Оценка координат источника радиоизлучения на основе решения линеаризованной системы уравнений разностно-дальномерного метода

№ 4 (32), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника

УДК 621.396

И. В. Гринь, Р. А. Ершов, О. А. Морозов, В. Р. Фидельман

ОЦЕНКА КООРДИНАТ ИСТОЧНИКА РАДИОИЗЛУЧЕНИЯ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНОГО МЕТОДА5

Аннотация.

Актуальность и цели. Одним из наиболее распространенных методов определения координат источника радиоизлучения в пассивных системах местоопределения является разностно-дальномерный метод. В качестве навигационного параметра разностно-дальномерного метода используется разность расстояний от источника до разнесенных в пространстве синхронизированных приемников, определяемая по взаимной временной задержке принятых сигналов. Определение координат источника излучения производится на основе решения системы нелинейных уравнений и требует значительных вычислительных затрат. Применение разностно-дальномерного метода в спутниковых системах местоопределения связано с необходимостью измерения навигационных параметров в условиях изменения частотных характеристик принятых сигналов вследствие влияния эффекта Доплера, возникающего при распространении сигнала в спутниковой системе, и низкого отношения сигнал/шум. Основной целью работы является повышение вычислительной эффективности метода определения координат источника радиоизлучения разностно-дально-мерным методом, что достигается за счет начальной оценки координат, полученной из решения линеаризованной системы уравнений, и применения вычислительно эффективного алгоритма определения взаимных временных задержек принятых сигналов при наличии доплеровского смещения спектров сигналов в условиях низкого отношения сигнал/шум.

Материалы и методы. Результаты, представленные в работе, получены путем компьютерного моделирования обработки сигналов в пассивной спутниковой системе местоопределения источника излучения на процессорах общего назначения и с использованием технологии распараллеливания вычислений на графических процессорах.

Результаты. Разработан алгоритм местоопределения источника излучения, использующий начальную оценку координат источника на основе решения линеаризованных уравнений разностно-дальномерного метода для применения в спутниковой системе местоопределения. Исследованы характеристики предложенного алгоритма.

Выводы. Показано, что при использовании предложенного подхода достигается значительный прирост производительности расчета координат источника радиоизлучения. Важной особенностью предложенного алгоритма является возможность его использования при обнаружении и определении местоположения источников радиоизлучения в режиме реального времени.

Ключевые слова: разностно-дальномерный метод, взаимная временная задержка, определение координат.

5 Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России образовательным организациям высшего образования в сфере научной деятельности

ФТ-1 - 01201459263.

Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 71

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

I. V. Grin', R. A. Ershov, O. A. Morozov, V. R. Fidel'man

EVALUATION OF RADIO SOURCE’S COORDINATES BASED ON SOLUTION OF LINEARIZED SYSTEM OF EQUATIONS BY RANGE-DIFFERENCE METHOD

Abstract.

Background. One of the most common methods for determining the coordinates of a radio source in passive systems of positioning is the range-difference method.

As a navigation parameter the range-difference method uses the difference of distances from the source to the spaced synchronized receivers determined by mutual time delay of the received signals. Determination of the radio source’s coordinates is based on solving a system of nonlinear equations, and requires significant computational costs. The field of application of the range-difference method is associated with the need to measure the navigational parameters under changing frequency characteristics of the received signals due to the influence of the Doppler Effect arising during the signal propagation in satellite systems, and under low signal-to-noise ratio, which significantly increases the computational complexity of the problem to be solved. The main purpose is to enhance the computational efficiency of the algorithm of determining the radio source’s coordinates by the range-difference method, which is achieved by initial assessment of coordinates obtained from the solution of the linearized system of equations and by using a computationally efficient algorithm for determining the mutual time delay of the received signals in the presence of the Doppler shift of signals under a low signal-to-noise ratio.

Materials and methods. The results presented in this paper were obtained by computer simulation of signal processing in the passive satellite system of radio source positioning on the general-purpose processor (CPU), and using parallelization of computations on the GPUs.

Results. The authors developed an algorithm for radio source positioning, using an initial estimate of the source’s coordinates based on the solution of the linearized equations of the range-difference method to be aaplied in a satellite positioning system. The characteristics of the proposed algorithm were also investigated.

Conclusions. It is shown that the use of the proposed approach has achieved significant performance gains in calculation of radio source’s coordinates. An important feature of the proposed algorithm is that it can be used for detecting and determining the location of radio sources in real time.

Key words: range-difference method, mutual time delay, determination of coordinates.

Введение

Переход к многопозиционным системам и использованию в качестве элементов таких систем искусственных спутников Земли (ИСЗ) является одной из основных тенденций развития современной радионавигации [1, 2]. Многопозиционные пассивные системы обладают рядом преимуществ, такими как высокая точность определения пространственного положения объектов, повышенная разрешающая способность и др., что связано с большим количеством фиксируемой информации об источнике радиоизлучения.

К достоинствам спутниковых многопозиционных систем можно отнести глобальность рабочей зоны и непрерывность производимых измерений. Одними из важнейших приложений многопозиционных пассивных методов

72

University proceedings. Volga region

№ 4 (32), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника

определения местоположения и параметров траектории различных объектов являются навигация и идентификация положения источника на основе регистрации излучаемых сигналов [2-4].

Среди методов определения местоположения источника радиоизлучения по типу измеряемой величины традиционно выделяют угломерные и дальномерные методы [5]. Однако в силу конструктивных особенностей спутниковых систем угломерные методы практически не используются, наибольший интерес вызывает использование разностно-дальномерных методов из-за возможности применения помехоустойчивых корреляционных алгоритмов измерения временных задержек сигналов.

Разностно-дальномерный метод (РДМ) требует оценки взаимных временных задержек распространения сигнала и предполагает синхронизированный во времени прием в нескольких разнесенных в пространстве точках излученного источником сигнала [1, 2, 5]. В общем случае оценка временных задержек производится на основе корреляционного анализа принятых реализаций сигналов. При использовании в качестве приемников многопозиционных систем ИСЗ требуется применение методов компенсации искажений спектров сигналов, связанных с влиянием эффекта Доплера. Среди существующих методов компенсации можно отметить метод построения функции неопределенности [5] и адаптивную цифровую фильтрацию [6, 7].

В работе рассмотрен алгоритм оценки координат источника сигнала на основе формирования линеаризованной системы уравнений разностно-дальномерного метода, проведено моделирование обработки сигналов пассивной многопозиционной спутниковой системы определения местоположения источника радиоизлучения с его использованием. Исследована устойчивость решения линеаризованной системы уравнений РДМ к малым отклонениям измеряемых параметров. 1

1. Применение алгоритма линеаризации системы уравнений РДМ в многопозиционных спутниковых системах

Определение местоположения источника радиоизлучения разностно-дальномерным методом основано на формировании системы уравнений, связывающих координаты источника излучения с координатами приемников многопозиционной системы и временными задержками распространения сигналов

где ARj - разности расстояний между точкой излучения (м, Ум, ZM ) и несколькими точками (ИСЗ) приема сигнала (, yi, zг-), определяемые через измерения взаимных временных задержек распространения сигналов Tj, c - скорость света.

Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 73

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Рис. 1. Многопозиционная спутниковая система определения местоположения источника излучения

Для оценки местоположения источника излучения в пространстве (без использования уравнения земной поверхности) требуется минимум четыре синхронизованных приемника излучения. При этом координаты источника излучения находятся из решения системы нелинейных уравнений (1).

Для решения систем нелинейных уравнений наиболее часто применяют итерационные методы наименьших квадратов [2] или методы многомерной оптимизации [8], сводящие задачу решения системы нелинейных уравнений

(1) к оптимизации функционала суммы квадратов ошибок:

N 2 F

i=2

где Rj (x,y,z) = >J(xj - x)2 +(yi -y)2 +(zj - z)2 - расстояние от i-го приемника до источника излучения.

При реализации данных подходов актуальным является вопрос о выборе начального приближения. В частности, это связано с тем, что функционал

(2) является многоэкстремальным, а задача отыскания глобального минимума подобных функционалов нетривиальна и требует либо сложного алгоритма оптимизации [8], либо выбора начального приближения, близкого к глобальному оптимуму.

Для многопозиционных систем малой дальности в работе [9] предложен алгоритм линеаризации системы уравнений РДМ. Путем введения до-

74

University proceedings. Volga region

№ 4 (32), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника

полнительного уравнения (и, следовательно, приемника) систему уравнений (1) можно представить в виде

2 2 2 2 (1 - хм) + (y1 — Ум) + (z1 - zM) = R ,

(x2 - xM )2 +(y2 - yM )2 + (z2 - zM )2 =(У + Ar12 )2,

<

(х4 - xM ) +(y4 - yM ) +(z4 - zM ) =(У + Ar14 ) ,

(х5 - xM )2 +(y5 - yM )2 +(z5 - zM )2 =(У + Ar15 )2,

где R - расстояние от источника до первого приемника; Ary = r — rj - разность расстояний от источника до 7-го и j-го приемников. Путем несложных преобразований система (3) может быть сведена к линейной [9]:

x1 — x2 y1 — y2 z1 — z2

x1 — x3 y1 — y3 z1 — z3

x1 — x4 y1 — y4 z1 — z4

x1 — x5 y1 — y5 z1 — z5

—CAt12 ' ' xM ' ' 1 — r2 +(cAt12 )2'

—cAt13 yM r12 — r32 +(cAt13 )2

—cAt14 zM r12 — r42 + (cAt14 )2

—cAt15 У 1 R У vr12 — r52 +(cAt15 )2 у

где r (x, y, z) = у xt2 + yi2 + Z72 - расстояние от 7-го приемника до начала координат декартовой системы; At j = Aryjc - временные задержки распространения сигналов.

Таким образом, координаты источника радиоизлучения могут быть оценены как решение системы линейных алгебраических уравнений. Однако данный подход, основанный на переходе к системе линейных уравнений и хорошо зарекомендовавший себя при использовании в лабораторной многопозиционной системе ближнего действия [9], имеет свои ограничения при использовании с многопозиционными спутниковыми системами местоопределения. Наличие зоны видимости источника излучения со стороны ИСЗ приводит к невозможности использования конфигураций с расположением приемников (ИСЗ) в произвольной точке околоземного пространства. Невозможность создания произвольной конфигурации приемников приводит к ухудшению обусловленности матрицы системы уравнений (4), соответственно, неточности определения координат приемников, и измерения временных задержек могут привести к существенным отклонениям решения системы от реального местоположения источника излучения [10]:

AA

1 — cond (A)-

Г М+МІ I И И )

Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 75

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

фициентов системы, cond (A) - число обусловленности матрицы коэффициентов.

2. Оценка местоположения источника радиоизлучения на основе линейного приближения

Исследование матрицы коэффициентов (4), полученной для случайных средне- и высокоорбитальных ИСЗ, с учетом ограниченности угла видимости спутников показало, что обусловленность (cond) исследуемой матрицы принимает значения из широкого диапазона, существенно превышающие 500, и имеет тенденцию к увеличению при увеличении радиуса орбиты спутников.

Подобное поведение обусловленности матрицы можно объяснить «геометрической беднотой» рассматриваемых конфигураций спутников (расположение спутников на одной линии или в тесной группе), поскольку все они сосредоточены в достаточно узком конусе прямой видимости источника излучения. Незначительное улучшение обусловленности рассматриваемой матрицы наблюдается при использовании высокоэллиптических орбит спутников.

Для сравнения на рис. 2, 3 приведены зависимости среднеквадратичной погрешности определения координат источника радиоизлучения S от неточности задаваемых параметров (координат спутников Аг и временных задержек Ат). Для исследования выбирались случайные конфигурации пяти спутников на орбите 8500 км, обусловленность матрицы коэффициентов которых принимала значение около 300, при этом среднее расстояние между парами спутников (база) составило —1500 км. Кривая 1 соответствует оценке местоположения источника на основе решения системы линейных уравнений (4), кривая 2 - оценке на основе решения исходной системы нелинейных уравнений методом оптимизации.

Рис. 2. Зависимость СКО оценки координат от погрешности определения координат спутников

Для решения системы линейных уравнений (4) применялся метод, основанный на вычислении псевдообратной матрицы с использованием алгоритма сингулярного разложения (SVD) [11]. Решение нелинейной системы

76

University proceedings. Volga region

№ 4 (32), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника

уравнений (1) сводилось к оптимизации функционала (2) методом многомерной оптимизации с начальным приближением в точке P, расположенной внутри области пересечения зон прямой видимости спутников

P=м,

KI

где R - радиус Земли; rc - радиус-вектор точки, полученной усреднением координат центров зон видимости спутников.

Рис. 3. Зависимость СКО оценки координат от погрешности измерения временных задержек

Среднеквадратичная погрешность S оценки местоположения источника радиоизлучения, полученной из решения системы линейных уравнений, существенно больше погрешности оценки, полученной из решения системы нелинейных уравнений, в соответствии с соотношением (5).

Как уже отмечалось выше, эффективность методов решения нелинейной системы уравнений (1) существенно повышается при наличии начального приближения, близкого к глобальному оптимуму в задаче многомерной оптимизации (2).

В качестве начального приближения для процедуры оптимизации можно взять оценку местоположения источника излучения, полученную из решения системы линейных уравнений (5), и использовать метод поиска локального оптимума, например, метод Хука-Дживса [8]. При этом наблюдается ускорение работы алгоритма определения местоположения источника излучения по сравнению с алгоритмом, использующим метод оптимизации с начальным приближением в центре пересечения зон прямой видимости спутников (табл. 1). Коэффициент ускорения определяется как отношение среднего времени работы алгоритма решения задачи местоопределения источника излучения на основе метода оптимизации функционала (2) с начальным приближением в точке пересечения зон прямой видимости спутников (6) и с использованием начальной оценки, полученной из решения линейной системы уравнений РДМ (4).

Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 77

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

Таблица 1

Относительное ускорение работы алгоритма

Погрешность определения координат спутников, м Коэффициент ускорения Погрешность измерения временных задержек, нс Коэффициент ускорения

0 75,79 0 68,94

10 24,75 10 32,57

100 11,18 100 18,27

1000 4,57 1000 7,11

Ускорение работы алгоритма вызвано близостью начального приближения, полученного из решения линейной системы уравнений (4), к глобальному оптимуму функционала (2). Следует заметить, что решение системы линейных уравнений размерностью 4x4 не требует значительных затрат машинного времени, а следовательно, позволяет получить выигрыш в вычислительной эффективности по сравнению с довольно трудоемкой процедурой оптимизации. Значения, приведенные в табл. 1, наглядно иллюстрируют тот факт, что чем ближе начальное приближение к глобальному оптимуму функционала, тем меньше итераций оптимизационного метода требуется совершить для достижения требуемой точности. Приближения, полученные при реальных погрешностях исследуемых параметров (погрешность определения координат спутников —100 м, погрешность измерения временных задержек —100 нс), позволяют сократить время работы алгоритма в —10-15 раз.

3. Оценка взаимной временной задержки принятых сигналов

Наиболее общим алгоритмом определения взаимных временных задержек при наличии шума и смещении спектров сигналов является обобщенный метод максимального правдоподобия, сводящийся к построению и анализу взаимной функции неопределенности пары исследуемых сигналов [5]:

V— Рд)

N-1

^ 51 [п ] s2 [n + т] exp (- j2пРдПТ ) , п=0

где 51 - первый сигнал из пары; 52 - комплексно сопряженный второй сигнал; т - взаимная временная задержка; Рд - величина взаимного доплеровского смещения спектров сигналов; Т5 = 1 / f5 - период дискретизации.

В задаче оценки временных задержек функция неопределенности позволяет компенсировать частотное смещение в спектрах сигналов, причиной которого служит эффект Доплера. Координаты максимума функции неопределенности соответствуют взаимной временной задержке во временной области и доплеровскому смещению в частотной.

Поскольку полное вычисление функции неопределенности - вычислительно трудоемкая задача, даже с учетом использования алгоритма быстрого преобразования Фурье требует значительных затрат машинного времени и объема памяти, разработан вычислительно-эффективный алгоритм [12], который может быть подвергнут распараллеливанию, следовательно, может быть реализован на современных графических процессорах общего назначения.

78

University proceedings. Volga region

№ 4 (32), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника

Алгоритм заключается в использовании низкочастотной фильтрации с децимацией и переходе к построению сечений функции неопределенности.

Применение параллельной реализации метода оценки взаимной временной задержки принятых сигналов [12] на основе построения сечений функции неопределенности (7) позволяет анализировать сигналы значительной длительности (16384, 32768 и более отсчетов) в условиях низкого отношения сигнал/шум (ОСШ для BPSK сигналов до -20 Дб, для MSK сигналов до -15 Дб) на современных графических процессорах NVIDIA с использованием технологии CUDA распараллеливания вычислений за время —100 мс.

Получаемая точность оценки взаимных временных задержек узкополосных сигналов достаточна для определения местоположения источника радиоизлучения с погрешностью до нескольких сотен метров.

Использование метода предварительной оценки координат источника радиоизлучения на основе решения линеаризованной системы уравнений разностно-дальномерного метода в качестве начального приближения для оптимизационного метода решения нелинейной системы уравнений позволяет получать координаты источника радиоизлучения за несколько миллисекунд.

Полное время единичного измерения местоположения источника радиоизлучения с использованием группировки из пяти спутников будет составлять доли секунды, что означает возможность использования описанного алгоритма в режиме, близком к режиму реального времени.

Заключение

В работе проведено моделирование алгоритмов обработки сигналов в многопозиционной пассивной системе определения местоположения источника радиоизлучения и исследование устойчивости решения линеаризованной системы уравнений разностно-дальномерного метода определения местоположения источника радиоизлучения к малым отклонениям измеряемых параметров. Выполнен анализ вычислительной эффективности и возможности применения данной системы с реальными спутниковыми системами.

Компьютерным экспериментом подтверждена эффективность применения полученной оценки решения линеаризованной системы уравнений в качестве начального приближения для процедуры оптимизации, к которой сводится решение системы нелинейных уравнений РДМ.

Список литературы

1. Черняк, В. С. Многопозиционная радиолокация / В. С. Черняк. - М. : Радио и связь, 1993. - 416 с.

2. Вороши.пні, Е. П. Определение координат источников радиоизлучения раз-ностно-дальномерным методом с использованием группировки низкоорбитальных малых космических аппаратов / Е. П. Ворошилин, М. В. Миронов, В. А. Громов // Доклады ТУСУРа. - 2010. - № 1 (21), ч. 2. - С. 23-28.

3. ГЛОНАСС. Принципы построения и функционирования / под ред. А. И. Перова, В. Н. Харисова. - М. : Радиотехника, 2010. - 800 с.

4. Козлов, А. В. Развитие спутниковой системы позиционирования и сбора данных ARGOS / А. В. Козлов, А. В. Пестряков // Телекоммуникации и транспорт. -2012. - № 2. - С. 36-39.

5. Гришин, Ю. П. Радиотехнические системы / Ю. П. Гришин, Ю. М. Казаринов, П. В. Ипатов. - М. : Высш. шк., 1990. - 496 с.

Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 79

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион

6. Морозов, О. А. Определение временной задержки сигналов методом адаптивной цифровой фильтрации / О. А. Морозов, Е. А. Солдатов, В. Р. Фидельман // Автометрия. - 1995. - № 2. - С. 108-113.

7. Логинов, А. А. Комбинированная цифровая фильтрация гармонического заполнения фазоманипулированных сигналов в задаче определения временной задержки / А. А. Логинов, О. А. Морозов, Е. А. Солдатов, С. Л. Хмелев // Известия вузов. Радиофизика. - 2007. - Т. 50, № 3. - С. 255-264.

8. Жиглявский, А. А. Методы поиска глобального экстремума / А. А. Жигляв-ский, А. Г. Жилинскас. - М. : Наука, Физматлит, 1991. - 247 с.

9. Канаков, В. А. Исследование характеристик многопозиционной локационной системы малой дальности для диагностики динамических процессов / В. А. Канаков, В. В. Горда // Известия вузов. Радиофизика. - 2013. - Т. 56, № 2. - С. 124134.

10. Канатников, А. Н. Линейная алгебра / А. Н. Канатников, А. П. Крищенко. -М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. - 336 с.

11. Каханер, Д . Численные методы и математическое обеспечение / Д. Каханер, К. Моулер, С. Нэш. - М. : Мир, 1998. - 575 с.

12. Логинов, А. А. Алгоритм вычисления функции неопределенности в задаче одновременной оценки частотно-временных характеристик сигналов / А. А. Логинов, Д. С. Марычев, О. А. Морозов, В. Р. Фидельман // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. - № 3 (27). -

С. 62-74.

вует схеме

1. Chernyak V. S. Mnogopozitsionnaya radiolokatsiya [Multipositional radiolocation]. Moscow: Radio i svyaz', 1993, 416 p.

2. Voroshilin E. P., Mironov M. V., Gromov V. A. Doklady TUSURa [Reports of Tomsk State University of Control Systems and Radio Electronics]. 2010, no. 1 (21), part 2, pp. 23-28.

3. GLONASS. Printsipy postroeniya i funktsionirovaniya [GLONASS. Principles of construction and functioning]. Eds. A. I. Perov, V. N. Kharisov. Moscow: Radiotekhnika,

2010, 800 p.

4. Kozlov A. V., Pestryakov A. V. Telekommunikatsii i transport [Telecommunication and transport]. 2012, no. 2, pp. 36-39.

5. Grishin Yu. P., Kazarinov Yu. M., Ipatov P. V. Radiotekhnicheskie sistemy [Radio engineering systems]. Moscow: Vyssh. shk., 1990, 496 p.

6. Morozov O. A., Soldatov E. A., Fidel'man V. R. Avtometriya [Autometrics]. 1995, no. 2, pp. 108-113.

7. Loginov A. A., Morozov O. A., Soldatov E. A., Khmelev S. L. Izvestiya vuzov. Ra-diofizika [University proceedings. Radio physics]. 2007, vol. 50, no. 3, pp. 255-264.

8. Zhiglyavskiy A. A., Zhilinskas A. G. Metody poiska global’nogo ekstremuma [Methods of global extremum search]. Moscow: Nauka, Fizmatlit, 1991, 247 p.

9. Kanakov V. A., Gorda V. V. Izvestiya vuzov. Radiofizika [University proceedings. Radio physics]. 2013, vol. 56, no. 2, pp. 124-134.

10. Kanatnikov A. N., Krishchenko A. P. Lineynaya algebra [Linear algebra]. Moscow: Izd-vo MGTU im. N. E. Baumana, 2002, 336 p.

11. Kakhaner D., Mouler K., Nesh S. Chislennye metody i matematicheskoe obespechenie [Numerical methods and software]. Moscow: Mir, 1998, 575 p.

12. Loginov A. A., Marychev D. S., Morozov O. A., Fidel'man V. R. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2013, no. 3 (27), pp. 62-74.

80

University proceedings. Volga region

№ 4 (32), 2014 Технические науки. Электроника, измерительная и радиотехника

Гринь Илья Владимирович магистрант, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского

E-mail: yelowt@mail.ru

Ершов Роман Александрович аспирант, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского

E-mail: yelowt@mail.ru

Морозов Олег Александрович доктор физико-математических наук, профессор, кафедра информационных технологий в физических исследованиях, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского

E-mail: oa_morozov@nifti.unn.ru

Фидельман Владимир Романович

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий в физических исследованиях, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского

E-mail: fidelman@nifti.unn.ru

Grin’ Il’ya Vladimirovich

Undergraduate student, Nizhny Novgorod State University named after N. I. Lobachevsky

Ershov Roman Aleksandrovich Postgraduate student, Nizhny Novgorod State University named after N. I. Lobachevsky

Morozov Oleg Aleksandrovich

Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of information technologies in physical research, Nizhny Novgorod State University named after N. I. Lobachevsky

Fidel’man Vladimir Romanovich

Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of information technologies in physical research,

Nizhny Novgorod State University named after N. I. Lobachevsky

УДК 621.396 Гринь, И. В.

Оценка координат источника радиоизлучения на основе решения линеаризованной системы уравнений разностно-дальномерного метода /

И. В. Гринь, Р. А. Ершов, О. А. Морозов, В. Р. Фидельман // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2014. -№ 4 (32). - С. 71-81.

Engineering sciences. Electronics, measuring equipment and radio engineering 81