Операторы обобщенного дифференцирования Гельфонда - Леонтьева и полиномы Бренке

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.982.274+517.983.22 А.В. БРАТИЩЕВ

ОПЕРАТОРЫ ОБОБЩЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ГЕЛЬФОНДА - ЛЕОНТЬЕВА И ПОЛИНОМЫ БРЕНКЕ

Обнаружена естественная связь операторов обобщенного дифференцирования (ООД) Гепьфонда -Леонтьева и последовательностей полиномов Бренке. Получен критерий расширения оператора, коммутирующего с ООД, до непрерывного на всем пространстве Н^). Описан класс областей, для которых характеристическая функция оператора комплексной свертки всегда имеет нулевой тип. Доказана гиперцикличность и хаотичность обобщенной комплексной свертки.

Ключевые слова: обобщенная производная Гельфонда - Леонтьева; полиномы Бренке; производная Данкла; коммутация; обобщенная комплексная свертка; гиперциклические и хаотические операторы.

Введение. В работе Бренке [1] дано обобщение понятия полиномов Аппеля (1880 г.), позже названное полиномами Бренке. Затем А. Гельфонд и А. Леонтьев [2] ввели понятие обобщенного дифференцирования, названное производной Гельфонда - Леонтьева. Мы пытаемся установить естественную связь между этими обобщениями (теоремы 2, 3).

В терминах полиномов Бренке установлен критерий расширения коммутирущего с ООД линейного оператора до непрерывного в пространстве Н (О) аналитических в односвязной области G функций (теорема 4). Ю.М. Царьков [3] и ряд других авторов [4] получили представление оператора, коммутирующего с оператором классического дифференцирования, в виде дифференциального оператора бесконечного порядка. В настоящей статье выделены все те области, для которых возможно такое представление (теорема 6). Мы доказали [5] гиперцикличность и хаотичность операторов, коммутирующих с оператором дифференцирования Данкла. Этот результат устанавливается для более широкого класса операторов обобщенного дифференцирования (теорема 7).

Представление операторов обобщенного дифференцирования. Пусть G - односвязная область, и последовательность ограниченных расширяющихся областей ^п} Т G исчерпывает G . Н^) - пространство аналитических в G функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Под оператором обобщенного дифференцирования Гельфонда - Леонтьева понимаем линейный непрерывный в Н^) оператор, действующий на последовательности степеней по

правилу

Dzn = d1 zn-1, п є М, т = 0 .

п-1 ' 5

да 1

При этом функция е^)  = ^е^п, еп =-, е0 = 1, называется обобщенной экспонен-

п=0 <^0..'<^п-1

да

той, а функция d^)  =^dnzn - порождающей функцией ООД . Мы получили [6] такую характе-

п=0

ризацию и представление ООД.

ТЕОРЕМА 1. Определенное на последовательности степеней ^п} отображение D .Dzn  = dn-1 zn-1, п є М, D1  = 0, расширяется до линейного непрерывного в Н^) тогда и

да

только тогда, когда ряд d^)  =^dnzn сходится в окрестности начала координат, и функцио-

п=0

нальный элемент d^—j, | ^ |> -1, | г-г0|< е, аналитически продолжается в каждую односвязную область Gn х G'N(п), п е N. Имеет место такое интегральное представление:

[ Ly]( z) = -^ | у ^ )-2 й

2га С t V t

[Ла>р у]( 2): = у'( 2) + а^у ^ у-р^ 7 ^ 7, а, р> 0, е К,

ПРИМЕР. Оператор обобщенного дифференцирования

у(2) - у(0) п у(-2) - у(0) _ п ^ п Р^_а 2

на Н (G) (где G - центрально-симметричная область относительно начала координат) обобщает оператор Данкла, у которого а = р [напр., 7].

Связь полиномов Бренке и операторов обобщенного дифференцирования. Пусть даны два формальных степенных ряда:

~ ^ а„

а(—)=Е“г—п, у(—)=Е^п—п.

П“0 п! П“0

да

Их произведение а(^)у(zw) = ^рп (—^п порождает последовательность полиномов Бренке

п=0

п а

(ППБ) рп(—) = ^—У—, п = 0, 1, ... [1].

к=о (п-к)!

В частном случае, когда у(—) = е—, получается последовательность полиномов Аппеля:

п а

р (—) = У----п-к——к, п = 0, 1, ...,

’ к=0(п-к)!к!

связанных равенствами — рп (—) = рп_ 1 (—), п е N.

—х

Оказывается, между классом полиномов Бренке и классом ООД Гельфонда - Леонтьева существует тесная связь.

ТЕОРЕМА 2. Последовательность полиномов Бренке {рп(—)} (где Уп > 0 уп ф 0) порождает ООД О на пространстве многочленов span{zn} по следующему правилу:

в—п .= 1„-1—п1, о1:= 0, причем

V п

Орп(—) = Рп-1 (—), [Орп](0) = ап-1У0, п е N; е(—) = — у(—) .

п V ' -I п—1 \ ' у *- / 1\|-' 4 '

(п -1)! у,

0

а

Обратно, ООД О, Уп > 0 —п ф 0, на span{zn} и формальный ряд а^) = 'У-^wn порож-

п=0 п!

да

дают ППБ {рп(—)} с порождающей функцией a(w)e(zw) = ^рп (z)wn, причем

п=0

а

^п (2) = Рп-1(z), [^п ](0) = 7^7, п Є К .

(п -1)!

Доказательство. По условию

[ DPn ]( 2) = 17а-Ь чМ V к-12к-1 =У ^1-* . V к2к = Рп-1( 2) ,

к=і (п-к)! к=1 (п-к)! *=о(п-1-к)!

2

(2):=±Ы...^ 1 12П =1-у(2) .

е%

п=0

V,

0

да 1

Обратно, положим v( 2) := е( 2) = ^------------------------

п=0 й0..'йп-1

п

2.

По этой функции и а(^) = ^построим порождающую функцию

п=0 п!

да

а(^)е(= £ Рп (2)^п .

п

п=0

п а 1

В соответствии с определением Рп(г) = У——------------------гк, п = 0, 1, ... Остается подей-

к=0 (п-к)! й0...йп_ 1

ствовать на это равенство оператором D.

ПРИМЕР. Введенная выше обобщенная производная Данкла Лар2п := (п + а +

+(-1)И-1р)2п-1, п є К, D1:= 0, порождает последовательность полиномов Бренке вида

п а 1

Р (2) = У —-------------------------------к---2к, п = 0, 1, ...

к=0

Обозначим £Г) множество линейных операторов на пространстве многочленов, которые коммутируют с ООД D.

ТЕОРЕМА 3. Между классом линейных операторов £Г) и множеством всех последовательностей полиномов Бренке с порождающими функциями вида

да

а(^)е(^) = ^рп (2^п, Уп > 1 еп Ф 0, е0 = 1

п=0

(где е(2) - обобщенная экспонента ООД D) существует изоморфизм, задаваемый правилом:

L(еп2П ) = Рп (п > 0 .

При этом (формально) Це(А,2)) = а(Х)е(^).

а

Доказательство. Положим рп (0) = еп • [Lz”](0) =: — .

п!

Так как Dn+1 Рп (2) = L(Dn+1enzn) = 0, то deg рп < п .

П

Найдем коэффициенты этого многочлена рп(2) := ^хк2к . [Dkрп(2)](0) = хкйк- 1...й0.

к=0

С другой стороны,

а

[&рп(2)](0) = ^кеп2п](0) = епйп_1...йп_к[Lznk](0) = еп_к[Lzn-k](0) = .

(п-к)!

Приравнивая правые части, получаем последовательно

к =------------------^ Рп(2) = У——----2к -многочлен Бренке.

к (п-к)! й0...йк-1 ^п к=0(п-к)! й0...йп_1

да

Обратно, каждая ППБ с порождающей функцией а(^)е( = ^ рп (2)^п определяет ли

п=0

нейный оператор по правилу L(enzn) = рп (—). Операторы L и О коммутируют, так как

L(Denzn) = L(endn_ 1—п-1) = L(en- 1—п-1) = Рп-1 (—),

°Цеп—п ) = ОРп (—) = Рп-1 (z), п > 0 .

Последнее равенство следует из предыдущей теоремы.

п

Критерий непрерывности операторов обобщенного дифференцирования. Сопоставим

да

целой функции экспоненциального типа f(Я) = ^/пХп [8] с помощью обобщенной экспоненты

?(z):=^enzn степенной ряд

/ 1

В. |£/X :=Е7^'

V п=0 у п=0 .

называемый обобщенным преобразованием Бореля этой функции.

ТЕОРЕМА 4. Пусть ООД О непрерывен в Н(О), 0 е G, e(—) является целой функцией

экспоненциального типа. Оператор Ь е расширяется до непрерывного в Н(О) тогда и только

тогда, когда выполнены условия:

1) Нтп|[Ь—п](0) • .п | п! <да;

да п (

2) Нттах п | [Ь—к](0)еп-квк | <да, откуда следует аналитичность суммы ряда V—г как

п^да 0<к<п\1 e /~\ ^п+

V п=0 «V

функции двух переменных в некотором бикруге0(0,в) х 0(да,в);

да ^ р

3) Уп ЗN = N(п) > п сумма ряда V ——- аналитически продолжается в бицилидиндри-

£0

ческую область Оп х с;. При этом Ь представим в виде оператора обобщенной комплексной свертки

[ Ьу ](—) = | у (Г) в. [а(Я) .(1—)]^ ) —I.

С

Доказательство. ^ Так как оператор Ь непрерывен в Н(О), то по предыдущей теореме

да да п да да

Ь.(Я—) = £ЯпЬ.п—п =^ЯпХ[Ь—п-к](0)en-kekZk =£[Ь—п](0).пЯп V.п(Я—)п =: а(Я).(Я—).

п=0

nTPnzn

n=0 n=0 к=0

Vn 3N = N(n) > n VXeC | a(X)|max| e(Xz) |= max| Le(Xz) |< Сmax| e(Xz)|< Лexp{5 | X |},

zeGn zeGn zeGN

откуда целая функция a(X) имеет экспоненциальный тип, т.е. условие 1 имеет место.

Так как Pk (z) = Lzk, то max

zeG"

Pk

й C max z = CRn .

zeGn ' '

Отсюда, в частности, следует равномерная сходимость ряда V

п=0

бикруге 0(0, в) х 0(да, в). Далее

pn

n+1 в некотором

max

0<k <n

"і[Lzk](0)en—kek |

= max

0<i<k

pkk—1}

(к —і)!

= max

0<1<k

f

2жі * t

Pk

k—1+1

dt

й

й max

0<1<k

maxi pk

zeG,

2жіп

rk—i+1

<-

I’kCRNI" —

к+1

N n ^ lim max к

n^>» 0<i<k \|

[ Lz1 ](0)-

n

Оператор L имеет такое интегральное представление [9]:

RN

й < да .

1

Vz є Gn [Ly](z) = — f y(t)k(t, z)dt, 2жі _J

г N +1

где ядро k(t, z) - аналитическое в каждой области Gn х G'N.

n=0

n=0

e

P

к

к

n

n

e

r

k

n

У111> R к(., 2) =

Рп

и

.-с.

(2) =

да гп

ТЕУ^Г

(2)=У

[^]

^п+1 л ..п+1

т.е. сумма ряда У п+1 аналитически продолжается в каждую область Gn х G^^.

п=0 Єп t

Первое условие равносильно тому, что функция а(Я):=У[Ь—п](0).пЯп является целой и экс-

поненциального типа. В силу второго условия

тах

zєGn

Рк

= тах

zєGn

< CDkRkk тах У = (к + 1)С (DRn )к .

2є(іп і=0

Рп

Отсюда следует, что функция к (г, —) := у п+1 аналитическая в области Оп х 0(в, да).

п=0 .п ^

По третьему условию она аналитически продолжается в каждую область Оп х О'^г.

По теореме Кете определяемый функцией к (г, —) оператор [Ь0 у](—) = I" у(г )к (г, —)—г

2га У

и Ґ](2) = -1- | Ґк(., z)dt = 2_ | ҐУ ^ = [Ltn](2) ,

— .|=Я 2— .|=Я п=0 еп t еп

непрерывен в Н ^) .

Так как

1 п 1

— ї Єк(t, 2)й. =--

то и по определению расширяется до непрерывного оператора на Н(О), коммутирующего с

ООД D. Его представление очевидно. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

й да 1

При D = — имеем е(2) = У—2п = е2. Первое условие теоремы принимает вид

п=0 п!

йт п^Гїй2пї(0)ї < да и равносильно тому, что характеристическая функция оператора

п^да

... ^ [Т2п ](0К п

а(Х):=> -—является целой экспоненциального типа. Из второго условия следует, что

п=0 п!

двойной ряд

У ^=У ^ У [ ^к тс;/

п=0 t п=0 t к=0

абсолютно сходится в бикруге D(0,в) хD(да,в). Поэтому можно менять порядок суммирования:

к(. 2) = ^ п! Рп (2) =^ 1 V [ Тук ](0) п!

к(t, 2) У п+1 У .п+1 У[Т2 ](0) к !(п к)!

п=0 . п=0 . к =0 к !(п-к)!

[Т2к](0) ^ 1 п! _п-к ^ [Т2к](0) к!

= у1 У

=У

к+1

=: Л(. - 2),

к=0 к! п=кгп+1 (п-к)! к=0 к! (г-—)к

где А(г) - классическое преобразование Бореля функции а(—).

Оно аналитически продолжается до аналитической и многозначной функции в областях

о;-Оп.

Более простой по форме критерий расширения оператора, коммутирующего с ООД, получается для круговой области 0(0, К):= {— :| — - 0|< К}, если воспользоваться критерием М.Г. Ха-планова [10].

1

п=0

п

п=0

е

1=0

к

к

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть ООД О непрерывен в Н(0(0,Я)), Я е (0,да), т.е. его порождающая

да

функция — (—):=у —п—п аналитическая О(0, 1). Оператор Ь е£О расширяется до непрерывного

п=0

в Н (О(0, Я)) тогда и только тогда, когда коэффициенты его полиномов Бренке удовлетворяют условию:

У г < Я Нт

п

п^да

т^гиик I[Lzn—к](0)е„-кек 1 гк < я .

| еп 10<к<п

Следующая теорема дает описание класса непрерывных линейных операторов, коммутирующих с оператором обобщенного дифференцирования Данкла. Доказательство сводится к нахождению эквивалентных операторов, коммутирующих с оператором классического дифференцирования, описание которых известно.

ТЕОРЕМА 5. Пусть G - односвязная центрально-симметричная область, D = Лар,

Т є £К . Равносильны утверждения:

а,р

1) Т расширяется до линейного непрерывного в Н (О) и коммутирует с обобщенным оператором Данкла: ТЛа,р=Ла,рТ на Н (О).

,, , .-л ч ^ \Т2 ]

2) функция а(Х):=> ----------------------------------- — Х является целой экспоненциального

п=0

типа, и функция -

[ Т2к ](0)к! 1

А(.-2) :=У-

к=0(1 + а + р)...(п + а +(-1)п 1р) (.-г)к+1

аналитически продолжается в каждую область Оп х О'ы как функция двух переменных.

Доказательство. Покажем сначала, что определенный на {2п} диагональный оператор

п (1 + а + р)...(п + а + (-1)п 1р) п „ ттґ/^\

32 :=--------1—-—— 2п расширяется до линейного непрерывного на всем Н(Є).

п!

Для этого преобразуем его порождающую функцию.

1 ( 1+о+Р^Г1+^^1

й (2) = У (1 + а + р)...(к + а + (-1)п- 1р) 2п ^ +

3() = У п! = У ф к!

3 + а + р| (Л а-р

Г II 1 + Г

+(1 + а + р^ 2 ( 3к'^-^2=к+ = 2Ц (, 1 + а-р;2;2=к і +

2к

/л г»\ г--(3 + а + р а-р 3 2к і

+(1+а+р)2• 2Ц^—^,1 +^;^;2 |.

Аналогично для обратного диагонального оператора:

1 1 к!

й -1 (2) = У------------—------------ ---2П = У 7-------^. 3к---------г—22к +

3 п=0(1 + а + р)...(к + а + (-1)п-1р) (1 + а + р| (1 + а-р1

3 ' к!

+----1----Ь----------Щ------------^-—;к+‘ = 3Р2 ( ,1 + ^£;—=к 1 +

1 + а + рк=0Г3 + а + р~| (1 + а~Р^ V2 2 2

+_^_______р (1 г3+а+р 1+а^Ё. —^

1 + а + р 3 2(2’ ’ 2 ’ 2 ’

Обобщенная гипергеометрическая функция 1 Рч(а1,...,ач+1; Ь1,...,Ьч; —) является решением уравнения типа Фукса с правильными особыми точками 0,1, да [11]. Она голоморфна в единичном круге и аналитически продолжается по любому пути, не проходящему через точки ветвления 0,1, да, на бесконечнолистную риманову поверхность. Отсюда следует, что для любой односвязной области G’ 0 е G, функция ц+1 рц ^а1,...,ац+1; Ъ1,...,Ъц; — ^ аналитически продолжается в

каждую область Gn х G'N, п < N.

Тогда в случае центрально-симметричной области G функция

Г —2 ^

д+1 Рд а1,...,а1;Ь1,...,Ьд;— аналитически продолжается в соответствующие Gn хG'N, и поэтому

V ^ )

оба диагональных оператора 3, 3 1 непрерывны в Н (G) [11].

3 является оператором преобразования дифференцирования Данкла Лар в классическое дифференцирование —, т.е. 3 ° ЛаР= — ° 3.

й— йг

Пусть теперь выполнено условие 1. Покажем, что оператор Ld := 3Ь3~Х коммутирует с классическим дифференцированием:

— т Г — г Т т—1т( а т \ т—1тт{ а у_1 \ / у-_ 1 \ й т й

^ 3 = 3(Ла>р3)31 = 33(Ла,рУ-1 ) = (331)- = 3- ^

Так как 3а:= 33(3~1еХг ) = 3(3е(Хг)) = 3[а(Х)е(Хг)] = а(Х)ел'г, то эквивалентные опера-

да

торы 3а, 3 имеют одну и ту же характеристическую функцию а(Х) = У[3гп](0)епX". Поэтому

п=0

утверждение 2 следует из замечания 1 к предыдущей теореме.

Пусть теперь выполнено условие 2. По тому же замечанию и теореме Кете оператор комплексной свертки [3йу](г) = -^- і"у(г)А(г - 2)— непрерывен в Н(G). Непрерывный оператор

2гас

313л3 коммутирует с Лар (доказательство аналогично вышеприведенному). Покажем, что он совпадает с 3 на {гп}, т.е. 3 расширяется до линейного непрерывного в Н(О).

3-133 = — 3-е„

3/~

"!

V п

1 1

п-к

[3

к =0

Теорема доказана.

= £[32п-к ](0) = 3гп.

Представление любого оператора свертки в виде дифференциальных операторов бесконечного порядка. Назовем вычетом множества G2 по множеству G1 множество

s(О1,G2) := (г е С : г + G1 с G2} .

Впервые такое множество рассматривалось в работе Ю.Ф. Коробейника [12]. В частности, вычетом множества О назовем множество s(G) := (г е С: г + G с G}.

Докажем основную формулу для вычета множеств: (О2 - Ц)' = s(Gl, G2).

(О'- Gl)' = (: t е G2-О = У (G2-г) = (р| (G2 - г))'} =

2

zєG,

= [і: і є р| (в2 - z)} = [і: Vz є в, і + z є в2} = [і: і + в, с в2} =: s(G1,в2).

2

zєGl

ТЕОРЕМА 6. Пусть в есть односвязная область в С . Равносильны утверждения:

1) s(G) = 0 ;

* ^ ](0) к

2) характеристическая функция а( z) = > -—z каждого непрерывного линеиного в

к=0 п!

Н(в) оператора L, dL = Ld, является целоИ функцией экспоненциального типа ноль:

Нтф ](0)| = 0.

Доказательство.

^ По определению 0 е s(G). Пусть г0 ф 0, г0 е s(G). Так как G + г0 с G, то оператор сдвига [Xу]:= у(г + г0) непрерывен в Н(G). Он, очевидно, коммутирует с оператором дифференцирования. Для этого оператора [Ье^ ](0) = ем г+г0), и характеристическая функция а(Х) = е2°х не имеет минимальный тип. Это противоречит условию.

^ Ядро оператора Ь k(t, г) = А^ - г) голоморфно в каждой области Gn х G'N. Отсюда Уг е ° функция А(0 голоморфна в О^-г, и вообще У г е О ЗN (г) она голоморфна в (г) - г. Эта функция аналитически продолжается из точки ^ = <х> по лучам в главную звезду (относительно да) Dz з О'(г) - г [13, с.492].

Покажем, что Ув > 0 функция А(^) аналитически продолжается до голоморфной в области С \ D(0, в), откуда и будет следовать ее голоморфность в С \{0}. Из открытого покрытия компакта С \ D(0,в) множествами О^(г) - г, г е О, выберем конечное подпокрытие

У (О;(^^) з С \ ^0, в).

к=1

Так как А(0 аналитически продолжается в каждую звезду D з О^(кк) - гк, то она ана-

п

литически продолжается до голоморфной функции в звезду У D з С \ D(0,в).

к =1

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.

Нетрудно видеть, что вычет ограниченной односвязной области О равен нулю. Для этого случая было доказано [3, 4] утверждение 2 теоремы. Для неограниченной выпуклой области О

s(G) ф 0.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

В случае s(G) = 0

т( z) = 2-1 у(і)А(і - ^ йі = -1- | у(і)£ йі = £ ^!Шу(п) (z),

2т С 2-і С П=0(і- z) п!

причем ряд равномерно сходится внутри в . Отсюда и из теоремы 4 [12] непосредственно следу-

и п У— и ^ V—ч V V V и

ет такой критерии. Для того чтобы для односвязнои области в каждый линеиныи непрерывный в Н (в) оператор L, коммутирующий с оператором дифференцирования, был представим в виде

дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы s(G) = 0 .

ЗАМЕЧАНИЕ 3.

В предыдущей теореме для центрально-симметричной односвязной области в показано, что каждый линейный непрерывный в Н (в) оператор, коммутирующий с обобщенным дифференцированием Данкла Лар, эквивалентен оператору, коммутирующему с классическим дифференцированием. Так как для обобщенной производной п -го порядка

Л^У = (J- й/) °... ° (J- й/)У = J-l(Jy)(n),

az az

то в случае s(G) = 0 такой оператор представим в виде дифференциального оператора бесконечного порядка относительно обобщенного оператора Данкла:

^у]( ^ = Ь1~%Ш z) = J-l У[ ](0) (Jy)(n)( z) =

п=0 п!

= У

п=0

Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки. Мы показали [5], что операторы обобщенной комплексной свертки, порождаемые оператором дифференцирования Данкла, являются хаотическими и гиперциклическими. Воспользуемся приведенным там условием гиперцикличности в пространстве Фреше, чтобы доказать это свойство для операторов из теоремы 4.

Для непостоянной характеристической функции а(Х) множества А := ^ :| а(z)|< 1}, В := ^ :| а(z) |> 1} открыты в С .

Подпространства V := span[eXz: Хє А}, W := span[eXz: Хє В} плотны в Н(в). Пусть, например, [Хк} —— Х0, Х0,Хк є А . Фиксируем произвольный непрерывный функционал на Н(в). Он

да у 1

задается функцией Y(і) є Н(в'), Y(і) = У ^, по правилу (у,У) = —:|у(і)Y(і)йі.

п=0 і 2—1 с

Покажем, что из равенств (у(Хкі),У (і)) = 0, к = 1, 2, ..., следует У (і) = 0, откуда по теореме Банаха V плотно в Н(в).

Функция у (Х):= (в(Х^,У (0) = у упепХп является целой функцией экспоненциального типа,

п=0

так как такова е(Х). Поскольку по условию у(Хк) = 0, к = 1, 2, ..., то по теореме единственности у (Х) = 0, а значит и У ^) = 0.

Аналогично доказывается плотность Ж .

Последовательность отображений {Гп} поточечно сходится к нулю на V, так как

( т \ т

Г I Е1 = Еа ап (Х^)е(Хгг) равномерно стремится к нулю внутри G .

V г=1 ) г=1

Аналогично, для отображения ^(е(Хг)):^-^— е(А^), Хе В, расширенного по линейности

а

на все W, последовательность {^п} поточечно сходится к нулю. Наконец, композиция LS является тождественным отображением на W :

л

( m 1

i=1 J

LSIZ=L Za^^^тe(Яiz) =Zaгe(Ягz).

V !

-1 ‘а

Это и доказывает гиперцикличность оператора обобщенной свертки.

Каждая гиперциклическая функция / преобразования L порождает плотное в Н

многообразие гиперциклических функций (гиперциклическое многообразие) {[р(£)](/): р -

многочлен} в Н ^).

Докажем хаотичность, т.е. плотность в Н (О) множества периодических элементов оператора L. Имеем импликацию

[LneXt](z) - eXz = (an(X) - 1)eXz = 0 ^ a(X) = expj—ij, n e N k = 0,...,(n -1) .

В силу открытости отображения a

a(X) = exp{2TCki/n}j имеет предельную конечную точку.

Рассуждая как и выше и используя теорему единственности, получаем плотность подпространства периодических функций span{e(Xz): ХеЛ} в H(G), т.е. оператор L - хаотический. Нами доказана

ТЕОРЕМА 7. Пусть оператор обобщенной комплексной свертки L удовлетворяет теореме 4 и не является скалярно кратным тождественному преобразование пространства H (G). Тогда L

имеет инвариантное относительно Ла гиперциклическое многообразие, которое плотно в H (G).

L является также хаотическим оператором.

Библиографический список

1. Brenke W.C. On generating functions of polynomial systems // Amer. Math. Monthly. - 1945,

- v.52. - P.297-301.

2. Гельфонд А.О. Об одном обобщении ряда Фурье / А.О. Гельфонд, А.Ф. Леонтьев // Ма-темат. сб. - 1951. - Т.29 (71). - №3. - С.477-500.

3. Царьков Ю.М. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочных со степенью оператора дифференцирования / Ю.М. Царьков // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. - 1970. - Вып.11. - С.86-92.

4. Братищев А.В. Общий вид линейных операторов, перестановочных с операцией дифференцирования / А.В. Братищев, Ю.Ф. Коробейник // Математ. заметки. - 1972. - Т.12. - Вып.2. -С.187-195.

5. Братищев А.В. Хаотичность коммутирующих с дифференцированием Данкла преобразований пространств аналитических функций / А.В. Братищев // Вестник ДГТУ. - 2009. - Т.9. -№2. - С.196-207.

6. Братищев А.В. Об одном диагональном операторе / А.В. Братищев, А.В. Моржаков // Ин-тегро-дифференциальные операторы и их приложения: сб. Вып.8. - Ростов н/Д : Издательский центр ДГТУ, 2008. - С.32-37.

7. Betancor J. J., Sifi M., Trimeche K. Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operator on С // Acta Math. Hungar. - 2005. - v.106(1 - 2). - P.101-116.

8. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин. - М.: ГИТТЛ, 1956. -

632 с.

9. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie // J. reine angew. math. - 1953. - Bd.191.

- S.30-49.

10. Хапланов М.Г. Линейные преобразования аналитических пространств // Докл. АН СССР. - 1951. - Т.80. - №1. - С.21-24.

11. Бейтман Г. Высшие трансцендентные функции. - Т.1. / Г. Бейтман, А. Эрдейи . - М.: Наука, 1973. - 296 с.

12. Коробейник Ю.Ф. Линейные операторы, перестановочные с дифференцированием и определенные в пространстве функций, аналитических в бесконечных областях / Ю.Ф. Коробейник: Висшите технически учебни заведения. Математика. - 1973. Т.1Х, кн.3. - С.35-44.

13. Маркушевич И.Г. Теория аналитических функций - Т.2. / И.Г. Маркушевич.- М.: Наука, 1968. - 692 с.

References

1. Brenke W.C. On generating functions of polynomial systems // Amer. Math. Monthly. - 1945,

- v.52. - P.297-301.

2. Gel'fond A.O. Ob odnom obobschenii ryada Fur'e / A.O. Gel'fond, A.F. Leont'ev // Matemat. sb. - 1951. - T.29 (71). - №3. - S.477-500. - in Russian.

3. Car'kov Yu.M. Izomorfizmy nekotoryh analiticheskih prostranstv, perestanovochnyh so ste-pen'yu operatora differencirovaniya / Yu.M. Car'kov // Teoriya funkcii, funkcional'nyi analiz i ih priloje-niya. - 1970. - Vyp.11. - S.86-92. - in Russian.

4. Bratischev A.V. Obschii vid lineinyh operatorov, perestanovochnyh s operaciei differencirovaniya / A.V. Bratischev, Yu.F. Korobeinik // Matemat. zametki. - 1972. - T.12. - Vyp.2. - S.187-195. - in Russian.

5. Bratischev A.V. Haotichnost' kommutiruyuschih s differencirovaniem Dankla preobra-zovanii prostranstv analiticheskih funkcii / A.V. Bratischev // Vestnik DGTU. - 2009. - T.9. - №2. - S.196-207.

- in Russian.

6. Bratischev A.V. Ob odnom diagonal'nom operatore / A.V. Bratischev, A.V. Morjakov // Inte-gro-differencial'nye operatory i ih prilojeniya: sb. Vyp.8. - Rostov n/D : Izdatel'skii centr DGTU, 2008. -S.32-37. - in Russian.

7. Betancor J. J., Sifi M., Trimeche K. Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operator on // Acta Math. Hungar. - 2005. - v.106(1 - 2). - P.101-116.

8. Levin B.Ya. Raspredelenie kornei celyh funkcii / B.Ya. Levin. - M.: GITTL, 1956. - 632 s. - in

Russian.

9. Kothe G. Dualitat in der Funktionentheorie // J. reine angew. math. - 1953. - Bd.191. -S.30-49.

10. Haplanov M.G. Lineinye preobrazovaniya analiticheskih prostranstv // Dokl. AN SSSR. -1951. - T.80. - №1. - S.21-24. - in Russian.

11. Beitman G. Vysshie transcendentnye funkcii. - T.1. / G. Beitman, A. Erdeii . - M.: Nauka, 1973. - 296 s. - in Russian.

12. Korobeinik Yu.F. Lineinye operatory, perestanovochnye s differencirovaniem i opredelennye v prostranstve funkcii, analiticheskih v beskonechnyh oblastyah / Yu.F. Korobeinik: Visshite tehnicheski uchebni zavedeniya. Matematika. - 1973. T.IX, kn.3. - S.35-44. - in Russian.

13. Markushevich I.G. Teoriya analiticheskih funkcii - T.2. / I.G. Markushevich.- M.: Nauka, 1968. - 692 s. - in Russian.

Материал поступил в редакцию 17.09.2010.

A.V. BRATISHCHEV

GELFOND-LEONTYEV GENERALIZED DERIVATION OPERATORS AND BRENKE POLYNOMIALS

Natural connection between Gelfond-Leontyev generalized derivation operators (GDO) and Brenke polynomials is established. Operator extension criterion commuting with GDO up to continuous H(G) space is derived. Domain class when characteristic function of the complex convolution operator always has zero type, is described. Hypercyclic and random nature of the generalized complex convolution has been proved.

Key words: Gelfond-Leontyev generalized derivative; Brenke polynomials; Dankle derivative; commutation; generalized complex convolution; hypercyclic and chaotic operators.

БРАТИЩЕВ Александр Васильевич (р. 1949), профессор кафедры «Прикладная математика» Донского государственного технического университета. Доктор физико-математических наук (1998), профессор (2001). Окончил механико-математический факультет Ростовского государственного университета (1971).

Область научных интересов - теория функций и функциональный анализ в локально выпуклых пространствах, теория управления, компьютерное моделирование.

Автор более 100 публикаций.

avbratishchev@spark-mail.ru

Alexander V. BRATISHCHEV (1949), Professor of the Applied Mathematics Department, Don State Technical University. PhD in Physics and Maths (1998), professor (2001). He graduated from the Faculty of Mechanics and Mathematics, Rostov State University (1971).

Research interests - function theory and complex functional analysis in LCS, control theory, computer simulation.

Author of more than 100 scientific publications.