Бароклинные сейши во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации

Термогидродинамика океана

УДК 551.466

С.Ф. Доценко, Н.А. Миклашевская Бароклинные сейши

во вращающихся бассейнах переменной глубины в случае двухслойной плотностной стратификации

Решается плоская задача о линейных бароклинных сейшах в замкнутых вращающихся бассейнах переменной глубины. Плотностная стратификация предполагается двухслойной. В приближении длинных волн получена краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и предложена численная процедура нахождения внутренних сейш. Для бассейна постоянной глубины найдены аналитические решения задачи. Численный анализ сейш выполнен для распределений глубины, соответствующих зональному и меридиональному сечениям Черного моря, а также для модельных бассейнов с шельфовой зоной или подводным хребтом. Установлено усиление бароклинных сейш на мелководье и образование обусловленных вращением Земли интенсивных вдольбереговых течений в шельфовых зонах и над вершинами подводных хребтов.

Введение. Сейши - свободные стоячие волны в замкнутых или полузамкнутых бассейнах [1 - 4]. Они могут вызываться изменениями со временем барического поля [5], воздействием нестационарных напряжений ветра на поверхность воды или его прекращением [6], резкими подъемами и опусканиями участков свободной поверхности жидкости за счет притока или оттока вод, выпадения осадков или сейсмических движений земной коры в зоне бассейна [7], отражения внутренних приливов от верхней границы материкового склона [8].

Сейши дают заметный вклад в пространственную и временную изменчивость гидродинамических полей в озерах, бухтах и заливах, влияют на перенос и перемешивание в водной среде, на перераспределение химических и биологических веществ [6]. Значительное влияние на характер протекания этих процессов оказывает плотностная стратификация.

Пространственная структура и параметры стоячих внутренних волн в замкнутых водоемах (бароклинных сейш) зависят от геометрии бассейна и плотностной (температурной и/или халинной) стратификации. Хотя первое теоретико-экспериментальное исследование структуры бароклинных сейш и связанных с ними течений в озерах было выполнено почти сто лет назад [9], внутренние сейши изучены значительно менее глубоко и всесторонне, чем баротропные. Во многих теоретических работах анализ бароклинных сейш проводился в рамках двухслойных и трехслойных моделей морской среды [10, 11]. Обзор современного состояния проблемы бароклинных сейш дан в работе [12].

Математические модели, ориентированные на анализ внутренних сейш и механизмов их генерации во вращающихся бассейнах переменной глубины,

© С.Ф. Доценко, Н.А. Миклашевская, 2010

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн, 2010, № 3

3

требуют дальнейшего развития, как и изучение фундаментальных закономерностей бароклинных сейш. Ниже решается плоская задача о бароклинных сейшах в случае двухслойной плотностной стратификации жидкости. Численный анализ генерации поверхностных и внутренних волн в таких бассейнах движущимися барическими фронтами содержится в работе [13].

Математическая постановка задачи. Рассматривается плоская задача о свободных колебаниях двухслойной жидкости во вращающемся бассейне переменной глубины. В вертикальной плоскости Oxz бассейн занимает область 0 < x < I, -H(x) < z < 0 (рис. 1), где x - горизонтальная координата; z - вертикальная координата, отсчитываемая вверх от невозмущенного положения свободной поверхности жидкости z = 0; H = H(x) > 0 - глубина бассейна в невозмущенном состоянии. Обозначим через М постоянную толщину верхнего слоя плотности р1 в невозмущенном состоянии, через h2 (х) = Н(х) - ^ -переменную толщину нижнего слоя плотности р > р.

—

Р и с. 1. Схема бассейна

В рамках линейной теории длинных волн с учетом вращения Земли движение жидкости описывается следующей системой уравнений [14]:

"и „ ЭС Эу1 г^ ,1Ч

-ь "ЭТ+* =0,

"

^-Ъ =-*гъС-еЦ^, ^+/и2 = 0,

Эt Эх Эх Эt

"С2 +Э

Эt Эх

Здесь и(х, t), у(х, ^ (] = 1, 2) - проекции на оси х и у соответственно ос-редненной по глубине горизонтальной скорости течения в верхнем (/ = 1) и нижнем (/ = 2) слоях; С(х,0, С2(х,0 - смещения свободной поверхности жидкости и границы раздела слоев от горизонтальных положений соответственно; у= р/р < 1 и е = 1 - у> 0 - безразмерные параметры, характеризующие вертикальную плотностную стратификацию жидкости; f > 0 - постоянный параметр Кориолиса.

4

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

На боковых границах бассейна x = 0 и x = l, являющихся вертикальными твердыми стенками, задаются условия непротекания жидкости

«1,2

Рассмотрим гармонические по времени колебания двухслойной среды в форме

u1 = a1 (x) cos ot, v1 = b1 (x) sin ot, Z1 = С (x) sin ot,

u2 = a2 (x) cos ot, v2 = b2 (x) sin ot, z2 = c2 (x) sin ot,

где o > 0 - подлежащая определению частота свободных колебаний жидкости в бассейне (частота сейш). Введем величины U1(x) = a1(x)h1 и U2(x) = a2(x)h2(x), представляющие собой полные горизонтальные потоки жидкости в верхнем и нижнем слоях (без гармонического по времени множителя). Подстановка (6) в (1) - (5) приводит к краевой задаче для двух обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по x для нахождения частот o и соответствующих им горизонтальных распределений полных потоков U12(x):

d 2U1 (U1 U 2 ^ d 2U 2 U1 U.

dx2

+ a

í тт тт Л

= 0, -r2-a

h h2 J dx ^ h h

7~

2

= 0,

2 J

U1

—2 — /"2

где а =-. Если собственные частоты — и полные потоки в слоях

её

и12(х) найдены из задачи (7), (8), то амплитудные функции а, Ъ] и С] (] = 1, 2) гидродинамических полей (6) можно рассчитать по формулам

а,= МЙ, Ь, = ——^.

п, — п, — \ dx dx )

аг = Ъ2 = —-¿^

п2( х) — п2( х) — dx

Ниже полученные уравнения и соотношения применены для исследования бароклинных сейш в бассейнах трех типов: бассейне постоянной глубины; бассейнах, глубина которых задана таблично (зональное и меридиональное сечения Черноморской котловины); бассейнах с модельными изменениями глубины, описывающими шельфовую зону моря и подводный хребет. В первом случае задача решается аналитически, во втором и третьем для ее решения необходимо применение численных методов.

Сейши в бассейнах постоянной глубины. В случае, когда толщины слоев П, и П2 постоянны, баротропные и бароклинные сейши удается найти аналитически. Решение системы уравнений (7) ищем в виде

и, = АеЯх, и2 = БеЯх.

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

5

Подставляя (11) в (7) и приравнивая определитель полученной системы для нахождения А и В к нулю, получим биквадратное относительно 1 характеристическое уравнение

2 aH X + ^X+

2

a e

= 0 (X= l).

'1^2 '1*2 Его решения 112 = ±?mi, 14 = ±z'm2, где

m

= m2 =VH=

xs =-

a

2hih2

H + (-i)S^H2 - 4ehih2

(s = i, 2).

Общее решение системы уравнений (7) имеет вид

и}=и -+Й:

sin m2 x+i > cosmix+-

BA

>cosm2 x.

Подставив (12) в (7), найдем выражения для коэффициентов Bk через Ak (к = 1, ... , 4). Удовлетворяя граничным условиям U1(0) = U2(0) = 0 в (8), получим A3 = B3 = A4 = B4 = 0. Из граничных условий U1(l) = U2(l) = 0 в (8) вытекает, что для существования ненулевых значений A1 и A2 необходимо выполнение одного из условий: sin L-J = 0 или sin m2l = 0 . Эти уравнения позволяют найти две бесконечные последовательности частот собственных колебаний двухслойной жидкости в бассейне постоянной глубины:

S1 =

s(2) =

^ m

2egh1h2n 2p2

12

+ f2 (n = 1, 2, ...),

2egh1h2m2p2

12

+ f2 (m = 1, 2, ...).

При малых значениях относительного перепада плотности емежду слоями, который в реальных условиях имеет значения порядка 10-3, выражения для частот колебаний (13) и (14) можно приближенно записать в форме

/П 'P2 gH + f 2

l¿

s

I m2p2egh1h2 l2 H

+ f 2

Поэтому частоты (13), как слабо зависящие от параметров плотностной стратификации, соответствуют баротропным сейшам. Частоты стоячих колебаний (14) существенно зависят от относительного перепада плотности между слоями и поэтому соответствуют бароклинным сейшам. Заметим, что частоты баротропных и бароклинных сейш являются суперинерционными (^> f).

Из (12) с учетом полученных выше соотношений находим выражения для полных потоков в баротропных и бароклинных сейшах:

4

6

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

Ц(1)] [и л

= А, \ й + > 81П| пк—

|Ц(2)]

Ц 22)]

= А

1 [( х

X 181П1 к

где А1,2 - произвольные константы,

х± = П2 — Н2 — 4еп1п2

1 Ш,

По известным полным горизонтальным потокам в слоях определяются проекции горизонтальной скорости течения, а также смещения свободной поверхности и границы раздела слоев:

для баротропных сейш

Д1)

,0)1

А1

1

Н х181П1 пр11С0—^•

-Ь Ы 81п( пку|80,

—пч х

прА1 [£!

х

,,, , /> С0В| ПР — 1В1П —П}^,

[Хз+I 1 1 п

Х2± =

Н ±,1Н2 — 4еп1п2 ± н2 — Н1 ±у1 Н2 — 4еП1П2

2Н1

Хз± =

для бароклинных сейш

42)1

А

_2

п [XX

2Н1

/А2 [ 1

—тт 1хг

х

1

В1П| тк— 1вт—2)1

сов| тку) вт —Н

Поскольку в реальных условиях параметр е мал, амплитудные множители (15) и (16) можно приближенно записать в виде

п н е п

1 х~» — х+х~ х+» х~

п

п1

н

п

-1.

Таким образом, в баротропных сейшах горизонтальные потоки жидкости в слоях имеют одинаковое направление, а скорости течений в них приблизительно равны. Во внутренних сейшах потоки жидкости в слоях направлены в противоположные стороны. Скорость течения в нижнем слое меньше (больше) скорости течения в верхнем слое, если Н1 < Н2 (Н1 > П2). Во всех случаях суммарный поток жидкости от поверхности до дна бассейна близок к нулю.

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

2

2

2

2

7

Для баротропных сейш смещения свободной поверхности и поверхности раздела слоев происходят синфазно, при этом амплитуда колебаний свободной поверхности больше амплитуды колебаний поверхности раздела в Н/к2 раз. В бароклинных сейшах доминируют колебания границы раздела слоев, а колебания свободной поверхности (проявления внутренней сейши на свободной поверхности) практически отсутствуют. Эти свойства баротропных и ба-роклинных сейш в двухслойной жидкости описаны в книге [14].

Частоты баротропных и бароклинных колебаний жидкости, определяемые по формулам (13) и (14), возрастают при увеличении порядковых номеров сейш и убывают с ростом ширины бассейна. Зависимость частоты барок-линной сейши от толщин слоев к и к2 при постоянной полной глубине бассейна является симметричной функцией, т.е. замена пары глубин слоев (к\, к2) на (к2, М) не влияет на значения частот бароклинных колебаний жидкости. Наконец, чем меньше скачок плотности на границе раздела слоев, тем более медленные колебания совершает граница раздела слоев во внутренних сейшах.

Алгоритм расчета бароклинных сейш в бассейнах переменной глубины. Изложим численную процедуру расчета одномерных сейш в двухслойной жидкости, заполняющей бассейн переменной глубины. Будем предполагать, что боковые границы бассейна х = 0 и х = I являются вертикальными и общими для свободной поверхности жидкости и границы раздела слоев, как это схематически показано на рис. 1. Численный алгоритм опирается на общие свойства решений систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений [15].

Заменим краевую задачу (7), (8) следующей:

dU1 Т7 ёи2 Т7 с1и3 —1 = и 3, —2 = и 4, —3 = -а

dx dx dx

(и - л

V к2 ;

dU

4 = а

( и ил

у-1

V к2;

dx

Ц

иг

Обозначим через и:(х), и2(х), и3(х), и4(х) фундаментальную систему решений системы уравнений (17), и = [^(х), и2(х), и3(х), и4(х)]т. При этом и1 (0) = е}, где е1 - единичный четырехмерный вектор, у которого }-й элемент равен 1, а остальные равны 0. Общее решение системы (17) записывается в виде линейной суперпозиции фундаментальной системы решений:

и = СУ(х) + С2и2(х) + С3и3(х) + С4и4(х).

Из краевых условий (18) следует, что в момент времени t = 0

и(0) = С^е1 + С2е2 + С3е3 + С4е4 = [Сь С2, С3, С4]т = [0, 0, *, *]т,

где символ * означает выражение, вид которого не является существенным. Поэтому С] = С2 = 0, и любое решение системы уравнений (17), удовлетворяющее условиям (18), записывается в виде и = С3и3(х) + С4и4(х). Для удовлетворения второй пары краевых условий (19) необходимо выпол-

8

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

нение равенства u(l) = C3u3(/) + C4u4(l) = [0, 0, *, *]T, что приводит к системе двух уравнений

c3U3 (i )+c4U4 (i ) = о, C3U 23 (i )+C4U24 (i ) = о.

Для существования ее нетривиального решения (C3, С4) Ф 0 необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.

A

Таким образом, для нахождения частот s свободных колебаний двухслойной жидкости необходимо найти корни уравнения A(S = 0. Для этого можно применить к системе уравнений (17) метод пристрелки по частоте волны. Он предполагает нахождение для каждого значения частоты s > 0 двух линейно независимых решений системы уравнений (17), удовлетворяющих начальным условиям u(0) = e3 и u(0) = e4. Этих решений достаточно для вычисления левой части уравнения (30). Изменение частоты s, например ее увеличение с определенным шагом, позволяет последовательно находить собственные частоты бароклинных колебаний двухслойной жидкости. В данной работе для решения системы уравнений (17) применен метод Рун-ге - Кутта.

Результаты численного анализа бароклинных сейш для бассейнов различной геометрии. Изложенный выше метод нахождения частот сейш и соответствующих им гидродинамических полей применен для расчета бароклинных сейш в бассейнах с различным рельефом дна. Рассчитывались частоты сейш и соответствующие им распределения по х амплитудных множителей (10) для смещений границы раздела слоев Z и двух проекций горизонтальной скорости волнового течения в верхнем (u1, v1) и нижнем (u2, v2) слоях. Плотности жидкости в слоях r = 1012 кг-м-3 и r = 1017 кгм3, а поэтому e» 4,9-10-3.

На рис. 2 представлены найденные численно горизонтальные распределения гидродинамических полей в трех бароклинных сейшах в случае изменения глубины бассейна, соответствующего зональному сечению Черноморской котловины (42,66° с. ш.). На рис. 3 приведены аналогичные поля для случая изменения глубины бассейна вдоль меридионального разреза Черного моря (31° в. д.). Поля в баротропных сейшах для последнего случая приведены в работе [16].

Отметим прежде всего, что по результатам расчетов для бассейнов с масштабами Черного моря периоды колебаний пяти низших бароклинных сейш близки к инерционному периоду Tn = 17,71 ч. Они достаточно хорошо оцениваются по формулам (14), если принять H = 2000 м, h = 20 - 45 м и задать реальную ширину бассейна. С ростом номера сейши наблюдается увеличение отклонения периода бароклинной сейши от инерционного периода. Тем не менее это отклонение не превышает 6 % для 5-узловой сейши в бассейне с распределением глубины, показанным на рис. 3, а. Для бассейна на рис. 2, а отклонение периодов сейш от инерционного периода еще меньше. Периоды баротропных сейш существенно убывают с ростом номера сейши [16].

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

9

0

2, м -1000

й, м

-2000 —

и1, м-с

0.4

,-1

.................

I I 1,1-1.1 I I I I I I I I I I I

- Ч 1 5 -

0

-0.4 -0.8

0.8

1

.................

VI, м-с 0.4

0

-0.4

в

II II II М1М 1 1 /1 > мм

/ 2

-/ 5 /

1 Гг-м-'м 1 1 1 1 1 1 мм

0

-1

0.05 и2, м-с-1

0

-0.05

0.05 V2, м-с-1

-0.05

4,1 1 1 1 1 1 1 | и 5 1 1 1М7Г/

7 1/ '-Ы'-П 1 |\ч1-|2| м V/ 1 Г

б

,1111 1 1 1 1 | 1 1 1 МММ

А 2 тм 1 1 II II 1 1 1 - 5 "1111

г

+М II к ь 1 1 1 1 | 1 1 II II II 5 -......~

•мм 1 1 II 1 1 II

0 450 х, км 900 0 450 х, км 900

д е

Р и с. 2. Распределение глубины бассейна I

0

2, м -1000

-2000

0 -0.2 -0.4

0.4

-1

V1, м-с 0.2

0

-0.2

1

й, м 0

-1

0.16

и2, м-с-1 0.08

0

-0.08

0.08

-1

V2, м-с

0

-0.08 -0.16

д х, км

450

450

Р и с. 3. То же, что и на рис. 1, для распределения глубины II

10

¡ББЫ 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

а

0

б

в

г

0

0

х, км

е

Сравнение рис. 2 и 3 показывает, что в обоих бассейнах горизонтальные структуры вертикальных смещений скачка плотности £2 и проекций скорости течения в верхнем слое (и1, VI) качественно одинаковы. Это говорит о слабом влиянии рельефа дна на бароклинные моды, если толщина верхнего слоя и перепад плотности между слоями поддерживаются постоянными. Однако, как следует из рис. 2, г, е и 3, г, е, распределения обеих проекций скорости вдоль х в нижнем слое (и2, у2) для этих бассейнов качественно отличаются по своей структуре. Важная закономерность поля скорости под скачком плотности - существенное увеличение скорости в мелководных районах бассейнов, где толщина нижнего слоя наименьшая. Очевидно, что образование вдольбе-регового течения (рис. 2, е и 3, е) - эффект исключительно вращения Земли.

Из формул (9) и (10) вытекают равенства

Мх) _ Ь2(х) _ /

a1

s

Поскольку периоды низших бароклинных мод близки к инерционному периоду (а» /), получаем Ь1( х) »-а1( х), Ь2( х) »-а2( х), что объясняет практическое совпадение (с точностью до знака) горизонтальных распределений проекций скорости течения в слоях (рис. 2, в и 2, д; 2, г и 2, е; 3, в и

3, д; 3, г и 3, е).

0 -Jl 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2

z, м Л - Z, м

-1000 Л : 0

-2000 V

........i........ -1.2

a

0.3 0.04

1 1 _И"Н 11111111111

u1, м-c-1 -/' _ \ 1 5 - u2, м-c 1

0 С-/ ~ 1

\ \ 2 у- 0

-0.3 -0.6

0.6 VI, м-c-1 0.3

0

-0.3

iiiiii

-0.04 0.04

V2, м-c-1

-0.04

, \ 1 II II 1 1 | 1 1 1 мм

lililí J 2,' i ITI 1 1 .5/_ мм

б

lililí i i | i 1 1 1 мм

—

Г/ 2 IIIIII nli 11 мм

г

IIIIII Л 1 11 мм

f-\ 2 -

— 5

-Jf 1 ...... lili 11 Mil

450 x, км 900 0 д

450 x, км 900 е

в

0

0

Р и с. 4. То же, что и на рис. 1, для модельного распределения глубины

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

11

0

2, м -1000

-2000

1.2

й, м

/ \5 /

~.......Н'1.......

и1, м-с 0

-0.4 -0.8

0.8

VI, м-с-1 0.4

0

-0.4

I I I I I I I I I I I I I I I I I -..''"""X ' 5 -

I I I I I I I I | I I I I I I I I

"

.................

0.6 и2, м-с-1

-0.1

0.1

V2, м-с-

-0.6

II II II II1II II — \\1 1111

~ ¡5 \ II....... 1 1 1 1 1111

г

1111111 1 1 1 1111

— V ( — 1\1 —

II.....111 II 1 мм

450 х, км 900 0 д

450 х, км 900 е

Р и с. 5. То же, что и на рис. 1, для модельного распределения глубины

0

-0.3

0.04

0

450 х, км 900 0 450 х, км 900

д е

Р и с. 6. То же, что и на рис. 1, для модельного распределения глубины

0

б

а

в

0

12

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

Бароклинные сейши вносят существенный вклад в динамику вод и транспорт донных осадков в мелководных зонах озер, заливов и бухт. Чтобы проанализировать усиление бароклинных сейш на шельфе и в районах морских гор, был рассмотрен модельный бассейн, мелководная зона в котором располагается у одной из боковых границ бассейна или над подводным хребтом в центральной части бассейна. Результаты расчетов бароклинных сейш для этих случаев представлены на рис. 4, 5 и 6.

Сравнение структуры гидродинамических полей подтверждает вывод о качественно одинаковой пространственной структуре смещений скачка плотности и скорости течения в верхнем слое (м1, у1) для всех трех рельефов дна бассейна. Как и на рис. 2 и 3, распределения проекций скорости по х в нижнем слое (и2, у2) для этих бассейнов зависят от рельефа дна, а поэтому существенно отличаются. Скорости течения заметно усиливаются в мелководных зонах, где толщина нижнего слоя наименьшая. В случае подводного хребта вдольбереговая проекция скорости (рис. 5, г, е) локализуется в окрестности вершины донного поднятия, образуя струйное знакопеременное течение.

Заключение. В рамках плоской модели длинных волн в двухслойной жидкости выполнен анализ линейных бароклинных сейш в ограниченных вращающихся бассейнах переменной глубины. Задача сведена к решению краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложена численная процедура расчета частот и гидродинамических полей во внутренних сейшах, опирающаяся на метод пристрелки по частоте колебаний.

Аналитическое решение задачи о бароклинных сейшах получено для ограниченного бассейна постоянной глубины. Численный анализ внутренних сейш выполнен для замкнутых бассейнов с распределениями глубин, соответствующими зональному и меридиональному сечениям Черного моря. Расчеты также проведены для бассейнов, включающих шельфовые зоны или подводный хребет.

Показано, что в бассейнах, пространственные масштабы которых соответствуют Черному морю, периоды низших бароклинных сейш близки к инерционному периоду. Во всех рассмотренных случаях горизонтальные структуры вертикальных смещений скачка плотности и скорости течения в верхнем слое жидкости качественно одинаковы. Это значит, что рельеф дна слабо влияет на гидродинамические поля в верхнем слое жидкости. В то же время горизонтальная структура поля скорости в нижнем слое жидкости существенно зависит от рельефа дна бассейна. Скорости течения заметно возрастают в шельфовых зонах и над вершинами подводных хребтов. Образование интенсивных вдольбереговых течений в мелководных зонах бассейнов -одно из проявлений вращения Земли.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сретенский Л.Н. Теория волновых движений жидкости. - М.; Л.: ОНТИ НКТП СССР,

1934. - 304 с.

2. ЛамбГ. Гидродинамика. - М.; Л.: Гостехиздат, 1947. - 928 с.

3. Праудмэн Дж. Динамическая океанография. - М.: Иностранная литература, 1957. - 418 с.

0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3

13

4. Miles W.J. Harbor seiching // Annual Rev. Fluid. Mech. - 1974. - 6. - P. 17 - 33.

5. Gomis D., Monserrat S., Tintore J. Pressure-forced seiches of large amplitude in inlets of the Balearic Islands // J. Geophys. Res. - 1993. - 98, № C8. - P. 14437 - 14445.

6. Судольский А.С. Динамические явления в водоемах. - Л.: Гидрометеоиздат, 1991. - 263 с.

7. Ichinose G.A., Anderson J.G., Satake K. et al. The potential hazard from tsunami and seiche waves generated by large earthquakes within Lake Tahoe, California-Nevada // Geophys. Res. Letters. - 2000. - 27, № 8. - P. 1203 - 1206.

8. Giese G.S, .Chapman D.C., BlackP.G. et al. Causation of large-amplitude coastal seiches on the Caribbean coast of Puerto Rico // J. Phys. Oceanogr. - 1990. - 20, № 9. - P. 1449 - 1458.

9. Wedderburn E.M. Temperature observations in Loch Earn, with a further contribution to the hydrodynamical theory of the temperature seiches // Trans. Roy. Soc. Edinburgh. - 1912. - 48. -P. 629 - 695.

10. Arneborg L., Liljebladh B. The internal seiches in Gullmar Fjord. Part I: Dynamics // J. Phys. Oceanogr. - 2001. - 31, № 9. - P. 2549 - 2566.

11. Алексеев Д.В., Дымова О.А., Миклашевская Н.А., Черкесов Л.В. Исследование баротроп-ных и бароклинных сейш в ограниченных морских бассейнах // Морской гидрофизический журнал. - 2004. - № 3. - С. 3 - 16.

12. Mortimer C.H. Long internal waves in lakes: review of a century of research // Univ. Wisconsin - Milwaukee, Center for Great Lakes studies. - Spec. Rep. - 1993. - № 42. - 177 p.

13. Доценко С.Ф., Миклашевская Н.А. Генерация поверхностных и внутренних волн в ограниченном бассейне перемещающимся барическим фронтом // Морской гидрофизический журнал. - 2009. - № 3. - С. 3 - 18.

14. Ле Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Т. 1. - М.: Мир, 1981. - 480 с.

15. ФедорюкМ.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985. - 448 с.

16. Доценко С.Ф., Миклашевская Н.А. Генерация сейш в ограниченных бассейнах перемещающимися барическими фронтами // Морской гидрофизический журнал. - 2008. - № 2. -

АНОТАЦ1Я Розв'язуеться плоска задача про лшшш бароклинш сейшi в замкнутих обертових басейнах змшно! глибини. Густинна стратифкащя припускаеться двошаровою. У наближенш довгих хвиль отримана крайова задача для системи звичайних диференщальних рiвнянь i за-пропонована чисельна процедура знаходження внутршшх сейшiв. Для басейну постшно! глибини знайдеш анал^ичш ршення задача Чисельний аналiз сейшiв виконаний для розподшв глибини, яю вщповщають зональному i меридюнальному перетинам Чорного моря, а також для модельних басейшв iз шельфовою зоною або тдводним хребтом. Установлено посилення бароклинних сейшiв на мiлководдi i утворення обумовлених обертанням Землi штенсивних течш уздовж берега в шельфових зонах i над вершинами тдводних хреб™.

ABSTRACT Plane problem on linear baroclinic seiches in closed rotating basins of variable depth is solved. Density stratification is assumed to be two-layered. The boundary problem for the system of ordinary differential equations is derived in the long-wave approximation. Numerical procedure for calculating internal seiches is proposed. Analytical solutions for a basin of constant depth are found. Numerical analysis of seiches is done for depth distributions corresponding to zonal and meridian sections of the Black Sea and for the model basins including shelf zones or underwater ridge. Intensification of baroclinic seiches in shallow-water regions and formation (due to Earth rotation) of strong along-coastal currents both in the shelf zones and above the tops of underwater ridges are revealed.

С. 3 - 1B.

Морской гидрофизический институт НАН Украины, Севастополь

E-mail: sf_dotsenko@mail.ru

Материал поступил в редакцию 19.01.09. После доработки 16.02.09.

14

ISSN 0233-7584. Мор. гидрофиз. журн., 2010, № 3