Упругопластический изгиб балки из материала с линейным упрочнением

А. Х. Валиуллин

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ БАЛКИ

ИЗ МАТЕРИАЛА С ЛИНЕЙНЫМ УПРОЧНЕНИЕМ

Ключевые слова: изгиб балки, упругопластическая деформация, остаточная деформация,

остаточное напряжение.

На основе модели линейно упрочняющегося упругопластического тела разработана методика расчета балки на поперечный изгиб. Построен численный метод определения изогнутой оси и нормальных напряжений на стадиях нагружения и разгрузки. Определено остаточное напряженно-

деформировнное состояние.

Key words: theory of beam, elastic-plastic deformation, residual stress-strain.

Based on the model of linear hardening elastic-plastic bode is the based method of btam calculating in the transverse bending. A numerical method for determining a curredaxis and the norval stresses of the loading stages. The residual stress- strain state of the beam is determined.

В данной работе продолжено решение задачи, рассмотренной в [1], здесь оно дополнено определением остаточных напряжений и прогиба.

На рис.1 приведены результаты испытания стального образца на растяжение (Сталь 10). Как видно, до начала образования шейки свойства материала с достаточной точностью соответствуют модели упругопластического тела с линейным упрочнением. Эта модель и положена в основу расчета.

Рис. 1 - Результаты испытаний образца: а - машинная диаграмма; б - истинная диаграмма растяжения до начала образования шейки; в - расчетная диаграмма

Для расчета приняты следующие характеристики материала: предел текучести аТ = 300 МПа, «предел прочности», значение которого взято равным истинному напряжению в момент непосредственно перед началом образования шейки, - а В = 600 МПа, соот-

ветствующие им деформации вТ = 0,0015 и вВ = 0,192. Предполагается, что диаграмма сжатия такая же.

Пусть однопролетная балка прямоугольного сечения размерами Ь х Ь х I нагружена силой Г в середине пролета. Обе концевые опоры являются подвижными в продольном направлении, среднее сечение балки может перемещаться только вертикально. Обычно по такой схеме проводят изгибные испытания образцов на испытательной машине.

Когда нормальные напряжения в крайних точках сечения равны пределу прочности, а вблизи нейтральной оси - пределу текучести, достигается предельное состояние. Считая, что вТ « 0, можно определить предельный изгибающий момент по следующей формуле:

Мпр =

... ЬЬ2 , ав ^ .

где 1/Ух =------момент сопротивления, к =-------1, в нашем случае к = 1.

6 от

Найдем изгибающий момент для общего случая Мт < М < Мпр, здесь Мт = <5т^х -

максимальный упругий изгибающий момент.

При увеличении силы изгибающий момент М в опасном сечении достигает значения Мт, деформация крайних волокон втах =вт , кривизна оси балки кт = 2вт / Ь, в

крайних волокнах начинает появляться текучесть, которая при дальнейшем возрастании нагрузки постепенно проникает вглубь. Когда изгибающий момент превышает значение максимального упругого момента, в точках сечения с ординатами

11 Ь Вт

^ ьтах

возникают пластические деформации.

Принимая гипотезу плоских сечений и подставляя физические соотношения

2ЕУВ п

о = Ег = Еук =

Л

при У ^ Ут,

о = от +

ов -От ( 2у

8 в 8т

8тах -8Т I при У > Ут

в интегральную зависимость

М = | оубА.

получим следующее уравнение, связывающее изгибающий момент в сечении с деформацией наиболее удаленного от нейтральной оси волокна:

т = 1,5

1 -

8

V тах /

+

к8г

1 -

8

тах I

+

8

тах у

где т =

М

От^х

- безразмерный изгибающий момент.

При выводе уравнения (4) интегрирование ведется по неизменной площади поперечного сечения. Конечно, при решении задач в больших деформациях и перемещениях, к каковым относится и наша задача, этот вопрос требует дополнительного рассмотрения и обоснования пределов применимости.

2

3

8

8

т

т

т

вт

вт

Из этого уравнения при известном значении изгибающего момента m численно -итерационным методом Ньютона - определяется значение максимальной деформации s max, вычисляется кривизна изогнутой оси балки по формуле

К = 2s max/h

и - так же численно, без помощи дифференциального уравнения, определяется изогнутая ось, а затем и напряжения в любой точке балки. В работе [2] при решении задачи в рамках диаграммы Прандтля подобное уравнение решается путем подбора.

Кратко опишем алгоритм решения задачи. Задается значение угла поворота на левом краю:

п = П01 ^ П02 П°

к

где Я01 = - — и Я02 = 0 - начало и конец диапазона возможных значений Я0; задаются

начальные значения длины дуги изогнутой оси, абсциссы сечения, прогиба и угла поворота:

S = 0, z = 0, w = 0, Я = Я0; затем длине дуги дается приращение

s = s + As

и вычисляются новые значения z и w :

z = z + As  cos Я0, w = w + As  sin Я0.

В сечении с найденным значением z определяется безразмерный изгибающий момент

2fz

m(z ) =

і

где ґ = F/Fт - безразмерная сила, а Fт = 4от^х/1, после чего вызывается процедура

численного решения уравнения (4) и определяется значение 8тах, затем - кривизна по

формуле (5) и угол поворота в конце первого шага:

Я = Я + к • Л5.

В таком порядке расчет ведется до достижения середины балки, где производится проверка второго граничного условия: угол поворота сечения в середине балки должен равняться нулю. Если это условие с заданной точностью выполнено, то итерация прекращается и выдаются на печать результаты; если нет, то производится корректировка граничного условия на левом краю: если Я < 0, то изменяется нижняя граница начального угла поворота

Я01 = Я ,

и, наоборот, если Я > 0, то изменяется верхняя граница начального угла поворота

Я02 = Я,

вычисляется новое значение угла поворота на левом краю

Я = Я01 + Я02 0 = 2 ,

и так далее, расчет повторяется до выполнения второго граничного условия.

В результате решения полностью определена изогнутая ось: для каждого сечения найдены значения горизонтального перемещения, прогиба, угла поворота, максимальной деформации и кривизны.

Далее, в дополнение к этим результатам, в основном полученным в работе [1], определяются напряжения в различных сечениях балки ( с шагом 0,05/ по длине балки и 0,05Л по высоте каждого сечения) по формулам (3), а также остаточные напряжения в тех же точках балки и остаточная изогнутая ось балки после ее разгрузки. Остаточные напряжения определяются вычитанием напряжений разгрузки из напряжений нагрузки по формуле

о ост

Остаточная изогнутая ось балки определяется так. В среднем сечении балки угол поворота равен нулю, остаточный прогиб предварительно берется равным прогибу под нагрузкой:

й = 0 w = №

^ п,ост п,ост п*

Затем последовательно (с шагом Аз ) по направлению от середины к левому краю вычисляется остаточная кривизна

2т, от

К /,ост = К, ,

новое значение угла поворота

о = о К Аз

Х7/,ост ^ /+1,ост к/+1,остАЛ°

и предварительное значение остаточного прогиба І -го сечения

IV- = №  , — А Аз

і,ост і+1,ост ^ і,ост ^ •

Рис. 2 - Изогнутая ось балки при различных значениях силы

После определения в таком порядке прогибов всех сечений, в том числе крайнего левого Ам 0ост, найденную кривую следует поднять на величину №0ост и окончательно построить остаточную изогнутую ось:

№ = № - м

/ ост / ост 0 ост

При выводе формул (6) и (7) учтено, что разгрузка происходит по линейному закону.

По описанному алгоритму составлена программа на языке «Фортран-90» и выполнен расчет при следующих исходных данных: I = 200 мм, Ь = І! = 8 мм, остальные были приведены ранее. Результаты расчета приведены в виде графиков на рисунках.

На рис.2 в масштабе балки показана ее изогнутая ось при различных значениях силы (f = 1,0... 3,1), на рис.3 - график зависимости максимального прогиба от силы, на графике точками показаны результаты наших первых экспериментов, правда, опытная установка еще далека от совершенства и требует доработки, тем не менее можно сказать, что результаты опыта и расчета не находятся в противоречии между собой.

Рис. 3 - Зависимость максимального прогиба балки от значения силы

Как видно, график f - №тах по форме напоминает расчетную диаграмму растяжения

(рис.1 в). Этот график можно аппроксимировать кусочно-линейной функцией и предложить следующие простые инженерные формулы для приближенного определения максимального прогиба балки:

№ = < тах '

Рт-12 г 6ВЬ ’

СТ12

6ЕЛ Оті 2 6ЕЛ

(1 +1,8 ( -1)),

при f < 1,0; при 1 < f < 1,5; при f > 1,5.

На рис. 4 приведены эпюры нормальных напряжений в среднем сечении балки под нагрузкой f = 1,5 и остаточных напряжений после снятия нагрузки.

2у/Л 2у?‘ Л

1.0

\1 у/

N. 0.5 / разгрузка у ост. напояжения

- з  — 300 200 (т, МПа

/^аг&лкение

-1.0 X X

Рис. 4 - Нагрузочные и остаточные напряжения в среднем сечении балки при f = 1,5

В заключение отметим, что при решении задачи не приняты во внимание поперечные силы и связанные с ними касательные напряжения. При больших прогибах также может оказаться заметным и влияние нормальных сил. Эти, а также отмеченные ранее нерешенные вопросы предполагается углубленно изучить в дальнейшей работе.

Литература

1. Валиуллин, А.Х. Упругопластический изгиб балки из линейно упрочняющегося материа-ла./А.Х.Валиуллин// Материалы второй международной конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела», Казань, Казанский государственный университет, 2009, С. 76 - 78.

2. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов/ В.И. Феодосьев. - М., изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001, 592 с.

© А. Х. Валиуллин - канд. техн. наук, доц., проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ, 1ш8ш&к81и.т.