Логические исследования. 2018. T. 24. № 2.

| | | | |
| --- | --- | --- | --- |
| Логические исследования. 2018. T. 24. № 2. | | | |

В НОМЕРЕ

ИСТОРИЯ ЛОГИКИ

О.Ю. Гончарко и др. Логические идеи Феодора Продрома: «О великом и малом».

В данной статье второй в историко-философском цикле статей о логических трудах Феодора Продрома, византийского автора XII века, рассматривается трактат Феодора Продрома «О великом и малом», адресованный Михаилу Италику и написанный в лучших традициях неоплатонического комментария к «Категориям» Аристотеля. Цель статьи познакомить современного читателя с логическими идеями Феодора Продрома, а также оценить оригинальность его комментария.
Этот небольшой трактат посвящен вопросу отнесения понятий «великого» и «малого», а также «многого» и «немногого» к какой-либо из десяти категорий Аристотеля. Однако аристотелевское решение не устраивает Феодора Продрома по той причине, что Аристотель не относит эти понятия к какой-то отдельной категории, но допускает возможность их отнесения к разным категориям (количества и отношения) с разных точек зрения.
В статье приводится ряд аргументов Феодора Продрома, с помощью которых он пытается показать, что понятия «великого» и «малого» не относятся к категории отношения. Аргументация Феодора Продрома довольно подробна и разнообразна: он приводит контрпримеры аристотелевским рассуждениям, критикует сами критерии отнесения понятий к категориям, анализирует практику словоупотребления понятий и их сравнительных степеней, практику использования падежей в греческом языке, порядок категорий, выстраивает вполне оригинальную последовательность аргументов против аристотелевского решения, изящно прибегая к тексту самого Аристотеля. Однако, как мы попытались показать в статье, этот небольшой текст Феодора Продрома близок по содержанию к некоторым фрагментам «Комментария к «Категориям»» Порфирия, в которых также затрагивается проблема отнесения понятий «великого» и «малого» к той или иной категории. Несмотря на то, что Феодор Продром приходит к несколько другим выводам, чем Порфирий, использование фрагментов его текста очевидно, и даже складывается впечатление, что Феодор Продром спорит скорее с Порфирием, чем с Аристотелем
Ключевые слова: история логики, средневековая логика, византийская философия XI–XII вв.
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-11-35

ФИЛОСОФИЯ И ЛОГИКА

В.В. Долгоруков, А.О. Копылова. «Онтологический квадрат» и теоретико-типовая семантика.

Настоящая статья посвящена конкретному эпизоду в большой дискуссии о соотношении семантики и онтологии, а именно поиску адекватной семантической интерпретации для набора сущностей, постулируемых так называемым «онтологическим квадратом» или «четырехкатегорными онтологиями».
Онтологическим квадратом называется теория, восходящая к работам Аристотеля (в частности, ко второй главе трактата «Категории») и утверждающая необходимость различения между четырьмя типами сущностей: субстанциальными универсалиями, субстанциальными партикуляриями, акцидентальными универсалиями, акцидентальными партикуляриями. В программной статье «Против Фантологии» Б. Смит пытается продемонстрировать, что онтологический квадрат не может быть адекватно описан в рамках логики предикатов. Б. Смит упрекает Г. Фреге в том, что тот, будучи отцом современной логики, стал одновременно и отцом «фантологии», теории, в рамках которой все разнообразие сущностей сводится к объектам (‘a’) и предикатам(‘F’).Избавление логики от «фантологии», с точки зрения Б. Смита, возможно благодаря обогащению логики предикатов целым набором отношений, которые соответствуют допущениям «онтологического квадрата» и тем самым обогащают постулируемую логическими теориями систему онтологических допущений. С нашей точки зрения, подход Б. Смита обладает рядом недостатков: формулируемая им теория рассматривает в качестве универсалий только предикаты разного типа. То есть богатая система отношений, которая предлагается в рассматриваемом подходе, не лишена «фантологических» черт: все рассматриваемые Б. Смитом отношения на уровне метаязыка соответствуют множеству кортежей. В настоящей статье мы предлагаем другой вариант формализации сущностей, постулируемых «онтологическим квадратом», вариант, который базируется на теоретико-типовой семантике и обладает рядом преимуществ перед подходом Б. Смита. Мы оставляем за скобками вопрос об истинности или адекватности «онтологического квадрата» в качестве метафизической теории. Наш тезис носит более слабый характер: мы постарались продемонстрировать, что теоретико-типовая семантика может рассматриваться как релевантный инструмент для формализации сущностей, которые различаются в «онтологическом квадрате».
Ключевые слова: теория типов, онтологический квадрат, формальная семантика
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-36-58

НЕКЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА

Natasha Alechina. Model checking for coalition announcement logic.

This talk is based on joint work with Rustam Galimullin and Hans van Ditmarsh, published in the German Conference on Artificial Intelligence (KI 2018). First I will introduce background and motivation for the work. I will introduce multi-agent Epistemic Logic (EL) for representing knowledge of (idealised) agents, Public Announcement Logic (PAL) for modelling knowledge change after truthful announcements, Group Announcement Logic (GAL) for modelling what kinds of changes in other agents’ knowledge a group of agents can effect, and Coalition Announcement Logic (CAL) which is the main subject of the talk. CAL studies how a group of agents can enforce a certain outcome by making a joint announcement, regardless of any announcements made simultaneously by the opponents. The logic is useful to model imperfect information games with simultaneous moves. It is also useful for devising protocols of announcements that will increase some knowledge of some agents, but also preserve other agents’ ignorance with respect to some information (in other words, preserve privacy of the announcers). The main new technical result in the talk is a model checking algorithm for CAL, that is, an algorithm for evaluating a CAL formula in a given finite model. The model-checking problem for CAL is PSPACE-complete, and the protocol requires polynomial space (but exponential time).
Keywords: epistemic logic, public announcement logic, coalition announcement logic, model checking algorithm
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-59-69

I КОНГРЕСС РУССКОГО ОБЩЕСТВА ИСТОРИИ И ФИЛОСОФИИ НАУКИ.

МАТЕРИАЛЫ ПО ЛОГИКЕ

A.С. Боброва. Чему учат диаграммы? Рассуждения и восприятие.

В статье речь пойдет о теории экзистенциальных графов Ч. Пирса (теории графов) и ее базовых единицах – диаграммах или графах. Теория графов – полноценная логическая система. Перед нами алгебра, построенная геометрическим образом. Теория включает в себя несколько разделов, которые примерно эквивалентны логике высказываний, логике предикатов первого порядка, модальным логикам. В центре моего внимания будет обсуждение не столько технических особенностей теории, сколько ее философских оснований. Философские идеи, на которых базируется теория графов, равно как и ее диаграмматический синтаксис, позволяют с несколько иной стороны взглянуть на задачи логики и ее предназначение. В статье графическая система Пирса будет рассмотрена через призму проблемы обмена информации и прироста нового знания. Особое внимание будет уделено вопросу продуктивности использования графического подхода в рамках курсов по логике. Я покажу, каким образом построение и восприятие диаграмм могут способствовать развитию у студентов базовых логических навыков. Теория экзистенциальных графов представляет собой реализацию утверждения, что логика является лишь иным названием для семиотики. Ее ключевыми знаками оказываются знаки-иконы. Именно иконой логических отношений и являются диаграммы, которые сами по себе остаются синтаксическими структурами. Их восприятие же определяется процедурами означивания и интерпретации (семантика экзистенциальных графов может задаваться в духе Тарского, теоретико-игрового подхода и т. д.). Работу с графами стоит рассматривать как эксперименты, напоминающие те, с которыми мы сталкиваемся в естественных науках. В ходе таких экспериментов мы способны не только выявлять необходимые следствия, имплицитно или эксплицитно заключенные в диаграммах, но и открывать новые знания, наблюдать за процессами обмена информации. Одним словом, работа с графами позволяет перцептивно воспринимать природу высказываний, понятий, а также рассуждений. Последние задаются через представление о трансформации графа, то есть его видоизменения, регламентированного правилами.
Ключевые слова: теория экзистенциальных графов, диаграммы, Пирс, знак-икона, иконичность, логика и информация
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-70-77

B.Л. Васюков. Логика неклассической науки.

Первая не решенная до сих пор проблема теоретической физики проблема квантовой гравитации предполагает построение единой теории, объединяющей общую теорию относительности и квантовую теорию. До сих пор все предпринятые попытки ее построения не увенчались успехом. Но похоже, что один специфический ответ на этот вопрос существует, хотя в силу своей природы он не находился в центре внимания исследователей. Анализ логических проблем квантовой теории приводит к обнаружению общих логических оснований теории относительности и квантовой механики. Оказывается, логическая структура обеих дисциплин основывается на конструкции ортомодулярной решетки, а не булевой алгебры, характерной для классической физики. С другой стороны, учитывая, что и квантовая теория, и теория относительности представляют собой неклассические дисциплины, общая для квантовой теории и релятивистской теории ортомодулярная логическая структура, лежащая в основании квантовой логики и каузальной логики пространства-времени, может расцениваться как логическое основание неклассической науки в целом, как характерный признак неклассического типа научной рациональности, позволяющей учитывать связи между знаниями об объекте и характером средств и операций деятельности. Конструкция ортомодулярной решетки используется также и в релятивистской квантовой теории. В этом случае, как показано, например, в работе Марка Хэдли «Логика квантовой механики, выведенная из классической общей относительности» [Hadley, 1997], разумные допущения о роли измерительного прибора приводят к ортомодулярной решетке высказываний, характерной для квантовой логики. При этом ортомодулярная решетка не закладывается в основание теории, но обнаруживается в процессе исследования при детальном анализе. Она присутствует и в квантовой теории, и в теории относительности. Но может ли она лечь в основу единого формализма, дающего решение проблемы квантовой гравитации? Скорее всего, наличие ортомодулярной решеточной структуры в недрах квантовой теории и теории относительности является следствием неклассического характера этих дисциплин: отсутствие выделенной импликации (кондиционала) в ортомодулярной решетке (как показано в работе [Kalmbach, 1974], существует как минимум пять подобных кондиционалов) указывает на необходимость контроля за особенностями наших наблюдений, поскольку неявный выбор «импликативной» связи между квантовыми высказываниями способен повлиять на результаты наблюдения.
Ключевые слова: квантовая гравитация, квантовая логика, каузальная логика пространства-времени, неклассический тип научной рациональности
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-78-84

Л.Ю. Девяткин. О континуальном классе четырехзначных максимально паранормальных логик.

В современной философской логике важное место занимает проблема противоречивой или неполной информации. Широкое применение в этой области получили методы многозначной логики. Одним из перспективных направлений является изучение четырехзначных логик, допускающих работу, как с противоречивой, так и с неполной информацией одновременно. Данная работа лежит именно в рамках этого подхода. Эта статья посвящена континуально бесконечному множеству четырехзначных максимально паранормальных логик. Я описываю четырехзначную матрицу, которая задает логику I1 P1, и демонстрирую, что, хотя она ни сильно максимально паранепротиворечива, ни сильно максимально параполна, существует континуально много четырехзначных языковых расширений этой логики, обладающих данными свойствами. Решение поставленной задачи организовано следующим образом. Сначала я строю четырехзначные матрицы логик P1 и I1. Оказывается, что матрица I1 P1 представляет собой функциональное расширение как первой, так и второй. Из этого следует, что I1 P1 есть языковой вариант общего языкового расширения P1 иI1. Известно, что P1 и все ее языковые расширения сильно максимально паранепротиворечивы. Поскольку логика I1 дуальна P1 , как она сама, так и все ее языковые расширения сильно максимально параполны. Однако, хотя P1 и I1 погрузимы в I1 P1, неверно, что она сильно максимально паранепротиворечива или сильно максимально параполна. В то же время этими свойствами обладает ряд ее языковых расширений. Далее вычисляется нижняя граница числа всех языковых расширений I1P1 интересующего нас типа. Для этого я показываю, что множество всех операций, определимых в матрице I1 P1, обогащенной операторами ⊥f и Тt, имеет континуальное множество попарно различных замкнутых надмножеств. Строим замкнутый класс функций F четырехзначной логики, имеющий счетный базис. Такой класс содержит континуально много попарно различных подклассов. В заключение демонстрируем, что никакие два подкласса F, дополненные операциями матрицы I1 P1, ⊥f и Тt, не окажутся эквивалентны при замыкании относительно суперпозиции.
Ключевые слова: паранепротиворечивость, параполнота, паранормальность, многозначная логика
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-85-91

В.Ю. Ивлев, Ю.В. Ивлев. От детерминизма к квазидетерминизму в логике и вне логики.

Рассматривается переход от однозначной обусловленности в логике, социальном познании и естествознании к неоднозначной обусловленности. Формулируется принцип квазифункциональности для логики и принцип квазидетерминизма для социального, естественнонаучного и технического знания. В познании, природе и социуме между явлениями имеет место не только отношение однозначной обусловленности, но и отношение неоднозначной обусловленности, т .е., в частности, определенная причина может вызывать не только определенное следствие, но и, при одних и тех же условиях, в одном случае одно определенное из нескольких возможных следствий, а в другом случае другое. В логике принцип функциональности выражался в представлении логических терминов в качестве функций, а принцип квазифункциональности посредством квазифункций. Квазифункция это соответствие, в силу которого некоторый объект из определенного подмножества множества, являющегося областью определения квазифункции, соотносится с некоторым объектом из определенного подмножества множества значений квазифункции. Частными случаями квазифункции являются функция ,а также полная неопределенность (хаотичность). Примером квазифункциональной логики является минимальная модальная логика Smin. Другими примерами таких логик являются трехзначная квазиматричная логика Sr; четырехзначные квазиматричные логики S-a...S+i. На основе принципа квазифункциональности предлагается разработать абстрактные и реальные квазиавтоматы. Если между сигналом на входе и сигналом на выходе автомата имеет место функциональная зависимость, то в квазиавтомате эта зависимость является квазифункциональной. При этом система квазиавтоматов мож выражать зависимость функциональную. Ставится задача применить принцип квазидетерминизма в биологии при описании случайности, рассмотреть с этой точки зрения функционирование нервных сетей, развитие в социальной сфере и других областях познания и объективной реальности. Предлагается на основе принципа квазифункциональности пересмотреть техническое, естественнонаучное и социальное знание
Ключевые слова: однозначная обусловленность, неоднозначная обусловленность, квазифункция, квазифункциональная логика, неоднозначная обусловленность в наук
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-92-99

Е.Б. Кузина. О понятии доказательства.

Термин «доказательство» используется для обозначения целого спектра интеллектуальных процедур, направленных на установление объективной истины или обоснование истинности некоторого предложения, приемлемости императива, справедливости оценки, а также на убеждение других людей в его адекватности. В математике доказательство играет центральную роль, но вместе с тем общего понятия математического доказательства нет. Существует несколько весьма различных точек зрения насущность математического доказательства, его цели, критерии и идеалы, и со временем эти критерии и идеалы меняются.
Доказательство в других науках рассматривается как процесс исследования, проверки и подтверждения некоторых положений с целью поиска и обоснования истины объективной или конвенционально принятой. Здесь доказательство заключается главным образом в поисках подтверждающих свидетельств, их оценке и установлении того, что лучше всего они объясняются доказываемой гипотезой. Построение демонстрирующего рассуждения, которое и считается доказательством в дедуктивных науках, во многих других областях совсем не обязательно.
В разных областях познания критерии состоятельности и приемлемости доказательств различны. В одних это формально-дедуктивная строгость, в других очевидность аргументов, интуитивная ясность рассуждения, в третьих достоверность и достаточность подтверждающих свидетельств.
Основным общим критерием приемлемости доказательства представляется его убедительность способность вызвать у адресата такое принятие доказанного утверждения, что он готов убеждать в нем других. Доказательство всегда погружено в социально-исторический контекст, поэтому общего для всех наук и всех времен понятия доказательства не только не существует, но и не может существовать.
Ключевые слова: истина, строгость, убедительность, подтверждающие свидетельства, историческая обусловленность
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-100-107

В.И. Маркин. Дихотомия de re - de dicto и аподиктическая силлогистика.

Силлогистика Аристотеля является модальной дедуктивной системой, ассерторическая силлогистика составляет очень узкий ее фрагмент. Эта модальная логическая теория вызвала возражения у античных и средневековых последователей и комментаторов Аристотеля. Он считал корректными некоторые «смешанные» силлогизмыс одной аподиктической посылкой, одной ассерторической посылкой и аподиктическим заключением. Его ученики Теофраст и Эвдем выдвинули известный принцип «заключение может иметь модальность лишь слабейшей по модальности посылки», отвергая тем самым все подобные модусы. В средневековой логике было проведено различение модальностей de dicto и de re, было установлено, что они обладают различными дедуктивными свойствами. В аподиктической силлогистике Аристотеля принимаются как выводы, справедливые только при de dicto-интерпретации модальностей (например,i-обращение), так и выводы, правомерные только при de re-интерпретации (например, модус Barbara). Если принять принцип слабейшей посылки, то аподиктическую сил-логистику естественно интерпретировать как содержащую модальности de dicto. Выдающийся польский логик Ян Лукасевич считал ошибочными оба варианта модальной силлогистики. По его мнению, все ¾смешанные¿ модусы, образованные из правильных категорических силлогизмов, корректны (в том числе и отвергаемый Аристотелем модус Barbara). Эти модусы Лукасевич обосновывает с использованием теорем построенной им системы позитивной ассерторической силлогистики и четырехзначной модальной логики, которая содержит ряд законов, отвергаемых в нормальных модальных исчислениях. В статье будут представлены два перевода ассерторических и аподиктических высказываний в модальную логику предикатов с равенством (вариант модальной системы Г.Е. Минца): первый обеспечивает корректность всех законов аподиктической силлогистики Аристотеля, второй корректность всех аподиктических силлогизмов, принимаемых Лукасевичем. Таким образом, аппарат современной кванторной модальной логики может быть использован для «реабилитации» аподиктических фрагментов и силлогистики Аристотеля, и силлогистики Лукасевича
Ключевые слова: модальности de dicto и de re, модальная силлогистика, кванторная модальная логика
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-108-115

Я.И. Петрухин. Аналитические таблицы для интуиционистского аналога FDE.

Н.Д. Белнап сформулировал релевантную логику первоуровневого следования FDE (First Degree Entailment), избегающую так называемых парадоксов классического следования: «из противоречия следует все что угодно» и «тавтология следует извсего что угодно». В FDE рассматриваются формулы, главным знаком которых является импликация, антецедент и консеквент которой содержат только отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию. В связи с тем, что интуиционистское следование имеет те же парадоксы, что и классическое, возникла проблема построения интуиционистского аналога FDE, избегающего парадоксов интуиционистского следования. Я.В. Шрамко удалось решить эту проблему, построив логику IEfde. В IEfde наряду с релевантной импликацией рассматривается интуиционистская, поскольку, в отличие от классической, она не выражается через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию. Я.В. Шрамко сформулировал интуиционистскую версию разработанной Е.К. Войшвилло семантики обобщенных описаний состояний для FDE. В этой работе мы предлагаем адекватные аналитические таблицы в стиле М. Фиттинга для IEfde, опираясь на семантику этой логики, разработанную Я.В. Шрамко. Мы модифицируем аналитические таблицы М. Фиттинга для интуиционистской логики, добавив два новых типа отмеченных формул (TA (не-истинно A) и FA (не-ложно A)), правила редукции для них, адаптировав соответствующим образом определения, а также правила для TA и FA. Множество отмеченных формул S называется замкнутым, если оно одновременно содержит отмеченные формулы вида TA и TA или FA и FA. Замкнутая таблица для {TA, TB}называется доказательством формулы A→B. В тех правилах, в которых в интуиционистской логике вычеркиваются отмеченные формулы вида FA, в IEfde вычеркиваются также отмеченные формулы вида TA. Кроме того, построенные нами аналитические таблицы для IEfde являются разрешающей процедурой для этой логики.
Ключевые слова: аналитические таблицы, интуиционистская логика, релевантная логика, первоуровневое следование, релевантное следование, обобщенное описание состояния
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-116-122

Н.Н. Преловский. Бесконечнозначная логика Лукасевича и ряды Фарея.

В статье будет рассказано о связи между критерием Мак-Нотона для бесконечнозначной логики Лукасевича, простыми числами и рядами Фарея. Дано определение простого числа в терминах бесконечнозначной логики Лукасевича. В соответствии с критерием Мак-Нотона, множество функций бесконечнозначной логики Лукасевича совпадает с множеством непрерывных кусочно-линейных функций особого вида. В докладе показано, что простота числа n зависит от существования таких функций бесконечнозначной логики Лукасевича, что ограничение каждой из них на соответствующую конечнозначную логику Лукасевича совпадает со значением функций N1/n(x). При этом каждая такая функция имеет кусочно-линейные эквиваленты, линейные коэффициенты которых могут быть найдены с помощью подходящих рядов Фарея. А именно, возникает возможность охарактеризовать все линейные функции, проходящие через точку с координатами (i/n,1/n). Действительно, все такие функции описываются уравнениями вида f(x) =b+kx с целыми коэффициентами b и k, что 1/n=b+k(i/n), что позволяет отыскать данные коэффициенты в подходящих рядах Фарея.
Ключевые слова: многозначная логика, логика Лукасевича, простые числа, ряды Фарея
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-123-128

A.В. Титов. Использование нефинитных методов в исследовании взаимосвязи форм логического исчисления на основе оценки.

Рассматривается подход к изучению взаимозависимости различных типов логического исчисления, основанный на исследовании оценки как морфизма, сохраняющего структуру из алгебры формул в структуру, на которой принимает значение их оценка.
В настоящее время применение неклассических логик в математике ограничено. Однако постоянно растущие и изменяющиеся требования к математическому аппарату, применяемому в формальных моделях сложных объектов и процессов, могут существенно изменить это положение и привести к развитию математических теорий, основанных на использовании различных видов неклассической логики. Исследование взаимосвязи различных типов логического исчисления на основе рассмотрения оценки связано с привлечением нефинитных методов теории структур, к которым можно отнести методы обобщенного нестандартного анализа как раздела теории категорий. Это направление можно отнести к семантическому подходу к исследованию типов формальной логики на основе исследования оценки и отнести к исследованию взаимодействия синтаксиса и семантики, заявленному в работах Линдона.
Развитие подхода к исследованию типов формальной логики на основе использования нефинитных методов обобщенного нестандартного анализа позволяет рассматривать множество формул алгебры логики с введенным на нем отношением эквивалентности как фактор-алгебру с определенной структурой.
Применение методов, использующих современные математические теории, позволяет выявить математическую структуру формальной логики и проследить взаимосвязь различных видов логических исчислений, другими словами, выявить математическое содержание рассматриваемого вида логического исчисления.
Обоснованность использования нефинитных методов в логических исследованиях обусловлена тем, что метаматематика теория, изучающая формализованные математические теории. Формализованная теория множество конечных последовательностей символов (формул и термов) и множество операций над этими последовательностями. Операции заменяют элементарные шаги дедукции в математических рассуждениях. В такой постановке математическая логика (метаматематика) сама становится разделом математики. Т. е. сама логика в такой постановке становится объектом математического исследования.
Рассматриваемый подход, позволяет рассматривать формальную логику как динамическую систему, развитие которой заключается в раскрытии системы частных типов логического исчисления, для описания которого предлагается использовать нефинитные методы обобщенного нестандартного анализа.
Ключевые слова: оценка, категория, нефинитные методы, нестандартный анализ, мера
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-129-136

Н.Е. Томова. О четырехзначных паранормальных логиках.

Статья посвящена изложению результатов исследования свойств четырехзначных паранормальных логик. Свойства паранормальных логик таковы, что они могут служить инструментом формализации рассуждений в условиях как противоречивой, так и неполной информации, т .е. эти логики одновременно являются паранепротиворечивыми и параполными. Логические системы представлены посредством логических матриц. Исследуется вопрос соотношения паранормальных матриц по классам тавтологий и по классам следований. Рассматриваются две четрырехзначные паранормальные матрицы, которые получены методом комбинирования изоморфов классической логики, выделенных в четырехзначной логике Бочвара B4. Они обозначены как M15 и M16. Рассматриваемые матрицы являются литеральными, т .е. обладают свойствами паранепротиворечивости и параполноты на уровне пропозициональных переменных и их отрицаний, или, что то же самое, на уровне литералов. Предложен способ доказательства эквивалентности этих четырехзначных паралогик по классу тавтологий. Также указано, что матрица M15 только с одним выделенным значением D ={1} совпадает с матрицей логики V, которую авторы Л.З. Пуга и Н. Да Коста предлагают в качестве формализациии воображаемой логики Н.А. Васильева. Далее рассматриваются еще две четырехзначные матрицы, являющиеся характеристическими для паранормальных логик AVP и S4. Эти матрицы не могут быть рассмотрены в качестве результата комбинирования изоморфов классической логики и отличаются от матриц MV и M15 только тем, как определяется отрицание. Установлено, что по классам тавтологий и по классам правильных заключений, порождаемых матрицами, MAVP и MS4 соотносятся аналогично тому, как соотносятся MV и M15: они эквивалентны по классу тавтологий, то есть задают одну и ту же паранормальную теорию, однако исследование свойств отношения логического следования показало их дедуктивные различия. В результате намечено дальнейшее направление исследования, ставится вопрос, одну ли паранормальную теорию задают матрицы MV и MAVP и различны ли по дедуктивным свойствам пары матриц M15 иMS4, MV и MAVP.
Ключевые слова: четырехзначные логики, паранормальные логики, тавтология, отношение следования, логические матрицы
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-137-143

Ю.Ю. Черноскутов. Логика и теория науки в философии XIX века.

В статье обсуждаются ключевые моменты и основные этапы развития программы, стремившейся свести теорию науки к (формальной) логике. Подобные проекты были несовместимы с некоторыми из основных принципов кантианской теории познания, поэтому развивались главным образом в рамках традиций, испытавших наименьшее влияние этой философии. Основное внимание уделяется истории развития этой программы в Австрии. Показано, что основные принципы этого подхода были заложены Б. Больцано, который отождествил проект «Wissenschaftslehre» с логикой. Анализируется своеобразие больцанистской концепции логической формы, в частности обращается внимание, что кантианское противопоставление содержанию для него не имеетотношения к сути дела. Далее рассматриваются особенности восприятия и развития лейбницевского проекта универсальной характеристики философами из круга Больцано Ф. Экснером и Р. Циммерманном. В отличие от влиятельной интерпретации А. Тренделенбурга, эти авторы достаточно твердо и решительно увязывали этот проект с развитием формальной логики. Экснер фактически поставил задачу разработки чисто логического исчисления на основе больцановского метода вариации представлений; Циммерманн, среди прочего, предложил, что в качестве простейших понятий такого исчисления должны использоваться не те или иные категории, но средства выражения, спомощью которых из отдельных элементов строятся структуры знания. Рассматривается роль двух изданий учебника Р. Циммерманна «Формальная логика» для гимназий в утверждении соответствующих подходов. При этом мы пытаемся исследовать, за счет чего Циммерманн надеется достигнуть главной цели логики, которую он видит в том, что эта наука должна обеспечить единство научных методов и полное упорядочение научного знания. В заключение кратко прослеживается воплощение описанной программы в философских проектах А. Риля и Э. Гуссерля.
Ключевые слова: логика, теория науки, XIX век, Больцано, универсальная характе ристика, Циммерманн
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-144-150

B.И. Шалак. Слабое отношение следования между А-термами.

Язык λ-исчисления находит широкое применение для решения задач в логике, информатике, лингвистике и искусственном интеллекте. Само λ-исчисление строится вокруг базисного отношения между термами, которое называется β-редукцией. В предлагаемом докладе для типизированного в смысле Карри λ-исчисления формулируется более слабое отношение между термами, которое может как иметь самостоятельное значение, так и позволить установить более тонкие связи между логикой и λ-исчислением. Основная идея заключается в том, что при приписывании терму X типа α относительно контекста Γ, что записывается в виде Γ ˫X:α, понятие контекста играет роль, аналогичную понятию модели в логике. Если в логике выражение M|=A означает, что формула A истинна в модели M, то в типизированном λ-исчислении выражение Γ ˫ X:α означает, что в контексте Γ терму X приписан тип α, и этот терм имеет значение, которое может быть вычислено. В логике отношение следования между формулами A и B определяют как A|=B⇔∀M(M|=A⇒M|=B). Если перенести эту схему в λ-исчисление, то отношение λ-следования между темами может быть определено как X|=λY⇔ ∀Γ∈Ctx[∃α(Γ ˫ X:α)⇒ ∃β(Γ ˫ Y:β)]. Смысл этого отношения заключается в том, что в каждом контексте, в котором терму X может быть приписан некоторый тип, терму Y также может быть приписан некоторый тип. Иными словами, если вычислима функция, представленная термом X, то вычислима функция, представленная термом Y. Отношение λ-следования обладает многими свойствами, присущими классическому отношению следования между формулами логики, а также рядом новых свойств, характерных для λ-исчисления с типами.

Ключевые слова: λ-исчисление с типами, отношение следования

DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-151-157

Т.А. Шиян. Многозначность и типология терминов.

В статье представлена типология терминов с точки зрения природы знакового отношения и способов реализации референции. По природе знакового отношения термины и знаки вообще можно разделить на «нормальные» (собственно знаки, то есть знаки, имеющие общественное, интерсубъективное существование) и «конвенциональные» (условные обозначения, вводимые «по договоренности», в том числе и на основании индивидуальной декларации или решения автора). Термины естественного языка (в том числе «нормальные») обычно делят на «единичные» (имена, константы) и «общие». Среди терминов «по договоренности» можно выделить конвенциональные термины и знаки «с оперативной конвенцией» (вводятся как заготовки знаков с целью их доопределения в специальных контекстах конкретных задач, доказательств, примеров). К конвенциональным терминам относятся как термины естественного языка (например, научные имена тех или иных объектов), так и символьные обозначения. Среди терминов «с оперативной конвенцией» можно выделить как минимум три типа: собственно «переменные» (по функции схожи с общими терминами в некоторых суппозициях), «условные имена» (вместе с именами по договоренности и нормальными именами они являются константами, но различаются контекстами употребления) и «параметры» (абстрактные имена, обозначения, мыслимые как имена конкретных, известных объектов; занимают промежуточное положение между «переменными» и «условными именами»). Одна и та же знаковая форма, функционируя в качестве знака любого из этих видов, в разных коммуникативных ситуациях может быть связана с разными объектами, но природа смены референта зависит от типа знака. Различение этих типов знаков позволяет уточнить сами принципы функционирования логико-математических обозначений, а также историю их изобретения. В частности, пролить свет на введение буквенных обозначений в логике.
Ключевые слова: семиотика, логико-математические обозначения, термин, конвенциональный знак, имя, единичное имя, константа, переменная, параметр, абстрактное имя, условное имя, референция
DOI: 10.21146/2074-1472-2018-24-2-158-166

Информация для Авторов