Обратная задача с интегральным условием переопределения для волнового уравнения

УДК 517.95

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ УСЛОВИЕМ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ1

© 2008 Н.В.Бейлина2

В работе рассматривается обратная задача для волнового уравнения с неизвестной функцией, входящей в граничное условие. Доказывается однозначная разрешимость поставленной задачи. Для доказательства существования обобщенного решения была построена, с помощью метода Галеркина, последовательность приближенных решений, а затем, с помощью полученной априорной оценки, доказана сильная сходимость построенной последовательности к искомому решению. Доказательство единственности обобщенного решения базируется на полученной априорной оценке.

Ключевые слова: интегральное условие переопределения, нелокальная задача, обратная задача.

Введение

К настоящему времени появилось значительное количество работ, посвященных исследованию обратных задач с интегральным условием переопределения. В большинстве работ, посвященных исследованиям в этой области, изучались обратные задачи для уравнений параболического типа. Среди них работы таких авторов, как Кэннона [1, 2], А.И.Прилепко и А.Б.Костина [11, 12], А.И.Прилепко и Д.С.Ткаченко [13, 14], А.И. Кожанова [8], В.Л.Камынина [6, 7], Н.И. Иванчова [4, 5]. В предлагаемой работе рассмотрена обратная задача с интегральным условием переопределения для гиперболического уравнения.

1. Постановка задачи

Пусть П е Яп —ограниченная область с гладкой границей дП е С2. Рассмотрим в цилиндре Q = П X (0, Т), Т < то, с боковой поверхностью S =

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Л.С.Пулькиной.

2Бейлина Наталья Викторовна (natalie@samdiff.ru), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

= дПX(0, Т) следующую обратную задачу: найти пару функций (и(х, г), р(г)), удовлетворяющих уравнению

игг

начальным условиям

и

граничному условию

ди

= р

ди дп

и интегральному условию переопределения

^ К

П

Функции ф(х), у(х), К(х) заданы в П, 0(х, г), с(х, г) — в <3, Е(г) задана на [0, Т].

2. Разрешимость поставленной задачи

Теорема: Если К(х) е С2(П), Е(г) е С3[0, Т], с(х, г) е С1(Ш),

1 - дК

дп

дП_

= 0, !(х, г) е Ьг(О), /г(х, г) е Ш), ф(х) е W¡(П), ¥(х) е ^(П), Н(х, г) е С1Ш), 10(. то сущ„„_ое ^е _ из про-

дП

странства задачи (1.1)—(1.4).

Прежде всего уточним , что понимается под обобщенным решением задачи (1.1)—(1.4). Заметим, что условие (1.4) эквивалентно следующему усло-

вию:

р(г) =

0(х,

г)К (х^з

дП

-1

Е" (г) - J ДК(х)и(х, г)ё,х +

П

+ / К(x)c(x, ^ Vх-/К(х)/(^ ^

ПП

Действительно, дифференцируя (1.4) дважды по г и учитывая, что и(х, г) удовлетворяет (1.1), получим (2.1). Обратное показывается прямым вычислением.

Обозначим

= (у(х, г) : у(х, г) е W^(Q), у(х, Т) = 0}. Умножим уравнение (1.1) на функцию у(х, г) е и проинтегрируем по

цилиндру Q. После интегрирования по частям получим т

^ ^ [Уи(х, г)Чу(х, г) - иг(х, г)уг (х, г) + с(х, г)и(х, г)у(х, г)] йхШ = т 0 п т (2.2) = ^ ^ / (х, г)у(х, г)йхйг + ^ ^ р(г)Н( х, г)у( х, + ^ х)у( х, 0)йх.

О П 0 дП П

Определение: Пару функций (и(х, г), р(г)) будем называть обобщенным решением задачи (1.1)—(1.4), если и(х, г) е W},(Q)1 и(х, 0) = ф(х), р(г) е W^(0, Т), р(0) = 0 и (и(х, г), р(г)) удовлетворяет (2.1) (в смысле равенства функций в ¿2) и тождеству (2.2) для любой функции у(х, г) е W},(Q).

Доказательство: Доказательство сформулированной теоремы разобьем на несколько этапов.

1) Построим последовательность приближенных решений;

2) Покажем, что последовательность имеет предел;

3) Покажем, что найденный предел и есть искомое обобщенное решение.

Не ограничивая общности будем считать, что ф(х) = 0. Это предположение избавит от излишней громоздкости вычислений.

Будем искать приближенное решение (ит(х, г), рт(г)) из следующих соотношений

т

^ ^ \Чит(х, г)Уу(х, г) - ит(х, г)у,(х, г) + с(х, г)ит (х, г)у(х, г)\ йхйг =

0п

Т т

^ ^ /(х, г)у(х, г)йхйг + ^ ^ рт (г)Н(х, г)у(х, + ^

,г)у(х, г)йхйг + J J рт(г)Н(х, г)у(х, г)й&йг + | у(х)у(х, 0^х. 0 п 0 дп п

ит

рт(г) =

^ н(х,

г)К( x)ds

дп

-1

Е"(г) - J ДК(х)ит-1(х, г^х+ п

+ ^ К(х)с(х, г)ит 1(х, г^х - J К(х)/(х, г^х пп рт (0) = 0.

Прежде всего заметим, что для каждого т существует единственная функция ит(х, г), удовлетворяющая тождеству (2.3) и условию (2.4), если рт(г) известно.

,,т-11

Г

Действительно, тождество (2.3) и равенство (2.4) определяют обобщенное решение из W},(Q) второй начально-краевой задачи с неоднородными условиями:

ит

ит

дит

дп

= Н( х, г), Н( х, г) = рт(г)Н( х, г).

Доказательство разрешимости этой задачи было проведено стандартным методом. Для доказательства единственности обобщенного решения из W1(Q) в тождестве (2.3) с /(х, г) = 0, Н(х, г) = 0, х) = 0 полагается

у(х, г) =

т /

0,

ит(х, п)йп, 0 ^ г < т,

т ^ г ^ Т,

что позволяет получить неравенство

I

а

(ит(х, т))2 йх ^ 0,

из которого и вытекает единственность решения.

Для доказательства существования обобщенного решения поставленной задачи применим метод Галеркина. Пусть {^к(х)} — фундаментальная система в W2L(Q), причем (-^к(х),wl(х))ь2(п) = 6^.

Приближенное решение будем искать в виде

N

ит,м (х, г) = 2 йк (г)ык (х), к=\

где йк(г) подлежат определению, из соотношений

^ [и^ (х, г^(х) + Уит^ (х, г(х) + с( х, г)ит^ (х, гх)] йх = а

= ^ /(х, г)м>1( х)йх + ^ Н( х, г^(х, г)йз,

а да

йк (0) = 0, й'к (0) = вк,

где вк = (V, ^к)ь2(а).

Подставляя (2.9) в (2.10) и меняя порядок суммирования и интегрирования приходим к выражению:

N

й"к (г) I щ(х)п1( х)йх + йк (г) I Уwk (х)Ущ (х)йх+ аа

X

к=1

а

а

I ^ с(х, I

+йк (г) J с(х, г)м>к (х)м>1 (х)йх а

а

а

¡1и,

г^1 (х)йх + ^ Н(х, г)м^1( х, г)йs. да

а

S

Обозначим

№) =

f(x, t)wi (x)dx + J

n

, t)wi(x)dx + J H(x, t)wi(x, t)ds; dn

Ykl(t) = (Vwk(x), Vwi(x))L2in) + (c(x, t)wk(x), wi(x))L2(n),

получим

N

d"i(t) + 2 dk(t)Yki(t) = fi(t),

k=i

ф (0) = 0, й'(0) = вг-

Заметим, что (2.11) представляет собой задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций йк(0, которая однозначно разрешима и йк(0 е С2[0, Т] [10].

Таким образом, для любого натурального N существует единственная функция ы^(х, г) вида (2.9), удовлетворяющая тождеству (2.10), то есть построена последовательность (ыт^(х, г)}. Исследуем сходимость этой последовательности. Для этого умножим (2.10) на й'к(0 и просуммируем по I от 1 до N, а затем проинтегрируем по г от 0 до т. После преобразований получим

J^u^ (x, x)f + (Wum'N (x, T))2

dx = 2

t)ut' (x, t)dxdt-

n

0 n

T

0 n

Яf (

T

ff

0 дП

^um ,N (x, 0))2 + (lumN (x, 0))2

-2 J J c(x, t)um,N (x, t)utm,N (x, t)dxdt + 2 \ j H(x, t)^'N (x, t)dsdt+

dx.

n

T

+

Применяя к первым двум слагаемым в правой части элементарное неравенство 2аЬ ^ а2 + Ь2, третье слагаемое интегрируя по частям, а затем оценивая интегралы по границе с помощью неравенства [7]

^ У2

дП П

получим следующую цепочку неравенств:

йх <

0 а

J\{um^N (х, х))2 + {Уит^ (х, т)) а

т т

/2(х, г)йхйг + ^ ^ (и(х, г))2 йхйг+ 0а

т т

^ £ с2(х, г) (итМ (х, г))2 йхйг + ^ ^ (и^ (х, г))2 йхйг+ 0 а 0 !

+ ^ Н2

да а

т

Я [" ^(х, г)|2+с (х

т

+як

0а

0а

\2

да 0 да

и

йхйг + | | Ндх, г)й&йг+ 0 да

0а

Заметим, что

ит(х, т) = I и(х, г)йг,

т

/<

0

откуда нетрудно получить неравенство

0а

0а

Учитывая (2.14), и полагая в (2.13) е = —, получим

йх ^

а

т

< (иТ-(х, г))2 + |Уит(х, г)|

йхйг+

0а

+ ff !2(х, г)йхйг + ^ Н2(х, т)йs + J ^ Н2(х, г)йsйг + ^ (ит^(х, 0))2 йх.

0а

да

Ч J Н2

0 да

Применяя к (2.15), неравенство Гронуолла [3], а затем интегрируя по т от

т

т

т

т

0 до Т приходим к следующей оценке: т

J J\{ыm^N (х, г))2 + \Уыт^ (х, г)|2

0 П

< е2МТт [УI+ \\Н)\\1^) + Т\Нг^) + М^П)]

Заметим, что с помощью (2.14) нетрудно получить неравенство

J J [

0П

< (1 + 2Т(ы^(х, г))2 + \Уыт^(х, г)1

йхйг.

0П

Тогда из (2.16) и (2.17) следует оценка

\\ыт^\\щ(в) < М1(Т) [УI\1(в> + НЪе) + \\нг\\2^) + \1<(П)],

где М1(Т) = тах((1 + 2Т2)Те2МТ, 2(1 + 2Т2)Т2е2МТ}.

Поскольку все нормы справа ограничены, то ясно, что последовательность (ыт^(х, г)} ограничена в пространстве W^(Q); следовательно, из нее можно выделить слабо сходящуюся подпоследовательность (ыт^п (х, г)} [7]. Покажем, что ее предел при N (ыт(х, г)} е W},(Q) и есть искомое обоб-

щенное решение.

Умножим (2.10) на кг(г), кг(г) е W^(0, Т) и кг(Т) = 0, просуммируем по г от 1 до N и проинтегрируем по г от 0 до Т. Обозначив

N

^(х, г) = ^ х),

г=1

а через NN — совокупность всех таких п, получим Т

^ ^ + Чыт^п У^ + с(х, г)ыт^п ^] йхйг

0П

^ ^ 1( х, г)п^йхйг + ^ ^ Н( х, г)nNdsdг.

0 П 0 дП

Проинтегрировав первое слагаемое слева по частям, мы для каждой функции п е NN получим равенство

0П

Уыт^п УnN - ы^ппN + с(х, г)ыт^п п^ йхйг

I'

^ £ I(х, гу^йхйг + ^ ^ Н(х, г)nNdsdг + / ытЛп (х, 0)п*(х, 0)йх.

0П

0 дП

т

2

т

2

т

Зафиксировав произвольно выбранную п е NN, перейдем в (2.18) к пределу при Ип ^о. Тогда в силу доказанной слабой сходимости будем иметь

т

^ ^ \Чыт(х, г)^п(х, г) - и?(х, г)пг(х, г) + с(х, г)ыт(х, г)п(х, г)] йхйг =

0 п

т т

= ^ ^ /(х, г)п(х, г)йхйг + ^ ^ Н( х, г)п(х, г)й$йг + ^ у(х)п( х, 0)йх.

0 п 0 дп п

Таким образом, тождество, определяющее обобщенное решение, выпол-

оо

няется для всех п е NN. Так как и NN всюду плотно в У2.(0), то тождество выполняется для произвольной у(х, г) е УУ1,(0).

Итак, доказали, что предельная функция является обобщенным решением задачи (2.6)—(2.8).

Заметим, что в силу условий на входные данные решение имеет вторую производную ыгг(х, г) е ¿2(0) и ым(х, г) е ¿2(0), а существование Аы(х, г) е ¿,2(0) гарантирует условие гладкости границы дП [7].

Так как все сказанное выше справедливо для любого т, то, учитывая явное представление функции рт(г), можно считать, что последовательность {ыт(х, г), рт(г)} построена.

Для обоснования сходимости этой последовательности рассмотрим разности

¿п(х, г) = ыт(х, г) - ыт-,(х, г), гт(г) = рт(г) - рт-,(г).

Заметим, что для (х, г) справедливо тождество

т

^ ^ К (х, г)у(х, г) + (х, г)Чу(х, г) + с(х, г)£" (х, г)у(х, г)] йхйг =

0п

т

Я'

гт (г)Н( х, г)у( х, г)dsdг. 0 дп

Положим у(х, г) = ¿т(х, г) и, интегрируя по частям интегралы в левой части, получим

\ ^(гГ(*,т))2 + |Угт(*,т)|

п

т т

^ £ гт(г)Н(х, г)^т (х, г)dsdг ^ с(х,

dx =

гт(г)Н(х, г^т (х, г)dsdг -JJ с(х, гут(х, г^т(х, г)dxdг. 0 дп 0 п

Выполним некоторые преобразования в (2.19), интегрируя по частям:

0 дп

т

Цг (тх,* = / Ь(х, .Г (,)тх, о

дп

//« х, ^(х, = „(х, т),т (х,

дп

т т

^ £ Н(х, г)гт(г)£"(х, г)dsdг £Нг(х, г)гт(г)тт(х, г)dsdг. 0 дп 0 дп

0 дп

Оценим полученное выражение, используя неравенство (2.12):

2гш(т) J /г(х,0гт(х,х)Лз ^ 5(гт(х))2 + ^ £ /г2(х)(гш(х,т))2^

дп

дп

т) Г ds ^

2 \дП\к2 Г . |2

^ 6

- т42

dx,

2 I тГ(г) I Н(х, гут(х, г)dsdг ^ 0 дп

: J гт(г)§ Н(х, п

т

/

т 2 т

О | + Г I v\Чzm(x,t)\2+ .

6

J /[V |Угт(х, г)|2 + ф) (¿т(х, г))2

dxdг,

0п

2 / г?(.)/ (х' г)^т(х, г)dsdг <

0 дп

т о

2 \дп\н2 к б (гта))2л+ 2

J

dxdг.

0п

Тогда справедлива оценка

^(¿т (х, т))2 + 1Ъ?(х, т)р] dx ^ J ^ (¿т (х, г))2

dxdг +

0п

т

+ JJ с2(х, г) (¿т(х, г))2 dxdг + ^ ^ (¿¡1(х, г))2 dxdг 0п

+

0п

т

т

т

т

2

т

т

+6

Т42

dx+

+6

dxdг+

J

0 0 П

т 2 т

J

+6J (гш(г))2Л + —

0 0 П

Заметим, что выполняется неравенство

J J (гт (х, г))2 dxdг < 2Т^ J (х, г))2

0П

dxdг,

dxdг.

0П

следовательно, (2.20) примет вид

J (гт(х, т))2 + |Угт(х, т)|2 dx < Л^ ^ (гт (х, г))2 dxdг + 6 (гт(т))2 +

0П

II т

J (тт(г))2 dг + 6 ^ (гт(г))2 dг + Л2 ^ J \Угт(х, г)|2 dxdг,

+6 т 0

0П

где Л1 и Л2 зависят только от входных данных. 6

Выберем е = -применим к (2.22) неравенство Гронуолла [3], а

затем интегрируя по т от 0 до Т, придем к оценке

где 6 > 0 произвольно.

Оценим теперь значение гт(г), для которого справедливо равенство

/ \ -1

= т( 1 hKds

и дП

/

«х)с(х^ "х -/&К (х)'~1 "х

ПП

Возводя (2.24) в квадрат, учитывая условия теоремы, а также что гт-1(х, г) е W1(Q) нетрудно получить неравенство

Далее продифференцируем (2.24) по г и, повторяя предыдущие рассуждения приходим, к оценке

11^

Из (2.23), (2.25) и (2.26) вытекает, что

т

т

2

т

1Г

где L = Ni(N2 + N3)6.

Пользуясь произволом 6, выберем его так, чтобы л[ь = q < 1. Тогда неравенства (2.27) и (2.28) означают, что последовательность (um(x, t), pm(t)) фундаментальна.

Так как W2^(Q) — полное пространство, то фундаментальная последовательность (um(x, t),pm(t)) сходится к элементу (u(x, t), p(t)), где u(x, t) e W1,(Q), p(t) e W^(0, T). Но тогда, переходя к пределу в (2.3) и (2.5), мы получим соответственно тождества (2.1) и (2.2), так как из сильной сходимости следует слабая.

Таким образом, пара функций (u(x, t), p(t)), полученная в результате предельного перехода в (um(x, t), pm(t)) и эквивалентных преобразований, является обобщенным решением задачи (1.1)—(1.4).

Единственность задачи (1.1)—(1.4) непосредственным образом следует из оценок (2.27) и (2.28).

Литература

[1] Cannon, J.R. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation / J.R.Cannon, S.Y.Lin //J. Austral.Math. Soc. Ser. B - 1991. - Vol. 33. - P. 149-163.

[2] Cannon, J.R. Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations / J.R. Cannon, Y. Lin // Inverse Problems - 1998. - Vol. 4. - P. 35-45.

[3] Гординг, Л. Задача Коши для гиперболических уравнений. / Л. Гординг - М.: Иностр. лит., 1961. - 120 с.

[4] Иванчов, Н.И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости / Н.И. Иванчов // Сибирский мат. журнал. - 1994. - Т. 35. - №3. - С. 612-621.

[5] Иванчов, Н.И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении / Н.И. Иванчов // Сибирский мат. журнал. - 1998. - Т. 39. - №3. - С. 539-550.

[6] Камынин, В.Л. Об однозначной разрешимости обратной задачи для параболических уравнений с условием финального переопределения / В.Л.Камынин // Матем. заметки - 2003. - Т. 73. - Вып. 2. -С. 217-227.

[7] Камынин, В.Л. Об обратной задаче определения правой части в параболическом уравнении с условием интегрального переопределения / В.Л.Камынин // Матем. заметки - 2005. - Т. 77. - Вып. 4. -С. 522-534.

[8] Кожанов, А.И. О разрешимости обратной задачи нахождения коэффициента теплопроводности / А.И. Кожанов // Сибирский мат. журнал. - 2005. - Т. 46. - Вып. 5. - С. 1053-1071.

[9] Ладыженская, О.А. Краевые задачи математической физики. / О.А.Ладыженская. - М.: Наука, 1973. - 408 с.

[10] Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л.С. Понтрягин. - М., 1961. - 311 с.

[11] Прилепко,А.И О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением / А.И. Прилепко, А. Б.Костин // Мат. сборник - 1992. - Т. 183. -№4. - С. 49-86.

[12] Прилепко, А.И Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении II / А.И. Прилепко, А. Б.Костин // Сибирский мат. журнал. - 1993. - Т. 33. - №3. - С. 146-155.

[13] Прилепко, А.И Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С.Ткаченко // ЖВМиМФ -2003. - Т. 43. - №4. - С. 562-570.

[14] Прилепко, А.И Фредгольмовость и корректная разрешимость обратной задачи об источнике с интегральным переопределением / А.И. Прилепко, Д.С.Ткаченко // ЖВМиМФ - 2003. - Т. 43. -№9. - С. 1329-1401.

Поступила в редакцию 12/77/2008; в окончательном варианте — 27/77/2008.

AN INVERSE PROBLEM WITH AN INTEGRAL OVERDETERMINATION CONDITION FOR WAVE

EQUATION3

© 2008 N.V. Beilina4

In the paper we study an inverse problem with an integral overdetermination condition for a wave equation with an unknown coefficient in boundary condition is considered. The existence and uniqueness of a solution is proved with help of an a priori estimate and the Galerkin procedure.

Keywords and phrases: inverse problem, non-local problem, integral condition of overdetermination.

Paper received 12/77/2008. Paper accepted 27/77/2008.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. L.S.Pulkina.

4Beilina Natalya Viktorovna (natalie@samdiff.ru), Dept. of Mathematical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.