Cпектральный показатель качества экономической модели

Вестник Челябинского государственного университета. 2013. № 32 (323).

Экономика. Вып. 42. С. 5-9.

ВОПРОСЫ ТЕОРИИ И МЕТОДОЛОГИИ

Л. С. Сосненко, Б. А. Матвеев CПЕКТРАЛЬНЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ КАЧЕСТВА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Рассматривается применение спектрального показателя для оценки качества экономической модели.

В отличие от существующих показателей точности он учитывает характер поведения исследуемой величины и позволяет априори оценить прогнозные свойства модели.

Ключевые слова: экономическая модель, оценка качества модели, спектральный показатель.

Вопрос о возможности применения моделей для анализа и прогнозирования может быть решен только после проверки их качества. Важнейшими характеристиками качества модели являются показатели точности: средняя ошибка аппроксимации и среднеквадратическая ошибка [1]. Они показывают расхождение между фактическими и теоретическими значениями экономической величины.

Если модель предназначена для целей прогнозирования, оценка ее точности осуществляется либо при рассмотрении исследуемой величины на ретроспективном участке, либо после того как получены фактические данные о ее прогнозном значении. Оценку априорной точности прогноза можно связать с размером доверительного интервала. Однако для этого потребуется закон распределения. При этом стремление повысить точность (за счет уменьшения доверительного интервала) неизбежно приведет к снижению надежности прогноза.

1. Проблема оценки качества модели

Используемые на практике показатели качества модели обладают одним существенным недостатком — они не учитывают характер поведения ис-

следуемой величины. На рисунке для сравнения показаны две экономические величины (ЭВ).

Представленные на рисунке случайные величины имеют одинаковые математическое ожидание (равное нулю) и дисперсию. Однако характер поведения этих величин сильно различается. Так, если ЭВ1 приняла в точке ^ значение, заметно превышающее нулевой уровень, то весьма вероятно, что в рядом лежащей точке ?2 она также примет значение больше нуля. Напротив, предсказать величину ЭВ2 в точке ?2 проблематично. Здесь динамика отклонений ЭВ от своего среднего (в данном случае нулевого) уровня существенно выше, и поэтому значения ЭВ2 будут менее предсказуемы. Уровень риска, связанного с величиной ЭВ2, выше.

Таким образом, экономические величины, у которых динамика поведения выше, менее предсказуемы, и риск получения большой ошибки моделирования для них выше.

2. Решение проблемы

Повысить надежность и избежать крупных ошибок при моделировании можно, если воспользоваться спектральным методом оценки качества модели. Для этого предлагается применить

Связь между характером поведения экономической величины и ошибкой моделир эвания

спектральный показатель точности (предсказуемости) Р, который дополняет спектральный показатель риска Я до 100 % [2]:

Р (%) = 100 - Я.

Спектральный показатель риска Я определяется выражением

Я (%) = ЯрЯг 100,0 ^ R -< 100,

где Яр — частный показатель («показатель мощности»), который оценивает возможное отклонение ЭВ от ожидаемого значения; Я^ — частный показатель («показатель формы»), который оценивает неопределенность, непредсказуемость ЭВ. Его величина учитывает характер поведения ЭВ.

Спектральный показатель является одновременно мерой возможного отклонения ЭВ от ожидаемого значения (оценивается частным показателем Яр) и мерой ее неопределенности (оценивается частным показателем Я^). Показатель точности Р служит оценкой точности теоретической модели, позволяет оценить ее качество, адекватность реальному экономическому процессу.

Для примера оценим качество нескольких моделей урожайности зерновых культур в Оренбургской области:

1) модели в виде полинома второго порядка (П);

2) модели экспоненциального сглаживания (ЭС);

3) модели авторегрессии (проинтегрированного скользящего среднего) АРПСС;

4) модели множественной регрессии (МР);

5) модели множественной линейной регрессии для панельных данных (ПД).

По этим моделям были получены расчетные значения урожайности (табл. 1) за периоды с 1958 по 2002 г. (модели П, ЭС и АРПСС) и с 1994 по 2002 г. (модели МР и ПД) [3].

Сравним качество моделей с помощью трех показателей: спектрального показателя точности (Р), средней ошибки аппроксимации ( 8 ) и средней квадратической ошибки (5):

8 1 п =11 У. - у

п.=1 У.

где у. — фактическое значение урожайности; у1 — расчетное ее значение, полученное по модели; п — число наблюдений.

Для расчета риска Я и соответствующего ему показателя точности Р использовалась компь-

ютерная программа, разработанная Б. А. Матвеевым и П. О. Орловым [4]. На вход поступала величина х[ = у + ^ где у — средняя урожайность; 5. — сигнал риска

5 = АУ = У. - у.

Сигнал риска характеризует расхождение между фактической и теоретической урожайностью [2].

Согласно расчетам, средняя урожайность составила: за период с 1958 по 2002 г.— 10,48 ц/га, за период с 1994 по 2002 г.— 9,02 ц/га.

В табл. 2 приведены результаты расчета точности и показаны ранги моделей относительно используемых показателей.

Видно, что ранг модели по спектральному показателю соответствует среднему рангу, полученному из рангов двух других показателей. По спектральному показателю качество модели МР по сравнению с моделью П оценивается существенно выше. Такое заключение совпадает с оценкой, полученной с помощью средней ошибки аппроксимации, которая признает модель МР лучшей среди всех рассматриваемых. Обратим внимание на то, что оценки точности, полученные на основе ошибки аппроксимации и среднеквадратической ошибки, приводят к неоднозначным (модели ЭС и АРПСС) и даже противоречивым (МР и ПД) результатам, в то время как спектральный показатель позволяет однозначно оценить качество всех моделей и уверенно их ранжировать.

Спектральный показатель имеет еще одно преимущество: ранжирование моделей некритично к объему обрабатываемой статистической информации (табл. 3). В то время как использование в качестве критерия качества средней ошибки аппроксимации не всегда приводит к однозначным выводам: для выборки, состоящей из шести и девяти наблюдений, лучшей моделью признается МР, далее следует модель ПД. Среди остальных моделей, по данным за 6, 9 и 12 лет, высший ранг имеет модель АРПСС. Однако с учетом всей имеющейся информации первое место занимает модель П, а две другие оцениваются одинаково.

Согласно представленным результатам ранг модели не зависит от того, за какой период рассчитывается спектральный показатель: за шесть, девять, двенадцать лет или весь период наблюдения. Объяснить это можно тем, что спектральный показатель учитывает характер поведения

Таблица 1

Фактическая урожайность: результаты моделирования и расчетов для Оренбургской области

Год Фактическая урожайность у., ц/га Расчетная урожайность У. по модели , ц/га х. = У + (У. — Уг), ц/га, для моделей

МР ПД П ЭС АРПСС МР ПД П ЭС АРПСС

1958 8,0 X X 8,2 7,8 X X X 10,28 10,68 X

1959 9,2 X X 8,5 7,9 X X X 11,18 11,78 X

1960 11,5 X X 8,7 7,9 X X X 13,28 14,08 X

1961 7,4 X X 9,0 8,0 X X X 8,88 9,88 X

1962 10,8 X X 9,2 8,1 X X X 12,08 13,18 X

1963 7,8 X X 9,4 8,2 10,4 X X 8,88 10,08 7,88

1964 8,7 X X 9,6 8,3 9,2 X X 9,58 10,88 9,98

1965 6,1 X X 9,8 8,3 7,9 X X 6,78 8,28 8,68

1966 11,6 X X 10,0 8,4 6,8 X X 12,08 13,68 15,28

1967 5,1 X X 10,2 8,4 7,4 X X 5,38 7,18 8,18

1968 18,2 X X 10,4 8,4 7,5 X X 18,28 20,28 21,18

1969 11,7 X X 10,5 8,6 10,6 X X 11,68 13,58 11,58

1970 13,8 X X 10,6 8,8 15,2 X X 13,68 15,48 9,08

1971 11,8 X X 10,8 9,0 16,9 X X 11,48 13,28 5,38

1972 8,6 X X 10,9 9,1 15,2 X X 8,18 9,98 3,88

1973 12,9 X X 11,0 9,3 11,9 X X 12,38 14,08 11,48

1974 13,0 X X 11,1 9,5 7,9 X X 12,38 13,98 15,58

1975 2,8 X X 11,1 9,7 10,8 X X 2,18 3,58 2,48

1976 15,9 X X 11,2 9,7 9,0 X X 15,18 16,68 17,38

1977 9,9 X X 11,3 9,9 8,0 X X 9,08 10,48 12,38

1978 16,6 X X 11,3 10,0 9,9 X X 15,78 17,08 17,18

1979 13,7 X X 11,3 10,3 12,7 X X 12,88 13,88 11,48

1980 11,0 X X 11,3 10,5 17,0 X X 10,18 10,98 4,48

1981 8,0 X X 11,3 10,7 16,7 X X 7,18 7,78 1,78

1982 7,2 X X 11,3 10,8 10,2 X X 6,38 6,88 7,48

1983 15,1 X X 11,3 10,8 6,5 X X 14,28 14,78 19,08

1984 7,0 X X 11,3 11,0 5,8 X X 6,18 6,48 11,68

1985 10,4 X X 11,2 11,1 9,7 X X 9,68 9,78 11,18

1986 15,8 X X 11,2 11,1 10,4 X X 15,08 15,18 15,88

1987 8,2 X X 11,1 11,2 11,9 X X 7,58 7,48 6,78

1988 8,2 X X 11,0 11,3 12,8 X X 7,68 7,38 5,88

1989 12,0 X X 10,9 11,3 10,3 X X 11,58 11,18 12,18

1990 15,7 X X 10,8 11,3 9,8 X X 15,38 14,88 16,38

1991 9,3 X X 10,7 11,5 11,1 X X 9,08 8,28 8,68

1992 15,7 X X 10,6 11,5 13,6 X X 15,58 14,68 12,58

1993 11,8 X X 10,4 11,6 15,3 X X 11,88 10,68 6,98

1994 12,6 13,0 13,5 10,3 11,7 14,4 8,62 8,12 12,78 11,38 7,88

1995 4,8 7,8 7,1 10,1 11,8 12,7 6,02 6,72 5,18 3,48 9,98

1996 7,7 6,2 6,1 9,9 11,7 9,4 10,52 10,62 8,28 6,48 8,68

1997 14,9 13,9 13,5 9,7 11,6 4,9 10,02 10,42 15,68 13,78 15,28

1998 1,5 2,1 3,4 9,5 11,7 4,7 8,42 7,12 2,48 0,28 8,18

1999 9,7 9,5 9,1 9,3 11,5 7,7 9,22 9,62 10,88 8,68 21,18

2000 9,8 11,3 10,0 9,1 11,4 6,7 7,52 8,82 11,18 8,88 11,58

2001 9,9 10,2 9,5 8,8 11,3 8,3 8,72 9,42 11,58 9,08 9,08

2002 10,3 7,7 10,0 8,6 11,2 9,1 11,62 9,32 12,18 9,58 5,38

Таблица 2

Сравнительная оценка точности моделей урожайности

Показатели точности модели Ранг модели

Модель урожайности Средняя ошибка Среднеквадратическая ошибка 5, ц/га Спектральный показатель

аппрокси- мации 18 | , % риска, Я, % точности, р, % по 5 по 5 среднии по 5 и 5 по р

Линейная регрессия для панельных данных (ПД) 34 2,9 9,0 91,0 2 1 1,5 1

Множественная регрессия (МР) 20 4,4 15,0 85,0 1 4 2,5 2

Полином второго порядка (П) 45 3,5 51,0 49,0 3 2 2,5 3

Экспоненциальное сглаживание (ЭС) 48 3,9 80,8 19,2 4,5 3 3,75 4

Модель авторегрессии (АРПСС) 48 4,5 83,4 16,6 4,5 5 4,75 5

Таблица 3

Связь между оценкой точности прогнозной модели и объемом исходной информации

Модель урожайности Спектральный показатель точности Р (%), рассчитанный Средняя ошибка аппроксимации 15 | (%), рассчитанная

по данным за последние по всем по данным за последние по всем

6 лет 9 лет 12 лет данным 6 лет 9 лет 12 лет данным

Линейная регрессия для панельных данных (ПД) 90,9 91,0 25,0 25,0

Множественная регрессия (МР) 87,9 85,0 — — 15,0 20,0 — —

Полином второго порядка (П) 69,8 71,6 60,7 49,0 101,0 85,0 69,0 44,0

Экспоненциальное сглаживание (ЭС) 64,1 70,9 45,7 19,2 127,0 107,0 85,0 47,0

Модель авторегрессии (АРПСС) 30,7 15,0 31,8 16,6 60,0 62,0 52,0 47,0

экономической величины, которая проявляется уже при сравнительно небольшом объеме анализируемой информации.

Считается, что значение | 8 | < 10 %свидетель-ствует о высокой точности модели. При значениях этого показателя в пределах 10-20 % точность признается хорошей, при 20 % <| 8 | < 50 % — удовлетворительной [1]. Опираясь на величину спектрального показателя Р, можно предложить свою шкалу оценки точности моделей:

• при Р > 80 % — точность модели высокая;

• при 60 % < 80 % — точность модели хорошая;

• при 20 % < Р < 60 % — точность модели удовлетворительная.

Таким образом, спектральный показатель может быть рекомендован в качестве критерия сравнения качества экономических моделей. К его достоинствам следует отнести однозначность получаемых выводов и невысокую требовательность

к объему необходимых для анализа статистических данных.

Спектральный показатель позволяет ожидать лучших прогнозных результатов по моделям линейной регрессии для панельных данных (ПД) и множественной регрессии (МР). Чтобы в этом убедиться, воспользуемся рассмотренными моделями для построения краткосрочного прогноза урожайности и оценки его точности.

3. Оценка точности прогноза экономической модели

Абсолютная (Д) и относительная (5) погрешности прогноза оцениваются по формуле

Д =

Уі - У

5 =

Уі - У

Уі

•100%,

где У* — прогнозное значение урожайности [3]. Результаты расчетов приведены в табл. 4.

Таблица 4

Сравнительная оценка точности прогноза урожайности на 2003 и 2004 гг.

Погрешность прогноза Спектральный показатель Ранг модели

Прогнозная модель предска- средний

5 5 5 5 риска по Д и 5 по

2003 г. 2004 г. сред- няя 2003 г. 2004 г. сред- няя К, % Р, % по Д по 5 К

Линейная регрессия для панельных данных (ПД) 0,8 0,9 0,85 8,2 11,1 9,65 9,0 91,0 1 1 1 1

Множественная регрессия (МР) 0,5 1,9 1,2 5,9 26,8 16,35 15,0 85,0 3 4 3,5 2

Полином второго порядка (П) 1,8 0,2 1,0 18,4 2,5 10,45 51,0 49,0 2 2 2 4

Экспоненциальное сглаживание (ЭС) 1,3 2,9 2,1 13,3 35,8 24,55 80,8 19,2 5 5 5 5

Модель авторегрессии (АРПСС) 1,1 7,6 4,35 11,2 93,8 52,5 83,4 16,6 6 6 6 6

Видим, что точность прогноза по всем рассмотренным вариантам (за исключением моделей ЭС и АРПСС) следует признать хорошей (5 = 1017 %). Оценки, полученные с помощью спектрального показателя и относительной ошибки 5 для лучших прогнозных моделей (ПД и МР), очень близки. Но спектральный показатель определяется априори — на основе ретроспективных данных, в то время как абсолютная и относительная погрешности прогноза могут быть найдены только после получения фактических данных. Несколько удивляет ранг модели П — он равен двум. Однако, если сравнить погрешность прогноза по модели П с погрешностями, полученными по моделям ПД и МР, то увидим, что разница в величине ошибки между ними невелика.

Спектральный показатель оценивает качество экономической модели с учетом характера поведения исследуемой величины. Он позволяет оценить точность прогноза еще до получения фактических данных о прогнозируемой величине.

Список литературы

1. Дуброва, Т. А. Статистические методы прогнозирования : учеб. пособие для вузов / Т. А. Дуброва. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 206 с.

2. Матвеев, Б. А. Спектральный подход к анализу и измерению риска / Б. А. Матвеев // Проблемы анализа риска. 2012. Т. 9, № 2. С. 68-75.

3. Афанасьев, В. Н. Статистические методы прогнозирования в экономике : учеб.-метод. пособие для вузов / В. Н. Афанасьев, Т. В. Лебедева. М. : Финансы и статистика, 2009. 180 с.

4. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. Программа расчета спектрального показателя риска / Б. А. Матвеев, П. О. Орлов. № 2012660696 ; зарегистрир. в Реестре программ для ЭВМ 28.11.12.