Метод конечных элементов в решении двумерных задач теплового взрыва

Секция «Математические методы моделирования, управления и анализа данных»

УДК 541.126

К. Н. Жильцов Научный руководитель - В. А. Горельский Научно-исследовательский институт прикладной математики и механики Томского государственного университета, Томск

МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РЕШЕНИИ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОВОГО ВЗРЫВА

Рассматривается задача о тепловом самовоспламенении реакционно способного вещества в двухмерной осесимметричной постановке, решенная методом конечных элементов. Проведена оценка влияния амплитуды температурных колебаний окружающей среды на период индукции теплового взрыва.

Метод конечных элементов (МКЭ) на сегодняшний день является общепризнанным основным методом структурного анализа в целом ряде областей науки и техники [1]. Широкое использование этого метода в значительной мере объясняется простотой физической интерпретации основных его вычислительных операций, большой геометрической гибкостью и применимостью к широкому классу уравнений в частных производных. В отличие от других численных методов, МКЭ обеспечивает единственность приближенного решения дифференциального уравнения во всех точках рассматриваемой области и является более эффективным на практике.

В работах [2] представлен краткий обзор работ по теории торфяных пожаров, а так же физико-математическая модель их возникновения и численного решения. В работах [3, 4] представлен теоретический анализ изменения периода индукции в одномерной постановке. В работе, на основе предыдущих исследований, анализируется расчет двухмерной осе-симметричной задачи о нестационарном развитии саморазогрева вещества в системе торф-грунт, выполненном методом конечных элементов.

В условиях естественного нахождения большой массы реакционно способных веществ (торф, хранилища зерна, риса и т. д.), колебания температуры атмосферного воздуха (суточные и особенно сезонные), окружающего реакционноспособное вещество, бывают очень большими. С учетом огромного ущерба, связанного с возникающими пожарами, исследование влияния колебаний температуры среды на критические условия и период индукции ТВ, имеет большое значение для современной теории катастроф, в частности экологических.

Область расчета представлена на рисунке. Граница О1 - ось симметрии. На границах 03, 04 задавались условия не протекания. Граница 02 - граница температурных колебаний. Система уравнений, описывающая изменение во времени температуры Т и глубины превращения вещества а имеет вид:

дТ

Е

д 2Т

1„ дТ

д 2Т

Ср — = арбк0ехр

дt

КТ

дг2

дг

д22

да Е

— = -ак0ехр(--).

дt КТ

Граничные условия для температуры:

^(в2) = То + ТА ), ^(Оз,в4) = 0.

дх дх

Область расчета представлена на рисунке.

Область расчета

Из приведенных расчетов видно, что период индукции хш, в случае двумерного осесимметричного расчета задачи теплового самовоспламенения реагирующего вещества, с толщиной слоя равной 2,5 метра, значительно уменьшается при увеличении начальных значений температуры. При начальной температуре Т0 = 0 °С периоды индукции гпс1 соответствуют результатам, полученным при решении одномерной задачи самовоспламенения, но при увеличении значений Т0 период индукции резко сокращается, а по достижении 50 °С принимает значения, которые были получены при решении одномерной задачи.

Зависимость периода индукции от начальной температуры Т0 в слое торфа толщиной 2,5 метра

Та, Т>, к

к 0 5 10 15 20 25

5 73.50 2.37 0.55 0.30 0.16 0.09

10 64.70 1.82 0.46 0.27 0.16 0.09

15 50.90 1.47 0.38 0.25 0.15 0.09

20 34.40 0.66 0.34 0.23 0.15 0.09

25 17.70 0.47 0.30 0.21 0.15 0.09

30 5.60 0.37 0.26 0.20 0.14 0.09

35 0.51 0.31 0.23 0.18 0.13 0.09

40 0.35 0.26 0.21 0.17 0.13 0.09

45 0.29 0.24 0.19 0.16 0.12 0.09

50 0.25 0.21 0.17 0.15 0.12 0.09

Актуальные проблемы авиации и космонавтики. Информационные технологии

Результаты расчетов, проведенных в широком интервале вариации параметров начального значения температуры и амплитуды колебаний температуры воздуха, позволяют сделать вывод о том, что период индукции т^ теплового самовоспламенения при расчетах в двумерной постановке задачи существенно отличается от значений, получаемых при одномерных расчетах. В частности, при расчетах в двумерной постановке повышение начальной температуры значительно сокращает период индукции, что позволяет с большей точностью определять момент воспламенения. Это облегчает задачи мониторинга, прогнозирования и принятия мер для предупреждения самовоспламенения.

Библиографические ссылки

1. Румянцев А. В. Метод конечных элементов в задачах теплопроводности : учеб. пособие. Калининград. 1995. 170 с.

2. Гришин А. М. О математическом моделировании торфяных пожаров // Вестник ТГУ. Математика и механика. 2008. № 3(4). С. 85-95.

3. Жильцов К. Н., Горельский В. А., Штейнберг А. С. Численное моделирование самовозгорания торфа вследствие низкочастотных колебаний температуры // Известия высших учебных заведений «Физика». Томск, 2011. С. 53-57.

4. Горельский В. А., Ящук А. А., Штейнберг А. С. Тепловой взрыв при наличии колебаний температуры среды, окружающей реакционную смесь //Хим. физика. 2010. Т. 29. № 9. С. 37-41.

© Жильцов К. Н., 2012

УДК 519.8

А. К. Идаятова Научный руководитель - А. В. Медведев Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Красноярск

О СГЛАЖИВАНИИ НЕКОТОРЫХ ТРАЕКТОРИИ ЛАВИНООБРАЗНЫХ ПРОЦЕССОВ

Рассматривается задача моделирования лавинообразных процессов. Представлены непараметрические алгоритмы идентификации развивающихся во времени процессов, а также приводятся численные результаты статистического моделирования.

Лавинообразные процессы характеризуются тем, что их возникновение обусловлено определенным соотношением значений поступающих внешних воздействий или входных возмущений. Существенным здесь является то, что внешние (входные) воздействия представляются медленно изменяющимися во времени величинами. Подобные процессы являются предметом исследования в теории катастроф и связаны с существенной нелинейностью между переменными, характеризующими этот процесс [1]. Важнейшим при изучении такого рода процессов является наличие априорной информации, которой чаще всего недостает на этапе постановки задачи.

В дальнейшем, примем обозначения: х

В результате наблюдений переменных процесса имеем выборку, состоящую из п реализаций и, /, х1, г = 1,5;} = 1, и], показанных на рис. 1, а и 1, Ь. Для приближения М{х / и, /и] воспользуемся непараметрическим сглаживанием

= Х xj Ф

xs (u (t ) )) =

' u (t)-

uj ^

Ф

/ ХФ

'(t )-

Ф

j = 1, n.

Из соображений простоты в (1) /(г), и (г) приняты

скалярными. В случае если /(^) , ) векторные, то (1) преобразуется обычным образом [2].

¡=1