Параметрическая идентификация нелинейно вязких свойств жидкостей вибрационным методом затухающих колебаний

Расчет и конструирование

УДК 532.137.3

ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЛИНЕЙНО ВЯЗКИХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ ВИБРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

И.В. Елюхина, Г.П. Вяткин

Обсуждены возможности наблюдения и идентификации реологических свойств нелинейно вязких жидкостей (модель Оствальда-Вейля) вибрационным методом в режиме затухающих колебаний при отсутствии вынуждающей силы. Для ньютоновских сред для такого режима построено виско-зиметрическое уравнение.

Введение

Неньютоновские жидкости являются основными рабочими средами в разнообразных технологических процессах. Сложные реологические свойства смазок, масел и других нефтепродуктов зачастую существенно влияют на их поведение в условиях эксплуатации, а корректные физически обоснованные оценки свойств позволяют обеспечивать нормальные и надежные режимы функционирования. Большинство экспериментов по изучению реологических свойств таких труднодоступных для исследования сред как, например, высокотемпературные и химически агрессивные жидкости, интерпретировано в предположении о ньютоновском характере их течения, что может приводить к противоречиям в величине вязкости и характере ее зависимости от термодинамических параметров. Ранее авторами [1] были изучены возможности наблюдения неньютоновских свойств в экспериментах с крутильным вискозиметром. Другим таким методом является вибрационный [2], в котором о реологических свойствах жидкости судят по параметрам вынужденных колебаний погруженной в эту среду пластины.

Помимо возможности работы с агрессивными средами, указанные выше нестационарные методы объединяют реализуемые в них условия, позволяющие сделать наблюдаемыми отдельные неньютоновские эффекты у жидкостей, обычно считающихся ньютоновскими, и решить задачу о реологической принадлежности среды. Так, для этих методов характерно изменение во времени приращений напряжений и деформаций, что делает возможным обнаружение, например, упругих свойств жидких сред или свойств текучих систем с переменным отношением между напряжением и скоростью сдвига. В режиме затухающих колебаний можно реализовать как предельно малые полные деформации, так и малые скорости деформаций, и обнаружить, в частности, слабопластичные свойства. К тому же, здесь вывод о реологической принадлежности среды делается на основе измерений параметров колебаний, которые могут быть выполнены с высокой точностью, недоступной для наблюдаемых параметров в других методиках.

Течения, возбуждаемые в неньютоновских средах осциллирующей в своей плоскости пластиной, уже давно привлекают внимание исследователей. Все эти работы, однако, посвящены решению несопряженной задачи, когда закон движения пластины задан, например, гармонической функцией времени, и относятся главным образом к вязкоупругим жидкостям: средам Олд-ройда-Б, Джонсона-Сигельмана, а также средам Ривлина-Эриксона 2-го, 3-го порядков и пр. (см., например, [3-5]). Методики же оценивания свойств неньютоновских сред вибрационным методом отсутствуют. К настоящему времени известны результаты, касающиеся, помимо ньютоновской, только простейших типов вязкоупругих сред, например, линейных, т.е. когда можно достаточно легко получить аналитическое выражение для закона колебаний пластины в регулярном установившемся режимах. Для неньютоновских сред этот закон в общем случае отличен от гармонического.

К тому же вибрационный метод развит для режима вынужденных колебаний. Возможность его использования в режиме свободных затухающих колебаний отмечена, в частности, в [2] в связи с измерением свойств ньютоновских сред с малыми вязкостями, но корректное обоснование расчетных соотношений отсутствует. В настоящей работе исследуем зависимость параметров колебаний от свойств среды для ньютоновских жидкостей, а также возможности метода затухающих колебаний по идентификации реологической принадлежности и свойств неньютоновских сред на примере нелинейно вязких со степенным реологическим законом.

Математическая формулировка задачи

Математическую модель вискозиметрических экспериментов представим в виде:

1) уравнение движения пластины

2) уравнение движения жидкости

а х ,

-----2 + X — г тр •

ёТ 2

ди даТХ

3) начально-краевые условия для

ёх/ёТ

т—о

— 0, х(0) — хо, и(г,0) — 0, и(0,Т) — ёх/ёТ , и(«,,Т) — 0,

4) реологическое уравнение состояния

4.1) для ньютоновской среды

<Угх — ди/

д г'

4.2) для нелинейно вязкой среды

т-1

где

Ь — тт Ку /(vp), х — х/ё , Т — ю0ї, А —т0/т, т0 — к / т0, г — г / ё , ё — ^у/ю0 , А — 8йр/ т0, и — V /(ёт0),

— -2 Аа2

г—0

действующая на пластину сила

<7гх - гх -я компонента тензора напряжений, Етр

трения, V = Ух - скорость колеблющейся пластины, й - толщина пограничного слоя, т и Ку -показатель и постоянная степенного реологического закона, S - площадь поверхности пластины, т0 - масса подвесной системы, ^ - время, V - кинематическая вязкость, р - плотность, х -

линейное смещение пластины, хо - начальное смещение, к - жесткость пружины; ось Z ортогональна плоскости пластины, г = 0 - на пластине; система (1)-(3), (5) решается численно; зату-

ханием колебаний в отсутствие среды и краевыми эффектами пренебрегаем.

Результаты и обсуждение

Ньютоновские среды

Сначала рассмотрим частный случай ньютоновской среды, когда Ь = т = 1. Разыскивая закон колебаний пластины в виде

х = хоехр [-гТ

из решения системы (1)-(4) найдем зависимость для определения параметров колебаний

1 -

где в = ю /ю0 = 1/X , А = (8/(2п)) • ю/ю0 - коэффициент затухания, 8 - логарифмический декремент затухания колебаний, ю = 2п /т и ю0 = 2п/т0 - частоты колебаний пластины с жидкостью и без нее, т и т0 - соответствующие периоды колебаний, г = >/-1 .

Расчет и конструирование

Для ньютоновской среды параметры колебаний в и А не зависят от начальной амплитуды колебаний хо и определяются одним параметром А (рис. 1). Высокие значения 5 ограничивают интервал целесообразных значений А, например, до А < 0.1.

Рис. 1. Зависимость параметров колебаний от условий эксперимента для ньютоновских сред

Нелинейно вязкие среды

Установившиеся колебания пластины, погруженной в ньютоновскую жидкость, являются изосинхронными. Для неньютоновских сред возможно нарушение подобного асимптотического режима. В дальнейшем под периодом колебаний будем понимать величину т = 2АТт , где АТ -

разность между двумя соседними моментами времени, когда х обращается в нуль, а декремент

затухания определим как 5 = 21п

хі / Х2

где хі, Х2 - соседние экстремальные значения х

Х1 >

Х2

).

Зависимость поведения параметров колебаний от времени, т.е. от номера колебания N, при различных условиях эксперимента и свойствах среды продемонстрирована на рис. 2, 3 при хо = 1. Видно, что для жидкостей с т > 1 значения периода и декремента затухания падают в процессе колебаний, а для жидкостей с т < 1 - растут. Эти качественные особенности можно пояснить следующим образом. Согласно вискозиметрическому уравнению (8) для т = 1 значения Л и 5 растут с ростом А . Для нелинейно вязкой среды в качестве параметра А может принять

Анв = А\1ьОт-1 , где В = ди/дг - второй инвариант тензора скоростей деформации. В процессе

колебаний усредненное по полупериоду значение В падает, и кажущаяся вязкость ЪВ" уменьшается, т.е. значение Анв для дилатантных сред (т > 1) падает, а для псевдопластичных (т < 1) - растет. Соответствующим образом с течением времени изменяются и параметры коле-

V

Ч

1.003 1.006

1.004 1.002

1

' \

V \ \

\ \ "ч

.* = 1 т = 2

0

50

5

0.06

0.045

0.03

0.015

0

А=0.05

А=0.01

А=0.005

А=0.001

Ь = 1; т = 2

5

0.06

0.045

0.03

0.015

0

ш  ш ш ш -Ъ=10 - Ь=1 - Ь=0.1

* ш ш я

ш ш ‘ . _

А= 0 01; т = 2

V

Ч

1.008 1.006 1.004 1.002 1

ш Ш ш

ь ь

\

V \ * ш » ш

Ч * ‘ .

.4 = 0.01; т = 2 '

100 N * 0 50 100 N 0 50 100 N 0 50 100 N

а) б)

Рис. 2. Изменение параметров колебаний в процессе их затухания при различных значениях параметров А

баний т и 5 . Для т = 1 значение Анв, а, следовательно, и значения т, 5 , остаются постоянными в процессе колебаний. Напомним, что зависимость (8) не учитывает переходные процессы, описывая регулярный режим колебаний. Для ньютоновской жидкости при Ъ Ф 1 параметры колебаний определялись из (8) с учетом соотношений для Ъ и А (6).

Горизонтальные линии на рис. 2б, 3 соответствуют аналитическому решению для ньютоновской среды (при Ъ = 1 - верхняя линия и при Ъ = 0.1 - нижняя линия на рис. 2б). При Ъ = 1 кривые т = т(^) при одном и том же т0 и различных т стремятся при N ^ 1 к одному значению т. Это позволяет определить А из зависимости (8) как при т = 1 и оценить Ку в предположении Ъ = 1. При Ъ < 1 значения параметров колебаний при N ^ 1 для нелинейно вязких сред выше,

Рис. 3. Изменение параметров колебаний в процессе их затухания при различных показателях степенного реологического закона Ь = 1, А = 0,01;

1 - т = 2/3; 2 - т = 3/4; 3 - т = 0,9; 4 - т = 1,1;

5 - т = 3/2; 6 - т = 2; 7 - т = 3

чем для ньютоновской жидкости, а при Ъ > 1 - ниже (для параметров рис. 2б при Ъ = 10 из (8) для ньютоновской среды получаем 5 ~ 0,137 и т/т0~ 1,0225).

Показатель степенного реологического закона можно найти из исследования асимптотических значений 5 и т/т0 при N (в частности, можно принять N = 150), когда изменение

параметров колебаний во времени уже мало и не вносит значительной ошибки ввиду недостаточной точности измерения их на практике для отдельного колебания. Этот способ подробнее был обсужден на примере крутильно-колебательного вискозиметра (см., например, [6]). Дополнительный способ оценивания реологических свойств среды вибрационным методом по сравнению, например, с аналогичным в этом отношении крутильно-колебательным методом, основан на изучении зависимости поведения параметров колебаний от времени при различных начальных амплитудах колебаний Х0 . Повторим, что для ньютоновской среды в и 5 в установившемся регулярном режиме колебаний при различных Х0 и заданном А одинаковы.

Ниже подробнее остановимся на одном из способов предварительной оценки Ъ и т по значениям л=у вN и 51 = 5К ^1 для сред с т > 1. Кривые, демонстрирующие изменение Л и 5[

в зависимости от свойств среды, приведены на рис. 4 и построены с учетом переходных процессов, реализуемых при начальных условиях (3). Характер поведения параметров колебаний в зависимости от т при различных х0 определяется типом среды при этих условиях, и, в частности, величиной эффективной вязкости, зависящей от модуля скорости сдвига. Выполняя эксперименты при фиксированном значении А = 0.01, по рис. 4 можно оценить Ъ и т .

Расчет и конструирование

1.02

1.01

1$

\

-—

0.1

0.05

\ \

\ ' ч Ч N

"  - 1 II III / III /,

1.5

2.5 т 1 а)

1.5

2.5 т

2.5 уп

Рис. 4. Параметры колебаний Л и 5 при различных свойствах среды А = 0,01; х0= 1 (а) и х0= 10 (б); кривые: сверху вниз Ь = 10; 5; 1; 0,5; 0,1

Полученные значения Ь и т необходимо уточнить путем сравнения полных зависимостей параметров колебаний от времени в процессе колебаний 5 = 5(Ы) и Л = Л(N), т.е. путем минимизации функции качества, являющейся критерием соответствия экспериментальных и расчетных данных, построенной, например, по методу наименьших квадратов:

N

/(т Ь) = X(Ур1 - Уэ1)2

I=1

где ур1 и уэ1 - расчетные и экспериментальные значения измеряемых в эксперименте величин (т.е. 5 и т/т0), I - номера экспериментальных точек. Функция (9) имеет криволинейный овраг на плоскости (т, Ь), и поэтому необходимо использовать овражные методы поиска, имеющие нелокальный характер. В общем случае можно принять вектор у = х, т.е. рассматривать соответствие экспериментального и расчетного закона колебаний. Для повышения точности измерения нелинейных свойств выбор оптимальных параметров колебаний (и установки) определяется из условия

VI / дЬ )2 + ( / дт )2

•шах.

=1

и при равенстве дисперсий в различных экспериментальных точках берется максимально возможное число точек замера.

Заключение

Итак, в настоящей работе

1) для ньютоновских сред для режима установившихся колебаний построено вискозиметри-ческое уравнение, связывающее вязкость жидкости с измеряемыми в эксперименте параметрами: периодом и декрементом затухания колебаний;

2) обсуждено решение проблемы идентификации реологической принадлежности жидкостей как нелинейно вязких со степенным реологическим законом на примере модели Оствальда-Вейля. В условиях, свойственных вибрационному методу затухающих колебаний, выявлены эффекты, связанные с таким поведением среды;

3) предложен один из возможных способов оценивания неизвестных реологических свойств нелинейно вязких сред по наблюдаемым в эксперименте периоду и декременту затухания колебаний.

Литература

1. Елюхина И.В., Вяткин Г.П., Бескачко В.П. Новые возможности крутильноколебательного метода Швидковского Е.Г.: идентификация реологической принадлежности среды// Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2003. - Вып. 3. - № 6 (22). -С. 108-115.

2. Соловьев А.Н., Каплун А.Б. О вибрационном методе измерения вязкости жидкостей// АН СССР. Теплофизика высоких температур. - 1965. - Т. 3. - № 1. - С. 139-148.

3. Hayat T., Siddiqui A.M., Asghar S. Some simple flows of an Oldroyd-B fluid// Int. J. of Eng. Science, 2001. - № 39. - Р. 135-147.

4. Erdogan M.E. A note on an unsteady flow of a viscous fluid due to an oscillating plane wall// Int. J.Non-linear Mech., 2000. - № 35. - Р. 1-6.

5. Foote J.R., Puri P., Kythe P.K. Some exact solutions of the Stokes problem for an elastico-viscous fluid// Acta Mech., 1987. - № 68. - Р. 223-230.

6. Елюхина И. В. К оценке постоянной и показателя степенного реологического закона методом крутильных колебаний/ Тез. докл. VВсерос. конф. YM-2004. - Новосибирск: ИВТ СО РАН, 2004. (Тр. конф. - http://www.ict.nsc.ru/ws/YM2004/8549/yelyukhina1.html).