Об особенностях преподавания геометрии Лобачевского для будущих учителей-магистрантов

между учащимися в полиэтнической среде; сотрудничество семьи и школы в формировании гуманных взаимоотношений младших школьников.

На основании вышеуказанных особенностей мы выделили критерии сформированности гуманных взаимоотношений младших школьников в полиэтнической среде: мотивационно-цен-ностный, познавательный, коммуникативный и поведенческий:

• мотивационно-ценностный критерий (уважение к многонациональному народу России и любовь к Родине; ориентация на общечеловеческие, нравственные ценности; понимание совместной жизнедеятельности разных национальностей; осознанная готовность в проявлении заботы к окружающим людям; понимание необходимости гуманных взаимоотношений между людьми);

• познавательный критерий (выражение интереса по отношению к культуре своего и других народов; потребность в освоении культуры своего и других народов; полнота и объем нравственных знаний и знаний о гуманных взаимоотношениях);

• поведенческий критерий (развитие гуманных взаимоотношений с людьми других национальностей; обращение к чувствам людей, развитие в себе гражданского сознания и навыков

Библиографический список

межнационального общения; наличие опыта гуманного поведения).

• коммуникативный критерий (проявление отзывчивости, участия, чуткости к людям; сопереживание, понимание состояния, намерений и желаний людей; воспитание способности преодолевать конфликтные ситуации, мелких ссор).

Таким образом, под формированием гуманных взаимоотношений младших школьников в полиэтнической среде мы понимаем активную нравственную позицию и психологическую готовность к терпимости во имя взаимопонимания между этносами, социальными группами, во имя позитивного взаимодействия с людьми иной культурной, национальной, религиозной или социальной среды.

В заключении можно сделать вывод о том, что формирование гуманных взаимоотношений младших школьников включает в себя готовность к изучению многообразия культур в полиэтнической среде. Исходя из этого, одной из важных задач образовательной системы России выступает воспитание подрастающего поколения в духе понимания и уважения к культуре своего и других народов, что в целом и есть формирование гуманных взаимоотношений младших школьников в полиэтнической среде.

1. Николаева В.А. Ведущие положения этнопедагогики. Педагогика. 2013; № 4: 41 - 49.

2. Кукушин В.С. Этнопедагогика: учебное пособие. Москва: МПСИ-МОДАК, 2002.

3. Землянская Е.Н. Теория и методика воспитания младших школьников: учебник и практикум для академического бакалавриата. Москва: Издательство Юрайт, 2015.

4. Рослякова С.В. Педагогика: учебник и практикум для СПО / С.В. Рослякова, Т.Г. Пташко, Н.А. Соколова; науч. ред. РС. Димухаметов. 2-е изд., испр., и доп. Москва: Издательство Юрайт, 2016.

5. Загвязинкий В.И., Емельянова И.Н. Теории обучения и воспитания: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования. В.И. Загвязинский, Москва: Издательский центр «Академия», 2012.

References

1. Nikolaeva V.A. Veduschie polozheniya 'etnopedagogiki. Pedagogika. 2013; № 4: 41 - 49.

2. Kukushin V.S. Etnopedagogika: uchebnoe posobie. Moskva: MPSI-MODAK, 2002.

3. Zemlyanskaya E.N. Teoriya imetodika vospitaniya mladshih Shkolnikov: uchebnik i praktikum dlya akademicheskogo bakalavriata. Moskva: Izdatel'stvo Yurajt, 2015.

4. Roslyakova S.V. Pedagogika: uchebnik i praktikum dlya SPO / S.V. Roslyakova, T.G. Ptashko, N.A. Sokolova; nauch. red. R.S. Dimuhametov. 2-e izd., ispr., i dop. Moskva: Izdatel'stvo Yurajt, 2016.

5. Zagvyazinkij V.l., Emel'yanova I.N. Teorii obucheniya i vospitaniya: uchebnik dlya stud. uchrezhdenij vyssh. prof. obrazovaniya. V.l. Zagvyazinskij, Moskva: Izdatel'skij centr «Akademiya», 2012.

Статья поступила в редакцию 06.05.18

УДК 514

Proyaeva I.V., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov; senior lecturer, Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration under the President of Russia (Orenburg branch), (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru Safarova A.D., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru

ON THE FEATURES OF TEACHING LOBACHEVSKY GEOMETRY FOR FUTURE MASTERS. The work studies one of the

most relevant and at the same time complex questions in teaching geometry - the geometry of Lobachevsky. The authors focus on the development of a technique for introducing the basic facts of Lobachevsky's geometry, interpreting them on the Poincare model in a course of geometry for undergraduates-future mathematics teachers. The characteristic features of the introduction of these concepts are singled out and described. Considerable attention is paid to the methodological scheme for solving problems on the Lobachevsky plane. The method introduced in the article for the introduction of the basic concepts of Lobachevsky geometry is realized in a specific educational process at lectures and practical classes on geometry at the university for undergraduates and made it possible to increase the efficiency of learning the material studied.

Key words: Lobachevsky geometry, parallelism of straight lines on Lobachevsky plane, absolute, axial symmetry.

И.В. Прояева, канд. ф.-м.. наук, доц. Оренбургского государственного педагогического университета

имени В.П. Чкалова, доц. Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ

(Оренбургский филиал), г. Оренбург, E-mail: docentirina@mail.ru

А.Д. Сафарова, канд. пед. наук, доц. Оренбургского государственного педагогического университета имени В.П. Чкалова, г. Оренбург, E-mail: docentirina@mail.ru

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРЕПОДАВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ЛОБАЧЕВСКОГО ДЛЯ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ-МАГИСТРАНТОВ

В данной статье рассмотрен один из самых актуальных и в тоже время сложных вопросов для преподавания геометрии -геометрия Лобачевского. Основное внимание в работе авторы акцентируют на выработке методики введения основных фактов геометрии Лобачевского, интерпретации их на модели Пуанкаре в курсе геометрии для магистрантов - будущих учителей математики. Выделяются и описываются характерные особенности введения данных понятий. Значительное внимание

уделяется методической схемерешения задачна плоскости Лобачевского.Представленная в статьеметодика введенияос-новных понятий геометрии Лобачевского была реализована в конкретном учебном процессе на лекциях и практических занятиях по геометрии в университете с магисторнтати и позвслилапомыситьэффективносоь усвоения излчиамого датериаое.

Ключевые слова: геометрия Лобачевского, параллельность прямых на плоскости Лобачевского, абсолют, осевая симметрия, задачи на построение.

Современное быстро изменяющееся общество нуждается в грамотных магистрантах, способных принимать и реализовывать творческие решения в различных оСлаатях сноемсеитольнсстр, поэтому к образованию предъявляются социально-экономические, профессиональные и духовно-нравствиерыетребо валия [1].

В процессе обучения происходит внедренселоаплтентноес-но-ориентированного подхода, направленного на организацию учебного процесса с учетом достижеасй современмойлартл,он и обеспечивают систематическое обновление аспектов образования, его ориентацию на развитие личности, создание комфортных условий для постижения новых знаеий.

В России установлен приоритет образования, реализуется принцип его непрерывности, позвнлоющиИпoрле,оoвaтольнт получать знания на следующих его уровнях: дошкольное, общее -начальное, основное, среднее (полтос);Тактваолиат, тсгиотрр-тура, аспирантура, докторантура, повышение квалификации и переподготовка [2].

При подготовке магистрантов-будущих учителей особое внимание уделяется профессионально-педагогической направленности. Необходим компетентносано-осаенсиловрииый лос-ход к подготовке учителей математики по различным дисциплинам, в том числе и по геометрии и, ксоблнне,то неевкледовоа геометрии.

Преподавание различных разделов геометрии университетской подготовке учителей математики имеет давние традиции. Эти традиции развивались и изменялись в соответствии с запросами общества и на базе научные иоследкоани^ матомаатка. Для понимания имеющихся подходов к преподаванию неевклидовой геометрии необходимо обратиться к наследию математиков и философов, начиная с дневнио нрвмлн доесвтоящего времени, таких как Пифагор (570-495 до н.э.), Аристотель (384322 до н.э.), Евклид (365-300 до е.э.), Аполлоний (1 год до н.э.-98 н.э.), Н.И. Лобачевский (1792-1856), Ж. Френе (1816-1900), П.Л. Чебышев (1821-1894), Ф. Клейн (1849-1925), А.П. Киселев (1852-1940), А. Пуанкаре (1854-1ЭЩ Д. Гильберт (1862-1943) и др. [3]

Для современного культурно-образовательного пространства характерны интеграция наук, ссремо-ние песщчитьааидо-лее точное представление об общей картине мира, чему в огромной степени способствует геометрите1ортаетвкого К

Программа общего курса геометрии для магистрантов содержит сравнительно немного часов, поэтому необходимо изложить основные факты геометрии Лобачевского на плоскости и интерпретировать их на задачах.

Коротко напомним основные факты, излагаемые в теоретическом курсе. Планиметрия Лобачевского строится на тех же аксиомах, что и евклидова геометрия, за исключением аксиом параллельности. Теоремы евклидовой планиметрии, не зависящие от аксиомы параллельности, и составляющие содержание абсолютной геометрии, справедливы и в геометрии Лобачевского. Например, против большего угла треугольника лежит большая сторона и наоборот [4].

Аксиома параллельности Лобачевского формулируется следующим образом: существуют такие прямая р и не лежащая на ней точка А, что через точку проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую р.

При решении задач необходимо применять следующие теоремы:

Теорема 1. Каковы бы ни были прямая р и не лежащая на ней точка А, через точку А проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих прямую р.

Теоремат 2. Сумма внутренних углов каждого треугольника меньше двух прямых.

Теорема 3. Если прямая р параллельна прямой ц в некотором направлении, то прямая ц параллельна прямой р в том же самом направлении.

Теорема 4. Если прямые р и ц параллельны прямой с в данном направлении, то прямые р и ц параллельны между собой в том же направлении.

Теорема 5. Расстояние от переменной точки одной из двух параллельных прямых до другой прямой стремится к нулю, когда трчкалeттмeщaтеcялсттpoнмпaоaллeмьнocти;втсoграничен-но возрастает при перемещении точки в противоположном на-п равсемии.

Теорема 6. Всякие две расходящиеся прямые имеют единст-неннао общит пеесенсикрлол, о о-еитолрныоттоеорого они неограниченно удаляются одна от другой.

Теоолма О.Е^г^ир^^ прямыеимтют лTщилсоpпeтлсгyляр, то они расходятся.

Теорема 8. Угол параллельности есть непрерывная моно-тсинообыгающер фyнкцияЛшиыпeапeндвктсоле, пдлтимаю-

щая все значения из интервала (О,^) .

Теорема 9. Всякие две прямые имеют ось симметрии.

Плооколть ИабачттскогенаоЮллeeпpoсооинтсркретиро-вать на модели Пуанкаре. На евклидовой плоскости выбирается некстoосвоткpытая солепмоскость.в дальеейшем Оудем нвзы-вать ее верхней полуплоскостью, граница которой называется абсолютом. Точки плоскости Лобачевского изображаются точ-ткма всрхней полуюлоскисте. ГМомыеалоскосел Лобосевсоого изображаются полуокружностями с центрами на абсолюте или печами . лтpплндикyлтллытиaЛсолюту, с вершиоамт на тбоо-люте, в дальнейшем будем называть их вертикальными лучами. с™ ошенио порядкв дсяточс

сти или на одном вертикальном луче, понимается в евклидовом смысле. Расстояние И^к между точками А и В определяется следующим образом: а) если точки А и В лежат на полуокружности с центром на абсолюте, то обозначим один из концов ирой пол^офу^оссти чтроз м, с оат°т1е углы, образованные лу-чсш ОМи ОВ о аВеслютты, -чеpeзЛрвГуео.1, а)м пллежмю где к - произвольное положительное

число; б) если точки А и В лежат на вертикальном луче с началом

, ОА

1п —

ОВ

оeелeкьшaяoбщнocои, можносеитаеь, что р=1 .^величину угла между линиями плоскости Лобачевского принимается вели-чо аугса между изображающими их линиями [4].

О (рис. 1,6), то ИЛ|А = к

В предлагаемых задачах,

Рис. 1

Инверсии с центрами на абсолюте и симметрии относительно прямые ,п ерпендикулярных абсолюту, изображают движения плоскости Лобачевского.

При решении задач планиметрии Лобачевского в модели Пуанкаре условия задачи переводятся на язык евклидовой геометрии, и задача решается методами евклидовой геометрии. В задачах на построение предполагается построение циркулем и линейкой.

Задача 1. Через данную точку проведите прямую, параллельную данной прямой (рассмотрите различные случаи изображения данной прямой и расположения данной точки относительно прямой).

Решение. Так как прямая, проходящая через точку А и параллельная прямой р является граничной в пучке прямых с центром А, не пересекающих р, то прямые q и s , параллельные прямой, изображаются, как на рисунке. 2 а, б, в.

Задача 2. Постройте общий перпендикуляр двух расходя-щихсяпрямых.

Решение. Рассмотрим сначала случай, когда прямая р изображается вертикальным лучом, а прямая q - полуокружностью (рис. 3).

Решение. Прямую р изобразим вертикальным лучом, прямую q - полуокружностью (рис. 4). Из произвольной точки А прямой q опустим перпендикуляр АВ на пря-

мую p. Расстояние

вычисляется по формуле

\АВ\, =

1 íjcl 71

In--|. Так как ß = то

tgß\

Из точки О проведём касательную к полуокружности q, Полуокружность с центром О, проходящая через точку А, изображает общий перпендикуляр прямых р и q.

Если прямые р и q изображаются полуокружностями, задачу можно свести к предыдущему случаю. Инверсия с центром в одном из концов полуокружности р и произвольным радиусом переводит полуокружности р и q соответственно в вертикальные луч р' и полуокружность q'. Изобразим общий перпендикуляр прямых р' и q' и той же инверсией переведем его в общий перпендикуляр прямых р и q.

Задача 4. Докажите, что расстояние от переменной точки одной из двух параллельных прямых до другой прямой стремится к нулю, когда точка перемещается в сторону параллельности, и неограниченно возрастает при перемещении точки в противо-положномнаправлении.

(др=1. Поэтому |АЯ|Л = \\пЬда\.

При перемещении точки А вдоль прямой q угол а принимает все значения из

промежутка (0;тг), а значит, расстояние И к принимает все положительные значения.

Таким образом, предложенная подача материала по геометрии Лобачевского для магистрантов - учителей математики дает возможность рассмотреть особенности данного раздела с практической точки зрения, создать методическую систему обучения неевклидовой геометрии для подготовки учителя математики, которая включает, в частности: выявление потенциала обучения неевклидовой геометрии при подготовке учителя математики, оптимизацию обучения неевклидовой геометрии, реализацию выявленного потенциала обучения неевклидовой геометрии с целью формирования мировоззрения и профессионально-педагогической направленности подготовки магистранта будущего учителя математики, приложение изучаемых геометрических понятий на школьный курс математики и одновременный подъем элементов этих понятий, содержащихся в школьном курсе, на уровень вузовского обучения [5].

Библиографический список

1. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Организация самостоятельной работы студентов по подготовке к ГИА курсу «Геометрия». Оренбург: Издательство ОГПУ, 2016.

2. Прояева И.В. Задача о делении окружности на равные части на плоскости Лобачевского. Россия и Европа: связь культуры и экономики. Материалы VIII международной научно-практической конференции. Прага, Чешская республика, 2014: 118 - 119.

3. Прояева И.В. О практическом применении задач на построение. Образование: традиции и инновации Материалы IXмеждународной научно-практической конференции. Прага, Чешская республика, 2015: 416 - 417.

4. Лобачевский Н.И. Избранные труды по геометрии. Москва; Ленинград, 1956.

5. Прояева И.В. Об организации компетентностно-ориентированного подхода самостоятельной работы бакалавров по математическим дисциплинам на технических специальностях ВО. Реализация компетентностного подхода в сфере инженерной подготовки: авторская монография. Уфа: ООО АЭТЕРНА, 2017: 101 - 106.

References

1. Proyaeva I.V., Safarova A.D. Organizaciya samostoyatel'noj raboty studentov po podgotovke k GIA kursu «Geometriya». Orenburg: Izdatel'stvo OGPU, 2016.

2. Proyaeva I.V. Zadacha o delenii okruzhnosti na ravnye chasti na ploskosti Lobachevskogo. Rossiya i Evropa: svyaz' kul'tury i'ekonomiki.. Materialy VIII mezhdunarodnojnauchno-prakticheskoj konferencii. Praga, Cheshskaya respublika, 2014: 118 - 119.

3. Proyaeva I.V. O prakticheskom primenenii zadach na postroenie. Obrazovanie: tradicii i innovacii Materialy IX mezhdunarodnoj nauchno-prakticheskoj konferencii. Praga, Cheshskaya respublika, 2015: 416 - 417.

4. Lobachevskij N.I. Izbrannye trudy po geometrii. Moskva; Leningrad, 1956.

5. Proyaeva I.V. Ob organizacii kompetentnostno-orientirovannogo podhoda samostoyatel'noj raboty bakalavrov po matematicheskim disciplinam na tehnicheskih special'nostyah VO. Realizaciya kompetentnostnogo podhoda v sfere inzhenernoj podgotovki: avtorskaya monografiya. Ufa: OOO A'ETERNA, 2017: 101 - 106.

Статья поступила в редакцию 17.05.18

УДК 373

Saryg-Lama S.O., postgraduate, Pedagogy Department, Tuva State University (Kyzyl, Russia), E-mail: salbak80@mail.ru

REVIVAL OF FAMILY TRADITIONS - THE BASIS OF SPIRITUAL-MORAL EDUCATION OF SCHOOLCHILDREN. The paper considers the ways of reviving family traditions as the basis for spiritual and moral education of schoolchildren. The aim of the work is to increase the spiritual and moral qualities of schoolchildren, by reviving family traditions. Problems to overcome are mentioned