Признаки h-однородности пространства

УДК 515.124.3

ПРИЗНАКИ ^-ОДНОРОДНОСТИ ПРОСТРАНСТВА

С.В. Медведев1

Доказан критерий й-однородности для метрического однородного пространства. В качестве следствия получены два признака й-однородности метрических пространств.

Ключевые слова: однородное пространство, h-однородное пространство, p-база, группа, гомеоморфизм.

h-однородные пространства играют важную роль в дескриптивной теории множеств. В заметке доказывается критерий, позволяющий выделить h-однородные пространства из класса однородных метрических пространств. С помощью этого критерия получены два признака h-однородности пространства.

Запись X» Y означает, что пространства X и Y гомеоморфны. w(X) - вес пространства X. Под кардиналом k понимается множество всех ординалов, которые меньше k. Наименьший бесконечный кардинал обозначается буквой w также w = {0, 1, 2, ...}. Пространство X называется однородным, если для любых двух точек a и b из X найдется гомеоморфизм f : X  X , для которого f(a) = b. Пространство X называется h-однородным, если каждое непустое открыто-замкнутое множество из X гомеоморфно всему пространству X. Доказано, что каждое метрическое h-однородное пространство является однородным. Семейство g непустых открытых множеств называется р-базой пространства X, если каждое непустое открытое множество из X содержит некоторый элемент семейства g.

Остальные используемые определения и обозначения можно найти в [1].

Теорема 1. Пусть дано однородное, нигде не локально компактное метрическое пространство X веса k, причем IndX = 0. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) X - h-однородное пространство,

2) для каждого непустого открытого множества U çX найдутся такие непустое открытое множество V ç X и дискретное открытое семейство {Va :ae k}, что объединение U{Va : ae k} ç U и каждое Vaгомеоморфно V.

Доказательство. 1) ^ 2). Зафиксируем открытое множество U ç X. Из h-однородности пространства X следует, что w(U) = w(X) = k. Более того, U содержит замкнутое (в X) дискретное множество D мощности k. Так как метрические пространства коллективно нормальны, найдется такое дискретное открытое семейство {Va : ae k}, что пересечение D ПVa состоит из одной точки для любого a. Тогда каждое Va » X » V по определению h-однородного пространства.

2) ^ 1). Выберем базу топологии B пространства X, состоящую из открыто-замкнутых множеств. Для каждого U e B, удовлетворяющего условию 2) из формулировки теоремы, построим открыто-замкнутое множество U çU, которое гомеоморфно X. Для этого зафиксируем точку ае V. По условию пространство X однородное. Поэтому для любой точки xeX найдется такой гомеоморфизм fx : X  X , что fx (a) = x . Так как IndX = 0, то из покрытия {fx (V) : x e X} пространства X можно выделить дискретное подпокрытие {Wa : ae k1} . Из условия w(X) = k вытекает неравенство k1 < k. По построению каждое множество Wa гомеоморфно открытозамкнутому подмножеству из Va. Следовательно, X = U{Wa :ae kx} гомеоморфно некоторому открыто-замкнутому подмножеству U из U{Va : ae kx} ç U . Семейство {U* : U e B} образует p-базу пространства X. Тогда по теореме 2.4 из [2] пространство X будет h-однородным. Теорема доказана.

Рассмотрим случаи, когда существует семейство, удовлетворяющее условию 2) из теоремы 1.

1 Медведев Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Южно-Уральский государственный университет.

Серия «Математика. Механика. Физика», выпуск 7 31

Математика

Теорема 2. Пусть дано однородное, однородное по весу метрическое пространство X веса к, причем cf (к) >о и IndX = 0. Тогда X- h-однородное пространство.

Доказательство. Так как cf (к) > о, то пространство X нигде не локально компактно.

Возьмем непустое открыто-замкнутое множество U с X. Так как cf (к) >о и IndX = 0, то существует дискретное открытое покрытие U = {Ua :ае к} пространства X. Зафиксируем точку аеX и убывающую открыто-замкнутую базу {On : n е о} в точке а. Для каждого n ей через кп обозначим мощность семейства Un = {U е U: U содержит открыто-замкнутое подмножество, го-меоморфное On} . Тогда к0 < к < .... Из однородности пространства X следует, что каждое U е U принадлежит некоторому семейству Un . Тогда sup{^ : n е о} = к . Так как cf (к) > о, то найдется такой номер j, что к = к. Поэтому Uj = {Wa :ае к} . По построению Oj » Va для некоторого Va £ Wa. Положим V = Oj. Семейство {Va : ае к} дискретно в X и U{Va : ае к} с U . Тогда пространство X будет h-однородным по теореме 1. Теорема доказана.

Топологическая группа G называется локально вполне ограниченной, если существует такое непустое открытое множество U с G, что для любой окрестности V единичного элемента е группы G выполняются условия Uс F-Vи Uс V-Fдля некоторого конечного множества Fс G.

Теорема 3. Пусть дана сепарабельная нульмерная метризуемая топологическая группа G, которая не является локально вполне ограниченной. Тогда G - h-однородное пространство.

Доказательство. Так как группа G не локально вполне ограничена, то она нигде не локально компактна. По теореме Биркгофа-Какутани существует левоинвариантная метрика d, совместимая с топологией группы G. Зафиксируем базу {On : n е о} для единичного элемента е группы G,

состоящую из открыто-замкнутых множеств и удовлетворяющую условию diam(On) < (n +1)-1 для любого n ею. Возьмем непустое открыто-замкнутое множество U с G. Внутри U выделим непустое открыто-замкнутое множество U с U так, чтобы расстояние d(U*, G \ U) > m_1 для некоторого m ео . Так как группа G не локально вполне ограничена, то найдется бесконечное множество {an : n е о} с U *, которое j_1 -метрически дискретно для некоторого j ею; причем, без ограничения общности, j > m. Положим V = O2j и Vn = an  V . Несложно проверить, что множества {Vn : n е о} попарно не пересекаются и их объединение принадлежит U.

По теореме 1 пространство G будет h-однородным. Теорема доказана.

Литература

1. Энгелькинг, Р. Общая топология / Р. Энгелькинг. - М.: Мир, 1986. - 752 с.

2. Terada, T. Spaces whose all nonempty clopen subspaces are homeomorphic / T. Terada // Yokohama Math. J. - 1993. - Vol. 40. - P. 87-93.

Поступила в редакцию 20 августа 2012 г.

CHARACTERISTICS OF Л-HOMOGENEITY OF A SPACE

S.V. Medvedev1

The criterion of h-homogeneity of a homogeneous metric space with IndX = 0 is proved. As a consequence we obtain two characteristics of h-homogeneity for metric spaces.

Keywords: homogeneous space, h-homogeneous space, p-base, group, homeomorphism.

References

1. Engel'king, R. Obshchaia topologiia (General Topology). Moscow: Mir, 1986. - 752 p. [Engelking R. General Topology. Warsaw: PWN, 1977. 626 p.]

2. Terada T. Spaces whose all nonempty clopen subspaces are homeomorphic. Yo^hama Math. J. 1993. Vol. 40. pp. 87-93.

1 Medvedev Sergey Vasiljevich is Cand.Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Mathematical Analysis Department, South Ural

32

Вестник ЮУрГУ, № 34, 2012