О некоторых методических особенностях обучения школьников решению геометрических задач векторным методом

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами а, Ь, с и d.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке а, Ь, с и d значение производной функции в ней.

Приведенные примеры заданий не исчерпывают все возможности технологии «drag and drop». Создание банка заданий с использованием ИКТ и внедрение его в учебный процесс параллельно с идеей обучения с использованием современных методов и средств вычислительной техники, а также контроля качества образования в форме компьютерного тестирования позволит повысить эффективность учебного процесса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ляхова, Н.Е. Обучающая модель решения текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2006. № 1. - С. 73-80.

2. Ляхова, Н.Е. Применение производной в элементарной математике // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2010. -№ 1. - С. 49-56.

3. Кочагина ,М.Н. Электронные образовательные ресурсы в работе учителя математики. Вестник Московского городского педагогического университета. Серия: Педагогика и психология. 2007. № 2. - С. 156.

4. Кочагина, М.Н. Использование математических игр для развития математической грамотности и культуры учащихся. В сборнике: Тенденции и перспективы развития математического образования Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов, посвященного 100-летию ВятГГУ. 2014. - С. 342-344.

В.В. Сидорякина, О.А. Тулинова, Е.В. Кружилина

О НЕКОТОРЫХ МЕТОДИЧЕСКИХ ОСОБЕННОСТЯХ ОБУЧЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ВЕКТОРНЫМ МЕТОДОМ

Аннотация. Одним из эффективных математических методов, осваиваемых учащимися в школе, является векторный метод. Проблема усовершенствования содержания и методов обучения математике в школе в свете современных требований с необходимостью включает совершенствование методики обучения школьников векторному методу. Данная работа посвящена рассмотрению указанных вопросов.

Ключевые слова: геометрическая задача, обучение решению задач, векторный метод.

V.V. Sidoryakina, O.^ Tulinova, E.V. Kruzhilina

SOME METHODICAL FEATURES OF TRAINING OF SCHOOLBOYS TO SOLVE GEOMETRY TASKS VECTOR METHOD

Abstract. One of the effective mathematical methods mastered by students in the school, is a vector method. The problem of improving the content and methods of teaching mathematics at school in the light of modern requirements with the need to include the improvement of methods of teaching students the vector method. This work is devoted to the consideration of these issues.

Key words: geometric problem, learning problem solving, vector method.

При реализации образовательных программ основного среднего (полного) общего образования, ориентируясь на требования Федерального государственного образовательного стандарта, следует формировать у учащихся умения по использованию различных методов и приемов освое-

261

ния нового знания. Усилия школы и каждого отдельного педагога должны быть направлены на создание условий, при которых осуществляется полноценное развитие интеллекта школьников, формирование их творческих способностей. Соответственно, приоритетными целями современной школы в области математического образования является осознанный взгляд на математику, как на универсальный язык науки, понимание того, что она служит средством моделирования реальных явлений и процессов, формирование представлений об идеях и методах математики [1].

По праву векторный метод считается одним из универсальных методов геометрии. Широкие возможности использования векторного аппарата и его значение в наращивании математической культуры школьников трудно переоценить. Векторный способ решения разнообразных геометрических задач значительно упрощает их решение средствами элементарной геометрии. Мотивом этого упрощения является то, что при векторном способе решения задачи можно обойтись без добавочных построений, которые подводятся под базу чисто геометрического решения даже самых простых задач [2]. Владение знаниями, связанными с операциями над векторами, коллинеарностью двух векторов и компланарностью трех векторов, дают возможность школьникам решать аффинные задачи стереометрии в векторной форме. Векторный метод позволяет находить эффективное решение и ряда прикладных задач физики и астрономии.

Отметим, что в разные периоды времени вопросами, связанными с векторным методом решения геометрических задач, занимались ученые в области физики, математики и методики, такие как Р. Декарт, Ж. Арган, З.А. Скопец, А.Н. Колмогоров, А.Д. Александров, В.А Гусев, Ю.М. Калягин, Т.А. Иванова и др. В настоящее время имеется несколько подходов к определению понятия вектор, определены действия над векторами, выделен круг задач, решаемых с помощью векторного метода, выявлены умения и навыки, позволяющие применять векторный метод на практике. С этой целью построены частные методики, направленные на обучение школьников векторам и векторному способу решения задач. Все они базируются на соображении о том, что первостепенное назначение векторов связано с использованием алгебраического аппарата при решении геометрической задачи.

Несмотря на все это, многие специалисты отмечают, что некоторые учителя, студенты, а тем более школьники, затрудняются использовать векторный метод для решения содержательных задач.

Вышесказанное дает возможность выделить некоторое существующее противоречие между необходимостью обучения учащихся векторному методу решения геометрических задач и недостаточно отведенному вниманию этому методу на практике. Cформулированное противоречие определило актуальность данной темы. В работе рассмотрены некоторые особенности изучения векторного метода в процессе решения геометрических задач на основе алгоритма освоения указанного метода.

Алгоритм освоения векторного метода:

1) вычленяются ключевые объекты и в структуру геометрической задачи вводятся ключевые векторы;

2) перевод соотношений между объектами задачи к соотношениям между введенными векторами;

3) выделение базиса и/или фиксирование системы координат;

4) использование вспомогательных векторов, составление соотношений между векторами, векторных равенств и неравенств;

5) разложение векторов по базису, определение координат рассматриваемых векторов;

6) преобразование полученных соотношений средствами векторной алгебры, получение новых соотношений;

7) переход от полученных соотношений между векторами к соотношениям между объектами задачи.

Покажем алгоритм векторного метода на примере решения следующих задач.

Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

I. Ознакомление с задачей. Составление чертежа (рис. 1). Краткая запись условия и требования. Установление соотношений между объектами задачи.

в

с

А

D

Рис. 1

Дано: АВСБ - трапеция, АМ = МС, BN = N0. Доказать: МИ || АБ, рис. 1.

Доказательство. Из условия задачи следуют соотношения:

Ам = -Тй:, Ш = -в1.

2 2

II. Введение в структуру задачи векторов, выделение «ключевых» векторов. Рассмотрим векторы МИ, АН .

III. Переход от соотношений между объектами задачи к соотношениям между введенными векторами.

Покажем, что векторы МЛ/, АШ коллинеарны.

IV. Введение базиса, разложение векторов по базису, использование «вспомогательных» векторов.

Пусть АВ = а, 1С = Ь, АО = с.

Запишем вектор МЛ в виде линейной комбинации векторов а,Ь и с:

Ш = АЙ - Ж = ^ (а + с) - ^Ь = ^ (а - Ь + с).

V. Составление соотношений между векторами, векторными равенствами. Заметим, что

ВС = ДАО; Ь - а = Ас.

VI. Преобразование полученных соотношений. Получение новых соотношений. Тогда М~Ы = ^(а — Ь + с) = ^ (-Ас + с) = \с(-А + 1).Так как Ш = ^ (-Я + 1)^4^, то векторы МЛ и /40 коллинеарны.

VII. Переход от полученных соотношений между векторами к соотношениям между объектами задачи.

Поэтому прямые МЫ и АО параллельны между собой, что и требовалось доказать. Задача 2. Разделить данный отрезок АВ в данном отношении т:п, то есть найти точку М е АВ, такую, что АМ: МВ = т: п.

I. Ознакомление с задачей. Составление чертежа (рис. 2), краткая запись условия и требования. Установление соотношений между объектами задачи.

B

O

Рис. 2

Дано: M е АВ, АМ: МВ = т: п.

Найти: М, рис. 2.

Решение. Из условия задачи следуют соотношения:

Ш = -мв.

п

II. Введение в структуру задачи векторов, выделение «ключевых» векторов.

Рассмотрим векторы ОД ОВ, ОМ.

III. Переход от соотношений между объектами задачи к соотношениям между введенными векторами.

Выразим вектор ОМ через векторы ОД OIS.

IV. Введение базиса, разложение векторов по базису, использование «вспомогательных» векторов.

Запишем А.М = Ш - Ш,МВ = ~ОВ - ОМ.

V. Составление соотношений между векторами, векторными равенствами.

Заметим, что

ОМ - ОА = ^(ОВ - ОМ).

VI. Преобразование полученных соотношений. Получение новых соотношений.

Тогда

-* п -* т. -*

ОМ = —ОА+—ОВ.

т+п т+п

VII. Переход от полученных соотношений между векторами к соотношениям между объектами задачи.

Пусть в декартовой системе координат точки А и В заданы координатами А(а1;а2), B(b^;b2). Тогда ОА = (a^;a2},OIS = (Ь1;Ь2]. Используя последнее соотношение, находим координаты точки М в той же системе координат по формулам:

п т т п т т

т, =-щ +--о-,, т2 =-а2 +--Ь2.

т+п т+п т+п т+п

где (тх; т2} - координаты точки М.

Задача 3. Через вершину А треугольника ABC и середину Е медианы CD проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке F. Докажите, что CF:FB = 1: 2. В каком отношении точка Е делит отрезок AF.

I. Ознакомление с задачей. Составление чертежа (рис. 3), краткая запись условия и требования. Установление соотношений между объектами задачи.

B

A

E

F

C

Рис. 3

Дано: ABC - треугольник, CD - медиана, CE = ED, AE П ВС = F.

Доказать:CF: FB = 1:2.

Доказательство. Из условия задачи следуют соотношения:

AD = -А.В, ~СЕ = -CÍ .

2 2

II. Введение в структуру задачи векторов, выделение «ключевых» векторов.

Рассмотрим в качестве «ключевых» векторы АВ,АС.

III. Переход от соотношений между объектами задачи к соотношениям между введенными векторами.

Пусть \FB\ = т, |CF| = п. Покажем зависимость между величинами т и п.

IV. Введение базиса, разложение векторов по базису, использование «вспомогательных» векторов.

1_>

AE = —AD +-АС = -АВ +-АС, 2 2 4 2 ,

—> п —> т —>

AF =-АВ +-АС.

т + п т + п

V. Составление соотношений между векторами, векторными равенствами.

Заметим, что

AF = ХАЕ.

VI. Преобразование полученных соотношений. Получение новых соотношений.

Тогда AF = - АВ + - АС.

4 2

Сравнивая два разложения вектора AF по двум неколлинеарным векторам АВ и АС, получим

X _ п X _ т

4 т+п' 2 т+п

Разделив второе из полученных равенств на первое, находим

— = 2.

п

VII. Переход от полученных соотношений между векторами к соотношениям между объектами задачи.

Поскольку т = 2п, получаем BF: FD = 2:1, что и требовалось доказать.

Использование векторного метода при решении геометрических задач способствует развитию творческого, эвристического мышления учащихся, поскольку задание системы координат как вспомогательного элемента - это нестандартный способ решения задач. Формирование последовательности действий будет способствовать эффективному и осмысленному применению метода координат в различных ситуациях. Средством обучения учащихся этому методу являются геометрические задачи определенных типов. Метод координат является необходимой составляющей при изучении геометрии в школе. Этот метод позволяет упростить процесс и сократить время для нахождения решения задачи, помогает учащимся при сдаче ЕГЭ на различных олимпиадах. В дальнейшем, при изучении математики в высших учебных заведениях, учащийся также сможет использовать полученный опыт [3].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Кушнир, А.И. Векторные методы решения задач. М.: Обериг, 1994. - 207 с.

2. Потоскуев, Е.В. Векторы и координаты как аппарат решения геометрических задач: учебное пособие, М.: Дрофа, 2008. - 173 с.

3. Сидорякина, В.В., Кружилина, Е.В. Формирование эвристических приемов у учащихся при изучении векторов в средней школе // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. 2016. № 2.- С. 130-134.

Т.С. Согомонян, М.Г. Макарченко

ПРИЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ МОТИВАЦИИ УЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК СРЕДСТВО АКТИВИЗАЦИИ ДИДАКТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МОТИВОВ

Аннотация: в данной статье рассмотрены основные этапы мотивации учения математике, выделены дидактические функции мотивов, представлены несколько приемов формирования учения математике.

Ключевые слова: мотив, мотивация, потребность, этапы мотивации, приемы формирования мотивации, дидактические функции мотивов.

T.S. Sogomonyan, M.G. Macarchenko

METHODS OF FORMATION OF MOTIVATION OF LEARNING MATHEMATICS AS A MEANS OF STRENGTHENING DIDACTIC FUNCTIONS OF MOTIVES

Abstract: this article describes the main stages of learning motivation in mathematics, dedicated didactic functions of motives presented several ways of organization of teaching mathematics.

Key words: motive, motivation, need, stages of motivation, methods of formation of motivation, didactic functions of motives.

Формирование мотивации учения - это одно из центральных проблем современной школы. Ее актуальность повышается в связи с обновлением содержания обучения, постоянно развивающейся системой требований к формированию у школьников приемов самостоятельного приобретения знаний. Одной из главных задач учителя является воспитание мотивации учения у обучающихся. Исследования ученых психологов и педагогов показывают: чтобы научить учащихся самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности [6, 96]. Включение в «специально организованную деятельность» необходимо разнообразно мотивировать, а для этого целесообразно «включать» разные дидактические функции мотивов.

Вышесказанное определяет актуальность проблемы формирования мотивации учения математике посредством активизации разных дидактических функций мотивов.

Целью данной статьи является описание формирования мотивации учения математике. Для реализации этой цели, во-первых, представим краткую историко-педагогическую справку о становлении понятия «мотивация» с целью отбора «рабочих» понятий проводимого исследования, а, во-вторых, раскроем основные приемы мотивации учения математике (частично на примерах).

Историко-педагогическая справка о становлении понятия «мотивация».

Связь понятий «мотивация» и «потребность». Бихевиористические теории мотивации понимают как состояние, функция которого в снижении порога реактивности организма на некоторые раздражители. Когнитивные теории мотивации рассматривают мотив как сознательное намерение к действию. Психоаналитические теории мотивации объясняют поведение индивида изначально заложенным в глубинах его психофизиологической организации стремлением к цели. В биологизаторских теориях мотивации является активизацией энергии, причиной активности человека. В работах отечественных ученых рассматриваются такие понятия как «борьба мотивов» и «принятие решения» [3].

Механизмы мотивации в этапах формирования мотивации учения. Этапы формирования мотивации раскрыты в таких трудах как А.Н. Леонтьева, В.К. Вилюнас, А.В. Усова, Е.П. Ильин и другие [1]. Обращаясь к тому какую роль, играет создание правильного мотива в жизни человека, в частности ученика, хочется выделить цитаты А.Н. Леонтьева: «Для того, чтобы возбудить интерес, не надо указывать цель, а затем пытаться мотивационно оправдать действие в направлении данной цели. Нужно, наоборот, создать мотив, а затем открыть возможность нахождения цели. Интересный учебный предмет - это и есть учебный предмет, ставший «сферой целей» учащегося в связи с тем или иным побуждающим его мотивом»; «мотив побуждает человека к постановке задачи, к выявлению той цели, которая, будучи представлена в определенных условиях, требует выполнения действия, направленного на создание или получение предмета, отвечающего требованиям мотива и удовлетворяющего потребность» [5, 26]. Таким образом, мотив «опредмечивает» потребность и конкретизируется в цели.

В процессе формирования мотивации учения математике Е.П. Ильин предполагает наличие