Асимптотическое построение оптимального многопараметрического перелета. 1. Нулевое и первое приближения

Сер. 10. 2009. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 531.1:629.76 В. С. Новоселов

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОСТРОЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ПЕРЕЛЕТА.

1. НУЛЕВОЕ И ПЕРВОЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

1. При решении навигационных и технологических задач в гравитационном поле важное значение имеет выбор оптимальных траекторий [1, 2]. Даже в рамках задачи двух тел не удается построить законченную аналитическую теорию оптимизации космических траекторий. Для качественного и аналитического исследования влияния различных факторов на выбор оптимальных траекторий приходится решать задачи в ограниченной постановке. С этой целью разработаны аналитические методы [1-10] и построены специальные вычислительные алгоритмы [1, 2, 11-13].

Расширение технологических задач, решаемых с помощью космических аппаратов, приводит к постановке новых математических задач по оптимизации траекторий в гравитационном поле. Для инспекции (обслуживания) [14] целесообразно применять маневр касательного пролета с заданной относительной скоростью, который позволяет инспектору некоторое время перемещаться коллинеанарно вместе с инспектируемым объектом. Одной из задач аналитической динамики, связанных с движением в центральном гравитационном поле, является исследование вариационной схемы выбора оптимальных траекторий при разгоне и торможении маршевым двигателем с учетом различных параметров, отвечающих дополнительным условиям. Наиболее трудным условием представляется отказ от традиционного импульсного рассмотрения участков активного движения [1, 2]. Вторым дополнительным условием может служить требование касания траекторий инспектора и инспектируемого объекта в точке встречи с заданной относительной скоростью. Третьим условием будет ограничение на время перелета.

2. Базовой для околоземного маневрирования является задача построения оптимального перелета между близкими круговыми компланарными орбитами. В этом случае переходная орбита оказывается близкой к круговой и должны использоваться специальные формулы для сопряженных переменных [15], в которых вместо эксцентриситета e и аргумента перицентра ш применяются лагранжевы элементы h = e sin ш, к = e cos ш. Характеристики начальной орбиты снабжаем буквой «н», орбиты инспектируемого объекта, называемой орбитой контакта, - буквой «к». Моменты времени начала маневра и его конца обозначаем через ¿н, ¿к. Для радиусов граничных орбит принимаем гк > гн, введем безразмерный малый параметр е = (гк — гн )r“1, тогда гк = гн (1 + е). Элементы переходной орбиты отыскиваем в виде

Новоселов Виктор Сергеевич — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики управляемого движения факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 190. Научные направления: аналитическая динамика управляемых систем, управление движением в гравитационном поле, вариационные методы механики. E-mail: novoselov@apmath.spbu.ru.

© В. С. Новоселов, 2009

h = eh' + e2h + e3h , к = ek' + e2k + e3k .

Штрихами отмечаем члены соответствующих порядков. Члены нулевого по e порядка указываем индексом нуль, так h0 = 0, к0 = 0.

Рассмотрим компланарную задачу движения в центральном гравитационном поле с двумя включениями двигателя. Начальную фазу движения принимаем произвольной. Как показано в статьях [10, 11], в этом случае на траектории, оптимальной по минимуму расхода массы или суммы характеристических скоростей при ограничении на величину реактивного ускорения, работа двигателя должна выполняться с наибольшим реактивным ускорением в = const > 0. Длительность первого включения пусть будет Ti, второго - T2. Минимизируется сумма характеристических скоростей Vi + V2, V = вТ, i = 1, 2, где T0 = T = 0, Ti = e‘2Ti + e3Ti . При e = 0 орбита контакта и переходная орбита совпадают с начальной, поэтому V° = 0. Поскольку V[ = 0, то в = e-ie, где 3 порядка единицы.

Фазовые переменные обозначим через Xj, j = 1,4. Это радиальная и трансвер-сальная скорости, полярный радиус и полярный угол. Управлением является угол ф наклона тяги к полярному радиусу. На участках активного движения имеем дифференциальные уравнения [7, 9]

xi = x2x—1 — ж2х—2 + в cos Ф,

Х2 = —Х1Х2Х—1 + в sin Ф,

Х3 = xi, Х4 = Х2Х—1.

Здесь ж2 - произведение универсальной гравитационной постоянной на массу центрального тела. На баллистическом участке при в = 0 можно записать решение уравнений (1) в виде [15]

х\ = еер~2(к sinx4 — h cos Х4), Х2 = агр^х^1,

х3 = p

где p - фокальный параметр.

Условие касательного контакта с заданной относительной скоростью будет

Х1(^к ) = 0, х22 — Х2^к ) = (ev' + e2v + e3v )хк.

Здесь v',v и v - заданные постоянные величины порядка единицы. Поскольку хк =

жгк 2, то для трансверсальной скорости в точке контакта получим

x2{t ) = ее Г 2

Д 2, 3 1 , // 5 3 , 1 „ ,,,

1—е

2 8 2 J 16 8 2 J

Если принять Т =0 и V1 = V = V = 0, то с точностью до членов порядка е2 оптимальным будет перелет типа Гомана с длительностью [16]

т -1 а Л з 3 2 1 з

Гг.™-г|^1 + Г+й. -^ +

Пусть требуется выполнить ограничение на длительность полета

_1 3 / 3 \ 3 _1 3

1 < 7Г83 Г2 1 н-£ — £<Т, <7 < -7Г83 г2 ,

н \ 4 ) 4 н

3 3 3

То = 7Г8е_1Г^, Т' = -7ГЖ_1Г5 — а.

Таким образом, исходными параметрами являются: 1) радиусы граничных орбит

Гн и гк; 2) приведенное реактивное ускорение /3; 3) характеристики относительной

скорости касательной встречи; 4) показатель слабого ограничения на длительность полета а.

Все указанные параметры имеют порядок единицы. Разложения будем выполнять по методически малому параметру е = (гк —гн )г—1 и величину гк заменять на гн (1+е).

3. Минимизация суммы характеристических скоростей при условии (4) сводится к решению вариационной задачи с минимизируемым функционалом

‘к

J /ЗЛ + М^к — ¿н ) = + ^2 + М^к — ¿н )^

Ф

где Л = const > 0 - соответствующий лагранжевый множитель. Так как Vi + V порядка

e, принято слабое ограничение (4) на длительность полета, то полагаем Л0 = Л' = 0.

Искомая траектория состоит из трех дуг: двух крайних участков активного движения

и средней баллистической дуги. Характеристики начала и конца переходного эллипса

баллистического участка отмечаем индексами «-» и «+». Граничные условия в точ-

_ 1

ке старта: х\(tH) = 0, *2(iH) = эзгн 2, жз(£н) = гж, б точке контакта: х\(tK) = 0,

х2(^к) определяется формулой (3), х3^к) = гк. При решении задачи следует учитывать условие непрерывности фазовых переменных в точках соединения активных и баллистической дуг

xj

где правые части находятся по формуле (2). Характеристические скорости равны

Запишем основной интеграл задачи управления с функционалом

H = в( — 1 + cos Ф + Л2 sin ф) + Щ = const,

Hi = \ix-i1

Здесь Xj, j = 1,4,— лагранжевы множители, отвечающие уравнениям (1). Из условий трансверсальности и условий Вейерштрасса-Эрдмана следует [9]

Л4 = 0, Л = H.

В соответствиии с принципом максимума на участках активного движения

QH

тгу = -Ai sin ф + Х2 cos ф = 0,

дф

интеграл (8) можно записать в виде

/?

При исследовании участков активного движения целесообразно перейти к масштабной шкале величин, в которой реактивное ускорение будет порядка единицы. Для этого можно ввести вспомогательную независимую переменную с помощью формулы

гн

¿т = е 2^. Получим для активных участков следующие преобразованные уравнения движения:

Уравнения Эйлера-Лагранжа на участке баллистического движения имеют решение [15]

Здесь А, В, С, Б - постоянные интегрирования. Величины О1,О2, Оз являются известными функциями [15] угла Х4.

4. Без потери общности можно принять ¿н = 0, х4(0) = 0. В нулевом приближении при е = 0 имеем Н0 = к0 = 0, р0 = гн, х° = х°+ , в = 1, 2, 3. По формуле (4) ¿к =

3

Т° = тгпоэтому ж4= тт. Так как А0 = 0, то с помощью (9) и (14) получаем Н0 = С0 = 0. Из формул (10) и (11) в нулевом приближении следует

Согласно условиям Вейерштрасса-Эрдмана можно приравнять правые части для А1 формул (14) и (15) в точках соединения активных и баллистического участков. В нулевом приближении получаем

Исследование членов порядка е начнем с условия непрерывности радиальной скорости (6) в указанных выше точках. В силу формул (2) и (12),

Поскольку У{ + У2, = 0, находим А0 =0, Н' = 0. Отсюда по формулам (12) и (16) определяем

А1 = А соэ х4 + В эш х4 + СО1, А2 = [(2 + Н эш х4 + к соэ х4)(—А эш х4 + В соэ х4) + + СО2 + Б](1 + Н эт х4 + к соэ х4)-1,

Аз = —азр~5 (1 + /тпж4 + /гсо8ж4)(Аз1пж4 — В созж4 + СО3 — £>), А 4 = -(вр-^Ак + ВИ + С), С=-агГ2р2 Н.

А! = соэ ф°, А0 = эт ф°.

а1 = А0 = соэ ^0, а1+ = —А0 = соэ ф2°.

У{совф1 = —ад(р°) *Ы, — У^соёф^ = зд(р°) 2Ы.

Учитывая соотношение (16), имеем

А°У( + £в(р°)-*Ь,' = 0, А°У2 - ¡в(р°)-*И,' = 0.

При сохранении членов порядка е в соответствии с уравнениями (12) и (13) величины хз,х4 и лагранжевы множители А^ оказываются неизменяемыми на активных участках. На основании непрерывности хз в точках переключения управлений при использовании формулы (2) имеем

Из формул (11)—(13) и трансверсальности тяги нулевого приближения следует H0 =

Поскольку по формуле

По условию VI -\- V^ > 0, следовательно, и' < При сохранении в формулах (12) и (17) членов порядка е на основании непрерывности первых двух лагранжевых множителей в точках соединения активных и баллистического участков имеем

Поправки первого порядка к углам наклона тяги ф[ и Ф2 в е-приближении не определяются. Если ограничиться учетом только первого приближения, то указанные поправки можно принять нулевыми, т. е. сохранить трансверсальность тяги. Это отвечает теореме о допустимости упрощенного представления управляемого процесса [9], согласно которой необходимые условия оптимальности можно удовлетворять с меньшей на порядок точностью, нежели вычисление функционала и удовлетворения граничным условиям и дифференциальным уравнениям движения.

При учете членов первого порядка относительно е = (гк — гн)г—1 оптимальный суммарный расход характеристических скоростей, в силу формулы (18), оказался равным

Если относительная скорость контакта в первом приближении равна нулю, то в формуле V' = 0. В этом случае расход характеристических скоростей в первом приближении будет таким же, как и в соответствующем двухимпульсном перелете [16].

Н1 = 0, т. е. Н1 будет порядка е2. Величина Н по формуле (9) имеет порядок е2. Поэтому из соотношения (11) с точностью до членов порядка е2 получаем

Xi = cos ф + о(е2), X2 = sin ф + o(e2).

ф[ = const, ф[ = const, i =1, 2. Для принятых граничных условий по формулам

x1 = xi+ =0, x2 = V1, x3+ = x2(tK) - ^ х3 =0, х3+ = гн.

С учетом (2) и (3) находим

В°= 0, D° = 1, А' = -ф[ = ф'2, в'=\, d' = 0.

1 3

V1+V2 = -жгн 2 (гк -Гн)( 1 - 2v').

Novoselov V. S. Asympotically optimum multiparameter transfer. 1. Null and first approximations.

The variation method of the optimal traffic control in the problem of transfer in a gravitational field with the second active sections is proposed. Analytical solution of the first order taking into account the value of reduced reactive acceleration, tangential contact with the preassigned relative velocity, restriction for the flight duration is given.

Key words: analytical methods of spaceflight mechanics, maneuvers in the central gravitational field, optimal transfers between orbits, optimal direction of the thrust.

Литература

1. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты в космическом пространстве с двигателями большой мощности. М.: Наука, 1976. 744 с.

2. Охоцимский Д. Е., Сихарулидзе Ю. Г. Основы механики космического полета: Учеб. пособие. М.: Наука, 1990. 448 с.

3. Лоуден Д. Ф. Межпланетные траектории ракет // Космические траектории / Пер. с англ. В. В. Вериго, Г. Ю. Данкова. М.: Мир, 1963. С. 177-242.

4. Лоуден Д. Ф. Импульсный переход между эллиптическими орбитами // Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета / Пер. с англ. К. А. Лурье. М.: Наука, 1965. С. 387-415.

5. Лоуден Д. Ф. Оптимальные траектории для космической навигации / Пер. с англ. В. К. Исаева. М.: Мир, 1966. 152 с.

6. Кузмак Г. Е. Об учете протяженности активных участков при исследовании оптимальных перелетов между близкими околокруговыми орбитами // Докл. АН СССР. 1968. Т. 181, № 1. C. 42-45.

7. Новоселов В. С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1972. 317 с.

8. Ивашкин В. В. Оптимизация космических маневров при ограничениях на расстояния до центров планет. М.: Наука, 1975. 392 с.

9. Новоселов В. С., Королев В. С. Аналитическая механика управляемой системы: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. 298 с.

10. Гурман В. И. К вопросу об оптимальности особых режимов движения ракет в центральном поле // Космич. исследования. 1966. Т. 4, вып. 4. С. 499-509.

11. Новоселов В. С. Об особом оптимальном по расходу топлива управлении в гравитационном поле // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 3. С. 54-61.

12. Кирпичников С. Н. О числе импульсов при энергетически оптимальном полете между компланарными круговыми близкими орбитами // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1980. № 19. С. 50-53.

13. Агапонов С. В. Глобально оптимальная жесткая встреча без ограничения на время // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1985. № 15. С. 83-85.

14. Баринов К. Н., Бурдаев М. Н., Манон П. А. Динамика и принципы построения оптимальных систем космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1975. 232 с.

15. Новоселов В. С. Варьирование динамических моделей движения: Учеб. пособие. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. 108 с.

16. Новоселов В. С. Оптимальная траектория импульсного компланарного перехода между близкими круговыми орбитами со слабым ограничением на время // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1989. Вып. 1. С. 76-80.

Статья принята к печати 7 октября 2008 г.