О разрешимости задачи Пуанкаре-Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода

УДК 517.946

Н.К. МАМАДАЛИЕВ, канд. физ.-мат. наук, доц. НУУз, Ташкент,

А.А. АБДУЛЛАЕВ, аспирант, НУУз, Ташкент

О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ ПУАНКАРЕ-ТРИКОМИ ДЛЯ

УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА

В данной работе впервые доказано однозначная разрешимость нелокальной краевой задачи с условием Пуанкаре для уравнения эллиптико-гиперболического типа второго рода, т.е. для уравнения, где линия вырождения является огибающей семейства характеристик и сама также является характеристикой. Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии, а существование - методом интегральных уравнений. Библиогр.: 10 назв.

Ключевые слова: нелокальная краевая задача, условия Пуанкаре, уравнения эллиптико-гиперболического типа, уравнения смешанного типа второго рода.

Постановка проблемы. Уравнение смешанного типа благодаря приложениям при решении многих важных вопросов прикладного характера: теории газовой динамики, электронного рассеивания,

бесконечно малых изгибаний поверхностей, прогнозирования уровня грунтовых вод, также задача сопла Ловаля - является одним из основных направлений теории дифференциальных уравнений в частных производных, которая интенсивно развивается с пятидесятых годов прошлого века.

Работ, посвященных исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа второго рода, сравнительно мало. До сих пор остается неисследованной задача Пуанкаре-Трикоми для эллиптико-гиперболического уравнения второго рода, которой посвящена настоящая работа.

Анализ литературы. В конце прошлого века бурно развивались исследования по теории уравнений смешанного типа. Изучены краевые задачи Геллерстедта, Трикоми и много краевые задачи с различными нелокальными условиями для уравнений как параболо-гиперболического так и эллиптико-гиперболического типов. При доказательстве существования решения этих задач использованы, в основном, теория интегральных уравнений [1, 2]. В работе [3] исследована задача Трикоми для уравнения эллиптико-гиперболического типа второго рода в обобщенном классе К2. После появления этой работы для уравнений эллиптико-гиперболического типа изучены такие задачи как задача

© Н.К. Мамадалиев, А.А. Абдуллаев, 2013

Франкля, Бицадзе-Самарского и т.д. Во всех вышеперечисленных работах использовано непрерывное решение видоизменённой задачи Коши для уравнения гиперболического типа, полученое С.А. Терсеновым [4]. Однако в исследованных задачах, в основном, использовано представление решения Терсенова, с помощью которого не всегда удается доказать однозначную разрешимость многих краевых задач. Это способствовало рождению интереса у многих ученых этого направления к нахождению более удобного представления решения задачи Коши для гиперболического уравнение. В работе [5] опубликовано новое представление обобщенного решения видоизменённой задачи Коши для гиперболического уравнения второго рода, которое позволило решить вышеперечисленных задач для уравнения смешанного типа второго рода [6, 7, 8]. В последнее время, благодаря полученному представлению обобщенного решения видоизменённой задачи Коши для

гиперболического уравнения второго рода, снимаются некоторые жёсткие условия в ранее проведенных исследованиях. В работе [9] изучена задача Пуанкаре-Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффициентами. Новизна данной работы - в постановке задачи с условием Пуанкаре для уравнения эллиптико-гиперболического типа второго рода, в котором существование решения исследуется впервые с помощью представления обобщенного решения

видоизменённой задачи Коши для гиперболического уравнения второго рода.

Цель статьи - исследовать однозначную разрешимость нелокальной краевой задачи с условием Пуанкаре для уравнения эллиптико-гиперболического типа второго рода.

Рассмотрим уравнение

«1^^уутихх + Ыуу = 0, -1 < т < 0 ,

в области В = Ц и Ц, где Ц - ограничена кривой ст при у > 0 с концами в точках А(0,0), 5(1,0) и отрезком АВ (у = 0), а Ц - при у < 0 ограничена тем же отрезком АВ и характеристиками уравнения (1).

Задача. Требуется найти функцию и( х, у), обладающую

следующими свойствами:

1) и(х, у) е С(Ц) - является регулярным решением уравнения (1) в области Ц, а в области Ц - обобщенным решением из класса [6];

2) выполняется условие склеивание

-иу

3) удовлетворяет следующим граничным условиям

{а

^1-Ри[00

где ^ - длина дуги ст, отсчитываемой от точки В(1,0), % (х) - точка

пересечения характеристики уравнения (1), а а(^), й(5), ф(5), с(х), /(х) -

заданные функции, причём

а(^)Ь(5) > 0, 0 < 5 < 1, а(^), Ь(5), ф(5) е С[0,1],

а /(х) - может иметь особенность порядка меньше чем -2р, где

т

в = —т-------.

2

Единственность решения задачи доказывается методом интегралов энергии. Переходим к исследованию поставленной задачи.

Решение задачи в области Ц , удовлетворяющее условию (3) и и| = г(х), (0 < х < 1), имеет вид [3]:

1 I

Зп ^ а

где 02(4,п, х, у) - - функция Грина данной задачи в области Ц, а в области Ц, решая видоизмененную задачу Коши для гиперболического уравнения, получим обобщенное решение из класса [1]:

4 п

и

где

N

2п 008 пр

у 2 =[2(1 - 2Р)]2Р-1

Г

и

0

0

4

а T (^) определяется из следующего определения:

Определение. Функция u(^^l, ^), определённая формулой (6), называется обобщенным решением задачи Коши для уравнения (1) в области Ц из класса ^ [6], в котором т(х) имеет вид:

х

х(х) = /(х -1)-2В T(t)а, ,

где у(х) и T(х) - непрерывные и интегрируемые функции в интервале (0;1) и T (х) - интегрируема на [0;1].

Из равенств (5) и (6) получаем следующие функциональные соотношения между т(х) и у(х):

2Р

1

2

г т'(г) а г Лх Г (*-^ г + & Г(г - х)-

1

+Г т(г > а, + <8,

I

+ Г х

Г гу Р<2Р -1)

Л

т'(х) = -2Ру з/(х - ,)-2в-1 у(,)а, -

0

х ,

2РТ 3 /(х - , )-2в-1 Ж / ^(,, х)у( 2)й2 + (х),

00

где

г

*Ъ(х) = —— /(х-,) 2Р,РД0а?,+ ^ /(х-,) 2Ра,/Я(,,7),Р/(х)а7,

( в) 0 ( в) 0 0 а Я(,, х) - есть резольвента следующего интегрального уравнения

х

Т (х) = \ / К (х,, )Т (,)а, + F (х),

0

и

х

где К(х,,) = (х-,)-2вхвс(х), ^(х) = х ^(х) + у3у(х), Х1 = 2008лР,

4 7 Г

у3 = 2лу2008 лР .

Существование решения задачи для уравнения (1) в силу (5) и (6) эквивалентно разрешимости системы (8) и (9). Подставляя (8) в (9) после некоторых вычислений, с учётом условие склеивание (2) и

х 2вт' (х) = р( х), получим следующее сингулярное интегральное

уравнение с ядром типа Коши:

1

1 р

р(х) -X Г Р ( dt = F(х), J t - x

cos лР

где X = -

л

Далее, применяя известный метод регуляризации Карлемана-Векуа [2], получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода, эквивалентное поставленной задаче:

т'(х) =1 i (х) +

1 5 1 , ч Vi ^ l!+3Р]

C0S ЛР (1 - х)-1 (1-2Р)х4-IР f (1 - t)-4(l-2P)t^4 2

2л(1 + sin лр) J t - х

Уравнение (10) является уравнением Фредгольма второго рода, разрешимость которого следует из единственности решения сформулированной задачи. Определив из уравнения (10) функцию т'( х), находим функцию у( х) из равенства (8). Далее, определяя функции т(х) и у(х), имея ввиду (4) и (7), по формулам (6) и (5) получим решение задачи соответственно в областях Ц (у < 0) и Ц (у > 0).

Выводы. Таким образом, согласно вышеприведенных ограничений на заданные функции, доказано существование решения рассматриваемой задачи.

Список литературы: 1. СмирновМ.М. Уравнения смешанного типа / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1970. - 270 с. 2. СалахитдиновМ.С. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с сингулярными коэффициентами / М.С Салахитдинов, М. Мирсабуров. - Ташкент: "Университет", 2005. - 224 с. 3. Кароль И.Л. К теории уравнений смешанного типа

0

I И.Л. Кароль II Докл. АН СССР. - 1953. - Т. SS. - N° 3. - С. 397-400. 4. Терсенов С.А. К теории гииерболических уравнений с данными на линии вырождения / С.А. Терсенов II Сиб. мат. журнал РАН. - 19б 1. - Т. 2. - Х б. - С. 931-935. 5. Мамадалиев Н.К. O нредставлении, решения видоизмененной задачи Коши I Н.К. Мамадалиев // Сиб. мат. журнал РАН. - 2000. - Т. 41. - Х 5. - С. 1087-1097. 6. Mamadaliev N.K. Tricomi problem for strongly Degenarate Equations of Parabolic-Hyperbolic type I N.K. Mamadaliev II Mathematical Notss. - Curler Academic I Plenum-publishers. - 1999I2000. - Vol. бб. - Х 3.- Р. 310-315. 7. Mamadaliev N.K. The Gellerstred Problem for a parabolic-hyperbolic equation of the second kind

I N.K. Mamadaliev II Int. J. Dynamical Systems and Differential Equations. - 2007. - Vol. 1. -Х 2. - Р. 102-10S. 8. Salahitdinov M.S. Tricomi problem for the elliptic-hyperbolic equation of the second kind I M.S. Salahitdinov, N.K. Mamadaliev II The Journal of the Korean Mathematical Society (JKMS). - 2011. - Vol. 19. - М>. 2. - Р. 111-127. 9. Салахитдинов М.С. Задача Пуанкаре-Трикоми для уравнения смешанного тина с разрывными коэффициентами

IМ.С. Салахитдинов, Д. Аманов II В сб. "Уравнения смешанного тина и задачи со свободной границей". - Ташкент: Фан, 1987. - С. 3-3S. 10. Салахитдинов М.С. Уравнения смешанного тина с двумя линиями вырождения I М.С. Салахитдинов., Б.И. Исломов. -Ташкент: "Мумтоз суз", 2010. - 264 с.

Поступила в редакцию 07.08.2013 После доработки 11.12.13

УДК 517.946

Про вирішення задачі Пуанкаре-Трікомі для рівняння змішаного типу другого роду / Мамадалієв Н.К., Абдулаєв А.А. // Вісник НТУ "ХПІ". Серія: Інформатика та моделювання. - Харків: НТУ "ХПІ". - 2013. - М> 19 (992). - С. S1 - 8б.

У даній роботі внерше доведено однозначне розв‘язання нелокальної краєвої задачі з умовою Пуанкаре для рівняння еллінтіко-гінерболічного тина другого роду, тобто для рівняння, де лінія звиродніння є такою, що огинає сімейства характеристик і сама також є характеристикою. Єдиність рішення задачі доводиться методом інтегралів енергії, а існування - методом інтегральних рівнянь. Бібліогр.: 10 назв.

Ключові слова: нелокальна краєва задача, умови Пуанкаре, рівняння еллінтіко-гінерболічного тину, рівняння змішаного тину другого роду.

UDC 517.94б

About solubility of solution of the Poincare - Tricomi problem for the mixed type equation of the second kind / Mamadaliev N.K., Abdullayev A.A. / Herald of the National Technical University "KhPI". Subject issue: Information Science and Modelling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2013. - М> 19 (992). - P. 81 - 8б.

In the work is for the first time proved unambiguous solubility nonlocal boundary problem with Poincare condition for the elliptic-hyperbolical equation of the second kind for equation, where line of the degeneration is bending around family of the characteristic and itself also is a characteristic. Unique solution of the problem is proved by method integral to energy, and existence by method of the integral equations. Refs.: 10 titles.

Keywords: nonlocal boundary problem, condition Poincare, elliptic-hyperbolical equation of the second kind.