Булева алгебра и способы представления логики. Обзор

БУЛЕВА АЛГЕБРА И СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЛОГИКИ Обзор

Цивилизация начала ХХ1 в. уже сейчас во многом покоится на компьютерах, а перспективы ее компьютеризации еще более грандиозны. Развитие этих технических средств идет взрывообразно, охватывая все новые стороны жизни, производства, науки, культуры, коммуникаций и т. д. А между тем в основе всего этого удивительного разнообразия лежит одно техническое устройство - компьютерный процессор. Он составляет сердцевину любых компьютеров - от самых простых до самых сложных. Технически процессор состоит из множества переключателей (триггеров, сумматоров, вентилей и др.), объединенных в сложнейшие цепи. Но происходящее в этих цепях подчиняется определенным законам, которые и обеспечивают эффективность результатов. Точное описание этих законов на математическом языке и решение возникающих в связи с ними задач дает булева алгебра - раздел современной математики, возникший на основе интеграции (соположения) существовавших до того относительно автономно математики и логики. Таким образом, математизация логики, породившая булеву алгебру, стала одним из важнейших интеллектуальных условий (открытий), предопределивших скачок современного человечества в компьютерный мир ХХ1 в.

В данном материале не ставится задача подробного рассмотрения истории булевой алгебры, ее разделов и приложений, ее значения в математике и компьютерной технике. Наша задача другая - на основе отдельных сюжетов, связанных со становлением и развитием булевой алгебры, проследить, как дополняют друг друга различные математические способы представления логических отношений и операций.

Задача математического представления логики была поставлена лишь в Новое время. Подходы к ней предлагали Лейбниц, Эйлер, Ламберт, но найти убедительных решений не смогли. Значительное продвижение в этом направлении произошло лишь в XIX в., после создания алгебраических систем, способных адекватно отражать структуру логических суждений. Первенство в создании алгебры логики признается за Дж. Булем, но

307

Булева алгебра и способы представления логики

практически одновременно появилась и формализация логики А. де Моргана, которая также помогла становлению булевой алгебры.

Некоторые историки математики считают, что британский логик и математик, президент Лондонского математического общества А. де Морган (1806-1871) пришел к созданию алгебраической системы, подобной булевой алгебре, независимо от Буля и даже чуть раньше его. Но в плане всесторонней разработки алгебраического исчисления она уступает системе Буля. В основном де Морган занимался логикой отношений и высказываний и уделял меньше внимания исчислению логики классов. Главными его достижениями считаются: открытие правил или «законов де Моргана», согласно которым логическую дизъюнкцию (логическое сложение) можно выражать как конъюнкцию (логическое умножение), и наоборот - через операцию логического отрицания, а также трактовка отрицания как дополнения до «универсума» рассуждения. Оба они были использованы Булем при разработке его алгебры логики.

Законы де Моргана формируются следующим образом: Отрицание конъюнкции есть не что иное, как дизъюнкция отрицаний. Отрицание дизъюнкции есть не что иное, как конъюнкция отрицаний.

На языке пропозициональной логики:

не

На языке математики:

Используя законы де Моргана, можно выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и три отрицания. Аналогично можно выразить дизъюнкцию.

В. С. Авдонин

«Для устранения неопределенности отрицания де Морган вводит в рассмотрение понятие "целого ", или "универсума", выбираемого в зависимости от предмета исследования. Так, если X означает некоторый класс предметов (правда, де Морган чаще говорит об именах, обозначающих предметы), то все то в "целом" ("универсуме"), что не есть X, следует считать за не-Х. Если для не-Х ввести обозначение х, то в результате станет очевидным отсутствие принципиальной разницы между утвердительными и отрицательными предложениями: "никакое X не есть У" означает то же самое, что "Все X суть не-У", т.е. "все X суть у". Установив, что с указанной точки зрения X и х равноправны, де Морган вместо пары терминов предложений традиционной силлогистики X и У рассматривает четыре пары X, У; х, у; X, у; х, У, дающие 16 логически возможных комбинаций, из которых различны восемь».

308