Аппроксимация передаточных функций оптимальных регуляторов высокого порядка систем автоматического управления

А.В. Тамьяров, М.В. Тамьярова

АППРОКСИМАЦИЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

A. V.Tamyarov, M. V.Tamyarova

APPROXIMATION OF TRANSFER FUNCTIONS OF OPTIMAL REGULATORS FOR HIGH ORDER SYSTEMS OF AUTOCONTROL

Ключевые слова: оптимальный регулятор, стабилизация, полином числителя,

микропроцессор.

Keywords: optimal regulator, stabilization, numerator polynomial, microprocessor.

Аннотация: проведен анализ возможности практической реализации оптимальных регуляторов высокого порядка. В статье предложен вариант реализации с применением чебышевского приближения. Данная аппроксимация позволяет снизить порядок передаточных функций оптимальных регулятором до требуемого значения. Проведена аппроксимация передаточной функции десятого порядка.

Abstract: we have analyzed the possibilities of practical implementation of optimal regulators of the high order. The article proposes the implementation alternative with the use of the Chebyshev approximation. The approximation reduces the order of transfer functions of optimal control to the desired value. The approximation of a transfer function of the tenth order has been conducted.

Оптимальные регуляторы обеспечивают наивысшую возможную точность стабилизации и слежения при наличии возмущающих воздействий или погрешностей измерения случайного характера.

Степень полинома числителя всегда может быть сделана не выше, чем степень знаменателя, и поэтому оптимальный регулятор может быть представлен как параллельное соединение простого усилительного, апериодических и колебательных звеньев. Реализация регулятора на базе таких звеньев возможна, но не всегда удобна. Дело в том, что коэффициенты усиления таких звеньев могут сильно меняться при малых вариациях параметров объекта управления.

Поэтому наиболее удобно реализовать оптимальный многосвязный регулятор натяжения на микропроцессорах, на которых нетрудно реализовать решение линейного дифференциального уравнения. Коэффициенты полиномов числителя и знаменателя уже не будут иметь больших изменений при малых вариациях параметров объекта управления.

Отметим, что переход от традиционных ПД и ПИД регуляторов к оптимальным регуляторам, реализуемым на микропроцессорах, требует нового подхода к расчету и наладке систем управления. В традиционном пропорционально-дифференцирующем (ПД) регуляторе всего два коэффициента усиления. Поэтому, если была допущена ошибка в выборе математической модели объекта управления, неточность в расчете коэффициентов его математической модели, или погрешность в изготовлении регулятора, то все это еще могло быть исправлено на стадии настройки: два коэффициента традиционного ПД регулятора еще можно опытному настройщику подобрать вручную так, чтобы обеспечить устойчивость и приемлемое качество переходных процессов. Совсем по-другому обстоит дело с оптимальными регуляторами высоких порядков. В рассматриваемом случае оптимальный регулятор состоит из полиномов 10 порядка, а следовательно, настроить их вручную невозможно. Поэтому нужно следить, чтобы математическая модель объекта управления правильно отражала его свойства и чтобы регулятор рассчитывался без ошибок - ручной настройкой уже ничего не исправить. Одновременно переход от традиционных ПД и ПИД регуляторов к регуляторам более сложной структуры настоятельно требует их расчета методами теории оптимального управления, обеспечивающими минимальное значение

выбранного критерия качества. Только у оптимальных систем управления при неизбежных на практике малых отклонениях действительных параметров объекта управления или регулятора от расчетных значений отклонения в критерии качества будут величинами высшего порядка малости.

С особого рода явлениями приходится сталкиваться в тех случаях, когда надо учитывать возможную погрешность не только в значениях коэффициентов дифференциального уравнения математической модели объекта убавления, но и в порядке этого уравнения.

В настоящее время разработан целый ряд аналитических способов аппроксимации моделей объектов с передаточными функциями высокого порядка.

С развитием современной вычислительной техники были созданы условия для использования разработанных ранее способов аппроксимации, практическое использование которых была невозможно из-за трудоемких вычислительных операций. Одним из таких способов является известная уже несколько десятилетий аппроксимация Чебышева. Рассмотрим её подробнее.

Параметры Д^, Д2, ..., Д^ аппроксимирующих передаточных функций WAx(x,p) вида

могут быть найдены из условий минимизации погрешности приближения к точному выражению для ПФ в существенной области изменения комплексного аргумента. В частности, здесь могут быть использованы отвечающие типовым динамическим звеньям кусочно-линейные аппроксимации логарифмических амплитудно-частотных характеристик минимально-фазовой части аппроксимируемых ПФ.

Достаточно эффективным может оказаться способ, заключающийся в переходе от передаточных функций Wx(x,p) к вещественным изображениям Wx(x,8) (характеристикам

мнимых частот (ХМЧ)) путем простой формальной замены комплексной переменной «р» на действительную переменную «5» в выражениях для точной и аппроксимирующей ПФ с

последующим решением относительно искомых параметров Дп п = 1 ^, задачи

минимизации абсолютной ошибки 1(х, Д) приближения ^ (х’р’А) к ^Х (Х’^) (задачи

равномерного приближения) в области существенных значений 6 1 1 для каждого

фиксированного значения координаты х 6 [Х(0, Х1 ].

Переход от ПФ к ХМЧ существенно упрощает задачу равномерного приближения, а правомерность такого перехода обосновывается однозначно устанавливаемой связью между амплитудно-фазовыми характеристиками (АФХ) и ХМЧ, обеспечивающей малые погрешности аппроксимации АФХ при достаточной близости соответствующих ХМЧ.

При этом минимизация именно абсолютной ошибки приближения обеспечивает равномерное распределение погрешности по кривым переходного процесса.

Задача дробно-рациональной аппроксимации (1), (2) представляет собой классическую задачу чебышевского приближения.

Ее решение Д°

п= Ы1+ 1

А = (А 1, А 2,..., А N);N1 > 1;N > N1 + 1;

± I

достигает чередующихся по знаку максимальных значении, равных

І0 : * I

последовательно расположенных на отрезке і ,Ь 1 и образующих так называемый

чебышевский альтернанс в точках 5^, 82, . . ., 5П: 0 1 <Ь2 < ••• <Ь м+1 , общее число

которых оказывается на единицу большим числа искомых параметров и, следовательно,

Рис. 1. Чебышевские свойства погрешности приближения характеристик мнимых частот точной и аппроксимирующей передаточных функций объекта управления

Указанное свойство приводит к системе + 1 равенств

ЖхА

где у = 1 или у = -1.

Вместе с условиями существования экстремума во внутренних точках 5д отрезка [0,5*], в

которых

3

ду[( Х,Ь Ч , А)" ЖХ (Х,Ь Ч )]= 0 дЛЯ вСЄХ Ь Ч Є [0,Ь *],

WXA

[0,Ь * ]

эти равенства при известной форме кривой Х Х на отрезке

превращаются для каждого из рассматриваемых фиксированных значений х в систему

уравнений, которая может быть решена относительно искомых N параметров Д0п п = 1N;

величины 1 (Х’А ) и промежуточных неизвестных координат экстремальных точек из числа 5д. Чаще всего, при хорошем качестве приближения, в число точек 5д входят как границы отрезка 5=5д=0; 5=5N+l=5*, так и все точки 52 > 0, 52, ..., 5^ < 5* экстремума разности

Жх (Х>р>А )- Жх (Х>^ ), общее число которых тогда равно N-1. Тогда соотношения (3) и (4) образуют систему + 1)+(№ - 1) = 2N уравнений с 2N неизвестными Д01, Д02, ..., Д0N; 52,

А 0)

83, ..., % и 1х

На основании изложенных положений можно провести аппроксимацию передаточных функций любого порядка.

Например, были выполнены расчеты передаточных функции оптимального двухсвязного регулятора, отметим, что, как сказано выше, полученные ПФ регуляторов имеют 10 порядок

^1 (р)= W22 (р) = 7,634

1,21-10~10р10 + 3,45' 10-9 р9 + 9,64' 10-7р8 + 2,18' 10-7р7 + 8,6710-9р10 + 4,5' 10-9р9 + 6,3910-7р8 + 9,110-6р7 +

+ 5,34' 10-6 р6 + 4,14'10- 5 р5 + 2,67' 10-4р4 + 1,410-3р3 + 0,0134р2 + 0,24р + 1 + 2,56' 10-6р6 + 4,16' 10-5р5 + 4,98' 10-4р4 + 3,210-4р3 + 0,098р2 + 0,34р + 1

/ \ „ „„„ 2,73 10-10р10 + 4,б10-9р9 + 7,1410-7р8 + 1,9210-7р7 +

1Р)= *=(Р)= 2'98-1 8,67.10-»Р-0+ 4,5. Ю-»Р9+6,39. Ю-7Рр8+ ,1,0^ +

3,14 10-брб + + 3,84  10-5р5 + 2,07  10-4р4 + 1,2410-4р3 + 2,210-3р2 + 0,4р + 1 + 2,5б10-брб + 4,1б10-5р5 + 4,98  10-4р4 + 3,210-4р3 + 0,098р2 + 0,34р + 1

где Wl 1, W22 - передаточные функции сепаратных регуляторов;

Wl2, W21 - передаточные функции перекрестных регуляторов.

Используя приближение Чебышева, аппроксимируем передаточные функции оптимального многосвязного регулятора натяжения

Положим N1=4^= 7 в (5.4), и будем искать приближение

^і( р) = 4= 1,2, ..,к

+ Ьп-1„р

п-1

• + Ь0у

апРП + ап-1РП-1 + - + аС

в виде

WA (р, д 0 ) = А 1+А 2Р + А 3р2 + А 4Р33 1 + А 5р + А бр + А 7р

Тогда задача аппроксимации конкретизируется следующим образом:

, * _ , * „2,1 „3

I (х, А ) =

тах

Яе[0,Г]

2 3

1 + А 5р + А бр + А 7р

Ьпурп + Ьп-1урп-1 + • •• + Ь0у

апрп + ап-1рп-1 + . .+ а0

А _

Ее решение при 0 1 <Ь 2 <Ь 3 <Ь 4 <Ь 5 <Ь 6 <Ь 7 <Ь 8

четырнадцати уравнений типа

сводится к решению системы

ап5д + ап-1^1

п-1

А1 + А25ч + Аэ5д + А45д Ьщ5дП + Ьп-іії5^ + ... + Ь

1 + А55д + Аб5д2 + А7^3

д= 1,2,3,4,5,б,7,8

+ ... + а0

= (_ 1)Мх,А»);

3 А1 + А25д + А3^д2 + А4^д3 _ Ьпу5дп + Ьп-1у5дп 1 + ••• + Ь0у З 5 1 + А5§д + Аб5д2 + А75д3 ап^дп + ап-1§дп1 + ... + а0

д = 2,3,4,5,б,7

= 0

относительно

четырнадцати

неизвестных

оптимальных

значении

і 0 і 0 і 0 і 0 і 0 і 0 і 0 А 1,А 2,А 3,А 4,А 5,А б,А 7

семи искомых параметров аппроксимации; шести точек максимума

8 2,8 3,8 4,8 5,8 б, 8

7 абсолютного значения разности

I х, А

К* |х, р,А 0)- Ш^.Ь) внутри отрезка 1°Л и

минимума этого максимума

Для двухсвязной электромеханической системы регулирования натяжения оптимальные значения искомых параметров аппроксимации будут равны:

- для передаточных функций сепаратных - для передаточных функций регуляторов_______________________________ перекрестных каналов управления___________

А 01 = 0.107 А 02 = 2.328.10 _2 А 03 = 9.492.10 _5 А 04 = 2.878.10 _б А 05 = 0.318 А 0б = 4.б5510_3 А 07 = 1.47. 10_3

А 01 = б.810_2 А 02 = 2.71б. 10 _2 А 03 = 1.9б5. 10_4 А 04 = 1.025.10_5 А 05 = 0.318 А 0б = 4.б55. 10 _3 А 07 = 1.4710_3

Таким образом, передаточная матрица оптимального многосвязного регулятора примет вид

W( р) =

2,878.10-бр3 + 9.492.10-5р2 + 2.328.10-2р + 0.107

1,47. 10-3р3 + 4.б55. 10-3р2 + 0,318р + 1

1,025.10-5р3 + 1.9б5. 10-4р2 + 2.71б. 10-2р + 0.0б8

1,47. 10-3 р3 + 4.б55. 10-3р2 + 0,318р + 1

1,025. 10-5р3 + 1.9б5. 10-4р2 + 2.71б. 10-2р + 0.0б8 2,878.10-бр3 + 9.492.10-5р2 + 2.328.10-2р + 0.107

1,47. 10-3р3 + 4.б55. 10-3 р2 + 0,318р + 1

1,47. 10-3 р3 + 4.б55. 10-3 р2 + 0,318р + 1

Проведенный сравнительный анализ реализаций выходных координат в системах с «полным» регулятором (рис. 2) и аппроксимированной передаточной функцией регулятора (рис.З), показал, что среднеквадратичные отклонения натяжений увеличиваются на 3-5%, что является удовлетворительным результатом.

Рис. 3. Реализация выходных координат электромеханической системы регулирования натяжения замкнутой регулятором с аппроксимированной передаточной матрицей

Выполненная аппроксимация позволяет упростить практическую реализацию оптимального многосвязного регулятора без значительных потерь в регулировании выходной координаты.

Отметим, что использование аппроксимации Чебышева на всех уровнях управления позволяет ускорить процесс настройки и пуска автоматизированной системы управления технологическими процессами.

Таким образом, проведена аппроксимация передаточной матрицы оптимального многосвязного регулятора с приближения Чебышева. Выполнен сравнительный анализ аппроксимированной и полной системы управления многосвязным объектом.

Библиографический список

1. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах: учеб. пособие. - Л.: Изд-во Ленингр.ун-та, 1987.-292 с.

2. Рассказов Ф.Н., Шварц Г.Р. Синтез оптимальных многомерных систем управления с

использованием вероятностных характеристик выходных координат объекта.

Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. 9-й межвуз. конф. - Самара, 1999.

3. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами: учеб. пособие/ Э.Я. Рапопорт. - М.: Высш. шк., 2003. - 299 с.: ил.