Об упругой линии сжимаемого продольной силой стержня, находящегося между двумя жесткими стенками

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Математика. Механика. Информатика.

Выпуск 1 (26). 2018

УДК 539.3

ОБ УПРУГОЙ ЛИНИИ СЖИМАЕМОГО ПРОДОЛЬНОЙ СИЛОЙ СТЕРЖНЯ, НАХОДЯЩЕГОСЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЖЕСТКИМИ СТЕНКАМИ

В. Н. Тарасов

Рассматривается задача определения упругой линии сжимаемого продольной силой стержня, расположенного между двумя жесткими стенками. Изучается зависимость упругой линии от граничных условий.

Ключевые слова: упругая линия, критическая сила, граничные условия, устойчивость, уравнение Эйлера.

Задачу о продольном изгибе стержня впервые рассмотрел Л. Эйлер (см. обзор Е. Л. Николаи «О работах Эйлера по теории продольного изгиба» [2]). Плоские линии сжимаемого продольной силой упругого стержня получили название элластики Эйлера. Задача об упругой линии сжатого и скрученного стержня рассматривалась многими авторами. Фунаментальное иссследование этой проблемы можно найти в работе Е. Л. Николаи «К задаче об упругой линии двоякой кривизны».

Проблема стесненого изгиба стержня является трудной, ибо она приводит к необходимости решения задач вариационного исчисления при ограничениях на перемещения в виде неравенств. В линейной постановке упругую линию сжимаемого продольной силой стержня, расположенного между двумя жесткими стенками в случае граничных условий шарнирного опирания, рассмотрел В. И. Феодосьев в [4]. Нелинейный изгиб рассмотрен в работе [1]. Здесь рассматривается влияние граничных условий на упругую линию стесненного изгиба.

1. Граничные условия шарнирного опирания

Рассмотрим плоский изгиб упругого стержня длины I, сжимаемого продольной силой Р, которая в процессе деформации сохраняет свою

© Тарасов В. Н., 2018.

величину и направление. Стержень в первоначальном недеформирован-ном состоянии расположен между двумя жесткими стенками на одинаковом расстоянии А от каждой из них (рис. 1). Пусть в — длина дуги стержня, и>(в), г (в) —декартовы координаты деформированного стержня. Обозначим через 7(в) угол между касательной к деформированной оси стержня и осью г. Тогда выполнены уравнения

w' = sin y, z' = cos 7.

Полная потенциальная энергия стержня имеет вид:

i г i

2 EJy'2 - P

U = J

Здесь y'(s) — кривизна упругой линии,

fi 1

-EJi2ds-

ds.

/0 2

упругая энергия стержня,

r-e r-e

/ P(1 - cos Y)ds = P(ds - dz)-J 0 J 0

работа внешних сил.

Предположим, что выполнены условия шарнирного опирания:

w

Определение перемещений сжатого продольной силой стержня при жестких ограничениях на перемещения сводится к экстремальной проблеме

U ^ min

при ограничениях

при этом функции y(s),w(s) удовлетворяют первому из уравнений (1) и выполнены граничные условия (3).

Решение в линейном приближении. Приведем решение рассматриваемой задачи, принадлежащее В. И. Феодосьеву. Предположим, что А мало, прогиб w и угол y также являются малыми величинами. Тогда можно положить

1 /2

s = z, cos y ~ 1 — 2w •

Оставляя в функционале U(w) только квадратичные слагаемые, получаем задачу:

U2

K } Jo\ 2 2 ) |w(z)|<A v J

Предположим, что сила P больше первой критической силы Эйлера P*(1), т. е.

P>P(1) = fEJ f („) n2n2EJ

12 V * I2

и больше той силы, при которой происходит касание стержня со стенкой. Допустим при этом, что стержень полностью прилегает к стенке в некоторой своей средней части длины 12 = I — 21\ (11 — длина криволинейного участка стержня от конца до первой точки касания).

В этом случае определение прогиба сводится к решению вариационной задачи:

/"

Уравнение Эйлера имеет вид:

+ к2*'' = 0, к2 =

В точке 11 прогиб и его первая производная *'(г) должны быть непрерывны, т. е.

= 0, = 0.

Из условия минимума функционала (7) по 11 находим еще одно граничное условие:

*''

Последнее равенство означает, что кривизна стержня в точке 11 является непрерывной. Интегрируя два раза уравнение (8) с учетом граничных условий, получаем:

*'' + к2* =

Данное соотношение является уравнением равновесия стержня на участке г £ [0,11 ], Я — сила реакции стенки в точке 11.

Общее решение уравнения (11) имеет вид:

R

w = ci sin kz + c2 cos kz + rz, r = ——.

E J

Так как w(0) = 0, то c2 = 0. Подставляя (12) в условия (9), (10), получаем для определения c1, l1 систему уравнений

c1 sin kl1 + rl1 = A,

kci cos kl1 + r = 0,

sin kl1 = 0.

Из последней системы находим

A kA

kl1 = n, c1 = —, r =-,

П П

откуда окончательно получаем выражение для прогиба на интервале [0,11]

w

П

и

P=^.

Подставляя в последнюю формулу l1 = 1/2, находим, что минимальная сила, при которой может существовать участок полного прилегания стержня к стенке, равна

P =

Это означает, что в случае

n2EJ л 4n2EJ

-< P < -

I2 I2

стержень либо не касается стенки, либо касается ее в единственной точке z = 1/2. Если средний участок становится достаточно длинным, то он, в свою очередь, может потерять устойчивость. Критическая сила для этого участка равна первой критической силе для жестко защемленного стержня длины 12

P = 4^-

Поскольку 12 = I — 211, приравнивая силы (16), (17), находим

16п2Е/

11

I2

После того как средний участок потеряет устойчивость, 11 скачком изменит свое значение и станет равным 1/3. Рассматривая теперь каждую треть стержня как новый самостоятельный стержень, в ранее полученных уравнениях необходимо заменить I на 1/3. Выражение (16) при этом даст

Р

11 = р

36п2Е/ ~2 .

Это означает, что при

Р >

36п2Е/

I2

стержень снова начинает прилегать к стенкам. При

16п2Е/ 36п2Е/

< Р <

I2

I2

стержень соприкасается со стенками только в трех точках.

При разгрузке стержень перейдет к трехволновой форме равновесия при

„ 9п2Е/ / л 16п2ЕГ

Р = ——— ( а не при Р =

I2

I2

Рис. 1. Формы равновесия стержня в зависимости от силы Р

На рис. 1 показаны формы равновесия, в табл. 1 — соответствующие интервалы изменения сил при нагрузке и разгрузке.

Таблица 1

Интервалы изменения сил при нагрузке и разгрузке

№ При нагрузке При разгрузке

1 2 3 4 5 6 Р ^ Р - ¿2 ^ р ^ 4п2£^ ¿2 — р — ¿2 4п2£^ ^ р ^ 16п2EJ ¿2 — р — ¿2 16п2£^ ^ р ^ 36п2EJ ¿2 — р — ¿2 36п2Ё^ ^ р ^ 144п2EJ ¿2 - р - ¿2 144п2е^ ^ р ^ 324п2EJ ¿2 - р - ¿2 р ^ п2^ р - ¿2 п2EJ ^ р ^ 4п2EJ ¿2 — р — ¿2 4п2Е^ ^ р ^ 9п2EJ ¿2 — р — ¿2 9п2 Е^ ^ р ^ 36п2EJ ¿2 — р — ¿2 36п2Е^ ^ р ^ 81п2EJ ¿2 - р - ¿2 81п2Е^ ^ р ^ 324п2EJ ¿2 - р - ¿2

2. Точное решение нелинейной задачи

Применение линейного уравнения (8) нуждается в дополнительном обосновании, ибо обычно в расчетах на устойчивость упругих систем линейное приближение позволяет находить критические нагрузки, а для определения перемещений необходимо решать нелинейные уравнения равновесия. Анализ нелинейного уравнения позволяет найти дополнительные решения, которые не существуют при рассмотрении задачи в линейном случае.

В нелинейном случае вместо (7) следует рассмотреть задачу

Г1х

.7 0

при ограничениях

1ЕЗ7'2 - Р

¿8 ^ шт

ТА

вт 7 ¿8 = А,

У

Равенство 7'(11) = 0 следует из условия минимума функционала (20) по 11 и означает, что в точке 11 кривизна является непрерывной. Выпишем функционал Лагранжа:

2 ЕЗ7/2 — Р (1 — сое 7) + Я вт 7

¿8.

0

0

Уравнение Эйлера для функционала имеет первый интеграл 2y'2 + k2 cos 7 — r sin 7 = с = const. Последнее уравнение перепишем в виде

2 Y2 = a cos

где

a = л/ k4 + r2 , cos в = k2/Vk4 + r2 , sin в = — r/Vk4 + r2 ,

k2 = ej ' r = ju *

Из граничного условия y'

с = —a cos(70 + в) , тогда уравнение (24) можно записать так:

Y2 = 2a

• 2 70 + в .2 7 + в sin--sin

22

Из последнего уравнения, используя граничное условие y'(Ii) = 0 , получим, что

в = - у •

Выполним далее подстановку

• 7 +в • Y • ,

sin—^— = — sin 4 sin

тогда

Y2 = 4a sin2 cos2 ф.

Из (27) следует, что

а из (28) находим

п

фо = ф

п

Ф1 = Ф

Дифференцируя (27) и используя уравнение (28), получаем

2 Y + в 2 • 2 Yo 2 / -2 Y 2 / I '2 cos —-— a sin — cos 1 = sin — cos 11 ,

или

I '2 2 / i -2 Y + в 1 = a (1 — sin —4—

Перепишем это уравнение в виде

kds =4 / cos

Yo

d1

2 — sin2 ^ sin2 1

Интегрируя последнее уравнение, получим

ks = ^/cos -2o [F(m, 1) + F(m,

где

F (m,1) =

dip

1 — m2 sin2ip

2 2 Yo

m = sin — ) —

эллиптический интеграл первого рода.

Из (30), (33) вытекает, в частности, формула для длины криволинейного участка

kli(Yo) = 2A/cos I F(m,2).

kw(1) = ^/cos YO sin Y0

2E (m,1) — F (m,1) +

где

7Г 7Г

+2E

, of Yo\3/2 . Yo , + 2 ^cos — J sin — cos 1,

E(m,1)= / д/ 1 — m2 sin2ip dip— o

эллиптическим интеграл второго рода.

kA(Yo) = 2 A/cos YÍO sin YO

7Г 7Г '

2E(m, 2) — F(m,

Ф

o

(Yn \ 3/2 Г П П

cos у J 2E (m, ф) - F (m, ф) + 2E (m, - F (m,

о 7n . 7n . Yn , — 2 Wcos y sin — sin — cos ф.

Рассмотрим теперь графики функций kA(7n) и fcli(y0) изображенные на рис. 2. Из первого видно, что каждому значению критериального параметра kA = y/P/E7 отвечают две предполагаемые формы равновесия, пока

kA < max kA(7n) « 1.66 .

7oe[o,n]

Рис. 2. Графики функций кА

Например, пусть I =1 м , EI = 10-3кН • м2 , А = 0.11 м. Тогда для P = P*(4) = 0.158 кН имеем:

кА = А^P/EI = 1.38 .

При указанных исходных данных возможны две формы равновесия для стержня (рис. 3), определяемые формулой (35) и значениями y0 :

y01) = 60° , Y02) = 132°.

Последним соответствуют величины:

kl(11) = 2.97 , kll2) = 2.18.

Рис. 3. Две различные формы равновесия стержня

Таким образом, = 0.197м, 112) = 0.236м—длины криволинейных участков до первой точки касания; = 0.652 м 122 = 0.528 м — длины соответствующих участков выстилания.

3. Равновесие стержня при граничных условиях жесткой заделки

Предположим, что вместо (3) на концах стержня заданы граничные условия жесткой заделки

Ц0) = = 0, ш'(0) = ш'(1) = 0.

Определим силу, при которой существует участок прилегания к стенке длины 12. Пусть 11 — первая точка касания стержнем стенки. В силу симметрии 12 = 11 — 211.

Решение уравнения (8) имеет вид:

= с^ткг + с2со8&г + с3г + с4.

Учитывая условия (38), (9), (10), получаем систему:

С2 + С4 = 0,

+ С3 = 0,

с181пк11 + с2со8к11 + с311 + с4 = А,

кс1со8к11 — кс281пк11 + с3 = 0, с181пк11 + с2со8к11 = 0.

Из второго и четвертого уравнений следует равенство с1 (со8&11 — 1) = = с281пк11, откуда с учетом последнего уравнения:

8т2&11 = — (со8к11) — 1)со8к11, или со8к11 = 1.

В качестве решения возьмем первый, не равный нулю корень fc.li = 2п. Подставляя fc.li в систему (39), находим значения коэффициентов:

С1 = - ^, С2 = 0, Сз = ^ = ^, С4 = 0, .1 = 2П. 2п 11 2п к

Следовательно, уравнение изгиба стержня на интервале [0,11] имеет вид:

= — (кг — вткг). 2п

Очевидно:

.2 = I — у-

Участок полного прилегания к стенке существует, если 12 > 0, т. е. к. > 4п, а значит, в случае

-< Р < -

I2 - I2

стержень либо не касается стенки, либо касается ее в единственной точке.

Средняя часть стержня длины 12, став достаточно большой, тоже может потерять устойчивость. Это произойдет при силе

Р > , к.2 > 2п, или к. > 6п (из формулы (40)).

2

Таким образом, существование участка полного прилегания к стенке возможно при

-<Р<-.

I2 < - I2

Р / \ \Г Р

> -\-/-^ Ч

/э\ /\1 - 13

Рис. 4. Трехволновая форма равновесия стержня

Равновесие стержня при смешанных граничных условиях. При силе Р > ^^ стержень примет трехволновую форму равновесия, изображенную на рис. 4. При этом стержень точками г = 13, г = 13 = I — 13 разделяется на три части, каждую из которых можно рассматривать как самостоятельный стержень. В точках г = 13, г = 13 выполняются

граничные условия шарнирного опирания, поэтому возникает необходимость рассмотреть задачу равновесия стежня при граничных условиях:

и

(смешаные граничные условия, рис. 5).

Рис. 5. Форма равновесия стержня при йм^анных граничных условиях

Критическая сила в случае смешанных граничных условий известна: р = 2.о46тт ез . Ниже будет показано, что при силе Р > 9п12ЕЗ будет происходить прилегание стержня к одной из стенок.

Пусть г = 11 — точка касания. Решение уравнения (8) будем искать в виде:

) = а^ткг + а2со8&г + а3г + а4, г € [0,11], и2(г) = с181пк(1 — г) + с2со8&(1 — г) + с3(1 — г) + с4, (43) г € [11,1].

Решение (43) должно удовлетворять условиям:

^1(0) = 0, Ц(0) = 0, ^1(^1) = А, Ц(11) = 0,

^2(^1) = А, ^2(11) = 0, ^2(1) = 0, < (I) = 0,

кроме того, в точке 11 вторая производная и(г) при г = 11 должна быть непрерывной: ) = и2'(11). Следовательно,

получим систему:

а2 + а4 = 0, а1к + а3 = 0,

а181пк11 + а2со8^11 + а311 + а4 = А, ка1 со8к11 — ка281пк11 + а3 = 0,

< С2 + С4 = 0,

С2к2 = 0,

с181пк(1 — 11) + с2со8к(1 — 11) + с3(1 — 11) + с4 = А, — кс1со8к(1 — 11) + кс281пк(1 — 11) — с3 = 0, а181пк11 + а2со8^11 = с181пк(1 — 11) + с2со8к(1 — 11).

Используя первые восемь уравнений, находим:

Двт^! Д^к^ - 1)

1 = ^-^-77-77—:—77Т, а2 ""

2 — 2cosfc.li — fclismfc.li 2 — 2cosfc.li — fclismfc.li

fcДsiпfcl1 Д

аз — ——-—-—-—-;——— , Я4 —--

2 — 2cosfc.li — к-^тк^' 2 — 2cosfc.li — fclismfc.li'

= д = 0

С1 = ¡1Лк(1—11)—11), С2 = ,

= _fcДcosfc(l —11)_ = 0

сз = — ¡ьцТ—¿1)—^^¡цТ—11У, С4 = '

Подставляя найденные значения коэффициентов в последнее уравнение системы (44), получим:

(1 — cosfc.li) этШ — 11) ,„ Л

^ 1 - \ 1

2 — 2cosfc.li — fcl1smfc.l1 япк(1 — 11) — к(1 — ¿1)^(1 — 11)'

Неизвестной величиной в уравнении (45) является к11, которая, разумеется, зависит от к1' Форма равновесия, показанная на рис. 5, возможна при

2'046п2е/ 9п2е/

--- < Р < —-—, или 1'43п < < 3П'

I2 I2

Можно предположить, что 11 > 1/2. Выберем решения уравнения (45), удовлетворяющие этому условию. Получим, что при изменении в указанных пределах будут выполнены неравенства: 2'782397 < к11 < 6'283073' Это соответствует изменению 11 в пределах 0-60271 < 11 < 0'666771'

Рассмотрим случай прилегания средней части стержня при смешанных граничных условиях (рис. 6). Пусть в точке г = 11 стержень касается стенки, 12 — длина участка «выстилания», I = 11 +12 Используя введенные обозначения, решение уравнения (8) запишем в виде

= <

= а^ткг + a2cosfcz + а3г + а4, г € [0,11], Д, г € [11,1],

ш2(г) = с^тк(1 — г) + c2cosfc(l — г) + с3(1 — г) + с4,

и € М'

Потребовав выполнение следующих условий: ^1(0) = 0, (0) = 0, ^1(^1) = Д, w'1 (11) = 0, Ц'(11 ) = 0,

^2(1) = д, (I) = о, <(1) = о, w2(I) = о, = о,

получим систему:

а2 + а4 = 0, Я1& + «з = 0,

а^тк^ + а2ео8к11 + а311 + а4 = Д,

ка1ео8к11 — ка2в1пк11 + а3 = 0, а1Б1пк11 + а2еовк11 = 0, С2 + С4 = 0, С2к2 = 0,

С1в1пк(1 — I) + С2 совк(1 — I) + сз (1 — I) + С4 = Д,

— кс1еовк(1 — I) + кс28тк(1 — I) — с3 ^япк^ — I) + С2совк(1 — I) = 0.

0,

12

* = ¿1 г = I

Рис. 6. Случай прилегания к стенке при смешанных граничных условиях Как и при решении системы (39), можно получить равенства:

к11 = 2п, к(1 — I) = п. Из (48) и (47) находим коэффициенты:

Д 0 кД 0

«1 = —, «2 = 0, аз = —, й4 = 0, 2п 2п

Д кД

С1 = —, С2 = 0, Сз = -, С4 = 0.

п п

Выражение для прогиба примет вид:

— 2П(^пЬ — кг), г € [0,11], Д, г € [11Д

^(япк(1 — г) + к(1 — г)), г € [1,1].

Найдем длину участка полного прилегания стержня к стенке. Введем обозначение 13 = I — I' Из

2п п пи и

— = —, следовательно, 213 = 11'

11 13

В то же время 11 + 12 + 13 = /, откуда

п

12 = I — 313 = I — 3 к'

Найдем значение силы, при которой возможно существование участка прилегания стержня к стенке, т. е. при которой выполняется неравенство 12 > 0' Из этого неравенства следует, что

п 9П2Е/

I — 3- > 0, или к1 > 3п, откуда Р > —-—'

к I2

Средняя часть стержня длины 12, став достаточно длинной, тоже может потерять устойчивость. Это произойдет при силе

4п2£/

Р > ——2—, или к12 > 2п, п

откуда к(1 — 3 к) > 2п, окончательно к1 > 5п

Таким образом, условием существования участка прилегания является выполненение неравенств:

^<Р < ^

Сравнение результатов.

Стержень касается стенки в единственной точке 11: в случае граничных условий шарнирного опирания:

_ I п2£/ 4п2£/

11 =2, ~1Т <Р ;

в случае граничных условий жесткой заделки:

I 4п2Е/ 16п2£/

11 =2, ~ <Р

на левом конце — граничные условия жесткой заделки, на правом — граничные условия шарнирного опирания:

0'6027 < I < 0'6667, —-< Р < '

При увеличении силы Р будет происходить прилегание средней части стержня к стенке. Сравнение длин участков «выстилания» 12 и интервалов изменения сил приведено ниже. В случае граничных условий шарнирного опирания:

„ 2п 4п2Е3 л 16п2Е3 . .

12=1 -т' -цт-<Р;

в случае граничных условий жесткой заделки:

Л 4п 16п2Е3 36п2Е3

12 = I — "Г"' -^- <Р <

к ' I2 - I2 '

на левом конце — граничные условия жесткой заделки, на правом — граничные условия шарнирного опирания:

12 = 1 - у <Р <~•

Р Л ' \к и \ Р

/! П к ¿4 ( \

к к V !

Рис. 7. Форма равновесия стержня при граничных условиях жесткой

заделки

Найдем минимальное значение силы Р, при которой возможна форма равновесия, представленная на рис. 7. Если сила минимальна, то длины участков полного прилегания к стенке равны нулю, т. е. 12 — ^ = О, 1з = 2• При г = 0 выполнены граничные условия жесткой заделки; при г = 13 : ад(13) = 0, ад''(13) = 0. Рассматривая часть стержня на участке от 0 до 13 как самостоятельный стержень со смешанными граничными условиями, используя формулу (53), получаем равенство к13 = 9п, для участка от 13 до I — 13 из (52) находим к(1 — 213) = 4п, откуда к1 — 18п = 4п, или

22п _ 484п2Е 3

к = Т' Р = ""I2 '

т. е. при Р > 484П2^ может реализоваться форма равновесия, представленная на рис. 7.

Точно так же, как и в случае граничных условий шарнирного опи-рания, можно получить точное решение нелинейной задачи для случая граничных условий жесткой заделки.

Список литературы

1. Михайловский Е. И., Тарасов В. Н., Холмогоров Д. В. Закри-тическое поведение продольно сжатого стержня с жесткими ограничениями на прогиб // ПММ. 1985. Т. 49. Вып. 1. C. 156-160.

2. Николаи Е. Л. Труды по механике. М.: Изд-во технико-теоретической литературы, 1955. 584 с.

3. Тарасов В. Н. Об устойчивости упругих систем при односторонних ограничениях на перемещения // Труды института математики и механики / Российская академия наук. Уральское отделение. 2005. Т. 11. № 1. С. 177-188.

4. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1967. 376 с.

Summary

Tarasov V. N. On the elastic line of the rod compressible by longitudinal force located between two rigid walls

The problem of determining the elastic line compressible by longitudinal force of the rod, located between two rigid walls is considered. The dependence of the elastic line on boundary conditions is studied. Keywords: elastic line, critical force, boundary conditions, stability, Euler equation.

References

1. Mihailovskii E. I., Tarasov V. N., Holmogorov D. V. Sakri-ticheskoe povedenie stersnia pri sestkimi ogranisheniiami na progib (Supercritical the behavior of longitudinally compressed rod with hard constraints at a deflection of), PMM, 1985, t. 49, vip. 1, pp. 156-160.

2. Nikolai E. L. Trudi po mexanike (Works on mechanics), M.: Isdatelstvo texniko-teoretiteskoi literaturi, 1955, 376 p.

3. Tarasov V. N. Ob ustoichivosti uprugih sistem pri odnostoronnih ogranicheniyah na peremescheniya (On stability of elastic systems with one-sided restrictions on the movement), Trudy instituta mate-matiki i mehaniki, Rossiskaya akademiya nauk, Uralskoe otdelenie, Tom 11, No. 1, 2005, pp. 177-188.

4. Feodosiev V. I. Izbrannyye zadachi i voprosy po soprotivleniyu materialov (Selected problems and questions on the resistance of materials), M.: Nauka, 1967, 376 p.

Для цитирования: Тарасов В. Н. Об упругой линии сжимаемого продольной силой стержня находящегося между двумя жесткими стенками // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 1 (26). C. 29-46.

For citation: Tarasov V. N. On the elastic line of the rod compressible by longitudinal force located between two rigid walls, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2018, 1 (26), pp. 29-46.

Коми НЦ УрО РАН,

СГУ им. Питирима Сорокина

Поступила 09.03.2018