Линейно упорядоченное пространство, квадрат которого не уплотняется на нормальное пространство

УДК 515.122

О.И. Павлов1

ЛИНЕЙНО УПОРЯДОЧЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО, КВАДРАТ КОТОРОГО НЕ УПЛОТНЯЕТСЯ НА НОРМАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Одна из центральных задач в теории уплотнений топологических пространств состоит в описании топологических свойств, которые можно улучшить путем уплотнения (т. е. непрерывного взаимно однозначного отображения). Большинство известных контрпримеров в этой области касается не наследственных топологических свойств. В данной статье построено счетно-компактное линейно упорядоченное (следовательно, монотонно нормальное, т. е. "очень сильно" наследственно нормальное) топологическое пространство, которое в квадрате и любой более высокой степени не уплотняется на нормальное пространство. Построенное пространство псевдокомпактно во всех степенях, что дополняет известный результат об уплотнениях непсев-докомпатных пространств.

Ключевые слова: уплотнение, нормальность, линейно упорядоченное пространство, псевдокомпактность, декартово произведение, монотонная нормальность, стоун-чеховская компактификация, плоскость Тихонова.

Введение

Уплотнением называется непрерывное взаимно однозначное отображение "на". Уплотнения часто встречаются и играют весьма важную роль в общей топологии. Например, известно, что любое непрерывное отображение является композицией факторного отображения и уплотнения. Широко используемая операция усиления топологии является обратной по отношению к уплотнению. Одна из самых общих задач, касающихся уплотнений, — описать такие классы пространств А и В (В в каком-либо смысле лучше А), что любое пространство из класса А уплотняется на некоторое пространство из класса В. Важный частный случай — описать такие немультипликативные топологические свойства V, что если X — любое пространство со свойством V, то его квадрат (или более высокая степень) может быть уплотнен на пространство, обладающее свойством V. Последняя задача была решена отрицательно для многих классов пространств. В [1] было показано, что для любого тихоновского пространства X и любого кардинала V существует большее пространство М(X), которое обладает многими свойствами, присущими X, и такое, что при любом уплотнении образ ](М(X)м), ^ ^ V, содержит замкнутую

!© Павлов О.И., 2014

Павлов Олег Иванович (matematika.atiso@gmail.com), кафедра экономико-математического моделирования, Российский университет дружбы народов, 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

копию пространства Xм. Таким образом, если Xм не обладает некоторым свойством V, то им не обладает и М(X)м и, следовательно, образ М(X)м при любом уплотнении2. К сожалению, практически все свойства V (за исключением разреженности), на которые распространяется эта теорема, не являются наследственными. Из наследственных свойств можно упомянуть результаты Р.З. Бузяковой [3] (существует наследственно нормальное пространство, квадрат которого не уплотняется на нормальное пространство) и А.Н. Якивчика [4] (существует наследственно финально-компактное хаусдорфово нерегулярное пространство, квадрат которого не уплотняется на финально-компактное пространство). В данной статье описывается пример линейно упорядоченного топологического пространства (поэтому обладающего очень сильным наследственно нормальными свойством — монотонной нормальностью3), которое в квадрате и любой более высокой степени не уплотняется на нормальное пространство. Мы используем стандартные теоретико-множественные обозначения и терминологию [6].

1. Конструкция примера

Пусть т обозначает регулярный несчетный кардинал. Для любого кардинала а < положим Го = Но, Га = ^ ехр(Гв). Пусть ¡л = ГШ1 и К обозначает сте-

в<а

пень {0,1}м с лексикографическим порядком. Тогда К — линейно упорядоченный компакт характера Пусть Ь С К,

Ь = {(10,... ,1а,...) £ К : За < У в, 7 ^ а ^ ¡в = ¡1}.

Другими словами, Ь содержит все элементы К, которые являются константами начиная с некоторого ординала (своего для каждого х £ Ь). Ь всюду плотно в К и содержит все скачки К, следовательно, само является линейно упорядоченным пространством. Дополнение к Ь в К в каждой точке имеет характер

(потому что с/(¡) = ш\), значит, каждая щель Ь с обеих сторон имеет характер Никакая точка вЬ \ Ь и К \ Ь не является предельной для счетного бесконечного подмножества вЬ или К, поэтому Ь является ^-ограниченным пространством (т. е. замыкание в Ь любого счетного подмножества является компактом), а вЬ \ Ь и К \ Ь являются Р-пространствами (любое множество типа 0$ открыто). Из ^-ограниченности Ь следует псевдокомпактность Ь, поэтому стоун-чеховская компактификация вЬ также является линейно упорядоченным топологическим пространством, получающимся из Ь заклеиванием каждой щели двумя точками. Очевидно, \К\ = \вЬ\ = 2м и \Ь\ = ^ 2е = ¡, следовательно, \Ь\ < \К\Ь\

в<м

и \Ь\ < \вЬ \ Ь\.

Теорема. При V ^ 2, Ьи не уплотняется на нормальное пространство.

2. Доказательство теоремы

В общем случае при уплотнении тихоновского пространства X точки нароста стоун-чеховской компактификации могут "склеиваться"друг с другом или с точками X, но точки самого пространства X не могут склеиваться друг с другом. Доказательство теоремы разобьем на две части. Сначала докажем, что при

2Несколько более слабый результат был независимо получен Д.В. Малыхиным в [2].

3Пример Р.З. Бузяковой немонотонно нормален согласно [5, теорема 4.1].

уплотнении Ь найдется точка нароста Ь, у которой все координаты кроме одной принадлежат копиям Ь, и лишь одна координата принадлежит наросту копии Ь, и эта точка не склеивается ни с какой точкой Ьи.

Пусть Ь = П Ьа, где Ьа обозначает а-ю копию Ь. Так как Ь —

^-ограниченное пространство, любая степень Ь также является ^-ограниченным (см. [7]), следовательно, псевдокомпактным пространством. Поэтому в(Ь) = = П в(Ьа) по теореме Гликсберга [8]. Введем дальнейшие обозначения. Для

любой координаты а ^ V и любого индексного множества па(-) и пз() обозначают проекции вЬ на вЬа и П в(Ьа) соответственно. Зафиксируем точку

аея

у* е П Ьа-

Пусть / обозначает уплотнение пространства Ь, а / — его непрерывное продолжение на в(Ь).

Лемма. Мощность множества Н С

не превосходит /.

Эта лемма говорит о том, что при уплотнении / лишь малая часть нароста подпространства Ь1 х{у*} (являющегося копией пространства Ь) может склеиться с точками Ь.

Доказательство леммы. Предположим противное, тогда Н содержит множество У мощности которое мы занумеруем У = {уц е Н : 6 < = у$" при 6' = 6''}. Пусть Ь* = вЬ1 х {у*}, тогда Н С Ь*. Согласно определению множества Н, для каждого у е У существует такой (единственный) элемент Ь, который мы обозначим р(у), что /(у) = / (р(у)). По определению множества Н проекция этого множества, а следовательно и множества У, на вЬ1 является подмножеством нароста вЬ1 \ Ь1. С другой стороны, проекция множества р(У) на вЬ1 является подмножеством Ь1, поскольку р(У) С Ь. Следовательно, П1(У) ПП1 (р(У)) = 0. Без ограничения общности можно считать, что П1 (у) < П1 (р(у)) для каждого у е У. Так как \У\ = а ¿(Ь*) ^ / (Ь* является компактификацией пространства Ь х х {у*}, имеющего мощность /), найдутся точка г- е вЬ1 и подмножество У' С У мощности такие, что П1(у') < г- < П1 (р(у')) для каждого у' е У'. Без ограничения общности можно считать, что У' = У. Так как х(г-,Ь*) < / < \У\, найдутся точка г+ е вЬ1 и счетное бесконечное множество У'' С У такие, что г- < г+ и

П1

для каждого у е У . В силу секвенциальной компактности любого линейно упорядоченного компакта, можно считать, что У'' и р(У'') являются сходящимися последовательностями. Пусть г* и г** обозначают пределы последовательностей У'' и р(У'') в Ь* соответственно. Тогда п1(г*) ^ г- < г+ ^ п1(г**) по (1), следовательно, г* = г**. Обе точки г*, г** лежат в Ь1 х{у*} С Ь, так как (вЬ1 \Ь1) х{у*} является Р-пространствам, и все точки множества У были выбраны попарно различными. Но в силу непрерывности отображений / и / и из определения множества Н следует, что /(г*) = /(г**). Это противоречит тому факту, что / — уплотнение. Лемма доказана.

Продолжим доказательство теоремы. Рассмотрим множество Ы = Ь* \ И. Другими словами,

Ы =((вЬ1 \ Ь1) х{у*}) \ (.Г1 (I(Ь))) ,

т. е. Ы — множество тех точек нароста Ь х {у*}, которые не заклеены точками Ъ. Множество Ы не пусто, так как \Ь*\ = 2м, а \И\ ^ Одним из канонических примеров тихоновского ненормального пространства является пространство Р = {(х,у) € ((^1 + 1) х ш1) \{(^1,^1)} : х ^ у} (см. [9] или [10]), напоминающее плоскость Тихонова. Оно не является нормальным, потому что содержит замкнутые неотделимые подмножества (оба гомеоморфны Ш1) — диагональ А = = {(х,х) : х € Ш1} и вертикальный луч В = {^1} х Ш1. Оказывается, для каждой точки х' € Ы можно вложить /ЗР в вЪ так, что Р будет подмножеством Ъ, а х' — образом удаленной точки (ш1 ,^1) € вР. Тогда А и В окажутся непересекающимися замкнутыми и неотделимыми в Ъ, а их образы I(А) и I(В) — непересекающимися замкнутыми и неотделимыми в I(Ъ), что означает ненормальность I(Ъ).

Зафиксируем точку х' € Ы, тогда х' = (х',у*), где г ' = П1(х') € вЬ1 \ Ь1. Так как каждая точка вЬ1 \ Ь1 имеет в вЬ1 характер Ш1, и Ь1 всюду плотно в вЬь по трансфинитной рекурсии можно построить последовательность элементов Ь1, монотонно сходящуюся к х ' по типу Ш1. Замыкание Б этой последовательности в вЬ1 опять будет подмножеством Ь1, поскольку вЬ1 \ Ь1 — Р-пространство. Легко видеть, что это замыкание гомеоморфно пространству Ш1, рассмотренному с обычной интервальной топологией. Пронумеруем элементы Б (в порядке, соответствующему гомеоморфизму с Ш1): Б = {ва € Ь1 : а < Ш1}.

Обозначим у' = П2(у*); у' € Ь2, поэтому хотя бы один из односторонних характеров х+(у',Ь2), Х-(у',Ь2) точки у' в Ь2 равен ш1. Аналогично рассуждению из предыдущего параграфа существует вложение Ш1 + 1 в качестве замкнутого подмножества Т = {¿а € Ь2 : а ^ Ш1} пространства Ь2 (порядок нумерации соответствует гомеоморфизму с Ш1 + 1).

Если V > 2, пусть у'' будет проекцией у* на П Ьа, тогда х' = (х',у',у'').

Множества А' = {^а,1а,у'') : а < ш1} и В' = Б х {ЬШ1} х {у''} являются непересекающимися копиями Ш1 в Ъ. Единственной предельной точкой этих множеств в вЪ, не принадлежащей им, является х'. Но х' — точка нароста, поэтому А' и В' — замкнутые непересекающиеся подмножества Ъ, являющиеся функционально неотделимыми. Образы I(А') и I(В') также являются замкнутыми непересекающимися (пересечение замыканий этих множеств в вI(Ъ) = /(вЪ), содержат только точку I(х'), которая не принадлежит образу I(Ъ) по определению множества Ы), и функционально неотделимыми. Это означает ненормальность I(Ъ). Если V = 2, аналогичное рассуждение справедливо для А' = {(ва,Ьа) : а < Ш1} и В' = Б х {ЬШ1}. Теорема доказана.

Замечание 1. В доказательстве теоремы существенно использовался тот факт, что пространство Ь является псевдокомпактным в любой степени. Это не случайно: в [1] доказано, что какая-то степень непсевдокомпактного пространства (неизмеримой мощности) обязательно уплотняется на нормальное пространство.

Замечание 2. Построение индексного множества можно было начинать с произвольного бесконечного кардинала Го. При этом ¡л можно взять равным Гт для любого несчетно конфинального кардинала т.

Литература

[1] Pavlov O. Condensations of Cartesian products // Comment. Math. Univ. Carolin. 1999. Vol. 40. № 2 P. 355-365.

[2] Малыхин Д.В. Об уплотнениях топологических пространств и произведений // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: сборник научных трудов. Вып. 2. М.: Станкин, 1998. С. 27-33.

[3] Бузякова Р.З. Об уплотнении декартовых произведений на нормальные пространства // Вестник МГУ. 1996. Cер. 1. № 1. С. 17-19.

[4] Якивчик А.Н. Об уплотнениях произведения финально компактных пространств // Вестник МГУ. 1989. Cер. 1. № 4. С. 84-86.

[5] Heath R.W., Lutzer D.J., Zenor P.L. Monotonically normal spaces // Trans. Amer. Math. Soc. 1973. Vol. 178. P. 481-493.

[6] Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

[7] Stephenson R.M. // k-Compact and related spaces: Handbook of set-theoretic topology / ed. K. Kunen и J. Vaughan. Amsterdam: North-Holland Publishing, 1984. P. 603-632.

[8] Glicksberg I. Stone-Cech compactifications of products // Trans. Amer. Math. Soc. 1959. Vol. 90. P. 369-382.

[9] Dieudonne J. Sur les espaces topologiques susceptibles d'etre munis d'une structure uniforme d'espace complet // C. R. Acad. Sci. Paris. 1939. Vol. 209. P. 666-668.

[10] Przymusinski T.S. // Products of normal spaces: Handbook of set-theoretic topology / ed. K. Kunen и J. Vaughan. Amsterdam: North-Holland Publishing, 1984. P. 781-826.

References

[1] Pavlov O. Condensations of Cartesian products. Comment. Math. Univ. Carolin, 1999, V. 40, no. 2, pp. 355-365.

[2] Malykhin D.V. On condensations of topological spaces and products. Fundamental'nyye fiziko-matematicheskiye problemy i modelirovaniye tekhniko-tekhnologicheskikh sistem. Sbornik nauchnykh trudov. [Fundamental physics and mathematics problems and modelling of technical and technological systems. Collection of scientific papers. 1998, Vol. 2. M., "Stankin", pp. 27-33 [in Russian].

[3] Buzyakova R.Z. On condensations of Cartesian Products onto normal spaces. Vestnik MGU [Vestnik of MSU], 1996, Vol.51, no. 1, pp. 13-14 [in Russian].

[4] Yakivchik A.N. On tightenings of a product of finally compact spaces. Vestnik MGU [Vestnik of MSU], 1989, Vol. 44, no. 4, pp. 86-88 [in Russian].

[5] Heath R.W., Lutzer D.J., Zenor P.L. Monotonically normal spaces. Trans. Amer. Math. Soc., 1973, Vol. 178, pp. 481-493.

[6] Engelking R. General Topology. M., Mir, 1989 [in Russian].

[7] Stephenson R.M. // k-Compact and related spaces: Handbook of set-theoretic topology. K. Kunen и J. Vaughan (eds). Amsterdam, North-Holland Publishing, 1984, pp. 603-632.

[8] Glicksberg I. Stone-Cech compactifications of products. Trans. Amer. Math. Soc., 1959, Vol. 90, pp. 369-382.

[9] Dieudonne J. Sur les espaces topologiques susceptibles d'etre munis d'une structure uniforme d'espace complet. C. R. Acad. Sci. Paris, 1939, Vol. 209, pp. 666-668 [in French].

[10] Przymusinski T.S. Products of normal spaces: Handbook of set-theoretic topology. K. Kunen h J. Vaughan (eds.) Amsterdam, North-Holland Publishing, 1984, pp. 781-826.

O.I. Pavlov4

LINEARLY ORDERED SPACE WHOSE SQUARE AND HIGHER POWERS CANNOT BE CONDENSED ONTO A NORMAL SPACE

One of the central tasks in the theory of condensations is to describe topological properties that can be improved by condensation (i.e. a continuous one-to-one mapping). Most of the known counterexamples in the field deal with non-hereditary properties. We construct a countably compact linearly ordered (hence, monotonically normal, thus "very strongly" hereditarily normal) topological space whose square and higher powers cannot be condensed onto a normal space. The constructed space is necessarily pseudocompact in all the powers, which complements a known result on condensations of non-pseudocompact spaces.

Key words: condensation, normality, linearly ordered space, pseudocompact, Cartesian product, monotonically normal, Stone-Cech compactification, Tychonoff plank.

Статья поступила в редакцию 26/V/2014. The article received 26/V/2014.

4Pavlov Oleg Ivanovich (matematika.atiso@gmail.com), Department of Economic and Mathematical Modelling, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, 117198, Russian Federation.