Кольцевое преобразование Радона

ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИИ

КОЛЬЦЕВОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА

В.В. Котляр, А.А. Ковалев Институт систем обработки изображений РАН, Самарский государственный аэрокосмический университет

Аннотация

Рассмотрено интегральное преобразование, названное кольцевым преобразованием Радона (КПР) и являющееся обобщением преобразования Радона на случай, когда интегрирование происходит не по прямой линии, а по окружности определенного радиуса. Радиус окружности является параметром преобразования. Получены выражения для КПР некоторых конкретных функций. Выведены соотношения для получения образа объекта при его сдвиге и масштабировании. Приведена оптическая схема для выполнения КПР.

Введение

Преобразование Радона (иногда его называют преобразованием Хоу (Hough)) широко используется в обработке изображений, геодезии, медицине, компьютерной томографии [1-4]. Двумерное преобразование Радона (ПР) определяется следующим образом:

R[ f ]

R2

где р,р - полярные координаты, описывающие прямую: р - расстояние от начала координат до прямой, р - угол наклона прямой к оси Ox.

Обратное преобразование Радона можно получить в виде:

д

! 2р » R [f f М = ± ii--:-

2р 0 -» x cos tp + y sm^- с

Преобразование Радона во многом аналогично преобразованию Фурье (ПФ). Если ПФ раскладывает комплексную амплитуду света (двумерную функцию) по плоским волнам (по Фурье-гармоникам), то ПР «раскладывает» функцию по прямым линиям. Оба преобразования не являются сверткой и выполняются с помощью сферической линзы (для ПФ) и сферической линзы и фазового пространственного фильтра (для ПР) [5-7]. Поэтому для ПФ и ПР выполняется теорема Парсеваля, физически означающая выполнение закона сохранения световой энергии при распространении через сферическую линзу и фазовый фильтр. Как ПФ преобразует плоскую волну в фокальную точку, так и ПР преобразует прямую линию на изображении в точку. Но есть и отличия, например, ПФ переводит точку в плоскую волну, но ПР переводит точку в один период синусоиды [5].

В скалярной оптике наряду с ПФ известны и другие интегральные преобразования - преобразования Кирхгофа и Френеля. Их физический смысл заключается в разложении функции комплексной амплитуды, описывающей распространение света, по сферическим (преобразование Кирхгофа) и параболическим (преобразования Френеля) волнам. Можно по аналогии между ПФ и ПР определить кольцевое преобразование Ра-

дона (КПР), которое будет свертывать изображение с окружностями определенного радиуса и параболическое преобразование Радона (ПНР), которое свертывает изображение с параболами. Эти преобразования КПР и ПНР, как и преобразование Кирхгофа (ПК) и преобразование Френеля (ПФР), должны быть интегралами свертки. При стремлении радиуса окружности КПР к нулю, преобразование стремится к тождественному, а при стремлении радиуса окружности к бесконечности КПР переходит в обычное ПР.

Преобразование свертки можно оптически выполнить с помощью Фурье-коррелятора с пространственным фильтром, функция пропускания которого равна Фурье-образу от функции ядра свертки. Для случая КПР функцией ядра свертки является функция, описывающая окружность или бесконечно узкое кольцо (поэтому и преобразование называется кольцевым). Фурье-образ функции кольца - это функция Бесселя нулевого порядка. Поэтому функция пропускания пространственного фильтра Фурье-коррелятора для выполнения КПР должна быть пропорциональна функции Бесселя нулевого порядка. Так как функция пропускания фильтра - амплитудная, то закон сохранения энергии для проходящего света не выполняется.

В данной работе рассмотрены основные свойства КПР; получены выражения для КПР некоторых простых функций; приводятся результаты численного моделирования обработки изображений с помощью КПР.

Так как КПР от функции точечного источника есть функция бесконечно узкого кольца, то можно считать, что КПР описывает оптическую систему с кольцевым импульсным откликом. Это обстоятельство указывает на тесную связь между КПР и мезо-оптикой, так как мезооптический объектив - это объектив с кольцевым импульсным откликом [8]. Отличие состоит в том, что в мезооптике в Фурье-корреляторе в качестве пространственного фильтра используется конический аксикон.

1. Основные свойства КПР 1.1. Определение

Введем в рассмотрение линейное интегральное преобразование комплексной двумерной функции, являющейся сверткой с обобщенной 8 -функцией Дирака:

R г (о,з )= JJ f (x,y )д ( г - о )2 +(y - з )2 1 dxdy

R

2

где y - радиус окружности.

В полярных координатах вместо (3) можно записать:

ад 2р

R

0 0

х f (r cos ф + с cos и,г sin ф + с sin и )-rdrdф

2р

R¿

0

1.2. Вычисление КПР через БПФ Так как КПР является сверткой, то его можно выразить через преобразования Фурье и вычислять с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Выразим преобразуемую функцию через ее Фурье-образ:

f

(2р)2 R

где F(§,rj) - Фурье-образ функции f (х,у).

Фурье-образ радиальной 5-функции из уравнения (3) пропорционален функции Бесселя нулевого порядка:

D (о,з ) = JJ д (г х2 + у2 ) exp [-i (хо + уз )] dоdз =

R2

2р ад

= JJ д (г - r )exp ^-rn cos (ф- и )] rdrd ф =

0 0 2р

= г J exp [-iгс cos

0

где J0 - функция Бесселя.

Из уравнения (7) следует, что преобразование Фурье-Бесселя (или преобразование Ханкеля нулевого порядка) от функции Бесселя нулевого порядка пропорционально радиальной 5-функции:

д(г - с) = г J J0 (гс)0 (гс)сdс .

о

Тогда из уравнения (3) с учетом (6) и (7) получим представление КПР в виде обратного преобразования Фурье:

R (оз )=-V JJ F (х,у )х

(2р) R2 .

х2ргJ0 (г^х2 + у2 ) exp [i (хо + уз )) dxdy

Чтобы вычислить КПР через БПФ по формуле (9) требуется вычислить Фурье-образ Е(х,у) исходной функции /(§,ц), умножить его на функцию

Бесселя (у^х2 + у2 ] и вычислить обратное ПФ.

В полярных координатах уравнение (9) имеет вид:

R

2р R2

xJ0 (гг)exp [/гс cos (ф-и )] rdrdф

Если исходная функция радиально-симмет-ричная, т.е. f (§,rj)= f (р), то уравнение (10) примет вид:

си

R(o ) = г J F (r )J 0 (гг )j 0 (гс )rdr .

Из уравнения (11) следует, что КПР-образ радиальной функции - радиальная функция.

1.3. Обратное кольцевое преобразование Радона Из уравнения (9) можно получить обратное преобразование КПР.

Обозначим Фурье-образ от двумерной функции кольцевого преобразования Радона:

&( х,у ) = Ц Я ( о,з ) х

Я2 .

х ехр [-/ (хо + уз)] ёо йз

Тогда из уравнения (9) следует связь Фурье-образов исходной функции и КПР

Я

F (х,у) =

2ргJ 0 ( г-J х 2 + у 2

Из уравнения (13) получается обратное КПР:

Из уравнения (14) следует, что обратное преобразование КПР есть преобразование Фурье от сингулярной функции, которая обращается в бесконечность в нулях функции Бесселя. Для корректного вычисления интеграла в уравнении (14) следует применять метод регуляризации Тихонова.

1.4. Смещение объекта

Пусть Яг(£,ц) - КПР-образ функции

/ (х,У).

Тогда КПР-образ от той же функции, но сдвинутой на вектор с координатами (а, Ь), будет иметь вид

Я (о,з) = И/(х- а,у -Ь)х

Я2

хд (гх - о )2 + (у - з )2 ) йхйу = Ц / (б, в ) х

Я2

хд^г -^[б -(о - а)] +[в -(з -Ь)) ^ йб йв =

= Rz (о - а,з - b).

Из (15) следует, что смещение функции приводит к аналогичному смещению КПР-образа.

1.5. Масштабирование объекта Пусть - КПР-образ функции /(х,у).

Тогда КПР-образ от той же функции, но масштабно измененной с коэффициентом а, будет иметь вид

Яг (о,з) = Ц f (бх,бу )д| г--y/(x - о)2 +(у - з )2 jdxdy --

R2

;JJ f (.B^ г ^^ - ^ )2 +(( - ^ )2

dAdB

JJ f (A,B)d{бг -yj(A - бо )2 +(B - бз )2

б2

dAdB

= — R6z

б

Из уравнения (16) следует, что изменение масштаба объекта (сжатие или расширение) приводит к аналогичному изменению масштаба и параметра у КПР-образа.

2. КПР некоторых функций

2.1. Преобразование точки

Пусть исходная функция представляет собой точечный импульс в начале координат, описывающий точечный источник света, /(х,у)=8(х)8(у). Тогда из уравнения (3) следует, что КПР-образ этой функции есть бесконечно узкое кольцо:

Я(о,з) = и д(х)д(у)/ г-д/(х - о)2 + (у - з )2 \dxdy =

= д^г —\о2 + з2 j

На рис. 1 показана оптическая схема для выполнения КПР. Показан Фурье-коррелятор, состоящий из двух сферических линз и амплитудного пространственного фильтра, функция пропускания которого есть функция Бесселя нулевого порядка, расстояния от плоскости объекта до линзы, от линзы до фильтра, от фильтра до второй линзы и от второй линзы до плоскости КПР-образа равны фокусному расстоянию обеих линз.

Л

Л

J1

Ъ(хЩу) V " V Рис. 1. КПР-образ точки есть кольцо

2.2. Преобразование линии

Пусть исходная функция описывает прямую линию, совпадающую с осью х, то есть / (х,у)= 8(у), тогда ее Фурье-образ также будет прямой линией, совпадающей с осью п: ^ (:,п) = 8(:). Далее с учетом уравнения (9) получим:

Я (х,у) = — Ц д (о(г^о2 + з2 ) ехр [г (х^ + уп)] dоdз =

2р „2 ^

2р'

г +г '

= J J 0 (г3 )exp (yn)d3 2р

m.K.J0 -четная

2р

J J о (гз )exp (/yn)d3 =

+ш 2n

= у (П

J J exp[-/yn cos ф] exp(/yn) dфdn =

-ш о 2n

J £(ycosф-y)ф :

2г р , , , cos(=' г l д(г/ -y)dt

- J д (г cosp-y)dp = - i^T-

д| t - y \dt

P -' Ф -

1 1

У > y

t2 P 4г 2 - y2

Если у < у, то интеграл равен нулю. Из уравнения (18) следует, что

г

1 1

"JJ д (о )J0 (2 + з2 ) exp [/' (xo + уз ) dоdз

.

P^

y

Из уравнения (19) следует, что прямая линия переходит в две параллельные линии, параллельные также исходной линии, лежащей на оси х (рис. 2).

Л

f(x,y)=b(y);F^=m

А

V/

у

Рис. 2. КПР-образ линии есть две параллельные линии

2.3. Преобразование наклонной плоской волны. Пусть исходной функцией является плоская волна (или Фурье-гармоника):

f (x, y ) = exp (/ax):

которая наклонена только к одной оси x.

Тогда КПР-образ такой функции будет иметь вид:

2р

Я(с,и ) = г J f (г cosp+ с cos и)dp =

о

2п

= у J exp (/ay cos p)exp (/ap cos 6)dр =

0

= 2рг exp

Из уравнения (21) следует, что плоская волна e/ax переходит в плоскую волну (2nyJ0 (ay))exp (/a£),

также наклоненную только к одной оси которая параллельна оси x, то есть КПР сохраняет величину и направление наклона плоской волны, изменяя только

г

У

R

б

R

R

амплитуду. Если ау - корень функции Бесселя, то плоская волна не проходит через оптическую систему на рис. 1, так как ее амплитуда на выходе равна нулю.

2.4. Преобразование периодической функции Пусть на входе в оптическую систему на рис.1 имеется световое поле, комплексная амплитуда которого есть периодическая функция:

+ад

f (х,у )= X с„ exp [i (бпх+в„у )] =

тогда на выходе оптической системы на рис. 1 появится световое поле, комплексная амплитуда которого есть КПР-образ от функции (22):

2р

R (с,и ) = г J f (г cos ф+ с cos и,г sin ф + с sin и )d ф =

0

+ад 2р

= г X с„ J exp [í6„ (г cos ф+ с cos и )]х

п=-ад 0 =

х exp [в„ (г sin ф+ с sin и )] dф

+ад

= г X с„ exp [i (б„ с cos и + в„ с sin и )]х

„=-ад

2р

х J exp [i (б„г cos ф+ в „г sin ф)] d ф =

0

=2ргХ c„J0 (г4б„+в „2) exp [ (б„о+в „з )]=

„=-ад +ад

=2рг X с„ exp[i (б„о+в „з )].

Из уравнения (23) следует, что КПР переводит периодическую функцию в другую периодическую функцию с тем же периодом.

В частности, КПР сохраняет косинус (или синус):

, . exp

R

exp + exp (-гю^) =

= 2ргJ0 (гщ) cos що .

Заметим, что если ую - корень функции Бесселя, то Я = 0.

2.5. Преобразование окружности

Пусть исходной функцией является бесконечно узкое кольцо или окружность:

f

Я - радиус кольца.

Фурье-образ функции (26) есть функция Бесселя:

ад

^

о

а КПР-образ радиальной функции можно вычислить с помощью уравнения (11):

R

Интеграл (28) можно найти в справочнике [9]:

J J0 (ах) 0 (bx)0 (cx2xdx =

0,с < |а - b|, 0,с > а + b,

—(l - r 2 ) 12 la - b\ < с < а + b; раЬ

где r =

а 2 + b 2 - с 2

2ab

В нашем случае из формулы (29) следует:

R^

0,с < |г - R|, 0,с > г + R,

р-J4R2г2 -(2 + г2 - с2

^г - R| < с < г + R;

Я у-Я у у+Л р

Рис. 3. График КПР-образаузкого кольца

Из уравнения (30) следует, что при р = Л + Я и р = Л-Я КПР-образ стремится к бесконечности Я(р) = , а при р = у КПР-образ имеет минимум

R(y) = -

. При у >> R из уравнения

следует, что КПР-образ бесконечно узкого кольца радиусом Я есть два близких кольца с радиусами Я-^ и

Я+Y

2.6. Преобразование круга Если исходной функцией является функция, описывающая круг радиуса Я:

f (х,у)= «rc/l R

Фурье-образ которой пропорционален функ ции Эйри:

RJ1

F (с ) = 2р-

то КПР-образ радиальной функции можно вычислить по формуле (11):

Я(с,и) = —2рЯ [ ^ (ЯГ) J0 (гг)0 (гс)гйг . (33) 2р ¡г

0

Интеграл (33) вычисляется с помощью справочного интеграла [9]:

„=-ад

2

Г =—LO

2

2

с

J J0 (ax)J0 (bx)J1 (cx)xdx -

—,c > a + b, c

1 2 . ,2 2 1 a + b - c i ,i

—arccos-,la - b < c < a + b;

pc

2ab

С учетом (34) КПР-образ (33) имеет вид

R(c ) =

с - г < R < с + г;

у-Л у у+Я р

Рис. 4. График КПР-образа круга

Из уравнения (35) следует, что КПР-образ функции круга есть кольцо с радиусом у и шириной 2Я (Я<у) (рис. 4). При других соотношениях параметров у и Я КПР-образ имеет другой вид.

КПР - образ функции широкого кольца можно получить с помощью уравнения (35), примененного к функции

f (r ) = circl —— circl -—— .

Rl R2

2.7. Преобразование прямоугольника

Пусть исходной функцией является функция прямоугольника со сторонами а и Ь:

f (x,y) = rect\ — \rect I b

Фурье-образ которой пропорционален произведению sinc-функций:

F

Тогда КПР-образ функции (37) можно вычислить с помощью уравнения (9):

sin

R(x,y)=íf .. -x J0 (г^о2 + з2 ) exp[i (хо + уз)] dоdз Так как

4sin(aо)sin(b3) = -[exp(ia§)-exp(-ia§)^*[exp(ibn)-exp(-ibn)] :

мотреть толь ии (39):

,

то достаточно рассмотреть только одно слагаемое из четырех в уравнении (39):

'i = - f if J"

2р R оз

с exp {i [о (х + a) + з (у + b)]} с^^з

Интеграл (40) нельзя вычислить с помощью аналитических функций, но вторая смешанная производная от интеграла (40) может быть выражена с помощью ¿-функции:

д211 = _г_ дхду 2р

ff J0 (гу]о2 + з2 )exp {г [о(х + a) +з (у + b)]}daab :

= J— ff J0 (гг)exp[irecos(ф-и)]rdrdф =

= г\\ J0 (ггУ0 (re )rdr =

= д

С учетом уравнения (41) и четырех слагаемых в уравнении (39) получим, что

^=д Н)-

-д

-д (г --\1(х - а)2 + (у + Ь)2 ) +

+д (г-^(х - а )2 +(у - Ь )2 ).

Из уравнения (42) следует, что КПР-образ функции прямоугольника имеет такой вид, что его контурами являются окружности радиуса у с центрами в точках с координатами (-а, -Ь), (-а, Ь), (а, -Ь) и (а, Ь) .

2.8. Преобразование функции Гаусса

Пусть на входе в оптическую систему на рис.1 имеется световое поле, комплексная амплитуда которого описывается функцией Гаусса:

/

Фурье-образом которой также является гауссовая функция:

2 2

2 I с щ F(e) = рщ exp I--

Тогда КПР-образ функции (43), вычисленный с помощью формулы (5), имеет вид:

2р

R^u ) = г f f (г cosp+ с cos и,г sin ф + с sin и)dp =

m.K.f - радиально-симметрична

2р

г I f (г 2 + с 2 - 2гс cos ф)ф =

i)dp

R

щ

г2 + с 2^2р

|ехр [- | ехр Щ j ехр [ Щ cos ф] Ф =

? ( 2гс >| I ехрI —-cosф I аф =

о V Щ )

= г ехр

г ехр I

щ

= 2ргехрI -

Щ ) о

ехр

2 , 2 \ 2 г + с 1

) о

2

щ

2 2 г + с ,

.2 I J о I ...2

щ Игс

cos Ф

d ф =

щ

= 2рг ехр I- -Щ-1 ехр I- ^ 11о ( Щ

V щ ) V щ ) V щ

где 10 (х) - модифицированная функция Бесселя.

Из уравнения (45) следует, что КПР сохраняет функцию Гаусса, но умножает ее на модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка:

Im

и на постоянную величину.

2.9. Преобразование моды Бесселя n-го порядка

Пусть исходной функцией является функция Бесселя произвольного порядка, умноженная на угловую гармонику:

f (х,У) = f ( ф) = Jn (бг) exp(/пф) . (46) Фурье-образом функции (46) является функция бесконечно узкого кольца:

F (о,з) = JJ Jn (бг )exp (inф)exp [-/гс cos (ф-и ) rdrd ф =

R2

ад 2р

exp (n0) J Jn (6r) J exp [in (ф- и ) exp [-/гс cos (ф-и ) dф•rdr =

= 2р (-i)" ехр(in6) J Jn (бг)Jn (гс)rdr =

о

2р

а КПР-образ можно вычислить с помощью уравнения (1Ö):

R (г,ф) = — JJF (с,и)• JÖ (гс)ехр[ггс cos(ф- и)] сdсdи =

2Р R2

= — (-i)" JJ д (б - с )• JÖ (гс )ехр (г'иб)ехр [irc cos (ф- и ) с do du =

б R2

ОТ

= — (-i)" Jд (б - с) J,, (гс)ехр (тф)• 2pinJn (гс) сdс = бо

= ^Р- Jö

б

При получении выражения (48) было использовано интегральное представление функции Бесселя:

(-i)П 2р

Jn

Из уравнения (48) следует, что КПР сохраняет функцию Бесселя n -го порядка, умноженную на

Jmn = J о I

угловую гармонику, домножая ее на константу. Если бг - корень функции Бесселя нулевого порядка

J0 (ат)=0, то функция Бесселя п-го порядка не пропускается через оптическую систему на рис. 1.

3. Численное моделирование

Моделирование кольцевого преобразования Радона осуществлялось с помощью вычисления двух дискретных преобразований Фурье (прямого и обратного) и умножения на функцию Бесселя:

F

3 и 3-1 - символ прямого и обратного преобразования Фурье, Н - функция Бесселя. В дискретном варианте преобразование Фурье вычисляется в виде двойной суммы:

Fmn / ехр -^

к=0 1=0 _ N _

а функцию пропускания выберем в виде:

[нг

где н - разрешение в частотной плоскости.

В таблице 1 приведены исходные изображения

на входе Фурье-коррелятора /(х, у)) (первый и второй столбец): точка, квадрат, круг, а также изображения на выходе Фурье-коррелятора ^ (х', у')2

(столбцы 3-5) для соответствующих значений параметра у (радиуса окружности).

Из таблицы 1 видно, что с ростом параметра у происходят следующие преобразования. Когда у существенно меньше размеров объекта, объект изменяется незначительно, происходит лишь размытие контура. Когда у сопоставимо с размером объекта, происходит существенное размытие. Когда же у становится больше размеров объекта, по центру объекта возникает пустота, а интенсивность появляется по краям объекта.

Очевидно, что КПР-образ в некоторой точке максимален, если на исходном изображении на кольце радиуса у с центром в этой точке интенсивность также максимальна. Поэтому предположим, что КПР-преобразование можно использовать для обнаружения колец на изображении.

Для примера рассмотрим изображение с цифрами (рис. 5).

Рис. 5. Арабские цифры

Цифры состоят из отрезков прямых линий и дуг окружностей. Окружности могут быть разных диаметров. В цифрах встречаются дуги окружностей с диаметром, равным приближенно половине высоты всей цифры (такие дуги характерны для цифр «2», «3», «5», «6», «8», «9» и «0», рис. 6а) и с диаметром, равным приближенно высоте всей цифры (такие дуги характерны для цифр «3», «6», «8», «9» и «0», рис. 6Ь).

Рис. 6. Приближение арабских цифр дугами окружностей:

a) дуги окружностей с диаметром, равным приближенно половине высоты всей цифры,

b) дуги окружностей с диаметром, равным

приближенно высоте всей цифры При проведении эксперимента изображение с цифрами (рис. 5) подавалось на вход КПР-преобразова-ния, однако наибольший контраст наблюдались при нескольких значениях параметра у (рис. 7).

60 50 40 30 20 10

Ж -----------Л_ \ ^^Ч --V—-в----^— ^^_____--Л- йч

10

20

30

40

Рис. 7. Зависимость контраста от параметра г для изображения цифр

КПР-образы при у, соответствующих максимальному контрасту, показаны на рис. 8.

а)

б)

в)

Рис. 8. КПР-образы изображения цифр при значениях параметра г, для которых контраст максимален:

а) КПР-образ изображения цифр при у = 10 ;

б) КПР-образ изображения цифр при у = 17 ;

в) КПР-образ изображения цифр при у = 31

На них видно, что при у = 10 наибольшую интенсивность на КПР-образе имеют отсчеты, соответст-

вующие центрам окружностей с диаметром, равным приближенно половине высоты всей цифры. При у = 17, наибольшую интенсивность на КПР-образе имеют отсчеты, соответствующие центрам окружностей с диаметром, равным приближенно высоте всей цифры. При у = 31 КПР-преобразование дало размытие всех цифр, не позволяющее выделить центры окружностей, из дуг которых эти цифры состоят.

На реальном изображении также происходит размытие контуров (рис. 9).

Рис. 9. Результат КПР-преобразования на реальном изображении при г = 10:

a) входное изображение;

b) выходное изображение

Заключение

В работе получены следующие результаты.

• Введено в рассмотрение некоторое обобщение двумерного интегрального преобразования Радона, названное кольцевым преобразованием Радона (КПР), которое отличается от обычного преобразования Радона тем, что свертывает функцию не с прямой линией, а с окружностью.

• Получены основные свойства линейного интегрального КПР: связь с преобразованием Фурье; обратное кольцевое преобразование Радона; смещение КПР-образа при смещении функции; масштабирование КПР-образа при масштабировании функции.

• Вычислены КПР-образы от некоторых функций: точки, круга, кольца, синусоиды, прямоугольника, Гаусса, Бесселя п-го порядка.

С помощью численного моделирования показана возможность использования Фурье-коррелятора, моделирующего КПР, для обнаружения дуг окружностей на изображении, например, частей цифр или букв.

Таблица 1. Результаты прохождения изображений некоторых геометрических объектов через Фурье-коррелятор, моделирующий КПР, при различных параметрах у

Входное изображение Выходное изображение

Y = 10 Y = 30 Y = 50

Точка ° о

Квадрат (120x120)   • *

Круг (R=60 рх) • <• • •

Благодарности Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ № НШ-1007.2003.01, а также российско-американской программы «Фундаментальные исследования и высшее образование» («BRHE»).

Литература

1. Helgason S. The Radon Transform // Boston, MA: Birkhauser, 1980.

2. Deans S.R. The Radon Transform and some of its Application // New York, Willey, 1982.

3. Anger B., Portenier C. Radon Integrals // Boston, MA: Birkhauser, 1992.

4. Rann A.G., Katsevich A.I. The Radon Transform and Local Tomography // Boca Raton, CRC Press, 1996.

5. Ambs P., Lee S.H., Tain Q., Fainmann Y. Optical implementation of the Hough transform by a matrix of holograms // Appl. Opt., 1986. V. 25, N. 22. P. 4035-4045.

6. Woodford P., Casasent D. High accuracy and fast new format optical Hough-transform // Opt. Mem. and Neur. Net., 1997. V. 1. P. 1-16.

7. Сойфер В.А., Котляр В.В., Скиданов Р.В. Оптическое выполнение преобразования Хоу-Радона // Компьютерная оптика, 1997. Вып. 17. С. 143-144.

8. Soroko L.M. Mesooptics. Foundations and Applications, World Scientific, Singapore, 1996.

9. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции // М.: Наука, 1983.