Соотношение неопределенности в радиоастрономии

Выводы

Алгоритм ОНС с достаточной для практики точностью решает задачу параметрической оптимизации для ИНС, входящих в состав ШИМ-элементов, в котором, наряду с ошибкой регулирования, используют ее первую производную или первую разность. Как показали эксперименты, ИНС с первой разностью ничем не уступает ИНС с первой производной. Наиболее оптимальным вариантом ИНС является полносвязная однослойная нейронная сеть с обратными связями; среди функций активации лучше всего себя проявила сигмоидальная (рациональная) функция активации.

Статья поступила 23.11.2015 г.

Библиографический список

1. Игумнов И.В., Куцый Н.Н. Формирование ШИМ-элемента с использованием искусственных нейронных сетей // Вестник ИрГТУ. 2014. № 6 (89). С. 31-35.

2. Куцый Н.Н. Автоматическая параметрическая оптимизация дискретных систем регулирования: дис. ... д-ра техн. наук: 05.13.06: защищена 26.11.97. Иркутск, 1997. 382 с.

3. Терехов В.А., Ефимов Д.В., Тюкин И.Ю. Нейросетевые системы управления М.: ИПРЖР, 2002. 480 с.

4. Галушкин А.И. Нейронные сети: основы теории. М.: Горячая линия-Телеком, 2010. 496 с.

5. Слепов Н.Н., Дроздов Б.В. Широтно-импульсная модуляция (Анализ и применение в магнитной записи). М.: Энергия, 1978. 191 с.

6. Локтюхин В.Н., Челебаев С.В., Антоненко А.В. Нейросетевые аналого-цифровые преобразователи. М: Горячая линия - Телеком, 2010. 128 с.

7. Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А., Бикеев О.Н. Математический синтез оптических наноструктур. М.: РУДН, 2008. 143 с.

8. Химмелъблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: МИР, 1975. 536 с.

9. Сабанин В.Р., Смирнов Н.И., Репин А.И. Автоматические системы регулирования на основе нейросетевых технологий // Вестник Московского энергетического института. 2005. № 3. С. 10-18.

10. Шаровин И.М., Смирнов Н.И., Репин А.И. Применение искусственных нейронных сетей для адаптации САР в процессе их эксплуатации // Промышленные АСУ и контроллеры. 2012. № 4. С. 27-32.

УДК 520.27

СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В РАДИОАСТРОНОМИИ © Б.И. Лубышев1, А.Г. Обухов2

1,2Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 2Институт солнечно-земной физики СО РАН, 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 126а.

Рассматривается соотношение неопределенности в радиоастрономии на основе оператора усечения пространственного спектра диаграммы направленности радиотелескопа и оператора усечения радиояркости как функции времени. Проводится анализ процедуры аналитического продолжения спектра с помощью сфероидальных волновых функций. Показаны трудности реализации «сверхразрешения» с учетом ошибок усечения и шума. Основным соображением для повышения разрешения является использование максимального числа априорных ограничений.

Ключевые слова: изображение; диаграмма направленности радиотелескопа; угловое разрешение; пространственный спектр; свертка; экстраполяция спектра за частоту обрезания.

1Лубышев Борис Ильич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общеобразовательных наук заочно-вечернего отделения, старший научный сотрудник, тел.: 89149379256, e-mail: lubyshev@iszf.irk.ru Lubyshev Boris, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Associate Professor of the Department of General Education Sciences of Correspondence and Extramural division, Senior Researcher tel.: 89149379256, e-mail: lubyshev@iszf.rk.ru

2Обухов Альберт Георгиевич, кандидат физико-математических наук, доцент, тел.: (3952) 381325, e-mail: obuhov@iszf.rk.ru

Obukhov Albert, Candidate of Physical and Mathematical sciences, Associate Professor, tel.: 83952381325, e-mail: obuhov@iszf.rk.ru

UNCERTAINTY RELATION IN RADIO ASTRONOMY B.I. Lubyshev, A.G. Obukhov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia. Institute of Solar-Terrestrial Physics SB RAS, 126-a Lermontov St., Irkutsk, 664033, Russia.

Uncertainty relation in radio astronomy is considered on the base of a truncation operator of the space spectrum of the radio telescope directional diagram and a radio brightness truncation operator as a time function. The procedure of spectrum analytic extension with the application of spheroidal wave functions is described. Some difficulties are shown in the implementation of the super resolution taking into account the truncation and noise errors. The main factor for resolution increase is the use of maximum number of a priori restrictions.

Keywords: image; radio telescope beam; angular resolution; spatial spectrum; convolution; spectrum extrapolation beyond the truncation frequency.

Введение

При формировании изображений источников радиоизлучения происходит ограничение спектра пространственных частот за счет диаграммы направленности (ДН) радиотелескопа как низкочастотного фильтра пространственных частот [1]. Это приводит к исчезновению высокочастотных составляющих, которые уже никак не проявляются в наблюдаемом радиоизображении g(x). Таким образом, проблема повышения разрешающей способности радиотелескопа (нахождение высокочастотных составляющих спектра за частотой среза) при восстановлении радиоизображений имеет первостепенное значение.

В математике разработана теория финитных функций f(x) в интервале (-a, а). На основании теоремы Винера - Пэли [2] фурье-образ финитной функции может быть продолжен на всю комплексную область р = ш + \о.

Таким образом, знание спектра сигнала внутри некоторого интервала частот можно использовать для экстраполяции спектра вне полосы пропускания системы. Методы аналитического продолжения спектра главным образом основаны на разложении анализируемых функций в различные функциональные ряды. Для анализа наиболее удобным оказывается разложение по системе сфероидальных волновых функций (СВФ). Замечательным свойством СВФ является двойная ортогональность: они образуют ортогональную систему, полную в подпространстве функций с финитным спектром из L2(-™,™), и одновременно - ортогональную систему, полную в L2(-a, а), где f(x) определена на конечном интервале (-a, а). Учитывая важность соотношения неопределенности во многих областях физики и техники, попытаемся получить его аналог, учитывающий соотношение между «существенной» и «несущественной» энергиями.

Анализ принципов неопределенности

В квантовой механике хорошо известно соотношение неопределенности Гейзенберга, согласно которому нельзя одновременно задать точно координату и импульс частицы. По существу соотношение неопределенности справедливо для любых двух величин, связанных между собой преобразованием Фурье. В радиотехнике эту проблему рассматривали Л.И. Мандельштам, Л.А. Харкевич, Е.А. Леонович и др. [3]. При решении данной задачи чаще всего используется какой-либо конкретный энергетический функционал для оценки степени концентрации в каждой из областей (по времени и частоте одновременно).

В радиотехнике по большей части применяется следующая формулировка соотношения неопределенности. Пусть функция f(x) описывает временной сигнал, а функция F(ш) - его спектральную характеристику. Затем определяют среднеквадратичную длительность сигнала

+да

I (t- to)2| f (t)|2 dt

T2 = min —^-

Л f (t)|2 dt

—да

и среднеквадратичную ширину спектра

| (ю — ю0)2 |F(ю)|2 dю (Q)2 = min —^---.

J \F(ю)|2 dю

—да

Тогда можно доказать, что выполняется неравенство [4]:

причем, знак равенства достигается в том случае, когда сигнал и его частотная характеристика одновременно имеют форму гауссовой кривой.

Такая формулировка принципа неопределенности тем не менее не является исчерпывающей. На сигнал и спектр могут быть наложены априорные ограничения, которые приводят к увеличению постоянной в этом неравенстве. Например, в радиоастрономии сигналы на выходе приемного устройства имеют заведомо конечную длительность, а ДН радиотелескопа (как фильтр пространственных частот) не пропускает высокие пространственные частоты.

В последнее время появился ряд статей, например, Слепяна, Поллака, Ландау, которые рассматривают обобщенный принцип неопределенности на основе сфероидальных волновых функций [5]. На основании предложенной методики в данной работе рассмотрен принцип неопределенности в радиоастрономии. Параллельно с этим проанализированы главные препятствия на пути реализации процедуры повышения разрешающей способности радиотелескопа за пространственной частотой среза.

Анализ разрешающей способности телескопа

Рассмотрим некоторую функцию, полная энергия которой на интервале < t < м

равна

Е2 =!"\№\4t.

Теперь ограничим Цх) по времени интервалом [-Т/2, Т/2], а также ограничим эту функцию по полосе пространственных частот интервалом [-Щ Щ (концепция Брейсвела о том, что диаграмма направленности является интегралом от спектра пространственных частот).

Обозначим результирующую функцию через а ее энергию - через Е1

Т/

Ег =/Д^СОМ*.

Тогда постановка задачи сводится к следующему: выразить Щ так, чтобы максимизировать отношение

Ег

а = -

Кг

На основании равенства Парсеваля с учетом пределов интегрирования:

т /

Ег = ¡-т)\т\2м = ¡-„ртчг,

где / - пространственная частота.

Используя преобразование Фурье, получим:

Т/

Fi

/ 2

для пространственной частоты \f\ < W.

Подставляя F1 из (4) в (3), находим:

w т / т /

Ei = I_w 1-т21г f

Преобразуем (5), произведя перестановку интегралов:

да

Ег = JЦ2/2 f(t)f(x)dtdT j_w exp(j2nf(t - x))df . (6) Тогда (6) можно представить:

Ei = j\ f

Пусть

,л ' f' sin2nW

g(t) = I f (x)-----dx

-Т/2 n

Тогда (7) можно переписать в следующем виде:

Т/

Ei = U2, №gWt.

/2

/2

Используя неравенство Шварца - Буняковского

{да "1 2 да

| f (х)ф(x)dx I < | f 2(х)аХ|ф2(x)dx,

—да J —да

в результате получим:

Т Т

El<U2 f2

/2 /2

-т

Знак равенства соблюдается, если [1]

g(t) = Kf (t),

где

Kf

Отсюда видно, что собственная функция, определяющая f(t), является уравнением, которое определяет собственные значения и собственные функции ядра:

к (t, х) =sm2nW (t—х).

n

Требуется сделать K(t,x) как можно большим. Однако оно должно быть собственным значением (10). Следовательно, E1 будет максимизировано, если f(t) является собственной функцией интегрального уравнения (1) с наибольшим собственным значением А1.

или

E =х, J f \t)dt

-Т/2

У Т/2

^ J f\t)dt.

а =

E2 -Т/2

Видно, что а максимизируется, если потребовать, чтобы [ (г)= 0,а|£| >1 ^. Тогда

а = Л1.

Известно, что оптимальная функция Щ будет СВФ. Допустим, мы выбрали WT = 2,55. Тогда, исходя из таблицы [4],

а = — = = ± = о,196.

Е РТ 2Ш 5,1

Таким образом, из произведения WT можно задать T и определить W. Предположим, что функция истинного радиоизображения (для определенности рассмотрим Солнце) ^, у) удовлетворяет условию:

где R - радиорадиус Солнца, который изменяется в зависимости от частоты приема, но в данном случае это не имеет принципиального значения.

Найдем область спектральной чувствительности ССРТ при заданной ДН:

sin

f

Nsin

где x, y - направляющие косинусы по отношению к линиям антенных решеток; N - число антенн в плече радиоинтерферметра, X - длина волны; d - расстояние между антеннами в решетке.

После фурье-преобразования получаем, что область спектральной чувствительности

радиотелескопа ограничена квадратом [6]:

d d —n — (N — 1) < шх шу <n-(N — 1) л ' у к

со стороной

2Q = 2n d (N -1).

X

Обозначим

1 ) = шХс> nj(l, 1 ) = Шус>

uUN — 1 )= шХг1 UUN — 1 )= шУг1

где шХо шУс - частоты среза ДН как пространственного фильтра.

Рассмотрим процедуру применения СВФ для восстановления радиоизображения с аналитическим продолжением спектра при решении уравнения типа свертки в операторном виде [7]:

/ * ь = g,

где д - наблюдаемое радиоизображение; / - истинное радиоизображение; Л - ДН радиотелескопа.

При этом радиоизображение Цх, у) = 0 при \х\ > Я, \у\ > Я; фурье-образ ДН Н(ш) = 0 при > шХс: > шУс.

Поскольку сигнал финитный, его спектр Г(юх, юу) является функцией, которая может быть разложена по системе СВФ с переменными в виде пространственных частот [8-11]:

р

для всех шх, шу.

Умножим обе части равенства (14) на фт(шх)фп(шу) и проинтегрируем результат в пределах полосы пропускания радиотелескопа. В результате получим:

!?= 0 о ач Г^ Г^ УтМу^Шу^пМф^Шу) dшxdшy .

Тогда правая часть равенства (15) выразится как:

jj = о ai,j h^-j

ljj= iljj= оацЬЩ1 — ™' j — n)-

Следовательно,

ат,п = С^С^ФтЫфпЫ Р

Поскольку спектр Г(шх, шу) в области полосы пропускания радиотелескопа определен, подстановка СВФ фш(юх) и фп(юу) и их собственных значений и Хп в (17) дает возможность определить коэффициенты атп. Подставив эти коэффициенты в формулу (14), можно определить искомое разложение Г(шх, шу) для всех юх и юу. ^^^^днако^ри^рактических^ыч^

заменить усеченной суммой:

Fm,n

Кроме того, на выходе каналов приемной системы радиотелескопа всегда имеется аддитивный шум. Следовательно, вместо р(шх,шу) можно записать:

Fc

где n(mx, шу) - спектр шума.

Тогда можно получить для всех шх и шу:

Fc =И a'ijVi

где a'j = at] + пц. Выводы

Таким образом, анализ разрешающей способности радиотелескопа за полосой пропускания пространственных частот на основе СВФ теоретически возможен, однако практически его трудно реализовать по следующим причинам.

1. Пространственный спектр, измеряемый в области полосы пропускания радиотелескопа для нахождения коэффициентов разложения атп, фактически состоит из двух составляющих: пространственного спектра радиоизображения и спектра шума. Следовательно, вычисление коэффициентов атп не может быть абсолютно точным.

2. Двухмерный спектр, разложенный по системе спектральных СВФ для аналитического продолжения, удается вычислить лишь приближенно, т.е. конечным числом членов. Такое ограничение числа членов при разложении приводит к ошибкам усечения.

3. Вычисление СВФ и их собственных значений с высокой точностью при достаточно больших произведениях протяженности этих функций на граничную частоту сопряжено с большими трудностями.

Помимо вышеприведенных пунктов, перечисляющих причины увеличивающих неопределенность решения обратной задачи восстановления изображения в радиоастрономии, все же главным препятствием для повышения разрешающей способности радиотелескопа является проблема шума. Для уменьшения неопределенности в задачах восстановления необходимо, во-первых, в высокочастотных и низкочастотных трактах радиотелескопа применять малошумящие усилители, а, во-вторых, для восстановления использовать алгоритмы, основанные на априорной информации при максимальном числе ограничений. Работа поддержана в рамках Базового проекта II.16.1.6.

Статья поступила 27.11.2015 г.

Библиографический список

1. Есепкина Н.А., Парийский Ю.Н., Корольков Д.В. Радиотелескопы и радиометры. М.: Наука, 1973. 415 с.

2. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости. М.: Наука, 1964. 267 с.

3. Харкевич А.А. Спектры и анализ. М.: Физматгиз, 1962. 236 с.

4. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов С.Ю. Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции. М.: Наука, 1976. 319 с.

5. Размахнин М.К., Яковлев В.П. Функции с двойной ортогональностью в радиотехнике и оптике. М.: Советское радио, 1971. 250 с.

6. Котельников В.А., Кузнецова С.М., Обухов А.Г., Смольков Г.Я. Оптимальная дискретизация двухмерных радиоизображений Солнца при наблюдениях на крестообразном радиоинтерферометре с частотным сканированием // Исследование по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 2002. Вып. 112. С. 124-141.

7. Василенко Г.И., Тараторин А.М. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986. 302 с.

8. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции, М.: Советское радио, 1972. 744 с.

9. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Т. 1. М.: Мир, 1982. 310 с.

10. Френкс Л. Теория сигналов. М.: Советское радио, 1974. 344 с.

11. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М.: Мир, 1971. 408 с.