Описание конечных деформаций сплошных цилиндров при кручении

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.1. С. 109-118

Механика

УДК 539.3

Описание конечных деформаций

*

сплошных цилиндров при кручении *

М. Ю. Соколова, В. С. Чиков

Аннотация. В статье представлена модель конечного упругого деформирования сплошного кругового цилиндра, выполненного из сжимаемого материала в рамках геометрически нелинейной теории упругости. Приведено численное решение задачи о простом кручении цилиндра для различных материалов. Полученное решение позволяет учесть эффекты второго порядка, возникающие при конечных углах поворота торцов цилиндра.

Ключевые слова: кручение, конечные упругие деформации, сжимаемый материал, нелинейные эффекты.

Рассматривается нагружение изотропного однородного кругового цилиндра приложенным к его торцу крутящим моментом, вектор которого направлен вдоль оси цилиндра, и осевой силой. Моделирование поведения цилиндра при такой общей схеме нагружения позволяет рассмотреть два частных случая, соответствующих схемам известных экспериментов [1]. В экспериментах со сплошными цилиндрами могут быть реализованы схемы нагружения, соответствующие простому и чистому кручению [1]. Под простым кручением цилиндрического образца понимают схему деформирования с зажатыми торцами, а под чистым кручением — схему деформирования со свободными торцами.

В большинстве исследований [2-6] конечные деформации сплошного цилиндра при кручении рассматриваются в рамках гипотезы несжимаемости материала. В этом случае деформация цилиндра носит универсальный характер, и связь между текущим и начальным значениями радиуса определяется из условия сохранения объема. В рамках различных определяющих соотношений нелинейной теории упругости удается описать экспериментально наблюдаемые эффекты при конечном кручении цилиндра [5, 7], состоящие в удлинении цилиндра при чистом кручении и появлении осевой силы при простом кручении.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97501-р_центр_а).

Задачи по определению напряженно-деформированного состояния сплошного цилиндрического образца для изотропных упругих сжимаемых материалов в рамках нелинейной модели ранее решены в работах [8, 9], а в работе [10] проведено исследование поведения сплошного цилиндра при кручении на основе полученного асимптотического решения.

1. Основные соотношения модели. Вызываемое при комбинированном нагружении цилиндра состояние оказывается неоднородным, поэтому возникает задача выражения напряжений и деформаций во внутренних точках цилиндра через параметры деформирования наружной поверхности образца, которые могут быть вычислены по результатам непосредственных измерений, а именно:

А; = АЯ = ,

Ь о Ко Ь о

где Ьо, Ь — длина образца в начальном и деформированном состояниях, Ко,

К — радиус наружной поверхности образца в начальном и деформированном состояниях, р — ро — угол закручивания образца.

В эксперименте также измеряются лишь интегральные характеристики

к

напряженного состояния: осевая сила Р = 2п / рйр и крутящий момент

о

к

М = 2п / р2йр.

о

При получении кинематических характеристик конечного деформирования кругового цилиндра будем считать, что деформированное состояние однородно вдоль оси цилиндра и антисимметрично относительно оси. Связь между начальными ро, ро, го и текущими (материальными) р, р, г цилиндрическими координатами принимается в следующем виде:

Р = Р (ро,^ ,

г = А;

р = ро + гоС (Ь) .

Данный закон описывает движение, при котором начальные круговые материальные плоскости, перпендикулярные оси, остаются круговыми плоскостями, ортогональными оси цилиндра. Закон движения точки (1.2) также соответствует общепринятым гипотезам плоских сечений (А; не зависит от ро) и прямолинейности радиусов (( не зависит от ро). При простом кручении следует положить А; (Ь) = 1, тогда, полагая £ параметром процесса, искомой функцией задачи оказывается р = р (ро, Ь) или р = р (ро, £).

В работах [2, 8, 9] были получены основные кинематические соотношения, соответствующие закону движения (1.2), и выражения для компонент

тензора логарифмических деформаций Генки в базисе ер, е<^, ех цилиндрической системы координат. При простом кручении компоненты тензора Генки имеют вид

Грр = '” Ю'

1 1(1 + Ар)2 + (рС )2 - д/ (А2 - 1 - (рС )2)2 + 4р2С 2АР

21п Ар - -1п------------------------------\

2 2 (1 + Ар)2 + (р()2 + ^/(А* - 1 - (рС)2)2 + 4р2(2А2

а2 -1 - (рС)2 х / —, ^4(рС)2А2 + (А2 - 1 - (рС)2)2

1 1(1 + Ар)2 + (РС)2 - л/(Ар - 1 - (рС)2)2 + 4р2С2А2

Г** = х1п Ар + - 1п--------------------------V х

2 2 (1 + Ар)2 + (р()2 + ^(Ар - 1 - (рС)2)2 + 4р2С2А2

а2 -1 - (рС )2

^4(рС)2А2 + (А2 - 1 - (Л)2)2 :

1 (1 + Ар)2 + (р()2 — ./(Ар — 1 — (рС)2)2 + 4р2<2Ар

г„; = — -1п--------------------------у == х

2 (1 + Ар)2 + (р( )2 + ^ (Ар — 1 — (р( )2)2 + 4р2(2 А2

х_______________2рСАр____________

^4(р( )2Ар + (Ар — 1 — (р( )2)2 ’

где обозначено Ар = —.

^ р ро

Первый инвариант меры Генки, характеризующий изменение объема, имеет вид

0

-др ^ = 1 ^

,дро 7 П ^о'

Напряженное состояние в цилиндре определяется тензором истинных напряжений Коши, который может быть разложен по текущему цилиндрическому базису

8 БррСрСр + + Б(р; (в^в; + в;в^).

При отсутствии массовых сил тензор истинных напряжений удовлетворяет условиям равновесия V  Б — 0. Так как напряженное

состояние является антисимметричным и однородным по оси цилиндра и напряжения на боковой поверхности цилиндра отсутствуют, уравнения равновесия сводятся к одному

дБрр + др Брр — =о

дро + дро р =°

В силу равенства нулю вектора напряжений на поверхности р — К

получим граничное условие для дифференциального уравнения (1.5):

Брр1р=я0 = °

Известно, что в изотропных материалах тензор Генки Г энергетически сопряжен с обобщенным «повернутым» тензором истинных напряжений ха — ев  я  (Sijёiёj)  я- _1, поэтому определяющие соотношения представим в виде тензорно-линейной связи между Г и Хн,. В случае изотропных материалов эта связь имеет вид

Xr = ст°1° + 2Gr, ст° = K0,

где тензоры I0, Г являются соответственно единичным тензором и девиатором тензора Г, а константы K, G — объемный модуль и модуль сдвига.

В соответствии с определяющими соотношениями (1.7) компоненты тензора Xr имеют следующие выражения:

Хрр = ст° + 2Gr рр, Х^ = ст° + 2Gr

Xzz = ст° + 2Grzz J Xtpz = 2GrVz.

Осевая сила определяется выражением R

P = 2n J [(сто + 2Grw) sin2 X + (сто + 2Grzz) cos2 x + 2Gf Vz sin2x] p°dp°.

°

Момент, возникающий при кручении, определяется по формуле R

M = 2п J [G

°

В формулах (1.9) и (1.10) угол x определяет поворот, связанный с жестким вращением, сопровождающим деформацию кручения [2, 8, 9].

При подстановке соотношений (1.8) в дифференциальное уравнение равновесия (1.5) получаем основное дифференциальное уравнение модели

ЯД Я

- др0(сто +2СТрр) + (сто +2СТрр) +

+ [2С

1 др р дро

которое с учетом выражений (1.3) и (1.4) сводится к дифференциальному уравнению относительно искомой функции р = р(ро):

„ = р 1п р — 1-Т2У (1 - 1п р — 1п Ар) +

Р Ро 1п р/ — т-2V (1 — 1п р — 1п Ар) — 1

.

р 1п р — т-т2^ (1 — 1п р — 1п Ар) — 1

Т оо8 2(р + х) 1п

(1+Ар)2 + (рС)2-л/(А2-1-(рС )2 )2+4(рС)2А2

. (р)2 _2___________У(1+Ар)2 + (рС)2^(А2-1-(рС)2)2+4(рС)2А2

р 1п р — Т-2^ (1 — 1п р — 1п Ар) — 1

В уравнении (1.12) константа V — коэффициент Пуассона, угол р определяет поворот главных осей тензора Генки [2, 8, 9] относительно цилиндрического базиса. В этом уравнении может быть выполнен переход к переменным, отнесенным к начальному значению радиуса наружной поверхности цилиндра До. Не изменяя обозначений, далее считаем р = Х0,

£ = X0 (Р — Ро), то есть параметр £ характеризует сдвиг на наружной поверхности цилиндра.

Дифференциальное уравнение (1.12) в соответствии с граничным условием (1.6) и требованием равенства нулю текущего радиуса на оси цилиндра дополняется краевыми условиями

1-2у

р|р0=о = 0 и р и=я0 = р 1-" •

Таким образом, задача приведена к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка относительно функции р = = р(ро), в которое сдвиг на наружной поверхности входит параметрически.

2. Численное решение задачи о кручении сплошного цилиндра. Краевая задача (1.12), (1.13) была решена методом конечных разностей в среде МаЛеаё. В качестве начального приближения принималось асимптотическое решение задачи, полученное для малых углов закручивания в работах [10, 11].

При кручении цилиндра с зажатыми торцами (Аг = 1) асимптотическое решение имеет вид

р ~ ро +

где константы А и Е\ могут быть выражены через коэффициент Пуассона:

А —

1 - 2v

16(1 - V) ,

Е\ — —

16

Первое из условий (1.13) при численной реализации алгоритма приводит к ситуации, когда требуется деление на ноль. Для устойчивой работы алгоритма предложено исключить из рассмотрения малую окрестность вблизи оси цилиндра и использовать при реализации численного алгоритма краевые условия в виде

Р\РП=£ — £ + (Е1£ + Ае3)С2

р'\ро=Яо — Р 1

1 —2у

1 —V

1ро=£ 1 1 “ Г \ро = Яо

В условиях (2.2) е — малое значение радиуса. На отрезке [0, е] в таком случае принимается асимптотическое решение (2.1), что обосновывается малыми значениями величины е(, для которых справедливо асимптотическое решение.

Было проведено исследование предложенной численной модели на устойчивость и сходимость. На рис. 1 представлено решение краевой задачи (1.12), (2.1). При расчетах принималось V — 0, 4, £ — 2, что для цилиндра с отношением — 20 соответствует углу закручивания торцев 40рад. На рисунке 1 приведены кривые, соответствующие линейному решению задачи (прямая), асимптотическому решению и полученному численному решению. В отличие от известных работ, исследовавших проявление эффектов второго порядка при кручении [6], предложенная модель учитывает сжимаемость материала и позволяет найти уменьшение наружного радиуса цилиндра при простом кручении. На рис. 2 представлены кривые, характеризующие изменение наружного радиуса цилиндра с увеличением угла закручивания для сильно сжимаемых (V — 0,1 — темный пунктир) и мало сжимаемых (V — 0, 4 — светлый пунктир) материалов.

Мишеле а] БоЬйоп Ьтеах 5о1ийо11 АапцЛсЛ. Бокйоп -

1 1 1

Рис. 1. График искомой функции р — р

Рис. 2. Зависимость Е — Е

Полученное численное решение позволило провести анализ напряженно-деформированного состояния цилиндра. На рис. 3 приведены кривые, характеризующие распределение напряжений по толщине цилиндра для материала с коэффициентом Пуассона V — 0,4. Значения напряжений отнесены к модулю сдвига материала 20. Как видно из рисунка, при больших углах закручивания окружные напряжения возрастают ближе к наружной поверхности цилиндра. Радиальное напряжение, увеличиваясь к наружной поверхности, на ней равно нулю, что соответствует выполнению граничного условия (2.2). Также отметим, что в центре поперечного сечения цилиндра реализуется состояние всестороннего сжатия. Подобные результаты были получены в работе [6], в которой решалась задача кручения стержня сплошного круглого поперечного сечения для изотропного несжимаемого материала при больших деформациях. Полученный характер распределения напряжений соответствует результатам, приведенным в статье [6].

Рис. 3. Распределение напряжений по толщине цилиндра

В результате решения задачи получены зависимости крутящего момента М и осевой силы Р при кручении цилиндра с зажатыми торцами от угла

закручивания цилиндра, приведенные на рис. 4 и 5. Значения момент и осевой силы также отнесены к модулю сдвига материала 2С.

,.1 ♦ ♦ +

*♦

♦ 4

♦

+

♦ ♦

О 0.: 0.4 0.6 0.8 1 12 1.4 1.6 1.3 2

Рис. 4. Зависимость М(£) при V = 0,1 (темный пунктир) и V = 0,4

0 *< .4 .6 .8 1 1 2 1 .4 1 .6 1 3

+

% ♦ ♦ +

♦ * + ' +

♦ +

♦ ♦ ♦

♦ ♦ ♦ ♦

♦ ♦ ♦ ♦ ♦

♦

♦

Рис. 5. Зависимость Р(£) при V = 0,1 (темный пунктир) и V = 0,4

Возникновение осевой силы при простом кручении цилиндров — это так называемый эффект Пойнтинга [1, 7], который при малых деформациях относят к эффектам второго порядка малости. На рис. 5 показана его количественная зависимость при конечных углах закручивания. Как видно из графика, абсолютная величина осевой силы при небольшой степени закручивания мала, и ее можно отнести к эффектам второго порядка малости. Но при увеличении степени закручивания осевая сила быстро растет. Полученный характер изменения сжимающей осевой силы соответствует как результатам, основанным на асимптотическом решении

задачи [10, 11], так и результатам, полученным для несжимаемого материала в [б].

Список литературы

1. Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. Часть II. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.

2. Астапов В.Ф., Соколова М.Ю. Кинематические характеристики конечного формоизменения сплошного цилиндра / Тул. госуд. ун-т. Тула, 1998. Деп. в ВИНИТИ 29.05.98, № 1641-В98. 24 с.

3. Васин Р.А., Ильюшин А.А., Моссаковский П.А. Исследование определяющих соотношений и критериев разрушения на сплошных и толстостенных трубчатых цилиндрических образцах // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1994. № 2. С. 177-184.

4. Грин А.Е., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

5. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

6. Панов А.Д., Шумаев В.В. Применение логарифмической меры деформации для решения задач кручения // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2012. № 1. С. 92-100.

7. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

8. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Кручение сплошного цилиндра из изотропного упругого материала // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1999. Т. 5. Вып. 2. С. 43-48.

9. Астапов В.Ф., Маркин А.А., Соколова М.Ю. Определение упругих свойств материалов из опытов на сплошных цилиндрах // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2002. № 1. С. 104-111.

10. Соколова М.Ю., Христич Д.В. Исследование модели поведения изотропных упругих тел // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2000. Т. 6. Вып. 2. С. 128-133.

11. Маркин А.А., Соколова М.Ю. Термомеханические модели обратимого конечного деформирования. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. 268 с.

Соколова Марина Юрьевна (sokolova@tula.net), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

Чиков Валерий Сергеевич (avreliykvochi@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.

A description of solid cylinders finite strains at torsion

M. Yu. Sokolova, V. S. Chikov

Abstract. The paper presents a model of a finite elastic deformation of the solid circular cylinder made of a compressible material in the geometrically nonlinear elasticity. Consider the numerical solution of a simple torsion cylinder for various materials. The resulting solution allows to take into account second-order effects arising from the finite rotation angles ends of the cylinder.

Keywords: torsion, finite elastic deformation, compressible material, nonlinear effects.

Sokolova Marina (sokolova@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematical modeling, Tula State University.

Chikov Valeriy (avreliykvochi@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.

Поступила 03.06.2013