О физике на планковских расстояниях. Пространство и материя

Сер. 4. 2011. Вып. 3

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ФИЗИКА

УДК 530.1 Л. В. Прохоров

О ФИЗИКЕ НА ПЛАНКОВСКИХ РАССТОЯНИЯХ.

ПРОСТРАНСТВО И МАТЕРИЯ

Введение. Обращение к физике на планковских расстояниях (I ~ 1Р = 1,6-10~33 см) позволило построить модель, в которой квантовая механика (теория, базирующаяся на понятии амплитуды вероятности) проявляется в рамках классической механики [1, 2]. При этом автоматически появляются постоянная размерности действия (постоянная Планка Н), пространство Фока (для гармонического осциллятора) и уравнение Шрё-дингера. Более того, цепочка осцилляторов в непрерывном пределе моделирует одномерную релятивистскую квантовую теорию поля (КТП), а в случае, когда осцилляторы расположены на отрезке, — квантованную струну Намбу—Гото. Это подтверждает гипотезу Тоофта [3], что квантовое описание должно появляться в рамках классической теории на планковских расстояниях.

При данном подходе одновременно моделируется пространство — как одномерная цепочка осцилляторов, и материя — как возбуждения цепочки (2-мерное пространство-время). Неразрывная связь пространства и материи, присущая теории гравитации, является главной особенностью модели. Хотя моделирование квантового описания само по себе — немаловажное достижение, последнее обстоятельство позволяет надеяться на построение теории, в которой объединялись бы все взаимодействия, включая гравитационное.

Цель представляемой работы — показать, что для простейшего случая бозонных полей этот вопрос решается положительно уже в рамках существующих идей. Оказывается, что если 3-мерное пространство моделируется сетью, построенной из бозонных струн [4, 5], то определённые возбуждения сети описываются обобщённым лагранжианом Калуцы—Клейна—Манделя—Фока (ККМФ) [6-9] (в отличие от оригинального лагранжиана [6-9] полученный объединяет гравитационное поле и поля Янга—Миллса). Следует также иметь в виду, что в рамках развиваемого подхода естественным образом моделируется суперструна (как свёрнутая в спираль бозонная струна [4, 5]). Если моделировать пространство сетью из суперструн, то можно надеяться, что в теорию ККМФ будут включены и фермионы.

В основе модели лежит то обстоятельство, что струны и браны (многомерные обобщения мембраны) представляют упорядоченные совокупности релятивистских частиц,

© Л.В.Прохоров, 2011

лагранжианы которых зависят лишь от поперечных этим структурам скоростей. Именно это свойство не позволяет отождествить 3-мерное физическое пространство с 3-мерной браной: возбуждения последней исчерпываются скалярными полями. Отсюда непосредственно следует, что единственная приемлемая модель пространства — это 3-мерная сеть, построенная из струн. Действительно, с одной стороны, поперечные возбуждения струн содержат векторные с точки зрения 3-мерной сети компоненты, т. е. в крупномасштабном пределе возбуждения содержат векторные поля. С другой стороны, ячейки сети всегда содержат совокупности осцилляторов, образующие замкнутые струны. Как известно [10], среди возбуждений последних имеются «гравитоны» (безмассовые возбуждения со спином 2). Именно это обстоятельство позволяет сети претендовать на роль физического пространства. Возбуждения такой структуры (деформации сети) содержат как метрическое поле, так и векторные поля, а соответствующее действие совпадает с обобщённым действием ККМФ. Тем самым в модели естественным образом достигается объединение гравитационного поля и полей Янга—Миллса.

Браны как упорядоченные совокупности релятивистских частиц. Хорошее понимание структуры бран — необходимое условие для успешного моделирования физического пространства. При этом одновременно проясняется природа калибровочной инвариантности фундаментальных полей.

Релятивистская частица. Понятие релятивистской частицы лежит в основе теории бран, поэтому приведём необходимые для дальнейшего формулы. Лагранжиан релятивистской частицы массы т

Ь = —тл/1 — V2, V =

записывают в «релятивистски инвариантном виде», вводя инвариантный параметр т,

Ь = —тл/И?,

где Х = дх^/дт, ц = 0,1, 2, 3. Теперь действие

й' =

инвариантно относительно репараметризации т = т(Т) (калибровочная инвариантность), и в теории появляется связь (рм = дЬ/дхм = — пщ^х7/л/х^, р2 = л?2). Поскольку, как мы увидим, релятивистская частица является тем «кирпичиком», из которых построены струны и браны, данный пример проясняет природу калибровочной инвариантности полей.

Калибровочная инвариантность. В лагранжиане

совпадают. Таким образом, калибровочный произвол теорий проистекает из желания записать их в явно релятивистски инвариантном виде. Сказанное верно для пространства произвольной размерности Б > 1, ц = 0,1,...,Б — 1. Отметим, что не для всякого исходного лагранжиана это можно сделать.

Струна. Лагранжиан струны Намбу—Гото получается при переходе к непрерывному пределу в линейной совокупности релятивистских частиц, описываемых лагранжианом (1), с учётом дополнительного условия: допускаются лишь смещения, нормальные к струне, т. е. к линии размещения частиц [13]. Другими словами, в сумме лагранжианов (1) нужно сделать замену:

где о параметризует точки струны. В самом деле, действие для линейного множества релятивистских частиц одинаковой массы

где п — номер частицы (п = ..., —1, 0,1,...), А/ — расстояние между частицами, уп(г) = = йгп(1)/&, в непрерывном пределе при А/ ^ 0, т ^ 0, п ^ то, А1п ^ о, т/А1 ^ у, записывается в виде

и учитывая, что X2 = г2(1 — V2), XX' = г(г'(1 — V2) — (у, к)), X/2 = г/2(1 — V2) —

— 2(у, к)г' — к2, убеждаемся, что квадрат подынтегрального выражения в (8) равен —д, где д — определитель в лагранжиане Намбу—Гото:

т. е. в (8) есть действие Намбу—Гото.

Итак, струна Намбу—Гото получается при переходе к непрерывному пределу в линейном множестве релятивистских частиц. Примечательно, что условие нормальности колебаний (у ^ у^) эквивалентно введению осцилляторного взаимодействия между

п п

V

дг

т

Переходя в (5) к поперечным скоростям (4), имеем

Вводя Б-вектор X^(х, о) : (t(x, о), г(г(т, о), о)) = (X0, X), обнаруживаем, что

й'х = —у [ йхй(й|к| = —у ( к2(1 — V2) + (у, к)2], х = ы°, о = и1.

Обозначив

д

XX XX'

x/X x/x/

г2 [к2(1 — у2) + (у,к)2] ,

частицами (в калибровке XX' = 0, X2 + X/2 = 0 уравнение движения для X даётся

уравнением Даламбера [10, т. 1, с. 11]).

Браны. Оказывается, что процедура дискретизации струн (представления их совокупностью релятивистских частиц [13]), описанная выше, применима и к р-бранам, р > 1 [14]. Именно, если в р-мерном евклидовом пространстве, погружённом в Б-мерное псевдоевклидово пространство, взять кубическую решётку и поместить в её узлы релятивистские частицы, допустив только нормальные к р-мерному пространству движения частиц, то лагранжиан такой системы, определяемый как сумма лагранжианов свободных частиц, в непрерывном пределе превращается в лагранжиан р-браны. Выпишем основные формулы доказательства.

Координаты частицы в узле п браны (п = (п1,..., пр), щ = ..., —1, 0,1,..., г = = 1,...,р) задаются (Б — 1)-мерным вектором гп(г). Действие системы частиц равно сумме:

Обобщение соответствующих формул для струны не столь сложно. Определив А/* =

и введём инвариантный параметр т. Тогда гп ^ г(т, и) и гп(г) ^ г(г(т, и), и) образуют Б-вектор X^(т, и) с компонентами

Допустим для простоты, что вектор и задан в ортогональном базисе. Переходя к нормальным скоростям у(г, и) ^ (г, и) = V — ^ * (у, к*)к*/к2, (к*, ) = 0, где к* =

= дг/дщ, (к*, к,) = Ъ,, = V2 — ^*(у, к*)2/к2, приходим к выражению для действия

П1,...,Пр

|гщ ,...,щ,..,пр — Гщ,..,п—1,..,пр |, перейдём к непрерывному пределу А/*п* ^ щ, т/А/1...А1р ^ у, А/* ^ 0, т ^ 0, щ

X^(т, и) := (г(т, и), г(г(т, и), и)) = (X0(г(т, и)), Х(г(т, и), и)).

(здесь и0 = т). Из определения X^(т, и) следует: X = дX/дт = (г, у£), X,* = дX/дui = (г,*, уг,* + к*). Скалярные произведения этих векторов:

X2 = ь2(1 — V2),

x,iX,j = г,*г,, (1 — V2) — (у, к* )г, — (у, к, )г,* — (к*, к,-), XX,* = гг,*(1 — у2) — г(у, к*).

Убеждаемся, что общепринятое действие р-браны

идентично действию (10).

Приведённое доказательство легко обобщается на случай неортогонального базиса, когда (к*, к) = 0 при і = і, ибо с помощью стандартной процедуры можно перейти к ортогональному базису

Полученные результаты важны в нескольких отношениях.

Во-первых, проясняется физическое содержание р-браны как механической системы.

Во-вторых, в теории естественным образом появляется дискретность — непременный элемент физики на планковских расстояниях.

В-третьих, появляется возможность перейти к модели браны более сложной структуры. Очевидно, (5) есть риманова сумма. Из нее можно выбросить сколь угодно большое (конечное, если интервал интегрирования конечен) число слагаемых — предел не изменится, если максимальный интервал тахА/п ^ 0. Точно так же из многомерной суммы (10) можно выбросить конечное число слагаемых (если решётка занимает конечный объём). Это можно сделать, например, перейдя к более крупным ячейкам, т. е. поместив частицы в вершинах новых р-мерных кубов, выбросив множество внутренних точек кубов и устремив их размеры к нулю. Операцию устранения слагаемых можно усложнить, например, сохранив частицы на рёбрах кубов — при стремлении к нулю размеров последних предел не изменится. Но в допредельной, не идеализированной системе наличие частиц на рёбрах позволяет перейти к новой нетривиальной структуре. Так, если расстояние между частицами на рёбрах устремить к нулю, сохранив расстояние между вершинами кубов, то получится новая структура — р-мерная «бозонная сеть» (т. е. сеть, построенная из бозонных струн). В крупномасштабном пределе данная структура также моделируетр-брану, но спектр её возбуждений неизмеримо богаче. Возбуждения одномерных струнообразующих цепочек, ортогональные им, уже не ортогональны р-мерной гиперповерхности, образованной браной. Следовательно, в отличие от стандартной р-браны данная система содержит не только скалярные, но и векторные, и тензорные (с точки зрения р-пространства) возбуждения.

В-четвёртых, все обсуждаемые лагранжианы обладают двумя важными свойствами:

— «релятивистской инвариантностью» (с точки зрения псевдоевклидова Б-простра-нства) — в лагранжианы входят только скалярные произведения векторов X^,X,li;

— «калибровочной инвариантностью» — действия инвариантны относительно преобразований и* ^ щ(т', и'), г = 0,1, ...,р.

Эти два обстоятельства играют ключевую роль при построении действия для возбуждений многомерной сети.

Отметим в заключение, что аналогичные структуры можно построить из бран меньшей размерности, в частности, комбинируя струны и браны. Помещение бозе-струн в термостат ведет к появлению суперструн и амплитуд вероятности [4, 5].

Пространство и материя. Моделирование браны многомерной сетью бозонных струн позволяет построить модель мира, в котором помимо скалярных полей имеются гравитационное поле и поля Янга—Миллса. Важность такого рода построений в том, что тем самым проясняется физический смысл понятий пространства и гравитационного поля, а также смысл других полей, возбуждения которых отождествляются с материей. Здесь пространство — это некоторая структура в Б-мерном пространстве, описываемая лагранжианом, а возбуждения этой структуры — физические поля, включая

і<і

гравитационное. Тем самым гравитационное поле в значительной степени теряет свою исключительность и становится в ряд с другими полями. Снимается и вопрос о том, правомерно ли говорить об энергии гравитационного поля [15, 16]. Имеется механическая система, энергия любых возбуждений которой хорошо определена, поскольку сама система помещается в псевдоевклидовом пространстве.

Программа Калуцы—Клейна—Манделя—Фока. Прежде чем переходить к изучению модели, приведём необходимые для дальнейшего сведения о теории ККМФ [6-9]. В действии Б-мерной гравитации

Ко — скалярная кривизна Б-мерного пространства, а до = дрт. Метрический тензор

д^ берётся в виде

здесь ц, v = 0,1,...,D — 1, i,j = 0,1,...,p, a,b = p+1,. ..,D — 1. Если потребовать, чтобы метрический тензор g^v не зависел от координат xa дополнительного к физическому пространства размерности D — p — 1, а метрический тензор gab не зависел ещё и от координат xi физического пространства

g = det gi,, R — скалярная кривизна (p+1)-мерного физического пространства-времени,

в теории Янга—Миллса.

Итак, гравитационное действие (12) в Б-мерном псевдоевклидовом пространстве содержит как минимум теорию тяготения и теорию калибровочного векторного поля Аа в пространстве размерности р +1 < Б.

Проблема объединения взаимодействий. Необходимо отметить следующее:

1. По существу модель ККМФ даёт пример объединения гравитационного поля с полями Янга—Миллса.

2. Программа ККМФ указывает путь к объединению других полей материи с гравитационным полем.

3. Условия (15) требуют обоснования.

4. Общепринятый подход ККМФ сталкивается с серьёзной трудностью — проблемой компактификации дополнительного пространства (неизвестна природа феномена компактификации).

Тогда

dg^/dxa = 0, dgab/dx'1 = О,

то действие (12) записывается в виде [17]

где VD р 1 — объём (бесконечный) дополнительного к физическому пространства,

F2 = gabFagklgiJ', Fki = [Dk, Di], Dk — оператор ковариантного дифференцирования

Из сказанного следует, что в основе теории, объединяющей гравитационное поле с другими физическими полями (проблема включения гравитации в единую теорию взаимодействий), должна лежать концепция физического пространства, введённая В. А. Фоком [18]. Поскольку д^, даЬ и Аа в (13) характеризуют Б-мерное пространство, для включения в теорию других полей необходимо такое пространство, деформации которого давали бы не только упомянутые поля д^, даъ и Аа, но и все остальные поля (включая фермионные). Физики уже сделали важный шаг в этом направлении — ввели понятие суперпространства [19-22]. Математики ввели понятия расслоенных пространств [23] и некоммутативной геометрии [24]. Все эти пространства используются в физике, но по-отдельности, применительно к частным проблемам.

В этом отношении перспективными представляются сети — пространства, построенные из струн. Возбуждения замкнутых струн содержат векторные безмассовые поля (спин 1) и тензорные (спин 2). Если бозонные струны заменить на суперструны, то в теории появляются возбуждения и с полуцелыми спинами. Все это позволяет надеяться, что предлагаемый подход откроет перспективу построения действительно единой теории.

В данной работе реализуется первый этап программы — вывод теории ККМФ из модели пространства как сети, построенной из бозонных струн.

Объединение взаимодействий в бозонной сети. Покажем, что в предлагаемой модели тензорное возбуждение замкнутых струн X,1Xу связано (в крупномасштабном пределе) с метрическим тензором образованного сетью пространства.

В пространстве Мп введём координаты х1 (= и1),ха, г = 0,1, ...,р; а = р +1,..., Б — 1, где х1 параметризуют мировую поверхность квазибраны (сети в крупномасштабном пределе), а ха — координаты дополнительного (Б — р — 1)-мерного копространства. Прежде всего покажем, что в каждой ячейке (р-кубе) всегда можно выделить совокупность частиц, образующих замкнутую струну. В случае мембраны это тривиально — рёбра, например, квадрата с вершинами (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) образуют замкнутую линию (одна из вершин помещена в начало координат, а длина ребра равна единице). В общем случае р измерений замкнутую линию образует, например, цепочка векторов

(0,..., 0) ^ (1,..., 0) ^ (1,1, 0,..., 0) ^ ... ^ (1,..., 1) ^

^

(каждая стрелка отождествляется с ребром, всего 2р рёбер). Нас интересует сложное возбуждение струны, характеризуемое произведением дрт = X^(х, о^у(х, о), где о параметризует точки струны. В теории струн с этим возбуждением связывают гравитон (спин 2, масса 0). В данном случае этого недостаточно. Здесь замкнутые струны не являются свободными, поэтому их билинейные возбуждения могут оказаться массивными. Но в данной модели все поля, включая гравитационное, обладают массой [5], поэтому вопрос лишь в величине этой возможной добавки, который остаётся открытым.

Необходимо показать, что тензор д^у действительно можно связать с метрическим тензором в Б-мерном пространстве с вложенной в него (р + 1)-мерной гиперповерхностью (квазибраной). Это кажется невозможным. Во-первых, д^ имеет размерность квадрата длины Ь2, тогда как метрический тензор безразмерен. Во-вторых, длина векторов У^, ортогональных в М° к вектору X^ ((XV) = X= 0), равна нулю (д^У^У = 0), что неприемлемо. Но обе трудности легко преодолеваются. Если в модели есть универсальный масштаб (например, размер ячейки /), то тензор д^

обезразмеривается делением его на I2. Далее, нас интересует теория в пределе, когда размеры ячеек стремятся к нулю. В этом случае ячейка превращается в точку, и метрический тензор в точке должен характеризовать совокупное возбуждение замкнутых струн ячейки. Определим тензор д^у суммой дрт = + Дрт, где есть среднее от

интегралов по струнам

д("> = (17) П

здесь п(пі,...,пр) фиксирует, скажем, центр ячейки (р-куба), а Ьс — длина контура интегрирования; сумма берётся по всем Ыр независимым замкнутым контурам в ячейке. Рассматриваются малые возбуждения структуры. В непрерывном пределе п3Ц ^ х3 (Ц — расстояние между центрами кубов вдоль оси і) пц ^ то, Ц ^ 0, і = 1, 2, ...,р, получаем тензор дрт(х), х(х0,х1, ...,хр), допускающий отождествление с метрическим тензором Б-мерного пространства, в котором одна из гиперповерхностей совпадает с мировой гиперповерхностью р-мерной структуры (сети).

Здесь может возникнуть вопрос о появлении в модели правильного выражения для взаимодействия гравитационного поля с материей (член кТ13 в гравитационных уравнениях, где к — гравитационная постоянная, а Т13 — тензор энергии-импульса). Но уже действие (16) даёт правильный ответ, поскольку поле Аа есть поле материи.

Отметим, что тензор д^у (х) не зависит от координат дополнительного пространства ха, т. е. автоматически выполняется первое условие (15). Это — крайне важное обстоятельство, так как нет необходимости вводить порождающую большие трудности искусственную компактификацию — возбуждения не могут покинуть квазибрану. Если потребовать, чтобы тензор даЬ в (13) не зависел от х^, т. е. исключить скалярные поля, то получаем простейший вариант теории ККМФ для полей Янга—Миллса с лагранжианом (16). Вопрос о группе симметрии этих полей требует отдельного исследования.

Заключение. Полученные результаты позволяют ввести новую концепцию пространства. В математике известны афинные пространства [25, 26] (в них не определено расстояние между его точками), метрические пространства [27] (в них задана «метрика» — симметричный тензор 2-го ранга). После создания общей теории относительности (ОТО) физическое пространство отождествлялось с метрическим пространством. Всякое движение (частиц, полей) рассматривается в ОТО как движение в метризованном пространстве, а сама метрика является динамической переменной и подвержена влиянию материи, т. е. также меняется со временем в соответствии с уравнениями движения. Тем самым принимается, что пространство, в котором движутся тела, есть некоторый физический объект, подчиняющийся законам механики. Уже ОТО следует признать прототипом единой теории, поскольку её лагранжиан содержит в качестве динамических переменных и метрическое поле, и другие поля, т. е. в каждой точке пространства заданы и тензор д^, и другие поля.

Предлагаемая модель наталкивает на мысль о новой концепции физического пространства: физическое пространство есть некоторый физический объект (структура), который характеризуется всеми присущими ему возбуждениями (степенями свободы). Например, фундаментальные возбуждения р-браны содержат только скалярные поля (с точки зрения (р + 1)-мерного псевдоевклидова пространства). Конечно, в эквивалентной формулировке с действием Полякова варьируют X^ и дц, но дц играют роль множителей Лагранжа. Многомерная (р-мерная) сеть, построенная из струн, являет собой другую модель пространства. Здесь уже скалярные — с точки зрения струны

как одномерного пространства — возбуждения могут быть как скалярными, так и векторными — с точки зрения образованного сетью р-мерного пространства (в крупномасштабном пределе, когда пренебрегается размерами ячеек сети). В такой структуре всегда можно выделить одномерные замкнутые совокупности точек, допускающие отождествление с замкнутой струной. Возбуждения замкнутых струн содержат «гравитоны» — кванты безмассового поля спина 2. Таким образом, возбуждения р-мерной сети содержат в непрерывном пределе не только скалярные поля, но и векторные, и тензорные. Если же бозонную струну заменить суперструной, то среди возбуждений сети появятся и фермионы [4, 5].

Таким образом, физическое пространство должно характеризоваться не только тензором g^v, но и набором других полей. Физические пространства могут различаться наборами этих других полей.

Автор выражает глубокую благодарность В. А. Франке за ценные замечания. Литература

1. Прохоров Л. В. О физике на планковских расстояниях. Квантовая механика // Ядерн. физика. 2004. T. 67. C. 1322.

2. Prokhorov L. V. Quantum mechanics as kinetics // arXiv quant-ph/0406079.

3. ’t Hooft G. Quantum gravity as a dissipative deterministic system // Class. Quant. Grav. 1999. Vol. 16. P. 3263.

4. Прохоров Л. В. Пространство как сеть. СПб., 2004.

5. Прохоров Л. В. О физике на планковских расстояниях. Пространство как сеть // Физика элем. частиц и атомн. ядра. 2007. T. 38. C. 696.

6. Kaluza Th. Zum Unitatsproblem der Physik // Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Math. Phys. Kl. 1921. S. 966.

7. Klein O. Quantentheorie und fiinfdimensionale Relativitatstheorie // Z. Phys. 1926. Bd. 37. S. 895.

8. MandelH. Zur Herleitung der Feldgleihungen in der allgemeinen Relativitatstheorie // Z. Phys. 1926. Bd. 39. S. 136.

9. Fock V. Uber die invariante Form der Wellen und die Bewegunsgleichungen fur einem gelade-nen Massenpunkt // Z. Phys. 1926. Bd. 39. S. 226.

10. ГринМ., Шварц Дж., Виттен Э. Теория суперструн: в 2 т. М., 1990.

11. Прохоров Л. В., Нураматов А. Г. Континуальный интеграл для пропагатора релати-вистской частицы // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер.: Физика, химия. 1991. Вып. 3. C. 86.

12. Прохоров Л. В., Шабанов С. В. Гамильтонова механика калибровочных систем. СПб., 1997.

13. Barbashov B. M., Nesterenko V. V. Introduction to the relativistic string theory. World Scientific, 1990.

14. Golovnev A. V., Prokhorov L. V. Dynamics of strings and branes // Int. J. Theor. Phys. 2006. Vol. 45. N 5. P. 942.

15. Schrodinger E. Die Energiekomponenten des Gravitazionsfeldes // Physik. Zeitschr. 1918. Bd. 19. S. 4.

16. BauerH. Uber die Energiekomponenten des Gravitazionsfeldes // Zeitschr. 1918. Bd. 19.

S. 163.

17. Cho Y. M. Higher-dimensional unifications of gravitation and gauge theories // J. Math. Phys. 1975. Vol. 16. N 10. P. 2029.

18. Fock V. A possible generalization of the concept of physical space // Phys. Norvegica. 1971. Vol. 5. N 3-4. P. 149.

19. Гольфанд Ю. А., Лихтман Е. П. Расширение алгебры генераторов группы Пуанкаре и нарушение Р-инвариантности // Письма в Журн. эксп. теор. физики. 19Т1. T. 13. C. 452.

20. Gervais J.-L., SakitaB. Generalizations of dual models // Nucl. Phys. (B). 19Т1. Vol. 34. P. 6321.

21. Волков Д. В., Акулов В. П. О возможном универсальном взаимодействии нейтрино // Письма в Журн. эксп. теор. физики. 19Т2. T. 16. C. 621.

22. WessJ., ZuminoB. A lagrangian model invariant under supergauge transformations in four dimensions // Nucl. Phys. (B). 19Т4. Vol. Т0. P. 39.

23. Лихнерович А. Теория связностей в целом и группы голономий. М., 1960.

24. ConnesA. Noncommutative geometry. London, 1994.

25. Норден А. П. Пространства афинной связности. М., 19Т6.

26. Картан Э. Пространства афинной, проективной и конформной связности. Волгоград, 199Т.

27. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. Волгоград, 1998.

Статья поступила в редакцию 25 января 2011.