Точное решение задачи взаимодействия неоднородных волн с плоской границей

УДК 539. 25

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛН С ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЕЙ

Х.Б. Толипов

Анализ характеристик рассеянного волнового поля является классической задачей геофизики, ультразвуковой дефектоскопии, механики разрушения и др. При падении неоднородной волны на наклонную плоскость возникают как поверхностные, так и расходящиеся объемные волны, структура которых зависит от углового положения плоскости. Однако несмотря на продолжительное время изучения этих волн до сих пор некоторые вопросы остаются невыясненными. В ходе исследований в дополнение к известным свойствам поверхностных волн были выявлены новые особенности, характерные при распространении этих волн в твердых телах. Полученное в явном виде решение описывает как поле поверхностных волн, структура которого совпадает с известными экспериментальными данными, так и поле объемных волн, вносящих заметный вклад в энергетику процесса.

В публикуемом сообщении получено решение по определению структуры рассеянного ПОЛЯ при взаимодействии неоднородной поверхностной волны с препятствием (в данном случае - с наклонной плоскостью).

Начиная с пионерских экспериментальных работ [1, 2], интенсивно ведется изучение этого явления. Несмотря уже на полувековую историю исследования, вопрос взаимодействия поверхностных волн с плоскостью до сих пор остается открытым. Трудности при решении этой задачи связаны как со сложностью акустических процессов, происходящих вблизи излома поверхности, так и с применением сложного математического аппарата. Однако, как показано ниже, причины этих трудностей чисто физические и заложены в самой постановке задачи.

Допустим, что с наклонной плоскостью связана система координат (х, г), которая может быть получена путем поворота исходной системы координат (е, //) на угол в (рис. 1).

По нормали к линии раздела поверхностей распространяется поверхностная акустическая волна, пространственная структура которой считается известной:

Фг = ехр[/(£ггг - Ш) - дгт)\, уг= ръщ>[1(кг-М)-8гт]],

здесь qr = - к?, =лДг2-£г2, р = - рЧ к, = —,

Рг Ч

. со , со

к( = —, кг= —, с/, с,, с, - скорости распространения продольных, поперечных и поверхностных

волн соответственно, со - круговая частота.

При установившемся режиме колебаний, который и рассматривается дальше, зависимость всех величин от времени носит гармонический характер. Общий множитель ехр(-/ю/) в дальнейших выкладках опускается.

Структура профиля волновых возмущений на наклонной плоскости будет зависеть от угловой координаты в и толщины слоя локализации поверхностной волны. Если набегающая на излом поверхности волна неоднородна по одной координате, направленной в глубь среды, то волновые возмущения на наклонной плоскости будут неоднородны уже по двум координатам. Взаимодействие всех неоднородных структур в двумерно-периодической системе колебаний должна

учитываться с использованием линеиных представлений в пространстве возможных решений задачи.

Закономерности формирования акустического поля рассеянных от плоскости волн определяются неоднородной структурой профиля волновых возмущений, зависящей от угла наклона плоскости. С увеличением угла наклона уменьшается проекция волнового вектора падающей волны кх на плоскость и при кх < к, (к, - волновой вектор сдвиговой волны) начинает формироваться объемная волна. Из физических соображений следует, что амплитуда прошедшей на плоскость поверхностной волны начнет уменьшаться с возникновением объемной, уносящей энергию в глубь среды.

Таким образом, проведенный физический анализ позволяет выделить две характерные области. При углах в < во падающая поверхностная волна полностью проходит на наклонную плоскость с неизменной пространственной структурой. Во второй области в > во происходит расщепление движений колебаний на объемную волновую компоненту, которая вносит заметный вклад в энергетику процесса, и пограничное движение поверхностных волн вдоль плоскости.

Рассеянные волны в силу неоднородности возмущающих сил представимы в виде набора спектра пространственных гармоник Фурье. Можно сказать, что наличие этой неоднородности приводит к появлению поверхностных и объемных волн (сдвиговых и продольных) с другими направлениями волнового вектора к, соответственно решение будет представлено линейной комбинацией волн с различными направлениями к.

Полученные ниже выражения справедливы для углов в > в0, поскольку при в < во, как было замечено выше, имеет место вырождение задачи.

Решение этой задачи должно удовлетворять уравнению движения:

д2Ф о>2Ф ;2л п дх1 дг '

и граничным условиям: компоненты тензора напряжений на наклонной плоскости, создаваемые как падающей волной, так порождаемой ею волнами должны быть равны нулю:

^2+<=°>

<^+<=0-

Постановку задачи замыкает условие излучения на бесконечности, вытекающего из принципа предельного поглощения [1].

Этот подход к решению задачи является классическим.

Используя формулы перехода от системы (77, б-) к системе (х, г):

Х = Т}СО50-£&тв, г = Т1$т6 + е$тв,

получим для касательных и нормальных компонент тензора напряжений, вызываемых падающей волной, выражения:

0 =/т

°хг — ^хг

8т(^) + СГ^)СО8(0),

<*в=<гя

вт^ + ег^ соя (в),

с обозначениями:

= р(к1х)ехР(*к\хх) + Р0(к2*)ехр(/£2**)>

= Я(к1Х)<Щ>(гк1хх) + р8(к2х)вхр(1к2хх),

= Р(*1г)ехр(г*12г) + р()(к22)ехр№2!;г),

<?(и = Щ\г)ещ>0к}2г) + рЯ(к22 ) ехр(/*22г),

Р(к,) = 2к^к? -к? , &к,) = 2к}-к],

/?(*,) - 2к] -к}, 8(к1) = -2к1У[к[^к? , ¡ = \х,\г,2х,2г .

В этих выражениях проекции продольной и сдвиговой составляющих волнового вектора падающей волны на сопутствующие оси координатх иг

к1х (9) = kr cos в+iyjky -к? sin 9, к2х (9) = кг sin в + iyjkf -kf cos 9, klz(9) = kr cos9 + i^jkf-kf sin9,k2z{&) = kr sin9 + i^kf -kf cos9

выражаются в комплексном виде.

Решение поставленной задачи ищем в виде бесконечного ряда плоских волн:

00 л 00

Ф = — [<b\k)e-ikxdk,y/=— f ¥\k)e~ikxdk. 2п ¡ 2п J

Прямая подстановка (2) в граничные условия (1) приводит к алгебраической системе уравнений для определения потенциалов.

Применение обратного преобразования Фурье, приводит к соотношениям, связывающие комплексные амплитуды потенциалов с углом клина:

Ф =

2 71

Р

к-к,

їх

к-к

S(kr) +

Ґщм_рт^

2 xj

к-к

їх

к-к

Q

2xJ

ї\2

4к qs-(к +s у

cos 9 +

k-klz k-k2z j

R

к-к.

1Z

k-k

Q

2 z J

4 k2qs-(k2+s2)2

sm

9

exp (qz)dk,

1 f

k-k

lx

k-k

R(kr) +

2 xj

rR{kXx) pS(k2x)Л k~klx k-k2xJ

РІК)

2\2

4k qs-

eos 9 +

rP{K) pQik2^

k-k

ÍZ

k-k

R(kr) +

2 z J

k~k\z k-k2zJ

P

2\2

4 k¿qs-

sin#

exp (sz)dk.

Представление (3) дает точную волновую картину во всем пространстве, описывающее как поле объемных волн, так и поверхностных.

На плоскости комплексного переменного к подынтегральные функции в (3) имеют ряд особых точек: полюсы, соответствующие распространению поверхностных волн, точки ветвления к,, кі. Методы выбора пути интегрирования и приемы вычисления аналогичных интегралов хорошо известны в акустике [3].

Применение метода перевала к интегральному представлению решения (3) приводит к выражениям для диаграммы направленности расходящихся объемных волн:

и, = .

¡2п cos у

k¡P k¡D¡

2 к2 —к2 ак2х Kt

2k\x\ltf ~к}

k¡siny-k2x k¡ sin у - kXx

2kr^kf-kf

p2k2xy¡kf-k¡x t 2klx2 - kf

k¡smy-k2x k¡ sin y - kXx

K-*,2)

. Я\

, ~ k? 2kjk? к2х kt sin у ~ к2х kt sin у — кХх

2kryjk? -к? +

. 2k2Xy]kt к2х к2х 2 k2x—k¡

k,siny-k2x ktsiny-klx

. тгч

exp iiktp-i-),

где D¡ = 4sin2 cacos2 ¿ул/sin2 ío-f2 -(2sin2 m-1)2, D,= 4sin2/eos2 y^s'm2 y-s2 -(2sin2 y-s2)2, e = kt/k¡. Здесь y - азимутальный угол, отсчитываемый от оси z.

Амплитуда смещений возрастает как для продольных волн (кривая 1), так и для сдвиговых (кривая 2) по мере уменьшения угла излома, достигая максимума при угловой координаты плоскости близких к 60° (рис. 2), а затем уменьшается до нуля. Объемные волны для приведенного дюралюминиевого материала возникают при угловой координате во = 15°.

и/их

Рис. 2. Распределение амплитуд смещений в объемных волнах в зависимости от угла клина. 1 - продольные волны,

2 - сдвиговые волны

Максимумы смещений в объемных волнах у продольных (рис. За) и поперечных (рис. 36) лежат в направлении азимутального угла 30°. При уменьшении угла излома происходит как изменение амплитуды смещений, так и небольшое смещение максимума диаграммы направленности.

Рис. 3. Диаграмма направленности продольных (а) и сдвиговых (б) волн при различных углах клина.

1 - 150°, 2 - 140°, 3 - 120°, 4-100°

Рассмотрим важный с точки зрения понимания физических процессов - отражение от плоскости, составляющей прямой угол с поверхностью (рис. 4).

Поверхностная волна падает на плоскость по нормали, а максимальное смещение в отраженной объемной волне приходится на угол, примерно равный во (см. рис. 4). Это соответствует простым физическим представлениям о том, что направление упругой энергии не совпадает с направлением волнового фронта.

Угол сноса между групповой и фазовой скоростью определяется соотношением: во = arccos cjcr.

Гармоники с к = кп создадут поле поверхностных, прошедших на наклонную поверхность волн, которые описываются вкладом вычетов, определяемыми полюсами в подынтегральном выражении:

' V ч ' Л (

S(kr) +

Рис. 4. Распределение амплитуд смещений в объемных волнах при падении на прямоугольный клин

Ф =

тА_рШи)

\х Лг Л2л J

\ г

¡г _]г & г- _ г-

Кг ь Лг Л2л У

Q

D

COS0 +

'т.) pQ(ki^

уК~ки kr-k2lJ

S(kr) +

'ты

ykr-kl2 kr~k2zJ

QiK)

D{K)

sin#

exp

k~kXx k-k2xJ

R(kr)+

fR(b,) pS(^ \k~k\x k~k2xj

Pikr)

2 n

k-k.

1 z

к-к

R(kr) +

2z

D{kr)

Wi.) pS

cosd+

1Z

k-h

2 z J

P

D

sin#

exp(sz),

где D(kr ) = -%krqs + 4kr

£+£

q.

-Ur{2 kf-kf).

Гармоники с кг> к > к, описывают волны, скорости которых стремятся к скорости поверхностной волны по двум причинам. Во-первых, в твердых телах на границе сред происходит взаимная трансформация продольных волн в сдвиговые. Поэтому при распространении поверхностной волны, состоящей из сдвиговых и продольных составляющих, скорость волны будет постепенно падать, так как сдвиговая волна движется медленнее продольной. Во-вторых, с уменьшением скорости волны толщина пограничного волнового слоя растет. При этом происходит перестройка его пространственной структуры. Это ведет к тому, что плотность энергии волны снижается, рассредоточиваясь по большему объему. Скорость волны монотонно будет уменьшаться до тех пор, пока скорости продольной и сдвиговой составляющих не выровняются соответственно скорости поверхностной волны. Этот эффект является специфическим в твердых телах и не имеет аналогов в других средах.

Независимость волнового вектора от углового параметра плоскости свидетельствует о вырождении задачи.

Картина волн, возбуждаемых падающей неоднородной волной в алюминии, согласуется с приводимыми расчетами (опытные данные из работы [2], получены для дюралюминиевого клина) (рис. 5).

• Как показывает анализ, амплитуда (см. рис. 5) прошедшей волны на плоскость для вырожденного случая (в < во) остается неизменной, а для другого - носит сложный характер, являясь результатом совместного действия и конкуренции нормальных и сдвиговых составляющих волновых возмущений, вызываемых падающей волной.

При малых углах в основной вклад в формирование пространственной структуры рассеянного акустического поля вносят касательные составляющие возмущающих сил (кривая V]). С увеличением угла в вклад этих сил падает, но в то же время увеличивается влияние нормальной составляющей (кривая V2), монотонно достигающей максимума. Характер эволюции пространственной структуры поля существенно зависит от углового положения плоскости.

В данном сообщении получено решение задачи дифракции поверхностных волн на наклонной плоскости. Выявлены физические аспекты возникновения поля поверхностных и объемных волн, вызываемых падением на плоскость неоднородной волны. Трансформация первичной волны в объемные является основным механизмом, определяющим потери энергии колебаний при переходе поверхностной волны на наклонную плоскость.

Определено, что азимутальное направление максимума поля рассеянных объемных волн определяется волновым вектором фазовой скорости поверхностной волны, который не совпадает по фазе с волновым вектором групповой.

Литература

1. De Bremaecker J. Cl. Rayleigh wave propagation in elastic wedge // Geophysics. - 1958. -V. 23.-P. 253.

2. Викторов И.А. О влиянии несовершенств поверхности на распространение рэлеевских волн // ДАН СССР. - 1958. - Т. 119. - № 5. - С. 463-465.

3. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. - М.: Наука, 1979. - 319 с.

Поступила в редакцию 27 сентября 2006 г.

120 100 80 60 40 2О0о 0°

в, град

Рис. 5. Зависимости коэффициентов прохождения волны на плоскость от угла в