Математические модели технических объектов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

© Бунтова Е.В.* *, Юсупова О.В.*

Самарская государственная сельскохозяйственная академия г. Кинель Самарский государственный архитектурно-строительный университет,

г. Самара

Изложены этапы построения математической модели технического объекта. Указаны особенности построения математических моделей технических объектов. Описана простейшая математическая модель технического объекта. Указаны три пути построения математической модели технического объекта. Дано определение и приведен пример аналогового моделирования.

Ключевые слова расчетная схема, параметры, количественная оценка, этапы построения модели, вычислительный эксперимент, аналоговое моделирование.

Математическое моделирование тесно связано с инженерной практикой. В основе построения математической модели технического объекта лежит переход от исследуемого технического объекта к расчетной схеме объекта.

Совершенство технических устройств определяет эффективность преобразования или перемещения таких субстанций, как масса, энергия, импульс, электрический заряд или информация. Реализация перспективных научных разработок в технике связана с ограничениями технологического характера. Возникает необходимость в создании нескольких альтернативных вариантов проектных решений.

В процессе разработки технических устройств основная часть количественной информации формируется в процессе экспериментальной отработки технических устройств. Экспериментальная отработка требует больших затрат по времени и материальным ресурсам. Таким образом, особое значение приобретает расчетно-теоретический анализ характеристик технических устройств, проектирование технических устройств, оптимизация эксплуатационных режимов устройств, анализ надежности, оценка возможности формирования характеристик технических устройств [1].

Построение математической модели технического объекта проводят в шесть этапов.

* Доцент кафедры «Физика, математика и информационные технологии» Самарской государственной сельскохозяйственной академии, кандидат педагогических наук, доцент, профессор РАЕ.

* Доцент кафедры «Высшей математики» Самарского государственного архитектурно-строительного университета, доктор педагогических наук, доцент.

130

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Первый этап - это составление расчетной схемы. В расчетной схеме учитываю свойства и параметры технического объекта, которые существенно влияют на конечный результат. Построение расчетной схемы нового технического объекта самый ответственный этап, так как правильность учета в модели существенных свойств технического объекта определяет достоверность результатов математического моделирования.

Второй этап - составление математических соотношений, которые устанавливают связь между параметрами, характеристиками объекта. Часто математические соотношения или математические модели есть аналоговые модели, которые соответствуют различным предметным областям.

Третий этап - это количественная и качественная оценка построенной модели. Количественная оценка указывает на необходимость (или нет) упрощения модели, т.е. исключение некоторых параметров модели. Сложные модели разбивают на несколько простых. Использование нескольких простых моделей, в каждой из которых учитываются параметры, отражающие различные свойства технического объекта, расширяют знания об объекте.

Четвертый этап - это разработка алгоритма вычислительного эксперимента.

Пятый этап - создание программы, способной реализовать разработанный алгоритм вычислительного эксперимента.

Шестой этап - тестирование полученных результатов, т.е. сопоставление с результатом, полученным на самой упрощенной математической модели (базовый результат).

В построении математических моделей технических объектов есть свои особенности [1].

Формулировка технической задачи условна. Математические соотношения, устанавливающие связь между параметрами, которые характеризуют технический объект, есть утверждения, сформулированные в технической задаче, связанной с объектом. Следовательно, необходимо учитывать как математическую, так и техническую сторону задачи.

Программное обеспечение Mathcad, Matlab, NASTRAN и так далее, современных ЭВМ применимо для решения стандартных задач [3]. Таким образом, использование имеющегося в наличии программного обеспечения при решении нестандартных задач может привести к результатам не применимым к исследуемому техническому объекту.

В математике используют емкие по содержанию, основополагающие понятия, которые дают возможность факты из различных областей знаний рассматривать как проявление этих понятий и отношений [2].

В общем виде технические объекты характеризуют векторами x е Rk -внешние параметры, g е Rm - внутренние параметры, у е Rn - выходные параметры. Внешние параметры характеризуют условия функционирования технического объекта. Простейшая математическая модель технического объекта:

Физико-математические науки

У = Ax g),

x £ Rk, g £ Rm, y £ Rn,

131

где f- векторная функция.

Такая модель позволяет вычислить выходные параметры по значениям внешних и внутренних параметров. Создание технического объекта предполагает решение обратной задачи: по значениям внешних и выходных параметров требуется найти внутренние параметры. Цель решения обратной задачи - оптимизация внутренних параметров, которую определяет критерий оптимальности.

Процесс построения математической модели технического объекта есть установление функции f. Существует три пути построения математической модели технического объекта.

Математическое соотношение, которое устанавливает связь между параметрами исследуемого объекта путем математической обработки информации (регрессионный анализ) о ряде состояний объекта, для которых известны значения выходных, внутренних и внешних параметров.

Второй вариант - это построение математической модели технического объекта по принципу «черного ящика»: исследуют реакцию технического объекта на внешние воздействия и устанавливают соотношение между внешними и выходными параметрами.

Третий путь - это построение теоретическое. Устанавливают связь между параметрами y, x, g в виде операторного уравнения

L(u(z)) = 0,

где L - нелинейный оператор, 0 - нулевой элемент пространства, в котором действует оператор, z - вектор, включающий время и пространственные координаты, u - вектор, который включает параметры, характеризующие состояние технического объекта.

В основе математического моделирования технических объектов лежат методы аналогового моделирования. Аналогичные модели - это модели явлений или процессов, которые представлены одинаковыми по форме уравнениями. Примером аналогового моделирования могут служить математические модели типовых элементов механических систем и электрических двухполюсников. Электромеханическую аналоговую модель используют при построении сложных механических систем, которые состоят из большого числа взаимодействующих элементов.

Например, относительное перемещение отдельных элементов механической системы сопровождается возникновением силы трения на поверхности их контакта, которая препятствует перемещению [1]. С целью уменьшения сопротивления трения к поверхности контакта подводят смазочный

132

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

материал. Скорость скольжения v одной детали относительно другой детали пропорциональна приложенной силе P, т.е.

P = ктр  S  v,

где ктр - коэффициент вязкого трения, S площадь поверхности контакта (рисунок 1).

Рис. 1. Скольжение одной детали относительно другой под действием приложенной силы P

Если принять во внимание, что приложенная сила P - потенциальная величина, а скорость v потоковая величина, то можно утверждать, что данная формула аналогична закону Ома

AU = I  R,

где AU - падение электрического напряжения (разность потенциалов) на резисторе, I - сила тока.

Величина R = ктр  S - аналог электрического сопротивления.

При движении против сил сопротивления вязкого трения совершается работа, следовательно, для преодоления вязкого трения при поступательном движении требуется мощность

И^р = Р  v = kTp5 -v2 = R - v2

В данном случае мощность есть аналог мощности тепловыделения на резисторе, так как электрическая энергия, затрачиваемая на преодоление сопротивления при протекании через резистор тока, переходит в тепловую энергию. Мощность тепловыделения энергии

W = g- (AU)2,

где д = 1/R- проводимость резистора.

Механическая связь между отдельными деталями технического объекта характеризуют жесткостью узлов крепления [1]. Жесткость узлов крепления -это отношение силы, приложенной к узлу, к перемещению точки приложения силы. Расчетная схема узла крепления детали (1) к неподвижному основанию (2), есть пружина (3) один конец которой присоединен к детали, а второй к основанию (рис. 2).

Физико-математические науки

133

Рис. 2. Расчетная схема узла крепления детали к неподвижному основанию

Жесткость пружины

Р

с =~, и

где P - сила, приложенная к пружине в точке присоединения к детали; и - перемещение точки в направлении действия силы.

Не учитывая силы инерции, которые возникают при перемещении витков пружины, и принимая c = const, выразив

продифференцировав данное равенство по времени du 1 dP dP dt ~ V ~ c dt ~Cm dt’

где v - скорость перемещения точки приложения силы P, получают величину (податливость пружины):

1

Податливость пружины Cm есть аналог емкости C для электрического конденсатора

Растяжение и сжатие пружины приводит к накоплению потенциальной энергии, которая равна работе силы P, совершаемой при перемещении точки приложения силы P:

134

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Потенциальная энергия П есть аналог энергии электрического поля в конденсаторе.

Изучение расчетных схем и математических моделей типовых элементов, которые часто встречаются в технической отрасли, дает возможность в зависимости от условий работы типовых элементов выстраивать несколько расчетных схем и соответствующих им математических моделей.

Список литературы

1. Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. - М.: МГТУ им. Баумана, 2003. - 496 с.

2. Рейзлин В.И. Численные методы оптимизации: учеб. пос. / В.И. Рейз-лин. - Томск: Томский политехнический университет, 2011. - 105 с.

3. Тарасов В.Н. Численные методы. Теория. Алгоритмы. Программы: учебное пособие / В.Н.Тарасов, Н.Ф. Бахарева. - Оренбург: ИПК ОГУ 2008. -264 с.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

© Плотникова С.В.*

Самарская государственная сельскохозяйственная академия, п.г.т. Усть-Кинельский

Проведен анализ используемых математических моделей технических систем. Выделены группы моделей в зависимости от уровня иерархии, формы представления, характера отображаемых свойств, способа получения, уровня физических свойств технических объектов, способности прогнозирования результатов.

Ключевые слова математическая модель, техническая система, форма представления, степень абстрагирования.

В настоящее время развитие техники характеризуется быстрой сменой моделей выпускаемой продукции и увеличением количества разработок, имеющих более высокие потребительские качества. Это влияет на интенсификацию процессов создания новой техники, повышение качества проектов, разработку и организацию производства конкурентоспособных изделий в короткие сроки. Немаловажную роль играют также сроки и качество выполнения проектно-конструкторских работ. Их соответствие современным требова-

* Доцент кафедры «Физика, математика и информационные технологии», кандидат педагогических наук, доцент.