Изгиб составной балки, расположенной на упругом основании

ВЕСТНИК 4/2011

ИЗГИБ СОСТАВНОЙ БАЛКИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

ANALYSIS OF AN COMPOSITE BEAM LOCATED ON ELASTIC FOUNDATION

H.M. Атаров, A.H. Леонтьев, И.Г. Леонтьева

N.M. Atarov, A.N. Leontiev, I.G. Leontieva

ГОУ ВПО МГСУ

В настоящей статье рассмотрен алгоритм расчёта полубесконечной составной балки, расположенной на винклеровском упругом основании и загруженной в начальном сечении вертикальной нагрузкой.

The algorithm of analysis of an composite beam, located on Winkler elastic foundation and loaded with a given vertical load is considered in the distinctive paper.

Балка, состоящая из двух горизонтальных брусьев, соединенных между собой вертикальными стойками, расположена на упругом винклеровском основании (рис.1) и находится под действием заданной вертикальной нагрузки.

Для описания работы балки под нагрузкой воспользуемся теорией составных стержней А.Р.Ржаницына [1], с позиций которой рассматриваемая балка представляет собой двухветьевой составной стержень (рис.2,а). Поведение такого стержня описывается следующим дифференциальным уравнением:

T»-х2г = ч .

EJ0 W

Здесь T — сдвигающее усилие, передающееся на горизонтальные ветви от вертикальных стоек; M - изгибающий момент, возникающий от вертикальной нагрузки в основной системе, лишенной связей сдвига (рис.2,б); с - расстояние между центрами тяжести ветвей; - коэффициент жесткости на сдвиг; X2 — коэффициент, определяемый по формуле:

f О 2 ^

2 c ,

У? = £,

EF EJоу

где F - площадь поперечного сечения каждой из ветвей; J0 - суммарный момент инерции сечения ветвей. В рассмотренном случае эти величины равны:

F = bhB , J о = 2 bh3 = bh3. в 0 12 6

Считая, что вертикальные стойки расположены регулярно (Bc = const), жестко связаны с горизонтальными брусьями и выполнены из того же материала, для коэффициента жесткости на сдвиг ^ можно получить следующую формулу [1]:

р

о А,

в.

Рис. 1

с

6).

t

г- I

Рис. 2

V—"Г"'

тг

о_б_6_б_б

о

р

У

Рис. 3 24Е

(

Вес'

2с В,

Л

V / /

Изгибающий момент вызывает искривление осей, составляющих основную систему стержней, по одинаковым кривым и0(х). В связи с тем, что рассматриваемая балка расположена на поверхности винклеровского упругого основания, эти кривые могут быть найдены из решения дифференциального уравнения:

.IV

к Е/п

V =

Е/п

пп

где к = Ъкп, а кп — коэффициент постели упругого основания.

Рассмотрим полубесконечную балку (рис.3), находящуюся под действием силы Р, приложенной в начале координат. Введем безразмерную переменную ^ = х / Ьп ,

где 1п = 4

4Е/п

и представим решение уравнения (4) в следующем виде [2]:

V п =

РЦ 2Е/,

П -ц

—е 1 соб ^

Ъ

к

х

с

к

к

п

к

Используя справедливое при малых прогибах соотношение

ЕЗ 0

для изгибающего момента, входящего в правую часть уравнения (1), можно получить выражение:

M 0 =-PL0 e sin ^

Общее решение дифференциального уравнения (1) для бесконечного составного стержня, загруженного сосредоточенной силой P, может быть теперь получено в виде:

T = C1eAecos ^ + Besin ц ,

где A = —PLl^, B = --^ PLl-^, а = ^,

EJ o

4 + а4 ЕЗ о 4 + а4 ез о

а С1 - постоянная интегрирования, подлежащая определению из граничного условия: при ^ = 0 Т = 0 .

Раскрывая это условие, получим: C1 =- A = -

4 PL0

4 + а

EJ

после чего выра-

0

жение (8) примет окончательную форму:

T = PL

EJ0

2

4 + а

4e 'cos

а

4 + а

4e 'sin"q-

2а

4 + а4

-а^

Заметив, что полный изгибающий момент в составной балке определяется выражением M = M - Tc и подставив сюда формулы (7) и (10), найдем:

M = -PL0 \lKe^ cos ц + (1 - а 2K)esin ц - 2Ke].

Здесь K =

1 р fL0L 4 + а 4 EJ 0

Используя зависимость, аналогичную (6), и дважды интегрируя выражение (11), для функции прогибов составной балки получим формулу:

PL3

v = -

2EJ0

1 1

(1 -а 2 K )e л cos ц- 2 Ke л sin ц- 4K —e

а2

Однократное дифференцирование выражений (10), (11) и (12) позволяет получить формулы соответственно для скалывающих напряжений т, поперечных сил Q и углов поворота ф составной балки:

т = T' = -P

K [(2 + a 2)e ^ cos ц + (2 -а 2 )e sin ц) - 2ae "ал }

Q = -p[(1 - 2K - а 2K)e cos ц - (1 + 2K - а 2K)esin ц + 2aKe~ац }

Ф = v =

PL2

2EJn

, _ _ 1 _ (1 -а2K)e л(cos^ + sin+ 2Ke л(cossin-q)-4K—e

Анализируя полученные выражения для перемещений и расчетных усилий бесконечно длинной составной балки, можно видеть, что при ^ ^ 0 мы приходим к формулам (5) и (7), описывающим работу балки, лишенной связей сдвига, а при ^ ^ да - к формулам, характеризующим поведение монолитной балки, состоящей из двух горизонтальных ветвей:

e

п

п

П,2 п,4 п,6 п,8 1,п

п

п,2 п,4 п,6 п,8 1,п

-п,2

п

п,2 п,4

п,6 п,8 1,п

1 х/Е = 1п-

2-х/Е = 1п-

3-х/Е = 1п-3

\ /п -—

3

; 2 м = -Р^п М П)

/У 1

-------''

п 1 4

3 -

- ----- - - -

/п / 2

/ / / / 1 х/Е = 1п-1 2-х/Е = 1п-2

/ / // / / . /'/

V'" Ч г/ 2 = -ра(. 3 3-х/Е = 1п-3

Рис.4

п

1

2

3

4

п

1

2

3

4

п

п

ВЕСТМГ 4/2011

v = PLí0 ecos л , M = esin л ,

?FJ J

J PL S Q = -P—— e (cos л-sin л), T =—0--e sin л .

JM 4 JM

Здесь: JM - момент инерции сечения монолитной балки, S - статический момент площади F поперечного сечения одной из ветвей относительно центральной оси всего сечения, определяемые по формулам:

c2 c

Jм = J0 + ^ S =F^2 .

В качестве примера приведем результаты расчета полубесконечной составной балки при следующих исходных данных: E = 3104МПа, c = 0,5 м, кв = 0,1 м, b = 1,0 м, k0 = 50 МПа, в соответствии с чем F = 0,1 м2, J0 = 10-3/6 м4, L0 = 0,795 м, J0/JM = 0,0132, X2 = 1520 Щ.

На рис.4 представлены эпюры v(л), M(л) и Q(n) для трех значений коэффициента жесткости на сдвиг: / E = 10, / E = 10 ~2 и / E = 10~3. Переход от этих безразмерных величин к искомым осуществляется по формулам:

РГ3 - — -

v(л) = —rfv(Л), M(П) = PL,M(П), Q(n) = PQ(r) .

2EJ 0

Для сравнения здесь приведены соответствующие эпюры для балки, лишенной связей сдвига (при ^ = 0) и монолитной (^ = ж). Можно видеть, что уже малые значения коэффициента / E существенно влияют на величины перемещений и усилий составной балки. При / E > 1 работа составной балки приближается к работе монолитной балки.

Литература

1. Ржаницын А.Р. Составные стержни и пластинки. М., Стройиздат, 1986.

2. Леонтьев Н.Н., Леонтьев А.Н., Анохин Н.Н., Соболев Д.Н. Основы теории балок и плит на деформируемом основании. М., МИСИ, 1982.

Literature

1. Rjanitsin A.R. Composite beams and plates. M., Stroyizdat, 1986.

2. Leontiev N.N. Leontiev A.N., Anohin N.N., Sobolev D.N. Basis of the theory of beams and plates located on the deformable foundation. M., MICE, 1982.

Ключевые слова: составная балка, теория А.Р. Ржаницына, бесконечно длинная балка, упругое основание Винклера, действие сосредоточенной силы, прогиб балки, внутренние усилия

Key words: composite beam, the theory by A.R.Rjanitsin, infinite beam, Winkler elastic foundation, action of vertical load, deflection of beam, internal forces

Тел.: 8-903-727-61-28, E-mail: an_leontiev@mail.ru

Рецензент: Клейн Владимир Георгиевич, кандидат технических наук, профессор кафедры Строительной механики Московского автомобильно-дорожного государственного технического университета