Об особенностях преподавания раздела геометрических преобразований в школьном курсе геометрии

Результаты педагогического эксперимента

Поисковый этап эксперимента позволил сформулировать критерии отбора физического материала, подобрать организационные формы учебных занятий, методы, приёмы и средства обучения, позволяющие реализовать имплицитное обучение физике в школе.

Обучающий этап педагогического эксперимента заключался в применении методики имплицитного обучения на учебных занятиях по физике в школе, в освоении учителями структуры деятельности по осуществлению методики имплицитного обучения.

Контрольный этап педагогического эксперимент позволил сделать выводы об эффективности применяемой методики формирования умений (г|э) =1,151>1, об эффективности методики имплицитного обучения на уроках физики; коэффициент успешности п=1,645>1.

Заключение

На основе результатов теоретического исследования проблемы и проведённого педагогического эксперимента возможно сформулировать следующие выводы:

1. Общенаучный уровень нашего исследования ориентирован в рамках системно-генетического подхода, для конкретно-научной методологии нашей работы ориентиром служит личност-но-ориентированный и деятельностный подходы в обучении, которые позволили:

- описать процесс обучения физике при использовании учителем физики методики имплицитного обучения физике в школе;

- описать структуру деятельности учителя физики при организации методики имплицитного обучения физике в школе;

- разработать методику организации процесса обучения школьному курсу физики при использовании учителем методики имплицитного обучения физике в школе.

2. Имплицитное обучение физике в школе обладает рядом особенностей, а именно - для его реализации необходимо создать условия, при которых учитель физики поэтапно выполняя предложенную структуру деятельности использует в организации обучения методы, приёмы, средства и формы учебных за-

Библиографический список

нятий, позволяющие в полной мере раскрыть все возможности имплицитного обучения на учебных занятиях по физике.

3. Разработанная нами методика имплицитного обучения позволяет не только организовать деятельность учителя физики по реализации методики имплицитного обучения, но и предполагает поэтапное овладение и усвоение теоретических основ имплицитного обучения. Проведённый педагогический эксперимент показал, что уровни освоения учителем физики повышались по мере овладения учителем физики всех предложенных этапов освоения структуры деятельности.

4. Разработанная нами методика имплицитного обучения физике в школе позволяет говорить о более эффективном усвоении учащимися предметных знаний по физике, что подтверждается полученными результатами педагогического эксперимента.

5. В ходе проведения эксперимента удалось установить, что повышение качества знаний учащихся при организации учителем физики имплицитного обучения на учебных занятиях по физики обеспечивается систематическим и целенаправленным использованием учителем физики методики имплицитного обучения физике в школе, а также оказанием методической поддержки учителю в вопросах практического и теоретического руководства имплицитного обучения физике в школе.

Практическая значимость научного исследования обеспечена разработанными нами методическими рекомендациями для педагога «Использование имплицитного обучения физике в школе: методические рекомендации для учителя. Ч. 1. Практическое руководство» и «Использование имплицитного обучения физике в школе: методические рекомендации для учителя. Ч. 2. Научно-методические основы», а также монографией «Теория и практика имплицитного обучения физике в школе».

Мы предполагаем, что выполненное научное исследование не исчерпывает в полной мере всех особенностей имплицитного обучения. Итоги полученных результатов проведённого настоящего исследования могут быть использованы в дальнейшем при разработке теоретических основ имплицитного обучения физике в школе.

1. Искандеров Н.Ф. Структура, функции и принципы имплицитного обучения. Международный научно-исследовательский журнал INTERNATIONAL RESEARCH JOURNAL. 2016; 6 (48); Часть 3: 37 - 40.

2. Пономарева Е.А. Изучение педагогический понятий, связанный с терминами «эксплицитный» и «имплицитный». Мир науки, культуры, образования. 2015; 2 (51): 133 - 138.

3. Пономарева Е.А., Искандеров Н.Ф. Дидактические основы эксплицитной и имплицитной методики обучения. Историческая и социально-образовательная мысль 2015; Том 7; № 5; Часть 2: 214 - 222.

4. Пономарева Е.А. Анализ методов и приемов, содержащих имплицитные признаки при обучении физике. Международный научно-исследовательский журнал. 2016; 7 (49) Часть 2: 51 - 55.

5. Пономарева Е.А., Искандеров Н.Ф. Внутренний механизм имплицитности в обучении. Успехи современной науки и образования. 2016; № 9, Т. 1: 173 - 175.

6. Теория и практика имплицитного обучения физике в школе: монография. Е.А. Пономарева, Н.Ф. Искандеров. Оренбург: Издательство ОГПУ, 2016.

7. Использование имплицитного обучения физике в школе: методические рекомендации для учителя. Ч. 1. Практическое руководство. Е.А. Пономарева. Оренбург: Издательство ОГПУ, 2016.

References

1. Iskanderov N.F. Struktura, funkcii i principy implicitnogo obucheniya. Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal INTERNATIONAL RESEARCH JOURNAL. 2016; 6 (48); Chast' 3: 37 - 40.

2. Ponomareva E.A. Izuchenie pedagogicheskij ponyatij, svyazannyj s terminami «'eksplicitnyj» i «implicitnyj». Mirnauki, kul'tury, obrazovaniya. 2015; 2 (51): 133 - 138.

3. Ponomareva E.A., Iskanderov N.F. Didakticheskie osnovy 'eksplicitnoj i implicitnoj metodiki obucheniya. Istoricheskaya i social'no-obrazovatel'naya mysl'2015; Tom 7; № 5; Chast' 2: 214 - 222.

4. Ponomareva E.A. Analiz metodov i priemov, soderzhaschih implicitnye priznaki pri obuchenii fizike. Mezhdunarodnyj nauchno-issledovatel'skij zhurnal. 2016; 7 (49) Chast' 2: 51 - 55.

5. Ponomareva E.A., Iskanderov N.F. Vnutrennij mehanizm implicitnosti v obuchenii. Uspehi sovremennoj nauki i obrazovaniya. 2016; № 9, T. 1: 173 - 175.

6. Teoriya i praktika implicitnogo obucheniya fizike v shkole: monografiya. E.A. Ponomareva, N.F. Iskanderov. Orenburg: Izdatel'stvo OGPU, 2016.

7. Ispol'zovanie implicitnogo obucheniya fizike v shkole: metodicheskie rekomendacii dlya uchitelya. Ch. 1. Prakticheskoe rukovodstvo. E.A. Ponomareva. Orenburg: Izdatel'stvo OGPU, 2016.

Статья поступила в редакцию 02.02.17

УДК 514

Proyaeva I.V., Cand. of Sciences (Physics, Mathematics), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru

Safarova A.D., Cand. of Sciences (Pedagogy), senior lecturer, Orenburg State Pedagogical University n.a. V.P. Chkalov (Orenburg, Russia), E-mail: docentirina@mail.ru

ON THE FEATURES OF TEACHING GEOMETRIC TRANSFORMATIONS AT A SCHOOL GEOMETRY COURSE. The research examines one of the most pressing and complex issues in teaching a course of geometry in school - geometric transformation of a plane. The authors focus on the elaboration of methods for the introduction of private types of geometric transformation at the geometry lessons for better understanding of the material. The authors identify and describe the characteristics of the introduction of this notion. Considerable attention is paid to methodical scheme study of geometric transformations in the school year. The information provided in the article on the methods of introduction of the basic concepts of the theory of geometric transformations in the teaching process at the geometry course improves the efficiency of teaching of the material to pupils.

Key words: school geometry, geometric transformation of plane, reflection of flat objects, turning.

И.В. Прояева, канд. ф.-м. наук, доц. Оренбургского государственного педагогического университета имени В.П. Чкалова, г. Оренбург, Е-mail: docentirina@mail.ru

А.Д. Сафарова, канд. пед. наук, доц. Оренбургского государственного педагогического университета имени В.П. Чкалова, г. Оренбург, Е-mail: docentirina@mail.ru

ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРЕПОДАВАНИЯ РАЗДЕЛА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

В данной статье рассмотрен один из самых актуальных и в тоже время сложных вопросов преподавания школьного курса геометрии - геометрические преобразования плоскости. Основное внимание в работе авторы акцентируют на выработке методики введения частных типов геометрических преобразований на уроках геометрии в школе для более глубокого усвоения. Выделяются и описываются характерные особенности введения данного понятия. Значительное внимание уделяется методической схеме изучения геометрических преобразований в школьном курсе. Представленная в статье методика введения основных понятий теории геометрических преобразований была реализована в конкретном учебном процессе на уроках геометрии и позволила повысить эффективность усвоения изучаемого материала.

Ключевые слова: школьная геометрия, геометрическое преобразование плоскости, отображения плоских фигур, поворот.

Идея геометрических преобразований - одна из основных идей современной математики. Она лежит как в основе определения геометрии, так и в основе классификации её отдельных разделов. Достаточно вспомнить определение геометрии, данное Феликсом Клейном (1849 - 1925) в его знаменитой Эрлан-генской программе [1, с. 108].

В Германии долгое время существовал обычай, согласно которому кандидат на замещение профессорской должности должен был выступить перед Учёным Советом с лекцией на свободно выбранную им тему; на основании этой лекции Учёный Совет делал заключение о возможности допущения данного лица к профессуре. Такая лекция Ф. Клейном (известным немецким математиком) была прочитана в 1872 г. в г. Эрлангене (Германия) и впоследствии получила название Эрлангенской программы Клейна.

Ф. Клейном впервые были сформулированы принципы теоретико-группового построения геометрии. Геометрия - это наука, изучающая свойства фигур, инвариантные относительно некоторой группы преобразований. В самом деле, проективная геометрия - геометрия проективной группы, аффинная - аффинной, а школьная геометрия - геометрия группы движений и подобий [2].

Широки практические приложения геометрических преобразований. Теория подобия проникла в физику и стала основой физического эксперимента. Она нашла приложение и в технике. В современной науке и технике широкое применение находит обобщенное понимание геометрического подобия и моделирования явлений. Геометрические преобразования имеют и большое воспитательное значение, с ними входят в геометрию диалектика, движение [3].

Если в науке идея геометрических преобразований завоевала всеобщее признание, то вопрос о целесообразности изучения геометрических преобразований в школе оставался открытым до недавнего времени. В настоящее время уже не стоит вопрос: изучать геометрические преобразования или нет. Вопрос в другом: как изучать.

Прежде чем заняться изучением геометрических преобразований в школе, дадим некоторые общие определения. Они носят несколько абстрактный характер, так как относятся к множествам, природа элементов которых для нас пока безразлична.

Определение 1. Отображением/множества М в множество М' называется такое правило, при котором каждому элементу т множества М соответствует единственный элемент т' множества М'. Элемент т 'называется образом элемента т, а элемент т называется прообразом элемента т' при отображении/.

/: М ^ М

f :т ^ т' т ' = f

Если при отображении /каждый элемент т' множества М' вают числовой функцией, заданной наX. МножествоXназывают

является образом по крайней мере одного элемента т множе- областью определения функции/

стваМ, то говорят, что множество Мотображается на множество

М'.

Определение 2. Отображение/множества М на множество М' называется взаимно однозначным, если разным элементам множества М соответствуют разные элементы множества М'.

Определение 3. Взаимно однозначное отображение / множества М на себя называется преобразованием множества М.

В геометрии мы также занимаемся отображением одного множества в другое, только элементами множества М являются точки плоскости или пространства и тогда говорят о геометрическом отображении одного множества в другое.

Определим геометрическое преобразование плоскости.

Определение 4. Пусть элементами множества М являются все точки плоскости. Взаимно однозначное отображение множества точек плоскости на себя называется геометрическим преобразованием плоскости.

В дальнейшем мы будем в основном изучать различные геометрические преобразования плоскости и отображения плоских фигур, вызываемые этими преобразованиями. Приведём пример (будем считать, что понятие движения и его свойства известны).

Рассмотрим симметрию S относительно прямой I, тогда

A

A

Se I

A^A'

B^B'

Se

где М £ 1

Рис. 1.

Имеем преобразование плоскости. Это преобразование плоскости отображает отрезок АВ на отрезок А 'В'. А вот если рассмотреть окружность ^ с центром на I, то окружность ^ преобразуется в ту же самую окружность (имеем преобразование окружности). Теперьлосмотрим, как же олределитьгеометриче-скоелртебраеспение ллосковти вшколе.СэеоРрел ью ебрттим инимлнте иа спрнделлние чиса овой ф.^ии, ралнск б к^се «АлгеЛра и оеселеенасиза» по учеРрикуО.б). Вилебките[а].

Пусть X - числовое множество. Отображение, со-лтеуаоляющос ладдооуаеооу лик Рнeкoррpрeчиcлoy,раеоl-

Тогда по аналогии естественно определить геометрическое преобразование следующим образом:

Пусть X - множество всех точек плоскости. Геометрическим преобразованием плоскости называется отображение этой плоскости, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку этой же плоскости; при этом

1) различным точкам плоскости А и В соответствуют различные точки А' и В',

2) область определения и область значений совпадают с X.

Примечание. Если в школе не дано определение отображения одного множества на другое, то можно несколько упростить определение, а именно.

Пусть X - множество всех точек плоскости. Известно правило, которое каждой точке плоскости ставит в соответствие некоторую точку этой же плоскости, при этом

1) различным точкам плоскости А и В соответствуют различные точки А' и В',

2) область определения и область значений совпадают с X.

Тогда говорят, что задано геометрическое преобразование

плоскости.

Сопоставляя геометрическое преобразование и числовую функцию, видим, что геометрическое преобразование и числовая функция - две модели общего понятия отображения одного множества на другое. Эти модели отличаются природой области определения и области значений, способом задания соответствия. Совершенно очевидно, что методика изучения геометрических преобразований должна быть ориентирована на подчеркивание идеи функции, которая играет здесь объединяющую роль, устраняя традиционную изолированность геометрии, поэтому преобразования в геометрии желательно изучать по тому же плану, что и функции в алгебре.

Методическая схема изучения геометрических преобразований

1. Определение.

2. Способы задания.

3. Свойства.

4. Применение к доказательству теорем и решению задач.

Проиллюстрируем данную схему на примере одно из геометрического преобразования - поворота.

1. Определение. Поворотом вокруг точки О на данный угол а в данном направлении называется преобразование плоскости, при котором каждой точке М плоскости соответствует точка М' такая, что:

1) ОМ = ОМ';

2) М'ОМ = а;

3) луч ОМ' откладывается от луча ОМ в заданном направлении.

Точке О поставим в соответствие эту же точку О. Точка О называется центром поворота.

2. Способы задания поворота:

1) с помощью центра, угла и направления поворота;

2) с центра, точки Ми ее образа М' при данном повороте;

3) с помощью угла, точки М и ее образа М' при данном по -вороте.

Аналитические формулы поворота лучше в школе не рассматривать, потому что они сложны и не наглядны. Хотя при решении задач можно ввести формулы поворота с центром в начале координат на 90° по часовой стрелке и на 90° против часовой стрелки (задачи смотри ниже).

3. Свойства поворота.

1. Поворот сохраняет расстояние между точками.

Доказательство. Пусть дан поворот вокруг точки О на угол а в данном направлении. При данном повороте точка М отображается на точку М', а точка К - на точку К'. Тогда ОМ = ОМ', ОК = ОК', ¿МОМ'= а, а также ¿КОК' = а и лучи ОМ', ОК' отложены соответственно от лучей ОМ и ОК в заданном направлении. Обозначим ¿КОМ' = р.

Тогда ¿МОК = ¿МОМ'- ¿КОМ' = а - р. Аналогично, ¿М'ОК' =¿KOK' -¿КОМ' = а - р, ¿К'ОМ' = а - р, тогда ДМОК = Л М'ОК'

Библиографический список

по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. Следовательно, МК = М'К'.

Следствие. По ворот является движением, следовательно, он обладает всеми свойствами движения.

2 . Уголмежду соотвесственнымипривоворстепрямыми (отрезками, лучами) равен углу поворота.

Заыач о по те не «Поооров» та -же м ожно разбитьна тры блока.

I блок. Задачи, предназначенные для формирования умений и наеыков при постромжииобиазов разжичныофигрр приио-вороте и при различных способах задания поворота.

II блок. Задачи, предназначенные для использования формулы поворота вокруг точки О на 90° либо по часовой стрелке, л ибоыротпвйаыо войжтржлкж.

III блок. Решение задач методом поворота.

Твк,кйеевому быюиумог относиться следующие задачи:

1. Отметьте несколько точек. Постройте их образы при повороте вокруг заданной точки на 60°, 90°, 120° по часовой стрелке (оротив чановуй стрежжи).

2. Начертите отрезок и постройте его образ при повороте вукругвждажпой точки на 40°, 60° по часовой стрелке; на 30°, 180°, 90° против часовой стрелки (возьмите за центр поворота внукрекнюю тжчпу отыезкй;ждинижпонтов отрезка ;уовк(, еепри-надлежащую отрезку).

Вритоаой Злое мнмно помыетюкьоледующиеыадечи:

1 .ПоатроУтк оК^зы треекЛКК'В^.ВыО'ППС fe;2J, Orb -3) при повороте вокруг начала координат на 90° по часовой ттмжлыо-лможрекасовомк/ппйлнвЮ. Запишите коорМинажр/ об; разов.

Ж. Кочка М (2; ...) отображается поворотом вокруг начала координат на 90° против часовой стрелки в точку М'(-5; ...). Опре-делитрп(опущемеын -оорренаею

3. Восстановите пропущенные координаты точек М (-3; ...) иМ' (5;...)ы если изйержно,жтнмтчкв М' -оMpaзатчкиМжр рео-вороте вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке.

Третий блок может включать следующие задачи:

1 .Чеаоз центыкйаыраыеынонеыптедвн пррпвггдигулярные прямые. Докажите, что точки их пересечения со сторонами квадрата являюысявжнширамждругогокватоатт.

2. Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Точка М - середине дингыпали А С.тажкиМж сожедыаа йтopтпмlЖ)E.Дoаaжж-те, что треугольник MNF - правильный.

3.Внлтрислнногоквадржта M—(D pacпомoжeдыругой квадрат AjBjCjDj. Докажите, что точки А В С0, D0 - середины со-ответствующ их отрезков ААр BBj CC j Dd°, - также являются вершинами квадрата.

1. Мацуо Комацу. Многообразие геометрии: Перевод с японского. Москва: Знание, 1981.

2. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Организация самостоятельной работы студентов по курсу «Преобразования плоскости и проективная геометрия». Оренбург: Издательство ОГПУ, 2016.

3. Прояева И.В., Сафарова А.Д. Организация самостоятельной работы студентов по подготовке к ГИА курсу «Геометрия». Оренбург: Издательство ОГПУ, 2016.

4. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Углубленный уровень. 18-е изд., стер. Москва: 2014.