Тенденции развития математического образования в условиях перехода к информационному обществу

УДК 372.851 ББК 74.262

Рагулина Марина Ивановна

кандидат педагогических наук, доцент г. Омск Ragulina Marina Ivanovna Candidate of Pedagogics, Associate Professor Omsk

Тенденции развития математического образования в условиях перехода к информационному обществу Mathematical Education Development Tendencies While Transition to Information Society

В статье анализируются тенденции изменения характера математической деятельности под влиянием информационных и коммуникационных технологий. Рассматриваются направления развития содержания математического образования, соответствующего современному уровню математической науки и отвечающего потребностям современной практики.

Tendencies of mathematical activity's character changes under the influence of information and communication technologies are analyzed in the article. Trends of mathematical education content development corresponding to the level of modern Mathematics meeting the requirements of modern practice are considered in the article as well.

Ключевые слова: математическая деятельность, математическая система, компьютерная алгебра.

Key words: мathematical activity, mathematical system, computer algebra.

Возникнув и развиваясь под влиянием расширяющейся и усложняющейся практической деятельности людей и будучи орудием практики, математика является самостоятельной наукой, по степени общности расположенной между философией и естествознанием. В структуре образования математика во все

времена является одним из важнейших предметов, однако за последние два-три десятилетия уровень математического образования в нашей стране существенно понизился. Уже в результате неудачных реформ 60-80-х годов прошлого столетия средняя общеобразовательная школа фактически перестала обеспечивать учащихся необходимыми знаниями, развивать в нужной мере аналитические способности, воспитывать культуру мышления. В качестве причин называются такие: 1) недостаточное количество часов для качественного изучения естественно-математических предметов, отводимое в учебных планах школ (по сравнению с учебными планами конца 30-х - начала 50-х годов прошлого века, количество часов в неделю, отводимых на изучение математики, уменьшилось почти вдвое; в результате школьники решают меньше задач, меньше доказывают теорем, их работа реже контролируется учителем); 2) невысокий профессиональный уровень значительной части школьных учителей, связанный с недостатками системы обучения будущих педагогов в педвузах, а также системы повышения квалификации учителей (Л. Д. Кудрявцев, [4]). В последнее время, как показывают результаты ЕГЭ, тенденция к ухудшению математического образования по целому ряду причин только усилилась. Но дело не только в тревожных показателях - одновременно происходят существенные изменения и в самих требованиях к математическому образованию для разных уровней и направлений подготовки.

Поэтому в современных условиях как никогда остро встают вопросы: как строить обучение математике? кому и зачем нужна математика? как отделять «математику для всех» от математики для тех, кто собирается сделать ее своей профессией? какая математика нужна в реализации различных образовательных программ? Вопросы эти требуют специального рассмотрения и выработки обоснованных рекомендаций.

В то же время есть положительные тенденции, вызванные теми преобразованиями, которые происходят в российской системе образования, необходимостью приближения курса математики к современному уровню математической науки и включения в него элементов приложений математики, отвечающих

потребностям современной практики. Одной из основных тенденций, оказывающих наиболее сильное влияние на содержание и организацию обучения математике, в настоящее время выделяют компьютеризацию математического образования. Под влиянием информационных и коммуникационных технологий оказываются не только организация и методы обучения, но и содержание математического образования, что вносит изменения в характер математической деятельности. По мнению М. П. Лапчика, в настоящее время происходит «изменение парадигмы предметной деятельности в информационном обществе, что является отражением объективного процесса современного развития науки и практики в условиях бурной экспансии информационно-коммуникационных технологий» [5, с. 96]. В наиболее очевидной форме это относится к математике, к математической деятельности.

Как отмечал А. П. Ершов, «компьютеризация является и средством, и выражением экспансии математического знания, и этот общемировой процесс не может оставаться незамеченным самой математикой» [1, с. 228]. В своем выступлении на У!-м Международном конгрессе по математическому образованию А. П. Ершов выделил следующие аспекты этого воздействия: резкое расширение математической практики, изменение номенклатуры математических знаний, системная роль математической теории, вычислительный эксперимент с математической моделью, визуализация абстракций, динамизация математических объектов, становление структуры из хаоса, воспитание базовых способностей и умений, пробуждение первичного интереса.

В многочисленных прикладных областях компьютер продемонстрировал возможность автоматизировать различные формы деятельности человека, в том числе ранее не автоматизировавшиеся формы интеллектуальной деятельности. Еще в 70-е годы XX в. Л. Д. Кудрявцев писал, что в развитии математики особую роль стала играть ее непосредственная взаимосвязь с так называемой машинной математикой, которая способствует эффективному использованию методов математики в науке, технике и экономике (речь идет о таких методах, как формализация, аналогия, моделирование). Вместе с тем, по мнению Л. Д. Кудрявцева,

имеет место и обратное влияние - машинной математики на теоретическую математику, которое идет по двум направлениям:

1) машинная математика помогает теоретической математике быстро и с любой, наперед заданной, степенью точности находить ответы к задачам, решение которых средствами последней практически невозможно, а разработка любых приближенных методов основывается на данных теоретической математики и в свою очередь способствует ее дальнейшему развитию;

2) решение теоретических проблем машинной математики и задач усовершенствования ЭВМ - значительный фактор в развитии математических дисциплин, к числу которых относятся математическая логика, теория алгоритмов, теория автоматов, теория информации, теория массового обслуживания, теория игр, программирование [3, с. 45].

Глядя из наших дней, с полной определенностью можно сказать, что компьютер изменил подход к применению математики как метода исследования и активизировал процесс математизации наук. Вычислительные возможности машины увеличили интерес к дискретному анализу, задачи которого часто могут быть сформулированы в рамках содержательного языка приложений, а решение их в отсутствие вычислительного устройства являются непригодными для практических целей. Решение многих типов задач, на которые раньше тратилось много времени, можно получить нажатием клавиш компьютера. При этом речь идет не только о численных способах решения, но и о решениях в аналитическом виде. Об автоматизации содержательного мышления человека, замене его формально-логическим «поведением» машин говорил академик Н. Бруевич: «Уже сейчас возможности людей в решении научных и научно-технических проблем резко возросли благодаря проникновению математики и вычислительной техники в обширный круг наук, усилилось значение математических методов в науках. Без развития вычислительной техники проникновение математики не дало бы столь серьезных достижений, а в некоторых случаях было бы просто невозможно» [2, с. 197].

Математические методы нужны как для проектирования компьютера, так

и для разработки программы, или математического обеспечения, без которого машина неработоспособна. Одной из наиболее популярных на сегодняшний день областей информатики является криптография - дисциплина, в рамках которой изучаются математические методы защиты информации. Применение теории чисел в криптографии стимулирует математические открытия, происходит переосмысление значимости прежних достижений.

Приближенные вычисления, которые, по меткому выражению А. А. Ляпунова, «долгое время рассматривались как некоторая второстепенная или заштатная область приложений и которые очень неохотно включались в число «настоящих» математических дисциплин, за последние годы сделались чрезвычайно актуальным и глубоко принципиальным разделом математики» [9, с. 92]. Так, благодаря ЭВМ возникла новая область - вычислительная математика.

В настоящее время можно говорить о существовании новых пограничных разделов информатико-математического знания - информатической математики и математической информатики, которые начинают оказывать существенное влияние как на общее школьное образование, так и на подготовку специалистов различного профиля и уровня [6].

Инструментарий современной информатической математики представлен компьютерными математическими системами, в которых реализованы идеи двух принципиально различающихся подходов к вычислениям. Более традиционные численные методы используют разнообразные алгоритмы, позволяющие более или менее точно получать численный результат той или иной математической операции за счет всевозможных приближений. Более сложными по своей технической реализации и более универсальными по возможностям являются символьные, или аналитические методы. Работа символьного процессора связана с анализом текста самой преобразуемой формулы и стремится получить ответ в виде какого-то алгебраического выражения. Символьные результаты абсолютно точны, поскольку компьютер оперирует с выражениями, преобразовывая их по известным правилам. Однако аналитическое решение существует для очень немногих задач. Это, прежде всего, задачи, в основу решения которых могут быть

положены строгие формулы и четкие алгоритмы: дифференцирование, интегрирование (формула Ньютона-Лейбница), поиск корней несложных уравнений, упрощение выражений, разложение на множители, разложение на элементарные дроби, приведение подобных слагаемых, подстановка переменной, разложение в ряд, преобразование Фурье, вычисление пределов и др.

В связи с разработкой и применением математических систем аналитических вычислений появилось понятие «компьютерная алгебра». Как пишет Д. Ш. Матрос, основная цель компьютерной алгебры - «изучение алгоритмов аналитических преобразований с точки зрения их эффективной реализации на компьютере. В связи с разрастанием промежуточных результатов главная задача компьютерной алгебры - оценка сложности аналитических выражений и длительности аналитических преобразований» [10, с. 37]. Системы компьютерной алгебры позволяют контролировать результаты громоздких расчетов, наглядно представлять сложные математические объекты, способны к расширению за счет конструирования пользователем оригинальных функций, что позволяет исследовать новые связи и закономерности. К специфике аналитических вычислений на компьютере можно отнести:

1) возможность проводить аналитические (и численные) преобразования без погрешностей; в результате не теряется исходная информация о характере исследуемого процесса; на этом этапе аналитических вычислений неустойчивость процесса не проявляется;

2) в ряде случаев наблюдается быстрое разрастание результатов промежуточных вычислений; ввиду этого резко повышаются требования к объему памяти и к быстродействию компьютера; резко повышаются требования к предварительному изучению алгоритма: к оценке его быстродействия, необходимой памяти и к эффективному представлению результата;

3) имеется возможность производить генерацию программ, использующих найденные формулы [10].

Особенность работы систем компьютерной алгебры состоит в том, что, в отличие от численного счета, здесь пользователь передоверяет компьютеру

много таких функций, которые раньше он выполнял самостоятельно. Таким образом, в еще большей степени, чем при численном счете, утрачивается контроль за проводимыми преобразованиями. Поэтому пользователю необходимо более детально, чем в процессе численного счета, представлять себе работу не только самого программного продукта, но и знать хотя бы основные свойства применяемых алгоритмов: сложность, длина промежуточных результатов.

Есть и очевидный положительный эффект: резерв времени, появляющийся при использовании систем автоматизации математических расчетов можно использовать для расширения круга изучаемых задач и методов вычислений, а также для того, чтобы привить вкус к исследованию влияния различных параметров на результаты расчетов. В дальнейшем это пригодится в любых областях: будь то математика, физика, химия и т. д. Кроме того, нельзя не учитывать важность визуализации вычислений для обучения и научных исследований. Умение проводить анализ в графической и аналитической формах - это путь не только в науку, но и в современную жизнь.

Математические системы - удобный и мощный инструмент, позволяющий решать корректно поставленные задачи. Вместе с тем, ответственность за формулировку задач и перевод на язык системы полностью ложится на пользователя. Поэтому эффективное применение систем предполагает не только достаточно высокую математическую культуру пользователя, хорошее знание основ высшей математики, но и обладание опытом алгоритмической, программистской деятельности, основывающемся на использовании языков общения с компьютером, уверенном знании интерфейса программных систем.

С точки зрения эволюции традиционной математической культуры становится важным понимание уникальных вариативных возможностей различных инструментов для реализации различных способов решения и различных форм получения результатов при решении прикладных математических задач: методы точные и приближенные, результаты символьные (аналитические), численные, графические. В случае подготовки специалистов, в основе которой достаточно серьезное математическое образование - ситуация особая, по-

скольку сами методы получения результатов являются продуктом математических приложений, т. е. напрямую связаны с содержанием профессиональной подготовки.

Нередко возникают суждения, что вовлечение ИКТ в содержание естественнонаучной и математической подготовки в определенной ситуации создает опасный прецедент падения уровня фундаментализации образования, поскольку эти процессы иногда начинают связываться с заманчивой возможностью быстрого получения результата в обход серьезного обоснования способа достижения цели. Действительно, с нарастанием компьютерной «инструменто-вооруженности» математического профиля деятельности наблюдается различие взглядов на цели и способы включения этого материала в подготовку специалистов - от полного игнорирования потребности в строгих математических обоснованиях применяемых методов (для отдельных категорий специалистов такой подход не только допустим, но и по необходимости целесообразен), до принципиального отрицания «пользовательской парадигмы» математического инструментария при отборе содержания подготовки.

Различие взглядов на цели и способы включения этого материала в подготовку специалистов - вещь объективная и отражает объективные процессы дифференциации подходов к целям и содержанию образования. В достаточно очевидной форме этот вопрос стоит применительно к сфере профессионального образования, для которой характерен широчайший диапазон вариативности глубины обоснования применяемых математических методов с учетом характера и сложности будущей профессиональной работы специалистов. Понятно, что полный отказ от математических обоснований - это крайний случай. Так же, как и полное принципиальное отрицание «пользовательской парадигмы» применения математического инструментария при отборе содержания подготовки.

По нашему мнению, выход здесь имеется, и он заключается во взвешенных подходах к построению содержания и методики обучения с учетом конкретных целей и уровней образования [6, 7, 8, 10, 11]. Наряду с этим сохраняется

актуальность глубокого теоретического осмысления новых тенденций развития содержания образования в условиях информационного общества - как в сфере профессиональной, так и общеобразовательной подготовки.

Библиографический список

1. Ершов, А. П. Избранные труды [Текст] / А. П. Ершов. - Новосибирск : ВО «Наука». Сибирская издат. фирма, 1994. - 416 с.

2. Кибернетика. Становление информатики [Текст]. - М. : Наука, 1986. -192 с.

3. Кудрявцев, Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении [Текст] / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Наука, 1977. - 112 с.

4. Кудрявцев, Л. Д. Математика в современной школе и в недавнем прошлом [Текст] / Л. Д. Кудрявцев // Народное образование. - 2006. - № 1.

- С. 20-24.

5. Лапчик, М. П. ИКТ-компетентность педагогических кадров. Монография [Текст] / М. П. Лапчик. - Омск : Изд-во ОмГПУ, 2007. - 144 с.

6. Лапчик, М. П. Информатическая математика или математическая информатика? [Текст] / М. П. Лапчик // ИНФО. - 2008. - № 7. - С. 3-7.

7. Лапчик, М. П. Численные методы : Учеб. пособие для студ. вузов [Текст] / М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер Е. К. ; под ред. М. П. Лапчика.

- Издательский центр «Академия», 2004. - 384 с.

8. Лапчик, М. П. Эволюция парадигмы прикладного математического образования учителей информатики [Текст] / М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер // ИНФО. - 2006. - № 12. - С. 14-19.

9. Ляпунов, А. А. О роли математики в современной человеческой культуре [Текст] / А. А. Ляпунов // История информатики в России : учёные и их школы ; сост. В. Н. Захаров, Я. И. Фет, Р. И. Подловченко. - М. : Наука, 2003. - 486 с.

10. Матрос, Д. Ш. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры : учеб. пособие для студ. пед. Вузов [Текст] / Д. Ш. Матрос, Г. Б. Поднебесова. - М. : Издат. центр «Академия», 2004. - 240 с.

11. Рагулина, М. И. Информационные технологии в математике : учеб. пособ. для студ. вузов [Текст] / под ред. М. П. Лапчика. - М. : Издательский центр «Академия», 2007. - 304 с.

Bibliography

1. Ershov, A. P. Selected Works [Text] / A. P. Ershov. - Novosibirsk : In «Science». Siberian Publishing House, 1994. - 416 p.

2. Cybernetics. Formation of Computer Science [Text]. - M. : Science, 1986.

- 192 p.

3. Kudryavtsev, L. D. Thoughts about Modern Mathematics and its Studying [Text] / L. D. Kudryavtsev. - М. : Science, 1977. - 112 p.

4. Kudryavtsev, L. D. Mathematics at Modern School and in Recent Age [Text] / L. D. Kudryavtsev // National education. - 2006. - № 1. - P. 20-24.

5. Lapchik, M. P. ICT-Competence of Pedagogical Personnel : Monograph [Text] / M. P. Lapchik. - Omsk : OmGpU Publishing House, 2007. - 144 p.

6. Lapchik, M. P. Information Science Mathematics or Mathematical Information Science? [Text] / M. P. Lapchik // INFO. - 2008. - № 7. - P. 3-7.

7. Lapchik, M. P. Numerical methods : Studies. Manual for Students of Higher Schools [Text] / M. P. Lapchik, M. I. Ragulina, E. K. Henner ; Under the Editorship of M. P. Lapchika. - «Academia» Publishing Centre, 2004. - 384 p.

8. Lapchik, M. P. Evolution of Computer Science Teacher's Applied Mathematics Education Paradigm [Text] / M. P. Lapchik, M. I. Ragulina, E. K. Henner // INFO. - 2006. - № 12. - P. 14-19.

9. Lyapunov, A. A. About Mathematics Role in Modern Human Culture [Text] / A. A. Lyapunov // Computer Science History in Russia : Scientists and Their Schools ; Comp. by V. N. Zakharov, J. I. Fet, R. I. Podlovchenko. - M. : Nauka, 2003. - 486 p.

10. Matros, D. Elements of Abstract and Computer Algebra: Manual for Stud. of Ped. Higher Schools [Text] / D. Matros, G. B. Podnebesova. - M. : «Academia» Publishing Centre, 2004. - 240 p.

11. Ragulina, M. I. Informational Technologies in Mathematics : Manual for Students of Higher Schools [Text] / Under the Editorship of M. P. Lapchik. - M. : «Academia» Publishing Centre, 2007. - 304 p.