Моделирование беспорядочных процессов в нелинейных электронных цепях с несколькими генераторами

УДК 621.313.52

Е. В. АНОШЕНКОВА И. Л. ЗАХАРОВ И. Е. ПЕСТРИКОВА

Омский государственный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕСПОРЯДОЧНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЯХ С НЕСКОЛЬКИМИ ГЕНЕРАТОРАМИ

Рассмотрены теоретические аспекты и экспериментальные данные контролируемых переходов в нелинейной электронной цепи (НЭЦ). Предложены методы управления системным образующим центром перехода от беспорядочных колебаний к постоянным колебаниям с помощью небольших возмущений на НЭЦ. Предложенные решения дают возможность сбалансировать седловые циклы, вмонтированные в странный аттрактор НЭЦ.

Ключевые слова: цепь Чуа, беспорядочный режим, синфазные изменения, поддержание беспорядочных изменений.

Установлено, что связь схожих нелинейных электронных цепей (НЭЦ), показывающих характерные переходы к хаосу (в дальнейшем глобальная неопределенность), приводит к возникновению новых колебательных режимов и значительно сложной картине изменения переходов, по сравнению с действием одиночной НЭЦ. Набор изучаемых колебательных режимов и разновидности бифуркационных переходов в значительной степени обусловливаются видом взаимосвязи среди подсистем.

В качестве таких подсистем могут использоваться НЭЦ, состоящие из одинаковых самостоятельных нелинейных генераторов Чуа. На рис. 1 представлена схема для моделирования нелинейной электрической цепи генераторов Чуа с резистивной взаимосвязью [1, с. 132], которая формируется в программе Micro-Cap.

Динамика процессов, совершающихся в такой системе, представляется следующими дифференциальными уравнениями [1, с. 131]:

dx

—1=а(у1 - x1 - Л^ dt

dy

-Г~=x1- У1 + z1 +Y((x2- Х1)-(У 2- yj+(z2- Z1)), dt

dz1

~Т=-b У. dt

= а(У1 - x1 - Л(Х2)),

dt dy2

-P = x2 -У2 + Z2 +Y((x1 -x2)-(y1 -У2) + (Z1 -Z2)), dt

=-b у 2, dt 2

где h(x) =

bx - a+b, если x <-1, ax, если |x|< 1, bx +a - b, если x > 1.

C2 b= C 2 "C1 , b = LG 2'

У12 =

(UC2)1,2

R17 bLG2 ,

=Mi

1,2 GBp

=m

G

dx "dt 1

b=

G

G

C 2'

Подчеркнем, то, что концепция уравнений (1) считается инвариантной согласно взаимоотношению к смене переменных x1 =(x1,y1,z1)^ x2 =(x2,y2,z2),

x1 =(x1,y1,z1)»x2 =(-x2,-y2,-Z2).

Оценка этой нелинейной электрической системы была выполнена при помощи программы Micro-Cap [2, с. 229 — 234]. Во время прогнозирования были получены изменения напряжений и токов в элементах нелинейной электрической цепи.

Из этих колебаний стало видно, что в случае ре-зистивной взаимосвязи среди генераторов будет появляться глобальная неопределенность пульсаций напряжений и токов. Помимо этого, глобальная неопределенность пульсаций на одинаковых составляющих генераторов Чуа станет совпадать по фазе (т. е. станет синфазной) (рис. 2). Фазовый сдвиг (j) между качаниями на одинаковых составляющих недоступен, так как ток вследствие соединения генератора Чуа в фиксированном режиме станет равен нулю.

Создание способов управления глобальной неопределенностью в нелинейной электрической цепи разной природы считается одной из значимых практических проблем сегодняшней концепции детерминированной глобальной неопределенности. Способы, разрешающие сбалансировать седловые циклы, которые встраиваются в точку притяжения глобальной неопределенности НЭЦ. Они предполагают довольно непростую операцию, которая связана с поиском нестабильных и стабильных разнообразностей сед-лового цикла и установления типа возмущений параметра, регулирующего этот нестабильный цикл [1, с. 133— 134; 3, с. 66 — 69]. На сегодня предложено довольно большое количество методов управления,

g

а

a

1.2

B

B

p

p

1.6k

Рис. 1. Схема для моделирования процессов в системе двух идентичных генераторов Чуа с резистивной связью

UC2.B

I R17-B

«сор J0 (DP 0«! »COp -KIGJp

"cfl|W JJj о<ы оси Iba- f МСЛЯ1

Рис. 2. Графики напряжений и токов на элементах системы при резистивной связи

задача которых состоит в реализации продуктивного перехода от колебаний глобальной неопределенности к регулярным качаниям с помощью небольших влияний на НЭЦ. Процесс стабилизации конкретного подмножества седловых циклов, возможно, значительно упростит для НЭЦ для двух взаимодействующих генераторов Чуа.

Образцом такого рода концепции имеют все шансы быть два сопряженных посредством емкости одинаковых генераторов Чуа с 1,5 степенями свободы, показывающие при вариации значений руководящих параметров характерные переходы к глобальной неопределенности. В случае присутствия окончатель-

ной взаимосвязи глобальная неопределенность получается при а = 9...10. В единичной НЭЦ Чуа глобальная неопределенность получается при а = = 11,5...12,5. Если во взаимодействующих генераторах ранее прослеживались режимы улучшенных изменений глобальной неопределенности, то в отдельной НЭЦ без исключения всё еще имеются постоянные периоды. Это значит, что постоянные циклы имеются и в НЭЦ обоюдно сопряженных генераторов, но уже в неуравновешенном варианте. При этом располагаются данные периоды в инвариантном подпространстве х=х2 (х — векторы динамических неустойчивых 1-й и 2-й подсистем) фазового

Рис. 3. Фазовый портрет тока в индуктивности Ь1 при отсутствии управляющего воздействия

Рис. 4. Фазовый портрет тока в индуктивности Ь1 в присутствии управляющего воздействия в симметричном подпространстве х,=х2

пространства НЭЦ, представляя собой нестабильные к несимметричным и стабильные к симметричным возмущения. В случае присутствия окончательной взаимосвязи в НЭЦ сформировалась точка притяжения глобальной неопределенности, в котором встроены эти седловые инвариантные циклы. В таком случае фазовую траекторию, возможно, станет свободно сделать стабильной в их округе. Для этого довольно с помощью небольших влияний на любой из генераторов сделать устойчивой фазовую траекторию в инвариантном подпространстве х1=х2. Так как интересный для нас седловой цикл устойчив к инвариантным возмущениям, вследствие определенного периода фазовая траектория непременно приблизится к нему и станет меняться в данном цикле, покуда имеются руководящие возмущения. Установить тип возмущений, сделать стабильной фазовую траекторию в инвариантном подпространстве, значительно легче, нежели тип возмущений, регулирующих её в округе седлового цикла. В случае если отсутствует этот или другой вид взаимосвязи, НЭЦ показывают колебания глобальной неопределенности, в таком случае регулировка фазовой траектории в этом инвариантном подпространстве сопряженных НЭЦ приведет к режиму синхронизации глобальной неопределенности.

Необходимо подчеркнуть, что в НЭЦ, аналогичных сопряженным одним и тем же генераторам Чуа, обладающих рядом типов симметрии, траекторию глобальной неопределенности возможно отрегулировать в разных инвариантных подпространствах. К примеру, не только лишь в подпространстве х=х2, но и в х1=—х2. Станут ли постоянные перемещения с отмеченными особенностями симметрии стабилизированными или хаотическими, будет зависеть от того, существуют ли в таком подпространстве сед-ловые циклы, постоянные к инвариантным возмущениям, либо их нет.

Необходимо выделить то, что при этом тенденция НЭЦ сопряженных генераторов Чуа отображается системой дифференциальных уравнений (1).

В системе уравнений (1) в порядке сформированной глобальной неопределенности возможно реализовать регулировку фазовой траектории в инвариантном подпространстве х1=х2, х1=— х2 с помощью небольшого вспомогательного воздействия на одну из подсистем, подчиняющегося координатам и х1 и х2.

С этой целью переделаем систему (1) согласно последним переменным [1, с. 134].

и = (х1 - X 2)/2, V = (У1 - у 2)/2, Ш =(21 - г,)/2,

и*=(х1 + х 2)/2, V *=(у 1 + у 2)/2, ш *=(+ г2)/2;

—=а[у-и-с(и)] (т

—=и-V+ш-2у[и^+ш ], (т

(Ш

—==-Р^

(т

=а[v* -и* -с(и*)],

(т

(IV * (т (Ш-(т

=-Pv *,

где с(и)=(Л(х1)-Л(х2))/2, с(и')=(к(х1)+к(х2))/2.

Развитие инвариантных колебаний х1=х2 (х1=—х2) обусловливается уравнениями 2 ( — 2/, а их стабильность — уравнениями 2 а — 2с.

В НЭЦ обоюдно сопряженных генераторов Чуа в режиме сформированной глобальной неопределенности фазовая траектория от периода к периоду проникает в небольшую округу не только лишь инвариантного подпространства х1=х2, но и в х1=—х2. С целью сделать устойчивой ее в данном подпространстве к основному уравнению системы (1) прибавлялось небольшое руководящее влияние ^ = г1и*. На рис. 3 — 5 и 6а, б показан контролируемый переход из режима сформированной глобальной неопределенности в режим инвариантных беспорядочных изменений. В отличие от прошлого случая, контролируемых переходов от беспорядочных изменений к непрерывным изменениям не отмечалось. Вследствие управления постоянно появлялись инвариантные беспорядочные изменения.

При значениях а и у, подходящих режимам глобальной неопределенности в НЭЦ сопряженных генераторов, в подпространстве х1=—х2 отсутствуют седловые циклы, постоянные к инвариантным возмущениям. Тут ранее сформировалось беспорядоч-

=и V * +ш ,

Рис. 5. График зависимости напряжения на конденсаторе С1 от времени в присутствии управляющего воздействия в симметричном подпространстве х1=—х2

а б

Рис. 6. а) зависимость напряжения на емкости С1 от напряжения на емкости С3, наглядно демонстрирующая режим синхронизации; б) фазовый портрет тока в индуктивности при воздействии управляющего воздействия в симметричном подпространстве х1=

ное множество, притягивающее фазовые траектории этого подпространства, на какое и отправляется НЭЦ при «включении» регулирования. Развитие этого беспорядочного множества совершается посредством бифуркаций удвоения этапа седловых циклов, стабильных к отмеченным инвариантным возмущениям. Изучение бифуркационных переходов для неуравновешенных колебаний выполнялось следующим образом: были заданы первоначальные требования в округе изучаемого подпространства и передавалось регулирующее воздействие F1. В результате в НЭЦ возможно отметить только лишь эти колебательные режимы, какие считаются стойкими к противофазным возмущениям. Внедрение в систему уравнений (2) небольшого аддитивного (прибавляющего) гула никак не сказалось на полученных итогах.

Проведенные теоретические и экспериментальные опыты контролируемых переходов в НЭЦ двух сопряженных посредством емкости схожих генераторов Чуа из режима сформированной глобальной неопределенности к разным постоянным и беспорядочным инвариантным изменениям с помощью небольших влияний на любой из генераторов выявили, что:

— беспорядочную траекторию возможно делать устойчивой в разных инвариантных подпространствах (х1=х2 и х1=—х2) абсолютного фазового пространства НЭЦ, исполняя этим порядок синхронизации глобальной неопределенности, равно как в варианте синфазных, так и противофазных беспорядочных изменений подсистем;

— регулирование беспорядочной траектории в инвариантном подпространстве способно переключить НЭЦ в режим постоянных колебаний, и возможно работать облегченным способом управления беспорядком.

Библиографический список

1. Рысев, П. В. Особенности диссипации энергии в нелинейных электрических цепях / П. В. Рысев, В. К. Федоров, Е. Ю. Свешникова // Омский научный вестник. — 2005. — № 1 (30). - С. 131-135.

2. Управление и синхронизация хаоса в системе связанных генераторов / П. В. Рысев [и др.] // Динамика систем, механизмов и машин : материалы V Междунар. науч.-техн. конф. — Омск, 2004. — С. 229 — 234.

3. Рысев, П. В. Энтропийный анализ режимов нелинейных электроэнергетических систем / П. В. Рысев, В. К. Федоров, В. И. Суриков // Омский научный вестник. — 2003. — № 1 (22). — С. 66 — 69.

4. Анищенко, В. С. Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах / В. С. Анищен-ко. — М. : Наука, 1990. — 312 с.

5. Бланк, М. Л. Устойчивость и локализация в хаотической динамике / М. Л. Бланк. — М. : МЦНМО, 2001. — 351 с.

6. Разевиг, В. Д. Система схемотехнического моделирования Мюго-Сар 6 / В. Д. Разевиг. — М. : Горячая линия — Телеком, 2001. — 344 с.

7. Мун, Ф. Введение в хаотическую динамику / Ф. Мун. — М. : Наука, 1990. — 140 с.

АНОШЕНКОВА Екатерина Викторовна, ассистент кафедры теоретической и общей электротехники. ЗАХАРОВ Игорь Леонидович, кандидат технических наук, доцент кафедры теоретической и общей электротехники.

ПЕСТРИКОВА Ирина Евгеньевна, магистр техники и технологии по направлению «Электроника и нано-электроника», ведущий документовед ученого совета. Адрес для переписки: OpmanEV@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 22.09.2016 г. © Е. В. Аношенкова, И. Л. Захаров, И. Е. Пестрикова