Хаос и неопределенность в нелинейных системах

12

ННУКН И ОБРАЗОВАНИЕ

УДК 621.313.11

В.К. Федоров

ХАОС И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Простыми математическими средствами выражается качественно новый этап и уровень развития теории и методов анализа нелинейных электрических колебательных систем, обладающих хаотическими свойствами (непредсказуемым поведением).

Детерминистские законы, некогда бывшие наиболее приемлемыми научными законами, сейчас предстают перед нами как чрезмерно упрощенные. И в классической, и квантовой механике было принято считать, что если бы в некоторый момент времени состояние нелинейной системы было известно с достаточной точностью, то в принципе будущее можно было бы предсказать, а прошлое восстановить. Такого рода теоретическая схема указывает, что в определенном смысле настоящее содержит в себе будущее и прошлое.

Однако совсем не очевидно, что физические явления можно воссоздать с помощью одной теоретической модели. Чтобы описать реальный мир, необходимо применять последовательно две или даже более теоретических моделей для объяснения того или иного явления. То одна из них, то другая будет более подходящей при некоторых условиях.

Кроме того, следует расширить представление о понятии "причина". Обычно под причиной понимают начальные условия или внешние воздействия, кото-рыев соответствии с динамикой системы приводят к определенному результату следствия. В прежнем понимании выражение "вскрыть причинно-следственные связи" означает понять динамику промежуточных процессов. При этом предполагается, что причина и следствие соизмеримы. Для устойчивых и нейтральных процессов это имеет место.

В неустойчивых процессах ситуация иная: очень "малая" причина приводит к следствию, которое по масштабу несоизмеримо с причиной. Обычно в таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не малое начальное воздействие. Но тогда происходит подмена понятий: в качестве причины фигурирует внутреннее состояние нелинейной системы, а не внешнее воздействие, и внезапное качественное изменение поведения системы при изменении некоторого ее параметра принято обозначать термином "бифуркация". Числа ЛЯПУНОВА являются собственными числами нелинейной системы, они не зависят от начальных условий и внешних возмущений. Значит, устойчивость или неустойчивость есть внутреннее свойство системы, а отсюда следует, что неустойчивость можно рассматривать в качестве причины определенных следствий в неустойчивой нелинейной системе. В неустойчивых системах понятие "абсолютно изолированная система" теряет смысл, поэтому эволюционирующая система не может быть изолированной.

Хаос представляет собой реально существующее причудливое и устойчивое нелинейное явление, кото-

рое трудно проанализировать. Издавна многие исследователи обращали внимание на хаос, но, приняв его за физический шум, не занимались изучением явления. Сведения о тех или иных проявлениях хаоса имеются практически во всех дисциплинах: астрономии, биологии, биофизике, химии, электротехнике и др.

Из фундаментальных курсов по теории систем известно, что отклик всех устойчивых линейных систем содержит две составляющие, одна из которых соответствует переходному процессу, а другая - установившемуся состоянию. При этом отклик в установившемся состоянии может представлять собой либо константу, либо периодическое решение. Это заключение настолько прочно входит в сознание инженеров, что большинство из них подсознательно экстраполирует его и на случай нелинейных систем. Хаос представляет собой особую форму поведения некоторой нелинейной системы в установившемся состоянии; как стало известно, при наличии нелинейностей существует диапазон параметров элементов, при котором поведение системы в установившемся состоянии оказывается хотя и ограниченным, но непериодическим. Колебания приобретают случайный характер и имеют не дискретный спектр, как в периодическом случае, а широкий непрерывный.

Кроме того, поведение системы оказывается столь чувствительным к начальным условиям, что долговременное прогнозирование точного решения становится невозможным. Такая высокая "чувствительность к вариациям начальных условий есть лишь одно из характерных проявлений хаотического поведения.

Знание собственных значений и собственных векторов матрицы коэффициентов линейной системы позволяет записать решение в замкнутом виде. В отличие от этого замкнутые решения могут быть получены лишь для небольшого числа нелинейных систем, вследствие чего решающая роль в отыскании и анализе решений различных нелинейных систем отводится методам уисленного моделирования. Но это никоим образом не затрагивало основополагающий научный принцип, заключающийся в том, что детерминированные системы по своей сути являются предсказуемыми: при заданных уравнениях и начальных условиях режим нелинейной системы может быть предсказан на любой интервал времени. Открытие хаотических режимов доказало неправомерность такой точки зрения. Хаотическая система представляет собой детерминированную систему, которая ведет себя случайным образом.

НПУКП И ОБРАЗОВАНИЕ

13

Проникновение в сущность изучаемых сложных явлений в нелинейных системах стало возможным благодаря применению и развитию идей и методов, выдвинутых и разработанных А. Пуанкаре (метод секущей плоскости, отображение исследования), А. М. Ляпуновым (метод показателей, метод размерности), И Пригожиным, Г. Хакеном, Я. Г. Синаем и многими другими зарубежными и отечественными учеными.

С практической точки зрения под хаотическим можно понимать такое поведение, которое н§ сводится ни к положению равновесия, ни к периодическому, ни к квазипериодическому решению. При этом возникает вопрос: если хаос не сводится ни к одному из указанных случаев, тогда каковы же его проявления? Анализ спектра хаотических траекторий оказывается достаточным для решения такой задачи. Предельное множество для траекторий нелинейных систем с хаотическим поведением не может иметь вид простого геометрического объекта (окружность, эллипс, тор), но оказывается по своей структуре подобным фракталам и канторовым множествам. Другим свойством хаотических нелинейных систем является высокая чувствительность к вариациям начальных условий. Это означает, что если заданы две различные начальные точки, располагаемые относительно друг друга на сколь угодно близком расстоянии, то траектории, исходящие из этих точек, будут расходиться до тех пор, пока они не перестанут быть коррелированными. На практике никогда нельзя точно задать начальное состояние нелинейной системы. Оно обычно оказывается известным лишь с определенной допустимой погрешностью е>0. Это значит, что если два начальных условия х0 и х0' отстоят друг от друга на расстояние меньше е, различить их нельзя. Однако по истечении конечного времени решения Я((х0) и Р,(х0') будут расходиться и перестанут быть связанными друг с другом. Поэтому независимо от того, сколь точно известно начальное условие, долговременное поведение хаотической нелинейной системы никогда не может быть предсказано.

Состояние нелинейной системы можно измерить с точностью, определяемой разрешающей способностью е. Это означает, что если наблюдаемое состояние нелинейной системы представляется точкой х, то ее фактическое состояние находится в некоторой точке множества А (х). Предположим, что имеются два наблюдателя, которые производят измерение состояния нелинейной системы в два разных момента времени. Пусть наблюдатель 1 установил, что состояние нелинейной системы в момент времени ^ соответствует точке хг а наблюдатель 2 установил, что состояние нелинейной системы в момент ^^ времени соответствует точке х2. Спрашивается, кто из них больше знает о состоянии нелинейной системы, наблюдатель 1 или наблюдатель 2?

Наблюдатель 1 знает, что в момент времени точка, соответствующая состоянию нелинейной системы, располагается внутри области А (х1), откуда следует, что точка, соответствующая состоянию нелинейной системы в момент времени 1-, должна располагаться внутри области Р(1 С(А (х1)). Наблюдатель 2 знает, что в момент времени точка, соответствующая состоянию нелинейной системы, располагается внутри области А(х2).

Для нелинейной системы поток Р, называется сжимающим, если для любого хп*х0' и любого 1>0 выполняется неравенство | Р,(х0)-Р((х0')< 11 х0-х0' 11, и растягивающим в противоположном случае.

Если отображение (поток) Р, является сжимающим, область Ро^А^х,)) есть строгое собственное подмножество А (х2), вследствие чего наблюдатель 1 знает в момент времени состояние нелинейной системы более точно, чем наблюдатель 2 в момент времени Ц. Если отображение Р, является растягивающим потоком, то наблюдатель 2, производящий измерение позднее, знает в момент времени ^ состояние нелинейной системы более точно, чем наблюдатель 1 в момент времени поскольку подмножество А (х2) содержится в множестве Ра.и(А (х,)).

Итак, для сжимающих нелинейных систем более точный результат получается, если не наблюдать состояние системы в момент времени 12, а производить предсказание состояния в момент 12 на основе состояния в момент 1г При этом чем больше разность тем выше точность такого предсказания. Значимость начального условия для предсказания последующих состояний нелинейной системы возрастает со временем. С другой стороны, в случае расширяющей нелинейной системы значимость начального условия для предсказания последующего состояния со временем падает; более точный результат будет получаться, если производить наблюдения в момент времени а не делать предсказаний.

Изложим концептуальные соображения относительно того, что в конечном счете ограничивает предсказуемость состояния нелинейной системы. Понимание ограниченных возможностей предсказания связано с исследованием сложных движений типа гомо-клинических структур, погрешностей в начальных условиях и качественно новым представлением о локальной неустойчивости поведения большинства сложных систем.

Обоснованные и разработанные к настоящему времени математические структуры позволяют ввести неопределенность в описание физических объектов тремя различными способами. Строго доказана взаимная несводимость этих способов.

Первый способ составляет содержание классической теории вероятностей, на основе которой построена кинетическая теория материи. Его физическая сущность заключается в наличии скрытых параметров системы, недоступных наблюдению, учету, и рождающих неопределенность как следствие неполноты знания.

Второй способ используется в квантовой механике и дает возможность описать взаимодействие микрообъектов. В концепции квантовой механики части целостного образования (системы) существуют виртуально. В этом заключается свойство квантовой неразделимости.

Третий способ связан со взаимодействием внутренних процессов макросистем. Если состояние системы нелинейно зависит от трех и более процессов, то оно может оказаться неустойчивым. Последовательность состояний системы окажется асимптотическим приближением к последовательности неустойчивых ветвящихся решений. Это означает, что при одних и тех же

14

НП9КН И ОБРАЗОВАНИЕ

условиях состояния системы (или идентичных систем) не тождественны, а асимптотически близки. Однако ввиду кумулятивное™ малые отклонения могут быть усилены до сколь угодно большой величины, так что реальные состояния системы могут существенно отличаться несмотря на идентичность условий.

Независимо от природы нелинейной системы неустойчивость является источником внешней и внутренней неопределенности, порождает как неопределенность поведения, так и неопределенность отображения и самоотображения. Любая неустойчивость в благоприятных для ее развития условиях может расти как снежный ком, порождая новые и новые области неопределенности. С другой стороны, неустойчивость является средством адаптации и поиска рационального поведения, поскольку из области квазистохазтицизма нелинейная система может быстрее и с меньшими затратами ресурсов сменить фазовую траекторию.

Широко обсуждается вопрос о механизмах влияния неустойчивости на разрушение упорядоченности и о возникновении упорядоченных структур в хаотических системах. Гораздо меньше внимания уделяется механизмам изменения структур через неупорядоченность. Во всем многообразии системных процессов все процессы развития связаны с нарушением устойчивости. Везде можно выявить неустойчивость как имманентный фактор и движущее начало. Самовзаимодействие систем является дезорганизующим, организующим и переформирующим.

Для хаотических нелинейных систем хара^ерно то, что оптимальное решение х° можно заменить некоторой областью Б в п-мерном пространстве и считать, что любое решение х из Б является оптимальным. Границы области Б находятся явно по известному алгоритму Таким образом, любая реальная нелинейная система не может быть абсолютно и исчерпывающе детализирована в пространстве состояний х в силу существования конечной области Б. Отсюда следует, что если режимы нелинейной системы не могут быть детализированы в пространстве состояний в исчерпывающем смысле, то описание их в пространстве состояний неизбежно приобретает неопределенно-вероятностный характер.

В связи с этим понимание реальных режимов нелинейных систем должно быть расширено до включения в него наряду с реализовавшимися режимами и потенциально возможных режимов. Все присущие нелинейной системе потенциально возможные режимы должны быть взаимосогласованными, что математически выражается условием нормировки. Перераспределение потенциальных возможностей в зависимости от реализовавшихся режимов носит объективный характер и математически выражается формулой Байеса.

Описание динамических систем требует привлечений понятий хаоса и порядка. Выяснилось, что хаос может появляться из упорядоченного, а порядок - из хаоса. Порядок и хаос не противостоят, а дополняют друг друга. Их нельзя одновременно применять к системе, только поочередно. Происходит непрерывный переход порядка в хаос и хаоса в порядок, причем на микроуровне превалирует переход упорядоченного в хаос, а на макроуровне - переход хаоса в порядок.

Представленные рассуждения имеют вполне опре-

деленные следствия в философском смысле Поскольку хаос и порядок - дополняющие друг друга состояния, то они не могут полностью компенсировать друг друга, никакое управление не уничтожит беспорядок, никакой хаос в управлении не уничтожит порядок. Категории сознания и материи взаимосвязаны и взаи-мопереплетены с понятием порядка и хаоса, причем материя связывается с хаосом, а сознание - с порядком. Если так, то сознание и материя есть комплиментарные философские категории, и на философской сцене они могут появляться только порознь, совместно же они появиться не могут. Вследствие этого основной вопрос философии о первичности материи или сознания, сознания или материи потерял право на существование. Материя и сознание - комплиментарные категории, как хаос и порядок. Главная гносеологическая ценность существующей комплиментарности хаоса и порядка, материи и сознания состоит в том, что любое суждение, сколь строго оно ни было бы доказано, в самой своей сущности содержит альтернативу и чем категоричнее суждение, тем глубже альтернатива. Это источник самой глубинной, саюой важной неопределенности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ковалев Ю.З., Федоров В.К. Детерминированные стохастические модели динамических систем. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 1995. - 212 с.

2. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // УФН. - 1989. - № 5. - С. 93-122.

3. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. - М.: Наука, 1974. -230 с.

4. МунФ. Введение в хаотическую динамику. -М.: Наука, 1990. - 140 с.

5. Пригожин И. От существующего к возникающему. -М.: Наука, 1985. -326 с.

6. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. - М.: Прогресс, 1986.-421 с.

7. Федоров В.К. Функциональная устойчивость и чувствительность электроэнергетических систем // Изв. СО АН СССР. Техн. науки.-1984.-Вып. 1, №4.-С. 120-124.

8. Федоров В. К. Вторая вариа.ция энтропии в статистическом анализе функциональной устойчивости электроэнергетических систем // Изв. вузов СССР. Энергетика. -1989. -№ 2. -С. 19-23.

9. Федоров В.К. Случайность и детерминированность в теории функциональной устойчивости электроэнергетических систем // Изв. вузов СССР. Энергетика. - 1990. -№12. -С. 8-14.

10 Федоров В.К. Формирование устойчивых структур плотности вероятностей отклонения частоты в электроэнергетических системах // Изв. СО АН СССР. Техн. науки.

- 1988. - Вып.4, № 15 - С. 39-46.

11. Федоров В.К. Инвариантность оптимальных решений при анализе угрожающих аварией режимов энергетических систем // Изв. вузов СССР. - Энергетика. - 1985. -№3.-С. 17-21.

12. Федоров В.К. Фактор неопределенности в задачах моделирования и оптимизации электроэнергетических систем. // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1986.

- № 6. - С. 153-155.

20'Марта 1998 г

Федоров Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой электроснабжения промышленных предприятий.