Суммирование мультипликативных функций на редких множествах

УДК 544.733.422:519.87

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ АЭРОЗОЛЬНОГО ОБЛАКА С УЧЕТОМ ИСПАРЕНИЯ И ОСАЖДЕНИЯ

1 12 О.Б. Кудряшова , А.А. Антонникова , Е.А. Козлов

ИПХЭТ СО РАН, г. Бийск 2НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета, г. Томск

Математическая модель основана на уравнении Смолуховского, описывающем динамику изменения функции распределения частиц жидкокапельных аэрозолей по размерам с учетом испарения и осаждения. Применяя теорию размерностей, удалось получить критерии, характеризующие относительную эффективность процессов коагуляции и испарения. Проведен параметрический анализ уравнений в безразмерном виде. Представлены результаты экспериментального исследования дисперсных параметров аэрозоля.

Ключевые слова: аэрозоль, испарение, коагуляция, осаждение, распределения частиц по размерам.

ВВЕДЕНИЕ

Теме эволюции аэрозольных облаков в научнотехнической литературе уделяется большое внимание, однако, полного понимания процессов, происходящих в жидкокапельном аэрозоле, до сих пор нет. Особенно сложными нам представляются вопросы, связанные с описанием кинетики субмикронных аэрозолей: необходимо взаимосвязано учитывать быстрое испарение капель, связанное с кривизной их поверхности, процессы осаждения и коагуляции. Предложенная в работе физико-математическая модель позволяет учесть эти процессы и получить представление об изменении дисперсных параметров аэрозоля в зависимости от времени. Это представляет не только теоретический интерес, но является важным при разработке практических приложений, например, в области экологии (нейтрализация вредных выбросов, адсорбция токсичных веществ, дезинфекция помещений).

КОАГУЛЯЦИЯ В ЭВОЛЮЦИИ АЭРОЗОЛЯ

В атмосфере присутствует аэрозоль многомодальной структуры с характерными размерами от долей до десятков и сотен микрон [1]. В модельном аэрозоле, полученном в лабораторных условиях, распределение частиц по размерам можно считать одномодальным и соответствующим гамма-распределению:

f (D) = aDa exp (-bD), ^

где D - диаметр частицы, b, a - параметры распределения, a - нормировочный коэффициент.

Рассмотрим эволюцию распределения частиц по размерам с течением времени. Следуя [1, 2], запишем балансовое уравнение (интегральный вариант уравнения Смолуховского), описывающее изменение со временем функции распределения частиц по размерам:

df

dt

- I1 + 12 + l3 ,

где 1\ описывает убыль капель с диаметром Б за единицу времени в единице объема за счет столкновения капли диаметра Б с любой каплей диаметра О':

Ii - - f (D, t)I K(D, D')f (D', t)dD’,

где К(Б,Б’) - вероятность столкновения капель с диаметрами Б и Б’ в единицу времени. Примем вероятность столкновения частиц пропорциональной их

массам: К (О, О ') = Ък (О3 + О '3).

Член 12 описывает возникновение частиц диаметра Б за счет столкновения капель с диаметрами О' и

О - О:

1 о

I =-1 к (О - О', О') / (О', 0 / (О - О', ()сЮ '.

2 о

При этом сделаны следующие предположения:

- облако частиц пространственно однородно;

- существенными являются эффекты столкновения частиц; при этом учитываются только парные столкновения (параметр «упаковки», то есть отношения объема всех частиц к занимаемому им объему воздуха, много меньше единицы), каждое столкновение приводит к слиянию частиц;

- явлениями ультразвуковой, турбулентной, электростатической коагуляции пренебрегаем.

Уравнение (2) описывает коагуляцию в аэрозольном облаке как твердофазных, так и жидкокапельных частиц в классической постановке с членом 13, отвечающим за сток (источник) частиц. Для жидкокапельных субмикронных аэрозолей существенным стоком в данном уравнении будет являться уменьшение массы капель за счет их испарения.

СО

о

УЧЕТ ИСПАРЕНИЯ И ОСАЖДЕНИЯ ЧАСТИЦ

Уравнение Максвелла описывает скорость испарения капли за счет кривизны ее поверхности и имеет вид:

Лш = 2пО/М

Л RT ’

где m - масса капли; Df - коэффициент диффузии; М -молекулярный вес жидкой капли; R - универсальная газовая постоянная; T - абсолютная температура; pdrop и ppl - парциальное давление над каплей и плоской поверхностью.

Член 13 описывает уменьшение массы частиц за счет их испарения и определяется уравнением Максвелла, продифференцированном по массе частицы:

=±( йшг

дш\ йі

дш

2пО/Ы (р,гор — рр1)/(П)'

ЯТ

Учитывая формулу Томсона (Кельвина):

4стМ

!п (Рлгор / Ррі ) =

р*ято

где с - поверхностное натяжение; pw - плотность жидкости, выражая массу частицы через ее диаметр, получим:

д

дБ

4жПуЫр рІ I ехР

4аМ

/

^ЯТБ) ) ЯТПрч

Начальные условия для уравнения (2): при fD,t0)=f0(D) - начальное распределение частиц по размерам, имеющее вид (1).

При моделировании процессов седиментации в эволюции аэрозолей [2] обычно принято считать, что все частицы, масса которых превышает критическое значение, сразу выпадают в осадок и не принимают участие в коагуляции. На наш взгляд, это не точно отражает физическую картину процесса, т. к. никакие частицы не выпадают в осадок мгновенно, а нас интересует именно динамика процесса, в том числе, время осаждения. Поэтому необходимо учитывать зависимость критического размера от времени. Эта зависимость будет определяться с помощью выражения для скорости осаждения:

йк

йі

2врп Б1 9По

9 "По Н

20р№ і перепишется в виде:

где H - высота облака. Уравнение

Окр

11 =- / (О, —) 1 К (О, О ') / (О ’, —)сЮ'.

о

Таким образом, спектр частиц на каждый момент времени t будет обрезан справа за счет седиментации крупных частиц, причем постепенно эта граница будет смещаться в сторону все более малых частиц.

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ К БЕЗРАЗМЕРНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ

Для приведения уравнения (2) к безразмерному виду необходимо выбрать характерные масштабы: диаметр и время. В качестве характерного диаметра выберем медианный: Б0=а/Ь. В качестве характерного времени, если рассматривать только жидкокапельные аэрозоли, можно взять время испарения капли диаметра Б0, но для построения более общей модели, которая учитывает неиспаряемые жидкости или твердофазные аэрозоли, предпочтительнее выбрать другое характерное время, а именно: время осаждения частицы диаметра Б0. Итак, в качестве масштаба по времени введем время жизни частицы диаметра Б0 (за счет

седиментации): і =

9По Н

1 20По2

(дольше всего не выпадет

в осадок частица диаметра Б0, находящаяся в верхней точке облака на высоте И).

Обозначим безразмерный диаметр, как х, а безразмерное время, как 0 . Тогда Б=Б0х, / (х) = аххае~ах,

а = аОа , 9 = — . Уравнение (2) в безразмерном виде

запишется следующим образом:

Л/

й0

= I +12 +13, при 0 = 0, /

хкр

I =— /(х, 0) | К(х, х ')/(х ',0)йх',

о

1 х

12 = — | К (х — х', х') / (х', 0) / (х — х' ,0)йх',

К(х, х ') = Ьк(х3 + х '3) , Ьк = ЬкБІі1 = ЬкБ0

9По Н

20

х (0) =

ко 4 '

Те '

где И - высота расположения частицы над землей; О -ускорение свободного падения; По - кинематическая вязкость. Тогда в момент времени t все капли диаметра, больше Dкр, выпадут в осадок. Величина Dкр, как следует из уравнения (5), определяется выражением:

Все частицы, для которых х>хкр в момент 9, выпадут в осадок.

ґ г

2пБ/Мрр1

д

= —Ки — дх

ехр

V V

4аМ

— 1

/

ркЯТБ0х ) ) ЯТБ0 хрм

/ (х, 0)"

і,

где безразмерный комплекс Ки, характеризующий отношение скорости испарения к скорости седиментации определяется как:

3

о

1

1

Ки =

9По НБМрр

ЯТрпОБ40 іе

ЯТр П

2 Б/Мрр1

время испа-

рения плоской поверхности.

Параметр, характеризующий испарение за счет

4оМ

кривизны поверхности: То =-------- - логарифм

Р^ЯТБо

отношения парциального давления над каплей диаметром Do к парциальному давлению над плоской поверхностью.

Дифференцируя выражение для /3, получим:

І3 =

Ки

То /То ^ехР

(т )+Є

—1

(/(х, 0) д/(х,0)^

_х“ V х / \ х дх

Введем диаметр xmin - такой, меньше которого на момент времени 9 все капли испарятся. Он опреде-

лится из уравнения: 0 =

------, которое по-

Ки

лучается путем интегрирования уравнения Максвелла (4), с учетом уравнения Томсона, в безразмерном виде. В спектре частиц в следующий момент времени опять появятся капли диаметра, меньше хтт, за счет испарения более крупных капель, поэтому обрезания спектра, как справа за счет седиментации, не будет. Знание этого диаметра поможет вычислить убыль массы капель за счет испарения. Суммарно убыль массы частиц за счет испарения и седиментации на момент времени 0 составит:

9 ^х1шп(9) » Л

Ат = |1 1 /(х, 9)Лх + | /(х, 9)Лх 1а?9.

0 V 0 хкр

Математическая модель в безразмерном виде (6), описывающая эволюцию аэрозоля, имеет следующие

параметры: а, То, Ки, Ък . Основной параметр для жидкокапельных аэрозолей, определяющий соотношение процессов испарения и седиментации - Ки.

Для проверки адекватности предложенной модели проведено сравнение с экспериментом. Измерения спектра размеров частиц проводилось с помощью специального измерительного комплекса, основанного на применении оптических методов измерений (метода спектральной прозрачности и малоуглового рассеяния) [3].

Для генерации аэрозоля использовался метод импульсного распыления [4]. Регистрация дисперсных характеристик аэрозоля производилась методом, описанным выше, в измерительном объеме 1 м3. В эксперименте распылялась вода.

Результаты экспериментальных измерений более наглядно можно представить не счетной, а массовой функцией распределения частиц по размерам, которая связана со счетной соотношением: g(P)=mlm1f{P), где т10 - среднеарифметическая масса частиц:

т10 =1 т/(О)СО , т - масса частицы диаметра Б. В

безразмерном виде g(x), где х=Б1Б0. Экспериментально измеренные в начальный момент времени параметры распределения модельного аэрозоля: а=0,38, Ь=0,184. Параметры расчета: а=0,38, Б0=2,1 мкм,

tl=3,5E+10 с, Ък =1000, То=0,0022, Ки=2,9Б+10.

Результаты экспериментальных измерений и расчета массовой функции распределения частиц аэрозоля по размерам приведены на рис. 1. Как видно из сравнения кривых 2, 3 (эксперимент) и 4, 5 (расчет), пик распределения в эксперименте и в расчете хорошо совпадает, но расчетные кривые более «размазаны» при больших диаметрах. В целом, можно говорить о хорошем совпадении модельных расчетов с экспериментальными данными. Отличия в форме кривых можно объяснить ограничениями математического аппарата метода измерений: решение подбирается в виде гамма-распределения, в то время как такой вид функции распределения характерен для состояния равновесия; в процессе эволюции аэрозоля вид функции распределения может искажаться.

Рис. 1. Функция распределения частиц по размерам в нулевой момент времени

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложена модель эволюции жидкокапельного аэрозоля с учетом процессов испарения и коагуляции в виде варианта интегрального уравнения Смолухов-ского в безразмерном виде, со стоком (испарение) и обрезанием спектра (осаждение). Получены безразмерные критерии, характеризующие особенности протекания процессов. С помощью численных расчетов получено распределение частиц аэрозоля по размерам в зависимости от времени. Представленные результаты сравнения экспериментальных и теоретических исследований свидетельствуют о физической адекватности предлагаемой математической модели.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 12-08-90811-мол_рф_нр).

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Ивлев Л.С., Довгалюк Ю.А. Физика атмосферных аэрозольных систем. - СПб.: НИИХ СПбГУ, 1999. - 194 с.

2

х

2. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. - Л.: Гид-рометеоиздат, 1984. - 284 с.

3. Olga B. Kudryashova, Igor R. Akhmadeev, Anatoly A. Pavlenko, Vladimir A. Arkhipov, Sergey S. Bondarchuk. A method for measurement of disperse composition and concentration of aerosol particles / Proceedings of ISMTII-2009 29 June - 2 July, 2009. In 4 V.; V. 2. -Saint-Peterburg, 2009. - Pp. 178-183

4. B. I. Vorozhtsov, O. B. Kudryashova, A. N. Ishmatov, I. R.

Akhmadeev and G. V. Sakovich. Explosion generation of microatomized liquid-drop aerosols and their evolution // Journal of Engineering Physics and Thermophysics Volume 83, Number 6, 11491169, DOI: 10.1007/s10891-010-0439-7. -

http://www.springerlink.com/content/l0403v156217098m/

Кудряшова Ольга Борисовна — к.ф.-м.н., доцент, старший научный сотрудник лаборатории физики преобразования энергии

высокоэнергетических материалов, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем химикоэнергетических технологий Сибирского отделения РАН, тел. (3854)301869, e-mail: olgakudr@inbox.ru.

Антонникова Александра Александровна — аспирант, младший научный сотрудник лаборатории физики преобразования энергии высокоэнергетических материалов, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем химикоэнергетических технологий Сибирского отделения РАН, тел. (3854)301869, e-mail: antonnikova.a@mail.ru.

Козлов Евгений Александрович — д.т.н., профессор, главный научный сотрудник, НИИ прикладной математики и механики Томского государственного университета, тел. (3822)529522, e-mail: leva@niipmm. tsu. ru.