О сходимости интеграла Меллина-Барнса на границе его области сходимости

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

несущественным. Отсюда характер р0 одновременно будет несущественным и нормированным. По теореме [2, с. 130], ро = 1. Поэтому pi = р2 и по утверждению 1) имеем wi = cw2, c = 0 на F. Теорема 4.3 доказана.

Литература

[1] Gunning, R. C. On the period classes of Prym differentials / R. C. Gunning // J. Reine Angew. Math. - 1980. - Vol. 319. - P. 153 - 171.

[2] Farkas, H. M. Riemann surfaces / H. M. Farkas, I. Kra // Grad. Text’s Math. - New-York: Springer, 1992.-Vol. 71.

[3] Дубровин, Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Ч.1 / Б. А. Дубровин - М.: МГУ, 1986.

[4] Чуешев, В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч.2 / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2003.

[5] Альфорс, Л. В. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения / Л. В. Альфорс, Л. Берс. - М.: ИЛ, 1961.

[6] Earle, C. J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties/ C. J. Earle // Annals of Mathematics. - 1978. - Vol. 107. - P. 255 - 286.

УДК 517.55

О СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА-БАРНСА НА ГРАНИЦЕ ЕГО

ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ Т. В. Зыкова ON THE CONVERGENCE OF MELLIN-BARNES INTEGRAL ON THE BOUNDARY OF ITS DOMAIN OF CONVERGENCE T. V. Zykova

В работе исследуется множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения.

In the present paper we give the description of the set of convergence for Mellin-Barnes integral representing solution to the general algebraic equation.

Ключевые слова: интеграл Меллина-Барнса, общее алгебраическое уравнение.

Keywords: Mellin-Barnes integral, general algebraic equation.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ (НШ-7347.2010.1).

1. История вопроса

В самом общем виде объект исследования многомерный интеграл Меллина-Барнса

это

Ф7

p

ПГ ({Aj ; z) + cj ) _i___________________,

ПГ ({Bk ; z) + dk ) k

• X- Zp dz,

здесь Ау, Бк € Мр, су, € М, ¿г = ¿г1 • • • dzp. Век-

тор 7 € Мр, участвующий в определении множества интегрирования, выбран так, чтобы оно не пересекало полюсы гамма-функций Эйлера в числителе.

Области сходимости интегралов Меллина-Барнса (1) являются секториальными: они определяются лишь условиями на аргументы параметров ж1,...,жр, причем, если область сходимости непустая, то преобразование Меллина интеграла (1) равно его подынтегральному выражению, деленному на (2п*)р (см. [1]). Секториальные области рассматриваются в множестве 6 = М+ х Мр,

которое представляет собой область наложения над комплексным алгебраическим тором Тр = (C\{0})p . Далее обозначим через д = (di,... ,др) вектор (arg xi,..., arg xp) . Тогда каждая точка x = (r, д) е S (r е R+,d е Мр) проектируется в точку (r\в101,... ,грв1вр) е Tp. На Тр обращение этой проекции может быть многозначным.

Интегралы Меллина-Барнса явились четвертым подходом к изучению гипергеометрических функций: первые два реализованы Гауссом как решения гипергеометрических дифференциальных уравнений и как суммы гипергеометриче-ских рядов. Третий подход основан на интегральном представлении Эйлера, обобщающем бета-функцию (см. [2]).

Проблема сходимости данных интегралов привлекала внимание ряда специалистов на протяжении последнего столетия. Шаги к ее решению в многомерном случае были сделаны Х. Меллином [3], Р. Бушманом и Х. Сриваставой [4], А. К. Ци-хом и др. ([5]). Часть (максимальной) области сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравне-

1

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

ния, первоначально была указана Х. Меллином (см. [3]). В работе И. А. Антиповой [1] найдена истинная (максимальная) область сходимости таких интегралов. Область сходимости многомерного интеграла Меллина-Барнса (1) в самом общем случае описана в работе Л. Нильсон, М. Пасса-ре, А. К. Циха [6]. Тем не менее оставался открытым вопрос о структуре множества сходимости алгебраических интегралов Меллина-Барнса. В работе [7] детально описано множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение тетраномиального алгебраического уравнения. В настоящей работе исследуется множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения (Теорема 1 и Теорема 2).

2. Множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения

Рассмотрим интеграл гипергеометрического типа:

1

7+їКр

где а = (пі,..., Пр) Є №,

в = (п — пі,. .. ,п — Пр) Є №, п > Пр > • • • > пі > > 1, л > 0. Интегрирование в (2) ведется по мнимому (вертикальному) подпространству 7 + Жр, вектор 7 Є Кр фиксирован и выбирается из симплекса

и = {и Є М+ :

Из работ [1], [3] известно, что интеграл (2) представляет ¡л-ю степень ветви решения у(х) (у(0) = 1) общего алгебраического уравнения

yn + ХруПр + ... + xxyni - 1=0

В работе исследуется сходимость интеграла (2) в случае, когда (argx\,..., argxp) принадлежит границе многогранника P. Если в уравнении (4) показатели удовлетворяют условию n < 2n2, то среди неравенств, определяющих многогранник P, нет лишних. В этом случае он имеет р2 + p гиперграней (граней максимальной размерности), которые задаются пересечением соответствующих гиперплоскостей с самим многогранником P :

г± = {в е P : (^1 ,в) = ±nni} , l е J,

r±j = {в є P : (Vkj,

с комплексными коэффициентами x^,

i е J := {1,  ,p}. Введем в Rp два семейства целочисленных векторов:

Li = Wi = nei,l е J} ,

L2 = Wkj = -njek + nkej, k < j, k,j е J} ,

здесь e1,... ,ep - базисные векторы в Rp. В работе

[1] доказано, что интеграл (2), зависящий от параметра х = (xi,..., Xp), сходится в секториальной области S, основание которой в пространстве аргументов в1 = arg xi,... ,вр = arg xp есть внутренность выпуклого многогранника

P = {в е Rp : \(^i, в) \ < nni, \(pkj, в) \ < nnk} ,

где l,k,j е J, k < j. Иначе говоря,

S = {x е S : в е P°} = Arg-1(P°), где отобра-

жение

Arg : Tp ^ Rp : (x1,..., xp) ^ (arg x1,..., arg xp).

= ±nnk} , k < j, k,j е J.

Справедлива

Теорема 1. Прообразы точек в (при отображении Arg) из относительной внутренности гиперграней (6) многогранника P принадлежат множеству сходимости интеграла (2).

Если n > 2n2, то среди неравенств (5) появляются лишние, следовательно, количество гиперграней многогранника P уменьшается. Далее рассмотрим крайнюю ситуацию, когда n > 2np. В этом случае многогранник P есть р-мерный параллелепипед. Зафиксируем поднаборы Js =

{jl,... ,js} С J, Jt = {jl,..., jt} С J, Js П Jt = 0.

При s = 0 считаем Js = 0, при t = 0 считаем Jt = 0. Рассмотрим грань параллелепипеда коразмерности s +1

Г (Js, Jt) =

= {в е P : (^i,в) = nni,l е Js, (<Pj, в) = -nnj,j е Jt} .

Заметим, что Г (J0, J0) = Г (0, 0) = P. При р > 3 имеет место

Теорема 2. Прообразы точек в (при отображении Arg) из относительной внутренности грани r(Js,Jt) многогранника P принадлежат множеству сходимости интеграла (2), если (s, t) е {0, 1, 2}2 .

Замечание 1. Случай р = 2 полностью исследован в работе [7].

3. Идея доказательства

Введем несколько обозначений:

и2 = Кв г^, и = 1т г^, ] €

Используя оценку для гамма-функции, вытекающую из формулы Стирлинга, заменим подынтегральную функцию в (2) на функцию вида:

П

jtJ

n

1

n 2

n

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

1 і \ М 1 1 т \ М 1

6 —----(а, и) +-----—, к — — (в, и) +----+ —.

п п 2 п п 2

Интеграл (10) можно представить в виде повтор-

ного:

имеющую тот же порядок роста при и ^ ж>. Исследуем интеграл от функции (8) по пространству

К?.

Приведем доказательство для точек гиперграни Г+ многогранника Р (V Є .1). Для других точек многогранника Р, упомянутых в теоремах 1, 2, идея доказательства та же самая.

Зафиксируем точку в на грани Г+ многогранника Р (V Є J), тогда аргумент экспоненциального множителя в (8) примет вид:

—- + (вЩ,иЩ)-

п

Р і 1

П ¡Е иI + пІ

3=1

здесь ] — (иі,..., [ии ], ...,ир) Є .

Р-1

]—

П(из + 1)и° 2 (п(а,и) + 1)'

jeJ

JI Ж) П К-З}0ехр ^(^в^] а^],и^]^| ¿и^],

j£J V]

= (в\,..., [ви],..., вр). Заметим, что при любом и € Мр величина (9) неположительна. В том случае, когда (9) есть величина отрицательная, экспоненциальный множитель в (8) убывает при и ^ ж> и степенной множитель не может повлиять на сходимость интеграла (2). Найдем направления и € Кр, для которых (9) обращается в нуль. Нетрудно видеть, что это произойдет в одномерном конусе

а+ = {тви € Мр, т > 0} .

Заметим, что конус а+ принадлежат двойственному вееру Р* (его также называют двойственным коническим полиэдром (см. [8])), который представляет собой разбиение Кр на полиэдральные конусы, соприкасающиеся по граням. Луч а+ является одномерной гранью ортанта Кр. Поэтому, сузив функцию (8) по переменной и на множество КР, получим интеграл:

где

СЮ

Г К& Ь3

1 № = ] {12)

0

а 3[V] = {1,..., [V],... ,р}. Заметим, что аргумент экспоненты в подынтегральном выражении (11) отрицательный, так как

(вИ - па[^,,и[^) = 1 12 ({^з,в) — ппз) из,

3^-3 V]

где из > 0, а {<рз, в) — ппз < 0 в силу (5).

Исследуем сходимость интеграла (12). Степень подынтегральной функции в (12) равна

3

^ + 5 — к = — ^ — из < —1,

3^3 [V]

при условии ^ из > —1. Последнее неравенство з^3М

выполняется в силу (3). Неравенство (14), в свою очередь, гарантирует сходимость интеграла (12).

Покажем, что I (и[щ ]) может иметь не более, чем степенной рост по переменным и\,..., [vV ],..., ир. Откуда, ввиду наличия в интеграле (11) экспоненциального множителя с отрицательным аргументом (13), будет следовать сходимость этого интеграла, а следовательно и интеграла (10). Домножим числитель и знаменатель в подынтегральном выражении (12) на произведение функций

Ь3 (и) • К& , 5 > 0,С > 0

так, чтобы в полученном выражении показатели 5 + 5 , ^ ^ были целыми и положительны-

ми. Ввиду неотрицательности 5 и к справедлива оценка:

КV-+с Ь3+3

хехр{

где аЩ = (п 1,..., П],..., пр), и € и.

Лемма 1. Интеграл (10) сходится. Доказательство. Введем обозначения:

Кз = из + 1,3 € 3,

Ь(и) = — {а, и) + 1, М(и) = — {в, и) + 1, п п

£ — (^з )^eJ —

1

3>3^ ~ \ 3 2 1.

зeJ

Числитель в (15) есть полином по переменной vV с полиномиальными коэффициентами, зависящими от остальных переменных и[щ]. Если правую часть (15) представить в виде суммы дробей, разделив почленно на знаменатель, то степени по vV (т.е. разность степеней числителя и знаменателя) каждой дроби будут:

3

^ + 5 — к = — ^ — 2.^ из < —1.

з3 [V]

и

X

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Следовательно, при интегрировании в (12) каждое слагаемое будет сходящимся интегралом по переменной ии. Получается, что \1 (и[У])\ < Я(и[^]), где К(и[^]) - некоторый полином. Лемма 1 доказана.

Таким образом, в силу Леммы 1 интеграл (2) сходится в прообразах внутренних точек гиперграни Г+.

Замечание 2. Для грани коразмерности г (см. Теорему 2) аналог соотношения (14) имеет вид

г + 2

+ 6 -

j£Jt

2

3^-3 3

из которого естественно вытекает условие на коразмерность грани г < 2.

4. Примеры

Множество сходимости интеграла, представляющего решение алгебраического уравнения с дву-

мя параметрами (р = 2), полностью исследовано в работе [7]. Многогранник P для этого случая (при n < 2п2) изображен на Рис. 1. Прообразы всех точек границы шестиугольника P, за исключением вершин Ai (-^, тт (1 - nt)) , М, П*) , Мn ,т (nt - ^ , А6 -^, -*П) , принадлежат множеству сходимости интеграла (2).

Для интеграла с тремя параметрами многогранник P (при n < 2n2) представляет собой двенадцатигранник с восемнадцатью вершинами (см. Рис.2). Интеграл сходится в прообразах всех граничных точек многогранника P за исключением вершин:

A (nni nnt nn3 \ A (_ nn\ _ nnt _ nn3 \

3 V n , n , n / , 5 V n , n , n / ,

aii (-En±, - a-n?)),

a12 (^, Ent,T (n - 1 ( ,

Ai5 (-nn±,т а - n),т а - n)),

A16 ^ (n - ^ ^ (nf - .

Рис. 1. P : p = 2, n < 2n2 Литература

[1] Антипова, И. А. Обращения многомерных преобразований Меллина и решения алгебраических уравнений / И. А. Антипова // Матем. сб.

- 2007. - Vol. 198, no. 4. - P. 3 - 20.

[2] Gelfand, I. M. Generalized Euler integrals and A-hypergeometric functions / I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky // Adv. in Math.

- 1990. - Vol. 84, no. 2. - P. 255 - 271.

[3] Mellin, H. R. Résolution de l’équation algébrique générale à l’aide de la fonction gamma / H. R. Mellin // C. R. Acad. Sci., Paris Ser. I Math.

- 1921. - Vol. 172. - P. 658 - 661.

[4] Buschman, R. Convergence regions for some multiple Mellin-Barnes contour integrals representing generalized hypergeometric functions / R. Buschman, H. Srivastava // Internat. J. Math. Ed. Sci. Tech. -1986. - Vol. 17, no. 5. - P. 605 - 609.

Рис. 2. P : p = 3, n < 2n2

[5] Жданов, О. Н. Исследование кратных интегралов Меллина-Барнса с помощью многомерных вычетов / О. Н. Жданов, А. К. Цих // Сиб. матем. журн. - 1998. - Vol. 39, no. 2. - P. 281 - 298.

[6] Nillson, L. Domains of convergence for A-hypergeometric series and integrals / L. Nillson,

M. Passare , A. Tsikh //в печати

[7] Антипова, И. А. О множестве сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решения тетраномиального алгебраического уравнения / И. А. Антипова, Т. В. Зыкова // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. - 2010. - Vol. 3, no. 4. - P. 475 - 486.

[8] Хованский, А. Г. Многогранники Ньютона (разрешение особенностей), Итоги науки и техники. Современные проблемы математики (фундаментальные направления) / А. Г. Хованский. -М.: ВИНИТИ, 1985. - no. 22. - P. 207 - 239.

к = —