Система автоматического регулирования магнитного подвеса

Зеленский А.В., Молотов П.Е.

СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МАГНИТНОГО ПОДВЕСА

Система автоматического регулирования предназначена для удержания геометрического центра маховика в геометрическом центре подвеса при различных внешних возмущениях, действующих на систему подвеса.

Задача создания системы автоматического регулирования заключается в определении управляющего устройства в виде его математического описания для заданного объекта управления, требований к точности и качеству управления и условий работы, включая характеристики внешних воздействий, требования к надежности, массе, габаритам и потребляемой мощности.

Объектом управления в данном случае является маховик, а регулируемой величиной - величина зазора между ротором и электромагнитами подвеса. Обязательными элементами системы управления будут также датчики зазора и усилитель. Для обеспечения устойчивости необходимо ввести в цепь обратной связи корректирующее звено.

Структурная схема системы автоматического регулирования представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Структурная схема системы автоматического регулирования

Уравнение сил, действующих со стороны электромагнитной катушки на ротор, имеет вид:

р = А

1 2

где Aq = —tyjSbtw ; Si - площадь сечения якоря, см2

число витков; I

ток в катушке электро-

магнита, А; х0 - первоначальный зазор, мм; х - изменение зазора, мм. Проекция силы одного электромагнита на ось X:

F = FcosacosP ,

где a, р - углы между осью электромагнита и осями Z и X.

Уравнения движения ротора вдоль оси

d x_ 4Д cosacosß

dt2 m

xo"

xn + x

где ш - масса ротора, /015/02 - начальный ток в катушке электромагнита, ц,/2 - регулируемая ве-

личина тока.

Структурная схема системы регулирования представлена на рисунке 2.

С учетом индуктивности величина тока в катушке электромагнита определяется уравнением <3х

di

dt

dt

r

2 Aq

i +-

2 Aq

-U—•„

где г - сопротивление обмотки, А ~ коэффициент преобразования датчика, S - эффективное сечение магнитного потока в зазоре, ^_.р - сигнал на выходе усилителя.

Рисунок 2. Структурная схема системы регулирования Коэффициент передачи датчика будет иметь вид:

х2 = кЛх\ '

где X 2 - выходной сигнал датчика, кл - коэффициент усиления датчика, > - входная величина

для датчика.

Уравнение для корректирующего звена К1 и звена К2:

w

*з = xk(1+T р >2;

x4 = x2 +>3;

x5 = kk2(1 + Tt,<p )>4 '

а для усилителя

U

_• 6 ; 6 Т_ р +1 5 *

Таким образом, получили систему автоматического регулирования с двумя нелинейными звеньями сам объект управления и электромагниты подвеса. Для определения передаточной функции системы вве дем обозначения

р=

21 701

\2 / N2

~h I + 2 1 702 + h

d x

О у V 0

Для получения передаточной функции вида кх + к2р + к3р2

dt2

W (p) =

коэффициенты к. и Т будут иметь вид:

kl =

др

дх ©

др

ду

T2 =-

др

дуП Jo

др

дУ J0

Тогда

др\ 2A cosacos¡в- Ьй

д

ki =--£-; Ti2 = -

T2 =-

др ду

др

ду © , о др ду

др

k3 =-

др

дп

= о

8I„ 1 16Ь20 A cosacos в

д1 ©

k2 = k3 = 0 ; T2 = 0 ;

= 0 ;

WD( p) =

= 1

{дx ©© J0

TP2 p2 -1

kp= p 8In

Ti =-

mx.

p 16Iq A cos a cos ^

Для катушек 2, 3, 4 имеем соответственно:

Wp( p) =

k„

T 2 2 1

Tpp -1

Определение линеаризированной передаточной функции магнитной катушки проведем следующим образом. Запишем смещение маховика в виде

> = Жр(р) • i .

Подставив выражение для X в уравнение и вводя функцию ф(и,1), получим

8 pWp

¿ )=

xo + 8Wp( p)¿

2 a

t xo + 8WpPpPTJ _di_ 2A P dt

2 a

rx

'240

д1 ©

= -1;

T2 = 24 ; W(p) =

k..t

=

r

rxo 2 Ao

T “t

rxo

T-t p +1

Определим устойчивость системы. Передаточная функция для разомкнутой системы имеет вид

w(р)р* = ^ = жл(1 - Жк)ШьШуЯг^  8ЖЛ .

Подставляя передаточные функции звеньев, будем иметь:

к(р) = клкУк"Ь8кркккд2 (1+т р)(1+Ть<ру,

<2( р) = (Т_ р + Ш,ь р + 1)(Т2 р22 -1).

Характеристическое уравнение для системы:

ТЛТ"ТУ + ТТ + ТуТр)«3 + Т - ТуЦ + 8ВД,)а2 --(8к2(Тк + Ц,) - Тл - Т..ь)а + 8к2 - 1 = 0.

Проведем анализ устойчивости, применяя критерий Рауса-Гурвица. Это алгебраический критерий, по которому условие устойчивости заключается в требовании положительности определителя Гурвица и всех его диагональных миноров.

k

2

3

k

mx.

о

x.

о

T2 = о

1

Для системы, имеющей характеристическое уравнение четвертого порядка, условие сводится к требованию положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора Д3. Составим коэффициенты характеристического уравнения:

ао = ТУЪЬТ2Р = 0 ;

а1 = ТккТр + > 0 ;

а2 = Тр + %кТкТ%< - Ту? > о;

а = 8кЕ(Тк + Т%<)- Ту- т“% > 0; а4 = 8к2 -1 > 0 ;

д = аа - а^а4 > 0 .

Для анализа последнего условия подставим численные значения коэффициентов. Начальный зазор х0 = 1-10 3“ ; созасозр=0,71.

Число витков И=600, 1_ =0,174 м. Сопротивление обмотки Z=50 Ом.

Масса ротора т=12 кг. Радиус маховика 1 =0,152 м.

Диаметр магнитной катушки =0,047 м. Выберем рабочую точку

А = 1,96-10-4, Т2 = 2,13-10-5, к,ь =-0,2 , Ть = 0,78-10-1.

Примем Т_ = 1 -10 4 , = 5 -10 2 .

Из условия > 0 будем иметь

а > 0 ;

а3 > 0 ;

= 0,6 А. Тогда & = 0,21-10 3 ,

а4 > 0 .

куКкк2 > -0,016 ; куккКг > 0,26;

кукккк2 > 0,03;

о, = 8к2(Гк + у )- Ту- Ту — 0,8ку - 0,078 ,

а = 1,874 -10-

а4 — 8ку -1,

а, — 2 -10“2 ку + 0,8 -10~3

Рассмотрим уравнение

1,93 -10-8к,2 + 0,22 -10-9к, -2,96 -10-10 = 0 .

Отсюда имеем

ку = 0,01-10-2 ,

М 5 '

Для условия к2 < -1,11-10-2 кЕ = 4,2кукккь<

Получим для к к к

ку — -1,11-10-2

у2 5

кЕ > 0,01-10-

кукккь< < -0,26 -10-2 ,

кукккь< > -0,016;

куккк^< > 0,03 ;

кукккь< > 0,26 ;

куккк^( > 0,2 -10-4 .

Из требования к точности подвеса

1

1 + ку

< 0,01

кукккЬ< > 0,2 -10

Для проверки устойчивости и выбора коэффициентов кукк проведем

численный анализ переходных

процессов в нелинеаризованной системе.

Имеем систему дифференциальных уравнений, описывающих звенья системы автоматического регулирования. Учитывая симметричность для оси Х, запишем

С х 4А С08 хсоьр С2 т

Сі

С

Сх/ С 2

хп + х

2 А

22 101 - isignx I | /02 + isignx

х - х

х0 + х.

и-р 2 А р

Введем обозначения ит = х2 ; кл = к1 ;

101 = А1;

ик — X 3 ;

0

2

Д, — Д2О3 - а04

о —1,66 -10

Д2 — 2,41-10"° ку + 2,96-10

Д —1,93-10-8к^ + 0,22-10-9К-2,96-10-10 — 0 .

или

или

8

8

получим к кккь< > 23,6

кк — к 2 ; /02 — А2 ;

иу — х4;

ккі — к 3

^ ик2 -^5 ; Тк — Тк ; А0 — А ; и—р — х6 ;

Т,? — Т2 ; к, — к4 ; хп — х0 ; Т — Т3 .

к2 5 ; Тк — ; А0 — А ; и —р — х6 ; Тк2 — Т 2 ; ку — к4 ; х0 ' хТу

Учитывая обозначения и приводя систему к нормальному виду, будем иметь:

Сх,

—1 — х6 ; Сі

Сх2 — —(к4N - х2) ; Сі Т3

— —(-к4N- х3) ; Сі Т3

Сх4 _

сії

Сх5

Л

где

х6 .Я

х0 + х1 2А

х6 Я

х0 - х1

2А

х0 - х1 ^ . х 4 +---------х 2 ;

2А

х0 - х1

х 5 +-----------х 5 ;

2 А

N=k3k1x1(1+k2)+k3k2Tkk1x6+k3T2(k1k0+k2k1x6+k2Tkk1M).

Рассчитанные переходные характеристики представлены на рисунке 3. Изменение тока в катушках электромагнитов представлены на рисунке 4. Расчетная область устойчивых процессов приведена на рисунке 5.

Рисунок 3. Переходные характеристики

Рисунок 4. Изменение тока в катушках электромагнитов

Рисунок 5. Расчетная область устойчивых процессов

Проведенное численное решение системы дифференциальных уравнений и полученные переходные процессы для системы автоматического регулирования электромагнитным подвесом маховика позволяют сде-

лать следующий вывод, что в диапазоне коэффициентов, представленных на рисунке 3, система устойчива.