О ПЛОТНОСТИ СПЕЦИАЛЬНОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ ЛИЗОРКИНА В ВЕСОВОМ ЛЕБЕГОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ $L^{\gamma}_p$

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

УДК 517.9

О ПЛОТНОСТИ СПЕЦИАЛЬНОГО КЛАССА ФУНКЦИЙ ЛИЗОРКИНА В ВЕСОВОМ ЛЕБЕГОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Ьр

М. В. Половинкина, С. А. Рощупкин

Аннотация. Исследуется класс основных функций Ф+, построенный по принципу пространств Лизоркина на основе смешанного преобразования Фурье — Киприя-нова — Катрахова. Первоначально такие классы функций, построенные на основе смешанного преобразования Фурье — Бесселя, исследовались Л. Н. Ляховым. Введенные им пространства не могли учитывать «нечетные» порядки сингулярных производных. Но последние оказались принципиально необходимы в задачах определения фундаментальных решений дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных). Интегральное преобразование Киприянова — Катрахова (принадлежит классу преобразований Бесселя) приспособлено для работы с сингулярным дифференциальным операторам типа '' тЬ^ ' ' - |г' ^ принимает значения 0 или 1, а Bm — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, порядок дифференцирования равен 2m. Пространства основных функций, представляющие собой образы смешанного преобразования Фурье — Киприя-нова — Катрахова функций, исчезающих в начале координат и на бесконечности, рассмотрены в данной работе. Изучается возможность приближения функций из весовых классов Лебега L'Y со степенным весом П |xi|Yi, именно, доказана теорема о плотности Ф+ в пространстве функций Лебега L'Y.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.100.20554

Ключевые слова: преобразование Фурье, смешанное преобразование Фурье — Бесселя, преобразование Киприянова — Катрахова, смешанное преобразование Фурье — Киприянова — Катрахова, классы функций Лизоркина.

1. Введение

Классы основных функций Лизоркина применяются для исследования интегральных операций над функциями с особенностью в точке или на поверхности в евклидовом пространстве (потенциалы, сингулярные интегралы, гиперсингулярные интегралы) на основе преобразования Фурье (см. [1-5]). Приложения подобных классов функций известны в задачах интегральной геометрии, теории приближения функций, дифференциальных уравнений и в прикладных задачах математической физики. В [6] на основе смешанного преобразования Фурье — Бесселя (ЕВ-преобразования) введен весовой класс функций Лизоркина Ф7, состоящий из основных функций Шварца, ортогональных многочленам, четным по каждой весовой переменной. Этот класс функций применялся для

© 2018 Половинкина М. В., Рощупкин С. А.

исследования весовых потенциалов Рисса в [7] и весовых потенциалов Бесселя в [8].

В данной работе изучается класс основных функций Ф+, построенный по схеме пространства Лизоркина на основе смешанного преобразования Фурье — Киприянова — Катрахова (&в-преобразование), введенного в одномерном случае в [9,10] и в многомерном случае в [11,12]. Изучаемый класс состоит из функций, ортогональных многочленам, произвольных относительно четности-нечетности. Пространства Ф+ оказываются необходимыми для исследования решений интегральных уравнений с В-потенциальными ядрами и с характеристиками произвольной четности {в [8,13] рассмотрены соответствующие приложения для четных функций).

2. Обозначения

Примем следующие обозначения. Положим

ж = (ж', X'') е = Мп х _п,

х' = {ж1,... ,хп) е м„, ж'' = (жп+1,... ) е м^_п, М^ = {ж е м^, ж = (ж ', ж '') : ж1>0,..., жп>0}.

Числа п и N предполагаются фиксированными, 1 < п < N.

Пусть 7 = (71,... ,7п) — мультииндекс, состоящий из фиксированных положительных чисел. Каждому числу 7, ставим в соответствие сингулярный дифференциальный оператор Бесселя

д2 ъ д

дж2 ж, дж,

Bf, = - + -—, Ъ > 0-

Многомерный смешанный обобщенный сдвиг Ту, ж = (ж', ж''), у = (у ', у'') е М^, определяется в виде суперпозиции одномерных обобщенных и обычных сдвигов. По определению полагаем

Ту : /

п п п

= ...у / (ж' 4 у ',ж '' - у' ОДзт^-1 в, ...^п,

0 0 1-1

, /3' , , /?1 /Зп , /3; ~~I

X 4 y = (xi 4 У1,...,Ж„ 4 Жг 4 уг = ^ - C0S вг + У2,

Пусть а ' и а'' — целочисленные мультииндексы размерностей n и N — n,

состоящие из неотрицательных целых чисел. Через

= <^ = ... ^ ^...

обозначим сингулярный дифференциальный оператор порядка |а| = а + • • • + аы, составляющие которого определены следующим образом:

д

дxi

( Ва,/2, аi = 2к, 1 < I < п,

дв ={

1 I дхВ^1-1)/2, аi = 2к + 1, к = 0,1, 2,...,

где В7; — сингулярный дифференциальный оператор Бесселя, действующий по х^ отвечающий размерности 7^

Функции, четные по каждой координате вектора ж', будем называть х'-четными. Через Б = Б

¿ж.

Здесь под (ж')7 понимается х'-четная функция

(ж')7 = П (.

3=1

ж2) /2.

Координаты х1;..., хп точки ж будем называть весовыми. Множество функций, для которых конечна норма

(х)|р (ж')7 ^ /Р, р > 1

будем обозначать через Ъ7 (Мы).

Через ¿7 будем обозначать весовую дельта-функцию, действие которой на непрерывную в окрестности начала координат функцию / определяется равенством

¿7 : (^7 > / )7 = J ¿7 (х)/(х)(х'Г ¿х = / (0).

Т ~

3. Интегральные преобразования Бесселя

Обычно1-1 под преобразованием Бесселя понимается целый набор интегральных преобразований, ядра которых связаны с функциями Бесселя. К ним относятся преобразования Ганкеля, Мейера, Харди, Конторовича — Лебедева и др.

См., например, оглавление в справочниках по интегральным преобразованиям авторов Ю. А. Брычкова, В. А. Диткина, А. П. Прудникова.

Одним из преобразований Бесселя является преобразование, введенное Б. М. Левитаном в [15], где прямое и обратное (в классах гладких интегрируемых с соответствующим степенным весом функций) преобразования вида

рв[и](т) =й(т) = J и{г)Р <И,

Рв1 Ы(я) =

названы преобразованиями Фурье — Ганкеля. Здесь ]и (¿) — ^'-функция Бесселя2', связанная с функцией Бесселя первого рода Jv равенством

, , 2УГ(V + 1) т . . >(*) =-^-

Впоследствии формулы ¥в-преобразований стали называться «преобразованиями Фурье — Бесселя».

И. А. Киприянов [14, с. 27-30] рассматривал смешанное преобразование, когда по одной переменной действует преобразование Фурье — Бесселя (по Левитану — Фурье — Ганкелю), а по остальным переменным действует преобразование Фурье. Следует отметить, что в рамках ¥в-преобразования описываются только четные порядки соответствующих операторов. Например, в образах этого преобразования можно описать действие целой степени оператора Бесселя в виде

Вти

и нельзя описать действие первой производной или градиента функции.

Для преодоления этого недостатка ¥в-преобразования в работе [9] ее авторы ввели «четное — нечетное» преобразование Фурье — Бесселя на основе ядра

¿т 1 и>~2-

Разумеется, введенное ими интегральное преобразование — это тоже одно из преобразований Бесселя. Введем обозначение

) = П к=1

]1к^±{хк£,к) Т г——.74+1

2 -у+1

2

7к > 0.

Определение 1. Смешанными прямым и обратным преобразованиями Фурье — Киприянова — Катрахова (кратко &в -преобразованием) функции и назовем соответственно выражения

^в[и](0 = й(£)= / Л+(ж')е-г(х"'«"'и(ж)(ж')7 ¿ж,

2) Используемая терминология принадлежит Б. М. Левитану. В справочнике по специ-

альным функциям авторов Е. Янке, А. Эмде, Ф. Леш (с. 182) эта функция обозначена сим-

волом Л^. В книге С. Г. Самко, А. А. Килбаса, О. И. Маричева «Интегралы и производные

дробного порядка и их приложения» (с. 530) эта же функция названа «функцией Клифорда»

без указания соответствующей ссылки.

jrB1[u](x) = C(yWb[u](-x) = C(y) J Л-(Ж',£')ei(x"£")и(Ш')Y

где

C

i-N

Y - 1

п 22(v.+1)г2(Vi + 1) i=1

Интегралы в этих выражениях понимаются в смысле главных значений. Поскольку функция ]и (£) четна при любом V, функция

нечетна и, следовательно, как и ядро классического преобразования Фурье, ядро ¡^в-преобразования состоит из четного и нечетного слагаемых. Более того, преобразование Фурье оказывается частным случаем ¡^в-преобразования. Это следует из равенств

Y=0

-J_l(x) = cosx,

2 2

-7-r+i

-r + 1 Ж 2

J-r+1

л/2тгж

Y=0

2

Ji (ж) = sinx.

Несмотря на аналогию с классическим преобразованием Фурье, рассматриваемое здесь ^"в-преобразование не приспособлено для работы с функциями, произвольными относительно четности — нечетности. В рамках ^В-преобразования символы соответствующих сингулярных дифференциальных операторов определены только для действия этих операторов на четные функции или на производные от четных функций3'.

Пусть ^ £ ) и а = (а', а'') = (а, ..., аы). Справедливы формулы

DB4' М(0 = ^в [(ix)a^(x)](C).

Доказательства этих формул приведены в [16]. Они имеют принципиальное значение, поэтому здесь приведем краткое доказательство и только для весовых переменных.

1. Если ai = 2k — четное положительное число, то ¿B = BÎ. и, учитывая, что оператор BYi самосопряженный (в Щ ev) и формулу (2) (для m = 1), получим (5) для четного ai.

2. Пусть ai = 2k + 1 — нечетное число. Через J^B обозначим действие -преобразования по одной из весовых переменных. Имеем

=dx3 Bki.

Это хорошо видно из техники работы с этим преобразованием в [11].

V

Поскольку dXi Б^ ^(xj, xj) — нечетная функция по переменной xi, то

ю

Т. 7 7г + 1 2

0

Из (4) вытекает равенство

Поэтому

СЮ

2i /* x р2

&h[d%№) = т / ад

1 S» 7 Т» -L 2

7 г

Yi 1 2

0

СЮ

/ ^х,-[in-1 {xiii))dXiB^Mxt^l)xf ад.

0

Здесь введено обозначение ж = (ж^, хг), хг = (ж1;... ,ж^_1;ж^+1,... ). Теперь, интегрируя по частям, имеем

СЮ

2i i 1

= / —ж/- ад

s» 7 2

0

СЮ

2i

2

0

I B^in-i (xi£i)B^.Lp(xj, хг) ж7~ ад

Ю

J jii_±[xi£i)B^i(p[xl,xl)x]i ад. 0

Остается воспользоваться первой частью доказательства, и получим

^ [да; = № М(Р).

Тем самым формула (5) доказана. Аналогично доказывается формула (6).

Рассмотренные выше «^^-преобразования являются взаимно обратными в пространстве основных функций Шварца S(Rn ). Класс Sev не инвариантен относительно действия да ,-производных. В [16] расширен этот класс до множества, состоящего из x '-четных функций и производных по xi, i = 1,..., n, от x '-четных функций. Это возможно ввиду равенства

Xi

lim / ^od(xi,xi) dxi = 0, xj = (xi . .. ,xi_i,xi+i,.. . ,xn),

Xi—> + W J

— Ю

справедливого для любой нечетной функции, равной производной от четной д

дх1

функции: tpod = -£-<pev, tpev G Sev.

Введем основной класс функций S+V, состоящий из ж'-четных функций, для которых конечна норма

|(<^)|k = max( sup sup ,

iei n xeR N

для любых k = 0,1, 2,.... При этом потребуем выполнения условия одинаковой четности:

а + = 2lj, I = 0,1, 2,..., i = 1,..., n, n < N.

При выполнении условия

K^BM)lk < C|(^)|k.

4. Весовые классы Лизоркина Ф+

Рассмотрим два класса функций, построенных по схеме построения пространств Лизоркина на основе преобразований Fb и &в.

Следуя [1], положим

Ф7(Rn) = {ф : ф е Sev(RN), b5Df,',V(0) = 0, в = (въ... ), в, =0,1, 2,... }, Ф7(R+) = : ^ = Fb[ф], ф е Ф7(R+)}.

Класс функций Ф7 (R^) назван в [6] пространством Лизоркина, порожденным преобразованием Фурье — Бесселя Fb (далее кратко говорим Fb-пространство Лизоркина). Отметим, что в класс функций Ф7(R^) входят все функции ф, удовлетворяющие условию _Оаф|х=о = 0. Это условие позволяет считать функции ф заданными не в n-полупространстве Rn , а в Rn , причем не обязательно четными, поскольку рассматриваемый класс продолжается в Rn с сохранением гладкости четным и нечетным образом. Одновременно он инвариантен по отношению к действиям операторов и Dby . Его индивидуальность определена только соответствующим интегральным преобразованием Бесселя.

В [6] для Fb-пространства Лизоркина дано следующее описание:

^

RN

В [16] введено Ф7-пространство функций, исчезающих вместе со всеми Db-производными на сингулярных координатных гиперплоскостях ж, = 0 и на бесконечности. В данной работе доказана теорема о плотности для случая, когда Ф7 — множество основных функций, исчезающих вместе со всеми Db-производными в начале координат и на бесконечности.

Введем следующие классы основных функций.

Определение 2. Положим

Ф+(М* ) = {ф : ф € Б+(М*), -В ф(0) = 0, в = (въ---,в*), в =0,1, 2,... }, Ф+(М*) = : ^ = ^в[ф], ф € Ф+(М+ )}. Класс функций Ф+(М*) назовем пространством Лизоркина, порожденным смешанным преобразованием Фурье — Киприянова — Катрахова ¿^в (далее кратко говорим &в -пространство Лизоркина).

Утверждение, аналогичное (8), справедливо для моментов функции ^ произвольной четности по х'-переменным:

<^

В [16] приведено более общее утверждение для функций, исчезающих с Ов-производными произвольных порядков на сингулярных координатных гиперплоскостях хг = 0 и на бесконечности. Однако доказательство в [16] неполное. Для введенного выше класса функций Ф+(М*) приведем доказательство (9) полностью.

Пусть ^€Ф+(М*) и ^ = &в [Ф]. Обозначим через С(7) константу, нормирующую обратное ¡^в-преобразование. Учитывая, что

п

А-(х1,еУ{х"'Пк=о = =

к=1

получим

J хРф^х'У с1х= J А-(х,0)х13ф) (х'У1 Ах

1 5=0 г

= 0.

5=0

Обратно, пусть для некоторой функции ^ € Б(М*) и произвольного целочисленного мультииндекса в выполняется равенство

/х'^(х)(х ')7 'х = 0'

Поскольку &в осуществляет изоморфизм пространства Б на себя [16], существует функция ф € Б такая, что ф = Тогда

0= / х13 ф) (ж')7 Ах = [ А~(х,0 )х'3ф)(х'УАх

I С(7) ' 7

5=0

Это равенство справедливо для произвольного мультииндекса в, поэтому

ф € Ф+ ^ € Ф+. Доказательство (9) закончено.

5=0

5. Плотность ) в весовом

лебеговом пространстве Ьр

Пусть Ту — смешанный обобщенный сдвиг. Обобщенной сверткой функций / и д называется функция

(f * g)Y(x) ^ У f (y)(TXg)(y)(y ')Y dy.

Учтем, что функция (Тхд)(у) ж '-четная и по аргументам у', и по шагу ж ' независимо от ж -четности — нечетности самой функции д. Поэтому обобщенная свертка может считаться определенной только для ж -четных функций и должна представляться интегралом по п-полупространству:

(f * g)7(x) ^ У f (y)TXg(y)(y ')Y dy.

RN

Вначале докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть g G LY(R+) и f £ LY(R+), 1 < p < те. Тогда последовательность функций

Vm

R

при т ^ те равномерно стремится к нулю в Ь^ (Ду), 1 < Р < те.

Доказательство. При р = 2 для преобразования Фурье — Бесселя справедлива формула Парсеваля

П27'~ g = FB[gl

i=i ^

из которой получим

Ыь^П^г2 (У

rn

Учитывая, что

lim [ \g(mx)\(x')7 dx = lim — . [ \g(x)\(x')7 dx = 0,

m—>ю J m—>Ю + |y| /

RN RN

на основании мажорантной теоремы Лебега получим

lim НЫЬ =0.

Для произвольного р > 1 к ЬР-норме от правой части (10) применим неравенство Минковского. В результате получаем

Г -У L2

Для р > 1 известно неравенство Киприянова — Ключанцева об ограниченности обобщенного сдвига в Ь7 (см. [17]):

Следовательно, имеем равномерную оценку

Ыьр < 1Ы1ь7II/||ьр.

На основании теоремы Банаха — Штейнгауза заключаем, что предельный переход в (10) достаточно обосновать для функции € )• Пусть г какое-либо число такое, что 2 < р < г или 1 < г < р < 2. Запишем

(а

(а)|рА(а '¿а

Положим

тогда

А =

2 р — г р 2 — г'

(а

1 - А =

г 2 — р р 2 — г'

\

{х'У ¿X

Применим неравенство Гельдера с показателями

2 г 2 г

М

Учтем, что

2 — р'

р — г

1 + 1 = 1.

М V

11 12 — рг г 2 — р 1 1 — А

р{1-Х)ц = г,--= ----= ----=-,

р М р 2 — гг р 2 — гг г

А

1 2(р — г) р — г рАг/ = 2, - ——-- --— —

р р(2 — г) 2 — г 2

Следовательно,

У^тУьр < У^п

II/11« )1-АЫ1£

Теперь утверждение леммы следует из (11). Доказательство закончено.

Теорема 1. Класс Ф+(Ду) плотен в Ьр(Ду), 1 < р <

Теорема 1 является аналогом утверждения для основных пространств Лизоркина (обычных), полученного в [1,2] с помощью специальных усреднений, названных П. И. Лизоркиным вполне уравновешенными. Далее воспользуемся более простой схемой доказательства, примененной в [4].

Доказательство. Пусть д € — произвольная функция, и пусть

, о, ы < 1,

М(а)= М(|а|)= ' ' ' М(а) € , 0 < м(х) < 1. 1, а ^ 2,

р

р

V

Положим

^т(ж) = ^(т|ж|)^в1[/](ж), (ж) = Ев[^т](ж), т = 1, 2,....

По построению фт € и ^т(ж) = 0 при |ж| < 1/т. Поэтому фт € ),

а значит, = Ев [^т] € Ф+(Му). Пусть ( = £(£) — образ Фурье — Бесселя функции — 1. Для функций (ж) имеем

^ш

= (Ев[м(ту)] * /(у))7(ж) — /(ж) + /(ж).

В рамках весовых обобщенных функций пространства справедливы формулы:

^в[57] = 1, ^в1[1]= С(7)57(ж), ($7 * /)7 = С(7) /(ж). Следовательно,

=

= ^¿ы (Б * 'Ч+^ - ^¡ш /© мм7 "у+м

R

= j T^tC

rn

f C(i)TT7(x)(t')Y dt + /(ж).

R

Теперь утверждение теоремы вытекает непосредственно из леммы 1. Доказательство закончено.

ЛИТЕРАТУРА

1962. Т. 145, №3. С. 527-530.

2. Лизоркин П. И. Операторы, связанные с дробным дифференцированием, и классы дифференцируемых функций // Тр. МИАН. 1972. T. 117. C. 212-243.

3. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы, их символы и обращение // Докл. АН. 1977. Т. 232, №3. С. 528-531.

4. Самко С. Г. Обобщенные риссовы потенциалы и гиперсингулярные интегралы с однородными характеристиками, их символы и обращение // Тр. МИАН. 1980. T. 156. C. 157-222.

5. Samko S. G. Hypersingular integrals and their applications. London: Taylor & Francis, 2002. (Anal. Methods Spec. Functions; V. 5).

6. Ляхов Л. Н. Об одном классе гиперсингулярных интегралов // Докл. АН. 1990. T. 315, № 2. C. 291-296.

7. Lyakhov L. N., Raykhelgauz L. B. Even and odd Fourier-Bessel transformations and some singular differential equations // Analytic Methods of Analysis and Differential Equations (AMADE-2009). Camb. Sci. Publ., 2012. P. 107-112.

8. Ляхов Л. Н., Половинкина М. В. Пространства весовых бесселевых потенциалов // Тр. МИАН. 2005. Т. 250. С. 192-197.

1. Лизоркин П. И. Пространства LP(Q). Теоремы продолжения и вложения // Докл. АН.

9. Киприянов И. А., Катрахов В. В. Об одном классе одномерных сингулярных псевдодифференциальных операторов // Мат. сб. 1977. Т. 104, № 1. C. 49—68.

10. Катрахов В. В. Операторы преобразования и псевдодифференциальные операторы // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21, №1. С. 86-97.

11. Катрахов В. В., Ляхов Л. Н. Полное преобразование Фурье — Бесселя и алгебра сингулярных псевдодифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47, №5. С. 681-695.

12. Lyakhov L. N., Roschupkin S. A. A priori estimates for solutions of singular В-elliptic pseudodifferential equations with Bessel dB-operators // J. Math. Sri. 2014. V. 196, N 4. P. 563-571.

13. Ляхов Л. Н. О символе интегрального оператора типа В-потенциала с однородной характеристикой // Докл. АН. 1996. Т. 351, №2. С. 164-168.

14. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, 1997.

15. Левитан Б. М. Разложение в ряды и интегралы Фурье по функциям Бесселя // Успехи мат. наук. 1951. T. 6, №2. C. 102-143.

16. Ляхов Л. Н., Рощупкин С. А. Полное преобразование Фурье — Бесселя некоторых основных функциональных классов // Науч. ведомости Белгород. гос. ун-та. Вып. 31. Математика. Физика. 2013. №11. С. 85-92.

17. Киприянов И. А., Ключанцев М. И. О сингулярных интегралах, порожденных оператором обобщенного сдвига // Сиб. мат. журн. 1970. Т. 11, №5. С. 1060-1083.

Поступила в редакцию 10 сентября 2018 г. После доработки 28 октября 2018 г. Принята к публикации 13 ноября 2018 г.

Половинкина Марина Васильевна

Воронежский гос. университет инженерных технологий, пр. Революции, 19, Воронеж 394036 polovinkina-marina@yandex.ru

Рощупкин Сергей Александрович Елецкий гос. университет им. И. А. Бунина, ул. Коммунаров, 28.1, Елец 399770 roshupkinsa@mail.ru

MaTemaTH^ecKHe 3ameTKH CB&y OKTHÖpb—flßKaöpb, 2018. TOM 25, № 4

UDC 517.9

ON THE DENSITY OF A SPECIAL CLASS OF LIZORKIN FUNCTIONS IN A WEIGHTED LEBESGUE SPACE Lp

M. V. Polovinkina and S. A. Roshchupkin

Abstract: We study the class of test functions constructed on the principle of Lizorkin spaces by means of mixed Fourier—Kipriyanov—Katrakhov transform. Initially, such classes of functions, constructed on the basis of a mixed Fourier—Bessel transform, were investigated by L. N. Lyakhov. The spaces introduced by him could not take into account "odd" orders of singular derivatives. But the latter appeared to be fundamentally necessary in the problems of determining the fundamental solutions of differential equations (ordinary and in partial derivatives). The integral Kipriyanov—Katrakhov transform (belonging to the class of Bessel transforms) is adapted to work with singular differential operators of the type J^x-B™, where k takes values 0 or 1, B™

is a singular differential Bessel operator and the order of differentiation is 2m. The spaces of the basic functions that represent the images of the mixed Fourier-Kipriyanov-Katrakhov transform of functions vanishing at the origin and infinity are considered in this paper. We study the possibility of approximating functions from weighted Lebesgue classes L^ with power weight |xi|Yi, namely, the density theorem in the Lebesgue function space L^.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.100.20554

Keywords: Fourier transform, mixed Fourier—Bessel transform, Kipriyanov—Katrakhov transform, Fourier—Kipriyanov—Katrakhov transform, Lizorkin's function classes.

REFERENCES

1. Lizorkin P. I., "Lp(fi) spaces. Extension and embedding theorems," Sov. Math., Dokl., 3, 1053-1057 (1962).

2. Lizorkin P. I., "Operators related to fractional differentiation and classes of differentiable functions," Proc. Steklov Inst. Math., 117, 251-286 (1972).

3. Samko S. G., "Generalized Riesz potentials and hypersingular integrals, their symbols and inversion," Sov. Math., Dokl., 18, 97-101 (1977).

4. Samko S. G., "Generalized Riesz potentials and hypersingular integrals with homogeneous characteristics, their symbols and inversion," Proc. Steklov Math. Inst., 156, 173-243 (1980).

5. Samko S. G., Hypersingular Integrals and Their Applications, Taylor & Francis, London (2002). (Anal. Methods Spec. Functions; V. 5).

6. Lyakhov L. N., "On a class of hypersingular integrals," Sov. Math., Dokl., 42, No. 3, 765-769 (1991).

7. Lyakhov L. N. and Raykhelgauz L. B., "Even and odd Fourier-Bessel transformations and some singular differential equations," in: Analytic Methods of Analysis and Differential Equations (AMADE-2009), Camb. Sci. Publ., 2012, pp. 107-112.

8. Lyakhov L. N. and Polovinkina M. V., "The space of weighted Bessel potentials," Proc. Steklov Math. Inst., 250, 178-182 (2005).

© 2018 M. V. Polovinkina and S. A. Roshchupkin

9. Kipriyanov I. A. and Katrakhov V. V., "On a class of one-dimensional singular pseudodifferential operators," Math. USSR, Sb., 33, 43-61 (1977).

10. Katrakhov V. V., "Transmutation operators and pseudodifferential operators," Sib. Math. J., 21, 64-73 (1980).

11. Katrakhov V. V. and Lyakhov L. N., "Full Fourier-Bessel transform and the algebra of singular pseudodifferential operators," Differ. Equ., 47, No. 5, 681-695 (2011).

12. Lyakhov L. N. and Roshchupkin S. A., "A priori estimates for solutions of singular B-elliptic pseudodifferential equations with Bessel dg-operators," J. Math. Sei. 2014. V. 196, No. 4. P. 563-571.

13. Lyakhov L. N., "On the symbol of the integral operator of the B-potential type with a single characteristic," Dokl. Math., 54, No. 3, 852-856 (1996).

14. Kipriyanov I. A., Singular Elliptic Boundary Value Problems [in Russian], Nauka, Moscow (1997).

15. Levitan B. M., "Fourier series and integrals expansion in Bessel functions [in Russian]," Usp. Mat. Nauk, 6, No. 2, 102-143 (1951).

16. Lyakhov L. N. and Roshchupkin S. A., "Full Fourier-Bessel transform for some fundamental functional classes [in Russian]," Nauch. Vedom. Belgorod. Gos. Univ., No. 11, 85-92 (2013).

17. Kipriyanov I. A. and Klyuchantsev M. I., "Singular integrals generated by a general translation operator, I," Sib. Math. J., 11, 787-804 (1971).

Submitted September 10, 2018 Revised October 28, 2018 Accepted November 13, 2018

Marina V. Polovinkina

Voronezh State University of Engineering Technologies, 19 Revolution Avenue, Voronezh 394036 polovinkina-marina@yandex.ru

Sergey A. Roshchupkin I. A. Bunin Yelets State University, 28.1 Kommunarov Street, Yelets 399770 roshupkinsa@mail.ru