Математическое моделирование процесса распространения длинных волн над деформируемым дном

УДК 532.591

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2004, вып. 3

С. И. Перегудин

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ДЛИННЫХ ВОЛН НАД ДЕФОРМИРУЕМЫМ ДНОМ

Дно естественных акваторий не всегда твердо и недеформируемо. Если это смесь, состоящая из песка, глины, ила или гравия, дно представляет собой сложную трехмерную поверхность, на которой под воздействием потока жидкости образуются волнообразные наносы. Их можно наблюдать на отмелях рек после схода воды, в пустынях под воздействием воздушных течений образуются дюны и барханы.

Исследования явления периодичности деформаций поверхности раздела легко деформируемых сред берут свое начало в исследованиях Гельмгольца (см. [1]). Сформулированная изначально гипотеза только для сред с бесконечно малым трением в дальнейшем была обобщена для случая, когда величина трения в одной из соприкасающихся сред конечна. Периодические деформации, возникающие на поверхности разделов сред с бесконечно малым трением - волны на поверхности раздела жидкость-атмосфера и внутренние волны в жидкости на поверхности скачка плотности, схожи с периодическими деформациями на поверхности раздела двух- сред, в одной из которых величина трения мала, а в другой конечна - наблюдаемыми в природе песчаными волнами, возникающими на границе раздела сыпучей среды с атмосферой или гидросферой. Несмотря на кажущееся внешнее различие форм обоих типов волн, природа причин их возникновения имеет общие закономерности, определяемые схожестью условий формирования и идентичностью сил, действующих на поверхности деформируемой среды. Меньшая степень изученности песчаных волн, в отличие от волн на воде, обусловлена отсутствием законченного математического аппарата для теоретических разработок и незначительным количеством экспериментов в данной области. Первые эксперименты данного явления были произведены Диконом (см. [2]), им получена приближенная зависимость между скоростями потока и движения гребня песчаных волн, введены так называемые критические скорости потока жидкости, зависящие, несомненно, от размера частиц донной поверхности, при которых возникают и исчезают песчаные волны. Первые теоретические результаты принадлежат Ф. Экснеру (1920 г.) (см. [2-4]), который, исходя из своей приближенной теории, а также из проведенных им экспериментов в лотке с водным потоком и в аэродинамической трубе, в основном правильно описал механическую сторону явления. Более того, для плоского случая им выведено уравнение, связывающее расход (¿(х, ¿) донного вещества с формой поверхности раздела г)(х, £) жидкого и донного слоев. Этот расход характеризуется реологией грунта. Для преодоления данной трудности Экснер принимает гипотезу о линейной зависимости расхода от донной скорости щ, т.е. = хиь. Из допущения постоянства расхода в водном слое следует равенство горизонтальных компонент донной и водной скоростей. М. А. Великанов [2] обобщает гипотезу Экснера, полагая произвольную зависимость расхода ф от донной скорости, т.е. Ь) = С} £)). Исследования Ф. Экснера были продолжены Ф. И. Франклем, рассмотревшим задачу о плоском движении песчаных волн с более полным учетом гидродинамики водного слоя [5]. В статье Ю. 3. Алешкова [3] рассмотрен общий случай - непотенциальное движение слоя неоднородной жидкости

© С. И. Перегудин, 2004

над сыпучей средой. В работах [6, 7] изучены вопросы распространения длинных волн над твердым дном. В данной статье исследуется задача о распространении длинных волн в двухслойной жидкости над деформируемым дном.

Рассмотрим в вертикальной плоскости Ох\г\ трехслойную среду - два слоя однородной несжимаемой идеальной жидкости, слой грунта. Жидкость ограничена сверху свободной поверхностью г\ = Щ + С* (Х1, ¿1), снизу - поверхностью раздела нижний слой-грунт г\ = — Щ + г}*(х\, ¿1). Горизонтальная ось совпадает с невозмущенной поверхностью раздела жидких слоев — т}*(х\, Ь), ось направлена вертикально вверх.

В результате движения жидкости дно деформируется и изменяется, его поверхность отклоняется от горизонтального уровня = —Щ. Движение жидкости будем считать потенциальным. Тогда = (р^(х 1,^1,^1), з = 1,2, удовлетворяет уравнению Лапласа

^»1*1 + = 0

и граничным условиям на свободной поверхности, поверхности раздела нижний слой-верхний слой и поверхности раздела вода-грунт. На свободной поверхности = Щ + + при постоянстве атмосферного давления граничные условия имеют вид [6]

£ + С^х, = ¥>2*. < + \ (<Р*2Х12 + + 9* 1 = (¿1),

здесь д - ускорение силы тяжести, ^2(^1) ~ произвольная функция времени. На поверхности раздела жидких сред 2\ = т]*{хх, ¿1) выполняется кинематическое и динамическое граничные условия

На поверхности = — Щ + 77* (жх, ¿1) выполняется кинематическое условие

+Л*Х1<Р*Х1

Рассмотрим изменение площади вертикальной полосы донного слоя шириной Джх. Оно составляет (т)*(х\,Ь1 + А^х) — 77*(жь^)) Джь Вместе с тем это изменение вызвано объемным расходом ф* за время Д£х, равным (77*(а?!, ¿1) — г)*(х\ + Джх,^)) Д^. Таким образом, закон сохранения массы для донного слоя суть уравнение неразрывности для донного слоя [2-5]

Упростим исходную задачу, используя представление о длинных волнах [6, 7]. Введем безразмерные координаты и время

х% = Ьх, = ¿х = ,- Ь, Щ = Н*Но, = Н*Н2,

\/9Н*

а также безразмерные искомые функции

<рт = ЬуДН~*Ч>, С = Н.С, VI = V* = Н*т}, Р* = дНЯ* = Исходная задача в безразмерном виде примет вид

т + Фзгг =0, Ц =

№ •

P CO. + С*¥>2*) = <P2z, р(ч>21 + 7}<р2х2 + с) + \ч>2z2 = pf2(t), z = H2 + С(, t),

P (vt + Wjx) = <Pjz, Pi \<Plt + | (vix2 + ^l«2) ~

~P2 <P2t + | (?2x2 + + 9m(pl ~ p2) = plflit) ~ p2f2(t), z = m(x,t),

р(т + Vx<pix) = <piz, m + Qx= o, z = -Ho + rj(x,t).

Уравнения Лапласа в результате интегрирования по всей высоте каждого жидкого слоя с учетом граничных условий примут вид [6]

77l

д С

(т + j <pix dz = о,

-Яо+»?(М) д f

-H0+n{x,t)

m

Предположим, согласно Экснеру, что зависимость твердого расхода от придонной скорости жидкости выражается линейным соотношением [2, 3, 5]

Q{x,t) = Hulb(x,t), uib(x,t) =<pix\i==_Ho+rt{xt),

где величина х характеризуется реологией грунта и для каждой акватории может быть определена экспериментально. С учетом данного предположения последнее граничное условие примет вид

Vt + x-Q^T - 0, 2 = -#0 + Т}(х, t).

Рассматривая уравнение движения жидкости и граничные условия на дне, представляя потенциал скорости в виде степенного ряда по дисперсионному параметру pi [6]

оо

4>j(x,z,t) = ^2<pji{x,z,t)iS, 1=0

заключаем, что зависимость потенциала скорости от вертикальной координаты имеет

оо оо

<Pi(x,z,t) = ^2ak(x,t-,n)(z + H0 -7}(x,t))k , ip2(x,z,t) = (z - qi{x1t))k .

k=0 fc=0

Произведя необходимое дифференцирование, заключаем, что уравнения Лапласа в длинноволновом приближении эквивалентны рекуррентным соотношениям для коэффициентов степенного ряда [6]

_ (fc + 1) [2т)х Q!(fc+I)x + Г]Хх Qfc+l]

OLkxx

ак+2~"

Кинематическое условие на поверхности деформируемого дна и на поверхности раздела означает, что

Vt + Vx<*x 7/11 +T}lxßx а а

граничное условие, связывающее ординату поверхности дна с твердым расходом, примет вид

Vt + к [ахх - r}ixx «l - Vix <*ix] •

Рассматривая рекуррентное соотношение для коэффициентов ock,ßk> нетрудно видеть, что коэффициенты а 1,0:2, А,имеют порядок fi, 03,04,^3,^4 - порядок //2, остальные а*,/?*., к > 5 - порядок не ниже /А С точностью /х2 приведем приближенные выражения для а^, ßk,k < 4:

«1 = А* (Vt + Лхосх)- Ц2 rix2 (vt + r]x а), ßi = ß (Vit + Vix ßx) ~ (J? Vix2 (Vit + Vix ßx), 1 1

OL2

jßUxx +

3 д

{Vx(Vt + Vx OLx)) + f)x foivt + Vx öl) + Vx2OLa

ß2 = -^nßxx + 2

д &

(vixivit + Vix ßx)) + Vix faivit + Vix ßx) + Vlx2ßxx

«3 = --

из g

92 , ч д ,

faßWt +Vx<yX)+ Oixx) + VxOlxxx

' д2 д

(Vit + Vix ßx) + fatolx ßxx) + Vlxßxa

a4 — 24^ ^xxxxt

ß* = j-^ßxxxx.

Приближенные выражения для потенциалов скорости примут вид

ipx (x,z,t) = а + fi

(Vt + Vx ax) (z + Ho-v)- 2axx (z + H0- vY

+

-Vx2 (Vt + Vx Oix) (z + Ho - rj) + ^ (j]x(j)t + Vx ax)) + Vx^iVt + Vx OLx)+ Vx2OLxx^J (z + Hq- tj)2- i (Jj^iVt + Vx ax)+ (VxOCxx) + Vx^xxx^j (z + H0 - Tjf

+ ^<*xxxx (z +Ho- v)*

1 2

<p2(x,z,t) = ß + ц

1 / д ö -Vix2 {Vit + Vix ßx) (Z ~ Vi) + 2 (fa (Vlx(Vlt + Vix #»)) + Vix fa fa* + Vix ßx) +

)1 ( д2 д \ (z - Tji)2- - f — (rju + rjix ßx)+ -Q^ (vixßxx) + Vlxßxxx ) (Z~ Vi)3 +

+ ^ßxxxx (z - Vi)4 .

Учитывая, что

m

j (z + Ho - ф,1))к dz =-j^[vi{x,t) + Ho - v(x,t)] = -j^nhiMk+1>

—Ho+T)

<

J (z-Vl(x,t))kdz = 1±J[C(x,t)-Vl(x,t)} = -^h2(x,t)k+1,

m

равенства (1) можно представить так:

2 (ЙТ - * - h»+11 (£г -M ft'+i=

Динамическое условие на поверхности раздела жидкостей и на свободной поверхности запишем следующим образом:

(pi ~ Р2)т + Pi

оо ^

(<*м - (к + 1)т otk+i) hk + -

к-О

(акх ~ (к + l)rjx ак+1) /if

Lfc=0

+

J_ + 2ц

lk=0

2"

~ P2

(fit - mtfil) + 2 (fix - +

= PiFi(t) - p2F2(t),

oo 1

k=0

Lfc=o

+

+h2(x,t) + r/i (x,t) + —

J2(k + 1)гцх fik+ih

lk=0

= F2(t).

Так как ак, Рк, к 6 К, выражаются через а = а о, уравнения (4), (5) и (2) образуют замкнутую систему относительно неизвестных функций ги(ж,£) = ах(х, у(х^) = ДДж, £), т](х,Ь), щ(х,1), Используя выражения (3) и асимптотическое

представление каждого уравнения, с точностью ¡л2 находим

Ьи + ^ + ¡л

-r)x jhi + l-(jx+ rjxwx) hi2 - iwxxhi3 2 о

Vz 7hi-

1 ( д \ I { д д \

- 2 (vx3Wx+3rjx Q- Ых)\ hi2+ - Hvxxx + 3— (ixrix) + 3rix— (r)xwx)j hi

dx \

24 V dx

h2t + тг" i vh2 + ц

Vix д h2 + - (6X + rjixvx) h22 — -vxxh23

120 1 61

rjix Sh2-

- ^ (r)ixZvx + 37iix (5r)ixh22+ ^ |Sr]ixxx + 3^ (6хщх) + Svix-^; (r]ixVx)j h22 ~24 xxx + ^lxVxx^ + TllxxxV*SJ + J20vxxxxh25 | = o,

(pi ~ Рг) Ц\х + Pi

+ \ M

-Vtaii + 2<*ii - otnWT]x J +

+ (aut + wallx ~ 2^0:21 - 2a21wvx + 2ana2i) h\ + (a2it + wa21x + 2a2i2) /ii2 ..2d

+

^-«127 + ^x2au2 + aua:i2^ + (al2t + wa\2x - anт}хацх + + 2 (аца22 + &12&21 +Vx2ctiia2i) - a22j) h + ^ - За327 + a22t + wa22x + 2772a2i2+

+ 3аца32 + 4a21a22 - auVx(*2ix + 2ailx ~ 2а21Г?

x^lla:

+ (-4a427 + «32t + гуа32х + «lix^ix- 2<X2iVx<x2xx + 4ац«42 + 60:21032) hx3+

+ + wa42x + 80:210:42 + hiA J - p2 + ~ (u2)x + //

d_ dx

+ P fal 6 + A1Ä2 + tniz'ßii

-ßn6 + -ßn2

+

+

д ( \ lr2 L fd д \ . 1 , 2 ч t j

Vt +mx +VVX + h2x = — </j, --<>+h2 I — + v— I 0 +2 -vvxx-vtx)h2

\vx2S2 + ^25 vx rjlx2 - 35 Sx rjlx - щх2 ^ + v-^j S^j h2 + 7/Xx {r}Uxx + Sxx)+

+ Ivixx (vtVlx - Svx) + -v Vxx щх2 + Tfttx ( TiSt - Vltx

+

- Vitxj - |t)x77ix (St + VxVlx - VtxVlx) +

д 1 X \ 1 ( д

-q^ (VixVitt) +2Sx2 + -S 8XX - ~Vixx St)h22 + -l 16vix vx vxx - Zv\x ^ (v vxx) +

+ llvixx Vx2 + 4rjltx Vxx - Vlxxxx V2 - 2щх Vtxx - öl (Vlxx Vx) ~ Vltxxx v - 8SX vxx +

+ 4r)itxx Vx--^ (Sx

Vx) - Stxx^j h23 + (Зиж2 + Vtxxx ~ 5bx Vxxx + (vvxxx)j h24 | = 0,

g

Vt + x-Q^ {w - WVx + P27Vx3) = 0, 7(» 0 = Vt + VxW, 5(x,t) = tju + VixV, где коэффициенты а^-, ßij определяются как

«ii =Vt + VxW, ßlx = 77н + vixßx, 012 = -Vx2 7, ßi2 = -Vix2 S, «21 = ßll = ~\ß*> 022 = \ [(Vx^x + Vxlx + Vx2Wx] ,

ß22 = ^ [(VlxS)x + VlxSx + Vlx2Vx] , 032 = —^ [(*7xWx)x + VxWxx + 7xx] , ßz2 = [(VlxVx)x + VlxVxX + Sxx] , а42 = ^Wxxx, /?42 = ^Vxxx-

В данной системе уравнений с частными производными не используется малость амплитудного параметра е = где а - амплитуда волны [2, 6]. Если положить hi(x,t) = er]i(x,t)+Ho — ev(x,t), h2(x,t) = e((x,t)—£r]i(x,t), w(x,t) = ew(x,t), v(x,t) = = sv(x,t), представленная выше система будет включать в себя частные случаи: линейные модели без дисперсии и с дисперсией, нелинейная модель без дисперсии. Если

рассматривать только нижний слой жидкости, задача о волнах малой амплитуды в отсутствие дисперсии, описываемая системой уравнений

г)П(х, *) - т}1(х, г) + Н0 юх(х, €) = О, г)1х(х,г) +юг(х,Ь) = О, % (х, г) + >с юх (х, г) - о,

может быть преобразована к волновому уравнению для вертикальной скорости ю

ши - (Н0 + х) гихх = 0.

Решение можно отыскать методом разделения переменных Фурье или при использовании начальных условий по формуле Даламбера. Общее решение волнового уравнения имеет вид _

где /1

{i)wxxx +wrjxxx) + (r)tx (771 - rj))x + (3wx щ - 7/1 wxx)a

Ho wx + (7/1 - rj)t + £ (w (r)i - T]))x + Ц Ho2 QVtxx - £#0 U)IMj +

+ ецЩ

Ц\х +Щ +£WWX + flHo {^-^HoWtxx +r)ttx^

- Vx Vtt - iv Vtx)t + Wtt + Ho ^771 wtx -wrjtx + Ho (7/ wt)x ^ J = 0,

= 0,

^ H02

rft + xwx -ецх (t]xx rjt + Vx Vtx) = 0.

Математическая модель распространения длинных волн над твердым дном представлена и реализована в работе [6]. Использование численных методов и современных интегрированных сред разработки программных продуктов позволяет применить результаты данного исследования при проектировании морских гидротехнических сооружений и в морском гидротехническом строительстве.

Summary

Peregudin S. I. Mathematical modeling of distribution process of the long waves above the deformable bottom.

This article is devoted to a mathematical model of distribution of the long waves above the deformable bottom.

Литература

1. Шуляк Б. А. Физика волн на поверхности сыпучей среды и жидкости. М., 1971. 400 с.

2. Великанов М. А. Динамика русловых потоков. Л., 1949. 474 с.

3. Алешков Ю. 3. Волны на поверхности сыпучих сред, вызванные потоком жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2001. Вып. 4 (№ 25). С. 35-43.

4. Перегудин С. И. Пространственные волновые движения на поверхности сыпучих сред // Труды Средневолжск. мат. об-ва. 2003. Т. 5, № 1. С. 130-138.

5. Франкль Ф. И. О движении песчаных волн // Докл. АН СССР. 1953. Т. 89, № 1. С. 29-32.

6. Алешков Ю. 3. Теория взаимодействия волн с преградами. Л., 1990. 372 с.

7. Ильичев А. Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М., 2003. 256 с.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.