Задача определения параметров неоднородности в телах сложной формы, расположенных в свободном пространстве по измерениям скалярного поля

УДК 517.3

DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-5

Р. О. Евстигнеев

ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОСТИ В ТЕЛАХ СЛОЖНОЙ ФОРМЫ,

РАСПОЛОЖЕННЫХ В СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ПО ИЗМЕРЕНИЯМ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Интерес к задачам дифракции на телах, расположенных в свободном пространстве, вызван активным развитием радиоэлектронной аппаратуры и техники. Для этого необходимы методы решения задач по восстановлению параметров неоднородностей тела, применяемых в данных устройствах. В данной работе применяется метод объемных сингулярных уравнений. Целью работы является разработка алгоритма для решения обратной задачи по восстановлению параметров неоднородностей тела.

Материалы и методы. Рассматривается задача, сведенная к объемному сингулярному интегральному уравнению. Строится алгоритм, позволяющий по результатам измеренного поля рассчитывать полное поле внутри тела. По полученным значениям поля восстанавливаются параметры неоднородности тела.

Результаты. Представлены численные результаты решения обратной задачи, в которой была внесена погрешность измерений. Проводились исследования зависимости решения от положения источника и точек наблюдения.

Выводы. Представлены результаты решения обратной задачи, по которым можно увидеть, что метод является устойчивым к погрешностям измерений. При повторных измерениях можно исключить неправильные решения. Сделаны исследования эффективного диапазона частот, при котором данная задача имеет наилучшие результаты.

Ключевые слова: объемное сингулярное интегральное уравнение, интегральное уравнение, краевая задача, численные методы, обратная задача.

R. O. Evstigneev

THE PROBLEM OF DETERMINING HETEROGENEITY PARAMETERS OF COMPOUND BODIES LOCATED IN FREE SPACE BY MEASURING A SCALAR FIELD

Abstract.

Background. Rapid development of electronic equipment caused an interest in diffraction problems for bodies located in free space. It is necessary to develop methods to reconstruct inhomogeneity parameters of bodies to be applied in such devices. The aim of this study is to develop an algorithm for solving the inverse problem of inhomogeneity reconstruction.

Materials and methods. The problem is reduced to a volume singular integral equation. The algorithm, developed by the author, consists of two steps. On the first

1 Работа написана при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.894.2017/ПЧ).

step, we use the data of field measurements to calculate the field inside a body. The next step is the inhomogeneity reconstruction which employs the calculated

Results. Ther article describes the obtained numerical results of solving the inverse problem with measurement errors introduced. The study is focused on the dependence of the solution on the location of the source and observation points.

Conclusions. The work presents the inverse problem solution. The method proves to be stable with respect to measurement errors. Repeating the measurements allows one to exclude wrong results. The range of wave frequencies that provide efficient solving of the problem is determined.

Key words: volume singular integral equation, integral equation, boundary value problem, inverse problem, collocation method, numerical method, inhmogeneity.

Определение рассеянного поля в различных средах и восстановление параметров материалов являются актуальными задачами акустики и электродинамики. Этой тематике посвящен ряд статей [1, 2]. Большинство авторов для получения расчетов использовали те или иные численные методы. На протяжении ряда последних лет активное развитие получил метод объемных сингулярных интегральных уравнений [1]. Для решения обратной задачи разработан и обоснован метод восстановления волновых параметров тела. Задачи восстановления электродинамических параметров тела, расположенного в прямоугольном волноводе, рассмотрены в [3].

Рассмотрим задачу дифракции скалярной волны на теле Q, располо-

field.

Введение

1. Постановка прямой задачи

женном в свободном пространстве R3 (рис. 1).

3

Q

I

Рис. 1. Тело Q , расположенное в свободном пространстве

Рассмотрим неоднородное уравнение Гельмгольца

An + k 2n = f (х),

2 \к2

здесь к = < - кусочно-непрерывная функция; ко - волновое число в

I ко2

свободном пространстве; к (х) - функция, характеризующая волновое число внутри тела Q ; /(х) - известная функция с компактным носителем.

Будем предполагать, что на границе раздела двух сред выполняются условия сопряжения:

ды

[u ]эе =

дп

= 0,

dQ

[•] - скачок поля и условия излучения Зоммерфельда,

— = ik0u + o | — |, r := Id

dr ^ r )

Задача (1)-(3) соответствует уравнению Липпмана - Швингера:

u

Q

Будем рассматривать уравнение (4) в пространстве L2 (Q), чтобы выполнялось условие конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства. Уравнение (4) играет важную роль не только в скалярных задачах дифракции, но также в электродинамике, квантовой механике и во многих других областях физики. Обозначим

Au := JG

Q

и пусть u := u (х), F := f0 (х), запишем уравнение в операторном виде:

Lu := u - Au := F, u e L2

В работе [4] исследованы следующие утверждения.

Утверждение 1. Оператор Lu := u - Au : L2 (QL2 (Q) фредгольмов

с нулевым индексом.

Утверждение 2. Решение задачи (1)-(3) единственно. Утверждение 3. Оператор L := I - A: L2 (QL2 (Q) непрерывно обратим.

2. Метод коллокации

Будем считать, что тело Q - прямоугольный параллелепипед: Q = {х: a < х1 < a2, ¿1 < х2 < ¿2, c < хз < С2} . Разобьем Q на элементарные параллелепипеды:

Пklm - {x : x1,k < x1 < x1,k+b x2,l < x2 < x2,l+1= x3,m < x3 < x3,m+1}

°2 " a1 i и b2 - th c2 - c1

x1,k - a1 +—-1 к' x2,l - b1 +—-11' x3,m - c1 +—-1 m'

n n и

где к,l,m - 0,...,и -1. Объем любого элементарного параллелепипеда Пklm равен V .

Введем кусочно-постоянные базисные функции, определяемые следующим образом Vklm :

v - í1' x enklm,

vklm - í „ „ ñ

I0, x ^nklm.

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в L2 (Q).

Метод коллокации для приближенного решения уравнения

Au - f

состоит в нахождении приближенного решения из конечномерного подпространства посредством приравнивания значений функций в левой и правой частях уравнения (9) в конечном числе точек, называемых точками коллока-ции. Точнее, пусть Y - C(G) и A: X ^ Y - линейный ограниченный оператор. Пусть Xn с X и Yn с Y - последовательности подпространств таких,

что dim Xn - dim Yn - n . Выберем n точек x|n)... xИ) в области G (мы также

будем писать для упрощения x^..xn вместо xjn)...x^ так, чтобы подпространство Yn однозначно определялось по этим точкам. Тогда метод коллокации решения уравнения (10) состоит в нахождении приближенного решения u е Xn, удовлетворяющего уравнениям

Пусть Xn - spanju1...un} - линейная оболочка элементов uj (базисных функций). Выразим элемент un в виде линейной комбинации:

n

un - Z Y k 9k . k-1

Тогда метод коллокации (10) эквивалентен системе линейных алгебраических уравнений:

Z Yk( A9k)( xj)- f( xj), J - n .

k-1

Метод коллокации можно рассматривать как вариант проекционного метода. Приравнивание левой и правой частей уравнения в конечном числе

точек коллокации в форме (10) эквивалентно уравнению проекционного метода РпАып = Рп/ с некоторым оператором интерполяции Рп, являющимся проекционным оператором. Действительно, если в качестве узлов интерполяции взять точки коллокации и выбрать, например, интерполяцию многочленами (п -1) -го порядка, то в силу единственности интерполяционного многочлена, построенного по п различным узлам (многочлен Лагранжа), получаем вариант проекционного метода, где в качестве проектора Рп выбран оператор интерполяции многочленами (п -1) -го порядка по узлам, совпадающим с точками коллокации. Отметим, что один и тот же метод коллокации можно представить в виде проекционного метода с различными проекторами Рп .

Алгоритм расчета скалярного поля внутри фигуры в форме параллелепипеда Q описан выше. Рассмотрим алгоритм расчета скалярного поля для тела сложной геометрической формы. Будем предполагать, что решение задачи тела Q получено, и в нашем распоряжении находится матрица, составленная проекционным методом. Для решения задачи дифракции скалярной волны на теле О сложной формы необходимо, чтобы тело целиком помещалось в параллелепипед Q и состояло из элементов сетки [5].

Скорость построения новой матрицы будет напрямую зависеть от размера фигуры и размера сетки. Субиерархический подход позволяет избежать длительных расчетов, связанных с повторным вычислением матричных элементов.

3. Обратная задача

Рассмотрим задачу определения волновых параметров тела произвольной геометрической формы, расположенной в свободном пространстве по результатам измерения поля вне тела. Предполагается, что источник скалярного поля является гармоническим осциллятором, колеблющимся с заданной частотой и расположенным вне тела. Амплитуда колебания зависит от времени в соответствии с гармоническим законом ехр(-/ю^).

Данная задача является актуальной в акустике, она может находить применение, например, при построении эхолотов, в задачах идентификации объекта и т.д. Для таких задач важна возможность определения параметров тела, имеющих сложную геометрию. Для решения подобных задач применяются различные методы математического моделирования и в большинстве случаев задачи решаются численно.

Обратная задача определения волновых параметров тела Q по известному полю состоит в нахождении функции волнового числа к (х) по известным результатам измерения поля £/выч (у) в точках измерения ув , расположенных за пределами тела. Здесь х = (XI, Х2, Х3), у = (У1, У2, Уз).

Рассмотрим тело Q, расположенное в свободном пространстве. Предположим, что исследуемое тело Q имеет неоднородность. Разобьем тело на ячейки прямоугольной формы Пг-, 1 = (/'1, ¡2, /3). Предполагается, что тело состоит из ячеек П/ настолько малого размера, что внутри каждой ячейки дис-

кретной функции волнового числа постоянна к( х) = к{. Будем считать, что в

одной или нескольких из ячеек находится данная неоднородность, как представлено на рис. 3.

источник

Рис. 2. Источник излучения, исследуемое тело и точки наблюдения

Построим алгоритм по нахождению характеристик тела по результатам измерений:

1. На первом шаге вычисляем J( у), используя известные значения измерений скалярного поля ивыч( ув) в точках наблюдения ув, как решение уравнения

ивыч

в

2. На втором шаге подставляем полученное ранее значение J( у) в следующее интегральное уравнение:

. 2

к (У)-ко в

определяем значение к (у ).

Данная задача может быть применена и для исследования геометрии тела. Действительно, если в теле будут располагаться пустоты, то значение параметра неоднородности тела внутри этих пустот будет приближенно равно величине за пределами тела.

4. Численные результаты

На рис. 3 показаны исходные данные, на рис. 4-6 - результаты решения обратной задачи по восстановлению значений функции волнового числа на теле сложной структуры, расположенном в свободном пространстве. Размер каждой стороны параллелепипеда - 15 см. Частота волны равна 1,3 ГГц.

Источник излучения расположен за пределами тела на определенном расстоянии. Параметр неоднородности внутри исследуемого тела вычисляется по следующей формуле:

k0

2f

где с - скорость света или звука; / - частота волны, которая выбирается в зависимости от размера тела.

Рис. 3. Точные данные: значения вещественной части (а) и значения мнимой части (б) диэлектрической проницаемости

Метод является устойчивым для погрешностей измерений в пятом значащем знаке после запятой. При данной погрешности возникают «артефакты», которые при повторении эксперимента могут изменить место расположения или не появиться вовсе, что позволяет отсеивать результаты, являющиеся ошибочными.

На рис. 4 представлены результаты решения обратной задачи при расположении источника вдоль оси Ох, точки наблюдения расположены параллельно плоскости YOZ за пределами тела.

c

а)

б)

Рис. 4. Результат решения обратной задачи при расположении источника вдоль оси Ох: значения вещественной части (а) и значения мнимой части (б) диэлектрической проницаемости

На рис. 5 представлены результаты решения обратной задачи при расположении источника вдоль оси Оу, точки наблюдения расположены параллельно плоскости XOZ за пределами тела.

На рис. 6 представлены результаты решения обратной задачи при расположении источника вдоль оси Ох, точки наблюдения расположены параллельно плоскости XOY за пределами тела.

Представленный алгоритм решается на любых частотах, но наилучшие результаты получаются на частотах следующего типа:

- длина волны сопоставима размерам тела;

- в тело укладывается две или несколько длин волн (размер которых незначительно меньше ячейки разбиения).

В работах [6-8] исследовались итерационный метод и двумерный случай данной задачи. Тестирование алгоритма проводилось на телах различной формы и размеров, различных сетках разбиения, частотах, а также в различных направлениях излучениях поля. Предварительный анализ метода показал, что метод можно использовать при погрешностях измерений, что представлено в статье, и для исключения возникающих неточностей решения можно проводить эксперименты повторно, как это видно из рис. 4-6.

б)

Рис. 5. Результат решения обратной задачи при расположении источника вдоль оси Оу: значения вещественной части (а) и значения мнимой части (б) диэлектрической проницаемости

а)

Рис. 6. Результат решения обратной задачи при расположении источника вдоль оси Ог: значения вещественной части (а) и значения мнимой части (б) диэлектрической проницаемости

б)

Рис. 6. Окончание

Библиографический список

1. Самохин, A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / A. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998. - 160 с.

2. Ильинский, А. С. Прямые и обратные задачи электродинамики / А. С. Ильинский, А. Г. Свешников // Вестник Московского университета. Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика. - 1978. - № 4. - С. 3-11.

3. Медведик, М. Ю. Обратные задачи восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного тела в волноводе / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. - 76 с.

4. Цупак, А. А. О единственности решения задачи дифракции скалярной волны на системе непересекающихся экранов и неоднородных тел / А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 1 (29). - С. 30-38.

5. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. -М. : Наука, 1984. - 752 с.

6. Евстигнеев, Р. О. Итерационный метод решения прямых и обратных двумерных задач акустики / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2014. - № 4 (32). - С. 28-36.

7. Евстигнеев, Р. О. Обратная задача определения параметров неоднородности тела по измерениям акустического поля / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2016. - Т. 56, № 3. - С. 490-497.

8. Евстигнеев, Р. О. Задача определения параметров неоднородности тела по измерениям поля в ближней зоне в двумерном пространстве / Р. О. Евстигнеев, Л. В. Аристова // Информационные технологии в науке и образовании. Проблемы и перспективы : сб. науч. ст. III ежегод. межвуз. науч.-практ. конф. - Пенза, 2016. - С. 221-225.

References

1. Samokhin A. B. Integral'nye nravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom rasseyanii [Integral equations and iteration methods in electromagnetic scattering]. Moscow: Radio i svyaz', 1998, 160 p.

2. Il'inskiy A. S., Sveshnikov A. G. Vestnik Moskovskogo universiteta. Ser. 15, Vychislitel'naya matematika i kibernetika [Bulletin of Moscow University. Series. 15, Calculus mathematics and cybernetics]. 1978, no. 4, pp. 3-11.

3. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Obratnye zadachi vosstanovleniya dielektricheskoy pronitsaemosti neodnorodnogo tela v volnovode [Inverse problems of heterogeneous body's dielectric permittivity restoration in a waveguide]. Penza: Izd-vo PGU, 2014, 76 p.

4. Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 1 (29), pp. 30-38.

5. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Funktsional'nyy analiz [Functional analysis]. Moscow: Nauka, 1984.

6. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2014, no. 4 (32), pp. 28-36.

7. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G. Zhurnal vychislitel'noy ma-tematiki i matematicheskoy fiziki [Journal of calculus mathematics and mathematical physics]. 2016, vol. 56, no. 3, pp. 490-497.

8. Evstigneev R. O., Aristova L. V. Informatsionnye tekhnologii v nauke i obrazovanii. Problemy i perspektivy: sb. nauch. st. III ezheg. mezhvuz. nauch.-prak. konf. [Information technologies in sciences and education. Problems and prospects: proceedings of III Annual Interuniversity Scientific and Practical Conference]. Penza, 2016, pp. 221225.

Евстигнеев Роман Олегович аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: Roman_cezar@mail.ru

Evstigneev Roman Olegovich Postgraduate student, Penza State University

УДК 517.3 Евстигнеев, Р. О.

Задача определения параметров неоднородности в телах сложной формы, расположенных в свободном пространстве по измерениям скалярного поля / Р. О. Евстигнеев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). -С. 52-62. БОТ 10.21685/2072-3040-2017-2-5