Потенциал экономического равновесия

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 6. ЭКОНОМИКА. 2011. № 5

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

А.О. Вереникин1,

докт. экон. наук, профессор кафедры политической экономии экономического

ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова

ПОТЕНЦИАЛ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ

В статье проводятся аналогии между функциями полезности и производственными функциями, характеризующими потенциал экономических систем, с одной стороны, и потенциальными функциями в физике — с другой. Обосновывается возможность построения экономико-математической теории потенциала, подобной той, которая существует в математической физике. Рассматриваются направления развития теории общего равновесия при различных типах отдачи от масштаба, являющихся показателями потенциала хозяйственной системы.

Ключевые слова: векторное поле, потенциальная функция, экономический потенциал, проблема интегрируемости, отдача от масштаба, существование общего экономического равновесия.

The paper deals with analogy between utility and production functions which characterize economic potential on one hand and potential functions in physics on the other. Construction of potential theory in economics similar to that in mathematical physics proves to be useful and fruitful. Possible developments of general equilibrium theory under various returns to scale as indicators of economic potential are suggested and discussed.

Key words: vector field, potential function, economic potential, integrability problem, returns to scale, existence of general economic equilibrium.

Анализ потенциала равновесной экономической системы подразумевает два аспекта исследования. Первый аспект — это проработка основ для построения общей экономико-математической концепции потенциала, аналогичной той, которая уже сформировалась в математической физике2. Очевидно, что данное исследование должно опираться на существующие разработки в области трудового, ресурсного, инвестиционного, производственного, экономического и в широком смысле человеческого потенциала, но подходить к данной проблематике следует с более общих позиций, с единой методологией анализа потенциальных функций, присущих хозяйственным системам на микро- и макроэкономическом уровнях.

1 Вереникин Алексей Олегович, тел.: +7 (495) 939-33-03; e-mail: verenikin@econ.msu.ru

2 Armitage D.H., Gardiner S.J. Classical Potential Theory. L., 2001.

Второй аспект исследования — это изучение возможности существования индивидуального и общего экономического равновесия как при убывающей и постоянной, так и при возрастающей отдаче от масштабов производства. При этом анализ индивидуального равновесия должен быть ориентирован на оптимизационное моделирование функционирования отдельных хозяйствующих субъектов, прежде всего производителей в условиях различной отдачи от масштабов и доказательство существования либо отсутствия решений; а также исследование оптимальных характеристик хозяйственной деятельности в случае разрешимости соответствующих оптимизационных задач. Проводимый анализ предполагает видоизменение модели общего экономического равновесия Эрроу— Дебре—Маккензи3 применительно к ситуации невыпуклости совокупного технологического множества, которая имеет место при возрастающей отдаче от масштабов производства. Для того чтобы доказать возможность сбалансированного функционирования такой хозяйственной системы, требуется отойти от традиционного допущения о максимизации прибыли как целевой функции, характерной для каждого производителя, и анализировать хозяйственную деятельность в контексте более простых целевых функций: максимизации валового выпуска, валовой выручки или в более общем смысле — обобщающего целевого функционала (функции управленческой полезности) при наличии ограничений, в частности по доступным финансовым ресурсам, а также симметричных задач минимизации хозяйственных затрат при условии выхода на запланированный объем производственных мощностей либо заданный уровень функционала качества хозяйственной деятельности. Кроме того, возможно разделение процедуры максимизации прибыли на два этапа: поступление выручки и инвестирование полученных средств. Тем самым появляется возможность сведения максимизации прибыли к указанным выше оптимизационным задачам при наличии соответствующих ограничений (связей).

Между характеристиками физических и экономических систем существует определенное сходство, на которое обращали внимание многие ученые. В частности, Т. Купманс указывает на аналогию между свойствами потенциальных функций в физике, в теории электрических и гравитационных полей и функций полезности в экономике4. П. Самуэльсон указывает на наличие аналогии, хотя и непрямой, между физическими и экономическими характеристиками равновесных систем. Он анализирует хозяйственные сис-

3 Arrow K.J., Debreu G. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy // Econometrica. 1954. Vol. 22. N 3; McKenzie L. On Equilibrium in Graham's Model of World Trade and Other Competitive Systems // Econometrica. 1954. Vol. 22. N 2.

4 Koopmans T.C. Three Essays on the State of Economic Science. N.Y., 1957. P. 176.

темы в терминах потенциалов, рассматривая денежную выручку (соответственно в условиях совершенной конкуренции она будет представлять собой, с поправкой на постоянный множитель цены, производственную функцию) в качестве аналога внутренней энергии (один из видов потенциала) в физике5.

Развитие физико-математической теории потенциала имеет богатую историю и связано с именами таких выдающихся ученых, как Гаусс, Грин, Пуанкаре, Ляпунов, Стеклов6. Классическая теория потенциала имеет в своей основе проблемы, связанные с решением уравнений математической физики, т.е. с интегрированием дифференциальных уравнений в частных производных7. Современная трактовка данной теории представляет собой уже отдельное направление функционального анализа8.

В физике потенциал (Т) является интегральной характеристикой гравитационного, электрического или любого другого векторного поля (С): Т = -jCds. Поле подразумевает наличие в каждой точке

(ЭТ ЭТ ЭТЛ

пространства трехкомпонентного вектора С =- -,-,-

^ Эх Эу Эг

= -УТ, действующего на объект, помещенный в данную точку s = (х, у, z). Характеристики, аналогичные физическим полям, могут быть обнаружены и в социально-экономических системах. С этой целью взглянем на хозяйство как на единое целое.

В современном понимании ценностные пропорции, или количественные соотношения, возникающие между всеми видами благ в системе меновой стоимости, — это уже не просто обменные пропорции в экономике. Концепция меновой стоимости развивается в систему общего экономического равновесия, интегрировано включающую в себя количественное описание технологических, производственных процессов и вытекающих из них распределительных аспектов взаимодействия между факторами общественного воспро-

/

5 Samuelson P.A. Structure of a Minimum Equilibrium System // Essays in Economics and Rconometrics / Ed. by R.W. Pfouts. Chapel Hill, 1960. См. также: Самуэльсон П.А. Основания экономического анализа. СПб., 2002.

6 См.: Шраер М.Г. Методы А. Пуанкаре в теории потенциала // Ист.-матем. исследования. Вып. 18. 1973; Он же. Основные задачи теории потенциала в трудах В.А. Стеклова: Мат-лы науч.-теор. конф. Вып. 4. Брест, 1967. С. 6—9.

7 См.: Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.; Л., 1946; Гюн-тер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М., 1953.

8 См.: Брело М. Основы классической теории потенциала. М., 1964; Helms L.L. Introduction to Potential Theory. N.Y., 1969. Vol. 22; Уэрмер Дж. Теория потенциала. М., 1980; Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М., 1974; Lukes J., Maly J., Zajlcek L. Fine Topology Methods in Real Analysis and Potential Theory: Lecture Notes in Mathematics / Ed. by A. Dolb, B. Eckmann. Berlin, 1986. Vol. 1189.

изводства, а также отношения обмена и потребления. Общеэкономическая картина меновой стоимости, по сути, превращается в систему воспроизводственной стоимости, которая является отражением хозяйственной действительности в целом. Термин «меновая стоимость» нужно понимать уже не как форму проявления стоимости в процессах товарно-денежного обращения. Стоимость реализуется как меновая в процессе обмена трудовой деятельностью производителей в рамках системы общественного разделения труда, который в рыночной, товарной экономике является, как справедливо отмечал в «Капитале» К. Маркс при анализе феномена товарного фетишизма, «не непосредственно общественными отношениями самих лиц в их труде, а, напротив, вещными отношениями лиц и общественными отношениями вещей»9.

В процессе эволюции научного знания, подчиненного своим внутренним законам, становится очевидной справедливость методологического подхода к анализу категории собственности с фундаментальных позиций системного анализа экономических отношений присвоения. Собственность как особая интегральная категория охватывает совокупность производственных отношений и является ее эквивалентом10. Особенность данной категории заключается в том, что она конституирует производственные отношения в каждом исторически специфическом способе производства, а значит, и все описывающие их политико-экономические категории — в единую упорядоченную структуру11. С экономической точки зрения правомочия как в сокращенной триаде (владение, пользование, распоряжение), так и в расширенной неоинституциональной классификации — это не только и даже не столько права, связанные с исключением остальных участников воспроизводственного процесса из доступа к вещам, но прежде всего права по управлению этими объектами. Поэтому структура правомочий собственности, представляющих собой единство прав и обязанностей одних хозяйствующих субъектов перед другими, должна рассматриваться как совокупность экономических отношений собственности между участниками воспроизводственного процесса. Социально-экономические отношения собственности формируют своеобразное «поле собственности», а пучки правомочий получаются, если использовать физическую терминологию, путем «квантования» этого поля, пронизывающего весь комплекс воспроизводственных отношений. «Напряженность» поля

9 См.: Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 23. С. 83.

10 См.: Хубиев К.А. Собственность в системе производственных отношений. М., 1988; Черковец В.Н. О методологических принципах политической экономии как научной системы. М., 1965.

11 Вопросы политической экономии / Под ред. Н.А. Цаголова, Н.В. Хессина. М., 1960.

социального взаимодействия12 несет в себе потенциал экономического развития.

С одной стороны, структура отношений собственности проявляется через все многообразие производственных отношений. С другой — стоимостная основа общественного производства также реализуется в совокупности этих отношений. Их глубинная, фундаментальная двойственность состоит в том, что экономика воспроизводится как в структуре отношений собственности, так и в системе стоимостных взаимосвязей и взаимозависимостей. Поскольку «сами производственные отношения являются отношениями присвоения»13, экономическая система собственности выступает как совокупность отношений по поводу производства и присвоения стоимости. Воспроизводственная система меновой стоимости и структура прав собственности являются сторонами одной медали, они смыкаются и переплетаются между собой, представляя двойственное отражение экономической действительности, олицетворяя иерархически структурированную и упорядоченную совокупность отношений по поводу производства и присвоения хозяйственных благ. Диалектически перетекая одна в другую, они формируют разносторонность, многогранность и одновременно универсальную полноту описания экономической системы в целом.

В физике характеристики поля неразрывно связаны с понятием силы. Сила (/), действующая на данный объект, пропорциональна величине вектора поля в данной точке пространства. Связь между категориями поля и силы можно проследить и в социально-экономических системах. Хозяйственной действительности имманентны властные, силовые отношения между экономическими субъектами.

С точки зрения отношений собственности особое значение имеют характеристики пучка правомочий, сосредоточенного в руках каждого из субъектов производственных отношений. Именно структура, «композиция» и размеры данного кластера являются критичными для формирования властных отношений между экономическими агентами. Это по сути не что иное, как процессы концентрации и централизации, т.е. укрупнения масштаба хозяйственной деятельности, увеличения производственных мощностей и относительных размеров фирм либо объединения различных предприятий под управлением одного капитала. Важным источником волевых, властных проявлений выступает конфликт интересов, возникающий в связи с отделением собственности от управления и контроля в современной экономике.

12 См.: Лотман ЮМ. Семиосфера. СПб., 2000.

13 Хубиев К.А. Собственность в системе производственных отношений. С. 98.

Синтетически-диалектическим отражением определенной количественной концентрации прав собственности становится качественно иная роль их обладателя в системе производственных отношений — обретение им экономической власти14. Власть представляет собой качественный скачок в характеристиках деятельности экономических агентов, проявляющийся в их взаимоотношениях с другими участниками хозяйственного процесса при определенной концентрации прав собственности. Потенциал экономической власти возникает из асимметрии экономической роли субъектов воспроизводственного процесса и их способности в силу этого оказывать влияние на его ход и участников15. Проявления экономической власти являются обыденной, типичной практикой во взаимоотношениях как между индивидуумами, представляющими интересы различных хозяйствующих субъектов и одновременно являющимися носителями общественного потенциала, так и между физическими и юридическими лицами, а также на личностном уровне в трудовых коллективах и повседневных рыночных и бытовых ситуациях16. Неизбежность властных эффектов в политике, экономике и человеческом поведении вообще устанавливает общая теорема «О возможности» К.Дж. Эрроу17, о которой еще пойдет речь ниже.

На сферу воспроизводства общественного потенциала всецело распространяется принцип: «экономическая власть одних участников отношений собственности порождает экономическую зависимость других»18. Полюса господства и подчинения диалектически противостоят друг другу в системе производственных и волевых, надстроечных отношений19. В частности, системообразующими для института фирмы являются иерархические взаимоотношения

14 Российская экономическая наука: традиции и современность / Рук. авт. кол-ва А.А. Пороховский М., 1998. С. 29—30.

15 См.: Гэлбрейт Дж.К. Экономические теории и цели общества. М., 1976; Berle A.A.. Power without Property. N.Y., 1959; Simon H.A.. Models of Man. N.Y.; L., 1957.

16 Демократические принципы управления обществом, тесно связанные с конкуренцией в политическом и экономическом аспектах, подразумевают возможность и необходимость проявления силы как власти большинства над меньшинством (см.: Шумпетер Й.А. Капитализм, социализм и демократия. М., 1995). Авторитарные режимы лишь осуществляют инверсию политического порядка, когда меньшинство управляет большинством. Рассуждая о применимости принципа принятия решений на основе большинства к человечеству в целом как глобальному сообществу, Т. Оноре справедливо указывает на неравенство социальных групп, представляемых национальными государственными образованиями, обусловленное и обусловливающее многообразные властные проявления в мировом масштабе (Honoré T. Making Law Bind. Oxford, 1987. P. 227—240).

17 См.: Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. М., 2004.

18 Курс экономической теории / Под ред. А.В. Сидоровича. М., 1997. С. 466.

19 Commons J.R. Institutional Economics // Amer. Economic Rev. 1931. \fol. 21. N 4.

между управляющими и подотчетными им работниками-исполнителями. Конституирующую роль для института фирмы играет взаимозависимость интерспецифических факторов производства.

Как уже отмечалось выше, ценность каждого блага должна рассматриваться во взаимосвязи с другими продуктами и ресурсами, т.е. в системе благ; причем наиболее ярко объективный характер ценности и стоимости проявляется при соизмерении через специфический товар — деньги20. Деньги как всеобщая форма богатства и универсальный эквивалент, опосредуя перераспределение прав собственности, представляют собой концентрированное выражение и форму реализации экономической власти21.

Таким образом, отношения по поводу воспроизводства социально-экономического потенциала имеют властную природу. Человек — активный, деятельный субъект естественно-исторического эволюционного процесса. Стремление к намеченным целям для него связано с волевым усилием. Пассивная адаптация к жестким условиям зачастую враждебной внешней среды для него бесперспективна, даже опасна. Человеческая жизнедеятельность немыслима в отрыве от своего информационного контекста. Она обусловлена производством, накоплением, потреблением и воссозданием вновь информации. Но в знании — сила22. Приобретая в своем развитии информацию, знания, каждый индивидуум в отдельности и общество в целом получает возможность активно влиять на ход социально-экономического, воспроизводственного взаимодействия, энергично участвуя в формировании условий его внутренней и внешней среды.

Итак, собственность означает владение средствами и продуктами производства, властвование над объектами природы, что подразумевает частичное или полное исключение из доступа к ним других экономических агентов, а следовательно, силовой контекст воспроизводственных отношений.

20 Обсуждая различные аспекты понятия силы в экономической теории и практике, F.H. Knight приходит к выводу: «Категорию ценности можно рассматривать в качестве аналога силы применительно к человеческой деятельности; в бихевиористской трактовке она даже идентична силе» (Knight F.H. The Ethics of Competition and Other Essays. N.Y.; L., 1935. P. 225); «Сила, или потенциал, — это не просто неотъемлемое средство, но имманентное индивидууму и обществу благо, которое призваны сохранять и развивать соответствующие этические нормы. Именно в связи с силовыми отношениями между индивидуумами и группами возникают этические аспекты проблемы ценности» (Knight F.H., Merriam T.W. The Economic Order and Religion. L., 1947. P. 48).

21 См.: Хубиев К.А. Собственность и социальная структура общества в переходной экономике // Теория переходной экономики: макроэкономика. Т. 2. Гл. 2. М., 1998.

22 Еще Ф. Бэкон писал: «Знание и могущество человека совпадают, ибо незнание причины затрудняет действие <...> и то, что в созерцании представляется причиной, в действии представляется правилом» (Бэкон Ф. Соч. М., 1972. Т. 2. С. 12).

К построению экономико-математической теории потенциала по аналогии с математической физикой подталкивает тот факт, что классическая физическая теория потенциала, по сути, строится на базе экономических принципов. В частности, лежащие в ее основе ньютоновские уравнения динамики могут быть выведены исходя из принципа наименьшего действия, или вариационного принципа Гамильтона.

Каждая механическая система может быть охарактеризована некоторым интегральным функционалом качества — так называемым

действием, или кинетическим потенциалом23 S = 1 L (t, q, q) dt,

Jt0

где q = (qj, q2, ..., qs) — обобщенные координаты (т.е. любые s величин, вполне характеризующие положение системы (с s степенями свободы)), а q = (qj, q2, ..., q) — обобщенные скорости; которая (система) в начальный и конечный моменты времени t = t0 и t = tj занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q (t0) = q0 и q (tj) = qj. Согласно принципу наименьшего действия между этими положениями, система движется таким образом, чтобы интеграл S имел наименьшее возможное значение24, т.е. должен достигаться

t

min

t0

при граничных условиях q (t0) = q0, q (tj) = qj.

Перед нами простейшая задача классического вариационного исчисления. Проварьируем функционал S некоторой функцией h е Cj [t0, tj], такой, что h(t0) = h(tj) = 0:

iin J"L (t, q, q) dt

(k) = JkL (t, q + ХИ (t), q + ХИ (t)) dt,

а

t0

где X е R. Если функция q имеет минимум в данной задаче вариационного исчисления, то функция о (X) имеет минимум при X = 0, значит, по теореме Ферма, вариация интегрального функционала

должна аннулироваться25:

23 В терминологии Г. Гельмгольца (см.: Гельмгольц Г. О физическом значении принципа наименьшего действия // Вариационные принципы механики. М., 1959).

24 Развивая рассуждения П. де Мопертюи, Л. Эйлер пишет: «...замыслом Природы является по возможности наибольшая экономия на сумме усилий.» (Эйлер Л. Соответствие между общими принципами покоя и движения Мопертюи // Вариационные принципы механики. С. 81). Рассуждая о роли естествоиспытателей и значении естествознания «в утверждении жизни на земле», Н.А. Умов продолжает мысль Л. Эйлера: «В человеке, как во всем живом и мертвом в природе, все процессы происходят с соблюдением возможной экономии сил и материала» (Умов Н.А. Собр. соч. Т. 3. М., 1916).

25 Возможность дифференцировать под зна.ком интеграла при определении вариации (6) обусловлена тем, что L(t, q + М^), q + и дL/дX непрерывны в некотором прямоугольнике t1] х [-Х0, Х1].

гк Г dL , dL = I I — h + —у ™ 1=0 'o ^ dq Преобразуем вариацию 5S, интегрируя ее второй член по частям:

Г4 dL

+

dL

!-

dq

= Ik—hdt- Ihh

Jto dq Jto dt dq

dL , dt +

dL

!-

dq

= o.

В силу граничных условий, накладываемых на функцию h, последнее слагаемое обращается в нуль. Следовательно, вариация

принимает вид

: 5S = f

t

= 0.

к дЬ й дЬ к> yдq йк дс/ у

Гк

По лемме Лагранжа, если I И (к)у (к) йк = 0 при произвольной

непрерывно дифференцируемой функции h (t), то у (0 тождественно равняется нулю. Действительно26

если это не так, то, положив,

например, h (0 > 0 при t е [а, Ь] с [t0, t1], получим, что в общем случае I И (к)у (к)й 0. Таким образом, необходимое условие экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления представлено векторным уравнением Эйлера27:

d dL dL п

---+ — = 0.

dt dq dq

В качестве отправной точки анализа механической системы можно предположить, что время однородно, т.е. уравнения динамики инвариантны относительно сдвига по времени: если траектория х (I) удовлетворяет уравнению Эйлера (2), то и траектория x (I + s) при произвольной величине s е Я будет их решением. Таким образом, будем исходить из классического предположения, что систе-

26 См.: Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. М., 2000. С. 146.

27 Рассмотрев две функции Лагранжа L'

L' (t, q, q) = L(t, q, q) + d f(t, q), можно увидеть, что вычисленные с помощью этих функций интегралы (1) связаны соотношением S' = f \х L' (t, q, q) dt = f \xL (t, q, q) dt + f \x f dt = S + f (q(tj), tj) -

- f (q (t0), t0), т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезающим при варьировании действия, так что условие SS' = 0 совпадает с условием SS = 0, и вид уравнений движения остается неизменным. Таким образом, функция Лагран-жа определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.

ма отсчета является инерциальной, в которой выполняется принцип относительности Галилея: все законы механики одинаковы во всем бесконечном множестве систем отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно28. Однородность времени означает, что функция Лагранжа не может содержать явным образом времени I:

L = L

Для системы материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами, т.е. для замкнутой системы, функция Лагранжа может быть представлена как разность двух величин, первая из которых характеризует движение н.евзаимодействующих частиц и зависит только от их скоростей (д), а вторая представляет собой функцию взаимодействия между ними, зависящую лишь от координат (д):

L = Т

Т (д) называется кинетической энергией системы, а и(д) — это ее потенциальная энергия, характеризующая способность системы совершать работу29.

Можно показать, что кинетическая энергия, а значит, и лагранжиан представляет собой линейную зависимость от квадрата ско-рости30. Поэтому в декартовых координатах функция Лагранжа будет выглядеть так:

28 См.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. М., 1988. Т. 1. С. 13—15.

29 В декартовой системе координат функция Лагранжа (4) будет выглядеть так:

L = Т

где - — радиус-вектор г'-й точки, — ее скорость.

30 В силу изотропии пространства, которая означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте ее в пространстве, функция Лагранжа (I) не может зависеть от направления вектора V, так что является функцией лишь от его абсолютной величины, т.е. от квадрата V2 = V2:

L = L(u2).

Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К с бесконечно малой скоростью е: V = V + е, то соотношение между функциями Лагранжа, соответствующими данным системам отсчета, будет таким: и = L (V2) = L (V2 + 2«е + е2), или в покоординатной записи: L = L (V2 + + 2 «1е + е2, V2 + 2«2е + е2, ..., «2 +2«5е + е2). Разложим это выражение в ряд Тейлора

по степеням е: I (V'2) = I (V, V,..., V2) + + тт2а, + ... + ^Lг2и ) е+о (е2).

12 • Эи2 1 ди2 2 ди2 •'

Для того чтобы принцип относительности Галилея выполнялся, L' должна отличаться от L только на полную производную некоторой функции/(см. сноску 23), т.е. должно выполняться равенство:

§ = ^ + -дL2-2v +... + дLг2и = -^-2 £ + ^2 + ... + ^2 д

д* Эц2 1 ди2 2 ди? • дц2 & Эи2 д' д'

а значит, (г' = 1, ..., 5) не могут зависеть от скорости (см.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. ди2

Теоретическая физика. С. 18):

L =E

m v

,-H--U

Уравнение Эйлера с учетом (5) задает уравнение Ньютона: miai = F,

d v, dU

где at =- — ускорение i-й частицы, F. =--— сила, действу-

dt ' dr

ющая на нее31, i = 1, ..., s. Таким образом, закон Ньютона вытекает из принципа наименьшего действия. Верной является и обратная логическая цепочка: постулируя законы Ньютона, можно прийти к вариационному принципу Гамильтона32.

Закон сохранения энергии является одним из важнейших аддитивных интегралов движения, т.е. таких функций 2s величин qi и qi (i = 1, ..., s), определяющих состояние механической системы, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий33. Его величина для систем, состоящих из частей, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало, представляет сумму значений каждой из частей в отдельности. Этот закон сохранения связан с однородностью времени, в силу которой лагранжиан замкнутой системы в явном виде от него не зависит (3). Значит, в полной производной лагранжиана по вре-

« dL

мени будет отсутствовать слагаемое — :

dt

dL v"1 dL . v"1 dL ..

"э7, ^, w^1.

2 = m = const ,2 -^ = m = const,..., 2 = m = const .

dvf 1 1 dv2 2 2 dv_2 s s

Интегрируя систему из s дифференциальных уравнений в частных производных (III), получаем однородную квадратичную зависимость функции Лагранжа от скоростей частиц, составляющих механическую систему:

L = Zmf + С.

Постоянные mi называются массами частиц с номерами i = 1, ..., s. Пренебрежение бесконечно малыми высших порядков o (е2) в равенстве (II) вносит незначительные погрешности в их вычисление.

Разумно предположить, что константа по отношению к скорости C представляет собой функцию взаимного расположения частиц -U (rx, r 2, ...), где rt — радиус-вектор i-й точки. Таким образом, кинетическая энергия системы может быть записана следующим образом:

Em, v2

,-Т".

а лагранжиан системы имеет вид (5).

31 Здесь предполагается, что поле сил, действующих на каждую частицу механической системы, является консервативным, т.е. что сила может быть получена дифференцированием некоторой потенциальной функции U.

32 См.: ТерХаарД. Основы гамильтоновой механики. М., 1974.

33 См.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. С. 24—25.

Заменяя производные согласно уравнению Эйлера (2) на

а дь дъ

--, получим:

аг дд ,

аь ^ . а дь ^ дь .. ^ а

V И /

или

аг

дь

дд г

ь

= 0.

Таким образом, функция, дифференцируемая по времени в соотношении (8),

и V • дь

Н =1, ?г- дГ" '

дД г

ь

остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. является одним из ее интегралов движения. Она называется функцией Гамильтона, или энергией системы34.

Закон сохранения энергии вытекает из знаменитой теоремы Нетер, согласно которой любому непрерывному обратимому преобразованию координат, оставляющему инвариантной функцию действия35 данной гамильтоновой системы, соответствует первый интеграл уравнений Эйлера этой системы36. Другими словами, каждой симметрии соответствует сохранение некоторой физической величины37. Из теоремы Нетер можно получить в том числе закон сохранения импульса, связанный с однородностью пространства,

34 Поскольку кинетическая энергия является однородной квадратичной функцией скоростей (IV), к ней можно применить теорему Эйлера:

2Т =Е,<?,-дт = 1,д,дт-

Здесь было использовано то, что лагранжиан замкнутой (или находящейся в постоянном поле) системы представлен в виде разности кинетической и потенциальной энергии, причем последняя не зависит от скорости. Подставляя (V) в (9), получаем, что энергия системы может быть представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей, и потенциальной энергии, зависящей только от координат частиц: Н = Т (#) + и (#),

или в декартовых координатах: Н

35 Инвариантность функции действия является отражением инвариантных свойства лагранжиана. Примером может служить отсутствие явной зависимости функции Лагранжа от времени (3) как следствие его однородности.

36 См.: Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики: Сб. ст. М., 1959. С. 613—614.

37 См.: Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании. М., 2003. С. 72—73.

+ и

и закон сохранения момента импульса, связанный с изотропией пространства38.

При наличии связей между переменными вида

Г / (к, Ч, Ч) Ж + ¡. (к0, < (к0),, < )) = 0, Ч. - ф. (к, <) = 0,

«о

] = 1, ..., Л,

исследуется уже не простейшая задача классического вариационного исчисления, а задача Лагранжа, в которой в целевом функционале так же, как и в ограничениях, присутствует терминальное слагаемое:

^ = 1 /о(к, Ч, Ч) ^ + ¡о(ко, Ч(ко), к, ч(^)).

Методом неопределенных множителей Лагранжа (А,, ^ (к)) задача на условный экстремум

тш{[4/о(к, Ч, Ч) Ж + ¡о(ко, Ч(ко), к, Ч(к))}:

Г 4

I /(к, Ч, Ч) Ж + ¡.(ко, Ч(ко), ^, Ч(к)) = 0, Ч. -Ф.(к, Ч) = 0, . = 1 ,..., к

сводится к задаче на безусловный экстремум нового интегрального функционала

Л = |^ (к, ч, Ч) Ж +1 (к0, Ч (к0), «1, Ч (^)), где лагранжиан принимает вид:

£ =^ ¿, ¿1) = Ек=0А/(к, ¿, ¿1) + Е'=0Р.(к) (Ч. -Ф.(к, Чэх

а терминальное слагаемое выглядит так:

I(к0, Ч (ко), к1, Ч (к1)) = Х.=оА(к0, Ч(ко), ^, Ч (к1)).

При этом уравнение Эйлера (2) остается в силе39, но уже относится к лагранжиану X (к, д, 4). Действительно, функция о (А) =

38 См.: Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. 2-е изд. М., 2005; Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1.

39 Взяв И (к0) = И (к1) = 0 и проведя преобразование (1), в силу леммы Лагранжа, получаем, что уравнение Эйлера (2) является необходимым условием минимума в данной обобщенной задаче вариационного исчисления. Преобразуем теперь вариацию (11), интегрируя второй член по частям:

5л=*л (дч - Ш)*+(к(ко)+эЧ(Ь)л (ко)+(к1)+аЧУА (к1)= = ( ко) +эЧ(Ь) А ( ко) + ("И ( к1) + ^) А ( к1 ) = 0'

Г4

= 1 ь (г, д + Хк(г),д + Хк(г))аг + / (г0, д) + Хк), Х, д(г1) + Хк(г1)),

Г

где к е С1 [0, ?1], имеет минимум при Х = 0, значит, по теореме Ферма,

5Л=— " '

дХ

г4(дь дь Л д/ , . . д/ , . . „

=! кк аг+ к

х=о хо [дд дд ) дд Ю дд (0

Поскольку определяемые на основе уравнения Эйлера (2) уравнения движения 5 частиц связаны соотношениями (10), число степеней свободы системы понижается. Таким образом, наличие в системе кинематических связей или ограничений на взаимоотношение между анализируемыми объектами фактически понижает размерность вариационной задачи, сводя ее к отысканию уравнений движения системы с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы. Выполнение уравнения Эйлера (2) при однородности времени (3) сохраняет справедливыми рассуждения (6)—(8), что обеспечивает сохранение энергии (9), поскольку интеграл уравнения (8) будет существовать.

Уравнения движения можно записать в иной, отличной от эйлеровой (2) форме. Для этого следует варьировать не лагранжиан (4), а гамильтониан Н (д, д) (9). Пусть

а (Х) = Н (д (г) + Хк (г), д (г) + Хк (г) =

д

= 1 (Чг(г) + ХЬ(г))—ь (д(г) + Хк(г), д(г) + Хк(х))-дд ,

ь (д,(г) + Хк(г),„, дх(г) + Хк(г), ) + Хк(г), „, ^^(г) + Хк(г)) Тогда

5н ^ дХ

дн , дн дн _ дн _

=-к +--к =-од +--од =

Х=о дд дд дд дд

Ед дь , х-1 дь , х-1 дь - ^ д дь / х-1 дь -д .-к - 1-к + 1 -к + 1 д,-к - 1 -к =

г дд,д^г г ^ г г г дд,

Ед дь , х-1 дь , х-1 . д дь 1, к к + 1

ддгддг г ддг г г д^г'д^г'

При этом было использовано уравнение Эйлера (2). Полагая теперь в последнем равенстве к (1) = 1 - приходим к первому из условий трансверсальности:

дь (, ) = д/

дд (Хо) = дд(

Если же взять к (1) = 1 - 10, то результатом становится второе условие:

дь (. ) = д/

дд

Здесь был использован тот факт, что

54=ж

А=0

(ч (к) + Ак (к)) = к, 54 = —

оА

(4 (к) + Ак (к)) = к.

А=0

Используя уравнение Эйлера (2), предпоследнюю сумму в вариации 5Н можно заменить на Е Ж Ь '

5Н = Е 4,

г

= Е 4

ЭЭЬ

-у

Эч, Э^,. ЭЭЬ

-Е

+

' Жк

Ж ЭЬ , к

Жк д¿¡i ддЬ -

\д4,дЧ , ,.э<<.

+Е <

г

Е

ЭЭЬ / ЭЬ ,

/ / / у

Жк Э<< ,

Слагаемые в скобках в данном выражении представляют собой дЬ

вариацию-:

дЧ,

ГдЬЛ

дЧ. о п

5Н =-Е

дч1 э^,

+

д дЬ

V а /

Поэтому его можно переписать в следующем виде:

'ЭЬ ^ ^ .АдО

ёк

дЧ, д< ед

дЧ , +Е,4 ,5

Чтобы выражение в правой части представляло собой вариацию

5Н =Е ~~5< + Е ~~54, должны выполняться соотношения: Эч , д<,

дЬ_ Жк Э<4 ,.

дН

Эч, :

дН д ( £ ).

дЬ

Использование обобщенных импульсов pi =- в качестве но-

дч

вых переменных позволяет записать данные уравнения в симметричном виде:

дН дН

Р = , ¿1' =~Г~.

Эч, Эр

Это так называемые канонические уравнения движения, или уравнения Гамильтона. Таким образом, характеристики механической системы могут быть определены исходя из того что ее динамика подчиняется принципу наименьшей энергии.

Итак, в физике интегральной мерой силы выступает потенциальная энергия:

и = -[^,т.е. Г = -

гди_ ди эил

Эх ду ' Эг

= -уи.

Производственные функции (0) и функции хозяйственных (потребительских и управленческих) предпочтений (Ц) можно трактовать в качестве экономических аналогов потенциальной энергии40. При этом градиенты данных функций — векторы предель-

ных полезностей и предельных продуктов

'эе эеЛ

Уи =

уе=

Эх,

и

дх,

ди

— с точностью до знака могут рассматривать-

М Эхп )

ся как аналоги силовой функции. Они демонстрируют влияние, которое оказывает на качественные и количественные характеристики микроэкономической системы изменение затрат факторов хозяйственной деятельности — продуктов и ресурсов. В пространстве Я х Xмножество

ор1%г = {(д, х) е ЯхX | /(х)д}

называется подграфиком, или технологическим множеством, функции /: X ^ Я. Здесь X — это подмножество пространства действительных чисел произвольного конечного числа измерений, Я — вещественная прямая. Технологическое множество — это совокупность допустимых технологических способов организации производства данной продукции. В случае однопродуктового предприятия оно представляет собой множество точек, лежащих под графиком производственной функции и на нем (рис. 1,2).

Производственная функция отражает максимально возможный объем выпуска продукции при использовании различных комбинаций факторов хозяйственной деятельности. График производственной функции, т.е. множество = {(п, х) е ЯхX|п = =/(х)} в пространстве Я х X, представляет собой границу технологического множества (12).

Чем выше отдача от масштаба используемой технологии, тем большим потенциалом обладает соответствующее предприятие. Для предприятия с возрастающей отдачей от масштаба

Рис. 1. Функция с убывающей отдачей от масштаба

40 Здесь мы разделяем точку зрения Т. Купманса и П. Самуэльсона.

увеличение затрат факторов в определенной пропорции даст более значительный прирост выпуска, нежели при отрицательном эффекте масштаба. Технологическое множество при возрастающей отдаче от масштаба (рис. 2) может включать в себя в качестве подмножества подгра-фик (12) некоторой аналогичной по типу производственной функции с отрицательным эффектом масштаба (рис. 1). Обратное утверждение будет неверным. Если при одинаковом увеличении затрат факторов предприятие с возрастающей отдачей от масштаба нарастит выпуск на столько же, как и то, которое обладает убывающей отдачей, то для первого это будет означать неполное использование его производственных мощностей, хозяйственного потенциала организации. В частности, квазивогнутые производственные функции представляют собой обобщение вогнутых зависимостей, допуская как убывающую (при работе не на полную мощность), так и возрастающую отдачу от масштаба (при полном использовании потенциала предприятия).

Таким образом, производственная функция является показателем технологических возможностей предприятия, его максимальных мощностей, т.е. потенциала данной микроэкономической системы (рис. 1, 2). Свойства производственных функций аналогичны характеристикам функций полезности с той лишь разницей, что первые являются числовыми (кардиналистскими), а вторые, как правило, — порядковыми (ординалистскими) зависимостями41. И те и другие могут рассматриваться как формы общего функционала качества хозяйственной деятельности. Последний будет представлять собой обобщение отдельных, частных мотивов целеполагания и видов хозяйственных (потребительских, управленческих) предпочтений. При этом возникает полноценная аналогия функционала предпочтений при создании хозяйственного потенциала в процессах потребления и реализации его на производстве.

В случае функционирования предприятия на единственном продуктовом рынке или, другими словами, для однопродуктовой фирмы подобный функционал качества редуцируется к объему ее

41 Эквивалентность между ними устанавливает теорема Дж. Дебре, о которой еще пойдет речь ниже.

Рис. 2. Функция с возрастающей отдачей от масштаба

производства в натуральном, физическом выражении, т.е. к производственной функции. При параметрическом характере цен эквивалентной объему выпуска формой производственного функционала качества является валовой доход многопрофильной фирмы. Объемы валового выпуска или дохода предприятия служат лишь частными случаями интегрального функционала качества его хозяйственной деятельности. Их использование в модельных постановках задач оптимизации производства оправдано лишь постольку, поскольку они сохраняют основные, существенные свойства последнего, позволяя получать и исследовать на качественном уровне принципиально идентичные по своим свойствам решения. Систематизация свойств данных потенциальных функций призвана стать основой для разработки целостной экономико-математической концепции потенциала.

Потенциал поля пропорционален потенциальной энергии объекта в данной точке пространства. Потенциал связан с понятием работы, совершаемой силами, действующими на объект, помещенный в данное поле. В частности, работа, совершаемая электрическим полем, равна произведению величины заряда на разность потенциалов в различных точках поля, т.е. на его напряжение42.

Физическая теория потенциала исследует вопросы, связанные с существованием интегральной характеристики произвольных векторных полей и с ее свойствами. Такую потенциальную функцию можно получить путем интегрирования соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных, прежде всего уравнения Лапласа43 — простейшего однородного эллиптического уравнения:

д2 и д2 и д2 и

Ди = + + =

дх2 ду2 dz2

д2 д2 д2

где Д = —- +--- +--- — дифференциальный оператор Лапласа44.

дх ду дz

42 См.: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М., 1967. Т. 1. С. 254—258.

43 Функция, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической. Теория потенциала теснейшим образом связана с теорией гармонических и субгармонических функций. Субгармонические функции одной переменной представляют собой выпуклые функции (Armitage D.H., Gardiner S.J. Classical Potential Theory. P. 72—75). Здесь необходимо отметить, что выпуклые с поправкой на знак, т.е. вогнутые, функции (рис. 2) представляют собой важнейший инструментарий экономического анализа. 2

44 Особенностью уравнения Лапласа на плоскости Ди = —г + -^г = 0 является

дх ду2

то, что ему удовлетворяют действительные и мнимые части любой аналитической функции комплексного переменного f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Поскольку для любой аналитической функции комплексного переменного выполняются условия Коши—Римана Ju -= 0, Jxr + ^7 = 0 , продифференцировав первое из них по x,

В качестве аналога интегрирования уравнений математической физики при вычислении потенциала системы в микроэкономике выступает так называемая «проблема интегрируемости». Она состоит в восстановлении косвенной функции полезности по известным функциям компенсированного спроса (хh) с использо-

дЕ

ванием леммы Шепарда: -xh, где E — расходы потребителя,

дР,

pi — цена /-го товара, i = 1, ..., n.

Лемма Шепарда задает систему дифференциальных уравнений в частных производных, которая может быть проинтегрирована, т.е. будет иметь решение в том случае, если матрица Слуцкого частных производных функций компенсированного спроса по це-

~дх* 1

нам товаров —— , i, j = 1, ..., n, является симметричной45.

LdP J

В физике потенциал гравитационного поля в некоторой его точке равен сумме потенциалов отдельных масс46. По аналогии с этим применительно к экономической теории можно, во-первых, утверждать о том, что существует как индивидуальный, так и общественный потенциал. Если отражением индивидуального потенциала будет служить функция полезности индивидуума либо производственная функция хозяйственного коллектива, то социальный потенциал может быть представлен функцией общественного благосостояния либо макроэкономической производственной функцией как характеристиками хозяйственной системы в целом, «социальной технологии»47. Во-вторых, аналогичная физике проблематика касается существования и построения функции общественного благосостояния на основе индивидуальных функций полезности. В частности, широко известна индивидуалистическая функция общественного благосостояния Бергсона—Самуэльсона, рассматривающая его как функционал на множестве индивидуальных предпочтений. Ее частным случаем является аддитивная утилитаристская функция социального благосостояния Й. Бентама, которая рассматривает общественное благосостояние как простую

а второе — по у и сложив, получаем уравнение Аы = 0. Дифференцируя первое из условий Коши—Римана наоборот по у, а второе — по x и складывая полученные выражения, получаем уравнение Av = 0 (см.: Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике. 2-е изд. М., 2004. С. 34).

45 Обобщенное условие интегрируемости, или симметрии, было сформулировано Дж. Хиксом в работе «A Revision of Demand Theory» (Oxford, 1956. P. 126) (цит. по: Samuelson P.A. Structure of a Minimum Equilibrium System).

46 См.: Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. С. 255.

47 См.: Эггертссон Т. Экономическое поведение и институты. М., 2001.

сумму индивидуальных функций полезности. Снимая предположение о непрерывности предпочтений, функция общественного благосостояния К. Эрроу является обобщением построений Берг-сона—Самуэльсона. Теорема «о возможности» К. Эрроу утверждает, что функция общественного благосостояния, удовлетворяющая при предпосылке о связности и рефлексивности предпочтений условиям рациональности, положительной связи индивидуальных и коллективных оценок и независимости от посторонних альтернатив, должна быть либо навязанной, либо диктаторской48.

Следует отметить, что в математической физике существует развитая теория равновесного потенциала, важный этап в становлении которой связан с работой О. Фростмана49. Понятия равновесного и неравновесного потенциалов используются и в экономической теории50. На наш взгляд, использование богатого инструментария, накопленного физической теорией потенциала, адекватных физико-математических аналогий может быть продуктивным с точки зрения моделирования хозяйственных процессов, открывая широкий простор для дальнейшего развития экономической теории.

Воспроизводство социально-экономического потенциала — совокупности созидательных способностей индивидуума и общества — пронизывает всю структуру общественных взаимоотношений и формирует поле социального взаимодействия. В связи с этим проблемы, связанные со сбалансированным функционированием отдельных хозяйствующих субъектов, теснейшим образом переплетаются с концептуальными вопросами общего экономического равновесия.

48 Поэтому в отечественной литературе данное утверждение получило название «теоремы невозможности» полностью демократического общественного выбора. Хотя если его предметом являются лишь два возможных социальных состояния, то демократическая функция общественного благосостояния, по К. Эрроу, может быть реализована правилом большинства голосов (см.: Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. М., 2004).

49 Frostman O. Potentiel D'équilibre et Capacité des Ensembles avec Quelques Applications à la Théorie des Fonctions // Meddelanden Frân Lunds Universitet Matematiska Seminarium. 1935. \fol. 3. В работе О. Фростмана «применяются вариационные методы к доказательству существования решения задач равновесия и выметания для произвольных компактов евклидова пространства» (цит. по: Ландкофф Н.С. Основы современной теории потенциала. М., 1966. С. 6—7).

50 Samuelson P.A. Structure of a Minimum Equilibrium System. А.Д. Смирнов в качестве аналога потенциальной энергии использует функцию степени конкуренции, отражающую рассогласование между агрегированным спросом и предложением, градиент которой дает силу, воздействующую на макроэкономическую систему при отклонении ее от состояния равновесия. С данной точки зрения существование соответствующего интеграла будет характеризовать потенциал экономической системы (см.: Смирнов А.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию. М., 2000. С. 161—162).

Со времен А. Смита, поднявшего вопрос о «естественной цене»51, политическая экономия придает фундаментальное значение проблеме общественно-необходимой, объективно обусловленной системы ценообразования. В современной постановке — это вопрос о равновесных ценовых пропорциях в экономике. Реализация социально-экономического потенциала формирует динамичный, стремительно меняющийся облик хозяйственной среды, оказывая определяющее воздействие на скорость и направленность трансформационных процессов. Но для того чтобы анализировать неравновесные состояния, присутствующие в хозяйственной практике, нужно прежде всего выяснить, что же представляет из себя само равновесие, рассматриваемое в качестве эталона52. Только установив условия его существования, можно понять, почему именно и в какой мере существующая экономическая система является неравновесной.

Модель общего экономического равновесия вальрасова типа достаточно полно разработана применительно к условиям невозрас-тающей отдачи от масштаба производства, которым соответствует выпуклость технологических множеств. Но с момента выхода в свет классической для теории общего равновесия работы К. Эрроу и Дж. Дебре и вплоть до настоящего времени продолжаются исследования, нацеленные на распространение теории общего равновесия на случай возрастающей отдачи от масштаба и соответствующее ослабление гипотезы выпуклости технологических множеств.

Первым важным результатом здесь стала теорема Х. Удзавы, позволившая снять требование выпуклости относительно индивидуальных технологических множеств отдельных производителей и оставившая его в отношении совокупного технологического множества экономики в целом53. Трудность в дальнейшем продвижении в данном направлении исследований заключалась при отсутствии адекватного теоретико-множественного аппарата, который позволил бы описать технологию с возрастающей отдачей от масштаба. Важным шагом вперед явилась работа «Оптимальность по Парето в невыпуклых экономиках» Р. Гуснери54, который, опира-

51 См.: Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов. М., 1962.

52 Для концепции общего экономического равновесия важна мысль, которую высказал F.H. Knight: «При описании действия любой силы существует практическая необходимость в установлении конечного его результата, того состояния, при котором оно прекращается. Иное описание будет лишь приблизительным и неполным. Полноценный логический метод состоит в определении общей направленности и нацеленности рассматриваемой тенденции.» (Knight F.H. The Ethics of Competition and Other Essays. P. 188).

53 См.: НикайдоХ. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., 1972.

54 Gusnerie R. Pareto Optimality in Non-Convex Rconomies // Econometrica. 1975. Vol. 43. N 1.

ясь на разработки А.Я. Дубовицкого и А.А. Милютина55, отказался от предпосылки выпуклости технологических множеств и оставил ее лишь в отношении их локальных аппроксимаций. Это позволило снять ограничительные предпосылки дифференцируемости анализируемых функциональных зависимостей, которые использовались в предшествующих работах, рассматривавших принцип ценообразования по предельным издержкам в условиях возрастающей отдачи от масштаба производства. В последовавшей работе П. Беато «Существование равновесия при ценообразовании по предельным издержкам в условиях возрастающей отдачи»56 была сформулирована и доказана, правда при достаточно ограничительных допущениях, теорема существования общего экономического равновесия в ситуации выпуклости локальных аппроксимаций технологических множеств.

Несмотря на несомненное продвижение в исследованиях, ряд вопросов здесь остается открытыми. Постулируя полунепрерывность сверху косвенного точечно-множественного отображения предложения, П. Беато оставляет доказательство этого свойства за рамками работы. Детальное описание функционирования индивидуальных производителей и анализ соответствующих модельных задач связанной оптимизации, который отсутствует в работе П. Беато, в частности обоснование разрешимости задач типа минимизации затрат при ограничениях по мощностям для случая непрерывных квазивогнутых потенциальных функций, а также непрерывной зависимости решений (функций спроса предприятия на ресурсы) от параметров задач — цен на факторы производства и издержек (для случая строго квазивогнутых производственных функций) позволяет доказать непрерывность соответствующей функции предложения.

Далее, анализ процедур условной минимизации затрат должен сопровождаться исследованием соответствующих симметричных, двойственных задач связанной максимизации выпуска и выручки. По сравнению с разработками Р. Гуснери и П. Беато, для модели экономической системы в такой постановке характерна большая степень детализации.

Наконец, работа П. Беато оставляет в качестве одного из направлений дальнейших исследований анализ соотношения между выпуклостью локальных аппроксимаций технологических множеств и возрастающей отдачей от масштаба производства. Помимо этого современные работы делают акцент на равновесии товарных рынков, оставляя за рамками исследования сбалансированность в секторе

55 См.: Дубовицкий А., Милютин А. Экстремальные задачи при наличии ограничений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. № 5.

56 Beato P. The Existence of Marginal Cost Pricing Equilibria with Increasing Returns // Quarterly J. of Economics. 1982. Vol. 97. N 4.

услуг, для которых процессы производства и потребления совпадают в пространстве и во времени, а значит, балансовое равенство между потреблением, производством и запасами должно быть видоизменено.

Итак, исследование потенциала экономического равновесия призвано дополнить и развить существующие разработки теории общего равновесия при различных типах отдачи от масштаба, свойственных технологическим множествам и соответствующим производственным функциям. Оно позволит объединить модели Эрроу— Дебре—Маккензи и модели хозяйственных систем с возрастающей отдачей от масштаба производства в единую концепцию общего равновесия при различных свойствах функций, характеризующих экономический потенциал

Список литературы

Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. 2-е изд. М., 2005.

Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании. М., 2003.

Брело М. Основы классической теории потенциала. М., 1964.

Брело М. О топологиях и границах в теории потенциала. М., 1974.

Бэкон Ф. Соч. Т. 2. М., 1972.

Вопросы политической экономии / Под ред. Н.А. Цаголова, Н.В. Хес-сина. М., 1960.

Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. М., 2000.

Гельмгольц Г. О физическом значении принципа наименьшего действия // Вариационные принципы механики: Сб. ст. М., 1959.

Гэлбрейт Дж.К. Экономические теории и цели общества. М., 1976.

Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М., 1953.

Дубовицкий А., Милютин А. Экстремальные задачи при наличии ограничений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. № 5.

Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Уравнения с частными производными и математические модели в экономике. 2-е изд. М., 2004.

Курс экономической теории / Под ред. А.В. Сидоровича. М., 1997.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. М., 1988.

Ландкофф Н.С. Основы современной теории потенциала. М., 1966.

Лотман Ю.М. Семиосфера. СПб., 2000.

Маркс К., Энгельс Ф. Соч. 2-е изд. Т. 23.

Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики. М., 1959.

Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., 1972.

Российская экономическая наука: традиции и современность / Рук. авт. кол-ва А.А. Пороховский. М., 1998.

Самуэльсон П.А. Основания экономического анализа. СПб., 2002.

СмирновА.Д. Лекции по макроэкономическому моделированию. М., 2000.

Смит А. Исследование о природе и причинах богатства народов. М., 1962.

СретенскийЛ.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.; Л., 1946. Тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. М., 1974. Умов Н.А. Собр. соч. Т. 3. Речи и статьи общего содержания. М., 1916. Уэрмер Дж. Теория потенциала. М., 1980.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1. М., 1967.

Хубиев К.А. Собственность в системе производственных отношений. М., 1988.

Хубиев К.А. Собственность и социальная структура общества в переходной экономике // Теория переходной экономики: макроэкономика. Т. 2. Гл. 2. М., 1998.

Черковец В.Н. О методологических принципах политической экономии как научной системы. М., 1965.

Шраер М.Г. Методы А. Пуанкаре в теории потенциала // Ист.-матем. исследования. Вып. 18. 1973.

Шраер М.Г. Основные задачи теории потенциала в трудах В.А. Стеклова: Мат-лы науч.-теор. конф. Вып. 4. Брест, 1967.

Шумпетер Й.А. Капитализм, социализм и демократия. М., 1995. Эггертссон Т. Экономическое поведение и институты. М., 2001. Эйлер Л. Соответствие между общими принципами покоя и движения Мопертюи // Вариационные принципы механики. М., 1959.

Эрроу К.Дж. Коллективный выбор и индивидуальные ценности. М., 2004.

Armitage D.H., Gardiner S.J. Classical Potential Theory. L., 2001. Arrow K.J., Debreu G. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy // Econometrica. 1954. Vol. 22. N 3.

Beato P. The Existence of Marginal Cost Pricing Equilibria with Increasing Returns // Quarterly J. of Economics. 1982. Vol. 97. N 4. Berle A.A. Power without Property. N.Y, 1959.

Commons J.R. Institutional Economics // Amer. Economic Rev. 1931. Vol. 21. N 4.

Frostman O. Potentiel D'équilibre et Capacité des Ensembles avec Quelques Applications à la Théorie des Fonctions // Meddelanden Frân Lunds Universitet Matematiska Seminarium. 1935. Vol. 3.

HelmsL.L. Introduction to Potential Theory. Vol. 22. N.Y, 1969. Honoré T. Making Law Bind. Oxford, 1987.

Gusnerie R. Pareto Optimality in Non-Convex Rconomies // Econometrica. 1975. Vol. 43. N 1.

KnightF.H. The Ethics of Competition and Other Essays. N.Y.; L., 1935. KnightF.H., Merriam T.W. The Economic Order and Religion. L., 1947. Koopmans T.C. Three Essays on the State of Economic Science. N.Y., 1957. Lukes J., Maly J., Zajicek L. Fine Topology Methods in Real Analysis and Potential Theory: Lecture Notes in Mathematics / Ed. by A. Dolb, B. Eckmann. Vol. 1189. Berlin, 1986.

McKenzie L. On Equilibrium in Graham's Model of World Trade and Other Competitive Systems // Econometrica. 1954. Vol. 22. N 2.

Samuelson P.A. Structure of a Minimum Equilibrium System // Essays in Economics and Rconometrics / Ed. by R.W Pfouts. Chapel Hill, 1960. Simon H.A. Models of Man. N.Y; L., 1957.