Об одной специальной реберной 2-раскраске двудольного графа

список литературы

1. Войтецкий, В.В. Развитие методологии, теории и принципов организации комплексных систем управления техническими средствами кораблей (судов) и управляющих систем типа АСУ ТП технических комплексов с повышенным риском эксплуатации [Текст] / В.В. Войтецкий, И.П. Симаков // Юбилейный научно-технический сб. НПО «Аврора». -1995. -С. 46-86.

2. Астров, В.В. Применение методов вероятностной логики и исследования операций к анализу живучести пространственно-распределенных энергетических систем [Текст]/ В.В. Астров, И.П. Симаков, Г.Н. Черкесов; Под ред. акад. АН СССР Ю.Н. Руденко // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. Живучесть систем энергетики. -Иркутск: СО АН СССР. -1979. -С. 49-60.

3. Симаков, И.П. Аналитические методы структурного анализа автоматизированных технических комплексов при оценке их безопасности и надежности [Текст] / И.П. Симаков // Матер. Всесоюзной конф. по надежности, живучести и безопасности автоматизированных технических комплексов. -Суздаль-Москва: Изд-во Ин-та проблем управления АН СССР, 1989.

4. Черкесов, Г.Н. Логико-вероятностный анализ

надежности сложных систем на основе общего решения систем логических уравнений [Текст] / Г.Н. Черкесов, Ю.В. Степанов // Научно-технические ведомости СПбГПУ -2003. -№ 2. -С. 149-158.

5. Симаков, И.П. Математические модели, формализованные методы и программные средства объективной оценки показателей надежности и безопасности структурно-сложных технических систем [Текст] / И.П. Симаков, И.П. Холодных // Вычислительные, измерительные и управляющие системы. -СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009. -С. 130-139.

6. Рябинин, И.А. Надежность, живучесть и безопасность корабельных электроэнергетических систем [Текст] / И.А. Рябинин, Ю.М. Парфенов. -СПб: Изд-во Военно-морской академии им. Н.Г. Кузнецова, 1997. -430 с.

7. Рябинин, И.А. Надежность, живучесть и безопасность структурно-сложных систем [Текст] / И.А. Рябинин. -СПб: Изд-во Политехника, 2000. -248 с.

8. Колесников, Р.Д Автоматизация управления судовыми энергетическими установками в аварийных ситуациях [Текст] / Р.Д. Колесников, А.С. Смирнов // Вопросы судостроения. Сер. Автоматика и телемеханика. -1985. -№ 30. -С. 14-20.

УДК 519.1+519.8

А.М. Магомедов

об одной специальной реберной 2-РАСКРАСКЕ двудольного графа

В прикладных задачах востребованы различные виды реберной раскраски графов. Реберная раскраска называется правильной, если цвета любых двух смежных ребер различны. Наименьшее число цветов, достаточное для правильной реберной раскраски графа О , называется реберным хроматическим индексом и обозначается х' (О). Связь х'(О) с максимальной степенью А(О) вершин графа О исследована в 1964 г. В.Г. Ви-зингом [1]: А(О) < х'(О) < А(О) +1. В 1981 г. I. Но1уег доказал [2] ОТ-полноту задачи проверки равенства А(О) = х '(О).

Правильная раскраска называется интервальной, если для каждой вершины номера цветов инцидентных ребер заполняют интервал. Исходные данные к расписанию, где в системе объ-

ектов X обслуживаются объекты множества Y, обычно представляются в виде двудольного графа G = (X, Y, E). Если степень каждой вершины из X равна а, будем говорить, что G является (а,*)-графом; если при этом степень каждой вершины из Y равна b , будем говорить, что G является (а, Ь)-графом. D. Hanson, C.O.M. Loten, B. Toft в 1998 г. доказали [3], что при нечетном А любой (2, А)-граф имеет интервальную раскраску А +1 цветом.

Результаты, относящиеся к правильной раскраске, используются, например, при построении расписаний, а результаты, относящиеся к интервальной раскраске, - при оптимизации расписаний. Обширный обзор задач теории расписаний приведен в [4]. Некоторые аспекты построения

расписаний длительности 5 без простоев рассмотрены в [5].

В данной статье для заданного (2,*)-графа G = (X, Y, E) рассматривается реберная раскраска специального вида, сужение которой на некоторое подмножество из E обладает свойствами, полезными для исследования существования интервальной раскраски.

2-каркас и выровненная 2-раскраска

Обозначения и опред ел ени я. ЕGли в двудольном графе G =

dGx = a V x e X; max e y dGy = b ,

то граф G будем называть (a, b) -графом.

Пусть p - целое положительное, G = (X, Y, E) является (2, 2p +1) -графом, E' с E , каждой вершине x e X инцидентно точно одно ребро, а каждой вершине y e Y - не более p ребер множества E' (каждая вершина x e X насыщена в E' точно один раз, а каждая вершина y e Y - не более p раз). Подграф G' = (X',Y',E'), порожденный множеством ребер E', называется p -каркасом графа G , если имеется вершина y e Y , насыщенная в E' точно p раз.

Ребра каркаса удобно характеризовать в терминах освещенности: ребра графа, принадлежащие каркасу, будем называть темными, остальные ребра графа - светлыми. Вершину y e Y степени 2 будем называть вершиной светлого, серого или темного типа, если среди ребер графа G = ( X, Y, E) , инцидентных y , количество светлых ребер равно соответственно 2, 1 или 0.

Лемма 1. Пусть связный (2,*)-граф G = ( X, Y, E) с четными степенями всех вершин обладает 2-каркасом G' = (X', Y', E'). Тогда либо найдется вершина y e Y , такая, что dG y = 2 , либо dGy = 4 для всех y e Y .

Доказательство. Подграф графа G, дополнительный к подграфу G', обозначим G'. Рассмотрим случай, когда не существует вершина y e Y степени 2, другими словами (ввиду четности dGy), dGx > 4 V y e Y . Докажем, что тогда dG x = 4 V y e Y .

Допустим противное: пусть имеется вершина y0 e Y , такая, что dGy0 > 4 ; ввиду ограничений dG-y < 2 V y e Y' и тривиального тождества dGy = dg y + dG, y, отсюда вытекает, что

у £ У , то из dG:у < 2 V у £ У' следует неравенство dGy < 3, которое ввиду четности dGy эквивалентно равенству dGy = 2 , что в нашем случае невозможно. Таким образом, в рассматриваемом случае

dG y > dG y V y e Y.

Тогда, с одной стороны,

IyeY (dGy - dG'y) = (<%'Уо - dG'Уо) + + IyeY\{y0 }(dG'У - dG'У) > 0 ,

согласно (1) и (2). С другой стороны, из равенств

dGx = 2 V x e X и dG,x = 1 V x e X

следует

I (dGУ - dG'У) = 0.

yeY

dG' Уо - dG'Уо > 0.

Если d-Gi У < dG-y для какой-либо вершины

Полученное противоречие доказывает, что либо существует вершина у £ У , степень которой равна 2, либо dGy = 4 для всех у £ У .

Лемма доказана.

Для графа G = (X,У,Е) и множества цветов Р = {1, 2, ..., р} сюръекция

С: Е ^ Р

называется реберной р-раскраской; для каждой вершины у £ X У и каждого цвета г £ Р обозначим через с(у, г) количество ребер г -го цвета, инцидентных вершине V, и будем говорить, что в вершине V цвет г представлен с^,г) раз.

Реберная р -раскраска (2, 2р+1) -графа G = (X, У, Е) называется выровненной, если:

в каждой вершине х £ X представлен точно один цвет;

если dGy > 2 , то | с(у,г) - с(у,у) | < 1 для всех г,у £ Р и у £ У (условие выровненности).

Условие выровненности означает, что, во-первых, в каждой вершине у £ У любой цвет г £ Р представлен не более трех раз, во-вторых, с( у, г) = 3 тогда и только тогда, когда

dGy = 2 р +1 и

с(у,1) = • • • = с( ^г -1) = с( У, г +1) = •" = c(У, Р) = 2 .

Выровненная р-раскраска и р-каркас называются согласованными, если цвета любых двух смежных темных ребер различны; к структуре, состоящей из р-каркаса и согласованной с ним выровненной р-раскраски, будем применять термин «p-кaркaс-рaскрaскa».

Утверждение 1. Если в связном (2,*)-графе G = (X,У,Е) существует некоторый 2-каркас

О' = (X,7', Е'), то граф G обладает 2-каркас-раскраской.

Доказательство.

Первый случай. Множество 7 содержит вершины нечетной степени.

Вершины графа О удобно называть в дальнейшем «родительскими» вершинами. Для каждой родительской вершины у е 7 , которой инцидентны два темных ребра (х', у) и (х", у) и непустой набор светлых ребер (х(1), у) , ... , (х(к), у) , произведем замену вершиш>1 у и всех инцидентных ей ребер на две «дочерние» вершины у и у", темные ребра (X, у'), (х", у') и светлые ребра (х(1), у" ) , ... , (х(к), у"). Корректность присвоения ребрам освещенности очевидна: темные ребра снова образуют каркас. Полученный граф О1 = (X ,71, Е1) назовем «дочерним» графом.

Для каждой «родительской» вершины х е X выполним замену вершины х и обоих инцидентных ей ребер (х, у{) и (х, у у) на конструкцию из двух новых «дочерних» вершин х , х и ребер (х', х"), (х', у), (х", у).

Добавим фиктивную вершину и соединим с ней фиктивными ребрами все вершины нового графа, степени которых имеют нечетные значения. Полученный «модифицированный дочерний граф» является эйлеровым. Выберем произвольно одно из двух направлений обхода эйлеровой цепи, начиная с фиктивной вершины, и выполним обход цепи, попеременно присваивая пройденным ребрам цепи цвета 1 и 2.

Удалим теперь фиктивные элементы (вершину и ребра) и отождествим вершины х и х" каждой пары дочерних для х е X вершин с восстановлением родительской вершины х и присвоением цвета ребра вида (х', у) восстановленному ребру (х, у{), а цвета ребра вида (х , уу) - восстановленному ребру (х, у у). Справедливость следующего утверждения очевидна.

Элементарное утверждение (о каркасе О'): если выполнить отождествление каждой пары дочерних вершин у и у с восстановлением родительской вершины у е 7 и присвоением цвета ребра вида (х^, у') ребру (х^, у), а цвета ребра вида (х}-, у" ) - ребру (х}-, у), то получим «2-каркас-раскраску» - выровненную реберную 2-раскраску графа О , где любые два смежных ребра каркаса О' имеют различные цвета.

Второй случай. Все вершины множества 7 имеют четные степени и значение | X | четно.

Построим дочерний граф О1 = (X ,71, Е1), как и выше. Без ограничения общности будем считать его связным (в противном случае дальнейшие рассуждения будут применены к каждой связной компоненте).

Последовательным ребрам эйлеровой цепи дочернего графа, начинающейся в произвольно выбранной вершине у е 71 :

у - уу , (уу , хг1 ) , хг1 , (хг1 , у;-2 ) , у У 2 , ( у У 2 , х-2 ), х-2, . ,

1 хч,(хч, уу к+1) , уу к+1 - у

присвоим цвета 1 и 2 по правилу чередования:

первому ребру (уу , х^) присваивается цвет 1;

при переходе через вершину множества X цвет ребра сохраняется, а при переходе через вершину множества 7 цвет ребра меняется.

В результате:

1) для каждой вершины х е X два новых ребра (х', у), (х", у у) инцидентные вершинам х', х", дочерним для вершины х, получают один и тот же цвет;

2) для каждой вершины у е 7 , которой инцидентны два темных ребра, эти темные ребра являются последовательными ребрами эйлеровой цепи и получают разные цвета. В каждой иной вершине у е 7 среди инцидентных у ребер (включающих, заметим, разве лишь одно фиктивное ребро) цвета 1 и 2 представлены равным образом;

3) вершины множества X встречаются в эйлеровой цепи четное число раз; отсюда следует, что цвет первого ребра цепи совпадает с цветом последнего ребра; следовательно, в вершине у цвета 1 и 2 представлены равным образом. Для каждой вершины из 71 , встречающейся в цепи лишь в качестве промежуточной вершины, соответствующее утверждение тривиально.

Остается применить элементарное утверждение (о каркасе О ).

Третий случай. Степени всех вершин множества 7 четные, значение | X | нечетно.

Согласно лемме 1, либо степени всех вершин 7 равны 4, либо в 7 найдется вершина степени 2. Если степени всех вершин 7 равны 4 и | X |= 2К +1, где К - некоторое целое положительное, то из очевидных равенств

получим:

2 • (2К +1) = 41 7 |, 41 7 | -4К = 2 , что невозможно.

Таким образом, в рассматриваемом случае имеется вершина у0 £ У степени 2. Построим дочерний граф G1 = (X,У1, Е1). Очевидно,

dG1 Уо = 2

Ситуация 3.1. Имеется серая вершина у0 £ Уг.

Если Уо - вершина серого типа, то, выполнив обход эйлеровой цепи, начиная с вершины Уо (и с любого из двух, инцидентных у0, ребер), следуя сформулированному выше правилу присвоения цветов 1 и 2, приходим к элементарному утверждению (о каркасе).

Ситуация 3.2. В У1 имеются вершины степени 2 и все такие вершины - темного типа.

Так как |X| нечетно и ребра каркаса G' насыщают каждую вершину из X точно один раз, то количество темных ребер в графе G нечетно. Следовательно, в рассматриваемом случае найдется вершина у £ У1, инцидентная точно одному из ребер темного типа и нескольким ребрам светлого типа; из нечетности dGУ и неравенства dGУ > 3 следует, что вершина у инцидентна не менее чем трем ребрам светлого типа.

Построение в графе G1 «чередующейся» цепи начнем в вершине у, выбрав в качестве начального ребра цепи любое из светлых ребер вида (х, у), и продолжим построение в соответствии с правилом: при достижении очередной вершины х £ X цепь продолжается ребром темного типа, а при достижении очередной вершины у £ У цепь продолжается любым не пройденным ранее светлым ребром, инцидентным вершине у .

Построение такой цепи с чередующейся освещенностью может быть продолжено, пока не встретится вершина у0 темного типа. В самом деле, если посещенная в процессе построения вершина у £ У1 инцидентна хотя бы одному светлому ребру, то среди ребер, инцидентных у , ребер светлого типа не меньше, чем ребер темного типа (ввиду четности степени dGly).

Пусть построена чередующаяся цепь у - у0, где у0 - вершина темного типа. Поменяв освещенность каждого ребра цепи у - у0 на противоположный тип, получим новый каркас графа G (обозначим его ^) и серую вершину у0.

Справедливость утверждения леммы для такого случая была установлена выше при рассмотрении ситуации 3.1; единственное отличие заключается в том, что элементарное утверждение применяется теперь к новому каркасу ^. Утверждение доказано.

Замечание. Как видно из доказательства утверждения, лишь в ситуации 3.2 актуально то обстоятельство, что 2-каркас, для которого можно указать согласованную с ним 2-раскраску, необязательно является 2-каркасом, заданным в условии утверждения. Приведем пример, где 2-каркас, заданный в условии, действительно, не подходит.

Рассмотрим граф G = (X, У, Е), где X = {х1, х2, х3, х4, х5}, У = {у1, у2, У3}, а множество ребер Е - суть объединение множества темных ребер:

{(х1, У1 ), (х2, У1 ), (х3, У2 ), (х4, У2 ), (х5 , У3)} и множества светлых ребер:

{(х1, У2 ), (х2, У3 ), (х3 , У3),(х4, У3 ), (х5 , У2^.

2-каркас, порожденный набором темных ребер, есть ^ = (X,У',Е'). Пусть С - выровненная реберная раскраска графа G в цвета 1 и 2, согласованная с ^ . Без ограничения общности допустим, что с( х1, у1) = 1. Так как (х1, у1), (х2, у1) £ Е', то с(х2, у1) = 2 ; поскольку с(х2, у3) = с(х2, у1), то и с(х2, у3) = 2 . Далее, т. к. ребра (х3, у2) и (х4, у2) - темного цвета, то цвета этих ребер различны. Поскольку вершины х3 и х4 имеют один и тот же набор смежных вершин ( у2 и у3 ), из двух возможных вариантов для их цветов:

1) ф^ У2) = l, с( х4, У2) = 2,

2) c(x3, У2) = 2, с( х4 , У2) = 1, достаточно рассмотреть любой один; пусть, например, с(х3, у2) = 1, с(х4, у2) = 2 .

Так как вершине у2 инцидентны два ребра цвета 1: (х1, у2)и (х3, у2)и одно ребро (х4, у2) цвета 2, то цвет четвертого ребра (х5, у2), инцидентного вершине у2, равен 2 (цвет, представленный в вершине х5, равен 2), тогда и цвет ребра (х5, у3) равен 2. Таким образом, вершине у3 инцидентны три ребра цвета 2: (х2, у3),( х3, у3),( х4, у3) и точно одно ребро (х5, у3) цвета 1.

Полученное противоречие доказывает, что в качестве 2-каркаса, согласованного с некоторой выровненной 2-раскраской, не может быть выбран 2-каркас G' = (X ,У' , Е'), заданный в условии.

Поступим в соответствии с пунктом 3.2 доказательства утверждения. Множество У содержит единственную вершину степени 2: это вершина у1 (темного типа); положим у0 = у1. Чередующаяся цепь:

У3, (У3, x4), х4, (х4, У 2), У 2, (У2, х1 X х1, (х1, У1), У1 начинается с вершины у = у3, которой инцидентна!

точно одно ребро темного типа и несколько ребер светлого типа. Поменяв освещенность ребер чередующейся цепи, получим граф с темными

ребрами (х1, у2 ), (х2, у1 ), (х3, у2 ), (х4, у3),(х5 , Уз),

образующими нужный каркас О", и светлыми ребрами (х1, у! ), (х2 , у3),(х3 , у3х (х4, у2 ), (х5 , у2) .

Приложение результата, близкого к рассмотренному выше, обсуждается в [6]. Отметим, что справедливо и следующее утверждение.

Утверждение 2. Пусть заданы целое положительное р и (2, 2р+1)-граф О = (X, 7, Е). Если | 51< р |Г(5) | для любого подмножества 5 множества X , то граф О обладает р-каркас-раскраской.

Данному результату и его приложениям целесообразно посвятить отдельную статью.

Статья написана при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» № 2011-1.3.2-111-017/12 и гранта РФФИ № 0901-96504-р_юг_а.

список литературы

1. Визиш, В.Г. Об оценке хроматического класса р-графа [Текст] / В.Г. Визинг // Дискретный анализ: Сб. науч. тр. -Новосибирск: Ин-т математики СОАН СССР, 1964. -Вып. 3. -С. 25-30.

2. Holyer, I. TheNP-completenessofedge-coloring [Текст] / I. Holyer // SIAMJ. Comput. -1981. -Vol. 10. -№ 4. -P. 718-720.

3. Hanson, D. On interval colourings of bi-regular bipartite graphs [Текст] / D. Hanson, C.O.M. Loten, B. Toft // ArsCombinat. -1998. -Vol. 50. -P. 23-32.

4. Танаев, В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы [Текст] / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А.

Струсевич. -М.: Наука, 1989.

5. Магомедов, А.М. Условия существования непрерывных расписаний длительности пять [Текст] / А.М. Магомедов, А.А. Сапоженко // Вестн. Моск. унта. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. -2011. -Т. 34. -№ 1. -С. 39-44.

6. Магомедов, А.М. Два частичных паросочета-ния в двудольном графе специального вида [Текст] / А.М. Магомедов // Матер. X Междунар. семинара Дискретная математика и ее приложения; Под ред. О.М. Касим-Заде. -М.: Изд-во механико-математ. ф-та МГУ -2010. -С. 310-312.

УДК 004. 94.

Ю.А. Голландцев, ВА. Дубенецкий

РАСШИРЕНИЕ ИНФОРМАцИОННОИ МОДЕЛИ ПРОЕКТА ФУНКцИЯМИ УПРАВЛЕНИЯ состоянием объектов проектирования

Информационная поддержка процессов управления проектами является важным фактором повышения качества проектирования и сокращения затрат на организацию проектных работ. Однако сфера НИОКР при обширных и разносторонних связях с другими сферами деятельности фирмы, как правило, относительно обособлена в организации. Это связано с неопределенностью процесса НИОКР, спецификой деятельности в сфере проектирования.

Эффективность информационной поддержки процессов управления во многом определяется тем, насколько полно и точно информационная модель проекта отражает реальные процессы и объекты проекта. В процессе управления проектами используется множество видов информации.

Причем, состав и структура этой информации в сильной степени зависят от области проектирования, многие из них часто могут быть конкретизированы только в процессе проектирования.

Процесс Управление проектом на среднесрочном и краткосрочном уровнях управления состоит из следующих работ:

объемно-календарное планирование работ по проекту;

управление разработкой и ведением технической документации;

учет и контроль выполнения работ по проекту, включая управление обеспеченностью проектов материалами и комплектующими;

управление потоками работ с объектами проекта, включая формирование технологических