Расчет нагрева многослойных тел

УДК 621.1

РАСЧЕТ НАГРЕВА МНОГОСЛОЙНЫХ ТЕЛ

Докт. техн. наук, проф. ЕСЬМАН Р. И.

Белорусский национальный технический университет

Современные многослойные материалы составляют широкую гамму изделий, которые используют в своем составе волокнистые, полимерные материалы, включающие неорганические и органические наполнители, углеродные волокна и углекомпозиты, углепластики, силиконовые и фтор-каучуковые композиты, металло- и стеклокерамические теплоизоляционные материалы, ткани на кремниевой основе и др. Особое место в ряду многослойных строительных материалов занимают сухие смеси и новые технологии получения гипсокартонных и гипсоволокнистых изделий со специальными свойствами.

Технологии получения многослойных материалов включают в себя процессы нагревания, термообработки и сушки изделий. При разработке математических моделей термообработки изделий необходимо учитывать теплофизические особенности процесса нестационарного теплообмена в многослойной стенке. Отдельные слои могут претерпевать фазовые или химические превращения (отвердевания термореактивных смол, гипсовых наполнителей, кристаллизации, спекания, диссоциации, испарения или конденсации в пористых теплозащитных материалах и т. д.). В данной работе анализ теплопереноса проводится с учетом фазовых превращений в отдельных слоях и зависимостей их теплофизических характеристик от температуры.

Определяем распределение температуры при нагреве многослойных тел прямоугольного сечения для каждого момента времени. В этих условиях температурное поле многослойной стенки описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений переноса теплоты (ввиду нелинейности потоков теплоты и граничных условий) с соответствующими краевыми условиями. Изменение температуры по сечению (вдоль координат х, у) в любой момент времени для каждого слоя многослойной стенки определяется из решения системы дифференциальных уравнений теплопроводности

с,(Г,)р,(Т)Щг^ 4

д дх

х

дх

_д_ ду

Х

ду

где 7 - индекс, определяющий принадлежность уравнения и параметров к различным слоям многослойной стенки, 7 = 1, 2, ..., п; с ,(Т) - удельная теплоемкость 7 -го слоя как функция температуры; р7 (Т) - плотность материала 7-го слоя как функция температуры; X, (Т7) - коэффициент теплопроводности 7-го слоя как функция температуры.

В качестве примера введем следующие обозначения по слоям: 1 - металлическая или металлокерамическая матрица; 2 - неметаллическое покрытие (керамика, стекло- или базальтоволокнистые материалы); 3 - слой,

в котором происходят фазовые или химические превращения (термореактивные смолы, гипс); 4, 5 - неметаллические слои со специальными свойствами (углепластик, армированный углерод, термостойкие покрытия и т. д.). Количество и материалы слоев могут быть различными в соответствии со служебными характеристиками и функциональными особенностями многослойной стенки.

На границах слоев теплофизические параметры как температурные функции терпят разрыв. В этом случае система дифференциальных уравнений (1) может быть сведена к одному уравнению теплопроводности с разрывными коэффициентами, записанному в следующем виде:

с

дТ (х, у, t) д

а

дх

ЦТ)

дТ (х, у, t) дх

ду

ЦТ)

дТ (х, у, t) ду

.

Уравнение (1*) определено в области: 0 < х < а; 0 < у < Ь. Граничные условия для дифференциального уравнения (1*) запишем:

X т) I=х(Т ^

дТ

\ (Т) = х1 -1 дt

(

Т

дТ-1

л

г -1

ду Т = Т-1.

, у = у;

Условия сопряжения (2), (3) определены на общих границах слоев.

В соответствии с условием задачи принимаем, что теплообмен на внешней поверхности многослойной стенки происходит по закону Ньютона - Рихмана. Тогда с учетом симметричной модели граничные условия представим следующим образом:

дТ „ а дТ а а

— = 0 при х = 0; — = 0 при у = 0;

дх ду

дТ дТ

X— = -а

дх ду

Начальные условия имеют вид

Т (х, у 0) = Т. при г = 1,2,..., п.

Для слоя 3 решается задача с фазовыми превращениями с подвижной границей фаз. На границе раздела фаз (в слое 3) запишем условия фазового перехода [1]:

Тз' = Тз"= Тф & t);

.,-ТМ «,-ГзМ

X--Х3-

дх

дх

= р3 г— при х =

*3 ^ -*3 ^ =Рз^ при .у = %, ду ду т

где Тф - температура фронта фазовых превращений; р3 - плотность материала; г - удельная теплота фазового перехода.

Линейный источник при координате х = % представим с помощью

5-функции Дирака. При этом воспользуемся основным свойством 5-функ-ции [1]

] /(х)5(х-%)йх = /(%).

Для решения задачи фазового перехода (задачи Стефана) применяется метод сглаживания: 5-функция заменяется 5-образной функцией 5(Т - Тф, А), отличной от нуля лишь на интервале (Тф -А,Тф +А) и удовлетворяющей условию нормировки:

Тф +А

| 5(Т - Тф, А)йТ = 1.

тф -А

В период фазового перехода уравнение (1*) распадается на два, описывающие теплопроводности в жидкой и твердой фазах с добавлением условий на границе раздела фаз %.

Сглаживая на интервале (Тф -А, Тф +А) функции 53(Т), 53'(Т), с"(Т),

*3(Т), Х3(Т), например при линейной зависимости между значениями в твердой фазе при Т < Тф - А и в жидкой фазе при Т > Тф + А, получим квазилинейное уравнение, по форме совпадающее с дифференциальным уравнением (1*). Для решения полученного квазилинейного уравнения можно использовать разностные методы.

Из граничных условий (2) видно, что температурные функции на границе слоев не имеют разрывов, а претерпевают разрыв первые производные. Этот факт дает возможность рассматривать систему сопряженных тел как стенку с теплофизическими свойствами, зависящими от координаты и температуры и терпящими разрыв на границе слоев.

Учитывая это обстоятельство, а также вводя безразмерные переменные, перепишем систему дифференциальных уравнений и краевые условия в безразмерных переменных:

ди д дt дх

дх ,1 ду 1

ди * ди дх

дх

ди —- ду

1 ду

ди ду

\

при 0 < х < а0; 0 < у < Ь0;

= «0; 0 < у < Ь0;

с = Ь0; 0 < х < 1;

ди ди

— = — = 0 при х = 0; дх дх

ди ди г, г,

= = 0 при у = 0;

-у -У

ди

-Х2 — = ааи при х = 1; дх

1 ди г

-Х2 — = ааи при у = Ь;

ду

и = и0 при t = 0; и = и0 при t = 0,

где и и и - безразмерные температуры. Условия сопряжения:

- ди ди

Л1 - = X 2 - , и = О;

дх дх

- ди ди

Х1-= X 2-, и = и.

ду ду

Введем общую прямоугольную сетку, равномерную по каждой из осей, причем предположим, что контактные поверхности х = а0 и у = -Ь0 лежат на узлах сетки. Пусть N и N - число узлов по горизонтали и вертикали соответственно, тогда шаг по горизонтали И1 = 1/ N, а по вертикали -

н2 = Ь / ы2.

Предположим, что горизонтальная строка узлов на контактной поверхности имеет номер М1, а вертикальный столбец - М2. Будем решать задачу на фиктивной сетке с узлами:

хг = ^' + 2 ] уг = ( ] + 2 ) ^

при г = -1,0,...,N1; ) = -1,0,...,N2.

Неявные конечно-разностные уравнения, соответствующие выражениям (7)-(15), на узлах фиктивной сетки на шеститочечном шаблоне [1] в момент времени t = (I +1) т имеют вид:

а2с?) р(1) = 1

г, )г]

г, )rг,)

т

( ц1 + 1 _ ц1 +1 ц1 + 1 —1А + 1 ^

Х(1) г+1,) г,) - х(1) г,) иг-1,) V ) К г-\) К

1 ( ц1 + 1 _ ц1 + 1 ц1 + 1 —1А + 1 ^

+1 х(1) иг, )+1 ,) -х(1) иг,) , )-1

К V г)\ К ',)-\ К ,

где г = 0,1,2,...,М -1; ) = 0,1,2,...,М2 -1; I = 0,1,2,...;

V1+1 - V1 . а 2с(2)р(2) ',) г,) =.

( и+1 - и+1 и+1 - и+1 ^

Х

V 1+\,. К 1-\,. 1

1

1 ( и+1 - и+1 и+1 - и+1 ^ + х(2) ,)+1 г,) -Х(2) г,) г,)-1

г,) +-V 2

2

2

где

г = 0,1,2,..., N1 -1; | г = Мь М1 +1,..., N1 -1;) ) = М2,М2 +1,..., N2,] ) = 0,1,2,...,М2 -1, )

1 = 0, 1, 2;

и 1+1 -и 1+1 и+1 - и+1

-Х(1) Мм„ у ММ„ у-1 = -х(2) иМд, у иМ,-1, у =

М1 -1 у К м1 - 2, у К

2

= К,

/^1/1+1 4- 1/1+1 1-|1+^4- 1ч1+1 Л

иМ1г) + М^,)-1 + Чц-1,)

где ) =-1,0,1,...,М2 -1;

и 1+1 -и 1+1 и+1 - и+1

х(1) г,М 2 г,М2-1 = х(2) г,М 2 г,М2 -1

гМ2 -1 К 'Мг 1

2

2

2

2

= К,

/'и+1 +и 1+1 и+1 + +1 ч\

г,м 2 г,м 2 -1 г,м 2 иг,м 2 -1

где г = -1,0,1,...,М -1.

Аппроксимацию остальных граничных и начальных условий запишем:

и0+1 = и-+1) при / = -1,0,1,...,М2; О = о-+>) при ) = М2, М2 +1,..., N2; I

при / = -1,0,1,..., М1;

1+1 _ 1+1

иг,0 = иг,-1

и1+01 = и1+11 при г = М1, М1 +1,..., N1; I

У1+1 -и1+1 _ _

-Х(2)1 ^ "^и = а а ^ -1,) N1-^,) К ) 2

где ) = -1, 0,..., N2;

-Х

и+1 - и+1

г, N г, N -1

г, N9

К

= а а-

и+1 + и+1

г, N г, N-1

где г = -1,0,..., N1; где г = -1,0,..., М1; ) = -1, 0,..., М2;

и1) = ^

2

2

и?, = ^

где / = М1, М1 +1,...,Ы{; у = -1, 0, ..., М2 или / = -1, 0, ..., N1; , = М2, М2 +

+1,..., N2.

Выражения

алгебраических линейных уравнений для определения такого же количества неизвестных значений температур в узлах сетки. На каждом временном шаге (5 + 1)т, I = 0,1,... решение их производится по методу продольно-поперечных направлений.

В Ы В О Д Ы

В работе излагается методика численного решения задачи нагрева многослойных тел. Учитывается переменность теплофизических характеристик сопряженных слоев, их зависимость от температуры, а также перемещения фронта фазовых превращений в одном из слоев изделия. Эти обстоятельства делают задачу нестационарной теплопроводности нелинейной.

В процессе фазового перехода дифференциальное уравнение теплопроводности распадаются на два уравнения, описывающих теплопроводность в жидкой и твердой фазах с добавлением условий на границе раздела фаз (задача Стефана). Вследствие введения в расчетную схему 5-функции Дирака решение задачи сводится к расчету квазилинейного уравнения теплопроводности численными методами. Для конечно-разностной аппроксимации производных на сетке вдоль каждого из направлений х и у используется шеститочечный шаблон [1]. В результате задача сводится к итерационной системе алгебраических уравнений.

Представленная методика позволяет рассчитывать многослойные изделия с заданными служебными характеристиками для различных отраслей народного хозяйства (энергетической, нефтехимической, машино- и приборостроительной и т. д.). Такие изделия являются результатом комбинированного сочетания отдельных компонентов и слоев с различными свойствами. Многослойные изделия имеют характеристики, отличающиеся от свойств составляющих, что позволяет получать изделия со специальными свойствами, повышенными качеством и эксплуатационными характеристиками.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Е с ь м а н, Р. И. Расчеты процессов литья / Р. И. Есьман, Н. П. Жмакин, Л. И. Шуб. -Минск: Вышэйш. шк., 1977. - 264 с.

Представлена кафедрой ПТЭ и ТТ Поступила 29.12.2009