Обзор математических моделей расписаний маршрутного городского транспорта

УДК 656.022.5 А. М. Горбачев

ОБЗОР МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАСПИСАНИЙ МАРШРУТНОГО ГОРОДСКОГО ТРАНСПОРТА

Дата поступления: 22.05.2018 Решение о публикации: 07.06.2018

Аннотация

Цель: Обзор международного и отечественного опыта построения математических моделей представления расписаний и графиков движения. Методы: Проведен анализ возможности применения существующего международного опыта организации перевозок на городском маршрутном транспорте в части составления расписаний для условий постсоветских стран. Результаты: Установлена необходимость разработки специализированных математических моделей расписаний маршрутного городского транспорта, пригодных для эксплуатации в условиях действующих в России технологических норм и ограничений организации движения. Практическая значимость: Обоснована целесообразность внедрения и развития отечественных информационных систем, предназначенных для планирования организации работы городского маршрутного транспорта.

Ключевые слова: Маршрутное расписание, периодическое расписание, апериодическое расписание, математическая модель, городской транспорт.

Alexey M. Gorbachev, Cand. Eng. Sci., ag@agpage.ru (Emperor Alexander I Petersburg State Transport University) OVERVIEW OF THE ROUTE PUBLIC TRANSPORT MATHEMATICAL MODELS

Summary

Objective: To survey international and domestic experience of building mathematical models for timetable and schedule presentation. Methods: The analysis of applicability of the current international experience in transport management in the sphere of public route transport was carried out. It particularly concerned scheduling for ex-USSR countries. Results: The necessity to develop special-purpose mathematical models of route public transport schedule was justified. The schedule models in question being serviceable under the limitations of current technology-based standards and traffic management restrictions in Russia. Practical importance: Implementation and development of domestic intelligence systems, designed to organize the management of public route transport operation, is of great relevance for economic development of the country.

Keywords: Route timetable, periodic timetable, noncyclic timetable, mathematical model, public transport.

Непрерывно растущие транспортные потоки требуют постоянного повышения качества планирования организации движения городского и магистрального транспорта. Составление расписаний является важнейшим этапом

планирования работы маршрутного транспорта на всех уровнях организации движения (от стратегического с горизонтом планирования в несколько лет до оперативного с горизонтом планирования в несколько часов или суток).

В зависимости от математического аппарата, используемого для решения задачи синтеза, расписания движения делятся на периодические и апериодические. Исторически первым типом расписаний были апериодические графики движения поездов магистрального транспорта, что было связано с низкой частотой их движения [1].

Апериодические (непериодические и нециклические, см. работы [2-4]) расписания - это такие расписания, в которых отсутствует требование обязательного повторения событий через заданный период времени T. Под событиями, применительно к маршрутному транспорту, понимаются времена прибытия (TArr) и отправления с конечных станций (TDep) с фиксированными интервалами. Ограничения по данной конечной станции накладываются прежде всего прибытиями и отправлениями предыдущих и следующих транспортных средств, а также другими событиями, которые отличаются в разных математических моделях процессов организации движения (например, моменты начала и окончания работы конечных станций и парков (депо), длительности технических стоянок, смен транспортных бригад на линии и т. д.). Целевая функция оптимизации -это, как правило, равномерность интервалов транспортных средств по отправлению. Решение такой задачи в общем виде для потоков под наименованием проблемы получения допустимого распределения (feasible distribution problem - FDP) найдено при помощи линейного программирования и впервые рассмотрено в [2]. Задача решается на основе модифицированного алгоритма, впервые предложенного для решения задачи с раскрасками. Сложность алгоритма полиномиальная. Наложение дополнительных условий может свести задачу к числу NP-сложных. Такими примерами являются, в частности, задача построения расписаний с учетом маршрутов пассажиров [3] и в определенных случаях наложение ограничений по пропускной способности [4].

Для работы городского общественного транспорта практически всегда использовались периодические (циклические) расписания.

Периодические расписания - это расписания, действие которых повторяется через конкретный (обычно небольшой) промежуток времени Period. Они предпочтительнее для пассажиров при условии, что Period - относительно небольшая величина [1]. Математическая модель для периодических расписаний была предложена в работе [5]. В ней же приведено доказательство того, что задача нахождения допустимого периодического расписания является NP-сложной. По этой причине для решения задачи применяются различные эвристики и методы направленного поиска, имеющие в худшем случае экспоненциальную сложность [6, 7]. Необходимо отметить, что в контексте исследований по теории расписаний под нахождением допустимого расписания понимается задача определения допустимых времен отправления и прибытия транспортных средств с учетом ограничений при известной структуре самого маршрутного расписания. В основной задаче теории расписаний количество рейсов каждого транспортного средства, интервалы технического обслуживания, стоянки, на которых осуществляется техническое обслуживание и где предоставляются обеды и выполняются смены транспортных бригад, и т. д. входят в исходные данные. Проблемы построения и оптимизации периодических расписаний получили развитие в работах [8-11]. Приведенные в них модели обеспечивают наибольшее удобство для пассажира, задавая на промежутке времени стабильный интервал отправления транспортных средств T. Вместе с тем периодические расписания, как правило, не учитывают особенности графиков работы транспортных бригад, что приводит к менее рациональному распределению рабочего времени, особенно при наличии утренних и вечерних часов «пик».

Несмотря на указанные особенности, многие страны Европы еще в XX в. перешли на периодические графики движения поездов магистрального и городского транспорта. Первой страной была Нидерланды (1939 г.), затем Дания (1974 г.), Швейцария (1984 г.), Бельгия и Австрия (1991 г.). В Германии переход на гра-

фики движения с фиксированным интервалом движения начался в 1979 г. с междугородних поездов и завершился в 1993 г. [1]. Перспективным направлением разработок является планирование графиков движения с учетом необходимости стыковки различных поездов на пересадочных узлах.

Ключевыми особенностями в СССР и других странах Варшавского договора являлись движение маршрутных транспортных средств преимущественно в общем потоке (соответственно времена хода значительно изменяются по периодам суток из-за заторов в движении), возможность закрепления бригад (водитель и кондуктор) за транспортными средствами, жесткая привязка расписания к графикам работы водителей, предоставление обедов бригадам во время стоянки транспортных средств на конечных станциях и т. д. [12, 13].

Эти отличия актуальны и в настоящее время [13-16], поэтому рассмотрим их подробнее.

В результате дискретного изменения значений времен хода по часам суток при построении расписания возникает задача обратного отсчета, когда при вычислении, например, по времени прибытия на конечную станцию TAr времени выхода из парка (депо) может оказаться, что точного результата просто не существует, если время рейса пришлось на границу периодов суток (переходное время).

Из-за жесткой привязки графиков движения к графикам работы транспортных бригад возникает проблема простоя, к примеру, трамваев во время обедов. При этом в случае применения периодических расписаний при таких технологических ограничениях минимальное значение периода будет равно максимальному времени технологической стоянки (обед, техническая стоянка, смена), что, как правило, недопустимо для городского транспорта.

Для расписаний, учитывающих перечисленные выше ограничения, построение периодических расписаний с периодом Period, практически обосновано только в случае, когда в течение периода интервал не является слишком большим, т. е. продолжительность технических и обеденных стоянок сравнима

с временем стандартной стоянки. На практике величины стоянок (например, стандартной и обеденной) существенно отличаются. Задание одинаковых стоянок на уровне максимальной для обеспечения постоянного и одинакового интервала приведет к существенным простоям подвижного состава. Это и объясняет применение апериодических расписаний на городском наземном транспорте в России.

Первые попытки автоматизации процесса построения расписаний применительно к городскому транспорту (в частности, автобусам) в СССР предпринимались в 60-е годы XX в. в Москве [3, 11]. Однако результаты этой работы не нашли широкого использования на практике [12]. Задача решалась для расписаний с двумя конечными станциями (без маневровых передвижений и командировочных рейсов), движение между которыми осуществлялось по одной основной трассе. Полный список ограничений приведен в [12]. Основными достижениями [3, 12] были матричное представление расписаний в форме модифицированной таблицы без обгонов, практическая реализация алгоритмов в виде программ для ЭВМ того времени и др.

Результаты разработки современного программного обеспечения по автоматизации управления городским транспортом России приведены в [13-18]. Так, в [13-15] рассматривается Автоматизированная Система Управления Городским Электрическим Транспортом, имеющая модульную структуру и действующая в Санкт-Петербурге, в [16, 17] -система, используемая в Москве и многих других городах России, в [18] - система автоматизации построения расписаний трамваев и троллейбусов, внедренная в Иркутске. Однако работы [14-18] носят обзорный характер, и в них отсутствует описание математических моделей, положенных в основу программного обеспечения.

Это объясняет необходимость разработки отдельной модели апериодических расписаний городского транспорта с учетом указанных выше особенностей организации движения, характерных для нашей страны.

Библиографический список

1. Lindner T. Train schedule optimization in public rail transport : PhD thesis / T. Lindner. - Braunschweig : Technische Universität Braunschweig, 2000. - 128 p.

2. Rockafellar R. T. Network flows and monotropic optimization / R. T. Rockafellar. - Belmont : Athena Scientific, 1998. - 634 p.

3. Антошвили М. Е. Оптимизация городских автобусных перевозок / М. Е. Антошвили, С. Ю. Либер-ман, И. В. Спирин. - М. : Транспорт, 1985. - 102 с.

4. Schmidt M. E. Integrating routing decisions in public transport problems / M. E. Schmidt. - New York : Springer Science + Business Media, 2014. - 227 p. (Springer Optimization and Its Applicaions. Vol. 89). DOI 10.1007/978-1-4614-9566-6_2.

5. Serafani P. A mathematical model for periodic scheduling problems / P. Serafani, W. Ukovich // SIAM J. Disc. Math. - USA : Society for Industrial and Applied Mathematics, 1989. - Vol. 2 (4). - P. 550581.

6. Cacchiani V. Non-cyclic train timetabling and comparability graphs / V. Cacchiani, A. Caprara, P. Toth // Operations Research Letters. - 2010. - Vol. 38(3). -P. 179-184.

7. Odijk M. A. A constraint generation algorithm for the construction of periodic railway timetables / M. A. Odijk // Transportation Research. Pt B. - Great Britain : Elsevier, 1996. - Р. 455-464.

8. Cacchiani V. Nominal and robust train timetabling problems / V. Cacchiani, P. Toth // European Journal of Operational Research. - 2012. - Vol. 219. - P. 727737.

9. Liebchen С. The modeling power of the periodic event scheduling problem : Railway timetables and beyond / С. Liebchen, R. Möhring // Algorithmic methods for railway optimization / Eds by F. Geraets, L. Kroon, A. Schoebel, D. Wagner, C. Zaroliagis. - Berlin ; Heidelberg : Springer, 2007. - Vol. 4359 of Lecture Notes in Computer Science. - P. 3-40.

10. Liebchen C. Periodic timetable optimization in public transport : PhD thesis / С. Liebchen. - Belrin : Technische Universität Publ., 2006. - 156 p.

11. Liebchen C. Performance of algorithms for periodic timetable optimization / С. Liebcher, M. Proksch, F. H. Wagner // Computer-aided systems in public transport / Eds by G. Fandel, W. Trockel, M. Hickman,

P. Mirchandani, S. Voß. - Berlin ; Heidelberg : Springer, 2008. - Vol. 600 of Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. - P. 151-180.

12. Антошвили М. Е. Организация городских автобусных перевозок с применением математических методов и ЭВМ / М. Е. Антошвили, Г. А. Варелопуло, М. В. Хрущев. - М. : Транспорт, 1974. - 104 с.

13. Горбачев А. М. Автоматизация синтеза расписаний городского электрического транспорта / А. М. Горбачев // Изв. Петерб. гос. ун-та путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2014. - Вып. 4 (41).-С. 27-32.

14. Василенко М. Н. Автоматизированная Система Управления Городским Электротранспортом / М. Н. Василенко, А. М. Горбачев, Р. Т. Му-стафаев // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе : материалы XII междунар. конференции молодых ученых «IT+SE'14». - Крым, Ялта ; Гурзуф. - 2014. -С. 102-105.

15. Горбачев А. М. Оптимизация построения расписаний городского электрического транспорта / А. М. Горбачев // Сб. материалов V Междунар. науч.-практич. конференции «ИнтеллектТранс-2015». - СПб. : ПГУПС, 2015. - С. 228-230.

16. Гуревич Г. А. Автоматический расчет расписаний движения наземного маршрутизированного транспорта / Г. А. Гуревич, С. Б. Перцович // Автотранспортное предприятие. - № 5. - М. : Транснавигация, 2006. - С. 38-41.

17. Гуревич Г. А. Новая версия автоматизированной общегородской системы формирования и сопровождения расписаний маршрутизированного транспорта / Г. А. Гуревич, Е. В. Финько, С. Б. Пер-цович // Автотранспортное предприятие. - № 12. -М. : Транснавигация, 2010. - С. 18-21.

18. Домбровский М. Ю. Рациональная методика формирования расписания движения подвижного состава городского электрического транспорта / М. Ю. Домбровский // Вестн. ИрГТУ. - Иркутск : ГТУ, 2013. - № 11 (82). - С. 15-19.

References

1. Lindner T. Train schedule optimization in Public Rail Transport. PhD thesis. Braunschweig, Technische Universität Braunschweig Press, 2000, 128 p.

2. Rockafellar R. T. Network flows and monotropic optimization. Belmont, Athena Scientific Press, 1998, 634 p.

3. Antonshvili M. E., Liberman S. Y. & Spirin I. V. Optimizatsiya gorodskykh avtobusnykh perevozok [Urban bus service optimization]. Moscow, Transport Publ., 1985, 102 p.

4. Schmidt M. E. Integrating Routing Decisions in public transport problems. New York, Springer Science + Business Media Press, 2014, 227 p. (Springer Optimization and Its Applicaions, no. 89). DOI 10.1007/978-1-4614-9566-6_2.

5. Serafani P. & Ukovich W. A mathematical model for periodic scheduling problems. SIAMJ. Disc. Math., USA, Society for Industrial and Applied Mathematics Publ., 1989, vol. 2 (4), pp. 550-581.

6. Cacchiani V., Caprara A. & Toth P. Non-cyclic train timetabling and comparability graphs. Operations Research Letters, 2010, vol. 38 (3), pp. 179-184.

7. Odijk M.A. A constraint generation algorithm for the construction of periodic railway timetables. Transportation Research, pt B, 1996, vol. 30 (6), pp. 455-464.

8. Cacchiani V. & Toth P. Nominal and robust train timetabling problems. European Journal of Operational Research, 2012, vol. 219, pp. 727-737.

9. Liebchen C. & Möhring R. The modeling power of the periodic event scheduling problem: Railway timetables and beyond. Algorithmic methods for Railway optimization. Eds by F. Geraets, L. Kroon, A. Schoebel, D. Wagner, C. Zaroliagis. Berlin, Heidelberg, Springer Press, 2007, pp. 3-40.

10. Liebchen C. Periodic timetable optimization in public transport. PhD thesis. Belrin, Technische Universität Press, 2006, 156 p.

11. Liebchen C., Proksch M. & Wagner F. H. Performance of algorithms for periodic timetable optimization. Computer-aided systems in Public Transport. Eds by G. Fandel, W. Trockel, M. Hickman, P. Mirchan-dani, S. Voß. Berlin, Heidelberg, Springer Press, 2008, pp. 151-180.

12. Antonshvili M. E., Varelopulo G.A. & Khrushchev M. V. Organizatsiya gorodskykh avtobusnykh

perevozok s prymeneniyem matematicheskykh meto-dodv i EVM [Urban bus service management using mathematical methods andECM]. Moscow, Transport Publ., 1974, 104 p.

13. Gorbachev A. M. Avtomatizatia sinteza raspizaniy gorodskogo elektrotransporta [Automatization syntesis of schedule urban-electric transport]. Proceedings of Petersburg State Transport University. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2014, issue 4

14. Vasilenko M. N., Gorbachev A. M. & Musta-faev R. T. Avtomatizirovannaya Sistema Upravleniya Gorodskym Elektrotransportom [Computer-Aided Urban-Electric Transport Management System]. Proceedings of the XII International conference of young scholars IT+SE'14. Yalta, Gurzuf, 2014, pp. 102-105.

15. Gorbachev A. M. Optimizatchia postroenia raspizaniy gorodskogo elektrotransporta [Optimization con-stration of schedule urban-electric transport]. Information technologyes in science, education, telecommunication and bizness. Proceedings V International scientific and practical conference "IntellektTrans-2015". Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2015, pp. 228-230.

16. Gurevich G.A. & Pertsovich S. B. Avtomatiches-kiy raschet raspisaniy dvizheniya nazemnogo marshru-tizirovannogo transporta [Automatic calculation of land route transport timetables]. Transport enterprise. Moscow, Transnavigatsiya Publ., 2006, no. 5, pp. 38-41.

17. Gurevich G.A., Finko E. V. & Pertsovich S. B. Novaya versiya avtomatizirovannoy obshchegorodskoy sistemy formirovaniya i soprovozhdeniya raspisaniy marshrutizirovannogo transporta [The new release of computer-aided public system designed to form and maintain the route transport timetable]. Transport enterprise. Moscow, Transnavigatsiya Publ., 2010, no. 12, pp. 18-21.

18. Dombrovskiy M. Y. Ratsionalnaya metodika formirovaniya raspisaniya dvizheniya podvizhno-go sostava gorodskogo elektricheskogo transporta [An intelligent method designed to form the rolling stock timetable of urban electric transport]. Bulletin of Irkutsk National Research Technical University, 2013, no. 11

ГОРБАЧЕВ Алексей Михайлович - канд. техн. наук, ag@agpage.ru (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).