Математическое моделирование взаимодействия звуковых колебаний с цепочкой дислокаций в пьезоэлектрике

УДК: 517.9: 538.9

С.Г. Гестрин, Е.В. Щукина

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗВУКОВЫХ КОЛЕБАНИЙ С ЦЕПОЧКОЙ ДИСЛОКАЦИЙ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКЕ

Построена и исследована математическая модель, описывающая взаимодействие звуковых волн с цепочкой дислокаций в пьезоэлектрическом кристалле. Показано, что взаимодействие между колебаниями, локализованными на отдельных дислокациях, осуществляется преимущественно за счет длинноволновых возмущений. Получено и исследовано дисперсионное уравнение и найдена оценка для групповой скорости волн, распространяющихся вдоль цепочки, а также для ширины областей, занятых допустимыми значениями частот колебаний при различных расстояниях между дислокациями.

Пьезоэлектрики, дислокации, локализованные колебания S.G. Gestrin, E.V. Schukina

MATHEMATICAL MODELING OF ACOUSTIC VIBRATION INTERACTION IN A PIEZOELECTRIC DISLOCATION CHAIN

The developed mathematical model describes the interaction between the sound waves and a chain of dislocations in the piezoelectric crystal. It is shown that the interaction between the vibrations localized in individual dislocations, is carried out mainly by long-wave perturbations. The dispersion equation is obtained and investigated, and an estimate is found for the group velocity of waves propagating along the chain, as well as for the width of the areas occupied by admissible values of oscillation frequencies at various distances between the dislocations.

Piezoelectric, dislocations, localized oscillations

В [1] впервые была исследована система, состоящая из двух параллельных дислокаций, находящихся в пьезоэлектрическом кристалле, на которых локализованы звуковые волны [2]. Показано, что общее решение дифференциального уравнения, описывающего волновые возмущения в такой системе, может быть представлено в виде суммы двух решений. Одно из них соответствует синфаз-

ным, а другое противофазным колебаниям, происходящим с различными частотами с и Щ. Были найдены частоты таких колебаний и показано, что при слабой связи между колебаниями энергию системы можно приближенно представить как сумму энергий волн, локализованных на каждой дислокации по отдельности. При этом их энергия периодически изменяется, попеременно перекачиваясь от

одной дислокации к другой и обратно с частотой . Данное явление представляет собой внут-

ренний резонанс, так как взаимодействие осуществляется между частями одной системы. В этой связи естественным представляется переход к более реалистичному случаю среды, содержащей большое количество дислокаций. Ниже исследованы волновые возмущения в пьезоэлектрической среде, при наличии в ней дефекта структуры в виде цепочки из N дислокаций.

Известно, что в цепочке из N связанных одинаковых осцилляторов, совершающих одномерное

движение вдоль оси х, в случае выполнения циклических граничных условий хд = XN (хп — смещение осциллятора с номером П) существуют волновые возмущения

Хп ~ ехр(дп- с) , где Ц=(

у = 0,± 1,±2,... ), при этом возможные значения частот колебаний определяются из соотношения

со2 = Щ + 4£281П2 Р,

где СО — собственная частота осциллятора при отсутствии связи между ними, параметр £ характеризует взаимодействие частиц. Вследствие периодичности зависимости (1) значения |у| > N2 не соответствуют новым состояниям колеблющейся цепочки. Каждое из состояний представляет собой волну с частотой

С и волновым вектором Ц, бегущую вдоль цепочки. Возможные значения Ц в отличие от непрерывной среды ограничены неравенством Ц <Ж [3].

В работе показано, что взаимодействие между звуковыми волнами [2], локализованными на отдельных дислокациях, приводит к возникновению нового вида волновых возмущений, распространяющихся вдоль цепочки (перпендикулярно к линиям дислокаций) и найден закон их дисперсии. Как будет показано ниже, в этом случае возникают полосы частот локализованных звуковых колебаний, отделенных конечной щелью от частот объемных колебаний.

Заметим, что волны, локализованные на дислокациях, существуют в кристаллах, имеющих различную физическую природу. Так, ранее в ряде работ [4-8] было указано на возможность локализации на дислокациях плазменных волн, поляритонов, экситонов Френкеля, спиновых волн. В силу сходства между дифференциальными уравнениями, описывающими локализованные волны в различных средах полученные ниже результаты, могут быть распространены также и на них.

Рассмотрим продольные волны в пьезоэлектрическом кристалле, относящемся к классу С^ (тетрагональная система), локализованные на дислокациях, ориентированных вдоль оси С. Выбираем систему координат с осью г по оси С4 и осями X и у , перпендикулярными к двум из вертикальных плоскостей симметрии. Уравнение, описывающее малые колебания

п2

в кристалле, содержащем дислокационную цепочку:

2^2 Л ( ~ „ Л „„V N

д , д ) I Лд 2 Ро

+ \и,„ — ы,п 1^0-к2 — ^С2

дх2 ду2 \ 2 0 2 01 Л Л

= — а20к 2 V- ^¿

Л

Входящие в сумму в правой части (2) слагаемые, содержащие дельта-функции )$(х—х5 )^(у), описывают возмущения, создаваемые в кристалле N дислокациями, расположенными на одинаковых расстояниях ^0 друг от друга вдоль оси х, параллельно оси г, Щ —вектор деформации, Рд -

плотность среды, а0 —постоянная решетки,

Л °Л + ^ Л °л +

£2 £2

Л = и Л =Кх2х—компоненты тензора напряжений Л.Ит; £х —£хх-£уу и ¿2 —£zz компоненты тензора диэлектрической проницаемости ¿к; Ь =Ь,22,и Ь ° Рх,^ — Ьу,у2 ~компоненты тензора Ь,и, характеризующего пьезоэлектрический эффект [9]:

Ц — Ц +еА - ,

где Ц — компоненты вектора электрической индукции, Е — компоненты вектора напряженности

электрического поля. Расстояние между дислокациями й существенно превосходит расстояние

от дислокации, на котором амплитуда локализованных колебаний убывает в б раз.

В дальнейшем для простоты будем предполагать, что колебания, локализованные на дислокации с номером П, взаимодействуют только с колебаниями, локализованными на соседних с ней дислокациях с номерами 5—1 и 5 + 1. В этом случае (2) преобразуется к виду

С Э2

-+ •

Э

2 Л

Эх2 Эу2

0 ( Л к 2 —Л с2 I — — а 02 к 2 Л 3( у )[3(х — х6,—1 К о X—1,0, к) + у Л1 Л1 ) Л1

+ £{х — х5 ^ (х5 ,0, к) + Я{х — х+ К {х.5+10, к)].

•,/"204 Я' ' / ,+1 / ¿0\ 5+1' ' /-Т

Ясно, что крайние дислокации находятся в избранном положении, т. к. имеют соседей только с одной стороны. Понятно, что при большом числе дислокаций N влияние краевых эффектов должно быть незначительным. С целью упрощения задачи ограничимся случаем циклических граничных условий:

01— иш.

Теперь все дислокации находятся в эквивалентных условиях. Решение (5) будем искать в виде Uz00 (х,, 0, к) ^ ехр^х., где Ц — проекция волнового вектора возмущения на ось х. Тогда амплитуды колебаний вблизи соседних дислокаций связаны соотношениями

^0

Подставляя (7) в (5), находим

>2 Л С Т Л

- + -

Э

С Э 2

у Эх2 Эу2 )

1 к2 — £р- с2

— — а2к 2 -Т- у )Их — х,—! К0 (х, ,0, к)е0 + Л1

Л Л

+ д(х—х, )uzо (х, ,0, к) + д(х—х,+1 )uzо (х, ,0, к)е^ ]

С Э2

Из

,2 Л

-+ •

Э2

Эх 2 Эу 2

( Т Л. ^

1 к 2 с2

Л

11

— — а 0

-2к2 Т3(у У)иz0 (х, ,0, к 1з(х — х,—1 )е+

11

+ 5(х — х, ) + 8(х — х,+! )е^ ]

Воспользуемся далее интегральным представлением дельта-функции

2 л 1 „ , „ ,.Ь2:

б(х—х—х )д(у) — —^|ехр/(гх(х—х—) + КуУЙ2 к — Гехр/(х;х + куу)й2кехр(—¡^х— ).(10) (2р)2 J (2р) :

Решение уравнения (9) будем искать в виде

0,

(х, у, к) — ¡С(к, к )ехрр1кр, 2к ¡Ск, к )ехр[/(кх (х—х, ) + Куу\12к, (2р) (2Р)2 -1

где

р —(х — х,, у), :—(кх, ку ).

Подставляя (10) и (11) в (9), находим

1 к 2 — > Л Л

с т ^

2 Л0 2 р0 2 к + ^Т1 к — ^Т0- со

С(к,к)ехр(— / кхх,) —

2 0 , 2 0 ,

= ад2к2 УУп20

Л1

Координаты соседних дислокаций связаны соотношениями

х—1 = х. — Ид, х,+1 = ^ + Ид.

Из (12) и (13) находим

( ~ ^ 2 Л о ,2 РО 2

к + к2 — с2

Л1 Л1

Г (к, к ) =

= аОк2 У ыго

откуда следует

А

Г(к,к) = аОк2 У„,0(х.,0,к) 1 + ^ Р0 .

Л 2 Лд , 2 Ро 2

1 к2 + к — с2

Л Л

Подставляя (15) в (11), имеем

»20,

(2р) Л 2 Л0 2 Р0 2

4 ; 1 к + к — с2

Л Л

Представим (16) в виде суммы двух слагаемых:

»20. = »20. + »20.,

где

) / ,ч а, к2 у , ехр (¡кр.) 2 _

»2 о . (х, у, к ) = т^у- »2 о (х. ,0, к)]-^ -й 2к =

(2р) Л ^2 , Л0 г 2 р0 „2

к2 + к2 — с2 Л1 Л1

= ^ Л »20 х ,0, к Ко

Интеграл (18) представляет собой интегральное представление функции Макдональда нулевого порядка К о (х), а »20. — амплитуда колебаний, локализованных на изолированной дислокации с номером

.. При больших (х >> 1) значениях аргумента К0 (х) 2х  ехр(— х). Таким образом, вдали от дис-

локации амплитуда колебаний обладает характерным экспоненциальным убыванием, что подтверждает их локализацию вблизи дислокации. Вблизи дислокации (х << 1) К(х)»—Цх 2) амплитуда колебаний

имеет логарифмическую особенность, что связано с модельным предположением об — образном характере возмущения, создаваемом дислокацией в кристалле (2). Из (18) находим

2О.

О 008

а,к2у»г0 (х. ,0, к) к2?коо8(кР. 008 р)йрйк = а,к2у»г0 (х. ,0, к) 12р •И к + Г2 _ (-)„г\2~ ] ]

( Р Л О — 008 р йрйО

К ао

(2ж)2Л 0 0 к2 + Х2 (2Ж)2Л 0 0 О2 +Г2 а,2 '

В (19) Р;, =^(х — х. )2 + у2 ; верхний бесконечный предел интегрирования заменен на конечный ~ уа0 , что позволяет исключить из рассмотрения, не имеющие физического смысла коротковолновые возмущения, и тем самым устранить логарифмическую особенность.

Также выполнен переход к безразмерной переменной о = ка0. График функции

Р(Р.) (Р., к)/ »2о(х. ,0,к) при Ха0 = 0,1; а,к = 0,74; у= 5, построенный в МАТИСАБ, представлен на рис. 1а, Р выражено в постоянных решетки. Слагаемое

р, к ) =

2 7 2

а0к X (2р)2

и„п (х. ,0, к )|

2со8(кх - д )й(

х "" "0 ехр(/Арх )й'

2 1 т 2 р0 2

г2 + к - (О

К

1 1

описывает воздействие на дислокацию с номером . со стороны колебаний, локализованных на двух соседних дислокациях с номерами .—1 и . + 1.

Из циклического граничного условия (6) получим, что 1=ехррдЩ) , откуда

со?

В качестве примера на рис. 1б приведем к(р. ) = и20. (р.,к)и^. (х. ,0,к) для N = 100;

j = 50 ; %к = 0,74; са = 0,1; й =10я0. При этом длина волны возмущения, распространяющегося вдоль дислокационной цепочки л. = 2 а 0 = 20 а 0. На рис. 1в приведен график и (р) = р (р) + к (р) вблизи дислокации с номером ..

Положив в (16) рп = 0, находим дисперсионное уравнение для звуковых волн, взаимодействующих с цепочкой дислокаций:

1

Р( Р )0.5г-

"10

- Ь

-0.5

"1

и( р) 0-

-1 -

"10

Рис. 1

22 1 = а0

к2 у <• 1 + 2СО8(кх — д.

0 ,2 -й К.

Представим далее (22) в виде

1 =

22 а 0 к у

(2р)2 1

1 1

й к

к2 +1 к2 — р (2 ()) б1 1

+ 2

со8 д.а 0

й 0 [

С08 Кхй.

хы 0

К2 + 1 к 2 — р ( (.) 1 1

й 2 к + 8т д.й01

Кхй.

хы 0

к2+4 к2 — р (2 (.) 1 1

й2

Для вычисления интегралов, входящих в (23), воспользуемся методом стационарной фазы, согласно которому

Ь /

а

если точки, в которых 51(х) =0 отсутствуют. С помощью (24) находим

0

1

0

+

а

где введено обозначение

к0 1

I /(к) ехр('кхй, )йкх « — {/ (к, )ехр(/к, й,) — /(—к, )ехр(— ¡к, й,)},

—к ¡й о

0

/ (кх ) =

2 2 Л0 1 2 Р0 к; + к2 + к

х у

с2

Из

Л Л к Г 1

I у(кх )00Б(кхй0 )йкх » кН"й" [/(к0 )(008(к,й0 ) + '' 81П(к0й0 )) —

0.06 р( Р) 0.04

р1(Р) 0.02 0

-0.02

р2

—/(—к, Х00^)—' 81П(к,йо))]}

=

й.

0

50 Р

Рис 2

к, Г 1

I /

—у(—к, )(о08(к,йо)—¡' 81П(к,йо))]}

_ \\00S1

=

й

= 0.

00

Поскольку /(—к,) = /(к,) интеграл (28) обращается в 0.

При вычислении интегралов (25) и (27), (28) по кх бесконечные пределы интегрирования заменены на конечные, где к, ~1 йд. Таким образом, мы предполагаем, что взаимодействие между колебаниями, локализованными на дислокациях, осуществляется преимущественно за счет длинноволновых возмущений с |к| <Щ> й, . Для проверки этого предположения разобьем Р(Р. ) на длинноволновую Р1(Р. ) и коротковолновую составляющие р2(Р. ). Из (19) находим

Р(Р. )= Р1(Р.)+ ¿Ар. ) =

2/^2-, к,ао2Р

а о2 к2 у (2р)2

О 008

110 0

О — 008 р \йрйО

2,Л„, 1 2ж

О2 +Г2 а,2

а о2 к2 у (2р)2 Л к

О 008

( Р Л О — 008 р

11-

а, О

йрйО

О2 +Х2 а О2

Пусть а,к = 0,628, Га, = 0,041, = 5. Функции р(р), р1(Р) и р 2(р) для й, = 50%

к, = 1,06й, приведены на рис. 2.

Видно, что при соответствующем выборе к, функция р1(р) близка к р(р ) в том месте, где

находится соседняя дислокация .+1, в то время как высокочастотная составляющая р2(р) в этой

области несущественна.

Возвращаясь далее к вычислению интеграла в (23), находим

1

—к

К а0

К а0

+

»0 »0 I I

С0Э (кхй0 )йКхйКу

—К —К I К2 +

2£тМ0) |

2 , 1 т2 р0 л,2/,Л

к 2 — ^ (2 (.) 1 1

1п(К) й 0 )|_

йк,

й п

К2  10 к2 —р~0 (

0 к+К2+

1 1

йк„

й.

0

к2 +к02ехр

V

4я1

а° к 2у)

л з1п(к0й0 ) = 4—4 0 07 ехр

К0 й 0

2р1

2, 2

V" 0

к X)

аг^

ехр

2р1 к у)

V" 0

2^ ып (к0й0 ) ехр I 2р11

К0 й 0

а 02 к V.

При вычислении интеграла (30) частоты ((.') были приближенно заменены на частоту ( локализованных колебаний, имеющих место при наличии в кристалле лишь одной дислокации

(

2 10 7 2 1 2 I 4р1 2 к2 —^ К2 ехр I— 1

р0 р0 ч а 02 к 2у)

а также предполагалось выполнение условия

для характерных значений параметров кристалла:

1 =1СРди^сл?, у= 5-1012ди^см , ^ = 5. 10 —«см

же из (31) (0 « 1,38 . 1013 Гц .

Подставляя далее (30) в (23), находим

к0 ехр— 41/а2к2 у) >> к° . Из данного неравенства

р0 = 5 г/см 3, 10 = 6-1(/2ди^СлМ , к = 1,26107 см"1 находим й0 > 24^0, так-

22 а 0 к У

1 =

(2р)2 1

й 2,К

2 , Л^ к2 —

+ 4рсо8 д .й

8т (к0 й0) г 21 ^

к +

1 1

Выполняя интегрирование в (32), получим

Г 0

*-0ы0 , К0 й 0

ехр

^ а 02 к 2у

1 = а°к2у

1п -

41

Предполагая, что

02 +1к2 —Р(2(.) 22 ч

1 Л + акУсо^^)51п (кй 0) ехр

1 к 2 — рр- (2 (.) 1 1

Р1

К0 й 0

Vа°к 2 У

1 к 2 — р (2 (.) 1 1

к2

из (33) находим выражение для частоты колебаний

<< 1,

( (.Ь1к2 —4- к2 ехр

А

р0

р0

\

4пХу а1 к 2 у

Л

ехр

4соз

1п

\Б1п

К0 й0

ехр

V О? к 2 у

))

где д. определяется согласно (21). В силу периодичности зависимости (35) значения |. > N2 не дают новых состояний колеблющейся цепочки. Каждое из состояний представляет собой волну, бегущую вдоль цепочки: ((.) —частота волны, д. — волновой вектор. Однако в отличие от непрерывной среды

возможные независимые значения дограничены ^ . Поэтому общее число различных независи-

мых значений д, равное числу независимых состояний колеблющейся цепочки, равно N .

Решение, соответствующее звуковым колебаниям в неограниченном пьезоэлектрическом кристалле, содержащем дислокационную цепочку, имеет вид

2

+¥ N 2 N а 2 к 2 у

:(х, у, 2, < )= I 22 2 у »

—¥ J=—N/ 2 .=1 (2р) л

20 у

(к )К о

'Ф к2 —4;° сд27 (х—х. )2+

л Л

у

X

х ехр'

2р

к2 + — у. — С] У

N

йк.

Здесь К, (х)—функция Макдональда нулевого порядка. Выражение (36) описывает согласованные между собой звуковые волны, локализованные на дислокациях.

Если кристалл представляет собой пластинку, ограниченную плоскостями 2 = 0 и 2 = Ь, то модуль волнового вектора к принимает значения

1 рп 1 тз

кп = —, п = 1,2,3...

п Ь

и локализованные на дислокациях колебания представляют собой стоячие волны. Тогда вместо (35) находим

С2 (п, ])» О2 (п) — — к02 ехр

Ро

л

4лЛ1 а, к2у)

О(п ) =

ехр

Л

4008

2р Л 81п

Р

V

0 К 0

N

к0 й О

ехр

^ 2Л

К а,2 к 2 у.

))

где О(п) частота объемных колебаний. Заметим, что при у = ы/4 частота с(п, ]) совпадает с частотой колебаний, локализованных на одной дислокации С,(п).

Формула (38) определяет возможные значения частот локализованных колебаний в пьезоэлектрическом кристалле, содержащем дислокационную цепочку. Как видно из (38), взаимодействие между колебаниями, локализованными на отдельных дислокациях, приводит к расщеплению каждой из частот дискретного спектра, зависящих от числа п, на ряд близких частот, характеризующихся различными значениями числа ], определяемого (21) и формированию дислокационных зон:

сЩп, У):

Л к. —1

Ро

Л к,2

2

^р0Л0

к

ехр

4яЛ

«о к^у)

\ (

ехр

, . 2т Л 81п(к0й0) 4008 — \— 0 ехр

N

к0 йО

( 2ял

к «о2 к2„у))

13

Для того чтобы оценить ширину областей, занятых допустимыми частотами, воспользуемся следующими значениями параметров пьезоэлектрика: р0 = 5 г/см 3, Л, = 61012ди^СМ2,

Л1 = 10 12 дин / см

, у= 5-1((2 диН СМ , « = 5  10—8 см . Рассмотрим пленку толщиной Ь — 1 Оа,, тогда

возможные значения числа п находятся в пределах от пт1П = 1 до птах =10. Значениям п > птах соответствуют длины волн меньшие, чем 2а0 и их рассмотрение не имеет физического смысла. Будем предполагать, что цепочка содержит N = 100 дислокаций. Из (39),

например, при п = 2 находим Л = 10- «0,

7 „ —1

с(п, .0

1.377-10

1.376-1013 I-

Щ (п, 25) 13 ----- 1.375-10

п = 2

1.374.10

13

0

Рис.3.с10 =5 0а0

13]

к2 =1,25710 СМ частота объемных колебаний

О(п)» 1.3771013 Гц. Частота колебаний, локализованных на дислокации, в отсутствие взаимодействия

между ними, сСп,2 5 »13765103Гц Результаты расчетов, проведенных с использованием МАТИСАБ для й 0 = 50 а 0 между дислокациями, представлены на рис. 3. Видно, что с уменьшением расстояния между дислокациями и, следовательно, усилением взаимодействия между локализованными на них колебаниями ширина дислокационной зоны увеличивается.

Оценим ширину области, занятой допустимыми частотами. Из (39) находим

Д«( n) = 4

g kg sin

(

exp

2рЛ1

\

a о2 кп2Г.

р0 ° (п) К0 й0

С ростом числа пширина области сначала возрастает, достигая максимума при п = 5 , затем несколько уменьшается.

Для кристаллической пластины вместо (39) получим

Г - -^

N/2 N a 2 k2 g

Mz (X, y, z, t) = X I Yap g u

n j=-N/2 s=1 2p 1

z 0njK 0

2p

1

g k2n W0 l l

X - Xs )2 +

У

X

х соэ(кпг) • ехр/ — .. — ((п,. )?

VN у

Волновое возмущение распространяется вдоль цепочки с групповой скоростью у(.) = йк:

v( j) = 2

l

к.

exp

2pgj

a 02 klr j

(

exp

4cos| 1 sin(k0d0)exp

N j k) d 0

^ 2pg

v a 02 klr j

sin

sin

5-10

Зависимость v(j) для d = 50^0 представлена на рис. 4. Заметив, что у границ первой зоны Бриллюэна qmax=±pd0, из (41) находим

uznj ~ exp(± isp)exp(- iw(n, j)t) = (- 1)s exp(- iw(n, j)t),

что представляет собой уравнение стоячей волны. Колебания вблизи соседних дислокаций в цепочке происходят в противофазе, так как cossp = ±1 в зависимости от того, является ли S четным или нечетным целым числом. Бегущая волна не может распространяться в цепочке. Как видно из рис. 4, групповая скорость при

q = qmax обращается в ноль.

Максимальная групповая скорость волн, распространяющихся вдоль цепочки -5-10 сМ с при d = 50^0 (рис. 4), что существенно меньше, чем скорость объемных колебаний 10 /р0 » 106 см/с .

При фиксированном значении n двум отличающимся знаком значениям j, как видно из рис. 3, отвечает одна и та же частота W, поэтому наряду с бегущими перпендикулярно к дислокациям возмущениями ~ exp i(q sd 0 ) в цепочке может существовать стоячая волна

v

n = 2

-5-10

-50

j

Рис. 4. dn =50аг

N/ 2

N a2k2

uz(x,y,z,t) = Y Y Y _ ~

n j=-N/2 s=1 2p g1

U z0njK0

j- k2 -j0 W2,/ (X - )2 + У 2

x cos(knz)- cog

г2л Л

co

s(w(n,j)t).

V N )

Таким образом, в работе исследованы звуковые колебания в пьезоэлектрическом кристалле, содержащем дислокационную цепочку. Показано, что взаимодействие между колебаниями, локализованными на отдельных дислокациях, приводит к возникновению волн, распространяющихся вдоль цепочки с групповой скоростью, существенно меньшей, чем скорость объемных колебаний. Число различных независимых значений волнового вектора при этом равно числу независимых состояний колеблющейся дислокационной цепочки и совпадает с числом содержащихся в ней дислокаций. Получены оценки для ширины областей занятых допустимыми частотами локализованных колебаний при различных значениях параметров, характеризующих пьезоэлектрическую среду и дислокационную цепочку. Области допустимых частот отделены как друг от друга, так и от спектра объемных колебаний.

ЛИТЕРАТУРА

x

1. Гестрин С.Г. Математическое моделирование связанных колебаний, локализованных на двух дислокациях в пьезоэлектрике / С.Г. Гестрин, Е.В. Щукина // Вестник СГТУ. 2013. (72). Вып. 1. С. 35-39.

2. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки / А.М. Косевич. М.: Наука, 1972. 280 с.

3. Косевич А.М, Введение в нелинейную физическую механику/ А.М. Косевич, А.С. Ковалев. Киев: Наукова Думка, 1989. 299 с.

4. Гестрин С.Г. Локализация поляритонов вблизи дислокаций в ионных кристаллах / С.Г. Гестрин // Изв. вузов. Физика. 1996. № 10. С. 45-50.

5. Гестрин С.Г. Локализация плазменных колебаний вблизи заряженных дислокаций и дислокационных стенок в полупроводниках / С.Г. Гестрин // Изв. вузов. Физика. 1998. № 2. C.92-95.

6. Гестрин С.Г. Винтовые колебания, локализованные на заряженных дислокациях в полупроводниковых кристаллах / С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников, Е.В. Щукина // Изв. вузов. Физика. 2006. № 10. С. 66-69.

7. Гестрин С.Г. Локализация экситонов Френкеля на дислокациях/ С.Г. Гестрин, А.Н. Сальников // Изв. вузов. Физика. 2005. №7. С. 23-25.

8. Гестрин С.Г. Спиновые волны, локализованные на дислокациях в ферродиэлектриках / С.Г. Гестрин, Е.А. Сальникова // Изв. вузов. Физика. 2011. №11. С. 3-9.

9. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц // Теоретическая физика. ТУШ. М.: Наука, 1982.

Гестрин Сергей Геннадьевич - Sergey G. Gestrin —

доктор физико-математических наук, профессор Dr. Sc., Professor

кафедры «Физика» Саратовского государственного Department of Physics,

технического университета имени Гагарина Ю.А. Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Щукина Елена Вячеславовна - Elena V. Schukina -

кандидат физико-математических наук, Ph. D., Associate Professor

доцент кафедры «Физика» Саратовского Department of Physics,

государственного технического университета Yuri Gagarin State Technical University of Saratov имени Гагарина Ю.А.

Статья поступила в редакцию 12.03.14, принята к опубликованию 20.06.14