Помехоустойчивость когерентного приема многопозиционных сигнальных конструкций при разнесенном приеме и общих замираниях параметров канала

X ИНФОРМАЦИОННЫЕ КАНАЛЫ И СРЕДЫ

УДК 621.39

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ КОГЕРЕНТНОГО ПРИЕМА МНОГОПОЗИЦИОННЫХ СИГНАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ РАЗНЕСЕННОМ ПРИЕМЕ И ОБЩИХ ЗАМИРАНИЯХ ПАРАМЕТРОВ КАНАЛА

Н. В. Савищенко,

доктор техн. наук, профессор Военная академия связи

Приведены основные положения по расчету помехоустойчивости когерентного приема многопозиционных сигнальных конструкций при разнесенном приеме и общих замираниях параметров сигнала.

Известно, что разнесенный прием является одним из наиболее эффективных способов, предназначенных для обеспечения высокой надежности передачи данных без значительного увеличения как мощности передатчика, так и используемой частоты [1-6]. В системах с разнесенным приемом обеспечивается параллельная передача одной и той же информации по нескольким каналам. Различные методы разнесения были предложены и проанализированы применительно к системам коротковолновой, тропосферной связи, а также к радиорелейным системам, функционирующим в пределах прямой видимости.

Методы разнесения требуют организации ряда путей передачи сигналов, называемых ветвями разнесения, и схемы их комбинирования или выбора одного из них. В зависимости от характеристик распространения радиоволн в системах подвижной радиосвязи существует несколько методов построения ветвей разнесения, которые могут быть разбиты на следующие группы: пространственное, угловое, поляризационное, частотное, временное разнесение.

Пространственное разнесение. Этот метод широко используется на практике из-за своей относительной простоты и низкой стоимости. Применяется одна передающая и несколько приемных антенн. Расстояние между соседними приемными антеннами выбирается таким образом, чтобы замирания в каждой ветви разнесения были некоррелированны.

Угловое разнесение (разнесение по направлению). В этом методе используется несколько направленных антенн, каждая из которых независимо реагирует на сигнал, приходящий под определенным углом или с определенного направления.

Здесь также добиваются некоррелированности замираний в отдельных ветвях разнесения.

Поляризационное разнесение. В этом методе используются только две ветви разнесения, при этом сигналы, переданные с помощью двух ортогонально-поляризованных радиоволн, применяемых в системах подвижной радиосвязи, в точке приема имеют некоррелированные статистики замираний из-за многолучевости.

Частотное и временное разнесение. Различия в частоте и/или времени передачи могут быть использованы для организации ветвей разнесений с некоррелированными статистиками замираний. Основное преимущество этих двух методов по сравнению с предыдущими состоит в том, что для их реализации требуется лишь одна приемная и одна передающая антенны, но при этом используется более широкая полоса частот. Заметим, что помехоустойчивое кодирование может рассматриваться как один из вариантов временного разнесения в цифровых системах передачи.

Следует отметить, что для всех методов разнесения, за исключением поляризационного, в принципе не существует ограничений на количество ветвей разнесения. Но более детальное исследование этого вопроса показывает, что для некоторых методов можно определить оптимальное значение числа ветвей разнесения, которое зависит, в том числе, и от отношения сигнал/шум, т. е. для системы передачи может быть указан диапазон оптимальных значений числа ветвей, если будут известны границы, в которых изменяется отношение сигнал/шум. Таким образом, не всегда увеличивается выигрыш при увеличении числа ветвей разнесения.

Существует несколько методов комбинирования некоррелированных сигналов при разнесенном приеме. Обычно выделяют три основные категории: 1) оптимальное (по критерию максимального отношения сигнал/шум) сложение; 2) сложение с равными весами; 3) автовыбор.

Метод автовыбора из-за своей относительной простоты реализации представляется более приспособленным для применения в системах подвижной радиосвязи. В этом методе выбирается для связи наилучшая ветвь (ветвь с максимальным уровнем сигнала или ветвь с минимальным значение вероятности ошибки Ре). Основной недостаток этого метода в том, что необходимо иметь такое же число приемных каналов с непрерывным контролем, сколько имеется ветвей разнесения.

Предположим, что:

1. В каждой отдельной ветви разнесения сигнал является однолучевым.

2. Число ветвей разнесения Ь > 1.

3. ВеличинаЪ0 есть среднее отношение энергии сигнала к эквивалентной спектральной плотности помехи, которое имело бы место, если бы то же передающее устройство использовалось для одиночного приема.

4. Без ограничения общности полагаем, что ветви разнесения пронумерованы в порядке убывания интенсивности сигнала.

5. Для любого I - 1,Ь помеха является аддитивным белым гауссовским шумом с односторонней спектральной плотностью мощности шума в каждой ветви Ыол/ 2 с коэффициентом передачи 1-го канала Цг.

6. В каждой из ветвей разнесения отношение сигнал/шум есть величина

2 = Е-, I = 1, Ь.

А,2 =

N

0,1

7. В зависимости от вида разнесения справедливо соотношение [2]

Ъ2

ЪЬ _ Ъо, хе[0,2],

Ь

где н\ — среднее отношение энергии сигнала к шуму в одной отдельной ветви.

8. Во всех ветвях сигналы некоррелированны. Это предположение позволяет упростить расчет помехоустойчивости и дает возможность получить соотношения для вероятности ошибок (ее нижняя граница) в замкнутой форме. В то же время некоррелированность действительно может иметь место на практике [2]. С другой стороны, трудно реализовать оптимальный прием, который бы учитывал коррелированность сигналов в отдельных ветвях разнесения. Противоположный случай — полная коррелированность всех ветвей.

При оптимальном когерентном приеме и некоррелированной по отдельным ветвям разнесения

помехи результирующее отношение сигнал/помеха равно сумме всех отношений в ветвях разнесения, т. е.

ъ2=2>2 = ъ2 £ §2,

г-1 г-1

*2 А2

где 8г =-2 А1

А2 = А2. В соответствии с предположе-

нием справедливы неравенства

§2 >§2 >...>8|, §2 = 1.

Энергетический выигрыш от перехода одиночного приема к разнесенному определяется выражением

Ъ2 1 Ь

2 = §2

% _ 2 _ Тх£§1 ,

Ъ0 Ь 1-1

где Хе [0,2] — распределение мощности в зависимости от вида разнесения.

Если в канале связи присутствуют замирания, то

2 ______________________________

Ъц -зНг2, Р2 _ т2,1 -|мМмгI _ 1,Ь,

Мг

где ю(цг) — плотность распределения вероятности коэффициента передачи цг для 1-го канала.

Полная вероятность ошибки в канале с разнесением и некоррелированными по ветвям замираниями определяется выражением

+“ +“ ( Ь м2 ^ Ь

Ре/Ъ _ | ... | Ре/Ь Ъ£§2Цт Пю(Мг^...ДЦ^

^ г-1 ) г-1

где Ре/Ъ — вероятность ошибки (в символе/бите) в канале с детерминированными параметрами и белым шумом; цг — коэффициент передачи в 1-й вет-

;М2 = т2,г = \мпю(Мг)(іцг; ю(дг) —

ви; мг = т2г = | мгю( м-г |(1м,г; ю( мг) — плотность распределения вероятностей коэффициента передачи в 1-й ветви, г = 1, Ь. Таким образом, в формуле для вероятности ошибки Ре/ъ(А2), полученной для когерентного приема в канале с белым шумом, при одиночном приеме должны осуществляться следующие замены:

а) в канале без замираний проводится замена

А2 на А2 £ §2 =£й2 = А|;

г=1 г=1

б) в канале с общими некоррелированными по отдельным ветвям замираниями — замена А2 на

Ь ц2 А2 £ «2 =2.

г=1 М-г

В общем случае вероятность ошибок двумерных сигналов при когерентном приеме в канале с де-

терминированными параметрами и белым шумом может быть представлена в виде [6, 7]

Ре/Ъ (ъс ) акТ(ак1>С, Пк ) +

к

+ £ъкя[

к '

+ £ ск@ ^ak^^/АЪC )

•к2\АЪс ) +

где Т(v,a), у>0, а >0 и ф(х) соответственно функции Оуэна и Лапласа. Следовательно, с учетом свойств функции Оуэна, задача вычисления вероятности ошибок в этом случае может быть сведена к усреднению только функции Оуэна.

В основе дальнейших преобразований, вне зависимости от закона распределений, лежит следующая формула:

V

а Iа2 £ §2 Мlг, П

г=1 дг

л Ь

Пю(Мг )йм1...ймь =

г=1

1^1 ь [~ ^1+?ПІ!ехр

^ мЦ

2 м2

А МГ§2 {1+Х*

ю

где параметр а определяется в зависимости от сигнальной конструкции, а значение т2,г _ц2 — начальный момент второго порядка. Например, для четырехпараметрического закона распределений

(

замираний т2 г = 2а;

}с,г

1 і „2 і 1 дг

+ї0-‘ + и?

При выводе (2) учитывалось, что справедливо соотношение

а2А2 Ь м^2

-£% §2 (1+

г=1 дг

х [ =

Ь

= П ехр

г=1

а2А24 §2 (1+х2

2 Мг '

которое легко вытекает из свойств экспоненциальной функции.

Для определения вероятности ошибки в канале с общими замираниями будет рассматриваться четырехпараметрический закон распределения вероятностей случайного коэффициента передачи каналад [1-4]:

ю(дс ,д8 ) =

ехр

„ 2( - тс1 -—2(- т1 2—с 2—

где тс и т3 — математические ожидания квадра-

турных составляющих дс и д8 (д0 =^^-2 + т2 — регулярная составляющая коэффициента передачи); —с и —2 — дисперсии квадратурных составляющих дс и д8. Учитывая, что предполагаются различные уровни замираний в отдельных ветвях, в дальнейшем к каждой переменной будем добавлять индекс г, г = 1,Ь.

Следуя работе [2], наряду с параметрами тс,г,

т8,г, —2,г, —2,г, г = 1,Ь будем использовать параметры, имеющие наглядный физический смысл и используемые в отдельных ветвях.

1. Отношение дисперсий квадратурных состав-

т« 2 2 2

ляющих в 1-й ветви —сг и —8г — величину д =

а

в,г

Коэффициент д2 характеризует асимметрию канала по дисперсиям в 1-й ветви. Без ограничения общности рассматриваются значения д2 из интервала [0, 1], т.е. 0 < д2 < 1.

т,

2. Фазовый угол фо,г = агеїд—— или tgфo,1

т,

-в,г

т

с,г

т

•с,г

3. Отношение средних мощностей регулярной и флуктуирующей частей сигнала у2 _

м0,г

2 г 2

т0,1 + т8,1 _________________________

' ~2 _і_~2 „.2 , „.2

—с,г + — э,г —с,г + — э,г

. Это выражение удобнее

представить в виде уг =

д0,г

2 = 2Ял м0,г = 2д2 2

1 + Ял2—Ь 1 + Я.І

у2 г =—2------величина, характеризующая глуби, 2—с,г

ну замираний в канале с райсовскими замираниями (г = 1). Коэффициент 2д 2 є[0,1] характери-

1 + Чг

зует уменьшение у2 по сравнению с величиной у0 г. При релеевских замираниях у0,г = 0, в канале без замираний у0,г (присутствует только регуляр-

ная составляющая). Следует заметить, что величина у2 может принимать одинаковые значения при разных значениях у0,г и д2. Кроме этого справедливы следующие соотношения:

тс

У г =

т

—с,г 1 + Ч е0£| Ф0,г

или уг =

э,г

—8,і 1 + Ч 8ІП Ф0,г

к

2

4. Средний квадрат коэффициента передачи (начальный момент второго порядка) т2 г _ М(> г +

+ — с,г + — з,г или т2,г = 2—с,г

1 + _Д0,^_ + 1 - д?

2—с,г 2г

= 2—с,г х

( 1 - Ч2 ^ 1+Ї2..+1-ї

2

д| * 0. Если д| = 0, то —с,г = 0,

а величина а8,г является неопределенной, либо

22 а5,г ^то, а величина ас,г является неопределенной.

Многочисленные теоретические работы и экспериментальные данные показывают, что общая гауссовская модель и ее частные случаи охватывают широкий класс каналов связи в различных диапазонах волн [1-4]. Сложность вычисления вероятностей ошибок для четырехпараметрического закона замираний привела к тому, что на практике традиционно используются только плотности распределения Релея и Райса.

Одномерное распределение коэффициента передачи каналаЦг, г _ 1,Ь может быть определено по формуле [2]

ю(дг ) = I ехр

2п

2п—с,г—в,г 0

-1— ( еоэф- тс,г )?

2—с,г

2—

V (г8ІП Ф- тз,г )2

в,г

йф, дг > 0.

В результате преобразований четырехпараметрическое распределение может быть представлено в виде [7]

ю(Мг ) = Чг ехр

т|,г 2—2,г

т=0

(-1)тЯ2т (-ІХг) 2т (2т)!!

, дг > 0,

2

22

где 2 =—А. • х2 = т«,г г д г —2 ; Хг 2 1 - ,

—в,г 2—в,г1 г

ление Райса—Накагами [6, 7]:

и (мг) — распреде-

юГ(Мг ехр

Є2 Р 2

--------м2

2р 2*1

1--1

гдер >0, 0 >0, в> 0 — параметры распределения, а /р-1 (0мг) — функция Бесселя от мнимого аргумента порядка (р -1).

К частным случаям четырехпараметрического распределения относятся [2]:

а) трехпараметрическое распределение (распределение Бекмана) при т3,г = 0:

ю(Мг ) = -

Мг

-ехр

2—:

с,г

к

(М ^ М0,г ..

2 Мг —2,г

—в,гМ0,г

где М0,г = |тс,г| * 0 — регулярная составляющая сигнала; Н2т (0 ) = (-1)т 2т (2т -1)!!;

б) распределение Хойта при —2г * — 2г и отсутствии регулярной составляющей (0,г = 0):

.2 (л ^

ю

(Мг ) =

Мг

—с,г—в,г

-ехр

4

х Г

(..2 ( 1 1

Мг

1 1

Т+

с,г

2 " + ' 2 —с,г — *,г

2 2 —с,г — *,г

в) распределение Райса при —2г = —?,г =—2:

ю

(Мг Ь"!1- ехр —с,г

( М2 +М2 ^ ( Мг +М0,г

2—:

с,г

0

М0,г -і- Мг —с,г

V У

г) распределение Релея при О? г _ аС г _ а2, Мо,г _ 0

( _ т8,г _ 0);

д) одностороннее нормальное распределение

при а2,г _ 0, тс,г _ теЛ _ 0.

Если положить 0г _ и вг _ —!р, то ю^+1 (мг )_

ас г аС г

мГ 1

—2 / \‘

—с,г \тс,г)

ехр

с,г

2—

с,г

}с,г

т

-Мг

}с,г

. Начальный

V /

второй момент распределения Райса—Накагами определяется по формуле

2 -

т? г = —^ ехр

2,г Рг

2вг

1*1

( і. . 02 ^ - + ;-;2|3г

Если - — натуральное число, т. е. - є Ш, то не-

трудно убедиться, что т2,г = —

Рг

0? ^ - + —!—

2Рг

Основная цель данного пункта заключается в вычислении интеграла (2) от функции Оуэна и функции Лапласа при четырехпараметрических замираниях в каждой ветви:

ю(Мг ) = і ехр

т

в,г

2—

в,г

х£

т=0

(-1)тН?т (-% 2;

Н^

, Мг > 0.

Основные этапы соответствующих алгебраических преобразований при вычислении (2) можно найти в работах [6, 7]. Так, например, для распределения Райса—Накагами уравнение (2) может быть представлено в виде

Ть = ±|_1_П ^хр

Ь 1 л. -V2 А А й-"1

( 02 'А

с I ехр

2п01+х2 г=1 |0-

а2А2 §? і 2\ Рг

^-К11 Xі) М2 2 Мг

2Рг

М-Г--1 (0гМг )йМг|йх.

Используя работу [6], интеграл можно свести к виду

Ть =

- ї-^ 2л-|1 1 + х2

П(1 - ъ2

г=1

1 + Ъг2х2

-ехр

( -2 1 + х2 ^ 2 1 + Ъг2 х2

йх,

2 72^2 г\2

,2 а Ъ §г 2 0г ,2

где Ъ2 _---------; г/ _-Ц2.

г а2Ъ2§2 +м2Рг г Рг г Этот интеграл может быть представлен в виде

Ь , , р п

Т = ІйП (1 - Ъ2 ) ) ^

|п и 01 + х П( + і

-х

П(1 + Ъг2х2

г=1

-

(

х ехр

-1 (1+х2 )£

,2

йі.

Полученный интеграл по структуре похож на функцию е%р (, Ъ, п) [6, 7], поэтому обозначим его следующим образом:

^(г },{Ъг },п)_ )гП (1 - Ъг

г_1

Г 1 1 Г 1 2 )

х I ехр -2(1+* >§

г=1

,2

2 „2

г=11 + Ъ1х'

йх,

где запись {*г} означает совокупность Ь переменных, т. е. {*г} = (*1, „., *г, ..., *Ь). Очевидно, что при

Ь = 1

^Р(Ь_1)(|г}, {Ъг}, п)_ ^р( Ъ,п).

Если параметры канала одинаковы по всем ветвям и Ъг2 _Ъ2, гг2 _ г2, то

^-Ь> (г, Ъ, п) =~(1 -Ъ

1

2лЛ

-Ь

/м_____________1_

01 + х (1 + Ъ2х2

-Ь

ехр

Ьг2 1 + х2 2 1 + Ъх2

йх,

т. е. ^Ь)(г, Ъ,п) _ ^рЬ (гТЬ, Ъ, п).

Применяя замену * = tg^, получаем альтернативное представление функции в виде следующего интеграла:

^р(Ь)(|гг}, |ЪгЬ п)_):П(1 -Ъ1) *

агеїд

х I —

ехр

0

П(1 + №і

г=1

1 ь

К: £

геоэ2 і г=11+ъг2tg2^

йі

или

^-(Ь)({-г} {ъг} п) = )-П (-ъ|)- х

2П г=1

агеїд

х I -

еоэ2-Ь і

0

г=1

П(1 -(1 - Ъг2 )віп2і

х ехр

1 Ь

-1 £

-2

2г=11 -|1 -Ъг2 І8Іп2і

йі.

В этом представлении пределы интегрирования всегда принимают конечные значения, что важно при расчетах на ЭВМ.

Если рассматривается четырехпараметрическое распределение, то таким же образом можно показать, что в этом случае (2) принимает вид

& (Ь) (1гсд ЬКг },|Ъс,г },{ъв,г },п) =

1 Ъв,г х

1 ь 1

11 + х? П V1 + ъс2,гх271 + ъ|,1'

х ехр

( г2 1 ^2 г2 1 ^2 ^ гс г 1 + х — г 1 + х

-т ^ -1 ^

йх,

где

2і2е2 2

2 _ а А §1—с,г Ъс,г = =

т

с,г ,,2

а А §і —с,г + Мг

', гс,г =~^~ ъс,г

}с,г

2

и Ъ2, =

27 2£2 2 аА§і —в,г

2 тв г 12

ві =--=, -2г =—г-ъ^.

в,г 2 т2о2 2 . 2 в,г _2 в,г

а2А2§2 — 2, г +м| Учитывая, что

}в,г

М2 = 2—с,г

(

1 + Ї0,г +

1 - дг2 2і

2 А

,-2

определим Аг =-

2*2

а2§

1+Уо,г +

1-2

2і

> т. е. а-1 (дБ)=Аъ2с(дБ)+

+ 101д §2 - 101д

( 1 - 2 А

1+ї0,і +1

2

Ъс2,г =

а2 а?

2 + а2 А,2

, Ъ2г =

. Тогда

2 -2 а /-і

2і + а2/2

Для того чтобы получить усреднения функции Лапласа и их произведения через введенные функции, необходимо использовать следующие тождества, справедливые для функции Оуэна:

Т(ам,+^) = — Я(ам); Я(ам)ф(Рм) = Т(ам,+^) + 2

+ т (Рм, +“)-

Т| ам, — 1 + Т

Рм,

Отсюда, в частности, получаем, что при а_Р справедливо Q2 (ам) _ 2 [Т (ам, +тс) - Т (ам,1)].

Вывод соответствующих выражений осуществляется аналогично тому, как это было приведено, например, в работах [6, 7].

Значительный практический интерес представляет зависимость вероятности ошибки от числа ветвей разнесения Ь и коэффициента эффективности использования мощности передатчика Х: Рф (2, Ь, Х), гдеХе [0,2] — распределение мощности в зависимости от вида разнесения. При опреде-

Литература

1. Коржик В. И., Финк Л. М., Щелкунов К. Н. Расчет помехоустойчивости систем передачи дискретных сообщений: Справочник. М.: Радио и связь, 1981. 232 с.

2. Кловский Д. Д. Передача дискретных сообщений по радиоканалам. М.: Радио и связь, 1982. 304 с.

3. Скляр Б. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: Пер. с англ. М.: Вильямс, 2003. 1104 с.

4. Прокис Дж. Цифровая связь: Пер. с англ. / Под ред. Д. Д. Кловского. М.: Радио и связь, 2000. 800 с.

5. Феер К. Беспроводная цифровая связь. Методы модуляции и расширения спектра: Пер. с англ. /

ленных соотношениях между Ь и Х возможно определение такого значения числа ветвей, при котором вероятность ошибки будет минимальна. Формально данная задача может быть сформулирована следующим образом: Ь* _ а^штРе/Ъ [Ь2, Ь,Х).

е/Ъ

При использовании манипуляционного кода Грея в области малых ошибок вероятности ошибок на символ и в бите пропорциональны между собой, поэтому в некоторых случаях можно ограничиться определением оптимального числа ветвей при использовании формул для вероятности ошибок на символ. Для решения данной задачи может быть использован следующий подход. Рассмат-

Ре,Ъ (2, Ь +1, Х) ривается отношение КЬ _------ \ . Тогда,

Ре/ъ

если при Ь < Ь КЬ < 1, а при Ь > Ь КЬ > 1, то при выполнении требования КЬ = 1 может быть определено оптимальное значение числа ветвей Ь*. Решение данной задачи относительно просто может быть осуществлено с помощью ЭВМ.

Приведенные результаты в совокупности с результатами помехоустойчивости, полученными для современных многопозиционных сигнальных конструкций [6, 7], позволяют решить две важные практические задачи:

1) расчет помехоустойчивости приема сигнальных конструкций при разнесенном приеме;

2) определение оптимального числа ветвей, которое в большей степени зависит от А2. В этом случае при фиксированном А2 рассматривается вероятность Ре/Ъ(А2, Ь) и определяется такое Ь*, что

А2, Ь*) тіп.

Ре/Ъ

Разнесение позволяет существенно улучшить помехоустойчивость приема в цифровых системах радиосвязи. С помощью полученных соотношений можно как получить корректные сравнения между различными сигнальными конструкциями, так и оценить получаемый от разнесения выигрыш.

Под ред. В. И. Журавлева. М.: Радио и связь, 2000. 520 с.

6. Савищенко Н. В. Многомерные сигнальные конструкции: их частотная эффективность и помехоустойчивость приема: Монография / Под ред. Д. Л. Бурачен-ко. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2005. 420 с.

7. Савищенко Н. В. Помехоустойчивость модемов с двумерными сигнальными конструкциями по точным формулам вероятности ошибки в канале без замираний и с общими четырехпараметрическими замираниями // Информационно-управляющие системы. 2007. № 4. С. 44-54.