Об идентичности частотных характеристик аналоговых и цифровых фильтров

УДК 621.372.54

В.П. Тепин, А.В. Тепин ОБ ИДЕНТИЧНОСТИ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК АНАЛОГОВЫХ И ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Анализируется точность соответствия формы частотных характеристик аналогового фильтра и рекурсивного цифрового фильтра, передаточные функции которых связаны билинейным преобразованием аргумента. Показано, что оптимальным выбором вида и параметров преобразования можно добиться воспроизведения формы с любой желаемой точностью. Применение модифицированного преобразования позволяет существенно повысить точность копирования либо понизить частоту дискретизации, особенно в случае узкополосного полосового илирежекторного фильтров.

Аналоговый фильтр; рекурсивный цифровой фильтр; частотная характеристика;

.

V.P. Tepin, A.V. Tepin

ON FREQUENCY RESPONSE IDENTITY OF ANALOG AND DIGITAL

FILTERS

In this paper, the reproduction accuracy of the analog and recursive digital filter frequency response is analyzed, under the stipulation that transfer functions of these filters are interrelated by bilinear transformation. It is shown that by optimal choice of transformation parameters and type, it is possible to reproduce the frequency response shape with any desired accuracy. Application of the modified conversion can significantly improve the accuracy of copying or lower sampling rates, especially in the case of narrow-band bandpass or bandstop filters.

Analog filter; recursive digital filter; frequency response; bilinear transformation.

Известно, что любой аналоговый фильтр (АФ) можно с определенной степенью точности заменить эквивалентным ему рекурсивным цифровым фильтром ( ). . -вивалентности чаще всего служит степень близости (идентичности) характеристик фильтров в частотной области. Разумеется, в силу периодичности этих характеристик в случае РЦФ, копирование возможно только в области частот, ограниченной половиной частоты дискретизации.

Наибольшую точность воспроизведения формы частотных характеристик обеспечивает метод билинейного преобразования передаточной функции [1]. Однако добиться полной их идентичности принципиально невозможно даже в ограниченной области частот. Причиной тому служит явление деформации шкалы частот, наблюдаемое при билинейном преобразовании [2]. Следствием является искажение частотных характеристик, приводящее к изменению рабочих параметров фильтра (частоты настройки, полосы пропускания и задерживания, группового времени замедления и др.), которое может оказаться значительным и даже неприемлемым для ряда приложений, прежде всего - для измерительных, программируемых, реконфигурируемых, следящих и сопровождающих фильтров [3,4].

Цель работы - исследование точности воспроизведения частотных характеристик фильтров при билинейном преобразовании, а также способов повышения .

Используются обозначения: H (p) - передаточная функция АФ произвольного класса и порядка, аргумент которой p есть оператор непрерывного преобра-

, FA -

шением p = ; W (г) - дискретная передаточная функция эквивалентного

РЦФ, аргументом которой является г - оператор дискретного преобразования Лапласа, связанный с частотой сигнала цифрового фильтра FD соотношением г = ехр(рТ) = ехр( j2лFD /Fs); Fs - частота дискретизации.

,

комплексной р - плоскости (где размещаются нули и полюсы АФ) во внутреннюю

область единичного круга на комплексной г - плоскости (где размещаются нули и полюсы РЦФ). Существуют два варианта такого преобразования - стандартный и модифицированный [1].

Стандартное билинейное преобразование. Выполняется замена аргумента передаточной функции АФ или РЦФ выражениями

г =

приводящая к следующим взаимосвязям между этими функциями [1]:

Н

Из формул (1) можно найти связь между «анадоговой» частотой FA и «цифровой» частотой FD (соотношение частотных шкал) в виде

FA =

, , могут быть достаточно близкими (^ FD ) только при условии Fs / FD ^~ .

, -

ность копирования частотных характеристик только области частот, значительно меньшей частоты дискретизации.

Мерой идентичности частотных шкал может служить величина относительного сдвига аналоговой и цифровой частот, которую можно найти из (3):

=

Зависимость сдвига от величины отношения FD / Fs показан а на рис. 1.

Рис. 1. Относительный сдвиг частотных шкал при стандартном преобразовании

Если область рабочих частот фильтра расположена значительно ниже частоты дискретизации, т.е. FD / Fs << 1, то сдвиг шкал можно оценить по приближенной формуле

дс -

Отсюда можно найти значение частоты дискретизации, гарантирующее копирование характеристик аналогового и цифрового фильтров в диапазоне частот

0...¥в с желаемой точностью 8С :

Например, для достижения точности 0,1 % необходимо, чтобы частота дискретизации превышала верхнюю границу этого диапазона частот не менее чем в 57,4 раза.

,

частотных шкал положителен. Это означает, что характеристика РЦФ смещена по отношению к АФ в сторону низких частот, при этом величина сдвига непостоянна

- .

Модифицированное билинейное преобразование. Такой вариант преобразования является более общим - он позволяет совместить частотные характеристики

АФ и РЦФ на любой выбранной частоте 0 < F0 < Fs /2. Это может быть, напри, , полосы пропускания полосового фильтра, центральная частота полосы задерживания режекторного фильтра либо любая иная точка характеристики фильтра, к точности расположения которой на шкале частот предъявляются наиболее жесткие требования. В частности, значение F0 может быть выбрано равным нулю. Операции модифицированного преобразования определяются так [1]:

1 + У 1 г -1 tg

г = ——, р =-, у = ——0——.

1 - у у г +1 2яF0

Взаимосвязь передаточных функций фильтров принимает вид

н

а соотношение аналоговой и цифровой шкал частот -

FA = F0 ^

,

F0, так как при FD = F0 значения аналоговой и цифровой частот совпадают:

¥а = ^. При F0 = 0 формула (9) совпадает с аналогичной формулой (3) для

.

Величина относительного сдвига частотных шкал определяется формулой 3м =

Очевидно, что на частоте Fo эта величина уменьшается до нуля, а при понижении частоты (FD < Fo) изменяет знак, т^. становится отрицательной. В отличие от предыдущего варианта преобразования, при FD ^ 0 относительный сдвиг стремится не к нулю, а к конечному значению:

Ит 3м = -----1.

Ро^0 tg

о' *

Таким образом, модифицированное преобразование позволяет совместить аналоговую и цифровую шкалы в любой точке частотного диапазона, что способствует повышению точности копирования характеристик АФ и РЦФ.

При достаточно высокой частоте дискретизации, когда Р0 / ^ << 1 и << 1, справедливы следующие приближенные формулы:

г м. (п 2 7

1+(п2 /3)( Р, / ¥в )2 1ііп5м »-(лРо/р)2/3.

Ро ^0

Г рафики зависимости модуля сдвига шкал от Ри / Р

формуле (10) для различных значений Ро / , показаны на рис. 2.

Рис. 2. Относительный сдвиг частотных шкал при .модифицированном

преобразовании

Пример. На рис. 3 и 4 показаны графики АЧХ аналогового фильтра (кривая 1), а также двух его рекурсивных цифровых эквивалентов. Кривая 2 соответствует фильтру, синтезированному при помощи стандартного преобразования, а кривая 3

- фильтру, синтезированному при помощи модифицированного преобразования.

Рис. 3. Общий вид А ЧХ аналогового фильтра и его цифровых эквивалентов

Рассматриваемый аналоговый фильтр представляет собой симметричный полосовой эллиптический фильтр 10-го порядка, обладающий следующими рабочими характеристиками: центральная частота - 1 кГц, ширина полосы пропускания

- 1 кГц, неравномерность АЧХ в полосе пропускания - 3 дБ, гарантированное затухание в полосе задерживания - 60 дБ. Координаты нулей и полюсов фильтра представлены в табл. 1.

1

Координаты нулей и полюсов передаточной функции аналогового фильтра

Нули ±]3060,52 ±] 12903,5 4, 3 2 ±] 17065,5 -

Полюсы -73,8006 ±]3924,58 -189,157 ±]10059 -304,872 ±]4535,69 -582,607 ±]8667,65 -645,126 ±]6251,02

Совмещение аналоговой и цифровой шкал выполнено на центральной частоте АФ (^0 = 1 кГ ц). Частота дискретизации выбрана равной 10 кГ ц, т.е. отношение

V ^ равно 0,1, что типично для многих применений [1,2].

Анализируя графики на рис. 3 и 4, можно заметить следующее:

♦ искажения АЧХ РЦФ весьма специфичны - они проявляются в виде не-

/

вдоль оси частот, при этом деформаций вдоль вертикальной оси нет;

♦ в результате сжатия частотной шкалы, центральная частота РЦФ, синтезированного методом стандартного билинейного преобразования, понижается на 3,1 %. Из-за неравномерности сжатия нижняя граница полосы пропускания понижается на 1,2 %, а верхняя - на 7,5 %. Ширина полосы пропускания фильтра в результате уменьшается на 11,3 % - от 1 000 до 887 Г ц;

♦ при модифицированном преобразов ании центральная частота остается неизменной, но граничные частоты полосы пропускания заметно смещаются, причем разнонаправлено. Верхняя граница понижается на 4,8 %, а нижняя повышается на 2,1 %. Полоса пропускания при этом сужается на 9,1 % - от 1000 до 911 Гц;

♦ существенные деформации АЧХ наблюдаются также в полосе задерживания. Особенно велик сдвиг частоты нуля, ближайшего к верхней границе полосы пропускания (-12,6 % при стандартном преобразовании, -9,6 %

).

смещается заметно меньше (-0,8 % и +3,3 % соответственно). Наблюдаемые изменения параметров фильтра хорошо согласуются с оценками, которые можно получить по формулам (5) и (12), а также из графиков на рис. 1 и 2.

Например, при стандартном преобразовании понижение центральной частоты, рассчитанное по формуле (5), равно 3,4 %, а нижней граничной частоты полосы пропускания - 1,26 %.

Представленные результаты позволяют сделать следующие выводы.

Повышая частоту дискретизации, можно добиться желаемой точности копирования частотной характеристики аналогового или цифрового фильтра при обоих вариантах билинейного преобразования. Приведенные оценки позволяют выбрать оптимальное значение этой частоты.

Применение модифицированного преобразования позволяет существенно повысить точность копирования либо понизить частоту дискретизации, особенно в случае узкополосного полосового или режекторного фильтров.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. - СПб.: Питер, 2002. - 608 с.

2. Айчифер Э. Цифровая обработка сигналов: практический подход: Пер. с англ. - 2-е изд.

- М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. - 992 с.

3. Тепин В.П., Тепин А.В. Синтез аналоговых фильтров в LabVIEW // 9-я Международная научно-практическая конференция «Обр^овательные, научные и инженерные приложения в среде LabVIEW»: Сб. тр. конференции. - М.: Изд-во РУДН, 2010. - С. 488-490.

4. . .

фильтром // X Всероссийская научная конференция «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления»: Сб. мат. конф. - Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010.

- Т. 1. - С. 162-163.

. . ., . . .

Тепин Владимир Петрович

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: vtepin@gmail.com.

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

Тел.: +78634613116.

Кафедра систем автоматического управления; доцент.

Тепин Алексей Владимирович

E-mail: alexey.tepin@gmail.com.

Кафедра систем автоматического управления; аспирант.

Tepin Vladimir Petrovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: vtepin@gmail.com.

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634613116.

Department of Automatic Control Systems; Associate Professor.

Tepin Alexey Vladimirovich

E-mail: alexey.tepin@gmail.com.

Department of Automatic Control Systems; Postgraduate Student.

5G