Анализ алгоритмов выполнения основных арифметических операций в квадратичной сок

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

НАУКА- ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ, №2, 2017

удк 004.315 Копыткова J1.Б. [Kopytkova L.B.]

АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ВЫПОЛНЕНИЯ ОСНОВНЫХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ В КВАДРАТИЧНОЙ СОК

Analysis of algorithms performing basic arithmetic operations in the quadratic RNS

В статье исследуется вопрос представления комплексных чисел в системе остаточных классов и построения алгоритмов операций сложения и умножения. Идея построения подобных систем состоит в определении отображения множества комплексных чисел на кольцо целых чисел. Основное внимание уделяется квадратичной системе остаточных классов. Идея построения подобной системы состоит в представлении целого комплексного числа z в виде пары целых (X' У) по выбранным модулям. Правила арифметических операций над комплексными числами, представленными парами вычетов по выбранным основаниям, не отличаются от правил арифметических операций в СОК в вещественной области. Выполнение операций умножения и сложения двух комплексных чисел в квадратичной СОК происходит модульно, в параллельных каналах и содержит только эти две арифметические операции, что позволяет сократить объёмы вычислений.

In this paper we explore the question of representing complex numbers in a residue number system and build algorithms for the operations of addition and multiplication. The idea of the construction of such systems is in determining how the set of complex numbers the ring of integers. The main attention is paid to quadratic residue number system. The idea of building such a system is to provide a complex number z as a pair of integers (X' V) for the selected modules. The rules of arithmetic operations on complex numbers presented residue pairs at selected bases, do not differ from the rules of arithmetic operations in the RNS for real integers. The operations of addition and multiplication two complex numbers in quadratic RNS is modular, parallel channels and contains only two arithmetic operations that can reduce the volume of calculation.

Ключевые слова: система остаточных классов, комплексная система остаточных классов, квадратичная система остаточных классов, модулярная арифметика, параллельные вычисления, операция нахождения остатка.

Keywords: residue number system, complex-number RNS (CRNS), quadratic RNS (QRNS), modular arithmetic, parallel computation, the operation of finding the residues.

Введение

Результаты теоретических и практических исследований отечественных и зарубежных учёных показывают, что одним из перспективных многообещающих путей решения задач сокращения времени обработки данных и повышения надежности вычислительных средств является применение различных форм параллельной обработки данных, в том числе и на основе числовых систем с параллельной структурой. Естественный параллелизм системы остаточных классов (СОК) привлекает возможностью её применения в различных областях, например, при цифровой обработке сигналов, в криптографии, системах передачи данных, при построении нейропро-

цессоров и других областях. Однако широкий круг приложений не позволяет ограничиться только областью целых чисел. Поэтому возникает потребность строить параллельную арифметику и на других числовых множествах, в частности в комплексной области.

Материалы и методы исследований

Идея построения системы остаточных классов в других областях состоит в построении изоморфного отображения рассматриваемого числового множества на кольцо целых чисел, т.е. отображения одного динамического диапазона на другой. Для представления комплексных чисел в СОК необходимо указать способ отображения их во множество целых чисел. Если такое отображение построено, то СОК для целых чисел может быть перенесена и на числа другого диапазона.

Методы исследований проблемы построения модулярной арифметики в комплексной области базируются на фундаментальных положениях алгебры, теории чисел, а также на результатах построения СОК для множества целых чисел и возможностях математического моделирования.

Результаты исследований и их обсуждение

Существуют различные способы представления комплексных чисел. Эти построения и определяют возможность отображения множества комплексных чисел на другие числовые множества [3].

Один из способов построения такого отображения дает фундаментальная теорема Гаусса [1, 2]. Согласно этой теореме, по заданному модулю т = р + дт с нормой\\т\\ р2 + где (р, д) = 1, каждое целое комплексное число сравнимо с одним и только одним вычетом из ряда 0,1,2,..., |/и| -1. Благодаря этому устанавливается изоморфизм между комплексными числами и их вещественными вычетами, что и дает возможность заменить арифметические операции над целыми гауссовыми числами аналогичными операциями над целыми числами, равными нормам выбранных комплексных оснований в системе остаточных классов. Однако при представлении комплексных чисел в выбранной системе остаточных классов следует обращать внимание на принадлежность данного комплексного числа к совокупности чисел, описываемых избранными основаниями. Если для целых чисел этот вопрос решается просто: число А е Р = рх рг    р„, если 0 <А < I'. то в силу неупорядоченности поля комплексных чисел критерий принадлежности комплексного числа диапазону представимых чисел выражается системой неравенств [1], практическое использование которых осложнено

Пусть выбраны п взаимно простых комплексных чисел тит2,..., т„ в

»

качестве оснований системы М и пусть М = ту • т2 •... * т„ = П'Я/- диапазон этой системы счисления. Назовём комплексное число А = а + Ы представи-мым в данной системе М. если а + Ы является наименьшим вычетом по мо-

дулю М. в противном случае А не представимо в данной системе. Так как норма М равна произведению норм т., а количество наименьших вычетов равно норме М. то общее количество представимых чисел равно произведению норм оснований.

Обозначим наименьшие комплексные вычеты числа А по основанию тит2,..., т„соответственно через а,\.(ъ..... а„. В системе взаимно простыми основаниями тх,т2,..., Ш„ любое представимое число А а Ы единственным образом изображается совокупностью своих наименьших вычетов по основаниям системы: (аьа2,..., а„).

Важным вопросом является выработка признака, по которому можно судить о принадлежности данного числа к совокупности чисел М, описываемых избранными основаниями.

Пусть т1 = р1 </,/', щ = р2 </2/,.... тп = рп д,/ есть попарно взаимно простые числа с нормами..^Ж иМ= т1,-т2,...,-т„ = р + А тогда (р,, ) = 1 и (р, ц) = 1, так как /и, - простые числа, то по признаку простых чисел их нормы должны быть простыми числами вида 4п + 1. Но простое число вида 4й +1 представляется в виде суммы квадратов двух взаимно простых чисел [2], поэтому из А', = р} + ц/ следует, что (р.. ц) = 1. Норма числаМравна произведению норм сомножителей, следовательно, содержит только простые делители вида 4п + I и сама является числом вида 4и +1. Поэтому из критерия представимости числа вида 4п +1 формойр2 + ф заключаем, что (р, д) = I.

Таким образом, любое целое комплексное число А а Ы из множества представимых в данной системе чисел представляется в этой системе в виде А а Ы (/7ь/72,...,/?„), где А, есть наименьшие неотрицательные вычеты чисел а + р,Ъ по модулю А'',, р, - коэффициент изоморфизма между гауссовыми числами и их вещественными вычетами.

Это значит, что осуществляется переход от системы М с основаниями тьт2,...,т„к системе Ш с основаниями, р авными нормам ,Ы2,...,К„ этих о снований, так как вещественные вычеты А, находятся из условий а + Ь/)1=/11(тстЫ1). Таким образом, можно всегда в нужный момент переходить от системы М комплексных вычетов к системе № вещественных вычетов В этом и заключается изоморфизм систем комплексных и вещественных вычетов.

Другой способ построения СОК в комплексной области связан с тем,

гз

что целое комплексное число 2=х+¡у можно записать в виде матрицы |

Тогда действия сложения и умножения комплексных чисел г1 =х1 +/_>,. 22 =х2 +7у2 можно определить по правилам сложения и умножения матриц.

21 + 22~

~Уг + х2 ~У2

—

хь ,У2 хг) V

х1+х2 "(л +Уг) У\ + У 2 х{+х2 _

Z\ • Zл —

-Ух х2 ~У2

х\) ,У2 Х2 \

х\х2~ У\Уг ~х\Уг~У\х2 ухх2+хху2 -угу2+х,х.

Далее каждый элемент матрицы, представляющей целое гауссово число, можно представить в системе остаточных классов с основаниями рьр2,...,р„ и операции над элементами матрицы производить в СОК [4,5]. Заметим, что для представления комплексных чисел, необходимо диапазон |()./)). где 1' П />. разбить на положительную и отрицательную области и представлять отрицательные числа дополнительным кодом [1].

Целесообразно один из модулей СОК выбрать чётным, что даёт возможность осуществить разбиение выбранного диапазона [0, Р) на равные поддиапазоны

р Г р л

0;--1 и р_ — -;р-1

2 2

Для кодирования отрицательных чисел может быть использован дополнительный код, т.е. если А < 0 и

\А\ ~(а1,а2,...,ап), го остаточное представление числа

А = -Ы\ = (х1,х2,..., хп ) находится из соотношения х, /?. - а,.

Выбрав соответствующим образом диапазон представления чисел, определив его положительную и отрицательные области, представим каждый элемент матрицы, изображающей комплексное число в СОК

г. 'а ~ь) '(«1 ,а2,...,ап) {ръръ...,/ЗпУ г = а + ог= = , ,

ДА,Д,,...,/У {щ,а2,...,ап;

уЬ

Таким образом, в каждом параллельном канале по модулю будем иметь матрицу остатков д &|, которые и будут обрабатываться при выполнении арифметических действий. Заметим, что действия сложения и вычитания комплексных чисел в модулярной арифметике остаются однатак-товыми, для выполнения умножения уже потребуется больше времени, учитывая правило умножения матриц.

В случае использования избыточного кодирования для возможности проведения контроля и коррекции ошибок с целью разграничения отрицательных чисел и ошибочных состояний лучше провести сдвиг полярности диапазона. Пусть избыточная СОК имеет к - рабочих и г - контрольных оснований

РъР2>—>Рк*'~>Рк+г.

к

Величина р = П определяет объем рабочего диапазона, а ¿=1

к+г

р — П Рг ~ объем полного диапазона.

¡=1

При кодировании дополнительным кодом, отрицательная часть динамического диапазона находится у верхнего предела полного диапазона. Динамический диапазон, состоящий из положительной и отрицательной частей, разбивается на области, расположенные в рабочем и полном диапазоне. Это обстоятельство затрудняет обнаружение и исправление ошибок, так как ошибки обнаруживаются тем, что число попадает в недопустимую область полного диапазона. Вследствие того, что отрицательные числа появляются в верхней части недопустимой области полного диапазона, результатом операции обнаружения ошибок, будет отнесение всех отрицательных чисел к ошибочным, что не соответствует действительности. Сдвиг полярности можно осуществить путем прибавления перед выполнением операции обнаружения ошибок к каждому X е [0,Р] константы С = Необходимо отметить, что для неизбыточной СОК имеет место взаимнооднозначное соответствие между целыми числами в динамическом диапазоне и допустимой областью рабочего диапазона.

Если

с,- = С

то сдвиг полярности в пределах СОК оказывается простым остатком, определяемым по формуле Х1С — |дс,- +с,-| в которой х,ъ обозначает остаточные цифры после сдвига полярности.

Построим иллюстрирующий пример. Пусть даны числа

г 17 16Л

А = 23 + 1-51 =

23 -15

15 23

и .8 = 17-161 =

-16 17

Выберем основания

СОК р, = 2 ,р2 = 3 ,р3 = 5 ,рл = 7 ,р5 = 11, Р = 2 -3 • 5 • 7 • 11 = 2310. = 1155.

Пусть ¡0; - отрицательная, - положительная области.

Находим СОК представление элементов матриц:

23 = (1,2, 3,2,1), 15 = (1,0,0,1,4), 16 = (0,1,1,2,5), 17 = (1,2,2,3,6).

Их искусственные формы: 23 = (0,2,3,2,1), 15 = (0,0,0,1,4), 16 = (1,1,1,2,5), 17 = (0,2,2,3,6). Представления отрицательных чисел:

-15 = (1,0,0,0,0)- (1,0,0,1,4) = (0,0,0,6,7) -16 = (1,0,0,0,0)- (0,1,1,2,5) = (1,2,4,5,6).

Тогда числа А и В запишутся в виде

А =

(0,2,3,2,1) (0,0,0,6,7)^ в = | (0,2,2,3, б) (1,1,1,2,5) ^ (0,0,0,1,4) (0,2,3,2,1)} [(1,2,4,5,6) (0,2,2,3,6),

Найдем сумму А иВ

А+В

+

+

(0,1,0,5,7) (1,1,1,1,1}

+

'(1,1,0,5,7) (0,1,1,1,1} ¿0,2,4,6,10) (1,1,0,5,7}

Осуществляя переход от искусственных форм и переводя элементы матрицы в позиционное представление, имеем

(1Л 5 0,5,7)—>(0,1,0,5,7) = 40, (0,1,1,1,1)—>(1,1,1,1,1) = 1 (1,0,0,0,0)-(1,1,1,1,1) = (0,2,4,6,10) = -1

Получим А + В -

40 1 40,

Несложно убедиться, что это и есть сумма комплексных чисел А и В:

А + В =

'23 —15^1 ( 17 16*

15 23

-16 17

40

1

V"! 40у

Аналогично, учитывая правило умножения матриц, получим

4 ^0,2,3,2,1)

о о о о

О 1

чч1

ГГ.

2 0

ч0 2у

г2 О

2 2

V у

3 0"

ч0 зу

2 1 4 2

'2 6

Ч1 2у

ГЪ 2Л ч5 3,

1 7

V4 1//

'6 5лЛ

6 6

//

0 + 0 0 + 01 0+0 0+0/

4+0 0+2 0+4 0+4

6+0 3+0 ч 0 +12 0 + 6у

6 + 30 4 + 18 3 + 10 2 + 6

Гб + 42 5 + 42

ч24 + 6 20 + 6у,

(г,

О О О О

1 2 Ч1 1у

'1 3 2 1

г\ 1 ,6 1

4 3

+

+

+

^

Переводя элементы в позиционное представление получим ' 631 113Л

А-В =

\

-113 631

А-В =

В правильности этого ответа можно убедиться непосредственной проверкой

'23-17+15-16 23-16-15-17' 15-17-23-16 15-16+23-17

'23 (17 1бЛ л

,15 23, [-16 17 V

\ ' 631 113"

У —113 63 \

Следует заметить, что при организации вычислений необходимо вести контроль знака результата элементов матрицы

Более подробно остановимся на ещё одном способе представления комплексных чисел, лежащим в основе построения так называемой квадратичной СОК. Здесь мы построим отображение целых гауссовых чисел z=x+iу на пары целых чисел (X; Г). Прежде всего, определим как можно изобразить мнимую единицу / по некоторому модулю. Учитывая свойство мнимой единицы 72 =-1, найдём решение сравнения х2 = р-1 (mod/?). Очевидно, что это сравнение имеет решение, если число р-1 - квадратичный вычет по модулю р. Используя критерий Эйлера, легко показать, что для разрешимости указанного сравнения модуль р должен быть простым числом вида 4п +1. Тогда сравнение х2=р-1 (mod/?) будет иметь два класса решений, представителями которых являются целые числа .у и х2, удовлетворяющие условиям xt + х2 = 0 (mod/?) и х1 -х? = 1 (mod/?). Фактически х1 и х2 - вычеты числа i по модулю р. Тогда перевод целого комплексного числа z в пару (X Г) можно осуществить по правилам

X —

М + \iy\

I р \s\p

х\ - \iy\

|р I- \Р

а обратный перевод по формулам

х =

\X + Y\ \X-Y\

| I р ,У = р \ \Р

2 2 i

р

операция нахождения вычета по модулю р.

Используя эту идею, можно любое целое комплексное число г=х+7у представить в СОК в виде пар двух целых чисел по соответствующим попарно взаимно простым модулям р\.р<. ...,/>„, а именно

2 = ((Х1;¥1),(Х2;¥2),...,{Хп;¥п)).

Следует заметить, что если в качестве числа i в формуле (1) будем брать х1 и получим пару (X; У), а затем в качестве / возьмём х2 и получим пару (X"; V"). то X' = V". X" = 7'. Поэтому формулы (1) могут быть записаны в

виде либо

Х =

W + №У

I р I 1 '\р

jc + \xj у

IР I Р

,Y =

дс + \х7у\

I p I Iр

М + №У

Iр I

Правила арифметических операций над комплексными числами, представленными описанным способом в СОК, не отличаются от правил арифметических операций в СОК в вещественной области [4]. Пусть

2 = {{Х1;¥1),(Х2;¥2\...,{Х„-,¥п))н г' = {{Х[-¥(),{Х'2-¥{),...,{Х'п-¥')\

тогда

где * обозначает операцию сложения или умножения.

Ограничение на выбор модулей не является критическим, только в рамках диапазона [1; 100) содержится 11 простых чисел вида 4w +1, что позволяет закрыть довольно большой диапазон. При этом решения сравнений х1 р 1 (mod/?) легко найти путём индексирования:

indx = ind

„_j

Учитывая, что ind(p -1)= — ^ (mod p -1),

и принимая во внимание вид модуля р = An +1.

получаем linchc - 2п (mod An).

Последнее сравнение, согласно критерию разрешимости линейных сравнений имеет два решения. Из вспомогательного сравнения indx = п(mod 2и), получаем indx = п (mod An) и indx =п + 2п = 3п(mod An).

Таблица 1

РЕШЕНИЯ СРАВНЕНИЯ х2 = р - 1

тос1р Х1 *2

5 2 3

13 5 8

17 4 13

29 12 17

37 6 31

41 9 32

53 23 30

61 11 50

73 27 46

89 34 55

97 22 75

Далее с помощью таблицы антииндексов находим х = х^ (тос! 4п +1) и х = х2 (то<1 4п +1) Для модулей из диапазона [1 ;100) решения представлены в таблице 1.

Построим для иллюстрации пример. В системе основанийрх = 5./у = 13, /у = 17. /у = 29 найдём представление комплексных чисел г1 =7 + 5г, = 3 + 8/ и определим их сумму и произведение. Мнимую единицу в СОК с выбранными основаниями можно выбрать в виде 1 = х1 (тех]/?,), т.е. / =(2;5;4;12). Тогда по формулам (1) находим

7, + 2-5, — 2

I 15 I 1515

?

\1\ -12-5! =2 115 Г 151 з А

р '5 ' 1515

3-2 8|«1

'5 '

!7+Чз=

7+5-51, =6

I Из I И3113

171-15.51,1 =8

р Из I 113113

Р + Чз=

3+5-8 =4

р из ! ¡13113

131-15-81,1 =2

Р Из I 113113

7 + 51!

17

71+4-51 =10

р 117 I 117117

Р Н7 I Н7|17

]3 17 + |4-8 17

I3 17 4-8 17

7+12-5 =9

I 129 I '29129

I 129 I '29129

|3, +112-8 =12

Р 129 I '29129

Р 129 I '29129

<

<

Таким образом,

г1 = 7 + 5/ = ((2;2), (6;8), (10;4), (9;5)), Z2 = 3 + 8/ = ((4;2), (4;2), (1;5), (12;23)). Результат сложения даёт

z1+z2 = ((l;4),(10;10),(ll;9), (21,28)), а умножения

z1-Z2 = ((3;4),(11;3),(10;3), (21:28)).

Для суммы нетрудно убедиться, что

Z! + z2 = 10 + 13/ = ((1;4), (10:10), (11;9), (21:28)).

Результат произведения, если воспользоваться формулами (1), дастг, • z2 = -19 + 71/ = ((3;4), (11;3), (10;3), (21:28)).

Для восстановления комплексного представления числа z достаточно для каждой пары (Xf, Y,) воспользоваться правилом

х,= (2-1 • (Xj + Yi)) mod pt Л = (2_1 • г-1 (xi - Yj)) mod pt

где 2~'  2 = 1 (modp{) и Г1 -i = l(modpi).

Xj = , yt = |_v| - вычеты действительной и мнимой частей числа z = х + iy.

I j

Заметим, что 2-1 = — - (mod р().

Например, восстановим число zx + z2 = ((1;4), (10; 10), (11;9), (21;28)), представленное в системе оснований Р\ =5, р2 = 13, =17, р^ = 29

В данной системе оснований число / = (2; 5; 4; 12), соответственно - i = (3;8;13;17), 2 1 = (3;7;9;15). Тогда по формулам (3) получаем

х, = 3 • (1 + 4)(mod 5) s 0 (mod 5) щ = 3 • 3 • (l - 4)(mod 5) з 3 (mod's).

jc2 =7-(l0 + 10)(modl3)^10(modl3) y2 = 7 • 8 • (10 - 10)(modl3) = 0(modl3);

jc3 =9-(ll + 9)(modl7) = 10(modl7) y3 = 9 • 13 • (l 1 - 9)(mod 17) з 13 (modi ?}•

х4 = 15 •

Таким образом, x = (0;10;10;10), у = (3;0;13;13) - представления в выбранной системе остаточных классов действительной и мнимой частей числа Ъ\ + z2. Применяя любой из методов перевода целых чисел из СОК в ПС С (например, метод ортогональных базисов) восстанавливаем число Zi + z2 = 10 + 13?.

Однако, здесь необходимо понимать, что для однозначности отображения необходимо ввести в рассмотрение представление отрицательных чисел, например, как это предложено в [1], т.е деление диапазона на положительную и отрицательную области. Иначе, получим, что представление вида ((3;4), (11;3),(10;3), (21 ;28)) имеет и число (5 -3 • 17 -29 - 19) + 71/.

Стоит заметить, что формулы (1) и (2) содержат операции нахождения вычета по модулю, поэтому однозначность представления чисел будет только в рамках диапазона, определяемого набором основанийрх,рх,...,рп.

Выводы

Различные способы построения поля комплексных чисел дают возможность рассмотреть разные способы представления комплексных чисел в системе остаточных классов. Идея любого подобного построения состоит в нахождении отображения множества комплексных чисел на вещественную область.

Квадратичная СОК обладает интересными свойствами по снижению сложности процессов путем взаимодействия между вещественными и мнимыми каналами. Выполнение умножения и сложения двух комплексных чисел в квадратичной СОК происходит модульно, в параллельных каналах и содержит только эти две арифметические операции, что позволяет сократить объёмы вычислений.

Использование квадратичной СОК в различных алгоритмах цифровой обработки сигналов позволит увеличить скорость обработки данных. Главный недостаток этой системы состоит в ограничении формы модулей при обработке чисел, однако даже имеющиеся модули позволяют закрыть значительный диапазон чисел для обработки данных. Кроме того, для снятия ограничения на формы модулей 4w + 1 применятся система остаточных классов квадратичного типа [6], рассмотрение которой вышло за рамки данной статьи.

Библиографический список

1. Акушский И.Я. Юдицкий Д.И. Машинная арифметика в остаточных классах. М.: Советское радио, 1968. 429 с.

2. Бухштаб A.A. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 384 с.

3. Копыткова Л.Б. Различные способы представления комплексных чисел в системе остаточных классов // Инфокоммуни-кационные технологии в науке, производстве и образовании: Материалы третьей международной научно-технической конференции (г Ставрополь, 1-5 мая 2008 г, Северо-Кавказский государственный технический университет). Часть III. Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ, 2008. 308 с.

4. Копыткова Л.Б. Построение модели модулярного кодирования в комплексной области // Параллельная компьютерная алгебра: Материалы всероссийской научной конференции (г. Ставрополь, 1-15 октября 2010 г., Ставропольский государственный университет). Ставрополь: Издательско-информационный центр «Фабула», 2010. 364 с.

5. Лавриненко А.В. Метод преобразования кода системы остаточных классов в позиционный с коррекцией ошибок на основе искусственных нейронных сетей // Наука. Инновации. Технологии. 2015. №3. С. 7-36.

6. Omondi A., Premkumar В. Residue number systems. Theory and implementation. Syngapure. Imperial College Press. 2007. 296 p.

References

1. Akushskii I.Ya. Yuditskii D.I. Mashinnaya arifmetika v ostatochnykh klassakh (Machine arithmetic in residual classes). M.: Sovetskoe radio, 1968. 429 s.

2. Bukhshtab A.A. Teoriya chisel (Theory of numbers). M.: Izd-vo «Prosveshchenie», 1966. 384 s.

3. Kopytkova L.B. Razlichnye sposoby predstavleniya kompleksnykh chisel v sisteme ostatochnykh klassov (Different ways of representing complex numbers in the residue number system) // Infokommu-nikatsionnye tekhnologii v nauke, proizvodstve i obrazovanii: Mate-rialy tret'ei mezhdunarodnoi nauchno-tekhnicheskoi konferentsii (g. Stavropol', 1-5 maya 2008 g., Severo-Kavkazskii gosudarstvennyi tekhnicheskii universitet). Chast' III. Stavropol': Izd-vo SevKavGTU, 2008. 308 s.

4. Kopytkova L.B. Postroenie modeli modulyarnogo kodirovaniya v kompleksnoi oblasti (The construction of models modular coding in the complex area) // Parallel'naya komp'yuternaya algebra: Ma-terialy vserossiiskoi nauchnoi konferentsii (g. Stavropol', 1-15 ok-tyabrya 2010 g., Stavropol'skii gosudarstvennyi universitet). Stavropol': Izdatel'sko-informatsionnyi tsentr «Fabula», 2010. 364 s.

5. Lavrinenko A.V. Metod preobrazovaniya koda sistemy ostatochnykh klassov v pozitsionnyi s korrektsiei oshibok na osnove iskusstven-nykh neironnykh setei (Method of conversion from residue number system to positional with error correctness based on artificial neural networks) // Nauka. Innovatsii. Tekhnologii. 2015. № 3. S. 7-36.

6. Omondi A., Premkumar B. Residue number systems. Theory and implementation. Syngapure. Imperial College Press. 2007. 296 p.