Математическое моделирование двухслойных течений с учетом эффектов Соре и Дюфура на примере точных решений

УДК 536.25:519.6

Математическое моделирование двухслойных течений с учетом эффектов Соре и Дюфура на примере точных решений*

Е.В. Резанова

Алтайский государственный университет

An Exact Solution for Mathematical Modeling of Two-Layer Flows with Soret and Dufour Effects

E. V. Rezanova

Altai State University

Проводится построение математической модели для описания двухслойных стационарных течений жидкости и газа с учетом испарения. Система снабжена твердыми непроницаемыми границами и находится под действием продольных градиентов температуры. Моделирование проводится на основе уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска с учетом эффектов Соре и Дюфура в верхнем газо-паровом слое. Данные эффекты также учитываются при определении условий тепло- и массопереноса на термокапиллярной границе раздела. Также на границе раздела выполняются кинематическое и динамические условия, а концентрация насыщенного пара определяется исходя из уравнения Клапейро-на-Клаузиуса. Расход газа в верхнем слое считается заданной величиной. Построены точные решения системы уравнений, учитывающие влияние продольных градиентов температуры, гравитации, концентрационных и температурных эффектов на структуру течения и интенсивность процесса испарения в системе.

Ключевые слова: математическая модель, свободная граница, испарение, точное решение, эффекты Соре и Дюфура.

БМ 10.14258/izvasu(2014)1.2-09

This paper presents a mathematical model development for description of the two-layer stationary liquid and gas flows with evaporation. The system is restricted by rigid impenetrable borders and is subjected to longitudinal gradients of temperature. The modeling is performed on the basis of the Navier-Stokes equations in the Oberbeck-Boussinesq approximation with Soret and Dufour effects in the upper gas-vapor layer. These effects are also taken into account when determining heat and mass transfer conditions at the thermocapillary interface. Kinematic and dynamic conditions are also assumed to be fulfilled on the interface. Concentrations of the saturated vapor are defined from the Clapeyron-Clausius equation. The gas flow rate in the upper layer is considered a given value. Exact solutions of equations that take into account the influence of longitudinal temperature gradients, gravity, concentration and temperature effects on the structure of the flows, and evaporation in the system are elaborated.

Key words: мathematical model, free boundary, evaporation, exact solution, Soret and Dufour effects.

Введение. Процессы диффузии легкой примеси в жидкости и испарения в двухслойных системах изучаются довольно давно. На практике встречаются случаи, когда процессы тепло-и массопереноса в жидкостях оказывают взаимное влияние, а потому их требуется изучать особенно тщательно. Эффекты Соре, возникающие в бинарных системах, связаны с молекулярным переносом вещества при наличии в исследуемой

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-08-00163).

среде градиента температур [1]. Под эффектами Дюфура понимают явление возникновения разности температур вследствие разности концентраций компонент смеси [2,3].

Одним из первых результатов по моделированию двухслойных течений с испарением на основе точных решений, но без учета термокапиллярности границы раздела, является работа [4]. В исследованиях [5, 6] построено точное решение, описывающее конвективные течения жидкости в горизонтальном слое под действием спутного потока

газа и исследован механизм контроля течений. Моделирование двухслойных течений жидкости и газа с учетом испарения на термокапиллярной границе раздела проведено в работах [7-10]. При этом задача о двухслойных течениях решается либо в предположении о недеформируемости границы раздела [7-9], либо в полной постановке [10] при заданном расходе газа.

В настоящей работе исследуются стационарные двухслойные течения жидкости и газа с учетом испарения через границу раздела. Верхняя и нижняя границы канала считаются твердыми и непроницаемыми стенками. Моделирование проводится на основе точных решений типа Би-риха системы уравнений Навье-Стокса в приближении Обербека-Буссинеска [11]. В верхнем газопаровом слое учитываются эффекты Соре и Дю-фура. На верхней твердой границе рассматривается условие для концентрации пара, выражающее отсутствие потока пара.

1. Постановка задачи о двухслойных течениях с учетом испарения. Построение точных решений специального вида. Скорость, распределение температуры и давление в нижнем слое системы определяются из следующей системы уравнений, записанной в безразмерном виде:

ди\ ди\ др[ 1 д2и 1 д2и\ 1 дх 1 ду дх Ке дх2 '

ду2

д'01 д'01 др[ 1 ,д2'и1 д 2о1, 1 дх 1 ду ду Ке дх2 ду2 '

+

Ка

Ее2Рт

Т1,

дп\ д'1 дх ду

дТ1 дТ1

дх ду

1

РтКе дх2

д2Тг д2Тг

V ' Я..9 )'

ду2

Здесь введены следующие обозначения: п\, '1 — проекции вектора скорости жидкости на оси Ох и Оу декартовой системы координат; р1 — модифицированное давление (отклонение от гидростатического); Т — температура жидкости. В качестве характерных выбраны значения параметров жидкости: I — толщина слоя жидкости, п2 — характерная скорость, Т2 — характерная температура, р2 = р1п* — характерное давление, VI — коэффициент кинематической вязкости, — коэффициент теплового расширения, Х1 — коэффициент температуропроводности.

В задаче используются следующие безразмерные комплексы: Ке = п21^1 — число Рейнольдса,

Ка = дв1Т213/vlXl — число Релея, Рт = VI/х1 — число Прандтля.

Искомые функции в бинарной смеси (скорость, распределение температуры, концентрация примеси и давление) определяются из следующей системы уравнений:

дп2 дп2 1 др2 V

= --— + —Л

ди2 ду

V дх

д2п2 д2п2 Ке у дх2 ду2 '

д'02 д'02 ду

дх

1 др'2 V д2о2 д2о2 , р ду Ке дх2 ду2 '

+

Да/3 Ке2Рг

Т2 +

Каа КеРел

С,

дп2 д'02 дх ду

дТ2 дТ2

дх ду

XV

РтКе

.д 2Т2 д2Т2.

+

Хат

д2С

дх2

д2С

ду2

+

РтКе дх2 ду

дС дС

и2—--Ь У2 —

ду

1

дх

__д2С

а-с (д2Т2 д2Т2 Ре/ дх2 ду2 >' Здесь п2, '02 — проекции вектора скорости смеси газа и пара на оси Ох и Оу декартовой системы координат; р2 — модифицированное давление, (р2 = р2 — р2& • х); р2 — давление в верхнем слое; Т2 — температура газа; С — концентрация примеси (пара) в газе. Введены также следующие безразмерные комплексы: Ка^ = д^13/vlD — число Релея диффузионное, Ре4 = n-.fl/D — число Пекле диффузионное, ат = 5/Т2 и ас = аТ2, где D — коэффициент диффузии, 7 — концентрационный коэффициент плотности, коэффициенты 5 и а определяют эффекты Дюфура и термодиффузии (Соре). Параметры р = р2/р1, V = v2/v1, Х = Х2/Х1, в = в2/в1 также являются безразмерными. Отметим, что аномальная термодиффузия характеризуется отрицательными значениями параметра а.

Точные решения, описывающие исследуемые процессы как в нижнем, так и в верхнем слоях системы, имеют следующий вид:

П = щ

Т = (А + а2у)х + ^ (у),

г

1, 2,

т.е. только продольная составляющая скорости отлична от нуля, а температура и концентрация пара линейно зависят от горизонтальной координаты.

0

2

0

1.1. Общая схема нахождения точного решения в жидком слое. Продифференцируем уравнение (1) по х, а уравнение (2) — по у. Учитывая, что смешанные производные функции р1 равны, получим обыкновенное дифференциальное уравнение для функции «1(у), решением которого является следующее выражение:

Температура и концентрация примеси в верхнем слое определяются из уравнений (8) и (9). Используя формулы (10) и (11) и домножая (8) на В, а (9) на Х25, получим обыкновенное дифференциальное уравнение, задающее распределение температуры вида

Яа , 1 у4 ,у\ у2 ,

и 1 =- а,-—\- А—) + с\-—\- С2у + сз.

РгИе 24 6 ; "г 1 2 "г ^ "г ^ V ;

Путем подстановки полученной функции скорости (12) в уравнение (4) определим распределение температуры в жидкости

у7 а1

Т1 =

42

24

+—{Да—а2 + Ra—A}+

У_

30

„5

A ;—t 24

У

+yl{Ra±A + PrRe2lA]+ 20 6 2 s y4 A

+^{РгДе^- +PrRec2a12}+

,,2

{Рг Дес2А + РгЕес3а1} + уРгНес3А + усА + съ.

Для нахождения функции давления проинтегрируем (1) и подставим результат в (2). Используя выражения (12) и (13), получим уравнение, определяющее изменение модифицированного давления р1 в жидком слое

, 1 , Яа , , у\ ч у8 , ч

^ = +

у7 у6 у5 у4 у3 у2 ~

+ — кб + — к5 + — к4 + — кз + — к2 + — к^+Уко + сз-

7 6 5 4 3 2

Здесь е (г = 1,..., 5), сз — произвольные постоянные, подлежащие определению с помощью граничных условий. Константы к (г = 0,..., 7) выражаются через ец.

Таким образом, определены точные решения системы (1)-(4).

1.2. Общая схема нахождения точного решения в газовом слое. Для определения функции скорости в верхнем слое газа продиффе-реницируем соотношения (5) и (6) по х и по у соответственно. Воспользовавшись равенством смешанных производных функции р2, получим уравнение для определения «2(у), решением которого является функция

y3 Ra ß Rad 1

м2 = -( —А + —— — О i) +

6 PrRe v Ped v

1 ОЛ V

y" ! Ra ß 2 Red 1, У

24'PrRe i?a"2 + Ped v

-b2)ciy + c2y + c3.

rp , Л . 2 N , I/7 , , Ra ß 2 , 1 , N ,

T2 = (A + a2y)x + ——f1(——-a2 + ——-b2)+ 1008 PrRe v Ped v

_

y6 Ra ß 2 Rad 1

720 PrRe v Ped v

, Ra в , Rad 1

+4Л inr-A+iri-bi +

PrRe v Ped v

, У5 \f f Ra ß Л , \ , Qf - 1 ,

120 PrRe v Ped v

4 3

+|T[/2CI + 2/ica] + ^r[/2C2 + /ic3]+ 24 6

У2

+y/2C3 + yc4 + c5.

Точное решение для концентрации пара находится с помощью соотношения

С=(Ъ1+Ъ2у)х+^-{

7 RaPed ß

1008 L RePr ^«2 + ßad-(62) -

Ra ß 2 Rad 1 , PrRe v Ped v

2 _

y6 r RaPed ß,

1

. p ~{b\a2 + 4b2A) + 5Äad—6ib2 — 720 RePr v v

Ra /? о Rad 1, ,

-ac[/2(^-^--a2 + — -62)+ PrRe v Ped v

, Ra в , Rad 1

4/1 } +

PrRe v Ped v

+ + Да,!^)2) + Pedh-Cl-

120 RePr v v

"^[/2(7^^+^160 + 3/^]}+ PrRe v Ped v

V4

+7^{Ped61c1 + 2Ped62c2 - ac[/2ci + 2/!C2]}+

y3 _

+—{Pedbic-2 + Pedb2c3 - ac[f2c2 +/1Сз]}+ 6

у1 _

+—{Pedb1c3 - acf2c3} + yc6 + c7.

Выражение для модифицированного давления p2 выстраивается путем интегрирования уравнения (5) и подстановки полученного соотношения в (6). Решением данного уравнения с учетом формул (15), (16) и (17) является следующее выражение:

2

/ г /

Р2 = "57 (

pcc Ra ß

Re RePr v

2

(Ay + alV-)+

+ Ъ2У-)} + с1)х + + +

Ped v 2 8 6

у1 — y5— — ~

+ — k4 + —k3 + — k2 + —k i + yfco + c4. 7 5 4 3 2

PrRea"2 - хатPedb2 . Здесь /1 = -—---, /2 =

x(1 - атас) а Ci (i = 1,.., 7) — произ-

РтКеА — хат РевЬ1 Х

вольные постоянные, подлежащие определению; кг (г = 0,..., 7) выражаются через сг.

Константы интегрирования, возникающие в ходе поиска решений систем (1)-(4) и (5)-(9), должны быть найдены из условий, определяющих поведение системы на твердых и свободной границах.

2. Граничные условия. Скорость на верхней у = Н и нижней у = —1 твердых непроницаемых границах должна удовлетворять условиям прилипания: п2(Н) = 0, п1(—1) = 0. Температура на твердых границах распределена линейно относительно продольной координаты: Т11 у=-1 = А1х + &-, Т2 | у=н = А2х + . Константы А, А1 = А + а1( — 1), А2 = А + а2Н определяют продольные градиенты температур. Для концентрации пара на верхней твердой границе у = Н выполняется условие нулевого дС

потока пара: -г— \у=н = 0. На границе раз-ду

дела сред полагаются выполненными условия непрерывности скорости и температуры: п1(0) = п2(0), Т11у=0 = Т21у=0. На границе выполняется

дТ! _дТ2 _дС

условие: —--к—--атк-^—\у=о = —Ам. Здесь

ду ду ду

М выражает массу жидкости, испаряющейся с единицы площади поверхности в единицу времени (безразмерная величина), V = К2/К1, а К1 и К2 — коэффициенты теплопроводности в жидко, АМ*1 Лг сти и газе, соответственно; Л = ——. Уравнение

К1Т*

баланса масс на границе раздела имеет следую-

дС дТ2

щий вид: амм = ~{—\у=0 + ас-^-\у=о), где

М*1

ам = -т.— • Уравнение Клапейрона-Клаузиуса Dр2

определяет концентрацию насыщенного пара [4, 9, 10]. Для не слишком больших значений Т2 может быть использовано линеаризованное урав-

пение: С\у=0 = С*[1 + е(Т2\у=0 - Т0)], е =

Здесь С* — концентрация насыщения пара при Т2 = 0; р — молекулярный вес испаряющейся жидкости; К — газовая постоянная; То — температура, принятая за начало отсчета (например, 20 0С). Кроме того, на границе раздела должны выполняться кинематическое и динамическое

условия. Первое выполняется автоматически, исходя из вида функции скорости (см. (10)). Проекция динамического условия на касательный вектор в безразмерном виде записывается сле-

Ма дТ2

дующим образом: и\у = р^и2у + п п—-—, где ат Т*1

Ma

P1V1

RePr dx

, ат — температурный коэффициент

поверхностного натяжения а. Проекция динамического условия на нормаль имеет следующий вид: р1 = р2. Постоянная величина Q определяет расход газа в верхнем газо-паровом слое согласно следующей формуле: /0 п2йу = Q. С помощью заданных сформулированных условий определяются все константы с^, с^, Мо (г = 1,...,5) для нахождения профилей скорости и температуры для обеих сред и концентрации пара в газе (см. (12), (13), (15), (16), (17)).

3. Определение констант интегрирова-

дС

ния. Из условия нулевого потока пара \у=н =

0 следует, что коэффициент Ь2 = 0. Выполнение условия баланса масс на границе раздела влечет за собой равенство а22 = 0, а вследствие условия теплопереноса и а21 = 0. Тогда, исходя из условий на твердых границах для температуры, получаем равенство продольных градиентов температуры: А = А1 = А2. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса определяет выражение для вычисления коэффициента Ь1: Ь1 = С*еА. Вследствие непрерывности скорости и температуры на границе раздела сред выполняются следующие соотношения: сз = 63, С5 = 65. Выполнение динамических условий вле-

чет равенства c\ = (cvc\ и С2 = vi/c2 +

Ma

A.

КеРт

Из уравнения баланса масс следует также М = 1 ас

--Сб--С4, а из условия теплопереноса по-

ам ам

ам кам + ас А_

лучим Сб = ---С4 — -— С4. Пере-

А + ат ам V А + ат ам к менная 07 может быть определена из выражения

ё7 = С* [1 + е(с5 — То)], продиктованного уравнением Клапейрона-Клаузиуса.

Коэффициенты г = 1,3 можно определить из следующей системы уравнений:

1

1 Ra

-mi-pvc2 + c3 = -QRePr

A +

Ма RePr'

A

h2_ h3, —сл + hc2 + c3 = —— (

Да , R^d 1, \ 6 у RePr Pedv

h3 h? , ^ h4, Ra , Raa 1, . + Y^2 + = g " 24 +

С найденными q, i = 1, 3, а следовательно, и q, ¿ = 1,3 неизвестные 04,05, C4 вычисляются из следующей системы:

1 Ra л2 1 1

-с4 + с5 = ---А2 н---Ас 120 6 12 2RePr

1 1 1 1

--Ас2 н---Ас3

бДеРг 2 RePr

и- , Q+ ^ i fRaß л . 1 /1С4 + С5 = - —/2(-5-5--А + -— -6i -120 PrRe v Ped v

h4 h3 h2 — 777/2ci - -7-/2C2 - 77/2C3, 24 6 2

«M

Л + ат ам v

амv + Лас _

c4 + -rc4

Л + ат ам v

= ДаРе,^ 1

24 ДеРг P PV ' '

-acih^h+p^m

PrRe v Ped v

h3 _ h2 + — {Pedb1c1 - acf2C\} + — {Pedbic2 - «с/гсгН

6

2

+/i{Ped6ic3 - ас/2Сз}-

Таким образом, вычисляются все коэффициенты, определяющие зависимости искомых функций от пространственных переменных.

Заключение. Построенные точные решения позволяют исследовать течения в двухслойных системах с учетом испарения с границы раздела. Эффекты Соре и Дюфура влияют на распределение температуры в жидкости и газе, концентрацию пара в верхнем слое системы, а также массу испаряющейся жидкости. Расход газа также влияет на структуру течения и интенсивность процесса испарения.

Автор выражает искреннюю благодарность научному 'руководителю О.Н. Гончаровой за постановку задачи и обсуждение результатов.

Библиографический список

1. Андреев В.К., Гапоненко Ю.А., Гончарова О.Н., Пухначев В.В. Современные математические модели конвекции. — М., 2008.

2. Гроот С.Р. Термодинамика необратимых процессов. — М., 1956.

3. Liu J., Ahlers G. Rayleigh-Bennard covection in binary-gas mixtures: Thermophysical propreties and the onset of convection // Physical Review E. — 1997. — Vol. 55, №6.

4. Шлиомис М.И., Якушин В.И. Конвекция в двухслойной бинарной системе с испарением / / Гидродинамика. — 1972.

5. Гончарова О.Н., Кабов О.А. Гравитационно-термокапиллярная конвекция жидкости в горизонтальном слое при спутном потоке газа // Доклады Академии Наук. — 2009. — Т. 426, №2.

6. Goncharova O.N., Kabov O.A. Mathematical and numerical modeling of convection in a horizontal layer under co-current gas flow // Int. Journal of Heat and Mass Transfer — 2010. — Vol. 53.

7. Гончарова О.Н., Резанова Е.В. Моделирование двухслойных течений с учетом испарения

на границе раздела на основе точных решений. Часть 1 // Известия Алт. гос. ун-та. — 2013. — №1/1(77).

8. Гончарова О.Н., Резанова Е.В. Моделирование двухслойных течений с учетом испарения на границе раздела на основе точных решений. Часть 2 // Известия Алт. гос. ун-та. — 2013. — №1/2(77). D0I:10.14258/izvasu(2013)1.2-03.

9. Goncharova O.N., Hennenberg M., Rezanova E.V., Kabov O.A. Modeling of the convective fuid fows with evaporation in the two-layer systems // Interfacial Phenomena and Heat Transfer (IHMT). — 2013. — Vol. 1.

10. Гончарова О.Н., Резанова Е.В. Пример точного решения стационарной задачи о двухслойных течениях с испарением на границе раздела / / Прикладная механика и техническая физика. — 2014. — №2.

11. Бирих Р.В О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // Прикладная механика и техническая физика. — 1966. — №3.