Приближенное решение одного нелинейного дифференциального уравнения в области голоморфности

УДК 517.95:515.172.22

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТИ ГОЛОМОРФНОСТИ

APPROXIMATE SOLUTION FOR A NONLINEAR DIFFERENTIAL EQUATION IN THE REGION OF HOLOMORPHY

В. Н. Орлов, А. З. Пчелова

V. N. Orlov, A. Z. Pchelova

ФГБОУВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева», г. Чебоксары

Аннотация. Рассматривается нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение с подвижными особыми точками, в общем случае неразрешимое в квадратурах. Предлагается приближенное решение уравнения как с точными, так и с возмущенными значениями начальных условий в области голоморфности. Полученные результаты иллюстрируются расчетами.

Abstract. The article considers an ordinary nonlinear differential equation with movable special points which cannot be solved in the quadrature in general case. It suggests the approximate solution for the equation both with exact and approximate values of initial conditions in the region of holomorphy. The obtained results are illustrated by the calculations carried out.

Ключевые слова: подвижная особая точка, нелинейное дифференциальное уравнение, приближенное решение, область голоморфности.

Keywords: movable special point, nonlinear differential equation, approximate solution, region of holomorphy.

Актуальность исследуемой проблемы. Рассматриваемое нелинейное дифференциальное уравнение обладает подвижными особыми точками. Их наличие не позволяет применять к уравнению известные аналитические и численные приближенные методы решения, так как они не адаптированы к этой категории особых точек. В связи с этим задача нахождения приближенного решения указанного уравнения является актуальной.

Материал и методика исследований. Применяется метод построения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений с подвижными особыми точками, представленный в работах [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9]. Он основан на методах аналитической теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики и математического анализа. Рассматривается случай в области голоморфности.

Результаты исследований и их обсуждение. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение

w\z) = fo + f w

где f (i = 0,1, ..., 5) - функции комплексной переменной z , в общем случае неразрешимое в квадратурах, решение которого обладает подвижными особыми точками.

где v = exp

/ / / у

С помощью замены переменных ^ = у(z) и(£)-----------— , при условиях—— = —— = —,

5/5 5/5 2/4 /з

dz, Е =| /5 V4 , уравнение (1) приводится к виду

JI- Л

//Л 10/5 у

и'(£) = и5(£) + /(z),

* Г Л У . 1 /1/4 , 4 /*5

;5 /-4

при этом f5 v51 =— + f0 — ‘/1‘/4 +—^^. Уравнение (2) будем называть нормаль-

dx ^5 f 5 ) 5 f5 5 f5

ной формой уравнения (1).

Имеем задачу Коши

w'

w

Теорема 1. Пусть функция r(z) задачи (3)-(4) удовлетворяет следующим услови-

III |r(n}(z 0)1

ям: 1) r(z) e C в области z - z0 < p1, где px = const > 0; 2) 3 M1 :J-----------1 < Mj, где

n!

Mx = const, n = 0,1,... . Тогда решение этой задачи является голоморфной функцией

w

n=0

в области \z - z0| < р2, где р2 = min<р1,

n = 0,1,2,... .

1

2

1 1 \r (П)( Zo)|

w01 supJ---------------1

n n!

Доказательство. Из условия теоремы имеем

r (z) = 2 An (z - z0) n .

n=0

Подставляя ряд (5) в уравнение (3), учитывая выражение (6), получим

[ад Л ( ад Л5 ад

2 Сп

п=0 / \ п=0 / п=0

Выполнив соответствующие преобразования, будем иметь

2Cnn (z - z0)n 1 = 2Dn (z - z0)n + 2 An (Z - Z0^ ИЛИ

n=1 n=0 n=0

ад ад

2 Cnn

n=1

n=0

где Dn =2Cn-,D*, D* =2Dn-D , Dn =2Cn-C , n = 0,1,2,... .

i=0

i=0

i=0

n

n

Соотношение (7) будет тождеством при условиях

пСп = Е>п_! + Л„_1, п = 1,2,... .

Это рекуррентное соотношение позволяет однозначно определить все коэффициенты Сп . Таким образом, получили формальное единственное представление решения задачи (3)-(4) в некоторой окрестности точки z0 в виде степенного ряда (5).

На основании соотношения (8) для коэффициентов структуры решения (5) имеем выражение Сп = Р4п+1 (С0, Л0, Л1, ..., Лп_1), п = 1, 2,... , где правая часть соотношения представляет собой полином степени (4п + 1) с положительными коэффициентами.

Докажем сходимость ряда (5) в области р _ z0 < р2.

Обозначим М, = тах

\r (n)( г о)|

W0,sup-

n!

К n = 0,1, 2,

Согласно методу математической индукции для коэффициентов Сп имеем оценку

\Cn\< — 22n-1 M2(M2 + 1)4n, n = 1,2,... .

Рассмотрим ряд М 2 +^ — 22п 1 М2(М 2 + 1)4пр _ р0 Г , являющийся

VI ' '

мажорирую-

щим для ряда (5). На основании признака Даламбера получаем сходимость этого ряда в

1 . Следовательно, эта область будет являться областью схо-

области z - zn <

22 (M 2 +1)4

димости и для ряда (5).

Полагая р2 = min < рх,

1

22 (M 2 + 1)-

получаем, что ряд (5) сходится в области

р р^ < р2 .

Таким образом, доказательство теоремы завершено.

Оценки, полученные в теореме 1 для коэффициентов Сп ряда (5), позволяют построить приближенное решение

N

n=0

задачи Коши (3)-(4).

Теорема 2. Пусть выполняются условия 1 и 2 теоремы 1, тогда в области р _ р0| < р2 для приближенного решения (10) задачи Коши (3)-(4) справедлива оценка

І I 1 N+1 і ^ * їх 4N+4 1 |N +1

погрешности \w - wN| < ——- 2 M2 (M2 +1) |z - z0|

1

P2 = min \ px—------------- !-, M2 = max

2 I 1 22(M2 +1)4 I 2

w0, sup-1

1 - 22(M2 +1)4|z - z0

\ ,n = 0,1, 2, ...

где

n!

n

n

n

Доказательство. С учетом оценок для коэффициентов Сп, полученных в теореме 1, имеем

го N

2 Сп

п=0

п=0

п=N+1

го 1

2 — 22п_1 М2

< * V!

2 (М 2 + 1)4пр _ р0! -

п=N+1

-—1—22N+1 М 2 (М 2 + 1)4N+4 N +1 2

Пример 1. Найдем приближенное решение задачи Коши (3)-(4), где

г(р) = 0, w(/) = —^ • Гд/2 + 42 + /V2 _ 421.

2^3 V ^

Эта задача имеет точное решение w( , =.

Вычислим радиус голоморфности с учетом начального условия задачи Коши р2 = 0,026064628.

Выберем значение г = 0,01 + 1,015/, принадлежащее области голоморфности р _ р0| < р2. В табл. 1 приведены расчеты для одного листа римановой поверхности.

Таблица 1

Оценка приближенного решения уравнения в случае точных значений начальных условий в области голоморфности

п

1

г м3 А Ах А2

0,01 +1,0151 0,697565752 + +0,291615421/ 0,697565761 + +0,291615443/ 2,37465 -10_8 0,070494431 8 -10_5

Здесь w - значение точного решения, ^3 - значение приближенного решения; А, Ах и А2 - абсолютная, априорная и апостериорная погрешности соответственно.

С помощью теоремы 2 можно решить обратную задачу теории погрешности - определить значение N по заданной точности приближенного решения е . Для случая

8 = 8• 10_5получаем значение N = 17. Фактически для N = 4, 5, ... 17 получаем уточнения приближенного решения, которые в общей сумме не превышают требуемой точности 8 . Следовательно, мы можем ограничиться в структуре приближенного решения значением N = 3. При этом получаем апостериорную погрешность А 2 для приближенного решения w3, равную значению 8 = 8 • 10_5.

При построении приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения, в общем случае неразрешимого в квадратурах, как правило, приходится осуществлять аналитическое продолжение, которое приводит к задаче исследования влияния возмущения начальных данных на приближенное решение.

Рассматривается задача Коши

w'

0) = '~0,

для которой представленная ниже теорема позволяет построить приближенное решение

w

N

N

где Сп - возмущенные значения коэффициентов.

Теорема 3. Пусть функция г(р) задачи Коши (11)-(12) удовлетворяет следующим

условиям: 1) r(z) е C1 в области |z - z0 < рх, где рх = const > 0; 2) 3 Mг :

n!

< M J,

где Mx = const, n = 0,1,... ; 3) известна оценка погрешности w0 - w0 = Aw0. Тогда для приближенного решения (13) этой задачи справедлива оценка погрешности AwN (z) < Aj + A2 в области \z - z J < р5, где

AJ <—— 2 +1 M3(M3 + J)4N+4 z - z0

1 N + J 3 1 0

N+1

1 ~2N+w m3 + 1)4N+4

Ґ t3 /j 4 , A il Л . 1\4|_ _ I \

1

1 - 22(M3 +1)4|z - z0|

A 2 < AM

23 (M3 + AM +1)4|z - z0| v 1 - 22(M3 + AM +1)4|z - z0| J

AM = A w0, M 3 = max

V (n)( zo)|

w0, sup-1

P5 = mmta, P4}, P3 = minj P1,

n n! 1 ]

>, n = 0,1,2,

22

4 '

Доказательство. Используя классический подход (метод треугольника), получаем А N (р) = к^) _ N (р) - N (р)\ + |>~(р) _ w(р)\ =

ГО N

2 C (z - z0)n-2 C (z - z0)n

n=0

n=0

2 Cn (z - z0)n -2 Cn (z - z0)'

n=0

n=0

2 Cn (z - z 0)n

n=N+1

2

n=0

2ACn

n=N+1

n=0

= А1 + А 2 ,

где \Сп _Сп\ = АСп .

Для выражения А1, с учетом оценки (9) для коэффициентов Сп, по теореме 2 име-

ем A, <—1—22N+xM3 (M3 +1)4N+4|z - z0 1 N +1 3 1 0

N+1

1

1 - 22(M3 +1)4|z - z0

n

1

+

n

n

n

+

Методом математической индукции для величины ДСп получаем оценку ДСп < 22п+1 ДМ (М3 + ДМ + 1)4п, п = 1,2, ... , где ДМ = ДЯ0.

Таким образом, для выражения Д2 следует оценка

ад ад

Д2 =2Д<~п \2 - го|П = ДС0 +2Д<~п \2 -

23(М3 + ДМ +1)4 \г - г,

,о|" =AC0 +2AC»k - " <

0 n=1

( О3/^ I ЛД/ I 1\4 L ~ I ^

<AM + 222n+1 AM(M3 + AM + 1)4n|z - z0|n = AM

n=1

1 + 3

1 - 22(M3 + AM +1)4 |z - z0|y 1

Эта оценка справедлива в области z - z0 \ < р4, где р4 = —----------------.

1 01 22 (M3 +AM +1)4

С учетом области действия оценки для A1 окончательно для выражения A wN

получаем область |z - z01 < р5, где р5 = minp3, р4}, р3 = min\ рх, —-----1---- 1.

[ 22(M 3 +1)4 J

Пример 2. Построим первое аналитическое продолжение для приближенного решения задачи Коши, рассмотренной в примере 1.

Начальные условия задачи Коши:

z0 = 0,01 +1,015 i, w0 = 0,697565761+ 0,291615443' .

Величина возмущения не превышает s = 2,37 • 10-8.

Задача имеет точное решение у = =. Вычислим радиус голоморфности

4li - 4 z

р5 = 0,026289088 Выберем значение z = 0,02 + 1,03i, принадлежащее области голоморфности |z - z0| < р5. В табл. 2 представлены расчеты для соответствующего листа ри-мановой поверхности.

Таблица 2

Оценка приближенного решения уравнения в случае возмущенных значений начальных условий в области голоморфности

z w w3 А А1 A2

0,02 +1,03 i 0,693230492 + +0,292364475i 0,693230507 + +0,292364518i 4,48449 -10-8 0,066506078 2-10-5

Здесь ^ - значение точного решения, >~3 - значение приближенного решения; Д, Д*

и Д*2 - абсолютная, априорная и апостериорная погрешности соответственно.

С помощью теоремы 3 можно решить обратную задачу теории погрешности - определить значение N по заданной точности приближенного решения е . Для случая

8 = 2-!0~5 получаем N = 20. Фактически для N = 4, 5, 6, ... 20 получаем уточнения

приближенного решения, которые в общей сумме не превышают требуемой точности є . Следовательно, можно ограничиться в структуре приближенного решения значением

*

N = 3. При этом получаем апостериорную погрешность А 2 для приближенного решения і~3, равную значению є = 2 -10~5.

Резюме. Доказана теорема существования решения нелинейного дифференциального уравнения определенного типа в области голоморфности. Построено приближенное решение рассматриваемого уравнения в области голоморфности. Исследовано влияние возмущения начальных условий на приближенное решение. Приведены примеры.

ЛИТЕРАТУРА

1. Орлов, В. Н. Исследование приближенного решения второго уравнения Пенвеле / В. Н. Орлов, Н. А. Лукашевич // Дифференциальные уравнения. - 1989. - Т. 25. - № 10. - С. 1829-1832.

2. Орлов, В. Н. Математическое моделирование решения дифференциального уравнения / В. Н. Орлов, С. А. Редкозубов // Известия института инженерной физики. - 2010. - № 3 (17). - С. 2-3.

3. Орлов, В. Н. Метод приближенного решения дифференциального уравнения Риккати / В. Н. Орлов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2о08. - № 4. - С. 102-108.

4. Орлов, В. Н. Метод приближенного решения скалярного и матричного дифференциальных уравнений Риккати / В. Н. Орлов. - Чебоксары : Перфектум, 2012. - 112 с.

5. Орлов, В. Н. Об одном конструктивном методе построения первого и второго мероморфных трансцендентных Пенвеле / В. Н. Орлов, В. П. Фильчакова // Симетрійні та аналітичні методи в математичній фізиці. Т. 19. - Киев, 1998. - С. 155-165.

6. Орлов, В. Н. Об одном методе приближенного решения матричных дифференциальных уравнений Риккати / В. Н. Орлов // Вестник Московского авиационного института. - 2008. - Т. 15. - № 5. - С. 128-135.

7. Орлов, В. Н. О приближенном решении первого уравнения Пенвеле / В. Н. Орлов // Вестник Казанского государственного технического университета им. А. Н. Туполева. - 2008. - № 2. - С. 42-46.

8. Орлов, В. Н. Точные границы для приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной особой точки в комплексной области / В. Н. Орлов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2010. - № 2 (8). - С. 399-405.

9. Орлов, В. Н. Точные границы области применения приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности приближенного значения подвижной собой точки / В. Н. Орлов // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2009. - Т. 5. - № 10. - С. 192-195.