О некоторых критериях диссипативности колебательных систем с переменными параметрами

УДК 531.36 Н. А. Степенко

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2004, вып. 1

О НЕКОТОРЫХ КРИТЕРИЯХ ДИССИПАТИВНОСТИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В настоящей работе исследуются некоторые классы нелинейных нестационарных колебательных систем. Установлен ряд критериев равномерной и эвентуальной дисси-пативности для данного рода систем.

Введение. Задачи, связанные с изучением свойств диссипативных систем, рассматривались целым рядом авторов. В книгах [1, 2, 5, 7] с помощью метода функций Ляпунова определялись условия диссипативности систем общего вида. Для некоторых конкретных нелинейных систем дифференциальных уравнений получены достаточные условия диссипативности. В работах [1, 4, 6] приводятся многочисленные критерии ограниченности решений, существования периодических решений и их устойчивости для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, которыми можно описать различные динамические системы, имеющие существенно нелинейный характер.

В настоящей работе рассматриваются определенные классы нелинейных колебательных систем с переменными параметрами. Системы такого вида изучались во многих работах (см., например, [1, 5, 6]). Для исследования асимптотичекого поведения решений таких систем в указанных работах используются или второй метод Ляпунова, или методы качественного анализа траекторий. Однако при применении второго метода Ляпунова в качестве функции Ляпунова выбирается некоторый аналог полной энергии системы, производная которой, вообще говоря, не является отрицательно определенной, что вызывает большие сложности при доказательстве равномерной диссипативности и не позволяет распространить эти методы на случаи возмущенных систем. Методы качественного анализа траекторий хорошо работают для уравнений первого и второго порядка, однако полученные с помощью этих методов теоремы используют тот факт, что рассматриваются именно такие системы и эти методы не применимы к системам более высоких порядков.

В данной работе предложен несколько модифицированный способ построения функций Ляпунова для систем изучаемого типа. Данная модификация обеспечила отрицательную определенность производных этих функций в силу системы, что позволило получить новые критерии равномерной и эвентуальной диссипативности. Получены также условия диссипативности для возмущенных систем, причем удалось рассмотреть и случай, когда возмущения зависят не только от времени, но и от фазовых переменных, причем могут быть неограниченными по ним.

1. Пусть задана система дифференциальных уравнений

Х = г

где функция Г(Ь, X) определена и непрерывна при всех Ь > 0, X € Еп.

Определение 1 [1, с. 293]. Система (1) называется равномерно диссипативной, если существует такое положительное число П, что для любого Q > 0 найдется достаточно большое Т > 0 такое, что для каждой начальной точки Хо, ||Хо|| < Q,

© Н. А. Степенко, 2004

и всякого начального момента времени Ьо > 0 при всех Ь > Ьо + Т выполняется неравенство УХХо,£о)\\ < О.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

Х + 0.

Здесь X — п-мерный вектор, элементы вектора Е(X) являются непрерывными однородными порядка V функциями, 0(Х) — непрерывно дифференцируемая положительно определенная однородная порядка ¡+1 функция, где V, ¡л > 0. Матрица А(Ь) непрерывна и ограничена при Ь > 0, а матрица С(Ь) — симмтеричная непрерывно дифференцируемая и ограниченная при Ь > 0 вместе со своей производной.

Предположим сначала, что Е(X) = X, тогда будет иметь место следующая теорема. Теорема 1. Если .матрицы С(Ь) и

положительно определены, то уравнение (2) является равномерно диссипативным.

Доказательство. Из свойств матрицы С(Ь) следует, что и матрица С-1(Ь) обладает теми же свойствами. Тогда в качестве функции Ляпунова возьмем функцию

У(г,х,х) = \х*с~\ь)х + с(х) + 1т^^х*с-1т,

где р, д и 7 — положительные числа.

При выборе достаточно малого числа 7 и выборе параметров р и д, для которых выполнены неравенства

р — д > —л — 1, р — д < 0, р — д < л — 1,

нетрудно показать, что функция V(Ь^^) удовлетворяет требованиям теоремы Йо-сидзавы [1], и следовательно, уравнение (2) является равномерно диссипативным. Следствие. Пусть .задано скалярное уравнение

х + а

где ¡л — положительное рациональное число с нечетным числителем и .знаменателем, функция а(Ь) непрерывна и ограничена при Ь > 0, а функция с(Ь) непрерывно дифференцируема и ограничена при Ь > 0. Тогда при выполнении условий

Ф) > «1 > 0, а

уравнение (3) равномерно диссипативно.

Теперь будем считать, что для функции Е(X) порядок однородности V > 1. Теорема 2. Пусть матрица С(Ь) положительно определена и справедливо неравенство

X*С-1

при всех X € Еп, Ь > 0, где а — положительная постоянная.

Тогда уравнение (2) является равномерно диссипативным.

В этом случае в качестве функции Ляпунова, удовлетворяющей требованиям теоремы Йосидзавы, можно выбрать функцию

V(t, Х,Х) = \x*C-\t)X + G(X) +

где для чисел p и q выполнены неравенства

p-q>~H~ 1, p~q< -, p — q < ---.

v 2

Следствие. Рассмотрим скалярное уравнение

X + a

где v и ц — положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями, v > 1. Здесь функция a(t) непрерывна и ограничена при t > 0, а функция c(t) непрерывно дифференцируема и вместе со своей производной ограничена при t > 0. При выполнении условий

a

уравнение (5) равномерно диссипативно.

2. Далее исследуем условия сохранения равномерной диссипативности при наличии внешних возмущающих воздействий. Сначала рассмотрим дифференциальное уравнение

Здесь F(X), G(X) — непрерывно дифференцируемые, положительно определенные, однородные функции порядка v +1, ц +1 соответственно, где v и ц — положительные рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями. Функция ^>(t, X, X) непрерывна по совокупности своих аргументов при всех t > 0, X G En, X G En. В дальнейшем будем считать, что для функции X, X) в области вида

\\XII + \\XУ >R, t > 0

при достаточно большом R > 0 выполнена оценка

\m,X,X)\\ <a{\\XГ + \\X\),

где a,a,ß — некоторые положительные постоянные. Теорема 3. Если v > 0 и верны неравенства

v

а < /л, а < ---, p <v,

то уравнение (7) является равномерно диссипативным.

Доказательство. В случае когда 0 < v < 1, в качестве функции Ляпунова возьмем функцию

V(X, X) = ßx*x + G(X)j2 + X* 1

Нетрудно заметить, что при выборе параметра г, удовлетворяющего неравенствам

, «

г > 4 Н----г < 4 + —-^-г < 4 + —-

V 2 V

функция V(X, X) будет удовлетворять всем условиям теоремы Йосидзавы. Если же V > 1, то рассмотрим функцию Ляпунова вида

У(Х, X) = ±Х*Х + С(Х) + 71 Г"2' 7>0

и получим, что при выборе постоянной 7 достаточно малой и параметра г, для которого выполнены неравенства

а(V +1) (V — 1)(и +1) и

г> З-р, г> к ' -м + 3, г < 4 + --г < 3 + —,

V 2 V

справедливость данной теоремы полностью доказана.

Исследуем теперь возмущенное по отношению к уравнению (2) уравнение

х + А

Далее будем считать, что матрица С(Ь) и матрица О(Ь), определенная так же, как и в теореме 1, являются положительно определенными. Тогда имеет место теорема. Теорема 4. Пусть Е(X) = X. Если выполнены неравенства

и +1 а л

а < /л, а < —-—, ¡5 < 1,

то уравнение (8) равномерно диссипативно.

Функция Ляпунова применяется здесь такая же как и при доказательстве теоремы 1, только для значений р и д должны быть выполнены неравенства

р — д > 2а — и — 1, р — д < 0, р — д < и — 1.

Теорема 5. Пусть V > 1 и справедлива оценка (4). Если числа а и в удовлетворяют неравенствам теоремы 3, то уравнение (8) является равномерно диссипативным.

Рассмотрим функцию Ляпунова из доказательства теоремы 2, и выбирая числа р и д, удовлетворяющие неравенствам

а(V + 1) и — V (V — 1)(и +1) Р-Ч>—-- — А* — 1, Р~Ч<-, Р~Ч<--77-

V V 2

получаем выполнение для данной функции условий теоремы Йосидзавы.

3. В предыдущем пункте, за исключением теоремы 3, порядок элементов вектор-функции Е(X) рассматривался V > 1. Покажем теперь, что и при V < 1 возможно сохранение свойств диссипативности.

Определение 2 [2]. Система (1) называется эвентуально диссипативной, если существует такое положительное число О, что для любого числа Q > 0 найдутся достаточно большие положительные числа Т' и Т такие, что для любой начальной

точки Xo, ||Xo|| < Q и любого начального момента времени to > Ti неравенство (t, Xo, to) п < D будет выполняться для любого t > to + T'. Теорема 6. Если 0 < v < 1, .матрица C(t) положительно определена,

dC

-;--> 0 При t —> +00

dt

и справедливо неравенство (4), то уравнение (2) эвентуально диссипативно. Доказательство. В качестве функции Ляпунова возьмем функцию

V(t, X, X) = (lx*c-\t)x + G(X))2 +

где p,q — положительные числа.

Выбирая параметры p и q, удовлетворяющие неравенствам

^

p-q> 0, p — q К —-p~q< —-£--

v 2

и применяя методы, предложенные в работах В. И. Зубова и Т. Йосидзавы (в частности, использовалась идея доказательства теоремы 5 [3, с. 83]), показываем эвентуальную диссипативность системы (2).

Следствие. Пусть в уравнении (5) 0 < v < 1, выполнены неравенства (6) и, к тому же, c'(t) — 0 при t —

Тогда уравнение (5) является эвентуально диссипативным.

Аналогичным образом можно показать, что справедливо следующее утверждение. Теорема 7. Пусть выполнены условия теоремы 6. Если для чисел а и в верны неравенства теоремы 3, то уравнение (8) эвентуально диссипативно.

Доказательство проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы.

Summary

Stepenko N. A. On some criteria of ultimately boundedness for oscillatory systems with non-stationary parameters.

The influence of non-stationary parameters on some classes of oscillatory systems is investigated. Some criteria of uniform ultimately boundedness and eventially ultimately boundedness are obtained.

Литература

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1998.

2. Зубов В. И. Колебания и волны. Л., 1989.

3. Ла-Салль Дж.П., Раз Р. Дж. Новое понятие устойчивости // Труды 2-го конгресса ИФАК. Т. 1. М., 1965. С. 69-75.

4. Леонов Г. А. Частотные методы в теории колебаний. СПб., 1992.

5. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М., 1964.

6. Рейссиг Р., Самсоне Р., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1974.

7. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М., 1980.

8. Yoshizawa T. Stability Theory by Liapunov's Second Method. Tokyo, 1966. P. 223.

Статья поступила в редакцию 17 декабря 2002 г.