Применение методики аппроксимации сплайном типа "тонких пластин" для определения деформаций крупногабаритного рефлектора

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДИКИ АППРОКСИМАЦИИ СПЛАЙНОМ ТИПА «ТОНКИХ ПЛАСТИН» ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ

КРУПНОГАБАРИТНОГО РЕФЛЕКТОРА 1 2 Бикеев Е. В. , Калабегашвили Г. И.

1Бикеев Егор Вячеславович - инженер-конструктор;

2Калабегашвили Георгий Ильич - инженер-конструктор, АО «Информационные спутниковые системы им. М. Ф. Решетнева», г. Железногорск

Аннотация: в данной статье кратко рассмотрена одна из задач, возникающая при создании крупногабаритных трансформируемых антенн для космических аппаратов. Она связана с компенсацией уходов и деформаций, влияющих на приемо-передающие характеристики антенны. Для оценки деформаций рефлектора применяются различные численные методы. В статье рассматриваются вопросы аппроксимации поверхности деформированного рефлектора, заданных облаком измеренных точек, сплайн-поверхностями типа «тонких пластин». Полученный результат сравнивается с эталонными значениями и на основании этого делается вывод о возможности применения этого метода.

Ключевые слова: параболоид вращения, деформации рефлектора, орбитальная юстировка, аппроксимация сплайн-поверхностью, сплайн типа «тонких пластин».

Введение

На сегодняшний день в космической отрасли одним из важных направлений является создание крупногабаритных трансформируемых антенн (КТА) [1]. Их создание обусловлено выгодами улучшения приемо-передающих характеристик космического аппарата.

В рамках создания КТА на основе трансформируемого рефлектора необходимо решить задачу по орбитальной юстировке рефлектора. Концепция орбитальной юстировки основана на представлении объекта измерения, в данном случае рефлектора антенны, как облака измеренных точек [2].

При этом, количество измеренных точек, при орбитальной юстировке, как правило, не велико. Поэтому возникает проблема оценки деформации поверхности рефлектора по малому количеству точек. Для решения такой проблемы хорошо подходят сплайн-поверхности. Их применение позволяет наглядно оценить деформации поверхности, не прибегая к специальным средствам визуализации.

В данной работе авторы провели исследование по применению сплайн-поверхности для оценки деформаций рефлектора.

Объект исследования

В качестве объекта исследования примем какой-либо офсетный рефлектор, который является вырезкой из параболоида вращения. Он представлен в виде наборов точек (далее по тексту опорные точки), лежащих на отражающей поверхности рефлектора, в системе координат параболоида наилучшего соответствия (СК ПНС). Точки имеют заранее наложенные отклонения от нормального положения параболоида вращения, имитирующие деформации рефлектора. Количество точек в наборе: 792, 19880.

Система отсчета

СК ПНС представляет собой систему координат, в которой параболоид наилучшего соответствия принимает канонический вид (1), а ось ОХ является фокальной осью этого параболоида. Параболоидом наилучшего соответствия будем назвать ту поверхность из класса параболоидов вращения, которая аппроксимирует опорные точки с наименьшим среднеквадратичным отклонением. Методика отыскания ПНС более подробно описана в [3].

Постановка задачи

В СК ПНС задано каноническое уравнение параболоида вращения, представленное выражением (1), относительно которого находятся смешения точек.

2PX = Y2 + Z 2,

где X, У, Z координаты опорных точек,

P - фокальный параметр.

Опорные точки представлены наборами из 792 и 19880 измеренных на поверхности рефлектора точек. Набор из 792 точек характеризуется как совокупность 288 узловых точек фронтальной сети рефлектора и 504 точки расположенных на сетеполотне в центре каждого фацета рефлектора [3]. Набор из 19880 точек расположенных на сетеполотне, будем считать эталонным представлением поверхности рефлектора.

Требуется провести восстановления аналитического вид поверхности рефлектора по набору из 792 точек, при помощи метода интерполяции сплайн-поверхностью типа «тонких пластин» [4] и провести оценку деформаций полученной поверхности, в сравнение с эталонными значениями.

Восстановление аналитического вида поверхности рефлектора

Для начала, требуется получить аналитический вид поверхности вида (2).

x = р

где x,y,z е^.

Поскольку точность аппроксимации важна для последующих вычислений, потребуем выполнения следующего условия:

Хг = Р

Хг У, zi

где 1, 1, 1 - x-я, y-я, и z-я координаты измеренных точек отражающей поверхности рефлектора.

В рамках этой работы был выбран метод интерполяции сплайн-поверхностью типа тонких пластин. Данный метод появился из работ по механике в 70-х годах XX вв. Физическим смыслом сплайн-поверхности является минимизация полной свободной энергии тонкой упругой пластины.

Такой вид (4) позволяет учитывать положение каждой точки, однако, это влечёт к увеличению слагаемых пропорционально количеству входных данных. Следовательно, при использовании такого метода, следует ограничить количество опорных точек, соразмерно мощностям вычислительной машины.

где

с , i = \..n + 3

Р(У, z) =2 СгГг2 ln Гг2 + Cn+\ + Cn+2У + Cn+3z i=\

r = (У - Уi )2 + (z - zt )2

коэффициенты, которые находятся из решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),

п - количество опорных точек.

Данный метод подробно описан В. О. Ашкеназы в [4].

Функция деформаций

После получения аналитического вида отражающей поверхности можем рассчитать кратчайшее расстояние от каждой точки получившейся поверхности (4) до каждой точки принадлежащей ПНС.

Кратчайшее расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве рассчитывается по формуле (5).

Р

где: х,, у,, - координаты ьй реперной точки ПНС,

х01, у01, 701 - координаты i-й опорной точки.

n

Будем называть точку i-й реперной точкой ПНС, если в ней расстояние между параболоидом и соответствующей ей i-й опорной точкой кратчайшее.

Для того чтобы адаптировать эту функцию для каждой точки на поверхности, заменим

координату x0 на выражение ^yz). Теперь зная две координаты из области проекций точек поверхности на плоскость YOZ можно узнать расстояние от текущей точки до ПНС. В итоге получаем функцию вида (6), будем называть её функцией деформаций, которая выражает кратчайшее расстояние от точки с координатами x, y и z - точки принадлежащей отражающей поверхности рефлектора, до ПНС.

R = R

где y и z - координаты опорных точек,

R - кратчайшее расстояние от точки до параболоида вращения. Сравнение с эталонными значениями

Проведем сравнение полученной функции деформаций со значениями деформаций, полученными по эталонным точкам.

Построим непрерывную функцию деформаций по 792 точке. Функция деформаций ставит в соответствие проекциям точек поверхности на плоскость YOZ расстояние точки от ПНС. Поскольку эта функция имеет громоздкий аналитический вид, приводить ее здесь не имеет смысла.

Выбрав в полученной поверхности 19880 точек соответствующих эталонным точкам сравним их с эталонными значениями.

Расчеты показали что максимальные, до 8 мм, рассогласования лежат в ближайшей окрестности точек фронтальной сети. Это, скорее всего, связанно с тем, что из необходимости выполнения условия (3), сплайн-поверхность пытается сгладить резкие переходы, которые характерны для реальной поверхности. Внутри фацетов, где поверхность рефлектора ведёт себя более гладко, напротив, наблюдается довольно высокая, от 2 мм до 0, степень аппроксимации.

Следовательно, можно сделать вывод, что для оценки деформаций поверхности рефлектора по малому количеству точек можно использовать функцию деформаций.

Список литературы

1. Tibert G. Deployable tensegrity structures for space applications. Doctoral thesis. [Electronic resource]: Stockholm: Royal Institute of Technology, 2002. URL: http://www.mech.kth.se/thesis/2002/phd/phd_2002_gunnar_tibert.pdf/ (date of access: 06.02.2017).

2. Дорофеев М. О., Матыленко М. Г., Бикеев Е. В., Алексеенко А. А. / под общ. ред. Логинова Ю. Ю. Система контроля геометрии крупногабаритной трансформируемой антенны и ее наведение. // Решетневские чтения: материалы XVII Международной научной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М. Ф. Решетнева (12-14 ноября 2013, г. Красноярск): в 2 ч. Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2013. Ч. 1. С. 194-196.

3. Голдобин Н. Н. Обоснование методики оценки формы радиоотражающей поверхности крупногабаритных трансформируемых рефлекторов космических аппаратов с применением алгоритма Левенберга-Марквардта // Инновационные технологии и технические средства специального назначения: Тр. V Общерос. науч. -практ. конф. СПб., 2012. С. 93-98.

4. Ашкеназы В. О. Сплайн-поверхность: Основы теории и вычислительные алгоритмы: Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. ун-т, 2003. 82 с.

5. Ануфриев И. Е., Смирнов А. Б., Смирнова Е. Н. Matlab 7. Наиболее полное руководство. СПб.: БХМ. Петербург, 2005. 1104 с.