Комплексный гиперболоид: инвариантная дифференциально-геометрическая структура

Она позволяет с помощью (3) вычислить (2). Затем мы делаем аналитическое продолжение по а в точку а = (п-3)/4 и полагаем г = (п — 3)/2.

1. А. А. Артемов. Разложение формы Березина на сфере. Вестн. Тамб. ун-та. Серия: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 1, 7-8.

2. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергео-метрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

3. И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

A. A. Artemov. Decomposition of a Berezin function on the Lobachevsky space on mixed spherical functions. An expansion of a Berezin function on the Lobachevsky space on mixed spherical functions is given.

Keywords: canonical representations, hyperboloids, spherical functions, Plancherel formula.

УДК 517.98

Комплексный гиперболоид: инвариантная дифференциально-геометрическая структура 1

Ключевые слова: однородные пространства, метрики, операторы Лапласа-Бельтрами, скобки Пуассона.

Для комплексного гиперболоида найдены метрики, внешние формы, операторы Лап-ласа-Бельтрами, скобки Пуассона, инвариантные относительно группы SL(2,С).

Комплексный гиперболоид А” в С3 задается уравнением -х\+х\-\-х\ = 1. Он есть однородное пространство С/Н, где БЬ(2, С), Н - диагональная подгруппа. Они состоят соответственно из матриц

Гиперболоид X - простейший и ключевой пример пара-эрмитова пространства второй категории в смысле Канеюки. Такие пространства являются ком-плексификациями эрмитовых симметрических пространств. Для построения

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-

учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.

Литература

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 г.

© О. В. Бетина

аб — /З7 = 1.

квантования на таких пространствах (в частности, полиномиального квантования), рассматриваемых как вещественные многообразия, надо знать некоторые инвариантные дифференциально-геометрические объекты, а именно, метрики, соответствующие им операторы Лапласа-Бельтрами, внешние формы и соответствующие им скобки Пуассона. В настоящей работе мы решаем эти задачи для комплексного гиперболоида X. Реализуем X как множество матриц

х—-( 1 “ Хз Х2~ Х1 \

~ 2 \ х2 + Х\ 1 + х3 )

с определителем равным нулю. Группа С действует на нем х н-» д~1хд. Это действие транзитивно. Подгруппа Н является стационарной подгруппой точки

1° = (0,0,1) = ( “ ° ).

Касательное пространство Ь к X в точке ж0 состоит из матриц

Подгруппа Н действует на Ь следующим образом: и н-> 5~2и, V (-> 52у. Над К пространство Ь имеет размерность 4, с векторами ги = (щ, и2, у2). Действие

элемента Н € Н дается матрицей

ИеГ2 -1т Г2 0 0

1т Г2 11е<5~2 0 0

0 0 Яеб2 —1т 52

0 0 1т 62 Кеб2

Пространство билинейных форм на Ь, инвариантных относительно Н, имеет размерность 4, базисом служат следующие матрицы:

( 0 0 1 0 \ ( 0 0 0 1 \

0 0 0 -1 0 0 1 0

1 0 0 0 , в2 - 0 1 0 0

-1 0 0 ) V1 0 0 0

( 0 0 1 0 ^ / 0 0 0 1 \

0 0 0 -1 0 0 1 0

-1 0 0 0 в А — 0 -1 0 0

V 0 1 0 0 ) V -1 0 0 0 )

Введем на X орисферические координаты £,г] 6 С:

"14)’

В этих координатах матрицам В\ и В2 отвечают две инвариантные метрики <2! = ТУ"-2^ с1г] + (Щ, <Э2 = ~г ^~2с1£, ¿г) - N 2(1£

и = И1+Ш2, V = Vl+ІV2.

с двумя операторами Лапласа-Бельтрами:

Д! = -(Д + Д), Д2 = -(Д-Д), А = N2 92

2х п L п д£дг]

Матрицам В3 и отвечают две инвариантные внешние формы

<3з = N~2d£ A dr} + N 2о?£ A dfj, Q4 = —г (^N~2d£ A dr] — N 2d£ A drj'j

с двумя скобками Пуассона:

О. V. Betina. A complex hyperboloid: invariant differential geometric structure. For a complex hyperboloid: metrics, exterior forms, Laplace-Beltrami operators, Poisson brackets invariant with respect to the group SL(2, C) are determined.

Keywords: homogeneous spaces, metrics, Laplace-Beltrami operators, Poisson brackets.

Поступила в редакцию 23 ноября 2009 r.

УДК 517.98

Граничные ^-инвариантные обобщенные функции для комплексного гиперболического пространства 1

© Л. И. Грошева

Ключевые слова: канонические представления, граничные представления, комплексные гиперболические пространства, обобщенные функции.

Для канонических представлений на комплексных гиперболических пространствах дано описание обобщенных функций, сосредоточенных на границе и инвариантных относительно максимальной компактной подгруппы.

В настоящей работе мы обобщаем на комплексные гиперболические пространства (7/К, где С = ЭТДп — 1,1), К = и (гг — 1), результаты нашей работы [1], в которой рассматривался случай п = 2 (плоскость Лобачевского). Мы существенно опираемся на работу [3]. Аналогичные результаты для вещественных гиперболических пространств (пространств Лобачевского) получены в [2].

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие На-

учного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/1474 и Темпланом 1.5.07.