Разрешимость модельной задачи сублимации льда в снежном покрове

УДК 51:556.124

Разрешимость модельной задачи сублимации льда в снежном покрове*

А.А. Папин, Е.С. Юст

Алтайский государственный университет

Solvability of a Model Problem of Sublimation of Ice in Snow

A.A. Papin, E.S. Yust

Altai State University

Рассматривается математическая модель движения воды и воздуха в снеге с учетом сублимации. Снег представляет собой пористую среду, твердый каркас которой составляют неподвижные частицы льда. В порах находятся вода, воздух и пар. Для описания процесса используются уравнения сохранения масс для каждой фазы, система уравнений двухфазной фильтрации Маскета-Леверетта для воды и воздуха, а также уравнение сохранения энергии для снега. Дается постановка задачи, далее строится ее решение в автомодельных переменных. Задача рассматривается в бесконечной области. Для поля скоростей получены конечные формулы, а также уравнение для температуры, из которого следует монотонность последней с экспоненциальным стремлением к заданному значению на бесконечности. Найдено вырождающееся на решении уравнение для насыщенности водной фазы и установлен физический принцип максимума. На основе этого принципа и с помощью введения дополнительного параметра установлена разрешимость задачи Коши. Полученное решение продолжается сначала на конечный интервал, а затем, благодаря свойству конечной скорости распространения возмущения, решение продолжается на бесконечный интервал.

Ключевые слова: сублимация, двухфазная фильтрация, автомодельное решение, фазовый переход.

БМ 10.14258/izvasu(2017)1-23

In this paper, a mathematical model of water and air motion in snow with consideration of a sublimation process is investigated. Snow is a porous medium with a solid frame of fixed ice particles. There are water, air, and steam in pores. The model utilizes a mass conservation equation for each phase, the Musket-Leverette equation system for water and air two-phase filtration, and the energy conservation equation for snow. The model is elaborated in Paragraph 1. Paragraph 2 presents the problem solution in self-similar variables. The problem is investigated in an infinite domain. Finite solutions are obtained for a field of velocities. The equation for temperature is presented, and monotony of the equation with an exponential approach to the target value at infinity is demonstrated. Also, the degenerate equation for water phase saturation and physical background for the maximum principle are provided. Solvability of the Cauchy problem is proved on the basis of this principle with an introduction of an additional parameter. The resulting solution is, firstly, expanded on a finite interval, and, later, on an infinite interval due to finite speed of disturbance propagation.

Key words: sublimation, two-phase filtration,

Darcy's law, self-similar solution, phase transition.

Постановка задачи. При построении математической модели снежного покрова в период снеготаяния используются общие принципы динамики многофазной среды [1-4]. Особенностью этих моделей является обязательный учет фазовых переходов и использование фильтрационного приближения, поэтому основными уравнени-

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ №16-08-00291.

ями модели являются законы сохранения масс и энергии, а также закон Дарси для подвижных фаз [5-7]. Данный подход применяется при исследовании тепловой двухфазной фильтрации [8, 9], а также в работах по тепломассоперено-су в промерзающих и протаивающих грунтах [10-15]. Значительные объемы снега испаряются и при отрицательных температурах, минуя жидкую фазу. Для моделирования процесса сублима-

ции льда в снеге используется следующая система уравнений:

д

dt + = 0, д

— (Ф«2Р2) + div(p2^«2M2) = 0, д

- (p3(1 - ф)) = /43, д

dt (^S4P4 ) = ^ V = -Ко -^kfif (Vp + p0g), i = 1,2,

P2 - Pi = pc(si,0), Si + S2 + «4 = 1,

(£ p0ci«i) ^ + (£ P0ciVi)W =

= div(AcV0) — у

дрЗФ dt

Здесь t - время; ф - пористость; u - истинные скорости фаз; р0, Vi = фв^ - соответственно, истинные плотности воды, воздуха, льда, пара и скорости фильтрации воды и воздуха, si, s2, s4 - насыщенности воды, воздуха и пара; pi - приведенная плотность, ai - концентрация, pi = aip0 (ai = фв^ i = 1,2,4, «з = 1 — ф); Iij - интенсивность перехода массы из i-ой в j-ю составляющую в единице объема и в единицу времени; Ко -тензор фильтрации; koi - относительные фазовые проницаемости (k0i = k0i(si) > 0, k0i|s =0= 0 ); « - коэффициенты динамической вязкости; pi -давления фаз; pc - капиллярное давление; g -вектор ускорения силы тяжести; в - температура среды (ei = в, i = 1, 2, 3, 4); ci = const > 0 -теплоемкость i-й фазы при постоянном давлении; у = const > 0 - удельная теплота сублимации льда; Ac - коэффициент теплопроводности снега.

Система замыкается гипотезами:

I34 = ^^^ Ii2 = I32 = I3i = I24 = Ii4 =0, U3 = U4 = 0, ф = ф(в), S4 = S4 (в).

Простое решение. Следуя [7], от системы (1) - (6) переходим к задаче:

-c^

(фs2P0) + | (P2v2 ) = 0, Vi = -К t (t- - p.0^

P2 - Pi = Pc (s 1, в), si + s2 + s4 = 1,

0,

p^K-cai))de -= ),

i=i e

siL =0, s4L =0, eL = в-,

TTTL =0, viL =0,

P2(0)= P+, si(0) = s+, s4(0) = s+,

в(0) = в+, Vi(0) =

- „+

i = 1, 2.

Определение скоростей фильтрации. Следуя [7], получим представления для скоростей фильтрации:

VI = сф?! + ср3

«2 = сф?2 - сф-.

Представление для температуры. Фиксируем конечные значения температуры 0-, 0! и 0+. Пусть 0 < 0- < 0! < 0+,

ф! = (1 - ф-)/(0+ - 0!), ф2 = «1/(0+ - 0!). Положим для всех 0 € (0, то):

L, в > в+, ф(в) ={ ф— + ф^в - в1), в1 < в < в+, ф—, в < в1.

ф(в)s4(в) = Из (13) имеем

«1, в > в+, ф2(в - вl), вl < в < в+, 0, в < в1.

^с^р0(г>*-са) = ср3(1-ф)(с!-сз)+ср0ф?4(с!-с4)+

¿=!

+ А!С! + А2С2. Используя условия (11), получим

Лс — = с(с! - сз)р0М(0) + с(с! - С4)Р4Ж(0) +

+

где коэффициенты правой части определяются

в [7].

Решение задачи

в+ 0

I<в>^/т=/ш^™

в «

в(е) = I—1(^(Ac(e))).

Если в € [в1,в+], то из (15) имеем

в+

/ (*> = /

dy

bi(y - в1)2 + di(y - в1)+ ai

de de c de'

= ^

Ввиду монотонности #(£) существует такая точка £1 , что #(£1) = #1.

При # € [#-,#1 ] из (15) имеем:

Следуя [8], получим

/

#(£) = #- + (#1 - #-)ехр

«1

0

р(£) = р+ - ро(#+)6(в+) /з(81(х),#(х))^Х,

-62

V

¿у

АсЫ

.

Р2(£)= р(£) + Ро (#)Ь(в1),

Р1(£)= Р2(£) -Рс(*1(£), #(£)),

Таким образом, при заданной функции Ас(в1,#) представление (15) и его частные случаи (16), (17) определяют температуру для всех £ € (-то,0).

Определение насыщенности и давлений. Используя уравнение для температуры (14) и следуя [7], уравнение для насыщенности представим в следующем виде:

где

р

У1

¿у.

Здесь + ^>2 > 0 в силу леммы 1, а правая часть равенства есть заданная функция в1(£) и #(£). Поэтому функция р1 определяется с точностью до произвольной постоянной, значение которой мож-а0(в1)^тт = (в1)Р011 + —+ —|е|фАв1- но определить из условия Р2(0) = Р+. Гладкость

— П О —п —п />-\

Р1 и р2 определяется гладкостью в1(£).

Определение. Слабым решением задачи (7) -(12) в области Д- = (-то, 0) называются функции #(£), в1 (£), г>г(£), рг(£) и параметр с, если: 1) #(£) имеет непрерывную производную, удовлетворяет уравнению (14) и условиям #(0) = #+,

--0 |с|В(ф - ф-) + -0 |с|Пфв4 = /2(^1, #),

где

/ — /0 0\ / «о = , 5 = £(Р1 - Р2Л РО =

_ -г

Койог

г = 1, 2,

Д| — д- о» I

#и — # , :яс и -

0;

А = + -2^Ъ В = -1^2 Рз + -2^Ъ

Р0

п - р1 + -Р0

1.

5 4 <

Уравнение (18) рассматривается при £ < 0 и условии в1(0) = в+, т.е. для в1(£) рассматривается задача Коши, а условие в1|«=-то= 0 должно быть обосновано. Функции /1, ф, в 4 зависят от температуры #(£) € [#-,#+], выполняется условие /п1. Относительно Ро(#(£)) постулируется существование постоянной VI (#-, #+) > 0 такой, что VI < ро < V-1, |р0| < VI. Функции —1 и —2 могут зависеть от в1(£) и #(£), но должны удовлетворять неравенствам 0 < V < —г < V-1 < то,

г = 1,2.

Следующее утверждение уточняет свойства функций А, В и П.

Лемма 1. Если П1 > 1, П2 > 1, а > 0 и 5 > 1 - а1/п2, то шт(5"2,а - (1 - 5)"2) <

< ^(х) = ах"1 + (5 - ж)"2 < шах(5"2 , а - (1 - 5)"2),

где = а5м(1 + в)-"1/м + в"5(1 + в)-" при

- < 1, = «5(1 + в)-"1 + в"25М(1 + в)-"2М при

- > 1, - = (п1 - 1)/(п2 - 1), в = (п1 а/п2)1/("2-1). Доказательство приводится в [7].

2) в(£) имеет непрерывную производную с весом а(в), удовлетворяет уравнению (18) и условиям

*1(°) = , 4^=°;

3) г>г(£) удовлетворяют равенствам (13) и условиям «¿(0) = , «¿|«^-то=0;

4) Рг(£) удовлетворяют равенствам (19) и условию Р2(0) = Р+.

Теорема. Пусть положительные числа ас, 6с, -, ф-, К0, #-, #1, #+, р0, сг, а|, (г = 1,2,3,4), € (0,1] и непрерывные по в1 € [0,1] и # € [#-,#+] функции ф(#), 54(#), йог = £ог(81,#)8", Пг > 1, -г(51, #), (г = 1, 2), Рс(«1,#) = Ро(#Ь(«1), Ас = ас + 6сР2,

Рс = Р051ф + Р0«2Ф + Р0(1 - Ф) + р4в4ф удовлетворяют следующим условиям:

1. р2 < р0 < рЗ < р°, С4 < сз < С1 < С2,

«2 < ай-й (1 - Ф-

2. 54(#) < (§)1/П2;

3. 0 < (а = -&01&02,^01,^02) при в1 € (0,1),

1я1=0,1

41

к,

02

Т1!к01к027|81=о=0, ^Тт < 0,

«о > vо(sl(1 - Й1))К, К > 1,

ао(я1) | = »1 1я1=0 10 1 -1

< (-¿(в1,#),ког(в1,#),ро(#),

17

) < vо.

Тогда существует по крайней мере одно слабое решение задачи (7) - (12), обладающее свойствами

0 < 51 (£) < 1, #- < #(£) < #+,

81

г0

в

"

0 < 1

в

0

а

0

(1 + A)v

< 0.

Кроме того, существует точка € (-то, такая, что = 0 для всех £ < £*. Теорема доказывается аналогично [7].

Заключение. В работе получены следующие результаты: установлен физический принцип мак-

симума для насыщенности, монотонность температуры и свойств конечной скорости распространения возмущений, доказана теорема существования автомодельного решения. В дальнейшем предполагается учесть сжимаемость среды [16-18].

+

2

Библиографический список

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Часть 1. - М., 1987.

2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Часть 2. - М., 1987.

3. Трофимова Е.Б. Математическая модель снежного покрова как многофазной среды // Труды IV всесоюзн. гидролог. съезда. - 1976. - Т. 6.

4. Коробкин А.А., Папин А.А., Хабахпаше-ва Т.И. Математические модели снежно-ледового покрова. - Барнаул, 2013.

5. Кучмент Л.С., Демидов В.Н., Мотови-лов Ю.Г. Формирование речного стока. Физико-математические модели. - М., 1983.

6. Цыпкин Г.Г. Течения с фазовыми переходами в пористых средах. - М., 2009.

7. Юст Е.С. Модельная задача тепломассо-переноса в тающем снеге с учетом сублимации // Материалы Междунар. школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае-2015». - Барнаул, -2015.

8. Папин А.А. Краевые задачи двухфазной фильтрации. - Барнаул, 2009.

9. Ахмерова И.Г., Папин А.А., Токарева М.А. Математические модели механики неоднородных сред. - Барнаул, - 2012.

10. Папин А.А. Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге // Прикладная механика и техническая физика. - 2008. -Т. 49, №4.

11. Сибин А.Н. Математическая модель деформации мерзлого грунта вблизи термокарстовых озер // Анализ, геометрия и топология : труды Всерос. молодежн. школы-семинара. - Барнаул, - 2013.

12. Сибин А.Н. Численное решение двумерной задачи суффозионного выноса грунта // Молодежь Барнаула. Материалы XVI научно-практ. конф. молодых ученых. - Барнаул, - 2014.

13. Шишмарев К.А. Математические вопросы моделирования взаимодействия ледового покрова и гидроупругих волн // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2015. - № 1/1 (85). DOI:10.14258/izvasu(2015)1.1-22

14. Шишмарев К.А. Тепломассоперенос в тающем снеге // Труды молодых ученых Алтайского государственного университета. - 2011. - № 8.

15. Токарева М.А. Двумерная задачи фильтрации в тонком пороупругом слое // Известия Алтайского гос. ун-та. - 2013. - № 1/1 (77).

16. Жумагулов Б.Т., Монахов В.Н. Гидродинамика нефтедобычи. - Алматы, 2001.

17. Connolly J.A.D., Podladchikov Y.Y. Compaction-driven fluid flow in viscoelastic rock // Geodin. Acta. - 1998. - Vol. 11.

18. Tokareva M.A. Localization of solutions of the equations of filtration in poroelastic medium // Журнал Сибирского федерального ун-та. Серия: Математика и физика. - 2015. - Т. 8, № 4.