К вопросу о ламинарно-турбулентном переходе при течении вязких и вязкопластичных жидкостей в круглой трубе

УДК 532.517.3

А.Г. Потапов

К вопросу о ламинарно-турбулентном переходе при течении вязких и вязкопластичных жидкостей в круглой трубе

Среди разнообразных турбулентных течений в природе и технике особое внимание привлекают течения в круглой трубе, являющиеся наиболее распространенными. Геометрия этих течений проста и легко воспроизводима, исследования проводятся с жидкостями с различными реологическими характеристиками - вязкими, вязкопластичными, вязкоупругими и др.

Несмотря на многолетние систематические экспериментальные и теоретические исследования, причина нарушения ламинарного режима течения жидкости в круглых трубах и возникновения турбулентности остается неясной. Существует известное решение Пуазейля, которое связывает расход с градиентом давления. Формально ламинарное течение Пуазейля существует для любых расходов, но реально при расходах больше некоторого критического (Q > QKp) оно теряет устойчивость.

Экспериментально для вязких (ньютоновских) жидкостей было установлено, что

Ключевые слова:

ламинарнотурбулентный переход, вязкая и

вязкопластичная

жидкости,

коэффициент

гидравлических

сопротивлений,

параметр

Хедстрема.

существует критическое число Рейнольдса

Re

V pD

в пределах 1800-2320 [1, 2].

Такой разброс предположительно объясняется тем, что исследования проводились в различных условиях, а также существованием верхнего и нижнего критических чисел Рейнольдса. Под верхним критическим числом подразумевается такое значение Re, выше которого установившееся течение может быть только турбулентным; под нижним критическим числом - такое значение Re, ниже которого установившееся течение может быть только ламинарным независимо от величины возмущений, вводимых в поток [3]. Таким образом, существует область ламинарного течения, где при вводе в поток возмущений возникает неустойчивость ламинарного профиля скорости, которая, однако, не приводит к возникновению установившегося турбулентного движения в трубе, и ламинарное течение восстанавливается. В настоящее время границы этой области, а также причины ламинарно-турбулентного перехода не определены.

В экспериментах возникновение ламинарно-турбулентного перехода определялось как по изменению формы профиля скорости в трубе, так и по отклонению коэффициента гидравлического сопротивления от расчетного значения, вычисленного по формуле Гагена-Пуазейля. Следует отметить, что результаты исследований обоими методами в целом адекватны друг другу [2].

Эксперименты также показали, что при неустойчивости ламинарного течения не обязательно возникает установившееся турбулентное течение. При значениях Re менее 2000 вдали от входа, где устанавливалось ламинарное течение, в поток вводился стержень, при обтекании которого формировался профиль скорости, характерный для турбулентного движения, что свидетельствовало о неустойчивости ламинарного течения к возмущениям, не приводящей, однако, к возникновению установившегося турбулентного течения, поскольку при увеличении расстояния от стержня в потоке вновь восстанавливается ламинарный профиль скорости [3].

В последнее время предпринимаются попытки исследования перехода к турбулентности в круглой трубе с помощью прямого численного моделирования. Расчеты установившегося течения в круглой трубе показали, что отношение скорости потока на оси к среднерасходной скорости стремится к характерному для установившегося

Keywords:

laminar to turbulent transition, viscous and viscoplastic liquids, hydraulic resistance coefficient, Hedstrem’s parameter.

№ 4 (15) / 2013

70

Научно-технический сборник • ВЕСТИ ГАЗОВОЙ НАУКИ

ламинарного течения, при стремлении Re к значению, равному 1000. При этом числе Рейнольдса коэффициенты сопротивления, вычисленные по формуле для ламинарного и турбулентного течений, совпадают [1].

На основании математического эксперимента Н.Н. Моисеевым сформулирована гипотеза: «Уравнение движения вязкой жидкости, по-видимому, допускает целый спектр возможных почти периодических решений, и им при известных условиях соответствует целая система возможных установившихся течений жидкости. Одно из них - ламинарное течение Пуазейля. Остальные - это некоторые базовые турбулентные течения. Они порождаются вполне определенными множествами начальных состояний. Все остальные течения, порождаемые другими начальными состояниями, с течением времени к ним стремятся». Другими словами, «...при данном расходе Q > Q1 существует много форм стационарных турбулентных течений, практически не отличимых по своим интегральным характеристикам» [4].

Приняв эту гипотезу в качестве рабочей, для стационарных течений различных сред запишем уравнение Дарси-Вейсбаха в следующем виде:

1 vj

—dP. = X.—t—dx,

р 1 1 2D

где Р - давление; X - коэффициент гидравлического сопротивления; р - плотность жидкости;

V - среднерасходная скорость потока; D - диаметр трубы; i - индекс течения, при i = 1 - ламинарное течение Пуазейля, при i = 2,. - стационарные базовые турбулентные течения; j - индекс скорости потока.

И.Р. Пригожин в работе [5] отмечает: «Изменение энтропии со временем всегда можно разделить на вклады двух типов: «поток энтропии», зависящий от обмена системы с окружающей средой, и «производство энтропии», обусловленное необратимыми процессами внутри системы. Второе начало термодинамики требует, чтобы производство энтропии было положительным или обращалось в нуль при достижении системой равновесия. На поток энтропии второе начало не налагает никаких условий. Таким образом, в стационарном состоянии положительное производство энтропии компенсируется отрицательным потоком энтропии: активность, производящая энтропию, постоянно поддерживается за счет обме-

на с окружающей средой. Состояние равновесия соответствует частному случаю, когда и поток энтропии, и производство энтропии обращаются в нуль».

Для простой системы объединенное уравнение первого и второго законов термодинамики формулируется следующим образом [6, 7]:

dO <-SdT +1 * * * V dP,

Р

где Ф - изобарно-изотермический потенциал; S - энтропия системы; Т - температура.

С приближением к состоянию равновесия изобарно-изотермический потенциал системы убывает, достигая минимума в состоянии равновесия, когда dФ = 0, при этом оба члена в правой части уравнения (2) равны нулю, поскольку при равновесии Т = const и Р = const.

Опираясь на определение состояния равновесия как частного случая стационарного [5], можно предположить, что стационарное состояние наступает тогда, когда dФ = 0, но Т Ф const и Р Ф const. В этом случае из уравнения (2) получим соотношение

1 dP = SdT.

Р

Анализируя совместно уравнения (1) и (3), используя индексацию, принятую для уравнения (1), можно записать:

Vj

SdT ~\..^—dx.

J  2D

Используя уравнение (4), можно получить соотношения:

• для V! = V,:

S21 К 21

21 S„ 21 . К11 ’

• С*Г и с*Г

V2 S22

2 I 22

VSii

где Xjj и Sjj - коэффициент гидравлического со-

противления и энтропия ламинарного потока; Х21 и S21 - коэффициент гидравлического сопротивления и энтропия турбулентного потока при скорости течения Vp Х22 и S22 - коэффициент гидравлического сопротивления и энтропия турбулентного потока при скорости течения V2.

Рассмотрим узловые моменты, установленные экспериментально и полученные в расчетах. В работе [1] по результатам расчетов сде-

№ 4 (15) / 2013

Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений

71

лан вывод, что при Re < 1000 при любых характеристиках пульсационного движения на входе вдали от начала устанавливается ламинарное течение. В работе [3] на основании экспериментальных исследований сделано предположение, что при Re > 1000 ламинарный профиль неустойчив. При Re ~ 1000 коэффициенты сопротивлений, вычисленные по формулам для ламинарного и турбулентного течений, между собой равны.

Таким образом, при Re ~ 1000 из соотношений

х21 , V

растут отношения —21 > 1 и — > 1, т.е. растет

Xii Vi

отношение энтропий турбулентного и ламинарного течений.

Рассмотрим ситуацию, когда с ростом расхода жидкости наступает ламинарнотурбулентный переход, приняв в первом приближении Re,, как Ret = 2060 (как среднее значение для интервала 1800-2320). Для оценки численного значения соотношений (5) и (6) рассчитаем коэффициенты сопротивлений по формулам:

• для ламинарного потока

(при Ret = 2060, Xu = 0,031068):

Среди разнообразных жидкостей, встречающихся в природе и технике, закономерности течения которых в круглой трубе привлекают внимание исследователей, большую группу составляют жидкости, ламинарное течение которых достаточно полно описывается теоретическими зависимостями, полученными на основе вязкопластичной модели Шведова-Бингама [9]. Однако закономерности турбулентного течения и ламинарнотурбулентного перехода при течении вязкопластичных жидкостей изучены недостаточно. Экспериментальные данные о нарушении ламинарного течения вязкопластичных жидкостей, полученные различными исследователями, показывают, что Re,, для вязкопластичных

сред (Re = V pD) зависит от безразмерного па-

П

раметра Хедстрема (He =

ToPD

), где т0 - дина-

2

П

мическое напряжение сдвига, ^ - пластическая вязкость [9].

Коэффициент гидравлического сопротивления при ламинарном течении вязкопластичных жидкостей в круглой трубе рассчитывается по формуле Букингама (обобщенное уравнение Гагена-Пуазейля) [9]:

X

ii

64

Re1

х = 64

Re ф

• турбулентного потока [8]

(при Rej = 2060, X21 = 0,04949):

= 2,08lgR ел/X-1,04.

VX

Таким образом, обозначив отношение

где ф(а) = 1

а4; а =

8He X Re2'

Расчеты коэффициента гидравлических сопротивлений X по формуле (11) производят с учетом соотношения

—21 = nX, получаем nX = 1,593. Xn

8Re = ф

He а

Для определения значения Re2, подставив в формулу (8) значение Хп = 0,031068, получим

Re2

Ret

Re2 = 9582. Обозначив отношение вычислим nRe = 4,6513.

Используя значения nX и nRe для определения Re1 можно записать две равноправных формулы:

= 8,32 lg6,4wReRej;

у/Щ = 8,3 2^nx lg 6,4nx Re!.

Для получения уравнений, аналогичных (9) и (10), необходимо иметь аналитическую зависимость коэффициента гидравлических сопротивлений при турбулентном течении вязкопластичных жидкостей в трубе.

Используя понятие турбулентной вязкости для вязкопластичных систем, уравнение движения в пограничном слое можно записать следующим образом:

, xdV

T = To +

dy

где цт - турбулентная вязкость.

№ 4 (15) / 2013

72

Научно-технический сборник • ВЕСТИ ГАЗОВОЙ НАУКИ

В работе [8] отмечено, что расчеты безразмерной скорости для вязких сред в зависимости от безразмерного расстояния от стенки показали «практическую эквивалентность» формул для распределения скорости в пограничном слое и трубе, что «...позволяет использовать для вычисления распределения скорости в трубе более простую формулу, полученную для распределения скорости в пограничном слое...».

Выражая коэффициент турбулентной вязкости через путь смешения и решая уравнение (13) при граничных условиях на стенке и на границе вязкопластичного подслоя для коэффициента гидравлического сопротивления при больших значениях числа Рейнольдса (Re > 2100), получим [10]:

1

у/Х

(1 --8—^)[2,08lgRe-\/X - 3,8 + 0,3245], Х Re

где 5 - безразмерная толщина вязкопластичного подслоя, определяемая по формуле

5 =

^»5оР П ’

'ИЛ

динамическая скорость; 50 - толщина ламинарного подслоя.

Значение величины 5 определим из условия на границе вязкопластичного подслоя

V

V*

15,

yfX Re2)

где V - скорость на границе подслоя.

Приняв по аналогии с закономерностями турбулентного течения ньютоновских

V

жидкостей -^- = 7,8 [8], получим 5

7,8

8He л/Х Re2

Откуда следует, что при турбу-

лентном течении вязкопластичных сред с ростом параметра пластичности (критерия Ильюшина) увеличивается толщина ламинарного подслоя.

При этом значении безразмерной толщины вязкопластичного подслоя уравнение (14) для определения коэффициента гидравлического сопротивления примет окончательный вид:

1

у/Х

1 -XiF I[2.08№Л-К04] + 2.76J™.

Решая совместно уравнения (11) и (16) и используя значения пк и nRe для определения Re,, при турбулентном течении вязкопластичных сред, получим:

8,32

yl<p

1 --

а

lg Ф-0^е„+ ф(аР) р

22,08а „

«LV Ф

8,3^/й^ ^Ф

а \ 6,4n 22,08а

--- lgф----)RQ«P + I , ч

nx J ф

При He = 0, а = 0 и ф(а) = 0 уравнения (17) и (18) идентичны (9) и (10).

Для проверки соответствия полученных уравнений (17) и (18) фактическим значениям Re,, при различных значениях He были привлечены результаты экспериментальных исследований течения глинистых суспензий без обработки полимерными реагентами, опубликованные в работах [11-15]. Массив данных объединил 74 экспериментальных результата, диапазон изменения значений составил: 3,58 • 103 < He < < 1,36 • 107; 2,15 • 103 < Re < 9,9 • 104.

№ 4 (15) / 2013

Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений

73

Расчеты Re,, по уравнению (17) при nRe = 4,6513 показали, что относительное среднеквадратичное отклонение экспериментальных данных от расчетов ст = 9,77 %; по уравнению (18) при пЛ = 1,593 ст = 18,9 %; по эмпирической формуле Е.М. Соловьева ст = 11,79 %.

На рис. 1 представлены зависимости

Re = f (He), рассчитанные по уравнениям (17) и (18), а также зависимость Хэнкса [16], и нанесены экспериментальные данные [11, 12, 14, 17].

На рис. 2 представлена серия кривых зависимости коэффициента гидравлического сопротивления от Re и He. Область ламинарного течения (кривые 3) была рассчитана по формулам (11) и (12); предельная кривая ламинарного течения вязкопластичных жидкостей (кривая 2) - по уравнению (17); область турбулентного течения (кривые 4) - по формуле (16).

Анализ представленных результатов показывает, что для каждого значения He в окрестности Re,, существует область, в которой

Рис. 1. Зависимость критического значения числа Рейнольдса от параметра Хедстрема: 1 - расчет по уравнению (17); 2 - расчет по уравнениям Хэнкса [16];

3 - экспериментальные данные [11, 12, 14, 17]

Рис. 2. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от числа Рейнольдса и параметра Хедстрема:

1 - вязкая жидкость; 2 - предельная кривая ламинарного течения вязкопластичных жидкостей; 3 - вязкопластичная жидкость (экспериментальные данные при He = 104 В.Г. Литвишко [17]); 4 - турбулентное течение вязкопластичных жидкостей

№ 4 (15) / 2013

74

Научно-технический сборник • ВЕСТИ ГАЗОВОЙ НАУКИ

коэффициент гидравлического сопротивления ниже, чем для вязкой жидкости, при том же значении Re. Следует отметить, что возможность затягивания ламинарно-турбулентного перехода на продольно обтекаемой плоской пластине в потоке вязкой несжимаемой жидкости с помощью создания и подбора оптимального распределения объемных сил отмечалась в работе [18], где «показано, что надлежащим подбором объемных сил удается не только обеспечить полностью ламинарный режим течения в пограничном слое, но и уменьшить полное сопротивление обтекаемого тела». Вероятно, эффект при течении вязкопластичных жидкостей также обусловлен объемными силами, связанными с пластичностью текущей среды.

Таким образом, между ламинарно-турбулентным переходом при течении вязких и вязкопластичных жидкостей в круглых трубах существует глубокая аналогия.

Возникает вопрос, почему реализуется то или иное течение, нарушается один стационарный процесс и происходит переход на другой стационарный процесс.

Рассмотрим процесс течения жидкости в трубе при последовательном увеличении расхода жидкости. При расходах Q < Q1 реализуется ламинарное течение Пуазейля, в котором, по определению И.Р. Пригожина, положительное производство энтропии компенсируется отрицательным потоком энтропии, зависящим от обмена системы с окружающей средой [4]. Можно предположить, что при расходах Q > Q1

Список литературы

1. Павельев А.А. Переход к турбулентности на начальном участке круглой трубы /

A. А. Павельев, А.И. Решмин // Изв. РАН. -2001. - № 4. - С. 113-121.

2. Павельев А.А. Влияние структуры начальных возмущений на режим установившегося течения в трубе / А.А. Павельев, А.И. Ремшин,

B. В. Трифонов // Изв. РАН. - 2006. - № 6. -

C. 68-76.

3. Павельев А.А. О нижнем критическом числе Рейнольдса для течения в круглой трубе / А. А. Павельев, А. И. Решмин,

С.Х. Тепловодский и др. // Изв. РАН. - 2003. -№ 4. - С. 47-55.

4. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент / Н.Н. Моисеев. - М.: Наука, 1979. - 223 с.

в ламинарном потоке не обеспечивается равенство между производством энтропии и ее потоком из-за недостаточной эффективности обмена системы с окружающей средой, в связи с чем изменяется структура потока, и она становится более развитой, с более эффективными показателями обмена как внутри потока, так и с окружающей средой, и устанавливается новое стационарное течение, которое является турбулентным.

В заключение подведем итоги данной работы. Показано, что ламинарно-турбулентный переход при течении вязких и вязкопластичных жидкостей происходит, когда при равенстве коэффициентов гидравлических сопротивлений при турбулентном и ламинарном течениях отношение чисел Рейнольдса для этих режимов первом приближении составляет nRe = 4,6513. Следует заметить, что полученная величина практически совпадает со значением первой универсальной постоянной Фейгенбаума, равной 4,6692.

Сформулирована гипотеза. Ламинарно-турбулентный переход обусловлен нарушением в ламинарном потоке баланса между производством энтропии и ее потоком из-за недостаточной эффективности обмена системы с окружающей средой, вследствие чего нарушается ламинарный режим течения, структура потока становится более развитой с другими показателями производства и потока энтропии, при которых восстанавливается баланс и устанавливается новое стационарное турбулентное течение.

5. Пригожин И.Р. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени / И.Р. Пригожин,

И. Стенгерс. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. -240 с.

6. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау,

В.М. Лившиц. - М.: Наука, 1988. - 736 с.

7. Сычев В.В. Дифференциальные уравнения термодинамики / В.В. Сычев. - М.: Наука,

1981. - 195 с.

8. Миллионщиков М.Д. Турбулентные течения в пограничном слое и в трубах /

М.Д. Миллионщиков. - М.: Наука, 1969. - 50 с.

9. Маковей Н. Гидравлика бурения / Н. Маковей. -М.: Недра, 1986. - 536 с.

№ 4 (15) / 2013

Проблемы эксплуатации газовых, газоконденсатных и нефтегазоконденсатных месторождений

75

10. Потапов А.Г. Сопротивление при турбулентном течении буровых растворов / А.Г. Потапов // Бурение глубоких разведочных скважин в осложненных условиях Нижнего Поволжья. -М.: ИГИРГИ, 1976. - Вып. 27. - С. 27-31.

12. Повх И.Л. Возникновение и развитие турбулентности при движении дисперсной системы в круглой трубе / И. Л. Повх,

Н.И. Болонов, А.Е. Эйдельман // Инженерно-физический журнал. - 1974. -Т XXVI, № 5. - С. 901-907.

13. Филатов Б.С. Течение суспензий глины в трубах / Б.С. Филатов // Коллоидный журнал. -1954. - Т XVI, № 1. - С. 65-71.

14. Латыпов Э.К. Уточнение расчета потерь давления при течении вязкопластичных жидкостей в трубах / Э.К. Латыпов,

Б.С. Филатов // Нефтяное хозяйство. - 1962. -№ 3. - С. 23-30.

15. Hedstrem O.A. Flow of plastics materials in pipens / O.A. Hedstrem // Ind. Eng. Chem. -1952. - № 44. - P. 651.

16. Hanks R.W. The laminar-turbulent transition for fluids with a yields stress / R.W. Hanks // AIChE Journal. - 06/2004. - № 9 (3). - P. 306-309.

Потапов А. Г. Методика определения снижения гидравлического сопротивления при течении вязкопластичных жидкостей / А.Г. Потапов,

B. Г. Литвишко // Бурение глубоких разведочных скважин в осложненных условиях Нижнего Поволжья. - М.: ИГИРГИ, 1976. -Вып. 27. - С. 32-36.

18. Казаков А.В. О возможности затягивания ламинарно-турбулентного перехода при больших числах Рейнольдса с помощью оптимального выбора объемных сил /

А.В. Казаков // Изв. РАН. - 2002. - № 4. -

C. 81-86.

19. Никитин Н.В. Численное исследование ламинарно-турбулентного перехода в круглой трубе под действием периодических входных возмущений / Н.В. Никитин // Изв. РАН. -2001. - № 2. - С. 42-55.

Ильин Г.А. Определение критической скорости течения промывочных и цементных растворов / Г.А. Ильин // Газовая промышленность, 1971. -№ 1. - С. 5-7.

№ 4 (15) / 2013