Несущая способность стержневых элементов конструкций, усиливаемых в напряженном состоянии

М. Н. Серазутдинов, Х. А. Абрагим НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, УСИЛИВАЕМЫХ В НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Ключевые слова: усиление конструкции, упруго-пластические деформации, несущая способность конструкции, вариационный метод, стержневая система.

Излагаются результаты исследований по восстановлению и повышению несущей способности нагруженных стержневых конструкций, усиливаемых без полного вывода их из эксплуатации. Описывается разработанный авторами вариационный метод расчета напряженно-деформированного состояния стержневых элементов конструкций, усиливаемых в напряженном состоянии. Приводятся результаты, позволяющие оценить степень усиления и несущую способность элементов конструкции при упруго-пластических деформациях.

Key words: strengthening of structures, elasto-plastic deformation, carrying-load capacity,

variation method, Beam system.

The getting researching results are presented on the recovering and improvement the carrying-load capacity of loaded structures, which are strengthening without completely outlet of their exploitation. The developed way by authors is described the variation method solution of stress-strain state of beam elements structure, strengthening under stress state. The getting results allow to estimate the strengthening degree and the carrying -load capacity of elements structure with the elasto-plastic deformations.

В ряде случаев повышение несущей способности эксплуатируемого сооружения производится, за счет усиления отдельных её частей способом увеличения поперечных размеров стержневых элементов конструкции. При этом для изменения размеров элементов, конструкция частично разгружается, и после проведения необходимых работ - нагружается дополнительными нагрузками. Особенность такого метода состоит в том, что усиление выполняется без полного вывода сооружения из напряженного состояния. Для анализа результатов усиления конструкции необходимо рассчитывать напряженно-деформированного состояние исследуемого объекта с учетом особенностей, при которых проводятся работы.

Результаты исследований вопросов расчета усиливаемых нагруженных конструкций представлены в ряде научных публикаций [1 - 4].

В общей постановке, различные вопросы усиления и деформирования элементов конструкций рассмотрены в монографиях [1,4]. Способы расчета на устойчивость усиливаемых сжатых железобетонных конструкций описаны в [2]. Монография [3] посвящена методам определения эффективности усиления статически определимых нагруженных конструкций портовых сооружений.

В указанных публикациях приведены методики расчета изгибаемых элементов конструкций при упругих деформациях. Вопросы учета пластических деформаций, при опре-

делении несущей способности изгибаемых элементов, излагаются в этих работах в виде общей постановки задачи.

В данной работе описывается вариационный метод расчета напряженно-деформированного состояния усиливаемых, нагруженных стержневых конструкций, с учетом возникновения пластических деформаций. Предполагается, что один или несколько элементов конструкции могут иметь повреждения, которые привели к уменьшению размеров их поперечных сечений. Рассмотрен вариант усиления способом увеличения размеров поперечного сечения стержневых элементов. При таком подходе можно изменять размеры сечения как поврежденного, так и неповрежденного стержня. Если стержневая система является статически неопределимой, конструкцию можно усилить, увеличивая размеры неповрежденного сечения. Отметим, что в ряде случаев, когда конструкция повреждена или имеет дефект в виде локального несовершенства формы важно учитывать влияние пластических деформаций [5].

Для иллюстрации особенностей возникающего напряженного состояния, приведем краткий качественный анализ распределения нормального напряжения ах в поперечном сечении усиленного участка стержня. В качестве примера к излагаемому вопросу, на рис. 1а показана схема участка усиленного стержня для случая, когда высота исходного поперечного сечения Лр увеличена на величину АЛ и стала равной Л . В результате, стержень,

по высоте будет состоять из двух областей - I и II (рис. 1а).

Усиление проводится без полной разгрузки конструкции, при наличии в исходном поперечном сечении (область I) нормальных напряжений ар (рис. 1б). Затем конструкция

догружается - возникают дополнительные напряжения Аа. Эпюра распределения Аа по высоте сечения стержня показана на рис. 1 в.

Рис. 1 - Распределение напряжения ах в поперечном сечении стержня

В результате наложения Аа на а р, образуются результирующие (суммарные) нормальные напряжения.

Если возникающие деформации будут упругими, то Аа и ар складываются. Эпюра

суммарных напряжений для такого случая показана на рис. 1г.

В случае, когда в результате наложения Аа на ар, возникают пластические деформации, эпюра суммарных напряжений будет иной. Один из вариантов эпюры напряжений при упруго-пластическом деформировании показан на рис. 1 д. В нижней части сечения

образовались пластические деформации, поэтому при определении результирующих напряжений нельзя применить принцип независимости действия сил. Возникающие, после дополнительного нагружения конструкции, значения напряжений не являются арифметической суммой Аа и ар . При возникновении пластических деформаций, произойдет перераспределение напряжений. Неизвестными величинами будут значения напряжений в точках А и В сечения стержня и длина участка а, на котором возникают пластические деформации (рис. 1), которые находятся при решении задачи.

Указанные особенности распределения напряжений описаны для случая, когда при усилении конструкции не возникает дополнительных напряжений. Если таковые возникают, то их также нужно учитывать.

В статье представлены результаты, которые является продолжением и развитием следований, описанных в работах [6,7]. В отличие от [6], здесь предложено определять напряженно-деформированного состояния стержневых систем универсальным вариационным методом. В отличие от [7], далее описывается метод расчета напряженно-деформированного состояния стержней с учетом пластических свойств материала. Метод, позволяет рассчитывать сложные (в том числе криволинейные и естественно закрученные) стержневые системы на основе соотношений для прямолинейного стержня.

При использовании вариационного метода используются основные допущения и положения теории стержней с учетом сдвигов поперечных сечений [8]. Рассмотрим стержневые системы, при деформировании которых превалирующими (основными) являются нормальные напряжения. Полагаем, что касательные напряжения т ху, т хт и угловые деформации у ху, у хт связаны законом Гука, а зависимость между нормальными напряжениями ах и линейными деформациями вх, описывается диаграммой Прандтля.

Используем вариационное уравнение Лагранжа:

ъиупр + Ъипл -ЪW = 0,

где Ъиупр - вариация потенциальной энергии деформации стержневой системы в зоне упругих деформаций; Ъипл - вариация потенциальной энергии в зоне пластических деформаций; ЪW - вариация работы внешних сил

При решении задачи, вводится глобальная ортогональная система координат 0х у~ ,

вектор перемещения точек продольной оси стержня и = {ц, и2, и3}т и вектор углов поворота поперечных сечений ф = {, ф2, ф3 }т . Компоненты этих векторов определены в системе координат 0хут . В условие (1) входят перемещения, углы поворота поперечных сечений и деформации стержня. Для записи этого условия, в каждой точке, где это необходимо, перемещения и1, и2, и3 , углы поворота ф1, ф2, ф3 и деформации вычисляются в локальной ортогональной системе координат 0хут, с осью 0х , направленной по касательной к продольной оси стержня [7]. При таком способе вычислений

Ъиупр = I Я{( Ев х +а р )Ъв х +(еу ху +т Рру )ЪУ ху + (СУ хт +т « )ъУ хт } М ,

I А

'упр ^упр

Ъипл = I Я{аГ Ъвх +

/пл Апл

8 ^ + ц2Ъи2 + цъЪиъ )<С1 + X (Ъ, Щ (х,) + Р2! Ъи2 (х,) + 8ц (х,)) +

1с '

+ X (1кф1к (хк ) + т2кФ2к (хк ) + т3кф3к (хк )) к

Здесь

си, Сф3 Сф2 би 2 ф, би 3 ^ф,

1 - У—513 + 7—^, уху =-3-ф3 - 7 —-1, ух7 =-----------------3 + ф2 + у—-1;

х бх бх бх ху бх 3 х7 Сх 2 Сх

ар, тРу, тР7 - нормальные и касательные напряжения, возникающие при ремонте; Iупр, 1пл -длины участков стержневой системы, в которых возникают, соответственно, упругие и упругопластические деформации; Аупр, Апл - площади в поперечных сечениях балки, в которых возникают, соответственно, упругие и пластические деформации; 1с - длина стержней; 1пл - длина зоны пластических деформаций; Аупр - площадь зоны упругих деформаций в сечении балки; Апл - площадь зоны пластических деформаций; ат - предел текучести материала; 9, Ц2, 93- интенсивность распределенных сил; Г1(-, Г2/, Г3/ - сосредото-

ченные силы; т1к т2к, т3к - сосредоточенные моменты.

Стержневая система разбивается на N участков. На участке с номером / компоненты векторов и и ф представляются в следующем виде:

~ - М / ч м / ч

~к = ~к = X Скт*тХ) , фк = фк = X О'кт *т

m=1

где f (t) = 1 -1, f2 (t) = t, fm (t) = (l -1)tm 2, m = 3, M; Ckm, Dkm - неизвестные постоянные; t = S/lj (о < t < l); S - длина продольной оси стержня, отсчитываемая, от начала участка; lj - длина участка стержня; k = 1, 2, 3 ; І = 1, N .

Перемещения и углы поворота в локальной и глобальной системах координат связаны соотношениями

uj =I njkuk , Ф j = I VPk , J = I2, ^

k=l k=l

где n jk - направляющие косинусы локальной системы координат.

Удовлетворяя кинематическим граничным условиям, условия стыковки участков стержней, после подстановки (2) - (4) в условие (l) и интегрирования, получим систему алгебраических уравнений

[K ]{C)=

где [K ]- матрица жесткости стержневой конструкции; (C) - вектор неизвестных постоянных; (F) - вектор внешних нагрузок. Решая эту систему уравнений, находим неизвестные

коэффициенты Ckm , D'km .

Отметим, что при вычислении слагаемых, входящих в условие (l), интегрирование по длине стержней проводится численно.

Задача решается в два этапа. На первом этапе находятся напряжения и деформации, действующие во время усиления конструкции. На втором этапе, с учетом имеющегося наряженного состояния, определяются напряжения и деформации, возникающие после усиления конструкции.

Положение областей пластических деформаций в стержнях заранее неизвестно. Для нахождения этих областей используется итерационный метод. На первой итерации дефор-

5l5

мации считаются упругими ( Апл = 0 ), а на последующих итерациях проверяется выполнение условия

ар + Аах <ат .

Здесь ар , Аах - напряжения, действующие во время усиления и возникающие после усиления конструкции. Если это условие (6) выполняется, то Апл = 0, если не выполняется

- нужно находить размеры площади сечения стержня Апл, в которой ар + Аах = аТ . На первой итерации полагается Апл = А1 = 0, а на последующих, при определении А^1, используется условие

N

здесь N^п+1), М(+1) - значения сил и моментов, определенные из решения задачи на П+1 вой итерации с номером п+1, в предположении, что Ауп = А^, Апл = А^; АNуп, АМуп -

продольные силы и изгибающее моменты, возникающие в области упругих деформаций сечения стержня после усиления конструкции; АNпл, АМпл - силы и моменты, возникающие в области пластических деформаций сечения. Так, для стержневой системы, находящейся в плоском напряженном состоянии, при вычислении указанных величин используются формулы:

АМуп = | Аах убА АМпл = КубА

д

Ауп Апл

А^1уп = | ДахШпл = |сгтбА.

А^+Ч) А^1)

Ауп Апл

Итерационный процесс заканчивается при выполнении условия (Апл - А^л1 /А(л+1>)' 100% < в, где в - заданная величина погрешности.

Отметим, что при вычислении слагаемых, входящих в условие (1), интегрирование по длине продольных осей стержней проводится численно, поэтому выполнение условия

(6) проверяется в каждой точке интегрирования. При нахождении А^1, кроме равенств

(7), в соответствии с гипотезой плоских сечений теории стержней, используются следующие условия:

1. Напряжения ар и Аах в поперечных сечениях стержня, в зоне упругих деформаций изменяются по линейному закону.

2. Линия, отделяющая в поперечном сечении стержня области упругих пластических деформаций, параллельна нулевой линии для нормального напряжения ах .

Для определения площади пластических деформаций А^1 получаются аналитические выражения, которые из-за их сложного вида здесь не приводятся. При вычислении размеров А(+1\ с использованием этих аналитических выражений, применяется метод Ньютона.

На основе изложенной методики составлена компьютерная программа. Достоверность и высокая точность расчетов по этой программе установлена на основе сравнения полученных результатов с данными решения тестовых примеров и задач решения, которых получены другими методами.

На рис. 2а оказана схема конструкции в виде рамы, которая состоит из пяти стержней. Стержень № 1 имеет сплошное по длине повреждение. Усиление произведено спосо-

бом увеличения сечения поврежденной стойки. Расчеты проводились при разных уровнях относительных эксплуатационных напряжений V. Элементы стержневой системы имеют прямоугольную форму поперечного сечения со следующими размерами сторон:

- В неповрежденном состоянии

Ь1 = Ь2 = Ь3 = Ь4 = Ь5 = 10 см, Л1 = Л3 = Л5 = 16 см, Л2 = Л4 = 40 см;

- В поврежденном состоянии

Ь1 = Ь2 = Ь3 = Ь4 = Ь5 = 10 см, Л1 = 14 см, Л3 = Л5 = 16 см, /72 = Л4 = 40 см;

- После усиления

Ь1 = Ь2 = Ь3 = Ь4 = Ь5 = 10 см, Л1 = 18 см, Л3 = Л5 = 16 см, /72 = Л4 = 40 см.

При расчетах полагалось Е = 2 • 105 МПа, б = 8 • 104, £ = 0,05. Использовались следующие обозначения: ~ = а т /И £ = а/Л.

Рис. 2 - Расчетная схема рамы (а); График зависимости 9 = ^ (у) (б):

-------- по предлагаемой методике

--------по методике расчета, приведенной в [7]

Как известно [3], применительно к изгибаемым элементам, показателем эффективности усиления конструкции, является величина 9 = Му / Мн, где Му - изгибающий момент, который может воспринять конструкция после усиления; Мн - момент, который воспринимает неповрежденная конструкция.

По результатам расчетов получен график зависимости степени усиления конструкции 9 от уровня действующих эксплуатационных напряжений v (рис. 2б, сплошная линия). Пунктирная линия на графике получена по результатам расчетов в соответствии с методикой [6], в которая является мене универсальной по сравнению с описанной в этой работе.

Литература

1. Ребров, И.С. Усиление стержневых металлических конструкций / И. С. Ребров. - Л.: Стройиздат, 1988. -288 с.

2. Бондаренко, С.В. Усиление железобетонных конструкций при реконструкций зданий / С. В. Бондаренко, Р. С. Санжаровский. - М.: Стройиздат, 1990.- 352 с.

3. Будин, А.Я. Усиление портовых сооружений / А. Я. Будин, М. В. Чекренева. - М.: Транспорт, 1983. - 178 с.

4. Якупов, Н.М. Обследование, анализ и прогнозирование долговечности строительных конструкций и рекомендации по их восстановлению: Методическое руководство / Н.М. Якупов, И.Н. Гатауллин, Р.Н. Хисматуллин. - Казань, 1996. - 207 с.

5. Перелыгин, О.А. Исследование напряженно-деформированного состояния цилиндрических оболочек с локальными несовершенствами формы / О.А. ПЕрелыгин, М.Н.Серазутдинов, Р.Х.Зайнуллин, Д.А. Фокин // Вестник Казан. технл. ун-та. - 1999. - №1. - С.44-46.

6. Убайдуллоев, М.Н. Оценка эффективности усиления нагруженных конструкций с учетом пластических деформаций /М. Н. Убайдуллоев, М. Н. Серазутдинов // Изв. вузов. Строительство.- 2009.-№ 1.- С. 106-111.

7. Серазутдинов, М. Н. Метод расчета криволинейных стержней. / М. Н. Серазутдинов, Ф. С. Хайруллин // Строительство и архитектура. - 1991. - № 5. - С. 104-108.

8. Тимошенко, С.П. Механика материалов/ С. П. Тимошенко, ДЖ. Гере. - М.: Мир, 1976. -672 с.

© М. Н. Серазутдинов - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории механики и сопротивления материалов КГТУ; Х. А. Абрагим - асп. каф. теории механики и сопротивления материалов КГТУ, jussainaziz@yahoo.com.