О количестве оптимальных 1-гамильтоновых графов с числом вершин до 26 и 28

УДК 519.17 DOI 10.17223/2226308X/9/40

О КОЛИЧЕСТВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ 1-ГАМИЛЬТОНОВЫХ ГРАФОВ

С ЧИСЛОМ ВЕРШИН ДО 26 И 28

М. Б. Абросимов, С. А. Сухов

Граф называется 1-вершинно(рёберно)-гамильтоновым, если после удаления любой его вершины (ребра) получившийся граф является гамильтоновым; 1-вер-шинно(рёберно)-гамильтонов граф называется оптимальным, если он имеет минимально возможное число рёбер среди всех 1-вершинно(рёберно)-гамильтоновых графов с тем же числом вершин. В работе перепроверены полученные ранее данные для оптимальных 1-вершинно- и 1-рёберно-гамильтоновых графов, а также удалось вычислить новые значения для 28 вершин.

Ключевые слова: оптимальный 1-гамильтонов граф, минимальное 1-расширение цикла, отказоустойчивость.

J. P. Hayes в работе [1], а затем совместно с F. Harary в работах [2, 3] предложил графовую модель для исследования отказоустойчивости дискретных систем. Особое внимание было уделено системам, представимым циклами. В [1-3] предложены схемы построения одной оптимальной 1-отказоустойчивой реализации (минимального 1-рас-ширения) цикла. Предложены и другие схемы [4-8].

Граф G* = (V*,а*) называется минимальным вершинным k-расширением (k — натуральное) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:

1) граф G* является вершинным k-расширением графа G, т. е. граф G вкладывается в каждый подграф графа G*, получающийся удалением любых его k вершин;

2) граф G* содержит n + k вершин, т.е. |V*| = |V| + k;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Граф G* = (V*,а*) называется минимальным рёберным k-расширением (MP-kP) n-вершинного графа G = (V, а), если выполняются следующие условия:

1) граф G* является рёберным k-расширением G, т.е. граф G вкладывается в каждый граф, получающийся из G* удалением любых его k рёбер;

2) граф G* содержит n вершин, т.е. |V*| = |V|;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Для минимальных вершинных и рёберных k-расширений циклов можно встретить эквивалентные определения.

Граф называется k-вершинно-гамильтоновым, если после удаления любых его k вершин и инцидентных им рёбер получившийся граф является гамильтоновым. Граф называется k-рёберно-гамильтоновым, если после удаления любых k рёбер получившийся граф является гамильтоновым; k-вершинно(рёберно)-гамильтонов граф называется оптимальным, если он имеет минимально возможное число рёбер среди всех k-вершинно(рёберно)-гамильтоновых графов с тем же числом вершин.

Известно, что задачи проверки вершинных (рёберных) k-расширений произвольных графов, так же как и задачи проверки k-вершинно(рёберно)-гамильтоновых графов, являются NP-полными [9]. Интересной представляется задача вычисления числа неизоморфных минимальных вершинных и рёберных k-расширений для различных графов. Рассмотрим случай k = 1.

Минимальные вершинные и рёберные 1-расширения циклов — это либо кубические графы, если число вершин чётно, либо графы с вектором степеней (4, 3,... , 3), если

104

Прикладная дискретная математика. Приложение

число вершин нечётно [1-3]. Это позволяет использовать более эффективные способы для поиска всех расширений циклов. В 2000 г. проведён вычислительный эксперимент [6,7,10], в рамках которого удалось построить все минимальные вершинные и рёберные 1-расширения циклов с числом вершин до 14. В 2011г. удалось дойти до 17 вершин [11]. В 2013г. проведены следующие вычислительные эксперименты [12] с использованием наиболее эффективных из известных на сегодня способов генерации кубических графов [13, 14] и графов с вектором степеней (4, 3,... , 3) [15]. Удалось построить все минимальные вершинные и рёберные 1-расширения циклов с числом вершин до 26. Вычисления проводились на кластере Гентского университета.

В рамках данной работы удалось перепроверить полученные ранее результаты, а также получить новые значения для 28-вершинных графов. Для проведения вычислений разработана программа на языке С+—Н [16], в основе которой лежит параллельный алгоритм генерации всех неизоморфных реализаций вектора степеней [15]. Расчёты проводились на кластере высокопроизводительных вычислений ПРЦ НИТ СГУ. Полученные результаты представлены в таблице. В первом столбце приводится вектор степеней графа, во втором и третьем столбцах указывается число реализаций этого вектора степеней, являющихся оптимальными 1-рёберно-гамильтоновыми (О1-РГ) и 1-вершинно-гамильтоновыми (О1-ВГ) графами соответственно, в последнем столбце — число реализаций вектора степеней, являющихся О1-РГ- и О1-ВГ-графами.

Вектор степеней Число О1-РГ Число О1-ВГ Общее число

(34) 1 1 1

(4, 34) 1 1 1

(36) 2 1 1

(4,36) 2 2 2

(38) 4 2 2

(4, 38) 13 10 10

(31U) 13 7 6

(4, 31U) 87 63 63

(312) 53 27 26

(4, 312) 885 602 598

(314) 320 158 154

(4, 314) 10933 7203 7129

(316) 2641 1396 1370

(4, 316) 160145 104212 102786

(318) 28643 16069 15843

(4, 318) 2636205 1739987 1717103

(32U) 375906 227734 225312

(4, 32U) 47500069 32545889 32214688

(322) 5672841 3740297 3713170

(4, 322) 921357310 664225667 659673074

(324) 95206332 68237411 67921892

(4, 324) 19072278349 14515830380 14454468790

(326) 1745426880 1346345125 1342594673

(4, 326) — — —

(328) 34590425317 28311172759 28265410940

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.

2. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

3. Harary F. and Hayes J. P. Node fault tolerance in graphs // Networks. 1996. V. 27. P. 19-23.

4. Mukhopadhyaya K. and Sinha B. P. Hamiltonian graphs with minimum number of edges for fault-tolerant topologies // Inform. Process. Lett. 1992. V. 44. P. 95-99.

5. Hsu L. H. and Lin C. K. Graph Theory and Interconnection Networks. CRC Press, 2009.

6. Абросимов М. Б. О неизоморфных оптимальных 1-отказоустойчивых реализациях некоторых графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений. Саратов: СГУ, 2000. Вып. 3. С. 3-10.

7. Абросимов М. Б. О неизоморфных минимальных реберных 1-расширениях графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений. Саратов: СГУ, 2004. Вып. 6. С. 3-9.

8. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012.

9. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.

10. Абросимов М. Б. Минимальные вершинные расширения циклов с числом вершин не более одиннадцати. Саратов: СГУ, 2001. 17с. Деп. в ВИНИТИ 14.08.2001, №1869-В2001.

11. Абросимов М. Б., Кузнецов Н. А. О количестве минимальных вершинных и рёберных 1-раотирений циклов с числом вершин до 17 // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2012. №5. С. 84-86.

12. Бринкман Г., Абросимов М. Б. О количестве минимальных раотирений циклов с числом вершин до 26 и 28 // Дискретная математика, теория графов и их приложения: Тез. докл. Междунар. науч. конф. Минск, 11-14 ноября 2013 г. Мн.: Институт математики НАН Беларуси, 2013. С. 7-9.

13. Brinkmann G. Fast generation of cubic graphs //J. Graph Theory. 1996. V. 23. P. 139-140.

14. Brinkmann G., Goedgebeur J., and McKay B. D. Generation of cubic graphs // Discr. Math. Theor. Comp. Sci. 2011. V. 13(2). P.69-80.

15. Grund R. Konstruktion schlichter Graphen mit gegebener Gradpartition // Bayreuther Mathematische Schriften. 1993. B.44. S. 73-104.

16. Сухов С. А. DSR Generator. Свид. о гос. регистрации программы для ЭВМ №2016610073. Зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ 11 января 2016 г.

УДК 519.1 DOI 10.17223/2226308X/9/41

ОБ ОДНОМ НАСЛЕДСТВЕННОМ ПРИЗНАКЕ В ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОЛУГРУППАХ ГРАФОВ

Я. Э. Авезова, В. М. Фомичев

В циклической полугруппе орграфов исследован признак наличия петель в вершинах из заданного множества. Для показателя этого признака через длины контуров орграфа (образующего элемента циклической полугруппы) получены достижимые оценки и формулы для подсчёта точного значения. Применение формул показано на примере. Результаты позволяют оценить экспоненты широкого класса примитивных систем орграфов.

Ключевые слова: признак, показатель признака, экспонент системы графов.

Введение

Важной задачей в криптографических приложениях является определение экспонента системы орграфов Г = {Г1,..., Гт}, обозначаемого exp Г (равносильное определение экспонента системы матриц дано в [1, с. 202]). Один из способов получения