Идентификация передаточной функции динамической системы по результатам эксперимента

Наука и Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2017. № 05. С. 89-104.

Б01: 10.7463/0517.0001249

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 681.5

Идентификация передаточной функции динамической системы по результатам эксперимента

Павлов Ю.Н.1, Недашковский В.М.1, Тихомирова Е.А.1*, Ширшаков А.Е.2

09.04.2017 23.04.2017

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия 2Научно-производственное объединение им. С.А. Лавочкина, Химки, Россия

Предметом работы является проблема идентификации линейных динамических систем по экспериментальным данным, полученным путем подачи на систему тестовых сигналов. определение как вида так и коэффициентов передаточной функции по экспериментально полученным на стенде отсчетам годографа. Предполагался неизвестным порядок частотной передаточной функции идентифицируемой системы. . Предполагалось, что при получении частотных характеристик реальной системы в эксперимент вмешиваются помехи, в результате которых точки экспериментально полученного годографа смещаются случайным образом. В качестве модели принимается некоторая передаточная функция системы. Решение задачи идентификации авторы предложили искать в классе годографов, задаваемых моделью системы. Решение задачи идентификации линейной динамической системы по частотному годографу было сведено к решению системы уравнений, линейной относительно неизвестных параметров частотной передаточной функции модели системы.

Изложенный в публикации метод идентификации линейных динамических систем может найти применение при экспериментальной отработке, натурных и полунатурных испытаниях систем управления летательных аппаратов различного назначения.

Ключевые слова: идентификация, линейная динамическая система, частотный годограф

Введение

Высокоточные беспилотные летающие объекты требуют качественных систем управления, элементами которых являются силовые приводы типа бустеров и различного вида рулевых машинок. Идентифицировать эти элементы, то есть построить их математические модели по данным эксперимента, является достаточно сложной задачей. Математическая модель - это описание поведения динамической системы во временной или частотной области. Отметим, что на сегодняшний день теория идентификации широко применяется в практических приложениях. Считается, что началу идентификации как науки положили ещё работы Гаусса, который для этих целей разработал метод наименьших

квадратов. Основоположником теории идентификации динамических систем в России можно считать Н.С. Райбмана, который понял практическую пользу идеи идентификации. Ему принадлежат работы по теории и практическому применению дисперсионной идентификации. К той же школе принадлежат и работы ЯЗ. Цыпкина. В этой связи, из ранних публикаций следует упомянуть работы [1 - 3]. Идентификация динамических систем затрагивалась в разной степени полноты в [4 - 12].

При экспериментальной отработке, натурных и полунатурных испытаниях систем управления летательных аппаратов различного назначения приходится решать задачу идентификации, то есть по данным эксперимента нужно (необходимо) провести статистический анализ, написать дифференциальные уравнения, описывающие динамическое звено, и определить их коэффициенты. Провести идентификацию возможно при анализе переходного процесса в динамическом звене, либо по частотной характеристике. Для повышения качества идентификации необходимо решить оптимизационную, в смысле метода наименьших квадратов, задачу. При этом возможно решение ограниченной задачи, когда передаточная функция динамического звена априорно известна и остаётся только по результатам эксперимента определить коэффициенты передаточной функции, или решение более полной задачи: определение и вида передаточной функции, что значительно сложнее. Для решения полной задачи возможно применение частотных методов, в частности частотных годографов. На рисунке 1 показаны годографы систем, описываемых дифференциальными уравнениями второго, третьего, четвертого и пятого порядков, соответственно. Достаточно заметно их визуальное различие. Это различие и можно положить в основу идентификации порядка дифференциального уравнения, описывающего данную динамическую систему.

• 2-ой порядок 3-ий порядок 4-ый порядок 5-ый порядок

Рисунок 1. Годографы динамических систем второго, третьего, четвертого, пятого порядков

1. Постановка задачи

Предполагается, что на стенде, предназначенном для снятия амплитудно-частотных характеристик динамических систем (приводов), получены экспериментальные данные о динамической системе, порядок и вид передаточной функции которой не известен. Предполагается также, что привод содержит в себе, например, незначительные нежесткости и зоны нечувствительности, другие элементы, искажающие и вносящие помехи в результаты эксперимента. Необходимо разработать алгоритм обработки экспериментальных данных с целью определения порядка передаточной функции испытуемого привода, а также значений её коэффициентов.

2. Методика решения задачи

Для удобства изложения материала подлежащую идентификации исходную линейную динамическую систему будем коротко называть устройством.

Частотная передаточная функция устройства описывается в частотной области следующим соотношением

тх^ • N с + с,1 + с7(/)2 +... + с (/)т

ти)=——--™ \-т .

е0 + + ег

На рисунке 1 . представлен вид годографов, построенных по соотношению (1) для устройств второго ( е0 = 1; е1 = 1,5; е2 = 1; с = 1),

третьего ( е0 = 1; е1 = 1,5; е2 = 1; е3 = 0,5; с = 1),

четвертого (е0 = 1; е1 = 1,5; е2 = 1; е3 = 0,5; е4 = 0,1; с0 = 1),

пятого (е0 = 1; е1 = 1,5; е2 = 1; е3 = 0,5; е4 = 0,1; е5 = 0,01; с0 = 1) порядков.

Порядок дифференциального уравнения и неизвестные коэффициенты (параметры) с0, с1,..., ст, е0, е1,..., еп частотной передаточной функции (1) и необходимо определить в результате решения задачи идентификации.

Из соотношения (1) можно получить другое выражение для частотной передаточной функции

Wt

где Pt () и Qt () - вещественная и мнимая части частотной передаточной функции соответственно.

Частотная передаточная функция Wt(j) может быть изображена на комплексной плоскости в виде годографа. Для этого для каждого значения частоты вычисляются модуль вектора Wtи)\ и угол поворота Ц() вектора. Модуль вектора ^есть отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного гармонического сигнала, а угол поворота Ц () вектора представляет собой сдвиг фаз между выход-

ным гармоническим сигналом и входным гармоническим сигналом. На рисунке 2 представлен вид годографа, построенного по соотношению (2) для устройства четвертого порядка ( в0 = 1; е = 1,5; ег = 1; ез = 0,5; е4 = 0,1; с0 = 1).

-1,5

0,6

1,5

Р

Рисунок 2. Годограф устройства четвертого порядка

Амплитуда Аг (о) и фаза (рг(о) частотной передаточной функции определяются из соотношений

Аг (о) = , до (о) =

Рг

При получении частотных характеристик реальных систем в эксперимент вмешиваются помехи, в результате которых точки годографа смещаются случайным образом. Годограф со смещенными случайным образом точками, в отличие от теоретически вычисленного, назовем псевдо экспериментальным. Введем обозначения для вещественных и мнимых значений отсчетов псевдо экспериментального годографа (у о) устройства для пехр значений частот о, О,-., о :

Р = Р

На рисунке 3 показан пример псевдо экспериментального годографа четвертого порядка, относительно теоретически вычисленного годографа, приведенного на рисунке 2 при наличии случайных погрешностей в экспериментальных данных Р,..., Рпехр, й,..., 0пехр для ЖХр=20.

0,6

-1,5

Р

1,5

Q

без ошибок с ошибками

Рисунок 3. Пример псевдо экспериментального годографа устройств четвертого порядка при наличии

случайных погрешностей

Решение задачи идентификации устройства с известным видом передаточной функции (1), то есть устройства известного порядка, будем искать в классе годографов, задаваемых моделью

wm о) =

Ь + bja + ¿2

или в виде

где

Wm (ja) =

a +jP

7 + jS ,

a = b0 -b2a + bAa -..., P = b - ba + b5a5 -...,

2 4

7 = a0 - a2 a + a4 a -...

s=a - a a3 + a a5 -...

Отклонение AW, i-ого отсчета WM (ja,) годографа модели на частоте a¡ от определенного теоретически i-ого отсчета W3 (ja) годографа идентифицируемой системы равное

AW = W3 (ja,) - Wm (ja,), с учетом (3) и (5) можно записать в виде

a, + jP,

AW, = р + jQ, -где a, Pi, 7i, S соответствуют частоте a •

7, + j5,

Необходимо ввести приемлемый критерий, характеризующий близость двух годографов на всей совокупности псевдо экспериментальных точек, и минимизировать его по параметрам модели звена а0, а1з..., ап, Ь0,Ъх,.., Ьт. В качестве критерия (меры) близости

можно было бы выбрать сумму квадратов модулей расхождений ЛЩ :

п ехр

1=1

Минимизация меры I приводит к нелинейной системе уравнений для определения коэффициентов а0, а1з..., ап, Ь0,Ь1з..., Ьт модели. В работе [13] рассмотрен частный случай

идентификации по годографу для получения линейной системы уравнений, а именно, применен способ, который состоит в следующем. Соотношение (8) умножим на отличный от нуля комплексный множитель (у, + ) :

АН, = ЛЩ + ]д,).

I 12

Тогда с учетом (9) для ЛHj и для \ЛHi получим

АН, = р,г , - ЯА - а + ]

|ЛН,Г = (Рг, -аА-а)2 + (РА + аг, -Д)2.

2

В качестве меры отличия годографов в /-ой точке примем ЛНг , а в качестве меры близости J годографов - сумму квадратов модулей |ЛНг |2:

п ехр п ехр

з = £|лн,I2 = £[(Рг, -ЯА -а)2 + (РА + аь -Д)2]. 00

Следует отметить, что если погрешности определения вещественных и мнимых значений (3) отсчетов псевдо экспериментально полученного годографа W3 (jo) равны нулю,

то обе меры близости I (8) и J (11) обращаются в нуль.

Таким образом, мера близости J псевдо экспериментально полученного годографа W3(jo) устройства и годографа WM(jo) модели устройства на всей совокупности экспериментальных точек задается соотношением (11), которое после некоторого преобразования принимает вид

next

J = £[

i=1

Из (6) следует, что мера J (12) является функцией коэффициентов аг, 6 частотной

передаточной функции модели (4). Для минимизации меры J приравняем нулю частные производные от J по этим коэффициентам:

J А 1 ^J /1-34

= 0, r=1,...,n, -= 0, q=1,...,m.

dar dbq

В выражениях (6) параметры , ßi, Yt, Si зависят только от четных или нечетных коэффициентов модели. Поэтому отличные от нуля частные производные, которые потребуются для (13), можно записать в виде

i=\

i=1

= (-1)С, 4=0, 1,..., да/2, = (-1)?+С2?-1, 4=1, 2,..., да/2+1,

= (-1), г=0, 1,..., и/2, _А = (-1), г=1, 2,_, „/2+1.

да2Г да2Г-!

Уравнения (13) с учетом (14) принимают вид

д! П ехР

— = 2(-1)? ^ (-РГ.+ ОА+М = 0, 4=0, 1,..., т/2,

дК 1=1

д! иехР

— = 2(-1)^+1 £(-РА + 6,7 + Д)С -1 = 0, 4=1, 2,., т/2+1,

д - пехР

— = 2(-1)" £ [(р2 + 0)7-Р,а,-ОД ]щ2г = 0, г=0, 1,., и/2,

да2Г г=1

д т пехР

--= 2(-1) "+1 £ [(Р2 + е2)А + Ом- РД К"-1 = о, г=1, 2,., и/2+1

а2г-1 ¿=1

или

п ехр

£ (-Р7+ ОА+М )С = 0, 4=0, 1,., т/2,

7=1

п ехр

£(-РА + 07 + Д )С -1 = 0, 4=1, 2,., т/2+1,

п ехр

£[( Р2 + 02)7-Рм- ОД С = 0, г=0, 1,., и/2,

7=1 п ехр

£[(Р2 + ОА + Ом, -РДУ-1 = 0, г=1, 2,., и/2+1.

7=1

Система уравнений (15) является линейной относительно параметров а, Ь , модели (4). Вычисленные из (15) параметры аг, Ь являются коэффициентами частотной передаточной функции модели устройства. Они минимизируют выбранную меру J (12) близости годографов и, таким образом, идентифицируют испытуемое устройство, т.е. могут быть использованы в качестве приближенных оценок коэффициентов частотной передаточной функции самого реального устройства.

Описание предложенного алгоритма идентификации устройства с неизвестными коэффициентами передаточной функции проиллюстрируем на примере устройства пятого порядка, как наиболее сложного из представленных в статье.

Проведя эксперимент для иехр значений частот щ, с2,..., со , получим псевдо экспериментальные значения Р1,..., Риж ,О,..., Оиех для устройства пятого порядка. С учетом

¿=1

(8) - (10) частотную передаточную функцию модели устройства пятого порядка зададим соотношением

1 а + /Д

Щ (с) =

ао + а1./ю + а2(/ю) + а3(;Ъ) + а4(;Ъ) + а5(;Ъ) у + /5

2 , „ „4 с. _ „ „ _ „3 , „ „5

где а = 1, Д = 0, у = а0 - а2со + а4со , А = а1 со- аъсо + а5со .

Для рассматриваемого устройства пятого порядка система уравнений (15) принимает

вид

п ехр п ехр п ехр п ехр

ао Е(Р2 + в?) - а2 Е(Р2 + Я,2)с2 + а4 2(Р2 + =2Р ,

,=1 ,=1 ,=1 ,=1

п ехр п ехр п ехр п ехр

ао 2Р+а V - а2 2Р+а 2с4+а4 2 (Р2+а2)сб =2 Рс2,

,=1 ,=1 ,=1 ,=1 п ехр п ехр п ехр п ехр

а 2(Р2+а V - а2 2(Р2 + 0,2)сб+а4 2(Р2+всс =2 Рс4.

л0 2К ' ' , 2 2У , ^^г ^ "4,

,=1 ,=1 ,=1 ,=1

а0§2 - а2§4 + а4§б = 2Рс

1=1

п ехр

2

+а 2

а0§2 - а2§4 + а4§б = 2

=1

п ехр

а1§2 - а3§4 + а5§б = -2°с : 1=1

п ехр

3

а1§4 - а3§б + а5§8 = -20с

,=1

п ехр

+ а5§10 =-20с5 ' ,=1

п ехр п ехр п ехр п ехр

а12(р2+а V - а3 2(р2+а 2с4+а5 2(р2+ас =- 2ас, ,=1 ,=1 ,=1 ,=1 п ехр п ехр п ехр п ехр

а 2(р2+а v - а3 2(р2+а 2с6+а5 2 (р2+ас8 =- 2ас,

,=1 ,=1 ,=1 ,=1

п ехр п ехр п ехр п ехр

а 2(р2+а2)сб - а3 2(р2+а 2с8+а5 2(р2+а2)с10=- 2ас . ,=1 ,=1 ,=1 ,=1

Введя обозначение

п ехр

= 2

=1

вместо (16) получим

п ехр

а0 §0 - а2 §2 + а4 §4 = 2Р , ,=1

п ехр

2

где

О =

и

и = Е Р

п ехр

1=-Е а*,

Оа = и ,

§0 - §2 §4 0 0 0 "

§ 2 §6 0 0 0

§4 - §6 0 0 0

0 0 0 §2 - §4 §6

0 0 0 §4 - §6 §8

0 0 0 §6 - §8 §10 _

а0 и0

а2 и2

- а4 - и4

а = и =

а1 Щ

а3 щ

а5 _ щ

с учетом (18) имеют значения

п ехр п ехр

и2 = Е , и4 = Е Р^4

г- =1 ,=1

п ехр п ехр

и.

и«

=-Е о <5

,=1 г=1 г=1

Решая с учетом (20) матричное уравнение (19), получим выражения для коэффициентов а0, а2, а4,а1а3,а5 в виде формул Крамера

Ап

А

А

А

024

А

024

А

024

А

А

А

А

135

А

135

А

135

где

Ао =

§0 - §2 §4 §2 - §4 §6

А024 = §2 - §4 §6 А135 = §4 - §6 §8

§4 - §6 §8 §6 - §8 §10

и0 §2 §4 §0 и0 §4 §0 - §2 и0

и2 - §4 §6 А = §2 и2 §6 А4 = §2 - §4 и2

и4 - §6 §8 §4 и4 §8 §4 - §6 и4

п ехр

,=1

а1 =

а =

а5 =

и1 - §4 &6 §2 и1 §6 §2 - §4 и1

А = и3 - §6 §8 А = §4 и3 §8 А = §4 - §6 из

и5 - §8 §10 §6 и5 §10 §6 - §8 и5

Аналогичные выражения можно получить для моделей устройств второго, третьего и четвертого порядков.

Воспользуемся полученными соотношениями и проведем идентификацию устройства пятого порядка для случая псевдо экспериментальных точек годографа, заменив их теоретически полученными точками, что эквивалентно отсутствию помех в реальном устройстве. В этом случае для задания набора псевдо экспериментальных данных Pi, воспользуемся частотной передаточной функцией с известными коэффициентами е0 = 1; е1 = 1,5; е2 = 1; е3 = 0,5; е4 = 0,1; е5 = 0,01; с0 = 1

Частотная передаточная функция модели имеет вид ^ (» = 1

а50 + а5± ]ю + а52

Для вычисленных точек псевдо экспериментального годографа проведем процесс идентификации по соотношениям (16)-(23).

В результате идентификации были получены оценки коэффициентов идентифицируемого псевдо экспериментального годографа:

а0 = 1;а1 = 1,5;а2 = 1; а3 = 0,5; а4 = 0,1;а5 = 0,01

Видим, что они точно совпадают с заданными коэффициентами выбранного для идентификации устройства пятого порядка. Это позволяет утверждать, что метод идентификации коэффициентов при известном виде передаточной функции работает.

Рассмотрим вопрос о возможности определения порядка уравнений, описывающих устройство, подлежащее идентификации. Для этого в соотношения для идентификации устройств пятого порядка, введем поочередно псевдо экспериментальные точки годографов устройств второго, третьего, четвертого порядков с коэффициентами:

е0 = 1; е1 = 1,5; е2 = 1

е0 = 1; е1 = 1,5;е2 = 1;е3 = 0,5;е4 = 0,1 (четвертый порядок).

В результате идентификации были получены соответственно следующие результаты:

а0 = 1;ах = 1,5; а2 = 1;а3 = 0; а4 = 0; а5 = 0 (второй порядок), а0 = 1; ах = 1,5; а2 = 1;а3 = 0,5; а4 = 0; а5 = 0 (третий порядок), а = 1; а = 1,5; а=1; а = 0,5; а4 = 0,1; а = 0 (четвертый порядок).

Таким образом, программа идентификации устройства пятого порядка идентифицирует коэффициенты систем более низких порядков, выдавая нулевыми коэффициенты высших степеней, а именно, для системы второго порядка три нулевых коэффициента, для третьего и четвёртого порядков соответственно два и один нулевые коэффициента. Этот

факт может быть использован в качестве ответа на вопрос о порядке дифференциального уравнения, описывающего идентифицируемое устройство.

Возникает вопрос: сохранится ли способность идентификации предложенным методом коэффициентов и порядков передаточных функций реальных динамических устройств при их экспериментальной отработке.

Для проверки этой способности при генерации отсчетов псевдо экспериментальных частотных характеристик введём случайные помехи, в результате которых точки годографа смещаются случайным образом. Другими словами, в экспериментальных данных Р, 0 учитываются погрешности измерений.

Погрешности измерений еггр, еггО значений Р, моделировались с помощью датчика случайных чисел с равномерным законом плотности распределения вероятностей в некотором диапазоне, например, в диапазоне [-0,05; 0,05].

Последовательность проведения вычислительного эксперимента полностью повторяет последовательность проведения эксперимента в системах при отсутствии погрешностей измерения. Диапазон погрешностей псевдо экспериментальных данных Р, , как указывалось выше, задавался в пределах [-0,05; 0,05]. В соотношения для идентификации систем пятого порядка вводились поочередно, искаженные погрешностями псевдо экспериментальные точки годографов второго, третьего, четвертого порядков с коэффициентами (24).

В результате идентификации были получены средние значения коэффициентов передаточных функций. В частности, для числа отсчетов пехр=20 в псевдо экспериментальном годографе устройства и числа серий экспериментов тет1у=25 получены следующие средние значения коэффициентов передаточных функций.

Для модели второго порядка:

а0 = 0,9991; а1 = 1,5113;а2 = 1,0104;а3, = 0,0036; а4 = 0,0066; а5 = 0,0068

Для модели третьего порядка:

а0 = 0,9998; а1 = 1,4941; а2 = 1,0052;а3, = 0,4924; а4 = 0,0037; а5 = -0,0017

Для модели четвертого порядка:

а0 = 1,0007;а1 = 1,5068;а2 = 1,0037;а3, = 0,5059; а4 = 0,1016; а5 = 0,0012

Видим, что метод идентификации порядка дифференциального уравнения, описывающего устройство, работает, выдавая практически нулевыми коэффициенты, отсутствующие в дифференциальных уравнениях, высших степеней.

Следует заметить, что при использовании метода наименьших квадратов для вычисления коэффициентов передаточной функции, фактически, речь идёт о вычислении их средних значений при наличии серии экспериментов. Известно, что точность оценки среднего обратно пропорциональна корню квадратному из числа экспериментов, поэтому серии экспериментов должны быть значительными.

Статистический анализ ошибок идентификации коэффициентов передаточных функций показал, что в 95% доверительный интервал попадают ошибки, меньшие уровня входного шума.

Таким образом, все приведенные примеры подтверждают, что, действительно, при использовании изложенного в данной статье алгоритма идентификации устройств неизвестного порядка 95% доверительные интервалы оценок неизвестных коэффициентов частотных передаточных функций устройств второго, третьего, четвертого порядков не превышают соответствующего диапазона погрешности измерений экспериментальных отсчетов годографов этих устройств.

При практической реализации результатов, полученных в статье необходимо действовать следующим образом: на стенде для снятия амплитудно-частотных характеристик получить амплитуды и фазы выходного сигнала устройства, а значит вещественные и мнимые значения отсчетов псевдо экспериментального годографа (3). Затем подставить эти значения в соотношения (21) - (23) и получить оценку значений коэффициентов передаточной функции реальной динамической системы, стоящего на испытательном стенде. Если порядок дифференциального уравнения динамического звена меньше пяти, то программа выдаст только значимые коэффициенты.

Заключение

В данной статье предложен алгоритм идентификации линейной динамической системы неизвестного порядка по экспериментально полученным отсчетам частотного годографа системы.

Иллюстративный вычислительный эксперимент показал, что при использовании предложенного алгоритма идентификации линейной динамической системы неизвестного порядка по частотному годографу погрешность определения значений коэффициентов частотной передаточной функции системы сравнима с диапазоном погрешности измерений экспериментальных отсчетов годографа.

Список литературы

1. Райбман Н.С. Что такое идентификация? М.: Наука, 1970. 119 с.

2. Райбман Н.С., Чадеев В.М. Построение моделей процессов производства. М.: Энергия, 1975. 375 с.

3. Цыпкин ЯЗ. Информационная теория идентификации. М.: Физматлит, 1995. 336 с.

4. Иванов А.Н., Кузнецов П.М. Идентификация динамических систем на основе нелинейного матричного преобразования Ли // Вестник Уфимского гос. авиационного техн. ун-та. 2014. Т. 18. № 2 (63). С. 237-242.

5. Бойков И.В., Кривулин Н.П. Методы идентификации динамических систем // Программные системы: теория и приложения. 2014. Т. 5. № 5-2(23). С. 79-96.

6. Цибизова Т.Ю. Идентификация нелинейных систем автоматического управления при помощи фильтров Вольтерра // Фундаментальные исследования. 2015. № 2. Ч. 14. С. 3070-3074.

7. Авдеенко Т.В. Идентификация линейных динамических систем с использованием концепции сепараторов параметрического пространства // Автоматика и программная инженерия. 2013. № 1(3). С. 16-23.

8. Гарькина И.А., Данилов А.М., Тюкалов Д.Е. Сложные системы: идентификация динамических характеристик, возмущений и помех // Современные проблемы науки и образования. 2015. № 1. Ч. 1. С. 88. Режим доступа: https://www.science-education.ru/ru/article/view?id=17756 (дата обращения: 17.05.2017).

9. Методы идентификации динамических параметров и оценки колебаний космических аппаратов с нежесткими элементами конструкции / Д.С.Иванов [и др.]. М.: Изд-во Инта прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2015. 32 с.

10. Isermann R., Münchhof M. Identification of dynamic systems: An introduction with applications. B.: Springer, 2011. 705 p.

11. Chandrika Prakash Vyasarayani, Uchida T., Carvalho A., McPhee J. Parameter identification in dynamic systems using the homotopy optimization approach // Identification for automotive systems. L.: Springer, 2012. Pp. 129-144. DOI: 10.1007/978-1-4471-22221-0 8

12. Qiang Xu, Dengwu Ma. Applications of Lie groups and Lie algebra to computer vision: A brief survey // Intern. Conf. on Systems and Informatics: ICSAI 2012 (Yantai, Shandong, China, May 19-20, 2012): Proc. N.Y.: IEEE, 2012. Pp. 2024-2029.

DOI: 10.1109/ICSAI.2012.6223449

13. Боевкин В.И., Недашковский В.М., Павлов Ю.Н. Идентификация линейных динамических звеньев по частотному годографу // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 9. С. 349-360. DOI: 10.7463/0913.0618917

Science ¿Education

of the Baumail MSTU

Science and Education of the Bauman MSTU, 2017, no. 05, pp. 89-104.

DOI: 10.7463/0517.0001249

Received: 09.04.2017

Revised: 23.04.2017

© Bauman Moscow State Technical Unversity

elizartiffbmstuju

Dynamic System Transfer Function Identification Based on the Experimental Results

Yu.N. Pavlov1, V.M. Nedashkovskiy1, E.A. Tikhomirova1*, A.E. Shirshakov2

1Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia 2Scientific and Production Association n.a. S.A. Lavochkin,

Khimki, Russia

Keywords: identification, linear dynamical systems, frequency hodograph

The paper deals with identifying linear dynamical systems from the experimental data obtained through applying the test signals to the system. The paper objective is to determine both the form and the coefficients of the transfer function retrieved from the hodograph samples experimentally at bench test. The order of the frequency transfer function of the system being identified was assumed to be unknown. It was expected that in obtaining the frequency characteristics of a real system there would be noise during the experiment as a result of which the points of the experimentally obtained hodograph would be randomly shifted. As a model, a certain transfer function of the system was adopted. The authors proposed to find a solution of the identification problem in the class of hodographs specified by the model of the system. The search for unknown coefficients of the transfer function of the system model is carried out by minimizing a proximity criterion (measure) - described and published earlier by one of the authors - between the experimentally received system hodograph and the system model on an entire set of the experimental points of the system hodograph and the hodograph of the system model. The solution of linear dynamic system identification from the frequency hodograph was reduced to solving a system of equations of the system model frequency transfer function that is linear with respect to unknown parameters.

The proposed identification algorithm allows us to determine the order of the frequency transfer function of the identified system from the experimentally obtained samples of the frequency hodograph of the system. For dynamic systems of the fifth order at most there is software developed to simulate the process providing the pseudo-experimental data with random errors and determining the parameters of such systems.

A computational experiment has been carried out to evaluate the error with which the proposed algorithm determines the parameter values of the system to be identified. The illustrative computational experiment has shown that using the proposed algorithm for identifying a linear dynamic system from the frequency hodograph the error in determining the coefficient values of

the frequency transfer function of the system is comparable with a range of measuring error in the experimental samples of the hodograph of this system. In known sources on identification of linear dynamic systems there is no method of identification this publication describes. This identification method of linear dynamic systems can find application in experimental testing, verification tests in situ and iron bird tests for vehicles of various purposes.

References

1. Rajbman N.S. Chto takoe identifikatsiia? [What does authentication mean?] Moscow: Nauka Publ., 1970. 119 p. (in Russian).

2. Rajbman N.S., Chadeev V.M. Postroenie modelej protsessa proizvodstva [Building models of production processes]. Moscow: Energiia Publ., 1975. 375 p. (in Russian).

3. Tsypkin Ia.Z. Informatsionnaia teoriia identifikatsii [Information theory of identification]. Moscow: Fizmatlit Publ., 1995. 336 p. (in Russian).

4. Ivanov A.N., Kuznetsov P.M. Dynamical systems identification based on nonlinear matrix Lie presentation. Vestnik Ufimskogo gosudarstvennogo aviatsionnogo tekhnicheskogo universiteta [Bulletin of the Ufa State Aviation Technical Univ.], 2014, vol. 18, no. 2(63), pp. 237-242 (in Russian).

5. Bojkov I.V., Krivulin N.P. The methods for identification of dynamical systems. Programmnye sistemy: teoriia i prilozheniia [Program systems: Theory and Applications], 2014, vol. 5, no. 5-2(23), pp. 79-96 (in Russian).

6. Tsibizova T.Yu. Identification of nonlinear automatic control systems via Volterra filters. Fundamental'nye issledovaniia [Fundamental Research], 2015, no. 2, pt. 14, pp. 3070-3074 (in Russian).

7. Avdeenko T.V. Identification of linear dynamic systems using the concept of parameter space separators. Avtomatika i programmnaia inzheneriia [Automatics & Software Enginery], 2013, no. 1(3), pp. 16-23 (in Russian).

8. Gar'kina I.A., Danilov A.M., Tyukalov D.E. Complex systems: identification of dynamic characteristics, of disturbances and interference. Sovremennye problemy nauki i obrazovaniia [Modern Problems of Science and Education], 2015, no. 1, pt. 1, p. 88. Available at: https://www.science-education.ru/ru/article/view?id=17756, accessed 17.05.2017 (in Russian).

9. Metody identifikatsii dinamicheskikh parametrov i otsenki kolebanij kosmicheskikh apparatov s nezhestkimi elementami konstruktsii [Methods of identification of dynamic parameters and estimates of oscillations of the spacecraft, with soft design elements] / D.S. Ivanov [a.o.]. Moscow: Keldysh Institute of Applied Mathematics of RAS Publ., 2015. 32 p. (in Russian).

10. Isermann R., Münchhof M. Identification of dynamic systems: An introduction with applications. B.: Springer, 2011. 705 p.

11. Chandrika Prakash Vyasarayani, Uchida T., Carvalho A., McPhee J. Parameter identification in dynamic systems using the homotopy optimization approach. Identification for automotive systems. L.: Springer, 2012. Pp. 129-144. DOI: 10.1007/978-1-4471-22221-0 8

12. Qiang Xu, Dengwu Ma. Applications of Lie groups and Lie algebra to computer vision: A brief survey. Intern. Conf. on Systems and Informatics: ICSAI2012 (Yantai, Shandong, China, May 19-20, 2012): Proc. N.Y.: IEEE, 2012. Pp. 2024-2029.

DOI: 10.1109/ICSAI.2012.6223449

13. Boevkin V.I., Nedashkovskij V.M., Pavlov Yu.N. Identification of linear dynamic elements using a frequency locus. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana [Science and Education of the Bauman MSTU], 2013, no. 9, pp. 349-359.DOI: 10.7463/0913.0618917