Почти контактные метрические структуры, определяемые $n$-продолженной связностью

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

УДК 514.764

ПОЧТИ КОНТАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ

СТРУКТУРЫ, ОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ N -ПРОДОЛЖЕННОЙ СВЯЗНОСТЬЮ С. В. Галаев

Аннотация. На многообразии с почти контактной метрической структурой (p, П, g, X, D) вводятся понятия внутренней и N-продолженной связностей. На распределении D с помощью N-продолженной связности определяется новая почти контактная метрическая структура, называемая продолженной почти контактной метрической структурой. Исследуются свойства полученной структуры. Ключевые слова: почти контактная метрическая структура, внутренняя связность, N-продолженная связность, продолженная почти контактная метрическая структура.

S. V. Galaev. Almost Contact Metric Structures Defined by an N-prolonged Connection.

Abstract: The notion of intrisic and N-extended connections are introduced on a manifold with an almost contact metric structure (p, n, g, X, D). Using N-extended connection, we define a new almost contact metric structure on the distribution D, which is called an extended almost contact metric structure. We study properties of this structure.

Keywords: almost contact metric structure, inrisic connection, N-extended connection, extended almost contact metric structure.

1. Введение

Изучение геометрии касательных расслоений начинается с основополагающей работы [1] Сасаки, опубликованной в 1958 г. Сасаки, используя риманову метрику д, заданную на гладком многообразии Х, определяет риманову метрику О на касательном расслоении ТХ многообразия X. Конструкция Сасаки основана на естественном расщеплении (имеющем место благодаря существованию на римановом многообразии связности Леви-Чивиты) касательного расслоения ТТХ многообразия ТХ в прямую сумму вертикального и горизонтального распределений, слои которых изоморфны слоям расслоения ТХ. Нечетным аналогом касательного расслоения является распределение Б почти контактной метрической структуры д). Так же, как и расслоение ТТХ, касательное расслоение ТБ благодаря заданию связности над распределением [2] (а затем и Ж-продолженной связности, а именно связности в векторном расслоении (Х, Б)) расщепляется в прямую сумму вертикального и горизонтального распределений. Как показано в [2, 3], на многообразии Б тем самым естественным образом определяется почти контактная метрическая структура, позволяющая, например, придать инвариантный характер аналитическому описанию

© 2015 Галаев С. В.

механики со связями. В [3] на многообразии Б определяется геодезическая пульверизация связности над распределением, являющаяся аналогом геодезической пульверизации, заданной на пространстве касательного расслоения TX, имеющая ясную физическую интерпретацию: проекции интегральных кривых геодезической пульверизации связности над распределением совпадают с допустимыми геодезическими (траекториями движения механической системы со связями).

Предлагаемая работа, являясь введением в геометрию продолженных почти контактных метрических структур, посвящена развитию двух идей: идеи обобщения конструкции Сасаки [1] на случай нечетной размерности, а также идеи продолжения внутренней связности.

Работа устроена следующим образом. Разд. 2 состоит из трех пунктов, в первом из которых содержатся краткие сведения о внутренней геометрии почти контактных метрических пространств. Более подробно соответствующий материал излагается в [4].

В п. 2.2 вводится понятие Ж-продолженной метрической связности. Внутренняя связность задает параллельный перенос допустимых векторов (т. е. векторов, принадлежащих распределению Б) вдоль допустимых кривых. Всякая соответствующая ей Ж-продолженная связность является связностью в векторном расслоении X), определяемой внутренней связностью и эндоморфизмом N : Б ^ Б. От выбора эндоморфизма N : Б ^ Б зависят свойства продолженной связности, а также свойства (продолженной) почти контактной метрической структуры, возникающей на пространстве Б векторного расслоения X). Центральной в этом пункте является теорема о существовании и единственности Ж-продолженной метрической связности с нулевым кручением. В п. 2.3 указывается на связь внутренней и продолженной связностей с известными связностями, возникающими на почти контактных метрических пространствах.

В разд. 3 работы на многообразии Б с продолженной метрической связностью определяется продолженная почти контактная метрическая структура. Исследуются свойства продолженной почти контактной метрической структуры. Особое внимание уделяется почти контактным кэлеровым пространствам.

2. Внутренняя и N-продолженная связности

2.1. Основные сведения из внутренней геометрии почти контактных метрических пространств. Пусть X — гладкое многообразие нечетной размерности п, ГТХ — СТО(Х)-модуль гладких векторных полей на X. Все многообразия, тензорные поля и другие геометрические объекты предполагаются гладкими класса Сто. Почти контактной метрической структурой на X называется совокупность (ф, п, д) тензорных полей на X, где ф — тензор типа (1, 1), называемый структурным эндоморфизмом, £ и п —вектор и ковектор, называемые структурным вектором и контактной формой соответственно, д — (псевдо)риманова метрика. При этом

п(£) = 1, ф(£) = 0, п ◦ ф = 0, = -X + п^

д(фХ, фУ) = д(Х, У) - п^)п(У), ¿п(Х, У) = 0,

X, У е гтx.

Кососимметрический тензор О(XX, У) = д(Х,фУ) называется фундаментальной формой структуры. Многообразие, на котором фиксирована почти контактная метрическая структура, называется почти контактным метрическим многообразием. В случае, когда О = ¿п, почти контактная метрическая структура называется контактной метрической структурой. Почти контактная метрическая структура называется нормальной, если + 2^п  У = 0, где Nv —кручение Нейенхейса, образованное тензором ф. Нормальная контактная метрическая структура называется сасакиевой структурой. Многообразие с заданной на нем сасакиевой структурой называется сасакиевым многообразием. Пусть Б — гладкое распределение коразмерности 1, определяемое формой п,

= 8рап(£) — его оснащение. Если ограничение формы ш = ¿п на распределении Б дает невырожденную форму, то в этом случае вектор £ однозначно определяется из условий п(£) = 1, кег ш = 8рап(£) и называется вектором Риба.

Будем называть почти контактную метрическую структуру почти нормальной, если выполняется условие

Ж + 2

Почти нормальное почти контактное метрическое пространство в дальнейшем будем называть почти контактным кэлеровым пространством, если его фундаментальная форма замкнута. Почти контактное метрическое пространство будем называть почти К-контактным метрическим пространством, если = 0. Последнее равенство чаще используется в случае, когда форма ш имеет максимальный ранг, тогда соответствующее пространство называют К - контактным.

Почти нормальная контактная метрическая структура очевидным образом является сасакиевой структурой. Сасакиевы пространства пользуются большой популярностью у исследователей почти контактных метрических пространств по двум основным причинам. С одной стороны, существует большое количество интересных и содержательных примеров сасакиевых структур, с другой стороны — многообразия Сасаки обладают очень важными и естественными свойствами. В то же время почти контактные кэлеровы пространства наследуют ряд важных свойств сасакиевых пространств, что оказывается очень существенным в тех случаях, когда почти контактное метрическое пространство в принципе не может быть сасакиевым пространством [6].

Карту К(жа) (а, в, 7 = 1,..., п) (а, Ь, с, е = 1,..., п — 1) многообразия X будем называть адаптированной к неголономному многообразию Б, если = 8рап(д^-) [4]. Пусть Р : ТХ —> И — проектор, определяемый разложением TX = Б ф , и К(жа) —адаптированная карта. Векторные поля Р(да) = еа = да — Г"д„ линейно независимы и в области определения соответствующей карты порождают распределение Б: Б = 8рап(еа). Таким образом, имеем на многообразии X неголономное поле базисов (еа,дп) и соответствующее ему поле кобазисов (¿жа,0" = ¿ж" + Г"^жа). Непосредственно проверяется, что

[еаеъ] = МПьдп, где компоненты МП образуют так называемый тензор неголо-номности [7]. Если потребовать, чтобы во всех используемых адаптированных картах выполнялось равенство £ = дп, то, в частности, окажется справедливым равенство [еаеъ] = 2шъадп, где ш = вп. Адаптированным будем называть также базис еа = да—Г™дп как базис, определяемый адаптированной картой. Заметим, что имеет место равенство дпГП = 0. Пусть К(ха) и К(ха ) —адаптированные карты, тогда при условии, что £ = дп, получаем следующие формулы преобразования координат: ха = ха(ха ), хп = хп + хп(ха ).

Тензорное поле типа (р, д), заданное на почти контактном метрическом многообразии, будем называть допустимым (к распределению Б), если его координатное представление в адаптированной карте имеет вид

Ь = ьЦ^ёа 1  • • •  еар  вхЬ1  • • •  вхъ.

Из определения почти контактной структуры следует, что аффинор ^ является допустимым тензорным полем типа (1, 1). Поле аффинора учитывая его свойства, называем допустимой почти комплексной структурой. Форму ш = вп, также являющуюся допустимой формой, уместно в таком случае называть допустимой симплектической формой.

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется закону

Ьа = Аа Аъ' Ьа'

где Аап, = ^г.

^ а' дха'

Замечание 1. Из формул преобразования компонент допустимого тензорного поля следует, что производные дпЬа являются вновь компонентами допустимого тензорного поля. Кроме того, обращение в нуль производных дпЬа не зависит от выбора адаптированных координат. Последнее обстоятельство подкрепляется тем фактом, что (ЬЖ)а = дпЬа.

Замечание 2. Допустимую тензорную структуру, для которой выполняется равенство дпЬа = 0, будем называть проектируемой (в литературе можно встретить и другие термины, обращенные к структурам с подобным свойством: «базисные», «полубазисные» и т. д.). Допустимые проектируемые структуры естественным образом могут рассматриваться как структуры, заданные на многообразии меньшей размерности.

Используя адаптированные координаты, введем следующие допустимые тензорные поля:

К = \дпЧ>ъ, СаЬ = ^дпдаЬ, С^ = дЛаСль, фьа = даашаа.

Будем использовать следующие обозначения для связности и коэффициентов связности Леви-Чивиты тензора д: V, Гв7. В результате непосредственных вычислений убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 1. Коэффициенты связности Леви-Чивиты почти контактного метрического пространства в адаптированных координатах имеют следующий вид:

Га, - га>> Сь - шьа - Саь, Гап = Г„а = Са - , Г^ = 0, Г"„ = О,

где i

гьас = 29ad{zb9cd + ec9bd ~ edgbc).

2.2. N-продолженная метрическая связность. Под внутренней линейной связностью на многообразии с почти контактной метрической структурой [4] понимается отображение V : TD х TD ^ TD, удовлетворяющее следующим условиям:

!) v/i«1+/2«"2 = /iV«l + /2V„-2,

2) Vu/v - /Vuv + (u/)V, где TD — модуль допустимых векторных полей. Коэффициенты линейной связности определятся из соотношения Veaeb — Гаьес.

Кручение внутренней линейной связности S по определению полагается равным

S(X,Y) — VXY - VYX - P[XX,У].

Таким образом, в адаптированных координатах имеем — ГС, — Гьса.

Действие внутренней линейной связности естественным образом продолжается на произвольные допустимые тензорные поля. Важным примером внутренней линейной связности является внутренняя метрическая связность, однозначно определяемая условиями Vg — О, S — 0 [7]. В адаптированных координатах имеем i

ТЬс = 29ad{zb9cd + ec9bd ~ edgbc).

Заметим, что Гьас — Гьас (см. теорему 1).

Так же, как и связность в объемлющем пространстве, внутренняя линейная связность может быть определена заданием горизонтального распределения над пространством некоторого векторного расслоения. В случае внутренней связности в качестве такого расслоения выступает распределение D. Говорят, что над распределением D задана связность, если распределение D — п—1(D), где п : D ^ X, разбивается в прямую сумму вида D — HD ф VD, где VD — вертикальное распределение на тотальном пространстве D.

Введем на D структуру гладкого многообразия, поставив в соответствие каждой адаптированной карте K(жа) на многообразии X сверхкарту К(жа, ж" + а) на многообразии D, где ж"+а — координаты допустимого вектора в базисе ea — da — Г™д„. Построенную сверхкарту также будем называть адаптированной. Задание связности над распределением эквивалентно заданию объекта Ga(xa, ж"+") такого, что HD — Span(ea), где еа — да — Г"дп — Сдд„+Ь. В случае, когда ,ж"+а) — Гь"(жа)ж"+С, связность над распределением определяется

внутренней линейной связностью. В [2] введено понятие продолженной связности. Продолженная связность всегда рассматривается относительно некоторой связности над распределением и определяется разложением TD — HD ф VD,

где НБ С НО. Продолженная связность является связностью в векторном расслоении. Как следует из определения продолженной связности, для ее задания (при условии уже существующей связности над распределением) достаточно задать векторное поле и на многообразии Б, имеющее следующее координатное представление: и = дп — ЖЪ0хп+Ъдп+а, где эндоморфизм N : Б ^ Б может быть выбран произвольно. Будем называть кручением продолженной связности кручение исходной внутренней связности. В дальнейшем продолженную связность будем называть Ж-продолженной связностью.

В [7] допустимое тензорное поле, определяемое равенством

Й(и, г/)г£ = ^^дад — VvVдг£ — ^[д^гг — р[?[«, г/]г£],

названо Вагнером первым тензором кривизны Схоутена. Координатное представление тензора Схоутена в адаптированных координатах имеет вид

Й^Ьс = 2е[аГЬ]с + 2Г0|е|ГЬ]с-

В случае, когда распределение Б не содержит интегрируемого распределения размерности п — 2, обращение в нуль тензора кривизны Схоутена равносильно тому, что параллельный перенос допустимых векторов вдоль допустимых кривых не зависит от пути переноса [7]. Назовем тензор Схоутена тензором кривизны распределения Б, а распределение Б в случае обращения в нуль тензора Схоутена — распределением нулевой кривизны. Нетрудно установить, что частные производные дпГЬС = РЪС являются компонентами допустимого тензорного поля [7].

Замечание 3. Для (почти) К-контактных пространств тензор кривизны Схоутена наделен теми же свойствами, что и тензор кривизны риманова многообразия. В более общем случае это не так.

Векторные поля (¿0 = да—ГО'дп — Оасхп+сдп+Ь, и = дп — Опдп+а, дп+а) определяют на Б неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (вх°, 0п = вхп + Гапвха, 0п+а = вхп+а + ГЬасвхЬ + Жъахп+Ъвхп) — соответствующее поле ко-базисов. Проводя необходимые вычисления, получаем следующие структурные уравнения:

[¿а, ¿Ь] = 2шЬаи + хп+^

[¿а, и] = х^^дп^ — VаNJ)дn+c,

[¿о, дп+Ь] = ГоЪдп+с •

Из (3), (4) получаем выражение для тензора кривизны продолженной связности:

К(и, -у)гг = 2ш(и, г/)Жг? + Й(и, г/)гг, К(£, и)г/ = Р(и, V) — ^дЖ

где и, V € ГБ.

Теорема 2. Существует N-продолженная метрическая связность, однозначно определяемая следующими условиями:

(1) уд(—,У) = д(У^-X, У) + д(-Х, У^У) (свойство метричности),

(2) У^У — Уу-X — , У] = 0 (отсутствие кручения),

(3) N — симметрический оператор такой, что

д

где -X, У, . € ГО — сечения распределения О, Р : Т— ^ О — проектор.

Доказательство. Первые два условия теоремы однозначно определяют внутреннюю метрическую связность [7]. Альтернируя вторую ковариантную производную, получаем У[еУа]дЬс = 2шеад„дЬс — — дмЯ^

Сравнивая полученный результат с (5), находим явное выражение для эндоморфизма N:

МЬ = 4(^1-^^Ъ + ШЯ^&еас)-Если д„даь = 0, то полагаем N = 0. Теорема доказана.

Будем называть ^продолженную связность, наделенную свойствами теоремы 2, N-продолженной метрической связностью. Будем использовать для продолженной связности обозначение = (У,N), в частном случае У1 = (У, 0).

3. Специальные связности на многообразиях с почти контактной метрической структурой

Картан (см. [8-10]) первым рассмотрел линейную метрическую связность с кручением вместо связности Леви-Чивиты. Наибольшим интересом среди метрических связностей с кручением пользуется полусимметрическая связность, систематическое исследование которой проведено Яно в [11]. Четверть-симметрическая связность определена в 1975 г. Голабом [12]. Большое количество работ посвящено как метрическим, так и не метрическим связностям с кручением, заданным на многообразиях с почти контактной метрической структурой. Остановимся здесь лишь на работе Бежанку [13]. Бежанку определяет связность Ув на многообразии Сасаки с помощью формулы

У| = У XX У — )У У У — п(у )У х у + (" + с)(—,У )у

В адаптированных координатах отличными от нуля компонентами ГДа связности Ув являются

гйа = гъс = \даЛ{ёъды + есдм ~ еадьс)•

Построенная Бежанку связность, вообще говоря, не является метрической в более общем случае почти контактной метрической структурой, чем структура Сасаки. Действительно, так как УДдаь = д„даь, метричность связности Бежанку эквивалентна почти К-контактности почти контактной метрической структуры. Определим на многообразии с почти контактной метрической структурой связность У№ с помощью равенства

у XX = у| у +

где N — эндоморфизм из теоремы 2. Назовем введенную связность Ж-связностью. Отличными от нуля компонентами Ж-связности, самое большее, будут

= Г£ = 1даЛ{ёъдс<1 + гсды, - ёадЬс),

Гп;Са = N0. Кручение Ж-связности определяется равенством

(X, £) = 2ш(Х, £)£ + п(Х— п(£

Непосредственными вычислениями в адаптированных координатах проверяется справедливость следующего утверждения.

Теорема 3. Ж-связность является метрической связностью.

4. N-продолженная связность как почти контактная метрическая структура

Пусть на многообразии X задана контактная метрическая структура (Б, £, п, д, X). Определим на распределении Б как на гладком многообразии почти контактную метрическую структуру (Б, и, А = п ◦ п*, д, Б), полагая

д(ео,еъ) = д(дп+а,дп+ъ) = д(ва,еъ), д(£а,дп+ъ) = <7(£а,и) = дп+ъ) =0,

3 (£а) = дп+а, J (дп+а ) = — ¿а-

Векторные поля (¿а = да — Г01дп — С0схп+сдп+ъ, и = дп — Спдп+а, дп+а) определяются здесь продолженной связностью. Полученную структуру будем называть продолженной почти контактной метрической структурой. Пусть ш = ¿А. Непосредственно проверяется, что отличные от нуля компоненты формы ш определяются равенствами о;аь = шаь- Таким образом, гкш = Отсюда, в частности, следует, что построенная структура не является контактной и, в частности, структурой Сасаки.

Теорема 4. Продолженная почти контактная метрическая структура является почти К-контактной тогда и только тогда, когда исходная структура К-контактна.

Доказательство. Ненулевые компоненты производной Ли Ьдд в адаптированных координатах имеют следующий вид:

На самом деле компоненты (7) также равны нулю как компоненты ковари-антной производной от метрического тензора. Равенство дпдаъ = 0 влечет два других: N1 = 0, РЬк = 0 (см. (6) и (8)), что и доказывает теорему.

Пусть теперь исходная структура К-контактна (Ж = 0), тогда имеет место

Теорема 5. Почти контактная метрическая структура (D, J, U, Л = п ◦ п*, g, D) почти нормальна тогда и только тогда, когда распределение D является распределением нулевой кривизны.

Доказательство. Перепишем равенство (1) в новых обозначениях:

Nj + 2(dn о J) о u = 0.

В [4] доказано, что почти контактная структура является почти нормальной тогда и только тогда, когда P о Nj = 0, где P : TD ^ D — проектор. Воспользовавшись равенствами (3)-(5) в случае связности V1, получаем следующие выражения для компонент тензора Нейенхейса аффинора J :

Nj (еа, ¿ь) = -Rbcxn+c d„+e,

Nj(д„+а, dn+ь) = 2^Ьа + R^bcxn+cd„+e,

Nj (¿a,Ön+b) = 0,

Nj (¿a, dn) = Nj (dn+a, dn ) = ХП+СрЬс dn+b.

Таким образом, продолженная почти контактная метрическая структура почти нормальна тогда и только тогда, когда обращается в нуль тензор кривизны Схоутена.

Теорема 6. Почти контактная метрическая структура (D, J, U, Л = п ◦ п*, g, D) является почти контактной кэлеровой структурой тогда и только тогда, когда структура ¿,п, g) — сасакиева структура с распределением нулевой кривизны.

Доказательство. Непосредственными вычислениями подтверждается справедливость следующего утверждения: dl = 0 ^ dl = 0, где l(Xi,Y) = g(xX, JY), что и доказывает теорему.

ЛИТЕРАТУРА

1. Sasaki S. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1958. N 10. P. 338-354.

2. Букушева А. В., Галаев С. В. Почти контактные метрические структуры, определяемые связностью над распределением с допустимой финслеровой метрикой // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, № 3. С. 17-22.

3. Букушева А. В., Галаев С. В. Связности над распределением и геодезические пульверизации // Изв. вузов. Математика. 2013. № 4. С. 1-9.

4. Галаев С. В. Внутренняя геометрия метрических почти контактных многообразий // Изв. Саратов. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, № 1. С. 16-22.

5. Галаев С. В. Почти контактные кэлеровы многообразия постоянной голоморфной секционной кривизны // Изв. вузов. Математика. 2014. № 8. С. 42-52.

6. Галаев С. В., Гохман А. В. О первых интегралах динамической системы с неинтегрируе-мой линейной связью // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 2013. С. 23-26.

7. Вагнер В. В. Геометрия (n — 1)-мерного неголономного многообразия в n-мерном пространстве // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1941. С. 173-255.

8. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative. I // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1923. V. 40. P. 325-412.

9. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. I // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1924. V. 41. P. 1-25.

10. Cartan E. Sur les varietes a connexion affine et la theorie de la relative generalisee. II // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1925. V. 42. P. 17-88.

11. Yano K. On semi-symmetric metric connections // Revue Roumaine Math. Pures Appl. 1970. N 15. P. 1579-1586.

12. Golab S. On semi-symmetric and quarter-symmetric linear connections // Tensor New Ser. 1975. N 29. P. 249-254.

13. Bejancu A. Kahler contact distributions // J. Geom. Phys. 2010. N 60. P. 1958-1967.

Статья поступила 31 января 2015 г. Галаев Сергей Васильевич

Саратовский гос. университет им. Н. Г. Чернышевского ул. Астраханская, 83, Саратов 410012 sgalaev@mail.ru