Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой

УДК 517.982.252

Г. Е. Иванов, М. С. Лопушански

Московский физико-технический институт

Аппроксимативные свойства слабо выпуклых множеств в пространствах с несимметричной полунормой

Рассматриваются опорные условия сильной и слабой выпуклости относительно несимметричной полунормы. Получены теорема о диаметре эпсилон-проекции на множество, удовлетворяющее опорному условию слабой выпуклости, теорема о существовании и единственности проекции точки из чебышевского слоя такого множества, а также теорема о том, что для пары, состоящей из множеств, удовлетворяющих опорным условиям сильной и слабой выпуклости соответственно и находящихся достаточно близко друг к другу, существует и единственна пара ближайших (в смысле несимметричной полунормы) точек.

Ключевые слова: сильная и слабая выпуклость, метрическая проекция.

1. Введение

Хорошо известна важная роль выпуклого анализа при исследовании задач оптимизации и аппроксимации. В последнее время развивается параметрически выпуклый анализ, который в отличие от классического выпуклого анализа рассматривает выпуклость не только как качественное понятие, но и путем введения характеристик сильной и слабой выпуклости придает этому понятию количественный характер. Анализ количественных характеристик (параметров) выпуклости приводит к более детальному исследованию задач и позволяет применять данные методы не только к выпуклым, но и к невыпуклым (слабо выпуклым) объектам. Исследованию различных классов сильно и слабо выпуклых множеств посвящены работы [1], [2], [5], [7] - [9], в которых сильная и слабая выпуклость множества определяется через норму банахова пространства. В работе [3] показано, что методы параметрически выпуклого анализа можно развить и для так называемой несимметричной нормы, при этом роль шара играет несимметричный квазишар. В настоящей работе мы отказываемся не только от симметричности, но и от ограниченности квазишара, что позволяет применять развиваемые здесь методы к надграфикам функций, которые являются неограниченными множествами. Здесь под квазишаром понимается выпуклое замкнутое множество, для которого ноль является внутренней точкой, функция Минковского такого квазишара представляет собой несимметричную полунорму и используется в определениях опорных условий сильной и слабой выпуклости.

2. Определения и обозначения

Пусть Е - банахово пространств о. Через int X, дХ и X будем обозначать соответственно внутренность, границу и замыкание множества X С Е. Значения функционала р £ Е* на векторе х £ Е будем обозначать (р,х).

Определение 2.1. Суммой Минковского множеств X С Е и Y С Е называется множество

X + Y = {х + у\х £ X, у £ Y} .

Определение 2.2. Диаметром множества X С Е называется величина

diam X = sup \\х — у\\.

х,у£Х

Определение 2.3. Шаром радиуса d ^ 0 с центром в точке а £ Е называется множество

Bd{a) = {х £ Е : ||ж - а\\ < d}.

Определение 2.4. Квазишаром М в банаховом пространстве Е называется выпуклое замкнутое множество М С Е, для которого 0 £ int М.

Заметим, что квазишар М является шаром относительно некоторой нормы, эквивалентной исходной норме пространства Е, тогда и только тогда, когда он ограничен относительно исходной нормы Е и симметричен, т.е. — М = М.

Определение 2.5. Функцией Минковского квазишара М называется функция ßM : Е ^ [0; такая, что

ßM(x) = inf {t> 0 | х £ tM} V ж £ E.

Определение 2.6. Функция ß : Е ^ R называется несимметричной полунормой, если она положительно однородна:

ß(Xx) = Xß(x) V х £ Е V X ^ 0

и субаддитивна:

ß(x + у) ^ ß(x) + ß(y) V х,у £ Е.

Замечание 2.1. Известно, что функция ß : Е ^ [0, является несимметричной полунормой тогда и только тогда, когда она является функцией Минковского некоторого квазишара.

Определение 2.7. Пусть М С Е - квазишар. М -щсстоянием от множества X С Е до множества Y С Е называется величина

qm (X,Y ) = inf ßM (х — у).

х£Х, y£Y

В частности, М-расстояние от точки х £ Е до множества Y С Е определяется формулой

QM(х, Y) = inf ßM(х — у).

y&Y

Замечание 2.2. Непосредственно из определений следует, что

qm (x,Y) = inf {t> 0 | ж £ Y + tM } = inf{t> 0 | Y р|(ж — tM) = 0} .

Определение 2.8. Пусть M С Е - квазишар. М-проекцией точки х £ Е на множество Y С Е называется множество

Рм (x,Y ) = Y П( — Qm (x,Y )М). Также при е > 0 определим е-М-проекцию точки х £ Е на множество Y С Е:

P£M(х, Y) = Y р| (ж — (ßM(X, Y) + е)М^.

Определение 2.9. Будем говорить, что множество X С Е удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости относительно квазишара М С Е, если

X — ж С М--У — * V у £ Е \ X V х £ Рм(у,Х).

qm

Определение 2.10. Будем говорить, что множество Y С Е удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара М С Е, если

Y р| [у + Уу) — int М^ = 0 V х £ Е \ Y V у £ Рм (x,Y).

Рис. 1. Опорное условие сильной выпуклости

Рис. 2. Опорное условие слабой выпуклости

Замечание 2.3. Если х € Е\У, у € Рм(х, У), то 0 = х — у € дм(х, У)М и, следовательно, дм(х, У) > 0. Таким образом, в определениях 2.9 и 2.10 знаменатели не обращаются в

ноль.

Определение 2.11. Множество X С Е называется параболичным, если для любого вектора Ь € Е множество (Ь + ^X) \ X ограничено.

Определение 2.12. Множество X С Е называется ограниченно равномерно выпуклым,

если

5х(е) > 0 V (1> 0 V £ > 0,

где

4(e)=sup^ S е 0,-

{' е

С X V х.у е X n Bd(0): Уж - у\\ > е

}

3. Вспомогательные результаты

Лемма 3.1. Пусть М С Е - квазиилар, У С Е. Тогда (г) дм (xi.Y) - дм (x2,Y) < рм (х\ - х2) V xi.x2 е Е\

(И) для любого вектора, х е Е такого, что дм(х.У) > 0, справедливо соотношение

X е У + QM(х.у)int М

Если дополнительно для числа а > 0 выполнено включение Ва (0) С М (такое а существует, т.к. 0 е int М), то

(Ш) функция дм (•.У) удовлетворяет условию Ли птица на Е с констан той 1 и (w) для любых положительных чисел £i, и векторов xi,x2 е Е таких, что \\xi — х2\\ < справедливо вклю чение Рм (xi.Y) С PF^+2e'1 (х2,У).

Доказательство. Утверждение (г) следует го определения М-расстояния и субаддитивности функции Минковского. Если Ва(0) С М, то рм(х) ^ ^ для любого вектора

х е Е.

Докажем утверждение (И). Предположим противное: существует точка х е (х — дм (х.У) int М) П У. Тогда ) е int М. Следовательно, существует число

t е (0,дм (х.У)) такое, что е М. Поэтому х е У + tM и дм (х.У) < t < дм (х.У). Противоречие.

Применяя утверждение (г), получаем утверждение (ш).

Докажем утверждение (iv). Так как ±(х2 — х{) е £2Ва(0) С Е2М, то справедливо неравенство шах{^м(х2 — х\).^м(xi — х2)} ^ е2. Отсюда и го утверждения (г) следует, что

£м(ж1,У) ^ дм(x2,Y) + Поэтому для любого вектора у £ РЦ) справедливы неравенства ßM (х2 - у) ^ ^2 + ßM (xi - у) ^ £2 + вм (xi,Y) + ei ^ дм (х2, Y) + £i + 2^2-Следовательно, у £ PM+2(ж2

Лемма 3.2. Любое замкнутое выпуклое множество Y С Е удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно любого квазишара, М С Е.

Доказательство. Пусть заданы точки х0 £ Е \ Y и yo £ Рм(xo,Y). Обозначим ßo = дм(xo,Y), zo = Так как у0 £ Рм(x0,Y), то хо - уо £ доМ, т.е. zo £ М.

Согласно лемме 3.1 (и) имеем х0 £ Y + д0 int М. Следовательно, Y П (х0 — д0 int М) = 0. В силу теоремы об отделимости существует функционал р £ Е* такой, что

Следовательно,

(р, у) < (р, хо) - до(p,z) V у £ Y V z £ int М.

(Р, Уо) < (р, хо) - до(р, z) V z £ int М,

то есть

{р, z) <

Складывая неравенства (2) и (3), получаем

(р,у + z) < (р,уо + zo) V у £ Y V z £ int М.

Поэтому yo + zo £ Y + int M, а значит, Y П (yo + ) — int М^ = 0. Используя опре-

Для любого множества Y С Е определим

1м(Y) = sup дм(x,Y),

хеЕ

Sm(Y) = {х £ Е : 0 < дм(х, Y) < 7м(Г)},

Тм(Y) = {х £ Е : множество Рм(х, Y) одноэлементно}.

В работе [4] рассматривается более сильное условие параболичности. Однако доказательство теоремы 1.2 работы [4] остается справедливым, если условие параболичности понимать в смысле определения 2.11. Таким образом, справедливо следующее предложение.

Предложение 3.1. Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл, множество Y С Е замкнуто. Тогда множество Тм(Y) всюду плотно в Sm(У), т.е. Sm(Y) С Тм(Y).

Лемма 3.3. Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара, RM. Пусть Jm(Y) > 0. Тогда, Jm(Y) ^ R.

Доказательство. Так как sup дм(х, Y) = jm(Y) > 0 т0 найдется точка хо £ Е такая,

хеЕ

что дм(хо,У) > 0. Зафиксируем точку уо £ Y. Тогда дм(уо,У) = 0. Поскольку согласно лемме 3.1 (ш) функция дм(, Y) непрерывна, то на отрезке [хо,Уо] найдется точка Х\ такая, что 0 = дм(ya,Y) < дм(x\,Y) < дм(хо,У) ^ 7м(Y). Следовательно, х\ £ Sm(Y). Согласно предложению 3.1 и в силу замкнутости У существует точка х £ Тм(Y) \ Y. Следовательно, найдется у £ Рм (х, Y). Обознач ая b = у+R ex(XxY)' в СИЛУ определения 2.10

имеем YП (Ь — R int М) = 0. Следовательно, дм(b,Y) ^ К Поэтому (Y) ^ дм(b,Y) ^ R.

Далее нам понадобится следующий аналог леммы 2.1 работы [4], доказательство которого аналогично доказательству леммы 2.1 из [4].

Предложение 3.2. Пусть множество М С Е выпукло и параболично, пусть 0 < А1 < А2, х1,х2 С Е. Тогда множество (А1М + х\) \ (А2М + х2) ограничено.

Лемма 3.4. Пусть квазишар М С Е, векторы х,у € Е и число (> 0 удовлетворяют неравенствам 0 < ||х|| ^ (  цм(х), 0 < ||у|| ^ (  цм(у)- Тогда

min{ßM (x),ßM (У)} xd -d--

x

ßM

^ ßM

где величина §М() определена формулой (1). Доказательство. Обозначим

а = Ь=—^, с= , 5 = бМ (||а -ЬЦ).

Цм

Так как а,Ь € М П В^(0), то ||с|| ^ Используя равенство (1), получаем включение В&(с) С М. Поэтому с (1 + 4) € М и, следовательно, цм(с) ^ —Ц-. Поскольку

ö = öM(II a — Щ) ^ ^2^ ^ d, то справедливо неравенство

ßM

Обозначим ßi = ßM (x), ß2 = ßM (у)- Без потери общности можно считать, что ß2 ^ ßi.

ßM

что ßM (a) = 1:

ßM (x+y) = ßM ((ßi — ß2)a+ß2(a+b)) ^ (ßi —ß2)  ßM (a)+ß2 ßM (a+b) = ßi — ß2+2ß2  ßM (c). Используя оценку (5), получаем

ß2

ßM(x + y) ^ ßi + ß2--j- = ßi + ß2 — j minjßi, ß2}.

Лемма 3.5. Пусть в банаховом пространстве Е заданы, ограниченно равномерно выпуклый квазишар М и ог^ниченные последовательности {xk}, {у к} т,акие, что

lim sup ßM (xk) ^ ßi, lim sup ßM (Ук) ^ ß2, liminfßM (xk + Ук) ^ ßi +ß2,

к^-те к^те к^те

где ßi > 0 и ß2 > 0. Тогда,

Xk Ук lim — — — =0.

к^те ßi ß2

Доказательство. Поскольку в силу субаддитивности функции Минковского ßM^к + Ук) ^ ßM^к) + ßM(Ук) Ук е N, то в силу условий леммы получаем, что существуют следующие пределы:

lim ßM ^к) = ßi, lim ßM

к^те к^-те к^те

Без потери общности будем считать, что ßM ^к) ^ ßM (Ук) ^ для любых к е N. Тогда в силу ограниченности последовательностей {xк} и {у к} выражение

d = sup maxi -^L, -ÄL 1

keN IßM ^к) ßM (ук)J

(

конечно. Применяя лемму 3.4, получаем, что

Хк Ук

min{ßbß2} ,d 2d 0 м

ßM

^ ßM(Хк) + ßM(Ук) - ßM(Хк + Ук) ^ 0 (к ^ х>).

Отсюда в силу ограниченной равномерной выпуклости множества М имеем

Хк к

lim

ßM

0.

Используя ограниченность последовательностей {Хк}, {ук} и соотношения (6), получаем требуемое утверждение.

4. Основные результаты

Теорема 4.1. (О диаметре е-проекции). Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Пусть заданы, число г € (0, R), вектор Ъ € Е, последовательность еекторов {Хк} С Ь — гМ такая, что lim qm(Хк,Y) = q0 € (0, R — г), и бесконечно малая последовательность

{ к}

lim diam PM (Хк, Y) = 0.

Доказательство. Обозначим

£о = 1 min{ qo,R — г — qo}.

8

Без потери общности будем считать, что

£к ^ , | Qm (Хк, Y) — Qo| ^ £о У к € N.

В силу леммы 3.3 справедливо неравенство R ^ jm(Y). Тогда для любого к € N справедливы неравенства 0 < q0 — е0 ^ qm (Хк ,Y) ^ q0 + е0 < R ^ jm (Y), а значит, и включения Хк € Sm(Y). Поскольку М - квазишар, то существует число а > 0 такое, что Ва(0) С М. Поэтому согласно предложению 3.1 для любого к € N существует вектор гк € Ва£к(Хк) П Тм(Y). № пункта (ггг) леммы 3.1 следуют неравенства

а из пункта (iv) этой же леммы получаем включения

рм

В силу включений (9) для завершения доказательства достаточно показать, что

lim diam PM[k

Так как R — е0 < R ^ jm(Y), то найдется вектор Ъ1 € Е такой, что R — е0 < qm(b1, Y). Согласно лемме 3.1(г i) имеем b1 € Y + qm (b1,Y) int М. Поэтому 61 € Y + (R — е0)М, а значит,

Y СЕ &1 —

Если у € P'Mk (гк, Y), то

У € гк — (Qm(гк, Y) + 3£к^М С Хк — (qo + 5е^М С Хк — (qo + 6е^М С b — (r + Qo +6^)М.

Поэтому согласно включению (11) имеем

Р

м

(zk, у) С (ъ - (V + до + 6ео) м) \ (h - (R - £о)М).

Поскольку из равенства (7) следует неравенство г+д0+6е0 < R—то в силу предложения 3.2 получаем неравенство

sup sup \\у\\ <

keN У€рмк Y)

Так как дм (zk ,У) < д0 + 3е0, то Zk £ У + (д0 + 3е0)М. Отсюда и из включения (11) следует, что Zk £ (bi — (R — д0 — 3e0)M^j. Таким образом, учитывая включения Zk £ Xk — £0М С b — (г + е0)М, получаем

Zk £ (b — (г + £0)М) \ (bi — (R — д0 — 3£0)м) .

Учитывая неравенство г + е0 < R — д0 — 3е0 и еще раз применяя предложение 3.2, получаем неравенство

sup \\Zk II < + ГО. keN

Так как Zk £ Тм (У ), то для люб ого к £ N существует точка yk £ Рм (zk ,У )• В силу определения 2.10 имеем

(ak - R int М) П Y = 0 V к £ N,

где

ak = Vk +

Zk - Vk

ßRM

= yk + R

Zk - yk ßM

Рис. 3

Зафиксируем произвольную последовательность {y'k} такую, что

у'к £ Р3^(Zk,Y) V к £ N. м

Поскольку yk £ Рм (zk ,Y), то ßM (zk - yk) = QM (zk ,У), и, учитывая соотношения (8) и lim дм (xk ,Y) = до, получаем

k—^^o

lim ^м(zk - yk) = Оо. (17) k

Из соотношения (14) следует, что дм(ak,У) ^ R- Поэтому

ßM (ak - yk) ^ R V к £ N.

Используя соотношения (8), (16), получаем

lim sup ^м (zk - y'k) < lim дм (zk ,Y) = до.

k—^-oo k—TO

Поскольку согласно соотношению (15) справедливы равенства ßм(ak—Zk) = R—ßм(zk—Ук), то в силу (17) имеем

lim ßм

k

3ek

Из соотношений (12), (13), (15), (16), (17) получаем ограниченность последовательностей {}, {Ук} {у'к} и {ак}• Отсюда и из соотношений (18) - (20) в силу леммы 3.5 приходим к равенству

•V 1 .'

0.

lim

ак - zk zk - у'к

R — 0 0

Так как в силу (15) справедливы равенства ук) = z ) > т0 согласно соотноше-

нию (17) имеем lim — Zk~0Ук = 0. Отсюда и из равенства (21) следует соотношение

lim \\ук — Ук|| = 0,

к^гх,

которое в силу произвольности последовательности {у'к}, удовлетворяющей соотношению (16), дает требуемое равенство (10).

Теорема 4.2 (о чебышевском слое). Пусть в банаховом пространстве Е квазишар М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Пусть задана, точка х € Е такая, что 0 < дм(x,Y) < R. Тогда, множество Рм(x,Y) одноэлементно.

Доказательство. Фиксируем последовательность положительных чисел {е к}, монотонно сходящуюся к нулю. В силу теоремы 4.1 справедливо соотношение diam РМ (х, Y) ^ 0 щи к ^ <х. Отсюда из замкнутости и вложенности множеств РМ (x,Y) получаем, что множество Р| РМ (x,Y) одноэлементно. Замечая, что

кеп

Рм(x,Y)= P| РМ (x,Y), получаем доказываемое утверждение.

кеп

Замечание 4.1. В условиях теоремы 4.2 множество {х € Е| 0 < дм(х, Y) < R} назы-

Y

М

Е

М параболичен и ограниченно равномерно выпукл. Пусть множество X С Е выпукло, замкнуто и удовлетворяет опорному условию сильной выпуклости относительно квазишара, —гМ, а множество Y С Е замкнуто и удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM, где 0 < г < R. Пусть 0 < дм(X, Y) < R — г.

Тогда, min ßм (х — у) достигается в единственной па,ре точек, хех, уеУ

1

2

существуют последовательности {ук} С Y и {хк} С X, такие, что

Доказательство. Обозначим до = дм(X,Y), е0 = 1 (R — г — до). По определению 2.8

lim ßM

Обозначим ек = ßM (Хк — У к) — Q0. Без потери общности будем счи тать, что Ек ^ £0 для

к € N к € N

у'к € PM (Хк, Y) и Х'к € P- м (Ук ,Х). Для люб ого к € N обозначим

R

Ьк = ук + ßM

Из определений 2.9, 2.10 и равенства ß_м(Ук — х') = ßM(х' — Ук) следует, что для любого к € N к к

Y П

X С—г М + ск.

Следовательно,

—Ук € Е \

Поскольку ßM(xk - yk) = до + ek ^ до + ео, то xk - yk £ (до + ео)М для любого к £ N. Отсюда и из соотношений (24) - (26) получаем

-Xk £

-Ук £

Учитывая неравенство г + go + £o < R, в силу предложения 3.2 получаем ограниченность последовательностей {xk} и {yk}.

Поскольку ц,м (xk - yk) = go + £k ^ дм (xk ,Y) + e^ то yk £ Р£м (xk ,Y). Отсюда и из включений yk £ Рм (xk ,Y) С P'£^ (xk ,Y) следует, что

Wyk - y'k II < diam рм (xk ,Y) V к £ N.

Поэтому согласно соотношению (27) и теореме 4.1 получаем, что

lim Wyk - у'к|| =0.

k—^^о

Используя неравенства ßм (xk - yk) ^ дм (-yk, -X) + £k, получаем включения {-Xk, -xk} С Рм (-yk, -X). В силу леммы 3.2 множество -X удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости относительно квазишара RM. Поэтому согласно соотношению (28) и теореме 4.1 получаем, что

lim Wxk - х!к|| =0.

k—x

Для любого к £ N обозначим

- R г

bk = yk +--

до до

Из соотношений (22), (23), (29) - (31) с учетом ограниченности последовательностей {xk} и {yk} следует, что

lim Wbk - bkW = 0, lim Wck - Ck W = 0.

k—x k—x

Из соотношений (24), (25) имеем

ßM (bk - Уп) ^ R V k,n £ N,

ßM (ck - Хп) ^ г V k,n £ N. Отсюда, учитывая липшицевость функции Минковского и соотношения (32), получаем

lim inf ßM

к — ж \ /

n—^ж

lim sup ßM

к—^ж n—^ж

Следовательно, в силу субаддитивности функции Минковского имеем

lim inf ßM

к —ж n—^ж

Для любого к £ N обозначим Д = Xk - yk, 9k = bk - Ck- Тогда из равенств (31) получаем 9k = R~l-eo fk- Из соотношений (22) и (35) следует, что

lim ßM (fk) = до, lim ßM (9k) = R - r - до, lim inf ßM (gk + /п) ^ R - r.

k k к—ж

n

Кроме того, последовательности {} и {дп} ограничены. Отсюда в силу леммы 3.5 получа-

ем равенство lim

fc — o

n—у со

9n

R-r-go

= 0, то есть lim || Д — Д || = 0. Следовательно, последова-

fc—

n—у со

тельность {¡к} фундаментальна, а значит, сходится к некоторому вектору Д € Е, причем Цм (Д) = 9о-

Для любых к,п € N обозначим Ъкп = Ьк — ск — уп + хп, екп = ск — хп. Тогда

Ькп = 9к + 1п = ——-—— Д — Д ^ ——- Д

ßo

ßo

Используя соотношения (33), (34), получаем

lim ц,м(hkn) = R — г, lim sup ^м (ekn) ^ r, liminf ц,м (hkn + e-kn) > R.

fc—^o n—

fc— n—

fc — c n—

lim

Используя соотношение (36) и сходимость Д

fc— n—

hfcn

R-r

fcn Г

0

Д при к

^fcn Г

= 0. ПосколькV & — ^ = X" r Xfc.

то, получаем сото доказано соот-

отношение lim

к—^^ п—^^

ношение lim \\хк — хп\\ = 0, которое означает фундаментальность последовательно-

fc— n—

сти [хк}. Следовательно, последовательность {хк} сходится к некоторому хо Е Е. Поэтому у к = хк — fk ^ у0 при к ^ то, где у0 = х0 — Д. Так как множества X и Y замкнуты, то хо Е X, уо Е Y. Используя соотношение (22), получаем ßM(хо — уо) = Q0 = Qm(X, Y) = inf ^м(х — у), то минимум min ßM(х — у) дости-

х£Х, y& " хЕХ, y&Y

гается на паре точек (хо, уо). Предположим, что минимум min ßM(х — у) достигается

хЕХ, yEY

также на паре точек (х0, у0)• Рассмотрим последовательности

( х0, к четно, ( уо,

хк = к =

I х0, к нечетно, [ у0,

к , к .

Так как в силу доказанного последовательности {хк} и {ук} сходятся, то х0 = х'0, Уо = у'0-Тем самым доказана единственность.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант 10-01-00139 и ФЦП «Научные и научно-

педагогические кадры инновационной России».

Литература

1. Балашов М.В., Иванов Г.Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. - 2009. - Т. 73, № 3. - С. 23-66.

2. Ива,нов Г.Е. Слабо выпуклые множества и функции: теория и приложения. - М.: Физматлит, 2006.

3. Ива,нов Г.Е. Перестановочность операций суммы и разности Минковского для множеств в равномерно выпуклом банаховом пространстве // Современные проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2008. - С. 32-55.

4. Ива,нов Г. Е. Аппроксимативные свойства множеств относительно функции Минковского // Проблемы фундаментальной и прикладной математики. - М.: МФТИ, 2009. - С. 76-105.

5. Иоловинкин E.G., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. -М.: Физматлит, 2007.

6. Рудин У. Функциональный анализ. - М.: Мир, 1975.

7. Borwein J. М., Strojwas Н. М. Proximal analysis and boundaries of closed sets in Banach space, I. Theory 11 Canad. J. Math. - V. 38. - 1986. - P. 431-452.

8. Clarke F. H., Stern R. J., Wolenski P. R. Proximal Smoothness and Lower-C2 Propoertv // J. Convex Anal. - V. 2, N 1, 2. - 1995. - P. 117-144.

9. Vial J.-P. Strong and weak convexity of sets and functions // Math. Ops. Res. - V. 8, N 2. - 1983. - P. 231-259.

Поступила в редакцию 07.02.2012.