Численно-аналитический Расчет балок-стенок на линейно-упругом основании

Выпуск 2

лам № 4 и 5. Поплавки, пущенные у причалов № 3-5, направляются от причалов в сторону открытой акватории, а поплавки, пущенные от причалов № 1 и 2, направляются в сторону фронтальных причалов под углом 45°.

Величина скоростей на поверхности не превышает 6 см/с.

Донные скорости течения изучались только в зимний период, при этом направления донных течений не совпадали с направлением поверхностных течений.

Величина данных скоростей течения обычно не превышала 2 см/с, в связи с чем перемещений донных отложений ожидать не следует.

Скоростной режим течений оказывает малое влияние на движение наносов, что подтверждается исследованиями заносимости дна акватории.

Исследование заносимости дна акватории проводилось в два этапа.

На первом этапе производились проме-

ры по двум профилям на входе в акваторию «Морской фасад». Цель исследований — определить влияние на заносимость наносов, поступающих из протоков Большой и Малой Невы.

На втором этапе балансовым методом измерили общий объем отложений во всей акватории. Сопоставление съемки после выполнения дноуглубительных работ и съемки после года эксплуатации показало, что средняя величина отложений наносов составляет не более 1 см в год.

Результаты исследований температур -ного режима используются при разработке систем обогрева лицевой грани причалов и образования вдоль линии причаливания свободной от льда майны.

Исследования волнового режима, движения ледяных полей в акватории, скоростей течения и движения наносов позволили решить вопрос о строительстве оградительных сооружений акватории.

Список литературы

1. Баланин В. В. Использование тепла глубинных вод водоемов (для поддержания незамерзающих акваторий) / В. В. Баланин, Б. С. Бородкин, Г. И. Мелконян. — М.: Транспорт, 1964. — 273 с.

2. Бородкин Б. С. Изучение зимней термики водоемов в целях использования тепла глубинных вод / Б. С. Бородкин // Тр. координационных совещаний по гидротехнике. Дополнительные материалы [к вып. 81]. — Л.: Энергия, 1973.

3. Иванов Л. В. Зимняя эксплуатация объектов водного транспорта / Л. В. Иванов. — М.: Транспорт, 1978. — 210 с.

УДК 539.3 А. В. Матросов,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ БАЛОК-СТЕНОК НА ЛИНЕЙНО-УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

%

А NUMERICALLY-ANALITICAL ANALYSIS OF WALL-BEAMS ON A LINEARLY ELASTIC FOUNDATION

Представлен алгоритм численно-аналитического метода расчета упругих систем, работающих в условиях плоской задачи теории упругости, основанный на декомпозиции системы на прямоугольные обла-

сти и построении для каждой из них общего решения на основе метода начальных функций с последующей их «склейкой» по линиям контакта с использованием условий взаимодействия областей между собой для построения системы линейных уравнений определения неизвестных коэффициентов в решениях. Приведены результаты проведенной серии вычислительных экспериментов расчета балки-стенки на упругом слое для определения влияния его толщины на напряженно-деформированное состояние балки-стенки.

An algorithm for building a numerical-analytical solution for the problem of deformation of linearly-elastic systems on basis of their decomposition on a set of simple rectangular elements and using a general solution for a rectangular area based on a method of initial functions is presented. Results of computing experiments of an analysis of a wall-beam on a linearly elastic layer foundation to determine an influence of its thickness on a stress-strain state of the wall-beam are given.

Ключевые слова: краевая задача, плоская задача теории упругости, метод начальных функций, линейно-упругие системы, балка-стенка.

Key words: boundary problem, plane elastic problem, method of initial functions, linearly elastic systems, wall-beam.

1. Введение. Разработанный в [1, с. 5565; 2, с. 70-84] численно-аналитический метод расчета упругих систем в условиях плоской задачи теории упругости был успешно применен к расчету головы шлюза на скальном основании [3, с. 8-14]. Однако его можно применять и для конструкций на упругом основании. Причем и основание, и сама конструкция рассчитываются на основе уравнений теории упругости без привлечения каких-либо гипотез об их поведении. Балка-стенка, моделирующая работу разнообразных гидротехнических сооружений, не может быть рассчитана по балочной теории, поэтому для демонстрации применения этого метода к расчету конструкций на упругом основании выбрана балка-стенка на упругом изотропном основании.

При расчете конструкций на упругом основании используются различные модели основания, начиная от простой модели Винклера и заканчивая упругим слоем и полупространством. Модель Винклера широко используется в расчетной практике, несмотря на то что она не учитывает распределительное свойство грунта — он проседает не только под самой конструкцией, но и непосредственно по соседству с ней. В связи с этим была выдвинута идея использования модели сначала упругого полупространства, а потом и упругого слоя. Работа [4] как раз и показывает преимущества использования указанного подхода. В ней приведены расчеты различных типов конструкций как на упругом полупространстве, так и на упругом слое, показывающих достаточно хорошее согласование принято-

го подхода с экспериментальными данными. Однако отмечаются и недостатки модели упругого полупространства и слоя. Одним из основных является обращение прогиба в нуль на бесконечности, хотя опыты говорят о его быстром затухании при удалении от границы конструкции.

В данной работе предлагается в качестве модели основания использовать не бесконечный слой, а его часть, расположенную непосредственно под конструкцией, вместе с боковыми отрезками определенной длины, на вертикальных границах которых вертикальные и горизонтальные перемещения полагаются равными нулю, как и перемещения на нижней части слоя, где он опирается на неподвижное основание.

2. Алгоритм расчета. В [2, с. 70-84] предложен алгоритм расчета тел с составленным из прямоугольных областей сечением сложной конфигурации, находящихся в условиях плоской задачи теории упругости. Любая из четырех граней каждой прямоугольной области может либо принадлежать границе сечения всего тела, либо соприкасаться с гранью другой прямоугольной области, полностью с ней совпадая.

На гранях, принадлежащих границе сечения тела, могут быть заданы граничные условия одного из следующих видов (оси декартовой прямоугольной системы координат Oxy параллельны граням прямоугольной области):

1) о. и Txy (на грани x = const);

2) oy и Txy (на грани y = const);

Выпуск 2

Выпуск 2

3) и и v (на грани х = const или у = = const);

4) ox и v (на грани x = const);

5) оу и и (на грани у = const);

6) тху и и (на грани x = const);

7) тху и v (на грани у = const).

На гранях, соприкасающихся с гранями других прямоугольных областей, граничные условия могут обеспечивать непрерывность перемещений и напряжений при переходе из одной области в другую через общую грань, а могут рассчитываться и из других условий сопряжения соприкасающихся граней, например, обеспечивая скольжение областей по грани с трением или без трения.

Прямоугольные области рассчитываемого тела с граничными условиями указанного типа будем называть простыми телами. На рис. 1 показана декомпозиция системы «балка-стенка-упругое основание» на составляющие ее простые тела R i = 1, ..., 3. Для каждого простого тела R. вводится локальная система координат O.х.у. с началом координат в верхней левой вершине прямоугольника, осью х направленной вниз, и осью у направленной вправо, образуя таким образом правую систему координат.

В работе [1, с. 55-65] разработан и реализован алгоритм построения общего решения в виде тригонометрических рядов для граничной задачи анизотропного линейноупругого прямоугольного в сечении тела с размерами (0, h) х (0, а) вдоль координат х и у соответст-венно, находящегося в условиях плоской деформации или обобщенного плоского напряженного состояния. Общее решение строится на основе метода суперпозиции [5], предложенного Г. Ламе еще в 1851 г. Суть его заключается в том, что если имеются два решения, обладающие функциональным произволом для удовлетворения граничным условиям на альтернативных противоположных гранях прямоугольника, то сумма таких решений будет представлять общее решение для всей прямоугольной области.

В качестве указанных решений в [1] используются два решения, построенные методом начальных функций (МНФ). В первом начальные функции задаются на линии x = 0, а во втором — на линии у = 0, причем выбира-

ются они в виде тригонометрических рядов.

Обозначим через и0 = -{р0 (у), V0 (>0,0“ (у), Т&00} и ©0=^0(х),^0(л:),^х),^(х)} векторы начальных функций, заданных соответственно на линиях х = 0 и у = 0. Векторы перемещений й = -Ц((х,у),у(х,у),дх(х,у),д),(х,у),т^(х,у)} и и = {^(х,у),^(х, у),Вх (х,у), Ву (х,у),\ (*,>0} напряжений и в соответствии с решением МНФ выражаются через векторы начальных функций следующим образом

и = 1и°,

= == (1) и= ьи°,

где Е = [^] и Е = [4] (г = 1, ..., 5, ] = 1, ...,

4) — матрицы операторов МНФ с элементами

вида Ц =

к=0 *=0

в которых коэффициенты 1у и 1у зависят от упругих постоянных анизотропного тела и соответственно операторов дифференцирования ду по переменной у и дх по переменной х.

Начальные функции выберем в виде тригонометрических рядов

и0 = 1и^

Т0

и0 = 1и«

п=0

в которых

и о,« и

(г = 1, ., 4) произвольные числовые коэффициенты, яЦ, =зт(а„!уХ cam=cos(amy), s*=sin(pлx). сьп = совф,,*), ат = /ил/а, (3„ = гт/к, т и п любые целые неотрицательные числа.

В этом случае в соответствии с решениями МНФ (1) векторы перемещений и напряжений U и U будут получены в виде

и=Хй(и),

т~0

ё=£ё(л),

л=0

где х? £Д"> <.г?)<}.

а иг> и I»

г = 1, ., 5 — числовые степенные ряды по переменным х и у соответственно

з->=х«?% р=1

ду=±ат

=5>?°25 p=i

к=0

Зу=±ат

хк =

4=0 р=1

?°=¿*r4«.=¿*r£í

/>=1 Р=1

>Р I Эх=±ап

/ =

=xzw-/-

¿-0 р-1

и,. = Ц. + Ц.

Вектор и,. ={и,, і|, а“,, а^, т^}, образованный из компонентов вектора перемещения и тензора напряжений в точках простого тела Л представлен суммой векторов

^ _уі’%у} и ^1 _ {М»> М’ вида

о, = ¿и,«,

Т°

0,=Ё0«

л=0

где

u(m) =\Hr)sai, D?)ca‘, да Л 4т)-Л Дт)са‘1

í L ’* т’ 2,1 т9 3,г т ’ 4, г т’ 5, г тJ ?

ІтМ —Jfr«) Jh ~ТІП)Л 7"00«^ f{n)Jh ТІп) rh\

«’ 2,/я5 ^3,їЛл> а,4,/л«9 ^5,íSíJ>

¡C = SÍn

и л* = sm(p>,.), <А =cos(pj,JC, ),

Р=1

Э>=±“т

/>=1

¿=0

=XX«V*f

k=0 р=1

ZW=Y ¿«I. . =y¿wyp.

7.« P'¡ JP,¡ э Zw P.'Zj V,t

p=1 * ” p=l

/1=0

В рядах Lip и Lip операторы дифференцирования д. и dy появляются в виде целых степеней. Их замена на числовые значения, представляющие целые степени am и Ря с соответствующими знаками, должна выполняться последовательным дифференцированием исходной тригонометрической

функции, на которую воздействует оператор. _

Так, например, оператор должен быть за- -

менен на -а^, если функцией, на которую он воздействует, является функция sin

( dyS0, = amd2yCm = "“»V* = ~al,Cm ) и на +<Х^ в случае его воздействия на cos (am y) (Э^с“ -= ~amKsm = -aidycm = aísm). Аналогичное правило применяется и к оператору дифференцирования дх по переменной х, только функции, на которые он воздействует, суть sin (Ря х) и cos (Ри х).

Каждое из решений (3) позволяет решить задачу удовлетворения граничным условиям на альтернативных противоположных гранях прямоугольника: первое — на гранях х = 0 и х = h, тогда как второе — на гранях y = 0 и y = a. В соответствии с методом суперпозиции Ламе сумма двух этих решений

u=ü+ü

будет обладать достаточным функциональным произволом для удовлетворения ГУ на всех четырех гранях упругого анизотропного прямоугольника, являясь, таким образом, общим решением задачи для упругой анизотропной прямоугольной области.

Для простого тела R. можно построить общее решение типа (4) с использованием тригонометрических рядов (2) с неизвестными коэффициентами для представления начальных функций

э*=±с4

=

к=О р=1

а ^>,1 и ^Р,1 а=l, ., 5, р = l, ., 4)—опе-

раторы МНФ для простого тела Я

Построив решения типа (6) для всех простых тел Я, вычисляют необходимые компоненты напряженно-деформированного состояния (НДС) на их гранях. Для удовлетворения граничным условиям полученные функции компонентов НДС раскладывают в ряды Фурье и строят систему бесконечных линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов о'"} и Ь^\ начальных функций, приравнивая соответствующие гармоники компонентов НДС.

В практических расчетах ограничиваются конечным числом гармоник в представлении, как начальных функций, так и заданных граничных условий. Таким образом, решаемая система линейных алгебраических уравнений является конечной, что равно-

•О

Выпуск 2

Выпуск 2

Рис. 1. Расчетная схема балки-стенки на упругом основании под равномерной нагрузкой

сильно применению метода редукции к исходной бесконечной системе уравнений [6].

3. Расчет балки-стенки на упругом основании. Квадратная балка-стенка с линейными размерами 2а х 2а м, изготовленная из бетона с модулем упругости Е = 2 • 104 МПа и коэффициентом Пуассона V = 0,167, расположена на упругом основании с модулем деформации Е0 = 25 МПа и коэффициентом Пуассона v0 = 0,37 (суглинок). Толщина слоя упругого основания Н м. В горизонтальном направлении он не бесконечен, а ограничен справа и слева от крайних точек балки-стенки частями длиной 8 а м. На верхнюю поверхность балки-стенки действует равномерно-распределенная нагрузка интенсивностью ^0 н/м2.

На рис. 1 показана правая часть рассчитываемой системы, а также представлены простые тела, на которые она разбивается при выполнении ее расчета представленным выше численно-аналитическим методом.

Граничные условия таковы: напряжения ох = д0 и тху = 0 на линии 01Л; напряжения на линиях Л03 (оу = 0 и тху = 0) и 03В (ох = 0 и т = 0); перемещения равны нулю и = 0 и V = 0 на линиях ВС, СО и ОЕ; в силу симметрии системы относительно вертикали, проходящей через середины горизонтальных сторон балки-стенки, на линиях 0102 и 02Е горизонтальное перемещение V = 0 и касательное напряжение тх = 0; на линии 030 соприкосновения простых тел 2 и 3 выполняются условия непрерывности перемещений и напряжений при переходе из области тела 2 в область тела 3 — и2 = и* ^ ^ о* =°г < =^; на линии

контакта 0203 балки-стенки и основания задается непрерывность вертикального перемени

щения и1 = и2 и напряжения Ох = Ох, а также равенство нулю касательных напряжений =0 и 1^=0 в силу скольжения без сопротивления балки-стенки вдоль линии контакта. Числовые индексы у перемещений и напряжений означают, что они вычисляются по

а б в

Рис. 2. Безразмерное нормальное напряжение ох /д0 в горизонтальных сечениях балки-стенки при толщине слоя основания 2а

формулам общего решения для простого тела с указанным номером.

В представлении нагрузки и начальных функций простых тел тригонометрическими рядами удерживалось по 31 гармонике.

Для выяснения влияния толщины слоя упругого основания на напряженно-деформированное состояние балки-стенки были проведены расчеты со слоями толщинами Н = 2а, 4а, 6а м.

На рис. 2 представлены графики безразмерных нормальных напряжений ох /д0 в горизонтальных сечениях х1 = к (і - 1)/4 (і = 1, ..., 5 и соответствует номеру кривой на рисунке) локальной системы координат балки-стенки при слоях основания различной толщины. Видно, что нормальное напряжение ох при слое основания толщиной Н = 6 а практически полностью соот-

ветствует расчетам с основанием толщиной Н = 4а, тогда как для слоя толщиной Н = 2а напряжения в области контакта отличаются от расчетов со слоями толщиной Н = 4а, 6а. График 5 рис. 2 дает представление о нормальном напряжении на линии контакта балки-стенки с упругим основанием.

Графики на рис. 3 дают представление о распределении нормальных напряжений о /д0 в вертикальных сечениях у1 = а (г - 1)/4 (г = 1, ..., 5 и соответствует номеру кривой на рисунке) локальной системы координат балки-стенки. Здесь также можно заметить, что при слоях основания с толщинами Н = 4а, 6а значения этого нормального напряжения практически совпадают. Его распределение по высоте балки-стенки отличается от распределения такого же напряжения в обычной невысокой балке. Видно, что 3/4 верхней ча-

Рис. 3. Безразмерное нормальное напряжение оу /д0 в вертикальных сечениях балки-стенки при толщине

слоя основания 2а

Выпуск 2

Выпуск 2

а б в

Рис. 4. Безразмерное вертикальное перемещение иЕ0 /2ад0 в горизонтальных сечениях основания

при толщине слоя 2а

сти балки-стенки изогнуты меньше, чем нижняя ее четверть, в которой наибольшие растягивающие напряжения достигаются на линии контакта с основанием в области угловой точки балки-стенки. Обратим внимание, что предложенный для расчета сложных упругих систем метод дает напряжения оу на свободной линии Л03, равные чистому нулю в соответствии с граничными условиями.

Рисунок 4 представляет графики безразмерных вертикальных перемещений иЕ0 /2ад0 в горизонтальных сечениях х2 3 = Н (г - 1)/4 (г = 1, ..., 5 и соответствует номеру кривой на рисунке) локальных систем координат простых тел 2 и 3, моделирующих упругое основание. Видно, что с увеличением толщины упругого слоя вертикальные перемещения основания под балкой-стенкой увеличиваются. Это может свидетельствовать о том, что для данного податливого основания

(модуль деформации Е0 = 25 МПа) следует при расчетах его напряженно-деформированного состояния использовать слой большей толщины, чем 6а. Однако для расчета напряженно-деформированного состояния балки-стенки это не имеет значения в силу представленных ранее расчетов (рис. 2 и 3).

4. Заключение. Полученные результаты расчета балки-стенки на упругом основании по разработанному численно-аналитическому алгоритму вычисления перемещений и напряжений в сложных упругих системах позволяют положительно судить о возможности применения предложенного подхода к анализу работы подобных систем. Толщина слоя основания, начиная с некоторого значения (Н = 4а), практически не влияет на напряженно-деформированное состояние балки-стенки, но влияет на деформированное состояние самого основания.

Список литературы

1. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2007. — Вып. 2.

2. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. — 2008. — Вып. 3.

3. Матросов А. В. Расчет гидротехнических сооружений численно-аналитическим методом / А. В. Матросов // Журнал университета водных коммуникаций. — 2010. — Вып. 4 (8).

4. Горбунов-Посадов М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов -Посадов, Т. А. Маликова. — 2-е изд. — М.: Стройиздат, 1973. — 627 с.

5. Lamé G. Leçon sur la théorie mathémathique de l’élasticité des corps solids / G. Lamé. — P.: Bachelier, 1852. — 335 p.

6. Канторович Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — М.: ГИТТЛ, 1950. — 695 с.

УДК 519.6 С. Н. Болбин,

аспирант,

СПГУВК;

А. В. Васин,

канд. физ.-мат. наук, доцент,

СПГУВК

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА МЕТОДОМ ПОТОКОВ ЖИДКОСТИ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

CALCULATION RESULTS BY THE METHOD OF FLUID FLOWS OF BOUNDARY ELEMENTS

В работе тестируется комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) для модельных областей. The complex method of boundary elements for the model domains is tested.

Ключевые слова: комплексный метод граничных элементов (КМГЭ), комплексный потенциал, формула Коши.

Key words: complex method of boundary elements, complex potential, Cauchy formula.

Комплексный метод граничных элементов (КМГЭ) основан на применении интегральной формулы Коши. Для плоского безвихревого течения жидкости внутри односвязной области Q с границей Г можно построить комплексный потенциал

где ф (x, y) и у (x, y) — гармонические на Q U Г функции, называемые потенциалом скоростей и функцией тока соответственно. Кривые, определяемые уравнением ф = ф (x, y) = const, называются линиями равного потенциала. Кривые, определяемые уравнением у = у (x, y) = const являются линиями тока. Линии равного потенциала ортогональны линиям тока.

Рассмотрим односвязную область границей которой является замкнутый кусочно-гладкий контур Г с п вершинами.

Разобьем границу Г узлами г. ( = = 1, 2, ..., т) так, чтобы по крайней мере в каждой вершине границы находился узел (т > п). Пронумеруем узлы (последовательно, начиная с единицы) в положительном направлении обхода (против часовой стрелки) контура Г (рис. 1).

Специфика задач гидродинамики такова, что на каждой части границы известна либо вещественная, либо мнимая часть потенциала. Обозначим символами ф и у заданные в узлах значения. Аналогично символами ф. и у. обозначим соответственно величины ф. (г) и у. (г.), которые будут найдены в процессе КМГЭ.

Выпуск 2