Расчет трехслойной пологой оболочки с учетом ползучести среднего слоя

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ

СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ

УДК 624.06

В.И. Андреев, Б.М. Языев*, А.С. Чепурненко*, С.В. Литвинов*

ФГБОУВПО «МГСУ», *ФГБОУВПО «РГСУ»

РАСЧЕТ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПОЛОГОЙ ОБОЛОЧКИ С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ СРЕДНЕГО СЛОЯ

Получены разрешающие уравнения метода конечных элементов для расчета трехслойных оболочек с учетом ползучести среднего слоя. Внешние слои оболочки при этом принимались упругими и изотропными. Проведено исследование влияния кривизны оболочки на рост прогиба за счет ползучести на примере сферической оболочки, шарнирно опертой по контуру и загруженной равномерно распределенной нагрузкой. Установлено, что с ростом кривизны оболочки влияние ползучести на прогиб снижается и может быть сведено к нулю.

Ключевые слова: трехслойная пологая оболочка, ползучесть, потенциальная энергия деформации, метод конечных элементов.

Вопросам расчета трехслойных пластин и оболочек посвящено достаточно много публикаций, в т.ч. [1—11]. Но в большинстве из них расчет, как правило, ведется исключительно в упругой постановке. Однако пенопластам, используемым в трехслойных конструкциях в качестве среднего слоя, помимо упругих свойств, присуща вязкость [11, 12]. Поэтому для адекватного описания напряженно-деформированного состояния трехслойных оболочек необходимо привлекать аппарат теории ползучести [13, 14]. Приближенная методика расчета трехслойной пластинки с учетом ползучести среднего слоя приводится в [12]. В настоящей работе рассматривается расчет методом конечных элементов трехслойных оболочек.

Оболочка представляется как совокупность плоских треугольных элементов. Используемый конечный элемент изображен на рис. 1. В каждом узле такого элемента имеется пять степеней свободы: перемещения верхней обшивки uВ, vB; перемещения нижней обшивки uv" и прогиб w Толщины обшивок t и ¿в считаем малыми по сравнению с толщиной оболочки h. Кроме того, принимаем, что внешние слои передают нормальные и касательные усилия в своей плоскости, а средний слой работает только на сдвиг.

„V ]

Рис. 1

ВЕСТНИК

МГСУ-

7/2015

Перемещения в пределах элемента могут быть выражены через узловые перемещения следующим образом:

ив(н) = + + ^и3в(н); ув(н) = ^в(н) + N.у2в(н) + ^У3в(н);

^ = N1 + N. + N3 ,

где Ni (а1 + Ь х + ci у) — функции формы; А — площадь элемента. 2 А

а1 = х2 Уз — х3У2; а2 = х3 У1 — х1 Уэ ; а3 = х1 у2 — х2 У1; Ь1 = У2 — Уэ;

Ь2 = У3 — У1; Ь3 = У1 — У2; с1 = х3 — х2; С2 = Х1 — Х3; С3 = Х2 — Х1,

где х{, У{ — координаты узлов.

Деформации элемента определяются следующим образом [15]:

е!(н) _ 1( + + ЬиГ );

дх 2 А

ду 2 А'

в(н) + сХ(н) + су?"

див(н) Рл>в(н) 1 / у ХН _ дЪ" +%Т _ 27 (с1и1в(н) + С2«2в(н) + Сз«зв(н) + Ь1^В(н) + Ъ2уВ(н) + ЪзуЗ(н));

У гх

У гу

ду дх 2А

ин - ив + дм _ Ъхмх + Ь2м2 + Ъ3м3 + N1 ( - <) + Ыв ( - К) + ( - <);

И дх 2А И

Vй - у° +дм _ с1м1 + свм2 + с3м3 + Ы1 ( - уВ ) + Ыв ( - уВ ) + Ыз ( - у3в) ду 2А И '

гу И ду 2А

Или в матричном виде

{8} = [£]{Ц}, где {б} = (еН ен У; е°х е'у У; у^ Гух};

{и} = {{Р1> {Р2} {р3}}т; (р,} = { У и* у* wl}. Потенциальная энергия деформации записывается в виде

П =1ГIн (стнен + стнен + тн ун ) + ^в (ствев + ствев + тв ув ) +

^ I \ х х У У ху 1 ху} у ^х У У ху 1 ху}

2 Л

+( с„ - у с*)+т; (у; - ус; )] ¿Л=2 \ [м } (- к }),

2 Л

где {= {{ N N1 N N №ху д2Х <2гу} —вектор внутренних усилий

в элементе; {е*} = {0 0 0 0 0 0 у^ у°*у} — вектор деформаций ползучести. Связь между внутренними усилиями и деформациями имеет вид {«} = [0]

-[ в-]

где [ В ] = - Ив J — матрица упругих постоянных;

[ [в ].

[D]-G-h[0 01; [°"Н']

EB

1 -V2

" 1 V 0

V 1 0 0 0 (1 -v)/2

Подставив (1) в выражение для потенциальной энергии деформации и далее применив принцип минимума полной энергии, получим систему линейных алгебраических уравнений

[К ]{и} = } + ^ *}, где [ К ] = {[ВГ [ D][B]dA — матрица жесткости; {^ } — вектор внешних узло-

А

вых нагрузок; ^*} = |[В] dA[D]{s*} — вклад деформаций ползучести в векА

тор узловых нагрузок.

Выражения для матрицы жесткости и вектора нагрузки записаны в локальной системе координат. Для составления системы уравнений МКЭ необходимо для каждого элемента выполнить преобразование к глобальным координатам.

Был выполнен расчет сферической оболочки, изображенной на рис. 2, загруженной равномерно распределенной нагрузкой, при следующих исходных данных: модуль упругости обшивок Е = 2 • 105 МПа; коэффициент Пуассона обшивок V = 0,3; толщина обшивок ^ =1,5 мм; толщина

оболочки И = 80 мм; модуль сдвига п ,,

' ^ Рис. 2. Сферическая шарнирно опертая по

заполнителя Оз = 2,5 МПа; радиус контуру оболочка оболочки в плане г = 8 м.

Закон ползучести принимался в виде

t

GYi = T + j tK(t - T)dт, i = (xz, yz),

где у. — сдвиговая деформация заполнителя; т — касательное напряжение в заполнителе.

Ядро ползучести было принято в виде

К(( - т) = Сзе~а' (г-т), Сз = аз = 0,011—.

час

При таком ядре закон ползучести (2) представляется в дифференциальной форме

ду* с3 .

где у* — сдвиговые деформации ползучести заполнителя.

Дифференциальная форма закона ползучести позволяет вести расчет шаговым методом, определяя деформации ползучести в следующий момент времени при помощи линейной аппроксимации [16—20].

Расчет производился при различных значениях радиуса кривизны оболочки. На рис. 3 показаны графики роста прогиба по отношению к прогибу в начальный момент времени м>(?)/м>(0) в точке А при следующих значениях R: а — R = 112 м; б — R = 224 м; в — R = 336 м; г — R = 672 м; д — R = да. Из рисунка видно, что с увеличением кривизны оболочки эффект ползучести снижается. Для пластины (при R = да) отношение м>((х)/м>(0) составило 1,34, а при R = 112 м прогиб за счет ползучести вырос всего на 3 %.

Рис. 3. Сферическая шарнирно опертая по контуру оболочка

Таким образом, для трехслойных оболочек большой кривизны ползучесть заполнителя не оказывает влияния на прогиб.

Библиографический список

1. Коваленко В.А., Кондратьев А.В. Применение полимерных композиционных материалов в изделиях ракетно-космической техники как резерв повышения ее массовой и функциональной эффективности // Авиационно-космическая техника и технология. 2011. № 5. С. 14—20.

2. Леоненко Д.В. Радиальные собственные колебания упругих трехслойных цилиндрических оболочек // Механика машин, механизмов и материалов. 2010. № 3 (12). С. 53—56.

3. Бакулин В.Н. Неклассические уточненные модели в механике трехслойных оболочек // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4-5. С. 1989—1991.

4. Земское А.В., Пухлий В.А., Померанская А.К., Тарлаковский Д.В. К расчету напряженно-деформированного состояния трехслойных оболочек переменной жесткости // Вестник Московского авиационного института. 2011. Т. 18. № 1. С. 26.

5. Кириченко В.Ф. О существовании решений в связанной задаче термоупругости для трехслойных оболочек // Известия высших учебных заведений. Математика. 2012. № 9. С. 66—71.

6. Сухинин С.Н. Математическое и физическое моделирование в задачах устойчивости трехслойных композитных оболочек // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4-5. С. 2521—2522.

7. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. О некоторых подходах к построению уточненных моделей теории анизотропных оболочек переменной толщины // Математичш ме-тоди та фiзико-механiчнi поля. 2014. Т. 7. С. 21—25.

8. Бакулин В.Н. Эффективные модели для уточненного анализа деформированного состояния трехслойных неосесимметричных цилиндрических оболочек // Доклады Академии наук. 2007. Т. 414. № 5. С. 613—617.

9. Смердов А.А., Фан Тхе Шон. Расчетный анализ и оптимизация многосте-ночных композитных несущих оболочек // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2014. № 11 (656). С. 90—98.

10. Бакулин В.Н. Построение аппроксимаций и моделей для исследования напряженно-деформированного состояния слоистых неосесимметричных оболочек // Математическое моделирование. 2007. Т. 19. № 12. С. 118—128.

11. Garrido M., Correia J., Branco F. Creep behavior of sandwich panels with rigid polyurethane foam core and glass-fibre reinforced polymer faces: Experimental tests and analytical modeling // Journal of Composite Materials. 2013. Рр. 21—28.

12. Языев Б.М., Чепурненко А.С., Литвинов С.В., Языев С.Б. Расчет трехслойной пластинки методом конечных элементов с учетом ползучести среднего слоя // Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. 2014. № 33. С. 47—55.

13. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М. : Наука, 1966. 752 с.

14. Качанов Л.М. Теория ползучести. М. : Физматгиз, 1960. 680 с.

15. ВольмирА.С. Гибкие пластинки и оболочки. М. : Изд-во Технико-теоретической литературы, 1956. 419 с.

16. Andreev VI., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the bending of a thin plate at nonlinear creep // Advanced Materials Research. Trans Tech Publications, Switzerland. 2014. Vol. 900. Pp. 707—710.

17. Андреев В.И. Об устойчивости полимерных стержней при ползучести // Механика композитных материалов. 1968. № 1. С. 22—28.

18. Чепурненко А.С., Андреев В.И., Языев Б.М. Энергетический метод при расчете на устойчивость сжатых стержней с учетом ползучести // Вестник МГСУ 2013. № 1. С. 101—108.

19. Андреев В.И., Языев Б.М., Чепурненко А.С. Осесимметричный изгиб круглой гибкой пластинки при ползучести // Вестник МГСУ 2014. № 5. С. 16—24.

20. Козельская М.Ю., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Расчет на устойчивость сжатых полимерных стержней с учетом температурных воздействий и высокоэластических деформаций // Научно-технический вестник Поволжья. 2013. № 4. С. 190—194.

Поступила в редакцию в мае 2015 г.

Об авторах: Андреев Владимир Игоревич — доктор технических наук, профессор, академик РААСН, заведующий кафедрой сопротивления материалов, Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337,

г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 483-55-57, asv@mgsu.ru;

Языев Батыр Меретович — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов, Ростовский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162, 8 (863) 201-91-09, 277588@rambler.ru;

Чепурненко Антон Сергеевич — ассистент кафедры сопротивления материалов, Ростовский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, д. 162, 8 (863) 201-91-36, anton_ chepurnenk@mail.ru;

Литвинов Степан Викторовч — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры сопротивления материалов, Ростовский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «РГСУ»), 344022, г. Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая,

д. 162, 8 (863) 201-91-36, litvstep@gmail.com.

Для цитирования: Андреев В.И., Языев Б.М., Чепурненко А.С., Литвинов С.В. Расчет трехслойной пологой оболочки с учетом ползучести среднего слоя // Вестник МГСУ 2015. № 7. С. 17—24.

V.I. Andreev, B.M. Yazyev, A.S. Chepurnenko, S.V. Litvinov

CALCULATION OF THE THREE-LAYER SHALLOW SHELL TAKING INTO ACCOUNT THE CREEP OF THE MIDDLE LAYER

The equations of the finite element method for calculation of sandwich shells taking into account creep were obtained. The shell is represented as a set of flat triangular elements. The thickness of the carrier layers is supposed to be small compared to the total thickness of the shell. It is assumed that the outer layers perceive normal stresses, and the average layer perceives the shear forces. In the derivation of governing equations we used variational Lagrange principle. According to this principle, the true moves of all the possible ones satisfying the boundary conditions, are the ones that give a minimum of the total energy. Total energy is the sum of the strain energy and the work of external forces.

The problem is reduced to a system of linear algebraic equations. On the right side of this system there is the vector of the sum of the external nodal forces and the contribution of creep strains to the load vector. The calculations were performed in mathematical package Matlab. As the law for description of the relationship between stress and creep strain, we used linear creep theory of heredity. If the core of creep is exponential, the creep law can be written in differential form. This allows the calculation by step method using a linear approximation of the time derivative. The model problem has been solved for a spherical shell hinged along the contour. The relationship between the curvature of shell and the growth of deflections was analyzed. It was found out that for the shells of large curvature the creep has no appreciable effect on the deflections.

Key words: three-layer shallow shell, creep, potential energy of deformation, finite element method.

References

1. Kovalenko V.A., Kondrat'ev A.V. Primenenie polimernykh kompozitsionnykh ma-terialov v izdeliyakh raketno-kosmicheskoy tekhniki kak rezerv povysheniya ee massovoy i funktsional'noy effektivnosti [The Use of Polymeric Composite Materials in Rocket and Space Technology as a Reserve to Increase Its Mass and Functional Efficiency]. Aviatsionno-kosmicheskaya tekhnika i tekhnologiya [Aerospace Technics and Technology]. 2011, no. 5, pp. 14—20.

2. Leonenko D.V. Radial'nye sobstvennye kolebaniya uprugikh trekhsloynykh tsilin-dricheskikh obolochek [Radial Natural Vibrations of Elastic Three-Layer Cylindrical Shells]. Mekhanika mashin, mekhanizmovi materialov [Mechanics of Machines, Tools and Materials]. 2010, no. 3

3. Bakulin V.N. Neklassicheskie utochnennye modeli v mekhanike trekhsloynykh obolochek [Non-classical Refined Models in the Mechanics of Sandwich Shells]. Vestnik Nizhegoro-dskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Vestnik of Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod]. 2011, no. 4-5, pp. 1989—1991.

4. Zemskov A.V., Pukhliy V.A., Pomeranskaya A.K., Tarlakovskiy D.V. K raschetu napry-azhenno-deformirovannogo sostoyaniya trekhsloynykh obolochek peremennoy zhestkosti [Calculation of the Stress-Strain State of Sandwich Shells with Variable Rigidity]. Vestnik Mos-kovskogo aviatsionnogo institute [Bulletin of Moscow Aviation Institute]. 2011, vol. 18, no. 1, p. 26.

5. Kirichenko V.F. O sushchestvovanii resheniy v svyazannoy zadache termouprugosti dlya trekhsloynykh obolochek [Existence of the Solutions to a Connected Problem of Thermo-elasticity of Sandwich Shells]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika [Russian Mathematics]. 2012, no. 9, pp. 66—71.

6. Sukhinin S.N. Matematicheskoe i fizicheskoe modelirovanie v zadachakh ustoychivo-sti trekhsloynykh kompozitnykh obolochek [Mathematical and Physical Modeling in Problems of Stability of Three-Layer Composite Shells]. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo [Vestnik of Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod]. 2011, no. 4-5, pp. 2521—2522.

7. Grigorenko Ya.M., Vasilenko A.T. O nekotorykh podkhodakh k postroeniyu utochnen-nykh modeley teorii anizotropnykh obolochek peremennoy tolshchiny [On Some Approaches to the Construction of the Specified Models of the Theory of Anisotropic Shells of Variable Thickness]. Matematichni metodi ta fiziko-mekhanichni polya [Mathematical Methods and Physical-Mechanical Fields]. 2014, vol. 7, pp. 21—25.

8. Bakulin V.N. Effektivnye modeli dlya utochnennogo analiza deformirovannogo sos-toyaniya trekhsloynykh neosesimmetrichnykh tsilindricheskikh obolochek [Effective Models for Proximate Analysis of the Deformed State of Three-Layered Non-Axisymmetric Cylindrical Shells]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Russian Academy of Sciences]. 2007, vol. 414, no. 5, pp. 613—617.

9. Smerdov A.A., Fan Tkhe Shon. Raschetnyy analiz i optimizatsiya mnogostenochnykh kompozitnykh nesushchikh obolochek [Design Analysis and Optimization of Composite Bearing Shells]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Mashinostroenie [Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building]. 2014, no. 11

10. Bakulin V.N. Postroenie approksimatsiy i modeley dlya issledovaniya napryazhenno-deformirovannogo sostoyaniya sloistykh neosesimmetrichnykh obolochek [Construction of Approximations and Models for Investigation of Stressed-Stained State of Layered Not- Axi-symmetric Shells]. Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical Modeling]. 2007, vol. 19, no. 12, pp. 118—128.

11. Garrido M., Correia J., Branco F. Creep Behavior of Sandwich Panels with Rigid Polyurethane Foam Core and Glass-Fibre Reinforced Polymer Faces: Experimental Tests and Analytical Modeling. Journal of Composite Materials. 2013, pp. 21—28. DOI: http://dx.doi. org/10.1177/0021998313496593.

12. Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V., Yazyev S.B. Raschet trekhsloynoy plastinki metodom konechnykh elementov s uchetom polzuchesti srednego sloya [Calculation of Three-Layer Plates Using Finite Element Method Taking into Account the Creep of the Middle Layer]. Vestnik Dagestanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Tekh-nicheskie nauki [Herald of Dagestan State Technical University. Technical Sciences]. 2014, no. 33, pp. 47—55.

13. Rabotnov Yu.N. Polzuchest' elementov konstruktsiy [Creep of Structural Elements]. Moscow, Nauka Publ., 1966, 752 p.

14. Kachanov L.M. Teoriya polzuchesti [Creep Theory]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1960, 680 p.

15. Vol'mir A.S. Gibkie plastinki i obolochki [Flexible Plates and Shells]. Moscow, Izdatel'stvo Tekhniko-teoreticheskoy literatury Publ., 1956, 419 p.

16. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep. Advanced Materials Research. Trans Tech Publications, Switzerland. 2014, vol. 900, pp. 707—710. DOI: http://dx.doi.org/10.4028/www.scientific.net/AMR.900.707.

17. Andreev V.I. Ob ustoychivosti polimernykh sterzhney pri polzuchesti [The Stability of Polymer Rods at Creep]. Mekhanika kompozitnykh materialov [Mechanics of Composite Materials]. 1968, no. 1, pp. 22—28.

18. Chepurenko A.S., Andreev V.I., Yazyev B.M. Energeticheskiy metod pri raschete na ustoychivost' szhatykh sterzhney s uchetom polzuchesti [Energy Method of Analysis of Stability of Compressed Rods with Regard for Creeping]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 1, pp. 101—108.

19. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. Osesimmetrichnyy izgib krugloy gibkoy plastinki pri polzuchesti [Axisymmetric Bending of a Round Elastic Plate in Case of Creep]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 16—24.

20. Kozel'skaya M.Yu., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Raschet na ustoychivost' szhatykh polimernykh sterzhney s uchetom temperaturnykh vozdeystviy i vysokoelas-ticheskikh deformatsiy [Stability Calculation of Compressed Polymer Rods with Account for Temperature Effects and Vysokoelaplastic Deformations]. Nauchno-tekhnicheskiy vestnik Povolzh'ya [Scientific and Technical Volga region Bulletin]. 2013, no. 4, pp. 190—194.

About the authors: Andreev Vladimir Igorevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, member of the academy, Russian Academy of Architecture and Construction Sciences, chair, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 483-55-57; asv@mgsu.ru;

Yazyev Batyr Meretovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, chair, Department of Strength of Materials, Rostov State University of Civil Engineering (RSUCE), 162 Sotsialisticheskaya str., Rostov-on-Don, 344022, Russian Federation; +7 (863) 201-91-09; 277588@rambler.ru;

Chepurnenko Anton Sergeevich — Assistant Lecturer, Department of Strength of Materials, Rostov State University of Civil Engineering (RSUCE), 162 Sotsialisticheskaya str., Rostov-on-Don, 344022, Russian Federation; +7 (863) 201-91-36, anton_chepurnenk@ mail.ru;

Litvinov Stepan Viktorovch — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Strength of Materials, Rostov State University of Civil Engineering (RSUCE), 162 Sotsialisticheskaya str., Rostov-on-Don, 344022, Russian Federation; +7 (863) 201-91-36, litvstep@gmail.com.

For citation: Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S., Litvinov S.V. Raschet trekhsloynoy pologoy obolochki s uchetom polzuchesti srednego sloya [Calculation of the Three-Layer Shallow Shell Taking into Account the Creep of the Middle Layer]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 7, pp. 17—24.