Представление рядами экспонент в весовых пространствах на вещественной оси

Уфимский математический журнал. Том 1. № 1 (2009). С. 16-37.

УДК 517.5

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

К.П. ИСАЕВ, А.А. ПУТИНЦЕВА, Р.С. ЮЛМУХАМЕТОВ

Аннотация. Рассматривается задача о представлении рядами экспонент функций в весовых гильбертовых пространствах на интервале вещественной оси.

Ключевые слова: Ряды экспонент, гильбертовы пространства, преобразование Фурье-Лапласа, целые функции.

1. Введение

В настоящей работе изучаются вопросы разложения в ряды Дирихле функций из весовых гильбертовых пространств на интервале вещественной оси. Введем эти пространства.

Пусть h — выпуклая функция на интервале I С R. Следуя [1] для выпуклых функций будем допускать значение и продолжим функцию h на всю ось, полагая ее равной вне интервала I. Через L2(h) обозначим пространство локально интегрируемых функций f на I, для которых конечна норма

II f Ik(h) = ^I If (t)I2e-2h(t)dt.

Пространство L2(h) — гильбертово со скалярным произведением

(f>9) = j f (t)g(t)e-2h(t)dt.

Если взять h(t) = 1, t Е (—п; п), то пространство L2(h) совпадает с классическим L2-пространством. В работах [9], [10] Б.Я. Левин разработал метод, основанный на теории целых функций, для изучения разложений по системам экспонент в L2 - пространствах на отрезке. В дальнейшем в [11] этот подход был распространен на случай рядов из экспонент на пространстве Смирнова E2(D) на выпуклом многоугольнике D. Среди прочего в этой работе каждому выпуклому многоугольнику сопоставлен специальный класс целых функций, который назван классом целых функций типа синуса, и доказано, что если показатели являются нулями целой функции типа синуса, то соответствующая система экспонент образует безусловный базис в пространстве Смирнова. В дальнейшем Ю.И. Любарский обобщил понятие целой функции типа синуса на выпуклые области (не обязательно многоугольные). Однако, оказалось, что системы экспонент по нулям целых функций типа синуса в немногоугольных случаях уже не образуют безусловные базисы в пространстве Смирнова. В диссертационных работах В.И. Луценко [12], К.П. Исаева [13] показано, что существование безусловных базисов в пространствах Смирнова и Бергмана — явление исключительное. Так, если на границе области есть точка, в которой граница имеет отличную от нуля кривизну, то безусловных базисов из экспонент в пространстве

Isaev K.P., Pütintseya A.A., Yülmükhametov R.S. The representation by exponential series in weighted spaces on real axis.

© Исаев К.П., Путинцева А.А., Юлмухаметов Р.С. 2009.

Работа поддержана РФФИ (грант 09-01-00263).

Поступила 15 марта 2009 г.

Бергмана не существует. В диссертации Р.А. Башмакова [7] доказано, что безусловных базисов из экспонент не существует и в пространствах L2(h) при очень слабых ограничениях на весовую функцию. Там же введено понятие целой функции типа синуса для выпуклых функций на вещественной оси. В данной статье мы покажем, что системы экспонент по нулям соответствующей целой типа синуса будут полными и минимальными в пространстве L2 (h) и будет обоснована сходимость рядов по этой системе в некоторой "ослабленной норме". При этом используется классический прием перехода к двойственным задачам теории целых функций: вопросы единственности и интерполяции в весовых гильбертовых пространствах целых функций.

Система экспонент jeAt} , Л Е C полна в пространстве L2(h), поэтому если S — линейный непрерывный функционал на пространстве L2 (h) и S^) = S (eAt) — его преобразование Лапласа, то функционал S однозначно определяется функцией S(Л). По данной выпуклой функции h определим сопряженную к ней по Юнгу:

h(x) = sup (xt — h(t)) t

и функцию

K (x) = J e2xt-2h(t) dt.

Очевидно, что для Л = x + iy

Для выпуклой функции u введем величину p(u,y) по формуле

Г y+t

p(u,y) = sup{t > 0 : |u+(t) — u+(y)|dT < 1},

y-t + +

здесь u+ обозначает правую производную. В работах [2], [3] доказана теорема.

Теорема A. Пусть h — выпуклая функция на интервале I С R и S — линейный непрерывный функционал на пространстве L2(h). Если

J = {x : h(x) < то},

то преобразование Фурье-Лапласа S голоморфно в полосе J + iR и верны оценки

|S(x + iy)| < Cseh(x), x Е J, y Е R,

(ne)-2||S|||*(h) < / i |S(x + iy)|2e-2h(x)p(h,x)dh'+(x)dy < (ne)2||S||(h). JrJ J

Наоборот, если функция F голоморфна в полосе J + iR и удовлетворяет соотношениям

|F(x + iy)| < Ceh(x), x Е J, y Е R,

/ / |F (x + iy) | e -2h(x)p(h,x)dh+ (x)dy < то, JrJ J

то F является преобразованием Фурье-Лапласа некоторого функционала на L2(h).

Замечание. Если интервал J ограничен, например, справа, то мера e-2h(x)p(h, x)dh+(x) может иметь массу в правом конце. Это происходит тогда, когда функция h(t) линейна в некотором интервале (а; +то). В этом случае меру нужно определять предельным переходом, полагая

h(t), t < n,

hn(t) = {

nw ' +то, t > n.

Так, если h(t) = \t\, t G R, то J = (-1; 1) и

0, Ы< 1

Применяя указанный выше предельный переход, получим, что преобразования Фурье-Лапласа составляют пространство функций, аналитических и ограниченных в полосе z = x + iy : |x| < 1, причем, интегрируемых с квадратом по граничным прямым Im z = ±1.

Приведем еще теорему из работы [5] в одномерном случае.

Теорема B. Пусть ß — неотрицательная борелевская мера на некотором интервале из R и

J = Int conv supp ß — внутренность выпуклой оболочки носителя меры ß. Если функция

u(t) = 1lnf e2xtdß(x) 2 Jj

конечна на непустом интервале I С R, то преобразование Фурье-Лапласа функционала S на пространстве L2(u) голоморфно в полосе J + iR и удовлетворяет соотношениям

№ + iy)| < Ceu(x\ x е J, y e R,

/ lS(x + iy)l2dß(x)dy = ||S l]il*jv). JrJ J

Обратно, если функция F голоморфна в полосе J + iR и удовлетворяет условиям

if (x + w)|2'

JRJ J

то F = S для некоторого линейного непрерывного функционала S на пространстве L2(u).

\F(x + iy)\< Ceu(x), x G J, y G R, \F(x + iy)\2dß(x)dy < то,

В данной работе мы намерены по данной выпуклой на интервале I С R функции h построить систему экспонент exp(Àkt), где Àk, k = 1, 2,... — множество нулей специальной целой функции L, и доказать следующие свойства этой системы:

1. Система экспонент exp(Àkt) полна и минимальна в пространстве L2(h).

2. Обосновать некоторый метод суммирования рядов по системе exp(Àkt).

2. Предварительные сведения

Пусть h(t) — выпуклая функция на интервале I = (a; b) С R,

h(x) = sup(xt — h(t)), tel

a функция p(h, x) определена как верхняя грань таких p, для которых выполняется условие

Гх+Р ^ ^

/ lh+(y) — h+(x)ldy < 1.

J x-p

Положим

J = {x : h(x) < то}.

Заметим, что если I - ограниченный интервал, то J = R. Через E2(h) будем обозначать пространство функций F, аналитических в полосе J + Ж и удовлетворяющих условиям

По теореме А пространство E2 (h) состоит из преобразований Фурье-Лапласа функционалов на пространстве L2 (h).

Теорема 1. Пусть F Е E2(h). Тогда функция

IF(ж) = / |F(ж + iy)|2dy, ж Е J Jr

конечна на интервале J и логарифмически выпукла. При этом интегралы в правой части сходятся равномерно по ж Е [c; d] для любого отрезка [c; d] С J ив любом таком отрезке равномерно по x

lim F (ж + iy) = 0.

Кроме того, если I — ограниченный интервал, то 1.

lim IF (x)e-2h(x) = 0,

x-

причем при некоторой константе Di

supIf(x)e-2h(x) < Di||F^

2.

lim |F (x + iy)|e-2h(x) =0

и при этом найдется константа D2 такая, что

x,y

Доказательство теоремы 1.

По теореме A функция F является преобразованием Фурье-Лапласа функционала на L2(h). В силу самосопряженности гильбертовых пространств функционалы на L2(h) имеют вид скалярного произведения на элемент этого же пространства. Таким образом, найдется функция f Е L2(h) так, что

F (А) = eAtf (i)e-2h(t)di.

rAt

Ji

Для любого ж Е J имеем

F(ж + iy) = f eiyt f (i)ext-2h(t)) dt.

Функция / (¿)ехр(х£ — 2Л,(£)) при фиксированном х принадлежит Ь2(/). В самом деле, ^ |/(¿)|2е2х£-4^(л>^^ < е28ир1 И-^» ^ |f = е2Й(х)||/||2.

При фиксированном х Е 3 функция ^(х + ¿у) является преобразованием Фурье функции / (¿) ехр(х£ — 2Л,(£)) и по формуле Планшереля имеем

Jж Ь

в частности, по теореме А

1Р

Итак, мы доказали, что интеграл If (x) конечен для всех x Е J. Убедиться в том, что этот интеграл является логарифмически выпуклой функцией на J, можно на основании равенства в соотношении (2). В самом деле, для любого a Е R функция

If(x)eax = 2п J^ex(2t+a)\f (t)\2e-4h(t)dt

будет выпуклой, но это свойство является необходимым и достаточным для логарифмической выпуклости функции If .

Теперь покажем, что эти интегралы сходятся равномерно в отрезках [c; d] С J. Пусть расстояние от отрезка [c; d] до границы интервала J больше числа 5 > 0. По неравенству в (2) получим

pd+S р+<х „

/ / \F(x + iy)\dydx < 2n(d - c + 25) max e2h(x)\\f \\2. Jc-S J-x xe[c-S;d+S]

По принципу максимума для выпуклых функций имеем

pd+S p+<x _ _

/ / \F(x + iy)\2dydx < 2n(d - c + 25)e2max(h(c-S)rh(d+S))\\f\\2 < то.

J c-S J -<x

Итак, двойной интеграл сходится, значит для любого е > 0 найдется M > 0 так, что

г d+S П

/ / \F

Jc-S J\y\>M

Пусть x Е [c; d] , по свойству субгармоничности имеем

\F(x + iy)\2 < i \F(( + x + iy)\2d\(() < n52 J\z\<S

< П52 j / \F

где d\(() — плоская мера Лебега и ( = t + is. Проинтегрируем это неравенство по множеству \y\ > M + 5:

I \F(x + iy)\2dy < I ! I \F(t + is + x + iy)\2dtdsdy <

J\y\>M+S n5 J\y\>M+S J-S J-S

2 ['S f 2 fd+S r

< \F(t + x + iy)\2dtdy < — \F(t + iy)\2dydt.

n5 J-S J\y\>M n5 Jc-S J\y\>M

Учитывая соотношение (4), получим

I \F(x + iy)\dy < —

J\y\>M+S n5

Равномерная сходимость интегралов доказана. Из соотношений (4), (5) следует, что если x Е [c; d], \y\ > M + 5, то

\F(x + iy)\2 < [ t \F(t + is + x + iy)\2dtds < n52 J-SJ-S

1 fd+S г е

</ \F(t + is)\2dsdt < —.

n52 Jc-S J\y\>M n52

Таким образом, равномерно на отрезках [c; d] С J

lim \F (x + iy) \ = 0.

\y\-

Для доказательства утверждений пп. 1-2, докажем одну вспомогательную лемму о функциях, сопряженных по Юнгу к функциям на ограниченных интервалах.

Лемма 1. Пусть h — выпуклая функция на ограниченном интервале I = (а; b) иh — функция, сопряженная по Юнгу. Тогда

1. Имеют место равенства

1a. _ _

Л,

lim -= а, lim -= b.

x—ж x—ж

1b.

lim Л/,(ж) = а, lim Л/,(ж) = b.

x-+ x-+

1c.

lim p(h, ж) = то.

2. Для ж Е R через [ax; bx] обозначим отрезок, такой, что для всех t Е [ax; bx] выполняется равенство Л,(ж) + h(t) — xt = 0. Имеют место равенства

lim bx = а, lim ax = b.

x—x-

3. Для произвольного положительного p положим

U(ж,р) = {t Е I : й(ж) + h(t) — xt < p}.

Очевидно, U(ж,р) — промежуток в интервале I. Через |U(ж,р)| обозначим длину этого промежутка. Тогда

lim |U (ж,р)| = 0.

x-

Доказательство леммы 1.

1. По определению сопряженной по Юнгу для любого е > 0, а + е < b,

Л,(ж) > ж(а + е) — h(а + е),

поэтому

i— /¿

limx—< (а + е) + limx-^-^-ж-= а + е.

Значит,

— ВД

limx—- < а.

ж

С другой стороны, если ж < 0, m = mint h(t), то Л,(ж) < (жа — m), поэтому

limx-^-^- > a,

ж

и из последних двух оценок получаем

п. /¿(ж) lim -= а.

x—ж

Предел в +то доказывается аналогично.

Поскольку производные выпуклой функции возрастают, то при ж > 0

x

Л,(ж) — h(0) = h+(y)dy < /г/+(ж)ж.

Jo

Отсюда

, . п /¿

x—ж

Аналогично

~ — [' 2x _ _

Л,(2ж) — Л-(ж) = h+(y)dy > h/+(x)x.

и

-— . . Л,(2ж) — Л-(ж) limx_>+ooh + (ж) < lim -= b.

+ x—ж

Таким образом, limx_Л/+(ж) = b. Предел в —то доказывается аналогично.

Допустим, что найдется константа A и последовательность ж* —> —то такие, что p(h, ж*) < A. По свойству 1b. найдется M < 0 такое, что при ж,у < M

— h+(y)|< 4A.

Тогда для ж* < M — A имеем

r-xk +p(h,xfc) _ _ 1 ~ 1

1 = _ |h+ (ж*) — h+(y)|dy < —2p(h,ж*) < -.

./xfc-p(h,xfc) 4A 2

Получили противоречие. Аналогично рассматривается случай ж —> +то. Значит, lim|x|—p(h, ж) = то.

2. По определению отрезка [ax; bx]

Л,(ж) + h(bx) — xbx = 0,

Если m = minteI h(t), то

/¿(ж) + m — xbx < 0,

поделим обе части на ж < 0, перейдем к пределу при ж —> —то и воспользуемся п. 1 леммы:

— lim bx > — а

x-

или

lim bx < а

x—

Противоположное неравенство очевидно. Следовательно, limx_bx = а. Аналогично

получим limx_ax = b.

3. Третье утверждение леммы докажем от противного. Допустим, что для некоторого p > 0 найдется последовательность ж* —> —то, k —> то, такая, что |U(ж*,p)| > 5 с некоторым 5 > 0. Возьмем натуральное число N с условием

b — а

N

и набор точек интервала I

<5

Ь — а ^Ь — а /„т _ ч Ь — а

¿1 = а + , ¿2 = а + 2-^-, ..., ^-1 = а + (А — 1)-^-.

Очевидно, что каждый промежуток и(х^ , р) содержит хотя бы одну из выбранных точек. По принципу Дирихле какая-то из точек попадет в бесконечную последовательность промежутков. Пусть точка ¿т попадает в промежутки и(х^. , р), ] = 1, 2,... Это значит, что

Мх^.) + ^(¿т) — х^.¿т < Р, = 1, 2, ... Поделим обе части неравенства на х^. < 0 и перейдем к пределу по ] —> то, получим противоречие а — ¿т > 0. Предел в +то доказывается аналогично. Лемма 1 доказана.

Продолжим доказательство теоремы 1. Для произвольного положительного p по соотношению (2) имеем

—If (x)e-2h(x) = i \f (t)\2e2xt-4h(t)-2h(x)dt + / \f (t)\2e2xt-4h(t)-2h(x)dt.

2n J U

Отсюда по определению промежутков U(x,p) получим

^If(x)e-2h(x) <i \f(t)\2e-2h(t)dt + e-2p i \f(t)\2e-2h(t)dt.

2n J U

Пусть c(x) — правый конец промежутка U(x, p). Имеем

1 - rc

—If(x)e-2h(x) <Ja \f(t)\2e-2h(t)dt + e-2p\\f\\2ь^у

Отрезок [ax; bx], определенный в п. 2 леммы 1, лежит в промежутке U(x,p), поэтому

lim c(x) < lim (bx + \U(x,p)\) = a,

x->-<x x->-<x

значит,

lim c(x) = a,

x->-<x

и

T^If(x)e-2h(x) < e-2p\\f \\W

Остается заметить, что p — произвольное положительное число, поэтому

lim If (x)e-2h(x) = 0.

x->-<x

Оценка в п. 1 теоремы доказана в соотношении (3). Докажем п. 2 теоремы. По соотношению (5), полагая 5 = 1, имеем

\F(x + iy)\2 < -f [ \F(x + iy + t + is)\2dtds < -f IF(x + t)dt.

n J-lJ-1 n J-i

Как мы знаем, функция If(x) выпуклая, поэтому

2

\F(x + iy)\ 2 < - max(lF(x + 1),If(x - 1)). n

Когда интервал I ограниченный, сопряженная функция h по п. 2 леммы 1 будет удовлетворять условию Лифшица \h(x) - h(y)\ < (b - a)\x - y\, значит

2e2

П

Правая часть по доказанному пункту 1 данной теоремы стремится к нулю, когда \x\ —> то, поэтому равномерно по y Е R

\F (x + iy)\2e-2h(x) — 0, x — то. Возьмем произвольное е > 0, найдем M такое, что при \ x\ > M и при всех y выполнялось

\F(x + iy)\2e-2h(x) < е. По доказанному равномерно на отрезке [-M; M] при \y\ —> то имеем

\F (x + iy) \ — 0. Из соотношения (6) и из оценки в п. 1 следует, что

\F

x,y

2e2

sup\F(x + iy)\2e-2h(x) < --supIf(x)e-2h(x) < —-\\F\\2E h

П x П ^ '

Теорема 1 доказана.

Мы намерены изучать свойства системы экспонент по нулям специальной целой функции, сконструированной в работе [6]. В этой работе доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть и — выпуклая функция на М и последовательность Ьп определена по формуле

&1 = Ьо + р(и,Ьо), Ь-1 = Ьо - р(и,Ьо), Ьп+1 = Ьп + 2р(и> +2Ьга+^ , п е N

7 7 , ГЛ ( Ь-П + Ь-(п+1) А тм

Ь-(п+1) = Ь-п + 2^и,-^—) 1 , п е N.

Предположим, что найдется такая положительная функция а (ж), х е М, и положительная константа с, что выполнены следующие условия

1. Для любого х е М. для всех у1, у2 е [х — а(х); х + а(ж)] имеет место соотношение

Р(и,У1) ^ > с.

Р(и,Ы

2. Если положим bn = b"+2"+1, b-n = b-n+b2-(n+1), n G N, то

\ e p(u,bn) = s < то

n=0

сходится.

Пусть dn = 1n(bn+b1)~^-bl(bn+1), где 1п-прямая, соединяющая точки u(bn) и u(b;+i). Тогда существует целая функция f, которая имеет простые нули вида znk = bn + ^k, n, k G Z, и для любого a > 0 вне кругов B(znk, ap(u,bn)) удовлетворяет оценке

Кроме того, при a < min(n, c) круги B(znk, ap(u, bn)), n, k G Z, попарно не персекаются.

Условия на функцию и имеют технический характер. В той же работе [6] приводятся условия, которые легче проверить.

Теорема 3. Пусть и — дважды непрерывно дифференцируемая выпуклая функция на R, неограниченная в бесконечности.

Предположим, что найдется такая положительная функция в(х), х G R, и положительная константа c, что выполнены следующие условия:

1. Функция в(х) непрерывна, положительна, имеет единственную точку минимума, причем в(х) > 1, и для любого х G R для всех

У1,У2 G

в

у/и"

имеет место соотношение

2. Интеграл

сходится.

u"(yi) .

-;—г > С.

и"(У2) "

с3в(х) /-

e уи"(х) ^х

Тогда существует целая функция f, которая имеет простые нули, расположенные на некоторой системе вертикальных прямых Яв г = Ьп, п е Ъ, причем на каждой из

прямых нули распределены равномерно, и для любого а > 0 вне кругов В ( гп,

удовлетворяет оценке

11п |f (г)| — и(г)|< А(а).

Кроме того, при а < шгп(п, 25б) круги В I гп, , ° = I попарно не пересекаются.

В дальнейшем для данной выпуклой функции и на М. через Б (и) будем обозначать класс целых функций f, обладающих следующими свойствами:

1. Если Ап — нули функции f, то для некоторого а > 0, круги Вп(а) = В(Ап, ар(и, Ив Ап)) попарно непересекаются;

2. Вне объединения кругов Вп(а) выполняется соотношение

11п Ц(А)| — и(Ив А)| < А(а),

где А(а) — некоторая константа.

Множество нулей аналитической функции f обозначим через Л^. Для данного множества комплексных чисел Л = {А&, к = 1, 2,...} через ехрЛ обозначим систему экспонент (ехр(Ак ¿), к = 1, 2,...}.

3. Полнотл и минимальность СИСТЕМЫ ехрЛь

В этом параграфе будет доказано, что если функция Ь е Б (Л,), то система экспонент ехрЛ^ полна и минимальна в пространстве Ь2(Л).

Предварительно выясним некоторые свойства функций класса Б (и). Если функция а(х) определена для вещественных х, то для комплесных чисел г будем считать, что а(г) = а(Ив г).

Лемма 2. Если Ь е Б (и), то

1. Для всех г е С выполняется оценка

2. Если гп — нули функции Ь и круги Вп(а) = В(гп, ар(и, гп)) попарно не пересекаются, то в каждом круге Вп(а) выполняется оценка снизу

Ь

> С(а) в«(*), р(и,гп) '

где константа С (а) не зависит от п.

3. Если гп — нули функции Ь, то для любого п и при всех г выполняются соотношения

Ь

< С1 (а) в«(*). г — гп < р(и,гп) + |г — гп| '

где константа С1(а) не зависит от п.

Доказательство леммы 2.

Сначала докажем, что для любого у найдется линейная функция /(х), такая, что

|и(х) — /(х)| < 1, когда |х — у| < р(и,у).

В самом деле, пусть /1 (х) — линейная функция, совпадающая с и в точках у±р(и, у). Тогда по свойству выпуклости функции и в интервале (у — р(и,у); у + р(и,у)) имеем и(х) < /1(х), а определение величины р(и,у) означает, что и(у) = /1(у) — 1. Пусть /2(х) — касательная прямая к графику и в точке у. Тогда /2(х) < /1(х) в данном интервале и /2(у) = /1(у) — 1.

Поэтому в рассматриваемом интервале 0 < 1\(х) — 12(х) < 2. Очевидно, что линейная функция

к

1(х) =

2

будет обладать требуемыми свойствами.

1. Пусть гп — нули функции Ь и круги Вп = В(гп, ар(и, гп)) попарно не пересекаются. Оценка первого пункта леммы вне кругов Вп выполняется по определению функций класса S(и). По доказанному выше для каждого из этих кругов найдется гармоническая функция Нп(г) такая, что

\и(г) — Н,п(г)\ < 1, г е Вп.

(Для у = Ие гп найдется линейная функция I с нужными свойствами, остается положить Нп(г) = 1(г)). Тогда на границе круга Вп имеем

11п \Ь(г)| — Нп(г)1 < 11п \Ь(г)\ — и(г)| + \и(г) — Нп(г)\ < Л(а) + 1.

Пусть функция дп(г) голоморфна в круге Вп и Ив дп(г) = Нп(г), тогда на дВп

\Ь(г)е-9п(г)\ < ел(а)+1,

и по принципу максимума эта оценка продолжается вовнутрь круга:

\Ь(г)| < вл(ст)+1 \в9"(г)\ = ел(а)+1вН"(г) < ел(а)+2еи(г).

Утверждение пункта 1 доказано.

2. Ф; оценке

2. Функция е9п(г голоморфна в круге Вп и на границе этого круга удовлетворяет

„9п

Ь

< вл(а)вНп(г)-и(г)ар(и,гп) < вл(а)+1ар(и,гп),

которая по принципу максимума продолжается вовнутрь круга:

1 ^ вл

\Ь(г )1

< ' - г /"п) в-Нп

\г — г,п\

или

\Ь(г)\ > 12 гп1в .-еН"(г) > -т\г — гп\ви(').

ар

3. По определению функции класса S(и) на границе дВп(а) выполняется оценка

Ь

< вл

Р

ви(г) к вл(а)+1

Р

Н

которая по принципу максимума продолжается вовнутрь круга:

Ь

<

С(а) -в«*, 2 е Вп(а).

Р

Для всех точек вне круга Вп(а) по первому пункту доказываемой леммы имеем оценку

Ь

<

см

\г — 2п\

еа(г\ г еВп (а).

Лемма 2 доказана.

Теорема 4. Пусть Н(Ь) — выпуклая функция на ограниченном интервале I = (а; Ь) С К, функция Ь лежит в классе 5(к). Тогда система экспонент ехрЛ^ полна и минимальна в пространстве Ь2(к).

1

1

Доказательство теоремы 4.

1. Полнота. Предположим, что система ехрЛ^ не полна в L2(h). Тогда по теореме Банаха найдется ненулевой функционал S на L2(h), аннулирующий данную систему. Преобразование Лапласа этого функционала по теореме А будет принадлежать пространству E2(h) и будет обращаться в нуль на множестве Л^. Это значит, что целая функция S(A) делится на целую функцию L. Пусть S(A) = g(A)L(A). Пространство E2(h) определяется соотношениями (1). Из первого неравенства в этом соотношении и из свойств функций класса S(h) получаем, что вне некоторой системы попарно непересекающихся кругов выполняется оценка

По принципу максимума эта оценка продолжается вовнутрь кругов, следовательно, целая функция g ограничена, поэтому постоянна. Функция S Е E2(h) и по теореме 1 S(x + iy) стремится к 0 при |y| —> то. Функция L(A) Е S(h) и по определению вне некоторой попарно непересекающейся системы кругов ограничена снизу величиной A(a) exp h(Re A). Таким образом, на вертикальной прямой x + iy, y Е R, найдется последовательность A& такая, что g(Ak) —> 0. Это значит, что g(A) = 0 и S(A) = 0. Получили противоречие.

2. Минимальность. Пусть — нули функции L. Минимальность будет доказана, если мы покажем, что при любом n Е N

L(A) Е E2(h).

A —

По пункту 3 леммы 2 нужно доказать, что

[ p

J (p(h,zn) + |z - z„|)2 Непосредственно оценим интеграл по dy:

dydh'(x) < то.

dy f dy

(p(h,zn) + |z - z„|)2 J p2(h,zra) + |z - z„|2

П

у/р2(/г,ж„) + |х - х„|2 В работе [2] показано, что функция р(Л,, х) удовлетворяет условию Лифщица

|р(/г,х) - р(/г,у)| < |х - у1,

поэтому

р(Л,,х) < |х| + р(Л,, 0). Отсюда с учетом п. 1а. леммы 1 получаем оценку

[ р

J (p(h,zra) + |z - z„|)2 Теорема 4 доказана.

dydh'(x) < C(n) / dh'(x) = C(n)(b - a) < то.

4. ОуммировлниЕ рядов по системе ехрЛь

Итак, пусть к — выпуклая функция на ограниченном интервале I С К и Л= {Хк, к = 1, 2,..., } — множество нулей некоторой целой функции Ь класса Б(к). Мы показали, что система ехрЛ^ полна и минимальна в пространстве Ь2(к). Как известно, в этом случае существует биортогональная система функционалов, которую обозначим через {Бк, к = 1, 2,..}. Каждой функции и е Ь2(к) можем сопоставить ряд

f  - Е ^

Ь

к=1

Положим

Ьк

Ь'(Хк )(Х — Хк)'

Нетрудно убедиться в том, что

Б (Х) = Ьк (Х).

Тем самым, двойственное к (7) интерполяционное представление имеет вид

те

Г(Х) Г(Хк)Ьк(Х), к=1

где целая функция Г из пространства Е2(к). В общем случае эти ряды не суммируются в нормах пространств Ь2(к) и Е2(к) соответственно. Однако, эти ряды сходятся в нормах поменьше, чем исходные. Сначала рассмотрим интерполяционный ряд.

Теорема 5. Пусть к(Ь) — выпуклая функция на ограниченном интервале I = (а; Ь) С К, функция Ь принадлежит классу Б (к) и обладает дополнительным свойством: для некоторого а > 0 найдется возрастающая последовательность абсцисс Хт —> т —> такая, что вертикали Х = Хт + 1у лежат вне системы кругов

Вк(а) = В(Хк,ар(к,Хк)). Зафиксируем целое число п, перенумеруем нули функции Ь в полосе Хп < ЯвХ < Хп+1 в порядке возрастания модулей мнимых частей и обозначим полученную последовательность через , ] = 1, 2,.... Тогда ряд

те

Еп

3 = 1

сходится равномерно на компактах на плоскости. Если функция в(х), х е К, 0 < в(х) < 1 такова, что

/те

в(х)р(к,х) йк'(х) < то,

те

то ряд сходится в пространстве Е2(к) в "ослабленной"норме

ЦГ\\1 = ^! \Г(х + гу)\2в-2к(х)в(х)р(к, х) ¿к'(х), причем для некоторой константы К

т

\\Гп — е Г(3)Ьз\\1 < КЦГ\\Е2{К).

3=12

те

Доказательство теоремы 5. Зафиксируем положительное число а такое, что круги Bj (6а) с центрами в нулях функции L не пересекаются и вне объединения этих кругов можно провести вертикали Л = Xm + iy, m Е Z, причем Xm —> когда m —>

Зафиксируем целое число n, натуральное число k и положим Zj = xj + iyj,

Yk+ = max{yj, j < k, X„ < Xj < Xra+i},

Y- = min{yj, j < k, X„ < Xj < Xra+i}.

Построим две ломаных Г±. Возьмем отрезок {Л = x + iYfc+, Xn < x < Xn+1}. Если этот отрезок пересекается с кругом Bj (6а) и yj > Yk, то часть отрезка, оказавшуюся внутри круга, заменим на ломаную из двух звеньев, содиняющую две точки пересечения данного отрезка с окружностью dBj (6а) и точку пересечения этой окружности с вертикальным лучом {xj + iy, y < yj}. Если же yj < Yk, то часть отрезка, оказавшуюся внутри круга, заменим на ломаную, содиняющую две точки пересечения данного отрезка с окружностью dBj(6а) и точку пересечения этой окружности с вертикальным лучом {xj + iy, y > yj}. Полученную ломаную обозначим через Г+. Аналогично построим ломаную Г-. Через Г обозначим замкнутый контур, образованный ломаными Г± и вертикальными отрезками {Л = X„ + iy, Y- < y < Y+}, {Л = Xra+i + iy, Y- < y < Y+}. Отметим следующие свойства:

- каждая вертикаль xo + iy, y Е R, пересекает каждую из ломаных Г± не более одного раза;

- длины контуров Г± не превосходят V2|Xn — Xn+1|;

- контур Г k не пересекается с объединением кругов Bj (4а);

- если Gk — область, ограниченная контуром Г k, то нули Zj, j = 1, 2,..., k, функции L лежат в этой области, остальные нули лежат вне замыкания этой области.

По теореме о вычетах имеем

_!_ i F

2iWrfc L

где X k(Л) = 1 при Л Е G k и xk(Л) = 0 при Л Е Gk. Положим

Fnk <Л> = £ j—j = £ F <Zj )Lj w-

Возьмем произвольный компакт K С C и натуральные числа k, s, s > k, так, чтобы компакт помещался в полосе {z = x + iy : |y| < R}, не содержащей ломаных Г±, Г± . Через y±s обозначим контуры, образованные соответственно отрезком A±k s на вертикали Re z = Xn между точками Xn + iY± и Xn + iYs±, отрезком A±+1 k s на вертикали Re z = Xn+1 между точками Xn+1 + iY± и Xn+1 + iYs±, ломаными Г±, Г±. Через Gk,s обозначим объединение двух областей, ограниченных контурами y±s. На контурах y±s задается направление против часовой стрелки, соответственно, на их частях Г±, Г±, A±ks, A±+1 k s имеются направления. По соотношению (8) для Л Е K имеем

^ — F„,k <Л) = ш

Кривые y±s лежат вне объединения кругов Bj (6а), значит по свойству функций класса

s (h) '

min |L(Z)| > min eA(6CT)+h(Re = min eA(6CT)+h(x) = cn. Ce7± сеу±. xe[X„;X„+i]

Обозначим

max \Ь(Л)\ = Cl(K). хек

Из оценки (9) вытекает, что если Л Е K, то

IF m F mi Cl(K ) ([ IF (()| + [ |F (С )|

\Fn„W — Fn,k(Л) = — ^\dC1 + ^W I

По теореме 1

max \F(()| —> 0, когда k —> то,

а

длины ломаных Г± ограничены величиной \f2\Xn — Xn+1\, следовательно, при k, s —> то

max \Fn,sW — Fn,kW\ < хек , ,

< U) + „rax (f + i ) m) d Ы(,

< incn ) хек\]А„ ,„„ A„+1 kj \Л — ZIJ

где Aj,k,s — это объединение отрезков A±ks. Через Xj,k,s(Z) обозначим функцию, равную 1 на множестве Aj,k,s и 0 в остальных точках. Тогда

max |Fn,s^) — Fn,kWI < хек ,

< ClK (о(1) + max ГIF (Xn + iy)IIXn,k,s (Xn + iy)\

< 2ncn [0(1)+meaxJ^ \Л — (Xn + iy)\ dy+

+ f+~ \F(Xn+i + iy)\\Xn+i,k,s(Xn+i + iy)\ d

+ J_^ \Л — (Xn+i + iy)\ y

К обоим интегралам в правой части применим неравенство Гельдера. Например, для первого интеграла получим

\F (Xn + iy)\\Xn,k,s(Xn + iy)\A ^ f+^lMY о. • M2 /y^.Uv -Л — X +iy)\-dy < \l I \F(Xn + iy)\2Xn,k,s(Xn + iy)dyx

\ — n

, xn,k,s(Xn + jy) dy

^ L \Л — (Xn + iy)\2dy. Очевидно, что при k, s —> то

[+™ Xn,k,s(Xn + iy) , „

max —-—-—— dy —> 0

хек J\Л — (Xn + iy)\ У

и по теореме 1

/+те

\F (Xn + iy)\2Xn,k,k (Xn + iy)dy — 0.

-те

Из последних двух соотношений следует, что когда k, s —> то

max t\FX + щЩ..,,,^. + ^dy _ o.

хек J_x, \Л — (Xn + iy)\ "

Точно так же получаем оценки для второго интеграла. Тем самым, мы доказали, что для любого компакта K при k, s —> то

max \Fn,sW — Fn,k(Л)\ —> 0. хек ,

Последовательность Fn,k фундаментальна, и по теореме Коши эта последовательность сходится равномерно на компактах.

Докажем сходимость последовательности в "ослабленной"норме в пространстве Е2(Л). Возьмем произвольное х Е К и оценим интеграл

|^„,8(х + ¿у) - (х + ¿у)|2<%.

оо

Для сокращения записи введем обозначение: для функции f, определенной на плоскости, положим

х) = \ [ |f (х + ¿у)|2^у.

Если

' —оо

^<А>=/± ЬСЖ-О ^=*,',

Г V

^(А) = —— ¿с з = ^ п +1>

•Ч+^и Ь

то представление (9) запишется в виде

|Ега,«(А) — (А)| =

=

1. Оценим функцию (х). По нашему выбору вертикальная прямая с абсциссой Х„

не пересекается с кругами В (6а) с центрами в нулях функции Ь Е S(Л) и, по определению класса S(Л), на этой прямой выполняется оценка снизу

|Ь(()| > А(6а)е^е с) = А(6а)вй(хЧ

Функция V Е Е2(Л) и по теореме 1

(х + ¿у)|2¿у = /^(х)в"2/1(ж) 0, |х| то,

-оо

причем

(х + ¿у)|2^у < 2п(пе)2е2^||ЕН^

Из этих оценок следует, что

V (Х„ + ¿у) "

Ь

¿у < 2п

Введем обозначение

V

= ЬХТ+ад,

тогда ^ Е Ь2(-то; то) и

(А) = Г >у(у) ¿у,

(А - х„) - ¿у

где Х„,«,&

(у) — характеристическая функция объединения интервалов Д+^и Д_ & По теореме М. Рисс (см. [8], стр. 157) и ее следствиям функция ^„,^,8(А) принадлежит пространствам Н2(И,в А > Х„), Н2(И,в А < Х„), причем

„

г>оо

КмН

V

Ь

¿у.

2

оо

Из сходимости интегралов (11) следует, что при фиксированном п и к, в —> то равномерно по х Е К

причем

где С1 — некоторая абсолютная постоянная.

2. Оценим ||д±||(х). Для определенности возьмем функцию у+(А). Горизонтальная ломаная Г+ не пересекается с кругами В (4а).

Для множества Е и числа 8 > 0 через Е(8) обозначим 8-раздутие множества Е, то есть

E(i) = u BМ).

zee

Для фиксированного x через ix обозначим отрезок на вертикальной прямой с абсциссой x, состоящий из точек Л = x + iy таких, что

Сег+

Ломаная Г+ состоит из отрезков на прямых, наклоненных к оси абсцисс под углом 0°, ±45°, поэтому длина отрезка ix не больше \[2а.

2a. Оценим интеграл по y Е R \ ix. По неравенству Гельдера

2

'R\ßx

F (Z)dZ

r+ L

dy <

'R\ßx

'Г+

F

L

1

'r+

Пусть x + iyx — середина отрезка ix Тогда для Z Е Г+ имеем

поэтому

По тереме 1 при k, s —> то

'г+

I <

а2 + |y — y*P'

'г+

F

L

Таким образом,

F (Z)dZ

r+ L

dy < o

1

rdy = o(1).

и найдется константа C2 такая, что

F

'г+

L

Перейдем к оценке интеграла по ¿х. Раздутие ¿х(а) попадает в 2а-раздутие ломаной Г+ и поэтому не пересекается с кругами В (2а). Поскольку длина отрезка ¿х не превосходит л/2а, то длина границы множества ¿х (а) не превосходит + п)а.

2Ь. Предположим сначала, что граница ¿х(а) пересекает ломаную Г+ в двух точках ^1, С2. Ломаная Г+ делит множество ¿х(а) и его границу на две части — на верхнюю и нижнюю. Рассмотрим ломаную г+, составленную из двух частей ломаной Г+, оказавшихся вне множества ¿х(а) и одной из двух дуг границы ¿х(а), разделенных точками £1, С2. Причем если

1

2

х,

x

2

точка Л лежит в нижней части множества гх(а), то возьмем верхнюю дугу, если Л лежит в верхней части множества гх(а), то возьмем нижнюю дугу. Тогда по теореме Коши

Р (С Ж

Р (С ж

1г+ Щ)(Л — () Уг+ Щ)(Л — (У

Так как по построению при Л Е гх и ( Е Г+ выполняется |Л — (| > а, то

Р (С ж

IГ+ Ь

< тах а Сег+

Р

Р

По теореме 1 получаем, что при к

то равномерно по х Е 2

Р ((Ж

1г+ Р

су = °(!).

и найдется констанста С3 такая, что

Р

'г+

НС)

с 1< СзЦР(х + гу)1Ц2(ку

2с. Теперь допустим, что граница множества гх(а) пересекает ломаную Г+ в одной точке Это значит, что множество гх(а) содержит одну из концевых точек ломаной Г+, например, левый конец = Хп + гУк. При этом граница множества гх(а) пересекает вертикаль И,е £ = Хп в двух точках: — верхняя и /ш2 — нижняя. Через гх(а) обозначим пересечение множества гх(а) с полуплоскостью И,е ( > Хп. Множество гх(а) разделено ломаной Г+ на две части — верхнюю и нижнюю. Определим кривую Г+, составленную из части ломаной Г+, оказавшейся вне области гх(а), и из верхней части пересечения границ областей гх(а) и гх(а), если точка Л не попадает в верхнюю часть области гх(а), а в противном случае — из нижней части пересечения границ областей гх(а) и гх(а). Через А в первом случае обозначим отрезок на вертикали £ = Хп + гу между точками и /ш1 и отрезок между точками и /ш2 во втором случае. Если соответствующим образом задать направления на кривой Г+ и на отрезке А, то по теореме Коши

Р(СЖ

Р (С Ж

+

Р (С ж

Уг+ щ)(Л — () Уг+ щ)(Л — () ' ]А Ь(()(Л — (у

Первый интеграл в правой части оценивается так же, как в пункте 2Ь: при к равномерно по х Е К

' [ Р((ж

то

сУ = о(1).

IГ+ Р

Второй интеграл в правой части оценим как, в п. 1, на основе теоремы М. Рисса. Пусть х(у) — характеристическая функция отрезка А. Тогда функция

, > х

суммируема с квадратом модуля по К. Поэтому при к

Р (С ж

1а Р

су <

х

то (Л 2

х + гу)

Ь

су =

равномерно по х Е К и найдется констанста С4 такая, что

'г+

Р

Р

КI < С4ЦР(х + г

Е2(ЬУ

2

2

2

Из результатов пп.2а - 2с получаем, что при к, в —> то равномерно по х Е К

|Кд5||(х) = 0(1). Кроме того, найдется константа С5 такая, что

V(С) 2

)

Подставляя результаты пп. 1 - 2 в

/+те ~

^(Л) - Fra>fc(Л)| dy < o(1) max |Ь(Л)| = o(1)e2h(x),

те y

причем для некоторой константы D

/+те

те y

Следовательно,

/+те л+те „

/ ^(Л) - F„;fc(Л)|е—2h(x)e(x)p(x) dydh'(x) =

-те J —те

/+те ^

e

-те

и

/+те л+те „

/ КДЛ) - F„;fc(Л)|е—2h(x)e(x)p(x) dydh'(x) < D'||F(x + iy)^.

те J — те

Тем самым, последовательность Fn,fc (n фиксировано) фундаментальна в ослабленной норме. Таким образом, когда k —> то

л+те />+те

К(Л) - Fra>fc(Л)|е—2h(x)e(x)p(x) dydh'(x) 0,

J—те J—те

причем

f+те л+те

' —те J — те

К(Л) - Fra>fc(Л)|е—2h(x)e(x)p(x) dydh'(x) < D'||F(x + iy)||E2(h).

Теорема 5 доказана.

Теорема 6. В условиях теоремы 5

f(Л) = £ ад,

причем ряд сходится в ослабленной норме в пространстве Е2

ы

n=N

Доказательство теоремы 6. В силу теоремы 5 представление (8) можем переписать в виде

Ь(А) Г ~ V (Х„+1 + ¿у) ¿у Ь(А) Г ~ V (Х„ + ¿у^у

2ni У—те L

= Fn(Л) - F(Л)хп(Л),

n=

где хп — характеристическая функция полосы Хп < И,е Л < Хп+1. Отсюда для произвольных целых чисел М, М, N < М, следует представление

м

Р(Л) — Е Рп(Л) = Р(Л)(1 — хм,м+1(Л))+

п

п=М

+ Ь(Л) [ж Р(Хм + гу)Су

2пг Ь(ХМ + гу)(Л — (Хм + гу)) Ь(Л) [ж Р(Хм+1 + гу)Су

2пг Ь(Хм+1 + гу)(Л — (Хм+1 + гу))' Очевидно, что при 1МI, М| —> то

Р(Л)(1 — хм,м+1(Л)) 0

в норме пространства Е2(к), тем более в ослабленной норме. По теореме М. Рисса (см. [8], стр. 157) и ее следствиям функции

Гж РХ + гу)Су

пг]-ж Ь

принадлежат пространству Харди Н2 на полуплоскостях И,е Л > Х3, И,е Л < Х3, причем

1 Г Р X + гу)Су

2

" ж

сг <

о —ж

Р (Х3 + гу)Су

Ь

су.

]—ж пг }—ж Ь(Х3 + гу)(х + гг — (Х3 + гу)) Таким образом,

р ж м

/ 1Р(х + гу) — Е Рп(х + гу)12Су < о(1) +

п=И

_ / _ ПЖ _ ПЖ

+еЩхЦ е-Щхп) 1рх + гу)12Су + е—2Н(Хм1Р(Хм+1 + гу^сСу

\ и—ж и—ж

Сумма в скобках в правой части по теореме 1 стремится к нулю, когда IXNI, IXм—* то. Следовательно, при \NI, МI —> то

/ж п ж м „

/ ^(х + гу) — Е Рп(х + гу^е^^в(х)р(кь,х)СуСк'(х) — 0.

ж J —ж п=м

А также по теореме 1

/+ж п+ж м „

/ ^(Л) — Е Рп^е-2^в(х)р(х) Суйк'(х) < В\\Р(х + гу)^.

ж </ —ж п=м

Теорема 6 доказана.

Теорема 7. В условиях теоремы 5 положим

1 +ж

}ц

2 ¿-ж

и пусть Бк — система функционалов на Ь2(к), биортогональная к системе экспонент еХкЬ. Тогда для любой функции f Е Ь2(к1), для любого п, ряды

жж

Ш = е ^ (!Ж\ !(г) = е Ш

]=1 т=—ж

сходятся в норме пространства Ь2(к).

2

ж

Доказательство теоремы 7. Как отмечалось в начале параграфа, фк(А) = Ьк(А). В пространстве Е2(Л1) по теоремам А и В две нормы

||2 = / [ (х + ¿у)|2в_2^1 (ж)р(Г1,х)^Л/1(х)^у

и

!И|2 = / № + ¿у)|2е_2^(ж)в(х)р(^1,х)^Л'(х)^у

эквивалентны. Поэтому утверждения теорем 5 и 6 можно сформулировать следующим образом.

Для любой функции V Е Е2(Л) ряды

оо

= £ V

7=1 „=_те

сходятся в норме пространства Е2(Л1), в частности, Е„ Е Е2(Л1), то есть Е„ = ф„, где Ф„ Е Ь2(Л1). Кроме того, для некоторых констант К, В

т Ы

.7 = 1 „=М

По теореме А преобразование Фурье-Лапласа устанавливает изоморфизм банаховых пространств Ь2(Л1) и Е2(Л1), следовательно, если V = ф, то ряды

оо оо

Ф„ = £ Ф(е^^, Ф= £ Ф„

7=1 „=_те

сходятся в пространстве Ь2(Л1), причем

т

. =1

ы

||Ф - £ Ф„!!ез(Й1) < ^^Над.

„=м

При фиксированном п для натуральных к, в рассмотрим операторы К-к,« : Ь2(Л1) —> Ь2(Л), определенные следующим образом:

^к,^ ) = £ (f )е

7=к

Несложно установить, что сопряженные операторы К-к« : Ь2(Л) —> Ь2(Л1) имеют вид:

ч,(ф) = £ ф(^'.

В терминах операторов соотношение (13) означает, что ||К-кЛ < 2К. Тогда

Н^М|| = ||КкЛ < 2К. Линейная оболочка врап(ехрЛ^) полна в пространстве Ь2(Л1) и для всех д Е врап(ехрЛ^) при к, в —> то

(д) 0.

Вместе с равномерной ограниченностью норм операторов это означает, что для всех f Е Ь2(Л1) при к, в —> то

Тем самым, последовательность Rk,s(f) фундаментальна в L2(h) и, значит, сходится в L2(h). Второе утверждение теоремы 7 доказывается аналогичными аргументами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ // М.: Мир. 1973. 469 с.

2. Луценко В.И. , Юлмухаметов Р.С. Обобщение теоремы Пэли-Винера на весовые пространства // Математ. заметки. Т. 48. Вып. 5. 1990. С. 80-85.

3. Луценко В.И. Теорема Пэли-Винера на неограниченном интервале //в сб. "Исследования по теории приближений". Институт математики с ВЦ БНЦ УрО АН СССР. Уфа. 1989. С. 79-85.

4. Юлмухаметов Р.С. Асимптотика многомерного интеграла Лапласа // сб. "Исследования по теории приближений". Институт математики с ВЦ БНЦ УрО АН СССР. Уфа. 1989. 151 с.

5. Saitoh S. Fourier-Laplace transforms and Bergman spaces on the tube domains // Мат. вестн. 1987. 38. № 4. С. 571-586.

6. Исаев К.П., Путинцева А.А., Юлмухаметов Р.С. Построение аналитических в полосе функций с заданной асимптотикой // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. 2008. Вып. 1. С. 100-107.

7. Башмаков Р.А. Системы экспонент в весовых гильбертовых пространствах на R // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук. Уфа. 2006.

8. Кусис П. Введение в теорию пространств Hp с приложением доказательства Вольффа теоремы о короне // М.: Мир. 1984. 364 с.

9. Левин Б.Я. О базисах показательных функций в Ь2(—п,п) // Уч. зап. матем. отд. Харьковского ун.-та и Харьковского матем. об.-ва. Сер. 4. 1961. Т. XXVII. С. 39-48.

10. Левин Б.Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа // Матем. физика и функцион. анализ. Сб. науч. трудов ФТИНТ АН УССР. Вып. 1. Харьков. 1969. С. 136-146.

11. Левин Б.Я., Любарский Ю.И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1975. Т. 39. № 3. С. 657-702.

12. Луценко В.И. Ряды экспонент в пространствах Смирнова // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Уфа. 1992.

13. Исаев К.П. Ряды экспонент в пространствах Бергмана // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Уфа. 2004.

Константин Петрович Исаев, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: orbit81@list.ru

Анастасия Андреевна Путинцева, Башкирский государственный университет, ул. З. Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: PutinBSU@yandex.ru

Ринад Салаватович Юлмухаметов, Институт математики c ВЦ УНЦ РАН, ул.Чернышевского, 112, 450077, г. Уфа, Россия E-mail: yulmukhametov@mail.ru