К-постоянство типа NK-многообразия

204

^-ПОСТОЯНСТВО ТИПА NK-МНОГООБРАЗИЯ

| Шихаб Али Абдул-маджид

Аннотация. В работе введено понятие конгармонического постоянства типа NK-многообразия, получены условия, когда NK-многообразш является многообразием конгармонично постоянного типа. Доказано, что локальное конгармоническое постоянство типа NK-многообразия равносильно его глобальному конгармониче-скому постоянству типа. Доказывается, что NK-многообразие конгармонически постоянного типа является многообразием постоянной скалярной кривизны.

Ключевые слова: конгармоническое постоянство типа NK-многообразия, многообразие постоянной скалярной кривизны.

Summary. The article introduces the concept ofNK-manifold type mnharmonidly constancy and examines the conditions when the NK-manifold is a manifold of conharmonically constant type. The author argues that the local mnharmonic constancy of the NK-manifold type is equivalent to its global mnharmonic constancy of the type. The author also proves that the NK-mani-fold of the mnharmonically constant type is a manifold of constant scalar curvature.

Keywords: mnharmonic constancy of the NK-manifold type, manifold of constant scalar curvature.

Понятие постоянства типа ЫК-многообразий было введено А. Греем [1-3] и оказалось весьма полезным при изучении геометрии ЫК-многообразий. Далее ЫК-многообразия постоянных типов рассматривались разными математиками [см.: 1; 3-7]. Исчерпывающая характеристика ЫК-многообразий постоянного типа была получена В. Ф. Кириченко [6]. В своей работе [там же] он доказал, что ЫК-многообразия точечно постоянного типа характеризуются тождеством БьЬкБксЛ = Бд'Ь , где В - некоторая функция на ЫК-многообразии, 8°ЬЪ = 88/ -8Ла8съ . При этом локальное постоянство типа ЫК-многообразия эквивалентно глобальному постоянству его типа. Более того, из ковариантного постоянства структурных тензоров первого и второго рода немедленно следует, что постоянство типа лишь в одной точке ЫК-пространства влечет глобальное постоянство его типа. Класс ЫК-многообразий нулевого постоянного типа совпадает с классом келеровых многообразий, а класс ЫК-многообразий ненулевого постоянного типа совпадает с классом шестимерных собственных ЫК-многообразий. Келеровы многообразия характеризуются обращением в нуль структурных тензоров первого и второго рода. ЫК-многообразия ненулевого постоянного типа являются многообразиями Эйнштейна с положительной константой Эйнштейна, и в случае полноты они компактны и имеют конечную фундаментальную группу. Локально симметрические ЫК-многообразия ненулевого постоянного типа представляют собой 6-мерные ориентируемые римановы многообразия постоянной положительной кривизны и в случае полноты и связности изометричны £6. Этим же

]ЕК

Физико-математические науки

свойством обладают ЛК-многообразия ненулевого постоянного типа знакоустойчи-вой голоморфной бисекционной кривизны [там же].

Напомним соответствующие определения.

Пусть М2п - ЛК-многообразие с ^4Я-структурой {£, J}, V - риманова связность метрики g.

Определение 1 [3]. Приближенно келерово многообразие М2п имеет постоянный тип в точке р е М2п, если V X, У Z е Т (М2п): <Х, У> = <7 X, У> = <Х, Z> = 0; \\У\\ = | Щ (7 )(У )\\ = \\у х (7 )(2 )). (Здесь Т (М2п) - касательное пространство к

М2п вр е М2п.)

Определение 2 [3]. ЛК-многообразие, имеющее постоянный тип в каждой своей точке, называется ЛК-многообразием точечно постоянного типа.

Определение 3 [3]. Приближенно келерово многообразие М2п точечно постоянного типа имеет глобально постоянный тип, если V X, У е Х (М2п): <Х У> = = <7 X, У> = 0; ||Х|| = |У|| = 1 ^||Ух(3)(У)) = сотг.

Эти понятия были обобщены Л. Ванхекке и Боутеном для произвольных почти эрмитовых многообразий [8].

Определение 4. Почти эрмитово многообразие М2п называется многообразием постоянного типа с, если V X, У е Х (М2п): <Х, У> = <Х, 7 У> = 0; ||Х|| = ||У|| = 1 ^ Я(X,У,7У)-R(X,У,X,У) = с, се (М2п).

Определение 5. Почти эрмитово многообразие М2п называется многообразием глобально постоянного типа с, если V X, У е Х (М2п): <Х У> = <Х 7 У> = 0; 11X11 = ||У|| = 1 ^ Я ((, У, JX, 7У)-R ((, У, X, У) = с = сотг.

Как показал Л. Ванхекке, в случае если почти эрмитово многообразие принадлежит классу ЛК-многообразий, эти определения сводятся к упомянутым выше определениям А. Грея.

Естественно теперь ввести определения постоянства типа, аналогичные определения Ванхекке, заменив тензор Я Римана-Кристоффеля тензором кон-гармонической кривизны.

Определение 6. Почти эрмитово многообразие М2п называется многообразием конгармонично постоянного типа (К-постоянного типа) с, если V X, У е Х (М2п):

<Х У> = <Х 7 У> = 0;

Определение 7. Почти эрмитово многообразие М2п называется многообразием глобально конгармонично постоянного типа с, если V X, У е Х(М2п): <Х У> = = <х 7 У> = 0; ¡XII = ||У|| = 1 ^ К(X,У, JX,7У)-К(X,У,X,У ) = с = сотг.

Пусть М2п - ЛК-многообразие. Вычислим К (X, У, Z, Ж) и К (X, У, 7X, 7 У) на пространстве присоединенной О-структуры:

к (х, у, I ) = кдк1х'у^кж! = каь^хауЬ1сж3 + +к.ь.,хауь1сжй + к., хауь1сжй + к , ,хауь!сж3 +

аЬса аьса аЬс!

+к , ,хауЬ!сЖ3 + К.хауЬгсЖ3;

аЬса аЬса

к (х, у, зх, зу ) = к^х'у-1 (ж ) (зу )' = к.Ьс3хауЬхсу3 +

+К.,.ХаУЬХсУа - к.. хаУЬХсУа + к. .Х"УЬХсУ3 +

аЬса аЬса аЬса

+К .ХаУЬХсУа - К ,..Х"УЬХсУ3.

аЬса аЬса

3 / гон Преподаватель |_

205

Таким образом, К(X,У,IX,ЗУ)-К(X,У,X,У) =-4Ка^ХаУьХСУ' . С учетом спектра тензора конгармонической кривизны последнее равенство запишем в

виде [9]: к (X, у, ж, л)-к (X, У, X, у ) = [-В - п--^: ((+3ВЬ )--5; (+звь )+8ьс (а:+зв:) - 8ьа (а:+зв: )х:усху .

-в - ((+збь ) - 88 (АЬ+ЗБЬ )+8Ь (Аа+зв;) -

-8Ь (А;+зв;)} = 4с8;Ь,

то есть ,

ваЬквш+{8; (а'+3БЬ) - 88 (А;+ЗБЬ)+

^ ab Scd

+8ьс (a:+щ ) - ss {A:+зв: )}=- 2 s

Напомним некоторые полезные формулы, необходимые нам, легко получаемые из первой группы структурных уравнений АЖ-многообразий [6; 7]:

1) dAah = dAh = Ah wc + Ah'rn + Аав' - AA6" ;

s b bh bhc bh c c b b c '

2) dBbf = -Bh,iea. - BfQd + Bfeh + Bheh ;

bc bc h bc h hc b bh c

3) dB: = Bec - Be:. Продифференцируем внешним образом с учетом (2) равенство (1):

- bfjhbabhe} = bchbabhedf + bcdhbfbhefa + bcjhbbfhebf +

+sa {{ + afhgoh +(af+3Bf ) ebf -(( + 3bb )ef}+

+^7=^sf { + ^ + ( + щ ) -(( +3bf ) }= 206 = цЬл)^ {+^+((+3Bc ) -((+3bf )ec }

- 4((ь) { + afhgvs +(af+3bf ) -((+3bf )ef } = = -1 sifâc.

Поскольку ce C°° (M), dc (а точнее d(n'A) = n* (dc) ) является горизонтальной формой, а значит, dc = cam " + c"ma. Тогда равенство (3) запишется в виде

-bfdhbabhe) - bchbabhedf + b^bfhfiï + bcdhbbfhQfb +

+-^(l^ï)3'{{+AfhSmg + (f + 3bf)-(( + 3bb)ef}+

+ 4(nï-ï)3f { + A'hgg + 3BC)e' +3bf }-

{{ + abhgrng +( + 3bf )e/f-(ab + 3bb)}-

-4

]EK

ф

Физико-математические науки

Последнее равенство перепишем в виде:

В5"ВМ + {

ВФВМ + 4-^ {/с (( + 3В{) + /5 (л: + звс)- 88 ( + 3В[) - 8/ (А + 3В\) вс'"вм+{ (+3В;)+((+звц) - 8} (ль + звс ) - /с ( + ЗВ/)}

ВсЛкВф + —1—{ ( + 3В*) + 8* ( + зв:)-8C; ( + 3В*)-8/ ( + 3В].)} 4(п - 1) _

{ (+3В/)- 88 ( + 3В*)) + [8< (л: + звс)-8{ (лс + звс)) } {с (+звс) - 8/. (лс + звс )_е1 -[8/ (лс + звс)- (л:+зв/ )]е(}+

9} -

ef-

eb

+ 4(1-) {(( + SbU:gh - 8daAfgh - SCA* у + ( + 8?Aff-8daAff -8fAdagh )rnh } = -28ft (У + chmh),

которое с учетом (1) примет вид:

8jiecf+2 8e - 2 8сх - 2 8ce+{+wt)-(At+зв*а)}+

+{+3Bf )e}-(Af+3Bf )e} }-

- щЪ) { + звЬ)-( + звс)-(лс + звс) +( + зв/)}+ + + 8ЬлС^ -8^ -8^*)т" +(8( + /¿л? -8-8¡л^ )ть} =

= -28Ь (У + ск°„),

то есть

+4X-\){X:лíh + //лЦ" - 8'а4*-8^ ) } = - 2 /с

В силу линейной независимости базисных форм имеем:

1) цЬ\)(8( + 81лЦ„ --8лъл-?ф -) = /с/с,

2) -1-(8*л+ 8сл'11:" -8сл1Ф - 8?лсф) = /Сс".

' 2 (п - 1) с Ьg Ь ^ с Ьg Ь ^ ) сС

Свертывая последние равенства сначала по индексам с и с, а затем по индексам Ь и получим:

207

3 / 2011

Преподаватель ^

ЕК

ф

208

1) c„ =-1--Aa'bh; 2) ch .

n

Свертывая равенства (4) сначала по индексам а и d, а затем по индексам b и с, получим:

1) с. =--1-АаЬ,,; 2) ch =--1-Aabh.

' h n

Сравнивая (5) и (6), получим, что: ch = ch = 0 . Таким образом, доказана следующая теорема:

Теорема 1. 1) ЛЖ-многообразия является многообразием конгармонично постоянного типа тогда и только тогда, когда

ваМвш+^пТ!) s (Ab+зв:) - s; (+3b:)+

+8ь (Аа+зва) - s: (А;+зва )>=- 2 cs;:.

2) Локальное конгармоническое постоянство типа ЛХ-многообразия равносильно его глобальному конгармоническому постоянству типа.

В частности, из

следует, что dA = dA; = dA;b = А^у" + Abcac + AacQca - Асав; = 0. Из (2:3) имеем

dB = dB; = B;eca - Bcae; = 0. А значит из последних двух равенств имеем, что

dх = 2dA + 6dB = 0 , то есть х = const.

Таким образом, мы получили следующую теорему.

Теорема 2. ЛХ-многообразие конгармонически постоянного типа является многообразием постоянной скалярной кривизны.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gray A. Nearly Kahler manifolds // J. Diff. Geom. 4. - 1970. - № 3. - P. 283-309.

2. Gray A. The structures of nearly Kahler manifolds // Ann. Math. - 1976. - 223. - P. 233-248.

3. Gray A. Six dimensional almost complex manifolds defined by means of three-fold vector cross products // Tohoku Math. J. - 1969. - 2. - P. 614-620.

4. Кириченко В. Ф. Некоторые типы К-пространств // Успехи математических наук. - 1975. -Т. 30. - № 3. - С. 163-164.

5. Кириченко В. Ф. Некоторые результаты теории К-пространств // 6-я Всесоюзная конференция по современным проблемам геометрии. Тезисы докладов. - Вильнюс, 1975. - C. 112-115.

6. Кириченко В. Ф. К-пространства постоянного типа // Сибирский математический журнал. - 1976. - Т. 17. - № 3. - С. 282-289.

7. Кириченко В. Ф. К-алгебры и К-пространства постоянного типа с индефинитной метрикой // Математические заметки. - 1981. - 29. - № 2. - С. 265-278.

8. Vanhecke L., Bouten F. Constant type for almost Hermitian manifolds // Bull. Math. Soc. Sci. math. RSR. - 1976 (1977). - V. 20. - № 3-4. - Р. 252-258.

9. Кириченко В. Ф., Рустанов А. Р., Шихаб А. Геометрия тензора конгармонической кривизны почти эрмитовых многообразий // Математические заметки. - 2011. - Т. 90. - № 1. Щ

]ЕК

ф