Панельный метод расчета нагрузки на поверхности крыла конечной толщины, гармонически колеблющегося в дозвуковом потоке

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIV 1983

№ 1

УДК 533.601.135

ПАНЕЛЬНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА НАГРУЗКИ НА ПОВЕРХНОСТИ КРЫЛА КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ, ГАРМОНИЧЕСКИ КОЛЕБЛЮЩЕГОСЯ В ДОЗВУКОВОМ

ПОТОКЕ

П. М. Гостев, В. В. Мозжилкин

Рассматривается проблема определения нагрузки на поверхности гармонически колеблющегося крыла конечной толщины при дозвуковых скоростях полета в диапазоне умеренных удлинений и чисел Струхаля. В рамках линейной теории она расщепляется на задачи обтекания несущей поверхности и крыла с симметричным профилем под нулевым углом атаки. Решение каждой из задач осуществляется панельным методом. Отмечается необходимость учета толщины, если амплитуда колебаний крыла порядка толщины профиля.

1. При решении задач комплексного расчета на прочность требование детального определения аэродинамической нагрузки, распределенной по верхней и нижней поверхностям крыла, вызывает необходимость учета толщины профиля. В настоящее время для этой цели применяются панельные методы с представлением крыла как пространственной конфигурации [1—3]. Они достаточно универсальны, но сложны в использовании из-за необходимости задания элементов пространственной конструкции. Поэтому представляется целесообразным в рамках линейной теории крыла конечного размаха применить традиционный аэродинамический подход — расщепление общей проблемы на две задачи: обтекание несущей средней поверхности крыла и обтекание крыла с симметричным профилем под нулевым углом атаки, решения которых можно получить панельным методом. Полное решение затем строится по принципу суперпозиции.

2. Основные соотношения. Рассмотрим дозвуковое обтекание крыла в декартовой системе координат (х, у, г), направив ось х параллельно набегающему потоку со скоростью ига. Предположим, что крыло — тонкое и расположено близко к плоскости 2 = 0, а его нестационарная деформация — малая. Тогда гармонические колебания крыла относительно стационарной формы можно представить в виде

г = /гг (х, у) + йг* (х, у) е‘р(,

где р — круговая частота, а индекс „ + “ или „—“ относится к верхней или нижней поверхности крыла соответственно.

В линейной теории проблема обтекания крыла сводится к решению четырех независимых задач [4]:

1. Стационарное обтекание несущей поверхности

2 = (к? + АГ) 3= кл (х, у).

2.\

2. Стационарное обтекание крыла с симметричным профилем под нулевым углом атаки.

г-=\ (¿1+ — к~) - 1 '(*» У)-

3. Обтекание гармонически колеблющейся несущей поверхности

2 = ~ (Л2+ + АГ) е1Р1 = К 2 (X, у) е м.

4. Обтекание крыла под нулевым углом атаки с симметричным гармонически пульсирующим профилем

г = -у (АГ — АГ) е*‘ = А, 2(х, у) е1Р(.

С математической точки зрения задачи 1 и 3 объединяются в одну — обтекание колеблющейся несущей поверхности

г = ка(х, у) ехр (г/?/) (задача подъемной силы).

В безразмерных переменных

х=1Х, у = /Щ г-Щ*, { = 1Т1иж,

?(а', у, г, 1)=ш00ф(Х, у, г)ехр[/(х^т + шГ)],

где р = (1 — М3)^2, со = рци^, \ — М2 «/р2, / — характерный размер, ср — потенциал скорости, М — число М набегающего’потока, скачок модифицированного потенциала скорости К=ЛФ удовлетворяет интегральному уравнению [5]

*ч*|. П; Я К

Здесь /? = РГ — ^Г1)2 + (У— К1)2 +212]’/2, к — Мш/{32, 5 - проекция крыла на плоскость ¿ = 0, —ее след, (Л1, Г1, ¿Х) — точка

приемника (коллокации), а (А', У, 0)— точка излучателя акустического сигнала.

Безразмерный скос потока IV определяется выражением

1 / дк /г„ \

^тЫг^-п)^-

Из условия непрерывности давления поперек следа можно получить, что на выполняется соотношение

К(Х, У) = клу)е-Ь(х~х?),

где V —ш/З2, а индекс „т“ указывает, что значение соответствующей величины берется на задней кромке крыла. Вне крыла и следа К = 0.

Наконец, скачок коэффициента давления на крыле находится из интеграла Лагранжа — Коши и определяется формулой

Д СРа = 2 + ivA'j е‘('х+шТ> = Д С,

•itoT

р а с

Формально задачи 2 и 4 объединяются в одну — обтекание крыла под нулевым углом атаки с симметричным пульсирующим профилем z = ht(x, y)exp(ipt) (задача учета толщины).

С помощью метода источников [6] решение данной задачи в переменных (2.1) записывается в виде

Ф(Х1, VI, Z\)^+-^-jjw±(X, Y)^~-dXdY,

где функция W+ определяется формулой (2.3) посредством замены Л* на ht.

Воспользовавшись интегралом Лагранжа — Коши, получим выражение

_ Л\Х 1 / д ikr p-ikr \

Cpt

5

где r = [(^ - X\y + (У — У1)*р.

3. Задача подъемной силы. Рассмотрим задачу обтекания гармонически колеблющейся несущей поверхности. Для ее решения воспользуемся панельным методом, являющимся развитием результатов работы [7]. Разобьем поверхность S на трапециевидные панели Sy, а след Ws — на полосы Ws  Предположим, что функция ha симметрична по у и на каждой панели крыла и полосе следа .выполняются соответственно условия К = К? = const, Кт = — К™ = const. Тогда, располагая точки коллокации на полукрыле Y > 0 и переходя к дискретным величинам в интегральном уравнении (2.2), получим систему алгебраических уравнений

NY С NX

W(X 1, Г1) =—2 к? [/S1" + IslTm +

47Г m=1 {1=1

+ k2 (/S2f + /527'")] + к? {fwm + IW~m) j ,

где NX, NY — число панелей на полукрыле вдоль X- и К-направ-лений соответственно,

_—ikr

/51У = Г Г

1 .Щ <Ш2 дУГ- ) г к ’

стп

1

¡82? = dXd У,

. о тть

1\Рт = Ц +^*г_е-МХ-хТ+мг) ахаУ'

Использование двухточечной квадратурной формулы Гаусса при интегрировании (3.1) —(3.3) приводит в ряде случаев к потере устойчивости панельного метода [7]. В предлагаемой модификации интегрирование выполняется по трехточечной формуле Гаусса. Остановимся подробнее на процедуре вычисления интеграла (3.3).

Рассмотрим сначала асимптотическое поведение (3.3) для стационарного случая в зависимости от характера разбиения крыла на панели. Пусть полоса следа примыкает к панели с прямолинейной задней кромкой, имеющей угол стреловидности я/2 — 7™. Если точка коллокации принадлежит панели и расположена на расстоянии е, от боковых кромок и е2 от задней кромки, то для 1\Х/т имеют место следующие оценки:

При использовании двухточечной формулы Гаусса для интегрирования по У справедливы оценки:

Следовательно, при использовании панелей большого удлинения (в! > е2) возможна потеря сходимости метода, поскольку соответствующие оценки не совпадают даже по порядку. Нужно отметить, что подобный эффект наблюдается и в других вариантах панельного метода (см. [1]). Поэтому целесообразно явно выделить в (3.3) составляющие, которые дают правильные значения асимптотик при г1 - 0 и е2 -> 0.

Проинтегрировав (3.3) по частям в направлении X, получим

6і <е2;

,/ №т = т\ — «(1 - М) /1Р2, .

где

ут+1

ут

ут+1

\ = Х — Х\, п,

. Ь-ХгіУІ-Х 1, гт = (Е? + Т)2)1/2.

Интегрирование по частям дает для (3.4) выражение

т\=тс + ік-ті,

где

а = аТ ^ 7™ + (1 -(- т”) у], аТ = £? — г\т с1§- 7™

гтт = гт(Л, 6?=*? — XI, ч]т=Ут-— У1.

Для вычисления (3.6) разобьем интервал интегрирования на две части:

-'.V оо 1

F = \~dX+ \~dX = p + L (*s»l).

*T xs

На отрезке [Xsi, оо], где с точностью до старших членов г«?,

L = -у-'7!2 {--6  + 2 [si Ы + i ci (xs)]J ,

= = — X\, Q = v (1 + M),

Si (t) = tc/2 + si ('c),rvCi(x) = ci(t) — интегральные синус и косинус.

Интегрируя р по частям и переходя затем к переменной

С = S + Mr (S, к]), найдем, что

) + Т=ПГ У> rs = (?s + rpyi*,

где J— f [С—(С2 + Р2 т]2)1/2| е-1^ dL при вычисляется методом

ст .

Филона; при -/¡ = 0

J/rf = - -L ¡32 {ci (х5) _ ci (тт) - i [si (xs) - Si (xt)]},

tT = Q£T.

Внешнее интегрирование no Y в (3.5) выполняется, как и в

(3.8), по трехточечной формуле Гаусса.

Выделение в явном виде составляющей (3.7), несущей главное значение асимптотики интеграла по следу, и использование аналитического выражения (3.9) в областях резкого изменения подынтегральной функции обеспечивают повышение устойчивости панельного метода по крайней мере при умеренных удлинениях (Л/?<4) и числах Струхаля (о><;4).

4. Задача учета толщины. Рассмотрим задачу обтекания крыла под нулевым углом атаки с симметричным гармонически пульсирующим профилем. Как и в задаче подъемной силы, поверхность .S разбивается на малые трапециевидные панели Sf. На каждой панели функция W полагается постоянной и равной своему значению в точке коллокации, W = W? = const. Учитывая симметрию ht относительно у и переходя к дискретным величинам в- уравнении (2,4), для определения коэффициента давления получим

/XXI NY Nx

Cpt(X 1, Y 1) = —£_£ ^ Wr[IS\? + /Sl-m-h(IS2?+IS27m)],

m = \ 1=1

где ,

Яд „—‘kr

i

IS2j = ^^-dXdY.

r,m

p==

-ivCS

-г<

Интеграл (4.1) приводится к однократным и при ¡гф 0 вычисляется по трехточечной формуле Гаусса, а при к — 0 — аналитически. Интеграл (4.2) при кф 0 вычисляется так же, как в задаче подъемной силы; при к = 0 он берется в замкнутой форме.

Изложенный выше панельный метод применен для расчета стационарных и нестационарных нагрузок. Исследованы как сходимость метода, так и его точность сравнением с расчетами других авторов, экспериментальными данными и точным решением. Во всех расчетах за характерный размер принят полуразмах крыла

5, а на рисунках используются обозначения ») =» у/я, \ = (х —- хД/с, где с —хорда.

Результаты расчетов в стационарном случае приведены на рис. 1 и 2. На рис. 1 представлен анализ сходимости метода (•М.А'= Л/У = 6; 8; 10) для прямоугольного крыла удлинения АИ=<2

°pt

-0,1

о

0,1

а Л

-0,5

-ОЛ

-0Л

о,г

о,ч

/ jgg \

/1 — точное решен ае \ NX=NY=61 панель - \ в 1 ный Г 10) метод i I :

ОЛ

0,4- 0,6

Рис. 1

О,В I

V -0,1

0,1

ол

—vS \Re

¡ Im

Л

I точное решение панельный метод \ i ....... i

о,г

0,4 0,6

Рис. 3

\ ч

°Ч( о ' к i

te

ч

о эксперимент — м t V панельный метоа | _1_, 1 г 1

с параболическим профилем ht — 2тх(\ — — x¡c) относительной толщины i = 5% при М = 0,5 и т) = 0,7. Здесь же результаты панельного метода сопоставляются с точным решением линейной теории.

На рис. 2 расчеты панельным методом (NX = NY = 10) для прямоугольного крыла А£? = 6 с профилем NACA 0012 при М=0,7 и т] = 0,5 сравниваются с экспериментальными данными и результатами метода работы [8]. Расхождение результатов в окрестности носовой части профиля объясняется, по-видимому, погрешностью кусочнопостоянной аппроксимации W.

Результаты в нестационарном случае показаны на рис. 3, где данные, полученные панельным методом (ЛЛА!" = 10, NY — 8) для прямоугольного крыла AR = 2 с профилем

ht = iс[ах (х/с) -f а,, (x¡c)2 + а3 (xíc)3 + а4 (х/'с)*], х = 6%,

ах — 4,0709, а2 = — 10,802, а3= 10,391, aé = — 3,6605, пульсирующим с приведенной частотой ш = 0,2 при М = 0,24, сравниваются с точным решением (сечение 7¡ = 0).

5. Полная задача. Рассмотрим теперь некоторые характерные задачи определения нагрузки на поверхности крыла конечной толщины с недеформируемым профилем.

0,2

0Л 0,5 Рис. 2

0, В (

Прямоугольное крыло AR — 6 с профилем NACA 0012 установлено под углом атаки 4° в стационарном потоке М = 0,494.

На рис. 4 результаты панельного метода для r¡ = 0,5 сопостав-

ляются с экспериментальными данными и расчетами изъяна работы [8].

Прямоугольное крыло AR = 2 с несимметричным профилем,

образованным параболическими дужками х+ = 8% и —

совершает тангажные колебания с> амплитудой 5° и приведенной

частотой со = 1 около оси x=-x¿

при М = 0,5. Результаты рас-

чета изображены на рис. 5 для ^=0,7. Здесь же показано решение, в котором толщина крыла не учитывается. Легко видеть, что

-гг

-0.6

-ол

0А

0.6

1 і О ¿Л 1 > эксперимент ь Ср J

&> \\°о YV

©

3 fe

77 If 1 ©

о,г. ол о,б о.о і

Рис. 4

Рис. 5

толщина оказывает существенное влияние на распределение действительной части Ср, тогда как мнимая часть целиком определяется решением задачи подъемной силы.

Таким образом, если амплитуда колебаний крыла сравнима с толщиной профиля, то при детальном определении аэродинамической нагрузки на верхней и нижней поверхностях крыла необходимо учитывать влияние толщины. Этот вывод подтверждается также результатами работы [9] для несжимаемого потока. Если потеря местной прочности крыла приводит к деформации обшивки,

то симметричная пульсация профиля окажет влияние как на действительную, так и на мнимую части Ср, что, в свою очередь, потребует знания амплитуд пульсации и может служить предметом отдельного исследования.

ЛИТЕРАТУРА

/

1. Woodward F. A. Analysis and design of wing-body combinations at subsonic speed. „J. Aircraft“, vol, 5, N 6, 1968.

2. Morin о L., Kuo С. C. Subsonic potential aerodynamics for complex configurations: A General Theory, „АІАА J.“. vol. 12, N 2, 1974. (Рус. пер.: „Ракетная техника и космонавтика“, т. 12, № 2, 1974).

3. Захаров А. Г. Численный метод расчета аэродинамических характеристик плоских и неплоских крыльев в сверхзвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 3, 1973,

4. Бисплингхофф Р. Л.. Эшли X., Халфмэн Р. Л. Аэроупругость, М., Изд. иностр. лит-ры, 1958.

5. Jones W. P., Moore J. A. Simplified aerodynamic theory of oscillating thin surfaces in subsonic flow. „А1АА J.*, vol. 11, N 9, 1973. (Рус. пер.: „Ракетная техника и космонавтика“, 1973, т. 11, № 9).

6. Б е л о ц е р к о в с к и й С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М., „Наука“, 1971.

7. Гостев П. М., Кутин А. С., Мозжилкин В. В. Панельный метод расчета нагрузок, действующих на крыло, совершающее гармонические колебания в дозвуковом потоке. „Ученые записки ЦАГИ“, т. IV, № 2, 1978.

8. Vi viand H., Ghazzi W. Calcul numerique d'Ecoulements subsoniques Linéarisés autor d’ailes. „Rech. Aerosp.*, N 5, 1974.

9. Geissler W. Nonlinear unsteady potential flow calculations for three — dimensional oscillating wings. „А1АА J.“, vol. 16, N 11. 1978. (Рус. пер.: „Ракетная техника и космонавтика*, 1978, т, 16, № 11).

Рукопись поступила 6JTI 1981