Решение стационарного уравнения теплопроводности с химическим и диссипативным источником тепла в бесконечной круглой трубе для ньютоновской жидкости

УДК 536

Р. Р. Кантюков, М. С. Тахавиев, С. А. Лившиц, Р. В. Лебедев, С. В. Шенкаренко

РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ХИМИЧЕСКИМ

И ДИССИПАТИВНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОЙ КРУГЛОЙ ТРУБЕ

ДЛЯ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ

Ключевые слова: моделирование, ламинарное течение, граничные условия, цилиндрическая система координат.

В данной статье описывается моделирование теплофизических процессов при ламинарном течении идеальной ньютоновской жидкости с химическим и диссипативным источником тепловыделения, в бесконечной круглой трубе. Для построения модели рассматриваются гидродинамические, термические и кинетические особенности протекания процесса при тепловых граничных условиях 3-го рода.

Keywords: Model operation, laminar flow, boundary conditions, cylindrical frame.

In this article model operation of thermal processes at a laminar flow of Newtonian liquid with a chemical and dissipative source of a thermal emission in the infinite round pipe is described. For creation of model hydrodynamic, thermal and kinetic features of course ofprocess at thermal boundary conditions of the third sort are considered.

Современные исследования в области теории теплопередачи и химической кинетики открыли область проблем наблюдаемых при движении ньютоновских вязких сред по трубам и каналам различной формы. В условиях, когда теплота не успевает отводиться через стенку канала, в потоке жидкости возникает высокая плотность энергии, которая может привести к резкому нарастанию температуры. Такие режимы течения могут возникать как благодаря диссипации энергии внешних воздействий, так и за счет выделения энергии, запасенной в веществе.

Впервые в 1928 г. Н.Н.Семеновым, в количественной форме была описана теория «теплового взрыва», используя простейшие представления о закономерностях выделения и отвода тепла. Работа Семенова заложила основы для развития теории «теплового взрыва» и послужила отправной точкой для целого ряда исследований, выполненных в дальнейшем [1].

В последующих работах авторами Назмеевым Ю.Г., Маловым К.М., Шараповым А.Р. описывались методика, при помощи которой стало возможным аналитическое исследование критических режимов течения вязкой ньютоновской жидкости в круглой трубе [2], в большинстве работ, приведены лишь результаты численных исследований.

В представленной работе рассмотрено ламинарное течение реологически сложной жидкости при граничных условиях третьего рода. Были приняты следующие допущения: теплофизические характеристики жидкости меняются незначительно; массовые силы пренебрежимо малы; перенос тепла вдоль направления движения за счет теплопроводности много меньше вынужденного; присутствует химический источник теплоты; в качестве гидродинамических граничных условий приняты условия прилипания жидкости на границах щелевого канала.

Проведем исследование на наличие критических режимов при течении несжимаемой, ньютоновской, химически активной жидкости в бесконечной круглой трубе при совместном действии химического и диссипативного источников тепловыделения. При построении математической модели процесса используются следующие допущения:

1. Течение ламинарное, осесимметричное, стационарное со сформировавшимся профилем при входе в трубу;

2. Жидкость идеальная ньютоновская;

3. Скорость химической реакции, описываемая законом Аррениуса, зависит только от температуры (выгоранием исходных веществ, изменением свойств жидкости от температуры и пр. можно пренебречь) [3];

4. Теплопроводность стенок бесконечна [2];

5. Химический источник тепловыделения много мощнее диссипативного;

6. Тепловые граничные условия 3-го рода, т.к. разогревом стенок из-за теплопроводности конденсированной фазы пренебрегать нельзя;

7. p(z)' const, p(z)'< 0,

где p( z) — давление вдоль оси трубы.

Учитывая используемые допущения, стационарное уравнение теплопроводности для исследуемого процесса имеет вид [2]:

* Т)

кг И

k0q0 + + + (/-)] = о

где Е- энергия активации химической реакции; Я0 -универсальная газовая постоянная; г - координата от оси трубы; Т(г) - абсолютная температура; К0-константа скорости химической реакции; р0-тепловой эффект химической реакции; ц — коэффициент динамической вязкости; 12 — 2-й инвариант тензора скорости сдвига; X -коэффициент теплопроводности.

Тепловые граничные условия 3-го рода имеют вид:

Т'{0) = 0 ,

для цилиндрической трубы:

т {1 )=-ТМ,

ки ш

где Г1- радиус трубы; Ми - число Нуссельта (для

цилиндра Ми =3.659 [3]).

Выражения, позволяющие вычислить диссипативное тепловыделение:

¿2 = 4

г

Уравнение баланса сил для ламинарно-движущейся жидкости в бесконечной круглой трубе [4] имеет вид:

1

г (г) = -гр' (I) ,

где и'2 (г) — скорость сдвига; и2 — скорость движения среды вдоль оси 7; х(г) — касательные напряжения в движущейся среде.

Все вычисления выполнены с использованием пакета МАТНЕМАТ1СА [6,7].

Из (4), (5), (6) получаем:

ГУ(7)2

¿2/ = Л .

4/

Подставив (7) в (1), получаем:

КГ {]

КоОо

+ Х{ТГ + Г{^ = 0

Для упрощения дальнейших вычислений пронумеруем (1), (2), (3) согласно (5) и (6):

ГП-ГЦ ) )

Т<

Х„<-)> 0.

где - Т(г1) - температура стенки без конвекционного разогрева,

х = —, 0<*< 1. г1

е Кг й ) 1+ел РО ) +

та I

ЫП +в"п<П= 0

4Т (1 х

Если ввести обозначения: Е

Р =

8 =

2 =

)'

КОоЛ2 Г 6 I '

Гр' Г 2

4Т 6 I/ то (1—14) преобразуется к виду:

Р

\+е„*))8 + хх% + ^Ю+в"п %;)= 0,

е'п(0) = о,

0п(1) + ^ = о.

Решить (13) при (8) и (9) аналитически точно не удалось.

Для приближенного аналитического решения (13) при (8) и (9) аппроксимируем 1-е слагаемое в (13) методом разложения экспоненты [3]: '

уе Р *)+х 2х + ХА-)+е;; ^ )= 0,

где

У = 8—.

Используем метод последовательных приближений [5]. Т.к. (16) является дифференциальным уравнением 2-го порядка, то заменим его системой дифференциальных уравнений 1-го порядка:

у

еРе(х)ъ + х 2х + + у'(х) = 0. (19) х

Последующие приближения связаны с предыдущими.

У

у'+1( х) = х)- хх2-^

х

У1

еп!+1

В качестве начального приближения используем устойчивое частное решения уравнения при тех же граничных условиях.

е/хм Ъ + ОЩ) + е^ )= 0,

X

е0 (х )= (Ьп

134.057 99.0131у9 0.35218^1.24445- уВ ,

(х2 + уР(16.7572 - 12.3766у2 - 0.0440234^1.24445- уР))2

где 0.9 < vв < 1.244.

Выражения (20) - (23) являются решением для среды, в которой имеется только химический источник тепловыделения.

Выполним 1-ю итерацию, т.е. вычислим

01(х):

Уо<Г)=0о<Г I

У1 0 > 0,

еп 11 )=е0 1).

Выражения (26) - (29) описывают среду, в которой химический и диссипативный источники воздействуют на поток путем наложения, не взаимодействуя между собой.

е

Подставив (25) в (26) - (29) и выполнив алгебраические преобразования получим:

у'

л

^1

9п1

Частным решением (30) - (33) является: 01 (X) = -12(-1+ х4)X + Оо(х) . (34) Графики в0(х), в (х) приведены на

рис.1.

0.030

0.2 0.4 0.6 0.8 Рис. 1 - Графики в0

Выполним 2-ю итерацию, подставляя (34) в (20) - (23) для вычисления 0п2(х):

,2

У1(х) = - XX' + О0(х), У'2(х) = VР°1(х) -хх2-У^

У2

0п2

Выражения (35) - (38) описывают среду, в которой на химический источник воздействует диссипативный.

Подставив (34) и (25) в (35) - (28) и решив полученную систему дифференциальных уравнений, получим:

0п2(х) = ((-8761.33+ 199684а/ 8 в8 +

0.00459071^3.12842-107 -2,51389 107V в

+ 69,0501*^1,24445- V в -0,0000361805 ¡3.12842 107 - 2,51389 107V в

1,24445 - V в +

V7/37( -1,62217 106 + 0,424984 ¡3112842 107 - 2,51389 107 V р +

+ 2130,82^24445 -V в ) + V3в3(-3,03453 106 +

+ 5,62817-^3,12842 107 - 2,51389 107 V в

'¡31 1,2^1,.

+ 24413,Ц1,24445 - V в - 0,0390693

¡3;12842 107 - 2,51389 107 V в ¡1,24445 - V в ) + + V 5 в5 (-9,24705 106 + 7,65329 ^312842107 - 2,51389107 V в + + 38028,3^1,24445 - V в - 0,0245603 ^3,12842 107 - 2,51389 107 V в х

х ¡1,24445 - V в ) + V в (466332 - 0,41735 д/312842 107 - 2,51389 107V в -

3624,28^1,24445 - V в + 0,00369114 д/312842 107 - 2,51389 107 V в х ху11,24445 - V в ) + V6в6 (5,39403 106 -

2,87702^3,12842 107 - 2,51389 107 V в -

>-¡31 ф,

-14425^1,24445 - V в + 0,00453497 ¡3,12842 107 - 2,51389 107 V в х

х ,¡1,24445 - V в ) + (-425085 - 0,562502 3,12842 107 - 2,51389 107 V в +

22

+ 673,4-^1,24445 - V в + 0,00715939 ^312842 107 - 2,51389 107 V в х хд/1,24445 - V в ) + V4в4 (8,28845 106 -9,80421^3,12842 107 - 2,51389 107 V в -- 47292,3^1,24445 - V в + 0,0484139 ^3,12842 107 - 2,51389 107 V в х

х-¡1,24445 - V в + V в X (-440449 + 96803.8v5в5 + 0.461563 х

2

х д/э.12842 • 107 -2.51389 107 V р +

3471.28^/1.24445 - V р - 0.00363769 х

х¡3.12842 107 -2.51389 107V в

^1.24445 - V в + V 4 в 4 х х(-655335 + 0.13735

¡3.12842 107 - 2.51389 107V в +1032.99х

+

х -у/1.24445 -v / )+ v2/2 -2.40267 • 106 +

1.5107^3.12842 • 107 - 2.51389 • 107ъ / +

+11361.7^1.24445 -v / - 0.00595321

д/3.12842 • 107 - 2.51389 • 107у /

ф .24445 -v / )+

+ V3/3 1.77457 • 106 - 0.743859

д/3.12842 • 107 - 2.51289 • 107у / - 5594.4 х

х д/1.24445 -v / + 0.00146566

^3.12842 • 107 - 2.51389 • 107у / х

хт!1.24445 - V в ) + V в (1.62654106 -

1.36361^3.12842 107 -2.51389 107V в -

-10255.4^1.24445 -v / + 0.00806026 •^3.12842 • 107 - 2.51389 • 10^ / х х -у/1.24445 -v / ) ух4 8761,33 - 199684v8p8 - 0,00459071 х х -у/3,12842-107 - 2,51389Л01 V / - 69,0501^1,24445 -v / + 0,0000361805 х х а/312842^10^-251389^1077Р ^1,24445 -v / +V1Р1 1,62217 • 106 -

- 0,424984^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107 v /

- 2130,82^1,24445 -v / }+ v4/4 х х -1,0063 • 107 +10,5481

^3,12842 • 107 - 2,51389 • 101v / + 52886,7 х

х -у/ 124445 -v / - 0,0498795

^3,12842 • 107 - 2,51389 • 10^ / ^1,24445 -v / }+

+ v2p2 -120146 • 106 +192612

д/3,12842 • 107 - 2,51389 • 101v / + 958196 х

х -у/124445 -v / - 0,0152196

•у/3,12842 • 107 - 2,51389 • 10^ / -^1,24445 -v / }+

+ v6p6 -5,49083 • 106 + 2,87702

+14425 х х^1,24445 - V в - 0,00453497

х -у/124445 -v / - 0,0000534449 у/3,12842 • 107 - 2,51389 • 10^ / х х -у/124445 -v / }+ V5/5 9,91239 • 106 -7,79064^3,12842 • 107 - 2,51389 • 10^ / -

- 39061,3^124445 -v / + 0,0245603 •у/3,12842 • 107 - 2,51389 • 10^ / х

х д/124445 -v / }+ V3/3 5,4372 • 106 -7,1388^3,12842 • 107 - 2,51389 • 10^ / -

- 35774,9^1,24445 -v / + 0,0450225 д/3Д2842 • 107 - 2,51389 • 10^ / х

х д/1,24445 - V в )))Х)/(V2в2 (4705,57 -37,0857^1,24445 - V в + V в х х (-10426,4 + 54,7821^1,24445 - V в + V в (770072 -1895,87v в -

- 20,2307^1,24445 -v / ) ) 2 У+Х0 ^ ).

При вычислении (39) использованы следующие равенства, которые получены разложением в ряд Макларена и ограничены только первым членом:

-1

- e 12 =

- e ве0(х) + ве0(х)(-1 + х4)вх

V в (-11,1714 + 8,25109v в

+ 0,0293489^1,24445 - V в +

+ х4 11,1714 - 8,25109v / - 0,0293489^1,24445 -v / ) X у / (х-2 + v / 16,7572 - 12,3766v / -0,0440234^1,24445 -v / ) 2 = = ((х2 (22,3429 - 16,5022v в -

0,0586978^1,24445 - V в ) +

+ V / -187,203 + 0,983609

^3,12842 107 - 2,51389 107V в д/1,24445 - V в ) +

+ V в (-25883,9 + 0,0101719

^3,12842 107 - 2,51389 107 V в +152,999 х

•у/124445 -v / + + V / 276,531 - 102Д21v / -0,726482^1,24445 -v / ) ) X) V2/2 16,7572 - 12,3766v / -0,044023^124445 -v / 3 ) )

Графики Х0(х) , Хп 2(х) приведены на

рис.2.

Рис. 2 - Графики в0

Последующие итерации незначительно изменят полученный результат, т.к. описывает среду, где происходит воздействие химического источника тепловыделения на маломощный диссипативный.

Анализ (25), (34), (39) показал что в0 $ )< в0 (г )< вп2 (г ), при 0 <х< 1.

Условие неустойчивости запишется в виде: 0п тах

где

00кр(0)=

1.33825 в

Исследование на экстремум (39) дает следующий результат:

0п тах

Подставив (45) и (44) в (42) вычислим точное условие неустойчивости:

Рх = Укр2Р2 4705,57 - 37,0857

1од

^1,24445 уР + + Р -10426,4 + 54,7821 ^1,24445 - Укр Р + + Укр Р 7700,72 -1895,87у, Р -20,2307^1,24445-у, Р ) ) 2 х 133825 -(134,057 - 99,0131укр р -0,352187¡1,24445 - Vкр р )/ / ккрР 16,757^ - 12,3766у, Р -0,0440234^1,24445 - укр Р 2 |)) У / -8761,33 +199684у,8Р8 + 0,00459071 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107^ Р + + 69,0501^1,24445 - Укр Р - 0,0000361805 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107^ Р х

х ^1,24445 - Уф Р + Укр7р7 -162217 • 106 + 0,424984^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у^ Р +

+ 2130,82^1,24445 - Vкр р ) + Vкр3 р 3 (-3,303453 • 106 + 5,62817 ¡312842 107 - 2,51389 107 Vкр р +

+ 24413,2^1,24445 - укр Р - 0,0390693 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у^ Р х х ^1,24445 - Уьр Р )+ Укр5Р5 -9,25705 • 106 + 7,65329^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у, Р + + 38028,3^1,24445 - Укр Р - 0,0245603 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у^ Р х х ^1,24445 -укр Р +УкрР 466332 -0,47135 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у, Р -

- 3624,28^1,24445 - У^ Р + 0,00369114 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у^ Р х

х ^1,24445 - укр Р )+ Укр6р6 5,39403 • 106

- 2,87702^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107ур --14425^1,24445 - Укр Р + 0,000453497 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у^ Р х

х ^1,24445 -У^ Р )+ Укр 2р2 -425085 -0,562502^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107У^ Р + + 673,4^1,24445 - У^ Р + 0,00715939 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у, Р х х ^1,24445 - укр Р )+ Укр4р4 8,28845 • 106 -9,80421^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107У^ Р -

- 47292,3^1,24445 - У^ Р + 0,0484139 ^3,12842 • 107 - 2,51389 • 107у^ Р х

х ^1,24445 - у^ Р ) ;

Как видим (45) весьма громоздко и для практического использования может быть аппроксимировано. Аппроксимирующая функция fa(т) имеет следующие свойства:

1. fa % )= к0 + к2г2;

2. fa(0) = 0;

3. fa(2) - вычисляется методом наименьших квадратов;

4. О < г < гепд,

где:

* = 1244-укрр

= ^ 1,244 - 0,9 Рх = 10,3952 - 8,35322^ Д + 7,1193

^1,24445-^

Графики аппроксимирующей и

аппроксимируемой функций приведены на рис.3.

химическим и диссипативным источником тепловыделения, в бесконечной круглой трубе. Получено условие возникновения неустойчивости течения (47) при наличии химического и диссипативного источника тепловыделения.

Литература

1. Кутателадзе С.С., Попов В.И., Хабахпашева Е.М. «К гидродинамике жидкостей с переменной вязкостью» //ПМТФ, 1966. №1 с. 45-49.

2. Назмеев Ю.Г., Малов К.М., Шарапов А.Р. Бифуркационный анализ уравнения энергии движущихся вязких сред в бесконечной круглой трубе.

3. Франк - Каменецкий Д. А. Диффузия и теплопередача в жимической кинетике - М.:: Наука 1987—503 с.

4. Пономарев С.В., Мищенко С.В., Дивин А.Г. Теоретические и практические аспекты теплофизических измерений Монография в 2 кн.Тамбов: Издательство Тамб. гос. тех. ун-та, 2006, кн.2, 216 с.

5. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений М. Наука 1965 384 с.

6. Дьяконов В.П. Mathematica 4: учебный курс - СПБ: Питер,2001 -656 с.

7. Васильев А. Н. Mathematica. Практический курс с примерами решения прикладных задач- К.:Век+,СПб.: КОРОНА- ВЕК 2008-446 с.

Рис. 3 - Графики аппроксимирующей и аппроксимируемой функций

(46) может быть преобразовано к виду:

vkpP = 0,881262 - 0,119714/jf + 0,294887

у/1,51691 + р% = 124445 - 0,0197299/У

Выводы

Таким образом, произведено моделирование теплофизических процессов при ламинарном течении идеальной ньютоновской жидкости с

© Р. Р. Кантюков, к.т.н., заместитель главного инженера по эксплуатации магистральных газопроводов, ООО «Газпром трансгаз Казань», r-kantyukov@tattg.gazprom.ru; М. С. Тахавиев - нач. инженерно-технического центра, ООО «Газпром трансгаз Казань», m-tahaviev@tattg.gazprom.ru; С. А. Лившиц - к.т.н., доц. каф. экономики и организации производства КГЭУ, semen19772004@mail.ru; Р. В. Лебедев - к.т.н., нач. службы по информационному обеспечению инженерно-технического центра, ООО «Газпром трансгаз Казань», r-lebedev@tattg.gazprom.ru; С. В. Шенкаренко - зам. начальника технического отдела, ООО «Газпром трансгаз Казань», s-shenkarenko@tattg.gazprom.ru.

© R. R. Kantyukov - Ph.d in Engineering Science, deputy chief engineer for oil trunk pipelines operations, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», r-kantyukov@tattg.gazprom.ru; M. S. Tahaviev - chief of engeneering and technical center, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», m-tahaviev@tattg.gazprom.ru; S. A. Livshits - candidate of science, docent, of Kazan state power engineering university, semen19772004@mail.ru; R. V. Lebedev - information support service chief, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», r-lebedev@tattg.gazprom.ru; S. V. Shenkarenko - technical department chief assistant, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», s-shenkarenko@tattg.gazprom.ru.