Об устойчивости и стабилизации нелинейных механических систем с запаздыванием

УДК 531.36

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ И СТАБИЛИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

А. Ю. Александров, А. П. Жабко, А. А. Косов

Проводится развитие методов анализа устойчивости и синтеза стабилизирующих управлений для нелинейных механических систем, содержащих запаздывания в позиционных силах. Доказываются теоремы, позволяющие делать выводы об устойчивости положений равновесия в случае существенно нелинейных позиционных сил на основе декомпозиции изучаемых систем. Предлагаются способы решения задачи стабилизации механических систем с учетом ограничений на структуру управляющих сил

Ключевые слова: механические системы, запаздывание, устойчивость, стабилизация, функции Ляпунова

ВВЕДЕНИЕ . Движение широкого класса механических систем описывается уравнениями Лагранжа

й дТ дТ

-—-— = QE +Qu,

ш дц дц

где ц и ц — п -мерные векторы обобщенных координат и обобщенных скоростей соответственно, Т = Т(ц, ц) — кинетическая энергия системы, а стоящие в правых частях обобщенные силы представляют собой сумму сил, действующих на систему в ее естественном состоянии (т.е. при отсутствии управления), и управляющих сил [1, 2]. Будем считать, что система имеет положение равновесия ц = ц = 0 , которое рассматриваем как невозмущенное движение, и основной целью исследования полагаем выявление или обеспечение асимптотической устойчивости этого положения равновесия.

Если управляющие силы отсутствуют, а позиционные (не зависящие от скоростей) силы существенно нелинейные, то анализ устойчивости невозможно выполнить на основе линейного приближения и наиболее употребительным способом исследования становится метод функций Ляпунова, в качестве которых для механических систем часто применяют полную энергию или ее модификации [3-6]. Однако при наличии неконсервативных позиционных сил в системе полная энергия уже не будет обладать свойствами функции Ляпунова, что затрудняет решение проблемы ее построения, хотя в ряде случаев и удается получить на этом пути эффективные условия устойчивости [7, 8]. Для систем с существенно нелинейными позиционными силами трудности построения функций Ляпунова значительно возрастают.

Одним из способов исследования устойчивости таких систем является метод декомпозиции, за-

Александров Александр Юрьевич - СПбГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. 8-812-428-45-08 Жабко Алексей Петрович - СПбГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. 8-812-428-48-68 Косов Александр Аркадьевич - ИДСТУ СО РАН, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. 8-3952-42-71-00

ключающийся в разделении сложной системы на несколько более простых подсистем, изучении их по отдельности и обоснованном перенесении полученных результатов на исходную систему. Данный метод широко и эффективно применяется в теории устойчивости и теории управления [6, 9-13].

При рассмотрении задачи стабилизации следует учитывать, что имеющиеся исполнительные органы не всегда обеспечивают возможность реализации управляющих сил произвольной структуры. Таким образом, возникает необходимость решения задачи стабилизации за счет сил иной структуры по сравнению с действующими на систему в ее естественном состоянии [14].

В широком классе случаев действующие на механическую систему силы зависят не только от текущих значений обобщенных координат и скоростей, но и от предыстории процесса. Такие системы могут описываться дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом [15-18]. При этом возникает проблема исследования влияния запаздывания на устойчивость решений. Известно [17], что появление даже малого запаздывания может привести к потере устойчивости. Стабилизирующие управления формируются по принципу обратной связи на основе доступной измерению информации. Поскольку измерительное устройство на объекте управления и управляющее устройство, где формируется управляющий сигнал, могут быть разнесены в пространстве на значительное расстояние, то возникает запаздывание в канале обратной связи, которое может быть не малым и принимать различные значения при изменении названного расстояния. Поэтому актуальной является задача нахождения таких стабилизирующих обратных связей, которые обеспечат устойчивость решений при любых значениях запаздывания.

В настоящей работе изучаются нелинейные механические системы с запаздываниями в позиционных силах. Доказываются теоремы, позволяющие делать выводы об устойчивости положения равновесия на основе декомпозиции исходной системы п дифференциальных уравнений второго порядка на две подсистемы первого порядка той же размерно -сти. Предлагаются способы решения задачи стабилизации механических систем с учетом ограничений на структуру управляющих сил. С помощью подхо-

да Б. С. Разумихина [15] выделен класс систем с существенно нелинейными позиционными силами, для которого асимптотическая устойчивость положения равновесия имеет место при любом значении запаздывания.

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ НА ОСНОВЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ. Пусть уравнения (1) имеют вид

Ац

Здесь А0 и А — постоянные неособые матрицы;

элементы векторов Q1(q) и Q2(q) — непрерывно

дифференцируемые при всех ц е Еп однородные порядка л > 1 функции; г > 0 — постоянное запаздывание. У рассматриваемой системы существует положение равновесия ц = ц = 0 . Исследуем устойчивость этого положения равновесия.

В [9, 10, 19] с помощью метода декомпозиции были получены условия асимптотической устойчивости системы (2) в случае линейных позиционных сил (л = 1). При этом в [9, 10] исследовались системы без запаздывания, а в [19] результаты работ [9,10] были распространены на системы с запаздывающим аргументом. Следует отметить, что для обоснования возможности декомпозиции в [9, 10, 19] предполагалось наличие в рассматриваемых системах большого параметра.

Цель настоящего раздела статьи — определить условия декомпозиции системы (2) с существенно нелинейными позиционными силами (л > 1). Заметим, что в случае, когда позиционные силы не содержат запаздывания (г = 0), такие условия получены в статье [20].

Рассмотрим две изолированные подсистемы

АХУ

А0 2

где Q(у) = Q1 (у) + Q2 (у). Таким образом, вместо системы (2), состоящей из п нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздыванием, будем изучать вспомогательные подсистемы (3), (4) первого порядка без запаздывания, причем одна из этих подсистем линейна, а другая представляет собой систему с однородными правыми частями.

ТЕОРЕМА 1. Если нулевые решения подсистем (3), (4) асимптотически устойчивы, то положение равновесия ц = ц = 0 уравнений (2) асимптотически устойчиво при любом значении запаздывания г > 0 .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Произведем в уравнениях (2) замену переменных

ц (0 = 2 (/), А0 ц (Г) + А1ц(/1) = А у (/).

Получим систему

A у (t) = -Q(y (t)) +

+( (y(t)) - Qi (y(t) - A-1 A0z(t))) +

+ ((y(t))- Q2 (y(t- т) - A1-1 Az(t- 7))) > (5) Aoz(t) = -Aiz(t) - Qi (y(t) - A1-1 A0z(t)) -

-Q2 (y(t - т) - A- Aoz(t - r)).

Из асимптотической устойчивости нулевых решений изолированных подсистем (3), (4) следует [21], что для них существуют непрерывно дифференцируемые однородные порядка у1 и у2 соответственно функции Ляпунова V1 (у) и V2 (z), удовлетворяющие требованиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. При этом в качестве у1

и у2 можно выбирать любые рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями такие, что у1 > 1, y2 > 1.

Пусть V (y, z) = V1( y) + V2( z). Для функции V (y, z) и ее производной в силу системы (5) справедливы оценки

a1 (ll y\У +1N Г2) -V (y, z) - a2 ( У1 +1N У2),

Vl(5) -- аз\\y(t )1 У1и"- a41 lz (t )| У2 +

+аб II y (t)\\Y11 (II y(t) - y(t - т)||+1 lz (t - t)|| ) (IK' +1 y y+1И-T "-1)+

где a. = const > 0 , i = 1,, 7, а через || обозначена

евклидова норма вектора.

Покажем, что если

Y2 < Y1 <"2 - " + 1

то функция V(y, z) удовлетворяет требованиям теоремы 31.4 об асимптотической устойчивости систем с запаздыванием из работы [16].

Пусть 8 = const > 0. Предположим, что при % e [/ - 2т, t] выполнены соотношения

||y(#)|| < S, ||z(#)|| < 8, V(у(#), z(#)) < 2V(y(t), z(t)). Тогда для всех % e [t - 2т, t] имеем

Здесь b1 и *2 — положительные постоянные. Используя оценки (7) и формулу конечных приращений Лагранжа, получаем

где a = const > 0 , 0 < в < 1. Следовательно [21], если параметры y1 и y2 удовлетворяют условию (6), то при достаточно малых значениях 8 справедливо неравенство

V|(5) --1 (^11У(tf‘ 1+"+ a4 IIz(t)|Y2 ).

Значит, выполнены все условия теоремы 31.4 из [16], на основании которой нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво. Но тогда асимптотически устойчиво и положение равновесия q = q = 0 уравнений (2). Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. По сравнению с линейным случаем [9, 10, 19] принципиальная особенность теоремы 1 заключается в том, что для обоснования возможности декомпозиции нет необходимости использовать большой параметр. Доминирование сил определенной категории здесь обеспечивается за счет порядков однородности.

Далее наряду с уравнениями (2) рассмотрим возмущенные уравнения

A0 q (t) + Aqt) + Q1 (q(t)) + Q2(q(t -т)) = R (t, qt). (8) Будем считать, что функционал R (t, qt) задан и непрерывен в области E+ х QH, где

E+ = {t e E : t > 0}, а QH — множество кусочнонепрерывных на промежутке [-т, 0] вектор-функций р(%), удовлетворяющих условию

|е[-т,0]

Предположим, что в области E+ х QH справедлива оценка

||R(t, q, )|- с (Ы|т) , с >0,а >0.

Значит, система (8) также имеет положение равновесия q = q = 0 . Определим условия, при выполнении которых возмущения не нарушают асимптотической устойчивости этого положения равновесия.

ТЕОРЕМА 2. Если а > " и нулевые решения подсистем (3), (4) асимптотически устойчивы, то положение равновесия q = q = 0 уравнений (8) асимптотически устойчиво при любом значении запаздывания т> 0 .

Доказательство настоящей теоремы проводится аналогично доказательству теоремы 1.

ЗАМЕЧНИЕ 2.Теорема 2 представляет собой теорему об устойчивости по нелинейному приближению. Она утверждает, что асимптотическая устойчивость сохраняется, если порядок возмущений больше порядка однородности функций, входящих в исходные уравнения.

СИНТЕЗ СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ УПРАВЛЕНИЙ ЗАДАННОЙ СТРУКТУРЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В КАНАЛЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ. Рассмотрим теперь задачу стабилизации неустойчивого положения равновесия механической системы с заданными потенциальными и скоростными силами за счет сил иной структуры при наличии запаздывания. Считаем, что система (1) имеет вид

А0ц

дц

где ц е Еп, число обобщенных координат четно (п = 2т), потенциал П(ц) — дважды непрерывно дифференцируемая однородная порядка л +1 > 2 функция обобщенных координат, которая может принимать отрицательные значения, А0 и В — постоянные симметричные положительно определенные матрицы соответственно инерционных характеристик и диссипативных сил, О — постоянная невырожденная кососимметрическая матрица гироскопических сил, Н — большой положительный параметр, а правая часть представляет собой управляющие силы, формируемые по принципу обратной связи по имеющимся измерениям. Пусть вектор обобщенных координат ц(/) доступен измерению в каждый момент времени, однако задержки при измерении, передаче измеренных значений в управляющее устройство, формировании управляющего сигнала и его передаче на исполнительное устройство приводят к запаздыванию в канале обратной связи и поэтому управление имеет вид и = и(ц(/-г)), где величина постоянного запаздывания г > 0 заранее точно неизвестна, поскольку зависит от расстояния, на которое должен передаваться управляющий сигнал.

При отсутствии управления (и = 0) положение равновесия ц = ц = 0 системы (9) неустойчиво в соответствии с четвертой теоремой Томсона-Тэта-Четаева [5]. Покажем с помощью теоремы 1, как построить обратную связь, стабилизирующую по-лож ение равновесия до асимптотической устойчивости при любой величине запаздывания г > 0 .

ТЕОРЕМА 3. Пусть и = -к||ц(/-г)||Оц(Г-г),

где к — положительный параметр. Тогда при достаточно больших значениях к > 0 и Н > 0 положение равновесия ц = ц = 0 системы (9) асимптотически устойчиво.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для того, чтобы обосновать сделанное утверждение, надо проверить выполнение условий теоремы 1. Для системы (9), замкнутой указанным в теореме управлением, соответствующая подсистема (4) имеет вид

А0 ¿

Асимптотическая устойчивость (10) в условиях теоремы проверяется с помощью функции Ляпунова

У2(2) = 2 А02 , которая является положительно определенной квадратичной формой и имеет отрицательно определенную производную в силу (10).

Соответствующая подсистема (3) может быть представлена в виде

к

у (г) = — Н

к

л-1

у (г) +

+ -||у (г)||л-1 (В + НО )-1 Ву (г) -Н

Н

Н

О

-1 дП

ду '

Здесь I - единичная матрица. Возьмем в качестве функции Ляпунова для (11) квадрат евклидовой

нормы V (у) = ||у|| . При достаточно больших положительных значениях параметров к и Н производная функции У1(у) в силу (11) будет отрицательно

определена, значит, нулевое решение (11) будет асимптотически устойчиво.

Таким образом, все условия теоремы 1 выполнены, откуда следует асимптотическая устойчивость замкнутой системы. Теорема доказана.

Отметим, что по своей структуре указанные в теореме 3 управляющие силы являются неконсервативными позиционными и формируются с учетом запаздывания. Поэтому управляющие силы не компенсируют и не подавляют вызывающие неустойчивость потенциальные силы, а обеспечивают устойчивость с учетом взаимодействия сил всех категорий, представленных в системе. В частности, здесь важную роль играют гироскопические силы, доминирующие среди скоростных сил.

Теперь рассмотрим тот случай, когда гироскопические силы в системе (9) отсутствуют, т.е. Н = 0, и не будем далее предполагать, что число обобщенных координат обязательно четное. Систему (9) можно переписать в виде

А0 ц(г) + Вц(г) +

дП

дц

Здесь все сделанные выше в этом разделе предположения о матрицах А0, В и потенциале П(ц) сохраняются и по-прежнему рассматривается задача стабилизации неустойчивого (при и = 0) положения равновесия за счет обратной связи с учетом запаздывания.

ТЕОРЕМА 4. Положение равновесия ц = ц = 0

системы (12) становится асимптотически устойчивым при выборе управления в виде

и = - к

дП,

дц

где П1 (ц) — положительно определенная однородная порядка /л +1 > 2 дважды непрерывно диффе-

ренцируемая функция, а к > 0 — достаточно большой положительный параметр.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Здесь также требуется проверить выполнение условий теоремы 1. Для системы (12), замкнутой управлением (13), соответствующая подсистема (4) имеет вид

А 2 (г) = - В2 (г).

Асимптотическая устойчивость (14) в условиях теоремы проверяется с помощью функции Ляпунова

У2(2) = 2ТА0 2 , которая является положительно определенной квадратичной формой и имеет отрицательно определенную производную в силу (14).

Соответствующая подсистема (3) может быть представлена в виде

В.

Ву

ду ду

Возьмем в качестве функции Ляпунова для (15) квадратичную форму V (у) = у Ву. При достаточно большом значении параметра к > 0 однородная функция П (у) + кП1(у) положительно определена, поэтому производная У1(у) = -2(л+1) (П(у) + кП(у)) функции У1(у) в силу (15) будет отрицательно определена, значит, нулевое решение (15) будет асимптотически устойчиво.

Таким образом, все условия теоремы 1 выполнены, откуда следует асимптотическая устойчивость замкнутой системы. Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.Указанный в теореме 4 закон управления также обеспечивает асимптотическую устойчивость положения равновесия ц = ц = 0 системы

дП

А0 ц (г) + Вц(г) +-+ р (ц(г ))ц(г) = и,

дц

отличающейся от (12) наличием неконсервативных позиционных сил Р(ц)ц с непрерывно дифференцируемой кососимметрической однородной порядка V -1 матрицей Р(ц), где V > л .

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Стабилизация положения равновесия ц = ц = 0 системы (12) будет иметь место и в случае, когда в управлении (13) П1(ц) является положительно определенной однородной порядка л +1 дважды непрерывно дифференцируемой функцией, где 1 < л < л . При этом не требуется, чтобы значение параметра к > 0 было достаточно большим.

ПРИМЕР. Рассмотрим систему с двумя степенями свободы

х (г) + ьх (г) - р (х (г), у (г)) у (г) = их у (г) + Ьу (г) + р( х(г), у (г)) х (г) = иу

Уравнения типа (16) используются при моделировании динамики ротора в магнитном подвесе [22]. Здесь x(t), y(t) - отклонения проекции оси ротора от равновесного положения на плоскости, перпендикулярной к оси; b = const > 0 - коэффициент

2 2

демпфирования; функция p(x, y) = а(x + у ),

а = const > 0, описывает действующие на ротор позиционные силы, являющиеся по своей структуре неконсервативными позиционными и вызывающими неустойчивость при увеличении угловой скорости вращения ротора [5]; Ux и Uy - управляющие воздействия. Требуется построить управление U = (Ux, Uy) в виде обратной связи, стабилизирующее положение равновесия

(x, у)т = (x, у)т = (0,0)T .

Будем считать, что в контуре управления обобщенные координаты x(t), y(t) определяются с некоторым запаздыванием т > 0 , так что в обратной связи будут реально использоваться x(t - т), y(t - т). Если выбрать линейный закон управления

Ux = -cnx(t - т) - c12 y(t - т),

Uy = -C21 x(t - т) - C22 y(t - т), где c.. — некоторые постоянные, то может найтись

такое значение запаздывания т > 0 , при котором положение равновесия замкнутой системы окажется неустойчивым [17].

Выберем теперь в соответствии с теоремой 4 и замечанием 3 кубический закон обратной связи

Ux =-c1 x3(t -т), Uy =-c2 y3(t -т).

Получим, что при таком законе управления асимптотическая устойчивость положения равновесия имеет место при любых положительных значениях параметров b, c1, c2 и при всех т > 0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Анализ задачи стабилизации приводит к необходимости обеспечения возможности реализации управляющих сил произвольной структуры. Таким образом, при решении этой задачи привлекаются силы иной структуры по сравнению с действующими на систему в ее естественном состоянии. В широком классе случаев действующие на механическую систему силы зависят и от предыстории процесса. Такие системы описываются уравнениями с запаздывающим аргументом, при этом неизбежно возникает задача исследования влияния запаздывания на устойчивость решений. Стабилизирующие управления формируются по принципу обратной связи и, поскольку измерительное устройство на объекте управления и управляющее устройство, где формируется управляющий сигнал, разнесены в пространстве на значительное расстояние, то возникает запаздывание в канале об-

ратной связи, которое может быть не малым и принимать различные значения при изменении названного расстояния. В связи с этим анализ стабилизирующих обратных связей, которые обеспечат устойчивость решений при любых значениях запаздывания, является необходимой компонентой решения.

В работе изучаются нелинейные механические системы с запаздываниями в позиционных силах. Представленные утверждения (теоремы 1-4), позволяют делать выводы об устойчивости положения равновесия на основе декомпозиции исходной системы п дифференциальных уравнений второго порядка на две подсистемы первого порядка той же размерности. Предложены способы решения задачи стабилизации механических систем с учетом ограничений на структуру управляющих сил, выделен класс систем с существенно нелинейными позиционными силами, для которого асимптотическая устойчивость положения равновесия имеет место при любом значении запаздывания.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-08-92208ГФЕН) и Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 107.

Литература

1. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

2. Воротников В. И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

3. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Пер. с англ.; Под ред. В.

B. Румянцева. М.: Мир, 1980.

4. Зубов В. И. Аналитическая динамика системы тел. Л.: Изд-во ЛГУ, 1983.

5. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987.

6. Матросов В. М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

7. Карапетян А. В. Об устойчивости неконсервативных систем // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1975. № 4. С. 109-113.

8. Агафонов С. А. Устойчивость неконсервативных систем и оценка области притяжения // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 2. С. 239-243.

9. Зубов В. И. Аналитическая динамика гироскопических систем. Л.: Судостроение, 1970.

10. Меркин Д. Р. Гироскопические системы. М.: Наука, 1974.

11. Пятницкий Е. С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН СССР. 1988. Т. 300. № 2. С. 300-303.

12. Шильяк Д. Децентрализованное управление сложными системами. М.: Мир, 1994.

13. Черноусько Ф. Л., Ананьевский И. М., Решмин

C. А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006.

14. Метелицын И. И. К вопросу о гироскопической стабилизации // Доклады АН СССР. 1952. Т. 86. № 1. С. 31-34.

15. Разумихин Б. С. Об устойчивости систем с запаздыванием // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 4. С. 500-512.

16. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

17. Эльсгольц Л. Э., Норкин С. Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

18. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. I. Функционалы полного типа. Вестник СПбУ. Серия 10. 2005. Вып. 1. С. 110-117.

19. Купцов С. Ю. Об одном методе исследования на устойчивость семейств линейных систем дифференциальных уравнений // Труды Средневолжского матем. общества. 2006. Т. 8. № 1. С. 224-235.

Санкт-Петербургский государственный университет

Институт динамики систем и теории управления СО РАН

STABILITY AND STABILIZATION OF THE NONLINEAR MECHANICAL SYSTEM

WITH DELAY

A. Yu. Aleksandrov, A. P. Zhabko, A A Kosov

Development of the methods of stability analysis and synthetics of stabilizing controls for nonlinear mechanical systems, which contain delais in positional forces, is reduce. Stability of equilibrium position if the nonlinaer positional forces are existed is deducated from theorems, which are proofed on the basis of decomposition of investigated system. Solution techniques with the restrictions on structure of control forces for problem of stabilization of the mechanical system are submited.

Key words: Mechanical sustems, delay, stability, stabilization, Liapunov functions

20. Александров А. Ю., Косов А. А. Об устойчивости и стабилизации положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем // Известия РАН. Теория и системы управления. 2009. № 4. C. 13-23.

21. Зубов В. И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Судостроение, 1959.

22. Post R. F. Stability Issues in Ambient-Temperature

Passive Magnetic Bearing Systems. February 17, 2000. Lawrence Livermore National Laboratory. Technical Information Department’s Digital Library. http: //

www.llnl.gov/tid/Library.html.