Осреднение трехмерной модели двухфазной фильтрации при закачке в пласт полимерно-дисперсных систем

УДК 532.546

С. П. Плохотников, В. А. Богомолов, Е. Н. Белова,

О. И. Богомолова

ОСРЕДНЕНИЕ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ДВУХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ ЗАКАЧКЕ В ПЛАСТ ПОЛИМЕРНО-ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ

Ключевые слова: фильтрация, фазовые проницаемости, нефть.

В работе построены осредненные двумерные модели двухфазной фильтрации для слоистого пласта. Неоднородность пласта задавалась с помощью гамма-распределения при коэффициентах Y=1, П=2. Проведен вычислительный эксперимент для проверки правильности построенной двумерной модели в сравнении с трехмерной моделью.

Keywords: filtration, phase permeability, oil.

The averaged 2D models of 2-phase filtration for laminated layer have been built. The heterogeneousness was specified by gamma-distribution law with y=1, n=2. Calculating experiment to prove built 2D model has been done. This model was compared with 3D model.

Введение

Одна из важнейших проблем, возникающих при извлечении нефти из пластов -это невысокая средняя нефтеотдача пласта. Она варьируется в интервале 25%-45%, т.е. более половины нефти при добыче остается в пласте. По приблизительным оценкам увеличение коэффициента нефтеотдачи на 1% сопоставимо с открытием нового месторождения.

В связи с этим методы повышения эффективности разработки месторождений приобретают огромную ценность.

В настоящее время можно выделить несколько классов методов увеличения нефтеотдачи пласта (МУН): тепловые; газовые; химические; гидродинамические.

Для залежей с низкой вязкостью нефти, низкой соленостью воды часто применяются химические методы. Химические методы имеют самые большие потенциальные возможности увеличения нефтеотдачи пласта.

Среди химических методов широкое распространение получило полимерное заводнение. При полимерном заводнении в воде растворяется высокомолекулярный химический реагент - полимер, повышающий вязкость воды, снижающий ее подвижность.

При многовариантных гидродинамических расчетах можно использовать трехмерные численные гидродинамические модели многофазной фильтрации в нефтяных, газовых, геотермальных и т. д. пластах [1,2]. Гидродинамические модели создаются на основе геологических моделей, которые содержат до 100 млн. ячеек разностной сетки, время расчетов которых неприемлемо для практического

использования модели. Поэтому необходимо уменьшить количество ячеек путем объединения мелких ячеек геологической сетки в крупные ячейки гидродинамической сетки, для которой определяются «эквивалентные» фильтрационно-емкостные параметры [3-7]. Такая процедура называется ремасштабирование (ир^саП^) геологической модели в гидродинамическую.

Цель работы

Исследовать двухфазную

трехкомпонентную фильтрацию в слоистых по абсолютной проницаемости пластах при изотермической фильтрации. Построить осредненную (двумерную) модель основанную на модифицированных относительных фазовых проницаемостях (ОФП) с учетом слоистой неоднородности для Гамма-распределения при коэффициентах у=1, ц=2 и при закачке в пласт полимеров. Провести вычислительный эксперимент (ВЭ) для проверки правильности построения осредненной модели.

Построение математической модели

Как правило, для осреднения используется простая модель без учета слоистой неоднородности, назовем ее «С-модель».

Средние ОФП для этой модели принято задавать формулами Курбанова А.К. [2].

к™ С) - С (с)), кг„ С) - (1 - ЭЖ)),

с - Э

5* / О \ _

IV) -

1 _ Swc ~ Sor

где а = р=1;2;3, kro - максимальная ОФП нефти;

к°т - максимальная ОФП воды; Sor - остаточная нефтенасыщенность; Swc - насыщенность

связанной воды; Sw, So - водо- и нефтенасыщенности (Swc<Sw<1-Sor , So=1-

Sw(Sw) ), подвижная водонасыщенность -

s;(Sw ).

Для построения осредненной модели двухфазной фильтрации с учетом слоистой неоднородности, будем использовать

модифицированные ОФП. Назовем эту модель «B-модель» [1,3-7]. Модифицированные ОФП получаются путем осреднения по толщине пласта H нефте- и гидропроводностей при допущении о струйности вытеснения. Вода вытесняет нефть по пропласткам и движется в струях различной протяженности. При этом в пропластках с

большей проницаемостью движение происходит быстрее. Поэтому в каждом вертикальном сечении пропластки можно объединить в две зоны: зону воды толщиной Hw, где S(x,y,z)= 1-Sor, и зону нефти толщиной H0, где S(x,y,z)= Swc. Причем на любой такой вертикали можно

выделить слой с пороговой проницаемостью k такой, что в слоях с k > к движется одна вода, а в слоях к < к - одна нефть.

При изменении k(z) в пределах толщины пласта a < к(z) < b получим к - среднее значение абсолютной проницаемости, взятое по всей мощности пласта:

w b (2) к =j к  f (к )бк,

kw = J k • f (k)dk / J f (k)dk ,

к S ) k

_ k

ko = J k • f (k)dk / J f (k)dk,

где Цк) - функция плотности распределения, Здесь: к, - средняя проницаемость зоны воды в данном вертикальном сечении пласта; Ко -средняя проницаемость зоны нефти.

Величину к(Э,) находим в результате численного решения уравнения:

к

1 - Э,

а

Модифицированные ОФП получены

коррекцией исходных ОФП с помощью

поправочных коэффициентов, которые имеют вид:

С S) = kw

Ко (Sw)=Ko (Sw)  B(Sw).

Где A(Sw), B(Sw) поправочные коэффициенты, они имеют вид

A

Модифицированные ОФП k0 (Sw ) для

каждого закона распределения вычисляются с помощью следующего численного алгоритма:

1. Задание минимального значения водонасыщенности Sw из интервала изменения;

2. Вычисление подвижной водонасыщенности

s; (Sw) по формуле (1)Ошибка! Источник ссылки не найден.;

3. Нахождение пороговой (нефть-вода) проницаемости k (Sw) как корня уравнения

(4);

4. Вычисление интеграла

J

а

5. Нахождение модифицированных ОФП воды k°w (Sw ) и нефти k00(Sw) для заданного значения Sw по формулам:

kJSw) J

km(Sw) =

krw (Sw ) = _

[1 - S'jSw )]k*_’ km(Sw )[k* - J(k)]

)к

6. Увеличение значения Э,, на шаг и, если Бт<1-30г, переход к пункту второму для вычисления кт (Э,) от нового значения Э,.

Если Бт>1-30г, то задача решена.

Описанный выше численный алгоритм позволяет вычислять модифицированные ОФП для случаев, когда разброс абсолютной

проницаемости по мощности пласта подчиняется какому-либо конкретному

вероятностному закону распределения.

Для задания слоистой неоднородности используется Гамма-распределение при

коэффициентах Y=1, 4=2 с функцией

распределения

F(к)=Jf(k)dk, K* =Jk • f(k) • dk.

f (к) - -1 • к • е к, 0 < к (г) < да.

Это распределение широко

используется в методиках гидродинамических расчетов, разработанных в ТАТНИПИнефти.

При этом к по пропласткам подобраны такими, чтобы у пропластков была заданная толщина, или выполнялись заданные значения вероятности пропластков Н/Н (коэффициент вариации слоистой неоднородности здесь принят

и= 0.68).

Построение слоистого пласта, состоящего из 10-ти однородных по абсолютной проницаемости пропластков при заданных к и V делалось следующим образом. Учитывая, что 0< к (г) < а и принимая, что а1=0, ав= а из закона распределения Н/ Н по заданным Ну находим а2, а3,а4, а5. Для этого решаем численно уравнение

а1+1

Н]/Н - | f (к)бк.

а

Среднюю проницаемость каждого из пропластков вычисляем по формуле

а1+1 1а1+1

к] - | к ^(к)бк | f(к)бк.

а1 / а1

Численные расчеты показали, что при к> 20 функция /(к) < 0.001, поэтому брали

а - 20.

Плотность вероятности гамма-

распределения имеет общий вид

f(к)- А •к11-1 • е-Лк, к>0, А>0, п>0

где А =

А

щ

П, Л- параметры распределения.

Г(П)- гамма функция,

Г(]) = |Є, при п = 1, 2, 3,... о

Г(П)=(П-1)!.

Уравнение в данном случае

примет вид:

Э0 - а| к1-1  е-хк  бк - 0.

0

Если п - натуральное число, то с помощью математических преобразований уравнение (11) можно привести к виду без интеграла:

Э0 + А^е-™-1.

0 £0 1\ X1-1

Используя такие же математические преобразования, для интеграла (7) получим:

4)-!-А-е-‘К

и і! Х>~

Подставляя коэффициенты Л=1,п=2 в (12) и (13) получим

) = Є к ' (1 + к),

Л (к )= 2 - Є~ к-(2 + 2к + к 2).

Уравнение (14) в явном виде решить не удалось, однако, оно хорошо решается любым приближенным методом численно, в данной работе использовался метод секущих. Численно полученные модифицированные ОФП кт(Бш), кго(§ш) для трех указанных случаев задания коэффициентов а, в при Гамма (для Л=1,п=2) законе распределения приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Значения численным методом

модифицированных ОФП для гамма-распределения, полученных

Гамма-распределение (Л=1,ц=2), У=0.68, к'°т = 0.5, к° = 0.7

5^ кт, кго-линейные а = ( = 1 кт, кго - квадраты а = ( = 2 кт, кю - кубы а = ( = 3

С 5) кОО 5) кт 5) кОО 5) кі 5 ) Ко

0.30 0.0000 0.7000 0.0000 0.7000 0.0000 0.7000

0.40 0.2122 0.4029 0.0424 0.3223 0.0085 0.2578

0.50 0.3353 0.2306 0.1341 0.1383 0.0537 0.0830

0.60 0.4196 0.1126 0.2517 0.0450 0.1510 0.0180

0.70 0.4745 0.0357 0.3796 0.0071 0.3037 0.0014

0.80 0.5000 0.0000 0.5000 0.0000 0.5000 0.0000

Вычислительный эксперимент

Расчеты проводились для четырех моделей:

Осредненные (двумерные) модели:

1. С - модель - задача решалась с линейными исходными ОФП кіт(Бт), кго(5т) вида (1) и средней абсолютной проницаемостью к = 500 мдарси в двумерной постановке. В модели задавался 1 пропласток, высотой Н = 10м.

2. В - модель - задача решалась в двумерной постановке с модифицированными

ОФП кот5) кто(5т) приведенные в таблице и

к = 500 мдарси. В модели задавался 1 пропласток, высотой Н = 10м.

Эталонные (трехмерные) модели

(использовалось 8 моделей, но для краткости приведем крайние результатам расчетов по показателей разработки):

3. А8 - модель - эталонная трёхмерная

модель для десятислойного пласта с изолированными пропластками (отсутствуют перетоки), абсолютная проницаемость которых подчиняется Гамма-распределению при коэффициентах Y=1, слоистой

неоднородности. В модели задавались 10 пропластков каждый высотой Н1 = Н2 = Н3 = Н4 ... Н10 = 1 м, изолированных друг от друга

непроницаемыми перемычками;

4. А7 - модель - тоже, что и предыдущая

модель, но с неизолированными пропластками. В модели задавались 10 пропластков гидродинамически связанные друг с другом, и расположены таким образом: лучший

(максимальное значение абсолютной

проницаемости) рядом с худшим (минимальное значение абсолютной проницаемости); лучший из оставшихся рядом с худшим из оставшихся снизу-вверх и т.д.

Применялось двухфазное изотермическое вытеснение нефти водой с полимерами заданной концентрации, при площадном заводнении в слоистом пласте - пятиточечной и девятиточечной системах заводнения.

Пятиточечная система заводнения - одна нагнетательная скважина в центре квадрата, а вокруг - 4 добывающих скважины. Для

девятиточечной системы - одна нагнетающая скважина в центре, а вокруг - 8 добывающих скважин.

Модель полимерного заводнения

использует трехкомпонентную модель нефть-вода-полимер, позволяющую детально изучать механизм процесса полимерного заводнения.

Модель описывает увеличение вязкости водной фазы по мере растворения в ней полимера.

Задача была решена при заданном перепаде давлений между нагнетательной и добывающей скважинами, внешняя граница задавалась непроницаемой. При расчетах использовались сетки из блоков: 11x11x10 (количество блоков по х,у,г) для эталонного трехмерного случая; и 11x11x1 для двумерного случая (ремаштабированная). В расчетах

использовалась полностью неявная схема.

В модели были заданы следующие физические параметры: 128 - начальное

пластовое давление, атм; 55 - забойное

давление на добывающей скважине, атм.; 170 -забойное давление на нагнетательной скважине, атм.; к° =0.7 - максимальная ОФП

нефти; к0, =0.5 - максимальная ОФП воды; Э0Г=0.2 - остаточная нефтенасыщенность;

Э,с=0.3 - насыщенность связанной воды; Э, .

На рисунке 1 приведены графики зависимости накопленного объема добытой нефти от времени разработки для девятиточечной системы заводнения для моделей - А7,А8,С,В, при концентрации полимера 0,05.

Выводы

Численные расчеты, проведенные по простейшей осредненной модели С, дают завышенные результаты при рассмотрении показателей разработки, количества добытой нефти и коэффициента нефтеотдачи, по сравнению с трехмерными моделями -эталонными моделями А¡. Численные расчеты по осредненной модели В, использующей модифицированные ОФП, только при линейном виде исходных ОФП, дают заниженные результаты показателей разработки по сравнению с эталонными моделями, которые образуют семейство графиков в зависимости от взаимного расположения пропластков. Расчеты двухфазной фильтрации при нелинейных функциях исходных ОФП с новыми модифицированными ОФП дали

положительные результаты. Поэтому можно рекомендовать построенные

модифицированные ОФП, а также метод их построения в совокупности с моделью С, для использования в численных расчетах при любых исходных ОФП и закачке полимеров.

900

800

700

600

500

400

300

200

100 0'

2010 2014 2018 2022 2026 2030 2034 2038 2042 2046 2050 2054 2058 2062 2066 2070

Date

—i—A8 —•—В

Рис. 1 - Зависимость суммарного объема добытой нефти Vp от времени Date для девятиточечной системы заводнения для моделей - A7,A8,C,B, при концентрации полимера 0,05

Литература

1. Булыгин Д.В. Геология и имитация разработки залежей нефти / Д.В. Булыгин, В.Я. Булыгин. -М.: Недра, 1996. - 382 с.

2. Методические указания по созданию

постоянно действующих геолого-

технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений (Часть 2. Фильтрационные модели). - М.: ВНИИОЭНГ, 2003. - 228с.

3. Плохотников С.П., Елисеенков В.В. Гидродинамические расчеты в слоистых пластах на основе модифицированных относительных проницаемостей// ж. «Прикладная механика и техническая физика», (ПМТФ), Новосибирск, РАН СО, т.42, №5, 2001, с. 115-121.

1. Плохотников С.П. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, О.Б. Марвин, Р.Х. Фатыхов // Вестник Казан. технол. ун-та. -2005. № 1. - С.121-124.

4. Плохотников С.П. Математическое

моделирование трёхфазной фильтрации в слоистых пластах с учётом схемы струй / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, В.В. Елисеенков, А.С. Климова // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2005. - №.2 - С.173-178.

5. Плохотников С.П. Осредненные модели двухфазной трехкомпонентной фильтрации при закачке в нефтяной пласт химических реагентов - полимеров, водных растворов ПАВ. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, О.Р. Булгакова// Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - № 10. - С.350-356.

6. Bogomolov V.A. "Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets" V.A. Bogomolov,

S.P. Plokhotnikov, O.R., Bulgakova, D.S. Plokhotnikov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics, - Springer, 2011, Vol. 84, No. 5, pp. 975-979.

© С. П. Плохотников — д-р техн. наук, проф. каф. ИПМ КНИТУ, plokhotnikov@kstu.ru; В. А. Богомолов - ст. препод. той же кафедры, bogomolov@kfti.knc.ru; Е. Н. Белова - асп. той же кафедры; О. И. Богомолова - асс. той же кафедры, olga@kfti.knc.ru.