Анализ конвективных явлений у вертикального фронта кристаллизации методами теории пограничного слоя

УДК 532.526: 669.18

В.И.Жук

АНАЛИЗ КОНВЕКТИВНЫХ ЯВЛЕНИЙ У ВЕРТИКАЛЬНОГО ФРОНТА КРИСТАЛЛИЗАЦИИ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

Основными видами перемещений расплава стали в изложнице при его кристаллизации, согласно современным представлениям [1,2], считаются:

1)вынужденная конвекция, вызванная механическим действием заливочной струи;

2)естественная тепловая конвекция, обусловленная зависимостью плотности расплава в различных частях изложницы от температуры;

3)естественная концентрационная конвекция, обусловленная зависимостью плотности расплава от его химического состава;

4)гравитационная конвекция, вызванная перемещением кристаллов твердой фазы в поле сил тяжести;

5)усадка металла, связанная с перемещением фаз из-за их различной плотности в твердом и жидком состоянии;

6)фильтрация расплава в междендритных пространствах.

Каждый из этих видов движений реализуется на определенном этапе кристаллизации слитка. В работе [2] отмечается, что самым продолжительным является период формирования зоны столбчатых кристаллов. В этом периоде перемещение расплава обусловлено в основном тремя факторами -естественной тепловой, концентрационной и гравитационной конвекцией. Тепловая и концентрационная конвекции достаточно подробно изучалась в работах [3,4]. Гравитационная конвекция, которую обычно связывают с опусканием кристаллов, зародившихся как у фронта затвердевания, так и в объеме расплава, исследована весьма приближенно. Так, в работе [1] скорость гравитационного перемещения твердой фазы оценена как скорость опускания столба жидкости в сообщающихся сосудах. В работе [5] проведено численное исследование влияния движения твердой фазы на ход кристаллизации слитка ограниченных размеров в рамках теории квазиравновесной двухфазной зоны В.Т.Борисова [6]. Результаты расчетов трудно использовать на практике, поскольку в модели задавалась теплоизоляция изложницы снизу, (что не соответствует действительности), а аналитические выкладки отсутствуют.

Задача настоящей работы заключается в том, чтобы, используя представления о двухфазной зоне затвердевающего металла [7], и дополнив их представлениями теории пограничного слоя [8], математически проанализировать движение расплава у вертикального фронта кристаллизации. Допускаемые при этом предположения позволяют получил., с разумной потерей точности, некоторые аналитические выражения и провести оценку интенсивности того или иного вида конвекции и степени ее влияния на процессы тепло- и массопереноса в затвердевающем расплаве.

Согласно современным представлениям [7], между затвердевшим слоем металла и жидким расплавом центральной части слитка имеется двухфазная зона. Ее структура характеризуется наличием твердо-жидкой области, в которой расплав находится вокруг неподвижного скелета, и жидко-твердой области, представляющей собой взвесь кристаллов в расплаве. Твердо-жидкая область является результатом последовательной, а жидко-твердая - объемной кристаллизации. В первой области наиболее развиты усадочные и фильтрационные процессы, а во второй - гравитационное перемещение кристаллов, тепловая и концентрационная конвекция. Области отделены друг от друга границей выливаемости, положение которой определяется на основании экспериментальных данных.

Рассмотрим конвекцию вблизи вертикального фронта затвердевания в приближении пограничного слоя [8]. Для этого предположим, что жидко-твердая фаза заполняет полупространство, отделенное от фронта кристаллизации плоской границей выливаемости. Скорость ее продвижения R будем считать постоянной и равной скорости кристаллизации. Так как объем расплава достаточно велик, полагаем, что на большом расстоянии от фронта затвердевания температура расплава Т^и концентрация примеси (углерода) С,,, не изменяются, а расплав неподвижен. Плотность расплава р полагаем зависящей от температуры Т, концентрации примеси С и доли твердой фазы \|/ -по закону:

Р = р«|1+Рт

гДе Рш - плотность расплава на бесконечном удалении от фронта затвердевания, рт - коэффициент термического расширения расплава, Рс -коэффициент концентрационного расширения расплава, е = р8/рь'-1 коэффициент усадки расплава, вычисленный по значениям плотности твердой р5 и жидкой рь фаз.

Вследствие теплообмена, ликвации и зарождения кристаллов твердой фазы в двухфазной зоне на границе выливаемости (рис.1) развиваются динамический, тепловой и диффузионный пограничные слои. Вводя подвижную систему координат, связанную с границей выливаемости запишем систему уравнений движения (2), неразрывности (3), теплопроводности (4) и диффузии (5) для пограничного слоя в установившемся квазистационарном режиме:

аи аи и К)'

ах

8У

а2и

= V — + 8рт <Т - Т,;) +

д\2

д\} дУ

— 4-— = 0

ах дУ

" ат ат а2т

ас ас з2с

ах 1 д\ а у2

о

где X, У-координаты, и, У-продольная и поперечная компоншты скорости, V, а, Б - коэффициенты кинематической вязкости,

теплопроводности и диффузии, g-ycкopeниe свободного падения, к0-равновесный коэффициент распределения примеси.

Граничные условия для компонент скорости, температуры и концентрации примеси записываются в виде:

. и|¥=0 =и|у=в =0 , У(¥=0 = У|у=„ = о

-ь

ас

дУ

= К(1 - к, )С|У=, ,

3¥=„ = С.

у=»

Рис.1.Схема затвердевающей области.

Для величины доли твердой фазы 1|/(Х,У) необходимо задать дополнительные соотношения. С целью упрощения задачи используем линейныв закон, справедливый при любых концентрациях [7].

1 _ т < т8

тя<т<т,

ть-т 8

Ть — Т8

О т>ть

где Ть, Т8 -температуры ликвидуса и солидуса, соответственно.

Анализ системы (2-9) дает, что для температуры Т* и концентрации примеси С при X —> оо имеются асимптотические решения, не зависящие от вертикальной компоненты скорости II*:

я

Т" = Т«, -

С'^СЛИ-Ц^е^). -

Асимптотические решения для и * в случае тепловой конвекции

(Рс = е = 0) и для и "с в случае концентрационной конвекции (Рт -8 = 0), согласно [4], имеют вид:

^ К2(а-V) 1е 6 1 ( }

Вследствие линейности движущцх сил в уравнении (2), решение для асимптотической скорости найдем путем сложения значений скорости, определяемых каждым фактором:

- . г = и;+и;+и;„. , <14>

Асимптотический профиль скоростей для гравитационной конвекции и'у найдем, подставив выражение для температуры (10) в уравнение для доли

твердой фазы (9), а последнее в уравнение (2), положив при этом ($т = Рс = О Учтем, что течение расплава возможно только до гранщщ выливаемости, определяемой значениш \|/0 =0,2 и, соответственно, температурой Тв . Введем

Т* — Т Т -Т

безразмерные температуры 9* =-1. и д = ——5-, скорость

т.-т, ь т„-т0

и = и*/ио,координату т] = уИ/а, критерий Прандгля Рг = V/а.

Соответствующие зависимости безразмерной температуры и доли твердой фазы показаны на рис.2 для различных значений перегрева расплава.

Точки пересечения сплошных кривых с линией в */ ,'= 1 определяют

безразмерную ширину двухфазной зоны. Граница ликвидуса Т]ь определяется в зависимости от перегрева по выражению (15):

=1п[1/

твердой фазы (пунктир) в случае гравитационной конвекции: 1-при 9Ь =0,1 , 2-при 9Ь — 0,5, Згпри 9Ь = 1 .

Асимптотические профили' скоростей в случае действия только гравитационного фактора определяются по выражению- (16) и имеют вид, показанный на рис 3:

^ = ие[е-^1-1

«(X -Т )а

где и„-=г——-2---. Здесь же приведен график относительной

0 К (Ть - Тд )(1 - Рг) . '

скорости для тепловой конвекции в стальном слитке (рис.3, кривая 4). Очевидно, что интенсивность того и другого типа конвекции сравнимы между собой. Критерием сравнения может служить величина

а = Эт(Ть - Т8)/е . При а « 1 гравитационное перемещение дает существенный вклад в развитие конвекции в слитке, в особенности на более поздних этапах затвердевания, когда перегрев снижается. Например, при 0Ь = 0,5 совместное действие теплового и гравитационного фактора приводит к увеличению скорости движения металла в пограничном слое (рис.3, кривая 5).

В случае действия всех трехфакторов - теплового, гравитационного и концентрационного - в уравнении (2), решение усложняется тем, что знак

величины ßc щи углерода в 'сггали отрицателен. Тогда возможен механизм

о.& 11 _

о ST" 1 ij г IJ Г" у

Рис.3.Профили безразмерной вертикальной компоненты скорости: для гравитационной ^ конвекции 1-при вь = 0,1 ,«2-дри 6L = 0,5, 3-при 0L = 1, 4- для тепловой Конвекции, 5' для тепловой и гравитационной конвекции при вь =0,5

отрыва пограничного слоя, описанный в [8] и, соответственно, на разных стадиях затвердевания отливки или слитка могут возникать пространственные многовихревые структуры, расчет которых не может быть осуществлен в рамках теории пограничного слоя. Преобладание того или иного вида конвекции определяется критериальными соотношениями:

• преобладание тепловой конвекции над концентрационной - при

ßT(Te>-T0)»ßcCÄD/a;

• у преобладание гравитационной конвекции над концентрационной - при

е(Т„ - Т0) /(TL - Ts) » ßcCeD /а ;

• преобладание - гравитационной конвекции над тепловой -при Рт(Т„-Т0)«еУ|/0 .

Таким образом, в приближении пограничного слоя получены аналитические выражения, позволяющие оценить вклад в развитие конвективных перемещений теплового, гравитационного и концентрационного факторов. При заданных значениях начального перегрева расплава и скорости кристализации могут быть рассчитаны предельные значения вертикальной компоненты скорости в пограничном слое, ширина жидко-твердой области двухфазной зоны и другие параметры, влияющие на тепломассообменные процессы при кристаллизации слитка.

Перечень ссылок

1. ЕфимовВ.А. Разливка и кристаллизация стали.-М.: Металлургия, 1976.-552 с.

2. Скребцов А.М. Конвекция и кристаллизация металлического расплава в слитках и

отливках. -М.: Металлургия, 1993.-144 с.

3. Ефимов В.А., Эльдарханов А.С. Анализ условий развития конвективного движения

расплава в затвердевающей отливке. // Процессы литья. -1996.-N2.- С.27-40.

4. Жук В.И., Черепанов А.Н. Конвективный тепло- и массоперенос при направленной

кристаллизации двойного сплава.//Изв. АН СССР. Металлы. -1984. -Ч5.-С.78-84.

5. Самохвалов С.Е., Чернета В.А. Влияние движения мелкодисперсных кристаллов на

ход кристаллизации стального слитка. // Процессы литья.-1994.-№2.-С.80-86.

6. БорисовВ.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка.-М.: Металлургия,

1987.-232 с.

7. Гуляев Б.Б. Теория литейных процессов.-Л.: Машиностроение, 1976.-216 с.

8. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя.- Пер. с англ,- М.: Гл. ред. физ. -мат. лит-ры

изд. Наука, 1974.-390 с.