Метод вычисления матричных элементов для уравнения Дирака в кулоновском поле

А. М. Пучков

МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ДИРАКА В КУЛОНОВСКОМ ПОЛЕ

Введение. Предположим, что мы имеем набор состояний для релятивистской частицы в центральном поле. В работах [1-5] было показано, что некоторые матричные элементы на этих состояниях будут связаны между собой рекуррентными соотношениями. Эти соотношения получили название вириальных, поскольку при их выводе была использована теорема вириала. В статье [4] впервые была предложена идея использовать некоторые из этих соотношений в случае кулоновского поля для суммирования рядов теории возмущений (см. также обзор [5]). Вычисления показали, что такой способ даже более эффективен, чем использование редуцированных функций Грина. В дальнейшем вириальные соотношения неоднократно и успешно применялись для аналитических и высокоточных численных расчётов сверхтонкой структуры и ^-фактора водородоподобных ионов.

Однако несмотря на то, что эти соотношения известны уже довольно давно, целый ряд важных и принципиальных вопросов остался до сих пор неразобранным. Здесь, в частности, необходимо упомянуть так называемую проблему отрицательных степеней и нахождение условий, ограничивающих применение самого метода.

Целью этой работы является упрощение математического аппарата вириальных соотношений для уравнения Дирака в кулоновском поле для того, чтобы решить вышеупомянутые проблемы и, кроме того, найти простые формулы, по которым можно вычислять матричные элементы с произвольными степенями.

В предлагаемой статье прослеживается связь вириальных соотношений для уравнения Дирака в случае кулоновского поля с матрицами. Она оказывается настолько тесной, что каждая стадия вычисления просто сводится к умножению матриц.

Вириальные соотношения для уравнения Дирака в произвольном центральном поле. Поскольку при движении частицы в центральном поле сохраняются момент и чётность (влиянием слабого взаимодействия мы пренебрегаем), то волновые функции стационарных состояний можно представить в следующем виде:

и обозначим С(г) = гд(г) и Г (г) = г/(г) (здесь и далее используется релятивистская система единиц Н = с = 1, а также терминология и обозначения из [4] и [5]). После разделения переменных в (2) получается система для радиальных функций

Подставим выражение (1) в уравнение Дирака:

АС к

——I— С — ІЕ т — У)*1 = 0,

аг г

^ ^ + {Е - т - У)С = 0,

аг г

© А. М. Пучков, 2011

Представим уравнения (3), (4) в компактном виде. Соберём радиальные функции О(т) и Г (т) в столбец

С

Ф

и, следуя работе [6], введём оператор

ак

#К — °х—Н огт + V,

аг г

где ох, оу и о2 — матрицы Паули. В результате получим

Якф(г) = Еф(г).

Очевидно, что функции ф(г) удовлетворяют граничным условиям

ф

г—

Введём обозначения для матричных элементов:

Хо

о

Хі

о

Х2

о

ВД = № г'Іпк) = 1

^ I |'^|К/ — I (^п'к' ^пк Г п' к'

0

В работе [4] было показано, что матричные элементы на коммутаторах и антикомму-к с т8, ахтв, 10уг

таторах оператора Нк с г8, охг8 ,іоуг8 и охг8 можно представить в виде системы:

(Еп,к, — Еик){п'к'ІіОуг8 Іпк) = в{п'к'Іг8 ^пк) — (к' + к){п'к'Іогг8 1 Іпк) +

+ 2ш{п'к'Іохг8Іпк),

(Еи'к' + Еик){п'кЧохг8 Іпк) = в{п'к'ІОхг8 1Іпк) — (к' — к){п'к'ІіОуг8 1 Іпк) +

у

+ 2ш{п/к'Іг8 Іпк) + 2{п'к'ОVг8 Іпк),

(Еи'к' + Еик){п'к'ІОхг8 Іпк) = —я{п'кЧохг8 1 Іпк) +

+

Уравнения (10)—(13) являются вириальными соотношеними. Заметим, что существует более простой способ их получения. Достаточно проинтегрировать по частям выражения для матричных элементов (6)—(9), а затем воспользоваться уравнениями (3), (4) и граничными условиями (5). Следовательно, называть соотношения (10)—(13) вириальными — это не более чем традиция. Обратим внимание также и на то, что если потенциал V(г) представляется в виде полинома или суммы степенных функций, то вириальные соотношения становятся рекуррентными.

Структура вириальных соотношений в кулоновском поле. Рассмотрим движение заряженной частицы в кулоновском поле V = —aZ/г. В этом случае уравнения (10)—(13) приобретают характер двухчленной рекурсии. Выделим в явном виде их структуру.

Предположим сначала, что в — целое положительное число. Оставим в левой части каждого из уравнений матричный элемент, содержащий гя, а в правой линейную комбинацию матричных элементов с Г-1. Соотношения (10) и (13) элементарно преобразуются:

Хо

X1 (8 - 1) -

Х2(8 - 1),

Хі(8) =

Хо(8 - 1) -

2

Хі(8 - 1) -

Хз

В уравнение (11) подставим выражение для матричного элемента Хі(в) из (15) и получим

Х2ОО =

+

2то

Хо

4т

2тов

+

Хі(8 - 1) -

Хз

_(Еп'к' - Епк) (Еп'к' - Епк)_

В уравнение (12) подставляем выражение для матричного элемента Хо(в) из (14) и получаем

Хз

+

2то

(Еп'«+Епк) ' (Е«/к/ Епк) (к' - к) 2тов

+

_(Еп'к' + Епк) (Еп'к' Епк)_

Хі(8 - 1) -

Х2(8 - 1) -

2

Хз

Очевидно, что теперь уравнения (14)—(17) можно представить в матричной форме:

X(в) = А(в)Х(в - 1).

В формуле (18) использовано обозначение для вектора:

X

V Хз

( {п'к.'\гв |пк) ^

{и'к'\охтя \пк) {и'к'\іОу гя \пк)

У {п'к'\ахгя\пк) )

в

в

в

в

Элементы матрицы А(в) соответственно равны: ац := 0,

аіз := —

а2l :=

а23 := 0, а31 :=

2 т

+

а33 := 0, a4l := 0, Я'43 := —

2тв

{Еп>к' + Епк)

al2 :=

al4 := 0,

2

a22 := —

a24 := —

aз2 := — aз4 := —

042 :=

(Eп'к' + Enk ) в

(Еп’к' + Епк) ’

4т

2тв

в 2т

а44 : — —

2

Обратим внимание на то, что в матрице А(в) содержатся пять нулевых и два совпадающих элемента оц = а14 = а2з = 033 = 041 = 0; а22 = 044 = 0. Последовательно раскрывая формулу (18), можно получить выражение

X(&) = П А?) • X(0),

3=1

где

х

0

{и'к'\ох\ик)

{п'к'\іоу \пк)

\ {п'к'\о2 |пк) у

Верхняя компонента вектора X(0) обращается в нуль в силу условия ортогональности. Заметим, что формула (18) в принципе справедлива для произвольных в > 0. Однако в этом случае, конечно, её уже нельзя будет привести к виду (20). Естественное требование, ограничивающее применение самого метода, заключается в том, чтобы определитель матрицы не обращался в нуль:

Д = det А

а4 - 2(к"2 + к2 - 2(Иа)2)з2 + (к’2 - к2)2

(ЕЪк> - Е1к)2

= 0.

В противном случае мы имеем дело с вырождением. Тогда некоторые соотношения нужно исключить, и связь будет осуществляться матрицами меньшего размера. Такая ситуация возникает, в частности, когда рассматриваются вириальные соотношения для диагональных матричных элементов. В этом случае возникает матрица 3 х 3. Заметим, что в работе [5] такая ситуация рассматривалась и вириальные соотношения были выписаны.

С вириальными соотношениями (10)—(13) связывают проблему отрицательных степеней. Поясним её содержание. Выберем к таким, чтобы выполнялось условие существования интегралов, через которые выражаются матричные элементы в окрестности нуля. Тогда, при в < 0, уравнения (10)—(13) уже не будут рекурсией. Другими словами, их нельзя непосредственно использовать для вычисления матричных элементов. Однако если учесть соотношение (18), то становится очевидно, что для решения проблемы отрицательных степеней нам потребуется знать обратную матрицу, которая существует когда выполнено условие (22):

X (в — 1) = А-1(в)Х (в) = В(в)Х (в).

Выпишем в явном виде элементы обратной матрицы В (в):

2

Ъц := — (к/ + к) ((Еп>к> — Епк)(к' — к) + 2тв),

&12 2тв3 — (к1 + к)(Еп>к> — Епк)в~ + 2т((к> — к)" — A(Za.Y)s-\-

+ (к' + к)(к' — к)2 ^п'к' + Enk )),

Ьіз \= — з(Еп>к' — Епк)(в~ — (к/ — к)" + 4(Za.y),

2

&14 — (Еп/к' — Епк) (к/ + k)s(Zа),

621 := д ((к/ + к)" — в~)((к' — к)(Еп/к' — Епк) + 2 те),

2

622 := — д* ((Еп/к' — Епк)в + 2т(к/ + к)),

2

^23 := д (к1 + к)(Еп'к' — Епк)^а),

^24 := дй(Еп'к' + Епк)(в" — (к' + к)~),

1

Д

— ((к' + к)2 — 4(^а))^^к' — Enk)в — 2т(к' — к)((к' + к)2)) ,

&31 — — ((Еп>к’ — Епк)я3 + 2т(к* — к)в“ —

&32 :—^(к' — к) ((Еп'к' + Епк)в + 2т(к' + к)),

Ъзз ~ к~)(Еп'к' ~ Епк)^а),

Ьз4 = ^ д ^ (Еп/к' + Епк)(в~ — (к/ + к)~),

2

641 :=— ((к/ — к)(Еп/к' — Епк) + 2тв) в(^а),

642 — (в(Епік' + -Бпй) + 2т(к' + к)) (в" — (к/ — к)"),

^43 := ^ д ^ (Еп/к' — Епк)(в~ — (к/ — к)~),

2

^44 := — д(Еп’к’ + Епк)8"^а.),

Заметим, что матрица В(в) устроена сложнее, чем матрица А(в). В общем случае в ней уже нет нулевых элементов. Однако в частном случае к = к', три элемента обращаются в нуль: 632 = 633 = 634 = 0, но нет совпадающих.

Вероятности запрещённых магнитодипольных переходов. Магнитодиполь-ные переходы между состояниями щ/ и п'в атоме водорода и лёгких водородоподобных ионах являются наиболее запрещёнными в оптической области. Интерес к ним возник в связи с теоретическими и экспериментальными исследованиями эффектов несохранения чётности в атомах. Величина эффекта несохранения чётности на таких переходах оказывается пропорциональной отношению амплитуд вероятностей разрешённого электрического дипольного перехода, открывающегося благодаря несохране-нию чётности, и запрещённого магнитодипольного перехода. Если последний является сильно запрещённым, эффект растёт [7]. Общее выражение для степени несохранения чётности в процессе, идущем через произвольный пв\/2 — п'в^/2 запрещённый М 1-переход, выглядит следующим образом [8]:

' пз1/2 ; п в1/2

1{п,р1/2\Н\у\п,в1/2)

\Еп'р1/2 — Еп’в1/2 \

\

Ж

Пв 1/2 ; п Р1/2

Ж

+

пв1/2; п в1/2

п{пр1/2\Н\у\пв1/2)

\Епр1/2 — Епв 1/2 \

Ж

ПР1/2; п'81/2

Ж,

,

пз1/2; п'з1/2

где Hw — эффективный гамильтониан слабого взаимодействия; п — главное квантовое число электрона. Выражение, аналогичное (23), можно написать также и для степени несохранения чётности в процессе, идущем через произвольный ПР1/2 — п'р1/2 запрещённый М 1-переход. Различие будет состоять в том, что в знаменателе под корнем вместо Ж^ п>81/2 появится Ж^ п/р1/2. Методически целесообразно получить сначала общие формулы для вероятностей произвольных запрещённых М1-переходов, а потом из них все необходимые.

В нерелятивистском пределе, когда aZ ^ 1, вероятность магнитодипольных переходов между уровнями одноэлектронного атома щ/ и п'] '/' даётся выражением [9]:

по1 = |^гту 1и1И012 >

где {п'^'/'\\цШ7) — приведённый матричный элемент оператора магнитного дипольного момента электрона ц; ю — частота перехода. Выражение (24), однако, неудобно для вычисления вероятностей М1-переходов при п = п', то есть именно в нашем случае. Причина заключается в том, что оператор ц зависит только от спиновых переменных, и поэтому матричный элемент в (24) должен обратиться в нуль ввиду ортогональности радиальных волновых функций Яп>1> и Кп1. Для получения ненулевого результата необходимо учесть релятивистские поправки к волновым функциям. Однако и этого оказывается недостаточно, так как необходимо ещё учесть поправки к самому оператору. Последнее обстоятельство привело к ошибке в самом первом расчёте вероятностей перехода 1 в1/2 — 2в1/2 в атоме водорода, произведённом Брейтом и Теллером [10]. Эта ошибка была исправлена впоследствии Дрейком [11].

Поэтому мы будем исходить из другого, полностью релятивистского выражения для вероятности излучения магнитного дипольного фотона [12]:

"Ж* - ікліоиор • <зд

Здесь {и']1\\юм 1\\щ1) — редуцированный матричный элемент оператора магнитного дипольного излучения:

____ оо

о

Верхняя и нижняя радиальные компоненты дираковского биспинора в кулоновском поле выглядят следующим образом [12]:

Спк

1/2

(2ХтУе-Хг х

— к ) Е

/ Z ате

где верхние и нижний знаки относятся к О и Р соответственно; X = (т2 — Еп^)1/2, у = (к2 — ^ а)2)1/2 ; пг — радиальное квантовое число; те — масса электрона; Z — заряд ядра; Р — вырожденная гипергеометрическая функция. В нерелятивистском пределе, то есть при (aZ) ^ 0, аргумент функции ^(юг) становится малым: ю ~ те (aZ)2, среднее значение радиус-вектора \г\ ~ 1/(meaZ), следовательно, юг ~ (aZ). Для решения нашей задачи достаточно сохранить два члена разложения этой функции:

4п 2п

31

Второе слагаемое в этой формуле даёт для приведённого матричного элемента поправку Дрейка. После подстановки (28) в (26) получим:

(п’зІ\\і’М1\\rbjl) = х1 —

Все интегралы, через которые выражаются Хі(1) и Хі(3), относятся к одному типу (см. математическое приложение к [13]):

Г(а, а') = / ^ (а,„ 2ЫЕ (а'л, И.'.)*

о

с в = 1 и в = 3. В принципе, для их вычисления можно воспользоваться рекуррентной формулой Гордона [14] (см. также [13]):

•7+1,0(а, а') = —--------уу {[у(Х — X') — 2Ха + 2Х/а/ — 2Х'в] .7,0(а, а') +

X2 — X'

+ в

Эта формула позволяет привести любой интеграл вида Л’0 (а, а') к интегралу Л00(а, а'), который выражается явно через гипергеометрическую функцию Р (а, а', у, —4ХХ'/(Х — X')2). Однако такой способ вычисления даёт громоздкое выражение для приведённого матричного элемента (29), которое содержит восемь гипергео-метрических функций. Его трудно упростить. С другой стороны, если воспользоваться формулами (20) и (21) для вычисления матричных элементов *1(1) и *1(3):

ВД) = (А(1)Х(0))1, *1(3) = (А(3)А(2)А(1)Х(0))1,

то приведённый матричный элемент в (29) представится в виде линейной комбинации всего четырёх гипергеометрических функций. Это выражение можно упростить с помощью соотношений смежности [15]:

Если этот результат подставить в (25) и перейти к пределу (аZ) ^ 0, то в итоге получаются общие выражения для вероятностей запрещённых М 1-переходов. Они имеют различный вид в зависимости от значения полного момента:

1) ] = / + 1/2; (условно «спин вверх», что обозначено соответствующей стрелкой):

т¥{М1) 8 Г21+1Г21+! + 5)2(тг/р~6>(?г + п')2 (п-п'\2п+2п

^ 225 п+/ п/+/

х

у (п — п')2 у

где Сп+г1, С^+г1 — биномиальные коэффициенты и Р — гипергеометрическая функция Гаусса.

2) ] = / — 1/2; (условно «спин вниз»):

т¥{М1) 8 „2г+1г-.2г+116г(4/ — 1 )2{пп')(21-6\п + п')2 ( п - п' \ 2п+2п

I 225 п+г "/+г 1

х Г2

у (п — п')2 у

Из формулы (33) при / = 0 получаются выражения для вероятностей М 1-переходов между всевозможными пв1/2 уровнями:

(М1) _ 8 (??. + п'У / п - п:

'У ( п — п! \ 2п+2п/_1 ^

пз1/2; п'81/2 - 9 „5„/5 ^ )

х Р2

\

Если в выражение (35) подставить п' = 2, то получится известная формула Дрейка [11]

Выражение (35) можно вывести также и методом эффективного потенциала, описанным в работах [7] и [16]. Полный список формул для вероятностей запрещённых M1-переходов, необходимых для исследования эффектов несохранения чётности в атоме водорода и лёгких водородоподобных ионах, получается из (33) и (34) с помощью подстановки в них соответствующих квантовых чисел. Впервые такой список был представлен в [17].

Заключение. В приведённом примере вычисления были произведены довольно подробно. Это сделано для того, чтобы показать, что преимущество предложенного метода заключается в его простоте. Развитый здесь математический аппарат достаточно гибок, чтобы охватить все те задачи, в которых вообще могут быть использованы релятивистские водородные волновые функции (27). Достаточно упомянуть задачу об уровнях энергии антипротонного атома, в которой сильное взаимодействие играет роль малого возмущения по отношению к кулоновскому. Известно, что взаимодействие двух нуклонов зависит не только от расстояния между ними, но и от ориентации их спинов [13]. Несмотря на сложность такого взаимодействия, расчёт поправок к уровням энергии с помощью нашего метода потребует только умножения матриц и знания трёх компонент вектора X(0). Необходимо также вспомнить и проблему расчёта поправок высокого порядка к ^-фактору электрона в водородоподобных ионах. Не исключено, что применение нашего метода к выражениям для поправок позволит упростить их и обнаружить в них структуру, что в свою очередь позволит написать точную релятивистскую формулу для самого ^-фактора. В дальнейшем было бы очень интересно найти обобщение предложенного в данной работе метода для случая многоэлектронных атомов.

Литература

1. Epstein J. N., Eppstein S. T. Some applications of hypervirial theorems to the calculation of average values // Am. J. Phys. 1962. Vol. 30. P. 226.

2. Epstein S. T., Epstein J. N., Kennedy B. Recursion relations for Coulomb matrix elements // J. Math. Phys. 1967. Vol. 8. P. 1747.

3. Blanchard P. A new recurrence relation for hydrogenic radial matrix elements // J. Phys. (B). 1974. Vol. 7. P. 993-1005.

4. Shabaev V. M. Generalizations of the virial relations for the Dirac equation in a central field and their applications to the Coulomb field // J. Phys. (B). 1991. Vol. 24. P. 4479-4488.

5. Shabaev V. M. Virial relations for the Dirac equation and their applications to calculations of hydrogen-like atoms // Precision physics of simple atomic systems (Lecture Notes in Physics. Vol. 627.) / Ed. by S. G. Karshenboim, V. B. Smirnov. Berlin, 2003. P. 97-113.

6. Drake G. W. F., Goldman S. P. Application of discrete-basic-set methods to the Dirac equation // Phys. Rev. (A). 1981. Vol. 23. P. 2093-2099.

7. Хриплович И. Б. Несохранение чётности в атомных явлениях. М., 1988. 287 с.

8. Пучков А. М., Лабзовский Л. Н. Исследование эффекта несохранения чётности в атоме водорода и лёгких водородоподобных ионах с помощью запрещённых магнитодипольных переходов // Оптика и спектроскопия. 2010. T. 108. C. 713-718.

9. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Квантовая электродинамика. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 4. М., 1989. 728 с.

10. Breit G., Teller E. Metastability of hydrogen and helium levels // Astrophys. J. 1940. Vol. 91. P. 215-238.

11. Drake G. W. F. Theory of relativistic magnetic dipole transitions: lifetime of metastable 23S state of the heliumlike ions // Phys. Rev. (A). 1971. Vol. 3. P. 908-915.

12. Лабзовский Л. Н. Теория атома. Квантовая электродинамика электронных оболочек и процессы излучения. М., 1996.

13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 3. М., 19S9.

14. Gordon W. Zur Berechnung der Matrizen beim Wasserstoffatom // Ann. der Phys. 1929. Bd. 2. S. 1031-1056.

15. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. М., 1965.

16. Sucher J. Magnetic dipole transitions in atomic and particle physics: ions and psions // Rep. Prog. Phys. 197S. Vol. 41. P. 17S3-1S40.

17. Пучков А. М., Лабзовский Л. Н. Вероятности магнитодипольных запрещённых переходов в атоме водорода и лёгких водородоподобных ионах // Оптика и спектроскопия. 2009. T. 106. C. 1S1-1S5.

Статья поступила в редакцию 28 сентября 2010 г.