Общий метод доказательства разрешимости интуиционистских модальных логик

Общий метод доказательства разрешимости интуиционистских модальных логик1

H.A. Алешина, Д.П. Шкатов2

abstract. We generalise the result of [10] on decidability of the two variable monadic guarded fragmet of first order logic with constraints on the guard relations expressible in monadic second order logic. In [10] such constraints apply to one relation at a time. We modify their proof to obtain decidability for constraint involving several relations. Now we can use this result to prove decidability of multi-modal logics where conditions on accessibility relations involve more than one relation. Our main application is intuitionistic modal logic, where the intuitionistic and modal accessibility relations usually interact in a non-trivial way.

1 Введение

В настоящей статье мы предлагаем новый общий метод доказательства разрешимости интуиционистских модальных логик. Этот метод опирается па доказываемое в настоящей работе обобщение результата Гатщипгера, Мейера pi Виапеса (см. [10]) о том, что двухпереметтпый моттадический защищенный фрагмент GFlcn классической первопорядковой логики, в котором на некоторое отношение, встречающееся в защитниках, наложено условие, выразимое как условие замкнутости, определимое в мо-ттадической второпорядковой логике, разрешим. Мы обобщаем этот результат па случай, когда условия упомянутого вида накладываются па более, чем одно отношение. Такое обобщение позволяет нам доказать разрешимость широкого класса интуиционистских модальных систем путем их погружения в этот раз-

1 Настоящая статья была опубликована на английском языке в Journal of Applied Logic, Vol 4, n. Alechina, D. Shkatov, A general method for proving decidability of intuitionistic modal logics, pp. 219-230. Публикуется с разрешения Elsevier.

2Работа поддержана РГНФ. Грант Л 04-()3-0266().

рептимый фрагмент. Общие результаты о разрешимости и свойстве конечной модели интуиционистских модальных логик были доказаны в [23], [24] и [25] путем погружения интуиционистских модальных логик с п модальностями в классические модальные логики с п + 1 модальностями, называемые классическими напарниками интуиционистских логик. Однако эти результаты могут быть использованы только для доказательства разрешимости тех интуиционистских логик, разрешимость классических напарников которых уже установлена.

2 Двухпеременный монадический защищенный фрагмент

Начнем с определения двухперемеппого моттадического защищенного фрагмента СЕ2т7 сформулированного в [10]. В нижеследующих определениях ЕУ(ф) обозначает множество свободных переменных формулы обозначает упорядоченную последовательность переменных. Мы предполагаем, что ттапт пер-вопорядковый язык содержит предикатные параметры произвольной местности и предикатную константу равенства =, но не содержит пи индивидных, пи функциональных параметров.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Защищенным фрагментом СЕ первопоряд-ковой логики будем называть наименьшее множество формул, содержащее все первопорядковые атомарные формулы и замкнутое относительно булевых связок и нижеследующего правила: если р — атомарная формула, ф € СЕ и X С ЕУ (ф) С ЕУ (р), то Зх(р Л ф) € СЕ и Ух(р ^ ф) € СЕ.

Формулу р в Зх(рЛ ф) и Ух(р ^ ф) будем Н £13 ЫВ с1Т Ь формулой-защитником или, для краткости, просто защитником.

Двухпереметтпым моттадическим защищенным фрагментом

СЕ2т будем называть наименьшее под множество СЕ, содер-фф

ремеппых (свободных или связанных), и (11) все пеупарпые пре-

ф

3 Условия замкнутости

В настоящем разделе мы определяем вид накладываемых па защитников СЕ2т условий, порождающих разрешимые фрагменты первопорядковой логики. При этом мы обобщаем понятое

гшо-определимых условий замкнутости из [10] таким образом, что оно становится применимым к более чем одному отношению, обозначенному предикатными параметрами формул

Сначала определим простые и параметризованные операторы замыкания па отношениях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть Ш — это непустое множество. Будем называть унарную функцию С на простым оператором замыкания, если для всех V, V' С Ш имеют место следующие условия:

1. V С С(V) (С растет),

2. V С V' влечет С

3. С (V) = С (С (V)) (С идемпотентна).

Будем называть п + 1-местную функцию С на параметризованным оператором замыкания, если С(VI,..., Vn, —) является простым оператором замыкания для любых VI,..., Vn С Ш. Мы будем обозначать при помощи операторы замыкания,

параметризованные отношениями VI,..., Vn.

ПРИМЕР 3. Оператор рефлексивного, транзитивного замыкания бинарных отношений ТС (V), отображающий бинарное отношение V в его рефлексивное, транзитивное замыкание V*, является простым оператором замыкания.

ПРИМЕР 4. Функция 1пс1г'

= V1 UV является оператором замыкания, параметризованным отношением V'.

Теперь мы определим простые и параметризованные условия замкнутости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ о. Будем называть условие, наложенное па отношение V, простым условием замкнутости, если оно может быть выражено в виде равенства С(V) = V, где С — простой оператор замыкания.

Будем называть условие, наложенное на отношение V, параметризованным условием замкнутости, если оно может быть выражено в виде равенства С(V) = V, где С— параметризованный оператор замыкания.

ПРИМЕР 6. Рефлексивность-и-траттзитивттость является простым условием замкнутости, поскольку оно может быть выражено в виде равенства ТС(V) = V и мы показали в примере 3, что ТС — это простой оператор замыкания.

ПРИМЕР 7. Условие V' ^ V является условием замкнутости на V, параметризованным отношением Vпоскольку оно может быть выражено в виде равенства 1пс1Р' (V) = в примере 4, что 1пс1Р — это параметризованный оператор замыкания.

Имея совокупность наложенных на множество отношений 5 условий замкнутости, мы не хотам допустить эффекта «порочного круга» при замыкании отношений из

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Пусть 5 — конечное множество отношений, С — множество условий замкнутости, наложенных на эти отношения, и С^) — все условия замкнут ости из С, наложенные на отношение V из 5. Будем называть С ацикличным, если имеется такое упорядочивание VI,..., Pn множества 5, что С^^х) не содержит параметров, отличных от VI,..., Pi.

Более того, нам интересны не любые операторы замкнутости, а только те, которые могут быть определены формулами моттадической второпорядковой логики. Обозначим при помощи \\ф(х\,..., хп) ||м множества п-ок, выполняющих монадическую второпорядковую формулу ф в модели М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Будем называть оператор замыкания СТ'1,...,'Рт на п-местных отношениях гшо-оиределимым, если существует монадическая второпорядковая формула Ср1''"'Рт, содержащая предикатные параметры Р\,..., Рт и Р, такая, что для любой модели М и любой п-местной формулы (то есть фор-пф

СР1'-Рт (\\ф\\м) = \сР1'-'Рт (ф/Р ))\\м.

ТС

ской второпорядковой формулой

ТСР

Для того, чтобы убедиться в том, что ТСр определяет рефлексивное, транзитивное замыкание отношения V, предположим,

что имеется ^^^пь ю2 ... юп-IVю п, связывающая С Юп, и что имеют место X(ю\) и Ух,у(Х(х) Л Р(х,у) ^ X(у)). Тогда X(ю1) влечет X(ю2) ...влечет X(юп); значит, ТСр(г1,гп) истинна при таком а, что (%1) = ж а(г2) = Для доказа-обратную сторону предположатм, что не существует связываю щей Ю1 с юп. Припишем перем енной X множество X, содержат,ее Ю1 и все элементы модели, которые V-достижимы из Тогда X(юп) не имеет места, и следовательно, ТСр(ю1, юп) ложна при таком а что а(%1) = Ю1 и а(г2) = ю2.

ПРИМЕР 11. Оператор замыкания 1пс1р определим монади-ческой второпорядковой (па самом деле первопорядковой) формулой 1пс1р (г1, г2) = Р'(г1, г2) V Р(г1,г2).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Будем

н эз ыв э/г ъ (простое или параметризованное) условие замкнутости, наложенное на отношение V, гшо-определимым, если оно может быть выражено при помощи равенства, содержащего гшо-определимый (простой или параметризованный) оператор замыкания.

Следующим шагом мы обобщим результат [10] таким образом, чтобы он был применим не только к СГ2сп с единственным гшо-определимым условием замкнутости, наложенным па отношения, обозначенные предикатными параметрами формул, по и к множествам гшо-определимых условий замкнутости.

ТЕОРЕМА 13. Пусть ф € СГ^т и С — ацикличное множество тэо-определимых условий замкнутости, наложенных на отношения из ф, такое, что на каждое отношениене наложено не более одного условия замкнутости. Проблема выполнимости ф в модели, удовлетворяющей всем условиям из С, разрешима.

Доказательство. Доказательство похоже па доказательство, предложенное в [10] для пепараметризоваппых условий замкнутости. На самом деле ттапте доказательство существенно упрощает доказательство из [10], поскольку в [10] все отношения замыкаются относительно эквивалентности (что требуется из-за присутствия в языке константы равенства), а замкнутость относительно эквивалентности — это частный случай параметризованного условия замкнутости, что означает, что мы не должны

уделять ей специального внимания в ходе нашего доказатель-СХВЗ) •

Пусть ф € СЕ2т и пусть С — ациклическое множество гшо-

ф

ф

ф

будем называть N, выполнима в эрбрановой модели, в которой имеют место все условия из С. Идея доказательства заключается в сведении проблемы выполнимости N в эрбрановой модели, в которой имеют место все условия из С, к проблеме выполнимости формул 5к5 (монадической второпорядковой теории деревьев с постоянным фактором ветвления к), где к — это число сколемовских функциональных символов в N. Мы построим монадическую второпорядковую формулу Ы50м в слова-5к5

упарпые функциональные параметры и равенство) такую, что Ы50^ выполнма в древовидной модели, если и только если N имеет эрбрановскую модель, выполняющую все условия из С. Построение формулы Ы50м будет произведено в три шага: (1) определение напарников предикатных букв, (2) определение напарников предложений N и (3) определение напарника для самой N.

Р

дение в N, построим формулу фР 5к5

Пусть Р(Ь),...,Р(Ьт) — это все позитивные литералы N, Р что, поскольку ф € СЕ^оп] то каж-

Р

вой; значит, каждый позитивный литерал содержит не более одной свободной переменной. Для каждого из вышеперечисленных Р(и) введем новую унарную второпорядковую переменную Хр(-¡г)  Пусть Т[г] — результат подстановки переменной г вместо свободной переменной Т. Тогда, если Р — унарная предикатная буква, то

т

фр

i=1

Р

т

фр(21,22) = \/ Зг(Хр(иък2)(г) Л 21 = ^[г] Л 22 = ^[2]).

г=1

фр

Р

Р

жено условие замкнутости, определим замыкание фр формулы фр Р

Р

Ср

катттыми буквами. Для простоты изложения предположим, что Ср параметризовано единственной предикатной буквой Рна которую наложено простое условие замкнутости Ср'. Тогда Ср' определимо при помощи моттадической второпорядковой формулы Ср' (21, 22), содержащей Р', и Ср определимо при помощи монадической второпорядковой формулы Ср (21,22), содержащей Р' Р

Р'

наложенному па пего простому условию замкнутости:

фр' (21,22) = Ср' (21,22)[фр'/Р'},

то есть мы заменяем каждое вхождение Р 'в Ср' (21,22) на фр'.

Р

па пего параметризованному условию замкнутости:

фр (21, 22) = Ср (21, 22)[фр'/Р', фр/Р].

В общем случае для любого ацикличного множества условий С, пложенных па множество отношений мы сначала должны определить простые замыкания, затем замыкания, параметризованные отношениями с простыми условиями замкнутости,

С

может быть успешно завершена.

Шаг 2. Для каждого предложения % = {р1,..., р1 }из N построим формулу ЫБОх в словаре ЗкЗ.

Для каждого литерала р из % формула ЫБОр определяется в соответствии со следующим правилом:

ЫБОр =

Хр(х), если р — это атом со свободной переменной х ЗгХр(г), если р — это атом без свободных переменных —фр (Т), если р — это —Р (Т), где фр — это фор мула, построенная на шаге 1. Теперь определим МБОхК&К ЫБОх = Vрех МБ0)р.

Шаг 3. Наконец, положим, что МБОN = ЗХУх ДхеМ МБОХ, где Х — это все свободные второпорядковы е их — все свободные иервопорядковые переменные /\Хем МБОХ.

Наи остается показать, что N имеет эрбранову модель, удовлетворяющую всем условиям из С, если и только если МБОм выполнима в древовидной модели. Пусть Т — это дерево, соответствующее алгебре термов эрбраттового универсума нашей формулы N.

Сначала докажем требуемое утверждение слева направо. Допустим, что N имеет эрбранову модель Л, выполняющую все условия замкнутости из С. Нам нужно доказать, что Т выполняет МБОм- Следующим образом зафиксируем «свидетелей» для второпорядковых переменных Хр формулы МБО м-

(I) Если ^ содержит свободные переменные, то Хр ¡г) = {т : Л = Р 1

(II) Если ^ не содержит свободных переменных, то Хр — это произвольное непустое множество.

Мы знаем, что для каждого предложения % из N и каждой последовательности т имеет место Л \= х(т)- Это означает, что для каждой т имеется литерал р из % такой, что Л \= р(т). Мы покажем, что для любых т и р, тел и Л \= р(т), то Т \= МБОр(т). Следовательно, Л \= %(т) влечет Т \= МБОХ(т).

Мы должны рассмотреть три случая, в соответствии с видом

литерала р. Первые два случая (р — это атом Рсо свобод-

р

в точности совпадают с доказательством из [10], и потому мы их здесь опускаем. Если р — это негативный литерал —Рто мы должны показать, что Т \= —фр(¿)(т). Для этого достаточно показать, что \\фр \\А С РДействительно, из этого и из нашего предположения, что Л \= —Р(1)[7Ш], следует Т \= —фр(т). Итак, определение Т гарантирует, что \\фр\\А С РА. Значит, поскольку

операторы замыкания монотонны, Ср1 (\\фр\\А) С Ср1 (РА). В

соответствии с определением фр, Ср1 (\\фр\\А) = \\фр\\А; кроме

того, поскольку А выполняет все условия из С Ср (РА) = РА-следовательно, \\фр\\А С Р

Теперь докажем требуемое утверждение справа палево. Предположим, что ЫБОм истинна в Т. Следующим образом определим эрбрановскую модель А. Универсумом А является множество узлов дерева Т, и РА = \фр\\. Сначала докажем, что А

С

что Ср (РА) = Рл. Действительно, С р (РА) = С р 1 (\\фр\\) =

с^1 \С^Р1 "(У фр\\)) = С^1 "(\\фР\\) = \\фр\\ = РА

А

жения из N. Эта часть доказательства в точности совпадает с доказательством, приведенным в [10], поэтому мы ее здесь опускаем. д.Е.О.

4 Интуиционистские модальные логики

Одним из наиболее интересных приложений теоремы 13, доказанной в предыдущем разделе, являются пропозициональные интуиционистские модальные логики, то есть модальные логики, чьей базовой логикой является не классическая, а интуиционистская пропозициональная логика. Интуиционистским модальным логикам посвящена огромная литература, например [9, 3, 4, 5, 19, 13, 15, 16, И, 8, 18, 6, 22, 24, 23, 25]'. Всеобъемлющий обзор может быть найден в [20]; ссылки па более поздние работы могут быть найдены в [26] и [17].

Интерес к изучению итттуициоттистких модальных логик вызван рядом причин. Во-первых, многие логики (которых принято называть «итттуициопистами») по философским соображениям склонны считать интуиционистскую, а не классическую логику той логикой, которую мы должны использовать для проверки корректности рассуждений. Естественным образом, при формализации рассуждений о возможности и необходимости итт-туициоттисты хотят использовать интуиционистскую, а не классическую логику в качестве базиса для построения модальных логик. Во-вторых, в недавнее время интуиционистские логики стали применяться для формального моделирования задач, возникающих в различных приложениях логики, главным образом

в теоретической комиьтотеристике. Например, Могги в [14] расширил формальную семантику функциональных языков программирования, основанную на А-исчислении с типами, новой конструкцией, монадой, используемой для формального моделирования различных эффектов функциональных языков (па-пример, порождение исключений). Хорошо известна тесная связь А

пропозициональной логикой (через так называемый изоморфизм Карри—Ховарда); оказалось, что монады при этом соответствуют модальностям типа Б4. Интуиционистские модальные логики также были использованы для моделирования неполной информации (см. [22]), систем коммуникации (см. [21]) и методов проверки компьютерного оборудования (см. [12, 7]).

Для построения интуиционистских модальных языков к языку пропозициональной интуиционистской логики, содержащему множество пропозициональных параметров Ф = {рх,р2,.. }, унарную связку ~ (отрицание «неверно, что ... ») и бинарные связки Л (конъюнкция «и»), V (дизъюнкция «или») и ^ (импликация «если ..., то ...»), добавляют обе или одну из связок О (возможность) и  (необходимость). Для обозначения интуиционистских отрицания и импликации мы используем символы, отличные от символов, использованных нами для обозначения классических отрицания и импликации, во-первых, потому, что эти связки имеют различное значение в классической и интуиционистской логиках, и, во-вторых, потому, что позднее нам понадобится одновременно использовать и классические и интуиционистские связки в одном и том же контексте. Аналогично кванторам V и 3 в интуиционистских логиках  и О не обязательно являются дуалами друг друга; поэтому, в отличие от того, как это делается в случае классических модальных логик, в интуиционистских модальных логиках  и О следует рассматривать как независимые модальности. В интуиционистских модальных логиках некоторые из классически общезначимых формул пеобщезпачимы; наиболее очевидным примером является формула (фV ~ ф), так как «закон исключенного третьего» интуиционистски неприемлем. Возможно, более неожиданно, что в некоторых интуиционистских логиках «проваливается» формула О(ф V ф) = (Оф V Оф) (см., например, [22]).

Семантика крипкевского типа для интуиционистских модальных логик расширяет семантику крипкевского типа для пропозициональной интуиционистской логики. Интуиционистскими крипкевскими моделями являются структуры М = (Ш, К, У) такие, что (1) Ш = 0, (И) К — это рефлексивное и транзитивное бинарное отношение на Ш и (Ш) У — это функция из множества пропозициональных параметров Ф в такая, что для любых ш € Ш и р € Ф имеет место следующее: если ш € У(р) и ш^^о V € У(р) (это условие обычно называется «наследованием»). Элементы Ш мы будем называть точками. Истина в точке модели определяется следующим образом (^ и как и прежде, обозначают классические импликацию и отрицание соответственно):

М,ш II р е.т.е

М,ш ф е.т.е

М,ш II ф Л ф е.т.е

М,ш II- ф V ф е.т.е

М,ш I ф ^ ф е.т.е

ш € У (р);

Уу(К(ш,у) ^ -(М,у II ф)); М,ш II фи М,ш II ф; М, ш II ^и М,ш II ф; Чу(К(ш,у) ^ (—(М,у II ф) или М,у II ф).

Для оценки формул вида Шф и Оф в интуиционистские крип-кевские модели добавляют бинарные отношения и Ко- Не существует единого, общепризнанного определения значения связок  и О в интуиционистской логике. Все из нижеследующих определений встречаются в литературе (всеобъемлющий обзор различных определений  и О в интуиционистском контексте может быть найден в главе 3 дисссертации [20]):

ляющуюся дистрибутивной по отношению к дизъюнкции. Соответственно логики с оператором возможности, определенным таким образом, обычно называются ненормальными интуиционистскими модальными логиками.

Кроме требования, что П должно быть рефлексивным и транзитивным, семантики интуиционистских модальных логик накладывают дополнительные условия на П, Па и Пъ- Как правило, эти условия постулируют, как отношения П, Па и Пъ взаимодействуют между собой. Например, следующие условия

(1) ПоПа оП = Па

(2) По Я о Я = ПЪ

о

поптепий, которая определяется следующим образом: ПоП = { (х,у) : 3г ((х, г) еП Л (г, у) е П') }

Я

дующим образом:

П = { (у,х) : (х,у) еП}.

Другое условие, встречающееся в литературе (см., например, [7]), постулирует, что

(3) Пъ СП

Оказывается, что многие из условий, налагаемых па отношения П, Паж Пъ, в том числе приведенные выше условия (1)-(3), являются гшо-определимыми условиями замкнутости, определенными в разделе 3. Для того чтобы убедиться, что это так в случае условия (3), достаточно взглянуть па примеры 4 и 7. Следующая теорема показывает, что (1) и (2) также являются гшо-определимыми условиями замкнутости.

ТЕОРЕМА 14. Любое условие вида V = V' о V о V' является тво-определимым условием замкнутости, если V' рефлексивно и транзитивно.

Доказательство. Рассмотрим функцию Сотрр' (V) = V' оРо

V'. Есл и V' рефлексивно и транзит ивно, то V С V' о V о V 'в силу рефлексивности V'. Очевидно, что V' о V о V' монотонна

по отношению к V; кроме то го, Сотрр идемиотентна в силу транзитивности V'. Это доказывает, что если V' рефлексивно и транзитивно, то Сотрр — это оператор замкнутости. Условия вида V' оРоР' = V могут быть выражены как условие замыкания: Сотрр (V) = V. Это условие гшо-определимо; на самом деле оно определимо первопорядковой формулой:

СотрР

5 Погружение в двухпеременный монадический фрагмент

В настоящем разделе мы показываем, что всякая интуиционистская модальная логика Л, определенная семантически через любые из условий истинности (^1) — (О2), может быть погружена в СГ2

и топ-

Для этого мы сначала определим при помощи взаимной индукции две функции, тх и ту, таким образом, что первопорядко-

вая формула ти (ф) (у € {х,у}) содержит единственную свободу

ф тх

следутощими равенствами:

• тх(р) : = Р(х);

• Тх(~ ф) : = Уу(К(х,у) ^ —ту(ф));

• тх(ф Л ф) := тх(ф) Л тх(ф);

• тх(ф V ф) := тх(ф) V тх(ф);

• тх(ф ^ ф) := Уу(К(х, у) ^ (—ту(ф) V ту(ф)));

• тх(Шф) := Уу(Е(х,у) ^Ух(Еп(у,х) ^ тх(ф)));

• тх(Оф) := Уу(Е(х, у) ^ Зх(Ео(у,х) Л тх(ф))).

ту х у у х

приведенных равенствах. Затем мы положим, что стандартным переводом интуиционистской модальной формулы ф в СГтоп

считается тХ(ф). Этот перевод предполагает условия истинности (^2) и (О2) Равенства для условий (Ш^) и (Oi) еще проще (па самом деле они совпадают с равенствами, известными из классической модальной логики) :

• тХ

• тХ

Поскольку тХ — это естественное обобщение стандартного перевода классической модальной логики в классическую перво-порядковуто логику, неудивительно, что мы можем доказать следующую теорему

ТЕОРЕМА 15. Пусть ф — это интуиционистская модальная, формула и M — класс моделей интуиционистской модальной логики. Пусть M G M. Тогда M,w lb ф е.т.е. M, a lb тХ(ф) при a(x) = w (где M — это первопорядковая модель, в которой R, Rn и Rc интерпретируют R, Rn и Rc).

6 Разрешимость

Из теоремы 15 следует, что если проблема выполнимости формул GF2cn в классе моделей M разрешима, то проблема выполнимости интуиционистских модальных формул в M также разрешима.

Хорошо известно, что защищенный фрагмент разрешим в классе всех первопорядковых моделей (см. [2]). Разрешимость GF^^ в моделях с рефлексивными pi транзитивными защитниками доказана в [10]. Из этих фактов pi того, что наследственность для пропозициональных параметров входящих в произвольную формулу ф выразима в GF^^, непосредственно следует, что базисная интуиционистская модальная логика (в которой на взаимодействие R, Rn и Rc не наложено никаких условий) разрешима. Целыо настоящей работы является обобщение этого результата па модели, в которых па взаимодействие R, Rn и Rcc наложены какие-то условия.

Теоремы 15 pi 13 непосредственно дают нам папту основную теорему

ТЕОРЕМА 16. Пусть M — класс интуиционистских модальных моделей, определенных при помощи ацикличного множе-

ства mso-определимых условий замкнутости, наложенных на R, Rn и Ro, таким образом, что не более, чем одно, условие замкнутости соответствует каждому из этих отношений, и пусть ф — это интуиционистская модальная, формула. Тогда проблема выполнимости ф в М разрешима.

7 Примеры

В настоящем разделе мы формулируем несколько результатов о разрешимости для иллюстрации нашего метода доказательства разрешимости.

Нант первый результат — по существу, результат о разрешимости нескольких видов базовых интуиционистских модальных логик, то есть логик, в которых на Ro и Rn не накладываются никакие условия, за исключением условий, постулирующих, как эти отношения взаимодействуют с интуиционистским отттопте-R

результатов о разрешимости отдельных систем интуиционистской модальной логики.

ТЕОРЕМА 17. Любая интуиционистская модальная, логика Л с двумя модальностями  и О, определенная классом моделей, в которых

• Ro Rc? oR = Rc?

• Ro Rn oR = Rn

и в которых оценка модальных формул определяется любыми из условий (i), (^2}; (О1}, (О2) (в любой комбинации, например (i) может встречаться в паре с (О2); возможно с другими модальностями, условия истинности которых погружаемы, в GF2cn), разрешима.

Л

условиями замкнутости для Rn Ro и R: R

2. RoRO oR = RO]

3. RoRn oR = Rn.

Очевидно, что каждому из отношений R, Ro и Ra соответствует не более одного условия и что множество условий ациклично. Мы показали в примерах 3 и 6, что условие, наложенное на R, является условием замкнутости, и в примере 10, что оно rriso-определимо. В силу теоремы 14 условия, наложенные на Ra Ro, также являются rriso-определимыми условиями замкнутости.

Мы показали, что класс моделей Л удовлетворяет условиям теоремы 16, чего достаточно для доказательства разрешимости Л

Напт следующий результат относится к логике, похожей па логику PLL (разрешимость которой известна из [7]) условиями, накладываемыми па отношения достижимости, по отличной от PLL

миров, проваливающих общезначимые формулы):

Л

модальностью О, определенная классом моделей, где Ro рефлексивно и транзитивно; Ro С R

и где модальные формулы оцениваются согласно условию (О2), разрешима.

Л

условиями замкнутости: TC (Ro) = Ro]

2. TC(R) = R;

3. InclR< (R) = R (см. примеры 4 и 7).

Это множество ациклично, и все условия rriso-определимы. Про-

R

TC

так рт к . Для того чтобы выполтшть условрш теоремы 16,

мы должны соедрпшть Pix в одно гшо-определршое условрге замкнутости. Заметим, что TC о InclP — это оператор замыкания такой, что для любого отношения P имеет место

TC(InclP (P)) = P & TC(P) = P и InclP' (P) = P.

Прежде всего, ТС о 1пс1р растет и является монотонным, поскольку и ТС и 1пс1р являются таковыми. Кроме того, он идем-потентен, поскольку результат применения ТС о1пс1р к любому отношению V — это транзитивное отношение, содержащее V и любое последующее применение ТС о 1пс1р не может этого изменить. Следовательно, ТС о 1пс1р — оператор замыкания. Чтобы доказать, что замкнутость по отношению к этому оператору эквивалента замкнутости по отношению к ТС и к 1пс1р , заметим, что одна из импликаций очевидна: если V замкнуто по отношению к ТС и к 1пс1р , то оно замкнуто по отношению к ТС о 1пс1р . Для доказательства импликации в другую сторону сначала предположим, что

ТС (1пс1р' (V)) = V,

но что V не замкнуто по отношению к 1пс1р , то есть что оно — собственное подмножество 1пс1р' (V). ТС

тет, V — это собственное подмножество ТС (1пс1р' (V)), что противоречит предположению. Далее, предположим, что V не зам-

ТС

множество ТС(V). Однако, поскольку V С 1пс1р' (Р), то имеет место

ТС(V) С ТС(1пс1р'(Р)),

а значит V — это собственное подмножество ТС(1пс1р (Р)), что опять-таки противоречит предположению. Это означает, что вышеприведенные условия могут быть переформулированы следующим образом:

ТС (Яо) = По]

2. ТС(1пс1п<> (П)) = Я;

и не составляет труда показать, что второе условие гшо-опреде-лимо. д.Е.Т).

В заключение заметам, что мы не смогли применить предложенный нами метод к ряду описанных в литературе логик. Мы не смогли переформулировать условие Пп о Я С По Па, определяющее интуиционистские модальные логики в [1], в виде гшо-определимых условий замкнутости. Мы также не смогли применить папт метод к извествпой логике 1Б4, определенной в [20],

поскольку условия истинности формул IS4 определены па парах (w, d) (где w — возможный мир и d — элемент его множества-посителя) pi, следовательно, стандартный перевод формул IS4

нсходится ^^GF'cn>1

8 Заключение

Мы описали общий метод доказательства разрешимости интуиционистских модальных логик путем погружения их в мотта-дический двухпереметтттый запцтщеттный фрагмент pi демопстра-ТЦ1Р1 того, что условрш, накладываемые па рттурпцготшстскрте от-поптепрш ДОСТР1ЖР1МОСТР1, могут быть сформулртровапы как rriso-определршые условрш замкпутострь Мы прортллгострртровалр! этот метод па прршере песколькртх условрш pictpiiioctpi для ртптурщрго-iiPiCTCKPix модальностей pi условрш pictpiiiiioctpi, накладываемых па р1птурщргопр1стскр1е отпоптетшя достртжршострт, встречатопще-ся в лрттератере. Несмотря па то что болытшпство результатов о разрептртмостр! конкретных рттурщрготшстскртх модальных ло-гртк, прртедеппых в качестве ртллтострацрш нашего метода, былрт получены до пас, мы уверены, что папт метод может быть pic-пользовап для получепрш новых результатов о разрепшмострт, особенно в случае ненормальных логртк, которые па пастояпщй момент недостаточно ртзучепы. Очевртдпо, что папт метод также может быть прршепеп к логрткам с более чем двумя модаль-ностямр1, nppl условр1р1 что pix условрш pictpiiiiioctpi могут быть погружены в GF2cn.

Литература

[1] Alechina N., Mendler М., de Pawn V., Hitter E. Categorical and Kripke semantics for constructive modal logics // Proceedings of the 15th International Workshop Computer Science Logic, CSL 2001. Lecture Notes in Computer Science, vol. 21 12. Springer, 2001. P. 292-307.

[2] Andreku П., van Benthem .J., Nemeti I. Modal Logics and Bounded Fragments of Predicate Logic // Journal of Philosophical Logic. 1998. Vol. 21. P. 217-271.

[3] Bull R. A. A modal extension of intuitionistic modal logic // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1965. Vol. VI. P. 112-1 16.

[1] Bull R. A. Some modal calculi based on 1С // Formal Systems and Recursive Functions. North Holland, 1965. P. 3-7.

[5] Bull R. A. MTPC as the formalisation of an intuitionistic concept of modality // Journal of Symbolic Logic. 1966. Vol. 31. P. 609-616.

[6] Dosen K. Models for stronger normal intuitionistic modal logics // Studia Logica. 1985. Vol. M. P. 39-70.

[7] Fairtlough M., Mendler M. Prepositional lax logic // Information and Computation. 1997. Vol. 137. P.. 1-33.

[8] Fisher Servi G. On modal logics with intuitionistic base // Studia Logica. 1986. Vol. 27. P. 533-516.

[9] Fitch F. B. Intuitionistic modal logic with quantifiers // Portugaliae Mathematicae. 1918. Vol. 7. P. 113-118.

[10] Ganzinger П., Meyer Gh., Veanes M. The Two-Variable Guarded Fragment with Transitive Relations // Proceedings of 1 1th IEEE Symposium on Logic in Computer Science. IEEE Computer Society Press, 1999. P. 21-31.

[11] Goldblatt R. Metamathematics of modal logic // Reports on Mathematical Logic. 1976. Vol. 6, 7. P. 31-12, 21-52.

[12] Mendler M. Constrained Proofs: a Logic for Dealing with Behavioural Constrains in Formal Hardware Verification // Proceedings of Workshop on Designing Correct Circuits, Oxford 1990. Springer-Verlag, 1991.

[13] Mints G. Some calculi of modal logic // Труды математического института им. В.А. Стеклова. Т. 98. М., 1968. С. 88-111.

[11] Moggi Fj. Notions of Computation and Monads // Information and Computation. 1991. Vol. 93. P. 55-92.

[15] Оно II. On some intuitionistic modal logics // Publications of the Research Institute for Mathematical Science. Kyoto University. 1977. Vol. 13. P. 55-67.

[16] Оно П., Suzuki N.-Y. Relations between intuitionistic modal logics and intermediate predicate logics // Reports on Mathematical Logic. 1988. Vol. 22. P. 65-87.

[17] Pfenning F., Duvies R. A judgmental reconstruction of modal logic // Mathematical Structures in Computer Science. 2001. Vol. 11. P. 511-510.

[18] Plotkin G., Stirling G. A framework for intuitionistic modal logic // Theoretical Aspects of Reasoning about Knowledge. 1986. P. 399-106.

[19] Pruwitz D. Natural Deduction: A Proof-Theoretic Study. Almqvist and Wiksell, 1965.

[20] Simpson A. The Proof Theory and Semantics of Intuitionistic Modal Logic. Ph.D. thesis. University of Edinburgh. 1991.

[21] Stirling G. Modal Logics for Communicating Systems // Theoretical Computer Science. 1987. Vol. 19. P. 311-317.

[22] Wijesekera D. Constructive Modal Logic I // Annals of Pure and Applied Logic. 1990. Vol. 50. P. 271-301.

[23] Wolter F., Zakharyaschev M. On the Relation between Intuitionistic and Classical Modal Logics // Algebra and Logic. 1997. Vol. 36. P. 121-155.

[21] Wolter F., Zakharyaschev M. Intuitionistic modal logics // Logic and Foundations of Mathematics. Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 227-238.

[25] Wolter F., Zakharyaschev M. Intuitionistic modal logics as fragments of classical bimodal logics // Orlowska E. (ed.) Logic at Work. Springer-Verlag, 1999. P. 168186.

[26] Zakharyaschev M., Wolter F., Ghagrov A. Advanced Modal Logic // Gabbay D. et. al (eds.) Handbook of Philosophical Logic. Kluwer Academic Publishers, 2001. Vol. 3. P. 83-266.