Математическое моделирование при решении задач обоснования структуры и организации функционирования мобильного госпиталя МЧС России

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ОБОСНОВАНИЯ СТРУКТУРЫ И ОРГАНИЗАЦИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МОБИЛЬНОГО ГОСПИТАЛЯ МЧС РОССИИ

Н.В. Каменецкая, кандидат технических наук, доцент; О.М. Медведева, кандидат технических наук; С.Б. Хитов.

Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России

Рассмотрена возможность применения теории массового облуживания для решения задачи обоснования структуры и организации функционирования мобильного госпиталя, разворачиваемого в зоне возникновения чрезвычайной ситуации силами МЧС России. Представлены этапы построения математической модели, формулы для определения показателей эффективности.

Ключевые слова: математическое моделирование, система массового обслуживания, мобильный госпиталь

MATHEMATICAL MODELING IN PROBLEM OF SOLVING SITUATION OF EXPLANATION OF THE STRUCTURE AND FUNCTIONING OF THE FIELD HOSPITAL OF EMERCOM OF RUSSIA

N.V. Kamenetskaya; O.M. Medvedeva; S.B. Khitov. Saint-Petersburg university of State fire service of EMERCOM of Russia

The authors reviewed the possibility of applying queuing theory to solve the problem of explanation of the structure and functioning of field hospital placed in the emergency area by forces of EMERCOM of Russia. There were also performed the stages of construction of a mathematical model and formula for determining the performance indicators. Keywords: mathematical modeling, queuing system, field hospital

Одним из важнейших направлений деятельности МЧС России является оказание экстренной медицинской помощи пострадавшим в местах ликвидации чрезвычайной ситуации (ЧС). В этих целях аварийно-спасательные формирования МЧС России оснащаются мобильными госпиталями, обладающими способностью к быстрой доставке и развертыванию в зоне возникновения ЧС.

При возникновении ЧС со значительным количеством пострадавших, нуждающихся в медицинской помощи, возникает задача оптимизации структуры и организации функционирования как отдельных элементов, так и всего разворачиваемого в зоне ЧС мобильного госпиталя. Решение данной задачи может быть осуществлено с использованием методов теории массового обслуживания [1-3].

В этом случае функционирование мобильных госпиталей можно представить как систему массового обслуживания (СМО).

Отличительной особенностью такой СМО является наличие в ней одного или нескольких каналов обслуживания, потока заявок, поступающих на обслуживание, и очереди на обслуживание заявок со своей дисциплиной ожидания [1].

Постановка задачи моделирования процесса функционирования мобильного госпиталя с применением теории массового обслуживания предполагает необходимость

62

определения вида законов распределения случайных величин (число поступающих заявок, время обслуживания заявки и т.п.), а также численные значения соответствующих параметров. Эта информация может быть получена как с использованием статистических данных, так и с учетом начальных условий, описанных при постановке задачи [4].

Моделирование процессов массового обслуживания предполагает допущение о пуассоновском распределении потока заявок на обслуживание и о показательных законах распределения времен переходов, совершаемых в СМО.

Рассмотрим вариант постановки задачи развертывания мобильного госпиталя МЧС России в зоне возникновения ЧС с большим количеством пострадавших.

В качестве математической модели для описания функционирования приемно-сортировочного отделения мобильного госпиталя будем рассматривать многоканальную СМО с «нетерпеливыми» заявками и с неограниченным числом мест в очереди. Каналами обслуживания будут являться бригады медицинского персонала приемно-сортировочного отделения мобильного госпиталя, а потоком заявок на обслуживание являются пострадавшие в результате ЧС, ожидающие медицинской помощи.

Таким образом, имеется простейшая п - канальная СМО с очередью,

с интенсивностью потока заявок X и интенсивностью потока обслуживания

Ц =

1

. Время

пребывания заявки в очереди ограничено временем гз, распределённым по показательному закону с параметром V. Это означает, что на каждую заявку, стоящую в очереди, действует поток уходов с интенсивностью V .

Максимальное число мест в очереди обозначим т . При наличии в системе к заявок (к < п) все они будут обслуживаться (каждая заявка одним каналом). Если в системе

П + Г заявок (г < т), то П из них будут обслуживаться, а Г находиться в очереди на обслуживание.

Если в системе будут находиться п + т заявок, то П из них будут обслуживаться, а т ожидать обслуживания. Заявка, поступившая в систему и заставшая в ней п + т, получает отказ и не подлежит обслуживанию при любых условиях.

Находясь в очереди, заявка может проявлять «нетерпение». Интенсивность потока ухода заявки из очереди, как уже указано выше, обозначим V .

Граф состояний системы будет иметь вид:

г

обс

где - состояние системы, при котором в ней нет ни одной заявки (все каналы обслуживания свободны); - состояние системы, при наличии в ней ровно к заявок (к = 1,2,...,п), которые все обслуживаются (каждая заявка одним каналом);

+г - состояние системы, в которой находятся ровно П + Т заявок (Т = 1,2,..., т — 1) , из которых П обслуживаются (каждая заявка одним каналом), а Т ожидают обслуживания;

+т - состояние системы, при котором обслуживается п заявок, а т заявок ожидают обслуживания.

На основании графа состояний можно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний системы, которая в данной задаче будет иметь вид:

^ = Л (г)—К (г);

йРк

йг

—(Л + мк) Рк (г) + ЛРк—1 (г) + (к +1) мРк+1 (г) о < к < п;

= —(Л + мп)Рп (г) + ЛРп—1 (г) + (пм + V)Рп+1 (г);

= —

йг

— (мп + ту)Рп+т (г( + ЛРп+т—1 (г);

Система дополняется нормировочным условием:

п X

£Р (г )+Е Р(г ) = 1.

1=0 г=1

Если система находится в состояниях $о, S1,..., 8п , то пострадавшим не приходится ожидать начала обслуживания (оказания медицинской помощи), если же система находится

в состояниях +г (г = 1,2,.. .), то обслуживание пострадавшего не может быть начато раньше, чем через промежуток времени в среднем равный [5]:

— Т

гоЖ л '

где Т - среднее число заявок в очереди.

При этом:

_ (р-к) Я V р Ц Ц

где к - среднее число занятых каналов, которое можно вычислить как математическое ожидание числа занятых каналов с возможными значениями 0,1,2,..., п и соответствующими вероятностями

Ро, Р„..., Рп-1, [1 -(Ро + Р + ... + Рп-1)]: к= 1Р + 2Р2 +... + (п-1)Рп-1 + п[1 -(Ро + Р +... + Р-] [6].

Если обозначить ближайшее к произведению гзЯ меньшее целое число § = \гзЯ\ -(это целая часть числа), то все заявки, покинувшие систему из состояний с номерами до (п + §) включительно, покинут систему обслуженными, так как будет выполнено условие:

- Г г = — < г

ож Я з

При состояниях системы с номерами большими чем ( п + § ), часть заявок покинет систему необслуженными. Поэтому вероятность ^ (^) того, что пострадавший получит

необходимое медицинское обслуживание за время, не превышающее заданного г з , будет вычисляться по формуле:

п §

К, (з ) = ! Р (г ) + Ъ Р.+г (г).

1=0 г=1

Математическое ожидание времени, которое пройдет от момента поступления пострадавшего в госпиталь до момента начала оказания ему медицинской помощи, может быть вычислено по формуле:

m,= +, (t).

r=1 А

Практический интерес представляет стационарный режим работы системы, при котором вероятности состояний системы при t-* со перестают зависеть от времени (финальные вероятности), то есть

P = limр (t) • i = 1,2,...

г ti v ''

В стационарном режиме каждая финальная вероятность может быть истолкована как среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.

Доказано [6], что для рассмотренной СМО с «нетерпеливыми заявками» финальные

V

вероятности существуют всегда, если величина р = > 0 .

№

Это означает, что очередь не может расти неограниченно, так как чем больше длина очереди, тем интенсивнее уходят из неё заявки.

Основными характеристиками данной СМО являются [5, 6]:

- финальные вероятности состояний системы с учетом tож < tз ;

абсолютная пропускная способность СМО А = Я — ^ ;

п = А = 1 vr

относительная пропускная способность СМО п =~ = 1 ~;

Я Я

средняя длина очереди Т": — среднее время пребывания заявки в очереди;

— среднее число заявок в СМО 2 = Г + к ; —среднее время пребывания заявки в СМО

— z

t = —

сист ^ •

Полученные количественные значения показателей эффективности позволят достичь поставленной выше цели - решить задачу оптимизации структуры и организации функционирования как отдельных элементов, так и всего разворачиваемого в зоне возникновения такой ЧС мобильного госпиталя.

Кроме рассмотренной задачи, при развертывании силами МЧС России в зоне ЧС мобильного госпиталя математическое моделирование с применением теории массового обслуживания позволяет решить и ряд других задач, например:

- определить параметры пунктов оказания медицинской помощи, в которых будут располагаться пострадавшие, ожидающие медицинского облуживания;

- исследовать вопросы динамики изменения необходимого размера таких помещений в зависимости от изменения потока пострадавших;

- определить время обслуживания пострадавших в отделениях госпиталя;

- определить допустимое время обслуживания пострадавших;

- определить поток пострадавших в другой пункт медицинского облуживания, которые не могут быть обслужены в данном мобильном госпитале.

Литература

1. Волгин Н.С., Махров Н.В., Юровский В.А. Исследование операций. Л.: ВМА, 1981.

2. Лукьянченко А. А. Основы создания автоматизированной системы управления безопасностью на объектах с массовым пребыванием людей в чрезвычайных ситуациях // Пожары и чрезвычайные ситуации: предотвращение, ликвидация. 2013. № 2. С. 27-29.

3. Таранцев А.А. Инженерные методы теории массового обслуживания. 2-е изд., перераб. и доп. СПб.: Наука, 2007. 175 с.

4. Волгин Н.С. Применение методов теории вероятностей в оперативно-тактической области. Л.: ВМА, 1988.

5. Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1969.

6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб. пособие. 8-е изд., стер. М.: КНОРУС, 2014. 496 с.

References

1. Volgin N.S., Mahrov N.V., Jurovskij V.A. Issledovanie operacij. [Operations research]. L.: VMA, 1981. (In Russ.).

2. Luk'yanchenko A.A. Osnovy sozdaniya avtomatizirovannoj sistemy upravleniya bezopasnost'yu na ob"ektax s massovym prebyvaniem lyudej v chrezvychajnyx situaciyax // Pozhary i chrezvychajnye situacii: predotvrashhenie, likvidaciya. 2013. № 2. S. 27-29.

3. Tarancev A.A. Inzhenernye metody teorii massovogo obsluzhivanija. [Engineering methods of queuing theory]. 2-e izd., pererab. i dop. SPb.: Nauka, 2007. 175 p. (In Russ.).

4. Volgin N.S. Primenenie metodov teorii verojatnostej v operativno-takticheskoj oblasti. [Application of methods of the theory of probability in the operational-tactical area]. L.: VMA, 1988. (In Russ.).

5. Ovcharov L.A. Prikladnye zadachi teorii massovogo obsluzhivanija. [Application tasks of queuing theory]. M.: Mashinostroenie, 1969. (In Russ.).

6. Ventcel' E.S. Zadachi i uprazhnenija po teorii verojatnostej: uchebnoe posobie [Problems and exercises on probability theory: a tutorial ] / E.S. Ventcel', L.A. Ovcharov. 8-e izd., ster. M: KNORUS, 2014. 496 pp. (In Russ.).