Динамические искажения сигналов в многомодовых оптических волокнах

Р.С. Круглов, В.Э. Аппельт, А.С. Задорин

Динамические искажения сигналов в многомодовых оптических волокнах

Предложена математическая модель, описывающая линейные динамические искажения интенсивности оптического сигнала в многомодовых волокнах со ступенчатым профилем показателя преломления, обусловленные дисперсией волноводных мод и межмодовой связью, вызываемой шероховатостями поверхности оптического волокна. Установлены значения элементов матричной импульсной характеристики межмодового рассеяния, положенной в основу модели.

Многомодовые оптические волокна (ОВ), как кварцевые, так и полимерные, широко используются при построении локальных вычислительных сетей, в сетях доступа, а также в качестве шин данных, соединяющих узлы современной электронной аппаратуры. Радиус указанных сетей, как правило, мал, следовательно, длины оптических соединительных линий связи соизмеримы с длиной нормализации модового спектра в ОВ [1]. Математические модели, описывающие трансформацию оптических импульсов в таких условиях, в настоящее время развиты слабо. Это накладывает ограничение на возможности оптимизации быстродействия телекоммуникационных сетей.

В оптически линейных многомодовых ОВ основным механизмом искажений сигнала является эффект межмодовой дисперсии (ММД) [2,3,4], а трудности его моделирования связаны прежде всего с наличием микронерегулярностей на границах раздела в среднем ровной поверхности сердцевины ОВ. Шероховатости сердцевины приводят к формированию многократных связей внутри спектра волноводных мод (ВМ) и радиационным потерям.

Целью настоящей работы является описание математической модели для оценки линейных динамических искажений средней интенсивности оптического сигнала в многомодовых волокнах со ступенчатым профилем показателя преломления, обусловленных межмодовой связью, вызываемой шероховатостями поверхности оптического волокна.

Постановка задачи

Рассмотрим слабонаправляющее Н-модовое оптически линейное ОВ со ступенчатым профилем показателя преломления, без потерь, в направлении оси х которого распространяются ВМ ^Р-типа [2].

где Л\, — функции Бесселя и Неймана порядка \, описывающие профиль ВМ в области сердцевины и оболочки соответственно; в5 — поляризация ВМ.

Радиус сердцевины обозначим как а, а показатели преломления сердцевины и оболочки — как псо и пс\ соответственно (рисунок).

Каждую моду из спектра ВМ будем характеризовать амплитудой нормированным профилем Бп, волновым числом и коэффициентом затухания а^. Среднюю интенсивность всех мод обозначим вектором интенсивностей I. Компоненты I далее называются родительскими волноводными модами (РВМ). Будем считать, что вектор I модулирован динамической зависимостью х(1). Обозначим соответствующий модовый пакет х(!)1 вектором

Введение

х(1). Входной сигнал оптической системы передачи (ОСП) х(1), распространяясь вдоль оси х ОВ, под действием ряда физических механизмов претерпевает линейные искажения, трансформируясь к виду у(х^).

Трансформация модового спектра в оптическом волокне

В регулярном ОВ с идеальной поверхностью сердцевины межмодовая связь исключена, поэтому указанная интерференция ВМ возможна только на фотоприемнике ОСП. В таких условиях решение задач моделирования и снижения линейных ММД-искажений сигнала затруднений не вызывает. В настоящей работе, однако, основной интерес представляет именно влияние на y(z,t) разного рода отклонений от принятой идеализации. Среди таковых ниже рассматриваются микроизгибы ОВ, т.е. оптические неоднородности его поверхности.

Определение элементов матрицы импульсного межмодового рассеяния

Микроскопические неоднородности в среднем ровной поверхности сердцевины могут быть описаны изотропным двумерным стохастическим полем f (r). Радиус корреляции поля обозначим через \c, а среднюю высоту шероховатости — 8.

Для спектра I0 распространяющихся в направлении оси z волноводных мод локальные микроскопические неоднородности поверхности сердцевины эквивалентны пространственным флуктуациям Au эффективного показателя преломления u(r) относительно его среднего уровня пСр [5]:

u

где r — радиус-вектор; пср = (\0 + U\ )/2 Au = (\0 " U\ )/2 .

Для указанных параметров Au и пср стохастическая функция f (r) в (1), характеризуемая автокорреляционной функцией ^(r) или энергетическим спектром G(K), изменяется в пределах +1.

Шероховатости ОВ приводят к распределенной по всему волокну связи между спектром ВМ и непрерывному и многократному энергообмену между составляющими сигнального вектора y(z,t) при его распространении вдоль оси z.

При анализе параметров системы связи практический интерес представляет интенсивность цифрового сигнала, усредненная по его длительности т. При этом для реальных систем с многомодовыми ОВ это время значительно превышает время прохождения сигналом участка длиной \c. Поэтому в соответствии с [6] мы будем рассматривать лишь накапливающиеся изменения интенсивностей y(z,t), усредненные по интервалу A, значительно превышающему \c, но существенно меньшему, чем длина нормализации К-й РВМ, на которой спектр I (z) трансформируется в устойчивый равновесный набор мод, т. е.

V << A << veT <<

где ve — групповая скорость волнового пакета.

Отклик у(Л,г) на выходе элементарного участка А может быть определен как свертка импульсной характеристики с входным сигналом х(г). Однако в случае многомодового волокна импульсная характеристика И(г) является матричной величиной. Далее будем называть ее импульсной матрицей межмодового рассеяния (ИММР). По своему значению ИММР аналогична многомерной импульсной характеристике линейного электронного многополюсника [7]:

у

Очевидно, что размерность И(г) определяется числом ВМ, в которые рассеивается энергия вектора РВМ х(г). Если принимать во внимание только те моды, которые вследствие рассеяния энергии РВМ распространяются в попутном направлении, то размерность указанной матричной импульсной характеристики оказывается равной Наличием обратно рассе-

янных мод можно пренебречь, так как их влияние сказывается только лишь на ближнем конце ОСП.

Для расчета динамики у(г) на выходе участка ОВ с длиной кратной Л, т.е. х = рЛ, воспользуемся свойством оптической линейности ОВ. Последовательно р раз применим к сигналу х(г) соотношение (3), получим [8]

у

И_ _'

р

где символом *...* обозначена р-кратная матричная временная свертка сигнала х(г) с ИММР. Расчет отклика ОВ у(х,г) удобнее проводить в частотной области, где соотношение (4) принимает наиболее простой вид:

У

где У(хД), Х(*), Н(ЛД) — спектральные плотности многомерных динамических зависимостей соответственно у(г), х(г) и И(г).

Импульсная характеристика любого линейного многополюсника представляет собой динамический отклик системы на сигнал, близкий к 8-функции. Учитывая это определение, аппроксимируем соответствующие составляющие вектора РВМ я\(г) сигналами прямоугольной формы ^ Rect(г/т^) с минимально возможной длительностью т\, отвечающей условию (2) и удовлетворяющей известному свойству 8-функции

( г ^

<Аг = 1.

Отсюда находим амплитуду\-й РВМ ^ = 1Л\ и ее динамическую аппроксимацию

8,

Для отыскания компонентов матрицы и(г) заметим, что в соответствии с (3) ее недиагональные элементы (\ фз) описывают динамику мод, порождаемых родительским сигналом (6) на участке Л ОВ. В дальнейшем, следуя [6], эти моды будем называть модами-потомками (ПВМ). Диагональные элементы матрицы описывают поведение РВМ. При этом в соответствии с постановкой задачи каждая ВМ характеризуется двумя индексами, которые определяют число вариаций поля по угловой и радиальной координатам. В данной связи будет удобным произвести упорядочивание спектра ВМ в соответствии с величиной продольного волнового вектора

В силу условия (2) при расчете интенсивностей ПВМ можно пренебречь истощением энергии РВМ на малом отрезке ОВ Л. В указанных условиях каждая з-я родительская мода, очевидно, является непрерывным и постоянным источником излучения для группы из N-1 \-х ПВМ на всем элементарном отрезке. Следовательно, динамику любой из них (\-й) можно описать импульсами прямоугольной формы:

\л-у

где т^ — относительная временная задержка между \-й ПВМ и^-й РВМ, вычисляемая через разность групповых скоростей и указанных мод:

Ту = Л

пе\ — групповой показатель преломления \-й ВМ; с — скорость света. Коэффициент пропорциональности "Пу в (8) может быть найден по какому-либо известному частному решению для

h(t). В [6], например, показано, что для стационарного сигнала x(t) = Const, имеет место соотношение

y

где M — матрица межмодового рассеяния (ММР).

Задача отыскания элементов ММР для оптического волокна с шероховатой поверхностью сердцевины осложняется тем обстоятельством, что для обеспечения эффективного энергообмена между ВМ не достаточно выполнения условий синхронизма только лишь для продольных компонентов волновых векторов взаимодействующих мод. Каждая ВМ имеет дополнительную степень свободы по угловой координате ф, которая выражается в виде зависимости cos (\ф), где параметр \ определяет число вариаций поля по угловой координате. Взаимодействие, например, ВМ \_Р12 и \_Р64 будет обеспечиваться гармоникой Де^5ф дискретного в азимутальном направлении энергетического спектра шероховатости ОВ.

С учетом указанных выше замечаний выражения, характеризующие элементы ММР, могут быть записаны в виде

-4-2„ -2а„А

AVк e „2 „ , ч Ч™ = ZTTY1?-^ ZL^mn (AVv) пРи m *

64

Г AV4K2e-2amA ^ S2 A2

4mm = 1 + -- У - Jm^a

mm 64 (V +Om )У OV+O)"^ V

при m = n,

где &тп (ак) — двумерный дискретный энергетический спектр шероховатости; — коэффициент связи между т-й и п-й модами:

^ = jAer (г )E*(r)En (r)rdr

Аег = n • An — вариация диэлектрической проницаемости среды в поле пространственной гармоники AV = V - V^ энергетического спектра шероховатостей Gmn (AV), обеспечивающей синхронизм между волноводными модами.

Коэффициент затухания, входящий в (10), определяет радиационные потери ВМ, обусловленные наличием шероховатости поверхности сердцевины. При определении парциального коэффициента затухания необходимо каждую ВМ _Р -типа представить в круговом базисе суммой двух циркулярно поляризованных волн [3]. При этом поляризация излучательных мод (ИМ) е окажется в общем случае эллиптической с отношением осей эллипса поляризации £. Изменение типа поляризации ИМ происходит вследствие того, что плоскости поляризации ВМ и ИМ могут быть наклонены друг относительно друга под углом и. Это приводит к тому, что коэффициенты связи для нормальной и тангенциальной составляющих полей взаимодействующих мод будут различаться на сомножитель с = cos и :

Or I = •

2KvA

К

2к 4 Лт

Ч! к> )

Г

W

а

гйгйф

х Re

I wr2

а+S Кт| | -j [AKT, + (2m+1) K| г2

Km

r2e

wr.

Km

jI АКТ -(2m+1)^

dr-|dr2

kVtt1

2V0r1

х

*

а

e

2

n_\ sin и +

Тогда, принимая во внимание дискретный характер энергетического спектра шероховатости, выражение для коэффициента радиационных потерь т-й ВМ может быть записано в следующем виде:

= ЕК ß)

д^

г+е„

* o

до

do +

Е I «*М>

dKo

до

do ,

где К0 — составляющая спектра С (К), удовлетворяющая условию синхронизации; о, Р — углы скольжения ИМ и ВМ относительно нормали к ОВ; \ — индекс суммирования по гармоникам дискретного энергетического спектра шероховатостей.

Последние формулы определяют поле статического сигнала на выходе элементарного участка Л. С другой стороны, в соответствии с (3) отклик ОВ на тот же самый сигнал имеет вид

У* = Лу I Rect

( t ^

jt = л* j .

Сопоставляя полученное соотношение с (9), находим:

П = М /т-

1у у у

Таким образом, искомое выражение для матрицы ИММР и(г) имеет вид:

м„

Rect

tm

=

м

tm

Rect

tm

-t ^

~_Sn

Tmn

Mmm8 С1 -Tm ) пРи m = n

при m Ф n.

Соотношение (14) вместе с (3),(4),(10) и (12) формализует эффект ММД и имеет прозрачный физический смысл. На элементарном участке Л многомодового ОВ любая из N родительских мод испытывает задержку тт = Л/мет и формирует N—1 мод потомков. При этом в силу межмодовой задержки перекачка энергии от РВМ к ПВМ оказывается рассредоточенной во временном интервале т^, что в полном соответствии с (14) указывает на динамическое уши-рение формы ПВМ относительно 8-импульса РВМ. ПВМ описываются прямоугольными импульсами, которые могут как отставать, так и опережать родительский 8-импульс. Представленная модель адекватно описывает ММД-искажения оптического сигнала лишь при малых длинах ОВ Л и слабом рассеянии энергии РВМ. При больших длинах ОВ трансформация импульса описывается многократной матричной сверткой (4) вектора РВМ с ИММР, которая является физической моделью эффекта многократного рассеяния и интенсивного перемешивания мод в ОВ. В ходе этого процесса вектор РВМ х(г) испытывает как радиационное затухание, так и сильное взаимодействие с ПВМ [6].

Работа выполнена при финансовой поддержке INTAS (Ref. N 04-83-3239).

* к

е

2

т

Литература

1. Гребнев А.К. Оптоэлектронные элементы и устройства / А.К. Гребнев, В.Н. Гридин, В.П. Дмитриев — М. : Радио и связь, 1998.

2. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы / Х.Г. Унгер ; пер. с англ. под ред. В.В. Шевченко. - М. : Мир, 1980. - 656 с.

3. Маркузе Д. Оптические волноводы / Д. Маркузе. — М. : Мир, 1974. — 576.

4. Polymer Optica! Fibers for Data Communication [Текст] / W. Daum [et al.]. — SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2002.

5. Тамир Т. Волноводная оптоэлектроника / Т. Тамир. — М. : Мир, 1991. — 574 с.

6. Аппельт В.Э. Трансформация поля в многомодовом оптическом волноводе со случайными нерегулярностями поверхности пленки / В.Э. Аппельт, А.С. Задорин, Р.С. Круглов // Оптика и спектроскопия. — 2005. — Т. 99, № 4. — С. 645—653.