Моделирование релаксации электронных оболочек пары двухуровневых атомов в кубитовом представлении

УДК 530.145

Ю. И. Ожигов, Н. А. Сковорода2

МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЛАКСАЦИИ ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК ПАРЫ ДВУХУРОВНЕВЫХ АТОМОВ В КУБИТОВОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ

Цель работы — моделирование процесса взаимодействия двух двухуровневых атомов через обмен фотонами. Используется язык кубитов для возможного применения нашей модели при построении квантовых процессоров на взаимодействии нескольких атомов с единичными фотонами. Мы использовали кубитовую форму модели Джейнса-Каммингса-Хаббарда (JCH), ограниченную двухфотонными возбуждениями, а также ее поляритонную модификацию, в которой любое перемещение фотонов между резонаторами связано с поглощением или испусканием фотона атомом. Релаксация представлялась в виде уравнения Коссовского-Линдблада на матрицу плотности состояний электронов и фотонов. Получены зависимости времени релаксации от вероятности перехода фотона между атомами и амплитуды взаимодействия фотона с атомом, а также вычислена степень согласия матриц плотности в обоих вариантах модели. Описан также артефакт неполной релаксации при нечеткой семантике кубитов, когда описание фотонов зависит от их числа.

Ключевые слова: сложные квантовые системы, квантовый компьютер, декогерентность.

1. Введение. Создание компонент квантового компьютера нуждается в разработке компьютерных моделей многоатомных систем в терминах кубитов. Одна из перспективных моделей квантового компьютера основана на возбуждениях электронных оболочек атомов и обмене фотонами. Есть много предложений построения квантовых процессоров такого типа: на полостях, соединенных оптоволокном [1]; на дифференцированном лэмбовском сдвиге в единой полости [2]; с использованием геометрических манипуляций с нейтральными атомами [3]; ансамблевые многоуровневые процессоры [4]. В статье [5] показано, что взаимодействующие резонаторы могут сохранять состояния фотонов, подобные электронным состояниям в молекулах (фотонные молекулы). Такие модели должны включать в себя декогерентность: отклонение от унитарной эволюции, неизбежно происходящее в реальных многоатомных системах и представляющее главную проблему квантового компьютера, независимо от его технологии (см., например, вычисление релаксации спинов при контакте с бозонным термостатом [6]).

Цель статьи — исследование абстрактной модели взаимодействия пары двухуровневых атомов в вакууме с учетом поглощения-испускания фотонов. Мы сравним две такие модели: ограниченную кубитовую форму модели JCH и модель с поляритонами (собственные состояния подобной модели исследовались, например, в работе [7]). Ограниченность наших моделей состоит с том, что мы рассматриваем только те фотоны, которые могли быть эмитированы двухуровневыми атомами, причем в одной полости возможно нахождение не более одного фотона. Поэтому, например, состояния, в которых каждый атом возбужден и в системе есть хоть один фотон, будут запрещенными. Физическая

1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: ozhigovQcs.msu.su

2 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: chalkerxQgmail.com

адекватность такого ограничения основана на неизбежном удалении "избыточных" фотонов при релаксации системы. Отдельно будет рассмотрена модель с нечеткой семантикой, где локализация фотонов рассматривается по-разному, в зависимости от их числа.

Все эти модели будут четырехкубитными, унитарная эволюция будет иметь 5 ортогональных инвариантных подпространств, соответствующих значениям полной энергии Е системы "атомы + поле", равным 0, ш, 2ш, 3ш, 4ш соответственно. Переходы между этими подпространствами связаны только с релаксацией состояния. Обозначим такую модель через JCHq. Будет установлена полная релаксация матрицы плотности в модели JCHq и в ее модификации — поляритонной модели. Для модели с нечеткой семантикой кубитов, в которых их смысл зависит от числа фотонов, получена так называемая неполная релаксация матрицы плотности, при которой недиагональные элементы не стремятся к нулю с течением времени. Это связано с тем, что в такой модели пара фотонов и один фотон описываются по-разному, и потому данный эффект следует считать артефактом численного моделирования, происходящим именно из-за нечеткости семантики.

Простейший механизм декогерентности системы многих атомов — вылет из системы эмитируемых ими фотонов. Рассматриваемая квантовая система, первоначально находившаяся в чистом состоянии, под действием такой декогерентности сразу попадает в смешанное состояние, описываемое матрицей плотности. Такую форму декогерентности можно описать двумя способами: операторами Крауса или уравнением Коссовского-Линдблада [8, 9]. Мы будем использовать второй прием, дающий сразу неунитарный закон эволюции матрицы плотности в виде (1), где L:j — операторы вылета фотонов из системы:

д М'Л~1 1 ihJi = [Я,р] + ^ hk,s{LspL*k - -

k,s

где первое слагаемое отражает унитарную динамику матрицы плотности р, а второе — взаимодействие системы с окружением. Операторы L:j совместно с единичным оператором образуют ортогональный базис в пространстве операторов, матрица коэффициентов взаимодействия с окружением должна быть положительно определенной. Для операторов удаления фотонов из системы /./,. Ls. и действие компоненты вида = \ф fin) {Фгп\ сводится к тому, что к диагональному элементу Pfj, соответствующему \ipfin), прибавляется Л^сЙ, умноженное на диагональный элемент piti, соответствующий \фт), а от столбца и от строки с номером г вычитается этот столбец или строка, умноженная на hk,kdt/2. Эта процедура приводит к постепенному угасанию недиагональных элементов, отвечающих переходам из состояния г или в состояние г.

Мы будем исследовать абстрактную систему двух одинаковых двухуровневых атомов, взаимодействующих друг с другом с помощью испускания и поглощения фотонов одной частоты ш, соответствующей переходу между возбужденным и основным состояниями электронных оболочек каждого из атомов. Здесь применима модель Джейнса-Каммингса-Хаббарда— JCH [10, 11]. Эта модель описывает атомы, помещенные в резонаторы с частотой шс, так что есть обмен фотонами между резонаторами и взаимодействие между возбуждениями атомов и полем внутри каждого резонатора. Модель JCH широко используется при моделировании атомных систем, в частности, ее поляритонная разновидность — модель Dicke, приводит к кубитовому характеру квазичастиц [12]. Гамильтониан JCH имеет вид

Hjch = ШсО-f Q>j + + k^2

j j j j

где ша, шс — частоты атомов, испускающих фотоны, и резонаторов, в которые они помещены. Операторы a,:j есть операторы уничтожения возбужденного состояния электронной оболочки молекулы j, — операторы рождения-уничтожения фотонов в ловушке j. Здесь предполагается возможность туннелирования фотонов от одной молекулы к другой с амплитудой к и испускание-поглощение фотона с амплитудой р. Мы примем следующую семантику кубитов для описания базисных состояний в модели JCH: \р2, ü2,Pi, а\), где нижний индекс обозначает номер атома, а буква — атомное возбуждение или наличие фотона в соответствующем месте. Например, а,\ = 0 означает отсутствие возбуждения электронной оболочки первого атома, pi = 1 — в месте нахождения первого атома имеется фотон, и т.п.

В нашем случае, когда резонаторы виртуальные, можно положить ша = шс. Операторы рождения-уничтожения фотонов и возбуждений атомов естественно редуцируются для модели JCHq так, что, например, af |l)photon, first atom = о, и т. п.

Наряду с JCHq мы рассмотрим ее модификацию, основанную на поляритонах — возбуждениях атомов без явного выделения фотона как объекта взаимодействия с атомом. Смысл поляритонной модели в том, что любой переход фотона между полостями будет связан либо с его испусканием, либо с его поглощением атомом.

Примеры физических задач, для которых могли бы быть полезными поляритонные кубитовые модели, можно найти, например, в работах [13, 14].

2. Описания кубитовых моделей. Вместо уравнения (1) мы будем представлять динамику системы следующими двумя уравнениями:

USt =

pt+st = u;tPtust + 6tJ2

г

из которых первое соответствует унитарной динамике без испускания фотонов, второе — общей динамике с испусканием фотонов. Во втором уравнении второе слагаемое является частным случаем линдбладовской добавки в (1) при /./,. Ls. коэффициенты учитываются в самих матрицах /.,.

Все матрицы и графики приведены в базисе вида \р2-, 0,2-,Pi-, 01), по два кубита на атом:

• щ — возбуждение атома г, 1 — атом возбужден, 0 — атом не возбужден;

• Pi — наличие фотона у атома г, 1 — фотон есть, 0 — фотона нет.

Таким образом, для каждого из атомов:

• pi = 0, щ = 0 — у атома i нет фотона, атом не возбужден;

• pi = 0, щ = 1 — у атома i нет фотона, атом возбужден;

• pi = 1, «г = 0 — у атома i есть фотон, атом не возбужден;

• pj = 1, щ = 1 — у атома i есть фотон, атом возбужден.

В матричной записи левый столбец и верхняя строка соответствуют состоянию |0000) (оба атома находятся в основном состоянии, фотонов нет), вторые столбец и строка соответствуют состоянию 10001) (первый атом возбужден, второй в основном состоянии, фотонов нет), пятые столбец и строка соответствуют состоянию 10100) (второй атом возбужден, фотонов нет) и т.д. Мы рассматриваем три модели, различающиеся гамильтонианом Н и матрицей коэффициентов Линдблада (1п,т)-

Мы считаем, что фотон может поглотиться атомом только в том случае, когда он находится в некоторой окрестности этого атома, эта окрестность будет играть роль виртуального резонатора. Если фотон не поглощается атомом, он вылетает из его окрестности, становясь свободным фотоном. Системы зависят от следующих основных параметров: а — амплитуда испускания (поглощения) фотона одним атомом и р — вероятность попадания вылетевшего из окрестности атома (свободного) фотона в окрестность соседнего атома. С вероятностью 1 — р свободный фотон вылетает из системы.

2.1. Кубитовая форма модели ЛСН. Модель .!('Н<| рассматривает только элементарные переходы между состояниями на каждом шаге, т. е. нет переходов с одновременным перелетом фотона между атомами и его поглощением/испусканием.

Используется одинаковая частота полости и атома: ш = ша = шс.

Пространство состояний системы можно разбить на пять подпространств по уровню энергии со следующими базисными векторами:

• 11111) — четвертый уровень энергии;

• |0111), |1011), 11101), 11110) — третий уровень энергии;

• ¡0011), ¡0101), ¡0110), ¡1001), 11010), |1100) — второй уровень энергии;

• 10001), 10010), |0100), 11000) — первый уровень энергии;

• 10000) — нулевой уровень энергии.

Заметим, что здесь имеет место полная симметрия типа "возбуждение-дырка" между первым и третьим уровнями.

Гамильтониан Н системы в модели ЛСНд раскладывается на прямую сумму гамильтонианов в этих пяти подпространствах соответственно:

(407);

/3 и

а

у/Р

\о

а

3 ш О О

у/р О

3 ш

а

0\

О

а 3 ш)

(2ш 0 0 у/р 0 0 \

0 2 и а а 0 0

0 а 2 ш 0 а у/р

л/Р а 0 2 ш а 0

0 0 а а 2 ш 0

0 у/р 0 0 2 ш )

(и

а О

у/р

а ш О

О О

ш а

О \

у/Р

а ш

(Ош).

В рамках ЛСНд-модели мы, в принципе, вправе выбирать уровни энергии для каждого из этих 5 подпространств произвольно, так как между ними нет унитарных переходов, а действуют только линдбладовские операторы. При нашем естественном выборе таких энергий состояние 10000) не обязательно является основным во всех случаях. Например, при малых частотах перехода ш основное состояние может принадлежать подпространству первого уровня энергии: за счет переходов фотона энергия основного состояния может быть отрицательной. Физически это означает, что отъем фотона должен сопровождаться накачкой энергии в систему извне, тогда наша модель становится не вполне адекватной, и надо рассматривать дополнительные степени свободы, например другие уровни энергии атомов, поляризацию фотона или другие фотоны. В рамках данной модели в этом случае, поскольку в дипольном приближении параметр а пропорционален частоте ш, релаксация именно в 10000) наступает очень быстро (вероятность поглощения испущенного фотона атомами мала, и он с большой вероятностью вылетит из системы под действием линдбладовских операторов), а в случае больших частот 10000) будет основным. Мы будем рассматривать случай достаточно больших частот, так что |0000) — основное состояние.

В модели ЛСНд для добавления улета фотонов достаточно двух матриц Линдблада /., для первого и второго фотонов соответственно. Эти матрицы имеют следующий вид:

и =

1,1,1

£

¿=0,^=0, к=0

1,1,1

Ь2= ^ у/1-р\Ъ,1,э,к){1,г,э,к\.

г=0^=0,к=0

Эти матрицы можно разбить на 8 более простых по уровням энергии исходного состояния г от 4 до 1:

у/1 ^Р к)

4г> =

1,1,1

£

г=0,^ = 0, к = 0 г+3+к=г

V1 {г,э,

т(г) _ '-2 ~

1,1,1

¿=0,^=0, к=0 г+3+к=г

Система матриц Линдблада (5) будет эквивалентна системе (4), так как для любых базисных состояний |г) и с различающимися уровнями энергии в матрице плотности р в клетках |г) стоят нули (при задании начального состояния любым вектором).

2.2. Поляритонная модель. В этой модели в состояниях не учитываются фотоны в явном виде, в пределах одного уровня энергии состояния характеризуются только возбуждением атомов. Фотоны включены неявно в коэффициентах перехода Линдблада и гамильтониане.

Эта модель использует не все пространство состояний, при перенумерации состояний и ограничении энергии вторым уровнем (например, при моделировании с учетом улета фотонов и начальном состоянии 10101)) достаточно трех кубит для хранения состояния пары атомов. Для удобства использована исходная нумерация состояний.

Поляритонная модель для двух атомов оперирует десятью состояниями:

• |1111) — четвертый уровень энергии, в системе два фотона, оба атома возбуждены;

• |1011), 11110) — третий уровень энергии, каждый атом либо в основном состоянии, либо возбужден, в системе всегда два фотона. Обмен возбуждением возможен через поглощение-перелет-испускание фотона (коэффициент a2v/p в гамильтониане);

• 10101), 10110), 11001), 11010) — второй уровень энергии, каждый атом может быть либо в основном состоянии и с фотоном, либо в возбужденном состоянии без фотона;

• 10001), 10100) — первый уровень энергии, каждый атом либо в основном состоянии, либо возбужден, фотонов в явном виде в системе нет. Однако возможен обмен возбуждением через фотон (коэффициент а2^/р в гамильтониане), а также излучение и улет фотона (в коэффициентах Линд-блада);

• 10000) — нулевой уровень энергии, фотонов в системе нет, оба атома находятся в основном состоянии.

Гамильтониан Н системы в поляритонной модели раскладывается в прямую сумму гамильтонианов в этих пяти подпространствах по уровню энергии:

/ /•,'. а а а2\

Н =

Е3 а2^/р a2y¡P Ег

!/2 а

а И-, а:

а а2 /•-';

,2

Е-

i

а2у/Р

а у/Р

Е-

Ф (Еа) .

а а

а а Е2)

Матрицы Линдблада Ь\ для улета фотонов в поляритонной модели разбиваются по уровням энергии исходного состояния:

L?> = ay/l -р |0001) <0000|, L

= ay/l - р |0100)<0000|, L,

42> = 0" -р |0110) <0100|, L

г (2) 2 = 0- -р|1001)<0001|, L

г (2) 3 = 2(1 - р) |1010)<0000|, L.

L

= ау/l — р|1111)<1110| = ау/1 — р|1111) (1011| = 2(1-р)|1111)<0101|,

3

= 2(1

-р|1110) <0110|, р)(|1011)<0001|

11110) <0100|).

2.3. Смешанные модели. Используя аналогичный подход, можно строить другие модели с уменьшением количества используемых состояний, но это не даст заметных преимуществ.

Добавление "редуцированных" состояний может приводить к артефактам. Например, если в поляритонной модели на втором уровне энергии ввести одно общее состояние вместо двух разных — фг = 11000) ш ф2 = 10010), возникает артефакт неполной релаксации состояния 10101) из-за того, что в модели появляются невозможные переходы (попадаем в редуцированное состояние, как в 11000), переходим оттуда, как из 10010)). Данный артефакт происходит из-за нечеткой семантики кубитов: фотон считается локализованным в полости при общем уровне энергии 2, и делокализованным между двумя полостями — при уровне энергии 1. Неполнота релаксации проявляется в том, что в матрице плотности возникает фрагмент вида Ы — Ьах, соответствующий фх и ф2, где Ь не стремится к нулю при £ —> оо. Причина такого артефакта в том, что состояния ф\ и ф2 в любой чистой компоненте смешанного состояния имеют амплитуды вида еу/Ь и —еу/Ь соответственно, где е € {1,-1}, и потому их вклады в основное состояние 10000) на каждом шаге эволюции (3) будут взаимно уничтожать друг друга.

3. Результаты численного моделирования. На рис. 1 представлена динамика амплитуды начального состояния 11111) (два возбужденных атома с фотонами) для обеих моделей.

На рис. 2 показана зависимость времени сходимости от физических параметров системы р и а. При стремлении р к единице (точное попадание фотона в соседний атом, может быть экспериментально осуществлено, например, установкой отражающих экранов) время релаксации стремится к бесконечности, т. е. когерентность сохраняется очень долго.

На рис. 3 представлена динамика запутанности между первым и вторым атомами.

4. Выводы. Мы показали эффективность кубитового представления модели Л(Л1 в сочетании с линдбладовской формой релаксации возбужденных состояний свободных атомов. Установлено, что полная релаксация матрицы плотности происходит в любой модели с четкой семантикой кубитов.

15 15

Рис. 1. Динамика амплитуды начального состояния |1111): а — модель ЛСНд; б— поляритонная модель

Рис. 2. Зависимость времени сходимости начального состояния 11111) от физических параметров системы р и а: а — модель ЛСНд; б — поляритонная модель

50 100 150 200 250 300 50 100 150 200 250 300

Рис. 3. Динамика запутанности атомов при начальном состоянии |1111): а — модель JCHq;

б — поляритонная модель

В случае нечеткой семантики, когда смысл кубитов меняется в зависимости от числа фотонов, наблюдается артефакт неполной релаксации. Это говорит о важности точного определения семантики в кубитовых моделях квантовой динамики. Установлена точная форма зависимости времени релаксации от вероятности перехода фотона между атомами и амплитуды поглощения-испускания фотона атомом. В частности, при больших вероятностях перехода время сохранения когерентности будет большим, что можно использовать для конструирования отдельных элементов квантового компьютера на возбужденных состояниях электронной оболочки атомов. Наша модель также может использоваться и для суперкомпьютерного моделирования сред, в которых происходят процессы обмена фотонами

между атомами, в частности, для выяснения возможности длительного существования в таких средах

когерентных квантовых состояний.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shi-Biao Zheng. Virtual-photon-induced quantum phase gates for two distant atoms trapped in separate cavities // Appl. Phys. Lett. 2009. 94. N 15. P. 154101.

2. Ablayev F.M., Andrianov S.N., Moiseev S.A., Vasiliev A.V. Quantum computer with atomic logical qubits encoded on macroscopic three-level systems in common quantum electrodynamic cavity. URL: http://arxiv.org/pdf/1301.2201

3. Yicong Zheng, Brun T. A. Geometric manipulation of ensembles of atoms on atom chip for quantum computation // Phys. Rev. A. 2012. 86. N 3. P. 032323.

4. Brion E., M0lmer K., Saffman M. Quantum computing with collective ensembles of multi-level systems// Phys. Rev. Lett. 2007. 99. N 26. P. 260501.

5. Bayer M., Gutbrod Т., Reithmaier J.P., Forchel A., Reinecke T.L., Knipp P. A., Dremin A. A., Kulakovskii V. D. Optical modes in photonic molecules // Phys. Rev. Lett. 1998. 81. N 12. P. 2582-2585.

6. Fedichkin L., Fedorov A.Y., Privman V. Measures of decoherence // Quantum Information and Computation. Proc. SPIE. N 5105. Bellingham: SPIE, 2003. P. 243-254.

7. Wong M. Т. C., Law С. K. Two-polariton bound states in the Jaynes-Cummings-Hubbard // Phys. Rev. A. 2011. 83. N 5. P. 055802.

8. Lindblad G. On the generators of quantum dynamical semigroups // Commun. Math. Phys. 1976. 48. N 2. P. 119-130.

9. Gorini V., Kossakowski A., Sudarshan E. C. G. Completely positive dynamical semigroups of N-level systems //J. Math. Phys. 1976. N 17. P. 821-825.

10. Jaynes E.T., Cummings F. W. Comparison of quantum and semiclassical radiation theories with application to the beam maser // Proc. IEEE. 1963. 51. N 1. P. 89-109.

11. Greentree A.D., Tahan C., Cole J.H., Hollenberg L.C.L. Quantum phase transitions of light // Nat. Phys. 2006. 2. N 12. P. 856-861.

12. Schmidt S., Blatter G., Keeling J. From the Jaynes-Cummings-Hubbard to the Dicke model //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2013. 46. N 22. P. 224020.

13. Dugave C. Cis-trans Isomerization in Biochemistry. Weinheim: Wiley-VCH, 2006. P. 56.

14. Braun M., Gruber F., Ruf M., Kumar S., Illenberger E., Hotop H. IR photon enhanced dissociative electron attachment to SF6: Dependence on photon, vibrational, and electron energy //J. Chem. Phys. 2006. 329. N 1-3. P. 148-162.

Поступила в редакцию 12.05.14

A MODEL OF ELECTRON SHELLS RELAXATION FOR A PAIR OF TWO-LEVEL ATOMS IN A QUBIT REPRESENTATION

Ozhigov Y. I., Skovoroda N. A.

The purpose of this work is to build a model of a pair of two-level atoms interaction through exchange of photons. Qubit notation is used to make the model feasible for designing quantum processors that are based on interaction of several atoms with individual photons. A qubit representation for Jaynes-Cummings-Hubbard model is used, limited by two-photon excitation, as well as its polaritonic modification in which any photon movement between resonators is connected to absorption or emission of this photon by an atom. The relaxation is represented as a Kossowski-Lindblad equation for the density matrix describing the state of electrons and photons in the system. The dependence of the relaxation time on the probability of the photon exchange between two atoms and the amplitude of photon-atom interaction is obtained. The concurrence of the density matrices for both variation of the model is calculated. An artefact of incomplete relaxation for models with fuzzy qubit semantics is described (when the photon description depends on their count).

Keywords: complex quantum systems, quantum computer, decoherence.