Построение кривой третьего порядка с заданными касательными и кривизнами в концевых точках

5. Сухинов, А. И. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. - 2012. - Т. 13. - С. 290-297.

6. Сухинов, А. И. Прецизионные модели гидродинамики и опыт применения в предсказании и реконструкции чрезвычайных ситуаций в Азовском море // Известия ТРТУ. - 2006. - Т. 58. - № 3. - С. 228-235.

7. Сухинов А.И., Никитина А.В., Чистяков А.Е. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря / А. И. Сухинов, А. В. Никитина, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. -Т. 24. - № 9. - С. 3-21.

8. Сухинов, А. И. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов, Е. Ф. Тимофеева, А. Е. Чистяков // Известия ЮФУ. Технические науки. -2011. - № 8 (121). - С. 22-32.

9. Сухинов, А. И. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов / А. И. Сухинов и др. // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 8. - С. 32-44.

10. Проценко, Е. А. Модель и алгоритмы решения задачи о транспорте наносов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 71-75.

11. Проценко, Е. А. Программная реализация одномерной математической модели транспорта наносов в прибрежной зоне водоема // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2012. -№ 1. - С. 48-55.

12. Проценко, Е. А. Двумерная конечно-разностная модель формирования наносов в прибрежной зоне водоема и ее программная реализация // Инженерный Вестник Дона. - 2010. - Т. 13. - № 3. - С. 23-31.

13. Сухинов, А. И. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24. - № 1. - С. 3-20.

14. Чистяков, А. Е. Теоретические оценки ускорения и эффективности параллельной реализации ПТМ скорейшего спуска // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 237-249.

УДК 514.75/.77 ББК 22.151

В. Т. Фоменко, А. В. Забеглов

ПОСТРОЕНИЕ КРИВОИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ЗАДАННЫМИ КАСАТЕЛЬНЫМИ И КРИВИЗНАМИ В КОНЦЕВЫХ ТОЧКАХ

Аннотация. Авторы доказывают существование кривой третьего порядка с заданными касательными и кривизнами в концевых точках.

Ключевые слова: кривая третьего порядка, кривизна, касательная.

V. T. Fomenko, A. V. Zabeglov

CONSTRACTION OF THE CURVE OF THE THIRD ORDER

WITH THE GIVEN TANGENTS AND CURVATURES IN THE END POINTS

Abstract. The authors prove the existence of the curve of the third order with the given tangents and curvature in the end points.

Key words: Curve of third order, tangents, curvatures.

Постановка задачи. На плоскости (Л") даны две тонкий и D, две прямые / ( и . проходящие через точки A и D, соответственно, и числа к(A) и к(D) . Требуется построить кривую L

третьего порядка, обладающую следующими свойствами:

1) кривая L проходит через точки A и D;

2) касательная к кривой L в точках A и D совпадают с прямыми /^ и соответственно;

3) кривизны кривой L в точках A и D совпадают с числами к(A) и к(D), соответственно;

4) кривая L принадлежит классу C2 . Имеет место следующая

Теорема 1. Существует кривая третьего порядка, обладающая свойствами 1)-4). Кривая может быть задана уравнением:

rA+trB+rit2rc+y/rD Т

г—-о-,-, I —-, те ГОД],

1 + t + yf+y2t 1 -т

где Г = Х,у : У^ > О, У2 > 0: /*/; и Г(. - радиус-векторы точек В и С, лежащих на прямых

1д и //; соответственно. Заданием ^ и кривая определяется однозначно; задание параметров

' У2 равносильно заданию кривизны кривой в точках^ и I), соответственно. Доказательство.

1. Докажем, что ¿-кривая третьего порядка. Рассмотрим произвольную прямую I на плоскости (X, у) : АуХ + у + С = 0, Ау + В^ Ф 0, и найдем ее точки пересечения с кривой Ь. Для этого необходимо решить уравнение:

А(ха + 1хв + ^сП + ?хвУг) + + + 'Ъ'сК + ^яГг) + +(1 + г + + 1Ъу2) = О

относительно искомой Это уравнение имеет не более трех корней, что означает, что прямая I пересекает Ь не более чем в трех точках, причем число «три» достигается для некоторых прямых

1. Это и означает, что кривая Ь есть кривая третьего порядка.

2. Найдем касательные в точках А и Б кривой Ь. Имеем:

rt =

{rB+2trirc + ..){\ + t + yf + ..)-{rA+rBt + ..){\ + 2у^ +..)

(1 + * + ...)'

где точками обозначены величины, содержащие множителем параметр /. далее имеем:

К

t=о

= гв~га

То есть в точке А прямая ¡А касается кривой Ь. Аналогичные рассуждения проводятся для точки В.

П -

3. Найдем вектор [/" , /*( ] при 1 = 0. имеем:

_

t

t=о Тогда

I4

2 (i-nb-^ + r/c

t=о

= 2 rB-rA,(\-yx)rA-rB+yxrc

= 2У1 VB + Ve ~ Ve =

2 П

0,0, УА хА Уа + хв Ув

— >

хв У в хс Ус хс Ус

хА Уа 1

2п< 0,0, хв Ув 1 >

хс Ус 1

= 4yx 0,0,5-

abc

Кривизна к(A) в точке A вычисляется по формуле:

к(А) =

г г

't ->ч

4 Гг-S-

abc

t 3 АВ

t=0

где знак к(А) положителен, если S - > 0, и отрицателен, если S - < 0. Последнее

ajjls м г>\ , ajdk^

есть ориентируемая площадь треугольника ABC. Итак, задание к(A) и точек B, C определяет значение параметра ух. Обратно, задание параметра ух и точек В, С определяет значение кривиз-

ны к(А) в точке А с точностью до знака; Аналогичные рассуждения проводятся для точки В.

Теорема доказана.

Изучим поведение кривой Ь в зависимости от расположения точек В, С. Теорема 2. Если А, В, С, В образуют выпуклый четырехугольник, то кривая Ь выпукла и лежит внутри этого четырехугольника, касаясь сторон АВ и СБ в точках А и В (рис. 1).

В

Рис. 1

Доказательство.

1. Так как ориентация треугольников ABC и BCD одинакова, кривизны к(A) и к(B) имеют

одинаковый знак. Кроме того, ориентация \Tf , Г{ ]

такова, что и

í=о

ориентация , т.е.

направление вогнутости кривой L и ломанной ABC совпадают. Итак, в окрестности точек A и B кривая лежит внутри ABCD.

2. Если ось ОХ направить по ВС и В = 0, тогда полагая V — 0. находим точки пересечения

Ьи ВС: 0 = 3^+0^ухус+г у2ув , или (т.к. ^ = = 0), 0 = ^ + Г у2Ув  Так как уА > 0, У/) > 0,у2 > 0, то уравнение не имеет положительных корней и потому Ь и

ВС не пересекаются, т.е. Ь лежит внутри АВСВ.

3. Покажем, что Ь-выпукла. Допустим противное, тогда у нее или четыре точки перегиба

A

С

D

Рис. 2

или две точки перегиба (рис. 3).

B

A

D

Рис. 3

A

D

C

Второй случай (рис. 3) исключается, т.к. на «горбы» положим прямую и параллельно сдвинем ее вниз, получим четыре точки пересечения L и прямой, что невозможно (т.к. кривая L -третьего порядка).

Первый случай (рис. 2) исключается, так как прямую можно положить наклонно на «горбы», что приводит к четырем точкам пересечения l и L. Итак, кривая L - выпукла и лежит в

ABCD . Что и требовалось доказать.

Теорема 3. Если точки A,B,C,D расположены так, что ориентация треугольников ABC и BCD противоположны, то кривая L имеет одну точку перегиба (рис. 4). Направление вогнутости кривой

определяется направлением вогнутости ломанной ABCD .

C

A

D

Рис. 4

B

B

Доказательство.

Поведение кривой Ь в окрестности точки А определяется соотношением

г, r; ] =гав, bc

/=о L

Аналогично для точки В. Более одной точки перегиба невозможно, т.к. в противном случае было бы более трех точек пересечения Ь и прямой I.

Теорема 4. Возможны следующие случаи расположения кривой (рис. 5, 6, 7).

Рис. 7. «Петля»

Следствие: если — 0 (или — О), то кривая I, в точке. I (или П) имеет точку перегиба

(к(А) = О (или к(П) = 0)) (см. рис. 8, 9).

к(А) = О

А

кф) = О

О А

й

Рис. 8

Рис. 9

С

В