Границы применения математической модели нестационарного течения несжимаемого газа в осесимметричных каналах

УДК 536.24:532.52

Ю. Г. Володин, О. П. Марфина, А. П. Кирпичников ГРАНИЦЫ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОГО ГАЗА В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КАНАЛАХ

Ключевые слова: границы, нестационарность, неизотермичность, математическая модель, газовый поток,

осесимметричный канал.

Для математической модели турбулентного пограничного слоя, разработанной с позиций параметрических методов и описывающей нестационарное неизотермическое течение несжимаемого газа в осесимметричных каналах с теплообменом, определены границы применения.

Keywords: restrictions, unsteady-state, non-isothermal, mathematical model, gaseous flow, axle symmetric canal.

For the mathematical model of turbulent boundary layer, worked out from positions of self-reactance methods and describing the unsteady-state non-isothermal flow of non-compressible gas in axle symmetric channels with a heat transfer, the borders of restrictions are certain.

Математическое моделирование физических явлений является весьма перспективным направлением научных исследований. Однако не всегда та или иная математическая модель адекватно описывает физическое явление. Причины здесь разные. Использование математических моделей для описания физических явлений ограничивается рамками принимаемых допущений, что в итоге описывается границами применения рассматриваемой математической модели.

В работах [1, 2] приведена математическая модель нестационарного неизотермического течения несжимаемого газа в осесимметричных каналах и проведено численное исследование нестационарного неизотермического течения несжимаемого газа в условиях внутренней задачи. На основе выполненных численного исследования и физического эксперимента [2, 3] определим границы применимости приведенной математической модели.

При выполнении численного исследования показано, что ускорение потока приводит к увеличению, а замедление - к уменьшению относительного коэффициента трения . Причем,

хш - обобщающий параметр трения, аккумулирует воздействие продольного градиента давления и нестационарности, т. е. ускорение или замедление потока, обусловленные изменением геометрии обтекаемой поверхности либо переменными во времени параметрами потока, формирующими один из видов нестационарности. Известно, что в диффузорах при больших углах раскрытия происходит отрыв пограничного слоя.

Согласно [4] обобщающий параметр трения равен

_, 2 5 1 дwn 2 5 1 дwn 5 . 5 ,1Ч

< -------^--= 2 + Х--

С,

dt

Cf w0 dx r0

При отрыве пограничного слоя

%w0 = 0 + z0

_8_

r0

Здесь X0 - параметр продольного градиента давления, 2 0 - параметр динамической

нестационарности. В точке отрыва величина стремится к нулю и ^0 0кр . В рассматриваемом

случае нестационарного течения отрыв потока может произойти не за счет пространственного изменения характера течения обтекаемой поверхности, а в результате временных его эволюций. Действительно, величина параметра продольного градиента давления Х0 в конфузорном канале и на начальном участке цилиндрического

канала отрицательна всегда, так как

dw,

> 0. В

тоже время нестационарности z 0

параметр

dw0

при

dt

dx

динамической < 0 положителен.

Может сложиться ситуация, когда | 2 0 | много больше | X01 и параметр X0 0кр, т. е. причиной

отрыва будет являться нестационарность. Тогда проинтегрируем выражение

2 •(1-Ю1 )М,ю

Cf

С

= лГе=-

f0

(l-й,0 )-[l + + (1-ф К

Здесь

^=/ж f,

10 и

значения

относительной скорости на границе вязкого подслоя и его толщина в стандартных условиях. Из выражения (3) видно, что конечная реализация зависимости связана с распределением касательных напряжений (4 - 5) [4, 5]

= 1 +

ТЕ

X 0 ^ 0;

_% = 1, fe+%,0)Е (z+X0)d

%0 ^ 0,

Т0 (1 -¡^ (1

Соотношения (3) - (5) совместно с зависимостями для относительных толщин вязкого подслоя и скорости на его границе [4]

^ = 11,6] Re;

5 С

f '1+tw^

0

r

w

0

0

5

2

2

• = Т т

образуют систему уравнений, которая при заданных

8

значениях Яе , %0, ф* и — позволяет рассчитать

Г0

эволюцию относительного коэффициента трения. Разрешая полученный результат относительно

X0кр пРи = 0 , нах°дим

0кр 2

2 XI1 - Ю1кр )

1+

где

С = 2

1кр = Яе*

л/ф *+0 - ф * Кр ]&С1

1 +Л1

2Яе

1 2

( 8 >

Яе„

8

V кр у

С Е2

0 4>1кр

м^0кр '

С

/ 0 •

8

кр 0

- ю) 1 - Уео8а Щ,;

0 Р0 I Г0 У

ю. = 1 -

1кр ~ 2 о 1кр

2Х 2

1 + 1 -ф* С/0

2Х2 2

(

2

-1 +4С

о .

X2 2 -

О кр =

^0 кр

1п

1+ Л) (((

.

Решая (8) - (14), получим критическую величину параметра трения. Результаты решения аппроксимированы в виде логарифмической зависимости для случая ф* = 1 и Яе**> 500.

%0кр = 23,2ИпЯе**-50,34 :

ю .кр = .

На рис. 1 приведены результаты математического эксперимента по определению критического параметра трения в функции числа Рейнольдса, построенного по толщине потери импульса, с увеличением величины которого устойчивость потока к внешнему возмущению возрастает, и величина параметра трения увеличивается. Увеличивается величина параметра трения и с уменьшением энтальпийного фактора ф*

. Отсюда следует, что путем охлаждения поверхности отрыв потока можно затянуть.

Ускорение потока возникает при изменении геометрии обтекаемой поверхности (например, конфузор), при изменении во времени скорости

потока (или расхода), при резком увеличении температуры рабочего тела и т. д. Известно, что при сильном ускорение потока формируется явление ламинаризации турбулентного пограничного слоя (ТПС). Количественная оценка границ явления ламинаризации чаще выполняется по величине

V д

параметра ускорения К = ---

д х

иногда представляют в виде К = -

Р 0 ™ 3

д Р д х

который

50

........

^.лЛ™«"" ...............

/ / ¡?

Ее " 1С

Рис. 1 - Зависимость критического параметра трения в функции числа Яе

Используя уравнение движения, записанное для области потенциального ядра,

д w 0 д w 0 д Р

д х

Р

00 0^ТТ + Р 0 w 0 --

д г д х

приведем параметр К к виду

К = -

д х

w02 д х w3

д г

00 Из выражения (19) следует, что причиной ламинаризации ТПС может являться не только пространственное ускорение, но и временное -нестационарность.

С другой стороны параметр трения х^, как обобщающий параметр, учитывающий влияние продольного градиента давления (пространственное ускорение) через параметр X и влияние динамической нестационарности (временное ускорение) через параметр г, согласно [4] имеет вид

2 3 1 ^ 0

х + г 2 3 1 д w 0 % ,„ = X + г = - -

С / w 0

д х

С/ w

д г

В правых половинах выражений (19 и 20) присутствуют похожие слагаемые. Перепишем (19) в виде

(

К = -

w 0

1

w 0

дх

1 д w,

Л

wn

д г

и (20) в виде

2 5

(

= --

С

/

1

V wo

дх

- +

1 дw0

wn

дг

'0 — у

Слагаемые в скобках выражений (21 и 22) имеют одинаковый вид, тогда

м>

2

8

2

2

8

V

V

2

V

V

28

или

Тш 5ш0 2 Тш Re5 2 5Шп

Здесь Cf0 определяется как С у 0 =

где Re5 = . Таким образом, параметр ускорения К является функцией обобщающего параметра трения хш, числа Re5 и коэффициента трения Су. С позиций параметрической теории ТПС параметр трения х№ является обобщающей функцией, позволяющей учитывать воздействие различных дестабилизирующих факторов (нестационарность, продольный градиент давления и др.) через соответствующие факторам параметры.

В работах [6, 7, 8], показано влияние обобщающего параметра трения Тш на характеристики динамического пограничного слоя и коэффициент трения, на характеристики теплового пограничного слоя и коэффициент теплоотдачи, а также влияние изменения величин чисел Яе, Re**, ReJ¡*. На рис. 2 показаны такие зависимости.

1 Е 1,2

1,0 0,8 0,6

0,4 0,2

Рис. 2 - Влияние параметра трения тW и числа

Яе** на относительный коэффициент трения в изотермических условиях

В ряде работ, посвященных ламинаризации ТПС, указываются числовые значения параметра ускорения К, определяющие границу области ламинаризации, а в [9] приводится обобщающая зависимость

Кр =1,2 • 10"6 + 1,1 -10"10 ^е" + 10"13№е")2.

Переходя от параметра К к параметру Тш имеем

К Re5

^ С//2

Если подставим в (26) значения критической величины К, то получим границу области

Сг

ламинаризации ТПС на поверхности ¥ = — =

С/о

0,0256

Яе **0'25

. Из

проведенного анализа следует, что параметр ускорения К является характеристикой динамического пограничного слоя и обозначим его через Кдин.

На рис. 3 показана зависимость относительного коэффициента трения от обобщающего

параметра трения и характерного числа Re**, а также нанесены условные границы области отрыва ТПС и области ламинаризации ТПС. Граница области отрыва ТПС определяется по выражению (8), а граница области ламинаризации ТПС по выражению (26).

^

1,2 1,0 0,8 0,6 0,4

N Ч

>

0

/(Тш^).

-

Рис. 3. Зависимость относительного коэффициента трения от обобщающего

параметра трения ~TW и характерного числа Яе": 1 - Яе** = 400, 2 - Яе** = 2000, Яе** = 4000

Вывод

Подводя итог, следует отметить, что приведенная в [1, 2] математическая модель адекватно описывает нестационарное

неизотермическое течение с теплообменом несжимаемого газа в осесимметричных каналах в пределах, которые определяются явлением отрыва ТПС при замедлении потока и явлением ламинаризации при ускорении потока. Для определения границ применимости данной математической модели приводятся

соответствующие выражения, констатирующие одно (8) либо другое (26) явления.

Литература

1. Марфина О.П., Володин Ю.Г. Математическое моделирование нестационарного течения несжимаемого газа с теплообменом в осесимметричных каналах технологического оборудования// Известия КГАСУ, 2014. - № 1. - С. 155 - 163.

2. Володин Ю.Г., Марфина О.П. Математическое моделирование пусковых режимов энергетических установок. - Санкт-Петербург. Изд. «Инфо-да». 2007. -128 с.

3. Володин Ю.Г., Яковлев М.В. Нестационарность и ламинаризация ТПС в пусковых режимах энергетических установок. - Санкт-Петербург. Изд. «Инфо-да». 2008. - 160 с.

3

0.5

** 1 л-3

Ке 10

4. Фафурин А.В. Законы трения и теплоотдачи в турбулентном пограничном слое // Тепло- и массообмен в двигателях летательных аппаратов, 1979. - Казань. -Вып. 2. - С. 62 - 69.

5. Федяевский К.К., Гиневский А.С., Колесников А.В. Расчет турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. - Л.: Судостроение, 1973. - 256 с.

6. Володин Ю.Г., Марфина О.П. Расчет коэффициентов трения и теплоотдачи при нестационарном неизотермическом течении несжимаемого газа в осесимметричных каналах// Изв. ВУЗов. Машиностроение. - 2007. - № 3. - С. 21 - 26.

7. Володин Ю.Г., Марфина О.П. Расчет нестационарного неизотермического течения несжимаемого газа в оссесимметричных каналах энергетических установок// Изв. ВУЗов. Машиностроение. - 2007. - № 5. - С. 39 -42.

8. Володин Ю.Г. Исследование теплообмена при пуске энергоустановки// Теплоэнергетика.- 2007. - № 5. - С. 61 - 63.

9. Нэш-Уэббер, Оутс. Инженерный метод расчета ламинаризации течения в сопле// Теоретические основы инженерных расчетов. Сер. Д. - 1972. - Т. 94. - № 4. -С. 205 - 213.

© Ю. Г. Володин - к.т.н., доцент кафедры физики, электротехники и автоматики КГАСУ, e-mail: yu.g.volodin@mail.ru; О. П. Марфина - к.т.н., доцент кафедры физики, электротехники и автоматики КГАСУ; А. П. Кирпичников - д.ф.-м.н., проф., зав. каф. интеллектуальных систем и управления информационными ресурсами КНИТУ, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru.

© Yu. G. Volodin - PhD, Associate Professor of the Department of physics, electrical engineering and automation, KSUAE, e-mail: yu.g.volodin@mail.ru; O. P. Marfina - PhD, Associate Professor of the Department physics, electrical engineering and automation, KSUAE; A. P Kirpichnikov - Dr. Sci, Head of the Department of Intelligent Systems & Information Systems Control, KNRTU, e-mail: kirpichnikov@kstu.ru.