Двумерное преобразование Хаара и особенности его вычисления при обработке оптических изображений

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ И УПРАВЛЕНИЕ X

УДК 621.391

ДВУМЕРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХААРА И ОСОБЕННОСТИ ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРИ ОБРАБОТКЕ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Г. Н. Мальцев,

доктор техн. наук, профессор

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского Г. В. Стогов,

доктор техн. наук, профессор

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Рассмотрены особенности вычисления преобразования Хаара при обработке оптических изображений, которые описываются дискретными и непрерывными двумерными функциями. Приводятся обобщенная матрица преобразования Хаара и ее модифицированная форма. Показано, что у групп функций Хаара, соответствующих одинаковой эквивалентной секвенте, дисперсии коэффициентов разложения равны между собой.

При цифровой обработке сигналов и изображений широкое распространение получило использование дискретных ортогональных преобразований в различных базисах [1, 2]. При этом в случае двумерных сигналов, описывающих оптические изображения, двумерные ортогональные системы функций строятся на основе соответствующих одномерных систем. Свойством одномерного и двумерного преобразований Хаара является локальная определенность большинства базисных функций. Это делает неудобным их использование при обработке сигналов, определенных на всем анализируемом интервале (в случае изображений — сцен). В то же время при анализе локальных свойств сигналов, а также при обработке сигналов, локально определенных в области анализа (изображений объектов конечных размеров), свойства функций Хаара могут быть полезными. Локальная определенность и связанная с ней нормировка функций Хаара приводят к особенностям вычисления двумерного преобразования Хаара, которые рассматриваются в настоящей работе.

Одномерные функции Хаара определяются на интервале 0 < x < X следующим образом [1-3]:

hari(x) = haroo(x) = -^=;

VX

harm (x) = harki (x) =

1 —

—2 2 ,

1 —

—2 2 ,

(i -1) X

2k_1

i - — 2

< x <

i - — 2

X

-,k-1

X

nk-1

-< X <-

iX

,k-1

0, 0 < x < X, JX < x < X

yk-1

-)k-1

Для одномерных функций Хаара (1) выполняются условия ортонормированности и замкнутости [3], а индексы обычной и двойной нумерации функции при т < 2 связаны соотношением т = = 2й-1 + I, где I = 1, ..., 2й. Вся система функций Хаара (1) образуется путем сжатия и сдвига функций, получаемых из функции Нат11(х). При этом степень сжатия определяется индексом й, а величина сдвига — индексом I. Аналогичные функции с индексами п и I] могут быть введены по координате у в интервале 0 < у < У.

Определим двумерные функции Хаара в области 0 < х < X, 0 < у < У в виде произведений одномерных функций вида (1):

harmn (x У) = harm (x)harn (У)'

При таком подходе образованная из исходных ортонормированных и замкнутых одномерных функций система двумерных функций (2) также оказывается ортонормированной и замкнутой [4]

и может быть использована в обобщенном спектральном анализе. Следует отметить, что в работе [5] даны примеры построения на основе процесса сжатия и сдвига систем функций хааровского типа, отличающихся от приведенных. Мы будем рассматривать только «классические» функции Ха-ара, определяемые выражениями (1) и (2).

В общем случае для любой квадратично-интег-рируемой в области 0 < х < X, 0 < у < У функции /(х, у) коэффициенты Фурье—Хаара

ху

Стп

= {{/

00

образуют равномерно сходящийся двумерный ряд

М N

Ит ЕЕСтпНаГтп

Л/Г_

M

N

m=1n=1

где коэффициенты Cmn при функциях harmn(x, y) определяются выражением [2]

C(M, N) = H(M) • F(M, N) • HT (N),

где С(М, N — матрица коэффициентов Хаара Стп размерностью М х N; Р(М, N) — матрица отсчетов исходной функции f(x, у) размерностью М х N; Н(М) и Н^) — матрицы преобразования Хаара размерностью М х М и N х N соответственно. Интервалы X и У при соответствующей нормировке отсчетов функции f(x, у) полагаются единичными, а число элементов разбиения выбирается равным М = 2а, N = 2Ь, где а и Ь — целые числа.

Элементы матрицы преобразования Хаара определяются значениями базисных функций (1). Так, при М = 8 (а = 3) матрица преобразования Хаара имеет вид

H(8) =

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

л/2 л/2 -л/2 -л/2 0 0 0 0

0 0 0 0 -л/2 -л/2 -л/2 -л/2

2 -2 0 0 0 0 0 0

0 0 2 -2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 -2 0 0

0 0 0 0 0 0 2 -2

.

Можно выделить следующие особенности матрицы Н(М), существенные с точки зрения вычисления двумерного преобразования Хаара. Во-первых, в отличие от матриц преобразований Фурье и Уолша, она является несимметричной, и в выражении (5) обязательно транспонирование второй матрицы преобразования. Во-вторых, элемен-

Г

ты матрицы Н(М) принимают значения 0 и ±22,

где Г — целое число, что создает определенные неудобства при реализации быстрых алгоритмов вы-

числения. В-третьих, при получении обобщенных выражений для матрицы преобразования Хаара приходится использовать нетрадиционные математические операции, что также затрудняет реализацию алгоритмов вычислений.

Обобщенное выражение для матрицы преобразования Хаара при М = 2а может быть записано в виде[6]

a ' r-1 1 0" [r-1] Л

H(M) = Н r 2 2 0 1 [1 -1]

S

1Г ,

где Н — знак вертикальной суммы (а + 1) мат-

Г

риц, нумеруемых по r сверху вниз;  — знак кронекеровского произведения двух матриц; [G][r] — матрица G в r-й кронекеровской степени;

10, r = 0

o(r) = \ . Операции вертикального сумми-

[1, r Ф 0

рования матриц, кронекеровского умножения и возведения матриц в степень определены в работах [1, 6]. Первые две из вертикально суммируемых матриц в (7), соответствующие r = 0 и r = 1, имеют размерности 1 х M, а последующие (а - 1) матрицы, соответствующие r = 2, ..., a, имеют размерность 2r1 х M. В результате получается квадратная матрица размерностью M х M.

Выполнение условия ортонормированности для локально определенных функций Хаара приводит к неодинаковым их уровням на интервалах ненулевых значений у различных групп из 2r1 функций, r = 1, ..., a, и, соответственно, к различным значениям элементов матрицы преобразования Хаара Н(М). В то же время при реализации быстрых алгоритмов вычислений желательно использовать матрицы, элементы которых принимают значения 0 и ±1. Этому условию удовлетворяет модифицированная матрица преобразования Хаара H0(M), которая получается при делении эле-

r-1

ментов матрицы (7) на 2 2 . При М = 8 (а = 3) модифицированная матрица преобразования Хаара имеет вид

H0(8) =

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 -1 -1 -1 -1

1 1 -1 -1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 -1 -1

1 -1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 -1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 -1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 -1

С помощью модифицированной матрицы преобразования Хаара Н0(М) вычисляется матрица коэффициентов Стп:

a

C0

а истинные коэффициенты Хаара равны: Cmn =

k+l-2

= 2 2 cmn (Cn = C101 )• На

основе нормировочных

коэффициентов 22 могут быть составлены диагональные матрицы размерностями М х М и N х N так, что вычисление матрицы коэффициентов Ха-ара будет представлять собой умножение пяти матриц: матрицы значений исходной функции, двух модифицированных матриц преобразования и двух нормировочных матриц.

Выбор числа базисных функций в разложении (4) осуществляется следующим образом. Если функция Дх, у) дискретная и число точек по координатам х и у соответственно М = 2а и N = 2Ь, то в силу полноты базисной системы функций Хаара [3] отсчеты функции Дх, у) могут быть однозначно представлены суммой MN двумерных функций Нагтп(х, у). Если же функция Дх, у) непрерывная, то число элементов разложения определяется, исходя из требуемой точности ее аппроксимации конечной суммой Фурье—Хаара. При этом элементы матрицы Р(М, N в выражении (5) соответствуют средним значениям функции Дх, у) на интерва-

лах дискретизации размером

х

\ / \

Y

N

по коор-

динатам х и у соответственно.

Среднеквадратическая ошибка аппроксимации стационарной случайной функции Дх, у) конечным числом MN двумерных функций Хаара равна:

М N

ct2(M, N) = o2f-

ст„

m=1 -,m=n=1

n=1

где а' — дисперсия случайной функции Дх, у); атп — дисперсии случайных коэффициентов разложения Стп (3); - — логический символ исключения. Коэффициент С11, исходя из определения функции Хаара Наг11(х, у), равен среднему значению функции f(x, у) в области анализа и поэтому исключается из рассмотрения.

Для всех коэффициентов Стп, образующих группы, соответствующие фиксированным значениям пар индексов й и I при двойной нумерации функций Хаара в выражении (1), дисперсии равны между собой. Это следует из выражения

X У

тп ~ ИИ Е(Ах,Ау)ЬаГтп (х, у) X 0 0

х Ъ,агтп

где Б(Ах, Ду) — автокорреляционная функция стационарной случайной функции f(x, у). Функции Хаара, соответствующие одинаковым значениям индексов й и I в двойной нумерации, отличаются друг от друга только сдвигом по соответствующей координате. Можно показать, что их произведе-

ния кагтп(х, у) кагтп(х + Ах, у + Ду), входящие в выражение (11), зависят только от величины сдвигов Дх и Ду. В результате все дисперсии отп, соответствующие фиксированным значениям пар индексов й и I, равны между собой.

Используем понятие секвенты как средней частоты пересечения функцией нулевого уровня [5]. Тогда выделенные группы функции Хаара с одинаковыми индексами й и I характеризуются одинаковой эквивалентной секвентой. Следовательно, дисперсии коэффициентов функций Хаара при аппроксимации стационарных случайных функций равны для групп функций, соответствующих одинаковой эквивалентной секвенте. Число таких

групп

a(b +1) - ^(b-

1)

, где a = log2M, b = log2N,

a > b, а число функций в каждой группе

S =

2h+l~2, k = l, й Ф 0, l Ф 0 2k+l~2, й Ф l, й Ф 0, l Ф 0.

~\k+l

й Ф l, й = 0, l = 0

Они вносят одинаковый вклад в разложение функций Дх, у).

Таким образом, в работе приведены соотношения для двумерного преобразования Хаара, обеспечивающие реализацию на их основе простых вычислительных процедур. Даются рекомендации по составлению обобщенных матриц преобразования Хаара и выбор их размерности при анализе двумерных случайных функций. Опыт практического использования двумерного преобразования Хаара показывает, что вычислительные матрицы коэффициентов разложения удобно выводить в виде двумерных диаграмм, приведенных в работе [2]. Такие диаграммы, упорядоченные по каждой координате по возрастанию номеров коэффициентов разложения т и п от 0 до М и N, характеризуют как пространственный спектр двумерной функции, так и форму описываемого ею объекта.

Литература

1. Ахмед Н. Д., Рао К. Р. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

2. Обработка изображений и цифровая фильтрация / Под ред. Т. Хуанга. М.: Мир, 1979. 320 с.

3. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. М.: Наука, 1969. 288 с.

4. Петров В. П. Прикладная спектральная теория оценивания. М.: Наука, 1982. 432 с.

5. Хармут Х. Теория секвентного анализа. Основы и применения. М.: Мир, 1980. 576 с.

6. Ярославский Л. П. Цифровая обработка сигналов в оптике и голографии. Введение в цифровую оптику. М.: Радио и связь, 1987. 296 с.

r