Нелинейная динамика контактного взаимодействия балочных элементов МЭМС с учетом гипотезы Эйлера - Бернулли в температурном поле

• Модель позволяет оценивать особенности данных («точки фокусирования», «чрезмерного отклонения») без предварительного определения их формальных признаков.

• Управление моделью позволяет поводить быстрый кластерный анализ, формулируя гипотезы, описывающие внутренние закономерности.

VI. Заключение

Поиск общего подхода к решению проблемы визуального исследования многомерных данных позволяет использовать визуальные модели данных в качестве результативного инструмента исследований. Основой такого решения являются методический подход к построению визуальной модели и использование закономерностей визуального восприятия. Дополнительные перспективы использования визуальных моделей связаны с полноценным и обоснованным привлечением таких возможностей компьютерного моделирования, как имитация движения, формирование абстрактных образов и высокая скорость их получения.

Источник финансирования. Благодарности

Работа выполнена в рамках госзадания № 2.1642.2017/ПЧ на выполнение проекта по теме «Когнитивные методы визуализации и анализа многомерных данных при моделировании нелинейных динамических систем».

Список литературы

1. Chen C. Mapping Scientific Frontiers: The Quest for Knowledge Visualization. 2nd ed. London: Springer, 2013.

2. Bondarev A. E., Galaktionov V. A. Multidimensional data analysis and visualization for time-dependent CFD problems // Programming and Computer Software. 2015. № 41(5). Р. 247-252. DOI: 10.1134/S0361768815050023.

3. Захарова А. А., Шкляр А. В. Визуальное представление разнотипных данных при помощи динамических знаковых структур // Научная визуализация. 2016. № 8(4). С. 28-37.

4. Chen C. Top 10 unsolved information visualization problems // IEEE Computer Graphics and Applications. 2005. 25(4). P. 12-16.

5. Авербух В. Семиотический подход к формированию теории компьютерной визуализации // Научная визуализация. 2013. № 5(1). С. 1-25.

6. Eppler M., Burkhard R. A. Visual representations in knowledge management: Framework and cases // Journal of Knowledge Management. 2007. Vol. 11(4). P. 112-122.

7. Завьялов Д. А., Захарова А. А., Шкляр А. В., Багаутдинов Р. А. Применение комплексного подхода при моделировании (на примере полигона утилизации жидких нефтяных отходов) // Программные системы и вычислительные методы. 2017. № 1. С. 22-30.

УДК 529.3

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ БАЛОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ МЭМС С УЧЕТОМ ГИПОТЕЗЫ ЭЙЛЕРА - БЕРНУЛЛИ В ТЕМПЕРАТУРНОМ ПОЛЕ

В.А. Крысько \ А.В. Крысько1'2, О.А. Салтыкова1'2, И.В. Папкова1

'Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов, Россия 2Томский политехнический университет, г. Томск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-128-136

Аннотация — В работе предложена методология определения истинного хаоса с позиций нелинейной динамики для распределенных механических систем в виде балочной структуры из двух балок, описываемых кинематической гипотезой первого приближения (Эйлера — Бернулли). Между балками есть малый зазор. Нижнюю балку (балка 2) будем понимать как упругое основание для верхней балки (балка 1). На балку 1 действует поперечная распределенная знакопеременная нагрузка. Контактное взаимодействие балок учтено по модели Кантора. Данная задача обладает большой нелинейностью, за счет учета геометрической нелинейности балок по Т. фон Карману и конструктивной нелинейности структуры за счет контактного взаимодействия. Дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к системе ОДУ методом конечных разностей второго порядка точности. Полученная система решается методами типа Рунге — Кутты различных порядков точности. В общем случае решение задачи существенно зависит от методов сведения уравнений в частных производных к ОДУ и методов решения задачи Коши, граничных и начальных условий. При решении задачи методом конечных разностей с аппроксимацией О(h2) решение будет зависеть от количества точек разбиения интервала интегрирования и шага по времени при решении задачи Коши. Анализ полученных результатов осуществляется методами нелинейной динамики и качественной теории дифференциальных уравнений. Проведено сравнение результатов для геометрически линейных и геометрически нелинейных балок с учетом контактного взаи-

модействия. Механическая структура рассматривается как система с бесконечным количеством степеней свободы. Достигнуто полное совпадение решений в зависимости от количества разбиений по пространственной координате в хаосе. Знак первого показателя Ляпунова определяется методами Кантца, Вольфа, Розенштейна.

Ключевые слова: контактное взаимодействие, балка модели первого приближения, нелинейная динамика, метод конечных разностей, геометрическая нелинейность.

I. Введение

Балки и балочные структуры широко применяются как элементы приборов в современной промышленности, машиностроении, ракетостроении. Часто такие структуры подвергаются различным внешним динамическим воздействиям. Исследование нелинейной динамики и контактного взаимодействия балочных структур является очень важным вопросом на современном этапе развития науки в области приборостроения.

В силу сложности уравнений, описывающих нелинейную динамику двух геометрически нелинейных балок при контактном взаимодействии, найти аналитическое точное решение задач не представляется возможным. Единственным выходом является решение таких задач численными методами. Но тогда встает вопрос о достоверности получаемых решений. Этим вопросом задался автор работы [1]. Следовательно, чрезвычайно важным является вопрос о выявлении истинности хаотических колебаний, т.к. очень часто принимают за хаотические колебаний ошибки, которые накапливаются при решении задач численными методами. В своей работе мы постараемся определить, истинность хаоса для задач нелинейной динамики и контактного взаимодействия балок, в зависимости от применяемых численных методов.

Известно, что основополагающей чертой хаоса является существенная зависимость от начальных условий. Определение хаоса, которое было первоначально сформулировано в 1989 году Девани [2] имеет три составные части. В дополнение к условию существования зависимости от начальных условий, в него входит условие перемешивания, именуемое транзитивностью и условие регулярности, именуемое плотностью периодических точек или периодичность. Дж. Бэнкс с соавторами [3] в 1992 году доказали условие существования зависимости от начальных условий является избыточным, т.е. из условий транзитивности и периодичности следует условие существования зависимости.

Существует определение хаоса, данное Кнудсеном, согласно которому функция, заданная на ограниченном метрическом пространстве, может быть определена как хаотическая, если она имеет плотную орбиту и обладает существенной зависимостью от начальных условий [4].

По определению хаоса, данному Гуликом [5], хаос существует тогда, когда либо имеется существенная зависимость от начальных условий, либо функция имеет положительный показатель Ляпунова в каждой точке области ее определения и поэтому не является в конечном итоге периодической. В своих исследованиях, приведенных ниже, мы будем следовать определению хаоса согласно работе Гулика [5].

Полученные решения зависят от выбранной кинематической гипотезы, граничных и начальных условий, количества интервалов интегрирования балок в методе конечных разностей, метода решения задачи Коши в виде методов класса Рунге - Кутты, шага по времени при решении задач динамики.

В настоящей работе для выявления истинности хаотических колебаний при численном решении задачи о нелинейных колебаниях структуры из двух балок с зазором, под действием поперечной знакопеременной нагрузки предлагается комплексное исследование:

1. Поскольку уравнения в частных производных сводятся к задаче Коши методом конечных разностей 2-го порядка точности, то, естественно, решение существенно зависит от количества интервалов разбиения длины балки и следует найти то количество разбиений, при котором решение n + 1 совпадает с решением при n числе разбиений. Требуется сходимость по сигналу, даже для хаотических колебаний. Ранее в работе [6] сходимость по сигналу требовалась только по гармоническим колебаниям, а для хаоса исследовалась только интегральная сходимость.

2. Задача Коши также решается численными методами, решение существенно зависит от метода и шага решения по времени. Поэтому предлагается решать задачу Коши несколькими методами: метод Рунге - Кутты 4-го (RK4), 2-го (RK2) порядков [7], метод Рунге - Кутты - Фелберга 4-го порядка (rkf45) [8, 9], метод Кеш -Карпа четвертого порядка (RKCK) [10], Рунге - Кутты, Принса - Дорманда восьмого порядка (rk8pd) [11], неявный метод Рунге - Кутты второго (rk2imp) и четвертого (rk4imp) порядка. Явный метод характерен тем, что матрица коэффициентов имеет нижний треугольный вид (включая и нулевую главную диагональ) - в отличие от неявного метода, где матрица имеет произвольный вид. Методы RKF45, RKCK, RK8pd предусматривают автоматическое изменение шага, а также возможность контроля погрешности интегрирования.

3. Для каждого из разбиений интервалы интегрирования и метода решения задачи Коши строятся сигналы, спектры мощности Фурье, эпюры прогибов, сечение Пуанкаре. Так как в настоящей работе мы будем следовать определению хаоса согласно работе Гулика [5], то следует вычислить и определить знак спектра ляпуновских показателей. В настоящей работе спектры ляпуновских показателей для каждого разбиения длины балки определялись с помощью трех методов: H. Kantz [12], A. Wolf [13], M.T. Rosenstein [14] и исследовалась их сходимость.

Окончательное решение принималось в том случае, когда удовлетворялись с первого по четвертый пункты.

II. Постановка задачи

Рассматриваемая структура из двух балок представляет собой двумерную область пространства R2 с декартовой системой координат, введенной следующим образом: в теле балки 2 фиксируется линия приведения, называемая срединной линией 7 = 0 , ось ОХ направлена слева направо вдоль срединной линии, ось 02 - вниз, перпендикулярно ОХ. В указанной системе координат структура из двух балок, как двумерная область ^ определяется следующим образом (рис. 1): О = {х е [0, а]; - к < г <8 + 3к}, 0 < / < да .

Рис. 1. Расчетная схема

Для построения математической модели контактного взаимодействия двух балок выпишем основные гипотезы, предположения и допущения:

- балки однослойные;

- балки изотропные, упругие и подчиняются закону Гука;

- продольный размер балок значительно превышает их поперечные размеры, единичной толщины;

- ось балок является прямой линией;

- нагрузка действует в направлении оси 02 и внешние силы не меняют своего направления при деформации балки;

- контактное давление учитывается по модели Б.Я. Кантора [15];

- нормальные напряжения на площадках, параллельных оси, пренебрежимо малы;

- геометрическая нелинейность учитывается в форме Т. Кармана [16].

Для моделирования контактного взаимодействия балок по модели Кантора Б.Я. в уравнения балок необходимо ввести слагаемое (-1)'К^^ -w2 -8)Т , ' = 1,2 - номер балки, функция ^ определена формулой

Т = 1[1 + - 8- w2)], то есть ¥ = 1, если есть контакт между балками -w1 > w2 + 8, иначе контакта

нет [15], К - коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта, 8 - зазор между балками.

Для удобства изложения материала, будем под балкой 1 понимать балку, на которую действует нагрузка, а под балкой 2 - не нагруженную балку.

III. Теория

Уравнения движения балок, с учетом гипотез первого порядка, а также граничные и начальные условия получены из энергетического принципа Гамильтона - Остроградского.

Заметим, что не учет геометрической нелинейности не делает изучаемые системы линейными, так как мы рассматриваем еще и конструктивную нелинейность, за счет учета контакта между двумя слоями балки. Зазор между слоями структуры является малым. То есть контакт между слоями происходит еще при малых прогибах балки 1, w1 < 0.25 и эти колебания еще могут описываться линейной теорией колебаний. Но мы ставим перед собой задачу проверить, можно ли в случае учета геометрической нелинейности для малых колебаний не учитывать геометрическую нелинейность балок.

Уравнения движения структуры из двух балок Эйлера - Бернулли в перемещениях с учетом диссипации энергии запишутся в следующем виде:

1

1 д4 w,

+ ¿2 (W,, w,) + Lj (u,, w,) + q, (t) [ - Af ^мЦ -

Я2 I 12 dx4

дх \ дх

д 2 MT

дх2

д 2 w,-

дt2

- ex + (-1)г K(w1 - w2 - = 0,

дt

д2 u

дх2

+ L3 (wi ,w,)-

дх

д 2u, д12

= 0,

i = 1,2.

д2и, дм, дui д2т , . 3 д2(дм, )2 д2дм, Здесь Ь1(и1, ) =-+ —2-2- , ,) = Т—^ I ^Т I ' 1з(м,, ) =-2-—- нелинеиные

дт2 дх дх дх2 2 дх2 ^ дх ^ дХ2 дх

операторы, , и1 - функции прогибов и перемещений верхней и нижней балок соответственно, К - коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта, Ик - зазор между балками. Температурное поле получаем из стационарного уравнения теплопроводности, N1, - перемещения элемента балки, вызванные температурным полем; Мт - моменты элемента балки, вызванные температурным полем. К уравнениям (1) следует присоединить краевые и начальные условия.

В случае если мы не будем учитывать геометрическую нелинейность, необходимо положить равными нулю нелинейные операторы Ь1 - Ь3.

Система уравнений (1) с учетом граничных и начальных условий приведена к безразмерному виду с помощью переменных (2).

_ w _ ua _ x a _ a 4

w = —, u =-, x = —, a = -,—ч, q = q-

2h (2h)2 a (2h) (2h)4 E

t a Eg _ a —

t = -, t = —, с = ' 6 " - " "

pg=. r,=.,a. nj = щ = 2).

t с ^(1 -v2)p с

Полагая нелинейные операторы равными нулю, получим систему уравнений без учета геометрической нелинейности.

На балку 1 действует поперечная распределенная по поверхности знакопеременная нагрузка вида q = q0 sin(o pt), где q0 - амплитуда, о - частота вынуждающих колебаний.

Система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей с аппроксимацией 0(с2), где с - шаг по пространственной координате.

Полученная задача Коши по времени решается методами типа Рунге - Кутты (метод Рунге - Кутты 4-го, 2-го порядков, метод Рунге - Кутта Фелберга 4-го порядка, метод Кеш - Карпа 4-го порядка, Рунге - Кутты Принса - Дорманда 8-го порядка, неявный метод Рунге - Кутты 2-го и 4-го порядка). На основании описанного алгоритма создан программный комплекс, позволяющий решать поставленную задачу в зависимости от управляющих параметров \q0,mp}. Как уже отмечалось выше, изучаемые задачи являются сильно нелинейными,

поэтому встает вопрос о достоверности получаемых результатов.

Известно, что достоверность получаемых результатов для распределенных систем существенно зависит от количества степеней свободы. Количество степеней свободы зависит от того, на какое количество делят отрезок по пространственной координате. Недостаточное количество степеней свободы при решении нелинейных задач динамики балок может привести к существенным погрешностям.

III. Результаты экспериментов

В качестве примера исследуем контактное взаимодействие балок без учета температурного поля. К системе (1) необходимо добавить с граничные условия (3) и начальные условия (4).

Оба конца балок жестко защемлены:

w,

dx dx

Начальные условия:

dw,

dt |t=0 ' dt it=0

w,

Следуя методологии, описанной выше, в табл. 1 представлена сходимость метода конечных разностей по сигналу п (0.5, /) при 500 < / < 506 . В качестве эталона был взят сигнал, посчитанный при п = 160.

Далее исследуем эпюры (х) прогибов для х е [0;1], п = 40;80; 120; 160 при фиксированном времени I = 501.3 (рис. 3).

а)

0.05 0

: -0.05 -0.1 -0.15 -0.2 -0.2

500 501 502 503 504 505 506 t

0.2

0.18

0.16

0.12

п = 40

п - 100

б)

п = ВО

п =140

Рис. 2. Сигналы, посчитанные при п = 40; 80; 100; 120; 140; 160 :

а) сходимость метода конечных разностей для балки 1,

б) сходимость метода конечных разностей для балки 2

п = 120

п = 160

ТАБЛИЦА 1

Сходимость сигналов м>1п (0.5, г) при N=40; 80; 120

п 1 балка 2 балка

40 20.447% 24.882%

80 7.221% 9.071%

120 0.00166% 0.00521%

0.2 0.18 0.16 с 0.14 § 0.12 0.1 0.08 0.06

/ \п = 80

и /п = 120 V

п = 160

а)

0.2

0.4 0.6

X

0.8

п = 120; 160

п = 4^0

п = 80

б)

0.4 0.6

X

Рис. 3. Эпюры w¿,n(х), х е [0; 1], посчитанные при п = 40;80;120;160 при / = 501.3:

а) балка 1; б) балка 2

В табл. 2 представлены спектры мощности, 2D и 3D фазовые портреты,. Рассмотрим эти характеристики для п = 40; 80; 120; 160. При п = 40 в спектре мощности присутствуют частоты, линейно зависимые от

2

4

8

р 2юр 3ю„

и хаотическая составляющая. При п = 120 и п = 140 графики полностью совпадают: в спектре

5

5

мощности для первой и второй балок наблюдаются частоты

4 г

4г

. 2D фазовый портрет для первой

17 17

балки представляют собой кольцо, а для второй балки фазовый портрет состоит из пяти колец.

После получения сходимости решения методом конечных разностей было проведено сравнение решений, полученных различными методами типа Рунге-Кутты. Результаты полностью совпадают для Рунге - Кутты всех порядков.

0.15

0.1

0.05

0

-0.05

-0.1

0

0.2

0.8

СОп -

ТАБЛИЦА2

спектры мощности, 2Б и 3Б фазовые портреты для м>ьп

В табл. 3 приведены значения старшего показателя Ляпунова, посчитанные методами Вольфа, Розенштейна и Канца в зависимости от п. Значения получены на основе решений задачи Коши методом Рунге-Кутты 8-го порядка. Разные методы подсчета показателей Ляпунова необходимо использовать для определения истинного хаоса. При количестве делений балки на п = 40; 80, 120; 160 отрезков в методе конечных разностей ляпуновские показатели при любом методе подсчета сходятся до второго или третьего знака после запятой.

ТАБЛИЦА 3

Ляпуновские показатели для wг,n (0.5, г) при N = 40; 120; 160

1 балка 2 балка

п метод Вольф Розенштейн Кантц Вольф Розенштейн Кантц

п = 160 гк8ра 0.03866 0.02371 0.00172 0.04921 0.01581 0.01058

п = 120 гк8ра 0.03867 0.02406 0.00196 0.0492 0.02028 0.01066

п = 80 гк8ра 0.02190 0.02432 0.00604 0.0372 0.01819 0.01305

п = 40 гк8ра 0.01485 0.05186 0.01248 0.02666 0.06738 0.01322

Разность между минимальным и максимальным показателями для разных методов Рунге-Кутта по алгоритму Вольфа для балки 1 составляет всего 0,07, по Розенштейну и Кантцу 0,01; для балки 2 по Вольфу разность 0,08, по Розенштейну 0,02, по Кантцу 0,008. В рамках каждого метода подсчета показателей Ляпунова сходимость до второго знака после запятой.

Рис. 4. Сравнение сигналов балок, с учетом и без учета геометрической нелинейности:

а) балка 1; б) балка 2

Проведем сравнение сигналов (таблице 6) и других динамических характеристик (табл. 7) балок с учетом (пунктирная линия) и без учета (сплошная) геометрической нелинейностей. В табл. 6 приведем сравнение сигналов балок с учетом и без учета геометрической нелинейности. В табл. 2 приведены динамические характеристики геометрически линейных балок, при п=160 (rk8pd). При тех же параметрах были получены результаты для геометрически линейных балок с учетом их контактного взаимодействия (табл. 4).

ТАБЛИЦА4

спектры мощности, 2Б и 3Б фазовые портреты для wi,n

Номер балки

Спектр мощности

Фазовый портрет 3D

Фазовый портрет 2D )

4 5 6

0.06 0.04 0.02 0

-0.02 -0.04 -0.

5 -0.1 -0.05 0 0.05 Ж

1

0.1

0.2

X 10

6

4

2

2

0

0.1

0.136 0.138 0.14 0.142

Ж

V. Обсуждение результатов Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных сводится к системе

обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей с аппроксимацией 0(с 2).

Зазор между балками равен 8 = 0.1. Предварительно исследовался вопрос о сходимости метода конечных разностей. На рис. 2 представлены сигналы ^^ (0.5, г) посчитанные при различном числе точек деления отрезка п = 40; 80; 100; 120; 140; 160. Для п = 40;80 прогибы сильно отличаются. Начиная с п = 100;120;140;160 прогибы для первой балки совпадают. Для второй балки сходимость по количеству делений отрезка значитель-

но хуже и наступает только при n = 120; 140; 160 . Результаты получены при помощи метода Рунге - Кутты 8-го порядка в модификации Принса - Дорманда. Из табл. 1 видно, что при увеличении числа деления отрезков балки х е [0..l] наблюдается сходимость сигнала. Исследуем изменение эпюр в зависимости от увеличения узлов в методе конечных разностей (рис. 3). ,При t = 501.3 прогиб в центре балки 1 примерно равен нулю, на эпюре при n = 40 присутствует пять локальных максимумов и четыре минимума, а с увеличением n = 80; 120; 160 уменьшается до четырех максимумов и трех минимумов. Для второй балки видны два локальных максимума при n = 40. При увеличении n = 120; 160 эпюра становится куполообразной формы, т.е. максимум только при х = 0.5 . Эпюры прогибов для первой и второй балок совпадают для n = 120; 160. Спектры мощности для первой и второй балок (см. табл. 2) имеют одни и те же частоты. 2D и 3D фазовые портреты для первой балки представляют собой утолщенное кольцо, а для второй балки - сложную структуру, состоящую из множества колец. Все значения старшего показателя Ляпунова (см. табл. 3), независимо от метода решения задачи Коши, от количества интервалов разбиения балки, от алгоритма вычисления показателя Ляпунова положительны.

Так как амплитуда колебаний балок мала, можно предположить, что достаточно ограничиться линейной теорией колебаний, при изучении динамики данной двухслойной балки. При сравнении сигналов, 3d и 2d фазовых портретов для обеих балок (см. табл. 4) полностью повторяется форма колебаний, но значения сигналов отличаются, количество петель в фазовых 3d и 2d портретах также совпадают. Однако спектры мощности в нелинейном и линейном случаях. В линейном случае Фурье-анализ показывает хаотический спектр. ляпунов-ские показатели для обеих геометрически линейных балок положительны.

Таким образом, проведя полный комплексный анализ решений поставленной задачи, можно сделать вывод, что колебания двухслойной балки, с малым зазором между слоями хаотические. Достаточным разбиением по длине балки в МРК является n=160. Так как решения задачи Коши для всех модификаций метода Рунге - Кутты совпадает, то можно при решении ограничиться методом Рунге - Кутта второго порядка. Сравнение геометрически линейной и нелинейной задач позволяет говорить о существенном вкладе нелинейных членов в решение, хотя амплитуда колебаний балок находится в рамках линейной теории колебаний.

VI. Выводы и заключение

Получена математическая модель контактного взаимодействия гибких балок, находящихся в температурном поле. Предложена методология для определения истинного хаоса, которая заключается в комплексном исследовании сигнала с позиций нелинейной динамики: построить и проанализировать сигналы, спектры мощности, ляпуновские показатели, фазовые портреты 2d и 3d.

Согласно предложенной методологии, исследована сходимость метода конечных разностей при решении систем нелинейных дифференциальных уравнений с учетом геометрической нелинейности по Теодору фон Карману и конструктивной нелинейностей для математической модели, описывающей колебания балок в рамках кинематической гипотезы первого приближения.

Вне зависимости от методов решения поставленной задачи можно сделать вывод о том, что колебания изучаемой двухслойной балочной структуры становятся хаотическими после контакта балок. Величина зазора между балками мала, то есть хаотические колебания возникают при малых амплитудах. Несмотря на малую амплитуду колебаний, необходимо учитывать геометрическую нелинейность при построении математической модели. Для рассмотренной задачи обнаружено явление синхронизации колебаний балок. Выявлено, что все частоты, на которых происходят колебания структуры, кратны частоте вынуждающих колебаний.

Для доказательства истинности хаотических колебаний показана сходимость результатов в области хаоса по сигналу, а не интегрально (по спектру мощности Фурье), как делалось ранее. Обеспечена сходимость результатов при увеличении количества шагов по пространственной координате в два раза.

Получены конкретные значения параметров и определены методы, обеспечивающие достоверность и истинность решений. Обеспечена истинность хаотического состояния изучаемой структуры. Обнаружено, что при увеличении количества разбиений происходит регуляризация колебаний. При сравнении геометрически линейной и нелинейной задач с учетом контакта между балками можно сделать вывод о том, что учет функции перемещения по координате x u(x,t), а следовательно, увеличение количества уравнений приводит к уменьшению хаотизации в сигнале.

Источник финансирования. Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, грант № 16-19-10290.

Список литературы

1. Ren'e Lozi. Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems? // World Scientific Series on Nonlinear Science Series A: Vol. 84. Topology and Dynamics of Chaos (Celebration of Robert Gilmore's 70th Birthday). P. 63-98.

2. Robert L. Devaney. An Introduction to Chaotic Dynamical System. Addison Wesley Publishing Company. 1989.

3. Banks J., Brooks J., Davis G., Stacey P. On Devaney's Definition of Chaos // American Mathematical Monthly. 1992. Vol. 99, № 4. P. 332-334.

4. Knudsen C. Chaos Without Periodicity // American Mathematical Monthly. 1994. Vol. 101. P. 563-565.

5. Gulick D. Encounters with Chaos. New York: McGraw-Hill. 1992.

6. Awrejcewicz J., Krysko V.A., Papkova I.V., Krysko A.V. Deterministic Chaos in One-Dimentional Continuous Systems // World Scientific Series on Nonlinear Science Series A. 2016. Vol. 90. 561 p.

7. Süli E., Mayers D. An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge // Cambridge University Press. 2003.

8. Fehlberg E. Low-order classical Runge-Kutta formulas with step size control and their application to some heat transfer problems // NASA Technical Report. R-315. 1969.

9. Fehlberg Er. (1970). Klassische Runge-Kutta-Formeln vierter und niedrigerer Ordnung mit SchrittweitenKontrolle und ihre Anwendung auf Wärmeleitungsprobleme // Computing. 1970. Vol. 6. Is. 1-2. P. 61-71. D0I:10.1007/BF02241732.

10. Cash J. R., Karp A. H. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides // ACM Transactions on Mathematical Software. 1990. Vol. 16. P. 201-222.

11. Dormand J. R.; Prince P. J. A family of embedded Runge-Kutta formulae // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1980. Vol. 6 (1). P. 19-26.

12. Kantz H. A robust method to estimate the maximum Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A. 1994. Vol. 185. P. 77-87.

13. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov Exponents from a time series // Phys-ica 16 D. 1985. P. 285-317.

14. Rosenstein M. T., Collins J. J., Carlo J. De Luca. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Phyica D. 1992. T. 65. P. 117-134.

15. Кантор Б. Я., Богатыренко Т. Л. Метод решения контактных задач нелинейной теории оболочек // Доклады АН УССР. Cер. А. 1986. № 1. С. 18-21.

16. Karman, Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau // Encyklopädie der mathematischen wissenschaften. 1910. Vol. 4, № 4. P. 311-385.

УДК 621.01

3D МОДЕЛЬ ФРЕЗЫ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ШЛИЦЕВЫХ ВАЛОВ

Т. М. Мясоедова1, И. Г. Браилов2

'Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 2Омский государственный аграрный университет имени П.А. Столыпина, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-136-142

Аннотация — Повышение производительности операций фрезерования червячными фрезами можно добиться путем обоснованного использования режущего инструмента. Ошибки при фрезерной обработке минимизирует рациональный выбор параметров резания. В частности, к технологическим параметрам процесса фрезерования шлицевых валов помимо производительности обработки и стойкости инструмента относят геометрию режущего инструмента и силы резания. Расчет сил при такой обработке требует моделирования всего технологического процесса в целом и червячной фрезы в частности. На данном этапе развития технологий проектирования актуально применение средств и методов автоматизации, а также разработка адекватных математических моделей режущего инструмента. Целью работы является получение пространственной математической модели червячной шлицевой фрезы. Задача исследования: разработка математической 3D модели фрезы для обработки шлицевых валов позволяющая находить точки, принадлежащие режущим лезвиям фрезы, что дает возможность определять силы, действующие на определенный участок режущего лезвия. Компьютерное исследование выполняется с помощью САПР на основе методов 3D-моделирования. Как основной метод разработки аналитической модели червячной фрезы применяется векторное описание геометрии режущих кромок инструмента с учетом движения в параметрах станочных систем, что позволяет математически описать пространственную модель фрезы в целом суммой векторных функций. В работе определены зависимости, выраженные параметрическими векторными функциями, описывающими режущие лезвия червячной фрезы для нарезания шлицевых валов с учетом винтовых движений в двух направлениях. Использование такой модели совместно со средствами автоматизации проведения расчётов и проектирования позволяет существенно сократить экспериментальные исследования.

Ключевые слова: режущая кромка, червячная шлицевая фреза, аналитическая модель, векторные функции.