Численный расчет акустического поля при произвольном осесимметричном распределении давления на поверхности медицинского ультразвукового датчика

Секция ультразвуковые и акустические приборы в медико-биологической практике

УДК 618.2-073

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЕТ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ ОСЕСИММЕТРИЧНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ МЕДИЦИНСКОГО УЛЬТРАЗВУКОВОГО ДАТЧИКА

В.Е. Золотовский, Е.А. Плаксиенко, М.С. Рыбачек

ОКБ «Ритм», ТРТУ, 347900, г. Таганрог, ул. Петровская 99; тел. 6-31-08, факс 2-33-86

В современной медицинской диагностике широко используются различные ультразвуковые устройства. Предпочтение тем или иным устройствам отдается в зависимости от обеспечиваемого ими качества визуализации. С точки зрения характеристик аппаратуры качество изображения определяется тремя параметрами: пространственной разрешающей способностью, контрастной разрешающей способностью и однородностью всего поля обзора.

Контрастная разрешающая способность обеспечивает возможность различать типы тканей и видеть тонкие структуры в присутствии очень ярких отражателей, что, несомненно, дает дополнительную и более точную информацию о состоянии органов. В этом случае врачу гораздо легче установить точный диагноз и предложить соответствующее лечение. Одним из способов увеличения контрастной разрешающей способности является сужение сечения излучаемого пучка ультразвуковых волн. Для достижения этого эффекта обычно используется неравномерное распределение амплитуды давления на поверхности преобразователя. Распределение амплитуды наиболее близкое к реальному предлагается в работе [1]. Это распределение называется квазифокусирующим и приведено на рис.1. Оно описывается выражением

A(r,0) =

-1,

г < г

где гс = /иЯ, V = 1 (1 — e аГс ), в = осгсу!(Ь — гс ), C = (еаГс — 1)e

Ь = Я —

1п(ц>

2arcv

^ 1п

Я---------

V

2arcVJ

—я 2 +

1п(ц>

(XV

В этих выражениях Я - радиус излучателя, /и, ц - параметры

аппроксимации, причем и - определяет положение максимума амплитуды на

2

поверхности излучателя, а величина q - относительное значение амплитуды давления на краю излучателя.

Для сравнения на рис. 1 приведены примеры неравномерного распределения амплитуды давления: пунктиром - показательное распределение второго порядка, сплошная кривая - квазифокусирующее распределение.

Рис. 1

Процессы, происходящие в биологической среде, традиционно описываются в первом приближении аналитическими выражениями, полученными путем решения уравнения Гельмгольца различными методами. Наиболее общим из известных решений является интеграл Релея, выражающий принцип Гюйгенса-Френеля для плоских источников с бесконечно протяженным экраном [2]. Известные расчетные соотношения, определяющие распределение поля вдоль оси преобразователя или же в дальней зоне [3] получены на основе этого интеграла лишь для постоянного и Гауссового распределений. Вычисление же этого интеграла в общем случае весьма затруднительно.

В связи с этим представляется целесообразным получение более простого, чем интеграл Релея, но достаточно общего выражения, позволяющего рассчитать акустическое поле в линейной среде, создаваемое излучателем при различных осесимметричных распределениях амплитуды на его поверхности, в частности, при предложенном квазифокусирующем распределении (1).

В данной работе эта задача решается для круглого излучателя путем преобразования интеграла Релея на основе разложения функции Бесселя в ряд Фурье и применения интеграла Зоммерфельда. Как известно [2], уравнение Гельмгольца имеет вид

Л2 1 д 2ф

А2ф = ——^

со дт

2

2

где А - поперечный лапласиан, ^0 - скорость звука в воде, ф - потенциал акустического поля в среде.

Решение уравнения (2) обычно ищется в виде ф = ф(г, X^)е^аТ,

Т = ? — с X , ф(г, X) - комплексная амплитуда потенциала, Г, X -

цилиндрические координаты точек среды [2]. Как показано в [2] поле, создаваемое плоским излучателем с бесконечно протяженным экраном, в рассматриваемом случае описывается интегралом Релея

ф(г '}=— П

дф(г') е

—Ікг'

да

2ж ^ дп г' 3)

а

где Г - радиус вектор, соединяющий центр элементарной площадки поверхности излучателя с точкой наблюдения, С - поверхность интегрирования, т.е. поверхность

на которой распределены источники акустического поля, дф/дп - производная

потенциала по нормали к поверхности преобразователя.

С помощью интеграла Зоммерфельда и разложения функции Бесселя в ряд Фурье, с учетом осесимметричного распределения поля на поверхности плоского преобразователя, выражение

( ) Г (-) г П е2 + 1 (г,Г,в)2 в ^

ф

о П о у/ х + I

Здесь I (г, г, 0) = д/г2 — 2гг соб(0) + г 2

Полученное выражение (4) позволяет находить численными методами акустическое поле круглого излучателя при различных заданных радиальных осесимметричных распределениях амплитуды на его поверхности, так как интегралы в (4) легко вычисляются с помощью стандартного математического обеспечения современных ПЭВМ.

Отметим что из выражения (4) можно вывести все известные решения уравнения Гельмгольца для различных частных случаев распределения поля на поверхности излучателя. Так при равномерном амплитудном распределении на поверхности излучателя, для распределения на оси из (4) следует выражение

У

Это равенство полностью совпадает с известным решением [2], полученным с помощью преобразования Ханкеля. Выражение (5) так же легко свести к известному выражению, приведенному в работе [3].

На основе выражения (4) создана программа для расчета на ПЭВМ характеристик акустического излучателя в линейной среде при различных случаях распределений амплитуд давлений на его поверхности. В качества примера применения выражения (4) на рис.2 приведены результаты построения распределения давления в среде на оси излучателя для квазифокусирующего амплитудного распределения (1).

На рис. 3 приведена разность между результатами, даваемыми формулой (6) и формулой, взятой из статьи [3].

Рис. 3

Видно, что разность не превышает 0.006 (в начале ближней зоны) и быстро убывает с ростом расстояния. Следовательно, результаты, получаемые при численных расчетах по выражению (4) достаточно близки к точным значениям, что свидетельствует о правомерности применения этой формулы для построения пространственных характеристик ультразвукового излучателя

Итак, выражение (4) можно считать достоверным и достаточно точным для построения численными методами акустических полей круглых преобразователей при различных, осесимметричных распределениях амплитуды на их поверхности. Это позволяет провести детальное исследование распределения поля в среде, при произвольном заданном осесимметричном распределении амплитуды давления на поверхности излучателя.

ЛИТЕРАТУРА

1. В.Е. Золотовский, Е.А.Плаксиенко, М.С.Рыбачек «Моделирование пространственных распределений высоконаправленных ограниченных звуковых пучков» Докл., Всероссийской НТК «Комп. технологии. в инж. И управлен. деятельности» »,- Таганрог, 1998.

2. Лепендин Л.Ф. Акустика - М.: Высш школа, 1978.

3. Фирсов И.П. Сравнение полей поршневой диаграммы для уравнения Гельмгольца и линейного уравнения Заболотской-Хохлова //Прикладная акустика №7. 1979. С. 3 - 11.