Численная реализация дискретноконтинуального метода конечных элементов для задач статического расчета балок-стенок с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению часть 2: построение локальных и глобальных матриц жесткости и векторов нагрузок

2/2011

вестник

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧ СТАТИЧЕСКОГО РАСЧЕТА БАЛОК-СТЕНОК С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ ЧАСТЬ 2: ПОСТРОЕНИЕ ЛОКАЛЬНЫХ И ГЛОБАЛЬНЫХ МАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ И ВЕКТОРОВ НАГРУЗОК

NUMERICAL IMPLEMENTATION OF DISCRETE-CONTINUAL FINITE ELEMENT METHOD FOR STATIC ANALYSIS OF DEEP BEAMS WITH PIECEWISE CONSTANT PHYSICAL AND GEOMETRICAL PARAMETERS IN BASIC DIRECTION PART 2: CONSTRUCTION OF LOCAL AND GLOBAL STIFFNESS MATRICES AND LOAD VECTORS

Рассматривается численная реализация дискретно-континуального метода конечных элементов (ДКМКЭ) для задач статического расчета балок-стенок с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению. Во второй части работы излагаются вопросы построения локальных и глобальных матриц жесткости и векторов нагрузок.

Numerical implementation of discrete-continual finite element method (DCFEM) for static analysis of deep beams with piecewise constant physical and geometrical parameters in basic direction is under consideration in the distinctive paper. The second part of the research is devoted to construction of local and global stiffness matrices and load vectors.

5. Построение матриц жесткости дискретно-континуального конечного элемента (ДККЭ).

Функционал энергии конструкции можно представить в виде суммы функционалов, определенных на дискретно-континуальных конечных элементах. С учетом вышеизложенного можем установить следующее соответствие между континуальными операторами, представленными в [3,4] и их дискретно-континуальными аналогами на произвольном ДККЭ:

П.А. Акимов, М.Л. Мозгалева, В.Н. Сидоров

Pavel A. Akimov, Marina L. Mozgaleva, Vladimir N. Sidorov

гоу впо мгсу

£ =

_0 ДА

ЛА 0

Кк = к0т

к, уи 0, п

1

| (т (г ))та£т '($ а

N

Ь1ш = д * где Ак" = ^

К + 2л 0

о

А,,+2 Д.

0

А

д ^ К<0 =— N

к

I (Т '(г ))та£Т '(г )А

N

II ( ' 0 А.'

Мк. 0

=

_0 а,.

Л, о

Ак;1 =

л, +2 А. 0

А,

аг

Имеем (см. также [3, 4]):

а 'Г 0" а "1 г 0 0" "0 1 0 0

аг 0 гт аг 0 01 г 0 0 0 1

^ (К

(••) к,0

);

(К

<0 ~

); (£к,ииик,ик) ^ (Кк1и

Вычислив интегралы в (5.1)-(5.4) , получим:

Кк1— Г

у 6 '

0

А,.- 0

0 0 2(Лъ, + 2Дк,() К-

0 0 ^ + 2Мк; 2(А,.

' 0 0 -Л»

(') = 1 0 0 к-

к,и 2 "Дк,.- -Мк 0 0

0 0

0 о

^ 2Я

К1% =

0 0

-К

0 0

А, К,

-Мк, "Я, 0 0

Мч

Я,. 0 0

к

А, +

- (А,. + ) 0 0

-

А,* + 2 Дм 0 0

0 0

0 0

А,,

А.

Исходя из общих, принятых в стандартном методе конечных элементов (мкэ) принципов нумерации неизвестных выполним следующую перестановку неизвестных

и соответствующее преобразование строк и столбцов матриц Кк'}у, К^ , К(к'1и и К'к''ш :

(Кю^о, ~(к,'>) ^ (К^<к,'>, у<к,°); (К~к'1~(кЛ, ~(к,')) ^ (кии™, ?к,'));

где К^ = РТК

^ к, уу к,уу ' к,иу к, иу ' к,уи к, уи ' к,ии к, и и ' V '

0

1

2

1

>

п

;

И

у*')

П

-

Р =

10 0 0 0 0 10 0 10 0 0 0 0 1

Р - матрица перестановок.

Итак, с учетом (5.8)-(5.11) и (5.12)-(5.14) будем иметь:

2Д.,,- _ 0 Мк,< _ 0

_0 2(Як ,, + 2Дк ,,) 0 + 2Дк„

Дм _ 0 _ 0

0 А, + 0 2

6 '

К! =-

К =-

к^ =-

0 "А,, 0 -А,

- Мк: 0 "Дк,: 0

0 А,, 0 А, )

0 Я : 0

' 0 0 л,

1 -А, 0 А, 0

2 0 0 )

0 А, 0

+ 0 - (А, + 2^к ,,0 0

0 Й: 0 -Рк,

+ 2Мк: ) 0 А,, 0

0 "Дк,: 0 й,,

6. Формирование локального вектора нагрузок.

Пусть приложенная к конструкции нагрузка представляет собой совокупность сосредоточенных сил или сводится к такой совокупности.

Вектор нагрузок в виде сосредоточенных сил в , -м узле имеет вид:

р,к)=чх2)=[ у г ]т,

—(¡к) _ е(¡,к)(х ) _ [ пил) пак ]т . па,к) _~5а,к\ _{ рол т

где

причем

К» = <Чх2) = [ К Кг ]т; п.'П = К )(х2) = [ Е, ]т

е^) = 0. Е^) = 0;

и ) - значения сосредоточенных нагрузок, приложенных в : -м узле по направлению осей Ох1 и Ох2 соответственно.

Вектор нагрузок во всех узлах ДККЭ определяется в следующей форме:

Ес» = Е<',к>

Е<« = Е(:',к)(х2) = [Е ) Е(í'i) Е (,'!1,к) ]т ; Е^ = [0 0 0 0]т

и и V 2/ I- и,1 и,2 и,1 и,2 J ' V Ь J

7. Формирование глобальных матриц и векторов.

Формирование глобальных матриц Ккии, Ккш, Ккте и Ккто 2^ -го порядка системы ДККЭ для всей конструкции осуществляется аналогично стандартной методике формирования глобальной матрицы жесткости [7,9]. Схема формирования глобальных матриц Ккуу, Ккш,Кки и Ккш условно показана на рис. 7.1, 7.2, 7.3 и 7.4. Штриховка

(к ¡) и ' =

—(к,:) ук ' =

П

1

2

1

ВЕСТНИК 2/2011

используется для обозначения элементов соответствующих поэлементных матриц. «Перекрывание» штриховок соответствует расположению суммируемых элементов, незаштрихованные элементы являются нулевыми.

—

— — — —

_ = --

и

%

—

1- £ —

-

I" '

3 п

\ к

I' 1

Рис. 7.1. Условная схема формирования глобальной матрицы Кк

г-

: и

а;:;

Я* г=

1"'п

1

лШ

1

У-

" - • *

- -

Г ' О, ,..

Рис. 7.2. Условная схема формирования глобальной матрицы Кк

К

41 «л

л-!. < -

;

т

_

1-.1 .

г * '

* ' 1Я

Рис. 7.3. Условная схема формирования глобальной матрицы Кк

«К.

А"."'

£

-

V

V _

- -

—

rr.i l.

ни

кг > л.....

Рис. 7.4. Условная схема формирования глобальной матрицы Кк

Заметим, что при наличии в рассматриваемой конструкции [5, 6] «пустот» (т.е. дискретно-континуальных элементов с нулевыми значениями характеристической функции) матрица Кк уу будет вырожденной , что, очевидно , приведет к невозможности

вычисления КкВ этой связи необходима коррекция матрицы Кк уу. Алгоритм этой

коррекции следующий:

1. Последовательно перебираем . = 1 , 2 ,... , 2N.

2. Для каждого значения . следующее: если все элементы . -й строки матрицы Кк уу нулевые и все элементы . -го столбца матрицы Кк уу также нулевые, то следует положить (Ккуу).. = 1, где (Кк уу).. - элемент матрицы Кку , расположенный в . -й

строке и . -м столбце.

Континуальные операторы [3, 4] и матрицы [1, 2] сопоставлены так:

Ь

Ккш; Ь,

Ьк =

Ь-1 Ь,

к,уу к,ии

Ккш; Ь,

ш ь,

к,уу к,иу

>КК„; Ьк

^ Ак =

-Ккт; Ьк Е

К,

К К

к,уу к,ии

к к,

к,уу к ,иу

где Е - тождественный оператор и единичная матрица соответствующего порядка;

Кк!ш = Кк!ш - Ккуи .

Глобальный вектор узловых нагрузок формируется по формуле _ 1к = Ёк (х2) = [ (Я^ У (*к,у )Т ]Т , _

^к,и = ^и (*2) = [(Д^У (Д^У ... (К,кУ ]Т ,

*к,у = ^к,у(*2) = [(СУ (ДГУ ... (^ГУ ]Т, т.е. Як,у = 0. Пусть х[ к, д = 1,2 ,

^)

пд ' - координаты нагруженных поперечных сечении рассматриваемой конструкции (см., например, рис. 7.5). Следовательно, можем записать:

_____д _

^к,и ^к,и (Х2 ) ^^^ ^к,д,и^(Х2 Х2,д,к ) ,

где Як

,Чди вектор значении узловых нагрузок, приложенных в сечении с координатой х{ к, структура которого аналогична вектору Як и; с>(х) - дельта-функция Дирака [8].

0

0

I

i

\

iL

m

I

k. ^ -1. 2 .., л^* нирйияяяи «аэд-даготг «чидай Рис. 7.5. Пример расположения координат нагруженных сечений.

Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:

1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные, аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.

2. Грант 2.3.9 Российской академии архитектуры и строительных наук «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.

3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических решателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструкций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).

4. НИР «Разработка, исследование и развитие математических методов и программно-алгоритмических средств, реализующих безопасную технологию возведения уникальных зданий и сооружений сложной архитектурной формы», выполняемая в рамках Тематического плана ГОУ ВПО МГСУ (проект 5.1.11).

Литература

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8. 9.

Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №1, 2011, с. 11-16. Акимов П.А. Корректный метод точного аналитического решения многоточечных краевых задач расчета конструкций для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с кусочно-постоянными коэффициентами. // Вестник МГСУ, №4, т. 1, 2010, с. 24-28. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений. - М.: Издательство «Архитектура - С», 2010. - 336 с. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных элементов. Приложения в строительстве. - М.: Издательство АСВ, 2010. - 336 с. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Издательство Мир, 1975. - 872 с.

Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. - М.: Издательство Наука, 1981. - 688 с.

Секулович М. Метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. - М.: Наука, 1965. - 327 с. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The Finite Element Method Set, Sixth Edition. ButterworthHeinemann, 2005, 1872 pages.

2/2011 вестник 2/20L]_МГСУ

References

1. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of First-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #1, 2011, pp. 11-16 (in Russian).

2. Akimov P.A. Correct Analytical Solution of Multipoint Boundary Problems of Structural Analysis for Set of Second-order Differential Equations with Piecewise-constant Coefficients. // Bulletin MSUSE, #4, vol. 1, 2010, pp. 24-28 (in Russian).

3. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual methods of structural analysis. Moscow, "Arkhitectura - S", 2010, 336 pages (in Russian).

4. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Discrete-continual finite element method. Applications in Construction. Moscow, "ASV", 2010, 336 pages (in Russian).

5. Nowacki W. Theory of Elasticity. Moscow, "Mir", 1975, 872 pages (in Russian).

6. Parton V.Z., Perlin P.I. Methods of Mathematical Theory of Elasticity. Moscow, "Nauka", 1981, 688 pages (in Russian).

7. Sekulowicz M. The Finite Element Method. Moscow, "Stroyizdat", 1993, 664 pages (in Russian).

8. Shilov G.E. Mathematical Analysis. Second Special Course. Moscow, "Nauka", 1965, 327 pages (in Russian).

9. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L.: The Finite Element Method Set, Sixth Edition. ButterworthHeinemann, 2005, 1872 pages.

Ключевые слова: дискретно-континуальный метод конечных элементов, статический расчет, балка-стенка, кусочно-постоянные физико-геометрические параметры, метод расширенной области

Keywords: discrete-continual finite element method, static analysis, deep beam, piecewise constant physical and geometrical parameters, method of extended domain.

Авторы:

1. Акимов Павел Алексеевич, доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: + 7(499) 183-59-94; e-mail: pavel.akimov@gmail.com.

2. Мозгалева Марина Леонидовна, кандидат технических наук, доцент, профессор (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-5994; e-mail: marina.mozgaleva@gmail.com.

3. Сидоров Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор, советник РААСН, заведующий кафедрой (ГОУ ВПО МГСУ); 129337, Россия, г. Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс: +7(499) 183-59-94; e-mail: sidorov.vladimir@gmail.com.

Статья представлена Редакционным советом "Вестника МГСУ"