Математическая модель гидродинамического излучателя

УДК 533.6.013.42

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. РЕШЕТНИКОВ, В. В. БОГДАНОВ, Е. П. СЕМЁНОВА

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ

Предложена математическая модель гидродинамического излучателя - вибрационного устройства, предназначенного для интенсификации технологических процессов, например, для приготовления однородных смесей и эмульсий. Работа устройства основана на размешивании неоднородной среды, подаваемой в проточный канал, за счёт колебаний упругого элемента, расположенного в этом канале. Изучается соответствующая плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях, возникающих при бесциркуляционном обтекании упругой пластины потенциальным потоком газа (жидкости) в канале с прямолинейными стенками. Получено дифференциальное уравнение, описывающее динамику упругого элемента.

Ключевые слова: аэрогидроупругость, гидродинамический излучатель, деформация, динамика, дозвуковой поток, проточный канал, упругая пластина.

Проектировануя различные конструкции, устройства, приборы, аппараты, системы и т. д., находящихся во взаимодействии с газожидкостной средой (обтекаемых потоком жидкости или газа), необходимо решать задачи, связанные с исследованием динамики и устойчивости упругих элементов, требуемой для их качественного функционирования и надёжности эксплуатации [4-20]. Воздействие потока может приводить к эффектам, являющимся причиной нарушения функциональных свойств элементов, вплоть до их разрушения (например, приводить к состоянию неустойчивости вследствие увеличения амплитуды или ускорения колебаний до критически допустимых значений). Такая проблема, когда неустойчивость является негативным явлением, возникает, например, при проектировании составных частей летательных и подводных аппаратов: элерона - составной части крыла; панели - составной части фюзеляжа или крыла; руля высоты - составной части стабилизатора, руля направления - составной части киля.

В то же время для функционирования некоторых технических устройств явление возбуждения колебаний при аэрогидродинамическом воздействии, указанное выше в качестве негативного, является необходимым. Примерами подобных устройств, относящихся к вибрационной технике и используемых для интенсификации технологических процессов, являются устройства для приготовления однородных смесей и эмульсий, в частности, устройства для подачи смазочно-охлаждающей жидкости в зону обработки (см., например [3]). Другим примером, когда деформация упругих элементов при аэрогидродинамическом воздействии необходима для функционирования приборов и является основой их работы, являются датчики давления [21-24].

В данной статье предложена математическая модель гидродинамического излучателя - вибрационного устройства, предназначенного для приготовления однородных смесей и эмульсий. Основным элементом устройства является расположенный в проточном канале упругий элемент, колебания которого приводят к размешиванию неоднородной среды, подаваемой в этот канал.

Рассматривается соответствующая плоская задача аэрогидроупругости о малых колебаниях, возникающих при бесциркуляционном обтекании упругой пластины потенциальным потоком газа (жидкости) в канале с прямолинейными стенками. В состоянии покоя на плоскости хОу пластине соответствует отрезок [—а,а] оси Ох (рис.1). Скорость невозмущённого потока газа (жидкости) равна V и направлена вдоль оси Ох, ширина канала равна Н .

Линейная модель. Предполагается, что возмущение однородного потока и деформация пластины малы, то есть ~ф(х, у, £) = Ух + яр(х, у, £), м> = ш(х, £) , е« 1. Здесь ф(х, у, £) - потенциал скорости потока, (х, £) — деформация (прогиб) пластины; х, у — декартовы координаты, £ — время.

© Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Богданов В. В., Семёнова Е. П., 2013

о

y

V

- a

G

O

H

x

Рис. 1. Схема вибрационного устройства

Потенциал р удовлетворяет уравнению Лапласа

(Pxx + (yy = 0, У) е G, условию отсутствия возмущений на бесконечности слева и справа от пластины

lim (р + (2 + р() = 0

и линеаризованным граничным условиям

Py\x,—H, tjj = 0, x е (-да, <х>) , р± (x,0, t) = lim р (x, y, t) = w (x, t) + Vw (x, t), x е (-a, a) .

y y^0±0 y x

Линеаризуя интеграл Лагранжа-Коши, получим следующее выражение для реакции газа (жидкости) на пластину

о,=р(Р+-Р—)+Ру (Р++-Р—),

где р — плотность газа (жидкости). Тогда уравнение колебаний пластины можно записать в виде

L(w) = р(р(-р- ) + рГ(р++-р- ) , x е (-a, a) , y = 0,

Ь

где М, В, N, 5, р , ^ , а — некоторые положительные постоянные. В (6) и далее штрих обозначает производную по х, а точка - производную по t.

Выражая потенциал р( х, у, t) через функцию прогиба м( х, t), запишем уравнение колебаний пластины (5) относительно функции м(х, . С этой целью в области О введём комплексный потенциал Ж = /(г, {) = р + ¡у, где = \у(х, у, {) — функция тока, г = х + ту . Функцию скоростей /2 (г, {) = рх- ¡р представим в виде

f

Wh

z е G,

ЛуТК г)

где к(г) = sh_(a + г)яИ_(а - г), _ = я/И, у(х, {) = м(х, {) + Ум'(х, {), ) — функция, определяющая циркуляцию скорости вокруг пластины. Ветвь корня в формуле (7) фиксирована условием

= + при г = х > а.

Так как функция /2 (г, t) аналитическая в области О , то по условию Коши-Римана в этой области (РхX = (—Р ) , или р^ + р = 0. Проверим выполнение граничных условий (3), (4). На стенках кана-

,.H in ла z = x ± г — = x ± — .

2 2y

f

Поскольку

shy(a + z) = shy

a + x ±-

гп

2y

= ±ichy(a + x),

f

shy(a - z) = shy

a - x + -

гп

\

2y

= +ichy(a - x), cthy(r - z) = cthy

т - x +

гп

2y

= thy(T - x), то

a

/ . \ (а

/гI х ± гНА = ?х — Щу = I , , * , ,1 \у(т,£)4кГ)£ку(т — х)йт + уГ(£) V 2 ) ж^ску(а + х)спу(а — х) I

следовательно, <ру ^х,±Н,£^ = 0, х е (—да,да).

Чтобы проверить выполнение условий (4), воспользуемся разложением [1]

1 ^ 2г

= - + у—-ГТ,

г П=1 г —п ж

согласно которому

1 ^ 2(т — 2) ус£пу(т — г) = гyctgгy(т — г) =--+ У-

т — г *~!(т — г)2 + п2Н2'

и перейдём в (7) к пределу при г ^ х ± г0, х е (—а,а) . Применяя формулы Сохоцкого [1,2] и учитывая, что в силу условия (8) ,/Щ , будем иметь

1

± • ± Р±— гР± =

" Гу + Жу1 П

а _/ ^

± ту( х, £ П( х) + | у(т, £ К(т) I-+

да

+ У-2

У(т — х)2 + п Н ) у

Г а__Л

= —гу(х, £) Т—у-1 [у(т, £)<Щт)с£ку{т — х)Ут + уГ(£) ,

ту/П

х е (—а, а) .

Отсюда следует, что р± (х, о, £) = у( х, £) = У (х, £) + Ум>'( х, £), то есть выполняются условия (4). Кроме

того, приравнивая вещественные части, имеем

Га __Л

р± = Т—у-1 [ у

у/Кх) V——а ,

ж

следовательно,

^ ! а __^

Р+ — Р— =--2=\ [<т,£)4Кт)с£ку

Ж\К(х) —а ,

Комплексный потенциал W = /(г, £) найдём по формуле

г

W = р + гу=\ /г

х е

где С(£) — производная функции времени, г е G. Так как G — двусвязная область, то интеграл в (10), вообще говоря, зависит от линии интегрирования. Поэтому р, а значит и правая часть уравнения (5), однозначно не определяются. Подберём функцию Г(£) так, чтобы циркуляция скорости вокруг пластины равнялась нулю.

При обходе против часовой стрелки разреза [—а, а] циркуляция

а —а а

Го(£) = | Р—Ух +\р+Ух =| (Р— — р+)Ух.

—а а —а

Воспользовавшись формулой (9), получим

Г (£) = 2у [\у(т, £)у[к(г)с£ку(т — х)Ут + ^^ [ Ух

-ГГ * /^тЛ * -гг *

если

2Л[К

1 а Ух

"Му—_^и

= о,

Л а А а

Г

. . В этом случае при обходе против часовой стрелки разреза I = [—а, а] имеем

—а4к

а

а

а

1/,(г,= |рхйх+руйу+рхйу-руйх = |рхйх-т|руйх = Г0^) + т |(р+у-ру )йх = 0.

II I II -а

Отсюда по теореме Коши следует, что интеграл от функции / (г, t) по любому замкнутому контуру, принадлежащему области О, равен нулю. А тогда значение потенциала р, определяемое формулой (10), не зависит от линии интегрирования, соединяющей точки (— а) и г . Интегрируя по частям, представим (7) в виде

_

Лу[к

а

) - |У(т, t- г)\йт

где

т т

У

(

4м7) ) _

имеем

sh_

(

У т

урт 1 ^_

У г

/ (г, t) =

Яу/ К

_г

4т

sh_

сК_

йт

_

Ял] К

Полагая А^) = Г^) - | V (т, О^Щй

Г(t) V(т,t)у[к(т)йт +_!

_

я

У -а

4т

sh_

сК_(т - г)йт.

т и замечая, что

4ы7)

У г

sh_

а — у 1

_ Су

сК_(т - г) = (у]К(г)с^_(т - г))/ + _^К(г) ,

окончательно запишем

/г(г^) = _ 3ЦШ\(4К(7)сК_(т-г)Х +_4к(7) я—ау1К(т) Ь .

йт +

_2А0)

я

Подставляя (14) в (10), получим

Ж = р + = }УМ сК_(т-г)йт +

я

+

_

4т

_А(0 \ йг

-а\\/ -а -а

+ с а).

Я —-а^К(т) V я —а4т

Подберём функцию С(^) так, чтобы выполнялось условие (2). Пусть г = х < —а, тогда у/К(г) = -¡у]- К(х) в силу выбора ветви корня (8), а

Ж = /(х,0 =

-¡_4—К

я

3

-сЛ_(т - х)йт -

_ ГУ

я

|* У, йт[л1-Мх)йх

—а * -а

4т

? х т_2А(t) | йх

+ -

я

следовательно,

Если г = х > а, то 4т = Ц-К(х),

4~К

р(х,0, {) = Ке{С(0}, х < -а .

+ С^),

—а

а

а

/

_

а

а

г

а

а

г

а

W = f (x, t) = 1 ^Idl cthy(z- x)dz + — l^ßü dz a i+-Jh(x) d

ж -Jh(T) ж - Jh(T) r

y2A(t) a dx jy2 arv(T, t) x {—— y1 A(t) x dx +- I-.-+- I —¡^=dz I д/-h(x)dx +-I —, + С(t),

Ж -_a+ д/h

2 f а y( f\ а а dx ^

p(x,0,t) = + yl I V'.( T ) dTI-Jh(x)dx + A(t)| , + Re{C(t)}, x > а .

Ш T^**+А

Поскольку

'V(t, t) i , dx

w

то

p

Из (7), (16), (18) следует, что lim f (z,t) = Yimp - jp ) = 0,

Um p(x,0, t) = Re{C(t)},

поэтому условие (2) будет выполнено, если положить Re{C(t)} = const.

Найдём граничные значения функции p (x, y, t) . Переходя в (15) к пределу при z ^ x ± i0, xе (-а, а) , получаем

Y ,ч а ,ч Л

_± Jh

p + = + -

ж

' rn T^d+ ^ Ы)+c (t),

+ y f vST,tl cthy(z- x)dz

yim ijmt) J

+

ж

следовательно,

p, -p- =

2Ул1 h

" ж {fiT

I У~Шcthy(z- x)dz-

а n

2У Ш ^ - ^ Шг

~ dv г

где ~(т, t) = — = I (w + Vw ')dx. Pit J

dt

Таким образом, согласно формулам (9), (19) уравнение колебаний пластины (5) принимает вид

Kw) = -1Py

Jh(x) I^^^L^^Lcthy(z - x)dz + y J vT t) dz x)dx +

-аЛ]h(z) -аЛ/h(z) -а

A , „ T а A

ж

+ yA'

-Jh(x) J ж^h(x) { -а

x е (-а, а) , y = 0 .

В уравнении (20) левая часть определяется формулой (6), h(x) = эку(а + x)shy(ü - x), y = ж/H,

r

T

v (t, t) = I v( x, t )dx, v(x, t) = w (x, t) + Vw'(x, t),

г

а

x

а

N = , M = , A (t) = Г'(t) - J~(r, t)y[h(T)dT = -N Jdr

N rv

jy[h

M L4m

r

v(r, t) = J v(r, t)dr .

Нелинейные модели. Постановка задачи (1) - (6) соответствует линейной теории аэрогидроупру-гости, когда движение жидкости (газа), а также динамика деформируемого тела описываются линейными уравнениями. Можно предложить также «смешанные» математические модели, в которых уравнения, описывающие динамику упругого элемента, являются нелинейными. Одна из таких моделей предполагает применение уравнения

Га N

У Л

Dw"

[1+(w ' )2f

1/2

+ Nw" - dw"

1 + (м') йх + -2а

\-а

х е

где Р(й) — аэрогидродинамическая нагрузка, определяемая правой частью уравнения (20); / (х, t, у, у/) — заданная функция, характеризующая внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства основания («постели»); штрих обозначает частную производную по х, точка -частную производную по I.

Вторая модель предполагает использование двух уравнений

1

+ Mw + 8w"" - aw" + f (x, t, w, w) = P(w),

- EF

- EF

u +— (w') 2

+ Mii + 8„u' + g (x, t, u, u, w, w) = 0

w

u + — (w') 2

+

Dw "

[1 + (w" f f'

;/2

+ Mw + 8w" " - aw" + Nw" -

-dw "

" ( V1 + (м') йх - 2а | + /(х, t, и, й, м, М) = Р(м), х е (-а, а), V-а у

где и( х, х, t) — продольная и поперечная деформации упругого элемента; Р(м) — аэрогидродинамическая нагрузка, определяемая правой частью уравнения (20); g (х, t, и, и, у, у), / (х, t, и, и, у, у) — заданные функции, характеризующие внешние воздействия, а также упругие и демпфирующие свойства подкрепляющих элементов.

Нелинейные математические модели можно получить на основе уравнений (21), (22), в частности,

заменяя [l + (w')2]~3/2 и [l + (w')2}2 на 1 -3(w')2

и

1 + i(w ' )2 2

соответственно, а также заменяя

эти выражения единицей.

Приложение. а) Докажем равенство (13). Так как

' 4т у

shy

h'

Jr \/

2^h

h'

то

f

shy(r - z) Учитывая, что

4m Y 4m f 4m Y _

4m

shy

2^1 h

h(z) = shy{a + z)shy{a - z) = ^ - ch2y),

a

a

- a

a

ft

z

z

получаем

h'(r) + h'(z) = -y(sh2yz + sh2yr) = -2yshy(z + r)chy(z - r), h(r) - h(z) = 1(ch2yz - sh2yr) = shy(z + r)shy(z - r) .

Отсюда следует, что

4Щ ^ +jh

shy

4m

shy

- 2yshy

2y/h

= 0,

что и требовалось доказать.

a

б) Докажем равенство (17), в котором A(t) = r(t) -J v (r, t h(r)dr,

-a

1 a doC a

r(t) =--I , I v(r, t)Jh(r)cthy(r - x)dr . Преобразуем выражение для функции r(t) . Интегри-

Myl4m -a

руя по частям и применяя формулу (13) при z = x, будем иметь

a a / \

Jv(r, t)у]h(r)cthy(r - x)dr = v (r, th(r)cthy(r - x) - Jv (r, t)(Jh(r)cthy(r - x))dr =

a

-J v

4m

shy

chy

dr =

a

4m J

v

f

4m

4m

V

chy(r - x)dr- yJ v(r, th(r)dr.

v shy(r - x) j

\ / x

Таким образом,

a dx a I-

Myr(t) = - J —j= J v(r, t)yjh(r)cthy(r- x)dr  -a4h(x) -a

f П77-; V „

= J dx J

v

4Щ

4h

chy(r- x)dr + y J ^ Jv(r, t)4h(r)dr.

-ay]h(x) -a

Меняя порядок интегрирования и интегрируя по частям, запишем окончательно

My^') = -J ЩЙ drJ

4т

V

4т -Ц shy

chy(r - x)dr + My J v (r, t h(r)dr

a Ja

v

4m

v

yjh

shy

+ y

a

J у!h(x)dx

a

dr + My J v (r, t )t] h(r)dr

yJ vr ) drJ4h(x)dx+My J v (r, t h(r)dr.

-a \ h(r) -a -a

или

r(t) = J v (r, t )4mdr- — J

N rv

M 14m

dr

где N =

a

N = JyJ h

A(t) = r(t) - Jv(r, t)4h(j)dr = -N ¡^^dldr . -a M -a 4m

z

a

a

a

a

a -a

a

a

a

a

a

x

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Подставляя это выражение в (17), получаем верное равенство.

Работа выполнена в рамках НИР №2-8/12 «Исследование динамики и устойчивости деформируемых элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лаврентьев, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. - М. : Наука, 1987. - 688 с.

2. Гахов, Ф. В. Краевые задачи / Ф. В. Гахов. - М. : Наука, 1977. - 640 с.

3. Пат. 2062662 Российская Федерация, МПК 6 В 06 В 1/18, 1/20. Гидродинамический излучатель / П.А. Вельмисов, Г.М. Горшков, Г.К. Рябов. Заявитель и патентообладатель Ульяновский гос. техн. ун-т. - №5038746/28; заявл. 20.07.92; опубл. 27.06.96, Бюл. №18.

4. Бочкарев, С. А. Решение задачи о панельном флаттере оболочечных конструкций методом конечных элементов / С. А. Бочкарев, В. П. Матвеенко // Математическое моделирование. - 2002. — №12. — С. 55—71.

5. Анкилов, А. В. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - 220 с.

6. Анкилов, А. В. Численно-аналитическое исследование динамической устойчивости упругой пластины при аэрогидродинамическом воздействии / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск : УлГТУ, 2009. - С. 3—22.

7. Анкилов, А. В. Устойчивость упругих элементов крылового профиля / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Н. А. Дегтярева // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. - Ульяновск: УлГТУ, 2007. — №7. - С. 9—18.

8. Анкилов, А. В. Об устойчивости решений уравнений взаимодействия упругих стенок каналов с протекающей жидкостью / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2011. — №1(22). - С. 179—185.

9. Анкилов, А.В. О решениях интегро-дифференциальных уравнений в задаче динамики одной аэроупругой системы типа «тандем» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семёнова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. -2011. - № 2(23). - С.266-271.

10. Анкилов, А.В. Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. — №1(37). - С. 7—16.

11. Анкилов, А. В. Исследование динамической устойчивости упругих элементов стенок канала / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Е. П. Семёнова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2009. — №2(38), выпуск 1. - С. 7—17.

12. Анкилов, А. В. Устойчивость решений одной нелинейной начально-краевой задачи аэроупругости / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. А. Казакова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. - 2013. — №1(30). — С. 1—7.

13. Анкилов, А. В. Устойчивость решений некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений в частных производных / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия. — 2008. — №8/1(67). — С. 331—344.

14. Анкилов, А. В. Исследование динамики и устойчивости упругого элемента конструкций при сверхзвуковом обтекании / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. — №3(57) выпуск 1. — С. 59—67.

15. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах статической неустойчивости упругих элементов конструкций при аэрогидродинамическом воздействии / П. А. Вельмисов, С. В. Киреев. - Ульяновск : УлГТУ, 2011. - 200 с.

16. Вельмисов, П. А. Устойчивость уравнений взаимодействия вязкоупругих пластин с жидкостью / П. А. Вельмисов, Ю. А. Решетников, Е. Е. Колмановский // Дифференциальные уравнения. -1994. - Т. 30, №11. - С. 1966—1981.

17. Вельмисов, П. А. Устойчивость решений одного класса нелинейных начально-краевых задач аэроупругости / П. А. Вельмисов, В. А. Судаков, Ю. К. Замальдинова // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования: тезисы докладов Четвёртой Международной конференции, посвящённой 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцев. Москва, РУДН, 25-29 марта 2013 г. - М. : РУДН, 2013. — С. 290—292.

18. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование в задачах динамической устойчивости вяз-коупругих элементов проточных каналов / П. А. Вельмисов, А. А. Молгачев. - Ульяновск : УлГТУ, 2012. - 185 с.

19. Вельмисов, П. А. Численный эксперимент в задаче о динамике защитного экрана при сверхзвуковом обтекании потоком газа / П. А. Вельмисов, В. А. Судаков, А. В. Анкилов // Вестник Улья-новскго государственного технического университета. - 2013. — № 3. - С. 38—44.

20. Анкилов, А. В. Об устойчивости решений начально-краевой задачи о динамике защитного экрана при взаимодействии со сверхзвуковым потоком газа / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, В. А. Судаков // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2013. - № 3. -С. 45—52.

21. Вельмисов, П. А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. А. Решетников // Датчики и системы. -2003. — №6(49). — С. 12—15.

22. Анкилов. А. В. Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2007. — №3(27). - С. 7—14.

23. Вельмисов, П. А. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод-датчик давления» / П. А. Вельмисов, Ю. В. Покладова // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Технические науки. — 2011. — №1(29). — С. 137—144.

24. Анкилов, А. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» / А. В. Анкилов, П. А. Вельмисов, В. Д. Горбоконенко, Ю. В. Покладова. - Ульяновск: УлГТУ, 2008. - 188 с.

Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» УлГТУ.

Решетников Юрий Андреевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Богданов Виктор Викторович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник кафедры «Высшая математика» УлГТУ.

Семёнова Елизавета Петровна, аспирант факультета математики и информатики университета г. Базель (Швейцария).