Взаимосвязь качественной и количественной важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений

торое китаиские коллеги называют сегодня философией информации. А специалистам в области информатики - в том секторе, который соприкасается с философией и которой мы называем философскими проблемами информатики. Это будет тот комплексный подход, который представляется наиболее перспективным ».

Нам думается, что наш подход согласуется с инновациями в политической жизни России, с тем, что ее руководство считает важным иметь с обществом «обратную связь» и поэтому реализует идею «расширенного правительства». Это внушает надежды на лучшее будущее и для Армении.

держательное выступление К. К. Колина, посвященное философии информации и философским основам информатики. Он справедливо утверждает, что игнорирование проблем информационного общества и недооценка информационных аспектов в жизни современного общества ведет к серьезным негативным последствиям. А после знакомства со статьей китайского ученого Лю Гана сознаешь, какой задел сделан А. Д. Урсулом и К. К. Колиным для плодотворного развития философии информации, для разрешения проблем информационного общества. Хочется отметить призыв К. К. Колина к «активизации исследований в том секторе науки, ко-

Литература

1. Дубровский Д. И. Проблема духа и тела: возможности решения // Вопросы философии, 2002.

№ 10.

2. Торосян А. Ц. Открытие основной функции живого. Фундаментальная теория. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 2005.

3. Урсул А. Д. В кн.: Диалектика фундаментального и прикладного. - М.: Мысль, 1990.

4. Урсул А. Д. Информация и кибернетика // Природа, 1972. № 5.

5. Варданян И. А. Принцип всеобщности информации, экологический императив и человекомашинные компьютерные системы // Биологический журнал Армении, 1999. Т. 52. № 3-4.

6. Эшби У. Р. Введение в кибернетику. - М., 1959. С. 248.

7. Там же, с. 294.

8. Пригожин И. Р. Мы только начинаем понимать природу // Краткий миг торжества. - М.: Наука,

1989.

9. Бауэр Э. С. Теоретическая биология. - М.-Л., 1935.

10. Лоренц К. Кольцо царя Соломона. - М.: Знание, 1978.

11. Пригожин И. Р., Стенгерс И. // Природа, 1986. № 2.

12. ДюкрокА. Физика кибернетики // Кибернетика. Итоги развития. - М., 1979. С. 96.

13. ШахбазянЮ. Л. Амбарцумян. Этапы жизни и научные концепции. - М.: Молодая гвардия, 2011.

14. Варданян И. А . Иммунная система как управляющий интерфейс с окружающей средой и проблема искусственного интеллекта // Биологический журнал Армении, 2005. Т. 57. № 1-2.

УДК 519.816

ВЗАИМОСВЯЗЬ КАЧЕСТВЕННОЙ И КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ВАЖНОСТИ КРИТЕРИЕВ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

А. П. Нелюбин, аспирант Тел.: (905) 554-12-55, e-mail: nelubin@gmail.com Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН http://www.imash.ru/

В. В. Подиновский, д. т. н., ординарный профессор Тел.: (916) 993-70-35, e-mail:podinovski@mail.ru Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», ЛАВР

http://www.hse.ru/

Influence of the assumption about the existence of quantitative coefficients of criteria importance, consistent with the criteria importance order (according to the definitions in the criteria importance theory), on the preference relation, generated by this information, is investigated.

Исследовано влияние допущения существования количественных коэффициентов важности критериев, согласованных с упорядочением критериев по важности (согласно определениям теории важности критериев), на отношение предпочтения, порождаемое этой информацией.

Ключевые слова: многокритериальные задачи принятия решений, теория важности критериев, упорядочение критериев по важности, коэффициенты важности.

Key words: multiple criteria decision making tasks, criteria importance theory, ordering of criteria according to importance, coefficients of importance.

1. Введение

Математическая теория важности критериев была создана и продолжает развиваться в России (историю и библиографию см. в [1]). Она опирается на строгие определения понятий качественной важности: «один критерий важнее другого», «критерии равноважны», и количественной важности: «один критерий важнее другого во столько-то раз». В этой теории разработаны решающие правила, задающие отношения предпочтения на основе качественной или же количественной информации о важности критериев с учетом информации об изменении предпочтений вдоль шкалы критериев. Однако до последнего времени оставался открытым вопрос о том, расширяется ли отношение предпочтения, порождаемое качественной информацией о важности, за счет принятия допущения о существовании количественных коэффициентов важности, или же не расширяется. Решению этого вопроса, представляющего как теоретический, так и практический интерес, посвящена данная работа.

2. Математическая модель

Дальнейшее изложение опирается на следующую математическую модель ситуации принятия индивидуального решения в условиях определенности:

м = < т х, / 2, я >,

где т - тип постановки задачи (выбрать один наилучший или несколько лучших вариантов, упорядочить все варианты по предпочтительности и т. д.), X - множество вариантов, / = (/1, ..., /т) - векторный критерий, / - частные критерии (т"|2), 2 - область зна-

чений векторного критерия, Я - отношение нестрогого предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). Каждый вариант х из множества всех вариантов X характеризуется значениями критериев / Под критерием / понимается функция с областью определения X и областью значений (множеством оценок) 2. Далее полагается, что все критерии однородны или приведены к таковым. Это означает, что критерии имеют общую шкалу (которая может быть всего лишь порядковой) и, в частности, у них общая область значений («шкала») 20 ={1, ..., д}, где д~|2. Таким образом, каждый вариант х характеризуется т числами - значениями /(х) всех критериев, образующими векторную оценку этого варианта у = /х) = (/1(х), ... , /т(х)). Поэтому сравнение вариантов по предпочтительности сводится к сопоставлению их векторных оценок. Множество всех

векторных оценок есть 2=2^ .

Предпочтения ЛПР моделируются на 2 при помощи отношения нестрогого предпочтения Я, так что уЯг означает, что векторная оценка у не менее предпочтительна, чем г. Отношение Я порождает отношение безразличия I и (строгого) предпочтения Р:

уЬ <=> уЯг л гЯу; уРг ^ уЯг л гЯу

(запись гЯу означает, что гЯу неверно). Отношение Я является (частичным) квазипорядком, т. е. оно рефлексивно (гЯг верно для любой векторной оценки г) и транзитивно (для любых у, г, и е 2 из уЯг и гЯи следует уЯи).

Отношение Я строится на основе информации о предпочтениях ЛПР. Будем полагать, что предпочтения вдоль шкалы кри-

териев 20 возрастают, так что (неизвестные) Предпочтения ЛПР согласованы с от-

значения ценностей Уо(к) градаций к удовле- ношением Парето: Р°<^Р.

творяют неравенствам Получить решение многокритериальной

Уо(1) < Уо(2) < ... < Vо(g), (2.1) задачи в требуемой постановке только при

т. е. функция ценности Уо является возрас- помощи отношения Парето, как правило, не

тающей на 2о. Если больше никаких ограни- удается, и поэтому его требуется расширить,

чений на значения этой функции нет, то это привлекая дополнительную информацию о

означает, что шкала критериев является по- предпочтениях ЛПР. Далее рассматривается

рядковой. При принятом допущении (2.1) на случай, когда в роли такой информации вы-

множестве векторных оценок 2 определено ступают сведения об относительной важно-

отношение Парето Я0: сти критериев и их шкале.

уЯ0г ^ (у~Ъг, г = 1, ... , т).

3. Сведения из теории важности критериев

Приведем необходимые для дальнейшего изложения сведения из теории важности критериев, вначале - из теории качественной важности [1-3]. Обозначим через уу векторную оценку, полученную из векторной оценки у = (уь ..., ут) перестановкой ее компонент уг и у^.

Определение 1. Критерии / и / равноважны, или одинаково важны (такое сообщение обозначается г»/), когда векторные оценки у и у'1 одинаковы по предпочтительности.

Определение 2. Критерий / важнее критерия /1 (такое сообщение обозначается г>/), когда векторная оценка у, в которой уг > у, предпочтительнее, чем у'1.

Пусть О - качественная информация о важности критериев, т. е. совокупность сообщений вида и г>]. Согласно определениям 1 и 2, сообщение Щ задает на множестве 2 отношение безразличия I», а сообщение - отношение предпочтения Ргу], определяемые следующим об-

разом:

уГ^г (г = у1, у ф у} ^ уР>}2 ^ (г = у1, у > у}).

Отношение нестрогого предпочтения (квазипорядок) ЯО, порождаемое на 2 качественной информацией о важности критериев О, определяется как наименьшее транзитивное отношение, содержащее отношение Парето Я0 и отношения Яо для всех сое О (здесь Яо = I4, если со = г»/, и Яо = Ту], если со = '>-]):

Я О = ТгС1[(и«,ео Яо) и Яо],

где ТгС1 - символ операции транзитивного замыкания бинарного отношения. Согласно этому определению уЯОг верно тогда и только тогда, когда существует цепочка вида

12 г

уЯо и1, и1 Яо и2 , ..., иг-1 Яо г,

в которой ик - векторные оценки, а ок суть о из О или же о.

Определение 3. Числа Д, ..., рт называются величинами важности критериев, согласованными с информацией О, если они удовлетворяют условиям г»] еО ^ вг = в], еО ^ в > в

Если величины важности положительны и в сумме равны 1, то они называются коэффициентами важности критериев и обозначаются аг.

Информация О называется полной и непротиворечивой, если она позволяет упорядочить (ранжировать) по важности все критерии (так что для любых двух критериев / и/ верно '»], или /V/). Такую информацию будем обозначать О*. Величины важности критериев и коэффициенты важности, согласованные с информацией О*, называются порядковыми, или ординальными.

Далее для векторов из Яе” (п >1) будем использовать обозначения а > Ь ^ аР\Ьг, г = 1,., п; а > Ь ^ а > Ь, а * Ь; а > Ь ^ аг > Ьг,' = 1,., п; а.. = (а(!), ..., а(п)) - вектор, полученный из вектора а упорядочением его компонент по неубыванию.

Для информации О отношение Я можно задать аналитически. Пусть

агк (у) = {а; у &к (у) = ^]=1а/ (у). г = 1 •••, m, к = 1, ..., д.

Справедливо утверждение

уЯ г Ост.

если в (3.2) все ^ выполняются как равенства, то у1О*г, а если хотя бы одно ^ есть <, то

уРО*г.

Пусть д > 2 и имеется дополнительная информация В о том, что рост предпочтений вдоль шкалы критериев замедляется (так что критерии имеют шкалу первой порядковой метрики [4]):

Уо(2) - Уо(1) > Уо(3) - Уо(2)> ... > Уо(д) - Уо(д - 1),

При наличии информации В сообщение г»] порождает на множестве векторных оценок 2 также и отношение предпочтения Рг~]&В, а сообщение /у] - и отношение предпочтения Р1 у1&в, определяемые следующим образом:

уР

уР

>ія]&0

,і у]&0,

'г ^ (у = (г | гі + І, г]- - І), гі +і)г] - І) V (у = (г | г] + І, гі - І), г] + і)гі - І),

'г ^ (у = (г || г + І, г] - І), гг- + і)г] - І),

где ї<е20, (г || гі + І, і] - І) - векторная оценка, полученная из векторной оценки г заменой компоненты гі на гі + І и компоненты г] на г] -1.

Смысл этих отношений прост. Определение (3.4) гласит: если критерии / и / равноважны, то после увеличения меньшей из компонент гі и г] на натуральное число І и одновременного уменьшения большей из компонент на то же число І такое, что увеличенная компонента не больше уменьшенной, получится векторная оценка, более предпочтительная, чем исходная векторная оценка г. Это определение схематически иллюстрирует рис. 1.

ЇМІ И

,І(А) I—:—I чТ) | ^г(к) ’’№)+

*Щ| п> і

1 = 2 1 = 2

/

ШЩ: = г<у,;

1 = 2 '

V?

Рис. 1. Схематическая иллюстрация к определению

гі и j&D

отношения P 7

Рис. 2. Схематическая иллюстрация к определению отношения

Определение (3.5) говорит: если критерий /г важнее критерия /1 и в векторной оценке г компонента гг меньше компоненты г1, то

сматривать также как определение шкалы первой порядковой метрики с замедлением роста предпочтений вдоль шкалы применительно к рассматриваемой задаче, не требующее привлечения неравенств (3.3).

Отношение нестрогого предпочтения

(квазипорядок) Я , порождаемое на 2 ка-

чественной информацией о важности критериев О и информацией В, определяется так:

после увеличения гг на натуральное число I и одновременного уменьшения г1 на то же число I так, чтобы увеличенная компонента не стала больше уменьшенной, получится векторная оценка, более предпочтительная, чем исходная векторная оценка г. Это определение схематически иллюстрирует рис. 2.

Определения (3.4) и (3.5) можно рас-

где ЯО = Р& и РШ&В = Ргу]&в, если о есть /у]; ЯО = Iг» и РШ&В = РК]&В, если о есть г»]. Согласно этому определе-Яо&в = ТгС1[(и (Я* и Рю&в) и Я0] нию,уЯО&Вг верно тогда и только тогда, когда существует

_ 1Ли е^ и ^ и ] 5 цепочка вида (2), в которой ик - векторное оценкик а о -

либо о, либо а&В (так что Я есть Iо или Р в зависимости от смысла О) или же о.

Теперь приведем сведения из теории вальных) величин кг]. Точное определение

количественной важности [5-8]. Количественная информация о важности © состоит из сообщений типа «Критерий /г важнее критерия / в к/ раз» (такое сообщение обозначается г Vкг ] ) или же оценок (например, интер-

понятия превосходства одного критерия над другим в к раз мы здесь не приводим, так как само оно далее не используется. Количественная информация о важности называется полной и непротиворечивой и обозначается

©*, если она состоит из сообщений вида динальными, коэффициентами важности

' Vкг ] и на ее основе можно задать количе- критериев и обозначаются ац. Эти коэффи-

циенты информацией ©* определяются однозначно, т. е. вектор а = (а1, ., ат) единствен.

Решающее правило, задающее отноше-

ственные, или кардинальные, величины важности критериев вг - положительные числа, удовлетворяющие условиям:

к/ =в-, /, ] = 1, ..., т. ние нестрогого предпочтения Я©*, порож-

даемое информацией ©*, задается следую-Если величины вг в сумме равны 1, то щим образом: они называются количественными, или кар-

уя©*г о

если в (3.6) все ) выполняются как равенства, то у!©*г, а если хотя бы одно ) есть <, то

Г)©*

уР г.

Если информация © не является полной и точные значения коэффициентов важности критериев аг неизвестны (например, для них имеются лишь интервальные оценки), то определено лишь (непустое) множество А возможных значений вектора а= (аь ..., ат). Соответствующее такой информации отношение ЯА задается так: уЯА г верно тогда и только тогда, когда д - 1 неравенств в (3.6) выполняются при любом аеА, или, что эквивалентно,

уЯАг ° ЭЦРаеА Хг=1

Пусть имеется дополнительная информация В о том, что рост предпочтений вдоль шкалы критериев замедляется, так что справедливы неравенства (3.3). Решающее правило, задающее отношение нестрогого предпочтения Я© &В, порождаемое информацией ©*&В, выглядит так:

уЯ©*&вв о ^к=!^ст{

если в (3.8) все ) выполняются как равенства, то у!©*&Вг, а если хотя бы одно ) есть <, то

уР©*&вг.

Если информация © позволяет задать лишь множество А возможных значений вектора а,

пА&В /- А&В

то отношение Я определяется следующим образом: уЯ г верно тогда и только тогда, когда д - 1 неравенств в (3.8) выполняются при любом аеА, или, что эквивалентно,

уяА&Вг ° ЗиРаеА 2= 2Ы

4. Взаимосвязь качественной и количественной важности критериев

Информация о качественной важности критериев О* и информация о количественной важности критериев © (в частности, © ) согласованы, если

г»] ^ Уае А : аг = а/, 'у] ^ Уае А : аг > а;

(/»] еО* ^ / V1 ] , /у] еО* ^ / V^7, к] > 1).

Заметим, что для согласованных О* и © (в частности, ©*) справедливы утверждения [5-8]:

Я^* с яА _/О* с 1А рО* с рА* я°*&в с яА&в 1О*&в с 1А&В рО*&в с рА&в

Рассмотрим случай, когда множество А = А* задается, помимо ограничений а/ > о, / = 1, ., т; а: + ... + ат = 1,

равенствами и неравенствами, соответствующими информации О*, упорядочивающей все критерии по важности:

/»] еО* ^ аг = а], /у еО* ^ а > а].

По существу, введение в рассмотрение множества А означает, что дополнительно к качественной информации о важности О* принято допущение о существовании количественных

коэффициентов важности. Поэтому большой теоретический и практический интерес представ-

ляет вопрос о том, выполняются ли соответствующие нестрогие включения (4.1) для А как равенства. Оказывается, что для критериев с порядковой шкалой ответ на этот вопрос положителен, а для критериев со шкалой первой порядковой метрики отрицателен!

Теорема 1. Справедливы равенства Я°* = ЛА*, І°* = Iа*, Р°* = РА*.

Теорема 2. Включение Я°*а° ^ ЯА*ао, вообще говоря, является строгим.

Доказательства этих теорем вынесены в Приложение.

5. Заключение первой порядковой метрики.

т-. Этот результат следует иметь в виду

В статье показано, что отношение не- * ' ' '

при использовании известного подхода к строгого предпочтения, порождаемое каче- ^

, „ моделированию предпочтений, основанного

ственной информацией о важности, при ^ ^

принятии дополнительного допущения о

характере изменения предпочтений вдоль их шкалы.

на использовании множественных оценок

величин коэффициентов важности при несуществовании количественных величин ко- „ , *

, , полной информации о важности критериев и

эффициентов важности не расширяется в _____ „

случае порядковой шкалы критериев и, вообще говоря, расширяется в случае шкалы

6. Приложение

Доказательство теоремы 1.

Без ограничения общности будем считать, что информация Q* упорядочивает все критерии в порядке невозрастания их относительной важности (так что наиболее важен критерийf1, а fm -наименее важный критерий).

Поскольку множество А*, задаваемое (4.2), непусто, то вместо него в (3.7) можно использовать [9] многомерный выпуклый многогранник А, задаваемый системой

«ЛаД-Лоя 1 0; а! + ... + am = 1,

в которой а = а-+ь если /«7+1 е Q . После такой замены вместо оператора sup в решающем правиле (3.7) можно использовать оператор max, и оно приобретет следующий вид:

yRAz о тахоеА ^

Выразим разность из (6.2) как функцию от а:

Ак

где введены числа cik(y, z) е {-1, 0, 1}, зависящие от сравниваемых векторных оценок.

Поскольку множество А является выпуклым многогранником, а целевые функции (6.3) линейны, то задачи (6.2) их максимизации являются задачами линейного программирования. Следовательно, своего наибольшего на А значения эти функции достигают в одной из крайних точек (вершин) этого многогранника.

Координаты вершин крайних точек можно выразить аналитически. Если в (6.1) нет ни одного равенства вида а7 = а+i, то координаты крайней точки а* задаются формулами (см., например, [10]):

а1* = а2* = ... = а7* = -, а7+1 * = ... = ат* = 0, i = 1, ..., m.

i

Поскольку число крайних точек равно m, то выражение (6.4) описывает взаимнооднозначное соответствие между числами i е {1, ..., m} и крайними точками а*, которое можно обозначить так: о*(7) = (^, ..., 1, 0, ..., 0). Наличие в (6.1) равенства а = а+1 сокращает

i i

число крайних точек на одну. Причем из двух крайних точек а*(7) и а*(7+1) остается только вторая. Это следует из того, что вектор а*(7) - единственный из m векторов, описываемых (6.4),

в котором не выполняется равенство рассматриваемых компонент: а7 = — > а/+1 = 0. Аналогич-

i

но, если равноважны несколько критериев, то остается только одна крайняя точка а*, соответствующая номеру последнего из этих критериев, так как для остальных не выполняются равенства соответствующих соседних компонент. Если все критерии равноважны, то все коэффициенты важности а определяются однозначно и множество А состоит из единственной точки

а*(ш) = (— , ..., —). Обозначим через /*={ib i2, ..., in} множество чисел i е {1, ..., m}, для ко-m m

торых существуют крайние точки а*(7) согласно описанному отображению. Это значит, что

имеется п групп равноважных критериев, а числа 1\ < г2 < ... < гп = т являются номерами последних критериев в каждой такой группе.

Пусть для произвольных векторных оценок у и г из Z справедливо уЯА*г. Это значит, что во всех крайних точках (6.4) многогранника А значения функции (6.3) не превышают нуля. Другими словами, для всех чисел г е I* и к е {1, ..., q - 1} выполняются условия:

а к

г ;=‘

Согласно (6.3) числа сгк (у, г) определяются следующим образом:

1) если ск (у) = а, ск (г) = а , то Ск (у, г) = 0 ;

2) если ск (у) = а, ск (г) = 0, то сш (у, г) = 1;

3) если ак (у) = 0, ак (г) = а, то с,к (у,г) = -1;

4) если ск (у) = 0, ск (г) = 0, то сгк (у, г) = 0 .

Следовательно, условие (6.5) означает, что для первых г элементов векторов ск (у) и ск (г) случай 3 встречается не реже, чем случай 2.

Фиксируем произвольное число к е {1, ..., q - 1} и покажем, что для него выполняется векторное неравенство

С

Предположим, что это не так и существует такое г е {1, ..., т}, что <т(к)(у) > <7^)(г) . Это

значит, что С(к)(у) = а > 0, где гр е I*, а С(к)(г) равно либо 0, либо аг > 0, где гг е I*, но

обязательно г > р. Числа р и г - номера групп, состоящих из равноважных критериев. Получается, что для первых гр элементов векторов <ск (у) и <ск (г) случай 3 встречается реже, чем случай 2, то есть приходим к противоречию.

Следовательно, векторное неравенство (6.6) справедливо, а так как число к е {1, ..., q - 1} было выбрано произвольно, то выполняются условия решающего правила (3.2). Поэтому верно уЯ°*г. д* д* д*

Если для векторных оценок у и г справедливо у1 г, то выполняется уЯ г и гЯ у. Тогда, как только что было доказано, уЯ°*г и гЯ°*у, то есть у!°*г.

Если для векторных оценок у и г справедливо уРА*г, то выполняется уЯА*г, но гЯА*у неверно. Тогда, как только что было доказано, уЯ°*г. А гЯ°*у неверно вследствие включения Я°* с ЯА* из (4.1). Следовательно, уР°*г.

Из (4.1) и доказанных только что утверждений ЯА*С Я°* 1А*С 1°* рА*С Р°* следует справедливость теоремы 1.

Доказательство теоремы 2.

Справедливость этой теоремы показывает следующий

Контрпример. Пусть т = 4, q = 3, О* = {1^ 2, 1^ 3, 1^ 4, 2^ 3, 2^ 4, 3^ 4}. Систему ограничений (4.2), (4.3), задающую множество А , можно компактно записать так:

«1 > а2 > а3 > а4 > 0, а + а2 +а3 + ат = 1.

Рассмотрим векторные оценки у = (2, 2, 3, 1), г = (1, 3, 2, 2). С учетом (6.7) легко видеть, что условия из (3.9) выполняются:

ЭиРаеЛ* ^ -С (= §иРаеЛ*(а4-а0 Л

8иРаеЛ*Е2=1ЕГ=1(С; (у) -С! (г)) = 8иРаеЛ*[(а1 +а2 + 2а4)-(2а1 +а3 + а4)] =

= ^иРаеА*[(а2 -а1) + (а4-а3)] А

пЛ*& О

так что верно уЯ г .

Проверим теперь выполнение Я°*&°. Покажем, что построить искомую цепочку вида (3.1) невозможно. Действительно, при «применении» Ргу1 или Ру]&° к векторной оценке сумма ее компонент не меняется, а вот при «применении» Р0 уменьшается. Так как 2 + 2 + 3 + 1 = 1 + 3 +

2 + 2 = 8, то в цепочке от у до г не может быть P0. Последовательно ухудшать векторную оценку у = (2, 2, 3, 1) можно согласно графу на рис. 3, а последовательно улучшать векторную оценку г = (1, 3, 2, 2) можно согласно графу на рис. 4.

Рис. 3. Векторные оценки, менее предпочтительные, чем у, согласно информации 0.*&Б

Рис. 4. Векторные оценки, более предпочтительные, чем г, согласно информации 0*&3

Поскольку на этих рисунках одна и та же векторная оценка не встречается, то понятно, что «скле-

ить» цепочку от у до г из звеньев с этих рисунков невозможно. Следовательно, Я ' Литература

неверно.

1. Подиновский В. В. Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений: Учебное пособие. - М.: Физматлит, 2007. 64 с.

2. Подиновский В. В. Аксиоматическое решение проблемы оценки важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений // Современное состояние теории исследования операций / Под ред. Н. Н. Моисеева. - М.: Наука, 1979. С. 117-145.

3. Podinovski V. V. Problems with importance-ordered criteria // User-Oriented Methodology and Techniques of Decision Analysis and Support / J. Wessels and A. P. Wierzbicki (Eds.). Lecture Notes in Economics and Math. Systems. V. 397. - Berlin: Springer, 1993. P. 150-155.

4. Fishburn P. C. Decision and value theory. - New York: Wiley, 1964. 452 p.

5. Подиновский В. В. Количественная важность критериев // Автоматика и телемеханика, 2000. № 5. С. 110-123.

6. Podinovski V. V. The quantitative importance of criteria for MCDA // Journal of Multi-Criteria Decision Analysis. 2002. Vol. 11. P. 1-15.

7. Подиновский В. В. Количественная важность критериев с дискретной шкалой первой порядковой метрики // Автоматика и телемеханика, 2004. № 8. С. 196-203.

8. Podinovski V. V. On the use of importance information in MCDA problems with criteria measured on the first ordered metric scale // Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 2009. Vol. 15. P. 163-174.

9. Подиновский В. В. Анализ решений при множественных оценках коэффициентов важности критериев и вероятностей значений неопределенных факторов в целевой функции // Автоматика и телемеханика, 2004. № 11. С. 141-159.

10.Claessens M. N. A. J., Lootsma F. A., Vogt F. J. An elementary proof of Poelinck's theorem on the convex hull of ranked criterion weights // European Journal of Operational Research, 1991. Vol. 52. P. 255-258.

СОВРЕМЕННЫЕ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ И СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ГАРАНТИЙ КАЧЕСТВА ПРОЦЕССОВ И ОСНОВНЫХ КОМПОНЕНТОВ E-LEARNING

С. А. Кочерга, к. ю. н., доц., проректор по кадровому и правовому обеспечению, эксперт по оценке качества профессионального образования Тел.: (495) 442-24-95, e-mail: SKocherga@mesi.ru Московский государственный университет экономики, статистики и информатики

www.mesi.ru