Влияние функции распределения частиц по размерам в полидисперсной суспензии на сепарационный процесс в классификационном аппарате

2007

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Математика и механика

№ 1

МЕХАНИКА

УДК 621.928.42

И.Г. Дик, Л.Л. Миньков, Е.В. Пикущак

ВЛИЯНИЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ ПО РАЗМЕРАМ В ПОЛИДИСПЕРСНОЙ СУСПЕНЗИИ НА СЕПАРАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС В КЛАССИФИКАЦИОННОМ АППАРАТЕ

В данной статье объясняется аномальное поведение сепарационной кривой в классификаторе (так называемый «flsh-hook»-эффект) с привлечением кинематической модели увлечения мелких частиц более крупными. Показано влияние функции распределения частиц по размерам в полидисперсной суспензии, подаваемой в классификатор, на сепарационную функцию.

Сепарация твердых частиц в технических устройствах обычно совершается под действием центробежной силы (гидроциклоны, центрифуги и т.д.) [1, 2]. Для определения эффективности разделения частиц по размерам используется сепара-ционная кривая. Эта кривая показывает долю частиц каждой фракции, которая определяется в классификационном аппарате как крупный материал. В идеале, сепарационная кривая Г(^) должна монотонно возрастать от Т(0) < 1 при d ^ 0 до Т = 1 при d ^ да. Но на практике, во многих случаях, сепарационная кривая немонотонна и имеет минимум в диапазоне размеров частиц от 10 мкм и меньше. Подобное поведение кривой получило название «Й8^^ок»-эффекта. До настоящего времени этот эффект не получил окончательного и однозначного объяснения. В данной работе на основе кинематической модели оседания частиц с учетом эффекта захвата мелких частиц более крупными [3 - 6] и соответственно увеличением скорости оседания этих мелких частиц объясняется немонотонное поведение сепарационной кривой (аномальное поведение).

Основные характерные черты классификации можно рассмотреть на основе схематичного классификатора [7, 8] длиной I и высотой к, в который суспензия втекает слева с постоянной скоростью иы. Выход из аппарата справа делится на верхний и нижний разгрузочные сливы. Частицы в аппарате подвергаются действию массовой (гравитационной или центробежной) силы и турбулентной диффузии. На рис. 1 представлены схемы упрощенного классификационного аппарата и одного из видов классификаторов - гидроциклона.

Уравнение для изменения концентрации каждой фракции частиц dj в классификационном аппарате имеет следующий вид:

Модель классификатора

с граничными условиями:

X = 0 с] (0, у) = СЛ0; у = 0 и у = к I У8,]с] - Б = 0 .

Здесь У5^ - скорость седиментации частиц у-й фракции. В данной постановке задачи коэффициент турбулентной диффузии частиц Б является константой.

В соответствии с моделью сепарации [1, 9], сепарационная функция, характеризующая долю частиц данной фракции, разгружаемую через нижний слив, определяется следующим образом:

являются объемными долями потоков частиц у-й фракции в нижний и верхний сливы классификатора соответственно.

При отсутствии твердой фазы отношение объемных долей потока жидкости через нижний и верхний сливы аппарата называется сплит-параметром 5 = к0 /(к - к0). Концентрационные поля и характеристики классификации могут быть определены, если известны значения седиментационных скоростей частиц Уц, у каждой у-й фракции.

Наиболее простая постановка задачи реализуется для очень длинного аппарата. В этом случае вместо уравнения (1) можно рассматривать следующее уравнение:

Рис. 1. Схема классификатора

Здесь

Определение сепарационной функции

Используя граничные условия и предполагая независимость скорости оседания частиц от концентрации, легко найти поле концентрации:

Г у \

С] (У) = С] (О)ехрI -|¿У

Это распределение может быть использовано для определения сепарационной функции. При следующих оценках:

*0 й

IС]

0 й

и с использованием уравнения (2) можно получить

ТV)= , 1 . .

1 +

к - к0 С;

Если У, у не зависит от концентрации твердой фазы (в случае разжиженной

суспензии), то можно проинтегрировать в уравнении (4). В итоге сепарационная

функция будет иметь следующий вид:

Т

1 + 5 ехр I —^

(так называемая <4арр1^»-модель [2, 10]).

Если Уц,' ^ 0 при 4у ^ 0 (в случае разжиженной суспензии), тогда

Т

1 + 5

При таком построении модели зависимость сепарационной функции от размера частиц определяется посредством зависимости скорости седиментации от размера частиц.

В рамках такой модели легко увидеть, что

йТ Б к ( К,,к V ( У,,к ^Г2 ^,

й

Это значит, что Т(4) уменьшается так же, как уменьшается У^- при увеличении размера частиц 4'.

Уменьшение седиментационной скорости У^- при увеличении 4 было получено в экспериментах с полидисперсными суспензиями [3, 14, 15, 19, 20] и теоретически объяснено [4, 6].

Моделирование оседания частиц в полидисперсной суспензии

Экспериментальные и теоретические результаты по оседанию в концентрированных суспензиях развиты многими исследователями [11 - 14]. Было отмечено увеличение скорости оседания мелких частиц в присутствии более крупных фракций. Это явление пытались объяснить различными моделями. В [9, 13] было предложено формирование коллективов слабосвязанных частиц (кластеров) при

низких концентрациях твердой фазы в суспензии. В [15] предложено, что главную роль в увлечении мелких частиц крупными играет сила, введенная Саффманом. В [16] предполагается, что при более высоких концентрациях твердой фазы в суспензии мелкие частицы захватываются потоком жидкости, созданным при оседании более крупных частиц.

В полидисперсных суспензиях три наиболее существенных эффекта могут действовать на оседающую частицу:

1. Увеличение «эффективной» плотности и вязкости суспензии.

2. Обратный поток вытесненной жидкости, вызванный оседающими частицами.

3. Увлечение мелких частиц в пограничном слое оседающих крупных частиц.

Действие этих трех механизмов показано на рис. 2 как сравнение экспериментально определенных и вычисленных скоростей оседания в соответствии с уравнением (9). Этот пример демонстрирует зависимость седиментационной скорости от диаметра частицы в полидисперсной суспензии. Измерения были проведены в тарельчатой центрифуге [6].

1,25

0,75

0,5

0,25

-0,25

0,1 1 10 Particle diameter d [m]

Рис. 2. Скорости оседания отдельных фракций частиц при 18,7 об.% общей текущей концентрации песка cV

1

0

Для специального случая плотно концентрированной суспензии, твердые частицы при возмущенном оседании могут быть четко разделены на три подгруппы:

1. Крупные фракции Ц- > 7 мкм): для этого диапазона диаметров частиц скорости оседания меньше, чем соответствующие скорости оседания по Стоксу. Увеличение плотности потока, так же как и вязкости, приводит к стеснению оседания крупных частиц и уменьшению их скорости оседания.

2. Среднеразмерные фракции (2 мкм < ^ < 7 мкм): для этого диапазона диаметров частиц было отмечено, что скорости оседания частиц могут быть отрицательными, что может быть объяснено обратным потоком жидкости, вымещенной оседающей твердой фазой.

3. Мелкие фракции Ц- < 2 мкм) : для этого диапазона диаметров скорости оседания больше, чем соответствующие Стоксовские скорости. Эффект увлечения мелких частиц крупными фракциями является адекватным объяснением этого являния.

Больше экспериментальной информации может быть найдено в [5, 6].

Полное выражение для скорости оседания частицы ]-й фракции, полученное в [6], имеет следующий вид:

" ' 4 + 8(су)/е 0^/)-су X( + ((су)/е ))-С-М_

s’7 dj

Здесь VH,j = Vst,j (1 - Cy )(1 - Cy / 0,6)1,5, g(cy ) = 2,5 • c23 exp

0,2

fE (dj ) = ^Amtdf j - функция увлечения.

Здесь A mi - отношение объема частиц г-й фракции к общему объему твердой фазы. A mi связано с концентрацией твердых частиц ci, потому что отношение «/1С также обозначает долю объема г-й фракции. Можно записать, что

Am = q{di )Adt.

Z С

Используя известные или вычисленные значения концентрации частиц, плотность распределения частиц по размерам можем вычислить в каждой точке аппарата как

с.

qd) = лл \- .

H Z, ci

В выражении (9) первое слагаемое описывает скорость стесненного оседания частицы благодаря изменению «эффективной» вязкости и плотности суспензии, второе отвечает за возрастание скорости оседания из-за эффекта увлечения мелких частиц более крупными и третье - за уменьшение скорости оседания благодаря обратному потоку вытесненной жидкости.

Очевидно, что модель принципиально может описывать стесненное оседание частиц в полидисперсной суспензии.

Из выражения (9) можно сделать вывод, что в полидисперсной суспензии скорость оседания частицы зависит не только от общей концентрации твердой фазы cV, но также и от распределения частиц по размерам.

Далее, для подаваемой суспензии использовалась двухпараметрическая функция распределения RRSB (Rosin - Rammler - Sperling - Bennett) [1]:

I= 1

т-1

ехр

Здесь йт - средний размер частиц, а т характеризует остроту распределения частиц.

Обсуждение результатов

При численном моделировании было использованы следующие безразмерные

переменные:

хБ

СЛ0

н2и.

т!

где =

18^

'(рР -Рь) - скорость оседания частицы размера dm в жидкости

по

Стоксу, здесь р^ - плотность твердой фазы, р£ - плотность жидкости, % - центробежное ускорение, - вязкость жидкости. Безразмерная длина аппарата выражается параметром

Ю

Ь =-

И V:

1п1

Вычисления производились при в = 10 (в - параметр, отвечающий за размер частицы, которая способна увлечь более мелкую по сравнению с собой частицу).

При вычислениях варьировались следующие параметры: отношение размеров выходных отверстий (параметр 6), начальная концентрация подаваемой твердой фа-^ ^ т

зы ег 0 ^ Cj,0 и средний размер частиц в суспензии (параметр Рет =-------—).

]=\ ’ в

На рис. 3 показана плотность функции распределения частиц по размерам в различных местоположениях вдоль срединных линий выхода мелкого (п = /2) и

крупного материала (п = (Ь+Н0) /2) при различной длине аппарата. На кривой д(ф) на рис. 3, б можно увидеть два пика. Это отражается в сепарационной кривой как «Й8^^ок»-эффект.

Рис. 3. Функция распределения частиц по размерам в сечениях к0 /2

Интересно исследовать влияние гранулярных свойств подаваемого твердого материала на сепарационный процесс в классификационном аппарате. Для разжиженных суспензий каждая частица движется независимо относительно других. Поэтому поведение сепарационной кривой не зависит от композиции размеров частиц. Но в случае концентрированной суспензии взаимодействие между частицами играет большую роль. Это взаимодействие оказывает значительное влияние на сепарационную функцию.

На рис. 4 показаны сепарационные кривые для различных значений параметра, определяющего остроту разделения частиц по размерам в подаваемой суспензии. Если т < 1, то сепарацион-ная кривая ведет себя монотонно и значение Г(ф) при ф ^ 0 выше, чем по формуле (7). Для т > 1 глубина ^ок»-эффекта возрастает при увеличении параметра т. Но чем выше крутизна распределения частиц по размерам, тем при более мелких по размеру частицах сепарационная кривая имеет минимум. В пределе при т ^ 0 сепараци-онная кривая становится монотонной везде, исключая очень маленькую область значений ф, вероятно, не охваченную в экспериментах.

Причиной такого влияния остроты распределения т на характеристики «Й8^^ок»-эффекта может служить поведение седиментационной скорости мелких

частиц для различных значений т в выходном отверстии аппарата. На рис. 5 можно увидеть, что скорости оседания мелких частиц возле дна аппарата п ~ 0,8 более высокие, чем при оценке по закону Стокса. Причиной является присутствие в этой области большого количества крупных частиц, служащих ускорителями для мелких частиц. При дальнейшем движении вниз аппарата концентрация твердой фазы становится такой высокой (на рис. 6 показаны соответствующие кривые концентрации твердой фазы в различных сечениях аппарата), что возросшая вязкость смеси препятствует оседанию. Для высоких значений т имеют место даже отрицательные значения седиментационных скоростей мелких частиц. Это означает, что мелкие частицы движутся вверх, будучи захваченными водой, которая вымещается оседающей смесью.

0,01 0,1 1

1-П

Рис. 5. Поведение седиментационной скорости частиц размером 0,00 Ыт поперек выходного отверстия аппарата для различных значений т, Рет = 10, 5 = 9, су 0 = 0,04

Ф

Рис. 4. Влияние распределения частиц в подаваемой суспензии на поведение сепарационной кривой, Рет = 10, 5 = 9, су, 0 = 0,04

0,2

0,15

0,1

0,05

—•— L=0 -——¿=0,01 * ¿=1 1

-

- 1

- )

-  ^

Глубина увлечения («Й8^^ок»-эф-фекта) рассчитывается по следующей формуле:

Ah = T (Фшіп )-: 1

1 + S

1

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 6. Поведение общей концентрации твердой фазы поперек аппарата при различных значениях длины аппарата Ь, Рет = 10, 5 = 9, €уо = 0,04, т = 1,7

Величина ------ определяет значение

1 + 5

Г(ф ^ 0) в случае слабоконцентрированной суспензии (при су ^ 0, когда эффект увлечения не присутствует) для бесконечно длинного аппарата. Данная величина может быть получена аналитически.

Зависимость глубины «ЙБ^^ок»-эффекта от начальной объемной общей концентрации твердой фазы (рис.7) имеет ярко выраженный максимум. Немонотонное поведение кривой АН(Су) объясняется немонотонной зависимостью скорости оседания мелких частиц от су [5]. Уменьшение остроты функции распределения частиц по размерам т ведет к увеличению АИ(су), что объясняется увеличением относительной доли мелких частиц в подаваемой в классификатор суспензии при уменьшении т и, следовательно, увеличением доли мелких частиц, выносимых через нижний слив аппарата в результате захвата их более крупными частицами.

Выводы

1. С использованием представленной кинематической модели увлечения мелких частиц более крупными можно объяснить аномальное поведение сепараци-онной кривой для мелких частиц (так называемый «Й8^^ок»-эффект).

2. Сепарационная кривая для концентрированной суспензии зависит не только от типа классификатора и характеристик процесса, но также и от распределения частиц по размерам подаваемой в аппарат полидисперсной суспензии.

Рис. 7. Зависимость увлечения от начальной общей концентрации твердой фазы при различных значениях параметра т, Рет = 10, 5 = 9, Ь = 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Schubert H., Heidenreich E., Liepe F., und Neeße Th. Mechanische Verfahrenstechnik, 3. Aufl., Deutscher Verlag fuer Grundstoffindustrie, Leipzig , 1990.

2. Heiskanen K. Particle Classification, Chapman and Hall, London - Glasgow - New York -Tokyo - Melbourne - Madras, 1993.

c

3. Neesse Th., Dueck J., and Minkov L. Separation of finest particles in hydrocyclones // Miner. Eng. 2004. V. 17. P. 689 - 696.

4. Dueck J., Minkov L., Neesse Th. A hydrodynamical model for enhanced sedimentation of small particles in a bidisperse suspension // Thermophys. and Aerodynam. 2001. V. 8(2). P. 283.

5. Dueck J.G., Kilimnik D.Yu., Minkov L.L., and Neesse Th. Measurement of the sedimentation velocity of finely divided particles in a tray centrifuge // J. Eng. Phys. and Thermophys. 2003. V. 76. No. 4. P. 7 - 17.

6. Dueck J., Neesse Th., Minkov L., Kilimnik D., and Hararah M. Theoretical and experimental investigation of disturbed settling in a polydisperse suspension // Y. Matsumoto, K. Hishida, A. Tomiyama, K. Mishima, and S. Hosokawa (Eds.), Proc. of Fifth Int. Conf. on Multiphase Flow ICMF-2004, 30 May - 4 June 2004, Yokohama (Japan), Paper No. 106. P. 1 - 8.

7. Neesse Th., Schubert H., and Graichen K. Practical and theoretical aspects of dense-flow classification // Aufbereitungstechnik. 1991. V. 32. No. 9. P. 459 - 472.

8. Dueck J., Minkov L., Pikushchak E. Modeling of the „Fish-Hook» Effect in a classifier // J. Eng. Phys. and Thermophys. 2007. V. 80. No. 1.

9. Gerhart Ch. Untersuchungen zum Trennverhalten in Hydrozyklonen niedriger Trennkorn-großen: Dissertation. Erlangen: Universitat Erlangen-Nurnberg, 2001.

10. Schubert H., Neesse Th, A hydrocyclone separation model in consideration of the turbulent multiphase flow // Proc. 1st Int. Conf. Hydrocyclones. Cambridge: British Hydromechanics Research Association, Cranfield, Pap. 3, 1980. P. 23 - 36.

11. Batchelor G.K., Rensburg J. van. Structure formation in bidisperse sedimentation // Journal Fluid Mech. 1986. V. 119. P. 379.

12. Bickert G., Stahl W., Bartsch R., Müller F. Sedimentationsverhalten von momo-und polydispersen, submikronen Partikeln in verdünnten und konzentrierten Suspension // Chem. Ing. Tech. 1996. V. 68. P.1459.

13. Bhatty J.I. Cluster formation during sedimentation of dilute suspensions // Separation Science and Technology. 1986. V.21(9). P. 953.

14. Koglin B. Untersuchungen zur Sedimentationsgeschwindigkeit in niedrig konzentrierten Suspensionen: Dissertation. Universität Karlsruhe, 1971.

15. Schubert H. Zu den Ursachen «anomaler» Verlaufe der Trennkurve bei der Feinskornklassie-rung in Hydrozyklonen - insbesondere zum so genannten Fish-Hook-Effekt // Aufbereitungstechnik. 2002. Bd. 44. No. 2. P. 5 - 17.

16. Dueck J., Minkov L., Pikushchak E. On separation curve of a flowing classification devise of limit length // J. Eng. Phys. and Thermophys. 2006. V. 79. No. 3. P. 239 - 247.

Принята в печать 04.12.07.