Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классах функций с весами

УДК 517.392

DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-7

И. В. Бойков, А. И. Бойкова

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ С ВЕСАМИ (1 -12)—1/21

Аннотация.

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики, что прежде всего связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений к механике, аэродинамике, электродинамике, геофизике. При этом следует отметить два обстоятельства: аналитическое решение гиперсингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях; спектр приложений гиперсингулярных интегральных уравнений постоянно расширяется. Этим обусловлена актуальность построения и обоснования численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений. В настоящее время остались неразработанными методы приближенного решения гиперсингулярных интегральных

2 —1/2

уравнений первого рода на классах функций с весами (1 — t ) . Статья посвящена построению и обоснованию приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, определенных на сегменте [-1,1], методом механических квадратур. Исследованы методы приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого

2 —1/2

рода на классах функций с весами (1 — t ) .

Материалы и методы. Обоснование разрешимости и сходимости метода механических квадратур к приближенному решению гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, определенных на сегменте [-1,1], основано на применении методов функционального анализа и теории приближений.

Результаты. Предложен и обоснован метод механических квадратур для

2 —1/2

приближенного решения на классах функций с весами (1 — t ) гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода. Приведены оценки быстроты сходимости и величины погрешности.

Выводы. Построены вычислительные схемы, позволяющие эффективно решать прикладные задачи механики, аэродинамики, электродинамики, геофизики.

Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода, метод механических квадратур.

I. V. Boykov, A. I. Boykova

APPROXIMATE METHODS OF SOLVING HYPERSINGULAR INTEGRAL EQUATIONS OF FIRST KIND WITH SECOND-ORDER PECULIARITIES ON CLASSES OF FUNCTIONS WITH WEIGHTS (1 — 12)—1/2

1 Работа поддержана РФФИ. Грант 16-01-00594.

Abstract.

Background. Approximate methods of solving hypersingular integral equations appear to be an actively developing area of calculus mathematics. It is associated, first of all, with multiple applications of hypersingular integral equations in mechanics, aerodynamics, electrodynamics, geophysics. At the same time it is necessary to point out two circumstances: analytical solution of hypersingular integral equations is possible only in exceptional cases; the range of applications of hypersingular integral equations is constantly expanding. In this regard, the development and substantiation of numerical methods of solving hypersingular integral equations are topical. At the present time, methods of approximate solution of hypersingular integral

2 —1/2

equations of first kind on classes of functions with weights (1 — t ) are remaining undeveloped. The article is devoted to construction and substantiation of approximate solution of hypersingular integral equations of first kind, determined on the segment [-1,1] by the method of mechanical quadrature. The authors studied methods of approximate solution of hypersingular integral equations of first kind on

2 —1 /2

lcasses of functions with weights (1 — t ) .

Materials and methods. The substantiation of solvability and convergence of the method of mechanical quadratures to the approximate solution of hypersingular equations of first kind, determined on the segment [-1,1], is based on application of methods of functional analysis and the theory of approximations.

Results. The paper suggests and substantiates the method of mechanical quadratures for approaximate solution of hypersingular integral equations of first kind on

2 —1 /2

classes of functions with weights (1 — t ) . Estimates of the rate of convergence and the extent of error are also adduced.

Conclusions. The authors have constructed computing schemes allowing to efficiently solve applied problems of mechanics, aerodynamics, electrodynamics, geophysics.

Key words: hypersingular integral equations of first kind, method of mechanical quadratures.

Введение

Важность построения численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений обусловлена многочисленными приложениями в физике и технологиях. В течение последнего столетия, с тех пор как Гильберт и Пуанкаре ввели в математику сингулярные интегральные уравнения, наблюдается исследовательский бум в области сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений и их приложений. Краевая задача Римана, сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения широко используются в качестве основных методов математического моделирования в физике (квантовая теория поля, теория близкого и дальнего взаимодействия, теория солитонов), теории упругости и термоупругости, аэродинамике и электродинамике и многих других областях. Решение сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений в замкнутом виде возможно только в особых случаях. Поэтому исключительную важность играют приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений. Основные численные методы и обширные обзоры литературы по численным методам решения сингулярных интегральных уравнений проведены в [1-4]. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений менее разработаны [5-9].

При этом большое число работ посвящено приближенным методам решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода на классах

2 —1/2

функций с весовым множителем (1 — t ) [8, 9].

В настоящей работе предлагается метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода на классах функций с весами

2 —1/2

(1 — t ) . Исследуются вопросы разрешимости уравнений и строятся численные методы.

Работа является продолжением статьи [7], в которой, в частности, изложен общий подход к приближенному решению гиперсингулярных интегральных урвнений первого рода, включая решение гиперсингулярных инте-

2 —1/2

гральных уравнений на классах функций с весовым множителем (1 — t ) . При этом не приводился конкретный вид правого обратного оператора.

В данной работе построены конкретные правые обратные операторы для рассматриваемых классов уравнений. На основе этих операторов построены и обоснованы соответствующие вычислительные схемы.

1. Определение гиперсингулярных интегралов

В работах [10, 11] Ж. Адамар ввел новый тип особых интегралов. Определение 1 [10, 11]. Интеграл вида

г А(Х)АХ

| (Ь — х)р+а

при целом р и 0< а <1 определяет величину («конечную часть») рассматриваемого интеграла как предел при х ^ Ь суммы

X В

| (Ь^—о^ + (Ь — х)р+а—1,

если предположить, что Л(х) имеет р производных в окрестности точки Ь . Здесь В( х) — любая функция, на которую налагаются два условия:

а) рассматриваемый предел существует;

б) В(х) имеет, по крайней мере, р производных в окрестности точки

х = Ь .

Произвольный выбор В(х) никак не влияет на значение получаемого предела: условие (а) определяет значения (р — 1) первых производных от В(х) в точке Ь, так что произвольный добавочный член в числителе есть

бесконечно малая величина, по меньшей мере порядка (Ь — х)р .

Замечание. В книге [12] Ж. Адамар увлекательно рассказывает о различных сторонах творческого процесса при решении математических проблем и, в частности, останавливается [12, с. 104] на открытии им гиперсингулярных интегралов.

В работе Л. А. Чикина [13] дано определение интеграла типа Коши — Адамара, обобщающее понятия интеграла в смысле главного значения Коши и интеграла в смысле Адамара.

Определение 2 [13]. Интегралом

Г^ХМ! « < с < Ьг а (х-с)*

в смысле главного значения Коши - Адамара будем называть следующий предел:

ф(х)dх _ --lim

(X - c)Р v^Q

c-v ф

(х-c)p ^ (х-c)p vp -1

где Е(у) - некоторая функция, выбранная так, чтобы указанный предел существовал.

Наряду с определениями гиперсингулярных интегралов, приведенными в [14], и определением 2 дадим, следуя [15], еще одно определение, удобное в приложениях, особенно при решении гиперсингулярных интегральных уравнений на весовых классах функций.

Рассмотрим гиперсингулярный интеграл

Г ^^фФ ах,

-1 (х- )2

где ю(х) - весовая функция,

(1 - ХЛ—1/2 ю(Х ) = 1, ю(Х ) = (1 -X2)—1/2, ю(0 = ( —

V1 + К

Регуляризация интеграла (1) проводится по формуле

ю

I Ю(х)ф(х) dX _

-1 (х-t )2

ф

(х-1 )2

d х +

+ф

—1

Замечание. Отметим, что подобная регуляризация ранее была описана в книге [16].

2. Метод механических квадратур

Исследуем разрешимость гиперсингулярных интегральных уравнений

вида

1

KQх ^ I , x

-X2 (X-1)2

на классе функций, удовлетворяющих следующим условиям: 82 University proceedings. Volga region

1) решение х ^) уравнения (3) разлагается по степеням t:

х а )= 2 хк е, k=0

2) х0 = с0, 3) х1 = Cl,

где co и Cl заранее заданные константы.

п

Введем пространства Vn - полиномов вида хп (t) = Co + Clt + ^а^

k=2

П

с нормой ||хп|| = 2 | аk | и пространство Wn — полиномов вида

k=2

п—2 п—2

л (t) = с нормой 1Ы1=21 ^1

k=0 k=0

Покажем, что оператор ^0 однозначно отображает пространство V на

Wn. Для этого покажем, что уравнение (3) имеет единственное решение

*

х ^) е при любой правой части /^) е Wn.

Решение уравнения (3) будем искать в виде полинома

,(t ) = Cq + cxt + Yjaktk • k=2

Известно [15], что

- J

n J

xnd X

1^1 -T2(T-t )2

0, n = 0,1,

^V ,n = 2,3,.. k=0

где

n ek

0, n - k = 2 j -1, n - k -1

л/л p f n - k

n - k = 2 j(n > 2, k < n - 2),

P- гамма-функция, j = 1,2,...

Воспользовавшись формулой (5), имеем

1J

n J

n k-2

xn(x)d X

-x2(x-t )2 k=2 l=0

= Z«k ^¡eftl •

X

Так как f (t) е Wn, то

n-2

/

к=0

Учитывая, что ек = 0 при (к -1) нечетном, предыдущее равенство можно записать в виде

Xn (х)dх _ А а U-2tk-2 + ek-/-4 + - + eQ,k _ 2 j, , _1 2

^ 1 iVT-X2(x-t )2 ¿fk ^ek-2tk-2 + ekk-4tk-4 + - + eft,k_2j -1, j , ^ Подставляя (6), (7) в (3), получим

n k-2 n-2

Z«k Zeft1 _ А fktk.

k _2 /_Q k _Q

Приравнивая коэффициенты в левых и правых частях равенства (8) при одних и тех же степенях t, получаем две системы реккурентных формул. Пусть n - четное число, тогда

anen-2 _ fn-2,

ane«-4 + an-2e«-42 _

n n-2 n-4 _ r

anen-6 + an-2en-6 + an-4en-6 _ Jn-6,

«neQ + «n-2eo 2 + - + «2eo _ fo;

an-1en-1 _ fn-3,

an-1en-5 + an-3en-5 _ fn-5,

an-1ef 1 + an-3ef 3 + - + aA3 _ ft.

Аналогичные системы получаются когда n - нечетное число. Из систем (9), (10) следует, что коэффициенты ak, k _2,..,n, определяются однозначно.

Таким образом, показано, что оператор KQ однозначно отображает пространство Vn на пространство Wn.

Обозначим через X пространство функций x(t), удовлетворяющих условиям:

1) функция x(t) разлагается на сегменте [-1,1] в ряд по степеням

x(t)_ А Xktk;

k _Q

2) х0 = с0, х = С1, где с0 и с1 - заранее заданные числа;

3) производная х"^) е , 0< а<1.

Замечание. Второе условие эквивалентно тому, что х(0) = С0, х'(0) = с1.

Норма в пространстве X определяется выражением

| х"(^1) - х"(*2)|

max

хе[-1,1]

max

xe[-1,1]

max | x (t) | + sup

XE[-1,1]

t1*t2 | '1 - h

где 0< P < a.

Обозначим через Y пространство функций, удовлетворяющих на сегменте [-1,1] условию y(t) е Hp. Норма в пространстве Y определяется

выражением

Обозначим через Xn подпространство пространства X, а через Yn -подпространство пространства Y .

Прежде всего покажем, что оператор K отображает пространство X в пространство Y.

Действительно, из равенства (5) и формулы

=0

следует, что

x(x)d т

1^1 -x2(x-t )2

-Т

1 х

1 Vi -Т2 (т-t)2

d т =

1 1 I т

J I-- \x"(v)(T-v)dv

-W1 -т 11

d т.

Отсюда имеем

|(Hx)(t1) - (Hx)(t-)|= \-J= -lV1 -т2

< M 2

f_!_

да

a

J x" (v)(t - v)dv

d т< c 112 -111.

d т<

Будем считать, что оператор K е[X,Y] непрерывно обратим.

t

1

t

2

t

1

Аппроксимируем уравнение (3) следующим образом:

1

Kx , ^ 2 = fn_2

- х2(х_ t)2

где /п_2(Х) - интерполяционный полином степени (п — 2) по узлам Чебышева первого рода.

Так как /п_2(() - полином степени (и — 2) то, как доказано выше, уравнение (11) имеет единственное решение в пространстве Хп.

Обозначим через х*(Х) и х*(Х) соответственно решения уравнений (3) и (11), удовлетворяющие условиям Х*(0) = Сд, х* (0) = С и Х*(0) = Сд, х* (0) = С1. Тогда

||х* (X) — Х* (X )|| < Сп _ а 1п п.

Таким образом, доказано следующее утверждение. Теорема 1. Пусть оператор К0 е [X,У] непрерывно обратим. Пусть приближенное решение уравнения (3) ищется в виде полинома (4), коэффициенты {ад.} которого находятся из системы уравнений (11). Тогда система уравнений (11) однозначно разрешима при любом п = 3,4,..., и справедлива оценка ||х* (X) — Х* (X)|| < Сп а 1п п, где х* и Х* - решения

уравнений (3) и (11), соответственно.

Рассмотрим гиперсингулярное интегральное уравнение первого рода

Кх = — 1 . х

* ЛлЯ—хГ (т_ X )2 _1

на классе функций, удовлетворяющих следующим условиям:

*

1) решение х (X) уравнение (12) разлагается по степеням X:

*

x

(t )= A xktk; k=0

2) х0 = С0;

3) х1 = С1,

где С0 и С1 - заранее заданные константы.

Будем считать, что /(X) и т) (по обеим переменным) - гладкие функции. Классы, к которым принадлежат функции т) и /(X), будут уточнены ниже.

Приближенное решение уравнения (12) будем искать в виде полинома

п

хп (() = С0 + С1{ + ^ак(к, к=2

коэффициенты {ад} которого определяются из системы алгебраических уравнений

К Х = P

1 n-2

xn (x)d х

1 f_ n' )2

J Lxn [h(t, х) Xn (x)]d х

= Ppn-2 [ f

где Рп - оператор проектирования на множество интерполяционных полиномов п -го порядка по узлам многочленов Чебышева первого рода; 1п - оператор проектирования на множество интерполяционных полиномов

п -го порядка по узлам полиномов Лежандра; верхний индекс у оператора II означает, что интерполяция проводится по переменной х.

Из формулы (6) следует что уравнение (13) можно записать в виде

1 1 xn (х

^VI-2

xn(x)d х

- + Pn

-х2 (х-t )2

n-2

1

JLn [h(t, х)Xn ^)]dх

-1

= Pn-2[ f ]•

Будем считать, что оператор Ке [X,У] имеет линейный обратный оператор. Отсюда следует, что на подпространстве Хп оператор К имеет левый обратный оператор. Введем оператор

1 хп (х^ х 1

Kxn =

-iVl -х2 (х -1 )2

Pn-2[ J?n-l[h(t, х)]Хп (х)dх],

-1

где - оператор проектирования на множество полиномов (п -1) степени наилучшего в равномерной метрике приближения.

Полагая, что х) е На а, и повторяя рассуждения, используемые при

обосновании метода механических квадратур в теории интегральных

и - н А\хп\ 1п п уравнений второго порядка [6], имеем \\Кхп - КхЛ < —и—а-.

па

Из теоремы о левом обратном операторе [17] следует, что при п таких, что q = Сп-а 1п п <1, оператор К обратим слева в подпространстве Хп.

Так как выражение ТЩ^И^, х)]хп (х) является полиномом степени (2п -1), а оператор 1п построен по узлам полинома Лежандра, то

1 1

|Гпт_1[^, х)]хп (х^х = |II [гпх-т, х)]хп (х)]^х.

-1 -1

Введем оператор 1

I

К Х =

-1- J

т J

xn ^)d х

-1^1 -х (х-t у

-+ P

n-2

[ J Ln [Th[h(t, х)]Хп (х)d х].

-1

Нетрудно видеть, что при п таких, что ^ = Сп _а 1п2п <1, из обратимости слева оператора Кп следует обратимость слева оператора Кп. Так как оператор Кп _ конечномерный, то из обратимости слева следует его непрерывная обратимость.

Таким образом, система уравнений (13) однозначно разрешима. Из теории приближенных методов [17] следует, что при / е На

справедлива оценка

X

< Cn _a ln2n.

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть оператор Ке [X,У] непрерывно обратим и И

соответственно.

Аналогичным образом доказывается следующая теорема.

Теорема 3. Пусть оператор K е [X,Y] непрерывно обратим и

h(t,т)eWr,rHaa, f(t)eWrHa,r = 1,2,...,0<a< 1. Тогда при n таких, что

Cn_r_a ln2n <1, система уравнений (13) однозначно разрешима и справедлива оценка || x _xn ||< Cn r aln2n, где x и xn - решения уравнений (12) и (13) соответственно.

Замечание. Напомним, что через WrHa[-1,1], r = 1,2,..., 0<a<1, обозначается множество функций, имеющих непрерывные производные до r-го порядка на сегменте [-1, 1], причем производная r-го порядка удовлетворяет условию Гельдера с показателем a.

Через Wr,rHaa[_1,1]2, r = 1,2,..., 0<a<1, обозначим множество

функций, имеющих по каждой переменной непрерывные частные производные до r-го порядка, причем производная r-го порядка удовлетворяет условию Гельдера с показателем a.

Библиографический список

1. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. - М. : Наука, 1971. - 352 с.

2. Mikhlin, S. G. Singular Integral Operatoren / S. G. Mikhlin, S. Prossdorf. - Berlin : Acad. -Verl., 1980.

3. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

4. Boykov, I. V. Numerical methods for solution of singular integral equations / I. V. Boykov // arXiv: 1610.09611[math.NA]. - 182 p.

5. Boykov, I. V. An approximate solution of hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S.Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. - 2010. -Vol. 60, № 6. - P. 607-628.

6. Boykov, I. V. An approximate solution of nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, V. A. Roudnev, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. - 2014. - Vol. 68. - P. 1-21.

7. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Сёмов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2015. - № 3 (35). - С. 11-27.

8. Feng, H. Numerical solution of a certain hypersingular equation of the first kind / H. Feng, X. Zhang, J. Li // BIT Numer. Math. - 2011. - Vol. 51. - P. 609-630.

9. Хубеджи, Ш. С. О численном решении гиперсингулярного интегрального уравнения первого рода / Ш. С. Хубеджи // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст.. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2015. - С. 134-138.

10. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. - М. : Наука, 1978. - 351 с.

11. Hadamard, J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique / J. Hadamard. - Herman ; Paris, 1903. - 320 p. [reprinted by Chelsea. - New York, 1949].

12. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Ж. Адамар. - М. : Советское радио, 1970. - 152 с.

13. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. -1953. - Т. 113, кн. 10. - С. 57-105.

14. Бойков И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. 2. Гиперсингулярные интегралы. Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. - 252 с.

15. Kaya, A. C. On the solution of integral equations with strongly singular kernels / A. C. Kaya, E. Erdogan // Quatery of applied mathematics. -1987. - Vol. 45, № 1. -P. 105-122.

16. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гель-фанд, Г. Е. Шилов. - Вып. 1. - М. : ГИФМЛ, 1958. - 439 с.

17. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Аки-лов. - М. : Наука, 1977. - 750 с.

References

1. Gokhberg I. Ts., Fel'dman I. A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya [Equations in convolution and projection methods of their solution]. Moscow: Nauka, 1971, 352 p.

2. Mikhlin S. G., Prossdorf S. Singular Integral Operatoren. Berlin: Acad. - Verl., 1980.

3. Boykov I. V. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravneniy [Approximate solution of singular integral equations]. Penza: Izd-vo PGU, 2004, 316 p.

4. Boykov I. V. Numerical methods for solution of singular integral equations. ArXiv: 1610.09611[math.NA]. 182 p.

5. Boykov I. V., Ventsel E. S., Boykova A. I. Applied Numerical Mathematics. 2010, vol. 60, no. 6, pp. 607-628.

6. Boykov I. V., Ventsel E. S., Roudnev V. A., Boykova A. I. Applied Numerical Mathematics. 2014, vol. 68, pp. 1-21.

7. Boykov I. V., Boykova A. I., Semov M. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2015, no. 3, pp. 11-27.

8. Feng H., Zhang X., Li J. BIT Numer. Math. 2011, vol. 51, pp. 609-630.

9. Khubedzhi Sh. S. Matematicheskoe i komp'yuternoe modelirovanie estestvennonauch-nykh i sotsial'nykh problem: sb. st. [Mathematical and computer modeling of natural scientific and social problems: collected articles]. Penza: Izd-vo PGU, 2015, pp. 134138.

10. Adamar Zh. Zadacha Koshi dlya lineynykh uravneniy s chastnymi proizvodnymi giper-bolicheskogo tipa [Cauchy problem for linear equations with partial derivatives of hyperbolic type]. Moscow: Nauka, 1978, 351 p.

11. Hadamard J. Leçons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique [Lectures on wave propagation and equations of hydrodynamics]. Herman; Paris, 1903, 320 p. [reprinted by Chelsea. New York, 1949].

12. Adamar Zh. Issledovanie psikhologii protsessa izobreteniya v oblasti matematiki [A research of the inventing psychology in mathematics]. Moscow: Sovetskoe radio, 1970, 152 p.

13. Chikin L. A. Uchenye zapiski Kazanskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kazan State University]. 1953, vol. 113, bk. 10, pp. 57-105.

14. Boykov I. V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh in-tegralov. Ch. 2. Gipersingulyarnye integraly [Approximate methods of calculating singular and hypersingular integrals. Part 2. Hypersingular integrals]. Penza: Izd-vo PGU, 2009, 252 p.

15. Kaya A. C., Erdogan E. Quatery of applied mathematics. 1987, vol. 45, no. 1, pp. 105122.

16. Gel'fand I. M., Shilov G. E. Obobshchennye funktsii i deystviya nad nimi [Generalized functions and actions with them]. Issue. 1. Moscow: GIFML, 1958, 439 p.

17. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funktsional'nyy analiz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1977, 750 p.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: boikov@pnzgu.ru

Бойкова Алла Ильинична кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

Boykova Alla Il'inichna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

УДК 517.392 Бойков, И. В.

Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классах

2 _1/2

функций с весами (1 -1 ) / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 2 (42). - С. 79-90. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-2-7