Анализ устойчивости ячеистого фронта кристаллизации и формирование структуры затвердевающего расплава

УДК 536.42

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЯЧЕИСТОГО ФРОНТА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ И ФОРМИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ ЗАТВЕРДЕВАЮЩЕГО РАСПЛАВА

Н.Д. Няшнна, П. В. Трусов

Abstract

In present paper, stability of needle-like crystal which grows in udercooling allow is considered. Instability is characterized by appearance of branches on dendritic main axis. Quasistationary front movement enables to find a automodeling solution for temperature and concentration fields. The stability criterion was established taking into account an influence of concentration undercooling and interphase surface tension. This criterion makes possible to estimate dendritic structure parameters depending on physical constants and crystallization process parameters.

Введение

Качество твердых металлов, получаемых пугем направленного затвердевания расплавов, определяется в значительной мере рельефом поверхности раздела фаз.

В данной работе будет рассматриваться бинарный сплав, то есть сплав, состоящий из основного компонента и растворенного. Растворенный компонент имеет более низкую температуру плавления по сравнению с основным (в дальнейшем его будем называть примесью).

Если на межфазной поверхности имеет место равновесие и отсутствует переохлаждение перед зарождающимся кристаллом, а также переохлаждение, связанное с кривизной поверхности раздела, то затвердевание происходит плоским фронтом. Реально же при кристаллизации перед плоским фронтом образуется граничный слой, обогащенный растворенным компонентом.

Образование граничного слоя происходит вследствие зависимости температуры ликвидуса TL от состава расплава (рис 1а): чем меньше примеси, тем выше TL, поэтому сначала кристаллизуется сплав с меньшей долей примеси (cs <Со), чем исходный состав, при этом избыток раст зоренного компонента оттесняется в жидкую фазу. Тогда непосредственно пред фронтом кристаллизации оказывается расплав, обогащенный примесью, концентрация которой убывает по мере удаления от фронта до Со (рис. 16). Накопление примеси вблизи фронта приводит к тому, что в этой области Tl ниже, чем в окружающем расплаве (рис.1 в). Плоский фронт будет устойчив, если все точки перед фронтом находятся при температуре выше Tl, так как любой выступ, образовавшийся на гладкой поверхности раздела, оказывается окруженным перегретой относительно Т[. жидкостью и снова расплавится, иначе плоский фронт теряет устойчивость [8].

По мере своего роста возмущения формы фронта стабилизируются, при этом граница раздела приобретает форму регулярных гексагональных ячеек [3].

Кроме того, при описании причин неустойчивости плоского фронта следует учесть различные условия теплоотвода от выступающих участков фронта и от плоской межфазной поверхности, а также роль межфазного поверхностного натяжения, которое затрудняет процесс роста выступа, смещая температуру равновесия

фаз в область более низких температур (выступ менее устойчив по отношению к пульсациям температуры, чем плоский фронт)[3,7].

а б в

Рис.1, Схемы к анализу граничного слоя: а - участок равновесной фазовой диаграммы; б - распределение примеси вблизи фронта, в - распределение температуры вблизи фронта

Итак, при нарушении устойчивости плоского фронта происходит образование правильных ячеек. Появление же дендритов связано с неустойчивостью ячеистых структур, которая обусловлена, по видимому, теми же причинами, что и неустойчивость плоского фронта кристаллизации. Таким образом, устойчивость ячеистого фронта определяется, с одной стороны, концентрационным переохлаждением, с другой, - кривизной фронта и межфазным поверхностным натяжением. Анализ устойчивости позволяет найти зависимости критических характеристик неустойчивых возмущений от критических значений параметров процесса, это позволит выявить те параметры процесса (параметры порядка), которые управляют поведением системы в момент перехода от устойчивости к неустойчивости. Характеристики неустойчивых возмущений можно связать с параметрами структуры кристаллизующегося расплава; в частности, длина волны возмущений плоского фронта может рассматриваться как приближенная оценка характерного расстояния между дендритами, а длина волны возмущений ячеистого фронта - между вторичными ветвями дендрита

В работах [2,7] рассматривается устойчивость плоского фронта кристаллизации, в первом случае - с учетом концентрационного переохлаждения, во втором - без учета, В представленной работе делается попытка рассмотреть устойчивость ячеистого фронта кристаллизации с учетом как концентрационного переохлаждения, так и межфазного поверхностного натяжения и кривизны поверхности раздела. Это позволит выявить основные параметры, влияющие на устойчивость фронта, а значит, и на формирование структуры кристаллизующегося расплава. Согласно [3] первичная структура закристаллизовавшегося расплава определяет ею служебные свойства, поэтому анализ устойчивости дает ключ к возможности управления этими свойствами

Постановка задачи

Будем рассматривать устойчивость ячеистого фронта кристаллизации, считая, что ячейки имеют форму параболоида вращения (г- ось вращения, р0 - радиус кривизны вершины параболы), это соответствует росту в переохлажденном расплаве иглообразного кристалла. Такая форма поверхности и температурное поле вокруг нее были получены при некоторых предположениях Г П. Иванцовым [4]

Процесс кристаллизации металлического расплава с учетом перераспределения растворенного компонента описывается следующей системой уравнений, дополненной условиями Стефана на поверхности раздела, описанными ниже: 00, да

= = > = (О

где 0, - температура в жидкой и 02 - в твердой фазах, о-распределение концентрации примеси в жидкой фазе. Диффузией в твердой фазе и движением расплава пренебрегаем. Зависимость физических характеристик материала от температуры не учитывается. Плотность твердой и жидкой фаз считается одинаковой На фронте кристаллизации выполняются условия баланса тепла и массы:

д&2 а©,

*

В —— = -(1 - к)ап • V, геи , 5п

где и = {г /1(1, г) = о}, 1(1, г) - 0 задает границу раздела фаз; у , Ь- плотность, удельная теплота плавления; к - коэффициент распределения примеси (равен отношению концентрации в момент времени I к начальной концентрации с0);

= и • У( ) - производная по направлению единичного вектора нормали к

поверхности фронта, V - скорость перемещения поверхности раздела, поверхность раздела пока будем считать изотермической:

0,=02=0Ь, г еи,

где 0Ь - температура фазового перехода без учета перераспределения примеси. Вдали от фронта задаем условия:

• в расплаве ст-^с0, 0, —»0О,

• в твердой фазе 02 — 0О2.

В начальный момент времени: а(о, г) = с0, 0^0, г) = 0о, 02(О, г) = 0О2. Считается, что теплоотвод осуществляется только через твердую фазу.

Изотермическая поверхность раздела, имеющая форму параболоида вращения, является устойчивой в квазистационарном режиме, то есть поля температур и концентрации перемещаются без изменения конфигурации, как жесткое целое, со скоростью V. Так как поверхность раздела фаз изотермическая, вектор ее нормали параллелен градиенту температуры (и концентрации)[1], тогда на поверхности <102(г ,0 302

------- — + у . у@ _ о

си 51 2

д&2 д2 д2 /д2 (5) или —— + V —— = 0

5п д\ / дп

Перемещение поверхности кристалла происходит в направлении, противоположном тепловому потоку, поэтому V • п = V и условие (2|) на поверхности преобразуется следующим образом:

502 50, 502 д&2 502 дг дп дп 5п 5п

Введем безразмерные параметры:

безразмерная температура: Т; =

0{

безразмерная концентрация примеси: с=

безразмерная теплоемкость: Л:

безразмерная теплота кристаллизации: Я;

1-УУРо 2Х2ь

безразмерная величина наклона линии ликвидуса на фазовой диаграмме: М :

тс«

безразмерная кривизна поверхности раздела (для невозмущенного параболоида вращения она равна 1, но отлична от 1, когда на поверхность раздела накладываются возмущения): К, =Кр0;

Г

безразмерный коэффициент поверхностного натяжения: Г! = -

уЬр0

безразмерный коэффициент распределения примеси: Р

1-к

" к

где V - модуль вектора скорости перемещения поверхности раздела вдоль оси г, т -тангенс угла наклона линии ликвидуса на фазовой диаграмме, К - кривизна поверхностности раздела, Г - коэффициент межфазного поверхностного натяжения

Учитывая осевую симметрию поверхности раздела, можно ограничиться рассмотрением сечения параболоида плоскостью уО/, то есть будет решаться плоская задача. Пусть параболический фронт движется таким образом, что вершина параболы перемещается вдоль оси г со скоростью V (рис.2), ось у направлена перпендикулярно оси г, начало координат находится в фокусе параболы, тогда уравнения (1) запишутся в виде

Рис.2. Расположение системы координат в начальный момент времени

эт, '<32Т( а2тЛ

...а с'1 ,3у2 + дгг )

дс г а2 с дгс\

= 1,2.

бt иу" дг1)

Решения уравнений (8) будем искать в виде функции сложного безразмерного аргумента [2]:

Т;

4%

ТДи),

с •• с

'Ро

с(и),

+ +у2 .

Для каждого фиксированною момента времени аргумент и меняется от О - бесконечно удаленные точки в твердой фазе, до со - бесконечно удаленные точки в расплаве, и=1 соответствует поверхности раздела фаз. Подставляя (9) в систему (8) и используя правила дифференцирования сложной функции ('Г; = Т; (и(1,у,г)) ), получим

d Т; dT, М р, ,

• + — I— + V =0, 1 = 1,2, где р(

du 1 2

du V2u 2

vp0

d2c dcf 1 q) vp0

—- + — — + — = 0, где q =-

du2 du V2u 2 J D

условия на границе раздела фаз:

dT, dT,

Л —

— = R,

dc

-P, Т.

1, u = 1;

du du ' du вдали от границы раздела фаз:

—> Т0, с --> 0, и->ю, Т2->Т02, и 0.

Решения уравнений (10) с учетом соответствующих граничных условий имеют

вид:

Т,(и) = Т0 +

1 - Тп

о г / Erfc

Erfc

Pi

V» 2 у

Piu

2 J

ЕгТ

Рг" ~ 2

Т2(и) = Т02+(1-Т02)— .

Erf

o(u)Jf ехр(я

Vi

qu

zyPErfcU2

где

2 f 2

Erf(z) =-т= J e ' dt, Erfc(z) = 1 - Erf(z) [8]; соотношения (13) определяют

квазистационарное решение задачи. Условия теплового баланса на границе раздела фаз примут вид

1-Т,

(

02 1 Рг ехр[-у

V» 2 ,

Т0 - 1

Erfc

dc

Pi

Г P2o

v TQ'

Q

L

G=MP, Toecib G0=M —, u = l,

du

где су - теплоемкость.

Область концентрационного переохлаждения перед фронтом появляется, если градиент фактической температуры в жидкости пересекает равновесную кривую температуры ликвидуса (рис. 1в) [3]. Чтобы учесть влияние концентрационного переохлаждения и поверхностного натяжения, нужно изменить температурные условия на границе раздела фаз (11):

Т, =Т2 =1~М

Заметим, что кривизна параболы различна в вершине и вдали от нее, это приводит к невыполнению условия изотермичности поверхности раздела фаз и приведенные выкладки становятся неправомерными. Однако, если рассматривать область

непосредственно вблизи вершины параболы, то условие изотермичное™ поверхности раздела будет приближенно выполнено, и тогда можно в соотношениях (13,14) изменить константы интегрирования с учетом (15).

Ограничение рассмотрения только области в окрестности вершины параболы оправдано тем, что именно на вершине дендрита при потере устойчивости появляются вторичные ветви [3]. Исследуем устойчивость вершины параболы, внося возмущения на фронте в виде функции г - = г,(1:,у), где X, (1, у) - функция, описывающая возмущения поверхности раздела (будем считать их возмущениями плоского фронта г~у| = р0/2 , но при этом будем учитывать характер распределения температуры и концентрации вблизи вершины параболического фронта ); эти возмущения сопровождаются возмущениями Т; = 1] - Ты , с = с-ск ,¡=1,2 квазистационарных полей. Величины возмущений считаем малыми, чтобы можно было привести граничные условия при и' = г- VI = у) к условиям на и = г-у1 = р0/2, используя разложение в ряд Тейлора

Компоненты вектора нормали и кривизна вычисляются по формулам

{пг,пу}=

1,-

дъЛ

ду

1

аг,

-1/2

V ду )

К,=

д1Ь

ду2

1 +

д12

ду

2Л-3/2

Записывая систему (1)-(4) для возмущенного и невозмущенного решения, а затем вычитая вторые из первых, получим уравнения эволюции пульсаций:

а

д2Т

= 1 +

~дг2

дс_

~д1

ду2

а2сЛ

+ -

&2 у

1 = 1,2;

граничные условия на Zl приводятся к условиям на и = г-\'1 = р0/2 по методике, изложенной в [3], используя разложение в ряд по Zl и сохраняя только линейные члены. Учтем концентрационное переохлаждение на вершине параболы

аи

(1Т,

с1и

ать ас

ас йи

-М'

и=1

и=1

в виде Т,(и ) - (1) <......М (с(и )-с(1)), где и' обозначена возмущенная поверхность,

после разложения в ряд по Zl, сохраняя только линейные члены:

Т,

Ро^ЕгА

т

2р,

Р1 2

• г, + о(г,)2 <-~Рм г1 + о(г,)2

Ро

или Р^^О^,. Тогда граничные условия (2)-(3) на поверхности раздела для пульсаций представляются в виде ряда по Ъ\ (с учетом разложения выражения для кривизны (16) в биномиальный ряд с отрицательным показателем [1]).

а2 г,

, ах , дс х +—г, + Мс +м—-г. - г,

1 дг дг ду

ах

ск

дг дс'

аг, ат2 аг, ат, ат2

Л —----— + —--т + Аг,-------

ду ду ду ду

ат,

аг.

дг

1 дх дх

+ (1 - к)с +(1-к)г, +•

каг1

: 0 , при и'

£1 2

дг У ' 4 к дХ

Граничные условия на бесконечном удалении от поверхности раздела(4):

с' -» 0, т '| < оо, г

Т2'->0,2-->-оо.

Начальные условия следуют из вида возмущений, которые задаются гармониками

{т;,т;,с ,21,} = {А1

Тогда решения системы с учетом граничных условий (19):

{т2, Т,, с' , 2,,} = {А,еагг, В, С^, Р, }е^+1,"у,

2 М- 2 11 2 №

где а,= ю +—, а2= со +—, 6 - -./со + —, А), Вь С1 - константы

V а, V а2 » °

интегрирования, определяемые из (18). Итак, подставляя (21) в (18), получим систему линейных алгебраических уравнений, из которой найдем константы интегрирования:

О-А, +е-а'Рв/аВ1 + Ме^р°/2С, + (г,а>2 +Р, -О,^ =0, е«2Ро/2д] +0-В, + Ме~рро/2С, + (г,2 + Р; -= 0, ' Ла2еа1Ро/2А, +а1е"а'Рв/2В, ч-О-ЯцО, = 0, ^

О  А[ + 0-В, + (ц + 1 - к)е~рр°/2С, ч-П + к + = 0.

\ IV г

Система

Соотношение (23) определяет в неявном виде зависимость инкремента нарастания возмущений ц от физических свойств расплава и параметров процесса; оно задает некоторую гиперповерхность ц(ш, Р1, Я, Ос,...) в пространстве параметров [3]. Нарушению устойчивости соответствует изменение знака действительной части р. с отрицательного на положительный. Полагая в (23) ц=0, получаем уравнение границ устойчивости и неустойчивости в пространстве параметров и волнового числа со . Критическое значение некоторого параметра, например Ос= Сс* определяется из условия, что кривая ц=ц(ю, Ос) (при фиксированных остальных параметрах),представляющая собой сечение гиперповерхности плоскостью С0= Сс- , лежит ниже плоскости ¡1-0 везде, за исключением точки со=ш., в которой она касается плоскости. Тогда при Сс< Сс» спонтанно возникающие возмущения формы фронта затухают; при Ос= Сс» появляются незатухающие возмущения с волновым числом со.; при Ос> Ос. существует непрерывный интервал волновых чисел, соответствующих нарастающим возмущениям. Таким образом, можно установить зависимость параметров дендритной структуры от какого-либо параметра процесса, зафиксировав остальные параметры. Например, длину волны возмущения (измеряемую в метрах) 1» - 2к/со,р0 на ячеистом фронте можно рассматривать в первом приближении как расстояние между вторичными ветвями дендрита, так как появление вторичных ветвей на главной оси дендрита связано с потерей устойчивости вершины дендрита; ветви, появившиеся на вершине дендрита, в дальнейшем или продолжают расти, или расплавляются. Линейный анализ устойчивости дает лишь критерий их появления; для того, чтобы проследить эволюцию ветвей, необходима нелинейная постановка задачи.

Используя физические константы, приведенные в [9], были получены некоторые результаты. На рис.3-5 приведены зависимости длины волны возмущения от параметров М, О- ,Г; , характеризующих наклон линии ликвидуса на фазовой

диаграмме, влияние коэффициента диффузии в жидкой фазе и кривизну поверхности раздела; с увеличение М и длина волны устойчивого возмущения уменьшается, с увеличением Г1 - увеличивается.

*10Л-4 2

1,8; 1,6 1,4 1,2 1

-----.........—- - • — м

100000200000300000400000500000 Рис.3. Длина волны критического возмущения в зависимости от параметра М

И (УМ

1 3

2

1

1*10Л-4 6(: 5 | 4 3 2 1 01

100000 200000 300000 400000 50000!

Рис.4. Длина волны критического возмущения в зависимости от параметра Ос

8е

10000 20000 30000 40000 50000 Рис.5. Длина волны критического возмущения в зависимости от параметра Г)

Итак, в рамках линейной теории устойчивости рассматривается устойчивость возмущений на ячеистом фронте кристаллизации с учетом концентрационного переохлаждения и межфазного поверхностного натяжения. Получен критерий устойчивости фронта, который позволяет установить зависимости некоторых параметров дендритной структуры от параметров процесса кристаллизации и физических констант.

Библиографический список

1. Бернштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.; Наука, 1986. 544с.

2. Буевич Ю.А., Искакова Л К), Мансуров В В. Нелинейная устойчивость и формирование структур при направленном затвердевании бинарного сплава. Ч I // Расплавы. 1989. №6. С. 44-50

3. Ефимов В. А. Разливка и кристаллизация стали. - М.: Металлургия, 1976. 552с,

4. Иванцов Г.П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного кристалла, растущего в переохлажденном расплаве //ДАН СССР. 1947. Т.58, №4. С. 567-570

5. Корн Г, Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1968. 720с.

6. Любов Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. - М.: Наука, 1975. 256с.

7. Langer J.S., Muller-Krumbhaar Theory of dendritic growth. I. Element of stability analysis// ActaMet. 1978. Vol.26, №. 11. P.1681 - 1687.

8 Цаплин А.И. Теплофизика внешних воздействий при кристаллизации стальных слитков на машинах непрерывного литья. - Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. 238с.

9. Флеминге М. Процессы затвердевания / Пер. с англ. - М.: Мир, 1977. 424с.