Квазинеобратимые эндоморфизмы абелевых групп

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 3

УДК 512.552

А.В. Буданов

КВАЗИНЕОБРАТИМЫЕ ЭНДОМОРФИЗМЫ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП1

Определяются и изучаются квазинеобратимые эндоморфизмы абелевых групп без кручения. Для вполне разложимых и сепарабельных групп дается описание квазинеобратимых эндоморфизмов в терминах их действия на прямых слагаемых ранга 1, изучается структура фактор-кольца кольца эндоморфизмов группы по идеалу всех квазинеобратимых эндоморфизмов, а также связь данного идеала с ниль-радикалом.

Ключевые слова: абелева группа, кольцо эндоморфизмов.

В последнее время абелевы группы изучаются вместе с их кольцами эндоморфизмов. Одной из главных задач при таком подходе является описание структуры кольца эндоморфизмов в терминах действия эндоморфизмов на группе. Примером таких проблем служат проблемы описания радикалов колец эндоморфизмов различных классов групп в терминах действия эндоморфизмов из радикалов на группе [1, проблемы 17, 18; 2]. В настоящей статье вводится понятие квазинеоб-ратимого эндоморфизма абелевой группы без кручения и с его помощью исследуются кольца эндоморфизмов вполне разложимых и сепарабельных групп без кручения. В указанных случаях показано, что множество всех квазинеобратимых эндоморфизмов образует идеал кольца эндоморфизмов, который может быть определен в терминах действия эндоморфизмов на группе. Этот результат сделал возможным исследование фактор-кольца по идеалу квазинеобратимых эндоморфизмов. В заключительной части выявлены некоторые взаимосвязи введенного идеала и первичного и ниль-радикалов кольца эндоморфизмов, представленные в виде условий нильпотентности идеала квазинеобратимых эндоморфизмов.

Все используемые обозначения и неопределяемые термины являются общепринятыми в теории абелевых групп и могут быть найдены в [3, 4]. Без дополнительных пояснений используются понятия типа и характеристики элементов групп без кручения и их свойства, изложенные в [4, § 85]. Знак включения « с » не исключает равенства. На протяжении всего текста все группы подразумеваются абелевыми и не имеющими кручения. Кольцо эндоморфизмов группы G обозначается E(G).

Определение. Пусть G - абелева группа без кручения. Будем говорить, что эндоморфизм а е E(G) квазиобратим слева на элементе g е G, если найдется эндоморфизм ß е E(G) и натуральное число n е N , такие, что ßag = ng.

Эндоморфизм а е E(G) назовем квазинеобратимым слева, если он не является квазиобратимым слева ни на одном элементе группы за исключением нуля. Иными словами, эндоморфизм а е E(G) квазинеобратим слева, если для произвольных g е G, ß е E(G) и n е N из равенства ßag = ng следует, что g = 0.

Аналогично определяются квазинеобратимые справа эндоморфизмы.

1 Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». Госконтракт П937 от 20 августа 2009 года.

Непосредственно из определения следует, что всякий эндоморфизм, являющийся умножением на рациональное число, отличное от нуля, будет квазиобра-тим слева на произвольном элементе группы. Нулевой эндоморфизм, очевидно, квазинеобратим.

Отметим несколько простых свойств введенного понятия.

1. Эндоморфизм а є E(G) квазинеобратим слева тогда и только тогда, когда для любых ß є E(G) и n є N эндоморфизм n - ßa является мономорфизмом.

Доказательство. Непосредственно следует из определения.

2. Эндоморфизм а є E(G) квазинеобратим слева тогда и только тогда, когда (E(G)ag)* П(g)* = 0 для каждого g є G или, что равносильно, g E(G)ag)*, если g Ф 0.

Доказательство. Действительно, если а не квазинеобратимый слева эндоморфизм группы G, то найдутся g є G, ß є E(G) и n є N , для которых ßag = ng, причем g Ф 0. Отсюда видно, что 0 Ф g є (E(G)ag)*. С другой стороны, если

0 Ф g є (E(G)ag)*, то ng = ßag при некоторых ß є E(G) и n є N , что противоречит квазинеобратимости эндоморфизма а. Таким образом, отрицания утверждений доказываемого свойства эквивалентны и, следовательно, свойство доказано.

3. Если а - квазинеобратимый слева эндоморфизм группы G , ф є E(G), то аф и фа также квазинеобратимы слева.

Доказательство. Квазинеобратимость слева фа очевидна. Покажем квазинеобратимость аф. Пусть ßaфg = ng для некоторых ß є E(G) и n є N . Отсюда, фßaфg = фng = nфg. Так как эндоморфизм а квазинеобратим, то фg = 0. С учетом этого из равенства ßaфg = ng находим ng = 0, что влечет g = 0, так как рассматриваются лишь группы без кручения.

4. Квазинеобртимость слева равносильна квазинеобратимости справа.

Доказательство. Пусть а квазинеобратим слева и пусть aßg = ng для каких-

либо g є G, ß є E(G) и n є N . Тогда ßaßg = ßng = nßg, откуда ßg = 0, что при подстановке в исходное равенство дает ng = 0, а значит, и g = 0, что показывает что из квазинеобратимости слева следует квазинеобратимость справа. Обратное доказывается аналогично.

Учитывая последнее свойство, квазинеобратимые слева эндоморфизмы будем называть просто квазинеобратимыми.

В работе Добрусина [5] введено понятие эндотранзитивной абелевой группы без кручения. Абелева группа без кручения G называется эндотранзитивной, если для любых g, h є G из того, что x(g) = x(h), следует существование эндоморфизма ф є E(G) со свойством ф(д) = h.

5. Пусть а - эндоморфизм группы G. Если для каждого g є G \ Kerа выполнено t(g) < t(ag), то а - квазинеобратимый эндоморфизм. Для эндотранзитивной группы G верно и обратное: если а - квазинеобратимый эндоморфизм эндотранзитивной группы G, то для произвольного g є G \ Ker а выполнено t(g) < t(ag).

Доказательство. Пусть а - эндоморфизм группы G и для каждого g є G \Кега выполнено t(g) < t(ag). Пусть ßah = nh для некоторых h є G, ß є E(G) и n є N . Тогда имеем: t(h) = t(nh) = t(ßah) > t(a(h)), что по условию на эндоморфизм а влечет h є Кега . Следовательно, 0 = ah = ßah = nh, откуда h = 0.

Обратно, пусть G - эндотранзитивная группа и а - ее квазинеобратимый эндоморфизм. Пусть g е G и ag ф 0. Если ^) = t(аg), то для некоторого п е N будет

выполнено х^) = Х^). Тогда найдется р е E(G) со свойством Pag = ng, что ввиду квазинеобратимости эндоморфизма а возможно лишь при g = 0. Последнее противоречит выбору элемента g.

Достаточное условие квазинеобратимости, данное в предыдущем свойстве, является для многих групп слишком строгим (примеры таких групп легко отыскать среди вполне разложимых групп). С другой стороны, вторая часть этого свойства показывает, что без дополнительных предположений о группе оно не может быть ослаблено.

6. Если а - квазинеобратимый эндоморфизм группы G, то aSocG = 0.

Доказательство. Псевдоцоколь SocG группы G есть сумма ее минимальных

р/г-подгрупп. Достаточно показать, что квазинеобратимый эндоморфизм а аннулирует произвольную минимальную р/г-подгруппу группы G. Допустим, что А -минимальная р/г -подгруппа группы G и аА ф 0. Пусть тогда а е А и аа Ф 0. В силу минимальности А (Е^)аа}* = А , откуда 0 Ф а е (Е(О)аа)*. По свойству 2 а

не является квазинеобратимым эндоморфизмом. Следовательно, аА = 0 для всякой минимальнойр/г-подгруппы А группы G, что дает aSocG = 0.

В работе Крылова [6] определен идеал Ы^) кольца эндоморфизмов группы G как сумма всех идеалов, состоящих из поэлементно нильпотентных эндоморфизмов, т.е. таких эндоморфизмов V, что для каждого g е G существует т е N со свойством vmg = 0. Очевидно, что этот идеал содержит ниль-радикал Ы(Е^)) кольца Е^).

7. Если а е N^), то а квазинеобратим.

Доказательство. Пусть Pag = ng для некоторых р е Е^), g е G и п е N . Так как Ра е N^), то существует к е N со свойством (Ра)^ = 0. С другой стороны, имеем (Ра)^ = nkg = 0, откуда g = 0.

8. Пусть А0, А, (г = 1,п) - подгруппы ранга 1 группы G, такие, что сумма А групп А1, А2, ..., Ап - прямая и служит для G прямым слагаемым. Пусть а - квазинеобратимый эндоморфизм группы G, причем 0 Ф аА0 с А и аА С 0)Д- при

г Фк

к = 1,п . Тогда ^А,) > t(A0) (г = 1,п).

Доказательство. Пусть А ^ А, - канонические проекции (г = 1,п). По условию, л,а40 ф 0, откуда ^А0) < ^А,). Допустим, что ^Ат) = t(A0) для некоторого т,

1 < т < п. Возьмем а е А0 так, чтобы птаа ф 0. Так как ^Ат) = t(A0), то для некоторого п е N х(птаа) < х(па). В этой ситуации существует гомоморфизм Р е Нот(Ат, А), такой, что Рлтаа = па. Так как Ат - прямое слагаемое группы G, то можно считать, что р е Е^), а значит, равенство вптаа = па влечет, ввиду квазинеобратимости эндоморфизма а, а = 0 в противоречие с выбором элемента а.

В дальнейшем будут рассматриваться квазинеобратимые эндоморфизмы вполне разложимых и сепарабельных групп без кручения. Напомним, что группа называется вполне разложимой, если она является прямой суммой групп ранга 1. Группа называется сепарабельной, если каждое конечное множество ее элементов содержится в некотором ее вполне разложимом прямом слагаемом. В случае

групп без кручения, эти классы определяются и изучаются в [4, §85 - 87]. Для данных классов групп без кручения оказывалось возможным описать квазинеоб-ратимые эндоморфизмы в терминах их действия на прямых слагаемых ранга 1, а также получить содержательные результаты о фактор-кольцах по идеалу квазине-обратимых эндоморфизмов. В дальнейших рассуждениях потребуется следующая простая лемма.

Лемма 1. Пусть G - однородно разложимая группа без кручения, G = -

ге1

ее разложение в прямую сумму однородных групп. Пусть 0 Ф а = Т,аг е G и

ге1

0 ф * = Трг е G , а,, е А, (i е I), где почти все и Ьг равны нулю. Тогда если

г'е/

а(а) = Ь для некоторого а е Е^), то для каждого индекса , е I найдется индекс ] е I, такой, что /(а,-) < t(Ьi).

Доказательство. Имеем а(а) = Ь. Пусть , е I и Ь, ф 0 (если Ь, = 0, то, ввиду того, что /(0) > т для любого типа т, в качестве требуемого ] можно взять любой индекс из I). Обозначая п, проекцию G на А, (е I), получаем

0 Ф Ьi = п,а(^ а, ) = ^ п,аа,. Следовательно, для некоторого ,0 е I

п, аа,0 Ф 0, откуда получаем /(а,) < /(п, аа,) = /(Ь,).

Теорема 2. Пусть G - вполне разложимая группа без кручения, G = @Д- - ее

iеI

разложение в прямую сумму групп ранга 1 и п,: G ^ А, (/' е I)- естественные проекции. Эндоморфизм а е Е^) квазинеобратим тогда и только тогда, когда для любых индексов /', ] е I п1аА, = 0 , если /(А,) = /(А,).

Доказательство. Необходимость. Пусть а - квазинеобратимый эндоморфизм и п1аА, ф 0. Последнее неравенство сразу влечет /(А,) > 1(А,). Допустим, что /(А,) = /(А,). Возьмем а е А, так, чтобы п1аа ф 0. Так как х(а) < х^аа), а

/(а) = /(п1аа), то найдется п е N, такое, что х(па) = х(п1аа). Следовательно, существует гомоморфизм у: А, ^ А,, ^п1аа = па. Так как А, - прямое слагаемое группы G, то можно считать, что у е Е^). Получили противоречие с квазинеобратимостью эндоморфизма а. Тем самым необходимость доказана.

Достаточность. Пусть эндоморфизм а таков, что для любых не обязательно различных индексов /', ] е I п1аА, = 0 или /(А,) > 1(А,). Предположим противное:

для некоторых g е G, Ре Е ^) и п е N выполнено равенство Pag = ng, причем g ф 0. Используя разложение G = , представим элемент g в виде g = а1 + ...+ап

,е2

(п > 1), где 0 Ф ак е Ак, к = 1,п , и все Ак входят в данное разложение группы G.

Без потери общности можно считать, что аак ф 0 (к = 1,п ). Действительно, если, например, аа\ = 0, то вместо элемента g можно рассмотреть элемент g' = а2+...+ап, на котором эндоморфизм а также будет квазиобратим. Это следует из того, что ag' = ag, откуда Ра?' = ng и, проектируя последнее равенство на сумму групп А2,..., Ап, получаем 0Ра?' = 0п? = п0? = п, где 0 обозначает соответствующую проекцию. Зафиксируем входящие в разложение G = группы

¡е!

Вт (т > 1), для которых аак = Ьк1+.+Ькт (к = 1,п ), и проекция на группу В) как минимум одного из аак отлична от нуля (у = 1, т ). Докажем, что группы Аь..., Ап и Вь..., Вт обладают следующими свойствами:

(1) для любого к = 1,п найдутся ]х,у2 = 1,т, такие, что ґ(Ву ) < ¿(Ак) и про-

^1

екция аАк на В^ отлична от нуля;

(2) для любого у = 1,т найдется к = 1,п, такой, что проекция сАк на Ву отлична от нуля;

Как было отмечено при выборе групп Вь..., Вт, проекция на группу Ву как минимум одного из аак отлична от нуля. То есть свойство (2) справедливо. Так как аак Ф 0, то и некоторый Ьк1о отличен от нуля. Следовательно, проекция аАк на В1о

отлична от нуля. Чтобы завершить доказательство свойства (1), обозначим Ьі = Ьп+...+Ьн (і = 1,т ). Тогда ag = Ь1+.+Ьт. Так как существует эндоморфизм группы О, переводящий ag в ng, то по предыдущей лемме для каждого к = 1,п существует индекс і (к) = 1, т, такой, что ¿(Ь^) < ¿(пак), откуда /(Ввд) < ¿(Ак). Таким образом, свойства (1) и (2) доказаны.

Построим ориентированный граф V, вершинами которого являются группы Аь..., Ап и Вь..., Вт. Соединим вершину Ак с Ву, если проекция аАк на Ву отлична от нуля. Соединим вершину Ву с Ак, если ¿(Ву) < ґ(Ак). С учетом (1) и (2) построенный граф, очевидно, обладает следующими свойствами:

(1) в каждую вершину Ак входит и выходит по меньшей мере по одному ребру;

(2) в каждую вершину В у входит по меньшей мере одно ребро;

Докажем, что построенный граф обладает циклом, содержащим одну из вершин Ак (к = 1,п). То есть существует последовательность вершин Ак^,В^ Ак2,Ву- •••,Ак ^,Вк ^,Ак , такая, что в каждую следующую вершину

входит ребро, выходящее из предыдущей, 5 > 2 и Ак^ = Ак .

Перейдем к новому графу ¥\. Для этого отбросим те вершины Ву графа V, из которых не выходит ни одного ребра. Так как п > 1, то в силу свойства (1) хотя бы одна из вершин Ву ни будет отброшена. Понятно, что получившийся граф может не обладать свойством (1), хотя свойство (2) по-прежнему сохраняется. Отбросим теперь те вершины Ак, из которых не выходит ни одного ребра. Так как хотя бы одна из вершин Ву осталась, то в силу свойства (2) останется хотя бы одна из вершин Ак. Нетрудно видеть, что полученный таким образом граф V обладает свойствами (1) и (2). Повторяя эту процедуру для графа У\, получим граф У2, также обладающий свойствами (1) и (2) и содержащий хотя бы по одной из вершин Ак и Ву. Так как число вершин графа V конечно, то, применив эту процедуру некоторое число раз, получим граф V, обладающий свойствами (1) и (2) и содержащий хотя бы по одной из вершин Ак и Ву, на который описанная процедура не действует, то есть из каждой его вершины Ву выходит по меньшей мере одно ребро.

Пусть А/1 - вершина графа V. По свойству (1) она соединена ребром с некоторой вершиной В у . Допустим, что уже построена последовательность А, вь, •/] 1 -'1

Ак2, ВуАк 1, Вк такая, что в каждую следующую вершину входит ребро,

выходящее из предыдущей. По построению графа Vt, вершина Бк соединяется ребром с некоторой вершиной Лк . Если вершина Лк входит в построенную последовательность, то, очевидно, цикл найден. В противном случае, в силу того, что она соединена ребром с некоторой вершиной Бк , получаем последовательность Лк1,Б}1,Лк2,Б. Лк Бк Лк ,Бк . Так как число вершин графа Vt конечно, то последовательность не может бесконечно удлиняться, а значит, в графе Vt существует цикл. По построению графа V, он является подграфом графа V и, следовательно, граф V также обладает циклом.

Итак, пусть Л^ , Б^ , Л^, Б. ,..., Лк Бк Лк - цикл графа V. Из построения

следует, что если существует ребро графа V, соединяющее вершины C1 и C2, то t(Ci) < t(C2). Так как Л^ = Лк , то t(Л^ ) = t(Б. ). Но из построения графа V следует, что проекция аЛк на Б. отлична от нуля. Получили противоречие с условием.

1 м

Замечание. Из теоремы 2 непосредственно следует, что только лишь нулевой эндоморфизм группы ранга 1 является квазинеобратимым.

Следствие 3. Эндоморфизм а сепарабельной группы G квазинеобратим тогда и только тогда, когда для любых двух ее прямых слагаемых Л, Б ранга 1 неравенство паЛ Ф 0 (п: G ^ Б - произвольная проекция) влечет t(Ä) < t(E).

Доказательство. Необходимость доказывается повторением доказательства необходимости предыдущей теоремы. Докажем достаточность. Пусть для некоторых g е G, ß е E(G) и n е N выполнено равенство ßag = ng. Вложим элементы g и ag в некоторое вполне разложимое прямое слагаемое C группы G. Пусть п: G ^ C - проекция. Положим а' = пап е E(C). Пусть C = Л1 © Л2 ©... © Лп -разложение группы C в прямую сумму групп ранга 1, п: C ^ Äi - проекции ( i = 1,п ). Для любых индексов i, j = 1,п имеем: п,а'Л. = (п,п)а(пЛ.) = п,аЛ. что по условию доказываемого следствия означает, что а' удовлетворяет условию предыдущей теоремы для группы C. Следовательно, а' - квазинеобратимый эндоморфизм группы C. Для эндоморфизма ß' = nßn е E(C) имеем: ß' ^g = ^ппа^ = пßпag = ^o;g = пng = ng. Следовательно, g = 0.

Полученное описание позволяет доказать, что все квазинеобратимые эндоморфизмы сепарабельной группы образуют идеал.

Следствие 4. Множество Q(G) всех квазинеобратимых эндоморфизмов сепарабельной группы G является идеалом кольца E(G).

Доказательство. Ввиду свойства 2 достаточно проверить что a + ß е Q(G) для любых a, ß е Q(G). Воспользуемся предыдущим следствием. Пусть Л, Б -прямые слагаемые ранга 1 группы G, п: G ^ Б - проекция и п(а + ß)4 Ф 0. Так как п(а + ß)Л с паЛ + пßÄ, то или паЛ Ф 0 или пßA Ф 0, откуда t(Â) < t(Б). Следовательно, a + ß е Q(G).

В связи с тем, что Q(G) является идеалом кольца эндоморфизмов сепарабельной группы, представляет интерес вопрос о структуре фактор-кольца E(G) / Q(G). Пусть Q(G) обозначает множество типов прямых слагаемых ранга 1 группы G. Пусть G - вполне разложимая группа, G = © Gt - её каноническое разложение,

tеQ

то есть О? - однородная вполне разложимая группа типа ? (? е 0(О)), называемая также однородной компонентой группы О. Обратимся к следующим известным обозначениям ([4, § 85]). Для произвольного типа ? через О(?) обозначается подгруппа, состоящая из всех элементов группы О, типы которых больше либо равны t, а через О (?) - подгруппа, порожденная множеством всех элементов группы О, типы которых строго больше ?. Подгруппы 0(?) и О (?) будут вполне инвариантными. Для вполне разложимой группы О и типа ? е 0(О) справедлив изоморфизм

О? = О(?)/О* (?). Исходя из этого, для сепарабельной группы О обозначим О? = О(?)/О* (?). Нужно заметить, что хотя последняя группа является сепарабельной ([4, § 85, свойство е)], она может быть неизоморфна ни одной из подгрупп группы О. Прежде чем переходить к рассмотрению фактор-кольца по идеалу Q(0), дадим еще одно описание идеала Q(0) с использованием подгрупп О(?) и О*(0. Обозначим Qt (О) = {ае Е(О) | аО(?) с О*(?)} . Из вполне инвариантности

подгрупп О(?) и О (?) следует, что Q(0) - идеал в Е(О).

Предложение 5. Для сепарабельной группы без кручения О справедливо равенство Q(G)= П Qt (О).

?е0

Доказательство. Возьмем а е Q(G), предположим, что а е П Qt(О), то

?е0

есть аg е О* (?) для некоторого элемента g е О(?) и некоторого типа ? е 0(О). Из этих предположений следует, что g Ф 0. Вложим элементы g и ag во вполне разложимые прямые слагаемые А и В группы О. Пусть А = А1 ©... © Ап и В = В1 ©... © Вт - их разложения в прямую сумму групп ранга 1. Полагая, что проекции g (ag) на каждое из Ai (В,) отличны от нуля, получаем ?(А) > ^) и ?(В,) > t(ag). Так как g, ag е О*(?), то из этого следует, что найдутся 10 и,0, для которых ?(Д- ) = ^) = ? = ?(ag) = ?(В, ). Это позволяет утверждать, что существует

0 'О

гомоморфизм у: В^ ^ А, такой, что ag = kg для некоторого к е N, где

: О ^ Вг-0 - проекция. Из квазинеобратимости а заключаем, что g = 0, что противоречит выбору элемента g. Тем самым доказано, что Q(G) с П Qt(О).

?е0

Докажем обратное включение. Пусть а е П 0!? (О). Пусть А и В - прямые

?е0

слагаемые ранга 1 группы О, для которых паА Ф 0 (п: О ^ В - проекция). Предположим, что ?(А) = ?(В) = ?. Докажем, что в этой ситуации В П О (?) = 0. Предположим противное: некоторый элемент а е В представим в виде суммы элементов g1 + ...+gn, типы которых строго больше ?. Вкладывая элементы g1,. ,gn во вполне разложимое прямое слагаемое С группы О, для фиксированного разложения С = С1 ©... © Сх группы С в прямую сумму групп ранга 1 получим ?(С,) > ? (полагаем, что проекция на каждое из слагаемых С, хотя бы одного из элементов g1,. ,gn отлична от нуля). С другой стороны, а е С и подгруппа С чиста в О, откуда получается, что В = (а)* с С . Далее, ввиду того, что В - прямое слагаемое группы О,

группа В будет прямым слагаемым группы С ([3, § 8, свойство б)]). Дополнительное

к В слагаемое группы С будет вполне разложимо как прямое слагаемое вполне разложимой группы ([4, теорема 86.7]). Получили, что группа С обладает неизоморфными разложениями в прямую сумму групп ранга 1, что невозможно ([4, предло-женние 86.1]). Таким образом, В с О^), но В П О (?) = 0. Следовательно,

па е П Qt (О), а это противоречит тому, что П Qt (О) - идеал в Е(О).

?е0

Вернемся к рассмотрению фактор-кольца кольца эндоморфизмов по идеалу Q(G). Пусть, как и выше, О? обозначает однородную компоненту вполне разложимой группы О. Так как О = © О?, то можно считать, что П Е(О,) с Е(О).

?е0

Теорема 6. Пусть О - вполне разложимая группа без кручения. Тогда Е (О)^(О) = П Е(О?) и, кроме того, аддитивная группа кольца Е(О) является

?е0

прямой суммой аддитивных групп кольца П Е(О?) и идеала Q(0).

?е0

Доказательство. Докажем сначала, что Е(G)/Q(G) = П Е(О?). Построим

?е0

эпиморфизм Т : Е(О) ^ П Е (О?). Для X с О(О) обозначим пх проекцию

?е0

группы О на ©О?; если X = {т}, то полагаем пх = Пх. Положим

?еХ

Т(ф) = (...,пфп?,...) е П Е (О?) для каждого фе Е (О). Очевидно, что

?е0

¥(ф ± у) = ¥(ф) ± ¥(у) и ¥(1) = 1. Чтобы доказать ¥(фу) = ¥(ф)¥(у), нужно, очевидно, проверить, что п4фуп4 = пфппуп для произвольного ? е 0(О). Заметим, что п?ф = п?фП{х|х<?} и уп? = п^^уп? . Докажем эти равенства. Пусть g е °.

Тогда, ввиду однородности групп О, из того, что Пtфg Ф 0, следует, что 5 < ?, а значит, п?фg = п?фп{5|5<?}g . Пусть далее уп^ = п^ у^ + ... п? у^, где все слагаемые

п? у^ отличны от нуля. Так как п^уд Ф 0 влечет ^ > 5, то уп^ = п{5|5^уп^ . Очевидно также, что п^^^п^^ = п?. Учитывая все эти обстоятельства, получаем: п?фуп? = п?фп^^п^^уп? = п?фп?уп? = п?фп?п?уп?, что и требовалось. Таким образом, ¥ - кольцевой гомоморфизм. Так как ¥(ф) = ф, если ф е П Е (О ь

?е0

то ¥ - идемпотентный эпиморфизм.

Покажем, что Кег¥ = Q(0). Для этого зафиксируем разложение О = ©А в

/е/

прямую сумму групп ранга 1, при котором Оí = © А. Воспользуемся преды-

? ( А, )=?

дущим предложением. Пусть а е Q(G). Если допустить, что пап/; Ф 0 для некоторого ? е0(О), то для некоторых А1 , А2 п,2 аА1 Ф 0 (пг-2 : О ^ А2 - проекция), причем /(А1 ) = ?(А ) = ?, а это, согласно предыдущему предложению, противо-

речит тому, что ае Q(G). Таким образом, Q(0) с Кег Т. Обратно, пусть аеКег Т и п,2 аА Ф 0. Из равенства /(А1) = /(А2) = ? очевидно следует, что пап, Ф 0, что невозможно. Значит, /(Аг- )< /(А2) и, по предыдущему предложению, а е Q(G). Равенство Кег ¥ = Q(G) доказано. Получаем изоморфизм

Е(0)^(0) = П Е(о, ).

/еО

Утверждаемое прямое разложение аддитивной группы кольца Е(О) теперь легко получается из доказанного изоморфизма и из сделанного в ходе доказательства замечания об идемпотентности гомоморфизма Т.

Доказанное предложение не обобщается на тот случай, когда О - сепарабельная группа. Однако справедлив менее сильный факт:

Следствие 7. Пусть О - сепарабельная группа. Тогда факторкольцо Е(О) / Q(G) изоморфно подкольцу прямого произведения П Е(О,), где

/еО

О, = 0(/) / О (/) для каждого типа /.

Доказательство. Кольцевой гомоморфизм Т : Е(О) ^ П Е(О,) строится

/еО

естественным образом. Положим Т(а) = (...,а,,...) е П Е(О,), где а, определя-

/еО

ется равенствами а, (g) = аg , g е О,. В силу вполне инвариантности подгруппы О (/), отображения а, будут корректно определенными эндоморфизмами групп О,. Остается доказать, что Кег¥ = Q(G). Очевидно, что а е КегТ тогда и только тогда, когда а О, с 0*(/) для каждого / е 0(0), что, ввиду предложения 5, равносильно тому что а е Q(G).

Рассмотрим теперь условия нильпотентности идеала Q(G). Пусть Р(Я) обозначает первичный, ЩЯ) - ниль-радикал и Ь(Я) - локально нильпотентный радикал Левицкого кольца Я. Определения и свойства обозначенных радикалов можно найти, например, в [7]. Говорят, что частично упорядоченное множество удовлетворяет условию т-максимальности для натурального числа т, если каждая строго возрастающая цепь его элементов состоит из не более чем т элементов.

Предложение 8. Следующие условия на сепарабельную группу О равносильны:

1) Р(Е(О))т = 0 ; 3) N(Е(О))т = 0 ;

2) Ь(Е(О))т = 0; 4) Q(G)m = 0 ;

5) 0.(0) удовлетворяет условию т-максимальности;

Доказательство. Эквивалентность условий 3) и 5) показана в [1, следствие 23.11]. Также известно [1, лемма 23.10], что каждая цепочка /1 < ... < /п типов из 0(0) дает нильпотентный степени п идеал кольца Е(О). Поэтому 1) ^ 5). Хорошо известно, что Р( Е (О)) с Ь( Е (О)) с N (Е (О)). Очевидно также, что

N (Е (О)) с N (О), а в силу свойства 7 квазинеобратимых эндоморфизмов N (О) с Q(G). Учитывая получившуюся цепочку включений, получаем 4) ^ 3) ^ 2) ^ 1). Остается, таким образом, доказать, что 5) ^ 4). Пусть выполняется условие 5). Предположим противное: найдутся эндоморфизмы

а1;...,аm,аm+1 e Q(G), произведение которых отлично от нуля. Выберем какое-нибудь прямое слагаемое Am+1 ранга 1 группы G, для которого ty...amam+1Am+1 ф 0. Тогда и am+1Am+1 Ф 0. Вложим am+1Am+1 во вполне разложимое

прямое слагаемое Bm+1 = Amm+1  .  Am1 группы G . Это возможно ввиду того, что ранг группы am+1Am+1 равен 1 и, следовательно, эта группа будет содержаться во всяком прямом слагаемом группы G, содержащем любой ее ненулевой элемент. Так как аь.. amOm+^^m+1 Ф 0 и ат+1 Am+1 с Bm+1, то а1... amA^h+11 Ф 0 для некоторого im+1 = 1, km+1 . Положим Am = Amm! . Так как проекция на Am подгруппы am+1Am+1 отлична от нуля и аm+1 e Q(G), то, согласно следствию 3, t(Am+1) < t(Am).

Получили, что a1...amAm Ф 0. Повторяя только что описанную процедуру, найдем прямое слагаемое Am.1 ранга 1 группы G, такое, что a1. am-1Am_1 ф 0 и t(Am) < t(Am-1). Продолжая этот процесс дальше, в итоге найдем m + 1 прямое слагаемое Am+1, Am, ..., A1 ранга 1 группы G, для которых t(Am+1) < t(Am) < ... < t(A1). Последнее противоречит условию m-максимальности для множества ß(G).

Нужно отметить, что Q(G) наибольший идеал, который можно использовать в условии 4) предыдущего результата. Справедливо более сильное утверждение: если I - идеал кольца E(G) (G - сепарабельная группа без кручения) и I С Q(G), то в I найдется не нильпотентный эндоморфизм. Действительно, пусть а e I \ Q(G). Тогда, в силу следствия 3, у группы G существуют прямые слагаемые A и B ранга 1, для которых nBaA ф 0 и t(A) = t(B) (nA, nB - проекции группы G на подгруппы A и B соответственно). Пусть ß: B ^ A - какой-либо ненулевой гомоморфизм. В этой ситуации у = ßnBanA - ненулевой эндоморфизм группы A, который, так как A и B - прямые слагаемые, можно считать эндоморфизмом группы G, принадлежащим идеалу I. Эндоморфизм у как эндоморфизм рациональной группы является умножением на некоторое рациональное число и поэтому не будет нильпотентным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крылов П.А., Михалев А.В., Туганбаев А.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов. М.: Факториал Пресс, 2006. 512 с.

2. Мисяков В.М. Некоторые вопросы теории абелевых групп // Тез. докл. Всерос. конф. по математике и механике. Томск: Том. гос. ун-т, 2008. 55 с.

3. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 1. М.: Мир, 1974. 336 с.

4. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы. Т. 2. М.: Мир, 1977. 415 с.

5. Добрусин Ю.Б. О продолжениях частичных эндоморфизмов абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1986. С. 36 - 53.

6. Крылов П.А. Радикал Джекобсонона кольца эндоморфизмов абелевой группы // Алгебра и логика. 2004. Т. 43. № 1. С. 60 - 76.

7. GardnerB.J, WiegandtR. Radical Theory of rings. N.Y.: Marcel Dekker, Inc., 2004. 387 p.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

БУДАНОВ Александр Викторович - аспирант кафедры алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: alexandbud@mail.ru

Статья принята в печать 10.06.2010 г.