О методах инерциальной гравиметрии

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Садовничий В.А., Александров В.В., Лемак С.С., Шкель A.M. О биомехатронике: Мат-лы научной школы-конференции "Мобильные роботы и мехатронные системы". М.: Изд-во МГУ, 2005. Ч. 1. 53-60.

2. Александров В.В., Воронин Л.И., Глазков Ю.Н., Ишлинский А.Ю., Садовничий В.А. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов. М.: Изд-во МГУ, 1995.

3. Александров В.В., Александрова Т.В., Мигунов С. С. Математическая модель гравитоинерциального механоре-цептора // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 2. 59-64.

4. Tomilovskaya E.S., Berger М., Gerstenbrand F., Kozlovskaya I. В. Effects of long-duration space flight on target acquisition // Acta Astronautica. 2011. 68. 1454-1464.

5. Тихонова К.В. Коррекция стабилизации взора в экстремальных условиях визуального управления движением: Магистер. дис. М., 2011.

6. Садовничий В.А., Александров В.В., Александрова Т.Е., Сото Э., Сидоренко Г.Ю., Тихонова К.В. Об автоматической коррекции вестибулосепсорпого конфликта в условиях невесомости, основанной на принципе гальванической стимуляции и на компьютерном моделировании // Интеграл. 2012. № 2. 70-74.

7. Орлов И.В., Гусев В.М., Долгобродов С.Г., ГЦупляков B.C. О возможности коррекции вертикальной позиции человека с помощью биологической обратной связи // Сенсорные системы. 2003. 17, № 1. 58-67.

8. Kim K.S., Minor L.B., Delia Santina С.С., Lasker D.M. Variation in response dynamics of regular and irregular vestibular-nerve afferents during sinusoidal head rotations and currents in the chinchilla // Exp. Brain Res. 2011. 210, N 3-4. 643-649.

9. Hodgkin A.L., Huxley A.F. A quantitative description of membrane current and excitation in nerve //J. Physiol. 1952. 117. 500-544.

10. Александров В.В., Михалева Е.Ю., Сото Э., Гарсиа-Тамайо F. Модификация математической модели Ходжки-на-Хаксли первичного нейрона вестибулярного аппарата // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 5. 65-68.

11. Simiu Е. Chaotic Transitions in Deterministic and Stochastic Dynamical Systems. Princeton: Princeton Univ. Press, 2002.

12. Tuckwell H.C., Jost J. Analysis of Inverse Stochastic Resonance and the Long-Term Firing of Hodgkin-Huxley Neurons with Gaussian White Noise. Leipzig: Max Planck Inst., 2012.

Поступила в редакцию 22.03.2013

УДК 531.8

О МЕТОДАХ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ ГРАВИМЕТРИИ Ю.В. Болотин1, А. А. Голован2

В обзорной статье приводится краткое описание предыстории, современного состояния и перспектив развития инерциальной гравиметрии в России, как их видят авторы статьи — непосредственные свидетели становления этого нового направления геофизики. Основное внимание уделяется информационной, алгоритмической, составляющей авиационной гравиметрии.

Ключевые слова: инерциальная гравиметрия, аэрогравиметрия, алгоритм оценивания.

The paper discusses the history and modern state of inertial gravimetry in Russia, as seen by the authors who have witnessed developments in this field of geophysics. More attention is given to information and algorithmic aspects of airborne gravimetry.

Key words: inertial gravimetry, airborne gravimetry, estimation algorithm.

Введение. Инерциальная гравиметрия — это прикладная наука об определении силы тяжести Земли по движению чувствительной массы. Основоположником инерциальной гравиметрии можно считать

1 Болотин Юрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: ybolotinQyandex.ru.

2 Голован Андрей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. управления и навигации МГУ, e-mail: aagolovanQyandex.ru.

И. Ньютона, который открыл закон всемирного тяготения, используя законы И. Кеплера о движении небесных тел. Наблюдения за полем тяжести по траекториям спутников, активно ведущиеся и сейчас, относятся к области спутниковой гравиметрии. Недостатком спутниковой гравиметрии является ее низкая разрешающая способность, обусловленная значительным удалением от притягивающих масс.

Первые морские гравиметры появились в начале XX в. и связаны с именем Этвеша. Особенность морской гравиметрии состоит в том, что здесь не требуется определения высоты (движение происходит по поверхности уровня потенциала силы тяжести). Наиболее распространен гравиметр Ла Коста-Ромберга, основанный на так называемой пружине нулевой длины, помещенной в карданов подвес.

Первые попытки создания авиационных гравиметров предпринимались в 1959-1960 гг. Использовались перезатушенные кварцевые и струнные гравиметры (СССР) и морской гравиметр Ла Коста-Ромберга (США). Полученная невысокая точность ~ 10 мГал (1 мГал = 10-5 м/с ) была вызвана в первую очередь низкой точностью баровысотомеров. С конца 1980-х гг. с появлением GPS на Западе активизируется проектирование и тестирование различных образцов авиационных гравиметров. Здесь следует выделить работы, проводимые Лабораторией морских исследований (США) и Университетом г. Калгари (Канада). С 1990-х гг. начинается этап внедрения в гравиметрическую практику промышленных авиационных гравиметров. Достаточно полное отражение состояния аэрогравиметрии за рубежом на конец XX в. содержится в сборнике [1].

В России авиационная гравиметрия с использованием GPS развивается с 1995 г., когда начались проектирование и подготовка к летным испытаниям гравиметра АГК разработки Московского института электромеханики и автоматики и лаборатории управления и навигации МГУ, а также гравиметра "Гравитон" разработки ВНИИ геофизики. Создание АГК проводилось совместно с австралийской компанией World GeoScience Corp. Ltd практически одновременно с созданием аналогичных систем на Западе [2]. С 2000 г. лаборатория управления и навигации МГУ совместно с ЗАО НТП "Гравиметрические технологии" ведет разработку и совершенствование гравиметра GT1A/GT2A [3]. В настоящее время в России две компании предлагают рынку промышленные аэрогравиметры — концерн "Электроприбор" (Чекан-AM) и ЗАО НТП "Гравиметрические технологии" (GT1A/GT2A). Эти приборы с успехом используются и как морские гравиметры.

Говоря об авиационной гравиметрии как о технологии проведения промышленных геофизических съемок, следует разделять заказчиков съемок; операторов, выполняющих съемки и предоставляющих заказчикам их результаты; разработчиков соответствующей аппаратуры; коллективы, отвечающие за программное обеспечение. Среди российских компаний-операторов выделим две — ЗАО ГНПП "Аэрогеофизика" и Институт физики Земли РАН.

Лаборатория управления и навигации МГУ участвовала в разработке, испытаниях и внедрении программного обеспечения гравиметров АГК, "Гравитон", GT1A/GT2A. Эти работы, начатые по инициативе H.A. Парусникова, основывались на традициях школы инерциальной навигации, созданной на кафедре прикладной механики и управления под руководством Б.В. Булгакова и А.Ю. Ишлинского.

Задача инерциальной гравиметрии с точки зрения механики. Задача инерциальной гравиметрии — обратная задача механики: определение силы по движению. С математической точки зрения она относится к классу некорректно поставленных, причем некорректность проявляется дважды — при дифференцировании измерений и при решении краевой задачи опускания построенной карты на поверхность референц-эллипсоида [1].

Основным уравнением скалярной инерциальной гравиметрии служит уравнение, описывающее движение материальной точки единичной массы в поле силы тяжести Земли под действием внешней силы, доступной измерению [3]:

h = A/e - y0 - ¿7 + Ag + /а.

Здесь h — высота над референц-эллипсоидом; 70 — величина нормальной удельной силы тяжести на поверхности Земли; ¿7 — поправка значения нормальной удельной силы тяжести на высоту; /а — проекция на географическую вертикаль внешней удельной силы, действующей на массу; Ag — искомая вертикальная составляющая аномалии силы тяжести в свободном воздухе; Д/e — поправка Этвеша, обусловленная движением объекта вокруг эллипсоидальной вращающейся Земли. Имеют место формулы

VE . VN , о Т/ 0 a7e cos2 p + b7e sin2 p

R + R +2uVe cos <р, 7 = . - - , . 2 . RE RN д/а2 cos2 p + b2 Sin2 p

где Уе, Ум — восточная и северная составляющие скорости движения носителя; Яе, ЯN — радиусы кривизны первого вертикала и меридионального сечения; и — модуль угловой скорости вращения Земли;

р — географическая широта; 7е, 7Р — значения силы тяжести на экваторе и на полюсе; а, Ь — главные полуоси земного эллипсоида; — частота Шулера.

Цель инерциальной гравиметрии состоит в отыскании Ад с использованием модели (1). Требования, предъявляемые к приборному обеспечению гравиметра, определяются уравнением этой модели: в состав приборного комплекса должны входить следующие элементы. 1) Гравиметрический чувствительный элемент — вертикальный акселерометр, который призван измерять величину /3. 2) Система, доставляющая высокоточную информацию о высоте к, координатах и линейной скорости объекта — носителя гравиметра. Такой системой является спутниковая навигационная система (СНС), работающая в фазодиф-ференциальном режиме. 3) Система, моделирующая на борту направление географической вертикали. Таковой служат прецизионные инерциальные навигационные системы (ИНС) разного типа. Так, платформенная ИНС с помощью гиростабилизированной платформы физически реализует географический трехгранник, к вертикальной оси которого жестко привязана ось чувствительности вертикального акселерометра. 4) Система регистрации и синхронизации информации, доставляемой указанными выше датчиками и системами.

В соответствии с изложенным приведем основные модельные уравнения инерциальной гравиметрии. Ограничимся случаем, когда в гравиметре используется ИНС платформенного типа.

Спутниковые навигационные решения. СНС определяет географические координаты р, А, к и восточную Уе, северную Ум и вертикальную Уц составляющие скорости движения антенны при помощи дифференциальных комбинаций первичных фазовых измерений на частотах Ь\ж Ь2 [4]. Модель фазовых измерений можно записать в виде

ЗДгес) = р

Ает

Здесь ¿гес, Ьет — соответственно моменты времени регистрации измерения приемником и излучения радиосигнала спутником; р — расстояние между спутником и антенной приемника, отнесенное к указанным моментам времени; Ает — длина волны радиосигнала; Ат — погрешность часов приемника; АТ — погрешность часов спутника; /ет — частота радиосигнала; N — целочисленная неопределенность фазового измерения; Аф;оп, Аф^ор _ ионосферные и тропосферные задержки; 5ф — шумовая составляющая фазовых измерений.

При помощи фазовых измерений (2) (а также кодовых псевдодальностей, доплеровских псевдоскоростей) определяются координаты и скорости объекта, необходимые для параметризации уравнения (1). Задача требует решения ряда вспомогательных задач, таких, как определение координат и скоростей навигационных спутников, оценивание целочисленных неопределенностей фазовых измерений, детектирование и исключение сбоев [4]. В результате проведенных исследований авторами разработано программное обеспечение спутниковой навигации, адаптированное именно к задаче аэрогравиметрии, входящее в состав прибора (¡11А (! Г2А.

Определение ошибок горизонтирования платформы. В платформенном гравиметре инерци-альная навигационная система используется для стабилизации оси чувствительности вертикального акселерометра: она физически моделирует ориентацию сопровождающего географического трехгранника. Выходные навигационные параметры ИНС содержат ошибки инерциального счисления, которые в случае прецизионной системы описываются линейными моделями уравнений ошибок.

В приборе "Гравитон" применена автономная двухкомпонентная горизонтируемая ИНС .1-11 с относительно свободной ориентацией в азимуте. Ошибки навигационного счисления этой системы содержат так называемую шулеровскую гармоническую составляющую, а также линейные по времени тренды, обусловленные дрейфами гироскопов.

В приборе (¡11А (¡Т2А задействована оригинальная двухрамочная платформенная ИНС, дополненная внешней азимутальной рамкой и азимутальным волоконно-оптическим гироскопом средней точности. Данная ИНС использует внешнюю скоростную и позиционную информацию СНС для демпфирования шулеровских колебаний вертикали и ошибки курсового счисления.

В любом случае поведение ошибок ИНС описывается общей моделью вида

х = Ах + Ви + д, г = Нх + г,

где вектор состояния х включает ошибки инерциальной системы, погрешности инерциальных датчиков; д, г — векторные случайные процессы типа белого шума с нулевым средним значением и заданной матрицей интенсивности; и — известное управление; г — корректирующее измерение, полученное с исполь-АВН

Угловые ошибки ai, a^ горизонтирования платформы входят в состав вектора состояния x модели (3). Для задачи аэрогравиметрии важно уметь оценивать ai, a2 по крайней мере по двум причинам: эти ошибки являются параметрами уравнения измерения гравиметра, оценка их уровня играет существенную роль при диагностике точности системы гиростабилизации.

Для примера приведем краткое описание моделей навигационного счисления и уравнений ошибок ИНС гравиметра GT1A [5]. Модельные уравнения двухкомпонентной горизонтируемой III 1С. демпфируемой при помощи внешней скоростной информации, доставляемой спутниковой навигационной системой, таковы:

V' = u2Re sin р* cos р* sin A' + /' - a3Zi - wi, Z1 = V/ - V/,

vv2 = u2RE sin р* cos р* cos A' + /2 - a3Z2 - w2, Z2 = V2' - V2*,

V/ = u sin p*V2* + / - acZi, V* = -V* cos A' + V* sin A',

V2' = -u sin p* V* + /2 - aoZ2, V2* = - V* sin A' + V* cos A',

7 7 V2 VNÍi RN\ л/, Z2

wi=a2Zb w2 = a2Z2, oj1 = -—-j^\A-—JcosA+ai—,

A - arCtg )' W2 " + I1" ite J A " ai

Здесь vi, Vi' (i = 1, 2) — горизонтальные компоненты абсолютной и относительной модельной скорости движения чувствительной массы; a, e2 — большая полуось и квадрат первого эксцентриситета модельного эллипсоида Земли; h*, р*, V*, V** — высота, географическая широта, восточная и северная составляющие скорости, доставляемые CHC; A' — азимутальный угол; V* (i = 1, 2) — компоненты относительной

/ ' /2'

метров; Zi, Z2 — скоростные измерения; ao, a i, a^ аз — коэффициенты демпфирования, вычисляемые как функция заданного характерного времени переходных процессов. Соответствующие (4) уравнения ошибок имеют вид

¿V i = - v3v* - a2(g + u2RE cos2 р*) + ¿/ - ¿Ku2RE sin р* cos р* cos A' - a3Z1 - wi,

¿V2 = v3v* + a i (g + u2RE cos2 р*) + ¿/2 + ¿Ku2RE sin р* cos р* sin A' - a3Z2 - w2,

óv2 AV^f Rn\ xrVtf. Rn\ . Z2 ----h г/1--r—^- 1 ——— cos A — oK —1— 1 ——— sin A + ал ——

Re 1 Re \ Re ) Re \ Re ) 1 Re '

6v1 , ^avnÍi rn\ . л/ Лй-^Л ,, Zi

a2 = —--h z/2 H——— I 1 —— I sin A — oiv -j— I 1 —— I cos A — ai ——,

Re Re \ Re / Re V Re ) Re

¿T>i = -V3V2* - a2g + A/i + AV2*u sin р* + ¿Ku sin р* V/ - aoZi, ¿V2 = V3 V* + a ig + A/2 - AV]*u sin р* + ¿Ku sin р* V2* - aoZ2, ¿K = (¿v i sin A' + ¿)2 cos A' - AV*)/)E,

v* = (VE + uRe cos р) cos A' + V* sin A', AV/ = AVE cos A' + AV* sin A', v* = -(VE + uRe cos р) sin A' + V* cos A', AV2* = -AVE sin A' + AV* cos A'.

Здесь ¿v i, ¿i>2, ¿Vi, ¿V — динамические ошибки определения абсолютной и относительной скорости; a i, a2 — угловые ошибки построения приборной вертикали; ¿K — ошибка курса; ¿/i, ¿/2 — погрешности акселерометров; v = (vi,V2,V3)T — гироскопический дрейф платформы, моделируемый как интеграл от белого шума AVE) AV^* — погрешности спутниковых скоростных решений. Модель корректирующих измерения такова:

Zve = V/ cos A' - V2' sin A' - VE = ¿Vi cos A' - ¿V2 sin A' + ¿KVJJ - AVE,

Zvn = V/ sin A' + V2' cos A' - V* = ¿Vi sin A' + ¿V2 cos A' - ¿K VE - A V*,

Г IS T,

n

ZVE = v' cos A' - )2 sin A' - (VE + uRE cos р*) = ¿v 1 cos A' - ¿v2 sin A' + ¿KVJ* - AV|.

Далее для решения задачи оценивания вектора состояния х системы (5) при помощи измерений (6) в режиме постобработки используются алгоритмы калмановского типа. Отметим, что дополнительными

х

антенны приемника СНС относительно приведенного центра ИНС и т.п.

Ад Ад

нения (1) с использованием измерений вертикального и горизонтальных акселерометров и приемников СНС. Уравнения измерений можно записать в виде [5]

т/ + / = /3 + К1/1 + К2/2 + кз/з + 5/з + А/з,

/1 = /1+5/1,

/2 = /2 + 5/2,

У' = У + 5У + АУ.

Здесь /1, /2, /3 — измерения горизонтальных и вертикального акселерометров; /1, /2, /з — соответствующие истинные значения удельной силы; К1, К2 — суммы остаточных угловых ошибок а^ а2 горизонт

времени запаздывания вертикального акселерометра; кз — ошибка масштабного коэффициента вертикального акселерометра; 5/1, 5/2, 5/з — немоделируемые погрешности акселерометров; А/з — методические погрешности вертикального акселерометра; У = Уц — вертикальная скорость антенны СНС; У' — измерение этой скорости; АУ — поправка на разнесение чувствительной массы и антенны СНС; 5У — немоделируемые погрешности определения скорости.

Поправки АУ вычисляются по показаниям углов карданова подвеса гравиметра с учетом деформации амортизатора; методические погрешности А/з предполагаются представимыми в виде суммы А/з =

(¿)Х', где в] — известные величины, а X] — неизвестные параметры этих погрешностей.

Угловые ошибки горизонтирования платформы медленно меняются с характерным временем порядка периода Шулера. Ошибки установки гравиметра можно считать постоянными в течение полета, но со временем они могут начать дрейфовать вследствие вибрации, температурных процессов и т.д. Введем вектор X, компонентами которого являются параметры методических погрешностей X], дополненные значениями тз, К1, К2, кз, и вектор с, компонентами которого служат функции с*, дополненные функциями /1, /2, /' Вектор-функцию с(*) будем называть вектором коэффициентов влияния вектора параметров X.

Подставляя (7) в (1) и пренебрегая квадратами погрешностей, получим Ь(*) = Xтс(*)+Ад(г(*)) + где введены обозначения Ь(*) = У + 70 + 57 — /3, -ш(£) = 5У + 5/з. На практике данные поступают в дискретные моменты времени ** с постоянным интервалом А*, так что последнее уравнение переписывается в дискретной форме

Ь

В обозначениях (8) задача определения аномалии на траектории состоит в том, чтобы при известных 6(*г), с(**) определить X и Ад(г(**)). Задача ставится как задача оптимального оценивания в стохасти-Ад

функцией Кдй (г, г'). Тогда на заданной траектории Ад является случайным процессом с корреляционной функцией Кдй (*,*') = К Ад (г(*), г(*')).

Стохастическую модель аномалии можно выбрать исходя из геофизических предположений о распределении масс внутри Земли. Однако характер распределения масс, как правило, заранее неизвестен и может значительно меняться от региона к региону. Обычно применяется вариант, при котором модель выбирается из эвристических соображений. При подобном подходе выбор модели сводится к выбору способа регуляризации данных с использованием его наглядной физической интерпретации.

Считая шум -ш(*) также случайным процессом, в дискретном времени аномалию и шум удобно представить в виде выхода формирующих фильтров:

Ад

где д(**) г(**) — белые шумы в дискретном времени с интенсивностью Д(**) соответственно; САд(г),

(г) — передаточные функции фильтров (г — оператор сдвига). Заметим, что основная составляющая w(ti) — первая разность погрешностей скорости СНС, которую часто можно считать белым шумом, так что допустимо взять в качестве (г) оператор первой разности У(г).

В рамках стохастического подхода оптимальная оценка определяется из критерия минимума дисперсии ошибки оценки. Оценка строится во временной области методами калмановской фильтрации и

сглаживания [2|. Калмановский подход позволяет работать с нерегулярными данными, возникающими из-за коротких полетов, значительных немоделируемых уходов платформы ИНС на разворотах, превышения рабочих) диапазона измерений гравиметра при разворотах и т.п.

Калибровка гравиметра на повторных галсах. Задача определения вектора X называется задачей калибровки. Иногда калибровку выполняют на стендах, но наименее затратный способ калибровка непосредственно во время съемок. Для этого проводят так называемые повторные галсы. Калибровка на повторных галсах необходима, в частности, при съемках в режиме облета рельефа. В этом случае для уточнения калибровки масштабного коэффициента выполняют специальные калибровочные маневры по высоте.

Рассмотрим вопрос о практической реализации алгоритмов калибровки. Требуется, чтобы эти алгоритмы не только определяли X, но и давали оценку работоспособности прибора и качества данных, в частности анализ как ранее учтенных, так и новых корреляционных зависимостей. Последнее требует от алгоритмов определенной гибкости. Применяются два подхода обработка во времени с использованием фильтра Калмана и кратно-масштабный анализ на основе вейвлет-разложения. Первый подход удобен для анализа данных на траектории (он подробно рассмотрен в [2|), позволяет вводить как постоянные, так и переменные во времени корреляционные связи, но труднореализуем на несмежных во времени повторных галсах. Второй подход дает возможность гибко работать как во временной, так и в частотной области и применительно к калибровке на повторных галсах представляется предпочтительным. Он рассмотрен далее в [6].

Пусть носитель пролетает N раз по одному и тому же участку траектории. Назовем эти пролеты повторными галсами с номерами п = 1,..., N Пусть интервал времени п-го галса есть Ь £ [¿П, ¿ПЬ и ПУСТЬ дуга повторного галса есть в £ [вь,ве].

Вейвлет-разложением функции /(¿), Ь £ М, называется разложение в конечный ряд

Зтах / . \

т= Е 1''{1]- •/',>(л/)-

3 —Зтт к

Здесь 'фзк(Ь) = 23ф(23Ь — к), где ф(Ь) — так называемый материнский вейвлет [7]. Целое ] называется параметром масштаба, а целое к — параметром сдвига, (3^ — коэффициентами вейвлет-разложения (КВР). Будем рассматривать класс полуортогональных вейвлетов с компактным носителем, для которых фзк(Ь) ортогональны в Ь2 для разных ^ Для этого класса вейвлетов пространства Ш} всевозможных функций /з (¿) взаимно ортогональны в Ь2 и имеет место разложение в прямую сумму Ь2 = ф Шз. Алгоритмической основой кратно-масштабного анализа являются алгоритмы быстрого вейвлет-разложения и вейвл ет-восстановления в дискретном времени

Сделаем вейвлет-разложение в (8) на всех рассматриваемых галсах. Получим

й]кЩ = й]к[с\Х + (¿к [Ад] + й]к[и>\.

Если Ад, и> — стационарные случайные процессы, то их КВР к

реляционными функциями

Ка[-ш](к — к') = Е [(^[-ш] 3И] , К^[дй](к — к') = Е [(¿к[Ад] 3 [Ад]] .

В качестве примера на рис. 1 приведен график корреляционной функции К^[дд] для аппроксимационной [8] спектральной плотности аномалии Бдд(ш) = ш-2 и полуортогональных сплайн-вейвлетов в случае ] = 5.

Поставим задачу калибровки как задачу оптимального по минимуму дисперсии оценивания (3-^[Ад], X по измерениям (10). Введем в рассмотрение множество Лп таких значений к, что носитель фз&(Ь/АЬ) лежит в интервале [¿П,^]- Для каждого к £ Лп обозначим через в^ £ [вь,ве] центральную точку носителя на дуге траектории. Введем также объединение по всем галсам Л3 = иПЛП — множество всех номеров КВР, используемых при калибровке.

лоянис вдоль галса

Рис. 1. Корреляционная функция КВР аномалии для полуортогональных сплайн-вейвлетов и уровня анализа ] =5

Зафиксируем уровень анализа ^ ] ^ ,]тах

Пусть Lj — число элеме итов л.. Упорядочим значения k £ Л., по отношению по рядка < пронумеровав их как kj, l = 1., Lj. Пусть sij = snki, — соответствующие значения длины дуги. Основное уравнение гравиметрии в КВР примет вид

djhi [b] = djkl [c]X + djkl [Ag] + djh [w], l = 1,...,Lj.

Дополним (12) формирующими уравнениями для djkl [Ag], djkl [w] в дискретном времени l, проведя стохастическую идентификацию корреляционных функций (11). Получим

djki [Ag] = Gd[Afl]

где Gd[Ag](z), Gd[w](z) — передаточные функции формирующих фильтров; £i, ni — белые шумы в дис-l

данной съемки.

l

решаются для заданного j стандартными методами. Для построения оценки по всем j можно использовать формулу взвешенного метода наименьших квадратов.

Адаптивное оценивание аномалии. После того как задача калибровки решена, можно исключить моделируемые возмущения из (8) и, введя обозначение Ab(ti) = b(ti) — XTc(ti), записать (8) следующим образом:

Ab

Если считать, что интенсивности шумов Q(ti), R(ti) известны, то задача оценивания сводится к калма-новскому сглаживанию. Обычно предполагают Q(ti) = const R(ti) = const, что приводит к стационарному гравиметрическому фильтру. Проблема, однако, в том, что в силу пространственной неоднородности реальной аномалии, особенно в гористой местности, это предположение приводит к пересглаженности результатов. Поэтому предлагается использовать адаптивный подход в предположении, что Q(ti) — неизвестная случайная функция г.

Существенной трудностью при адаптивном подходе является крайне низкое отношение сигнал-шум. Поэтому проводится регуляризация задачи, состоящая в последовательной стационарной фильтрации и прореживании данных в (14). После этого уравнения принимают вид (14), но в новом прореженном времени ti и с другими формирующими фильтрами (9). Регуляризация проводится таким образом, что в прореженном времени соответствующие передаточные функции СДЙ (z), G'w (z) являются фильтрами с конечным носителем:

ка къ

Gks (z) = ^ aizi, GW (z) = ^ biZi.

K а i=-Kb

Тогда правая часть регуляризованного уравнения (14) будет представлять собой смесь скользящих средних. Предположим, что R(ti) = const — неизвестная постоянная интенсивность шума СНС, a Q(ti) описывается марковской цепью с состояниями из конечного множества Q(ti) £ Q1,..., Qm, где переход между состояниями Qm в моменты ti описывается вероятностями pmmi. Значения Qm, pmm' — параметры марковской цепи, а также ее траектория S = Q(t1),..., Q(tK) предполагаются неизвестными и подлежащими определению. Эта задача, относящаяся к классу задач оценивания для линейных систем с марковскими скачками, решена в [8]. Она разбивается на три последовательные задачи, каждая из которых представляет собой строгую оптимизацию по определенной группе параметров.

1) Задача обучения. По набору наблюдений Ab(ti) определить параметры модели: значения R, Qm, матрицу переходных вероятностей марковской цепи pmm', вектор начальных вероятностей nm.

Ab

Q(ti) S

Ab

Q

задача фильтрации — стандартная задача нестационарного калмановского сглаживания, которая решается стандартными методами.

На рис. 2 для примера приведены результаты оценки интенсивности аномалии на участке съемки с чередованием равнинной и гористой местности. Оценка интенсивности шума R = 1,36 см2/с2. Представляется, что адаптивный алгоритм увеличивает точность карты на 10-20% [8].

Рис. 2. Оценки на галсах съемки: темные

участки соответствуют = 0,443 мГал2, светлые участки соответствуют Q1 = 0,079 мГал2

Результаты съемок. Площадные съемки проводятся на сетке пересекающихся галсов. Карта характеризуется разрешением половиной отображаемой длины волны, измеряемой в километрах, и точностью, измеряемой обычно в миллигалах. Разрешение карты определяется, с одной стороны, расстоянием между галсами, а с другой разрешением гравиметрического фильтра. Точность определяется качеством данных и алгоритмом обработки. Проверка точности ведется (в редких возможных случаях) сравнением с наземной картой или чаще всего контролем по пересекающимся галсам. Описанные алгоритмы обработки данных для гравиметра С4Т2А позволяют достичь разрешения 3 5 км и точности 0,4 0,7 мГал.

На рис. 3 представлено сравнение результатов съемок с наземной картой (совместно с компанией СМС4). Достигнутая точность 0,43 мГал. На рис. 4 приведены результаты съемок в районе Карского моря. Гравиметрические данные в этом районе отсутствовали, и контроль точности проводился по пересечениям. Оценка точности 0,8 мГал. Снижение точности здесь обусловлено большими (до 500 км) расстояниями до базовой станции СНС.

Перспективы развития аппаратуры и программного обеспечения. В настоящее время аэрогравиметричеекий комплекс С4Т2А серийно выпускается на Раменском приборном заводе. Разработанное сотрудниками МГУ программное обеспечение, элементы которого кратко представлены выше, является неотъемлемой частью этого комплекса. Комплекс активно используется разными операторами при проведении промышленных аэрогравиметричееких и морских съемок в разных странах и на разных континентах Земли. Технология проведения промышленных съемок с гравиметром С4Т2А достаточно отработана.

На взгляд авторов, есть следующие два основных направления развития и модернизации аэрогравиметри ческой аппаратуры и программного обеспечения.

Рис. 3. Оценка точности карты в Западной Австралии по наземным данным: а карта аномалии, построенная по наземным данным: б карта аномалии, построенная по авиационным данным: в разность двух карт

Рис. 4. Карта аномалий участка шельфа Арктики 1. Переход на использование бескарданных инерциальных навигационных систем. Это общая тенденция навигационной техники, в которой применяются инерциальные датчики. Здесь упомянем разработку ЗАО НТП "Гравиметрические технологии" макетного образца бескарданной гравиметрической системы С4Т-Х [9]. Авторы настоящей статьи разработали прототип программного обеспечения системы С4Т-Х и участвовали в тестовых испытаниях.

2. Использование многоантенных СНС. Здесь выделим два аспекта. Первый достаточно очевиден: многоантенная система является источником параметров ориентации носителя гравиметра, и прежде всего дополнительной курсовой информации. Второй связан с проведением гравиметрических съемок в полярных областях. В районе полюса алгоритмы инерциальной навигации имеют особенность, связанную с вырождением таких параметров, как долгота и угол истинного курса. Как следствие в приполярных областях ошибки навигационного счисления накапливаются быстро. Так, для системы GT2A в стандартной комплектации гравиметрические съемки ограничены значением широты ±75°. Применение многоантенной СНС в алгоритмах навигационного счисления и управления гироплатформой позволяет избежать указанных особенностей.

Авторы выражают искреннюю признательность H.A. Парусникову, коллективу ЗАО "Гравиметрические технологии" и всем сотрудникам и аспирантам лаборатории управления и навигации МГУ, принимавшим участие в данных исследованиях.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 13-01-0064.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Proceedings of the IAG Symposium on airborne gravity field determination. Calgary, 1995.

2. Головаh A.A., Болотин Ю.В., Парусников H.A. Уравнения аэрогравиметрии. Алгоритмы и результаты испытаний. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2002.

3. Болотин Ю.В., Голован A.A., Парусников H.A. и др. Иперциальпо-гравиметрический комплекс МАГ-1. Результаты летных испытаний. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2001.

4. Вавилова Н.Б., Голован A.A. Определение ускорения объекта при помощи первичных измерений спутниковой навигационной системы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 5. 5-13.

5. Болотин Ю.В., Голован A.A., Парусников H.A. Математические модели аэрогравиметрической системы на базе корректируемого гироинерциального блока // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 4. 4-12.

6. Болотин Ю.В., Федоров A.B. Анализ точности калибровки авиационного гравиметра на повторных галсах // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2008. № 3. 49-56.

7. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001.

8. Bolotin Yu. V., Doroshin D.R. Adaptive filtering in airborne gravimetry with hidden markov chains // Proc. 18th IFAC World Congress. Milan, Italy, 2011. 9996-10001.

9. Бержицкий B.H., Ермаков M.A., Ильин B.H., Смоллер Ю.Л., Юрист С.HJ., Болотин Ю.В., Голован A.A., Парусников H.A., Гавров Е.В., Геку нов Д. А., Федоров А.Е., Габелл А., Олсон Д., Шабанов A.B. Бескарданный авиационный гравиметр GT-X // Тр. Междунар. симп. "Наземная, морская и аэрогравиметрия: измерения на неподвижных и подвижных основаниях". 22-25 июня 2010 г. СПб., 2010.

Поступила в редакцию 22.02.2013

УДК 531.8

О "НЕГОЛОНОМНЫХ ДВИЖЕНИЯХ" ГИРОСКОПИЧЕСКИХ

И КОЛЕСНЫХ СИСТЕМ

А. В. В л ахова1

Обсуждается подход к математическому моделированию движения механических систем с малыми обобщенными скоростями. На примере задач о движении гироскопа в кар-дановом подвесе и виляниях железнодорожной колесной пары рассматриваются ситуации, когда решения таких систем развиваются вблизи многообразия, определяемого первичными связями Дирака.

Ключевые слова: системы с малыми обобщенными скоростями, неголономное движение, условия непроскальзывания, первичные связи Дирака.

The aim of this paper is to describe the motions of mechanical systems with small generalized velocities. By the example of the gyroscope and railway wheel pair, we consider the situations

1 Влахова Анастасия Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vlakhovaQmail.ru.