Начальная стадия равновесного деформирования упругого стержня

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 161-168

Механика

УДК 539.3

Начальная стадия равновесного деформирования упругого стержня *

Е. Д. Комолова, А. А. Маркин

Аннотация. Формулируются условия равновесного деформирования упругого гибкого стержня, защемленного на одном торце, под действием силы, прикладываемой к другому торцу. Известные условия равновесия дополняются уравнением относительно «скоростей» углов поворота сечений и внешней силы. Процесс считается равновесным, если оба уравнения удовлетворяются. Получена формула, связывающая «скорость» боковой составляющей силы и значение осевой составляющей. Из данной формулы следуют условия устойчивого и неустойчивого относительно побочного воздействия развития процесса в начальный момент. Независимо получены условия бифуркации распределений скоростей. При этом спектры критических осевых сил, соответствующие потере устойчивости и бифуркации, совпадают. Из анализа уравнений в «скоростях» следует, что равновесные состояния при действии на торец стержня «следящей» силы не существуют.

Ключевые слова: изгиб, устойчивость, упругие деформации, следящая нагрузка.

Рассматривается начальная стадия процесса равновесного деформирования упругого стержня. Один торец стержня полагаем защемленным, а другой подвергается воздействию внешней силы. В отличии от известной классической постановки данной задачи, приведенной в многочисленных публикациях, начиная с работы Эйлера [1], уравнение нелинейного изгиба [2] дополняется уравнением в «скоростях». Под «скоростями» углов поворота и внешней силы понимаются их производные по монотонно возрастающему параметру. Процесс нагружения считаем равновесным, если наряду с уравнением изгиба относительно перемещений удовлетворяется и уравнение в «скоростях». Рассмотрены два случая внешнего нагружения. В первом исследуется связь между скоростями проекций внешней силы на оси неподвижной, декартовой, системы координат. Во втором случае торец

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 10-01-97500, № 10-01-97501-р_центр_а) и АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект № 2.1.1/10918).

подвергается воздействию следящей силы. В том и другом случаях стержень в начальном состоянии считается прямолинейным, нагруженным вдоль оси. Получено выражение, определяющее «скорость» боковой составляющей внешней силы через начальное значение осевой составляющей. При этом в качестве монотонного параметра принимается угол поворота торцевого сечения. Максимальные значения «скорости» боковой составляющей достигаются при нулевой осевой нагрузке. Нулевому значению «скорости» боковой составляющей соответствует Эйлеров спектр осевых нагрузок, что можно трактовать как неустойчивость прямолинейной формы относительно воздействия побочной силой. Отметим, что «скорость» осевой составляющей силы может быть произвольной в начальный момент.

Если в уравнении в «скоростях» положить скорость боковой составляющей априори равной нулю, то, удовлетворяя граничным условиям, приходим к классической задаче о бифуркации форм равновесия стержня со свободным торцом, нагруженным осевой силой. Спектр осевых сил, соответствующих формам равновесия стержня отличным от прямолинейных, совпадает в упругом стержне с осевыми силами, приводящими к потере устойчивости относительно побочных воздействий. Однако следует подчеркнуть, что речь идет о различных постановках задачи. В первом случае — об условиях реализации процесса равновесного деформирования. Во втором случае — об условиях существования распределений «скоростей» углов поворотов сечений стержня отличных от нулевых (прямолинейная форма) при неизменных значениях осевой силы и отсутствии боковой составляющей. Таким образом, следует различать задачу устойчивости и бифуркации равновесного деформирования стержня. Установлено существование равновесных распределений скоростей поворотов сечений при соответствующих значениях «скоростей» боковой составляющей силы.

Показано, что в случае действия следящей силы решение уравнений равновесия в «скоростях» не существует. В данном случае возможна только прямолинейная форма равновесия, любые отклонения от которой приводят стержень в движение. Рассматривая слегка искривленный стержень (критерий начальных несовершенств) А.Пфлюгер [4] и В.И.Феодосьев [4] сделали вывод, что стержень, сжатый «следящей» силой, не может потерять устойчивость. Однако из анализа «скоростей» следует, что в этом случае не может идти речь о переходе к побочным равновесным состояниям, так как их просто не существует. Здесь можно исследовать устойчивость движения стержня при различных величинах «следящей» нагрузки. Такого рода задачи ставились и решались в монографии В.В.Болотина [5].

1. Начальная стадия нагружения «мертвой» силой. Рассмотрим процесс деформирования упругого стержня. На один из торцов стержня действует сила, другой конец остается жестко закрепленным. При этом деформацией срединной линии пренебрегаем [6].

Закон изменения угла поворота сечения р будем определять из дифференциального уравнения [1]

= Р-1 8т

где Р\, Р2 — компоненты силы в неподвижной системе координат с базисом в!, е2; О — изгибная жесткость; р — угол поворота сечения.

В неподвижной системе координат компоненты силы Р с учетом отрицательного направления осевой составляющей можно записать следующим образом:

Р = -Рр + Р2;ё2,

где Ре, Р2 — длины проекций силы Р в неподвижной системе координат.

Подставляем выражение для компонент силы

О ^ = -Р1 йш

С целью исследования условий равновесного течения процесса деформации продифференцируем выражение (1.3) по параметру £

^2 * ^ ^

О1 —2 = -А 8т

Так как нас интересует начальная стадия деформации, запишем уравнение (1.4) в начальный момент времени. При этом определим начальные условия — угол поворота сечения р в начальный момент равен нулю, а производная от этого угла отлична от нуля

Р |4=0 = Р0.

Следовательно, из уравнения (1.4) с учетом условий (1.5) получим

^Р 0 , и2.: ]Ь2

где к2 = •

Уравнение (1.1) в начальный момент времени примет вид

12р Р2

(1x2 '

В силу начального условия (1.5) левая часть уравнения (1.7) обращается в ноль, следовательно, боковая составляющая силы Р2 в начальный момент

нулевая. В тот же момент осевая составляющая силы Р\ может принимать произвольные значения. В результате составляющие внешней силы в начальный момент удовлетворяют условиям

Р2Іі=с = 0, Рі|і=о = -к2Б1.

Примем в качестве параметра Ь угол поворота сечения рк на торце стержня. Таким образом, уравнение (1.6) перепишется в виде:

12 + к21^0

1x2 1рк

1 1Р2 Ж 1рк

Уравнение (1.9) представляет собой неоднородное дифференциальное

Луо

уравнение второго порядка относительно . Общее решение в данном

случае запишется в виде: 1ро

= С1 8Іп(кх1) + С2 ео8(кх1) —

1 1Р2

йрк V ^ к2В1 (1рк

Константы С и С2 определяются из граничных условий — стержень жестко закреплен при х = 0, то есть угол поворота сечения р равен нулю, момент внутренних сил при Ж1 = Ьо равен нулю. Таким образом,

ро|«=о = 0, Ж іВ

0,

х\=Ьо

дифференцируем граничные условия по параметру рк-

1ро

1рк

0,

х\=0

1 1р0 1х1 1рк

0.

х\=Ьо

Подставляя начальные условия (1.11) в решение (1.10), получим постоянные Сі и С2:

1 1Р2

С2 к2Ж1 1рк

Сі = С2 tg(kLо) =

1 1Р2

tg(kLо).

к201 йрк

Теперь запишем общее решение для уравнения (1.10), выражения (1.12) для найденных констант

= у2~" ^ (tg(kЬо) 81п(кж1) + С08(кж1) - 1). йрк к201 йрк

Из уравнения (1.13) с учетом условия

йро

подставляя

1рк

хі=Ь0

получим

1Р2 к2Ж1 еов

1рк 1 — еов

Правая часть выражения (1.15) представляет собой сопротивление (жесткость) стержня воздействию компоненты силы Р2. При этом отражается влияние осевой сжимающей силы Р1 через соотношение

Из зависимости (1.15) видно, что величина сжимающей компоненты силы Р1 существенно влияет на сопротивление воздействия боковой силы. В частности, если Р1 |^=о = 0, то жесткость максимальна и определяется из условия

то сопротивление воздействию боковой силы отсутствует, то есть исходное состояние сжатия является неустойчивым. Из условия (1.17) следует спектр значений сжимающих сил, совпадающих с критическими Эйлеровыми значениями [7],

Зависимость (1.15) не дает ответа на вопрос, существуют ли наряду с прямолинейной другие формы равновесия стержня, бесконечно близкие к прямолинейной и реализуемые при одинаковых с прямолинейной формой значениях осевой силы, приложенной к свободному торцу. Данная задача является классической задачей Эйлера о неединственности (бифуркации) форм равновесия упругого стержня. Для ее решения следует принять «скорость» боковой составляющей силы в уравнении (1.6) равной нулю. В результате, удовлетворяя граничным условиям (1.11), приходим к задаче на собственные значения

Р1 = к2Жх.

ІІШ

к^о

(кЬо)2

Если выполняется условие

еоз(кЬо) = 0,

Ж1п2п

С2 = 0,

| С1 еоз(кЬо) = 0.

Решением задачи (1.19) является тот же самый спектр (1.18) осевых сжимающих сил. Однако в данном случае эти силы следует трактовать как бифуркационные, определяющие неединственность исходного прямолинейного состояния равновесия стержня под действием неизменно ориентированной относительно неподвижных осей координат сжимающей силы. Таким образом, условие устойчивости равновесия сжатого стержня относительно боковых воздействий и условие бифуркации состояния равновесия в данном случае совпадают.

Пусть задан закон внешнего нагружения Р1Р2) такой, что в начальный момент осевая сила нулевая Р1|р2=о = 0. Скорость изменения осевой нагрузки представим в виде:

йР1 (1Р1 (1Р2

йрк 1Р2 йрк'

В начальный момент, когда йрк = 0, из (1.20) получим -^

фк=о

= т йРэ

= т Лук ,

где т = . Уравнение (1.6) в этом случае принимает вид —20 = - . Его

решение, удовлетворяющее граничным условиям (1.11), запишем в виде:

ро =

На свободном торце, полагая в (1.21) щ = Ьо, получаем зависимость -й = 2ВЬ

= 2^1^. Таким образом, начальная жесткость не зависит от «скорости»

осевой направляющей -^ в начальный момент.

2. Начальная стадия нагружения «следящей» силой. Пусть процесс нагружения свободного торца стержня реализуется силой,

к

направленной противоположно вектору ту — касательному к срединной линии в точке Ж1 = Ьо:

Р = -РТ1.

В этом случае проекции силы на оси неподвижной системы координат

имеют вид:

Р1 = -Р С0в

В отличие от предыдущего раздела компоненты Р1 и Р2 являются

неопределенными при отклонении стержня от исходной прямолинейной формы, так как зависят от неизвестного наперед угла поворота рк. Уравнение равновесия (1.1) при нагрузке (2.2) принимает вид:

Дифференцируя (2.3) по временному параметру рк, получим условие равновесного протекания процесса нагружения

2

В1= Р ^п

В начальный момент, когда рк = 0, р(х1) = 0, уравнение (2.4) примет вид:

+ к2ро = к2.

Решение уравнения (2.5) имеет вид:

ро = С1 в1п

Попытаемся удовлетворить граничным условиям (1.11). В результате получаем «следящее» распределение «скорости» поворота

ро = <рро = - ^

ар к

При этом на свободном торце выражение

1 = - ^

Так как из (2.8) следует 8т2(кЬо) + С0Э2(кЬо) = 0, что невозможно, то решение в виде (2.7) не существует. Это означает отсутствие равновесных состояний стержня, близких к прямолинейным под действием следящей нагрузки. Это вывод не зависит от начальной величины силы РТ и начальной скорости ее изменения. Сколь угодно малые отклонения от прямолинейной формы в этом случае приводят стержень в динамическое движение.

Таким образом, скоростная форма представления условия равновесного деформирования стержня позволяет рассмотреть начальную стадию процесса при различных законах воздействия силой, прикладываемой к свободному торцу.

Список литературы

1. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. М.: ГТТИ, 1934. 600 с.

2. Попов Е.П. Теория и расчет гибких упругих стержней. М: Наука, 1986. 296 с.

3. Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. Л.: Наука, 1967.

4. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Физматгиз, 1961. 340 с.

5. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости. Учебн. пособие. Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.

6. Николаи Е.Л. Труды по механике. М.: Гостехиздат, 1955.

Комолова Елена Дмитриевна (ekomolova@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Маркин Алексей Александрович (markin@tsu.tula.ru), д.ф.-м.н., профессор, заведующий кафедрой, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Initial stage of the equilibrium deformation of the elastic bar

E. D. Komolova, A. A. Markin

Abstract. The equilibrium deforming conditions of the elastic bar jammed on a butt under the influence of a force applied on other butt are defined. The equilibrium conditions are supplemented with equation with angle’s of section turn «speed» and external force. The process is equilibrium if both equations are satisfied. The formula linking force side component’s «speed» and axial component’s value are received. The conditions of stable equilibrium or unstable equilibrium relatively side forse while process progress in the initial moment follows from this formula. The conditions of speed distribution’s bifurcation concluded independently. Spectrums of critical axial forces corresponding loss of steadiness and bifurcation are aqual. Also it is proved that equilibrium states by action of follower force on a bar’s butt don’t exist.

Keywords: elastic bending, steadiness, elastic deformations, follower force.

Komolova Elena (ekomolova@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Markin Alexey (markin@tsu.tula.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 23.06.2011