К вопросу о индуктивном эквиваленте прямолинейного проводника c прямоугольным поперечным сечением

О.М. Булгаков,

доктор технических наук, доцент

В.В. Лупандин,

Воронежский государст венный педагогический университет

С.А. Петров

К ВОПРОСУ О ИНДУКТИВНОМ ЭКВИВАЛЕНТЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДНИКА C ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

TO THE QUESTION ON THE INDUCTIVE EQUIVALENT FOR RECTANGULAR CROSS-SECTION CONDUCTOR

Решена задача нахождения радиуса индуктивного эквивалента прямолинейного проводника с прямоугольным поперечным сечением. Рассмотрен случай наведения потока самоиндукции в прямоугольном участке контура примыкающему к проводнику в приближении равномерного распределения тока по сечению проводника.

The problem of a finding of an inductive equivalent radius for a rectilinear conductor with rectangular cross-section is solved. The case of a self-induction stream in a rectangular site of a contour adjoining a conductor in approach of uniform current distribution on conductor section is considered.

Для проводников сложной конфигурации или сложным образом ориентированных относительно контура, в котором вычисляется магнитный поток, в работе [1] было введено понятие индуктивного эквивалента проводника (ИЭП). ИЭП — прямолинейный проводник, расположенный в одной плоскости с контуром, в котором вычисляется поток, создаваемый током, протекающим в рассматриваемом проводнике, имеющем такой же геометрический индуктивный фактор (ГИФ) [2] по отношению к данному контуру, что и исходный проводник. ГИФ представляет собой отношение величины магнитного потока, наведенного в участке площади некоторого замкнутого контура к току, протекающему по отрезку того же или другого замкнутого контура. Понятие ИЭП призвано упростить расчеты магнитных потоков и ГИФ в контурах за счет унификации вычислительных процедур, основанных на минимальном количестве алгебраических операторов.

Рассмотрим прямоугольный контур шириной И и длиной і, расположенный в створе проводника такой же длины с прямоугольным поперечным сечением шириной w и высотой ё в плоскости, перпендикулярной плоскости данного сечения так, что плоскость контура делит сечение проводника на две одинаковые половины высотой ё/2 (рис.1).

Рис. 1. К нахождению ИЭП прямоугольного поперечного сечения при низкочастотном приближении

Для случая низких частот, когда ток равномерно распределен по сечению проводника (рис.1), в [3] были получены выражения для потока самоиндукции в контуре и ГИФ проводника по отношению к контуру:

Ф,

п

п

I

в

где

в( X) =

то

7Рмй

Хс1

-12 + X2 + й2 /4-^Х2 + й2 / 4)-1  1п

С1+ Л¡12 + X2 + й2 /4 V

4х2 +а2 / 4

+

))

+

X (X2 ,,2 й/2 +4ї2 + X2 + й2 /4 1 Х\ І й/2 + л/X2 + й2 /41

-------31 1п ---------------------------------------------, --1п ---------------------

I 3 ) І УІ12 + X2 і 6 ^ х У

2

+ — 1п 48

V

й\ СX + ^12 + X2 + й2 /41 '2

+

4

1 й 1п(X + л/12 + X2 + й2 /4)+ X21

1 С й

2 ¿X ' +

А

+ ат^

- атеі%

С

й

С

2(1 + X +л/12 + X2

11 С

- 2 ат^

) V

11 +й/2 + У12 + X2 + й2 /41 X

С1+У12 + X2

X

+1

))

й

2 X

— агсіЕ\— | - 2arctg

21 + X + V12 + X2

11

й

412 ІX + й/2 + ^12 + X2 + й2 /41

ат^

3

1

X + 412 + X

2

2

1

Будем искать ИЭП в виде прямолинейного проводника круглого сечения длиной

I, радиуса Я, расположенного по отношению к контуру в соответствии с рис. 2.

Рис. 2. Индуктивный эквивалент проводника прямоугольного поперечного сечения ГИФ предполагаемого ИЭП выражается формулой

(/ +У12 + Я2 )(к + Я) _ к

фэ

2р

РФ _1‘

{ Ц +4Ц2 + (к + Я )2 ^ • Я

I

ром

Расчетное выражение (3) гораздо проще выражения (1).

Задача нахождения ИЭП сводится к вычислению радиуса эквивалента Я, при кото-

Рэ

где Я, в свою очередь, зависит от четырех переменных:

КрВДдаЬ).

Для упрощения вычислений вместо формулы (3) воспользуемся приближенным выражением (6), полученным для случая 1>>Я:

к

Ркп =

тЦ

2р

I1 + у + 1п-

Ц 1 + -

Я

1 + Л 1 +

_ к _ 1

кЦ

Я

Погрешность формулы (6) относительно (3) не превышает 0,6% [6].

Из условия равенства ГИФ исходного проводника БП и его индуктивного эквивалента БЭ получаем трансцендентное уравнение

к =------,

Я(а, ц ,ж, к) =

Ц+ 7 Ц2 +к2

21

• ехр

2р • Епп

к

к

1 + -т +1 + -

Ц

1

где ГП(ё,1^,Ь) вычисляется по формуле (1).

На рис. 3 приведены рассчитанные по формуле (7) зависимости радиуса ИЭП прямоугольного поперечного сечения шириной W=0,4мм, толщиной ё=0,2мм, от ширины контура И.

На рис. 4 приведены рассчитанные по формуле (7) зависимости радиуса ИЭП прямоугольного сечения длиной Ц=2мм от толщины проводника ё. Ширина контура И=0,25мм.

Из рис. 4 видно, что при малых ё радиус эквивалента Я довольно сильно зависит от W/d. Соответственно при моделировании индукционных взаимодействий токов, протекающих в системах соединений сложной конфигурации, при малых толщинах проводящих слоев определяющим параметром является ширина проводника W.

0,2 Я

2

0,15

0,1

0 2 4 6 8 10 И, мм

Рис.3. Радиусы ИЭП прямоугольного сечения: 1 — Ц=10мм; 2 — Ц=5мм; 3 — Ц=2,5мм; 4 — Ц=1мм

0 1 2 3 4 5 6 ё, мм

Рис.4. Радиусы ИЭП прямоугольного сечения: 1 — W=1 мм;

2 — W=0,5мм; 3 — W=0,25мм; 4 — W=0,1мм

Анализ графиков, приведенных на рис.3, свидетельствует о значительном влиянии на радиус ИЭП длины проводника, в особенности для тех случаев, когда 0,2 Ц<И<Ц.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данилин В.Н. Аналоговые полупроводниковые интегральные схемы СВЧ / В.Н. Данилин, А.И. Кушниренко, Г.В. Петров. — М.: Радио и связь, 1985. — 192 с.

2. Антенны и устройства СВЧ / под ред. Д.И. Воскресенского. — М.: Радио и связь, 1981. — 432 с.

3. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей: справочная книга / П. Л. Калантаров, Л. А. Цейтлин. — Л.: Энергоатомиздат, 1986. — 488 с.

4. Булгаков О.М. К расчету индуктивности контуров, ограниченных проводниками прямоугольного сечения / О.М. Булгаков, Б.К. Петров // Вестник Воронежского института МВД России.— 2005.— №2(21). — С. 17—21.

5. Твердотельная электроника и микроэлектроника: межвуз. сб. науч. тр. /

ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2007.— Вып. 6. — 253 с.

6. Булгаков О.М. Композиционные модели индукционных взаимодействий в мощных ВЧ и СВЧ транзисторах / О.М. Булгаков, Б.К. Петров. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. — 253 с.