Методы изучения тенденции временных рядов в эконометрических исследованиях

МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕНДЕНЦИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

В. В. СКВОРЦОВ

В исследовании установлено, что критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации и наименьшая величина средней ошибки аппроксимации. При выборе вида функции тренда используют метод конечных разностей. Обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда. Универсального способа обнаружения тренда в ряду динамики не существует. В одних случаях основная тенденция четко проявляется на графике, а в других ее невозможно определить из-за присущих временным рядам случайных колебаний.

Ключевые слова: коэффициент детерминации, тренд, случайные колебания.

При моделировании процессов в области экономики наряду с перекрестными данными, как известно, используют и временные ряды. Такими данными служит набор сведений, характеризующий один и тот же объект, но в разные моменты времени. В частности, яркими примерами могут служить ежедневные наблюдения за курсами валют, ежемесячные показатели инфляции, ежеквартальные данные о средней заработной плате, пенсии и т. п. В моделях временных данных результативный признак является функцией переменной времени или лаговых переменных. Данные, представленные в виде временных рядов, содержат систематическую и случайную составляющие. Систематическая составляющая в виде трендовой и циклической компонент ряда является результатом влияния постоянно действующих факторов. Поэтому каждый уровень временного ряда формируется из трендовой, циклической и случайной компонент. Важнейшей задачей исследования экономических временных зависимостей является выявление и описание одной из основных систематических составляющих временного ряда - трендовой компоненты. Временной ряд обычно колеблется вокруг тренда, очищенной от случайностей основной тенденции ряда динамики. В данной работе сделана попытка обобщить известные в литературе методы изучения тенденции динамических рядов.

Большинство рядов динамики экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное влияние множества

факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель, а в совокупности - формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. Трендовая компонента представляет собой плавно изменяющуюся тенденцию роста или спада, эффект которой накапливается постепенно на протяжении нескольких лет. Примерами могут служить изменение численности населения, структуры его возрастного состава и благосостояния, изменение промышленного производства и т. п. Некоторые ряды динамики не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой случайной компоненты [1].

На практике различают несколько критериев для проверки наличия тренда, но в качестве основных выделяют метод Форстера-Стюарда и метод разности средних двух частей одного и того же ряда. В случае, если доказана гипотеза о наличии тренда в изучаемом временном ряду, можно переходить к процессу моделирования тенденции исследуемого временного ряда. Основная гипотеза об отсутствии/наличии трендовой компоненты в ряду динамики проверяется с помощью критерия Стьюдента. Во временных рядах обычно различают тенденции трех видов. Тенденция среднего уровня выражается обычно посредством математического уравнения линии, вокруг которой варьируют фактические уровни исследуемого явления. Значения тренда в отдельные моменты

времени выступают математическими ожиданиями динамического ряда. Тенденция дисперсии характеризует тенденцию изменения отклонений между эмпирическими уровнями и детерминированной компонентой ряда. Связь между отдельными уровнями ряда динамики характеризует тенденция автокорреляции. Среди известных способов определения типа тенденции следует выделить: качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики, в частности, коэффициентов автокорреляции уровней ряда. Путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда, можно определить тип тенденции. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни тесно коррелируют между собой. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка Г ь1 уровней исходного ряда должен быть высоким. Если коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда, то динамический ряд содержит нелинейную тенденцию. Чем сильнее она выражена в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов [4, 5].

Наиболее простым методом изучения основной тенденции в рядах динамики является метод укрупнения интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, то есть на переходе от менее продолжительных интервалов к более продолжительным. При необходимости он может быть постепенным от малых интервалов к все более крупным, пока общее направление тренда не станет достаточно отчетливым. Средняя, рассчитанная по укрупненным интервалам, позволяет выявить направление и характер основной тенденции развития. При суммировании уровней по укрупненным интервалам колебания в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимо-погашаются и более четко обнаруживается общая тенденция. Для выявления тренда в уровнях ряда используются методы механического сглаживания и метод аналитического выравнивания. К методам механического выравнивания относят метод скользящей средней, метод экспоненциального сглаживания Брауна и метод Хольта-Винтерса. Метод подвижного или скользящего среднего состоит в том, что расчет показателя на прогнози-

руемый момент времени строится путем усреднения значений этого показателя за несколько предшествующих моментов времени. Скользящее среднее порядка Ь - это временной ряд, состоящий из средней арифметической Ь соседних откликов. Длина интервала сглаживания определяется как число последовательных уровней ряда, называемых окном сглаживания. Существенный недостаток этого метода состоит в том, что скользящая средняя не дает аналитического выражения тренда. При составлении прогноза методом усреднения часто приходится наблюдать, что влияние используемых при расчете реальных показателей оказывается неодинаковым, при этом обычно более свежие данные имеют больший вес. Другими словами, в методе скользящих средних имеет место неравенство весов: наблюдения, попавшие в отрезок осреднения, входят с равными весами, а остальные - с нулевыми весами. В качестве Ь выбирают учетное число и получают трех-, пяти-, семиточечную схему сглаживания. Чем больше Ь , тем лучше выравнивание, но и значительнее потери данных на концах сглаженного ряда. Иначе говоря, чем шире окно сглаживания, тем более гладким становится преобразованный ряд. Сглаживание скользящими средними относят к фильтрации компонент временного ряда, так как этот метод позволяет смягчить влияние не только случайных, но и периодических факторов. Метод простой скользящей средней приемлем для рядов с линейным трендом, где равномерная динамика является результатом сложения влияния большого количества факторов на изменение изучаемого показателя. Такой тип тренда удобен для отображения тенденции примерно равномерного изменения уровней. Если тренд выровненного ряда имеет изгибы, то использовать скользящую среднюю нельзя. В этом случае применяется взвешенная скользящая средняя. Если же вместо средней арифметической использовать медиану значений, попавших в окно сглаживания, то сглаживание является медианным. Преимущество последнего заключается в том, что результаты сглаживания становятся более устойчивыми к имеющимся внутри окна сглаживания выбросам. Метод экспоненциального сглаживания позволяет анализировать временной ряд и получать прогноз без предварительного задания формы тренда [2]. Экспоненциальное сглаживание - это временной ряд, значения которого являются функцией всех предшествующих наблюдений. Иначе говоря, при расчете прогноза данным методом учитывается отклонение преды-

дущего прогноза от реального показателя. Самое первое предыдущее наблюдение учитывается с максимальным весом, а вес остальных уменьшается по мере удаления от рассчитываемого значения. Из исходного временного ряда у,

сглаженный ряд (у) можно получить с помо-

щью линейного оператора сглаживания е(У)=Жу, +(1-Ж)е,-1(у), где Же[0,2;0,5] - постоянная сглаживания [3]. Если указанный оператор последовательно применить ко всем значениям отрезка ряда, то

еп (У) = ЖУп +(1-Ж) еп-1(У) =

= ЖУп + (1-Ж)[+ Ц-Юе_2(у)] = ...

Сглаженное значение е (у) заменяем на

первое известное значение ряда. После преобразований получим

еп (У) = Жуп +Щ1-Ж)У„-1 +Ж(1-Ж)2 Уп-2 +...

+Ж(1-Ж)п-2 у2 +(1-Ж)п-1 у

Как и в методе скользящих средних, в случае экспоненциального сглаживания наблюдения входят в обработку не с одинаковыми, а с экспоненциально убывающими весами, то есть настоящие наблюдения воспринимаются с большим доверием, чем прошлые. Сглаживание скользящей средней по пятиточечной схеме эквивалентно экспоненциальному сглаживанию с коэффициентом Ж=0,33. При достаточно большой длине ряда его прошлые значения по мере удаления входят с весами, быстро стремящимися к нулю. Поэтому условно ряд можно считать бесконечным. В этом случае оператор сглаживания можно записать в унифицированном виде:

е (у)=Ж 2(1-Ж)‘у,-,, причем он, как и в перво-

к=0

начальной форме, является линейным. Это означает, что после сложения, применяя его к отдельным составным частям ряда, можно получить результат сглаживания всего исходного временного ряда. В отличие от метода скользящих средних в случае экспоненциального сглаживания имеются аналитические выражения для прогноза. Согласно теореме Брауна коэффициенты полиномов, по которым осуществляется прогнозирование, аналитически выражаются через сглаживаемые значения ряда динамики. Усовершенствованием метода экспоненциального сглаживания Брауна служит метод Хольта-Винтерса. При его использовании вычисляют сглаживаемые зна-

чения ряда е1 = и(е,-1 + Т-1) + (1 - и) у1 и микротренд Т = уТ(-1 + (1- у)(е, - е(-1), где и е[о,2;1],

V е (0;0,5] - константы сглаживания. При расчете прогнозов предполагается, что сглаженное значение последней точки еп является опорой,

а определяющий для нее микротренд Тп сохранит свое значение в прогнозируемом будущем. Функция прогноза имеет вид: Уп+Т = еп +, •Тп, где , -

номер периода в будущем, для которого рассчитывается прогноз.

Наиболее распространенным способом моделирования тенденции временного ряда является аналитическое выравнивание - построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Суть метода заключается в аппроксимации временного ряда определенной формой регрессионной зависимости или, проще говоря, в замене эмпирических откликов ряда аналитическими. При этом алгоритм аналитического сглаживания включает в себя выбор функции, определение ее параметров и расчет по найденному уравнению теоретических откликов. Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные виды функций. В аналитическом выравнивании для построения трендов зачастую применяются линейная, степенная, показательная, гиперболическая функции, Фурье-функция и полиномы различных степеней. В качестве объясняющей переменной выступает время, а в качестве эндогенной - фактические уровни временного ряда. Параметры каждого из перечисленных трендов можно определить традиционным методом наименьших квадратов. Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации. Выбор нужной функции осуществляется на основе графического изображения исходного ряда. Критерием отбора наилучшей формы тренда служит наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации и наименьшая величина средней ошибки аппроксимации. При выборе вида функции тренда используют метод конечных разностей [4]. Обязательным условием применения данного подхода является равенство интервалов между уровнями ряда.

В заключение хотелось бы отметить тот факт, что универсального способа обнаружения тренда в ряду динамики не существует. В одних случаях основная тенденция четко проявляется

на графике, а в других ее невозможно определить из-за присущих временным рядам случайных колебаний.

Литература

1. Варюхин А. М., Панкина О. Ю., Яковлева А. В. Эконометрика. М.: Юрайт-Издат, 2005.

2. Гореева Н. М., Демидова Л. Н., Клизогуб Л. М. и др. Эконометрика: Учеб. пос. в схемах и таблицах. М.: Эксмо, 2008.

3. Колемаев В. А. Эконометрика. М.: ИНФРА-М, 2005.

4. Нименья И. Н. Эконометрика. СПб.: Изд. Дом «Нева», 2003.

5. Новиков А. И. Эконометрика: Учеб. пос. М.: ИНФРА-М, 2007.

* * *

STUDY METHODS OF THE TENDENCY OF THE TEMPORARY ROWS IN ECONOMIC RESEARCHES

V. V. Skvortsov

In research the fact, that the greatest meaning of corrected determination coefficient and the least size of an average mistake of approximation are the criterion of selection of the best trend form. At a choice of a kind of trend function use the method of final differences is used. An obligatory condition of application of the given approach is the equality of intervals between levels of a line. The universal way of detection of the trend in a row of dynamics does not exist. In some cases the basic tendency is precisely shown on a diagram, and in others it cannot be determined because of casual fluctuations that are typical for the temporary rows.

Key words: determination coefficient, trend, casual fluctuations.