К вопросу о единственности матрицы Ляпунова: случай систем с кратными запаздываниями

Сер. 10. 2009. Вып. 2 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.962.2 М. В. Чашников

К ВОПРОСУ О ЕДИНСТВЕННОСТИ МАТРИЦЫ ЛЯПУНОВА: СЛУЧАЙ СИСТЕМ С КРАТНЫМИ ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

1. Метод функционалов Ляпунова является одним из основных при исследовании устойчивости систем с запаздывающим аргументом. Впервые он был предложен в работе [1]. В [2] была рассмотрена проблема построения квадратичного функционала для линейных систем. Ключевую роль в этом построении играла так называемая матрица Ляпунова, для нахождения которой требовалось знать фундаментальную матрицу исходной системы. Предложенное в [3] альтернативное определение матриц Ляпунова не требовало знания фундаментальной матрицы системы. В работе [4] для случая одного дискретного запаздывания была обнаружена связь между единственностью матрицы Ляпунова и корнями характеристического уравнения исходной системы. В [5] было показано, что это же условие (отсутствие двух собственных чисел, симметричных относительно начала координат) является достаточным условием существования матрицы Ляпунова.

Предлагаемая статья обобщает результаты [4] на случай системы с несколькими кратными запаздываниями.

2. Рассмотрим линейную дифференциально-разностную систему с кратными запаздываниями

m

x

fc=0

Здесь x e R", Aj e R"x", j = 0,1,...,m, h > 0. Решение системы (1) определяется начальным моментом to и начальной вектор-функцией ф(в), в e [to — H,to], H = mh. Система (1) стационарна, поэтому без ограничения общности будем считать, что to = 0. Через xt обозначим сегмент траектории заданного решения системы (1) на промежутке [t — H,t]. В качестве векторной нормы будем использовать евклидову норму, а для оценок векторных функций - равномерную норму

\\ф\\в = в1—х0] \\ф(в)\\ .

Выберем теперь положительно-определенную матрицу W и зададим квадратичную форму wo(x) = xTWx. Метод функционалов Ляпунова применительно к системе (1) основан на построении функционала v(p), p e C([—h, 0], R"), производная которого вдоль решений системы (1) удовлетворяет равенству

dV0(Xt) , ,,,,

—-— = -w0(x{t)), t > 0. dt

Чашников Михаил Викторович — аспирант кафедры теории управления факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: проф. В. Л. Харитонов. Количество опубликованных работ: 5. Научное направление: устойчивость систем с отклоняющимся аргументом. E-mail: mchashnikov@mail.ru.

© М. В. Чашников, 2009

Введем матрицу и (т) как решение системы уравнений [3]

т

и'

к=о

с условием симметрии

и

и алгебраическим условием

т

и

к=1

Заметим, что данное определение не требует экспоненциальной устойчивости системы (1). Матрица и(т) называется матрицей Ляпунова.

Известно [6], что функционал Уо (р) имеет вид

т 0

Уо(р) = рТ (0)и (0)р(0) + 2рт (0)^ / и (—в — кз)Лй р(в)вв +

!=1-кз

/ рт(в1)Л

к=13=1—кк

( о \

I и(в1 + кк — в2 — НзЛр(в2)М2 I Зв1.

3. В [4] было показано, что если и(т) — решение (2)—(4), то матричные функции 2к (т), Ук (т), построенные по формулам

2к(т) = и(т + кк), Ук(т) = и(т — (к + 1)к), т € [0,к], к = 0,...,ш — 1,

к

являются решениями системы уравнений

кт

2к (т ) =^2 2к-3 (т )Л3 + Е У3-к-1(т )Л3 ,т € [0,к] к =0,...,ш— ^,

3=0 3 = к+1 . ,

3 3 +

к

Ук(т) = — Е ЛТ Ук-3 (т) — Е ЛТ %3-к-1 (т), т € [0,к], к = 0,...,ш — 1,

3=0 3=к+1

с граничными условиями

Z'ъ (0) — У'(к) = —Ш,

%о

%к-1(к) = 2к (0), Ук-1(0) = Ук (к), к =1,...,ш — 1.

Верно и обратное:

Предложение. Если набор матриц (Ят-1(т),. ..,Яо(т),Уо(т),..., Ут-1(т)) является решением (6), (7) то матрица и(т), определенная по формуле

и(т) = — ^к(т — кН) + Ук {{к + 1)1г — т)) , кк ^ г ^ (к + 1)/г., О ^ к ^ т — 1,

2 (8) и(т) = ит(—т), —шН ^ т < 0,

будет решением (2)-(4).

Доказательство. Пусть набор ^т-1,..., Z0, У0,..., Ут-1) удовлетворяет

(6), (7). Определим и(т) на —шН ^ т ^ шН по формуле (8). Найдем производную и(т) на промежутке [кН, (к +1)Н], 0 ^ к ^ ш — 1:

л I к т

и'(т) = - I 5>_,(т - кН)А2 + ^2 У]-к-1{т - кК)А^ +

\3 = 0 3 = к+1

к т

+ Е уТ-3 ((к +11Н — т) Л3 + Е Л3^-к-1 ((к +11Н — т) Л3

3=0 3 = к+1

к т т

= Е и(т — зН)Л3 + Е иТ(зН — т)А3 = Е и(т — зН)Л3.

3 = 0 3 = к+1 3=0

В силу определения и (т), для выполнения симметрии достаточно проверить симметрию в 0:

и( 0) = ^о(О) + у0тт = ±(ВД +^(0)) = ит( 0).

Алгебраическое свойство выводится из симметрии Ш:

- ^ = ^г'(О) - У'(/г) + (г'(0) - У'(/г))т) =

тт

= у ( -^о(0)Л) + 5>-1(0)А, + А^Уо(Н) +53^_1(Л) +

\ 3=1 3=1

тт

+ Лт ^(0) + Е ^У-1(0) + У0(Н)Л0 + Е ^-1 (Н)Л3 I =

3=1 3=1

т

= и (0)Л0 + ЛТ и (0) + ^>т НЛ + ЛТ и (Нз)).

3=1

Замечание 1. Очевидно, что единственность решения задачи (6), (7) влечет единственность решения (2)-(4).

4. Введем операторы:

Л . ^пхпх2т !_^ ^пхпх2т:

( Zm-1^ ( Zm-lAо +  + ZоAm-1 + УоАт ^

А Zо Уо = Zо Ао + УоАі + • • • + Ут-іАт -АТУо - АТ^ - • • • - A'm^Zm-1

^пхпх2т | \Ут-і У ^пхп: У-АТУт-1 - • • • - Ат-1Уо - АТт^)

/ ХЛ

Х2

\X2rn/

X

Ві = Пі - Пі+1єЛк.

Тогда задачу (6), (7) можно переписать следующим образом:

X'(т) = АХ(т), т Є [0, Н]

ВіХ (0)=0, і = 1, 2,...,2т - 1 ВтАХ (0) = -Ш

где х (т) = (^т-і(т ),...,^о(т ),уот (т ),...,у^-і(т ))Т.

Теорема. Система (6), (7) имеет нетривиальное решение при Ш = 0 тогда и только тогда, когда существует X такое, что X и —X принадлежат спектру системы (1).

Доказательство. Необходимость. Пусть граничная задача (6), (7) имеет нетривиальное решение

(гт-і(т), ...,гТ (т), уТ (т),..., уТ-і(т)).

Будем рассматривать его на всей вещественной оси. Введем новые переменные

Т (т )= Zо (т )Ао + 53 у-і(т А, к=1 т

Е(т) = -АТУо(т) -£ АТZk-l(т).

к = і

Тогда

П

кі

Т'(т)= Z'0(т)Ао + £ У-і(т)Ак = т(т)Ао + £ (- £ А^ТУ--(т) -

к=і к=і

т т-і

- УЗ А Zj — k (т) I Ак = Т (т )Ао + Ат ( -Т (т) + ^ (т )Ао + 53 У3-1(т )А

3 = к / \ 3 = 1

т-1 т—11 к-1

- 53 А Ут-1-І (т )Ат - Ат^ (т )Ат + 53 (^Е АТ ^-1 — (т ) -

3 = 1 к = 1 у з=о

т

- У^ А3і Zj-k (т) I Ак = Т (т )А о + АТ (-Т (т) + ^ (т )Ао ) - А^о (т )Ат -

з=к

т к-1 т-1 т

- УЗ Т,АТ Ук-1-3 (т )Ак - 53 Т,АТ Zj-k(т )Ак ,

к=1 3=1 к=1 3 = к

т тік-1

К'(т ) = -Ат У0(т) - 53 АТ Zk-1(т ) = -Ат К(т) - 53 АТ ( 53 Zk-1-j (т )А3 + к=1 к = 1 \3 = о

т т-1

+ 53 У3-к (т )А3 I = -Ат К(т) + ( К(т) + Ат Уо (т) + 53 А3 Zj-1(т) I Ао -

3=к ) \ 3 = 1 )

т-1 т-1 I к-1

- Ат 53 ^^^-і-з (т )аз - Ат Уо(т )Ат- 53(53 аТ ^-і-з (т )аз +

3=1 к = 1 \3=о

т \

+ УЗ АТ У/-к

т к-1 т-1 т

- АТт Уо (т )Ат -ЕЕ АТ Zk—1—j (т )А3 - 53 Т,АТ ^-к (т )А3 .

к=13=1 к=1 j=k

Учитывая Т(0) = К(Н), нетрудно видеть, что векторы

^т-і(т), ...^Т (т )^Т (т), уТ (т),..., у1- 2(т), тТ (т ))Т

X—2 (т ), ...X (т ), УТ (т ), УТ (т ), ..., УтТ-і(т ), КТ (т ))Т

суть решения одной и той же линейной системы с одинаковыми начальными условиями и сдвигом начального момента на величину Н. Поэтому

Zо(т) = Уо(т + Н), Zk-l(т + Н) = Zk(т), Ук-1 (т) = Ук(т + Н), т Є К, к = 1,.. .,т - 1.

Вектор ^тТ_і(т),..., ,у^Т_і(т))Т может быть представлен как линейная комбинация [вХіТткQik}, где Хі - собственные числа оператора А, Qik Є Спхпх2т [7]. Тогда

Zm-l(т)= 53 ткZik .

іЄІ кЄКі

и

Здесь Zik Є Спхп, I С {\,...,І},Кі С {0,..., М}, І - количество собственных чисел оператора А, Мі - кратность собственного числа Хі. Множества I, Кі выбраны так, чтобы все матрицы Zik были ненулевыми. В силу (9) выполняется

т

^'т-1(т) = 53 ^‘-1(т - Шз .

3=о

Все компоненты Zlm_і(т) являются квазиполиномами. Выбрав любое і, для которого Кі не пусто (а такое всегда найдется, в силу нетривиальности Zm-l(т)), имеем

Хі ^2 ткZik + 53 ктк-^ік =53 ткZikАо +

кЄКі кЄКі\{о} кЄКі

+ е-ХЛ £ (т - Н)кZikАі + • • • + е-тХік £ (т - тН)кZikАт.

кЄКі кЄКі

Приравнивая коэффициенты при старшей степени тк, получаем

т

Zik(ХіЕ -53 Азе-^)=0.

3=о

Поскольку Zi^^ = 0, имеем

т

<еі(ХіЕ-53 Аз е-зхн) = 0. з=о

Аналогично, Ут-і удовлетворяет уравнению

т

У!п-1(т) = ^53 АТУт-1(т + Н3).

з=о

При этом, в силу (9),

Ут—1 (т) = Zm-l(т - (2т - 1)Н),

поэтому

Ут—1 (т) =53 еХі(т-(2т-1)^53 (т - (2т - 1)Н)кZik.

іЄІ кЄКі

Проведя те же рассуждения, находим

т

<Ы(ХЕ + 53 Аз езхін) = 0. з=о

Достаточность. Допустим теперь, что существует Х такое, что

т

<ег(±ХЕ-53 Ак е^кхн) = 0.

к=

Тогда существуют ненулевые векторы V, т такие, что

УТ(ХЕ - Ао - Аіе-хн-----------Ате-тхн) = 0,

тТ(-ХЕ - Ао - Аівхп------------Атетхк) = 0.

Построим набор матриц по правилу гк = екХ1ъ'шют и Ук = е (k+1)xhwvт, к = 0,...,т — 1. Нетрудно убедиться, что

т-1 ( %т—і\

го % =Л го %о

т-1 \%т—1 /

А

Таким образом, вектор ( г'Т_ 1,..., 2Т, УТ,..., УТ_1)Т является собственным вектором оператора А, соответствующим собственному числу Л. Убедимся, что он удовлетворяет граничным условиям (7). Например, для оператора Вт имеем

Вт

(гт—^ ( гт—1'' ( гт—1''

го %о = 2о — пт+1вАІ1 го % У ^\h = /; о — пт+1в уо %о

_ _ _

у^т—І / \уГщ—1/

= 2о - в™Уо = 2о - еХк(

\%т — 1}

\hz-\h

г о) =0.

Аналогично проверяется выполнение граничных условий с операторами Ві,...,В2т—і. Очевидно, что

т

Отсюда кегВ1 П- • • ПкетВ2т-1 ПкегВтА = {0}, т. е. граничные условия (7) сингулярны. Теперь, выбрав вектор [г'т_ 1,..., 2т, ,..., У^т_ 1)т в качестве начального условия

дифференциального уравнения

(гт—{\ (гт—{\

Уо г0

%о = ЛВт %о

^%т—1У \%т—1)

( гт—і(т )\

Мт)

%о

\ут—1

л

%о

\ут—1

получаем нетривиальное решение задачи (6), (7).

Замечание 2. Отсутствие нетривиального решения задачи (6), (7) для Ш = 0 влечет отсутствие двух различных решений (6), (7) для любой матрицы Ш.

Вопрос существования матрицы Ляпунова был закрыт в работе [5], где было показано, что для ее существования достаточно отсутствия симметричных относительно начала координат корней характеристического уравнения. Это дает нам возможность перейти к вопросу единственности.

Следствие. Достаточным условием единственности решения задачи (2)-(4) является отсутствие X такого, что X и —X принадлежат спектру системы (1).

Таким образом, получены достаточные условия единственности матрицы Ляпунова для систем с кратными запаздываниями. Они по сути совпадают с аналогичными условиями для систем без запаздываний.

Литература

1. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 315—327.

2. Репин Ю. М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Т. 29. С. 564—566.

3. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. II. Матрицы Ляпунова // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1-2. С. 199-207.

4. Kharitonov V. L., Plischke E. Lyapunov matrices for time-delay systems // Systems & Control Letters. 2006. P. 697-706.

5. Huang W. Generalizatuin of Liapunov’s theorem in a linear delay system // J. Math. Anal. Appl. 1989. P. 83-94.

6. Харитонов В. Л. Функционалы Ляпунова с заданной производной. I. Функционалы полного типа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10.: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2005. Вып. 1-2. С. 110-117.

7. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 6-е изд. М.: Наука, 1970. 280 с.

Статья рекомендована к печати проф. В. Л. Харитоновым.

Статья принята к печати 25 декабря 2008 г.