Задача R-линейного сопряжения для софокусного эллиптического кольца

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 4

Физико-математические пауки

2008

УДК 532.546

ЗАДАЧА М-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ СОФОКУСНОГО ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО КОЛЬЦА

Ю.В. Обносов

В статье получено замкнутое аналитическое решение задачи К-линейного сопряжения для софокуспого эллиптического кольца. Решение найдено в классе кусочно-голоморфных функций, пригашающих заданное конечное значение па бесконечности.

Ключевые слова: гетерогенная среда, задача К-линейного сопряжения, голоморфные функции.

Изучение плоских гетерогенных сред сводится к задаче построения плоскопараллельного стационарного поля у(х, у) = (юх, уу), являющегося потенциальным и соленопдальным в каждой изотропной фазе рассматриваемой среды. На границе контакта С разнородных фаз предполагаются равными нормальные (касательные) составляющие предельных значений вектора V (ру). Коэффициент р, характеризующий физические свойства среды, в каждом изотропном компоненте среды принимает постоянное значение.

В монографии [1. с. 53] показано, что при перечисленных выше условиях функция у(г) = г>х(х, у) — 1 уу (х,у) кусочно-голоморфна в каждом однородном компоненте, а на границе С удовлетворяет кривому условию однородной задачи М-линейного сопряжения. Явное аналитическое решение последней задачи удается получить лишь для довольного узкого класса гетерогенных структур, например

С

липе [6 9].

Настоящая статья является непосредственным продолжением работ [10. 11]. где были исследованы трехкомпонентные круговые области. Здесь будет рассмотрена трехфазная среда, граница раздела разнородных компонентов которой состоит из двух софокусных эллипсов.

Пусть для определенности координатные оси плоскости г совпадают с осями симметрии эллипсов С = {г = х + 1 у : х2/О2 + У2/Ь2 = 1}, 3 = 1, 2, где а^, Ь^ -заданные положительные параметры. Не уменьшая общности, можно считать, что а^ > Ь^ > 0, з = 1,2, и ах > а2, Ьх > Ь2. Фокусы эллипсов С совпадают и находятся в точках ±с, то есть

На рис. 1 внутренняя по отношению к С2 область обозначена через 53, область между С\ и С2 — через 5<2 (эллиптическое кольцо), а внешняя по отношению

Аннотация

1. Постановка задачи

Рис. 1. Эллиптическое софокуспое кольцо

к через Б\. Требуется построить кусочно-голоморфную функцию г>

= г'р(г) (Е 7-¿(Бр) П С (Бр), г £ Бр, р = 1, 2, 3. по краевым условиям

гф) = Ацчр.) - В^'{з)}-2!,^), * € Си

_

гф) = А21>2(*) - В2[Г{з)}-21>2{1), * € С2,

где ¿'(в) - производная функции точки контура С по натуральному параметру, заданные вещественные коэффициенты Л^ , В^ , определяются по формулам:

= = = =

2р2 2р2 2рз 2рз

Здесь р^ (к^ = 1/рз) - сопротивление (проводимость) компонента Б^. Дополнительно задается значение v! на бесконечности:

= ус = ух - 1 уу.

Изучение начнем в предположении, что коэффициенты л^-, В^ — произвольные отличные от нуля ограниченные вещественные константы, удовлетворяющие условию эллиптичности задачи (2): 1Л^ | > |В^ | > О, ] = 1, 2. При таких ограничениях из рассмотрения временно исключаются случаи вырождения трехфазной среды в двухфазную (р2 = рь р2 = рз) и случаи обращения сопротивлений ее фаз в пуль и бесконечность.

2. Решение невырожденной задачи о софокусном эллиптическом кольце

Для поставленной задачи справедлива теорема единственности, доказанная в [12]. С помощью теоремы единственности несложно показать, что любое решение задачи (2), (4) можно представить в виде суммы

= УхУп

где г>д, VI - те частные решения краевой задачи (2), для которых выполняются условия:

^

г>д

Рис. 2. Первый квадрант плоскости г

Построим решение vR(z) задачи (2), удовлетворяющее соответствующим условиям (6). (7).

Будем считать, что ak = bk (c = 0). Ограничиваясь первым квадрантом плоскости z = x + i y, рассмотрим его конформное отображение на плоскость Z = С + i П с помощью той ветвн функции

С

c

обратной к

Ä(c) = l(c + ?)' (9) которая зафиксирована условием Z(^) = • Функция (8) отобразит лежащие в первом квадранте четверти Sn, S12, S13 областей Si, S2, S3 (см. рис. 2) на области S*3 = (С : 1 < |Z| < R2, 0 < argZ < п/2}, S^ = (С : R2 < |Z| < Ri, 0 < argZ < < п/2}, S*1 = (Z : |Z| > R1; 0 < argZ < п/2} соответственно. При этом

RJ=aai) = ^ = ^T = J^, j = 1,2,

с aj — bj у aj — bj

где ñi > ñ2 > 1. Образы остадьпых точек, отмеченных в плоскости z, обозначены на правом рис. 2 соответствующими символами в круглых скобках.

Найдем зависимость производной функции точки t контур a Lj по натуральному параметру s, отсчитываемому, например, от точки aj , в виде функции от t. Для этого запишем уравнение соответствующего эллипса в параметрической форме

t = aj cos y + i bj sin y, y £ [0, 2n),

тогда

dt — aj sin y + i bj cos y

ds [ZT~3

sjo2 sin2 cp + 62 eos2 cp

С учетом (1) легко получить, что

aj + bj aj — bj

а Л — bj \Jt2 — c? a,j\Jt2 — c2 — bjt COS iß = —-—-, Sin (ß = —-—-— .

На основании последних представлений искомая производная может быть записана в виде

_1/2

t'(s) = c (а2 + b2 - 2а,b,t(t2 - c2)_1/2) .

Здесь под внутренним радикалом в правой части следует понимать значение на L, той ветви функции (z2 — с2)1/2 , фиксированной в области С\ [—с, с], которая принимает положительные значения при z = x > c. Под внешним радикалом понимается ветвь, фиксированная в плоскости С с разрезами по лучам (-те, - (а2 + b2)/c], [(а2 + b2)/c, те) и отрезку [-c, c], обращающаяся в мнимую единицу при t = а,. С помощью последнего соотношения, (8), (10) для t G получим:

[*;('Гз - Д7Х~1Д' = -Втр. (id

Введем новую кусочно-голоморфную функцию

V

Ha основании (2), (6) (12) придем к краевой задаче

V2(t)= AiVi(t)+ BiVi(r), |т| = Ri, 0 < argт < п/2;

V3(T)= A2V2(т)+ B2V2(т), |т| = Й2, о < argт < п/2;

Re v3

Im V

Функцию (12) в силу (15) с помощью принципа симметрии Римана Шварца можно продолжить на полную внешность единичного круга. Легко видеть, что продолженная функция V(Z) будет удовлетворять краевым условиям (13), (14) для 0 < arg т < 2п. Решение последней задачи не только должно быть голоморфным в соответствующих областях S'| = {С : 1 < |С| < R2}, ¿>2 = {Z : R2 < ICI < Ri},5'* = = {С : ICI > Ri} н непрерывным в их замыкании (в S'* всюду, за исключением бесконечно удаленной точки), но и удовлетворять по построению условиям

у

Иш [У1

£—

Из теоремы Лорана и соотношений (14) (17) следует, что для кусочно-голоморфной нечетной функции V(() = ), £ € Б* (р = 1, 2, 3), справедливы разложения

-2п

Vi

n=1

00

V

n=i

00

Vs

= i

где an, ß±n, Yn — вещественные коэффициенты, пока неопределенные. Функции

V+(V2+ ), V3-(VT

V3+(V2+ ), V5 (V2 ) голоморфны соответственно внутри круга радиуса R2(Ri) и вне

единичного круга (вне круга радиуса Д2 )• Кроме того, функции ^3 связаны друг с другом тождеством

V+

In

k=1

Рассмотрим функцию

у3+(0 - a2v+(0 - B2v2-(m/o, ICI < Д2,

ф

a2v2-(C) - Vf (С) + B2v+(Ryo, ICI > д2,

С помощью второго условия (13) устанавливается равенство предельных значений функции (22): Ф+(т) = Ф~(т) для г G С% = {т : |т| = Д2}, то есть функция Ф(С) голоморфна в расширенной плоскости С и исчезает в нуле и на бесконечности. Аналогично, функция

т//л у2+С --01^1 Д?/о, |С1<Дъ *

(С) - V-(С), К1> Й1,

не претерпевает скачка при переходе через линию £* = {т : |т| = Д1} ввиду первого соотношения (13), ее голоморфность нарушается лишь в точках С = и С = 0, где у Ф(С) простые полюса. В силу (18)-(20), (22), (23) и обобщенной теоремы Лнувнлля

Ф

Из (22) (24) в силу вещественности коэффициентов в представлениях (18) (20) следует, что

Уз+(0 - а2у+(0 - В2^2-(Д2/С) = о, 1С| < Д2, ¿2^(0 - Р3-(С)+ 52^2+(Д2/С)=0, |С|> Д2, , ч

К+(С) - В1У01(Д2/О = АхС, |С| < Д1,

^1^01 (о - ^2-(с) = -Д1Д2/С, |с | > Д1.

Исключим У3±(С) из первых двух уравнений системы (25). Для этого заменим во втором из них С на 1/( и с учетом (21) получим

К+

Аналогично, из третьего и четвертого уравнений системы (25) исключим Уо1 (С) > заменив предварительно в последнем из этих двух уравнений С на Д2/С) получим

К+

Подставив ряды (18) (20) в левые части соотношений (26), (27) и сравнив коэффициенты при одинаковых степенях С5 придем к системам уравнений:

'Д?в1 - А1в-1 = Д?Д1(1 - А2),

(1 + А2Д2)в1 + (1 + А2Д—2)в-1 = 0,

эс

вп - Д1Й?-4пв-п = 0,

п > 2.

(1 + Д2й4п-2)вп + (1 + Д2й2-4п)в-п = 0, Решение системы (28) единственно и определяется по формулам

¿1

в1 = в-1 =

1 + Д2Д-2 + Д1й-2(1 + Д2^2)'

-А1(1-А2)(1 + А2Д22) 1 + А2Щ2 + Д1ЙГ2(1 + А2Щ) •

Однородные системы (29) имеют лишь тривиальные решения вп = в-п = 0, п > 2, так как дискриминанты этих систем отличны от нуля. Действительно,

£п = 1 + Д1^2-4п + Д2й2-4п + Д1Д2Й?-4ПД4П-2.

Положим Д2-4п = х, Й2-4п = V- Стандартным образом доказывается, что абсолютный минимум функции 1 + Д1Х + Д2У + Д1 Д2х/у достигается при х = — —Д2/Дь V = — Д2 > т0 есть для дискриминантов систем (29) справедлива оценка

£п > 1 — Д2 > 0.

Таким образом, функция (19) полностью определена, а функции (18), (20) легко находятся с помощью соответствующих соотношений (25):

(с + (А-1в-1 — Д1Й2)/С, с е Б*,

V

^(¿2в1 + В2Й-2в-1)(С — 1/С), С е Б*.

Возвращаясь теперь в плоскость комплексного переменного г, на основании (31), (12), (8) получим

1 -0.5(1 + А^/З-г - Д1Д?)(1 -г/у/г2 - с2), я € й'ь

уд

+ Вг^в-ь г е Бз.

Напомним, что под радикалом \/г2 — с2 понимается та его ветвь, фиксированная в плоскости С с разрезом по отрезку [—с, с], которая положительна при г = х > с.

Чтобы найти решение V/(г) задачи (2), удовлетворяющее соответствующим условиям (6), (7), положим

V

Относительно функции (33) придем к той же самой задаче (13) (17) с той лишь разницей, что в условиях (13) знак плюс перед ^1,2 изменится на минус. Соответственно, искомое решение V/ (г) получим, домножив па 1 правые части формул (32) и изменив в них и в (30) знаки перед ^1,2 и Д1,2 па противоположные, то есть

'г [1 - 0.5(1 + А^1/?-! + Д1ДШ1" -с2), я е й'ь

«/

НЛ2в1 — ВгД-^-Д г е Бз,

Рис. 3. Слева р1 = 1, р2 = 5, рз = 0-2., справа рх = 1, р2 =0.2 Рз = 5

где

-2

/?1 = в-1 =

А1(1-А2)(1-А2Д2 1-Д2Д2-2-Д1ДГ2(1-Д2Д2)'

-а1(1-д2)(1-д2д22) 1-Д2Д2-2-Д!ДГ2(1-Д2Д2)'

Заметим, что решение (34) легко можно было получить на основании решения (32). так как из очевидных физических соображений должно быть

V/(г; а, 6) = 1 «д(1 г; 6, а).

Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1. Задача (2), (4) с вещественными коэффициентами А, Б^-, ] = = 1, 2, безусловно разрешим а, если |А1 > |Б^ |, ] = 1,2. Ее единственное решение имеет вид

«

V, -

2А1

1

— 1АК —

¡31 +¡3-1,г . ¡31 + 13- 1Т,

—З — Ъ-г—^—Уу

-2

-г2 — с

1

¿2 (в1 V — 1 )+ Б2Д-2(в-1Кг +1 /3-1^ ),

г е 51,

г е 52, г е 5з,

где под радикалом понимается ветвь, фиксированная в г -плоскости с разрезом по отрезку (—с, с) и принимающая положительные значения при г = х > с, коэффициенты /1г /-1г /?ь 6 общем случае определяются соотношениями (30), (35); если же имеют место представления (3), то

в±1 = в±1 =

±(1-Д1)(1 + Д2ДТ2) 1 + Д2Д2-2 + Д1ЙГ2(1 + Д2Д2)'

±(1-д1)(1-д2д^2) 1-Д2Д2-2-Д!ДГ2(1-Д2Д2)'

Пример. Пусть а1 = 4, 61 = 3.14484, а2 = 3, 62 = 1.7. На рис. 3 приведены два варианта расчета поля по формулам (36), (37) в случае ^ = 1 — 21.

3. Предельные случаи

Замечание 1. В предельной ситуации, когда р3 ^ р2 (или р2 ^ Р1), формулы (36), (37) приводят к известному решению задачи об одном эллиптическом включении

Vo

;(z) =

Л(Д4 - 1) 2

Vx

Vy

Д2 + Д Д2 - Д

1 -

\/ Z2 — с2

¿(1 - Д2)Д2

Vx

Vy

— i

z G Si,

z G S2,

Д2 + Д Д2 - Д

где Si - внешняя среда, a S2 — эллиптическое включепие, Д = Ai, Д = Д1.

Замечание 2. При р1 = р2 = р3 и, следовательно, A1 = A2 = 1, Д1 = Д2 = 0, в1 = /?1 = —в-1 = —/?-1 = 1, из формул (36), (37), как этого и следовало ожидать, вытекает, что V1(z) = V2(z) = V3(z) = Vo.

Замечание 3. Рассмотрим предельный случай, когда а1; а2 ^ то при фиксированных 61, 62, и, следовательно, наша структура вырождается в слоистую структуру, а именно: S1 = {z : |Imz| > S2 = {z : 61 < |Imz| < 62}, S3 = = {z : |Imz| < 62}. В силу (11), (30), (35) в пределе получим Д1 = Д2 = 1, в1 = —в-1 = A1(1 — Д^, ß1 = — /?-1 = A1(1 + Д1), и решение (36) приводится к виду

V1(z) = Vo, V2(z) = (¿1 — B1)Vx — i (A1 + B1)Vy,

V3(z) = (¿1 — B1)(A2 — B2)Vx — i (A1 + B1XA2 + B2)Vy.

Отсюда в том частном случае, когда справедливо представление (3), приходим к

S1

па бесконечности:

v

где 02 = P2/P3, #1 = Р1/Р2-

Vx — i Vy, iVx - i V„.

z G S1, z G S2,

0201 Vx — i Vy, z G S3,

Замечание 4. Если ак ^ Ьк = гк, к =1, 2, то есть софокусное эллиптическое кольцо вырождается в концентрическое круговое, из (1), (11) следует, что с ^ 0, Дк ^ то, Д2/Д1 = (а2+62)/(а1+61) ^ г2/г1, а значит, формулы (36) теряют смысл. Однако, положив Ьк = гк и использовав правило Лопиталя, несложно показать,

lim

Ofc^rfc

Дк

1

аj z1 — с2

2rk .. - lim

z ak—rk

v^2 + rl ~ 4 ~ z

ak — rk

2rk

Введя обозначения

Д1Д2 = 5, r 1 = Д, Г2 = r, (r/Д)2 = g,

для предельных значений параметров (30), (35) получим представления в1 = А =

= ¿1(1 — Д2)/(1 + 5g),

lim Д-2в-1 = — lim Д-2/?-1 = —A1(1 — Д1)Д2/(1 + 5g).

ак—ak—

z

2

z

С учетом полученных равенств и обозначений (38) формулы (36) в пределе дают:

-Ai+gA2 R2

Vo-Vo-

1 + Jg z2

v(z) = <

Ai(l-Aj) 1 + Sg

Vo-AoVa— , r < |z| < Д,

A1A2(1-A2)(i-Aj; l + Sg

В частном случае, когда для коэффициентов , В12 имеет место представление (3), решение (39) приводится к виду

1 + Jg Z2 '

(z) =

(1 - Ai)(1 - Д2;

1 + Jg

V).

z < r.

Предельным переходом в соотношениях (40) при рз ^ р2 и, следовательно, A32 ^ 1, Д32 ^ 0 получим решение об одном круговом включении радиуса Д:

Vl(z) = V0 -VaA^, v2(z) = (1 - A^Va.

2

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л*1' 09-01-97008-р_поволжье_а ).

Summary

Yu. V. Obnosov. R-linear Conjugation Problem for a Confocal Elliptical Annulas.

Analytical closed-form solution is presented for R-linear conjugation problem for a confocal elliptical annulas. Solution is found in the class of piece-wise liolomorpliic functions with fixed finite value at infinity.

R

Литература

1. Еме.ц Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропно проводящих сред. Киев: Наук, думка, 1987. 254 с.

2. Голубева О.В., Шпилевой А.Я. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 2. С. 174 179.

3. Обносов Ю.В. Решение задачи R-линейного сопряжения в случае гиперболической липли разделения разнородных фаз // Изв. вузов. Математика. 2004. Л' 7. С. 53 62.

4. Obnosov Yu. V. A generalized Milne-Thomson theorem for the case of parabolic inclusion // Appl. Math. Model. 2009. No 33. P. 1970 1981.

R

case of hyperbolic interface // Lithuanian Math. J. 2008. V. 48, No 3. P. 322 331.

6. Пилатовский В.П. Основы гидромеханики топкого пласта. М.: Недра, 1966. 315 с.

7. Gheorghita $t.I. Met.ode matematice in liidrogasodinamica subt.eraua. Bucure§ti: Acad. RSR, 1966.

8. Ungureanu E. Sur le mouvement des ttuides dans les milieux poreux 11011 liomogenes // C. r. Acad. sci. 1969. V. A268, No 3. P. 181 183.

9. Obdam A.N.V., Veiling E.J.M. Elliptical iuliomogeueit.ies in groundwater flow an analytical description // J. Hydrology. 1987. V. 95. P. 87 96.

10. Обносов Ю.В. Решение задачи о распределении фильтрационных полей в бесконечном пористом массиве с двумя круговыми включениями // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, кп. 2. С. 109 123.

11. Мальцева A.M., Обносов Ю.В., Рогозин С.В. Обобщение теоремы Милп-Томсопа па случай концентрического кольца // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, кп. 4. С. 35 50.

12. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе: Изд-во АН Тадж. ССР, 1963. 183 с.

13. Полуба:ринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с.

Поступила в редакцию 24.11.08

Обносов Юрий Викторович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений Казанского государственного университета.

E-mail: yobnosovQksu.ru