Математические модели функций преобразования для системы кластеров измерительных преобразователей давления

УДК 681.586

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИЙ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ КЛАСТЕРОВ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ ДАВЛЕНИЯ

А.П. Лапин, А.И. Стрехнин

TRANSFER FUNCTIONS’ MATHEMATICAL MODELS FOR CLUSTER SYSTEM OF PRESSURE TRANSMITTERS

A.P. Lapin, A.I. Strekhnin

Рассматривается процедура нахождения математических моделей функций преобразования измерительных преобразователей давления, объединенных в кластеры. Предложен метод определения сложности математических моделей. Приведен пример выбора математический моделей для кластеров преобразователей давления тензорези-стивного типа.

Ключевые слова: математическая модель, измерительный преобразователь, функция преобразования.

This article discusses a procedure for finding pressure measurement transmitters mathematical models which take some special features of clustered transmitters into account. Authors designed a procedure for estimation of found mathematical models complexity. Mathematical models for each cluster of tensoresistive pressure measurement transmitters were found.

Keywords: mathematical model, measurement transmitter, transfer function.

Введение

В работе [1] показана возможность объединения измерительных преобразователей (ИП) давления, обладающих близкими метрологическими характеристиками, в кластеры. Можно предположить, что в рамках одного кластера существуют математические модели функции преобразования (ФП), позволяющие получить меньшую величину приведенной погрешности ИП, чем при использовании единой модели ФП для всей партии преобразователей в целом. В статье рассматриваются вопросы нахождения моделей ФП внутри кластеров измерительных преобразователей, что позволяет увеличить метрологический запас [2] преобразователей давления по приведенной погрешности.

Постановка задачи. Современная технология производства микропроцессорных ИП давления предполагает использование единой ММ для ИП одного конструктивного исполнения [3]. Рассмотрим 2-факторную модель функции преобразования ИП давления следующего вида:

Лапин Андрей Павлович - канд. техн. наук, доцент кафедры «Информационно-измерительная техника», ЮжноУральский государственный университет; a_lapin@mail.ru Стрехнин Алексей Игоревич - магистрант кафедры «Информационно-измерительная техника», Южно-Уральский государственный университет; ctpexhih@gmail.com

P = (о + Р^ + (2t2 + Рз^ + 4 + 05^ ) +

+р1 (б + ( + 2 + 4 + Р^5 ) +

+р2 (12 + Р^ + Р^2 + 015^ + Р^4 + Р^5 ) +

+р (18 + Р^ + $201:2 + в2^3 + $221:4 + в23^ ) +

+р (24 +в25?^ + в2б?^ +027?^ +028?^ + в25^ ) +

+Р

где Р - рассчитанное давление; в - вещественные коэффициенты; р - нормированный код давления на выходе ИП; t - нормированный код температуры, окружающей измерительный преобразователь, среды.

Использование полной математической модели (1) на практике маловероятно вследствие того, что полная модель не обеспечит заданный класс точности ИП при проведении процедуры верификации [4].

Lapin Andrei Pavlovich - PhD, associate professor of «Information and measurement technique» department of SUSU; a_lapin@mail.ru

Strekhnin Aleksei Igorevich - master of «Information and measurement technique» department of SUSU; ctpexhih@ gmail.com

Целью данной работы является нахождение вида моделей функции преобразования для измерительных преобразователей давления, входящих в кластеры А, В и С, описанные в [1].

Для достижения поставленной цели необходимо реализовать следующие задачи:

1. Предложить метод предварительного формирования вида ММ ФП.

2. Разработать метод уточнения вида предварительно сформированной модели ФП и создать алгоритм реализации этого метода.

3. Разработать алгоритм формирования вида ММ ФП методом «исключения».

4. Применить методику оценки сложности ММ ФП.

Метод предварительного формирования

вида модели ФП

Метод срезов позволяет осуществить предварительное формирование модели путем определения максимальной степени вхождения факторов температуры р и давления t в математическую модель. Суть метода заключается в «разрезании» пространственной ФП на заданном уровне одного из факторов (см. рисунок) и аппроксимации полученного «среза» полиномами последовательно возрастающих степеней. Степень аппроксимирующего полинома, обеспечивающая заданный уровень погрешности аппроксимации, признается оптимальной для данного «среза». Проводя «разрезания» пространственной ФП, получаем набор степеней факторов, на основании которых осуществляется предварительное формирование математической модели функции преобразования ИП давления.

Пример среза пространственной модели ФП по температуре

Применение метода «срезов» к ИП кластеров А, В и С [1] позволило получить приведенные ниже предварительные модели:

1. Для кластера А:

Р = р0 (о + ( + Р212 + ^3 ) +

+Р1 (б + (t + ^2 + ^3 ) +

+р2 (р12 + + р1412 + 3 ) +

+р3

2. Для кластера В:

Р = р° (о + ( + р212 + p3t3 ) +

+р1 (р6 + р7( + ^2 + р9 •13 ) +

+р2 (р12 + Р^ + р1412 + p15t3 ) +

+р3 (р18 + р^ + р2012 + p21t3 ) +

+р4

Для кластера С методом срезов в рамках модели (1) не найдено удовлетворительных математических моделей.

Метод уточнения вида моделей ФП

Метод всех возможных регрессий [5] позволяет уточнить математическую модель, найденную методом срезов, путем исключения из нее избыточных коэффициентов, которые ухудшают качество модели при проведении процедуры верификации.

Суть метода всех возможных регрессий заключается в переборе всех вариантов математических моделей, которые могут быть получены из слагаемых предварительно сформированной математической модели. Каждая математическая модель оценивается с точки зрения удовлетворения предельно допустимым значениям температурной, приведенной и погрешности от нелинейности. Те модели, которые удовлетворяют этим предельно допустимым значениям, признаются годными для дальнейшего исследования.

При проведении исследований методом всех возможных регрессий партии ИП [1] были приняты следующие уровни максимально допустимых погрешностей:

1) максимальная приведенная погрешность у = 0,075 %;

2) максимальная погрешность от нелинейности

Унел = 0,060 %;

3) максимальная температурная погрешность

Утемп = 0,080 %.

Применение метода всех возможных регрессий связано с большим объемом вычислений и большим количеством моделей, удовлетворяющих приведенным выше максимально допустимым значениям погрешностей. Для обоснованного выбора одной модели из множества полученных в статье предлагается оценивать сложность найденных математических моделей и выбирать модели, имеющие низкие показатели сложности.

Математические модели функций преобразования для системы кластеров измерительных преобразователей давления

Оценка сложности математических моделей

Для оценки сложности математических моделей предлагается применить метод весового ранжирования коэффициентов модели [6]. Для этого коэффициенты модели (1) группируются следующим образом:

Р = (з5 ( р ) +

+ (Р29(5р4 +Р34(4р5 ) +

+ (Р23 ( 5 р3 +Р28 ( 4 р4 +Р33 (3 ) +

+ (Р17 (5р2 +Р22 (4р3 +Р27 (3р4 +Р32 (2р5 ) +

+ (Р11( 5 р1 + Р1б ( 4 р 2 + Р21(3 р3 + Р2б (2 р4 +Р31(р5 ) +

+ (Р10 ( 4 р1 +Р15 (3 р 2 +Р20 ( 2 р3 +Р25 (1 р 4 ) +

+ (Р9 ( 3 р1 +Р14 ( 2 р 2 +Р19 ( р3 ) +

Математические м

+ (Р8 ( 2 р1 +Р13 ( р 2 ) +

+ (Р7 (р ) +

+ (Р5 (5 +Р4 (4 +Р3 (3 +Р2 (2 +Р1 (1 ) +

+

Показатель сложности математической модели представляется 3б-разрядным двоичным числом. В определенном разряде находится 0, если данный коэффициент не присутствует в модели, и 1 - если присутствует. Самому старшему разряду соответствует коэффициент Р35, а самому младшему - Р0 (см. выражение (4)). Переводя полученное число в десятичное, получаем значение показателя сложности модели ФП измерительного преобразователя давления.

Достоинство данного метода состоит в том, что с его помощью можно оценить сложность всего множества частных моделей в рамках общей модели (1).

Таблица 1

1и для кластера А

№ модели Маска модели Сложность модели Приведенная погрешность, %

тіп сред. тах

1 111100110100111100110000000000000000 б45583 0,00005 0,00604 0,02744

2 111100111100111100110000000000000000 б53775 0,00002 0,00450 0,01733

3 111100111100110100111000000000000000 883151 0,00011 0,00453 0,01622

4 111100110100111100111000000000000000 907727 0,00003 0,00583 0,02761

5 111100111100101100111000000000000000 911823 0,00002 0,00501 0,01864

6 111100111100111100111000000000000000 915919 0,00002 0,00451 0,01745

7 111100111100111000111100000000000000 8780239 0,00004 0,00452 0,01752

8 111100111100110100110100000000000000 9009б15 0,00005 0,00458 0,01731

9 111100110100111100110100000000000000 9034191 0,00004 0,00604 0,02744

10 111100111100101100110100000000000000 9038287 0,00015 0,00558 0,01985

11 111100111100111100110100000000000000 9042383 0,00002 0,00451 0,01751

12 111100111000111100111100000000000000 9238991 0,00022 0,00468 0,01777

13 111100111100110100111100000000000000 9271759 0,00001 0,00452 0,01753

14 111100111100101100101100000000000000 9284047 0,00004 0,00468 0,01704

15 111100111100111100101100000000000000 9288143 0,00004 0,00467 0,01702

16 111100110100111100111100000000000000 929б335 0,00002 0,00487 0,01760

17 111100111100101100111100000000000000 9300431 0,00003 0,00468 0,01710

Максимально допустимые значения, % 0,075

Таблица 2

Математические модели для кластера В

№ модели Маска модели Сложность модели Приведенная погрешность, %

тіп сред. тах

1 111100111100111100111100101000000000 93023б3 0,00016 0,010 0,044

2 111100111100111100111100111000000000 13б27739 0,00001 0,010 0,034

3 111100111100111100111000101100000000 135131483 0,00012 0,010 0,043

4 111100111100111100111100100100000000 143520091 0,00004 0,010 0,044

5 111100111100111100111100101100000000 143520091 0,00037 0,010 0,043

6 111100111100111100111100101100000000 143520095 0,00027 0,010 0,035

7 111100111100111100101100111100000000 147829087 0,00000 0,012 0,043

8 111100111100111100111100110100000000 1478454б7 0,00008 0,010 0,037

Таблица 3

Метрологический запас по приведенной погрешности моделей ФП

Метрологический запас Км.з

Кластер А Модель (5) 3,9 7,5 15,0

Стандартная 2,1 3,2 5,0

Кластер В Модель (6) 4,4 8,9 15,0

Стандартная 1,5 2,0 2,5

Результаты исследований

Применение метода всех возможных регрессий позволило уточнить предварительно сформированные методом срезов математические модели функции преобразования измерительных преобразователей давления для кластеров А и В. Найденные модели и их показатели сложности представлены в табл. 1 и 2.

Для ИП кластера А предлагается использовать модель вида

Р = р0 ( + р1( + р2(2 + рз(3 ) +

+р1 (рб + р7( + р8 ' (2 + р9(3 ) +

+р2 (Р12 + Р13( + Р14(2 ) +

+р

Для ИП кластера В предлагается использовать модель вида

Р = р0 (р0 +Р1( + Р2(2 + Р3(3 ) +

+р1 (Рб + Р7( + Р8(2р9(3 ) +

+р2 (Р12 + Р13( + Р14(2 + Р15(3 ) +

+р3 (Р18 + Р19( + Р20(2 + Р21(3 ) +

+р4

Минимальное, среднее и максимальное значения метрологического запаса по приведенной погрешности для моделей (5) и (б) в сравнении со стандартной моделью, применяемой в настоящее время, показаны в табл. 3.

Под метрологическим запасом нами понималось следующее выражение

Кмл = 0,075/У,

где 0,075 - максимально допустимая приведенная погрешность для исследованных преобразователей давления, %; у - максимальная приведенная погрешность для конкретного измерительного преобразователя найденная по результатам испытаний ИП, %.

Заключение

Предлагаемая поэтапная процедура формирования математической модели функции преобразования для ИП кластеров А и В позволяет увеличить метрологический запас измерительных преобразователей по приведенной погрешности за счет учета индивидуальных особенностей кластеров.

Найденные математические модели (5) и (6) позволяют увеличить средний метрологический запас по приведенной погрешности для кластера А в 2,3 раза, а для кластера В - в 4,5 раза по сравнению со средним запасом, обеспечиваемым на современном этапе производства, что может способствовать увеличению межповерочного интервала измерительных преобразователей давления.

Литература

1. Лапин, А.П. Нечеткая кластеризация измерительных преобразователей давления / А.П. Лапин, А.И. Стрехнин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2011. - Вып. 14. - № 23(240). -С. 15-18.

2. Taymanov, R. Intelligent measuring instruments. Maximum reliability of measuring information, minimum metrological maintenance / R. Taymanov, K. Sapozhnikova // Proceedings of XVIIIMEKO World Congress. Dubrovnik, Croatia, 2003. - P. 1094-1097.

3. Фрайден, Дж. Современные датчики: справ. / Дж. Фрайден. - М.: Техносфера, 2005. - 592 с.

4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Верификация

5. Дрейпер, Н. Прикладной регрессионный анализ /Н. Дрейпер, Г. Смит; пер. с англ. Ю.П. Адлера и В.Г. Горского. - М.: Финансы и статистика, 1986. - Кн. 2. - 351 с.

6. Шестаков, А.Л. Оценка сложности моделей функции преобразования датчика давления / А.Л. Шестаков, А.П. Лапин, Е.А. Лапина // Вестник ЮУрГУ, Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника». - 2011. - Вып. 13. -№ 2(219). - С. 4-8.

Поступила в редакцию 30 октября 2011 г