МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ КАК ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЕТАПРЕДМЕТНАЯ

ФИЛОСОФИЯ

ББК 74.262.21

С. Р. Когаловский

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ КАК ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЕТАПРЕДМЕТНАЯ

Показывается место и роль метапредметного плана в математической деятельности.

Ключевые слова: математическая деятельность, метапредметная деятельность, oбщие формы поисково-исследовательской деятельности, обучение математике.

The article shows the place and the role of meta-object aspect of mathematical activity.

Key words: mathematical activity, meta-object activities, general forms of research activity, teaching mathematics.

Математика, являющаяся, по утверждению В. И. Арнольда [1], частью физики, существенно отличается от физики своим надпредметным характером, т. е. радикальными абстрагированиями от предметной данности. Более того, она отличается от физики формированием и развитием продуктивных моделей самих способов исследования разнообразных систем.

Надпредметный характер фундаментальных математических понятий, их надпредметное существо, показывает, что, говоря словами Канта, математика занимается не столько предметами, сколько способами познания предметов.

Средства, методы, способы математической деятельности сами становятся предметами математики. В силу этого она, продолжая развиваться как «часть физики», обретает новое качество: продуктами ее развития становятся и общие способы продуктивного математического моделирования.

Процессы превращения методов математической деятельности в ее предмет рождают эффективные и масштабные ее «средства производства», предстающие в форме фундаментальных понятий математики как носителей широкого комплекса познавательно-преобразующих функций. Рациональная форма представления таких понятий, их рациональное существо, их «строгость» открывает широкие возможности моделирования одних из них другими, имеющими иную природу, моделирования одних теорий в рамках других теорий, а тем самым осуществления «подпитки» одних теорий другими. Она открывает и возможности продуктивного моделирования абстрактных теорий конкретными, общих — частными. Такая форма несет возможности далеко идущего развития математической деятельности. Реализация этих возможностей привела к преображению математики. Продуктами ее развития становятся и общие формы (точнее говоря, мета-формы) и способы (точнее говоря, мета-способы) поисково-исследовательской деятельности.

Сегодня математика предстает не только как «часть физики» и не только как методология этой «части физики», но как область методологии науки, обогащающая ее язык, ее концептуальный аппарат и «техни-

© Когаловский С. Р., 2014 2014. Вып. 3 (7). Филология. История. Философия •

ческие» средства, как носитель широко используемых эффективных орудий поисково-исследовательской деятельности. Сегодня, как никогда ранее, она отвечает имени «цаВ^ца». Этому должно следовать математическое образование. Вместе с тем при всех значительных достижениях в методах обучения математике за последние десятилетия она продолжает представать в обучении, как школьном, так и вузовском, и даже в обучении будущих учителей математики, лишь как «часть физики».

В обсуждениях, касающихся математического образования, нередко склоняются к сопоставлению «программы-минимум», понимаемой как овладение (учащимися) поставляемыми математикой «техническими» средствами, необходимыми для освоения профессии, и «программы-максимум», понимаемой как овладение и такими математическими знаниями, которые несут развитие способностей к освоению общих форм и способов поисково-исследовательской деятельности, способностей к далеко идущему профессиональному и над-профессиональному развитию.

Содержание и дух учебников и учебных программ по математике свидетельствуют о том, что они ориентированы единственно на «программу-минимум». Но применительно к большей части учащихся эти программы утопичны «даже» при такой их ориентации. При том объеме, при том разнообразии материала, который предполагается освоить за весьма ограниченное время, и том уровне его сложности, который предполагается сегодняшними программами для технических, экономических и других вузов (не говоря уже о продолжающем падать уровне школьной подготовки), в лучшем случае можно говорить не об овладении студентами всем объемом математических (а значит, и не только математических) знаний, предполагаемых программой, а лишь о первичном приобщении к ним.

Казалось бы, в этих условиях попытки реализации «программы-макси-мум» кричаще утопичны. Но, как это, на первый взгляд, ни парадоксально, именно ориентация в обучении на «программу-максимум» является условием, необходимым для достижения «программы-минимум», и такое обучение реализуемо и в названных выше условиях.

Предполагаемый школьными и вузовскими программами и отраженный в учебниках бытующий «бескорневой» способ приобщения учащихся к строгим понятиям предела функции (в точке, в бесконечности и т. д.), непрерывности (в точке, на промежутке и т. д.), к теоремам о них, к их применениям превращает обучение математике в обучение мертвящему ритуалу или в подобие болезни, состоящей в гипертрофии функционирования иммунной системы. Такое обучение неизбежно сталкивается с трудностями, непреодолимыми для многих учащихся. Прежде всего, это трудность освоения фундаментальных понятий математики, в частности названных понятий, определения которых имеют высокий уровень логической сложности. Неосвоенность определений этих понятий рождает неосваиваемость «корректных» способов решения даже простых задач. Это вынуждает вести обучение на полуинтуитивном уровне, не позволяющем полнокровно осваивать возможности, несомые изучаемым математическим аппаратом.

В действительности утверждение, что такое обучение сталкивается с названными трудностями, не вполне верно: оно само порождает эти трудности. Такое обучение строится на игнорировании природы фундаменталь-

ных математических понятий, на игнорировании того, что они являются продуктами многоуровневых абстрагирований, приведших к опредмеченному представлению продуктивных идей, являющихся их истоками и имеющих деятельный характер, что фундаментальные математические понятия являются их моделями. Предельно рациональная форма этих понятий, достигнутая посредством радикальных трансцендирований, делает их эффективно работающими моделями этих идей и рождаемых ими способов действий и носителями широкого комплекса познавательно-преобразующих функций, таких как быть средствами ориентировки и мета-ориентировки, быть средствами решения широких классов задач и средствами обоснования решений, быть средствами организации знаний и др. Но такая модельная природа этих понятий скрывает их происхождение, скрывает деятельный характер, деятельный смысл этих идей, их надпредметное существо. Естественным средством эффективного освоения фундаментальных математических понятий, средством, несущим преодоление, более того — снятие сложностей, о которых сказано выше, и «превращающим» эти понятия в «наследников» над-предметной природы, а тем самым деятельного существа идей, явившихся их истоками, выступает участие студентов в процессах формирования этих понятий как в процессах восхождения к ним от их истоков. Такие процессы являются процессами восхождения на теоретический уровень математической деятельности. Освоение ведущих строгих математических понятий требует методов, сообразующихся с их природой, с тем множеством важных ролей, которые они играют в математической деятельности. Следование этому и принципам обучения, о которых говорится в [8]1, превращает трудности обучения, неизбежные при бытующем подходе к обучению математике, в движущую силу математического и общего интеллектуального развития студентов и старших школьников.

Сегодня осознана необходимость такого образования, которое направлялось бы на развитие способностей к разнообразным формам поисково-исследовательской деятельности, на формирование способностей к порождению знаний и проектированию новых способов их употребления [15]. Этому, гуманитарной направленности образования, отвечает такое обучение математике, которое ведет к приобщению учащихся к характерным для нее формам деятельности как к продуктивным моделям общих форм и способов поисково-исследовательской деятельности (ср.: [2]). Такое обучение не может не следовать названным принципам. А значит, оно не может не предполагать возрастания роли теоретического начала. Его «эпицентром» должно быть обращение к фундаментальным математическим понятиям, к процессам их формирования, применений и развития.

Но обращение к фундаментальным математическим понятиям еще не означает, что учебная деятельность обретает теоретический уровень. Для этого такие понятия должны выступать в учебной деятельности не только как средства решения соответствующих задач. Они должны выступать как продукты процессов их формирования, освоения и развития2. Они сами должны быть

1 См.: [6, 7, 9, 13]. В [5, 7, 10, 13] приводятся сценарии занятий, воплощающих эти

принципы.

2

Иначе говоря, работа строгого понятия не самого по себе, а в соотнесенности его с процессом его формирования, открывающим, сильнее говоря — формирующим, его природу, становится работой теоретического мышления.

предметом изучения как носители надпредметного начала. А для этого должна осуществляться надпредметная деятельность. Более того, для этого должна осуществляться более высокого уровня метапредметная деятельность, направленная на постижение способов действий, участвующих в надпредметной деятельности, а тем самым на постижение общих способов действий, участвующих в разных формах предметной деятельности. (Надпредметная деятельность и более высокие уровни метапредметной деятельности сами могут иметь многоуровневый характер3. Степень такой многоуровневости характеризует уровень теоретической деятельности.) Освоение математической деятельности теоретического уровня, освоение теоретического мышления не может не предполагать метапредметной деятельности, ее освоения. Такая деятельность представляет существо теоретического мышления в математической деятельности в силу метапредметной природы, метапредметного существа последней. Такая учебная деятельность становится подобной научной деятельности и прямым образом работает на формирование способностей к порождению знаний и проектированию новых способов их употребления.

Фундаментальные математические понятия являются «отражениями» не «внешнего мира», а развивающихся способов самого «отражения». В этом объяснение их роли носителей метапредметного начала. В этом и объяснение необозримой широты их применения. В этом продуктивность такого обучения математике, стержневым началом которого является формирование, освоение и развитие фундаментальных математических понятий и как ведущего предмета, и как «средств производства» математической деятельности. Такое обучение ведет учащихся к освоению математической деятельности как представляющей продуктивные модели общих форм и способов поисково-исследовательской деятельности. Такое обучение ведет их к освоению теоретического уровня мышления.

Процессы восхождения к фундаментальным математическим понятиям, отправляющиеся от задач, к ним приводящих, и помогающие воспринять существо этих понятий, «скрываемое» их абстрактной формой, показывают и способы применения таких понятий, и необходимые направления их исследования. Такие процессы как процессы метапредметного уровня несут приобщение учащихся к продуктивным образцам поисково-исследовательской деятельности стратегического уровня. Тем самым они несут развитие способностей к метапредметной деятельности.

Важно и то, что фундаментальное понятие становится продуктивным «посредником» между понятиями, ситуациями, значимыми задачами, послужившими его истоками. Оно «сближает» их, открывая возможность их взаимного моделирования. И потому не только в нем самом, но и в понятиях частных по отношению к нему выявляется метапредметное начало. Все предметное содержание математики пребывает в соотнесенности с общими формами и общими механизмами математической деятельности. Более того, оно само представляет эти общие формы и механизмы. И тем самым оно пронизывается метапредметным началом. Выступая и как «часть физики», и как методология поисково-исследовательской деятельности, математика функционирует в форме взаимодействий и взаимопревращений этих ее «ипостасей».

3

С представлениями о метапредметной деятельности естественно соотнести три уровня абстракции (=моделирования), рассматриваемые в [14].

Осваиваемые метапредметные знания и умения становятся праксиологическими знаниями. Существенно и то, что они превращаются в метаког-нитивные механизмы, т. е. в механизмы управления ходом текущей интеллектуальной деятельности. Это ведет к далеко идущему ее развитию.

Введенные в рассмотрение Н. В. Громыко метапредметы — это «новая образовательная форма, которая выстраивается поверх традиционных учебных предметов». Это «учебный предмет нового типа, в основе которого лежит... принцип рефлексивного отношения к базисным организованностям мышления — "знание", "знак", "проблема", "задача"» [3]. Представляется, что к базисным организованностям мышления естественно и важно относить и базисные формы самих процессов мышления, что к ним естественно и важно относить общие формы математической деятельности.

Процитированный текст естественно соотнести со следующим: «Формирование строгого понятия, отправляющееся от протопонятия, от размытых представлений, являющихся его истоком, представляет собой процесс "деконструкции" этих представлений, процесс отделения способа действий от его "тела". Становясь предметом исследования, он становится процессом "деконструкции" самого способа мышления, отделения этого способа мышления от его "тела ", от тех способов действия, из которых он строится, от тех тактик внимания, которые его направляют, от той конкретной цели, к которой он направлен. Так рождается метасистемный компонент научной математической деятельности. Так рождается "внутренний " метасистемный компонент и системы обучения математике, деятельность которого направлена на постижение специфики математической деятельности, ее природы, ее методологии. Он, в свою очередь, открывает возможность формирования "внешнего" метасистемного компонента, деятельность которого направляется на исследование связей с системами обучения другим предметам, на раскрытие родства их методологий, единства законов их развития. И это открывает возможность превращения математического развития учащихся в их общее умственное развитие» [9, с. 48] (см. также: [12]). Этот текст показывает не только близкое к [3] отношение к идее метапредмета, но и существенное различие в пониманиях способа ее воплощения в обучении: в [9], в отличие от [3], утверждается, что метапредметная деятельность должна реализовываться в обучении не только как «образовательная форма, выстраиваемая поверх традиционных учебных предметов». Пронизывание обучения такой деятельностью, способствование формированию и развитию механизмов такой деятельности учащихся является необходимым средством успешного освоения предметного содержания курса математики, а потому и необходимым средством приобщения учащихся к метапредметам как к более высокой образовательной форме [5, 6, 7, 9, 11].

Сами механизмы метапредметной деятельности являются эффективными «средствами производства» деятельности на предметном уровне, средствами прорастания в ней самой деятельности метапредметного уровня. И поэтому обучение математике должно быть построено так, чтобы не только при изучении метапредметов, но уже начиная изучать важнейшие понятия, определяющие ту или иную предметную область математического знания, учащийся прослеживал их происхождение, т. е. активно участвовал в процессах формирования таких понятий. Но этого мало: обучение математике должно быть построено так, чтобы такие понятия выступали не только как продукты метапредметной деятельности, но и как ее орудия.

Пронизывание обучения метапредметной деятельностью ведет к развитию механизмов понимания, необходимому для снятия трудностей, с которыми сталкивается обучение математике. Метапредметные представления входят в механизмы понимания. Уже надпредметная деятельность ведет к их развитию, к вызреванию механизмов культурного понимания в смысле [4]. Метапредметная деятельность более высокого уровня ведет к более высоким уровням понимания [11, 12]. Она способствует рождению творческого понимания в смысле [4] и тем способствует формированию способностей к порождению новых знаний.

Таким образом, ориентация в обучении математике на «программу-максимум» необходима для достижения «программы-минимум». Более того, чтобы вузовская подготовка специалистов отвечала современным требованиям, необходимо, чтобы учебная деятельность пронизывалась развивающимся метапредметным началом как необходимым средством освоения не только изучаемого предметного содержания, но и самой метапредметной деятельности. Сказанное относится и к обучению математике в старшей школе.

Восхождение от надпредметного уровня к более высокому уровню мета-предметной деятельности возможно и целесообразно уже на «предметной» (на «физической») содержательной базе. Осуществляя надпредметную деятельность на разном предметном математическом материале, учащийся делает предметом своего осознанного отношения и логику процессов формирования понятий, представляющих разные предметные области, и способ системной работы с этими понятиями как носителями широкого комплекса познавательно-преобразующих функций4. Он «распредмечивает» этот материал, постигая через него, постигая в нем «первомеханизмы» поисково-исследовательской деятельности и рождаемые ими, их совместной работой, новые ее механизмы.

Обучение математике, направленное на приобщение учащихся к общим формам и способам поисково-исследовательской деятельности, не может не следовать принципу «от неразвитого целого — к развиваемому и преображаемому целому» как ведущему принципу обучения математике (см.: [5, 6, 7, 9]). Метапредметная деятельность несет в себе следование этому принципу.

Сосредоточение на метапредметной стороне дела, рассматриваемой в наивной деятельностной форме, уход от поспешного формирования понятий, даже таких, которые представляли бы напрашивающиеся продуктивные обобщения, как бы уход, кажимость ухода от задачи развития у учащихся теоретического мышления, позволяет уже на самой элементарной математической базе поистине высвечивать продуктивные формы работы механизмов математической деятельности и открывает возможность их более полнокровного освоения и развития, возможность более эффективного освоения мета-предметной деятельности и посредством этого восхождения на теоретический

4 Такая деятельность, метапредметная по отношению к математической деятельности (и являющаяся предметной деятельностью по отношению к исследуемому метапредметному содержанию как новому предмету математической же деятельности), является мета-мета-предметной деятельностью, т. е. мета-деятельностью второго уровня по отношению к прикладному содержанию. Но, став освоенной, она становится по отношению к нему просто метапредметной деятельностью, или мета-деятельностью первого уровня, поскольку начинает играть роль направляющего, стратегического начала, мета-начала в прикладной деятельности напрямую, без посредствующих уровней деятельности.

уровень мышления и более полнокровного его освоения5. Ведь только на стадии рождения интуитивной идеи, явившейся истоком «строгого» понятия, и ее первичного использования зримо предстает ее метапредметное существо. В сформированном понятии, в его превращенности в «обиходное» орудие поисково-исследовательской деятельности это существо опредмечивается и потому пребывает в скрытой форме. Все это говорит не только о важности, но о необходимости «наивных» форм мышления, «наивных» средств на всех уровнях обучения математике. Такие средства являются необходимым компонентом теоретического мышления, представляющего многомерный комплекс разных форм и механизмов мышления.

Таким образом, правда не в отказе от «наивных», «низших», или «высших» форм мышления, а в активной работе и тех и других, в их активных взаимодействиях.

Протопонятия, «наивные» формы мышления должны участвовать в учебной деятельности не только на начальных стадиях восхождений к строгим понятиям. Они должны в ней участвовать и развиваться, взаимодействуя с «высшими» формами мышления, на всем последующем ее протяжении как неотъемлемые компоненты теоретического мышления, обеспечивающие его полнокровное функционирование и развитие. К тому же возможности, несомые строгим понятием, не исчерпывают тот орудийный потенциал, который заложен в его истоках.

Направленность обучения математике на формирование способностей к порождению знаний и проектированию новых способов их употребления требует активной работы допонятийных форм мышления, являющихся носителями эвристического потенциала. Она невозможна без активной работы эмпирического мышления (хотя бы потому, что многие общие математические понятия открываются как общие «внешние» формы способов решения тех или иных классов «разноприродных» задач). Использование его лишь как эпифеномена учебной деятельности явно недостаточно. Процесс овладения методом, как и процесс формирования навыка, — это и рутинная работа, которая, как было сказано выше, направлена на развитие координации действий. Она приводит к скачку — продукту кристаллизации «стандартных блоков» операций и действий и их свертывания, к превращению этих блоков в элементарные действия, приводящему к развитию «дальновидения» и «дальнодействия» мышления и тем способствующему овладению более сложными и более масштабными формами поисково-исследовательской деятельности. Таким образом, и рутинная работа является необходимым компонентом, необходимым средством развития способностей к поисково-исследовательской деятельности, необходимым средством прорыва на более высокий ее уровень, необходимым средством ее преображения. И «замшелые» традиционные средства обучения, работающие в рамках многоаспектной и многоуровневой учебной деятельности, преображают свой «дух» и форму работы и становятся органичными и эффективными средствами этой деятельности.

Из сказанного, конечно, не следует, что, в отличие от укоренившихся подходов к обучению, изучение математики как «части физики» должно играть лишь вторичную роль. Дело не только в ее общеобразовательной

5 Согласно Х. Вернеру, «возврат (регрессия) к примитивным формам познания в определенных условиях является необходимым механизмом дальнейшего развития» (цит. по: [17, с. 86]).

необходимости и ценности достижений. Оно и в том, что математика как носитель продуктивных общих форм и способов поисково-исследовательской деятельности не может осваиваться иначе, чем как «часть физики», как направления и формы деятельности, создающие необходимые для этого интеллектуальные механизмы, как средства освоения таких форм деятельностей, являющихся сложными многоаспектными целостностями, как процессы, сопровождающиеся превращениями внутренних форм. Математика должна осваиваться как взаимодействие «части физики» и «чистой» методологии поисково-исследовательской деятельности. Такое обучение способствует формированию и развитию способностей к метапредметной деятельности, а тем самым формированию и развитию теоретического мышления, способствует общему интеллектуальному развитию и развитию способностей к порождению знаний и проектированию новых способов их употребления.

Подход к такому обучению должен предполагать радикальное преодоление «великой иллюзии... веры в рациональную природу человеческого интеллекта» [16, с. 51], преодоление широко распространенного предрассудка, что обучение математике — это обучение специфической «левополушар-ной» деятельности. Мышление — это процесс взаимодействий взаимно дополнительных механизмов. Математическая деятельность, даже элементарного уровня, отличается особой интенсивностью таких взаимодействий, взаимными превращениями «высших» и «низших» форм мышления, особым характером координаций участвующих в ней механизмов [9]. За формами и способами математической деятельности скрываются и общие формы и способы поисково-исследовательской деятельности, и глубокая специфика работы ее «средств производства», взаимодействия высокой рациональности и внерациональных форм мышления (это зримо проявляют исторические процессы становления фундаментальных матемтических понятий), следование правилу и поиск, рутина и творчество.

«Математика — часть физики. Физика — экспериментальная, естественная наука, часть естествознания. Математика — это та часть физики, в которой эксперименты дешевы», — писал В. И. Арнольд [1, с. 175]. Он был одним из немногих ученых, считавших математику экспериментальной наукой. Его выдающиеся исследования, как и исследования его гениального учителя А. Н. Колмогорова, служат объяснением такой его позиции. Но и безотносительно к тому, является ли математика частью физики, тезис, что математика — экспериментальная наука, истинен. Более того, всякая наука

Одна из важных задач всякой науки — сохранение ее достижений посредством эффективного системного их представления, являющегося необходимым условием ее дальнейшего развития, сохранение их как Живого Знания, а значит, воспроизводство носителей ее достижений. Применительно к математике — это задача формирования и развития продуктивного

математического образования. Она не может решаться без обращения к педагогическим экспериментам, включающим естественно-научные и психологические планы. Так, в широко и системно ставящихся экспериментах нуждается решение задачи полнокровного воплощения в математическом образовании «программы-максимум».

Но не рискованно ли надеяться на дешевизну таких экспериментов, долженствующих предполагать пересмотр самих дидактических принципов? Не приведет ли стремление к их удешевлению, как и стремление к удешевлению образовательной системы, к дешевой цене его творческих продуктов и дорогой цене последствий их реализации?

Библиографический список

1. Арнольд В. И. О преподавании математики // Успехи математических наук. 1998. Т. 53, вып. 1 (319). С. 175—184.

2. Боровских А. В., Розов Н. X Деятельностные принципы в педагогике. М. : МАКС пресс, 2010. 80 с.

3. Громыко Н. В. Метапредметный подход как ядро российского образования. URL: http://uch.znate.ru/docs/1733/index-4587.htm (дата обращения: 15.02.2014).

4. Зинченко В. П. Психологические основы педагогики. М. : Гардарики, 2002. 432 с.

5. Когаловский С. Р. К методологии преображающего обучения : (обучение школьников математике). Saarbrucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. 425 с.

6. Когаловский С. Р. К проблеме модернизации математического образования // Школьные технологии. 2011. № 6. С. 93—99.

7. Когаловский С. Р. К проблеме модернизации математического образования. Saarbrucken : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2012. 118 с.

8. Когаловский С. Р. Математическая деятельность и понятие модели // Вестник Ивановского государственного университета. Сер.: Гуманитарные науки. 2013. Вып. 2. С. 28—40.

9. Когаловский С. Р. О ведущих планах обучения математике // Педагогика. 2006. № 1. С. 39—48.

10. Когаловский С. Р. Понятие модели и математика : ч. 2 // Школьные технологии. 2013. № 5. С. 65—74.

11. Когаловский С. Р., Кудряшова Т. Б. О возможностях взаимодействия языков философии и математики в педагогической практике // Вестник Ивановского государственного университета. Сер.: Гуманитарные науки. 2008. Вып. 2. С. 31—41.

12. Когаловский С. Р., СолдатоваВ. В. Мета-интеграция как средство совершенствования подготовки учителей // Инновации в психолого-педагогической теории и практике : материалы международной научной конференции / ШГПУ. Шуя, 2001. С. 333—335.

13. Когаловский С. Р., Шмелёва Е. А., Герасимова О. В. Путь к понятию: от интуитивных представлений — к строгому понятию / Ивановский областной институт повышения квалификации и переподготовки педагогических кадров. Иваново, 1998. 206 с.

14. Пиаже Ж. Психогенез знаний и его эпистемологическое значение // Семиотика. М. : Радуга, 1983. С. 90—101.

15. Смирнов Г. С. Ноосферная картина мира и современное образование // Вестник Российской академии естественных наук. 2003. № 1. С. 57—84.

16. Холодная М. А. Психология интеллекта. СПб. : Питер, 2002. 264 с.

17. Чуприкова Н. И. Психология умственного развития : принцип дифференциации. М. : Столетие, 1997. 470 с.