Вероятностный критерий разрушения, учитывающий скачкообразныйрост трещин усталости

2003 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 2

МЕХАНИКА

УДК 539.43

Р. А. Арутюнян, В. Л. Фомин

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ КРИТЕРИЙ РАЗРУШЕНИЯ, УЧИТЫВАЮЩИЙ СКАЧКООБРАЗНЫЙ РОСТ ТРЕЩИН УСТАЛОСТИ

Классические критерии усталостной прочности были сформулированы в соответствии с результатами опытов над гладкими образцами [1]. Это направление исследований в механике материалов, начатое работами Велера, имело многочисленных последователей в девятнадцатом столетии, однако заметные результаты за это время не были получены. В двадцатом столетии проблема усталости стала более актуальной в связи с мощным техническим прогрессом в турбостроении и авиации. Существенно возрос и объем исследований по этой проблеме. Изобретение электронного микроскопа дало возможность наблюдать на микроуровне за развитием усталостных повреждений на стадии скрытого разрушения до появления макроскопической трещины. Уже в тридцатых годах прошлого столетия процесс распространения усталостной трещины перестали рассматривать как мгновенный акт разрушения. Исследование кинетики этого процесса способствовало формулировке различных уравнений роста усталостных трещин. Однако в них развитие усталостных трещин описывалось без применения подходов и критериев механики разрушения. Лишь с опубликованием статьи Пэриса и Эрдогана [2] появилась возможность использовать коэффициент интенсивности напряжений при формулировке кинетического уравнения роста трещин усталости. Многочисленные экспериментальные исследования подтверждают уравнение Пэриса—Эрдогана в случае начальных трещин макроскопических размеров. Для трещин микро- и мезо-скопических размеров (малых трещин [3]) кривая роста усталостной трещины не может быть полностью описана в рамках теории Пэриса—Эрдогана. Более того, эта теория не применима к описанию эффекта ступенчатого роста трещин усталости [4, 5], который наблюдается в опытах над металлами и полимерами [6, 7].

Как показывают опыты, на микроскопическом уровне трещина усталости растет скачками. Исследования микромеханизмов накопления поврежденности и разрушения в некоторой малой окрестности у вершины трещины показывают, что микротрещины и поры в металлах возникают вначале внутри малой области, примыкающей к вершине трещины. В самой же вершине, где напряжения достигают максимальной величины,

© Р. А. Арутюнян, В.Л.Фомин, 2003

слои материала сохраняет целостность и разрушается вследствие перенапряжения, когда трещина покрывает всю рассматриваемую область. Кривые скачкообразного роста трещин усталости получены разными авторами для различных материалов. Например, в случае стальных образцов скачку трещины на длину 4 мкм предшествовала пауза в 104 циклов при амплитуде напряжения 90 МПа [6]. Скачкообразный рост трещин в металлических образцах связан с исчерпанием пластичности в некоторои малои окрестности у вершины трещины. Механизм исчерпания пластичности включает образование различных дислокационных структур, способствующих формированию микропор и микротрещин в малой окрестности вершины трещины длиною /*, соответствующей радиусу пластической зоны. При накоплении критического числа единичных объемов разрушения происходит скачок трещины на величину /*. Далее этот процесс повторяется и приводит к скачкообразному росту трещин усталости.

Для полимеров предложено несколько моделей скачкообразного роста усталостной трещины [8, 9]. Согласно одной из них, в вершине магистральной трещины в течение некоторого числа циклов нагружения образуется крейз (трещина серебра), которая растет до определенного критического размера, затем проскакивает на всю длину /*, и останавливается. На поверхности разрушения образуется одна усталостная полоса. Далее процесс повторяется, у вершины трещины формируется новая трещина серебра и при продолжении циклического нагружения происходит очередной ее рост. Многократное повторение этого процесса приводит к усталостному разрушению материала. Таким образом, процесс образования трещин серебра имеет непрерывный характер, дискретно происходит только рост основной трещины. По данным опытов интервал между двумя последовательными скачками составляет, в зависимости от уровня напряжения, 102 — 104 циклов.

В пределах микроскачка зависимость длины трещины / от числа циклов нагружения N описывается далее с помощью логистической функции, которая получается из решения следующего кинетического уравнения [4]:

^ = ««.-0,

где к = к (а) — функция напряжения. Далее для этой функции принимается степенная аппроксимация к = А (а — ау)р, где А,р — постоянные, ау —напряжение, соответствующее пределу усталости. Запишем кинетическое уравнение (1) в виде

где функция f (/) = / (/* + /0 — /), определенная на промежутке [/0, /*], имеет график в виде параболы, причем, / (/0) = f (/*).

Интегрируя уравнение (2) при начальном условии / = /о, N = 0, получим

/ = /о

(1 + 6) ехр ~ Ы0М(1+6)~ з

1 + 6 ехр 6

где

Полагая / = /* при N = N и / (/0) = f (/*), имеем

2<51пт

= щттл-

77

Формула (3) описывает рост трещины в пределах одного скачка длиною 1*. При соответствующем обобщении [5], с помощью уравнения (1) можно описать многократные скачки, наблюдаемые в условиях циклических нагружений. С этой целью параболу — график функции / (1) —продлим на п интервалов [1о, 1*], [1*, 21*],..., [(п — 1) 1*, п1*]. Принимаем условие / (1* + 0) = 7/ (1о + 0) ,7 > 0 и интегрируем уравнение (2) на промежутке, содержащем п участков. Соответствующий интеграл распадается в сумму п интегралов, первый из которых вычислен выше, а остальные п — 1 равны друг другу. При условии 1 = 1п, N = Ж„, получим следующее решение:

N - N* + (n - 1) N*

где N* определяется формулой (4), а

N=

2^п

VI +4^o + l Ыол/1 + Aöo ш VI +4(50 - 1'

:ln

Y (1 - <*)'

После n микроскачков длина трещины будет равна

1 - In

Nn-N*

N^

+ 1 1

Подробный анализ предложенной теории проведен в работе [5]. Полученные здесь соотношения будут использованы при формулировке критерия усталостного разрушения. С этой целью воспользуемся вероятностной моделью, рассмотренной в работе [4]. Модель базируется на следующих предположениях. Считается, что распределение начальных трещин по размерам является случайным. Случайным является также число циклов до разрушения. Под воздействием циклических напряжений трещины стартуют и растут. Стартуют также трещины, которые зарождаются в процессе нагружения. Система разрушается в результате достижения одной из трещин критического размера.

Пусть 1о < 1п < 1*п — случайная выборка из показательного распределения, где 1*п — предельная длина усталостной трещины. Тогда

„-Alo

.- — Xln

G

о — Xlo

Внося в формулу (8) выражение 1n из (7), можно записать функцию распределения G через число циклов нагружения. Пусть N — число циклов безотказной работы, тогда N = min (Nin), (i = 1, то). Таким образом, приходим к задаче о распределении минимальных значений случайной величины Nin, которое, как известно [10, 11], выражается

в следующем виде:

H(N) - 1 - [1 - G(N)]г

Поскольку микротрещин в образце много, вместо формулы (9) можно воспользоваться асимптотическим представлением

Н ^) « 1 — ехр[-тоС^)] .

Для оценки вероятности безотказной работы перейдем к функции надежности

R(N) - 1 - H (N) - exp [-mG(N)] - exp

,-Alo

_ -аг„(-

о — Xlo

о — Al*

*

N

m

а, МПа

Рис. 1. Кривые усталости согласно формуле (12): кривая 1 соответствует т = 1, кривая 2 т = 21.

Задавая уровень надежности Д* и учитывая соотношения (5) и (6), из формулы (11) получим критерий усталостного разрушения

_ ау)Р Nn = - [N* - N„

А/*

1 1П R*

Ipj

На рисунке показаны кривые усталости, согласно формуле (12). Кривая 1 получена для случая т =1, кривая 2 соответствует т = 21. Остальные коэффициенты равны: к = 10-10 (ш • цикл)-1 МПа-3, ау = 200 МПа, 7 = 1, 0,/* = 10-5т,Л = 5 [т]-1,10 = 10-4т, = 0, 1т, р = 3, Д* = 0, 5.

Наблюдается качественно правильный результат: с ростом дефектного состояния значительно снижается долговечность образца.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-00226).

m

Summary

Arutyunyan R.A., Fomin V.L. Probabilistic fracture criterion taking into account the stepwise fatigue crack propagation.

A probabilistic fatigue fracture criterion is formulated. The criterion is based on the weakest link model and takes into consideration the effect of stepwise fatigue crack propagation.

Литература

1. Вейбулл В. Усталостные испытания и анализ их результатов. М., 1964.

2. Пэрис П., Эрдоган Ф. Критический анализ законов распространения трещин // Техническая механика. Труды американского общества инженеров механиков. 1963. Серия D. Том 85. №4. С. 60-68.

3. Miller K.J. Materials science perspective of metal fatigue resistance // Materials science and technology. June 1993. Vol. 9. P. 453-462.

4. Арутюнян Р.А. Об одной вероятностной модели сопротивления усталости // Физико-химическая механика материалов. 1993. №1. С. 41-45.

5. Арутюнян Р.А., Фомин В.Л. Влияние начальной поврежденности и размера зерна на квазистатический рост усталостных трещин // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 1 (№1). С. 72-77.

6. Иванова В.С., Терентьев В.Ф. Природа усталости металлов. М., 1975.

7. Shah A., Stepanov E. V., Capaccio G., Hiltner A., Baer E. Stepwise fatigue crack propagation in polyethylene resins of différent molecular structure // J. Polymer Science: Part B: Polimer Physics. 1999. Vol. 36. P. 2355-2369.

8. Керштейн И.М., Клюшников В.Д., Ломакин Е.В., Шестериков С.А. Основы экспериментальной механики разрушения. М., 1989

9. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М., 1984.

10. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений. М., 1965.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.