Исследование напряженного состояния с использованием вложенных гармонических функций в условиях плоской деформации

УДК 539.374.001.8

Д-р техн. наук В. В. Чигиринский, А. Н. Бень

Запорожский национальный технический университет, г. Запорожье

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЛОЖЕННЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ

Представлено решение плоской задачи в аналитическом виде для замкнутой системы уравнений теории пластичности с использованием вложенных гармонических функций. Показаны решения с использованием теории пластического течения. Проведен анализ решения задачи для простой упрочняющейся среды, который показывает, что распределение контактных напряжений определяется фактором формы очага деформации и величиной коэффициента трения.

Ключевым слова: напряжение, деформация, пластичность, гармонические функции, уравнение Лапласа.

Введение

Основное количество известных решений в механике деформированного тела не позволяют рассматривать комплексное решение, связанного с определением одновременно как напряженного, так и деформированного состояния металла. Рассматриваются решения только для определения напряженного или деформированного состояния и при этом поля напряжений и деформаций чаще всего не связаны друг с другом. Это не позволяет получать аналитическим путем математическую модель пластической среды. Возникают проблемы, которые не позволяют получить однозначную связь полей напряжений и деформаций.

В этом плане ценным является то, что предложенные решения расширяют возможность удовлетворения граничных и очевидных условий, как по напряжениям, так и по деформациям в очаге деформации.

Постановка задачи

В систему (1) включены уравнения теории течения: уравнения равновесия, условия пластичности, уравнения связи скоростей деформаций и напряжений, уравнения несжимаемости для скоростей деформаций, уравнения неразрывности скоростей деформаций:

= 0;

5а x 5x 5t xy + xy = 0 . 5t yx 5x 5a y +-- dy

(а x" -ay)2 + 4 - t2 t xy =4-k2

а x - "ay = Xx - X y = Fl;

2 -t xy

X x + X y = 0;

xy

5 2 X x

+ -

5 2 X

y

а2 g

xy

где s y , а

нормальные напряжения;

" xy

касательное напряжение; k — сопротивление пластической деформации на сдвиг (переменная

величина); Xx, Xy , gxy — скорости деформаций. Граничные условия заданы в напряжениях [1]

tn = -k • sin

или

tn = (-

2

- - sin 2 - a - txy - cos 2 - a) .

Дополнительные условия заданы контактными удельными силами трения (2), изменяющимися по синусоидальному закону.

Решение задачи

Граничное условие (2) будет тождественно удовлетворено, если принять

t ху = k - sin АФ .

Рассматривается сложная зависимость от координат, при этом к = На • ехр 9 , где На — переменный коэффициент, принимаемый в дальнейшем равным постоянной величине Са. Выражение (3) задает граничные условия (2), которые замыкают систему уравнений (1).

Ранее в работах [24] были предложены решения с использованием метода гармонических функций для определения поля напряжений:

x = Са - exp 9- cos АФ + а0 + f (y) + C; y =-Са - exp 9- cos АФ + а0 + f (x) + C;

=С -

xy ^a

5y 5x dydx © В. В. Чигиринский, А. Н. Бень, 2012

exp 9 • sin АФ при условии 9 x = - АФу

9y = АФХ .

х

У

Из последних соотношений Коши-Римана

В случае (8) расширяется диапазон примене-

следует, что вводимые в рассмотрение коорди- ния аналитических решении при удовлетворе-натные функции АФ и 9 являются гармони- нии граничных и откидных условии в очаге ческими, т. е. удовлетворяют уравнениям Лапласа деформации. Подставляя (8) в уравнение Лапласа получаем тождество:

9 XX +9 ЗУ - 0

АФхх + АФУУ - 0.

Представляет интерес использование гармонических функции в решении. В работах [24] использовались следующие координатные гармонические функции:

АФ - АА6 • х • у,

9 - -0,5 • ААб •

АФ - АА • х • у - АА13 • х • у •

9--0,5 • АА6 •(х2 - у 2 )+ АА13 •|о,25 •(х4 + у 4 )-1,5 • х2 • у 2 ]

АФ - АА6 • х • у + АА13 • х • у •

9 - -0,5 • АА •

Представленные функции (6) являются гармоническими, удовлетворяющие уравнению Лапласа и соотношениям Коши-Римана. Вторая и третья группа функции представляют собои сумму гармонических координатных функции разного порядка.

Следует отметить, что произведения

АФХХ + АФ = sin АФ -ÍCj  exp 9

(e'ÍL + W - M + +(а)+(4-M

- C2  expl- 9

)X + (Аф')Х + (l

/УУ

.-(()) + M

+ cos АФ íCj  exp 9'

> +

У V /у

2 (9')) ((Ф,)) + ((Ф')ХС +

+ 2 -(e'IWMw

- C2  exp(- 9 ,

2 l9 x  \АФ x - \АФ )xx+

+ 2 (9'\-(аф\,-(АФ'\,,,

Уравнение (9) тождественно равно нулю, если выражения, стоящие в квадратных скобках, равны нулю и если вложенные гармонические функции соответствуют условию Коши-Римана:

9 x =-АФ y, 9 У = АФХ.

exp9  cos АФ, exp 9  sin АФ

Через соотношения Коши-Римана определяем значение функции 0:

0 = [q • exp 0 ' - С2 • exp

Анализ полученных результатов

С использованием вложенных гармонических при условии, что аргументы функций будут гар- функций на примере осадки покажем, что суще-моническими. ствует область устойчивых решений для компо-

Рассмотрим аргумент тригонометрической нентов тензора напряжений как на контактной

поверхности, так и во всем объеме.

Интегрируя уравнения равновесия (1) с уче-(8) том гармонических функций (8), (10), получим выражения для определения компонентов напряжений:

также являются гармоническими функциями. Следовательно, в конструкцию функции АФ и 9 можно вложить новые построения типа

функции в виде вложенной функции:

Ф = [с  exp 9 + C2  exp(- 9')]- sin АФ',

где АФ и 9 — вложенные координатные гар монические функции вида (6).

Cs  exp {q  exp 9' - С2  exp(-9')| cos АФ } cos{q  exp 9' + C2  exp(-9')| sin АФ }+s 0 + С; -Cs  exp {q  exp 9' - С2  exp(-9')] cos АФ } cos{q  exp 9' + С2  exp(-9')] sin АФ }+a 0 + С Cs  exp{cj  exp 9' - С2  exp(-9')] cos АФ } sinQ  exp 9' + С2  exp(-9')| sin АФ }.

s x = cs  exp id  exp9 - с2  exp\-9 /! cos аф с cos ici  exp 9 + с2

+2

^2  exp 1-9 « cos аф г sin «Q  exp 9 + С2

Последние выражения могут быть упрощены, приняв С2 = 0 :

Cs  exp(c  exp 9  cos АФ ) cos(q  exp 9  sin АФ )+So + С;

s X = -

s y = -Cs  exp(c

'xy = С

У - ^F(C  exp9  cos АФ ) cos(cj  exp9  sin АФ )+So + С; txy = Cs  exp(c  exp 9  cos АФ ) sin(ci  exp 9  sin АФ ).

)+

При этом вложенные гармонические функции АФ и 9' имеют вид:

АФ = АА6 • х • у ;

9' =-0,5 • АА6 •(х2 - у2),

где АА6 — постоянная величина.

Постоянные интегрирования и функции определились из граничных очевидных условий:

стy = -3 • Cs • exp(c • exp90 • cos АФ0 jx exp[c • (exp 9 • cos АФ - exp 90 • cos АФ0

cos(c • exp90 • sin АФ0 j x cos(c • exp9 • sin АФ )+ Cs x x exp(c • exp90 • cos АФ0 j;

Txy = Cs • exp(c • exp90 •cos АФ0 jx

Ci =

АФ

exp

C • (exp 9 • cos АФ - exp 9o • cos АФо

'о

exp 9o • cos АФо ' L • H

cos(C • exp 9o • sin АФо j x sin(c • exp9 • sin АФ j.

oj

АФо = ААб •

4

9о =-о,5 • AA

< L^

__H_

4 ~4

2 ^

Подставляя граничные условия для осадки, выраженные через напряжения, получим:

АА =

4

L • H

• arctg (АФо j,

где L , H — длина и высота очага деформации; f — коэффициент трения.

Из условия пластичности сто = -2 • k • cos АФ , C = ко . Подставляя в (11) компоненты тензора напряжений, имеем

sx = -Cs • exp(C • exp 9о • cos АФо jx expC • (exp 9 • cos АФ - exp 9о ^cos АФо

cos(c • exp 9о • sin АФо j x cos(c • exp 9 • sin АФ j+ Cs • exp(c • exp 9о • cos АФо j;

Для определения значения АФ0 проведем сопоставление с решениями, представленными в работе [5]. В нашем случае имеем:

АФо = атс1^у.

Анализ показывает, что у является параметром, который учитывает влияние контактного трения и в некоторой степени фактора формы. Определим значение у с учетом данных, представленных на графике в работе [5], рис. 1.

Имея математическую модель (12), в которую

входит постоянная АА в зависимости от АФ0 , можно получить обратным пересчетом те значения у, которые соответствуют коэффициентам подпора, представленным на рис. 1.

В табл. 1 представлены значения у решения (12) в соответствии с рис. 1.

По результатам пересчета были построены графики зависимости коэффициента у от коэффициента трения и фактора формы (рис. 2).

Рис. 1. Относительное давление на контакте в зависимости от коэффициента трения и фактора формы

по Сторожеву [5]

X

X

Таблица 1 — Значения коэффициента у в зависимости от коэффициента трения и фактора формы

Фактор формы L / H Коэффициент трения f

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5

1 0,1 0,167 0,227 0,259 0,285 0,298 0,331 0,37

2,5 0,14 0,194 0,24 0,284 0,312 0,343 0,374 0,39

5 0,147 0,209 0,25 0,307 0,339 0,363 0,377 0,383

7,5 0,15 0,212 0,261 0,301 0,323 0,332 0,341 0,343

10 0,147 0,21 0,258 0,283 0,296 0,302 0,307 0,31

12,5 0,148 0,203 0,245 0,264 0,274 0,277 0,278 0,28

15 0,142 0,198 0,232 0,246 0,253 0,254 0,257 0,258

17,5 0,141 0,193 0,219 0,229 0,234 0,235 0,238 0,238

20 0,137 0,186 0,208 0,216 0,219 0,22 0,221 0,223

Данными расчетами фактически были определены граничные условия для определения постоянных величин, присутствующих в решении (12). Этим самым определена область допустимых значений, позволяющая рассчитать реальные значения коэффициентов подпора на контакте в условиях плоскодеформированного состояния. Результаты расчета по формулам (12) с учетом определенного коэффициента подпора у приведены на рис. 3. Анализ графических зависимостей показывает, что распределение контактных напряжений реагирует на фактор формы очага деформации и коэффициент трения. Полученные результаты качественно и количественно отражают общие закономерности распределения полей тензора напряжений по всему очагу деформации и в полной мере удовлетворяют граничным условиям. Результаты расчетов совпадают с реальными эпюрами контактных напряжений. Следует подчеркнуть, что полученные вы-

ражения едины для всего очага деформации и нет необходимости разбивать его на отдельные зоны контактного трения.

Выводы

1. Возможно построение гармонических функций вида exp 9- cos АФ и exp 9- sin АФ при условии, что их аргументы также являются гармоническими функциями.

2. Аргументы функций АФ и 9 могут использовать построения вида exp 9 - cos АФ и

exp 9' - sin АФ', т. к. они тождественно удовлетворяют уравнению Лапласа при условии

9^ =-АФу, 9'y = АФХ.

3. Получены выражения для компонентов тензора напряжений с использованием вложенных гармонических функций.

Рис. 2. Зависимость коэффициента y от коэффициента трения и фактора формы

4. Определена область допустимых значении для определения контактных напряжении с использованием общепринятых данных работы [5].

5. Расчет напряжении показывает, что они качественно и количественно соответствуют экспериментальным данным.

Рис. 3. Распределение нормальных (а) и касательных (б) напряжении по высоте полосы при осадке f = 0,3,

¿/Я=1...12,5

Список литературы

1. Малинин Н. Н. Прикладная теория пластичности и ползучести / Н. Н. Малинин. — М. : Машиностроение, 1975. — 399 с.

2. A Generalised Theory of Plasticity / [V. V. Chygy-ryns'kyy, A.Ya. Kachan, I. Mamuzik, A.N. Ben'] // Materials and Technology. Institute of Metals

and Technology — Liubljana, Slovenija — POB 431. - 2010. - P. 141-145.

3. Чигиринский В. В. Обобщенная теория пластичности. Модель сложной пластической среды / В. В. Чигиринский, А. Я. Качан, А. Н. Бень // Вестник национального технического университета Украины. Политехнический институт. - Киев, 2008. - С. 141-148.

4. Чигиринский В. В. Некоторые особенности обобщенной теории пластичности для упрочняющейся среды / В. В. Чигиринский, А. Н. Бень // Вестник двигателестроения. — 2008. — № 2. — С. 8—12.

5. Сторожев М. В. Теория обработки металлов давлением / М. В. Сторожев, Е. А. Попов. — М. : Машиностроение, 1977. — 424 с.

Поступила в редакцию 30.08.2011

Чигиринський В.В., Бень А. Н. Дослщження напруженого стану з використанням вкла-дених гармоншних функцш в умовах плоско! деформацп

Представлено ршення плоског задач1 в аналтичному вигляд1 для замкненог системи р^внянь теорп пластичност1 з використанням вкладених гармоншних функцш. Показано ршення з використанням теорп пластичного плину. Проведено анализ ршення задач1 для простого середовища, що змщнюеться, який показуе, що розподш контактних напружень визначаеться фактором форми осередку деформацп та величиною коефщенту тертя.

Ключов1 слова: напруження, деформация, пластичнсть, гармоншш функцп, рвняння Лапласа.

Chygyryns'kyy V., Ben' A. Research of the stress state with using of the enclosed harmonious functions in the flat deformation conditions

There is presented the solution of plane problem in analytical form for closed system of equation of the theory of plasticity with using enclosed harmonious functions. There are shown decisions with using of the theory of a plastic current. There is passed the analysis of the decision of a problem for the simple strengthened environment which shows is passed that distribution of contact pressure is defined by the factor of the form of the centre of deformation and size of factor of a friction.

Key words: stress, deformation, plasticity, harmonious functions, Laplas equation.