О нахождении потенциальной энергии классической частицы во внешнем поле по известной степенной амплитудной зависимости ее периода колебаний

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

On determination of potential energy of a classical particle in an external field from specified power-law amplitude dependence of its period of oscillation

Kochkin S. A.1, Briginets S. A.2 О нахождении потенциальной энергии классической частицы во внешнем поле по известной степенной амплитудной зависимости ее периода колебаний

Кочкин С. А.1, Бригинец С. А.2

'Кочкин Сергей Алексеевич /Kochkin Sergey — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, алгебры и геометрии; 2Бригинец Софья Алексеевна / Briginets Sophia — студент, Высшая школа естественных наук и технологий Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова, г. Архангельск

Аннотация: в данной работе на основе закона сохранения энергии и решения соответствующего интегрального уравнения в точном виде получено выражение для потенциальной энергии классической частицы по заданной степенной зависимости ее периода колебаний от амплитуды. Рассмотрены условия применимости полученного выражения, а также проведено сравнение результата с известной потенциальной энергией в частном случае гармонических колебаний частицы. Abstract: in this paper on the basis of the law of conservation of energy and the solution of the corresponding integral equation an expression for potential energy of a classical particle from specified power-law amplitude dependence of its period of oscillation is received precisely. Conditions of applicability of the received expression are considered, and comparison of result with the known potential energy in a particular case of harmonic oscillations of a particle is carried out.

Ключевые слова: одномерное финитное движение, зависимость периода колебаний от амплитуды, неизохронность, интегральное уравнение Абеля.

Keywords: one-dimensional finite movement, dependence of time period of oscillation on amplitude, non-isochronism, Abel integral equation.

Известно, что в классической механике гармонические колебания частицы обладают свойством изохронности, т.е. период таких колебаний не зависит от амплитуды [1]. Однако изохронность гармонических колебаний имеет место до тех пор, пока выполнено требование малости таких колебаний, т.е. когда можно ограничиться лишь квадратичным членом в разложении потенциальной энергии частицы в ряд. В остальных ситуациях, а также в случае сложных и порой заранее неизвестных потенциальных полей, встречающихся при исследовании различных теоретических и прикладных задач классической механики [2], а также других разделов физики [3], изохронность нарушается, т. е. появляется зависимость периода колебаний от амплитуды, причем вид этой зависимости для разных внешних полей, очевидно, различный.

В данной работе рассмотрено решение задачи нахождения потенциальной энергии частицы, совершающей колебательное движение во внешнем поле, в случае известной степенной зависимости периода колебаний частицы от амплитуды как наиболее распространенной для описания нелинейной взаимосвязи периода и амплитуды [2, 3].

Рассмотрим классическую частицу массой т, которая может совершать финитное движение во внешнем поле с потенциальной энергией U(x) и с полной механической энергией Е, где Е > 0. Будем далее везде предполагать, что U (х) - монотонно возрастающая при х > 0 функция, график которой симметричен относительно оси ординат, причем U (0) = 0. Тогда, согласно закону сохранения энергии, будем иметь

тх2

— + U(x) = Е.

Проинтегрируем это уравнение, разделяя переменные, в результате получим выражение, связывающее период финитного движения Т(Е) и потенциальную энергию U (х) частицы в виде

Т(Е) = 2j2mCo(E) . dx , (1) 4 ' J0 JE-ЩхУ У '

где х0(Е) - точка поворота, являющаяся корнем уравнения U(x0) = Е, а также имеющая смысл амплитуды колебаний А при заданной энергии Е частицы.

Для начала решим задачу нахождения потенциальной энергии частицы в предположении, что известной является степенная энергетическая зависимость периода колебаний Т( Е) . Для этого перейдем под интегралом в (1) к новой переменной интегрирования U: выразим из U = U(х) обратную функцию х = х(U), х > 0, вычислим дифференциал этой функции в виде dx = х (U) dU и введем обозначение f (U) = х'( U) . Рассчитав новые пределы интегрирования, получим выражение, связывающую период финитного движения Т (Е) и функцию f (U):

Т

В таком виде выражение (2) представляет собой интегральное уравнение Абеля относительно неизвестной функции f (U) , решение которого, согласно [4], может быть представлено в виде

f

f

Далее, как предполагалось, будем считать, что известна степенная зависимость периода финитного движения частицы от ее полной энергии:

Т

где a - постоянный коэффициент.

Вычисление интеграла в (3) с учетом зависимости (4) с помощью замены переменной приводит к следующему результату

iU ^=f = a U +W2,V+1),

где В (z,w) - бета-функция, определенная только при положительных аргументах [5]. Поэтому, очевидно, полученный результат справедлив лишь при условии V > — 1. После дифференцирования выражения (5) по , получим функцию в следующем виде

f (U)=-^I^UV

' 2\12ттт nV+1/2)

где - гамма-функция, через которую мы выразили полученную выше бета-функцию согласно формуле связи обеих этих функций [5].

Подставляя теперь найденную функцию в дифференциальное уравнение

uXx)=m

и решая его с начальным условием , приходим к явному виду потенциальной энергии

частицы при известной степенной зависимости (4) периода ее колебаний от полной энергии:

U

Наконец, перейдем к нахождению решения поставленной задачи в случае, когда известна степенная амплитудная зависимость периода колебаний частицы в виде

Т

где - постоянный коэффициент пропорциональности, который только при численно

совпадает с периодом гармонических колебаний, т.е. в том случае, когда период не зависит от амплитуды

Используя условие Е = U(А) и формулы (4), (6) и (7), после несложных преобразований можно получить точное выражение для потенциальной энергии частицы при известной степенной зависимости (7) периода ее колебаний от амплитуды в следующем виде

U

_ 2—п

где для краткости записи введено обозначение ^ =-

Отметим также, что для того чтобы частица могла совершать колебательное движение, необходимо, чтобы рассматриваемая функция потенциальной энергии (8) была возрастающей при , а значит, полученный результат будет верен лишь при условии

В частности, при п = 0, т.е. когда Т(Е) = То = const, получим известный вид потенциальной энергии частицы, совершающей гармонические колебания с периодом :

U ( х)=*£,

где имеет смысл коэффициента квазиупругой силы, действующей на частицу, который, как следует из (8), связан с периодом колебаний и массой частицы также известным простым

соотношением: к = 4ж ™ [1].

То

Во всех остальных возможных случаях колебательного движения частицы ее потенциальная энергия может быть записана в виде

и (х) = кпх2 -2п, где введено обозначение кп = (Г(р^2 ^  Таким образом, получили точное решение поставленной задачи.

Литература

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. М., 2005. 560 с.

2. Кузнецов А. П., Кузнецов С. П., Рыскин Н. М. Нелинейные колебания. М., 2002. 292 с.

3. Заславский Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М., 1988. 368 с.

4. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. М., 2016. 192 с.

5. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. М., 1979. 832 с.

Development of the multi-purpose simulator of the system of inter-reactor control for VVER with application of NI ELVIS instruments Maksimkin A.1, Erofeev I.2, Konashenkova N.3 Создание многофункционального симулятора системы внутриреакторного контроля ВВЭР с использованием средств NIELVIS Максимкин А. И.1, Ерофеев И. А.2, Конашенкова Н. А.3

'Максимкин Александр Игоревич /Maksimkin Alexander — ассистент; 2Ерофеев Илья Андреевич / Erofeev Ilya - студент; 3Конашенкова Надежда Александровна /Konashenkova Nadezhda — студент, кафедра конструирования приборов и установок, Национальный исследовательский ядерный университет Московский инженерно-физический институт, г. Москва

Аннотация: проведено построение приближенной модели активной зоны реактора типа ВВЭР, разработаны информационно-измерительные системы для изучения полученных значений нейтронного потока и температуры теплоносителя. Показаны возможности и преимущества использования данных систем в качестве лабораторного комплекса в учебных учреждениях различного типа.

Abstract: we have developed a simulation model of the active zone of the VVER type nuclear reactor, as well as information measuring systems for investigation of calculated data of the neutron flux and the coolant temperature. The possibilities and the advantages of application of such systems as laboratory complexes in educational institution of various types are clearly shown.

Ключевые слова: АЗ, СВО, ВВЭР, фотоэлектрический датчик, интегральный температурный датчик.

Keywords: active zone, VVER, photoelectric sensor, integrated temperature sensor. Введение

Система внутриреакторного контроля (СВРК) входит в состав системы контроля управления и диагностики (СКУД) [1, с. 73] реакторной установки ВВЭР и обеспечивает в режимах нормальных условий эксплуатации (НУЭ), нарушения нормальных условий эксплуатации (ННУЭ) и при проектных авариях [2, с. 10]:

- контроль нейтронно-физических и теплогидравлических параметров активной зоны реактора, параметров теплоносителя первого и второго контуров при работе энергоблока в базовом и маневренном режимах, в том числе контроль за распределением энерговыделения в объеме активной зоны;

- защиту активной зоны реактора по локальным параметрам (линейной мощности твэл, запасу до кризиса теплообмена) в диапазоне мощности от 35 до 110 % от номинальной;

- управление распределением энерговыделения по объему активной зоны реактора при работе энергоблока в маневренном режиме.