H2 норма передаточной функции уравнения нейтрального типа

Сер. 10. 2012. Вып. 4

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.929.2 В. А. Сумачева

Н2 НОРМА ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

1. Введение. Норма передаточной функции играет важную роль в исследовании динамических систем. Она является количественной оценкой того, насколько система усиливает или ослабляет входной сигнал.

К сферам применения нормы передаточной функции относится оптимальное управление. Так как входные сигналы часто рассматривают как внешние возмущающие воздействия, то качество управления определяется их подавлением, и в роли критерия оптимальности выступает норма передаточной функции замкнутой системы. Например, синтез Н2 оптимального управления заключается в выборе управления, при котором для замкнутой им системы достигается минимум Н2 нормы.

Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что Н2 норма передаточной функции линейной стационарной системы может быть вычислена с помощью решения вспомогательного матричного уравнения Ляпунова. В статье [1] эта теория была расширена для систем с запаздываниями. Результат аналогичен известному: Н.2 норма может быть найдена с помощью обобщения теории Ляпунова на системы с запаздываниями. Авторами [1] описана система, входной и выходной сигналы которой не имеют запаздываний. В настоящей работе изучим случай, когда эти сигналы содержат запаздывания.

2. Постановка задачи. Рассмотрим скалярное линейное стационарное уравнение с запаздываниями нейтрального типа

Сумачева Виктория Александровна — студентка V курса факультета прикладной математики— процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. В. Л. Харитонов. Количество опубликованных работ: 3. Научные направления: теория управления, системы с запаздываниями. E-mail: buktorina@mail.ru. © В. А. Сумачева, 2012

m

где do = 1,

• • • , dm; a0i • • • , am ; bo, • • •, bm; co, • • • ,Cm - вещественные коэффициенты; h > 0 - положительное запаздывание. Предположим, что x(t) + dix(t — h) + • • • + dmx(t — mh) непрерывна по t при t > 0.

Функция v(t) является входным сигналом системы, функция y(t) - выходным, x(t) -состояние системы.

Введем начальную функцию ф такую, что

x(t) = t), t £ [—mh, 0] •

Соответствующее решение будем обозначать x(t, у) •

Определение 1 [1]. Уравнение (1) называется экспоненциально устойчивым, если существуют y ^ 1 и а > 0 такие, что при v(t) = 0 решение удовлетворяет

\\x(t,y)\\ < Ye-at\W\\h , t < 0 •

Норма решения \\x(t, ф)\\ евклидова, норма начальной функции

Mh = sup

ee[-mh,0]

Определение 2 [2]. Фундаментальным решением уравнения (1) называется решение уравнения

d

dt

с начальной функцией

Y^dj k

j=o

Y,aj k

j=o

к(0) = 1, к(в)=0, в< 0 . Лемма 1. Если уравнение (1) экспоненциально устойчиво, справедлива оценка

< , г > 0 .

3. Норма передаточной функции. Одним из способов исследования систем является метод преобразования Лапласа.

Определение 3. Образом по Лапласу функции I(I) называется функция комплексной переменной, определяемая по формуле

^(в) = у I(г)в^А.

о

Для того чтобы преобразование Лапласа существовало, необходимо, чтобы функция I(£) удовлетворяла условию

БЬ,р : I(¿)| < Ьер,

т. е. имела ограниченный показатель роста.

Так как уравнение (1) экспоненциально устойчиво, это условие выполнено для фундаментального решения, состояния системы, входного и выходного сигналов, и образами к(Ь),х(1),ю(1),у(Ь) являются К(8),Х(в),У(в),У(в) соответственно.

Определение 4 [3]. Передаточной функцией системы (1), (2) называется функция комплексной переменной, являющаяся отношением преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях

Лемма 2. Передаточная функция системы (1), (2) имеет вид

(т т \

еке-

3=0 к=0 )

Доказательство. Применим преобразование Лапласа к системе (1), (2):

т т т

^8е-3^Х(8) = £ азе-3^Х(в) + ^ 3е-3^У(8), 3=0 3=0 3=0

т

У

3=0

и выразим

п-) = з ^ 3 ад

ЕГ=0 ^ е3

У (в)^ С3 е-3Н°Х (в).

3=0

Отсюда находим передаточную функцию

Н (8) =

Проделав то же с уравнением

т т

^38е-3Н°К(8)=^ а3е-3к°К(8),

3=0 3=0

установим, что знаменатель передаточной функции (4) представляет собой образ Лапласа фундаментального решения

К

8е кН8 а'3

3=0 3=0

а3 е и

откуда и получаем искомое представление.

Определение 5 [3]. Импульсной характеристикой системы (1), (2) Н(1) называется прообраз Лапласа ее передаточной функции.

1

Лемма 3. Импульсная характеристика системы (1), (2) имеет вид

т т

Ъ3 с

3 сь к

3=0 к=0

Доказательство непосредственно вытекает из леммы 2. Определение 6 [3]. Н.2 нормой передаточной функции экспоненциально устойчивой системы (1), (2) называется

сю

/

-с

Определение 7 [3]. Матрицей Ляпунова и(т) будем называть

сс

и

0

Теорема 1. Н2 норма передаточной функции экспоненциально устойчивой системы (1), (2) может быть вычислена по формуле

т

\\Н\\1 = ^ ЪзЪкС1сги

3,к,1,г=0

Доказательство. По теореме Парсеваля во временной области интеграл

сс

\\н= 1

0

Согласно лемме 3, импульсная характеристика системы имеет вид (5), тогда норма

с т

\\н\\2 = Ъ3 Ък С сг к (г - (и + ¡)Н)к(Ь - (к + т)Н)3,Ь.

" А Ъ. 1--П

Используя функцию Ляпунова (8), получим искомую формулу (7).

Например, для одного запаздывания, т =1, формулу (7) можно записать следующим образом:

\\н= и(0)[с2ъ2 + (соЬ + с\Ъо)2 + с\Ъ\] + + 2и(Н)[соЪо(соЪ 1 + с\Ъо) + (соЪ 1 + с\Ъо)с\Ъ 1 ] + 2и(2Н)сос\ЪоЪ

Таким образом, расчет нормы передаточной функции сводится к нахождению функции Ляпунова.

4. Функция Ляпунова. Определение 8 неконструктивно, так как вычисление матриц Ляпунова по нему затруднено из-за несобственного интеграла и применимо только для экспоненциально устойчивых уравнений. Но функцию Ляпунова можно определить по-другому.

Определение 8 [4]. Функцией Ляпунова будем называть функцию, удовлетворяющую следующим трем свойствам:

динамическое свойство

л

¿т

и

3=о

и(г - ин), т > 0;

з=о

свойство симметрии алгебраическое свойство

и(—т) = и(т), т ^ 0;

У — к\К) = --.

3 = 1 к= 1

Нетрудно доказать, что в случае экспоненциальной устойчивости определения 7 и 8 равносильны [4].

Используем новое определение для поиска функции Ляпунова. На промежутке [0, Н] введем вектор

г(т) = (и(т + (т - 1)Н), ..., и(т), ..., и(т - тН))т.

Лемма 4 [4]. Вектор г(т) удовлетворяет следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

г' = В-1 Лг,

где матрицы В и Л имеют вид

( 1 ''' ¿т—1 ¿т

В

0

0

1

¿1

¿1 1

¿т. ¿т. — 1

0

т 0

/ ао

Л =

10

ат 1 ат

ао -а1

а1 -ао

ат ат—1

0

-ао)

Матрица В суть матрица результанта полиномов д(г) и гтд(г-1). Они не имеют общих корней, так как в случае экспоненциальной устойчивости исходного уравнения полином ц(г) устойчив по Шуру. Следовательно, матрица В неособая.

Решение системы (9) находится как решение стационарной линейной системы по формуле Коши

г(т) = в°-1Ат г(0).

Для его определения необходимо найти начальный вектор г(0).

Лемма 5 [4]. Начальный вектор г(0) удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений

(М + Мвв-1Ак)г(0) = (-1, 0,..., 0)т.

0

а

т

й

0

а

т

Матрицы М и N имеют вид

М =

/0

1

0 0

0

0 Р0 0 0

0 0

Рт - 1 Рт 0 0

0

Р т Р т - 1 01

N =

0

Р0 0

-1 0

0 0

0

1

0 0

0 0

0 0

-1

где

Р3

1,к=0 \Ь-к\=3

Теорема 2. Вектор г(т) на промежутке [0, Н] может быть найден с помощью

г(т) = еи Ат (М + Neu лп )-1(-1, 0,...,0)т .

Зная г(т) на [0, Н], можно определить и(т) при т € [-тН, тН], откуда для формулы нормы получаем и(0),..., и(тН).

Чтобы найти значения и(т) для т > тН, следует воспользоваться стандартной процедурой интегрирования уравнения (1) по шагам.

5. Пример. Рассмотрим экспоненциально устойчивое уравнение

(I

[х(г) - х(г - 1) + 0.5х(г - 2)] = -3х(г) + 2х(г-1)-2х(г-2)+ю(г) + 2ю(г- 1) + з«(г-2),

у (г) = x(t) + 2х(г - 1). Норма передаточной функции, согласно формуле (5), будет иметь вид

цсц2 = и(0)[с2б0 + М1 + С160)2 + (С061 + С161)2 + с2&2] + + 2и(1)[С0&0(С0&1 + С160) + (С061 + С160ХС0 62 + С161) + (С062 + ^61)^62] + + 2и(2)[С0б0(С0&2 + С161) + (С061 + ^60)^62] + 2и(3)С0б0С1б2 = = 102и(0) + 148и(1) + 62и(2) + 12и(3).

Вектор г

Б =

N--

1 -1 0.5 0 - 3 2 -2 0

0 1 -1 0.5 л _ 0 -3 2 -2

0.5 -1 1 0 А = 2 -2 3 0

0 0.5 -1 Ч \ 0 2 -2 3 У

-6 8 -3.5 0 \ 0 -3.5 8 -6\

0 -1 0 0 Л/Г - 1 0 0 0

0 0 -1 0 , М - 0 1 0 0

0 0 0 -1 0 0 1 0

тогда сама система будет такой:

/- -53.7328 109.3965 -130.9228 59.1459 (п(1)\ -1

11.9770 -15.0877 16.6973 0.1543 u(0) 0

-0.1543 12.3296 -15.6167 17.0499 u(1) = 0

V -17.0499 38.8170 -46.1273 23.3546 \u(2)J 0

Решением является г(0) = (0.2756,0.5225,0.2756, -0.1229)т. Таким образом, и(0) = 0.5225, и(1) = 0.2756, и(2) = -0.1229. Методом интегрирования по шагам находим и(3) = -0.2928. Тогда норма передаточной функции будет

\\С\\2 = 9.1072.

6. Заключение. В данной работе приведена явная формула для вычисления Н2 нормы передаточной функции линейного стационарного уравнения с запаздываниями нейтрального типа, которая включает в себя только коэффициенты исходного уравнения и значения функции Ляпунова в нескольких точках. Предложен способ вычисления функции Ляпунова, заключающийся в решении системы уравнений, что полностью определяет выражение для нормы.

Литература

1. Jarlebring E., Vanbierviet J., Michiels W. Explicit expression for the H2 norm of time-delay system based on the delay Lyapunov equation // Proc. of the 49th IEEE Conference on Decision and Control. Atlanta, USA, 2010. P. 164-169.

2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения / пер. с англ. А. М. Зверки-на, Г. А. Каменского. М.: Мир, 1967. 548 с. (Bellman Richard, Cooke Kenneth. Differential-differebce equation).

3. Zhou К., Doyle J. C., Glover K. Robust and Optimal Control. New York, Prentice Hall: Engelwood Cliffs, 1996. 586 p.

4. Velazquez-Velazquez J. E., Kharitonov V. L. Lyapunov-Krasovskii functionals for scalar neutral type time delay equations // System & Control Letters. 2009. Vol. 58. P. 17-25.

Статья рекомендована к печати проф. В. Л. Харитоновым Статья принята к печати 21 июня 2012 г.