Косая равнобокая трапеция и ее применение для классификации движений пространства

МАТЕМАТИКА

Г.В. КИОТИНА, О.В. ЗАЦЕПИНА

Косая равнобокая трапеция и её применение для классификации движений пространства

Посвящается памяти З.А.Скопеца (к 90-летию со дня рождения).

З.А. Скопец - ведущий геометр своего времени. Его работы отличаются высоким мастерством. Они содержат множество новых интересных фактов, имеющих широкое практическое применение.

В данной работе, используя свойства косого параллелограмма, введенного и изученного в [1], и соответствующей ему косой равнобокой трапеции, введенной авторами, дается конструктивное решение вопроса классификации движений пространства, что позволило дополнить естественным образом известную классификацию одним частным видом и значительно сократить ее изложение. Косой параллелограмм и косая равнобокая трапеция

Косым (пространственным) четырехугольником называется упорядоченная четверка точек (вершин), не принадлежащих одной плоскости.

В отличие от тетраэдра, косой четырехугольник, как и плоский, имеет две пары противоположных сторон, пару диагоналей и четыре внутренних угла. В отличие от плоского четырехугольника, для косого четырехугольника выполняются следующие свойства:

1. Любой внутренний угол меньше суммы углов, которые образуют его стороны с диагональю, выходящей из вершины данного угла.

2. Сумма внутренних углов косого четырехугольника меньше 2 п.

Первое свойство вытекает непосредственно из того, что сумма двух плоских углов трехгранного угла больше третьего [1], [4],

[3].

Второе свойство следует из первого с учетом того, что сумма всех плоских углов тетраэдра равна 4 п, а в косой четырехугольник входит по одному углу из каждого трехгранного угла, то есть меньше половины.

Докажем признак равенства косых четырехугольников, который используем в дальнейшем.

Теорема 1. Два косых четырёхугольника равны, если равны их углы и сторона одного равна соответствующей стороне другого.

Доказательство:

Пусть в косых четырёхугольниках А1А2А3А4 и В1В2В3В4 равны стороны А1А2 и В1В2 и соответственные углы. На лучах А1А4 и А2А3 выберем точки С4 и С3 таким образом, что А1С4 = В1В4, А2С3 = В2В3. Получим, что косой четырехугольник А1С4С3А2 равен косому четырехугольнику В1В4В3В2, поэтому

= Z А1АЛ3 = а, Z А2С3С4 = ^ А2А3А4 = в .

Предположим, что С3 = А3, С4 Ф А4, тогда получим, что внешний угол а (в) треугольника С4С3А4 равен его внутреннему, с ним не смежному. Предположим, что

С4 Ф А4 и С3 Ф А3. Получим, что в косом четырехугольнике С4С3А3А4 сумма углов будет равна 2п не зависимо от расположения точек С4 и С3 на лучах А1А4 и А2А3 .

Из полученных противоречий следует, что С4 = А4, С3 = А3, то есть косой четырехугольник А1А2А3А4 равен косому четырехугольнику В1В2В3В4.

Определение 1. Косым параллелограммом в [1. С. 92] назван четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны.

Определение 2. Косой равнобокой трапецией назовем косой четырехугольник, у которого равны диагонали и пара противоположных сторон.

Из определений 1 и 2 следует, что если А1А2А3А4 - косая равнобокая трапеция, то А1А3А2А4 - косой параллелограмм, и обратно, если А1А2А3А4 -косой параллелограмм, то А1А3А2А4 - косая равнобокая трапеция. Таким образом, каждое свойство косого параллелограмма является определенным свойством косой равнобокой трапеции и наоборот.

Косая равнобокая трапеция обладает целым рядом свойств, аналогичных свойствам равнобокой трапеции.

Теорема 2. У косой равнобокой трапеции равны две пары граней, проходящих через основания, а середины всех сторон служат вершинами ромба, диагональ которого, проходящая через середины оснований, является осью симметрии косой равнобокой трапеции

и содержит центр сферы, описанной около всех ее вершин.

Доказательство. Пусть А1А2А3А4  косая равнобокая трапеция, у которой

А1А2 = А3А4, А1А3 = А2А4. Тогда две пары треугольников А1А2А3 и А4А3А2, А1А3А4 и А4А2А1 равны по трем сторонам.

Пусть О1, О2, О3, О4 середины соответственно сторон А1А2, А2А3, А3А4, А4А1. Пары отрезков О1О2 и О3О4; О2О3 и О1О4 параллельны между собой и равны соответственно половинам диагоналей А1А3 и А2А4. Так как А1А3 = А2А4, то четырехугольник О1О2О3О4 является ромбом, а значит, точки О1 и О3 симметричны относительно прямой О4О2, которая является биссектрисой угла О1О4О3. Из равенства треугольников А1О4О1 и А4О4О3 следует, что ^ А1О4О1 = ^ А4О4О3. Отсюда получим, что прямые О2О4 и А1А4 перпендикулярны. Таким образом, прямая О2О4 является осью симметрии косой равнобокой трапеции А1А2А3А4 . Точки прямой О2О4 равноудалены от пар точек А2А3 и А1А4, поэтому плоскость, точки которой равноудалены от точек А1 и А2, пересечет прямую О2О4 в точке, равноудаленной от всех вершин косой равнобокой трапеции, то есть в центре О сферы, описанной около всех её вершин.

Теорема 3. Косой четырехугольник является косой равнобокой трапецией, если выполняется одно из следующих свойств:

1) равны две противоположные стороны и два угла, прилежащие к одной из остальных сторон;

2) равны диагонали и два угла, прилежащие к одной стороне, или два угла между диагоналями и одной из сторон;

3) прямая, проходящая через середины противоположных сторон, является его осью симметрии;

4) равны две пары углов, прилежащих к противоположным сторонам;

5) равны две пары углов, образованных различными диагоналями и различными противоположными сторонами.

Первые три признака легко доказать, рассматривая различные пары равных треугольников.

Докажем свойство пять.

Пусть А1А2А3А4 - косой четырехугольник, у которого

Z А1А2А4 = а = Z А] А3А4 = а 1 Z А3А4А2 = в = ^ А2 А1А3 = в 1 ,

а Р и Q  концы общего перпендикуляра прямых А] А3 и А2А4. Рассмотрим косой четырехугольник А1А2А4А3. В нем пары углов а = а 1 и в = в 1 являются внутренними (противоположными), и, следовательно,

а + в < п. Отсюда следует, что точки Р и Q принадлежат соответственно отрезкам А^3 и А2А4, так как лишь при таком их расположении в каждом из косых четырехугольников РQA2Al и QPA3A4 сумма углов будет меньше 2 п. Четырехугольники РQA2Al и QPA3A4 имеют общую сторону и равные соответственные углы, поэтому по теореме 1 они равны, то есть А^=А^, РА3=QА2, А!А2=А3А4. Получили, что в четырехугольнике А1А2А4А3 равны обе пары противоположных сторон А1А3 =А2А4 и А1А2 =А3А4 и по определению1 он является косым параллелограммом, а четырехугольник А1А2А3А4 - косой равнобокой трапецией.

Свойство 4 доказывается аналогично, если рассмотреть общий перпендикуляр РQ для прямых А2А3 и А1А4.

В [1. С. 93, 94] приведены два доказательства признака косого параллелограмма по равенству противоположных углов, с использованием теорем косинусов для треугольника и трехгранного угла. Мы привели третье доказательство этого признака, используя теорему 1.

Применение свойств косой равнобокой трапеции для классификации движений пространства

Классификация движений пространства, имеющих не менее двух инвариантных точек, не вызывает затруднений. Такими движениями являются следующие четыре вида:

1) тождественное преобразование, при котором инвариантны каждая точка, каждая плоскость, каждая прямая;

2) отражение от плоскости а, при котором инвариантны каждая точка и каждая прямая плоскости а , а также плоскости и прямые, перпендикулярные ей;

3) поворот на угол р Ф 1800 относительно прямой т, при котором инвариантны каждая точка прямой т и каждая плоскость, перпендикулярная ей;

4) отражение от прямой т (поворот на угол 1800), при котором инвариантны каждая точка прямой т, каждая плоскость, ей перпендикулярная, и каждая плоскость, через неё проходящая.

Проведем классификацию движений, имеющих не более одной инвариантной точки, используя свойства косой равнобокой трапеции.

В учебных пособиях [2, 3] классификацию движений в этом случае проводят, опираясь на лемму о существовании в любом движении инвариантной прямой, при этом в [2] данная лемма принимается без доказательства, а в [3] приводится довольно сложное ее доказательство. В учебном пособии [4] классификация движений пространства проводится с помощью представления движений в виде композиции отражений от плоскостей. Решение вопроса занимает более двадцати страниц. В других учебных пособиях классификация движений приводится без доказательства.

Сформулируем свойства инвариантных элементов (точек, прямых и плоскостей), которыми будем пользоваться в дальнейшем:

1) если движение имеет инвариантные плоскость а и точку А (прямую т), то оно имеет инвариантную прямую (плоскость), перпендикулярную плоскости а и проходящую через точку А (прямую т);

2) если при движении инвариантны точка А и прямая т, то инвариантна плоскость, перпендикулярная прямой т и проходящая через точку А;

3) если движение имеет единственную инвариантную точку, то эта точка принадлежит каждой инвариантной прямой и каждой инвариантной плоскости;

4) если движение Г не имеет трех инвариантных точек, не принадлежащих одной прямой, но имеет прямую q инвариантных точек и инвариантную плоскость, проходящую через прямую q, то Г - отражение от прямой q.

Свойства 1-3 используются в [2, 3] при проведении классификации движений, а свойство 4 вытекает из приведенной классификации движений, имеющих не менее двух инвариантных точек.

I. Движение Г имеет одну инвариантную

точку.

Пусть Г(0) = 0, ДАО = А2, Г(А2) = А3, ДАз) = А4. Тогда А1А2 = А2А3 = А3А4,

ОА1 = ОА2 = ОА3 = ОА4 , А1 Ф А2 Ф А3 Ф А4.

Рассмотрим случай, когда А3 = А1 и, следовательно, прямая т1 = А1А2 - инвариантна при движении £ Так как точка О -единственная инвариантная точка движения £, то по свойству 3 она принадлежит прямой т1,

а по свойству 2 движение Д имеет инвариантную плоскость а1, перпендикулярную прямой т1 и проходящую через точку О.

Пусть А3 Ф А1, то есть точки А1, А2, А3 все различны, и, следовательно, они не могут принадлежать одной прямой в силу условия (1).

Рассмотрим случай, когда точки А;, 1=1,4 принадлежат одной плоскости а2, и, следовательно, а2 инвариантная плоскость.

По свойству 3 точка О принадлежит плоскости а2, а по свойству 1 движение Д имеет инвариантную прямую т2, проходящую через точку О и перпендикулярную плоскости

а2.

Рассмотрим общий случай, когда точки А1 одной плоскости не принадлежат. Тогда А1 А2А3А4  косая равнобокая трапеция, так как А1А4 = А3А2 и А1А2 = А3А4, и по теореме 2

середины О отрезков А^+1 ( = 1,3) принадлежат одной плоскости а3 и содержат точку

О. Учитывая, что Д(О1) = О2, Д(О2) = О3, Д(О) = О, получим, что а3 инвариантная плоскость и ей принадлежит инвариантная точка О, а значит, инвариантна прямая т3, проходящая через точку О и перпендикулярная плоскости а3.

Во всех трех случаях имеем инвариантную плоскость а;, инвариантную точку О, ей принадлежащую, и инвариантную прямую т1, проходящую через инвариантную точку О и перпендикулярную плоскости а;. Отсюда следует, что в инвариантной плоскости а; индуцируется движение Г имеющее инвариантную точку О, то есть поворот на некоторый угол ф относительно точки О, а на прямой т! индуцируется отражение от точки О.

При рФ 1800 рассмотрим движение Г

=Д о Г2, где Г - отражение от плоскости а;. В преобразовании Г инвариантна каждая точка прямой и нет других инвариантных точек, поэтому оно является преобразованием поворота относительно прямой т! на угол р Ф 1800. Так как Г - инволюционное преобразование, то получим, что Г = Го Г , т.е. Г является композицией поворота Г на отражение Г от плоскости а; не зависимо от порядка их выполнения. Движение Г в этом случае называется поворотным отражением с углом поворота р Ф 1800, оно имеет единственную инвариантную плоскость, точку и прямую.

При <р= 1800 рассмотрим движение Г2 = Г ° Г2, где Г2 - отражение от точки О. При движении ^ инвариантна каждая точка плоскости и каждая точка прямой шъ то есть ^ - тождественное преобразование, а следовательно, Г - отражение от точки О. Преобразование Г имеет в этом случае связку инвариантных прямых и плоскостей.

II. Движение не имеет инвариантных

точек.

1. Движение Г имеет по крайней мере одну инвариантную плоскость. Так как Г не имеет инвариантных точек, то в плоскости а индуцируется или параллельный перенос ga

на вектор а , или скользящее отражение g от прямой ш. В обоих случаях в плоскости а имеется инвариантная прямая Ь, а значит (по свойству 1) инвариантна плоскость в, перпендикулярная к плоскости а и проходящая через прямую Ь, в которой также индуцируется одно из указанных движений. Так как на прямой Ь индуцируется параллельный перенос на некоторый вектор а , то возможны следующие три случая:

а) в каждой из плоскостей а и в индуцируется параллельный перенос ga на вектор

а;

б) в одной из плоскостей (например) индуцируется движение ga, а в другой скользящее отражение g от прямой Ь, на тот же самый вектор а ;

в) в каждой из плоскостей а и в индуцируется скользящее отражение от прямой

Ь на один и тот же вектор а .

В случаях а) и б) рассмотрим движение £2 = Г ° g"1, где g"1  параллельный перенос на

вектор а . В первом случае при движении Г2 инвариантна каждая точка плоскостей а и в и, следовательно, £2 - тождественное преобразование, а Г - параллельный перенос. Во втором случае каждая точка плоскости а - инвариантна, а других инвариантных точек нет, то есть £2 является отражением от плоскости а, а движение Г является композицией отражения от плоскости а и параллельного переноса на вектор а , причем независимо от порядка их выполнения. Движение Г в этом случае называется скользящим отражением и имеет одну инвариантную плоскость, которой

принадлежат середины всех отрезков, соединяющих соответственные точки, и пучок инвариантных плоскостей, параллельных вектору а и перпендикулярных плоскости а .

В случае в) при движении Г инвариантны любая точка прямой Ь и плоскости а и в . По свойству 4 оно является отражением от прямой Ь. Движение Г в этом случае является композицией отражения от прямой Ь и параллельного переноса на вектор р, параллельный Ь, не зависимо от их порядка. Такое движение естественно назвать скользящим отражением от прямой Ь. Этот вид движений ранее в учебной литературе не выделялся. Скользящее отражение от прямой имеет одну инвариантную прямую и пучок инвариантных плоскостей, через нее проходящих.

2. Движение Г не имеет инвариантных точек и плоскостей.

Пусть Г (А;) = А1+1, 1 = 1,4 , а М2 и М3 -середины соответственно отрезков А1А3 и А2А4. Тогда А1А2 = А2А3 = А3А4 =А4А5, А^3=А2А4, Z А1А2А3 = Z А2А3А4; Г(М2) = М3, А2М2 = А3М3, а прямые А2М2 и А3М3 перпендикулярны соответственно прямым А1А3 и А2А4 как медианы в равнобедренных треугольниках. Отсюда следует, что четырехугольник А2М2М3А3 является косой равнобокой трапецией по определению, поэтому Z А2М2М3 = Z М2М3А3 = в. Пусть В2, В3 -концы отрезка общего перпендикуляра скрещивающихся прямых А2М2 и А3М3. Косой че-тырехвершинник В2А2А3В3 является косой равнобокой трапецией по свойству 4, так как равны углы в = Z В2А2А3 и в 1 = Z А2А3В3, как половины равных углов, поэтому В2А2 = А3В3 и в - острый. Точки В2, В3 принадлежат соответственно отрезкам А2М2 и А3М3, если угол а - острый, если же угол а - тупой, то точки М2, М3 принадлежат отрезкам В2А2 и В3А3, то есть тройки точек В2, М2, А2 и В3, М3, А3 расположены одинаково. Поэтому из того, что Г(М2) = М3, Г(А2) = А3, А2В2 = А3В3, следует, что Г(В2) = В3.

Обозначим через В1 и В4 ортогональные проекции точек А1 и А4 на прямую В2 В3 и рассмотрим отображение 8 от прямой А3В3.

8(А2) = А4, 8(В2) = В4', при этом точка В4' принадлежит прямой В2В3, а прямая А3В3' перпендикулярна прямой В2В3, так как В2В3 инварианта при отображении 8. Из того, что

А4В4 перпендикулярна В2В3, получим, что В4' = В4, т. е. А4В4 = А2В2 и В3В2 = В4В2.

Проведем через точку В3 лучи Ь = В3С3

и к = В3С4, где вектор В3С3 = В2А2 , вектор

В3С4 = В4А4 перпендикулярны прямой

В2В2 и 8(В2А2) = В3А3, то и параллельные им лучи Ь и к также будут перпендикулярны прямой В2В3 и 8(Ь) = к. Отсюда следует, что Z С2В3А3 = Z А3В3С3 = р, и отрезок

В2А2 (В3А3) перейдет в отрезок В3А3 (В4А4) в результате параллельного переноса на вектор

В2В3 и поворота на угол р относительно

точки В3 (В4) в плоскости, перпендикулярной

В3В2.

Аналогично, рассматривая отображение 8' от прямой В2А2, получим, что 8'(А^ = А3,

8'(В1) = В3, вектор В1В2 = В2В3 и угол между лучами В1А1 и В2А2 равен углу между лучами В2А2 и В3А3, то есть равен р. Это значит, что движение £ = Г2 ° g, где g - параллельный перенос на вектор В2В3 , а ^ - поворот на угол р относительно прямой В2В3, отрезок В1А1 переводит в отрезок В1+1 А1+1, т. е. Г1(В1) = В1+1, Г1(А1) = А1+1. Получили, что репер

А1А2А3В2 переходит при движении Г, как и при движении £, в репер А2А3А4В3, то есть

Г = £.

Таким образом, движение Г является композицией поворота на угол р^180° относительно некоторой прямой т и параллельного переноса на вектор, параллельный этой прямой, причем не зависимо от их порядка.

Движение Г имеет единственную инвариантную прямую т и называется винтовым движением. Отметим, что наш метод проведения классификации движений дает возможность конструктивно и аналитически найти ось винтового движения и его угол поворота.

Библиографический список

1. Скопец З.А., Понарин Я.П. Геометрия тетраэдра и его элементов. Ярославль, 1974.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. I. М.: Просвещение, 1986.

3. Атанасян Л.С., Денисова Н.С., Силаев Е.В. Курс элементарной геометрии. Ч. II. М.: Сан-такс-Пресс, 1997.

4. Перепелкин Д.И. Курс элементарной геометрии. Ч. II. Геометрия в пространстве. М.: Л.: ГИТТЛ, 1949.

А.В. БОРОДИН

Барианализ точных решений нелинейных эволюционных уравнений

Настоящая статья является развитием работ [1, 2]. Но сначала изложим в сжатой форме необходимый минимум бариоперационных понятий из [3, 4, 5].

Пусть (х} = (х0, х^ — упорядоченная пара чисел х0, х1 е С; х0 = /и° (х^)= х0 и

х1 =и (х)) = х0х1 — её моменты 0-го и 1-го порядка соответственно. Тогда ^х^ = (х0; х1 /х0^,

причём если х° = 0, ах1 Ф 0, то нуль “ х0 = 0”, стоящий в знаменателе, называется нестандартным и обозначается символом (0^ . В этом случае ^х И <0>; = { (0), х'( »». где

= (0 1 — нестандартная бесконечность, такая что (ю} (0) = 1, но (ю} 0 = 0. Если же и

х0 = 0 и х1 = 0 , т.е. (х} = <° ; х1 ^ , то элемент (0; х1 ^ называется баринулевым и обозначается

символом (0) . Два элемента (х^ = (х0; х1 /х0^ и (у^ = (у°; у1 /Уназываются равными, если

и (х))=ик уу)) ( = 0,1).

Далее, если (х) = ^х0;х1/х0^, (у) = (у°;у7У°) и Ле С , то по определению

л<х> = <Лх0; х1>,,

<х><у> = {х0у0 - х1 у1;

72