Алгоритм оптимизации системы канонических гиперболических уравнений с гладкими ограниченными управлениями

что влияние кондуктивного и конвективного теплооб-менов определяется соотношением скоростей частицы и плазмы, т.е. при расчетах движения и нагревания различных частиц в плазменной струе определяющей при нахождении теплового потока является скорость

набегающего потока -относительная скорость плазмы и частицы: Ур-УБ.

2. Скорость движения и температура частиц в потоке низкотемпературной плазмы в сильной степени определяется способом ввода порошка, что предъявляет особые требования к конструкции плазмотрона.

Библиографический список

1. Донской А.В., Клубникин В.С. Электроплазменные процессы и установки в машиностроении. Л.: Машиностроение. 1979. 221с.

2. Полак Л.С. Низкотемпературная плазма. 3. Химия плазмы. Новосибирск: Наука (Сибирское отделение), 1991. 328 с.

3. Моссэ А.Л., Буров И.С. Обработка дисперсных материалов в плазменных реакторах. Минск: Наука и техника,1980. 212 с.

4. Цветков Ю.В., Панфилов С.А. Низкотемпературная плазма в процессах восстановления. М.: Наука, 1980. 360 с.

5. Dresvin S.V., Feygenson O.N., Zverev S.G., Amouroux J. Velocity and temperatureevolution of plasma jet with the increasing of SiO2 particles concentration / Proc. Of the 15-th Int. Symposium on Plasma Chemistry, Orlean. 2001. V.6. P. 2539-2544.

6. Boulos M., Fauchais P., Pfender E. Thermal plasmas: fundamentals and application. Vol. 1. New York, Plenum press, 1994.

7. Тимошенков С.П., Прокопьев Е.П. Особенности термической обработки частиц BaO, SiO2, Al2O3 в воздушной и аргон-кислородной высокочастотной индукционной плазме // Материаловедение. 1999. № 1. С.54-60.

8. Петрова В.З., Прокопьев Е.П., Тимошенков С.П. Исследование плазменного процесса получения сплошных стекловидных диэлектрических слоев на поверхности подложек кремния // Химия высоких энергий. 1999. Т. 33, № 6. С.471-475.

9. Петрова В.З., Тимошенков С.П., Прокопьев Е.П. Эксперимент: синтез диэлектрических порошков SiO2 - Al2O3 - BaO в плазме // Петербург. журн. электроники. 1999. № 1. С.17-23.

10. Прокопьев Е.П., Тимошенков С.П., Дьячков С.А. Моделирование и оптимизация процесса синтеза мелкодисперсных порошков оксидов, кремния и диэлектрического стекловидного материала состава БЮ2 - А1203 - ВаО в высокочастотной индукционной воздушной и аргон-кислородной плазме // Теоретические основы химической технологии. 2002. Т.36, №5. С. 500-505.

11. Балановский А.Е. Математическая модель проектирования электрического режима работы плазмотрона // Вестник ИрГТУ. 2005. № 4. С. 35-38.

12. Зверев С.Г., Фейгенсон О.Н., Дресвин С.В. Расчет динамики движения и нагревания мелкодисперсных частиц в струе ВЧИ-плазмы // XXIX Неделя науки СПбГТУ. Ч.1: Материалы межвузовской научной конференции. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. С. 91-93.

13. Спектроскопический анализ пространственных распределений параметров плазмы в высокоэнтальпийных потоках аргона и азота / А.А. Белевцев [и др.] // ТВТ. 2002. Т. 40, №1. С.533.

14. Численное моделирование течения газа и нагрева частиц корунда в канале плазмотрона / Э.Х. Исакаев [и др.] // Тезисы докл. на IV Всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2006.

15. Исследование поля скоростей частиц в гетерогенном трансзвуковом плазменном потоке / Е.Н. Андреенко [и др.] // Докл. на IV Всероссийской конференции по физической электронике ФЭ-2006. С. 77-81.

УДК 517.977.5

АЛГОРИТМ ОПТИМИЗАЦИИ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ГЛАДКИМИ ОГРАНИЧЕННЫМИ УПРАВЛЕНИЯМИ

О.Н.Кочеткова1, А.В. Бурдуковская2

Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет,

664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

2Байкальский государственный университет экономики и права,

664003, г. Иркутск, ул. Ленина, 11.

Рассматривается задача оптимального управления системой канонических гиперболических уравнений с частными производными. Допустимые управления представляют собой дифференцируемые функции, стесненные интегрально-амплитудными ограничениями. Предлагается необходимое условие оптимальности и строится алгоритм оптимизации, обладающий свойством релаксации и сходимости к выполнению условий оптимальности. На двух произвольных допустимых управлениях выписывается формула приращения целевого функционала. Она рассматривается на такой вариации управления, которая гарантирует допустимость варьируемого управления при изменении параметров вариации и служит основой для построения релаксационного алгоритма оптимизации, сходящегося к выполнению необходимых условий оптимальности. Библиогр. 7 назв.

Ключевые слова: оптимальное управление; система канонических уравнений; формула приращения; допустимый процесс; алгоритм.

1Кочеткова Ольга Николаевна, старший преподаватель кафедры математики, тел.: 89025669336. Kochetkova Olga, Senior Lecturer of the chair of Mathematics, tel.: 89025669336.

2Бурдуковская Анна Валерьевна, кандидат физико-математических наук, тел.: 89086412112, e-mail: buran-baikal@mail.ru. Burdukovskaya Anna, Candidate of Physical and Mathematical sciences, tel.: 89086412112, e-mail: buran-baikal@mail.ru.

OPTIMIZATION ALGORITHM FOR THE SYSTEM OF CANONICAL HYPERBOLIC EQUATIONS WITH SMOOTH

LIMITED CONTROLS

O. N. Kochetkova, A.V. Burdukovskaya

National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074. Baikal State University of Economics and Law, 11, Lenin St., Irkutsk, 664003.

The authors deal with the problem of the optimal control of the system of canonical hyperbolic equations with partial derivatives. Admissible controls are differentiable functions, constrained by integral-amplitude contingencies. The authors propose a necessary condition for optimality and construct an optimization algorithm having the property of relaxation and convergence to the fulfillment of optimality conditions. On two arbitrary admissible controls the authors write out a formula for the criterion functional increment. It is considered on such control variation, which guarantees the admissibility of the variable control when changing the parameters of variation and provides a basis to construct a relaxation optimization algorithm that converges to the fulfillment of necessary conditions for optimality. 7 sources.

Key words: optimal control; system of canonical equations; increment formula; admissible process; algorithm.

Методы оптимизации систем канонических гиперболических уравнений применяются в различных прикладных задачах, например, в управлении процессами непрерывной химической технологии [1], [2]. В классе кусочно-непрерывных управлений, стесненных прямыми амплитудными ограничениями, получено необходимое условие оптимальности в виде аналога поточечного условия максимума Л.С. Понтрягина. [1] Экстремальные задачи являлись предметом внимания многих исследователей: разработаны алгоритмы оптимизации типа итерационных процессов принципа максимума [4], [5]; построена теория особых в смысле принципа максимума управлений [3], [4]; получено условие оптимальности, обобщающее принцип максимума - так называемый вариационный принцип максимума, который также открывает возможности численного решения [4]. В то же время анализ некоторых задач оптимизации, например химических реакторов [2] позволяет заключить, что во многих случаях расширение класса допустимых управлений с непрерывных до кусочно-непрерывных вызвано необходимостью введения амплитудных ограничений на управления.

Целью настоящей работы является построение необходимого условия оптимальности и алгоритма оптимизации, когда класс допустимых управлений представляет собой гладкие (непрерывно-дифференцируемые) функции, в то же время стесненные прямыми амплитудными или интегрально-амплитудными ограничениями. Методика исследования состоит в следующем. Прежде всего, на двух произвольных допустимых управлениях выписывается формула приращения целевого функционала [1], [3], [4] с соответствующей сопряженной задачей. Главный член по параметрам вариации в формуле приращения определяет необходимое условие оптимальности, а сама формула служит основой для построения релаксационного алгоритма оптимизации, сходящегося к выполнению необходимого условия оптимальности.

1. Постановка задачи

Пусть в заданной прямоугольной области P = SхT, S = [s0,Sj], T = ] независимых переменных (5,t) е P управляемый процесс определяется системой уравнений в частных производных

zs = f

с начально-граничными условиями

z

Здесь

x = x(s,t), x(s,t) е E", x(s,t) = (z(s,t) е E"1, y(s,t)е E"2, n1 + n2 = n) - состояние процесса, u = (s,t), u(s,t) е Eг - управление процессом. Качество допустимого процесса оценивается функционалом

J

T S P

Класс допустимых управлений V образуют непрерывно дифференцируемые до любого порядка (например, аналитические) функции u = u(s,t), (s,t) P, которые удовлетворяют либо прямым амплитудным ограничениям типа включения

u

либо интегрально-амплитудным типа

S

где Ф. (и) обладают свойством

Ф,.

Будем считать, что вектор-функции f (i)(x,и,s,t), i = 1, 2, z0 (t), y0 (s), и скалярные функции

ф1 (z^ (у ^ F (x, u> t) непрерывно дифференцируемы по совокупности своих переменных вместе с частными производными по этим переменным до любого порядка, при котором приведенные ниже операции корректны. Этих условий с избытком достаточно для обоснования существования и единственности непрерывно дифференцируемого решения x = x(s,t,и), x(s,t,и) = (z(s,t,и); y(s,t,и)), (s,t)e P , задачи (1), (2) при любом допустимом управлении и = и (s, t) [7].

2. Формула приращения

Пусть {и;x = x(s, t, и)} - базовый допустимый процесс, а {и = и +Ди; х = x + Ax = x(s, t, и)} - варьируемый допустимый процесс. Формула приращения целевого функционала (3) на двух допустимых процессах {и;x}, {и;х} получена, например, в [1], [3]. При сформулированных условиях гладкости параметров из поставленной задачи следует

J(и)-J(и) = -я(%^, Ди(s, t))dsdt + О (Az(si,t))dt + Jо (Ay(s,tj

-JJ oH

p p

-jj/^^C.-jM) Ди (s,t)\dsdt- JJO ((и (s,t)), Ax(s,t))dsdt,

n \ cfaöx l n

где

K = const > 0

Ди (s, t)) ds + JJ || Ди (s, t)) dsdt

p

Ди (s, t)) dt + JJ ||Ди (s, t)) dsdt

Здесь

н(..., 5, г) = н(ц, х, и, 5, г) = /(1)( г),/(1)(х, и, s, г))+/(2)( г),/(2)(х, и, s, г))-^(х, и, s, г);

ц, (5, г) = (/(1) (5, г), /2) (5, г))еЕ", п = п1 + п2,

где •) - скалярное произведение векторов в Е\ Еп2, Ег, сопряженная функция / = /(5, г) подчинена сопряженной системе линейных канонических гиперболических уравнений

(2) w,} =

dH

i " dZ '

dH

dy '

ф1 (z (sl, t, и), t) dz '

ф2 (У (s, t1, и ), s) . дУ '

W(1)(s1, t ) = --

W(2)(s, t1 ) = --

Здесь / = /(, г, и) - ее решение; оф, оф, он - остатки от разложения приращений скалярных функций ф2, Н по Тейлору до первого слагаемого; оН - векторный остаточный член, о (а)/ а^ 0, а ^ 0 .

3. Необходимые условия оптимальности

Пусть и(5, г)е и, (5, г)е Р - базовое, допустимое, непрерывно дифференцируемое управление. Варьируемое управление и = и (5, г) построим по формуле

и

где непрерывно дифференцируемые функции 81 (5) и 82 (г) удовлетворяют условиям

¿1 (50 ) = 8 (51 ) = 0, 82 (/о ) = 8 (г, ) = 0,

50 - 5 < 81

/0 - г <82 (г)< /1 -г, г е Т .

Утверждение 1. Если базовое управление и = и (5, г) допустимо: и (5, /)еи, (5, г)е Р, то варьируемое управление й = иа, построенное по формуле (11), также допустимо для всех ае[0, 1] и всех функций 8 (5), 82 (/), удовлетворяющих неравенствам (12). Утверждение следует из того, что

(5 + а*! (5), г + а¿2 (/)) = (5а, /а) е Р, а е [0, 1],

и, следовательно,

иа (5, г) = и(5 + а8г (5), г + а82 (г)) е и

так как и(яа, га)е и.

Очевидно также, что иа ^ и У(5, г) е Р при а ^ 0. Теперь рассмотрим формулу приращения (7) на вариации

Ааи (г) = иа (г)- и (г) .

Так как

Ааи (5, г ) = и (5 + а*1 (5), г + ад2 (г))-и (5, г ) = а(и5 (5, г )8 (5)+ иг (5, г )82 (г)) + 0(а), (13) то в силу оценок (8),

Ааz(5, г) ~ ^У^ г) ~ а

(имеют главный порядок а ).

Тогда формула приращения (7) примет вид

80 (и ) = Я

О(иа)-О (и) = -а80 (и) + о(а) , о(а)/а ^ 0, а ^ 0 ,

дн(..., 5, г) . Д . . /дн(..., 5, г) . Д .

^ , , >

й5йг.

ди / \ ди

Утверждение 2. Пусть допустимое управление и* = и* (г) оптимально в задаче (1)-(4). Тогда на допустимой «тройке» {и*; х* = х(5, /, и*); у* = у*(5, г, и*)} имеем

80

для всех 81 (5), 82 (г), удовлетворяющих условиям (12). Действительно, в силу оптимальности,

О (иа)-О (и 0, а е [0, 1].

Отсюда в силу (13) следует утверждение (15). Введем функции

1 ([и ], 5) = ¡(^д^, и (5, г)) л,

([и ] г) = , иг (5, гЛ

Тогда

80(и) = ¡1 ([и], 5)81 (5)+^2 ([и], г)82 (г)Ж .

Утверждение 3. Для произвольных гладких функций а(5), Ь(/) условиям (12) удовлетворяют функции

(s(^М^-,-(} я(s)' s e ^. M1 * max|a(s(| ^ (t( = (M( -(( b(t). t e T, M2 > maxb(t(| .

М2

Доказательство утверждения проведем для формулы (19). Обоснование формулы (20) проводится аналогично. Очевидно, что первому из условий (12) функции ^ (5), б2 (/) удовлетворяют. Далее заметим, что функции

б1 (5), 82 (/) одинаковы по знаку с функциями а(5) Ь(/). Поэтому если а(я)> 0, то 5-я<51 (5), если же а(5) < 0, то 81 (5)< 51 -5 . Остается показать, что в случае а(5)> 0, 81 (5)< 51 -5 и если а(я)<0, то 50 - 5 < (5). Это последнее вытекает из неравенств

so((1 -s( ( ( - (si ~so((si ~s( ( (-( (

- - a (s (- -\ a (s (-(si - so ( '

M1 (si - so (

M1 (si - so (

так как a (s (/ M1 -1,

(s-so((si -s( ( ( (so -s((s1 -s(I ( (i>( ( -/-ч a (s 1 = ---a (s ( > (o - s 1,

M1 (s1 - so ( W M1 (1 - so ( 1 W| V o 7

так как |а (5)| /М1 < 1, ( - 5)< 5 - 50.

Теперь вычислим вариацию функционала (18) на конкретных допустимых вариациях 81 (5), 82 (/), найденных по формулам (19), (20) при а(5) = 1 ([и], 8), Ь(/) = 2 ([и], /). Здесь а>1 и а>2 вычисляются по формулам (16), (17). Таким образом, введем неотрицательный функционал

М (u (=-

(( - so ((s1 - s (f (u ]. s )ds-

-j(t - to (( -1 (2 ], t)dt,

М1

М1 > тах|1 ([и], 5)), М2 > тах|2 ([и], /)). Теорема. Пусть допустимое управление и * = и *( 5, /) оптимально в задаче (1)-(4). Тогда на допустимой «тройке» {и*; х* = х(5, /, и*); у* = у*(5, /, и*)} имеет место

а>1

или

u*

Справедливость теоремы следует из утверждения 2, представления вариации функционала в форме (18), допустимых вариаций ^(s( ^2((( в виде (19), (20) при a(s( = 1 ([u*], s(, b(t( = 2([u*], t( и неотрицательности каждого из слагаемых функционала (21).

4. Алгоритм оптимизации. Пример

Алгоритм (для гладких управлений, стесненных прямыми ограничениями). Рассмотрим задачу (1)-(4). В качестве начального приближения возьмем непрерывно дифференцируемое управление uo (s, t(e U, (s, t(e P ,

такое, что uo (s, t(const, (s, t(e Po с P, mesPo > o. Причем постараемся, чтобы график функции uo = uo (s, t( содержал в себе возможно большее число ординат из множества U . Пусть теперь с помощью алгоритма вычислено допустимое управление uk = uk (s, t(. При этом управлении вычислим xk = x(s, t, uk(, y/k = y(s, t, uk( - решения исходной (1), (2) и сопряженной (9), (10) задач. По формулам (16), (17) найдем ax ([uk ], s(, а2 (uk ], t( и по формуле (3.11) вычислим Ju1{uk (> o . Если Ju1{uk ( = o, то, в силу теоремы 1,

uk = Uk (s t(

управление v ' / подозрительно на оптимальность и алгоритм заканчивает свою работу. Поэтому

дальше будем считать, что

М

Далее по формулам (19), (20) при а(^) = 1 ([и*], 5), Ь (г) = ю2 ([и*], г) найдем функции б* (5), 8\ (г), удовлетворяющие неравенствам (12), и построим однопараметрическое семейство управлений

ика ( г) = ик (5 + а<51к (5), г + а8\ (г)), а е [0, 1]. В силу утверждений 1, 3 имеем

ика (5, г) е и, (5, г) е Р, а е [0, 1] . Решим задачу параметрической оптимизации

= arg min J

Ф. 1]

и следующее приближение найдем по формуле

'(s, t) = икщ (s, t), k = 0, 1, ....

Пример

P = [0, 1]x[0, 1],

zs = и (s, t), z (0, t) = 1, yt = z, y (s, 0) = 0, (s, t) e P ,

1 1

J(и)= — Jy2 (s, 1)ds ^ min, |u| < 1.

2 0

В этой задаче оптимальное управление и * (s, t) = -1, J (и *) = 0.125. Это легко проверить с помощью принципа максимума [1], [3], [4], который для данной задачи является необходимым и достаточным условием оптимальности. На этом управлении необходимые условия оптимальности (22) и (23) тривиально выполняются. Выпишем необходимые конструкции алгоритма:

H =w(1)u + w(2) z, dH /ди =w(1), WW)=-W(2), WW (1, t ) = 0, wf = 0, w() (s, 1) = - У (s, 1) ,

1 1

co1 ([и], s) = Jw'''(s, t)us (s, t)dt, ( ([и], t) = Jw(1)(s, t)u, (s, t)ds ,

0 0

S1 (s) = s (1 - s)( ([u ], s)M"1, S2 (t) = t (t -1)(2 ([u ], t)M2-1, ua (s, t) = и (s + aö1 (s), t + aö2 (t)) .

Заметим также, что

Сделаем несколько шагов алгоритма. Пусть Тогда

При а = 1 имеем Далее,

(s, t, и) = 1 + Jи (, t)d^, y (s, 1, и) = Jz(s, t, и)dt,

0 0

W(1)(s ) = -J y (#, 1)d#.

s

и0 (s, t) = (1-s)(2t-1), |u0 (s, t)|< 1. J(u0) = 0.5, w^')(s) = (s-1), ( ([u0], s) = 0, ( ([u0], t) = -0.67 . u1 (s, t) = (1 -s)(2t2 -1), \ul (s, t)|< 1, J(u1 ) = 0.39 < J(u0) = 0.5 .

и2 (5, г) = [1 - 5 - 5 (5 -1) ф ()] (2 [г - г2 (1 - г)]2 -1), ф(в) = 0.0253 -0.0652 + 0.335 -0.3 , 3(и2 ) = 0.3 < 3(и1 ) = 0.39 .

В ходе итерационного процесса ик (0, 0) = -1 поверхность ик (5, г), к = 0, 1, ... стремится к поверхности и* = -1. Этот процесс более наглядно можно проиллюстрировать, если в поставленной задаче управление взять сосредоточенным: и = и (г), |и (г )| < 1. В этом случае и" = и* (г) = -1, 3 (и *) = 0.125 , и0 (г) = 2г -1, 3 (и0) = 0.5 ,

и1 (г ) = 2г2 -1, 3 (и1 ) = 0.36, и2 (г ) = 2 (2г3 - 3г2 + 2г)-1, 3 (и2 ) = 0.33....

Библиографический список

1. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации сложных химико-технологических систем. М.: Химия, 1970.

2. Быков В.И., Яблонский Г.С., Слинько М.Г. Применение принципа максимума для оптимизации квазистационарных каталитических процессов с изменяющейся активностью катализатора // Proc. IFIP Techn. Conf. on Optimizat. Techn. Новосибирск, 1974. С. 11-16.

3. Васильев О.В. Принцип максимума Л.С. Понтрягина в теории оптимальных систем с распределенными параметрами // Прикладная математика. Новосибирск: Наука, 1978. С. 109-138.

4. Васильев О.В., Срочко В.А., Терлецкий В.А. Методы оптимизации и их приложения (Оптимальное управление). Новосибирск: Наука, 1990.

5. Бурдуковская А.В., Васильев О.В. Об алгоритмах оптимизации в системах канонических гиперболических уравнений с частными производными // Оптимизация и управление. Иркутск: Изд-во ИГУ, 1998. Вып. 2.

6. Забелло Л.Е. Об условиях оптимальности в нелинейных инерционных управляемых системах с запаздыванием // Диффе-ренц. ур-ния. 1990. Т. 26, № 8. С. 1309-1315.

7. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1945. Т. 2. УДК 622.33:504.4

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЫБОРА ВОДООХРАННЫХ МЕРОПРИЯТИЙ ПРИ ЛИКВИДАЦИИ ПРЕДПРИЯТИЙ ОТКРЫТОЙ УГЛЕДОБЫЧИ

Г.И.Щадов1, В.А.Верхозина2, И.И.Шестакова3

1,2,3Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 2Институт геохимии СО РАН, 664064, Иркутск, ул. Фаворского, 1а.

На основе анализа практики ведения природоохранной деятельности по защите водной среды в результате последствий ликвидации предприятий открытой угледобычи в Забайкалье разработана экономико-математическая модель оценки и выбора водоохранных мероприятий, позволяющая оптимизировать соотношение природоохранных затрат и величины платежей за загрязнение водной среды при ликвидации предприятий открытой угледобычи в Забайкалье. Реализация эколого-экономической модели позволит своевременно и обоснованно осуществлять природоохранную деятельность по защите водных объектов в рассматриваемом регионе. Ключевые слова: открытая угледобыча; ликвидация предприятий; эколого-экономическая модель; защита водных объектов.

MODELING OF CHOICE OF WATER PROTECTION MEASURES WHEN LIQUIDATING ENTERPRISES OF OPEN-CAST MINING

G.I. Shchadov, V.A. Verkhozina, I. I. Shestakova

1.3 National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074. 2Institute of Geochemistry SB RAS, 1a, Favorsky St., Irkutsk, 664064.

Based on the analysis of the practice of environmental activities to protect the water environment from the consequences of liquidation of open-cast mining enterprises in Transbaikalia the authors developed an economic-mathematical model for the evaluation and selection of water protection measures. This model allows to optimize the ratio of environmental costs and the values of payments for water pollution when liquidating enterprises of open-cast mining in Transbaikalia. The implementation of the eco-economic model would enable to perform well-timed and reasonable environmental activities on protection of water bodies in the region.

Key words: open-cast mining; liquidation of enterprises; ecological and economic model; protection of water bodies.

Постановка проблемы. В настоящее время переход России к рыночным отношениям потребовал разработки эколого-экономического обоснования рационального природопользования, являющегося центральным звеном хозяйственного механизма управле-

ния. Это заставляет разрабатывать различные мероприятия по устранению или уменьшению опасности для окружающей природной среды. Среди всех природных ресурсов, подверженных антропогенному воздействию, особое место занимают водные ресур-

1Щадов Геннадий Иванович, кандидат экономических наук, доцент кафедры управления промышленными предприятиями, директор Усольского филиала ИрГТУ, тел.: (3952) 405094.

Shchadov Gennady, Candidate of Economics, Associate Professor of the chair of Management of Industrial Enterprises, Director of Usolsky Branch of Irkutsk State Technical University, tel.: (3952) 405094.

2Верхозина Валентина Александровна, доктор технических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, тел.: (3952) 405097, e-mail: verhval@igc.irk.ru

Verkhozina Valentina, Doctor of technical sciences, Professor, Leading Researcher, tel.: (3952) 405097, e-mail: verhval@igc.irk.ru

3Шестакова Инна Ивановна, аспирант, тел.: (3952) 405094. Shestakova Inna, Postgraduate student, tel.: (3952) 405094.