Одно из звеньев интеграции математического образования

'»liiiii ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ^^ЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙШЙЙЙЙЙЙЙЙЙ^

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ОДНО ИЗ ЗВЕНЬЕВ ИНТЕГРАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

А.И. Долгарев, доцент кафедры математики и математического моделирования Пензенского государственного университета

Автором предлагается способ устранения разрыва между преподаванием элементарной геометрии в средней школе и аналитической геометрии в вузе посредством введения в школьный курс задач, рассматривающих свойства взаимного положения элементов геометрических фигур. Подобные задачи способствуют улучшению усвоения аналитического метода в геометрии. Приводится список указанных задач.

The author proposes a mode of elimination of a gap between the instruction in the elementary geometry in a general comprehensive school and the analytic geometry in a higher school by means of introduction into the school curriculum a number of assignments that examine properties of mutual position of geometry figures elements. The assignments of such kind are instrumental in improving the mastering of analytical method in geometry. The list of the named assignments is attached.

В преподавании математики в последние годы проводится в жизнь тенденция внедрения элементов вузовской математики в среднюю школу. Появились школьные учебники алгебры и начал анализа и соответствующие программы, по которым в средней школе преподаются элементы дифференциального и интегрального исчисления, имеющего основополагающее значение для математического и инженерного образования. В школьные учебные пособия и программы по геометрии введены начальные элементы аналитической геометрии, используется интегрирование при нахождении площадей и объемов фигур.

Наблюдается интенсивная интеграция разделов математики, традиционно изучавшихся в старших классах средней школы, в разделы математики, изучаемые в младших классах. Например, в создаваемых в настоящее время учебных пособиях по геометрии прослеживается тенденция не разделять стереометрию и планиметрию, т.е. стереометрия начинает изучаться раньше и наряду с планиметрией, в тесном сплетении с ней. Ведутся поиски педагогических технологий, обеспечивающих внедрение указанных процессов (А.Л. Вернер, Т.П. Баранова, В.А. Болотюк, Н.Е. Марюкова, П.И. Совертков, Т.А. Филяюшкина,

Т.Г. Ходот и др.).

Вместе с тем в связи с научными особенностями математики, в частности ее логическим строением, необходимос-

тью выдерживать последовательность изложения материала имеется насущная потребность в установлении связей между отдельными разделами и заполнении переходов между ними.

Эффективной является интеграция школьной (элементарной) геометрии и вузовского курса геометрии или высшей математики, включающих аналитическую геометрию.

Среди множества важных вопросов элементарная геометрия изучает свойства фигур, соотношения между элементами фигур. Аналитическая геометрия описывает все это на языке уравнений и систем уравнений. Переходя к описанию свойств фигур аналитическими методами, очень важно рассмотреть промежуточные геометрические положения и задачи, которые требуются для усвоения основ аналитической геометрии, необходимых при изучении дальнейших разделов высшей математики или других математических дисциплин вузов.

Приведем пример.

3 а д а ч а. Построить параллелограмм, если даны две пересекающиеся прямые, содержащие сторону и диагональ параллелограмма, и не принадлежащая им вершина.

Согласно условию считаем, что на плоскости начерчены прямые и отмечена точка.

При решении задачи используются известные свойства параллелограмма в новой формулировке:

© А.И. Долгарев, 2004

— стороны параллелограмма лежат на параллельных прямых;

— вершины параллелограмма есть точки пересечения сторон или стороны и диагонали;

— точка пересечения диагоналей есть середина отрезка прямой, проходящей через противоположные вершины параллелограмма и др.

Схема решения задачи такая же, как и всякой задачи на построение. Анализ задачи проводится на готовом чертеже в предположении, что задача решена. Затем создается план решения задачи и этот план осуществляется. Далее следует убедиться в том, что задача решена, и провести исследование данных в условии задачи и возможностей решения в зависимости от вариации данных.

Как видно из приведенного примера, элементарные свойства фигур формулируются в новом виде, необходимом для применения аналитических методов. Исходим из того, что в аналитической геометрии линии описываются уравнениями, точки — координатами; точки находятся как пересечения линий, некоторые линии определяются заданием их точек с учетом расположения.

Далее необходимо сделать шаг к аналитическому описанию данных в задаче элементов. Поскольку прямые задаются их уравнениями, точка — координатами, план построений превращается в план написания уравнений линий (в данном случае прямых), отыскания точек их пересечения, написания уравнений новых линий и т.д. При этом могут быть использованы различные виды уравнений линий.

Приведенная выше задача не охватывает всех аспектов технологии использования переходных задач от элементарной геометрии к аналитической. Аналитические методы позволяют решить некоторые вопросы, никак не отражающиеся в элементарной геометрии. Например, имеется формула для нахождения расстояния от точки до прямой. Ее наличие дает возможность находить высоты фигур (треугольника, параллелограмма и др.), зная вершину и прямую, на которой лежит основание фигуры. При

решении таких задач элементарными средствами нужно, как правило, находить фигуры, в которые входит отрезок, изображающий высоту.

Существует много видов принципиально различных переходных задач рассматриваемого направления.

Приведем небольшой список задач, который при необходимости может быть дополнен.

1. Построить параллелограмм, если даны

а) три вершины;

б) две вершины и центр;

в) центр и середины двух сторон;

г) середины трех сторон;

д) центр и две пересекающиеся прямые, содержащие стороны;

е) три прямые, содержащие сторону и диагонали;

ж) две пересекающиеся прямые, содержащие стороны, и не принадлежащая им вершина;

з) прямые, содержащие средние линии, и вершина;

и) центр, середина стороны и вершина;

к) две пересекающиеся прямые, содержащие диагонали, и середина стороны.

2. Дополнить до параллелограмма треугольник, если

а) одна его сторона совпадает с диагональю параллелограмма;

б) две стороны лежат на диагоналях параллелограмма.

3. Построить ромб, если даны

а) две прямые, содержащие сторону, диагональ, и не принадлежащая им вершина;

б) прямая, содержащая сторону, и две вершины, одна из которых лежит на данной прямой;

в) две вершины и точка на соседней стороне;

г) две прямые, содержащие соседние стороны, и точка на стороне, не принадлежащая данным прямым;

д) две вершины и точка между ними, на которую проектируется центр.

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

4. Дополнить до ромба

а) равнобедренный треугольник;

б) прямоугольный треугольник.

5. Построить прямоугольник, если даны

а) соседние вершины и прямая, содержащая диагональ;

б) равнобедренный треугольник, одна вершина которого совпадает с центром прямоугольника, а две другие — с вершинами;

в) прямоугольный треугольник, одна вершина которого совпадает с центром прямоугольника, а две другие — с вершинами сторон;

г) прямой угол и точка внутри его, являющаяся центром прямоугольника.

6. Построить квадрат, если даны

а) две вершины (соседние, противоположные);

б) центр и вершина;

в) центр и середина стороны;

г) середины двух сторон (соседних, противоположных);

д) вершина и середина диагонали;

е) центр и прямая, содержащая сторону;

ж) вершина и прямая, содержащая диагональ;

з) две пересекающиеся прямые, содержащие сторону, диагональ, и вершина, не лежащая на данных прямых;

и) две параллельные прямые, содержащие стороны, и точка на третьей стороне.

7. Построить треугольник, если даны

а) середины его сторон;

б) вершина и середины двух сторон, исходящих из этой вершины;

в) две вершины и середина другой стороны.

8. Даны две вершины треугольника и известно, что медианы, проходящие через эти вершины, параллельны двум данным прямым. Построить третью вершину треугольника.

9. Даны вершина треугольника и две прямые, содержащие его медианы, но не содержащие данной вершины. Построить остальные вершины треугольника.

10. Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие через одну

точку. На двух из них лежат стороны треугольника, на третьей — медиана. Провести прямую, содержащую третью сторону треугольника.

11. Даны две прямые, содержащие стороны треугольника, и точка пересечения его медиан. Построить вершины треугольника.

12. Построить треугольник, если даны

а) его вершина и прямые, содержащие медианы, но не содержащие данной вершины;

б) две его вершины и точка пересечения медиан;

в) точка пересечения медиан и две прямые, содержащие средние линии.

13. Даны три прямые, проходящие через одну точку. На одной из них лежит медиана треугольника, на остальных — стороны. Через данную точку провести прямую, содержащую третью сторону треугольника.

14. Три прямые пересекаются в трех различных точках. На одной из них лежит сторона треугольника, на остальных — медианы. Построить треугольник.

15. Три прямые пересекаются в трех различных точках. На одной из них лежит сторона, на другой — медиана, на третьей — средняя линия треугольника. Построить треугольник.

16. Построить треугольник, если даны

а) две прямые, содержащие его медианы, и середина стороны;

б) три прямые, одна из которых содержит среднюю линию, а две другие — медианы;

в) точка пересечения медиан, середина медианы и середина стороны.

17. Провести медианы треугольника, если даны его вершина и точки, симметричные его центроиду относительно двух сторон.

18. Даны две прямые, симметричные относительно центроида треугольника прямым, содержащим медианы треугольника, и дана середина третьей стороны. Построить треугольник.

19. Даны три прямые, содержащие медианы треугольника, и точка на одной из сторон, не принадлежащая данным прямым. Построить треугольник.

20. Даны две прямые, содержащие сторону и медиану треугольника, и вершина, не лежащая на данных прямых. Провести прямые, содержащие стороны треугольника.

21. Прямые а и Ь параллельны, прямая с их пересекает. На а и Ь лежат сторона и средняя линия треугольника, на с — медиана ( а п Ь — вершина или середина стороны). Провести прямые, содержащие остальные стороны треугольника.

22. На трех прямых, проходящих через одну точку, лежат медиана и средние линии треугольника. Дана вершина треугольника, не лежащая ни на одной из данных прямых. Провести прямые, содержащие стороны треугольника.

23. Построить третью вершину треугольника, если даны две его вершины и точка пересечения высот.

24. Провести прямую, содержащую третью сторону треугольника, если даны две его стороны и точка пересечения высот.

25. Дана вершина треугольника и две прямые, содержащие его высоты (не содержащие данную вершину). Построить треугольник.

26. Пересекающиеся в трех различных точках прямые содержат сторону и две высоты треугольника. Построить третью его вершину.

27. Даны вершина треугольника и две прямые, проходящие через данную вершину и содержащие высоту и медиану треугольника. Провести прямые, содержащие стороны треугольника.

28. Даны вершина треугольника и две прямые, содержащие высоту и медиану, проходящие через другие вершины. Найти эти вершины.

29. Даны прямая, содержащая сторону треугольника, две вершины и основание высоты на третью сторону. Провести прямую, содержащую третью сторону.

30. Найти общую вершину двух равнобедренных треугольников, если даны четыре точки — концы их оснований.

31. Даны три точки— по одной на каждой стороне равнобедренного треугольника, не совпадающие с вершина-

ми, и дана прямая, содержащая биссектрису одного из углов. Построить треугольник.

32. Построить треугольник, если даны его вершина и серединные перпендикуляры двух сторон.

33. Даны прямая, содержащая биссектрису угла, и по точке на его сторонах (не совпадающие с вершиной). Построить стороны угла.

34. Даны две прямые и не принадлежащая им точка. Точка есть вершина треугольника, на прямых лежат его биссектрисы. Построить треугольник.

35. Даны: прямая, содержащая основание равнобедренного треугольника, точка, являющаяся его вершиной, и длина высоты на боковую сторону. Построить треугольник.

36. Даны середина гипотенузы и прямая, содержащая катет равнобедренного прямоугольного треугольника. Построить треугольник.

37. На двух данных прямых лежат основание и боковая сторона равнобедренного треугольника; дана точка, лежащая на третьей стороне. Найти вершины треугольника.

38. Даны прямые, содержащие боковые стороны равнобедренного треугольника, и точка на прямой, содержащей основание. Провести эту прямую.

39. Даны вершины основания равнобедренного треугольника и прямая, содержащая биссектрису угла при основании. Построить треугольник.

40. На трех данных прямых лежат сторона и биссектрисы двух углов треугольника. Построить две другие стороны.

41. Построить треугольник, если даны его вершина и прямые, содержащие биссектрисы углов с другими вершинами.

42. Даны вершина треугольника и прямые, не проходящие через эту вершину, содержащие высоту и биссектрису треугольника. Построить треугольник.

Решение указанных задач может проводиться на факультативных занятиях в школе, подготовительных курсах, дополнительных занятиях в вузе и в процессе изучения аналитической геометрии.

Поступила 12.05.04.