О подгруппах групп Gl_2(p n)

УДК 512.54 А.А. Шлепкин, И.В. Сабодах,

А.Н. Дарзиев, Е.А. Пронина

О ПОДГРУППАХ ГРУПП GL2

В статье рассмотрено понятие насыщенности группы. Установлена структура 2-групп, насыщенных фиксированным набором конечных 2-групп.

Ключевые слова: группа, насыщенность, теорема, доказательство.

A.A. Shlepkin, I.V. Sabodakh, A.N. Darziev, E.A. Pronina

ABOUT THE SUBGROUPS OF GROUPS GL2

The concept of the group saturation is considered in the article. The structure of 2-groups, saturated by the fixed set of finite 2-groups is established.

Key words: group, saturation, theorem, proof.

Введение. В обзоре [1] поставлена следующая задача: как устроена группа С насыщенная СЬ2(ц). Для ее решения необходимо знать структуру подгрупп а2(ц), а также структуру силовской 2-подгруппы исследуемой группы. Решению этих двух задач посвящена данная работа.

1. Гоуппы насыщенные конечными 2-группами специального вида

Пусть X - множество конечных полудиэдральных 2-групп, У - множество конечных групп периода 2, а I - множество сплетенных конечных 2-групп. Положим ТО = X иУ и г.

Теорема 1. Пусть С - 2-группа и С насыщена группами из множества ТО. Тогда С изоморфна одной из следующих групп:

1. С = (а, Ь\а2П = Ь2 = е, аь = а2 1-1) - группа полудиэдра.

2. С - группа периода два.

3. С = (А х В) х (ш), и>2-инволюция, Аш = В и А - (локально) циклическая 2-группа. Доказательство теоремы 1. Утверждение теоремы очевидно, если С конечная группа. Поэтому в

дальнейшем будем предполагать, что С - бесконечная группа.

Лемма 1 (В.П. Шунков). В бесконечной 2-группе Т любая конечная подгруппа отличная от своего нормализатора. В частности, Т содержит бесконечную локально конечную подгруппу [2, 3]. Лемма 2. С - 2-группа.

Доказательство. Пусть Ь е С и \Ь\ < По условиям теоремы Ь е К и поскольку К е ТО(1), то К -2-группа. Следовательно, Ь - 2-элемент. Лемма доказана.

Лемма 3. Если ТО(1) содержит полудиэдральную подгруппу, то либо С группа полудиэдра, либо в насыщена сплетенными 2-группами.

Доказательство. Покажем, что С конечная группа. Предположим обратное. По лемме 1 (К) Ф К. Здесь К е ТО(1) и К полудиэдральная группа. Возьмем Ь е (К) \К и положим К1 = (К, Ь). Очевидно, К1 конечная группа.

По условию насыщенности К2 еТО (1). Из определения множества ТО следует, что К2 одна из следующих групп:

1. К2 - группа полудиэдра.

2. К2 - конечные элементарные абелевы 2-группы.

3. К2 - сплетенная 2-группа.

Так как К собственная подгруппа К2, то ни одна из ситуаций 1, 2 невозможна и, следовательно, либо К = G, либо G насыщенна сплетенными 2-группами. Лемма доказана.

В дальнейшем будем считать, что не содержит полудиэдральных групп.

Лемма 4. Если W(1) содержит элементарную абелеву группу К и \К\ > 8, то G группа периода

два.

Доказательство. Пусть G содержит элементарную абелеву подгруппу \К\ > 8. Из леммы 1 и условия насыщенности вытекает, что в этом случае G содержит бесконечную элементарную абелеву подгруппу I и будем считать I максимальной в указанном смысле (Лемма Цорна [4]).

Если G = I, то все доказано. Предположим, что х е G\I Ф 0. Покажем, что х можно выбрать так, что xz = zx для некоторой инволюции z el.

Если \х\ = 2, то группа (х, z) конечна, для любой инволюции z из I. Пусть t инволюция из Z((x, z)). Если tel, то положим z = t. Если t£I, то положим х = t. Подгруппа (z) х (х) = Кх, очевидно, не лежит в I и K1nl = (z). Возьмем в I инволюцию t Ф z. Ясно, что tz = zt.

Рассмотрим конечную подгруппу (z, х, t). Данные подгруппы, очевидно, не лежат в I и (z, х, t) n I > ((х) х (t)). В силу леммы 1, в (z, х, t) существует элемент v такой, что v е Nc ((z) х (t))\I и v2 е I. Тогда группа К2 = (v, z, х, t, t1), где t1 е I\((z) х (t)) конечна.

По условию насыщенности К2 < К3 е W(1). Так как К3 содержит подгруппу (t) х (t^ х (z), то из структуры W вытекает, что К3 - элементарная абелева 2-группа. В силу произвольности t1 как инволюции, из I получим, что х перестановочен с любой инволюцией из I. Таким образом, I х (х) элементарная абелева 2-группа, что противоречит максимальности, I - как элементарная абелева 2-группа.

Пусть \х\ > 2. Возьмем х1 = xw/2. По доказанному выше x1el. В дальнейшем, дословно повторяя рассуждения для случая \х\ = 2, получим, что х е К4 - элементарная абелева 2-группа. Противоречие с тем, что \х\ > 2. Лемма доказана.

В дальнейшем будем считать, что G не содержит элементарных абелевых групп порядка более четырех.

Лемма 5. G = (А х В) х (w), где Aw = В, А (локально) - циклическая группа, w - инволюция.

Доказательство. Так как G бесконечная группа, то можно считать в силу доказанных выше лемм, что W состоит только из сплетенных 2-групп и по [5] G требуемого вида. Лемма доказана.

Из лемм 2-5 вытекает доказательство теоремы.

2. Структура сплетенной 2-группы

Теорема 2. Пусть G = (А х В) х (w) - конечная сплетенная 2-группа, т.е.

А = (а) , В = (b), aw = b, а2* = b2* = w2 = 1. Тогда:

1. Центр G — Z(G) = (ab) = (z), где z = ab.

2. G = (Z х A) х (w) = (Z х В) х (w), zw = z, aw = b = aba-1 = za-1, a™2 = (za-1 )w = = z(za-1 )-1 = zz-1a = a.

3. G = (Z х В), zw = z, bw = a = abb-1 = zb-1, bw2 = (zb-1)w = z(zb-1)-1 = zz-1b = = b.

4. Пусть x е (A х В)и \x\ = 2m. Тогда \xw\ = 2m+1, (xw)2 е Z, в частности, если x = a, то (aw)2 = ab = z и если x = b, то (bw)2 = ab = z.

5. (aw)(bw) = azb-1 = ab-1z, z е (ab-1).

6. (ab-1)w = awbw-1 = ba-1 и R = (ab-1) х (w) - группа диэдра.

7. Пусть d = a2™-lbl, тогда dw = Ь2™-1а1, (l, |2fc|) = 1, ddw = a2m-lblb2m-lal =

nm г пШ пШ .... . -Л пШ . пШ -Л пШ . ., „Ь

= a2 b2 = z , dw = d a2 b2 = d-1z2 , \d\ = 2k.

8. Если m = k, то (d) = (ab-1) и (d) х (w) = (ab-1) х (w) = R - группа диэдра.

^i- i „ 7m h i 7m n 7mi 7m

9. Если m = k — 1, то a2 - инволюция из А, b2 - инволюция из В, a2 b2 = z1 - инволюция из D nZ = (z1) и ddw = z1 или dw = d-1zv Тогда D = (d) х (w) - полудиэдральная группа.

10. N((bw)) = (bw) х zb, zb - инволюция из (b).

Доказательство. Непосредственные вычисления и данные 5.

3. Структура а2 (ц), где ц - нечетно

Теорема 3. Пусть I = а2(ц), где ц = рп и р - нечетно. Тогда:

1. Я = {(0 ^,а е - силовская 2-подгруппа группы 1_.

2. (Я) = Ях (2 х Т), где 7 = <(0 °)> - центр группы 1,Т = <(0 ^ ,\а\ = ц — 1.

3. [Р - абелева группа периода р и Я с БЬ2(2рп).

4. Сь(Я)=( Я х г).

5. Все силовские р-подгруппы группы 1_ сопряжены и пересекаются тривиально.

6. (2 х Т) = (2 х Т) х (иО,где w = (1 0).

7. Пусть М = <а> х <Ь>, где \а\ = \Ь\ = к >2, подгруппа 1_. Тогда к делит ц — 1 и для некоторого д = Ь, Мв с (2 х Т) и МЬМв = (2 х Т).

8. Ь = БЬ2(рп) Г, где Т = <(0 0)> и а Е СР(рк).

9. I = (БРа2(Ч) • 2 • <р>, где V = (^ ¿) (0 0), V2 = w = (^ 0) Е 2, где И - элемент поля вР(рп), из которого не извлекается корень квадратный.

10. Если 4\(ц — 1), то Ь = (5Ь2(ц) <а>, где а = (^ 0) и И - элемент поля вР(ц), из которого не извлекается квадратный корень.

11. Если 4\(Ч — 1), то ш = (0 10)еб12(Ч) •2(а2(ч)).

12. Если 4 } (д — 1), то ш = (1 0) £ БЬ2(ч) 2(а2(ч)).

13. Если д = 1(той 4), 2Б — 2 часть числа ц — 1, % - примитивный корень степени 2Б из 1 в СР(ц), то силовская 2-подгруппа Б группы 1_ имеет порядок 2Б+1 и является сплетением групп

^ и * = <(0 % X 1)>.

14. Если д = —1(той 4), 2Б — 2 часть числа д + 1, ^ - примитивный корень степени 2Б+1 из 1 в вР(ц2), то силовская 2-подгруппа Б группы 1_ является полудиэдральной группой порядка 2Б+2 и

5 = <0 ( +Л?! >

15. Пусть С = РЫ2(ц) и 4 \ (ц — 1). Тогда Сс(иг) = {Б х ю},

где й - группа диэдра порядка (ц — 1),

И = Ах <Ь>, А = (а) — циклическая группа порядка , £ — инволюция, аг = а-1 для любого а Е А.

16. Если 4\(ц — 1), то РвЬ2(д) = Ь2(ц) х <а>, где \а\ = 2.

17. Если 4 \ (ц — 1), то РвЬ2(д) = Ь2(ц) х <ш>, где ы = ы2(СЬ2(ц)). Доказательство пунктов 1-8 можно найти в [6].

Доказательство пункта 9. Пусть существует в вР(рп). Тогда:

1 = ) • С X 1) =

="К1 1)

Пункт доказан.

Доказательство пункта 10. Покажем, что а £ 5Ь2(ц)2. Предположим обратное а Е БЬ2(ц)2. Тогда а = яг, где 5 Е 5Ь2(ц)2, а г Е 2. Посчитаем определители матриц: —к = \а\ = ^ = ИИ = 1

\z\ = \z\ = а2, где z = 0). Поскольку 4\(q — 1), то 4—1 элемент поля GF(q). Следовательно,

h = —а2 = (4—1)2а2 = (4—1 • а)2. Противоречие с тем, что из h не извлекается корень квадратный. Пункт доказан.

Доказательство пункта 11. Так как = (^ (1 —01) и (1 —^ е SL2(q), то до-

статочно показать, что (01 0) е SL2(q)Z. Так как 4\(q — 1), то 4—1 е GF(q) и ( 01 1) =

У П°тому что (^ {—1Г)е SLM

е Z. Пункт доказан.

V 0 4—1'

Доказательство пункта 12. Предположим обратное. Тогда w = sz для некоторых s е SL2(q) и z е Z(GL2(q)). Посчитаем определители —1 = \w\ = \sz\ = \s\ • \z\ = 1 • \z\ = \z\ = а2, где

z = (0 00). Следовательно, в GF(q) существует 4—1. Но тогда |V—T| = 4 и 4 делит q — 1, что невозможно. Пункт доказан.

Доказательство пунктов 13, 14 можно найти в [6]. Доказательство пункта 15. Из условия wgw = gd, d е Z получаем

(У x) (dz d J ^ >

й2х=х

й2у=у ^

d = ±1

Со ^ = {dXyУdx} = {уУх\ и [-7- х) .

Имеют места следующие ограничения х2 — у2 Ф 0 для первого множества и —х2 + у2 Ф 0 для второго множества. Равенство 6 можно записать в следующем виде:

Сооо={

Посчитаем количество элементов в каждом из этих множеств:

1Й 1) (8) КС = 1) 9

В случае (10) выбрасываются матрицы с х = ±1. Так как в этом случае йеЬ (^ 1) = 0. Аналогично

\{(-1 -хМ = (« — 2)(« — ^

Нетрудно увидеть, что все указанные 4 множества пересекаются по пустому множеству попарно. Следовательно, общее число элементов равно:

Переходим к фактор-группе а2(ц)/г, получаем: \Сс(ш)| = 2(ц — 1). Пункт доказан.

Доказательство пунктов 16, 17 вытекает из пунктов 10-12.

4. Структура БЬ2(ц), где ц - нечетно Теорема 4. Группа БЬ2 (рп) при р Ф 2 содержит точно одну инволюцию.

Доказательство. Предположим обратное. И пусть V = (а и инволюция из БЬ2(рп), отличная от

^Д о'

—1 0

инволюции г = ( 0 1), т.е. гФг.

Так как V е БЬ2(рп), то 1 = \у\ = аА — ра.

V2 = (а Р)(а Р) = (а2 + № ар + о/3\ = (1 0) (А о)(А о) (аА + оА ВА + а2) (0 1/

Так

как

=-=(0 !) то

РА

Следовательно, имеем систему уравнений:

гаа — РА= 1

а2 + РА= 1

рА + а2 = 1

ар + ар = 0

<аА + оА= 0 (5).

а2 = 0 или а — а)(о + а) = 0.

Вычитая из уравнения (3) уравнение (2), получаем а2

I. о = а. Тогда система (1) приобретает вид:

1. а2 —рА= 1

2. а2 + рА= 1 (2) \ 3. Ар + а2 = 1

4. 2ар = 0 ^5. 2аА= 0.

Складываем уравнение (1) с уравнением (2). Получим а2 = 1.

Вычитая из уравнения (2) уравнение (1) , получаем 2рА= 0. Из уравнений (4) и (5) следует, что р = а=0. Значит а = —1 = а и V = (— Д).

II. а = —а. Тогда система (1) приобретает вид: 1. а2 —рА= 1

2. а2 + РА= 1 (3Н 3. а2 + рА= 1 4. ар — ар = 0 ^ 5. аА — аА= 0.

Точно так же, как и выше (в случае \а = а), получим а2 = 1 ßA= 0 и 1 = |v| = —аа = -а2 = — 1. Противоречие.

Итак, случай \\, а = —а невозможно и теорема доказана.

5. Об инволюции в GL2

Теорема 5. Пусть b е G > GL2(рп), 2 \ Ibl uCG(b) содержит две различные инволюции. Тогда Ырп — 1.

Доказательство. Пусть z, v инволюции из условия теоремы. Без ограничения общности можно

считать, что z е Z(G). Несложно видеть, что G = SL2(pn) \ Т, где Т = (Q °0))и t е GF(pn). Так как

Ibl нечетное число, то Ibl делит либо рп — 1, либо Ibl делит (рп + 1). Если Ibl делит рп — 1, то все доказано.

Рассмотрим случай, когда Ibl делит рп + 1. В этом случае b е SL2(pn) = Sи по теореме 4 Cs(b) содержит точно одну инволюцию и это инволюция z.

Следовательно, v £ S и v = zstx, где tt еТи tx = ( ^ 1), а S е {0,1}.

Посчитаем Cs(t1):

у = —у = 0 Z = —Z = 0.

Таким образом, Cs(t1) = 0)). ix 0\

Получаем у = (0 р) и ly !делит рп — 1, для любого у е Cs(t-^.

Противоречие. Так как b е Cs(t1), то Ibl делит рп — 1. Противоречие с тем, что Ibl делит рп + 1, поскольку (рп — 1, рп + 1) = 1. Теорема доказана.

Литература

1. Кузнецов А.А. Филиппов К.А. Группы, насыщенные заданным множеством групп // Сибирские электронные математические известия. - 2011. - Т. 8. - С. 230-246.

2. Шлепкин А.К. Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы // Сб. тез. 3-й междунар. конф. по алгебре. - Красноярск, 1993. - С. 396.

3. Лыткина Д.В., Тухватуллина Л.Р., Филиппов К.А. О периодических группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп // Сибир. мат. журн. - 2008. - Т. 49. - № 2. - С. 394-399.

4. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. - М.: Наука, 1973. - 400 с.

5. Шлепкин А.А. Периодические группы, насыщенные сплетенными группами // Сибир. электронные математические известия. - 2013. - Т. 10. - С. 56-64.

6. Harada K. IndecompsableSylow 2 - subgroups of Simple Groups // ActaApplicandaeMathenaticae. - 2005. - Vol. 85. - P. 161-194.