Об определении координат геодезических пунктов линейными засечками

УДК 528.48

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КООРДИНАТ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПУНКТОВ ЛИНЕЙНЫМИ ЗАСЕЧКАМИ

Соколов Юрий Григорьевич к.т.н., профессор

Пшидаток Саида Казбековна ассистент

Кубанский государственный аграрный университет, Краснодар, Россия

В данной работе рассматривается вопрос определения координат геодезических пунктов для сгущения плановых сетей, привязочных и других работ, путем выполнения только линейных измерений. Предложен способ определения координат двух пунктов с помощью линейных засечек. Приведены математическая обработка полученных результатов и числовой пример ее реализации.

Ключевые слова: ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТЫ, ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПУНКТЫ, ЛИНЕЙНЫЕ ЗАСЕЧКИ.

UDC 528.48

ABOUT DETERMINATION OF COORDINATES OF GEODETIC AREAS BY LINEAR SERIFS

Sokolov Yury Grigorievich Cand. Tech.Sci., professor

Pshidatok Saida Kasbekovna lecturer

Kuban State Agrarian University, Krasnodar, Russia

Problem of geodetic area coordinate determination for concentration of planned nets, binding and other works, by means of execution only linear serifs is considered in the given work. Way of determination of coordinates of two areas with the help of linear serifs was offered. Mathematical processing of received results and numeric example of its realization were casted.

Key words: DETERMINATION OF COORDINATES, GEODETIC AREAS, LINEAR SERIFS.

Для определения координат точек, которые могут быть использованы в дальнейшем как пункты съемочного обоснования или как пункты, координаты которых необходимы для решения каких-либо других задач, существует много различных способов, часть из них может быть использована и в случае привязки ходов к пунктам геодезической основы. Практически все эти способы основываются на угловых измерениях. В настоящее время в связи с широким внедрением в производство светодальномерной техники появилась возможность оперативно и качественно, взамен угловых, производить линейные измерения, на которые, как известно, внешние условия, центрировка и редукция оказывают значительно меньшее влияние, чем на угловые.

В работе предлагается способ определения координат двух пунктов двумя линейными засечками.

В

С

Рисунок 1. К определению координат линейными засечками

На рисунке 1 изображены точки: А, В, С, Д с известными координатами. От этих точек выполнены равноточные линейные измерения сторон Бп, Б21, Б12, Б22. Кроме того, измерена еще сторона Б между искомыми точками 1 и 2.

Решение поставленной задачи заключается в следующем:

Для линии Б можно записать:

где: Х1, Х2, У1 и У2 - вычисленные значения координат линейными засечками по формулам:

X2 = Xд + ц2 х (Xс - Xд) + И х (Ус - 7Д)] 72 = ¥д + д2 х (7с - ¥д ) - И х (Хс - Xд ) ]

где:

Чі

1 +

ҐБ л2

в

в

Ч2 =

1 +

2

Я,.

2

1

2

в

в

2

2

К =

Ч1;

И2

ґ я л2

5 22

ч 22;

£, - линейная невязка.

в

в

Дифференцируя (1) по всем измеренным сторонам, получим:

э/я = 1.УА ЭЯ Э511

Э/5

ЭX1

ЭЯ.

Э7_

Э511

ЭXl Э7

Cosa 5--------+ 5іпа 5

Э^ 2

Э/я = -^о 12

ЭЯ

ЭЯ 21 * ЭЯ 21

ЭX2 Э7

- 5іпа

12

ЭЯ

12

Яіпо,

_____2_

ЭЯ12

Э72

ЭЯ

где: а8 - дирекционный угол стороны Б.

Для нахождения частных производных в выражениях (5) продифференцируем формулы (2) и (3) по измеренным сторонам и после преобразований, согласно [1; 2; 3], получим:

ЭХ1 Біпа 21 и Э Сояа 21

Э ¡11 Біпу1 Э Б11 Біпу1

ЪХ 1 Біпа 11 ; ЭТ1 . Соя а 11 ;

ЭБ 21 іпу1 ЭБ 21 іпу1

2 21 Х Э Біпа 22 ЭТ — Соя а 22

<м Э іпу 2 Э Б12 іпу 2

ЭХ2 Біпа 12 ; ЭТ2 , Соя а 12 ;

2 2 Э іпу 2 ЭБ 22 іпу 2

где: 71 и 72 - углы засечек;

а - дирекционные углы сторон.

Подставляя (6) в (5), получим условное уравнение для избыточно измеренной стороны Б:

V Б^п

11 Біпу1 21 Біпу1 12 Біпу2 22 Біпу2 Б Б

Или, учитывая, что а21-а8=р1, аэ-а^Рг, а8-а22=Р2, а12-а8=р1, получим:

+ V + у ¡Ц?К + у + ,— 0

М1 0. ~'21 0. т М2 0. т у 22 0. ТКБТ./Б и 5 \и/

Бту1 Бту1 Бту 2 ¡ту 2

В уравнении (8) обозначим коэффициенты при неизвестных поправках через а1, а2, а3, и а4. Тогда запишем:

а1 ^1 + а2V21 + азVl2 + а4V22 + ^ + ҐБ — 0 ,

Для точки, например 1, весовые функции будут иметь вид:

Біпа 21 Біпа11

-------—V---------------11V

-• у 11 ~ у 21

Їх — Б.

Бту1

А = Соя а

^ — ^ ' 11

Біпу1

21 + СаШ11 у2l

Біпу1 Біпу1

Присоединяя к условному уравнению (9) выражения для весовых функции и решая совместно по способу наименьших квадратов, получим искомые поправки к длинам измеренных сторон:

КЦ [ ]Х ^1; У21 '

[аа]

^2 — — [ ] Х а4 ; ^ — "

[аа]

-А- Х а • V =__________/Б-

Г 12 Г 1

[аа] [аа]

А..

[аа]’

Х а3;

По известной формуле [4] найдем обратные веса искомых функции:

1 — [ А ] [а Х /х ]2. 1 — [ А А ] [а Х Л ]2.1

^ Ь/х/х] г і ; ^ му ¿у! г 1 ;1-

Рх [ Х а ] РТ [ Х а] ]

Тогда средняя квадратическая ошибка М положения искомой точки 1 будет:

м—N р~+Рг ’

Здесь т —

V - вычисленные поправки;

г - число условных уравнений. (В рассматриваемом случае г

=1).

г

Рассмотрим следующий пример (рис. 2).

В С

А Д

Рисунок 2. Схема расположения опорных и определяемых пунктов

Опорные пункты имеют следующие координаты:

ХА=0.000 м.; ХВ=1000.000 м.; ХС=1000.000 м.; ХД=0.000 м.; УА=0.000 м.; УВ=1000.000 м.; УС=2000.000 м.; УД=2000.000 м.;

Измеренные длины линий составили:

Б21 = 866.000 м.; Бп = 500,010 м.; 812 = 499.987 м.; Б22 = 866.050 м.; Б = 1239,340 м.;

Решение:

По формулам (2) и (3) определяют координаты искомых точек 1 и 2.

^ = 0.5 х [1+0.749956-0.25011] = 0.749973 Ь = ^0.749956-0.562495 = 0.4330087 http://ej.kubagro.ru/2007/08/pdf/05.pdf

Х1 = 1000.00 - 749.973 = 250.027

VI = 0.000+433.0087 = 433.009

q2 = 0.5 х [1+0.7500426-0.249987] = 0.7500278 h2 = ^0.7500426-0.5625417 = 0.4330137 Х2 = 0+750.028 = 750.028 У2 = 2000.000 - 433.014 = 1566.986

По полученным координатам точек 1 и 2 вычисляют линейную невязку по формуле

fs = 1239.340 - ^250000.800 + 1285905 - 1 = +0.023 м.

Далее по координатам вычисляют дирекционные углы сторон:

аs = 66.206°; а11 = 59.997°; а21 = 149.999°; а22 = 330.001°; а12 = 240.003°.

Используя (7) составляют условное уравнение для избыточного измеренной стороны S:

VII х 0.994 + У21 х 0.108 + У12 х 0.994 У22 х 0.108 + Vs + 0.023 = 0

и составляют по формулам (10) весовые функции:

& = 0.500 х у11 - 0.866 х у21 ^ = 0.866 х у11 - 0.500 х у21

Присоединяя к полученному условному уравнению выражения для весовых функции и решая их совместно по способу наименьших

квадратов по формулам (11) получаем поправки к длинам измеренных сторон.

[аа] = 0.9883 + 0.0117 + 0.9883 + 0.0117 + 1 = 3

Уп = -0.0076; У21 = -0.0008; У!2 = -0.0076; У22 = -0.0008; У8 = 0.0077;

По формулам (12) находят обратные веса, т и М:

1/Рх = 1 - 0,05 = 0,95; 1/Ру = 1 - 0,25 = 0,75;

т = ± 13,2 мм. ; М = ± 17 мм.

Наконец, дифференциальные поправки в вычисленные координаты точек можно найти, согласно [5], по формулам:

„ _ У21 х Біпа11 - У11 х Бта21

оХ 1 —------------------------------

8іп

— У21 х Сояап - ¥11 х Сояа21 1 Бт

0Х — ^12 Х ^іпа22 - У22 х ¡іпа12

¡іп

072 — Уи х Соа22 - ^2 х СОЛа!2

¡іп

Подставляя в формулу (14) найденные значения, получим:

5Х1 = +6,2 мм. ; 5У1 = -4.3 мм. ; 6Х2 = -3.1 мм. ; 6У2 = -7 мм. ;

Таким образом, предлагаемый способ может быть с успехом использован на практике для решения рассматриваемых задач. Заметим

при этом, что взаимной видимости между исходными пунктами: А, В, С и Д не требуется.

Литература

1. Соколов Ю. Г. Способ создания геодезических сетей.

Патент РФ №2178869, 2002 г.

2. Соколов Ю. Г., Тимошенко Н. А. К вопросу уравнивания заполняющих геодезических сетей из четырехугольников с измеренными сторонами. Сборник «Геодезия и фотограмметрия», г. Ростов-на-Дону, 2001 г.

3. Соколов Ю. Г., Тимошенко Н. А., Данильченко П. М., К вопросу составления условных уравнений в геодезических сетях из треугольников с измеренными сторонами. Научный журнал КубГ АУ № 28(4), г. Краснодар, 2007 год.

4. Большаков В. Д., Левчук Г. П. «Справочник геодезиста, кн.2, Издание 3 переработанное и дополненное. М «Недра»,1985 год.

5. Соколов Ю. Г., Биматов И. Б. Упрощенный способ определения поправок в координаты при уравновешивании линейной триангуляции. Материалы научнотехнической конференции, ТИСИ, г. Томск, 1972 год.