Программные связи и обеспечение устойчивости движения электромеханического манипулятора

Теоретическая механика

УДК 531.13

Программные связи и обеспечение устойчивости движения электромеханического манипулятора

А. В. Соколов

Кафедра теоретической физики и механики Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

Для теоретического изучения динамики манипуляционных роботов, определения конструктивных параметров и законов управления необходимо иметь расчётные механические модели, с достаточной точностью описывающие свойства реальных роботов. Выбор расчётной модели в каждом конкретном случае определяется кинематической схемой манипулятора, механическими свойствами (инерционными, упругими, диссипативными и т.п.) его деталей и узлов, типом и характеристиками приводов, а также необходимой точностью производимых расчётов.

Задачей управления является обеспечение движения механической системы согласно некоторым требованиям, которые составляют её программу. Программное движение системы может быть осуществлено приложением к системе управляющих сил, изменением параметров системы в процессе движения, построением специальных управляющих устройств (регуляторов) или сочетанием этих возможностей. Исходными задачами теории управления являются обратные задачи классической динамики.

С математической точки зрения расчётная модель манипуляционного робота представляет собой систему дифференциальных уравнений. Эта модель может содержать уравнения, описывающие также явления немеханической природы, например электрические процессы в цепях электродвигателей приводов.

В данной статье автором исследуются вопросы обеспечения условий асимптотической устойчивости программного движения механических и электромеханических систем с голономными и неголономными связями. На примере модели трёхзвенного управляемого электромеханического манипулятора обеспечиваются условия асимптотической устойчивости заданного движения. Описываемые подходы к обеспечению условий асимптотической устойчивости электромеханических систем могут быть использованы при исследовании устойчивости движения несвободных механических систем, в механике управляемого движения, при решении задач управления роботами—манипуляторами, транспортными и космическими системами.

Ключевые слова: динамика, манипуляционные системы, голономные и неголо-номные связи, управление, асимптотическая устойчивость.

1. Исследование условий асимптотической устойчивости движения управляемого электромеханического

манипулятора

Поставим задачу нахождения условий, обеспечивающих асимптотическую устойчивость программного движения электромеханических систем с голономными и неголономными связями.

Для электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением выполняются соотношения [1]:

где ф — угол поворота ведомой шестерни редуктора; п* — передаточное число редуктора (отношение числа зубьев ведомой и ведущей шестерен); Ь* и Л* —

Ь* + + к2п*ф = ки, М* = —п*ц, — 10п *2 (р,

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ 13-08-00535.

соответственно коэффициент индуктивности и электрическое (омическое) сопротивление обмотки ротора электродвигателя; и — управляющее электрическое напряжение; м — момент электромагнитных сил, создаваемых двигателем и приложенных к его ротору; То — суммарный момент инерции ротора электродвигателя и ведущей шестерни редуктора относительно оси вращения; М* — момент сил реакции, действующих на ведущую шестерню; к - коэффициент, зависящий от напряжения на входе цепи возбуждения. Будем предполагать, что это напряжение постоянно. Тогда к = const.

При описании динамики манипуляционных роботов обычно используют уравнения Лагранжа второго рода:

- Ш - д± = М*.

di \dq J д^

Уравнения (1), (2) описывают электрические процессы, проходящие в электродвигателе звена манипулятора; уравнения (3) описывают динамику звена манипулятора. Аналогичные уравнения можно записать для каждого звена. Уравнения типа (1), (2), (3) можно объединить в систему [2]:

dg ^ di = 7

ddT = ММ-1(-п*Д -7),

dM Д* _ к2п* , к _

-г- = т- М +--;—Q + т- и.

di L* L* L*

Заданной программой движения манипуляционной системы можно считать ограничения, наложенные на обобщённые координаты и скорости, которые в общем виде можно представить как совокупность уравнений голономных и неголо-номных связей:

/

В [3] было показано, что для обеспечения асимптотической устойчивости интегрального многообразия, описываемого уравнениями (5), следует использовать вместо уравнений связей (5) уравнения программных связей:

Д 7 £) = а Д 77 ^ = а, //(7, 7 ^ = а', Д 7 7 7 ^ = 7 7 = а', к!

в которых возмущения связей а, а, а, а , а рассматриваются как переменные, удовлетворяющие дифференциальным уравнениям:

а* = ^

а* = (а1,..., ато, а^ ..., ато, а1,..., а^), <^(0, ¿7, 7, = 0, <¿>(0, 0, 7, 7, 7, = 0. Правые части уравнений (7) можно выбрать так, чтобы их тривиальное реше-

ние

«1 = ... - ат = cci = ... - ат = «1 = ... - ат = а1 =

- ... - ^Хгр - «1 - ... - СК^

= 0

было асимптотически или экспоненциально устойчиво [4]. Будем считать, что из асимптотической или экспоненциальной устойчивости тривиального решения

а = а = а = а' = са = 0

уравнений (7) следует соответственно асимптотическая или экспоненциальная устойчивость интегрального многообразия

Подставим вместо д выражение, полученное из (4), Ц = Q(q,q,p,). Тогда получим

7(Ъ = а,

Ъ = а,

¡'

1() q,¡, = а, ./'(^ ¡Ф, = а.

Уравнения (7) подбираем так, чтобы они удовлетворяли системе дифференциальных уравнений:

= А{а + Ар + А^а + A¡a' + Ар', = Ар + Ар + Ар + Ар' + Ар'

где матрицы имеют размерности: Ад, А}, Ад — (т х т); А3, Ад — (т х г), А0, А2, А2 — (г хт); А2, А2 — (г х г); и состоят из коэффициентов, которые подбираются из условий асимптотической устойчивости движения.

Рассмотрим более подробно поиск коэффициентов (матриц коэффициентов) А*, % = 1, 2, '} = 1,..., 5 из (9), которые подбираются из условий асимптотической устойчивости движения.

Введём обозначения:

а а - 0 1 0 0 0

а а 0 0 1 0 0

а , 9 = а , А = А11 А1 А А1 А3 А1 А4 А1 А5

а' а 0 0 0 0 1

а а' А1 А А coto А4 А5

Тогда можно записать уравнения (9) в виде:

1 = А.д,

где в матрице А на соответствующих местах находятся соответствующие блок-матрицы.

Функцию Ляпунова возьмём в виде

2V = дТ .Rg,

где

R =

Rii ... R

15

R = RT; Rij, i,j = l,..., 5

R51 . . . R55_

блок-матрицы соответствующих размерностей.

Так как вектора а, а, а, а', а' и матрицы Д^-, г^ = 1,..., 5 состоят из скалярных функций; и Д^- = Д^, то будут выполняться равенства

аТ .Д^- .а' = а'т .Д^.а.

Отсюда следует, что ат.Д^-.а' + а'т.Д^.а = 2ат.Дц.а'.

Выражение для функции Ляпунова (12) с учётом вышеизложенного примет вид:

2 У = а .Дп.а + а .Д22.а + а .Д33.а + а .Д44.а +а .Д55.<5 +

+ 2 ат .Д12.а + 2 ат .Д13.а + 2 ат .Д14.а' + ат .Д15.а' + 2ат .Д23.а+ + 2 (5 .Д24.а +2 сх .Д25.а + 2а .Д34.а +а .Д35.а + 2а .Д45.а .

Будем искать функцию Ляпунова У в виде [5]:

2 У = ат .Д.а + 2ат .С.а + 2ат .Д.а + ат .Е.а+

+ ат .С.а + 2(т .Д.а + а/Т .К.а' + 2а/Т .Д.а' + а/Т .М.а',

где Д, С, Д, Е, Д, С, X, Д, М — симметрические матрицы с постоянными коэффициентами. Сравнивая правые части в выражениях (12), (13), (14) для функций У, получим:

Д =

Д С С Е Д Д

Д Д С 0 0

0 0 0 X Д

0 0 0 Д

М

Таким образом, Д11 = Д, Д12 = Д21 = С, Д13 = Д31 = Д, Д22 = Е, Д23 = Д32 = Д, Д33 = С, Д44 = К, Д45 = Д54 = Д, Д55 = М, остальные Д^ = 0.

Найдём производную У. Для этого продифференцируем выражение (12). Получим

У = ат .Д.а + ат .С.а + ат .С.а + ат .Д.а + ат .Д.а + ат .Е.а+ + ат.Д.а + ат.Д. а' + ат.С. ¿5 + а/Т.К.а' + а/Т.Д.а' + а/Т.Д.а' + а/Т.М.а.

Подставив в (12) вместо а и а' выражения из (12), производную от функции Ляпунова У можно выразить в виде:

У = 5Т .Я.5,

где матрица примет вид:

Н

"ДЛ1 д + дл2 С + Д Л13 Д Л14 Д Л15

ДЛ1 С + Д Л22 Е + Д + Д Л13 Д Л14 Д Л15

СЛ} сл2 Д + СЛ1 сл4 сл5

ДЛ2 Д Л22 Д Л сою Д Л24 К + Д Л25

М Л М Л сою М Л24 Д + М Л25

Рассмотрим случай, когда:

л4 = 0,

Л5 = 0,

Л? = 0,

л2 = 0,

Л3 = 0.

Тогда матрица Н будет иметь вид:

Н

ЪА РА СА 0 0

В + ЪА\ С + РА2 СА2 0 0

С + БА\ Е + Б + РАЗ Р + СА\ 0 0

0 0 0

РА2

МА\

0 0 0

К + РА\ Р + МА\

Функцию Ляпунова V и её производную V можно записать ещё так:

V = V(а, а, а, а',а') = V1(а, а, а) + V2(а!, а'),

V = У(а, а, а, а',а') = У^а, а, а) + V2(а/, а'),

где

2VI = (а1 ,ёс1 ,ат).

В С Ъ С Е Р БЕС

2 V = ( аГ1 ,аГ1).

К Р а'

Р М а

Ъ А11 В + ЪА2 С + БАЗ - 'а'

ат). Р А111 С + РА2 Е + Б + РАЗ а

С А111 СА1 Р + СА1 .а.

V! = (а'т ).

'РА\ К + РА\ МА\ Р + МА\}

а'

•,

а

По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости будем добиваться положительной определённости функции V и отрицательной определённости функции V. Это эквивалентно требованию положительной определённости матрицы К и отрицательной определённости матрицы Н.

1. Положительная определённость матрицы К: главные миноры матрицы К удовлетворяют условию

\( К) > 0, г = 1,..., 2т + г.

2. Отрицательная определённость матрицы Н: главные миноры матрицы Н удовлетворяют условию

Аг(Н) < 0, г е [1;2т + г] , г — нечётное, Н) < 0, ] е [1; 2т + г] , ] — чётное,

Таким образом, мы будем иметь 2(2т + г) условий (22), (23) типа неравенств, наложенных на искомые коэффициенты матриц А^, % = 1, 2, ] = 1,..., 5, и на коэффициенты матриц В, С, Ъ, Е, Р, С, К, Р, М.

В общем случае условий (22), (23) недостаточно для однозначного нахождения коэффициенты матриц А^. Поэтому при решении конкретных задач используется произвол при выборе постоянных коэффициентов матриц В, С, Ъ, Е, Р, С, К, Р, М, а также дополнительные условия задачи.

1

1

1

2. Исследование условий асимптотической устойчивости движения трёхзвенного управляемого электромеханического манипулятора

Найдём коэффициенты матриц Aj, обеспечивающих асимптотическую устойчивость движения, при попадании схвата трёхзвенного электромеханического манипулятора из произвольной точки Хо(жо, J/0) рабочей зоны, полуплоскость левее прямой х = 6, в точку A*(6, 5), минуя препятствие, которое ограничено замкнутой кривой Ф: (х - 3)2 + ( у - 3)2 - 1 = 0. К тому же потребуем, чтобы схват манипулятора во время движения был параллелен оси Ох.

В данном случае голономные и неголономные связи, накладываемые на движения манипулятора, имеют вид [6]:

/i = cos(+ <?2 + <?з) - 1 = 0,

/2 = X + (х - 6) Q((x - 3)2 + (у - 3)2 - 1) + (у - 3)(2х - 3у + 3)) = 0,

/з = у + (2х - 3у + 3) (^-((х - 3)2 + ( у - 3)2 - 1) - (х - 3)(х - 6) J -

- 3((х - 3)2 + ( У - 3)2 - 1)(х - 6) = 0,

где координаты схвата х и , используя кинематику, выражаются через обобщённые координаты q = ( qi, g2, g3):

Гх = Li cos (/i + L2 cos((/i + (/2) + Ьз cos((/1 + (/2 + <?з), 1 у = Li sin <?i + L2 sin(qi + ^2) + L3 sin(qi + <32 + <?з).

Уравнения (9) примут вид:

a i = aiiai + ai2«i + a^ái + ai4á2 + а^аз + ai6á2 + а^аз, ¿¿2 = a2iai + a22á i + a2зál + a24«2 + а2б«з + a26á2 + a27á з, аз = аз!«! + аз2аа i + азз«! + аз4«2 + азб«з + азбса2 + азгаа: з.

Обозначим вектора д, д и матрицу A:

"ái" "¿i i" 0 1 0 0 0 0 0

á i ái 0 1 0 0 0 0 0

ái á i aii ai2 alз ai4 ai5 ai6 ai7

¿2 , д = á 2 , A = 0 0 0 0 0 0 1

¿з á з 0 0 0 0 0 0 1

á 2 á2 a2i а22 а2з а24 а25 а26 a27

á з. .¿з. ^з! аз2 азз аз4 аз5 аз6 аз7.

Тогда можно записать д = Л.д.

Будем искать функцию Ляпунова У в виде (14):

2У = ai.6.ai + 2ai.c.¿i i + 2ái.d.ái + á i.e.¿¿ i + ái./.¿¿i +

+ 2 ¿i .д. ¿¿i + á/T.K.á' + 2á'T.L.á + á/T.M.á',

где

а =

«2 аз

К =

¿11 ¿12 ¿21 ¿22

ь

11 21

12 22

м =

тп Ш12 Ш21 т22

— матрицы с постоянными коэффициентами, причём ¿12 = ¿21, ¿12 = ¿21, т12 т21; 6, с, й, е, /, 5 — постоянные коэффициенты.

В уравнении (12) 2 У = .Л.<?, матрица Л будет иметь вид:

Л =

0 0 0 0

0 0 0 0

й 0 0 0 0

0 0 0 ¿11 ¿12 11 12

0 0 0 ¿21 ¿22 21 ¿22

0 0 0 11 12 т11 т-12

0 0 0 21 22 т21 т22

или Л =

Л1 0

0

Л2

Найдём производную У. Для этого продифференцируем выражение (27). Получим

У = а^б.а 1 + а 1 .с.а 1 + а1.с.ск1 + а + а1.й.а 1 + а 1.е.са1 + а1./.ск1 +

+ а ь/.« + а1.5.'

Подставим в (29) вместо а и а' выражения из (25). Производная от функции Ляпунова У имеет структуру вида У = .Н.д, где из (18) мы получаем вид матрицы Н:

-

й«11 Ь + й«12 С + й«13

/«11 С + /«12 е + й + /«13 М4 /л5

9 «11 «12 / + 9 «13 <7^4 9Л5

ьл2 ьл3 ьл4 к + ьл5

мл? мл2 мл3 мл4 ь + мл5

Здесь Л4 = («14, «15), Л = («16, «17), Л =

«24 «25 ,л5 = «26 «27

«34 «35 «36 «37

л4 =

Рассмотрим случай когда:

л4 = о, = о,

Тогда матрица Н будет иметь вид:

Н

«21 «31

л2 =

= 0,

«22 «32

л2 = 0, = о.

"^«11 Ь + й«12 С + й«13 0 0

/«11 С+ /«12 е + й + /«13 0 0

5«11 9 «12 / + 9 «13 0 0 или Н

0 0 0 ьл4 к + ьл5

0 0 0 мл4 ь + мл5_

лз =

Н1 0 0 Н2

«23 «33

Функцию Ляпунова V и её производную V можно записать ещё так:

V = V(а1,а 1 ,а1,а2,аз,а2, аз) = VI(а1, а1,а1) + V2(а2,а3, а2, аз),

V = У(а1,а 1, ¿¿1 ,а2,аз,а2, а3) = VI(а1, а1,а1) + ^\^2(а2,аз, а2, а3),

где

2У1 = [а1 <01 (¿1 ]

2 V = [ «2 аз а2 аз].

Ъп &12

11 12

&12 &22 12 22

11 12 Ш11 Ш12

а1 а 1 а1

12 22 Ш12 Ш22

а2

«з

а 2

а з_

йа11 Ь + йа12 с + йа1з а1

V = [а1 а 1 а{] . /аи с + /а12 е + й + /а1з а1

_д а11 д а12 / + 9 а1з а1

У2 = [а2 аз а2 аз] .Щ.

а2 аз а 2 а з

=

1110-24 + 1-120-34 1-12024 + 1-22034 Ш11024 + Ш12034 т.12024 + Ш22О34

1-11025 + 1-12035 1-12025 + 122035 Ш11025 + Ш12035 Ш12025 + Ш22О35

ки + 1-Ц026 + 1-12036 к12 + 112026 + 1-22036 кц + Шца26 + Ш12036 к12 + т.12026 + Ш22036

к12 + 1ц027 + 112037 к22 + 112027 + 1-22037 к12 + Шца27 + ГП12037 к22 + Ш12027 + т-22037.

По теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости будем добиваться положительной определённости функции V и отрицательной определённости функции V. Это эквивалентно выполнению условий (22), (23) для матриц К и Н, содержащей коэффициенты ап, аи, а1з, й2з, й24, ^25, ^26, ^27, аз4, азб, азе, аз7.

Найдём частное решение задачи поиска коэффициентов а^, обеспечивающих асимптотическую устойчивость заданного движения манипулятора.

Возьмём коэффициенты Ь, с, й, е, /, д:

Ь = 8, с = 3, й =2, е = 4, / = 1, д = 5. Матрица Д1 будет положительно определённой и примет вид:

К =

832 3 4 1 2 1 5

Соответственно, матрица Н1 из (32) будет иметь вид:

Н1

2 а11 а11 5 а11

8 + 2 а12 3 + а12 5 а12

3 + 2 а1з' 6 + а1з 1 + 5 а1з

Пусть а11 = -3, а12 = -2, а1з = 1. Матрица Н1 будет отрицательной определённости и примет вид:

22

-6 4 5

-1 = -3 1 7

-15 -10 6

¿12 = 2 ¿11 = 1, 22

= 3,

т-12 = 0. Матрица Л будет положительно определённой и примет вид:

Л2 =

6 2 1 0

2 5 0 1

1 4 4 0

0 1 0 3

Матрица Н2 из (33) будет иметь вид:

Н2

«24 «34

2 «24

3 «34

«25

«35

4«25

3 «35

6 + «26 2 + «36 1 + «26

«36

2 + «27 ' 5 + «37 4 «27

1 + 3 «37

Пусть «24 = -7, «25 = 0, «26 = -4, «27 = -2, «34 = 2, «35 = -6, «36 = 0, «37 = -2. Условия отрицательной определённости матрицы Н2 выполняются.

Таким образом, мы подобрали все искомые коэффициенты «^, % = 1,2,3, ] = 1,..., 7, при помощи которых будет обеспечиваться асимптотическая устойчивость заданного движения (24) трёхзвенного электромеханического манипулятора.

В результате матрица коэффициентов «^ из (26) примет вид:

Л =

0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

-3 -2 -1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 -7 0 -4 -2

0 0 0 2 -6 0 -2

Литература

1. Чиликин М. В., Ключев В. И., Сандлер А. С. Теория автоматизированного электропривода. — М.: Энергия, 1979. — 616 с.

2. Соколов А. В. Об управлении движением электромеханического манипулятора // Проблемы механики и процессов управления. Пермь, Меж. вуз. сборн. — 2003. — № 35. — С. 136-151.

3. Мухарлямов Р. Г. Математическое моделирование динамики несвободных механических систем // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — 1996. — № 1. — С. 31-37.

4. Мухарлямов Р. Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию // Дифференциальные уравнения. — 1969. — № 4. — С. 688-699.

5. Программное движение механических систем / под ред. А. С. Галиуллина. — М., 1971. — С. 158.

6. Соколов А. В. Управление программным движением многозвенного манипулятора // Проблемы механики и процессов управления. Пермь, Меж. вуз. сборн. — 2002. — № 34. — С. 76-93.

UDC 531.13

Program Constraints and Ensuring Stability of Movement of the Electromechanical Manipulator

A. V. Sokolov

Department of Theoretical Physics and Mechanics

Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

For the theoretical study of the dynamics of manipulation robots, define design parameters and control laws, you must have a current mechanical models that accurately describe the properties of real robots. The choice of the computational model in each case is determined by the kinematic scheme of the manipulator, mechanical properties (inertial, elastic, dissipative, and the like) parts and assemblies, type and characteristics of the drives, as well as the required accuracy of the calculation.

The objective of the control is to ensure the motion of the mechanical system under some requirements that make up its program. Program motion of the system can be performed by the application to the system of control of forces, the system settings change in the process, building of special control devices (controllers) or a combination of these. The original objectives of the control theory are inverse problems of classical dynamics.

From the mathematical point of view, calculation model manipulation robot is a system of differential equations. This model may include equations describing the phenomena non-mechanical nature, for example, electrical processes in the circuits of the motors of the actuators.

In this article the author examines the issues of ensuring conditions of the asymptotic stability software movement mechanical and electromechanical systems with holonomic and nonholonomic constraints. For example, the three-tier model controllable electromechanical manipulator conditions of the asymptotic stability of a given movement.

The described approaches to ensuring the asymptotic stability of electromechanical systems can be used in the study of stability of motion proprietary mechanical systems, mechanics of controlled motion in the solution of management tasks manipulators, transport and space systems.

Key words and phrases: dynamics, manipulating systems, holonomic and nonholo-nomic constraints, control, asymptotic stability.

References

1. M. V. Chilikin, V. I. Klyuchev, A. S. Sandler, Theory of the Automated Electric Drive, Energy, Moscow, 1979, in Russian.

2. A. V. Sokolov, About the Electromechanical Motion Control Manipulator, Problems of Mechanics and Control Processes. Perm. (35) (2003) 136-151, in Russian.

3. R. G. Mukharlyamov, Mathematical Modeling of the Dynamics of Unfree Mechanical Systems, PFUR Bulletin. "Applied Matematics and Computer Science" (1) (1996) 31-37, in Russian.

4. R. G. Mukharlyamov, About the Construction of the Set of Systems of Differential Equations of Stability of Motion in Integral Manifold, Differential Equations (4) (1969) 688-699, in Russian.

5. A. S. Galiullin (Ed.), Programm Motion of Mechanical Systems, Moscow, 1971, in Russian.

6. A. V. Sokolov, Control of Program Movement of the Multilink Manipulator, Problems of Mechanics and Control Processes. Perm (34) (2002) 76-93, in Russian.