Оптимальная по порядку оценка приближенного решения одной граничной обратной задачи для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом

УДК 517.948

ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ПОРЯДКУ ОЦЕНКА ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ГРАНИЧНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ

А.С. Кутузов

OPTIMUM ESTIMATION UNDER THE ORDER OF THE APPROACHED DECISION OF ONE BOUNDARY INVERSE PROBLEM FOR THE EQUATION OF HEAT CONDUCTIVITY WITH VARIABLE FACTOR

A.S. Kutuzov

В статье доказывается оптимальность по порядку метода проекционной регуляризации применительно к решению одной граничной обратной задачи тепловой диагностики для уравнения с переменным коэффициентом. Получена оценка погрешности построенного приближенного решения, зависящая от точки, в которой производится промежуточный замер температуры.

Ключевые слова: граничные обратные задачи, некорректно поставленные задачи, метод проекционной регуляризации, оптимальные по порядку оценки.

In this article the optimality under the order of a method of projection regularization with reference to the decision of one boundary inverse problem of thermal diagnostics for the equation with variable factor is proved. The estimation of an error of the constructed approached decision, dependent on a point in which intermediate gauging temperature is made is received.

Keywords: boundary inverse problems, ill-posed problems, the method of projection regularization, optimum estimations under the order.

Введение

Уравнение теплопроводности с учетом затрат тепла на термохимическое разложение теплозащитных покрытий гиперзвуковых летательных аппаратов, для конструкций которых во многих случаях применима одномерная модель, в приближении постоянства теплопроводности Л (хотя при точных расчетах необходимо учитывать изменения теплофизических характеристик при термохимическом разложении [1, 2]), записывается в виде

ди д2и I др А

— = а—^г + —---—, где а = ——- - температуропроводность, р, С„ - плотность и теп-

at oxz Срр at рСр

лоемкость материала, / - тепловой эффект реакций термохимического разложения.

Актуальным является восстанавливать затраты тепла на термохимическое разложение во внутренних слоях, например, по результатам измерений температуры в неразлагающейся части теплозащитного покрытия в период до начала уноса материала с поверхности. С этой

целью можно принять модель: скорость изменения плотности во втором слагаемом в правой части уравнения теплопроводности пропорциональна температуре.

Новизна данной работы, по сравнению с [3], состоит в том, что граничные условия предполагаются оба ненулевыми, и снимается условие неположительности переменного коэффициента в уравнении теплопроводности.

1. Постановка задачи

Рассмотрим дифференциальное уравнение

du(x.t) д2u(x.t) . . , . . .

_т = + “<x)u

в котором ж G [0,1], t > 0 и а(х) G С2 [0,1]. Пусть известны следующие начальные и гранич-

ные условия:

и

u

u

а граничное значение u(1.t) функции u(x.t) подлежит определению.

Задача (1) - (4) является некорректно поставленной, поскольку, как будет показано далее, изометричное интегральное преобразование сводит ее к задаче вычисления значений неограниченного оператора.

Предположим, что при исходных данных /(t) = /o(t) е ^[0. те) и

g(t) = go(t) G Ьг[0, оо) существует точное решение uo(l,t)^0 поставленной задачи, которое принадлежит пространству W^[0. те), причем для этого решения uo(1. 0) = 0 и существует положительное число Т такое, что при t > Т

uo

Соотношение (5) является естественным, ибо всякий процесс имеет начало и когда-то прекращается. В данном случае, процесс изменения температуры прекращается в момент времени Т.

Кроме того, uo(1.t) е Мг. где

Однако точные значения /o(t) и ^o(t) нам неизвестны, а вместо них даны некоторые приближения fs(t), gs(t) G Ьг[0, те) и уровень погрешности S > 0 такие, что

ll/о - fsh2 < 5, \\go-gsh2 <5.

Требуется, используя исходные данные /<$, gs, 5, и Мг задачи (1) - (4), построить приближенное решение Ujj(t) и оценить его уклонение 111^0 — 11 от точного решения

u0(t) = U0(l,t).

Согласно [3], наложенные на решение задачи (1) - (4) естественные условия и соотношение (5), позволяют использовать для нахождения ее решения интегральное преобразование Фурье IIO t G (—оо, +те) в предположении, что

u

2. Сведение к задаче Коши

Учитывая (8), в качестве рабочего пространства Н возьмем гильбертово пространство, представляющее собой комплексный вариант Ь2(—оо,+оо) над нолем действительных чисел, его элементы и норма в нем стандартны, а преобразование Фурье на нем определим формулой

__ +00

ЕН*)} = у \ ^ и

иШе гт1<И, гей.

В силу теоремы Планшереля, сформулированной, например, в [4] введенное преобразование изометрично.

Применяя к уравнению (1), с учетом условия (8), преобразование Е, получаем

с12и(х, т) <1х2

+ а(х)и(х,т) = гти(х,т)-, гей, 0 < х < 1,

где и(х,т) = Е[и(х,Ь)].

Для уравнения (9) поставим задачу, добавив условия

и(0,т) =/(т), т е II,

и(х0,т) = д(т), гей,

где /(г) = ^[/(£)], д(т) = ^(г)].

Из (9)—(11) требуется определить и(1,т) = и(т), гей.

Общее решение уравнения (9) запишем в виде:

и(х, т) = с1(т)е1(х, т) + с2(т)е2(ж, г),

где ех

сг

с2

1 е2

где Е(т) =

Е(т) \ -е1(ж0,г)/(г) + ег(0,т)д(т) } '

. При этом определитель Е(т) считаем отличным от нуля

ех

ел

для всех тЕЙв силу линейной независимости рассматриваемых частных решений. Тогда решение поставленной задачи можно записать в виде:

где Е\(т) =

ел

Е(т) и Е2(т) =

Е

е1

3. Первое частное решение

Рассмотрим интегральное уравнение

б1(ж,т) = е^х -

8кцол/т

а(С)е1(С,г)сг{,

о

где Но = -^=(1 + і), ж,£є[0,1], гей.

Нетрудно убедиться, что если уравнение (14) имеет решение, то оно также будет являться решением уравнения (9).

Теорема 1. Существуют числа то > 0, с\ > 0, с2 > 0, такие, что для всех |т| > То выполняется двусторонняя оценка

х

С1еЛ/2 < |еі(ж, т)| < .

Кроме того, при |т| > То, |т| —> оо справедливо равенство

\е'і(х,г)\ = л/\т\е^ (1 + о(1)).

-еі(ж,т), тогда уравнение (14) придет

Доказательство. Выполним замену е\{х,т) = к виду е"’4'

, . [ вкцол/тЫ —

Т) = 1~] --------------------------«

О

Обозначим с = тах |а(ж)|.

х-е[0,1]

Далее, для любого а± > 0 найдется то > 0 такое, что для всех

в}11Л,0\/т{х — £)еМоу^

М > Го

Обозначим =

Но

віі/іо л/т(х — ^)е№^

Но\/т

1а(С)1^С- Тогда в силу полученных оценок бу-

дем иметь: с/х < а\с. Поскольку а\ - любое, то, в частности, можно взять а\ = —, тогда

2 с

(/1 < а соответствующее значение то нетрудно подобрать, зная а±.

Покажем, что при |т| > То решение уравнения (17) можно искать в виде

Єі(ж,т)= У^ує1и(х,т),

и=0

Г~

! \ 1 I \ С 8Іііл,0л/т{х - £)е№у/їі

гдеєю(ж,г) = 1, є1(и+1){х,т) = - J ---------------їло^/їенау/їх---------------а(£тЛ£>тЩ.

0 № те

Применяя индукцию но V, можно показать, что \єіи(х, т)| < где V = 0,1, 2,...

ОО

Поскольку д < 1, то ряд ^^еігУ(ж,т) равномерно и абсолютно сходится нри х Є [0,1],

ь>=0

М > То и его сумма єі(ж,т) равномерно ограничена нри |т| —> оо. Тогда имеем оценку:

1 - ді 1 - <?1

Выполняя обратную замену и используя (18), находим:

х

С1Є^2 < |еі(ж,т)| < С2Є''/^

о

1-2ді 1

где Сі = —------- , с2 =

2(1 -д1у ' 2(1-д1у

Продифференцируем (14) по переменной х:

X

е[{х,т) = Ііол/те^^ - J скіл,ол/т(х - Оа(ОеЛ£,т)(І£.

Тогда, используя доказанное выше, получаем, что |е^(ж,т)| < л/\т\е ^^ ^1 +

—Щх

и, следовательно, |е^(ж,т)| < л/\т\е ^ _|_ о(1)) при |т| —> оо.

С другой стороны:

сс2

сііілол/т(х - £)а(£)еі(£, т)с^

72

х

1 -

сс2

= V те

^ (1 + о(1)), |г|

Таким образом при |т| —> оо справедливо равенство (16).

4. Второе частное решение

Рассмотрим интегральное уравнение

Є2

(Х,Т) = е~^х - I Ж)а(Є)в2(Є,г)^,

Ж

у/2

Кроме того, будем считать, что при

где № = ^|(! + г), же [0,1], т Є Ы,

х Є [1,^2] а(х) = а(1), т.е. а(х) непрерывна на отрезке [0, л/Щ. Тогда для всех ж Є [0, л/Щ будет по-прежнему справедлива оценка |а(ж)| < с.

Снова нетрудно убедиться, что если уравнение (19) имеет решение, то оно также будет являться решением уравнения (9).

Теорема 2. Существуют числа то > 0, С3 > 0, С4 > 0, такие, что для всех |т| > То выполняется двусторонняя оценка

СдЄ л/2 < |е2(ж, т)| < С4Є "\/2

Кроме того, при |т| > То, |т| —> оо справедливо равенство

х

\е2(х>Т)\ = Л/Йе ^ (1 + °(1))' Доказательство. Аналогично теореме 1.

о

о

5. Следствия

Далее будем принимать за то > 0 то значение |т|, начиная с которого выполняются оценки из обеих теорем.

Следствие 1. При С2 ф 2,С4 ф 2 и |г| > Го найдутся постоянные с^,,с^,с^,с^ такие, что справедливы двусторонние оценки

х VI—[ х VI—[

сьл/\г\еЛ^‘ ^ \е'і{хіТ)\ — Сб^вУ2 ;

х г\—I х А—I

С7л/\т\е 72 < | Є2 (ж, т)| < С8 Vм"e ^

Следствие 2. При |т| > то и с±с7 ф С4С6 функции е±(х,т) и е2(ж, г) линейно независимы, а значит образуют фундаментальную систему решений уравнения (9).

Заметим, что выполнения условия С1С7 = С4С6 всегда можно добиться в силу произвольности выбора констант ^1 и ^2 в теоремах 1 и 2.

Следствие 3. При |т| > То и С1С3 ф С2С4 справедлива оценка

с9е

1 — 2жо ^2~*

Ег

Е{т)

< сюе

1 — 2жо

72

Доказательство. Из равенств для -Е].(т) и -Е(т), используя известные неравенства для модуля суммы и разности, находим:

Еі{т)

Е{т)

Используя результаты теорем 1 и 2, сосчитаем отдельно верхнюю и нижнюю оценки:

1~х0 /гг / т

72

2ж0 — 2 Г— \ т

72

с4

ХО Л—

е>/ї

1 - Х0 Г—

||еі(1,т)||е2(жо,т)| - |еі(жо,г)||е2(1,г)|| > _________________

еТ2

-Х(і\

СіС3Є

С1С3 - с2е

‘V І' І - С2С4

2ж0 — 2 /-

С4

С2С4Є

-л/2х-0-\/Й

+ С2С4

Таким образом, поскольку |т| > то > 0, то справедлива оценка

1 — 2жо

С9Є

|С1С3-С2С4| 2с2с4

где С9 = ----^--------, С10 =

Еі

Е

< с10е

1 — 2хо

2С2С4

|с2с4 - СіСзІ '

Следствие 4. При |т| > То и с\с%ф с2с^ справедлива оценка

1 “ х0 ЛГТ 1 - ж0

V2 V'T'< <Сше v'S

с9е

Е

Доказательство. Аналогично предыдущему следствию.

6. Метод проекционной регуляризации

В силу изометричиости рассматриваемого преобразования Фурье и в силу (7) получаем,

что

-fsh2<S, \\9o-9s\\l2<S.

^ Е\(т) ^ Е2(т)^

Обозначим иг(т) = . . /(т) и и2(т) = . . ff(r), тогда задача (12) примет вид:

£

u(l,r) = и(т) = Ui(t) + и2(т).

При |г| < То получаем, что Цй^т) — йо(т)|| < сц + с\2, где сц = max

те[-то,то]

I Е2 (т ) 2

Ei{t)

Е

Е

с12 = max

те [-то,то]

При |т| > То запишем задачи для функций и\ и и2 в операторной форме:

AiUi

£а

где ^1,^2 : Н ^ Н.

Следствие 5. Операторы А^1 и А^1, определяемые формулами (25), неограничены.

Пусть -uio(r),u2q(t) £ И/21(—оо,+оо) - точные решения задач (25), соответствующие правым частям /о(т) и 'goir) соответственно. Тогда, в силу принадлежности точного решения uo{l,t) классу корректности (6) и соотношения (8), найдутся постоянные г±,г2 > 0 такие,

__ +оо

Определим uio(t) = у — J uw(t)e~%Ttdt. Тогда = гтию(т).

Значит, для точных решений «ю и u2q справедливы неравенства:

Из следствий 3 и 4 вытекает инъективность операторов А±, А*, А2 и А%, поэтому в силу леммы 6, сформулированной в работе [5], существуют изометрические операторы Qi,Q2 ' Н —> Н такие, что AiUi(t) = QiC\ui(t) и A2u2(t) = Q2C2u2(t), где

C'iui(r) =

Е

Ei

ui(r), С2и2(т) =

Е

Е2

и2(т),

то есть операторы С1 и С2 положительно определены и самосопряжены. Таким образом, уравнения (25) могут быть приведены к виду

Сги^т) = /й(т), С2и2(т) = дё(т),

2

в котором /^(т) = <7,5(т) = <52§й(г)5 а <5* и (^2 ^ операторы, сопряженные соответ-

„ Е{т) |Дх(т)| „ Д(т) \Е2{т)\

ственно С = —-- и д2 = -ТГТТ I 7Т-/ м •

Ях(т) |Я(т)| Е2\Т) \Е(т)\

Из (26) и (27) следует, что, при /0(т) = <5|/Ь(г)_и <70(г)_= Ф^оО") уравнения (28) имеют точные решения йю(г) 6 -Вб'п и и2о(т) £ ВвГ2, где 5Г1 = {и : и £ Я, ЦгГЦ < гх}, 5Г2 = {«: V £ Н, Ц^Ц < т2}, |т| > г0, а

Ву(т) =

V1 + №

ъ(т), |т| > го, Цт) £ Н.

Из формул (27) - (29) следует, что В = Сх(Сх) ж В = С2(С2), где функции Сх(сг) и С2(а) являются строго возрастающими, непрерывными, удовлетворяющими условиям ^1(0) = О и С2(0) = 0 (см. [5]).

Используя следствия 3, 4 и формулы (27), (29), нетрудно показать, что имеют место эквивалентности:

ам ~ (Г,,

Используя метод проекционной регуляризации, предложенный в [5], регуляризуем исходные данные задач (28) (/^(т),^) и (д$(т),5), то есть определим функции /$[т, йх(^)] и 'д^[т, а2(5)\ следующим образом:

где ах

при условии ||(Тг|| > 35 определим <7,5[т,(

где

- при условии ||/Л > 35 определим /й[т, 2х(5)] = < ПРИ 1Т1 —

— 0:1(5) +00

удовлетворяет уравнению невязки J \/$(т)2йт + ^ /$(т)\2с1т=952.

-оо Й1

- при условии \\fsW < 35 определим /$[т,а1(5)] = 0.

д&

— «2 (<5) +оо

удовлетворяет уравнению невязки J \д$(т)2(1т + J 'д$(т)\2с1т =952.

~00 а 2

= 0.

- при условии ||<7,51| < 35 определим 7)$[т, а2 При выполнении этих условий функции /^[г, ах(5)] и ^5 [г,

о)\ определяются однозначно даже в случае неединственности решения уравнений невязки.

Согласно методу проекционной регуляризации операторы и С^1, определенные

формулами (27), применительно к функциям /$[т, 2х(^)] и £ЫТ> (<5)] уже являются ограниченными, а потому приближенные решения ищ(т) и и2$(т) уравнений (28) можно находить по формулам:

ии

В силу оценки из работы [5] и доказанных выше эквивалентностей (30), найдутся постоянные с\з и с\4 такие, что при т > То справедливы оценки

-2

— и2о\\ < СХ4 1п

-2

1

1

1

Постоянные С\3 И С]_4 определяются оценкой из работы [5] и соотношениями (30) следу-

ющим образом: С13 = 12Ь±

(1-2 х0у 2

= 6Ьі(1 — 2жо)2, сі4 = 12Ь2

(1 -хоУ

= 6Ь2(1 - ж0)2 где

1 Г\

Находим || ІЗ || = —/ о , тогда выбираем Ьі >

угт

> 1 И Ь2 >

УГТ

> 1.

Из теоремы, сформулированной в работе [5] следует, что оценки (31) являются оптимальными по порядку на классах ВвГ1 и ВЗГ2 соответственно, а соответствующие методы проекционной регуляризации оптимальны по порядку на этих классах решений.

Очевидно, что при |т| > То справедлива оптимальная по порядку на классе Ввг оценка

- йо|| < (сіз + С14)1п

-2

При г £ й получаем, что \\и$ — г?о112 <

+ С12) + (сіз + С\У) 1п

2 1т,—4

Чтобы окончательно получить приближенное решение щ{У) исходной задачи (1)—(4),

__ +00

применим обратное к Р преобразование Р~г[и(т)] = у — ^ и(т)егтЬ(1т, { £ йи получим

щ{€) = Яе{р-1[щ( г)]}. Поскольку преобразование Р изометрично, то для приближенного решения и$(1) для любого £ £ II справедлива оценка:

2п„-4

-и0|| < 5 (сп + с12) + (сіз + сы) 1п

Далее остается отбросить все значения при і < 0. Таким образом, справедлива

Теорема 3. Метод проекционной регуляризации для решения граничной обратной задачи (1) - (4) оптимален по порядку на классе ВБГ.

2

2

2

о

о

о

1

1

7. Выводы

Полученная оценка погрешности построенного приближенного решения напрямую зависит от точки жо, в которой производится промежуточный замер температуры. С практической точки зрения это вполне объяснимо, ибо чем дальше от расчетной области производится промежуточный замер, тем менее точные результаты восстановления искомого температурного поля следует ожидать.

Также отметим, что реализация на практике описанного алгоритма может быть затруднительной, так как при численном моделировании необходимо решать интегральные уравнения (14) и (19) при всех значениях параметров, что может наложить дополнительные погрешности. Основная ценность полученной теоретической оценки состоит в том, что про нее известна оптимальность по порядку, потому, сравнивая с ней оценки других, более легко реализуемых численных методов (например, метода квазиобращения, рассмотренного в [6]), можно будет делать выводы об оптимальности по порядку именно их и реализовывать конкретно эти методы.

Работа проводилась при финансовой поддержке гранта р_урал_а (проект № 10-0196000).

Литература

1. Панкратов, Б.М. Взаимодействие материалов с высокотемпературными газовыми потоками/ Б.М. Панкратов, Ю.В. Полежаев, А.К. Рудько. - М.: Машиностроение, 1976.

2. Полежаев, Ю.В. Тепловая защита/ Ю.В. Полежаев, Ф.Б. Юревич. - М.: Энергия, 1976.

3. Танана, В.П. Об оценке погрешности метода решения одной обратной задачи для параболического уравнения/ В.П. Танана // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб.

4. Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Кол-

5. Танана, В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач/ В.П. Танана // Сиб. журнал вычисл. матем. — 2004. — Т. 7,

6. Кутузов, А.С. Оценка приближенного решения одной двумерной граничной обратной задачи тепловой диагностики методом квазиобращения/ А.С. Кутузов // Вестн. ЮУрГУ. Серия «Математика, физика, химия». - 2009. - Вып. 12, № 10. - С. 14 - 21.

Кутузов Антон Сергеевич, преподаватель, кафедра «Математика и информатика», Троицкий филиал Челябинского государственного университета, thething84@mail.ru.

Поступила в редакцию 16 марта 2011 г.