Исследование резонанса в системе с одной степенью свободы

УДК 539.4

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСА В СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Доев В.С., Доронин Ф.А.

Аннотация

Уточняется понятие резонанса для динамических систем с одной степенью свободы. Показано, что при гармоническом резонансном воздействии возможно как возрастание, так и уменьшение амплитуды вынужденных колебаний системы. При матрицантном воздействии вынужденные колебания происходят по более сложному закону.

Ключевые слова: линейная колебательная система с одной степенью свободы, резонанс, матрицантное воздействие, резонансное гашение колебаний

Введение

В университете в курс теоретической механики, преподаваемый для студентов механических и строительных специальностей по большой программе, входит изучение вынужденных колебаний линейных и линеаризованных механических систем с одной степенью свободы, в том числе и исследование явления резонанса в таких системах. По программе курса обсуждению этого явления уделяется мало времени. В лучшем случае после вывода необходимых уравнений преподаватель рассказывает об использовании резонанса в деятельности человека, либо о вредных проявлениях резонанса в технике. Однако, это явление в действительности оказывается гораздо богаче и содержательнее, чем это предстает в традиционных учебниках по теоретической механике.

Как правило, после изучения раздела курса, связанного с явлением резонанса, у студентов создается впечатление, что при совпадении частот свободных и вынужденных колебаний системы наблюдается явление резкого увеличения амплитуды вынужденных колебаний, причем амплитуда этих колебаний возрастает по линейному закону.

Между тем анализ показывает, что существуют ситуации, когда при совпадении частоты вынужденных колебаний механической системы с ее собственной частотой в зависимости от момента включения возмущающей силы возможно как увеличение, так и уменьшение амплитуды вынужденных колебаний. 1

1. Резонансное гармоническое возмущение с постоянной амплитудой

Рассмотрим линейную механическую систему с одной степенью свободы без учета сопротивления движению. Пусть эта система совершает

свободные колебания, имея в начальный момент времени координату q0 и скорость v0=q0. В некоторый момент времени t = т на систему начинает действовать периодически изменяющаяся во времени возмущающая сила постоянной амплитуды с частотой, равной собственной частоте к колебаний системы (резонансное гармоническое воздействие).

В зависимости от фазы свободных колебаний в момент подключения возмущающей силы возможны следующие случаи:

а) Возрастание амплитуды вынужденных колебаний.

Для возрастания амплитуды колебаний при стандартном синусоидальном возмущении необходимо, чтобы в момент включения резонансного воздействия выполнялись, например, такие условия: q0 = 0;

zy>0.

Решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний

имеет, как известно, вид: q(t) =

v0 h — + —t k 2k

sin(kt), где h = —; H -a

амплитуда возмущающей силы; a - коэффициент инерции системы. График колебаний в этом случае показан на рис. 1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t

Рис. 1. График вынужденных резонансных колебаний при q0= 0;

zy>0.

б) Убывание амплитуды вынужденных колебаний.

Для убывания амплитуды колебаний при указанном выше возмущении необходимо, чтобы в момент включения резонансного воздействия выполнялись условия: q0= 0; и{) < 0. При этом амплитуда вынужденных колебаний сначала убывает с течением времени, а затем возрастает по линейному закону (рис. 2).

i

0.8 0.6 0.4 0.2

y(t,Ts) 0

-0.4 -0.6 -0.8 -1

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4

t

Рис. 2. График вынужденных резонансных колебаний при q0= 0;

v0<0.

Если в режиме резонансного убывания амплитуды отключить гармоническое воздействие в тот момент, когда амплитуда становится равной нулю, то система перейдет в режим свободных колебаний, амплитуда которых значительно меньше, чем перед резонансным включением. Такой процесс будем называть резонансным гашением колебаний.

Свободные колебания, которые будет совершать система после отключения внешнего воздействия, определяются уравнением

v

q(t) = q10cos(kt) + -^-sin(kt), где qw и vw - обобщенная координата и

к

обобщенная скорость системы в момент выключения внешнего воздействия, соответственно.

Зависимость координаты от времени определяется кривой, показанной на рис. 3.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t

Рис. 3. График вынужденных резонансных колебаний после отключения внешнего воздействия

Мелкая рябь в конце процесса образуется потому, что при отключении внешнего воздействия, когда обобщенная координата стала равной нулю, обобщенная скорость системы отличалась от нуля.

Во всех этих случаях амплитуда вынужденных колебаний изменяется с течением времени по линейному закону.

2. Резонансное гармоническое возмущение с переменной амплитудой

Рассмотрим теперь вынужденные колебания системы с одной степенью свободы, происходящие под действием возмущающей силы, амплитуда которой является некоторой функцией времени, а частота совпадает с собственной частотой £ колебательной системы:

Q(t) = H(t) sin( kt).

Движение механической системы при произвольном воздействии описывается дифференциальным уравнением

q + к2 q = w(t).

Представим это воздействие в виде w{t) = f{t) + s{t), где /(t) и s(t) -некоторые функции времени.

Дифференциальное уравнение (1) можно записать в нормальной форме:

Y = R-Y + b

О 1] Г s(t)~

, ; b(0=

-к2 0_Г w Lдо.

теперь на систему начинает действовать ограниченное матрицантное возмущение вида b(t)=X(t) • U(7), где X(t) - матрицант системы (2); U(7) - вектор, равный

~ О

где Y =

q

v_ Пусть

R=

U(t) =

к • us

Здесь us(t) - некоторая ограниченная функция времени.

Резонансным будем называть такое ограниченное матрицантное воздействие на систему, при котором решение исходного дифференциального уравнения (2) неограниченно.

Решение матричного уравнения

принимает вид: Y(t)=X(t)- Y0 + где Y0=

sin

qo

vn

вектор

начальных условий; X(t) =

= cos

к

матрицант системы.

-к -sin

Матрицант X(t) и векторный множитель U(t) определяют вид силового воздействия w(t) в правой части дифференциального уравнения

(1): /«=«ад-вдУ

Если функция us(t), входящая в вектор U(/), изменяется по закону (рис. 4) us(t) = 3sin2 ^.5115 2cos5 Ht , то силовое воздействие w(t) имеет

200

100

w(At-i) 0 -100 -200

I 1

Ид ъ Л 1L,, й

гтпг Vr г

т

0 1.25 2.5 3.75 5 6.25 7.5 8.75 10

At-i

Рис. 4. График изменения возмущающей силы при матрицантном воздействии U

20

13.33

6.67

Y(k,At-il)0 о

-6.67

-13.33

-20

At-il

Рис. 5. График вынужденных резонансных колебаний при

матрицантном воздействии U

вид, изображенный на рис. 4. Зависимость обобщенной координаты от времени (рис. 5) демонстрирует нелинейный характер изменения амплитуды вынужденных колебаний с течением времени.

Если изменить вид функции us (t), то изменится и характер изменения амплитуды вынужденных колебаний.

Интересно, что существует класс положительных убывающих амплитудных функций us (t), для которых сохраняется нарастание

Рис. 6. График амплитудной функции us(t) = Г

у-0.9

X

200

100

w(At-i) 0 -100 -200

0 0.75 1.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6

At-i

Рис. 7 График убывающего силового воздействия w(t).

амплитуды вынужденных колебаний при резонансе. Например, такой функцией является зависимость us(t) = t~°'9, график которой показан на рис. 6. Силовое воздействие w(t), соответствующее этой функции, показано на рис. 7.

Рис. 8. График вынужденных резонансных колебаний при убывающем силовом воздействии w

10 8 6 4 2

Y(k, At-il)0 О

-4 -6 -8

-10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

At-il

Рис. 9. График вынужденных резонансных колебаний при убывающем силовом воздействии с амплитудной функцией us(t) = 5е

гтт тп ТГ [ГТ гтт гп тп

-0,9t

График резонансных колебаний в этом случае показан на рис. 8. Если же

амплитудная функция us(t) имеет вид us(t) = 5e ’ ^ т0 зависимость обобщенной координаты от времени выглядит так, как показано на рис. 9.

Любопытно, что этот график повторяет график вынужденных резонансных колебаний системы с одной степенью свободы при наличии вязкого сопротивления (для случая, когда амплитуда возмущающей силы постоянна), а в приведенном примере ни о каком сопротивлении движению речь не идет.

Весьма своеобразно выглядит график вынужденных резонансных колебаний, вызванных матрицантным воздействием, заданным амплитудной функцией:

lis

Эта функция, будучи убывающей, не является знакопостоянной (рис. 11). Такому возмущению соответствует силовое воздействие, показанное на рис. 10.

200

w(At-i) 0

-100

-200

1

т АДА1 АЛЛА АААА ША \Ш

р SnrVv ппмП fvVwl Vl/vil

г

0 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12

ДМ

Рис. 10. График силового воздействия, соответствующего амплитудной функции us(t) = 5e~°-9t -0At

16

12.8

9.6

6.4

3.2

Y(k, At-il)0 о

-6.4

-9.6

-12.8

-16

24

10

At il

12 14 16 18 20

Рис. 1 1 . График вынужденных резонансных колебаний при убывающем силовом воздействии с амплитудной функцией us(t) = 5e~°-9t -0At

100

0

6

8

На рис. 11 показан график вынужденных резонансных колебаний, вызванных возмущением, заданным функцией (4).

Заключение

Приведенные примеры показывают, что, казалось бы, хорошо изученное и проанализированное явление резонанса линейной системы с одной степенью свободы на деле оказывается до конца не исследованным и таит в себе некоторые специфические особенности, представляющие не только теоретический, но и практический интерес. Все эти соображения следует учитывать при изложении теории колебаний в курсе теоретической механики.