Исследование причин устойчивости неравновесной экономической системы

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИЧИН УСТОЙЧИВОСТИ НЕРАВНОВЕСНОЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

THE CAUSES OF NON-EQUILIBRIUM ECONOMIC SYSTEM STABILITY RESEARCH

УДК 338

СКОБЕЛЕВ Владимир Леонидович

доцент кафедры экономики кино и телевидения Санкт-Петербургского государственного института кино и телевидения, кандидат экономических наук, доцент, vskobelev0804@gmail.com

SKOBELEV, Vladimir Leonidovich

Associate Professor of the Economics of Film and Television Department, Saint-Petersburg State Institute of Film and Television, Candidate of Economic Sciences, Assistant Professor, vskobelev0804@gmail.com

Аннотация.

Устойчивость неравновесной экономической системы компании является следствием из доказательства существования ее вероятных равновесных состояний, которые могут наступить при согласовании частных экономических и коллективного (институционального) интересов субъектов рынка при наличии эффекта волнового резонанса. Статья посвящена теоретическому обоснованию устойчивости неравновесной экономической системы на основе феноменологического подхода.

Ключевые слова: экономические отношения обмена, экономические интересы субъектов рынка, оптимальное состояние экономической системы, устойчивость неравновесной экономической системы.

Abstract.

The stability of the non-equilibrium economic system of a company is consequence of the proof of the existence of its probable equilibrium states, which may occur at the coordination of private economic and collective (institutional) interests of market participants in the presence of the effect of the wave resonance. The article is devoted to theoretical justification of the non-equilibrium stability of the economic system based on the phenomenological approach.

Key words: economic exchange relations, economic interests of market participants, optimal state of the economic system, stability of the non-equilibrium economic system.

Автор продолжает знакомить читателей с результатами теоретических исследований по моделированию экономических отношений

обмена, оценке состояния и поведения экономической системы компании с применением феноменологического подхода, в особенности

24

петербургский экономический журнал • № 3 • 2015

эконофизики. В статье, опубликованной в прошлом номере журнала [1, с. 17-28], автором было обосновано наличие двух равновесных состояний при согласованности отдельно частных и коллективного интересов субъектов рынка. Также был предложен метод определения согласованного рыночного равновесия, то есть равновесия с абсолютно согласованными их интересами, как следствие присутствия аттрактора в этих равновесных «точках», что объясняется эффектом волнового резонанса в них.

Главным следствием из доказательства перечисленных вероятных состояний равновесия неравновесной экономической системы при наличии эффекта волнового резонанса является предположение об устойчивости неравновесной системы, обоснованию которого посвящена настоящая статья.

Резонанс характеризуется обменом (передачей) энергии между двумя периодическими движениями - импульсами. При резонансном эффекте отношения частот и колебаний (оборотов) до и после пульсации равно рациональному числу. Этому условию соответствует следующее равенство: <1/<2 = п1/п2, или <  п1 - <2  п2 = 0, где < = 1/п1 и <2 = 1/п2 - частота оборотов в волновой функции импульсов экономических интересов до и после изменения объемов q1 и q2. В этом случае движение (поведение) системы, обладающей двумя степенями свободы, будет периодическим, то есть возвратным в точку резонанса.

Наоборот, при <  п1 - <2  п2 Ф 0 с произвольными числами оборотов п1 и п2, отслеживаемая точка состояния системы, движущаяся по синусоидальной спирали (образно говоря, по спирали на поверхности эллипса), никогда не возвращается в исходную (резонансную) точку. Такой случай характеризуется квазипериодическим движением и квазипериодической траекторией, которая никогда не замыкается, за исключением двух крайних (полярных) точек.

Определим наличие (или отсутствие) таких резонансных точек (резонансных состояний) экономической системы на основе предложенной модели отношений обмена. Если обнаружится наличие резонансных точек, совпадающих с согласованным равновесным состоянием системы, и при этом будет удов-

летворяться критерий минимизации риска с учетом согласованности частных и коллективного интересов, приведенных в сопоставимый вид, то это и станет доказательством его устойчивости (периодической повторяемости). Также это будет доказательством объективности предлагаемой модели отношений обмена на рынке и оценки состояния (поведения - движения) экономической системы компании.

Визуализация теоретической модели движения по синусоидальной спирали точки состояния экономической системы в проекции на плоскость представляет собой сдвоенные спиральные «восьмерки», которые «навиваются» на поверхность двух эллипсоидов, расположенных один в другом, с общей горизонтальной осью, совпадающей с большим диаметром эллипсоида (рисунок 1). На внешний эллипсоид «навивается» спираль линии спроса, на внутренний эллипсоид - спираль линии предложения. При этом объемы эллипсоидов изменяются под действием ценовых и неценовых факторов, то есть они расширяются или сжимаются. Поведение компании на рынке предполагает возможность наступления с определенной вероятностью следующих состояний: частного рыночного равновесия при согласовании частных экономических интересов; равновесного состояния при согласованности коллективного (институционального) интереса; согласованного равновесия при согласованности частных экономических интересов и коллективного (институционального) интереса. Эллипсоиды имеют три мерности: объем рыночных продаж и покупок товара (по горизонтальной оси q, которая соответствует наибольшему диаметру эллипсоида); цена продаж и покупок (по вертикальной оси Р, которая соответствует меньшему радиусу эллипсоида); количество оборотов (по диагональной оси п). Эллипсоиды имеют два полюса: точка полюса слева соответствует предельному состоянию компании с абсолютными частными интересами ее участников и отсутствием коллективного интереса; точка полюса справа соответствует состоянию компании с абсолютным коллективным интересом при игнорировании частных интересов ее участников.

В абсолютно согласованном равновесном состоянии внутренний и внешний эллипсоиды становятся равными, они совпадают. Такое модельное состояние системы показано на рисунке 1.

На рисунке 1 линия «восьмерки» слева есть траектория состояния компании в системе частных экономических интересов, а линия «восьмерки» справа есть траектория состояния компании в системе коллективного интереса. На этих линиях (в проекции на плоскость) находятся точки частного равновесия в точке аеч и равновесия в системе коллективного интереса в точке цек. Между этими траекториями находится теоретическая траектория компании с точкой согласованного равновесного состояния системы qe(ч к, а также «лента восьмерки», соответствующая гармоничному состоянию и поведению системы в интервале таких значений объемов а, ,а , ., цены Р и количества оборотов п, при которых достигается максимальная эффективность и минимальные риски экономической деятельности компании.

В предложенной модели обменных процессов частоты волновых функций у импульсов частных и коллективного интересов задаются через функции относительной длины волны:

У ^м«) = ™(1\мМФ)1/т  90%;

у =^Р^ШГ™  90°и

* Ьи^ч-к) = п(а))  90°)ч-к =

= ^(^,Ха))3/т  90°)ч-к.

Здесь 1\мЛ(к)= 1чк(Рз(п(а)Л),Р^л(п(а),КЛ) -целевая функция импульса реализации коллективного (институционального) интереса компании, заданная в трехмерном пространстве показателем эффективности обмена в виде отношения объемов тел V, определяемых функциями рыночной цены предложения Р (п(а),Я.) и эквивалентной цены спроса

РмМа)лЛ1; ^г ^Р^ХРДаЛ)) -

целевая функция импульса реализации частных экономических интересов субъектов деятельности компании на рынке, приведенных к коллективному интересу, при максимальном уровне использования возможностей компании, заданная в двухмерном пространстве показателем эффективности обмена в виде отношения площадей фигур 5, определяемых функциями цены предложения р(п(а),я) и спроса рл(п(а)Л); 1ржМ(Ч-к)= = I5 р (а,л,я.), р ,(а,я,я.) = [г р(а,л)),

— ч-к м^^ 5 а' ма^ 1 5 а' ^ к 5х ^ 57 7

рж^(а,Л5,Л^))]3/т - целевая функция импульса

?

Я-ЕГЦ

Рисунок 1

Геометрическая модель неравновесной экономической системы при согласованности интересов субъектов рынка

26

петербургский экономический журнал • № 3 • 2015

частного интереса, приведенного к коллективному интересу, при минимально допустимом уровне использования возможностей компании, заданная в двухмерном пространстве показателем эффективности обмена в виде отношения площадей фигур 5, определяемых функциями эквивалентных цеп предложения Рш(п(фЛ) и спроса РмЛ(п(ч),Ка): п - количеств о оборотов; ч - объем предложенияили спроса;

т(п,(фЛ$,К) = 1 - функция фрактального

числа; Я5 = 1 - р$ и Яа = 1 - рл - риски в сфере рыночного предложения и спроса; р5 ира (<1) -коэффициенты, характеризующие вер оятность установления оптим ального рыночного обмена в состоянии согласованного равновесия -

Р = рл = Р = 1.

£ а £ ечк

Производные первого порядка от перечисленных волновых функции импульсов интересов представляют круговые скорости движения по спирали, с помощью которых описывается состояние экономической системы компании:

<«¥апШк = ^л>(*))к=

= С08(Гж>(з))1/т  90%; оЦрьМШч-к = У'ЦрьМШч-к =

= С0зар5,>(3))2/т  900)ч-к;

<(1Рм«М(п(Ф\-К=У'(1РшМ(п(Ф\-К =

= СО^Мч))  900)ч-к = С08(^>(Ч))3/т  900)ч-к .

Наличие резонансного волнового эффекта свидетельствует о том, что равновесные состояния в резонансных точках систем ы являются аттракторами. Это можно доказать.

Представим функции импульсов интересов: коллективного интерес а 1¥тм-(п(ч))к; частных интересов 15Р5/п(ч))ч-к и 15р м,мЛ(п(С1))Чт

как степенные функции цен в полярной системе координат (при нулевых рисках

= Яа = 0) с выражением цены через относительный радиус ценовой логарифмической спирали, то есть функции с основанием а = О = = 2,71... и степенью, равной числу оборотов п (ч) .

ч-к

Функция импульса коллективного (институционального) интереса:

s, Ш(1

т(-х

\"х )

I а2%

к т(-х

I

I а2%

т_

т

I С12тш

—а

'1п

= а

тАЬ тАЬ )-та (-х

-ат^) 1п

= а^(-х (- х )= ас(-<

при п0(Ч0 = 0) = где п,м0. Ю = 3/2п,Ю +

+ 1/2па(чх) - число оборотов в функции импульса коллективного интереса.

Функция импульса частного экономического интереса, выраженная в рыночных ценах и приведенная к импульсу коллективного интереса:

т

I а2'"

''»а ("(-)1к =

< -х )

а

а

-а

'*

2_= а^

1 -

—а 2

та (-х

где пи(чх) = п5(чх) + па(чх) - число оборотов спирали в функции импульса частного интереса при максимально допустимом использовании возможностей продавца на рынке.

Функция импульса частного экономического интереса, выраженная в эквивалентных ценах спроса и предложения и приведенная к коллективному интересу:

петербургский экономический журнал • № 3 • 2015

27

( я))ч

"

"0_

"

п ]а

"0

~а ШХЧХ 2щ(ях)+п<1(<1х.

2"мй

й

\_пмм

—а 2

=а2 2 = а

где "м.*,м<1 ( " (Ьх )) = а 2 " - число оборотов спирали в функции импульса частных интересов при минимально допустимом использовании возможностей потребителя на рынке.

При логарифмировании перечисленных функций получим соответствующие функции числа оборотов:

\"Мх)+3"й (Чх

^"х (Чх )+^"Л (Ьх ) — п 2 2

"

мd (к) \Чх

(Чх ) = 1п

С 3 , ^1 , Л

а2 2

V

= 3 (Чх)+22 "й (Чх У

Ч-К )(Чх ) = 4*"'(Чх )-"й (Чх) ) =

=".. (Чх) - "й (Чх У,

-к )(Чх ) = 1п

М , , 3 , Л (Чх )+-"й (Чх ) а2 2

Юмз,мd

1 3

2 (Чх )ч-к + 2 "й (Чх )ч- к ". (Ьх )ч-к + "й (Чх )ч - к '

Ю.мd

Ю м+М

1 3

- (Чх ) ч-к + 2 "й (Чх ) ч-к

3 1 '

2 (Чх ) ч-к + 2 "й (Чх ) ч-к

ю

ьх+,й(у"(Чх )) к

s,мd

х ч-к

,й

"

я, мd

(Чх ) ч-к + "й (Чх ) ч-к

3 1

2 (Чх ) ч-к + 2 "й (Чх ) ч-к

Если отношения частот будут равны рациональным значениям и будут кратными для анализируемых значений а, то это значит, что в этих состояниях наблюдается эффект резонанса. Предпосылкой к этому является соблюдение для любого значения а степенной пропорции между функциями импульсов интересов. Численный пример подтвердил эти предположения.

При парном сравнении функций импульсов интересов, описывающих поведение системы, соблюдается при любом а условие кратности отношений частот со(п(ф):

мз, мй (ч-к )х

1 3

= 2(Чх)+2 "й (Чх У

Частота обращения (колебания) спирали есть обратная величина числа оборотов. Отношение числа оборотов в попарно сравниваемых функциях импульсов интересов, приведенных в сопоставимый вид, равняется:

ю й

/ мз, мй

, мй / мз, мй

', мй / мз, мй

;,й / мз,мй

ю

мз, х

Юмз,мй

^мАЯх) = ".й

= 1,5;

= 3,0;

= 2,0.

В частном равновесном, в согласованном равновесном состояниях (при аеч и ае(ч к)) и в гармоничном состоянии экономической системы компании в интервалах а^ < а < аg2 < а < а^ также соблюдается вышеуказанное кратное соотношение частот.

В согласованном равновесном состоянии с уровнем развития системы к = ж скорость обращения (частота колебания волновых функций импульсов интересов) стремится к нулю и

петербургский экономический журнал • № 3 • 2015

28

соответствует предельному значению, которое определяется как частная производная от волновой функции импульсов интересов:

, < -П ¥(п =дтт = а.

При малых отклонениях от идеального равновесного состояния Д^м = (ч - чец-к) ^ 0 наблюдается целочисленная кратность отношений частот волновых функций импульсов интересов, что подтверждает наличие резонансного эффекта.

Таким образом, точка согласованного равновесного состояния соответствует характеристике аттрактора (таблица 1).

Введение понятия аттрактора для объяснения механизма устойчивости неравновесной экономической системы помогает установить природу ценового механизма и представить модель его действия.

Устойчивость системы компании, проявляющаяся в циклической возвратности траектории ее поведения в частное равновесное, согласованное равновесное и гармоничное состояния, описывается следующими резонансными точками:

1. Точкой частного равновесия чеч, достигаемой с позиции согласованности частных интересов, для которой соблюдается равенство нулю частоты волновых функций импульсов частных интересов (для тестового примера Чеч = 3000):

IPs,d (п(Чеч )))' = c0s IPS,d (п(Чеч )) = 0;

(IPms,Md (п(Чеч)))' = cosIpMS,Md (П(Цеч)) = 0.

2. Точкой равновесия qeK, достигаемой при реализации коллективного интереса (без его приведения к частному интересу), в которой также соблюдается условие равенства нулю частоты обращения волновой функции импульса коллективного интереса (для тестового примера qeK = 4854,1:

(lVS,Md (п(Чек )))' = COSlVS,Md (п(Чек )) =

3.Точкой согласованного равновесного состояния qe(4K) = 3701,2, определяемого после приведения волновой функции частного интереса к коллективному интересу, то есть приведенных в сопоставимый вид по уровню развития экономической системы, также будет соблюдаться условия равенства нулю частот волновых функций, описывающих поведение системы.

Точка согласованного равновесия характеризуется предельным состоянием (при к = го) экономической системы, называемым аттрактором (предельным множеством вариантов развития). В этом состоянии система становится пульсатором поглощения (полноволновым пульсатором) при y(n(q)) = 1.

4. Точкой допустимого критичного уровня развития экономической системы (состояние четвертьволнового пульсатора, то есть пульсатора излучения) при y(n(q)) = 0,25, при котором максимально вероятен распад

Таблица 1

Результаты анализа неподвижных точек и периодического цикла поведения системы

Функции Значения функций в анализируемых точках q

q 1 еч q 1ек qe

0,54579491530 0

0 0

^PMSMI^X 0 0

"(n\,Mdm4_K 0,54579491530 0

0,80901699433 0

m(nSpMsM(ql-K 0,92207674123 0

экономической системы в силу игнорирования коллективного интереса и преобладания только частных интересов.

Равновесие может быть трех типов: устойчивым, неустойчивым и безразличным. Резонансная точка, отображающая равновесие («точка отображения» или «неподвижная точка») также может иметь три типа [2, с. 64-66]:

1) притягивающая, если точка на траектории поведения системны, находясь в бли)ости от неподвижной точки, будет в процессе итераций приближаться к ней;

2) отталкивающая, если точка на траектории поведения системы, находясь вблизи от неподвижной точки, будет удаляться от нее;

3) нейтральная, если точка траектории поведения системы через любое число итераций будет находиться в окрестности неподвижной точки, не приближаясь и не удаляясь от нее.

Неподвижная точка называется так потому, что скорость движения (частота кругового обращения) в ней равняется нулю, как и частная производная первого порядка, взятая от волновой функции импульсов интересов:

ю("(Ч))'= /(Ч> )'= 0.

Если $(ан)\ < 1, то есть «расстояние» Аа до неподвижной точки в процессе п-итераций сокращается, то точка ан является притягивающей.

Если I(ан)'\ > 1, то неподвижная точка ан является отталкивающей.

Если I (ан)'\ = 1, то неподвижная точка является нейтральной.

При анализе аттракторов, наряду с неподвижными точками, важную роль играют так называемые периодические циклы, состоящие из периодических повторяющихся неподвижных точек.

Простейший периодический цикл состоит из двух неподвижных точек (цикл порядка т = 2). Помимо него существуют циклы более высокого порядка (т = 3,4...). Если - периодическая точка периода т-го порядка, то она является неподвижной точкой ан функции

/т)(ан) = Я.--ШЧн))), то есть точка ан, неподвижная для), является неподвижной и для

I(т)(ан). н

Чтобы дать характеристику устойчивости периодической точки нужно определить производную /т)(£)', из которой следует, что эта производная является одной и той же для всех неподвижных точек цикла. Например, для двухпериодичного цикла:

/ (т=2 )'=/ (/ )) / )' =

=/ &) ' / &) '=/ )'.

Если эта производная, взятая по модулю, меньше единицы, то цикл называется притягивающим. Притягивающий периодический цикл, состоящий из т неподвижных точек, как и притягивающая периодическая точка, могут выступать в качестве аттрактора.

Как было показано ранее на тестовом примере, экономическая система имеет три неподвижные точки, составляющие периодический цикл, который является аттрактором траектории поведения системы.

Частные производные первого порядка, взятые от волновых функций импульсов интересов, равны нулю в точках равновесия:

• в состоянии частного рыночного равновесия, отражающего согласованность частных интересов (по рыночным и эквивалентным ценам) при ач = 3000 (для тестового примера);

• в состоянии согласованного равновесия

пРи ае(ч-к)=3701,2;

• в равновесном состоянии с согласованным коллективным интересом (не приведенным в сопоставимый вид с системой частных интересов) при = 4854,1.

Скорость кругового вращения (оборачиваемость) при движении по траектории спиральных (синусоидальных) волновых функций импульсов интересов, характеризующих поведение системы, замедляется и превращается в ноль вблизи от этих неподвижных точек.

Реальные и приведенные в сопоставимый вид, то есть волновые функции импульсов согласованных интересов взаимосвязаны постоянным фрактальным коэффициентом, отображенным в модели отношений обмена в виде степенного множителя при числе оборотов п. Значит, в этих неподвижных точках, определяющих периодический цикл системы,

волновые функции импульсов интересов будут входить в резонанс, а траектория поведения системы будет возвратной и циклически устойчивой с максимальной степенью вероятности наступления этих неподвижных -равновесных точек.

Следует отметить еще одно важное обстоятельство: резонансный эффект в точке согласованного равновесия (при Че{ч-к) = 3701,2) проявляется, подобно природным системам, уже при очень малом отклонении текущих объемов ч от согласованного равновесного состояния (для тестового примера отклонение составило десятитысячные процента).

Представленное нами доказательство устойчивости неравновесной экономической системы с согласованными интересами ее субъектов при наличии равновесных состояний, отражающих «частнооптимальный» и «коллективнооптимальный» интерес субъектов в отношениях обмена, открывает глубинную причину (саму природу) циклической закономерности поведения хозяйствующих субъектов системы в одном акте купли-продажи под действием ценового и институционального механизмов.

Закономерность оптимального поведения субъектов и, соответственно, системы в целом состоит в объективном возникновении гармоничных экономических условий внешней и внутренней среды системы вследствие стремления субъектов рынка к системе согласованных частных экономических и коллективного (институционального) интересов. Это стремление предопределено аттрактором траектории поведения экономической системы компании и отраслевого рынка в целом, то есть периодическим циклом и ограничениями уровня ее развития.

Таким образом, устойчивость автономной системы волновых уравнений импульсов интересов или уравнений частоты этих волновых функций, с помощью которых описывается модель отношений обмена и система интересов, характеризуется притягивающим периодическим циклом, который имеет определенную структуру.

Покажем на тестовом примере графическую интерпретацию структуры устойчивости и

установления равновесия в модели обменных процессов в двух вариантах: в виде геометрической интерпретации в декартовой системе координат; в виде кинематической интерпретации в фазовом пространстве в полярной системе координат.

Теоретическое геометрическое описание такой модели обменных процессов было приведено в начале статьи, где каждому решению системы уравнений соответствуют проекции их кривых на плоскости. При этом комплекс волновых функций импульсов интересов, взятых по модулю, то есть являющихся непрерывными функциями вероятности состояния системы интересов, представим в ортонорми-рованном виде:

^ътщТтТ-))

sinc(n(q)) =

y/

что характеризует плотность распределения вероятности и позволяет сопоставлять волновые функции импульсов интересов, заданных в системе частных и системе коллективного интересов.

В таблице 2 представлены функции, описывающие состояние экономической системы, геометрическая интерпретация которых показана на рисунках 2-5 в плане «f(I), q» и «w(n), q» в виде проекции линий волновых функций импульсов интересов.

Кинематическая интерпретация модели обменных процессов представляет решение автономной системы уравнений модели в виде спирального движения точки состояния системы на фазовой плоскости.

Кинематическую интерпретацию волновых функций импульсов интересов на фазовой плоскости р(ф(1)) можно показать в полярной системе координат. В силу сложности аксонометрического отображения кинематики комплекса волновых функций импульсов интересов, покажем в качестве примера траекторию волновой функции импульса согласованного и приведенного в сопоставимый вид коллективного интереса f(IVsMd(n(q))J за 1 оборот (рисунок 6). Эту же функцию, нормированную относительно согласованного равновесного состояния (для 2,5 оборотов), покажем в системе согласованных интересов.

петербургский экономический журнал • № 3 • 2015

31

Таблица 2

Функции, описывающие состояние экономической системы

Функции вероятности состояния системы (нормированные волновые функции импульса интересов) Функции частоты обращения

а) в системе частных интересов

Рис. 2: Рис. 3:

яп с(Щ(18Р!/П(Ч)))ч) трР.Лп(ч)\

т1'рм*Лп(ч)\

б) в системе коллективного интереса

Рис. 2: Рис. 3:

зт ^д^т)

в) в системе согласованных и приведенных в сопоставимый вид частных и коллективного интересов

Рис. 4: Рис. 5:

яп с(щ(18Р1/п(ч))ч к) трР..№ч)\*

зт с(ИРрш^(п(чЮ

¡¡¡п с

Рисунок 2

Нормированные волновые функции импульсов интересов в системе частных экономических интересов

0,5

ю о

5000

(0

о я

^ -1

Объем q, тыс. ед.

у(п s,мd(q))к ^™ар(п s,d(q))ч <ар(п мs,мd(q))ч

Рисунок 3

Функции частот импульсов интересов в системе частных экономических интересов

£ ь

£ ° 2 о й 1 2

о. к

о. о о ш

1

0,8

0,6

0,4

3" 0,2

В-

о 0

с

« -0,2

-0,4

^^^^^^^ 1 1 N

> V

\ \ л

0 1П ПП ?П ПП зп ПП 4П i ПП 5П

00

Объем д, тыс. ед.

эт с

Рисунок 4

Нормированные волновые функции импульсов интересов в системе согласованных частных экономических и коллективного (институционального) интересов

Рисунок 5

Функции частот импульсов интересов в системе согласованных частных экономических и коллективного (институционального) интересов

1

0

Рисунок 6

Кинематическая интерпретация волновой функции импульса коллективного интереса:

1) Ц(1У,мЛ(ф(ф)) - траектория 1 оборота волновой функции;

2) втс^ Аф(ц)) ) - траектория 2,5 оборотов нормированной волновой функции

Чтобы анализ устойчивости обменных процессов был комплексным, необходимо вместе с выявленными равновесными состояниями в системе несогласованных и согласованных интересов также рассмотреть граничные состояния системы:

а) состояние полноволнового - поглощающего пульсатора, которому соответствует точка идеального равновесия в системе согласованного коллективного интереса после и до его приведения в сопоставимый вид с частными интересами, которое характеризуется как устойчивый двухпериодичный цикл;

б) состояние четвертьволнового - излучающего пульсатора, которому соответствует максимально допустимая рентабельность продаж с точки зрения безопасности системы.

Кроме того, в неподвижной точке согласованного равновесия наблюдается устойчивый притягивающий топологический фокус. В этом состоянии фрактальное число О^^МР^^ к)))]к, характеризующее предельное множество вариантов состояний, равняется бесконечности, что видно на рисунке 7.

Точка частного рыночного равновесия в системе частных экономических интересов (не согласованных и не приведенных в сопоставимый вид с системой коллективного интереса) относится также к периодическому циклу, но характеризуется как «седло».

Все три неподвижные точки равновесных состояний, входящих в состав периодического цикла, связаны постоянной (для любых исходных параметров системы) пропорцией значений волновых функций импульса интереса, заданного показателем эффективности в виде отношения цены предложения и спроса. Покажем эти пропорции на тестовом примере:

• при Яеч = 3000: (п(^еч))11_к = ОД;

• при Яе{ц_к) = 3701:15ш МОХ« = 1,0

• при qeк = 4851: ^ МО^ = 4,0

Соблюдается постоянное соотношение:

ч))ч-к / РрыШеЧкА* =

= 18Ш(пЮ\к / к))ч-к = 1/4

Можно сказать, что пропорции импульсов интересов, наблюдаемые в равновесных состояниях системы согласованных и приведенных в сопоставимый вид интересов, связаны «закономерностью четвертей».

Тот факт, что точка равновесия в системе коллективного интереса соответствует состоянию полноволнового пульсатора - пульсатора поглощения, существенно уточняет кинематику траектории поведения системы в этой неподвижной точке при qeк = 4854,1, являющейся аттрактором. Эту точку можно назвать, образно говоря, «втягивающей». Подтверждается направленность вектора

34

петербургский экономический журнал • № 3 • 2015

Рисунок 7

Функция фрактального числа

движения (изменения) состояния системы по спиральной траектории в фазовом пространстве, направленного от больших значений объемов к меньшим объемам на оси д. Такое граничное состояние можно определить как состояние информационного входа в экономическую систему.

Предельно допустимому снижению объемов с точки зрения безопасности системы соответствует состояние четвертьволнового пульсатора - пульсатора излучения, что также говорит о направленности вектора движения (изменения) состояния системы, а именно: точка на оси д (на оси спиральной траектории), соответствующая этому граничному состоянию, является «выталкивающей» из системы. Такое состояние можно определить как состояние информационного выхода из экономической системы.

Таким образом, предложенной модели обменных процессов в системе согласованных интересов с устойчивым периодическим циклом соответствует схема устойчивых обратных связей информационных потоков.

Такая геометрическая и кинематическая интерпретация модели процессов обмена вполне согласуется с логикой мышления субъекта системы компании в сделке купли-продажи.

Данная модель рассматривается в трехмерном пространстве без учета «стрелы времени». Поэтому автором также была рассмотрена четырехмерная геометрия и кинематика модели обменных процессов с учетом фактора времени - по аналогии с «четырехмерным миром»

Миньковского (с появлением мнимости в его «четырехмерном» уравнении). Такая четырехмерная модель оказалась очень сложной для решения системы дифференциальных уравнений. Ее решение требует дополнительных исследований, находящихся за пределами настоящей статьи.

По этой причине автор воспользовался переходом от декартовой системы координат уравнения Миньковского к полярной системе координат в осциллирующем пространстве, что позволяет оперировать тремя координатами.

Автор обоснованно предполагает, что модель обменных процессов в согласованных системах частных экономических и коллективного (институционального) интересов можно представить по аналогии с физической системой двойного пространства, а именно: с левым (система частных интересов) и правым (система коллективного интереса) пространствами. Эти пространства представлены в виде эллипсоидов, которые расположены внутри внешней для них сферы (система согласованных интересов).

Точки траектории состояния системы, расположенные на поверхности эллипсоидов, в ходе сжатия одного и расширения другого, то есть при их пульсациях, образуют, соответственно, проекции левой и правой логарифмических спиралей на левой - «тл п» и правой -«гп, пп» фазовых плоскостях. «Траектория состояния системы согласованных интересов, располагающаяся во внешнем эллипсоиде,

соответствующая, в терминах физики, центру масс двойного пространства, описывает свою винтовую поверхность вокруг оси q, подобную римановой. На винтовой поверхности образуется цилиндрическая спираль наподобие шнека мясорубки, что следует из соотношения (sin2 фл + cos2yn = 1) левой и правой логарифмических спиралей» [5, с. 204]. Эту задачу следует рассматривать как задачу будущего.

Таким образом, анализ устойчивости модели отношений обмена показал, что возможен

вариант слияния выявленных «точек равновесного состояния» на траектории поведения (движения) экономической системы компании. Это означает, что существует вероятность слияния «седла» и «фокуса» модели отношений обмена в «точке идеального равновесного состояния» [5, с. 213], то есть в точке бифуркации экономической системы, при условии, что произойдет качественное ее изменение - изменение параметров исходного состояния системы, о чем будет рассказано в следующей статье.

Список литературы

1. Скобелев В. Л. Описание гармоничного состояния экономической системы компании // Петербургский экономический журнал. 2015. № 2. С. 98-109.

2. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.

3. Климишин И. А. Релятивистская астрономия. М.: Наука, 1989.

4. Девис П. Суперсила: пер. с англ. М.: Мир, 1989.

5. Скобелев В. Л. Моделирование отношений обмена хозяйствующих субъектов: Теория согласования интересов. СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2005.

петербургским экономическим журнал • № 3

2015

36