Плазмон-поляритоны вдоль поверхности асимметричного гиперболического метаматериала

ФИЗИКА

КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

УДК 537.8+537.9+621.371

Плазмон-поляритоны вдоль поверхности асимметричного гиперболического метаматериала

М. В. Давидович

Давидович Михаил Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры радиотехники и электродинамики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, DavidovichMV@info.sgu.ru

Рассмотрены плазмон-поляритоны вдоль поверхности гиперболического метаматериала и вдоль слоя из него, распространяющиеся в плоскости оси анизотропии (ось в плоскости поляризации составляет произвольный угол с направлением распространения). Использован строгий подход на основе уравнений Максвелла. Параметры гиперболического метаматериала в виде тензора эффективной диэлектрической проницаемости определены путем гомогенизации. Диэлектрическая проницаемость металлических слоев определена по модели Друде-Лоренца. Изменение оси производится с использованием матрицы поворота системы координат, при этом соответствующим образом преобразуется тензор эффективной диэлектрической проницаемости. Рассмотрена возможность использования графеновых слоев с проводимостью листа графена на основе модели Кубо. Найдены условия существования быстрых, медленных, втекающих, вытекающих, прямых и обратных плазмон-поляритонов. Обратным плазмонам соответствует волна, в которой фазовая скорость противоположна скорости переноса энергии. Классификация волн произведена как на основе вычисления вектора Пойнтинга, так и путем решения дисперсионного уравнения и определения знаков действительной и мнимой частей постоянной распространения. Получены формулы Френеля для дифракции плоской волны произвольной поляризации на такой структуре. Применены методы аналитического и численного решения дисперсионных уравнений. Получены частные аналитические решения дисперсионных уравнений. Найден новый тип обратных плазмон-поляритонов, распространяющийся вдоль плоской границы массивного образца гиперболического метаматериала с вакуумом, не существующий для сплошного металлического образца. Рассмотрена возможность управления дисперсией путем приложения внешнего магнитного поля, а также возможность усиления плазмон-поляритонов в волноводах из метаматериала с оптически накачанными листами графена, а также при дифракции на плоскослоистых структурах.

Ключевые слова: гиперболический метаматериал, гомогенизация, плазмон-поляри-тоны, дисперсионное уравнение, уравнение Френеля, формулы Френеля.

Поступила в редакцию: 07.08.2019 / Принята: 12.10.2019 / Опубликована: 02.12.2019 Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution License

DOI: https://doi.org/10.18500/1817-3020-2019-19-4-288-303

Введение

В последнее время возрос интерес к метаматериалам или искусственным средам (ИС) с гиперболическим законом дисперсии [1-22], получившим название гиперболических метаматериалов (ГММ), включая ГММ в области, где одна из компонент тензора эффективной диэлектрической проницаемости (ДП) близка к нулю, или так

называемых ENZ (epsilon-near-zero) ИС [23]. ГММ есть ИС, обычно одноосный электромагнитный или фотонный кристалл (ФК), в которой гомогенизация дает различные по знаку реальные части двух главных диагональных компонент тензора эффективной ДП. Обычно он изготавливается из периодически внедренных в диэлектрическую основу тонких проводящих металлических, полупроводниковых или графеновых слоев (рис. 1). В таком одноосном электромагнитном кристалле ось направлена перпендикулярно слоям, и две поперечные к оси компоненты ДП е± = s'L — is'± могут обладать свойством е[ <0, тогда как для продольной компоненты выполнено s" > 0 (ГММ второго типа). ГММ первого типа обычно изготавливают из проводящих наноцилиндров, периодически внедренных в диэлектрическою основу [1-6]. Для них возможно условие s" = s" < 0, где ось ГММ направлена по оси цилиндров. Мы будем рассматривать ГММ второго типа в виде плоскослоистой периодической ИС, но покажем, что при некоторых условиях он ведет себя как ГММ первого типа. Пусть среда состоит из тонких металлических слоев наноразмерной толщины tm, периодически внедренных с периодом t= tm + td в недиссипативный диэлектрик с ДП sd > 1. Здесь td - расстояние между слоями металла или толщина слоя диэлектрика (см. рис. 1). ДП металла возьмем в форме Друде-Лоренца sm - sL -a>2p/(a>2 -ia>a>c) илиsm =s' -is", в которой обозначена плазменная частота и частота столкновений. Реально ДП тонких слоев зависит от их толщины и определяется квантовыми эффектами. Мы будем использовать приближенные параметры для массивного серебряного образца  = 1.6 -1016 Гц,  = 4.5 -1013 Гц, p c

sL = 9. Направим ось z перпендикулярно слоям. Величина е' — sL — a)2p /(о>2 + a>2) будет отрицательной для частот ю < / sL —a>l или длин волн X примерно больше 350 нм, при этом е" — (о2рюс /(iу3 +о>со2) величина малая. Рассмотрим условия слабой диссипации. Очевидно, это

сос «ык^Юр / (sL +1)- <al ~юр / д/ sL +1. Это условие существования медленных ПП на границе металл-вакуум. В этом случае s' < — 1, s" / s'\ << 1.

z

z

к

bsz--

Рис. 1. Слой ГММ толщины d из проводящих листов металла или графена, периодически внедренных в диэлектрик сверху, и такие же слои, полученные разрезами ГММ под углом a = л/4 и a = л/2 к кристаллографической оси Fig. 1. HMM layer with thickness d of conductive metal or graphene sheets periodically embedded in the dielectric from above, and the same layers obtained by HMM sections at an angle a = л/4 and a = л/2 to the crystallographic axis

1. Метод исследования

Для рассматриваемой ИС в приближении отсутствия пространственной дисперсии (ПД) гомогенизация дается простыми формулами [13-16]

е± = £хх = е„ = {*тет + *аеа)/ 1р,

=(('„ / к1/ к1 Г.

Формулы с учетом ПД можно посмотреть в [16] и в ряде других работ. Далее считаем £а порядка 2-5. Найдем условие, когда е'± < 0. Обозначив коэффициент заполнения металлом К = ¿т / ¿р , получаем:

о <

\вь +(1/К - 0 ^) Если пренебречь диссипацией и взять К = 0.5, будем иметь со<шр /->/12 , т.е. это длины волн

z

более 400 нм. Для выполнения гомогенизации в оптическом диапазоне вполне достаточно использовать структуры с периодом t < 40 нм, т.е. с толщинами слоев порядка 20 нм и менее. Для простоты положим К = 0.5 и получим параметры эффективной ДП при слабой диссипации. Рассмотрим несколько случаев. Пусть сначала е' = —ей. В этой области £хх=—е'/2, е2_=2еа(1 — ¡еа /е" , т.е. поперечная компонента мала и мнимая, а продольная компонента сильно диссипативная. Пусть теперь е' << -еа. Тогда

^ = + "И/2, 2^

е„ =

И-*' ))•

- и У ')•

Если -sd <е' <0

<x-М)/2 > о ,

2s.

и имеем

4 "и))

s„ =

В этом случае при условии |s ' | > s"2 /(sd - |s'|) получаем s'x> 0 и s' < 0, т.е. ИС становится ГММ первого рода. Пусть, наконец, s" « 0. В этой области при конечной диссипации szz — 2s" {s" / sd — i), sx ~{sd — iV')/2, т.е. продольная компонента мала и сильно диссипативная. Это так называемая область ENZ [23]. Нам далее будет интересен случай = —е'х . Это уравнение легко решается. Если s' << -sd,, условие s'zz — —s'^ выполнено с точностью до малого члена s"2 /(2s "2), если sd =(з-V8)s'| или s' = -sd (з + 2л/2). В этом случае имеем s'zz = ~s'xx + s"2/{2s'2), < = *fi/2 -J 3 -V8 ] = 0.086^".

Если —ей <е'< 0, то условие е'^ = приводит к решению ел = (з+ л/8)е' . В этом случае опять ¿^ = + г"2/(2г'2), и

< =е"{4 3 + л/8 +(з ^л/8 )/2 ^ = 5.32^", т.е. диссипация здесь выше. Очевидно, при сдвиге частоты условие — —е'^, может быть выполнено точно, при этом несколько изменится диссипация.

В бесконечной среде из ГММ мы рассматриваем электромагнитную волну вида

Е(х, г, t) = Е0 ехр(( — кхх — кхг)),

Н(х, г, t) = Н0 ехр(( — кхх — кх.

Такая среда описывается гомогенизированным тензором эффективной диэлектрической проницаемости

в котором для ГММ из периодических плоскослоистых структур с проводящими пленками, нормаль к которым ориентирована по оси z, имеем sxx = syy = £f±— is'l, причем величина s'L может быть отрицательной. Рассмотрим матрицу поворота структуры вокруг оси y на угол a :

cos

Действуя на вектор E, она дает:

EX = Ex cos(a)- Ez sin(a), E'y = Ey,

E'z = Ex sin(a)+ Ez cos(a), т.е. имеет место поворот против часовой стрелки. При этом матрица (1) примет вид

s = Г-1 {a)sT(a) = T(-a)sf(a) или

, т о ^ xx 0 0 "

s = 0 0

0 0 -

s =

cos2{a]e„ + sin2(a)szz 0 sin(a)cos(a)(fzz - e„) 0 ^ 0 sin(a)cos(aX^z " ^xx) 0 cos2(«Kz + sin2{<*Kx

и

Запишем однородные уравнения Максвелла в такой ИС: Ух Н = гю£0ТЕ,, Ух Е = -гю/и0 Н. Расписывая их по компонентам, имеем:

5уН2 -дНу = -3Ну = ^0{^ххЕх + е„Ег),

5Нх -3ХН, = 1Ш£оГ£ххЕу,

зНу - 3УНХ = дНу = ¿^0 (^Е + ),

дуЕг -дгЕу = -дгЕу = -гюц0Нх,

3Нх -3 Иг =-^0Ну , 5хЕу - дуЕх = дхЕу = -1ЫМ0Нг.

В этих уравнениях мы учли, что поля не зависят от у. Эти уравнения разбиваются на две системы уравнений: Еу ф 0, Н = 0 и Ну ф 0, Еу = 0 . Первая имеет вид:

20 {кНг - кгНх )= КвхНу ,

кгЕу = —20к0Нх , кхЕу = 20к0Нг ,

Ну = Ех = Ег = 0. Вторая, в которой Еу = Нх = Нг = 0, записывается как

20кгНу = к0 (¿ххЕх + ~Иг ),

- 20кхНу = к0 {¿хИх + ~гЕг ) 5

кгЕх - кхЕг = 20к0Ну

к 2 к

2е„

+ +-^кк, = к,

Здесь 20 = е^0 = 4м0 /е0 . Первый тип уравнений дает Н-волну относительно оси г, а второй - Е-волну. Рассмотрим сначала последнюю. Равенство нулю ее определителя дает дисперсионное уравнение (ДУ) Френеля

£„к1 + ^А' + 2еакхк, = к02 ). Из двух

уравнений

¿ххЕх + £хИ] = 20Нукг / k0, ,

КИх + =-20Нукх/ к0

следуют соотношения

20Ну £,,к, + £„к

77 _ 0 у ~ гг" г ' ~ хг" х

к0 £хх£гг £хг

Е _ 20Ну £Хгкг + £^кх Ег ---к--~ ~ _~2 .

к0 £хх£гг £хг

Подставляя их в третье, имеем это ДУ, которое запишем в форме

Здесь обозначено А = £хх£!] ~ . Из этого уравнения Френеля для необыкновенной волны определяем два значения

к±х=-кНх:/?„ ±Лк2?хх - к] )д / Ехх .

Два значения соответствуют противоположным волнам вдоль ± х. В симметричном ГММ к- = —к+х . Второе уравнение в (4) позволяет найти импеданс:

20 £ИГ + £Их

2± — — Е / Н _ 0 хг г хх х

~ г у~Ь А

= ±2,4(е„ -к2/к2)/ А.

Его знак зависит от направления: 2± = ±20р , р = 4{~~хх ~ к2 /к02)/ А. Приравнивая 20р импедансу Е-волны в вакууме 20р0 = 2- к1 / к02, распространяющейся вдоль оси х, получаем дисперсионное уравнение (ДУ) для Е-плазмон-поляритона (ЕПП) вдоль поверхности

р = 41 - к2/к2 . (8) Оно определяет две взаимно-противоположные волны вдоль каждого из направлений ±г : кг =±к04{Ь-е„)/(А-1) . В случае симметрии £ = 0 имеем решение

кг =±к04^ (¿г "1)/(¿Лг "1) . Этот ПП очень медленный, если ^^^ ~ 1 (рис. 2). В случае £хх - £1г это ДУ поляритона Ценнека [24-29]. В слоистой структуре это равенство не возможно. Такой слой должен быть однородным, либо диэлектрическим, либо металлическим. В последнем случае максимальное замедление будет при е ' = —1, т.е. на частоте плазмонного резонанса. В случае волны в пластине решение имеет

вид

Ну - ехр(-¿к2гехр(-\к+хх)+ А" ехр(-,

а компоненты электрического поля определяются по формулам (4). Нам потребуется компонента

Ег - ехр(! 1кк:гг [А+рехр(-гКх)- А рехр(-гк^)}

- С^0к0

2

2

Е-* ° о.

etf -

ю

.

о

ю J

m ^ ™ —

^^ |iiiiiiiii|iiiiiiiii|iiiiiiiii|nininipininiqiniTiinjnTnTnï|iiiiiiiii|

° 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

Ф

Рис. 2. Зависимость коэффициентов отражения R

В вакууме нам также потребуются решения волнового уравнения в таком виде:

Hy = B exp(- ikzz)exp(- ik0x(x - d)),

Ez = ~BZ0 ta x / k0 )exp(" ikzz )exp(" ik0 x iX - d )) ,

Hy = C exp

Ez = CZ0 fox / k0 )exp(" ikzz)exp(ik0xx) .

Они записаны для областей x > d и x < 0. Для них k02x + k2z = k02, причем направление движения энергии быстрой волны (Re (kz2 )< k02 ) принято от пластины в вакуум (вытекание). Для симметричной структуры k+ = —k— . Поля на обеих сторонах имеют идентичные зависимости и могут иметь либо экспоненциальное убывание в сторону вакуума (поверхностная втекающая волна), либо экспоненциальное нарастание (антиповерхностная вытекающая волна). Поэтому достаточно ввести одну константу в (11) и сшить поля на одной поверхности [24]. Втекание означает движение энергии из вакуума с обеих сторон и поглощение в пластине. При слабом втекании поверхностная волна может быть слабо диссипативной. Выте-

кание означает излучение запасенной энергии из пластины в вакуум. Сильное вытекание даже при слабой диссипации сопровождается большими радиационными потерями. Знаки в (11) выбраны согласно условиям излучения, т.е. вытекания. Вытекание может смениться втеканием при повышении частоты. Втекающие с одной стороны и вытекающие с другой стороны (или в другую сторону) моды для рассматриваемой структуры не возможны. Для симметричного случая доказательство простое. Ее ДУ получается приравниванием входного импеданса с одной стороны импедансу волны в вакууме [24-29], т.е. наложением условия R = 0. Трансформируя импеданс волны в вакууме и приравнивая его такому же импедансу, получаем tan(kxd ) = 0. Это не ДУ, а условие согласования, при котором коэффициент отражения R равен нулю. Для прозрачного слоя это условие баночного согласования в линии передачи при полуволновой толщине диэлектрика слоя (банки). Трансформация означает однонаправленную передачу энергии. ДУ получается, если изменить знак у одного из импедансов. Для несимметричного случая разные условия втекания-вытекания приводят к изменению знака импеданса и k0x в одном из уравнений (11). Такая система уравнений не имеет решения.

Определяя k0x = ±д/k02 - k2 , следует учесть, что знак надо выбирать так, чтобы медленная волна в диссипативную структуру ГММ из вакуума была втекающая (k'0x < 0), т.е. энергия из вакуума должна втекать в пластину [24-29]. В этом смысле, взяв k0x = k'0x - ik'Qx, следует потребовать выполнение k'0x < 0 и k'0x > 0 для втекающей волны и k'0x > 0, k'0x < 0 для вытекающей. Видим, что втекающая волна поверхностная (убывающая от поверхностей в сторону вакуума), а вытекающая волна антиповерхностная (экспоненциально нарастающая). Берем kz = k'z - ik'z . При слабой диссипации в медленной волне k'z2 > k^ имеем

k0x = - К = +ijk'z2 - С - k2 - 2ik'zk"z «

+ф:2 - ko2 - lik'x * +ф;2 - k

i -

ik 'k

[kl

K2-k2,

поэтому

k0, = ^К2 - k2 , k0x = -k'zk"z Цk'2 - ko2 :

т.е. взят знак минус, и волна деиствитель-

но втекающая. Сверху волна падает из вакуума под углом вытекания

в = аге1аи(к0х / кг) = — агаап^ 1 — к02 /к'2),

а сни-

зу - под углом - Q. В случае к'2 < к0 волна

быстрая. Для нее к0 х = к02 — к' 2 — к" 2 + 2/к^к" «

~±4к02 — к'2 (1 + 1к'Х /(( — КВ этом случае следует взять знак «плюс», к'0х = д/ к0 — к' 2, к0'х = Кк"/4к02 — к'г2 , и волна вытекает (см. рис. 1) под углом вытекания в = аг&ап(к'х / к') =

= arctanl-

(]к2/к'22 -1). Следуе

т отметить, что

направление волны вдоль г мы определяем по направлению движения энергии, т. е. за положительное берем такое, когда к'' > 0 и имеет место зависимость ехр(— к'г). Следовательно, затухание в сторону движения энергии. Если при этом к' > 0, то такая волна прямая. Если же к' < 0, то волна обратная. В ней фаза и энергия движутся противоположно. Видим, что в обратной волне со слабой диссипацией втекание заменяется вытеканием и наоборот. Однако при сильной диссипации извлечение корня может не приводить к такому эффекту, т. е. возможны все режимы. Сшивая касательные компоненты, получаем:

/3± =a±^a2 -1. Тогда для квадрата замедления найдем n2 =\£ s -е2 -е В2)/(? s -е2 - В21.

^ V xx zz xz xxr + / V xx zz zx Г+ }

Большое замедление возможно, если мал знаменатель или велик числитель.

Рассмотрим ДУ для H-ПП. Подставляя ком -поненты магнитного поля в первое уравнение,

имеем ДУ к2 + к2г = k02¿Txx. Это уравнение Френеля обыкновенной волны. Для нее импеданс вдоль оси x имеет вид Z = Ey /Hz = Z0к0 /у]k2?^ - к^ . Он

не может быть согласован с соответствующим импедансом в вакууме, поэтому H-ПП вдоль плоскости с бесконечным образцом ГММ не существует. Однако он имеет место, если имеется конечный слой ГММ. В этом случае, так же как и для одиночного металлического слоя [25-29], имеем два решения:

Jtfexx - к] =4к2 - к2 [i tan

Решение со знаком «плюс» соответствует электрической стенке, а со знаком «минус» - магнитной стенке в центре слоя. Эти уравнения такие же, как и для металлического слоя с заменой £xx ^ £m [25, 26]. Поскольку возможны медленные ПП с к[2 > к02, ДУ (14) удобно преобразовать к виду

B = A+ exp(- ik+x d)+ A exp(- 1кхd),

C = A++ A", (12) _ _ , _

Bpo = p[a+ exp(- ik¡ d)-A- exp(- ikxd)], ^кГ^к2^ = V% - К [tanh(d^2 - к2^ /2j

".

- Ср0/р= А+- А- .

Имеем А = С (1 + р0 / р(. Делим третье уравнение на первое и получаем ДУ в форме

{р- р0 )ехр

Ро = Р\

.

В случае симметрии оно принимает вид

р = рРо + i>tan(kxd) 0 р + ip0tan{kxd)'

или 2ip0p = (p2 + pl )tan(kxd). Имеем решение

р0 = ppi tan ((xd / 2))1. Верхний знак соответствует электрической стенке в центре, а нижний - магнитной. В общем случае

2 2 expl- iktd)+ expl- ikxd)

2PP0 = P +^о2, <* = /' x+J\ [ -A

exp- iкxd) - exp- ikx d) Имеем два ДУ: p0 = p{^±4a2 -1). Обозначим

Обозначим гиперболический тангенс как Т, возведем уравнение (15) в квадрат и будем считать, что плазмон достаточно медленный. Тогда

к22 = к02 (1 - ~ххТ+2)/(1 + Т+2). Если диссипацией можно пренебречь, кг - к0(1 + +2)/(1 - Т+2). В этом случае для медленного ПП величина Т должна быть меньше единицы и близка к ней. Видим, что возможно решение

К] - к0^(1 + ^Т2)/(1 - Т2) с медленным ПП, а плазмон к++ очень медленным и слабо диссипа-тивным быть не может.

2. Исследование частных случаев

Рассмотрим частные случаи. Они возникают при разных углах оптической оси с осью г или между нормалью к поверхности и плоскостями слоев.

Угол а = 0. Для него ех2 — 0 и kx =

= ±kx = ±-\¡£zz (к02 - k2/^). ДУ для слоя можно записать в виде

k2/ k2 ezz + tan±2 jkxd /2)

kz / k0 tan±2 {kxd /2)+ Exx^zz Пусть s' = 0. Тогда sx — {sd - is")/2, а продольная компонента е22 — -2is"sd /{sd - is")« -2is"/ sd мала и сильно диссипативная. Обыкновенная волна в таком ГММ ведет себя как в диэлектрике. Для необыкновенной волны при этих условиях из (8) следует приближенное решение для ПП вдоль поверхности полубесконечного образца

kz =±k0J7d{1 - is"{sd + 1/sd )/2).

Это медленный ПП вдоль поверхности бесконечно толстого образца. Для него из уравнения Френеля следует kx = (1 — i))0 д/s / sd /2, т.е. он затухает в глубь образца. Имеем также

k0x =4k¡ -k¡ed(1 -f-2+ 1/*d)2/4-ie"(sd + 1/sd)/2)*

~ ~ik0-J Sd ~ 1 ,

т.е. ПП затухает и в сторону вакуума. Рассмотрим теперь область s' = — sd . Для нее sx - -is"/2, ев = 2ffd (1 -isd /s"). Из ДУ (8) следует

k, = ±L

Í1

+4 v

1 + is

4^2(1 + s2d) .

Это обратный быстрый слабо диссипативный ПП. ДУ (13) удобно анализировать в случае малой толщины слоя. В этом случае заменяем тангенс его аргументом

^ (1 - К/к )=

Ч^2/к0 к

Считаем квадратную скобку малой. Также считаем к0Л << 1. В случае верхнего знака ПП быстрый. Его дисперсия определяется из квадратного уравнения. Заменяя в правой части к2 / к02 единицей, приближенно в области малых частот получаем к22 /к02 = 1 + (1 -£хх )2(к0Л /{2ехх))2. Здесь предположено, что величина не мала. В случае нижнего знака (магнитной стенки) ПП более медленный, и на низких частотах к2 ~ к0^ехх . Обозначим

T = i tan {kxd / 2) = tanh [d^¡ szz [к] -ej0))=1 -S. Если |szz \ Ф 0, то в области больших замедлений тангенс гиперболический близок к единице, т. е. 8 - малая величина. Поэтому

k2/ К

1 + 2§ £xx£zz {£xx 1)

1 {s s -1)2

xx zz

Условие медленности здесь то же, что и для полуплоскости: это плазмонный резонанс е:хе22 ^ 1. Около него < ¡еххе22 -1| << 1, поскольку гиперболический тангенс стремится к единице экспоненциально быстро.

Угол а = ±я72. Этот случай соответствует нижнему рис. 1, т.е. структура превращается в плоскослоистый волновод. Возможен его строгий анализ без гомогенизации [16]. В области е'хх < 0 возможны ПП, аналогичные ПП вдоль металлического слоя. Этот случай интересен в плане сравнения строгого решения для дисперсии с полученным на основе гомогенизации и будет рассмотрен ниже.

Угол а = +я74 . В этом случае матрица (3) принимает вид

"(£•+£•) 0 ±(е -£ У

V XX 22/ X22 XX/

0 ^хх 0 .

±

X22 XX/ X 22 XX/

£ =

Он упрощается, если е'22 ——е'хх > 0, поскольку тогда ^ =£„ » "0.3/^", £х, » ±04 + /4). Другой режим е'22 — —е'хх < 0 приводит к значениям е„ = £а = -2.9Ие", ^ » ±{~£'хг -/2 41^"). В этом случае тензор ДП (18) более диссипатив-ный. В отсутствие диссипации ДУ (5) приобретает вид кхк2 = + к02£х2 /2 и определяет асимптоты гиперболического закона дисперсии. В таком приближении компоненты волнового вектора не ограничены. ДУ для ПП вдоль границы бесконечно толстого образца ГММ теперь примет вид

~ ~ ^ Е^

kz / ko ~'

2

В указанной выше области этот ПП быстрый:

k2/ k0

1 +

2 (з + 2jl) (3 + 2/2).

Из уравнения Френеля (6) имеем

k;=-2kz (1 - k2^ / (4k2)).

Рассмотрим ДУ (13) и ПП, распространяющийся вдоль слоя. В рассмотренной области Д±2 = -[1 ± cos(kzd )]2 /sin2 (kzd), поэтому ПП медленным быть не может. Быстрые волны при ненулевом угле связаны с ПП, идущими вдоль слоев металла под углом к оси. Поскольку sxxszz — £m£d, ПП при данном угле может быть медленным, если sm « 1/ sd, т.е. выше частоты ор /-J^L . Это уже высокочастотный оптический поляритон. Решение вопроса о прямой или обратной волне получается вычислением k'z = kz - ik"z и определением знака отношения к[ / k"z [24-29]. Величина к' определяет движение фазы, а к" - затухание или движение энергии в сторону затухания. Поэтому k'z / k"z > 0 означает прямую волну, а к[ / k"z < 0 -обратную. Другой способ определения - вычисление компоненты вектора Пойнтинга для необыкновенной волны

^ = Re(i?xH* )/2 =

Z 0| ну\ 2k„

Re

V xxx zz xz J

и аналогичной компоненты для обыкновенной волны

5 = Яе(ЕуИх)/2 = ^ \Еу|2к\ /{2к0). (21) Заметим, что здесь

И у (х, г = И у (х,0^2ехр(- 2к;'г),

|Еу (х, г= |Еу (х,0|2ехр(- 2к;'г). Сразу видим, что для обыкновенной волны и Н-ПП направление потока мощности дает величина к г . В вакууме обыкновенной волне соответствует ^-поляризация и та же компонента (21) вектора Пойнтинга. Для ^-поляризации в вакууме 5г = Яе^И*)/2 = 20)|Иу|2к[ /(2К0), поэтому определение направления движения энергии для Е-ПП требует решения ДУ и вычисления интеграла от 5 по бесконечному поперечному сечению, что является более сложной процедурой. Кроме того, формула (20) записана для бесконечного образца, и тогда в нее можно подставлять любое из двух значений к± из (6). Для конечного образца следует учесть две волны в поперечном направлении и определить их амплитуды (см. далее), что еще более усложняет задачу. Поэтому

будем пользоваться методом на основе определения знака кг / кг . Его неудобство проявляется лишь в области перехода от быстрой волны к медленной, где к'г « ±К0, к' « 0 . Для простых волноведущих структур типа металлической полоски эквивалентность обоих подходов доказана. Для решения вопроса о втекании или вытекании следует вычислять компоненту вектора Пойнтинга 5х в вакууме при полученном из ДУ значения кг. Это более простая процедура. Для верхнего полупространства с Е-ПП имеем 5х =~ Яе(^гИ; )/2 = ^0 |Иу |2 к; /(2к0), т. е. при к'х > 0 волна вытекает, а при к'х < 0 - втекает. Соотношения (11) записаны так, что имеет место одновременное втекание или вытекание в обоих полупространствах. Условия втекания и вытекания изменяются с изменением частоты. Можно рассмотреть случай, когда слой окружен полупространствами из разных материалов и эти условия противоположны в обоих полупространствах. В этом случае имеющаяся симметрия исчезает, и возможно втекание энергии их одного полупространства в слой и ее вытекание из слоя в другое полупространство. В случае слоя в вакууме это возможно, только если приложить внешнее постоянное магнитное поле, что будет рассмотрено далее. Для такого решения следует поменять знак у к0х либо в первых двух, либо в последних двух уравнениях из системы (11). Соответствующее ДУ будет содержать уже четыре различных корня.

Пусть а = ж/2. Опять считаем диссипацию малой, а К = 0.5. Заметим, что при другом коэф -фициенте заполнения соотношения усложняются. Если же использовать гомогенизацию с учетом ПД, то все компоненты тензоров становятся сложными функциями к х и кг , поэтому аналитическое исследование становится крайне затруднительным. Теперь компоненты меняются местами, а тензор приобретает вид

^ ^ гг 0 0 "

£ - 0 0 . (22) 0 0 ^ _

В нем ев ={ет )/2, г- = 2(ет£а)/(ет +еа). Данный случай отличается от случая а = 0 про-

сто заменой компонент. Для него можно построить строгую модель без гомогенизации. Именно: вводим матрицу передачи диэлектрического слоя

s yd fe - k2 ) i Ра sin

cos\¡ d

i sin(tj4>

Vj - К V P

cos(í

4>*d - k

k0*d - k2

и аналогичную матрицу металлического слоя am подстановкой d ^ m , sd ^sm . Здесь

Рл = 4(ел - К22/ к»)/11" кг2/ к02) /ел - нормированный к импедансу вакуума импеданс Е-волны в диэлектрике. Будем рассматривать симметричные структуры, начинающиеся со слоя металла и заканчивающиеся им, или начинающиеся со слоя диэлектрика и заканчивающиеся им. В первом случае число металлических слоев на единицу больше, а во втором случае - число диэлектрических слоев на единицу больше. В первом случае матрица структуры имеет вид а = (атал ) ат, а во втором случае а = ал (атаа ), где п - число полных периодов. Если для такой структуры решать задачу Френеля, имеют место соотношения

1 + R = a11T + a12T,

(1 - В)/Р0 = (а21Т + ^)/р0, которые приводят к решению

Т = 2/(ап + а22 + а12 + а21),

я = -1)/&,+1),

2,п = (а11 + а12 Ма21 + а22 ).

Очевидно, результат зависит от симметрии структуры, т. е. от того, оканчивается она металлическим или диэлектрическим слоем. Величина по смыслу есть входной импеданс структуры, когда на выходе волна излучается в вакуум. Для получения ДУ ПП следует учесть, что направление передачи энергии в (23), (24) взято слева - направо (в нашем случае снизу - вверх, т. е. волна падает вдоль оси х). В симметричной структуре возможны либо втекающие, либо вытекающие волны. Они получаются путем согласования импедансов, т.е. отсутствия отражения Я = 0. Поэтому в соотношении (24) либо слева, либо справа следует изменить знак у р0. Это приводит к ДУ а11 + а12 + а21 + а22 = 0. В случае одного диэлектрического слоя оно имеет вид

1 + ¡(р., +1/ рл >ап(^Ч - К] )/ 2 = 0.

Оно может быть разделено на два с учетом симметрии, используя формулу тангенса половинного аргумента и решая квадратное уравнение. Они имеют известный вид [24]. Это же уравнение получаем путем трансформации импеданса — р0 = 1 - к] / К02 слоем и приравниванием его импедансу р0 . В случае большого числа периодов структура приобретает свойства ФК. Для него уравнение Флоке-Блоха имеет вид

0С8(ккх кх » = х = (ап + а22 )/2. (25) Здесь взяты элементы матрицы одного периода, т.е. либо а = айат , либо а = атай . В результате находим к± =±агссо8(Х)+ 2пж . Будем использовать п = 0. Заметим, что уравнение Френеля дает кх = ±л[к{

0*xx - k^^xx / ^zz . Взяв

периода по сравнению с длиной волны, имеем

X = 1 - (¿т4к°£л - к°4 к°£т - к] {р, / Рт +Рт / Р„ )/2.

Полагая К = 0.5, получаем X = 1-и, где

и = (к )2у]- к°/ к04£т - к°/ К (р, / Рт +Рт / РЛ ) / 8. В силу малости ^к0 )2 и и окончательно получаем к± = ±кх, где кх = к0л/и/2 . Рассмотрим очень медленный ПП. Для него рй = 1/,

Рт = 1/^т , и = (К )2 К]2/к° /\Рт\ + \Рт\/Рй )/8:

К = ±К0V ^ ^ ¿т\ + кт| / ^ / 4. Здесь мы УЧЛИ, что ДП металла приблизительно отрицательная. Формулы справедливы, если /|к2| << 1. Указанная гомогенизация более точно учитывает структуру. Теперь можно построить решение и найти дисперсионное уравнение. Внутри структуры его ищем также в форме (9), но с учетом соотношения к± = ±к . Это позволяет записать

ну = A

cos1

(kxxJ

in(kxxl

exi

p(- ikzz)>

выразить остальные компоненты через И у и построить четное по И (х) решение (с электрической стенкой в плоскости х = 0) и нечетное по И (х) решение (с магнитной стенкой). Оно имеет форму (14) и может быть представлено в виде

Vk02 - k2 = [i tan(/kxd /2f

где к = k0Vu /2 . Если вместо уравнения Фло-

матрицу периода a = adam и учитывая малость

ке-Блоха использовать уравнение Френеля, то

К =Vkü4* - /^zz , и тогда

1 + 2T ±2/

k = ±K

1 - T ±2/^

= ±k

1 -T«/{eBeBy- + T*/{edW + té"))

Этот ПП может быть медленным в области £'| ~ £Л , но при этом он диссипативный. Аналогичное уравнение для случая а = 0 имеет вид

к

В нем кх к2аегг - к2гегг /£хх . В этих двух случаях имеет место симметрия по х. Для

II - Т±2 &-\е')/{2ете,)

VkSkJ = [t tan

к = +к 1 T /gzz =+к

^ 11 - T±2/(^) -kü

1 -т±2/(^т) "

Этоп ПП медленным будет в области £' = 0 со значением в этой области к2 = ±к0^£ / 2 .

3. Формулы Френеля

Структура из ГММ эквивалентна набору плоскопараллельных волноводов или решеток, повернутых под углом и способна эффективно управлять дифракцией плоской волны, особенно если использовать оптически накачиваемые полупроводниковые слои или графеновые листы. Тензорная проводимость графена от ТГц до УФ диапазонов получена в ряде работ [30-33]. В первом приближении в модели Кубо-Гринвуда ее можно считать скалярной [30]. На низких частотах она индуктивная, но с учетом межзонных переходов может иметь емкостную область и даже стать отрицательной при внешней накачке [33]. Возможна гомогенизация как с учетом тензорного характера проводимости сгхх = сгуу , сгху = стухс, так и для скалярной проводимости [12-14, 34, 35]. Однако следует учесть, что при тензорной проводимости графена разделение на Е-волны и Н-волны не происходит, поэтому следует сшивать все четыре касательные к границам компоненты полей или использовать матрицы передачи 4^4. Это усложняет ДУ и формулы Френеля. Металлические ленты при малой толщине ^ можно рассматривать как поверхностные токи J = ¡юе0 (ет -1)^тЕ = <г()Е. Р-поляризация возбуждает только токи 3х и 3или Е-волну,

¿•-поляризация - ток 3 или Н-волну. Тензорная проводимость связывает все три компоненты тока с полем. При нормальном падании на платину с а = 0 волна с поляризацией электрического вектора нормально к слоям, проходит со значительно меньшими потерями, чем волна с ортогональной поляризацией. В несимметричном случае это работает для волн р-поляризации и ¿-поляризации, падающих под определенным углом.

Получим формулы Френеля при падении снизу на структуру с произвольным углом а под углом р волны р- и ¿-поляризаций. Используем импедансный подход, рассматривая движение по оси х. Снизу имеем волну

Е = ехр(- гк0хх)+ Яд ехр(/'к0хх),

20Нд = [ехр(_ гк0ххехр(гк0хх)]/р0ч .

Сверху имеем

Ед = Т ехр(" гк0х (Х " Л)), 20Нд = Тд ехр(" гк0х (Х - Л))/р0ч .

В структуре пишем

Е = А ехр(- гк+х х)+А ехр(- гкхх), 20Н = А ехр(- гКх)/р„ - А ехр(- гкхх)/ р„ .

Здесь при д = р имеем Еч = -Ег, Ич = Иу,

Püp =V1 - кг2/ ko , а также pq " k2/ k2)/ A

При q = ¿ имеем E = E , H = H ,

± q y q z

Pos =W1 - kz2/ kü2 , Ps = кйЦk¡£xx - kZ  Сшивая компоненты полей, получаем решение:

T _ ^PqPüq

q exp(tkx+ d\pq + Püq У + exp(tkx"^pq2 -

Aq = exp

A = Tq exp(tkx_d Jt1 ~Pq / Püq ^ 2.

Используя его, находим

Í w \ A+ + Ar Z =(1 + R 1/(1 - R 1 = 7--5

q l ^ q ^üq / Pq \A+q~ Aqj ,

и коэффициент отражения Rq = (Zq - 1)/(Zq +1) или Rq = A> A- -1. Следует иметь в виду, что

в этих соотношениях величина

к < kr,

и дей-

ствительная, а угол падения определяется как

ф = агС;ап(кг /^к02 — к] ). В случае симметрии уравнение упрощается и принимает вид

Т = 4^0д ехр

"

4. Слой во внешнем магнитном поле

Внешнее магнитное поле Н0 приводит к тому, что ДП металла становится тензорной величиной. Изменяя величину и направления магнитного поля, можно управлять дисперсией и волнами в слое из ГММ. Соответственно изменяется и тензор эффективной ДП (1). При произвольном угле а и направлении магнитного поля соотношения становятся весьма сложными. Рассмотрим случай направления магнитного поля по оси х: Н0 = х0И0 и а = 0 . В этом случае для металлического образца

т 0

£.„ =

0 0

£

22 гЬ

0

- гЬ

где

ш - га>ю

С = 1 («

£22 =1 - а}2° /{(°2 - га,а>с) >

Ь - а>ма>2р /(^3 - а>(оЛ ~ га>2а>с). Теперь для тензора ДП слоя ГММ (1) имеем ^ = + )/2, ^ =-^у = -гЬ /2,

^ = 2£]]£л /(< + е„), при этом он перестает быть диагональным. Такая искусственная среда не подлежит формально под определение ГММ, однако, как и в последнем, в ней возможны большие значения компонент вектора к. Магнитное поле приводит к возникновению вектора гирации и дополнительной пространственной дисперсии. Расписывая по координатам уравнения Максвелла, получим уравнение Френеля и связь полей через импедансы. Уравнение Френеля имеет вид ае1[К?2 — к1е\= 0 где матрицы к и к2, содержащие компоненты к1 и к1кт, определяют операторы «ротор» и «ротор от ротора», т.е. действуют на произвольную плоскую волну Е(с, к) как Ух Е = КЕ и УхУх Е = к2 Е . Матрица к особенная, а матрица к2 обратима. Отличие теперь состоит в том, что импедансы

разных направлений являются различными. Это приводит к тому, что в структуре возможны втекающие с одной стороны и вытекающие с другой стороны волны. Изменение направления магнитного поля изменяет условия втекания-вытекания. В этом смысле такая волноведущая структура обладает невзаимностью. Возбуждая, например, слой волноводом, можно создать антенну вытекающей волны, которая излучает в узком секторе под углом в сторону. Изменяя магнитное поле, можно изменять полуплоскость, в которую имеет место излучение. Поскольку сом = ер0И0 / те, то для работы в оптическом диапазоне нужны весьма сильные магнитные поля. Если внешнее магнитное поле направить по оси г, то тензор ДП видоизменяется заменой х ^ г . Для такого слоя волны разных направлений различны.

Для создания ламп бегущей волны ТГц диапазона перспективны замедляющие структуры с замедленными плазмонами [36]. Необходим коэффициент замедления порядка 3-4 и рабочая индукция магнитного поля порядка 1 Тл. Для этого удобно использовать рассмотренные структуры с а = ж / 2 и продольным магнитным полем. От направления магнитного поля зависят замедление и потери плазмона, поэтому расчет дисперсии с учетом магнитного поля весьма важен. В случае произвольно направленного поля и произвольной ориентации а тензор ДП имеет все компоненты, а дисперсионные уравнения становятся весьма сложными.

5. Численные результаты и их обсуждение

На рис. 2 представлены результаты расчета Я = Яе и Т = Те в зависимости от угла падения для X = 500 нм. Отметим, что в теории дифракции на решетках подобные задачи для бесконечно тонких идеально проводящих полосок сводятся к интегральным уравнениям и решались. Можно учесть и конечный импеданс металлических лент. Однако учет диэлектрического слоя в таком подходе сложен и требует введения комбинированных объемно-поверхностных интегральных уравнений. Результаты расчета дисперсии и потерь для ПП при а = 0 и а = ж /2 приведены на рис. 3, 4. Часть кривых левее п' = 1 соответствуют быстрым втекающим волнам, а правее - медленным. Волны в нижней плоскослоистой ИС (а = ж / 2) более медленные, а в области выше частоты плазмонно-го резонанса обратные. Это отличает плоскослоистую ИС от металлической, для которой обратных

т

С

-is

^ СО О

о"

см о'

--- 5

6 5

о _. _

q—1 | I I I I I I I I I | I I I I I I I I I | I I I I I I I I I | I I I I I

0.00 1.00 2.00 3.00

kz / k0

Рис. 3. Дисперсия E-ПП вдоль полупространства ГММ со структурой, соответствующей рис. 2 для а = 0

fc ь,

О CO "

о

c\i"

о

О

I I I I I I I I I

0.0

Т"

0.2

i i i i i i | i

0.4

0.6

k0/ kp

Рис. 4. Нормированные потери k"z /k E-ПП вдоль полупространства ГММ, соответствующие дисперсии рис. 2 для а = 0 (кривые 1-3) и а = л/2 (кривые 4-6) в зависимости от нормированного волнового числа k0 /kp при разных ДП sd : 2.0 (кривые 1-4), 3.0 (кривые 2-5) и

5.0

2

4

волн нет. Для ГММ с а = 0 обратных волн нет, а максимальное замедление соответствует более высоким частотам, для которых £' > 0. Кривые построены так, что к'г > 0, поэтому обратным волнам соответствуют как бы отрицательные потери. В вакууме энергия всегда переносится вдоль движения фазы. Наличие обратных волн -это интегральный эффект, связанный с тем, что в металлических структурах компонента вектора Пойнтинга может менять знак при £' < 0.

В области плазмонного резонанса

К ~ К ~ 1/, т.е. для получения больших замедлений следует снижать диссипацию. Оценка для первой структуры дает в области резонанса к2 = к0(1 - г)(1 + £(-2 - 2/£л)/£/2. Для второй структуры имеют место два резонанса: к = к0 (1 - г £ /д/ (1 + £ ) - низкочастотный при £т и к2 = к,(1 + г'))(1 + £ -£))(1 + £)]

- высокочастотный при £т « 1/£л . Непосредственно видно, что последний соответствует об-

ратному ПП. Все исследованные ПП втекающие, поскольку вытекание из диссипативного полупространства невозможно.

Заключение

В работе с использованием простейшей гомогенизации получены точные решения для плазмон-поляритонов вдоль поверхности в общем случае асимметричного гиперболического мета-материала в виде плоскослоистой периодической металл-диэлектрической структуры. Дополнительную степень свободы в уравнения можно ввести, если варьировать коэффициент заполнения или использовать многослойные в периоде структуры. Учет пространственной дисперсии, т.е. зависимости кх,к2), приводит к сложным нелинейным дисперсионным уравнениям и уравнениям Френеля, анализировать которые возможно только численно. Как пространственная дисперсия, так и диссипация искажают гиперболический закон дисперсии и ограничивают по модулю компоненты волнового вектора, т.е. замыкают поверхность изочастот. Найдены условия

существования медленных и быстрых, втекающих и вытекающих, а также прямых и обратных поля-ритонов. Асимметричный слой гиперболического метаматериала интересен тем, что во внешнем магнитном поле поддерживает поляритоны, втекающие с одной стороны и вытекающие с другой. В плоскослоистой структуре найдены обратные поляритоны, отсутствующие вдоль металлического полупространства. Использование вместо металлических слоев графеновых листов позволяет при оптической накачке создавать активные структуры как дифракционные, так и волноведущие [35-38].

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 16-19-10033).

Список литературы

1. Guo Y., Newman W., Cortes C. L., Jacob Z. Applications of hyperbolic metamaterial substrates // Advances in OptoElectronics. 2012. Article ID 452502 (9 p.). DOI: 10.1155/2012/452502

2. Guo Y., Jakob Z. Thermal hyperbolic metamaterials // Opt. Express. 2013. Vol. 21. P. 15014-15019.

3. Cortes C. L., Newman W., Molesky S., Jacob Z. Quantum nanophotonics using hyperbolic metamaterials // Journal of Optics. 2012. Vol. 14. 063001 (15 p.).

4. Guo Y., Cortes C., MoleskyS., Jakob Z. Broadband super-Planckian thermal emission from hyperbolic metamaterials // Appl. Phys. Lett. 2012. Vol. 101. 131106 (5 p.).

5. Poddubny А., Iorsh I., Belov P., Kivshar Yu. Hyperbolic metamaterials // Nat. Photonics. 2013. Vol. 7 (12). P. 948-957.

6. NoginovM., Lapine M., Podolskiy V., Kivshar Yu. Focus issue : hyperbolic metamaterials // Optics Express. 2013. Vol. 21(12). P. 14895-14897.

7. Drachev V. P., Podolskiy V. A., KildishevA. V. Hyperbolic metamaterials: new physics behind a classical problem // Optics Express. 2013. Vol. 21, iss. 12. P. 15048-1564.

8. Shekhar P., Atkinson J., Zubin J. Hyperbolic metamaterials: fundamentals and applications // Nano Convergence. 2014. Vol. 1, № 1. P. 1-16.

9. Kidwai O., Zhukovsky S. V., Sipe J. E. Effective-medium approach to planar multilayer hyperbolic metamaterials : Strengths and limitations // Phys. Rev. А. 2012. Vol. 85. 053842 (11 p.).

10. Zhukovsky S. V., Kidwai O., Sipe J. E. Physical nature of volume plasmon polaritons in hyperbolic metamaterials // Optics Express. 2013. Vol. 21, iss. 12. P. 1498214987.

11. Zapata-Rodriguez C. J., Miret J. J., Vukovic S., Belic M. R. Engineered surface waves in hyperbolic metamaterials // Opt. Express. 2013. Vol. 21, № 16. P. 19113-19127.

12. Nefedov I. S., Valagiannopoulos C. A., Hashemi S. M., Nefedov E. I. Total absorption in asymmetric hyperbolic media // Scientific Reports. 2013. Vol. 3. 2662 (4 p.).

13. Nefedov I. S., Melnikov L. A. Super-Planckian far-zone thermal emission from asymmetric hyperbolic metamaterials // Appl. Phys. Lett. 2014. Vol. 105, № 16. 161902 (5 p.).

14. Давидович М. В., Нефедов И. С. Пространственно-временная дисперсия и волноведущие свойства 2D-периодических стержневых металлических фотонных кристаллов // ЖЭТФ. 2014. Т. 145, № 5. С. 771-786.

15. Ferrari L., Wu C. H., Lepage D., Zhang X., Liu Z. W. Hyperbolic metamaterials and their applications // Prog. Quantum Electron. 2015. Vol. 40. P. 1-40. DOI: 10.1016/j.pquantelec.2014.10.001

16. Давидович М. В. Анализ плазмонов и гомогенизация в плоскослоистых фотонных кристаллах и гиперболических метаматериалах // ЖЭТФ. 2016. Т. 160, вып. 6. С. 1069-1083.

17. Li T., Khurgin J. B. Hyperbolic metamaterials : beyond the effective medium theory // Optica. 2016. Vol. 3, iss. 12. P. 1388-1396.

18. KristinaK. H., SreekanthK. V., Strangl G. Dye-embedded and nanopatterned hyperbolic metamaterials for spontaneous emission rate enhancement // Journal of the Optical Society of America B. 2016. Vol. 33, № 6. 1038 (6 p.).

19. Peragut F., Cerutti L., Baranov A., Hugonin J. P., Taliercio T., De Wilde Y., Greffet J. J. Hyperbolic metamaterials and surface plasmon polaritons // Optica. 2017. Vol. 4, iss. 11. P. 1409-1415.

20. Ferrari L., Smalley J. S. T., Fainman Y., Liu Z. Hyperbolic metamaterials for dispersion-assisted directional light emission // Nanoscale. 2017. Vol. 9, № 26. P. 9034-9048.

21. Давидович М. В. Гиперболическая среда из проволочек конечной длины // ЖЭТФ. 2018. Т. 154, вып. 1 (7). С. 5-25.

22. Boardman A. D., AlberucciA., Assanto G., Grimalsky V. V., Kibler B., McNiff J., Nefedov I. S., Rapoport Yu. G., Valagiannopoulos C. A. Waves in hyperbolic and double negative metamaterials including rogues and solitons // Nanotechnology. 2017. Vol. 28. 444001 (41 p.).

23. Alu A., Silveirinha M. G., Salandrino A., Engheta N. Epsilon-Near-Zero (ENZ) Metamaterials and Electromagnetic Sources : Tailoring the Radiation Phase Pattern // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 75. 155410 (13 p.).

24. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М. : Радио и связь, 1988. 440 c.

25. Давидович М. В. Плазмоны в многослойных плоскослоистых структурах // Квантовая электроника. 2017. Т. 47, № 6. С. 567-579.

26. Davidovich M. V. Backward and forward plasmons in symmetric structures // Proc. SPIE. 2018. Vol. 10717. 1071714 (6 p.). DOI: 10.1117/12.2306067

27. Давидович М. В. Об условии перехода быстрой поверхностной волны в медленную // Радиотехника и электроника. 2018. Т. 63, № 6. С. 499-506.

28. Davidovich M. V. Backward plasmon-polaritons in multilayered dissipative structures // Proc. SPIE. 2019. Vol. 11066. 110660V (6 p.). DOI: 10.1117/12. 2521632

29. ДавидовичМ.В. Дисперсия поверхностных плазмонов в структурах с проводящей пленкой // Оптика и спектроскопия. 2019. Т. 126, № 3. С. 360-369.

30. Hanson G. W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of gra-phene // J. Appl. Phys. 2008. Vol. 103. 064302 (8 p.).

31. Falkovsky L. A., Varlamov A. A. Space-time dispersion of graphene conductivity // Eur. Phys. J. 2007. Vol. B 56. P. 281-284.

32. Lovat G., Hanson G. W., Araneo R., Burghignoli P. Semiclassical spatially dispersive intraband conductivity tensor and quantum capacitance of graphene // Phys. Rev. B. 2013. Vol. 87. 115429 (11 p.).

33. Dubinov A. A., Aleshkin V. Y., Mitin V., Otsuji T., Ryzhii V. Terahertz surface plasmons in optically pumped

graphene structures // J. Phys. : Condens. Matter. 2011. Vol. 23. 145302 (8 p.).

34. Iorsh I. V., Mukhin I. S., Shadrivov I. V., Belov P. A., Kivshar Y. S. Hyperbolic metamaterials based on multilayer graphene structures // Phys. Rev. B. 2013. Vol. 87. 075416 (6 p.).

35. Козина О. Н., Мельников Л. А. Оптические характеристики асимметричного гиперболического материала // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2019. Т. 19, вып. 2. С. 122-131. DOI: 10.18500/1817-3020-201919-2-122-131

36. Davidovich M. V. Amplification of optical and THZ surface plasmon-polaritons by electron beams // Proc. SPIE. 2019. Vol. 11066. 1106614 (11 p.). DOI: 10.1117/12.2521234

37. ЛяшкоЕ. И., МаймистовА. И. Линейные направленные волны в гиперболическом планарном волноводе. Дисперсионные соотношения // Квантовая электроника. 2015. Т. 45, № 11. С. 1050-1054.

38. Ляшко Е. И., Маймистов А. И. Моды нелинейного планарного волновода с диэлектрическим слоем, погруженным в гиперболическую среду // Квантовая электроника. 2017. Т. 47, № 11. С. 1053-1063.

Образец для цитирования:

Давидович М. В. Плазмон-поляритоны вдоль поверхности асимметричного гиперболического метаматериала // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Физика. 2019. Т. 19, вып. 4. С. 288-303. Б01: Ьйр8:/Мого^/10.18500/1817-3020-2019-19-4-288-303

Plasmon-polaritons

Along the Asymmetric Hyperbolic Metamaterial M. V. Davidovich

Michael V. Davidovich, https://orcid.org/0000-0001-8706-8523, Saratov State University, 83 Astrakhanskaya St., Saratov 410012, Russia, davidovichmv@yandex.ru

Background and Objectives: Plasmon-polaritons along a surface of bulk hyperbolic metamaterial and along a slab of such metamaterial with an arbitrary orientation of the crystallographic axis are considered (the axis in the polarization plane is an arbitrary angle with the direction of propagation). We use the rigorous approach based on Maxwell's equations. The parameters of the hyperbolic metamaterial in the form of the effective dielectric constant tensor are determined by homogenization. The dielectric permittivity of metal layers is determined by the Drude-Lorentz model. The axis change is made using the rotation matrix of the coordinate system, and the effective permittivity tensor is transformed accordingly. The possibility of using graphene layers with the conductivity of a graphene sheet based on the Kubo model is considered. The conditions of existence of fast, slow, flowing, forward and backward plasmon-polaritons are found. Backward plasmon-polaritons correspond to a wave in which the phase velocity is opposite to the energy transfer velocity. Classification of waves is made both on the basis of calculation of Pointing vector, and by the solution of the dispersion equation and definition of signs of real and imaginary

parts of a constant of propagation. The Fresnel formulas are also derived for the diffraction of a plane wave of arbitrary polarization on such a structure. Methods of analytical and numerical solution of dispersion equations are applied. Partial analytical solutions of dispersion equations are obtained. A new type of backward inverse plasmon-polaritons propagating along the flat boundary of a massive sample of a hyperbolic metamaterial with a vacuum, which does not exist for a solid metal sample, is found. The possibility of dispersion control by applying an external magnetic field is considered, as well as the possibility of plasmon-polariton amplification in waveguides from metamaterials with optically pumped graphene sheets, as well as in diffraction on plane-layered structures. Methods: We use the Maxwell equation, mode matching technique, the homog-enization for hyperbolic metamaterials without spatial dispersion and construct the complex dispersion equation. We consider the asymmetric hyperbolic metamaterial with a rotated optical axis. The dispersion equation was solved analytically and numerically by the iterative method.

Keywords: hyperbolic metamaterial, homogenization, plasmon polaritons, dispersion equation, Fresnel equation, Fresnel formulas.

Received: 07.08.2019 / Accepted: 12.10.2019 / Published: 02.12.2019 This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).

Acknowledgements: This work was supported by Russian Science Foundation (project No. 16-1910033).

References

1. Guo Y., Newman W., Cortes C. L., Jacob Z. Applications of hyperbolic metamaterial substrates. Advances in OptoElectronics, 2012, Article ID 452502 (9 p.). DOI: 10.1155/2012/452502

2. Guo Y., Jakob Z. Thermal hyperbolic metamaterials. Opt. Express, 2013, vol. 21, pp. 15014-15019.

3. Cortes C. L., Newman W., Molesky S., Jacob Z. Quantum nanophotonics using hyperbolic metamaterials. Journal of Optics, 2012, vol. 14, no. 15, 063001 (15 p.).

4. Guo Y., Cortes C., Molesky S., Jakob Z. Broadband super-Planckian thermal emission from hyperbolic metamaterials. Appl. Phys. Lett., 2012, vol. 101, 131106 (15 p.).

5. Poddubny A., Iorsh I., Belov P., Kivshar Yu. Hyperbolic metamaterials. Nat. Photonics, 2013, vol. 7, no. 12, pp. 948-957.

6. Noginov M., Lapine M., Podolskiy V., Kivshar Yu. Focus issue: hyperbolic metamaterials. Optics Express, 2013, vol. 21, no. 12, pp. 14895-14897.

7. Drachev V. P., Podolskiy V. A., Kildishev A. V. Hyperbolic metamaterials: new physics behind a classical problem. Optics Express, 2013, vol. 21, iss. 12, pp. 150481564.

8. Shekhar P., Atkinson J., Zubin J. Hyperbolic metamaterials: fundamentals and applications. Nano Convergence, 2014, vol. 1, no. 1, pp. 1-16.

9. Kidwai O., Zhukovsky S. V., Sipe J. E. Effective-medium

approach to planar multilayer hyperbolic metamaterials: Strengths and limitations. Phys. Rev. A, 2012, vol. 85, 053842 (11 p.).

10. Zhukovsky S. V., Kidwai O., Sipe J. E. Physical nature of volume plasmon polaritons in hyperbolic metamaterials. Optics Express, 2013, vol. 21, iss. 12, pp. 14982-14987.

11. Zapata-Rodriguez C. J., MiretJ. J., Vukovic S., BelicM. R. Engineered surface waves in hyperbolic metamaterials. Opt. Express, 2013, vol. 21, no. 16, pp. 19113-19127.

12. Nefedov I. S., Valagiannopoulos C. A., Hashemi S. M., Nefedov E. I. Total absorption in asymmetric hyperbolic media. Scientific Reports, 2013, vol. 3, 2662 (4 p.).

13. Nefedov I. S., Melnikov L. A. Super-Planckian far-zone thermal emission from asymmetric hyperbolic metamaterials. Appl. Phys. Lett., 2014, vol. 105, no. 16, 161902 (5 p.).

14. Davidovich M. V., Nefedov I. S. Spatiotemporal Dispersion and Waveguide Properties of 2DPeriodic Metallic Rod Photonic Crystals. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2014, vol. 118, no. 5, pp. 673-686.

15. Ferrari L., Wu C. H., Lepage D., Zhang X., Liu Z. W. Hyperbolic metamaterials and their applications. Prog. Quantum Electron, 2015, vol. 40, pp. 1-40. DOI: 10.1016/j.pquantelec.2014.10.001

16. Davidovich M. V. Plasmon Analysis and Homogeniza-tion in Plane Layered Photonic Crystals and Hyperbolic Metamaterials // Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2016, vol. 123, no. 6, pp. 928-941.

17. Li T., Khurgin J. B. Hyperbolic metamaterials: beyond the effective medium theory. Optica, 2016, vol. 3, iss. 12, pp. 1388-1396.

18. Kristina K. H., Sreekanth K. V., Strangl G. Dye-embedded and nanopatterned hyperbolic metamaterials for spontaneous emission rate enhancement. Journal of the Optical Society of America B, 2016, vol. 33, no. 6, 1038 (6 p.).

19. Peragut F., Cerutti L., Baranov A., Hugonin J. P., Taliercio T., De Wilde Y., Greffet J. J. Hyperbolic metamaterials and surface plasmon polaritons. Optica, 2017, vol. 4, iss. 11, pp. 1409-1415.

20. Ferrari L. , Smalley J. S. T., Fainman Y., Liu Z. Hyperbolic metamaterials for dispersion-assisted directional light emission. Nanoscale, 2017, vol. 9, no. 26, pp. 9034-9048.

21. Davidovich M. V. Hyperbolic Medium of Finite-Length Wires. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2018, vol. 127, no. 1, pp. 1-19. DOI: 10.1134/ S1063776118070178

22. Boardman A. D., Alberucci A., Assanto G., Grimal-sky V. V., Kibler B., McNiff J., Nefedov I. S., Rapoport Yu. G., Valagiannopoulos C. A. Waves in hyperbolic and double negative metamaterials including rogues and solitons. Nanotechnology, 2017, vol. 28, 444001 (41 p.).

23. Alu A., Silveirinha M. G., Salandrino A., Engheta N. Epsilon-Near-Zero (ENZ) Metamaterials and Electromagnetic Sources: Tailoring the Radiation Phase Pattern. Phys. Rev. B, 2007, vol. 75, 155410 (13 p.).

24. Vainstein L. A. Elektromagnitnye volny [Electromagnetic waves]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1988. 440 p. (in Russian).

25. Davidovich M. V. Plasmons in multilayered plan-layered structures. Quantum Electronics, 2017, vol. 47, no. 6, pp. 567-579. DOI: 10.1070/QEL16272

26. Davidovich M. V. Backward and forward plasmons in symmetric structures. Proc. SPIE, 2018, vol. 10717. 1071714 (6 p.).

27. Davidovich M. V. On the Condition for Transformation of a Fast Surface Wave into a Slow Surface Wave. Journal of Communications Technology and Electronics, 2018, vol. 63, no. 6, pp. 497-504. DOI: 10.1134/ S106422691806005

28. Davidovich M. V. Backward plasmon-polaritons in multilayered dissipative structures. Proc. SPIE, 2019, vol. 11066, 110660V (6 p.).

29. Davidovich M. V. Dispersion of surface plasmons in structures with a conductive film. Optics and Spectroscopy, 2019, vol. 126, no. 3, pp. 279-289.

30. Hanson G.W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of graphene. J. Appl. Phys, 2008, vol. 103, 064302 (8 p.).

31. Falkovsky L.A., Varlamov A.A. Space-time dispersion of graphene conductivity. Eur. Phys. J., 2007, vol. B 56, pp. 281-284.

32. Lovat G., Hanson G. W., Araneo R., Burghignoli P. Semiclassical spatially dispersive intraband conductivity

tensor and quantum capacitance of graphene. Phys. Rev. B, 2013, vol. 87, 115429 (11 p.).

33. Dubinov A. A., Aleshkin V. Y., Mitin V., Otsuji T., Ry-zhii V. Terahertz surface plasmons in optically pumped graphene structures. J. Phys.: Condens. Matter., 2011, vol. 23, 145302 (8 p.).

34. Iorsh I. V., Mukhin I. S., Shadrivov I. V., Belov P. A., Kivshar Y. S. Hyperbolic metamaterials based on multilayer graphene structures. Phys. Rev. B, 2013, vol. 87, 075416 (6 p.).

35. Kozina O. N., Melnikov L. A. Optical Characteristics of Asymmetrical Hyperbolic Metamaterials. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Physics, 2019, vol. 19, iss. 2, pp. 122-

131 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1817-3020-2019-19-2-122-131

36. Davidovich M. V. Amplification of optical and THZ surface plasmon-polaritons by electron beams. Proc. SPIE, 2019, vol. 11066, 1106614 (11 p.). DOI: 10.1117/12.2521234

37. Lyashko E. I., Maimistov A. I. Linear guided waves in a hyperbolic planar waveguide. Dispersion relations. Quantum Electronics, 2015, vol. 45, no. 11, pp. 1050-1054.

38. Lyashko E. I., Maimistov A. I. Modes of a nonlinear planar waveguide with a dielectric layer immersed in a hyperbolic medium. Quantum Electronics, 2017, vol. 47, no. 11, pp. 1053-1063.

Cite this article as:

Davidovich M. V. Plasmon-polaritons Along the Asymmetric Hyperbolic Metamaterial. Izv. Saratov Univ. (N. S.), Ser. Physics, 2019, vol. 19, iss. 4, pp. 288-303 (in Russian). DOI: https://doi.org/10.18500/1817-3020-2019-19-4-288-303