О процедуре исследования асимптотической устойчивости интервально-заданного объекта с запаздыванием

О ПРОЦЕДУРЕ ИССЛЕДОВАНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ИНТЕРВАЛЬНО-ЗАДАННОГО ОБЪЕКТА С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Г. Н. Пащенко

Институт проблем информатики и управления Министерства образования и науки Республики Казахстан, 050010, Алма-Ата, Казахстан

УДК 681.5

Предложена процедура исследования асимптотической устойчивости интервально-заданного объекта с запаздыванием на основе интервального аналога прямого метода Ляпунова с использованием скалярно-оптимизационной функции, подхода Разумихина, аналога соотношения Басса и QR-алгоритма.

Ключевые слова: асимптотическая устойчивость, интервально-заданный объект с запаздыванием, прямой метод Ляпунова, интервальная скалярно-оптимизационная функция.

The procedure of research of asymptotic stability of the interval-given object with delay on the basis of interval analogue of the Lyapunov's direct method with use of the scalar-optimizing function, the Razumikhin's approach, the analogue of Bass's ratio and QR-algorithm is offered.

Key words: asymptotic stability, interval-given object with delay, Lyapunov's direct method, interval scalar-optimizing function.

Введение. Огромному количеству объектов механики, медицины, биологии, иммунологии, экономики, различных технологических процессов присущи такие характерные особенности и свойства, как наличие запаздывания и параметрическая неопределенность интервального типа, создающие определенные трудности при исследовании динамических свойств. Параметрическая неопределенность характеризуется принадлежностью истинных параметров объекта некоторым интервалам с известными границами.

В настоящее время обобщения теорем о расположении корней полинома на квазиполиномы известны для всех существующих аналитических и частотных критериев: критерия Рауса — Гурвица, частотных критериев Попова, Михайлова, Найквиста.

Критерии устойчивости для систем с запаздыванием, аналогичные критерию Рауса — Гурвица [1], основаны на результатах работ [2-4].

Среди частотных методов можно выделить два основных: метод амплитудно-фазовых характеристик и метод Д-разбиения. Для систем с запаздыванием частотные методы были развиты в работах [5-7]. Применительно к системам с запаздыванием метод амплитудно-фазовых характеристик наиболее полно развит в работах [6, 7]. Еще одним методом определения условий, при которых все корни характеристического квазиполинома лежат в левой полуплоскости, является метод Д-разбиений [8].

Наиболее общими методами анализа рассматриваемых систем являются метод Попова [9], метод описывающей функции [10], первый метод Ляпунова, прямой метод Ляпунова, развитый в работах [11-13]. В указанных выше работах анализировались стационарные и нестационарные объекты с запаздыванием. Наиболее близкими к тематике данной работы являются работы, связанные с теорией робастной устойчивости.

Теория робастной устойчивости и робастных систем управления, созданная в работах [14-17], применяется в методах идентификации объектов в условиях неопределенности, методах адаптивного управления, а также при исследовании робастной устойчивости непрерывных систем. В работе [17] приведены достаточные условия робастной устойчивости, т. е. устойчивости семейства систем.

Известный результат решения задачи робастной устойчивости получен В.Л.Харитоновым: необходимым и достаточным условием робастной устойчивости является гурвицевость лишь четырех определенных краевых полиномов.

В работах [14-17] анализируются полиномы и квазиполиномы с неопределенными коэффициентами. Изучению интервально-заданных систем посвящены работы [18, 19], в которых рассматривается проблема анализа и синтеза робастных систем управления на основе прямого метода Ляпунова.

В данной работе исследуется асимптотическая устойчивость интервально-заданного объекта с запаздыванием на основе интервального аналога прямого метода Ляпунова с использованием скалярно-оптимизационной функции, подхода Разумихина, аналога соотношения Басса и QR-алгоритма. QR-алгоритм обладает свойством сохранять форму Хессенберга исходной матрицы, что существенно уменьшает стоимость каждой итерации. Данный алгоритм является наиболее эффективным и широко применяется для решения задач среднего размера [20, 21].

1. Постановка задачи. Рассмотрим интервально-заданный объект с запаздыванием, математическая модель которого описывается системой интервальных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

x

где t £ [t0, ж) = J (to); x(t) £ Rn — вектор состояний объекта; x(t — т) £ Rn — вектор состояний объекта, запаздывающий на время т > 0; т = const < ж — время запаздывания; 'p(v) £ C([—т, 0], Rn) — непрерывная ограниченная начальная векторная функция; C([—т, 0], Rn) — пространство непрерывных функций p(v) на отрезке [—т, 0] с нормой ||р(и)||т = max ||p(u)||; ||p(u)|| < v(t0) (v £ [t — т,t]) — евклидова норма вектора p(u);

—т<и<0

v(t0) — некоторое число; A £ IRnxn, A1 £ IRnxn — постоянные интервальные матрицы:

A = (aij) (aij = [aij,ач] , ^< i,j < n), Ai = (a(i)ij) (a(i)ij = [a(i)ij,аш] , 1 < i,j < n); IR = {x £ R | x < x < x, x,x £ R} — множество всех вещественных интервалов; aij, aij — нижние и верхние границы значений элементов матрицы A; a^j, a(i)ij — нижние и верхние границы значений элементов матрицы Ai .

Далее под математической моделью вида (1) понимается семейство математических моделей стационарных объектов управления с запаздыванием:

{x(t) = Ax(t) + Aix(t — т) | (ЗА £ A)(3Ai £ Ai)} .

Пусть существует интервальная положительно-определенная функция V, причем для всех V £ V выполняются условия

V = V(t, x), V : J х Rn ^ R+, V(t, 0) = 0 yt £ J, V £ C(J x Rn).

Кроме того, V £ C(J x Rn) — некоторая функция, W : Rn ^ R+, W £ C(R+) — непрерывная монотонно возрастающая функция, удовлетворяющая условию W(0) = 0. Если W

является строго монотонно возрастающей функцией, то она принадлежит классу К, выделяемому Г.Ханом [22]. Пусть существуют функции Е К, Ш2 Е К, такие что для любых Ь, х выполнены следующие условия:

1) V(Ь, х) < ^(И);

2) V(Ь, х) > Ж2(||х||), причем Ш2(т) ^ ж при г ^ж.

В качестве претендента на функцию Ляпунова выберем интервальнозначную функцию

У

являющуюся естественным расширением квадратичной формы

У(х) = ^],

где V = хтНх; V = хтНх; Н € ТЖпхп — вещественная симметрическая положительно-определенная интервальная матрица, т. е. УН Е Н выполняется условие Н = Нт > 0.

Аналогом производной функции Ляпунова (2) является интервальная скалярно-оптими-зационная функция И,(х)[23]:

Н,(х) = 8ир{У(х) | У(х(и)) < У(х), Ь — т < и < Ь, х(Ь) = х}.

Таким образом, скалярно-оптимизационная функция И.(х) определяется наибольшим значением интервального функционала V (х) на ограниченном множестве интегральных кривых, вдоль которых интервальная функция V(x) убывает.

В правой части выражения для И.(х) присутствует фундаментальное условие V(x(u)) < V(x), Ь — т < и < Ь (принцип Разумихина), существенно упрощающее нахождение производной функции Ляпунова для дифференциальных матричных уравнений и играющее определяющую роль при исследовании устойчивости систем с запаздыванием.

При выбранной функции Ляпунова (2) интервально-заданный объект с запаздыванием (1) является асимптотически устойчивым, если выполняется условие

V(x) > 0, Н,(х) < 0 Ух(ф(ь)) = 0.

Вычислим полную производную от интервальной функции Ляпунова (2). Тогда выражение для интервальной скалярно-оптимизационной функции принимает вид

Н,(х) = 8ир{хт(ЛтН + НЛ)х(Ь) + 2хтНЛ:х(Ь — т) ||х(Ь — т)| < |х(Ь)||}

или

Н,

где Бх — знаковая диагональная матрица размерности п х п; Бх = diag(sgn Хг(Ь), I = 1,п). Оценим второе слагаемое в выражении (3) согласно [24]:

2хтНЛ:5хх

(Е — единичная матрица). Тогда

Н,(х) = хт(АтН + НА + ИЛ1ЛТ Н + Е)х(г).

Исследование свойств асимптотической устойчивости интервально-заданного объекта с запаздыванием (1) сводится к решению интервального матричного уравнения вида

Ат Н + НА + НА1 аТн = -д,

где д = д' + Е — интервальная положительно-определенная матрица, т. е. Qт = Q > 0

V Q е д.

2. Процедура исследования свойства асимптотической устойчивости интер-вально-заданного объекта с запаздыванием. Рассмотрим случай, когда матрицы А,А1^ являются точечными. В этом случае математическая модель (1) принимает вид

АтН + НА + НААТН = ^.

Решение поставленной задачи состоит в построении точечной симметрической положительно-определенной матрицы Н = Нт > 0 как решения точечного матричного уравнения Рик-кати (4).

Шаг 1. Для уравнения (4) по известным матрицам А, А1^ на основе аналога соотношения Басса [23] построим блочную матрицу Эйлера размерности 2п х 2п в виде

Р

А

-Q

А-АТ

Ат

Шаг 2. Преобразуем матрицу Р к верхней треугольной форме Хессенберга Р [25].

Шаг 3. Преобразуем матрицу Р, которая имеет верхнюю форму Хессенберга, в треугольную форму Шура [25].

C использованием дИ-алгоритма приведем матрицу Рп-2 в форму Шура.

Процесс заканчивается в том случае, если все элементы некоторой матрицы 0(1, лежащие ниже диагонали, выходящей из верхнего левого угла, оказываются нулевыми.

Обозначим матрицу О« через Я (если матрица квадратная, то Я будет верхней треугольной):

Я = р (Ор (-1).. р (1)0.

Поскольку Р = Р , выражение (5) можно записать в виде

О = р (1)р(2).. .р (1)Я.

Обозначим через Q матрицу вида

Q = р(1)р(2) ...р(1).

Тогда имеем представление

с = дя,

которое называется QR-разложением. Далее матрицы д и Я перемножаются в обратном порядке:

Сг = яд.

Матрица Сг ортогонально-подобна матрице С:

с г = д сд.

Матрицу дт можно построить как произведение п — 1 вращений, т. е. представить в виде

дТ = Яп,п-1    Я23Я12.

Согласно теореме Шура любая необязательно квадратная матрица унитарно-эквивалентна треугольной матрице, в которой собственные значения диагональных блоков представляют собой собственные значения для этой квадратной матрицы.

Шаг 4. Строится унитарная матрица и [23], которая обеспечивает вещественную треугольную форму Шура Б для матрицы Г. Матрица и равна и = П ди, Б = иГи*, и ее

к

можно представить в блочном виде

и

и

11

и

12

и

21

и

22

где знак " *" обозначает операцию транспонирования для случая, когда элементы матрицы Г вещественны; в случае комплексных элементов знак " * " обозначает транспонирование и замену этих элементов на комплексно-сопряженные.

Шаг 5. Согласно методам решения матричных уравнений [25] точечную матрицу Н можно определить из выражения вида

Н = и21 и

21и111.

Шаг 6. Проверяется, является ли матрица положительно-определенной [26, 27]. В случае если Н удовлетворяет условиям положительной определенности, рассматриваемый объект с запаздыванием является асимптотически устойчивым.

Заключение. С использованием интервального аналога прямого метода Ляпунова, ска-лярно-оптимизационной функции, подхода Разумихина, аналога соотношения Басса и QR-алгоритма разработана процедура исследования асимптотической устойчивости интер-вально-заданного объекта с запаздыванием.

Список литературы

1. ПервозванскиЙ А. А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986. 616 с.

2. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Докл. АН СССР. 1953. Т. 91, № 6. С. 1279-1280.

3. Чеботарев H. Г., Мейман H. H. Проблема Рауса — Гурвица для полиномов и целых функций // Тр. Mат. ин-та им. В. А. Стеклова. M.: Изд-во АН СССР, 1949. Т. 26. С. 3-331.

4. Капырин В. H. К проблеме Гурвица для трансцендентных функций: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Казань, 1944. 257 c.

5. Резван В. Абсолютная устойчивость автоматических систем с запаздыванием. M.: Наука, 1983. 360 с.

6. Satche M. Disccussion of a previous paper // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1949. P. 419-420.

T. Цыпкин Я. З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью // Автоматика и телемеханика. 1946. T. 7, № 2. C. 107-128.

S. Лаврентьев M. А. Mетоды теории функций комплексного переменного / M. А. Лаврентьев, Б. В. Ша-бат. M.: Физматгиз, 1958. 678 с.

9. Halanay A. Differential equations, stability, oscillation, time lags. N. Y.: Acad. Press, 1966. Chap. 4. 148 p.

1G. Corduneanu С. Sur une equation Integrate non-lineare. Analele Stiintifice ale Universitatii Al. I. Cuza din Lasi, Sectlunea 1-a, Matematica. 1963. V. 2. 375 p.

11. Красовский H. H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. M.: Физматгиз, 1959. 256 c.

12. Цыпкин Я. З., Поляк Б. Т. Частотные критерии робастной устойчивости линейных дискретных систем // Автоматика (Киев). 1990. № 4. C. 3-9.

13. Ackerman J. Sampled data control systems-analysis and synthesis. Robust system design. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 350 p.

14. Хьюбер П. Робастность в статистике. M.: Mир, 1984. 304 с.

15. Харитонов В. Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, № 11. C. 2086-2088.

16. Харитонов В. Л. Семейства устойчивых квазиполиномов // Автоматика и телемеханика. 1991. № 7. C. 75-88.

1T. ХаланаЙ A. Асимптотическое поведение решений некоторых интегральных уравнений // Rev. Roumaine. Math. Pures Appl. 1965. V. 10, N 6. P. 765-767.

18. Шлшихин В. H. Робастная стабилизация интервальных динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1992. № 6. C. 47-53.

19. ШАшихин В. H. Синтез робастного управления для интервальных крупномасштабных систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. C. 164-174.

2G. Кублановская В. H. О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы собственных значений // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1961. Т. 1, № 4. С. 555-570.

21. Francis J. G. F. The QR transformation. 2 // Comput. J. 1962. V. 4, N 4. Р. 332-345.

22. Кунцевич А. M. Синтез систем автоматического управления с помощью функции Ляпунова / А. M. Кунцевич, M. M. Лычак. M.: Наука, 1977. 400 с.

23. РАЗУмихин Б. С. Устойчивость эредитарных систем. M.: Наука, 1988. 122 с.

24. Цыкунов А. M. Адаптивное управление объектами с последействием. M.: Наука, 1984. 240 с.

25. ИкрАмов Х. Д. Численное решение матричных уравнений: ортогональные методы. M.: Наука, 1984. 192 с.

26. Соколова С. П., Пащенко Г. H. Исследование робастных свойств простейшей иммунологической модели // Тр. Mеждунар. науч.-практ. конф. "Проблемы вычислительной математики и информационных технологий", Алма-Ата, 25-26 марта 1999 г. Алма-Ата: КазНУ им. аль-Фараби, 1999. С. 334-335.

2T. Соколова С. П., Пащенко Г. H. Пакет прикладных программ для исследования интервальной иммунологической системы // Новости науки Казахстана. 2009. № 2. С. 103-108.

Пащенко Галина Николаевна - канд. техн. наук, ст. науч. сотр.

Института проблем информатики и управления Министерства образования и науки Республики Казахстан;

e-mail: galina_pashenko@mail.ru

Дата поступления — 25.11.2009