Об одном подходе к исследованию динамики неавтономных дискретных включений

УДК 517.929

А. Ю. Богданов

ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИКИ НЕАВТОНОМНЫХ ДИСКРЕТНЫХ ВКЛЮЧЕНИЙ1

Аннотация. Рассматриваются новые методы исследования асимптотического поведения решений неавтономных дискретных включений. Устанавливается свойство квазиинвариантности положительного предельного множества решения относительно семейства предельных уравнений.

Ключевые слова: неавтономное дискретное включение, предельное уравнение, положительное предельное множество, квазиинвариантность, асимптотическая устойчивость.

Abstract. New methods of asymptotic behavior investigation of the solutions of nonautonomous discrete inclusions are considered. The property of quasi-invariance of positive limit set of the solution relative to the family of limiting equations is established.

Keywords: nonautonomous discrete inclusion, limiting equation, positive limit set, quasi-invariance, asymptotic stability.

Введение

Сходимость многих алгоритмов стохастической и негладкой оптимизации является следствием устойчивости траекторий некоторых дискретных включений [1]. К исследованию устойчивости дискретных включений сводятся многие задачи управления и автоматического регулирования, теории дифференциальных уравнений. Поэтому исследование таких включений представляется важной задачей. В данной статье рассматриваются такие свойства устойчивости и притяжения траекторий дискретных включений, которые не используют специфику предметной области, но ввиду своей общности и конструктивности могут найти применение для получения содержательных результатов сразу в нескольких предметных областях.

Рассматривая неавтономные дискретные включения и особенности их топологической динамики, мы установим свойство квазиинвариантности положительного предельного множества решения дискретного включения относительно семейства предельных включений. При этом главной особенностью представленной методики исследования дискретных включений по сравнению с разностными уравнениями является отсутствие так называемых условий предкомпактности, которые обеспечивают существование семейства предельных уравнений.

1 Предварительные предположения и определения

Рассмотрим неавтономное дискретное включение вида

x

где xе Rm, F: Z XRm ^ 2R - множественно-значное отображение, т.е. Vn е Z и xе Rm, имеется множество точек F(n, x) с Rm (возможно, пустое).

1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты № 08-01-97010, 08-08-97033.

Включение (1) является обобщением неавтономного уравнения

x

которое в зарубежной литературе принято называть линейными итерациями, а в отечественной литературе - простыми итерациями. Сразу отметим, что мы здесь интересуемся этим обобщением не из абстрактных соображений, а ввиду того, что многие типы разностных уравнений могут быть приведены как раз к общей форме (1), а не к форме (2). Более того, даже если исходное уравнение имеет форму (1), то его предельные уравнения имеют в общем случае вид дискретных включений. Заметим, что при переходе к общей форме (1) дискретного включения теория в определенном смысле становится более простой и естественной, причем проблема существования предельных уравнений снимается полностью, т.к. нет необходимости в удовлетворении тем или иным условиям предкомпактности (для семейства сдвиговых уравнений).

Последовательность (конечная или бесконечная) {x(n): M < n < N}, удовлетворяющая x(n +1) е F(n, x(n)) для всех M < n < N -1, называется решением (1). Решение называется максимально продолженным вправо, если N = +°° (соответственно, M = -о°) или если F(N -1, x(N -1)) = 0 (соответственно, не существует y е Rm таких, что выполнено включение x(M +1) е е F(M, y)). Как обычно, решение, связанное с некоторым начальным условием, будем обозначать x(n) = x(n, n0, x0), где x0 = x(n0, n0, x0), x0 е Rm, n0 е Z.

В дальнейшем всегда будем считать выполненным следующее предположение.

Предположение 1. Для каждого n е Z множество {(x, y): y е F(n, x)}

замкнуто в Rm XRm . В частности, все значения отображения F замкнуты.

Для удобства дальнейшего изложения введем некоторые обозначения и

определения. Для произвольной точки x е Rm , числа r > 0 и множества D с Rm положим B(x, r) =jy е Rm :||x - y|| < rj, B(D, r) = jy е Rm : Bx е D,

II II "1 Rm1

x - y < r j . Ограниченное множественно-значное отображение F: Г^ 2 ,

Rm

определенное в некоторой области Гс 2 (m1 < m), называется полунепре-

рывным сверху на Г, если для любых последовательностей {xn } е Г и {yn } ,

yn е F(xn), n е Z+, удовлетворяющих условиям xn ^ x еГ, yn ^ y е Rm1 , справедливо включение y е F(x). Множественно-значное отображение F(x) называется ограниченным на множестве Г, если ||y|| < С0 = const > 0 для всех

yе F(x), xеГс Rm.

Вместе с предположением 1 можно требовать выполнения следующего условия.

Предположение 2. Имеется отображение F(x), F: Rm ^ 2R , ограниченное и полунепрерывное сверху в окрестности некоторого компакта D с Rm, так что Vx е D, Ve> 0 существуют числа N = N(x, е) и 8 = (x, е), для которых

и и Е(п, у) с £(еопу Е(х), е).

уеВ(х, 8) п>N

Здесь через еопу Е (х), Е(х) с Ят, обозначена выпуклая оболочка этого множества. Отображение Е(х) на множестве Б является в некотором смысле

верхним пределом семейства отображений |е(п, х), пе Z + |. Заметим, что на

отображения Е(п, х) условия ограниченности или полунепрерывности не накладываются.

Приведем пример множественно-значных отображений Е(п, х) и Е(х), связанных между собой соотношениями предположения 2. Придерживаясь терминологии [2], липшицеву функцию /: Ят ^ Я будем называть регулярной в точке х, если она дифференцируема в точке х по любому направлению V е Ят, причем для всех V е Ят :

Э

—/(х) = тах < у, V >,

Эv уеЭ/

где через Э/ (х) обозначен дифференциал Кларка.

Пример 1. Пусть /: Ят ^ Я регулярна в некоторой окрестности компакта Б с Ят , для любого е> 0 обозначим е -квазидифференциал /(х) через Э(е) / (х) [3]. Тогда для любой числовой последовательности

гп ^ 0, гп > 0, отображение Е(п, х) = Э(Гп)/(х) и отображение Е(х) = Э/(х) удовлетворяют условию предположения 2.

Возможны и иные примеры, показывающие актуальность рассматриваемой проблемы в приложениях к задачам негладкой и стохастической оптимизации [1].

Определение 1. Определим обратное отображение для Е следующим образом: Е -1(п, х) = (г : х е Е (п -1, г)}. При этом включение х(п + 1) е

е Е 1 (п, х) соответствует направлению дискретного времени, измененному на противоположное.

Определение 2. Пусть х(п) = х(п, по, хо) является решением (1). Назовем положительным предельным множеством этого решения й+ (х(п, по, хо)) =

= й+ (по, хо) множество всех векторов ре Ят : р = Пт х(щ, по, хо). В ча-

пк ^+<»

стности, если х(п, по, хо) определено только для конечного числа п > о , то

й+ (по, хо) = 0 .

Инвариантность положительного предельного множества в автономном случае доказана в работе [4].

Предложение 1 [4] (Инвариантность в автономном случае). Рассмотрим

дискретное включение х(п +1)е Е(х(п)), Е : Ят ^ Ят. Пусть х(п) = х(п, хо) -соответствующее решение, й+ (х(п, хо)) - его предельное множество:

1) если решение х(п, хо), п > о ограничено, тогда й+ (х(п, хо)) инвариантно, т.е. для каждого рей+ (х(п, хо)) множества й+ (х(п, хо)) и

Е-1( Р) П й+ (х(п, хо)) не пусты;

2) если для каждого ограниченного множества Б с Ят множество

и Е(х) ограничено, то Й+ (х(п, хо)) положительно инвариантно, т.е.

хеБ

Й+ (х(п, хо)) не пусто для каждого р е Й+ (х(п, хо)). Если для каждого ограниченного множества Б с Ят множество и Е-1(х) ограничено,

хеБ

то Й+ (х(п, хо)) отрицательно инвариантно, т.е. Е -1( Р) П Й+ (х(п, хо)) Ф 0 для каждого р е Й+ (х(п, хо)).

При доказательстве предложения 1 используется свойство, указанное в предположении 1. Заметим, что положительная (и, соответственно, отрица-

решения х(п, р), х(о, р) = р включения х(п + 1) е Е(х(п)), определенного для всех п > о (соответственно, для всех п < о).

Развивая подход работы [4], получим обобщения результата, изложенного в предложении 1, используя аппарат предельных уравнений.

Сдвигом отображения Е(п, х) на целое число к называется отображение Ек (п, х) = Е(п + к, х). Заметим, что задача нахождения решения х(п + 1) е Е(п, х(п)), х(к) = хо, эквивалентна задаче х(п +1) е Ек (п, х(п)), х(о) = хо.

Определение 3. Отображение Е* (п, х): 2 X Ят ^ Ят является I -пределом последовательности множественно-значных отображений Ек (п, х):

2 X Ят ^ Ят, обеспечивающим у е Е* (п, х), если и только если

(x, у) = 1т (хк, Ук), где Ук е Ек(n, хк) . к ^+^

Здесь символ «I» означает «нижний», и сходимость порождается существованием нижнего предела последовательности множеств (графиков отображений Ек в нашем случае) [5].

Определение 4. Дискретное включение х(п + 1) е Е* (п, х(п)) называется I -предельным уравнением для х(п + 1) е Е(п, х(п)), если существует последовательность щ ^ такая, что Е* (п, х) является I -пределом для

(Епк (п, х) = Е(п + щ, х)} при к ^ .

Замечание 1. Легко видеть, что I -предел Е* (п, х) также будет удовлетворять условиям предположения 1. Кроме того, любая последовательность

тельная) инвариантность влечет существование для любого р е й+

2 Основные теоремы

щ ^ +00 определяет некоторое предельное уравнение, т.к. £ -предел будет корректно задан. Такая ситуация не сохраняется для разностных уравнений вида (2), а также для других типов уравнений, например, дифференциальных уравнений. В этих случаях даже существование одного предельного уравнения зачастую не очевидно.

Теорема 1. Пусть х(п, по, хо) является ограниченным решением включения (1). Тогда для каждого рей+ (по, хо) существует £ -предельное уравнение у(п + 1) е Е* (п, у(п)), решение которого у(п) = у(п, о, р) определено

для всех пе 2 и у(п)ей+ (по, хо),Упе2. Таким образом, й+ (по, хо) квазиинвариантно относительно семейства £ -предельных уравнений.

Доказательство. Пусть р = Пт х(пк, по, хо). Построим следующие

пк ^+^

подпоследовательности (п^)}, у = о, 1,..., где (пк°^} = (пк} . Предположим, что (пк)} уже построена. Для каждой подпоследовательности (пку)}, у > о рассмотрим конечный набор векторов [х(пкУ) - У - 1), х(пкУ) - У), ..., х(пкУ) + у +1)]. Некоторая подпоследовательность этой последовательности (2у + 3) -векторов будет сходящейся. Обозначим индексы этой сходящейся последовательности как пр+1). Рассмотрим последовательность пт = п^, т = о, 1, 2,..., тогда

существует Е* (п, х) - £ -предел последовательности Ет (п, х) = Е(п + пт, х).

Очевидно, что включение х(п + 1) е Е* (п, х(п)) является искомым предельным уравнением. В самом деле, для п е 2, если т достаточно велико, то хт (п) = х(п + пт, по, хо) определено и сходится, скажем, к у(п) при т ^ +<».

В то же время очевидно, что у(п)е й+ (х(п, по, хо)), Упе 2. По определению £ -предела имеем, что у(п) является решением включения у(п +1) е

е Е* (п, у(п)), причем у(п) = у(п, о, р).

Теорема 2. Если для каждого ограниченного множества Б с Ят множество и (Е(п, х)} ограничено в Ят, то положительное пре-

п>по, хеБ

дельное множество Й+ (по, хо) любого решения х(п, по, хо) включения (1) положительно квазиинвариантно, т.е. для любого рей+ (по, хо) существует £ -предельное уравнение у(п +1) е Е* (п, у(п)), решение которого у(п) = у(п, о, р) определено для всех пе 2 + и у(п)ей+ (по, хо), Упе2 +. Множество Й+ (по, хо) отрицательно квазиинвариантно, если для каждого

(Е-1(п, х)} ограни-

Доказательство. Рассмотрим сначала случай положительной квазиинвариантности положительного предельного множества й+ (по, хо) произвольного фиксированного решения х(п, по, хо) включения (1). Пусть

р = ПтПк ? х(щ, по, хо). Построим подпоследовательности (пкУ)}, У = о, 1,..., где (п^} = (пк} . Предположим, что (пкУ)} уже построена. Для каждой подпоследовательности (пкУ)}, У >о, рассмотрим конечный набор векторов

[х(пк)), , х(пк) + У +1)]. Некоторая подпоследовательность этой последовательности (У + 2) -векторов будет сходящейся ввиду ограниченности данных векторов, следующей из ограниченности множества и (Е(п, х)} , тре-

п>по, хеБ

буемого в условии теоремы. Обозначим индексы этой сходящейся последова-

тельности как пу^ ' и далее продолжим процесс.

В итоге мы можем рассмотреть последовательность пт = п^^, т = о, 1, 2,..., для которой существует Е*

является искомым предельным уравнением. В самом деле, для любого п е 2+ значения хт (п) = х(п + пт, по, хо) определены и сходятся к некоторому значению у(п) при т ^+го. В то же время очевидно, что у(п)ей+ (по, хо) = = й+ (х(п, по,хо)),Упе2+. По определению £ -предела имеем, что у(п) при

п > о является решением включения у(п + 1) е Е* (п, у(п)), причем у(п) = у(п, о, р).

Доказательство отрицательной квазиинвариантности положительного предельного множества аналогично рассмотренному выше случаю положительной квазиинвариантности. При этом должны рассматриваться наборы

(У + 2)-векторов [х(п^) - У -1),..., х(пк))], У = о, 1, 2,... Ограниченность этих

наборов, которая обеспечивает сходимость подпоследовательностей, следует

из условия ограниченности множества и (Е-1(п, х)} , требуемого в ус-

п>по, хеБ

ловии теоремы.

Теорема 3. (модификация теоремы 1). Пусть х(п, по, хо) является ограниченным решением включения (1). Тогда для каждого £ -предельного уравнения у(п +1) е Е* (п, у(п)) существует точка р е й+ (по, хо) такая, что решение предельного уравнения у(п) = у(п, о, р) определено для всех

п е 2 и у(п) е й+ (по, хо), Уп е 2.

Замечание 2. Важным частным случаем теоремы 3 является ситуация, когда х(п, по, хо) ^ р при п ^+^. Тогда р является точкой равновесия для

каждого предельного уравнения, т.е. Е*(п, р) = р, Уп > о, УЕ*.

Замечание 3. Квазиинвариантность положительного предельного множества, установленная нами для класса £ -предельных уравнений, может быть распространена на некоторый новый (больший) класс дискретных включений, обладающий свойством, что график любого £ -предельного уравнения содержится в графике некоторого элемента соответствующего большего класса, который, возможно, будет легче определить.

Определение 5. Будем говорить, что множество Н с Ят устойчиво относительно включения (1), если У по е 2 + для данной окрестности и множества Н (и открыто, замыкание Н с и) существует окрестность

Ж = Ж (по) множества Н такая, что Еп (Ж) с и, Уп е 2 +. Здесь Е° = I,

по по

С=Е (по+п,Е;( х)).

Предложение 2. Если Н устойчиво, то замыкание Н положительно инвариантно относительно включения (1). В частности, если точка устойчива, то это точка равновесия.

Таким образом, мы можем ограничиться рассмотрением только замкнутых положительно инвариантных множеств.

3 Обсуждение результатов

Важным случаем, когда появляются дискретные включения, является случай управляемых систем

х

где управление и принадлежит множеству допустимых управлений

и е и с Як. При этом допустимые траектории (решения) совпадают с реше-

ниями дискретного включения (1), где Е(п, х) = (/(п, х, и): и еи}. Предельные уравнения для (3) при достаточно общих предположениях [6] могут быть представлены в форме (3).

Главным преимуществом предложенного подхода является то, что сейчас мы можем методами топологической динамики исследовать разностные уравнения, которые не являются простыми линейными итерациями, например,

х

Решением уравнения (4) является дискретная функция ф(п) такая, что ф(п + 1) = /(п, ф(п), ф(п + 1)), п е (М, N). Таким образом, здесь приходится «решать» уравнение, а не просто итерировать отображение. Так как (4) является векторным уравнением (системой), то к этой форме сводится любое уравнение х(п +1) = /(п, х(п - к),... х(п), х(п +1)) порядка к > 2 путем введения дополнительных переменных, количество которых равно величине запаздывания к.

Отметим, что вид уравнения (4) имеют общие многошаговые формулы к -го порядка, используемые для численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений:

k

k

^ atx(n + i) = h^ Pif- (n , x(n + i)).

i=0

i=0

Здесь а к Ф о, | ао I +1 Ро |Ф о . Формулы вида (5) часто называют разностными. Уравнение (5) есть некоторое линейное соотношение между хI и /, поэтому (5) называют также линейным многошаговым методом. Иногда используют и нелинейные, нестационарные (с переменным шагом) многошаговые методы. Чтобы с помощью к -шагового метода можно было определить последовательность значений х(п), необходимо сначала вычислить к начальных значений вида х(о) = х(о),... х(к -1) = х(к-1). Если при а к Ф о коэффициент Рк = о , то формулу (5) называют явной (или экстраполяционной). Если же Рк Ф о , то формула (5) называется неявной (или интерполяционной).

Подводя итог, еще раз подчеркнем, что мы доказали квазиинвариантность положительного предельного множества решения дискретного включения по отношению к весьма большому классу предельных уравнений, настолько большому, что не возникает проблемы их существования. Если мы хотим установить квазиинвариантность по отношению к определенному подклассу Е, то достаточно показать, что для каждой последовательности щ ^ +00 существует такая ее подпоследовательность щ^ +00, что I -предельное уравнение, определяемое этой подпоследовательностью, принадлежит классу Е. Это свойство может быть названо положительной предком-пактностью по отношению к классу Е. Некоторые достаточные условия положительной предкомпактности уравнения (2) представлены в [6], при этом исходное и предельное уравнения имеют одну и ту же форму.

На основе доказанных в статье результатов может быть получена новая

теорема о локализации положительного предельного множества й+ (по, хо) решения х(п, по, хо) включения (1) с использованием вырожденных знакопостоянных функций Ляпунова V(п, х): 2 + X Ят ^ Я +, чья первая разность

в силу (1) не является отрицательно определенной. Кроме того, далее может быть получен ряд новых теорем, решающих проблему асимптотической устойчивости и неустойчивости положительно инвариантного относительно (1) множества, не исключая зависимость положительно инвариантного множества от времени [6, с. 63-75].

1. Завриев, С. К. Прямой метод Ляпунова в исследовании притяжения траекторий конечно-разностных включений / С. К. Завриев, А. Г. Перевозчиков // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 199о. - 3о т. - № 1. -

2. Кларк, Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Ф. Кларк. - М. : Наука, 1988. -

3. Нурминский, Е. А. Численные методы решения детерминированных и стохастических задач / Е. А. Нурминский. - Киев : Наукова думка, 1979.

4. Artstein, Z. On the limiting equations and invariance of time-dependent difference equations / Z. Artstein // Stability of dynamical systems (Theory and applications). Proceedings of NSF conference. - Mississippi State University, 1976. - P. 3-9.

Список литературы

С. 22-32.

28o с.

5. Куратовский, К. Топология / К. Куратовский. - М. : Мир, 1966. - 594 с.

6. Богданов, А. Ю. Дискретные динамические системы: проблемы устойчивости и управления / А. Ю. Богданов. - Ульяновск : УлГТУ, 2оо8. - 262 с.

кандидат физико-математических наук, Candidate of physico-mathematical

E-mail: BogdanovAYu@ulsu.ru

УДК 517.929 Богданов, А. Ю.

Об одном подходе к исследованию динамики неавтономных дискретных включений / А. Ю. Богданов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2оо9. - № 3 (11). -

Богданов Андрей Юрьевич

Bogdanov Andrey Yuryevich

доцент, кафедра прикладной математики, Ульяновский государственный университет

sciences, associate professor, sub-department of applied mathematics, Ulyanovsk State University

С.З0-З8.