Анализ сложных технических систем для горного производства с использованием нечетких полумарковских моделей

УДК 543.21 Ю.Г. Бояринов

АНАЛИЗ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ДЛЯ ГОРНОГО ПРОИЗВОДСТВА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ НЕЧЕТКИХ ПОЛУМАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ

Предложена нечеткая полумарковская модель технической системы для горного производства, в которой для задания нечетких вероятностей состояний системы и времен пребывания системы в соответствующих состояниях используются нечеткие отображения на основе нечетких продукционных или реляционных моделей. Разработан метод анализа данных систем на основе нечетких полумарковских моделей, позволяющий решать нечеткие оптимизационные задачи. Метод позволяет снизить трудоемкость решения оптимизационных задач за счет компактификации представления и оперирования в нечетком признаковом пространстве и использования аппроксимационных свойств нечетких моделей в разработанной постановке.

Ключевые слова: нечеткая полумарковская модель, технические системы в горном производстве, нечеткое отображение, нечеткая оптимизационная задача.

~П ведение

ЛИ Одним из направлений анализа сложных технических систем для горного производства, позволяющим учесть факторы неопределенности анализируемых переменных и случайности событий, является использование полумарковских моделей. Однако вероятностный подход, традиционно используемый для учета стохастической неопределенности, тем не менее, в полумарковских моделях сложных систем не всегда применим вследствие: недостатка статистики и экспертного характера большей части информации, а также эвристического, разнокачественного и нечеткого описания параметров, состояний и воздействий на системы и процессы.

Перспективным направлением к решению указанных проблем при анализе сложных технических систем является использование нечетких полумарковских моделей

[1- 4].

Вместе с ограничениями существующих нечетких полумарковских моделей являются следующие: предлагаемые методы построения нечетких полумарковских моделей не учитывают наличие избыточности ресурса как необходимого условия функционирования системы; отсутствуют постановки и методы решения оптимизационных задач с использованием нечетких полумарковских моделей.

В первом разделе статье представлена информация для описания полумарков-ских процессов, во втором - рассмотрена разработанная нечеткая полумарковская модель, в третьем - предложен метод анализа технических систем для горного производства на основе разработанной модели и приведен пример определения оптимального значения нечеткого параметра периодичности проведения проверок сложной системы.

1. Использование полумарковских моделей для анализа сложных технических систем

Системы, обладающие некоторым уровнем избыточности, с одной стороны, позволяют противостоять отказам, а с другой стороны, могут накапливать соответствующее этому уровню количество отказов элементов (неисправностей), не приводящее к отказу системы в целом. Для восстановления этой избыточности в системе проводится «обслуживание», заключающееся в контроле состояния системы и в проведении восстановительных мероприятий.

Основными характеристиками контроля системы являются его периодичность и достоверность контроля. Взаимное влияние этих характеристик на эффективность функционирования системы обусловливает существование оптимальной периодичности проведения проверок состояния системы. Так, слишком частые проверки приводят к «недоиспользованию» системы. В то время, редкие проверки обусловливают накопление неисправностей элементов системы, что приводит к «недоиспользованию» системы из-за простоев, связанных с ее восстановлением.

Описание процесса функционирования технической системы представляется по-лумарковской моделью, структура которой показан на рис. 1.

Здесь: 5] - состояние системы при отсутствии неисправностей(желаемое состояние); S2 - состояние системы при наличии неисправностей элементов, не приводящих к отказу системы; 53 - состояние проверки исправной системы; £4 - состояние проверки неисправной системы; 55 - состояние повторной проверки после ложной регистрации неисправности; - состояние восстановления исправности системы; 57

- состояние функционирования системы с необнаруженной неисправностью; РН -вероятность возникновения неисправности в системе в диапазоне [0, ТП], РН = FН(ТП), FН(ТП) = Вер(1Н < ТП), FН - функция распределения случайной величины Н момента возникновения неисправности; ТП - период проверки состояния системы; О

- вероятность обнаружения неисправности в системе; F - вероятность ложной регистрации неисправности в системе.

Учитывая, что РН является также и вероятностью перехода из состояния 5] в состояние 52 за один шаг для вложенной марковской цепи, то для нее должно выполняться условие отсутствия последействия как основное условие марковости переходов из состояния в состояние.

Полумарковский процесс задается с помощью матрицы F(?) условных функций распределения продолжительности пребывания в состояниях, мат-рицы W переходных вероятностей вложенной марковской цепи и

Рис. 1. Структура полумарковской модели процесса функ- начальн°г° с°ст°яния про-ционирования системы с учетом достоверности контроля цесса, из которого он стартует.

F(t) =

0 Fм(t) 0 0

( 0 ) Fl3(t) 0

0 0

Fз1(t) 0

0 0

F5l(t) 0

F6l(t) 0

0 0

0 0 0

0 0

0 Fз5(0 0 0

0 0 0 ) FA1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 F74(t) 0 0 0

W =

( 0 Fн (Тп) 1 - Fн (Тп) 0 0 0 0 "

0 0 0 1 0 0 0

1 - F 0 0 0 F 0 0

0 0 0 0 0 D 1 - D

1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

, 0 0 0 1 0 0 0 ,

Компоненты матрицы F(t) запишутся в следующем виде: 0, t < 0,

FН

Fl2(t) =

F2Лt) =

ТО’0 <'< ,

1 I > Тп;

0, I < 0,

Fн

Fн

0 < I < Т,

п

1,

I > Т • п

[0, I < Тк, -^і(!) = Fз5(t) = F46(t) = FA7(t) = |1, t > ^; [0, I < Тв,

^ 4 I > ТІ;

[0, I < Тк,

к3(0=[ к 13^ [1, I > Тк;

[0, I < Тп,

^3(0 Ч п

13^ [1, I > Тп;

[0, I < Тпк,

^=]і' ,>т ;

I/’ * - ^ пк ’

[0, I < Тп,

^)Н.; I >тп,

Здесь: 7К - математическое ожидание продолжительности контроля; Тпк - математическое ожидание продолжительности повторного контроля в случае ложной регистрации неисправности; Тв - математическое ожидание продолжительности восстановления системы.

Безусловные функции распределения ^(0 определятся в соответствии с выражением

¥г (г) = Х Еч (гИ ,

]=1

где - вероятность перехода вложенной марковской цепи за один шаг. В рассматриваемом случае получим

^(г) =

0, г < о,

¥н

1 г > тп;

^г(г) = ^4(г); ^,(г) = ^(г) = Fзl(г); ^(г) = ^(г); F6(г) = ^!1(г); F7(г) = F74(г).

Средние времена пребывания системы в соответствующих состояниях определяются по формуле

да

Ш = Л1 - Fi(г )Л

о

Тогда

тп тп 1 тп

Ш = Г[1 - Fl

о о ^ (Тп) о

Шз = Ш4 = Тк; Ш4 = Тк; Ш5 = Тж; Шб = Тв ; Ш7 = Тп.

Финальное распределение вероятностей состояний вложенной марковской цепи определяется в результате решения системы уравнений в матричном виде:

Р = PW,

где Р - вектор-строка (Р1,... , Р7).

Эта система уравнений является линейно зависимой, так как для нее выполняется условие нормировки. Для рассматриваемого случая получим:

Р2 = Fн (Тп )Р,

Рз = [1 - Fн (Тп )]Р,

Р = 1 - Р-н (Тп ) Р

Р О Р р = [1 - Fн (Тп )]FP1,

Рб = [1 - Fн (Тп )]Р,

1 - О

Р7 = [1 - Fн (Тп )]Р,

1 = Р + Р2 + Р3 + Р4 + Р5 + Р6 + Р7 .

Решения этой системы уравнений имеют вид

Р =

1

1 +

Fн (Тп) -

Рз =

1 - Fн (Тп).

Р4 =

+ F[1 - Fн (Тп)] F [1 - Fн (Тп)]

1 -Fн

Ч . 1 А . 1 7

2

В стационарном режиме распределение вероятностей состояний для полумарков-ского процесса в целом определяется из выражения:

Рт,

п1 =------------.

Ё Р1т1

]=1

В соответствии с этим выражением вероятность пребывания системы в состоянии 51 рассчитывается следующим образом

Тп

Тп - Г ¥Н ({) &

- - 0

FH

1 - FH (Тп ) + D

+ Тпк [1 - Fh

2. Нечеткая полумарковская модель сложной технической системы

В предлагаемой нечеткой полумарковской модели функционирования системы реализован предложенный в работе [5] способ введения нечеткости, заключающийся в следующем:

• вероятности состояний и времен пребывания системы в соответствующих состояниях представляются нечеткими числами (нечеткими множествами);

• для задания нечетких переменных, характеризующих вероятности состояний и времен пребывания системы в соответствующих состояниях, используются нечеткие отображения в виде нечетких продукционных или реляционныхмоделей;

• операции суммирования, произведения и деления над вероятностями состояний и времен пребывания системы в соответствующих состояниях заменяются на расширенные нечеткие операции суммирования, произведения и деления нечетких чисел, соответственно.

Рассмотрим основные этапы построения предлагаемой нечеткой полумарковской модели.

Этап 1. Задание входных нечетких параметров системы.

Для задания терм-множеств нечетких параметров и нечетких переменных и построения их логико-лингвистических шкал целесообразно использовать типовые L— R-функции, например, колоколообразного типа. Так, например, для нечеткого параметра ТП значение C- задается следующим образом:

ТП

/ ~ \2'

Т \ 11 ТП - a

Т >=exp - 2 Ьт

где a, b — параметры функции принадлежности колоколообразного типа.

Этап 2. Задание нечетких переменных P на базовых множествах значенияхве-

роятностей Pi состояний системы.

При этом значения вероятностей Pi состояний системы являются базовыми множествами, на которых определены функции принадлежности нечетких множеств, число которых для каждого состояния системы может быть различным. Для наглядности будем использовать по три нечетких множества {Низкий, Средний, Высокий}

для задания каждой нечеткой переменной Pi, соответственно: для P - HP1, СР1, ВР1; для P2 — Hp2, Cp2, Bp2; для P3 — Hp3, Cp3, Bp3.

Этап 3. Задание нечетких переменных на базовых множествах значениях вероятностей тг времен пребывания системы в соответствующих состояниях.

Значения вероятностей времен тг пребывания системы в соответствующих со-стоянияхявляются базовыми множествами, на которых определены функции принадлежности нечетких множеств нечетких переменных т, .

Также как и для нечетких переменных Р, задаются нечеткие множества для переменных тг, соответственно: для т^ - Нт1, Ст1, Вт1; для т.2 - Нт2, Ст2, Вт2; для т^

Нm3, Сm3, Вт3.

Этап 4. Задание отображений для нечетких переменных тг, характеризующих нечеткие вероятности времен пребывания системы в соответствующих состояниях.

В общем случае нечеткие отображения для нечетких переменных тг задаются следующим образом:

Щ = фг

Для рассматриваемого на рис. 1 примера в соответствии с выражениями (1) и (2) зададим следующие нечеткие отображения для нечетких переменных тг:

т1 = Ф(ТП ). т2 = ф2(ЁН (ТП )). т3 = ф3(ТК ). т4 = ф4(ТК ). т5 = ф5(ТПК ). тб = ф(ТВ X т7 = ф7 (ТП ).

где ф1 - нечеткое отображение, заданное одним из известных способов: нечеткими продукционными правилами, нечеткими отношениями.

Рассмотрим пример реализации отображения Ф3 для переменной т^ на основе

нечеткой продукционной модели SISO-типа ^^ЫпрШз, SingleOutputs), в предположении, что входной параметр Тк также является нечетким и задается соответствующими нечеткими множествами Тк - НК, СК, ВК; для Тв - НВ, СВ, ВВ:

П1: ЕСЛИ Тк есть НК, ТО Щз есть Нт3,

П2: ЕСЛИ Тк есть СК, ТО Щз есть Ст3,

П3: ЕСЛИ Тк есть ВК, ТО Щз есть Вт3.

Далее для переменной т^ в рамках сформированной нечеткой продукционной модели реализуется алгоритм нечеткого вывода Мамдани.

Этап 5. Задание отображений для нечетких переменных Рг, характеризующих нечеткие вероятности состояний системы.

В общем случае нечеткие отображения для нечетких переменных Рг определяются следующим образом:

р = ф

где ф1 - нечеткое отображение, реализуемое, например, на основе нечетких продукционных моделей М^О-типа (МиШрЫпрШз, SingleOutputs).

Далее для переменных Рг в рамках сформированных нечетких продукционных

моделей реализуется алгоритм нечеткого вывода Мамдани.

Если переменная Тп является четкой, то для реализации нечеткого отображения

ф1 целесообразно использовать нечеткую функцию от этой четкой переменной Тп,

формирующей образ ее четкой области определения в соответствующем нечетком

множестве фг : Тп ^ р .

Следует отметить, так как понятия нечеткой функции четкой переменной и нечеткого отношения соответствуют друг другу в математическом смысле, то нечеткая

функция ф1 может быть интерпретирована как нечеткое отношение R и определена следующим образом:

Этап 6. Определение значений нечетких переменных, характеризующих распределение вероятностей состояний для нечеткого полумарковского процесса.

В основе предлагаемой нечеткой полумарковской модели лежит следующее выражение, вычисляемое либо на основе нечеткого интервального метода, либо с использованием принципа расширения Л. Заде:

где 7Гг - нечеткая переменная, характеризующая распределение нечетких вероятностей состояний для нечеткого полумарковского процесса (г = 1, ..., Щ; тг и Рг -

нечеткого сложения, умножения и деления, соответственно [5].

3. Метод анализа технических систем на основе нечетких полумарковских моделей

Помимо основных задач анализа технических систем с использованием нечетких полумарковских моделей, заключающихся, прежде всего, в нахождении распределения нечетких вероятностей состояний для нечеткого полумарковского процесса, разработанная модель позволяет решать нечеткие оптимизационные задачи.

Постановка и решение нечеткой оптимизационной задачи в общем случае сводится к определению входных нечетких параметров системы, обеспечивающих формирование требуемого (экстремального) значения выходного нечеткого параметра.

Следует отметить, что решение нечеткой оптимизационной задачи в указанной постановке тесно связано с задачей нечеткого обратного вывода.

Существуют различные подходы к выполнению задачи нечеткого обратного вывода, наиболее известным из которых является метод, предложенный Е. Санчесом в работе [б], в основе которого лежит решение нечетких уравнений. Однако данному методу присущи ограничения на параметры нечеткого отображения.

дляЧ^П,Рг)еТп хр, Ф Рг) = ^ (*П, Рг).

нечеткие переменные, задаваемые отображениями (4) и (5); ©, 0, / - операции

Постановка нечеткой оптимизационной задачи с использованием нечеткой полу-марковской модели формулируется следующим образом.

Пусть заданы нечеткие отображения для нечетких переменных Щ, характеризующих нечеткие вероятности времен пребывания системы в соответствующих состояниях, на основе выражения (4).

Пусть заданы нечеткие отображения для нечетких переменных Рг, характеризующих нечеткие вероятности состояний системы, в соответствии с выражением (5).

Пусть заданы нечеткие переменные Лг, характеризующие распределение нечетких вероятностей состояний для нечеткого полумарковского процесса, в соответствии с выражением (б).

Таким образом, необходимо для нечетких выходных переменных Лг (г = 1, ., N найти такие значения нечетких входных параметров системы {Тк , Тп , Тв , Тпк , D, F, FН (Тп )} как по отдельности, так и в их сочетании, которые бы обеспечивали формирование требуемых (экстремальных) значений этих нечетких выходных переменных.

Рассмотрим далее в качестве примера постановку и решение оптимизационной

задачи определения оптимального значения Т п нечеткого параметра Тп системы при отсутствии неисправностей, т.е. находящейся в состоянии £1:

Предлагаемый метод состоит из двух основных этапов.

На первом этапе, задаются отображения (4) и (5) нечетких переменных Щ и Рг (г

= 1, ., N на основе нечетких продукционных или реляционных моделей.

После чего, для рассматриваемой задачи определения оптимальной периодичности проведения проверок системы, данный этап завершается построением модели оценки нечеткой вероятности нахождения системы в состоянии £1 в соответствии с выражением (б).

На втором этапе, собственно, реализуется решение нечеткой оптимизационной задачи с использованием построенной модели.

Для этого сначала интервал базового множества, на котором задан нечеткий параметр Тп, разбивается на N отсчетов с шагом дискретизации

тг = фг(Тк, Тп, Тв, Тпк, F(TП)), г ~1,...,Ж.

Р =фг( Тп, F, F(Тп), D), г = 1,..., N.

( N

Л

ТСХ--П—П—> тах,

ТП = а^ тах(^1).

Тп=—п

T - T

7 _ П

7 _ N ”

где Tn(min), Tn(max) - нижняя и верхняя границы базового множества нечеткого параметра Tn.

Затем для каждого из отсчетов Tnj (j = 1, ..., N) при фиксированных значениях остальных входных нечетких параметров системы{ТК, TB, Тдк, D, F} определяются значения нечетких переменных Щ т и р t (i = 1, ., N) на основе нечетких отображений (4) и (5), соответственно.

Далее на основе полученных значений m т и P т с использованием модели

(6) находятся значения выходной нечеткой переменной т (j = 1, ., N) нечеткой

полумарковской модели.

На заключительном шаге этапа на основе полученных значений выходной нечет*

кой переменной 7tiT (j = 1, ..., N) определяется значение Tnj, удовлетворяющее

, Доследующему условию:

ТД _ai-gmax(^iT ).

J f ’ П

Предлагаемый метод позволяет также найти сочетания значений нечетких параметров сложной технической системы для горного производства, обеспечивающих формирование требуемых значений нечетких выходных переменных.

В дополнение к вышесказанному следует отметить, что созданный метод позволяет существенно снизить трудоемкость решения оптимизационных задач за счет, во-первых, компактификации представления и оперирования в нечетком признаковом пространстве, во-вторых, использования аппроксимационных свойств нечетких моделей в разработанной постановке.

---------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bhattacharyya M. Fuzzy Markovian decision process// Fuzzy Sets and Systems, Vol. 99, 1998. -PP. 273-282.

2. Praba B., Sujatha R., Srikrishna S. Fuzzy reliability measures of fuzzy probabilistic semi-Markov model// Int. Journal of Recent Trend in Engineering, Vol. 2, No. 2, 2009. - PP. 25-29.

3. Praba B., Sujatha R., Srikrishna S. A study on homogeneous fuzzy semi-Markov model// Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, No 50, 2009. - PP. 2453-2467.

4. Бояринов Ю.Г., Борисов В.В., Мищенко В.И., Дли М.И. Метод построения нечеткой полу-марковской модели функционирования сложной системы // Программные продукты и системы, № 3(91), 2010. - С. 26-31.

5. Moore R.E. Interval analysis. - New Jersey: Prentice Hall, 1966.

6. Sanchez, E. Resolution of composite fuzzy relation equations/ E. Sanchez// Inform. Contr., vol.30, 1976.- PP. 38-48.

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ --------------------------------------------------------

Бояринов Юрий Геннадьевич - кандидат технических наук, доцент, филиал МЭИ (ТУ), Смоленск, byg@yandex.ru