О первой смешанной задаче в банаховых пространствах для вырождающихся уравнений с меняющимся направлением времени

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

УДК 517.95

О ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ УРАВНЕНИЙ С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ И. М. Петрушко, М. И. Петрушко

Аннотация. Работа посвящена изучению одного из разделов неклассических дифференциальных уравнений, а именно изучению вопросов разрешимости для параболических уравнений с меняющимся направлением времени второго порядка. Хорошо известно, что в обычных краевых задачах для строго параболических уравнений гладкость начальных и граничных условий полностью обеспечивает принадлежность решений пространствам Гельдера, но в случае уравнений с меняющимся направлением времени гладкость начальных и граничных условий далеко не обеспечивает принадлежность решений этим пространствам. С. А. Терсеновым для модельного параболического уравнения с меняющимся направлением времени, а С. Г. Пятковым для более общего уравнения второго порядка были получены необходимые и достаточные условия разрешимости в гёльдеровых пространствах соответствующих смешанных задач. При этом начальные и краевые условия всегда предполагались нулевыми. В работе рассматриваются случаи, когда начальные и граничные условия принадлежат банаховым пространствам. Вводятся функциональные пространства, в которых надо искать решения. Получены соответствующие априорные оценки, позволяющие получать условия разрешимости указанных задач. Также изучаются свойства полученных решений. В частности, устанавливается эквивалентность условий Рисса и Литлвуда — Пэли, аналогичных условиям для решений строго эллиптических и строго параболических уравнений второго порядка. Доказывается однозначная разрешимость первой смешанной задачи с граничными и начальными функциями из банахова пространства.

Б01: 10.25587/8УРи.2018.100.20553 Ключевые слова: вырождающиеся уравнения, изменение направления времени, функциональные пространства, интегральные тождества, первая смешанная задача, разрешимость.

Работа посвящена изучению одного из разделов неклассических дифференциальных уравнений, а именно изучению вопросов разрешимости для параболических уравнений с меняющимся направлением времени второго порядка в случае неоднородных начальных и краевых условий. Первой работой, посвященной параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, была работа Жевре [1]. После долгого перерыва в 1960-х гг. появилось много работ в этом направлении. В частности, работы Бауэнди и Гривара [2], С. А. Терсенова [3,4], С. Г. Пяткова [5, 6], И. Е. Егорова [7] и др. В последние годы изучаются вопросы

© 2018 Петрушко И. М., Петрушко М. И.

разрешимости параболических уравнений третьего и более высокого порядков, в частности, появились работы С. В. Попова, В. И. Антипина, С. В. Потаповой [8-11], И. Е. Егорова, Е. С. Ефимовой [7,12,13], И. М. Петрушко, Е. В. Черных [14,15]. Отметим, что указанные работы посвящены в основном однородным краевым и начальным условиям, что позволяло изучать разрешимость обобщенных решений в соответствующих гильбертовых пространствах. Однако эти методы не позволяли изучать случаи, когда граничные функции принадлежат пространству L2 или в общем случае пространству Lp, p > 1. В. П. Михайловым [16] в 1976 г. было предложено естественное обобщение понятие граничного значения задачи Дирихле для эллиптического уравнения как предел в L2 (или в Lp, p > 1) следов решения по «параллельным границе» поверхностям. Обобщение результатов В. П. Михайлова на случай уравнений с меняющимся направлением времени с граничными и начальными значениями из пространств типа L2 получены в работе И. М. Петрушко [15].

В данной работе рассматривается более общий случай, когда граничные и начальные функции принадлежат пространствам типа Lp, p > 1.

Пусть Q — ограниченная область n-мерного пространства Rn, n > 2, расположенная в полупространстве xn > 0, граница которой dQ — (n — 1)-мерная замкнутая поверхность без края класса C2. Часть границы Го области Q расположена в гиперплоскости xn = 0. Остальную часть границы обозначим через 1\ = 0Q\{xn = 0}, Г0 U 1\ = dQ.

Обозначим через ¿о столь малое число, чтобы для всех ¿ £ (0, ¿о] подмножество Qs = Q П {r(x) > ¿} было областью с границей OQs £ C2. Здесь

r(x) = min I x — y I, x £ Q.

yedQ

При этом для произвольного ¿ £ (0, ¿о] для любой точки xo £ dQ существует единственная точка xs поверхности dQs, отстоящая от точки xo на расстояние, равное ¿, |xs — xo| = ¿,

xs = xs (x0) = x0 — ¿v (x0),

где v(xo) — вектор внешней по отношению к области Q единичной нормали dQ в точке xo. Обратное отображение задается формулой

xo(xs) = xs + ¿vs(xo),

где vs (xs) — вектор внешней по отношению к области Qs единичной нормали dQs в точке xs.

Рассмотрим в цилиндрической области QT = Q х (0,T) уравнение

n n

Lu = k

i,j=1 i,j = 1

Предположим, что ai,j, ai £ C 1(QT), i,j = 1, 2, ...,n, a £ C (QT) и для любой точки x £ Qs, ¿ £ (0, ¿o), и любых t £ [0, T] существует такая постоянная

75 > 0, 75 ^ 0, S ^ 0, что для всех £ = (£ь ..., £„) G Rn

Ф^,^) = ^ aijj > 751£|2. Для (xo, t) G dQ x [0,T] квадратичная форма может вырождаться:

n

$(xo,£,t) =J2 аг,о> 0. i,j=1

Однако полагаем, что квадратичная форма на векторе нормали v(xo) = |v1; v2, ..., vn} отлична от нуля:

n

ai,jvivj > y0 > 0 для всех x0 G dQ, t G [0, T]

i,j=1

(вырождение типа Трикоми).

Будем предполагать, что функция k(x) меняет знак в области Q. Положим Q+ = {x G Q, k(x) > 0}, Q+ = {x G Q, k(x) < 0}. Для простоты изложения будем предполагать, что x1k(x) > 0, если x1 = 0, и k(x) = 1, x G Q+, k(x) = -1, x G Q-. Правую часть f (x, t) уравнения (1) будем предполагать принадлежащей пространству Lp(QT). Введем следующее пространства

[17]: Vp1'0(QT) - банахово пространство, состоящее из всех элементов Vp(QT), непрерывных по t по норме Lp(Q), с нормой

IMIv^CQT ) = omta<XT (yu(x>t)yip(Q)) + IIVuIILp(QT ).

Непрерывность по t функции «(x, t) в норме Lp(Q) означает, что ||«(x, t + At) - «(x, t)|Lp(Q) ^ 0 при At ^ 0.

Пусть Vp1l0c(QT) — множество функций, принадлежащих Vp1,0(QeT-e) для любой Qстрого внутренней по отношению к Q, и для любого е G (0, Ç).

Будем говорить, что функция «(x, t) является обобщенным решением из Vp1lOc(QT) уравнения (1), если она принадлежит VpLjOc(QT), является решением уравнения (1) и для всех финитных в QT функций v(x, t) из H^(QT), - + - = 1, имеет место равенство

T / n n \ T

[ — k(x)«vt + ^^ aijvxj + aiuXiv + a«^ dxdt = / fv dxdt.

o Q V i ,j=1 i=1 / 0 Q

Пусть p(x) — функция, обладающая следующими свойствами: p{x)=r{x), x G Q/Qs0, p(x)gC2(Q), и существует такая постоянная y1 > 0, что для всех x G Q

Y1r(x) < p(x) < Y—1r(x).

Лемма 1. Пусть и(х, Ь) — обобщенное из Ур ¡ос т) решение уравнения (1), правая часть которого /(ж, Ь) принадлежит Ьр^т). Тогда для любых 6 € (0, 6о] и ¡3 £ (0, справедливо равенство

1 ! \и(х,Т- ¡3)\р(р-5)ах- ^ ! \и(х,Т - 13)\р(р-6)ах

р р

Я+ Я7

1 л , , 1

+ - / \и(х,13)\р(р-б)ах- - [ \и(х,13)\р(р-б)ах рр

рр

я- я+

т-в , п ч

+ (Р - 1) / / а1,3 их1 (Р - 6) |и|Р-2 йхМ

в Я! Ч^'=1

т-в / п \ г-в п

\ / / ( ) ^ - ~ / /

в дЯг Ч»,^1 / в в!

п тт-в

- J ! ~ д)х1)\и\р ¿хсИ + J ! а\и\р(р — 5) ¿хсИ

т-в п т-в

1 ' '

в Яг 1-1 в Я

т-в

в Яг

Доказательство леммы 1 аналогично доказательству подобного утверждения в [16,18].

Обозначим

т-в ( п ч

(и) = (р - 1) I I I V а^иЖз-6) 11и|Р-2.

J(и) = (р - 1) / / I ^ а^иЖз- (р - 6) I |и|р 2 йхйЬ в Яг '

+ - [ \и(х, Т — Р)\р(р — 6) с1х + — [ Р ] Р ]

Я+

в 9Яг ' я-

я+

с произвольными 6 € (0, 6о] и в € (0,Т/2).

Из равенства (2) вытекает справедливость следующих неравенств:

- тт-в Т-в

Мг(и) = М(и) < С У У |и|р-1|/|(р - 6) ¿ХЛ + I У |и|р(р - 6) ¿х<И

в Яг в Яг

Jx (u) = J(u) < C2

т-в

т-в

в Qs

I в

и тем самым справедливость леммы 2.

Лемма 2. Пусть и(ж, £) —обобщенное из Ур) решение уравнения (1). Тогда для любых 6 € (0, 60] и в € (0, Т/2) справедливы оценки

т-в

ме

в Qs

т-в

м mjax)J^(u)<Сз<у/ilp(qt)+M(u)+y J |ufdxdt.

в Qs

Лемма 3. Пусть u(x, t) — обобщенное из V21 jOc (QT) решение уравнения (1), и пусть sup J(u) < то. Тогда u(x, t) G Lp(QT) и для любого e > 0 существу-

Xe (о , Xo ] ,

в e

ет такое 52 > 0, зависящее от e и коэффициентов уравнения, что

т-в

в Q/Qs2

т-в

yLp

+ J(u)+ I J |u|p

в Qs

Доказательство. Для любых 54 и 55, 0 < 54 < 55 < 50, т-в X5 тт-в

/ / I„|p ** = / dp//|u|p **

в QS4\Qs5

X4 в

< C5

'MQT К X4

тт-в \

+ Jx4 (u)+ J J |u|p dxdtl

в Qs5

Из последнего соотношения получаем

т-в X5 т-в

в 9Qp

/ Т-в \

< C555 I у/11

в Qs

в Яг4\Яг5 Х4 в ^

т-в

(и) + J ! |«Г

в «¿5

Выберем ¿з = т^г-, при необходимости уменьшая его так, что ¿3 меньше ¿о, положим в последнем равенстве 65 = 63:

т-в / т-в \

в Яб4\яг5 \ в Ягз /

2

р

p

T

Из (5) следует, что f f |u|p dxdt < то. 0 Q

Выберем теперь 82 = min { (i+e)c5 > (уменьш^я, если нужно, так, чтобы ¿2 было меньше ¿0) и положим ¿5 = ¿2 в неравенстве (4).

Переходя к пределу при ¿4 ^ 0, с учетом неравенства (5) получим (3).

Будем говорить, что функция и(ж, t) из Vp1jOc(QT) принадлежит классу Харди Hp, если

sup M

5е(0,5о],

ße

Теорема 1. Для того чтобы обобщенное из Vp1l°c(QT) решение уравнения (1) с f (ж, t) G Lp(QT) принадлежало классу Харди Hp, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

sup J(u) < то.

5е(0,5о],

ße

Доказательство. Необходимость. Пусть и(ж, t) принадлежит классу Харди Hp. Тогда из (6) следует, что

T T-ßo

0 Q/Qso ßo Qso

ßo T

//> dxdt< то, //> dxdt< то.

0 Q+o T-ßo Q-

T-ßo

<6 o ^ Qso

Следовательно,

ßo Q

Из (7) вытекает существование такого в1, в0 < в1 < T/2, что

/|и(Ж'в1)|Р 'Ж< то'

Q

Покажем, что

ßo

0 Q-

Рассмотрим функцию г>(х,Ь) = и(х,Ь)е А*. Легко видеть, что г>(х, Ь) является обобщенным из у,11°с(^т) решением уравнения

пп

к(х)«4 - ^ (ам-«х; )Хз + ^ а^ + (а + Ак)« = /е-А = /1

¿,.7=1 1=1

и, следовательно, для любых 6 (Е (0, 4^), /3 (Е (0, ) справедливо равенство

- [ \у(х,р1)\р(р-6)с1х-- [ \у(х,/31)\р(р-5)(1,х Р .1 Р .1

Я-

+ - [ \у(х,/3)\р(р-5)(1,х-- [ \у(х,/3)\р(р-5)(1,х

РР

Я-

в1 п

+ (р - 1) / / 53 а^'|«|р-2(р - 6) ¿Ж^

в1

в Я*

ЕРх1 рж3- , ,р , ,

» , ¿=1

в 1 , ^'=1 тв1 т П

тв1 т

(амРх )х-

в я* г'^'=1 тв1 т

53К(р - 6))х. мр ¿ж^ + / (а + Ак)НР(р - 6) ¿ж^

в Я*

в Я*

тв1 т

11 ^

в Я*

Таким образом,

т тв1 т П

J |-у(ж,в)|Р(р - 6) ¿ж + (р - 1) J J 53 аг.Ях^х Мр-2(р - 6) ¿Ж^

в Я*

тв1

+

в Я-тв1 т

--53 +53

»¿=1

в Я--\Я~

--53 +53К

»¿=1

»= 1

+ - / |т;(а;,/31)|р(^-5)йа;-- / |«(ж,/31)|р(р - ¿ж

РР

Я-- Я+

1 т 1 тв1 т П

+ 1 I Нх,Р)\р(р-5)<1х + ± I I 53

РХ рж3 , ,р , ,

»¿=1

тв1

в Я+

--53 +53К

»¿=1 »=1

1

1

Р

5

О

О

в1

+ J ! /11V|р 1 sgn«(р - 6) ¿х^Ь.

в Яг

Так как

в1

/11V|Р 1 sgn«(р - 6) ¿х^Ь

в Я-

< еу J |«|р(р - 6) ¿х^

в Я-

+ С(е) у J |/1|р(р - 6) ¿хЛ,

в Я-

J У ЛМР 1 sgnг'(/? — 5) йхй1 У Н^О9 — 6)4х(И

в Я+ в Я-

+

тв1 т

I I \к\Р(р-5)йхМ,

в Я-

выбрав - А > 0 настолько большим, что

тв1

в Я-

--+ - д))^ +

1

тв1 т

>/ /ир

в я-

из (9) получим (8).

Аналогично показывается, что

тт т

т-во я+

Таким образом, из принадлежности обобщенного из У2 ¡,°с(^т ) решения и(х,Ь) уравнения (1) классу следует, что

тт т

оЯ

Необходимость вытекает из второго неравенства леммы 2.

Достаточность следует из леммы 3 и первого неравенства леммы 2.

1

2

0

Теорема 1 доказана.

Будем говорить, что функция и(х,Ь) € у, ¡ос ) принимает граничное ззначение

и|(ж^)еЯх(о,т) = V (10) в смысле если ^(х, Ь) € х (0,Т)) и

т-в

в дЯ

Будем также говорить, что функция и(х,Ь) € У^ ¡°с(^т) принимает начальные

^yiYC 1 UDUpniD, HU ^JJ nJViJ,!'!.?! О, ^ , (у J £

значения

(x,,

Q+

u|t=o,xeQ+ = ui

Q+

u|t=T, xeQ- = U2

(x

Q

в смысле Lp с весом r(x), если

у

Q+

J

Q-

Теорема 2. Существует такая постоянная ao > 0, что для всех <^(x, t) £ Lp(dQ х (0,T)), ui(x) £ Lp(Q+,r), u2(x) £ Lp(Q-,r) и для всех f (x, t) £ Lp(QT) существует решение из Vp1jOc(QT) задачи (1), (10), (12), (13) при a(x,t) > a0. Это решение единственно и для него справедлива оценка т

n /г

\Р(

Я) aj j ux. ux. |u|p 2 dxdt + sup ( / |u(x, T — в)|Р(г — $)dx

ji ' 13 в , ä W

0 Q i'j-1 Q+

\ (T-ß n N + / |и(ж, /3)|р(г - dx ) + sup ( / / \u\p dsdt

J J ß-Л ß dQ ji ' |Vp| у

Q- \ ß /

T-ß

PxiPxj_UAp

Q- V ß j'j-:L

T

oQ

IL, IIP

+

+ yUiyLp

Доказательство. Докажем вначале, что существует такое число а° > 0, что при а > а° для обобщенного решения из у,1^(^т) задачи (1), (10), (12), (13) справедливо неравенство (16).

Пусть и(ж,£) — обобщенное из Ур1!0С(^Т) решение задачи (1), (10), (12), (13). В силу (11), (14), (15) функция и(ж, £) принадлежит классу Поэтому на основании теоремы 1 справедливо неравенство

т П т

а» ^Нр-2р(ж) < то, J ! |и|р < то.

о я

» ,¿=1

о Я

Рассмотрим равенство (2). Так как

т-в т-в

в Я из (2) следует

1

Р

т-в

в Я*

в Яг

РР

Я+ Я-

тт-в

+

в Я*

т-в

53 «х|и|р 2(р - 6) ¿ж^ »¿=1

+

вЯ

< Сз

У У (а - 1)|и|р(р - 6) ¿Ж^

'г

т-в

I /|/Г ** + м(">+ / /|"Г **

т-в

I в Яг

в Яг

В силу леммы 3

т-в

тт-в

У У |и|р ¿ж^ < £ У/У!р(Ят) + + С^е) У У |и|р(р - 6) ¿ЖЛ

в Яг

из неравенства (17) имеем

в Яг

/И.т - «П. -Ч + /мж,в)|Р(р - 6>

Я+

Яг

т-в П

+ (1 - еСз) / / 53 «х«х,- |и|р-2(р - 6) ¿ж^

в Яг

»¿=1

тт-в

+

(а - 1 - С1(е))|и|р(р - 6) ¿ж^ < С4

в Яг

т-в

в Яг 3/

.

Выберем в неравенстве (18) е = ., ад = и, переходя к пределу

при 6 ^ 0 и в ^ 0, получим неравенство (16).

Докажем существование решения первой смешанной задачи (1), (14), (16), (17) с а(х,Ь) > а°.

Прежде всего отметим, что при р = 2 существование решения доказано в [15].

Возьмем произвольные функции

у(х,ь) € ьр(дд х (0,т)), и1 € ьр(д+,г), и2 € ьр(д-,г), / € ьр(дт).

Пусть — некоторая последовательность финитных на д^ х

функций из С2(д^ х (0,Т)), сходящаяся в х (0,Т)) к функции V,

НУш - vУLp(aяx(от)) ^ 0 т ^ТО

{и1т} — некоторая последовательность финитных на функций из С2(^+), сходящаяся в к функции и1,

||и1т - и1^Ьр(я+) ^ 0, т ^ то,

{и2т} — некоторая последовательность финитных на функций из С2 сходящаяся в к функции и2,

||и2т - и2|Ьр(Я") ^ 0, т ^ то,

{/т} — некоторая последовательность функций из С2

к функции /,

|/т - /Уьр(ЯТ) ^ 0, т ^ 0.

Обозначим через ит(х, Ь) сильное решение из у,1,0(^т) задачи

ди ™ 1 ™

к{х)—-

¿,^=1 ¿=1 и|(х^)еЯх(0,т) = Vm, и^=0,хеЯ+ = и1т (х) , ик=т,хеЯ- = и2т (х) . Такие решения существуют (см. [6,19]) и, как легко видеть, для них справедливо неравенство (16). Стало быть, последовательность ит(х, Ь), т ^ то, сходится к некоторой функции и(х,Ь) в банаховом пространстве В с нормой

тт т

1в

0 Яг

+ su^У |и(х, Т - в)|Р(г - 6) ¿х ^У |и(х,в)|Р(г - 6) ¿х Я+ Я-

т-в

+ 8и?

в дЯг г'^=1 / 0 Я

0

Покажем, что функция и(ж, £) является обобщенным решением из ¡0С(^Т) задачи (1), (10), (12), (13).

при т ^ то. Поскольку функция ит

dn n l n \ -k(x) — - 53 (ai,jTlxj)Xi - -^(al'n)Xi + ar¡\umdxdt

о Q ^ ij=1 m i=1 '

о я

переходя к пределу в этом равенстве при т ^ то (напомним, что (вирр п) ^

и ||/ — /тН^ (дТ) ^ 0 при т ^ то), получаем, что для любой финитной в функции г/ из }¥ц'1(0;т) (р + д = 1) функция и удовлетворяет равенству

T

T / n n \ T

dt

о Q о Q

-k(x)— - 53 (aijVx^x. + arjjudxdt = j j frjdxdt.

i , j=1 i=1

Тогда и(ж, £) принадлежит Жр ) и является решением из Жр'¡О^^7) уравнения (1).

Выполнение соотношений (10), (12), (13), вытекает из (19). Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl. 1913. V. 9, N б. P. 305-478.

2. Baouendi M. S., Grisvard P. Sur une equation d'evolution changeante de type // J. Funct. Anal. 19б8. V. 2, N 3. P. 352-3б7.

3. Терсенов С. А. О первой краевой задаче для одного параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН. 199б. Т. 348, №1. С. 27-29.

4. Терсенов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Ново-

сибирск: Наука, 1985.

б. Pyatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht: VSP, 2002.

6. Пятков С. Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1985. Т. 285, №б. C. 1322-1327.

7. Егоров И. Е. О модифицированном методе Галеркина для параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Узб. мат. журн. 2013. Т. 13.

8. Попов С. В. О гладкости решений параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. АН. 2005. Т. 400, №1, С. 29-31.

9. Попов С. В. Краевая задача Жевре для уравнения третьего порядка // Мат. заметки СВФУ. 2017. Т. 24, №1. С. 43-5б.

10. Антипин В. И., Попов С. В. Краевые задачи для уравнений третьего порядка с меняющимся направлением времени // Вестн. ЮУрГУ. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2012. T. 40, №14. C. 19-28.

11. Попов С. В., Потапова С. В. ^льдеровские классы решений 2п-параболических уравнений с меняющимся направлением эволюции // Докл. АН. 2009. Т. 424, № 5. С. 594-59б.

12. Егоров И. Е., Ефимова Е. С. Стационарный метод Галеркина для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2011. Т. 18, №2. С. 41-47.

13. Егоров И. Е., Тихонова И. М. О стационарнорм методе Галеркина для уравнений смешанного типа второго порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, №2. С. 41-47.

14. Петрушко И. М., Черных Е. В. О начально-краевой задаче для уравнений с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ. 2000. №6. С. 60-70.

15. Петрушко И. М. О первой смешанной задаче для вырождающихся параболических уравнений с меняющимся направлением времени // Вестн. МЭИ. 2016. №1. С. 53-58.

16. Михайлов В. П. О граничных значениях решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с гладкой границей // Мат. сб. 1976. Т. 101, №143. С. 163-188.

17. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

18. Гущин А. К., Михайлов В. П. О граничных значениях Ьр, р > 1, решений эллиптических уравнений второго порядка в областях с гладкой границей // Мат. сб. 1979. Т. 108, № 150. С. 3-21.

19. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

Поступила в редакцию 22 августа 2018 г. После доработки 25 сентября 2018 г. Принята к публикации 13 ноября 2018 г.

Петрушко Игорь Мелетиевич, Петрушко Максим Игоревич Московский энергетический институт (технический университет), ул. Красноказарменная, 14, Москва 111250 ре"ЬгизЬко1т@тре1 .ги, ре"ЬгизЬкот1@тре1. ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2018. Том 25, № 4

UDC 517.95

ON THE FIRST MIXED PROBLEM IN BANACH SPACES FOR THE DEGENERATE PARABOLIC EQUATIONS WITH CHANGING TIME DIRECTION I. M. Petrushko and M. I. Petrushko

Abstract: The paper is devoted to the study of a section of nonclassical differential equations, namely, the solvability problems for second-order parabolic equations with changing time direction. It is well known that in ordinary boundary value problems for strictly parabolic equations the smoothness of the initial and boundary conditions completely ensures that the solutions belong to Holder spaces, but in the case of equations with changing time direction the smoothness of the initial and boundary conditions does not ensure that the solutions belong to such spaces. S. A. Tersenov, for a model parabolic equation with changing time direction, and S. G. Pyatkov, for a more general second-order equation, both obtained necessary and sufficient conditions for solvability of the corresponding mixed problems in Holder spaces, while the initial and boundary conditions were always assumed to be zero. In this paper, we consider cases where the initial and boundary conditions belong to Banach spaces. We introduce functional spaces in which solutions must be sought and obtain appropriate a priori estimates that make it possible to find solvability conditions for these problems. We also study the properties of the solutions obtained. In particular, we establish the equivalence of the Riesz and Littlewood—Paley conditions analogous to those for solutions of strictly elliptic and strictly parabolic equations of the second order. The unique solvability of the first mixed problem with boundary and initial functions from a Banach space is proved.

DOI: 10.25587/SVFU.2018.100.20553

Keywords: degenerate equations, changing time direction, functional spaces, integral identities, first mixed problem, solvability.

REFERENCES

1. Gevrey M., "Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique," J. Math. Appl., 9, No. 6, 305-478 (1913).

2. Baouendi M. S. and Grisvard P., "Sur une equation d'evolution changeante de type," J. Funct. Anal., 2, No. 3, 352-367 (1968).

3. Tersenov S. A., "On the first boundary problem for a parabolic equation with changing time direction," Dokl. Math., 53, No. 3, 341-343 (1996).

4. Tersenov S. A., Parabolic Equations with Changing Time Direction [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1985).

5. Pyatkov S. G., Operator Theory. Nonclassical Problems, VSP, Utrecht (2002).

6. Pyatkov S. G., "On the solvability of a boundary value problem for a parabolic equation with changing time direction," Sov. Math., Dokl., 285, No. 6, 1322-1327 (1985).

7. Egorov I. E., "On modified Galerkin method for parabolic equations with changing evolution direction," Uzbek. Mat. Zh., 13 (2013).

8. Popov S. V., "On smoothness of solutions to parabolic equations with changing evolution direction," Dokl. Math., 400, No. 1, 29-31 (2005).

© 2018 I. M. Petrushko and M. I. Petrushko

9. Popov S. V., "The Gevrey boundary value problem for a third order equation," Mat. Zamet. SVFU, 24, No. 1, 43-56 (2017).

10. Antipin V. I. and Popov S. V., "Boundary problems for third order equations with changing time direction," Vestn. Yuzhno-Ural. Gos. Univ., Ser. Mat. Model. Program., 40, No. 14, 19-28 (2012).

11. Popov S. V. and Potapova S. V., "Holder classes of solutions to 2n-parabolic equations with changing direction of evolution," Dokl. Math., 79, No. 1, 100-102 (2009).

12. Egorov I. E. and Efimova E. S., "Stationary Galerkin method for a parabolic equation with changing time direction [in Russian]," Mat. Zamet. YAGU, 18, No. 2, 41-47 (2011).

13. Egorov I. E. and Tikhonova I. M., "Stationary Galerkin method for a mixed-type second order equation [in Russian]," Mat. Zamet. YAGU, 17, No. 2, 41-47 (2010).

14. Petrushko I. M. and Chernykh E. V., "On initial-boundary value problem for equations with changing time direction [in Russian]," Vestn. MPEI, No. 6, 60-70 (2000).

15. Petrushko I. M., "On the first problem for the degenerate parabolic equations with changing time direction [in Russian]," Vestn. MPEI, No. 1, 53-58 (2016).

16. Mikhailov V. P., "On boundary values of solutions to elliptic second-order equations on domains with smooth borders [in Russian]," Mat. Sb., Nov. Ser., 101, 163-188 (1976).

17. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Ural'ceva N. N., Linear and Quasilinear Parabolic Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

18. Gushchin A. K. and Mikhailov V. P., "On boundary values of solutions to second-order elliptic equations in Lp, p> 1 [in Russian]," Mat. Sb., Nov. Ser., 108, 3-21 (1979).

19. Egorov I. E., Pyatkov S. G., and Popov S. V., Nonclasical Differential-Operator Equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2000).

Submitted August 22, 2018 Revised September 25, 2018 Accepted November 13, 2018

Igor M. Petrushko and Maxim I. Petrushko Moscow Power Engineering Institute, 14 Krasnokazarmennaya Street, Moscow 111250 Russia petrushkoim@mpei.ru and petrushkomi@mpei.ru