Исследование нелинейных искажений радиосигнала в системе CDMA с квадратурно-амплитудной модуляцией

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ X

УДК 621.396.49

doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.106

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИСКАЖЕНИЙ РАДИОСИГНАЛА В СИСТЕМЕ CDMA С КВАДРАТУРНО-АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

B. Э. Гуревича, канд. техн. наук, профессор

C. Г. Егорова, соискатель, ассистент

аСанкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича,

Санкт-Петербург, РФ

Постановка проблемы: нелинейные искажения группового сигнала в цифровых радиосистемах абонентского доступа с прямым расширением спектра, кодовым разделением каналов и квадратурно-амплитудной модуляцией приводят к увеличению вероятности цифровых ошибок и ухудшению качества индивидуальных абонентских каналов. Цель: установление количественной зависимости вероятности цифровых ошибок в абонентских каналах от степени нелинейных искажений групповых видео- и радиосигналов. Знание этой зависимости необходимо для обоснования требований к амплитудным характеристикам усилителей, входящих в состав многоканальных видео- и радиотрактов. Методы: реальный групповой сигнал представлен в виде суммы трех компонентов — неискаженной части сигнала, коррелированной с ним мультипликативной и некоррелированной аддитивной помехи. Построена и применена компьютерная модель передаваемого сигнала, учитывающая, в отличие от традиционных методов анализа, не только статистические, но и комбинаторные свойства сложного группового сигнала с кодовым разделением. Приемлемая погрешность оценки помехоустойчивости достигается путем аппроксимации реального распределения смеси сигнала с помехами при помощи полиномов Эрмита и рядов Грама — Шарлье. Результаты: показано, что обычное гауссово представление помех и линеаризация характеристик нелинейных элементов приводят к завышенным оценкам помехоустойчивости. Анализ комбинаторики группового сигнала позволил оценить как раздельное, так и совокупное влияние каждого из параметров нелинейных трактов на реальную помехоустойчивость системы. Законы распределения смеси канальных функций Радемахера — Уолша с шумом в нелинейном тракте, а также конкретные результаты расчета вероятности ошибок представлены в аналитической и графической форме. Практическая значимость: результаты исследования и вытекающие из них рекомендации по заданию технических требований к групповым трактам систем с кодовым разделением позволяют повысить помехоустойчивость абонентских каналов доступа и могут быть использованы в процессах теоретических исследований, технической разработки, производства и внедрения новых высокоскоростных цифровых систем передачи.

Ключевые слова — система радиодоступа DS-CDMA, ортогональные функции Радемахера — Уолша, квадратурно-амплитудная модуляция, нелинейные усилители радиосигнала и видеосигнала, комбинаторные свойства группового сигнала, коррелированные и некоррелированные помехи, отношение сигнал/шум, вероятность битовой ошибки.

Введение

Одна из важных проблем разработки и проектирования радиосистем множественного доступа с кодовым разделением каналов, прямым расширением спектра (Direct Sequence Code Division Multiple Access — DS-CDMA) и квадратурно-амплитудной модуляцией (QAM) состоит в задании технических требований к линейности групповых трактов. Завышенные требования приводят к значительному усложнению системы, заниженные — к ухудшению качества связи.

Исследованию помехоустойчивости группового видеотракта системы CDMA посвящены работы [1, 2]. Однако нелинейные искажения в радиотракте также могут приводить к возникновению цифровых ошибок, поэтому важно исследовать обе причины ухудшения реальной помехоустойчивости в совокупности.

В настоящей работе помехоустойчивость системы DS-CDMA с QAM анализируется комплексно, с учетом искажений, возникающих как в видео-, так и в радиотракте. На основе проведенного исследования сформулированы требования к от-

ношению сигнал/аддитивный шум и амплитудным характеристикам (ЛХ) усилителей многоканального (группового) сигнала.

Модель группового радиосигнала

В системах DS-CDMA с QAM цифровой сигнал каждого абонента модулирует присвоенную ему двоичную кодовую последовательность из ортогонального базиса размерности N, например функцию Радемахера — Уолша. Каждый интервал ортогональности (ИО) состоит из N элементов — чипов. В отдельно взятом ИО случайные значения чипов группового видеосигнала на входах модуляторов независимых друг от друга синфазного I и квадратурного Q компонентных стволов (рис. 1) можно записать как

a(t) D(m)(t)w(m)(t);

m=0 L

b(t) =X DQra)(t)w(ra)(t),

n=0

Рис. 1. Структурная схема системы DS-CDMA с QAM: МП — мультиплексоры; Мод — модуляторы; Дем — демодуляторы; ФВ — фазовращатели; НУРС и НУВС — нелинейные усилители радио- и видеосигнала соответственно; ДМП — демультиплексоры

где L < N — количество каналов, задействованных в стволе1; Б/™' и DQ(n) — информационные символы (условно говоря, «биты») +1 или -1, поступающие от т-го и п-го абонентов соответствующего ствола; ю(т)(Ь) и и(п)(Ь) — функции Радемахера — Уолша, закрепленные за этими абонентами и тоже принимающие значения +1 или -1 в каждом чипе.

Случайные параметры группового радиосигнала Б(ф) = А(г)сов[юг + ф(£)] в пределах ИО: амплитуда А(ь) = ^а2 (ь) + Ь2 (ь) и начальная фаза ф(ф) = arctg[Ь(í)/a(í)], — постоянные в пределах каждого чипа, но зависящие от номера г = 1, 2, ..., N чипа в ИО, при L > 2 практически не коррелированы между собой.

Распределение по множеству величин чипов (рис. 2), принимающих в стволах I и Q нормированные дискретные значения аЬ = 21 - L и Ьк = 2£ - L соответственно, где Ь, £ = 0, 1, ..., L, подчиняется биномиальному закону:

L+a; L+at

Pa (at ) = CL 2

L-at

Pb (bk ) = Cl

L+bk 2 ,

L+b

Lbk 2 (1 - q) 2

Здесь q и 1 - q — вероятности передачи символов +1 и -1 соответственно. Если q = 1 - q = 0,5,

то средние значения m1(a) = шЛЪ) = 0, дисперсии

2 2 11 CTa =CTb = L-

Прохождение группового радиосигнала QAM через нелинейную цепь

Созвездие амплитуд радиосигнала (на примере системы QAM-64 при L = 7) показано на рис. 3. Статистические характеристики входных

1 Обычно Ь = N - 1, так как нулевая (по Уолшу) функция Уолша в качестве переносчика информации

не используется.

0,2 5

0,2 g 0,1 5

^ 0,1 0,0 5

л f р

-15-13 -9

-5 -1 1 a,

9 13 15

Рис. 2. Закон распределения Ра(а) синфазного группового видеосигнала а(ф) при Ь = 15, Ч = 0,5

Jk

-1

-3 -5 -7

-7 - 5 - 3 -1

о о о О  - о о о о

о v X °х S*  - е >г к X о* X V о

о к °х 8[ - - » X? Х° °

о с ск <Х 0!  - К5 » ХР с О

о < сх ее &  - IS » хь < о

о ко* ее & - - в >6 Хо : о

о о* V 6  - & *о X х К* о

о о О о   о о о о

Рис. 3. Созвездие амплитуд радиосигнала (на примере системы 9ЛМ-64). Значения амплитуды чипа: о — на входе НУРС, х — на выходе НУРС

сигналов а(ф) и Ь(ф) обоих модуляторов (см. рис. 1) и условия их прохождения через групповой радиотракт идентичны. Поэтому статистические характеристики выходных сигналов обоих демодуляторов, в том числе одномерные плотности распределения, необходимые в дальнейшем для расчета вероятности битовой ошибки, тоже одинаковы. Тогда далее достаточно рассматривать только

5

a

один либо два из четырех квадрантов созвездия, например первый, в котором сигналы а(£) и Ъ(£) оба положительны, или первый и второй.

Для дальнейших вычислений применим матричный аппарат. Методика расчета иллюстрируется на примере системы БЯ-ОБМА с QAM-256, построенной на основе ортогонального базиса Радемахера — Уолша размерности N = 16, с числом абонентов в каждом стволе Ь = 15. В этом случае сигналы а(£) и Ъ(£) представляют собой дискретные случайные величины а1 и Ък, при-

нимающие в пределах каждого чипа первого квадранта положительные значения из набора 1;3;5;7;9;11;13;15.

Матрица А, показанная ниже, содержит полную совокупность возможных в первом квадранте

I 22

значений амплитуды =уа,1 + Ьк радиосигнала на входе нелинейного усилителя радиосигнала НУРС (см. рис. 1). Здесь и далее I = 0, 1, ..., 7 — номер строки, £ = 0, 1, ..., 7 — номер столбца матрицы:

A =

( 1,414 3,162 5,099 7,071

3,162 4,243 5,831 7,616

5,099 5,831 7,071 8,602

7,071 7,616 8,602 9,899

9,055 9,487 10,296 11,402 12,728 14,213

9,055 11,045

9,487 11,402

10,296 12,083

11,402 13,038

11,045 11,402 12,083 13,038 14,213 15,556 13,038 13,342 13,928 14,765 15,811 17,029 15,033 15,297 15,811 16,553 17,493 18,601 19,849 21,213

13,038 13,342 13,928 14,765 15,811 17,029 18,385

15,033^ 15,297 15,811 16,553 17,493 18,601 19,849

2 2

Распределения квадратов чипов а{ и Ьк — биномиальные, с количеством возможных значений, равным 8. Так как а^) и Ъ(г) независимы, распределение амплитуды чипаЛ1 к тоже биномиальное, но с количеством возможных значений в наборе 8 х 8 = 64. Далее представлена матрица

совф =

' 0,707 0,316 0,196 0,141 0,11 0,091 0,077 0,067N

0,949 0,707 0,514 0,394 0,316 0,263 0,225 0,196

0,981 0,857 0,707 0,581 0,486 0,414 0,359 0,316

0,990 0,919 0,814 0,707 0,614 0,537 0,474 0,423

0,994 0,949 0,874 0,789 0,707 0,633 0,569 0,514

0,996 0,965 0,91 0,844 0,774 0,707 0,646 0,591

0,997 0,974 0,933 0,88 0,822 0,763 0,707 0,655

ч 0,998 0,981 0,949 0,906 0,857 0,806 0,756 0,707у

со значениями еовф; k = ai/Ai k — множителями, необходимыми для выделения сигналов синфазного ствола на приемной стороне. Аналогично определяется набор множителей si^i k = bk/Ai k, образующих матрицу втф = (cos ф)т, необходимых для выделения сигналов квадратурного ствола.

Будем считать, что НУРС (обычно это выходной усилитель мощности) является единственным источником нелинейных искажений в радиотракте и что шумом на входе этого усилителя можно пренебречь. Рассмотрим прохождение радиосигнала S(t) через НУРС е нормированной АХ, имеющей вид [1, 3]

G (Л ) =

[1+(л / - )2 * ]

1/

где в — порог ограничения амплитуды радиосигнала; р > 1 — целочисленный параметр, определяющий степень нелинейности АХ. При р > 10 АХ (2) становится линейно-ломаной и практически совпадает с АХ идеального [4] ограничителя амплитуды. Если в тракте есть и другие источники нелинейных искажений, например неидеальность модуляционных и (или) демодуляционных характеристик, то они тоже могут быть учтены в выражении типа (2).

Если НУРС - безынерционный, то амплитуды радиосигнала А1 к на входе и искаженные значения 01 к на выходе усилителя имеют одинаковые законы распределения с соответствующими вероятностями

ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ

Ра(а)РЬ(Ьк). Приведенная ниже матрица G содержит совокупность возможных значений к (А к) при в = , р = 1:

G =

' 1,411 3,128 4,958 6,708 8,328 9,797 11,108 12,266N

3,128 4,16 5,622 7,168 8,66 10,043 11,294 12,408

4,958 5,622 6,708 7,972 9,262 10,499 11,643 12,677

6,708 7,168 7,972 8,971 10,043 11,108 12,118 13,05

8,328 8,66 9,262 10,043 10,914 11,808 12,677 13,496

9,797 10,043 10,499 11,108 11,808 12,545 13,28 13,986

11,108 11,294 11,643 12,118 12,677 13,28 13,893 14,494

12,266 12,408 12,677 13,05 13,496 13,986 14,494 15 J

По данным матрицы G построено семейство АХ в первом квадранте G(ai k) = G(ai) при bk = const (рис. 4).

Матрица gi, представленная ниже, и матрица gk = gT суть наборы произведений Адамара gik = Gik cos9i k и gki = Gik sin9i k элементов соответствующих матриц. Это чипы искаженных квадратурных составляющих группового видеосигнала на двух выходах демодулятора. Законы распределения величин gi k и gki — биномиальные, определяемые выражениями (1а) и (1б):

gi =

' 0,998 0,989 0,972 0,949 0,92 0,887 0,852 0,816 N

2,967 2,942 2,893 2,824 2,739 2,642 2,539 2,433

4,862 4,821 4,743 4,634 4,498 4,345 4,18 4,009

6,641 6,588 6,487 6,343 6,166 5,964 5,745 5,519

8,277 8,216 8,097 7,927 7,717 7,477 7,216 6,944

9,757 9,689 9,558 9,371 9,139 8,87 8,578 8,271

11,075 11,004 10,867 10,67 10,423 10,138 9,824 9,492

12,238 12,167 12,027 11,826 11,573 11,278 10,953 10,607у

14 12 1 0

3 8

в

^ 6 4 2

0 0 1 3 5 7 9 1 1 13 1 5

ai

Рис. 4. Семейство АХ НУРС в первом квадранте

1 2 1 0

8

•Sfi

о" 6 4 2 0

15

1 1 1 3 1 5

Рис. 5. Семейство характеристик gik = g(a) при bk = const для синфазной составляющей

По данным матрицы gi построено семейство графиков gi k = g(a) при bk = const для видеосигнала синфазного ствола (рис. 5). Аналогичное семейство кривых gk,i = g(bk) при ai = const для видеосигнала квадратурного ствола можно построить по данным матрицы gk.

Закон распределения демодулированного сигнала

В приемной части системы (см. рис. 1) на входе нелинейного усилителя видеосигнала НУВС к видеосигналу gi к добавляется аддитивный га-уссовый шум е(£) с нулевым средним и дисперсией ст2, функция плотности которого

(

WB(s) = -

exp

2 Л

2ст2

Плотность распределения смеси х1 к(Ь) = = gi + е(0 сигнала с шумом на входе НУВС, средняя по всем значениям видеосигнала а1 синфазного ствола, но условная по к, выражается через свертку функций (1а) и (3):

да

Wx (х|й) = | X Ра (а Щ(х — )) =

—ТО I

b

k

1

Wx(x\k) 0,125 0,100 0,075

0,050 0,025 0

1 1 bk = 15

tfft I1 1 0 i Г 1 1 ! - Г L ; 11

1

f \: i :: Alt :AU\--- — " — -

А? i i 1 1 1 1

15 -13

-5

1 1

a

13 1 5

Рис. 6. Условная плотность распределения смеси сигнала с шумом на входе НУВС синфазного ствола

=х

L+a. L+a.

' _i

q 2

C 2

(i - q Г

L—a.

-exp

~(x — Г

2ct2

Семейство функций Wx(x\k) для двух первых квадрантов представлено на рис. 6. Значения gi к при bk = const связаны со значениями at, указанными на оси абсцисс, детерминированным образом, через представленные выше матрицы.

Оценка средней мощности помех на выходе НУВС

Амплитудная характеристика безынерционного НУВС может быть выражена формулой (2), но с заменой переменных А и в на х и у соответственно, а параметров НУРС р и в — на аналогичные параметры НУВС рв и вв:

У (x ) =

[1 + (x / ч )2* ]1/(2 Г'

Нелинейное преобразование смеси х({) сигнала с аддитивным шумом в НУВС представим, следуя работам [4, 5], как добавление к полезному сигналу gi к помехи, состоящей из двух разделяющихся частей: мультипликативной — коррелированной и аддитивной — не коррелированной с этим сигналом. Тогда выходной процесс в пределах отдельно взятого чипа

y(t) = Jgi,k +5(*),

где ygi к — полезная (информативная) часть выходной смеси; (1 - y)gi к и £(£) — соответственно коррелированная и некоррелированная с gi к составляющие помехи; 0 < у < 1 — числовой коэффициент. При этом

I2 (t) = У2 (t) — У2 g2,k

Для отыскания коэффициента у умножим на gi к и усредним по времени в пределах чипа обе части уравнения (5):

ti,ky(t) = У 8i,k +I(t) gi,k

Но по условиям задачи giky(t) = gi ky(t), а £(:) gi,k = = 0; тогда

УI , k = У

Общие формулы (5)-(7) справедли вы и для индексированных по I и к значений переменных У, ^ У:

У^(:) = У+<#)]; 1= уЪ(t)-У ;

У ^ = У &(:)/ ^

Полагая, что исследуемые процессы эргодич-ны, заменим усреднение по времени усреднением по множеству реализаций для каждого I и к в отдельности; тогда коэффициент уменьшения полезного сигнала из-за воздействия коррелированной помехи

У^ = У^ / ^,

а дисперсия некоррелированной помехи

2 _ 2 _ 2 2 '2 ai,k =S i,k = yi,k —y i,kgi,k

Функция плотности смеси yt к на выходе НУВС имеет вид [1]

exp

—1

2ст

Wy (yi,k) =-

i,k

y,

2p I- iii'k

V zi,k

'zi,k zi,k °i,k

Lh--2

где вспомогательная переменная zik = 1 - (yt к/вв)2р. Согласно (8) и (10):

J yi,kWy (yi,k )dyi,k

yi,k =-

gi,k

Этот коэффициент зависит не только от I и к, но и от параметров вв, рв АХ НУВС, а также, опосредованно, от отношения сигнал/помеха р = 10 lg I gf,k / I на входе НУВС. Зависимость функции (11) от значений исходного сигнала а1 в первом и втором квадрантах, соответствующих значениям искаженного сигнала gi к при к = 15, р = 10 дБ, показана на рис. 7, а, а зависимость

(9) дисперсии £ ^ k некоррелированной помехи

от а1 — на рис. 7, б.

Семейства кривых на рис. 8, а и б иллюстрируют влияние амплитуды Ьк чипов квадратурного

9

s

x

ствола на коэффициент и дисперсию £; к при к = уаг. В левой и правой частях обоих графиков это влияние больше, чем в центральной части.

Семейства кривых у,к(а,) и к (а;) при фиксированном к = 6 и различных отношениях сигнал/ помеха р = 5, 6, ..., 12 дБ на входе НУВС показаны

а)

Рв = 3 Рв = 2

Рв = 1

0,75

-15-13 -9 -5 -1 1 3 5 9 1315

а

--= 15

Рв = 1 Рв = 2

Рв = 3

-15-13 -9 -5 -1 1 3 5 9 1315

а

- зв - 13

Рис. 7. Зависимость коэффициента уг к (а) и дисперсии ^ (б) от амплитуды чипа а1 при к = 15, р = 10 дБ

Ьк = ±15 Ьк = ±13

Ьк = ±1

Ьк = ±15 Ьк = ±13

Ьк = ±1

-15-13 -9-5-11 5 9 1315

а,

-15-13 -9-5-1135 9 1315

а,

Рис. 8. Влияние индекса к на коэффициент у, к (а) и дисперсию к (б) при в = у[2Ь, Р — 1, вв = Ь, Рв = 1, р = 10 дБ

а) 1,00 0,96 0,92 0,88 0,84 0,80

: : с/ш - 12 дБ ; ; Г 11 дБ

5 дБ

V

б)

-15-13 -9-5-115 9 1315

а,

р = 12 11

-15-13 -9-5-11 5 9 1315

а,

Рис. 9. Влияние отношения сигнал/шум на коэффициент у, к (а) и дисперсию (б) при

8в = Ь Рв = 1

16 14 12 10 8 6 4 2 0

-15-13 -9 -5 -1 1 аь

--Рв = 2

Без нелинейных искажений в НУВС

\ /' //

1 1 \

ч ч ч

\ / //

1 1

--- . 1 //м

1 1 Гу' \

1 1 \ \

зв = 15

14

13

15

14 13

5 9 1315

---Рв = 1

Рис. 10. Зависимость мощности полезного сигнала на выходе НУВС от а1 при различных параметрах АХ

на рис. 9, а и б. Чем амплитуда чипа группового сигнала меньше, тем влияние аддитивной помехи больше.

2 о

Зависимость мощности у| к&ь к полезного сигнала на выходе НУВС от амплитуды чипа исходного сигнала аЬ при Ь = 15 с учетом и без учета нелинейных искажений, вносимых НУРС, представлена на рис. 10.

Дисперсия выходной смеси НУВС согласно (10), (11):

в

ъ2у.к = | У°к%(Уг,к) йУг,к

ехр

-1

2

у1,к~

2ст2

1,к

2р I- ёг,к

У г1,к

2 РвКкг1,к

¿У;,к.

Плотность распределения некоррелированной помехи Ььь с нулевым средним найдем, подставляя в (1°)Ъ & вместо уик. При -вв < Ьь < вв

Щ&к ) = -

1 /

1 (Чг, к + у 1,к^1,к

2 Рв

1+2 Рв

2 Рв

хехр

*1,к

2ст2

г,к

В общем случае значение дисперсии некоррелированной помехи на выходе НУВС при помощи выражений (12), (13) может быть найдено методами численного интегрирования.

Расчет вероятности битовой ошибки

Демультиплексор каждого ствола (см. рис. 1) содержит Ь канальных селекторов (рис. 11), осуществляющих в пределах каждого ИО интегрирование с весом и(т)(^ или и(га)^), и Ь решающих устройств РУ, принимающих решения о регистрации информационного бита +1 или -1.

Согласно выражению (5), представим каждый чип процесса у^) на выходе НУВС в виде суммы полезного группового сигнала у^^гётг и не коррелированной с сигналом помехи §(£). Индексы Ь, Ь при величинах y¡Ьrиg¡Ьr связывают эти переменные с теми значениями сигналов аЬ и Ьь на выходах МП, для которых они рассчитаны выше, а индекс г = 0, 1, ..., N - 1 означает порядковый номер чипа в ИО.

Реакция Zm(t) пары канальный перемножитель — интегратор в канальном селекторе т-го канала (см. рис. 11) на г-й чип группового сигнала синфазного ствола — это сумма сигнальной

составляющей Г •I/

Г

т

тУ1,к,гё1,к,ги^(п)(1:) ^

1гТ/Ы

ГТ ЬиАг )и

¡гТ/Ы

составляющих по всем чипам ИО

и поме-

хи

Ьг,к,г (*)иит' (гСумма сигнальных

В

N-1 Т

т,1, к = X | У 1,к,гё1,к,г

г=0гТ/Ы

гЛ /

(г )&.

у(П

От НУВС

Т I 0 ¿1

* > РУ1

.

Zm

РУт

ZT

РУГ

Рис. 11. Структурная схема ДМП

7

5

Т 3

I 1

С -1 «Р -3 -5 -7

Рис. 12. Выходной сигнал канального перемножителя

; ;

1 1

1 2 3 4 5 6 7 8

! ! !

! : ]

3

в

3

1

—3

в

т

0

Ь

0

х

Аналогичный вид имеет выражение для квадратурного ствола. Для примера одна из возможных реализаций сигнала на выходе канального перемножителя показана на рис. 12.

В каждом ИО содержится N чипов, сигналы в которых различным образом сочетаются между собой в зависимости от значений i и k, и нахождение суммарных по всем чипам ИО дисперсий полезного сигнала и помех очень затруднительно из-за многовариантности селектированного полезного сигнала. Однако расчеты можно значительно упростить, если исследовать и учесть комбинаторную структуру этого сигнала. В силу нечетной симметрии АХ (4) в выходном сигнале каждого канального перемножителя в пределах ИО часто возникают пары импульсов противоположной полярности, одинаковых по абсолютной величине. В процессе интегрирования они взаимно компенсируются, причем от взаимного расположения чипов в ИО результат интегрирования не зависит.

Все возможные реализации селектированного сигнала можно найти путем перебора. Машинный эксперимент, проведенный авторами по специально разработанной для этого программе, показывает, что количество возможных различных комбинаций неуравновешенных слагаемых полезного сигнала в ИО невелико, при этом в различных ИО и различных каналах ствола эти комбинации повторяются.

Каждому сигналу gik соответствует своя некоррелированная помеха Si k. Эти помехи взаимно не компенсируются, поэтому в пределах каждого ИО необходимо учитывать все N слагаемых суммарной помехи q как в «уравновешенных», так и в «неуравновешенных» чипах.

Для упрощения выкладок вернемся к системе QAM-64. Составы и количество возможных комбинаций полезного сигнала B и помехи q, возникающих при любых сочетаниях входных «битов» +1 и -1 во всех каналах синфазного ствола с N = 8, L = 7, приведены в таблице. При любом значении k = const существует всего три возмож-

Вариант Комбинации полезного сигнала и помех на выходе канального перемножителя при k = const Количество комбинаций данного состава

1 B1(k) = Y4,kg4,k + Y7,kg7,k 2l(k) = 3S3,k + 4S4,k + S7,k 50

2 B2(k) = Y5,kg5,k + Y6,kg6,k -2(k) = S2,k + 2S3,k + 2S4,k + 2S5,k + S6,k 336

3 B3(k) = Yl,kgl,k + 4Y4,kg4,k + 3Y5,kg5,k 23(k) = Sl,k + 4S4,k + 3S5,k 56

Итого 442

ных варианта (индексы 1, 2, 3 при переменных В и г|) комбинаций неуравновешенных слагаемых.

Вероятности вариантов равны П1 = 50/442 = = 0,113; П2 = 336/442 = 0,760; П3 = 56/442 = 0,127.

Поскольку интегратор представляет собой линейную цепь, полезные сигналы, согласно принципу суперпозиции, суммируются по напряжению, а помехи — по мощности. Поэтому сигнал на выходе интегратора (т. е. на входе РУ) в момент времени Т выражается одной из трех комбинаций В1(к), В2(й) или В3(й), а помеха — соответствующей комбинацией |1(й), |2(й) или |3(й) с нулевым средним и дисперсией

ст2 (k) = 3ст2 + 4ст2 + ст" ,

S3,k S4,k S7,k

T2 „2 -2

(k) = ст2 + 2

4 ' S2,k

К.

+ +стк

k S4,k SB.

,k)

+ CT

S6,k

23

4

S1,k

ст.: (k) = ст2 + 4ст2 + 3ст;

4

S4,k

2

S5,k

Распределение суммы взаимно независимых случайных величин к на входе РУ далее аппроксимируем нормальным законом с помощью ряда Грама — Шарлье типа А [6]. Если ограничиться первыми членами ряда, то условная по й плотность случайной величины |1

w.

21

(21 k ) =

exp

ст^

1 + ^3 Ы

где (к)/Ст| (к); д3 и д4 — третий и четвер-

тый центральные моменты помехи |1, определяемые [7] через моменты ее слагаемых:

Н-3 {|1} = Х^з {{;,к};

1

{11 } = Е {, к} + 6 Е ст|,к ст|. к,

I 1<т

где г = 3;3;3;4;4;4;4;7. Для функций плотности Ж|2(|2|й) и ^|3(|3|й) формулы аналогичны, но наборы индексов г при вычислении моментов помех другие: г = 2;3;3;4;4;5;5;6 для д4{г|2(й)} и г = 1;4;4;4;4;5;5;5 для д4{г|3(й)}. В каждом из трех случаев суммируются только слагаемые с теми индексами Ь, которые указаны в соответствующей строке таблицы.

Для того чтобы функции плотности, приближенно представляемые в виде (15), не оказались отрицательными, должно выполняться [6] условие (цз {"л}/ст|)< 0,5. Проверка показывает, что

Рис. 13. Вероятность битовой ошибки в абонентском канале системы DS-CDMA с QAM: а — условные вероятности ошибкирош, ...,Рош3; б — средняярош при разных методиках расчета

оно выполняется для всех 2 во всем практически возможном диапазоне параметров р, s, рв, вв.

Ошибка в РУ с нулевым порогом решения происходит, если при сигнале B1(k) > 0 в момент решения T помеха q1(k) <- B1(k) или при сигнале B1(k) < 0 помеха q1(k) > |B1(k)|. Условная по k вероятность ошибки при q = 1 - q = 0,5

-B1

рОШ1 (k) = 0,5 J ЖЛ1 (-1 Ik )d21 +

—TO

TO

+ 0,5 J W (21 k)d-1.

B

Условные вероятности рош2^) и pош3(k) вычисляются аналогично. Графические зависимости усредненных по всем k с учетом (1а) вероятностей

ош Р Pош2, рош3 от отношения 10lg(

ста/ ст2)

L = N - 1 = 7, ста = L, s = W2, р = 1, sE = 1, рв = 1 представлены на рис. 13, а (кривые 1,2, 3 соответственно). Там же (кривая 4) показан график результирующей вероятности битовой ошибки рош, средней по всем k и по трем комбинаторным вариантам (см. таблицу):

= П p 0Ш1 + П2 Р + П3 p

ош3'

Для сигналов других квадрантов обоих стволов, ввиду их статистической идентичности, промежуточные выкладки и конечные результаты аналогичны.

Для сравнения на рис. 13, б представлены графики зависимости вероятности рош битовой ошибки на выходе канала от отношения 10 lg (ст^ / ст??), рассчитанные для системы передачи CDMA с QAM-64 с исходными данными, приведенными выше, при следующих условиях:

— с учетом отрицательно действующего на помехоустойчивость фактора — нелинейных иска-

жений в НУРС и НУВС; без учета влияния положительного фактора — комбинаторных свойств группового сигнала Уолша (кривая 1);

— с учетом нелинейных искажений и комбинаторных свойств группового сигнала Уолша, но с заменой реального распределения помех (13) на входе канального РУ гауссовым распределением (кривая 2); в результате такой замены расчетная помехоустойчивость канала связи завышается по сравнению с реальной;

— с учетом нелинейных искажений и комбинаторных свойств группового сигнала Уолша по предложенной в статье методике, с аппроксимацией (15) распределения помехи (13) на входе канального РУ при помощи модифицированных полиномов Эрмита и рядов Грама — Шарлье (кривая 3). Эта кривая, промежуточная между кривыми 1 и 2 и повторяющая кривую 4 (см. рис. 13, а), наиболее близка к реальности.

На рис. 13, б представлен также известный (например, [8]) график вероятности ошибки в системе с QAM-64 без CDMA, с раздельной регистрацией каждого чипа (кривая 4). При равновероятности и независимости всех чипов скорость передачи информации в каждом стволе такой системы составляет 3 бита/чип. График 4 завышает реальную помехоустойчивость системы и, в частности, не учитывает, что ошибка при регистрации одного чипа приводит к искажению от 1 до 3 битов входящего цифрового потока.

Заключение

Представленное исследование реальной помехоустойчивости системы DS-CDMA с QAM дает возможность оценить вероятность битовой ошибки в абонентском канале с учетом нелинейности АХ групповых видео- и радиотрактов и задать требуемое отношение сигнал/шум в различных

частях системы передачи. Компьютерный эксперимент по оценке статистических и комбинаторных свойств группового сигнала Уолша, поставленный авторами, существенно уточняет и одновременно упрощает многофакторные расчеты. Методика анализа, изложенная на примерах систем CDMA с базисом ортогональности N = 8

1. Гуревич В. Э., Егоров С Г. Нелинейные искажения группового сигнала в радиосистеме абонентского доступа // Инфокоммуникационные технологии. 2012. Т. 10. № 3. С. 79-82.

2. Егоров С. Г. Анализ реальной помехоустойчивости группового тракта радиосистемы абонентского доступа // Инфокоммуникационные технологии. 2012. Т. 10. № 4. С. 59-62.

3. Rapp C. Effects of HPA-Nonlinearity on a 4-DPSK/ OFDM-Signal for a Digitial Sound Broadcasting System // Proc. Second European Conf. on Satellite Com-

(<<АМ-64) и (частично) базисом N = 16 «АМ-256), полностью применима и при других базисах.

Результаты работы могут быть использованы при теоретических исследованиях и в процессах технической разработки, производства, частотно-территориального планирования высокоскоростных линий передачи.

munications, Liege, Belgium, Oct. 22-24, 1991, pp. 179-184.

4. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Кн. 1. — М.: Сов. радио, 1984. — 550 с.

5. Харкевич А. А. Борьба с помехами. — М.: Либро-ком, 2013. — 280 с.

6. Kendall M., Stuart A. Distribution Theory (Kendall's The Advanced Theory of Statistics, 1). 2nd ed. — London, Charles Griffin & Co., 1962. — 676 p.

7. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Высш. шк., 1969. — 576 c.

8. Bellamy J. Digital Telephony. — N. Y.: Wiley, 2000. — 643 р.

UDC 621.396.49

doi:10.15217/issn1684-8853.2015.5.106

Performance Analysis of Nonlinear Distortions of RF Signal in Wireless CDMA Downlink with Quadrature Amplitude Modulation

Gurevich V. E.a, PhD, Tech., Professor, gurvic23@mail.ru Egorov S. G.a, Researcher, Assistant, sgegorov@gmail.ru

aThe Bonch-Bruevich Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 22-1, Bolshevikov St., 193232, Saint-Petersburg, Russian Federation

Purpose: In this paper, we consider digital direct-sequence spread-spectrum multiple-access communication systems with CDMA technology and QAM modulation. Non-linear distortion of a grouped signal in these systems lead to a higher probability of digital errors and worse quality of individual subscriber's channels. The aim of this research is to find out how the digital error probability depends on the non-linear distortion of grouped video and radio signals. We need to know this dependence to substantiate the demands on the amplitude characteristics of the amplifiers in multiple-duct video and radio channels. Methods: A real grouped signal is represented as a sum of three components: the non-distorted part of the signal, the correlated multiplicative distortion and uncorrelated additive distortion. A computer model of the transmitted signal is built and used, taking into account, unlike the conventional methods, not only statistical but also combinatorial properties of a complex grouped signals with code division. An admissible error of estimated noise immunity is obtained by the approximation of real distribution of the signal and noise mixture, using Hermite polynomials and Gram-Charlier series. Results: It is shown that the usual Gaussian representation of the noise and the linearization of non-linear elements characteristics lead to overestimating the noise immunity. Analyzing the combinatorics of the grouped signal has helped to estimate both separate and combined impact of each parameter of nonlinear channels upon the real noise immunity of the system. The laws of distribution of the mixture of Rademacher - Walsh functions with a noise in a nonlinear channel are represented analytically and graphically, along with the calculated error probabilities. Practical relevance: Our recommendations about technical demands on grouped channels for systems with code division can improve the noise stability. They can be used in theoretical research, technical development, production and application of new high-speed digital transmission systems.

Keywords — DS-CDMA Wireless Access, Orthogonal Rademacher - Walsh Functions, Quadrature Amplitude Modulation, Nonlinear Amplifiers, Radio Frequency Power Amplifiers, Multiplexed Signal Characteristics, Partial Cross-Correlation, Correlated Distortions, Uncorrelated Distortions, Signal-to-Noise Ratio, Bit Error Rate.

References

1. Gurevich V. E., Egorov S. G. Nonlinear Distortions of Multiplexed Signal in Wireless Local Loop System. Infokommu-nikatsionnye tekhnologii, 2012, vol. 10, no. 3, pp. 79-82 (In Russian).

2. Egorov S. G. Error Rate Analysis of Multiplexed Signal in Imperfect Wireless Local Loop System. Infokommunikatsionnye tekhnologii, 2012, vol. 10, no. 4, pp. 59-62 (In Russian).

3. Rapp C. Effects of HPA-Nonlinearity on a 4-DPSK/OFDM-Signal for a Digitial Sound Broadcasting System. Proc. Second European Conf. on Satellite Communications, Liege, Belgium, October 22-24, 1991, pp. 179-184.

4. Levin B. R. Teoreticheskie osnovy statisticheskoi radiotekhni-ki [Theoretical Foundations of the Statistical Radio Engineering]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1974. 550 p. (In Russian).

5. Kharkevich A. A. Bor'ba spomekhami [Noise control]. Moscow, Librokom Publ., 2013. 280 p. (In Russian).

6. Kendall M., Stuart A. Distribution Theory (Kendall's the Advanced Theory of Statistics, 1). 2nd ed., London, Charles Griffin & Co., 1962. 676 p.

7. Venttsel' E. S. Teoriia veroiatnostei [Probability Theory]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 1969. 576 p. (In Russian).

8. Bellamy J. Digital Telephony. New York, Wiley, 2000. 643 p.