Математическое моделирование процесса раскрытия солнечной батареи большой площади

УДК 629.78

Математическое моделирование процесса раскрытия солнечной батареи большой площади

© А.Ю. Бушуев, Б. А. Фарафонов МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Построена математическая модель процесса раскрытия многозвенной конструкции солнечной батареи с тросовой системой раскрытия. На основе анализа кинематической схемы системы раскрытия выбраны размеры радиусов роликов и передаточного отношения двух типов шестеренчатых механизмов, обеспечивающих заданную последовательность фиксации звеньев. Для исследования процесса раскрытия солнечной батареи использовано уравнение Лагранжа второго рода. Отличительной особенностью предлагаемого подхода является итерационный способ учета деформации тросов системы синхронизации. Разработанная математическая модель может быть использована для выбора оптимальных конструктивных параметров и характеристик системы раскрытия, а также для анализа нештатных ситуаций и оценки надежности процесса раскрытия.

Ключевые слова: математическое моделирование, тросовая система раскрытия, многозвенная конструкция, солнечная батарея.

Введение. Раскрытие солнечных батарей (СБ) является одной из ключевых динамических операций функционирования космического аппарата (КА), которая определяет возможность его дальнейшей эксплуатации [1].

Возрастание энергопотребления перспективных КА приводит к увеличению размеров СБ. Поэтому является актуальной проблема безотказного функционирования системы раскрытия (СР) солнечных батарей большой площади [2]. Основными элементами такой системы раскрытия является многозвенная конструкция с тросовой системой синхронизации [3].

Для обоснования выбора конструктивных параметров элементов системы раскрытия и подтверждения надежности процесса раскрытия требуется проведение детального математического моделирования с использованием эффективной математической модели [4, 5]. Для построения уравнений движения и их решения могут быть использованы различные методы, некоторые из них представлены в работах [6-12].

В данной работе для исследования процесса раскрытия СБ используется уравнение Лагранжа второго рода для кинетической энергии солнечной батареи, моделируемой многозвенником (без учета откидных панелей). Отличительной особенностью предлагаемого подхода является итерационный способ учета деформации тросов системы синхронизации. Достаточно подробно рассматривается конструкция СР.

Конструкция и анализ кинематической схемы системы раскрытия солнечной батареи большой площади. Основным элементом рассматриваемой СР являются многозвенная конструкция, на которой крепятся панели СБ. На первом и последнем звеньях многозвенника расположены электроприводы. Домкрат, размещенный в первом звене, обеспечивает его поворот на заданный угол. Тросовая система синхронизации состоит из набора роликов, соединенных определенным образом тросами, и двух типов шестеренчатых механизмов, обеспечивающих необходимые передаточные отношения. Средства системы синхронизации не позволяют реализоваться существенному отличию углов относительного разворота соседних звеньев. В процессе раскрытия за счет специальных пружин всегда сохраняется натяжение тросов. Для повышения надежности раскрытия используется специальный раскрывающий трос, наматывающийся на два барабана, размещенные на первом и последнем звеньях.

На рис. 1 представлена схема раскрытия многозвенной конструкции. На рис. 2 изображена тросовая система синхронизации. На рис. 3 показана кинематическая схема СР.

Рис. 1. Основная система раскрытия

Из анализа кинематической схемы СР определяются относительные углы поворота звеньев р^ в зависимости от угла поворота первого звена.

Обозначим угол поворота первого звена, отсчитываемого от начального положения против часовой стрелки, через ф1 = р1 -107°, где Р1 — угол, отсчитываемый от оси ОУ, определяющий конечное положение полностью раскрытой многозвенной конструкции, до текущего положения первого звена.

При повороте звена 1 на угол ф1 ролик г11 поворачивается на

ЛО1

У11 =Ф11Т-.

К11

Рис. 2. Тросовая система синхронизации раскрытия СБ

Рис. 3. Кинематическая схема СР

До

Введем обозначение £01 =-. Угол поворота второго звена от-

11

г11

носительно первого р2 = У21, У21 = -(У11 -У2)— = -ф^кц + у2кп,

Г21

Гц

где к— =— и у 2— ошибка в положении звена 2, вызванная дефор-Г21

мацией троса, размещенного на первом звене, и люфтом.

Г 2

Пусть уи — угол поворота ролика г„, тогда у22 = (Р2 -у3)— =

Г22

г12

= Ф1к01к11к12 -У2к11к12 +У3к12, где к12 =-.

Г22

Так как у22 = Р3 тельно звена 2

- Д31 Д22 Л V Д21 Д32 у

, то угол поворота звена 3 относи-

где £,з =

рз = -91^01^11^12 + У2¿11^2 ~Уз^12 = -1 + ^21^22 = -Ф1^01^11^12^13 +У2^11^12^13 -У3^12¿13,

1

-1 + ^21^22

Ролик г22 поворачивается относительно звена 2 на угол у 22, а относительно звена 3 — на угол у 22 + р 2; на такой же угол поворачивается шестеренкаЯ33. Тогда угол поворота звена 4 относительно звена 3 с учетом направления вращения составит

Я

Г Г22 ^

Г31 Я

р4 = -у32 ТТ3 = У22 _22 + Р3 - У4 —171 = [(¿24 - ¿13) - У4^¿31 = ^41 I Г31 ) г32 Я41

= [ф^01^12^24 -¿13)¿23¿31 -У2¿1^12^24 -¿13)¿23¿31 + + У3^12(^24 - ¿13)¿23¿31 -У4¿23^31 ].

Вывод углов поворота остальных звеньев аналогичен рассмотренному.

Приведем окончательный результат:

У41 =р4 Я31 = Р4^32; Я42

У 42 = -(У 41 -У5) — = -р4^32^41 +У5^41; г42

-У42

р5 =-Я-= -У42^15 = р4^32^41^15 - У5^41^15;

-1 + Я51 Яц

^43 Я52

р5 = Ф1^01^11^12(¿24 - ¿13)¿23^31^32^41^15 -- У 2¿11^2(¿24 - ¿13)^23^31^32¿41^5 + + У3^12(^24 - ¿13 )¿23¿31 ¿32¿4^15 -- У4¿23¿31¿32¿41¿15 -У5¿41¿15,

где

* = ^22- £ = ^31- £ = Я31- £ = Я34 .

¿24 = . ¿23 = . ¿31 = „ . ¿32 = „ Г31 Г32 Я41 Я42

¿15 ="

^31. Г32' ¿31 = Я33 . Я41 ¿32

1 . ¿41 = Г41 .

Я51 Я44 г42 '

Я43 Я52

У =-Г51

у 52 = -

Г52

( г \

У42 — + р5 -У6 V Г51 ;

Я13

р6 = -У52 ~ = У42 (к42 - к15)к52к61 -Убк52к61 = ^61

= -Ф1к01к11к12(к24 -к13)к23к31к32к41(к42 -к15)к52к61 + +У2к11к12(к24 -к13)к23к31к32к41(к42 -к15)к52к61 -- У3к12(к24 -к13)к23к31к32к41 (к42 -к15)к52к61 + + У4к23к31к32к41к15(к42 - к15)к52к61 + У5к41(к42 - к15)к52к61 - Убк52к6Ь

, г42 Г51 Д53

где к42 = к52 = —; кб1 = -53;

Г51 Г52 ^61

р7 = -Ф1к01к11к12 (к24 - к13 )к23к31к32к41 (к42 - к15)к52к61к62к71к17 + + У2к11к12 (к24 - к13 )к23к31к32к41(к42 - к15)к52к61к62к71к17 -

- У3к12(к24 - к13 )к23к31к32к41 (к42 - к15)к52к61к62к71к17 + + У4к23к31к32к41к15 (к42 - к15)к52к61к62к71к17 + + У 5кц (к42 - к15 )к52к61к62к71к17 -- У6к52к61к62к71к17 -У7к71к17;

р8 = Ф1к01к11к12(к24 -к13)к23к31к32к41(к42 -к15)к52к61к62к71(к72 -к17)к81 --У2к-Мк24 - к13)к23к3 1к32 к41 (к42 - к15)к52к61к62к71(к72 - к17)к81 + +У3к12(к24 -к13)к23к31к32к41 (к42 -к15)к52к61к62к71(к72 -к17)к81 -

-У4к23к31к32к41к15(к42 -к15)к52к61к62к71(к72 -к17)к81 -У5к41 (к42 - к15)к52к61к62к71(к72 - к17)к81 + У6к52к61к62к71(к72 - к17)к81 + +У7 к71(к72 - к17)к81 -У8к8Ь

Д54 . 7 Г61 . 7 Г62 . 7 Г71 где к62 = —; к71 =-; к72 =-; к81 =-.

^62 Г62 Г71 Г81

Используя полученные формулы, можно выбрать необходимые начальные радиусы роликов и передаточные отношения шестеренчатых механизмов, обеспечивающих заданную последовательность фиксации звеньев от последнего звена к первому без учета деформации тросов.

Динамическая модель раскрытия. Для определения основных характеристик процесса раскрытия используют уравнения Лагранжа второго рода, составленные для кинетической энергии СБ, моделируемой многозвенником (с присоединенной массой откидных панелей), каждое звено которого предполагается абсолютно твердым телом:

;Е

т

2 Ы 2

+ -Д- -1 + С; ) +

ар1 ар1

Г^ V;-1+л)+

ар1 ар 1 Г 1 '

+

г & ас;-1 & асс; асс;-1 ас ^ ж ар 1 & ар 1 ар1 ар1

+

) & аУ;-1 + & ^ аУ;-1 ау 1 & ар 1 ж ар 1 ар1 ар^

_ г. & аш; . аш;

+ 2 УШ; — - 2 Уш = М

+ 2 У; Ш;

аш; ар 1

прз

& ар1 ар1

где координаты концов звеньев имеют вид

; г »1 1 ; Г »1 з 1

У;=Е^^ Ер} =Е ^^ ЕЕaj¿У¿+С ¿1=1 ^ 3=1 ¿1=1 ^ 3=1 ¿=1

; Г 1 ; Г j 1

с = Е^^ Ер;- =Е^^ ЕЕaj¿У¿ + С ;1=1 ^ j=1 ^ /1=1 ^ j=1 ¿=1

в =

С 107 +й

С / =--лал +£,;

7 180 71 3

где aзk — передаточные отношения между звеньями;

0

-л -л +л +л -л -л +л

У; — момент инерции 1-го звена относительно его центра тяжести;

Ш — угол, отсчитываемый от оси ОУ, определяющий конечное положение полностью раскрытой многозвенной конструкции до текущего положения ;-го звена; — угловая скорость вращения ;-го

звена; р1 — угловая скорость вращения первого звена ((р1 =ш1); Мпр — приведенный момент, учитывающий сопротивление жгутов, предварительное натяжение тросов, трение в шарнирах и момент от электропривода.

1

На рис. 4 приведены результаты Р

решения уравнения Лагранжа для вы- ^

бранных конструктивных параметров

из анализа кинематической схемы. При

^ 60

этом предполагалось, что сопротивления трения в шарнирах пренебрежимо 40 малы, а сопротивления жгутов известны из экспериментальных данных. 10

Определение реакций связей и о 20 40 60 80 юо 120 усилий в тросах. Дга определения ре- Рис. 4. Зависимость угла пово-акций связей и усилий в тросах вос- рота первого звена от времени пользуемся уравнениями Даламбера:

^вх - Т 8т(у8 + а8) - да8хс8 = 0; Я8у - Т 008(у 8 + а8) - Ш8уС8 = 0;

Я8х(У7 -Ус8) + Я8у (хс8 - х7) -^7Г81 + Мс8 + '/8

+ Т \— - к9 I з1п(а8) + ТЯ9 - Лс8у8 = 0,

С

где а8 = агй§

Я + ^8 - ¿8

/

Я9

; Я9, Я8

радиусы роликов основной

системы, расположенные на восьмом звене; /Я9, И8 — геометрические параметры, определяющие положение раскрывающего троса относительно вектора положения восьмого звена; Мс 8 — момент сопротивления жгутов;

Я7 х - Я

8 х

Г Я

Я63

Я7 у - Я8 у

71

Л

V Я72

-1

008 у7 + 2Т 008 [ ф^ 18т ф - т7Хс7 = 0;

(РбГб2 - ^7г71) Г Я71

Я63

Ф8

V Я72

— 1

(- 8т ^7)-

2Т 0081 — 18т ф - т7Ус7 = 0;

Я7х (У6 - Ус7) + Я7у (хс7 - х6) + Я8х (Ус7 - У7) + Я8у (х7 - хс7) -

Г /7 ^

- г62 - ^7 г71)

Г Я

71

V Я72

-1

"27 - Я64 - Я72

Я63

-МС7 + 2Т 0081 ^ | 2 8^П (Ф8 - У7) - Jzc7У7 = 0;

ф 8 ^ 17

Re у - R7 у + F5 (sln V 5 ) + Fe (sln V б ) +

R53 R2

(Fere2 - F7r7l) R71 . (Fere2 - F7r7l), . ч

б б2-7 7 71 sln V7 + б б2-(-sln v7 ) +

г61

^53

R

72

Дзз

+ 2Tcos| |sln (7 - me..с6 = 0;

R6x (У5 - Ус6) + R6 у ( xc б - x5) + R7 x ( Ус б - Уб) + R7 y ( x6 - xc6)"

-

RR- f R64 + 2 (cos (л - ß7))) + Fe R- f| - R62 - R54 I +

F5 ^ f Rel + -T (cos^-ße))) +

R

53

(F6r62 - F7r7l) -6

R63 2

(c0s(л-ß7) )-

-Мсб - 2T cos I Фф7j Y sln(Ve - (7) - Jzc6Vб = 0;

R5 x - R x +

R

-43

R

-51

V R52

-11(-cos v5 ) + F5 (cos v5 ) +

R

53

+ Fe^ (cos Ve ) + 2T

^62

cos

( 6

sln ф6 - m5ССс5 = 0;

R5y -R6y +

R43 V R52 J R53

+Fe (-sln(Ve)) + 2T cos l ^1 sln (pe - m5y,5 = 0; R62 v 2

( б

R5x (У4 - yc5) + R5y (xc5 - x4) + R6x (.c5 - У5) + R6y (x5 - xc5) +

+

f R

-51

V R52

-1

~-T - R44 - R52

-^43

+FeГгÍR54 +1(cos^-ße))| + F5 '52 ' '5

R62

5 Г-5-R53 -R61 |+Mc5 -

R53 V 2

-2Tcos| -5sln(V5 -(б)- Jzc5V5 = 0;

Я4х - Я5х + Р -77^008 Уз + р (008 у4) +

Я

33

Я

42

Я

+ (Р4г42 - Р5г51) ^ (008 У5)-

Я43 Я.

43 52

Я

(- 008 у5) +

43

Ф 5

2Т 0081 18т ф5 - т4ххс4 = 0;

г32

Г41

Я4у - Я5у + р3-3^(- 8Ш У3) + р (- 8Ш у4 ) +

Я

33

Я42

Я5

+ (Р4Г42 - ^'и) ' (- 8^п У5 ) + Я43 Я52

+(^ (81п у5) + 2Т 008 VФ5] 81п ф5 - т4^4 = 0;

Я43 V 2 У

Я4х(у3 - у04) + Я4у (х04 - х3) + Я5х(у04 - у4) + Я5у (х4 - х04) -

Р ^ Г/4 - Я34 - Я421 + (Р742 - ^И) -^Яг

Я42 V 2 у Я43Я52

Я44 + /2

- ^3 ^ [ Я41 + 14 (008(.-|Р4|) ))-(Р4Г42-1р5Г51) 14 (008(.-|Р5|)) + М04 + 2Т 008 ^ф1 | ^Цу5 -Ф4) - JZ04У4 = 0;

Я3х - Я4х + Р (- 008(У3)) + р (- 008 у4 ) -

Я33 Я42

(Р Г22 - Р3731) Г Я31 Л/ ч

+ 2 22-- 1 (008 у3 )-

Я

21

V Я32 У

ф 4

-2Т 0081 — 18т ф4 - т3 х03 = 0;

Я3х - Я4х + Р ЯТ У3 ) + Р ЯГ(8Ш У4 ) +

Я33 Я42

+ (р2 Г22 - Р 731) Г Я31 -Л8хп у3 )-

Г41

Я

21

V Я32 У

Ф 4

-2Т 008 \ — 181п Рр4 - т3 3^03 = 0;

R3x(y2 - Уоэ) + R3y (xc3 - x2) + Rx(Ус3 -Уз) + Ry (x3 - xc3) -- (F2r22 - F3r31) f R31 - ЦГ ¿3 - R - R V

R21 lR32 Jl 2 22 32 J

F3rrí-R22 -R32I-I R34 + ^ЫНМ)

R33 l 2

r41

42

Ф 4 1 ¿3

-MC3 + 2T cos I "2" J — sin (ф4 - y3) - J^y3 = 0;

R

R2x -R3x + (F2r22 - F3'3l) „ 31 (-cosУ 3) +

R2lR

21л32

R

(cos У 3 ) +

21

+ 2T cos | Фф3 | sin ф3 - T sin (y2 - a21) - m2xc2 = 0;

R

R2y - R3y + (F2r22 - F3r31^ 31 (sin У3 ) +

R21R32

R

(-sin У3 ) +

-21

+ 2T cos | ф3 | sin ф 3 - T cos (y 2 - a 21)-m2yc2 = 0;

R2 x

Г RRRr I R22 + | (cos(*-P3»

l R21R32 Jl 2

(F2r22 - F3r31) ¿2

R

(cos(^-p3) ) + F1r21 -

21

-Mc2 - T | - ¿11 ] sin a21 - Jzc2y2 - TR10 - 2T cos 1ф3J ¿sin(y2 -ф3 ) = 0

Уравнения для звена 1 при условии отключенного домкрата имеют вид

„ Г11 ф 1 (ф 2 .

f1-cos y1 + RXí - Rx2 + 2T cos—sin ф 1 + 2T cos—sin ф2 +

R11 2 2

+ 2T cos l-a112+a12 J cos [y1 -a11 + a12 J- m^, = 0;

- F1 "R^sin y1 + Ry1 - Ry2 + 2T cos-^-cos ф 1 + 2T cosacos ф 2 + + 2T cos I +a12 1 cos f y 1 - a11 +a12 I - my 1x = 0;

^-^(R^ + Rn)-2T cos — ¡1 sin(y! -(Pi)-2T cos — ¡1 sin(yj -p2) + Rii 2 2

+2Tcos^ai2-aii j(¡i -¡Ri)sinaii +ai2 j + Mci + F2rX2 + Rx2(0-yi) +

+ Ry2 (X - 0) - JCl \j>i = o,

где aii, ai2 — углы, определяющие положения раскрывающего троса, обхватывающего ролик, находящийся на первом звене;

a2i +aii + р2 .

CPi = р2-a21 -aii; p1 =V2 -

Ф2 =P2-a2 + a12. Pp2 =V2 -

2

a2 +ai2 +P2 2 '

R2 - Rз Ы - R^2 - R^ «2 = аг^—--; ап = аг^---;

к -R17 + R1 -к + R12 + R10 а12 = аг^---; а21 = аг^---,

где R10 — радиус барабана, расположенный на втором звене, на который наматывается раскрывающий трос; R12 — радиус ролика, расположенного между первым и вторым звеном, на который опирается раскрывающий трос. Аналогичные соотношения справедливы для углов ф; и ф;, входящих в уравнения для других звеньев.

На основе построенной математической модели предложен следующий подход к исследованию процесса раскрытия многозвенной конструкции СБ:

1) записывают уравнения геометрических связей (формулу положения всех звеньев многозвенной конструкции в зависимости от угла поворота первого звена;

2) из уравнения Лагранжа определяют зависимость угла поворота первого звена многозвенника от времени;

3) для известного закона раскрытия многозвенника, полученного из уравнения Лагранжа, используя принцип Даламбера, определяют внутренние силы;

4) записывают новое соотношение положения всех звеньев с учетом деформации тросов и расчет по п. 2 и 3 получают итерационно.

Выводы. Построена математическая модель процесса раскрытия многозвенной конструкции СБ с тросовой СР. На основе анализа кинематической схемы СР выбраны размеры радиусов роликов и передаточные отношения двух типов шестеренчатых механизмов, обеспечивающих заданную последовательность фиксации звеньев. При условии отсутствия деформации тросов найдено время раскрытия многозвенной конструкции.

Для определения предварительного натяжения тросов, оптимальных конструктивных параметров и характеристик системы раскрытия, а также анализа нештатных ситуаций и оценки надежности процесса раскрытия требуются дальнейшие исследования с помощью построенной модели.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Бакунин Д.В., Борзых С.В., Ососов Н.С., Щиблев Ю.Н. Математическое моделирование процесса раскрытия солнечных батарей. Математическое моделирование, 2004, т. 16, № 6, с. 86-92.

[2] Ильясова И.Г. Динамика процесса раскрытия многозвенных солнечных батарей. Вестник Самарского Государственного Аэрокосмического Университета им. академика С.П. Королева, 2012, № 4 (35), с. 88-93.

[3] Крылов А.В., Чурилин С.А. Моделирование раскрытия солнечных батарей различных конфигураций. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Машиностроение», 2011, № 1, с. 106-111.

[4] Юдинцев В. В., Моделирование процессов раскрытия многоэлементных конструкций космических аппаратов. Полет, 2012, № 5, с. 28-33.

[5] Паничкин В.И. Математическое моделирование динамики деформирования многостворчатой солнечной батареи в процессе раскрытия. Известия АН СССР. МТТ, 1992, № 4, с. 183-190.

[6] Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Особенности математического моделирования технических устройств. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 1, с. 5-17.

[7] Юдинцев В. В. Динамика систем твердых тел. Самара, Изд-во СГАУ, 2008.

[8] Roy Featherstone Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer Science+Business

Media, LLC, 2008.

[9] Aslanov V., Kruglov G., Yudintsev V. Newton-Euler equations of multibody systems with changing structures for space applications. Acta Astronautica, 2011. doi:10.1016/j.actaastro.2010.11.013.

[10] Верещагин А. Ф. Компьютерное моделирование динамики сложных механизмов роботов-манипуляторов. Инженерная кибернетика, 1974, вып. 6, с. 65-70.

[11] Mengali G., Salvetti A., Specht B. Multibody Analysis of Solar Array Deployment using Flexible Bodies. Universita di Pisa, Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale, 2007.

[12] Lakshmi Narayana В., Nagaraj В.Р., Nataraju В^. Deployment Dynamics of Solar Array with Body Rates. Materials of International ADAMS User Conference, 2000.

Статья поступила в редакцию 02.09.2014

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Бушуев А.Ю., Фарафонов Б.А. Математическое моделирование процесса раскрытия солнечной батареи большой площади. Математическое моделирование и численные методы, 2014, № 2, с. 101-114.

Бушуев Александр Юрьевич родился в 1951 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 1974 г., МГУ им. М.В. Ломоносова — в 1985 г. Канд. техн. наук, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 16 научных работ в области математического моделирования и оптимизации технических систем. e-mail: aleks-bus@yandex.ru

Фарафонов Борис Александрович родился в 1993 г. Студент аэрокосмического факультета МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Mathematical modelling of deployment of large-area solar

array

© A.Yu. Bushuev, B.A. Farafonov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia

We have built a mathematical model for deployment of multibody solar array with a cable system of deployment. On the basis of analysis of the kinematic scheme of deployment system we have chosen the dimensions of the radii of the rollers and gear ratio of the two types of gear mechanisms which provide the preset sequence offixation of sections. We used Lagrange equation of the second kind for studying deployment of the solar battery array. A distinctive feature of this approach is application of iterative method for taking into account deformation of the cables of synchronizing system. The mathematical model can be used to choose optimal design factors and deployment system performance requirements. It is also valuable for dealing with worst-case situations and verifying the reliability of deployment procedure.

Keywords: mathematical modelling, cable deployment system, multybody structure, solar array.

REFERENCES

[1] Bakunin D.V., Borzykh S.V., Ososov N.S., Shchiblev Yu.N. Matematicheskoe Modelirovanie — Mathematical Modelling, 2004, no. 6, vol. 16, pp. 86-92.

[2] Il'yasova I.G. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Aerokosmicheskogo Universiteta im. Akademika S.P. Koroleva — Korolev Samara State Aerospace University Bulletin, 2012, no. 4(35), pp. 88-93.

[3] Krylov A.V., Churilin S.A. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Seriya Mashinostroenie — Heraldof the Bauman Moscow State Technical University. Mechanical Engineering, 2011, no. 1, pp. 106-11.

[4] Yudintsev V.V. Polet - Flight, 2012, no. 5, pp. 28-33.

[5] Panichkin V.I. Izvestiya AN SSSR - Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, 1992, no. 4, pp. 183-190.

[6] Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskoe Modelirovanie i Chislennye Metody — Mathematical Modeling and Numerical Methods, 2014, no. 1, pp. 5-17.

[7] Yudintsev V.V. Dinamika sistem tverdykh tel [Dynamics of Solid Bodies Systems]. Samara, 2008.

[8] Roy Featherstone Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer Science+Business Media, LLC, 2008.

[9] Aslanov V., Kruglov G., Yudintsev V. Newton-Euler equations of multibody systems with changing structures for space applications. Acta Astronautica, 2011. doi:10.1016/j.actaastro.2010.11.013.

[10] Vereshchagin A.F. Inzhenernaya kibernetika — Engineering Cybernetics, 1974, issue 6, pp. 65-70.

[11] Mengali G., Salvetti A., Specht B. Multibody Analysis of Solar Array Deployment using Flexible Bodies. Universita di Pisa, Facolta di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale, 2007.

[12] Lakshmi Narayana В., Nagaraj В.Р., Nataraju В^. Deployment Dynamics of Solar Array with Body Rates. Materials of International ADAMS User Conference, 2000.

A.n. Eyrnyee, E.A. Oapa^onoe

Bushuev A.Yu. (b. 1951) graduated from Bauman Moscow State Technical University in 1974 and Lomonosov Moscow State University in 1985. Ph.D., assoc. professor of the Computational Mathematics and Mathematical Physics Department of Bauman Moscow State Technical University. Author of more than 20 scientific works. Scientific interests: mathematical simulation in the technology, the methods of optimization and decision making, numerical methods. e-mail: aleks-bus@yandex.ru

Farafanov B.A. (b. 1993) a student of the Aerospace Department at Bauman Moscow State Technical University.