О знаке функции Грина краевой задачи на графе для уравнения четвертого порядка

Владикавказский математический журнал 2013, Том 15, Выпуск 4, С. 19-29

УДК 517.956

О ЗНАКЕ ФУНКЦИИ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ГРАФЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА1

Р. Ч. Кулаев

В работе рассматривается краевая задача для уравнения четвертого порядка на графе, моделирующая упругие деформации плоской стержневой системы с условиями жесткого соединения в узлах.

Исследуются свойства функции Грина краевой задачи. Доказываются ее существование, непрерывность, симметричность и неотрицательность.

Ключевые слова: граф, дифференциальное уравнение на графе, функция Грина задачи на графе.

В настоящей работе рассматривается дифференциальное уравнение четвертого порядка на сети (геометрическом графе), являющееся моделью стержневой конструкции. Первые работы по дифференциальным уравнениям на сетях появились в начале 80-х годов XX века и связаны были главным образом с исследованием задачи Штурма — Лиувилля (см. [1, 2]). Уравнения четвертого порядка на сетях стали рассматриваться только в 90-х годах [3-9]. В них исследовались, как правило, различные системы стержней, описываемых уравнениями на ребрах и различными условиями шарнирного и упруго-шарнирного закрепления. Несмотря на кажущуюся простоту формулировок, даже модели физического происхождения оказываются очень трудными для анализа [6, 9]. На сегодняшний день изучены некоторые вопросы связанные с методами граничного и внутреннего управления [3-5, 7]. Эти результаты получены методами функционального анализа для которых безразлична структура графа. Также получен ряд общих результатов, касающихся уравнений произвольного порядка, для которых вид краевых условий и условий связи в узлах не играет ключевой роли. Здесь можно отметить такие вопросы из теории функции Грина как существование, построение, непрерывность [1, 2].

Что касается качественных свойств дифференциальных уравнений четвертого порядка на графах, то здесь, также, основные результаты относятся к моделям стержней с условиями шарнирного и упруго-шарнирного сочленения. Получены условия разрешимости, установлен принцип максимума, на основе которого доказана положительная обратимость краевой задачи и положительность ее функции Грина [1, 6, 8, 9].

В центре внимания настоящей работы модель сетки из стержней с условиями жесткого сочленения. На сегодняшний день для таких задач исследовались некоторые вопросы из спектральной теории (структура и асимптотика спектра, базисность корневых функций [3, 10]) и вопросы граничного и внутреннего управления [6, 9]. В случае условий жесткого сочленения стержней принцип максимума уже не выполняется и методы работ [1, 6, 8, 9] не применимы. Более того, соответствующая краевая задача не является положительно обратимой.

© 2013 Кулаев Р. Ч.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение № 8210.

В данной статье нас будут интересовать условия, при которых функции Грина сохраняет знак. Этот вопрос уже изучался в работе [11], где рассмотрена краевая задача, заданная на графе-пучке, состоящем из трех ребер. Была доказана положительность функции Грина на диагональных квадратах и сформулировано достаточное условие положительности функции Грина. В настоящей работе мы рассматриваем более общий случай. Точнее, рассматривается задача на графе, каждый узел которого образован тремя ребрами. Будет показано, что функция Грина непрерывна и симметрична. Также будет установлено достаточное условие неотрицательности, а в случае графа-дерева условие строгой положительности функции Грина.

1. Постановка задачи

Под геометрическим графом в настоящей работе понимается связное множество, обозначаемое через Г, имеющее структуру сети и вложенное в . Ребро графа — это интервал в , а вершина графа — точка, являющаяся концом одного или нескольких ребер. При этом ребра графа занумерованы и обозначаются через 7г, а вершины — через а, Ь или а^, ^ (при этом предполагается, что нумерация вершин независима от нумерации ребер).

Обозначим через J(Г) — множество вершин графа, которые являются концевыми точками двух и более ребер. Такие вершины мы называем внутренними. Вершины графа не принадлежащие J(Г) будем называть граничными и обозначать их множество через дГ. Если вершина а является концевой точкой ребра ^г, то будем говорить, что ребро 7г примыкает к вершине а. Множество индексов всех ребер, примыкающих к вершине а обозначим I(а). Множество, получаемое удалением из графа всех его вершин,

о

обозначим через Г. Подграфом графа Г назовем любое связное подмножество графа Г.

о

Под функцией на графе понимается отображение и : Г ^ Ж. Через иг(х) будем обозначать сужение функции и(х) на ребро 7г. Если а — граничная вершина графа Г, то под и(а) понимается Иш74Эх^аиг(х), г £ I(а). Во внутренних вершинах графа функцию мы не определяем. Через С [Г] будем обозначать пространство функций, равномерно непрерывных на каждом ребре графа Г. Для таких функций в каждой вершине а £ J(Г) при г £ I(а) существует предел Иш74иг(х), который мы также обозначаем через иг (а). При этом величины (а) и иг(а) не обязаны совпадать при к = г (к, г £ I (а)). Выделим в пространстве С [Г] подпространство функций, для которых и & (а) = иг(а) при любой а £ J(Г) и любых к,г £ I(а). Множество всех таких функций обозначим через С(Г) и назовем их непрерывными на графе. Такое определение вполне естественно, так как мы можем доопределить их по непрерывности на весь граф.

Введем понятие производной функции, заданной на графе. Для этого введем в рассмотрение функцию т (х) £ С [Г], взаимно однозначно отображающую каждое ребро 7 г на некоторый интервал (0,1г) при 1г > 0. Функцию т(х) будем называть метрической, а величину 1г — длиной ребра 7г. Для сужения функции т(х) на ребро 7г существует обратное отображение х(т) интервала (0,1г) на ребро 7г. Метрическая функция определяет на каждом ребре графа ориентацию. Функцию и(х) назовем дифференцируемой на графе Г, если для каждого ребра 7г дифференцируема по переменной т суперпозиция и(х(т)). При этом полагаем и'(х) = -^¡р-—• Подчеркнем, что производные нечетных порядков зависят от направления ориентации ребер графа, т. е. определяются с точностью до знака. Эта двойственность не сказывается на производных четного порядка. Обозначим через С П[Г] пространство функций и(х) £ С [Г], производные которых до порядка п

включительно существуют и принадлежат пространству C[Г], а через CП(Г) обозначаем

C га[г]п с (г).

Дифференциальное уравнение на графе — это совокупность дифференциальных уравнений на ребрах графа. Под интегралом функции и(ж) £ C[Г] по графу Г, понимаем сумму интегралов по всем ребрам графа. При этом интеграл вдоль ребра 7 £ Г определяется с помощью метрической функции через интеграл Римана — Стильтье-са: если 7 = (a, b) некоторое ребро графа и т(ж) — метрическая функция, причем Ит7Эж^а т(ж) = 0, Ит7Эж^5 т(ж) = l, то, полагая т(a) = 0 и т(b) = l, строим разбиение xo,xi,... ,жп отрезка [a,b] такое, что т(a) = т(ж0) < т(xi) < ... < т(жп) = т(b), выбираем произвольные точки £i £ 7, для которых т(жг-l) ^ т(£i) ^ т(ж»), и вводим обозначения Ат» = т(ж»+1) — т(ж»), А = max» Ат». Тогда интеграл определяется по формуле

i

J и(ж) ^ж := lim ^ и(ж(^))Ат = J и(ж(т)) ^т.

Y % 0

Нами будет рассматриваться дифференциальное уравнение

Lu =

заданное на геометрическом графе Г.

В каждой граничной вершине a графа Г решение уравнения должно удовлетворять условиям

u

u"

А в каждой внутренней вершине a на решение уравнения (1) накладываются условия непрерывности

u»(a) = Uj (a), i, j £ I (a),

условия гладкого согласования

ui1

и условия на старшие производные

a2(a)pii (a)ui1 (a) — p»2 (a)ui'2 (a) = 0, аз (a)pii (a)ui1 (a) — p»3 (a)ui'3 (a) = 0,

^

iel

В условиях (4), (5) производные считаются в направлении к вершине графа.

При исследовании задачи (1)-(5) мы будем предполагать, что выполнены следующие условия:

• p £ C2[Г], inf р(ж) > 0, f £ C[Г];

жбГ

• дГ = 0;

• к каждой внутренней вершине a примыкает ровно три ребра.

Иногда, для аналогии, нам будет удобно считать, что в условии (4) при uii (a) стоит сомножитель ai(a) = 1.

Рассматриваемая задача имеет естественную физическую интерпретацию [10, 12]. Она моделирует деформации плоской стержневой системы, все элементы которой прямолинейны и лежат в одной плоскости. При этом полагается, что вся система закреплена

в каждой граничной точке и все стержни жестко сочленены в каждой их общей вершине. В этом случае условия (2)—(5) можно трактовать следующим образом:

1) Условия (3) означают условие шарнирного закрепления.

2) Условия (4) описывают компланарность троек касательных векторов п'. (а), £ I(а): если — угол между осевыми линиями ¿к-го и ¿5-го стержней, примыкающих к вершине а £ /(Г), то 0:2(0) = ^ дЦ, аз (а) = причем фиксированные индексы ¿2 и ¿3 выбираются так, чтобы 0 < 023 < п.

3) Условия на вторые производные в (5) определяют баланс изгибающих моментов.

4) Ну и наконец, последнее из равенств (5) — условие баланса сил.

2. Невырожденность задачи

В первую очередь установим достаточное условие, при котором рассматриваемая задача невырождена.

Краевую задачу (1)-(5) называем невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.

Очевидно, что задача (1)-(5) однозначно разрешима для любой правой части / £ С [Г] тогда и только тогда, когда она невырождена. Следовательно, невырожденность задачи гарантирует существование функции Грина [1, гл. 3].

Теорема 1. Если а2(а) > 0 и а3(а) > 0 для каждой вершины а £ /(Г), то задача (1)-(5) невырождена.

< Пусть п — некоторое решение однородного уравнения Ьп = 0, удовлетворяющее условиям (2)-(5). Умножим функцию п на Ьп и проинтегрируем по всему графу Г.

0 = / = /(р,,Т

Проинтегрируем в правой части первое слагаемое по частям два раза, а второе слагаемое — один раз. Тогда, привлекая условия (2)-(5), имеем

Ьп • п^ж = — ^ (рп//)п/ — (рп//)'п

Г абдГ

[

аб J(Г) 'б/(а) Х=а Г абдГ

— Р'1

абJ

+Р'3 (а)п''3 (а)п'3 (а) + ^ п(а) ^ )/(а) + / р(п//)2 ^ж

аб J (Г) 'б/(а) Г

= ^ п'2

абJ

+ п'3 (а) а3(а)р'1 (а)п'/1 (а) — р'3п'/3(а) + / р(п//)2 ^ж = р(п//)2 ^ж = 0. aбJ(Г) Г Г

Из условия ХбГ р(ж) > 0 следует, что п// = 0 на Г, т. е. п — линейная функция на каждом ребре графа. Из линейности функции п на каждом ребре графа следует, что максимальное значение |п(ж)| достигается в J(Г).

Пусть а £ /(Г) такая, что |и(а)| = шахж6г |и(ж)|. Можно считать, что а — точка максимума функции и. Тогда функция и возрастает к вершине а по всем примыкающим ребрам, что влечет и» (а) ^ 0, i £ I(а). По условию теоремы а2(а) > 0 и а3(а) > 0. Выписывая соответствующее условие компланарности (4), получим равенство

в котором все слагаемые неотрицательны. Отсюда следуют равенства и\а (а) = 0, з £ I(а), из которых, в свою очередь, следует, что и^ (ж) = 0 для всех индексов is £ I(а). Значит функция и принимает свое максимальное значение во всех вершинах смежных с а. Если среди них есть хотя бы одна граничная вершина, то, учитывая условия (2), получим, что шахх6г |и(ж)| = 0. Если же среди вершин смежных с а нет граничных, то повторяем предыдущие рассуждения для каждой из них.

Доказательство теоремы сразу следует из вышеизложенного и того, что Г — конечный граф с непустой границей. >

Следствие. Задача (1)-(5) остается невырожденной, если в некоторых граничных вершинах графа Г условие (3) заменить на условие и'(а) =0, а £ дГ.

< Если в каждой граничной вершине а графа выполнено одно из условий и'(а) = 0 или и''(а) = 0, то в (6) сумма, отвечающая граничным вершинам, все равно остается равной нулю. Поэтому формула (6) и все последующие рассуждения также остаются справедливыми. >

Этот параграф посвящен анализу функции Грина задачи (1)-(5), а точнее вопросу о положительности последней. Поскольку мы рассматриваем дифференциальное уравнение на графе как единое целое, то и функцию Грина мы понимаем как обобщенное решение уравнения на графе.

Определение. Функцией Грина невырожденной краевой задачи назовем функцию С(ж, з) такую, что решение задачи может быть представлено в виде

Из результатов монографии [1] следует, что если краевая задача (1)-(5) невырождена, то функция Грина существует и обладает следующими свойствами:

1) функция С (ж, з) вместе со своими производными по ж до четвертого порядка непрерывна по совокупности переменных вплоть до границы на каждом из прямоугольников 7» х 7^ ^ = 3) и на каждом из треугольников, на которые диагональю ж = з разбивается квадрат 7» х 7»;

2) при каждом фиксированном з, являющемся внутренней точкой некоторого ребра 7, функция С(ж,з) по ж удовлетворяет однородному уравнению

при ж £ 7» = 7 и при ж £ 7, ж = з;

3) при каждом фиксированном з, являющемся внутренней точкой некоторого ребра 7 £ Г, функция С(ж,з) по ж удовлетворяет условиям (2)-(5);

и»1 (а) + а2и»2 (а) + а3и»3 (а) = 0,

3. Функция Грина задачи

и(ж) = у С(ж,з)/(з) ^з. г

ЫжК)'' = 0

4) функция С(х, в) на диагонали х = в удовлетворяет условиям непрерывности вместе

дС(ж,з) д2

—дх ' —и условию скачка т д3С(в + 0,в) д3С(в - 0,в) _ 1

со своими производными —дх ', —7 и условию скачка третьей ироизводиои по х

дх3 дх3 р(в)'

где ориентация предельного перехода в ± 0 и направление дифференцирования определяются заданной на графе метрической функцией;

5) при в = а £ /(Г) функция С(х,а) является решениям однородного уравнения (1) на Г, удовлетворяет всем однородным краевым условиям (2)-(4) за исключением условия на третьи производные, которое заменяется на неоднородное условие

Егб/(а) ЫаК/(а)/ = -1;

6) функция С(х,в) условиями 1)—4) определяется однозначно.

Используя сформулированные общие свойства функции Грина, мы теперь можем доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если а2(а) > 0, а3(а) > 0 для каждой вершины а £ /(Г), то функция Грина задачи (1)-(5) существует, непрерывна по совокупности переменных на Г х Г и удовлетворяет свойству симметричности С(х, в) = С(в, х).

< Существование функции Грина следует из теоремы 1. Непрерывность внутри каждого прямоугольника Yi х следует из свойств 1), 4). Что же касается непрерывности на Г х (дГ и /(Г)), то она сразу следует из свойства 5).

Докажем симметричность. Для этого, очевидно, достаточно показать самосопряженность дифференциального оператора порожденного соотношениями (1)-(5).

Пусть и, т — функции из области определения оператора т. е. функции класса С4(Г), удовлетворяющие условиям (2)-(5). Умножим функцию V на и проинтегрируем по всему графу Г. Интегрируя в правой части по частям первое слагаемое два раза, а второе слагаемое один раз, имеем

/' ¿и • = - £[(ри>/ - (р,,//)/«,

Г абдГ

- ^ ^ [(^и"^ - (кОwi + ри//т// ^х.

аб J(Г) iб^(а) Х=а Г

Привлекая условия (2)-(5) для правой части последнего равенства, получим - У^ (ри//)т/|х=а - ^ т(а) ^ (ри//)/(а) + / ри//т// ^х

абдГ аб J (Г) iб^(а) Г

-

aбJ

-^3

aбJ

и / \ ] I II II 1 I и ,,

// // // //и

— ^ (а)[а3(а)р^(а),1 (а) -,3(а)] +Jри//т//^х = Jрт//и//^х.

aбJ

В последнем интеграле еще раз интегрируем по частям два раза, а затем аналогичными преобразованиями, с заменой местами " и ад, получаем

Л" • = / •*

г г

Лемма 1. Функция Грина С(х, в) строго положительна на диагонали х = в, х, в £ Г \ дГ.

< Пусть во — произвольная точка графа Г. Покажем, что С

о

функции Грина для случая в0 £ Г, получаем

0 = ¿5^0 • ¿х

Е |_(Р^о ^0 - У&о

абдГ

+

Ста! ^0 - У&о

Ж = 50-0 Ж = 50+0

^ Е [(Р^ог)^0г - (Р»^¿У&о» х=а + )2

аб 7(Г) ¿6/(а) Х "

= Е ^0

аб7

+ Е ^о

аб7

¿6/

+ У Р(з£'0 )2 ¿х = ^ )2 ¿х^х - (в0).

Так как д5о (х) ф 0, интеграл величина строго положительная, поэтому справедливо неравенство д(в0) = С(в0,в0) > 0.

Случай в0 £ /(Г) рассматривается аналогично. >

Перейдем теперь к доказательству положительности функции Грина. Для этого представим задачу (1)-(5) в виде суперпозиции двух самостоятельных краевых задач для уравнений второго порядка:

ЗАДАЧА 1.

^

" £ С2(Г),

р(х):

|дг = 0, Е а(а)"(а) = 0;

¿б/

зАдАчА 2.

^ = -у" = /(х), V £ С2 [Г],

«|аг = 0, аДа^^а) = ^(а), «¿(а) = Е V(а) = 0.

¿6/

«¿(а) а1 (а)'

г = 1,2,

х=а

Лемма 2. Задача (*) является сопряженной для задачи (**).

< Пусть и(х) — функция из области определения оператора Ь*, порождающего задачу (*), а v(x) — функция из области определения оператора Ь**, порождающего задачу (**). Умножим выражение Ь*и на функцию v и проинтегрируем. Тогда учитывая условия, которым удовлетворяют функции и(х) и v(x) в вершинах графа, и считая а\(а) = 1, для всех а £ /(Г), получим:

/ Ь*и  vdx = ^ ^ Vi(a)u'i(а) + ^ v(a)u'(а) — и^' йх

Г а&З(Г) i€^(а) абдГ ^

= ^ ^ — У^ У^ у^(а)щ(а) — ^ г/(а)и(а) + [ и  V1' йх

а&З(Г) i6^(a) °^(а) (г) ^/(а) абдГ ^

= £ VI(а) £ аДаК(а) — £ и(а) £ «¡(а) + /u.Ь„vdx = /и Ь„vdx.

а6/(Г) i€^(a) а6/(Г) i€^(a) Г Г

Задача (*) достаточно хорошо изучена. В работе [12] (см. также [1, §2.4]) доказана ее невырожденность и неотрицательность ее функции Грина. Если обозначить через О*(х, в) функцию Грина задачи (*), то, следуя результатам [13, 14], можно записать неравенство О*(х, в) ^ 0, справедливое на Г х Г.

Пусть О** (х, в) — функция Грина задачи (**). Тогда из леммы 2 следует соотношение

О*

Справедлива следующая

Теорема 3. Пусть ai(a) > 0 для каждой вершины а £ J(Г). Тогда функция Грина О(х, в) задачи (1)-(5) неотрицательна на Г х Г и допускает представление

О(х,в) = У О*(х,£)О*(в,О

г

< Из определения функции Грина следует, что решение д(х) задачи (**) можно представить в виде

v

г

а решение и(х) задачи (*) — в виде

п

г

Из этих равенств и (7) получаем

МО ^ ^ ^

П(Ж) = I = I С*(х,0 I (?**(£, s)f(s) йв

Р(0

г г г

= I О*(х,0 I 11 I 0(х,з)/(з)с1.з.

г г г г

Покажем, что полученное представление функции и(ж) действительно дает решение задачи (1)-(5).

Выполнение равенства (1) следует из (8), (9) и равенств

¿и = = =

Выполнение условий (2), (4) и условий непрерывности во внутренних вершинах графа следует из (9) и определения функции Грина С*(ж, в) задачи (*). А выполнение условий (3), (5) следует из равенств

/ / (

р(х)и(х)" = ! Х,0 J = - I С**(ж, ,§)/(» (¿5,

Г Г г

и определения функции Грина С**(ж,в) задачи (**). >

В случае, когда граф Г не имеет циклов, функция Грина оказывается строго положительной.

Теорема 4. Пусть а» (а) > 0 для каждой вершины а £ J(Г) и граф Г является деревом. Тогда функция Грина С(ж, в) задачи (1)-(5) строго положительна внутри Г х Г.

< Предположим противное. Тогда, с учетом теоремы 3, найдется точка (жо,5о), ж0, ^о £ Г \ дГ, такая, что С(ж0, в0) = 0, причем, как следует из леммы 1, ж0 = в0.

Рассмотрим срезку д(ж) = С(ж, в0), ж £ Г. Из теоремы 3 следует, что функция д имеет в точке ж0 минимум.

Рассмотрим сначала случай когда ж0 — внутренняя вершина графа. Из условия (3) в вершине ж0 £ J(Г) и неравенств а»(а) > 0 следуют равенства д(ж0) = д^(ж0) = 0 для всех i £ I(ж0). Удалим из графа Г вершину ж0. Он распадется на три компоненты связности Г»(ж0), i £ I(ж0). Обозначим через г0 индекс одного из трех подграфов Г»(ж0), который содержит точку в0. Через д^(Х0) обозначим сужения функции д на Г»(ж0), i £ I(ж0). Тогда при i = i0 каждая из функций дг4(Х0) является на Г»(ж0) решением однородного уравнения (1) и удовлетворяет граничным условиям дг4(Х0)(ж0) = 0, дГ.(Хо)(ж0) = 0 в вершине ж0 £ дГ»(ж0) и однородным условиям (2)-(5) во всех остальных вершинах графа Г»(ж0). В силу следствия теоремы 1 д^(Хо)(ж) = 0 при i = i0, т. е. функция д равна тождественно нулю на двух из трех ребер, примыкающих к вершине ж0.

Предположим, что точка в0 принадлежит замыканию ребра 7»0. Тогда функция д является решением однородного уравнения (1) на (в0,ж0). В силу тождеств д» = 0 при i = i0, i £ I(ж0), и условий (3)-(5) в вершине ж0 £ J(Г), функция д удовлетворяет в точке ж0 условиям д(к) (ж0) = 0 для к = 0,1, 2, 3 и всех i £ I(ж0). Отсюда сразу следует д(ж) = 0 при ж £ (ж0, в0) и д(в0) = С(в0, в0) = 0, что противоречит утверждению леммы 1.

Следовательно, точка в0 не может принадлежать замыканию ребра 7»0. Тогда из тех же соображений следует, что д(ж) = 0 на всем ребре 7»0. Обозначим через а конец ребра 7»0, отличный от ж0. Удалим из графа Г вершину а. Он распадется на три компоненты связности Г(а), ] £ I(а). Как и выше, вводим обозначения д^.(а) для сужений функции д на Г(а), ] £ I(а), и обозначаем через индекс того из трех подграфов Г(а), который содержит точку в0. Так как д = 0 на ребре 7»0 = (ж0, а), то при ] = каждая из функций дгз. (а) является на Г (а) решением однородного уравнения (1) и, как следует из условий непрерывности и (5), удовлетворяет граничным условиям д^.(а)(а) = 0, дГ.(а)(а) =0 в вершине а £ дГ^(а) и однородным условиям (2)-(5) во всех остальных вершинах графа Г (а). Из теоремы 1 следует, что дГ^.(а) (ж) = 0 при ] = Далее повторяются рассуждения, проведенные для вершины ж0.

Теперь утверждение теоремы для случая ж0 G J (Г) следует из того, что граф Г состоит из конечного числа ребер.

Рассмотрим теперь случай, когда ж0 — внутренняя точка некоторого ребра Yi0 графа. Из леммы 1 следует, что g дифференцируема в точке ж0 и g(x0) = g'(x0) = 0. Удалим из графа Г точку ж0. Он распадется на две компоненты связности T и Г2. Если s0 G Г1, то, как показывает следствие теоремы 1, g(x) = 0 при ж G Г2 и, следовательно, g(x) = 0 на всем ребре Yi0 . Дальнейшие рассуждения не отличаются от проведенных выше. Теорема полностью доказана. >

Литература

1. Покорный Ю. В., Бахтина Ж. И., Зверева М. Б., Шабров С. А. Осцилляционный метод Штурма в спектральных задачах.—М.: Физматлит, 2009.—192 с.

2. Покорный Ю. В., Пенкин О. М., Прядиев В. Л., Боровских А. В., Лазарев К. П., Шабров С. А. Дифференциальные уравнения на геометрических графах.—М.: Физматлит, 2004.—272 с.

3. Dekoninck B., Nicase S. The eigenvalue problem for network of beams // Generalized Functions, Operator Theory and Dimnamical Systems, Chapman and Hall Research in Math.—1999.—P. 335-344.

4. Dekoninck B., Nicase S. Control of network of Euler-Bernoulli beams // ESAIM: Control Optimisation and Calculus of Variations.—1999.—Vol. 4.—P. 57-82.

5. Lagnese J. E., Leugering G., Schmidt E. J. P. G . Control of planar networks of Timoshenko beams // SIAM J. Control Optim.—1993.—Vol. 31.—P. 780-811.

6. Xu G. Q., Mastorakis N. Stability of a star-shaped coupled network of strings and beams // 10th WSEAS Int. Conf. on Math. Methods and Computational Techniques in Electrical Engineering.— 2008.—P. 148-154.

7. Боровских А. В., Мустафакулов Р. О., Лазарев К. П., Покорный Ю. В. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети // Докл. РАН.—1995.—Т. 345, № 6.—С. 730-732.

8. Покорный Ю. В., Мустафакулов Р. О. О позитивной обратимости некоторых краевых задач для уравнения четвертого порядка // Диф. уравнения.—1997.—Т. 33, № 10.—С. 1358-1365.

9. Покорный Ю. В., Мустафакулов Р. О. О положительности функции Грина линейных краевых задач для уравнений четвертого порядка на графе // Изв. вузов. Математика.—1999.—Т. 441, № 2.—С. 75-82.

10. Завгородний М. Г., Майорова С. П. Об одном уравнении математической физики четвертого порядка на графе // Исследования по дифференц. уравнениям и мат. моделированию.— Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2008.—С. 88-102.

11. Кулаев Р. Ч. О функции Грина краевой задачи на графе-пучке // Изв. вузов. Математика.— 2013.—№ 2.—C. 56-66.

12. Завгородний М. Г. Вариационные принципы построения моделей стержневых стержней // Мат. моделир. информационных и технологических систем.—Воронеж: Воронеж. гос. технол. академия, 2000.—Вып. 4.—С. 59-62.

13. Покорный Ю. В., Пенкин О. М. О теоремах сравнения для уравнений на графах // Диф. уравнения.—1989.—Т. 25, № 7.—С. 1141-1150.

14. Покорный Ю. В., Карелина И. Г. О функции Грина задачи Дирихле на графе // Докл. АН СССР.—1991.—Т. 318, № 3—С. 942-944.

Статья поступила 28 мая 2012 г. КУЛАЕВ РУСЛАН ЧЕРМЕНОВИЧ

Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, старший научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22; Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: kulaevrch@mail.ru

ON THE SING OF THE GREEN'S FUNCTION OF THE BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE FOURTH-ORDER EQUATION ON A GRAPH

Kulaev R. Ch.

In this paper we consider a boundary value problem for a fourth-order equation on a graph modeling the elastic deformation of the flat system of beams with the rigid connection conditions at the nodes. Some properties of the Green's function are investigated and a sufficient condition for its positivity is established.

Key words: differential equation on the graph, boundary value problem for a fourth-order equation on a graph, Green's function.