О многообразиях Бертрана с экваторами

Краткие сообщения

УДК 514.853

О МНОГООБРАЗИЯХ БЕРТРАНА С ЭКВАТОРАМИ

Е. А. Кудрявцева1, Д. А. Федосеев2

Исследуются натуральные механические системы, описывающие движение частицы по двумерному риманову многообразию вращения в поле центрального гладкого потенциала. Получена полная классификация таких римановых многообразий и потенциалов на них, обладающих усиленным свойством Бертрана: любая орбита, не содержащаяся в меридиане, замкнута.

Ключевые слова: риманово многообразие Бертрана, поверхность вращения, экватор, многообразие Таннери, принцип Мопертюи.

Natural mechanical systems describing the motion of a particle on a two-dimensional Riemannian manifold of revolution in the field of a central smooth potential are studied in the paper. A complete classification of such Riemannian manifolds and potentials on them possessing the strengthened Bertrand property, i.e., any orbit not contained in any meridian is closed, is obtained.

Key words: Bertrand's Riemannian manifold, surface of revolution, equator, Tannery's manifold, the Maupertuis principle.

1. Введение. Фиксируем двумерное многообразие S ~ (а, Ъ) х S*1 с римановой метрикой вращения

ds2 = dr2 + f2

где —оо ^ а < Ъ ^ +оо, S*1 = R/2-/rZ, / = f(r) — некоторая положительная гладкая функция на (а,Ъ). Рассмотрим натуральную механическую систему на римановом многообразии (S,ds2), описывающую движение частицы по закону сил, заданному центральным (т.е. зависящим только от г) гладким потенциалом V = V(r) на S. Движение описывается системой уравнений Лагранжа (d/dt)dL(x(t),x(t))/dx% + dL(x(t), x(t))/dx% = 0, i = 1,2, с функцией Лагранжа L = L(x,x) = (1/2)д^(х)хг& — V(x), где х = (ж1, ж2) = {г, Lp) — координаты на S, gij — компоненты метрического тензора, ( )' = d/dt.

Определение 1 [1, определение 1]. Под траекторией будем понимать решение x(t) уравнения движения, определенное на максимальном по включению интервале (to,t\) С К1, под орбитой — образ {x(t) I t € (¿o,íi)} С S этого отображения. Орбита называется круговой, если она совпадает с орбитой действия группы вращений на S. Траектория называется круговой, если соответствующая ей орбита является круговой. Круговую орбиту назовем сильноустойчивой, если на ней функция Ueft,Ко (У) := V(r) + Kq /(2 f2 (г)), называемая эффективным потенциалом, имеет невырожденный локальный минимум при некотором Ко ф 0. Траектория называется ограниченной, если она определена на всем интервале времени t € R1 и содержится в некотором компакте [ri, г2] х S*1 С (а, Ъ) х S1. Траектория называется особой, если значение интеграла кинетического момента К на этой траектории равно нулю, т.е. Lp = ip(t) = const. Орбита называется ограниченной (особой, замкнутой), если соответствующая ей траектория является ограниченной (особой, периодической).

Определение 2. Если все неособые ограниченные орбиты замкнуты и существует неособая ограниченная некруговая орбита, то потенциал V назовем замыкающим [1, определение 2], а риманово многообразие (S, ds2) и пару (ds2, V) — бертрановыми. Если все неособые орбиты замкнуты, то потенциал V назовем вполне замыкающим, а риманово многообразие (S, ds2) и пару (ds2, V) — вполне бертрановыми. Если все неособые геодезические замкнуты (т.е. постоянный потенциал Vo = const является вполне замыкающим), то метрику (1) назовем метрикой Таннери, а риманово многообразие (S,ds2) — многообразием Таннери [2, теорема 4.13].

1 Кудрявцева Елена Александровна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: eakudrQmech.math.msu.su.

2 Федосеев Денис Александрович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: denfedexQyandex.ru.

Определение 3. Параллель {го}х51, где Го € (а, Ь), называется экватором, если /'(го) = 0. Граничная параллель {г^хб*1 Сдв, где Го€{а, Ь}, называется полюсом, если Нтг_5.го /(г) = 0. Многообразие вращения с двумя полюсами назовем сферичным [3, определение 1]. Сферичное многообразие с одним экватором и неизометричными "северной" и "южной" полусферами назовем грушевидным, [1, комментарий 2(А)].

Пример 1. Классический пример многообразия Бертрана (без экваторов) — это проколотая евклидова плоскость (отвечающая функции /(г) = г). Все замыкающие центральные потенциалы на ней были найдены Дж. Бертраном [4], а именно гравитационный У\(г) = —А)г + В и осцилля-торный ^(г) = Аг2 + В потенциалы, где А, В € М (А > 0) — любые (аддитивная и положительно-мультипликативная) константы. Все максимальные (по включению) многообразия Бертрана без экваторов и отвечающие им пары Бертрана классифицированы (см. соответственно [1] и [1, 5]): такие римановы многообразия с точностью до изометричности образуют 3-параметрическое семейство, а соответствующие пары Бертрана образуют два семейства — ^параметрическое и 5-параметрическое. Реализуемость этих римановых многообразий в виде поверхностей вращения в М3 изучена в [6]. В [3, 7] получено дифференциальное уравнение на /, решениям которого отвечают такие метрики.

Изучим задачу о классификации вполне бертрановых многообразий и вполне бертрановых пар (Ж?2, У).

Пример 2. Известны следующие пять семейств вполне бертрановых многообразий с соответствующими вполне замыкающими центральными потенциалами на них:

(¿) сферичные (определение 3) "сферообразные" (т.е. постоянной положительной кривизны) 2-мерные римановы многообразия вращения (образующие 2-параметрическое семейство, содержащее 1-параметрическое семейство круглых сфер с выколотыми полюсами) с гравитационным потенциалом на них [1];

(п) "рациональные" конусы с плоской метрикой (образующие 1-параметрическое семейство, содержащее проколотую евклидову плоскость) с осцилляторным потенциалом на них [1, следствие 1];

(ш) "северные полусферы" многообразий из п.(1) с осцилляторным потенциалом на них [1];

(¿у) грушевидные (определение 3) 2-мерные римановы многообразия вращения из [1] (образующие 3-параметрическое семейство) с осцилляторным потенциалом на них, где знак потенциала таков, что "основной" полюс является притягивающим, а "дополнительный" — отталкивающим (см. [1, формула (5)]);

(у) все многообразия Таннери (определение 2), классифицированные в [2, теорема 4.13] и лемме 2, (ё), включающие многообразия из пп. (1), (¿у), образующие "функционально-двупараметри-ческое" семейство (параметры которого суть два вещественных числа и нечетная гладкая функция к : (—1,1) —> (—1,1) с точностью до замены к —> —К) и являющиеся (в силу леммы 2, (ё)) сферичными сферообразными {Н = 0) или грушевидными {Н ф 0) с постоянным потенциалом на них.

Один из параметров каждого семейства (1)—(у) — это число /3 € (¡2>о (константа Берт,рама, см. лемму 2, (а)), которое для семейства (ш) вдвое больше, чем для семейства (¿). Другие числовые параметры — это радиус экватора К > 0 для семейств (¿) и (у), пара чисел (с, й) € К2 со свойствами <1 < 0, с > —2л/—с1 для семейства (¿у). Вполне замыкающие центральные потенциалы на любом многообразии из пп. (¿)—(¿у) не имеют критических точек и образуют 2-параметрическое семейство, параметрами которого являются произвольные аддитивная и положительно-мультипликативная константы, а в случае (у) — 1-параметрическое семейство констант.

Топологические инварианты невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем, возникающих, в частности, в настоящей работе, обсуждаются в [8—11].

2. Принцип Мопертюи, многообразия Бертрана и многообразия Таннери. Для изучения вполне бертрановых многообразий воспользуемся следующим удобным инструментом — принципом, Мопертюи. Он заключается в следующем (см., например, [12]). Пусть на гладком римановом многообразии (М, д) задана натуральная механическая система с функцией Лагранжа Ь = Ь(х,х) = (1/2)д^(х)хгх3 — У{х), где х = (хг) — локальные координаты на М, д^ — компоненты метрического тензора, V — гладкая функция (потенциал) на М. Тогда при любом достаточно большом значении Е € М {Е > М V) все локальные решения х(Ь) уравнения движения, на которых х(Ь) / Ои значение энергии Н = Н(х,х) = (1/2)д^(х)хгх:1 + У(ж) равно Е, совпадают (с точностью до перепараметризации) с геодезическими линиями на подмногообразии Ме '= У~1(—оо,Е) С М, снабженном римановой метрикой дЕ '= (Е — У(х))д.

Применительно к вполне бертрановым многообразиям этим принципом можно воспользоваться так. В качестве риманова многообразия (М,д) возьмем многообразие Б с метрикой вращения (1), а в качестве V — вполне замыкающий центральный потенциал. Из принципа Мопертюи получаем,

что неособые траектории на любом уровне энергии Н = Е > \iiiV совпадают (с точностью до перепараметризации) с неособыми геодезическими на новом многообразии Бе '= У~1(—оо, Е) хБ1 С Б с метрикой вращения

При этом неособые траектории остаются замкнутыми, а следовательно, риманово многообразие (Бе, ¿«е) при любом Е > тfV является многообразием Таннери (определение 2).

3. Основные результаты. Следующие леммы являются ключевыми для классификации вполне бертрановых пар.

Лемма 1. Пусть V = У(г) — вполне замыкающий центральный потенциал на многообразии Б с метрикой вращения (1), т.е. любая неособая орбита зам,кнут,а. Тогда:

(a) при любом К ф 0 эффективный потенциал = (определение 1) имеет единственную критическую точку г (К) € (а,Ь), причем и'^ к(г(К)) > 0 (т.е. {г(К)} х Б1 сильноустойчивая круговая орбита) и = +оо для любого в € {а,Ь};

(b) потенциал V на (а, Ъ) л,ибо не убывает, либо не возрастает, л,ибо (для, некоторого Г\ € (а, Ъ)) не возрастает на, (а,Г\] и не убывает на [г\,Ъ);

(c) если, хотя бы одна круговая орбита является экватором {го} х Б1, то все круговые орбиты совпадают с этим экватором, а потенциал V не возрастает на, (а, го] и не убывает на [го,Ь);

(с?) в случае п. (с) потенциал V постоянен на (а, го] или на [го,Ь).

Доказательство, (а) Это утверждение следует из [1, предложения 2 и 3] и замкнутости всех неособых орбит.

(b) В силу п. (а) предельная функция V = £/ея,о обязана обладать следующим свойством: для любых трех точек х < у < г из (а, Ъ) не выполнено V(х) < У(у) > У(г). Отсюда следует требуемый вид V.

(c) Параллель {го} х б*1 является круговой орбитой тогда и только тогда, когда для некоторого Ко Ф 0 выполнено Ко(го) = 0, т.е. Го = г (Ко) (см. п. (а)). Так как 17^ к(г(К)) ф 0 в силу п. (а), то по теореме о неявной функции функция г (К) гладкая и является решением обыкновенного дифференциального уравнения г'(К) = 2 К(г(К)) / (г(К))17^ к(г(К))). Если го = г (Ко) и {го } х 5*1 — экватор, то /'(го) = У(г о) = 0 и функция г (К) := Го тоже является решением. Из совпадения начальных условий г (Ко) = г (Ко) двух решений получаем совпадение решений. Поэтому г (К) = Го при любом К ф 0.

Так как все круговые орбиты {г(К)} х б*1 совпадают с экватором {го} х б*1, то в силу п. (а) требуемым свойством потенциала обладает при любом К ф 0. Поэтому им обладает и V =

иен, о-

(ё) Предположим противное. Тогда (в силу п. (с)) У(а) > У(го) < У(Ь). Согласно п. (а) и п. (с) в случае К ф 0 и К = 0 соответственно, при любом Е из интервала У(го) < Е < тт{У(а), У(Ь)} и любом \К\ < 8ир(/(г)л/2_Б — 2У(г)) множество к(—оо,Е) является непустым интервалом с концами п(Е,К) € (а,Ь), г = 1,2. Так как концы интервала лежат в области (а, Ъ) гладкости функции т0 при всех таких (Е,К) интеграл

непрерывно зависит от (Е, К), включая К = 0. Но при К ф 0 этот интеграл равен Ф(Е, К)/(2\К\) = 1г/(\К\/3) для некоторой константы /3 > 0 (в силу [1, предложение 3] и леммы 2, (а)), поэтому при К —у 0 он стремится к +оо. Следовательно, при К = 0 он равен +оо. Значит, У'(г\(Е, 0)) = 0 или У'(г2(Е,0)) = 0 для любого Е из рассматриваемого интервала. Но это противоречит дифференци-

В силу леммы 1, (а) если ((1в2,У) — вполне бертранова пара (определение 2), то при любом К € К \ {0} существует единственная круговая орбита {г(К)} х Б1 С Б и все круговые орбиты сильноустойчивы.

Лемма 2. Пусть на многообразии Б с метрикой вращения, (1) задан, центральный потенциал V = У(г). Предположим, что при любом достаточно большом значении уровня энергии Е 1 любая неособая некруговая орбита на, этом уровне зам,кнут,а, (например, V — вполне замыкающий потенциал). Тогда:

(а) любая такая орбита однозначно (с точностью до вращения) определяется значением К кинетического момента на соответствующей траектории, таким, что 0 < К2 < 2 вир(¡2(г)(Е —

(и2Е := (Е - У(т))(и2 = (Е- У(г))<1г2 + (Е - У(г))р(г)<1у2.

руемости V.

V(r))), и является графиком периодической функции г = ге,к(<р) с минимальным положительным периодом Ф(Е,К) = 2тг//5 для, некоторой константы ß € Q>o, называемой константой Бертрана;

(b) на римановом многообразии (S, ds2) не более одного экватора, на экваторе /" < 0, все неособые ограниченные геодезические замкнуты и обладают свойством из п. (а) с той же константой Берт,ра,на;

(c) если на, (S, ds2) есть экватор {го} xS1 и {а} х S*1 — полюс, то (S, ds2) изометрично вкладывается в многообразие (0,7г) х S*1 с обобщенной метрикой f2(ro)(ß~2(dg(cos ip) / dip)2 dip2 in2 ip dip2), такой, что g' ^ 0 и g(—cos ip) — g(cosip) = it — 2ip, при помощи диффеоморфизма ip : (а, Ъ) —> (0,7Г — ipi), где ip' > 0 и 0 ^ ip\ < 7г/2; в частности, если многообразие (S,ds2) сферично, то оно является многообразием Таннери;

(d) риманово многообразие вращения, (S,ds2) является многообразием Таннери (определение 2) тогда и только тогда, когда оно имеет два, полюса (т.е. сферично) и единственный экватор {го} х S1 и изометрично многообразию (0,7г) х S1 с метрикой, как в п. (с), для некоторого диффеоморфизм,а, g : (—1,1) —> (0,7г), где g' < 0 и константа ß € Q>o удовлетворяет условию из п. (а) для потенциала V = 0.

По лемме 2, (Ь), (с) всякое сферичное вполне бертраново многообразие является многообразием Таннери.

Лемма 3. Пусть на многообразии S = (а,Ъ) х S1 с метрикой вращения (1) заданы, два, центральных потенциала V\ = Vi (г) mV2 = V2(r), гладкие на, интервалах (a\,b\) С (а,Ь) и (а,Ъ) соответственно. Предположим, что при любом достаточно большом значении уровня энергии Е 1 две римановы метрики ds2 Е, соответствующие по принципу Мопертюи метрике (1), потенциалу V и уровню энергии Е, г = 1,2 (см. (2)); сопряжены (т.е. изометричны) при помощи диффеоморфизма (изометрии), зависящего от Е и близкого к тождественному на любом компакте в (a\,b\) х S1. Тогда, в любом "поясе" (ao,bo) х S1 С (ai,i>i) х S1, не содержащем, экваторов метрики (1), выполнено тождество V\ — V2 = Сf, где С — константа (зависящая, от, "пояса"), f = f(r) ~ радиус параллели.

Леммы 1—3 позволяют решить задачу о классификации вполне бертрановых многообразий и пар следующим образом.

Теорема. Вполне бертрановы многообразия вращения (S, ds2) вместе с вполне замыкающими центральными потенциалами V на, S (определение 2) с точностью до сопряженности пар (ds2, V) образуют, пять семейств (i)—(v) из примера 2. Любые две вполне бертрановы пары, (ds2,V), принадлежащие либо разным, семействам, либо одном,у семейству с разным,и наборами парам,ет,ров, не сопряжены. Римановы многообразия семейств (i) и (iv) составляют часть puма,новых многообразий семейства (v). Любые два, puма,новых многообразия, принадлежащие либо разным семействам (И), (iii), (v), либо одном,у семейству (i)—(v) с разными наборами парам,ет,ров, неизометричны.

Замечание. Семейства (ii), (iii) из теоремы характеризуются отсутствием экваторов. Для семейств (i), (iv) все круговые орбиты находятся по одну сторону экватора (по ту где находится притягивающий полюс, т.е. потенциал принимает меньшие значения) и потенциал — не константа, а семейство (v) характеризуется тем, что все круговые орбиты совпадают с экватором и потенциал — константа.

Авторы приносят благодарность O.A. Загрядскому и А.Т. Фоменко за полезные замечания и обсуждения.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №13Ч)Ю0664-а и программы "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-1410.2012.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Загрядский O.A., Кудрявцева Е.А., Федосеев Д.А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. 2012. 203, № 8. 39-78.

2. Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.: Мир, 1981.

3. Santoprete M. Gravitational and harmonic oscillator potentials on surfaces of revolution //J. Math. Phys. 2008. 49, N 4. 042903.

4. Bertrand J. Théorème relatif au mouvement d'un point attiré vers un centre fixe // C.r. Acad. sei. Paris. 1873. 77. 849-853.

5. Perlick V. Bertrand spacetimes // Class. Quantum Grav. 1992. 9. 1009-1021.

6. Загрядский O.A., Федосеев Д.A. О глобальной и локальной реализуемости римановых многообразий Бертрана в виде поверхностей вращения // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 3. 18-24.

7. Загрядский O.A., Федосеев Д.А. О явном виде метрик Бертрана // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 5. 46-50.

8. Нгуен Т.З., Фоменко А.Т. Топологическая классификация интегрируемых невырожденных гамильтонианов на изоэнергетической трехмерной сфере // Успехи матем. наук. 1990. 45, № 6. 91-111.

9. Болсинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые геодезические потоки на сфере, порожденные системами Горячева-Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела // Матем. заметки. 1994. 56, № 2. 139-142.

10. Bolsinov А. V., Fomenko А. Т. Application of classification theory for integrable Hamiltonian systems to geodesic flows on 2-sphere and 2-torus and to the description of the topological structure of momentum mapping near singular point //J. Math. Sci. 1996. 78, N 5. 542-555.

11. Болсинов А.В., Матвеев B.C., Фоменко А. Т. Двумерные римановы метрики с интегрируемым геодезическим потоком. Локальная и глобальная геометрия // Матем. сб. 1998. 189, № 10. 5-32.

12. Болсинов А.В., Козлов В.В., Фоменко А. Т. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела // Успехи матем. наук. 1995. 50, № 3 (303). 3-32.

Поступила в редакцию 24.06.2014

УДК 519.6

ОБ ОДНОЙ РАЗНОСТНОЙ СХЕМЕ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ КИЛЬВАТЕРНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ

А. А. Коник1, Е. В. Чижонков2

В статье приводится реализованная методом конечных разностей схема для решения системы нелинейных уравнений в частных производных, описывающей трехмерную аксиально-симметричную плазменную кильватерную волну; представлены результаты расчетов динамики кильватерной волны вплоть до опрокидывания.

Ключевые слова: метод конечных разностей, плазменная кильватерная волна, нелинейные уравнения в частных производных.

The article presents a scheme implemented by the finite difference method for solving a system of nonlinear partial differential equations describing a three-dimensional axial symmetric plasma wakefield. The results of calculations of dynamics of the wakefield until breaking are also obtained.

Key words: finite difference method, plasma wakefield, nonlinear partial differential equations.

Введение. Рассмотрим систему дифференциально-алгебраических уравнений с частными производными

F

где х = х(р, г]) = (q,(p,ip,ry)T — вектор неизвестных, у = (0,0,0, |а|2/4) — заданная правая часть, F = = (/i, /2, /3, /4)71 — нелинейный оператор:

д^гф д^гф ^ Q C)Q 1

fl = q+d^+q<p' h = /з = -Q-2+-—P—-M+V+1+V1, и = 7-7^+2 W + <?2] •

Здесь использовано обозначение А = -77- ( ртг ) для радиальной части оператора Лапласа.

pop \ op J

Система

Г р2 V2]

а

1 Коник Анастасия Алексеевна — асп. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nastasya-konikQyandex .ru.

2 Чижонков Евгений Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. вычислительной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chizhonkQmech.math.msu.su.