Прикладные задачи стохастики как средство формирования и развития вероятностно-статистического мышления учащихся

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 5

с использованием общих или самостоятельно перестроенных приемов деятельности;

4-й уровень — методическая культура — готовность творчески решать обобщенные учебно-методические задачи в нестандартных учебно-методических ситуациях.

Этапы формирования профессионально-методической компетентности будущего учителя математики могут быть следующие: 1) диагностика сформированности профессионально-методической компетентности; 2) проектирование целей овладения профессионально-методической компетентностью; 3) введение, усвоение и применение нового учебного материала для решения учебно-методических задач

1-го уровня по образцу, с использованием частных приемов деятельности; 4) первичное обобщение и применение учебного материала для решения учебно-методических задач 2-го уровня в стандартных ситуациях; 5) обобщение и систематизация учебного

материала, самоконтроль, самокоррекция его усвоения, применение для решения учебно-методических задач 3-го уровня в измененных ситуациях.

Библиографический список

1. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года [Текст]. — М. : Логос, 2002. — 32 с.

2. Стратегия модернизации содержания общего образования [Текст] : материалы для разработки документов по обновлению общего образования ; под ред. А.А. Пинского. — М. : ООО «Мир книги», 2001. — 95 с.

МАМОНТОВА Татьяна Сергеевна, соискатель кафедры теории и методики обучения математике.

Дата поступления статьи в редакцию: 03.06.2008 г.

© Мамонтова Т.С.

УДК 37 01 Т. А. ПОЛЯКОВА

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ СТОХАСТИКИ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ_________________________________

В настоящее время в связи с введением в школьный курс математики вероятностно-статистической линии, в методической литературе встает проблема подбора стохастических задач, которые необходимо использовать при обучении элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистике. В статье рассмотрен вопрос о включении прикладных задач в обучение стохастике на старшей ступени школы и их влияние на формирование и развитие вероятностно-статистического мышления учащихся.

Важнейшим средством формирования у школьников высокой математической культуры, мощным средством активизации обучения математике является эффективная организация и управление учебной деятельностью школьников в процессе решения различных математических задач. По словам А. Плоцки, «решение задач — это наиболее характерная сфера человеческой деятельности и основная деятельность обучающегося математике. Образ математики и отношение к ней формируют, прежде всего, задачи, которые он решает» [1]. Именно при решении математических задач школьники сознательно и прочно овладевают системой знаний, умений и навыков, которая отражена в школьном курсе математики. Кроме того, в процессе решения математических задач у школьников самым естественным образом могут быть сформированы качества, присущие творческой личности.

В настоящее время в связи с введением в школьный курс математики вероятностно-статистической линии,

к задачам по алгебре, геометрии, математическому анализу и др. добавились задачи по элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистике. Анализ учебно-методической литературы показал, что стохастические задачи существенно отличаются от обычных математических задач, к которым привыкли школьники. Различия могут наблюдаться в постановке условия и вопроса задачи, в характере данных в задаче значений величин, в количестве исходных данных, в выборе возможного подхода к решению задачи и т. д. Кроме того, решая задачи по стохастике, учащиеся сталкиваются с новыми для них понятиями — случайность, испытание, событие, вероятность события и т. д., которые не свободно используются в мышлении, ведь «мир, каким он видится через призму школьных учебников, строго детерминирован, в нем нет места случайности» [2]. По словам Д.В. Маневича, «поиск решения задач по теории вероятностей вызывает у учащихся большие затруднения. Учащиеся

теряются в выборе подходов к решению задачи, так как известные им методы решения математических задач, как правило, мало пригодны для решения теоретико-вероятностных задач...», кроме того, «психология человеческого мышления также более привержена к детерминизму, что препятствует осознанию концепций закономерностей случайного» [3].

В связи с этим в методической литературе встает проблема грамотного подбора стохастических задач, которые необходимо использовать в обучении элементам комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики. Анализ ряда существующих методик обучения теории вероятностей и математической статистике, а также учебников и сборников вероятностных задач для школьников, показал, что задачи чисто математического содержания явно преобладают над задачами с практическим содержанием, кроме того, при подборе задач практически не используются межпредметные связи, слабо отражена прикладная направленность обучения стохастике, что, в свою очередь, не способствует формированию вероятностно-статистического мышления учащихся и представлению о значимости стохастики как прикладной науки.

Мы придерживаемся мнения большинства исследователей (Ю.М. Колягин, В.В. Фирсов, В.Д. Селютин и др.), согласно которым, реализация прикладной направленности в обучении стохастике возможна на старшей ступени, в условиях профильной школы, когда перед учителем математики ставится одна из главных задач — показать возможность применения математического аппарата в будущей профессиональной деятельности школьников. Знакомство учащихся старших классов с элементами стохастики открывает широкие возможности для иллюстрации значимости математики в решении прикладных задач. Так, например, большинство учащихся классов того же гуманитарного профиля даже не догадывается, насколько важным аппаратом для исследования ряда социальных и исторических явлений является теория вероятностей и математическая статистика, не говоря о применении вероятностных методов в лингвистике и литературоведении. Весьма поверхностно учащиеся знакомятся с понятиями теории вероятностей на уроках биологии, а ведь именно в этой области знаний (биология, генетика, медицина) возможности применения стохастических законов достаточно широки.

Согласно одному из подходов к классификации задач, в основу которого положено отношение задач к практике, выделяют следующие виды задач [4,5,6]:

1) теоретические задачи (задачи на вывод формулы; на построение доказательства; на конструирование математических объектов и др.);

2) практические задачи (задачи на организацию и проведение экспериментов; на моделирование реальной ситуации; на определение справедливости пари, лотереи, игры; на интерпретацию числовых данных и др.).

При этом важно отметить тот факт, что содержание практической и теоретической деятельности человека обуславливает различие в направленности мышления: теоретического и практического [6, С. 60].

— При решении теоретических задач знания используются, как правило, в ситуациях, близких к тем, в которых они были получены; причем довольно четко обозначается область их применения. Все учебные задачи классифицируются по их предметному содержанию (задачи по физике, химии и т. д.). Внутри каждого вида имеются группы задач, решение которых основывается на использовании определенных

знаний (теорем, формул, аксиом, законов). Тем самым решение теоретических задач во многом облегчается указанием, какой учебный материал и как следует применять. Например, к числу теоретических комбинаторных задач можно отнести следующие:

Задача. Докажите тождества:

а) С0 + С” + Сп2 + С° +... + Спп = 2п;

б) сп” - С” + с2 - с3 +...+(-1)п спп = о.

1 1 1

Задача. Решите уравнение:------------=-----.

С4 С5 С6

— Для большинства практических задач заранее неизвестно, какие знания необходимо использовать. В ходе их решения приходится привлекать материал из различных предметов, причем способ его применения не задается в готовом виде. Используемые на практике знания не являются простой суммой различных понятий. Они представляют собой своеобразный «сплав» теоретических сведений и практического опыта. Например:

Задача. Из букв русского алфавита: а, в, д, е, з, и, о, с, т будем составлять 4-буквенные комбинации следующим образом: 1-ая буква — какая-нибудь гласная;

2-я буква — в; 3-я буква — гласная, не совпадающая с первой буквой); 4-я буква — какая-нибудь согласная (но не в). Каждую такую комбинацию будем произносить с ударением на первом слоге. Ученик, решивший эту задачу, выписал все возможные комбинации («слова»), и у него их получилось 12. Прав ли он? Все ли возможные случаи он учёл?

Предлагая подобные задачи межпредметного характера учащимся гуманитарного профиля, учитель демонстрирует им возможность применения аппарата математики (в данном случае, комбинаторного правила умножения) при решении лингвистических задач. Кроме того, в процессе решения задачи учащимся необходимо будет актуализировать свои знания по русскому языку: ударные и безударные гласные, звонкие и глухие согласные.

Как известно, путь развития при изучении математики состоит в формировании у школьников характерных для этого предмета приемов мыслительной деятельности. При этом, с точки зрения воспитания творческой личности, особенно важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений и навыков, фиксированных в стандартных правилах, формулах и способах действий, вошли эвристические приемы, как общего, так и конкретного характера, которые, в свою очередь, широко задействованы в процессе решения прикладных (практических) задач. Владение этими приемами необходимо для самостоятельного управления процессом решения творческих задач, применения знания в новых, необычных ситуациях. «Использование практических задач помогает учащимся осознать необходимость овладения знаниями. А это очень важный фактор сознательности и активности восприятия изучаемого материала» [7].

В связи с тем, что мы говорим об изучении стохастики на старшей ступени школы, то задачам с практическим содержанием (или, как их часто называют, прикладным задачам) следует уделить особое внимание. Отметим, что под прикладной задачей стохастики мы будем понимать задачу, возникшую в реальной жизненной ситуации (в области будущих профессиональных интересов школьников), для решения которой необходимо привлечение стохастического (вероятностно-статистического) аппарата.

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 5 (72) МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ «ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 5

Включение в процесс обучения стохастике прикладных задач во многом способствует формированию и развитию вероятностно-статистического мышления школьников. При решении подобного рода задач у учащихся формируются такие приемы логического мышления, как сравнение, связанное с выделением в предметах общего и различного; анализ, связанный с выделением и словесным обозначением в объекте разных свойств и признаков; обобщение, связанное с отвлечением от несущественных признаков объектов и объединением их на основе общности существенных признаков. Кроме того, при решении задач учащимся придется выполнять довольно много математических расчетов, например, актуальным становится умение находить отношение величин и выражать их в процентах. Придется также планировать собственную деятельность, понимать содержание описанного алгоритма и самостоятельно действовать в соответствии с его этапами. Таким образом, «изучение стохастики дает серьезный импульс для совершенствования вычислительных умений школьников и развития алгоритмического мышления» [8].

Решение прикладных задач, по мнению В.В. Фир-сова, имеет ряд особенностей [9]:

а) «оптимальность по отношению к приложениям»

— решение реальной задачи должно быть не только правильным, но и своевременным, экономичным по затраченным усилиям, доступным современным вычислительным средствам, удобным для дальнейшего использования;

б) принципиальной особенностью решения прикладных задач является широкое использование эвристических или правдоподобных рассуждений;

в) согласование уровней правдоподобия рассуждений по отношению ко всем трем этапам решения задачи.

В последнем пункте речь идет о трех этапах решения прикладных задач методом математического моделирования, а именно [9]:

1) этап формализации;

2) этап решения задачи внутри построенной математической модели;

3) этап интерпретации полученного решения математической задачи.

По мнению ряда исследователей, решение задач средствами математического моделирования способствует наиболее плодотворному развитию мышления учащихся.

Д.В. Маневич в качестве одного из основных методов решения теоретико-вероятностных задач выделяет метод, основанный на идеях Д. Пойа, согласно которому процесс решения задачи происходит в 4 этапа [3, С. 25]:

— математически схематизировать задачу, освободить ее от нематематической фразеологии, записать задачу в присущей ей вероятностной манере, с ее символикой и терминологией;

— выбор теорем, фактов, формул, в которых заложено решение задачи;

— построение плана решения задачи;

— оценка правильности решения.

Анализ психолого-педагогической литературы показывает, что «при построении методики решения прикладных задач необходимо исходить из тезиса о том, что развивать творческий потенциал ученика можно только включая его в учебно-познавательную деятельность — никакой рассказ о ней, и даже показ её не смогут научить творчеству, как бы хорошо ни было поставлено сообщение учащимся новых знаний посредством объяснительно-иллюстративного мето-

да, оно не обеспечит развитие творческого мышления и познавательной самостоятельности учащихся» [10]. Этот тезис основан на работах Н.А. Менчинской [11], которая пришла к выводу, что продуктивное усвоение знаний достигается лишь включением школьников в учебно-познавательную деятельность. Ведущие же виды деятельности, как это установлено психологами (Д.Б. Эльконин и др.), располагаются в школьном возрасте по периодам таким образом [12]: 7-11 лет — учебная деятельность; 11-14 лет — личностное общение в системе общественной деятельности; после 14 лет — учебно-профессиональная деятельность.

Таким образом, на основании работ психологов, мы приходим к заключению, что в старших классах, где ведущим видом деятельности является учебная и учебно-познавательная деятельность, учитель математики должен четко довести до сознания учащихся сущность математического метода, добиться, «чтобы школьник видел за вычислениями и преобразованиями не только абстрактные символы и игру ума, но и реальное содержание и метод познания, что без использования прикладных задач невозможно» [10]. При этом при подборе прикладных задач по теории вероятностей и математической статистике для учащихся старших классов школы, по нашему мнению, необходимо придерживаться следующих принципов (как общедидактических, так и специальных):

— принцип доступности (прикладные задачи должны лежать в сфере возрастных интересов школьников и отражать вопросы, имеющие место в реальной ситуации; если для рассмотрения отдельных примеров требуются дополнительные факты математической теории, то они должны быть доступны для понимания школьниками данного возраста и могут быть изложены отдельно);

— принцип интеграции школьных дисциплин (излагая прикладные вопросы, а также предлагая учащимся практические задачи, необходимо подчеркивать связь стохастики с другими науками (с химией, физикой, биологией, историей, литературой, языкознанием, психологией, социологией и т.д.));

— принцип практической значимости (содержание прикладных задач должно нести значимую практическую информацию, понятную учащимся либо в силу полученных ими знаний, либо исходя из жизненного опыта и интуитивных представлений);

— принцип научности (используемые приложения должны быть математически содержательны, прикладная задача должна быть полноценной в математическом отношении, не растворяясь в профессиональных терминах);

— принцип системности и взаимосвязи (прикладные задачи должны быть органической составной частью системы задач и упражнений по основному курсу теории вероятностей);

— принцип активности (при разборе конкретных реальных ситуаций, выполнении лабораторных, практических работ и проведении самостоятельных экспериментов учащиеся занимают активную позицию, активно взаимодействуют при работе в малых группах, имитируя реальные зависимости, генерируют идеи);

— принцип субъективизма (перевод учащегося из объекта обучения в субъект. Очень важна самостоятельная работа учащихся по составлению прикладных задач, подбору примеров использования идей и методов стохастики в различных областях деятельности человека, что существенно расширяет кругозор школьников, способствует развитию творческого мышления);

— принцип мотивации (мотивирующим потенциалом стохастики является формирование познавательного интереса. Так, например, данные, которые используются в задаче, должны подтверждать реальность описываемой в условии ситуации и, по возможности, давать учащимся полезные сведения, т.е. иметь познавательную ценность, что позволит учащимся на конкретных примерах увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно эффективно применять в профильной для них дисциплине, что, в сою очередь, будет способствовать развитию положительной мотивации учащихся в математической подготовке);

— принцип профильной направленности (данный принцип предполагает создание в процессе изучения стохастики среды, адекватной профессиональной среде будущих специалистов. В связи с чем приложения теории вероятностей и математической статистики должны быть подобраны в соответствии с определенным профилем обучения, при этом источник задачи и конечные цели, которые преследует ее решение, должны лежать вне математики и способствовать выработке профессионально значимых знаний, умений и навыков).

Приведем несколько примеров задач и упражнений прикладного характера, которые, по нашему мнению, было бы полезно использовать при обучении теории вероятностей и математической статистике в классах гуманитарного и естественнонаучного профиля.

Для классов гуманитарного профиля.

Упражнение (случай, событие). Приведите примеры событий из жизни следующих литературных героев, в которых случай сыграл главную, а для некоторых и роковую роль: а) Родион Раскольников (Ф.М. Достоевский, «Преступление и наказание»);

б) Евгений Базаров (И.С. Тургенев, «Отцы и дети»);

в) Берлиоз (М.А. Булгаков, «Мастер и Маргарита»); г) Евгений Онегин (А.С. Пушкин, «Евгений Онегин»).

Задача (классическое определение вероятности). На уроке родного языка каждый ученик получил отрывки из четырех литературных произведений четырех разных писателей, а также (отдельно) фамилии этих писателей. Если ученик правильно укажет автора каждого отрывка, то он получит положительную оценку. Оцените, насколько велик шанс ученика получить положительную оценку случайно (путем догадки), а не благодаря знаниям по литературе.

Для классов естественнонаучного профиля.

Упражнение (случайное событие). Определите, какие из следующих событий являются случайными, достоверными, невозможными:

1) образование соли и воды при взаимодействии кислоты и основания;

2) образование белого осадка при взаимодействии веществ, содержащих ионы бария (Ва 2+ ) с веществами, содержащими сульфат ионы ^О 4 );

3) образование воды при взаимодействии двух солей;

4) образование ионов металлов при диссоциации кислот.

Задача (корреляционный анализ). В результате исследования, направленного на изучение влияния вида пищи на плодовитость дафний, были получены следующие результаты: плодовитость дафний, которых кормили водорослями, составила 10, 8, 11, 5, 10, 9, 12, 14, 11, 10, 9, 6, 8, 9, 11, 13, 10, 7, 9, 11, 10, 16 яиц, а дафний, питавшихся детритом — 13, 9, 12, 14, 11, 9, 6, 10, 15, 7, 4, 11, 5, 8, 6, 10, 8, 12, 13, 14, 7, 15 яиц. Что можно сказать об отличиях этих двух серий измере-

ний? Отражают ли результаты измерений влияние вида пищи на плодовитость дафний?

Таким образом, по нашему мнению, обучение стохастике на старшей ступени школы в условиях профильной дифференциации должно осуществляться посредством реализации прикладной направленности через демонстрацию возможностей применения математического аппарата при решении ряда проблем и задач, возникающих в будущей профессиональной деятельности представителей различных профильных направлений. Знакомство учащихся старших классов с прикладными задачами стохастики, расширение круга таких задач в обучении математики окажет положительное влияние на формирование и развитие вероятностно-статистического мышления учащихся, а также позволит учащимся на конкретных примерах увидеть, как абстрактные математические понятия и факты можно эффективно применять в профильной для них дисциплине, что, в сою очередь, будет также способствовать развитию положительной мотивации учащихся в математической подготовке.

Библиографический список

1. Плоцки, А. Вероятность в задачах для школьников [Текст] : кн. для учащихся / А. Плоцки. — М. : Просвещение, 1996. - 191 с.

2. Варга, Т. Вероятность в играх и развлечениях [Текст] / Т. Варга, М. Глеман. — М. : Просвещение, 1979. — 176 с.

3. Маневич, Д.В. Совершенствование содержания общего среднего образования на основе теории вероятностей и статистики [Текст] : автореф. ... дис. д-ра пед.н. / Д.В. Маневич. — Ташкент, 1990. — 36 с.

4. Болотюк, В.А. Формирование вероятностно-статистических представлений учащихся в курсе алгебры основной школы [Текст] : дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / В.А. Болотюк. — Омск, 2002. — 176 с.

5. Шапиро, И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики [Текст] : кн. для учителя / И.М. Шапиро. — М. : Просвещение, 1990. — 96 с.

6. Якиманская, И.С. Знание и мышление школьника [Текст] / И.С. Якиманская. — М. : Знание, 1985. — 78 с.

7. Абаляев, Р.Н. Составление и решение арифметических задач с практическим содержанием [Текст] / Р.Н. Абаляев. — М. : Просвещение, 1964. — 112 с.

8. Бунимович, Е.А. Методические указания к теме «Статистические исследования» [Текст] / Е.А. Бунимович, С.Б. Суворова // Математика в школе. — 2003. — № 3. — С.29-36.

9. Фирсов, В.В. О прикладной ориентации курса математики [Текст] / В.В. Фирсов // Математика в школе. — 2006. — № 6, 7. — С. 2-9, 2-13.

10. Сухорукова, Е.В. Прикладные задачи как средство формирования математического мышления учащихся [Текст] : дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02 / Е.В. Сухорукова. — М., 1997. — 207 с.

11. Менчинская, Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка [Текст] / Н.А. Менчинская. — М. : Изд-во «Институт практической психологии»; Воронеж : Изд-во НПО «МОДЭК», 1998. — 448 с.

12. Немов, Р.С. Психология [Текст] : учеб. для студентов высш. пед. учеб. заведений : в 3 т. Психология образования / Р.С. Немов. — М. : Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1998. Т. 2. — 608 с.

ПОЛЯКОВА Татьяна Анатольевна, преподаватель кафедры высшей математики.

Дата поступления статьи в редакцию: 26.08.2008 г.

© Полякова Т.А.

«ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК» № 5 (72) МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ