Программа элективного курса &quot;Комбинаторика&quot;

Пояснительная записка

Цели: развитие комбинаторного стиля мышления, умение применять полученные знания в области комбинаторики при решении различных задач, ситуаций.

Задачи :

· рассмотреть одно из важных правил комбинаторики – правило умножения;

· показать три вида соединений и задачи, связанные с ними (задачи о числе размещений, о числе перестановок, о числе сочетаний);

· изучить формулы Ньютона;

· уметь решать задачи, раскрывающие содержание основных формул.

Отличительные особенности программы (концепция, заложенная в основу курса, особенности контингента и т. п.)

Большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления. Наиболее характерной чертой такого мышления является целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи.

В ряде исследований психологов и методистов показано, что элементы комбинаторики вполне можно ввести в начальное обучение; это не требует никаких дополнительных знаний, кроме хороших навыков счета. Не говоря уже об учениках старших классов с выработанным математическим подходом. Необходимость данного курса продиктована совершенной действительностью, т.к. произошли изменения в программах и учебных планах преподавания математики в школе.

Сроки реализации программы : 1 учебный год-17 ч

Одним из таких дидактических средств может служить система прикладных задач с региональным содержанием. Использование в обучении математике системы прикладных задач с региональным содержанием способствует усилению практической направленности школьного курса математики. Обучение производится с включением краеведческой информации из разных предметных областей (истории, географии, искусства) в программу изучения математики. Закрепление выражается в творческом переосмыслении полученной краеведческой информации, в умении конкретизировать и анализировать исторические и современные тенденции развития Чувашской Республики.

Образование в рамках регионального компонента осуществляется через:

-развитие интеллектуальных умений (понимать, анализировать, синтезировать, применять, обобщать, оценивать);

- рефлексию (осуществлять самонаблюдение, самоанализ, самооценку);

-формирование знаний об истории, культуре, реалиях и традициях своего народа;

-ценностного отношения к себе, другим и миру;

-активной жизненной позиции.

Национально-региональный компонент характеризуют следующие особенности в использовании прикладных задач:

-природно-географические (измерение и вычисление площадей, климат в изучении отрицательных и положительных числах, полезные ископаемые в задачах);

-социально-географические (плотность населения, традиционные занятия, удаленность от других регионов, средства сообщения в текстовых задачах );

-социально-демографические (национальный состав, миграционные процессы, половозрастная структура, характер воспроизводства населения, типы семьи и др в построении диаграмм, в элементах комбинаторики, статистики и теории вероятностей);

-социально-экономические (типы и характер воспроизводства, профессиональная структура, уровень жизни населения, перспективы экономического развития и др. в построении диаграмм);

-экономические отрасли региона

Ожидаемые результаты:

После прохождения элективного курса ученики должны проявить следующие умения и навыки:

· понимать смысл введенных понятий;

· знать определения и формулы;

· уметь решать задачи о числе размещений, о числе перестановок, о числе сочетаний и задачи, связанные с биноминальной формулой Ньютона;

· уметь различать и научиться пользоваться нужной формулой

Формы, методы, технологии обучения, способы и средства проверки и оценки результатов:

· решения задач,

· индивидуальная работа и собеседование с отдельными учениками, работа в парах,

· вариативный подход к формулировкам одного и того же вопроса,

· составление таблиц,

· дидактические игры,

· семинарские занятия,

· работа со справочной литературой,

Критерии эффективности и реализации программы.

Программа может считаться усвоенной учеником, если по каждой теме он решил не менее 60% предложенных задач. Учитель и ученик, по своему усмотрению, могут составить «таблицу успешности», куда вносятся баллы, набранные учеником при выполнении заданий. Причем необходимо учитывать не только те задания, которые решены верно и полностью, но и те, в которых ребенок верно усмотрел путь решения. Особо отмечаются оригинальные способы решения.

Критерии и нормы оценки знаний обучающихся:

В школе принята 4-бальная шкала отметок: «5» - отлично; «4» - хорошо; «3» - удовлетворительно; «2» - неудовлетворительно.

Оценка устных ответов учащихся

Ответ оценивается отметкой «5», если ученик:

· полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником, изложил материал грамотным языком в определенной логической последовательности, точно используя математическую терминологию и символику;

· правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;

· показал умение иллюстрировать теоретические положения конкретными примерами, применять их в новой ситуации при выполнении практического задания;

· продемонстрировал усвоение ранее изученных сопутствующих вопросов, сформированность и устойчивость используемых при отработке умений и навыков;

· отвечал самостоятельно без наводящих вопросов учителя. Возможны одна - две неточности при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, которые ученик легко исправил по замечанию учителя.

Ответ оценивается отметкой «4», если

· он удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет один из недостатков:

· в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившие математическое содержание ответа;

· допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные по замечанию учителя;

· допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные по замечанию учителя.

Отметка «3» ставится в следующих случаях:

· неполно или непоследовательно раскрыто содержание материала, но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для дальнейшего усвоения программного материала (определенные «Требованиями к математической подготовке учащихся»);

· имелись затруднения или допущены ошибки в определении понятий, использо-вании математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов учителя;

· ученик не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;

· при знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированность основных умений и навыков.

Отметка «2» ставится в следующих случаях:

· не раскрыто основное содержание учебного материала;

· обнаружено незнание или непонимание учеником большей или наиболее важной части учебного материала;

· допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов учителя.

Оценка письменных работ учащихся

Отметка «5» ставится, если:

· работа выполнена полностью;

· в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

· в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

Отметка «4» ставится, если:

· работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);

· допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).

Отметка «3» ставится, если:

· допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

Отметка «2» ставится, если:

· допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет

обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Перечень УМК.

М.В. Владимирова «Элементы статистики и вероятность», М., «Просвещение» 2004

Вавилов В.В., Мельников И.И и др. Задачи по математике. Алгебра. – М.: Наука, 1987. – 432 с.

Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989. – 576 с.

Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике. – М.: Высшая школа, 1987. – 480 с.

http://alexlarin.net/ege/88x31-fipi.gif

Тематическое планирование

| | | |
| --- | --- | --- |
| № | Раздел | Количество часов |
| 1 | Множества, элементы множеств | 2 |
| 2. | Факториал | 2 |
| 3 | Число размещений. | 2 |
| 4 | Число перестановок. | 2 |
| 5 | Число сочетаний. | 2 |
| 6 | Свойства числа сочетаний. | 3 |
| 7 | Формула Ньютона. | 4 |
| | ИТОГО: | 17 |

Содержание учебного материала

Тема № 1: Множества, элементы множеств.

Вспомнить с учащимися встречавшиеся ранее примеры множеств, элементов множеств, подмножеств. К прежним примерам из алгебры добавить примеры конечных множеств: цифр, букв, красок, множество учеников класса и т.п.

Тема №2: Факториал.

Предложить ученикам формулу факториала: Pn= 1·2·3·...·(n-1)·n=n!, рассмотреть доказательство формулы. Решить задачи с использованием факториала.

Тема №3: Число размещений.

Ввести понятие упорядоченного множества, рассмотреть различные размещения. Предложить учащимся придумать по аналогии и обосновать формулу для Anm+1. Получить формулу для числа размещений из n по m элементов.

Anm = n (n-1) (n-2) ... (n-m+1).

Вывести из этой формулы как следствие следующую формулу:

n!

Anm = –––––––, где 0≤ m ≤n. Здесь вводим 0! = 1.

(n – m)!

Тема № 4: Число перестановок.

Рассмотреть задачу о числе размещений по k различным местам k из k разных предметов. Объяснить такую задачу как задачу о числе перестановок. Количество таких способов обозначить через Pk = k!

Тема № 5: Число сочетаний.

Ввести понятие сочетания из n по m элементов Cnm, где 0≤ m ≤n. Рассмотреть формулы

Anm n!

Cnm = ––––, и Cnm = –––––––––,

Pm m!(n – m)!

предложить ученикам проверить ее для частных случаев. Затем доказать с учениками эти формулы.

Тема № 6: Свойства числа сочетаний.

Рассмотреть некоторые свойства числа сочетаний, обосновать их:

1) Cnm = Cnn–m (правило симметрии);

2) Cnm + Cnm+1 = Cn+1 m+1 (правило Паскаля).

Показать ученикам треугольник Паскаля:

n

Cnm

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

1

5

1

5

10

10

5

1

Тема № 7: Формула Ньютона.

Изучить бином Ньютона или формулу Ньютона:

(x+a)n = Cn0 xn a0 + Cn1 xn-1 a1 + + Cnn x0 an ,

где n ε N для любых x и a.

Календарно - тематический план на текущий учебный год

№ п/п

Тема

Планируемые результаты (знания , умения и навыки)

Тип и форма

урока

Вид

контроля, измерители

ТСО, ЦОР

Примечание

1

2

Инструктаж по технике безопасности

Множества. Элементы множеств

Уметь создавать множества

Самостоятельно решать задачи со множествами

Беседа,

Решение задач, самостоятельная работа

3

4

Факториал

Решение задач по теме «Факториал»

Знать и уметь выводить формулу факториала

Уметь решать задачи с факториалам

Исследовательская работа в группах

5

6

Число размещений

Уметь решать задачи о числе размещений

Уметь применять формулу

Лекция,

Практическая работа

7

8

Число перестановок

Уметь решать задачи о числе перестановок

Знать формулу для решения данных задач

Дидактическая игра

9

10

Число сочетаний

Уметь решать задачи о числе сочетаний

Уметь пользоваться формулой для решения таких задач

Лекция,

Работа в парах

11

12

Свойства числа сочетаний

Знать свойства числа сочетаний

Уметь составлять таблицу с треугольником Паскаля

Составление таблиц

Генератор заданий по математике

13

Решение задач по теме «Формулы комбинаторики»

Уметь применять различные формулы,

Уметь решать задачи

Различать виды задач,

Уметь применять формулы к ним

14

15

16

Формула Ньютона

Знать формулу Ньютона и ее применение

Уметь пользоваться формулой Ньютона

Лекция

Групповая практическая работа

17

Задачи комбинаторики

Усвоить элементы комбинаторики

Показать умение в решении задач комбинаторики

Семинарское занятие

Занятия

Занятие №1,2

Сформулированы и решены следующие задачи.

Задача №1. Сколько различных двузначных чисел можно записать при помощи цифр 2 и 5 так, чтобы в записи числа каждая из этих цифр содержалась только один раз?

Ответ: 25 и 52.

Задача №2. Дано трехэлементное множество В = {2;3;6}. Используя цифры 2, 3, 6 составить все трехзначные числа, в запись каждого из которых каждая из данных цифр входит только один раз; найти их число.

Ответ: P3 = 3·P2 = 6.

Задача №3. Аналогично найти, если М = {2; 7; 5; 3}.

Ответ: P4 = 4·P3 = 24.

На этих примерах был намечен путь к доказательству рекуррентной формулы:

А = {а1; а2;…; аn}, Pn = n·Pn-1.

Занятие 3,4.

Рассмотреть доказательство формулы Pn = n·Pn-1.

P1 = 1; P2 = 2·P1 ; P3 = 3·P2 ;…; Pn-1 = (n-1) ·Pn-2 ; Pn = n·Pn-1 .

Перемножив почленно левые и правые части, приведя соответствующие сокращения, мы получили Pn = 1·2·3·…(n-1)·n = n!;

Предложить для контрольной работы работы задачи.

Занятие №4 Решение задач по теме «Факториал»

Задача 1. Упростить выражение

7!·4! 8! 9!

B = –––– · ( –––– – –––– ). Ответ: B=2/3.

10! 3!·5! 2!·7!

Задача 2. Упростить выражение

5! (m+1)!

D = ––––––– · –––– – ––, m>=1, m ε N. Ответ: D=20.

m(m+1) (m-1)!·3!

Занятие №5,6.

После повторения смысла записи В А и введения понятия упорядоченного множества поставить и решить следующую задачу.

Множество К={1;2;3;4;5}. С помощью этих цифр составить (без повторения цифр в числе): а) однозначные числа; б) 2-значные; в)3-значные; г)4-значные; д)5-значные. Найти число таких решений. Ввести формулы для числа размещений и предложить для проверочной работы задачи.

Задача 1. Сколько всего семизначных телефонных номеров, в каждом из которых ни одна цифра не повторяется?

Ответ. A107 = 604800.

Задача 2. Сколько существует 2-значных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Ответ. A52 = 20.

Задача3.

Упростить выражение:

An6+An5

M = ––––––––, n≥6, n ε N.

An4

Ответ: M = (n-4)2

Занятие №7,8.

Для закрепления темы о числе перестановок после лекции провести дидактическую игру в виде математической эстафеты по решению задач.

Задача 1. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Ответ: 5040.

Задача 2. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

Ответ: 40320.

Задача3.сколькими способами можно рассадить на скамейке пять человек?

Ответ: 120.

Задача 4. сколькими способами можно составить список из семи учеников?

Ответ: 5040.

Занятие №9,10.

Предложена следующая задача. Имеются десять различных точек, принадлежащих данной плоскости α, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки, если каждая из прямых проходит через две различные точки?

Работая в парах, ученики сами должны прийти к ответу 10(10-1)/2, получить формулу Cnm. Для закрепления темы задачи.

Задача 1. составить все подмножества множества М = {а; б; в; г} и вычислить их число.

пустое множество: C40 =1
одноэлементные: C41 = 4
двухэлементные: C42 = 4!/(2!*2!) = 6
трехэлементные: C43 = 4!/(3!*1!) = 4

Задача 2. Двенадцать человек играют в городки. Сколькими способами они могут набрать команду из четырех человек на соревновании?

Ответ: C124 = 12!/(8!*4!) = 495.

Задача 3. В выпуклом семиугольнике проведены всевозможные диагонали, при этом никакие три из них не пересекаются в одной точке. Сколько точек пересечения указанных диагоналей? Ответ: 35

Задача 4.У Нины есть семь разных книг по математике, а у Славы – девять разных книг по философии. Сколькими способами они могут обменяться друг с другом по пять книг? Ответ. 2646.

Занятие №11,12.

Для иллюстрации над доской повесить плакат с треугольником Паскаля. Предложить ученикам самим составить таблицы. Обосновать свойства:

1) Cnm = Cnn–m ;

2) Cnm + Cnm+1 = Cn+1 m+1 .

3) формулу 2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 +…+ Cnn дать без доказательства. Желающие могут разобраться самостоятельно.

Занятие №13.

Решение задач по теме «Формулы комбинаторики»

Задача 1. Сколько всего четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные?

Ответ. 54

Задача 2. Вычислить:

а) 1· 1

[–– + ––––––] (m+1)!. Ответ: m+2.

m! (m+1)!

б) A53 – A52 P5

–––––––– + ––– . Ответ: 80.

P2 P2

Задача 3. Сколько всего делителей у числа 105? Ответ.8

Задача 4. Из семи гвоздик и пяти тюльпанов надо составить букет, состоящий из трех гвоздик и двух тюльпанов. Сколькими способами можно это сделать?

Ответ: 350.

Занятие№14,15,.

Задача 1 написать разложение по формуле бинома Ньютона и упростить:

1. (a-4)4; 2. (а + 2в)5 ; 3. (а – √2 )6 ; 4. (а – 2/в)5 .

Задача 2. Найти два средних члена разложения (а3 + ав)21 .

Задача 3. Найти в разложении (х3 + 1/х3)18 член, не содержащий x.

Задача 4. Сколькими способами можно составить колонку из десяти автобусов и трех легковых автомобилей, считая, что все автобусы и все автомобили одинаковых марок?

Занятие №16,17.

Семинарское занятие. Ученики приносят свои задачи с решениями, объясняют, выступают перед другими учениками.

Лист фиксирования изменений и дополнений в Рабочей программе

Дата внесения

изменений

Содержание

Реквизиты документа (дата, № приказа)

Подпись лица, внесшего запись