Об одной трехзначной паранормальной логике

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2017. № 6

ЛОГИКА

В.М. Попов*

ОБ ОДНОЙ ТРЕХЗНАЧНОЙ ПАРАНОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ**

Важным разделом современных логических исследований является изучение паранепротиворечивых логик и параполных логик. Цель работы — введение в логико-философский дискурс простой табличной логики, которая достаточно богата дедуктивно, является подлогикой классической пропозициональной логики, паранепротиворечива и параполна. С этой целью здесь конструируется логика PNL, удовлетворяющая следующим условиям (1) — (4). (1) Логика PNL имеет трехзначную характеристическую матрицу с одним выделенным значением. (2) Логика PNL включает позитивный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики. (3) Логика PNL включается в классическую пропозициональную логику. (4) Логика PNL паранормальна. Утверждение (1) служит основанием для того, чтобы оценить логику PNL как простую логику, утверждение (2) свидетельствует о том, что логика PNL достаточно богата дедуктивно, утверждение (3) равносильно утверждению о том, что PNL является подлогикой классической пропозициональной логики, а утверждение (4) фиксирует факт паранепротиворечивости и параполноты логики PNL.

Ключевые слова: паранепротиворечивая логика, параполная логика, паранормальная логика, логическая матрица M(PNL), логика PNL.

V.M. P o p o v. About one three-valued paranormal logic

An important section of modern logical research is the study of paraconsis-tent logics and paracomplete logics. The purpose of the work — introduction to the logical-philosophical discourse a simple tabular logic, which is sufficiently rich deductively, is a sublogic of the classical propositional logic, paraconsistent and paracomplete. For this purpose there is constructed logic PNL satisfying the following conditions (1) — (4). (1) PNL logic has a three-valued characteristic matrix with one selected value. (2) PNL logic includes a positive fragment of in-tuitionistic propositional logic. (3) PNL logic is included in the classical propositional logic. (4) PNL logic is paranormal. Assertion (1) serves as the basis for evaluating PNL logic as a simple logic, assertion (2) indicates that PNL logic is sufficiently rich deductively, assertion (3) is equivalent to the assertion that PNL is a sublogic of classical propositional logic, and assertion (4) fixes the fact of paraconsistence and paracomplete of PNL logic.

* Попопв Владимир Михайлович — кандидат философских наук, доцент кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: +7 (926) 241-23-44; e-mail: pphiloslog@mail.ru

** Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ (проект № 16-03-00224а).

Key words: paraconsistent logic, paracomplete logic, paranormal logic, logical matrix M(PNL), logic PNL.

Язык L является стандартно определяемым пропозициональным языком, алфавит которого есть множество {&, v, з, 0 , ), (, pj, p2, p3, ...} символов. Здесь &, v и з — бинарные логические связки языка L, 0 — унарная логическая связка языка L, ) и (— технические символы языка L, pp p2, p3, ... — пропозициональные переменные языка L. Определение L-формулы обычно: (1) если A есть пропозициональная переменная языка L, то A есть L-фор-мула; (2) если A и B являются L-формулами, то (A & B), (A v B), (A з B) и (0 A) являются L-формулами; (3) ничто другое не является L-формулой. Нижеследующие определения 1-11 даем в стиле работы [В.М. Попов, 2010, с. 205-220].

Определение 1. Логикой называем непустое множество L-фор-мул, замкнутое относительно правила modus ponens в L и правила подстановки L-формулы в L-формулу вместо пропозициональной переменной языка L.

Определение 2. Теорией логики L называем множество L-фор-мул, включающее логику L и замкнутое относительно правила modus ponens в L.

Понятно, что множество всех L-формул является логикой, а также теорией любой логики.

Определение 3. Тривиальной теорией называем множество всех L-формул.

Определение 4. Противоречивой теорией логики L называем такую теорию T логики L, что для некоторой L-формулы A верно: AeT и (0 A) eT.

Определение 5. Паранепротиворечивой теорий логики L называем такую противоречивую теорию T логики L, что T не есть тривиальная теория.

Определение 6. Паранепротиворечивой логикой называем такую логику L, что существует паранепротиворечивая теория логики L.

Определение 7. Полной теорией логики L называем такую теорию T логики L, что для всякой L-формулы A верно следующее: AeT или (0 A)eT.

Определение 8. Параполной теорией логики L называем такую теорию T логики L, что T не является полной теорией логики L и всякая полная теория логики L, включающая T, есть тривиальная теория.

Определение 9. Параполной логикой называем такую логику L, что существует параполная теория логики L.

Определение 10. Паранормальной логикой называем такую логику, которая является паранепротиворечивой логикой и парапол-ной логикой.

Определение 11. Трехзначной логикой с одним выделенным значением называем логику, имеющую такую трехзначную характеристическую матрицу, выделенное множество которой одноэлементно.

Наша задача — построение логики, которая имеет трехзначную характеристическую матрицу с одним выделенным значением, содержит позитивный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики, включается в классическую пропозициональную логику и является паранормальной логикой.

Соглашение 1. Обозначаем через &Cl множество всех таких упорядоченных троек <x,y,z>, что x,ye{0,1} и z=min(x,y).

Соглашение 2. Обозначаем через vCl множество всех таких упорядоченных троек <x,y,z>, что x,ye{0,1} и z= max (x,y).

Соглашение 3. Обозначаем через 3Cl множество {<1, 1, 1>, <1, 0, 0>, <0, 1, 1>, <0, 0, 1>}.

Соглашение 4. Обозначаем через —Ci множество {<1, 0>, <0, 1>}.

Соглашение 5. Обозначаем через &H множество всех таких упорядоченных троек <x,y,z>, что x,ye{0, 4,1} и z=min(x,y).

Соглашение 6. Обозначаем через vH множество всех таких упорядоченных троек <x,y,z>, что x,ye{0, 14,1} и z=max(x,y).

Соглашение 7. Обозначаем через зн множество {<1, 1, 1>, <1, 4, 4>, <1, 0, 0>, <4, 1, 1>, <4, 4, 1>, <4, 0, 0>, <0, 1, 1>, <0, 4, 1>, <0, 0, 1>}.

Соглашение 8. Обозначаем через —H множество {<1, 0>, <4, 0>, < 0, 1>}.

Соглашение 9. Обозначаем через —'pnt

множество {<1, 4>, <4, 1>,

<0, 0>}.

Очевидно следующее: &Cl, vCl, 3Cl — бинарные операции на множестве {0,1}, —Cl — унарная операция на множестве {0,1}, &н, vH, зн — бинарные операции на множестве {0, 4,1}, —н и —PNL — унарные операции на множестве {0, 4,1}.

Соглашение 10. Обозначаем упорядоченные шестерки <{0,1}, {1}, &Cl, va, за, —Cl>, <{0, 4,1}, {1}, &н, Vh, Зн, —н> и <{0, 4,1}, {1}, &н, VH, Зн, —PNL> через M(Cl), M(H) и M(PNL) соответственно.

Ясно, что M(Cl), M(H) и M(PNL) — это логические матрицы. Оценка языка L в любой из этих логических матриц является отображением множества всех пропозициональных переменных языка L в носитель этой логической матрицы. Для всякого X из {M(Cl), M(H), M(PNL)} значение L-формулы A при оценке v языка L в X определяется общепринятым образом и обозначается через IA I vX.

Соглашение 11. Обозначаем через С1 множество всех таких Х-формул А, что для всякой оценки V языка L в М(С1) | А | уМ(С1) =1.

Соглашение 12. Обозначаем через Н множество всех таких Х-формул А, что для всякой оценки V языка Х в М(Н) | А | vM(H) =1.

Соглашение 13. Обозначаем через PNL множество всех таких Х-формул А, что для всякой оценки V языка L в M(PNL) | А | =1.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Множества С1, Н и PNL являются логиками.

Стереотипное доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 1 здесь не приводим. Множество С1 традиционно называют классической пропозициональной логикой в языке Х. В свете УТВЕРЖДЕНИЯ 1, определения 11 и соглашения 12 ясно, что верно следующее УТВЕРЖДЕНИЕ 2.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Логики Н и PNL являются трехзначными логиками с одним выделенным значением.

Логику Н называют трехзначной логикой Гейтинга. Трехзначная логика Гейтинга описана, например, в [А.А. Зиновьев, 2010, с. 23]. Широко известно, что Н включается в С1 и содержит позитивный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики, язык которой есть Х. Очевидно, что позитивный фрагмент логики PNL равен позитивному фрагменту логики Н. Таким образом, верно следующее УТВЕРЖДЕНИЕ 3.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3. Логика PNL включает позитивный фрагмент интуиционистской пропозициональной логики, язык которой есть Х.

Определение 12. Называем М(С1)-оценкой оценку языка Х в М(С1).

Определение 13. Называем M(PNL)-оценкой оценку языка Х в М^^).

Определение 14. Называем M(PNL)-напарником М(С1)-оценки V такое отображение w множества всех пропозициональных переменных языка Х в {'/г, 1}, что для всякой пропозициональной переменной q языка Х: если v(q)=1, то w(q)=1, а если v(q)=0, то w(q)=/.

Разумеется, что для всякой М(С1)-оценки существует единственный M(PNL)-напарник этой М(С1)-оценки.

Соглашение 14. Обозначаем M(PNL)-напарника М(С1)-оценки V через PNL(v).

Понятно, что для всякой М(С1)-оценки V PNL(v) является М^^)-оценкой.

Соглашение 15. Обозначаем множество {<1, 1>, </, 0>} через Г.

Ясно, что Г есть отображение множества {/, 1} на множество {0, 1}.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4. Для всякой Х-формулы А и для всякой М(С1)-оценки V | А | PNL(v)M(PNL) е{/, 1}.

Стереотипное доказательство (индукцией по построению Х-фор-мулы) УТВЕРЖДЕНИЯ 4 здесь не приводим.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Для всякой Z-формулы A и для всякой М(С1)-оценки v |A| vM(C1) = f( IA | PNwv)M(PNL)).

Доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 5, проведенное индукцией по построению Z-формулы с использованием УТВЕРЖДЕНИЯ 4, здесь не приводим.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Для всякой Z-формулы A: если для всякой М(Р^)-оценки w IA | M(PNL) =1, то для всякой М(С1)-оценки v | a | vM(C1) =1.

Доказательство УТВЕРЖДЕНИЯ 6 легко проводится методом от противного с использованием УТВЕРЖДЕНИЯ 5.

Теперь изучим вопрос о паранормальности логики PNL. Понятно, что существует единственная оценка v языка Z в матрице M(PNL), выполняющая условия: v(q)=0 для всякой пропозициональной переменной q языка Z. Обозначаем эту оценку языка Z в матрице M(PNL) через 0. Очевидно, что | (р1зр1) |0M(PNL)=1 и I (0 (р1зр1)) 10M(PNL)=4. Тогда, определив U как множество всех Z-формул, значение каждой из которых при оценке 0 в M(PNL) принадлежит множеству {4, 1}, получаем, что (a) (p13p1)eU и (0 (p13p1))eU. Очевидно, что (b) PNLcU. Затем убеждаемся, что (с) для всяких Z-формул A и B: если | A 10M(PNL)e{4, 1} и |(АзВ) |0M(PNL)e{4, 1}, то |B |0M(PNL)e{4, 1}. В свете утверждения (с) и определения множества U ясно, что (d) U есть множество Z-формул, замкнутое относительно правила modus ponens в Z. Разумеется, что (e) p^U. Опираясь на УТВЕРЖДЕНИЕ 1, определение множества U, утверждения (a), (b), (d), (e) и определение 5, получаем, что U есть паранепротиворечивая теория логики PNL. Но тогда справедливо следующее УТВЕРЖДЕНИЕ 7.

УТВЕРЖДЕНИЕ 7. PNL есть паранепротиворечивая логика.

Определив S как множество всех Z-формул, значение каждой из которых при оценке 0 в M(PNL) равно 1, получаем, что (i) p^ S и (0 S. Очевидно, что (ii) PNLcS. Убеждаемся, что (iii) для всяких Z-формул A и B: если | A 10M(PNL)=1 и | (АзВ) 10M(PNL)=1, то | в 10M(PNL)=1. в свете утверждения (iii) и определения множества S ясно, что (iv) S есть множество Z-формул, замкнутое относительно правила modus ponens в Z. Опираясь на УТВЕРЖДЕНИЕ 1, определение множества S, утверждения (i), (ii), (iv) и определение 7, получаем, что (v) S есть теория логики PNL, не являющаяся полной теорией логики PNL. Можно проверить, что (iv) для всякой Z-формулы А верно следующее: | (ppA) 10M(PNL)=1 и | (bp^A) 0M(PNL)=1. Тогда верно, что (vii) (p^A^S и (^p^A^S для всякой Z-фор-мулы A. Принимая во внимание утверждение (vii), приходим к выводу, что (viii) всякая полная теория логики PNL, включающая S,

есть тривиальная теория. Из утверждений (v) и (viii) следует (в силу определения 8), что S есть параполная теория логики PNL. Но тогда справедливо следующее УТВЕРЖДЕНИЕ 8.

УТВЕРЖДЕНИЕ 8. PNL есть параполная логика.

Итак, поставленная выше задача решена — построена логика PNL, удовлетворяющая сформулированным ранее условиям (1)—(4). Действительно, из УТВЕРЖДЕНИЯ 2 следует (в силу определения 11) утверждение (1); утверждение (2) представлено в виде УТВЕРЖДЕНИЯ 3; из УТВЕРЖДЕНИЯ 6 следует (в силу соглашений 11 и 13) утверждение (3); из УТВЕРЖДЕНИЙ 7 и 8 следует (в силу определения 10) утверждение (4).

Автора убедила написать эту статью Надежда Львовна Панова. В связи с этим обстоятельством сконструированная здесь логика обозначена через PNL.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

Зиновьев А.А. Философские проблемы многозначной логики / Вступ. ст. В.А. Лекторского. 2-е изд., испр. и доп. М., 2010.

Попов В. М. Секвенциальные аксиоматизации простых паралогик // Логические исследования / Отв. ред. А.С. Карпенко. М.; СПб., 2010. Вып. 16. С. 205-220.