О совершенно х-нормальных пространствах

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 10, 2003

УДК 515.12

О СОВЕРШЕННО х-НОРМАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Е. В. Осипов

В статье рассматривается класс совершенно х-нормальных пространств. Дается их наследственная характеризация. В связи с этим рассматривается класс наследственно совершенно х-нормальных пространств. Показывается несовпадение этих классов с другими классами пространств. В предположениях аксиомы Иенсена показывается существование наследственно совершенно х-нормального пространства, не являющегося совершенно нормальным.

§ 1. Введение

Совершенно к-нормальные пространства были введены в работах Е. В. Щепина [4]. Они появлялись как С^-подмножества в к-метризуемых компактах, соответственно, сам х-метризуемый компакт является совершенно к-нормальным. Естественно встает вопрос, касающийся топологических свойств этого класса. Таким образом, он становится самостоятельным объектом исследования.

Определение 1. Топологическое пространство X называется совершенно н-нормальным, если оно нормально и каждое его канонически открытое множество является -подмножеством.

Из определения следует, что каждое совершенно нормальное пространство является совершенно к-нормальным пространством.

Поскольку нормальное пространство полурегулярно, то в совершенно к-нормальном пространстве можно выбрать базу пространства, целиком состоящую из канонически открытых множеств.

© Е. В. Осипов, 2003

Что касается наследственности по подмножествам, то дело здесь обстоит следующим образом. Оказывается, что каждое канонически открытое и канонически замкнутое множество будет совершенно н-нормальным пространством, но, вообще говоря, таковыми не будут произвольные замкнутые и открытые множества.

В связи с этим естественно рассмотрение класса наследственно совершенно н-нормальных пространств. В случае с классом совершенно нормальных пространств имело место совпадение с классом наследственных совершенно нормальных пространств, но такое совпадение не имеет места для классов совершенно н-нормальных и наследственных совершенно н-нормальных пространств. Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Совершенно н-нормальное пространство является наследственно совершенно н-нормальным пространством тогда и только тогда, когда X — наследственно нормально.

Таким образом, класс наследственно совершенно н-нормальных пространств лежит в классе наследственно нормальных пространств.

Оказывается, что если каждое замкнутое подмножество совершенно н-нормального пространства X является в свою очередь совершенно н-нормальным пространством, то X — наследственно совершенно н-нормальное пространство.

Теорема 2. Совершенно н-нормальное пространство является наследственно совершенно н-нормальным пространством тогда и только тогда, когда каждое его замкнутое множество является совершенно н-нормальным.

В работе рассмотрены примеры, показывающие несовпадения класса наследственно совершенно н-нормальных пространств с другими классами.

Пример 1. Существует наследственно нормальный компакт, не являющийся совершенно н-нормальным пространством.

Пример 2. Существует совершенно н-нормальное пространство, не являющееся наследственно совершенно н-нормальным пространством.

Пример 3. (О) Существует компакт, который является наследственно совершенно н-нормальным пространством и не является совершенно нормальным.

В статье показано, что перечисленными в примере 3 свойствами обладает компакт, построенный в предположениях принципа Иенсе-на [5]. Вопрос о существовании такого примера в наивной теории множеств остается открытым.

§ 2. Доказательство основных результатов

Очевидно, что X является совершенно к-нормальным пространством тогда и только тогда, когда X — нормально и каждое его канонически замкнутое множество является (^-множеством. Это следует из свойств канонически замкнутых множеств и определения совершенно к-нормальных пространств.

Определение 2. Пространство X называется наследственно совершенно к-нормальным пространством, если каждое его подмножество является совершенно к-нормальным пространством.

Доказательство теоремы 1

Необходимость очевидна, докажем достаточность.

Пусть

А С X.

Покажем, что А — совершенно к-нормальное пространство. Так как X — наследственно нормально, то Л — нормально. Поэтому остается показать, что для каждого канонически открытого множества и в А следует, что оно есть Ее-подмножество в А.

Положим

V = т1([А\и]А)А,

V также канонически открыто в А.

Нетрудно видеть, что V и и отделимы, по Хаусдорфу, в X. Действительно, так как II и V открыты в Л, то существуют такие открытые в X множества 011 и ОУ , что

ОипА = и и ОУП А = У.

Так как 011 П V = 0, то [11]х П V С \OU\x П V = 0, откуда немедленно следует, что и отделимо от V. Аналогично доказывается отделимость V от и.

Если X наследственно нормален, то, по лемме Урысона [2, гл. 1], существуют непересекающиеся окрестности О1 II и О' V у множеств

11 и V, так как они отделимы, по Хаусдорфу. Нетрудно видеть, что

о'ипл = и и 0'УПЛ = У.

Полагал IIі = іпі([0'и]х)х, видим, что IIі — канонически открытое в X подмножество. Так как О1 II С IIі, то отсюда вытекает, что

и С и'ПА.

С другой стороны, имеем:

Ш([0'Ц]х)х П А С Ш([0'и]х П А)а = Ш([0'и П А]а)а =

= М

Последнее равенство верно, так как II канонически открыто в А. Из (1) и (2) вытекает, что IIі П А = С/, но IIі канонически открыто в X, поэтому оно есть -подмножество в X, но тогда и II есть подмножество в А. Итак, А — совершенно к-нормально.

Следствие. Топологическое простанство наследственно совершенно к-нормально тогда и только тогда, когда каждое его открытое множество совершенно к-нормально.

Доказательство. Если каждое открытое множество нормально, то X — наследственно нормально [2, гл. 1, с. 55], но тогда по теореме 1 и вытекает доказываемое.

Доказательство теоремы 2

Необходимость очевидна. Докажем достаточность.

В силу теоремы 1, остается показать наследственную нормальность пространства X.

Пусть і^і,^ — замкнутые множества в X. Если у множеств і7! \ і^2 , і^2 \ і7! можно найти дизъюнктные окрестности в X, то X — наследственно нормально. Действительно, если II открыто в X и Сі, (?2 — замкнутые множества в С/, то существуют 0'2 — замкнутые множества в X такие, что С\ П II = С*, % — 1,2. У множеств \ и Є2 \ существуют непересекаюіциеся окрестности

ЇІІ и и2 В X. В силу включений Єї С \ (?2 , Є2 С Є2 \ получаем, что IIі П II — искомые непересекающиеся окрестности множеств (?і и (?2 в II, і = 1,2. Тогда II — нормально, а из леммы Урысона [2, с. 55] вытекает, что X — наследственно нормально.

Пусть С = І7! и і*2, ЇІІ = і7! \ і*2, її2 = і*2 \ І7!. ВИДИМ, ЧТО С/і открыты в С, і = 1,2. Множества 11[ = ш£

канонически открыты вви непересекающиеся, так как С/1 П С/2 = 0. Кроме того, С/* С 11[ для г = 1,2. Далее, С/-[П[С/2]с = 0, а [С/2] замкнуто в С, но тогда оно замкнуто в X, так как С замкнуто в X. В силу замкнутости С, по условию теоремы, оно является совершенно х-нормальным. Тогда Щ есть ^-подмножество в С, но и в X. Поэтому

оо

Щ = и ни

г=1

где Н1 замкнуты вбивХиЯ^П [С/2] = 0 для любого % Е N. В силу нормальности пространства X вытекает, что существуют открытые ОН{ такие, что

Щс0Щс[0Щ\х сх\[и2\.

Пусть 71 = {ОН{}?11 — семейство таких открытых множеств. Очевидно, что и[ С Ц=1 ОЯг и [ОН{\ П С/2 = 0 в силу (1).

Аналогично для множества Щ строим систему открытых множеств 72 = таких, что

оо

Щ С и 0\¥г и [0\Уг] П иг = 0.

По нормализующей лемме Урысона [2, гл.1, с. 56], у множеств С/^С/^ существуют непересекающиеся окрестности в X, следовательно, они есть и у множеств ^1 \ ^2 , ^2 \ ^1, а это и требовалось доказать.

Пример 1. Существует наследственно нормальный компакт, не являющийся совершенно н-нормальным пространством.

Рассмотрим пространство X = IV(001 + 1) — множество порядковых чисел, не превосходящих Ш1, с порядковой топологией.

Данное пространство компактно и наследственно нормально [3, с. 98]. Покажем, что X — не совершенно х-нормальное пространство. Для этого рассмотрим открытое подмножество С/, где

и = {а + 1,где а — предельный ординал и а < и)\}.

Множество Р = [II] канонически замкнуто в X. Покажем, что оно не является С^-подмножеством в X. Действительно, пусть это не так и

оо

р = П Ъ,

г=1

где открыты в X. Так как Е то для любого г (г Е /V) существует такой /3*, что С VПусть /3 = Нгп^оо /^. Очевидно,

/3 < , по свойствам ординалов. Тогда в полуинтервале (уЗ;^] не

должно быть точек X \ но, как нетрудно убедиться, это не так. Например, если /5 — предельный ординал, то /5 + 2 ^ так как ¡3 + 2

— изолированная точка X. Откуда получаем противоречие. Итак, X

— не совершенно к-нормальное пространство.

Пример 2. Существует совершенно к-нормальный компакт, не являющийся наследственно совершенно н-нормальным пространством.

X = [0; 1]Ш1. Из теорем Е. В. Щепина [4, с. 442-444] вытекает, что X — х-метризуемое пространство, а такое пространство совершенно х-нормально [см. там же].Из теорем А. Н. Тихонова [1, с. 257-263] следует, что пространство в примере 1 вкладывается в X в качестве подпространства и что X — компакт, но не совершенно к-нормальный, как было установлено выше, поэтому X не является наследственно совершенно к-нормальным компактом.

Пример 3. (О) Существует компакт, который является наследственно совершенно н-нормальным пространством и не является совершенно нормальным.

Воспользуемся теоремой [5].

ТЕОРЕМА 3. (О) 1 Для любого п (п Е /V) существует п-мерный компакт Ап, такой что:

1) Ап наследственно сепарабелен;

2) Ап не секвенциален;

3) Ап локально метризуем во всех точках за исключением точки х°;

4) для любого замкнутого подмножества ^ С Ап либо Г, либо Ап \ ^ метризуемо;

5) Ап наследственно нормально;

6) Ап \ {х0} совершенно нормально и счетно-компактно;

7) сИтАп=1пс1Ап=п;

8) если Fi = [^] С Ап и х° Е [^ \ {ж0}], тогда т(1хъ П ^ = п и ж0 Е

П^1 Рц

9) для каждого подмножества С С Ап имеем (ИтС < 1псЮ < п;

ХВ работе В. В. Федорчука использовалась эквивалентная принципу Йенсена (О) аксиома (Ф), см. [5].

10) пространство Ап\х° представимо в виде объединения возрастающей последовательности {11а}, упорядоченной ПО типу открытых подмножеств со счетной базой.

Докажем, что для любого натурального п Ап — искомый компакт.

1 )АП — не совершенно нормальное пространство.

Действительно, докажем, что {ж0} не является С^-подмножеством в Ап. Если это было бы не так, то Ап \ {ж0} — ^-подмножество в Ап, это означает, что

оо

Ап \ {ж0} = и Рг,

г=1

где — замкнутые подмножества, то есть компакты. Рассматривая открытое покрытие 7 = {иа}аеА пространства Ап \ {ж0}, в силу компактности для каждого i можно выделить конечное подсемейство 7*, покрывающее тогда

оо

1Ь

¿=1

— счетное покрытие пространства Ап \ {ж0}. В силу счетной компактности Ап \ {ж0}, получаем компактность Ап \ {ж0}. Но Ап \ {ж0}

— не компактно, так как тогда бы точка х° была бы изолированной точкой множества Ап. Получили противоречие. Итак, {ж0} — не подмножество в Ап.

2)Ап — наследственно совершенно к-нормальный компакт.

В силу наследственной нормальности, остается доказать, что каждое канонически открытое подмножество является Еа-подмножеством в Ап.

Пусть 11 канонически открыто в Ап.

а) х° Е и. Тогда множество II \ {ж0} открыто в Ап \ {ж0}. Так как Ап \ {ж0} совершенно нормально, то II \ {ж0} = и^1 гДе ^ замкнуты в А \ {ж0}, тогда

оо

и= и^и^0})

г=1

и II есть Е^-подмножество в Ап, так как Е{ и {ж0} замкнуты в Ап для любого г Е N

б) х° (fc [U]. В силу совершенной нормальности Ап \ {ж0} и открытости С/, имеем представление U = USi гДе все ^ замкнуты в Ап \ {ж0}. Так как х° ^ [U], следовательно х° ^ Fi и Fj замкнуты в Лп. Откуда получаем, что U есть Fa-подмножество в Ап.

в)х° Е [U] \ U.

По свойству компакта либо С/, либо An \ U метризуемо. Но An \ U не метризуемо.

Если An \ U метризуемо, то (An \U)\ {ж0} тоже метризуемо. Так как последнее пространство сепарабельно, то вес (Лп\С/)\{ж0} счетен и Ап \ {ж0} является финально компактным пространством, но тогда оно компактно в силу счетной компактности пространства Ап \ {ж0} и поэтому (An \ U) \ {ж0} замкнуто в Ап. Но тогда точка х° — изолированная точка для An \ U. Тогда х° Е int([£/]), но этого быть не может, так как U канонически открыто в Ап.

Итак, остается рассмотреть случай, когда U — метризуемо. U как открытое подмножество компакта Ап локально компактно, а из сепарабельности U вытекает, что вес U — счетен. Пусть

Re(X) = {Ui }£i

— база U. Тогда для любой точки х Е U выберем базисную окрестность Ох(Ох Е Re(X)) с компактным замыканием в Ап, такую, что

х Е Ох С [Ох] С и

(окрестность Ох с такими свойствами можно выбрать в силу регулярности нормального пространства). Число таких окрестностей не более чем счетно, поэтому Ох = U^i [Oxi] и U есть Fa-подмножество В Ап.

Таким образом, Ап — наследственно совершенно х-нормальное пространство.

Resume

In this paper we learn class of perfectly x-normal space’s. It gives their hereditary characterization. Under the axiom of Jensen, we exhibit existence of hereditily perfectly x-normal space, which is not perfectly normal.

Литература

[1] Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию /П. С. Александров. М.: Наука, 1977.

[2] Александров П. С. Введение в теорию размерности /П. С. Александров, Б. А. Пасынков. М.: Наука, 1973.

[3] Энгелькинг Р. Общая топология/Р. Энгелькинг. М.: Наука, 1978.

[4] Щепин Е. В. О к-метризуемых пространствах/Е. В. Щепин // ИАН СССР. Сер. Математическая. 1979. Т. 43. Вып. 2. С. 442-478.

[5] Федорчук В. В. Совместимость некоторых теорем общей топологии с аксиомами теории множеств /В. В. Федорчук // Мат. сб. 1976. Т. 99. Вып. 1. С. 5-45.

Петрозаводский государственный университет, математический факультет,

185640, Петрозаводск, пр. Ленина, 33

E-mail: evosipov@yandex.ru