Исследование вопроса о существовании периодических решений

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Воронов А. А. Введение в динамику сложных управляемых систем / А. А. Воронов. М. : Наука, 1985. 352 с.

2. Зубов В. И. Лекции по теории управления / В. И. Зубов. М. : Наука, 1975. 496 с.

3. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красовский. М. : Физматлит, 1959. 222 с.

4. Лизина Е. А. Стабилизация многосвязной управляемой гибридной динамической системы с неперекрывающимися декомпозициями / Е. А. Лизина, В. Н. Щенников // Изв. вузов. Поволжский регион. Физ.-мат. науки. 2011. № 4 (20). С. 14 24.

5. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М. ; Л. : Гос-техиздат, 1950. 471 с.

6. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости / под ред. А. А. Воронова, В. М. Мат-росова. М. : Наука, 1987. 312 с.

Поступила 28.01.2012.

УДК 517.972

ИССЛЕДОВАНИЕ ВОПРОСА О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ*

В. И. Зубов, И. В. Зубов

В данной статье исследуются вопросы существования периодических решений у систем дифференциальных уравнений в частных производных и вопросы о существовании периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода малого параметра А. Пуанкаре.

Исследуем вопрос о существовании периодических решений у систем дифференциальных уравнений в частных производных. Рассмотрим сначала систему уравнений

+ £

& k=l дгк

Л

£ с%х, + £ А+ gk (ь) 0'=1 }=1

£ А)*, + £ , + / (ь), г = 1, ...,

)=1

)=1

Будем считать, что матрицы А размерности п х п, В размерности п х т, С размерности т х п, А размерности т х т, векторные

функции / =

являются 2я-периодическими функциями независимой переменной Ь. Наша задача будет заключаться в установлении условий, при

которых у системы (1) существует 2я-перио-дическое по Ь решение

X

и в построении этого решения. Наша задача будет решена, если будет найдена кривая Х0 = Х0 (г), или в параметрической форме

х0 = х (ь), г = г (ь),

которая, являясь начальным условием задачи Коши для системы (2), определяет 2я-пе-риодическое решение (2).

Введем в рассмотрение векторы

Х = (х1, ..., хп, г1, ..., 2т) ,

ф = (А, ...' А, д\, ..., дт)*

и рассмотрим линейную систему

© Зубов В. И., Зубов И. В., 2012

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-00624).

X = РХ,

где Р — блочная матрица (А В

Р = 1

Пусть У(Ь) — фундаментальная матрица системы (3). Разобьем ее на блоки размеров, соответствующих размерам матриц А, В, С, D:

У11 У12

У =

ЧУ21 У22 ,

Теорема 1. Если матрица Уц (2п) — Е является неособенной, то у системы (1) существует единственное 2п-периодическое решение (3).

Доказательство. Введем обозначение У (Ь, т) = У (Ь) У-1 (т). Приступим к изучению поведения решений системы дифференциальных уравнений характеристик системы (1) по отношению к координатам Х1, ..., хп. Решение систем дифференциальных уравнений характеристик системы (1) имеет вид

t

X = УХ0 + | у

¿0

Отсюда

X = уц Х0 + У12Z0 +

+ | (Уц (¿, т) / (т) + У12 (¿, т) д (т))^т,

¿0

Z = У21Х0 + У22Z0 +

t

+ | (У21 (¿, т) f (т) + У22 (¿, т) д (т))Л.

Положим Ь = 2п, X(2п) = Х0. Тогда из последних соотношений получим

Хо = (Е - Уи (2Р))1 (У12 (2п) Zo ) +

2р

+ | (Уц (¿, т) / + У^^т.

¿о

Подставим (6) во вторую группу формул (5) и выразим ¿о как функцию Ь, Z : Z0 = X (Ь,Z). Теперь, исключив ¿о из выражения (5), получим функцию

Хо = X (ь, ,

которая, будучи заданной в качестве начального условия задачи Коши при Ь = 0, опреде-

ляет 2п-периодическое решение системы (1). Чтобы убедиться в этом, достаточно повторить весь ход рассуждений в обратном порядке. На этом и закончим доказательство этой теоремы.

Рассмотрим теперь вопрос о существовании периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В теории нелинейных колебаний в настоящее время для решения вопроса о существовании периодических решений, а также для исследования поведения решений в их окрестности используется метод малого параметра, принадлежащий А. Пуанкаре. Основное содержание этого метода состоит в следующем.

Рассматривается система дифференциальных уравнений

X = В X, т),

где вещественная и непрерывная по совокупности своих аргументов векторная функция Г задана при Ь е (-да,да), X е Еп, т е [0, т]. Независимая переменная Ь фактически входит в правую часть системы (8), которая является 2п-периодической функцией "X е Еп. Пусть, кроме того, выполнены условия теоремы существования и единственности решений системы (8) в любой конечной области G с Еп при Ь е (-да, да). При выполнении этих условий система (8) определяет семейство отображений пространства Еп на себя

у = У

Здесь и далее X (Ь, Xо, ¿о, т) будет обозначать решение системы (8), удовлетворяющее условиям X = Хо при Ь = ¿о. В дальнейшем положим ¿о = о.

Вопрос о существовании периодических решений сводится к вопросу о существовании неподвижной точки у отображения (9). Последующие рассуждения в методе малого параметра исходят из того, что уравнение

У

при т = 0 имеет решение Х°, которому соответствует периодическое решение системы

X = X,

X0,0, о).

Вопрос о существовании периодического решения системы (8) сводится к вопросу о существовании неявной функции Xо (т), определяемой уравнением (1о) и условием (7) Х0 (т) ^ X0. Это и составляет основное

т^о

содержание метода малого параметра.

Рассмотрим вопрос о существовании пе-

104

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2о12 | № 2

риодических решений системы (8) при ц = 0, т. е. рассмотрим систему

X = Г

где функции Г удовлетворяют всем условиям, наложенным на правую часть системы (8). Для решения поставленной задачи по пытаемся построить в Еп динамическую систему, определяемую системой дифференциальных уравнений, решения которой сходятся к точке X0, обладавшей тем свойством, что

решение Х0 (ь, X0 ,Ьо) системы (11) будет 2я-периодическим.

В случае успешного построения указанной дифференциальной системы мы получим не только критерии существования периодических решений, но и методы построения этих решений, основанные на численном интегрировании указанной дифференциальной системы.

Введем следующую функцию переменного Z е Еп:

V

Функция V(Z) определена в любой точке Z е Еп, это следует из условий, наложенных на систему (11). Потребуем, чтобы функция V(Z) удовлетворяла на решениях искомой дифференциальной системы дифференциальному уравнению

^ = -V.

1%

Здесь и далее т — параметр искомой дифференциальной системы. Из этого следует

DX (2р, Z, 0) ^ dZ

DZ ) ¿т = -Z + X (2р, Z, 0).

dZ (Е - Р (Z))-1 (-Z + X (2р, Z, 0)),

где

Р (Z) =

DZ

Ь=2к .

Матрица Р(2) удовлетворяет следующему дифференциальному соотношению:

Р =-^^ Р,

DX

где матрица Якоби ОГ (Х,Ь )/DX вычисляется при X = X (Ь, 2,0).

Таким образом, если матрица Р(2) не имеет собственных чисел, вещественная часть которых равна единице, то правая часть полученной дифференциальной системы определена. Матрица Р(2) находится как решение задачи Коши для линейной системы (15) с начальным условием Р = Е при Ь = 0. Значение матрицы Р(2) берется в момент Ь = 2р.

Для того чтобы функция V(Z) экспоненциально стремилась к нулю в силу построенной дифференциальной системы при т ^ а>, достаточно, чтобы решение 2 = 2 (т, 2о), где 2о е Еп, построенной дифференциальной системы было неограниченно продолжаемо в положительном направлении.

Если требование (13) можно заменить на следующее:

dV dx

= -/V,

где k — некоторая положительно определенная матрица, а матрицу k выбрать в виде k = (Е - Р(2))(Е - Р(г)) , то система дифференциальных уравнений примет вид:

12 = (Е - Р (2))* (-2 + X (2р, г, 0)).

Умножим это соотношение слева на матрицу (Е - 0X1Д2) ; получим искомую дифференциальную систему

¿г

dx

DX

1т

В случае продолжаемости решения г = г (т, ) этой системы в положительном направлении будем двигаться по этому решению, например, с помощью численного метода типа Рунге — Кутты. Поскольку решение 2 = 2 (т, 2о) сходится к значению X0, определяющему периодическое решение системы (11), причем траектория попадает в е — окрестность точки X0 за конечное время (оценку можно получить из (13), то можно доказать, что путем выбора параметров численного метода можно построить последовательность (2/), сходящуюся к X0.

Все вышеизложенное можно резюмировать в следующей теореме.

Теорема 2. Если существует точка 20 е Еп такая, что решение 2 = 2 (т, 20) системы (16) неограниченно продолжимо в положительном направлении, то это решение при т ^ <» сходится к значению X0, определяющему периодическое решение X X0,0) системы (11).

Приведем теперь алгоритм построения последовательности (2/,). Для простоты возьмем за основу метод Эйлера интегрирования систем дифференциальных уравнений:

1. Выбирая некоторое положительное число N оценку величины которого можно получить из (13) и погрешности метода Эй-

Таким образом строится последовательность Критерием окончания будет близость к нулю функции V, критерием выбора шага интегрирования h = 2п/N будет неравенство

IV (Zk+i | < IV (Zfe )||.

Итак, вопрос о существовании периодического решения системы (11) сведен к вопросу о существовании продолжаемого решения системы (14). На основании многих известных достаточных признаков продолжаемости [1—3] можно предложить несколько достаточных условий существования периодического решения системы (11).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов А. В. Управление динамическими системами / А. В. Зубов, О. А. Шабурова. СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2005. 83 с.

2. Зубов А. В. Динамическая безопасность управляемых систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов. СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2009. 172 с.

3. Зубова А. Ф. Математические методы моделирования промышленных процессов и технологий / А. Ф. Зубова. СПб. : СПбГУ, 2004. 472 с.

Поступила 15.06.2012.

лера, строим последовательность Х0 = Zo, Хш = X ^N к,Zo, 0^, к = 1, ..., N.

2. Вычисляем значение Р (Zo) следующим образом:

2л DF и, Хк)

Р0 = Е, Рк+Х = Рк + —-Рк,

0 ' к+1 к N DX

^ = N к к = 0, ..., N - 1, Р (Z0) = Р„.

3. Вычисляем Zl по формуле

2л * = 2о + — (Е - Р (2о)) (-2 + X (2л, 2о, 0)).

106

ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2