УСТРОЙСТВО ФОРМИРОВАНИЯ, ПЕРЕДАЧИ И ПРИЕМА ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОЙ МАТРИЦЫ ШУМОПОДОБНОГО СИГНАЛА
DEVICE FOR GENERATING, TRANSMITTING AND RECEIVING FREQUENCY-TIME MATRIX OF NOISE-LIKE SIGNAL

Область техники
Изобретение представляет собой совокупность средств формирования частотно-временной матрицы (ЧВМ) шумоподобного сигнала (ШПС), передачи частотно-временных элементов (ЧВЭ) и средств извлечения из принятых сигналов ЧВМ полезной информации и относится к области систем передачи и приема ШПС. Представляет также интерес применение его в силу простоты реализации для передачи информации посредством акустических и гидроакустических волн.
Уровень техники
Наиболее полно множество способов формирования, передачи и декодирования ШПС описаны в [1]. Как отмечает автор, наиболее удобной является графическая форма представления, когда ШПС изображается в виде базисного прямоугольника, в котором по горизонтали задаются частотные полосы, а по вертикали - минимальные временные интервалы, используемые для передачи одного частотно-временного элемента. На практике получили распространение ШПС, обладающие только одним ЧВЭ во временной полосе. По распределению энергии в частотной полосе наиболее часто используют ШПС-(ФМ) - фазоманипулированного частотного заполнения, ШПС-((ДЧ) - дискретного частотного заполнения, ШПС-(ДСЧ-ЧМ) - дискретного составного частотного сигнала с частотной манипуляцией и ШПС-(ДСЧ-ФМ) - дискретного составного частотного сигнала с фазовой манипуляцией.
Двумя частными случаями построения ЧВМ являются: 1) возможность использования временной составляющей, когда, например, при ШПС-(ФМ) весь частотный спектр заполняется импульсами с фазой из двух состояний 0 и π; и 2) частотной составляющей, когда выделенный под ШПС частотный спектр разбит на полосы, число которых равно алфавиту ШПС. ЧВМ при этом вырождается условно из прямоугольника в 1) горизонтальную и 2) вертикальную полосы.
Очевидными недостатками такого способа формирования ЧВМ ШПС являются:
- неэффективное использование выделенной полосы частот - передается только один ЧВЭ элемент во всей временной полосе;
- использование в качестве ЧВЭ традиционных видов модуляции, обладающих низкой помехоустойчивостью,
- что в сочетании с использованием для демодуляции ШПС коррелятора не позволяет декодировать принимаемый сигнал, когда некоторая часть или все ЧВЭ по размаху существенно меньше уровня шумов,
- и высокую сложность формирования ШПС с большими базами.
Раскрытие изобретения
На с. 54 из [2] показано, что из формулы Шеннона непосредственно вытекает возможность обмена полосы пропускания на мощность сигнала и наоборот:
<mrow><mi>C</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>log</mi></mrow><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msub><mi>Р</mi><mi>с</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>Р</mi><mi>п</mi></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mtext>                                     </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow>
с
где Р - мощность сигнала;,
п
Р - мощность помехи;
F - полоса частот в канале.
Из анализа такого обмена [3], когда расширение полосы приводит к уменьшению мощности, вытекает, что пропускная способность канала при любой полосе, занимаемой сигналом, не может превысить некое предельное значение. Наличие этого предела означает, что для передачи одного бита информации при любой полосе необходима энергия сигнала, превышающая некий порог:
<mrow><msub><mi>Р</mi><mi>с</mi></msub><msub><mi>Т</mi><mrow><mn>1</mn><mi>с</mi></mrow></msub><mo>></mo><msub><mi>N</mi><mi>O</mi></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>log</mi></mrow><mn>2</mn></msub><mi>e</mi><mo>=</mo><msub><mi>N</mi><mi>O</mi></msub><mo>⋅</mo><mi>ln</mi><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>693</mn><msub><mrow><mtext> N</mtext></mrow><mtext>O</mtext></msub><mo>,</mo><mtext>                               </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow>
1с
где Т - время передачи одного бита, а;
O
N - спектральная плотность мощности шума.
2
Кроме того, из теории информации известно [1], [4], [5], что системы связи с малой базой сигнала работают лишь при входном отношении сигнал-шум больше единицы (ρ>0 дБ). Поэтому задача повышения помехоустойчивости в широкополосных системах связи решается за счет применения сигналов сложной формы, называемых шумоподобными, у которых произведение ширины спектра F на длительность Т, именуемое базой В, много больше единицы. Связь между входным и выходным отношением сигнал-шум определяется, как отмечал Л.Е.Варакин в своем труде, выражением, имеющим фундаментальное значение:
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>B</mi><mtext> </mtext><msup><mi>ρ</mi><mtext>2</mtext></msup><mo>,</mo><mtext>                                    </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mn>3</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow>
2
с
п
где ρ=Р/Р;
п
Р - мощности ШПС и помехи на входе;
2
h - отношение сигнал-шум на выходе приемника.
4
6
Современные системы связи с ШПС имеют базу В=10÷10 [1] и обеспечивают хорошую электромагнитную совместимость, высокую помехозащищенность, помехоустойчивость, скрытность, кодовое разделение абонентов, позволяют успешно бороться с многолучевым распространением радиоволн, измерять координаты подвижных объектов, более эффективно по некоторым критериям используют частотный диапазон и позволяют вести передачу информации, когда уровень шума в канале существенно превосходит уровнь сигнала.
Целью предложенного решения является достижение (повышение) такого уровня отношения сигнал-шум, который необходим декодеру для полного и достоверного извлечения всей информации, заложенной в переданном сигнале. Для разных сигналов и видов модуляции требуется свой уровень сигнал-шум [1], [4]. Так как на входе приемного устройства часто этот уровень является ниже требуемого, то необходимо его повышение до нужного соотношения.
Для этой цели используется явление, названное «принципом затухания помехи» (ПЗП) и описанное в ряде публикаций [6], [7]. Теоретической основой ПЗП является теорема A.M.Ляпунова, которая утверждает, что всегда когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с конечными дисперсиями, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом [8], и "Закон больших чисел", утверждающий, что при достаточно общих условиях с увеличением числа суммируемых случайных величин среднее арифметическое их суммы стремится к среднему арифметическому математических ожиданий и в бесконечности перестает быть случайным. Применение ПЗП требует выполнения всего двух операций - суммирования и синхронизации полезного сигнала перед суммированием, и соответственно для извлечения информации коррелятор в заявленном решении не используется.
С понятием синхронизации тесно связана корреляционная функция, которая количественно показывает степень синхронизации двух и более сигналов. Как для белого шума, так и для ШПС автокорреляционная функция имеет ярко выраженный пик на интервале корреляции [1]. Количественной мерой независимости случайных отсчетов или случайных процессов, от которой зависит скорость затухания помехи, принято считать значения корреляционной функции. Так отсчеты, разделенные интервалами времени, кратными 1/(2F), оказываются взаимно некоррелированными, что для гауссовских величин означает независимость, где F - верхняя частота спектра полосы сигнала. В то же время значения случайных процессов являются некоррелированными только при неограниченной полосе частот. Любое ограничение частотной полосы вносит определенную корреляцию в процесс и независимыми друг от друга можно считать только значения процесса, отстоящие друг от друга как минимум на интервал корреляции равный 1/(2F) [3].
<mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo>⋅</mo><msqrt><mi>n</mi></msqrt><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mrow>
Чем лучше синхронизированы два сигнала, тем менее независимыми они оказываются, и тем меньше они в соответствии с ПЗП затухают при суммировании. Полученная эмпирически «кривая затухания» для белого шума с большой точностью аппроксимируется выражением
. Все другие виды помех с распределением вероятности, отличающимся от белого шума, затухают по более крутой асимптотической кривой.
Опираясь на обязательное требование, которое предполагает сохранение передаваемой сигналом информации в результате обмена его параметров на отношение сигнал-шум, из формулы Шеннона получаем уравнение для объема сигнала [4] до и после преобразования, повышающего уровень сигнал-шум:
<mrow><msub><mi>T</mi><mn>1</mn></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>F</mi><mn>1</mn></msub><mo>⋅</mo><mi>log</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mi>T</mi><mn>2</mn></msub><mo>⋅</mo><msub><mi>F</mi><mn>2</mn></msub><mo>⋅</mo><mi>log</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mtext>                                 </mtext><mo stretchy="false">(</mo><mn>4</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow>
2
с
ш
где h - отношение Р/Р на выходе радиотехнической системы (РТС), а
2
q - соответственно на входе РТС.
При удалении от источника сигнала отношение сигнал-шум падает, а РТС выполняет обратное преобразование, повышающее отношение С/Ш до уровня выше критического, при котором декодер выдает достоверную информацию, переданную источником. Из (4) вытекают три варианта получения выигрыша в отношении С/Ш при передаче одного и того же объема сигнала со входа на выход РТС. Выигрыш можно получить при изменении (увеличении) либо времени передачи либо полосы сигнала, либо и того и другого одновременно. При этом из формул (1) и (4) не вытекает конкретный технический способ, при помощи которого можно получить такой выигрыш. Заявляемый способ [5] является таким решением и положен в основу формирования структура ЧВМ.
Для применения ПЗП в качестве механизма повышения уровня С/Ш, то есть для выполнения операции суммирования необходимо обеспечить требуемое число слагаемых компонентов входного сигнала. Для чего на передающей стороне в качестве ЧВЭ применяют модулированный любым способом несущий сигнал, и таким ЧВЭ заполняется частично или полностью вся матрица. На приемной стороне после выполнения процедуры синхронизации выполняется обратное преобразование, все ЧВЭ, относящиеся к одной ЧВМ, накапливаются в массиве данных и затем суммируются в один выходной сигнал.
Структурная схема предлагаемого устройства показана на фиг. 1-а. Передаваемая информация поступает на вход формирователя ЧВМ ШПС. При этом она может закладываться в дискретном виде как в структуру ЧВЭ, так и в структуру ЧВМ. В качестве ЧВЭ может, например, выступить последовательность радиоимпульсов, которая непосредственно содержит передаваемую информацию. При аналоговой передаче информации модулирование несущей частоты ЧВЭ также не приводит к усложнению формирователя ЧВМ. Один из частных случаев, когда за счет расширения полосы, выделенной под ШПС, модулирующий сигнал сжимается во времени в кратное число раз и его затем повторяют такое же число раз для использования ПЗП, описан в [5, 7]. Матрица в таком варианте вырождается во временную ЧВМ с одним каналом и может применяться как для дискретного, так и аналогового вида передачи.
С выхода формирователя сигналы поступают на канальные передатчики, которые могут быть как одноканальными на каждый канал ЧВМ, так и многоканальными в зависимости от структуры применяемой ЧВМ. Множество передатчиков необходимо для гальванической развязки каналов ЧВМ, так как при передаче на одну антенну происходит их автоматическое суммирование и за счет различия периодов несущих в каждом канале в действие вступает явление ПЗП, которое приводит к непредсказуемому затуханию выходного колебания. В качестве антенны в устройстве подразумевается преобразователь электрического сигнала в те или иные колебания выбранной среды распространения волны (электромагнитные, оптические, акустические либо гидроакустические). На приемной стороне за счет применения широкополосного приемника уместно применение одной антенны. Антенны передатчиков соответственно необходимо разнести в пространстве, чтобы исключить их возможное взаимное негативное влияние. Либо для электромагнитного варианта передачи применить известную конструкцию, показанную на фиг. 1-б, когда антенны сопрягаются сторонами, формирующими в направлении друг друга несущественное излучение.
На приемной стороне с выхода широкополосного усилителя сигнал поступает на полосовые фильтры по одному на каждый канал ЧВМ, которые конструктивно могут находиться в составе приемника. Возможен вариант применения цифрового программно- управляемого многоканального фильтра. Далее информация поступает на устройство переноса спектров каждого канала в единую полосу частот для последующего суммирования. В результате чего должна произойти синхронизация несущих частот в каждом канале. Так как для варианта амплитудной модуляции несущей полезная информация закладывается в огибающую, то вместо переноса спектров значительно проще произвести выпрямление (взятие по модулю) всех несущих. Синхронизация при этом будет достигаться по модулирующей частоте (по огибающей), что подтвердил вычислительный эксперимент согласно [5]. Аналогичная картина наблюдается при угловой модуляции [5], когда перед суммированием выполняется операция демодуляции. Как подтверждает вычислительный эксперимент, после проведения суммирования модулирующий сигнал с ростом числа слагаемых уверенно восстанавливается.
Затем выборки оцифрованных канальных ЧВЭ накапливаются в массиве данных до полного формирования принятой ЧВМ, после чего все ЧВЭ суммируются в единый выходной сигнал. Суммирование приводит к повышению уровня сигнал-шум на выходе до значения, необходимого для достоверного декодирования ШПС. На фиг. 2-а показан вариант квадратной ЧВМ размером 8 на 8 с количеством ЧВЭ, дающим максимальное число комбинаций различающихся друг от друга ЧВМ. Оно равно функции числа комбинаций n из N, возведенного в степень N, где N есть максимальное количество ЧВЭ вдоль стороны матрицы. На фиг. 2-а n равно половине N.
Очевидно, что столь большое множество формируемых ЧВМ в простейшем варианте, когда ЧВЭ ничем не модулируется, может быть разбито на подмножества, предназначенные как для формирования алфавитов, с помощью которых ведется передача информации, так и для организации многоканальной либо адресной связи. Для такого варианта на той же фигуре показан процесс суммирования ЧВЭ после их предварительного выпрямления. Суммирование показано двухступенчатым, в том смысле что число ЧВЭ может превышать технически предельное число входов одного из сумматоров. Возможно применение суммирования с накоплением одновременно с приемом ЧВМ.
На фиг. 2-б показан вариант суммирования, когда часть или вся полезная информация закладывается в ЧВЭ, показан пример с дискретной амплитудной модуляцией четырех бит информации. Суммирование здесь происходит минимум в 2 этапа. На первом из них суммируются все выборки, принадлежащие одному радиоимпульсу (биту). На втором этапе по фиг. 2-а суммируются все результаты первого этапа со всех ЧВЭ матрицы и также относящиеся к одному и тому же биту кодовой последовательности. Кроме того, последовательность двоичных импульсов, входящих в ЧВЭ, на передающей стороне может подвергаться преобразованиям, например перестановкам, для повышения скрытности с последующим восстановлением на приемной стороне. С этой же целью на передающей стороне может применяться искусственное зашумление, передача ложных ЧВЭ и тому подобное.
Таким образом, применение ПЗП и гальванической развязки частотных каналов на передающей стороне позволяет:
- достичь более эффективного использования выделенной полосы частот, ЧВМ может полностью заполняться ЧВЭ;
- применять в качестве ЧВЭ традиционные виды модуляции, обладающие низкой помехоустойчивостью, закладывать в них передаваемую информацию;
- что в сочетании с использованием для демодуляции ШПС сумматора вместо коррелятора позволяет декодировать принимаемый сигнал, даже когда все ЧВЭ по размаху существенно меньше уровня шумов;
- существенно упростить в целом устройство формирования, передачи и приема ЧВМ ШПС,
- и, как показано в [2], на один - два порядка уменьшить базу ШПС в сравнении с известными системами ШПС при одинаковом входном отношении сигнал-шум.
Кроме вышеописанных новых узлов, используемых в заявленном устройстве, на фиг. 1-а и 2-а показан известный в устройствах с ШПС блок синхронизации, который запускает процесс декодирования передаваемой информации. До начала передачи на приемной стороне происходит постоянное декодирование вероятных ЧВМ с накоплением некоторого их количества. После чего выполняется сравнение принятого с некоторой заранее известной эталонной последовательностью по критерию отсутствия ошибок в декодированной принятой последовательности ЧВМ. Положительный результат означает начало передачи данному адресату некой информации, по ее завершении также может передаваться служебный символ. Такой последовательностью ЧВМ, например, может служить индивидуальный позывной принимающей стороны либо другая информация, известная лишь двум сторонам информационного обмена.
Краткое описание чертежей
На фиг. 1-а показана структурная схема предлагаемого устройства. Передаваемая информация поступает на вход формирователя ЧВМ ШПС. При этом она может закладываться в дискретном виде в структуру ЧВМ, а в аналоговом или дискретном - в структуру ЧВЭ. С выхода формирователя сигналы поступают на канальные передатчики, которые могут быть как одноканальными на каждый канал ЧВМ, так и многоканальными в зависимости от структуры применяемой ЧВМ. Множество передатчиков необходимо для гальванической развязки каналов ЧВМ, так как при передаче на одну антенну происходит их автоматическое суммирование и, как следствие, из-за различия периодов несущих в каждом канале непредсказуемое затухание выходного колебания. В качестве антенн в устройстве подразумевается преобразователь электрического сигнала в те или иные колебания выбранной среды распространения (электромагнитные, оптические, акустические либо гидроакустические).
На приемной стороне с выхода широкополосного усилителя сигнал поступает на полосовые фильтры по одному на каждый канал ЧВМ, далее на устройство переноса спектров каждого канала в единую полосу частот (перенос можно заменить демодулированием) перед последующим суммированием. Далее выборки ЧВЭ накапливаются в массиве данных до полного формирования принятой ЧВМ, после чего все ЧВЭ суммируются в единый выходной сигнал. В составе блока декодирования также используется блок синхронизации, необходимость которого обоснована в теории ШПС, и который запускает процесс декодирования передаваемой информации в момент получения заранее известной последовательности из нескольких ЧВМ. Блок МП объединяет три других «Блока декодирования ЧВМ ШПС» и выполняет программные алгоритмические функции, то есть как микропроцессор или многоядерный процессор.
На фиг. 1-б показана известная конструкция разнесения радиоантенн передатчиков, необходимая для исключения их возможного взаимного негативного влияние, когда антенны сопрягаются сторонами, формирующими в направлении друг друга несущественное излучение.
На фиг. 2-а показан вариант квадратной ЧВМ, сформированной в результате накопления ЧВЭ в массиве данных, размером 8 на 8, с количеством ЧВЭ, дающим максимальное число комбинаций различающихся друг от друга ЧВМ. Для первых четырех столбцов показан процесс суммирования ЧВЭ после их предварительного выпрямления. Подразумевается, что информация закладывается в множество формируемых ЧВМ, когда ЧВЭ ничем не модулируется, путем организации в нем (множестве) подмножеств, предназначенных как для формирования алфавитов, с помощью которых ведется передача информации, так и для организации многоканальной либо адресной связи. Суммирование показано двухступенчатым, в том смысле что число ЧВЭ может превышать технически предельное число входов одного из сумматоров. С выхода сумматора получаемые ЧВЭ отводятся в массив данных блока синхронизации для их последующего сравнения с эталонной последовательностью импульсов.
На фиг. 2-б показан вариант суммирования, когда часть или вся полезная информация закладывается в ЧВЭ, показан пример с дискретной амплитудной модуляцией четырех бит информации. Суммирование здесь происходит минимум в два этапа. На первом из них суммируются все выборки, принадлежащие одному радиоимпульсу (биту). На втором этапе по фиг. 2-а суммируются все результаты первого этапа со всех ЧВЭ декодируемой матрицы и также относящиеся к одному и тому же биту кодовой последовательности.
Осуществление изобретения
Одним из малоизвестных средств, используемым для достижения заявленных технических результатов, относится принцип затухания помехи (ПЗП), который требует выполнения над принятыми сигналами последовательно двух операций: синхронизации всех временных отрезков полезного сигнала, подлежащих суммированию, и собственно суммирования. Теоретические основы, на которых он базируется, приведены в разделе «Раскрытие изобретения». Там же и в кратком описании фигур приводится состав и описание работы заявленного устройства. Более глубокий анализ требует разъяснения особенностей еще одного варианта исполнения устройства в целом.
Так, при закладке передаваемой информации в структуру ЧВМ, существенно возрастает сложность обработки информации на принимающей стороне. Это связано с тем, что после операции суммирования необходимо путем сравнения определять, какой из символов алфавита передан в данной ЧВМ. И в случае отрицательного результата произвести повторное суммирование ЧВЭ из той же ЧВМ для другого символа алфавита, повторяя цикл до получения положительного результата сравнения. Задача декодирования ЧВМ ШПС в этом варианте может быть несколько упрощена путем уменьшения размера алфавита или при одновременном увеличении кодового расстояния применением в алфавите вместо сравнения корреляционного варианта декодирования. Очевидно, что при таком подходе не все заявленные технические результаты могут быть достигнуты.
Выход из этого тупика кроется в другом варианте кодирования входной информации. Вся полезная информация должна быть вложена в структуру ЧВЭ. А множество ЧВМ, образуемое при ее не полном заполнении ЧВЭ, использовать лишь для организации многоканальной связи и адресной организации в данной системе передачи ШПС. Такой подход открывает еще одну возможность, которую можно организовать в системе. Она заключается в том, что когда расстояние между сторонами обмена достаточно мало,и влияние помех или электронного противодействия со стороны вероятного противника оказывается несущественным, количество передаваемых ЧВЭ в матрице может быть сокращено вплоть до единицы. Такое решение проблемы кодирования информации можно назвать адаптивным в отношении выбора для связи канала или алфавита, содержащего большее или меньшее количество бит, приходящихся на один символ. Последнее, очевидно, требует введения обратной связи между приемопередатчиками по служебному каналу и набор команд.
Обращаясь еще раз к структуре заявленного устройства, необходимо конкретизировать два понятия, используемых в предыдущем описании. Под передатчиками подразумевается устройство сопряжения формирователя ЧВМ с антенной, обеспечивающее в ней требуемую мощность, а под антенной - преобразователь электрического сигнала в колебание субстанции, посредством которой происходит благодаря распространению волнового процесса передача информации от передающей стороны к принимающей. Кроме того, как показал вычислительный эксперимент, при формировании и приеме ЧВМ частотные полосы и временные интервалы, во время которых передается ЧВЭ, могут частично перекрываться, обеспечивая тем самым небольшое улучшение качества связи.
Список литературы
1. Л.Е.Варакин. Системы связи с шумоподобными сигналами. М., Радио и связь, 1985 г., с. 5-8, 184-190.
2. Труды научно-технической конференции «Научно-технические проблемы в промышленности…» 2012 г., 29-31 мая 2012 года, Санкт-Петербург. Формирование частотно-временной матрицы ШПС. Попик П.И. (с. 54).
3. Электронный учебник по Теории информации. 3.5. Пропускная способность непрерывного канала. Теорема Шеннона. Выражения (3.55), (3.53) и комментарии к ним. http://www.msclub.ce.cctpu.edu.ru/bibl/TI/t1.htm.
4. К.Ю.Аграновский, Д.Н.Златогурский, В.Г.Киселев. Радиотехнические системы. М., Высшая школа, 1979 г., с. 60, выражение (2.1).
5. Заявка PCT/RU2011/000296 от 27.04.2011, приоритет от 04.05.2010 г. www.wipo.int/pctdb опубликовано под № WO 2011/145981.
6. Инновационная деятельность в Вооруженных силах Российской Федерации: Труды Всеармейской научно-практической конференции 25-26 ноября 2010 года. - СПб.: ВАС, 2010-568 стр. Принцип затухания помехи. Попик П.И. (с. 373).
7. Заявка на изобретение №2010117813/09 от 04.05.2010 г. Дата публикации 27.12.2010 г. Бюллетень №36.
8. Описана Центральная предельная теорема Ляпунова о сходимости и его же теорема «Закон больших чисел», http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/theme0/10.asp.