Граничное управление и наблюдение для симметрической системы

УДК 517.9

С. С. Кузиков

Граничное управление и наблюдение для симметрической системы

S.S. Kuzikov

Boundary Control and Observation for a Symmetrical System

Исследуются задачи управления для симметрической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных положительной по К. Фридрихсу. В качестве управления берется одна из компонент искомой вектор-функции на участке границы, а минимизируемый функционал представляет собой квадрат нормы отклонения решения от заданной функции на другом куске границы. Для решения этой задачи предложен итерационный метод градиента. Градиент функционала находится с помощью решения сопряженной задачи.

Ключевые слова: симметрические системы, дифференциальные уравнения смешанного типа, оптимизация, градиент, алгоритм решения.

The paper studies control problems for the symmetrical system of two first-order differential equations in partial derivatives which are Friedrichs positive. One of the components on a sector of the boundary is taken as control. Functional to be minimized is the squared norm of the deviation from the solution of a given function on the other sector of the boundary. It is proposed to solve this problem by iterative gradient method. Functional gradient is found by solving a conjugative problem.

Key words: symmetrical systems, mixed-type differential equations, optimization, gradient, solving algorithm.

В работе предлагается метод решения задачи управления для симметрической системы двух дифференциальных уравнений первого порядка смешанного типа. В качестве управления выбираются граничные условия задачи, функционал представляет собой норму отклонения решения системы от некоторой заданной вектор-функции. Исследование краевых задач для симметрических систем имеет самостоятельный интерес. Для некоторых классов краевых задач, как правило, с однородными или периодическими краевыми условиями получен ряд глубоких результатов [1-9]. Однако для задач управления характерны неоднородные граничные условия, так как недостаточная гладкость функций, являющихся управлениями, или нецелесообразность зачастую не позволяют свести их к однородным. В связи с этим следует отметить работы С.М. Шугрина [10, 11], в которых исследована корректность некоторых задач для симметрических систем с неоднородными краевыми условиями.

В данной работе рассматриваемая система является линейным аналогом квазилинейной системы уравнений, описывающей плоское установившееся безвихревое течение невязкого газа [12]. Для прямой и сопряженной задач устанавливаются априорные оценки, которые позволяют доказать существование и единственность решений, что, в свою очередь, дает возможность установить дифференци-

руемость функционала и найти явный вид его градиента.

В области О = (-1,1 )х(0,1) пространства И2 рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Lu = Au + Bu + Du = f,

x y -> '

где u =(ui (xy),u2 (xy)), f = (f (xу)f2 (xy)) -вещественные вектор-функции;

f k (x) a (x, y)^ = f 0 b (x, y)^

A =

Kx y)

B =

b

D =

dii

чd2i (x, y) d22 (x, y) заданные матрицы. Предполагаются выполненными следующие условия:

A. A, B е С1 (Q), D е С(Q).

Б. kx >8 = const >0, k(0) = 0, |b(x,y)| >8.

B. 2 D + (Ax + By) >8E, E - единичная матрица.

Г. A |x=1 >8E.

Здесь С (Q), С1 (Q) - пространства непрерывных

и непрерывно дифференцируемых в Q функций.

Замечание 1. Отметим, что из условия (А) следует равномерная ограниченность евклидовых норм матриц A, B, D, а также норм производных матриц A и B с некоторой постоянной M > 0. Условие (Б) дает не-

равенство |к(-1)| > S . Тип системы (1) определяется

знаком коэффициента к(х). При x < 0 система имеет эллиптический тип, при х > 0 - гиперболический.

Будем рассматривать граничные условия вида и2 (х, 0) = и2 (-1, у) = 0, и2 (х, 1) = д>(х),

-1 < х < 1, 0 < у < 1, где ф(х) играет роль управления.

Обозначим (и| v) скалярное произведение векторов из R2. Посредством И и Нг обозначим пространство вектор-функций ип и иг, определенных на Q и Г, - граница области Q , для которых конечны нормы

/ у1/2 / у/2

И|п=1|(и | и)СхСу , \\и\\Г =1|(и | и)ds .

VQ / VГ /

Посредством Н определяется гильбертово пространство функций u = (ип, иг) с нормой

ІИІИ < | (иа, ) СхСу +1 (иГ | иГ ) ds

Q Г

и скалярным произведением

(и, v)Н = | (иа, vQ ) СхСу +1 (иГ | vГ )ds.

Q Г

В дальнейшем, когда ясно из текста, индексы Q и Г у функций будут опускаться. Линейное многообразие непрерывно дифференцируемых функций в Q обозначим через G, L2(A) - пространство интегрируемых с квадратом функций на множестве Л.

Покажем, что при выполнении условий (А)-(Г) имеет место

Лемма 1. Пусть функция u и є G и удовлетворяет граничным условиям (2), тогда имеет место неравенство:

Ын - N

ґ A IQ +1

v

I (/? ( x)dx

-1

где N = const, не зависит от f = Lu и ф(х) = щ(х, 1), -1 < x < 1.

Доказательство. Умножим уравнение (1) скалярно на 2u и проинтегрируем равенство по Q (не ограничивая общности, считаем, что b(x, у) > 0

в Q),

і

21 (Lu | u )dxdy = I (Au | u ) £=— dy |y= dx +

Q 0

1

+21 (bu1u2) |y=0 dx + j(.D - Ax -By)u | u^jdxdy >

- I\k (OK (-1, y)dy + -[(u | ы )|x=i dy -

положительной постоянной е, будет определена в дальнейшем.

Далее, уравнение (1) умножим скалярно на вектор V = 2(у - 0,5)(и2(х, у) к(х)и1(х, у)) и проинтегрируем по области ^.

1

=|(y - 0,5)2kuu2 + a(Ы + ы2 )) |)=- dy-0 і

+|(y-0,5)b( + Ы) (dx +

-і

+| ((Du | v) - 2kxu1u2 - axu2 - (ка)Ы -

Q

-((y-0,5)) (2 + u22)dxdy -

1 1 1 1 1 1

- 21 bu21y=0 dx + 21V1y=1 dx + 21bu2 |y=1 dx -

2 -1 2 -1 2 -1

-N11 IU12 |x=-1 dy + |(u | u ) |x=1 dy + Il

где постоянная Ы\ зависит только от М из замечания 1.

Оценим левые части неравенств (4) и (5) соответственно как

2,1 Al Q

где N2 = const > 0 зависит только от M.

Складывая неравенства (4) и (5), предварительно

8

умножив (5) на --------г-, получим

4

—I IP 2 Г IIQ +

(

-

8

- є 11 bu\ |y=1 dx +

+

-

8(N, + 1)-|~‘'1 |v=0 dx+

—

I bu12 |y=0 dx + 8 (N +1) |1 bu12 |y=1 dx+

1 ^

IU12 |x=-1 dy +1 (u | u ) |x=1 dy -0 0 J

-,—2----r-j I b (x,1)i'p(x)dx.

(N1 + 1)^J1 V

и учитывая, что b(x, y) > ô,

4 (N1 + 0 JV 0 (

-

Положив є =

4

--1-

-4

-

-е| Ь (х,1)и2dx-1Ь (х,1)^р2 (х)х + ^и|Ю .

-1 е -1

При получении этого неравенства использовались неравенства (В), (Г) и неравенство Юнга для

1

оценки снизу интеграла | Ь( х, 1)и1^( х)ск. Величина

полученное неравенство приведем к виду:

1 1

16 (N1 +1) венство п

0 0

+ I U22 |y =0 dx + J[ U12 |y=1 dx - N

и

где величина N зависит только от д и М. Очевидно, что полученное неравенство, с учетом граничных условий (2), эквивалентно неравенству (3).

Рассмотрим задачу, которую назовем формально сопряженной к задаче п. 1.

Ь\ = - (Лу)х - (Бу)у + В*у = g, (6) 1

где у = (у1, у2), g = g2), а В* - транспонированная

матрица В.

Граничные условия имеют вид:

| (у | Амх + Вму + Ом') сСхСу -1 Ъм2у, \у=1о сіх + а -і

і

0 а

1

+К

о

гДе /, £єНа, фєЬ2 [-1.1] , г1 , г2єЬ2 [о.і] , а м є О -

у2 (х,0) = у2 (х, 1) = (£у + ау2) |х=-1 = 0 произвольная функция.

(7) Покажем, что полученные решения краевых задач определяются однозначно. Допустим, что у со-

у 1х=1 = г (у) = ((у), Гг(у)), -1 < X < 1, о < у < 1.

При выполнении условий как и в п. 1, пряженной задачи при заданных g и г существуют

может быть доказана два решения У1 и У2, такие, что IV - У2II Ф 0 . Пола-

Лемма 2. Пусть функция у е О и удовлетворяет н

„ ,-ч гая У1 - У2 = у, из равенства (9) получим:

граничным условиям (7), тогда имеет место 1 2 ^ 1

| (у | Лмх + Бм>у + Вм) сСхёу -1 Ьм>у2 | с1х +

п 1 -1

+{( - у2) |х=-1 Су = 0.

С і Л

?і іа+

V о

где постоянная N зависит только от д и М.

Пусть и, у е О , тогда, посредством интегриро

о

вания по частям выражения (Ьи | у), получим ра- Рассм°трим специальные операгоры °среднения.

Пусть (И) - четная бесконечно дифференцируе-

венство

мая функция одного переменного, причем

\(Ьи | у )сМу -\ Ъи1у2|уу=0 Сх + Г(ау1 - ау2 )и2|х=-1 Су = (и) . 0 (и) 0 || ик , і (.)с. , П

а -і о (И)^о, ю(И) = о при ||ирі и )а(и)си = і. По-

і і -1

= | (у | и ) СхСу +1 Ъу1и2 ЦЦ Сх -1 + ку2) и, |х=-1 Су + ложим

а -1 о Г стрх - х'^ Г ст^у - у + 2р

Мі (x, у)= — М —  2

р а V

+|((^і + ау2+ (2 + у1 )2) |х=^ ).

о х и1 (х', у') Сх'Су' = З,1 3и = Зри,,

Поскольку множество О плотно в Н, то, как не

1 л ( х__х'_2 р

трудно видеть, система однородных краевых усло- м2 (х, у) = — I

вий (2) порождает однородную систему (7) и на- р2 а

оборот, т.е. системы краевых условий (2) и (7) яв ляются сопряженными. Кроме того, доказанные

Г у -стру' + 2рЛ

V

<и2 (х',у'} Сх'Су' = 3\322и2 = 3е2и2,

оценки (3) и (8) позволяют классифицировать их где = 1 - 2е, а2 = 1 - \е , а 3/ соответствующие

как правильные [7]. операторы осреднения. Функция м = (м1, м2) удов-

Далее по стандартной схеме определяются сла- летворяет однородным краевым условиям (2) для

бые и сильные расширения операторов исходной и любой и е Нп . Из (10) получаем

сопряженной задач при выбранных граничных ус- , * * *

ловиях. Неравенства (3) и (8) гарантируют сущест- ] (-к° (у1 )х _ ао1 (у2 )х _ Ьо2 (у2) +

вование хотя бы одного слабого решения из Н [7, п

т. 3] каждой из задач, к°торые определяются как +С1131*2у1 + С1231*2у2)и)у-[(а(32*2у1 ) -(32*2у2) -

функции из Н, удовлетворяющие интегральным \ х х

тождествам:

дествам. і * * *

\(и | -(Ам) -(Вм)у + ІЇм}) + ~Ъуі)у +^Сі23г‘у + С2232‘у2)и2 +

і і +(rlrlsl и)) Схёу = |(Ь^*у + Vrlsl и )хСу = о,

Ъм1и2 |уу=о Сх\(км1 + ам2)и1 |х=-1 Су +

а

+ 1 ....._.................. .

-і о где, по лемме К. Фридрихса [7], ||г о при

і

+1 ( + ам2) и1 + ( - м2) и2) |х=1 (Су = р ^ о; - операторы осреднения сопря-

о женные 3р, 3р .

= \(/1 м)СхСу - [ Ъм,ф | 1 Сх, Пусть Р = (Рі, Р2), Ч = (?і, ?2) - функции, опреде-

а у ляемые посредством

рх =м(-к (-1)3 3 2у - а (-1, у)3^ 3 \у2 +

+ а2 (-1, у У2 3+ а (-1, у)2 3& ),

Р2 = /“(а(-1,у) к(-1)3123+ а2 (-1,у)23^у1 -

- к (-1) а (-1, у )3^ 3 + 3^ 3 & ),

51 = 3132у1, ^2 = 31 32у2, ^ = -27 \ ) 7~( ту.

а

Функция у = 2 ((1 - х )р + (1 + х Д) удовлетворяет однородным краевым условиям (7) и \\у - уп||п ^ 0 при £ ^ 0.

Преобразуем равенство

а

где / =Л2+ Ь*у-Ь*у .

Свойства операторов осреднения [6] позволяют доказать, что ||/|| ^ 0 при £ ^ 0. Так как и произвольно, то из (12) следует, что Ьу + / = 0 . Для этого уравнения верна оценка (8), т.е.

МН * *Ц/ 1а,

из которой следует, что \\у\\ ^ 0 при £ ^ 0. Следовательно, ||уа||а = 0. Из равенства (10) получаем, 1 1

что | Ьм1у2г |уу=0 Ух + |(ау1Г - у2г Д2 |х=-1 Уу = 0 . Так

-1 0

как множество О плотно в Н, то из этого равенства и условий (7) следует, что уг = 0.

Аналогичные рассмотрения позволяют доказать, что решение задачи (1), (2) единственно. Таким образом, имеет место

Теорема. При выполнении условий

задачи (1), (2) и (6), (7) имеют единственное решение из Н.

Теперь рассмотрим задачу минимизации функционала

3

-1

где и = (и1, и2) - решение задачи (1), (2), в которой ф(х) является управлением, а р = р(х) е Ь2 (0,1) -заданная функция.

Доказанная разрешимость задачи (1), (2), свойства решения позволяют утверждать, что если последовательность {фк} сходится слабо в Ь2(-1, 1) к ф, то 3(фк) ^ 3(ф), т.е. функция (13) слабо непрерывна на Ь2(—1, 1). Из [13, т. 3.2] следует, что в задаче (1), (2), (13) множество и* оптимальных управлений не пусто. Покажем, что функция (13) дифференцируема в Ь2(-1, 1). Для этого возьмем произвольные управления ф и ф + Дф. Пусть

и(х, у, ф) и и(х, у, ф + Дф) - соответствующие решения задачи (1), (2). Обозначим Ди = и(х, у, ф + Дф) -и(х, у, ф). Очевидно, что Ди является обобщенным решением задачи

ЬДи = 0,

Ди2 |у= 0 = 0 Ди2 |х=-1 = 0 Ди2 |у =1 = ДФ •

Приращение функции (13) можно записать в виде Д3 (и) = 3 (р + Др) - 3р =

1

= | 2 (и1 (х, 0) - р (х — Ди1 — Ух У

-1

1

-1

Покажем, что

1

12 (и1 (х,0)- р (х ))Ди1 + Ух =

1

1

= | Ь (х,1+у1 (х,1+ Др(х )Ух,

-1

где у = (у1(х, у), у2(х, у)) - обобщенное решение задачи

Ь*у = 0,

у2 (х,0Д = 2 (и1 (х,0Д - р (х)) , ( + ау2 ) |х=-1 = 0 „ оч

у (1, у) = у2 (1, у) = 0, -1 < х < 1, 0 < у < 1.

Действительно, с учетом (14), (15), (17), (18), получим

1

а а -1

1

-1 Ьу2 Ди1 |у=0 Ух -1

отсюда и следует равенство (16).

1

Из оценки (3) следует, что | (Ди | Ди)|у=0 Ух <

-1

1

< N | Др2Ух . Следовательно, линейная часть при-

-1

1

ращения Д3(ф) равна -| Ь (х,1)у1 (х, 1) ДрУх , откуда

-1

получаем явный вид градиента 3(ф):

3

Таким образом, для получения градиента функции (13), при фиксированном ф, нужно решить две краевые задачи: сначала из (1), (2) определяется функция и(х, у, ф), затем в (18) нужно подставить полученное значение и1(х, 0, ф) и из (17), (18) найти у(х, у) и, наконец, у1(х, 1) подставить в (19).

Для численного решения краевых задач (1), (2), (17), (18) можно использовать разностные схемы, приведенные и исследованные в [12, 14, 15]. Для построения минимизирующей последовательности {фк} применяется один из градиентных методов

Библиографический список

1. Friedrichs K.O. The identity of weak and strong extensions of differential operators // Trans. Amer. Math. - 1944. -V. 55.

2. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1954. - V. 11.

3. Friedrichs K.O. Symmetrical positive linear differential equations // Comm. Pure Appl. Math. - 1958. - V. 11.

4. Агранович М.С. О положительных граничных задачах для некоторых систем первого порядка // Труды Московского математического общества. - 1967. - Т. 16.

5. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев, 1965.

6. Дезин А.А. Теоремы существования и единственности решений граничных задач для уравнений с частными производными в функциональных пространствах // УМН.

- 1959. - Т. 14, вып. 3.

7. Дезин А.А. Граничные задачи для некоторых симметричных линейных систем первого порядка // Математический сборник. - 1959. - Т. 49, №4.

8. Мозер Ю. Быстросходящийся метод итераций и нелинейные дифференциальные уравнения // УМН. -1968. - Т. 23, вып. 4.

9. Peyser G. Symmetric positive system in comer domains // Journal of Differential Equations. - 1975. - V. 18.

10. Шугрин С.М. Симметричные дифференциальные уравнения // Сибирский математический журнал. -1970. - Т. 11, №3.

11. Шугрин С.М. Сильное и слабое расширение дифференциальных операторов // ДУ. - 1975. - Т. 11, №11.

12. Кузиков С.С. Об одном методе расчета околозвуковых течений в плоских соплах // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. - 1976. - Вып. 25.

13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. - М., 1981.

14. Воеводин А.Ф., Шугрин С.М. Методы решения одномерных эволюционных систем. - Новосибирск, 1993.

15. Кузиков С.С. К методам решения обратных задач трансзвуковой газовой динамики // Известия АлтГУ. -2010. - №1(65).