Конкретные реализации симплектических численных методов

Численные методы и их приложения

УДК 517.958

Конкретные реализации симплектических численных

методов

М. Н. Геворкян

Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, Россия, 117198

В статье продемонстрировано использование тензорной нотации для записи симплектических численных схем. Приведены условия симплектичности для раздельного метода Рунге—Кутты и для метода Рунге—Кутты—Нюстрёма. Дан обзор конкретных реализаций симплектических численных методов до 6-го порядка точности включительно.

Ключевые слова: симплектические численные методы, раздельный метод Рунге— Кутты, метод Рунге—Кутты—Нюстрёма, тензорные обозначения.

Введение

Данная статья преследует следующие цели:

1. Дать обзор конкретных реализаций существующих симплектических численных методов, в том числе и высоких порядков (третьего, четвёртого и пятого). Общедоступная литература на русском языке, известная автору, по этой теме ограничивается статьями [1—3]. Обзор численных схем с вычисленными коэффициентами представляется полезным для практических применений.

2. Проиллюстрировать преимущество обозначений Эйнштейна для численных схем. Можно выдвинуть два тезиса для обоснования использования таких нетипичных для области вычислительной математики обозначений. Во-первых, ввиду того, что понятие симплектической формы относится к дифференциальной геометрии, где общеприняты тензорные обозначения, использование таких же обозначений при записи численных методом унифицирует изложение и не принуждает переключаться с одного стиля индексов на другой. Во-вторых, правило суммирования Эйнштейна упрощает выкладки (например, доказательство условий симплектичности становятся технически проще). Это особенно сказывается в многомерном случае.

3. Продемонстрировать алгоритмы, позволяющие программно реализовать сим-плектический раздельный метод Рунге-Кутты и симплектический метод Рун-ге-Кутты-Нюстрёма.

Заметим, что от читателя предполагается знакомство с методом Рунге-Кутты, раздельным методом Рунге-Кутты и с методом Рунге-Кутты-Нюстрёма. Необходимую информацию по данным вопросам можно найти, например, в книге [4].

1. Использование тензорной нотации при записи

численных схем

1.1. Задача Коши для ОДУ и систем ОДУ

Сформулируем в общем виде задачу Коши, к которой будут применяться рассматриваемые в работе численные методы. Начнём с задачи для одного обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ), а затем перейдём к системе.

Рассмотрим функцию у(х): К ^ К, определённую на отрезке [ж0,Х] € К и принадлежащую классу Ск[х0,Х] достаточно гладких функций, где к меняется в

Статья поступила в редакцию 2 октября 2012 г.

зависимости от задачи. Аналогично функция /(х, у(х)): К ^ К также принадлежит к классу достаточно гладких функций. Задача Коши записывается следующим образом:

(y'(х) = f(х, У(х)),

I У(хо) = У о

Рассмотрим функцию у(х): К ^ , где по-прежнему х € [хо, X] € К. Анало-

гично Г(х, у(х)) € Ск[хо,Х]. Известно, что множество гладких на отрезке функ-

ций образует конечномерное (размерность N) линейное пространство над полем К. Кроме того, из того факта, что любое конечномерное линейное пространство изоморфно пространству вектор-столбцов V• (контравариантных векторов) (или же вектор-строк V» — ковариантных векторов), следует изоморфизм: Ск[хо,Х] =

V • = V,.

В дальнейшем при работе с симплектической формой нам придётся учитывать различие между контравариантными векторами (или короче векторами) и ковариантными векторами (или короче ковекторами). Поэтому удобнее перейти к принятой в дифференциальной геометрии системе обозначений. Будем обозначать:

уа

/у1(х)\

V yN (х)/

— вектор, уа = (у 1(х),..., yN (х)) — ковектор.

Заметим, что под уа(х) и уа подразумеваются не отдельные компоненты, а сам вектор и ковектор. В случае формулировки задачи Коши для системы из N уравнений удобно воспользоваться вышевведёнными обозначениями: Обычная запись Тензорная нотация

Г // Л / ^ ( Уа(х) = Г(х, у13 (х)),

(у' (х) = Г (х, у(х)), у ^

\У(г))=У, {уа(х°)=у°, {у(хо) = у= =

Под записью /а(х, у13(х)) подразумевается /а(х, у1(х),..., yN(х)). Выбор в качестве индексов греческих букв а, ... будет пояснён далее.

1.2. Сеточная функция

Начнём изложение с одномерного случая. Будем считать, что функция у(х) — точное решение задачи Коши 1. Возникает вопрос об аппроксимации этой функции.

На [хо,Х] зададим упорядоченный набор точек хо < х1 < х2 < ... < хп-\ < хп = Х, который называют сеткой; х{+1 — Xi = hi+i — переменный шаг сетки, г = 0,... ,п — 1. Для упрощения обозначений часто будем предполагать, что сетка равномерная и х^+1 — х» = h = const, V = 1,... ,п.

Пусть каждой точке х1 сетки по некоторому правилу (численной схеме, применяемой к ОДУ) ставится в соответствие число yi. Ковектор y = {yi,..., уп}, i = 1,... ,п называют сеточной функцией; y представляет собой элемент конечномерного линейного пространства V», элементы которого — векторы-строки. Сеточную функцию используют для аппроксимации функции ( х).

Важно заметить, что значение функции у(х) в точке х^ и значение сеточной функции в этой же точке не обязательно равны у(хi) = у^. Более того, из сказанного выше видно, что у(х) и y принадлежат разным пространствам. Естественным образом возникает необходимость свести у(х) и y в одно пространство, для того чтобы иметь возможность ввести норму и оценить погрешность аппроксимации е. Существуют два способа сделать это [5]:

— построить с помощью интерполяционных методов функцию непрерывного аргумента, используя для интерполяции значения уо,...,уп. Построенную непрерывную функцию уже можно сравнить с у(х);

— с помощью у(х) задать сеточную функцию у(хг) и сравнить у(хг) с уг. Тогда погрешность аппроксимации можно получить, воспользовавшись какой-нибудь нормой конечномерного линейного пространства, например,

£= 1 у{х) - у^.

О^г^п

В [5] указывается, что наиболее последовательным является первый метод, но наиболее используемым второй, так как он проще.

Для записи численной схемы в многомерном случае удобно также использовать тензорную нотацию. Можно выдвинуть два тезиса для обоснования использования таких нетипичных для области вычислительной математики обозначений. Во-первых, ввиду того, что понятие симплектической формы относится к дифференциальной геометрии, использование похожих обозначений при записи численных методов унифицирует изложение и не принуждает переключаться с одного стиля индексов на другой. Во-вторых, правило суммирования Эйнштейна упрощает выкладки — упрощается их техническое выполнение и уменьшается громоздкость. Например, доказательство условий симплектичности становится технически проще. Таким образом, тензорная нотация, применительно к численным схемам, является удобным техническим приёмом.

Рассмотрим функцию у?(х), которую необходимо аппроксимировать. На отрезке [хо,Х] строится сетка и вводится сеточная функция

у? = (у ?,..., у?) =

(у\ ... у2\

1 N

У 2 ... У 2

\У~П ... Уп)

Иными словами, аппроксимация проводится для каждой компоненты в отдельности. Все алгоритмы будем записывать для первого шага итерации, поэтому в дальнейшем будем работать с у?. Заметим, что для индексов, относящихся к численной схеме, будут использоваться латинские буквы %,'},к,1,т,.... Это позволяет не путать их с индексами из системы ОДУ.

Теперь на примере классического метода Рунге-Кутты проиллюстрируем индексные обозначения Эйнштейна. Особенно удобны они в многомерном случае. Заметим, что в зависимости от задачи, значения функций у(х) и Г(х, у) могут образовывать как вектор-столбец, так и вектор-строку. В общем случае будем записывать у(х) как вектор-столбец:

Обычная запись Правило суммирования Эйнштейна

Г // Л / ^ ( Уа(х) = Г(х, у13 (х)),

Г у'(х) = Г (х, у(х)), у V ; J к к ;;>

У((х)) = у( , { У?(хо) = У?,

Под записью /?(х, у3(х)) подразумевается /?(х, у2(х),..., у2(х)). Греческие буквы используются для обозначения индексов, относящихся к системе ОДУ. Это позволяет не смешивать их с латинскими (г, к, I и т.д.) индексами численной схемы.

Теперь схема Рунге-Кутты будет выглядеть так:

Обычная запись Правило суммирования Эйнштейна

k = f I У о + ajк,х0 + hCi\ , ( k? = fa(yß + hajkß,Xo + hCi),

^ s 3=1 ' \ У? = Уо +hVk?,

У1 = Уо + h ^Ьгкг; i,j = 1,...s, 1где iJ = 1,...s, a,ß = 1,...,N.

=1

Иными словами, bj — контравариантный вектор (вектор), принадлежащий s-мерному линейному пространству V* векторов-столбцов, Cj — ковариантный вектор (ковектор), принадлежащий сопряжённому V* s-мерному пространству векторов-строк V,; aj £ V• <8> V. — тензор 1 раз контравариантный и 1 раз ковариантный (говоря проще — матрица s х s).

2. Условия симплектичности методов семейства

Рунге—Кутты

Далее используются следующие обозначения: qa = (q1,..., qN )Т — обобщённые координаты (вектор), ра = (рi,...,Pn) — обобщённый импульс (ковектор), Qa и Pa — некоторые промежуточные величины, вычисляемые на каждой итерации метода, Н(ра, qa) — функция Гамильтона.

Нас будут интересовать явные симплектические численные схемы. Такие схемы можно сформулировать для раздельных методов Рунге-Кутты и для методов Рунге-Кутты-Нюстрёма.

2.1. Условие симплектичности раздельного метода Рунге—Кутты

Рассмотрим систему уравнений Гамильтона вида:

Ра(t) = fa(pß, qß, t), qa(t) = ga(pß, qß, t), a,ß = 1,...,N

и запишем для неё раздельный метод Рунге-Кутты:

' Pia = Роа + hajfa(to + Cih, Pjß, Qß),

Q? = q? + hajga(to + ah, Pjß, Qß),

Pia =Р0 а + h blfa(to + Cih, Piß ,Qß ),

1 ? = ? ß

qа = q? + hЪгдa(t0 + ah, P%ß, Qß), J,j = 1,..., s; a, ß = 1,..., N.

Сформулируем условия симплектичности раздельного метода Рунге-Кутты.

Теорема 1 (см. [1]). Для гладкого гамильтониана Н(ра, qa) раздельный метод Рунге-Кутты является симплектическим при выполнении следующих тождеств:

Ьг = Ьг V = 1,..., з;

Ъга\ + Ъа^ — ЬгЪ° = 0, V,] = 1,..., в (суммирования нет).

Для гамильтониана вида Н(ра, qa) = Т(ра) + и(да) раздельный метод Рунге-Кутты изначально является симплектическим.

2.2. Условие симплектичности метода Рунге—Кутты—Нюстрёма

Рассмотрим гамильтониан вида:

Н (ра, да, I) = 1»а3РаРз + и (да), а,р = !,..., М

где ^а3 — компоненты симметричной матрицы М-1 (матрица масс). Канонические уравнения для этого гамильтониана выглядят следующим образом:

Г ра(г) = и(д3 (г)), \ да(г) = »а3Рз(г),

ввиду того, что:

!Н = Га13{+ Р< Ш) = ^ (5> +5Ы = ^ + ^

дд< дд< = ).

Для упрощения выражения немые индексы можно переобозначить, а также использовать симметричность матрицы М-1:

\^]3РЗ + = 2 (ма3+/а) Р, = [№3 = ^ ]] = ^ Р, .

Метод Рунге-Кутты-Нюстрёма для этой системы запишется как:

= д< + к Сфа3р0з + !12а{»а3/з (Я]),

д< = д< + 3р0 з + Ъ21>г^а31з (Я]),

Р1а = РО а + к Ьг!а( Я3 ).

Теорема 2 (см. [6]). Чтобы метод Рунге-Кутты-Нюстрёма, применённый к каноническим уравнениям с гамильтонианом вида:

Н(ра, да, 1) = 2^а3РаРз + и(да), с симметричной матрицей ^а3, необходимо выполнение условий:

Ьг = Ьг(1 - сг), Ьг(Ь^ -а\) = Ь^(Ьг - а)), г,] = !,... ,в. 3. Явные симплектические схемы

3.1. Явные симплектические раздельные методы Рунге—Кутты.

Конкретные реализации

Согласно условию симплектичности раздельного метода Рунге-Кутты, для гамильтониана вида Н(ра, да) = Т(ра) + и(да) («распадающийся» гамильтониан) метод изначально симплектичен. Однако наибольший интерес в практическом плане представляет явная численная схема. Для её построения рассмотрим раздельный метод Рунге-Кутты с коэффициентами вида:

а^ =0, У < ] (диагонально неявный),

а1 =0, У < ] (явный).

BU

Pia =р0а - haj -J— (Qß),

dq • ВТ

Qa = qa + haj q^ (Piß),

В U

Pia =Р0а - Ы)г

q a = qa + h bг ^ (Piß),

- a

J,j = 1,..., s; a,ß = 1,...,N. Заметим, что из условий (2) следует:

Vi ^ aj = 0 и aj = 0, Vi <j ^ a{ = 0 и aj = 0.

Условия симплектичности раздельного метода Рунге-Кутты с учётом (2) и (3) упрощаются:

Vaj + baj - Ьг¥ =0 ^

'Vi ^ tfaj = Ь>Ьг ^ aj = bj,

Vi >j ^ vaj = vü ^ aj = ьг,

а таблица Батчера записывается в виде:

Ь1 0 Ь1 Ь2

0

b1 b2 b3

0

1 1

2 2

3 3

1 2 3

0

b1 0

b1 2 0

bs-i 0 b1 2 3 . . . 0 0

bs-i s b1 2 3 . . . bs-1 0

bs-i bs b1 2 3 . . . bs-1 s

в более компактном виде

b1 b2 s

b1 b2 s

Схема принимает простой вид:

Ргa =Р 0a - hbj (Q ),

-Bu

Bq a - Т

Qa = qa + ш j Qfa (Pjß),

BU

Pia =P0a - hbг

q a = qa + h bг BB^ (Piß),

J,j = 1,..., s; a, ß = 1,..

N

и легко записывается в виде алгоритма:

Роа ^ РОа

QO ^ Qo

for г = 1 —у s do

Рга ^ Ра,г-1 - hbг ^

QO+1 ^ QO + hV ^

end for

р1а ^ Psa

qi ^ QO+1

Перейдём к рассмотрению конкретных численных реализаций. Начнём с известных методов малых порядков.

Пример 1 (Первый порядок точности). Рассмотрим случай в = 1 ,р = 1

(одностадийный раздельный метод Рунге-Кутты) и два варианта матрицы Бат-чера:

ъ1 0 0 ь1

ь1 ъ1 ь1 ь1

В случае Ь1 = 1 и Ь1 = 1 получим:

1 0 и 0 1

1 1 1 1

Р1а

После упрощения:

Р1а

{ QO = qO,

Р1а =РОа - (Qß ),

"а =?а + Ьщ! (Р1"

, ди ß Р°а - hTT~ (Qß).

dq O

Р h dU

дТ

q° = q° + hdp- (Р 1ß).

QO = qO + hdd- (Р1а),

Р1 а = а,

= 1° + "д^ (p1ß

P1o =P0O - hд^(Qß).

P1O =Р0O - "|O(,ß),

дТ

qO = $ + hdp- (p0 ß).

Первый метод — явно-неявный метод Эйлера, а второй — присоединённый к нему.

и

и

Пример 2 (Второй порядок точности). Рассмотрим случай в = 2, р =

2 (двустадийный раздельный метод Рунге-Кутты) и опять таки два варианта матрицы Батчера:

0 0 1 0 1/2 0 1/2 0 и 1/2 0 1/2 0 0 0 1 0

1 0 1/2 1/2 1/2 1/2 1 0

Распишем для наглядности шаги алгоритма для метода с первой таблицей Батчера:

Да = РОа, ЯХ = Яо,

Pl

la

ñU h ñT

P a - ^ = Q + 2 ñS (P1ß

qa ñ U

P2a =Pla - h^ (Qß ), Яа = Qa,

Pía = P2a, qa = Qa.

После некоторых преобразований угадывается метод Штёрмера-Верле:

ñ U

Pl

l a

qa

Pa - h^(qß),

qa+ñpr¿P»

ñU

ñ U

Pía = PO a - h TT—

ñ

ñ a

Пример 3 (Третий порядок точности). Рассмотрим случай р = 3,в = 3.

Сочетая условия порядка для раздельных методов Рунге-Кутты и условия сим-плектичности, получим следующие уравнения:

Ь1 + Ь2 + Ь3 = 1, Ь1 + Ь2 + Ь3 = 1, Ь2Ь1 + Ь3( Ь1 + Ь2)2 = 1/2, Ь2(Ь1)2 + Ь3(Ь1 + Ь2) = 1/3, Ь\Ь1)2 + Ь2(Ь1 + Ь2)2 + Ь3(Ь1 + Ъ2 + Ь3)2 = 1/3.

Простое решение предложил Рут [7]:

bi 7/24 3/4 -1/24

ьг 2/33 -2/3 1

P0a = P0a i Qa = qo 7hñU

Pl a = P a

P2a = Pía —

l a

2h ñT

2idqa (Qg), Qa = Я + Tñ£ (Píg)i

3h ñU (Qg), Я? = Q? - Pß),

P3a = P2a +

4 ñqa h ñU

3 ñpa ñ T

24 ñq

Pía = P3a1 ql = Qa.

ñ a

Санс-Серна в работе [8] вычислил другой набор коэффициентов для этого же метода:

bi 0, 268330 -0,187992 0,919662

Ьг 0, 919662 -0,187992 0, 268330

Пример 4 (Четвёртый порядок точности). Перейдём к рассмотрению методов 4-го порядка р = 4. Форест и Рут (Forest, Ruth) в работе [9, стр. 11] путём решения условий порядка нашли аналитические выражения для коэффициентов 4-стадийного метода:

b1 = 0

b2 = 1

b1 = 1

В след за ними похожие коэффициенты (также для 4-стадийного метода) аналитически вычислили Кэнди и Расмус (Candy, Razmus) в работе [10]:

Ь1 = 1

Ь1 = 0

Ь2 = (2 - $2)-1 Ь3 = (1 - $4)-1 Ь4 = (2 - $2)-1

Следующие две реализации метода 4-го порядка, но уже 6-й стадийности, были найдены Окунбором и Скилом (ОкипЬог, Якее!) в работе [6]:

bi 7/48 3/8 -1/48 -1/48 3/8 7/48

ьг 1/3 -1/3 1 -1/3 1/3 0

и Санс-Серной (Sanz-Serna) в работе [8]:

bi 0,134165 -0, 093996 0,459831 0,459831 -0,093996 0,134165

ьг 0,459831 -0, 093996 0, 268330 -0, 093996 0,459831 0

Стадийность, равная шести, объясняется тем, что коэффициенты находились не путём решения условий порядка, а композицией базовых симплектических методов более низкого порядка.

Методы порядка р > 4 относятся к методам Рунге-Кутты-Нюстрёма, к рассмотрению которых мы и перейдём.

3.2. Явные методы Рунге—Кутты—Нюстрёма. Конкретные

реализации.

Естественно, что особый интерес представляют явные методы Рунге-Кутты-Нюстрёма. Положим

а^ = 0, V < г,] = 1,..., в

В этом случае из условий симплектичности метода Рунге-Кутты-Нюстрёма следует:

ка - ьщ = ь? а,

ьЩ = ъ1а> - ъ?а = иъ? {а - Cj), Щ = У - с,-).

Теорема 3 (см. [11]). Для того, чтобы явный метод Рунге-Кутты-Нюстрёма был симплектическим, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения для коэффициентов (суммирования нет):

Ьг = Ьг(1 - а),

aj = b° (Ci - Cj) для i > j для остальных а^ = 0 hj = 1,...,s.

Таким образом, достаточно задать коэффициенты Ьг и q. Положив а = Q-1, запишем явный метод Рунге-Кутты-Нюстрёма в виде алгоритма:

Qo ^ <?о

Р0а ^ Р0а

for г = 1... ,s do Qi ^ Q?-1 + h(сг - сг-1)!ла3Ррг-1 Рга ^ Раг-1 + h6%(Qf) end for

g? ^ Q? + h(1 - cs)na3PsP

p1a. ^ Psa

Перейдём к рассмотрению конкретных численных реализаций.

Пример 5 (Первый порядок точности). Наиболее простой метод получается для одной стадии: = 1. В этом случае = 1, а 1 выбирается произвольно.

В [11] указанно значение с1 = 1/2:

1

Qi = ?о + ^ h^p op,

1

q'_? = qg + h^po^ + 2 hV^ (Q7) „P1a = P0a + h fa(Q3), a,/3,1 =1,..

Пример 6 (Второй порядок точности). Для случая p = 2 и s = 2:

0 0 0

1 1/2 0

1/2 0

1/2 1/2

Пример 7 (Третий порядок точности). Для в = 3 Окунбор и Скил [6] нашли точные коэффициенты:

1

= 1 - * = 6

2=

Коэффициенты Ь1, Ь2 и б3 находятся из первых трёх условий порядка:

Ь1 + б2 + б3 = 1, 6^1 + 62С2 + 63сз = 1/2, 61с2 + Ь2с2 + 63с2 = 1/3.

Пример 8 (Четвёртый порядок точности). Для 8 = 5 и р = 4 Калво и Санс-Серной [12-14] численно вычислили коэффициенты:

ci =0 б1 = 0,0617588581356263250

С2 = 0, 2051776615422863869 Ь2 = 0,3389780265536433551

с3 = 0, 6081989431465009739 Ъ3 = 0,6147913071755775662

с4 = 0,4872780668075869657 б4 = -0,1405480146593733802

СБ = 1 ЬБ = 0,1250198227945261338

Пример 9 (Порядок точности выше четвёртого). Калво и Санс-Серна [15] получили метод с 8 = 13, р = 7 и метод с 8 = 28, р = 8. Йошида (УовЫёа) [16] нашёл метод с 8 = 16, р = 8 с помощью композиции базовых методов (см. далее). Окунбор и Скил в работах [17,18] предприняли численный поиск коэффициентов для методов высоких порядков (р = 5, р = 6 и р = 8). Рассмотрим полученные ими методы подробнее.

— Для метода р = 5, 8 = 5 существует 10 условий порядка для 10 коэффициентов. Найдены 4 решения этих условий [19].

— Для метода р = 6, 8 = 6 решений найти не удалось. Решения искались для симметричного метода. Окунбор и Скил высказали предположение, что симметричного симплектического метода с р = 6, 8 = 6 не существует [17].

— Для метода р = 6, 8 = 7 численно найдено 8 решений условий порядка [17].

— Для метода р = 8, 8 = 17 численно найдено 1 решение условий порядка [18].

Интересен метод 8 = 5 и р = 5. Он имеет высокий порядок точности и вместе с тем небольшую стадийность, что положительно сказывается на скорости вычислений. Приведём здесь несколько вариантов коэффициентов этого метода:

1 2

ъ1 -1, 67080892327314312060 0,22116193442417902970

ь2 1,22143909230997538270 1,00218471521051766260

ъ3 0, 08849515813253908125 0,20420286893045538901

ь4 0, 95997088013770159876 -0, 82437756359543068463

ъ5 0,40090379269297793385 0,39682804503028051846

С1 0, 69491389107017931259 0, 77070344943939539384

С2 0, 63707199676998338411 0,24564166478370674795

С3 -0,02055756998211598005 0,87295101556657583863

С4 0,79586189634575355001 0,13352418017438366649

Сб 0,30116624272377778837 0,03827009985427366062

3 4

Ь1 0,40090379269664777606 0,39682804502748120212

ь2 0,95997088013412390506 -0,82437756359000080586

ъ3 0,08849515812721633901 0,20420286893142899909

ъ4 1,22143909234910252870 1,00218471520794616400

ъб -1, 67080892330709041000 0,22116193442314432960

С1 0, 69883375727544694289 0,96172990014637649292

С2 0, 20413810365459889029 0,86647581982605526019

С3 1,02055757000418534370 0,12704898443392728669

С4 0,36292800323075291580 0,75435833521637640775

Сб 0,30508610893167564804 0,22929655056040595951

Заключение

В статье рассмотрено использование тензорной нотации при записи численных схем. Показано, что использование таких обозначений не приводит к противоречию, но унифицирует изложение и упрощает выкладки. К сожалению, ввиду ограничения места не удалось показать полезность тензорной нотации при доказательстве условий симплектичности методов семейства Рунге-Кутты.

При обзоре известных симплектических численных схем особое внимание было уделено конкретным реализациям этих схем ввиду их практической значимости.

Литература

1. Сурис Ю. Б. Гамильтоновы методы типа Рунге-Кутты и их вариационная трактовка // Математическое моделирование. — 1990. — Т. 2, № 4. — С. 7887. [Suris, Yu. B. Hamiltonian Runge-Kutta Type Methods and Their Variational Interpretation Mat. Model. — 1990. — No 2. — P. 78-87 ]

2. Сурис Ю. Б. О некоторых свойствах методов численного интегрирования систем вида X = f(x) // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1987. — Т. 27, № 10. — С. 1504-1515. [Suris Yu. B. The Canonicity of Mappings Generated by Runge-Kutta Type Methods when Integrating the Systems X = f(x) // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 1989. — Vol. 29, No 2. — P. 202-211 ]

3. Ракитский Ю. В. О некоторых свойствах решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений одношаговыми методами численного интегрирования. // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1961. — Т. 1, № 6. — С. 947-962. — http://mi.mathnet.ru/ zvmmf7998. [Rakitskii Yu. V. Some Properties of the Solutions of Systems of Ordinary Differential Equations by One-Step Methods of Numerical Integration // Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 1961. — Vol. 1, No. 6. — P. 947-962 ]

4. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / под ред. С. С. Филиппова. — 1 издание. — М.: Мир, 1990. — ISBN 5-03-001179-Х, С. 512. [Hairer E. and Norsett S. P. and Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I, 1990. — 512 p. ]

5. Костомаров Д. П., Фаворский А. П. Вводные лекции по численным методам. — 1 издание. — М.: Логос, 2004. — С. 184. [Kostomarov D. P., Favorskiy A. P. Introductory Lectures on Numerical Methods. — Logos, 2004 ]

6. Okunbor D. I., Skeel R. D. Explicit Canonical Methods for Hamiltonian Systems // Mathematics of Computation. — 1992. — Vol. 59. — Pp. 439-455.

7. Ruth R. D. A Canonical Integration Technique // IEEE Transactions on Nuclear Science. — 1983. — Vol. 30, No 4. — Pp. 2669-2671. — ISSN 0018-9499. — http: //dx.doi.org/10.1109/TNS.1983.4332919.

8. Sanz-Serna J. M. The Numerical Integration of Hamiltonian Systems // Computational Ordinary Differential Equations / Ed. by J. R. Cash, I. Gladwell. — Clarendon Press, Oxford, 1992. — Pp. 81-106.

9. Forest E., Ruth R. D. Fourth-Order Symplectic Integration // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1990. — Vol. 43. — Pp. 105-117.

10. Candy J., Rozmus W. A Symplectic Integration Algorithm for Separable Hamiltonian Functions // Journal of Computational Physics. — 1991. — Vol. 92, No 1. — Pp. 230-256.

11. Hairer E., Norsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I. — 2 edition. — Berlin: Springer, 2008. — ISBN 978-3-540-56670-0, P. 528.

12. Calvo M. P., Sanz-Serna J. M. Order Conditions for Canonical Runge-Kutta-Nystrom Methods // BIT. — 1992. — Vol. 32. — Pp. 131-142.

13. Calvo M. P., Sanz-Serna J. M. High-Order Symplectic Runge-Kutta-Nystrom Methods // SIAM J. Sci. Comput. — 1993. — Vol. 114. — Pp. 1237-1252.

14. Calvo M. P., Sanz-Serna J. M. Reasons for Failure. The Integration of the Two-Body Problem with a Symplectic Runge-Kutta-Nystrom Code with Stepchanging Facilities // Equadiff 91 / Ed. by C. Perello, C. Simo, J. Sola-Morales. — World Scientific, Singapore, 1993. — Pp. 34-48.

15. Calvo M., Sanz-Serna J. The Development of Variable-Step Symplectic Integrators, with Application to the Two-Body Problem // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1993. — Vol. 14, No 4. — Pp. 936-952.

16. Yoshida H. Construction of higher order symplectic integrators // Physics Letters A. — 1990. — Vol. 150, No 5-7. — Pp. 262-268. — http://linkinghub.elsevier. com/retrieve/pii/0375960190900923.

17. Okunbor D. I., Lu E. J. Eighth-Order Explicit Symplectic Runge-Kutta-Nystrom Integrators. — 1994.

18. Okunbor D., Skeel R. D. Canonical Runge-Kutta-Nystrom Methods of Orders 5 and 6 // J. Comput. Appl. Math. — 1994. — Vol. 51, No 3. — Pp. 375-382.

19. Hairer E, Lubich C., Wanner G. Geometric numerical integration: structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Springer series in computational mathematics. — Springer, 2006. — ISBN 9783540306634. — http: //books.google.ru/books?id=T1TaNRLmZv8C.

UDC 517.958

Specific Implementations of Symplectic Numerical Methods

M. N. Gevorkyan

Telecommunication Systems Department Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

The paper illustrates the use of the tensor notation for writing symplectic numerical schemes. Symplectic conditions are given for the partitioned Runge-Kutta and Runge-Kutta-Nystrom methods. The specific implementations of symplectic numerical methods are reviewed.

Key words and phrases: symplectic numerical methods, partitioned Runge-Kutta method, Runge-Kutta-Nystrom method, tensor notation.