Численно-аналитическое моделирование балки с трещиной

УДК 519.6+539.3 А. В. Матросов,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БАЛКИ С ТРЕЩИНОЙ

NUMERICALLY-ANALITICAL MODELLING OF A BEAM WITH A CRACK

Представлен алгоритм численно-аналитического метода расчета упругих систем, работающих в условиях плоской задачи теории упругости, основанный на декомпозиции системы на прямоугольные области и построении для каждой из них общего решения на основе метода начальных функций с последующей их «склейкой» по линиям контакта с использованием условий взаимодействия областей между собой для построения системы линейных уравнений определения неизвестных коэффициентов в решениях. Трещину в конструкции предлагается моделировать двумя прямоугольниками, два смежных ребра которых не взаимодействуют между собой, образуя берега трещины. Приведены результаты расчета балки с вертикальной трещиной, расположенной в нижней ее части.

An algorithm for building a numerical-analytical solution for the problem of deformation of linearly-elastic systems on basis of their decomposition on a set of simple rectangular elements and using a general solution for a rectangular area based on a method of initial functions is presented. A crack in a construction is simulated as two rectangles two adjacent edges of which don’t interact forming two crack edges. Results of an analysis of a beam with a vertical crack in its bottom are presented.

Ключевые слова: краевая задача, плоская задача теории упругости, метод начальных функций, линейно-упругие системы, трещина.

Key words: boundary problem, plane elastic problem, method of initial functions, linearly elastic systems,

crack.

1. Введение. В [1, с. 55-56; 2, с. 70-84] разработан численно-аналитический метод расчета упругих систем в условиях плоской задачи теории упругости. Суть его заключается в том, что сначала выполняется декомпозиция конструкции на прямоугольные области и для каждой из них строится общее решение в виде тригонометрического ряда с неизвестными коэффициентами, для определения которых используются граничные условия конструкции и условия сопряжения прямоугольных областей между собой. Этот подход можно использовать для моделирования вертикальных или горизонтальных трещин в упругих телах. Если два смежных ребра соседних прямоугольных областей не взаимодействуют между собой, оставаясь «самостоятельными» в своей работе, то они моделируют два берега трещины в случае ее раскрытия или растяжения в направлении, перпендикулярном ее берегам. Работоспособность такого подхода показана на примере растяжения прямоугольной области с трещиной и изгиба балки с трещиной в нижней части.

2. Алгоритм расчета. В [2, с. 70-84] предложен алгоритм расчета тел с составленным из прямоугольных областей сечением сложной конфигурации, находящихся в условиях плоской задачи теории упругости. Любая из четырех граней каждой прямоугольной области может либо принадлежать границе сечения всего тела, либо соприкасаться с гранью другой прямоугольной области, полностью с ней совпадая.

На гранях, принадлежащих границе сечения всего тела, граничные условия соответствуют граничным условиям исходного тела в этой области. На гранях, соприкасающихся с гранями других прямоугольных областей, граничные условия могут обеспечивать непрерывность перемещений и напряжений при переходе из одной области в другую через общую грань, а могут рассчитываться и из других условий сопряжения соприкасающихся граней, например обеспечивая скольжение областей по грани с трением или без.

Выпуск 3

Выпуск 3

В работе [1, с. 55-56] разработан и реализован алгоритм построения общего решения в виде тригонометрических рядов для граничной задачи анизотропного линейно-упругого прямоугольного в сечении тела с размерами (0,И) х (0,а) вдоль координат х и у соответственно, находящегося в условиях плоской деформации или обобщенного плоского напряженного состояния. Общее решение строится на основе метода суперпозиции [3], предложенного Г. Ламе еще в 1851 г. Суть его заключается в том, что если имеются два решения, обладающие функциональным произволом для удовлетворения граничным условиям на альтернативных противоположных гранях прямоугольника, то сумма таких решений будет представлять общее решение для всей прямоугольной области.

В качестве указанных решений в [1] используются два решения, построенные методом начальных функций (МНФ). В первом начальные функции задаются на линии х = 0, а во втором — на линии у = 0, причем представляются они тригонометрическими рядами.

Обозначим через и0 = {й0(:к),:И(у),а;;(.у),^(:);)} и й0 = {и0(х),у0(х),^(х)Д° (*)} векторы начальных функций, заданных соответственно на линиях х = 0 и у = 0. Векторы перемещений и напряжений и =|м(х,у),у (х,у),ёх(х,у),ау(х,у),т.1у(х,у)} и и =^(х,у^,у(х,у'),ох(х,у^,оу(х,у'),тху(х,у')} в соответствии с решением МНФ выражаются через векторы начальных функций следующим образом:

и = ьи°,

и = ЁС°,

где Ь = \_Ьу~\ и Ь = ^ ( = 1, ..., 5,] = 1, ..., 4) — матрицы операторов МНФ с элементами вида

оо оо

Ьу^1у(Адг,ду}хк и (Адг,дхУук, в которых коэффициенты 1~ и I? зависят от уп-

к=0 к=0

ругих постоянных анизотропного тела и соответственно операторов дифференцирования ду по

переменной у и дх по переменной х.

Начальные функции выберем в виде тригонометрических рядов:

т=О

л=0

в которых и<"> = } и “!-> и 4<"> (/ =1,

..., 4) — произвольные числовые коэффициенты, 5“=вт(ату), с“=со8(ату), я* = втф,,*), с* = со8(Ри;с), ат = пт/а, Рп = ил/й, т и п — любые целые неотрицательные числа.

В этом случае в соответствии с решениями МНФ (1) векторы перемещений и напряжений и и и будут получены в виде:

4*

и = Уи

Г

и = £и(и),

и=0

где = &’>={Ц-ЦД-ЧД-У,,1?У.Д->с:}, а Ц" и

$•', а = 1, .... 5) — числовые степенные ряды по переменным х и у соответственно

Пт)=Уа(т)1. =Уа(т)УТк хк=УУа(т)Р-хк,

1 4-1 Р ‘Р ду^Оп 4-1 Р 4-1 ‘Р ду=±ат /-1/-1Р ‘Р ’

р=1 р=1 £=0 к-0 р=1

р= 1

р=1

к=0

Гк.ук

к=0 р=1

В рядах и Цр операторы дифференцирования д и появляются в виде целых степеней. Их замена на числовые значения, представляющие целые степени ат и Рп с соответствующими знаками, должна выполняться последовательным дифференцированием исходной тригонометрической функции, на которую воздействует оператор.

Каждое из решений (3) позволяет решить задачу удовлетворения граничным условиям на альтернативных противоположных гранях прямоугольника: первое — на гранях х = 0 и х = к, тогда как второе — на гранях у = 0 и у = а. В соответствии с методом суперпозиции Ламе сумма двух этих решений

и = и+и

будет обладать достаточным функциональным произволом для удовлетворения ГУ на всех четырех гранях упругого анизотропного прямоугольника, являясь таким образом общим решением задачи для упругой анизотропной прямоугольной области.

Для каждой прямоугольной области, полученной в результате декомпозиции исходной конструкции, строится общее решение типа (4) с использованием тригонометрических рядов (2) со своими неизвестными коэффициентами, которые определяются из условий удовлетворения граничным условиям конструкции и условиям взаимодействия смежных прямоугольных областей, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений.

В практических расчетах ограничиваются конечным числом гармоник в представлении как начальных функций, так и заданных граничных условий. Таким образом, решаемая система линейных алгебраических уравнений является конечной, что равносильно применению метода редукции к исходной бесконечной системе уравнений [4].

3. Растяжение прямоугольной области с поперечной трещиной. Представляет интерес исследование возможности применения предлагаемого подхода к расчету тел, ослабленных трещиной. Для этих целей был выполнен расчет на растяжение изотропной (модуль упругости Е, коэффициент Пуассона V = 0,3) квадратной (4а*4а) пластинки с трещиной длиной 2а (рис. 1). Растягивающая равномерно распределенная нагрузка интенсивности q0 приложена к граням, параллельным трещине. Предполагается, что пластина находится в плоском напряженном состоянии.

,<7о

О

г = 0 ^=0

2 а

а

4 а

а

2а

и = 0 т = 0

Xу

4 а

х, и

%

С!

Рис. 1. Расчетная схема растягиваемой равномерной нагрузкой квадратной области 4а*4а

с поперечной трещиной длиной 2а

Выпуск 3

Выпуск 3

Здесь достаточно в силу симметрии рассмотреть напряженно-деформированное состояние части квадратной пластины, например ее верхней правой четверти, которая представляется двумя прямоугольными областями 1 и 2 размерами 2а*а. Граничные условия, используемые для формирования линейной алгебраической системы разрешающих уравнений, следующие:

— на вертикальной грани контакта областей 1 и 2 обеспечивается непрерывность перемещений и соответствующих напряжений при переходе через нее из одной области в другую: ы1 = и2, V1 = V2, о1 = о2 , т1 = г2 , где верхний индекс относится к номеру прямоугольной области;

— на верхних горизонтальных гранях областей 1 и 2 нормальное напряжение ох = д0, касательное напряжение равно нулю тху = 0;

— на нижней горизонтальной грани области 1, которая представляет верхний берег трещины, задаются нулевые напряжения ох = 0 и тху = 0;

— на нижней горизонтальной грани области 2, исходя из симметрии, задаются нулевыми перемещение ы = 0 и касательное напряжение т = 0;

— на левой вертикальной грани области 1, исходя из симметрии, задаются нулевыми перемещение V = 0 и касательное напряжение тху = 0;

— на правой вертикальной грани области 2 задаются нулевые напряжения о = 0 и т = 0.

Результаты расчетов напряжений и перемещений при удержании в тригонометрических рядах 35 и 45 членов ряда представлены на рис. 2-5.

Известно, что в вершине трещины напряжения ох и тх принимают очень большие значения. Расчет по предлагаемой методике также дает большие значения соответствующих напряжений, что видно из графиков нормальных напряжений ох в горизонтальных сечениях прямоугольных областей 1 и 2 (рис. 2) и касательных напряжений тху в вертикальных сечениях тела 1 (рис. 3).

Отметим, что с увеличением количества удерживаемых членов тригонометрических рядов представления компонентов НДС значения этих напряжений в вершине трещины увеличиваются. Обратим внимание, что максимальное значение рассматриваемых напряжений достигается не в вершине трещины, а в близко расположенной с ней точке. Это связано с тем, что напряжения ох и т представлены частичными суммами тригонометрических рядов соответственно по синусам и ху ^

а

б

Рис. 2. Безразмерные нормальные напряжения ох/ д0 в горизонтальных сечениях с удержанием в тригонометрических рядах 35 (а) и 45 (б) членов

косинусам и указанный «недостаток» связан с характером сходимости частичных сумм к функции, имеющей разрыв первого рода. С увеличением количества членов в них максимум будет увеличиваться по абсолютной величине, а его точка достижения приближаться к вершине трещины, в пределе сливаясь с ней, что уже можно наблюдать для представленных графиков частичных сумм с 35 и 45 членами.

Рис. 3. Безразмерные касательные напряжения тху / д0 в вертикальных сечениях первой прямоугольной области с удержанием в тригонометрических рядах 35 (а) и 45 (б) членов

а б

Рис. 4. Безразмерные нормальные напряжения оу / д0 в вертикальных сечениях первой прямоугольной области с удержанием в тригонометрических рядах 35 (а) и 45 (б) членов

Графики нормальных напряжений су в вертикальных сечениях прямоугольной области 1 (рис. 4) показывают, что область над трещиной изгибается и максимальный изгибающий момент

Выпуск 3

достигается в ее срединном вертикальном сечении (график 1). И опять следует сказать, что в верхних и нижних точках сечений у = 0 (график 1) и у = а (график 5) в локальной системе координат прямоугольной области 1 значения напряжения су не равняются нулю, а связаны с представлением его в виде тригонометрического ряда по синусам по координате х, а поэтому частичные суммы в этих точках обращаются в нуль. Истинное значение будет лежать в окрестности значений в указанных точках сечения у = а/4 (график 4).

Графики вертикальных перемещений и (рис. 5) дают представление о раскрытии трещины (график 5), а также о перемещении первоначально горизонтальных сечений пластины. Отметим, что перемещение вершины трещины не нулевое, но близко к нему. С увеличением количества удерживаемых членов в тригонометрических рядах оно все ближе к этому значению. Объяснение этому такое же, что и для нормальных и касательных напряжений — медленная сходимость частичных сумм на гоанях поостых тел к истинным значениям компонентов НДС.

Рис. 5. Безразмерные вертикальные перемещения иЕ^0а в горизонтальных сечениях с удержанием в

тригонометрических рядах 35 (а) и 45 (б) членов

4. Изгиб балки с вертикальной трещиной. Применение подхода на основе декомпозиции к расчету модельной задачи с трещиной показало свою эффективность. Этот же подход может быть применен и к реальным конструкциям со сложной конфигурацией. В этом случае следует, конечно, предполагать или знать, в каком месте конструкции располагается трещина, и при декомпозиции ее на простые тела следует учитывать трещины, разбивая исходное тело на прямоугольные области таким образом, чтобы трещины становились смежными гранями простых тел, на которых задаются нулевые напряжения. Правда, при этом следует следить, чтобы при деформировании всего тела трещины раскрывались, так как при их схлопывании задача усложняется.

Яо

Оч

N

N

N

N

N

\

N

ч

а 2/г/З 1 а 2

й/3 3 | \ 4

X, и о =0 У т =0 XV

У>У

Рис. 6. Расчетная схема изгибаемой балки с вертикальной трещиной длиной к/3 в нижней ее части

Рассмотрим изотропную (модуль упругости Е, коэффициент Пуассона V = 0,3) прямоугольную пластинку размерами (к*2а, к = а) с вертикальной трещиной длиной й/3 в нижней ее части, жестко заделанную по вертикальным граням (и = 0, V = 0) под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности д0 по верхней грани (рис. 6). На этом же рисунке можно видеть разбиение расчетной пластины на прямоугольные области. На гранях контакта областей 1 и 2.

1 и 3, 2 и 4 обеспечивается непрерывность перемещений и напряжений при переходе из одной области в другую. Прямоугольные области 3 и 4 не контактируют между собой по вертикальным граням, которые представляют собой берега трещины, а поэтому на этих гранях нормальное и касательное напряжения нулевые.

На рис. 7-11 приведены графики компонентов НДС пластины с трещиной и такой же пластины без трещины. На них графики в горизонтальных сечениях, помеченные цифрами со штрихом, построены в сечениях х - (2й/3)(г -1)/ 4 пластины, а без штриха — в сечениях х - 2/г/З + (И/З )(г -1)/ 4, а графики в вертикальных сечениях построены при у = а{і — \^ІА (і — номер графика). Расчеты для обеих пластин проводились при 35 удерживаемых в тригонометрических рядах членов.

Рис. 7. Безразмерные нормальные напряжения оу / д0 в горизонтальных сечениях пластины

с трещиной

Нормальные напряжения о. в пластине с трещиной (рис. 7) при приближении к ее вершине уменьшаются (см. графики 3', 4' при у = а), переходя в окрестности вершины в растягивающие напряжения (см. графики 5' и 1 в окрестности у = а), так как д0 отрицательно. Заметим, что при увеличении количества удерживаемых членов в тригонометрических рядах два экстремума на этой кривой будут сближаться по горизонтали, в пределе при бесконечном числе членов ряда сливаясь в одну точку. Ранее уже отмечалось подобное поведение компонентов НДС, связанное с представлением их тригонометрическими рядами по синусам. Отметим практически одинаковые значения нормальных напряжений для пластин с трещиной и без нее на расстояниях а/4 от крайних вертикальных заделанных граней.

Распределение касательных напряжений т (рис. 8) для двух пластин остается практически неизменным, за исключением окрестности вокруг трещины (см. графики 4 и 6 при х > 2к/3) с локальным всплеском в ее вершине (см. график 5 при х = 2к/3).

Всплеск в вершине трещины наблюдается и для напряжений о (рис. 9). В областях, отдаленных от нее, напряжения также остаются практически одинаковыми в областях, приближенных к заделкам и верхней грани пластины.

Выпуск 3

Выпуск 3

Вертикальные перемещения u верхней части обеих пластин высотой 2^3 имеют одинаковый характер, хотя у пластины с трещиной они несколько больше (см. графики Г-5' на рис. 10), тогда как прогибы нижних частей пластин резко отличаются (графики 1-5). Отметим, что нижняя треть пластины с трещиной (графики 1-5 на рис. 10, а) перемещается практически как единое целое, так как она представляет не связанные между собой по центру две части, разделенные трещиной.

Рис. 8. Безразмерные касательные напряжения тху / д0 в вертикальных сечениях пластины

с трещиной

Рис. 9. Безразмерные нормальные напряжения оу / д0 в вертикальных сечениях пластины

с трещиной

20 ]

Горизонтальные перемещения V (рис. 11) для двух пластин вне окрестности трещины имеют одинаковый характер распределений с несколько большими значениями для пластины с трещиной. Отличие, конечно, наблюдается в окрестности трещины. Если для пластины без трещины в центральном вертикальном сечении эти перемещения нулевые (график 5 на рис. 11, б), то для тела с трещиной они не нулевые, показывающие раскрытие трещины при рассмотрении графи-

ков 5 и 5' на рис. 11, а, вычисленных соответственно в правых сечениях простых тел 1 и 3 и в левых сечениях простых тел 2 и 4. В верхних двух третях указанных сечений (х е [0,2Й/3] горизонтальные перемещения в них нулевые, а в нижней трети они разнятся, показывая раскрытие трещины при нагружении пластины, наибольшее значение которого достигается в самой нижней

точки трещины Ду

шах д

а б

Рис. 10. Безразмерные вертикальные перемещения uE/q0h в горизонтальных сечениях пластины

с трещиной

а б

Рис. 11. Безразмерные вертикальные перемещения vE/q0h в вертикальных сечениях пластины

с трещиной

С]

5. Заключение. Полученные результаты расчета конструкций с трещинами в упругой стадии ее работы показывают эффективность применения предложенного подхода к моделированию раскрывающихся в конструкции трещин.

Выпуск 3

Список литературы

1. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2007. — Вып. 2.

2. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2008. — Вып. 3.

3. Lame G. Le?on sur la theorie mathemathique de l’elasticite des corps solids / G. Lame. — P.: Ba-chelier, 1852. — 335 p.

4. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — М.: ГИТТЛ, 1950. — 695 с.

УДК 556.5 Н. В. Селезнева,

аспирант,

СПГУВК

АНАЛИЗ ПРИЧИН ФОРМИРОВАНИЯ ЛЕТНИХ ДОЖДЕВЫХ ПАВОДКОВ В РЕЧНЫХ БАССЕЙНАХ ГОРНЫХ РЕК

ANALYSIS OF THE FORMING OF THE SUMMER RAIN FLASH FLOODS IN RIVER BASINS

В статье рассматриваются причины наводнений, вызванных летними паводками, и способы снижения ущерба. Радикальным способом является регулирование стока рек за счет водохранилищ.

Causes of floods due to summer uprise & and methods of harm lowering are given in the article. The radical method is considered to be river runoff control by means of storage researches.

Ключевые слова: наводнения, сток, площадь затопления, противопаводковые мероприятия.

Key words: floods, river runoff, flooded area, flood protection measures.

<4

*

К

Ш

АТАСТРОФИЧЕСКИЕ наводнения на реках входят в число наиболее опасных природных явлений не только из-за размеров причиняемого ими ущерба, но также из-за ожидаемого роста частоты и интенсивности гидрологических экстремумов при будущих изменениях климата. За десятилетие начиная с 1993 г. в мире зафиксировано не менее 9 наводнений — в США, Европе, Китае и Корее, разовый ущерб от которых превышал 10 млрд долл. Последнее из них произошло в Европе в 2002 г., когда ущерб составил около 12 млрд евро в Германии, около 4 млрд евро в Австрии и 2,5 млрд евро в Чехии [9].

Актуальность проблемы вновь подтвердили события 2005 г. — наводнения в Центральной и Восточной Европе, катастрофы Нового Орлеана и южных штатов США, связанные с ураганом Катрина. Ущерб от Катрины оценен более чем в 100 млрд долл. [7, с. 52-59]. Масштаб подобных катастроф в России значительно меньше, однако и здесь последнее десятилетие отмечено серией