Математическое знание и его экспликация в философии образования

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 20. ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ. 2014. № 2

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЗНАНИЕ

И ЕГО ЭКСПЛИКАЦИЯ

В ФИЛОСОФИИ ОБРАЗОВАНИЯ

Н.В. Михайлова

(Минский государственный высший радиотехнический колледж,

Беларусь; e-mail: michailova_mshrc@mail.ru)

В работе проводится философский анализ математического знания, лежащего в основе философии математического образования. Математика, с помощью своих направлений обоснования, является формой выражения важнейших закономерностей хорошо развитых научных теорий. Поэтому наибольшая ценность математики в развитии познания состоит в том, что на ее абстрактном языке выражается внутренняя организация и структура гуманитарных и естественно-научных теорий.

Ключевые слова: математическое знание, философия образования.

С точки зрения философии образования оценку систем обоснования современной математики целесообразнее проводить по критерию полезности, а не по произвольному истолкованию на основе метафизических предпочтений. С одной стороны, формализация математики, активно наводнившая все уровни математического образования, привела к более ясному осознанию природы самой математики, способствуя тем самым ее применению к нечисловым и непространственным объектам, например к естественным и искусственным языкам и программам для вычислительных машин. С другой стороны, следует отметить, что любая хорошая формализация неизбежно обедняет исследуемый объект и ради успешной работы игнорирует его многочисленные несущественные черты, хотя с точки зрения аксиоматического типа мышления повышение теоретического уровня строгости в формализованной математике было в свое время необходимым. Поэтому в контексте проблемы "гуманитарной математики" [1:3], поставленной в философии математического образования Н.Х. Розовым, можно использовать различные дополнительные виды формализации, которые, отличаясь друг от друга в отношении содержательной интерпретации, могут рассматриваться одновременно.

С методологической точки зрения практической математики, слабость теоретико-множественной математики по отношению к практически ориентированным курсам "гуманитарной математики" состоит в том, что этой теорией можно пользоваться лишь тогда, когда прикладная задача переведена на соответствующий математический язык. Но даже после этого возникают проблемы чисто экзистенциального характера, поскольку во многих теоремах существования ничего не говорится о том, как такое решение может быть точно или хотя бы приближенно найдено. Поэтому математики различают два дополнительных взгляда на существование математических объектов. По существу раздвоение единого математического утверждения на теоретико-множественное и эмпирическое было внутренним противоречием в самой идее аксиоматического метода. И формалисты, и интуиционисты теряют интерес к проблеме, как только она оказывается теоретически разрешимой, но, с точки зрения прикладных математиков, задача не решена, пока еще нужны дополнительные соображения для получения требуемого знака. Проблема расширения границ практических возможностей обусловлена существующим барьером между тем, что можно сделать в принципе, и тем, что можно реализовать на практике. Практическая направленность математики — это понятие, достойное отдельных философских рассуждений.

С точки зрения феноменологического подхода в духе единства идеального предмета и реального смысла, математикам, чтобы избежать путаницы пока еще не унифицированных понятий, следует использовать оба онтологически различных подхода. Отображение в понятиях элементов действительности никогда не бывает полным, так как, абстрагируясь, мы описываем только определенный аспект, пусть даже довольно существенный и общезначимый. Поэтому можно изучать конкретные результаты применения математических теорий и сами эти теории, где потенциально могут существовать различные альтернативы тем математическим теориям, которые нам уже известны. Безусловно, это должно найти свое методологическое отражение и в философии математического образования разных уровней. Например, о теории множеств, являющейся фундаментом современной математики, можно говорить как об особом мире, который обладает некоторой реальностью и внутренней жизнью, мало зависящей от формализмов, призванных его описывать. Но такого рода характеристики можно дать и другим содержательным математическим теориям. В кон-

тексте философии математического образования такого рода абсолютизированная абстракция неизбежно содержит в себе элементы, которым нет аналога в действительности, что естественно вносит "момент заблуждения" в образовательный процесс.

Существенную роль при обосновании математических понятий и теорий играют идеи онтологического порядка. Их востребованность проявляется при рассмотрении теорий и моделей, радикально отличающихся от общепринятых стандартов. Например, когда возникают экстремальные познавательные ситуации, которые ведут к границам философско-математического понимания. Хотя роль эмпирического компонента познания в математике минимальна, современная математика, как обладающее сложной структурой научное знание, — это метатеория по отношению к теоретической физике и естественным наукам. Метатеория выступает как активное начало, подобное рефлексирующему субъекту, благодаря чему сама математика становится рефлексирующей наукой. Характерной особенностью метаматематики является то, что философская рефлексия рассматривается в ней исключительно в математической и соответственно образовательной перспективе. С этой точки зрения можно сказать, что метаматематика — это реконструкция математического мышления в рамках только математического мышления. Давид Гильберт активно противостоял попыткам ограничения математики устоявшимися методами, выступая в защиту свободы творчества в математике. Он критиковал интуиционистов за то, что, пытаясь "спасти математику" и выбрасывая за борт все, что причиняло им беспокойство, они могли потерять большую часть наших самых ценных математических сокровищ.

В таком контексте философская программа формализма все же не исключает другие содержательные математические направления, отвечающие современным образовательным стандартам. Относительная неудача основной идеи Давида Гильберта о доказательстве непротиворечивости математической теории средствами формального метаязыка, выявленная в теореме Гёделя о неполноте арифметики натуральных чисел, вообще говоря, вовсе не умаляет значимости для развития современной математики программы Гильберта. Напомним, что, согласно результатам Курта Гёделя, аксиоматически построенные непротиворечивые математические теории, содержащие арифметику, сами себя ограничивают в том, что они потенциально способны доказать. Поэтому этот психологический кризис в философии математики

привел к изменению мировоззрения как математиков, так и философов математического образования. В.Я. Перминов отмечает: "Психологическая теория познания оставляет без объяснения основные факты, связанные с математикой: непреложность исходных математических утверждений и историческую стабильность признанных математических доказательств" [2: 72]. Но поскольку полноценное развитие философии и методологии математической науки — это нескончаемый процесс, то основная польза от математического познания с точки зрения математического образования заключается не только в обладании знаниями, но и в самом процессе поиска знаний.

Корректность использования идеальных объектов математики можно было бы гарантировать в случае успеха "метаматематической редукции". С ней связано прежде всего внутреннее обоснование математики как общее логическое обоснование с помощью некоторой метатеории, или "генетическое обоснование", философская суть которого состоит в редукции основных положений к некоторому несомненному теоретическому ядру математики. Эти философские импликации можно эвристически продуцировать и на теоретический конструкт проблемы обоснования современной математики. В математике взаимодействуют две сферы: сфера творческой деятельности, открытий, содержательных приложений и сфера теоретической рефлексии математики, в которой ведутся поиски аксиоматических представлений процессов абстрагирования. Но абсолютизация любой компоненты математики может разрушить ее целостность. Хотя вполне естественно возрастающая сложность математического знания и его прикладных аспектов, даже переусложненность ее современных теорий, приводит к определенной привлекательности внутренних проблем теоретической математики по сравнению с традиционными задачами, предлагаемыми естественными науками.

Строго говоря, процедура обоснования математики, согласованная с гильбертовскими идеализациями, предполагает формализацию математической теории с помощью содержательной метатеории, которая, наряду с описанием структуры формализма, рассматривает принципы допустимой логики и соответствующие ей правила доказательства и преобразования математических утверждений, допустимые в рамках данной теории. Хотя Гильберт не дал исчерпывающего определения метатеории, снимающего всякие сомнения относительно ее расширенного толкования, ее реконструкция показывает, что методологический замысел состоял в том,

чтобы так ограничить метатеоретические рассуждения математиков, чтобы, наконец, гарантировать их максимально возможную достоверность. Современное состояние проблемы обоснования математики показывает, что онтологическое понимание метатеории все же требует отказа от принципа отделения оснований математики от философии. Точнее, речь идет об отказе от таких принципов метатеории, которые определяются исключительно на основе математических критериев. Если, в соответствии с теоремой Гёделя о неполноте, мышление человека богаче его дедуктивных форм, то язык должен обладать какими-то средствами, позволяющими передавать это богатство. Многозначность языка и его полиморфизм есть то средство, которое позволяет преодолеть гёделевскую трудность в логической структуре нашего речевого поведения.

К ней обращались даже в то время, когда о математической науке или ее отдаленных предпосылках речь еще не шла. Математики высокого уровня интуитивно чувствуют некую духовную метрику, объединяющую идеи пространства мышления, что позволяет им перекидывать мостки между разными разделами математики. Философия математики в целом, как и сама математика, является реакцией на единство в русле целостности духовных и материальных ценностей. Наиболее точно это единство описано Г.В.Ф. Гегелем, но не в его переходной триаде "тезис—антитезис—синтез", декларирующей снятие противоречия, а в его системной триаде философии. Хотя Гегель знал доступную ему математику может быть глубже многих современных философов, он все же не имел в области естествознания оригинальных работ, что давало повод к обвинению его в мнимой "антимате-матичности". Однако именно системная триада философии Гегеля способствовала выработке новой идеологии тринитарного формализма, который в сложившихся традициях его времени был структурно выстроен как "наука логики—феноменология духа—философия природы". Интересно отметить, что с системной триадой философии методологически хорошо сочетаются различные философские интерпретации системных триад математического образования.

Рационалистический подход Гегеля способствовал постижению противоречий различных предметных областей, в том числе в математике, в конструируемых им конкретных понятиях — категориях, приводящих в своем логическом развитии к абсолютной идее, "снимающей" возможные противоречия. Например,

в гегелевских определениях понятий можно узнать философские прообразы канторовской мысли о бесконечном множестве. В "Науке логики" он говорил о философском значении математического бесконечного, которое, с одной стороны, интересно ввиду расширения сферы математики, достигнутой благодаря введению его в математику, а с другой стороны, оно достойно философского внимания, так как философии математики еще не удалось посредством понятия обосновать правомерность его применения. Что касается категорий логики Гегеля, то следует прежде всего отметить, что вне категориального знания реальность столь же непостижима, как непостижима природа математического мышления вне языка логики. Интерес к системной триаде философии связан также с представлением о метрике пространств математического мышления, которое сформировалось в связи с проблемой искусственного интеллекта. Заметим, что современная математика является сетью взаимосвязанных результатов из разных областей научного знания, поэтому близость теорем в математике иногда проявляется в том, что одну из них легко доказать, пользуясь идеей доказательства другой.

Косвенным подтверждением связи системной триады философии и математики является то, что видимо не случайно польский математик Гуго Штейнгауз свои глубокие философские размышления о природе математики объединил в сборнике статей под многозначительным названием "Математика — посредник между духом и материей". Он считал, что многие математики поверили в то, что "строгость является философским камнем математики только потому, что ни физика, ни естественные науки не могут мечтать о такой строгости, и презрительно отстранились от этих наук, в результате чего философский камень превратился в камень преткновения и это вызвало взаимные обиды и оскорбления" [3: 74]. Часть ответственности за это несут сами математики, в том числе авторы школьных программ и учебников, которые с помощью искусственных примеров и задач, напоминающих иногда головоломки, дискредитируют математику в глазах наиболее образованной части молодежи. Заметим, что образовывать молодежь гуманитарно — это означает формировать духовную культуру, которая основывается на разуме, поскольку она предполагает господство разума над человеческими убеждениями и помыслами. Именно на этом пути возникает "гуманитарная математика", которая по существу является еще и "математикой духа".

Что в таком контексте можно сказать о ценности математического знания с точки зрения его экспликации в философии образования? Во-первых, следует учитывать исторический характер предмета математики и, во-вторых, итоги взаимодействия математики как с помощью внутренних, так и внешних оснований. В современных определениях математики "через себя" выделяется то, что это — наука об абстрактных структурах и об абстрактных операциях над математическими объектами достаточно общей природы, законах их развития и функционирования, а также взаимосвязях между ними. Кроме того, математика с помощью своих инструментов интеллектуального порядка является формой выражения важнейших закономерностей хорошо развитых естественно-научных теорий. Поэтому наибольшая инструментальная ценность математики в развитии познания состоит в том, что на ее абстрактном языке выражается внутренняя организация естественно-научных знаний, среди которых ведущими являются физические, и проводится теоретический анализ в наиболее развитых областях науки. Принципы математического мышления связаны не только со свойствами нашего сознания, но и проявляют себя в законах внешнего мира. В связи с бурным развитием науки не удивительно, что сфера надежности математики определяется через выявление онтологических оснований математического мышления.

Метаматематика или, другими словами, теория доказательств — это философско-математическая наука, рассматривающая формализованные системы математики, которые применяются к математическим теориям. Предмет математики составляют сами формальные системы, которые придумывают математики, а предмет метаматематики — описание таких формальных систем, выяснение и обсуждение их свойств. Метаматематику, например, можно охарактеризовать как содержательную математическую теорию, объектами которой являются символы, выражения и конструкции формальной системы, с помощью которых путем содержательного рассуждения доказывается непротиворечивость соответствующей формальной теории. Несмотря на ограничительные результаты Гёделя, в контексте философско-методологического анализа математики понятие метаисследования в применении к математическому познанию расщепляется на понятие предметного исследования, т.е. собственно математического, и гносеологического исследования, которое относится к обоснованию математики. В последние годы проявилась устойчивая тенденция считать программами обоснования математики лишь наиболее глобальные

исследовательские программы, такие, например, как формализм и интуиционизм, оставив за ними не очень удачные, но исторически сложившиеся в философии математики названия.

Возможно, что эти виды философско-методологического исследования процедуры обоснования лучше было бы обозначить как "метапрограмма". Можно также сказать, что метапрограмма обоснования математики — это такое системное представление о взаимосвязях между основными направлениями обоснования, которое содержит различные аспекты. Во-первых, принятие общей философской идеи обоснования, согласованной с ответом на вопрос о сущности математики. Во-вторых, признание некоторых методологических принципов в качестве критериев обоснования. В-третьих, принятие общего круга проблем, подлежащих исследованию в рамках выбранных направлений обоснования. В таком контексте нельзя не вернуться к интерпретации довольно популярной в философской среде теореме Гёделя о неполноте, которую можно считать важнейшей теоремой теории познания. Точную, хотя и требующую методологических разъяснений, философскую формулировку этой теоремы дал В.А. Успенский: "Если язык достаточно богат, то какой бы список аксиом и какой бы список правил вывода ни были предъявлены, в этом языке найдется истинное утверждение о натуральных числах, не имеющее формального доказательства" [4: 389]. Но если существуют истинные математические утверждения, которые нельзя доказать, то нет ли тут скрытого философско-методологического противоречия?

С точки зрения философии математического образования здесь смешиваются два понятия доказательства, а именно неформальное, или содержательное и психологически убедительное, и формальное. Поэтому гёделевский результат следует понимать или философски интерпретировать в том смысле, что могут существовать утверждения, не имеющие формального доказательства, но являющиеся, тем не менее, истинными, что подтверждается содержательными доказательствами. Правда, остается не уточненным понятие "убедительности" в смысле — что это, для чего оно и для кого. В действительности здесь скрыта "триада понимания", связанная с рациональным компонентом, с языковыми средствами и с социальной психологией человека. Как следствие этого для методологического анализа доказательности и убедительности математических утверждений надо использовать не только общематематические, но также и философские, и психологические категории, имеющие общетеоретический характер.

Можно ли дать такое определение философии математического образования, которое может послужить основой парадигмально-го синтеза между математической, философской и духовной составляющими? Такой вопрос все чаще возникает у нематематиков. Именно тогда математики начинают философски осознавать не только специфические свойства своей науки, но и ее методологические границы.

Многие математики, физики и философы приняли новую парадигму о существовании пределов постижения мира, однако если эти границы истинные, то наука будет достаточно полной и в рамках этих границ. Их "примеру смирения" последовали и другие науки, осознавая при этом, что хотя ограничения и пределы возможностей логики не влияют на ход событий в реальном мире, они могут определять то, что претендует на статус обоснованных интерпретаций этих событий. Сами математики убеждены в том, что любые принципиальные математические результаты, в том числе полученные Кантором, с необходимостью имеют отношение к свойствам физической реальности. Поиски решения проблемы обоснования математики на уровне философских обобщений нуждаются в философской рефлексии над эволюцией взглядов на сущность природы математики. С помощью принципа рефлексии мы размышляем над смыслом системы аксиом и правил вывода, способных приводить к математическим истинам, не выводимым из заданных изначально аксиом и правил вывода. Среди различных известных интерпретаций рефлексии можно выделить философскую рефлексию, рассматриваемую как механизм систематизации. Философская рефлексия над системами философских категорий и методологических принципов универсализирует разные способы деятельности сознания, их средства и результаты, выявляя тем самым насущные проблемы философии математического образования.

Заложенные в современную математику методологические концепции должны быть эффективным и надежным путеводителем в мире математики, а не становиться ограничением и барьером к нему. При определенном философском взгляде на математическую реальность, концепции развития современной математики выглядят не только антагонистичными, а в терминах системного подхода вполне соизмеримыми и нуждающимися друг в друге. Системный синтез программ развития "гуманитарной математики" может быть осуществлен в условиях особого дифференцированного взгляда на основные направления обоснования мате-

матического знания, находящиеся в отношении дополнительности. С точки зрения экспликации современного математического знания в философии образования, по мнению Е.М. Вечтомова: "Процесс дифференциации предполагает и встречное движение — интеграцию дисциплин. Поэтому актуально создание компактных общих курсов математики для студентов нематематических специальностей (гуманитарных, естественно-научных, технических)" [5: 241]. В контексте системной триады Гегеля это означает максимальную ориентацию на синтез трех главных целей профессионально ориентированного современного математического образования гуманитариев — общенаучную, логическую и духовную.

В основе математического образования лежит относительная стабильность, определенная консервативность, но наряду с этим и избирательная гибкость. В начале XXI в. было осознано, что поскольку абсолютная полнота формальной математической теории недостижима, то от современной философии математического образования, при условии сохранения ее допустимой строгости и точности, в образовательных целях требуется выявлять методологическое единство математического знания, которое можно успешно реализовать в математическом образовании различных уровней.

Список литературы

1. Розов Н.Х. Гуманитарная математика // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 20. Педагогическое образование. 2004. № 2. С. 3—13.

2. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс—Традиция, 2001. 320 с.

3. Штейнгауз Г. Математика — посредник между духом и материей. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. 351 с.

4. Успенский В.А. Апология математики. СПб.: ТИД Амфора, 2011. 554 с.

5. Вечтомов Е.М. Метафизика математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. 508 с.

MATHEMATICAL KNOWLEDGE AND ITS EXPLICATION IN THE PHILOSOPHY OF EDUCATION

N.V. Mikhailova

The philosophical analysis of mathematical knowledge, which is in the basis of the philosophy of mathematical education, is made in this paper.

Mathematics with the help of its directions of foundations is the form of expression of the most important laws of well-developed scientific theories. That's why the biggest value of mathematics in the development of knowledge is that the inner organization and structure of humanitarian and natural scientific theories is expressed in the abstract language of mathematics.

Key words: mathematical knowledge, philosophy of education.

Сведения об авторе

Михайлова Наталия Викторовна — кандидат философских наук, доцент, заведующая кафедрой социально-гуманитарных дисциплин Минского государственного высшего радиотехнического колледжа. Тел.: 331-56-21; e-mail: michai-lova mshrc@mail.ru