Исследование прочности пластин с трещинами на основе критерия максимальных напряжений в масштабно-зависимой обобщенной теории упругости

УДК 539.3

Исследование прочности пластин с трещинами на основе критерия максимальных напряжений в масштабно-зависимой обобщенной теории упругости

В.В. Васильев1'2, С.А. Лурье13, В.А. Салов2

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия 2 Центральный научно-исследовательский институт специального машиностроения, Хотьково, 141371, Россия 3 Институт прикладной механики РАН, Москва, 125040, Россия

Рассматривается задача о прочности пластины из хрупкого материала, имеющей сквозные трещины нормального отрыва. В отличие от подхода, основанного на сингулярном решении классической теории упругости для плоскости с трещиной и аппарате линейной механики разрушения, предлагается использовать несингулярные решения, полученные на основе обобщенной теории упругости, и в результате реализовать метод, традиционный для оценки прочности тел с концентрацией напряжений, основанный на критерии максимальных напряжений. Это напряжение определяется на основе решения уравнений обобщенной теории упругости для плоскости с трещиной, которое не является сингулярным. Представлены результаты экспериментального исследования пластин с трещинами при растяжении и изгибе, которые подтверждают решение, полученное предлагаемым методом, и позволяют сравнить его с решением, основанным на линейной механике разрушения. Фактически предлагается новая концепция механики трещин, которая свободна от сингулярных решений и которая, кроме того, позволяет трактовать задачи механики трещин как задачи концентрации напряжений. На основании сравнения полученных аналитических решений с экспериментальными данными показывается, что масштабный параметр обобщенной теории упругости определяет критическое состояние в задачах механики трещин с не меньшей точностью, чем критический коэффициент интенсивности напряжений, и может использоваться в качестве критерия разрушения, а полученные явные несингулярные решения позволяют прогнозировать концентрацию напряжений, вызванную трещиной.

Ключевые слова: теория упругости, обобщенная теория, несингулярные решения, механика разрушения, прочность

DOI 10.24411/1683-805X-2018-14001

Estimation of the strength of plates with cracks based on the maximum stress criterion in a scale-dependent generalized theory of elasticity

V.V. Vasiliev12, S.A. Lurie13, and V.A. Salov2

1 Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia

2 Central Research Institute for Special Machinery, Khotkovo, 141371, Russia

3 Institute of Applied Mechanics RAS, Moscow, 125040, Russia

The problem of the strength of a plate made of a brittle material with through mode I cracks is discussed. In contrast to the approach based on the singular solution of the classical theory of elasticity for a plane with a crack and on linear fracture mechanics, we propose to use nonsingular solutions obtained on the basis of the generalized elasticity theory and, as a result, to implement a conventional method for estimating the strength of solids with stress concentration which is based on the maximum stress criterion. The maximum stress is determined on the basis of a nonsingular solution of the equations of the generalized elasticity theory for a plane with a crack. The reported experimental results for plates with cracks under tension and bending confirm the solution obtained by the proposed method and allow it to be compared with a solution based on linear fracture mechanics. In fact, a new concept of fracture mechanics is proposed, which is free of singular solutions and allows the problems of fracture mechanics to be treated as problems of stress concentration. Comparison of the obtained analytical solutions with experimental data has shown that the scale parameter of the generalized elasticity theory determines the critical state in fracture mechanics with no less accuracy than the fracture toughness coefficient and therefore can be used as a fracture criterion. The resulting explicit nonsingular solutions allow the prediction of the stress concentration caused by a crack.

Keywords: theory of elasticity, generalized theory, nonsingular solutions, fracture mechanics, strength

© Васильев В.В., Лурье С.А., Салов В.А., 2018

1. Введение

Исследование несущей способности хрупких тел с трещинами является одной из наиболее актуальных проблем современной механики деформируемого твердого тела [1-3]. Как известно, напряжение, определяемое линейной теорией упругости, оказывается сингулярным на конце трещины, что исключает применение традиционных критериев прочности тел с концентрацией напряжений, т.к. коэффициент концентрации оказывается бесконечно большим, а предельная нагрузка равной нулю при любом размере трещины. Это противоречит экспериментальным результатам, согласно которым несущая способность тела зависит от длины трещины. В связи с этим получило развитие специальное направление механики твердого тела, называемое механикой разрушения. Согласно этой теории, несущая способность тела с трещиной определяется так называемым коэффициентом интенсивности напряжений К, являющимся коэффициентом при сингулярном члене в выражении для напряжения в окрестности края трещины. При заданной форме трещины предельное значение этого коэффициента Кс считается характеристикой материала и определяется экспериментально. К настоящему времени проведены обширные экспериментальные исследования по определению коэффициента Кс и механика разрушения успешно применяется для оценки несущей способности тел с трещинами.

В научной литературе широко обсуждается проблема сингулярностей в задачах теории упругости [4, 5], теории дислокаций [6], механики трещин [5, 7-9]. В работе [5], представлены обзор и анализ сингулярных решений теории упругости и механики разрушения, указываются примеры, когда полученные формально сингулярные решения не только противоречат физическому смыслу, но и постулатам теории упругости. Подобные парадоксы еще требуют своего полного объяснения. В работе [7] обсуждаются масштабные эффекты в механике трещин, возможные значительные погрешности при определении масштабных параметров и отмечается важность характеристик, которые были бы масштабными инвариантами при описании разрушения. Несингулярные решения для трещин моды III предложены в работах [8, 9]. В недавней работе [10] прикладные градиентные теории упругости привлекаются для получения несингулярных решений тестовых задач механики трещин и изучения влияния масштабных параметров структуры на особенности разрушения.

Для построения моделей дефектов и трещин без сингулярностей, не имеющих физического обоснования, привлекались обобщенные модели сред, среди которых наиболее распространенными были градиентные теории деформаций [11, 12]. При этом, как правило, не обсуждаются свойства градиентных моделей, их корректность, на которые впервые было обращено внима-

ние в работе [13]. Ключевым представляется вопрос, связанный с определением масштабных параметров, с установлением их физического смысла. Решение этой проблемы было предложено в работе [14] применительно к неоднородным структурам. В задачах механики трещин этот вопрос опускается, что приводит к значительным разбросам окончательных результатов [6].

Теория градиентной упругости способна описывать размерные эффекты, поскольку она учитывает характерные масштабы длины [15] и дает регуляризацию сингулярных решений дифференциальных уравнений теории упругости [11, 16].

В данной статье при исследовании трещин рассматривается вариант обобщенной теории упругости, основанный на рассмотрении элемента среды, имеющего малые, но конечные размеры [17], и на анализе обобщенных напряжений и деформаций, определенных в этом конечном элементе. Определяющие соотношения, совпадающие с классическими уравнениями закона Гу-ка, формулируются для обобщенных напряжений и деформаций. Для рассматриваемых задач механики трещин со статическими краевыми условиями нет необходимости вводить определяющие соотношения для локальных напряжений. Такая постановка позволяет избежать вопросов, связанных с корректностью моделей, возникающих при формулировке замкнутой модели в градиентных теориях.

Решение задачи о трещине, полученное в рамках этой теории, не является сингулярным [18] и определяет конечное значение максимального напряжения, действующего в окрестности вершины трещины, что позволяет найти коэффициент концентрации напряжений и использовать для оценки несущей способности тела с трещиной традиционный критерий прочности.

В данной работе показано, что использование обобщенной теории упругости переводит сингулярные задачи теории трещин в класс регулярных задач концентрации напряжений. Полученное решение включает масштабный коэффициент, который, как и коэффициент Кс в механике разрушения, определяется экспериментально. Устанавливается процедура определения масштабного параметра. Также показано, что масштабный параметр является существенным параметром задач концентрации напряжений в механике несингулярных трещин, т.е. обладает определенным свойством инвариантности.

Экспериментальные исследования проведены при растяжении трех пластин из органического стекла с центральными сквозными трещинами различной длины. На одной из пластин определен масштабный коэффициент, входящий в обобщенное решение, а для двух других найдены экспериментальные значения разрушающего напряжения, которые хорошо согласуются с экспериментальными результатами. Полученное реше-

ние сравнивается с результатами, соответствующими механике разрушения, которые также хорошо согласуются с экспериментом. В результате показано, что полученный масштабный коэффициент может быть использован в качестве критерия прочности, также как и критический коэффициент интенсивности напряжений в механике разрушения. Использование этого параметра для оценки прочности пластин с конечными сквозными трещинами при растяжении и краевыми трещинами при изгибе приводит к хорошему согласию с экспериментом.

2. Решение, соответствующее линейной механике разрушения

Рассмотрим пластину с трещиной длиной 2с, находящуюся в условиях плоского напряженного состояния и растягиваемую напряжением а (рис. 1). Изменение перемещения иу и напряжения ау по оси х при у = 0 определяется решением классической теории упругости, которое для неограниченной пластины имеет вид [19]

и°у =

а У =

- (1 -4)4^-

G

0, х > с, 0, 0 < х < с, ха

0 < х < с,

х

: с.

Ух - с

Здесь G — модуль сдвига; V — коэффициент Пуассона.

Контур трещины в деформируемом состоянии является эллипсом, определяемым уравнением

и^ + k2х2 = k2с2, k = (1 -V)а/G.

В точке х = с касательная к контуру эллипса вертикальна, т.е. при сколь угодно малом напряжении она поворачивается на 90° по сравнению с исходным положением, в котором она горизонтальна (рис. 1). Этот результат вызывает сомнение в корректности решения (1), так линейная теория упругости, на которой оно основано, некорректна при таких поворотах. Кроме того, он не подтверждается экспериментально. На рис. 2 показана кинетика раскрытия трещины в пластине из жесткой силиконовой резины (верхний вид соответст-

вует исходному состоянию, а нижний — максимальному раскрытию трещины). Как следует из рис. 2, при х = с края трещины близки к прямолинейным и образуют скорее нулевой угол, а не угол равный 90°, как это прогнозирует классическое сингулярное решение в механике трещин.

Из равенства (2) следует, что напряжение асу обращается в бесконечность при х = с. Для пластины, показанной на рис. 1, в механике разрушения используется следующая формула, определяющая разрушающее напряжение [1]:

а = -

К

д/ПсдёсСп^Ь)' в которую входит коэффициент КС, определяемый экспериментально для заданного материала и типа трещины. При с ^ 0 из равенства (3) следует а^ Таким образом, при некоторой длине трещины ст напряжение а может достигнуть предела прочности неповрежденного материала при растяжении ав. При длине трещины меньшей ст равенство (3) дает а>ав, т.е. формально такая трещина повышает прочность материала, что противоречит здравому смыслу.

3. Обобщенное решение задачи о трещине

Основная идея обобщенного варианта теории упругости заключается в том, что решение (1), (2) не является окончательным. Перемещения и напряжения в обобщенном варианте теории определяются из уравнений Гельмгольца, правая часть которых соответствует решению классической теории упругости, т.е.

щ - 52Аиг- = и*, ау - s2Аау = аС.

Здесь ^ — масштабный параметр, имеющий размерность длины и определяемый экспериментально; А — оператор Лапласа; верхним индексом с отмечено решение, соответствующее классической теории упругости. Для рассматриваемой одномерной задачи классическое решение определяется равенствами (1), (2) и уравнения (4) принимают вид

Рис. 1. Конечная трещина нормального отрыва в пластине

Рис. 2. Кинетика раскрытия трещины

иу - ^2ы'У = —

G

2 * ха

ау - ^ ау = , = (х > с),

л/Х2^

где (...)' = d(...Vdx.

Решение уравнения (5), удовлетворяющее граничным условиям и У (х = 0) = 0 и иу (х = с) = 0, имеет вид [18]

ас

иу (х) = — (1 -V )А[^(Ах ) X

/V1 - Х ^(А Х) dх -/V 1 - х ^(А х) dХ

0 0

- Л(АХ) /л/1 - х 2^(Ах) dХ +

0

+ ША sh(АХ)|^/l-Х2ch(АХ) ёх

0

где

Х = х/с, А = .

Максимальное перемещение имеет место при Х = 0, т.е.

ит=ас(1 -v) Ах

' ША/V1- Х^^Ах) дх - /V1- Х^(Ах) дх

ч 0 0 ,

На рис. 3 представлена зависимость от параметра А безразмерного перемещения й"т = и т/ и С, где и т определяется классическим решением (1). Из рис. 3 следует, что при А >10 (что, как правило, имеет место в действительности) полученное решение для максимального раскрытия трещины и т практически не отличается от классического решения. Отличие имеет место в вершине трещины. Дифференцируя равенство (7), получим

Рис. 3. Зависимость безразмерноой величины раскрытия трещины ит = ит/ит (ит — величина раскрытия берегов трещины нормального отрыва в классическом решении ) от безразмерного масштабного параметра А = с/я

^ = и =— (1 - V 2) А2 АХ) х дх G

/лЯ-Х^Ь(Ах)дХ -/ V1 - Х^Ь(АХ) дх

0 0

ch(АХ) /V1 - х 2 Л (АХ) дХ+

0

Л А sh(АХ )|71 - х 2сЬ(АХ) дХ 0 .

2 и" = ас (1 -V 2) А 2[ АсЬ( Ах) х дх2 G

х (/л/1 - х ^1т(АХ) дх - /V 1 - х^(АХ) дх) -

а2:

-Аsh(АХ)/л/ 1 - Х2 Л(Ах )дх +

0

+ А th Аch(АХ )|л/1 - Х 2ch(АХ) дх-л/ 1-Х2

Отсюда следует, что в вершине трещины и (Х = 1) Ф 0 и и"(х = 1) = 0, т.е. края трещины близки к прямолинейным и смыкаются под углом, увеличивающимся при возрастании напряжения а, что соответствует экспериментальным результатам (рис. 2).

Общее решение уравнения (6) для напряжения имеет вид [18]

а у (Х) = Сев "Ах + С2 еАх + а Ах

/ х — Ах 1— х — -Ах л— Л

-Ах с хе йх ах (Хв йх " в I ; - е 1—7—

1Л/Х2"

-1 1

Это решение должно удовлетворять двум граничным условиям

ау

-А А

Из первого условия получим С1е + С2е = 0. Учтем, что при х согласно [18] и правилу Лопиталя,

-АхХ хеХх дх 1

= 7 • I

хе А дх

Ах

1У1 х2 -1 А' 1 л/Х2-1

ВД-I

= ВД,

- -Ах .-Л

хе дх

1 Тх2

1

1

где К1( А) — функция Макдоналда [20]. Тогда, удовлетворяя второе условие (10), получим С2 =АК1(А)/2 и решение (9) принимает следующую окончательную форму:

а у(х)=аА

Ах

Ах с хе

Ч

дх

х — -Ах 1—

-еАх|-К1

1

Для улучшения сходимости интегралов при больших значениях параметра А введем безразмерную коор-

Рис. 4. Зависимость относительного напряжения ау от координаты х, отсчитываемой от вершины трещины (сплошная линия соответствует решению (12), пунктирная — асимптотическому решению (15)), X = 10

№ h, мм b, мм c, мм а, МПа ka А s, мм Kc, МПа - мм12

1 2.93 99.75 6.0 9.36 8.9 390 0.0154 41.01

2 2.93 99.00 10.8 7.06 11.8 690 0.0157 42.37

3 2.93 99.90 18.0 5.35 15.6 1190 0.0151 43.79

ЛХ j1 (1 + Xi)e

+ xi

+ 2 К1

0 ^¡2 х] + х\

На рис. 4 сплошной линией показана зависимость относительного напряжения а у = а у/ а от координаты х1 для случая X = 10.

На кривой можно выделить точку с координатой х1т, в которой напряжение достигает максимального значения ат. Фактически эта величина является коэффициентом концентрации напряжений, порождаемой трещиной, т.е. ат = ка. Для кривой, показанной на рис.4, хт = 0.2 и kа= 1.614.

На рис. 5 представлены зависимости ка и х™ от параметра X, полученные с помощью равенства (12) (данные расчета показаны точками).

Для экспериментальной проверки полученного решения были испытаны на растяжение три пластины из органического стекла с трещинами различной длины. Разрушение материала носит хрупкий характер. Предел прочности при растяжении а в = 83.3 МПа (коэффициент вариации 1.3 %), модуль упругости Е = 3.15 ГПа,

0.008-

0.006-

0.004-

0.002

0.000

Рис. 5. Зависимость коэффициента концентрации напряжений в окрестности вершины трещины ^ (а) и безразмерной координаты максимального напряжения х1т (б) от безразмерного масштабного параметра X

коэффициент Пуассона V = 0.38. Параметры образцов и результаты расчета представлены в табл. 1.

Разрушающее напряжение определялось по формуле а = Р/ (ЬН), где Р — сила, вызывающая разрушение пластины; Ь и h — ее ширина и толщина. Далее определялся фактический коэффициент концентрации напряжений £а = ав/ Н. Затем с помощью кривой, показанной на рис. 5, определялся параметр X и по известной длине трещины с находился параметр 5 (8): 5 = с/X. Как следует из табл. 1, полученные для трех пластин значения параметра 5 близки между собой — среднее значение 5 = 0.0154 мм при коэффициенте вариации

Таблица 1

№

h, мм 2.93 2.93 2.93

b, мм 99.75 99.00 99.90

c, мм

6.0 10.8 18.0

а, МПа 9.36 7.06 5.35

8.9 11.8 15.6

390 690 1190

мм 0.0154 0.0157 0.0151

Kc, МПа-мм1 41.01 42.37 43.79

А.

п

Рис. 6. Зависимости предельных напряжений от длины трещины (сплошная линия), пунктирная линия соответствует расчетам, проведенным с помощью формулы (3), точками показаны экспериментальные результаты

1.3 % (он совпадает с соответствующей характеристикой для предела прочности материала).

Учитывая сравнительно небольшой разброс экспериментальных результатов, примем ^ = 0.0154 мм. Тогда предлагаемый метод позволяет определить несущую способность пластин с трещинами, используя традиционный критерий максимальных напряжений. Действительно, при известном параметре 5 и длине трещины с можно найти параметр А = с/5, затем по кривой, показанной на рис. 5, определить коэффициент концентрации напряжений ^ и, используя предел прочности материала ав, получить разрушающее напряжение по формуле а = ав/ k а. Результаты расчета для трех экспериментальных пластин показаны на рис. 6 сплошной линией. Точки соответствуют экспериментальным результатам.

Для сравнения оценим прочность пластин с позиций линейной механики разрушения. Используя данные табл. 1 и формулу (3), найдем критический коэффициент интенсивности напряжений К^ Результаты расчета представлены в последнем столбце табл. 1. Среднее значение составляет Кс = 42.39 МПа • мм1/2 при коэффициенте вариации 3.2 %. При таком значении Кс и соответствующей длине трещины с равенство (3) позволяет найти напряжение а, разрушающее пластину с трещиной. Результатам расчета соответствует штриховая кривая на рис. 6. Можно заключить, что оба метода приводят к близким и хорошо согласующимся с экспериментом (точки на рис. 6) результатам.

Однако предлагаемый подход основан на традиционной концепции концентрации напряжений и не требует построения специальной теории разрушения. Кроме того, для пластины без трещины (с = 0) предлагае-

мый подход приводит к очевидному результату а = ав, а равенство (3) при а = ав дает длину трещины ст = = 0.0824 мм. При с < ст разрушающее напряжение превышает предел прочности материала ав, что не имеет физического смысла.

Предлагаемый метод основан на точном решении плоской задачи теории упругости для растягиваемой плоскости с разрезом. Для более сложных случаев на-гружения точные решения отсутствуют. Однако, как следует из зависимости коэффициента концентрации напряжений (рис. 5), максимальное напряжение реализуется вблизи вершины трещины. Например, для последней пластины в табл. 1 параметр А = 1190 и расстояние от вершины трещины, на котором напряжение достигает максимального значения, составляет 0.09 мм. В связи с этим для оценки величины максимального напряжения представляется возможным использовать асимптотическое решение, справедливое вблизи вершины трещины. Для этого в классическом решении (2) следует заменить координату Х на Х1 = Х -1 и предположить, что Х1 << 1. В результате уравнение (6) принимает вид

д2а у

¿Х2

-А2ау

аА2 А = с

л] 2 Х1 ' 5

Это уравнение имеет общее решение:

а у (Х[) = Де"^1 + В еА(1 + Аа

_ _ _ -АХ (1 е^дх 1 Ах ( е Хх1дх

+--1= е 11—- е 11—

2V2 ^ 0 Л/Х1 0 л/х 1 ^

Решение (13) должно удовлетворять граничным условиям

ау

Из первого условия (14) следует, что В1 + В2 = 0. Учтем, что при Х1 ^ согласно [20] и правилу Лопиталя,

е-ах х еXxlйХl = 0 ^ e~XxlйХl = /Л

0 л/ХТ 0 л/ХТ

Тогда из второго граничного условия (14) найдем Аа 1л

В2 = 2>/2\ А'

и решение (13) принимает вид

а у((1) =

Аа

242

А х1

-Ах1

( (1 Ах л— | е 1йx1

0 л/ХГ

Х1 -АХ л- \

^а 0 ^ ,

На рис. 4 штриховой линией показана зависимость относительного напряжения ау =ау/ а от Х1 для случая А = 10. На первый взгляд, асимптотическое решение отличается от точного (сплошная линия), Однако существенное различие имеет место только для относи-

Таблица 2

№ h, мм b, мм c, мм s, мм К Pp' H Pe>H

1 2.97 60.40 10 0.0154 649 11.5 294 313

2 2.96 60.22 17 0.0154 1104 15.0 223 230

3 2.96 60.44 22 0.0154 1430 17.0 196 179

тельно малых значений параметра X (на рис. 4 X = 10). Как следует из табл. 1, реальные значения параметра X значительно больше 10. Зависимости коэффициента концентрации напряжений ^ и координаты х1т от параметра X, соответствующие решению (15), показаны на рис. 6 сплошными линиями. Можно заключить, что асимптотическое решение практически не отличается от точного (точки).

Таким образом, можно предложить следующий подход для оценки прочности пластин из хрупких материалов со сквозными трещинами. Рассмотрим пластину без трещины и предположим, что ее напряженное состояние сравнительно слабо изменяется по координатам. Обозначим напряжение, действующее в некотором сечении пластины, через а. Теперь допустим, что в этом сечении пластины имеется сквозная трещина с характерным размером с. Максимальное напряжение, действующее в окрестности трещины, определяется асимптотическим решением (15). При этом график для коэффициента концентрации напряжений (рис. 5) позволяет найти коэффициент концентрации kа = ав/ а в зависимости от параметра X = с/5. Параметр X можно считать известным, если предположить, что экспериментально найденный параметр 5 определяет предельное состояние трещины. В результате предельное напряжение для пластины с трещиной определяется по формуле а = ав /kа и линейно зависит от предела прочности неповрежденного материала а в.

В качестве приложения рассмотрим изгиб двухопор-ной балки сосредоточенной силой (рис. 7). Напряжение, действующее в середине пролета в пластине без трещины, согласно сопротивлению материалов имеет вид

а = 3Р// (2Ь 2Н),

где h — толщина пластины. Используя коэффициент концентрации напряжений ^, найдем предельную величину силы

Рр = 2Ь 2Нав/

Р

1/2 1/2

Ъ

Рис. 7. Изгиб двухопорной балки с трещиной

Для балок из органического стекла с параметрами gb = = 83.3 МПа — предел прочности материала, l = 180 мм и я = 0.0154 мм, что соответствует полученному выше экспериментальному значению для пластины с центральной трещиной, результаты расчета по формуле (16) и эксперимента приведены в табл. 2.

В последнем столбце таблицы приведены экспериментальные значения предельной нагрузки р, которые отличаются от расчетных значений р в среднем на 5.9 %.

4. Заключение

Оценка несущей способности пластины с центральной трещиной и балки с боковой трещиной на основе асимптотических решений обобщенной теории упругости позволяет получить удовлетворительные результаты. В настоящее время асимптотические решения получены для широкого класса сингулярных задач классической теории упругости. В совокупности с уравнениями обобщенной теории упругости они позволяют осуществлять расчет элементов конструкций с трещинами на основе критерия максимальных напряжений без привлечения аппарата линейной механики разрушения.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00623) и при частичной поддержке Программы фундаментальных исследований ИПРИМ РАН.

Литература

1. Cherepanov G.P. Mechanics of Brittle Fracture. - New York: McGraw-Hill Int. Book Co., 1979. - 939 p.

2. Anderson T.L. Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications. -New York: CRC Press, 2017. - 670 p.

3. Miannay D.P. Fracture Mechanics. - Neubuch: Springer, 2012. - 338 p.

4. Aifantis E. C. On the role of gradient in the localization of deformation

and fracture // Int. J. Eng. Sci. - 1992. - V. 30. - P. 1279-1299.

5. Carpinteri A., Paggi M. Asymptotic analysis in linear elasticity: From the pioneering studies by Wieghardt and Irwin until today // Eng. Fract. Mech. - 2009. - V. 76. - P. 1771-1784.

6. Sih G. C., Tang X.S. Scaling of volume energy density function reflecting damage by singularities at macro-, meso- and microscopic level // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2005. - V. 43. - P. 211-231.

7. Altan B.C., Aifantis E.C. On the structure of the mode-III crack-tip in gradient elasticity // Scripta Mater. - 1992. - V. 26. - P. 319-324.

8. Mousavi S.M., Aifantis E. C. A note on dislocation-based mode III gradient elastic fracture mechanics // J. Mech. Behav. Mater. - 2015. -V. 24. - P. 115-119.

9. Lazar M. The fundamentals of non-singular dislocations in the theory of gradient elasticity: Dislocation loops and straight dislocations // Int. J. Solids Struct. - 2013. - V. 50. - P. 352-362.

10. Lurie S.A., Belov P.A. Gradient effects in fracture mechanics for nano-structured materials // Eng. Fract. Mech. - 2014. - V. 130. - P. 3-11.

11. Ru C.Q., Aifantis E.C. A simple approach to solve boundary value problems in gradient elasticity // Acta Mech. - 1993. - V. 101. - P. 5968.

12. Gao X.-L., Park S.K. Variational formulation of a simplified strain gradient elasticity theory and its application to a pressurized thick-walled cylinder problem // Int. J. Solids Struct. - 2007. - V. 44. -P. 7486-7499.

13. Васильев B.B., Лурье C.A. О корректных нелокальных обобщенных теориях упругости // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 1. -С. 47-59.

14. Лурье C.A., Соляев Ю.О. Определение параметров градиентной теории упругости по потенциалам межатомного взаимодействия,

учитывающим модифицированное правило Лоренца-Бертло // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 3. - С. 39-46.

15. Eringen A.C. Nonlocal Continuum Field Theories. - New York: Springer, 2002.

16. Gutkin M.Yu., Aifantis E.C. Dislocations in gradient elasticity // Scripta Mater. - 1999. - V. 40. - P. 559-566.

17. Васильев В.В., Лурье С.А. Обобщенная теория упругости // Изв. РАН. МТТ. - 2015. - № 4. - С. 16-27.

18. Васильев В.В., Лурье С.А. Новое решение плоской задачи о равновесной трещине // Изв. РАН. МТТ. - 2016. - № 5. - С. 61-67.

19. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1979. - 744 с.

20. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.: Физматгиз, 1963. - 1100 с.

Поступила в редакцию 18.07.2018 г.

Сведения об авторах

Васильев Валерий Витальевич, д.т.н., акад. РАН, гнс ИПМех РАН, vvvas@dol.ru

Лурье Сергей Альбертович, д.т.н., проф., внс ИПМех РАН; гнс, зав. лаб. ИПРИМ РАН, salurie@mail.ru

Салов Владимир Алексеевич, к.т.н., доц., нс АО ЦНИИСМ, snegiricentral@yandex.ru