Структурный синтез кинематических цепей рычажных механизмов

Список литературы

1.Accyp Л.В. Исследование плоских стержневых механизмов с низшими парами с точки зрения ихструктуры и классификации//Известия СПб.: Изд-во СПб. политехнического ин-та, 1913.

2.Кожевников С.Н. Основания структурного синтеза механизмов. - Киев: Наукова думка, 1979. - 232 с.

3.Крохмаль H.H. Структурный анализ и синтез групп Ассура//Известия вузов. - М.Машиностроение. 2002. - №2. - С. 24-30.

4.Лекиуи по теории графов/ В.А. Емеличев и др.- М.: Наука, 1990,- 384 с.

5.Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973. - 301 с.

6.Липский В. Комбинаторика для программистов. - М.: Мир, 1988. - 213 с.

H.H. Крохмаль, О.Н. Крохмаль Курганский государственный университет

СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Если граф любой СГ путём операции расщепления вершин можно представить в виде дихотомической цепи то, очевидно, что из подобной цепи путём обратных действий можно получить граф группы Ассура, либо граф последовательно соединённых групп.

Рис. 1. Исходный граф

Исходный граф, подобный графу, изображённому на рисунке 6, может состоять из любого числа последовательно соединённых диад. В этом случае операция синтеза графа группы Ассура сводится к совмещению висячих вершин исходного графа с его внутренними вершинами, т.е. операция совмещения вершин является обратной к операции расщепления вершин.

Исходному графу всегда можно сопоставить исходную матрицу смежности (табл. 1). Такая матрица содержит (2 • d +1) столбцов и d - строк, здесь d - количество диад в исходном графе. В исходном графе пронумерованы сначала внутренние вершины, а затем висячие. Матрица поэтому состоит из двух половин. В левой части расположены столбцы с номерами внутренних вершин, а в правой с номерами висячих вершин. Буква «е» в матрице означает, что из внутренней вершины, соответствующей номеру строки выходит ребро во внутреннюю вершину, соответствующую номеру столбца. Цифра 1 в правой части исходной матрицы означает, что из вершины, соответствующей номеру строки выходит ребро в висячую вершину, соответствующую номеру столбца. Буква «/» означает то же, что и цифра «1», но используется для удобства описания матрицы.

Таблица 1

Матрица смежности исходного графа

J4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1

1 X е 1 X X X X X X

2 X X е 1 X X X X X

3 X X е 1 X X X X

4 X X е 1 X X X

5 X X е 1 X X

6 X X 1 i

Операция совмещения вершин в исходном графе, приводящая к синтезу графа СГ или в общем случае графа кинематической цепи, соответствует в исходной матрице перемещению "1" вдоль строки из правой части матрицы в какую-либо свободную клетку левой части. В графе группы Ассура не может быть петель и двойных дуг, поэтому соответствующие клетки отмечены значком "х". Таким образом, синтез графов СГ сводится к перебору вариантов размещения "1" в левой части матрицы, путём их перемещения из правой части.

Перемещение "1" в пределах правой части матрицы соответствует образованию внешней вершины второй степени и является частным случаем. Однако, интересно отметить, что совмещение двух висячих вершин, инцидентных одному ребру даёт треугольное звено с внешней вершиной, а совмещение висячих вершин, инцидентных разным рёбрам, приводит к образованию "парадоксальных" групп [1]. Принципиально возможно совмещение и трёх и большего числа висячих вершин исходного графа.

Выше отмечалось, что из исходного графа можно получить как графы СГ, так и графы более сложных составных кинематических цепей. Имеет смысл синтезировать группы Ассура отдельно. Очевидно, при этом на перемещение "1" в исходной матрице накладываются некоторые ограничения. Рассмотрим эти ограничения подробнее.

Во-первых, в правой половине исходной матрицы должно оставаться всегда не менее четырёх "1", соответствующих четырём внешним кинематическим парам. Действительно, если в графе СГ отбросить все внешние вершины с инцидентными им рёбрами, то получится граф замкнутой кинематической цепи, степень подвижности которой должна быть 1, иначе это будет не кинематическая цепь, а базовое звено. Но существует только одна такая группа. Другие группы, содержащие одно базовое звено, не могут содержать более трёх поводков (четырёх звеньев), т.к. в этом случае условие статической определимости будет:

м> = 3-п-2-(п-1)-2 = -п + 4 = 0 , (1) где \л/ - степень подвижности кинематической цепи, оставшейся после удаления всех внешних вершин вместе с поводками; п - число звеньев в группе.

Откуда п=4, (при п > 4, то \л/ < 0).

Если степень подвижности внутренней кинематической цепи больше или равно 1, то для неё можно записать следующее неравенство:

м> = 3-

где п - число рёбер (звеньев) графа (кинематической цепи); р - число кинематических пар.

Число рёбер в графе после отбрасывания внешних вершин определяется следующим соотношением:

й = 2-б/-5,

где с1 - число диад в исходном графе, б - число отброшенных поводков (единиц в правой части матрицы смежности).

Число кинематических пар в оставшейся кинематической цепи даётся выражением:

р = 2-

Подставим (3) и (4) в (1), после преобразований будем иметь:

м/ = я-3 >1 или я>4 , что и даёт минимально возможное число "1" , которое должно оставаться в правой части исходной матрицы.

Во-вторых, СГ должна быть неразделимой на более простые кинематические цепи. Но каков смысл это-

14

вестник кгу, 2008. №3

го ограничения? Ведь иллюстрации, приведённые выше, наглядно показывают, что механическое разделение возможно. Смысл определения неразделимости кинематической цепи СГ можно понять, исходя из следующих рассуждений. Если СГ - неразделимая механическая система, то при образовании её графа висячие вершины нижнего уровня исходного графа обязательно присоединяются к его внутренним вершинам таким образом, чтобы координаты клеток (п,1Т1) и (у) любых двух ближайших строк левой половины исходной матрицы, в которых располагаются "1", удовлетворяли соотношениям: п > I, i > т, j < Т.

Таким образом, осуществляется обратная связь между диадами в СГ (рис. 2).

ТП5

6 7 9 10

Рис. 2. Линейный граф группы Ассура

В графе структурной группы все внутренние вершины охвачены обратными связями - это признак группы, соответствующий тому, что понимается под термином "неразделимая".

Наличие обратных связей в СГ, перекрывающих все вершины в её графе, соответствует тому факту, что уравнения, описывающие связи между вершинами, в ней образуют единую систему уравнений, не распадающуюся на подсистемы, которые можно решать отдельно и последовательно друг за другом.

В механизме между группами Ассура обратные связи отсутствуют, поэтому и можно проводить анализ механизма последовательно по группам, решая системы уравнений для каждой группы отдельно.

Если две или более группы Ассура соединить между собой так, чтобы в линейном графе получившейся системы обратные связи перекрывались, то в этом случае образуется новая группа Ассура (рис. 3).

В-третьих, в графе СГ не может быть двойных дуг Их присутствие означало бы, что в кинематической цепи имеются дублирующие звенья. Поэтому в левой половине матрицы графа СГ не должно быть симметрично расположенных относительно главной диагонали "1". Алгоритм перебора вариантов размещения "1" реализован в компьютерной программе с возможностью проводить синтез как групп Ассура так и составных кинематических рычажных цепей.

При синтезе схем структурных групп получается много изоморфных графов. Требуется проводить отбор их неизоморфных представителей. Это типичная задача теории графов в математике. Существует достаточное количество алгоритмов решения такой задачи, например [2]. Но при переборе большого числа вариантов необходим алгоритм, дающий высокую скорость расчётов применительно к условиям задачи. В этом случае можно применить алгоритм, приведённый в [3], модифициро-

вав его для матриц смежности вершин синтезированных графов.

При синтезе графов СГ рассмотренным способом возникает также задача, суть которой можно понять из рисунка 4. Группа Ассура, представленная графом (а), идентична группе, представленной графом (б). Но графы (а) и (б) неизоморфные. Граф (а) имеет специфическую вершину 6, в которой отсутствует относительная подвижность всех инцидентных ей рёбер. На практике такая вершина может служить для образования в ней кинематической пары с другой структурной группой. Аналогичная вершина может быть образована на любом звене путём присоединения к нему диады. Назовём вершины, аналогичные вершине 6 (рис. 4) пассивными. При выполнении синтеза графов групп Ассура имеет смысл отбраковывать графы, содержащие такие вершины.

Отличительное свойство пассивных вершин, отмеченное выше, позволяет составить алгоритм для их выявления, предусматривающий следующие действия с матрицей смежности:

1) выбираем очередное ребро графа, неинцидентное висячей вершине;

2) находим вершины, смежные с обеими вершинами, инцидентными данному ребру графа. Таким образом, устанавливаем множество вершин и соответственно рёбер, принадлежащих базовому звену;

3) для каждого ребра базового звена выполняем п.2 до полного исчерпания вершин;

4) проверяем каждую вершину базового звена, имеет ли она инцидентную вершину, не принадлежащую базовому звену;

5) если обнаружена вершина базового звена, не имеющая инцидентных вершин вне этого звена, то она является пассивной и граф может быть отбракован.

Существует пять видов плоских диад, поэтому может быть поставлена классическая задача комбинаторики для каждого синтезированного графа СГ. А именно, определение комбинаций расположения диад каждого вида в дихотомической цепи этого графа.

Изложенный метод структурного синтеза, основанный на выявленных общих структурных свойствах кинематических цепей, принципиально позволяет построить все возможные группы Ассура на основании чёткого алгоритма, реализованного в компьютерной программе.

Список литературы

1.Peisach E., Dresig H., Schonherr J. Typ- und Masssyhthese von ebenen Koppelgetrieben mithoeheren Gliedgruppen (Zwischenberichtzum Fortsetzungsantrag). - DFG - Themennummer: Dr234/7-1, TU Chemnitz, Professur Maschinendynamik / Schwingunglehre, Professur Getriebelehre. Chemnitz, 1998.

2.Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. -М.: Наука; Физматлит, 1999. - 544 с.

3.Пейсах Э.Е. Метод идентификации структурных схем рычажных механизмов //Проблемы машиностроения и надёжности машин. -1995. - №5. - C. 18-23.

серия «технические науки», выпуск 4

15