Моделирование волновых процессов в жидкости под действием колебаний мембраны в трубе

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

«наука. инновации. технологии», № 4, 2017

УДК 551.466 Савотченко С.Е. [Savotchenko S.E.], Горлов А.С. [Gorlov A.S.]

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВыХ ПРОЦЕССОВ В ЖИДКОСТИ ПОД

действием колебаний мембраны

В ТРУБЕ

Simulation of wave processes in liquid under the vibrations of the membrane in the tube

В статье предложена математическая модель волновых процессов в идеальной несжимаемой жидкости внутри цилиндрической трубы с колеблющейся мембраной на одном конце. Показано, что внешняя сила, приложенная к мембране, находящейся на одном конце трубы, вызывает ее поперечные вынужденные колебания, которые в свою очередь вызывают возмущение давления внутри трубы. Рассмотрен случай гармонического внешнего воздействия при фиксированных частотах. Проанализированы результаты воздействия внешних сил различных распределений, в том числе и постоянного равномерного. Приведены аналитические результаты моделирования для трубы произвольного и кругового сечений. Численное моделирование проведено для случая равномерного распределения по поверхности мембраны внешней гармонической силы. В результате установлено, что максимальная амплитуда возбуждаемых колебаний расположена вблизи основания трубы, в котором закреплена мембрана. Затухание волны, как правило, происходит достаточно быстро.

The mathematical model of wave processes in an ideal incompressible liquid inside a cylindrical tube with a vibrating membrane on one end is presented in the article. It is shown that the external force applied to the membrane which is on the one end of the tube initiates its transverse forced vibrations which also initiate pressure disturbance inside the tube. The case of a harmonic external force at fixed frequencies is considered. The results of the influence of external forces of various distributions, including uniform and constant are analyzed. The analytical results for tube with circular and undefined sections are derived. Numerical simulation was carried out for the case of uniformed distribution on the surface of membrane of external harmonic force. It was found that maximum amplitude of forced vibrations is located near the tube edge where the membrane is fixed. As a rule, damping of wave occurs very quickly.

Ключевые слова: волны в жидкости, вынужденные колебания, несжимаемая жидкость, уравнение Эйлера.

Key words: waves in liquid, forced vibrations, incompressible liquid, Euler equation.

Введение

Изучение разнообразных колебательных и волновых явлений в жидкостях проводится достаточно давно, чему посвящена многочисленная литература [1, 2].

Целью данной работы является формулировка новой модели, описывающей возбуждение волн в жидкости внутри цилиндрической трубы колебаниями мембраны, закрепленной на одном ее конце. Данная модель может быть использована для цилиндрической трубы произвольной формы сечения.

В данной работе будет показано, что математическая формулировка предлагаемой модели приведет к краевой задачи для системы уравнения Лап-

ласа с неоднородными краевыми условиями второго рода и неоднородного волнового уравнения с однородными краевыми условиями первого рода [3, 4]. К достоинству данной модели следует отнести возможность получения решения поставленной задачи в явном аналитическом виде.

Рассматриваемый в данной работе тип волн отличается от изученных в [5, 6] тем, что капиллярные силы здесь не учитываются, поэтому данный тип волн не относится к капиллярным. Физический механизм возбуждения рассматриваемых в данной работе волн обусловлен взаимодействием жидкости в трубе с колебаниями мембраны под внешним гармоническим воздействием.

Материалы и методы исследования.

Основные уравнения модели

В данной работе для исследования механизмов возбуждения волн под действием внешних сил применяются методы математического моделирования, которые базируются на традиционных методах математической физики [3, 4] и таком классическом разделе теоретической физики как гидродинамика [1, 2].

Рассмотрим постановку задачи для нахождения избыточного давления в заполненной несжимаемой жидкостью цилиндрической трубке произвольного сечения, создаваемого гармоническими колебаниями мембраны, закрывающей один конец трубки. Второй конец трубки считается закрепленным. Вынужденные колебания мембраны возникают за счет воздействия на нее внешней распределенной силы. Пусть длина цилиндра к, а мембрана занимает область Б С К2, ограниченную гладким плоским контуром С. Направим ось Ох в глубину вдоль оси цилиндра и пусть мембрана расположена на границе г = 0 в плоскости хОу. Тогда область поиска решения представляет собой множество В = {(х, у, х): (х, у) £ Б С К2, 0 < z < к} С К3 при t > 0. Будем обозначать через М точки из трехмерной области В, а через М2 точки двумерной области Б, которую занимает мембрана. Пусть на закрепленную по краям мембрану действует внешнее давление, меняющееся по гармоническому закону с заданной частотой ю. Такое воздействие можно описать выражением /(М2) где/(М2) = р(М2)/рт функцияр (М2) распределение внешнего воздействия по поверхности мембраны, рт - поверхностная плотность мембраны. Пусть и (М2, {) - форма мембраны в момент времени t > 0. Как хорошо известно [3, 4], установившиеся малые колебания мембраны описываются функцией и (М2, {), которая определяется как решение волнового уравнения:

и„ = 52А2М + /

где А2 - двумерный оператор Лапласа по координатам М2,

5 = (о/рт)1/2 - скорость поперечных колебаний мембраны, о - натяжение мембраны.

Смещение мембраны также должно удовлетворять однородному краевому условию 1-го рода, соответствующему закрепленному краю мембраны по контуру С:

и\ =0, мг е С

I с

Таким образом, смещение мембраны определяется как решение 1-й краевой задачи для неоднородного волнового уравнения. Пусть р(М ?) - избыточное давление внутри цилиндра в области М2 е В, создаваемое колебаниями мембраны, закрепленной на конце г = 0. Жидкость в цилиндре будем считать идеальной. Поэтому распределение скоростей частиц жидкости можно считать определяемой из уравнения Эйлера, в котором можно пренебречь квадратичным относительно скорости V членом в силу малости рассматриваемых колебаний [1]:

дг р

где У(М 0 -

Р-

Чр -

вектор скорости движения частиц жидкости, невозмущенная плотность жидкости,

градиент давления. Нормальная производная давления в жидкости связана с изменением нормальной компоненты скорости частиц жидкости у„ соотношением [1]:

ф дп

= -Р

а

Поскольку на границе г = 0 нормальная скорость частиц жидкости определяется скоростью смещения мембраны

У\ п=ди№

™1г=0

то (3) примет вид: др

где

дг

рю2и

г=0

учтено, что в силу гармонической зависимости от времени внешнего давления на мембрану, смещение и будет также зависеть от множителя еш.

На неподвижной границе цилиндра нормальная компонента скорости равна нулю:

у\ =0

Из уравнения Эйлера для г-й компоненты скорости на границе г = 0, считая, что зависимость всех искомых величин (скорости, давления) от времени определятся множителем еш, следует:

• 17 I ХдР

КО?! =---~

Лг=н р &

Следовательно, на неподвижной стенке цилиндра должно выполняться краевое условие второго рода:

др дг

= 0

На остальных неподвижных боковых стенках цилиндра также из уравнения Эйлера в рассматриваемом случае гармонического воздействия получается соотношение:

йок.=-!(п,у

р р дп

Остуда в силу равенства нулю нормальной компоненты скорости на неподвижных стенках цилиндра получается краевое условие 2-го рода:

др дп

= 0 ,М2 еС, 0 < х < к

Из условия несжимаемости жидкости следует, что установившееся распределение давления в жидкости подчиняется уравнению Лапласа:

Ар = 0, М е В

Следовательно, установившиеся малые возмущения давления жидкости в цилиндре определяются как решение 2-й краевой задачи (задачи Неймана) для уравнения Лапласа, причем в условие (4) оно входит в виде краевого режима смещение мембраны, определяемое как решение 1-й краевой задачи для неоднородного уравнения (1).

Таким образом, полагая везде и = и(М2)е~"1" и Тп (~тп)) = 0, можно считать, что малые возмущения давления жидкости в цилиндре определяются как решение следующей задачи:

-ш2М(М2) = 52АМ(М2) + /(М2),М2 ЕД и\ = 0,

1С

Ар(М) = 0, М е Я

др

дг др

дг др

= рШ2м(М2), М2 е О

= 0,

дп

г=к = 0.

Волновые процессы в цилиндре

произвольного сечения

Решение задачи (8) разбивается на решение двух задач. Сначала находится решение первой краевой задачи для неоднородного волнового уравнения. В результате получается выражение, описывающее установившиеся колебания мембраны произвольной формы:

<М2) = ) ви

где означает, что интегрирование проводится по точкам N по-

верхности мембраны, и введена функция Грина:

еЛмж) = Ъ /

собственная частота колебаний мембраны, собственные числа, а у

собственные функции мембраны, определяемы как собственные числа и собственные функции задачи Штурма-Ли-увилля с условиями 1-ого рода

Ау

у |с = 0,М2 еС

Норма собственных функций задачи (11) - (12):

о

Здесь следует отметить, что резонансный случай, когда частота внешнего воздействия совпадает с одной из собственных частот колебаний мембраны, исключается из рассмотрения в рамках данной модели. Для снятия данного ограничения следует изначально рассматривать вязкую жидкость и использовать для моделирования уравнение Навье-Стокса, а не уравнение Эйлера.

Далее находится решение второй части задачи (8) для определения давления из уравнения Лапласа с неоднородным краевым условием на подвижной границе, куда подставляется уже найденное выражение для смещения мембраны (9). В результате полученное выражение можно записать в виде:

р{М) = \\и{Щ)Ср{М1,Щ,2)<18и

о

где введена функция Грина:

где -

Xп -

Уп (М2) -

ра2сЪуи

где Я, - собственные числа,

т

а фт(М2) - собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями 2-го рода:

А2ф„(М2) + Яифт(М2) = 0, М2 е Б

дф, дп ,

= 0, М2 е С

Подставив (9) в (13), можно получить установившееся распределение давления в цилиндре произвольного сечения, возбуждаемое колебаниями мембраны под действием внешнего гармонического давления. Оно позволяет изучать зависимость распределения давления в цилиндре от частоты внешнего воздействия на мембрану. Для получения более конкретных результатов необходимо выбрать форму сечения трубы и вид внешнего воздействия.

Волновые процессы в круговом цилиндре

Рассмотрим особенности аналитической формы решений (9) и (13) для случая кругового цилиндра. Пусть мембрана представляет собой круг радиуса Я, тогда удобно перейти в полярные координаты и область Б будет иметь вид: Б = {(г 0): 0 < г < Я, 0 < 0 < 2п} с Я2.

В этом случае в функцию Грина (10) следует подставить собственные функции и собственные значения задачи Штурма-Лиувилля (11)—(12) для

круга [3, 4]: , ^

где

п

я

сое И0,

вшиб

К* У

, п = 0, 1, 2, ..., т = 1, 2,

функции Бесселя п-го порядка, р(1П) являются т-ми нулями функций Бесселя п-го порядка, то есть корнями уравнения:

Частоты собственных колебаний круглой мембраны: л/^йй".

тп=!1

Норма собственных функций (17) имеет вид:

1« =

т тп

о = 1, 2,

где у = 1 соответствует собственным функциям с косинусами,

а у = 2 - с синусами. Подстановка в функцию Грина (10) выражений (17)-(19) приводит к тому, что она становится двухпарци-альной:

Тогда решение (9) примет вид:

¥(1) • тп

V2'

II т тп

Тогда решение (9) примет вид:

Л ¿71

о о

Далее полученное выражение (21) используется для построения решения (13). В функции Грина (14) для круглой мембраны подставляются собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с условиями 2-го рода:

г г\

V "

совиб,

фйМ)-/,

/

ц

. \

я

вгплЭ

и |-4п)- соответствующие собственные числа:

~ ГггмУ

К

я

п = 0, 1, 2, ..., т = 1, 2,

величины |тп) являются т-ми нулями производных функций Бесселя п-ого порядка, то есть корнями уравнения: О (Й0) = 0. Норма собственных функций (22, 23):

^¡-^(^М^К2^) , у = 1, 2,

8Л символ Кронекера.

С учетом (23) и (24) решение (13) примет вид

Я2к

р{г,Ъ,г) = \\и{г',

о о

где функция Грина (14) становится двухпарциальной:

рю chUX^h-z))

ф

тяи

Xmr,sh

тп v V /ип /

Выражению (25) можно придать вид:

ф

т тп

V jv

Д.

ch

где введены коэффициенты Фурье:

Л 2ц

21\u(r, 0)cos nQJn

II ml, - -Ф™ о о

/ „ Л

г

г

hi."" я v к;

rdrdQ

ф™ 0 0

/ _ Л

ц;

V

rdrdQ

Выражение (27) описывает распределение давления жидкости, созданного в круговом цилиндре под действием гармонических колебаний круглой мембраны на одном из его краев.

Волновые процессы в круговом цилиндре, возбуждаемые равномерным распределением внешнего гармонического воздействия на мембрану

Пусть на закрепленную в плоскости z = 0 мембрану по гармоническому закону действует с внешней стороны давление, равномерно распределенное по всей поверхности мембраны: p = p0 - const.

Тогда, обозначив f0 = p0/pm, получим, что отличными от нуля будут только слагаемые ряда Фурье с n = 0. Поэтому решение (21) принимает вид

"М=t-w,rrnh—^k

Поскольку колебания мембраны (30) при равномерном воздействии не зависят от угловой переменной, то отличными от нуля будут только коэффициенты Фурье (28) и (29) с n = 0,

то есть й^ = 0, n = 1, 2, ..., m = 1, 2, ...,

S2=0, n = 0, 1, 2, ..., m = 1, 2, ...

Ненулевые коэффициенты Фурье (28) в этом случае будет иметь вид

" Л2^2

Подстановка (31) в (27) приводит к выражению:

рЫ=- *))

где амплитуды давления:

РЛ*) = 2 рг- 2 ,и г\аг

Интегральная форма решения (32) будет иметь вид: я

р

о

где определена соответствующая функция Грина:

ер{гу,2)=±

' я)

Таким образом, из полученных результатов следует, что в случае равномерного воздействия по всей площади мембраны потенциал, скорость, давление и плотность жидкости в звуковой волне не зависят от угловой переменной.

Результаты и их обсуждение

Для численного моделирования волновых процессов в рассматриваемой системе использовалась вычислительная система Ма1ЬаЬ. Была составлена программа, в которой сначала рассчитывалась форма колеблющейся мембраны по формуле (30), а затем полученное распределение использовалось для вычисления возмущения давления жидкости по формуле (32). Учитывалось N = 1000 слагаемых. Решение строилось при следующих фиксированных значениях: плотность жидкости р = 1002 кг/м3, радиус мембраны R = 1,15 • 10-3 м, длина цилиндрической трубы h = 3010-3 м, p0 = 10, 5 = 0,1.

Из анализа полученных результатов численного моделирования следует, что в цилиндре возбуждаются затухающие колебания. Обнаружено, что при частотах внешнего воздействия, близких к ю = 50 Гц, наблюдается «резонанс» в виде узколокализованного резкого всплеска амплитуды. Стоячие волны в случае, когда один конец цилиндра закреплен, а на другом происходят вынужденные колебания мембраны его перекрывающей, не возникают. Данное обстоятельство обусловлено тем, что в рамках рассматриваемой модели

изучаются стационарные малые возмущения давления жидкости в цилиндре, возникающие под действием постоянной внешней распределенной силы как краевого режима. Стоячие звуковые волны могут возникать в цилиндре под действием гармонических колебаний мембраны, в рамках другой модели, подробно изложенной в [7].

Максимальная амплитуда возбуждаемых колебаний расположена вблизи основания цилиндра, в котором закреплена колеблющаяся в результате внешнего воздействия мембрана. Затухание волны, как правило, происходит достаточно быстро. Наличие затухания волны при отсутствии вязкости связано с тем, что все слагаемы функции Грина (14), не зависимо от формы сечения цилиндрической трубы, выражаются через монотонно убывающие функции вида — г)), которые стремятся к своему минимуму при 2 ^ к. Физи-

чески такая ситуация обусловлена требованием того, чтобы на неподвижных стенках цилиндра, в том числе и на его втором конце, нормальные компоненты скорости равнялись нулю. Данное требование было исходным при формулировке рассматриваемой модели и выражалось математически выражениями (5-7). Поэтому возмущение давления в жидкости, создаваемое стационарными колебаниями мембраны на подвижном (первом) конце цилиндра, должны затухать при движении ко второму неподвижному концу цилиндра.

Предложенная модель в качестве обязательного элемента включает в себя взаимодействие механических смещений структур мембраны с жидкостью внутри цилиндрической трубы. Именно такое взаимодействие обеспечивает возникновение колебаний малых возмущений давления в жидкости. Анализ полученных результатов, показал, что колебания в системе, описываемой исходными уравнениями предложенной модели, действительно обладают качественными особенностями, характерными для физических свойств гидродинамических систем, которые могут возникать в различных технических компонентах и биологических системах. Следует отметить, что предложенная модель представляет собой некую гидродинамическую абстракцию, поэтому уравнения в ней скорее позволяют определить лишь класс систем, колебания в которых отвечают поставленным требованиям.

Заключение

В работе построена математическая модель возбуждения волн избыточного давления в заполненном жидкостью цилиндре под действием равномерно распределенной по поверхности мембраны гармонической силы. При гармоническом внешнем воздействии получено аналитическое выражение для распределения избыточного давления в цилиндре.

физико-математические науки

Моделирование волновых процессов в жидкости..

С целью упрощения моделирования предполагалось, что будут исключаться частоты внешнего воздействия, совпадающие с собственными частотами колебаний мембраны. Другими словами, в рамках данной модели резонансный случай не рассматривается. Для анализа резонансного случая, как отмечалось выше, следует формулировать модель для колебаний вязкой жидкости, что потребует использования уравнения Навье-Стокса, а не уравнение Эйлера, что, очевидно, приведет к усложнению модели. Однако, для анализа определенных эффектов на качественном уровне этого не требуется, например, в жидкостях с пренебрежительно малой вязкостью.

Проведено аналитическое и численное моделирование для случая постоянного равномерного воздействия внешней силы для трубы кругового сечения. Показано, что распределение давления является осесимметричным и затухание волны происходит достаточно быстро при удалении от края колеблющейся мембраны. Максимальная амплитуда возбуждаемых волн расположена вблизи мембраны.

Библиографический список

1. Ландау Л.Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. М.: Наука, 1986. 736 с.

2. Биркгоф Г. Гидродинамика / Г Биркгоф. М.: Изд-во ин. лит, 1963. 244.

3. Боголюбов А.Н. Задачи по математической физике / А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов. М.: Изд-во МГУ, 1998. 350 с.

4. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. М.: Изд-во МГУ, 1999. 798 с.

5. Савотченко С.Е. Вынужденные капиллярные волны в покрытом тонкой пленкой бассейне / С.Е. Савотченко // Известия высших учебных заведений. Физика. 2008. Т. 51. № 3. С. 3-6.

6. Савотченко С.Е. Моделирование вынужденных внутренних капиллярных волн / С.Е. Савотченко // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2015. Т. 11. № 2. С. 87-90.

7. Савотченко С.Е. Резонансные особенности распространения вынужденных волн в жидкостях по трубам / С.Е. Савотченко, А.С. Горлов // Наука. Инновации. Технологии. 2017. №. 2. С. 63-72.

References

1. Landau L.D., Lifshic E.M. Teoreticheskaja fizika. T. VI. Gidro-dinamika. (Theoretical physics. Vol. VI. Hydrodynamics). M.: Nau-ka, 1986. 736 p.

2. Birkgof G. Gidrodinamika (Hydrodynamics). M.: Izd-voin. lit, 1963. 244 p.

3. Bogoljubov A.N., Kravcov V.V. Zadachi po matematicheskoj fizike. (Problems in mathematical physics). M.: MGU, 1998. 350 p.

4. Tihonov A.N., Samarskij A.A. Uravnenija matematicheskoj fiziki (Mathematical physics equations). M.: MGU, 1999. 798 p.

5. Savotchenko S.E. Vynuzhdennye kapilljarnye volny v pokrytom tonkoj plenkoj bassejne. (Forced capillary waves in the pool covered with a thin film)I zvestija vysshih uchebnyh zavedenij. Fizika. 2008. Vol. 51. No. 3. Pp. 3-6.

6. Savotchenko S.E. Modelirovanie vynuzhdennyh vnutrennih kapilljarnyh voln. (Modeling of the forced internal capillary waves) Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. 2015. Vol. 11. №2. Pp. 87-90.

7. Savotchenko S.E. Nauka. Innfovacii. Tehnologii. 2017. №2. Pp. 63-72.