Формирование матриц диссипации для конечномерных динамических систем

УДК 69.04

ФОРМИРОВАНИЕ МАТРИЦ ДИССИПАЦИИ ДЛЯ КОНЕЧНОМЕРНЫХ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

В.И. Соболев, Е.Д. Урнышева, М.А. Куржумова

Представленная работа посвящена актуальной проблеме формирования матриц диссипаций многомерных диагональных систем при проявлении свободных колебаний. Предложенная авторами методика формирования матриц диссипаций для многомерных линейных систем основана на решении проблемы собственных значений динамической матрицы жесткостей многосвязной динамической системы. Использование преобразований, основанных на замене исходного многомерного пространства - пространством в координатах собственных векторов позволяет осуществить разделение исходной многосвязной системы на совокупность раздельных дифференциальных уравнений, отображающих цепочку одномерных несвязанных осцилляторов, для каждого из которых возможна процедура формирования коэффициентов линейного вязкого трения. Искомая матрица формируется на основе обратных преобразований в исходное многомерное пространство.

Ключевые слова: матрица диссипации, динамические системы, дифференциальные уравнения.

DEVELOPMENT OF DISSIPATION MATRIX FOR FINITE-DIMENTIONAL

DYNAMICAL SYSTEMS

V.I. Sobolev, E.D. Urnysheva, M.A. Kurzhumova

The presented research work is dedicated to the topical problem of the development of dissipation matrix for multidimensional diagonal systems when the free motions appear. The methodology of the development of dissipation matrix for multidimensional lineal systems, offered by the author of the article is based on the solution of the problem of latent roots of dynamic matrix of stiffness of multilinked dynamical system. The use of the modifications, based on the exchange of the initial many-dimensional space with the space in the coordinates of eigenvectors allows to perform the division of the initial multilinked system into a number of separate differential equations, which reflect the chain of one-dimensional unrelated oscillators, each of which can perform the procedure of formation of index of lineal viscous friction. The required matrix is formed on the basis of reverse transformation into the initial many dimensional space.

Key words: matrix of dissipation, dynamical systems, differential equations.

В задачах динамики конструкций различного назначения используются преимущественно дискретные - конечномерные модели. Такие модели являются достаточно универсальными и позволяют гибко аппроксимировать различные конструкции с нерегулярными границами расчетных областей и разнородными граничными условиями [1, 2].

При формировании систем динамических уравнений процедура дискретизации инерционных параметров исходных континуальных моделей не вызывает значительных трудностей, и способы реализаций различных методов не отличаются значительным расхождением результатов. В подавляющем большинстве дискретизированные инерционные параметры формируются в виде диагональных матриц, определяющих коэффициенты при производных второго порядка в системах дифференциальных уравнений динамики [1].

Различные способы формирования матриц жесткостей относительно узлов дискретизации в упруго-линейных задачах так же легко формализуемы и теоретически обоснованы [2].

Совершенно очевидно, что для формирования линейной динамической модели приходится пользоваться гипотезой линейно-вязкого трения. Учитывая то обстоятельство, что демпфирующие свойства модели в большинстве случаев определяются наличием достаточно большого количества нелинейных видов трения (по данным [3] их может быть более тридцати), процедура линеаризации сводится к определению некоторого линейного вязкого эквивалентного по проявлениям трения. Наиболее распространенным критерием эквивалентности является равенство площадей петлей гистерезиса исходного аппроксимируемого трения и линейного вязкого трения за период колебательного процесса [4].

Очевидно, что такое формирование замкнутой петли гистерезиса возможно при некотором стационарном процессе колебаний с постоянной амплитудой и частотой колебаний для одномерных систем [5,9].

Гораздо более сложные проблемы возникают при аппроксимации демпфирующих свойств многомерных динамических систем. Не останавливаясь на проблемах, связанных с заменой различных видов трения эквивалентным линейно-вязким трением [8], рассмотрим возможности формирования матриц коэффициентов линейного вязкого трения в многомерных системах. Наиболее употребляемые способы формирования матриц вязкого трения основаны на комбинациях произведений матриц масс, жесткостей и некоторых диагональных матриц [1], зачастую в произведениях матрицы инерционных параметров отсутствуют. При этом системы уравнений динамики имеют вид

где М- матрица инерционных параметров; Х- вектор неизвестных перемещений; - матрица жесткости; - вектор-функция внешнего воздействия; {.!) - некоторая диагональная матрица, преобразующая матрицу R в матрицу диссипаций.

Формирование матрицы диссипаций в виде Л/?г где Л - некоторая диагональная матрица, в большей мере определено возможностью одновременной диагонализации всех трех матриц левой части системы уравнений (1), что дает вероятность преобразования связанной системы уравнений (с недиагональной матрицей Я) к раздельным уравнениям, решения которых не вызывают затруднений [6, 7]. Действительно, умножив обе части

системы уравнений (1) на имеем:

'-1

Матрица М 1Н представляет собой известную матрицу динамических жесткостей. Обозначив ее через О , определим для нее матрицу собственных векторов ф и диагональную матрицу собственных значений - Л . Тогда

ИЛИ ~

значит Ф 10ф = Л,

Выполним подстановку О = Л/-1/? в левую часть уравнения (2), умножим обе части уравнения на матрицу Ф.

Тогда система уравнения (4) приобретает вид

Выполнив еще одну замену переменных ^ = Ф_1Л', получаем

Учитывая выражение (3) имеем уравнение (5) в виде

Система уравнения (6) представляет собой систему раздельных уравнений, поскольку отсутствуют внедиагональные элементы в левой части системы. Правые части уравнений (6) представляют собой вектор-функцию заданных воздействий, преобразованных матричными операциями.

Рассмотрим особенности полученных уравнений (6). Рассматриваемые уравнения являются математическим отображением цепочки несвязанных линейных осцилляторов, совершающих вынужденные колебания под внешним воздействием, определенным соответствующей компонентой вектор-функции Ф '^М'1 Г (О.

В случае свободных колебаний уравнения (6) имеют вид

с соответствующими начальными условиями

получеными в результате матричных операций, используемых в формировании равенств (3)-(6) для преобразования условий Л"(Гс) = Ла , г-гй = л ° •

Коэффициенты, стоящие перед элементами вектора У, представляют собой коэффициенты внутреннего трения. При этом, коэффициенты, заданные в исходной системе

уравнений, расположенные на главной диагонали матрицы {¡д умножаются на собственные значения, представленные матрицей Л • Поскольку собственные значения являются квадратами соответствующих частот, то в уравнениях (6) коэффициенты внутреннего трения частотно зависимы и пропорциональны квадратам частот собственных колебаний системы без внутреннего трения. Определив собственные значения /. - из решений уравнений (6), и промасштабировав исходные элементы матрицы ¡X, путем деления каждого элемента jц, на соответствующее собственное значение получаем коэффициенты внутреннего трения в системе уравнений (6) независимые от квадратов частот собственных колебаний.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М. : Стройиздат, 1979. 319 с.

2. Соболев В.И. Конечно-элементные аппроксимации динамических систем в задачах виброзащиты // Математическое и программное обеспечение технических систем. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ие. 1989. С. 44-52.

3. Нашиф А., Джоунс Д., Хендерсон Дж. Демпфирование колебаний. М. : Мир, 1988. 448 с.

4. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М. : ГИТТЛ, 1956. 491 с.

5. Москвитин В.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М. : Наука, 1981. 343 с.

6. Бате К., Вильсон Е. Численные методы анализа и метод конечного элемента. М. : Стройиздат, 1982. 447 с.

7. Кандидов В.П. Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечного элемента в задачах динамики. М. : МГУ, 1980. 165 с.

8. Argyris J.H., Boni В., Hinderlang V. Finite element analysis of two- and three dimensional elastoplastic frames - the natural approach, Comp. Meth. Appl. Mech. 1982. Vol. 35, № 2. Р. 221-248.

9. Соболев В.И. Метод гармонического элемента и дискретно-континуальные динамические модели // Вестник ИрГТУ. 2003. Т. 13, № 1. С. 124-129.

Информация об авторах

Соболев Владимир Иванович, доктор технических наук, профессор кафедры «Сопротивления материалов и строительной механики», тел.: 89149441891, Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Урнышева Елена Дмитриевна, студентка, тел.: 89086688002, Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Куржумова Мария Александровна, студентка, тел.: 89085984150, e-mail: mariya-kurzhumova@yandex.ru, Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Information about the authors

Sobolev V.I., Doctor of Technical science, professor, Material Resistence and Building Machinery Department, tel.: 89149441891; Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.

Urnysheva E.D., undergraduate, tel.: 89086688002; Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.

Kurzhumova M.A., undergraduate, tel.: 89085984150, e-mail: mariya-kurzhumova@yandex.ru; Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074.