Применение модели анизотропной неоднородной оболочки для решения нелинейных задач

Подача чернил производится с помощью соединения трубками иголок и бачка. Для обеспечения требуемой скорости потока используется насос, который обеспечивает скорость 1 см/с через сечение 220 мм2 [4].

Суть эксперимента заключается в том, что в ячейку Хеле-Шоу поочередно помещаются различные крыловые профили либо другие геометрические объекты, после чего вес фотофиксируется для визуализации процесса обтекания.

Визуализация процесса производится при помощи разноцветной краски или чернил [5] для видимости реальной картины обтекания около геометрических объектов.

Библиографические ссылки

1. Логвинов О. А. Об устойчивости боковой поверхности вязких пальцев, образующихся при вытеснении жидкости из ячейки Хеле-Шоу // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 2. 40-46.

2. Ивашнев О. Е., Логвинов О. А. Вытеснение вязких жидкостей из ячейки Хеле-Шоу // Ломоносовские чтения : тез. докл. науч. конф. М., 2009. С. 81.

3. Журавлев П. А. К вопросу о движении жидкости в каналах // Зап. ЛГИ. Диссертации по физике, математике и химии. 1956. 33, № 3. С. 54-61.

УДК 539.3

ПРИМЕНЕНИЕ МОДЕЛИ АНИЗОТРОПНОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ОБОЛОЧКИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: rashidsab@mail.ru

Рассматривается задача расчета нелинейно-упругих тонких оболочек с позиции подхода, заключающегося в использовании на шаге линеаризации нелинейных уравнений модели линейной неоднородной анизотропной оболочки переменной толщины. Цель - разработка метода расчета физически нелинейных тонких оболочек.

Ключевые слова: нелинейность физическая, анизотропия, линеаризация, вариационно-разностный метод.

APPLYING THE MODEL OF ANISOTROPIC HETEROGENEOUS SHELLS FOR THE SOLUTION OF NONLINEAR PROBLEMS

R. A. Sabirov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: rashidsab@mail.ru

The task is to calculate nonlinear elastic thin shells based on approach to use nonlinear equations models of linear nonhomogeneous anisotropic shells of variable thickness at the linearising stage. Objective is to develop a method of calculation of physically nonlinear thin shells.

Keywords: physical nonlinearity, anisotropy, linearization of the variational-difference method.

Элементы тонких оболочек и пластин, используе- К примеру, возникают упруго-пластические деформа-мые в военно-морских и космических структурах, ции, ползучесть материала, его повреждаемость при подвергаются значительным силовым воздействиям. повторных загружениях, коррозия. Материал при

4. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М. : Наука, 1979, 536 с.

5. Седов Л. И. Механика сплошной среды. М. : Наука, 1970. Т. 2.

References

1. Logvinov O. A. About stability of a side surface of the viscous fingers which are formed at replacement of liquid of a cell Hele-Shaw // Vestn. Mosk. un-ta. It is gray. 1, Matem. Mekhan. 2011, no. 2, рр. 40-46.

2. Ivashnev O. E., Logvinov O. A. Replacement of viscous liquids from a cell Helie-Shou // Tez. dokl. nauch. konf. "Lomonosov readings". Section. Mekhan. Moscow. 2009, рр. 81.

3. Zhuravlev P. A. To a question of the movement of liquid in channels // Zap. LIE. 1956. 33, no. 3, рр. 54-61. Theses on physics, mathematics and chemistry.

4. Gurevich M. I. Theory of streams of ideal liquid, Science. M., 1979. 536 p.

5. Sedov L. I. Mekhanik's sets of the continuous environment. Vol. 2. M. : Science, 1970.

© Николаева E. А., Киунов Я. С., 2015

Решетнеескцие чтения. 2015

этом проявляет нелинейность, причем, даже изначально изотропный материал становится анизотропным и неоднородным. Физические или определяющие уравнения таких задач на шаге линеаризации разрешающих нелинейных уравнений удобно представлять в виде модели неоднородной анизотропной оболочки переменной толщины и кривизны. Такое обобщение позволяет рассматривать различные нелинейные модели оболочек с единых позиций.

Рассмотрим класс нелинейно-упругих задач, в котором связь между напряжениями ст и деформациями е запишем в виде

ст = у

или предположим существование упругого потенциала напряжений, т. е. существование функции тензора напряжений П(е) такой, что

ст = дП

Разрешающие нелинейные уравнения краевой задачи

^

линеаризуем методом приращений по нагрузке в сочетании на каждом шаге с итерационым методом Ньютона--Канторовича или его модификациями [1]. Через ^ в (3) обозначен нелинейный оператор, являющийся функцией неизвестного поля перемещений и и параметра нагрузки д . Расчет заключается в решении на каждом шаге приращения по нагрузке уравнения вида

/ (ит-\ д) + / '(ит-1, д) Ди = 0

т-1

/ (и, д) = -

1 5Эл

2 дик ди1

81ик 82и/

где 81ик = 1 при к = г и 81ик = 0 при к Фг; 82и1 = 1 при I = ' и 82и1 = 0 при I Ф ' . Или

1 2

/ (и, д) = —8 ЭЛ (e, 82е) = 2

1 с д8П(е)8 1, д2 П(е) 8 8

= — I-8егм¥ = — I-81 ера 82 егм¥ =

? J де ™ ? J де де 1 рд 2

2 V де™

2 V дердде™

1 гдст

= 21

рд

Здесь еп = е1 + 2К1 , е22 =е2 + 2к2 , е12 = У + -деформации оболочки как трехмерного тела - вычисляются через деформации ее базисной плоскости [4-6].

В (7) физические соотношения

линейного относительно вектора приращений перемещений Ди с вычислением ит = ит-1 +Ди на каждой итерации (т = 1,2,...). Здесь / - дискретный

оператор уравнения (3); ит - вектор неизвестных перемещений координат дискретной задачи; /' -матрица производных по координатам.

Вычислить оператор /(и, д) для (4) можно используя первую вариацию функционала

ЭЛ = ЭЛ (и^ и2,..., ип ) [2; 3]:

/

где 8ик = 1 при к = г; 8ик = 0 при к Ф г .

Коэффициенты матрицы /(и,д) в (4) можно вычислять, применив вторую вариацию функционала

дстрд д2 П(е) -— или -

де„ дерд дегз

соответствуют формам (1) и (2) и имеют вид полностью заполненной матрицы коэффициентов соотношений упругости и представляют модель анизотропной оболочки. Если коэффициенты являются функциями координат, тогда модель становится неоднородной анизотропной.

В модели деформационной теории пластичности [7; 8] формы физических уравнений (1) и (2) равно -правны; линеаризация может выполняться методом Ньютона, методом переменных параметров упругости или методом дополнительных нагрузок. На первом шаге при начальных нулевых перемещениях решается упругая задача.

Ползучесть с неизменяющейся скоростью накопления остаточных деформаций называют установившейся ползучестью [9]. Сопоставление уравнений установившейся ползучести с уравнениями деформационной теориеи пластичности показывает их сходство. Формально уравнения установившейся ползучести можно получить из уравнений деформационной теории пластичности, заменив в последних компоненты деформации пластичности компонентами скорости деформации ползучести. Поэтому уравнения деформационной теории пластичности можно применить для решения задач установившейся ползучести.

Композитную оболочку с образованием в процессе деформирования трещин в условиях плоского напряженного состояния можно представить как анизотропную конструкцию [10]. Задачу о развитии трещин также можно обобщить моделью линейно неоднородных анизотропных оболочек. Однако здесь нельзя применить метод Ньютона, так как функция ст = у(е) разрывная. В качестве шагового

процесса можно использовать метод приращений по нагрузке в сочетании с методом переменных параметров упругости.

2 V де п

Библиографические ссылки

1. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и

(6) метод конечных элементов. М. : Стройиздат, 1982. 448 с.

2. Ланцош К. Вариационные принципы механики : пер. с англ. М. : Мир, 1965. 408 с.

3. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.

4. Власов В. З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М.-Л. : Гостехиздат, 1949. 783 с.

5. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М. : Физматгиз, 1959. 400 с.

6. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем.

(7) М. : Физматгиз, 1963. 880 с.

7. Ильюшин А. А. Пластичность. М. : Гостехиз-дат, 1948.

8. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М. : Наука, 1969.

9. Биргер И. А., Шорр В. Ф. Термопрочность деталей машин. М. : Машиностроение, 1975.

10. Сендецки Дж. Механика композиционных материалов. М. : Мир, 1978.

References

1. Bate K., Vilson E. Chislennye metody analiza i metod konechnyh jelementov [Numerical methods of analysis and finite element method]. Moscow : Strojizdat, 1982. 448 p.

2. Lancosh K. Variacionnye principy mehaniki [Variation principles of mechanics]. Moscow, Mir Publ., 1965. 408 p.

3. Vasidzu K. Variacionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variation methods in the elasticity and plasticity theory]. Moscow, Mir Publ., 1987. 542 p.

4. Vlasov V. Z. Obshhaja teorija obolochek i ejo prilozhenija v tehnike [General theory of shells and its applications in engineering]. Gostehizdat, Leningrad-Moscow, 1949. 783 p.

5. Van Czi-de. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Moscow : Fizmatgiz, 1959. 400 p.

6. Vol'mir A. S. Ustojchivost' uprugih sistem [Stability of elastic systems]. Moscow : Fizmatgiz, 1963. 880 p.

7. Il'jushin A. A. Plastichnost' [Plasticity]. Moscow : Gostehizdat, 1948.

8. Kachanov L. M. Osnovy teorii plastichnosti [fundamentals of theory of plasticity]. Moscow : Nauka, 1969.

9. Birger I. A., Shorr V. F. Termoprochnost' detalej mashin [thermal resistance of the machine parts]. Moscow : Mashinostroenie, 1975.

10. Sendecki Dzh. Mehanika kompozicionnyh materialov [Mechanics of composite materials]. Moscow : Mir, 1978.

© Сабиров Р. А., 2015

УДК 539.3

КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПЛАСТИН ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫМ МЕТОДОМ

СИЛАМИ ИНЕРЦИИ

Р. А. Сабиров

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: rashidsab@mail.ru

Рассмотрены вопросы, определяющие равновесные состояния деформируемых систем; на их основе разработан вариационно-разностный метод решения краевой задачи с использованием вариаций функционала Ла-гранжа. Задача приводится к обобщенной проблеме собственных чисел, в которой параметр ускорения как параметр нагрузки является единственной неизвестной характеристикой. Цель - разработать метод расчета пластин на инерционные нагрузки.

Ключевые слова: расчет пластин, устойчивость, вариационно-разностный метод.

THE STABILITY CRITERION AND ITS APPLICATION TO BOUNDARY VALUE PROBLEM OF PLATEDEFORMATION OF THE VARIATIONAL-DIFFERENCE METHOD

WITH THE INERTIA FORCES

R. A. Sabirov

Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: rashidsab@mail.ru

The paper considers the issues to determine the equilibrium state of deformable systems; based on them, it develops a variation-difference method to solve boundary value problem using a variation of the Lagrange functional. The task is reduced to the generalized problem of eigenvalues, in which the acceleration parameter as a parameter of the load, is the only unknown characteristic.

Purpose is to develop a method to calculate plates for inertial loadings.

Keywords: calculation of plates, stability, variation and differential method.

Элементы тонких пластин, используемые в военно-морских и аэронавигационных структурах, часто подвергаются нормальным и сдвигающим силам. Ре-

шения проблем устойчивости имеют практическое значение при конструировании ракет, высокоскоростных самолетов, подвергнутых значительным ускоре-