Об одной задаче для слабо гиперболического оператора

Выводы: Получено условие на несобственную часть характеристического множества для дифференциального оператора, обеспечивающее продолжаемость обобщенных решений задач Дарбу-Гурса-Бодо в пространстве ультрараспределений.

Список литературы / References

1. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М. «Наука», 1967. 488 с.

2. Бердимуратов А.М. Метод экспоненциального представления Паламодова и его приложение к некоторым аналогам классических задач в пространствах обобщенных функций. Бишкек, 2017. 86 с.

ОБ ОДНОЙ задаче для слабо гиперболического

ОПЕРАТОРА

Бердимуратов А.М. Email: Berdimuratov641@scientifictext.ru

Бердимуратов Амангельди Мухтарович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в этой работе найдено условие на несобственную часть характеристического множества системы (1), обеспечивающее продолжение обобщенных решений бесконечного порядка с окрестности диска в окрестность n-мерного тела. Доказывается, что есть сходность решения в окрестности диска, а затем следует проверить, что соответствующие интегралы сходятся к обобщенной функции в окрестности п-мерного тело. Для этого найдено подходящее условие на геометрию характеристического многообразия N рассматриваемой системы дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Ключевые слова: диск, п-мерное тело, замкнутый конус, преобразование Фурье, подпространство, компакт, слабо гиперболичность, алгебраическая многообразия.

ON ONE PROBLEM FOR A WEAKLY HYPERBOLIC OPERATOR

Berdimuratov A.M.

Berdimuratov Amangeldy Mukhtarovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, DEPARTMENT OF INFORMATION TECHNOLOGIES AND PROGRAMMING CHAIR, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER ZH. BALASAGYN, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in this paper we find the condition but not the eigenvalue of the characteristic set of the system (1), which ensures the continuation of generalized solutions of infinite order from the disk neighborhood to the neighborhood of an n-dimensional body. We prove that the convergence of the solution in the neighborhood of the disk and then verify that the corresponding integrals converge to the generalized function in the neighborhood of the p-dimensional body. To do this, we find a suitable condition for the geometry of the characteristic variety N of the system ofpartial differential equations with constant coefficients.

Keywords: disk, n-dimensional body, closed cone, Fourier transform, subspace, compact, weakly hyperbolicity, algebraic variety.

УДК 51:517.9

Произвольный линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами в Rn мы будем записывать в виде: p(D) = j PjD, pj e C,

i ёJ

где: D' = -, j = (j,.....j ),

d£Jt 84'"

\'\ = j j, ' = а 4 = (4,.......4) ~ некоторые фиксированная

k=1

система координат в Rn.

Пусть z=(zb....zn) - точка n-мерного комплексного пространства Cn. Многочлен

p(z) = ^^p -Z, Z = zjl____zj называется характеристическим по отношению к

оператору p(D). Алгебраическое многообразие NcCn, образованное корнями многочлена p(z), также называется характеристическим.

Дифференциальный оператор P(D) можно записать в виде:

P(D) = Pm(D) + Pm-i(D) + .+ po , _

где m порядок оператор p, а Pk(D) сумма членов порядка k в этом операторе, k = 0, m. Оператор pm(D) называется главной частью оператора p(D).

Вектор ^eRn называется характеристическим по отношению к оператору p(D), если pm(^)=0. Лемма 1. Если оператор p(D) не характеристический по отношению направлению оси то на его характеристическом множестве N выполнятся неравенство вида:

|z1| < B (|z'|+1) (1а), где: z'= (z1,.zn), а B-некоторая положительная константа. Доказательство: Пусть m порядок оператора p(D). Запишем многочлен p(z) в виде:

p(z) = p(zx, z') = qnzmx +q^z') • z^ +... + qa( Л

где qm = Const Ф 0, а qj (z'), j = 0, m-1 полином степени не выше m-j относительно z' .

Обозначим через X1(z' ),....Xm(z ') корни многочлена p(z1, z ' ). Из книги Гельфанда и Шилова [2] (теор. Гл.2, §6, п.2) следует что

max|^ (z' )| < B (jz ' | +1) Отсюда вытекает неравенство (1). Лемма доказана.

Определение 1. (см. Хермандер [1]). Оператор p(D) гиперболическим относительно вектора 9eRn если этот вектор не является характеристическим по отношению к оператору p(D) и выполнено условие: существует вещественное число т0, такое, что p(^+ii9)^0 при ^eRn, т < т0 .

Определение 2. Оператор p(D) называется слабо гиперболическим относительно вектора 9eRn , если главная часть его pm(D) является гиперболической относительно этого вектора.

Известно, что всякий гиперболический оператор является слабо гиперболическим оператором и что обратное утверждение не всегда верно (см. Хермандер [1]).

Теперь рассмотрим произвольную однородную систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такую систему можно записать в виде:

P11 (D) U1 +.....+ P1s (D) us = 0

--------------------------------------

_ Р11(0) и +....+ Р„ (Б) и = 0

где ру(Б), [ = 1, t, j = 1,8 произвольные линейные дифференциальные операторы с

постоянными коэффициентами, а числа 1 и 8 произвольны. Систему уравнений запишем в матричной форме:

Р

где: и = (иь...,и5) - неизвестная вектор функция, а Р(Б) - произвольный линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу для слабо гиперболических операторов.

Теорема . Пусть Р(Б) - слабо гиперболический по 1 оператор порядка т. Тогда 3 5 >0 такое, что Уг>0иРе(1,т / т-2) и любых обобщенных функций

WJ е[и\в(г))], ] = 0,1,....,т - 2

^ являющиеся решениями системы уравнения (2) в

3о.ф. и е иР (А5 (г))П

теле а5(г). и удовлетворяющая условиям следующего вида: —1гм = , 7 = 0,1,....,т - 2.

Определение 3. Пусть ю - область в Rn Обобщенную функцию

f e [up(<a)]s, назовем слабо непрерывной (k - раз слабо дифференцируемой) по t в классе [up(<a)]s, если для любых областей ю1 e R1 и ю' e Rn-1 таких, что ю^ю' с ю и для любой функции ф'(4') e [Др(ю')]5 функционал (f, ф')4' (t), действующей по формуле:

((/,^1 ) = (/,^1 v), ) e [д

соответствует непрерывный (k - раз дифференцируемый) функции по t в < i. Доказательство: Так как оператор P(D) слабо гиперболический по t, направление по t, не является характеристическим, поэтому его можно записать так:

m 8m-j

P(D) = jPj(D4')-—, где: P(Dr) = Const * 0.

j=0 8t

Для любого целого k < m, методом индукции по системы уравнению (2) построим обобщенную функцию Wk e [up(G)]s так, чтобы

k

PW =-Z Pj (D4' )wk _ j

j=1

Пусть большое целое число M > 0 и сопоставим обобщенную функцию

M + m tj

W

j=0 J!

Для любого целого k < M + m получим

DkW\ =

Dt W t=0

(M + m tJ _k ^

j+j --W.

£ (j -k)! j

= W

t=0 = '' k

В силу построения функционалов Wk будем иметь:

В (Р(П)Ж\ (=0 = 0 V з = 0М

Поэтому

М +

Р(П)Ж = Т— V (4) где: V ~ некоторые функционалы, принадлежащие М+1 5! 1 1

пространству [и^^г))]*1 . По определению этой обобщенной функции

V р е[др (я1 * в(г))] имеем :

М +т и + у

(Р(Ц^,р(г,4'))- Т | -V(4'),р(')) Л

м+1 -и 5! 4

Определим функционал У+ по формуле

V,р) = еТ(г(4')Ж4) А Vр4дiRl*С(г))]

м+1 о 5! 4

Функционал У+ принадлежит пространству [up(R1*G(r))]s и равен нулю при К0. Вычислим от функционала У+ производную по 1 порядка М.

/ \ М + т и ^ , Ч М + т и т

,р)= (-1)М т | -(V,(4'),р(4А = Т Ь-Т7Г7(V,(4'),р(t,4'))dt

М+1 —и 5! М+! 0 (5 — М )!

Решим уравнение вида:

БМР( В)п+ = БМУ+

Для этого в силу теоремы выберем фундаментальную функцию Е оператора вМР(П), так чтобы ее носитель содержался в полупространстве 1; > 0. В силу той же теоремы

фундаментальная функция Е оператора вМР( в), принадлежит пространству определяется формулой:

m

,m-1 |П n I

1

ад = (2*)-" 1 т-ф(Угг,х')-«х

я» [/

Здесь х1 = (х2,.. ,,хп), ф - преобразование Фурье функции ф,

. , т-1

г = с(х + 1)т, а |Р(х + /г,х')> С > 0

Для любого т' е [дР (я"-1 )] при любом В>0 имеет место неравенство: |ф ' (х)| < С|\фР,В ехрВ|х'|Ргде: В > 0 и зависит от В.

В силу теоремы Пэли - Винера V е [д^(я1 )] имеем:

где компонент К1 есть носитель Т1.

m-1 /

Так как Jкl(-г) < Л\\ < Д|х'\^ + С2 то (х + /г) < ехрI Л\х'\

Теперь возьмем В>0, таким чтобы было В1>А1, тогда получим:

т

|~(х)|*х1 + /г)| < САЩР'В *||^42ехрI -В21 х'\р I < *

* В2\х'\р| где: В2 > 0.

Учитывая это неравенство, покажем, что V т' е [дР(я» 2 )] функционал (е, т')',

действующая по формуле (е, ч)^, т) = (е, тт') принадлежит пространству Ь2(Я!), вместе со своими производными по 1 до порядка М-2. Действительно, для любого компакта К1

с Я1 и V е [Др] имеем:

\(е т') т = г г т (х) * т1(х +/г) лхлх'< С ||т|| *

|(ет ^^ = л Р(х + /г) [/(х + 1Т)Г ¿Ч* < 41т 1 Ь2

1 ехр I- В2\х'р | * Л

I м

х + /г

V I 1 I У

< с т

Из того, что функционал (Е, т' )', непрерывен по норме Ц^Ц в силу теоремы Рисса

вытекает, что он отвечает функции из Ь2 на К1, а так как К1 произвольный компакт, эта функция принадлежит пространству Ь2 на каждом компакте. Аналогично V ] < М-2 получим:

№ (ЕЕ, т^(о) = |((Е т)„ бад) = * ^ 1 +\ < С!^

Пусть Ог_6 замкнутый диск, концентрический с диском О(г), радиуса г-8. Пусть Аг 2Е, 5 > 0 число определяемое этой теоремой, есть замкнутый конус, определенный раньше. Возьмем

функцию И е [дР(я»)] такой, чтобы она равнялась единице в Аг 2Е, 5 > 0, а носитель ее содержался внутри Я1* Ог.6.

Рассмотрим функционал = ИУ +, он имеет компактный, носитель содержащийся в Я1* Ог.6 , поэтому его можно считать финитным функционалом в Яп.

Рассмотрим свертку и+ = Е * , она является функционалом над классом

[д )] .Поскольку функционал Е слабо дифференцируема по 1 (М-2) - раза, мы можем написать, (Е * тт ' )(/, ,') = /(ЕЕ * т' (/ - г, ,)* ^(г)Яг.

Причем функционал /(е * т' )' (/ - г, 77') дифференцируем по 1 до порядка М-2 и все эти производные принадлежит пространству Ь2. Ввиду этого, что функция бМу+ слабо непрерывна по 1, мы можем написать:

(и;,^1^')= (пМк+,е*^1^')= пМк+(т,7),/(е*т'),,(г-£,,'>ВДЯ X =

I

ж.

|М+т" г"5 -М

| М + т" г / ^ \

1^1 (/)| Е1^^лДи(г,,')у(7),(е*т')г(г-£,,))*я

V м+1 0 (5 - м )! Откуда следует, что функция (и +, т ' (£) равна функции:

ЕЕт" 7) V (7), (ее * т' \ (г - £, 7)),, «г

м+10 (5 - м). 7

Так как функционал Е слабо дифференцируем по 1 до порядка М-2 и его производные до этого порядка принадлежат пространству Ь2(Я1), то эти производные слабо непрерывны по 1 до порядка

М-3, следовательно, функция (и +, т ' (£) имеет непрерывные производные по 1 до порядка М-3. Так как функционал (Е * т ' )' (г - £,,) обращается в нуль при 1<0, г > 0, то функция

(и;, т ' \

'(/) обращается в нуль при 1<0 и поэтому она обращается в нуль вместе со своими производными по 1 до порядка М-3, при 1=0.

Из определения фундаментального решения вытекает, что свертка и+ = Е * БМУЕ ,

удовлетворяет уравнению БМР(Б)и+ = БМУ+ .

Отсюда следует, что БМ ( Р(Б)и + - УЕ ) = 0, следовательно, Р(Б)и + - Уе+ есть

полином по 1. Поскольку

Р( Б)и+ и У;+ обращаются в нуль при 1<0, то Р(П)и + = Уе+. Теперь заменим направление оси 1 на противоположное и аналогично функционалу и+

построим и-, который принадлежит пространству [иР(я»)]", равен нулю при 1>0,

удовлетворяет уравнению вида: Р(Б)иЕ - Уе

и имеет в слабом смысле непрерывные производные по 1 до порядка М-3, причем V/ = 0М - 3 Би-1 „ = 0 У~ = ИУ~ а функционал V- определяется по формуле:

«у ' ' / ; | /—0 ' ; '

(у-,ф) = ме / £1 (У" в хфы %4г, V фе[др(я1 * ед)]5

М + 1 -ю 1.

Выберем число М таким, чтобы М-3 > т.

Покажем, что функционал и = Ш - и+ - иЕ является искомым решением в конце

А^2 . Проверим, что выполняются начальные условия, имеем:

дки. _дкШ, дки + | д Ч-

= ш , к = 0, т - 2.

д£* \о(г) д£* 1с(г) д£к ^ д£к ^) * Выберем последовательность последовательных чисел вк , стремящуюся к нулю при к^ю.

По доказанному V целого k>0, мы можем построить решение данной задачи Коши,

определение в . При этом в силу вышеуказанной теоремы для любых бесконечно

r 2bk

различных значений k эти решения совпадают на пересечении этих телов.

Поэтому эти решения определяют решение данной задачи Коши на объединении телов

Л^-г^ . которое равно открытому телу Л^(Г).

Теорема доказана.

Список литературы / References

1. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М. «Мир», 1965.

2. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций («Обобщенные функции» вып. 2). Физматгиз. Москва, 1958.

3. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М. «Наука», 1967.