Уравнения Максвелла в криволинейных координатах

УДК 537.8:514.7:621.372.81

Уравнения Максвелла в криволинейных координатах

Д. С. Кулябов, Н. А. Немчанинова

Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

При записи уравнений Максвелла в криволинейных координатах обычно используется громоздкий векторный формализм. Предлагается заменить его более простым тензорным описанием.

Ключевые слова: волноводы, уравнения Максвелла, тензорный формализм.

1. Введение

В исследованиях интегрально-оптических волноводов можно выделить два этапа: исследования регулярных планарных волноводов и исследования нерегулярных интегрально-оптических векторных волноводов. В тех и в других исследованиях решаются уравнения Максвелла с использованием граничных уравнений. Планарные волноводы образованы стопкой плоских параллельных диэлектрических пластинок и тонкоплёночных слоёв, так что все границы плоские и параллельны между собой. Это обусловило запись уравнений Максвелла и граничных условий в декартовых координатах. Исследование нерегулярных интегрально-оптических волноводов с круговыми и сферическими симметриями границ раздела побуждают к использованию криволинейных координат. Имеется большое число публикаций в этом направлении. Все они имеют дело с «векторной формой» уравнений, для которой характерна большая громоздкость выражений. Использование «тензорной формы» записи уравнений представляется нам более простой и изящной. Чтобы продемонстрировать эквивалентность двух форм, мы подробно приводим параллельно все используемые выражения в тензорной и векторной форме, а также формулы перехода между ними.

Предлагается следующий алгоритм преобразования. Уравнения в векторном формализме в декартовых координатах преобразуются в тензорную запись путём формальной замены оператора V на ковариантную производную V». Затем производится замена координат. После этого тензорная запись переводится в векторную.

В данной работе рассматривается трёхмерное пространство. Индексы пробегают диапазон % = 1, 2, 3.

2. Преобразование координат в тензорном формализме

Напомним, как производятся преобразования дифференциальных операторов [1].

Градиент:

grad у = ^гаё = V

Поскольку ^ — скаляр, то можем заменить ковариантную производную на частную:

^гаё = ^^ = дм.

Таким образом, при преобразовании координат компоненты градиента не изменяются.

Статья поступила в редакцию 30 декабря 2010 г.

Авторы выражают большую благодарность профессору Севастьянову Л. А. за помощь в постановке и решении проблемы.

Распишем в компонентах:

, дш i дш 2 з

grad ip = ттт e + e + e.

w ' ff/y1 /~1/у>2 /~1/у>3

дх2

дх3

Дивергенция:

diva = V  а = Viai = - Г}^' = + = —^Ü

Распишем в компонентах:

diva = —= V9

d

дх1

дх2

дх3

Ротор:

rot а = [V, а] = V х a = (rot a)^. (rot a)¿ = V,- afc = Eijk ak;j,

где Егэк — тензор Леви-Чевиты, выражающийся через ег^к — символ Леви-Чевиты следующим образом:

1, Р(г,у,к) — чётная перестановка; = £г°к = { -1, Р(ъ,3, к) — нечётная перестановка; 0, среди г,], к есть равные.

Ецк = у/децк; Егдк = ег^к.

Поскольку в (5) фигурируют члены типа а^-], то связности сокращаются, и мы можем заменить ковариантную производную на частную:

(rot a)i = Eijk ak,j.

Распишем в компонентах:

rot a =

—9

ei e2 e3

д д д

дх1 дх2 дх3

а1 0,2 аз

1Í даз да2

—9\ дх2 дх3

ei +

da1 da3 дх3 дх1

e2 +

да2 да1 дх1 дх2

es .

Лапласиан можно получить из (3) для дивергенции, положив аг = д%д

Ар = diva = — di( л/ддг° dó у).

3. Соответствие между тензорной и векторной записями

векторов

В то время, как в тензорном формализме обычно используется координатный базис вг = а/вх1, в векторном формализме базис задаётся как ё» = д/дз\ где — элемент длины по соответствующей координате [2].

Считая систему координат ортогональной, запишем ds2 = gudxldxl = hf(dx1)2, где hi = /дй = Vv^ — коэффициенты Ламе. Обычно для коэффициентов Ламе суммирование по индексу не производится. Заметим также, что ^/д = hih2h,3.

Расписывая вектор в тензорном и векторном виде, найдём соотношение между этими формализмами (векторный вид будем помечать шапочкой):

. d d -10 f = fV- = f1-— f = Pê = P— = fz — -— J J e J dxj, J J e J ds{ J hidxi.

Таким образом для контравариантных компонент:

f=h- г.

Аналогично для ковекторов: f = Дег = /¿dx% f = fiê1 = fid sг = fihidxг.

Таким образом для ковариантных компонент:

fi hi fi.

4. Дифференциальные операторы в произвольной системе

координат

Для градиента из (1) и (9) получаем:

gradp = dipé1 = -r-dip6t.

hi

Распишем в компонентах:

1 dp „i 1 dp „2 1 dip яз

gra P h\ dx1 6 h2 dx2 6 h3 dx3 6 .

Для дивергенции из (3) и (9) получаем:

diva = -^di^tf) = -^di^/Дh-^ .

Распишем в компонентах: div a = 1

hih2h3

'd

d xi

d x2

d x3

Для ротора из (6) и (3) получаем:

rota = —= е tjkak,j 6i = --= etjkdj (hfcâfc )6j.

Распишем в компонентах:

rot a =

1

hih2h3

hiêi h262 h363

d d d

d xi d x2 d x3

hi ai h2 a2 h3 a3

h2h3

d

d x2

d x3

6i +

+

hih3

d

d x3

d xi

62 +

hih2

d

d xi

d x2

63.

1

1

1

Для лапласиана получаем запись, эквивалентную (8). Распишем в компонентах:

А р =

1

h1h2h3

д дх1

/h2h3 д^ \ + /hih:

I h1 дх1 J дх2 \ h2

,ддЛ +

дх-,2 I

д

д х:

í hih2 др \ I h3 дх3 I

5. Некоторые криволинейные координаты

5.1. Цилиндрические координаты

В рамках стандарта ISO 31-11 координаты (х1 , х2, х3) обозначаются как (р, р, z). Закон преобразования координат от декартовых к цилиндрическим:

х = р cos р, у = р sin р, Z = Z.

Закон преобразования координат от цилиндрических к декартовым:

' р = л/ж2 + у2,

р =arctg (ж),

Z = Z.

Метрический тензор:

'10 0 9ij = I 0 Р2

0

v0 0 1

9гз =

10

0 1/Р2 00

0 0

Vd = р.

Коэффициенты Ламе: hi = hp = 1, h2 = hv = р, h3 = hz = 1.

Символы Кристоффеля: Г22 = — р, Г^ = Г22 = —. Остальные символы Кри-

стоффеля равны нулю.

р

5.2. Сферические координаты

В рамках стандарта ISO 31-11 координаты (ж1 ,х2,х3) обозначаются как (г,§,р). Закон преобразования координат от декартовых к сферическим:

х = г sin§ cos р, у = г sin § sin р, z = г cos §.

Закон преобразования координат от сферических к декартовым: ' Г = л/ж2 + у2 + Z2,

л/ж2 + у2

§ = arccos

л/ж2 + у2 + Z2

р = arctg ^ .

) = arctg

Метрический тензор:

9íj =

\0

г 0

0 0

г2 sin2 ßj

дгз =

/1

0 0

0 1

0

0

0 1

/д = г2 sin

Г»2 ei п 2 ф J

Г2 Sin

Коэффициенты Ламе: hl = hr = 1, h2 = = r, h3 = hv = r sin

Символы Кристоффеля: Г22 = —г, Г33 = —г sin2 •&, Г21 = Г22 = Г?3 = Г§1 = -,

г

Г23 = — cos $ sin Г33 = Г32 = — ctg "9. Остальные символы Кристоффеля равны нулю.

6. Уравнения Максвелла в криволинейных координатах

Будем рассматривать уравнения Максвелла в системе СГС [3,4].

V X S = —i f;

с at

V V 1dD 4п ->

н = clor + -Г;

V  D = 4жр;

V В = 0.

Здесь Е и Н — напряжённости электрического и магнитного полей, Б и В — электрическая и магнитная индукция, ] и р — плотности тока и заряда.

Будем считать среду линейной, изотропной, однородной и не обладающей диссипацией. Для изотропной среды В = рН, Б = еВ, где р и е — магнитная и диэлектрическая проницаемости среды. В силу линейности среды сигнал можно разложить на сумму монохроматических волн, которые можно рассматривать в

комплексной форме: = Е(г) ехр(—шЬ). Переход к действительным полям

осуществляется следующим образом:

Е

где Е(г) — комплексная амплитуда.

При отсутствии источников (р = 0, ^ = 0) уравнения Максвелла (10) для комплексных амплитуд сводятся к следующему виду:

V X Е = ikpH;

V X Й = —iksÉ; V- Е = 0;

V- н = 0,

где к =--волновое число.

Решать можно двумя путями: записать уравнения Максвелла сразу в векторном виде, либо произвести вычисления в тензорном виде, а результаты перевести в векторный вид.

0

6.1. Решение в векторном виде

Запишем уравнения Максвелла (11) в криволинейных координатах в векторном виде (тильду писать не будем во избежании громоздкости).

1 ~д

h2 h3 д х2 - д х3

1 'д^Е^ дЦ13Ё3)

hi ha д х3 дх1

1 ~д^2Ё2) д

hi h,2 дх1 - д х2

1 д^зН3) д

h2h3 д х2 - д х3

1 д

hiha д х3 - д х1

1 д^Н2) д

hih2 дх1 - д х2

: ikfiH1;

- ikfiH2;

- i kpH3; -i ke E1; -i ke E2; -i ke E3;

д(НфзЕ1) + д(ЬлК3Е2) + д(ЬлК2Е3) _

""Г о .. о ""Г о .. ч 0;

дх1 д fahaH1)

дх1

дх2

+ д (hi h3H2) +

д х2

д х

д^^Н 3)

д х

0.

Система переопределена, так как для шести переменных имеем восемь уравнений. Следовательно, необходимо ввести два координатных условия.

Электромагнитное поле в волноводе не является чисто поперечным, но и имеет и продольную составляющую [3]. В зависимости от того, какое из полей имеет продольную составляющую, можно выделить ТЕ-волну (электрическое поле не имеет продольной составляющей) и ТМ-волну (магнитное поле не имеет продольной составляющей). Очевидно, что в линейной среде общее решение можно разделить на ТЕ-моду и ТМ-моду.

Считая, что волна распространяется вдоль координаты ж3, будем искать решение в виде ТЕ-моды ( E3 _ 0) и ТМ-моды (Нз _ 0). Начнём со случая ТЕ-моды. Идея решения заключается в введении новой потенциальной функции U и выражении через неё компонент Ei и Hi.

Считая, что для криволинейных координат справедливо условие

Ьз _ 1,

из (12g) получим:

Ei _ E1 _

i кц ди

2 i кц ди

h2 д х2

E2 _ Е2 _

h1 д х1

Подставляя Ei в (12b) и E2 в (12a), получим:

И _ И1 _ -1

ni И ^дх^Уыдх1) , И2 И hi дхг yh2 дх2 j .

Для выполнения (121) после подстановки (15) необходимо, чтобы криволинейные координаты удовлетворяли также следующему условию (второе координатное условие):

9 ' —

дх3

Из (12e) получаем: Н3 = Н3 = k2epU + чения в (12c), получаем уравнение для U:

т2] =0.

д2и

д(х3)2

Подставляя полученные зна-

hiho

ди\

дх1 I hi дх1 j дх2 \ h2 дх2 у

+

д2и

д(х3 )2

+ k2epU = 0.

Аналогично для ТМ-моды. Исходя из симметрии системы (12), решения для

ТМ-моды можно получить механически заменой Ei ^ Hi, Hi ^ Ei. Вместо функции U будет аналогичная функция V.

6.2. Решение в тензорном виде

Теперь решение будем выполнять в тензорном виде, а получившийся результат переведём в векторный вид.

Проведём все рассуждения аналогично предыдущему пункту. Запишем уравнения Максвелла (11) в криволинейных координатах в тензорном виде (тильду писать не будем во избежании громоздкости).

1

7

1

7

1

7

1

7 1

7 1

7

дЕ3

д х2

дЕо д х

дЕ1 дЕз

д х — д х1

'дЕо дЕ1

д х1 дх2

дН3 дНо

д х2 — д х

дН1 дН3

д х — д х1

дНо дН1

д х1 д х2

- ikpH : ikßH2; ^ ikpH3; —iksE —iksE 2; —iksE 3;

дЕ1 дЕ2 дЕ3

д х1 + дх2 + д х

дН1 дН 2 дН 3

д х1 + д х2 + д х3

= 0; = 0.

Будем использовать первое координатное условие, аналогичное (13):

= 1 = Н3 = 1.

Из (17g) получим (учитывая также (3) и (18)):

Р = п Р1 = п Г = п Р2 = п

Е, = ^ 1Е = ^1 — , Е2 = д^Е = -^22 — -Хг,

Ёх = — Е1 = = 1 Е2 = -ди

кг к2 дх2' к2 Ьг дх1'

1

Подставляя Ei в (17b) и E2 в (17a), получим (опять учитываем (3) и (18)):

ri _ 9ii д (д22 dU

^gdx3 \ sfgdx1

922 д

тт_ TTl _ И1^ а22 и _ тт2 _ У22 " fil

Hl _ giiH _ vj^i , Н _ 922Н _ ^^

Vö дх3

( dU ^

\V9dx2 J ,

Н _ — Н _ — — (-2 —

1 hi 1 h2 дх3 \ hi дх1

Н _ -1Н = .1 (hi ^U

2 h2 2 hi дх3 \ h2 дх2

д / \

Аналогично (16) введём второе координатное условие: ( — ) =0. Из (17е) получаем (используя (3) и (18)):

Н3 = к2е fiU +

д2и

Н з _ н

д(х3)2 Н _ 9ззН3~~3 h3"3~™^ ' д(х3)2'

Подставляя полученные значения в (17c), получаем уравнение для U:

Н3

1 „ ,, ~ д2и

Hi3 _ 7-Н3 _ k2£fiU +

1

д

дх1

i922 ди_\ + _д_ igi! дЦ_^

I yfg дх,1 J дх2 \ дх? I

д 2U l2 тт п + дЩ2 + к £Ци _ 0.

7. Заключение

Использование тензорного формализма при оперировании векторами в криволинейных координатах представляется оправданным. Более того, наиболее предпочтительным является использование в вычислениях именно тензорного формализма, а переход к векторам — только в результирующих выражениях. При этом использование тензорного формализма предпочтительно в неоднородных и неизотропных средах, а также при использовании неортогональных координат.

Литература

1. Дубровин Б. А, Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1986. [Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Sovremennaya geometriya: Metodih i prilozheniya. — M.: Nauka, 1986.]

2. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. [Mors F. M, Feshbakh G. Metodih teoreticheskoyj fiziki. — M.: Izdateljstvo inostrannoyj literaturih, 1960.]

3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: МИР, 1988. [Vayjnshteyjn L. A. Ehlektromagnitnihe volnih. — M.: MIR, 1988.]

4. Денисов В. И. Лекции по электродинамике. — М.: УНЦ ДО, 2005. [Denisov V. I. Lekcii po ehlektrodinamike. — M.: UNC DO, 2005.]

UDC 537.8:514.7:621.372.81

Maxwell's Equations in Curvilinear Coordinates D. S. Kulyabov, N. A. Nemchaninova

Telecommunication Systems Department Peoples Friendship University of Russia Miklukho-Maklaya str., 6, Moscow, 117198, Russia

When writing the Maxwell equations in curvilinear coordinates, usually used a vector-based formalism. Proposed to replace it by easier tensor-based formalism.

Key words and phrases: waveguide, Maxwell's equations, tensor formalism.