О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктность

Владикавказский математический журнал Январь-март, 2004, Том 6, Выпуск 1

УДК 517.98

О БИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ,

СОХРАНЯЮЩИХ ДИЗЪЮНКТНОСТЬ

А. Г. Кусраев, С. Н. Табуев

Светлой памяти Юрия Абрамовича, доказавшего, что из дизъюнктных осколков можно делать красивые теоремы и достойную судьбу.

Показано, что порядково ограниченный билинейный оператор, действующий в векторных решетках и сохраняющий дизъюнктность, регулярен. В случае, когда решетка образов порядково полна, дано описание порядкового идеала, порожденного множеством решеточных биморфизмов в пространстве регулярных операторов. В качестве вспомогательного средства выведены формулы как общего порядкового исчисления, так и дизъюнктного исчисления Абрамовича для билинейных регулярных операторов.

Введение

Теория линейных регулярных операторов в векторных решетках вместе с широким кругом разнообразных приложений хорошо освещена в монографической литературе, см. [2-4, 6, 11-13]. При этом обращает на себя внимание тот факт, что, несмотря на серьезные продвижения в исследовании порядковой структуры линейных операторов, билинейные операторы изучены мало с точки зрения их порядковых свойств. В работе [5] была указана желательность систематического исследования билинейных положительных и регулярных операторов. В настоящей статье рассмотрены билинейные операторы, сохраняющие дизъюнктность, и изучены некоторые их структурные свойства.

Статья организована следующим образом. В первом параграфе даны необходимые для дальнейшего вспомогательные сведения. Второй параграф посвящен выводу формул для вычисления конечных и бесконечных решеточных операций для билинейных регулярных операторов. В частности, показано, что имеет место вариант порядкового исчисления, названный в [10] исчислением Абрамовича. В третьем параграфе, рассмотрены билинейные операторы, сохраняющие дизъюнктность. Четвертый параграф посвящен описанию идеала, порожденного решеточными биморфизмами.

Все необходимые сведения из теории векторных решеток можно найти в [4] и [6]. Всюду в тексте рассматриваемые векторные решетки считаются архимедовыми.

© 2004 Кусраев А. Г., Табуев С. Н.

1. Предварительные сведения

В этом параграфе вводится класс регулярных билинейных операторов и соответствующая конструкция тензорного произведения векторных решеток.

1.1. Пусть /-Л /•’ и (7 — векторные решетки. Билинейный оператор Ь : Е х Р —>• О называют положительным, если Ь(х,у) ^ 0 для всех х € Е+ и у £ Р+. Разность положительных билинейных операторов именуют регулярным,. Как видно, билинейный оператор 1> : !] • /•’ —г (>' положителен в том и только в том случае, когда для любых х £ Е+ и у £ частичные операторы

Ьх-У И- Ъ{х, у)

положительны. Пусть В/,. (/Л /•’: Г/) и />’//(/Л /•’: Г/) обозначают соответственно множества положительных и регулярных билинейных операторов из Е х Р в О. Тогда ВЬТ(Е, Р; О) — векторное пространство, а />’/,. (/Л Р; О) — острый конус, определяющий в нем векторный порядок. Билинейный оператор назовем порядково ограниченным, если он каждое порядково ограниченное множество переводит в порядково ограниченное множество. Ясно, что билинейный регулярный оператор порядково ограничен, но обратное, вообще говоря, неверно.

1.2. Если (7 пространство Канторовича, то множество регулярных билинейных операторов В/Д /Л /•’: (!) из Е X Р в О с порядком, определяемым конусом В /, . (/Л /•’: (!). является пространством Канторовича.

<\ Отображение, сопоставляющее элементу х £ Е частичный оператор Ъх, осуществляет линейный изоморфизм между ВЬГ(Е, Р; (7) и ЬГ(Е1 ЬГ(Р, (7)). Так как при этом множества В/,. (/Л /•’: (7) и Ь+(Е, Ьг (Р,0)) биективны, то указанное отображение является порядковым изоморфизмом упорядоченных векторных пространств. Отсюда и вытекает требуемое в силу теоремы Рисса — Канторовича, см. [4; теорема 3.1.2]. >

1.3. Билинейный оператор 1> : !] • /•’ —г (>' называют решеточным биморфизмом, если для любых х £ Е+ и у £ частичные операторы Ъх и Ьу являются решеточными гомоморфизмами. Следующий результат установлен Д. Фремлином в [7].

Теорема. Пусть 1-] и /•’ — векторные решетки. Тогда существуют единственная с точностью до решеточного изоморфизма векторная решетка Е <3> Р и решеточный биморфизм ф, удовлетворяющие следующим условиям:

(1) если (7 — векторная решетка и ф : !] • /•’ —г (>' — решеточный биморфизм, то существует единственный решеточный гомоморфизм Т : Е 0 Р —>• (7 такой, что Т о ф = ф;

(2) ф индуцирует вложение алгебраического тензорного произведения ЕР

в Е 0 Р;

(3) Е 0 Р плотно в Е 0 Р в том смысле, что для произвольного V £ ЕР существуют хо £ Е+ и у о £ такие, что при любом е > 0 существует и £ Е 0 Р, для которого |г> — «| ^ ехо 0 уо;

(4) если 0 < V £ Е 0 Р, то существуют такие элементы х £ Е+ и у £ что

О < х 0 у ^ г>.

Решеточный биморфизм <^, фигурирующий в формулировке теоремы, принято обозначать символом 0 или даже 0.

1.4. Если Ео и Ро — векторные подрешетки 1-] и /•’ соответственно, то тензорное произведение Ео 0 Ро изоморфно векторной подрешетке вй0^, порожденной множеством

Ео 0 Ро (см- Д- Фремлин [7]). На этом основании считают просто, что Ео 0 Ро — иодре-шетка в Е 0 Р. Кроме того, из пункта (3) предыдущей теоремы видно, что если Ео и р0 — массивные подрешетки, то Ео 0 Ро будет массивной подрешеткой.

Д. Фремлин [7] установил также следующее важное свойство введенного им тензорного произведения векторных решеток: если 1-]. /•’ и (7 — векторные решетки, причем

О полно относительно сходимости с регулятором, то для любого положительного билинейного оператора 1> : !] • /•’ —г (7 существует единственный линейный положительный оператор Т : ЕР —>• (7 такой, что Т0 = Ъ. Однако имеет место несколько более сильное утверждение.

1.5. Теорема. Пусть Е. /•’ н (7 — векторные решетки, причем (7 полно относительно сходимости с регулятором. Тогда отображение Т и- Т0 устанавливает изоморфизм между упорядоченными векторными пространствами ЬТ(Е 0^,(?) и Н//(/Л Р; (7).

<\ Это следует из указанного выше свойства в силу отмеченного в 1.2 изоморфизма

1.6. Пусть Р и /•’ — векторные решетки, а І7 — К-пространство. Положительный

билинейный оператор 1> : 1-І • /•’ —г (7 является решеточным биморфизмом тогда и только тогда, когда для любого билинейного оператора (I : Е - /•’ —г (7. удовлетворяющего неравенствам 0 ^ (1 ^ Ъ, существует ортоморфизм р Є ОгШ((7) такой, что 0 ^ р ^ 1д и (1 = р о Ъ.

<1 Следует из 1.5 силу теоремы Кутателадзе (см. [4; 3.3.4 (1)]). >

Сформулируем еще один результат из [5], скалярный случай ((7 = Ж) которого установлен в [7].

1.7. Пусть Р и <2 — компакты (= хаусдорфовы компактные топологические пространства), а Є — произвольное К-пространство. Пусть І-] и /•’ — векторные подрешетки соответственно в С (Р) и С (О), разделяющие точки и содержащие константы. Для любого регулярного билинейного оператора 1>: 1-І • /•’ —г (7 существует единственная ограниченная счетно аддитивная квазирегулярная борелевская О-значная мера р := рь на Р х Я такая, что

Отображение Ь рь осуществляет линейный и порядковый изоморфизм между пространством билинейных регулярных операторов Н //(/Л /•’: (7) и пространством ограниченных счетно аддитивных квазирегулярных борелевских мер Ъцса,(Вог(Р х ф), (7).

<1 Билинейный регулярный оператор 1> : !] • /•’ —г (7 удовлетворяет неравенству

гДе 11 • 11 оо — равномерная норма, а 1р и 1 д — единичные функции на Р и ф. Отсюда видно, что Ь допускает продолжение до билинейного регулярного оператора Ь, определенного на С(Р) х С (О). Оператор Ь единственным образом представляется в виде Ь = Т0 для некоторого линейного регулярного оператора Т : С(Р)С(0) —>• <7. Так как С(Р)С(0) равномерно плотно в С(Р х ф), то Т допускает продолжение до линейного регулярного оператора Т : С(Р х ф) —>• (7, так что имеет место представление Ь = Т0. Остается применить теорему М. Райта, см. [4; теорема 6.2.11 (2)]. >

между Ви(Е, Р; О) и ЬГ(Е, ЬТ{Р, О)). >

Рхд

\Ь(хіУ)\ < |Ь|(іМуі) < |Ь|(ІІІІоо1р, ІІУІІооїд) = \Ь\(1рАсз)\\х\и\у\

2. Порядковое исчисление

Как следует из 1.2, если (7 пространство Канторовича, то множество регулярных билинейных операторов из 1-] - /•’ и (7 является ^-пространством. В этом параграфе приведем формулы для вычисления решеточных операций в этом пространстве.

2.1. Пусть /-Л /•’ и (7 векторные решетки, а Ьо : Е+ х - оператор, ад-

дитивный и положительно однородный по каждому из аргументов. Тогда существует и притом единственный билинейный оператор 1>: !] • /•’ —г (7. продолжающий Ьо. При этом Ъ положителен в том и только в том случае, когда Ьо(Е+ х £+) С (7+.

<1 Для .г (г /‘Л у £ /•’ билинейный оператор Ь определяется формулой

Ъ{х,у) := Ъо{х+,у+) - Ъо{хГ,у+) - Ъо{х+,у^) + Ъо{хГ,у-).

Элементарное доказательство того, что оператор Ь билинеен, почти дословно повторяет рассуждения из [9] для случая В = ^ и С = 1. >

2.2. Пусть к(г) £ N и х, у},..., у^ £ Е+ таковы, что х = у\ +    + у^ для каждого г = 1,... ,п. Тоща существует набор элементов (ж|)|^1 С Е+, где N := ПГ=1 такой, что справедливы следующие утверждения:

(1) хг Н----\-хм = х;

(2) для каждого { = 1 существует функция 9ъ : {1,...,]У} —>•

{1,..., к(г)} такая, что

Уг= X] щ 0':=

(3) если у| _1_ у* для всех г = 1,...,пи1^8,К к(г), з ^ то элементы из

набора попарно дизъюнктны.

<1 Доказательство опирается на следующую форму леммы о двойном разбиении (ср. [4; 1.3.3 (3)]): Если щ,... ,ип £ £7+ и»1,...,»га £ £?+, причем «х + • • • + ип = + • • • + г>т,

то существует двойная конечная последовательность (гиу)^1™ -=1 элементов гоу £ Е+ такая, что

п т

С? = 1,-^г«у=«г (г = 1,..., п).

г=1 .7 = 1

Требуемое устанавливается индукцией по п. При п = 2 имеем у{ + • • • + у^1^ = у| + ’ ’ ’ + у^2\ следовательно, по лемме о двойном разбиении (при п := к{ 1) и тп := й(2)) можно подобрать Wi.j £ £7+ так, что

£

^2тг,з=У1 0 := 1,   , Аг(2)), ^ = у*! (г := 1,..., Лг(1)).

г=1 .7=1

Пусть := N2 : = к(1)к(2) и для 1 ^ I ^ положим Ж| := аду при I := (г — 1)&(2) + ,? (г = 1,..., &(1), j = 1,..., &(2)) (т. е. элементы матрицы ||гиу|| нумеруются подряд, строка за строкой), функции 9\ : {1,...,]\Г} —>• {1,... , к(1)}, 02 : {1,...,]\Г} —>• {1,...,&(2)}

определим условиями: 9\{1) := у и #2(0 := Ь если I = (г — 1)к(2) + 3. Тогда (х^^, &1 и

02, удовлетворяют условиям (1) и (2). При этом очевидно, что если у| _1_ у* для г = 1,2

и 1 ^ к(г), я ф 2, то и набор (ж|)|^1 состоит из попарно дизъюнктных элементов,

т. е. выполнено (3).

Предположим теперь, что требуемое утверждение верно для п — 1 > 2 и докажем его справедливость для п. Итак, существуют набор элементов С Е+ и функции

0- : {1,..  ->• {1,.. ,£(*)}> где N := х := к(1) ...к(п- 1), такие, что у\ Н-------Ь

Уп ^ = х[ н------'тх'мп-г и у1 = ^в'.{1)=] Х1 и =    5 &(*)> * = 1,    ,п — 1)- В силу леммы о

двойном разбиении (при п := и ш := &(п)) найдутся элементы г«у £ -Б такие, что

N„-1 &

^2™г,з=У1 и = 1, >£(«))> {г = \,...,Нп-1).

г=1 ^'=1

Занумеруем элементы гиу в одну последовательность (ж|), где 1^1^ ]УП := Нп-1к(п), так же, как и выше, т. е. положим Ж| := ипри I := (г — 1)&(п) +.7 (г = 1,..., =

п

1,... ,к(п)). Из рекуррентной формулы ]УП = Нп-1к(п) видно, что -/V := ]УП = Л &(г).

г=1

Далее, заметим, что

дт ^«-1 к

12х1=12 £"'-./ = И -,:-

1=1 г=1 .7 = 1 г=1

т. е. (Ж|)^1 — разложение элемента ж. Очевидно, что 9п определяется условием: 9п{1) = j при I = (г — 1)&(п) + у, г = 1,,,,, АГтг_х. Чтобы определить 0* при г <п, выразим у^ через аду, используя уже имеющиеся функции 9\:

к

у{ = ^ Ж| = X/ '^2/и)1--8= X/ ж(1-1)/г(п)+5-в;(о=5 в{(о=^ 5=1 т=з

1 ^8^к

Таким образом, следует положить 0Др) = у в том случае, если р(1 — 1 )к(п) + з, 9[{1) = j и1^^ &(п). Тогда выполняется (2).

Наконец, если у|,,,,, у^  попарно дизъюнктны при всех г = 1,..., п, то в силу индукционного предположения элементы х[,... ,Ждг„ 1 попарно дизъюнктны. Но тогда, как мы видели выше, индукционный шаг, состоящий в применении леммы о двойном разбиении, также приводит к попарно дизъюнктному набору элементов. >

Всюду далее в 2.3-2.7 и /•’ — векторные решетки, а Сг —^-пространство.

2.3. Для любых элементов х £ Е+, у £ Р+ и операторов ..., Ь; £ И//(/Л /•’: О) имеют место следующие формулы:

П 771

(bi V • • • V bi)(x,y) = sup

bk

l г=1 j=l

n m

(i>i A • • • A bi)(x,y) = inf 2J2J bk(i,j){Xil yj) f 7

I i=l j=l )

где точные границы берутся по всем n,m £ N, к : {1,... , n} х {1,..., m} —>• {1,..., 1}

и наборам х\,... ,хп £ Е+, yi,... ,ym £ F+, удовлетворяющим условиям Y^i=i xi = х>

ЕП

г=1 Уз = У’

<1 Доказательство проведем при I = 2. Пусть ЬХ,Ь2 : Е —>• Ег(Р,0) — частичные операторы для билинейных операторов 61,62 5 т- е- Ыс '= (bj)x, І := 1,2. Воспользуемся изоморфизмом пространств ВЬГ(Е, Р; О) и ЬГ(Е, Ьт (Е, Є)) и применим теорему Рисса — Канторовича (см. [4; теорема 3.1.2]):

(Ь\ V 62) (ж, у) = {Ъ1Х V Ь^) (у) = эир | (Ъ1Х1 +Ъ2Х2) : жі + Ж2 = ж; жі, Ж2 Є Е.

= sup < ^(Ь* 1 + b2x2)(yj) ' ж) + Xj = ж; ж), x2j Е -Е+,

Ij=l J J

у = yi + • • • + ym; yi,. . . , ym E F+ I.

Для всех наборов пар ж^,ж| таких, что ж = ж^ +ж|, согласно 2.2 можно подобрать разложение ж = 1 такое, что каждый элемент ж|, где k = 1 или к = 2, можно представить

как сумму из элементов этого разложения. Заменив ж| на соответствующие суммы из разложения (ж*) получим требуемую формулу

{пт ^

ЕЕ Ьк

г=1 j=1 )

Вторая формула доказывается аналогично. >

2.4. Для любых х Е Е+, у Е F+, b Е BLT(E, F; G) справедливы следующие формулы:

{пт ^

ЕЕ e(i,j)b(xt,y3) >, j = l j = 1 J

{пт ^

г=1 j=l J

где точные границы берутся по всем n, m Е N, е : {1,...,п} х {1,...,ш} —>• {0,1} ж

наборам xi,..., хп Е -Е+, y\,...,ym Е -F+, удовлетворяющим условиям х% = ж ж

Em

3=1 Уз = У-

<\ Эти формулы содержаться в 2.3 как частные случаи. >

2.5. Для любого оператора b Е BLr(E,F; G) справедливы формулы:

{n m

ЕЕ |Ь(жг,у,)| : ж,е£, у, Е F,

j = l j = l

71 771 ^

|ж*| = ж, |у^| = у; п, ш € N > (ж € Е+, у Е Е+);

i=1 j=l J

<1 Вторая формула является очевидным следствием первой. Обозначим правую часть первой формулы буквой д. Из 2.3 следует, что

{пт п т Л

ж = y = J2y3(i i=1 j=l г=1 j=1 J

где супремум берется по п, гп £ М, функциям к : {1,..., п} х {1, —>• {1,2} и

наборам жх,... ,хп € Е+, у\,... ,ут € £+, следовательно, |Ь|(ж, у) ^ д.

Докажем обратное неравенство. Возьмем фиксированную сумму

п т

^:= ££\Ь^Уз)\ < 9-

i=l ]=1

Если заменить в ней х% и у3 парами х^, х~ и у^, уу и воспользоваться неравенством треугольника, то получим другую сумму д" того же вида, причем д' ^ д" ^ д. Таким образом, в указанной сумме можем считать ж* ^ 0 и у3 ^ 0. Рассмотрим теперь две суммы д(к) и д(к/), фигурирующие в приведенной выше формуле для вычисления |Ь|(ж, у). Если функции к,к' . {1,... ,п} х {1,, т} —>• {1,2} подобрать так, что к( 1,1) = 1, к'(1,1) = 2 и к{г,]) = к'{ц]) при г ф 1, ; ф 1, то д(к) = -Ь(ж1,у1) + до и д(к') = Ь(жьу1) + д0. Отсюда д(к) V д(к’) = \Ъ(х\,у-\)\ + до ^ Щ{х-,у)- Повторив эти рассуждения для суммы д0 = ЕГ=2 Т,7=2(^1)к[г,з)ь(хг; Уз) + Ы)к{1’2)Ь(хиу2) + (-1)к^Ь(ж2,У1), получим \Ь(Х1,У1)\ + |Ь(жьу2)| + |Ь(2,У1)| + д'о < \Ь\(х,у), Где д'о = Е"=2 Е^2 Ь(хг, Уз)- Таким образом, индукция по г и j приводит к неравенству д' ^ \Ц(х, у), следовательно, д = вир#' ^ Щх,у). >

Первая формула из 2.5 для функционалов была установлена Д. Фремлином в [8].

2.6. Для любых х £ Е+, у £ и порядково ограниченного множества В С />’ //(/Л /•’: О) имеют место следующие формулы:

{пт ^

^2^2ЬЧьз)(х^Уз) Р

4=1 _?' = 1 ^

{пт ^

^2^2ЬЧьз)(х^Уз) Р

г=1 .7=1 ^

где точные границы берутся по всем номерам п,т,,1 £ М, функциям к : {1,...,п} х {1,..., т} —>• {1,... , I}, наборам х\,... ,хп £ Е+, у\,..., ут £ Р+, удовлетворяющим условиям ЕГ=1 = х> Е2=1 % = У> и произвольным наборам Ь\ ... ,Ь( £ В.

<1 Это утверждение вытекает из 2.3 и из того факта, что точные границы направленной в соответствующем смысле, т. е. вверх или вниз, сети билинейных регулярных операторов вычисляются поточечно. >

2.7. Если векторные решетки 1-] и /•’ обладают сильным свойством Фрейденталя, то

точные границы в 2.3-2.6 можно считать по всем дизъюнктным разбиениям элементов х £ Е+ и у £ .

<1 Докажем утверждение для супремума Ь\ V Ъ2 • Для этого воспользуемся исчислением Абрамовича [1], в котором точные границы берутся по дизъюнктным разбиениям аргумента [4; 3.1.6 (1)]. Пусть ЬХ,Ь2 : Е —>• Ег(Е,0) — частичные операторы для билинейных операторов Ь\, Ъ2. Тогда

{Ъ\ V Ъ2)х = вир|ь^ +Ь12, XI + ж2 = х, жьж2 £ Е+У

Согласно [4; 3.1.6] этот супремум может быть вычислен на дизъюнктных парах жх, х2, т. е.

вир < (Ьх + ЬХ9) : х\ + ж2 = ж, х\, ж2 £ Е+, х\ _1_ ж2 >.

Вновь привлекая [4; 3.1.6], заметим, что при подсчете супремума можно ограничиться дизъюнктным разбиением у:

{т

+ ^2 Ну?) : ж] + ж2 = ж; ж],ж2 ^ 0,ж] _1_ ж2, j = 1,,,, ,т,

з=1 3 3

т \ С п ш ^

^Уз = У, Ук ^ У1

3 =1 ) I г=1 з =1 )

Из 2.2 (3) следует, что ж& _1_ Ж| для (к ф I). Инфимум и модуль доказываются аналогично. >

3. Операторы, сохраняющие дизъюнктность

Здесь введем билинейные операторы, сохраняющие дизъюнктность, и покажем, что для этого класса операторов порядковая ограниченность влечет регулярность.

3.1. Говорят, что билинейный оператор 1> : !] • /•’ —г (>' сохраняет дизъюнктность, если для произвольных жеВицёВ выполняется:

XI -±- х2 =>- Ъ(хъу) _1_ Ь(ж2,у),

У1 ±У2 => Цх,уг) _1_ Ь(х,у2).

Как видно, билинейный оператор сохраняет дизъюнктность в том и только в том случае, если для любых жёйпуб^ дизъюнктность сохраняют линейные операторы !>,. : /•’ —г О и Ьу : Е —У О. Положительный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность, будет решеточным биморфизмом, так как операторы Ъх и Ьу являются решеточными гомоморфизмиами при ж ^ 0 и г/ ^ 0.

3.2. Билинейный оператор 1> : !] • /•’ —т (>' сохраняет дизъюнктность в том, и только в том случае, когда \Ъ(х,у)\ = |Ь(|ж|, |у|)| для всех х € Е и у € Е.

<1 Доказательство аналогично линейному случаю (см. [4; теорема 3.3.1 (5)]). Если билинейный оператор Ь сохраняет дизъюнктность, то Ь(х+,у) _1_ Ь(х~,у) и Ь(х,у+) _1_ Ь(х,у~) для всех ж £ Е и у £ Р. Следовательно, используя эквивалентность соотношений ж 1 у и \х + у\ = |ж — у| (см. [4; предложение 3.3.1 (1)]), выводим

\Цх,у)\ = | Цх+,у) — Ь(х~,у)\ = \Ь(х+,у) + Ь(ж-,у)| = |Ь(|ж|,у)|

Обратное устанавливается так же, как и в линейном случае. Действительно, если у1_1_у2 и Ь удовлетворяет указанному условию, то

Напомним хорошо известную теорему М. Мейера о линейных операторах, сохраняющих дизъюнктность, см. [4; теорема 3.3.1 (5)].

3.3. Теорема. Пусть Е и Р — векторные решетки, а Т : Е —>• Р — порядково ограниченный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда Т имеет положительную часть Т+, отрицательную часть Т~ и модуль \Т\, являющиеся решеточными гомоморфизмами. Более того, Т+х = (Тж)+ и Т^х = (Тж)- для 0 ^ ж Е Е и \Тх\ = |Т|(|ж|) для ж € Е.

Аналогичный результат имеет место и для билинейных операторов.

3.4. Теорема. Пусть Е. /•’ и (Ї векторные решетки, а Ъ : Е х Р —>• О порядково ограниченный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда Ь имеет положительную часть Ь+, отрицательную часть и модуль |Ь|, являющиеся решеточными биморфизмами. Более того, Ь+(х,у) = Ь(х,у)+ и Ь~(х,у) = Ь(х,у)~ при О ^ х Є Е, 0 ^ у Є Р, и |Ь|(|ж|, |у|) = \Ъ(х,у)\ для произвольных хЄЕиуЄЕ. В частности, Ъ регулярен.

<1 Покажем, что определенный указанным образом оператор Ъ+ : Е+ х Р+ —>• Є аддитивен. Пусть х = х\ + х2, 0 ^ хі,х2 Є Е и у Є Р+. Учитывая, что частичный оператор Ьу : Е —У О сохраняет дизъюнктность и порядково ограничен, можем к нему применить теорему 3.3, откуда выводим

Ь+(хі,у) + Ъ+(х2,у) := Ь(жьу)+ + Ъ(х2,у)+ = (Ьухі)+ + (Ьух2)+ = (Ьу)+хі + (Ьу)+х2 =

= (Ьу) + (хі + Х2) = Ъу(х\ + х2)+ = Ь(х 1 + х2,у)+ =: Ь+(х 1 + х2, у).

Таким образом оператор Ь+ аддитивен и, очевидно, положительно однороден. Согласно 3.1 Ъ+ допускает единственное продолжение до положительного билинейного оператора па -Р х Р (которую обозначаем тем же символом). Кроме того ясно, что Ь+ сохраняет дизъюнктность, следовательно, является решеточным гомоморфизмом. Так как = (^Ь)+ и —Ь сохраняет дизъюнктность, то — решеточный биморфизм. При этом Ь = Ь+ - .

Положим |Ь| := Ъ+ — . Поскольку Ь+(х,у) _1_ Ь~(х,у), то учитывая 3.2, выводим:

= \Ь+(х,у) + Ь^(х,у)\ = |Ь+(х,у) -Ъ~(х,у)| = \Цх,у)\.

Итак, ||Ь|(ж,у)| = |Ь+(х,у) + Ь~(х,у)\ = |Ь|(|ж|, |у|) и в силу 3.2 |Ь| — решеточный биморфизм. Ясно также, что Ь+ = Ь V 0 и = (—6) V 0. >

3.5. Для порядково ограниченного билинейного оператора Ь : Е х Р —>• О. равносильны утверждения:

(1) Ъх и Ьу сохраняют дизъюнктность положительных элементов при х Є Е+

и у Є Р+;

(2) Ъх и Ьу сохраняют дизъюнктность для всех х Є Е, у Є Р;

(3) Ь(хі,уі) І. Ь(х2,у2) при условии, что либо х\ _1_ х2, либо у\ _1_ у2.

<\ Импликации (3) ==>- (2) ==>- (1) очевидны, причем здесь порядковая ограниченность не нужна. Для доказательства (1) ==>- (3) предположим, что у\ _1_ у2. Тогда, учитывая 3.4, получим

= |Ь|(|1І + \х215ІУ1І А ІУ2І) = о.

Если х\ І. х2, то рассуждения аналогичны. >

3.6. Пусть Е. /•’ її (і — векторные решетки. Для произвольного порядково ограничен-

ного билинейного оператора 1> : 1-І • /•’ —г (>'. сохраняющего дизъюнктность, существует единственный линейный оператор Т : Е 0 Р —>• Є, сохраняющий дизъюнктность, такой, что Ъ = Т0. Более того, Ъ+ = Т+0, = Т-0 и |Ь| = \Т\&.

<1 В самом деле, согласно 3.3, операторы Ь+ и являются решеточными биморфизмами, а по теореме Фремлипа (см. 1.3 (1)) допускают факторизацию Ь+ = ,5x0 и

= ^20 ДЛЯ некоторых решеточных гомоморфизмов 5-1 . 5"'_< : Р 0 /•’ г (7. Если

п п п

к=1 к=1 к=1

то |«| ^ пе 0 /, следовательно, («)| = <^1 (|^*|) ^ пЗ\{е 0 /) = пЬ+(е, /) = Ь(е, /)+; ана-логичио, (^(ад)! ^ Ь(е,/)_. Тем самым, ^(ад) _1_ 32(и), « € ЕЕ. Используя 1.3 (3), легко видеть, что последнее утверждение выполняется и для всех и € £ 0 т. е. операторы йх п ^2 сильно дизъюнктны. Положим Т:= Бх — и заметим, что оператор Т сохраняет дизъюнктность в силу указанного свойства сильной дизъюнктности операторов 5х и в2  Очевидно также, что Ь = Т0, Т+ = 5х, Т= в2 и |Ь| = (5х + 5г)0. >

3.7. В заключение параграфа перечислим несколько простых следствий теорем 1.3, 1.6 и 3.4, предполагая, что /-Л /•’ и (7 — векторные решетки, причем (7 порядково полна. Пусть (/ : 1-] - /•’ г Г/ — порядково ограниченный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность, и ф:= \д\. Тогда ф — решеточный биморфизм из 1-] - /•’ и (7.

(1) Предположим, что О = ф(Е х^)11. Тогда отображение тт ^ тт о ф обуще-ствляет изоморфизм булевой алгебры порядковых проекторов ф((7) и булевой алгебры осколков €(ф) оператора ф.

(2) Полоса {ф}±± состоит из операторов сохраняющих дизъюнктность. Операторы Ь\ и Ь2 из полосы {ф}^1" дизъюнктны тогда и только тогда, когда дизъюнктны их образы Ш1(6х) и 11x1(62)•

В максимальном расширении т(7 зафиксируем структуру умножения, которая определяется однозначно выбором порядковой единицы. Пусть />’//'(/Л /•’: (!) — множество всех регулярных билиненыйх операторов 1> : 1-] - /•’ —г (7. для которых выполняется включение Ь £ {ф}^^, где Ь и ф — рассматриваются как операторы из Е в гаС. Обозначим С:= {д € тО : д- ф(Е X Р) С С}.

(3) Множество С является порядковым идеалом В т(т, который линейно и порядково изоморфен К-пространству В//'(/Л Е-, О). Такой изоморфизм осуществляется сопоставлением элементу д £ С оператора Ьд по формуле

Ъд{х,у) = д  ф{х,у) (х € Е, у € Р).

Для полного аналитического описания порядково ограниченных операторов, сохраняющих дизъюнктность, остается найти представление решеточного биморфизма (р в духе [4; глава 5].

4. Полидизъюнктные операторы

В текущем параграфе дается описание порядкового идеала, порожденного билинейными операторами, сохраняющими дизъюнктность. Всюду в этом параграфе /-,\ /•’ и (7 — архимедовы векторные решетки, причем (7 — ^-пространство.

4.1. Скажем, что наборы элементов {жо, х\ ,..., хп} С Е и {уо, Уъ    > Уп} С Р £ш-дизпюнктны, если для любых номеров 0 ^ у' ^ п, I ^ у, либо ж* _1_ Xj, либо у* _1_ jj. Билинейный оператор Ь £ />’//(/А /•’: Г/) назовем п-дизъюнктным, если для любых би-дизъюнктных наборов {жо, Жх,    , хп} С I? И {уо, Ух,    , Уп} С Р выполняется соотношение

\Цхо,Уо)\ А |Ь(жх,ух)| А • • • А |£>(ж„,у„)| = 0.

Из 3.4 видно, что в классе порядково ограниченных операторов 1-дизъюнктный оператор — в точности оператор, сохраняющий дизъюнктность.

Следующая наша цель — показать, что всякий билинейный регулярный «-дизъюнктный оператор представим в виде суммы п билинейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность. Для этого потребуются некоторые вспомогательные факты.

4.2. Билинейный оператор Ъ £ />’ //(Р. /•’: (?) будет п-дшъюнкгпным в том и только в том случае, если его модуль |Ь| п-дизъюнктен.

<1 Достаточность очевидна из 2.5. Допустим, что оператор Ь £ />’//

п-дизъюнктен. Возьмем бидизъюнктные наборы элементов {во, е\, ..., еп} С Е+ и {/о,/ь---,/п} С £+ и положим дк := вир{|Ь(ад,и)| : |«| ^ ек, М ^ /к}• Если \щ\ ^ ек и 1^1 ^ /ь т0 наборы {«о, «1,..., «„} и {г>о,г>1,... ,г>„} бидизъюнктны, следовательно, |Ь(«о,ио| А |Ь(«1,г>1)| Л • • • Л \Ь(ип,уп)\ = 0. Переход к супремуму в последнем равенстве по всем-----и г>о,г>1,... ,г>„ указанного вида дает до Л д\ Л • • • Л д„ = 0. Если |Ж11 Н---+ \хт\ ^ ек И |ух | Н----+ \Ут\ ^ /к, то Е™ 1 \Ь(хиУ1)\ е {дк}^, значит,

\Ь\(ект/к) £ в соответствии с первой формулой из 2.5. Итак,

|Ь|(ео,/о) Л |Ь|(еь Л) Л • • • Л |Ь|(еп, /„) € {^о}±± П П • • • П {5п}±± = {0},

стало быть, |Ь|(е0,/о) Л • • • Л |Ь|(е„,/„) = 0. >

4.3. Пусть Р и Я — компакты, а Е, Р — векторные подрешетки соответственно

в С(Р) и С (Я), разделяющие точки и содержащие константы. Билинейный регулярный функционал Ь : ЕхР Е. является п-дизъюнктным тогда и только тогда, когда носитель

представляющей меры ц: Р - (> —г л из 1.7 содержит не более п точек.

<1 В силу 4.2 можем считать без ограничения общности, что функционал Ь положителен. Пусть регулярная борелевская мера ц представляет функционал Ь в соответствие с

1.7. Предположим, ЧТО носитель 8ирр(д) содержит П+1 точку (Ро, до)5    5 (Рп5 <1п) ^ РхЯ-Для { := 0,... ,п подберем открытые множества 11,1 С Р и Ц, С <3 так, что множество (/, - 1содержит только одну из указанных точек, а именно (р*, %), и для любых различных индексов 0 ^ ^ п либо UiГ\Uj = 0, либо П V?- = 0. По теореме Урысона суще-

ствуют непрерывные функции щ Р —> К и : (5 —) 1 такие, что щ{рг) = 1, «*(%) = 1, причем щ и Vi равны нулю на множествах Р\и.\ и соответственно. По теореме Сто-

уна — Вейерштрасса Р и /•’ плотны в С(Р) и С ( С^), поэтому для любого 0 < е < 1/2 можно подобрать такие функции Х,^£ £ Р И уу е Р, ЧТО ||« — Жг,е||оо ^ е И ||г> — Уг,г||оо ^ £• Положим теперь Хг := (жу—е1р)+ и у* := (уг1£^е1ц)+, где 15 — функция, тождественно равная единице на Б. Тогда жДр*) > 1 —2е, yi(qi) > 1 —2е и эти функции тождественно равны нулю на множествах Р \ и^ и \ Уъ соответственно. Как видно, наборы {хо, х\,..., хп} и {У0;У1;    -,Уп} бидизъюнктны, следовательно, для некоторого номера 0 ^ ^ п будет

\Цxj^Уj)\ = 0. Множество 1¥:= {(р,д) £ РхС} : Xj(p) > 1/2 —е, Уj(q) > 1/2 — е} является открытой окрестностью точки (pj,qj), причем

Итак, ц(\¥) = 0, следовательно, точка (pj,qj) не может входить в носитель ц. >

4.4. Пусть Р. /•’ и (І — векторные решетки, причем Є — К-пространство. Пусть Ъ — билинейный регулярный оператор іп Р • /•’ /; (>’. а Г — линейный регулярный оператор //•; Р О: /•’ /; (І такой, что Ъ = Т. Тоща Ь будет п-дизъюнктным в том и только в том случае, когда оператор Т п-дизъюнктеп.

Рхд

<1 Достаточность очевидна. Для доказательства необходимости предположим, что билинейный регулярный оператор Ь п-дизъюнктен. Вновь в силу 4.2 можем считать без ограничения общности, что оператор Ь положителен. Возьмем набор попарно дизъюнктных элементов «о, «1,..., ип € Е 0 Р. Как видно из 1.3 (3), элементы щ,щ, ... ,ип содержатся В порядковом идеале, порожденном элементом Жо 0 Уо при ПОДХОДЯЩИХ Жо £ Е+ и уо ^ Е+. Пусть Е$ и £о обозначают порядковые идеалы и 1-] и /•’. порожденные элементами жо и уо соответственно. Согласно 1.4 элементы ио,щ,    ->ип входят в Ео 0 £о-Пусть С0 — порядковый идеал в С, порожденный элементом Ь(жо,уо). Если Ьо и То — ограничения Ь и Т на Ео х £о и Ео 0 £о соответственно, то Ьо и То действуют в Со и Ьо = То0. Возьмем теперь произвольный решеточный гомоморфизм Ь, : Со —>• К. Билинейный регулярный функционал Но Ьо : Ео х Ео Ш п- дизъюнктен, и согласно 4.3 НоЬо = I для некоторого п-дизъюнктного положительного функционала I на Ео 0 £о-С другой стороны Н о Ьо = (И ° То)0, и в силу утверждения об единственности из 1.3 (1), будет I = Н о То- Итак, функционал Но То п- дизъюнктен, поэтому

П / 71

к=О ^£=0

Так как на Со имеется достаточное число решеточных гомоморфизмов, то |То(«о)| А |То(г*1)| Л • • • Л |То(«п)| = 0, что и требовалось. >

4.5. Пусть Ь — положительный билинейный регулярный оператор из 1-] - /•’ и С. Введем множество билинейных регулярных операторов 2(Ь) и отображение | • | : 2(Ь) —>• ОтЬЪ.(Е) следующим образом:

2{Ь) := {й € I! 1/(11. Р; С) : (3р € ОгШ(С) + ) (Щ ^р о Ь)}, |й?| := ш£{р € ОгШ(Р)+ : |й?| ^ р о Ь} {й € 2,{Ь)).

Так же, как и в [4; предложение 5.2.4 (1)] устанавливается, что (Я(Ь),\  |,ОгШ(С)) представляет собой решетку Банаха — Канторовича.

4.6. Теорема. Пусть Е. /•’ и С — векторные решетки, причем С — К-пространство. Пусть Ь — билинейный регулярный оператор из 1-] - /•’ /; С. Равносильны следующие утверждения:

(1)6 — п-дизъюнктный оператор;

(2) для любого набора из п + 1 положительного оператора Ьо,... ,ЬП € />’//(Е. /•’: С), удовлетворяющего условию |Ь| = Ьо + • • • + Ь„, существуют наборы операторов {Ьк,1 : &, I := 0,1,... , п} ж {ст| : I = 0,1,...,п} такие, что совместна система условий:

0 < стг € ОгШ(Р), 0^^6 51Г(£,В;С), Ьк.к = 0,

п п п

, 5~^Фк,1 = Ьк (к,1 = 0,1,... ,п);

1=0 £=0 1=0

(3) для любого дизъюнктного набора из п + 1 оператора Ьо,... ,ЬП € ВИ(Е, Р; С), удовлетворяющего условию |Ь| = Ьо + • • • + Ь„, существует набор ортоморфизмов ао,... ,стп € Ог1Ь(Р)+ такой, что ао +  + сгп = 1р и ак о Ьк = 0 (к = 0,1,... ,п);

(4) для любого дизъюнктного набора из п + 1 оператора Ьо,... ,ЬП € />’ //( Е. /•’: С), удовлетворяющего условию |Ь| = Ьо + • • • + Ьп, существует разбиение единицы по,... ,пп в ф(Р) такое, что жк о Ьк = 0 (к = 0,... ,п);

(5) Ь представляет собой метрически n-разложимый элемент решетки Банаха - Канторовича 2(b).

<1 Доказательство следует из [4; теоремы 5.2.5], так как согласно 4.4 при изоморфизме из 1.5 п-дизъюнктный билинейный оператор переходит в п-дизъюнктный линенйый оператор. >.

4.7. Теперь основные результаты настоящего параграфа следуют непосредственно из 4.6.

(1) Теорема. Билинейный регулярный оператор будет п-дизъюнктным в том и только в том случае, если он представим в виде суммы п билинейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнктность.

<1 Достаточно применить 4.6(5) и [4; теорема 2.1.11]. >

Билинейный оператор, п-дизъюнктный при некотором n G N, будем называть по-лидшъюнктпным. Как видно из 4.4 и 1.5 билинейный регулярный оператор полидизъ-юнктен лишь, в том случае, когда он факторизуется через полидизьюнктный линейный регулярный оператор.

(2) Теорема. Порядковый идеал в BLT(E, F\ G), порожденный множеством всех решеточных биморфизмов, совпадает с множеством всех билинейных регулярных иолидизъюнктных операторов.

<1 Следует из (1) и 1.6. >

Литература

1. Абрамович Ю. А. Инъективные оболочки нормированных структур // Докл. АН СССР.—1971.— Т. 197, № 4.-С. 743-745.

2. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: ГИФМЛ, 1961.—407 с.

3. Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.—М.; Л.: Гостехиздат, 1950.—548 с.

4. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—619 с.

5. Кусраев А. Г., Шотаев Г. Н. О билиненых мажорируемых операторах // В сб.: Исследования

по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию / под ред. Ю. Ф. Коробейника и А. Г. Кусраева. Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2004.— С. 241-262.

6. Alipraatis С. D., Burkiashaw О. Positive operators.—New York: Acad, press, 1985.—xvi+367 p.

7. Fremlin D. H. Tensor product of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.—1972,—V. 94,—P. 777-798.

8. Fremlin D. H. Tensor products of Banach lattices // Math. Ann.—1974.—V. 211.—P. 87-106.

9. van Gaans O. W. The Riesz part of a positive bilinear from // In: Circumspice.—Nijmegen: Katholieke Universiteit Nijmegen, 2001.—P. 19-30.

10. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. On the calculus of order bounded operators.—Новосибирск: Наука, 2003.—14 с.—(Препринт / РАН, Сиб. отд-ние. Ин-т мат-ки; № 123).

11. Schaefer Н. Н. Banach lattices and positive operators.—Berlin etc.: Springer, 1974.—xi+376 p.

12. Schwarz H.-V. Banach lattices and operators.—Leipzig: Teubner, 1984,—208 p.

13. Zaanen A. C. Riesz spaces. V. 2,—Amsterdam etc.: North-Holland, 1983.—720 p.

Статья поступила 10 февраля 2004 г-

Кусраев Анатолий Георгиевич, д. ф.-м. н. г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН Е-таП: kusraev@alanianet.ru

Тавуев Сослан Наполеонович г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН Е-таП: stabuev@alanianet.ru