Быстрые и медленные процессы при динамическом деформировании трещиноватых сред

Быстрые и медленные процессы при динамическом деформировании трещиноватых сред

Б.П. Сибиряков

Институт геофизики СО РАН, Новосибирск, 630090, Россия

В работе выведены новые уравнения движения микронеоднородной среды, которые существенным образом учитывают интегрально-геометрические свойства структуры порового пространства. Важнейшим геометрическим параметром микронеодно-родного тела является его удельная поверхность, учет которой приводит к уравнениям движения бесконечного порядка. Исследование этих уравнений показывает, что в структурированных средах наряду с обычными продольными и поперечными волнами возникают волны с очень низкими скоростями, вплоть до неограниченно малых. Кроме того, при некоторых соотношениях между длиной волны и средним расстоянием от трещины до ее ближайшей соседки при действии периодических колебаний возникают параметрические резонансы, которые могут, с одной стороны, приводить к катастрофам а, с другой стороны, — к успокоению среды, в зависимости от фазы периодических колебаний.

1. Введение. Обоснование новых уравнений движения

Наличие характерных линейных размеров микро- и мезоструктур остро ставит вопрос об элементарном представительном объеме структурированного тела. В самом деле, лишь некоторое множество элементарных блоков с линейными размерами, определяемыми удельной поверхностью, может представлять минимальный объем, к которому мы можем применять основные законы сохранения, в частности закон сохранения импульса. Удельная поверхность и среднее расстояние между трещиной и ее ближайшей соседкой связаны известной формулой интегральной геометрии [1]:

О о/с = 4

где а 0 — удельная поверхность; /0 — среднее расстояние между трещинами (порами); f— пористость среды. В качестве элементарного объема выберем объем V, заключающий в себе центр тяжести одной из блоковых структур, а также части соседних с ней блоков (рис. 1).

В классической механике сплошной среды существует молчаливое предположение о том, что близость точек влечет за собой близость всех физических свойств без исключения, например напряжений, деформаций, температур и т.д. Это предположение может быть выражено операторным соотношением Р = Е, где Р есть оператор осреднения, а Е — единичный оператор. Реаль-

ные горные породы, содержащие поры, трещины и полости, не обладают такими свойствами. Контакты между зернами скелета и поровым пространством — это области соприкосновения тел с очень большим перепадом физических свойств, особенно, если поры содержат жидкости или газы. Таким образом, близость точек для таких сред не влечет за собой близость физических свойств. Другими словами, мы должны признать неэк-

Рис. 1. Элементарный блок трещиноватого тела; ОМ = / 0 — средняя длина от трещины до ее ближайшей соседки

© Сибиряков Б.П., 2002

вивалентность разностных и дифференциальных операторов при описании микронеоднородных сред. Такой подход требует указать явную связь между разностными и дифференциальными операторами.

И здесь возникает серьезная разница в описании сил, созданных внутренними напряжениями, и сил инерции. Действительно, силы инерции отнесены к центру тяжести выделенной структуры, и поле сил инерции в среде может быть представлено интерполяцией полей перемещений между точками центров тяжести мезострук-тур. Таким образом, интерполированное поле перемещений является непрерывным, и есть возможность использовать формализм связи между разностными и дифференциальными операторами. Что касается сил, действующих на поверхности элементарного объема, то эти силы необходимо предварительно усреднить, ибо не всегда возможно даже определить вектор нагрузок на произвольно сложной поверхности. После усреднения закон сохранения импульса применяется к структурированной среде обычным образом. Тем самым, разное положение точек центра элементарного объема и его поверхности вызывает асимметрию по отношению к оператору осреднения, ибо поле перемещений центров тяжести элементарных объемов непрерывно и его усреднять не следует.

Для того чтобы использовать закон сохранения энергии, следует учитывать, что в отношении кинетической энергии все выглядит обычным образом. Потенциальная же энергия содержит квадрат колеблющейся величины (произведение напряжения на деформацию). Тем самым, она содержит потенциальную энергию как среднего поля, так и, кроме того, энергию флуктуаций. Это обстоятельство означает, что закон сохранения энергии в таких средах достаточно не элементарен в том смысле, что энергия среднего поля может возрастать за счет снижения энергии флуктуаций. Тем самым, не должно взывать неприятия появление растущих по средней энергии решений.

Следуя В.П. Маслову [2], мы можем представить оператор переноса поля и(х) из точки х в точку х + h в виде:

и

где Dx = Э/Эх есть дифференциальный оператор. Разностный оператор первого порядка может быть представлен как разность двух операторов переноса, т.е.

Л u

Al = h =

= u

Г h ^ > Г h ^ >

exp Т Dx - exp -Т Dx

_ V2 J V 2 J _

= u ( x )-

hDx 2 x

Здесь sh — гиперболический синус. Что касается разностного оператора второго порядка, то он может быть выражен формально как квадрат выражения (3), а именно:

-и ( х)- 1

A

-sh2

h~Dx 2 x

Формальное разложение выражения (3) в ряд Тейлора дает в первом члене обычную первую производную. Остальные члены содержат высшие производные, в чем и выражается неэквивалентность разностных и дифференциальных операторов. В формуле (4) первый член разложения представляет собой обычную вторую производную. Оператор осреднения в простейшей форме может быть записан как среднее арифметическое по всем трем координатам, если пространство трехмерное, а точка х находится в начале координат (рис. 2):

P[u ( x)] = — u ( x) 6

Г h „ 1 / h Л

exp Т Dx + exp - i:Dx

_ V2 J V 2 J

+ exp

+ exp

j г

V У

l-Dz

+ exp

+ exp

Более строгое представление оператора осреднения дается интегралом [3]:

— 2 — —

P[u

+ sin 0 sin ф^ y + cos 0Dz)] sin 0d0 =

shhVA

-E +

h 2 A h 4AA

- +....

Ил/Л 3! 5!

В формуле (6) Л есть оператор Лапласа; 0 и ф — сферические углы. Для микронеоднородных сред,

h/2

Рис. 2. Схема действия оператора осреднения на элементарном блоке. Ближайшие соседи расположены на расстояниях h = 10 по всем трем координатам

+

+

имеющих значительное отличие физико-механических свойств между матрицей и порозаполнителем, мы не имеем операторного равенства Р = Е. Другими словами, формула (6) выражает неэквивалентность разностных и дифференциальных операторов в явном виде. Убедиться в справедливости формулы (6) можно, применяя оператор Лапласа по переменным Dx, Dy, Dz к интегралу в формуле (6). Оператор Р как функция символических переменных йх, йу, Б2 удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в пространстве указанных символических переменных. Применяя оператор Лапласа к левой и правой частям выражения (6), получаем равенство

ЛР = /о2 Р-

Решение дифференциального уравнения (7) содержит гиперболический синус и гиперболический косинус. В знаменателе фундаментального решения должно находиться символическое расстояние

= !0у[К.

Таким образом, одно из решений уравнения (7), которое обращается в единицу (т.е. в единичный оператор) при стремлении параметра /0 к нулю, принимает вид

-02А -04АА

Р = Е + + 0

3!

5!

э^-0л/а )

-Ж '

Тем самым, оператор осреднения удовлетворяет уравнению Гельмгольца с чисто мнимой частотой. Фундаментальное решение этого уравнения при условии предельного перехода Р ^ Е при h ^ 0 и есть правая часть формулы (6).

2. Уравнения движения

Уравнения движения есть результат применения закона сохранения импульса к произвольно малому объему среды. В модели сплошной среды это связано с равенством интеграла поверхностных сил р = стгклк и сил инерции. При этом поверхность может быть как угодно гладкой. В микронеоднородной среде положение иное. Напряжения меняются очень быстро внутри объема, а поверхность может пересекаться трещинами и порами, так что трудно определить нормаль к ней и соответственно поверхностные силы. Это обстоятельство наводит на мысль об использовании закона сохранения импульса не для истинных, весьма сложных, напряжений, а для усредненных напряжений, т.е. для напряжений, предварительно подвергнутых действию оператора осреднения. Это предположение может быть выражено уравнением:

дР°гк

Эх,,

= рщ.

Иначе, в развернутом виде, уравнение движения может быть переписано в форме:

_Э

Эх,

э^-0л/а )

А

_д

дх

-0>/а

Е + -¿А.

3!

-04аа

Ст,,

= рщ.

Наличие любых степеней оператора Лапласа означает, что порядок уравнения движения не ограничен.

На первый взгляд кажется, что в длинноволновом приближении высшие производные дают малый вклад в волновые процессы, оператор осреднения практически равен единичному оператору и обычное описание волновых явлений не нуждается в модернизации. Однако следует обратить внимание на то, что даже в статике при средних постоянных напряжениях решения уравнений равновесия содержат колеблющиеся по координатам члены, что вполне разумно, так как на трещинах нагрузка либо равна нулю, либо гораздо меньше средней.

Очевидно, что в случае -0 ^ 0 уравнение (11) принимает обычный вид. Возникает известная асимметрия при действии оператора осреднения. В правой части этот оператор приводит поле сил, заданных на сфере конечного диаметра, к полю напряжений в центре тяжести частиц, в то время как силы инерции приложены по определению в центре тяжести этих частиц, так что для сил инерции нет необходимости применять оператор осреднения.

3. Фундаментальные решения

В соответствии с законом Гука и используя преобразование Фурье по трем координатам, мы можем перейти в пространство изображений, согласно формуле:

1

Щ(х> г) = ——- X

(2п)3

ХШехР[і'Кх + ПуУ + п2г)] иі (Пх, Пу, п2)дп,

2 2 2 2 где п = пх + пу + пг, а дп = дпхдпу. Действие оператора Р приводит к равенству:

Риі

(2п)3 ^ п-0

Х ехр[г (пхх + пуу + пгг)] и і (пх, пу , пг )Ап.

Это дает возможность вычислить преобразование Фурье для фундаментального решения системы уравнений (11), а именно:

Gij =

1

рл - рш

lo л

8j -

sin(l0 л) (Л + р) n^j

(Л + 2р) л 2 — рш2

lo л

sin

l0 л

sin

В случае весьма малых значений произведения /0 п отношение синуса и аргумента близко к единице и преобразование Фурье становится обычным выражением для тензора Грина в упругой сплошной среде. Переход к обратному преобразованию Фурье связан с интегрированием выражения (14). Это выражение содержит простые полюсы, соответствующие продольным и поперечным волнам, а также множество простых полюсов, где обращается в нуль синус в знаменателе выражения (14). Вычеты находятся в простых полюсах п2 =

= k s

10 л

. Полагая — = т, ksl0 = є, мы можем - sin(l0 л) ks s 0

получить уравнение для определения комплексных, вообще говоря, корней, которые описывают волны от сосредоточенного источника в средах со структурой, в форме:

m sin єт = є.

Если считать m = x + iy комплексным числом, то для вещественной и мнимой частей возникают трансцендентные уравнения.

х sin єх ch єу — y sh єу cos єх = є,

у sin єх ch єу + y sh єу cos єх = 0.

Уравнения (16) можно переписать в несколько иной форме, полагая в качестве новых переменных х * = єх, у * = єу, а именно:

х*

*

у

2* sin 2 х*

tg х th у *

+ sh2 у *

*2 *2 х + у

Очевидно, что уравнения (16) имеют множество вещественных корней, соответствующих значению у = 0. Действительно, при малых значениях 8 уравнение (15) дает решение т = 1, что соответствует обычной скорости продольной или поперечной волны (рис. 3). При больших значениях т уравнение (15) удовлетворяется лишь в случае близости величины 8т к числу, кратному п, т.е. при достаточной близости к нулю синуса, определяющего характеристическую скорость возмущения. Неограниченность волнового числа означает существование как угодно малых скоростей продольных и поперечных возмущений, наряду с обычными продольными и поперечными волнами.

1.3

1.2

1.1

1.0

1 / / / f

1у /І /и // А /

/з /1 і і і '

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6 8 = 27l/0/^s

Рис. 3. Кривая 1 показывает рост отношения волнового числа к (ю)/к (0), т.е. убывание скорости поперечных волн с ростом частоты. Кривая 2 означает то же самое для продольных волн. Кривая 3 дает рост отношения у = V,,/V, с увеличением частоты

Вместе с тем, система уравнений (16) или (17) имеет также и комплексные корни. Из первого уравнения системы (17) видно, что комплексные корни возникают лишь при некоторых не малых, вообще говоря, значениях 8, именно таких, при которых 8x > п/2. В таблице 1 приведены значения комплексных корней, соответствующих некоторым, сравнительно небольшим, значениям 8. Заметим, что параметр 8 может быть выражен через отношение линейного размера структуры /0 к длине распространяющейся волны X 8.

Комплексные корни могут означать как затухание, так и неограниченный рост амплитуды колебаний, если, разумеется, есть неограниченный по энергии источник периодических колебаний. Из таблицы видно, минимальное затухание (или рост) соответствует 1/2.0288 скорости распространения волны, примерно в два раза меньшей, чем обычная скорость волн. По-видимому, в структурированных средах одни и те же процессы могут вызывать как возбуждение, так и успокоение среды в зависимости от фазы стационарных колебаний.

4. Одномерная ситуация. Плоские волны

В одномерном случае уравнение движения упрощается и принимает форму:

Таблица 1

є = l„/ Л s x y

0.2147 2.0288 0.0548

0.2507 2.0645 0.5838

0.2771 2.1064 0.8880

0.3253 2.1560 1.1838

0.3918 2.2157 1.5122

X

X

є

Р(ихх ) =

ґ -2 I4 л

Е + — А +—АА +...

3!

5!

ихх =

2 иМ ’ с0

где с0 — обычная скорость продольных или поперечных волн. Решение уравнения (18) будем искать в виде

и (х, і) = F

і--

, причем с Ф с0. Подставляя выбран-

ную форму решения в уравнение (18), обыкновенное дифференциальное уравнение бесконечного порядка в форме, имеем

2

1 - ^ с0 0

F " +

3!

-о

с

— F(6) +... = 0. 5!

В качестве функции F удобно выбрать экспоненту с чисто мнимым множителем F = е/ю?. В этом случае возникает дисперсионное уравнение для неизвестной скорости с в зависимости от частоты ю, то есть

/0 ю

Sln-

с0

Поле перемещений может быть представлено в форме плоской волны, скорость которой уменьшается с ростом частоты

/

и (х, і) = А ехр

т

і —

причем, с

-0 Ш

= —. Очевидно, вещественные значе-

V 0 У 0

ния скорости распространения волн возможны лишь в случае положительных значений синуса в левой части уравнения (20).

Решение дисперсионного уравнения (20) показывает, что при сравнительно малых значениях величины /0 в сравнении с длиной волны скорости волн плавно убывают с ростом частоты (рис. 3), так что со временем первые вступления волн становятся все более и более плавными. Это явление обычно объясняют поглощением более высоких частот. В данной работе представлено альтернативное объяснение этому хорошо известному явлению (рис. 3). На рис. 3 представлены графики роста волновых чисел (убывания скоростей упругих волн) в зависимости от частоты. Отчетливо видно, что падение скорости продольных волн благодаря дисперсии существенно больше аналогичного падения скорости для волн поперечных. На этом же рисунке изображена зависимость отношения скоростей У%! V, =у от частоты. Видно, что упомянутое отношение растет с ростом частоты, что может привести к кажущемуся выводу о наличии отрицательного коэффициента Пуассона в микронеоднородных средах, если этот коэффициент определяется по отношению скоростей поперечных и продольных волн. При длинах волн порядка размеров

Рис. 4. Кривая 1 показывает изменение волнового числа поперечной волны в интервале изменения величины 8 = 2п /0/X8, где отсутствует монотонная зависимость скорости от частоты. Кривая 2 показывает изменение отношения у = V,/ Vv

структуры /0 (рис. 4) и меньше дисперсионные явления столь значительны, что во многих случаях кинематика продольных и поперечных волн становится весьма сложной, так что распознать в опыте продольные и поперечные волны лишь по их скоростям не всегда возможно. В частности, существуют области резкого (в несколько раз) снижения скоростей поперечных волн в сравнении с продольными волнами. Асимптотически высокие частоты также дают повышенное значение отношения у по сравнению с низкими частотами, т.е. такими, что длина волны во много раз превышает линейные размеры структуры, определяемые удельной поверхностью порового пространства.

Комплексные корни дисперсионного уравнения (20) возникают лишь при достаточно коротких волнах, таких что отношение линейного размера структуры к длине волны достигает, примерно, одной пятой и более. Эти корни означают, что при определенных условиях даже произвольно малые амплитуды при периодическом возмущении приводят к непериодическим, экспоненциально растущим либо столь же резко затухающим процессам. Обычно полагают, что возбуждение среды вызвано одними процессами, а восстановление первоначального состояния — совершенно иными. Как следует из работы, вполне возможно, что эти процессы одной и той же природы. В физике хорошо известно явление параметрического резонанса при колебаниях маятника с движущейся точкой подвеса. Это явление описывается уравнением Матье [4], которое, как известно, может описывать, с одной стороны, более или менее сложные колебательные процессы, а с другой стороны, параметрические резонансы.

5. Связь с уравнением Матье и параметрическими резонансами

Решение дисперсионного уравнения дает точное соотношение Аы + k2и = 0, где неизвестное волновое число k определяется из дисперсионного уравнения, анало-

гичного уравнению (20). В одномерном случае можно удовлетворить уравнению (20) приближенно, полагая несколько иную связь, а именно:

Аы + k 2ы

где 8 есть некоторый малый параметр, а к, по-прежнему, есть корень некоторого дисперсионного уравнения. Построим высшие степени оператора Лапласа:

ААы + k 2Аы + k 28А

Оператор Лапласа в третьем члене уравнения (23) можно переписать в форме

eA(ue -ikx) =

= ее

ikx

[-ik(u - iku) + (u - iku)'] =

= 82g(ы, ы ).

Более высокий порядок малости в уравнении (24) связан с тем обстоятельством, что выражение ы - 1кы мало отличается от нуля, если решение имеет вид, близкий к ы = е1кс. Тогда дисперсионное уравнение отличается от (20) лишь тем, что вместо к 2 = |^—^ используется выражение к 2(1 + 8е~1кс). Разделяя вещественную и мнимую части в уравнении (21), можно получить систему уравнений следующего вида:

Au + k2u(l + е cos kx) - k2ev sin kx = 0,

2 2 Av + k v = k eu sin kx.

Здесь и и V — это вещественная и мнимая части выражения (22). Как видно из второго уравнения (25), мнимая часть содержит малый множитель 8. Это значит, что третий член в первом уравнении (25) содержит квадрат малого множителя и этим членом можно пренебречь. Тогда получаем, что приближенно волновые одномерные процессы удовлетворяют уравнению

Au + k (l + еcoskx)u = 0.

Уравнение (26) есть известное уравнение Матье. Оно описывает как колебательные, так и неограниченно растущие по амплитуде (затухающие) процессы. Поэтому комплексные корни уравнения (16), представленные

в таблице 1, можно, по-видимому, интерпретировать как параметрические резонансы в структурированных средах.

6. Выводы

1. Учет удельной поверхности пористых либо трещиноватых сред приводит к неэквивалентности разностных и дифференциальных операторов. Тем самым, представительный минимальный объем тела, к которому следует применять основные законы сохранения, должен содержать некоторое количество элементарных структур, так что разностные отношения не переходят в дифференциальные автоматически. Поэтому дифференциальные уравнения движения являются уравнениями бесконечного порядка. Лишь в случае бесконечно малых размеров структуры они переходят в обычные уравнения движения сплошных сред.

2. Структурированные среды обладают тем свойством, что в них наряду с обычными продольными и поперечными волнами распространяются также волны с очень низкими скоростями, вплоть до неограниченно малых скоростей. С ростом частоты отношение скоростей поперечных и продольных волн растет, что может вызвать кажущийся эффект отрицательного коэффициента Пуассона при петрофизических измерениях с помощью ультразвуковых волн.

3. Упомянутые среды под действием периодических колебаний даже малой амплитуды могут испытывать параметрические резонансы, при которых амплитуда колебаний неограниченно растет либо быстро затухает в зависимости от того, подвергается данная трещина дальнейшему растяжению или сжатию.

Литература

1. Усманов Ф.А. Основы математического анализа геологических структур. - Ташкент: АН Уз. ССР, 1977. - С. 120-124.

2. Маслов В.П. Операторные методы. - М.: Наука, 1973. - 544 с.

3. Sibiriakov B.P. Implication of wave velocities for porous medium meso-

structure // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 2000. -V. 34. - P. 109-115.

4. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. - М.: Физматгиз, 1963. - 516 с.