Поверхностные волны в условиях стесненной деформации

число, такое, что имеет место неравенство (3), т.е. g(k 1)! ^ H < gk!. Тогда из (2) получаем, что при k ^ ki(e,N), т.е. соответственно при H ^ Ho(e,N), выполняется условие теоремы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cijsouw P.L. Transcendence measures. Amsterdam: Acad. Proefschrift, 1972.

2. Mahler K. p-adic numbers and their functions. London: Cambridge University Press, 1981.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

4. Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1982.

Поступила в редакцию 14.10.2011

УДК 539.3

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В УСЛОВИЯХ СТЕСНЕННОЙ ДЕФОРМАЦИИ

А. В. Звягин1, Г. А. Ромашов2

В работе показана возможность существования поверхностных волн, скорость которых больше, чем скорость поперечных волн, но меньше, чем скорость продольных волн. Оказалось, что в краевой задаче для упругого полупространства в данном интервале скоростей существуют поверхностные волны, скорость которых постоянна и равна а/2 6, где b — скорость поперечных волн. Эти волны, как и поверхностные волны Рэлея, не имеют дисперсии. Их скорость определяется только упругими модулями среды и плотностью. Показано, что существование такой скорости, возможно, связано со скоростью поверхностных волн, проявляющихся как волны разгрузки в условиях стесненной деформации.

Ключевые слова: контактное разрушение, теория упругости, динамика.

The possibility of the existence of surface waves in a range of speeds greater than the speed of transverse waves, but smaller than the speed of longitudinal waves is shown. It turns out that, in the boundary value problem for an elastic half-space in this speed range, there are the surface waves whose speed is constant and equal to a/2 6, where b is the speed of transverse waves. These waves as well as the Rayleigh surface waves have no dispersion. Their speed is determined only by the elastic constants and density of the medium. It is shown that the existence of such a speed is possibly related to the surface waves that appear as unloading waves under constrained deformation.

Key words: contact destruction, theory of elasticity, dynamics.

Введение. Контактные динамические задачи теории упругости при наличии трения возникают при исследовании процессов, сопровождающих взаимодействие подвижных поверхностей. Такие взаимодействия присутствуют в задачах движения штампов, проникания тела в прочную среду, в геофизических процессах при относительном проскальзывании плит земной коры. Одним из важнейших параметров для данного класса задач является относительная скорость проскальзывания. В дозвуковом диапазоне движения эти задачи представлены в монографии Л.А. Галина [1]. Современные исследования [2-9] показали необходимость их решения для трансзвукового диапазона скоростей движения. Это связано с тем, что в данном интервале скоростей обнаруживается новая критическая скорость движения. Известно, что при дозвуковом движении критической скоростью является скорость поверхностных волн Рэлея. Оказывается, что в трансзвуковом диапазоне скоростей также существует критическая скорость. При переходе через нее резко меняется режим взаимодействия среды с телом [5-7]. В работах [3-5, 8, 9] экспериментально и теоретически показана возможность существования сверхзвуковой скорости трещин сдвига. В эксперименте, описанном в [3, 9], трещина моды II зарождалась со скоростью, близкой к скорости поперечной волны,

1 Звягин Александр Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: zvsasha@rambler.ru.

2 Ромашов Григорий Александрович — асп. каф. газовой и волновой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: romashovg@mail.ru.

затем ее скорость возрастала до скорости продольной волны и потом скорость распространения трещины выходила на устойчивый режим \[2Ь. Распространение сверхзвуковых разломов со скоростью \[2Ь было зарегистрировано при некоторых землетрясениях, например при двух землетрясениях, произошедших в Турции в 1999 г. [4]. Возможно, как и в случае волн Рэлея, это физическое проявление поверхностных волн. Подробный обзор зарубежных публикаций, в которых упоминается скорость \/2Ь, представлен в работе А. Росакиса [8]. Однако ни в одной из известных авторам работ не была предпринята попытка обоснования физической природы данной скорости.

Постановка задачи. Рассмотрим волны, бегущие вдоль поверхности упругой среды у ^ 0, ограниченной жесткой плоскостью у = 0. Будем называть "стесненной" деформацию среды, на которую наложены кинематические или физические ограничения.

Плоскопараллельное движение упругой среды должно удовлетворять волновым уравнениям для потенциалов продольных ^>(х, у, Ь) и поперечных ф(х, у, Ь) волн

д2/ дV д2<^\ д2ф 2/ д2 ф д2ф

dt2 а \ дх2 ду2 )' dt2 ^ \ дх2 ду2 ^ ^

где а = л/(А + 2ц)/р, Ъ = л/ц/р — соответственно скорость продольных и поперечных волн; р — плотность среды; А, ц — упругие модули Ламе. Поле перемещений выражается через потенциалы формулами Ламе

dip ^ дф dip дф „ х дх ду' у ду дх

Подстановка перемещений (2) в выражения для деформаций и в закон Гука позволяет найти выражения для напряжений

°хх ^ дх2 ду2 ^ дхду' °ху ^ \ дхду ду2 дх2)'

, d у . d у ri2nh

д2у о д2 у д2ф

дх2 ду2 дхду

Будем считать, что на границе выполнено равенство нулю компоненты перемещений иу и задана линейная связь между усилиями на данной поверхности:

У = 0, иу = 0, аХу + ¡ауу = 0,

где f — неизвестный коэффициент.

Построение решения. Будем искать решение уравнений (1) в виде волн, бегущих вдоль поверхности с неизвестной, но постоянной скоростью с:

ф,у,Ь) = Ф

Подстановка выражений (5) в уравнения (1) для потенциалов приводит к уравнениям

с2Ф(у)Р"(х - сЬ) = а2Ф(у)Р"(х - сЬ) + а2Ф"(у)Р(х - сЬ),

с2Ъ(у)Я"(х - сЬ) = Ъ2Ъ(у)д"(х - сЬ) + а2Ф"(у)Я(х - сЬ). После разделения переменных получим

с2 \Р"

а2 ) Р(х-сЬ) Ф(у) ' ) Я(х-сЬ) Ф(у) '

Будем искать решения (6) при условии, что скорость волн удовлетворяет неравенству Ъ < с < а. В этом случае можно ввести обозначения

а

= л/1-с2/а2, /3 = д/c2/b2 - 1.

Поскольку нас интересуют волны, скорость которых больше скорости поперечных волн, но меньше скорости продольных волн, будем искать решение в форме, обеспечивающей затухание продольных возмущений на бесконечности. В этом случае с учетом обозначений (7) уравнения (6) перепишутся в форме

Р'^х-сЬ) Ф"{у) =_к.2 Я"{х - сЬ) = Ф"{у) =

Р

Решения для потенциалов (5), удовлетворяющие условиям излучения на бесконечности и уравнениям (8), будут иметь вид

р = Леаку еа^к

Выражения (3) можно переписать следующим образом:

^ = (2 + М2-2М2)^+2^, а-У=2д2У (о м2)9^, ц 1 2 дх2 дхду' ц. дхду 2 дх2' ^^

стуу _ (о ол/г2) д2Р „ д2ф

ц дх2 дхду'

где Ы\ = с/а, М2 = с/6.

Отметим, что полученные выражения (10) для напряжений уже сразу позволяют говорить о некоторой особой скорости, для которой М2 = \/2. Действительно, это единственное значение скорости, при котором задачи определения потенциалов поперечных и продольных волн при заданных на границе усилиях иху, иуу могут быть решены независимо друг от друга.

Подставляя решения (9) в формулы (2), (10), найдем компоненты вектора перемещений и тензора напряжений:

и

= {к (Леаку - вВе-1кву) ¿к(х-а), иу = к (аЛеаку - {Бе-^) екх-сЛ),

— = [(-М| - а2 - 1 )Аеаку + 213Ве-^у]к2е^х-ы\ ц

2 - а - ±)ле - -т *вБе ~_|к е "

ц

2тАеаку - (р2 - 1)Ве~^у к2гк{х~с1\ ^ = (-М22 + 2)Аеаку - 2!ЗВе~^у к2ек{-х~а).

-1 ц ^ -1

Подстановка выражений (11) в граничные условия (4) приводит к следующей системе уравнений для коэффициентов Л, Б:

аЛ - {Б = 0,

[2ш + /(2 - М2)]Л - (в2 - 2/в - 1)Б = 0.

Условие существования нетривиального решения — это равенство нулю определителя:

-а

Приравнивая к нулю мнимую часть определителя (12) при условии, что коэффициент / не равен нулю, получим

/

Из равенства нулю действительной части определителя (12) с учетом равенств (13) следует

а

Если коэффициент / равен нулю, мнимая часть определителя (14) тождественно равна нулю, а равенство нулю действительной части приводит к условию с = 0.

Выводы. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

1) существуют поверхностные волны в исследуемом трансзвуковом диапазоне скоростей;

2) они, как и волны Рэлея, не имеют дисперсии и реализуются в условиях стесненной деформации, например, как волны разгрузки при выполнении дополнительного требования / = 1;

3) данные волны, как и волны Рэлея, должны проявлять себя при решении динамических контактных задач и задач разрушения в сдвиговых трещинах, поскольку в этих задачах деформация является заведомо "стесненной".

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 09-024-00396-а.

ху

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.

2. Brener E.A., Malinin S. V., Marchenko V.I. Fracture and friction: stick-slip motion // Eur. Phys. J. 2005. E17, N 101. 101-113.

3. Hao S., Liu W.K., Klein P.A., Rosakis A.J. Modeling and simulation of intersonic crack growth // Int. J. Solids and Struct. 2004. 41, N 7. 1773-1799.

4. Bouchon M., Bouin M.P., Karabulut H, Toksoz N, Dietrich M., Rosakis A.J. How fast is rupture during an earthquake? New insights from the 1999 Turkey earthquakes // Geophys. Res. Let. 2001. 28. 2723-2726.

5. Звягин А.В. Сверхзвуковое движение тела в упругой среде при наличии трения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 4. 52-61.

6. Звягин А.В., Ромашов Г.А. Образование отрывных зон при наличии асимметрии движения тела в упругой среде // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2011. № 3. 122-132.

7. Звягин А.В., Ромашов Г.А. Актуальные проблемы механики сплошной среды // Тр. II Междунар. конф. Т. 2. Ереван: ЕГУАС, 2010. 99-102.

8. Rosakis A.J. Intersonic shear cracks and fault ruptures // Adv. Phys. 2002. 51, N 4. 1189-1257.

9. Rosakis A.J., Samudrala O., Coker D. Cracks faster than the shear wave speed // Science. 1999. 284, N 5418. 13371340.

Поступила в редакцию 20.12.2010

УДК 519.218.22

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ, ОСНОВАННЫЕ НА ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДАННЫХ

В. В. Тихомиров1

Для оценки низкочастотной составляющей широкополосного сигнала и его производных широко применяются цифровые фильтры, основанные на полиномиальной аппроксимации данных. Простейшим цифровым фильтром является алгоритм вычисления среднего арифметического. Важные для приложений свойства этих фильтров связаны с видом их передаточных функций. В работе приводятся формулы для передаточных функций фильтров, с помощью которых оцениваются постоянная составляющая и первая и вторая производные входного сигнала при его аппроксимации полиномом второй и третьей степени.

Ключевые слова: случайная последовательность, полиномиальная аппроксимация, метод наименьших квадратов, цифровой фильтр с конечной памятью, функция веса, передаточная функция, частотная область.

Digital filters based on polynomial approximation are used to estimate the low-frequency component of a broadband signal and its derivatives. The simplest digital filter is an arithmetical mean algorithm. The filter properties important for applications are associated with the types of transfer functions. Explicit formulas are given for the transfer functions of such filters used to estimate the constant component of an input signal and its first and second derivatives for the second- and third-degree polynomial approximation.

Key words: random sequence, polynomial approximation, least-squares method, finite-memory digital filter, weight function, transfer function, frequency domain.

Введение. Задача оценки низкочастотной составляющей и ее производных для заданного сигнала часто встречается при обработке цифровых данных. Потребность в построении фильтров с указанными свойствами существует не только в технических областях, связанных с передачей и обработкой информации, но и в механических дисциплинах. В частности, такая задача возникает при анализе и построении

1 Тихомиров Владимир Викторович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tmrv45@mail.ru.