Численно-аналитический расчет продольного изгиба призматических упругих стержней при действии осевой сжимающей нагрузки с учетом собственного веса

УДК 624.04 DOI: 10.22227/1997-0935.2021.1.30-40

Численно-аналитический расчет продольного изгиба призматических упругих стержней при действии осевой сжимающей нагрузки с учетом собственного веса

С.Б. Языев, А.С. Чепурненко, А.А. Аваков

Донской государственный технический университет (ДГТУ); г. Ростов-на-Дону, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Рассмотрена проблема расчета устойчивости сжатых стержней с учетом их собственного веса. Получено разрешающее дифференциальное уравнение второго и четвертого порядка относительно безразмерного прогиба. Предложена методика численно-аналитического и численного решения полученного уравнения с использованием функции в виде степенного ряда и метода конечных разностей. В результате при численной реализации проблема была сведена к обобщенной задаче на собственные значения. Приведено сравнение с решением других авторов. Материалы и методы. Задача определения критических значений для стержней ставится как задача нахождения области определения этих значений в зависимости от граничных условий и безразмерных параметров а и ß, соответствующих сосредоточенной силе и распределенной нагрузке от собственного веса. В качестве функции, аппроксимирующей прогиб, выступает сходящийся степенной ряд с неопределенными коэффициентами. Решение задачи устойчивости призматического стержня выполняется в среде MatLab. Находятся значения а и ß, соответствующие минимуму критической нагрузки.

Результаты. Для апробации методики решен ряд задач и выполнено сравнение с известными решениями. Выводы. Предлагаемая методика, в отличие от аналитических решений, позволяет решить задачу с произвольной фиксацией концов стержня. Также можно учитывать изменяющуюся по длине жесткость и неоднородность стержня. Тестовые задачи показали хорошее согласие с литературными данными. В дальнейшем планируется разработать О о методику расчета с учетом ползучести. Показано более высокое качество аналитического решения по сравнению

с имеющимися методиками.

г г

*  КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: устойчивость, степенной ряд, изгиб, собственные значения, область устойчивости, крити-

> jfl ческая нагрузка

ц уд ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Языев С.Б., Чепурненко А.С., Аваков А.А. Численно-аналитический расчет продольного

N N

(О

изгиба призматических упругих стержней при действии осевой сжимающей нагрузки с учетом собственного веса //

Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. Вып. 1. С. 30-40. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.1.30-40

. i

и ф Numerical and analytical calculation of the buckling

gf of elastic prismatic rods under the action of axial compressive loading

g 1 with account for the dead load

CO >

л 13 _

^г с

° <° Serdar B. Yazyev, Anton S. Chepurnenko, Arthur A. Avakov

™ о

ОТ "

от E

a

Don State Technical University (DSTU); Rostov-on-Don, Russian Federation

~ <2 ABSTRACT

c o

o Introduction. The article addresses the problem of stability of compressed rods with regard for the dead load. A resolving

£= differential equation of the second and fourth order with respect to dimensionless deflection is obtained. A methodology

co underlying numerical-analytical and numerical solutions to the obtained equation is proposed. It employs the power series

o E and the finite difference method. As a result, the numerical solution is reduced to the generalized eigenvalue problem. A com-

fj o parison with the solution developed by other authors is provided.

cn Materials and methods. The problem of determining critical values, applicable to rods, is formulated as the task of iden-z tifying the domain of these values depending on the boundary conditions and dimensionless coefficients a and p that corOT £= respond to the concentrated force and the distributed load of the dead load. The function, approximating the deflection, — 2 represents the power series having indefinite coefficients. The objective function represents converging power series having

unknown coefficients. The solution to the stability problem of a prismatic rod is obtained in the MatLab environment. The val-O jjj ues of a and p are found; they correspond to the minimal critical load.

^ O Results. Several problems were solved and new solutions were compared with the well-known ones in order to test

the methodology.

S Conclusions. Unlike analytical solutions, the proposed methodology allows to solve the problem, if the ends of the rod are

¡E £ fixed arbitrarily. One can also take account of the rod stiffness that varies along the length, as well as the heterogeneity

jjj jg of the rod. Test problems show good convergence with the data provided in the sources. In the future, the methodology will

tQ > take account of creep. A higher quality analytical solution, surpassing other existing methods, is demonstrated.

© С.Б. Языев, А.С. Чепурненко, А.А. Аваков, 2021 Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial

KEYWORDS: stability, power series, bending, eigenvalues, stability domain, critical load

FOR CITATION: Yazyev S.B., Chepurnenko A.S., Avakov A.A. Numerical and analytical calculation of the buckling of elastic prismatic rods under the action of axial compressive loading with account for the dead load. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(1):30-40. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.1.30-40 (rus.).

ВВЕДЕНИЕ

Вопросы расчета сжатых стержней на устойчивость исследуются многими авторами, из последних публикаций стоит отметить работы [1-19]. В статьях [1-3] рассматривается решение этой проблемы с учетом ползучести с использованием метода конечных разностей. В работах [4, 5] применен энергетический метод в форме Ритца - Тимошенко. Метод конечных элементов Бубнова - Галеркина [6-9] также может быть использован для расчета сжатых стержней, в том числе и при ползучести. Проблемы динамической устойчивости стержней обсуждаются в трудах [10-16]. В публикациях [17-19] для расчета устойчивости стержней подключен аппарат теории вероятностей. Однако ни в одной из указанных работ не изучаются вопросы устойчивости с учетом собственного веса. Существующие аналитические решения [20-24] применимы только для конкретных закреплений концов стержня.

Рассмотрим однородный, прямолинейный, вертикально расположенный стержень при произвольном закреплении его концов, испытывающий указанную нагрузку (сжимающая сила и собственный вес).

Выделим некоторый бесконечно малый участок стержня, отстающий от начала координат на расстоянии / в пределах интервала [0, х] и имеющий размер Ж (рис. 1):

Рис. 1. Элемент dt бесконечно малого участка стержня Fig. 1. Element dt of an infinitely small rod section

МА = q V (х )-V (г)] ¿г = ду (х )х - д^у (г

о о

Чтобы учесть все варианты закрепления, рассмотрим жесткую заделку, подвижную вдоль оси х (рис. 2).

Рис. 2. Принятая схема сил при составлении выражения для изгибающего момента в сечении Fig. 2. A pattern of forces used to make an equation describing the bending moment at a section

В этом случае в сечении А момент равен: М

С другой стороны, в случае малых деформаций, дифференциальное уравнение изогнутой оси будет следующим:

а 2у

dx

EI

Считаем, что в пределах рассматриваемого элемента v(t) = const, где v(t) — величина прогиба в центре бесконечно малого элемента dt; а [v(x) - v(t)] — d2v(x) _

где М(х) — изгибающий момент; Е — модуль Юнга материала; I — осевой момент инерции.

Тогда интегро-дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня принимает вид:

плечо, создаваемое нагрузкой д, действующей на бесконечно малый элемент М относительно точки А. Тогда момент, относительно данной точки составит:

dx2

1

" EI

Fv(x) +1 qv(x)x - q jv(t)dt > + Rx - M

< П

iH * k

G Г

S 2

0 CO n CO

1 О y 1

J to

^ I

n °

О 3

о о

О i

о n

E w § 2

о 66 > 6

t (

§9

0 )

1  .

. В

T

s

s У с о e к

Далее удобно представлять разрешающие уравнения в безразмерных величинах. Сделаем следую щую замену:

[у( х) = /у(ф);

х = /ф; г = /£; ,

ф; Ч(г) = /у©,

а2 у

ах2 /2 аф2

/2 аф2 / аф2

Выражение (3) с учетом (5) перепишем в безразмерных координатах:

хЛфу(ф) /ф -

/ аф2 /2 ф

Е1

Е1

_дТ ЕЕ

(

N N О О N N

¡г ш

и 3

> (Л

с «

и «в «о щ

!

Ф <и

о ё — ^

о

о У со <г

8 «

г  ^ от 13 от Е

Е о ^ с

ю о

£ « о Е

СП ^

£

ОТ О

«г? I ^

О (О

и £

аф2

где

2 Е/2 п3 д/3 М/ Я/2

а =-; в =-; да =-; г =-.

ЕЕ ЕЕ ЕС ЕЕ

а4у

аф4

а

аф2

ау(ф) а 2у(ф) ' ф-

аф

аф

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

ряда:

у(ф) = £4 фк

Ниже приведем с первой по четвертую производные v(ф):

аУ(ф) ^фк-1; ^ = !>(к- 1)Аф'-2;

аф

а Зу

аф *=з а 4у

аф4 к=4

аф к=2

= £к(к - 1)(к - 2) А'фк-3;

Для одинаковой степени при ф4, как, например, у 4-й производной, запишем (12) иначе:

ау(ф) V л (к 3)фк-4; а2у(Ф) = ЪАк-з(к - 3)Ф ;- _

аф к=4

п+2

= ЕАк-2 (к - 3)(к - 2)фк-4;

аф

к=4 2

ф ^ ^к (к - 1)фк1 = аф к~2

Слагаемое соотношения (3) в фигурной скобке с интегралом перепишем в относительных координатах:

Ет" /у

= ]Г Ак _3(к - 4)(к - 3)фк-4;

= £к (к - 1)(к - 2)(к - 3) Ак фк

а 4у

= £к (к - 1)(к - 2)(к - 3) Ак фк-4;

аф к=4

После подстановки соответствующих производных в уравнение (10) и, сократив на (к - 3), получим:

п п+2

£к(к - 1)(к - 2)Акфк-4 = а2 £Ак 2фк-4 -

. Е1 Е1 .

\ г г

- в3

п+1 п+3

к - 4

= 0.

Умножив выражение (7) на /, окончательно в безразмерных координатах представим:

а2у(ф) ф

ЕАк-3фк - 4 +ЕАк - 3(к - 4)Ф

[ к=4 к=5

Или, приравнивая коэффициенты при фк-4, по лучим:

[ а2 Ак _ 2 (к - 2) + р3 Ак _3(к - 3)]

а2у

Ак =--к к

Определим коэффициенты при ф0:

у(ф) = А + 4ф + А2ф2 + А3ф3 + Ак фк;

ау

к=4 2 , Л Л „3

Так как решение будет приведено и численно, для удобства интегрирования при различных граничных условиях продифференцируем выражение (8) дважды:

= А1 + 2 А2ф + 3 А3ф2 + 4 А4ф3 +

= 0.

Решение (10) будем искать в виде степенного

аф

+ 5А5ф4 + 6А;ф5...; а у(2ф) = 2А2 + 6А3ф +12А4ф2 +

аф

+ 20 А5ф3+30 А6ф\..;

а 2у(ф) , ,

ф-^ = 2 А2ф + 6 А3ф2 +12 А4ф3 +

аф

+ 20 А5ф4+30 А6ф5...;

а Зу

аф3

а 4у(ф) аф4

= 6А3 + 24А4ф + 60А5ф2 +120А,ф3...;

= 24А4ф +1204ф + 360А6ф2 ...;

Подставим соответствующие слагаемые при ф0 в (15):

[ а2 2 А2 + в3 А1 ]

А4 = -

24

Подставим соответствующие слагаемые при ф1 в (15):

[ а2 6 А3 + в34 А2 ]

А5

0

к=0

Рассмотрим граничные условия для различных 4. Защемление-защемление

закреплений стержня: 0"

1. Шарнир-шарнир "

v

аф аф

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

2. Шарнир-защемление

Был выполнен расчет стержней в соответствии V(0) = 0; 0 "(0) = 0; V(1) = 0; = 0; (19) с закреплениями, представленными на рис. 3-6.

оф2 оф Задача 1. Вариант закрепления стержня «шар-

3. Защемление-шарнир шр-шартр»

Рассмотрим более подробно задачу для стерж-"(0) = 0; °"(0) = 0; "(1) = 0; 0 "(1) = 0; (20) ня с учетом собственного веса при варианте закре-0ф 0ф пления «шарнир-шарнир» (рис. 3).

Рис. 3. Расчетная схема «шарнир-шарнир» Fig. 3. A hinge-hinge design pattern

Рис. 4. Расчетная схема «шарнир-защемление» Fig. 4. A hinge-pinch design pattern

< П

iH * k

G Г

S 3

0 CO § CO

1 о

У 1

J to i

О CD CO

Рис. 5. Расчетная схема «защемление-шарнир» Fig. 5. A pinch-hinge design pattern

Рис. 6. Расчетная схема «защемление-защемление» Fig. 6. A pinch-pinch design pattern

О 3 o

zs (

О i о §

СЛ

It — § 2

§ 0 о 66

r 6 t (

d = r =! О )

г?

. В

T

s У С О

e к

Из граничных условий:

v(0) = 0; ^ A = 0;

dv

= 0; ^ A2 = 0;

У(1) = 0; ^ ^Ак = 0 ^ к11 А + к13 4 = 0.

к=0

Чтобы определить ряд kll, используем ^Ак, но полагаем в этой сумме A = 1, A3 = 0.

Чтобы определить k13, используем ^Ак, но полагаем в этой сумме A1 = 0, A3 = 1.

^ = 0; ^^Ак _2(к - 3)(к - 2) =

= 0 ^ к31 А1 +к33 А3 = 0. Чтобы определить используем

п+2

^Ак-2 (к - 3)(к - 2), но полагаем в этой сумме A1 = 1,

A3 = 0.

Чтобы определить k13, используем

n+2

^Ak -2 (k - 3)(k - 2), но полагаем в этой сумме A1 = 0,

A3 = 1.

N N О О N N

¡г ш

U 3 > (Л С И

U «в

<о щ j

<D <u

О £ —

о

о У CD <f

3 «

Z  ^

w is

со IE — -b^

E is

cl°

• с

ю о

s ц

о E a> ^

£

со °

"S

I

il

О tn

Полученные соотношения запишем

[ к11 А1 + к13 А3 = 0 [к31 А1 + к33 А3 = 0 Условие существования ненулевых решений

D =

k11 k13

k31 k33

= 0 .

а в а в а в

0 2,648057 1,1 2,540819 2,2 2,135201

0,1 2,647209 1,2 2,519243 2,3 2,071442

0,2 2,644669 1,3 2,495281 2,4 1,999977

0,3 2,640422 1,4 2,468781 2,5 1,919087

0,4 2,634448 1,5 2,439619 2,6 1,826341

0,5 2,626722 1,6 2,407531 2,7 1,71802

0,6 2,617205 1,7 2,372278 2,8 1,587946

0,7 2,605857 1,8 2,333558 2,9 1,424479

0,8 2,592618 1,9 2,291001 3,0 1,200214

0,9 2,577424 2,0 2,244158 3,1 0,803247

1,0 2,560195 2,1 2,196462 3,141593 0,0

Графическая зависимость между а, в показана на рис. 7.

При а = п и в = 0, согласно выражению (9), получим формулу Л. Эйлера [25], а при а = 0 и в = 2,648057, согласно (9), получим формулу А.Н. Динника [22]:

i = 2,65

Зависимость на рис. 7 приближенно можно аппроксимировать следующей кривой [24]:

а2 + ар3 = Ъ.

Определив постоянные a и Ь при значениях а и в на осях, получим:

а2 + 0,532р3 = п2

или, учитывая

F + 0,532ql =

п2 EI

Последовательность численной реализации состоит в следующем: задается а = 0; 0,1; 0,2.. из условия D = 0, и определяем значения в путем решения нелинейного уравнения в среде MatLab с использованием функции fzero. Результаты приведены в таблице.

Зависимость коэффициентов в от а при закреплении «шарнир-шарнир»

Dependence of в coefficients on а for the hinge-hinge pattern

Рис. 7. Область устойчивости стержня, шарнирно закрепленного на концах

Fig. 7. The stability domain for a rod hinged at the ends

Резюмируя вышесказанное, отметим, что значения а и в, определяемые по формуле (24), т.е.

в =

0,532

лежат внутри области устойчивости, что идет в запас устойчивости. Эта зависимость на рис. 7 показана пунктирной линией.

Найдем сечение, где прогиб принимает наибольшее значение. Напомним, что мы рассматриваем случай «шарнир-шарнир» с учетом собственного веса.

k=4

2

k=4

С. 30-40

Граничные условия:

у(1) = 0;^ ¿Ак; кп А + кп Л3 = 0;

к =0

Чтобы определить ряд к11, используем ^Ак, олагаем в ней Л1 = 1, Л3 = 0. к=0

Чтобы определить к13, используем ^А*, но по-

лагаем в ней A = 0, A3 = 1.

dv(^) dip

= 0; ^ YjAk-3 (k - 3)фk 4; k* Al + k3*3 A3 = 0.

Чтобы определить к*1, используем ^Ак-3(к - 3)фк-4, но полагаем в ней Л1 = 1, Л3 = 0.

к=4

Чтобы определить к3*3, используем

1,5 ]

0,5 0

--а2 + 0,385Р3 = 20,19

- Аигюры / Co-authors

^Ak-3(k - 3)фk 4, но полагаем в ней A1 = 0, A3 = 1.

Откуда:

D =

k, к

1

k3*i k33

= 0.

Числовой поиск ведем, используя найденную зависимость между а и в (рис. 7), т.е. при а = 0 и в = 2,648057 находим д = 0,542750, а при а и в = 0 ^ д = 0,5.

Итак, максимальный прогиб лежит в пределах:

0,5/ < х„ < 0,542750/,

где

п2 Епр I F + 0,532q/ = —

E = Ii Ek +12 E

Епр- J ,

a

Рис. 8. Область устойчивости для стержня, верхний конец которого шарнирно закреплен, а нижний жестко зажат

Fig. 8. The stability domain for a rod, whose upper end is hinged and lower end is rigidly clamped

При a = 4,493407 и p = 0, учитывая (9), получаем формулу Ф.С. Ясинского [23]:

где х0 = 0,51, получится при q = 0, а х0 = 0,542750/ при Р = 0.

Отметим, что задача решалась в предположении, что материал стержня при сжатии не получает пластических деформаций, т.е. напряжения, возникающие при критических нагрузках, меньше предела пропорциональности. Отсюда, при гибкости стержня X большей применима формула (25) и наоборот.

В случае пластических деформаций, формула (25) принимает следующий вид:

FKP =

20,19EI

*_z_

/2

При a = 0 и р = 3,744452, учитывая (9), получаем формулу А.Н. Динника [22]:

/ = 3,74.3

кр '

Определив постоянные а и Ь при значениях а и в на осях в выражении (8), приближенную зависимость в данном случае получим в следующем виде:

а2 + 0,385Р3 = 20,19 или, учитывая (9):

20,19Е1

F + 0,385q/ = -

/2

где I и I — моменты инерции зон догрузки и разгрузки относительно нулевой линии; I — момент инерции всего сечения относительно центральной оси; Ек — касательный модуль.

Задача 2. Вариант закрепления стержня «шарнир-защемление»

Рассмотрим стержень, у которого верхний конец шарнирный, а нижний конец защемлен (рис. 4). Согласно граничным условиям (19), определяем коэффициенты Л0, Л2, числовой поиск аналогичен предыдущему. Зависимость между а и в приведена на рис. 8.

0,4/ < х„ < 0,46/,

< П

iH *к

G Г

0 со

n СО

1 2 У 1

J со

u-

^ I

n 0 o

=! (

2 i о n

CO CO

Q)

Отметим, что значения а и в, определяемые по приближенной зависимости, также лежат внутри области устойчивости (рис. 8), а наибольший прогиб при

где х0 = 0,4/, получится при q = 0, а х0 = 0,46/ при Р = 0.

Задача 3. Вариант закрепления стержня «защемление-шарнир»

Рассмотрим стержень, у которого верхний конец защемлен, а нижний конец шарнирный (рис. 5). Согласно граничным условиям (18), определяем коэффициенты Л0, Л2, а числовой поиск аналогичен предыдущему.

м со о

2 6 > §6 c я

h о

С n

ф ) н

о о» в

Т

(Л У

с о e к

k=0

k=4

k=4

Зависимость между а и в графически изображена на рис. 9. При а = 4,4934070 и в = 0, учитывая формулу (9), получаем формулу (28) Ф.С. Ясинского [23].

Рис. 10. Область устойчивости стержня с жестко зажатыми концами

Fig. 10. The stability domain for a rod that has rigidly clamped ends

N N

о о

N N

К ш U 3

> (Л

с и

to «в

<0 ф j

ф ф

О £

---' "t^

о

о У

8 «

™ . I

от

от IE

Е о с

ю о

S ц

о Е

СП ^ т- ^

от от

S

I

il

О (0

Рис. 9. Область устойчивости стержня, верхний конец которого жестко зажат, а нижний шарнирно закреплен Fig. 9. The stability domain for the rod, whose upper end is rigidly clamped, and the lower end is hinged

При а = 0 и в = 3,107555, учитывая выражение (9), уточняем формулу А.Н. Динника [22], у которого коэффициент 3,09:

1кр = 3,11.3/

F + 0,673ql = -

l2

0,6/ < х„ < 0,63l,

При а = 6,283186 и в = 0, учитывая (9), полу чаем формулу Ф.С. Ясинского [23]:

4п2 EI

Fp =

i2

При а = 0 и в = 4,210175, учитывая (9), корректируем формулу А.Н. Динника [22], у которого коэффициент 4,19:

ikp = 4,213

Приближенная зависимость (23) в такой схеме закрепления имеет следующий вид:

а2 + 0,673р3 = 20,19

или, учитывая (9):

20,19 Е1

Приближенная зависимость (23) в такой схеме закрепления имеет следующий вид:

а2 + 0,529Р3 = 4п2 или, учитывая выражение (9):

F + 0,529ql =

4п2 EI2

l2

Отметим, что значения а и в, определяемые по приближенной зависимости, также занижают точные значения. Наибольший прогиб (рис. 5) при

Отметим, что значения а и в, определяемые по приближенной зависимости, также лежат внутри области устойчивости (рис. 10), а наибольший прогиб (рис. 6) при

0,5/ < х„ < 0,545/,

где х0 = 0,61, получится при q = 0, а х0 = 0,63/, получается при Е = 0.

Задача 4. Вариант закрепления стержня «защемление-защемление »

Рассмотрим стержень, у которого верхний и нижний концы защемлены (рис. 6). Согласно граничным условиям (21), определяем коэффициенты А0, А2, а числовой поиск аналогичен предыдущему. Зависимость между а и в приведена на рис. 10.

где х0 = 0,5/, получится при q = 0, если действует только сила Е, а при х0 = 0,545/ получается от действия собственного веса.

Все представленные выше задачи решены также численно, в частности, методом конечных разностей. Для реализации метода сеток интервал % е [0; 1] разбивается на N частей с шагом Д%, а производные в уравнении (10) и в граничных условиях заменяются сеточными.

С. 30-40

Задачи сводятся к системе линейных алгебраических уравнений формы:

([А] + а2 [В] + в3 [С]){Х} = 0,

где {X} = {V,

V V3 .. Vи-l VJ вектор безразмерных перемещений узлов. Здесь соответствующие матрицы [Л], [В], [С] имеют формы:

И =

Дф4

-4 1 0 0 0

-4 6 -4 1 0 0 . 0 0 0 0 0 0

1 -4 6 -4 1 0 . 0 0 0 0 0 0

0 1 -4 6 -4 1 . 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 . 1 -4 6 -4 1 0

0 0 0 0 0 0 . 0 1 -4 6 -4 1

0 0 0 0 0 0 . 0 0 1 -4 6 -4

0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 1 -4 д

0 0 0 0 0 0

[С ] =

Дф2

0

[В]=

Дф2

Дф

-2ф2 ф2 + у

Дф Дф

ф3-2ф3 ф3 +— 0 0 •

"-2 1 0 0 0 . 0 0 0 0

1 -2 1 0 0 . 0 0 0 0

0 1 -2 1 0 . 0 0 0 0

0 0 0 0 0 . 1 -2 1 0

0 0 0 0 0 . 0 1 -2 1

0 0 0 0 0 . 0 0 1 -2

0 0 0 0 0

Дф

Дф

ф4--Г" -2ф4 ф4 + ~ 0 •

00

00

00

где ф,. = (, -1)Дф.

Коэффициент а22 в матрице [Л] равен 5, если верхний конец шарнирно закреплен, и 7, если он жестко защемлен. Аналогичным образом определяется коэффициент а для нижнего конца.

Система (39) однородна и имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю:

-2фи

Дф п

фИ-2 0

Дф 2

Дф Дф

ф«-1 - "у -2фи-1 фи + у

0

Дф

фи —— -2фи

|[А] + а2 [В] + р3 [С] = 0.

Для известных а, проблема нахождения X = в3 является обобщенной проблемой собственных значений. Точно так же, зная в, несложно найти а. Расхождение с численно-аналитическим решением составляет менее 0,01 %.

< п

I* *к

о Г и 3

о со

п С/з У 1

о со

и-

^ I

п ° о

з (

2 7

о п

со со

0)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

Предлагаемая методика, в отличие от аналитических решений, позволяет решить задачу с произвольной фиксацией концов стержня. Также возможно учитывать изменяющуюся по длине жесткость и неоднородность стержня. Тестовые задачи показали хорошее согласие с литературными данными. В дальнейшем планируется развитие методики расчета с учетом деформаций ползучести.

Анализируя формулы (25), (32), (35), (39), сделаем вывод, что распределенная нагрузка в виде собственного веса может быть заменена эквивалентной

м

СО

о 2 6 > §6 с я

^ о

с п

2 ) ¡м

о о» в  г

(Л п

(Я у

с о

е к

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

ф

0

0

0

0

сосредоточенной силой на верхнем конце, которая равна определенной доле от общего веса стержня. В случае закрепления шарнир-шарнир эта доля со-

ставляет 53,2 %, а в случаях закрепления шарнир-защемление, защемление-шарнир и защемление-защемление — 38,5; 67,3 и 52,9 % соответственно.

ЛИТЕРАТУРА

N N О О N N

¡É Ш

U 3

> (Л

С И

ta «в

<о ф j

<D <u

О ё —'

o

о У

8 « ™ . I

ОТ 13 от Е

Е о с

ю о

S ц

о Е

СП ^ т- ^

от от

^ i £ w

Ig ^ ES

О (П №

1. LitvinovS.V., KlimenkoE.S., KulinichI.I., Yazye-va S.B. Longitudinal bending of polymer rods with account taken of creep strains and initial imperfections // International Polymer Science and Technology. 2015. Vol. 42. No 2. Pp. 23-25. DOI: 10.1177/0307174X1504200206

2. Andreev V.I., TsybinN.Y. On the stability of rod with variable cross-section // Procedía Engineering. 2015. Vol. 111. Pp. 42-48. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.07.033

3. Andreev V.I., BarmenkovaE.V. Iterative method of optimization of stress state of column under eccentric compression // Procedia Engineering. 2014. Vol. 91. Pp. 20-25. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.12.005

4. Yazyev S.B., Kozelskaya M.Yu., Strelnikov G.P., Litvinov S.V. Energy method in solving the problems of stability for a viscoelastic polymer rods // MATEC Web of Conferences. 2017. Vol. 129. P. 05010. DOI: 10.1051/ matecconf/201712905010

5. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 1004-1005. Pp. 257-260. DOI: 10.4028/www.scientific.net/AMR.1004-1005.257

6. Yazyev B.M., Yazyev S.B., Grinev A.P., Bri-tikova E.A. The Definition of a Critical Deflection of Compressed Rods with the Creep by the Method of Bubnov-Galerkin // Material Science Forum. 2018. Vol. 931. Pp. 127-132. DOI: 10.4028/www.scientific. net/MSF.931.127

7. Danilova-Volkovskaya G.M., Chepurnenko A.S., Begak A., Savchenko A.A. Calculation of the bending of electromechanical aircraft element made of the carbon fiber // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2017. Vol. 90. DOI: 10.1088/17551315/90/1/012046.

8. Veremeenko A.A., Chepurnenko A.S., Shve-tsov P.A., Zorchenko L.A., Yazyev S.B. Finite-element modeling of loading of spring from an orthotopic material // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2017. Vol. 90 DOI: 10.1088/17551315/90/1/012099.

9. Jan Walczak J., Sieniawski J., Bathe K. On the analysis of creep stability and rupture // Computers & Structures. 1983. Vol. 17. Pp. 783-792

10. Aslan T.A., Noori A.R., Temel B. Dynamic response of viscoelastic tapered cycloidal rods // Mechanics Research Communications. 2018. Vol. 92. Pp. 8-14. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2018.06.006

11. Chirkunov Yu.A. Non-linear longitudinal oscillations of a viscoelastic rod in Kelvin's model // Journal

of Applied Mathematics and Mechanics. 2015. Vol. 79. Pp. 506-513. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2016.03.012

12. Eratli N., Argeso H., Qalim F.F., Temel B., Omurtag M.H. Dynamic analysis of linear viscoelastic cylindrical and conical helicoidal rods using the mixed FEM // Journal of Sound and Vibration. 2014. Vol. 333. Pp. 3671-3690. DOI: 10.1016/j.jsv.2014.03.017

13. Khudayarov B.A., Turaev F.Zh. Mathematical simulation of nonlinear oscillations of viscoelastic pipelines conveying fluid // Applied Mathematical Modelling. 2016. Vol. 66. Pp. 662-679. DOI: 10.1016/j. apm.2018.10.008

14. Zhe Ding, Li Li, Jianyi Kong, Li Qin. A modal projection-based reduction method for transient dynamic responses of viscoelastic systems with multiple damping models // Computers & Structures. 2018. Vol. 194. Pp. 60-73. DOI: 10.1016/j.compstruc.2017.09.004

15. Liu Y., Wang M. A model and numerical study for coiling of Kelvin-type viscoelastic filament // Mechanics Research Communications. 2015. Vol. 70. Pp. 17-23. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2015.09.001

16. Lang H., Arnold M. Numerical aspects in the dynamic simulation of geometrically exact rods // Applied Numerical Mathematics. 2012. Vol. 62. Pp. 1411-1427. DOI: 10.1016/j.apnum.2012.06.011

17. Potapov V.D. Stability of a viscoelastic rod subject to a random stationary longitudinal force // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1992. Vol. 56. Pp. 90-95. DOI: 10.1016/0021-8928(92)90101-D

18. Potapov V.D., Marasanov A.Y. The investigation of the stability of elastic and viscoelastic rods under a stochastic excitation // International Journal of Solids and Structures. 1997. Vol. 34. Pp. 1367-1377. DOI: 10.1016/S0020-7683(96)00128-X

19. Deng J.W., Xie C., Pandey M.D. Higher-order stochastic averaging to study stability of a fractional viscoelastic column // Journal of Sound and Vibration. 2014. Vol. 333. Pp. 6121-6139. DOI: 10.1016/j. jsv.2014.06.012

20. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. : Физматлит, 1967. 984 с.

21. Timoshenko S. Stabilitätsprobleme der Elas-tizitat // Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik. Vol. 1. Leipzig, 1929. Pp. 81-145.

22. ДинникА.Н. Продольный изгиб при действии собственного веса // Известия Алексеевского Донского политехнического института. 1912. Т. 1. С. 19-46.

23. Ясинский Ф. С. Избранные работы по устойчивости сжатых стержней. М.; Л. : Гостехиздат, 1952. 428 с.

24. Белоусов В.П. Устойчивость плоской формы изгиба стержней переменного поперечного сечения. Динамика твердого тела. Алма-Ата, 1982. С. 17-25.

Поступила в редакцию 14 декабря 2020 г. Принята в доработанном виде 20 января 2021 г. Одобрена для публикации 21 января 2021 г.

25. Euler L. Methodus inveniendi lineas eurvas maximi minimive propietate gaudentes sive solution problematic isoperimetric lentissimo sensu accept // Lausanne et Genevae. 1744. Pp. 245-250.

Об авторах: Сердар Батырович Языев — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры технической механики; Донской государственный технический университет (ДГТУ); 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162; РИНЦ ID: 976399, Scopus: 57190970024, ORCID: 0000-0002-7839-7381; russiangel@mail.ru;

Антон Сергеевич Чепурненко — кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов; Донской государственный технический университет (ДГТУ); 344022, г Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162; РИНЦ ID: 778841, Scopus: 56056531000, ResearcherlD: E-4692-2017, ORCID: 0000-0002-91338546; anton_chepurnenk@mail.ru;

Артур Артурович Аваков — кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов; Донской государственный технический университет (ДГТУ); 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162; РИНЦ ID: 809018, Scopus: 57190967607; streetdriving@mail.ru.

REFERENCES

1. Litvinov S.V., Klimenko E.S., Kulinich I.I., Ya-zyeva S.B. Longitudinal bending of polymer rods with account taken of creep strains and initial imperfections. International Polymer Science and Technology. 2015; 42(2):23-25. DOI: 10.1177/0307174X1504200206

2. Andreev V.I., Tsybin N.Y. On the stability of rod with variable cross-section. Procedia Engineering. 2015; 111:42-48. DOI: 10.1016/j.proeng.2015.07.033

3. Andreev V.I., Barmenkova E.V. Iterative method of optimization of stress state of column under eccentric compression. Procedia Engineering. 2014; 91:20-25. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.12.005

4. Yazyev S.B., Kozelskaya M.Yu., Strel-nikov G.P., Litvinov S.V. Energy method in solving the problems of stability for a viscoelastic polymer rods. MATEC Web of Conferences. 2017; 129:05010. DOI: 10.1051/matecconf/201712905010

5. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. Energy method in the calculation stability of compressed polymer rods considering creep. Advanced Materials Research. 2014; 1004-1005:257-260. DOI: 10.4028/ www.scientific.net/AMR.1004-1005.257

6. Yazyev B.M., Yazyev S.B., Grinev A.P., Bri-tikova E.A. The Definition of a Critical Deflection of Compressed Rods with the Creep by the Method of Bub-nov-Galerkin. Material Science Forum. 2018; 931:127132. DOI: 10.4028/www.scientific.net/MSF.931.127.

7. Danilova-Volkovskaya G.M., Chepurnenko A.S., Begak A., Savchenko A.A. Calculation of the bending of electromechanical aircraft element made of the carbon fiber. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2017; 90. DOI: 10.1088/17551315/90/1/012046

8. Veremeenko A.A., Chepurnenko A.S., Shve-tsov P.A., Zorchenko L.A., Yazyev S.B. Finite-element modeling of loading of spring from an orthotopic material. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2017; 90. DOI: 10.1088/1755-1315/ 90/1/012099

9. Jan Walczak J., Sieniawski J., Bathe K. On the analysis of creep stability and rupture. Computers & Structures. 1983; 17:783-792.

10. Aslan T.A., Noori A.R., Temel B. Dynamic response of viscoelastic tapered cycloidal rods. Mechanics Research Communications. 2018; 92:8-14. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2018.06.006

11. Chirkunov Yu.A. Non-linear longitudinal oscillations of a viscoelastic rod in Kelvin's model. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2015; 79:506-513. DOI: 10.1016/j.jappmathmech.2016.03.012

12. Eratli N., Argeso H., Çalim F.F., Temel B., Omurtag M.H. Dynamic analysis of linear viscoelastic cylindrical and conical helicoidal rods using the mixed FEM. Journal of Sound and Vibration. 2014; 333:36713690. DOI: 10.1016/j.jsv.2014.03.017

13. Khudayarov B.A., Turaev F.Zh. Mathematical simulation of nonlinear oscillations of viscoelastic pipelines conveying fluid. Applied Mathematical Modelling. 2016; 66:662-679. DOI: 10.1016/j.apm.2018.10.008

14. Zhe Ding, Li Li, Jianyi Kong, Li Qin. A modal projection-based reduction method for transient dyna-mic responses of viscoelastic systems with multiple damping models. Computers & Structures. 2018; 194:60-73. DOI: 10.1016/j.compstruc.2017.09.004

< П

i H * к

G Г

S 2

0 С/з § С/3

1 о

y 1

J со

u-

^ I

n °

O 3 o

zs (

O i о §

§ 2 n g

о 6

A CD

Г 6 t ( an

O )

¡Í

о о» в

г

s

s У с о e к

15. Liu Y., Wang M. A model and numerical study for coiling of Kelvin-type viscoelastic filament. Mechanics Research Communications. 2015; 70:17-23. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2015.09.001

16. Lang H., Arnold M. Numerical aspects in the dynamic simulation of geometrically exact rods. Applied Numerical Mathematics. 2012; 62:1411-1427. DOI: 10.1016/j.apnum.2012.06.011

17. Potapov V.D. Stability of a viscoelastic rod subject to a random stationary longitudinal force. Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 1992; 56:90-95. DOI: 10.1016/0021-8928(92)90101-D

18. Potapov V.D., Marasanov A.Y. The investigation of the stability of elastic and viscoelastic rods under a stochastic excitation. International Journal of Solids and Structures. 1997; 34:1367-1377. DOI: 10.1016/ S0020-7683(96)00128-X

19. Deng J.W., Xie C., Pandey M.D. Higher-order stochastic averaging to study stability of a fractional

viscoelastic column. Journal of Sound and Vibration. 2014; 333:6121-6139. DOI: 10.1016/j.jsv.2014.06.012

20. Volmir A.S. Stability of deformable systems. Moscow, Fizmatlit, 1967; 984. (rus.).

21. Timoshenko S. Stabilitätsprobleme der Elastizität. Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik. Vol. 1. Leipzig, 1929; 81-145. (ger.).

22. Dinnik A.N. Buckling under the action of its own weight. Izvestia of the Alekseevsk Don Polytechnic Institute. 1912; 1:19-46. (rus.).

23. Yasinsky F.S. Selected works on the stability of compressed rods. Moscow-Leningrad, Gostekhizdat, 1952; 428. (rus.).

24. Belousov V.P. Stability of the plane bending of the rods of variable transverse section. Dynamics of a rigid body. Alma-Ata, 1982; 17-25. (rus.).

25. Euler L. Methodus inveniendi lineas eurvas maximi minimive propietate gaudentes sive solution problematic isoperimetric lentissimo sensu accept. Lausanne et Genevae. 1744; 245-250.

Received December 14, 2020.

Adopted in revised form on January 20, 2021.

Approved for publication on January 21, 2021.

r r

N N

(VN Bionotes: Serdar B. Yazyev — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of

T- T- the Department of Technical Mechanics; Don State Technical University (DSTU); 162 Socialisticheskaya st., Ros-

tov-on-Don, 344022, Russian Federation; ID RISC: 976399, Scopus: 57190970024, ORCID: 0000-0002-7839-7381; russiangel@mail.ru;

Anton S. Chepurnenko — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Strength of Materials; Don State Technical University (DSTU); 162 Socialisticheskaya st., Rostov-on-Don, 344022, Russian § Federation; ID RISC: 778841, Scopus: 56056531000, ResearcherID: E-4692-2017, ORCID: 0000-0002-9133-8546;

3

H 0

U 3

> in

E M

to <0

(O

2

q — anton_chepurnenk@mail.ru; u O

. > Arthur A. Avakov — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor of the Department of Strength of

Id ö) Materials; Don State Technical University (DSTU); 162 Socialisticheskaya st., Rostov-on-Don, 344022, Russian

O ä — "t^ o

o ££ CD <f

3 «

z  i w « ot E

E o

CL° c

Ln O

s H

o E

CD ^

CO o

s

I ^

is

Ü (0

Federation; ID RISC: 809018, Scopus: 57190967607; streetdriving@mail.ru.