Обобщенные двойные синус-ряды Фурье

3. Lowe D.G. Object recognition from local scale-invariant features // Proc. Inter. Conf. on Computer Vision. Corfu, 1999. 1150-1157.

4. Bets J., Lowe D.G. Shape indexing using approximate nearest-neighbor search in high-dimensional spaces // Conf. Computer Vision and Pattern Recognition. Puerto Rico, 1997. 1000-1006.

5. Mikolajezyk K., Schmid C. A performance evaluation of local descriptors // IEEE Trans. Pattern Anal, and Machine Intell. 2005. 10, N 27. 1615-1630.

6. Bay H., Tuytelaars Т., Gool L.V. SURF: Speeded Up Robust Features // Proc. Nineth Europ. Conf. on Computer Vision. Graz, Austria, May 2006.

7. Lindeberg T. Image matching using generalized scale-space interest points //J. Math. Imaging and Vision. 2015. 52, N 1. 3-36.

8. Ives R.-O., Delbracio M. Anatomy of the SIFT method // Image Processing On Line. 2014. 2014-12-22.

9. Nosovskiy G. V. Computer gluing of 2D projective images // Proc. Workshop "Contemporary Geometry and Related Topics". Belgrade, Yougoslavia, 15-21 May 2002. New Jersey; London; Singapore: World Scientific, 2004. 319-334.

10. Hartley R., Zisserman A. Multiple View Geometry in Computer Vision. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000.

11. Hosaka M. Modelling of Curves and Surfaces in CAD/CAM. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 1992.

12. Голованов H.H., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Фоменко А. Т. Компьютерная геометрия. М.: Академия, 2006.

13. Nosovskiy G. V., Skripka E.S. Error estimation for the direct algorithm of projective mapping calculation in multiple view geometry // Proc. Workshop "Contemporary Geometry and Related Topics". Belgrade, Serbia and Montenegro, June 26-July 2, 2005. Belgrade: University of Belgrade, Faculty of Mathematics, 2006. 399-408.

Поступила в редакцию 03.04.2017

УДК 517.52

ОБОБЩЕННЫЕ ДВОЙНЫЕ СИНУС-РЯДЫ ФУРЬЕ

К. А. Оганесян1

Работа посвящена изучению связи интегрируемости функции двух переменных вблизи нуля с поведением ее обобщенных синус-коэффициентов Фурье. Данная задача имеет прямое отношение к вопросам асимптотического поведения рядов Фурье с монотонными коэффициентами в окрестности нуля.

Ключевые слова: функции двух переменных, неинтегрируемые функции, обобщенные ряды Фурье.

The paper is focused on studies of connections between the integrability of two-variable function near the origin and the behavior of its generalized Fourier sine-series. This problem has direct relevance to the issues of asymptotic behavior of Fourier series with monotone coefficients in a neighborhood of zero.

Key words: functions of two variables, nonintegrable functions, generalized Fourier series.

Первые результаты в исследовании вопросов связи интегрируемости функции вблизи нуля с поведением ее обобщенных синус-коэффициентов в одномерном случае были получены Р. П. Боасом fl], М. И. Дьяченко [2]. Проблемам асимптотического поведения рядов Фурье с монотонными коэффициентами в окрестности нуля посвящены работы Р. Салема [3, гл. 10, § 7], А.Ю. Попова [4], С. А. Теляковского [5, 6] в одномерном случае, а в многомерном — статья А. Ж. Ыдырыс [7]. Похожие вопросы для обобщенных тригонометрических рядов функций, имеющих точки неинтегрируемости, рассматривал К. С. Казарян [8].

Мы будем предполагать, что 2-/г-периодическая по каждой переменной функция f(x, у) такова, что xyf(x,y) € L(0,7r)2. Тогда для нее можно рассмотреть обобщенные синус-коэффициенты Фурье

1 Оганесян Кристина Артаковна — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: oganchrisQgmail.com.

7Г 7Г

bkt(f) = j J f(x> у) Sin kx sin ty dxdy.

o o

Введем необходимые обозначения. Пусть последовательность {otkt} такова, что для любых к, t аы + afc+i,í+i - ak+i,t ~ ak,t+i > 0, ak,t-> 0, aktkt ^ ayt'k't',

fc+í—>oo

если к' ^ к, t' ^ t. Пусть

M [f] M N

a(x, y)=xyJ2J2 aktkt, S^NM(x, y) = Y Y a-kt sin kx sin ty.

k=1 t= 1 k=m t=n

В настоящей работе получены следующие результаты.

Теорема 1. Существуют тлкие положительные постоянные К и 5, что при (ж, у) € (0, 5)2, М ^ _ I д г > JL _ I

2х 2 ' 1 v ^ 2у 2

77 — N ^ — \ выполняется неравенство

si',m(x>V) ^ Ка(х,у).

Теорема 2. Существует такое положительное число 5, что при (х,у) € (0,5)2 для любых натуральных т, М, п, N верна оценка

s'mNM(x>y) < Са{х,у).

Теорема 3. Если a(x,y)f(x,y) € L{0,7г)2, то ряд J2kLi St^i bkt(f)&kt сходится. Теорема 4. Пусть функция /(ж, у) такова, что xyf(x,y) € L(0,7г)2, /(ж, у) € L((0,7г)2\(0, е)2) V 7Г > е > 0 u /(ж, у) ^ ^(ж, у) на (0,ir)2, й(9е ^(ж, у) € L(0,7г)2, м ряд i bkt(f)&kt сходится.

Тогда a(x,y)f(x,y) € L(0,7r)2.

Замечание 1. Для любого п € N и любого ж ф 0 имеем

п+1

f 2 sin f

/ sin txdt =-- sinra.

J ж

ra- i

Поэтому для произвольных N, M

k+7¿

M JV

м (ж> y) = ж • j—w Y Yаы j j sin rx sin dsdr-2 2fc=lí=i ,11 Л 2 2

Введем функцию

oo oo

0(r,s) = YYakt*JÁr)XKt(s), k=1í=l

где Jfc = [fc — A; + при A; > 1, J\ = [0, |), Kt = [í — t + при í > 1 и íi = [0, |) . Тогда

2 1 2

,1 ,N , N Ж y

Si',м(х>у) = J—E  J—y I I ф(г, s) sin rx sin sy dsdr.

2 2 i I

2 2

Покажем, что для любых u,v, ¡л, А > 0 выполняется

ф(и, v) — ф(и + n,v) — ф(и, v + Л) + ф(и + /х, v + Л) ^ 0.

Пусть и € ,1к, и + /л € ,1а, V € V + Л € Кь. Тогда

ф(и, V) - ф(и + ¡1, у) - ф(и, V + Л) + ф(и + ¡1, V + Л) = аы - аа1 - акЬ + ааЬ =

а-16-1

= ~ аР+1'" ~ аРЛ+1 + аР+1,9+1) ^

р=к <?=4

Заметим также, что

М+А М+А

1 1 2 2

оо оо

(г, ЗШГЖвтЭД йвйг = J ^ ф(г, ЭШ ГХ ЭШ ,ву йвйг,

1 1 2 2

где ф(г,з) = ф(г,з) при (г, в) € [0,М + |) х + и ф(г,з) = 0 иначе. Полученная функция

ф(г,,в) по-прежнему будет удовлетворять (1), поскольку можем считать, что она порождается последовательностью {аи ' <У-ы = (У-и при (к, ¿) € {1,..., М} х {1,..., Ж}, а= 0 иначе} таким же образом, как и ф{г,,з) порождается последовательностью {аы}, и {а^} удовлетворяет всем тем условиям, что и {а^}-

Лемма 1. Для любых т, М,п, N € М, (ж, у) € (0, тг)2 верна оцемка,

У)

<

б-Л"2«,,

жу

Доказательство. Имеем

ММ N / М т—1

У^ У^ а^г эт /гж эт ¿у = ^ эт ¿у скм* ^ вт /гж — о;т4 ^ эт £;ж+

&=т t=n

М-1

1=п к

к=1 N

й=1

+ ~ а*н-м) ^втгж = ^втй/ ам^м(ж)-

к=т

N

г=1 N М-1

Ь=п

^вШу 1(ж) + ^ ^ эт^ Вк{х){аы - ак+м) = Д + /2 + /3-

Ь=п

Ь=п к=т

Применяя преобразование Абеля для последовательности такой, что г>1 ^ ... ^ г>га ^ 0,

и произвольной последовательности получаем неравенство

У^икУк

к=1

^ тах

к=1

Тогда имеем

N

Ь=п

^

2тг

<

^ (аы - ай+1)га) • 2 тах А(у) ^ —(скы - ^+1,«), г у

отсюда

'з =

N М-1

Ь=п к=т М-1

М-1

N

^ Г)к (ж) ^ эт ¿у(аи -

2тг

М-1

27Г 7Г

<

к

к=т

^ У" тах А;

—/ и 11 —^ 11 Т

к=т

у X

_2тгтг 2тг2

— \OLmn ) ^ О^тп-

ух ху

Далее,

N

^2aмjsmjy £>м

]=п N

\ы =

]=п

Таким образом,

М N

атп тах

атп тах

га^КЛГ

Б^у) - £>„_1

Б ¿

<

2-7Г 2аг,

ху

<

2тг 2а„ ху

У^ ^ «и 81п Аж 8Ш ¿у

&=т t=n

б7Г О'гтг

жу

Лемма 2. Для произвольного е > 0 и для любых ¿2 тах{^, 1} М, N € N прм (ж, у) € (0, 71")^ верно неравенство

У^ вт кх вт ¿у

< еа(ж, у).

Доказательство. Зафиксируем е > 0. Возьмем 1\,12 ^ тах{-^, 1}. Будем иметь

1А1

м

N

У^ У^ а^г эт /гж эт ¿у

^ (по лемме 1) ^

<

ж у

<

СКг

2тгг2 1 < 7«[2»1 . Ггтгг

жу т+ч,^1 5 т+!'т+!

"2тг/2" Г2тг]

[ У \ / V ж

+ 1<

£

^ (так как \) ^ |ж

"7Г" 7Г

-Ж. .У.

<

^ ^2 аыЫ

<

к=1

(1 2ж \ е2х2у & ,

так как _ < _ < < —а(х,у).

Ь] / ^=1 ¿=1

Оценим /2:

№1 =

N

У^ У^ а:^ эт /гж эт ¿у

Ж

^ ^ /гж к=1

N

¿у

(2) <

Г 2тт 1

2тг

£¿2

<

^ —ж V ка,

1П к

Ю-[^1+1

2тг/2

к= 1

Аналогично

'з =

Е

t=i

м

Е

c¿kt sin/гж sin ty

^l+i

Зе , .

м

У^ У^ Q!fct sin кх sin ty

CK Г 2тгг-|

^ (по лемме 1) ^ -ж21\е-5

+1.4г +1

<

жу

£

+i,lf 1+1

2тт1\ +0Í "2тг"

X ) \ . У .

+ 1 ^ таг

"7Г" 7Г

-Ж. .У.

<

еа(х, у) 10

Итак, имеем

Е

akt sin кх sin ty

1 <к<М, 1 <t<N

= \h+h + h + h\<

< \h\ + \h\ + |/3| + l/4l ^ + + ¿ + 15) а(-х>У1 < £Ф,У)-

Следствие 1. Ряд YlkLi St^i akt sin /гж sin ty сходится по Прингсхейму.

Доказательство теоремы 1. Представим Sl'^I(x,y) в следующем виде:

,'м(ж> У) ~~

жу

4 sin | sin 2

оо оо

~у J J <¡>(r,s)sm rx sin sydsdr =

1 1

2 2

/ 2i & 2» 2jL ili\

'OOOO x У x ОО ОО y 2 СО ОС 2 2 2

X у

+

+

+

22Г27Г 00 02x2x0 01 10 00

yx y y x 2 2

X y

Обозначим А2ф(г, s, x, y) = ф(г, s) — ф(г + s) — ф(г, s + f ) + 0(r + s + f ). Тогда

x y x y

7T(2fc+l) 7r(2t+l) а; У

' = EE

fc=it=i

2ir k 2x1

X y

A 0(r, s,x, y) sinra, sin sydsdr ^ 0. >0 ^0

Если ф(г, в) = а^, то г ^ к — значит, Зг ^ ЗА; — 1 — откуда получаем ф(3г, в) ^ скз^-!^. При к ^ 2 отсюда следует, что </>(Зг, ^ азд;-!^ ^ 3^ §аи- При к = 1 имеем г < |, а ^ ^ 3 (при ж ^ Значит,

7Г ZL

а; У

h = J J A2^(r,s,x,y)únrxismsydsdr^

00 >0

2х 2 у

>

, 2 2\ , , 1

(г, s) ( 1----I smrxsmsyasar ^ -

5 5 / 5

/ _7г_ _ZL II 13 31

/ 2х 22 22 22

+ // + //+ I ^

о о

II 00 01 10

2 2 2 2

)

^ (при х, у ^ 7г/9) ^ i J j ф(г, s) sin rx sin sydsdr+

i i 2 2

/II 13 3 I\

/22 22 2 2 \

1

5

+

+

sin rx sin sydsdr ^

oo oí 10

2 2

1 4 sin § sin :

xy

/

У^ У^ ctkt sin kx sinty + -(1 + 2 + 2) / / скц sin гж sin sy dsdr ^

& +i Ш+i

i i

2 2

fc=l Í=1

O o

G) + =С0а(ж,у) + |/7|.

2x

оо ^

Для /з имеем оценку /3 = У^ / / А2^(г, ж, у) втгжвт^ 0.

5гО ^о

Аналогично /4 ^ 0. Далее, согласно [2, с. 20, ф-ла (8)], получаем

О 2тг( У

'5 =

2 sin :

sin rxdr ^ a\t sin ty

t=1

<

xr

1/2

Су ^ aut

<

t= 1

<

ЖГ

1/2

Со

Стга

при достаточно малом ж. Аналогично |/б| ^ ПРИ достаточно малом у. Таким образом,

ж у

ж . у \ С0а(х,у) + |/7| - 2^ск(ж,у) +/7) ^ %а(ж,у).

Замечание 2. Теорема 1 не может быть распространена на (0,7г)2. Примером может служить следующая последовательность аы ' 1 = аы = 0 при £ > 1. Тогда при ж > ^ будем иметь а(х,у) = ж у. Если бы для некоторых С > 0 и 7 > 0 при всех у € (0,7), ж € тт) выполнялось

S¡'^(x,y) ^ Са(х,у), то было бы верно неравенство ^fcli S1"fcfca: sin у ^ Сжу. А тогда

ОО . т ОО . т ^

7г — ж v^sinra v-^sm/ey ^ С7г

—^—У = ~~I-У ^ smy ^ Сху ^

fc=i

fc=i

к

Значит, ^ ^ при любом ж € 7г). Но при ж —> 7Г левая часть последнего неравенства стремится к нулю, а справа стоит положительная константа, что противоречит нашему предположению.

Следствие 2. Существует такое число 5 > 0; что при (ж, у) € (0, 5)2 для любых М, N верно неравенство ,у) ^ 0.

Доказательство. При М ^ — N ^ — | это утверждение следует из теоремы 1. При

М < ^ — согласно [2, с. 26], имеем

М N М \

si'!M(xIV) = Y sin kx Y ам sin ty ^ ^

k= 1 t= 1 fc=l >0 í=l

Аналогичные рассуждения проводятся при N < ^ —

Доказательство теоремы 2. Достаточно доказать утверждение для т = п = 1, так как

£

m,N т,М

ql,N _ r.1,™-! _ ql,N | r.l»ra-l

Ü1,M Ü1,M ül,m-l + ül,m-l

^ 4sup k,t

ql,t

По следствию 2 существует такое 6 > 0, что при (ж, у) € (0,5)^

0 ^ = л . .—у J j <¡>{t,s) sinra sin sy dsdr =

4 sin | sin 2

i i 2 2

/ 1 2L 2L —\

/oooo 002 x OO x У \

xy

+ +

\ ж o s. о I— II

a; 2 У 2 2

жу

/

+ Д + /3 + /4).

Далее,

x

x

' = EE

ЕЕ

А2ф(г, s, x, y) sin гж sin sy dsdr ^ 0,

fc=0 t=0x(2fc+l) 2xt k=0 ¿=0 7r(2fc+l) 2x4 >0

z x(2t+3) x y

z 2x(t+l) 2; y

' = Е/ =E

7I\

J (ф(г,з) — ф(г,з H—)) sinncsinsy dsdr ^ 0.

í=0 I x(2t+l) í=0 1 x(2t+l) 4-V-' SÍ0

Для /2 имеем

I 2x 1

OO 2 x 2

>0

2x(fc+l) 1 x 1

a; 2 x 2

h = — j J~J j = ~ j J ^ J J ^ sin sy dsdr =

2x 0 x 0 2xfc 0 0 0

x(2fc + l) 1

x 2

E

fc=i

7Г

2xfc 0

(ф(г, s) — ф(г H—, s)) sin rx sin sydsdr+ "-----

>0

7[ 1 7Г 2L

....................—

0 0 II

2 2

так как sino; на (0,1) и (/>(ro,s) постоянна при s € [0,1], (/>(r,So) постоянна при г € [0,1]. Далее имеем

х ZL х У

+ 1Í +1

h^xy / гвф{г, s)dsdr ^ жу ^ ^ (А; + l)(t + 1)аи ^ 16а(ж,у).

i i 2 2

к=1 í=l

Отсюда при (ж, у) € (0,<5)2 получаем 0 ^ ¿>|'^(ж,у) ^ • 16 • За(ж,у). Доказательство теоремы 3. Возьмем е > 0 и для некоторых £1,^2 > 0; т,п,М,М € N рассмотрим

5 =

М N т N

ЕЕ+ЕЕ м/)%

\k=mt= 1 к=1 t=nу

<

~2 j j f(X>y)SmNM(X>y")dxdy

о о

+

+

7Г

11 ¡{х,у)8п1^{х,у)йхйу < ^ И 1 + 11 |/|

0 0 \0 О О £1 /

7Г £1 £1 7Г\

1.ЛГ т,М

с1хс1у+

4

Н—^ вир

Я" [£Ь7Г]2

чО 0 0 £1

7Г £2 £2 ТГ'Ч

т,М

т,

с1хс1у+

£1 £1

чО 0 0 £2

4

Н—г вир

71 [£2,7Г]2

1 ,т

|/| (Му = Д + /2 + /3 + и.

£2 £2

По теореме 2 существует константа С, такая, что для достаточно малого £1, тогда

С!1.!/) < Са(х,у) при (х,у) € (О,^)"

/1 <

4С

£1 £1

7Г £1 £1 7Г >

11\!\айхйу + ^ I J1 + 11 |/| 0 0 \£1 0 0 £1 /

1,ЛГ т,М

с1хс1у ^

при достаточно малом £1, поскольку жу/(ж,у), ¡(х,у)а(х,у) € ¿(0,7г)2. Далее, по лемме 1

4 67Г ат д

72 < 2 2

р / / ^ 24у4 J у 1/(0:^)1^2/<

£1 £1

£1 £1

при достаточно большом т. Аналогично

£2 £2

/1/1«^ + ^ N 1 + 1 / 1/1

7Г £2 £2 7Г1

£

<п,М 1,т

(1х(1у ^ -

О О

\£2 о 0 £2

при достаточно малом е2,

24а

1,П

7Г 7Г

J !\1{х,у)\йхйу

при достаточно большом п. Таким образом, при достаточно больших тип имеем Б < е, откуда и следует сходимость ряда

Доказательство теоремы 4. Сначала будем считать, что /(ж, у) ^ 0. По теореме 1 существуют такие 5 > 0, К > 0, что для любых € N выполняется ¿>|'^(ж,у) ^ Ка(х,у) ^ 0 при (ж, у) €

(0, 5)2. Тогда

(

Далее,

7Г 7Г

о о

Ь < ¡(х,у)хуап

\

б б

+

о 0 (0,тг)2\

V (0,5)2 у

а(ж, у)/( ж, у)йхйу = 1\ + /2.

"7Г" 7Г

-Ж- .У.

с?жс?у ^ / / тг2ац/(х,у)(1х(1у < оо.

(0,7Г)2\ (0,5)2

(0,ТГ)2\

(0,5)2

По теореме 2

I/ Х(о,7г)2\(о,й)2 ^'м! ^ Са/ Х(о,тг)2\(о,г)2 ^ С^ап/ Х(о,ж)2\(о,б)2 €

для любых М, -/V, где С из теоремы 2. Значит, для любой пары (М^, Л^), такой, что ппп{М^, Л^} —> оо, по теореме Лебега

II Мг Щ

/ / / Х(0,тг)2\(0,г)2 ^ йхйу = Ит Ы/ Х(о,п)*\(о,б)*)(*м,

о о к=11=1

откуда следует сходимость по Прингсхейму ряда Х(о,ж)2\(о,б)2)аы- Далее для любых

М ^ ^ ~ - согласно теореме 1, имеем

s s м N

о о k=1 t=1

j j a(x,y)f(x,y)dxdy < ¿ ¿ • X(o,à)2)afci-

Тогда по лемме Фату

ее 2

J J f{x,у) s\'™{x,y) dxdy < ^^2^2bkt(f X(o,s)^)o¡kt

s s

о о к=11=1

2 оо оо 2 00 00

= Е Е -¿ЕЕ Ък^ Х(0,тгП(0,бг)аы, к=1 *=1 &=1 *=1

и оба этих ряда сходятся. Значит, 1\ + Д < оо => а(х,у)/(х,у) € Ь(0,7г)2.

Пусть теперь /(ж, у) ^ ^(ж, у) , где ^(ж, у) € Ь{0,7г)2, а значит, и а: (ж, у)'ф(х, у) € £(0,7г)2, откуда по теореме 2 следует сходимость ряда ЪыО^&ы- Тогда и ряд

оо оо оо оо оо оо

Е ЕЬкм ~ = Е Е мл«**-ЕЕ Ьк*(Ф)аы

к=1г=1 к=1*=1 й=1*=1

сходится. А поскольку /(ж, у) — ф(х,у) ^ 0, то к функции f — ф применимы рассуждения рассмотренного случая /(ж,у) ^ 0, приведенные выше, следовательно, а(ж, у)(/(ж, у) —ф(х,у)) € Ь(0,7г)2, значит, а(ж, у)/(ж, у) € £(0,7г)2, и теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. .Boas R.P. Integrability of nonnegative trigonometric series // Tohoku Math. J. Ser. 2. 1964. 16, N 4. 368-373.

2. Дьяченко М.И. Интегрируемость функций и коэффициенты Фурье // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1977. № 4. 18-27.

3. Uapu íT.if. Тригонометрические ряды. М.: ГИФМЛ, 1961.

4. Попов А.Ю. Оценки сумм рядов по синусам с монотонными коэффициентами некоторых классов // Матем. заметки. 2003. 74, № 6. 877-888.

5. Теляковский С.А. Об одном вопросе Р. Боаса // Матем. заметки. 1969. 5, № 4. 437-440.

6. Теляковский С.А. К вопросу о поведении рядов по синусам вблизи нуля // Makedon. Akad. Nauk. Umet. Oddel. Mat.-Tehn. Nauk. Prilozi. 2000. 21, N 1-2. 47-54.

7. Ыдырыс А.Ж. Асимптотика кратных тригонометрических рядов с монотонными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 6. 14-22.

8. Казарян К. С. Суммируемость и сходимость почти всюду обобщенных рядов Фурье и Фурье-Хаара // Изв. АН АрмССР. 1985. 20, № 2. 145-162.

Поступила в редакцию 05.04.2017