Поперечные колебания гребного вала при его одностороннем взаимодействии с дейдвудным подшипником

УДК 629.12.037.001.5 ББК 39.455.86-045:22.236.35

А. И. Миронов

ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГРЕБНОГО ВАЛА ПРИ ЕГО ОДНОСТОРОННЕМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ С ДЕЙДВУДНЫ1М ПОДШИПНИКОМ

A. I. Mironov

TRANSVERSE VIBRATIONS OF THE PROPELLER SHAFT IN ITS ONE-WAY INTERACTION WITH STERN BEARING

Исследуются вынужденные поперечные колебания вала, опирающегося на длинные подшипники, вызываемые переменным моментом. Подшипники моделируются упругим основанием постоянной жесткости. Учитывается возможный отрыв вала от подшипника в процессе колебаний и износ подшипника.

Ключевые слова: поперечные колебания, вал, подшипник, износ, упругое основание.

The forced transverse vibrations of the shaft based on long bearings caused by variable moment are studied. The bearings are modeled by elastic foundation with constant stiffness. The possible separation of the shaft from the bearing during vibrations and bearing’s runout are taken into account.

Key words: transverse vibrations, shaft, bearings, runout, elastic foundation.

Валопровод любого судна является одним из важнейших устройств двигательно-движительной установки, т. к., передавая крутящий момент от двигателя к гребному винту, обеспечивает движение судна. Именно поэтому надежной работе валопровода уделяется достаточно большое внимание. Проведенными технологическими и конструктивными мероприятиями удалось повысить межремонтный период эксплуатации валопровода, однако его величина все еще отстает от желаемого значения.

Относительно малый период эксплуатации валопровода без ремонта в определенной степени может быть объяснен, как ни странно, недостаточной изученностью условий работы вала.

Валопроводы судов представляют собой упругую систему, подвергающуюся воздействию сложной системы как стационарных, так и нестационарных нагрузок, многие из которых еще недостаточно изучены, и поэтому при теоретическом исследовании работоспособности вало-провода учесть все факторы, влияющие на его работу, не представляется возможным. Однако используемые в настоящее время расчетные схемы являются неоправданно упрощенными. Разработанные численные методы и доступность ПЭВМ позволяют совершенствовать расчетные схемы, используемые в настоящее время, и учитывать в них дополнительные факторы, воздействующие на вал, что еще относительно недавно не представлялось возможным. Например, возможно более точно учитывать взаимодействие гребного вала с длинными дейдвудными подшипниками.

Моделирование в расчетных схемах дейдвудных подшипников упругим основанием одностороннего действия вместо «точечных» шарнирных опор [1] позволило получить новые результаты по взаимодействию вала с дейдвудными подшипниками, его нагруженности [2], а также разработать методику по прогнозированию работоспособности валопровода в зависимости от изнашивания дейдвудных подшипников [3, 4].

Однако, как отмечалось выше, валопровод нагружается не только статическими силами, но и динамическими, передающимися со стороны вращающегося винта, двигателя, а также через подшипники со стороны корпуса судна.

Отрыв вала в процессе работы валопровода от длинных дейдвудных подшипников изменяет параметры системы валопровода в целом, что не учитывается расчетной схемой «на точечных опорах». Поэтому можно ожидать, что и расчеты колебаний валопровода, учитывающие реальное взаимодействие вала с подшипниками, позволят объяснить ряд явлений, имеющих место на работающем валопроводе. В частности, почему со временем увеличивается вибрация гребного вала.

Имеются исследования, в которых делаются попытки учесть длину дейдвудных подшипников при вычислении собственной частоты колебаний валопровода, однако при этом либо не учитывается длина контакта вала с дейдвудными подшипниками, либо, так или иначе, длинные подшипники заменяются одной или двумя «точечными» шарнирными опорами [5-7] и др.

Следует отметить, что при исследовании колебаний валопровода говорить о собственной частоте вообще-то не приходится, т. к. ее просто не существует. Недаром в [5] вводятся понятия верхней и нижней собственных частот. Дело в том, что амплитуды колебаний вала зависят не только от величины и частоты возмущающей нагрузки (например, гидродинамического момента Мгдм), как при обычных механических колебаниях, но и от длины контакта вала с подшипником, которая изменяется в процессе колебаний вала вследствие отрыва вала от подшипника. Таким образом, параметры системы вал-дейдвудные подшипники меняются в процессе колебаний, т. е. в данном случае мы имеем дело с так называемыми параметрическими колебаниями. Известно, что параметрические колебания имеют целые области неустойчивости, зависящие как от частоты изменения возмущающей нагрузки, так и от амплитуды периодического изменения параметров системы (в нашем случае - от длины контакта вала с дейдвудным подшипником) [8].

Рассмотрим колебания вала, опирающегося на частично изношенные дейдвудные подшипники.

Ранее было установлено [9], что у крупнотоннажных судов наименьшую собственную частоту имеет кормовой участок валопровода. К аналогичным результатам приходят и другие исследователи. Таким образом, при изучении колебаний можно учитывать лишь консоль вала с гребным винтом и отрезок вала над кормовым дейдвудным подшипником. Действие отброшенной части вала учитывается граничными условиями. Наиболее вероятно [10] в качестве граничных условий могут быть приняты граничные условия, обеспечиваемые либо шарнирной опорой - у = 0, Мх = 0, либо «вертикальным ползуном» - ф = 0, Qy = 0. Поэтому расчетную схему для исследования поперечных колебаний вала принимаем в виде стержня постоянного сечения, частично опирающегося на упругое основание, моделирующее кормовой дейдвудный подшипник, с односторонним взаимодействием с основанием (возможен отрыв стержня от основания в процессе колебаний); основание изношено по некоторой поверхности (рис. 1).

1 г

Рис. 1. Расчетная схема для исследования поперечных колебаний валопровода:

1 - кормовой участок валопровода; 2 - упругое основание одностороннего действия, моделирующее изношенный кормовой дейдвудный подшипник; 3 - гребной винт массой М и моментом инерции 1М ; ^ - вес винта; Мгдм = М0 + Ма^т ю / - переменный гидродинамический момент; q - интенсивность распределенной нагрузки, моделирующей вес вала

Обычно при исследовании колебаний деформацию системы от статических нагрузок и собственно колебания системы рассматривают независимо друг от друга, а при необходимости результаты складывают. В данной задаче этот прием использовать нельзя, т. к. длина контакта вала с подшипником, а следовательно, и колебания зависят от суммарной величины изгиба вала.

Принимаем перемещения сечения вала при нагружении статическими нагрузками и в процессе колебаний малыми. Тогда перемещения сечений вала у можно найти как сумму перемещений от статического нагружения у1 и непосредственно от колебаний у2, т. е.

у = У1 + У2.

Найдем у1. Для этого рассмотрим деформацию стержня только от весовых нагрузок (рис. 2).

Дифференциальные уравнения изгиба стержня имеют вид:

- 0 < х < b(t) < l:

d 4

EI~^r=q - k (л - Уо);

dx

- b(t) < l < x < L:

где Е1 - изгибная жесткость сечения стержня; к - жесткость упругого основания (постели), моделирующего дейдвудный подшипник; у0 = у0 (х) - уравнение, описывающее изношенную поверхность подшипника.

Рис. 2. Статический изгиб вала: Ь - длина контакта вала с подшипником (изменяется в процессе колебаний); I - длина дейдвудного подшипника; Ь - длина кормового отрезка вала; М0 - постоянная составляющая гидродинамического момента; д, ^ - см. рис. 1

Интегрируем уравнение (2) по методу начальных параметров.

Вводим новую переменную

Мо

I

X

L

где

и преобразовываем (2) к виду

или

Решение уравнения (5) представляется так:

У1 = У11 + У12,

где у11 - решение однородного уравнения

>4

^4 + 4 У1 = о,

dX4

у12 - любое частное решение уравнения (5).

Решение уравнения (6) по методу начальных параметров имеет вид

У11 = У1V (X)+^ к2 (X) +^ V (X)+4=у4 (X).

а,

а,2 Е1

а?Е/

Здесь Кх(Х), ^г(Х), ^з(Х), К4(Х) - известные балочные функции А. Н. Крылова [11] аргумента X; Ун, фи, М1Ь Qu - так называемые начальные параметры: прогиб, угол поворота сечения, изгибающий момент и поперечная сила в сечении стержня, расположенного в начале координат.

Частное решение У12 уравнения (5) по методу начальных параметров ищется в виде следующего интеграла:

X

У12 = I / (е^-е^ 0,

о

где 0 - служебная переменная; Д0) - функция, получаемая из правой части дифференциального уравнения (в нашем случае - уравнения (5)) путем замены переменной X на служебную переменную е, т. е.

/ (0) = -

Ч

а4 Е1

+ 4 Уо(0).

Тогда

У12 = I\ а4

Ч

0 V а4 Е1

+ 4 Уо

> X X

¥4 (X - 0^ 0 = Г-^- ¥4 (X - 0^ 0 +14 уо (еж (X - 0¥ 0 = У121 + У122. 0 а4 Е1 -1

/

о

Интегрируем:

X X

У121 = \^^-¥4(X-е)dе = ^^- jV4(X-е)dе= Ч 0 а4Е1 а4Е10

Учитывая (4),

Окончательно

Для вычисления

а4 Е1

4 ¥1

0 4а4 Е1

(1 - ¥1 (X)).

4а4 Е1 = 4

к

4Е1

Е1 = к.

у121

X

= I О^^-еМ 0=Ч (1 - ¥1 (X)).

0 а4Е1

к

у122 = 14 Уо(е)¥4(X-е)d 0

необходимо знать функцию у0, характеризующую распределение износов по длине подшипника.

С целью определения функции у0 были измерены износы капролоновых втулок-вкладышей дейдвудных подшипников, снятых с судов во время их ремонта.

Обработка результатов измерения износов показала, что функцию, описывающую износ

втулок по длине у, можно принять в виде степенного ряда «-го порядка, т. е.

X

о

_ П

У = X аіХ •

і=о

Значение п определялось из условия минимума суммы квадратов отклонений экспериментальных значений износов от аппроксимирующей кривой. Величина п варьировалась от п = 2 до п = 4. Однозначно определить п для всех втулок не удалось, поэтому для дальнейших исследований было принято значение п = 4. При меньших значениях п решение может быть получено как частный случай.

Учитывая, что параллельное смещение балки не влияет на ее деформацию, окончательно функция у0 была принята в виде

4 4

і=1 і=1

Уо = X аіХ = X Ьіх,

где

Ьі = (і = 1 , 4).

а1

Тогда

У0 (0) = Ь10 + Ь202 + Ь303 + Ь404.

В результате находим

X X

у122 = 14 у0 (0)К4 (X - 0)^ 0 = 14(Ь10 + Ь202 + Ь303 + Ь404 )У4 (X - 0)^ 0 =

о о

=^(Х- к2 (X))+ь2 (X2 - 2УЪ (X))+ьъ (X3 - 6У4 (X))+ь4 (X4 - 6(1 - V1 (X))).

Окончательно решение дифференциального уравнения изгиба стержня на первом участке (2) имеет вид:

- 0 < х < Ь(0 < I:

У1 = .VI1VI (X)+^ V (X)+Мх- Кзй)+-^ V (X)+7 (1 - VI (X)) +

«1 а2 Е1 а3к

+Ь1

Решение дифференциального уравнения изгиба стержня на втором участке (3) известно:

- Ь(0< I < х < Ь:

. М12( х - Ь)2 Q12( х - Ь)3 7( х - Ь)4

у1 = у12 +ф12

12 Т12 2Е1 6 Е1 24Е1

Рассмотрим теперь собственно вынужденные колебания стержня под действием переменного гидродинамического момента Мгдм (рис. 3).

Рис. 3. Колебания стержня под действием переменной составляющей гидродинамического момента - М^т Ш; обозначения см. на рис. 1

Дифференциальные уравнения колебаний стержня соответственно имеют вид:

- 0 < х < Ь(0 < I:

Э4 У2 Э2 у2

EI -У2 + m -У2 + кУ2 = О;

Эx4 Эг

Э4 у2 Э2 у2

EI—= 0.

Эх4 Э^

Интегрируем уравнения (9) и (10), применяя метод Фурье и метод начальных параметров Коши. В результате находим:

- 0 < х < b (t) < l:

У2 =

a2 a2 EI a2 EI

- b(t) < l < х < L:

У2 =

a3 a2 EI a3 EI

Здесь

Z = a2 x;

i 2

4 k-mw 2

a2 =----------, k > mw ;

2 4EI

2

4 mw

а3 = ,

3 ЕІ

ю - частота изменения гидродинамического момента (лопастная частота); ^(£), Р”2(£), Р”3(£), К4(^) - балочные функции А. Н. Крылова аргумента £ [11]; к1, к2, к3, к4 - следующие функции аргумента (а3 (х - Ь)):

к1 (а3 (х - Ь)) = 1 (сЬ(а3 (х - Ь)) + со8(а3 (х - Ь))); к2 (а3 (х - Ь)) = 1(8Ь(а3 (х - Ь)) + 8Іи(а3 (х - Ь))); к3 (а3 (х - Ь)) = 1 (сЬ(а3 (х - Ь)) - со8(а3 (х - Ь)));

к4(а3( х - Ь)) = 1(8Ь(а3( х - Ь)) - 8Іи(а3( х - Ь)));

у2і, ф2і, М21, Q2\ - начальные параметры, т. е. прогиб, угол поворота сечения, изгибающий момент и поперечная сила в сечении стержня, расположенного в начале координат.

В результате функцию у, описывающую изгиб стержня в процессе вынужденных колебаний, получаем в следующем виде (1), (7), (8), (11), (12):

- 0 < X < Ь(0 < I:

у = У11*1(£)+^ ЗД *э(£)+-^Ъ V (X)+7 (1 - *!(£)) +

а а2 ЕІ а3 ЕІ к

+bi (Х - V2 (Х))+b2 (Х2 - 2V3 (Х))+Ьз (Х3 - 6V4 (Х))+bA (Х4 - 6(1 - Vi (Х))) +

^ V2(Z)+V3(Z)+-Qi-a2 a2 EI a2 EI

+

+(У 22 к (a (x - b)) + — k2(aз( х - b)) + кз (Оз( х - b)) +

2

a3 a3 EI

В выражения (13) и (14) входят 16 постоянных интегрирования, которые находятся, как известно, из граничных условий.

Например, на левом конце стержень опирается на шарнирную опору, на правом - винт весом ^, массой М и моментом инерции Ім, а также переменный гидродинамический момент Мгдм. Тогда граничные условия имеют вид:

Так как выражения (15) должны выполняться при любых значениях sin wt, окончательно находим

2. х = Ь - граница участков.

На границе участков перемещения углы поворота сечений, изгибающие моменты и поперечные силы в сечении слева (индекс с) и справа (индекс пр) одинаковые, т. е.:

то, учитывая выражения (13) и (14), из граничных условий (16) получаем 8 выражений, связывающих постоянные интегрирования (здесь не приводятся из-за их громоздкости).

3. х = Ь - правый конец.

Э2 У

1. x = О У = О; Mx = EI= О

Эx2

или, учитывая выражение (13),

Уіі + У21 sin wt = О, M11 + M21 sin wt = О.

У11 = О; У21 = О; Mil = О; M21 = О.

^ Упр; Фс Фпр; Мхс Мхпр; 0ус °упр

Так как

Мх = Мгдм + Мин = МО + Ма sin wt - Iм

Э2Ф Эt2,

Э2

O = F - F = F +M ~^У

y ин 2

Эt

Учитывая выражения (14), (17), (1S) и (19), находим:

2 - - 1 - 1 -= MО + Ma sin wt + IM w (ОзУ22к4 (L) + ф22кі (L) + ——M22к2 (L) + —— 022кз (L)) sin wt;

a3 EI a2 EI

3 2

O12 + q(L - b) + (a3Efy22к2 (L) + a3EIф22кз (L) + a3M22h4 (L) + Q22к1 (L) sin wt =

где

L = а3 (Ь - Ь).

Отсюда получаем еще 4 выражения для определения постоянных интегрирования:

Ml2 + а2(L -Ь) + -Ь) = M0;

Ql2 + q(L - Ь) = Е;

2 - - - 1 -а3 EIkз(L)у22 +а3EIk4(L)Ф22 + ^(^^22 + k2 (L)Q22 =

а3

2 - - 1 - 1 -= Ma + (а3^СЦу22 + kl(L)Ф22 + ~k2(L)M22 + 2 k3(L)Q22);

а3 £/ а2 EI

а3 EIk2(L) у22 +а3 EIk3(L)ф22 +а3k4(L)M22 + к(Е)(222 =

2 - 1 - 1 - 1 -= —Mю (k1(L)y22 + k2(L)Ф22 + 2 k3(L)M22 + 3 k4(L)Q22)•

а3 а2 EI а3 EI

Заключение

Следует отметить, что полученная система уравнений, описывающая движение вала в процессе его колебаний, не имеет точного аналитического решения, т. к. в нее входит переменная величина, учитывающая длину контакта вала с подшипником, зависящая от времени, закон изменения которой неизвестен. Однако задача может быть решена численными методами. Например, может быть использован алгоритм, предложенный в [12], а именно:

а) период изменения гидродинамического момента Т разбиваем на п малых интервалов АТ;

б) последовательными приближениями вычисляем перемещения сечений вала у и длину контакта вала с подшипником в начальный момент времени t = 0;

в) даем времени приращение, равное АТ;

г) вычисляем значения перемещений сечений стержня у, изгибающие моменты Мх и поперечные силы Qу в сечениях стержня, давление стержня на подшипник q, при этом принимаем длину контакта вала с подшипником равной величине, определенной на предшествующем этапе;

д) определяем новую длину контакта вала с подшипником.

Продолжаем так до тех пор, пока не будет пройден весь период изменения гидродинамического момента.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Миронов А. И. Сравнение результатов расчета технологических параметров валопровода на точечных и протяженных опорах // Судостроение и судоремонт: сб. тр. - Астрахань: Изд-во АТИРПиХ, 1990. - С. 23-25.

2. Миронов А. И. Совершенствование расчетной схемы валопроводов судов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. - 2011. - № 1. - С. 127-131.

3. Миронов А. И. Моделирование процесса изнашивания дейдвудных подшипников // Тр. 1-го Междунар. симпоз. по транспортной триботехнике «Транстрибо-2001», Санкт-Петербург, 2001 г., 2-7 июля. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. - С. 64.

4. Миронов А. И. Влияние изнашивания дейдвудных подшипников на параметры центровки валопроводов судов // Тр. VIII Междунар. науч. конф. «Наука, экология, экономика, образование» серии «Нелинейный мир», Астрахань, 15-20 сент. 2003 г. - Астрахань: ИПЦ «Факел», 2004. - С. 194-198.

5. Абрамович С. Ф., Меркулов В. А. Уточнение метода расчета изгибных колебаний судовых валопрово-дов // Судостроение. - 1977. - № 10. - С. 24-28.

6. Рейнберг Е. С. Определение центра давления гребного вала на кормовой дейдвудный подшипник // Судостроение. - 1964. - № 3. - С. 45-47.

7. Оценка влияния длины и жесткости кормовых опор гребных валов на виброактивность валопровода / С. Ф. Абрамович, В. А. Меркулов, К. Н. Пахомов, В. В. Терских // Тр. второй Междунар. конф. по судостроению, С.-Петербург, 24-26 ноября 1998 г. - Т. 2. - СПб., 1998. - С. 49-50.

8. Пановко Я. Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука, 1971. - 239 с.

9. Денисова Л. М., Миронов А. И. Сравнительный анализ собственных частот различных участков гребного вала судов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. Сер.: Морская техника и технология. - 2011. -№ 2. - С. 28-31.

10. Миронов А. И., Денисова Л. М. Влияние дейдвудных подшипников на колебания валопроводов судов // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. - 2004. - № 1 (20). - С. 125-130.

11. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наук. думка, 1975. - 704 с.

12. Мамонтов В. А., Миронов А. И., Халявкин А. А. Исследование параметрических колебаний валопроводов судов // Вестн. Нижегород. гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. - 2011. - № 4 (5). - С. 2333-2334.

Статья поступила в редакцию 5.04.2012

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Миронов Альфред Иванович - Астраханский государственный технический университет; канд. техн. наук, доцент; доцент кафедры «Теоретическая и прикладная механика»; sopromat@ astu.org.

Mironov Alfred Ivanovich - Astrakhan State Technical University; Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department 'Theoretical and Applied Mechanics"; sopromat@ astu.org.