Численное моделирование проникания ударников в анизотропные упругопластические преграды

УДК 539.3

Ю. И. Димитриенко, А. Ю. Дзагания, Ю. В. Беленовская, М. А. Воронцова

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОНИКАНИЯ УДАРНИКОВ В АНИЗОТРОПНЫЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ПРЕГРАДЫ

Предложен метод численного моделирования динамических процессов ударно-волнового взаимодействия и проникания ударников в упругопластические анизотропные многослойные преграды. Задача в осесимметричной постановке рассмотрена в рамках теории конечных деформаций в переменных Лагранжа. Для численного решения использован вариант конечно-разностного метода ленточных адаптивных сеток. Рассмотрены некоторые особенности, возникающие при проникании ударников в многослойные преграды.

Процесс проникания ударников в преграды представляет собой сложное явление; несмотря на значительные усилия, приложенные для его исследования, еще далеко до создания универсальной теории этого процесса. Наиболее изученными можно считать процессы проникания в изотропные среды с малыми упругими и упруго-пластическими деформациями (в основном это металлы и сплавы, керамики, некоторые горные породы) [1-8]. Проникание же ударников в преграды, выдерживающие до разрушения большие деформации (грунты и некоторые виды горных пород, некоторые типы сплавов), изучено существенно меньше. В последнее время появился интерес к изучению проникания ударников в анизотропные среды (железобетоны и другие армированные строительные материалы, броневые композитные материалы, многослойные системы и т.п.) [8, 9]. Для таких сред механизмы динамического разрушения существенно отличны от механизма разрушения изотропных сред.

Ударно-волновые процессы в анизотропных средах до настоящего времени систематически не изучались. В работах [10-14] предложена новая модель для исследования процесса проникания в анизотропные среды, основанная на строгой математической постановке динамической задачи теории конечных анизотропных упругопластических деформаций. В настоящей работе представлены дальнейшие результаты применения этой модели для исследования рассматриваемого процесса.

Математическая формулировка динамической задачи взаимодействия ударника и преграды. Рассмотрим универсальную систему законов сохранения в лагранжевом описании (в отсчетной конфигурации), состоящую из уравнения неразрывности, уравнения движения, кинематического уравнения, динамического уравнения совместности

деформаций и определяющих соотношений, соответствующих модели анизотропной упругопластической среды с конечными деформациями [10]:

Р /р = det F = Д;

d

-v

dt

° d °

Р — v = V •P;

dtu=v; <3>

d т °

-FT = V

d - a -r ° -r d

-T=4 M--

dtCP = ± t Yy f f 4A-"

Y=1 в=1 ' Y

/в = /e

P = AT • FT,

где P — первый тензор напряжений Пиола-Кирхгофа; T — тензор истинных напряжений Коши; T — энергетический тензор напряжений;

°

Р и р — плотность в отсчетной и актуальной конфигурациях; F — градиент деформаций; v — вектор скорости; и — вектор перемещений; Cp — энергетический тензор пластических деформаций. Соотношение (6) соответствует модели теории анизотропного пластического течения (ассоциированный закон); HY = HY(YYp) — параметры пластического упрочнения, зависящие от спектральных инвариантов YYp тензора пластических деформаций Cp. Вид этих инвариантов, так же как и вид тензоров 4A(y), определяется только типом анизотропии рассматриваемой среды (для каждого типа анизотропии Yp и A(Y) выбираются стандартным образом, их выражения приведены в [15]); — параметры нагружения; / — функции пластичности (число их определяется типом анизотропии и моделью поверхности пластичности). В системе

(1)-(8) обозначено 4M =4 M0/A, где 4M0 — тензор констант упру°

гости; V — набла-оператор в отсчетной конфигурации.

°

Система уравнений (1)-(8) записана для области V в отсчетной

°

конфигурации K, которая представляет собой совокупность ударника и преграды. Граничные условия на поверхности контакта ударника и преграды, а также на границе слоев преграды предполагаются соответствующими идеальному контакту без проскальзывания, и в отсчетной

конфигурации имеют вид:

[v] = 0, [u] = 0, n •[P] = 0,

где [ ] — скачок функций; п — вектор нормали к поверхности. Если происходит отскок ударника от преграды, то на поверхности контакта

◦ о

£ имеет место условие п •[Р] = 0. Это же условие справедливо для неконтактирующих поверхностей преграды и ударника.

Дополняя систему уравнений (1)-(8) начальными условиями

г = 0: и = и0, V = у0, Т = 0, Е = Е, Ср = 0,

получаем постановку динамической задачи теории больших анизотропных упругопластических деформаций.

Математическая формулировка задачи при прямом соударении. Рассмотрим случай прямого соударения, который значительно упрощает моделирование и сводится к рассмотрению осесимметрич-

о о

ной (двумерной) задачи (1)-(10). Полагаем, что область V в К и тип анизотропии (группа симметрии ударника и преграды) допускают наличие оси симметрии ОХ3 в лагранжевой системе координат Xг, за которую выбрана цилиндрическая система координат X1 = г, X2 = у>, X3 = г. Тогда может быть сформулирована осесимметрич-ная постановка задачи (1)-(10). В физических координатах, используя компонентную запись дифференциальных операторов и тензоров [15], имеем

Р

Р-

drvr

öt~ drvz

drPrr drPr +

dr drPz

dt

dur ~öt

dr duz

dz

zr + drPz

-P,

(flp,

dz

= vr

dt

= Vz

d_ dt

( Tr.r ^ T T

zz

\TrzJ

/МШ1 M1122 M1133 0 \ / ( err ^ ( £гЛ \

M1122 M1111 M1133 0 д £р

M1133 M1133 M3333 0 ezz - dt £р zz

0 0 0 2M1313 / V \ erz / VPz )

dFrr ~dt

dvr dr

dF,

dt

dFzz dt

dvz; dz '

v

r

r

dFrz dvr dFzr dvz

дЬ дг1 дЬ дг ' Здесь Т11 = Тгг, Т22 = Трр, Т33 = Тгг и Тгг — физические компоненты тензора Т в актуальной конфигурации, а е11 = егг, е22 = е^, е33 = в22 и егг — физические компоненты тензора скоростей деформаций Ю; Р11 = Ргг, Р22 = Р^, Р33 = Р^ и Ргг — физические компоненты тензора Пиолы-Кирхгофа Р:

Ргг А (Тгг Ргг + ^ ^ ) ч А ч

PPzz А

PPzг А (TтzРгг + ^^) ; А (РггРгг PтzРгт) ;

дуг дь^ уг дуг дvz

егг о Р гг + о Рzг; е(р(р ezz о Fгz + о Рzz;

дг дг г дг дг

1 (дуг ^ ду^ ^ ду^ ^ дуг ^ е =_ _- р +__£ р +__^ Р +__- р

о ^ п zг ! о ' гм о -tzz

2 \ дг дг дг дг

Полагаем, что ударник — изотропное упругое тело, т.е. у него пластические деформации отсутствуют (ер = 0), а слои преграды соответствуют модели упругопластической трансверсально-изотропной либо изотропной среды. Для трансверсально-изотропных слоев определяющие соотношения (6) в физических координатах для осесимме-тричного случая записываются следующим образом:

дер 1 „ ,„ „ _ 1

дЬ 2 (Trr +TPP — H2 (£rr +epp ^ + (Trr -TPP - H3 (epr - epp ));

7ep 1 1

~öb~ = 2 S2(Trr +Tpp - H2 (epr +epp))-2 S3(Trr —Tpp—H3 (epr —epp).

d£Ppz = Si

dt 1y zz 1 zz/' dt Здесь

с _ ^ d^i h -1 Y dt dY ; 7

Yy dt öYy

ß=1 Y Y

Yi = Tzz - HiePpz, Y2 = Trr + Tpp - H2(ePr + ePp),

Уз=(1/^) |т-г-Т^-И2(ергг-е^)| , У4=(1/^) |Tгz-Нф^|.

Для функций И7 примем модель степенного упрочнения:

Н1 = Н? |еpz|-П1, Н2 = Н0 |ер- + е^|-П2,

Н3 = Н? Кг - ^ \ П3 ч Н4 = Н? 1 П4 ч где Н? и п7 — константы.

Для трансверсально-изотропной среды со слоистой структурой, ортогональной к оси OX3, функции fY зададим в форме [10]

4

N = 2, 2fi =

Y=3

где ajS — пределы текучести. Тогда

S7 =

Для изотропных слоев определяющие соотношения (6) имеют следующий вид:

дер 1

rr SV2T —T — T - HFp )•

J^J. rr -L {{ -L zz Crr/'

dt 3

d£Ppp i

~~ßt~ = 3 S(2TPP — Trr — Tzz — H£'pp) depzz i

dz — 3 S(2Tzz — Trr - Tpp — HePpz);

дсР X

- S(Trz - H£Ppz); S - Ц

Параметр нагружения для изотропных сред находим из уравнения

KVs

X = ±-

V3

YP о

р 2 V гг/ 1 \ фф zz) 1 \ фф тт ) 1

Параметр упрочнения Н также задается в степенном виде

Н = НоУ-п°,

1 ^(^рт ^Р2) + (^фф ) + (^фф £рт) + ) ^ ,

где Н и щ — константы, а уравнение поверхности пластичности соответствует модели Губера-Мизеса

f -К Э2- i-

в которой

Y2 - 2 ((Trr - Tzz - H(£pr - £pzz))2 + (Tpp - Tzz - H(^ - £pzz))2+

+ (Tzz - Tpp - H{£>, - £Ppp))2 + 6(Trz - H£zzz)2) .

Обе системы уравнений (11)-(13) и (11), (12), (18) являются замкнутыми относительно 17 функций (иг, , уг, у2;, Ргг, Fzz, Рг2:1 Р2:г, Р", Тгг, Т^Трр, ерг, е^, е'', е^), зависящих от г,г и Ь.

Численный метод решения задачи. Вводя координатные столбцы, элементами которых являются величины, стоящие под знаками производных в системе (11)—(13):

U 1 UZ 1 r PVr ч rPVZ ч Frr 4 FZZ 5 Frz, Fzr ч Ftptp, Trr ч

c'P

- ipip, prr1 pZZ 1

T T T pp pP pP pP )T.

T zz1 Trz, T(p(p 1 prr 1 pZZ 1 1 prz ) .

Е = (0 , 0 , гРГГ, гРхг, уг, 0 , 0 , у,, 0 , уг, уг, уг, уг, 0 , 0 , 0 , 0)Т; К = (0,0, -1, -1, -1, 0, 0, -1, 0, -М1ШРгг, -М1133Ргг, -МшзР™, -М1122Ргг, 0, 0, 0, 0)Т; С = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, уг, уг, уг, 0, 0, 0, 0)Т; Б = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0, 0, -М1111 , -МцззР^, -М^Ргг, -Mll22Fzг, 0, 0,0, 0)Т; W = (0, 0, гРгг, гРгг, 0, уг, уг, 0, 0, уг,уг, уг, уг, 0, 0, 0, 0)Т; (22) Ь = (0, 0,-1,-1, 0,-1,-1, 0,-1, -МиззР^, -MззззFzz, -М1313, -M22ззFzz, 0, 0)Т; V = (0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, уг, уг, уг, уг, 0, 0,0, 0)Т; N = (0,0, 0, 0, 0,0, 0, 0, 0, -МцззР^, -МззззР^, -М^зР«, -M22ззFгz, 0, 0,0, 0)Т; Р = (у-, -Р", -Рг-, 0, 0, 0,0, у-/г, Рю,

P11, P12, Р13, P14, Р15, Р16, Р17)Т,

представим систему уравнений (11)—(13) в следующем виде:

£+К• &N• дЛд

дЬ дг дг дг дг

где и — столбец неизвестных; К, Ь, N, Б — диагональные матрицы, ненулевыми элементами которых являются элементы столбцов К, Ь, N Б, а Р(И) — столбец правой части, элементы которого Р14 ... Р17 определяются правой частью уравнений (13), а Р10 ... Р13 имеют вид

Рю = М1122Р"у-/г - Мни Р14 - М1122Р16 - М1133Р15;

Р11 = М2233Р"у-/г - М3311Р14 - М3333Р16 - М2233Р15;

Р12 = М2222Р"у-/г - М1122Р14 - М2233Р16 - М2222Р15;

Р13 = -2М1313Р17.

Z ^ Ударник

Грунт Железобетон

/ /

Преграда

Рис. 1. Схема взаимодействия ударника с многослойной преградой

Рис. 2. Адаптивная система координат

Для численного решения системы (23) с граничными и начальными условиями (9), (10) введем для области решения V (рис. 1) адаптивную разностную регулярную сетку, образованную четырехугольными криволинейными ячейками (рис.2), которую далее будем называть ленточной адаптивной сеткой (ЛАС). В работе [13] приведен алгоритм построения ЛАС, согласно которому область V представляется в виде совокупности "крупных" криволинейных четырехугольников V. В каждой области V вводят параметрические координаты (з, т), связанные с уравнениями четырех кривых, ограничивающих этот четырехугольник, и определяют преобразование

* =

преобразующее криволинейный четырехугольник V в квадрат Vst = = [0,1] х [0,1]. Если заданы стороны а, Ь, с, й криволинейного четырехугольника V в координатах (г, г) как функции аргументов з, т

Г г = (з), Г г = гь (т), Г г = (з), Г г = г^ (т), [Г = Га(з), \ Г = Гь(т), [Г = Тс(з), \ Г = Га(т) с условиями согласования этих кривых

га(1) = гь(0), га(1) = ть(0), гь(1) = (1), Гь(1) = Тс(1),

zc(0) = Zd(1), rc(0) = rd(1), Zd(0) = Za(0), rd(0) = ra(0), то преобразование (25) имеет вид

где

fz (s,T )=Pz (s,T )-(Pz (0, т )-Zd (t ))(1-s)-s(Pz (1,T )-Zb (т)); fr (s,T )=Pr (s,T )-(Pr (0, т )-rd (t ))(1-s)-s(Pr (1, т )-r6 (t )),

Pz(s, T) = (1 - т)Za(s) + TZC(s), Pr(s,T) = (1 - T)ra(s) + ТГс(s).

Вычисляем матрицу Якоби

/ ds дт \

Q =

/dz dr \

-1

^ дz _ дз дз дз дт дz дг

\ дг дг / V дт дт / для перехода от координат (в, т) к координатам г).

В данной работе функции (29) аппроксимировали кубическими сплайнами, заданными опорными точками. В каждом из криволинейных четырехугольников V введена локальная разностная сетка, затем отдельные сетки для каждого четырехугольника объединены в единую разностную сетку, охватывающую всю область V.

Отличительная особенность алгоритма построения разностной сетки состоит в том, что узлы единой разностной сетки пронумерованы единым списком (сетка при этом описывается ленточным образом) и их характеристики (координаты в системах г) и (з,т), элементы обратной матрицы Якоби, номера соседних узлов) представлены единым списком. Кроме того, в сеточных массивах помещена информация о номерах соседних четырех узлов, которым присвоены индексы Ь^, Rj, Bj, Uj, обозначающие номера соседей ^'-го узла слева, справа, снизу и сверху соответственно (рис. 3). Координаты узла сетки при таком подходе обозначаются как (Sj,Т), разностные аппроксимации функции f(з,т) — как fj = f(Sj,Tj), а разностные аппроксимации производных принимают следующий вид (например, правая разность):

fRj - f.j

df (rj ,zj) dr

df (rj ,zj) dz

Sr — Sj

- fj SR, - SJ

Q11j +

Q21j +

fUj - fj

Tu, - Tj

fUj - fj

Tu, - Tj

Q

12 j;

Q22 j.

Такую разностную аппрокимацию функций и производных использовали для построения разностной схемы системы уравнений (23). Был применен один из наиболее экономичных по затратам машинного времени конечно-разностный метод решения системы (23) — метод типа Мак-Кормака [13], состоящий из четырех этапов; во введенных обозначениях он принимает следующий вид.

Рис. 3. Узел разностной сетки с четырьмя соседними узлами в ЛАС

Этап 1. Предиктор

цП+1/2 =

At í F(Щ) _ F(U?)„ , F(UU,) _ F(j n _TK Q21j + t, _ T3 Q22j

At Sn íG

At -n íW

_TLnj l SRj_S j + tU,-T Ql2j

At - /V

"T 1 sr~_S Q11j + Q12j

Этап 2. Корректор

Un+1 = 1 (U"+1/2 + Un)-

2

At -

'T K S^SL Q21j + Twg '

At - ^G(U") _ G(UL,) Q + G(Ur) _ G(Uv) Q

--2" Si,j l S _ SL. Q21j +--T _ Ts . Q22j

At -n /W

_TM S^SL Q11j + Twv Q12j

At Vij-nU,q + V(ил _ V(Ug,)Q

_T M S^SL Q11j + Twv Q12j

Этап3. Учет правой части

йп+1 = гтп+1 + АЬ Р

Этап 4. Сглаживание

иг1 = гиг1 + а

где а — коэффициент искусственной вязкости.

Моделирование процесса динамического разрушения и проникания ударника. Приведенные разностные соотношения (31)—(34) позволяют рассчитывать все характеристики ударника и мишени при

непрерывных процессах деформирования, т.е. при отсутствии разрушения. Однако сам процесс проникания ударников в преграду как раз и состоит из стадий зарождения трещин, их распространения и образования отверстия в преграде. При численных расчетах этот процесс моделируется следующим образом.

Этап зарождения трещин. В процессе непрерывного деформирования в каждой расчетной точке ударника и мишени проверяется условие отсутствия разрушения па < 1, где па — параметры повреждаемости материала, представляющие собой функции инвариантов тензора истинных напряжений Коши (силовой критерий):

Па = Па

Инварианты выбираются в соответствии с группой симметрии рассматриваемого материала (изотропные, трансверсально-изотропные или ортотропные). Критерий прочности преграды в этом случае оказывается подобным критериям пластичности, но только пределы текучести в них заменяются на соответствующие пределы прочности. Для трансверсально-изотропных материалов рассмотрим модель, содержащую два параметра повреждаемости:

П1 = (П+Кт )2 + (^Кт )2 + (У4/^5 )2;

1 1 4

,2 /^ I (V- /-* ^ I (V- /-* ^

П2 = (K+Mt )2 + (V^c )2 + (YMs )2,

Y1 Tzz j Trr + TiPfj Y3 nr \ Trr TiPf \ j ^ \ Trz \ j

где а*т а*3 — пределы прочности на растяжение, сжатие и сдвиг в соответствующем направлении, а инварианты тензора напряжений определяются следующим образом:

\тгг — ; У4 = У+ = 2

У+ = 2(У2 + \У2\); У2- = 2(\У2 \- У2).

В соответствии с этой моделью существуют два независимых параметра повреждаемости, один из которых описывает повреждения в поперечном направлении и при межслойных сдвигах, а другой — в продольном направлении и при продольных сдвигах. Эта модель хорошо описывает эффекты разрушения продольно-поперечно армированных материалов.

Для изотропных сред рассматривается модель с одним параметром повреждаемости, для которого выбрано следующее выражение:

п = (Y+/aJ )2 + (Yt/аЪ )2 + (Yt/aS )2/3; YT+ = 2(Yt + \YT\); Y— = 2(\Yt\- YT);

1 2 2 2 2

YT — 2 ((Trr Tzz) + (T^ Tzz) + (Tzz + 6Trz) ;

YT — T,(Trr + Tzz +

1

где aJ, aC, a*S — пределы прочности на растяжение, сжатие и сдвиг, соответственно.

Этап распространения трещин. Если в какой-либо расчетной точке выполняется условие па ^ 1, то это означает, что в локальной окрестности этой точки происходит зарождение макротрещины с последующим ее ростом. При численном расчете зарождение макротрещины моделируется обнулением компонент тензора напряжений Коши в данной расчетной точке: вместо определяющих соотношений упру-гопластичности (6) в ней задаются условия Tj — 0. Распространение трещины в преграде (или ударнике) происходит, если после выполнения предельного условия na(xi, t*) ^ 1 в точке x\ в момент времени t* в какой-либо из ее соседних точек y\ в момент времени t* + At реализуется то же самое условие na(yl,t* + At) ^ 1. В этом случае происходит прирост трещины на величину AxJ — yJ - xJ.

Этап разлета осколков и проникания ударника в образовавшееся отверстие в данной работе не рассматривается.

Результаты численного моделирования. Рассмотрена задача о прямом ударе ударника по многослойной преграде (см. рис. 1), состоящей из трех слоев: первый и второй слои представляли собой грунты различной плотности (изотропные среды), а третий — железобетонную плиту (трансверсально-изотропную среду). Ударник считается изотропной упругой средой.

При расчетах приняты следующие значения констант, характеризующих геометрические размеры преграды и ударника: расчетный радиус преграды RN1 — 2R0; радиус ударника RN1 — 0,2R0; длина ударника ZNk — 2R0; вдоль координаты z толщина первого слоя преграды ZNd — R0, второго — ZNe — 0,3R0 и третьего — ZN0 — 0,3R0. Константы, характеризующие упругопластические и прочностные свойства ударника и слоев преграды, приведены в табл. 1 и 2. Начальная скорость ударника вдоль оси ОZ в момент встречи с преградой при нормальном ударе равна 600 м/с.

На рис. 4-7 приведены некоторые из результатов расчетов. Визуализация расчетов осуществлялась с помощью специально разработанной программы 3-D анимации.

Таблица 1

Значения констант материалов ударника и грунта

Характеристика Ударник Грунт

Плотность, г/см3 2,0 2,0 1,5

Модуль упругости, ГПа 100,0 0,1 10

Динамическая прочность, ГПа:

на растяжение а'Т 0,25 0,005 0,007

на сжатие аС 0,3 0,01 0,01

при сдвиге а£ 0,2 0,003 0,005

Начальный предел текучести при сдвиге а £ , ГПа 0,05 0,002 0,002

Параметр пластического упрочнения Н0, ГПа 0,1 0,001 0,002

Показатель пластического упрочнения п0 0,9 0,9 0,9

Таблица 2

Значения констант материалов железобетонной плиты преграды

Характеристика Значение

Средняя плотность, г/см3 2,5

Модуль упругости, ГПа 10,0

Динамическая прочность на растяжение (сжатие), ГПа:

а1т Кс) 0,02

а2Т

Динамическая прочность на сдвиг а3£{а*4£), ГПа 0,06

Начальные пределы текучести а^, а3£, а4£, ГПа 0,01; 0,06; 0,007

Параметры пластического упрочнения Н0; Н0; НО; НО, ГПа 0,01; 0,07; 0,07; 0,02

Показатели пластического упрочнения п7 0,9

Отметим некоторые особенности результатов численного моделирования процесса проникания. Разрушение грунта описывалось путем обнуления соответствующих компонент тензора напряжений в зоне разрушения; имеет место локализация процесса образования трещин в грунте в зоне максимальных сдвиговых напряжений — в окрестности острия ударника.

Аналогичен и характер разрушения железобетонных плит, однако начальная стадия разрушения реализуется, когда ударник еще не успевает полностью проникнуть в грунт. Причина этого — откольное разрушение плиты вследствие прохождения по преграде первичной волны сжатия, которая, отразившись от тыльной ее поверхности, вызывает межслойное разрушение в железобетонной плите. Это разрушение имеет вид межслойной откольной трещины.

Рис. 4. Картина проникания ударника в многослойную преграду в различные моменты времени

Рис. 5. Разностная сетка для ударника и многослойной преграды в различные моменты времени проникания

По мере проникания ударника в плиту происходит дополнительное разрушение плиты в зоне максимальных межслойных напряжений, возникающих в окрестности передней части ударника.

Общая картина разрушения преграды представлена на рис. 4, 5.

На рис. 6, 7 показано распределение компоненты тензора напряжений Коши в преграде в различные моменты времени. Нормальная скорость ударника по мере проникания в преграду уменьшается и в момент входа в железобетонную плиту составляет ^387 м/с. После полного проникания в преграду скорость ударника составляет ^253 м/с.

%**'$G&!)&%'*&%%?<

Рис. 6. Распределение напряжений Тгг, МПа, в ударнике и преграде вдоль оси OZ (направление удара и проникания) в различные моменты времени

Следует заметить, что с прикладной точки зрения приведенные результаты являются ориентировочными, поскольку методика расчетов содержит в себе определенные аппроксимации, допущения и приближения. Это относится как к выбранной модели материалов преграды и ударника, так и к значениям характеристик материалов (см. табл. 1 и 2), а также к вычислительной погрешности, которая неизбежно присутствует в задачах такого типа.

Выводы. Разработаны математические модели динамического поведения ударников и многослойных анизотропных преград при ударно-проникающих воздействиях с учетом конечных упругопласти-

Рис. 7. Поле напряжений Тхх, МПа, в ударнике и преграде в различные моменты времени

ческих деформаций и разрушения материалов. Разработана методика для численной реализации разработанных математических моделей и осуществления компьютерного моделирования динамического поведения ударников и многослойных анизотропных преград при ударно-проникающих воздействиях. С помощью разработанной математической модели и программного обеспечения проведено численное моделирование процесса проникания ударника в многослойную преграду. Разработанная методика может служить основой для получения рекомендаций по выбору рациональных конструкций защитных перспективных преград и ударников.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ№ 06-08-01448а и 07-08-00574.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шемякин Е. И. Динамические задачи теории упругости и пластичности. -Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та. - 1968.

2. П е т р о в И. Б. Волновые и откольные явления в слоистых оболочках конечной толщины // МТТ. - 1986. - № 4. - C. 118-124.

3. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упруго-пластической среды с конечными деформациями // В кн. Численные методы в механике твердого деформируемого тела. - М.: ВЦ АН СССР. - 1978. - C. 84-121.

4. К о н д а у р о в В. И., П е т р о в И. Б., Х о л о д о в А. С. Численное моделирование процесса внедрения жесткого тела вращения в упругопластическую среду // ЖВМ и МФ. - 1984. - № 4. - С. 132-139.

5. Кириленко Г. А., Сагомонян А. Я. Численное моделирование проникания в грунт // Изв. АН АрмССР. Механика. - 1986. - Т. 39, № 1. - С. 50-54.

6. Рахматулин Х. А., Сагомонян А. Я., Алексеев Н. А. Вопросы динамики грунтов. - М.: Изд-во МГУ, 1964.

7. К р а в ч у к А. С., М а й б о р о д а В. П., Х о л и н Н. Н. Высокоскоростное деформирование конструкционных материалов. - М.: Машиностроение, 1986.

8. Б а г д о е в А. Г., В а н ц я н А. А Проникание тонкого тела в упругие анизотропные среды // Изв. АН АрмССР. Механика. - 1983. - Т. 36, № 6. - С. 23-30.

9. S i m o J. C., M i e h e C. Associative coupled thermoplasticity on finite strains: Formulations, numerical analysis and implementation // Comp. Math. in Appl. Mech. & Eng. - 1992. - V. 98. - P. 94-111.

10. Димитриенко Ю. И. Анизотропная теория конечных упруго-пластических деформаций // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Cep. "Естественные науки". - 2003. - № 2. - С. 47-61.

11. Димитриенко Ю. И., Беленовская Ю. В. Численное моделирование процессов пробивания перспективных материалов // В c6. Аэрокосмические технологии. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2002. - C. 78-84.

12. Димитриенко Ю. И., Беленовская Ю. В., Дзагания А. Ю., Власкин А. В. Высокопроизводительное численное моделирование динамических процессов взаимодействия ударников и композитных мишеней // В сб. Аэрокосмические технологии. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. - 2004. -C. 114-116.

13. Димитриенко Ю. И., Дзагания А. Ю., Беленовская Ю. В., Власкин А. В. Разработка метода ленточных адаптивных сеток для решения задач динамики больших упруго-пластических деформаций // Сб. Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы. - М.: Логос, 2005. - С. 459469.

14. Димитриенко Ю. И., Дзагания А. Ю., Беленовская Ю. В. Моделирование ударно-волновых процессов в композитных броневых материалах // Труды конференции, посвященной 90-летию В.И. Феодосьева. - 2006. -С. 146-149.

15. Димитриенко Ю. И. Тензорное исчисление. - М.: Высш. шк. - 2001. -575 с.

Статья поступила в редакцию 8.10.2007

Юрий Иванович Димитриенко родился в 1962 г., окончил в 1984г. МГУ им. М.В.Ломоносова. Д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой "Вычислительная математика и математическая физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана, действительный член Академии инженерных наук. Автор более 140 научных работ в области вычислительной механики, нелинейного тензорного анализа, термомеханики композитов, математического моделирования в материаловедении.

Yu.I. Dimitrienko (b.1962) graduated from the Lomonosov Moscow State University in 1984. D. Sc. (Phys.-Math.), professor, head of "Computational Mathematics and Mathematical Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Full member of the Russian Academy of Engineering Sciences. Author of more than 140 publications in the field of computational mechanics, nonlinear tensor analysis, thermomechanics of composite materials, mathematical simulation in science of materials.

Андрей Юрьевич Дзагания родился в 1980 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2003 г. Ассистент кафедры "Вычислительная математика и математическая физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда научных работ по численным методам решения динамических задач механики.

A.Yu. Dzaganiya (b. 1980) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2003. Assistant of "Computational Mathematics and Mathematical Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of some publications in the field of numerical methods of solving dynamical problems of mechanics.

Юлия Владимировна Беленовская родилась в 1980 г., окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2003 г. Аспирант кафедры "Вычислительная математика и математическая физика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда научных работ по математическому моделированию динамических процессов в твердых телах.

Yu.V. Belenovskaya (b. 1980) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2003. Post-graduate of "Computational Mathematics and Mathematical Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of some publications in the field of mathematical simulation of dynamical processes in rigid bodies.

Милана Владимировна Воронцова родилась в 1980 г., окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2003 г. Аспирант кафедры "Вычислительная математика и математическая физика" МГ-ТУ им. Н.Э. Баумана. Автор ряда научных работ по математическому моделированию быстропротекающих процессов в сплошных средах.

M.V. Vorontsova (b. 1980) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2003. Post-graduate of "Computational Mathematics and Mathematical Physics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of some publications in the field of mathematical simulation of fast-running processes in continuum.