Характеризация гильбертовых кубов в терминах m-структуры

Труды Петрозаводского государственного университета

Серия “Математика” Выпуск 2, 1995

УДК 515.12

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ГИЛЬБЕРТОВЫХ КУБОВ В ТЕРМИНАХ М-СТРУКТУРЫ

Е. В. Моисеев

Основным результатом статьи является теорема, содержание которой отражено в заголовке.

Данная работа является продолжением статьи [1], опубликованной в предыдущем выпуске сборника. В статье [1] вводится понятие М-структуры, которой обладают линейные нормированные пространства, экспоненты, суперрасширения и т.д. С помощью понятия М-структуры приводятся достаточные условия для того, чтобы пространство являлось абсолютным ретрактом [2] в классе метрических пространств. Эти условия являются также и необходимыми, что будет следовать из доказательства теоремы о характеризации гильбертовых кубов.

Итак, напомним основные понятия. Гильбертов куб топологически представляет счетное произведение отрезков в тихоновской топологии.

Будем говорить, что на метрическом пространстве (Х,р) задана М-структура, если любому непрерывному отображению / : да — X, заданному на границе да симплекса a (dimer > 2), поставлено в соответствие непрерывное подолжение f : ст X на весь симплекс и это соответствие удовлетворяет двум условиям:

1) постоянному отображению / соответствует постоянное /;

2) для любого £> 0 существует такое 8 > 0, что для любого симплекса a (dimer > 2), любых двух непрерывных отображений fi

(С) Е. В. Моисеев, 1995

и /2 1-мерного остова 0\ симплекса а в X их непрерывные продолжения /1 и /2, имеющие одинаковые комбинаторные схемы (см. [1]), удовлетворяют условию:

если max p(fi(x), f2(x)) < 6,

x£d&i

то тахр(/1(ж),/2(х)) < е.

*€<71

Множество Z С X будем называть М-выпуклым, если условие f(dcr) С Z влечет влючение /(<т) С Z для любого a (dim<r > 2).

Метрическое пространство (Х,р) называется равномерно линейно связным (р. л. с.), если для любого £ > 0 существует 6 > О такое, что если р(х,у) < 6, то существует дуга tp : I — X диаметром меньше е, соединяющая точки х,у.

Пеановским континуумом называется связный, локально связный метрический компакт.

Остальные необходимые определения можно найти в монографии [2].

Теорема. Пеановский континуум гомеоморфен гильбертову кубу Q тогда и только тогда, когда на нем можно определить М-структуру и при этом будут существовать два всюду плотных, непересекающихся, равномерно линейно связных, М-выпуклых подмножества.

Доказательство. Сначала проведем доказательство в достаточную сторону.

Пусть (X, р) — пеановский континуум, на котором зафиксирована некоторая М-структура, Z\ и Z-i — подмножества X, обладающие свойствами, описанными в формулировке теоремы.

В доказательстве того, что X гомеоморфно гильбертову кубу, будем опираться на характеризационную теорему Торунчика [3]. Для этого надо показать, что X является А Д-компактом и для любого £ > 0 существуют отображения <71,32 : X —f X такие, что

1) д1{Х)Пд2{Х) = 0;

2) p(gi(x),x) < £ для любого х £ X, i — 1,2.

Тот факт, что X является абсолютным ретрактом, является прямым следствием теоремы 3 [1]. Осталось построить отображения д 1 и #2- Рассмотрим отображение д\ : Л' —* Z\, т. к. отображение д2 строится аналогично.

Зафиксируем число е > 0. Для ^ • £ существует, по определению М-структуры, 61 (|е) такое, что выполняется второе условие из определения. Для | • йх, по определению р. л. с. пространства, существует 62(561) такое, что если х,у £ Z\ и р(х, у) < 62, то существует в Z\ дуга диаметром меньше 5 • 61, связывающая эти точки. Зафиксируем некоторое конечное открытое покрытие у пространства X, удовлетворяющее условию <Иат(С) < ^62 для любого С € 7. Обозначим К (у) — нерв покрытия 7 [4]. Существует каноническое отображение р : X -* К (у) (см. [2]).

С другой стороны, можно построить отображение Г : К (у) —•• Z\ следующим образом. На вершинах нерва полагаем Г(С) равным некоторой точке х £ Z\ Пв. На одномерный остов нерва К(у) продолжаем отображение Г, пользуясь р. л. с. свойством. На симплексы высших размерностей продолжаем Г, пользуясь М-структурой. Отображение д\ положим равным Гор.

За счет подбора е и 6 отображение д\ удовлетворяет свойству р(д\(х),х) < £ для любого х £ X. Если аналогичным образом построить отображение </2, то очевидно, д\(X) П <72(Х) = 0- Итак, пространство X гомеоморфно гильбертову кубу <5-

Для доказательства необходимости сформулированных условий нам понадобится понятие пространства замкнутых гиперпространств включения СХ (см. [4]). Пространство СХ является подпространством пространства Ехр(ЕхрХ) (см. [2]), состоящим из гиперпространств включения, т. е. таких систем £ замкнутых подмножеств X, что условие Е Э € £ влечет Е Е

По теореме 1 [4], если X — метризуемый континуум, то СХ гомеоморфно гильбертову кубу (}. На СХ существует М-структура, определяемая с помощью миксера (см. [1]). Таким образом, осталось описать два множества, удовлетворяющие условию теоремы. Для этого зафиксируем два семейства —сетей в X:

ОС оо

£=11^. Л=и^,

П=1 П=1

где Е\_, Ах — --сети в X; Е± С Е\_, А± С А 1 , а также

П П ** П П + 1 П Т1+1

А П Е = 0. Пусть 6 ЕхрХ. Обозначим множество вида {£ £ СХ | Ф £ £ => ФП.Р ^ 0, 6 £}. Тогда множества Е+ =

и А+ = U“=1 будут обладать необходимыми свойствами. Пересе-

п

чение Е+ П А+ = I в связи с тем, что Е П А — 0. Всюду плотность и равномерную линейную связность легко установить, используя доказательство теоремы 1 [4]. М-выпуклость в этом случае эквивалентна выпуклости относительно миксера, которая тоже, очевидно, имеет место (см.[1]). Доказательство теоремы закончено.

Литература

1. Моисеев Е. В. О пространствах с М-структурой // Труды ПГУ. Сер. Математика; Вып. 1. Петрозаводск, 1993. С. 27-34.

2. Борсук К. Теория ретрактов. М., 1971. 291 с.

3. Torunezyk Н. Он СЕ images of the Hilbert cube and characterization of Q-manifolds // Fund. Math. 1980. V. 106. JV* 1. P. 31-40.

4. Моисеев E. В. О пространствах замкнутых гиперпространств роста и включения // Вестник МГУ. Сер. 1. 1988. № 3. С. 54-57.