Применение теории перколяции для описания фрактального структурообразования элементов в неоднородных средах на примере горения полимерных материалов при пожаре

УДК 691.175.5

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПЕРКОЛЯЦИИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ФРАКТАЛЬНОГО СТРУКТУРООБРАЗОВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ НА ПРИМЕРЕ ГОРЕНИЯ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ПОЖАРЕ

Ф.А. Абдулалиев, Ю.Н. Бельшина

Проведено исследование полимерных материалов методом фрактального анализа. Анализ полимерных материалов с предложенным методом позволит определить поведение полимерных материалов на пожаре.

Ключевые слова: полимерные материалы, теплопроводность, теория перколяции, фракталы.

Задачи контроля и управления пожароопасными процессами часто приводят к необходимости моделирования структурированных неоднородных сред, характеризующихся сложными (неравновесными и нелинейными) свойствами. Практика показывает, что динамика процессов (пожаров) и явлений носит нелинейный и зачастую хаотичный (непредсказуемый) характер. Это обуславливает необходимость поиска альтернативных методов моделирования с применением нестандартных математических аппаратов. На сегодняшний день существует достаточно много направлений в данной сфере пожарной науки. При анализе процессов все чаще применяются такие математические средства, как детерминированные методы, нечеткие методы, нейронные сети, генетические алгоритмы и т.п. [1]. Однако при горении полимерных материалов [2, 3] (динамики пожара) ни один из этих методов не может учесть такое свойство полимерных материалов, как самоорганизация. Данную проблему в определенной мере позволяет решить теория перколяции.

Явления в средах со сложной неупорядоченной структурой часто обнаруживают масштабную фрактальность пространственных и временных свойств. Это обстоятельство позволяет выработать некоторые общие методы моделирования сложно построенных сред и в ряде случаев облегчает описание протекающих в них процессов. Особенно важными становятся все структурные элементы полимеров (макромолекулярные клубки, кристаллиты и т.п.). Они имеют размеры нанометрового масштаба, в силу чего структура всех полимеров может рассматриваться как наноструктура [4, 5]. Помимо этого наноструктуры образуют фрактальные решетки, способствующие определенному структурообразованию элементов.

Как показывает анализ горения полимерных материалов, они часто имеют фрактальную структуру что, по-видимому, является следствием пространственно-временной фрактальности явлений, определяющих эволюцию рассматриваемых систем.

Как правило, сведения о свойствах отдельных элементов структурированных сред и особенностях процессов взаимодействия между ними отсутствуют или же получение их затруднительно. Поэтому для изучения кооперативных эффектов, имеющих место при горении полимерных материалов, целесообразно использовать теорию перколя-ции.

Термин «перколяция» использовался первоначально для противопоставления диффузии: если в случае диффузии мы имеем дело со случайным блужданием частицы в регулярной среде, то в случае перколяции речь идет о регулярном движении (например, течение жидкости или горение полимерных композиционных материалов) в случайной среде [6].

Задачи теории протекания состоят в описании корреляций между соответствующими физическими и геометрическими характеристиками анализируемых сред. Для описания структурных свойств полимерных материалов в случае горения, наиболее адекватна перколяционная задача, сформулированная для непрерывной среды. Согласно этой задаче, каждой точке пространства с вероятностью р = Vf отвечает проводимость о = Of и с вероятностью 1 — р - проводимость о = от. Здесь индекс f обозначает наполнитель (filler), а индекс m - матрицу (matrix). Порог протекания (У^)в этом случае равен минимальной доле пространства, занятой проводящими областями, при которой система еще является проводящей. При изменении Vf в пределах от 0 до 1 теплопроводность композита возрастает от от до Of, что обычно составляет 20 порядков, увеличение а происходит немонотонно: наиболее резкое ее изменение наблюдается, как правило, в узкой области концентраций наполнителя (рис. 1), что позволяет говорить о перколяцион-ном переходе, при Vf, равной порогу протекания. Этот переход представляет собой фазовый переход второго рода.

02 0.6 Vf. об юл|

Рис. 1. Зависимость теплопроводности композиционных материалов полипропилен + алюминий, полученных различным способом от объемного содержания алюминия: 1 - смешение компонентов в виде порошков с последующим прессованием,

2 - полимеризационное наполнение, 3 -смешение на вальцах

Рассмотрим распределение протекания в системе при различных содержаниях наполнителя ъу. При малых ъу все проводящие частицы объединяются в кластеры конечного размера, изолированные друг от друга. По мере увеличения ъу средний размер кластеров возрастает и при ъу =ъ^, значительная часть изолированных кластеров сливается в бесконечный кластер, пронизывающий всю систему: возникает канал проводимости (путь протекания). Дальнейшее увеличение ъу приводит к резкому росту объема бесконечного кластера. Он растет, поглощая конечные кластеры, причем в первую очередь самые большие из них. В результате средний размер конечных кластеров уменьшается.

Изучая топологию бесконечного кластера, исследователи [7, 8] пришли к выводу, что основная его часть сосредоточена в цепочках, заканчивающихся тупиками. Эти цепочки дают вклад в плотность бесконечного кластера и в теплоизоляционную проницаемость (блокированные узлы), но не дают вклад в проводимость. Такие цепочки назвали «мертвыми концами». Бесконечный кластер

Параметры некоторых моделей

без мертвых концов был назван скелетом бесконечного кластера. Первой моделью скелета бесконечного кластера была модель Шкловского - Де Жена. Она представляет собой нерегулярную решетку со средним расстоянием между узлами, зависящим от близости концентрации наполнителя к порогу протекания.

Вблизи порога протекания проводимость ас двухкомпонентной смеси с биноминальным распределением частиц равна:

ас = сгДг^ — г^)^,пригу > г^ ас = <тДг^ — г^)^,пригу < г^ ас = а^Х5, пригу = г^

где X = о2/ог « 1, параметры а,р, 5 = Р/{а + Р) приведены для разных моделей протекания в таблице.

Качественно характер изменения проводимости изображен на рисунке 2.

Таблица

вблизи порога протекания

а ß 6

Трехмерная задача связей (кубическая решетка) 1 1,6 0,67

Двумерная задача связей (квадратная решетка) 1 1,1 0,51

Трехмерная модель протекания (непрерывная среда) 1 1,4 0,65

Рис. 2. Характер изменения проводимости

В случае анизотропных наполнителей проводящая фаза может состоять из случайно ориентированных анизометрических частиц (волокна, цилиндры) - проводимость такого материала всегда изотропна; или же протекающая фаза может состоять из случайно ориентированных частиц с анизотропной собственной проводимостью. Порог протекания для таких наполнителей обычно гораздо

ниже, чем для частиц сферической или сфероидной формы, что легко видно из рисунка 3: в первом случае для перекрывания расстояния между противоположными гранями образца достаточно меньшего количества частиц. Здесь же приведена зависимость порога протекания от коэффициента формы частиц наполнителя - отношения длины I к диаметру ё, 1/ё.

10 1Э0 1С00

Коэффициент форма частщ

Рис. 3. Анизотропные наполнители

Таким образом, предложенный метод позволит определить поведение на пожаре полимерных материалов, применяемых в строительстве, с дальнейшей разработкой предложений по их пожаробезопасному применению или при идентификации

сгоревших материалов (инициаторов горения), которые могут быть использованы в качестве вещественных доказательств в ходе расследования пожаров.

Библиографический список

1. Гантмахер В.Ф. Электроны в неупорядоченных средах / В.Ф. Гантмахер. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 232 с.

2. Асеева Р.М., Заиков Г.Е. Горение полимерных материалов / Р.М. Асеева, Г.Е. Заиков // М.: Наука. - 1981. -280 с.

3. Берлин Ал. Ал. Горение полимеров и полимерные материалы пониженной горючести / Ал. Ал. Берлин // Соросовский образовательный журнал. - 1996. - № 9. - С. 5763.

4. Optimization of Polymer Nanocomposite Properties. Edited by VikosMittol, 2010 WILEY-VCH VerlagGmbH& Co. KGaA, Weinheim.

5. Polymer nanocomposites. Edited by Yiu-Wing Mai and Zhong-Zhen Yu.СWoodheadPublishingLimited. 2006.

6. Абдулалиев Ф.А., Иванов А.В. Описание разви-

References

1. Gantmaher V.F. Jelektrony v neuporjadochennyh sredah / V.F. Gantmaher. - M.: FIZMATLIT, 2005. - 232 s.

2. Aseeva R.M., Zaikov G.E. Gorenie polimernyh materialov / R.M. Aseeva, G.E. Zaikov // M.: Nauka. - 1981. -280 s.

3. Berlin Al. Al. Gorenie polimerov i polimernye materialy ponizhennoj gorjuchesti / Al. Al. Berlin // Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal. - 1996. - № 9. - S. 57-63.

4. Optimization of Polymer Nanocomposite Properties. Edited by VikosMittol, 2010 WILEY-VCH VerlagGmbH& Co. KGaA, Weinheim.

5. Polymer nanocomposites. Edited by Yiu-Wing Mai and Zhong-Zhen Yu.SWoodheadPublishingLimited. 2006.

6. Abdulaliev F.A., Ivanov A.V. Opisanie razvitija pozhara v sel'skih naselennyh punktah na osnove

тия пожара в сельских населенных пунктах на основе перко-ляционого процесса с использованием нейронных сетей / Ф.А. Абдулалиев, А.В. Иванов // Электронный университет ГПС МЧС России. - 2012. - № 1.

7. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы: Учебное пособие / Ю.Ю. Тарасевич. - М.: Едиториал УРСС, 2002. - 112 с.

8. Muhammad Sahimi. Applications of Percolation Theory.Taylor&Francis, 1994.

perkoljacionogo processa s ispol'zovaniem nejronnyh setej / F.A. Abdulaliev, A.V. Ivanov // Jelektronnyj universitet GPS MChS Rossii. - 2012. - № 1.

7. Tarasevich Ju.Ju. Perkoljacija: teorija, prilozhenija, algoritmy: Uchebnoe posobie / Ju.Ju. Tarasevich. - M.: Editorial URSS, 2002. - 112 s.

8. Muhammad Sahimi. Applications of Percolation Theory.Taylor&Francis, 1994.

THE APPLICATION OF PERCOLATION THEORY TO DESCRIBE THE FRACTAL STRUCTURE OF THE ELEMENTS IN INHOMOGENEOUS MEDIA BY THE EXAMPLE OF COMBUSTION OF POLYMER MATERIALS IN CASE OF FIRE

In work research ofpolymeric materials is conducted by method of the fractal analysis. The modeling method with use of non-standard mathematical apparatuses, such what theory of a percolation is offered alternative.

Keywords: polymeric materials, heat conduction, theory of a percolation, fractals.

Абдулалиев Фарид Абдулалиевич,

доц., к.т.н.,

Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России,

Россия, Санкт-Петербург.

Abdulaliev F.A.,

Assoc. Prof., Cand. Tech. Sci.,

St. Petersburg State University of State Firefighting Service of EMERCOM of Russia, Russia, St. Petersburg.

Бельшина Юлия Николаевна,

начальник кафедры, к.т.н., доц.,

Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России,

Россия, Санкт-Петербург.

Belshina Y.N.,

Head of the department,

Cand. Tech. Sci., Assoc. Prof.,

St. Petersburg State University of State Firefighting Service of EMERCOM of Russia, Russia, St. Petersburg.