Принятие управленческих решений в многокритериальных задачах на основе вероятностной матрицы парных сравнений

И.А. Юрьева

РОЛЬ ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКОГО СОПРОВОЖДЕНИЯ ..

// XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего нального самоопределения школьников // Вектор науки плюс. 2013. № 7 (11). С. 145-149. Тольяттинского государственного университета. Серия:

9. Ионов А.В. Ценностные основания допрофессио- Педагогика, психология. 2012. № 4 (11). С. 125-128.

THE ROLE OF PSYCHOLOGICAL AND PEDAGOGICAL SUPPORT IN THE FORMATION OF PROFESSIONAL SELF-DETERMINATION OF PUPILS

© 2014

I.A. Yuryeva, controller NPF «Municipal», the student of chair «Pedagogic and education psychology»

Togliatti State University, Togliatti

Annotation. Authors of article consider features of professional self-determination of pupils of the senior classes at school. The analysis of the organization of psychological and pedagogical support of professional self-determination of senior pupils is given. As a methodical basis for the organization of psychological and pedagogical support it is offered to use the system and lichnostno-focused approaches. Authors believe that psychological and pedagogical support of pupils within the limits of educational process will allow to raise success of professional self-determination of senior pupils, will allow to keep unity of continuity of steps of educational system.

Keywords: educational system, psychological and pedagogical support, professional self-determination.

УДК 519.816

ПРИНЯТИЕ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ НА ОСНОВЕ ВЕРОЯТНОСТНОЙ МАТРИЦЫ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ

© 2014

О.Н.Ярыгин, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и информатика» М.А. Беляев, магистрант кафедры «Прикладная математика и информатика» Тольяттинский государственный университет, Тольятти (Россия) М.А. Темирджанова, кандидат педагогических наук, старший преподаватель кафедры

математики и методики ее преподавания Карачаево-Черкесский государственный университет, Карачаевск

Аннотация: В работе рассматривается обоснование управленческих решений с помощью снижения меры рассогласованности матриц парных сравнений, построенных на основе вероятностной шкалы предпочтения. Предлагается метод определения коэффициента стохастической рассогласованности на основе статистических испытаний (метод Монте-Карло).

Ключевые слова: метод анализа иерархий, вероятностная шкала предпочтения, согласованность матрицы парных сравнений, коэффициенты рассогласованности, статистическое моделирование.

В ситуациях многокритериального принятия решения в экономических и социальных системах возникают задачи связанные с выбором лучших из альтернативных вариантов, распределением ресурсов между альтернативными производителями и т.п. Метод анализа иерархий (МАИ), в оригинале называемый Analytic Hierarchy Process (AHP) [1], позволяет оценивать альтернативы пропорционально их приоритетам. Метод анализа иерархий (МАИ) является методом относительного измерения, и применяется для вывода относительных шкал, как из дискретных, так и из непрерывных парных сравнений в многоуровневых иерархических структурах. Сравнения могут производиться на основе реальных измерений или с помощью фундаментальной шкалы, которая отражает относительную силу предпочтений экспертов. МАИ допускает использование оценок отклоняющихся от полной согласованности, то есть в некоторой степени противоречащих друг другу. Поэтому предусматривается измерение рассогласованности сравнений. В общем случае МАИ предназначен для анализа нелинейных причинно-следственных связей, и применяется для выполнения как дедуктивного, так и индуктивного вывода, а также для одновременного рассмотрения множества факторов с учетом взаимозависимостей и обратных связей между ними.

Многие проблемы принятия решений включают как физические, так и психологические признаки. Под физическими признаками подразумеваются те, которые представляют определенные свойства объектов, существующие независимо от того, кто проводит измерение. Напротив, психологические признаки представляют собой субъективные представления и оценки индивидуумов (специалистов или экспертов), выполняющих оценивание. К этому методу приходится обращаться в тех случаях, когда решения не могут быть подкреплены статистическими данными и принимаются на основе

экспертных оценок. В случае наличия статистических данных задача сводится к прогнозированию последствий выбора того или иного варианта действий. Как отмечает в своих работах О.И.Иванов: «Теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включении фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы, на второй - на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметры регрессии» [2,3].

В современном менеджменте решения принимаются на основании множества порой взаимозависимых критериев. При этом не всегда удается учесть имеющиеся статистические данные, ввиду их многочисленности и необозримости для одного «лица принимающего решение». По этой причине приходится использовать экспертные оценки, которые не только остаются субъективными, но и не учитывают полноту имеющихся данных.

Авторами настоящего исследования предложен новый подход к численной интерпретации шкалы предпочтения альтернатив, отличающийся от фундаментальной шкалы, предложенной автором метода анализа иерархий Т. Саати [1]. Вероятностная шкала предпочтений отличается от шкалы Т.Саати интерпретацией уровня предпочтения. Обе шкалы оценивают уровень предпочтения в значениях от 1 до 9. Но интерпретируются эти значения различно. Если уровень предпочтения 3 на шкале Саати означает « объект А1 в 3 раза превосходит объект А2» [1] (то есть уровень указывает «во сколько раз одна альтернатива предпочтительнее другой), то в случае вероятностной интерпретации уровню 3 означает, что «вероятность предпочтения альтернативы А1 альтернативе А2 равна 0.625» [4].

Как показано в [4], предлагаемая численная мо-

ПРИНЯТИЕ

О.Н.Ярыгин, М.А. Беляев, М.А. Темирджанова УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ...

дель лингвистическои шкалы предпочтении, включающая значения {Равная предпочтительность; Средняя степень предпочтения; Умеренно сильное предпочтение; Очень сильное предпочтение; Абсолютное предпочтение},позволяет преодолеть противоречие, присущее численной интерпретации Т. Саати, которое проявляется в выходе за пределы шкалы {1,...,9} транзитивных предпочтений альтернатив а,Ь и с вида:

р , ч , г , а > Ь Ь ^ с а > с

где р, q, г - уровни предпочтений.

Однако замена численного представления экспертных оценок предпочтений, на основании которого строится матрица парных сравнений (МПС), используемая в МАИ, требует дальнейшего модифицирования процедуры, связанного с оценкой согласованности полученной матрицы.

Построение полностью согласованной МПС при использовании шкалы Саати и при использовании «вероятностной» шкалы.

При использовании шкалы Саати МПС А оказывается полностью согласованной в случае выполнения равенств а~- = ак * а^ , для всех i,j,k от 1 до п . Например,

при некоторых значениях весовых коэффициентов альтернатив равных Щ,..., зп , таких что 3 +... + 3п = 1,

матрица парных сравнений будет иметь вид:

А =

м1

3 м2

м2 м2

3 м2

3± 3

3_

3п 3

3п

3

состоящей из единиц:

а а а

числения весовых коэффициентов 3

1

3

превосходства альтернативы А над альтернативой В и вероятности превосходства альтернативы В над альтернативой С. На основании этих вероятностей определяется вероятность превосходства альтернативы А над альтернативой С. Полученная вероятность преобразуется в значение шкалы предпочтения, которая и дает оценку превосходства альтернативы А над альтернативой С. Например, Р(Л.уЛк)=3, то есть вероятность превосходства р(а>Ь)=0,б25, а Р(ЛкуЛ)=4, то есть вероятность превосходства р(Ъ>с)=0,68/5, тогда согласованное предпочтение Р(Л.уЛ:) определяется по вычисленному значению вероятности 0,77, то есть Р(Л.уЛ:)=5.4. Алгоритм построения полностью согласованной матрицы АР* по вероятностным оценкам превосходства [ (р12, р22,..., р1п) -> АР*] и результаты вычисления условных вероятностей представлены в [4] (табл. 4). Отметим, что приведенный пример вычислен с определенной степенью точности, но ничто не препятствует вычислению согласованных степеней превосходства и для дробных значений шкальных оценок.

Таблица 4. Значения согласованных уровней предпочтения при вероятностной функции согласования.

Р

- 1 2 3 4 5 б 7 8 9

(р(Ь>с)=я) 0,5 0,5625 0,625 0,6875 0,75 0.8125 0,875 0,9375 0,999

1 0,5 0,499 0,564 0,624 0,689 0,75 0,813 0,874 0,937 0,999

2 0,5625 0,561 0,616 0,675 0,725 0,779 0,837 0,891 0,948 0,999

3 0,625 0,625 0,672 0,719 0,768 0,813 0,861 0,907 0,952 0,999

4 0,6875 0,689 0,726 0,767 0,803 0,842 0,881 0,924 0,961 0,999

5 0,75 0,75 0,78 0,813 0,843 0,877 0,906 0,937 0,969 1

6 0.8125 0,813 0,837 0,86 0,882 0,905 0,929 0,953 0,977 1

7 0,875 0,876 0,889 0,908 0,922 0,938 0,953 0,968 0,983 1

8 0,9375 0,938 0,945 0,955 0,96 0,968 0,977 0,985 0,991 1

9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

(При этом, как указывалось выше, отношение а1у = / 3 трактуется как ответ на вопрос «Во сколько

раз 1-я альтернатива предпочтительнее >й альтернативы (вес 1-й альтернативы больше веса >й альтернативы) ?». Для построения полностью согласованной МПС можно произвольно задать некоторые (п-1) наддиагональных элементов, при этом оставшиеся (п _1)(п _ 2) элементов

2

полностью согласованной МПС определяются однозначно. Например, можно задать (п-1) элементов, расположенных непосредственно над главной диагональю,

Тогда каждый

элемент над этой диагональю будет определяться соотношением а^ = а{к * а^, для всех I от 1 до п-2, j от 3 до

п, k от 1 до п:

а13 = а12 * а23

Таким образом, с помощью алгоритма построения полностью согласованной МПС Л* по п сравнениям [(а а .., а. ) -> Л*] она может быть получена до вы-

Для обоснованности принятия управленческого решения необходимо проверить степень рассогласованности МПС, построенной по экспертным оценкам, представляющим собой субъективные вероятности, задаваемые экспертами. В случае использования шкалы Саати для оценки рассогласованности МПС используется индекс рассогласованности матрицы, который сравнивается со стохастическим индексом рассогласованности.

Индекс рассогласованности С1 представляет собой меру отклонения МПС, заданной матрицей А, от полностью согласованной матрицы, соответствующей весовым коэффициентам 31,..., 3п., полученным из А с

помощью стандартного алгоритма [1]. Этот алгоритм существенно связан с мультипликативной природой построения МПС и её антисимметричностью.

Поэтому в случае применения вероятностной шкалы потребуется построить другой алгоритм оценки рассогласованности матрицы А.

Стохастический индекс рассогласованности RI вычислен в [1] как усредненное значение меры рассогласованности, при случайно заполнении МПС (с сохранением её антисимметричности). Для вычисления этого стохастической меры рассогласования мы также воспользуемся методом статистических испытаний (метод Монте-Карло).

В качестве меры рассогласования в нашем случае предлагается использовать квадратичную меру различия матриц _ ^ц = ^^ (а _ ь )2 ., вычисленную для

а- ьи )2

Аналогичная процедура построения полностью согласованной МПС может быть выполнена и в случае использования вероятностной шкалы.

Вероятностное согласованное значение предпочтения на шкале Т. Саати получается преобразованием предпочтения альтернативы А альтернативе В и предпочтения альтернативы В альтернативе С в вероятности

исходной матрицы (А) и полностью согласованной матрицы, полученной для неё (В). Тогда

где АР - матрица парных сравнений полученная по вероятностной шкале, АР*- полностью согласованная матрица, полученная по матрице АР, редуцированной до 1-й строки. (В дальнейших исследованиях представляет большой интерес сравнение полностью согласованных матриц, получаемых для заданной матрицы Л редуциру-

О.Н.Ярыгин, М.А. Беляев, М.А. Темирджанова

ПРИНЯТИЕ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ...

емой до 1-й строки и той же матрицы, редуцируемой до 1-й наддиагонали).

Таким образом, многократно задавая «случайную матрицу» заданного порядка п, с элементами из интервала (0,1) и удовлетворяющих аддитивной антисимметрии (а =1-а ), редуцируя её до 1-й строки и вычисляя индекс рассогласованности С1, можно получить достаточно большую выборку для получения устойчивого усредненного значения индекса рассогласования, который и будет «стохастическим индексом рассогласованности», аналогичном индексу ^

Заключительный шаг в определении степени рассогласованности матрицы АР аналогичен шагу алгоритма Т.Саати. А именно, в качестве «относительного индекса рассогласованности» матрицы АР берется отношение величин С1 и : CI .

4 = Я

В случае высокого значения Ск >0,1 матрица считается непригодной для обоснования принимаемого решения и требует снижения степени рассогласования. Для снижения значения Ск может использоваться метод по-следователного снижения контрастности матрицы парных сравнений, который моделирует незначительное снижение категоричности суждений эксперта в результате чего снижается и рассогласованность этих суждений. Для мультипликативной МПС этот метод подробно описан в работе [5]. Однако при наличии аналогов всех процедур используемых в методе редукции МПС до согласованного вида [5, 6], предложенных в настоящей работе, сам метод не претерпевает изменений.

Описанный подход позволяет построить алгоритм, определяющий степень рассогласованности матрицы парных сравнений, и показывающий будет ли адекватным управленческое решение о ранжировании исследуемых альтернатив, принимаемое на основе исходной матрицы парных сравнений АР.

Важно отметить, что при переходе к исследованию более сложных ситуаций, в которых существуют взаимозависимости между критериями, подкритериями и выбираемыми альтернативами, то есть при использовании инструмента, называемого Метод Анализа Сетей

(Analytic Network Process - ANP), являющегося развитием и обобщением МАИ, не потребуется изменений вычислительной процедуры, состоящей в построении суперматрицы весовых коэффициентов и возведении её в некоторую степень.

Выполняемые вычисления над весовыми коэффициентами, интерпретируемыми как вероятности выбора соответствующей альтернативы, не противоречат их природе, и не выводят их за пределы значений вероятностей.

Метод, описанный в нескольких работах авторов, позволяет не только преодолеть недостаток шкалы предпочтений Саати в методе анализа иерархий, но и преодолеть несогласованность экспертных оценок, трактуемых как субъективные вероятности превосходства одной альтернативы над другой. Остающиеся нерешенными проблемы, например, связанные с сохранением порядка ранжирования или с нетранзитивными последовательностями превосходства являются предметом дальнейшего исследования поставленной проблемы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Саати Т. Принятие решений: метод анализа иерархий. - М. : Радио и связь, 1993. - 320 с

2. Палфёрова С.Ш., Иванов О.И., Бабенко Н.Г. Экономико-статистические методы в прогнозировании // Наука и современность. 2010. № 5-2. С. 349-355.

3. Палфёрова С.Ш., Иванов О.И., Бабенко Н.Г., Кузнецова О.А. Математическая модель ценового согласования при распределении вычислительных ресурсов // Вестник Казанского технологического университета. 2008. № 4. С. 182-187.

4. Ярыгин О.Н. Беляев М.А. Уточнение вида функции предпочтения альтернатив в методе анализа иерархий // Карельский научный журнал. 2013. № 4, с.49-52.

5. Ярыгин А.Н. Ярыгин О.Н.Относительное ранжирование интеллектуальных компетентностей с помощью интерактивных парных сравнении // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. 2011. № 2. С. 413-417.

6. Дудров А.Е. Модель распределенной информационной структуры // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2013. № 10 (14). С. 117-123.

MANAGEMENT DECISIONS IN MULTICRITERION TASKS BASED ON A PROBABILITY

MATRIX OF PAIRED COMPARISONS

© 2014

O.N.Yarygin, Ph.D. , Associate Professor, "Applied Mathematics and Informatics" M.A. Belyaev, undergraduate of "Applied Mathamatics and Informatics"

Togliatti State University, Togliatti (Russia) M.A. Temirdzhanova, candidate of pedagogical sciences, senior teacher of department of mathematics and technique of its teaching

Karachay-Cherkessia State University, Karachaevsk

Annotation: This paper considers the rationale management decisions by reducing measures inconsistency of matrix of pairwise comparisons based on a probability scale of preference. We propose a method of determining the coefficient of stochastic mismatch on the basis of statistical method Monte Carlo.

Keywords: analytic hierarchy process, a probability scale of preference, the consistency of the matrix of pairwise comparisons, mismatch factor, statistical modeling.