Формула обращения для рациональных характеристических функций вероятностных распределений

ТЕХНИЧЕСКИЕ И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

DOI: 10.24143/1812-9498-2018-2-7-22 УДК 519.21

Г. А. Попов

ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫ1Х ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВЕРОЯТНОСТНЫ1Х РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Рассматривается задача уточнения известных формул обращения для функций распределения, обычно описывающих приращение этих функций. Именно для частного случая распределений с рациональными характеристическими функциями доказана справедливость соответствующих формул обращения для функции распределения и их плотностей. Полученные формулы для функций распределения, дополнительно включающие постоянные слагаемые, равные 0,5, ранее не были известны. Отдельно рассмотрены функции положительно распределённых случайных величин и величины, распределённые на всей оси. Для проверки гипотезы о справедливости полученной формулы обращения, включающей ранее не известное слагаемое, равное 0,5, в общем случае приведены примеры вычисления функций распределения, характеристические функции которых не являются рациональными функциями: для постоянного и равномерного законов. Проверки подтвердили объективность сформулированной гипотезы о полученной справедливости формулы обращения для произвольных функций распределения. Показано, что любая функция распределения и любая плотность могут быть представлены в виде предела смеси гамма распределений (функций распределения и плотностей), имеющих сдвиги по оси абсцисс и, возможно, с изменёнными знаками аргументов. Полученный результат доказывает, что множество гамма-распределений со сдвинутыми аргументами всюду плотно во множестве всех распределений.

Ключевые слова: формулы обращения, характеристические функции, рациональные функции, гамма-распределение со сдвинутыми аргументами, случайные величины.

Введение

Формула обращения для характеристических функций (ХФ) вероятностных распределений относится к классическим вопросам теории вероятностей. Имеется целый ряд результатов в этой области [1, 2]. Однако существует и ряд открытых вопросов по этой тематике. В частности, классическая формула обращения для плотностей вероятностных распределений доказывается для абсолютно интегрируемых ХФ. Но некоторые очень важные распределения не удовлетворяют этому свойству, например показательное распределение, имеющее самое широкое и даже доминирующее распространение в различных практических приложениях - её ХФ имеет на бесконечности обратную линейную зависимость. Ещё одна проблема связана с формулой обращения для функций распределения (ФР). В классических результатах по этому вопросу приводится формула обращения для разности значений ФР в двух точках её непрерывности -непосредственно для ФР формул обращения в общем случае нет.

В данной работе указанные две задачи рассматриваются для некоторого подкласса ФР, который всюду плотен во множестве всех ФР - для класса ФР, у которых ХФ являются рациональными функциями (назовём его классом рациональных ХФ). В литературе результатов по данной тематике найти не удалось.

Некоторые вспомогательные утверждения

Класс рациональных ХФ всюду плотен: как в классе неотрицательных распределений, так и в классе всех ФР [3]. Именно справедливы следующие результаты. Теорема 1.

1) Пусть B(x) является функцией распределения неотрицательной случайной величины, B(+0) = 0 и ß(X) - её преобразование Лапласа-Стильтьеса (ПЛС). Тогда существует последовательность {Ck,n > 0, bkn > 0, mkn > 1 - натуральные числа; k = 1; n } () (n ^ да) такие, что для любого X, Rex > 0, и любого x существуют пределы

ß

где

n

f b ^

ßn (^) = ZCk,n

k=1

k ,n

V bk ,n + Я

n 1 x

Bn (x) = YfknTT^—\ (bk,n)mk n ¡umkn-1 e-bk nU k=1 r (m ,n Г 0

Г(т) есть гамма-функция Эйлера, и для всех k и n коэффициенты Ck,n > 0. 2) Пусть ФР B(x) абсолютно непрерывна и b(x) - её плотность распределения. Тогда, если в точке x функция b(x) непрерывна в некоторой окрестности слева и справа от x и существуют

пределы limt^x+ b (t) = b (x +), limt b (t) = b (x -), то справедливы соотношения

b (x +) = lim

( x +),

b (x _) = limn^ bn (x _) ,

n

bn

Г

где

П л

¡1 \Шк,п __шк п-1 -Ьк пх

\(Ьк п.

к=1 г (тк,п,

В частности, если х - точка непрерывности Ь(х), то

Ь

Доказательство (1), приведённое в [3], проводится по следующей схеме:

1. Любая функция распределения может быть равномерно приближена ступенчатыми распределениями (с конечным числом ступенек) с заданной степенью точности - строим указанное приближение Ве(х) для В(х) с заданной точностью е равномерно по х, где е > 0 - любое заданное число и Ве(х) - ступенчатая функция распределения.

2. Ступенчатая функция представляет собой конечную смесь одноступенчатых распределений, где коэффициенты смеси положительны и их сумма равна 1. Записываем Ве(х) как конечную сумму одноступенчатых распределений вида Ве(х, ск), где ск - точка скачка распределения. Можно считать, что ск > 0, поскольку В(+0) = 0.

3. Каждое одноступенчатое распределение есть ФР случайной величины, равной константе - точке скачка ФР (т. е. в точке ск > 0 в приводимых обозначениях). Поэтому по закону больших чисел последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих показательное распределение с параметром ск, сходится по распределению к Ве(х, ск). Тогда сумма случайных величин имеет гамма-распределение с параметром ск. Получили, что Ве(х, ск) может быть с заданной точностью приближено гамма-распределением.

4. Слабая сходимость ФР влечёт сходимость соответствующих ПЛС и ХФ, что завершает доказательство пункта 1.

При доказательстве пункта 2 рассматриваем только случай, когда точка х является точкой непрерывности функции Ь(х). Случаи пределов слева и справа рассматриваются аналогично. Для доказательства п. 2 теоремы 1 (т. е. соотношений (3) и (4)), прежде всего, заметим, что если х - точка непрерывности Ь(х), то для любых достаточно малых А > 0.

В(х + А)-В(х) _ 1

х+А ,

А А А

х

где Ь х, А)) е (0; х) . То есть для любого в > 0 существует —0 _ —0 (в, х) такое, что для всех А, [А| < А выполнено

Ь

Далее, ввиду (1) и (2), следует

В (х + А)-В (х) _ Ит Вп (х + А)- Вп ( х).

А и^ж А

Следовательно, ввиду (5), для любого в > 0 существует число п _ п (е, х) > 0 такое, что для всех п > п0

В

А А

Из (2) имеем

Вп (х + А)-Вп (х)_ 1

Вп

А

< е.

А

п 1 Л-ГА

_АпЬЬ'* Г^

х+А

тк ,п Г тк п -1 —Ьк пи 1

1 и к п е к п аи.

В последнем интеграле после замены переменных и _ х(V +1) получаем:

А

х+А х

| итк,п-1 е~Ьк,пиаи _ хтк-"е~Ьк•»х | (V +1)"

-1 е~Ьк,nxVdv _

_ хтк'"е~Ькпх

( а

х

0

— х

Ч<v

0

| (V + 1)"к "-1 dv - | (V + 1)тк "-1 (1 - е~хуЬк" )dv

Поскольку для V е

(1 + у)Щп -1 то при г > 0 и А < х

—

0; А

х

(

< тах

((1 + 2)щи -1) 1г е

0;—

х

Л \тк,п-1

|((1 + V)-1)_|1 + —) •

}((V+1)тк и-1 -1) аы <

т И-1 -1)сЪ < тк,и 2"к-и-1 ^ _ тк,и 2тк-п-1

V +1) "" -1|аIV < ткп 2 jvdv 0 0

Ввиду неравенства 1 - е~г < г (г > 0), при А < х

— —

ткИ -1 л а-Ь1

(1 - е )ау <  |

х

А

х х / А

}(V + 1)тк--1(1 - е~Ьк^ < П— +

0

0

ткп -1 х ( —

-+11 Ьк и^ _ ^ I х+1

тк ,п - V — ^

-I Ьк,и < ЬКпх2ткп-2 ( — х ) I х ,

х

0

2

х

2

из (8) выводим:

Bn (x + Л)_ Bn (x)_ " 1 и y.k

Г

Л

mk,n xmk,n-1e-bk,nx

k=1

f Л

1 n 1

=tZ

Л k=1Г

xmk ,ne~bk ,nx

л Л

xx

J ((v + 1)mk-n-1 _ 1)dv + Jd _ J (v + 1)mk n-1 (1

0 0

- e"xvbk-n )dv

<

<

n

1 (bk,n Г" x^e^ (mk,n2m--1 + b^^-

kL-C",n / \\bk,n , Л k=1 Г

n1

< Л ZCk ,nV

k=1 Г

2mk,n-2 ( 2mk ,n + bk ,n )<

k,n Л^-1e-b"nx2m--2(2mk,n + bk,n )<в

при достаточно малых значениях Л, т. е. существует Л1 = Л1 (s, x) такое, что выполнено (10) при |Л| < Л1.

B(x + Л)-B(x) . . чЧ Из (6), (7), (9), (10) с учётом равенства —--Л- " = b(t(x, Л)) при

n 1

b

k=1 Г

mk,n xmk,n _1e-bt ,nx

< |b (x)_ b (t( x, Л ))|

+

+

B

Л

Л

+

+

Bn (x + Л)_ Bn (x)_ZC 1 (b V

ZCk,n Г

k=1 Цmk,n )

Л

"".п xmk,n _1e-bt,nx

< s + s + s = 3s,

что доказывает справедливость (2).

Формулы обращения для неотрицательных случайных величин

Рассмотрим случай, когда ФР соответствует неотрицательной случайной величине. В этом случае существует ПЛС ФР, и ХФ получается из ПЛС путём подстановки вместо аргумента значения i t, где i - мнимая единица, а t- переменная самой ХФ.

Теорема 2.

Пусть Р(Х) есть ПЛС неотрицательной случайной величины с функцией распределения В(х) и Р(Х) является рациональной функцией. Тогда распределение В(х) имеет плотность распределения Ь(х) и справедливы следующие формулы обращения:

B(x)= I_L гe-*ß!_Üidt

1 г

b(x) = j-Je^ß^)dt

2n J

где интеграл в соотношении (11) берётся в смысле главного значения.

Замечание. Формула (12) представляет собой классическую формулу обращения для ХФ вероятностных распределений [2, с. 570] для случая, когда Р(—интегрируема на проме-

2

-г

г

жутке от -да до +да. В рассматриваемом случае условие интегрируемости может не выполнять-

ся, например для показательного распределения, для которого ПЛС имеет вид Р(Я) =

Ь

Ь + Я

Доказательство. Рассмотрим вначале случай, когда В(+0) = 0.

Разложим рациональную функцию Р(Х) на простейшие дроби. Так как Р(Х) при X ^ +да ограничена, то в разложении отсутствует многочленная часть. Далее, ввиду равенства

да да

Р(Я)_ е—ЯхВ (х )| + Я| В (х) e-Ъ:dx = | В (z / Я) е~ zdz,

0-

выводим:

Нт Р(Я)_ Г Нт В(z / Я)е-zdz _ В(+0) Ге~zdz _ В(+0)_ 0,

Я—+да ^ Я —^+да *

Я—+да

0-

откуда заключаем, что в разложении Р(Х) отсутствует константа. Следовательно, разложение

состоит из конечного числа слагаемых вида С-

Ьт

(Я + ь )т

где Ь > 0 и т > 1 - натуральные числа.

Тогда ХФ в(— /5) представляется в виде конечной суммы слагаемых вида С- кон-

(-"5+ Ь )т

станты, поскольку на бесконечности при 1т5 > 0 функция Р(—/5) ограничена (точнее, не превосходит единицы). То есть справедливо представление

Р(—ф_Р0 + £С;

к (—/5+ьк)"

где Ск > 0 для всех к, < 1.

Рассмотрим в комплексной плоскости интеграл

где Ля - контур, изображённый на рис. 1.

(—/5 + ь )"

d 5,

Рис. 1. Контур интегрирования ЛЯ

При т > 1 и Я > Ь подынтегральная функция имеет в области, ограниченной контуром ЛЯ, единственную особую точку - полюс порядка т при 5 _ —/Ь . На основе теоремы о вычетах и формулы для вычисления вычетов в полюсах т-го порядка [4] выводим:

0

0

т

ь

к

к

к

т

ь

Л

R

Vх5-Ь-й5 _ —2п/

Я (—/5+Ь )т

( 1 ^т— 1 , ЧЛ

г

,

5_(—Ь

(т — 1)! й

где есть подынтегральная функция, т. е. /(5) _ е х5-, и в правой части записан

(—/5 + Ь )т

знак «-», поскольку направление обхода контура ЛЯ отрицательное (по часовой стрелке).

Вычислим выражение в правой части (14). Поскольку /(5)(5 —(—/Ь)) _ Ьте~1х5(—/) т,

то

(/(5)(5 — (—/Ь))т) _ Ьте~/х5 (—/х)т—1 (—/)—т _ (—/)—1 Ь

I _ Ьте~х5 (—/х)т—1 (—/)—т _ (—/)—1 Ьте~х5хт—1,

и соотношение (15) можно переписать в виде

Г е—х5---й5 _ —2п/

ьт / 1 \ 1

Ь ^ . 1 / А— 1 » т — х( — /Ь) т—1 ~ 1

(—/5 + Ь )т

\

—^ (—/ )—1 Ьme-/x(-/Ь) хт—1 ч

(т — 1)Г ' I (т — 1)!

_ 2п-—-—— Ьтхт—1е~Ьх.

Отсюда следует справедливость равенства при любом т > 0: 1 Ьт 1

— Ге~а5-Ь-й5= 1 ч Ьтхт—1е~Ьх

2лдГЯ (—/5 + Ь )т ( т —1)!

для всех х > 0 и всех Я > Ь.

Пусть х > 0. В (15) перейдем к пределу при Я^+да. Так как при т > 1 функция /(5) при

5 — +да является О (5—2 ), то аналогично в [4] показывается, что

Г /

1я

где уЯ - круговая часть контура ЛЯ. Ввиду соотношения /(5) _ О (5—2 ) при 5 — +да также выводится, что в (15) интеграл по горизонтальной части контура ЛЯ сходится к своему предельному значению, т. е.

Я 7 т да 7 т

—11 Iе""5, Ь 5_ Ге_/х5 - Ь —й5.

Я—+да ^ ( ^ , и\т / ,-е , и\т

—Я

Из (16) и (17) заключаем:

Я—+да—Я

тт

Нт Г е"х5-Ь-й5_ Г е-х-Ь-й5.

Я—+да •! I ,-е , гЛт Л / ,-е , гЛт

Л Я (—'5 + Ь )т —да (—/5 + ь )т

На основе последнего соотношения из (15) выводим при х > 0 и т > 1

1 да Ьт 1

-1 Г е"/х5-ь-й5= 1 ч Ьтхт—1е~Ьх.

т

2п—да

^ Ге-^—^— й5_Ье"Ьх.

2^ —/5 + ь

—сп

т

Л

Я

Рассмотрим интеграл J e xE

Yr

-i£ + b

dE. Так как контур yR представляет собой полуокруж-

ность с отрицательным направлением обхода, перейдём к следующей параметризации этой дуги с помощью полярной системы координат: Е = Я • егф, где ф изменяется от 0 до -п. Тогда, вви-

2ф

ду равенства e = cos ф+г sin ф, имеем:

Y R

< J e^R'sin ф

ь

b• R

-ixR-e"1

b

e

-iR• егф + b

-d

-iR' егф + b

d ф= J

= fxR'sin ф

b • R

cos ф) +

^d ф.

Заметим, что

(R cos ф)2 + (R sin ф + b )2 = R2 + b2 + 2Rb cos фsin ф = (R - b )2 + Rb (2 - sin29) > (R - b )2 + Rb. Так как при фе(-л; 0) справедливо неравенство sin ф< 0, то последние оценки можно продолжить следующим образом:

e xE-^dE

Yr

-iE + b

< J e^R-sin ф

b • R

d ф<-

b • R

<J

+ Rb -n

J exR 'sin фd ф.

В последнем интеграле подынтегральная функция ограничена ввиду неравенства xR • sin ф < 0. Поэтому в следующем соотношении знаки предела и интеграла можно переставить местами:

lim

R—a>

-xE

b

Yr

-iE+b

<

b f lim exR'sinфdф = 0.

J R—o

Из соотношения (5), справедливого при m = 1, ввиду (10), получаем (полагаем m = 1):

— lim J e_xE —b—dE = — lim J *-xE b

2n R-iE + b R—o J

be~bx = — lim J

?-it rj

Л„

-iE + b

2n R-

-e + b

dE +

+--lim I e

2n R—o

Y R

lim Je_xE —b—dE = — Je^-Z!

R—» J -iE + b 2n J

-iE + b

H +b у

-d E.

Таким образом, справедливость соотношения (19) и сходимость интеграла в её левой части доказаны.

Из (13) на основе (15) выводим равенство (х > 0):

1 o 1

-Г*,)dE=?Q (b ]

что означает справедливость (12) с выполнением равенства:

mk xmk -1e~\x

b (x ) = Yfk

1

(mk -1)!

mk xmk "V^x

Перейдём к доказательству соотношения (11). Аналогично доказательству формулы (12),

1 Г

ввиду (13), рассмотрим интеграл--!

2ni /

a~ixE .

bm

aR.. E(-iE+b)"

где при обходе контура Л^е точ-

b

- П

b

0

0

-П

-П

0

0

2

П

0

e

-П

х>

k

ка 5 _ 0 обходится снизу по дуге у. окружности радиуса е > 0 достаточно малой величины, т. е. особая точка 5 _ 0 находится вне области, ограниченной контуром ЛЯ. Имеем равенство

фт _ Г е~/х5-—-й5_ Г е-/х5ьт—1 (—/5 + Ь) —(—/5) й5 _

V, 5(—/5+ь)т л!. 5(—/5+ь)т

_ Г е-х5Ьт-1-1--й5 + / Г е-х5Ьт-1-1-

л!,. 5 (—/'5+ь) л!,. (—/5+ь)т

Ввиду (15), отсюда выводим следующее рекуррентное по т соотношение (т > 1, х > 0):

Фт _ Фт—1 + 2п/Ьm-1xm-1e-bx. ( т — 1)!

Применив последнее соотношение рекуррентно т раз, получим:

т—1 1

Фт _2п/X-Ь}хе~ы + Ф0,

у _1}!

где Ф0 _ Г е_х5 — й5 . Так как внутри контура ЛЯе подынтегральная функция е~/х'51 не имеет Л 5 5

ЛЯ,Е

особых точек, то | е—х5 — й5 _ 0 .

Ля,. 5

Аналогично (20) доказывается равенство

Нт

Я—да

! е-"5 Г

_ 0.

Исследуем значение интеграла Ге 1х^Ьт 1-1-— й5 при е^-0. Воспользовавшись

9, 5(—/5 + ь Т~

полярной заменой координат 5 _ ,е/ф, где ф изменяется от п до 2п, получим:

Ге~/х5Ьт-1-1--й5 _ Ьт-1 Ге~ае-1--/ве/ф йф_

J / 1 \т—1^3 / \т—1 Т

£ 5

2" /ф Ьт-1 2п Ьт-1

_/ Ге_/х,е --йф — / Ге~°--йф_/(2п —п )_п / при в — 0.

т —1 т —1

П

Из (22)-(24) выводим: существует предел

( -. я >

Нт Нт Г е"х5-й5 _ НтНт Г + Г + Г + Г

Я—да 8—0 л"" 5(—/5+ Ь )т Я—дав—0 1111

+Г + Г

уУя У. -Я 8 у

е"/х5.

5

да ьт т—1 1

_ Ге"х5-Ь-й5 + п/ _ 2п/У ^^е^ ,

-Гда 5(—/5 + Ь)т ' }_ }!

где во второй строке интеграл берётся в смысле главного значения как по Я, так и по е, т. к. верхний и нижний пределы по Я и по е согласованно (симметрично) стремятся к бесконечности и нулю соответственно.

т

Ь

Разделив обе части последнего соотношения на (-2та), получаем:

bm m-1

e-xE-b-d E = - V — b x

1 ^ ¡.т т—1 1 1

—Г -Ь-dЕ = — V -ЬЗхЗв~Ьх +1.

2п —I ЕН + Ь)т £]! 2

Соотношение (11) доказано для случая В(+0) = 0. Пусть В(+0) > 0. Тогда справедливо представление

В

где ПЛС в (X) ФР В (х) является рациональной функцией и В (+0) = 0. Из (26) следует:

Р

Так как В (+0) = 0, то, ввиду (11), для ФР В (х) справедливо соотношение

B(x)= I--L Гe-xEM-Ü)dE.

W 2 - E

-J

Подставив последнее соотношение в (25), ввиду (26), получаем:

B(x) = B(+0) + (1 -B(+0){1 -2- Je^^

—m ^

\ -J

= B(+0) + (1 -B(+0))í 1 --L Je-«E 1 P(-i«-B(+>)d '

V 'l 2 2ni -J E 1 -B

= i +1b (+0) - — J e~x Pí-^dE + B(+0)— J e_xE 1 dE. 2 2 2ni - E 2пi J E

-J ^ -J ^

J cos

Так как в смысле главного ! -dE = 0 (виде нечётности подынтегральной функ-

-J E

-J

JJ

f sin (-xE) „ 1 г -xE 1 -i -П ции) и при x > 0 J ---- dE = -п , то - ! e ъ — dE =-, из последнего соотношения по-

J E 2ni J E 2ni

—on

-J -J

лучаем:

B (x )=1 +1B (+0)-— J e^^-fi d E-B (+0 )• -,

K ' 2 2 V ' 2ni J E 2

—on

или

B(x)= 1 --L fe^M.dE.

W 2 2ni - E

-J

Таким образом, соотношение (11) справедливо и в случае В(+0) > 0. Теорема 2 доказана.

Как видно из выражений (11) и (12), соотношение (12) может быть получено формальным дифференцированием по х, т. е. по существу в теореме 2 доказана также возможность переставлять в рассматриваемом случае знаки интеграла и производной в (11).

Полученные формулы (11) и (12) порождают ряд вопросов. Во-первых, можно ли распространить (12) на произвольные ФР с рациональными ХФ. Во-вторых, неожиданное слагаемое 1/2 в формуле (11) - сохраняется ли оно для произвольных (не рациональных) ФР.

Формула обращения для произвольных рациональных распределений

На основе формул (11) и (12) получим аналогичные соотношения для произвольных ФР, у которых ХФ является рациональной функцией.

Теорема 3. Пусть /(1) является ХФ некоторого вероятностного распределения и //) является рациональной функцией. Тогда справедливы соотношения:

—СП ~

1 да

Ф

2п

—да

где интеграл в (27) берётся в смысле главного значения.

Доказательство. Пусть ¥(х) является ФР, имеющей ХФ //), причём ¥(х) положительна на некоторых промежутках как в отрицательной части числовой оси Ох, так и в положительной части этой оси. Аналитически данное условие означает, что 0 < ¥(-0) < 1. Данное условие позволяет ввести следующие две ФР, соответствующие неотрицательным распределениям:

/ ч Г 1 / ч^ / / ч ¥

р1

где для любого условия А выражение х(А) = 1, если условие А выполняется, и х(А) = 0 в противном случае.

Покажем, что тогда справедливо соотношение:

¥

Из (29) получаем:

Г 1 ^ ¥1 (—х ) = [1 — ¥ (х )]х(—х * 0).

Отсюда выводим:

¥(х)х(х < 0) = ¥(—0)(х(х < 0) — ¥1 (—х)). Из второго соотношения (29) имеем:

¥

и, следовательно,

¥(—0)(х(х < 0) — ¥ (—х)) + (1 — ¥(—0))¥2 (х) + ¥(—0)х(х > 0) = ¥(х), т. е. (30) доказано.

Пустьи /2(0 есть ХФ функций распределения ¥^х) и ¥2(х) соответственно. Тогда после замены х на -х имеем:

да 0 да

\ вшй¥1 (—х) = \ вйхй¥1 (—х) = —¡e-ltxd¥1 (х) = —/1 (— I).

—да —да 0

Из последнего соотношения и (30) следует:

/ (t ) = ¥ (—0 )(—1 + / (—t )) + (1 — ¥ (—0 )) /2 (t) + ¥ (—0 ),

т. е.

/

где мы воспользовались соотношениями: | e'txdх(х < 0) = е0 (—1) = —1 (скачок функции

—да

да

х(х< 0) в точке х = 0 равен -1) и |e1ttcdx(x > 0) = 1.

—да

Поскольку //) является рациональной функцией, ограниченной на бесконечности при действительных значениях t, то так же, как и в теореме 2, доказывается, что /1) представима в виде

Ь тк

= Я + 1Ск

к + Ьк ) к

где Ьк действительные числа, причём Ьк ^ 0, т. к. /(0) = 1 - конечно. Тогда равенство (31) можно переписать в виде

пк

Ь тк (—Ь )"•

я + I Ск-

к:Ьк >0 (—п + Ьк) к к:Ьк<0 (—П + (—Ьк)) к

Поскольку функция /2(0 аналитична в верхней полуплоскости комплексной плоскости (т. е. при 1т t > 0), а/1(-0 аналитична в нижней полуплоскости (т. е. при 1т t < 0), то левая часть последнего соотношения аналитична в нижней полуплоскости, а правая - в верхней полуплоскости. При этом значения и левой, и правой частей ограничены при

Ь "к

т. к. Нт-к-= 0, /2 (t) < 1 при 1т t > 0 как ХФ вероятностного распределения и анало-

^да(—П + Ьк )щ

гично |/(—t)| < 1 при 1т t < 0. Таким образом, соотношение (33) задаёт функцию, ограниченную на бесконечности и аналитическую во всей комплексной плоскости. Известно, что такой функцией является только константа. Таким образом, приходим к заключению, что и левая, и правая части в (33) равны некоторой константе d, откуда:

d , ^ Ск (—Ьк)"

/1 (0=^+ I

-+ X -к---:—^-

Р (—0) к:Ьк<0 Р (—0) {П + (—Ьк ))"к

/2 (t) 1 —Р(—0) +1—р1(—0),,1 Ск к

1 — Р (—0) 1 — Р (—0) кЬ->0 к (—и + Ьк )тк'

Константа d находится из условия/1(0) = 1 либо /2(0) = 1.

В силу теоремы 3 заключаем, что ФР Р^х) и Р2(х) имеют плотности распределения ф1(х) и ф2(х) соответственно и справедливы соотношения (к = 1, 2):

Ек

—пп ^

да

1

Фк

Тогда, ввиду (30), имеем:

Р(х) = Р(—0)(х(х < 0) — (1 — -1- дае1хЕ Л (Е) ^

2 Е

—сг:

1хЕ

+

V V —да " / у

г 1—да е-хЕ /2 (е) ^

2 2п1

-(1 — Р(—0)) 1 — дае^^dЕ + Р(—0)х(х > 0).

\

СО

т

к

30

да

После алгебраических преобразований и замены £ на в первом интеграле получаем:

^(^) = 2-^(-0)-^(-0)¿7 I^^dИ1 -^(-0))¿т ]^^d^ +

-да ^ -да ^

11 да 1

+^ (-0) = 2 - 2"1 ^ ?(^ (-0)(-^) + (1 - ^ (-0)) Ъ d ^

-да ^

откуда на основе (31) выводим справедливость соотношения (27).

Для доказательства (28) продифференцируем обе части (30) по x для х Ф 0:

Ф( x ) = F'( x) = - F (-0 )ф1 (-x ) + (1 - F (-0 ))ф2 ( x). Ввиду (35), отсюда выводим:

..да да

ф(x) = -F(-0) JL J (.)d. + (1 - F(-0)) JL J e-^2 (.)d..

-да -да

После замены £ на в первом интеграле получаем:

да

ф(x)=in Je"íxe(F(-0)f (-e)(1 -F(-0)f2(e)))de,

-да

которое, ввиду (31), влечёт (28). Теорема 3 доказана.

Встаёт естественный вопрос: можно распространить формулы (11), (12) и (27), (28) на произвольные распределения. В следующем разделе проводится проверка данного предположения для ряда конкретных распределений.

Анализ формул обращения для частных распределений

В формулах (11) и (27) достаточно неожиданным является наличие слагаемого 1/2. Поэтому выявим возможное наличие этого слагаемого для непрерывных распределений неотрицательных и произвольных случайных величин, ХФ которых не являются рациональными функциями. Ниже будут рассмотрены примеры подобных распределений: константа, равномерное распределение, распределение Рэлея и параметрическое распределение, имеющее сильную осцилляцию - оно описано при рассмотрении. Отметим, что справедливость формулы (12) во всех рассматриваемых случаях вытекает из классической формулы обращения [1, с. 51].

1) Пусть B(x) есть ФР постоянной случайной величины, равной с, где c > 0 - константа.

Тогда Р(Я) = . Вычислим интеграл в формуле обращения (11). Имеем:

1 да e e'ec 1 í T cos (e(с - x)) + i sin (e(с - x)) ^

I = — Г e~l^c -—d. = -— lim Г-^-^-^-^ d.

2П J e 2n'T^да j e

—rri J

V

T

e

cos(f(c - X)) T cos(f(c - x)) Так как функция-- нечётная, то I -df = 0. Далее, известно [5]

f if

-T

да sin

J d e =

п, если с - x > 0, 0, если с - x = 0, -п, если с - x < 0.

С учётом последних соотношений получаем:

i да '.с

2яяJ e

—сг) J

1

—, если x < с,

2

0, если x = с,

1

—, если x > с. 2

Подставив полученное выражение для интеграла в правую часть (11), выводим:

1 — X да е~1Ех.

2 2п1 •>

еЕс

т

0, если х < с, 1

—, если х = с, 2

1, если х > с,

что совпадает с ФР В(х) во всех точках её непрерывности. Таким образом, формула (11) справедлива для распределения постоянной случайной величины, ХФ которого не является рациональной функцией.

2) Пусть В(х) есть функция равномерного на промежутке (а, Ь) распределения (а > 0), т. е.

Ь ( х ) =

0, если х(а или х)Ь, 1

если а < х < Ь.

Ь — а'

Тогда его ПЛС в (Я) = ^ (е Ха — е ХЬ), и интеграл в правой части формулы (11),

ввиду (36), запишется в виде:

1 да Е е1Еа — е1ЕЬ I = — да е~'Е е 2 — е ч dЕ.

-да

—1Е2

Заметим, что в точке Е = 0 подынтегральная функция аналитична (и конечна), поэтому при вычислении интеграла в комплексной плоскости вдоль действительной прямой не имеет значения, обходить ли точку Е = 0 снизу или сверху. Примем для определённости, что Е = 0 обходится снизу. Обозначим через Le контур интегрирования (рис. 2), состоящий из части действительной оси (—да; —8)^(в; да), которая проходится от -да в направлении +да, с обходом точки Е = 0 снизу и полуокружности радиуса е с центром в начале координат и с положительным направлением обхода.

-18

да

ь

8

8

Рис. 2. Контур интегрирования Ь8

Рассмотрим интеграл ("е1Е(с х) -1- dЕ . В качестве области интегрирования берём верхнюю Ь Е2

полуплоскость, которая при движении по контуру обходится в положительном направлении. Подынтегральная функция на бесконечности в области 1тЕ > 0 при с - х > 0 имеет порядок Е-2

(т. к. функция е1Е(с х) ограничена в рассматриваемом случае), и в верхней полуплоскости имеет полюс второго порядка в точке Е = 0 . Поэтому при с - х > 0, т. е. х < с

1

Г е1Е( с—х ^ d Е = 2п1 Е2

Ь Е

d —( d Е

,1Е

= 2п1 • 1

Е=0

Далее, при с - х > 0 после замены _ = ее, п < ф< 2п, имеем:

х d е* с-х>-^ d d _-

Уе _ Уе _ Уе _

2п I \ 1 2п 1

- Г(е'ЕеЩ(с-*)-1)—Цiеeiфdф+ I---iеeiфdф,

пУ

или

I ег^

Уе ^ п -е - ф=П -

- (с - х)п + о( ф=п 4 ' х ' -

при 8—>0.

В случае с - х < 0 после замены переменных п = - £ аналогичным образом приходим к равенствам

I ег_(с-х) d_ - - I ег'п(х-с) ^dп - 2п/

^г'п( х-с) 1

п

х-с)

d п

- 2п/ • i (х - с),

п-0

I е"

_(с-х) 1 d_ - I ег'п(х-сс) 1 dп - (х - с) п + о (1) + 2 _2 -да п2 -

На основе соотношений (37)-(40) получаем равенство:

.. да

I- — I е~''

9-1Г7 1

да _а ЙЬ

- е

2п/ '

1

1

-7'_2 (Ь - а) 2п/ - (Ь - а

I е'_а-х)_-d_- | ег_(Ь-х)_2,

.'_(Ь-х) 1

\-да

1

-2л/' (Ь - а )1

2п/ • (а - х), если х < а

-2л/'

2п/ • i (х - а), если х > а

2п/ • i (Ь - х), если х < Ь 2п/ • i ( х - Ь ), если х > Ь

+

+

п(а - х), если х < а 2

? { ^ + о (1) + -

п( х - а), если х > а е

п(Ь - х), если х < Ь 2

п(х - Ь), еслих>Ь

+ о (1) + -

-2/'

(а - х) - (Ь - х) - -(Ь - а), если х < а (< Ь), (х - а) - (Ь - х) - 2х - (Ь + а), если а < х < Ь, (х - а) - (х - Ь ) - Ь - а, если х > Ь (> а),

т. е.

—если х < а(< Ь), 2

х Ь + а ,

I --------, если а < х < Ь,

Ь - а 2

1 ,, ч

—, если х > Ь(> а).

2

Отсюда находим выражение в правой части (11):

--1 -

2

0, если х < а,

х

Ь - а 2

1, если х > Ь,

Ь - а

если а < х < Ь,

что совпадает с функцией равномерного на промежутке (а; Ь) распределения. Следовательно, формула (11) справедлива.

Х>

—СО

да

да

да

да

-да

-да

1

1

х

а

Таким образом, приведённые примеры делают правдоподобным предположение, что формула (11) справедлива и для распределений, ПЛС которых не являются рациональными функциями. Для проверки аналогичной гипотезы применительно к формуле (27) ниже в качестве примеров рассматриваются два важных распределения, принимающие любые действительные значения: нормальное распределение как одно из наиболее важных распределений в теории вероятностей и в её практических приложениях и распределение Коши, имеющее «плохие» характеристики; в частности, распределение Коши не имеет математического ожидания.

Заключение

В работе для частного случая распределений с рациональными ХФ доказана справедливость соответствующих формул обращения ХФ для ФР и их плотностей. Полученные формулы для ФР, включающие дополнительное постоянное слагаемое, ранее не были известны. Отдельно рассмотрены случаи положительно распределённых случайных величин и величин, распределённых на всей оси. Для проверки гипотезы о справедливости полученной формулы обращения, включающей ранее неизвестное слагаемое 0,5, приведены примеры вычислений ФР постоянного и равномерного законов на основе полученной формулы обращения, ХФ которых не являются рациональными функциями, подтвердившими гипотезу о справедливости полученной формулы обращения для произвольных ФР.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Лукач Е. Характеристические функции. М.: Наука, 1979. 424 с.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения: в 2-х т. М., Мир, 1984. Т. 2. 738 с.

3. Попов Г. А. Асимптотическое приближение // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2005. № 1. С. 62-74.

4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: учеб. для вузов. М.: Наука, 1989. 464 с.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматлит, 2001. Т. 1. 616 с.

Статья поступила в редакцию 03.10.2018

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Попов Георгий Александрович — Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой информационной безопасности; popov@astu.org.

G. A. Popov

FORMULA OF INVERSION FOR RATIONAL CHARACTERISTIC FUNCTIONS OF PROBABILITY DISTRIBUTIONS

Abstract. The paper deals with the problem of clarifying the well-known inversion formulas for distribution functions, usually describing the increment of these functions. The validity of the corresponding inversion formulas for the distribution function n and their densities has been proved for the particular case of distributions with rational characteristic functions. The obtained formulas for distribution functions, which include additionally constant terms equal to 0.5, were not previously known. Functions of positively distributed random variables and quantities distributed over the entire axis have been considered separately. To test the hypothesis of fairness of the obtained treatment formula, including a previously unknown term equal to 0.5, in the general case there have been given examples of calculating distribution functions, whose characteristic func-

tions are not considered as rational functions: for constant and uniform laws. The verification confirmed the objectiveness of the formulated hypothesis about the obtained validity of the inversion form for arbitrary distribution functions. It has also been shown that any distribution function and any density can be represented as a limit of a mixture of gamma distributions (distribution functions and densities), having shifts along the abscissa axis and, possibly, with altered signs of the arguments. The obtained result proves that the set of gamma distributions with shifted arguments is uniformly dense in the set of all distributions.

Key words: formulas of inversion, characteristic functions, rational functions, gamma distribution with shifted arguments, random values.

REFERENCES

1. Lukach E. Kharakteristicheskie funktsii [Characteristic functions]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 424 p.

2. Feller V. Vvedenie v teoriiu veroiatnostei i ee prilozheniia. V 2-kh tomakh [Introduction into probabilistic theory and its enclosures. In 2 vol.]. Moscow, Mir Publ., 1984, vol. 1. 738 p.

3. Popov G. A. Asimptoticheskoe priblizhenie [Asymptotic approximation]. Vestnik Astrakhanskogo gosu-darstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2005, no. 1, pp. 62-74.

4. Bugrov Ia. S., Nikol'skii S. M. Vysshaia matematika. Differentsial'nye uravneniia. Kratnye integraly. Riady. Funktsii kompleksnogo peremennogo: uchebnik dlia vuzov [Higher mathematics. Differential equations. Multiple integrals. Series. Complex variable functions: Textbook for Universities]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 464 p.

5. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniia [Differential and integral calculus course]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2001, vol. 1. 616 p.

The article submitted to the editors 03.10.2018

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Popov Georgiy Aleksandrovich — Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department of Information Security; popov@astu.org.