Матрицы Адамара

УДК 519.115.1

01.00.00 Физико-математические науки

МАТРИЦЫ АДАМАРА

Сергеев Александр Эдуардович к. ф.-м. н., доцент

Кубанский государственный аграрный Университет, Краснодар, Россия

Сергеев Эдуард Александрович к. ф.-м. н., доцент

Кубанский государственный университет, Краснодар, Россия

Тищенко Ольга Юрьевна старший преподаватель

Кубанский государственный аграрный Университет, Краснодар, Россия

В 1893 году французский математик Ж.Адамар поставил вопрос: пусть дана матрица фиксированного порядка с коэффициентами не превосходящего по модулю данного значения, тогда какое наибольшее по модулю значение может принимать детерминант этой матрицы? Адамар полностью решил этот вопрос в случае, когда коэффициенты матрицы- комплексные числа и выдвинул соответствующую гипотезу в случае, когда коэффициенты матрицы- вещественные числа, по модулю равные единице. Такие матрицы, удовлетворяющие гипотезе Адамара, стали называть матрицами Адамара, их порядок равен четырём и неизвестно, является ли это условие достаточным для их существования. В статье рассматривается естественное обобщение матриц Адамара над полем вещественных чисел, они существуют для любого порядка. В работе предлагается алгоритм построения обобщённых матриц Адамара, и он иллюстрируется на числовых примерах. Также вводится понятие константы для данного натурального числа, вычисляются значения этой константы для некоторых натуральных чисел и показываются некоторые приложения константы Адамара для оценок сверху и снизу модуля определителя данного порядка с произвольными вещественными коэффициентами и эти оценки в некоторых случаях лучше известных оценок Адамара. Результаты статьи связываются с результатами Кона по величине детерминантов матриц с вещественными коэффициентами, не превосходящими по модулю единицы

Ключевые слова: МАТРИЦА АДАМАРА, НЕРАВЕНСТВО АДАМАРА, КОНСТАНТА АДАМАРА, ОБОБЩЕННАЯ МАТРИЦА АДАМАРА, ГИПОТЕЗА АДАМАРА

Рок 10.21515/1990-4665-126-033

UDC 519.115.1

Physical-Mathematical sciences

HADAMARD MATRICES

Sergeev Alexandr Eduardovich Cand. Phys.-Math. Sci., associate Professor Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Sergeev Eduard Alexandrovich

Cand. Phys.-Math. Sci., associate Professor

Kuban State University, Krasnodar, Russia

Tischenko Olga Yurievna Senior Lecturer

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

In 1893, the French mathematician J. Adamar raised the question: given a matrix of fixed order with coefficients not exceeding modulo this value, then what is the maximum modulo value can take the determinant of this matrix? Adamar fully decided this question in the case when the coefficients of the matrix are complex numbers and put forward the corresponding hypothesis in the case when the matrix coefficients are real numbers modulo equal to one. Such matrices satisfying the Hadamard conjecture were called Hadamard matrices, their order is four and it is unknown whether this condition is sufficient for their existence. The article examines a natural generalization of the Hadamard matrices over the field of real numbers, they are there for any order. This paper proposes an algorithm for the construction of generalized Hadamard matrices, and it is illustrated by numerical examples. Also introduces the concept of constants for the natural numbers are computed values of this constant for some natural numbers and shown some applications of Hadamard constants for estimates on the top and bottom of the module of the determinant of this order with arbitrary real coefficients, and these estimates are in some cases better than the known estimates of Hadamard. The results of the article are associated with the results of the con on the value of determinants of matrices with real coefficients, not exceeding modulo units

Keywords: MATRIX HADAMARD, INEQUALITY HADAMARD, CONSTANT HADAMARD, GENERAL HADAMARD MATRICES, HYPOTHESIS HADAMARD

Матрицы Адамара и некоторые их обобщения

В 1893 году французский математик Адамар поставил такой вопрос: пусть А будет пхп матрица с коэффициентами а^- не превосходящими по

модулю число M>0. Какое наибольшее по модулю значение может принимать детерминант detA матрицы А?

Адамар полностью решил этот вопрос в случае, когда коэффициенты матрицы А комплексные числа и выдвинул известную гипотезу в случае вещественных коэффициентов матрицы А.

Обозначим символом ||5|| Евклидову норму вектора Ь=

т. е.

Тогда справедлива теорема Адамара [1].

Теорема 1. Пусть А - комплексная пхп матрица с линейно независимыми колонками — * Тогда

( )2 С* ~ ') ГР1 11 1

где ? А - транспонированная матрица сопряжённой А = (а^}, и равенство в (1) достигается только если матрица 6 А  А диагональная.

Следствие 1. Пусть А=(а^-) есть комплексная матрица с |а^-|<1, тогда |с1е1:(А)| < п71^2 и равенство достигается только если а^|=1 для всех индексов 1 < /, / < п ц ? А- А = п- Еп, где Еп - единичная матрица.

Следствие 2. Пусть А=(а;;-) есть комплексная пхп матрица с |а^-|<М, |с1е1:(А)| < Мп  п71^2 и равенство достигается, если \ щ>\=М для всех индексов 1 < /, / < п и выполняется равенство * А  А=М2п • Еп.

Определение 1. Комплексная пхп матрица А=(а,;) называется матрицей Адамара порядка п, если |а^-|=1 и * А - А = п - Еп.

Теорема 2 (Адамар) Для любого натурального п существует комплексная матрица Адамара А порядка п.

Легко проверить, что матрицей Адамара порядка п является следующая матрица А:

А 1 ... е^-г

\Т г?"1  4-1 '

где ек = е » , 0 < к < п-1, - комплексные корни и-ой степени из

единицы, тогда 4 А  А = ?г  Еп.

Определение 2. Вещественная пхп матрица А=(а,;) называется матрицей Адамара порядка п, если = ± 1 и ? А  -А = п  £н •

Возникает вопрос о существовании вещественных матриц Адамара любого порядка ?г. Для п= 2 такой матрицей Адамара является матрица

является матрицей Адамара

И вообще, как заметил Сильвестр, если Н - матрица Адамара порядка 2к+1 есть также матрица Адамара. Однако вещественных матриц Адамара порядка 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11... не существует, так как справедлива следующая теорема Адамара:Ю

Теорема 3. Пусть А=(а^-) - вещественная матрица Адамара порядка п > 2. Тогда п делится на 4.

Учитывая этот результат, Адамар сформулировал свою знаменитую гипотезу:

Гипотеза Адамара (1893): Для каждого натурального тс, делящегося на 4, существует вещественная матрица Адамара порядка п.

Существуют различные методы построения вещественных матриц Адамара порядка п = 4к для некоторых бесконечных серий натуральных чисел делящихся на 4 [2], однако они не позволяют доказать гипотезу

Матрица 4х4 вида

легко можно проверить также

Адамара. Наименьшим порядком, кратным 4, для которого матрица Адамара неизвестна является п = 663

Если любую строку или любой столбец матрицы Адамара умножить на -1, то получим другую матрицу Адамара того же порядка. Умножая строки и столбцы матрицы Адамара на -1 мы можем получить нормализованную матрицу Адамара, первая строка и первый столбец которой состоит только из положительных единиц.

Если переставить строчки или столбцы матрицы Адамара, то получим опять матрицу Адамара.

Матрицы Адамара, получаемые друг из друга многократным применением перестановок строк или столбцов и умножением строк или столбцов на -1 называются эквивалентными.

Пусть А=(а^-) - матрица размера тхт и В=(Ь^-) - матрица размера их/?. Тогда Кронекеровским прямым произведением АВ матрицу А и В называется матрица размера т • пхт • п следующего вида:

/аХ1В а12В ... а,„В\ л *0|И>__а22В ... а2т1В

Справедливо утверждение: Кронекерово произведение двух матриц Адамара является матрицей Адамара. Действительно, используя свойства Кронекерова произведения матриц, получаем для матриц А и В порядков соответственно тип равенство:

(АВ)  <§> В) = (А&В)  ( ГА <§> ГВ) = {А  *л)  (В  'в) = гпЕ^фпЕп = т  п  Етп что и доказывает утверждение.

Отсюда следует, что если существует матрицы Адамара порядков т и 71, то существует матрица Адамара порядка т  п.

Представляет интерес обобщение положения матриц Адамара на матрицы произвольного порядка п. Назовем матрицу Н1Ъ порядка п с коэффициентами ±1 обобщенной матрицы Адамара, если модуль ее определителя имеет наибольшее значение среди всех матриц порядка п с коэффициентами ±1. При п кратном 4, такой матрицей является матрица

Адамара Нп, если она существует. В то же время очевидно, что обобщенная матрица Адамара существует для любого натурального п.

Пусть НЛ обобщенная матрица порядка п, модуль ее детерминанта будем называть константой Адамара и обозначать итак

Нп = Если = Нп - матрица Адамара, то = если это

не так, то нахождение значения константы Адамара кп - трудная вычислительная задача при п > 4.

Легко заметить, что из определения обобщенной матрицы Адамара Л}1 следует, что кп делится на 211-1.

Прямое вычисление показывает, что

/-1 1 1 \ 1 -1 1 \ 1 1 -1/

и значит /13 = \clet Н3\ = 4. Отсюда вытекает, что Л4 < 16, в чем можно убедиться, если мы будем расщеплять определитель ±1 матрицы 4-го порядка по какой-нибудь строке и равенство Л4 = 16 достигается для матрицы Адамара :

Принимая во внимание неравенства Адамара, оценивающие величину модуля с1е1А через длины строк

порядка л:

,2\1/2

Получаем из (2) и (3) следующие оценки для констант Адамара:

я* 907, Н9<39 = 19683

Анализируя ±1 матрицы 5-го порядка получаем следующую обобщенную матрицу Адамара 1Г5.

1

VI

1 -1 1 1 1

1 1 -1 1 1

1 1 1

-1 1

1 1 1

-1/

Следовательно /15=|с1е1 Я-|=48. С помощью упорядоченных компьютерных вычислений были найдены следующие обобщенные матрицы Адамара порядка 6, 7, 9, 10:

-1 1 1

Я6 =

\

-V

/-1 1 1 ¡1-11 1 1 -1

-1 -1 -1

1-1 -1 -1

-1 -1 -1

/—11 1 1

Г 1 -1 1 1

1 1-1-1-11

1 1-1-11-1

-1-1-11 1 1

у-1 -11-11 1-1/

^-1 -1 -1 -1 -1-1 1 '

1 1 1 1 -1 1

-1 -1 -1 -1

\

Используя полученные матрицы, получаем константы Адамара

Значение константы й.3 имеем из ранее приведённой формулы для матрицы Адамара Нп : кв = О-3''2 = 84 = 409бМы видим, что значение констант... Адамара быстро растут с увеличением...

Возникает вопрос об эффективных методах построения обобщённых матриц Адамара любого порядка. Можно предложить для этого следующий приём: взять обобщённую матрицу Адамара Нп и, окаймить её строкой а1г...гап+1 и колонкой Ь1гЬп до матрицы Ап+г порядка л + 1. Далее выбирать значения и Щ равные ±1 так, что модуль с1е1 Ап+1 был максимальным. Приведём примеры:

Пусть п = 2, Н2 = ( тогда рассмотрим матрицу

/а1 а2 а3\ Ал = [1 1 К

\-1 1 ьг;

Имеем сН )[( аг + а2){ Ь1 + Ь2)-2(аг + Ь^^]. Ясно, что для максимальной с1е1 Л3надо взять значения Ь2 = 1 ,а2 = = 1, Ь1 = — 1 (можно взять иа^ = 1,а2 = ±1, а3 = 1,Ь1 = —'1,Ь2 = 1 ), получим в итоге две обобщенные матрицы Адамара 3-его порядка:

Л3 =

1 1 1 \ /1-1 1 \ 1 1 —1 ; Ад = 1 1 -1

ч-1 1 1 / 4—1 1 1 /

Возьмем полученную матрицу Аг и построим по указанному способу обобщенную матрицу Адамара 4-го порядка, это должна быть матрица Адамара.

Л3 =

111 1 1 -1| 1 1

с

V

а ± 1 -1 -1

а4

1 1

1 -1 Ь2

1 1

/-1 1

( г г

\ 1 1

\-1 1

-1 1 1 1

-1 -1

1 -1,

Взяв Ъг = 1Ь2 = 1, Ь3 = —1 ,аг = —1 ,а2 = 1 ,а3 = — 1,а4 = 1,

получим матрицу Адамара 4-го порядка, так как сН А4=16.

Возьмем полученную матрицу А4 и построим с помощью соответствующего окаймления обобщенную матрицу Адамара 5-го порядка:

¿4 =

/-1 1 -1 ]

111 ] 1 1-1-1

\-1 1 1 -1,

л5 =

/а1 а2 а3 ад

-1 1-1 1 Ьг 1

111 1 Ь2

,1 1-1-1 Ь, }

\-1 1 1 -1 ь4/

Взяв

получим обобщенную матрицу Адамара 5-го порядка, так как сИ Аъ= 48.

Возьмем полученную матрицу и построим с помощью

окаймления обобщенную матрицу Адамара Ай порядка 6:

Л= =

П 1

1 -1 1 1 1

1 1 -1 1 1

1 1 1 -1 1

\

Л/

; ле =

\

1 1 1 1

1 -1 1 1 1

1 1 -1 1 1

а4 1 1 1 -1 1

1 1 1 1

-1

Об

Ь± Ь2 ь3 Ь,

Ьь

/

0^ = 02=03 = -1 ,я4 = оБ = 1, а6 = -1, Ъг= Ъ2 = &3 &4 = ЬБ = -1,

получим обобщенную матрицу Адамара А6, так как в этом случае с1е1 Л&=\60.

Окаймляя

полученную

матрицу

строкой

а^ = 1, а2 = —1 а3 = 1, Й4 = —1,

а5 = 1, а6 = 1, а7 = 1 и колонкой Ь± = 1,Ъ2 = 1, £>3 = 1 ,ЬА = 1, Ь5 = 1,Ь6 = 1

, получаем обобщенную матрицу Адамара А7, так как (1е1А7=576:

А7 =

(-1 -1 1 1

-1 -1 1 -1 1 1 1

1 -1 1 1 -1 1 1

-1 1 1 1 1 -1 1

1

-1 1 1 1

-1 1 -1

Л

1 -1 1 -1

"V

-V

Неизвестно всегда ли указанный алгоритм дает обобщенную матрицу Адамара.

Константа Адамара к.п позволяет вычислить наибольшее возможное число положительных слагаемых уп при раскрытии определителя -го порядка по его определению в виде алгебраической суммы п\ слагаемых, если элементы определителя вещественные числа справедлива формула:

+

Уп =

Используя, полученные ранее результаты, получаем:

Отсюда имеем не строго убывающую последовательность чисел:

Возникает вопрос существует ли предел дроби и чему он равен?

7= ?

Ц1К) п.

Пусть А - их/7 матрица с вещественными коэффициентами и а -наибольшее положительное слагаемое среди тг! алгебраических слагаемых в с^А, а /? - наименьшее отрицательное слагаемое, тогда выполняется неравенство:

к!+1г   п!-1г — * 1«1 - —

Неравенство (4) для некоторых матриц дает более точную оценку, чем неравенства Адамара (2) и (3). Например, для матрицы /-11 1 \

А3 = I 1 —1 1 по формулам Адамара |с!.еЪ(А3)| < Зл/З, а по

V 1 1 -1/

соотношению (4) имеем:

:)1 —

3!-ЬА3

3! — Л,

1--—

6+4 6-4

= 4;

и так как с1е1 А3 = 4, то это точная оценка!

Пусть А=(у) - вещественная матрица порядка л, введем следующие функции, зависящие от порядка матрицы А:

г(л) = шах |с!е1:(А)|, если а^- — 0 или 1 для всех 1 < г,} <п, д(п) = шах|с1е1:(А)|,если а^ = 1 или - 1 для всех 1 < <п, А(т|) = тах|(1е1(А)|,если а¡. = —1 или 1 для всех 1 < I< п,

= тах |с!е1:(А}|,если 0 < а£,- < 1 для всех 1 < I, ] < п,

(л) = шах |с!е1:(А)|, если — 1 < а1}- < 1 для всех 1 < < п. Е. Коном [3] доказано, что выполняются соотношения

натурального п. Таким образом, все пять сформулированных задач о нахождении значений функции [ (и), д(п), к (л), Р(л), С (та) -эквивалентны.

Кроме того, Адамар доказал [4], что справедливо неравенство:

П41

причем равенство в (5) выполняется для данного натурального п только если существует матрица Адамара порядка та + 1.

Теорема 4. Пусть Н - матрица Адамара порядка п, имеют подматрицу Адамара М порядка т Ста. Тогда т < ^ .

В то же время приведенные выше (ранее) примеры показывают, что обобщенная матрица Адамара порядка 4к Ч-1 может содержать в качестве подматрицы матрицу Адамара порядка 4к.

С помощью компьютерных вычислений, разными авторами вычислены для небольших п значения функции /(п) [6]:

п= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

/(п) = 1 1 2 3 5 9 32 56 144 320 1458 3645 9477 26244

Из приведенных примеров можно заметить индексное свойство обобщенных матриц Адамара: они обладают свойством нормальности  = .-. Однако неизвестно будет ли каждая обобщенная матрица Адамара обладать этим свойством, т.е. быть нормальной матрицей.

В [7] дана хорошая нижняя граница для детерминанта обобщенной матрицы Адамара А порядкат > 4:

В этой статье обобщенная матрица Адамара называется максимальной детерминантной матрицей.

Пусть А - обобщенная матрица Адамара порядка 5, приведенная нами ранее в примерах, тогда |ёе1;(А)|=48, а из неравенства (6) получаем

т. е. это хорошая нижняя оценка.

В заключении отметим, что задача построения матриц Адамара и обобщенных матриц Адамара любого порядка п2 вещественных чисел а±,а2,..., а^, требуется составить из них пш матрицу А , имеющую максимальный |ёе1;(А)|.

Например, еСЛИ «1 = 1,«а = 2,«а = 3, = 4,«- = 5, = 6,«7 = 7= а= %

то матрица А= имеет максимальный ёе!А=412 и найти такую

матрицу не сложно. Если же взять 16 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, то найти 4х4 матрицу из этих чисел с максимальным детерминантом гораздо сложнее:

Никакого алгоритма для решения этой задачи, исключая матрицы Адамара, пока не найдены. Другие обобщения матриц Адамара для нечетных порядков содержатся в [10] и [9].

-1

Литература

1. J. Hadamard, Resolution d'une question relative discriminants, Bull des Sci. Math. 17(1893), 240-246.

2. Ю. В. Таранников, Комбинаторные свойства дискретных структур и приложения к криптологии, М. МУНМО, 2011.

3. J.H.E. Cohn, On the value of determinants, Proc, Amer, Math. Soc, 14 (1963), 581588.

4. S.S. Again, Hadamare matrices and their Application, Aecture Notes in Mathematics, 1168, springer-Verlag, 1985.

5. J.H.E. Cohn, Hadamar matrices and some generalizations, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 515-518.

6. K.J. Haradan, Hadamar Matrices and their Applications, Princeton University Press, 2007.

7. R.R. Brent, J.H. Osborn, General lower bounds of maximal determinants of binary matrices. Preprint, 2012.

8. В.М. Сидельников, Теория кодирования, М. Физматлит, 2008.

9. Н.А. Болонин, Л.А. Мироновский, Матрицы Адамара нечётного порядка// Информационные управляющие системы, 2008, N3, C.46-50.

10. Н.А. Болонин, М.Б. Сергеев, Л.А. Мироновский, Вычисление матриц Адамара-Мерсенна// Информационные управляющие системы, 2012, N5, C. 92-94.

References

1. J. Hadamard, Resolution d'une question relative discriminants, Bull des Sci. Math. 17(1893), 240-246.

2. Ju. V. Tarannikov, Kombinatornye svojstva diskretnyh struktur i prilozhenija k kriptologii, M. MUNMO, 2011.

3. J.H.E. Cohn, On the value of determinants, Proc, Amer, Math. Soc, 14 (1963), 581588.

4. S.S. Again, Hadamare matrices and their Application, Aecture Notes in Mathematics, 1168, springer-Verlag, 1985.

5. J.H.E. Cohn, Hadamar matrices and some generalizations, Amer. Math. Monthly 72 (1965), 515-518.

6. K.J. Haradan, Hadamar Matrices and their Applications, Princeton University Press,

2007.

7. R.R. Brent, J.H. Osborn, General lower bounds of maximal determinants of binary matrices. Preprint, 2012.

8. V.M. Sidel'nikov, Teorija kodirovanija, M. Fizmatlit, 2008.

9. N.A. Bolonin, L.A. Mironovskij, Matricy Adamara nechjotnogo porjadka// Informacionnye upravljajushhie sistemy, 2008, N3, C.46-50.

10. N.A. Bolonin, M.B. Sergeev, L.A. Mironovskij, Vychislenie matric Adamara-Mersenna// Informacionnye upravljajushhie sistemy, 2012, N5, C. 92-94.

http://ej .kubagro.ru/2017/02/pdf/3 3 .pdf