Оценка методом самосогласования диэлектрической проницаемости анизотропного композита с пластинчатыми включениями

Математика к Математическое

моделирование

ХДК 517.1;530.1

Оценка методом самосогласования

диэлектрической проницаемости анизотропного композита с пластинчатыми включениями

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №1. С. 36-48.

Б01:10.7463/шаШш.0115.0776021

Представлена в редакцию: 28.01.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

Зарубин В. С.1, Кувыркин Г. Н.1, Пугачев О. В.1'* * fn2@bmstu.ru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Для композита с одинаково ориентированными изотропными пластинчатыми включениями построена математическая модель взаимодействия электростатических полей во включении и в окружающей его однородной анизотропной среде, тензор диэлектрической проницаемости которой подлежит определению в качестве искомой характеристики рассматриваемого композита. Эта модель позволяет найти возмущение электростатического поля во включении по отношению к невозмущенному полю в окружающей среде, заданному на большом удалении от включения. Аналогичная модель дает возможность определить возмущенние электростатического поля в частицах матрицы композита. Составляющее особенность метода самосогласования осреднение возмущений по всем включениям и частицам матрицы приводит к системе алгебраических уравнений относительно искомых главных значений тензора диэлектрической проницаемости композита. Проведен количественный анализ полученной системы уравнений. Представленные расчетные зависимости позволяют прогнозировать диэлектрические характеристики композитов с одинаково ориентированными пластинчатыми включениями, в качестве которых могут быть использованы и наноструктурные элементы.

Ключевые слова: композит, диэлектрическая проницаемость, пластинчатые включения

Введение

В структуре композита как неоднородного материала принято выделять включения и матрицу, выполняющую роль связующего между включениями, свойства которых определяют область применения композита. Подбор характеристик включений позволяет удовлетворять различным требованиям к материалам, предъявляемым при создании различных технических устройств. Наряду с широким использованием композитов в качестве конструкционных или теплозащитных материалов они находят применение и как функциональные материалы в большом числе разнообразных электротехнических устройств и приборов, в том числе в качестве диэлектриков. Для композита, применяемого в этом качестве, одной из важнейших характеристик является относительная диэлектрическая проницаемость [1, 2], зависящая

прежде всего от диэлектрических свойств включений и матрицы, а также от формы и объемного содержания включений.

Одним из распространенных вариантов структуры композитов является дисперсная система, в которой в дисперсионной среде (в данном случае — в матрице композита) распределена дисперсная фаза (включения) с сильно развитой поверхностью раздела между ними [3]. Форма дисперсных включений может быть различной. Для включений в форме шара получены оценки эффективной диэлектрической проницаемости композита методом теории смесей [2] и методом асиптотического осреднения [4]. Последний метод применен также для оценки диэлектрических свойств композита, армированного волокнами [5].

Если размер включения в одном из ортогональных направлений существенно меньше размеров в двух других направлениях, то форму такого включения можно считать пластинчатой. Форму пластинчатого включения в первом приближении можно описать уравнением поверхности сильно сплющенного эллипсоида, у которого одна из полуосей существенно меньше двух других. Частным случаем такого эллипсоида является сильно сплющенный сфероид (эллипсоид вращения), который можно рассматривать как геометрическую модель пластинчатого включения, имеющего в плане форму круга.

Композит при хаотическом расположении изотропных пластинчатых включений в изотропной матрице будет также изотропным по отношению к свойству диэлектрической проницаемости. Но при упорядоченном расположении таких включений композит станет анизотропным. В частности, при представлении изотропных включений в виде сфероидов, оси вращения которых расположены в композите параллельно, он будет трансверсально изотропным относительно направления расположения этих осей [6]. Для такого расположения включений возможно построить адекватную математическую модель, позволяющую прогнозировать зависимость его диэлектрической проницаемости от диэлектрических характеристик включений и матрицы и от объемной концентрации включений. Построение такой модели связано с рассмотрением взаимодействия включений и частиц матрицы с макроскопически однородной окружающей средой, диэлектрические параметры которой подлежат определению в качестве искомых характеристик рассматриваемого композита.

1. Основные соотношения

Из полной системы уравнений Максвелла [2, 7] при отсутствии свободных электрических зарядов следуют уравнения электростатики в виде [8, 9]

где V — дифференицальный оператор Гамильтона, Е и Б — векторы напряженности электростатического поля и электрического смещения (электрической индукции) соответственно, 0 — нулевой вектор. Первое уравнение (1) можно удовлетворить тождественно, если ввести соотношением

V х Е = 0, V - Б = 0,

Е = - Уи

скалярный электрический потенциал и.

Для изотропной среды векторы Б и Е коллинеарны и связаны равенством [2]

Б = ££оЕ,

где £ — относительная диэлектрическая проницаемость (для ваккума £ = 1, а для диэлектриков £ > 1), £0 = 8,8542  10-12 А-/(В-м) — электрическая постоянная. Распределение электрического потенциала в однородной изотропной среде должно удовлетворять дифференциальному уравнению в виде

V2U = 0

(V2 — дифференциальный оператор Лапласа), которое следует из второго уравнения (1) и равенств (2) и (3).

В случае однородной анизотропной среды вместо равенства (3) следует использовать соотношение [8, 9]

В* = £оЕ, г, 3 = 1, 2, 3,

где и Е — координаты векторов соответственно Б и Е в выбранной системе Ох1х2х3 прямоугольных декартовых координат, а £у — компоненты симметричного тензора второго ранга диэлектрической проницаемости, определенные в этой системе координат. В этом случае вместо уравнения (4) необходимо использовать дифференциальное уравнение

д2и

4 дх^ дхг ,

следующее из второго уравнения (1), равенства (3) и соотношения (5). Если оси системы координат выбрать совпадающими с главными осями тензора диэлектрической проницаемости, то уравнение (6) примет вид

д 2 и =0, а = г,

дх г дх г

где £а — главные значения этого тензора.

Для описания взаимодействия изотропного включения с окружающей его анизотропной однородной средой необходимо провести преобразование уравнения (7).

2. Преобразование уравнения для анизотропной среды

Поместим изотропное включение в форме сфероида с полуосями Ь1 = Ь2 = Ь3 в неограниченную область, заполненную однородной средой, трансверсально изотропной относительно оси вращения сферода. Пусть для определенности эта ось, являющаяся одной из главных осей тензора диэлектрической проницаемости среды, совпадает с осью Ох3 системы Ох1х2х3 прямоугольных декартовых координат с началом в центре сфероидального включения. Искомое главное значение тензора диэлектрической проницаемости, соответствующее

этой его главной оси, обозначим через £3. Для трансверсально изотропной среды расположение в плоскости х\Ох2 двух других ортогональных главных осей, которым отвечают главные значения £\ = £2 этого тензора, может быть выбрано произвольно.

Уравнение (7), описывающее распределение электрического потенциала в окружающей трансверсально изотропной среде, представим в виде

зХ[ + дХ| + "дё2 =0'

где ё = х3^£\/£3. Уравнение (8) описывает распределение электрического потенциала в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью £1 = £2. Такое преобра-

зование равносильно изменению масштаба в направлении координатной оси Ох3 в у £1/£3 раз, что приведет и к изменению длины полуоси Ь3 сфероида, которая теперь примет зна-

чение 63 = Ь3у £1/£3. При этом условии уравнение (8) будет описывать распределение электрического потенциала не только в однородной изотропной среде, но и в изотропном включении.

В более общем случае возможно аналогичное преобразование произвольно ориентированного трехосного эллипсоида, причем преобразованный эллипсоид принято называть приведенным [10]. В данном случае следует говорить о приведенном эллипсоиде вращения, поскольку его отношение полуосей Ь3 = Ь3/Ь1 будет отличаться от исходного отношения Ь = Ь3/Ь1 < 1 и может принять значение, большее единицы.

Уравнение (7) можно преобразовать не только к виду (8), но и к виду

+ М + 5X2 =0'

где ё1 = х^£3/£1 и ё2 = х2у£3/£1. Это уравнение описывает теперь распределение электрического потенциала в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью

£3, но с измененим масштаба в направлении координатных осей Ох1 и Ох2 в у £3/£1 раз, что приведет и к изменению длины полуосей Ь1 = Ь2 исходного сфероидального включения,

которые теперь примут значение ЬЦ = Ь3 = £3/£1. Тогда уравнению (9) будет удовлетворять распределение электрического потенциала как в однородной изотропной среде, так и в изотропном приведенном эллипсоиде вращения. Отметим, что при этом отношение

ь = 63 = 63 /£1

Ьз = 61 = 61 У £3

полуосей полученного приведенного эллипсоида вращения не изменит своей величины по сравнению со случаем преобразования уравнения (7) к виду (8).

Переход от уравнения (7) к его модификациям в виде (8) или (9) позволяет для описания взаимодействия изотропного включения с окружающей его однородной средой использовать в силу аналогии между математическими формулировками задач электростатики и установившейся теплопроводности [7] известное решение задачи о возмущении температурного поля в эллипсоидальном включении, помещенном в неограниченную область, заполненную однородной изотропной средой [11, 12, 13].

3. Взаимодействие включения с окружающей средой

Пусть изотропное включение в форме приведенного эллипсоида вращения с отношением полуосей Ь* и диэлектрической проницаемостью £ помещено в неограниченную область с однородной изотропной средой, имеющей диэлектрическую проницаемость £1. Если на весьма большом расстоянии от центра такого включения по сравнению с его наибольшей полуосью задан вектор Е0 напряженности электростатического поля, направленный вдоль координатной оси Ох1 выбранной выше системы Ох1х2х3 прямоугольных декартовых координат с началом в центре включения, то в этом включении возникнет одномерное электростатическое поле с вектором напряженности Е1, также направленным вдоль координатной оси.

Модуль вектора Е1 будет равен [2, 11]

Е = ^ = £, +

где в случае эллипсоида вращения геометрический коэффициент формы

— ТО

1*

В* = _^_

1 2 0

Для возмущения электростатического поля в приведенном эллипсоиде вращения по отношению к невозмущенному полю с вектором напряженности Е0 в однородной окружающей среде получим с учетом формулы (10) единственную составляющую вектора напряженности с модулем

ДЕ1 = 1 Е - Е0 ' = £1 + ££ - Ы 1 Е0 1 '

Аналогичным путем можно найти возмущение электростатического поля в приведенном эллипсоиде вращения с тем же отношением Ь* полуосей и с той же диэлектрической проницаемостью £, помещенном в неограниченную область с однородной изотропной средой, но имеющей диэлектрическую проницаемость £3. В этом случае следует задать на весьма большом расстоянии от центра этого эллипсоида по сравнению с его наибольшей полуосью вектор Е0 напряженности электростатического поля, направленный вдоль координатной оси Ох3 той же системы координат. Тогда вектор Е3 напряженности электростатического поля в эллипсоидальном включении будет также направлен вдоль координатной оси Ох3, а его модуль будет равен

Е3 = 1 Е3 1 = £з + (£- £з)В3 1 Ео 1, где В3 = 1 — 2В1. По отношению к невозмущенному электростатическому полю с вектором напряженности Е0 в рассматриваемом приведенном эллипсоиде вращения возникнет возмущение электростатического поля с модулем вектора напряженности

££

АЕ3 = |Е — Ео1 = £3 +

Возмущения электростатического поля в приведенном эллипсоиде вращения необходимы для получения оценки главных значений £1 и £3 тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого трансверсально изотропного композита методом самосогласования.

4. Применение метода самосогласования

Существо подхода к оценке диэлектрической проницаемости композита методом самосогласования состоит в осреднении модулей векторов напряженности возмущений электростатических полей во всех элементах структуры этого композита и приравнивания нулю результата такого осреднения. Для реализации метода самосогласования наряду с формулами (12)и(13) для этих модулей неоходимо располагать аналогичным соотношением для частиц матрицы, диэлектрическую проницаемость которых обозначим £°.

Форму частиц матрицы композита допустимо выбрать произвольной при условии, что их характерный размер изменяется от некоторого конечного до бесконечно малого (это позволяет заполнить в объеме, занимаемом композитом, все возможные промежутки между включениями). Примем, что при преобразовании уравнения (7) как к виду (8), так и к виду (9) форма частиц матрицы стала шаровой. Такой форме соответствует геометрический коэффициент = 1/3. Тогда при любом направлении вектора Е0 напряженности невозмущенного электростатического поля в однородной изотропной среде коллинеарный ему вектор напряженности электростатического поля в такой частице матрицы будет равен [2, 9] либо

Ео = £1 + (е° — £1)О°Ео'

если диэлектрическая проницаемость однородной изотропной среды равна £1, либо

Ео __тг,

ч — -;-, „ En,

3 £3 + (£° -

если диэлектрическая проницаемость этой среды равна £3. Из этих равенств следуют соотношения для модулей вектора напряженности возмущенного электростатического поля в шаровой частице матрицы соответственно

£l — £°

и

£3 — £°

313 01 £3 + (£° - £3)D31 01 V ;

Согласно методу самосогласования [6, 14, 15], необходимо приравнять нулю результат

осреднения правых частей равенств (12), (13) с искомым главным значением £i тензора

диэлектрической проницаемости композита и результат осреднения правых частей равенств

(14), (15) с искомым главным значением £3 этого тензора. При объемной концентрации CV

включений получим соответственно

AEiCy + AE°(1 - CV) —0 и AE3CV + AE°(1 - Cy) — 0.

Из первого равенства с использованием обозначения Е — £/£° следует квадратное уравнение

относительно £ 1 = £1/£°, а из второго равенства — квадратное уравнение

рис.1

относительно e3 = £3/£°.

5. Результаты расчетов

При заданных значениях b1 = b2 = b3 полуосей исходного сфероида, моделирующего форму пластинчатык включений в композите, отношения £ = e/e° и объемной концентрации CV включений уравнения (16) и (17) можно решить последовательными приближениями. Для этого сначала следует задать ожидаемое значение b *, вычислить по формуле (11) геометрический коэффициент формы D *, затем найти D33 = 1 - 2D* и решить уравнения (16) и (17), что позволит уточнить значение b * и продолжить последовательные приближения. Но при количественном анализе полученных соотношений проще решать уравнения (16) и (17) при серии ожидаемыхх значений b , а затем по вычисленным значениям £1 и £3 находить

соответствующие этой серии значения Ь = 63/61 = Ь3/£\.

На рис. 1 в логарифмических координатах приведены зависимости отношений £ 1 = £1/£° (сплошные кривые) и £3 = £3 /£° (штрихпунктирные кривые) от параметра Ь при объемной концентрации Су = 0, 5 включений и различных значениях параметра £ . В случае шарового включения (Ь =1) £1 = £3, что соответствует изотропному композиту. По мере уменьшения значения Ь разность |£1—£31 возрастает, что приводит к росту степени анизотропии композита. При этом £ 1 ^ 1 для всех рассмотренных значений £ , т.е. диэлектрическая проницаемость

Рис. 1. Зависимость относительных главных значений тензора диэлектрической проницаемости композита от параметра Ь при различных значениях ё и объемной концентрации включений Су = 0,5

рис.2

рис.3

£1 композита в направлениях, перпендикулярных оси вращения сфероидальных включений, приближается к диэлектрической проницаемости £° матрицы.

Зависимости, представленные на рис. 2, отвечают значению Су = 0, 2, а на рис. 3 — значению Су = 0,8. Из сравнения с графиками, приведенными на рис. 1, следует, что при уменьшении объемной концентрации включений интервал изменения главных значений £1 и £3 тензора диэлектрической проницаемости композита убывает, а при увеличении Су возрастает. В остальном все закономерности, выявленные при рассмотрении результатов расчетов при значении Су = 0, 5 сохраняют силу.

Рис. 2. Зависимость относительных главных значений тензора диэлектрической проницаемости композита от параметра Ь при различных значениях ё и объемной концентрации включений Су = 0,2

Рис. 3. Зависимость относительных главных значений тензора диэлектрической проницаемости композита от параметра Ь при различных значениях ё и объемной концентрации включений

Су = 0,8

Заключение

Построенная математическая модель взаимодействия электростатических полей в изотропном плстинчатом включении и в окружающей его однородной анизотропной среде, главные значения тензора диэлектрической проницаемости которой подлежит определению в качестве искомых характеристик композита, позволила определить возмущение электростатического поля во включении по отношению к невозмущенному полю в окружающей среде. Аналогичным путем найдено возмущение электростатического поля в частицах матрицы композита. Приравниванием нулю, согласно методу самосогласования, результата осреднения этих возмущений во всех элементах структуры композита, получена система алгебраических уравнений относительно искомых главных значений тензора диэлектрической проницаемости композита. Проведенный количественный анализ полученной системы

уравнений дает возможность прогнозировать диэлектрические характеристики композитов с одинаково ориентированными пластинчатыми включениями (в том числе в виде нанострук-турных элементов).

Работа выполнена по гранту НШ-1432.2014.8 программы Президента РФ государственной поддержки ведущих научных школ, а также в рамках проекта 1712 в сфере научной деятельности в части государственного задания № 2014/104 Минобрнауки РФ и государственного задания по проекту № 1.2640.2014.

Список литературы

1. Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Сов. энциклопедия, 1983. 928 с.

2. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8. Элетродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

3. Политехнический словарь / Гл. ред. А.Ю. Ишлинский. М.: Сов. энциклопедия, 1989. 656 с.

4. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Математическое моделирование диэлектрических свойств полимер-керамических композиционных материалов методом асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 10. С. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343

5. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Моделирование диэлектрических характеристик композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №1. С. 49-64. DOI: 10.7463/0113.0531682

6. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М.: Наука, 1977. 400 с.

7. МоженЖ. Механика электромагнитных сред: пер. с англ. М.: Мир, 1991. 560 с.

8. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

9. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды: учеб. пособие. В 4 т. Т. 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2011. 560 с.

10. Апресян Л.А., Власов Д.В. О факторах деполяризации анизотропных эллипсоидов в анизотропной среде // Журнал теоретической физики. 2014. Т. 84, № 12. С. 23-28.

11. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел: пер. с англ. М.: Наука, 1964. 488 с.

12. ЗарубинВ.С., КувыркинГ.Н. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита с эллипсоидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. №3. С. 76-85.

13. Зарубин B.C., Савельева И.Ю. Эффективные коэффициенты теплопроводности композита со сфероидальными включениями // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2013. №4. С. 116-126.

14. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1965. Vol. 13. iss. 4. P. 213-222. DOI: 10.1016/0022-5096(65)90010-4

15. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №9. C. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 1, pp. 36-48.

DOI: 10.7463/mathm.0115.0776021

Received: 28.01.2015

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

The estimate of permittivity of anisotropic composites with lamellar inclusions by the self-assessment method

Zarubin V. S.1, Kuvyrkin G. N.1, Pugachev O. V.1* * fn2@bmstu.ru

1Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: composite, permittivity, lamellar inclusions

Composites are widely used as structural or thermal protection materials; they are used as well as functional materials in a large number of different electrical devices and as dielectrics. This composite has one of the most important characteristics - the relative permittivity. It depends primarily on the dielectric properties of the inclusions and the matrix as well as the shape and volume content of the inclusions.

In this paper, a mathematical model of the interaction of the electrostatic fields in an isotropic plate and in the surrounding homogeneous anisotropic medium is constructed. This model describes the dielectric properties of the composite with such inclusions. A variant of the same orientation of lamellar inclusions is considered, which leads to the special case of anisotropy of the dielectric properties of the composite that has transverse isotropy towards the direction perpendicular to the inclusions. The shape of inclusions is represented as an oblate ellipsoid of revolution (spheroid). Transformation of the differential equation describing the distribution of the electric potential transversely to isotropic medium surrounding the spheroidal inclusion, to the Laplace equation with the subsequent transition from the initial spheroid to the given ellipsoid of rotation allows us to apply the self-assessment method for the determination of the dielectric properties of the composite. This method equates the result of averaging the perturbation of the electrostatic field in the inclusions and the matrix particles towards the unperturbed fields in the environment to zero.

The constructed mathematical model allows us to determine the electrostatic field disturbance in the inclusions and the matrix particles towards the unperturbed field given in the environment at a distance from the inclusions and the matrix particles, much larger than their characteristic dimensions. By averaging the perturbation of the electrostatic field in all the elements of the composite structure, a system of two quadratic equations for the desired principal values of the permittivity tensor of the composite is obtained. Results of this quantitative analysis are shown in graphs and can be used to predict the dielectric characteristics of composites with identically oriented lamellar inclusions (including in the form of nanostructured elements).

References

1. Prokhorov A.M., ed. Fizicheskii entsiklopedicheskiislovar' [Phisical encyclopedic dictionary]. Moscow, Sovetskaia entsiclopediia, 1983. 928 p. (in Russian).

2. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskay fizika. V 10 t. T.8. Electrodynamika sploshnykh sred [Teoretical physics. In 10 vols. Vol. 8. Electrodynamics of continuous media]. Moscow, Nauka, 1992. 664 p. (in Russian)..

3. Ishlinskii A.Yu., ed. Politekhnicheskii slovar' [Politechnical dictionary]. Moscow, Sovetskaia entsiclopediia, 1989. 656 p. (in Russian).

4. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Mathematical simulation of dielectric properties of polymer-ceramic composite materials, using the asymptotical averaging method. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 10. pp. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343 (in Russian).

5. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Modeling of dielectric properties of composite materials on the basis of asymptotic averaging. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 1. pp. 49-64 DOI: 10.7463/0113.0531682 (in Russian).

6. Shermergor T.D. Teoriia uprugosti mikroneodnorodnykh sred [Theory of elasticity of micro-inhomogeneous media]. Moscow, Nauka Publ., 1977. 400 p. (in Russian).

7. Maugin G.A. Continuum mechanics of electromagnetic solids. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1988 (Russ. ed.: Maugin G.A. Mekhanika elektromagnithykh sploshnykh sred. Moscow, Mir Publ., 1991. 560 p.).

8. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy [Mathematical models of mechanics and electrodynamics of continuous media]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 p. (in Russian).

9. Dimitrienko Iu.I. Mekhanika sploshnoi sredy. V 4 t. T.2. Universal'nye zakony mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy [The mechanics of a continuous medium. In 4 vols. Vol.2. The universal laws of mechanics and electrodynamics of continua]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 560 p. (in Russian).

10. Apresyan L.A., Vlasov D.V. On Depolarization Factors of Anisotropic Ellipsoids in an Anisotropic Medium. Jhurnal tekhnicheskoi fiziki, 2014, vol. 84, no. 12, pp. 23-28 (English version of journal: Journal of technical physics, 2014, vol. 59, iss. 12, pp. 1760-1765. DOI: 10.1134/S1063784214120020).

11. CarslawH.S., Jaeger J.C. Conduction of heat in solids. London, Oxford University Press, 1947 (Russ. ed.: Carslaw H.S., Jaeger J.C. Teploprovodnost tverdykh tel. Moscow, Nauka Publ., 1964. 488 p.).

12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Efficiency heat conduction coefficients of composites with ellipsoidal inclusions. VestnikMGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Bulletin of the Bauman MSTU. Ser. Natural science, 2012, no. 3, pp. 76-85. (in Russian).

13. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Efficiency heat conduction coefficients of composites with spheroidal inclusions. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Bulletin of the Bauman MSTU. Ser. Natural science, 2013, no. 4, pp. 116-126. (in Russian).

14. Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1965, Vol. 13, iss. 4, pp. 213-222. DOI: 10.1016/0022-5096(65)90010-4

15. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Estimate of heat conductivity of composites with globular inclusions of self-consistent method. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 9, pp. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512 (in Russian).