Моделирование условий пробоя плазмы и начального подъема тока в токамаке iter

2015 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 10 Вып. 2

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 533.9+517.977.5+519.6 Р. М. Аминов

МОДЕЛИРОВАНИЕ УСЛОВИЙ ПРОБОЯ ПЛАЗМЫ И НАЧАЛЬНОГО ПОДЪЕМА ТОКА В ТОКАМАКЕ ITER*)

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Описана математическая модель управления начальной стадией разряда в токамаке ITER. Начальная стадия делится на два этапа: до образования плазмы и после. На первом этапе должны создаваться условия для пробоя плазмы (достижение низкого уровня рассеянных полей и требуемого напряжения на обходе) с учетом заданных технологических ограничений и физических требований. На втором осуществляется подъем тока плазмы. При моделировании динамики токов учитываются геометрические и физические параметры вакуумной камеры и электромагнитной системы токамака ITER, включающей в себя активные и пассивные сверхпроводящие полоидальные катушки, расположенные снаружи вакуумной камеры. В качестве управляющих воздействий для модели рассматриваются законы изменения напряжений на управляющих катушках, начальные значения токов в них, а также величины их сопротивлений. Библиогр. 21 назв. Ил. 7.

Ключевые слова: токамак, ИТЭР, плазма, условия пробоя.

R. M. Aminov

MODELING OF THE CONDITIONS FOR THE BREAKDOWN OF PLASMA AND THE INITIAL RISE OF PLASMA CURRENT IN ITER

St. Petersburg State University, 7/9, Universitetskaya embankment, St. Petersburg, 199034, Russian Federation

The mathematical model of the initial plasma stage control problem in ITER is considered. There are two steps in the initial plasma stage: before plasma formation and after it. During the first step one should create conditions for the breakdown of plasma (i. e. achieving the low level of scattered fields and the required loop voltage) with the given technological constraints and physical requirements. In the second step the rise of electrical current in plasma is carried out. In the simulation of the dynamics of currents we take into account the geometrical and physical parameters of the vacuum chamber and the electromagnetic system of ITER, which includes active and passive super conducting poloidal coils located outside the vacuum chamber. The laws of voltage variation on the control coils during the discharge, its initial current values and resistances are considered as control functions. Bibliogr. 21. Il. 7.

Keywords: tokamak, breakdown, ITER, initial plasma stage.

Аминов Роман Мухаматнурович — ведущий математик; e-mail: r.aminov@spbu.ru Aminov Roman Muchamatnurovich — leading mathematician; e-mail: r.aminov@spbu.ru

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (НИР, проект № 9.38.673.2013).

Введение. Токамаки - это сложные электрофизические устройства с большим количеством конструктивных особенностей. Специфика таких установок в том, что в них находится большое количество индуктивно связанных контуров: активных обмоток (катушки с собственным источником питания) и пассивных обмоток (без собственного источника питания) вакуумной камеры. Токи в таких контурах сильно зависят не только от источника питания (в случае наличия такового), но и от магнитного потока, сцепленного с ними, а следовательно, от токов в других контурах.

Потоки, создаваемые контурами, не только определяют положение плазменного шнура, но и вносят свой вклад в показания электромагнитных диагностик, из чего следует важность умения предсказать их эволюцию для корректировки экспериментальных данных.

С этой целью необходимо принимать во внимание не только конструктивные особенности установки, но и сценарий каждого конкретного разряда. Построение модели динамики токов полоидальных контуров токамака является необходимым условием для расчета программного управления разрядом.

Вид модели динамики токов будет отличаться в зависимости от режима работы токамака, основные из которых: подготовка условий для пробоя, пробой, подъем тока плазмы, обеспечение равновесия и устойчивости плазменного шнура.

В настоящее время все ведущие международные термоядерные программы, основанные на исследованиях в области УТС, нашли свое место в международном проекте ITER. Цель проекта - продемонстрировать научную и техническую возможность получения термоядерной энергии для мирных целей. ITER должна стать первой термоядерной установкой, вырабатывающей тепловую энергию в промышленных масштабах. Когда будет произведен первый старт токамака, точно не известно, однако на официальном сайте проекта указано, что первую плазму планируют получить в 2020 г. Но многие технические и научные решения, реализованные в нем, были найдены с помощью других, пусть и менее масштабных, но зато уже действующих и не менее значимых установок. К примеру, в силу того, что физика сферических то-камаков близка к основному на сегодня направлению, связанному с ITER, интересных результатов в области получения, удержания и исследования высокотемпературной плазмы удалось добиться на сферическом экспериментальном токамаке Глобус-М, расположенном в ФТИ им. А. Ф. Иоффе (г. Санкт-Петербург) [1-3]. Также исследования проводятся и на других установках, в частности стоит упомянуть программу экспериментов на малых токамаках [4-7].

В данной статье рассматривается физико-математическая модель динамики токов в токамаке ITER в начальный момент развития разряда, проблемы же, связанные с положением и формой плазмы на последующих стадиях разряда, подробно описаны в работах [8-12]. Начальная стадия делится на два этапа: до образования плазмы и после. На первом этапе должны создаваться условия для пробоя плазмы (достижение низкого уровня рассеянных полей и требуемого напряжения на обходе). На втором осуществляется подъем тока плазмы по заданному сценарию.

При моделировании динамики токов учитываются геометрические и физические параметры вакуумной камеры и электромагнитной системы токамака ITER, включающей в себя активные и пассивные сверхпроводящие полоидальные катушки, расположенные снаружи вакуумной камеры [13, 14].

Постановка задачи. Для формирования электромагнитных условий, удерживающих плазму в токамаке, используется система катушек, ток в которых может создавать разнообразные конфигурации магнитных полей в вакуумной камере. В этой

статье будет рассматриваться полоидальная система проводящих коаксиальных контуров установки, под которыми будем подразумевать катушки полоидальной электромагнитной системы, имеющие источник питания и вакуумную камеру. Для построения модели пассивные контура (в этом случае элементы вакуумной камеры) разбиваются на более мелкие части (филаменты).

Ставится задача описания поведения динамики токов в полоидальных катушках токамака при заданных начальных данных, к которым относятся такие параметры как сопротивления всех контуров, эволюция напряжений на обмотках, начальные токи в активных катушках, индуктивности (собственные и взаимные) всех контуров системы и сценарий поднятия тока плазмы.

Моделирование. При построении современных кодов, служащих для определения параметров системы управления в токамаках, токопроводящие части токамака (плазменный шнур, камера, витки пассивной стабилизации, полоидальные обмотки) разбиваются на контура, для которых решаются уравнения Кирхгофа [4, 5, 10, 15, 16]. Получаемое матричное уравнение описывает динамику токов в полоидальных контурах установки при подготовке условий пробоя плазмы:

—I = L-lU

dt

где L - матрица индуктивностей (собственных и взаимных) для контуров (катушек электромагнитной системы и контуров, на которые можно разбить вакуумную камеру); R - диагональная матрица сопротивлений контуров; I - вектор токов; U(t) -вектор напряжений на источниках питания контуров, компоненты которого отличны от тождественного нуля только для изображенных на рис. 1 катушек CS3U, CS2U, CS1, CS2L, CS3L, PF1-PF6. После окончания стадии подготовки к пробою считается, что в токамаке образуется плазменный шнур.

Тогда математическая модель динамики токов принимает вид

±{I\ = {L МЛ'1 fU(t)\ _ ( L МЛ'1 {R 0 \(1 dt \IPJ \М* Lp J { 0 J \М* Lp J Rp(t)J \lp

здесь Ip - ток плазмы, Mp - взаимные индуктивности плазмы и других токопроводя-щих частей токамака, Lp - индуктивность плазмы, Rp(t) - ее сопротивление. В рассматриваемом случае ток плазмы считается заданным, а ее сопротивление равным нулю. Окончательный вид физико-математической модели, описывающей динамику токов в полоидальных катушках токамака ITER, следующий:

= L^1!!

Ограничения и требования. Для осуществления в токамаке ITER старта разряда и последующего поднятия тока плазмы необходимо обеспечить выполнение ряда требований.

К моменту пробоя следует достичь необходимого напряжения на обходе контура Uioop, проходящего через центр области пробоя и определяющегося соотношением

к

к=1

в котором К - количество контуров, 1к - ток в к-м контуре, Ьк - его взаимная

Рис. 1. Система полоидальных катушек и конфигурация пассивных структур в ITER Точки 0—4 являются характерными точками области пробоя.

индуктивность с круговым контуром, идущим через точку (Ro,Zo), Ф - магнитный поток, (Ro, Zo) - координаты центра области пробоя, Eo - напряженность поля в точке (Ro, Zo).

Накладываются ограничения, обусловленные физическими процессами во время старта разряда, на магнитные поля в зоне пробоя.

Компоненты магнитного поля в точке (R, Z) от единичного кольцевого тока, расположенного в точке (Ri,Zi), могут быть вычислены согласно формулам

br(R, Z, Ri, Zi

Mo

Z Zi

R2 + R? + (Z - Zi)2 ^

(R - Ri)2 + (Z - Zi)2

Mo 1

E

bz(R, Z, Ri, Zi) —

v/(i? + i?1)2 + (Z-Z1)2

x ( K(k) - ,f "Д1+(f

k2

(R - Ri)2 + (Z - Zi)2' RRi

где Ьг и Ьг - радиальная и вертикальная составляющие магнитного поля, а К (к) и Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода.

х

х

х

Радиальное и вертикальное магнитные поля от всех контуров в точке (Я, Z) определяются соотношениями

вг (Я^,г) =^(ЬтА (г)) = Ьг I (г),

кек

вг (Я^,г) = (г)) = ьг I (г),

кек

в них К - множество индексов рассматриваемых контуров, 1к (г) - ток в каждом к-м контуре. А суммарное магнитное поле от всех контуров в точке (Я, Z) равно

в{я, г, г) = ^{вг{к,г,ь)у + {вг{к,г,1)у.

К моменту пробоя требуется обеспечить выполнение Вг (Я, Z,г) ^ 2 тТ, Вг (Я, Z, г) ^ 1 тТ в контрольных точках области пробоя.

После пробоя (1р > 0), чтобы избежать больших смещений плазмы от положения равновесия в вертикальном направлении, радиальное магнитное поле должно по-прежнему поддерживаться близким к нулю. Вертикальное же магнитное поле должно соответствовать величине равновесного магнитного поля, определяемого по формуле Шафранова, и удовлетворять равновесию шнура по большому радиусу:

Выдвинуто требование обеспечить максимальный запас магнитного потока в точке пробоя на момент старта разряда. Вертикальный магнитный поток в точке с координатами (Я, Z) от единичного кольцевого тока с координатами (Я\^\) рассчитывается по соотношению

1?!, ) — —^ \/ЯЯ\ к

1 -^\К

где К (к) и Е(к) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода; к вычисляется согласно формуле (3).

Таким образом, магнитный поток от набора контуров может быть определен следующим выражением:

m, Zm),

кек тем

в котором К - множество индексов контуров, принимаемых во внимание при расчете, М - множество индексов разбиений контура, Ят и Zm - координаты каждого такого разбиения.

Выше были перечислены терминальные ограничения для системы (1) (и (3)), а сейчас укажем ограничения и требования, которые накладываются на токи вдоль всей траектории системы.

Для избежания преждевременного пробоя ставится задача обеспечить до момента пробоя выполнение условия

. п , , г, , 1

-—- > и, г е [¿о,гьса],

где го - момент начала подготовки к пробою; гъй - время пробоя.

Также на всей траектории накладываются ограничения на токи в контурах, они не должны превышать максимально допустимых для установки значений:

\Ik (t)| <ITx, t e [to,tend].

Требуется не выходить за рамки ограничений на напряжения источников питания, что обусловлено их возможностями:

\Uk(t)\ < UkT, t e [to, tend],

здесь Uk - напряжение на источнике питания, и^ах - максимальное напряжение на источнике питания, K - множество индексов катушек, имеющих источники питания.

Постановка задачи оптимизации. Выше было представлено решение задачи описания поведения динамики токов в полоидальных катушках токамака при заданных начальных данных, к которым, как уже было указано, относятся сопротивления всех контуров, эволюция напряжений на обмотках, начальные токи в активных катушках, индуктивности (собственные и взаимные) всех контуров системы и сценарий подъема тока плазмы.

Для проведения же экспериментов с плазмой, а также поиска начальных данных, с помощью которых можно было бы создавать условия для пробоя плазмы с последующим поднятием ее тока в соответствии с заданным сценарием, необходима система управления полученными в процессе моделирования токами в камере установки [8, 9, 13, 17-19]. Как управляющие воздействия предполагается рассматривать законы изменения напряжений на управляющих катушках, начальные значения токов в них, а также величины их сопротивлений. Индуктивности же контуров в качестве управляющих воздействий не принимаются во внимание, так как геометрические и электротехнические параметры установки считаются неизменными.

Для решения задачи обеспечения выполнения условий для пробоя на основе модели (3), описанной ранее, которая представляет собой систему линейных дифференциальных уравнений, можно построить математическую модель оптимизации программного управления стартом разряда в токамаке ITER [4, 10, 18, 20]. Следует отметить, что схожие методы оптимизации применяются также для оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускорителе [21]. Программное управление должно решать задачу создания в активных контурах токов по заданным законам и обеспечения установленных технологических ограничений, ограничений на наведенные токи в конструкциях установки, на магнитные поля в определенной области вакуумной камеры. Для этого в первую очередь необходимо перечисленные выше требования к указанной модели представить в виде минимизируемых функционалов.

Функционал, описывающий требование максимизации полоидального магнитного потока в центре области пробоя к моменту старта разряда, имеет вид

- 1

9lW (a;mr + v

здесь аф - рассчитанный заранее вектор, такой, что афI(t) есть полоидальный магнитный поток в центре зоны пробоя в момент времени t.

Требование достижения заданного напряжения на обходе к моменту старта разряда в центре зоны пробоя описывается функционалом

g2(I(t), U(t), R) = (афI(t) + 2nRoEo)2 = (аф(L-1U(t) - L-1RI) + 2nRoEo)2, в котором Eo - напряженность поля в точке (Ro, Zo) - центре зоны пробоя.

Для учета ограничений на компоненты магнитного поля в каждой из заданных контрольных точек в зоне пробоя в момент старта разряда используются функционалы

N

дз(1 (г)) = ^ 93* V (г)),

¿=1 N

94(1 (г)) = ^ 94* (I (г)).

Здесь

0, —Б™*

93*(I (г)) =

< ь*г*I(г) < б^ (ь*г.I(г) — Б™)2, ь*г.I(г) > Б

'шах

г ,

(ь*т.I(г) + Бшах)2, ьг.I(г) < -Б:

шах ,

г,

'о, —Б^ < Ц,I(г) < Бш

эшах

г ,

94*(I(г)) = { (ьг*I(г) — Бшах)2, ьг*I(г) > Б (ьг*I(г) + Бшах)2, ьг*I(г) < —Б

'шах

г ,

где ь*г.I(г) и ьг*I(г) - соответственно радиальная и вертикальная компоненты поло-идального магнитного поля в г-й контрольной точке; Бшах Бшах - их максимальные значения.

Функционал, отвечающий за ограничение на максимальный ток в катушках, имеет вид

11

?1(г, I (г), и (г), я) = £ (г, I (г), и (г), я),

¿=0

в котором

| о, < и(г) < Ifa^x, ч>и (г, I (г), и (г), я) = \ I (г) — ^у, т > ^,

(г) + лша*)2, т < —Ц™,

а г - номер катушки.

Ограничения на максимальное напряжение на балластных сопротивлениях описываются функционалом

^(г, I (г), и (г), я) = £ (г, I (г), и (г), я),

где

^2*

о, —ишах < и (г)я < ишах, I(г)я — ишах)2, ь(г)я > и*ах I(г)я + ишах)2, и(г)я < —иш

а г - номер катушки; ограничения на максимальные поля в катушках - функционалом

11

^з (г, I (г), и (г), Я) = £ ^ (г, I (г), и (г), Я),

здесь

{(О ошах \ 2 тэ \ ошах

(вг - вг ) ,вг >вг , 0, в, < вшах,

г - номер катушки, В» (г) = ^(Ь*./^))2 + (Ь*./(>))2.

После пробоя, на стадии подъема тока плазмы, дополнительно вводится следующий функционал:

(г, I(г), и(г),я) = ]Г (г) - в8(г))2¿г,

1 ^м

где вя(г) соответствует (4).

Таким образом, для учета всех ограничений используется функционал

з = д(1 (г),и(г),я) + I ф,1 (г),и(г),я)йг

4

= £екдк

1 1 0

Минимизацию функционала (5) будем называть задачей оптимизации программного (расчетного, выделенного) управления. Работа над ее решением ведется в текущий момент и будет изложена в следующих работах.

Заключение. На основе изложенной выше физико-математической модели динамики токов в полоидальных контурах камеры токамака с учетом всех ограничений и требований, налагаемых на систему, на языке программирования С+—Н было создано специальное программное обеспечение, которое позволяет вычислять токи в по-лоидальных катушках токамака на интервале времени, необходимом для подготовки условий для пробоя, а также последующего поднятия тока плазмы до заданных величин. Также по рассчитанным токам реализована возможность производить анализ и оценку воздействия управляющих параметров на исследуемую динамическую систему. Следует отметить, что переход от системы (1) к системе (3) осуществляется автоматически в тот момент, когда выполняются все условия пробоя плазмы.

В качестве входных данных для моделирования используются напряжения на управляющих катушках (как пример на рис. 2 представлена эволюция напряжения на катушке PF6), начальные токи и сопротивления в управляющих катушках и электротехнические параметры, а именно индуктивности и сопротивления, которые вычисляются заранее на основе данных о геометрических параметрах установки и материалах, которые планируется использовать для ее изготовления. Также задан сценарий развития тока плазмы на стадии его подъема.

Напряжение в катушках, В 1600 800 0

-800 -1600

-2400-----'-'-'-'-

О 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5

Время, с

Рис. 2. Напряжение в управляющей катушке PF6

Таким образом, созданное программное обеспечение позволяет моделировать поведение токов в электромагнитной системе токамака ITER в начальной стадии развития разряда и с учетом заданных технологических ограничений и физических требований анализировать достижение условий пробоя и планомерность подъема тока плазмы в соответствии с заданным сценарием.

Ток, А 40 000

32000 24 000 16000 8000 0

0 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 Время, с

Рис. 3. Токи в управляющих катушках

Для пользования программой был создан отдельный графический менеджер проектов, который дает возможность одновременно запускать сразу несколько процессов по расчету динамики токов, а также для удобства представления визуализировать полученные в ходе расчетов данные.

На рис. 3-6 представлены результаты, полученные в ходе расчетов программы. На них видно, что используемые при расчете начальные данные обеспечивают выполнение всех поставленных требований.

Магнитный поток, Вб 117.5

102.5 -

0.3 0.6 0.9 1.2

Рис. 4- Магнитный поток в центре области пробоя

1.5 Время, с

Магнитное поле, Тл

Время, с

Рис. 5. Вертикальные (vert.) и радиальные (rad.) магнитные поля в 5 контрольных точках

Стоит отметить, что для проверки правильности производимых программой расчетов наши результаты сравнивались с предоставленными АО «Научно-исследовательский институт электрофизической аппаратуры им. Д. В. Ефремова». На рис. 7 изображены отклонения токов (полученных в ходе расчетов с теми, что были даны в качестве проверочных) в управляющих катушках СБЗи, СБ2и, СБ1, СБ2Ь,

Напряжение на обходе, В О

О 0.3 0.6 0.9 1.2 1.5 Время, с

Рис. 6. Напряжение на обходе контура в центре области пробоя Отклонение значений токов, % 120

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 Время, с

Рис. 7. Отклонение значений токов в катушках CS3U, CS2U, CS1, CS2L,

CS3L, PF1-PF6

CS3L, PF1-PF6. «Скачки» для катушек PF3 и PF5 являются допустимыми, так как в моменты времени, когда они происходят, токи в них близки к нулю и потому даже небольшое отличие в значениях дает такой эффект.

Автор благодарит коллег, участвовавших в обсуждении и постановке задачи, -А. А. Кавина, А. Б. Минеева, Д. А. Овсянникова, А. Д. Овсянникова, Е. В. Сухова.

Литература

1. Gusev V. K., Aminov R. M., Berezutskiy A. A. e. a. Investigation of Beams and Waves Plasma Interaction in the Globus-M Spherical Tokamak // 23rd IAEA Fusion Energy Conference, 11—16 October 2010. Daejeon, Republic of Korea. 2010. P. EXW/P7-08.

2. Gusev V. K., Aminov R. M., Berezutskiy A. A. e. a. Investigation of Beam- and Wave-Plasma Interaction in Spherical Tokamak Globus-M // Nuclear Fusion. 2011. Vol. 51, N 10. P. 103019.

3. Gusev V. K., Bakharev N. N., Ovsyannikov A. D. e. a. Globus-M results as the basic for a compact spherical tokamak with enhanced parameters Globus-M2 // Nuclear Fusion. 2013. Vol. 53, N 9. P. 093013.

4. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Zhabko A. P., Veremey E. I., Vorobyov G. M., Zavadskij V. M. Program for scientific and educational investigations on the base of small spherical tokamak Gutta // 2005 Intern. Conference on Physics and Control, PhysCon 2005: Proceedings. 2005. Art. N 1513954. P. 75-79.

5. Vorobyov G. M., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Suhov E. V., Veremey E. I., Za-vadsky V. M., Zhabko A. P. The experiments of the small spherical tokamak Gutta // AIP Conference Proceedings. 2006. N 875. P. 53-56.

6. Gryaznevich M., Dejarnac R., Ovsyannikov A. e. a. Results of joint experiments and other IAEA activities on research using small tokamaks // Nuclear Fusion. 2009. Vol. 49, N 10. P. 104026.

7. Gryaznevich M., Dejarnac R., Ovsyannikov A. e. a. Progress on joint experiments on small tokamaks // 34th EPS Conference on Plasma Physics 2007. EPS 2007: Europhysics Conference Abstracts. 2007. P. 435-438.

8. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Zhabko A. P., Veremey E. I., Makeev I. V., Belyakov V. A., Kavin A. A., Gryaznevich M. P., McArdle G. J. Robust features analysis for the MAST plasma vertical feedback control system // 2005 Intern. Conference on Physics and Control, PhysCon 2005: Proceedings, 2005. Art. N 1513953. P. 69-74.

9. Belyakov V., Kavin A., Rumyantsev E., Kharitonov V., Misenov B., Ovsyannikov A., Ovsyannikov D., Veremei E., Zhabko A., Mitrishkin Y. Linear quadratic Gaussian controller design for plasma current, position and shape control system in ITER // Fusion Engineering and Design. 1999. Vol. 45, N 1. P. 55-64.

10. Ovsyannikov D. A., Veremey E. I., Zhabko A. P., Ovsyannikov A. D., Makeev I. V., Belyakov V. A., Kavin A. A., Gryaznevich M. P., McArdle G. J. Mathematical methods of plasma vertical stabilization in modern tokamaks // Nuclear Fusion. 2006. Vol. 46, N 8. P. 652-657.

11. Zavadsky S., Ovsyannikov A., Sakamoto N. Parametric optimization for tokamak plasma control system // World Scientific Series on Nonlinear Science. Series B. 2010. Vol. 15. P. 353-358.

12. Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Suhov E. V., Vorobev G. M., Zavadskij S. V. Plasma stabilization control models for tokamak // Proc. of the Joint Meeting of 4th IAEA Technical Meeting on Spherical Tori. 14th Intern. Workshop on Spherical Torus. 2008.

13. Глухих В. А., Беляков В. А., Минеев А. Б. Физико-технические основы управляемого термоядерного синтеза: учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2006. 378 с.

14. Беляков В. А., Кавин А. А., Лепихов С. А., Минеев А. Б., Овсянников Д. А. Токамак: начальная стадия разряда: учеб. пособие. СПб.: Изд-во «Лань», 2014. 176 с.

15. Aminov R., Ovsyannikov A. Modeling of the Initial Plasma Stage in ITER // 20th Intern. Workshop on Beam Dynamics and Optimization (BDO). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 2014. P. 6-7.

16. Feynman Richard P., Leighton Robert B., Sands Matthew. The Feynman Lectures on Physics: Mainly electromagnetism and matter. New York: Basic Books, 2011. Vol. 2. 592 p.

17. Zavadsky S. V., Ovsyannikov D. A., Chung S. L. Parametric optimization methods for the tokamak plasma control problem // Intern. Journal of Modern Physics A. 2009. Vol. 24, N 5. P. 10401047.

18. Беляков В. А., Кавин А. А., Овсянников А. Д. Токамак: построение системы управления параметрами плазмы. СПб.: ВВМ, 2010. 56 с.

19. Aminov R., Ovsyannikov A. On optimization of the initial plasma stage in ITER // 20th Intern. Workshop on Beam Dynamics and Optimization (BDO). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 2014. P. 4-5.

20. Mizintseva M., Ovsyannikov A., Suhov E. Optimization of the Initial Conditions in the ITER Tokamak // World Scientific Series on Nonlinear Science. Series B. 2010. Vol. 15. P. 359-362.

21. Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Altsybeyev V. V., Durkin A. P., Papkovich V. G. Application of optimization techniques for RFQ design // Problems of Atomic Science and Technology. 2014. Vol. 91, N 3. P. 116-119.

References

1. Gusev V. K., Aminov R. M., Berezutskiy A. A. e. a. Investigation of Beams and Waves Plasma Interaction in the Globus-M Spherical Tokamak. 23rd IAEA Fusion Energy Conference, 11-16 October 2010. Daejeon, Republic of Korea, 2010, pp. EXW/P7-08.

2. Gusev V. K., Aminov R. M., Berezutskiy A. A. e. a. Investigation of Beam- and Wave-Plasma Interaction in Spherical Tokamak Globus-M. Nuclear Fusion, 2011, vol. 51, no. 10, pp. 103019.

3. Gusev V. K., Bakharev N. N., Ovsyannikov A. D. e. a. Globus-M results as the basic for a compact spherical tokamak with enhanced parameters Globus-M2. Nuclear Fusion, 2013, vol. 53, no. 9, pp. 093013.

4. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Zhabko A. P., Veremey E. I., Vorobyov G. M., Zavadskij V. M. Program for scientific and educational investigations on the base of small spherical tokamak Gutta. 2005 Intern. Conference on Physics and Control, PhysCon 2005: Proceedings, 2005, art. no. 1513954, pp. 75-79.

5. Vorobyov G. M., Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Suhov E. V., Veremey E. I., Zavad-sky V. M., Zhabko A. P. The experiments of the small spherical tokamak Gutta. AIP Conference Proceedings, 2006, no. 875, pp. 53-56.

6. Gryaznevich M., Dejarnac R., Ovsyannikov A. e. a. Results of joint experiments and other IAEA activities on research using small tokamaks. Nuclear Fusion, 2009, vol. 49, no. 10, pp. 104026.

7. Gryaznevich M., Dejarnac R., Ovsyannikov A. e. a. Progress on joint experiments on small tokamaks. 34th EPS Conference on Plasma Physics 2007. EPS 2007: Europhysics Conference Abstracts, 2007, pp. 435-438.

8. Ovsyannikov D. A., Ovsyannikov A. D., Zhabko A. P., Veremey E. I., Makeev I. V., Belyakov V. A., Kavin A. A., Gryaznevich M. P., McArdle G. J. Robust features analysis for the MAST plasma vertical feedback control system. 2005 Intern. Conference on Physics and Control, PhysCon 2005: Proceedings, 2005, art. no. 1513953, pp. 69-74.

9. Belyakov V., Kavin A., Rumyantsev E., Kharitonov V., Misenov B., Ovsyannikov A., Ovsyannikov D., Veremei E., Zhabko A., Mitrishkin Y. Linear quadratic Gaussian controller design for plasma current, position and shape control system in ITER. Fusion Engineering and Design, 1999, vol. 45, no. 1, pp. 55-64.

10. Ovsyannikov D. A., Veremey E. I., Zhabko A. P., Ovsyannikov A. D., Makeev I. V., Belyakov V. A., Kavin A. A., Gryaznevich M. P., McArdle G. J. Mathematical methods of plasma vertical stabilization in modern tokamaks. Nuclear Fusion, 2006, vol. 46, no. 8, pp. 652-657.

11. Zavadsky S., Ovsyannikov A., Sakamoto N. Parametric optimization for tokamak plasma control system. World Scientific Series on Nonlinear Science. Series B, 2010, vol. 15, pp. 353-358.

12. Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Suhov E. V., Vorobev G. M., Zavadskij S. V. Plasma stabilization control models for tokamak. Proc. of the Joint Meeting of 4th IAEA Technical Meeting on Spherical Tori. 14th Intern. Workshop on Spherical Torus, 2008.

13. Gluhih V. A., Belyakov V. A., Mineev A. B. Fiziko-tekhnicheskie osnovy upravlyaemogo termoyadernogo sinteza: ucheb. posobie [Physical and technical bases of controlled thermonuclear fusion: training manual]. St. Petersburg, Izd-vo Politekhn. un-ta, 2006, 378 p.

14. Belyakov V. A., Kavin A. A., Lepihov S. A., Mineev A. B., Ovsyannikov D. A. Tokamak: nachalnaya stadiya razryada: ucheb. posobie [Tokamak: the initial stage of the discharge: training manual]. St. Petersburg, Izd-vo "Lan", 2014, 176 p.

15. Aminov R., Ovsyannikov A. Modeling of the Initial Plasma Stage in ITER. 20th Intern. Workshop on Beam Dynamics and Optimization (BDO). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2014, pp. 6-7.

16. Feynman Richard P., Leighton Robert B., Sands Matthew. The Feynman Lectures on Physics: Mainly electromagnetism and matter. New York, Basic Books, 2011, vol. 2, 592 p.

17. Zavadsky S. V., Ovsyannikov D. A., Chung S. L. Parametric optimization methods for the tokamak plasma control problem. Intern. Journal of Modern Physics A, 2009, vol. 24, no. 5, pp. 10401047.

18. Belyakov V. A., Kavin A. A., Ovsyannikov A. D. Tokamak: postroenie sistemy upravleniya parametrami plazmy [Tokamak: construction of plasma parameters control system]. St. Petersburg, VVM, 2010, 56 p.

19. Aminov R., Ovsyannikov A. On optimization of the initial plasma stage in ITER. 20th Intern. Workshop on Beam Dynamics and Optimization (BDO). Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), 2014, pp. 4-5.

20. Mizintseva M., Ovsyannikov A., Suhov E. Optimization of the Initial Conditions in the ITER Tokamak. World Scientific Series on Nonlinear Science. Series B, 2010, vol. 15, pp. 359-362.

21. Ovsyannikov A. D., Ovsyannikov D. A., Altsybeyev V. V., Durkin A. P., Papkovich V. G. Application of optimization techniques for RFQ design. Problems of Atomic Science and Technology, 2014, vol. 91, no. 3, pp. 116-119.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым. Статья поступила в редакцию 17 февраля 2015 г.