Математические модели, алгоритм исследования и анализ устойчивости ребристых оболочек с учетом ползучести материала при конечных прогибах

4. Бояршинов, М.Г. Модели переноса и рассеяния примесей в растительном массиве [Текст] / М.Г. Бояршинов. - Пермь: ПермГТУ, 2000. - 142 с.

5. Бояршинов, М.Г. Перенос газовой примеси воздушным потоком через область, содержащую растительный массив [Текст] / М.Г. Бояршинов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2002. - Т. 42. - № 7. -С. 1094-1104.

6. Бояршинов, М.Г. Пространственная модель взаимодействия воздушного потока с лесным массивом [Текст] / М.Г. Бояршинов, В.Д. Горемы-кин // Математическое моделирование. - 2004. -Т. 16. - № 7. - С. 31-42.

7. Валландер, С.В. Лекции по гидроаэромеханике [Текст] / С.В. Валландер. - Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1978. - 296 с.

8. Гершуни, Г.З. Устойчивость конвективных течений [Текст] / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, А. А. Непомнящий. - М., Наука, 1989. - 320 с.

9. Джонс, У. Модели турбулентных течений с переменной плотностью и горением [Текст] / У. Джонс // Методы расчета турбулентных течений. - М.: Мир, 1984. - С. 349-398.

10. Зилитинкевич, С.С. О замыкании системы уравнений турбулентного движения для пограничного слоя атмосферы [Текст] / С.С. Зилитинкевич, Д.Л. Лайхтман // Тр. Гл. геофиз. обсерв. -Л., 1965. - Вып. 167. - С. 44-48.

11. Истомин, В.А. Газовые гидраты в природных условиях [Текст] / В.А. Истомин, В.С. Якушев. - М.: Недра, 1992.- 236 с.

12. Ковалец, И.В. Численная трехмерная модель распространения тяжелого газа в атмосфере с использованием консервативных схем расщепления [Текст] / И.В. Ковалец, В.С. Мадерич // Прикладная гидромеханика. - 2001. - Т. 3 (75). - № 1. -С.28-36.

13. Мановян, А.К. Технология первичной переработки нефти и природного газа [Текст] / А.К. Мановян. - М.: Химия, 2001.- 567 с.

14. Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики [Текст] / Г.И. Марчук. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1980. - 536 с.

15. Менжулин, Г.В. О закономерностях трансформации приземного потока в растительности [Текст] / Г.В. Менжулин, И.Б. Циприс // Тр. Гл. геофиз. обсерв. - 1974. - Вып. 318. - С. 59-67.

16. Павлович, Н.В. Справочник по теплофи-зическим свойствам природных газов и их компонентов [Текст] / Н.В. Павлович. - М., Л.: Энергия, 1962. - 119 с.

17. Баум, Ф.А. Физика взрыва [Текст] / Ф.А. Баум, Л.П. Орленко, К.П. Станюкович [и др.]; под ред. К.П. Станюкович. - Изд. 2-е. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1975. - 707 с.

18. Физические величины [ Текст]: справочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский [и др.]; под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мелихова. -М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

19. Цаплин, А.И. Теплофизика внешних воздействий при кристаллизации стальных слитков на машинах непрерывного литья / А. И. Цаплин. - Екатеринбург: Изд-во «Наука» УрО РАН, 1995. - 238 с.

УДК 539.3

В.М. Жгутов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ И АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ РЕБРИСТЫХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛА ПРИ КОНЕЧНЫХ ПРОГИБАХ

Оболочки как элементы строительных конструкций широко применяются в различных областях техники. Зачастую тонкостенная часть оболочки (далее - тонкая оболочка) подкрепляется ребрами

жесткости в одном или двух направлениях. Известно, что под воздействием нагрузок (даже далеких от критических значений) в тонких оболочках образуются прогибы, соизмеримые с их толщиной.

Известно также, что при длительных воздействиях нагрузок (например снеговых) в указанных оболочках может проявиться свойство ползучести материала, т. е. изменение с течением времени деформаций и напряжений при неизменной нагрузке, что приводит к значительному снижению их несущей способности, найденной при упругом поведении материала.

Исследованию напряженно-деформированного состояния и устойчивости оболочек при длительных нагрузках посвящены работы И.Г. Терегулова [1], В.И. Климанова и С.А. Тимашева [2], а также других авторов. В фундаментальной монографии [2] рассматриваются ребристые пологие оболочки, но без учета сдвиговой и крутильной жесткостей ребер или же с помощью «размазывания» этих жест-костей по полям оболочек. В этой и других работах исследования проводятся без учета поперечных сдвигов (модель Кирхгофа-Лява), а также геометрической нелинейности.

В настоящей работе представлены результаты математического и компьютерного моделирования оболочек с учетом ползучести материала.

Рассмотрим оболочки общего вида с краем (пологие на прямоугольном плане и вращения, в частности цилиндрические, конические, сферические, торообразные, а также некоторые другие).

Срединную поверхность оболочки (точнее, ее обшивки) толщиной к принимаем за отсчетную -г = 0. Оси х и у криволинейной ортогональной системы координат (-а/2 < х < а/2 и -Ъ/2 < у < Ъ/2) направляем по линиям кривизны отсчетной поверхности, а ось г - по внутренней нормали поверхности г = 0 так, чтобы система координат х, у, г была правой (полагаем при этом, что определенная таким образом сеть координатных линий на отсчет-ной поверхности не имеет особенностей).

С внутренней стороны оболочка подкреплена ребрами жесткости, расставленными вдоль координатных линий.

Ребра задаем дискретно с помощью функции Н = Н(х, у), характеризующей распределение ребер по оболочке, их ширину и высоту [3, 4]. Таким образом, толщина всей конструкции равна к + Н и

-к/2 < г < к/2 + Н.

Считаем, что оболочка находится под действием механической нагрузки при определенном закреплении ее края (контура).

Будем совместно учитывать геометрическую нелинейность, дискретное расположение ребер,

их ширину, сдвиговую и крутильную жесткости, поперечные сдвиги, а также возможность развития деформации ползучести в материале.

Геометрические соотношения в срединной поверхности г = 0 получаются с помощью ковариан-тного дифференцирования векторного поля перемещений и с учетом геометрической нелинейности имеют вид

1 dU 1 ЭА "х А дх АВду1

1 dV 1 ЭВ

1

£„ = —-—I--—U-KJF + -Q.

В ду АВ дх

J dU___1_

Уху~ А дх В ду АВ

ду дх

+ 0102,

где £.х, z у- деформации удлинения вдоль осей x, y и сдвига в касательной плоскости (dx, dy); U, V, W - компоненты вектора перемещений точек вдоль осей x, y и z соответственно; A, B - метрические коэффициенты Ламе, зависящие от вида оболочки (например, A = B = 1 для пологой оболочки и A = const, B = B(x) в случае оболочки вращения); Кх =1/7?! и Ку = 1 / R2 - главные величины кривизны (?j, R2 - ее главные радиусы) оболочки вдоль осей x и y соответственно;

е,=

А дх

02="

^ 1 dW

В ду у

Деформации поперечных сдвигов определяем по формулам

уа = с/Ыч, - 60; у^ = сПгХЪ - 02),

где х^, у.,, - углы поворота отрезка нормали в плоскостях (йх, Сг) и (су, Сг) соответственно;У(г) - функция, характеризующая распределение напряжений Хх2 и т вдоль оси г [3 - 5]; с - константа.

Деформации в слое г Ф 0 вычисляем по формулам [3-5]:

+ £у=£у+ тъъ гС=Уху + 2 Ч

42,

где

Xi ~

1 Э\|/Х 1 аа _ 1

А дх + АВ ду^у''Х2 В ду

1 ав

+--VI!

АВ дх

А дх В ду

1

АВ

аА дв

суть функции изменении кривизны и кручения.

Ползучесть материала будем учитывать на основе теорий упругоползучего тела (линейной наследственной теории, широко применяемой в механике полимеров и для старого бетона, либо наследственной теории старения в общем случае стареющего бетона).

Физические соотношения для ортотропных материалов в этих случаях могут быть представлены в виде [5]

оу=аеу-асу,

XZ XZ XZ' yz zy zy?

где упругие (в общем случае упругомгновенные) составляющие напряжений (отмечены верхним индексом е), определяются с помощью формул

^ = <ж = GlзУв, ^ =

а составляющие, обусловленные ползучестью материала (отмечены верхним индексом с), вычисляются с помощью соотношений

а^^^е^МЛ;

'о

Ъу = Ьп^уШ хЖ т^ - ¡(^„ВД т)^

'о 'о

•4 = '¡ЪзУМ*, тут.

Для изотропных материалов физические соотношения являются частным случаем соотношений (1) и (2) при Е1 = Е2 = Е и ц = ц2 = ц, а также G,=G2 = £/( 1 - ц2), Gj2 = G13 = G23 = G = Е/2(1+ц).

Функционал полной энергии деформации оболочки запишем в виде [5 -10]

Э = ЭЙ-ЭС,

где функционал

а/2 6/2

J{(A + ^[e2 + (H2+G#1)exey +

-а/2-6/2

+ G2z2y + Gl2^xy + Gnk(iSfx-Q)2 +

+ G23k(yy - e2)2]+s[2£je, + (\l2 + аде*ЗС2 + + (ih + G2iix)eyXi + Ж2еух2 +

+ 2G12y^2Zi2]+ [xf+ +

\ /

-^iPxU + PV + qW)\ABdxdy

соответствует линейно упругой постановке задачи [5], а функционал

a/2 Ы2 t

Здесь т), Я2(?, т) - функции влияния материала соответственно при растяжении (сжатии) и сдвиге, t - время, т - переменная интегрирования (имеющая смысл времени);

1- М-1М-2

б12, С13, С23 - модули сдвига (константы либо переменные коэффициенты (функции {) в общем случае), где Еъ Е2 и (Д,ь Ц2 - продольные модули упругости и коэффициенты Пуассона (переменные либо константы).

Эс=\\ i J'+ F)(e'+ ^ + +

-a/2 -6/2 0

^i2 + (^2 + G2R1)M2 + G25C2)X

-

xR.it, т) +[(й + F)(p+ G13%x - G^2 + + G23*(v^ - e2)2)+5(2G12y^2%12) +

h 1 — + J

12

v у

— + J 12

v у

Gi22%122%12

описывает процесс развития ползучести в материале [5].

В формулах (4) и (5) Р, Б, J - жесткостные характеристики ребер (погонные площадь поперечного (продольного) сечения ребра, статический момент и момент инерции этого сечения); Рх, Ру, q -продольные и поперечная компоненты внешней механической нагрузки (в дальнейшем полагаем, что

п _ П - Г\\ Г - г - ^12 Г - <?13 г - ^23 Рх=Ру=°); °2 , 12 -—, Из 23 -—.

Ц О, И Сг,

Для отыскания минимума энергии (3) применяем метод Ритца при разложении искомых функций Щг,у), Г(х,у), Щт,у), \гх(х, у),уДя, у)в виде [6-10]:

и = ¿[/(/)Х1(/)71(7); V = |>(/)Х2(/)72(/);

¡-1

где

/Г=0

/=1

/=1

w ^ищхцщш /=1

/=1

N

yy=^PN(I)X5(I)Y5(I),

1=1

где [/(/), К(Т), iW(7) - неизвест-

ные параметры переменной t, подлежащие определению; Х1(/)71(/), ...,Х5(/)75(/) - известные аппроксимирующие функции переменных x и j, удовлетворяющие заданным краевым условиям.

При этом интегралы по переменной т разбиваем на сумму интегралов по частичным отрезкам [i,-_l > t\ длиной At = ti— = 1 сут (сутки) каждый. Указанные интегралы вычисляем приближенно по формуле прямоугольников [6 - 10].

В результате получаем нелинейную систему алгебраических уравнений, которую кратко можно записать в виде [6 - 10]

FJl{X)-fq = -Fll{X) + Fc{X),

где Х=[ЩГ), V(I), W(/), PS(I), PN(I)]T; fq -нагрузочный член f - коэффициент); FJ^X) и FU(X) - линейная и нелинейная части системы (6), соответствующие (вместе с нагрузочным членом) функционалу (4); FC{X) - часть системы (6), отвечающая функционалу (5).

В начальный момент t = t0 FC(X) = 0 и решением исходной задачи является решение упругой задачи [6-10]. Далее решаем систему (6) методом итераций:

ад) -fq=ад-о+ад-i)+ад-а

Процесс продолжаем по времени t до критического его значения 1К, отвечающего резкому возрастанию прогибов (при заданном значении нагрузки q).

Таким способом может быть построена кривая снижения критической нагрузки, найденной в начальный момент времени t — Заметим, что при нахождении момента времени £ = при котором происходит потеря устойчивости оболочки вследствие ползучести, конкретное значение К, принимаемое индексом k (пробегающим значения 1, 2, ..., К), заранее неизвестно. В процессе изменения индекса k вместе со значениями К2к {_1

пересчитываем все значения, соответствующие функционалу (5) в полученном нами расчетном уравнении (7) [10].

Описанный алгоритм реализован в виде программного комплекса для ЭВМ. В рамках серии вычислительных экспериментов были выполнены (и в настоящее время продолжаются) расчеты для различных вариантов как гладких, так и ребристых оболочек каждого вида, отличающихся геометрическими размерами, кривизной, числом подкрепляющих ребер, материалом изготовления.

Приведем некоторые результаты для пологих изотропных оболочек (на прямоугольном плане), выполненных из оргстекла и железобетона.

Для удобства представления и анализа результатов функционал (4) был записан в безразмерных параметрах, описанных в работах [3, 4], в частности:

безразмерных координатах £ = х/а, п = у/Ъ; безразмерных кривизнах к^ - а2Кх/к, кц -Ь2Ку!к; безразмерных перемещениях и= д[///г2, V =ЬУ/к1, № - уу/Ъ и углах \рх - уу - Ьл\гу/Л; безраз-

мерной нагрузке Р = а4 q| ЕЬ*.

Варианты и соответствующие параметры проанализированных пологих оболочек представлены в таблице.

Параметры проанализированных пологих оболочек

Вариант оболочки Параметр Возможный реальный размер, м

a = b R = R I I a = b R = R2 h

I 60h 225h 16 18 67,5 0,30

II 100h 251h 40 18 45,3 0,18

III 200h 503h 79,5 18 45,3 0,09

IV 600h 1510h 238 18 45,3 0,03

Для каждого варианта рассматривались как гладкие оболочки (не имеющие ребер), так и ребристые, подкрепленные регулярным набором из шести либо восемнадцати ребер. Считалось, что ребра расставлены вдоль координатных линий x и y соответственно по три ребра либо по девять в каждом из указанных направлений. Высота ребер принималась 3h; ширина ребер полагалась равной 2h, 3,3h, 6,6h и 20h соответственно для вариантов оболочек I, II, III и IV.

Кроме того, при проведении расчетов предполагалось, что поперечная нагрузка q равномерно распределена (q = const); край (контур) оболочки закреплен шарнирно-неподвижным способом; число членов разложения в методе Ритца N = 9; коэффициент Пуассона ц = 0,354 (для оргстекла) и 0,2 (для бетона).

Функции влияния для полимерных материалов (в частности оргстекла) были взяты в виде

где At, a/; ß; - константы, определяемые экспериментально (1 < l < 2) [2, 5].

Для старого бетона -

R2(t,x) = 2Rl (f,x)G/E,

где у, С0 - экспериментальные константы; G = = £/2(1 + ц) [11].

На рис. 1 в качестве примера представлены зависимости W—t для различных вариантов оболочек и значений безразмерной нагрузки.

На рис. 2 для гладких оболочек, выполненных из оргстекла, представлены зависимости q/q^, — t^ снижения критической нагрузки вследствие ползучести — мгновенная критическая нагрузка, найденная при решении упругой задачи; t = t^). Подобным образом выглядят кривые снижения и для железобетонных оболочек.

Таким образом, с увеличением толщины оболочки кривые снижения критической нагрузки ниспадают быстрее (более круто). Аналогичный вывод справедлив и в случае увеличения числа ребер, подкрепляющих оболочку.

Отметим, что решения, полученные для оболочек, выполненных из оргстекла, хорошо согласуются с результатами натурных экспериментов, описанных в работе [2].

a)3W

100 200 300 400 500 t, сут

б) W 3

W

50 100

150

200

t, сут

t, сут

0

100 200 300 400 500

t, сут

Рис. 1. Временные зависимости безразмерных величин поперечных перемещений (прогибов) для различных значений безразмерных нагрузок в случаях: а - гладкой оболочки варианта I, выполненной из оргстекла; б - гладкой железобетонной оболочки варианта II; в - ребристой железобетонной оболочки варианта II с 6 ребрами; г - ребристой железобетонной оболочки варианта II с 18 ребрами

Числа над кривыми соответствуют значениям безразмерных нагрузок Варианты оболочек даны в таблице

0

100

200

300

t , сут

кр' J

Рис. 2. Расчетные зависимости снижения критических нагрузок

0

2

1

0

Отдельная серия расчетов для гладких и ребристых оболочек базового варианта III, отличающихся по кривизне [12], показала, что с увеличением кривизны оболочек (при неизменной толщине И) процесс ползучести в их материале (оргстекло, железобетон) развивается быстрее. Иными словами, с увеличением кривизны оболочки влияние деформаций ползучести на снижение критической нагрузки также возрастает.

Расчеты показали также, что вблизи критических нагрузок напряжения в материале обо-

лочки достигают достаточно высокого уровня. Следовательно, при исследовании устойчивости оболочек всегда необходим контроль их прочности.

Полученные результаты дают возможность рационально подбирать геометрические параметры и материал конструкции, а также задавать коэффициенты запаса прочности при решении задач устойчивости различных оболочек с учетом возможной ползучести материала.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Терегулов, И.Г. Изгиб и устойчивость тонких пластин и оболочек при ползучести [Текст] / И.Г. Терегулов. - М.: Наука, 1969. - 206 с.

2. Климанов, В.И. Нелинейные задачи подкрепленных оболочек [Текст] / В.И. Климанов, С.А. Тимашев. - Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. - 291 с.

3. Карпов, В.В. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования [Текст]: учебное пособие / В.В. Карпов, О.В. Игнатьев,

A.Ю. Сальников - М.: АСВ; СПб: СПбГАСУ, 2002.- 420 с.

4. Жгутов, В.М. Нелинейные свободные колебания пологих оболочек ступенчато-переменной толщины [Текст]: дисс. ... канд. техн. наук: 05.23.17: защищена 29.04.04: утв. 09.07.04 / Жгутов Владимир Михайлович. - СПб, 2004. -177 с. - Библиогр.: С. 125 - 145.

5. Жгутов, В.М. Анализ развития деформаций ползучести в материале пологих оболочек при длительном нагружении [Текст] / В.М. Жгутов,

B. В. Карпов // XVIII сес. Междунар. школы по моделям механики сплошной среды: Матер. междунар. конф. Саратов, 27 авг. - 1 сент. 2007 г.; Сарат. гос. ун-т / Под ред. акад. Н.Ф. Морозова. -Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 2007. - 316 с. -

C. 121 - 124.

6. Жгутов, В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала [Текст] / В.М. Жгутов // Изв. Орловского

гос. техн. ун-та. Сер. « Строительство, транспорт». -2007. - № 4. - С. 20 -23.

7. Жгутов, В.М. Исследование прочности и устойчивости ребристых оболочек с помощью вычислительного эксперимента [Текст] / В.М. Жгутов // Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Сб. докл. VII Междунар. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте. 23 - 24 апреля 2008 года. - СПб.: Петерб. гос. ун-т путей сообщения, 2008. - 267 с. -С. 110 - 131.

8. Жгутов, В.М. Математическая модель и алгоритм исследования прочности и устойчивости ребристых оболочек с учетом различных свойств материала [Текст] / В.М. Жгутов // «Инженерные системы - 2008»: Всерос. научно-практ. конф.: Москва, 7 - 11 апреля 2008 года, РУДН. - М.: Изд-во РУДН, 2008. - С. 341 - 346.

9. Жгутов, В.М. Математическая модель деформирования ортотропных и изотропных ребристых оболочек при учете ползучести материала [Текст] / В.М. Жгутов // Инженерно-строительный журнал. - 2009. - № 7. - С. 46-54.

10. Жгутов, В.М. Анализ различных подходов к исследованию ползучести в материале пологих ребристых оболочек [Текст] / В.М. Жгутов // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2010. - № 1. - С. 4 - 12.

11. Жгутов, В.М. Устойчивость железобетонных ребристых оболочек при длительных нагрузках [Текст] / В.М. Жгутов // Популярное бетоноведение. - 2010. - № 1.

12. Жгутов, В.М. Математическая модель, алгоритм исследования и анализ устойчивости нелинейно-упругих ребристых оболочек при больших перемещениях [Текст] / В.М. Жгутов //

Научно-технические ведомости СПбГПУ. Сер. «Физико-математические науки» - 2009. - № 4. -С. 24 - 30.

УДK 519.6

Д.Г. Арсеньев, В.М. Иванов, Н.А. Берковский

АДАПТИВНЫМ МЕТОД СУЩЕСТВЕННОЙ ВЫБОРКИ ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ЧИСЛЕ ШАГОВ БИСЕКЦИОННОГО ПРОЦЕССА

Адаптивный метод существенной выборки (АСВ) является одним из проявлений идеи последовательных методов Монте-Карло для вычисления интегралов; впервые он предложен в работе [4]. Наиболее полно теория этого метода развита в монографии [1]. Там представлены оценки сходимости, гарантирующие при определенных условиях большую эффективность адаптивных методов по сравнению с классическими методами Монте-Карло, такими как метод существенной выборки и метод выделения главной части. Однако теория предполагает возможность сколь угодно точных кусочных аппроксимаций подынтегральной функции, что не может быть реализовано на практике. Особенно в случае интегралов высокой кратности в связи с ограничениями объема памяти вычислительного устройства вычислителя лимитирует число подобластей, на которые следует разбивать исходную область интегрирования.

В данной статье исследуются особенности применения АСВ при условии, когда имеются ограничения в мелкости дробления области интегрирования. Разработан алгоритм, который позволяет эффективно применять адаптивную схему при малом числе шагов процесса бисекции. Возможности алгоритма показаны на примере методической одномерной задачи теории фильтрации и сравниваются с результатами, полученными методом Монте-Карло с гауссовой плотностью распределения, а также методом существенной выборки (СВ). Детально разбирается численный пример, в котором адаптивная схема оказывается эффективнее, чем метод СВ. Заметим, что согласно литературным данным адаптация в стохастическом интегрировании может быть основана и на других идеях [6].

Схема АСВ в одномерном случае

Общая схема АСВ для интегралов любой кратности приведена в работе [1]. Здесь для простоты рассмотрим ее одномерный вариант, предполагая интеграл несобственным с бесконечными пределами. Допустим, что необходимо приближенно вычислить I = J/(х)сЬс, где о функции Дх) известно

следующее:

она интегрируема на [—оо 5оо];

Дх) Ф 0 почти везде на всей числовой оси;

значения Дх) вне фиксированного промежутка [а, Ъ] пренебрежимо малы по сравнению с ее значениями внутри него, так что вклад этих значений в интеграл несуществен.

Последнему требованию можно придать более точную форму, но в этом нет необходимости. Кроме того, будем считать, что Дх) такова, что дисперсия оценки Дх)/р(х) конечна при всех плотностях р(х), которые фигурируют в статье. Рассмотрим следующую схему вычислений.

1. Выберем произвольную плотность распределения с1(х) такую, что х) > 0 (строго) на всей числовой прямой.

2. Разделим [а, Ъ] на две равных части [а, с] и [с, Ъ], возьмем малое число 5 > 0 и найдем значения

+ 8, /2 =

Л =

/

/

+ 8.

Обозначим промежутки [а, с] и [с, Ъ] как А! и Д2 соответственно и рассмотрим функцию

' 2

к=1

ш=