О фредгольмовой разрешимости внешней задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического оператора с суммируемыми коэффициентами

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №1-2_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.948

С.А.Исхоков

О ФРЕДГОЛЬМОВОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА С СУММИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан

В работе исследована фредгольмовая разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка, заданного во внешности ограниченной области О с К1. Коэффициенты исследуемого оператора степенным образом вырождаются как на границе дО области О, так и в бесконечности. Младшие коэффициенты оператора принадлежат некоторым Ьр-пространствам со степенным весом.

Ключевые слова: внешняя задача Дирихле, эллиптический оператор, степенное вырождение, фредгольмовая разрешимость.

1. Работа посвящена исследованию фредгольмовой разрешимости внешней вариационной задачи Дирихле для эллиптического оператора высшего порядка со степенным вырождением на границе и на бесконечности. Исследуемый оператор задаётся во внешности некоторой ограниченной области с замкнутой (п — 1) -мерной границей. Подобные исследования, ранее, в основном, проводились для эллиптических операторов в ограниченной области (см. [1-4] и имеющуюся в них библиографию). Случай эллиптических операторов во внешности ограниченной области рассматривался в работах [5-7].

2. Пусть О - ограниченная область в п-мерном евклидовом пространстве Яп с

обозначим бесконечно дифференцируемую положительную в О* функцию, которая ведет себя как ра (х) вблизи дП и как рр (х) в Я" \ Кк .

Пусть г - натуральное число, 1 < р < и р (X) - непрерывная в О* положительная функция. Введём весовое пространство ~№гр.а р ^(О*) всех измеримых в О* комплекснозначных функций и (X ) с конечной нормой

Адрес для корреспонденции: Исхоков Сулаймон Абунасрович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: sulaimon@mail.ru

Х ) Uk ) ( x) dx x ) |и( x)| P dxï ,

\k\=p n *

где и( ) ( x ) - обобщённая по С.Л.Соболеву производная функции и ( x ) мультииндекса к = (k!, k2,..., kn ), \k\ = ki + k2 + ... + kn - длина мультииндекса k . Обозначим через пополнение класса C°(Q ), а через (w rp.ap ДО*)) - пространство антилинейных непрерывных

функционалов, определенных на W rp.a ^ Д^*), наделенное нормой сопряженного пространства. Для p G [1, +œ) и вещественного 3 введём весовое пространство L (р3' Q*) с нормой

|и;Lp (р3;Q*)|| = j jppS (x)|и(x)\p dx| .

Пространства W^a ^ Д^*) и W rp.ap Д^*) ранее были введены Н.В.Мирошиным в работе

[5]. Частные случаи этих пространств ранее изучались в работе [6]. Со свойствами этих пространств также можно ознакомиться в работе [7].

3. Рассмотрим полуторалинейную форму

B[и,v]= £ (x)p|k|+|1|—2p (x)(.x)u(k)(x)v( 1 )(x) dx

с комплекснозначными коэффициентами аи (x), первоначально определённую на всех

и, v g C° ( Q* ) .

Каждой паре мультииндексов k, 1 таких, что |k|, |l| — p , |k| + |l| — 2p — 1, сопоставим в соот-

ветствие число:

pa(x)=

n

— k

+ £, 1 = p, n > 2 (p — |k|),

n

- И

+ £, kl = p, n > 2 (p —

если

\k\ < p — 1, И| — p — 1, то

<

Ры =

п

2г — Щ —1/| п

г —1/| + е' п

г — \к\ + е'

+ е, п > 2 (г — |к|), п > 2 (г — -, п < 2 (г — \к\), п > 2 (г — п > 2 (г — \к\), п < 2 (г —

рк1 - любое конечное число больше 2 в оставшихся случаях. Здесь е - достаточно малое положительное число.

Теорема 1. Пусть коэффициенты аы (X) при | к|= |/| = г ограничены, удовлетворяют условию эллиптичности

Яе ^ аи

к = / =г

и для любого достаточно малого числа V > 0 существует число е > 0 такое, что

\аы (У)— аы (г)\ <V

для любого у е О* и любого 2 е^ е Яп : \т. — у| < е / р(у)|.

Пусть также коэффициенты аы (X) при | к|+|/| < 2г — 1 принадлежат пространству

^ (рп / Рк/;О*).

Тогда найдутся такие числа С > 0 и С2 > 0 , что

ЯеВ [и, и]>

: С1Е |<р (x)и(к) (x) - С2 (x) р~2г (x) |и (x)|2

X

1к1=г п *

для всех и е С° (О*).

Неравенство (3) является аналогом неравенства Гординга для вырождающихся эллиптических операторов во внешности ограниченной области. Весовой аналог неравенства Гординга для других классов вырождающихся эллиптических операторов ранее был установлен в работах [8, 9]. 4. Рассмотрим вариационную задачу Дирихле, связанную с формой (1).

Задача . Для заданного функционала ¥ е

уравнения

В [и, V] + Лfр2 (X)и(X) г(X) сЫ = ((^ е С° (О*)),

О

принадлежащее пространству Ж г2.а р Д^*) •

Наряду с задачей Ол рассматриваются отвечающие ей однородную и формально сопряженные задачи:

Задача Ох • Требуется найти решение и(х) уравнения

В [и, V] +1 ¡р2 (х)и(х) г(х) сХ = 0 (Уг е С0°° (П*)),

п*

принадлежащее пространству Ж г2.а р Д^*) •

Задача О* . Для заданного функционала О е (ж г2-а р Д^*)) требуется найти решение V(х) уравнения

В+ [V, V] +1 ¡р2 (хУ (х)^ Сх = (О, V) (Уv е С0°° (П*)),

принадлежащее пространству Ж гг а ^Д^*) •

Задача О*.х . Требуется найти решение V(х) уравнения

В+ [V, V] +1 ]У (хУ (х)^сСх = 0 (Vv е С° (П*)),

принадлежащее пространству W r2-a р Д^*) •

Здесь B+[V, v] = B[v,V ].

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Пусть также 0 < а < r и

x ) (1 + ln d (x))T lim sup———--= 0,

/ 2 \ 1/2

где d(x) = l1 + x ) и t = 1, если ß + n/2 совпадает с одним из чисел 1,2,...,r, и т = 0 в противном случае.

Тогда задача DÄ фредгольмова, то есть:

а) задача DÄ разрешима для тех и только тех функционалов F е |w r2-a р д^*)) , для которых t^F, V^ = 0 на всех V(x), являющихся решениями задачи D0.A;

б) размерности пространств решений задач DfyA и D0.A конечны и равны;

в) задача О0.л имеет отличные от нуля решения только для счётного числа значений параметра Я., 7 = 1,2,..., причем Я. при ] ;

г) сопряженная однородная задача О0.л разрешима для тех и только тех значений Я, что и

задача О0.л.

Фредгольмовая разрешимость задачи Ол ранее изучалась в работах Н.В.Мирошина [6, 7] в предположении, что все коэффициенты аы (X), |к|, |/| < г, ограничены и такие, что

Яе ^ак1

^Ск12

для всех х е О и любого набора комплексных чисел С = {£к . Условие эллиптичности

младшие коэффициенты (X), |к| + |/| < 2г — 1 не участвуют.

Поступило 20.11.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мирошин Н. В. Вариационная задача Дирихле для вырождающегося на границе эллиптического оператора. - Дифференциальные уравнения, 1988, т. 24, № 3. с. 455-464.

2. Исхоков С.А. О гладкости решения вырождающихся эллиптических уравнений. -Дифференциальные уравнения, 1995, т. 31, № 4, с. 641-653.

3. Исхоков С.А., Куджмуродов А.Я. О вариационной задачи Дирихле для вырождающихся эллиптических операторов. - Доклады Академии наук России, 2005, т. 403, №2. с. 165-168.

4. Никольский С.М, Лирозкин П.И, Мирошин Н.В. Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений. -Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 4-30.

5. Мирошин Н.В. Спектральные внешние задачи для вырождающегося эллиптического оператора. -Известия вузов. Математика, 1988, №8, с. 47-55.

6. Мирошин Н.В. Внешняя задача Дирихле для вырождающегося эллиптического оператора. - Труды Математического института АН СССР, 1979, т. 150, с. 198-211.

7. Мирошин Н.В. Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением. - Труды Математического института РАН, 1992, т. 194, с. 179-195.

8. Исхоков С.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением. -Математические заметки, 2010, т. 87, №2, с. 201-216.

9. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А. Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением. - Доклады Академии наук России, 2012, т. 443, №3, c. 286-289.

С.А.Исхо^ов

ОИДИ БА МАЪНОИ ФРЕДГОЛМ ^АЛШАВАНДАГИИ МАСЪАЛАИ БЕРУНАИ ДИРИХЛЕ БАРОИ ОПЕРАТОРИ ЭЛЛИПТИКИИ ТАНАЗЗУЛЁБАНДА БО КОЭФФИТСИЕНТХОИ СУММИРОНИДАШАВАНДА

Институти математикаи ба номи А. Чураеви Академияи илм^ои Цумх^урии Тоцикистон

Дар макола ба маънои Фредголм халшавандагии масъалаи вариатсионии Дирихле ба-рои оператори эллиптикии дарачаи олй, ки дар беруни сохаи махдуди Q с Rn додашудааст, тадкик карда мешавад. Коэффитсиентхои оператори тадкикшаванда дар сархади 5Q сохаи Q ва дар беохирй ба таври дарачагй таназзул меёбанд. Коэффитсиентхои хурди оператор ба баъзе L^-фазохои вазни дарачагй дошта тааллук доранд.

Калима^ои калиди: масъалаи берунаи Дирихле, оператори эллиптикй, таназзулёбии дарацагй, уалшавандагй ба маънои Фредголм.

S.A.Iskhokov

ABOUT FREDHOLM SOLVABILITY OF EXTERIOR DIRICHLET PROBLEM FOR A DEGENERATE ELLIPTIC OPERATOR WITH SUMMABLE

COEFFICIENTS

A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Fredholm solvability is investigated for higher-order elliptic operator given in exterior of a bounded domain Q с Rn. Coefficients of the operator under consideration have power degeneration on the boundary dQ of the domain Q and at infinity. Lower coefficients of the operator belong to some Zp-spaces with power weights.

Key words: exterior Dirichletproblem, elliptic operator, power degeneration, Fredholm solvability.