалах идентификации систем конечных уравнений для определения по автоколебательным режимам неизвестных динамических параметров и возмущений неопределенных динамических объектов [2].

В настоящей статье рассматриваются методы решения задачи параметрической идентификации в СМДР реального неопределенного динамического объекта (НДО) без самовыравнивания, в качестве примера которого рассматривается зона нагрева промышленного аппарата вакуумной сепарации губчатого титана [2]. Математическая модель НДО представлена дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами:

= K„ (t )•{* [t-X(t )]-z (t )}

где у^), х(0 - соответственно выходная и входная величины НДО (температура и мощность нагревателя зоны); К0ф, т(О z(t) - коэффициент усиления, время запаздывания, возмущение НДО (тепло, по-

требляемое зоной нагрева на испарение из титановой губки примесей магния и хлорида магния).

Неопределенность модели динамики объекта заключается в том, что коэффициенты К0(), т(0, z(t) дифференциального уравнения (1) являются некоторыми неизвестными функциями времени.

Получена система конечных уравнений, описывающая автоколебания в СМДР на интервалах идентификации НДО без самовыравнивания:

4V(+) = А>0 + (х ojf + id.off ) • Ko • (x - z ). Ay. ) = Ay + (i„„ + id.„„ )4Ko Ч.

+ id f + i d.ojf

2Ayo + (i„„ + id.on )ЧКо Ч

K0 4x - z)

Tf = + +

off off d.on

2Ay0 + (i

off + 1d.off )ЧК0 Ч*

.

Предполагалось, что в уравнениях (2) - (5) для измерения доступны параметры автоколебаний Ау(+), Ау(_), Топ, Т0А-амплитуды положительного и отрицательного отклонений выходной величины от заданного значения, время включения и выключения нагревателя зоны; т0П, т0^ - время запаздывания НДО при включении и выключении нагревателя; Тбш, т^.^ - дополнительное время запаздывания многоканального двухпозиционного регулятора (МДР) при включении и выключении нагревателя. Мощность нагревателя х и зона нечувствительности 2Ау0МДР - известные величины.

Так как в данном случае запаздывание объекта доступно для измерения, то задача параметрической идентификации модели НДО заключалась в определении из системы (2) - (5) числовых значений коэффициентов К0^ дифференциального уравнения (1). Следует заметить, что такая задача относится к классу обратных задач [3] в отличие от известных в теории двухпозиционного регулирования прямых задач, когда по заданным динамическим параметрам

1

)

и возмущению объекта требуется рассчитать параметры автоколебаний в СМДР) [4, 5]. Другая особенность задачи параметрической идентификации состоит в том, что система уравнений (2) - (5) является переопределенной (на четыре уравнения (2) -(5) - два неизвестных). Это обстоятельство позволило сформулировать задачу параметрической идентификации как оптимизационную задачу, заключающуюся в определении неизвестных K0,zm условия минимума специально подобранной функции (функции потерь), характеризующей различие (невязку) измеренных в эксперименте и расчетных значений параметров автоколебаний Ay+), Ay(-),Ton, Toff [6].

Задача решена пассивным методом идентификации (идентификация в условиях нормальной эксплуатации).

Проведены экспериментальные исследова-ниядинамики многоканального двухпозиционного регулирования температуры зоны нагрева промышленного аппарата вакуумной сепарации губчатого титана. В первых исследованиях в качестве МДР использовалась машина централизованного контроля с фиксированным периодом обегания датчиков температуры и значительным запаздыванием регулирующих воздействий. Вакуумную сепарацию проводили по технологии, принятой в металлургическом цехе. Изменение температуры регистрировали на диаграммной ленте вторичного прибора в ходе процесса в рабочих режимах функционирования зоны нагрева аппарата сепарации. По окончании процесса с диаграммной ленты считывались значения параметров СМДР AyM, Ay(-), Ton, Toff, Ton, Toff, Tdon, Tdoff на интервалах идентификации зоны нагрева [7].

В таблице 1 приведены экспериментальные данные измерений параметров СМДР на разных интервалах идентификации зоны нагрева.

Задача параметрической идентификации модели зоны нагрева сформулирована следующим образом: по измеренным в эксперименте значениям Ay+), Ay(-), Ton, Toff, Ton, Toff, Td.on, Td.off (см. табл. 1) и известным x, 2Ay0 (x=130 кВт, 2Ay0 =4°С) требуется определить из системы уравнений (2) - (5) неизвестные коэффициенты K0, z дифференциального уравнения (1).

В общем случае решение задачи параметрической идентификации предусматривает учет априорной и апостериорной информации об области принадлежности динамических параметров и возмущений НДО и включает следующие этапы [8]:

- выбор начальных приближений неизвестных коэффициентов модели объекта;

- определение критерия качества идентификации - функцию потерь, характеризующую различие модели и реального НДО;

- разработку алгоритмов идентификации модели НДО, минимизирующих критерий качества идентификации.

Выбор наилучших начальных приближений искомых коэффициентов моделей сложных технологических объектов играет решающую роль для определения оптимальных значений коэффициен-

тов в достаточно малой окрестности рабочих режимов объектов [9,10].

Таблица 1 - Экспериментальные данные автоколебательных режимов многоканального двухпозиционного регулирования температуры и результаты параметрической идентификации модели зоны нагрева аппарата сепарации

Номер интервала идентификации Значения параметров СМДР, измеренные в эксперименте Результаты пара-метрической идентификации модели

о 0 1 О О 4т о к ^ о i-i о 6 о м о м О 6 £ о т 6 0 О ГЛ 0 S т Ъ N

- со 3, (N (N О О 3 о ю 25,9 9, ,8 29,6 34,4 3,61 9, о

(N <N 00 18,1 О (N о ю 23,5 12,2 21,8 42,4 5, 3 98,4

со Т'И 12,2 О 8 о ю 20,8 14,5 3, ,9 54,5 3,62 93,7

^ 13,8 13,8 о (N о (N 18,0 18,0 35,2 35,2 3,42 65,0

ко 13,9 но, ,9 О ю о 8 15,6 21,1 41,0 13,8 3,69 36,2

ю 17,1 8, ,8 о ю о (N 12,1 22,8 47,9 20,2 3,58 31,9

22,1 3, ю о ю О о 3 10,3 25,8 33,2 29,6 3,55 27,9

00 23,9 00 но" о о ю 3 оо" о" (N 35,6 33,3 3,47 25,5

В нашем случае начальные приближения неизвестных К0, z определены с использованием экспериментальных данных табл. 1 следующим способом, позволяющим получить приемлемую для практики точность идентификации. Из системы (2) - (5) выбраны уравнения (2), (3). Решением системы этих двух уравнений определены начальные приближения К0и z, равные соответственно3,5-10-3 °С/с-кВт и 50 кВт.

Для количественной оценки степени близости модели (1) и реального НДО введена функция потерь, которая зависит от расчетных и измеренных параметров автоколебаний температуры [6]. Наложим на эту функцию требование минимума:

Р

"

К - ау+))2+(ч) - Ч))2+(с - с)2 +

АУ(

АУ(

-----> min у '

Tэ

-'off

где p[(A;yP(+),Ayß(+)), ...] - функция потерь; AyP(+), AyP(-), Tpon, Tpoff - расчетные значения параметров автоколебаний из уравнений (2) - (5); AУ+), Ay3-), T3on, T3off - значения параметров автоколебаний, измеренные в эксперименте (см. табл. 1).

Очевидно, что требование (6) будет выполняться, если значения K0, z будут найдены из уравнений (2)-(5) из условия минимума функции Ф1(К0, z) :

ф1 (Ko,z)=KlMof , К)-A^(-))2 , (Ton-с)2

(Topff - Tf )2

Ay

Tэ

Toff

mm

.

В качестве начальных приближений используются названные выше значения К0, z.

Поиск минимума заканчивается при достижении заданной точности решения задачи параметрической идентификации, определяемой неравенствами:

|4У(+) < 0,1; |Ayf-) -Лу^| < 0,1.

\тр - Til < 0,1

Структурная схема параметрической идентификации модели НДО приведена на рис. 1.

ITf - Tf\ < 0,1

off °ff\ '

Рис. 1 - Структурная схема параметрической идентификации модели НДО (МДР - машина централизованного контроля): - квантованная по времени выходная величина НДО

МДР изменением регулирующего воздействия ФШЬ включением и выключением входной величины х поддерживает выходную величинуу(/) на заданном уровнеуз. Устройство измерения параметров автоколебаний (УИПА) в процессе функционирования НДО измеряет на его входе значения параметров автоколебаний Т0П, Т^, а на выходе - значения параметров автоколебаний Ау+), Ау^и, кроме того, время запаздывания т0П, т0А, ^.0П, т^^. Идентификатор (ИД) по результатам измерений вычисля-

ет в соответствии с алгоритмом (7) неизвестные величины K0, z.

Алгоритм идентификации (7) реализован применением встроенной функции Minimize средств MathCAD [11]. Для решения задачи таблица экспериментальных данных представлена в виде матрицы. Результаты решения выдаются в виде массива значений K0, z (см. табл.1).

Как видно из табл. 1, коэффициент K0 изменяется в процессе функционирования НДО незначительно. Существенно изменяется (снижается) возмущающее воздействие z (рис. 2).

Рис. 2 - Изменение тепла, потребляемого зоной нагрева аппарата сепарации на испарение из титановой губки примесей магния и хлорида магния: t - время процесса сепарации

Дальнейшие исследования задачи параметрической идентификации модели НДО проводились с использованием в СМДР в качестве МДР быстродействующего микропроцессорного контроллера, для которого интервал квантования по времени (период обегания датчиков) можно принять равным нулю и соответственно в системе уравнений (2) - (5) т<^ш = т^.0Я = 0.

В табл.1 обращает на себя внимание то обстоятельство, что полученные в эксперименте суммарные времена запаздываний т0П + т^ на каждом из интервалов идентификации НДО отличаются незначительно (не более, чем на 2с).

Необходимо отметить, что при расчетах динамики двухпозиционного регулирования запаздывание стационарных объектов при включении и выключении входной величины принято считать постоянным [4,5]. Поскольку в нашем случае НДО рассматривается на интервалах идентификации квазистационарным, то представлялось целесообразным ввести в систему уравнений (2) - (5) вместо запаздываний топ, т0й- суммарное запаздывание т = т0П + т0ff=const и записать систему уравнений (2) - (5), используя общепринятую в теории двухпозиционного форму записи уравнений для описания автоколебаний [4,5,12]:

ДУ(+) = АУо +х-К0 •( х - г);

ЛУ(-) = ЛУо + х'Ko •z. T =т+ 2ЛУо + Т>Ko •z

on Ko •(x- z) .

T _т + 2A>o K0 •( x - z) 1 off " Y ,

K0 •z .

Предположение о постоянстве времени запаздывания на интервалах идентификации НДО проверено с использованием системы уравнений (12) - (15). Для этого, как и в предыдущем случае, методом пассивного эксперимента исследована динамика многоканального регулирования температуры зона нагрева аппарата сепарации. В микропроцессорном контроллере измерены значения параметров автоколебаний Ay(+), Ау-), Ton, Toff на разных интервалах идентификации НДО (табл. 2).

В данном случае задача параметрической идентификации модели НДО сформулирована следующим образом: по измеренным в эксперименте значениям автоколебаний Ау(+),Ау(-), Ton, Toff (см. табл. 2) и известным x, 2Ay0 (x=130 кВт, 2Ау0=4°С) требуется определить из системы уравнений (12) - (15) неизвестные коэффициенты K0, z, т дифференциального уравнения (1). Система (12) - (15) переопределена (на четыре уравнения (12) - (15) - три неизвестных). Решение задачи сводится к минимизации функции Ф2(К0, z, т) при выполнении условий (8) - (11) [6]:

К-Ап+))2. (Ч)-Ч))2. (Ton - с )2

Ay

Ay-

-»mm

Ф2 (К0, г, т) =

(тр )2

^ . (16) В качестве начальных приближений используются значения К0Д и т, равные соответственно 3,5-10"3°С/скВт, 50 кВт и 35с.

Таблица 2 - Экспериментальные данные автоколебательных режимов многоканального двухпо-зиционного регулирования температуры и результаты параметрической идентификации модели зоны нагрева аппарата сепарации

« Значения параметров Результаты пара-

й э g к а и s i СМДР, измеренные в эксперименте метрической идентификации модели

н

к к ft н о S о К О 0 1 О 0 1 о к ^ о О О m О 5 о н z

1 5,5 15,4 221,7 60,2 3,41 38,5 102,1

2 6,3 14,7 182,3 61,2 3,52 37,1 97,3

3 6,7 13,7 151,1 60,8 3,63 35,4 92,9

4 10,1 10,1 92,4 92,4 3,42 36,8 65,0

5 14,5 7,1 61,1 152,8 3,39 35,6 37,2

6 15,8 6,2 61,0 203,1 3,62 38,4 30,2

7 16,6 5,6 55,1 220,2 3,71 36,1 26,1

8 16,9 5,4 55,3 251,2 3,72 38,2 24,1

Структурная схема параметрической идентификации модели НДО приведена на рис.3.

Рис. 3 - Структурная схема параметрической идентификации модели НДО

МДР изменением регулирующего воздействия ф[у(1)] - включением и выключением входной величины x поддерживает выходную величину y(t) на заданном уровне уз. УИПА в процессе функционирования НДО измеряет на его входе значения параметров автоколебаний Ton, Toff, на выходе - значения параметров автоколебаний Ау+), Ау(-). ИД по результатам измерений вычисляет в соответствии с алгоритмом (16) неизвестные величины K0,z,T.

Алгоритм идентификации (16) реализован применением встроенной функции Minimize средств MathCAD [11]. Результаты решения выдаются в виде массива значений K0, z, т (см. табл. 2).

Анализ полученных в табл. 2 результатов параметрической идентификации позволяет сделать вывод о том, что коэффициенты K0(t) и T(t), первоначально представленные в модели (1) НДО как функции времени, могут быть приняты постоянными величинами. В связи с этим исходную модель НДО можно записать в следующем виде:

d (t )]_ AV[ x (t-<)-z (t)]

.

dt

Как видно из (17), условия функционирования НДО зависят от возмущения г((). Это обстоятельство имеет большое практическое значение для построения систем идентификации ситуаций функционирования технологических процессов, информация о которых формируется путем прямого или косвенного измерения z(t) и используется в автоматизированных системах для поддержки принимаемых технологом управленческих решений. Так, например, использование модели (17) в производстве губчатого титана открывает новые возможности для идентификации ситуаций функционирования процессов восстановления и вакуумной сепарации [13 - 15]:

- передачи тепла из зоны экзотермической реакции в зоны нагрева аппарата восстановления;

- положении зоны экзотермической реакции по высоте аппарата восстановления;

- стадий процесса вакуумной сепарации;

- тепловой нагрузки конденсатора аппарата вакуумной сепарации.

Предложенные методы параметрической идентификации моделей неопределенных динамических

объектов могут быть применены в различных отраслях промышленности.

Литература

1. Кирин Ю. П., Затонский А. В., Беккер В. Ф. и др. Построение моделей динамики в системах управления процессами производства губчатого титана // Вестник Костромского государственного университета им. Н. А. Некрасова. - 2006. - Т. 12. - С. 43-47.

2. Кирин Ю. П., Тихонов В. А. Параметрическая идентификация моделей неопределенных динамических объектов в системах двухпозиционного регулирования // Вестник Казанского технологического университета.-2017. - Т.20. - №5. - С.91 - 94.

3. Цей Р., Шумафов М. М. Математическое моделирование и обратные задачи // Вестник Адыгейского государственного университета. - 2008. - Вып.4. - С. 18 - 24.

4. Кампе-Немм А.А. Автоматическое двухпозиционное регулирование. - М.: Наука, 1967. - 160 с.

5. Черепанов А.И. Динамика систем многоканального позиционного регулирования. - М.: Энергия, 1970. - 80с.

6. Варламова С.А., Кирин Ю.П., Калинина Н.С. Идентификация объектов позиционных систем регулирования в среде МаШСАБ// Наука в решении проблем Верхнекамского промышленного региона: Сб. науч. тр. БФ ПГТУ. - Березники, 2006. - Вып. 5. - С. 204-208.

7. Кирин Ю.П. Экспериментальное исследование динамики позиционного управления технологическими процессами производства губчатого титана // Наука в решении проблем Верхнекамского промышленного регио-

на: сб. науч. тр. - Березники: БФ ПГТУ. -2010. -Вып. 7. - С. 266 - 273.

8. Цыпкин Я.З. Основы информационной теории идентификации. - М.: Наука, 1984. - 320с.

9. Кулаков Ю. В., Шамкин В. Н. Расчет начального приближения при параметрической идентификации математических моделей статических режимов сложных технологических систем // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2004. - Вып. 11. - Т. 10. - С.58-69.

10. Кулаков Ю. В., Шамкин В. Н. Исследование роли начальных приближений в решении задачи параметрической идентификации одной математической модели статики сложной технологической системы // Вестник Тамбовского государственного технического университета. - 2006. - Вып. 1. - Т. 12. - С.8-19.

11. Дьяконов В. Mathcad 2001: специальный справочник. -СПб: Питер, 2002. - 832 с.

12. Клюев А.С. Двухпозиционные автоматические регуляторы и их настройка. - М.: Энергия, 1967. - 104 с.

13. Кирин Ю. П., Затонский А. В., Беккер В. Ф. Идентификация ситуаций функционирования технологических процессов в производстве губчатого титана // Информационно - измерительные и управляющие системы. -2009. - №9. - Т. - 7. - С.32 - 36.

14. Кирин Ю. П. Информационная поддержка управления технологическими процессами производства губчатого титана // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. - 2009 . - №11. - С. 7 - 10.

15. Кирин Ю. П., Краев С. Л. Математическое описание ситуаций функционирования технологических процессов производства губчатого титана // Горный информационно - аналитический бюллетень. - 2012. - №7. -С.358 - 360.

© В. А. Тихонов - канд. техн. наук, ст. препод. кафедры «Химическая технология и экология» Березниковского филиала Пермского национального исследовательского политехнического университета, vtihonov@bf.pstu.ac.ru; Ю. П. Кирин - канд. техн. наук, доцент кафедры «Химическая технология и экология» Березниковского филиала Пермского национального исследовательского политехнического университета, klu2010@mail.ru.

© V. A. Tikhonov - Senior Lecturer of the Department «Chemical Technology and Ecology» Berezniki branch of the Perm National Research Polytechnic University, vtihonov@bf.pstu.ac.ru; Yu. P. Kirin - Associate Professor of the Department «Chemical technology and ecology» Berezniki branch of the Perm National Research Polytechnic University, klu2010@mail.ru.