О влиянии внутренних связей на физические уравнения линейно-упругих структурно-неоднородных тел

О влиянии внутренних связей на физические уравнения линейно-упругих структурно-неоднородных тел

Е.А. Митюшов, С.А. Берестова

Уральский государственный технический университет, Екатеринбург, 620002, Россия

С использованием дополнительных ограничений, накладываемых характером внутренних связей в структурно-неоднородных средах, получены соотношения связи упругих характеристик, которые приводят к уменьшению числа независимых постоянных упругости по сравнению с тем, которое вытекает из симметрийных соображений.

1. Введение

Одним из самых распространенных методов построения моделей физической мезомеханики является включение в феноменологические уравнения макроскопических теорий той или иной информации, которая не может быть получена из макроскопического эксперимента. Отход от идеи макроскопического детерминизма при построении моделей сплошных сред закономерен и предполагает возможность использования методов физического исследования на структурном уровне, применение соответствующих физических гипотез и установку связей между параметрами структурных и макроскопических теорий.

Не лишним будет заметить, что первая структурная теория твердого тела, основывающаяся на предположении о взаимодействующих в поле центральных сил материальных точках, приводит к выводу о наличии шести соотношений между константами анизотропного кристалла, известными как соотношения Коши [1]:

с23 = с44, с31 = с55, с12 = с66, с14 = с56, с25 = с46, с45 = с36-

И хотя в общем случае они, естественно, не выполняются, в частном случае кристаллов с ионными связями наблюдается поразительное совпадение с предсказаниями структурной теории.

Покажем, что в рамках двухуровневой модели структурно-неоднородной среды с учетом определенных

внутренних связей для элементов структуры также возможно снижение количества независимых макроскопических констант, подлежащих определению в макроскопическом эксперименте.

2. Ортотропный материал

Реальными примерами таких материалов являются текстурированные металлы и сплавы с ОЦК- и ГЦК-структурой после некоторых видов термомеханической обработки. В частном случае, когда текстура характеризуется наличием трех плоскостей симметрии (материал ортотропный), количество независимых постоянных упругости равно девяти. Однако из однородности напряжений и деформаций в поликристалле при его всестороннем сжатии следуют дополнительные соотношения между эффективными упругими коэффициентами.

Действительно, из определения эффективного тензора податливости s*, связывающего усредненные по объему тензоры напряжений а и деформаций е, следует

5*(ст) = (е) ^ 5*(а) = (ла) ^

.*( а) = (.)( ст) + (/а0),

где ^ — тензор коэффициентов податливости случайным образом ориентированного кристаллита; л0 = л --^, а0 =а-(а} — флуктуации тензоров коэффициентов податливости и напряжений.

© Митюшов Е.А., Берестова С.А., 2003

Умножая левую и правую часть полученного равенства на единичный тензор второго ранга, находим

Es*( ст) = Е)( ст) + ^ В*0ст0^.

Для поликристаллических материалов с кубической симметрией структуры Es0 = 0 (или Вя = В^). Полагая тензор шаровым, находим

*11 + **2 + **3 = я?, + + *?3 =

*22^ *23

= + я*2 + *33 = *11 + 2*12 =

1

3К ’

где К — объемный модуль упругости.

Из чего следует, что количество независимых величин, определяющих упругие свойства макроскопически ортотропного текстурированного поликристалла с кубической симметрией структуры, равно семи.

С использованием технических постоянных упругости это условие принимает вид

1

12

1

31

1

32

23 В3 1, 3К ’

21

где Е1, vij — модули Юнга и коэффициенты Пуассона для соответствующих направлений и плоскостей [2].

3. Трансверсально-изотропный материал

В случае трансверсально-изотропного тела (ось Ох3 является осью упругой симметрии материала) имеют место соотношения

1 -V = 1 -V'

~ в ' :

В' = В

где В = В1 = В2, В = В3, V = V12, технические постоянные упругости трансверсально-изотропного тела [2].

4. Однофазный слоистый материал

Другой, более экзотический, пример среды с внутренними связями — это слоистый материал, состоящий из двух монокристальных слоев кубической симметрии, взятых в равной объемной концентрации, когда ось четвертого порядка каждого слоя перпендикулярна его плоскости и слои разориентированы между собой на угол П4. Воспользовавшись точным, в рамках рассматриваемой модели среды, решением задачи об определении эффективных упругих характеристик слоистого материала, составленного из ортотропных слоев [3, 4], учитывая при этом, что материал макроскопически трансверсально-изотропен, находим 4CG

В=

С + 4с^

В' =

С

V =

2(с11 + с12) С - 4сив С + 4сив ’

V =-

с12

G = 4 (с11 + 2с44 с12 ),

G' = с

44,

С - 2(с11 с12)(с11 + 2с12), где G — модуль сдвига в плоскости изотропии; G' — модуль сдвига при кручении трансверсально-изотроп-ного тела [2]; с^ — модули упругости слоев в кристаллографической системе координат.

С помощью тождественных преобразований можно убедиться, что между упругими постоянными имеет место дополнительное соотношение

£ =

ВВ '

или через коэффициенты податливости

„* 2

*44

__________________________33_

3*33 - *13 - 2*1*1

5. Поликристалл с зернистой структурой

При зернистой структуре поликристалла с эквивалентной предыдущему случаю кристаллографической текстурой на основании точного решения [5], найденного из условия инвариантного преобразования системы при ее повороте на угол п/ 4,

*11 = Т(*11 + %) + "7л/2(л11 - *12)л4

*44 ,

*12 = (*11 + *12 ) "4 л/2(я11 *12 )я

44 ,

*33“ *11, *13 _ *12, *44“ *44

уравнения связи между эффективными упругими характеристиками принимают вид

2(2**1 - *3*3 - **3)2

*44

*33

*13

G' = -

(1 + v')E 2 В'

2

2

6. Двухфазный слоистый материал

Точное решение для эффективных модулей существует также для двухфазного слоистого материала, состоящего из изотропных слоев с отличающимися объемными и сдвиговыми модулями упругости [4, 6]

с11 + с12

V

11 + *12 = *32 + *33 ,

c*l =(Х)- M -D,

c333 = (х)- M -Ч, cf2 =<^- M -D, cl33 =(,-M-4*,

c^ =^)- M ^,

c66

= (^>,

Аху - ^2(х1 - х2)(У1 - У2),

^ - Dxx >

Мх - #1х2 + #2 х1,

Х-А + 2ц = сп,

где Аг-, ц — постоянные Ламе; #г- — объемные относительные концентрации фаз.

В данном случае составной материал является транс-версально-изотропным, но можно убедиться, что при равной концентрации фаз #1 = #2 = 1/2 число независимых упругих характеристик равно четырем, так как имеет место равенство

2

s44 = '

s33(s11 ^ s12 sfl + 2Sl33

или

G' = -

E/2 - 2v'EE' 2

Если объемные модули фаз совпадают, то, как и в предыдущих случаях, выполняется дополнительное условие (1).

7. Среда Хилла

Наличие механической текстуры может и не приводить к появлению анизотропии упругих свойств. Показательной в этом отношении является «среда Хилла» [7], представляющая собой макроскопически однородную составную среду с изотропными фазами при одинаковых модулях сдвига. Независимо от текстуры материал в этом случае является макроскопически изотропным.

8. Вывод

Таким образом, как следует из рассмотренных примеров, дополнительные ограничения, накладываемые характером внутренних связей в структурно-неоднородных средах, могут приводить к уменьшению числа независимых постоянных упругости, по сравнению с тем, которое вытекает из симметрийных соображений.

Литература

1. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л.: ОНТИ НКТИ СССР, 1935. - 676 с.

2. Лехницкий С.Г Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука,

1977. - 416 с.

3. Фокин А.Г., Шермергор Т.Д. Эффективные модули упругости композита, составленного из анизотропных слоев // Механика полимеров. - 1975. - № 3. - С. 408-413.

4. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. - 400 с.

5. Берестова С.А., Митюшов Е.А. Об одном точном решении проблемы определения эффективных модулей упругости микронеоднородных сред // ПММ. - 1999. - Т. 63. - Вып. 3. - С. 524-527.

6. Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов // ЖЭТФ. - 1946. - Т. 16. - Вып. 11. - С. 967-980.

7. Хилл Р. Теория механических свойств волокнистых композитных материалов // Механика: Сб. переводов иностр. статей. - 1966. -№2.- С. 131-143.

On the influence of internal constraints on physical equations of linear-elastic heterogeneous solids

E.A. Mityushov and S.A. Berestova

Ural State Technical University, Ekaterinburg, 620002, Russia

The relationships of elastic characteristics were derived with regard to additional restrictions imposed by the character of internal constraints in heterogeneous media. The relationships allow a decrease in the number of independent elastic constants as compared to the number obtained from symmetrical considerations.