Влияние инерционных волн на устойчивость границы раздела "жидкость - сыпучая среда" в либрирующем цилиндре

ВЛИЯНИЕ ИНЕРЦИОННЫХ ВОЛН

НА УСТОЙЧИВОСТЬ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА «ЖИДКОСТЬ - СЫПУЧАЯ СРЕДА» В ЛИБРИРУЮЩЕМ ЦИЛИНДРЕ

В.В. Дьякова1, С.В. Субботин2

1Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29

2Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24

Экспериментально исследуется динамика жидкости и сыпучей среды во вращающемся с переменной скоростью (либ-рирующем) горизонтальном цилиндре. При быстром вращении полости сыпучая среда тонким слоем покрывает боковую цилиндрическую поверхность полости. Либрации приводят к возникновению осциллирующего движения в вязких пограничных слоях. Последние являются источниками инерционных волн, которые возникают вблизи соединения цилиндрической и торцевых стенок. При отражении волн от границы «жидкость - сыпучая среда» в пограничном слое Стокса генерируются осредненные тороидальные потоки. Следствием этого является формирование кольцевых структур из мелких частиц угля на межфазной границе. С увеличением амплитуды либраций на изначально осесимметрич-ной поверхности сыпучей среды пороговым образом возникает регулярный рельеф в форме дюн. В работе исследуется влияние инерционной волны на порог возникновения рельефа.

Ключевые слова: либрации, колебания, осредненное течение, инерционные волны, сыпучая среда, структурообразование.

ВВЕДЕНИЕ

Исследование динамики жидкости в неравномерно вращающихся (либрирующих) полостях представляет интересную фундаментальную задачу. Экспериментальные и теоретические исследования

© Дьякова В.В., Субботин С.В., 2017

динамики жидкости в либрирующих цилиндрических [1-3] и сферических [4, 5] полостях показывают, что в результате вращательных колебаний генерируются стационарные азимутальные течения. В случае, когда частота либраций вдвое меньше средней скорости вращения, в полости распространяются инерционные волны [6], которые также возбуждают осредненные течения [7]. Колебания жидкости могут генерироваться и в отсутствие либраций. Так, в [8] экспериментально исследована динамика центрифугированного слоя жидкости в равномерно вращающемся вокруг горизонтальной оси цилиндре. Под действием силы тяжести слой жидкости совершает колебания относительно полости с частотой, равной частоте вращения. О структуре осредненных потоков можно судить по распределению мелких тяжелых частиц визуализатора, которые формируют кольцевые структуры на боковой стенке полости. В работе показано, что появление колец обусловлено отражением инерционных волн, которые рождаются в углах полости в результате колебаний. Аналогичные азимутальные структуры, связанные с инерционными волнами, наблюдаются в сферической полости, в центре которой располагается осциллирующее сферическое ядро [9].

Зачастую частицы сыпучей среды не только позволяют обнаружить и исследовать движение жидкости, но могут стать причиной возникновения различных явлений. Например, осциллирующие потоки жидкости над слоем сыпучей среды приводят к формированию пространственно-периодического рельефа на ее поверхности [10-12]. В [11] обнаружено, что под действием тангенциальных к границе раздела фаз колебаний происходит ожижение сыпучей среды, что приводит к развитию неустойчивости Кельвина -Гельмгольца на границе чистой жидкости и ожиженной сыпучей среды. В [12] исследуется устойчивость границы раздела «жидкость - сыпучая среда» в либрирующем цилиндре. Колебания жидкости над поверхностью сыпучей среды приводят к формированию вытянутых вдоль оси вращения полости чередующихся холмов и впадин.

Данная работа является продолжением исследований [12]. Правда, теперь эксперименты проводятся в относительно длинном цилиндре, при этом большое внимание уделяется изучению влияния инерционных волн на структурообразование.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА И МЕТОДИКА

Эксперименты проводятся в кювете 1, установленной горизонтально на платформе 2 и закрепленной в подшипниках в верти-

кальных опорах 3 (рис. 1). Кювета посредством жесткой муфты 4 соединяется с валом шагового двигателя 5 типа РЬ868ТИ118-6004А, управляемым драйвером 8МБ-8.0 и питающимся от источника постоянного тока Ма81есЪ ИУ5005Е.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки

В качестве кювет используются два оргстеклянных цилиндра кругового сечения одинакового диаметра, но разной длины (геометрические размеры представлены в таблице). Непосредственно перед началом экспериментов кювета заполняется жидкостью и сыпучей средой так, что газовая фаза отсутствует. В качестве сыпучей среды используются стеклянные сферические частицы. Для визуализации потоков в жидкость добавляется измельченный активированный уголь, массовая доля которого не превышает 1%. В зависимости от цели эксперимента, наблюдения проводятся в стробоскопическом освещении или в освещении лазерного ножа, проходящего через торцевую стенку кюветы.

Эксперимент проводится следующим образом. Кювета приводится в быстрое равномерное вращение вокруг горизонтальной оси, при этом сыпучая среда кольцевым слоем покрывает боковую границу полости. После установления твердотельного вращения системы «жидкость - сыпучая среда» задаются либрации полости: скорость вращения меняется по закону:

) = Ог (1) ,

где Ог = 2ж/г - средняя угловая скорость вращения полости, а е = фО1 / О г и О1 = 2р/ - амплитуда либраций и циклическая частота угловых колебаний соответственно. Скорость вращения по-

лости, частота и амплитуда либраций задаются с помощью генератора сигналов ЦАП 7ЕТЬаЬ 210 с точностью 0.06 рад/с.

Таблица

Параметр Определение Значение

Ь Длина полости 72.0 и 102.0 мм

и Диаметр полости 52.0 мм

V Вязкость рабочей жидкости (вода) 1 сСт

й Средний диаметр частиц сыпучей среды 0.1 мм

р Плотность сыпучей среды 2.5 г/см3

Н Толщина центрифугированного слоя песка 2 мм

Пг Средняя скорость вращения полости 62.8 с-1

П Циклическая частота либраций 0 - 144.5 с-1

п = п / п Безразмерная частота либраций 0 - 2.3

ф Угловая амплитуда либраций 0.04 - 1.40 рад

Е = ф П Безразмерный либрационный параметр 0.05 - 0.15

Основные эксперименты посвящены исследованию устойчивости границы «жидкость - сыпучая среда» к появлению пространственно-периодического рельефа. Для этого при фиксированном значении средней скорости вращения Ог и частоте либраций О изменяется либрационный параметр е. Для контроля состояния границы раздела осуществляется фоторегистрация через торцевую стенку полости. Если в течение нескольких десятков минут поверхность песка остается невозмущенной, эксперимент завершается. После этого все этапы эксперимента повторяются при более высоком значении е , пока на поверхности сыпучей среды не возникнет рельеф. Данный алгоритм повторяется для всего диапазона частот либраций (диапазон изменения значений параметров указан в таблице).

С целью визуальной демонстрации инерционных волн в либри-рующей кювете проводятся дополнительные исследования профиля скорости жидкости Р1У-методом. Эти эксперименты проводятся в отсутствие сыпучей среды, которая является непрозрачной. Визуализация осуществляется при помощи добавления в рабочую жид-

кость пластиковых частиц размером ~ 100 мкм, плотность которых близка к плотности жидкости. В качестве источника света служит лазер непрерывного действия Z-Laser Z500Q, световой нож от которого рассекает полость вдоль оси вращения. Видеорегистрация положения светорассеивающих частиц осуществляется с помощью неподвижной в лабораторной системе отсчета скоростной видеокамеры CamRecord CL600x2 с частотой, кратной средней частоте вращения. Далее с помощью программы PIVLab [13] исследуется мгновенный профиль скорости.

2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

Инерционные волны. В отсутствие вращения тяжелая сыпучая среда занимает положение в нижней части кюветы. При медленном вращении часть сыпучей среды увлекается вращающейся цилиндрической стенкой полости. Увеличение скорости вращения кюветы приводит к переходу сыпучей среды в центрифугированное состояние. В рассматриваемых экспериментах исследуется случай быстрого вращения, когда тяжелая сыпучая среда тонким равномерным слоем покрывает боковую стенку кюветы.

В отсутствие либраций жидкость совершает твердотельное вращение вместе с полостью, при этом частицы визуализатора (измельченный активированный уголь) равномерным слоем покрывают центрифугированную границу сыпучей среды. Либрации приводят к появлению осциллирующего движения в пограничных слоях на торцевых стенках полости (слои Экмана) и на цилиндрической поверхности сыпучей среды (слои Стокса). Колебания в слоях Стокса генерируют осредненное ретроградное вращение всей жидкости [3]. В то же время, если безразмерная частота либраций / Wr < 2 , в углах полости рождаются инерционные волны [6]. Эти волны распространяются в объем жидкости вдоль характеристических поверхностей в форме конусов. Направление распространения волн по отношению к оси вращения определяется безразмерной частотой либраций, sin 0 = W / 2 . Достигая межфазной границы, волны отражаются и продолжают распространяться в другом направлении. Отражение сопровождается возбуждением дополнительного локального осциллирующего движения в пограничном слое Стокса. Последнее является причиной возникновения осредненных тороидальных потоков. При малых значениях амплитуды либраций e (до порога возникновения рельефа на поверхности сыпучей среды) дополнительное осредненное движение жидко-

сти вдоль боковой стенки приводит к перераспределению частиц визуализатора: появляются кольцевые структуры (темные полосы на рис. 2).

в

Рис. 2. Структуры, возбуждаемые инерционными волнами на границе «жидкость - сыпучая среда», при различных значениях частоты либраций О . Горизонтальные белые линии - внутренние границы полости; штриховыми линиями обозначены предполагаемые траектории распространения инерционных волн при е = 0.05

Так, при О = 0.85 направление распространения волны таково, что она не испытывает ни одного отражения от цилиндрической и торцевой стенок, а попадает в противоположный угол полости (рис. 2 а). При этом частицы угля концентрируются вблизи торцов полости, формируя два широких кольца.

При частотах О = 1.37 (рис. 2 б) и О = 1.63 (рис. 2 в) волна единожды и дважды соответственно изменяет направление распространения, отражаясь от цилиндрической стенки кюветы, и возвращается в место соединения торцевой и цилиндрической стенок полости. На фотографиях отчетливо видно, что вблизи линии отражения волны возникают два кольца. Это означает, что осредненные тороидальные потоки, возбуждаемые волной, направлены в проти-

воположные стороны от мест отражения. Мелкие частицы двигаются вдоль потока, формируя кольцевые структуры. Структурооб-разование происходит в течение нескольких минут с момента включения либраций. Положение колец не меняется со временем и зависит от безразмерной частоты либраций О .

а б

Рис. 3. Структуры докритического течения на поверхности сыпучей среды: вид сбоку (а) и со стороны торца (б) при О = 1.10 и е = 0.08

При частоте О = 1.10 первое отражение инерционной волны происходит от цилиндрической стенки, после чего волна неоднократно отражается от торцов и от цилиндрической стенки поочередно (рис. 3). Как и в предыдущих случаях, происходит перераспределение частиц угля: они собираются в пять колец, расположенных между линиями, в которых происходит отражение инерционных волн.

Для демонстрации существования инерционных волн была проведена визуализация мгновенного профиля скорости жидкости Р1У-методом в отсутствие сыпучей среды. Наблюдения велись со стороны боковой поверхности кюветы, поэтому для компенсации оптических искажений на цилиндрической стенке кювета помещалась в параллелепипед, изготовленный их прозрачных оргстеклянных пластин. Пространство между стенками параллелепипеда и цилиндра заполнялось той же жидкостью, что и рабочая полость.

Результаты Р1У-визуализации мгновенного профиля скорости показаны на рис. 4. В фазе либраций О= 0 жидкость выталкивается из углов полости вдоль характеристических поверхностей. Это приводит к возникновению завихренности в объеме жидкости (рис. 4 а), и вдоль направления распространения волны мгновенная

скорость оказывается максимальной (б). В противоположной фазе либраций, 0.иьг = р, картина завихренности будет зеркально симметричной. В рассматриваемом случае частота О подобрана таким образом, чтобы волна испытывала только одно отражение. Траектория распространения инерционной волны, рассчитанная по формуле 0 = arcsin(Q /2) [6], хорошо согласуется с экспериментальными наблюдениями.

Рис. 4. Мгновенное поле азимутальной завихренности в проекции на ось х

Рельеф на поверхности сыпучей среды. С повышением интенсивности либраций (с увеличением е) изначально невозмущенная граница сыпучей среды становится неустойчивой к появлению пространственно-периодического рельефа в виде холмов и впадин

(рис. 5). Формирование рельефа происходит пороговым образом в центральной части полости, а при последующем увеличении е рельеф распространяется по всей поверхности сыпучей среды. При этом вдоль оси вращения структура неоднородна: если в центральной части полости рельеф параллелен оси вращения, то вблизи торцов структуры закручиваются в азимутальном направлении.

Рис. 5. Пространственно-периодический рельеф на поверхности сыпучей среды при О = 1.15 и е = 0.12: вид сбоку

Эксперименты показывают, что на осевую симметрию рельефа существенное влияние оказывают инерционные волны. Так, при О = 1.15 волна испытывает два отражения от поверхности сыпучей среды, и на рельефе вблизи мест отражения возникает два кольца из частиц угля (рис. 5). Пространственно-периодические структуры в промежутках между областями, в которых происходит взаимодействие волны с поверхностью сыпучей среды, вращаются с различными угловыми скоростями.

а

б

Рис. 6. Зависимость угловой амплитуды либраций р от О в пороге возникновения пространственно-периодических структур (темные точки) для полости длиной Ь = 102 мм. Штриховая кривая соответствует закону р ~ О-12; (х ) - результаты [12]

Зависимость критического значения угловой амплитуды либраций р, при котором на поверхности сыпучей среды возникает рельеф, от безразмерной частоты О показана на рис. 6. Из анализа результатов следует, что на порог устойчивости существенное влияние оказывают инерционные волны. В области частот О < 0.87 в кювете длиной Ь = 102.0 мм критическое значение р ~ О-1. Это означает, что когда первое отражение инерционной волны происходит от торцевой стенки цилиндра, критическое значение параметра е = (рО остается неизменным (рис. 7). При частотах О > 0.87 первое отражение инерционной волны происходит от границы раздела «жидкость - сыпучая среда», поскольку tgв> Э/Ь . В этой области критическое значение р уменьшается

пропорционально О-2 (рис. 6), при этом пороговое значение либ-

рационного параметра уменьшается с безразмерной частотой по закону е ~ О-1 (рис. 7).

Ранее устойчивость границы раздела «жидкость - сыпучая среда» в либрирующем цилиндре изучалась в [12]. Эксперименты проводились в относительно короткой кювете с аспектным соотношением Ь / Б = 0.15, когда инерционные волны испытывали многочисленные отражения от торцевых стенок полости, прежде чем достигали поверхности песка. Сравнение порогов возникновения рельефа (х на рис. 6) с результатами, полученными авторами, показывает хорошее согласие в области О< 0.87. Близкими по величине оказываются не только критические значения угловой амплитуды ф , но и законы изменения ф с частотой. В [12] экспериментальные результаты аппроксимируются зависимостью р ~ О-12, в нашем случае зависимость имеет вид р ~ О-1. Можно предположить, что интенсивность осредненных потоков, возбуждаемых инерционными волнами, существенно ослабевает после первого отражения. Поэтому если первоначально волна взаимодействует не с поверхностью сыпучей среды, а с торцом полости, критическое значение е практически не зависит от О .

Рис. 7. Зависимость безразмерного параметра е от безразмерной частоты либраций О в пороге возникновения пространственно-периодических структур

По достижении значения частоты либраций О »1.75 зависимость е(О) претерпевает пороговое изменение, что может быть связано с приближением к области частот, где инерционные волны отсутствуют (О > 2 ). Обсуждение этого выходит за рамки рассматриваемой статьи.

При изменении геометрических размеров полости значение частоты О , при которой инерционная волна не оказывает существенного влияния на порог неустойчивости, меняется. Так, в кювете длиной Ь = 52.0 мм динамика жидкости и сыпучей среды в либри-рующем цилиндре остается прежней, однако изменение зависимости е(О) происходит при О = 1.11 (рис. 7, темные символы). При этой частоте инерционная волна, возникающая в углу вблизи одного торца, ударяет точно в угол у другого торца.

Заключение. Экспериментально исследована динамика границы раздела «жидкость - сыпучая среда» во вращающемся с переменной скоростью (либрирующем) цилиндре. Обнаружено, что вблизи соединения цилиндрической и торцевых стенок полости возникают инерционные волны, которые возбуждают интенсивные тороидальные потоки в пограничных слоях на цилиндрической границе раздела. Появление потоков сопровождается структурообразованием из частиц угля в виде азимутальных колец. С увеличением амплитуды либраций на границе раздела пороговым образом возникает пространственно-периодический рельеф в виде холмов и впадин, при этом существенное влияние на порог устойчивости границы оказывают инерционные волны. Так, если волна испытывает первое отражение от торцевой стенки полости, критическое значение либ-рационного параметра е не зависит от частоты О , если же первое отражение инерционной волны происходит от межфазной границы, критическое значение е обратно пропорционально О .

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №16-31-00169 мол_а). Авторы входят в состав Ведущей научной школы № НШ-9176.2016.1.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Wang C.Y. Cylindrical tank of fluid oscillating about a state of steady rotation // J. Fluid Mech. 1970. Vol. 41(3). P. 581-592.

2. Noir J., Calkins M.A., Lasbleis M., Cantwell J., Aurnou J.M. Experimental study of libration-driven zonal flows in a straight cylinder // Phys. Earth Planet. Inter. 2010. Vol. 182(1). P. 98-106.

3. Busse F.H. Zonal flow induced by longitudinal librations of a rotating cylindrical cavity // Physica D. 2011. Vol. 240. P. 208-211.

4. Sauret A., Cebron D., Morize C., Le Bars M. Experimental and numerical study of mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 662. P. 260-268.

5. Busse F.H. Mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. 2010. Vol. 650. P. 505-512.

6. Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей // Л: Гидрометео-издат, 1975. 304 c.

7. Favier B., Barker A., Baruteau C., Ogilvie G. Nonlinear evolution of tidally forced inertial waves in rotating fluid bodies // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2014. Vol. 439. P. 845-860.

8. Kozlov V., Polezhaev D. Flow patterns in a rotating horizontal cylinder partially filled with liquid // Phys. Rev. E. 2015. Vol. 92(1). P. 013016.

9. Kozlov V.G., Kozlov N.V., Subbotin S.V. Steady flows excited by circular oscillations of a free inner core in a rotating spherical cavity // Eur. J. Mech. B-Fluid. 2016. Vol. 58 (4). P. 85-94.

10. Stegner A., Wesfreid J.E. Dynamical evolution of sand ripples under water // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60(4). R3487-R3490.

11. Иванова А.А., Козлов В.Г. Граница раздела песок - жидкость при вибрационном воздействии // Изв. РАН. МЖГ. 2002. № 2. С. 120-138.

12. Dyakova V., Kozlov V., Polezhaev D. Oscillation-induced sand dunes in a liquid-filled rotating cylinder // Phys. Rev. E. 2016. Vol. 94(6). P. 063109.

13. Thielicke W., Stamhuis E.J. PIVlab - towards user-friendly, affordable and accurate digital particle image velocimetry in MATLAB // J. Open Res. Softw. 2014. Vol. 2. e30.

EFFECT OF INERTIAL WAVES ON THE STABILITY OF THE LIQUID - GRANULAR MEDIUM INTERFACE IN A LIBRATING CYLINDER

V.V. Dyakova, S.V. Subbotin

Abstract. The dynamics of a liquid and a granular medium in a horizontal cylinder rotating at a variable velocity (librating) is experimentally studied. In a rapidly rotating cylinder, the granular medium forms a thin cylindrical layer on the lateral surface of the cavity. Librations lead to the appearance of an oscillating motion in viscous boundary layers. The latest are sources of the inertial waves, which arise near the connection of the cylindrical and end walls. The reflection of the waves from the liquid -granular medium boundary leads to the generation of steady toroidal flow in the Stokes boundary layer. As a result, there is the formation of ring structures from small particles of coal at the interphase boundary. With an increase of the amplitude of librations in the initially axisymmetric surface of the granular medium, a regular relief in the form of dunes arises in a threshold manner. The effect of the inertial waves on the threshold of the occurrence of the relief is investigated in present paper.

Key words: librations, oscillations, averaged flow, inertial waves, granular medium, pattern formation.