СПЛАЙН-ВЕЙВЛЕТЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ВОССТАНОВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

Сплайн-вейвлеты и их применение в задачах восстановления сигналов

Х.Н. Зайнидинов1, С. У. Махмуджанов1, Г. О. Тожибоев2

Ташкентский университет информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми 2 Андижанского машиностроительного института

Аннотация. В работе приведены методы вычисления размеров выборок одномерных сигналов, основанные на преобразованиях Фурье последовательностей В-сплайнов, которые аппроксимируют сигнал /(х). Получено неравенство, позволяющее выбрать длину шага выборки h, связанного с точностью восстановления сигнала на основе анализа спектра энергии (мощности) аппроксимирующей формы.

Ключевые слова. Сплайн-вейвлет, базисный сплайн, полиномиальный сплайн, сглаживающие сплайн, кардинальный ряд, теорема отсчетов, спектр, финитный спектр, выборка, спектральная плотность, спектральная энергия.

ВВЕДЕНИЕ

Известный английский математик Э. Уиттекер показал, что sinc-функция как общий член кардинального ряда играет центральную роль в теории интерполяции на сетке равноотстоящих на оси абсцисс дискретных узлов. В дальнейшем основные результаты Э. Уиттекера были использованы в теории связи и теории информации, когда теоремами отсчетов Котельникова-Шеннона была доказана возможность замены непрерывного одномерного сигнала с финитным спектром последовательностью дискретных отсчетов без потери информации. Имелось в виду идеальное восстановление сигнала, являющегося целой функцией времени, т.е. аналитической функций, которая может быть разложена в бесконечный абсолютно сходящийся ряд [1, 2, 5, 7, 8].

Безусловно, для реальных сигналов данные требования не выполняются. Прежде всего, это объясняется их конечной длительностью, если сигналы - функции времени, или конечностью в пространстве, если они зависят от других физических переменных, например, расстояний в метрах, километрах и т.д. Одной из основных проблем применений кардинального ряда в различных приложениях является

необходимость его усечения, что, наряду с другими причинами, вносит ошибки в процессы восстановлении сигналов. Все известные формулы оценки ошибок восстановления сигнала базируются на принципе финитности спектра сигнала, который был положен еще в основу теорем Котельникова - Шеннона. В то же время многие авторы подчеркивали, что число отсчетов в выборках, когда независимые аргументы не являются временем и к тому же их может быть несколько, обычно значительно меньше, чем отсчетов функций времени [1, 7, 13, 14]. Ясно, что принцип финитности сигнала противоречит принципу финитности его спектра.

БАЗИСНЫЕ СПЛАЙНЫ КАК ФИНИТНЫЕ БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ С КОМПАКТНЫМИ НОСИТЕЛЯМИ

Базисные сплайны - типичный пример функций, спектры которых инфинитны и, более того, имеют много общего с общим членом кардинального ряда вследствие дуальности (в смысле равноценности аргументов) ядра интегральных преобразований К(х,

ю) = sin(юx)/юx. Для задач формирования выборок сигналов два класса финитных базисных функций с компактными носителями - базисные сплайны (В-сплайны) и семейства вейвлет-функций, для которых существуют алгоритмы быстрых спектральных преобразований [3, 4, 6, 10]. Наряду с другими вейвлетами, в таких задачах применяются сплайн-вейвлеты [7].

Сплайн-вейвлеты классифицируются по четырем категориям:

- ортогональные (БаШе-Ьетапе);

- полуортогональные (Б-сплайны, Бквеп-Ъет%)\

- ортогональные при сдвигах (С кош);

- биортогональные (Coкen-DauЪecкies),

а также по значениям степеней и/или порядков вейвлетов

На Рис. 1 и Рис. 2 приведены сплайн-вейвлеты различных степеней и порядков.

В 60-80-х годах XX века для решения задач аппроксимации непрерывных функций получили широкое распространение полиномиальные сплайны целой степени т [3, 4, 9, 11].

Обозначим сплайн-функцию одной переменной х как Sm(x) (одномерный ^-сплайн).

Такой сплайн строится на сетке узлов х, расположенных на оси абсцисс = 0,1, ..., п):

а = х0 < х1 < Ъ ... < хп-1 < хп = Ъ

и обладает следующими свойствами:

1) Непрерывность на любом замкнутом отрезке [а, Ъ] вместе со своими производными до некоторого порядка р.

2) Совпадение с полиномом такой же степени m на каждом внутреннем интервале [х, хт] отрезка [а, Ь]:

5т(х) = Рт,{(х) = а01 + а1,1(х-х1) + а2д(х-х02 +...+

ат,1

Рис. 1. Сплайн-вейвлеты степени 1 порядка 2

Рис. 2. Сплайн-вейвлеты степени 2 порядка 3

результаты известны лишь приближенно. При большом объеме данных могут потребоваться сложные алгоритмы восстановления и значительные ресурсы времени. Здесь важное место занимают сглаживающие сплайны. Они могут строиться в соответствии с различными критериями приближения, например, в результате минимизации функционалов вида:

п Ь

3 (8) = (5 (х)-/(х ))2 + а (5" (х ))2 дх,

1=0 а

или

J (a, S) = aj

dr

— S

dxr

dx + X

Разность d = m - p называется дефектом сплайна. Различают интерполяционные и сглаживающие сплайны. Построение интерполяционных сплайнов степени m > 2 связано с необходимостью решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), причем важную роль в алгоритмах вычисления коэффициентов играют краевые (граничные) условия.

В задачах воспроизведения экспериментальных зависимостей по данным измерений

где а1, а - положительные числа. В этих формулах сочетаются суммы квадратов отклонений сплайна от значений функции в узлах и степень его гладкости [24].

В теории аппроксимации сплайнами фундаментальный смысл приобретает понятие базиса как системы базисных функций. Если задана сетка узлов (1), то на отрезке [а, Ь] любой 5-сплайн степени т дефекта д = 1 может быть представлен в виде суммы базисных сплайнов (В-сплайнов) с весовыми множителями-коэффициентами Ь.

п+т+1

/(х) @ 8т (х) = X ЬгВт, (х),

1=-т

где сплайны Вт,1 представляют собой финитные, кусочно-полиномиальные функции, более того, определенные на компактных носителях. Они должны удовлетворять следующим условиям:

Вт (х)° Оприх е (X,, х,+т+1); Вт (х )> 0 при х е ( X,, X, + т +1 );;

Ь х,+т+1

\ВП1 (г)дг = | Вт,,(г)дг = 1.

а х

В-сплайны отличаются от нуля на интервалах длиной (т+\)к и являются линейно независимыми на [а, Ь]. Для аппроксимации функции /(х) последовательностью 5-сплайнов необходимо ввести за пределами интервала [а, Ь] дополнительные узлы в количестве 2т (т узлов слева и такое же количество узлов справа).

В-сплайн любой степени т > 1 строится по рекуррентной формуле свертки [25]:

Bm+l( x) = Bm (x)* B0(x) = j Bm {T)B0(x -t)dt.

2

a

Если расстояния между соседними узлами сплайна одинаковы, т.е. xi+1-xt=h = const, то эта величина h представляет собой шаг аппроксимации (интерполяции) для равномерной сетки. Приведем аналитические выражения для В-сплайнов малых нечетных степеней (1-я и 3-я) в окрестностях начала координат x = 0 при равноотстоящих узлах с шагом h =1: - для В-сплайна 1 -й степени (носитель - отрезок [-1, 1]):

0, если x > 2;

Вх( x) =

x -1, если xе[-1,0]; 1 - x, если xе [1 - x]; 0, если x £[-1,1].

- для В-сплайна 3-й степени (носитель - отрезок [-2,2]):

Вз(x) =

если [1 < x < 2;

1 + 3(1 -x) + 3(1 -x)2 -3(1 -x)2

B3(-x).

если [0 < x < 1];

Графики последовательностей В-сплайнов двух данных степеней приведены на Рис. 3.

Рис. 3. Сдвиги В-сплайнов порядка 2

Матрица систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), необходимая для вычисления ¿-коэффициентов интерполяционного кубического сплайна, получается трехдиагональной с преобладающей главной диагональю. Она является неособенной и вычислительный процесс получения

коэффициентов устойчив. Система уравнений может быть решена, например, методом прогонки [7, 11]. Соответствующая матрица для получения коэффициентов сглаживающего сплайна - обычно пятидиагональная. Системы уравнений с такими матрицами также легко решаются методом прогонки. Наряду с такими вариантами в теории сплайнов разработаны так называемые «локальные» сглаживающие (усредняющие) алгоритмы, не требующие решения систем алгебраических уравнений высоких порядков, что ведет к сокращению времени обработки исходных массивов данных [7, 9, 11]. Необходимый объем вычислений мало

зависит от числа узлов сетки и определяется практически лишь степенью сплайна. Он получается значительно меньшим, чем при интерполяции, а результаты характеризуются лишь незначительным снижением точности. Для кубических сплайнов сходимость процесса аппроксимации к достоверному результату в зависимости от шага оценивается как 0(к4).

Примерами локальных сглаживающих формул вычисления Ь-коэффициентов для внутренних точек отрезка (а, Ъ) являются [4]: Для сплайнов 3-й степени: усреднение по трем значениям функции 1"(х):

Ъ =1 (-/_1 + 8/ - /+1);

6

усреднение по пяти значениям:

bt = -1 (¿-2 -10/-1 + 54f - 10f+1 + f+2). 36

Для сплайнов 5-й степени: 2019, № 2

3

6

6

формулы трех значений (10) для коэффициентов кубических В-сплайнов могут быть дополнены выражениями для граничных точек [7]:

ГЬ,-1 = 6/; - 4Ь, - Ь,+1; , = 0,1;

и+1 = 6/ - 4Ь, - Ьг+1; ; = п - 1, п

Преобразования Фурье В-сплайнов любых степеней т дают своим результатом формулы следующего вида [4, 7, 12]:

Fm С) = Ah

sin( сок / 2) wh /2

v m+1

где А - амплитуда В-сплайна. Графики модулей спектральной плотности В-сплайнов первой и третьей степеней приведены на Рис. 4.

усреднение по пяти значениям:

Ь, = ^(!3/-2 -122/-, + 438/, -122/+1 +13/+2).

Такие формулы сохраняют свойства гладкости аппроксимирующих сплайнов и тот же порядок сходимости, что и интерполяционные приближения. Величины коэффициентов практически не зависят от значений функции, достаточно удаленных от текущего номера узла. Они имеют симметричный вид, но справедливы только для внутренних точек отрезка. Величины коэффициентов для граничных и соседних с ними отсчетов определяются посредством отдельных интерполяционных формул. Также может потребоваться введение дополнительных узлов за пределами отрезка. Например,

1.0г

0.8 -

0.6 -

0.4 -

0.2

0.0

2.0

2.5

3.0

3.5

0.8 -

0.6 -

0.4 -

0.2

0.0

1.5

2.0

Рис. 4. Графики модулей спектральной плотности В-сплайнов первой и третьей степеней

B-сплайны представляют собой

естественную систему базисных функций, с помощью которой могут быть со всей обоснованностью созданы необходимые длины дискретных выборок непрерывных сигналов. Во-первых, они располагают собственной сеткой внутренних узлов. Во вторых, аналитические выражения их спектральных характеристик, представленные формулой (14), имеют много совпадений с выражением для общего члена sinc(x) кардинального ряда, что использовали в теории связи В.А. Котельников и К. Шеннон при получении основной теоремы отсчетов. Отличия состоят в том, что для

фиксации выборки выделяются нули а>с=л/Н частотной функции Fm(ю), а не нули кардинального ряда, а также в том, что степень т трансцендентной функции может быть больше единицы. Теоретически функции частотного аргумента в формуле (14) определены и не равны нулю на всей оси абсцисс, за исключением счетного множества точек. Основное различие, не считая показателя степени т > 1, состоит в том, что непрерывной переменной может служить частота с, а дискретные значения шагов И автоматически фиксироваться, как существенным принципом самой теорией сплайнов как финитных

базисных элементов, т. е. расстановкой их узлов. И точно так же, как и Ах, ю)=зтс(х,ю), функции ^т(ю) теоретически имеют бесконечное число нулей.

Воспользуемся формулой для спектральной энергии:

T Ч ¥

E = J f 2(x)dx = - Jf2 (w) dw.

rp P f\

1 ¥

E = — j (F(w) )2 dw,

а также применим равенство Парсеваля для непрерывных сигналов:

Используем также термин «энергия Ее на уровне е». Он означает величину интеграла энергии для функций, интегрируемых с квадратом, отличающуюся на величину е от полной энергии сигнала. Возьмем в качестве непрерывного сигнала экспериментально полученную функций Ах), график которой на замкнутом отрезке [а, Ъ] изображен на Рис. 5. Эта функция может быть аппроксимирована последовательностью интерполяционных и/или сглаживающих 5-сплайнов различных степеней.

Рис. 5. График непрерывного экспериментально полученного сигнала на замкнутом отрезке [а, Ъ]

Формула для функции амплитудного спектра Ра8(о) таких последовательностей, одинаковые по форме элементы которой, сдвинуты на расстояния, равные к, приведена в книге [29] и получает вид:

Fas (w) = F 0 (w)|

п~гт

X Ъ eXP

где РБ0 - амплитуда начального В-сплайна степени т (интерполяционного или сглаживающего), симметричного относительно начала координат х=0, Ъ— коэффициенты Б-сплайна, у-мнимая единица. График модуля спектральной плотности последовательности кубических В-сплайнов показан на Рис. 6.

Рис. 6. График модуля спектральной плотности последовательности кубических B-сплайнов © AUTOMATICS & SOFTWARE ENGINERY. 2019, № 2

i=-m

Между различными видами спектральной энергии в частотной области существует приближенной соотношение:

- ¥ - ¥ Е = -Г (^2 (ю)) Г (^ И)2 дю = Е„.

р * р *

Спектры ¥(а) и ^(ю) вследствие финитности как сигнала, так и элементов базиса, инфинитны. Энергия конечной последовательности В-сплайнов, заданных на компактных носителях, конечна. Эту энергию

как функцию частоты, можно разбить на две части - низкочастотную Е/И) и высокочастотную Ек/ю), которая состоит из двух составляющих:

Г((и))2 дю = (I]] (^ (И))2 дю+ [Р]} (^ (И))2 дю.

Граничную частоту между низкочастотной и высокочастотной частью энергетического

спектра, как и в предыдущей главе, можно обозначить ее юс.

Оценка для высокочастотной энергии:

еЕ < К к2 Г|— I дю 1 ^ юк )

2 |т+2 2т+2 К

(2т + 1)р

2т+1

к.

Из этого выражения следует вывод, что энергия высокочастотной части спектра последовательности В-сплайнов,

аппроксимирующих сигнал, пропорциональна величине шага выборки с множителем, зависящим от степени сплайна.

Важное предложение по линии согласования противоречий между требованиями финитности

спектра и финитности сигнала, было сделано Д. Слепяном [19]. Он ввел понятия «ширины полосы на уровне е» и «длительности сигнала Т на уровне е». На Рис. 7. приведен пример записи низкочастотного биомедицинского сигнала, где обозначены конечное время измерений сигнала /(/) и полоса 2е.

Рис. 7. Пример записи низкочастотного биомедицинского сигнала

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в результате восстановления низкочастотного биомедицинского сигнала сглаживающими кубическими В-сплайнами получены следующие результаты:

1) Полная энергия сигнала, полученная интегрированием по формуле Симпсона для значений квадратов отсчетов сигнала, получилась равной Е = 137.024.

2) Полная энергия, полученная интегрированием функции /(х) по формуле Симпсона для значений квадратов Ь-

коэффициентов отсчетов сигнала, равна Е = 137.157.

Если вычислить значение энергии спектра коэффициентов при редком шаге между отсчетами, равном к=2 (64 отсчета), то оно получается равным Ес = 136.375. Это число представляет собой отклонение от полной энергии на величину е=0.57%.

При более частом шаге к=1 (128 отсчетов) имеем величину Ес =136.887. Она соответствует отклонению е=0.19%. Результаты вычислений показывают, что можно говорить об асимптотическом приближении спектральной

0

0

энергии множества ^-коэффициентов, к полной

энергии сигнала.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Джерри А. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и ограничения // ТИИЭР. Т.65. 1977. № 11. с.53-89.

[2] Жмудь В. А. Системы автоматического управления высшей точности. Автоматика и программная инженерия. 2016. № 3 (17). С. 128136.

[3] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука. 1980. 352 с.

[4] Зайнидинов Х.Н. Сплайны в задачах цифровой обработки сигналов //Ташкентский университет информационных технологий -Т.: Фан ва технология, 2015, 208 стр.

[5] Котельников В. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук (Приложение). 2006. Т.176. №7. с.762-770 (Перепеч. 1933).

[6] Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. Пер. с англ. М.: Мир. 2005.

[7] Свиньин С.Ф. Теория и методы формирования выборок сигналов с инфинитными спектрами.-Спб.: Наука, 2016. -71с.

[8] Слепян Д. О ширине полосы. ТИИЭР. Т.52. 1964. № 3. с.4-14.

[9] Стечкин С.Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Мир. 1976. 248 с.

[10] H. N. Zayniddinov, Madhusudan Singh, Dhananjay Singh. Polynomial Splines for Digital Signal and Systems (Монография на англиском языке) LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016, 208 p.

[11] Dhananjay Singh, Madhusudan Singh, Hakimjon Zaynidinov "Signal Processing Applications Using Multidimensional Polynomial Splines", Springer Briefs in Applied Sciences and Technology Series, Springer, (Indexed by EI-Compendex, SCOPUS and Springerlink), Singapore, 2019, 70 р.

[12] Utkir Khamdamov, Hakimjon Zaynidinov. Parallel Algorithms for Bitmap Image Processing Based on Daubechies Wavelets. 2018 10th International

Conference on Communication Software and Networks, (Indexed by SCOPUS), July 6-9, 2018, Chengdu, China, p.537-541.

[13] Zhmud V.A., Dimitrov L.V., Ivoilov A. Yu. Precision Frequency Synthesizer. Automatics & Software Engireery. 2018. № 1 (23). P. 20-32. http://www.jurnal.nips.ru/sites/default/files/AaSI-1-2018-2.pdf.

[14] Whittaker E. On the Functions which are represented by Expansions of the Interpolation Theory. Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1915. vol. 35. pp. 181-194.

Хакимжон Насиридинович

Зайнидинов - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой Информационных

технологий Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада ал-Хорезми. E-mail: tet2001 @rambler.ru 100200, Узбекистан, Ташкент, ул. Амира Темура, 108

Сарвар Улугбекович

Махмуджанов -ассистент кафедры Информационных технологий Ташкентского университета

информационных технологий

имени Мухаммада ал-Хорезми. E-mail: s. makhmudj anov@gmail. com

Гайрат Орибжонович Тожибоев -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

Информационных технологий Андижанского

машиностроительного института E-mail: G_Toj iboyev@andmi.uz

Статья получена 16.04.2019.

Spline Wavelets and Their Use in Signal Restoration Tasks

H.N. Zaynidinov1, S.U. Makhmudzhanov1, G.O. Tojiboev2

1 Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi 2 Andijan Machine-Building Institute

Abstract: The paper presents methods for calculating the sizes of samples of one-dimensional signals, based on the Fourier transforms of B-spline sequences that approximate the signal f (x). An inequality is obtained that allows us to choose the sample step length h, which is related to the accuracy of signal recovery based on an analysis of the energy (power) spectrum of the approximating form.

Keywords. Spline wavelet, basic spline, polynomial spline, smoothing spline, cardinal series, reading theorem, spectrum, finite spectrum, sampling, spectral density, spectral energy.

REFERENCES

[1] Джерри А. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и ограничения // ТИИЭР. Т.65. 1977. № 11. с.53-89.

[2] Жмудь В. А. Системы автоматического управления высшей точности. Автоматика и программная инженерия. 2016. № 3 (17). С. 128© AUTOMATICS & SOFTWARE ENGINERY.

136.

[3] Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука. 1980. 352 с.

[4] Зайнидинов Х.Н. Сплайны в задачах цифровой обработки сигналов //Ташкентский университет информационных технологий -Т.: Фан ва технология, 2015, 208 стр.

[5] Котельников В. О пропускной способности

«эфира» и проволоки в электросвязи // Успехи физических наук (Приложение). 2006. Т.176. №7. с.762-770 (Перепеч. 1933).

[6] Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов. Пер. с англ. М.: Мир. 2005.

[7] Свиньин С.Ф. Теория и методы формирования выборок сигналов с инфинитными спектрами.-Спб.: Наука, 2016. -71с.

[8] Слепян Д. О ширине полосы. ТИИЭР. Т.52. 1964. № 3. с.4-14.

[9] Стечкин С. Б., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М.: Мир. 1976. 248

[10] H. N. Zayniddinov, Madhusudan Singh, Dhananjay Singh. Polynomial Splines for Digital Signal and Systems (Монография на англиском языке) LAMBERT Academic publishing, Germany, 2016, 208 p.

[11] Dhananjay Singh, Madhusudan Singh, Hakimjon Zaynidinov "Signal Processing Applications Using Multidimensional Polynomial Splines", Springer Briefs in Applied Sciences and Technology Series, Springer, (Indexed by El-Compendex, SCOPUS and Springerlink), Singapore, 2019, 70 р.

[12] Utkir Khamdamov, Hakimjon Zaynidinov. Parallel Algorithms for Bitmap Image Processing Based on Daubechies Wavelets. 2018 10th International Conference on Communication Software and Networks, (Indexed by SCOPUS), July 6-9, 2018, Chengdu, China, p.537-541.

[13] Zhmud V.A., Dimitrov L.V., Ivoilov A. Yu. Precision Frequency Synthesizer. Automatics & Software Engireery. 2018. № 1 (23). P. 20-32. http://www.jurnal.nips.ru/sites/default/files/AaSI-1 -2018-2.pdf.

[14] Whittaker E. On the Functions which are

represented by Expansions of the Interpolation Theory. Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1915. vol. 35. pp. 181-194.

Hakimjon Nasriddinovich

Zayniddinov - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Information Technologies of the Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi.

E-mail: tet2001 @rambler.ru 100200, Uzbekistan, Tashkent, st. Amir Temur, 108

Sarvar Ulugbekovich

Makhmudjanov - Assistant at the Department of Information Technologies of Tashkent University of Information Technologies named after Muhammad al-Khorezmi.. E-mail: s. makhmudj anov@gmail. com 100200, Uzbekistan, Tashkent, st. Amir Temur, 108

Gayrat Oribjanovich Tojiboyev -

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Information Technologies, Andijan MachineBuilding Institute. E-mail: G_Toj iboyev@andmi.uz

The paper has been recieved on 16.04.2019.

с.