О квазимногочленах Капелли

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова. О квазимногочленах Капелли

8. Aldashev S. A. Correctness of Poincare’s Problem in a Cylindric Domain for Laplace’s Many-dimensional Equation. Izvestiia NAN RK. Ser. fizika-matematioheskaia [Proc. NAN RK. Ser. Physics and Mathematics], Almaty, 2014, no. 3, pp. 62-67 (in Russian).

9. Mikhlin S. G. Mnagamernye singuliarnye integra-ly i integral’nye uravneniia [Many-dimensional Singular Integrals and Integral Equations].

УДК 512

Moscow, Physmathgiz, 1962, 254 p. (in Russian).

10. Kamke E. Spravaohnik pa abyknavennym differen-tsial’nym uravneniiam [Handbook on Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1965, 703 p. (in Russian).

11. Beitmen G., Erdeii A. Vysshie transtsendentnye funktsii. T. 2 [Higher Transcendental Functions. Vol. 2]. Moscow, Nauka, 1974, 295 p. (in Russian).

О КВАЗИМНОГОЧЛЕНАХ КАПЕЛЛИ

С. Ю. Антонов1, А. В. Антонова2

1 Антонов Степан Юрьевич, старший преподаватель кафедры высшей математики, Казанский государственный энергетический университет, antonovst-vm@rambler.ru

2Антонова Алина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Казанский государственный энергетический университет, antonovakazan@rambler.ru

В данной работе рассматривается класс многочленов типа Капелли в свободной ассоциативной алгебре F{Z}, где F — произвольное поле, Z — счетное множество. Интерес к этим объектам связан с предположением о том, что введенные многочлены (квазимногочлены Капелли) некоторой нечетной степени будут содержаться в базисе идеала Z2-градуированныхтождеств Z2-градуированной матричной алгебры M(m,k) (F), когда char F = 0. В связи с этим в статье приведены основные свойства квазимногочленов Капелли. В частности, указаны разложения этих многочленов через многочлены того же вида и установлены некоторые соотношения между их T-идеалами. Кроме того, опираясь на некоторые полученные свойства квазимногочленов Капелли, а также на теорему Ченга, мы показываем, что все квазимногочлены Капелли четной степени 2n (n > 1) являются следствием стандартного многочлена S- в случае, когда характеристика поля F не равна двум. Наконец, мы находим наименьшее n е N, при котором каждый из квазимногочленов Капелли четной степени 2n принадлежит идеалу тождеств матричной алгебры Mm(F).

Ключевые слова: T-идеал, стандартный многочлен, многочлен Капелли.

DOI: 10.18500/1816-9791 -2015-15-4-371 -382

ВВЕДЕНИЕ

Пусть F — произвольное поле, m, к — любые натуральные числа. Описание идеала ^-градуированных тождеств ^-градуированной матричной алгебры M(m,k) (F) представляет Большой интерес для теории PI-алгебр. Решение этой задачи при m = 2, к = 1, charF = 0 приведено в [1]. В [2] найдена наименьшая степень тождеств нечетной компоненты M(m,k)(F) ^-градуированной алгебры M(m,k) (F) и доказано, что двойной многочлен Капелли C2n-1 является минимальным тождеством этого подпространства. В [3] выдвинута гипотеза о том, что многочлен C2n-1 есть следствие более простых тождеств, причем для двух из них указан явный вид и приведены некоторые их свойства.

В данной работе мы продолжаем изучение этих многочленов, вводим новые объекты того же типа и устанавливаем некоторые соотношения между их T-идеалами, что представляет интерес в связи с нахождением базиса тождеств подпространства M(m,k)(F).

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КВАЗИМНОГОЧЛЕНОВ КАПЕЛЛИ

Пусть F — произвольное поле, F{Z} — свободная ассоциативная алгебра над F, порожденная счетным множеством Z = {zn}nGN, которое представим в виде Z = X(JY, где X = {xn}nGN, Y = {Уп} nGN — непересекающиеся множества, {d}T — T-идеал алгебры F{Z}, порожденный

© Антонов С. Ю., Антонова А. В., 2015

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

многочленом d. Напомним, что двусторонний идеал I алгебры F{Z} называется T-идеалом, если для любого эндоморфизма д алгебры F{Z} справедливо включение <p(I) С I. Далее, пусть n > 1 — какое-либо натуральное число, In = {1, ...,n}, Sn — симметрическая группа степени n, = {п G Sn | sgnп = 1}, An = {т G Sn | sgnт = -1}. Рассмотрим многочлены вида:

f2n-1 (х,у) — ^ ^ ^ ^ sgn п $sgn п sgn т хп(1) ут (1) хп(2) ''' ут (n-1) хп(п) —

nGSn тESn —1

Е Е хп(1)ут(1)хп(2) ' ' ' ут(n- 1)хп(п) Е Е хп(1)ут(1)хп(2) ' ' ' ут(n- 1)хп(п),

пеА+ т eA+—1

пеА„ тEA-

g2n-1 (х, у) ^ ^ ^ ^ sgn п$-sgn п sgn т хп(1) ут (1) хп(2) . . . ут (n-1) xn(n);

nES„ тES„ — i

b2n-1 (х, у) E E sgn пхп(1) ут (1) хп(2) . . . ут (n-1)xn(n)?

i"ESn т E A+

h2n-1 (х, у) E E sgn пхп(1) ут (1) хп(2) . . . ут (n-1) хп(п)?

nESn т E A

—1

tt2n-1(x,y) = E E sgn тхп(1) ут (1) хп(2) . . . ут (n-1)хп(п),

nEA+ т ESn — 1

C2n-1 (x, у) = E E sgn тхп(1) ут(1)хп(2) . . . ут(n-1)xn(n),

nEA— тESn —1

f2n

п E Sn т E Sn

E E хп(1)ут(1)хп(2) ' ' ' хп(п)ут(n) Е Е хп(1) ут(1)хп(2) ' ' ' хп(п) ут(n),

пEA+ тEA+ пEA—тEA—

g2n (х 7 у) ^ ^ ^ ^ sgn п^-sgn п sgn т хп(1) ут (1) хп(2) . . . хп(п) ут (n) 7

пESn тESn

b2n (х,у) = Е Е sgn пхп(1) ут(1)хп(2) . . . хп(п) ут(n) 7

пESn т eA+

^2п(х,у) Е Е sgn пхп(1)ут (1)хп(2) . . . хп(п)ут (n),

'KESn тEAn

«2n(х, у) = Е Е sgn тхп(1) ут(1)хп(2) . . . хп(п) ут(n),

пEA+ т ESn

c2n (х,У) = Е Е sgn тхп(1)ут(1)хп(2) . . . хп(п)ут(n),

пEA— т ESn

которые в дальнейшем будем называть квазимногочленами Капелли нечетной и четной степени соответственно. Некоторые свойства многочленов f2n-1, g2n-1, f2n, g2n были установлены в работе [3]. Покажем, что аналогичными свойствами обладают и остальные многочлены.

Предложение 1. Для любого s G {0,1} многочлены b2n-s(х?, у), h2n-s(х,у) обладают следующими свойствами;

1) если отображение <д : In ^ N не инъективно, а отображение ф : In-s ^ N произвольно, то

b2n-8(х^(1), . . . , х^>(п) , у^(1) , . . . , у^(п-s) ) 0, h2n-s (х^>(1), . . . ,х^(п),у^(1) , . . . ,у^(п-s)) °>

2) для любого a G Sn &2n-s (хст(1), . . . ,х^(п) ,у1, . . . ,уп-) = sgn ab2n-s (х,у), ^2n-s (хст(1),.. . 7Хa(n)7 у1,... 7Уn-s) = sgna^n-s^y^

3) для любого р G &2n-s (х1,...,хп ,уР(1) , . . . , у^п-s)) = &2n-s (х, у), h-2n-s (х1 ,...,хп,

ур(1), . . . , ур(п-s)) h2n-s^, у)>

4) для любого и G A-- &2n-s (х1 ,...,хп ,у^(1) , . . . , у^п-s)) = hin-s (х,у), ^2n-s (х1 ,...,хп,

уш(1), . . . , у^(п-s) ) b2n-s^, у)-

372

Научный отдел

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова. О квазимногочленах Капелли

Доказательство. Проведем для многочлена h2n-s(Х,у) при s = 1, так как для остальных случаев оно аналогично.

1. Для отображений ^ и ф имеем:

h2n-1 (x^>(1), • • • , x^>(n) , уф(1), • • • , Уф(и— 1) ) Е Е sgn пх^>(п( 1)) Уф(т (1)) • • • Уф(т (n-1)) x^(n(n)).

П&3П т£Лф—1

Если ^ неинъективно, то для некоторых различных i, j G In справедливо равенство <p(i) = p(j).

Пусть п, т — произвольные элементы группы Sn и множества A--1 соответственно. Тогда для некоторых a, b G In n(a) = i, n(b) = j. Рассмотрим подстановку П G Sn, для которой

n'(v) =

n(v), если v G {a, b},

j, если v = a,

i, если v = b-

Тогда

Sgn пх^

Sgn пх^(п(1))уф(т(1)) • • • уф(т(n-1))x^>(n(n)) Sgn пХ^(ж/(1))уф(т(1)) • • • уф(т(n-1))xp(n'(n)) 0

0тсюда следует, что h2n-1 (x^>(1), • • • , x^>(n), уф(1) ,•••, уф(п — 1) ) °.

2. Для произвольного ст G Sn имеем:

h2n-1

^ ^ ^ ^ sgn пхст(п(1))ут(1) • • • ут(n-1)xa(n(n)) |полагаем п а|

П&3П т£Лф_1

^ ^ ^ ^ sgn CTSgn ахст

aESn т£Лф_1

3. Для любого р G A+-1 имеем:

h2n-1

= sgnпхп(1)ур(т(1)) • • •ур(т(n-1))xn(n) = I полагаем т = р-1y | =

n&Sn т&Л__1

^ ^ ^ ^ sgnпхп

n&Sn ^£ЛП_1

4. Для любого w G An-1 имеем:

h2n-1

^ ^ ^ ^ sgn пхп(1)уш(т(1)) • • • уш(т(n-1))xn(n) 1 полагаем т w a 1

П&3П т£Лф_1

'У ^ 'У ^ sgn пхп(1)уш(ш_1 a(1)) • • • уш(ш_1 a(n-1)) xn(n) b2n-1(x, у) E

П&3П а^Л+_1

Следствие 1. Для любого натурального числа n > 1 в алгебре F{Z} справедливы равенства

{b2n-1}T = {h2n-1}T> {b2n}T = {h2n}T•

Предложение 2. Для любого s G {0,1} многочлены a2n-s(x, у), c2n-s(x,y) обладают следующими свойствами:

1) если отображение ф : In-s ^ N не инъективно, а отображение ^ : In ^ N произвольно, то

a2n-s (x^>(1), • • • , x^(n), уф(1), • • • , уф(п- s)) 0, c2n- s (x^>(1), • • • , x^>(n), уф(1), • • • , yф(n — s) ) °>

Математика

373

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

2) для любого a G Sn-s a n-s (xi, ...,xn, y^(i),..., Va(n-s)) = Sgn aa2n-s (x,y), c2n-s(xi ,...,xn,

ya(1)7    , У a (n-s)7 ) Sgn ac2n-s (x, y),

3) для Любог0 p G a2 n-s (xp(1) 5 ... 5 xp(n) 7 У1 7 ... 7 yn-s) a2n- s ('^7 y) J> C2n— s (Xp(1) 7 ... 7 X p(n) 7

y1 7 ... 7 yn-s ) C2 n-s(x7 y),

4) для Любого Ш G An a2n-s (xw(1)7 ... 7 xw(n)7 y17 ... 7 yn-s) c2n-s (xg y)> c2n-s (xw(1)7 ... 7 xw(n)7

y1 7 ... 7 yn-s ) a2n-s(x7 y)-

Доказательство. Аналогично доказательству предложения 1.

Следствие 2. Для любого натурального числа n > 1 в алгебре F{Z} справедливы равенства

{a2n-1}T = {c2n-1}T> {a2n}T = {c2n}T•

Замечание 1. Из предложений 1 и 2 работы [3] следует, что {/2n-1 }T = {g2n-1 }T,

{/2n }T = {g2n }T.

Совместно с многочленами b2n-1 (X7 y/), h2n-1 ^y), ..., c2n^y) рассмотрим транспонированные по отношению к ним многочлены

b2n- 1('/7y) ^ ^ ^ ^ Sgn nxn(n) yT (n-1) xn(n-1) ..^r (1) xn (1)7

n&3n rgA+—1

h2n-1(x7 y) ^ ^ ^ ^ Sgn nxn(n) yT (n — 1)Xn(n — 1) . . . yr (1) xn (1)7

n&3n r

a2n-1(x7y) ^ ^ ^ ^ Sgn TXn(n) yT (n-1) xn(n-1) ..^T (1) xn (1)7

пел+ T eSn_i

c2n-1(;/7y) ^ ^ ^ ^ Sgn TXn(n)yT (n-1) Xn(n-1) ..^T (1)xn(1) 7

пелп TeSn_1 2 3 4

b2n(x7y) ^ ^ ^ ^ Sgn nyT(n) xn(n) . . . yT(1)xn(1)7

t gA+ neSn

h2n(x7 y) ^ ^ ^ ^ Sgn nyr (n)xn(n) . . . yr (1) xn (1)7

rелп neS™

a2n(x7 y) ^ ^ ^ ^ Sgn Tyr (n) xn(n) . . . yr (1)xn(1) 7

rпел+

c2n (x7 y) ^ ^ ^ ^ Sgn Tyr (n) xn(n) . . . yr (1) xn(1) .

reSn пел-

1) если (n — 1)(n — 2)/2 =

2) если (n — 1)(n — 2)/2 =

3) если n(n — 1)/2 =

4) если n(n — 1)/2 =

m0 b2n-1

Утверждение 1. Справедливы равенства

2k где k G N7

2k — 17 где k G N7 mo b2n-1 2k7 где k G N7 mo h2n-1 2k — 17 где k G N7 mo h2n-1 2k7 где k G N7 mo a2n-1

2k — 17 где k G N7 mo a2n-1

2k — 17 где k G N7 mo c2n-1

(X7 y) = ( —1)n-1 &2n-1 (x7 y)7

(х7У) = ( —1)n h2n-1(x7y)7

(x7y) = (—1)n-1h2n-1 ^y^

(x7y) = (—1)n b2n-1(x7y)7 = ( —1)n-1 a2n-1 (k y)7 = ( —1)nc2n-1 Ok y)7 = ( —1)n-1 c2n-1 Ok y)7

= (—1)na2n-1 ^y).

Доказательство. Проведем для первых равенств, поскольку для остальных оно аналогично. Итак,

b2n- 1(x7y) ^ ^ ^ ^ Sgn nxn(n) yT (n-1) xn(n-1) . . . yr (1) xn(1).

neSn rел+_1

374

Научный отдел

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова. О квазимногочленах Капелли

Полагаем п = aa, т = рв, где a =

1 2 ... n\ в / 1 2 ... n - 1

n n — 1 ... 1 I In — 1 n — 2 ... 1

что sgna = (—1)(n-1)+(n-2)+"'+1 = (—1)n(n-1)/2 , Sgnв = (—1)(n-2)+(n-3)+---+1 = (—1)( = (—1)n(n-1)/2  (—1)-2(n-1)/2 = (—1)n-1 sgn a. Отсюда следует , что если

(2к, где к е N, то в G A+-1, итогда р е A+-1;

(n — 1)(n — 2)/2 = < - -

I 2к — 1, где к е N, то в G An-1, и тогда р е An-1;

и потому

Ь2п-1(х,У) = <

sgna Е Е sgnаха(Г)yp(1) ...yp(„-1)xa(n) = (—1)n 1 b2n-1 (x,y),

o~ESn p^A+—1

sgn aE E sgn a^a(1) Ур(1) ...yP(n-1)xa(n) = ( —1)nh2n-1 (x,y).

C&Sn. p£A——1

Утверждение 2. Справедливы равенства

1) если n(n — 1)/2 = 2к, где к G N, то b2n(x, y) = a2n(y,x), h|n(x,y) =

a2n(x,y) = ^Ey,^ c22n(x,y) = h2n(y,x);

2) если n(n — 1)/2 = 2к — 1, где к е N, то b2n(x,y) = —c2n(y, x), h2n(x,y) =

a2n(Х,У) = —h2n(y,x), c2n(x,y) = —b2n(y,x)-

Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 1.

Предложение 3. Справедливы равенства

nn

1) b2n-1 (x,y) = J^( — 1)i-1 xia2(n-1) (y,%) ^^( —1)n-ib2(n-1) (x, y)xi;

i=1

i=1

2) h2n-1(x,y) = J^( —^ 1 x*C2(n-1)(y,x-) ^^( —1)n гh2(n-1)(x*,y)x*;

i=1 i=1

3) если n = 2к, mo

a2n-1

i=1

^ ^ c2(n-1) (x2i-1, y)x2i-1 + a2(n-1) (x2i, y)x2

i=1

4) если n = 2к + 1, mo

k + 1 k

a2n-1

i=1

i=1

k

k+1

^ ^ a2(n-1) (x2i'—~1, y)x2i-1 + ^ ^ c2(n-1) (x, y)x2i

i=1

i=1

5) если n = 2к, mo

c2n-1

x+, ) =

i=1

^ ^ a2(n-1) (x2i-1, y)x2i-1 + c2(n-1) (x2i, y)x2i;

i=1

6) если n = 2к + 1, mo

k + 1 k

c2n-1

i=1

i=1

n

, и заметим,

-1)(n-2)/2 =

: C2n(i/,Х),

—a2n(y, x),

Математика

375

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

к + 1 к

^ ^ c2(n-1) (X2i—1 ,y)x2i-1 + ^ ^ a2(n-1) Cx2>i, 2/)x2i • i= 1 i=1

Доказательство. Проведем для первых равенств, поскольку для остальных оно аналогично. Итак,

n

b2n-1 (x, y) = Xiti(y1, • • • ,yn-1,X1, • • • ,5Ci, • • • ,Xn), причем для любого i G In

i=1

xiti (y1, • • • , yn-1, x1, • • • , xi7 • • • , xn) E E Sgn пхп(1)ут(1) • • • ут(n-1)xn(n)7

nesn(i) тeA+

где Sn(i) = {п G Sn | п(1) = i}.

Нетрудно видеть, что всякую подстановку п G Sfn(i) можно представить в виде п = ст^, где f 1 2 ••• i — 1 i i + 1 •••

Mi =

yi 1 ••• i — 2 i — 1 i + 1 •••

жим Sn(i) = {ct G Sn | o-(i) = i}. Тогда

a(i) = i. Заметим также, что sgn^i = (—1)i 1. Поло

b2n-1 (x,y) = E E E Sgn (CTMi)x

a/di

i=1 a&Sn(i) тeA+_1 n

(—1)i-1xi

sgn стут

i=1 a£Sn(i) тeA+_1

n

(—1)i-1xi

sgn стут

i=1

т eA+

E( — 1)i 1 xia2(n-1) (у7 x^)^

i=1

Докажем вторую часть первого равенства. Для этого заметим, что b2n-1 (x,у) = vi(x1,•••,

i=1

x>i 7 • • • , xm у1, • • • 7 уn — 1 )xi , причем для лю6ого i G In

Vi(x1 7 • • • 7 xi7 • • • 7 xn7 у1, • • • , уп-1 )xi — E E Sgn nxn(1) ут(1) • • • ут(n-1) xn(n) 7

nGS„ (i) тeA+_1

где Sn(i) = {п G Sn | n(n) = i}.

Нетрудно видеть, что всякую подстановку п G Sn(i) можно представить в виде п = стр^ где

n — 1 n

Pi =

1 2 • • • i — 1 i

^1 2 ••• i — 1 i + 1 ••• n i

жим Sn(i) = {ct G Sn | a(i) = i}. Тогда

, CT(i) = i. Заметим также, что sgnpi = (—1)n i. Поло-

b2n-1

i=1 aeSrn(i) тgA+_i

(—1)n-i

sgn CTxa(1)ут(1) • • • xa(i-1)ут(i-1)xa(i+1)yт(i) • • • xa(n)ут(n-1)xi

a€Sn(i) тGA+_1

i=1

E( —1)n ib2(n-1) О^у^

i=1

Предложение 4. Справедливы равенства

n

1) b2n(x7 у) = ( 1)i-1 ^0^-1^

i=1

2) если n = 2k, mo

b2n(x7У) = E h2n-1 1)У2i-1 + b2n-1 (Ху^^б

i=1

376

Научный отдел

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова. О квазимногочленах Капелли 3) если n = 2k + 1, mo

k +1 k

b2n (x,y) =^2 b2n-l(x,i/2i-1 )У2г-1 + h2n-l{x,y^z )у2г;

г=1 i=1

4) h2n

5) если n =

= Е(-1)г-1

г=1

2 k, mo

xic2n-1 (y? хг') ;

k

h2n(x,y) = b2n-1 (X,y2'-1 )У2г-1 + h2n-1(X,y2i)У2г;

г=1

6) если n = 2k + 1, mo

k + 1 k

h2n(x,y) = h2n-1 (X,y2i-1)y2i-1 +^2 b2n-1(x,y^t)y2i;

г=1 г=1

7) если n = 2k, mo

kn

a2n (x,y) = X2i-1^2n-1 (y,^^) + Х2гh2n-1 (У, Х2г) = J^(-1)Ja2n-1 (X,/)Уг;

г=1 г=1

8) если n = 2k + 1, mo

k + 1 k n

a2n(x,y) = X2i-1b2n-1(y,X2i-1) + x2ih2n-1(x,y2i) = J^(-l)i-1a2n-1 (x, /^г;

г=1 г=1 г=1

9) если n = 2k, mo

kn c2n(x,y) =J^ X2i-1h2n-1 (y,X2'-i) + x2ib2n-1 (y, Х2г) ^^(-l)iC2n-1 (x,/^

г=1 i=1

10) если n = 2k + 1, mo

k + 1 k n

C2n(X,y) = J^ X2i-1 h2n-1 (y,X2'-i) + ^ x2ib2n-1(y,X2i) = — (x, /)Уг •

г=1 г=1 г=1

Доказательство. Аналогично доказательству предложения 3.

Утверждение 3. Для любого натурального числа n > 2 в алгебре F{Z} справедливы включения

1) {b2n-1 }T D {b2n}T D {b2(n+1)-1 }T D {b2(n+1) }T D •••;

2) {h2n-1}T D {h2n}T D {h2(n+1)-1}T D {h2

D

3) {a2n-1}T D {a2n}T D {a2(n+1)-1}T D {a2(n+1)}T D •

4) {c2n-1 }T D {C2n}T D {c2(n+1)-1 }T D {C2(n+1)}T D ••

5) {f2n-1 }T D {/2n}T D {f2(n+1)-1 }T D {/2

D

6) {g2n-1 }T D {g2n}T D {g2(n+1)-1 }T D {g2(n+1) }T D •••

Доказательство. Включения 1), 2) вытекают из следствия 1, предложений 3 и 4; включения 3), 4) — из следствия 2, предложений 3 и 4; включения 5), 6) следуют из замечания 1, предложений 3 и 4 работы [3].

Математика

377

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

2. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАЗИМНОГОЧЛЕНОВ КАПЕЛЛИ

В этом пункте мы продолжим изучение свойств квазимногочленов Капелли. Ввиду однообразности рассуждений мы ограничимся рассмотрением лишь многочленов f2n-1 и f2n. Пусть q, n — любые натуральные числа, для которых 1 ^ q ^ n—1, j = {j1,... , jq} — произвольное подмножество множества In = {1,... ,n}, i = In\j = {ii,... ,in-q}, l = {li,... , lq-1}(q > 1), p = {pi,... ,Pq}(q < n 1) — какие-либо подмножества множества In-1, a = In-1 \ l = {a1,..., an-q}, b = In-1 \ p = {b1,..., bn-1-q},

r = n — q. При этом будем считать, что j1 < ... < jq, i1 < ... < ir, l1 < ... < lq-1, p1 < ... < pq,

a1 <

< ar, b1 < ... < br-1.

Кроме того, положим Jq = {j C In | Cardj = q}, Lq-1 = {l C In-1 | Cardl = q — 1}, Pq = {p C In-1 | Cardp = q}, A+ = {n G Sn | sgnn = 1}, A- = {n G Sn | sgnn = —1}. Каждому элементу j G Jq, l G Lq-1, p G Pq поставим в соответствие подстановку aj G Sn, 7^ G Sn-1,

1 ... q q + 1 ... q + r\ /1 ... q — 1 q ... q + r — 1\

i j1 . . . jq i1 ... ir J \l1 . . . lq-1 a1 ... ar /

G Sn-1, где aj =

sp = ( qq + q + j, и Обозначим через J+ = {j G Jq | sgn aj

\p1 ... pq b1 ... br-1 у/

Jq" = {j G Jq 1 sgn aj = —1} L+-1 = {l G Lq — 1 1 sgn Yl = l}, L--1 = {l G Lq-1 1 Sgn Y

Pq+ = {p G Pq 1 sgn Zp = l}, Pq- = {p G Pq 1 sgn Zp = —1}.

1},

1},

Предложение 5. Справедливы равенства

1) при 1 <q <n — 1 f2n-1 (x,y) = R++(x,y) + R— (x, y) + R+-(x,y) + R-+ (x,у), где

R++ (x,yH E E f2q-1 (xi>Уа)f2r(yf,xj) — g2q-1 (xi,ya)g2r(yf,xj),

je i

R— (x,y)= E E f2q-1 (xi’Уй)f2r(yf,xj) — g2q-1(xi,Уй)g2r(yf,xj),

jeJq -1

R+-(x,y)^E E g2q-1(xi,ya)f2r (yf,xj ) — f2q-1(xi, У/a )g2r (2/f, xj ), jGjy 1eLq-i

R-+

jeJq 1eL+-i

(запись zc означает, что из множества переменных {z15..., } удалены переменные с индексами

из множества с);

2) при 1 < q < n — 1 f2n-1(x, У) = Q++(x, У) + Q--(x, y) + Q+-(x, y) + Q-+(x, у), где Q++(x,y)= E E f2q(xi,Уё)f2r-1 (xj,yp) — g2q(xi,yg)g2r-1 (xc,yp ),

jeJ+ peP+

Q--(x,y)= E E f2q(xi,Уь)f2r-1 (xj,yp) — g2q(xi,Уё)g2r-1 (xc,yp ),

jeJ7 PepT

Q + - (x,y)= E E g2q (Xi,yS)f2r-1 (xc ,yp ) — f2q (xi,yg)g2r-1 (xj , Ур ), jeJ+ PeP—

Q-+ (x,y)= E E g2q (xi,yS)f2r-1 (xc ,yp ) — f2q (xi ,Уё )g2r-1 (xj , Ур ). jeJT PeP+

Доказательство. Проведем для первого равенства, поскольку для второго оно аналогично. В связи с этим заметим, что

f2n-1(x,y)=E Е j ^У^

jeJq q — 1

где

рг(х,У) = Е Е sgn п  ^sgnnsgn т (хп(1)ут(1) . . . xn(q) ) ' (ут(q)xn(q+1) . . . ут(n-1)xn(n})7 (j) тesn—1(0

378

Научный отдел

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова. О квазимногочленах Капелли

ад) = {п е Sn 1 n(Iq) = j, n({q + 1,... ,n}) = i}, Sn-1 (l) = {т е Sn-1 | T(Iq—i) = l, т({q,..., n - 1}) = a}.

Нетрудно видеть, что для любых п е Sn(j), т е Sn—1(l) верны равенства

П Jn ДП 7

т = рт uT yi,

где

aj =

ит —

ji

(jl

\n

l1 . .

l1 . .

. q q + 1

jq i1

jq i1

. . n(jq) *1

lq— 1 a1

lq—1 т

q + r

ir ^

ir \

ir

ar

т

ДП -

Y i =

pT =

j1 . . j q i1

j1 . . j q п

q — 1 q.

lq— 1 a1 .

l1 lq—1

т

a1

. ir , . n(ir)) ’

q + r — 1 ]

ar

. ar

. ar

1

J -TT ------------

П

Положим Bn(i) = {д е Sn | ^ = id}, Cn(j) = {j е Sn | J\i = id}, Dn— 1 (a) = {и е Sn—1 | u\i = id}, Tn—1 (l) = {p е Sn — 1 | P\a = id}. ОЧЕВИДНО, ЧТО Bn(i) = Sr, Cn (j) = Sq, Dn —1(a) = Sr, Tn — 1(l) = Sq — 1. Тогда

tji (x,y) = E E E E Sgn (<J^aj ')j.sgn(a^aj )sgn(pшуl) x

a€C„

x

= sgn aj 53 53 53 53 sgn Jsgn M^sgnaj sgn(ag)sgn yisgn(pu) (xjCT(i) yip(i) Xja(q) )x ^GSq pGSq_1 ^GSr fJ,£Sr

x (ya^(i) Xj^(i) ' ' ' ya^(r) xV(r)).

Следовательно,

f2n—1(x,y)^^ 53 tji(x,y) =

jeJq ieLq—1

= Sgn JSgn Д $ sgn

je J+ ieL+_&eSq peSq-i шeSr geSr

-E E E E E E Sgn JSgn M$sgn(ag)sgn (рш) (xjCT(i) ' ' ' )(ya„(i) ' ' ' ) +

jeJq ieLq_i aeSq peSq-1 шeSr geSr

+ Sgn JSgn Д Ssgn(ag) — sgn (рш) (xjCT(i) ••• )(ya„(i) ••• ) —

jeJ+ ieL_-1 aeSq peSq—1 ueSr ^eSr

-E E E E E E sgn JSgn Д j—sgn(ag)sgn (рш) (xjCT(i) ' ' ' )(ya„(i) ' ' ' ).

jeJ_ ieL+_1 CTeSq peSq — 1 i^eSr geSr

Для первого слагаемого F1 (x, y) в последнем равенстве имеем:

F1(x,y) = 13 13 13 13 13 13 Sgn j5sgnasgn(f^) (xjCT(i) ••• )(ya„(i) ••• ) + je J+ ieL+_1 ^eSq рeSq 1 weSr mga+

+ 13 13 13 13 13 13 Sgn JSgn Д j—sgnasgn (рш) (xjCT(i) ••• )(ya„(i) ••• ) =

jeJ+ ieL+_1 aeSq peSq—l i^eSr geAr

= Sgn J ^sgnasgn р (xjCT(i) ' ' ' )(ya„(i) ' ' ' ) +

jeJ+ ieL+_1 ^eSq реSq 1 шеА+ geA+

+ Sgn J $sgna —sgn,р (xjCT(i) ••• )(ya„(i) ••• ) —

jeJ+ ieL+_1 °eSq peSq—l шеА— geA+

Математика

379

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

X!/ X!/ sgn a ^-sgnasgn р

je j+ igl+_1 v£Sq pesq-i ^ga+ peA—

— X!/ X!/ sgn a^-sgn<J —sgnp (xj'CT(i)  ){Уаш( i) ••• ) =

jG Jq+ 1GL+-1 CTGSq pGSq-1 WGA — pGA —

= S f2q-l(xi,ya)f2r(yf,xj) -g2q-i(xi,ya)g2r(yf,xj) = R++(x,y)-

jeJ+ IGL+-1

Аналогичным образом приходим к равенствам F2(x,y) = R (x,y), F3(x,y) = R+ (x,y),

F4(x,y) = R-+(x,y).

Пусть Г = {l' ,...,iq-1 }(q > 1), p' = {pi,...,pq}(q < n) — какие-либо подмножества множества In, a' = In \ l' = {ai,..., аП+1-д}, b' = In \ p' = {bi, •.., bn—q}, r = n - q. При этом будем считать, что li < ... < l^-1, pi < ... < p'q, ai < ... < аГ+1, bi < ... < b'r. Кроме того, положим А^-1 = {l' C In | Cardl' = q — 1}, P{ = {p' C In | Cardp' = q}. Каждому элементу l' G Lq-i, p' G Pq

поставим в соответствие подстановку uy G Sn, ep/ G Sn, где uy

1

li

q — 1 q

lq- i ai

q + r

ar j i

epr

Lq--i

/1 ... q q + 1 ... q + r\ *

, и обозначим через L

pi . . . pq bi . . . br

{l' g Lq-i1 sgn uv = —1}, pq+ = {p' g pq1 sgn ^ =l}, pq-

'+

q-i

= {l' g Lq-i

{p' g pq1 sgn ep' =

| sgn Up = —1}.

1},

Предложение 6. Справедливы равенства 1) при 1 < q ^ n — 1

f2n (x,y) = Rj+(x,y) + R/— (x,y) + R+-(x,y) + R-+ (x,y),

где

R++ (x,y)^ f2q — i(xi’ Уй)f2(r + i) —1(Ур ,xj ) — #2q—i (xi ,ya/ )g2(r+i)-i(yf/ ,xj )’

jGJ+ eeFq-i

R—-(x,y) = ^ f2q—i (xi ,ya/ )f2(r+i) —i (yp , j — g2q —i(xi, ya/ ^(r + i) — i (yp, x j ),

jeJq 1 GLq — 1

R+— (x,y) = S g2q — i(xi ’ ya/ )f2(r+i) —i(yp ,xj ) — f2q —i(xi, ya/ ^(r + i) — i (yp ’ x j ),

j G J+ j/GLq — 1

R— + (x,y) = ^ g2q—i (xi’ ya/ )f2(r+i) —i (yf/ ) — f2q—i (X, ya/ )^2(r+i) — i (yp, xj);

je J— J/eLq^i 2) при 1 < q < n — 1

f2n(x’ y) = Q++ (x,y) + Q— — (x,y) + Q+— (x,y) + +(py),

где

Q++ (x,y)=^ f2q (xi,yg/ )f2r (xj ,yp/ ) — g2q (xi,yg/ )g2r (xj ,yp/ ),

jeJq+ p/epq+

Q——(x,y)^ f2q(xi,yg/)f2r(xj’ yp/) — g2q(xi,yg/)g2r(xj,yp/),

jeJG p/ epq-

Q + —(x,y)^^ g2q (xi ,yg/ )f2r (xj ’ yp/ ) — f2q (xi ,yg/ )g2r (xj ’ yp/ ),

jeJ+ p/ epq-

Q—+(x,y)^^ g2q (xi ,yg/ )f2r (xj ’ yp/ ) — f2q (xi ,yg/ )g2r (xj ’ yp/ ).

jeJ— p/epq+

Доказательство. Аналогично доказательству предложения 5.

380

Научный отдел

С. Ю. Антонов, А. В. Антонова. О квазимногочленах Капелли

3. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ СТАНДАРТНОГО МНОГОЧЛЕНА

Пусть A — произвольная ассоциативная алгебра над F.

Определение. Многочлен d е F{Z} называется полиномиальным тождеством алгебры A, если для любого гомоморфизма р е HomF(F{Z}, A) справедливо равенство p(d) = 0.

Нетрудно видеть, что множество всех полиномиальных тождеств алгебры A является Т-идеалом алгебры F{Z}. Этот идеал называется идеалом тождеств алгебры A и обозначается символом Т[A]. Заметим, что всякая конечномерная алгебра A обладает хотя бы одним полиномиальным тождеством, например, им является стандартный многочлен S- (zi,...,zn) = ^ sgn nzn( i) ••• zn(n) при

n£S„

n > dim A. Но тогда, как показывает приводимое ниже предложение, начиная с некоторой степени тождествами алгебры A будут и квазимногочлены Капелли.

Предложение 7. Для любого натурального числа n > 1 в алгебре F{Z} справедливы включения

1) {S-}T 3 {/2„}T, {S-}T 3 ten}T;

2) если charF = 2, то {S-}T 3 {fen}T, {S-}T 3 [h2n}T, {S-}T 3 {a2n}T, {S-}T 3 {c2n}T

Доказательство. Пусть a — произвольный элемент группы A+. Определим эндоморфизм pa

алгебры F{Z}, положив pa

хгyau), если z = Xi,i = 1,n;

Тогда

z, если z е {х1,..., xn}.

^ 2 pa (Sn (x)) ^ 2 I ^ 2 xn(1)yan(1) ' ' ' xn(n)yan(n) ^ 2 xw(1)yaw(1) ' ' ' xw(n)yaw(n) I .

aeA+ aeA+ \n£A+ ^eA- )

Полагаем a = panп-1 в первой сумме и a = уашш-1 во второй, получаем:

У ^ pa (Sn (x)) ''У у ^ 2 xn(1) ур( 1) ' ' ' xn(n)yp(n) 'У 2 ^ 2 xw(1) yp(1) ' ' ' xw(n)yp(n) f2n.

aeA+ neA+ peA+ шеА- peA-

Следовательно, {Sn }T 3 {f2n}T, отсюда и из замечания 1 получаем, что {Sn }T 3 {g2n}T.

Пусть charF = 2. Легко проверить, что 2b2n = f2n + 92n + C2n, 2a2n = f2n - g2n + C2n, где C2n = ^ ^ sgn

п e Sn t e Sn

{C2n}T C {S—}T. Отсюда, а также из доказанных включений и следствий 1, 2 получаем, что {b2n}T C {S- }T, {a2n}T C {S- }T, {h2n }T C {S-}T, {C2n }T C {S-}T.

Пусть A = Mm(F) — матричная алгебра над F. Тогда в силу теоремы Амицура - Левицкого [6] наименьшее n, при котором S- е Т[Mm(F)], равно 2m.

Предложение 8. Наименьшее n е N, при котором каждый из квазимногочленов Капелли b2n, h2n, a2n, C2n, f2n, g2n е T[Mm (F)], равно 2m.

Доказательство. Проведем для многочлена b2n, поскольку для остальных оно аналогично. Пусть charF = 2 и d(m,F) означает наименьшее n е N, при котором b2n е Т[Mm(F)]. Тогда из предложения 7 следует, что d(m, F) ^ 2m, а из теоремы 4 работы [2] следует, что d(m, F) > 2m — 1. Отсюда d(m, F) = 2m. Так как коэффициенты многочлена b2n равны ±1, то ограничение char F = 2 для матричной алгебры Mm(F) становится несущественным и потому его можно снять.

Библиографический список

1. Аверьянов И. В. Базис градуированных тождеств супералгебры M1j2(F) // Матем. заметки. 2009. Т. 85, вып. 4. С. 483—501. DOI: 10.4213/mzm4298.

2. Антонов С. Ю. Наименьшая степень тождеств подпространства M1('m’fc) (F) матричной суперал-

гебры M(m,fc) (F) // Изв. вузов. Матем. 2012. № 11. С. 3—19.

3. Антонов С. Ю. Некоторые виды тождеств подпространств M0m’fc) (F), Mlm’fc)(F) матричной супералгебры M(m,k) (F) // Учён. зап. Казан. гос.

381

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 4

ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2012. Т. 154, № 1. С. 189-201.

4. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 104, № 3. P. 707-710.

5. Антонов С. Ю., Антонова А. В. К теореме Чен-

га// Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3. С. 247-251.

6. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras // Proc. Amer. Math. Soc. 1950. Vol. 1, № 4. P. 449-463.

Quasi-polynomials of Capelli

S. Yu. Antonov1, A. V. Antonova2

1 Antonov Stepan Yuryevich, Kazan State Power Engineering University, 51, Krasnosel’skaya st., 420066, Kazan, Russia, antonovst-vm@rambler.ru

2Antonova Alina Vladimirovna, Kazan State Power Engineering University, 51, Krasnosel’skaya st., 420066, Kazan, Russia, antono-vakazan@rambler.ru

This paper deals with the class of Capelli polynomials in free associative algebra F{Z} where F is an arbitrary field and Z is a countable set. The interest to these objects is initiated by assumption that the polynomials (Capelli quasi-polynomials) of some odd degree introduced will be contained in the basis ideal Z2-graded identities of Z2-graded matrix algebra M(m,k) (F) when char F = 0. In connection with this assumption the fundamental properties of Capelli quasi-polynomials have been given in the paper. In particularly, the decomposition of Capelli type polynomials have been given by the polynomials of the same type and some betweeness of their T-ideals have been shown. Besides, taking into account some properties of Capelli quasi-polynomials obtained and also the Chang theorem we show that all Capelli quasi-polynomials of even degree 2n (n > 1) are consequence of standard polynomial S- in case when the characteristic of field F is not equal to two. At last we find the least n e N at which any of Capelli quasi-polynomials of even degree 2n belongs to ideal of matrix algebra Mm (F) identities.

Keywords: T-ideal, standard polynomial, Capelli polynomial.

References

1. Averyanov I. V. Basis of graded identities of the superalgebra Mi,2(F). Math. Notes, 2009, vol. 85, iss. 4, pp. 467-483. DOI: 10.1134/S00014346090 30195.

2. Antonov S. Yu. The least degree identities subspace M1(m’k)(F) of matrix superalgebra M1m,k) (F).

Russian Math. [Izvestiya VUZ. Matematikaj,

2012, no. 11, pp. 1-16. DOI: 10.3103/S1066369X12 110011.

3. Antonov S. Yu. Some types of identities of subspaces M0m’k)(F), M1(m,k)(F) of matrix superalgebra M1m,k) (F). Kazan. Gos. Univ. Uchen. Zap.

Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2012, vol. 154, no. 1, pp. 189— 201 (in Russian).

4. Chang Q. Some consequences of the standard polynomial. Proc. Amer. Math. Soc., 1988, vol. 104, no. 3, pp. 707—710.

5. Antonov S. Yu., Antonova A. V. To Chang Theorem. Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2015, vol. 15, no. 3, pp. 247—251 (in Russian).

6. Amitsur S. A., Levitzki J. Minimal identities for algebras. Proc. Amer. Math. Soc., 1950, vol. 1, no. 4, pp. 449—463.

382

Научный отдел