Экономное представление недоопределённых данных и дизъюнктивные коды

Преимущество данного подхода к определению степени нелинейности заключается в том, что он полостью определяется свойствами только операции сложения. Вместе с тем в случае циклических групп, в отличие от элементарных абелевых групп, вопрос

о способе выбора операции умножения представляется не таким однозначным. Если естественным образом рассматривать циклические группы примарного порядка как аддитивные группы колец вычетов с имеющимися в них операциями умножения, то определение степени нелинейности через степень многочлена является неудобным, так как не всякая функция F может быть задана многочленом (или набором многочленов координатных функций). Полиномиальные функции над кольцом вычетов, то есть функции, которые могут быть заданы многочленом над этим кольцом, составляют относительно малую долю функций [2, 3]. Следует отметить, что для полиномиальных функций над кольцом Zpn степень нелинейности функции совпадает с минимальной степенью многочлена, задающего эту функцию.

Теорема 3. Если F : Gm ^ G — полиномиальная функция над кольцом G = Zpn, р > 2, n ^ 1, m ^ 1, и P(xi,... xn) Е Zpn [x\,... xn] —многочлен минимальной степени, задающий эту функцию, то степень нелинейности совпадает со степенью многочлена P(xi,.. .Xn):

dl F = deg P.

Из определения степени нелинейности с очевидностью вытекает Теорема 4. Если G и H — циклические р-группы примарного порядка и R — подгруппа в G, то для степеней нелинейности функции F : G ^ H и её ограничения на подгруппу R, F|r : R ^ H, выполнено неравенство dl (F|R) ^ dl F.

Подробное изложение представленных результатов можно найти в [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Черемушкин А. В. Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции // Прикладная дискретная математика. 2010. №2(8). С. 22-33.

2. Keller G. and Olson F. Counting polynomial functions (mod pn) // Duke Math. J. 1968. V. 35. P. 835-838.

3. Chen Z. On polynomial functions from Zni x Zn2 x ... Znr to Zm // Discrete Math. 1996. V.162. P. 67-76.

4. Черемушкин А. В. Аддитивный подход к определению степени нелинейности дискретной функции на циклической группе примарного порядка // Прикладная дискретная математика. 2013. №2(20). С. 26-38.

УДК 621.391: 519.728

ЭКОНОМНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕДООПРЕДЕЛЁННЫХ ДАННЫХ

И ДИЗЪЮНКТИВНЫЕ КОДЫ1

Л. А. Шоломов

Предложены экономные представления недоопределённых данных, позволяющие полностью восстанавливать исходные данные. Установлена их связь с дизъюнктивными кодами, получены оценки длины представлений.

Ключевые слова: представление недоопределённых данных, дизъюнктивный код, свободная от покрытий матрица.

1 Работа поддержана ОНИТ РАН по программе фундаментальных исследований.

Задан алфавит А0 = (а0, ai,..., am-i} основных символов. Каждому непустому T С M = (0,1,...,m — 1} поставлен в соответствие недоопределённый символ ат. Его доопределением считается всякий основной символ a^ i Е T. Символ , доопре-делимый любым ai, называется неопределённым и обозначается *. Выделена система T некоторых непустых подмножеств T множества M и с ней связан недоопределённый алфавит A = At = (aT : T Е T}. Подробнее о недоопределённых данных см. в [1].

Задавшись натуральным числом s, припишем каждому ai Е А0 набор Ai = (Aj(1), . ..,Ai(s)) Е (0,1}s — код символа ai, а каждому ат Е А — набор AT = (AT (1),..., AT(s)) Е (0,1, *}s. Обозначим через Л и Л матрицы со столбцами Ai, i Е M, и AT, T Е T, соответственно. Скажем, что пара (Л, TV) задаёт для алфавита А двоичное представление (размерности s), если при всех i и T столбец Ai доопределяет AT тогда и только тогда, когда i Е T .В случае, когда Л — матрица в двухбуквенном алфавите (0, *}, представление будем называть строго двоичным.

Будем говорить, что множество столбцов T матрицы Л (i) покрывает, (ii) инверсно покрывает, (iii) дважды покрывает столбец Aj, если (i) дизъюнкция столбцов Ai,

i Е T, покрывает Aj, (ii) дизъюнкция инверсий столбцов Aj, i Е T, покрывает инверсию столбца Aj, (iii) множество столбцов T покрывает и инверсно покрывает Aj. Матрица Л свободна от T-покрытий (двойных T-покрытий), если для любого T Е T множество столбцов T не покрывает (не покрывает дважды) ни одного Aj, j Е T.

Теорема 1. Двоичное (строго двоичное) представление (Л, Л) с матрицей кодирования Л существует для алфавита А = Ат тогда и только тогда, когда она свободна от двойных T-покрытий (T-покрытий).

По матрице Л из теоремы можно эффективно (полиномиально) строить (строгие) представления недоопределённых последовательностей и восстанавливать по ним исходные последовательности, не используя Л.

Скажем, что система Z подмножеств множества M образует конъюнктивный базис (обобщённый конъюнктивный базис) системы T, если каждое множество T Е T может быть получено как пересечение некоторых множеств (множеств либо их дополнений) из Z. Строке v, v = 1,..., s, матрицы Л сопоставим множество С M, образованное номерами единичных разрядов строки. Положим Z = (Zi,... , Zs}, Z1 = (Zi,... , Zs}, где чёрточка означает дополнение. Для построения матриц, свободных от покрытий (либо двойных покрытий), может быть использован следующий факт.

Теорема 2. Матрица Л свободна от T-покрытий (двойных T-покрытий) тогда и только тогда, когда соответствующая ей система Z; (система Z) образует конъюнктивный базис (обобщённый конъюнктивный базис) системы T.

Пусть s^) и s0^) означают наименьшую размерность соответственно двоичных и строго двоичных представлений алфавита А. Недоопределённые данные, с которыми имеют дело в приложениях, обычно помимо неопределённого символа * используют лишь символы, имеющие небольшое число доопределений. Обозначим через s(m,n,t) максимумальную из размерностей s^) алфавитов А, для которых |А0| = m, |А| = n и каждый символ ат Е А имеет не более t доопределений либо является неопределённым. Аналогичную величину при использовании s0^) обозначим s0(m,n,t).

Теорема 3. Справедливы оценки

s(m, n, t) ^ s0(m, n, t) ^ e(t + 1) ln(mn) + 1.

Используя очевидное соотношение n ^ m*, получаем границу вида O(t2 ln m). При малых t эта величина существенно меньше длины m естественного задания недоопре-делённых символов ат посредством характеристического набора множества T.

Теорема 4. При выполнении условия t = o(log n/ log log n) имеют место оценки

(t — 1)log n (t + 1)log n

s(m, n,t) > ——:— ------------ - , s0(m,n,t) > ——:---------- ,

v ’ 2(2log(t — 1) + c)’ 01 ’ ’ ; 2(2 logt + c)’

где log x = log2 x, c = log(3e/4) < 1,027.

При естественном условии m ^ n верхние и нижние оценки теорем 3 и 4 различаются по порядку в log t раз.

В случае, когда система T состоит из всех t-элементных подмножеств множества M, T-дизъюнктивную матрицу называют t-дизъюнктивной. Множество её столбцов образует t-дизъюнктивный код. Дизъюнктивные (superimposed) коды, введённые в [2], находят широкое применение в информатике. Эффективные методы построения t-дизъюнктивных кодов, развитые в [2, 3] и других работах, могут быть использованы для эффективного представления недоопределённых данных.

Более подробное изложение представленных результатов можно найти в [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Шоломов Л. А. Элементы теории недоопределенной информации // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2009. №2. С. 18-42.

2. Kautz W. H. and Singleton R. C. Nonrandom binary superimposed codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1964. V. 10. No. 4. P. 363-377.

3. Kumar R., Rajagopalan S., and Sahai A. Coding construction for blacklisting problems without computational assumptions // CRYPTO-99. LNCS. 1999. V. 1666. P. 609-623.

4. Шоломов Л. А. Двоичные представления недоопределённых данных и дизъюнктивные коды // Прикладная дискретная математика. 2013. №1(19). С. 17-33.