Непараллельные течения в каналах с проницаемыми стенками и исследование их гидродинамической устойчивости с помощью обобщенного уравнения Орра-Зоммерфельда

НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ С ПРОНИЦАЕМЫМИ СТЕНКАМИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ С ПОМОЩЬЮ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ОРРА-ЗОММЕРФЕЛЬДА

В.Н. Варапаев, В.И. Ягодкин

1. Общая характеристика течений.

уществует интересный класс задач аэродинамики, важный для технических приложений, в котором рассматриваются течения при наличии подачи или отсоса жидкости (или газа) через граничную поверхность. Подача вещества может, например, осуществляться при испарении, химических реакциях на поверхности или в результате протекания жидкости или газа через пористые стенки. Примерами технических приложений таких задач являются: движение жидкости в артезианской скважине; течение в трубе с пористыми стенками, используемой в газодиффузионном каскаде установки для разделения изотопов; течение при горении газовой горючей смеси в пористой горелке, когда смесь подается через ее стенки; движение газа в канале горящего заряда твердого ракетного топлива; течение в тепловых трубах. К течениям такого типа при некоторых упрощающих предположениях относятся течения в воздуховодах и воздухораспределителях, где подача или отсос воздуха осуществляется через перфорацию на стенках канала. Во многих случаях интерес представляет не только получение стационарного решения, но и исследование его устойчивости. Например, в случае горения заряда твердого топлива скорость горения определяется не только его физико-химическими свойствами, но и режимом течения газа в канале заряда (ламинарный или турбулентный).

Подробный обзор исследований в этом направлении приведен в [1]. Мы будем рассматривать случай, когда числа Рейнольдса достаточно велики, и конвективными членами пренебрегать нельзя. Берманом [2] было указано, что в этом случае при некоторых предположениях могут быть получены автомодельные решения уравнений Навье-Стокса для течений в каналах с проницаемыми стенками.

Экспериментальное изучение течений в каналах с проницаемыми стенками при наличии вдува через них и их гидродинамической устойчивости проводилось, например, в работах [3-6]. Эксперименты показали, что автомодельное решение действительно реализуется на некотором расстоянии от начального сечения, которым обычно является непроницаемая стенка (дно канала). Вопросам определения характера течения в начальном участке посвящены работы [7-8].

Здесь мы приведем характеристики двух видов течений, получаемых из общего автомодельного решения [2]: течение в канале при наличии вдува с постоянной и одинаковой для обеих стенок канала скоростью; течение при вдуве через одну и отсосе с такой же скоростью через другую стенку канала. Эти течения представляют интерес для теории гидродинамической устойчивости как пример точного решения уравнений Навье-Стокса для течений в канале ана-

логично известным течениям Пуазейля и Куэтта. Однако, в отличие от них, они являются непараллельными, что позволяет на их примере оценить влияние непараллельности основного потока на его гидродинамическую устойчивость. Далее будут приведены результаты исследования устойчивости этих течений.

2. Некоторые автомодельные решения

Рассмотрим стационарное течение вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном плоском канале с параллельными проницаемыми стенками, через которые подается или отсасывается жидкость с постоянной скоростью у*. Возьмем систему координат, направив ось х по средней линии канала, а ось у - по сечению канала. Если за характерную скорость и длину взять величину у* и полуширину канала а , то в безразмерных переменных рассматриваемое течение описывается уравнением

1 АА1„ д¥дА¥ д¥дА¥ л -р;-АА¥---+--= 0

ду дх дх ду

аУ0

Здесь Я0 = —— - число Рейнольдса, построенное по скорости вдува (или от-

V

соса), V - кинематический коэффициент вязкости, ¥ - функция тока, определяемая соотношениями:

=у=—= д¥

V ду у; дх

где и* - продольная, а V* - поперечная составляющие скорости, х и у - безразмерные координаты вдоль и поперек канала, А - оператор Лапласа.

Будем искать решение уравнения (1) в виде:

¥

Подставляя (2) в (1) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим два обыкновенных дифференциальных уравнения для функций F1(y) и F2(y):

1F(4)- F' F" + FF"'= 0

^ 1 1 1 1 1

1F (4)- F' F" + FF"' = 0

2 2 1 1 2 и

Штрих обозначает дифференцирование по у. Решение (2) характерно тем, что распределение поперечной составляющей скорости:

У = ^

одинаково во всех сечениях канала, а продольная составляющая линейно зависит от х:

и

= Fl '

Будем считать, что на нижней стенке (у = -1) всегда имеет место вдув со скоростью у*, а на верхней стенке рассмотрим случай как вдува, так и отсоса жидкости с произвольной скоростью, одинаковой по длине канала и перпендикулярной к стенке. Тогда граничные условия для системы (3), (4) можно записать в виде:

ж

Fl (-1)=-1, F (1) = В, F; (-1)= F; (1)= 0 F1 (-1)=0, F1 (1)=а, F; (-1)=^ (1)=0

Здесь В - относительная скорость вдува (или отсоса) на верхней стенке, а О - расход жидкости в сечении х = 0. В > 0 соответствует вдуву через верхнюю стенку канала, а В < 0 - отсосу. Далее будет исследована устойчивость двух видов течений, получаемых из (2)-(8). Приведем гидродинамические характеристики этих течений.

1. Течение, образованное в канале только за счет вдува через его проницаемые стенки (В = 1, О = 0).

В этом случае для бесконечного канала можно положить = 0, что соответствует симметричному растеканию жидкости относительно сечения канала, выбранного за ось у , и ограничиться случаем х > 0. В этом случае (2) принимает вид:

у = х^

где Fl(y) определяется из решения уравнения (3) с граничными условиями:

F; (1)= 0, Fl (1) = 1, Fl (0)= Fl' (0)= 0,

в которых использована симметрия течения относительно оси х. Из (9) следует, что продольная компонента скорости, отнесенная к скорости вдува, линейно растет по длине канала, а поперечная компонента не зависит от х:

и = £ = х^' (у) V = = (у) -0 -0

Отметим, что если за характерную скорость принять не а скорость на оси канала в данном сечении: ит (х) = и (х,0)= хF'(0), то профили продольной компоненты скорости будут подобны во всех сечениях канала:

и*

и (у )=

и

Профиль скорости и = и (у, ^ ) зависит от ^ так, что для ^ = 0 он переходит в параболический (течение Пуазейля), а для ^^^ стремится к профилю

и (у )= сое П y,

который получается из вихревого решения уравнения для идеальной жидкости. Интересно отметить, что предельное решение (13) удовлетворяет уравнениям движения идеальной жидкости и в то же время удовлетворяет всем граничным условиям для вязкой жидкости, что обеспечивает регулярный предельный переход при Рассмотренное течение помимо практических приложений представляет большой интерес для теории гидродинамической устойчивости как пример точного решения уравнений Навье-Стокса, описывающее непараллельное течение, зависящее от х. Устойчивость его будет рассмотрена ниже. Решение краевой задачи (3), (10) при произвольном значении величины ^ получено численным методом в [9].

2. Течение, образованное в канале при подаче жидкости через нижнюю стенку и таком же по величине отсосе через верхнюю стенку

В этом случае уравнение (3) имеет очевидное решение F1 (у)= -1, а (4) принимает вид:

F2

Величина О в (8) - заданный постоянный расход в канале.

Формулы (2), (5), (6) принимают теперь вид:

¥ = -х + F2 (у), V = 1, и = F' (у).

Это - пример непараллельного течения в канале, не зависящего от х. Устойчивость его будет рассмотрена ниже.

В отличие от первого рассмотренного течения, профиль скорости данного течения не будет симметричным относительно оси канала. Уравнение (14) с граничными условиями (8) легко интегрируется и дает следующий профиль скорости, если за характерный размер теперь принять высоту канала 2а и рассматривать функции на интервале 0 < у < 1 :

" ^0 у - 1

и = F2

- у

и"

и (у)= и^Л(И0)-1--т , Л(И0)=(2-И0)( еИ0 -1 )-2И0 •

Здесь и5 - средняя скорость в канале.

3. Модифицированное уравнение Орра - Зоммерфельда для исследования устойчивости непараллельных течений.

Возможны различные подходы к исследованию устойчивости непараллельных течений. Наиболее общий заключается в исследовании полной системы уравнений в частных производных для возмущенного движения. Однако эта задача является весьма сложной как принципиально (не всегда ясна постановка граничных условий для задачи, особенно в неограниченных областях), так и с точки зрения реализации того или иного численного метода, обеспечивающего необходимую точность.

Другой подход заключается в использовании теории устойчивости параллельных течений, когда вопрос об устойчивости сводится к исследованию собственных значений уравнения Орра - Зоммерфельда. При использовании этого уравнения для непараллельных течений фактически предполагается, что влияние непараллельности на устойчивость проявляется только через профиль продольной составляющей скорости. В [10] была предложена модификация уравнения Орра-Зоммерфельда для учета поперечной компоненты скорости при исследовании устойчивости пограничного слоя. В работах авторов [9, 11, 12] было предложено обобщение последнего подхода на случай непараллельных течений, которое, сохраняя его простоту, в то же время при некоторых предположениях позволяет учесть как изменение продольной составляющей скорости в направлении течения, так и влияние поперечной составляющей скорости основного потока. Задача сводится к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения, являющегося обобщением уравнения Орра-Зоммерфельда.

'Ща"

Разработанный подход далее будет применен к исследованию двух характерных непараллельных течений, описанных в разделе 2 . Для течения (9), зависящего от х , такой подход является приближенным, а в случае течения (15), (16) учет непараллельности является точным и не требует дополнительных предположений. Учитывая, что обобщенное уравнение Орра-Зоммерфельда для течения (15), является частным случаем аналогичного уравнения для зависящего от х течения (9), рассмотрим последний, более общий случай.

Рассмотрим устойчивость течения, образованного в плоском канале при втекании вязкой несжимаемой жидкости через его проницаемые стенки с постоянной скоростью У*. Как было показано в 2, в этом случае существует автомодельное решение уравнений Навье-Стокса, описываемое формулами (9), (11), (12).

Получим уравнение возмущенного движения для этого течения, исходя из нестационарного уравнения для переноса вихрей:

-= Л ЛЛ¥---+--

дt Ц) ду дх дх ду

л

Пусть ¥(х,у,t)= ¥(х,у(х,у, t), где ¥(х,у) - основное стационарное

течение (9), устойчивость которого исследуется, а ¥ (х, у, t) - возмущенное течение. Так как суммарное движение также будет удовлетворять уравнению движения, то подставляя его в это уравнение, считая возмущение малым и применяя обычную процедуру линеаризации, получим уравнение для возмущенного движения:

° ° ° ° дЛ¥ д¥°

-= -Ц- ЛЛ¥---

дt Л) ду дх

-+

+

ду дх дх ду дх ду

Так как коэффициенты этого уравнения не зависят от времени, то решение его но искать в виде:

¥°(х, у, t ) = е°'Р (х, у ) откуда для Р(х,у) получим уравнение:

лП , ллП д¥дЛР дЛ¥дР д¥дЛР дЛ¥ дР аЛР = Л- ЛЛР------+--+--

0 ду дх дх ду дх ду ду дх

Уравнение (17) является исходным для исследования устойчивости любого непараллельного течения в линейном приближении. Собственное значение а является комплексным числом, действительная часть которого определяет устойчивость: при аг > 0 течение является неустойчивым, при аг< 0 - устойчивым. Для рассматриваемого течения, используя (9) , можно записать уравнение в виде:

д дЛР дР

аЛР + х—(Е ЛР-Е''' Р)-е — + Е" — = л-ЛЛР

дхК 1 1 ] 1 ду ду Ло

где Ех(у) решение уравнения (3) с граничными условиями (10). Будем считать, что возмущения скорости на стенках канала отсутствуют:

= 0

Такие условия, по-видимому, выполняются, если стенки изготовлены из испаряющегося или пористого вещества с достаточно мелкими порами и нет обратной

ГдР ] = 'дР ^

V дх ) у=±1 1ду) у=±1

связи между расходом жидкости, вытекающей из стеики и гидродинамическими возмущениями потока. Экспериментальные данные показывают, что такое предположение, по-видимому, является справедливым. Строгое решение (17) требует также постановки граничных условий при x^dro. Этих условий, однако, не требуются в приближенном решении задачи, которое рассматривается ниже.

Влияние непараллельного характера основного течения сводится к влиянию поперечной компоненты скорости и влиянию изменения течения по x (т.е. зависимости коэффициентов уравнения (18) от x). Предположим, что условия потери устойчивости течения в каком-либо сечении канала определяются свойствами потока только вблизи данного сечения (гипотеза локальной автомодельности возмущений).

Тогда, фиксируя х в коэффициентах уравнения (18) x = x„ = const , представим возмущения в виде плоских волн:

P

Примем за масштаб скорости скорость на оси канала ит = х^ '(0) и введем обозначения:

Я = х^'(0)Я , г са = -—

Хк

Здесь Я - число Рейнольдса, построенное по скорости на оси канала, с - волновая скорость распространения возмущений ( с = сг + гсг, сг > 0 для нарастающих возмущений). Тогда для амплитуды возмущений ф(у) из (18) получим уравнение:

Ф(4)- 2а У +а 4ф = г аЯ [(и - с )( ф" -а 2ф )- и" ф ]-

- Я [ Fl (ф" -а 2ф')-Fl" ф']

Здесь функция и (у ) = ^'(у )/^'(0) определяет профиль продольной составляющей скорости, который является для всех сечений канала одинаковым. Функции F1 (у) и Fl' (у) определяют поперечную составляющую скорости и ее вторую производную. При таком подходе учитывается не только компонента - , но и ее изменение поперек канала. Подчеркнем также, что в уравнении (20) учитывается и изменение основного потока по длине канала, но это изменение учитывается только локально, путем «замораживания» х в уравнении для возмущений (18).

Для (20) граничные условия имеют вид:

ф

При Я0/Я ^ 0 уравнение (20) переходит в обычное уравнение Орра - Зоммер-фельда:

ф(4)- 2аУ +а4ф = i aR [( U - c )( ф" -а2ф )- U" ф]

Везде далее (20) будем называть модифицированным уравнением Орра - Зом-мерфельда. Основная цель, которая нас интересует при решении уравнений (20), (22) - определение критических параметров Я, а„, сг„ в точке потери устойчивости на нейтральной кривой сг (Я, а) в зависимости от числа Я0. Влияние Я0 на эти параметры сказывается двояким образом: во-первых, через профиль скорости и=и(у, Я0), а во-вторых, непосредственно через последний член в уравнении (20),

который позволяет учесть влияние поперечной компоненты скорости. Уравнение Орра-Зоммерфельда (22) учитывает только первое из них, а его обобщение (20) учитывает оба этих фактора. Систематическое сравнение результатов, получаемых с помощью (20), (22), и их сравнение с экспериментальными данными по переходу ламинарного режима течения в турбулентный позволяет оценить, насколько поперечная компонента скорости влияет на устойчивость рассматриваемого течения. Такое сравнение проведено в разделах 4 и 5.

Уравнение (20) было выведено в предположении о локальности влияния основного потока на характеристики устойчивости. Можно вывести приближенную оценку справедливости этого предположения в случае, если не учитывать влияние граничных условий при х^го. Действительно, в этом случае предположение о локальности означает, что изменение характеристик основного потока (например, скорости) на некотором отрезке мало по сравнению с изменением характеристик возмущенного движения. Записав относительное изменение скорости основного и возмущенного движения по х , для их отношения получим, используя формулы (19), (11) :

и дх

С ди°_^

и ддх

1

<< 1

г ах

Здесь и и и соответственно скорость основного и возмущенного движения. Следовательно, предположение о локальной автомодельности возмущений будет достаточно обоснованным, если ах >> 1. Соответствующий анализ, проведенный для течения в канале, образованного при вдуве через обе стенки, показывает, что величина а;х; для этого течения действительно является достаточно большой, особенно при небольших числах Я0.

Перейдем к получению модифицированного уравнения Орра-Зоммерфельда для течения второго типа, образованного в канале при равномерном вдуве через нижнюю стенку и таком же по величине отсосе через верхнюю стенку канала при

к

постоянстве средней скорости и!1 вдоль оси канала:

и, =

1 й

| и (у )ф = сот1

В этом случае существует точное решение уравнений Навье - Стокса. При исследовании устойчивости этих течений удобно за характерную скорость взять не величину вдува на нижней стенке V0*, а среднюю скорость и*. Тогда профиль продольной скорости примет вид:

2 Я0

и (у Я0 )= и; =(2 - Я )( е* 0 -1 )-2Я0

С еЯ0 у

-1

Л

-1

у

В отличие от рассматриваемых в теории гидродинамической устойчивости течений в каналах (плоские течения Пуазейля и Куэтта) здесь линии тока являются криволинейными. Они выходят из одной стенки канала и кончаются на другой стенке ниже по течению.

При изменении величины Я0 от 0 до да профили скорости изменяются от пуа-зейлевского (Я0=0) до профиля, почти совпадающего с куэттовским (Я0=го). Отличие в последнем случае состоит в том, что при у=1 и=0 , а не и=1, как в течении Куэтта. Кроме того, здесь ^0. При любом значении Я0<го профиль скоро-

сти является выпуклым ( и" (у )< 0). Рассматриваемые течения являются несимметричными непараллельными течениями, профили скоростей которых не зависят от х . Эта задача интересна тем, что она допускает точный учет непараллельности основного потока на его устойчивость, без гипотезы локальной автомодель-ности возмущений.

Рассмотрим устойчивость этих течений. Можно показать, что теорема Сквайра остается в данном случае справедливой и поэтому достаточно рассмотреть лишь двумерные возмущения ([13]). Поскольку профиль скорости не зависит от х, то функцию тока возмущенного движения можно искать в виде плоской волны:

где а и с - волновое число и комплексная волновая скорость возмущений (с = сг + ¡с1, с/ > 0 для нарастающих возмущений). Подставляя (25) в уравнение для возмущений, для амплитуды возмущений ф(у) получим уравнение:

Ф

Здесь Л - число Рейнольдса и в качестве характерных скорости и длины взяты и* и И . Предположим, что поры в стенках канала достаточно малы и нет обратной связи между расходом жидкости, вытекающим из стенки или втекающим в стенку и гидродинамическими возмущениями потока. Тогда граничные условия для возмущений будут такими же, как в случае непроницаемых стенок:

Отличие (26) от обычного уравнения Орра - Зоммерфельда заключается в наличии члена Л0 (ф"'-а2ф' ), учитывающего непараллельность основного течения. Величина Л влияет на устойчивость двояким образом: как через этот дополнительный член, так и непосредственно через профиль скорости и(у, Л0). Таким образом, задача об устойчивости сводится к исследованию собственных значений уравнения (26) с граничными условиями (27) и параметрами а, Л, Л0. На нейтральных кривых определим критическую точку (, а,), для которой впервые наступает неустойчивость и которая зависит от Л0. Эта зависимость отражает влияние двух факторов: изменение профилей и(у, Л0) (с ростом Л0 профиль скорости делается все более несимметричным, что, как будет видно ниже, сильно влияет на устойчивость) и непараллельности течения, роль которого можно оценить, сравнивая характеристики устойчивости уравнений (26) и (22).

Уравнение (20) (или (22)) имеет фундаментальную систему четырех линейно-независимых решений. Имея алгоритм получения этих решений, можно получить характеристическое уравнение для собственных значений уравнений (20) или (22). Имеются некоторые отличия в реализации такого подхода при исследовании устойчивости двух рассматриваемых течений. В случае течения при вдуве с обеих стенок (9) система собственных функций уравнения (20) распадается на четные и нечетные, и интегрирование можно проводить от стенки до оси канала. В случае течения (15) интегрирование соответствующей системы уравнений необходимо от стенки до стенки. Численный метод решения модифицированного уравнения Орра - Зоммерфельда (20) приведен в [13].

¥°

ф(0 )=ф '(0 )=ф(1)=ф '(1)= 0

4. Устойчивость течения при вдуве с обеих стенок канала и сравнение с экспериментальными данными.

С помощью численного метода для различных чисел Я0 были получены нейтральные кривые как для обычного уравнения Орра-Зоммерфельда (20), так и для его обобщения (22), учитывающего поперечную составляющую скорости. Основная цель заключалась в том, чтобы путем сравнения получаемых результатов и сопоставления их с имеющимися экспериментальными данными определить, насколько сильно учет поперечной скорости влияет на характеристики устойчивости. При этом важно определить, будет ли это влияние только количественным, или же учет поперечной скорости приводит к качественно новым результатам, которые не могут быть получены из уравнения Орра-Зоммерфельда (22). Оказалось, что для рассматриваемого течения дело обстоит именно так: использование модифицированного уравнения (20) позволяет качественно правильно описать картину потери устойчивости, которая при больших Я0 не может быть получена из теории устойчивости параллельных течений, использующей (20).

На рисунке 1 приведены нейтральные кривые с{= 0 для уравнения Орра- Зом-мерфельда (22) в переменных (ос, Я) при различных числах а на рисунке 2 -аналогичные кривые для модифицированного уравнения Орра-Зоммерфельда (20). Сравнивая эти результаты, можно прежде всего отметить два обстоятельства. Во-первых, если для (22) влияние Я0 оказывается простым (нейтральные кривые при различных Я0 «вложены» друг в друга), то для (20) это влияние оказывается более сложным, особенно в переменных (сп Я). Во-вторых, для (20) область неустойчивости по а существенно увеличивается при увеличении Я0.

На нейтральных кривых определялись критические числа Рейнольдса 7?*, при которых впервые наступает неустойчивость, и соответствующие значения а* и сг*. Зависимость этих величин от Я0 приведена на рисунках 3 и 4. Сплошные линии изображают результаты для уравнения Орра-Зоммерфельда (22), а пунктирные - для модифицированного уравнения (20).

Рис. 1. Нейтральные кривые с, = 0 для уравнения Орра-Зоммерфельда

при различных числах Яо-

Рис. 2. Нейтральные кривые сг = 0 для модифицированного уравнения Орра - Зоммерфельда (20) в переменных

(а, Я) при различных числах Я0.

Рис. 3. Зависимость критического числа Рейнольдса Я* и фазовой скорости распространения возмущений

сг* от числа Рейнольдса вдува Я0 для обычного

(сплошная линия) и модифицированного (штриховая линия) уравнения Орра - Зоммерфельда

Рис. 4. Зависимость критических значений волнового числа а* и числа Струхаля 8Н* от числа Я0 для обычного (сплошная линия) и модифицированного (штриховая линия) уравнения Орра - Зоммерфельда

Отметим некоторые характерные особенности полученных результатов. Прежде всего, отметим, что учет поперечной скорости приводит к двойственному влиянию величины Я0 на Я*: при малых Я0 величина Я* уменьшается при увеличении Я0 (течение становится менее устойчивым), а при больших Я0 - начинает возрастать. Этим рассматриваемое течение отличается, например, от течения в пограничном слое со вдувом, где вдув всегда дестабилизирует течение. Зависимость Я*(Я0) имеет минимум примерно при Я0=35. При больших Я0 зависимость Я*(Я0) становится линейной. Этот результат, полученный численно, можно получить и непосредственно из уравнения (20), если предположить, что возможен предельный переход при и что предельный случай соответствует решению

«укороченного» уравнения:

г аЯ [

Из условия регулярности решения уравнения (28) при у = 0 в этом случае следует, что граничные условия ф'(0)= 0 и ф"(0)= 0 не являются независимыми. Из любого из них, используя (28), можно получить второе. Значит для (28) можно выставить три граничных условия: ф'(0 )= ф(1)= ф'(1)= 0, что как раз соответствует порядку этого уравнения. Так как при функции Г(у, Я0), и(у, Я0) и их производные, входящие в коэффициенты уравнения (28), не зависят от Я0 и стремятся к некоторым предельным функциям, определяемым соотношением (13), то параметры Я и Я0 будут входить в (28) только в виде отношения Я/Я0. Отсюда следует, что зависимость Я*(Я0) при достаточно больших Я0 будет линейной.

Без учета непараллельности (уравнение (22)) функция Я*(Я0) монотонно убывает от значения Я* = 5772 при Я0 = 0 (течение Пуазейля) до постоянной величины Я* = 1050, соответствующей предельному виду функции Г(у, Я0) при

Отметим важное следствие, получаемое из такого вида зависимости Я*(Я0) (рис. 3). Рассмотрим в координатах (Я0, Я) различные прямые, проходящие через начало координат. Так как Я и х связаны соотношением Я = хГ'(0)Я0 , которое следует из (11), то пересечение этих прямых с кривой Я*(Я0) дает координату х; = Я0 [ Я./Г'(0) ] того сечения канала, где течение становится неустойчивым. Поскольку для уравнения (20) при больших Я0 зависимость Я*(Я0) линейна, то существует такая величина X, что при всех х < X прямые Я = хГ'(0)Я0 не пересекают кривую Я*(Я0). Это означает, что существует начальный участок канала (0< х <Х), в котором при любых сколь угодно больших числах Я0 течение будет ламинарным. Эта величина оказывается примерно равной X = 4. В случае же применения теории устойчивости параллельных течений при Таким образом, учет непараллельности приводит к результатам, качественно отличным от тех, которые получаются из уравнения Орра-Зоммерфельда (22).

Аналогично обстоит дело для зависимостей а*Я0 для обычного и мо-

дифицированного уравнений Орра-Зоммерфельда. По уравнению (22) а*Я0 и сЯ слабо изменяются при изменении Я0 и при стремятся к постоянным

величинам а*^1.22 и сг*^0.37. Эти величины мало отличаются от соответствующих значений величин для случаев пограничного слоя на пластине и течения Пу-

азейля в плоском канале. Для течения Пуазейля а*=1.02 и сг*=0.26 (где за характерные скорость и длину взяты максимальная скорость в канале и полуширина канала), а для пограничного слоя а* =1.05 и 0.42 (характерные величины скорость на границе пограничного слоя и его толщина). В случае же модифицированного уравнения Орра-Зоммерфельда (20) с ростом Rq получаются значительно большие величины а* и cf* (рис. 3 и 4), которые в полтора - два раза превышают величины, полученные по (20). Физический смысл этого заключается в том, что для рассматриваемых течений наиболее опасными являются более коротковолновые возмущения, а критический слой, расположенный в окрестности^ =ус, ((Кус) = сп отодвигается на значительное расстояние от стенки, чем эти течения существенно отличаются от случаев пограничного слоя и течения Пуазейля, у которых критический слой расположен вблизи стенки.

Для сравнения с экспериментальными данными вычислим еще число Струха-ля для нейтральных колебаний:

<29)

Здесь у* - частота возникающих нейтральных колебаний в критической точке нейтральной кривой. Полученная численно зависимость S/?*(i?o) Ддя уравнений (20), (22) приведена на рис. 4. По уравнению (22) S/г«.—>0 при7?о^°°> так как величина (асгК)„ стремится к некоторой константе. При учете же непараллельности по (20) с ростом Rq величины а*, R* и сг* изменяются таким образом, что число Струхаля стремится к некоторой постоянной величине S2.7.

Возможно качественное и частично количественное сравнение приведенных выше результатов с результатами экспериментов по определению перехода от ламинарного режима течения к турбулентному в каналах с пористыми стенками.

В [4, 5, 14] приведены экспериментальные результаты по переходу в трубах с пористыми стенками при наличии равномерного вдува через стенки. Аналогичные эксперименты были проведены Свириденковым A.A. и Ягодкиным В.И. для случая кольцевого канала.

Было обнаружено, что предпереходные колебания возникают в слое газа при относительно высоком значении скорости (около 0.5 от осевой скорости в трубе и около 0.65 - в кольцевом канале). Если эту величину относительной скорости считать равной волновой скорости сг», то сравнение с теорией показывает, что учет поперечной составляющей скорости приводит к результатам, располагающимся намного ближе к экспериментальным данным. Конечно, количественно сравнивать эти данные, строго говоря, нельзя. Но качественный характер явления, заключающегося в том, что критический слой, в котором амплитуда пульсаций скорости велика, находится на значительном расстоянии от стенки, правильно объясняется при учете поперечной скорости по уравнению (20).

Второй факт, полученный экспериментально, заключается в том, что частота переходных колебаний изменяется с изменением длины канала и давления в нем

так, что число Струхаля, определенное по скорости вдува, Sh = ауД ,* (у - частота) остается постоянным (в трубе Sh = 10 при Rq = 100 ^ 300, а в кольцевом канале Sh ~ 5). Это качественно согласуется с результатом о постоянстве числа Струхаля при достаточно больших Rq (Sh ~ 2.7), полученным в данных расчетах для плоского случая при учете поперечной составляющей скорости. При этом следу- ^ J

ет учесть, что случай кольцевого канала является промежуточным между случаями течения в трубе и плоском канале, так что и количественное согласие результатов можно считать достаточно хорошим.

Наконец эксперименты в кольцевом канале подтвердили вывод о существовании в начале канала некоторого участка, в котором режим течения оставался ламинарным с ростом числа Я0. Этот вывод выше был получен теоретически для случая плоского канала путем учета влияния поперечной составляющей скорости основного потока на устойчивость.

Таким образом, сравнение результатов, полученных с учетом и без учета поперечной составляющей скорости, и их сопоставление с экспериментальными данными и теоретическими результатами показывает, что предложенный метод учета непараллельности основного потока на его устойчивость позволяет для рассмотренного течения получить качественно правильную картину потери устойчивости, которая при больших Я0 не может быть получена из теории устойчивости параллельных течений.

Характерной особенностью рассматриваемых течений является то, что механизм потери устойчивости в случае сильного вдува является невязким. Нейтральные кривые и характеристики устойчивости предельного уравнения возмущений для идеальной жидкости совпадают с соответствующими характеристиками, полученными из общего уравнения (20) при Это связано с тем, что, как и для стационарного решения, решения предельного уравнения (20) для идеальной жидкости удовлетворяют всем граничным условиям для вязкого случая, что обеспечивает регулярный предельный переход при

Завершая рассмотрение устойчивости рассматриваемого течения, необходимо добавить следующее. Исследование устойчивости выше проводилось для автомодельного течения (9), и было

показано, что существует начальный участок канала, в котором при любом значении числа Я0 сохраняется ламинарный режим течения. Однако в реализуемых на практике случаях граничные условия в начальном сечении канала не являются условиями симметричного растекания воздуха. Начальное сечение обычно является либо непроницаемой стенкой, либо сечением, через которое в канал поступает воздух с заданным профилем скорости. Течение первого типа рассмотрено в [7, 8], а течение второго -в [15]. Поскольку характер течения в начальном участке при этом отличается от того, который имеет место в автомодельном случае, необходимо выяснить, как это повлияет на устойчивость течения в начальном участке. С этой целью было проведено исследование устойчивости профилей скорости в начальном участке канала, полученных численно. Расчеты проводились на основе модифицированного уравнения Орра - Зом-мерфельда (20) с учетом поперечной компоненты скорости основного потока. При этом, как и в автомодельном случае, использовалась гипотеза о локальной автомодельности возмущений. Основной результат проведенных расчетов заключается в следующем. Стационарные профили скоростей в различных сечениях начального участка в отличие от автомодельных профилей являются неустойчивыми, однако критические числа Рейнольдса оказываются больше тех местных чисел Рейнольдса, которые реализуются в каждом сечении. Следовательно, вывод о существовании ламинарного начального участка остается справедливым для закрытого начального сечения канала.

5. Устойчивость течения при вдуве с одной и отсосе с другой стенки канала.

Известные результаты о качественном и количественном влиянии непараллельного характера стационарного

течения на его гидродинамическую устойчивость в случае пограничного слоя показывают, что, по-видимому, универсального ответа на вопрос о влиянии непараллельности не существует, т.е. в различных конкретных случаях это влияние может быть как слабым, так и сильным. Для случая течения в канале при вдуве через его проницаемые стенки в предыдущем параграфе было установлено, что учет непараллельности основного потока приводит к результатам, качественно отличающимся от тех, которые получаются из теории устойчивости параллельных течений.

В рассмотренной ниже задаче учет непараллельности приводит к незначительному изменению результатов, полученных по обычному уравнению Ор-ра -Зоммерфельда (22) с тем же профилем продольной составляющей скорости. Однако наличие поперечной составляющей приводит к асимметрии профилей продольной составляющей скорости, что свою очередь приводит к сильной стабилизации потока.

Эта задача представляет интерес и с другой точки зрения. Известно, что во многих случаях учет непараллельности производился приближенно, например, на основе гипотезы о локальности процесса потери устойчивости, как это делалось в предыдущем параграфе. Поэтому интересно изучить влияние непараллельности на примерах, допускающих точный ее учет. Таким является, например, течение, изучавшееся в [2] и описанное в разделе 2, когда на одной из проницаемых стенок плоского канала производится подача жидкости с постоянной скоростью ¥0), а на другой -отсос с той же скоростью при постоянстве средней скорости и* вдоль оси канала. В этом случае существует точное решение уравнений Навье - Стокса для несимметричного непараллельного течения, профили скорости которого не зависят от х. Основные характеристики

этого течения приведены в разделе 2. При исследовании устойчивости этого течения удобно за характерную скорость взять среднюю скорость в канале и*. Соответствующие профили скорости при различных значениях Я0 определяются формулами (15) и (16). В отличие от плоских течений Пуазейля и Куэтта здесь линии тока являются криволинейными. Они выходят из одной стенки канала и кончаются на другой стенке ниже по течению. При изменении величины числа Рейнольдса вдува Я0 от 0 до да профили скорости изменяются от профиля Пуазейля (Я0 = 0) до профиля, почти совпадающего с профилем Куэтта (Я0 = да ). Отличие в последнем случае состоит в том, что при у = 1 и = 0, а не и = 1, как в течении Куэтта. Кроме того, здесь ¥ ^ 0.

Рассмотрим устойчивость этих течений. Можно показать, что теорема Сквайра остается в данном случае справедливой и поэтому достаточно рассмотреть лишь двумерные возмущения. Подробное доказательство приведено в [13], а уравнение для возмущения было выведено в разделе 3.

Отметим, что уравнение (26) является частным случаем более общего уравнения для возмущений (20), полученного в 3. Однако (26) является точным, а уравнение (20) приближенным, поскольку при его выводе использовалась гипотеза о локальности влияния основного потока на его устойчивость в окрестности точки потери устойчивости.

Таким образом, задача об устойчивости рассматриваемого течения сводится к исследованию собственных значений уравнений (26) с граничными условиями (27) и параметрами Я, а, Я0. Для каждого фиксированного Я0 можно получить нейтральные кривые с1 = 0 в области переменных (а, Я) и (сг, Я). На этих кривых определяется критическая точка (Я*, а*), для которой впервые наступает неус-

тойчивость, и которая зависит от Я0. Эта зависимость отражает влияние двух факторов: изменения профилей и(у, Я0) (с ростом Я0 профиль скорости становится все более несимметричным, что, как будет видно ниже, сильно влияет на устойчивость) и непараллельности течения, роль которого можно оценить, сравнивая результаты расчетов по уравнению (26) и по обычному уравнению Ор-ра-Зоммерфельда (22).

Для решения уравнения (26) был использован метод [13]. Основной целью расчета было получение характеристик нейтральной устойчивости при различных значениях параметра Я0 и выяснение влияния асимметрии потока и его непараллельности на устойчивость. На рис. 5 приведены нейтральные кривые с — 0 для различных значений Я0.

вость течения. При сравнительно небольшом вдуве и отсосе (Я0 = 4) критическое число Рейнольдса Я* почти в восемь раз больше, чем для плоского течения Пуазейля.

Во-вторых, в диапазоне 2 < Я0 < 3.5 на нейтральной кривой образуются два «горбика», соответствующие двум точкам минимума на кривой Я — Я(а), что является следствием несимметричности профиля скорости. Различная зависимость нижней и верхней точек минимума на кривой Я(а) от Я0 объясняет разрывы на кривых а*(Я0) и аг*(Я0). При Я0=Яда (Яда^2.6) критические параметры находятся на нижнем «горбике», а при Я0>Яда - на верхнем. При Я0=Яда происходит скачок критических параметров с нижнего «горбика» на верхний.

Рис. 5. Нейтральные кривые с^ — 0 при различных значений Я0 для течения при вдуве через одну стенку канала и отсосе через другую

Следует подчеркнуть две характерные особенности рассматриваемого течения.

Во-первых, увеличение Я0 (т.е. увеличение асимметрии профиля скорости) значительно увеличивает устойчи-

Качественно такое же поведение нейтральных кривых получено в [16] по асимптотической теории с помощью уравнения Орра-Зоммерфельда. Показано, что нижний «горбик» соответствует влиянию на устойчивость крити-

ческого слоя, расположенного у нижней стенки канала, где градиент скорости меньше, а верхний - критического слоя у верхней стенки, где происходит отсос, и где градиенты скорости и кривизна профиля скорости сильно растут с ростом Rq.

При Rq > 3 с ростом Rq основную роль в процессе потери устойчивости играет второй критический слой, как это видно из результатов, представленный на рис.5, в то время как нижний критический слой постепенно вырождается. Это объясняется тем, что в окрестности нижней стенки с ростом Rq профиль все больше приближается к прямолинейному «куэттовскому», для

которого U"(y )= 0, а в этом случае критическая точка y = yC , в которой u(yC)=cr, уже не будет особой точкой для невязкого уравнения.

Сравнение численнык результатов, приведенный выше, с результатами, полученными для уравнения Орра-Зом-мерфельда, показали, что их характеристики устойчивости на нейтральной кривой отличаются не более чем на 1-4 % в рассмотренном диапазоне чисел Rq. Этим изучаемое здесь течение сильно отличается от рассматриваемого в предыдущем разделе течения в канале со вдувом на обеих стенках канала, которое гораздо менее устойчиво и учет непараллельности приводит к качественно другим результатам. Это, в частности, можно объяснить тем, что там поперечная компонента V зависит от у, способствуя переносу энергии основного течения в возмущенное. В рассмотренной здесь задаче V = const и перенос энергии определяется только продольной составляющей скорости u(y).

В силу отсутствия эксперименталь-нык данных по устойчивости рассмотренного здесь течения, возможно только качественное сравнение с результатами исследования устойчивости других несимметричных течений в канале.

В [16] было эксперименталыно подтверждено для несимметричных течений в канале с проницаемыми стенками при наличии неодинакового вдува на стенках, что с ростом несимметрии потока его устойчивосты силыно возрастает. Аналогичный резулытат был получен для колыцевого канала с непроницаемыми стенками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Теленин Г.Ф., Шитова Л. Д. Гидродинамика каналов с проницаемыми стенками. -В кн. Аэромеханика и газовая динамика. -М. :Наука, 1976.с.76-123.

2. Berman A.S. Laminar flow in channels with porous walls.-J.Appl. Phys.,1953.-vol.24.-No.9.-p.1232 - 1235

3. Олсон P.M., Эккерт E.P Экспери-менталыное исследование турбулентного течения в пористой круглой трубе с равномерным вдувом газа через стенку. -Прикладная механика, 1966.-т.33.-N1.- с.7-20.

4. Ягодкин В.И. Применение каналов с пористыми стенками для исследования внутриканалыного горения твердых ракетных топлив. /Труды XVIII Международного астронавтического конгресса, 1967.-vol.3.

5. Дитякин Ю.Ф., Свириденков

A.А., Троицкий В.И., Ягодкин В.И. Возникновение турбулентности при течении в каналах с проницаемыми стен-ками.-Тезисы докладов 3-го Всесоюзного сыезда теоретической и прикладной механики.-Москва,1968.

6. Ерошенко В.М., Зайчик Л.И. Гидродинамика и тепломассообмен на проницаемых поверхностях.-М.:На-ука,1984.-273с.

7. Варапаев В.Н. Течение вязкой жидкости в началыном участке плоского канала с проницаемыми стенками. -Изв. АН СССР,МЖГ, 1969.-Ш.-с.178-181.

8. 131. Свириденков А. А., Ягодкин

B.И. О течениях в началыных участках каналов с проницаемыми стенками. -Изв. АН СССРМЖГ,1976.-Ш.- с.43-48.

9. Варапаев В.Н., Ягодкин В.И. Об устойчивости течения в канале с проницаемыми стенками. -Изв. АН СССР.МЖГ,1969.-Ш.-с.91-95.

10. Алексеев Ю.И., Короткин А.И. Влияние поперечной скорости потока в несжимаемом пограничном слое на устойчивость ламинарной формы течения.-Изв. АН СССР,МЖГ.-1966.-Ш.-с.32-36.

11. Варапаев В.Н., Ягодкин В.И. Об устойчивости некоторых непараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости в канале.—Изв. АН СССР,1970.-Ш.-с.125-129..

12. Варапаев В.Н., Ягодкин В.И. Численное исследование некоторых течений вязкой жидкости и их гидродинамической устойчивости с учетом непараллельности основного потока. -В кн. «Труды секции по численным методам газовой динамики II Международного коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем (Новосибирск

1969). Издание ВЦ АН СССР. М.,1971.

13. Варапаев В.Н. О численном решении задачи гидродинамической устойчивости для несимметричных непараллельных течений в плоском канале. Труды ЦИАМ N511. М.,1972.-вып.1.

14. Huesmann K., Eckert E.R. Untersuchungen uber die laminare stromung und den Umschlag zur Turbulenz in porosen Rohren mit gleichmassiger Einblasung durch die Rohrwand. - Warme-und Stoffub ertrag. -1968.-Bd.1.-N1.-s.2-9.

15. Варапаев В.Н., Курильская Н.А., Свириденков А.А., Ягодкин В.И. Об устойчивости неавтомодельных течений в каналах с проницаемыми стенками. -В кн. Математическое программирование и расчет строительных конструкций. Сборник трудов N102 МИ-СИ.-М.,1973.

16. Ягодкин В.И. К теории устойчивости течений вязкой жидкости в каналах. -ПММ.-том 24.-вып.5.-1960.