Моментные функции как отражение полиномиальной вероятностной зависимости

На основе модели обучаемого интеллектуальная обучающая система рекомендует для более углубленного изучения то или иное направление и формирует блок дисциплин данной предметной области в качестве курсов по выбору и факультативов. Если какая-то из дисциплин изучается впервые, то система предлагает студенту пройти первоначальное тестирование на определение уровня знаний и на основе полученных результатов формирует блок заданий, лабораторных и контрольных работ, соответствующих его возможностям. Отметим, что данные задания могут меняться по уровню сложности в зависимости от результатов их выполнения. Если же дисциплина является продолжением определенного направления, то система учитывает результаты уже изученных разделов данной области, на основе которых формирует уровень сложности заданий и выдает их обучаемому. На каждом этапе выполняется промежуточный контроль знаний и сформированных компетенций и корректируется траектория дальнейшего обучения. В случае получения результатов сформированности компетенций «ниже порогового» система отправляет обучаемого на работу с интернет-тренажером, где ему

предлагаются примеры подобных заданий с подробным объяснением решения. После успешного прохождения интернет-тренажера система направляет студента на повторное выполнение прерванного сеанса. Если количество повторов выполнения больше порогового значения, которое преподавателем задается в системе, то происходит вмешательство преподавателя.

Представленная интеллектуальная обучающая система, спроектированная на основе теории конечных автоматов (автоматы Мили и Мура), внедрена в ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет» и ФГБОУ ВПО «Поволжский государственный технологический университет». Результаты исследований [5, 6, 7] доказывают положительное влияние применения разработанной ИОС на повышение качества обучения.

Работа подготовлена в рамках внутривузовско-го гранта на выполнение научно-исследовательских работ ФГБОУ ВПО «Марийский государственный университет», договор № 2014-0126. Регистрационный номер НИОКР - 115021610070.

Статья поступила 26.08.2015 г.

Библиографический список

1. Об утверждении Программы фундаментальных научных исследований государственных академий наук на 2013-2020 годы: распоряжение Правительства РФ № 2237-р от 3 дек. 2012 г. [Электронный ресурс] // Российская газета. URL: www.rg.ru/ (23.06.2015).

2. Никитин П.В., Фоминых И.А., Горохова Р.И. Использование интеллектуальной обучающей системы при обучении студентов информационным технологиям // Вестник ИрГТУ. 2015. № 3 (98). С. 24-29.

3. Короткин А.А. Математические модели искусственных нейронных сетей: учеб. пособие. Ярославль: ЯрГУ, 2000. 55 с.

4. Нейроинтеллект: от нейрона к компьютеру / Е.Н. Соколов [и др.]. М.: Наука, 1989. 237 с.

5. Никитин П.В. Организация индивидуального обучения будущих учителей информатики с применением современных информационных технологий [Электронный ресурс] // Образовательные технологии и Общество (Educational Technology & Society). 2014. Т. 17. № 3. С. 569-583. URL: http://ifets.ieee.org/russian/ periodical/journal.html (25.06.2015).

6. Никитин П.В., Фоминых И.А., Мельникова А.И. Особенности организации НИР студентов-заочников в области информатики и методики обучения информатике // Фундаментальные исследования. 2015. № 2. С. 586-590.

7. Никитин П.В. Automated control of students' knowledge in conditions of level differentiation of training // Открытое и дистанционное образование. 2014. № 4 (56). С. 93-102.

УДК 519.233.5

МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ КАК ОТРАЖЕНИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ

© А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Приведены результаты экспериментального исследования моментных функций. Дано краткое описание технологии проведения эксперимента и программного инструментария. Описаны результаты, которые обеспечили получение обоснования физических свойств, отражаемых моментными функциями, - полиномиальной вероятностной зависимости. Выводы носят оценочный характер и обусловливают продолжение теоретических и экспериментальных изысканий.

Ключевые слова: регрессионный анализ; полином; моментные функции; программные средства; численный эксперимент.

1 Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, тел.: 89148992771, (3952) 405162, e-mail: petrov@istu.edu

Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, tel.: 89148992771, (3952) 405162, e-mail: petrov@istu.edu.

MOMENT FUNCTIONS AS POLYNOMIAL PROBABILISTIC DEPENDENCE REFLECTION A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The results of the experimental study of moment functions are introduced. An experiment technology and software tools are described as well as the results that have provided the justification of the physical properties of polynomial probabilistic dependencies measured by moment functions. The conclusions derived are of evaluative nature and determine further theoretical and experimental researches.

Keywords: regression analysis; polynomial; moment functions; software; numerical experiment.

Рассматривается задача полиномиальной регрессии, суть которой состоит в аппроксимации облака точек полинома

>=5>,

xJ

1=0

где п - порядок полинома; Ь - коэффициенты регрессии; х - независимая переменная; у - зависимая переменная.

Способ нахождения коэффициентов Ь известен и состоит в решении системы линейных нормальных уравнений

ао • Ъо +а,  Ъ, +... + ап • Ъп = M „ ,

а1  Ъо +а2 Ъ, +... + ап+,  Ъп = MxY ,

ап  Ъ0 + ап+1 • Ъ1 + ... + а2п • Ъп = MxnY ,

_ у i=N

где а = — ^xj, j = 0,1,2,.. ,2п - оценки

7= 1

мо-

начальных моментов;

_ у i=N

MXjY = 1  Sx  У''j = 0,12' n - оценки

N i=l

ментов высших порядков; N - количество пар наблюдений.

В полиномиальном регрессионном анализе существует проблема априорного определения порядка полинома n в (1). Известна [1] методика Е. Андерсона определения n, основанная на утомительных процедурах проверки статистических гипотез. В [5, 6] эта проблема решена. Получен новый класс вероятностных характеристик, структурно похожий на классический коэффициент корреляции. Обеспечивается не только нахождение регрессионных коэффициентов bj из (1), но и АВТОМАТИЧЕСКОЕ нахождение действительного порядка n полинома (1). В определенной степени подтверждением такого способа оценивания порядка полинома являются выкладки и доводы А.А. Чупрова [7, с. 34-58].

Важным элементом отмеченной выше методики решения задачи полиномиальной регрессии являются моментные функции (правые части системы (2)). В литературе, в частности в [3, 4], приводятся крайне скупые сведения об этих характеристиках. Как правило, описание моментных функций сводится к общим

формулировкам и фактическому отсутствию объяснений, какие же реальные вероятностные свойства они отражают. И весьма резонно воспользоваться аппаратом полиномиального регрессионного анализа и, в частности, системами нормальных уравнений для того, чтобы сделать вывод о том, что моментные функции М^/у правой части системы (2) отражают величину вероятностной нелинейной зависимости переменной у от переменной х в соответствующей степени

Обратимся к описанию программного инструмента для экспериментальных исследований смешанных

моментов высших порядков

М,

XJY

В основу программного средства положено генерирование полинома до 4-го порядка, аддитивное наложение на него помехи и расчет оценок возможных моментных функций, нормированных соответствующими среднеквадратическими отклонениями.

Экспериментатор обеспечен возможностью задания коэффициентов полинома. При этом коэффициенты при первой и второй степенях полинома задаются как конкретными значениями, так и интервалом значений, в пределах которого организуется варьирование этих коэффициентов по 12-ти равноотстоящим градациям.

Аддитивная помеха представляет собой набор некоррелированных случайных чисел с одним из пяти выбираемых исследователем законов распределения вероятностей: равномерным в интервале [a, b], нормальным с параметрами (m, а), экспоненциальным с параметром А, арксинуса с параметром b и Рэлея с параметром а. Набор законов распределения вероятностей помехи определялся в основном формой плотности распределения вероятностей (симметричная, асимметричная или своеобразная - экспоненциальная или вогнутая) и возможностью управления этой формой через параметры закона.

Для каждого набора параметров эксперимент повторяется задаваемое число раз с последующим затем усреднением параметров. Исследователь также имеет возможность задать шаг изменения аргумента полинома и количество его значений (объем выборки).

В завершение описания моделирующей программы отметим, что она создана в рамках встроенного языка VBA Excel - компонента Microsoft 0ffice-2010. Каких-либо специфических требований к технической базе (компьютеру и его системному программному обеспечению) не предъявляется.

Основными задачами использования описываемого программного средства является получение ответов на следующие вопросы:

1. Отражают ли моментные функции вероятностные полиномиальные зависимости?

2. Каково влияние вероятностных свойств помехи на информативность моментных функций?

Для получения ответов на первый вопрос была проведена серия экспериментов с использованием описанного программного инструментария.

Генерировался полином второго порядка с нулевым свободным членом

у(г) = Ь  х'О) + Ь2  х2(г).

Аргумент t принимал 101 значение от -5 до +5 с шагом 0,1. Эксперимент повторялся 50 раз с последующим усреднением всех статистических оценок. Помеха аддитивно накладывалась на полином и имела равномерный закон распределения вероятностей в интервале [а, Ь].

На рис. 1. представлены примеры реализаций при условиях равномерного закона распределения помехи

в интервале [-0,001; +0,001]. Коэффициенты Ь1 и Ь2 принимают по 12 значений из интервала [-1; +1]. На рис. 2, а и Ь представлены, соответственно, усредненные оценки моментов гх!у(2) и гх2у(2)'

На рис. 3, а-б отражены «срезы» поверхностей, представленных на рис. 2. На рис. 3, а и Ь представлены моменты и ^Х2У(2) в зависимости

от коэффициента Ь1е[-1; +1] полинома и фиксированных Ь2 = -1; 0; +1. На рис. 3, с и б представлены моменты и ^х2у(2) в зависимости от коэффициента Ь2е[-1; +1] полинома и фиксированных Ь1 = -1; 0; +1.

Особенностью задания исходных данных этого эксперимента является малый диапазон значений помехи: ±0,001 (рис. 1). Это позволяет наглядно оценить способности моментов отражать те или иные нелинейные взаимосвязи.

Рис. 1. Примеры реализаций полиномов У

Основной Основной Основной -Основной -Основной

Основной Основной Основной -Основной -Основной

Ь1

Рис. 2. Нормированные моменты F^ly^j и

Основной Основнс Основной -Основной

-Основной *

\ 1 1 --Ь1=0,09 * f /

- • Ь1 =1 /

/ у

f Ь

Основной Основной Основной -Основной -Основной

I

•-1,00 0,09 1,00

Ь2

001 - 001 000 000 000 001

001 - 001 000 000 000 001

а) rX1Y

bt d[-1;+1], b2=-1;0;+1

Основной Основной Основной -Основной -Основной

к /' \ Ч

__ ✓ N _

— Ь2=- 1

1—^ --Ь2=0,09

Ь2=1 Ь

bb rX2Y(2) b1e[-1;+1], b2=-1;0;+1

Основной

i г  Ь2=-1 Ь2=0,09 Ь2=1

Ь1

-Основной

Ь1

001 - 001 000 000 000 001

001 - 001 000 000 000 001

С rX1Y

Ъ1=-1;0;+1;Ъ2е[-1;+1] а) ГХ2У(2) Ъ1=-1;0;+1;Ъ2е[-1;+1]

Рис. 3. «Срезы» поверхностей рис. 2

Даже приблизительный анализ данных на рис. 2 и 3 позволяет сделать однозначный вывод: моменты

и Г

Х2у(2) являются числовыми характе-

ГХ1У

ристиками, отражающими полиномиальную вероятностную зависимость. Данный вывод обеспечивает

полноправное присоединение моментов Г^уу и вообще моментных функций [3, 4] к числовым характеристикам. Как известно [2], числовые параметры должны:

1. Быть теоретически обоснованными.

2. Быть способными к определению по экспериментальным данным.

3. Отражать реальные физические свойства исследуемого объекта.

И если первые два требования выполняются, как и для любого вероятностного момента, то третье -только с получением описанных выше результатов. «Срезы» поверхностей (рис. 3, а и d) наглядно это подтверждают. Вместе с тем рис. 3, Ь и c показывает наличие «перекрестного» влияния вероятностных взаимосвязей различного порядка. И можно даже рискнуть предположить, что эти взаимосвязи могут выражаться моментными функциями с дробными степенями.

Для получения ответов на поставленные выше вопросы были проведены эксперименты с полиномами вида = Ъ • х1^) и у($ = Ъ2 • х2 (Ь), что

позволило избавиться от взаимовлияния полиномиальных вероятностных взаимосвязей 1-го и 2-го порядков. Базовые исходные данные оставались такими

же, как и в предыдущем примере. Изменялись только интервалы варьирования равномерно распределенных некоррелированных значений помехи: [-1; +1], [-10; +10] и [-500; +500]. Это обеспечивает оценку

влияния шума на поведение моментов и

Гх2у(2) - от ярко выраженной до визуально

неопределяемой полиномиальной зависимости (рис. 4, а-с).

На рис. 5 представлены моменты

при Ь2

= 0 и при Ь1 = 0, которые наглядно иллю-

стрируют отсутствие взаимовлияния полиномиальных вероятностных взаимосвязей в рассматриваемом примере.

Моменты

и Гх2у(2) , исчисленные

при Ь2 = 0 и при Ь1е[-1; +1], соответственно, для различных интервалов равномерно распределенной помехи [-1; +1], [-10; +10] и [-500; +500] представлены на рис. 6.

Те же моменты при Ь1 = 0 и при Ь2е[-1; +1], в тех же интервалах помехи приведены на рис. 7.

Полученные результаты дают однозначно положительный ответ на поставленные выше вопросы о физических свойствах, отражаемых моментами

^Уу , и влиянии аддитивной помехи на них. Причем помеха влияет аналогично и на традиционный коэф-

фициент корреляции - чем значительнее интервал, в котором находятся значения помехи, тем ближе форма облака точек к окружности [3, 4].

Важным является и осмысление влияния коэф-

фициентов полинома на поведение моментов ^-Уу .

На рис. 6 и 7 представлена часть экспериментально полученных результатов, иллюстрирующих сложность исследования этого влияния.

У

1 21 41

УМ

30 25 20 15 10 5 0 -5

61 81 101 1 21 41 61 81 101

а) [-1; +1]

УМ

уМ

20 15 10

-10 -15 -20

40 30 20 10

-10 -20

L

21 41 61 81

101

21

41

61

81 101

b) [-10; +10]

УМ

уМ

500 250 0

-250 -500

Ii А ЛI Iiili illkl II Ml

пишиигурп t 0 ¡шшта

Dil jU1.i| iliu Ш\

500 250 0 250

-500

гррц н|Гг

1 21 41 61 81 101 1 21 41 61 81 101

с) [-500; +500]

у

Рис. 4. Примеры влияния дисперсии помехи на реализации

5

t

0

0

t

1

1

t

Основной Основной Основной -Основной -Основной

Основной Основной Основной -Основной -Основной

ОООЮ^ГЧООГ^^ЮООО «-Н С5 С5 С5 о" С5 С5 СЭ С5 С5 С5 «-Н

\

\

«Ч«Ч«ЧОООООО«-Н«-Н«Н

оооооооооооо оооооооооооо

а) Г„2

X2Y

b2=0 для y

Ь) rx1Y

b= 0 для y

Рис. 5. Моменты F^ly^j и F^y^J ПРи помехе в интервале [-1; +1]

Основной Основной Основной Основной Основной -Основной -Основной -Основной -Основной

**

«к» к»» J- т

«и» — ---[-1;+1] [-10;+10] — • - [-500;+500] 1 1 1

Основной Основной Основной Основной Основной -Основной -Основной -Основной -Основной

«Ч«Ч«ЧОООООО«-Н«-Н«Н

оооооооооооо оооооооооооо

1

[-1;+ И]

---[-10;+10] - • - [-500;+500]

Ь2

001001001000 000 000000 000 000 001001

ГХ1У

ГХ2У

Рис. 6. Моменты для полинома y

Основной Основной Основной Основной Основной -Основной -Основной -Основной -Основной

[- 1;+1

---[-10;+10] — • - [-500;+500 1 1 1

0 0

2

00

1Л

О- Q-

Ю

Г-v

2

Ol О

q0

Ol

о сТ

r-v

2

1Л

о"

ю

Основной Основной Основной Основной Основной -Основной -Основной -Основной -Основной

2

00

о о

у

* **

у

у

* i [- 1;+1

* * \ — - [-10;+10]

Л - • - [-500;+500]

ОООЮ^Г^ООГЧ^ЮООО ^Ч Q0 С5 Q0 «-Н

ГХ1У

rX2Y

Рис. 7. Моменты для полинома y

На рис. 8 представлены моменты F^iy^j и ^Х2у(2) ПРИ вариациях b и b

1 и b2.

Основной Основной Основной -Основной -Основной

1 1

b2= b2= b2= -2 -b

0

Основной Основной Основной Основной -Основной -Основной -Основной

ООО'-Н'-Н'-Н'-Н'-Н'-НГЧГЧГЧ

оооооооооооо оооооооооооо

Г 1

X 1Y

"b

« b2=-0,  b2=0 91

ООО'-Н'-Н'-Н'-Н'-Н'-НГЧГЧГЧ

оооооооооооо оооооооооооо

^е[0; 2], b2 = -2; 0,9091; 0

Основной Основной Основной -Основной -Основной

1 1 1 — b2=-2 — b2=-0,91

» b2 =0

Основной Основной Основной Основной -Основной -Основной -Основной

ООО'-Н'-Н'-Н'-Н'-Н'-НГЧГЧГЧ ОООООООООООО

оооооооооооо

r ?

X 2Y

ООО'-Н'-Н'-Н'-Н'-Н'-НГЧГЧГЧ

оооооооооооо оооооооооооо

b1e[0; 2], b2 = -2; 0,9091; 0

Основной Основной Основной -Основной -Основной

• •

- —

b1 =0 b2

^m «b!=0,91

b1 =2

Основной Основной Основной Основной -Основной -Основной -Основной

or4^Lnr-~ai*-imLniDooo

ооою^гчоа1Г-~1лт*-1о

Г i

X1Y

b1 = 0; 0,9091; 2, b2 e[-2; 0]

Основной Основной Основной -Основной -Основной

r ?

X 2Y

t 1 1 1 1

b1= 2

< b2

• • • «« f

Основной Основной Основной Основной -Основной -Основной -Основной

ci «ч о" сз сз о сз сз -----------

- I l  — b1=0,9 -

1

b1 =2

ооою^гчоа1г-~1лт*-1о гС о"4 о"4 о"4 сз о" о"

I I I I I I I I I I

а) [-1; +1]

b1 = 0; 0,9091; 2, b2 е[-2; 0]

b) [-10; +10]

Рис. 8. Моменты rvi„r.,, и при оценке влияния коэффициентов b и b2

X Y

Очевидно, что полученные результаты носят оце- ному коэффициенту корреляции в части его примене-

ночный характер. Необходимы обширные теоретиче- ния хотя бы в полиномиальном регрессионном

ские и экспериментальные исследования моментов анализе).

, Статья поступила 18.09.2015 г.

и (этого явно недостает и традицион-

Библиографический список

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 757 с.

2. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М.: Советское радио, 1973. 439 с.

3. Мирский Г.Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения. М.: Энергоиздат, 1982. 320 с.

4. Митропольский А.К. Техника статистических вычисле-

ний. М.: Наука, 1971. 576 с.

5. Петров А.В. О вероятностных зависимостях (научное издание). Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2005. 80 с.

6. Петров А.В. О полиномиальной регрессии (научное издание). Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2009. 74 с.

7. Чупров А.А. Основные проблемы теории корреляции. М.: Госстатиздат ЦСУ СССР, 1960. 176 с.