Управление эмиттансом пучка в линейном ускорителе с трубками дрейфа на малую энергию

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2011. Вып. 1

УДК 621.384.64

В. С. Дюбков, С. М. Полозов

УПРАВЛЕНИЕ ЭМИТТАНСОМ ПУЧКА В ЛИНЕЙНОМ УСКОРИТЕЛЕ С ТРУБКАМИ ДРЕЙФА НА МАЛУЮ ЭНЕРГИЮ*)

Введение. В предыдущих работах по рассматриваемой проблеме [1, 2] анализ динамики пучка проводился в консервативном приближении, рассматривая движение сгустка как единого целого, т. е. полагая, что колебания частиц внутри сгустка происходят с одной и той же частотой (когерентно). Очевидно, что данное упрощающее предположение дает не вполне корректное описание движения пучка, поскольку ввиду нелинейного характера сил, действующих на различные частицы, частоты их колебаний могут быть не одинаковыми. По этой причине интересно разработать модель движения частиц, позволяющую учесть некогерентные колебания частиц в сгустке. В настоящей статье предлагается такая модель. В рамках приводимой модели определены условия, соблюдение которых позволяет осуществить управление фазовыми параметрами сгустка. Полученные аналитические результаты проверяются численным моделированием самосогласованной динамики пучка.

Описание модели. Для анализа динамики частиц будем использовать метод усреднения по периоду быстрых осцилляций, аналогично тому, как это было сделано П. Л. Капицей при исследовании устойчивости математического маятника с колеблющейся точкой подвеса [3, 4]. Поскольку в периодической резонансной структуре возбуждается стоячая волна, представим высокочастотное (ВЧ) поле в ней в виде ряда Фурье по пространственным гармоникам, предполагая, что период структуры есть медленно изменяющаяся функция продольной координаты. Для аксиально-симметричной структуры, работающей на п-виде колебаний, можно записать

Ez = EnI0 (knr) cos I / kn dz I cos ut,

n=0 ^ '

Er = EnIi (knr) sin I / kn dz I cos ut,

n=0

Дюбков Вячеслав Сергеевич — аспирант факультета «Автоматика и электроника» Национального исследовательского ядерного университета МИФИ. Научные руководители: доктор физико-

кандидат физико-математических наук, доц. С. М. Полозов.

Э. С. Масунов

математических наук

Количество опубликованных работ: 12. Научные направления: математическое моделирование, численные методы, методы оптимизации, физика и техника ускорителей. E-mail: vsdyubkov@mephi.ru.

Полозов Сергей Маркович — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Электрофизические установки» факультета «Автоматика и электроника» Национального исследовательского ядерного университета МИФИ. Количество опубликованных работ: более 90. Научные направления: ядерная физика, физика и техника ускорителей. Телефон: +7(495)324-29-95.

Работа выполнена при частичной поддержке Федерального агенства по образованию в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009—2013 гг. (грант № П546).

© В. С. Дюбков, С. М. Полозов, 2011

где En - амплитуда n-й пространственной гармоники поля на оси структуры; kn = (1 + 2n)n/D - продольное волновое число n-й гармоники ВЧ поля; D - геометрический период резонансной структуры; ш - циклическая частота ВЧ поля; Io, Ii - модифицированные функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка.

Для того, чтобы учесть некогерентный характер колебаний частиц внутри сгустка, введем понятие референсной частицы как некоторой частицы внутри сгустка, движущейся в любой момент времени строго по оси ускорителя. Допустим, что в линейных ионных ускорителях на малую энергию условие dr/dz ^ 1 всегда выполнено с необходимой точностью и влиянием магнитной силы со стороны ВЧ поля можно пренебречь.

При формулировании уравнения движения удобно выбрать в качестве независимой переменной безразмерную продольную координату, и, с учетом выше обозначенного допущения, движение частицы в системе координат, связанной с референсной частицей, можно записать так:

^7 = ez(£, 0, г*) - ez(£, р, г), d£ (!) ^ = ßzler(t,P,T),

где Г = y* — y; y*, y - лоренц-фактор референсной и рассматриваемой частиц соответственно; £ = 2nz/X - безразмерная продольная координата; ez,r = eEz,rZX/2nmoc2; e - элементарный заряд; Z - зарядовое состояние иона; Л - длина волны ВЧ поля; то - масса покоя иона; с - скорость света в вакууме; ßz и ßr - приведенные продольная и поперечная составляющие скорости частицы.

Введем новую динамическую переменную ф = т — т* (т = wt, т* - приведенное время движения референсной частицы в лабораторной системе координат), замечая, что

1=^ <2>

ßs - отнесенная к скорости света скорость равновесной частицы, s - номер синхронной с равновесной частицей гармоники ВЧ поля.

Считая условие \ßz — ßs \ ^ 1 выполненным и проводя дифференцирование уравнения (2) с учетом первого уравнения системы (1), получим

сРф d-ф 1 (¿Г

Поскольку ßr = ßzdp/d£, p = 2пг/Л, второе уравнение системы (1) преобразуется к виду

d?5 dS е.

de+Md£ = ß:

дз>

здесь 3 = р/ва, К = 1п^ ва.

Выполняя усреднение уравнений (3), (4) по периоду быстрых осцилляций, их можно записать в следующей матричной форме:

Т + ЛТ = -ЬФе1.

В (5) дифференцирование ведется по безразмерной продольной координате,

т

л

(Ък 0 V 0 к) ’

ь

а под ф и 3 теперь понимаются их усредненные значения.

Величина Ф^ играет роль эффективной потенциальной функции, позволяющей тщательно исследовать динамику частиц с учетом некогерентных колебаний внутри сгустка, и может быть представлена в виде суммы пяти слагаемых:

е

Фо = [Іо(3)вт(ф + <р*) - фсовір* - эту»*], 2^в

16 ^~Ґ п

п — в в’П

1____ е2 і ___ е2

ф2 = о Е -Г- Iі - ^о(ч^) 008 Vі] + О У" -Г- [1 - сое ф],

8 ^ <п 8 ^ р1,в

Фз = — 12соэ2<р* — [/о((-п,я^) + Іоі^р^З)] сов(ф + 2<у5*)| +

п—в ив’п

— 2кэ

, 1 \ Л

п—в в,п &п + &р 2к'Б

еов2^* — Іо

ф

1

4 —

Єп Єр

-У

8 'Я п—в в

^р--2

1

+ Те

адП1в,Р(^) «оз(2^ + 2^*) — еов2^*

+

епер

16 ^ ^2 п

п—в в,п

+ &р — 2

тпв р(д) «ов(2^ + 2<р*) — соъ2ц}*

Здесь еп = вЕ^А/2п@атос2'} V* - фаза синхронной гармоники ВЧ поля, в которой находится референсная частица; иа,п = (ка — кп) /ка, ца,п = (ка + кп) /ка, 1п,а = кп/ка, п, в, р € N и {0}, а функции безразмерной поперечной координаты заданы следующим образом:

<в№= І02(іп,в^)+І12(іп,в^) — 1,

^в.р^) = Іо (іп,вд)Іо(ір,вд) + Іі(іп,в^)Іі (ір,в$),

ыЩвр^) = Іо (іп,в5)Іо(ір,в5) — Іі(п,в6)Іі (ір,в$).

Как видно из выражений (6), слагаемое Фо отвечает как за ускорение пучка, так и за его поперечную дефокусировку. Слагаемое Фі влияет только на поперечное движение, всегда фокусируя пучок. Слагаемые Ф2,з,4 влияют и на продольное, и на поперечное движение.

Для того чтобы определить собственные частоты малых колебаний, эффективная потенциальная функция раскладывается в ряд Маклорена

Фе{ = \^ф2 + \nlsS2 + о(ТтТ),

где индекс «Т» означает операцию транспонирования, а коэффициенты разложения определены так:

02 _ еэ • * , 1 е1 , 1 е2п 1 впеР о *

кп кр--2кБ

1 епер 0 *

---> 0 сое 2о> ,

8^ г/2 ^ ’

п-5 ^п

кП+ кр-2кБ

1 ,2 1/^1 ^

,-,2 ев  * , 1 2 , 1 1п,э 2 , 1 1п,81р,в 0 *

Пой = ТБ“8111^ + ^ 2^ ^е» + ^ 2^ ^е» + 7^ 2_^ 2 еперС052^ +

4в« 32 п- ^ 32 ^ ^ 16 п- ^22,п

кп кр--2 кБ

1 __ I2 — I2 — 1 1

1 X—1р,э 1п,э 1п,в1Р

1 Р,Э 0п,Э °п,3^р,3 _ *

+ — 2^ —-------------^2----------еперсои2<р .

п-э э,п

кп + кр 2 кБ

Очевидно, что характер колебательного процесса будет зависеть от соотношения между коэффициентом диссипации к и И0ф, ^0<5, однако выполнение условий, при которых И0ф > 0 и ^0,5 > 0 одновременно, является необходимым для управления эмиттансом пучка.

Результаты численного моделирования. Полученные выше аналитические результаты аппробированы при исследовании процесса управления четырехмерным фазовым объемом пучка. В качестве пучка рассматривались несгруппированные ионы свинца с энергией инжекции 2.5 кэВ/нуклон и отношением «заряд-масса» 0.12. Предполагалось, что в структуре присутствуют только две гармоники, одна из которых -синхронная (в = 0), а другая - несинхронная (фокусирующая, п = 1). Такой гармонический состав поля в структуре достигается чередованием трубок дрейфа с различным диаметром. Указанные гармоники позволяют обеспечить эффективное управление четырехмерным фазовым объемом пучка. Моделирование самосогласованной динамики ионного пучка было выполнено с помощью модифицированной версии специализированной программы ВЕАМБиьАО-АКР [5], основанной на методе «облако в ячейке» для расчета собственного поля пространственного заряда. В качестве первого приближения проведено моделирование при следующих значениях параметров ускорителя: А = 8.88 м, полная длина ускорителя - 2.44 м, длины группирующей и ускоряющей секций были равны 1.75 м и 0.69 м соответственно, полуапертура канала - 5 мм, входное/выходное значение равновесной фазы составляло —0.5п/ — 0.125п, максимальное значение величины амплитуды синхронной гармоники - 42.67 кВ/см; отношение амплитуд гармоник (е\/е0) - 4. Начальный радиус пучка и его ток имели значения 1 мм и 5 мкА соответственно. При этих параметрах конечная энергия и коэффициент то-копрохождения составили 260 кэВ/нуклон и 85%. Фаза равновесной частицы линейно возрастала на длине группирующей секции и далее оставалась постоянной. Зависимость амплитуды синхронной гармоники от продольной координаты рассчитывалась (на длине группирующей секции) посредством правил, описанных в [4]. Проекция четырехмерного фазового объема пучка на фазовую плоскость (ф, ф) в конце ускорителя с нанесенным фазовым портретом для консервативного и неконсервативного приближений, полученная при указанных параметрах, показана на рис. 1; проекция фазового

объема на плоскость (г, р) вместе со среднеквадратичным эмиттансом (жирная кривая) - на рис. 2. На рис. 1 хорошо видно, что при выбранных параметрах и законах их изменения достигается хорошая группировка частиц пучка. Однако радиус пучка в конце ускорителя в 5 раз превышает свое первоначальное значение (см. рис. 2), что обусловлено нарушением требования > 0 (см. (7)) вдоль всей структуры.

Рис. 1. Продольная проекция фазового объема пучка

Жирная кривая — область захвата, полученная в консервативном приближении; заштрихованная область — аксептанс ускорителя, рассчитанный в неконсервативном приближении.

Стоит отметить, что параметры, представленные выше, были выбраны с точки зрения обеспечения необходимой конечной энергии пучка, т. е. не учитывая вопросов его согласования.

Для того чтобы обеспечить величину радиуса пучка в конце ускорителя приблизительно равной ее входному значению, необходимо осуществлять управление эмиттансом пучка в процессе ускорения. Для этого был понижен темп ускорения и гарантирована положительность квадрата собственной частоты малых поперечных колебаний.

Таким образом, все вышеперечисленные параметры были сохранены, кроме следующих: максимальное значение величины амплитуды напряженности синхронной гармоники было снижено до 16.08 кВ/см, конечное значение фазы равновесной - до -п/6, а коэффициент отношения гармоник составил 9. При этих параметрах конечная энергия пучка и коэффициент токопрохождения составили 103 кэВ/нуклон и 85% соответственно.

Для последнего случая проекция фазового объема пучка на плоскость (ф, ф) вместе с фазовыми портретами консервативного и неконсервативного приближений, полученными на основании уравнения (5), в конце ускорителя показана на рис. 3.

Проекции фазового объема пучка на фазовую плоскость (г, р) наряду со среднеквадратичным эмиттансом иллюстрирует рис. 4. Радиус пучка на выходе в 1.5 раза

Рис. 2. Поперечная проекция фазового объема пучка

1 — спектр распределения частиц по радиусу; 2 — спектр распределения частиц по поперечной скорости.

превышает входное значение. Данный результат является приемлемым. Незначительное увеличение поперечного размера пучка обусловлено выполнением условия П2г > 0 начиная лишь с £ > 0.9. Также была рассчитана ширина области захвата частиц пучка на уровне ф = 0 в конце ускорителя для консервативного и неконсервативного приближений для обоих рассмотренных наборов параметров. Для первого из них область захвата в неконсервативном приближении приблизительно на 37% больше, чем для консервативного. Для второго варианта область захвата в неконсервативном приближении увеличена на 21% по сравнению с консервативным. Эти результаты отчетливо подтверждают факт о том, что расчет захвата частиц пучка в консервативном приближении заведомо дает запас по числу захваченных частиц [6].

Продольное движение частиц в системах с ВЧ фокусировкой имеет ряд особенностей, одной из которых является появление второй области ускорения на одном периоде ВЧ поля, позволяющая осуществить ускорение двух сгустков одновременно. Однако для рассмотренных случаев бифуркация фазового портрета является нежелательным эффектом с точки зрения получения максимальной интенсивности пучка. Поэтому также были исследованы условия, при которых происходит буфуркация (появление второй точки типа фокус на продольном фазовом портрете при изменении параметров системы). Характерный вид такого портрета, построенный при е\/во = 1, представлен на рис. 5, где пунктирной линией обозначена полная область захвата. Определено,

Рис. 3. Продольная проекция фазового объема пучка Обозначения см. рис. 1.

Р

0.01 -

0 1 г,мм

Рис. 4- Поперечная проекция фазового объема пучка Обозначения см. рис. 2.

что при выбранных параметрах ускорителя качественного изменения фазового портрета рассмотренной динамической системы не происходит.

Рис. 5. Фазовый портрет динамической системы при ei/eo = 1

Заключение. На основе метода усреднения по периоду быстрых осцилляций построена модель динамики пучка с учетом некогерентных колебаний частиц в сгустке. Проведена оценка эффективного аксептанса канала ускорителя с аксиально-симметричной ВЧ фокусировкой. Сформулированы необходимые требования на параметры ускорителя для обеспечения согласования пучка. Показано, что разработанный подход к анализу динамики пучка в ускорителе позволяет осуществлять эффективное управление эмиттансом пучка.

Литература

1. Масунов Э. С. Динамика частиц в линейном ондуляторном ускорителе // Журн. техн. физики. 1990. Т. 60, вып. 8. С. 152-157.

2. Масунов Э. С., Виноградов Н. Е. Высокочастотная фокусировка ионных пучков в аксиальносимметричной периодической структуре линейного ускорителя // Журн. техн. физики. 2001. Т. 71,

вып. 9. С. 79-87.

3. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн. экспер. и теор. физики. 1951. Т. 21, вып. 5. С. 588-597.

4. Dyubkov V. S., Masunov E. S. Investigation and optimization of low-energy heavy-ion beam dynamics in periodic axisymmetrical structures with dc focusing // Intern. J. of Modern Physics A. 2009. Vol. 24, N 5.

P. 843-856.

5. Masunov E. S., Polozov S. M., beamdulac code for numerical simulation of 3D beam dynamics in a high-intensity undulator linac // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. Section A. 2006. Vol. 558, Issue 1. P. 184-187.

6. Капчинский И. М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М.: Атомиздат, 1966. 312 с.

Статья рекомендована к печати проф. Д. А. Овсянниковым.

Статья принята к печати 14 октября 2010 г.