Численное определение прочностных свойств композиционного материала с короткими армирующими волокнами

УДК 511

ЧИСЛЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА С КОРОТКИМИ АРМИРУЮЩИМИ ВОЛОКНАМИ

А. С. Солодовников1, С. В. Шешенин2

В работе изложен численный подход к определению прочностных свойств бетона с короткими армирующими волокнами на основе метода конечных элементов. В представленной математической модели учитываются различные процессы нелинейного деформирования бетонной матрицы при сжимающих и растягивающих нагрузках, возможность развития неупругих деформаций в бетонной матрице и армирующих волокнах и нелинейные соотношения связи между ними. Выполнен анализ влияния концентрации армирующих волокон, различных поверхностей нагружения для материала матрицы и типа связи волокна с матрицей на деформирование композиционного материала. Написана программа, позволяющая вычислять прочностные свойства для данного типа композиционных материалов.

Ключевые слова: фибробетон, предельная поверхность, метод конечных элементов.

A numerical approach to the determination of the strength for concrete with short reinforcing fibers based on the finite element method is presented. The mechanical model takes into account the concrete matrix nonlinear deformation under compressive and tensile stresses, the inelastic strains in the reinforcing fiber and the nonlinear interaction between the fibers and the matrix. An analysis of the effect of the reinforcement concentration, various flow rules of the matrix, and the bonding type on the deformation of the composite material is performed. A home-made computer program is developed: it allows one to determine the strength for the composite material under consideration.

Key words: fiber reinforced concrete, limit surface, finite element method.

1. Введение. Настоящая работа посвящена численному определению прочностных свойств одного из современных и перспективных композиционных материалов, применяемых в строительстве, — бетона с короткими армирующими волокнами (фибробетона) [1].

Математическая модель для анализа конструкций из фибробетона должна учитывать различные механические свойства его компонентов. К основным из них относятся: различие диаграмм деформирования бетонной матрицы при сжимающих и растягивающих нагрузках, возможность развития неупругих деформаций в бетонной матрице и армирующих волокнах и нелинейное соотношение связи между волокнами и матрицей [1, 2].

2. Определяющие соотношения при деформировании физически нелинейного материала матрицы. Наглядное представление о механических свойствах бетонной матрицы дают диаграммы одноосного сжатия и растяжения [2].

При сжатии поведение материала близко к линейно-упругому на первой стадии деформирования. После преодоления предела упругости наблюдается возникновение необратимых деформаций, происходит сужение порового пространства в матрице и повышение напряжений до достижения максимально возможного, которое является пределом прочности материала при сжатии. При дальнейшем нагружении в бетоне образуются видимые трещины и происходит его разрушение.

При растяжении участка упрочнения не наблюдается, предел упругости материала совпадает с пределом прочности. Когда напряжения достигают данного предела, в бетоне начинается процесс активного трещинообразования и разрушения. До этого материал ведет себя как линейно-упругий.

Чтобы обобщить одномерные свойства бетонной матрицы на случай трехмерного напряженного состояния, будем считать, что возникновение неупругих деформаций определяется напряженным

1 Солодовников Александр Сергеевич — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, науч. сотр. ЗАО "Аэродромдорстрой-Проект" (АДС-Проект), e-mail: solodovnikovsQmail.ru.

2 Шешенин Сергей Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sergey.shesheninQmail.ru.

состоянием, т.е. существуют скалярные функции Д, задающие кусочно-гладкую поверхность нагру-жения в пространстве напряжений [3, 4].

Начальное положение поверхности нагружения задается множеством начальных пределов упругости материала для всевозможных путей нагружений. Положение, соответствующее переходу от стадии упрочнения к разрушению, определяет множество пределов прочности.

Сформулируем определяющие соотношения относительно скоростей деформаций и напряжений. Предполагается, что скорость полной деформации равна сумме компонент тензоров упругой (elastic) и неупругой (inelastic) деформаций [5-7]:

В упругой области материал обладает линейными изотропными свойствами. В этом случае тензор модулей упругости С имеет две независимые константы и закон упругости записывается в виде С гуы = А 5у5к1 + + постоянные Ламе.

Неупругие деформации возникают, если хотя бы для одной из функций /¿¡(сгьФс) поверхности нагружения выполняется условие

где сто — начальный предел упругости материала, к = 1,..., т и т — число поверхностей, задающих кусочно-гладкую поверхность нагружения. Скалярные функции дк = <?к(ак) отражают увеличение или уменьшение пределов прочности материала в процессе упрочнения или разупрочнения соответственно.

Предполагается, что в процессе деформирования поверхность нагружения может расширяться при увеличении значений пределов прочности и сжиматься при их уменьшении, оставаясь при этом подобной самой себе. Эволюция поверхности происходит по мере накопления в материале неупругой деформации, что влечет увеличение значений параметров ак [8].

Будем считать, что во время всего процесса нагружения выполняется закон градиентально-сти [5]. Из этого следует, что вектор приращения неупругих деформации направлен по внешней нормали к поверхности нагружения:

где 7к — скалярный множитель, определяющий величину скоростей неупругих деформаций.

Для приращения значений параметров ар принимается аналогичный, ассоциированный с поверхностью нагружения закон изменения

Данные выражения называются правилом Койтера [7, 8], из которого следует, что для кусочно-гладких поверхностей приращение неупругих деформаций и значений параметров оц в особой точке является линейной комбинацией приращений на смежных поверхностях. Условия нагрузки-разгрузки для к-т поверхности записываются в виде

£ = ¿е + ё

Тензоры скоростей напряжений и упругих деформаций связаны законом Гука:

а = С : ¿е.

fk(z, Qk) = ~ vs(qk) = 0, as(qk) = a0 + qk,

7к ^ 0, дг(аг)) ^ 0, = 0.

В процессе нагружения для множителя 7к должно выполняться условие согласованности

Aikfk(cij,qi(a>i)) = 0.

Представленные определяющие соотношения дают полную модель поведения неупругого материала.

3. Постановка задачи. Рассмотрим тело, занимающее в пространстве область V, и процесс нагружения, определяемый возрастающим параметром Ь € [0, Т]. Задача о квазистатическом равновесии тела [2] в каждый момент нагружения £ заключается в решении системы нелинейных уравнений

&ш

где — скорости массовых сил.

Предполагается, что компоненты тензора полных деформаций связаны с вектором перемещений соотношениями Коши

• — -(•

На границе области V выполняются условия

=йЧ

где Е1 и Е2 — две непересекающиеся части границы Е области V. Для простоты дальнейших вычислений будем считать, что = 0 для всех I € [0,Т] и х € Е1. Начальные условия записываются в виде

и(0) =0, х € V.

В каждой точке тела в момент нагружения Ь тензор скорости напряжений <т(и, ¿) должен удовлетворять определяющим соотношениям, представленным в п. 2. Связь тензора напряжений и полных деформаций является нелинейной.

Сформулируем вариационное уравнение, соответствующее дифференциальному [9, 10]. Умножая обе части уравнения равновесия (1) скалярно на пробную функцию € € И/21,'№|х;1 = 0}, интегрируя по частям и применяя формулу Гаусса-Остроградского, с учетом граничных условий (2) получим вариационное уравнение

J ¿(¿(й),е) : фг) йУ = J рОД • ш (IV + J ¿"(г) -шсЕ,

У У Е2

где левая часть представляет собой работу внутренних сил, а правая часть — внешних сил.

Дискретизация вариационного уравнения по координатам осуществляется с помощью метода конечных элементов [10]. При решении результирующей системы дискретных алгебраических уравнений на каждом интервале нагружения применялся метод Ньютона [8]. Для моделирования бетона в трехмерных задачах использовались восьмиузловые элементы в виде параллелепипеда.

4. Поверхности нагружения. Необходимо, чтобы функции, определяющие поверхность нагружения изотропного материала, были инвариантными относительно выбора системы координат. Поэтому они зависят от инвариантов тензора напряжений или от его главных напряжений:

2,^)= 0 или Д((Т1, 02,0-3) = 0,

Где д — первый инвариант тензора напряжений, и <1% — второй и третий инварианты тензора девиатора напряжений соответственно [2, 6], — главные напряжения (г = 1,2,3).

Также удобно использовать запись уравнения поверхности нагружения в координатах Хэйга-Вестергаарда /(£, р, 0) = 0 [2], где

С = 4= Д, р = лДЛ, сое 39 =

V О ^ Т 2

2

Для численных экспериментов были выбраны два типа поверхностей нагружения — гладкая поверхность Менетри-Уильямса [3], определяемая одной функцией, и кусочно-гладкая поверхность, являющаяся комбинацией поверхностей Друкера-Прагера и максимальных растягивающих напряжений Ранкина [4].

С использованием введенных координат критерий Менетри-Уильямса записывается в виде /(£, <?) = Ф(2) - к2 • а2М = {Ар)2 + кг • (Врг(в, е) + С£) - к2 • а23(д) = 0,

где А = у | у-, В = =у- и С = --коэффициенты, /с — прочность материала при одноосном

сжатии. Эволюция поверхности нагружения определяется функцией (¡{а) = ^ + д{а). В начальный момент нагружения при а = 0 на основе экспериментальных данных предел упругости бетона при сжатии был принят равным д(0) =

Функция г(9,е), заданная на секторе 0 ^ в ^ определяет контур поверхности на девиаторной плоскости:

,Л Л 4(1 — е2) сое2 в + (2е — I)2

г(0, е) =

2(1 — е2) сое в + (2е — 1) [4(1 — е2) сое2 в + 5е2 — 4е]*/2 '

где параметр е, являющийся константой, определяет степень округлости контура поверхности. Поверхность на девиаторной плоскости гладкая и выпуклая при условии 0,5 < е ^ 1. Меридианы поверхности имеют вид параболы, радиус меридиана при одноосном растяжении меньше радиуса меридиана при одноосном сжатии в случае 0,5 < е < 1.

Для нахождения коэффициентов к\ и к2 можно воспользоваться опытами на одноосное сжатие и растяжение. В случае когда функция а3(д) отражает прочность материала при одноосном сжатии, коэффициенты принимают следующие значения:

1 и _ /с ~ Л2 Зе

к2 — То, к\ — — —-. /с /сЛ е + 1

Кусочно-гладкая поверхность нагружения Ранкина-Друкера-Прагера состоит из двух поверхностей: в области положительных напряжений используется поверхность максимальных главных напряжений Ранкина, в области отрицательных — поверхность Друкера-Прагера.

Согласно критерию максимальных растягивающих напряжений Ранкина хрупкое разрушение бетона начинается, когда максимальное растягивающее напряжение в точке материала достигает величины, равной прочности материала при одноосном растяжении /¿. Уравнения поверхности нагружения имеют вид

(У\ = сгзгЫ), <Т2 = <7,1(91), <7з = <751(91),

где <7.51(91) = /¿ + 51(0:1) отражает прочность материала при одноосном растяжении и <7.51(9(0)) = /¿.

Критерий Друкера-Прагера представляет собой гладкую аппроксимацию шестигранной пирамиды критерия Кулона-Мора и записывается в виде

/2(6, Р, 92) = Фг(£, р) ~  <7*2(92) = Р + у/бкг  С - у/2к2  <7*2(92) = 0,

где (тз2{д2) = ^+ 92(^2) отражает прочность материала при одноосном сжатии, в начальный момент <7*2(9(0)) =

Для определения коэффициентов к\ и к2 следует использовать опыты на одноосное и двуосное сжатие. В этом случае

кх = —^—, к2 = -4= — к\, т = ф,

уЗ(2т — 1) л/3 /с

гДе /бс — прочность бетона при двуосном сжатии.

5. Эволюция поверхностей нагружения. Чтобы описать эволюцию предельной поверхности в процессе нагружения, необходимо соотнести функцию <т3(д) с экспериментальными одноосными диаграммами напряжение-деформация для бетонного образца [4, 8].

В соответствии с определяющими соотношениями, представленными в п. 2, уравнение поверхности и уравнения для скорости изменения внутреннего параметра в одномерном случае принимают вид

(Гц = Е(еп - £ги), /(о-, д) = |<7ц| - (т3{д) = |<7ц| - (<т0 + д{а)) = 0,

а

'11 ь

где ¿11 и (Гц — скорость неупругих деформаций и значения напряжений в направлении действия приложенного к телу усилия, <7о — начальный предел упругости материала.

Рассмотрим случай, когда в уравнении поверхности нагружения сто = Л и функция а3(д) = <то + д(а) имеет смысл предела прочности при одноосном растяжении. В начальный момент нагружения

остаточные деформации отсутствуют и а3(д) = Тогда после того как растягивающие напряжения достигнут предела прочности /¿, изменения параметра а совпадут с изменением величины неупругих деформаций, а функция а3(д) станет равна значению предельного растягивающего напряжения в материале при а ^ 0.

Аппроксимация зависимости растягивающего напряжения <тц от накопленных неупругих деформаций материала егц осуществлялась с помощью экспоненциальной функции [2, 4]:

<711

у у еп,о/ '

где егп о определяется исходя из значения энергии разрушения при растяжении.

Считая, что при возникновении неупругих деформаций д = <тц и а = £гц, получим окончательное выражение для эволюции поверхности нагружения в соответствии с экспериментом на одноосное растяжение бетонного образца. Таким образом, с учетом выбранной аппроксимации (3) материал теряет свою прочность с увеличением значений неупругих деформаций и поверхность нагружения постепенно сжимается.

Аналогичные рассуждения применимы и к случаю одноосного сжатия. Тогда <то = ^ и функция <т3(д) имеет смысл предела прочности при одноосном сжатии. Аппроксимация экспериментальных данных для функции стц^ц) осуществляется с помощью кусочно-гладкой функции, состоящей из ветви параболы и экспоненты [3, 4]:

^ + + Для [0,41.2],

Г О ' О \\ ^ \сг / / ^ ^

ап

+ )-1) для £гп € И1)2,+оо],

где /с — прочность материала при одноосном сжатии, Е — модуль упругости материала, £112 — зна~ чение неупругих деформаций в момент максимальных сжимающих напряжений, деформация £110 определялась исходя из значений энергии разрушения при сжатии.

Принимая а3 = сгц и а = £гц, получим окончательное выражение для эволюции поверхности нагружения в соответствии с экспериментом на одноосное сжатие бетонного образца. На первом участке аппроксимации (4) прочность материала возрастает и поверхность нагружения расширяется, на втором участке прочность материала падает и поверхность нагружения постепенно сжимается.

6. Моделирование структуры бетона с короткими армирующими волокнами. Армирующие элементы моделируются одномерными элементами, способными воспринимать нагрузку только вдоль своей оси. Распределение напряжений в элементе является однородным, и материал волокна обладает упругопластическими свойствами с линейным упрочнением [7].

Чтобы повысить эффективность вычислительного процесса, степени свободы, связанные с узлами стержневых элементов, исключаются из системы уравнений метода конечных элементов за счет перераспределения жесткостей стержневого элемента по узлам конечного элемента бетона, содержащего данный стержневой элемент [11].

Неидеальная связь моделируется с помощью специального конечного элемента, соединяющего узел бетона с соответствующим узлом стержневого элемента, которые до начала деформирования имели одинаковые координаты. В таком случае в процессе деформирования армирующие элементы могут проскальзывать вдоль своей оси относительно соответствующих узлов бетонной матрицы.

Матрица жесткости Харм системы, состоящей из одного двухузлового стержневого элемента и двух элементов связи на концах, в локальной системе координат стержня после выполнения процедуры исключения степеней свободы армирующего элемента [11] будет иметь вид

[Карм] = 1 + М^ + ( -1

где кст — жесткость стержневого элемента, /гсв,н и /гсв,к — жесткости связи в начале и в конце стержневого элемента.

Из этого равенства видно, что чем слабее жесткость связи, тем меньше жесткость стержневого элемента. Конечно-элементная структура композита с короткими армирующими волокнами представлена на рис. 1.

Рис. 1. Конечно-элементная структура композита с короткими армирующими волокнами: а матрица композита: б армирующие волокна

7. Численное определение прочности фибробетона при одноосном сжатии. В работе [12] предетавлены экспериментально определенные диаграммы одноосного сжатия бетонных образцов, содержащих произвольно распределенные стальные волокна в объеме от 0 до 1,13%.

Модуль уиругости Е и прочность бетона при одноосном сжатии /с без армирования 35,8 ГПа и 38,3 МПа соответственно. Коэффициент Пуассона v принимался равным 0,2. Стальные фибры имели длину If = 30 мм и диаметр df = 0,38 мм. Модуль уиругости стали 200 ГПа, коэффициент Пуассона 0,28, предел прочности 2300 МПа. Фибры имели отгибы но концам для повышенного сцепления с бетоном.

Для численного моделирования использовались два тина связи идеальная и с возможностью проскальзывания волокон. На основе данных от производителя была построена аппроксимация закона напряжение связи скольжение, состоящая из двух линейных участков. Линейный участок идет до момента начала проскальзывания фибр при напряжении 426,15 МПа. После этого происходит проскальзывание при постоянных напряжениях.

В качестве поверхности нагружсния были рассмотрены случаи кусочно-гладкой поверхности Ранкина Друкера Прагсра (РК-ДП), гладкой поверхности Менетри Уильямса (МУ) с параметром е = 1 и гладкой поверхности Менетри Уильямса с параметром е, определенным таким образом, чтобы наиболее точно аппроксимировать кривую напряжение деформация при концентрации волокон 0,38%. В настоящей работе параметр е = 0,63.

Для первой серии численных экспериментов была выбрана кубическая область со сторонами 150 мм и три регулярные конечно-элементные (КЗ) сетки. Первая сетка состояла из 512 кубических элементов, вторая из 1000 элементов и третья из 1728 элементов.

Результаты численного моделирования эксперимента на одноосное сжатие кубического образца с учетом проскальзывания волокон для диапазона концентраций 0 1,13%; представлены на рис. 2, 3.

Для концентрации волокон 0,38%; в случае идеальной связи и поверхности РК-ДП различие с экспериментом предельной прочности композита составило 44,2%;, для поверхности МУ при е = 0,63 различие составило 4,6%;, для концентрации 1,13%; соответственно 150,9 и 11,7%;.

Для концентрации волокон 1,13%; в случае неидеальной связи и поверхности РК-ДП различие с экспериментом предельной прочности композита составило 65,5%;, для поверхности МУ при е = 0,63 1,9%;.

Было установлено, что наличие неидеальной связи оказывает существенное влияние на одноосную прочность фибробетона /с и соответствующую пиковой нагрузке деформацию е во всем диапазоне концентрации волокон и для всех поверхностей нагружсния. При этом с увеличением кон-

центрации армирования возрастает и влияние проскальзывания. В случае концентрации 1,13% учет проскальзывания снижает прочность фибробетона на 34,2% для поверхности РК-ДП и на 12,3%; для поверхности МУ при е = 0,63. Аналогичные снижения деформации е составили 17,8 и 25,2%;. Данные значения являются средними но трем КЭ сеткам.

Рис. 2. Диаграммы одноосного сжатия бетона в случае концентрации волокон 0,38% и неидеальной связи: 1, 2 экспериментальные значения при V) = 0% и 0,38%: кривая 3 численное моделирование при Vf = 0%: кривые 4 б численное моделирование при V) = 0,38% для поверхностей нагружения РК-ДП, МУ с е = 1 и МУ с е = 0,63 соответственно

Рис. 3. Диаграммы одноосного сжатия бетона в случае концентрации волокон 1,13% и неидеальной связи: 1, 2 экспериментальные значения при Vf = 0% и 1,13%: кривые 3 5 численное моделирование при V) = 1,13% для поверхностей нагружения РК-ДП, МУ с е = 1 и МУ с е = 0,63 соответственно

Вид поверхностей нагружения также в значительной степени влияет на результаты численного моделирования. Использование поверхности РК-ДП в исследуемом диапазоне концентрации волокон дает значительное превышение предельной прочности композита но сравнению с реальным экспериментом даже в случае учета проскальзывания волокон. Варьирование параметра е для поверхности МУ позволяет построить наиболее точную аппроксимацию экспериментальных данных.

Во второй серии численных экспериментов было исследовано влияние размеров исследуемого образца на результат моделирования. Были рассмотрены четыре вида областей для КЭ дискретизации: куб со сторонами 150 мм, куб со сторонами 100 мм, цилиндр диаметром 150 мм и высотой 300 мм и восьмая часть данного цилиндра. Сравнения были выполнены для случая неидеальной связи и поверхности нагружения МУ при е = 0,63.

Численные эксперименты для каждой из областей проводились на трех типах КЭ сеток, аналогичных сеткам для области в виде куба со сторонами 150 мм. В результате было установлено, что тип образца для численного анализа не оказывает значительного влияния на результаты моделирования одноосного сжатия фибробетона. Прочность на сжатие /с для кубической области со сторонами 100 мм выше прочности для кубической области со сторонами 150 мм в среднем по всем сеткам и диапазону концентрации волокон 0,38 1,13% на 0,66%;, для области в виде восьмой части цилиндра ниже на 1,10%, для целого цилиндра выше на 1,37%.

В заключение можно сделать вывод о том, что использованный подход позволяет достаточно точно описать процесс нелинейного деформирования бетона с короткими армирующими элементами. Предложенная модель была реализование в виде конечно-элементной программы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рабинович Ф.Н. Композиты на основе дисперсно-армированных бетонов. Вопросы теории и проектирования, технология, конструкции: Монография. М.: Изд-во АСВ, 2004.

2. Chen W.F. Plasticity in Reinforced Concrete. NY: McGraw-Hill, 1982.

3. Лгаяек M., Bazant Z.P. Inelastic Analysis of Structures. Wiley, 2001.

4. FeenMra P.H., de Borat R. A composite plasticity model for concrete // Int. J. Solids and Struct. 1996. 33, N 5.707 730.'

5. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1979.

6. Качапов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969.

7. Гениев Г.А., Киссюк В.Н., Тюпин Г.А. Теория пластичности бетона и железобетона. М.: Стройиздат, 1974.

8. Neto Е.А., Peric D., Owen D.R.J. Computational Methods for Plasticity: Theory and Applications. Wiley, 2008.

9. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.

10. Зинкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.

11. Kwak H.G., Filippou F. С. Finite element analysis of reinforced concrete structures under monotonic loads // A report on research conducted under Grant RTA-59M848 from the California Department of Transportation. 1990.

12. Almeida J.C.O., Neves R.D. Compressive behaviour of steel fibre reinforced concrete // Struct. Concrete. 2005. 6, N 1. 1-8.

Поступила в редакцию 22.06.2016