Исследование влияния упругих деформаций на критическое поведение неупорядоченных систем, описываемых двумя параметрами порядка

Математические структуры и моделирование 2002, вып. 10, с. 116-123

УДК 536.763/764

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ УПРУГИХ ДЕФОРМАЦИЙ НА КРИТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ НЕУПОРЯДОЧЕННЫХ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ ДВУМЯ ПАРАМЕТРАМИ ПОРЯДКА

С.В. Белим

A field-theoretical description of the behavior of disordered, elastically isotropic, compressible systems characterized by two order parameters at the bicritical and tetracritical points is presented. The description is performed in the two-loop approximation in three dimensions with the use of the Pade-Borel summation technique. The renormalization group equations are analyzed, and the fixed points corresponding to different types of multicritical behavior are determined. It is shown that the effect of elastic deformations causes a change in the regime of the tetracritical behavior of disordered systems because of the interaction of the order parameters through the deformation field.

Как было показано в работе [4] упругие деформации за счет стрикционных эффектов приводят к появлению на фазовых диаграммах мультикритических точек, отсутствующих на фазовых диаграммах соответствующих несжимаемых веществ.

В работе [2] показано, что присутствие замороженных точечных дефектов структуры приводит к изменению режима поведения системы как в бикритической, так и в тетракритической области. В указанной работе показано, что влияние 4-кореллированных примесей существенно только для изинговских систем и приводит для них к развязыванию параметров порядка в мультикритических точках. В работе [3] показано, что упругие деформации приводят к перенормировке эффективных зарядов взаимодействия критических флуктуаций, приводящих к увеличению взаимодействия параметров порядка и смене типа мультикритического поведения. Поэтому большой интерес представляет исследование совместного влияния упругих деформаций и точечных дефектов структуры в мультикритической области.

Предметом данной статьи является исследование влияния стрикционных эффектов на однородные и неупорядоченные системы, фазовые диаграммы которых уже содержат мультикритические точки, носящие бикритический или тетракритический характер. В первом случае в мультикритической точке пересекаются две линии фазовых переходов второго рода и одна линия фазовых

© 2002 С.В. Белим

E-mail: belim@univer.omsk.su Омский государственный университет

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

117

переходов первого рода, во втором - четыре линии фазовых переходов второго рода. В непосредственной окрестности мультикритической точки система демонстрирует специфическое критическое поведение, характеризующееся конкуренцией типов упорядочения. При этом в бикритической точке происходит вытеснение одного критического параметра другим, тетракритическая же точка допускает существование смешанной фазы с сосуществующими типами упорядочения. Такие системы [2] могут быть описаны путем введения двух параметров порядка преобразующимся по различным неприводимым представлениям.

При структурных фазовых переходах с отсутствием пьезоэффекта в парафазе упругие деформации играют роль вторичного параметра порядка, флуктуации которого в большинстве случаев не являются критическими [4,5]. В связи с тем, что в критической области основной вклад в стрикционные эффекты дает зависимость обменного интеграла от расстояния, рассматриваются лишь упруго-изотропные системы.

Модельный гамильтониан системы имеет вид:

где Ф(х) и Ф(х) - флуктуирующие параметры порядка, u01 и u02 - положительные константы, т1 ~ |T — Tc1|/Tc1, т2 |T — Tc2|/TC2, Tci и Tc2 - температуры

фазового перехода для первого и второго параметра порядка соответственно,

3

у(х) = ^2 uaa(x), где uae - тензор деформаций, g1 и g2 - параметры квад-

а=1

ратичной стрикции, в - постоянная, характеризующая упругие свойства кристалла, D-размерность пространства. В данном гамильтониане уже проведено интегрирование по слагаемым, зависящим от нефлуктуирующих переменных, не взаимодействующих с параметром порядка, а также проведена репличная процедура усреднения по примесям. Свойства исходной системы могут быть получены в пределе m ^ 0. Неотицательные константы ф0, 620, 830 описывают взаимодействие критических флуктуаций через поле примесей. Взаимодействие примесей с упругими деформациями носит линейный характер и при усреднении по примесям приводит к переопределению констант ф0, 620, 830 [9].

Переходя в (1) к фурье-образам переменных получим гамильтониан системы в следущем виде

0

— 4з0$(х)2Ф(х)2 + +^1у(х)Ф(х)2 + #2у(х)Ф(х)2 + ву(х)2 ,

2

1

2

/

m

1

2

/

m

0

dD q(T1 + Ї2)5>ДУ +

dD q(T2 + Л^ФДУ+

118

С.В. Белим. Исследование влияния упругих деформаций...

/по

a,b=1

/ш

dD q,J2 (»ai»a2)(qs-,i-,2-,s)+

a,b=1

- r m

+ dDq,Y, wy^Vq^)-

* *J ~ u_1

a,b=1

5

-

502

/no

dD (гдатз*%і-,2-Ф)-

a= 1

5п

dD(*a1*a2)(as“-,1-,2-,s)-

^ a=1

/m

dD q.Yl (*Ї1 фу^ф-^^н

a=1

/m » m

dD^1^ ^2^q1-q2 + 92 dD0Vq1^2 ^2Ф

a=1 ^ a=1

-q1-q2

+

9°

,e°

n° Г Г

dDa*-q + Q У0 dDФД- + -в dD9yqy-q + -Qy§.

a=1 ^ a=1 ^

В (2) выделены слагаемые y°, описывающие однородные деформации. Как показано в работе [4], такое разделение необходимо, так как неоднородные деформации yq отвечают за обмен акустическими фононами и приводят к эффектам дальнодействия, которые отсутствуют при однородных деформациях.

Определим эффективный гамильтониан системы, завиеящий только от сильно флуктуирующих параметров порядка Ф и Ф, следующим образом:

exp{-H[Ф, Ф]} = B j exp{-H°[Ф, Ф,у])П dyq.

Если эксперимент осуществляется при постоянном объеме, то у° является константой, интегрирование в (5) проводится только по неоднородным деформациям и однородные деформации вклада в эффективный гамильтониан не вносят. При постоянном давлении в гамильтониан добавляется слагаемое PQ, объем представляется в терминах компонент тензора деформации в виде

Q — Q° [1 + uaa + uaauДО + O

a=1 а=в

и интегрирование в (5) осуществляется также и по однородным деформациям. Как отмечено в [6], учет в (4) квадратичных слагаемых может оказаться важным в случае высоких давлений и кристаллов с большими стрикционными

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

119

эффектами. В результате имеем

л n m Л Г m

H = - dD q(Ti + q2)^ +2 dD q(r2 + q2)^ +

J a= 1 ^ a= 1

+vr dDq<Y, (Фа^ХФ^і-^-У +

4!

+тт / dDg^2(ФаіФа2)(ф$зФ-,і-»2-»3)+

a,b= 1

4!

"4г/dD q^2 «^k^w*,) -

a,b=1 m

a,b= 1 m

г f J \

-fj dD q^2 -

a=1

m

Л C

-fj dD q^2 (a1^a2)(^a3-,1-,2-»3) -

a=1

/m

dD qiJ2 (*?1*?2)(a3-q1-q2-qa) +

a=1

2 2 r m

+Z1—W1 dDq,J2 +

- a,b=1

z2 - w2 (• m

+JL-WL dDq,Y,

^ a=1

+(Z1Z2 - w№) / dDq^ (ФЩ-ДДДДД,

a,b=1

v01 = «01 - 12ф, v02 = u02 - 12ф, v03 = «03 - 12Z1Z2,

_ g1 _ g2 _ g0 _ g°

Z1 ve’ Z2 ve’ W1 Vft ’ W2 Vft

m

m

m

Данный гамильтониан приводит к широкому разнообразию мультикритических точек. Как и для несжимаемых систем возможно тетракритическое (v3+ + 12(z1z2 - w1w2 - ф))2 < (v1 + 12(ф - u>2 - ф))ф2 + 12(z| - w| - ф)) и бикритическое (v3 + 12(z1 Z2 - W1W2 - ф))2 > (V1 + 12(z2 - w2 - ф))(і>2 + 12(z| - w| - ф)) поведение. Кроме того, стрикционные эффекты могут приводить к мультикритическим точкам более высокого порядка.

В рамках теоретико-полевого подхода [16] асимптотическое критическое поведение и структура фазовых диаграмм во флуктуационной области определяется ренорм - групповым уравнением Каллана-Симанчика для вершинных частей неприводимых функций Грина. Для вычисления в - и у-функций как функций входящих в уравнение Каллана-Симанчика перенормированных вершин взаимодействия u1, «2, «3, ф, ф, ф, g1, g2, g(0), g(0) или более удобных

120

С.В. Белим. Исследование влияния упругих деформаций...

для определения мультикритического поведения модели комплексных вершин zi, z2, wі, w2, vi, v2, v3, $1, S2, S3 был применен стандартный метод, основанный на диаграммной технике Фейнмана и процедуре перенормировки [17]. В результате, в рамках двухпетлевого приближения были получены следующие выражения для Д-функций:

Pvi = -vi + ^v2 + 1 v2 - 24vi$i - ^v3 - ++7viv2 - ^v3 + ТгViV3$3+ 6

16

¥

~ 2s 832 2_ r2 и 2г

+ — W + ~2f v^i--—vi$2 + -v2$i

5920

77 —ї

81

8

23

243'

2

27'

184

71

27

9

3

3

77

23

184

Pv2 = -v2 + -v^ + -vj - 24v2$i - — vj] - — v2v2 - — v3 + — v2v3$3 +

2

81

243

27

81

16

¥

832

~27

2

5920

27

+ — v3$3 + ДДД v2$2--------д;д- v2$2 + 77 v3$2,

9

1

1

ev3 = -v3 + -v3 + 77v i v3 + -v2v3 - 4v3Si - 4v3$2 - 16v3$3 -

3

2

2

41

243

v33-

23 2 23 2 1 2 1 2 472 2 8 2 8 2

------viv3------v,v3---viv4-----v2vo 4-----v3S3 +— v4oi +— v3S2—

162 i 3 162 23 3 i 3 3 2 3 81 3 3 3 3 32

368 2 368 2 92 92

- "27 v3$i - ~2n v3S2 + 27viv3Si + 27v2v3S2 + 8viv3S3+

+ 8v2v3$3 - 64v3$2 - 64v3Si$3 - 64v3$2S3,

„ r Лп2 r 1 r 3040 r3 2 2_ 8 r2 400 r2

Ды = -Si +16S2 - vi$i- 3v3$3- -77- s3 + 27v2s3- 3v3S2 - 77vis2+

23 2 5 2 184

+ 81 v‘Si + 243v=A - 8ГvAA

1

3040

400

Дй2 — -$2 + 16$2 - viS2 - — v3$3-----—— $3 + — v^ - — v3$2-------- v2S2 +

3~"~" 27

23 2r 5 2r 184 _ _

+ 81 v2$2 + 243v3$2 - Ж

27

27

1 1 1 1 64

$3 = -S3 + 8S3 + 77viS3 + 77v2S3 + 77v3Si + 77v3S2 + 4SiS3 + 4S2S3 —— S3 +

2 2 6 6 3

. . r2 23 2_ 23 2r 368 368 oor r2

+ 4viS3 + 4v2S3 + 162vlS3 + 162v2S3 + ^7S1S3 + 77S2S3 + 32SiS3 +

+ 32S2S3 + 27v3Si + 27v3S2 - 9v3S2 - 9v3S2 - +243v2S3-

40 --1

81

92

271

92 27 *

- — v3S3 - 777;v iSiS3 - 777;v2S2S3--------— v3SiS3-----— v3S2¥

Д

16

¥

16

¥

1 23

Д i = -zi + v izi + 2z3 - 16Sizi - 4S3z2 + 2z iz2 + 7Jv3z2 - v 2zi-

3 81

7 2 2 2 29 736 2 16 2 32 2 - 77777v3zi - 27v3z2 + —viziSi - — z iSi - — z і$3 - — z2S3 +

29

27*

243

512 512

+ 77 v3z iS3 + 77 v3z2S3

736

^7

16

¥

32

¥

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

121

1

23

Pz2 — — z2 + v2 z2 + 2z2 — 1662z2 — 463z1 + 2z2zl + Д v3Z1 — уГ v2Z2 —

3

81

7 2 2 2 29 r 736 r2 16 r2 32 r2

- 243 v3Z2 - 27V3Z1 + 27V2z2^2 - ^2 - ДZ2«3 - Jzi63 +

512 r 512

+ 77 v3z2 63 + ту W3,

ew1 — —w1 + v1w1 + 2z2w1 — 2w>3 — 1661w1 — 463w2 + 2w1 z2 + - v3w2-

3

23 2 7 2 2 2 29 736 2

— 81 v1W1 — 243 v3W1 — 27v3 W2 + 27 viwA — H Wl6‘—

16 2 32 2 512 512

— у w163 — у W263 + 77 v3w163 + 77 v3w263 j

Pw2 — — W2 + v2W2 + 2Z2W2 — 2w2 — 1662W2 — 463W1 + 2W2 Z2 + 1 v3W1 —

3

23

7

— ^v2W2 — ^v3W2 — v2w1 + 77v2w262 — w26

2

2

29

736

81

243

— f W2^2 — 32 W1^2

27 3 27

512 512

3 + v3W2d3 + дд- v3W2d3-

27

27

27

2

2

Известно, что ряды теории возмущений являются асимптотическими, а вершины взаимодействия флуктуаций параметров порядка во флуктуационной области достаточно велики, чтобы можно было непосредственно применять выражения (6). Поэтому с целью извлечения из полученных выражений нужной физической информации был применен обобщенный на многопараметрический случай метод Паде-Бореля. При этом прямое и обратное преобразования Бореля имеют вид

f ^1^2^3,61,62,63 ,Z1,Z2,W1,W2) —

Ci1...i1cvi1 v22 v33 Ф4 62 636 zi7 z*8 wi9 w210

E

ii,...,iio

CO

—t

e tF(v11, v2t, v3t, 6^, 62І, 63І, Z1t, Z2t, W^, W2t)dt,

F ^1^2^3,61,62,63 ,Z1,Z2,W1,W2)

СІі,...,І7

E

i1,...,i10

(i1 + ••• + *10)!

v1 v22 v33 614 62 636 z17 z28 w19 w210.

0

Для аналитического продолжения борелевского образа функции вводится ряд по вспомогательной переменной О

F(vbv2,v3, 61,62,63, Z1, Z2, W1, W2, О) —

O

— Е°k Е

k=0 І1, ,І10

ci1 ...І1О

k!

vi1 v22 v33 6i4 625 636 zi7 z28 wi9 w210 6

i1+...+l10,fc

к которому применяется аппроксимация Паде [L/M] в точке О — 1 . Данная методика была предложена и апробирована в работах [18] для описания критического поведения ряда систем, характеризующихся несколькими вершинами

122

С.В. Белим. Исследование влияния упругих деформаций...

взаимодействия флуктуаций параметра порядка. Выявленное в [18] свойство сохранения симметрии системы в процессе применения Паде-аппроксимант по переменной в становится существенным при описании многовершинных моделей.

В двухпетлевом приближении для вычисления в-функций был использован аппроксимант [2/1]. Природа критического поведения определяется существованием устойчивой фиксированной точки, удовлетворяющей системе уравнений:

О ( * * * Г* Г* Г* * * * *\ Г\

A(vi,v2,v3A AA,zi,z2,wi,w2) = О

Требование устойчивости фиксированной точки сводится к условию, чтобы собственные значения bi матрицы

B.

dpi

ij

dv3

/ __ * * * с* г* г* * * * *

(vi, vj = v i,v2 , v3,01, °2,0 3 , z i,z2 ,w l, ""

w2 )

лежали в правой комплексной полуплоскости.

Полученная система просуммированных в-функций содержит широкое разнообразие фиксированных точек, лежащих в физической области значений вершин с vi > 0.

Полный анализ фиксированных точек, соответствую-щих критическому поведению только одного параметра порядка, приведен в работе [9]. Рассмотрим совместное критическое поведение обоих параметров порядка:

1) Бикритическая фиксированная точка несжимаемых систем (v 1 = 0,934982; v2 = 0, 934982; v3 = 0, 934982; z 1 = 0; z2 = 0; w 1 = 0; w2 = 0) неустойчива отно-

сительно влияния однородных деформаций (b1 = 0, 090; b2 = 0, 523; b3 = 0, 667; b4 = -0, 521; b5 = -0, 002; b6 = -0, 521; b7 = -0, 002).

2) Стрикционные эффекты приводят к стабилизации тетракритической фик-

сированной точки сжимаемых систем (v = 0, 934982; v2 = 0, 934982; v3 = 0, 934982; z = 0; z2 = 0; w = 0; w2 = 0; b = 0, 090; b2 = 0, 523; b3 = 0, 667;

b4 = 2,144; b5 = 0, 267; b6 = 5, 223; b7 = 0, 882).

3) Тетракритическая фиксированная точка неупорядоченных несжимаемых систем (v 1 = v2 = 1,58892; v3 = 0; 01 = 02 = 0, 03448; 03 = 0; z 1 = 0; z2 = 0; w 1 = 0; w2 = 0) неустойчива относительно влияния однородных деформаций (b1 = b2 = 0, 461; b3 = 0, 036; b4 = b5 = 0, 461; b6 = 0, 036; b7 = b8 = b9 = b10 = -0, 236).

4) Стрикционные эффекты приводят к стабилизации тетракритической фиксированной точки сжимаемых неупорядоченных систем (v1 = v2 = 1,58892; v3 = 0; О1 = О2 = 0, 03448; О3 = 0; z1 = 0, 04599; z2 = 0, 568836; w1 = 0,017759; w2 = 0,551849; ф = b2 = 0,461; b3 = 0,036; b4 = b5 = 0,461; b6 = 0,036; b7 = 1,189; b8 = 0, 003; b9 = 5, 391; b7 = 0, 999).

Вопрос устойчивости о существовании других мультикритических точек не может быть разрешен в рамках описанной модели, в силу того, что вычисления приводят к вырожденной системе уравнений. Вырождение снимается при учете в гамильтониане слагаемых более высокого порядка по компонентам тензора деформаций и флуктуирущим параметрам порядка.

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

123

Таким образом стрикционное взаимодействие флуктуирующих параметров порядка с упругими деформациямия приводит, как и введение в систему замороженных точечных примесей, к смене бикритического поведения на тетракритическое. Упругие деформации приводят к смене режима тетракритического поведения для неупорядоченных систем, обусловленной взаимодействием параметров порядка путем обмена акустическими фононами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ларкин А.И., Пикин С.А. // ЖЭТФ. 1969. T.56. C.1664.

2. Прудников В.В., Прудников П.В., Федоренко А.А. // ФТТ. 2000. Т.42, Вып.1.

С.158.

3. Белим С.В. // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т.75, Вып.9. C.547.

4. Imry Y. // Phys. Rev. Lett. V. 1974. V.33, N.21. P.1304.

5. Bergman D.J., Halperin B.I. // Phys.Rev.B. 1976. V.13, N.4. P.2145.

6. Amit D. Field theory the renormalization group and critical phenomena. New York: McGraw-Hill, 1976.

7. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: Clarendon Press, 1989.

8. Варнашев К.Б., Соколов А.И. // ФТТ. 1996. Т.38. С.3665.

9. Белим С.В., Прудников В.В. // ФТТ. 2001. Т.45, Вып.7. С.1299.