Lp-ограниченность граничного интегрального оператора на контуре с пиком

А. А. Соловьев

^-ОГРАНИЧЕННОСТЬ ГРАНИЧНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА КОНТУРЕ С ПИКОМ

Посвящается Владимиру Гилелевичу Мазье

Данная работа является развитием результатов о разрешимости граничных интегральных уравнений на плоском контуре с пиком, полученных совместно с В. Г. Мазьей. Если коротко, то в [2-4] найдены три пространства (условно обозначим их через X, У и Z) таких, что

(а) на контуре с внешним пиком оператор граничного уравнения действует непрерывно из пространства X на пространство У;

(б) на контуре с внутренним пиком оператор граничного уравнения непрерывно отображает пространство X на пространство Z.

В этой работе рассматривается оператор I — 2Ш граничного интегрального уравнения плоской теории упругости, где Ш — упругий потенциал двойного слоя. Для контура с внешним пиком доказывается, что оператор I — 2Ш непрерывно действует из пространства X х X векторнозначных функций в пространство У х У.

Из найденного представления (1) оператора I — 2Ш и доказанной в теореме 6 непрерывности вспомогательных интегральных операторов следует, что на контуре с внутренним пиком образы элементов из X х X имеют компоненты, представимые в виде суммы функций из пространств У и Z.

Перейдем к более подробному описанию результатов.

Граничное интегральное уравнение внутренней задачи Дирихле для оператора Ламе в области О, ограниченной кривой Г, имеет вид

( — I + 2Ш) и = 2v .

Здесь I — единичный оператор, и, V : Г ^ И2 —векторнозначные функции и Ши(г) прямое значение потенциала простого слоя

где

вид \г — д\

д 1 і— 1°Є і------------г +

© А.А.Соловьев, 2008

На кусочно-гладких кривых без точек заострения ^-ограниченность потенциала двойного слоя Ш изучалась многими авторами. Подробную библиографию и историю вопроса можно найти в обзоре [1].

Предположим, что кривая Г\{г = 0} принадлежит классу С2. Точку г = 0 назовем внешним (внутренним) пиком, если О (дополнительная область Ос) задается вблизи пика неравенствами х_(х) < у < к+(х), 0 < ж < £, где х-м-1х±(ж) Є С2[0, £] и Ишж^+ох-м-1х±(х) = а± с ^ > 0 и > а_. Через Г± будем обозначать дуги {(ж, к±(ж)) : х Є [0, £]}, точки на Г+ и Г_ с равными абсциссами будем обозначать символами и д_.

(

Пусть Lp в (Г) обозначает пространство функций на Г\{г = О} с конечной нормой

(\ 1/p

^|(д/д5)^)|Р\q\pedsq + г \^(q)\p\q\p(e-1)dsj .

Если \q\e^ Є Ьр(Г), то будем говорить, что ^ принадлежит (Г). Определим норму в этом пространстве соотношением

1Мкр,э(г) = |1Ыв ^УЬр(Г).

Введем пространства (Г) функций ^ на Г\{г = О} с конечными нормами

IMInV) = (f \^(q+) ± ^(q-)\p\q\p(e-M)dsq + |М1^ .

І-/г+иГ- p,e+1 і

Пространство (Г) будем обозначать далее через NPe(Г).

Пусть P(Г) обозначает пространство сужений на Г \ {z = О} вещественнозначных функций вида p(z) = ^:q t(k)Re zk, где m = [^ — в — P 1]. Запишем выражение для нормы функции p:

p

s:=Q\t(t>\.

'Р(г) ^fc=Q

Пространство Мр,в(Г) определим как прямую сумму пространств ^р+^Г) и Р(Г).

Представим ядро интегрального оператора Ш в подходящем виде. С этой целью воспользуемся соотношением

1

|z|2 \ху у2) 2I+2 \lm

Так как

М (j | 2(М + Л) Л = 1 j

2п(А + 2^,) V 2^ / 2п

матричный оператор —I + 2W запишется в виде

^2 + ^L_//C3

Здесь

“^2 + 2тг(А+2м) ^3 -^1 - 2тг(А+2м) У

(/Cicr)(z) = cr(z) - - [ (r{q)-^— log I 1 n j г дп \z — q\

І' д 1 (' Ы

[К,2о){г)= а(я)т,— 1°ё 1-г<1вд = - сг'(^) 1(^--

,/Г двд \г — 2\ ./Г

двд \г — д| ,/г \г — 9\

д

/* г _ од 1

(Н1С3а)(г) = <т(д)ІІе-----=-—1с^ ,---------сЦ

Jг 2 — о дид \£ — д\

и

(і1С3а)(г) = ( <т(д)1т-—^ 1°ё ^^1—гсЦ .

иг г — 2 дид \г — 2\

Непрерывность первых двух интегральных операторов Кі, К 2 изучалась в работах [24]. Приведем формулировки этих результатов.

Теорема 1. Пусть 0 < в+Р-1 < шіп{^, 1}. Оператор Кі непрерывно отображает пространство £р ^+і(Г) в пространство Мр , в (Г), если область О имеет внешний пик, и в пространство Мр,в (Г), если О имеет внутренний пик.

Теорема 2. Пусть 0 < в+Р-1 < шіп{^, 1}. Оператор К 2 непрерывно отображает пространство £р в+1(Г) в пространство Мр, в (Г), если область О имеет внутренний или внешний пик.

Впредь будем считать выполненным условие 0 < в + Р-1 < шіп{^, 1}.

Основным результатом работы является доказательство непрерывности оператора

1 - 2Ш :

на контуре Г с внешним пиком.

Согласно теоремам 1 и 2 достаточно рассмотреть операторы ЕКз и ІК3.

Для области О с внутренним пиком в теореме 6 доказывается непрерывность операторов

ЯКз : £Р,в+1(Г) -Мр,в(Г) и ІК3 : £р,в+1(Г) - К, в(Г).

Из этого утверждения, теорем 1, 2 и представления (1) следует, что для и Є (£рв+1 х £Р в+0 (Г) каждая компонента вектор-функции V = (—I + 2Ш)и являются суммой функций из пространств Мр, в (Г) и Мр , в (Г).

Сформулируем здесь несколько вспомогательных утверждений, доказательства которых можно найти в работах [2-4].

Введем интегральный оператор Т вида

Т/(х)= / К (ж, у)/(у)гіу

с ядром К(х, у), удовлетворяющим неравенству

\К(х,у)\ < С------г—-------------:-ту-, > 0.

1 1 ,уп - \х-у\(1 + 1 х-уУУ -

Здесь и далее символом с будем обозначать различные положительные константы. Введем пространство Ср,а(И) функций на И. с нормой

ІМІ£р,а(Я) = 11(1 + х2)“/2^Уьр(К}-

Следующая теорема доказывается подобно теореме об ограниченности сингулярных интегральных операторов в Ьр-пространстве со степенным весом [5].

Теорема 3. Если оператор Т : Ьр(И) — Ьр(И), 1 < р < ж, ограничен и выполняется соотношение —J < а + р-1 < J +1, то Т действует непрерывно в пространстве Ср , а (И).

Положим р(и) = к+(и) — к-(и) и определим функцию Н соотношением

)К(Т}

pH

= т, т Є (0, £) .

Необходимые нам неравенства собраны в лемме 1.

Лемма 1. В предположении |1 — £/т| < £о, где т, £ € (0, £) и £о — достаточно малое положительное число, выполняются неравенства

0

1

(Н(0 — Н(т ))2 + (е(Н(Є)))2 (Є — т )2 + 1

(Н(6 — Н(т)) + *р(Н(т)) (£ — т) — *

с

< - . т

(Н(£) — Н(т)) — *р(Н(т)) (£ — т)+ *

Приступим к доказательству ранее описанных результатов.

Теорема 4. Пусть О имеет внешний пик и пусть в + Р-1 < шіп{^, 1}. Тогда оператор Кз действует непрерывно из в+1(Г) в пространство Мр , в (Г).

Доказательство. (і) Пусть є — настолько малое положительное число, что \к±(х) — (и)\ > сим+1 для всех и, удовлетворяющих неравенству \х — и\ < єх. Дуги

на Г±, проектируемые на отрезки [0, (1 — є)х], [(1 — є)х, (1 + є)х] и [(1 + є)х, £], будем обозначать символами Г^ (х), Г^ (х) и ГГ (х).

Представим а в виде суммы двух функций ао и 71 так, чтобы вирр а о С Г+ и Ги вирр71 С Г\{\о\ > £/2}. Перепишем (Кза)(г), г = х + *к±(х) Є Г±, следующим образом:

[ г — 2 д 1

= ^0{Ч)----<1вд +

] 2 — 2 дПд \2\

Г+

N

+

Г +

н к=1

(

+

+++

\Г\{|д|>й/2| Гт(ж) Г± (ж) Г+(ж)иГ-(ж),

( \г — 2 д , о\{ч)~---=тг—1оё-

2 — 2 дпд \г — 2\

+

+

к=1

Г+

Начнем с оценки второго слагаемого І2. Воспользуемся равенством

к=1

И.е

д

дп„\д;

(-У = -Яегк^-1тд-к+ 1тгк^-Яед-к , \2/ дв„ дв„

д

г

и

1

где д = и+*х±(и) £ Г±. С помощью неравенств |1шхк| < сжк+м и |(д/двд)д к |< си к 1

и+*х+(и находим, что

Отсюда и соотношения

1т хк ——11е</ к

х

к+М

Ие хк = (Ие х)к - ^ 1тхк—г(Ие х)г—^ 1т х

получаем, что

|Иехк - (Ие х)к| < сх‘+М

Поэтому выполняется неравенство

дщ Кд

из которого следует, что

-(Ъег)к—1тд-к

к+М

<ІЖТ 9ЄГ+(х)иГ_(х),

х — ^ д /х\к

соШ- —лє - ««д =

х — ^ дпу V д )

х — д д

ІП12 йвд +

д д й у

Последнее слагаемое справа допускает оценку

|(Д<то)(х)|| < с/ / -———— (^т, х Є Г+ и Г_ ,

' (1—є)а

из которой следует неравенство

Jг+uг-

Сужение ао на дуги Г+ и Г_ будем обозначать символами а+ и а_ соответственно.

Из (5) и оценки

х^+1

< с----- < сжм

и

х+ - д х_ - д £ 2 х+ — х— |

^1 + — д^і і — х- - д

следует, что

|(істо)(х+) — (7ао)(х—)| < схМ [

(

СІМ .

(1—е)х

С помощью неравенства Харди получаем

С Ир(в^)|/2(х+) - /2(х-)|р^ < С II а' ||£ •

Jг+uГ- ’ в+

У

Г+

к

х

Г+

6

и

Воспользуемся оценкой

(d/dnq) log |q| < cuM-1 при u ^ 0 и неравенством (6) для того, чтобы оценить разность Ii(z+) — /i(z_):

f |z|p(e-^)|/i(z+) — /i(z-)|pdsz < c У a' ||Lp e+i .

Jr+uГ- ’ e+

Так как /3(2) является бесконечно дифференцируемой функцией в окрестности нуля, из формулы Тейлора следует, что /3(2+) — /3(2—) = 0(жм+1). Поэтому оценка для /3(2+) — /3(2—), подобная (9), выполняется.

В дальнейшем будем полагать, что 2 £ Г+. Оценим слагаемое /4. Положим р(х) = к+(х) — х_(ж). Нам потребуется неравенство

тг~— log 1 1 ,-(! + >/(и)2) 1/2

P

dn,

< clx^1 +

(x — u)2 + p(x)2

1

<

(x — u)2 + x2^+2 Для того чтобы доказать (10), заметим, что

j

Поэтому верно соотношение

d 1 , , Л2Л1/2

“«s ('м”)) ------------------------------

(x — u)2 + (k_(u) — K+(x))'

+ O (x^1) .

Учитывая, что |k_

(x — u)2 + (k_(u) — K+(x)) (x — u)2 + (p(x))2

+ O

r2M+ 1

(x — u)2 + x2^+2 у

Из (12), (11) следует (10).

Пусть z = x + ix+(x) и q = u + ix_(u), q £ Г^(x). Через z* обозначим x + ix+(u). Так как

z — q z* — q

z — q z* — q из соотношения (12) получаем

2-2*

^ 2 2* - q

< c

< cxM.

z — q z

q

8 1

TT~ los

dn

1

z — q z* — q Теперь с помощью этой оценки находим, что

с S

< (xM_1+

Г2М+1

(x — u)2 + x2^+2 /

/о

a0

2 - q 2* - q\ 9 1

log-

Г—

z — q z* — q/ dnq |z — q|

dsq

dx < HI a'

-p , /3+1

2

p

£)Ж - (и) х2М+1

' (1 —є)ж

(х — и)2 + х2м+2

Йи Йх <

Йс Г^,Г /

/6-^

'К

где в + Р 1 = м(а — Р 1). Из теоремы 3 теперь следует, что правая часть не превосходит + ^ б с/т-ИМ.</к

о

Поэтому достаточно оценить интеграл

/Г-

/ лг* - Ч д 1

При помощи неравенств (2) и (3) нетрудно доказать, что

(£ — т) — *

(М£) — Мт)) — *р(^(т)) (М£) — Мт))2 — (е(М£)))2 (£ — т) + * (£ — т)2 +1

<

с

< -

тЧ£ — т )2 + 1 £

Выполняя замену переменных и = Л.(т) и х = Л.(£) в (13), с помощью (10) и (14) находим, что

( х* — д д , 1 ; [ <г—(^(т)) (£ — т) — *

о"о(д):

1с^-

Г—

(£ — т )2 + 1 (£ — т) +

Т гіг+ /

Здесь последнее слагаемое допускает оценку

с/

£ ./ Ь-1

Из (15) теперь следует, что

с Г ^ йт /то йт Гто

1Ш<7 \с-(Чт))\-+с \а_(Н(т))\- + с

£ л К-46) т ./£ т Ік-1

/К-1

|сг_(/г(т))| с£г (£ - т)2 + 1 г '

хр

г-(1+е)ж

(х — и) + *р(и) р(х) Йи

1(1-е)х а ^и\х -и) - ір(и) (х -и)2 + р(х)2

< Г £р

•^к-1(6) Л

(£ — т) — *

1

(£ — т) + * (£ — т)2 + 1

Йт

Й£ + / £р(1—а) |1 (£)|рЙ£.

./К-1

Согласно теореме 3 и неравенству Харди последний интеграл не превосходит

т /*6

—а-(Н(т))тр1у1~а^1],т = с \а'_(и)\рир^+1Ыи.

Л-чй) «т 7о

о

1

=1=

6

оо

Так как

т * 1 1 д 1

т + *т2 + 1 (т + *)2 дт т + *’

(£ — т) — * 1 Г й Йт

-(^))|-----4—“77-------------------\2 , ИТ = ~/ Та-^Т^(/: )+'

(£ — т) + * (£ — т)2 + 1 Л Йт (£ — т) + *

/К (£ — ' ) + * (£ — ' ) + 1 Л

По теореме об ограниченности оператора Гильберта в весовом ^-пространстве первое слагаемое справа в (16) не превосходит

[ І— <т_(/і(т))|їЧї’(-1 а')(1т = с ( \а'_(и)\рир(13+1'1с1и . ІК-1(6) “т ->о

На Г+ и Г+ (х) и Г1 (х) выполняется неравенство

(д/дпд)^ |х — д| < сжм 1 .

Поэтому верна оценка

Г 1 + £)Ж

о

С помощью неравенства Харди получаем

1 /5 ||£р,0-м + 1 /6 У^р.в-м < С 1 а' 11^0+1 •

Осталось рассмотреть /7. Воспользуемся представлением

д ( 1 1 (2 V А ^ (^/д)№+1 , , т (х/д)№+1

-—Ее! к^-------- --\ - - ) = —Ие-------------со8(пд,ж)+1т-------сов(пч,у).

дпд у 1 — 2/д к= 1 к уду у д — 2 д — 2

Первое слагаемое справа не превосходит С1№ +1им-№_2. Функцию

1ш

перепишем в виде

\^+1 1 ( 1 N 2к \ 1

М т 1  /т 1 'Чех^+ЧЬпхУ" Ее-^—ГНе^-ЧНе- 1

/А " + 1 1 / 1 хк \

11е — ] 1т-------1- 1т .... (Ііех)^1 + Іт-гУ^ Ке ^гт—г (Ке

\ду д — х V д"+1У 7 ^к=1 д^+1 у 7 у д — х

Так как |1ш (д — х) —1| < сиМ—1 на Г+(х) и Г—(х), имеем

Л"+1 1

Ке^У 1т-^

\д; д—х

< сх№ +1иМ—^—2.

Кроме того, выполняются неравенства

1 < сх"+м+1и—^—1

Е" хк АТ 1

11е (В-ех) к=1 д"+1

Іт

N+1

Из оценок (17), (18) и (19) следует, что

Іт

N +1

д—х

< сиМ—"—2х"+1 оп Г+(х) и Г—(х).

Окончательно получаем

д

я—11(3 1оё дпу V

д—х

^к=1 к уд' )

< сх"+1иМ—"—2

Поэтому верно неравенство

Г 6

|17(х)| < сх"+Ч (|<г+ (и)| + |ст—(и)|)иМ " 2йи.

Л х

Выберем N равным [и,]. Согласно неравенству Харди интеграл в (20) принадлежит £р , в—м(0, ^) и норма в £р ,в—М(Г+ и Г—) левой части неравенства не превосходит с У а/ ||р,в+1 (Г). Таким образом, имеет место соотношение

У |(кз^о)(х+) — (кз^о)(х—)|Р|х|р(в м)^ < с у о' у£р,в+і

Г+ Г-

(п) Докажем теперь ограниченность оператора д^^Сз : £р/з+1.(Г) —> £р,/.з+1(Г). Интегрируя по частям, представим д/дв2(Кз<г) в виде суммы трех операторов:

(К, ^)н = |^(,)А(|_|)^.1ое

(К,32а)(г) = - [ а'(д)*-г

ІГ х — д

1о 1-----1^9

log і------гввя •

г дячг — ддпг \г — д\

Ограниченность оператора К32 : в+1 (Г) ^ ,в+1 (Г) доказана в [3]. Покажем теперь,

что оператор К31 и К33 действуют из £р в+1(Г) в , в+1(Г) непрерывно. Достаточно рассмотреть операторы К1* и К2*, заданные соотношениями

Г+ Г-

д х — д д 1

к^-

х — </ <9пд \г — д\ ’

[ —^д~~1ое і ^

/г иг_ двд г - ддпг \г - д\

Обозначим через М(д, х) выражение

д х — д д

1

+

1с^-

<9вд -г — </ дпг \г — д\

и

д

Воспользуемся представлением

/ сто(д)М(д, х)(вд = ^о(д)М(д, х)(вд + 7(2),

где 17(2) не превосходит

(1_е)ж б

“Г [ (1СГ+(М)1 + \е-(и)\)<1и+ - [ (|сг+(м)| + |сг_(м)|)^

XI XI и

о (1 + е)ж

С помощью неравенства Харди доказывается, что

1 7 |£р,э+1(Г+иГ-)- с 1 а |£Р,Э+1(Г) • Будем считать, что 2 £ Г+. Для д £ Г+ выполняется неравенство

|М(д, 2)| — сх_2 ,

откуда следует, что

г-(1 + е)ж

/ ^о(д)М(д, 2)(в5

Г+

Л(1 + £)Ж

х^(1_£)ж

Требуемая оценка для £р,в+1-нормы левой части последнего соотношения получается при помощи неравенства Харди. На дуге Г^ имеют место следующие непосредственно проверяемые соотношения:

а^1о]7^| =

£ 1о« И =

<9вд 2 — </

д 2 — д _ 0. р

= 2»Т^-^Ь-й+°К1)-

2 — </ (ж — и)2 + р(и)2 Из (23)-(26) следует, что

,.м с р(и) с

Л^(<?; 2)| < - 7-------\2 , / N2 2 •

и (х — и)2 + р(и)2 X2 Учитывая (22), достаточно оценить £р,в+1-норму интеграла

г-(1 + е)ж

(

7 (Х) = /

(1

^ (1_£)ж

а_ (и

(х — и)2 + р(х)2

Г-

и

6 ОО

|<7_ (т—1/м )| Йт \Р \1/Р

Ч у

о 6-м

хр(в+1)|7(х)|рЙх < с^ £р(1—а)( J

(£ — т )2 + 1 т 1

Интеграл справа, согласно теореме 3, с точностью до постоянной не превосходит

СЮ 6

|к—<т—,/М ,гт—

6-м о

Это рассуждение завершает доказательство ограниченности операторов К31 и К33. Таким образом, приходим к неравенству

1

^р,в+1

Из (21) и (28) следует ограниченность оператора К3 : 4в+1(Г) ^ N^,0(Г). Следствием теорем 1, 2 и 3 является основной результат работы.

Теорема 5. Для области И с внешним пиком при выполнении условия 0 < в+Р—1 < шіп{и, 1} оператор

I — 2^ :

непрерывен.

В следующей теореме рассматриваются операторы ЙК и ІК3 на контуре с внутренним пиком.

Теорема 6. Пусть И имеет внутренний пик и пусть 0 < в + Р—1 < шіп{и, 1}. Тогда операторы

я^3 : 4,в+1

и

ІК3 : 4,0+1

непрерывны.

Доказательство. Пусть є > 0 и дуги Г±(х), Г±(х) и Г±(х) как в теореме 4. Представим а в виде суммы двух функций ао и 71 так, чтобы вирр а о С Г+ и Г— и вирр71 С Г\{|д| > £/2}. Перепишем (К3а)(х), х = х + *к±(х) Є Г±, следующим образом:

х — д д 1

°о{Ч)-------------------------Мч+

х — д д 1

Г+

+ ( I + 1 + 1 Ы1)т^-^'ое

+ [ Яіі'і)-------3^-^, 1 V/,

.] х — д дпд | х — д| кз

Г+

Слагаемые /^, к = 2, • • •, 5, оцениваются, как в предыдущей теореме. Поэтому ограничимся рассмотрением первого слагаемого /1. Воспользуемся равенством

—— 1с^ г----г = — 11е------сов

Будем полагать, что д £ Г+(х) и Г_(х) и 2 £ Г П {|д| < £/2}. Для первого слагаемого справа в (30) верно представление

11е ----сов

д — 2

Найдем представление второго слагаемого справа в (30). С этой целью воспользуемся соотношением

т 1 2т+1 1т (д - г)-1 = 1т £ + 1т —+

+ Re —-—7Re zm+1Im — ----Ь Re —rim zm+1Re —-—

qm+1 q z qm+1 q — z

Для первого слагаемого в (З2) имеет место представление

m k m

Im E Іі = E^ч-к-1 + О (Л-1) .

k=o q k=o

Второе слагаемое справа в (З2) не превосходит cxMu-1. Далее, так как

|Im(q — z)-1| < c (uM-1 + xMu-1), для третьего слагаемого (З2) получаем

|Req-m-1Rezm+1Im(q — z)-1| < cxMu-1 .

Для последнего члена в (З2) верно неравенство

|Re q-m-1Im zm+1Re(q — z)-1| < cxMu-1 .

Таким образом, для q Є Г+^x) U Г-(x) получаем д І І

*4logi7T7i = Im?+T + *>>

где |I(q, z)| < cxMu-1.

Множитель (z — q)(z — q)_1 в /1 перепишем в виде

q / z 1

- I 1 — 2 і Im -;

q 1 - z/qJ ' Учитывая, что

^4 = 1(1 + 0(x»)) и q/q=l + 0(af). z — q q

приходим к соотношению

z — q d 1 m 1 1

_—-T— log I-------------------------------------г = Y'i‘lm cos

z — q onq \z — q\ ^ qk+l

Согласно неравенству Харди операторы

f(1+e)x /0

/•(1 + Є)Х

т(ж) ^ жк / т(u)MM-fc-1du, 0 < k < m ,

Jo

т(ж) ^ жМ т(u)u-1dM

«/ ( 1 +£ ) X

' (1+е)х

непрерывно отображают пространство £р,в(0, в пространство £^^(0, ^)* Поэтому

верно представление

<7o(g)^-l°g <Asg = ^c(fc)(cr0)a;fc + (i?icro)(2),

где

c(fcV) = / ^o(q)gfc(q)ds„

Jг+uГ-

являются непрерывными линейными функционалами в пространстве £^+1^), и (Й1СТо)(х) допускает оценку

HRlCToL

Lp,e-^

Теорема доказана.

Г +

Литература

1. Мазья В. Г. Граничные интегральные уравнения. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР. Т. 27. 1988. С. 131-228.

2. Mazy a V., Soloviev A. Lp-theory of a boundary integral equation on a cuspidal contour // Appl. Anal. 1997. Vol. 65. P. 289-305.

3. Mazya V., Soloviev A. Lp-theory of boundary integral equations on a contour with outward peak // Integral Equations and Operator Theory. 1998. Vol. 32. P. 75-100.

4. Mazya V., Soloviev A. Lp-theory of boundary integral equations on a contour with inward peak // Zeitschrift fur Analysis und ihre Anwendungen. 1998. Vol. 17, N 3. S. 641-673.

5. Stein E. Note on singular integrals // Proc. Amer. Math. Soc. 1957. Vol. 8. P. 250-254.

Статья поступила в редакцию 18 мая 2008 г.