Решение нелинейной стохастической задачи ползучести методом малого параметра при плоском напряженном состоянии

15. Радченко В. П., Самарин Ю. П. Влияние ползучести на величину упругой деформации слоистого композита // Механика композитных материалов, 1983. — № 2. — С. 231-237.

16. Самарин Ю. П. О применении теории управления к исследованию ползучести конструкций / В сб.: Механика деформируемых сред. — Куйбышев: КуГУ, 1976. — С. 123-129.

17. Радченко В. П., Самарин Ю. П. Влияние ползучести на обратимость упругой деформации статистически определимой стрежневой системы как целого / В сб.: Прочность и надежность конструкций. — Куйбышев: КуАИ, 1981. — С. 75-80.

18. Добелис М. А. Деформативные свойства деминерализованной компактной костной ткани человека при растяжении // Механика полимеров, 1978. — № 4. — С. 101-108.

Поступила 7.11.2006 г.

УДК 539.376

Н. Н. Попов, С. А. Забелин

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ПОЛЗУЧЕСТИ МЕТОДОМ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Разработан аналитический метод решения плоской нелинейной задачи установившейся ползучести стохастически неоднородной среды. Стохастичность введена в определяющее соотношение ползучести, взятое в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения. Применен метод разложения по малому параметру, при котором учитываются не только линейные, но и квадратичные члены. Вычислены дисперсии случайного поля напряжений. Произведено сравнение результатов, полученных в первом и во втором приближениях.

Аналитические методы решений стохастических краевых задач для структурно-неоднородных материалов хорошо разработаны для линейно упругих сред [1]. В условиях ползучести разработка аналитических методов решения стохастических задач сталкивается с серьезными трудностями, основными из которых являются физическая и статистическая нелинейность определяющих уравнений. Одним из основных методов решения стохастических задач является метод малого параметра, который относительно задач механики деформируемого твердого тела развивался в работах [1, 2]. Суть этого метода состоит в том, что, разлагая компоненты тензоров напряжений и деформаций в ряд по малому параметру, статистически нелинейную задачу можно свести к последовательности статистически линейных задач. Однако этот подход связан с трудностями вычислительного характера, поэтому при решении конкретных стохастических задач ползучести обычно ограничиваются первым приближением, которое справедливо для слабонеоднородных сред [3-6].

В данной работе на основе второго приближения метода малого параметра приводится решение задачи о нелинейной ползучести стохастически неоднородной плоскости при двухосном

растяжении. При этом вводятся ограничения о малости упругих деформаций, и считается, что ими допустимо пренебречь. Среда считается стохастически неоднородной, так что тензоры напряжений и деформаций являются случайными функциями координат х^ Х2.

Пусть компоненты тензора напряжений Су удовлетворяют уравнениям равновесия

а у,; = 0

а компоненты тензора скоростей деформаций ру -условию

А уЛ ыр ¡к ,а = 0,

которое получается из уравнения совместности для деформаций путем дифференцирования по времени, Лу — единичный антисимметричный псевдотензор

Л =

^0 1л

-1 0

По повторяющимся индексам производится суммирование от 1 до 2.

Уравнения (1) и (2) замыкаются определяющим соотношением, которое принимается в соответствии с нелинейной теорией вязкого течения (установившейся ползучести) в стохастической форме [3]:

n-1

где 5 — интенсивность напряжении:

Sij 3 dij Smm V 3 /

(1 + aU (x1, x2)),

21

5 = 2(3ау ау -а„ а у );

и (х1, х2)— случайная однородная функция, описывающая реологические свойства материала,

с математическим ожиданием (и) = 0 и дисперсий (и2^ = 1; §у — символ Кронекера; с, п,

а — постоянные материала.

Соотношения (1)-(3) при соответствующих краевых условиях задают стохастическую задачу ползучести, которая в дальнейшем решается относительно напряжений а у.

Поставленная задача является физически и статистически нелинейной, в связи с чем строится ее решение в окрестности детерминированного решения с точностью до второго приближения. Аналогичная задача в первом приближении для тонкой стохастически неоднородной пластинки рассматривалась в работах [3, 6].

Представим тензор напряжений в виде разложения по малому параметру а , ограничиваясь его членами второго порядка малости:

0 ' 2 2 ' ' °

°j=а°-+a4+a2s2- >

=si •

Аналогично (4) разложим тензор скоростей деформаций ползучести

Р у = р0 + ар I +а2 р 2,

pj) = pj •

Будем предполагать, что детерминированные нормальные напряжения а0! и а^ являются постоянными, а касательные напряжения С°2 = 0.

Представим функцию 5п-1 с помощью (4) в виде

п-1

5П-1 = (+ 52) 2 ,

где

„2 _ ,J0 \2 . ,Jb \2 „0 „0

S0 = (s11) + (s22) а11022’

s*2 =a(o11/1 + sl22l2 ) + a2 [о^ + + (°п)2 + (O^)2

^0 „0

011022

I _ OyrO _0 1 _ OyrO _0

II = 2s11 -s22, l2 = 2s22 — a11

Произведем разложение функции (6) в ряд Тейлора и удержим в этом разложении линейные и квадратичные члены:

„п-1

—1 . п 1 _п—3 _2 , п 1 п 3 „п—

S* +

где

s*4 = a2(o11/1 + S222/2)2 •

Запишем скорости деформаций (3) в развернутом виде:

A.c A.c

p11 = ~~^(2а11 — °22), p 22 = ~~^(2а22 — °11),

Р12 = Acs

12

где А — случайная функция, определяемая соотношением

А = 5п-1(1 + аи (х1, х2)).

Используя (6), (7), для величины А можно получить следующее выражение (все слагаемые, содержащие а3 и более высокие степени а отброшены):

2

A = s.

п—1

0

1 + а

V

+

2

+

2

1 п—1 п—3

где k=2STq=4S2

Согласно (8), (9) скорости деформации ползучести ру в первом приближении будут выглядеть следующим образом:

р11 = 3 с50 (С11(2 + к/1 ) + а22(—1 + к/1/2) + 11и),

р 22 = 3 С5П

р12 = с50 1а12, а второе приближение будет иметь вид

р11 = 3 с50 (С11(2 + к/1 ) + а22(—1 + к1112) + Г11),

р 22 = 3 с50

р12 = с50 (С12 + Г12 ),

где

Г11 = к/1 (3(а11) + 3(а12) + (а22) — 2а11а22 + (а1111 + а22/2)и) + к/1$ (а11/1 + а22/2 ) +

+ (2ап —а22 )(и + а22/2 ),

2

г22 = к/2 (3(а22) + 3(а12) + (а11) — 2а11а22 + (а1111 + а22/2)и ) + к/2$ (а11/1 + а22/2 ) +

+ ( 2а22 —а11 )(и + а1111),

г12 = кС12 (С1111 + а22/2 ) + С12и

Если в уравнение совместности (2) подставить выражения (10) и (11), то можно получить следующие уравнения в частных производных относительно напряжений:

С11,22 (2 + к/1 ) + а22,22 (к/1/2 — 1) + а11,11(к/1/2 — 1) + а22,11(2 + к12~) — 6а12,12 =

= —

а11,22 (2 + к/1 ) + а22,22 (к/1/2 — 1) + а11,11(к/112 — 1) + а11,22 (2 + к/2 ) — 6а12,12 =

= —Г11,22 — Г22,11 + 6г12,12 .

К полученным уравнениям необходимо присоединить уравнения равновесия для напря-

жений

ак,, = 0

у л

Если ввести функцию напряжений Г такую, что

а11 = Г,22, а22 = ^11, а12 = —Г,12, (15) то вместо системы уравнений (12)-(14) получим два дифференциальных уравнения относительно приближений Г1 и Г2:

Гд 111

Г^11

Правая часть ф(Г 1,и) уравнения (17) ф(Г1, и) зависит от Г1 и и и их производных. После решения уравнения (16) она будет являться известной величиной.

Функцию и(Х1, Х2), с помощью которой задается случайное поле возмущений реологических свойств материала, будем брать в виде [7]

и

где А — центрированная случайная величины с дисперсией Б[ А]; ф — случайная величина, распределенная равномерно на интервале (0,2я); и Ю2 — положительные неслучайные

параметры. Причем случайные величины А и ф считаются независимыми. При этом [4]

(и2^ = 2Б[А]. Отсюда с учетом равенства (и2^ = 1 следует, что В[А] = 2.

Для удобства выкладок перейдем к комплексной форме записи вида:

U (x1, x2) = A e' (“1x'+“2 x2),

где A = Aeij •

Решение уравнения (16), которое можно искать в виде

F1 = fe' (“‘xi+“2 x2) (f = const),

определяется формулой

A

F =

ei

2

Используя соотношение (15) между функцией напряжения и компонентами тензора напряжений, решение задачи (1)-(3) в первом приближении можно записать следующим образом:

0 1 0 аА

ап = а01 + аа11 = а°1-ч, 1 2 2 V2 --------г^г,

2

0 1 0 аА

а 22 = а22 + аа22 = с22----------------------------------

„ _ „0 . о„т1 _ „0

а12 = а11 + a011 = а11

2(w2 + w2)2 + k (w2/2 + ю2/1)2, aA (ю?/2 + ю2/1)ю1ю2е' (mixi+ffl2x2) 2(w2 + w2)2 + k (w2/2 + w2/1)2

Подставляя полученное решение Г1 (см. (19)) в правую часть уравнения (17), получим

ГдШ(2 + к/22) + 2 Г*ш(2 + к/1/2) + Г,2222 (2 + к/12) = А2 В2е2г (“1Х1+“2 Ч

где

B =

W2/2 + ю2>/1

2(Ю!2 +w2)2 + к (W^ + W>/1)2

2 = 12кБ(ю^ + 0)^ )(о>2 + Ю2) + 4кдБ(ю^ + 0)^) — 4к(ю^/2 + 0)^) — 8(ю^/2 + ю^/1) . Решение полученного уравнения можно искать аналогично решению уравнения (16). В итоге функция напряжений Г2 во втором приближении имеет вид

2 А 2 Б2е2'

Г =

16

откуда следует

s11 = —

S22 =

A 2 BZ w2e

2e 2i

S12 =

4

4 (2(a)2 +w2)2 + к (WL/2 + a>2,

A 2 BZ w1w2e

2i

4

Согласно формулам (4), (20), (21) решение задачи (1)-(3) во втором приближении определяется следующим образом:

А аю2е1 (+“2Х2) ( *2<

а11 = а,, —

11 2(w2+w2)2+к (w2/2+w2/1)2

а22 = а22

A aa>2e

2ei

22 2(w2+w2)2+к(w2/2+w2/1)2

w2/2 + w2/1 + a^-^e'

S12 =

A aw1w2ei

2(w2 + w2)2 + к (wfe + W/1)2

w2/2 + w2/1 + aAA-BZeI

Важнейшей характеристикой случайных напряжений являются их дисперсии Dy = о у|2

В дальнейшем при вычислении дисперсии будем считать, что случайная функция U(Xj, x2), описывающая возмущения реологических свойств материала, распределена по нормальному закону. Согласно формуле (18) (в силу линейности) случайная величина A также будет иметь нормальное распределение. Для нормального распределения все центральные моменты нечетных порядков равны нулю, а моменты четных порядков выражаются через моменты второго порядка. В частности, для момента четвертого порядка формула имеет вид [8]

112131i) = к12к34 + к13к24 + к14к23 ,

где I) — центрированные случайные величины; ку — моменты второго порядка.

Соответственно для Оц, О22, О33 дисперсии в первом приближении, с учетом того, что,

D[ A ] = 2, определяется формулами

Dh _

2д2(Ю2/2 + Ю2І1)2 «2 (2(tt>2 + ()2 + k (ю2І2 + «/1)2 )2

D1 _ 2д2(щ2/2 +w2/i)2 «4

(w2 + m2)2 + k (m2/2 + m^/1)2 )2 d1 _ 2д2(а>2/2 + m2/1)2 m2m2

Dn _

(ю2 + ю2)2 + к (ю^ + ю^/1)2 )2

Дисперсии для второго приближения можно записать в виде

О2 = а2^а1,- ] + а40[а2 ] + 2а3 / а1.- а2

причем последнее слагаемое обращается в ноль как момент третьего порядка. Во вторые приближения Су входит случайная величина А2, дисперсия которой 0[А2] = ^А4^ — (^А2^) согласно формуле (23) равна

0[А2] = 3^ А ^ — (<( А ^)2 = 3 • 2 — 22 = 2.

Таким образом, дисперсии напряжений во втором приближении определяются формулами О 2 = 2а2(о>2/2 + ю2/1)2 ю2 + а4Б22^

(ю2 + ю2)2 + к (ю2^ + ю^)2 )2 8 (2 + ю2)2 + к (ю^2 + ю^)2 )2

О 2 = 2а2(о>2/2 + ю2/1)2 о>4 + а4Б22

(ю2 + ю2)2 + к (ш^ + ю^)2)2 8 (а>2 + ю2)2 + к (ю^ + ю^)2 )2

о 2 = 2а2(о>2/2 + ю2/1)2 о>2ю2 + а4Б22

(2(ю2 + ю2)2 + к (($/2 + ю^)2)2 8 (2(ю2 + Ш2)2 + к (ю^ + ю^/1)2)2

Анализ случайного поля напряжений был проведен при условии, что плоскость растягивается в двух взаимно ортогональных направлениях ап =с0, с^ = На0, где Н — параметр (Н е • ). Для упрощения вычислений будем считать, что частоты флуктуаций микронеоднородностей относительно осей X1 и X2 равны между собой, т.е. К>1 = К>2 = ю . При этом условии случайное поле и, заданное формулой (18), можно считать приблизительно изотропным [1]. Дисперсии напряжений и в первом, и во втором приближениях будут равны между собой и не будут зависеть от ю.

5Г „

Значения коэффициентов вариации ї-И и (в процентах), характеризующих относи-

а0 а0

тельную величину разброса напряжений, как функции переменных а и п приведены в табл. 1

(Н = 0,5) и табл. 2 (Н = 4). В столбце —1 представлены значения коэффициента вариации,

вычисленные по первому приближению, в столбце — — по второму приближению. Как видно из табл. 2, для материалов с высоким показателем нелинейности (п = 9) коэффициент вариации

о

У—11 при Н = 4 изменяется в пределах от 4,51% (а = 0,1) до 23,29% (а = 0,5). В случае низких

С

показателей нелинейности, когда возможная полная линеаризация задачи ползучести

1.02

разброс напряжений значительно больше. Здесь величина Ч11 заключена в пределах от 8,88 до

С

49,41%.

В табл. 3 приведена относительная погрешность вычисления среднеквадратичного отклонения второго приближения относительно первого при Н = 4 по формуле

р/0?1 • 100%. н

Из табл. 3 видно, что для слабонеоднородных материалов (а = 0,1 + 0,2) погрешность 8 незначительна. Для таких материалов первое (линейное) приближение вполне приемлимо для решения практических задач. Для материалов с большой степенью неоднородности (а = 0,4 + 0,5), особенно при малых п , члены второго порядка вносят значительный вклад в среднеквадратичное отклонение напряжения, здесь относительная ошибка 8 больше 5%. Поэтому в рассматриваемом случае неучет членов второго порядка может привести к необоснованному завышению показателей прочности и надежности элементов конструкций.

Т а б л и ц а 1

Значения коэффициентов вариации (в процентах) — и — при к = 0,5

а а

п 1 3 5 7 9

а —1 — 2 —1 — 2 —1 — 2 —1 — 2 —1 — 2

0,1 2,652 2,665 1,928 1,933 1,515 1,518 1,248 1,250 1,061 1,061

0,2 5,303 5,408 3,857 3,895 3,030 3,051 2,496 2,510 2,121 2,121

0,3 7,955 8,305 5,785 5,912 4,546 4,616 3,744 3,791 3,182 3,182

0,4 10,607 11,424 7,714 8,013 6,061 6,226 4,991 5,103 4,243 4,243

0,5 13,258 14,823 9,642 10,220 7,576 7,895 6,239 6,457 5,303 5,305

Т а б л и ц а 2

Значения коэффициентов вариации

при к =4

и

и

и

а

а

п 1 3 5 7 9

а —1 — 2 —1 — 2 —1 — 2 —1 — 2 —1 — 2

0,1 8,839 8,883 7,126 7,147 5,969 5,981 5,135 5,144 4,506 4,510

0,2 17,678 18,028 14,252 14,418 11,938 12,037 10,271 10,339 9,012 9,046

0,3 26,517 27,684 21,378 21,934 17,907 18,239 15,406 15,635 13,518 13,644

0,4 35,355 38,079 28,504 29,810 23,876 24,658 20,542 21,080 18,024 18,360

0,5 44,194 49,411 35,629 38,151 29,845 31,358 25,677 26,722 22,530 23,287

Т а б л и ц а 3

Относительная погрешность вычисления среднеквадратичного отклонения для к = 4

а \ п 1 3 5 7 9

0,1 0,496 0,292 0,207 0,166 0,089

0,2 1,942 1,152 0,821 0,658 0,376

0,3 4,217 2,538 1,820 1,462 0,921

0,4 7,152 4,384 3,168 2,556 1,829

0,5 10,557 6,609 4,823 3,910 3,247

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. — М.: Наука, 1970. — 137 с.

2. Ломакин В. А. Проблемы механики структурно-неоднородных тел// Изв. АН СССР. МТТ, 1978.- №6.- С. 45-52.

3. Кузнецов В. А. Ползучесть стохастически неоднородных сред в условиях плоского напряженного состояния // В сб.: Математическая физика. — Куйбышев: КпТИ, 1976. — С. 69-74.

4. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Пространственная задача стационарной ползучести стохастически неоднородных сред // ПМТФ, 1985. — № 2. — С. 150-155.

5. Попов Н. Н., Самарин Ю. П. Исследование полей напряжений вблизи границы стохастически неоднородной полуплоскости при ползучести // ПМТФ, 1988. — № 1. — С. 159-164.

6. Радченко В. П., Попов Н. Н. Статистические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости // Изв. вузов. Машиностроение.- 2006.-№2.-С. 3-11.

7. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей. — М.: Радио и связь, 1983. — 416 с.

8. Пугачев В. С. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Физматлит, 2002. — 496 с.

Поступила 23.10.2006 г.

УДК 539.376 + 621.787

М. Н. Саушкин, Е. А. Просвиркина, О. С. Афанасьева РЕЛАКСАЦИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

В ПОВЕРХНОСТНО УПРОЧНЁННОМ СЛОЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ СТАТИЧЕСКИХ И ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ

Проведён анализ деформирования цилиндрического образца под действием нагрузки с циклической составляющей. Показано, что циклическая компонента интенсифицирует скорость деформации ползучести и приводит к более быстрому разрушению образца по сравнению с квазистатическим нагружением. Исследовано влияние циклической компоненты нагружения и на кинетику остаточных напряжений в поверхностно упрочнённом слое цилиндрического образца при ползучести. Показано, что циклическая компонента интенсифицирует процесс релаксации остаточных напряжений.

Введение. Большинство краевых задач механики сплошной среды о неупругом реологическом деформировании и разрушении элементов конструкций решается в квазистатической постановке, т. е. считается, что нагрузки, действующие на конструкцию постоянны во времени или изменяются согласно какому-то известному закону (заданной программе нагружения). Однако при эксплуатации большинства конструкций на статическую составляющую тензора напряже ний накладываются циклические «флуктуации» нагрузок с малой амплитудной составляющей по отношению к квазистатической нагрузке, которые, на первый взгляд, не меняют общей картины процесса нагружения, поскольку средняя интегральная характеристика нагрузки в зависимости от времени не меняется. Подходы, использующие средние интегральные или эквивалентные напряжения, широко используются в теории ползучести и длительной прочности. Однако на самом деле влияние циклических нагрузок даже малой амплитуды может вызвать существенное увеличение деформации ползучести (без учёта усталостных эффектов!).

В настоящей работе рассчитывается кинетика остаточных напряжений в поверхности упрочненного слоя цилиндрического образца с учётом циклической компоненты нагружения. Расчёт производится по методике, изложенной в работах [1, 2]. Суть данной методики заключается в том, что производится декомпозиция задачи о кинетике остаточных напряжений в слое на две краевые задачи. В процессе решения первой краевой задачи определяется напряжённо-деформированное состояние цилиндрического образца при ползучести без учёта упрочнённого слоя. Во второй краевой задаче исследуется кинетика остаточных напряжений в упрочнённом слое в режиме «жёсткого» нагружения при заданных значениях компонент тензоров деформаций, которые определяются из решения первой краевой задачи.

Согласно данной методике рассматривается напряжённо-деформированное состояние цилиндрического образца в условиях ползучести при растягивающем напряжении, закон изменения которого имеет вид:

o

где Оо = const — статическая составляющая напряжения; оа = const — амплитудное значение циклической компоненты; w — частота нагружения (оа < Оо).

1. Влияние циклической компоненты нагружения на развитие деформаций ползучести цилиндрического образца. Предположим (для простоты дальнейших выкладок), что материал стержня удовлетворяет закону установившейся ползучести

Р = аоп,