Содержательный компонент методики обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи

Г.и. КОВАЛЕВА, Ю.о. СЛЕТА

содержательный компонент методики обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи

Освещается основополагающий при решении этап анализа условия планиметрической задачи. Рассматривается умение анализировать условие планиметрической задачи и его структура, состоящая из трех компонентов: статического, преобразующего, графического. Определены этапы формирования умения: адаптационный, ориентационный, стабилизационный. Представлен содержательный компонент методики обучения учащихся анализу условия планиметрической задачи, который представляет собой систему задач, сконструированную в соответствии со структурой формируемого умения.

Ключевые слова: планиметрическая задача, анализ условия, умение анализировать условие, методика обучения.

В методике обучения математике общепринято деление процесса решения учебной задачи на четыре основных этапа: осмысление условия задачи, составление плана решения, осуществление плана решения, изучение найденного решения, так называемый взгляд назад. Причем первый этап определяет последующие, т. к. на нем происходит выделение компонентов задачи и связей между ними, сопоставление задачи с ранее решенными, с изученной теорией. Именно анализ условия задачи обеспечивает выбор стратегии ее решения. Понимая это, ученые и методисты говорят о необходимости его проведения.

Так, Г.И. Саранцев [6] пишет, что на первом этапе имеют место осознание условия и требования задачи, усвоение и разборка отдельных элементов условия (или элементов цели), поиск необходимой информации в системе памяти, соотнесение условия и заключения с имеющимися знаниями и опытом. Н.С. Подходова, Н.Л. Стефанова [7], говоря об анализе условия задач, указывают на многообразие субъективных задач, порожденных многозадачностью слов и словосочетаний, поэтому цель данного этапа видят в выделении объективного содержания задачи, условия, заключения, создании краткой записи, чертежа.

жие науки -

Я.Е. Гольдберг [1] считает, что анализ геометрической задачи направлен прежде всего на то, чтобы выявить свойства фигуры, непосредственно связанные с ее условием; уяснить зависимости между данными и искомыми элементами, включить те и другие в состав вспомогательных плоских фигур.

Ю.М. Колягин [5], Л.М. Фридман [8] указывают, что наиболее результативно проблема обучения анализу условия задачи решается в контексте эвристики. Привлечение эвристической информации (совокупность различных видов эвристик, эвристических приемов, методов, правил) в ходе анализа условия задачи определяет его эффективность.

Отмечая важность первого этапа решения задач, методисты не уделяют должного внимания его организации: не существует общей схемы анализа условия задачи, отсутствует методика формирования у учащихся умения анализировать условие задач, не выделены приемы работы учителя на данном этапе.

необходимым элементом анализа условия геометрических задач является чертеж. Построение чертежа, соответствующего условию задачи, предполагает наличие у учащихся умений улавливать те соотношения между элементами чертежа, которые могут быть нужны при решении данного вопроса, видеть нужный образ и выделять его из разнообразных сочетаний с другими геометрическими фигурами, устанавливать зависимость между элементами фигуры, видеть геометрические объекты «умственным взором», мысленно преобразовывать фигуру. Как формировать эти частные умения, входящие в структуру умения анализировать условие геометрической (в частности, планиметрической) задачи?

Таким образом, обучение учащихся анализу условия задач является необходимым условием формирования умения решать задачи и должно, на наш взгляд, стать предметом специальной методики.

Используя определение умения Л.В. Зан-кова как владения определенными приемами работы и, следовательно, соответствующими приемами умственной деятельности [3], под умением анализировать условие задачи будем понимать владение приемами умственной деятельности, направленными на обработку конкретно заданной информации и на выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему. Поясним, что вся информация, заложенная

О Ковалева Г.И., Слета Ю.О., 2018

ИЗВЕСТИЯ вгпу

в задаче, может быть разделена на три вида: а) непосредственно заданная в условии; б) полученная непосредственно из условия; в) полученная уже из новой, т. е. выведенной ранее, информации.

Анализ различных действий на этапе понимания условия задачи позволил предположить, что умение анализировать условие задачи является многокомпонентным, и спроектировать его структуру, выделив умения:

- статические (позволяющие получить информацию из условия задачи без его непосредственного изменения);

- преобразующие (позволяющие получить информацию из условия задачи при его изменении (варьировании));

- графические (связанные с чертежом).

Схематически структура умения анализировать условие планиметрической задачи представлена на рис. 1 (см. с. 51).

Процесс формирования умения проходит три этапа: адаптационный, стабилизационный и ориентационный. Каждый этап характеризуется целью и особыми средствами формирования умения. Выделенные структура умения и этапы формирования позволяют описать методику обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи, строго определенное педагогическое воздействие, направленное на обучение учащихся анализу условия планиметрических задач и проявляющееся при реализации целей и содержания курса планиметрии.

Содержательный компонент данной методики представлен компонентной системой задач в соответствии со структурой формируемого умения.

Что такое система задач? Г.И. Ковалева [4] и Т.Ю. Дюмина [2] под системой задач понимают совокупность упорядоченных и подобранных в соответствии с поставленной целью задач, действующих как одно целое, взаимосвязь и взаимодействие которых приводит к заранее намеченному результату.

Некоторые психологи отождествляют понятия «задача» и «вопрос». С точки зрения Ю.М. Колягина [5], это неправомерно. Действительно, в определенном смысле всякую задачу можно заменить вопросом. Однако не всякий вопрос является задачей. вопрос выступает лишь как некоторое указание к действию (решению задачи), являясь свойством, сопутствующим задаче (или одним из ее компонентов). Математический вопрос не предполагает решения, ответ на него заключается в простом воспроизведении одного какого-либо ре-

зультата, теоремы или определения из пройденного курса. Содержательный компонент методики обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи представлен системой задач.

Почему именно система задач? Педагоги, психологи и методисты доказали, что задача, решаемая в отрыве от других задач, не дает желаемого результата, не позволяет добиваться общей цели.

в чем заключается отличительная особенность системы задач как средства обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрических задач? она строится в соответствии с компонентной структурой умения анализировать условия планиметрических задач.

в рамках поискового эксперимента определены задачи, без которых не может происходить формирование умения анализировать условие планиметрической задачи.

• Задачи на формирование статического компонента умения анализировать условие планиметрической задачи - на осознание смысла слов, входящих в формулировку задачи; на распознавание известных элементов в различных сочетаниях.

• Задачи на формирование преобразующего компонента - на преобразование формулировки в равносильную; обратные; не-стандартизированные; на отработку ключевой идеи (переосмысление элементов фигуры с точки зрения другого понятия).

• Задачи на формирование графического компонента - на нахождение ошибки в чертеже; на составление условия по чертежу; на варьирование чертежа.

Рассмотрим варианты систем задач на примерах.

I. Из одной точки окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды, удаленные от центра на расстояние 6 см и 10 см. найдите их длины (см. рис. 2 на с. 52).

Сис тема задач

1. вопросы и задачи для осознания смысла слов, входящих в формулировку задачи.

V Какие из отрезков являются хордами окружности?

V Какой из отрезков является расстоянием от точки до отрезка?

V Сравните длину отрезков ОЫ, ОВ, ОА.

V Какие отрезки являются радиусами?

V Пересекаются ли взаимно перпендикулярные прямые? Под каким углом?

2. вопросы для осознания элементов задачи, рассматриваемых в различных сочетаниях.

педагогические науки

Статический компонент

i

умение выявлять существенное; умение соотносить неизвестные элементы задачи с известными; умение распознавать известные элементы в различных сочетаниях; умение сопоставлять данную задачу с известными задачами;

умение перевести заданную ситуацию на язык математики; умение актуализировать те знания, которые необходимы для решения задач.

Преобразующий компонент

умение переосмысливать элементы фигуры с точки зрения другого понятия;

умение преобразовывать требование задачи в равносильное ему; умение преобразовывать условие задачи в равносильное ему; умение установить полноту условий; умение выявлять скрытые свойства задачной ситуации; умение создавать новые комбинации известных понятий и фактов; умение осуществлять мысленный эксперимент; ^ умение составлять обратные задачи.

Графический компонент

л/

л/

умение конструировать простеишие математические модели данной задачной ситуации; умение отождествлять элементы задачи с элементами модели.

умение выделять на чертеже условие задачи;

умение преобразовывать чертеж.

Рис. 1. Структура умения анализировать условие задачи

V Элементами каких фигур являются отрезки DO, OD? (Расстояние от центра окружности до хорд; стороны прямоугольника; высота и медиана соответствующих треугольников, катеты соответствующих прямоугольных треугольников).

V Элементами каких фигур являются отрезки ON, OM? (Радиусы окружности; стороны соответствующих треугольников).

V Элементом каких фигур является отрезок OA? (Радиус окружности; сторона треугольника; диагональ прямоугольника).

3. Переформулировать условие (данные / требование)задачи в равносильное.

Катеты прямоугольного треугольника удалены от центра описанной окружности на расстояние 6 и 10 см. Найдите их длины.

4. Составить и решить обратную задачу.

• Две взаимно перпендикулярные хорды с длинами 20 и 12 см проведены из одной точки окружности. Найдите расстояние от центра до этих хорд.

• Две хорды с длинными 12 и 20 см пресекаются в точке А. Расстояние от центра окружности до хорд равно 10 и 6 см соответственно. Найдите угол между хордами.

5. Составить и решить (если возможно) задачу нестандартизированную.

известия вгпу

Рис. 2

Из одной точки окружности проведены две хорды, расположенные от центра на расстоянии 6 см и 10 см. Найдите их длины.

в данном случае задача не имеет решения, но необходима для осознания важности угла между хордами.

6. Составить и решить задачу на отработку ключевой идеи (радиус является сторонами равнобедренного треугольника).

АМ - хорда окружности длиной 10 см. Найдите радиус, если расстояние от центра до хорды равно 4 см.

При решении задач выполнять чертеж, данные и искомые величины отмечать разными цветами, соблюдать символику (равные углы отмечать равными дугами, равные отрезки - равными штрихами).

7. Найти ошибку на чертеже (рис. 3а).

8. Составить условие по чертежу (рис. 3б).

9. Изобразить чертеж к данной задаче, изменив расположение точек, если возможно (рис. 3в).

II. Найдите площадь трапеции ABCD с основанием АВ и CD и высотами АА } и ВВр если АВ=10 см, BC=DA=13 см, CD=20 см.

Система задач

1. вопросы и задачи для осознания смысла слов, входящих в формулировку задачи.

V Какие стороны трапеции параллельны?

V Являются ли отрезки AD и ВС основаниями трапеции?

V У любой ли трапеции боковые стороны равны?

V Какие из углов трапеции равны?

V Какие из отрезков трапеции равны?

V Сумма каких углов трапеции равна 180°?

2. Вопросы для осознания элементов задачи, рассматриваемых в различных сочетаниях.

V Элементами каких фигур является отрезок АА1?

V Элементами каких фигур является отрезок ВВ1?

3. Переформулировать условие (данные / требование) задачи в равносильное.

Например: Найдите площадь равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной 13 см и основаниями 10 см и 20 см.

4. Составить и решить обратную задачу.

Например: Площадь равнобедренной трапеции равна 180 см2, основания 10 см и 20 см. Найдите боковую сторону.

5. Составить и решить (если возможно) задачу нестандартизированную.

Например: Найдите площадь трапеции ABCD с боковой стороной 13 см и основаниями 10 см и 20 см.

В данном случае задача не имеет решения, но необходима для осознания важности вида трапеции.

6. Составить и решить задачу на отработку ключевой идеи (в равнобедренной трапеции высоты отсекают два равных треугольника).

педагогические науки

6 4

рис. 4

Например: В равнобедренной трапеции ABCD боковая сторона равна 10 см, высота -6 см, а меньшее основание - 8 см. Найдите большее основание.

При решении задач выполнять чертеж, данные и искомые величины отмечать разными цветами, соблюдать символику (равные углы отмечать равными дугами, равные отрезки - равными штрихами).

7. Найти ошибку на чертеже (рис. 4а).

8. Составить условие по чертежу (рис. 4б).

9. Изобразить чертеж к данной задаче, изменив расположение точек (если возможно).

Формирующий эксперимент доказывает, что использование компонентной системы задач в рамках методики обучения учащихся основной школы анализу условия планиметрической задачи в полной мере способствует формированию у учащихся соответствующего умения.

Список литературы

1. Гольдберг Я.Е. С чего начинать решение стереометрической задачи: пособие для учителя. Киев: Радянськая школа, 1990.

2. Дюмина Т.Ю. Содержательный компонент методической системы обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: дис. ... канд. пед. наук. Волгоград, 2006.

3. Занков Л.В. О предмете и методах дидактических исследований. М.: АПН РСФСР, 1962.

4. Ковалева Г.И. Теория и практика обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: моногр. Волгоград: Изд-во ВГПУ «Перемена», 2012.

5. Колягин Ю.М. Задачи в обучении математике. М.: Просвещение, 1977. Ч. II.

6. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М.: Просвещение, 2002.

7. Стефанова Н.Л., Подходова Н.С. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов. М.: Дрофа, 2005.

8. Фридман Л.М. Как научиться решать задачи: пособие для учителя. 2-е изд. перераб. и доп. М., 1984.

* * *

1. Gol'dberg Ja.E. S chego nachinat' reshenie ste-reometricheskoj zadachi: posobie dlja uchitelja. Kiev: Radjans'kaja shkola, 1990.

2. Djumina T.Ju. Soderzhatel'nyj komponent me-todicheskoj sistemy obuchenija budushhih uchitelej matematiki konstruirovaniju sistem zadach: dis. ... kand. ped. nauk. Volgograd, 2006.

3. Zankov L.V. O predmete i metodah didak-ticheskih issledovanij. M.: APN RSFSR, 1962.

4. Kovaleva G.I. Teorija i praktika obuchenija budushhih uchitelej matematiki konstruirovaniju sis-tem zadach: monogr. Volgograd: Izd-vo VGPU «Pe-remena», 2012.

5. Koljagin Ju.M. Zadachi v obuchenii matemati-kе. M.: Prosveshhenie, 1977. Ch. II.

6. Sarancev G.I. Metodika obuchenija matemati-ke v srednej shkole: ucheb. posobie dlja studentov mat. spec. ped. vuzov i un-tov. M.: Prosveshhenie, 2002.

7. Stefanova N.L., Podhodova N.S. Metodika i tehnologija obuchenija matematike. Kurs lekcij: poso-bie dlja vuzov. M.: Drofa, 2005.

8. Fridman L.M. Kak nauchit'sja reshat' zadachi: posobie dlja uchitelja. 2-e izd. pererab. i dop. M., 1984.

Contents of teaching the analysis of planimetric tasks in secondary school

The article deals with planimetric tasks and their structure, which consists of three components: static, transforming and graphic. The following stages of skill development are under consideration: adaptation, orientation, stabilization. The article presents the substantial component of teaching students to analyze a planimetric task. The contents are a system of tasks designed in accordance with the structure of the skill.

Key words: planimetric task, condition analysis, ability to analyze the condition, teaching methods.