Аналитико-численный метод расчета характеристик электрического поля ванны многоэлектродных печей

УДК 537.311.5:621.365.3 ББК 31.292

АН. ИЛЬГАЧЁВ

АНАЛИТИКО-ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ВАННЫ МНОГОЭЛЕКТРОДНЫХ ПЕЧЕЙ

Ключевые слова: метод эквивалентных источников, метод отражений, расчетный режим короткого замыкания ванны, составной источник тока.

Обсуждается аналитико-численный метод решения уравнения Лапласа, описывающего при определенных допущениях электрическое поле ванны шлаковых и многошлаковых многоэлектродных руднотермических печей. Его основу составляет совокупность известных методов: эквивалентных источников тока, отражений, разделения переменных и других методов. Функция, определяющая потенциал электрического поля ванны в расчетном режиме короткого замыкания для одного из электродов, находится как сумма трёх гармонических функций: функции распределения потенциала электрического поля бесконечной в радиальном направлении ванны; функции, учитывающей влияние боковой стенки на электрическое поле ванны с однородной средой; функции, учитывающей неоднородность проводимости среды. Приведена блок-схема алгоритма расчета характеристик электрического поля ванны печи с использованием аналитико-численного метода.

При исследовании электрических процессов в ванне многоэлектродных руднотермических печей (РТП) на микроуровне все большее распространение получает использование математических моделей, которые различаются по форме представления. Аналитическая модель предполагает использование явных зависимостей искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости фазовых координат объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели строятся на основе физических законов либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений с помощью табличных интегралов. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента. В алгоритмической форме соотношения физических величин модели связаны между собой посредством выбранного численного метода решения и записаны в виде алгоритма - последовательности действий вычислительного характера. Ряд моделей сочетает в себе аналитическую и алгоритмическую формы представления, совмещая их достоинства.

Показательным примером последних являются математические модели для исследования электрического поля ванн многоэлектродных печей рези-стивного и смешанного нагрева, построенные на основе аналитико-численно-го метода.

Аналитико-численный метод расчета электрического поля в ванне многоэлектродной печи является дальнейшим развитием аналитического метода расчета характеристик и входных сопротивлений электрического поля ванны электродных многошлаковых и шлаковых печей, разработанного на кафедре АЭТУС Чувашского госуниверситета под руководством и при непосредственном участии профессора Ю.М. Миронова в начале 70-х гг. XX в. [4] и

успешно развивающегося в настоящее время. Его основу составляет совокупность известных методов: эквивалентных источников тока, изображений, разделения переменных и др.

Рассмотрим подробнее особенности реализации аналитико-численного метода для исследования электрического поля ванны многоэлектродной печи с электродами кругового сечения в расчетном режиме ее короткого замыкания, когда питание осуществляется со стороны одного из электродов и подового, а остальные соединены с подовым [2], описываемом уравнением

V2 ФЙ = 0

и граничными условиями:

- потенциалы электродов ф^к з = 1, ф^к к з = 0, к Ф7;

- поверхность расплава с высокой проводимостью (плоскость г = I) эквипотенциальна с потенциалом ф^ з = 0 ;

- на верхней границе слоя ванны с незначительной проводимостью

дп

= 0;

- на боковых ограничивающих ванну поверхностях в зависимости от материала стенки задаются граничные условия I или II рода либо существенно смешанные условия;

- на границе раздела проводящих сред задаются граничные условия IV рода.

Безразмерная вещественная функция ф^ характеризует распределение

потенциала электрического поля в ванне для расчетного режима, когда на неё подаётся единичное напряжение со стороны 7-го и подового электродов, а остальные электроды присоединены к подовому электроду.

Для облегчения получения решения задачи производится отражение ванны и электродной системы относительно верхней границы слабо проводящего слоя. При этом электрическое поле и электроды становятся симметричными (рис. 1). Токи, вытекающие из электродов, увеличиваются вдвое. Таким образом, задача сводится к определению электрического поля, созданного совокупностью т электродов в кусочно-однородной среде между двумя параллельными проводящими плоскостями, которая ограничена в радиальном направлении.

Рис 1. Отражение системы «электрод - ванна» относительно плоскости г = 0

2

г

Функция ф« представляется как сумма трёх гармонических функций

фК2.=^+и«ет+=+,

где Кк(3) - функция распределения потенциала электрического поля бесконечной в радиальном направлении ванны в расчетном режиме короткого замыкания для /-го электрода; и^.ст - функция, учитывающая влияние на электрическое поле ванны с однородной средой боковой стенки; и»3.нк - функция, учитывающая неоднородность проводимости среды в зоне с проводимостью ук. При этом каждой зоне с постоянной удельной проводимостью ук соответствует своя функция и»з.нк.

Для нахождения функции Кк(з) используются методы эквивалентного источника тока, зеркальных изображений (отражений) [3, 4]. В соответствии с методом эквивалентного источника тока действие токов, стекающих с рабочих поверхностей электродов, заменяется действием системы источников тока, подобранных таким образом, чтобы в электрическом поле, созданном этими источниками, имелись эквипотенциальные поверхности, имеющие такие же размеры, форму и расположение, как и рабочие поверхности электродов. Нахождение вида, расположения и распределения токов эквивалентных источников в общем случае является достаточно сложной задачей и обычно осуществляется подбором.

Для электродов круглого сечения в зависимости от формы рабочей поверхности и соотношения геометрических параметров электрода в аналитическом методе хорошие результаты показали источники тока в виде отрезка длиной 2/ с линейной плотностью тока х = /, диска радиуса а с поверхностной

плотностью тока с =-/ [4], а также их комбинации [5]. Для обеспе-

2%а4а2 - г2

чения универсальности метода применительно к различным формам рабочей поверхности электродов круглого сечения в аналитико-численном методе используется составной источник тока, состоящий из N источников в виде отрезков, имеющих кратные размеры и расположенных вдоль оси г, и Ла пар, расположенных на одной оси, параллельно и симметрично относительно плоскости 7 = 0, источников в виде дисков с кратными радиусами. Размеры источников в виде отрезков/к = /• к/ Л/, к = 1, 2, ..., Л/; а максимальные размеры источников в виде дисков, расположенных на концах источников в виде отрезков, определяются так, чтобы поверхность, обтягивающая их, была подобна эквипотенциальной поверхности, соответствующей рабочей поверхности электрода. В частности, если эквипотенциальная поверхность имеет форму эллипсоида враГ к/ I Г

щения, то а^ = 1 —- ,7 = 1, 2, ...,Ла, к = 1, 2, ..., N/-1.

Потенциал электрического поля составного источника тока

Щ/ - N

г (, - ) = £ /о (г, Г, л (г, Г - Л, %)+V (г, г+/, % )],

к=1 к=1 ,;=1

где К/ , Ка , - соответственно, значения токов источника в виде отрезка разме-

к ^

ром 2/ и источника в виде диска радиусом а^, входящего в пару.

На рис. 2 приведены составной источник для Щ = 2, Ща = 2 и эквипотенциальная поверхность, имеющая форму эллипсоида вращения.

Рис. 2. Составной источник тока

Замена действия токов, стекающих с рабочих поверхностей электродов, действием эквивалентных источников тока существенно облегчает получение решения исходной задачи, так как с учётом поля источников, находящихся в кусочно-однородной среде, упрощается выполнение оставшихся граничных условий на поверхностях, имеющих цилиндрические и плоские формы. Это обстоятельство, а также линейность уравнения Лапласа позволяет успешно применять метод зеркальных изображений, разделения переменных и другие известные методы теории потенциала.

Учет влияния проводящих поверхностей г = ) и г = -) производится путем многократных построений зеркальных изображений источников тока относительно них [6] (рис. 3).

Для этого последовательно отражаются исходный источник и полученные источники-отражения относительно указанных плоскостей. Точное решение задачи представляется в виде бесконечного ряда:

- для источника в виде отрезка длиной 2/

V(г,г,/) = X [V (г,г + 4п),/) - V (г,г + (4п + 2)),/)] ;

п=-да

- для источника в виде пары дисков радиуса а, расположенных от плоскости г = 0 на расстоянии /

п=++р

V (г, г, /, а) = £ [ V (г, г + / + 4п), а) - ¥д (г, г + / + (4п + 2)), а) +

п=-да

V (г, г - / + 4п), а)-V (г, г - / + (4п + 2)), а)].

'г 1о г=31

-1о

г=1 1о

г г=-1

//////// ////////// -1о г=-31

г - 1д - 1д г=31

//////// - -1д - -1д //////////

г=1 - 1д

- 1д г г=-1

///////у ////////// - -1д - -1д г=-31

а б

Рис. 3. Зеркальные изображения источников тока в виде отрезка (а) и пары дисков (б) относительно проводящих поверхностей г = ±1

Присутствие проводящих плоскостей г = 1 и г = -1 искажает формы эквипотенциальных поверхностей в электрическом поле, что приводит к изменению связи между размерами поверхности и параметрами источника тока. Общее количество искомых величин составного источника равно И/ + 1 + (И/ - 1)Иа, из которых потенциалы для И/ + (И/ - 1)Иа источников в выражении для потенциала электрического поля системы источников тока зависят линейно. Параметры элементов составного источника определяются решением системы уравнений, составленных для точек, равномерно расположенных на поверхности, принятой за рабочую поверхность электрода: И/ И/ Ыа

V , г, ) = ! /о (, гг, /к ) + Ц К^ (, гг - /к, а^) + V (, гг + /, а,д )] =

к=1 к=2 ]=1

, = 1, 2, ..., М/ -1 +

где Уо(г, г, /к) - потенциал электрического поля источника в виде отрезка длиной 2/к; Уд(г, г - /к, а,) + Уд(г, г + /к, ак]) - потенциал электрического поля пары дисков радиуса ак]-, расположенных симметрично относительно плоскости г = 0 на расстоянии/к от нее.

При этом расчёт электрического поля ванны для электродов различной формы и размеров производится по одним и тем же формулам, меняются лишь параметры (размеры элементов источника и значения их токов) источников тока. Этим достигаются универсальность и гибкость метода.

Ток составного источника равен сумме токов отдельных его элементов и численно соответствует проводимости ванны одиночного электрода:

И/ И/ N

1 э=! КА +Т£Кк = £в.

к=1 к=2 ]=1

Учёт влияния электродов друг на друга производится методом изображений. Для этого многократно решается вспомогательная задача определения источника-изображения, который нужно поместить внутри эквипотенциальной поверхности, соответствующей рабочей поверхности электрода, чтобы скомпенсировать возмущающее воздействие электрического поля внешнего источника тока на этой поверхности. Исследования показывают, что для электродов круглого сечения удовлетворительная компенсация достигается, если источник-изображение представляется в том же виде, как и внешний. Определение его геометрических параметров и токов элементов осуществляется решением система уравнений, составленных для совокупности N + 3 + (И/ - 1)"а точек, расположенных неравномерно на эквипотенциальной поверхности, соответствующей рабочей поверхности электрода. Например, для И/ = 2, Иа = 2 расположение точек на эквипотенциальной поверхности, имеющей форму эллипсоида вращения, показано на рис. 4, а система уравнений имеет вид

Nг-1 N

X К$К ( -а,0,/«)+ X К _УЯ ( -а,0,- / ,а. ) ( -а, 0,/к ,а« )] =

к=1 к=1 .=1

= Хк %У0 (5 - гэ ,0,/(0))+X1 £*00> [V. ( - Гэ ,0,-Л ,а.)+V, (5 - Гэ ,0,/к ,а(0))],

к =1 к=1 $=1

Х^ (йэ,.) [V (йэ, -/,,а«) + (йэ, /.,а«)] =

к=1 $=1 к=1

= £к/^

к =1 ¡=1 к =1

И/ / )--\ ^-1 "а Г / /--\

(Т^А.) + £ к (^^^А-/,а«) +

к=1 4 ' ¡=1 к=1 ^ '

+Кд ( ТГТТа7,0, /¡., а« )] = к/ ККо (^Г^,0, . ) +

МГ-1 " Г "I

+ 1 к ^ТГ2^^2,0,-/¡.,а(0) + Кд (./Г^, 0,/¡.,а ) , .=1 к=1 |- у ' у '-1

X ( + 0, /(х ) + "X1 X [( Гэ +а,0, - /¡., а« ) ( +а, 0, /¡.,. )] =

к =1 .=1 к =1

= Хк/04 (5 + Гэ ,0,//°)) + £1 [Кд (5 + Гэ ,0,-/ ,а. ) + Кд (5 + Гэ ,0,/к ,а )], к=1 ....

"а (Г й л/з

к=1 .=1

V

Гэ

— -а, 2 2

+У,

, /( Л

Гэ йэл/3

— -а,—-, /к, а

^ 2 2 к ,

V у

, (х) /к, а.к

Л И/-1 [(

+ к«

у к=1 .=1 _ V

(

= !к/х к=1 5 V _ п. 2 ,

Гэ

— -а 2 ' 2

^ - / а1» ^

Л

И/-1 Иа

+Х Хк

1=1 к=1

(

V,

5 - П, ИЛ, - ], а° 2 2 1 1

\ ( +V,

\

5 - Г., кЛ, 1, а

2 2 1 ]к

(

Хк /:)v0

2 '

-1 Иа

+ ХХ К

]=1 к=1

, 71 +а

( :) ], а]к

/ ], а'

V.

V

=Х к/04

-I + а2,^, - /1, а(к

Л

Г-Т + 5 2,^, /<0)

2 ^ 2 ]

ч  /

И/-1 Иа

+ ХХ*.

]=1 к=1

V,

2

гэ

+ 52, ^э^3,-/,а

2

,, г

+V, э

+ 52, + /,,]

(

Х К /^

2

0, к. 1 -

а

,/

И/ -1 И

+ ХХк

]=1 к=1

V.

0, к. 1 -

(а^2

.( : ) ], а]к

- /, а'

д

0, к, 1 -

(а^2

/ а

Ч

И/-1 Иа

+ Х ХК

]=1 к=1

= ХК/^

2

5 -а, Л„, 1 -

а

,/

г

V.

5 -а, й„. 1 -

(а^2

Л ^

- а

+К.

5 -а, Л. 1 -

(а^2

а

Нелинейная система уравнений (3) решается методом Ньютона - Рафсо-на [1] и за 4-6 итераций обеспечивается получение решения с относительной точностью е = 10-5 для геометрических параметров, характерных для действующих печей.

Последовательность действий при решении вспомогательных задач учета влияния электродов друг на друга в расчетном режиме короткого замыкания ванны для ,-го электрода следующая.

1. Определяются вид, размеры и значение тока основного источника ,-го электрода для расчетного режима короткого замыкания решением системы уравнений (2). Ток этого источника обозначим Его действие заменяет

действие тока, стекающего с рабочей поверхности электрода в предположении отсутствия влияния других электродов.

2. Многократным решением вспомогательной задачи учета взаимного влияния ,-го электрода и остальных электродов находятся параметры источников первого отражения относительно эквипотенциальных поверхностей, соответствующих оставшимся электродам, а затем их токи I,

к = 1, 2, ..., , - 1, , + 1, ..., т. Таким образом, после первого отражения основного источника ,-го электрода внутри эквипотенциальных поверхностей, соответствующих остальным электродам, будут находиться по одному источнику-изображению.

к=1

Рис. 4. Вспомогательная задача определения параметров источника, компенсирующего возмущающее воздействие электрического поля внешнего источника на поверхности рассматриваемого электрода

3. Каждый источник первого отражения подвергается следующему многократному отражению относительно эквипотенциальных поверхностей, принятых за поверхности электродов. В результате определяются расположение, размеры и токи источников второго отражения 17к~к2, к = 1, 2, ..., 7 - 1, 7 + 1, ..., т,

к2 = 1, 2, ..., к1 - 1, к1 + 1, ..., т. После второго отражения внутри эквипотенциальной поверхности, принятой за поверхность 7-го электрода, будут находиться источники с токами //0), ,..., /г(211 7, 7,..., , т.е. один основной источник и т - 1 источников второго отражения. А внутри каждой из остальных эквипотенциальных поверхностей будет находиться по одному источнику первого отражения и т - 2 источников второго отражения.

4. Каждый источник второго отражения многократно подвергается следующим отражениям, в результате которых определяются расположения, размеры и токи источников третьего отражения 1(31к2к3, к = 1, 2, ..., 7 - 1, 7 + 1, ..., т,

к2 = 1, 2, ., к - 1, к + 1, ., т, к3 = 1, 2, ., к2 - 1, к2 + 1, ., т. После третьего отражения внутри эквипотенциальной поверхности, принятой за поверхность 7-го электрода, будут находиться один основной источник, т - 1 источников второго отражения и (т - 1)(т - 2) источников третьего отражения. А внутри каждой из остальных эквипотенциальных поверхностей, принятых за поверхности электродов, будет находиться один источник первого отраже-

ния, т - 2 источников второго отражения и т - 1 + (т - 2)2 источников третьего отражения.

5. Каждый источник третьего отражения многократно подвергается следующим отражениям, в результате которых определяются расположения, размеры и токи источников четвертого отражения 2кзк4, к = 1, 2, ..., 7 - 1, 7 + 1, ..., т,

к2 = 1, 2, ..., к - 1, к + 1, ..., т, къ = 1, 2, ..., к2 - 1, к2 + 1, ..., т, к = 1, 2, ..., к3 - 1, к3 + 1, ..., т. После четвертого отражения внутри эквипотенциальной поверхности, принятой за поверхность 1-го электрода, будут находиться один основной источник, т - 1 источников второго отражения, (т - 1)(т - 2) источников третьего отражения и (т - 1)2 + (т - 1)(т - 2)2 источников четвертого отражения. А внутри каждой из остальных эквипотенциальных поверхностей, принятых за поверхности электродов, будут находиться один источник первого отражения, т - 2 источников второго отражения, т - 1 + (т - 2)2 источников третьего отражения и (т - 1)2 + (т - 1)(т - 2)2 источников четвертого отражения.

Можно показать, что после нечетного числа / отражений источников тока относительно эквипотенциальных поверхностей, принятых за поверхности электродов, внутри каждой из них будет находиться одинаковое количество источников, равное

' к

Е(т -1) , ч/+1 ,

¿Г__ (т -1) -1,

т т

а после четного числа / отражений внутри поверхности, соответствующей 1-му электроду, будет находиться на один источник больше, чем внутри поверхностей, соответствующих остальным электродам.

Сумма токов источников после / отражений, находящихся внутри эквипотенциальной поверхности, принятой за поверхность 1-го электрода, приближенно будет равна удвоенному току электрода в режиме короткого замыкания ванны для 1-го электрода

2/э1 к.з.  17 + X] /7к17 + Е Е 17к1к27 +  + Е Е ' " Е /1к1к2 ...к,! .

Сумма токов источников после / отражений, находящихся внутри эквипотенциальной поверхности, принятой за поверхность /-го электрода, приближенно будет равна удвоенному току /-го электрода в режиме короткого замыкания ванны для 7-го электрода:

т т т

2/

"" э/к.з. ~ 17/ ^ 1к/ ^ 17к1к2

1 7к1к2] +

+ '

к! =1 к! =1 к2 =1 к Ф7 к1 Ф7к2 Фк

" А<.

ЕЕ"' Е Щг-к-и , / = 1,2,, т.

к1 =1 ^ =1 к,- =1 к1 Ф 7 ^ Ф к1 к?-1 Ф к?-2

Чтобы независимо от числа электродов и режима питания ванны учет влияния составной боковой стенки производить единым подходом, функция

ик.з. ст, учитывающая влияние этой стенки в расчетном режиме короткого замыкания для 7-го электрода, ищется в виде суммы функций и = Хи й.ст ], каж-

]

дая из которых соответствует одному основному источнику или источнику-изображению из системы источников, определяющей расчетный режим короткого замыкания ванны для 7-го электрода.

Функция и] находится из условия, чтобы на боковых стенках ванны,

в которой расположен один источник тока, создающий электрическое поле в неограниченной в радиальном направлении среде ванны, описываемое функцией V« ], соблюдались заданные граничные условия для функции

М С) = V(7 Д + и(7 Д

к.з.] к.з. ] к.з. ст ] *

Так как при существенно смешанных граничных условиях на боковой стенке ванны нахождение функции и^з^ ] с использованием точных методов разделения переменных и конечных интегральных преобразований [3] невозможно, решение ищется приближённым методом, согласно которому и к.з.ст представляется линейной комбинацией функций атп, удовлетворяющей уравнению Лапласа:

и() ^ =ХХе

к.з. ст] / > /

И И2

У

тп«тп ,

т=1 п=1

а коэффициенты определяются из условия, чтобы как можно точнее выполнялись граничные условия в интегральном смысле. В результате нахождение коэффициентов сводится к решению системы линейных уравнений.

Для круглой ванны в качестве функции атп используется решение уравнения Лапласа в системе цилиндрических координат (г, 9, г), полученное методом разделения переменных с учетом свойств функции и к.з. ст:

йтп = Ь (П "2 Г^ С°8 ^П "2г^ С°8 (т9Д где 1т (п—г| - модифицированная функция Бесселя первого порядка.

Для прямоугольной ванны в качестве функции ист, учитывающей

влияние боковой стенки, используются суммы частных решений уравнения Лапласа в системе декартовых координат [3]

и^ =ХХ(А « + в» а11 + С] ас + и] «в ),

к.з. ст 1/1/1 у ст тп ст тп тп ст тп ст тп ст тп ст тп ст тп у'

т=0 п=1

где

«Ст тп (:, г ) = (Чтп: )С°8 ( тУ ^ С°Я ^ г || ,

аВтп (:,У, г) = ^ (Чтп:)т I т^У ||С°яI г

, (ху,г) = эЬ(дтпх)со8[т^уJсое[п2г , (x,y,г) = вЬ(дтпх)ятI т-2у IсоэIп2г

+ п

2 [ 2т 4

9тп = ~2\ [ Т

где Ь - больший полуразмер сечения прямоугольной ванны.

Коэффициенты Д?т тп, ВТ тп, ССТ тп, Д^т тп определяются из условия наилучшего соблюдения граничных условий в интегральном смысле на боковых стенках. Так же как и в случае круглых ванн, нахождение этих коэффициентов в зависимости от вида граничных условий сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений или часть коэффициентов определяется непосредственно.

В качестве функций д, учитывающей неоднородность проводимости среды в зоне с проводимостью ук, используются частные решения уравнения Лапласа, полученные методом разделения переменных в соответствующей системе координат. При этом каждой зоне с постоянной удельной проводимостью ук соответствует своя функция ]к, каждая из которых представляется линейными комбинациями функций ган тп:

ц« =уул

^к.з. н]к / , /

/]к к ^ га

н тп н тп

Для верхней зоны круглой ванны с удельной проводимостью у: функция Ц.з.н имеет вид

ик1л (, е, г ) = Е1бн1тпСЬ

к„

3

у

г Г

сов

(пе).

Для нижней зоны круглой ванны с удельной проводимостью у2 функция Ци. н ] 2 имеет вид

уо

"^к.з. н] 2

^ N [

(г, е, г ) = : ен2тп эЬ

I - г

к

3„

у /

г1

т

Гв

сов

(пе).

В формулах (6) и (7) Е,т - корни уравнения 3п(х) = 0 (в случае проводящей стенки ванны) или 3'п(х) = 0 (в случае непроводящей стенки ванны); гв - радиус ванны; I = кз + кр - суммарная высота углеродистой зоны и зоны расплава; 3п(х) - функция Бесселя первого порядка. Коэффициенты О'^тп и определяются из условия на границе раздела технологических зон.

К числу важных достоинств аналитико-численного метода следует также отнести его пошаговую реализацию, когда задача нахождения координат расположения, размеров и токов решается не для всей системы источников в целом, а последовательно, применительно к отдельным составным источникам. Благодаря этому удается обойти трудность, возникающую при одновременном опреде-

лении параметров всех источников - решение системы уравнений высокого порядка, которая обычно имеет плохо обусловленную матрицу коэффициентов.

На рис. 5 приведена блок-схема алгоритма расчета параметров схем замещений и характеристик электрического поля ванны многоэлектродной печи.

Рис. 5. Блок-схема алгоритма расчета параметров схем замещения и характеристик электрического поля ванны многоэлектродной печи

Как видно из блок-схемы, расчёт параметров схем замещений и характеристик электрического поля ванны многоэлектродной печи при наличии несимметричности электрического режима и асимметрии пространственного расположения электродов выполняется в несколько этапов.

На первом этапе для каждого электрода определяются вид, размеры и токи элементов основного источника с учётом влияния боковой стенки и неоднородности слабо проводящей среды, когда при заданных геометрических параметрах электродов решаются системы трансцендентных уравнений вида (2), полученных приравниванием потенциалов в точках, характеризующих размеры и форму электродов, единичному значению. Затем многократным решением вспомогательной задачи учета взаимного влияния электродов друг на друга определяются параметры источников изображений для различных расчетных режимов короткого замыкания ванны, которые имеют тот же вид, что и основные источники тока. Параметры этих источников находятся решением систем уравнений вида (3).

На втором этапе производится расчет матрицы токов электродов в расчетных режимах короткого замыкания [2] в соответствии с (4) и (5), частичных проводимостей и разностно-потенциальных коэффициентов схем замещений. По заданным значениям токов электродов вычисляются входные сопротивления ванны многоэлектродной печи.

На третьем этапе по заданным значениям токов электродов рассчитываются дифференциальные характеристики электрического поля ванны наложением электрических полей отдельных источников и строятся картины их распределения по объему и плоскостям сечений ванны.

Литература

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высш. шк. 2002. 840 с.

2. Ильгачев А.Н. Частичные проводимости схемы замещения электрического процесса в ванне электродных печей резистивного нагрева // Вестник Чувашского университета. 2015. № 1. С. 73-80.

3. Иоссель Ю.А. Расчет потенциальных полей в энергетике (справочная книга). Л.: Энергия. 1978. 351 с.

4. Иоссель Ю.А., Кочанов Э.С., Струнский М.С. Расчёт электрической емкости. Л.: Энергия, 1981. 288 с.

5. Миронов Ю.М., Тарасов В.А. Аналитический расчёт электрических полей и сопротивлений ванн электрических печей // Известия вузов. Электромеханика. 1975. № 11. С. 11741189.

6. Таврин Н.Ю. Расчет сопротивления ванн печей с электродами различной формы // Исследование специальных вопросов электротермии: межвузов. сб. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 1983. С. 73-79.

7. Шимони К. Теоретическая электротехника. М.: Мир, 1964. 773 с.

ИЛЬГАЧЁВ АНАТОЛИЙ НИКОЛАЕВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных электротехнологических установок и систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (anikil47@mail.ru).

A. ILGACHEV ANALYTICAL NUMERICAL METHOD TO CALCULATE MULTIELECTRODE FURNACES BATH OF ELECTRIC FIELD CHARACTERISTICS

Key words: equivalent source method, reflection method, bath short circuit rated conditions, composite current source.

The article discusses an analytical numerical method of solving Laplace's equation describing the bath electrical field for slag and multi-slag multi-electrode ore-thermal furnaces at certain admissions. It is based on a totality of well-known methods: equivalent current source method, reflection method, variable separation method and other methods. The function that determines the bath electrical field potential in the short circuit rated conditions for one of the electrodes is calculated as a sum of three harmonic functions: the electrical field potential distribution function that is infinite in the bath radial direction; the function taking into account sidewall influence upon the bath electric field with uniform medium; the function taking into account non-uniformity of medium conductance. The algorithm block diagram for calculating the furnace bath electric field characteristics using analytical numerical method is presented.

References

1. Verzhbitskii V.M. Osnovy chislennykh metodov [Bases of numeral methods]. Moscow, Vys-shaya shkola Publ., 2002, 840 p.

2. Ilgachev A.N. Chastichnye provodimosti skhemy zameshcheniya elektricheskogoprotsessa v vanne elektrodnykh pechei rezistivnogo nagreva [Direct admittances of the bath electric process equivalent circuit for the resistance-type heating electrode furnaces]. Vestnik Chuvashskogo universi-teta, 2015, no 1, pp. 73-80.

3. Iossel' Yu.A. Raschetpotentsial'nykh polei v energetike (spravochnaya kniga) [A calculation of the potential fields is in energy]. St. Petersburg, Energy Publ., 1978, 351 p.

4. Iossel' Yu.A., Kochanov E.S., Strunskii M.S. Raschet elektricheskoi emkosti [Calculation of electric capacity]. St. Petersburg, Energy Publ., 1981, 288 p.

5. Mironov Yu.M., Tarasov V.A. Analiticheskii raschet elektricheskikh polei i soprotivlenii vann elektricheskikh pechei [Analytical calculation of the electric fields and resistances of bathsof electric furnaces]. Izvestiya vuzov. Elektromekhanika, 1975, no. 11, pp. 1174-1189.

6. Tavrin N.Yu. Raschet soprotivleniya vann pechei s elektrodami razlichnoi6 formy [Calculation of resistance of baths of furnaces with electrodes of different furnaces]. In: Issledovanie spetsial'nykh voprosov elektrotermii: mezhvuzov. sb. [Research of the special questions of electroheat: collected papers]. Cheboksary, Chuvash State University Publ., 1983, pp. 73-79.

7. Shimoni K. Teoreticheskaya elektrotekhnika [Theoretical electrical engineering]. Moscow, Would Publ., 1964, 773 p.

ILGACHEV ANATOLII - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of Automated Technological Installations and Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.

Ссылка на статью: Ильгачёв А.Н. Аналитико-численный метод расчета характеристик электрического поля ванны многоэлектродных печей // Вестник Чувашского университета. - № 3. -С. 36-49.