Действительные предпосылки становления дифференциального и интегрального исчисления

Отмеченная неопределенность в классификации лингвистической переменной должна разрешаться путем привлечения дополнительной информации или с помощью экспертов, которые отдадут предпочтение той или иной метрике.

При оценивании количественных параметров ИС можно применять лингвистические переменные с более широким терм-множеством значений. Например, лингвистическая переменная «Уровень показателя» может быть задана следующим терм-множеством значений: «очень низкий, низкий, средний, высокий, очень высокий» и имеет пять соответствующих функций принадлежности. При этом будет использоваться пятиуровневый нечеткий классификатор.

Предложенный подход к отображению количественных параметров на качественную шкалу может применяться при лингвистическом подходе к оценке качества информационных систем на базе теории нечетких множеств. Данный подход позволяет учитывать влияние на потребительское качество информационной системы как качественных, так и количественных параметров.

Литература

1. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М., 1976.

2. Пивкин В.Я., Бакулин Е.П., Кореньков Д.И. Нечеткие множества в системах управления. пособие / Под ред. Ю.Н. Золотухина. 1995 // http://idisys.iae.nsk.su/ fuzzy_book/content.html

3. Недосекин А.О. Оценка риска бизнеса на основе нечетких данных // http://sedok.narod.ru/sc_group.html#2.

4. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости. М., 1998.

Ростовский государственный экономический университет 7 июня 2006 г.

УДК 168. 521

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ СТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

© 2006 г. С.И. Масалова

The article covers genesis and formation of differential and integral calculus development (the stage of real prerequisites) and its role in the consolidation of mathematical knowledge.

Научная теория представляет собой развивающуюся органическую систему, формирование и становление которой, а в целом и проблема генезиса теоретических знаний, является одной из актуальных в современной философии науки. Исчисление бесконечно малых как классический способ алгоритмизации инфинитезимальных приемов формировался дли-

тельный период. Применяя принцип историзма к исчислению как объекту уплотнения научного знания, рассмотрим исторические и действительные предпосылки его возникновения как этапы уплотнения математического знания. Это стало возможным благодаря анализу исчисления как специфической формы организации математического знания типа органической системы. Анализ предпосылок необходим для четкого определения границы и специфики предметной области возникавшей научной теории, выявления логических связей между элементами логической ее структуры.

Соотношение исторических и действительных предпосылок обусловлено диалектикой соотношения исторического и логического, причем исторические предшествуют действительным. Исторические предпосылки возникновения дифференциального и интегрального исчисления (ДиИИ), охватившие период развития математики от античности по эпоху Возрождения, привели к большому количеству открытий и достижений в области анализа бесконечно малых, которые были разрозненны, не связаны друг с другом. Поэтому исторические предпосылки есть устраняемая форма целостности органической системы на этапе ее возникновения. Устранение предыдущего этапа обусловлено отсутствием в нем символических средств, алгебраических методов решения математических задач, связанных с бесконечно малыми, отсутствием аналитической базы (буквенного исчисления, аналитического аппарата для выражения функциональной зависимости), что приводило к ситуации «информационного затора», когда содержание не находило полного, адекватного выражения в соответствующей форме. Действительные предпосылки в качестве результата имеют новую теорию, хотя еще не окрепшую. Для ДиИИ на этапе действительных предпосылок (XVII в.) был найден общий метод решения инфи-нитезимальных задач, т.е. дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому. Он мог быть открыт только теми учеными, которые овладели как геометрическими методами, так и алгебраическими. Это были великие математики Ньютон и Лейбниц, которым принадлежит честь открытия ДиИИ. Ньютон и Лейбниц открыли его независимо друг от друга. Они не работали совместно, но их исследования настолько дополняли друг друга, что результат исследований - исчисление бесконечно малых - представлял собой единое цельное математическое учение. Действительные предпосылки выполнили роль внутреннего фактора становления исчисления бесконечно малых как новой формы его целостности - в рамках инфинитезимальных методов, формирующихся в Новое время и получивших в трудах Ньютона и Лейбница алгоритмизированную форму выражения. Обе стадии, способствуя уплотнению математического знания, являются условиями возникновения ДиИИ, но в разной мере: исторические предпосылки являются необходимым, а действительные - достаточным условием возникновения ДиИИ. Как и исторические предпосыл-

ки, действительное содержание ДиИИ определяет соотношение эмпирических, теоретических и философских предпосылок. Рассмотрим их.

Ньютон открыл свой общий метод, названный методом флюксий, в течение 1665-1666 гг. Эмпирическими предпосылками создания нового метода и теории являются две задачи неравномерного движения: 1) определение скорости движения в данный момент времени по данному пути; 2) определение пройденного пути по заданной скорости движения и за данное время. Первая задача есть основная задача дифференцирования, вторая - интегрирования. Обе - в общей постановке. Для исследования различных видов непрерывного движения в качестве действительных теоретических предпосылок у Ньютона выступают вводимые им новые основные абстрактные объекты. В первые годы работы Ньютона над созданием ДиИИ он пользовался понятием «бесконечно малое», как и его современники, но называя их так: независимая переменная величина -флюента и зависимая переменная величина - флюксия, выражающая скорость изменения одной величины по отношению к другой. У Ньютона все изменения величин происходят в зависимости от изменения времени, являющегося универсальным аргументом функции. Момент флюксий, или момент величины, является третьим основным понятием исчисления английского математика. Ньютон представляет себе момент флюксий, замещающий бесконечно малое как точку кривой. Метод флюксий является одним из методов бесконечно малых. Сравнивая теорию флюксий Ньютона с современным математическим анализом, можно назвать флюенту прообразом интеграла, а флюксию - прообразом производной. Однако, восприняв с математикой Архимеда и других древнегреческих ученых требование строгости доказательства в научном исследовании как пути познания истины, Ньютон не мог дальше использовать бесконечно малое в категориальном аппарате в качестве элемента метода доказательства. Поэтому он «избавляется» от бесконечно малых, прибегая к их отношению, выражающемуся конечной величиной. Математические величины он рассматривает не как сумму мельчайших элементов, а как описываемые непрерывным движением. Поэтому эти величины, способные изменяться и даже исчезать, лучше характеризовать отношением, т.е. более постоянной операцией. Он рассматривает как отношение флюент, так и отношение флюксий, так как изменяются обе эти переменные.

Таким образом, Ньютон создает новое понимание бесконечно малого как зарождающейся и исчезающей величины. Ньютон впервые ввел в математику понятие предела, создал метод пределов, называемый у него методом первых и последних отношений, и развил его в качестве логической основы ДиИИ. Теория «первых и последних отношений» дает право полнее описывать динамику процесса движения. Она охватывает всю его микроструктуру и косвенным образом включает в себя теорию пределов, так как метод первых и последних отношений есть метод определения пределов отношений. Процесс вычисления флюксий аналогичен совре-

менному процессу вычисления производных путем перехода к пределу. Однако ввиду того, что понятие предела не получило формального определения, а опиралось на интуицию и вследствие этого для предела не найдена безупречная логическая форма, метод пределов не стал оперативной основой исчисления Ньютона. Оперативной основой теории флюксий является разработанный Ньютоном аппарат представления флюксии степенными рядами, составленными из бесконечно большого числа членов убывающей геометрической прогрессии. Алгоритм исчисления флюксий, представленный разложением функций в степенные ряды, включает в себя целый арсенал приемов, накопленных в математике бесконечного предшественниками Ньютона: деление, замена переменных, индукция, метод неопределенных коэффициентов в различных модификациях, обращение рядов и др. Ряды дают наиболее яркое представление о новом понимании Ньютоном бесконечно малого. Этот аппарат позволяет проводить дифференцирование и интегрирование широкого класса аналитических функций, решать задачи нахождения экстремальных значений, получить приложение методов теории флюксий к геометрии, механике и др. Ньютон впервые разработал теоретические методы, имеющие не умозрительный, а содержательный (механический) характер, преимущество которых заключалось в возможности предсказывать результат исследования благодаря аксиоматизации и алгоритмизации вычислительного процесса. И здесь прослеживается связь эмпирических и теоретических действительных предпосылок анализа бесконечно малых, разрабатываемого Ньютоном. Величие Ньютона как физика обусловлено его величием как математика -созданием и развитием им математического аппарата классической механики - ДиИИ. Как сказал образно Галилей, Ньютон оказался «опытным скульптором», создающим удивительные образы из мрамора, добытого его предшественниками. Математический анализ Ньютона, как и древнегреческая геометрия, подражают различным процессам, изменениям, исчезновениям, описываемым механикой. Категориальный аппарат механики логически взаимосвязан с категориальным аппаратом анализа бесконечно малых. Осуществляя синтез механики как теории, Ньютон построил систему исходных понятий классической механики, на их базе - исходные принципы. Формализуя фундамент механики аксиоматическим методом, Ньютон добивается уплотнения как математического, так и физического знания, создает более экономные гносеологические средства научного исследования. Таким образом, интерпретация анализа бесконечно малых была чувственно-наглядной. Это привело к тому, что более важные сущностные свойства вещей и процессов немеханического характера остались запрятанными в глубине, недоступными органам чувств. Здесь видно преимущество современной формализованной интерпретации, способствующей проникновению математики в сущность явления, т.е. выполняющей эвристическую и познавательную функции. Однако и в Новое время эмпирические успехи теоретических методов Ньютона показывали огром-

ную значимость последних для решения практических задач астрономии, механики, физики, а также высокую авторитетность анализа бесконечно малых: человек, находясь на земле, познавал законы движения планет. Так, Галилей считал, что философию можно понять только через математику, являющуюся языком природы.

Однако ДиИИ играло вспомогательную роль служанки физики в классической механике. Это объяснялось следующими обстоятельствами. Ньютон создал исчисление флюксий, выражая его геометрическим языком. «Математические начала натуральной философии», классический труд Ньютона, являются примером использования геометрического метода, достаточного для построения классического анализа бесконечно малых и классической механики. Это объясняется тем, что механика, изучая законы движения тел земного и небесного характера (определение скорости, центров тяжести фигур и т. д.), прибегала прежде всего к геометрической наглядности чертежа, устанавливающего траекторию движения, направления скорости по касательной и т.д. Однако геометрический язык ограничивает аналитическое мышление своей сложностью, громоздкостью, отсутствием общности в решении задач механики и т.д. Чтобы добиться успехов в научном познании, необходимо упростить исходные объекты, выделить их большей степени абстракции, общности, емкости. Ньютону это удается частично, когда он использует алгебраические приемы. Было бы ошибкой считать Ньютона, выдающегося математика, только геометром. Это - односторонний подход. Ньютон мыслит аналитически, алгебраически. Но в целом он остается на позициях «геометризации» анализа бесконечно малых, модифицирует геометрический метод до гипотетико-дедуктивного. Кинематический характер научных интересов Ньютона-физика наложил отпечаток на математический язык исчисления флюксий.

Независимо от Ньютона, немецкой ученый и математик Лейбниц открыл ДиИИ в 1673-1676 гг., исходя от проблемы касательной, а не от квадратуры кривых, как Ньютон. Главным отправным пунктом его исследований по созданию более общих инфинитиземальных методов в форме исчислений послужили исторические предпосылки ДиИИ: алгебра и аналитическая геометрия Декарта, метод неделимых Кавальери и Валлиса, характеристический треугольник и интеграция Паскаля. Ньютон открыл исчисление бесконечно малых при помощи приращения линий, а Лейбниц использовал разность чисел. Идя от разных проблем, Ньютон и Лейбниц пришли к одному методу. Это стало возможным по той причине, что проблема касательной служит основой дифференциального исчисления, проблема квадратуры - основой интегрального исчисления, а ДиИИ связаны между собой как две взаимообратные операции. Такой характер связи двух исчислений и удалось определить обоим великим математикам.

Лейбниц в течение всей жизни занимался поисками, которые могли бы привести его к созданию всеобщего языка, обладающего возможностями описывать однозначно различные явления, процессы строго по опреде-

ленному закону, по единообразным и точно установленным правилам. Лейбниц стремился создать «универсальную характеристику», своего рода алгоритм общения людей. Она представляет собой исчисление понятий, с которыми тесно связано открытие ДиИИ. Создавая исчисление, Лейбниц отвлекается от конкретности математических объектов - дробей, иррациональностей и других и создает новые более абстрактные объекты - «дифференциал» как новое название бесконечно малого приращения функции и совершенно новое понятие «интеграл» как сумма бесконечного числа бесконечно малых дифференциалов. Эти основные понятия устанавливают взаимообратность дифференцирования и интегрирования и являются категориями языка науки, который должен, обладая общностью, универсализмом понятий, описывать явления действительности.

Мы можем представить общую схему создания Лейбницем не только дифференциала, интеграла и других математических понятий как абстрактных конструктивных объектов, а также и схему дифференциального и интегрального исчисления, выступающего тоже как конструктивный объект. Лейбниц из простейших типов абстрактных объектов и операций (бесконечно малое, разность, сумма, бесконечность и др.) образует первичные абстракции - функция, производная, дифференциал, интеграл и другие, выраженные в арифметической форме и образующие определенный фиксированный алфавит. При рассмотрении первичных абстракций появляются вторичные - предел, стремление, касательная и др. Возникает потребность в абстракции потенциальной осуществимости, состоящей в отвлечении от практических границ нашей возможности при построении слов. Основная идея анализа Лейбница - идея функции. Считая, что известны функции, дифференциалы и другие объекты, можно указать операции над ними - дифференцирование различных функций и интегрирование. Получаем новое знание, новый абстрактный объект, который можно в дальнейшем также конструировать. Таким образом был создан определенный алгоритм решения задач математического анализа, опирающийся на ДиИИ как абстрактный конструктивный объект. Сравнивая трактовку Лейбницем бесконечно малых как определенного абстрактного объекта с современными определенными объектами, можно считать, что Лейбниц в какой-то мере предвосхитил конструктивное направление в математике, в теориях которого ограничиваются конструктивными объектами стандартного типа - точка, линия, плоскость и др. Такое ограничение позволяет понятие конструктивного объекта не определять, а лишь пояснять.

Мы можем говорить об алгоритмизации инфинитезимальных приемов, выполненной Ньютоном и Лейбницем, как об научном методе. Более алгоритмизированным было исчисление Лейбница. Метод Ньютона тоже строился по типу алгоритма, хотя целью его создания Ньютон не задавался. Исходные понятия, символика метода флюксий были иные, чем у Лейбница. Мы думаем, что та совокупность абстрактных объектов, которая доминирует в творчестве автора, является определяющей для стиля

его мышления. Лейбниц оперировал геометрическими объектами, конструировал их, создавая алгоритм операций в отношениях между ниш. То есть у него был аналитический стиль мышления. Ньютон исходил из механических принципов. Развитие им механики и многих разделов физики имело большое значение в разработке научной картины структурной организации материи и природы познания. Стиль мышления Ньютона - механический, т.е. жестко детерминированный, отразился и на его методе флюксий. Но некоторые недостатки не помешали методу флюксий стать одним из мощных средств решения задач.

Важно отметить, что вопрос о логических основах исчисления на этом этапе не решался достаточно глубоко. Этот период Маркс метко назвал «мистическим».

Немаловажную роль в понимании процесса развития математики играли философские предпосылки - мировоззрение самих ученых, так как оно накладывало отпечаток на объективность их исследований. В онтологии Ньютон в отличие от Лейбница не строил картину вселенной теоретически, абстрактно, а настаивал на физическом исследовании. Он ограничивался фактами. Философская концепция Ньютона была материалистической, но имела метафизический характер, диалектика же врывается в его математическое творчество помимо его воли. Он формулирует интуитивно диалектическое понимание переменного, неразвитую еще идею предела, с которой связано основное свойство пределов - сохранение свойств, инвариантных при всех изменениях переменного. В этом пункте он оказывается выше Лейбница, выражавшегося так, что если данные известным образом упорядочены, то таким же образом упорядочены и искомые. Это положение выводилось Лейбницем из тезиса об отсутствии скачков в природе. Лейбниц находился на позициях объективного идеализма, отсюда его непоследовательность в понимании многих проблем и вопросов. Однако преимущество Лейбница - в его диалектике. Подчеркивая значение методологических принципов создания Лейбницем математического исчисления, следует отметить, что диалектический метод сыграл ведущую роль в разработке Лейбницем диалектической картины мира, природы. В теории познания для Ньютона, представителя локковского эмпиризма, характерно некоторое принижение рационального познания. Ньютон требовал абсолютной достоверности и однозначности, полного исключения произвольных предположений и априорных схем. Ньютон считал, что абсолютное знание может быть достигнуто только путем индукции, исходя из опыта. Лейбниц свою задачу видел в объединении достижений рационализма и эмпиризма для развития учения об истине, о деятельности, учитывающей ее активный, творческий, необходимый и всеобщий характер. Являясь последователем Декарта, Лейбниц и в гносеологии стоял на позициях рационалистической диалектики, решая вопрос об отношении анализа к синтезу, логического к эмпирическому, умозрения к опыту, индукции к дедукции. Современная методология математического познания оценила с

диалектико-материалистических позиций все то ценное, немеркнущее, что оставил нам в наследство великий Лейбниц, в том числе - его принципиальный оптимизм научного мировоззрения.

В целом философские (методологические) предпосылки - поиски Ньютоном и Лейбницем универсального метода научного познания - явились необходимым звеном уплотнения математического знания; теоретические предпосылки, и в особенности создание великими математиками алгоритмов исчисления бесконечно малых явились достаточным условием открытия нового исчисления, положившего начало новой математической дисциплина - математического анализа.

Символизация исчисления Лейбница и Ньютона является эффективной минимизирующей формой уплотненного знания. ДиИИ сложилось как совокупность алгоритмов решения большой группы задач. Его в целом нельзя назвать алгоритмом, так как существует ряд функций, производную которых нельзя определить через предельное отношение. Имея в своем арсенале средств буквенную символику, исчисление упрощает многие вычисления и тем экономнее и проще выражает знание. С другой стороны, алгоритмы исчисления настолько общие, описывают настолько широкую предметную область явления, что их число для решения каждой частной задачи сокращается, выводятся более общие законы алгоритмизирования, чем достигается эффект минимизации: большая сфера деятельности требует меньшего числа средств выражения, но большой объясняющей мощи.

Возникает вопрос: создание дифференциального и интегрального исчисления можно ли характеризовать как процесс уплотнения знания или это процесс минимизации его формы? Мы отвечаем следующим образом. Минимизация формы знания прослеживается в искусственных и естественных языках, и в случае преобразования уже имеющегося понятийного содержания минимизация есть преобразование языка, дающее эффект экономии знаковых средств. Введение нового понятия и нового символа в науке не тождественны. Символы характеризуют математическое понятие, представляют его в более наглядной, краткой, легко обозримой форме, являются как бы «одеждой» понятия. Оперирование символами, создание новых символов способствует дальнейшему образованию новых понятий и операций над ними. Такова диалектика математического понятия и его символического выражения, содержания и формы.

«Исчисление» Архимеда на этапе исторических предпосылок усовершенствовано исчислением Лейбница в Ньютона на этапе действительных предпосылок ДиИИ. Старые понятия (основной миниэлемент структуры -бесконечно малые, сумма их, преобразование перехода к пределу и т.д.) получили более широкую трактовку и новую форму (дифференциал, интегральная сумма, предел и т.д.), сохранив предельное значение. В этом состояло укрупнение единиц обобщения. В результате интенсивного характера развития математики и естествознания коренным образом изменилось содержание исчисления бесконечно малых. Трудами Ньютона и

Лейбница завершилась предпосылочная стадия его развития и стадия первоначального возникновения исчисления как целостности нового порядка.

В общем виде ответ на поставленный вопрос таков: создание дифференциального и интегрального исчисления связано с процессом уплотнения знания, сопровождающегося минимизацией форм его выражения. Дифференциальное и интегральное исчисление как математическая теория является способом уплотнения знания в наиболее развитой форме минимизации, имеющей свои отличительные черты, признаки, критерии. Эффективным способом минимизации знания служит символизация, осуществляемая на базе алгоритмизации мыслительных процессов. Формирование логических и знаковых единиц, обобщения нового математического знания (дифференциала, производной, интеграла, функции в др.) и их символических выражений явилось средством, открывающим путь выхода из состояния стагнации в математике.

Литература

1. Лейбниц Г.В. Новые опыты о человеческом разуме. М., 1936.

2. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М., 1989.

Ростовский государственный педагогический университет 8 июля 2006 г.

УДК 168. 521

ИСТОРИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ СТАНОВЛЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

© 2006 г. С.И. Масалова

The article covers genesis and formation of differential and integral calculus development (the stage of historical prerequisites) and its role in the consolidation of mathematical knowledge.

В научном анализе развития любой органической системы необходимо различение предмета и его предпосылок как качественно различных уровней эволюции этой системы.

Под предпосылками понимают необходимые условия не существования, а именно возникновения предмета, т.е. стадию, непосредственно предшествующую возникновению предмета. Предпосылочная стадия включает в себя следующие виды предпосылок: 1) эмпирические (внешние) - потребности практики (в определенной предметной области); 2) теоретические (внутренние) - потребности конкретной научной теории; 3) философские (методологические) - наличие философских принципов, выполняющих свою методологическую функцию. Эмпирические предпосылки включают в себя эмпирические данные, требующие своего теоретического объяснения. Анализ теоретических предпосылок (вклю-