Простое неравенство для дисперсии числа нулей дифференцируемого гауссовского стационарного процесса

2014 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1. Том 1 (59). Вып. 3

МЕХАНИКА

УДК 519.21

ПРОСТОЕ НЕРАВЕНСТВО ДЛЯ ДИСПЕРСИИ ЧИСЛА НУЛЕЙ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОГО ГАУССОВСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА*

Р. Н. Мирошин

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9

Дисперсия числа нулей гауссовского дифференцируемого стационарного процесса на конечном интервале времени представляется в виде однократного интеграла от сложной подынтегральной функции, имеющей особенность в окрестности нуля, что затрудняет компьютерные вычисления. В статье для широкого класса корреляционных функций доказано неравенство, оценивающее эту дисперсию в более простых терминах. Два из пяти рассмотренных примеров демонстрируют пределы эффективности полученного неравенства посредством сравнения с ранее установленными автором частными случаями процессов, для которых дисперсия вычисляется по формулам без интегралов. В двух следующих примерах неравенство используется для асимптотической оценки дисперсии числа нулей на малом интервале времени, а в последнем кроме этой асимптотики даны верхние и нижние границы для самого распространенного аналитического процесса на всех интервалах времени. Библиогр. 18 назв.

Ключевые слова: дифференцируемый гауссовский стационарный процесс, дисперсия числа нулей, корреляционная функция, неравенство для дисперсии, процесс Уонга, асимптотика.

Число пересечений уровня дифференцируемым случайным процессом на конечном интервале времени используется, в основном, для представления сложных вероятностей, таких, например, как вероятность процессу не пересечь уровень, возникающих в задачах статистической радиофизики [1], аэродинамики разреженного газа [2], газо- и нефтедобычи [3], теории массового обслуживания [4] и т. д. Связь моментов этой случайной величины со статистическими характеристиками материнского процесса установлена еще в 1944 г. С. О. Райсом [5] в виде интегралов возрастающей с номером момента кратности и с тех пор изучалась многими исследователями (см. библиографию в [6-7]). Однако нельзя сказать, что в вычислениях упомянутых вероятностей даже для нулевого уровня достигнут значительный прогресс. Полностью в аналитической форме среди дифференцируемых гауссовских стационарных процессов эта задача решена только для косинус-процесса и сведена к двухкратному интегралу для процесса Уонга [8-10], а для всех прочих известна только формула

* Работа выполнена при финансовой поддержке СПбГУ (проект 6.0.24.2010).

среднего числа пересечений (формула Райса [1]), но уже дисперсия числа нулей представляется интегралом от сложной подынтегральной функции [11], имеющей особенность в нуле, что осложняет компьютерное его вычисление. В серии работ [12-15] этот интеграл существенно модифицирован, что позволило записать его в элементарных функциях для того же процесса Уонга и для частного случая возвратных процессов первого порядка и затем использовать в оценках сверху и снизу дисперсии числа нулей некоторых других родственных процессов (теоремы сравнения), а также найти несколько первых членов асимптотики на малых и больших интервалах времени и несколько первых коэффициентов разложения в степенной ряд по времени для широкого класса процессов. В настоящей работе доказывается аналитическое неравенство, заключающее дисперсию числа нулей в вилку из верхней и нижней границ в терминах корреляционной функции процесса, основанное на той же модификации интеграла. Результат иллюстрируется примерами, в которых сравниваются эти границы с упомянутыми выше точными решениями и исправляется ошибка в одной из асимптотических формул в [12] (повторенная в [9]).

Далее рассматривается дифференцируемый гауссовский стационарный процесс с нулевым средним и корреляционной функцией p(t) = M£o£t. Выберем масштабы по осям координат так, чтобы p(0) = -p"(0) = 1, что избавляет от загромождения формул масштабными константами (штрих над символом функции означает дифференцирование ее по аргументу). Пусть nt — число нулей процесса на интервале [0,t]. По формуле Райса [5] среднее число нулей равно

N1

п

а для дисперсии имеем

D

где N2(t) = Mnt(nt — 1) —второй факториальный момент числа нулей, для которого справедлива формула [13]

2 Гt

N2

п J о

в обозначениях

/ = f

1 — (J ')2

Вследствие (1)-(2) достаточно оценить N2(t), чем и займемся, исходя из формул

(3)-(4).

Необходимым и достаточным критерием конечности интеграла (3) является конечность интеграла

Гф* <=>

J о т

при некотором малом е > 0 и при условии, что p(t) имеет непрерывную компоненту в спектре, а h(t) определяется соотношением

p

Если обозначить

Р = Р

то тогда в

= sma=^, k2 = l-p2-q2, к6 = p2r + pq2 - г.

(^1 - p2)3 k2

Докажем следующее утверждение:

при ke > 0 в интервале [0, t] имеет место неравенство 2 2

-rA-Jit) < N2

п2 п2

где

J

A_ = min

0<т <t 0<t <t

Действительно, если ke > 0, то —f'' > 0 в силу (8), и тем самым справедливо неравенство (9), в котором

J

0

Интегрируя (12) по частям, получаем

J

Выражение

/'(г) = « = 1 при r->0. 1 — p 2

Покажем на примерах, что несмотря на тривиальность неравенства (9), оно может быть весьма полезно.

Пример 1. Процесс Уонга определяется корреляционной функцией [9, с. 145]

P{t) = \<p{t)-\f{t), где ^

Для этого процесса Н(т) = 0(т3), интеграл (5) конечен, обеспечивая конечность N2(t), а f = ¥(т^

к2 = ( 1-^)2, А6 = |(1-^)3>0, 1-^ = 1(1-^(4-^),

так что при т > 0

f t \ , 2f , tg a sina = - , cosa a =--=, a =--=-,

2' V ; V3 V3

и поэтому

, w ctg а

(а + ctg а)' = —2=г- > О,

т. е. (а + ctg а) возрастает в [0,t] и

А- = (а + ctg а)|т=о = 77 + V3,

6

поскольку а

A+ = a

п2 3п 12 п2

2

в которой определена в (14). Используя формулу 1.649 на с. 66 в [16], преобразуем (15) в ряд:

^ - Б + (жттжпг2'«»' (16>

Как видим, это — асимптотический ряд при 4 ^ ж, состоящий из степенного полинома второй степени и ряда по степеням экспонент ^>2(£). В [17] степенной отрезок асимптотического ряда при 4 ^то построен для всех моментов числа нулей процесса Уонга. Формула (16) показывает, каков может быть при этом остаточный член на примере второго момента.

Сравним (15) с неравенством (9)—(11), справедливым в силу кц > 0. При 4 ^ 0 имеем А+ ^ А—, так что верхняя и нижняя границы для N2(4) сливаются в точке 4 = 0 и близки в ее малой окрестности. При 4 ^то

п

+от),

так что нижняя граница для N2

Она сильно «отстает» от степенного отрезка в (16), растущего на порядок быстрее, чем (17).

Для верхней границы N2(t) при t имеем

2 2 ( t \

sin а —^ 0, ctg а-—, - — = 2exp

и, сравнивая (18) с (16), находим, что верхняя граница растет экспоненциально быстрее, чем N2(t).

Таким образом, неравенство (9)—(11) для процесса Уонга при малых t дает тесные границы, а при больших t эти границы расходятся, причем нижняя граница все же ближе к истинному значению.

Пример 2. Одна из корреляционных функций возвратного процесса первого порядка имеет вид [9, с. 146]

у-2 UI3

Для этой корреляционной функции

1 м т3(\/3 — Г)(2А/3 — г)3

sin а = —--у= , кб =

2 2л/3 ' 216л/3

1 -р2 = - т)(2л/3 - r)2(r + V3), -/" = tg °

~Р = ТТкЛ — т [ZV о — т (т + л/ л , -J = --2—,

108 4 cos2 а

так что при 0 < г < t < а/3, как и в примере 1,

k6 > 0, а' < 0, (а + ctg а)' = -ctg2 а  а' > 0, т. е. по-прежнему (а + ctg а) возрастает в [0, а/3],

7т г—

А_ = min (а + ctg а) = —b v 3, А+ = max (а + ctg а) = a(t) + ctg a(t).

0<т <t 6 0<т <t

Для такого процесса интеграл N2(t) вычисляется в аналитической форме [9, с. 147]:

t 1 3

3п 12 П

1t

= + aresin ,

V2 2А/3

2

которую легко преобразовать в ряд

^ t 1 3 ^ 4к(k!)2 . 2к+2 . . = 3^ " 12+ ^ g (2fc + l)!(fc + 1) Sm + a(t)-

Так как кв > 0 в интервале [0, л/3], при 0 < £ < л/3 имеет место неравенство (9)— (11). Обе границы в (9)—(11) при - ^ 0 совпадают и дают главный член асимптотики N2(4):

бл/З^ поскольку

уг t2 t2

A+~A_ = l + V3, J(i)~ J"(0)?-

6 ' у / 2 6^3 '

Этот же результат получается из (19) (см. [9]).

Пример 3. Гауссовский стационарный процесс называется (2, ,0)-процессом, если при некотором с его корреляционная функция имеет вид [18]

у-2

р

В примере 2 рассматривался (2,1)-процесс, в котором Ь = 1/6\/3, с = 2%/3- Для (2,,0)-процессов интеграл (5) конечен, т.е. конечен момент N2— при 0 < - < с.

Существование таких процессов при 0 < в < 1 доказано в [18] (более подробно в [8-9]). Покажем, что и для 1 < в < 2 возможны корреляционные функции типа (20).

Корреляционный определитель случайного вектора (£0, Со; Ст ,Ст) в обозначениях (7) представляется в следующей форме [9, с.124]:

Б = det{M(eо, СО; Ст, СТ)Т(Со, С; С, С)} = кг  к8, где верхним индексом Т отмечен вектор-столбец,

к7 = (1 - г)(1 + р) - д2

= (1 + г)(1 -р) - д2.

Так как Б > 0, функции кг и к8 одного знака. С помощью этого утверждения найдем Ь и с в (20) при 1 < в < 2. Подставив (20) в (21), получаем

= т2 X

- (2 + в)х

к7 = х 2(2 + в)(1+ в) -

1

(2 + /?)(3 — ¡3) 2

(2 + в)х2]}

где

Из (22) следует, что к8 > 0 при

0 < х < х =

х = Ь  тв.

2

Найдем условия для 1 < в < 2, при которых кг > 0. Производная по 4 от выражения в фигурной скобке в (23) равна

Л—в

К (х),

где

22

К(х) = 2 - в - (2 + в)(3 - в)х + (2 + в)2х

Корни полинома К(х) суть

х1=

2-/3

2 + /3

и х2 =

2 + в'

а К(0) = 2-в > 0, т. е. при 1 < в < 2 (когда в (28) хх < х2) в интервале [0, хх) полином (27) положителен и тем самым в этом интервале выражение (26) не положительно, что влечет за собой убывание функции в фигурной скобке в (23). Так как

х^ х 1 —

> 0 при 1 <в < 2,

2

0 < хх < х*. Обозначим ^ = (хх/Ь)1/в. Минимум в фигурной скобке в (23) при 0 < т < ^ достигается в точке т = ^ (соответственно, х = хх) и равен

4-2 —в

2(2 + /?)(!+ /?)- -|_[/^-2(1 +

2

2

х

х

Ь

1

т. е. не отрицателен при 1 < в < 2, а это равносильно кг > 0, что и требовалось доказать.

Таким образом, если взять в

с = ti =

2 - ß

Lb(2 + ß)J

i/ß

то при 0 < т < с корреляционный определитель Б не отрицателен, т. е. при таком с возможно существование (2,в)-процесса (при больших с — невозможно). Несложно показать, что

k2 = т

4

2

4

> 0,

т5_ßx2 „,2.

к'6к2 - к6к'2 =--—

4b

Так как в силу

, /ke \' k'6k2 - кбк2

(sma) =U =—ц—'

из (29) заключаем, что (sin а)' < 0, т.е. sin а убывает при малых т. Следовательно,

(а + ctg а)' = — ctg2а • а'. > 0,

и мы имеем право использовать неравенство (9)—(11) для (2^)-процесса в окрестности нуля, причем A_ = limT^о(а + ctg а).

Поскольку lim^o A+ = A_, главный член асимптотики N2(t) при t ~ 0 получается сближением верхней и нижней границы в (9). В силу

ß ß y/4 — ß'i

J(t) = t — arccosp(t) = bt1+l3(l + o(l)), sin а ~ —, = aresin — + ———-,

находим

N2

2 ' ß

что получено в [12] иным путем.

Пример 4. Как показывают последние два примера, главный член асимптотики N2(t) при t ^ 0 можно выделить, опираясь на неравенство (9)—(11), причем зависимость от t входит только от сомножителя J(t). Имеет смысл использовать этот прием для более общих процессов, корреляционная функция которых допускает в окрестности нуля представление

p

Очевидно, интеграл

, th' , t2h" , , N со = lim-—, ci=iim—— при 110,

40 h 40 h

так что

ф) = -р'

В [18] и [8, с. 141] доказано, что 2 < с0 < 4(2 + л/3), 2 < сг < 4(с0 - 1). Предположим, что

С2 = 4

т.е. верхняя граница для С1 не достигается. Используя

к2 ^ 2(co~í)h, kg ~ (2 + ci — 2co)h > О, sin а ~ ^ 1———, ctg а ^  V 0 2

2(cq - 1) ' 0 2 + ci - 2co'

~ = lim (а + ctg а) = aresin —^ + / ^ J(í) ~ t  g(t),

т|0 2(cq — 1) 2 + ci — 2cq

и поэтому

*<«>+ '9W

В случае (2, ^)-процесса имеем cq = 2 + ß, ci = (2 + ß)(1 + ß), c2 = (2 — ß)(1 + ß), g(t) = btß, так что из формулы (35) получаем (30).

В следующем примере c2 = 0, но по-прежнему главный член асимптотики при t ^ 0 получается с помощью неравенства (9)—(11).

Пример 5. Пусть p(t) = exp(—12/2). Это корреляционная функция аналитического процесса. Для него

q = тр, r = (1 — т2)p, k2 = 1 — p2 — т2p2, кб = (p2 — 1 + т2)p > 0.

Очевидно, в (31) h(t) = t4/8 и интеграл (5) конечен, т.е. N2(t) < ж.

Докажем, что sin а убывает в [0, ж). Обозначим x = т2, p2^) = pi(x) = exp(—x). В этих обозначениях

sin а = y/píK, где К = -^ ^ х _

1 — p i — p i x

Производная от (36) по x равна

где

Л

Докажем, что Л^) < 0.

Переобозначим в (38) y = pi, x = — lny, Л^) = A(x), так что при x G [0, ж) имеем

y G

vio

Дифференцируем последовательно A(y):

A'(y) = -& + by+- -2(l + y)lny-ln2y, A'(1)=0, \imA'(y) = oo,

y vio

2 1 2 In у

---2 ~2ЫУ-->

У У2 y

2

A"(y) = 3-----21ny- —Л A"( 1) =0, \imA"(y) = —oo,

A"'(y) = —B(y), где B{y) = l-y¿ +y\ny, B{ 0) = 1, B(l) = 0. y3

В свою очередь,

B'(y) = 1 + lny - 2y, limB'(y) = -ж, B'(1) = -1.

y\.0

Функция B'(y) имеет в точке y =1/2 максимум, равный — ln2, т.е. B'(y) < 0, а потому B(y) монотонно убывает и A'''(y) > 0 при y < 1. Тем самым A''(y) возрастает и A''(y) < 0 при y < 1, т.е. A'(y) убывает и A'(y) > 0 при y < 1. Следовательно, A(y) возрастает до 0, т.е. A(y) = Л(ж) < 0 в силу (39), что и требовалось доказать (см. (37)).

Поскольку (а + ctg а)' = — ctg2а • а' > 0, то а + ctg а — возрастающая функция. Неравенство (9)—(11) применимо во всем диапазоне t € [0, ж), ибо кб > 0 при таких t.

Параметры (32) и (34) для данной корреляционной функции имеют вид со = 4, с i = 12, С2 = 0. Поэтому асимптотическую формулу для N2(t) при t ~ 0 нужно вывести заново.

Так как ~ ж2/2, ~ ж2/2, ^/р~ ~ 1 при х = t2 ~ 0, получаем

кб п п t3

sin а = — ~ 1, ctg а ~ ~ А~ = 2' ^ ~ 12тг'

Используя неравенство (9)—(11), в итоге имеем

t3

N2

12п

Формула

6- 1

У 16a2gi

так что формулу (9) в [9] нужно заменить на

_ ,Ъ-1 ^^^ /6-1 ; 7Г /6-1

V 16а2 у 16а231 8 V а2

а итоговую формулу (10) на с. 156 в [9] заменить на

ЛГ2

Для процесса с = ехр(— Ь2/2) имеем Ь = 3, так что из (40) следует (39). Заметим, что в [9] и [12] при вычислении главного члена асимптотики использовалась форма -2(Ь), предложенная в [11], более сложная, чем (3), что и привело к отмеченной выше ошибке.

Литература

1. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. 624 с.

2. Аксенова О. А., Халидов И. А. Шероховатость поверхности в аэродинамике разреженного газа: фрактальные и статистические модели. СПб.: Изд-во ВВМ, 2004. 120 с.

3. Большая энциклопедия нефти и газа / http://www.napedia.ru

4. Хинчин А. Я. Работы по математической теории массового обслуживания / под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Физматгиз, 1963. 236 с.

5. Райс С. О. Математический анализ случайного шума / пер. с англ. // Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. М.: 1953. С. 88—238.

6. Azais J.M., Wschebor M. Level sets and extrema of random processes and fields. N. Y.: Wiley, 2009. 393 p.

7. Тихонов В. И., Хименко В. И. Выбросы траекторий случайных процессов. М.: Наука, 1987. 307 с.

8. Мирошин Р.Н. Пересечения кривых гауссовскими процессами. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. 212 с.

9. Мирошин Р. Н. Случайные процессы и поля (учебное пособие). СПб.: НИИХ С.-Петерб. ун-та, 2003. 284 с.

10. Мирошин Р. Н. О распределении числа нулей процесса Уонга на большом интервале времени // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. Вып. 3. С. 809-816.

11. Steinberg H., Schultheiss P.M., Wogrin C.A., Zweig F. Short time frequency measurements of narrow-band random signals by means of a zero counting process //J. Appl. Phys. 1955. Vol.26. N2. P. 195-201.

12. Мирошин Р. Н. Об асимптотике дисперсии числа нулей гауссовского стационарного процесса // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1999. Вып. 1. С. 22-28.

13. Мирошин Р. Н. О дисперсии числа нулей гауссовского стационарного процесса. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2001. Вып. 1. С. 40-47.

14. Мирошин Р. Н. О неравенствах для дисперсии числа нулей некоторых стационарных гаус-совских процессов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2004. Вып. 2. С. 56-63.

15. Мирошин Р. Н. О дисперсии числа нулей некоторых стационарных гауссовских процессов: малые отклонения от простых решений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2006. Вып. 1. С. 50-59.

16. Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

17. Мирошин Р. Н. Степенной отрезок асимптотического ряда для моментов числа нулей процесса Уонга на большом интервале времени // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1995. Вып. 2. С. 36-42.

18. Мирошин Р. Н. Асимптотическая оценка второго момента числа пересечений прямой kt+a гауссовским стационарным процессом и ее использование в теории разреженного газа // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1976. Вып. 13. С. 101-107.

Статья поступила в редакцию 27 марта 2014 г.

Сведения об авторе

Мирошин Роман Николаевич —доктор физико-математических наук, профессор; miroshin-roman1938@yandex.ru

THE EASY INEQUALITY FOR THE VARIANCE OF THE NUMBER OF ZEROS OF DIFFERENTIABLE GAUSSIAN STATIONARY PROCESS

Roman N. Miroshin

St.Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St.Petersburg, 199034, Russian Federation; miroshin-roman1938@yandex.ru

It is known that the variance of the number of zeros of differentiable Gaussian stationary process on a finite time interval is represented as the integral of complex integrand which has a special feature in the neighborhood of zero to make it difficult to computer calculation. In the article for a wide class

of correlation functions it is proven inequality to estimate both the top and bottom of the variance in terms of elementary function and without using integrals. Two examples demonstrate the the limits to the effectiveness of this inequality by comparison with earlier established formulas of variance of particular cases of processes for which the variance is also calculated without integrals. In the other three examples the inequality is used for to get the main term of the asymptotic of variance of the number of zeros on the small interval of time. Also in the latter example bounds of the variance of analytical process are estimated on any time intervals. Refs 18.

Keywords: differentiable Gaussian stationary process, the variance of the number of zeros, correlation function, inequality for the variance, Wong process, asymptotic.

ХРОНИКА

24 апреля 2014 г. на заседании секции теоретической механики им. проф. Н. Н. Поляхова в Санкт-Петербургском Доме Ученых РАН выступила доктор физ.-мат. наук, профессор Е. А. Иванова (Санкт-Петербургский государственный политехнический университет) с докладом на тему «Неклассические частицы и их использование при моделировании сред с немеханическими свойствами».

Краткое содержание доклада:

Рассматриваются частицы общего вида, обладающие дополнительными инерционными характеристиками по сравнению с твердыми телами. Динамические свойства этих частиц существенно отличаются от динамических свойств обычных твердых тел. В частности, при свободном движении такой частицы ее траектория не является прямой линией, а при движении вблизи притягивающего центра ее траектория — это не плоская кривая, а пространственная. Предлагается использовать эти частицы в качестве механических моделей элементарных частиц и квазичастиц — электронов, фотонов, фононов и т. д. Предлагается также использовать их при построении моделей сплошных сред, обладающих не только механическими, но и тепловыми или электромагнитными свойствами.