О приближении потока событий к пуассоновскому в цифровых системах управления роботами

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 004.274

О ПРИБЛИЖЕНИИ ПОТОКА СОБЫТИЙ К ПУАССОНОВСКОМУ

В ЦИФРОВЫХ СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ РОБОТАМИ

Е.В. Ларкин, А.В. Богомолов, Д.В. Горбачев, М.А. Антонов

Проводится исследование потоков событий в робототехнических системах. Поскольку при пуассоновском характере потока математическое моделирование систем существенно упрощается, сформулирована цель получения простого критерия для определения степени приближения потока событий к пуассоновскому. Исследованы критерий Пирсона, регрессионный, корреляционный и параметрический критерии. Снова получен критерий, основанный на расчете функции ожидания. Рассмотрена система с «соревнованиями» и показано, что поток событий генерируемых системой, стремится к пуассоновскому при бесконечном увеличении количества «соревнующихся» субъектов.

Ключевые слова: поток событий, пуассоновский поток, полумарковский процесс, критерий Пирсона, корреляция, регрессия, функция ожидания, равномерный закон.

Цифровые системы управления роботами можно характеризовать, как системы, состояние которых характеризуются потоком событий. Так, например такими событиями может быть поступление заявок на обслуживания [1, 2], завершение интерпретации программы [3, 4], поток транзакций при дистанционном управлении [5, 6] и т.п.. Указанные события протекают в реальном времени, и интервал между событиями, для наблюдающего за системой субъекта, является случайной величиной. Одной из разновидностей потока является стационарный пуассоновский поток, который обладает следующими свойствами: стационарностью, отсутствием последействия, ординарностью [7].

Использование абстракции «Пуассоновский поток» позволяет существенно упростить выкладки в ряде приложений, в частности в теории массового обслуживания, поэтому при исследовании подобных систем

3

возникает вопрос о степени приближения плотности распределения времени между событиями g(г) к плотности распределения интервалов в простейшем потоке, которая определяется экспоненциальным законом распределения.

Интервалы времени между событиями в пуассоновском потоке характеризуются экспоненциальным законом распределения [7]

/(г) 1

т

exp

т

где Т - математическое ожидание экспоненциального закона;

Регрессионный критерий основан на оценке интеграла квадрата разности между анализируемым g(г) и экспоненциальным (1) законами [8]:

е г = | к (г)- / (г )]2 * .

Очевидно, что если g(г)  /(г), то ег  0 .

Пусть g(г) = 5(г - Т), где 5(г - Т) - смещенная 5-функция Дирака, для которой

Тогда

* - ТЬ^п'З ?8(' - Т* = 1

' 0

е г = | [5(г - Т) - / (г )]2 йг = е Г1 + е г 2 + е Г3:

где

Т+а / 1 \2

ег1 = 152 (г - Т )йг = lim |

а0 т-а V 2а у

йг = •

ег2 =-27д(г - Tg )' exP

Т/

¥ 1 '

е г3 =

0 Т

( -1 ^

. Т у

2Л

Т

йг = —. 2Т

2

йг =--

еТ

1

Итак, критерий изменяется от 0 (поток без последействия) до ¥ (поток с жестко детерминированной связью между событиями).

В том случае, если временные интервалы между событиями определяются экспериментально, и плотность распределения g (г) представляет собой статистический ряд вида

g (' ) =

г0 < г < г1 . п1

и-1 <г < гк

п

гз-1 < г < гJ пз

0

СЮ

0

где пI - количество результатов измерения, лежащих в интервале < t < , то для оценки близости плотности (3) и гистограммы (6) может быть использован критерий Пирсона [9], который в данном случае принимает вид

2 ^ с = Е-

)=1

Тп]

ехр

Т

ехр

-Л

Т

7

Е п

I=1

Т

ехр

Л Т

ехр

Т

к

Е пк к=1

Критерий (7) достаточно громоздок и применим в ограниченном количестве случаев.

1. Корреляционный критерий Корреляционный критерий имеет вид [10]

Г л

^ .

СЮ 1

е с = I g ( ) ~ ехР

о 1

Определим значение

t

V Т) второго

критерия для случаев

* ($ ) =1

Т

ехр

Т

и * ^ ) = 8(t _ Т).

В первом случае критерий достигает максимума:

1

е с1 = ехР

Т

t

Т )

1

—ехр

Т

t

Т )

1

Л =•

2Т

Во втором случае критерий достигает минимума:

t

Т)

1

Л = —

еТ

е с 2 = 1_ Т )ехр о

Однако, если критерий - это индикатор отсутствия последействия, он должен быть безразмерным и укладываться в интервал 0 < ~с < 1. Нуль

должен достигаться в первом случае (отсутствие последействия), единица должна достигаться во втором случае (детерминированная связь между событиями). Это происходит, если значение ес, рассчитанное как корреляция по зависимости (8), будет пересчитано по формуле

е

ес =

2

Критерий ес изменяется в интервале 0 < ес < 1. 2. Параметрические критерии

Простейший вариант параметрического критерия основан на следующем свойстве экспоненциальной плотности распределения [11]:

Т = 40,

где О - дисперсия, определяемая по зависимости

2

t

сю

0

СЮ

е

D

7(г - Т )2 ' р—exp

Т

г

т у

Очевидно, что подобными свойствами обладают многие плотности распределения, например, взвешенная пара вырожденных законов, g(г) = 0,55(г - Х1) + 0,55(г - Т2), если Т1 = 0, Т2 > 0. Это затрудняет практическое использование зависимости (9).

Для установления более сложного критерия рассмотрим процесс генерации событий, как «соревнование», в котором участвуют два субъекта: внешний наблюдатель и генератор. Если в момент старта одновременно запускаются случайные процессы, характеризующие ременные интервалы между стартом и наблюдением и между двумя событиями, то «соревнование» может быть описано с помощью 2-параллельного полумарковского процесса [12, 13]

м = [а, н

где А = {а^1,а^2, аgl, аg2, } - множество состояний; а^, аgl - стартовые состояния; а^2, аg2 - поглощающие состояния; к(г) - полумарковская

матрица;

Н(г ) =

0 w(г)' 0 0

о

о

0 g (г)" 00

; 0 =

0 0" 0 0

Рассмотрим ситуацию, когда первый субъект выигрывает «соревнование» в момент времени т и ожидает, когда второй субъект достигнет финиша. Для определения времени ожидания по полумарковскому процессу (10) (рис. 1, а) может быть построен ординарный полумарковский процесс (рис. 1, б) вида

М ' = [Л', 1г

где Л' = ЛиБ - множество состояний; Л = {а1,а2,а3} - подмножество состояний, моделирующее начало и окончания блужданий по полумарковскому процессу; а1 - стартовое состояние; а2 - поглощающее состояние,

моделирующее выигрыш второго субъекта; а3 - поглощающее состояние, моделирующее окончание ожидания первым субъектом финиширования второго, проигравшего субъекта; Б = {01,..., Р/,...} - бесконечное множество состояний, задающих временные интервалы для различных ситуаций завершения дистанции вторым, проигравшим, субъектом; Н(г ) = {гт п (г)} - полумарковская матрица, задающая временные интервалы

процесса.

0

[1 - W(t)]g(t>

8^ - т^(т) [1 - О(т)]Лт

w

8(0

у У

а

Рис. 1. К расчету времени ожидания

Элементы h'm п ^) определяются следующим образом: ^2 (t) определяется как взвешенная плотность распределения времени финиширования второго субъекта, если он является «победителем» «соревнования»,

Кг ^ ) = 8

г

где Ж^) = | w(0)d0 - функция распределения; 0 - вспомогательная пере-

0

менная;

2+1(^), I = 1,2,..., определяются как взвешенные плотности распределения времени финиширования первого субъекта в точности во время т, если он является «победителем» «соревнования» и ожидает второго субъекта;

К,2+i

где 8^ _ т) - вырожденный закон распределения, определяющий время т,

г

финиширования второго субъекта; О ^ ) = | * (0)Л0; w (т)[1 _ О(т)]Лт - веро-

0

ятность финиширования первого субъекта в точности во время т, если он является «победителем» «соревнования»;

Л^ ) 8

1 _ О(т) '

где h(t) - единичная функция Хевисайда - плотность распределения времени пребывания полумарковского процесса (12) в состоянии B, которая получается путем отсечения от смещенной плотности g (t +t) значений с отрицательным аргументом.

Таким образом, вероятность попадания процесса в подмножество B ¥ ¥ равна pa р = J[1 - G(t)\w(t)dt = JW(t)g(t)dt. Взвешенная плотность рас-0 0

пределения времени ожидания первым субъектом финиширования второго

¥

субъекта равна hwg (t) = h(t) Jw(t)g(t + t)dt. Чистая плотность распреде-

0

ления определяется следующим образом:

¥

h(t) J w(t)g (t + t)dt

fwg

JW (t )dG(t) 0

Следует отметить, что операция (15) не является коммутативной, т.е. в общем случае

h(t) J g (t)w(t + t)dt

fg  w

* fwg

J G

Рассмотрим поведение g (г) для двух видов функции g (г): когда указанная функция описывает поток событий без последействия, т.е.

1 ( гЛ g(г ) = - ехР

т

т

, и когда поток событий является строго детерминиро-

ванным, т.е. g (г ) = 5(г - Т).

Выражение (15) для первого случая принимает вид:

fw

w g

¥ 1 h(t) J w(x)-exp

(t)=-0 '

t + t

T

dt

1 - J

t=0

1 - exp

' О

T

dW

1

=—exp

T

' Л

T

Таким образом, плотность g (г) отражает свойство отсутствия

последействия в строго марковских процессах с непрерывным временем, которое может быть сформулировано следующим образом. Если плотность распределения времени между любыми двумя событиями в системе рас-

8

0

оо

пределена по экспоненциальному закону, то для внешнего наблюдателя время, оставшееся до наступления очередного события, будет также распределено по экспоненциальному закону, независимо от момента начала наблюдения.

Выражение (15) для второго случая принимает вид

f

g

Пусть w(t) имеет область определения Tw mjn < arg w(t)< Tw max и математическое ожидание Tw mjn < Tw < Tw max. В зависимости от местоположения w(t) и g (t) на оси времени, возможны следующие ситуации:

а) T < Tw min. В этой ситуации выражение (5) не имеет смысла.

б) Tw min < T < Tw max. В этой ситуации плотность распределения выражается зависимостью (17), область определения fw g (t) определяет-

¥

ся как 0 < argfw g (t )]<

T Tw mi^ и J fw g (t )dt < T .

0

в) T > Tw max. В этой ситуации fw g (t) - w(T -1), T — Tw max <

¥

< T — Tw max < arg[fwg(t)]< T - Tw min , и J fw g (t)dt < T .

0

Таким образом, математическое ожидание функции fwg(t) для

пуассоновского потока событий остается неизменным, а для детерминированного потока событий уменьшается, и это уменьшение определяется видом функции w(t). Это обстоятельство позволяет определить вид простого критерия, основанного на использовании математического ожидания плотности распределения ожидания.

Пусть плотность распределения времени наблюдения определяется вырожденным законом распределения с математическим ожиданием, равным T, т.е. w(t )-5(t — T) (соответствует детерминированному потоку событий). Для этого случая плотность распределения времени ожидания 5-функцией Дирака события, когда завершится событие g(t), определяется по зависимости

f5gW-%gt±T).

J g (t )dt

T

Математическое ожидание (18) имеет вид

Tdg =¥t dt.

0 J g(t)dt

T 9

Критерий, основанный на определении времени ожидания, имеет вид

e w

T _ Td g

T

где Т - математическое ожидание анализируемой плотности распределения времени между соседними событиями; Tdg - математическое ожидание

плотности распределения /5 g (V), рассчитываемое по зависимости (18).

Для экспоненциального закона

' Т - ТЪ_

e w

g

\2 , N 2 > f t_T *

T

T

= 0

Это означает отсутствие последействия. Для строго детерминированной связи между событиями, выражаемой 5-функцией Дирака

g (V ) = 5(* - т),

rT _ 0л2

1.

/5 g ^ ) = 5(?), и г ^

V т у

Это означает детерминированную связь между событиями, или «абсолютное последействие».

Исследуем поведение критерия д/ё^ функции. Для этого определим

математическое ожидание функции g

T

Jtg (t )dt = J tg (t )dt + J tg (t + T )dtT + T J g (t + T )dt = 0 0 0 0

= PigT1g + P2 gTd g + P2 gT = T,

T

где pig = J g(t)dt; P2g = J g(t)dt.

0 T

prob

time 1

0,5

/ / / *

g(t) У P2gfsg(t) / t - T / / / / /

/ T \ / / ^ / / P2jf8ß)

2

00

00

00

00

0 0.5 1 1.5 2 time

Рис. 2. К расчету математического ожидания

10

Очевидно, что в (23) T2 - T5g. Если g (t)- f (t), то из уравнения

P1 fT1 f + P2 fT5 f + P2 fT = T,

e—1 1 ^ ^e—2

где P1 f =-; P2 f =-; T1 f = T-г,

e e e —1

e

e

1

следует, что

T5 f = T .

Равенство (25) подтверждает справедливость зависимостей (16) и

Значение Tdg в зависимости от соотношения значений Т^ и р^

может быть как Т5g > Т, так и Т5g < Т (случай Т5g = Т представлен

зависимостями (24), (25)). Очевидно, что первые два случая означают, что поток не является пуассоновским.

Заключение

Итак, в настоящей работе проведены исследования критериев, по которым может производиться оценка степени приближения потока событий к пуассоновскому потоку. Из существующих выделен критерий, основанный на оценке времени ожидания, использование которого позволяет существенно сократить вычислительную сложность алгоритмов оценки степени приближения потока событий к пуассоновскому.

Перспектива исследований в этом направлении может быть связана с практическим использованием критерия для оценки свойств потоков событий и оценкой ошибок, к которым приводит замена непуассоновских потоков на пуассоновские при моделировании систем.

1. Sundarapandian V. Queueing Theory: Probability, Statistics and Queueing Theory. PHI Learning. New Delhi. 2009.

2. Gross D., Harris C.M. Fundamentals of Queue Theory. John Wiley & Sons N.Y. 1974.

3. Larkin E.V., Ivutin A.N. Dispatching in Embedded Systems //2016 5th Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO). 12-16 June 2016, Bar, Montenegro - IEEE, 2016. P. 215 - 217.

4. Larkin E., Ivutin A., Esikov D. Recursive Approach for Evaluation of Time Intervals between Transactions in Polling Procedure // 8-th International Conference on Computer and Automation Engineering (ICCAE 2016). March 34, 2016. Melbourne, Australia - MATEC Web of Conferences, 56 (2016).

(21).

1 — P1g

Список литературы

5. Interactive generator of commands / E.V. Larkin, A.N. Ivutin, V.V. Kotov, A.N. Privalov // 7-th International Conference ICSI-2016. Bali, Indonesia, June 25 - 30. Proceedings. Part 2. Lecture Notes in Computer Science. LNCS Sublibrary: SL1 - Theoretical Computer Science and General Issues Springer, 2016. P. 601 - 609.

6. Larkin E.V., Privalov A.N. Modeling of dialogue regimes of distance robot control // Proceedings of 5-th International Workshop on Mathematical Models and their Applications Krasnoyarsk, Russia, November 7-9, 2016. P. 92 - 103.

7. Markov A.A. Extension of the law of large numbers to dependent quantities, Izvestiia Fiz.-Matem. Obsch. Kazan Univ., (2-nd Ser.), 1906. P. 135156.

8. Boos D.D. Stefanski L.A. Essentioal Statistical Inference. Theory and methods. N.Y., Springer Verlag. 2013. 568 p.

9. Draper N.R., Smith H. Applied Regression Analysis 1998 by John Wiley & sons, Inc. 736 p.

10. Rank M.K. Correlation Methods. Published by Charles Griffin & Company, London. 1955. 196 p.

11. Ventsel E.S. Probability theory. M.: Mir Publisher, 1986. 86 p.

12. Ivutin A.N, Larkin E.V. Simulation of Concurrent Games // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. Chelyabinsk, 2015. Vol. 8. №2. P. 43 - 54.

13. Simulation of Relay-races / E.V. Larkin, A.N. Ivutin, V.V. Kotov, A.N. Privalov // Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software. 2016. Vol. 9. No 4. P. 117 -128.

14. Grigelionis B. On the convergence of sums of random step processes to a Poisson process. Theory Probab. Appl. 1963. P. 177 - 182.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Богомолов Алексей Валерьевич, д-р техн. наук, проф., elarkina mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Горбачев Дмитрий Викторович, д-р физ.-мат. наук, проф., elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Антонов Максим Александрович, магистрант, elarkina mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ABOUT APPROACH OF THE TRANSACTIONS FLOW TO POISSON ONE IN ROBOT CONTROL SYSTEMS

E. V. Larkin, A. V. Bogomolov, D. V. Gorbachev, M.A. Antonov

12

In this paper, we investigate the flow of events in robotic systems. Since the mathematical simulation of the systems under the Poisson character of the flow is essentially simplified, the goal is to obtain a simple criterion for determining the degree of approximation of the flow of events to a Poisson flow. Pearson's criterion, regression, correlation and parametric criteria were studied. Again, a criterion based on the calculation of the waiting function was obtained. A system with "competitions" is investigated and it is shown that the flow of events generated by the system tends to Poisson with an infinite increase in the number of "competing" subjects.

Key words: event flow, Poisson flow, semi-Markovian process, Pearson's criterion, correlation, regression, expectation function, uniform law

Larkin Evgeniy Vasilievich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Bogomolov Alexey Valerievich, doctor of technical sciences, professor, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Gorbachev Dmitry Viktorovich, doctor of technical sciences, professor, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Antonov Maxim Aleksandrovich, master, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 004.932

ФОРМИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ НА ПРИЕМНИКЕ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Т. А. Акименко, Е.В. Филиппова

Рассматривается модель формирования тепловой картины сцены, которая должна учитывать: особенности объекта наблюдения как источника сигнала; передачу сигналов через физические элементы системы тепловизионного изображения.

Ключевые слова: тепловой приемник, излучение, зрачок объектива, энергетическая освещенность.

Формирование тепловой картины наблюдаемой сцены с проверкой качества полученных тепловых изображений является одним из важных этапов технологического процесса, определяющих качество тепловизион-ной системы наблюдения. Управление этим этапом связано с разработкой математической модели процесса сканирования сцены, которая должна

13