Моделирование конвективного течения

УДК 532.517

О.Н. Гончарова, Ю.Е. Южкова

Моделирование конвективного течения в наклонном слое с движущимися границами

Ключевые слова: конвекция, точное решение, наклонный слой, движущаяся граница, источник тепла.

Key words: convection, exact solution, inclined layer, moving boundary, heat source.

1. Введение. Моделирование конвективных течений представляет собой комплекс задач и проблем, возникающих как при прогнозировании природных явлений, так и при исследовании различных технологических процессов. Изучение конвективных течений жидкостей и газов, заполняющих бесконечные слои с твердыми либо свободными границами, продолжает оставаться актуальной задачей [1]. Различные аспекты конвективных движений жидкости в плоском слое исследовались аналитически и численно многими авторами (см. [1— 5]). В [2] построено решение задачи в плоском горизонтальном слое с твердыми, непроницаемыми, неподвижными границами, на которых задан постоянный горизонтальный (продольный) градиент температуры. Конвективное движение характеризуется кубической зависимостью продольной компоненты скорости от поперечной координаты. При этом температура жидкости линейно зависит от продольной координаты и имеет составляющую, полиномиально зависящую от поперечной координаты (полином 5-й степени). Интенсивность гравитационной конвекции существенно зависит от угла, определяющего ориентацию градиента температуры относительно вектора ускорения силы тяжести [3—5]. Наиболее интенсивное конвективное движение возникает в вертикальном слое [3, 5]. Конвективное течение жидкости в плоском бесконечном вертикальном слое изучается в [3, 5] для случая твердых, непроницаемых, согласованно движущихся границ, на которых поддерживается постоянная разность температур. Возникающее стационарное течение характеризуется линейным распределением температуры относительно поперечной координаты и кубическим профилем скорости. В [5] рассматривается решение для наклонного слоя с твердыми, непроницаемыми, неподвижными границами, на которых поддерживается одинаковая температура, в случае, когда по объему жидкости однородно распределены внутренние источники тепла. Свободная конвекция в замкнутых объемах

исследуется численно в [6], при этом используются точные решения для бесконечных слоев и решения, полученные в приближении ползущего течения. Устойчивость конвективных и термодиффузионных течений в наклонных слоях изучается в [1,3, 5, 7].

В настоящей работе рассматривается задача конвекции жидкости в наклонном слое с твердыми, непроницаемыми, движущимися границами. Конвективное движение жидкости в поле силы тяжести описывается системой уравнений Обербека-Буссинеска [1-3]. Строится точное решение двумерной стационарной задачи. Данное решение является обобщением известного решения Бириха о конвекции жидкости в горизонтальном слое [2].

Цель работы - построение точного решения системы дифференциальных уравнений, описывающих движение жидкости, моделирование продольных и поперечных градиентов температуры, выявление особенностей взаимодействия различных механизмов конвекции в гравитационном поле различной интенсивности. При изучении конвекции в слое с движущимися границами при наличии внутренних источников тепла, распределенных однородно либо неоднородно, исследуется взаимодействие гравитационной конвекции и эффектов сдвиговых течений Куэтта, а также влияние величины угла наклона слоя на характер течения.

2. Постановка задачи. Пусть жидкость заполняет бесконечный, наклонный слой с твердыми, непроницаемыми, движущимися границами, нагретыми до разной температуры, а также при наличии продольного температурного градиента А (см. рис. 1).

Система уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска в плоском случае может быть представлена в виде [1—3]:

щ + (~V V)lV = —Vp + vA ~vV—

P

—Щвт,

divlV = 0.

Уравнение переноса тепла при наличии вну-

треннего тепловыделения имеет вид [3]:

Tt-¥ щVT = XAT+Q.

Pep

Здесь IV = (и, V) - вектор скорости; р - давление (отклонение от гидростатического давления) ; Т - температура; ~д /ЗТ - сила плавучести; ~д = (д!,д2) - ускорение силы тяжести; в -коэффициент теплового расширения; V - коэффициент кинематической вязкости; х ~ коэффициент температуропроводности; - количество тепла, выделяемого внутренними источниками в единице объема жидкости за единицу времени; р - некоторое относительное значение плотности жидкости; ср - теплоемкость при постоянном давлении.

Рис. 1. Геометрия области течения

Выберем систему координат таким образом, что д\ = дсова, ^ = — двіпа. Запишем систему уравнений (1) (3) в стационарном случае в безразмерной форме, оставив за искомыми функциями прежние обозначения:

1

и ' их "Г V ' иу — рх

На

Не

и

Не2Рг

Т сов(

V -V,, = -

Ру

1

Не

Дv+

На

нг-Рг

Т віп а;

и  ТхЛ Не

V, = 0;

V ' Ту~ НеРг

Т

Ч.

и% 1

V

число Рейнольдса; Еа =

^9Т*в т, и V тт

--------число Рэлея; Рг =-------число Прандт-

vх X

ля; ц - источпиковый член. Звездочкой обозначены некоторые характерные величины скорости (п*), температуры (Т*); I - характерный размер области течения, например, ширина слоя.

П

д = \д\. Пусть 0 < а < Заметим, что источ-никовый член ц в безразмерном виде

введен без обсуждения характерной величины мощности тепловыделения; безразмерный анализ не проводится, а основное внимание будет уделено возможной зависимости ц от поперечной координаты у.

В качестве граничных условий на движущихся, непроницаемых границах рассмотрим условия прилипания для скорости п\у=о = щ,п\у=1 = т^\у=0 = 0,

Лу=1 = 0.

Будем считать, что на границах слоя задано линейное распределение температуры. При переходе к безразмерным величинам граничные условия для температуры примут вид:

Т\у=о = Ах + ^

Т |у=і — Ах + в\.

А1 Т-

Здесь А = —, 0- = (^ = 0,1), если в раз-

ТТ

мериой форме граничные условия имеют вид

Т\у=о = А'х + То, Т\у=\ = А'х + Т.

Заметим, что перепад температуры \Т\ — То \ = Т* может быть принят в качестве характерной температуры.

В качестве дополнительного условия примем условие замкнутости потока:

и(у)Лу = 0.

3. Моделирование течения жидкости в наклонном слое. Пусть решение задачи (4) (10) имеет такой вид, когда продольная компонента скорости зависит только от поперечной координаты, а температура линейно зависит от продольной координаты и имеет составляющую 0(у) (см. [2-6]): V = 0,п = п(у), Т = Ах + 0(у), р = р(х, у). Пусть источпиковый член ц линейно зависит от у ц = ц^у + ц2-

Тогда из системы уравнений (4) (7) следует

п0

^іу) _ Ра д"С08а, НеРг

а затем и уравнение четвертого порядка для нахождения функции и: 1У^ — На сое аАи =

—дгНа сов ау—

Ч2На сое а.

и  V

х

и

х

3.1. Случай положительного продольного градиента температуры. Пусть А > 0. Тогда решение уравнения (12) имеет вид:

= Се™ + С2е-™ + С ап(7у)+

П I \ , -1 , —

С^соз^у) + а_у + А

где 74 = ЕаАсояа > 0.

Постоянные Сг находятся с помощью краевых условий (8)—(Ю). Из условий прилипания (8) следует:

СА = ш — С — С — -|,

03 = 0(7 —

вШ7

в1П7

ц

по7+ А1

сЛп—

1

АвШ7

цц

п

8Ш7

п

стемы (4)-(7) находим составляющую темпера-0у

^ ЕеРг

0

Еа а С4СОв(7у)) — Ауа+

С\е7у + С2е-1у — Сдшп^у) —

ЕвРгС§ Еа а

а затем и давление

р(х,у) =

^^{Се1у — Се-7у + С3 сое^у — С^ът^у) Ее

ЕаА а Ее2Рг

ху-

ЕаА а ЕаА а

2Ее2Рг сое а

у-

2Ее2Рг

Сьа С5 С

Жу — Еёх + С‘.

Из условий (9) для температуры и условия замкнутости потока (10) следует:

+ С — о  ЕеРгС

Еа а

Еа а

0

^ ЕеРг 1 Еа а

(Се1 + Се 1 — С3вт7 — С4сов7) — Аа+

ЕеРгС

Еа а

С\е — 1) — С2(е- — 1) — С3(со8 7 — 1)+

+ 1^^+1

Решим систему уравнений (14), (17) относительно Сг. Введем обозначения:

М1=е~! — 1 —

сое2 7

вШ7

е17 + 7

вШ7

М2 = е 1 — 1

сое2 7

----------е '7 — 7 -

эт7

вт7

81П7;

51117;

ц ц ц

М = сое 7 — 1) щ7 — — 7+ —-------------------------------+ —

А А шп 7 А вт 7

П ч , -1 92 / 42

вШ7

7

А

'7

А

вт 7 I п0

А

N = 2 е

М_ -1 _ М

м9е М

№ =

Еа а ЕеРг72

0

о;

цМ — + 2— А М,

ЕаА а М ----------— 2-----е

ЕеРг72 М2

+- п — по.

С использованием данных обозначений получим:

№

С

С — № I е

Сз~жь—

С1 = Г

М\ N2 | М3

м^ + М

М±

Мл

М

— •

п07

ц

-7

ц

вш 7М2 вт 7М2 92 п Мз

1 1 7;

А А шп 7 А вш 7 вш 7 М2

Сп-

N

N

Мг

М

М

М2

42

А’

п

42 „ N2 М\ .

— + 2------

А

С

6 - произвольная постоянная.

Тем самым конвективное течение жидкости в наклонном слое определяется соотношениями (13), (15), (16) с учетом (18), если А > 0.

3.2. Случай А > 0. Примеры течений. Приведем графики профилей скорости для различных параметров задачи. Пусть Рг = 10,Ее = 1, что соответствует выбору жидкости типа воды, раствора этанола и характерной скорости П* — VII.

Пример 1. Пусть угол между вектором силы тяжести и слоем жидкости шириной I = 1 (см. рис. 2) равен а = п|3, безразмерный

е

е

п

е

е

е

е

продольный градиент температуры и параметры в граничных значениях определяются соответственно как А = 1,0О = 2,01 = 3 (при этом Т0 = 20,Т = 30, а характерная температура равна Т* = 10). Тогда, если внутренние источники тепла отсутствуют (91 = 0,92 = 0), то профиль скорости жидкости, определяемый с помощью (13), (18), представлен на рисунке 2. Здесь Ка = 105, что соответствует условиям пониженной гравитации д = 100 (см/сек2), а скорости движения границ равны и = —2,и± = —1 (безразмерные).

Рис. 2. А = 1, 9 = 0, ио = —2, щ = — 1

Рис. 3. А = 4, 9 = 5, и0 = 5,щ = 0

Пример 2. Пусть угол между вектором силы тяжести и слоем жидкости шириной I = 1 (см. рис. 3) равен а = п/3, безразмерный продольный градиент температуры и параме-

тры в граничных значениях определяются соответственно как А = 4,0о = 2,0 =3 (при этом То = 20,Т = 30, характерная температура равна Т* = 10). Тогда, если внутренние источники тепла распределены в жидкости однородно (91 = 0,ф2 = 5), то профиль скорости жидкости, определяемый с помощью (13), (18), представлен на рисунке 3. Здесь Ка = 105, что соответствует условиям пониженной гравитации д

другая неподвижна: щ = 5,щ =0 (безразмерные ).

Рис. 4. А = 3, 9 = Зу + 15, щ = 10, щ = —10

Пример 3. На рисунке 4 представлен профиль скорости в случае, когда а = 4п/9, что позволяет сравнить характер течения, представленного на рисунках 2, 3. Безразмерный продольный градиент температуры и параметры в граничных значениях определяются следующим образом: А = 3,0о = 20, 0 = 21. При этом размерные параметры равны Т0 = 20,Т = 21, а характерная температура в данном случае принимается равной Т* = 1. Если внутренние источники тепла распределены в жидкости неоднородно (91 = 3,92 = 15), то профиль скорости жидкости, определяемый с помощью (13), (17), представлен на рисунке 4. Здесь Ка = 104, что соответствует условиям пониженной грави-д

гласоваино в противоположных направлениях: щ = 10, щ = —10 (безразмерные).

3.3. Случай отрицательного продольного градиента температуры. Пусть А < 0. Тогда решение уравнения (12) имеет вид:

и = Се7У сов('уу) + Се7^п(уу) +

C3e Yy cos(yy) + C±e Yy sin(yy)+

4i . 42 Ay+A,

ft n ya+2ya=0-

1

где = — -КаА сое а > 0.

4

Постоянные С находятся с помощью краевых условий (8)—(10). Из условий прилипания (8) следует:

Сз = щ — С1 — 9а;

С4 = —С^в1 — 1) — Ов1 — (ио — |) 7+

Решим систему уравнений (20), (23)—(25) относительно СI. Введем следующие обозначения:

Ых = 2вт77+2со877 — 2 + 277(3^7+0)87 — в7); Ы2 =

(щ — А)е-^п у + и0 — и1 + 9А + А(91+ 2^) —

(е 7 cosy - 1)(^— Щ - ^ - ^) - ^ot 7+ ^7);

sin 7 A A A

42

e< ( 4l 42 \

ibY V 1 - A - a)-

Составляющая температуры 0 зависит от поперечной координаты следующим образом:

2^2 Кв Рг

0 = —-(~Се7^п(уу) ^ С2в~/У сов(уу) +

М3 = е1 - 2е7 sin 7;

Ra cos а

C3e Yy sin(yy) -

Ce 7У cosi^y)) - Aya+C§.

N М 2 Y

N2 = -^-e ' М

М

ft 42.

42

K'iL 'iZ \ ,4.4

-A-A-U°1+A1'

R

М

(21) _ 2 sin Y7+-— e1 cosy - Nie 7cos7 + Ni -

Давление определяется из уравнений (4), (5) и имеет вид:

Ya

p{x,y) = ~б~(-Cely(sinyy - соsyy) +

Re

C eYy (sin yy + cos yy) - C3 e_7y (sin yy + cos yy) -

C4e Yy

RaA а Re2 Pr

-xy -

RaA а C Ra а

2Re2 Pr cos a^ ' Re2Pr RaA а C Ra а

y-

01 =

Ra а 2y2RePr

Ra а C2e7cos 7 + C3e - 7 sin у -

М

М

RaCOSa М Y

R= zfRePr{01 - * + Aa - M(e 51 -

1) + (^ - «o)e~7 sinу + N2(e-7 cosy - 1).

A

Тогда в этих обозначениях имеют место следующие зависимости:

К

2Кв2Рг ~ Ке’Рг Х + С-

С использованием граничных условий для температуры (9) и условия замкнутости потока (10) получим три уравнения:

0о = 2^КвРГ С — С4) + С5;

C

М\ R2 | М2

MR + М3’

R4

с-щ - R - а

R C4 = Ni^ + N2; R

2YRePr R _ М }

Ra cos a R М3

Ce Y соsj) - Aa + Cr,]

C (e7 sin у + eY cos у - 1) + C2 (e7 sin у -eY cosy + 1) + C3(e~7 sin у - e~Y cosy + 1) + C4(-e~7 sinу - e~Y cosy + 1)+

C

Y

Y

Том самым конвективное течение жидкости в наклонном слое определяется соотношениями (19). (21). (22) с учетом (26). если продольный градиент температуры отрицателен А < 0.

3.4. Случай А < 0. Примеры течений. Приведем графики, изображающие профили скоростей в случае А < 0. Положим Рг = 10, Яв = 1.

Пример 4. Пусть а = 4п/9, безразмерный продольный градиент температуры отрицателен А = —3, что соответствует бесконечному удалению нагревателя вверх по потоку. Параметры, задающие граничные значения температуры, определяются следующими значениями: 0О = 20,01 = 21. При этом размерные параметры равны Т0 = 20,Т = 21, характерная температура принимается равной Т* = 1. Тогда, если внутренние источники тепла распределены однородно 9 = 0,^2 = 1) и границы движутся в противоположных направлениях со скоростями щ = —5,и = 1, то профиль скорости жидкости, определяемый с помощью (19), (26), представлен на рисунке 5. Здесь Яа = 105, что соответствует условиям нормальной гравитации д = 1000 (см/сек2). Данный рисунок позволяет сделать вывод о возможности изменить качественно характер течения жидкости в слое (сравните с рис. 2).

Рис. 5. А = —3, 9 = 1, щ = —5, и = 1

Пример 5. Если а = п/3, А = —1, но внутренние источники тепла распределены неоднородно (91 = 5,92 = 0), а твердые границы движутся в одном направлении с разной скоростью щ = Ю,щ = 5, то движение жидкости характеризуется профилем скорости, представленным

на рисунке 6. При этом 0О = 2,01 = 3 (размерные параметры равны То = 20,Т = 30, характерная температура - Т* = 10). Здесь Яа = 10е, что соответствует условиям нормальной грави-д

Рис. 6. А = — 1, 9 = 5у, щ = 10,и = 5

Пример 6. Рисунок 7 демонстрирует профиль скорости в случае значения угла между

а

4п/9 (сравните с рис. 4) при более пнтененв-А—

тепла распределены неоднородно (91 = 20,9 = 10), а твердые границы движутся в противоположных направлениях с одинаковой скоростью щ = — 10,щ = 10. При этом, по-прежнему, 0О = 2,01 = 3 (размерные параметры равны Т0 = 20,Т = 30, характерная температура - Т* = 10). Здесь Яа = 105, что соответствует условиям пониженной гравитации д = 100 (см/сек2).

Рис. 7. А = —6, 9 = 20у +10, м0 = — 10, и = Ю

4. Моделирование течения жидкости в наклонном слое при отсутствии продольного градиента температуры. Пусть, по-прежнему, дополнительным механизмом, вызывающим конвекцию, является неоднородность температуры за счет внутренних источников тепла, а твердые границы слоя поддерживаются при постоянной температуре

T У=о — eo,T\y=i — 9\.

6 2

УУ

в = —qiRePr— q^RePr--

6 2

RePr C3^--------У

C.

. р

Яа а

Заметим, что если внутренние источники тепла отсутствуют 9 = 92 = 0), то и является по-

0

вой степени (см. также [3, 5]).

Постоянные интегрирования С находятся с помощью краевых условий (8), (10), (27):

Ci — —2ui — 4un

Ra а

в — в Ra а

RePr 1

З • 120

q

120

q

Будем искать решение системы уравнений (4)-(7) в виде: V = 0,и = и(у), Т = 0(у), р = р(х,у). Тогда функции и(у) и 0(у) имеют вид:

уу и = — Яа^ сое а^^ — Яа^^ сое а-^+

/qi q2 \ в — e0)Ra cos а

С, = —Racma^— + — )-----RPr-----

ии

C

Ra а

— eQ j ————— -Ь — q\ R^s а -j- — qRa cos а; RePr

C4 = 60.

Давление определим из уравнений (4), (5): р(х, у) =

щймпа . Raisin a a CRaa 9

у------^-----у + —а—у^+

Re

CRa а

Re

У C — C x C.

Яв Рг С

Тем самым конвективное течение жидкости в наклонном слое определяется соотношениями (28), (29), (31) с учетом (30).

5. Заключение. Построенные точные решения уравнений Обербека-Буссинеска описывают гравитационную конвекцию жидкости, заполняющей бесконечный наклонный слой. Данные решения и проведенные расчеты позволяют изучить влияние различных сил на динамику и теплообмен в жидкости: влияние гравитационного поля различной интенсивности в случае, когда угол между вектором силы тяжести и продольным градиентом температуры жидкости либо границами слоя не равен нулю; влияние внутренних источников тепла, распределенных однородно либо неоднородно, на характер течения и теплоперенос; взаимодействие гравитационной конвекции и эффектов сдвиговых течений Куэтта; влияние величины угла наклона слоя на интенсивность течения. Построенные решения позволяют также исследовать возможность управления механизмами конвекции.

Библиографический список

1. Андреев, В.К. Современные математические модели конвекции / В.К. Андреев, Ю.А. Гапоненко, О.П. Гончарова, В.В. Пухначев. -М., 2008.

2. Бирих, Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости / Р.В. Бирих // ПМТФ. - 1966. - №3.

3. Гершуни, Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни,

Е.М. Жуховицкий. - М., 1972.

4. Napolitano, L.G. Plane Marangoni-Poiseuille

flow of two immiscible fluids / L.G. Napolitano // Acta Astronautica. - 1980. - Vol. 2.

5. Гершуни, Г.З. Устойчивость конвективных течений / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, А.А. Непомнящий. - М., 1989.

6. Мызникова, Б.И. О численном моделировании свободной конвекции / Б.И. Мызни-

кова, Е.Л. Тарунин // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости: сб. ст. - Свердловск, 1983.

7. Бекежанова, В.Б. О конвективной неустойчивости двухслойного течения жидкости на

наклонной плоскости / В.Б. Бекежанова // ’’Новые математические модели механики сплошных сред: построение и изучение”

: тез. докл. Всерос. конф. - Новосибирск, 2009.