Математическая модель течения аномально вязких жидкостей при получении коэкструдированных композиций

УДК 664.696.9

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕЧЕНИЯ АНОМАЛЬНО ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ ПРИ ПОЛУЧЕНИИ КОЭКСТРУДИРОВАННЫХ КОМПОЗИЦИЙ А.А. Шевцов, Л.И. Лыткина, Е.А. Острикова

Разработана математическая модель движения аномально вязкой жидкости (расплава зерновой смеси) и изменения давления в цилиндрическом кольцевом зазоре матрицы экструдера. Приведены уравнения для двух случаев: с и без проскальзывания расплава на стенках канала

Ключевые слова: математическая модель, экструзия, аномально вязкие жидкости

Экструзия является прогрессивным способом получения качественных продуктов питания, в том числе функционального назначения. Особое место среди экструзионных продуктов занимают коэкструдированные, состоящие из зерновой оболочки и находящейся внутри начинки [1, 2]. Используемые в качестве начинок жиросодержащие смеси относятся к аномально вязким (неньютоновским жидкостям). Для их дозировки в матрицу для формирования коэкструдированного продукта используется насос высокого давления, для правильного подбора которого необходимо знать характер изменения давления и скорости расплава зерновой смеси (экструдата), формирующего зерновую оболочку при выходе из экструдера. Течение расплава экструдата в каналах с кольцевым зазором в матрице экструдера с зоной ввода начинки определяет не только качество готового продукта, но и производительность экструдера .

Целью работы явилась разработка математической модели течения расплава зерновой смеси в кольцевом канале формующей матрицы экструдера с введением в центральную зону жиросодержащей начинки и получение информации об изменении величины давления экструдата в любой точке в кольцевого канала формующей матрицы экструдера.

В основе математической модели процесса течения псевдопластичной жидкости лежат законы сохранения массы, количества движения и энергии [3]. Приняты следующие допущения: течение является полностью установившимся (ни в одной точке канала не наблюдается переходных режимов); силы инерции пренебрежи-

Шевцов Александр Анатольевич - ВГУИТ, д-р техн.

наук, профессор, тел. (473) 255-65-11

Лыткина Лариса Игоревна - ВГУИТ, д-р техн. наук,

профессор, тел. (473) 255-65-11

Острикова Елена Александровна - ВГУИТ, аспирант,

e-mail: power-of-inspiration@yandex.ru

мо малы по сравнению с силами трения; течение ламинарное и изотермическое; является полностью развитым; расплав несжимаем, его плотность постоянна; течение происходит при отсутствии внешних сил; влиянием силы тяжести можно пренебречь; расплав прилипает к твердым стенкам канала (на стенках отсутствует проскальзывание).

Рассмотрим процесс течения псевдопластичной жидкости (расплава зерновой смеси) в канале с кольцеобразным поперечным сечением (с внутренним радиусом ^ , внешним радиусом Л2 и длиной Ь) (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема течения расплава и начинки в канале матрицы

Предположим, что в нем имеет место равновесие сил, действующих на кольцевой массовый элемент с толщиной слоя ёг, движущийся со скоростью V . В связи с тем, что равновесие количества движения сводится к равновесию действующих сил (это является следствием несжимаемости расплава и допущения, что расплав течет по прямолинейным параллельным траекториям с постоянной скоростью), можно записать:

р( г + dz) = р( г) +—dz;

дг

дт

т(г + dr) = т(г) +---------------dr,

дг

текущий радиус, м,

где г, г - координаты, г р - давление, Па.

Так как течение является полностью развившимся, то градиент давления можно считать постоянным ф / & = Ар/Ь . Отбросив все члены высшего порядка, получаем следующее дифференциальное уравнение:

Ар т d т 1 д .

— = - + — =------------------(т г).

Ь г dr г дг

В результате интегрирования уравнения (2) получаем

м Ар С1

т(г) = — г +—1 . 2Ь г

Чтобы решить уравнение (3) для данного случая, необходимо сделать предположение, что напряжение сдвига т принимает нулевое значение при г = Хг (рис. 1), где скорость V принимает максимальное значение (V )тах . Таким образом, С = _ Ар (Х^2 )2. Подставляя С в уравнение (3), получаем

т( г ) =

Ар*

2Ь

*2

-Г

Для течения ньютоновской жидкости скорость сдвига вычисляется по формуле [1]:

, . dv АрЯ,

т(г ) =--= -^—^

dr 2 л Ь

г-Х2

* г

где ц - вязкость, Па-с.

Проинтегрировав уравнение (5), получаем

Ар*

2 л Ь

Гг V

- 2Я21п I *-

а

Значения двух неизвестных величин Х и С2 можно определить, используя следующие

граничные условия: при г = к^У2 = 0 ; при г = = 0 , здесь к = Л /Я2 - соотношение

внутреннего и внешнего радиусов кольцевого зазора.

Подставив граничные условия в уравнение (6), получаем

212 =

1 - (* /Я2)2

1п(R1/R)-

С = -1.

Распределение скоростей можно выразить формулой:

, ч * Ар

V (г ) =—---------------

4л Ь

1 -

1п (* /Я2 )-1

глл

V *2 У

Когда г = ХЛ , получаем выражение для максимальной скорости потока (у2 )тах :

(у) *22Ар ^ 1-(^/Я2)2

4л Ь 21п (*! /Я2)“

1- 1п

21п (* /Я2

.

(8):

Средняя скорость получается из уравнения

Я22 Ар

1 - (Я^)4 1 - (Я^)2

4цЬ 1 - (Л^)2 1п (* /Я2 )-

Объемный расход V получается умножением выражения для средней скорости на площадь поперечного сечения кольцевого зазора:

V = лД2(1 -

л*4

8Ь

(1-

(К V

(1 -

)-

1п

у

V *2 У

1

— Ар

л

Среднее время пребывания расплава в канале обратно пропорционально средней скорости

* Ар

1 -

V *2 у

1 -

*2

1-

V *2 у

1п

V У

Анализ формул для расчета объемного расхода V показывает, что все они могут быть записаны в обобщенной форме. Обобщенная форма уравнения объемного расхода для ньютоновских жидкостей:

V = К Ар / ц,

где К - гидравлическая пропускная способность матрицы (зависит от геометрической

формы канала матрицы [3]).

Применив степенной закон Оствальда-де Виля, получим уравнение для объемного расхода

Г = К'фАрт,

п(Щ + Л)(Щ - * г2

где К =-

’(т + 2 )Ьт

гидравличе-

ская проводимость матрицы (величина К является функцией геометрии канала матрицы и индекса течения т); ф - коэффициент текучести; т - индекс течения.

Однако формулы (13) и (14) применимы только для расчета течения ньютоновских жидкостей. Расчетные формулы для псевдопла-стичных материалов при использовании степенного закона становятся громоздкими. Поэтому удобнее использовать метод характерной

вязкости [3], позволяющий применять уравнения для ньютоновских жидкостей для псевдо-пластичных материалов.

Согласно данному методу, если известна некоторая характерная точка в канале, то для этой точки можно вычислить эффективную скорость сдвига у на основе объемного расхода V и характерной вязкости // для известной кривой вязкости. Затем полученное значение следует подставить в уравнения для ньютоновских жидкостей и определить перепад давления. Таким образом, можно получить уравнение течения в кольцевом канале матрицы, аналогичное уравнению (13), но использующее характерные параметры.

При выводе уравнений, описывающих течение псевдопластичной жидкости в кольцевом канале матрицы экструдера, использовалось предположение об отсутствии проскальзывания на стенках канала, т. е. предполагалось, что жидкость, текущая в канале матрицы, прилипает к внутренней поверхности стенок, что равносильно граничному условию V = 0 на стенках канала (рис. 2, а). Однако при превышении критического значения расплав может проскальзывать вдоль стенок с конечной скоростью V . Критические значения напряжений сдвига для расплава зерновой смеси составляют т >

0,12...0,14 Н/мм2, выше них наблюдается проскальзывание продукта вдоль стенок канала матрицы (рис. 2, б).

Рис. 2. Профили скорости расплава зерновой смеси при различных граничных условиях: а - прилипание продукта к стенке; б - проскальзывание с конечной скоростью

Э. Уландом [4] предложена математическая модель течения, учитывающая явление проскальзывания на стенках и представляющая собой уравнение равновесия между силами вязкости и силами трения для элементарного объема жидкости при течении через трубу:

Л ср

т =—2 —— = — р / •

ст ^ 1 .тис

2 Сг

где Л2 - внешний радиус кольцевого канала матрицы, м; /с - коэффициент трения при проскальзывании; р - давление в рассматриваемом элементарном объеме, Па.

Интегрирование уравнения (15) с учетом граничных условий р = р^ при г = Ь (где рь -давление в конце канала матрицы, Па) дает вы-

ражение изменения давления по длине цилиндрического канала матрицы:

Р = Рь ехР

2Чо

Л

где ца - вязкость расплава зерновой смеси, Па-с. Решая совместно (15) и (16), получаем

Тст =— Р/с еХР

Анализ уравнения (17) показывает, что при скольжении расплава вдоль стенки напряжение сдвига тст на стенке изменяется по всей длине канала (рис. 3) и для кольцевого канала матрицы экструдера напряжения сдвига равно

Л Ар 2 Ь

1 — (Л /л,)2 Л

21п(^/Л) г где Л - внутренний радиус кольцевого канала матрицы, м; Ь - длина цилиндрического кольцевого канала, м; г - текущее значение радиуса кольцевого канала матрицы, м; Ар - перепад давления в канале матрицы, Па.

Из уравнения (17) следует, что сила трения возрастает с удалением от выхода из канала матрицы. Вероятно, что сила трения при этом возрастет настолько, что проскальзывание станет невозможным ( г<г1 ). В этом случае напряжение сдвига на стенке тст будет меньше, чем напряжение сдвига, необходимое для преодоления сил трения. Поэтому на начальном участке течения наблюдается прилипание расплава к стенкам канала (0<г<г). Дальше, на участке г1<г<Ь , начинает развиваться проскальзывание на стенках, сопровождаемое сдвиговым течением жидкости (рис. 3).

Из совместного решения уравнений (17) и (18) получаем

г = Ь —-^Мп

.

Рис. 3. Изменение давления и напряжения сдвига на стенке канала по его длине при проскальзывании расплава на стенках

Скольжение расплава по стенкам на протяжении всей длины канала будет всегда наблюдаться при г1 = 0. Необходимый для этого объемный расход Q может быть получен из формулы

фЖЯ

т -

Рь/с ЄХР

Г2/СЬЛ

Я

Давление в точке отрыва расплава от стен-

ки 2! вычисляется из уравнений (19) и (16):

1

Рі= 7

фжЯ

Давление на входе в фильеру ро определяется из уравнения

Ро - Р Ф

г dz

dp Ар

С учетом того, что----------------> —, а также на

dz Ь

основании уравнений (19) и (20), получаем

Ро =

Ф^Я3 “ 1 2Ь 1 1- 1п 1 Ф^Я3 3 т '

(т + 3 )е І *2 + /с Рь/с (т + 3) Є J

.

При полном прилипании расплава к стенкам по всей длине канала давление роя вычисляется по следующей формуле:

рон =

2Ь

Я

фжЯЗ

(т + 3) Q

Это значение больше давления, наблюдающегося в случае, когда на некотором участке канала наблюдается проскальзывание расплава на стенках (см. рис. 3). В. Микаэли [5] предложил следующую формулу для определения по-Лр

ь

стичной жидкости в кольцевом канале матрицы

терь давления

при течении псевдопла-

Ар

Ь

фяОН”

2 (т + 2 )Є

На основании уравнения (17) с учетом степенного закона Оствальда-де Виля у = фтт, а также условия X = хст г / Я получаем следующее уравнение:

• ^ А

у = -—- = ф аг

Г

Рь7с — *2.

ехр

7

.

Интегрируя уравнение (26) с учетом граничного условия Уг = при г = Я , получим

уравнение для профиля скоростей:

V = V +ф

г ст т

Р7

Я

Ят +1 - гт т +1

-ехр

2/>

Я

.

Дальнейшее преобразование (27) позволяет получить выражение для ^

V =

-ф( Рь/)т

Я

ехр

2/ст

Я

.

тс* т + 3

Из уравнения (28) видно, что максимальное значение ^ наблюдается в конце канала матрицы, а в точке отрыва потока г (переход от прилипания к проскальзыванию) \ст = 0 (см. уравнение (19).

На рис. 4 показано развитие профиля скорости на участке канала матрицы экструдера г1 < г < Ь. Для рассматриваемого здесь примера на участке ( г / Я < 0,425) наблюдается чисто сдвиговое течение, для которого справедливо граничное условие = 0 на

стенке канала, тогда как осевое течение устанавливается на выходе из канала (где \ « \т). Очевидно, что существует компонента скорости в радиальном направлении г , которой можно пренебречь, так как Уст [4, 5]. Таким образом, установлено, что явление проскальзывания расплава по стенке наиболее выражено к выходу из канала, а в противоположном направлении его влияние уменьшается. Это означает, что проскальзывание на стенках начинается в зоне выхода из канала. Однако существенным препятствием применения представленного метода является невозможность точного определения коэффициента трения /с

для расплавов зерновых смесей и проблема корректного выбора скорости проскальзывания ^ на внутренней стенке канала матрицы.

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Безразмерный радиус г/И

Рис. 4. Развитие профиля скорости в канале матрицы для г1 < г < Ь : Я = 0,040 м; Q = 12,0-10'3 м3/с; р = 6,5 МПа; /с = 0,2; т = 2,3

Следовательно, при разработке конструкции матрицы экструдера для получения коэкс-трудированных продуктов, имеющих тенденцию к проскальзыванию на стенках канала мат-

т

т

т

т

т

рицы, полученные решения (24) и (28) являются достоверными, т. к. получены на основе учета явления проскальзывания расплава на стенках канала. Они дают более точные значения перепада давления и скорости проскальзывания ^ по сравнению с наблюдающимися в используемых экструдерах.

Был проведен машинный эксперимент с использованием системы символьной математики Мар1е для среды плотностью р = 1230 кг/м3 и

динамической вязкостью т = 13680 Пас и значением индекса течения т = 1,3 . Объемный расход жидкости составлял V = 0,421 • 10-5 м3/с. Геометрия области течения - цилиндрический кольцевой канал длиной Ь = 25-10"3 м.

Расчет осевой скорости проводился для N = 5 участков. Потери давления являются важной характеристикой течения жидкости в цилиндрическом кольцевом канале. На рис. 5 приведен график изменения потерь давления вдоль оси канала.

Рис. 5. Изменение давления Л Р при течении экструдата

в цилиндрическом кольцевом канале матрицы по оси г Проведен сравнительный анализ характера течения расплава зерновой смеси при различных значениях индекса течения т = 1, 3 . Проверка адекватности представленной модели показала, что результаты вычислительного эксперимента согласуются с экспериментальными данными, погрешность изменялась в пределах 18 %, что говорит о возможности использования полученных результатов в проектировании экструдеров.

Литература

1. Остриков А. Н., Василенко В. Н., Соколов И. Ю. Коэкструзионные продукты: новые подходы и перспективы. М.: ДеЛи принт, 2009. 232 с.

2. Лыткина Л. И., Шевцов А. А., Дранников А. В., Клейменов А. И. Техника и технология тепловых и механических процессов в задачах энергосбережения на комбикормовых заводах. Воронеж: ВГТА, 2011. 304 с.

3. Остриков А. Н., Абрамов О. В., Василенко В. Н., Попов А. С. Математическое моделирование течения аномально вязких сред в каналах экструдеров. Воронеж: Изд-во ВГУ, 2010. 237 с.

4. Uhland E. Modell zur Beschreibung des Fliepens Wandgleitender Substanzen durch Disen, Itlieol. Acta, 15. 197б. Pp. 30-29.

5. Микаэли В. Экструзионные головки для пластмасс и резины. Конструкция и технические расчеты. Пер. с англ.: Под ред. В. П. Володина. СПб: Профессия, 2007. 472 с.

Воронежский государственный университет инженерных технологий

MATHEMATICAL MODEL OF QUASI-VISCOUS LIQUIDS FLOW IN THE PROCESS OF COEXTRUDED COMPOSITIONS OBTAINING A.A. Shevtsov, L.I. Lytkina, E.A. Ostrikova

Mathematical model of quasi-viscous liquid (molten grain mixture) flow and pressure variation in cylindrical annular space of extruder die is developed. Equations for cases either with or without melt sliding on channel walls are discussed

Key words: mathematical model, extrusion, quasi-viscous liquid