Расчет стапционарных электромагнитных полей с учетом электрических и магнитных свойств полупроводящих сред

УДК 621.31

РАСЧЁТ СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ СВОЙСТВ ПОЛУПРОВОДЯЩИХ СРЕД

В.Ю. БЕЛАШОВ*, И.А. ДМИТРИЕВ**, А.И. КИЛЕЕВ*

*Казанский государственный энергетический университет **КНПП «Вертолёты МИ»

На основе оригинальной расчетной схемы представлено точное решение задачи вычисления электромагнитного поля отрезка проводника с заданным потенциалом и постоянным током, расположенного над полупроводящей плоскостью. Решение основано на нестандартных геометрических построениях метода зеркальных изображений.

Ключевые слова: электромагнитное поле, граничные условия, метод зеркальных изображений.

Введение

В настоящий момент при расчёте электростатических и стационарных магнитных полей пренебрегается проводящими свойствами сред. И наоборот, при расчёте электрического поля постоянного тока в проводящих средах не учитывается влияние магнитных свойств среды. При этом расчёт полей в полупроводящих средах сопряжён с большими трудностями.

В работах [1, 2] опубликовано точное решение задачи для отрезка проводника с переменным током над полупроводящей плоскостью, основанное на модифицированном методе зеркальных изображений. Модификация метода была произведена из условия удовлетворения решения на границе раздела сред второму закону Снеллиуса. В настоящей работе полученные результаты [1, 2] распространяются на квазистатические и стационарные поля: предлагается методика расчёта стационарных электрических и магнитных полей, учитывающая магнитные и электрические свойства сред через их диэлектрическую и магнитную проницаемости, а также электрическую проводимость.

Вводные замечания

Предположим, что существует электромагнитное (ЭМ) поле, достаточно медленно изменяющееся с периодом Т. Формально - это переменное поле, и оно должно описываться уравнениями электродинамики для переменного поля. Однако измеряя какой-либо параметр этого поля в течение промежутка времени К<Т, несложно прийти к выводу, что это поле с необходимой степенью точности может рассматриваться как стационарное, и для его анализа могут быть использованы законы электро- и магнитостатики. При этом результаты в том и другом случае должны практически совпасть. Следовательно, если принять расчетные схемы и граничные условия, согласно [1, 2], и в полученных соотношениях перейти к мгновенным значениям, положив при этом ш = 0, мы получим зависимости для стационарных полей.

© В.Ю. Белашов, И.А. Дмитриев, А.И. Килеев Проблемы энергетики, 2010, № 9-10

Поле отрезка проводника

Поле элементарного электрического вибратора (рис. 1) при ш = 0 определяется выражениями: /3/sinQ

ф =—

4пг I э lcos©

Er =

E© =

3

Уэ 2nr

I э l sin©

3

уэ 4nr

Скалярный потенциал напряжённость поля заряда:

и

Ф =

q

4п£ ar

E,

4n£ar

2 *

токов

'1

'3

Рис. 1. Система координат отрезка проводника

Горизонтально-поляризованная

поле

В работе [1] для горизонтально-поляризованной волны, образованной переменным током, протекающим по отрезку проводника, получены следующие зависимости (рис. 2):

1) между радиус-векторами

по отношению к

границе раздела сред:

Í _ i! .

r3 Yl .

2) соотношение между синусами углов наклона векторов Пойнтинга П и Пз по отношению к границе раздела сред:

sin ф _ Y2 sinФ3 Yi '

Рис. 2. Горизонтально поляризованное поле: а) верхнее полупространство; б) нижнее полупространство

3) между заданным током Ii и фиктивным 12 :

. W2 cos ф- WiCOS Ф3 .

12 = I\ '

W2 COSф + Wi COSФ3

q

и

где Wi -

Да1

a1

и W2 -

Да2

волновые сопротивления первой и второй сред

ьа 2

соответственно.

4) между заданным током /1 и фиктивным /3 :

13 =

2W2 cos ф

/1.

W2 cosф+ Wi cosфз

В этом случае поле отрезка проводника будет определяться выражениями: H - /э1

4пг

Er - 0,

r

E& -

/э l

уэ 4пг

Далее, получим значение Яе (у^у 2) при ш = 0. По определению, комплексное число [3, 4]:

У = Щ/ ~а Д а ,

~ . Уэ

где £а = £а -1--комплексная диэлектрическая проницаемость среды;

ш

- абсолютная магнитная проницаемость среды. Отсюда для сред 1 и 2:

У2 У1

л/ю^ / ^ а 2 ч - i Ы^ Ю j Д а 2

а 2 - 'Уэ2 )Да2

£ а1 - i 211 Ю j Д а1 V (а1 - 'Уэ1 )Да1 '

У2 = /(0 ~ 'Уэ2)Да2 = /Уэ2Да2

У1 v (0 - 'Уэ1V «1 V Уэ1^«1

ю-0

и, в результате, соотношение между радиус-векторами токов /1 и /3 принимает вид

Уэ2Д а 2

гз V Уэ1Да1

а соотношение между синусами углов наклона векторов Пойнтинга Щ и П 3 к границе раздела сред

sin ф

Уэ2Да2

sin Ф3 V Уэ1Да1 © Проблемы энергетики, 2010, № 9-10

Найдём зависимость между заданным током /1 и фиктивным /2 . Для этого

у

преобразуем выражение (3), имея в виду, что ~а = га - г — :

ш

/ V Ш£а1 - 'Уэ1 Да2 cos У-Уш а2 - 'Уэ2 Да1 ^ Ф3 /

д/ш£а1 - гУэ1 Да2 cosУ + л/Ш£а2 - гУэ2 Да1 cosУ 3 Приравняв а нулю, получим

/ = У Уэ1Да2 cosУ -УУэ2Да1 ^У3 / УУэ1Да2 cosУ + л1 Уэ2Да1 cosУ3

Аналогично из выражения (3) найдём зависимость между заданным током

/1 и фиктивным /3 :

/ = ^_/

д/Уэ1Да2 cosУ + л/Уэ2ДаТcosУ3 Второй вариант преобразований

Необходимость рассмотрения второго варианта вызвана тем, что волновое число зачастую выражается также через комплексную магнитную проницаемость среды [3, 4]:

У = Шд/ ~

Отсюда

г \

Яе У 2

1 у 1)

ш=0

;Уэ

\

'Да - '—' ш

К° - гУэ2X0 - гУм2) = IУэ2Ум2 . '(О - гУэ1 Х° - г'Ум1 Х V Уэ1Ум1 '

При сравнении выражений (7) и (5) можно заметить, что магнитная проводимость среды ум играет здесь роль абсолютной магнитной проницаемости да и, по крайней мере, количественно ей равна.

Вертикально-поляризованное поле

Для вертикально-поляризованной волны в работе [1] были получены следующие соотношения (рис. 3):

ш )

Рис. 3. Вертикально-поляризованное поле: а) верхнее полупространство; б) нижнее полупространство

1) между радиус-векторами токов /1 и /3 по отношению к границе раздела

сред:

= У2 ;

r3 Y1 ;

2) соотношение между косинусами углов наклона векторов Пойнтинга П и П з к границе раздела сред:

cos 0 = Y2 cos 0з Y1 '

3) соотношение между заданным током /1 и фиктивным /2 :

e

W1 cos а + W2 cos а3

где

W1 -•

У4е1е20

—--г—*-*-— — соотношение между

/Ш8а1 г1

электрической и магнитной компонентами поля в верхнем полупространстве;

У 4е^203 (1 + ГУ 2 г3 ^ + ( + 1У 2г3 — У 2г32 Г

^2 = -1—-\- — соотношение между

¡Ш8а 2 г3

электрической и магнитной компонентами поля в нижнем полупространстве. 4) соотношение между заданным током /1 и фиктивным /3 :

Е (/ 3 )= . а-Е(/1).

Ч3/ fV1еos а + tr2еos а 3 у 17

В соответствии с выражением (5) отношение радиус-векторов примет вид (6), а отношение косинусов можно переписать в следующем виде:

cos 0 Уэ2Д a2

03 "У УэЩа1

Теперь найдём соотношение между заданным током /1 и фиктивным /2. Имея в виду равенство фаз, подставим выражения для ^ 2 в (8) и, полагая

• 2

теперь ш = 0 и учитывая, что i = —1, получим

i

(/Уэ1 )cos а -( э/Уэ2 )cos а 3

1Уэ2Ма2 &

&1,

_17э1На1 ((/Уэ1 )cos а + (( 3/УЭ2 )cos а 3 V 1Уэ2Д а2

где Z = y¡4ctg20 +1; Z3 = V4ctg203 +1.

Окончательно, после элементарных преобразований, будем иметь

& = VУэ1Дa1 Yэ2Z cos а — VУэ2^а2 Уэ^3 cos а3 &

л/^э1^01уэ2сcos а + VУэ2^a2 Уэ^3 cos а3

Исключим теперь из (9) углы а и а3 . Для этого воспользуемся выражением для sin а [1] и при ш = 0 оставим вещественную часть комплексного числа:

cos 0(1 + iyr + у 2r2 + 2(1 + iyr)) ( v

sin а = , v ^ч ^ sin а = (3/Z)cos 0.

+ iyr + y2r 2 )P + (2ctg0(1 + iyr)) Ш 0 Имея в виду, что cos а = V1 — sin2 а , подставим последний результат в (9):

& = У Уэ1^а1 Уэ2>/Z2 — 9cos2 0 —y¡Уэ2^а2Уэ1>/Z3 — 9cos2 03 &

л/Уэ1Дa1 Уэ2>/Z2 — 9cos2 0 + ^Уэ2Дa2Уэ1>/Z3 — 9cos2 03 Аналогично получим зависимость между I3 и :

/ = 2УУэ2Да2 Уэ1^3 С03 а_/

-\/Уэ1Да1 Уэ2^ со« а + УУэ2Да2 Уэ1^3 со«а3 Электростатическое поле

Для ЭМ поля, созданного переменным потенциалом отрезка проводника, в работе [2] получены следующие соотношения:

1) выражение для отношения радиус-векторов (координат) зарядов <&1 и <& 3 по отношению к границе раздела сред:

П = Ц;

г3 У1 ;

2) соотношение между синусами углов наклона векторов Пойнтинга П1 и П 3 к границе раздела сред:

™ а = У2 •

sin аз У!

3) соотношение между зарядами ^ и ¡^ :

. £giyiCOSа - ~2У2 Cos а3 • .

= ~-~-qi;

£a2У2 COs а3 + £aiYi COs а

4) соотношение между заданным зарядами (i и q3 :

¡ = 2у2~a2COs а У2 ¡

q 3 = ~-~--2 i-

£а2У2 COs а3 + £aiYi COs а у2

Выражения для радиус-векторов и углов наклона к границе раздела сред аналогичны приведённым выше. Найдем соотношение между зарядами &i и ¡2. Перепишем выражение (ii), учитывая (i0):

~ ~ sin а

£aiCos а - £a2-cos а3 ~ ~

¡ _sin а 3 • £д1с^§а - £a2с^ёа3 •

q2 =-sino-qi = ~—;—г~—:— qi -

~ ~ sin а ^císo + £aэ^еа 3

£aiCos а + £a2-cos а3 a1 s a2 s 3

sin а 3

Приравняв ю нулю, получим искомую зависимость

• Уэ1с^а - Уэ2с^а3 42 =-:-:-qi -

Уэ1^§а + Уэ2Ctgа 3

Найдем теперь соотношение между зарядами &i и (¡2- Перепишем (12) в

виде

-Г 2

2Т 2cos а у 1

q 3 = -"^Г?-JL2 q 1,

Т2 cos а3 + Ti cos а у 2 © Проблемы энергетики, 2010, № 9-10

где Тх=.

'в ai - «121 ' v Ш

Дai

Умножим числитель и знаменатель (13) на V : . __^2 - *'Уэ2 )дa2 faa2 - 'Уэ2 )cos a_Y? •

л/(Ш£я2 - 'Уэ2)Ма2 (a2 - ¿Уэ2)cosa3 + V(i0£a1 - 1Уэ1 a1 (a1 - *Уэ1 )cosa У2 ' и, приравняв ш нулю, получим искомую зависимость

2л/Уэ2Да2 Уэ2 COS И Уэ1Да1

• 3_ I -1--.1-

-\/Уэ2Дa2 Уэ2 COS a3 + д/Уэ1^а1 Уэ1 COS а Уэ2Да2

Выводы

В настоящей работе предложена оригинальная методика расчёта стационарных электрических и магнитных полей, учитывающая магнитные и электрические свойства полупроводящих сред через их диэлектрическую и магнитную проницаемости, а также электрическую проводимость. Использование данного подхода расширяет класс задач электродинамики, для которых достаточно просто, в отличие от стандартных аналитических методов с использованием математического аппарата специальных функций, можно получить аналитическое решение.

Получены точные, ограниченные лишь стандартными допусками метода зеркальных изображений, формулы, позволяющие рассчитывать стационарные поля в реальных физических средах с учетом их электрических и магнитных характеристик.

Результаты работы могут быть полезными в практических приложениях при вычислении ЭМ полей, создаваемых сложными конфигурациями проводников с током, когда создаваемые ими поля допустимо считать стационарными, например, при решении задач электромагнитной совместимости электрооборудования и элементов электроэнергетических систем.

Summary

On the basis of the original calculating scheme the exact solution of a problem of calculation of electromagnetic field of linear alternating current with the set potential and the direct current above a semiconducting plane is presented. The solution is based on nonstandard geometrical build-ups of the mirror images method.

Key words: electromagnetic field, boundary conditions, mirror images method.

Литература

1. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого линейным участком проводника с переменным током над полупроводящей плоскостью // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. № 7-8. С. 82-93.

2. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Точное решение задачи вычисления ЭМ поля линейного переменного тока над полупроводящей

плоскостью // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. № 9-10. С. 71-81.

3. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. 544 с.

4. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. М.: Высшая школа, 1980. 399 с.

Поступила в редакцию 30 марта 2010 г.

Белашов Василий Юрьевич - докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ) Тел. 8 (843) 519-43-44. E-mail: v_belashov@yahoo.com.

Дмитриев Иван Алексеевич - начальник отдела №10 КНПП «Вертолёты МИ». Тел. 8-9050255597. E-mail: dmitriev.ivan@mail.ru.

Килеев Анвар Исмагилович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Физика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ) Тел. 8 (843) 519-42-82.