Динамическая реакция на ортотропную цилиндрическую оболочку находящейся в вязкоупругой среде

ДИНАМИЧЕСКАЯ РЕАКЦИЯ НА ОРТОТРОПНУЮ ЦИЛИНДРИЧЕСКУЮ ОБОЛОЧКУ НАХОДЯЩЕЙСЯ В

ВЯЗКОУПРУГОЙ СРЕДЕ

Кулмуратов Н.Р. н[шш-тт-15т-3421], Исмоилова З.Т. [0009-0005-3757-1522]

Кульмуратов Н.Р. - PhD., доцент кафедры "Инженерная механика" Навоийского государственного горно-технологического университета, Исмоилова З.Т. - старщий преподователь кафедры "Высщая математика и ИТ" Навоийского государственного горно-технологического университета.

Аннотация. В этой работе рассматривается напряженно - деформированного состояния цилиндрического слоя и окружающей среды при воздействии продольных гармонических волн, динамическая реакция ортотропной цилиндрической оболочки (трубы) находящейся вязкоупругую среду, которая подвергается сейсмическому воздействию. Цилиндрическая оболочка бесконечно длинная, поэтому рассматривается задачи плоской деформируемой состояния. Предполагается, что оболочка совершенно связано с окружающей средой бесконечной протяженности. Исследовался только осесимметричный и не осесимметричные колебания при падающую волну сжатия (поперечную или сдвига). Результаты были получены для разных характеристик вязкоупругих сред - твердых, средних и мягких. Установлено, что параметры ортотропен не влияют на реакцию цилиндрическую оболочку.

Ключевые слова: волна, динамическая реакция, вязкоупругая среда, сейсмическая воздействия, оболочка.

Annotatsiya. Ushbu ishda silindrsimon qatlam va muhitning bo'ylama garmonik to'lqinlar ta'siri ostidagi seysmik ta'sirga ega bo'lgan qovushqoq-elastik muhitda joylashgan ortotropik silindrsimon qobiqning (quvurning) dinamik reaktsiyasi kuchlanish-deformatsiya holati o'rganiladi. Silindrsimon qobiq cheksiz uzun, shuning uchun tekislik deformatsiyalanuvchi holat masalalari ko'rib chiqiladi. Qobiq cheksiz darajada atrof-muhit bilan bog'langan deb taxmin qilinadi. Faqatgina tushayotgan siqilish to'lqini (ko'ndalang yoki kesish) paytida aksisimmetrik va no aksisimmetrik tebranishlari o'rganildi. Natijalar qovushqoq-elastik muhitning turli qattiq, o'rta va yumshoq xarakteristikalari uchun olingan. Ortotropik parametrlar silindrsimon qobiqning reaktsiyasiga ta'sir qilmasligi aniqlandi. Kalit so'zlar: to'lqin, dinamik javob, yopishqoq elastik muhit, seysmik ta'sir, qobiq.

Abstract. This work examines the stress-strain state of a cylindrical layer and the environment under the influence of longitudinal (or transverse) harmonic waves. Dynamic response of an orthotropic cylindrical shell located in a viscoelastic medium, which is subjected to seismic action. The cylindrical shell is infinitely long, so the problems of a plane deformable state are considered. It is assumed that the shell is completely connected with the environment of infinite extent. Only axisymmetric and non-axisymmetric vibrations during an incident compression wave (transverse or shear) were studied. The results were obtained for different characteristics of viscoelastic media - hard, medium and soft. It was found that the orthotropic parameters do not affect the reaction of the cylindrical shell. Key words: wave, dynamic response, viscoelastic medium, seismic impact, shell.

Введение

Воздействие волн на кусочно-однородное цилиндрическое тело с жидкостью находящегося в деформируемой среде, разрабатывается математическая постановка, методики решения и алгоритм исследования воздействий волн на кусочно-однородное тело с жидкостью. (рис.1).

En+i,vn+i,Pn+i

Рис.1. Расчетная схема

Интегро-дифференциальное уравнение движения при отсутствии массовых сил уравнение движения в смещениях имеет вид [1].

д2и.

(Xj + 2fij)graddivUj — firotrotUj + bj = Pj-rY,

где X) и ^^ (в индексе у = 1,2, у = 1- относятся к окружающей среде, у = 2- к слою) операторные модули упругости

Xjf(t) = Xoj

fijf(t) = ßoj

№ №

R(\t — T)f(T)dr R^)(t — T)f(T)dr

Материалы и методы

Для потенциалов скорости частиц жидкости, при давлениях до 100 МПа движения в жидкости удовлетворительно описывается волновыми [2].

Лф0= ^

Скорости жидкости и слоя на поверхности их контакта г = Ro должны быть равны

,

дф0\ _ диГ2\

где иг2 - перемещения слоя по нормали. На контакте двух тел г = R выполняется равенство смещений и напряжений

иг1 = иг2; аГг1 = агг2; ив\ = и92 ; = uz2 ; агв1 = ^02' агг1 = °Г22

В случае скользящего контакта грунта по поверхности трубы последнее уравнение в (4) примет вид [3]:

аГ01 = 0, аГ21 = 0, аГ02 = 0, а^ = 0.

Краевые условия свободно от нагрузки ставится в виде:

г = а ; агг = 0; агв = 0; аГ2 = 0,

где стгг-нормальныестг0 и аГ2- касательные напряжения.

Соответствующий напряжений и перемешенный, окружающие среди и цилиндрических труб в потенциалах перемещений имеет следующий вид [4,5]:

аrr = XV2ф + 2^ + ^) + е ££]

дф 1 дф е2х 1 дф дер 1 д/ иг = —- + - — + е ,и0 =- — - — + е--

дг г дв дгдв г дв дг г двд%

дф Г1 д , дуч , 1 д2г1 ,rs

= дфф — е[у гу^Ф + п;^

дг |_у ду дг г2 дв2] О-цх = Х72ф + 2ß

~ - 2172^. 9„ \1гд . 1д2ф . 1,1дф д2фл е ( д2у ,1д?Х_Х\.

д2ф д „ д3х

¿-d- е(тх72х—Ф

\1fJL-U 1ГГ2± + 1 (1дд±- д2ф \ , е(д2Х 1 д3у

Огв = ß

п(1д2ф 1 дф\ I 1 д2ф гд(1дф\\.2с(1 д3Х У Кгдвду г2 дв) (г2 дв2 дг\гдг)1 (г дгдвду);

дф , 1 д2ф , Гд3у д srj2 ч"Л

_ (2 д2ф _ д2ф Г2 д2у _1 д ( 2 .1]

Овх = ГГх+ е [7Шх? 7Te(V x)\j

V2f = 1Urdi\ + ±dlL + dH

' rdr\ drj г2дв2 дх2'

Далее применяя процедуру замораживания [6], заменим соотношения (2) приближенными вида

Хф = Х01[1 - ГлС

где

rc((oR)= I rx(t) cos MRTdT;rs((oR) = I R^(t) sinwRTdT, Jо Jo

rpc((^R)= I r^(t) cos MRTdT,ris((oR) = I r^(t) sinMRTdT,

оо

-соответственно косинус и синус образы Фурье ядра релаксации материала. Вектор перемешений среды представляем в виде потенциала

Й = grad фк + rotijjK, divrpK = 0,

В каждой точке компоненты вектора смещения поверхности цилиндрической полости выражаются через продольные (p) и поперечные потенциалы (фг,-фв,-фг), которые удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям в частных производных:

1 д2ф *2ф-цг. дф = 0'

=

2. фв 2 дфг 1 д2-фв = Фв ^ + ^ дв С2Г dt2 '

1 к

здесь с2 = (А01 + 2ц01)/р; с2 = ^01/р,

I У 2 дфв 1 д2-фг _

^ г2 г2 дв С22гк dt2 =

и = дФ | 1 дФ дфв _

r дг г дв дг

1 дф дфг дгр2

Ue г дв дг дг '

дф дгрв фв 1 дгрг

д д д в

р - ^ s

Гк = 1-Г- 1Г,Гс = Гс = Г,Г = Г = r,RA =R^=R.

Решение уравнения (7) ищется в виде:

p (r,e,z,t) = ^pn(ar){c-ssl^ene}

п=0

yr(r,e,z,t) = ^фпг(Рг){^ПсП5впв}е±1Урге-^-.

п=0

Шгл^^^вт^пПв}

±iypZр—шЬ.

,г,С) = ? ыиг){С05пв \е±1гр*е-^-.

тв)

п=0

ФЛг, в. г. О = Гп=0 Фт

где ш -комплексная частота; г = —, г = —. Подставляя (8) в (7), получим следующие обыкновенные

а0 а0

дифференциальные уравнения:

d2p1dp 2 |

йг2 г йг у г2) п

^ + =

й2-фвп 1йфвп 1 4 9

, 2 +---7— + — (-П2фвп + 2пфвп - фвп) + ГФвп = 0.

аг2 г аг г2 й2фгп 1 йфгп 1

~йгГ + йг + ^ (-П фгп + 2пфвп — фт) + Р2фт = 0.

Здесь обозначены:

9 П 9 9 9 9 Ша 9 2(1 —V) а =~2— Ур. р2 =п2/Гк—г2; П =-; -Гк;

у2 сБ 1 — ¿V

^ = {0^Р%а25Ы(ааГС19^' ^ = С05 (ааГС'а "Р.

при г ^ ю удовлетворят условию излучения Зоммерфельда [7,8]. Первые два уравнения в (7), имеют следующие решения для случая цилиндрической полости:

срп

Ф,п

Для решений уравнений в (7) целесообразно рассмотреть их сумму и разность. При этом получается два уравнения, решения которых выражаются через функции Ханкеля разного порядка

фт(г) = ВщНШ^рг) + В2пН{п}1(рг),

фвп (г) = ОщН^ (Рг) — В2пН%1 (Рг) .

Таким образом, компоненты вектора смещений в окрестности цилиндрической полости представляется в виде:

ur 2п=

dH^iar) tn dr

+ D2niYpH™iQir) + МщсН^т/г (™ппв) ei(-°'t+rpZ),

щ = £

uz = £

n=0

-FnnH?\ar)/r + D2niYpH^i(ßr) — M1 dHn

n=0

FniYpH'n1)l

D

dH.

dr

n+i(ßr) i п+1я(1) (йг.л

] (S Ш n в) gi(-a>t+ypz), J \cosnB'

с osnS

i cosnd \i V—s inn в'

Из уравнения (11) три произвольные постоянные Рп,02п,М1п и удовлетворяют движения. При агг = 0 и агв = агг = 0, дисперсионное уравнение имеет вид :

Здесь

Cii = (n2 — 1 — n2+Yp2)H^L)(a),

уравнению

Ci2 = (n2 — 1 — ß2)H(it)(ß), с 13 = 2(n2 — 1)[ßH^-^i(ß) — nH^m] — ß2H<n\ß),

C21 = aHnh(d) — (n + 1)H^)(a),

(i),

C22 = ßHn-i(ß) — (n+ 1)H^(ß),

i(i),

C23 = (2n2 +n — Yp2)H^L)(ß) — 2ßHni)i(ß),

c3i = aHnh(a) — nHn\a),

C32 = (1 — n2/2Y2)(H(nHi(ß) — nH^m,

C33=n2H(;i)(ß).

Заключения

сг>

Аргументами функций Ханкеля 1-го рода п-го порядка (9) являются многозначные функции а, р. Наиболее эффективным способом решения уравнения (12), является метод Мюллера, который и был здесь использован.

С коэффициентом демпфирования он связан следующей формулой:

5 = 2пП,/Пя.

Выражения для напряжений и смещений имеют вид:

(Ие + Ит()-ш(Де2 + 1т2 )1/2-

Поэтому на основе численных экспериментов установлено, что из 5-6 членов ряда точность достигла 10-8—10-6. В качестве ядра релаксации вязкоупругого материала примем трехпараметрическое ядро

=

Ржаницына - Колтунова, обладающей слабой сингулярностью, где А,а,р -параметры материалы.

Список использованные литературы

[1]. Amosov, A.A., & Sinisin, S.B. (2001). Osnoviteorii seysmostoykosti soorujeniy. (p.96). Izd-vo ASV.

[2]. Armanovich, I.G., Luns, G.L., & Elsgolid, L.E. (1968). Funksii kompleksnogo peremennogo. Operatsionnoe ischislenie. Teoriya ustoychivosti. (p.416). Izd-vo «Nauka», Glavnaya redaksiya fiziko-matematicheskoy literaturi.

[3]. Birbraer, A.N. (1998). Raschyot konstruksiy na seysmostoykost. (p.255). SPb.: Nauka.

[4]. Brychkov, Yu.A., & Prudnikov, A.P. (1977). Integralnie preobrazovaniya obobshennix funksiy. (p.288). Moscow: Glavnaya redaksiya fiziko-matematicheskoy literaturi izd-va «nauka».

[5]. Bulichev, N.S. (1994). Mexanika podzemnix soorujeniy. (p.382). Moscow: «nedra».

[6]. Jin, G.; Ma, X.; Wang, W.; Liu, Z. An energy-based formulation for vibro-acoustic analysis of submerged submarine hull structures. Ocean. Eng. 2018, 164, 402-413.

[7]. Qu, Y.; Hua, H.; Meng, G. Vibro-acoustic analysis of coupled spherical-cylindrical-spherical shells stiffened by ring and stringer reinforcements. J. Sound Vib. 2015, 355, 345-359.

[8]. Ismoil Safarov, Mukhsin Teshaev, Tulkin Ruziev, Matlab Ishmamatov, Nurillo Kulmuratov Proper normal waves in a two-layer tube taking into account the rheological properties of materials. E3S Web of Conferences 417, 06004 (2023) GEOTECH-2023 Publishing pp. 1-6.