Обратные тригонометрические функции в школьном курсе алгебры и начал анализа

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА

© 2012 Камаева С.Ц.

Дагестанский государственный педагогический университет

Изложены составление обратной функции по отношению к данной и построение их графиков как один из вариантов изучения темы «Обратные тригонометрические функции» в общеобразовательных учреждениях.

The author of the article states making the arc function in relation to the given one and constructing their graphics as a way of studying the “Arc trigonometric functions ” topic.

Ключевые слова: обратная тригонометрическая функция, многозначная функция, график функции, доказательство.

Keywords: arc trigonometric function, multiple-valued function, function graph, proving.

В шестидесятые годы прошлого века из перечня предметов школьного образования была изъята

«Тригонометрия» - один из предметов математического цикла школьного образования. С тех пор

тригонометрический материал включен в программы геометрии и алгебры. В ходе анализа программ по математике для общеобразовательных учреждений, рекомендованных Министерством

образования Российской Федерации в последние 20 лет, мы обнаружили, что тема «Обратные тригонометрические функции» в программах

общеобразовательных школ вообще не значится. Только в классах и школах с углубленным изучением математики на изучение этой темы отводится 2-4 часа. Но в заданиях ЕГЭ встречаются примеры, содержащие обратные тригонометрические функции, а сдают ЕГЭ все выпускники

общеобразовательных учреждений.

При решении уравнений и неравенств, содержащих

тригонометрические функции, учащиеся приходят к понятию arccos, arctg, arcctg, поэтому изучение обратных

тригонометрических функций в школьном курсе алгебры и начал

анализа вполне актуально. Мы в своей практической деятельности учли это противоречие и изыскиваем

возможности выделить 4-6 часов на изучение темы «Обратные

тригонометрические функции».

Целесообразно это делать после

изучения темы «Обратная функция» и построения графика обратной функции.

В статье изложен один из возможных вариантов рассмотрения темы «Обратные тригонометрические

функции» в общеобразовательных учреждениях.

Функция у = атс8тх При изучении функции y=sinx было установлено, что:

1) каждому углу а из промежутка от

ж ж ж ж

— — до + — : — — <а< — соответствует

одно из определенных значений sinа, и это значение sinа по абсолютной величине меньше или равно единице;

2) двум любым различным значениям

угла а из этого промежутка соответствует два различных значения smа^; это следует из того, что на

указанном промежутке значения а функция sinа - возрастающая;

3) каково бы ни было число у, по

абсолютной величине меньшее единицы,

существует, и притом только один, угол

ж ж

а из указанного промежутка: — — <а< —,

синус которого равен у: $іпа=у.

Определение. Арксинусом числа у (arcsiny) называется угол а из

промежутка

Л Л 2’ 2

Л Л

----<а< —

2 2

синус которого равен у:

sina=y.

Из сказанного следует, что любому

числу у (аргументу), по абсолютной

величине меньшему или равному

единице, всегда соответствует, и притом

только одно, значение arcsiny (функция).

Таким образом, имеем равенство

a=arcsiny,

которое читается так: «а равно арксинус у».

Равенства (1) и (2) по-разному

выражают одну и ту же зависимость.

Приведенное определение можно кратко

записать так: arcsin(sina)=a (если

л л ч

---<а<—).

2 2

Из этого же определения следует и такое тождество sin(arcsiny)=y.

Примеры:

.1 л . л 1

1. arcsm— = —, так как sm — = — и

2 6 6 2

ллл

---< — < —

2 6 2'

т  л/2 л  л 42

2. arcsm-— = —, так как sm — =---- и

2 4 4 2

ллл

---< — < —

2 4 2'

_ .43 л .л 43

3. arcsm----= —, так как sin — = — и

2 3 3 2

ллл

---< — < —

2 3 2'

л л л л

4. arcsm1=—, так как sm —=1 и — не

2 2 2

выходит за границу промежутка

Л Л

2 ’ 2

- . ( 1 1 Л

5. arcsm I — I =-------так как

2

6

( Л 1 1 Л Л Л

sin I------------I = — и----------------------< — < —.

I 6 J 2 2 6 2

6. arcsin -

421 л

=-----, так как

4

2

J

( л1 ЛЛЛ

sin I-I =--и----< — < —

I 4 J 2 2 4 2

7. arcsin -

2

J

( л1 S

sin I-------I =-----------

I 3 J 2

ЛЛЛ

и--< — < —.

2 3 2

ЛЛ

8. arcsin(-1)=-, так как sin(-)=-1 и

22

Л

не выходит за границу сегмента

ЛЛ

2 2

Функция arccosx

При изучении функции y=cosx было установлено, что:

1) каждому углу а из промежутка [0; п]: 0<а<л соответствует одно определенное значение cosа, и это значение cosа по абсолютной величине меньше или равно единице;

2) двум любым различным значениям угла а из промежутка [0; п] соответствуют два различных значения cosа^; это следует из того, что в промежутке [0; п] функция cosа -убывающая;

3) каково бы ни было число х, по абсолютной величине меньшее единицы, существует, и притом только один, угол а из промежутка 0<а<п, косинус которого равен х: cosа=x.

Определение. Арккосинусом числа x(arccosx) называется угол а из промежутка [0; п]: 0<а<п, косинус

которого равен х: cosа=x.

Из сказанного следует, что любому числу х (аргументу), по абсолютной величине меньшему единицы, всегда соответствует, и притом только одно, значение arccosx (функция).

Равенство a=arccosx читается так: «а равно arccosx».

Примеры:

2

1 ж ж 1

1. arccos — = —, так как cos — = — и

2 3 3 2

ж

0< — <п.

3

42 ж

2. arccos-----= —, так как

2 4

ж 42 „ ж

cos — =--------- и 0< — <п.

4 2 4

„ 43 ж ж 43

3. arccos---= —, так как cos — =-

2 6 6 2

ж

и 0< — <п.

6

ж ж

4. arccos 0 = —, так как cos— = 0 и

2 2

ж

0< — <п.

2

Г 11 2ж

5. arccos I---I =-------, так как

I 2) 3

2ж 1 2ж

cos----=-------и 0<------<п.

3 2 3

6. arccos

л/2

2

Л

Зж

4

V “У

Зж 42 Зж

cos — =-------------и 0< — <п.

4 2 4

^ л/3 ^ 5ж

7. arccos

2

6

так как

V “У

5ж 43 п 5ж

cos — =----------и 0< — <п.

6 2 6

8. arccos(- 1)=п, так как cosn=-1 и

пе [0;п].

Функция y = arctgx

При изучении функции у = tgx было

установлено, что:

14 ( ж жЛ

1) каждому углу ае\— —I:

ж ж

----<а< —

2 2

соответствует одно

определенное значение tgа;

2) двум любым различным значениям угла из этого промежутка соответствуют два различных значения tgа, так как на

этом промежутке функция tgа -

возрастающая;

3) каково бы ни было число а, существует, и притом только один, угол

г ж ж

а из промежутка [ — — ; — ], тангенс

которого равен а.

Определение. Арктангенсом числа а(arctgа) называется угол а из

ж ж

промежутка [ — — ; — ]: тангенс которого равен а.

Из сказанного следует, что любому числу а - аргументу, всегда

соответствует, и притом только одно, значение arctgа - функция.

Примеры:

1 ж ж 1

1. arctg—;= = —, так как tg— = —^ и

%/з 6 6 43

жжж

— <—

2 6 2'

2. arctg43 = —, так как tg — = 43

3 3

жжж

-----< —

2 3 2'

1 ж ж л

3. arctgl = —, так как tg— = 1 и

4 4

жжж

-----

2 4 2'

4. arctg 0=0, так как tg0=0 и

жж

-----<0< —.

22

/ 1 N ж

5. arctg(—;=) =--, так как

43 6

, ж 1 ж ж ж

,g(“в) = -Тз и ^< 16. arctg (~43) = — —, так как

, ж, пт ж ж ж

tg (-) = —V 3 и----< — < —.

3 2 3 2

7. arctg (—1) = — —, так как

, жч ж ж ж

tg (--) = —1 и------< — <—.

4 2 4 2

Функция y = arcctgx

и

При исследовании функции y = ctgx было установлено, что:

1) каждому углу а из промежутка от 0 до п (0<а<п) соответствует одно определенное значение ctga;

2) двум любым различным значениям а из этого промежутка соответствуют два различных значения ctga - это следует из того, что в промежутке (0; п) функция ctga - убывающая;

3) каково бы ни было число b, существует, и притом только один, угол из промежутка (0; п), котангенс которого равен b: ctga=b.

Определение. Арккотангенсом числа b(arcctgb) называется угол а из

промежутка (0; п): (0<а<п), котангенс которого равен b.

Из сказанного следует, что любому числу b (аргументу) всегда соответствует, и притом только одно, значение arcctgb (функция).

Примеры:

жж

1. arcctg1= —, так как ctg —=1 и

44

ж

(0< — <п).

4

2. arcctg43 = —, так как ctg — = V3 и

66

ж

(0< — <п).

6

1 ж ж 1

3. arcctg—j= = —, так как ctg—=—¡= и

л/э Г s3 V3

ж

(0<у<л).

. 1, 3ж 3ж

4. arcctg(-1)= —, так как ctg — =-1 и

4 4

3ж

(0< — <п).

4

1 2ж 2ж

5. arcctg(—¡= )=--, так как ctg-=-

S 3 3

1 2ж

—j= и (0<----<п).

S 3 '

6. arcctg(-43 )= —, так как ctg— = V3

6 6

5ж

и (0< — <п).

6

В дальнейшем целесообразно придерживаться общепринятых

обозначений - аргумент обозначается через х, а значение массой функции через у. Таким образом, у = arcsinx будет обратной функцией по отношению к функции у = sinx. Аналогично - у = arccosx - обратная функция по

отношению к функции у = cosx; у = arctgx - это обратная функция по отношению к функции у = tgx и у = arcctgx - обратная функция по

отношению к функции у = ctgx.

Основные тождества про обратные тригонометрические функции

Приведем доказательства двух тождеств, которыми будем часто

пользоваться в дальнейшем при решении уравнений и неравенств.

Теорема 1. Каково бы ни было число х по абсолютной величине меньшее или равное единице, имеем: ж

arcsinx+arccosx= —.

2

ж

Доказательство arcsinx+arccosx= —

2

Пусть arcsinx=а.

Из этого равенства на основании определения, приведенного выше, имеем:

ж ж

sina=x и-----<а< —

2 2

Но cos | ж — ,

а I =sina=x,

ж ж ж

а так как--<а< —, то 0<—-а<п.

2 2 2

Из соотношений (3) и (4) следует, что

ж

arccosx=-----а.

2

Складывая почленно (1) и (5),

ж

получим: arcsmx+arccosx= —, что и

требовалось доказать.

Теорема 2. Каково бы ни было число х, имеет место тождество: ж

arctgx+arcctgx= —.

Доказательство Пусть arcctgx=a.

жж

Тогда имеем tga=x и------<а< —. Но

22

ctg I ж — а I также равен x, так как

1 2

ctg — а J =tga. Из неравенств

ж ж ж

----<а<— следует: 0<—-а<п, а так как

2 2 2

ж

тангенс угла "^"-а равен x, то по

приведенному выше определению ж

имеем: arcctgx=——а.

Складывая равенства (6) и (7), ж

получим arctgx+arcctgx= —.

Эти тождества можно было бы доказать иначе.

Докажем тождество arcsinx+ ж

arccosx=

2

Сначала вычислим синус левой части этого равенства, для чего воспользуемся формулой синуса суммы двух углов: sin(a+ß)=sina-cosß+cosasinß.

Имеем

sin(arcsin x + arccos x) = = sin(arcsin x) • cos(arccosx) + + cos(arcsin x) • sin(arccos x) = = x • x + л/1 — x • 41 — x = x +1 — x = 1, при этом учли, что

cos а

sin а, тогда

cos(arcsin x) =

-y/l - sin2 (arcsin x) = Vl - x"

sin(arccos x) =

Jl - cos2 (arccosx) = Vl

= V1 — х .

Но из одного того факта, что sin(arcsinx+arccosx) = 1, еще не можем

ж

заключить, что arcsinx+arccosx= —, так

2

как существует бесконечное множество различных углов, синус которых равен 1.

Чтобы удостовериться в том, что сумма

ж

arcsinx+arccosx равняется именно —,

п п

---<arcsinx<—.

2 2

необходимо найти границы этой суммы. По определению

Складывая эти неравенства, получим:

ж 3ж

----<агсніпх+агссо8х< —. Но среди

2 2

чисел, больших или равных — — и

3ж

меньших или равных , имеется лишь

ж 1 одно число —, синус которого равен 1.

„ ж

Поэтому агс8іпх+агссо$х= —,

что и требовалось доказать. Аналогично докажем и тождество

ж

arctgx+arcctgx= —.

Воспользовавшись формулой

тангенса суммы двух углов:

tg (а + р) =------------, сначала

1— ^а

вычислим тангенс левой части доказываемого равенства

tg (arctgx+ аге^Х) = tg (arctgХ) + tg (аге^Х) 1 — tg (аг^Х)  tg (аге^Х) 1

x + -

l - x •

l

= да.

х

Но из одного того факта, что tg(arctgx+arcctgx) не существует, еще нельзя заключить, что arctgx+ ж

arcctgx= —, так как существует

бесконечное множество различных углов, тангенс которых не существует. Чтобы убедиться в том, что сумма

ж

arctgx+arcctgx равна именно —,

необходимо найти границы этой суммы. По определениям, приведенным выше,

x

а

жж

— — <arctgx<— и 0<arcctgx<ж.

Складывая эти неравенства, получим

ж 3ж

— — <arctgx+arcctgx< . Но среди

ж Зж

чисел больших-------и меньших —,

2 2

ж

имеется лишь одно число —, тангенс

2

которого не существует. Поэтому arctgx+arcctgx= —, что и требовалось доказать.

Примеры с обратными

тригонометрическими функциями 1. Вычислить sin(arccosx).

Так как 0<arccos<п, то sin(arccosx)>0. Поэтому, пользуясь формулой

sinа= + 41 — соб2 а , получим, что

Бт(агссоБ х) = 1 — соБ2(агссоБх) =

=VT—x2.

2. Вычислить cos(arcsinx).

лл

Так как----<arcsin< —, то

22

cos(arcsinx)>0. Поэтому, пользуясь

формулой cosa= + 41 — sin2 а , получим

cos(arcsin x) = +д/1 — sin2 (arcsin x) =

= V1 — x2.

3. Вычислить tg(arcctgx).

Так как 0<arcctgx<n, то

tg(arcctgx) e R. Пользуясь формулой

1

tga =------, получим, что

ctga

tg (arcctgx) =

1

1

ctg(arcctgx) x 4. Упростить выражение tg(arcsinx).

sin а

Пользуясь формулой tga =

cosa

получим, что tg (arcsin x) =

sin(arcsin x) _ x

cos(arcsin x) 41 — x2

5. Упростить выражение sin(arctgx).

л

Пусть x>0, тогда 0<arctgx< —.

Пользуясь формулой tga

sin а = +

Vi

, получим, что

+ tg а tg

= +-

Бт( arctgX) = + -----------= + -------

д/1 + tg 2(arctgX) л/1 + х2

Но из этих двух знаков годным является только знак плюс. Действительно, sin(arctgx)>0, так как при ж

х>0 0<ог^х< — . Правая часть будет

положительным числом или нулем, если из двух знаков, стоящих перед ней, выбрать только знак плюс (по условию х>0). Итак, окончательно имеем

sin(arctgx) =

лЯ

+ x

Пусть

теперь

x<0.

Тогда

л

— — <arctgx<0.

Имеем: sin( arctgx) = +-

tg

= +-

д/Г+tg2(arctgX) Л+х2

Но из этих двух знаков годным является только знак плюс, потому что sin(arctgx)<0, так как при х<0 будет ж

— — ^г^х<0.

Правая же часть будет отрицательным числом лишь тогда, когда из двух знаков, стоящих перед дробью, выберем только плюс (по условию х< 0). Итак, при х<0 формула имеет тот же знак, как при х>0, то есть

sin(arctgx)=+—. . Таким образом,

+ x

равенство

sin(arctgx)-

x

лЯ

справедливо при всяком значении x.

/ •

6. Вычислить tg2 arcsin -

Решение.

x

43

Обозначим угол (дугу) arcsin---

2

и ^

через а. Имеем a=arcsm , тогда

43 43

sina=sin(arcsin-); sin а-. Так как

22

ж

тогда а= —.

3

ж

sina>0, то 0<а<—,

2

Следовательно,

. 43. „ж 2ж /-

g 2(arcsin—) = tg2—tg— = -43.

7. Вычислить sin

Решение.

2 arccosI - —

Обозначим arccos I - — I =а, тогда

cosa= |-^J и 0<а<п. Теперь требуется найти sin2x, но sin2a=2sinacosa.

Находим sina: sina=

Значение sina взято положительным, так

Г 3 J „

как arccos I — — I - угол второй четверти.

Итак:

sin

2 arccos - —

= sin 2а =

о 4 ( 3 J 24

= 2sin а cosa = 2 — I — I =------------.

5 L 5) 25

8. Вычислить

cos

-12 R

arcsm-------+ arcctgl 3

2

42

Решение. Положим arcsin--------= a ,

2

откуда а = Ж; и arcctg 43 = ß, откуда

ж

ß = —. Следовательно, 6

cos

arcsin + arcctg 43

/

(ж ж Л ( _ 3ж = 2ж Л

= cos 21 —I— I = cosl 2-------I =

V 4 6 У V 12 У

5ж 43

= cos— =-------.

62

9. Вычислить tg (arctg — + arctg —). Решение.

Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

tga + tgP

tg (a + ß) =

Имеем:

1 + tga tgß

1 1J

tg | arctg — + arcctg — I =

tg | arctg 1J + tg (arcctg 1

1 - tg | arctg 1 V tg( arcctg 1

11

--1-

2__3

1+

= 1.

10. Доказать справедливость равенства

, 1 , 1 , 1 , 1 ж

arctg —+ arctg — + arctg —+ arctg — = —. 4 5 7 84

Доказательство.

Сначала вычислим тангенс суммы

левой части:

1 1 1 1ч

tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg —) =

= tg

1 1 J ( 1 1

arctg — + arctg — I + I arctg — + arctg —

^ | сг^ 1 + сг^ 1 j + ^ ( сг^ 1 + сг^ 1 , ( 1 П ( 1 1

1— ^ I - I • /£ I — -

Для краткости записей вычислим значение тангенсов, участвующих в записи дроби:

2

2

tg I arctg 1 + arctg 1 j =

tg I arctg 11 + tg ^ arctg 1 1 — tg I arctg 1 j - tg I arctg 1

1 1 8

---------1- --------------

3 5 _ 1S

1 —

84

11 14 14 і

з s

1S

Найдем также, что

1 1 3

tg (arctg — + arctg —) = —.

7 8 11

Теперь

1111, tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg—):

4 _ 7 44 = 65 = 1

Ц 65 .

7' 44

Заметим, что

_ 1 л

0 < arctg — < —

3 4 •

1 —

_ 1 л

0 < arctg — < —

5 4 •

1 л ’

0 < arctg — < —

7 4 •

1 л- ’

0 < arctg — < —

8 4 .

Складывая эти неравенства, получим:

1111 0 < arctg — + arctg — + arctg — + arctg — < л.

Итак, установлено два факта:

1)

1 1 1 1ч 1

tg (arctg — + arctg — + arctg — + arctg—) = 1.

2) 0.

Из этих двух фактов следует:

1 1 1 1 л

arctg — + arctg — + arctg — + arctg — = -

4 5 і

что и требовалось доказать.

84

Примечания

1. Бермант А. Ф., Люстерник Л. А. Тригонометрия. М. : ГТТИ, 1957. 2. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницин Ю. П. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. М. : Просвещение, 2004.

Статья поступила в редакцию 14.02.2012 г.