О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2014. № 1 (34). С. 66—85

Механика деформируемого твёрдого тела

УДК 539.3

0 НЕЛИНЕЙНЫХ ТЕНЗОРАХ И ВЕКТОРАХ ЭКСТРАДЕФОРМАЦИИ В ТЕОРИИ

И МЕХАНИКЕ КОНТИНУУМА

В. А. Ковалев1, Ю. Н. Радаев2

1 Московский городской университет управления Правительства Москвы,

Россия, 107045, Москва, ул. Сретенка, 28.

2 Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН,

Россия, 119526, Москва, просп. Вернадского, 101, корп. 1.

Рассматривается теоретико-полевая модель нелинейного термоупругого континуума с «тонкой» (в частности, микрополярной) микроструктурой. Построение модели осуществляется в терминах 4-ковариантного полевого лагран-жева формализма. «Тонкая» микроструктура континуума задается микроструктурными d-векторами и d-тензорами произвольно высоких рангов. d-тензоры вводятся в теоретико-полевую схему как экстра-полевые переменные (d-переменные). Микроструктурные векторные и тензорные экстра-полевые переменные могут быть подчинены уравнениям связей (кинематическим ограничениям). Указывается «естественная» плотность вариационного интегрального функционала термоупругого действия и сформулирован соответствующий вариационный принцип наименьшего действия. При этом выполнен учет инерционности микроструктурной «составляющей» поля. Ковариантные уравнения термоупругого поля в континууме с микроструктурой получаются в канонической форме Эйлера-Лагранжа. Кинематические ограничения учтены с помощью правила множителей Лагранжа. Вариационные симметрии интегрального функционала термоупругого действия применяются для построения кова-риантных канонических тензоров термомеханики и 4-токов. Даны канонические формы дивергентных законов сохранения термоупругого поля в плоском 4-пространстве-времени. Рассматриваются вопросы, касающиеся инвариантности интегрального функционала действия относительно сдвигов эйлеровых полевых переменных, времени и температурного смещения, а также трехмерных вращений эйлеровой координатной системы. Исследуется проблема ротационной инвариантности «естественной» плотности микрополярного термоупругого действия. Получены функциональные условия ротационной инвариантности действия и плотности действия, независимые ротационно инвариантные аргументы и удовлетворяющая принципу объективности форма свободной энергии Гельмгольца. Указанная форма содержит явные вхождения ротационноинвариантных векторов и тензоров экстра-деформации.

Ключевые слова: термоупругость, микроструктура, поле, экстра-поле, действие, ковариантность, закон сохранения, d-тензор, 4-ток, тензор энергии-импульса, кинематическое ограничение, множитель Лагранжа, ротационная инвариантность, принцип объективности, тензор экстра-деформации.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1310 © 2014 Самарский государственный технический университет.

Образец цитирования: В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума” // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2014. № 1(34). С. 66-85. doi: 10.14498/vsgtu1310.

66

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

1. Вводные замечания. Поиск нелинейных представлений для лагранжианов, гамильтонианов, экстра-напряжений и экстра-деформаций, справедливых в самом общем случае конечных деформаций и поворотов, для континуумов с микроструктурой выступает в настоящее время как одна из важнейших задач теории и механики сплошных сред.

Последние годы отмечены весьма интенсивным развитием механики метаматериалов, обладающих весьма необычной микроструктурой и аномальным механическим поведением. Под микроструктурой континуума обычно понимается существование нескольких различных физических масштабов (структурных уровней), определяющих состояние континуума, их самосогласованное взаимодействие и возможность передачи энергии с одного структурного уровня на другой. Теория таких континуумов основывается на необходимости допустить существование дополнительных (экстра) степеней свободы и возможности исследовать физически бесконечно малый объем не как материальную точку, а как существенно более сложный объект с присущими ему дополнительными степенями свободы (ротационными, осцилляционны-ми), как своего рода микроконтинуум, обладающий возможностью дополнительной (экстра) микродеформации.

Вопросы, связанные с изучением континуума с микроструктурой, находятся в русле тех течений в механике деформируемого твердого тела, которые отдают приоритет структурному моделированию. При этом необходимо учитывать, что существенной особенностью современного состояния естественных наук является явно просматриваемая тенденция решения нелинейных проблем (в том числе и проблем механики деформируемого твердого тела) вне рамок имеющегося физически надежно обоснованного набора математических моделей. Конечной целью математического моделирования обычно ставится формулировка замкнутых систем уравнений, без чего в принципе невозможны постановка и решение прикладных задач. Корректное построение новых математических моделей континуума, в свою очередь, должно опираться на проверенные временем принципы и методы. Не последняя роль здесь принадлежит методам теории поля. Часто эти методы выступают как единственный инструмент вывода физически приемлемых уравнений.

Целью настоящей работы является построение нелинейной теоретико-полевой модели термоупругого континуума с «тонкой» микроструктурой, представляемой конечным набором тензоров, ранг которых может быть сколь угодно высоким. Теоретико-полевые формулировки всегда подразумевают существенное и интенсивное использование понятий и формализма вариационного исчисления [1]. Наличие конечных геометрических ограничений (связей), накладываемых на микроструктурные параметры, предполагает формулировку проблемы как связанной задачи вариационного исчисления (calculus of variations with constraints). Такая постановка впервые была предложена Лагранжем. Ограничения при этом могут накладываться в форме конечных либо дифференциальных уравнений и неравенств. Решение подобного рода задач обычно выполняется с помощью правила множителей Лагранжа (см.,

Сведения об авторах: Владимир Александрович Ковалев (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. прикладной математики и аналитической поддержки принятия решений. Юрий Николаевич Радаев (д.ф.-м.н., проф.), ведущий научный сотрудник, лаб. моделирования в механике деформируемого твердого тела.

E-mail addresses: kovalev.kam@gmail.com

67

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

например, [2, с. 114-129]). Рассмотрение вариационных задач для интегрального функционала с ограничениями типа равенств и неравенств на уровне необходимых условий сводится к проблеме безусловного экстремума с помощью правила Лагранжа. Оказывается, что этот принцип распространяется на задачи весьма сложной природы.

2. Теоретико-полевой подход в механике континуума, вариационные симметрии действия и законы сохранения. Ключевое положение классической теории поля (см., например, монографии [3, 4]) заключается в том, что непрерывное физическое поле математически представляется некоторым интегральным функционалом I, который по историческим причинам называется действием (action):

I = с(АдаАлд«/, ...,xe)d4x.

Здесь характерная для теории поля символика, развитая в [3, 4], имеет следующий смысл: L — «естественная» плотность лагранжиана (плотность действия); А —упорядоченный массив физических полевых переменных; Xв (в = 1, 2, 3, 4) — четыре пространственно-временные координаты; d4X — «естественный» элемент объема четырехмерного пространства—времени. Заметим, что в традиционных текстах, посвященных классической теории поля, действие и функционал действия обычно обозначаются через S.

Символ d4X в (1) указывает на «естественный» пространственно-временной элемент объема и представляет собой обычное произведение дифференциалов пространственно-временных координат:

d4X = dX ldX 2dX 3dX4.

Через de в математическом оформлении действия, данном (1) и далее, обозначается оператор полного дифференцирования по пространственно-временной координате Xв; в соответствии с цепным правилом дифференциального исчисления находим

дв

дГ' + Е (д«1

«у 0

д

д(да1 да2...das А),

где символом д^хр' указывается оператор частного дифференцирования по явному вхождению переменной Xв.

Четвертую по счету координату в дальнейшем будем ассоциировать со временем, которое, возможно, будет трансформироваться с помощью размерной постоянной так, чтобы уравнять физические размерности всех четырех пространственно-временных координат. Полное дифференцирование по времени будет обозначаться как символом д4, так и традиционной точкой.

В теориях поля лагранжиан L всегда приходится рассматривать как функцию следующего набора переменных:

А, д«1 А, д«1 да2 А, ..., X1.

Обычно лагранжиан подбирают так, чтобы получить известные уравнения поля, или конструируют, обеспечивая заданную симметрию и выполнение

68

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

некоторых дополнительных требований, например, чтобы получались линейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Построение принципиально новых лагранжианов, описывающих нелинейные физические процессы, является, в известном смысле, достаточно сложным видом искусства.

Вариационное описание поля не может быть осуществлено без предварительного указания пространственно-временного многообразия с возможностью измерения в нем элементарных длин и объемов. Пространство—время обладает рядом фундаментальных особенностей: пространство и время однородны (отсутствуют привилегированные места в пространстве и избранные точки отсчета времени); пространство изотропно (нет избранных преимущественных направлений); четырехмерное пространство—время изотропно; пространство, возможно, обладает некоторыми скрытыми симметриями; направление хода времени не регламентировано. Перечисленные свойства пространства—времени могут быть сформулированы на языке групп преобразований пространственно-временных координат.

Преобразование пространственно-временных координат и физических полевых переменных

порождает, очевидно, преобразование всего комплекса переменных (2):

XY,y,0aiУ,daida2у, ... i

Чаще всего предполагается, что преобразования (3) образуют однопараметрическую группу преобразований (группу преобразований Ли).

Полные вариации полевых переменных и пространственно-временных координат, отвечающие их преобразованию в соответствии с (3), вычисляются согласно

Для теории поля числовая величина действия не столь важна, как его форма, задаваемая лагранжианом L, который определяется (помимо всего прочего) выбором тех или иных координатных систем в пространственновременном многообразии и математического представления полевых переменных. В новых переменных, вообще говоря, изменяется форма лагранжиана :

где L — «естественная» плотность лагранжиана, выраженная с помощью новых пространственно-временных координат X в и физических полей <pk. Однако величина действия должна оставаться неизменной (так называемая эквивалентность действия относительно группы преобразований (3)). Таким образом, функционалы

Xе = Xе

к

XY ,(fiS,dai tpS,dai да2 У, ....

D

69

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

3

c(A,da а Л daA ,...,xв )d4x

D

называются эквивалентными при их преобразовании группой (3) тогда и только тогда, когда выполняется равенство

3 = 3.

Математическое описание поля представляет собой вариационный принцип, который по соображениям исторического характера называется вариационным принципом Гамильтона—Остроградского (или принципом наименьшего действия). Действительное поле реализуется в пространстве—времени таким образом, что действие оказывается экстремальным, т.е. первая вариация действия обращается в нуль для всех допустимых вариаций физических полей !£>к при неварьируемых пространственно-временных координатах и четырехмерной области, выступающей в качестве носителя поля:

53 = 0.

В аналитической механике такому способу варьирования отвечают так называемые изохронные вариации.

Из принципа наименьшего действия получаются ковариантные дифференциальные уравнения поля в форме уравнений Эйлера—Лагранжа

Ek

где

Р (r) = д дL + д д dL_________

k дД в д

есть один из самых важных дифференциальных операторов математической физики — оператор Эйлера.

Действительные физические поля (при условии их гладкости) обязаны удовлетворять системе дифференциальных уравнений Эйлера—Лагранжа (4).

Структура дифференцирований в операторе Эйлера становится более понятной и обозримой, если ввести обозначения

д _ д

д<р1 о1, д

и записать его символически в форме

daia2...a

l

s

s

Ei = У.(-1Тда1 да 2 ... даs да1а2^.

s

s^0

Здесь в сумме при s = 0 подразумевается слагаемое д1, обозначающее частное

о

дифференцирование по полевой переменной .

Заметим, что принцип наименьшего действия ограничивает физически допустимые лагранжианы. Так, недопустимы лагранжианы, для которых соответствующие интегральные функционалы не имеют экстремалей ни при каких вещественных полевых переменных или для которых дифференциальные уравнения поля (4) противоречивы.

70

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

В современной научной литературе часто говорится об инвариантности уравнений Эйлера—Лагранжа. Однако это противоречит действительному положению дел. Математически строгое определение инвариантности системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно группы преобразований известно из группового анализа и означает сохранение формы уравнений при их преобразовании к новым переменным согласно

(3). Относительно произвольной однопараметрической геометрической группы преобразований (3) уравнения Эйлера—Лагранжа, вообще говоря, неинвариантны, но они ковариантны (при условии, что действие удовлетворяет принципу эквивалентности, гарантирующему при, возможно, изменяющейся «естественной» плотности лагранжиана постоянство величины действия относительно произвольных геометрических преобразований пространственновременных координат и полевых переменных), поскольку в новых переменных правило их составления остается прежним.

Исключительный интерес в теории вариационных симметрий представляют однопараметрические геометрические группы преобразований, которые при неизменности формы функционала действия сохраняют его величину при преобразовании координат и полей согласно (3) и соответствии пространственно-временных 4-областей интегрирования в переменных Xв и Xв. Указанные группы обычно называют геометрическими группами абсолютной инвариантности функционала действия, а также абсолютными геометрическими симметриями действия по Гамильтону (или просто вариационными симметриями действия). Инвариантность функционала действия (вариационная симметрия действия) относительно однопараметрической геометрической группы преобразований (3) порождает некоторый дивергентный закон сохранения. Общая теория законов сохранения для систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые получаются как уравнения Эйлера—Лагранжа некоторой вариационной задачи, следующих из существования геометрических вариационных симметрий действия, излагается, например, в [5, с. 377-386]. Дивергентный закон сохранения является обобщением известного из теории обыкновенных дифференциальных уравнений понятия первого интеграла и всегда имеет форму дивергентного дифференциального уравнения

de Je = 0,

где Je(i£k, da<£k, dYda<£k, ..., XД — 1-контравариантный пространственновременной 4-вектор, которое должно удовлетворяться для любого решения уравнений поля. Вектор Jв —дифференциальная функция, зависящая от градиентов полевых переменных, наивысший порядок которых на единицу меньшего порядка уравнений поля; этот вектор называется вектором тока (или 4-током).

Классический метод поиска законов сохранения с помощью вариационных симметрий действия кратко может быть описан следующим образом.

Критерий инвариантности интегрального функционала действия (1) относительно геометрической группы преобразований (3) имеет вид

5С + L

3(5X Y) dX y

0,

71

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

где вариация лагранжиана 5 L — линейная по е часть приращения

L(vk, oaA, &Y oaA, ...,хв) - c(A, oaA, д7 oaA, ...,xe).

Если лагранжиан зависит от градиентов поля порядка не выше первого, то вариация лагранжиана, очевидно, записывается в виде

f dL \ дL , k дL k

SL = Ш eJX Y + S^k W +

:m vk )

'expi dv>k"^ ' d(dpvk)'

Учитывая затем формулу для полной вариации первых градиентов поля

5(de vk) = дв (5vk) + (ду дв vk )<SXY, где вариации 5vk и 5vk связаны уравнением

5vk = ~^Vk + (ду vk )^XY,

получаем

или

5 L = (ду L)5XY +

oc_

дvk

5vk +

д L

д

дв

5L = ( ^4 - дв

д

д^

k

д (дв vk

k~)) 5vk + (д7 L)5XY + дв[

дL T k 5vk

д

В результате, когда вариационная симметрия действия известна и лагранжиан зависит от градиентов поля порядка не выше первого, уравнение (6) преобразуется к

Ej

Разделив затем левые и правые части (7) на параметр е и обозначая

Q

5vj

е

j

J в =Г + °L 5_vk

е д(двvk) е ,

приходим к равенству

Qj Ej

Таким образом, при выполнении уравнений поля (4) будет справедлив дивергентный закон сохранения (5).

3. Физическая полевая теория термоупругого континуума с «тонкой» микроструктурой. Одним из самых распространенных подходов к изучению деформации континуума является концепция сравнения пространственных положений составляющих его точек. В этом плане необходимы инструменты, позволяющие однозначно идентифицировать все точки, совокупность которых образует континуум. В качестве одного из способов индивидуализации,

72

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

широко используемых в механике деформируемого твердого тела, обычно выступают метки, частным вариантом которых являются лагранжевы координаты-метки. Однако в некоторых случаях механизм идентификации заранее может быть не вполне ясным, как это видно на примере перемещения тени, отбрасываемой некоторым движущимся от системы источников света телом.

В теориях континуума с микроструктурой (см., например, [6]) произвольная «конечная» деформация континуума, представляемая чисто геометрическим преобразованием

x = x

положения X отсчетной конфигурации в соответствующее актуальное место x пространства, сопровождается экстра-деформацией, проявляющейся в форме нарушений взаимной ориентации и метрических характеристик системы

трех некомпланарных d-векторов d (о = 1, 2, 3), связанных с микроэлемен-

а

том:

d = d

аа

Система трех пространственных полярных d-векторов, ассоциированных с каждой точкой континуума, задает микрополярную структуру континуума. Эта система в самом общем случае предполагается «мягкой».

Переменные X и x (и позиционные координаты Xa, xj) выступают как соответственно лагранжева (отсчетная, референциальная) и эйлерова (пространственная) переменные, если воспользоваться стандартной терминоло-гиней механики континуума [7, 8]. С этими переменными связаны метрики: отсчетная метрика 'gae и пространственная метрика gij. Конвективная (сопутствующая) метрика характеризуется метрическим тензором gaв и, в отличии от 'g„e и gij, определяется деформацией (8). Как ясно из предложенных обозначений, эйлеровы пространственные индексы всегда будут обозначаться латинскими буквами, греческие буквы всегда будут указывать на отсчетные или сопутствующие индексы.

Деформация и экстра-деформация в координатах Xа, xj имеют следующий вид:

xj = xj (X a,t), dj = dj (X a,t).

аа

Следуя известным схемам построения математических теорий континуумов, введем градиент «конечной» деформации (градиент места, position gradient) или «дисторсию» [2, 9]

daxj

и соответствующий якобиан J = det (daxj).

Конвективная метрика вычисляется с помощью градиента деформации согласно формуле

gag = gij

и в силу своего определения ротационно инвариантна при произвольных поворотах эйлеровой координатной системы.

73

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

Заметим, что лагранжевы переменные Xa (a = 1, 2, 3), дополненные четвертой временной координатой, выступают как пространственно-временные координаты. Эйлеровы переменные xj (j = 1, 2, 3) представляют собой физические поля. То же самое относится к «мягкой» системе d-векторов d (a =

a

= 1, 2, 3). Но они классифицируются нами как экстра-полевые (сверх переменных xj) переменные и вводятся в формализм теории поля с помощью

контравариантных пространственных компонент dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3).

a

Система трех d-векторов, ассоциированных с каждой точкой континуума, собственно и задает микроструктуру континуума. С теоретико-полевой точки зрения наличие микроструктуры приводит лишь к увеличению числа полевых переменных и, возможно, повышению максимального порядка дифференцирований в «естественной» плотности лагранжиана. «Тонкая» (fine) микроструктура континуума представляется экстра-полями контравариантных тензоров (d-тензоров) сколь угодно высоких рангов

d?lh'" (c = 1, 2, 3, ...).

c

Выбранная здесь схема описания микроструктуры и возможность ее математического представления d-тензорами произвольно высоких четных рангов (симметричными по всем индексам) подробно описана в работе [10].

Экстра-деформация, обусловленная наличием «тонкой» микроструктуры, математически описывается отображениями, подобными (9).

Поведение репера d (a = 1,2, 3) характеризуется как его возможной «чи-a

стой» деформацией (сдвигами трехгранника и удлинениями его ребер), так и поворотом. Ясно, что каждый элемент континуума с микроструктурой обладает большим числом степеней свободы, чем классический континуум. С дополнительными степенями свободы, которыми обладает микроэлемент, связаны, естественно, и дополнительные инерция, импульс, кинетическое и деформационное действие (кинетическая энергия и свободная энергия). Трансформация репера d (a = 1, 2, 3) может сводиться только к его «жестким» a

поворотам в пространстве; в этом случае [11] помимо трех трансляционных степеней свободы микроэлемент будет обладать лишь тремя дополнительными ротационными степенями свободы. Возможность исключительно «жесткой» трансформации указанного репера можно выразить уравнениями

gijdtd3 = 5

a b ab

где gij — компоненты эйлеровой пространственной метрики, § —символ Кро-

ab

некера, которые, очевидно, имеют смысл дополнительных кинематических

ограничений, накладываемых на экстра-полевые переменные d (a = 1, 2, 3).

a

В более широком смысле дополнительное кинематическое ограничение может накладываться на экстра-деформацию континуума с микроструктурой в форме конечного уравнения

F(djlh"\djlh"\ ...) = 0,

1 2

связывающего экстра-полевые переменные dj1j2''• (c = 1,2,3, ...).

c

74

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

В качестве основной термической полевой переменной примем температурное смещение d, которое определяется как первообразная по времени (при фиксированных лагранжевых переменных) от абсолютной температуры в. Именно такой подход характерен для теоретико-полевых формулировок термомеханики [12-15].

Перечислим далее все определяющие переменные термоупругого континуума с «тонкой» микроструктурой. Помимо переменных xj и d, к ним относятся:

- градиент деформации daxj (j, a = 1, 2, 3);

- d-векторы dj (я = 1,2,3; j = 1, 2,3) вместе с их референциальными

а

градиентами dadj (а = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; а = 1, 2, 3);

а

- d-тензоры dj1j2^ (c = 1, 2, 3, ...; ji, j2,    =1, 2, 3) и их референциаль-

c

ные градиенты dadnn'" (c = 1, 2, 3, ...; a = 1, 2, 3; ji, j2,    = 1, 2, 3);

c

- референциальный градиент температурного смещения dad (а = 1, 2, 3);

- скорость температурного смещения d4d.

В терминах отсчетных переменных Xa (а = 1, 2, 3), эйлеровых переменных xj (j = 1, 2, 3), экстра-полевых d-переменных и температурного смещения d «естественная» плотность действия (лагранжиан) в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии должна иметь форму

L = L

а c а c а c

Более специальная форма получается, если рассматривать плотность действия как разность плотности кинетической энергии и свободной энергии Гельмгольца:

L = о PRgkjx k xj + x Pr 9ij J dldj + - Pr ^ gjifci 9j2k2 ••• J dj1j2 dk1k2 -

2 2 a b 2 к c d

к

- ^(Xe, xj, dj, dj1j2•••, d, d, daxj, 0adj, 0adj1j2"\ dad).

а c а c

Здесь точкой обозначается частное дифференцирование по времени дл при постоянных лагранжевых координатах Xa; pr — референциальная плотность; ab cb

J, J—тензоры инерции микроэлемента.

к

Вариационный интеграл термоупругого действия в силу указанной формулой (11) плотности действия будет иметь следующий вид:

I

(а

xj, dj, dj1j2'• •, d, xj, dj, dj1j2 ,d, daxj, dadj, dad 1, 2, 3; c = 1, 2, 3, ...; a, в = 1, 2, 3; j, ji, j2, ••• =

j1j2 • • \da d)d4 X = 1, 2, 3).

Соответствующие вариационному интегралу (12) и принципу наименьшего действия связанные уравнения поля получаются в ковариантной форме и

75

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

распадаются на следующие четыре группы:

daSa - P3

d L

dxj

a a a

daM°j + Aj - d4 Qj

da-M°j1j2••• + A-jlj2' • •

0

c

dajR + S

dL

д$

(a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3),

(a = 1,2,3; a = 1,2,3; j = 1,2,3),

0 (c = 1, 2, 3, ...; a = 1, 2, 3;

ji,j2, ••• = 1, 2, 3),

(a = 1, 2, 3).

Лагранжев полевой формализм исключительно удобен тем, что определяющие уравнения континуума выступают просто как обозначения для полевых частных производных, которые вводятся для записи дифференциальных уравнений поля (13):

Pj д L a д L

дХj, Qj j, дdj

д a

СОе S j d(daxj) , Mj

a д L c

Aj = ddj: > Aj1 j2 • • • д

a dL д L

S = д$, jR = д (да$).

iJU2'

ОС

V1J2 •

dL С c a

д(dadj):

j1 j2

DC

c

dL

д (dadj1 j2' • •),

В приведенных выше определяющих уравнениях (14) приняты следующие обозначения: Pj —обобщенный импульс, соответствующий трансляцион-

ac

ным степеням свободы; Qj, Qjj• •—обобщенные экстраимпульсы, соответствующие дополнительным (в том числе ротационным) степеням свободы;

a c

Sj • — первый тензор напряжений Пиола—Кирхгофа; Mj, Mjj• • — «пер-

ac

вые» тензоры экстранапряжений; Aj, Aj1j2• • •— обобщенные силы—моменты,

сопряженные экстра-полевым переменным dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), dj1j2

ac

(c = 1, 2, 3, ...; ji, j2,    =1, 2, 3); s — плотность энтропии (в расчете на единицу объема в отсчетном состоянии); jR — референциальный вектор потока энтропии (в единицу времени через единицу площади в отсчетном состоянии).

Полевое уравнение в последней строке (13) выражает баланс энтропии. Если плотность действия не содержит явных вхождений температурного смещения, то производство энтропии будет равно нулю. Таким образом, уравнение транспорта тепла будет иметь гиперболический аналитический тип так же, как это имеет место в гиперболической термоупругости [4].

Рассмотрим важный и сравнительно простой случай, когда параметрами

микрострукутры являются только d-векторы dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), не

a

подчиняющиеся никаким дополнительным ограничениям. В этом случае си-

76

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

стема дифференциальных уравнений поля (13) будет иметь следующий вид:

da Sj• - Pj = -

а а

da+ Aj -

я -a ^ • dL

da ja +s = dL

d L

dxa

diQj

(a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3),

0 (a = 1,2,3; a = 1,2,3; j (a = 1,2,3).

1, 2, 3),

4. Плоское пространство—время. Законы сохранения. В дальнейшем будем считать пространство—время плоским. В этом случае выполняется условие трансляционной инвариантности действия. Поэтому можно ввести 4-ковари-антный тензор энергии—импульса и сформулировать с его помощью законы сохранения, соответствующие сдвигами всех четырех пространственновременных координат [4]. Следуя [4], определим компоненты канонического тензора энергии—импульса термоупругого поля (Л, ^ = 1, 2, 3, 4) в конти-

нууме с микроструктурой. Всего имеются следующие четыре группы соотношений:

TC = L5CX + SCt\dxxl) + MC{

a JLJ2 c

TC • = sc • xl + M C • dl + M a:;:. .d33' •

a JlJ2 c

(Л, ц- =1,2,3);

- jRЬ (Л = 4; ^ = 1, 2, 3);

. , , a . . c

T4x = -

(Л = 1, 2, 3; ^ = 4);

T44 = L - XlPi - dl Qi - d33 ^ ^ Q jij2 • • • - sb (Л = 4; ^ = 4).

a c

Приведенные выше компоненты тензора энергии—импульса термоупругого поля позволяют быстро найти полный гамильтониан поля H, вектор псевдоимпульса поля Px, вектор Умова—Пойнтинга Гс и тензор напряжений Эшелби PCx .

Так, компонента (19) тензора энергии—импульса представляет собой взятую с отрицательным знаком плотность гамильтониана:

H = XlPi + d Ql + d^2 Qj1j2• • • + Ьs - L.

ac

Компоненты (18) определяют ковариантный вектор псевдоимпульса поля согласно формуле

ac

Px = -(dxxl)Pl - (dxd')Qi - (dxd3132• •)Q,i,2-• • - s(dxb) (Л = 1, 2, 3).

ac

Из компонент (17) формируется контравариантный вектор Умова—Пойн-тинга:

ac

rC = SC • xl + M C • dl + M M

31 32

• • •d3132 • •- j&b

c

(» = 1, 2, 3).

77

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

Компоненты (16) тензора энергии—импульса, взятые с противоположным знаком, дают возможность вычислить тензор напряжений Эшелби:

-P;x = \dxxl)+MТ(dJ)+M j (dxdnn-)-jR(OxД) (Л, g = 1, 2, 3).

a c

4-ковариантный закон сохранения, соответствующий вариационным симметриям действия в форме трансляций пространственно-временных координат

=0 (Л, ^ = 1, 2, 3, 4),

естественным образом распадается на два симметричных канонических уравнения баланса энергии и псевдоимпульса термоупругого поля:

-HH + д;Г; = 0,

-Px + d;P;x = 0.

Теоретико-полевой подход (и лагранжев формализм) применим только к тем полям, в которых сохраняется постоянной полная энергия. Он не отражает того обстоятельства, что в реальном эволюционирующем поле полная энергия убывает, трансформруясь в другие виды энергии, например, в тепловую энергию, т.е. происходит рассеяние энергии, сопровождающееся возрастанием энтропии. Однако не стоит и сужать возможности такого подхода. Возможность освобождения (стока) энергии может быть учтена не столько в уравнениях поля, сколько сингулярностями поля.

5. Уравнения поля при наличии кинематических ограничений. Дополнительные связи между экстра-полевыми d-переменными могут учитываться с помощью правила множителей Лагранжа [1,2].

В том важном и сравнительно простом случае, когда параметрами мик-

рострукутры являются только d-векторы dj (a = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3), а кине-

a

матические связи задаются уравнениями (10), система дифференциальных уравнений поля (15) подлежит некоторой модификации, поскольку согласно правилу множителей лагранжиан L подлежит замене на новый лагранжиан L':

L^L' = L - -Л(дш1кdd - 5) (c, b = 1,2,3).

2 c b cb

cb

Здесь Л — множители Лагранжа, которые представляют собой функции пространственно-временных координат. Их можно считать симметричными при перестановке индексов:

bc cb

Л = Л (c, b = 1,2,3).

Вычислим прежде всего требуемые для модификации уравнений поля полевые производные.

Нас интересует производная лагранжиана L' по полевой переменной xj:

d L' = dL 1Л dgkl dk di

dxj dxj 2 Л dxj d d .

78

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

Полученное выражение преобразуем, принимая во внимание

dgki

dxj

— rkj gsi + rj gks,

cb

а также симметрию множителей А- В итоге приходим к следующему выражению:

д С

дх7

дС

дх7

cb

Wskj dk ds.

7 c b

Интерес представляет также производная лагранжиана С по экстраполевой переменной dj: а

д С

dd7

д С

dd7

хА (gki^j dl 5 + gkibj dk 5).

2'

b ас

c ab

cb

Привлекая затем соглашение о симметрии множителей А, получаем

д С

dd7

дС

Ш7

1 cb

T,A

2

b ac

c ab

и

д С дС ab

ш7 — W - Adj.

a a

В результате вместо (15) дифференциальные уравнения поля получаются в виде следующей системы уравнений:

где

д bc

даSa - р — - + Г^ Adsdk (а

7 дх7 7 b c

a

aa

дама7 + а7 - oq — 0 Я -а ^ • дС да + s — дС

(a

(а

a дС У. —----

А дdj

1, 2, 3; j,s,k — 1, 2, 3),

1, 2, 3; а — 1, 2, 3; j — 1, 2, 3), 1, 2, 3),

ab

А dj. ъ

Сворачивая левую и правую части последнего равенства с вектором d7,

a

на основании уравнений связей

gkidkdl - 5 — 0,

c b cb

откуда находим

aa

(A7 - Aj)d7

ab

А5.

ab

79

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

6. Ротационная инвариантность действия и плотности действия относительно поворотов эйлеровой координатной системы. «Естественная» плотность действия в форме (11) пока еще не позволяет вести речь о ее объективности в том смысле, что в разных эйлеровых координатных системах эта форма будет сохраняться. Ясно, что вывод объективных форм лагранжиана представляет собой первый и весьма важный шаг на пути построения объективных форм определяющих уравнений, первоначально задаваемых уравнениями (14). Ограничимся случаем, когда параметрами микроструктуры являются только d-векторы dj (я = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). При этом «естественная»

а

плотность действия микрополярного термоупругого континуума второго типа может быть представлена в виде следующей функции с явно перечисленными вхождениями определяющих переменных:

L = L

а а а

В теориях континуумов лагранжиан имеет несколько более специальную форму, чем (20), разности плотности кинетической энергии и свободной энергии Гельмгольца:

ab

L = - pRgkj Xк xj + - PRgij I dY - Ф(Хe, xj ,dj ,0,0, dax3, dad3, dad).

a b

Для изображения состояний и процессов в механике континуума используется трехмерное плоское пространство—время и независимое время. Поскольку выбор эйлеровых координат произволен и не должен никак сказываться на физических следствиях дифференциальных уравнений поля, действие и лагранжиан обязаны обладать определенными свойствами инвариантности по отношению к выбору эйлеровой координатной системы и начала отсчета времени, т.е. по отношению к так называемым «движениям» эйлерова пространства. Существуют два принципиально различных вида «движений»: трансляционные и спинорные. Первые определяются заданием векторов положений и описывают перемещения (трансляции) тел в эйлеровом пространстве. Спинорные «движения» определяются заданием тензорных функций времени, значениями которых являются собственно ортогональные тензоры размерности три (тензоры поворота).

Вводя в пространстве прямоугольные декартовы координаты xj, заметим, что одно из таких свойств инвариантности проявляется в форме трансляционной инвариантности интегрального функционала действия относительно произвольных сдвигов переменных xj и времени t. Другое, как хорошо известно, — в форме ротационной инвариантности относительно произвольных поворотов эйлеровой координатной системы xj.

Инвариантность действия относительно поворотов эйлерова координатного репера является проявлением изотропии эйлерова координатного пространства, т.е. отсутствия предпочтительных направлений в этом пространстве.

Инвариантность действия относительно преобразований лагранжевых переменных связана с симметрией физических свойств континуума. Так, трансляционная инвариантность действия относительно произвольных сдвигов координат Xa означает, что континуум однороден. Ротационная инвариантность относительно произвольных поворотов лагранжевой координатной системы указывает на изотропность континуума.

80

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

Таким образом, действие, в частности, должно быть инвариантно относительно преобразований сдвигов и поворотов координатной системы наблюдателя (принцип объективности) и сдвигов времени:

£ = Rjxj + Ci, d = Rj dj, t = t + C.

a J a

В приведенных выше формулах преобразования Ci, C есть произвольные постоянные; Rj —произвольная постоянная собственно ортогональная матрица.

Действие и плотность действия L инвариантны относительно преобразований (21) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

dL

dxk

0, d4explL = 0,

0,

где тензор Kj определяется согласно

K ij

dL dL

xi j + di

dxj a ddj

a

. dL . dL

+ x iTrj + di —j

dxj a ddj

a

+

dL

d

+

a

d L

d

и в (22) по индексам, заключенным в квадратные скобки, выполняется антисимметризация.

Заметим, что в силу (22) и в обозначениях (14) тензор Kj сводится к

Kij

aa

diAj + xiPj + diQj - (daxi)Saa aa

a

(dadi)M°j.

a

Ясно, что в том случае, когда плотность действия не зависит явно от директоров dj, их производных по времени dj и референциальных градиентов aa

dadj, последнее в группе условий (22) позволяет сразу же установить сим-a

метрию тензора напряжений Коши

Tk = -J-'

Инвариантность действия относительно трансляций эйлеровых координат, известная как принцип галилеевой инвариантности действия (принцип относительности Галилея), мы дополним требованием инвариантности действия относительно сдвигов температурного смещения (C1 — произвольная постоянная):

£ = Ф + С,

что обеспечивается выполнением следующего условия:

dC

дФ

0.

Поскольку кинетическая составляющая плотности действия инвариантна относительно преобразований

0 = Ф(Х в ,dj ,Ф ,да xj ,dadj ,даФ),

81

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

в свою очередь, обязана выдерживать преобразования вида (21), (23), т.е.

Ф(Хв, Rj dj, $, Rj daXj ,Rj dadd ДоД) = ф(Хв, dj, $, da Xj ,dadj ДаД.

Последнее обстоятельство означает, что свободная энергия Гельмгольца является некоторой функцией от переменных Xв, Д, даД, в запись которых не входят эйлеровы индексы, а также следующих инвариантных относительно вращений эйлеровой координатной системы аргументов:

дав = 9ij ДаХфД/ЗXj ),

Ra = gij (daXl)dj,

Tae = gij (daxi)(dedj).

a a

Каждая из величин, перечисленных в (24), действительно инвариантна относительно произвольных вращений эйлеровой координатной системы, поскольку по всем эйлеровым индексам производится сворачивание с помощью эйлеровых метрических коэффициентов gij.

Заметим, что в списке инвариантных аргументов (24) отсутствуют тензо-

ры

R =

ab

Ra -ab

Tae

ab

gij d dj,

ab

= gij (dadi)dj,

ab

= gij (dadi)(de dj). ab

Рациональной основой для этого выступает требование того, чтобы экстрадеформация континуума была невозможна, если отсутствует деформация (gad gag).

Заметим также, что кинематическое ограничение

R = 5

ab ab

устанавливает, что d-векторы составляют «жесткий» репер, поэтому экстрадеформация континуума сводится лишь к вращениям составляющих его элементов.

В итоге, считая, что континуум однороден, т. е.

dfpl£ = 0 (в = 1,2,3),

и, следовательно, все лагранжевы переменные Xв являются циклическими (игнорируемыми), получаем следующую удовлетворяющую принципу объективности ротационно-инвариантную форму свободной энергии Гельмгольца (a = 1, 2, 3; а, в = 1, 2, 3):

Ф = Ф^в, Ra, Tad ,$ До$).

aa

Мы неявно подразумеваем, что приведенная форма (25) должна зависеть также от отсчетной метрики 'gae и референциального положения d-векторов

sdj (a = 1,2,3).

a

82

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

В форме (25) ротационно-инвариантный аргумент gap без ограничения общности может быть заменен на

2(д“в gafi)•

Компоненты eag преобразуются по тензорному закону при заменах лагран-жевых координат. Тензор eag называется тензором деформации Грина. Использование тензора деформации Грина в качестве ротационно инвариантного аргумента лагранжиана исключительно удобно, т. к. он в силу своего определения учитывает только ту часть деформации континуума, которая наблюдается относительно некоторой фиксированной референциальной конфигурации.

По аналогичным соображениям вместо векторной меры экстра-деформации Ra следует использовать относительный вектор экстра-деформации а

Ya — Ra дав d •

а а а

Здесь векторы sdP указывают референциальное состояние системы d-векторов. а

Вектор Ya оказывается нулевым, только если каждый из d-векторов повора-а

чивается и удлиняется так, как это в точности предписывается деформацией континуума. Если последнее обстоятельство имеет место, то

d - (даХг)Да — 0;

аа

умножая обе части полученного равенства на компоненты дисторсии dpxj и сворачивая с gj, находим

Re - g^a'da — 0,

аа

т.е. относительный вектор экстра-деформации становится равным нулю:

Y в — 0.

а

Таким образом, окончательно ротационно инвариантная форма свободной энергии Гельмгольца получается в виде

Ф — ффав,Ya, Tав,$, да$) (а — 1,2,3; а, в — 1,2,3).

аа

Полученная форма указывает на явную зависимость свободной энергии Гельмгольца от одного скалярного аргумента $; четырех векторных аргументов da$, Ya (а — 1, 2, 3; а — 1, 2, 3) и четырех тензорных аргументов еав, Тав аа

(а — 1,2,3; а, в — 1,2,3).

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (проект № 13-01-00139 «Гиперболические тепловые волны в твердых телах с микроструктурой»).

This work is partially supported by RFBR, project no. 13-01-00139 “Hyperbolic Thermal Waves in Solid Bodies with Microstructure”.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ/ REFERENCES

1. Н. М. Гюнтер, Курс вариационного исчисления, Гостехтеоретиздат, 1941. 308 с. [N. M. Gunter, Kurs variatsionnogo ischisleniya [Course in the Calculus of Variations], Gostekhteoretizdat, 1941, 308 pp. (In Russian)]

83

В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев

2. В. Л. Бердичевский, Вариационные принципы механики сплошной среды, М.: Наука, 1983. 448 с.; V. Berdichevsky, Variational Principles of Continuum Mechanics, Interaction of Mechanics and Mathematics, Heidelberg, Dordrecht, London, New York, Springer, 2009. doi: 10.1007/978-3-540-88467-5 (Vol.I); doi: 10.1007/978-3-540-88469-9 (Vol.II).

3. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты, М.: Физматлит, 2009. 156 с. [V. A. Kovalev, Yu. N. Radayev, Elementy teorii polya: variatsionnyye simmetrii i geometricheskiye invarianty [Elements of the field theory: variational symmetries and geometric invariants], Moscow, Fizmatlit, 2009, 156 pp. (In Russian)]

4. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, Волновые задачи теории поля и термомеханика, Саратов: Сарат. ун-т, 2010. 328 с. [V. A. Kovalev, YU. N. Radayev, Volnovye zadachi teorii polya i termomekhanika [Wave problems of the field theory and thermomechanics], Saratov, Saratov Univ. Publ., 2010, 328 pp. (In Russian)]

5. Л. В. Овсянников, Групповой анализ дифференциальных уравнений, Наука: М., 1978. 400 с. [L. V. Ovsyannikov, Gruppovoy analiz differentsial’nykh uravneniy [Group analysis of differential equations], Moscow, Nauka, 1978, 400 pp. (In Russian)]

6. R. A. Toupin, “Theories of elasticity with couple-stress”, Arch. Rational Mech. Anal., 1964, vol. 17, no. 5, pp. 85-112. doi: 10.1007/BF00253050.

7. Л. И. Седов, Введение в механику сплошных сред, М.: Физматгиз, 1962. 284 с. [L. I. Sedov, Vvedeniye v mekhaniku sploshnykh sred [Introduction in continuum mechanics], Moscow, Fizmatgiz, 1962, 284 pp. (In Russian)]

8. А. А. Ильюшин, Механика сплошных сред, М.: Москов. ун-т, 1978. 287 с. [A. A. Ilyushin, Mekhanika sploshnykh sred [Continuum mechanics], Moscow, Moscow University Press, 1978, 287 pp. (In Russian)]

9. A. E. Green, J. E. Adkins, Large elastic deformations and, non-linear continuum mechanics, Oxford, Claredon Press, 1960, xiii+348 pp.; А. Грин, Дж. Адкинс, Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды, М.: Мир, 1965. 456 с.

10. Ю. Н. Радаев, Континуальные модели поврежденности твердых тел: Дис. ... доктора физ.-мат. наук, М.: Институт проблем механики РАН, 1999. 380 с. [Yu. N. Radayev, Kontinualnye modeli povrezhdennosti tverdykh tel [A continuum damage model of solid bodies], Dissertation of Doctor of Science (Phys. & Math.), Moscow, Institute for Problems in Mechanics of the Russian Academy of Sciences, 1999, 380 pp. (In Russian)]

11. E. Cosserat, F. Cosserat, Theorie des corps deformables, Paris, Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909, 226 pp.

12. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “Вывод тензоров энергии—импульса в теориях микрополярной гиперболической термоупругости” // Изв. РАН. Мех. тверд. тела, 2011. №5. С. 58-77; V. A. Kovalev, Yu. N. Radaev, “Derivation of energy-momentum tensors in theories of micropolar hyperbolic thermoelasticity”, Mechanics of Solids, 2011, vol. 46, no. 5, pp. 705-720. doi: 10.3103/S0025654411050062.

13. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “Теоретико-полевые формулировки и модели нелинейной гиперболической микрополярной термоупругости” / Сб. докладов XXXVI Дальневосточной математической школы-семинара им. акад. Е. В. Золотова (4-10 сентября 2012 г., Владивосток), Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2012. 137-142 с. [V. A. Kovalev, Yu. N. Radayev, “Covariant field formulations and models of non-linear hyperbolic micropolar thermoelasticity”, Sb. dokladov XXXVI Dal’nevostochnoy matematicheskoy shkoly-seminara im. akad. E. V. Zolotova [Proc. of XXXVI Far Eastern Math. School-Seminar of Academician E. V. Zolotov], Vladivostok, 2012, 137-142. pp. (In Russian)]

14. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “Точно сохраняющиеся инварианты связанного микрополярного термоупругого поля” // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2012. Т. 12, №4. С. 71-79. [V. A. Kovalev, Yu. N. Radayev, “On precisely conserved quantities of coupled micropolar thermoelastic field”, Izv. Saratov. Univ. Mat. Mekh. Inform., 2012, vol. 12, no. 4, pp. 71-79. (In Russian)].

15. В. А. Ковалев, Ю. Н. Радаев, “Ковариантная форма уравнений совместности на поверхностях сильного разрыва в микрополярном термоупругом континууме: гиперболи-

84

О нелинейных тензорах и векторах экстрадеформации в теории и механике континуума

ческая теория” / Труды XVI Межд. конф. Современные проблемы механики сплошной среды. Т. 2 (16-19 октября 2012 г., г. Ростов-на-Дону), Ростов-на-Дону: Южный федеральный ун-т, 2012. С. 99-103. [V. A. Kovalev, Yu. N. Radayev, “Covariant forms of jump equations on shock surfaces in micropolar thermoelastic continuum: a hyperbolic theory”, Trudy XVI Mezhd. konf. Sovremennyye problemy mekhaniki sploshnoy sredy [Proc. of XVI International Conference on Modern Problems of Continuum Mechanics]. V. 2, Rostov-on-Don, 2012, pp. 99-103. (In Russian)].

Поступила в редакцию 19/I/2014; в окончательном варианте — 21/II/2014; принята в печать — 25/II/2014.

MSC: 74A60, 74F05

ON NONLINEAR STRAIN VECTORS AND TENSORS IN CONTINUUM THEORIES OF MECHANICS

V. A. Kovalev1, Yu. N. Radayev2

1 Moscow City Government University of Management,

28, Sretenka st., Moscow, 107045, Russian Federation.

2 A. Ishlinsky Institite for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences,

101, pr. Vernadskogo, Moscow, 119526, Russian Federation.

A non-linear mathematical model of hyperbolic thermoelastic continuum with fine microstructure is proposed. The model is described in terms of 4-covariant field theoretical formalism. Fine microstructure is represented by d-tensors, playing role of extra field variables. A Lagrangian density for hyperbolic thermoelastic continuum with fine microstructure is given and the corresponding least action principle is formulated. 4-covariant field equations of hyperbolic thermoelasticity are obtained,. Constitutive equations of microstructural hyperbolic thermoelasticity are discussed. Virtual microstructural inertia is added to the considered action density. It is also concerned to the thermal inertia. Variational symmetries of the thermoelastic action are used to formulate covariant conservation laws in a plane space-time. For micropolar type-II thermoelastic Lagrangians following the usual procedure independent rotationally invariant functional arguments are obtained,. Objective forms of the Lagrangians satisfying the frame indifference principle are given. Those are derived by using extra strain vectors and tensors.

Keywords: thermoelasticity, microstructure, field, extra field, action, covariance, conservation law, d-tensor, 4-current, energy-momentum tensor, kinematic constraint, Lagrange multiplier, rotation, frame indifference principle, extrastrain tensor.

Received 19/I/2014;

received in revised form 21/II/2014;

accepted 25/II/2014.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (print); doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1310 © 2014 Samara State Technical University.

Citation: V. A. Kovalev, Yu. N. Radayev, “On Nonlinear Strain Vectors and Tensors in Continuum Theories of Mechanics”, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. & Math. Sci.], 2014, no. 1

Authors Details: Vladimir A. Kovalev (Dr. Phys. & Math. Sci.), Professor, Dept. of Applied Mathematics and Analytical Support of Making Decisions. Yuriy N. Radayev (Dr. Phys. & Math. Sci.), Leading Researcher, Lab. of Modeling in Solid Mechanics.

E-mail addresses: kovalev.kam@gmail.com

85