Устойчивость и автоколебания бурильной установки

УДК 519.87550.222

УСТОЙЧИВОСТЬ И АВТОКОЛЕБАНИЯ БУРИЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

© 2009 г. П.В. Калинин

Южно-Российский государственный South-Russian State

технический университет Technical University

Рассматривается движение бурильной установки, состоящей из колонны бурильных труб и двигателя. Бурильные трубы совершают изгибно-крутильные колебания, обусловленные следящими силой и моментом сопротивления. Уравнения в частных производных, описывающие движение колонны вариационными методами, сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. На основе метода А.М. Ляпунова - Шмидта исследуется устойчивость основного движения и периодические режимы, ответвляющиеся от него.

Ключевые слова: бурильная установка; оптимальное управление движением; квадратичный критерий качества; система с распределенными параметрами.

The questions of complex drilling device control were considered. It is represented the construction composed of the drilling string (the distributed parameters system) and the drilling motor. The problem of moving optimal control is setting and solving. Optimal manipulated variable of system being treating behavior are determined on the basis of quality quadratic criterion.

Keywords: drilling device; moving optimal control; quality quadratic criterion; the distributed parameters system; optimal variable.

Математическая модель бурильной установки

Упрощённая схема бурильной установки приведена на рис. 1. Она включает в себя: двигатель 1, вал 2, соединяющий двигатель с редуктором 3, колонну бурильных труб 4.

Мд

Ф1

Рис. 1. Схема бурильной установки

При построении математической модели бурильной колонны предполагается, что вал, соединяющий двигатель с редуктором, обладает вязкоупругими свойствами, но отсутствуют изгибные и продольные деформации, а бурильная колонна представляет собой однородный вязкоупругий стержень постоянного сечения; редуктор состоит из колёс с недеформируе-мыми зубьями и валами.

На двигатель подаётся напряжение и и управляющее воздействие иу, вследствие чего вырабатывается момент Мд, подаваемый на вал 2.

Движение двигателя описываем системой уравнений [1]:

M д = см I;

LI + RI + сЕ ф1 = и; TU + и = kuy ,

где I - ток якоря; L, R -соответственно индуктивность и сопротивление якоря; сЕ - коэффициент противо-ЭДС; см - коэффициент момента; ф1 - угловая ско-

рость вала двигателя; Т - постоянная времени тири-сторного преобразователя; k - коэффициент усиления.

Вращательные перемещения на входе и выходе редуктора связаны с моментом на двигателе уравнениями [1]:

•/1ф1 = м д -b (ф2-ф1)-ci (ф2-Ф1); j2ф2 = b (ф2 - ф1 ) + с1 (ф2 - ф1 ) - с2 Дф (l , *) ;

где ^ - момент инерции двигателя; 32 - приведённый момент инерции редуктора; Ь, с1 - коэффициенты, характеризующие вязкие и упругие свойства вала, соединяющего двигатель с редуктором; С ч

с2 = с2(1 + у1—) - оператор вязкоупругости; ф1, ф2 -С х

вращательные перемещения на выходе двигателя и выходе редуктора, соответственно; Мд - момент на валу двигателя. Изгибно-крутильные колебания колонны описываем системой уравнений в частных производных

+ /1Дф( х, t)-GJp Дф"( х, t) = 0

EJyIV (x,t) = -py (x,t) - Ny"(x.t) + ^СОпрy'(L,t)y"(x,t) , где

^сопр = k1(rnR - y cos a) + &2(roR - y cos a)2 +

+&3(oR - y cos a)3

- сила сопротивления на свободном конце бурильной колонны. Для исследования устойчивости удержим лишь линейные относительно скоростей и перемещений слагаемые, приведя силу сопротивления к виду ^опр = mlA<P + m2y - m3y .

и

Уравнениям (3) соответствуют граничные условия: Дф(0,t) = 0 ;

GJpДср'

у (0, t ) = 0, у'( 0, t ) = 0, у"( Ь, t ) = 0; У"'( Ь, t ) = - Лсопр у'( ь, о,

где Мс(Ь,1) = а0ю2 + а1Дф + а2у + а3у2 + а4Дср2 + а5уДф -

момент сопротивления на свободном конце бурильной колонны.

В уравнениях (3) и (4) введены обозначения: Др( х, t) и у (х, t) - крутильные и изгибные деформации соответственно; ki = 1// - величина, обратная передаточному числу I; ц - момент инерции единицы длины бурильной колонны; р - удельная плотность бурильной колонны; N - величина следящей нагрузки;

Ы = е0,(1 + у и Шр = ^+ У1 ^)- операторы изгибной и крутильной жёсткостей.

После перехода к безразмерным времени т = ю21 и координате X = х / Ь системы уравнений (1)-(3) движения принимают вид:

ср1 = 1+ql (ср1 -ср2)+q2 (с1 -Ф2); м =

ср 2 = ql (ср 2- ср 1)+q2 (ф2 - Ф1)- qз дф (1, т)- q4Дср (^т);

ф 2 + q5Дф ( х, т)- q6 Др"( х, т)- q7 Др"( х, т) = 0;

где х1 (х), X2 (х) - некоторые аппроксимирующие функции, а f (t), f2 (t) - неизвестные обобщённые

___ , ч 2V2 (, ш^

координаты. Принимаем, что х (х) =-11-cos— I,

л ^ 2 )

/ ч лх

X 2 (х ) = 1 - cos—. В уравнениях (5) и граничных условиях (6) введены безразмерные параметры

Обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие движение бурильной установки, запишем в матричном виде

Mf + Фf + Hf = N .

где

f =

Ф1

ф2 fl f2 I

вектор состояний;

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 000000 000000

- инерционная матрица;

У (х, т) + q8 у (х, т) + у (х, т) + +q9У"(х,т)-qlo (Дср(х,т) + quу(х,т) +

+ql2 У

7 + q131 + q14ср1 = и; и + q15м = q16йу.

Граничные условия:

Дф "(1, т) +Дср(1, т) = - q17 (kiф2 + Дср (1, т))2 +

+ql8у (^ т)х|л-ф 2 +Дф (1, т)]+q\9у 2 (1, т)]; у (0, т) = 0; У ' (0, т) = 0; у " (1, т) = 0;

У "'

Для приведения уравнений изгибных и крутильных колебаний к системе обыкновенных дифференциальных уравнений применим вариационный метод Бубнова - Галёркина. При этом полагаем, что изгиб-ные и вращательные перемещения описываются одночленными выражениями:

у (х т) = Х1 (х) Л (1), Дф(х,1) = Ъ (х) /2 О1),

Ф =

00 00

Чи

0

0 0

— P + P2 —

1 2 4

8 л

P

2л/2

-диссипативная матрица;

H =

-Ч2 Ч2 Ч2 -Ч2

Ч4

P

2

0

2y[l

2

P7—+P8

7 8 8

0 0

00 00 00

00

10 01

0 0 0 2V2

0 0

л

0 0 4-P4 + P51 --il+— 0 0 0 л2 1л

2

4

00

P

242

P, л-

9 8 0 0

00

ч12 0

0 ?14.

матрица жесткостеи;

л

2

л

л

л

N =

0 0

• 2 8 • 2 2Л/2 • •

-

л л

0 0 0

- нелинейная вектор-функция.

Здесь введены безразмерные m,

P1 =

P3 =

pLra1

pL2ro1

PL

p2 =ю1у1 =

^ =

Goj iL2 :

P4 =

pLra1

ß „ _ a2 n_____- (x 1

P5 = P6 = P7 =ffl1Y1Q2, P8 = raf /ю1

параметры

„2 _ e0J _-7" ,

1 pL4 , P _

p5 _ 2 ,

Ю,

P9 =Q2

P10 =-

42 =

iL

P11 =

p12 = ra1 l , 41 =

ra2 j 2

j 2ra2

?3 =

g0 Jp j 2ra2

44 =

g0 J p J 2

Y1, 411 =

m^

pL ra1

m3 cE

412 = r2 2 , 414 = L pL ra1 L

Введя в рассмотрение вектор состояний x _

преобразуем линейную часть уравнения

где A =

ции.

0

Е

-M~lH - М_1Ф

- матрица линеариза-

Составим характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений

|XE - A _ 0 .

Будем рассматривать такие комбинации значений параметров бурильной установки, при которых хотя бы одна пара собственных значений имеет нулевые действительные части, а остальные содержат отрицательные вещественные части (критический случай).

Исследование устойчивости проводим на основе первого метода А.М. Ляпунова.

Характерные графики областей устойчивости приведены на рис. 2, 3.

Проведённые расчёты позволяют сделать следующие выводы:

- с ростом параметра p9, характеризующего соотношение частот изгибных и крутильных колебаний, происходит расширение области устойчивости,;

- с увеличением параметра p7, характеризующего вязкие свойства материала колонны, наблюдается расширение области устойчивости;

- увеличение параметра q2, характеризующего упругие свойства вала двигателя и инерционные свойства редуктора, приводит к расширению области устойчивости;

- с ростом параметра р3, характеризующего частоту изгибных колебаний, происходит сужение области устойчивости.

4 2 0 -2 -4

* -6 -8 -10 -12 -14

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Рз

Рис. 2. Области устойчивости в зависимости от параметров р3 и р9

Р9 = 11

3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0

х1(Г

42 = 11

13

14

15

16

Р7

Рис. 3. Области устойчивости в зависимости от параметров д2 и д14

Исследование колебательных режимов, ответвляющихся от основного состояния

Для исследования автоколебаний нелинейных деформируемых систем широкое распространение получил метод Ляпунова - Шмидта [3].

Переходя к безразмерному времени х = юх, где ю - разыскиваемая частота автоколебаний, преобразуем уравнение (7) к виду

га М/ + юФ/ + Hf = N(v,/,/,/).

где полагаем v _ v(1 + е2), здесь точками обозначены производные по т.

m

m

2

3

b

3w1

c

Решение уравнения (9) будем разыскивать в виде

10)

ro = 0 + Eskrok; f = Eskfk

.=1 k=1 где юк и / - неизвестные коэффициенты и вектор-функции, ю0 = 1.

Соответственно принимаем:

ад

М (V +е Ч /) = М0 (V, /) + X ВМ (V, /);

.=1

ад

Ф(V + В2V, /) = Ф0 (V, /) + £в"фк (V, /); (11) .=1

ад

Н (V + в Ч /) = Н0 (V, /) + X вМ (V, /);

.=1

ад

N(V + вЧ /, /, /) = X вkNk(V, /, /,/).

.=1

Подставляя ряды (10), (11) в уравнение (9) и приравнивая выражения при одинаковых степенях в , получаем последовательность уравнений

M0fk +Фofk + H0fk = Fk , k = 1, 2,

Решение каждого последующего уравнения (12) предусматривает наличие решений всех предыдущих уравнений. Первое уравнение (. = 1) однородно и соответствует задаче о собственных значениях. Полагаем

fk = Е Cjej"+ fl

fk = а k (ce"+ ce-") + fk

Поскольку существует разложение следующего вида:

M(v + e2v, f) = Mo(v, f) + M1(v, f )e2 ; Ф(у + e2v, f) = Фo(v, f) + Ф2(v, f )e2 ;

H(v + e2v, f) = Ho (v,f) + H (v, f )e2 ,

то можно упростить алгоритм расчёта методом Ляпунова - Шмидта. Проинтегрировав выражение (15), приходим к уравнению аю£ = 0, где £ = const ф 0 , тогда, предполагая, что

а1 ф 0, ю1 = 0,

можно переходить к рассмотрению третьего уравнения, не находя условие 2п-периодичности из (15), а пользоваться условием (16), предварительно находя частное решение неоднородного уравнения, что упрощает задачу.

Переходя к рассмотрению третьего уравнения (12), составляем вектор F3 = F3(v,f,а1,c,c,e±n,e±2гт,ю1),

тогда имеем условие существования 2п-периодичес-кого решения второго уравнения.

J F3 zd х = 0 .

где /* - частное решение .-го уравнения.

Подставляя ряд

имеет ненулевое решение, так как только определители |-М + /Ф + Н| обращаются в ноль. Таким образом,

/ = се/т + се~п, где с, с - векторы с сопряженными коэффициентами.

Векторы с, с известны до постоянного множителя а,- / = а1(се/т+ се), здесь с, с - векторы с нормированными коэффициентами.

Поскольку левая часть уравнений (12) не зависит от для . ф 1 имеем

С учётом выражения (14) составим вектор = /,а1,с,с,е±кх,е+2Ут,ю1), тогда имеем условие существования 2п - периодического решения второго уравнения

2л

I 2с1т = 0.

0

Здесь г - решение системы

2 - (М0-1Ф0)*г + (М0-1Н0)*г = 0, сопряжённой с системой (7).

Проинтегрировав выражение (17), приходим к уравнению

а12С1 +а1ю2С 2 +С 3 = 0,

где С,. = 1,2,3) являются комплексными числами.

Разделяя уравнение на мнимую и вещественную части, получаем систему уравнений относительно неизвестных а1ю2 :

а? Re(Cj) + а1ю2 Re(C 2) + Re(C 3) = 0; a,j2 Im(^j) + a1 ю2 Im((^ 2) + Im(^3) = 0.

Решение этой системы позволяет нам построить зависимости поправок к амплитудам и частотам автоколебаний от параметров бурильной колонны, изображённые на рис. 4.

Проведённые нами расчёты и построения позволяют сделать следующие выводы:

- с ростом значений параметра р7, характеризующего вязкие свойства материала колонны, происходит увеличение значений поправки к частоте и уменьшении- к амплитуде;

- с увеличением параметра р2, характеризующего вязкие свойства материала колонны и частоту изгиб-ных колебаний, происходит уменьшение значений поправки к частоте;

- рост значений параметра р8, характеризующего частоту изгибных колебаний и момент сопротивления, приводит к увеличению значений поправки к амплитуде.

зо

2,0 1,8 1,6 1,5 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

х1(Г

х10 '

! ! ! ......:......

....... .....J^S^j....... !

' P8 = 3  ......[.....

......;.......!...... ; ; ......i....... ......i...... ;

; î !

; ...........I......Г

......j.......L...... .......!......j......1.......

; .......;......1......i....... ;

......t...... p8 = 2 ......i......

1 .....

17

18

19 20

Р7 а

21

22

1,5 1,0 0,5 0

s -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 -3,0

4-

S

-ь-4

.:......].

Р7 = 3

;...........{.....(-

Р7 = 2 -

p7 = 1

"i"

T

4...

4-

-f-

T

-i-

6,2

6,4 6,6

P7 б

6,8

Рис. 4. Зависимость поправок к амплитудам автоколебаний: а - от параметровр7 и р8; б - зависимость поправок к частотам автоколебаний от параметров р7 и р2

3

6

Литература

1. Проектирование манипуляторов промышленных роботов и роботизированных комплексов / С.Ф. Бурдаков [и др.] М., 1986. 264 с.

2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости. М., 2005. 356 с.

3. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н. Применение метода Ляпунова - Шмидта к исследованию устойчивости и автоколебаний // Прикл. механика. 1983. Т. 19, № 12. С. 102-109.

Поступила в редакцию 22 июля 2009 г.

Калинин Павел Васильевич - ассистент, кафедра «Информатика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)22-55-344.

Kalinin Pavel Vasileviech - assistant, department «Informatics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)22-55-344.