Многокадровая фильтрация импульсной помехи

УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 681.3

МНОГОКАДРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ПОМЕХИ

Разработан подход к фильтрации помех при наблюдении статических сцен, сформированных точечными источниками. Показано, что эффективным методом фильтрации импульсных помех является многокадровая фильтрация. Разработан метод оптимального выравнивания координат при многокадровой фильтрации.

Ключевые слова: сигнал, точечный источник, гауссиан, шум, сцена, наблюдение, многокадровая фильтрация, выравнивание координат, оптимизация.

Наблюдение групповых импульсных сигналов достаточно широко применяется в системах пространственной ориентации космических аппаратов, навигации, пеленгации и т.п [1, 2, 3]. На практике полезные импульсы сопровождается помехами [2]. Эффективное выделение полезной составляющей возможно при многократном наблюдении одной и той же сцены, если местоположение импульсов на оси аргумента не меняется, или меняется незначительно, а импульсы помехи при каждом наблюдении имеют новые случайные координаты.

Модель сцены наблюдения может быть построена с использованием следующих допущений [4]:

все импульсы на выходе сенсора имеет форму гауссиана; расстояние между импульсами настолько велико, что взаимовлияние двух соседних импульсов пренебрежимо мало.

сцена наблюдается N + 1 раз, при этом первое наблюдение имеет номер ноль и формирует базовую модель сцены, а все остальные наблюдения формируют приводимые модели сцены;

групповой полезный сигнал включает К импульсов, а количество импульсов помехи является случайной величиной.

В соответствии с принятыми допущениями базовая группа из К импульсов полезного сигнала описывается следующим выражением:

А.А. Аршакян, Ю.И. Луцков, А.С. Новиков

где А^ - фактор, определяющий величину (интенсивность) к-го импульса

при нулевом наблюдении; а0 - фактор, определяющий ширину (размытость) к-го импульса при нулевом наблюдении; Хк - смещение к-го импульса относительно начала отсчета оси аргумента; К - количество импульсов в группе.

При п-м наблюдении, 1 £ п £ N, за счет смещения начала отсчета по оси аргумента на величину Ап, приводимая группа из К импульсов полезного сигнала описывается следующим выражением:

К АП /п >А п )= X

к=1

л/2р

а

ехр

2К

где Ак и ак - факторы, определяющие величину и ширину импульса при п-м наблюдении сцены, соответственно; Ап - смещение начала отсчета по

оси аргумента при п-м наблюдении; 1 £ п £ N.

Последовательность импульсов помехи имеет вид

ьуп

§п()= X

Ь(п) А

п

1

/ (п )=1 л/^лаП

ехр

1

х/ (

п

2К

где /(п) - индекс для обозначения 1-го импульса помехи при п-м наблюдении; Ь(п) - количество импульсов помехи при п-м наблюдении; А*Пп) и

- факторы, определяющие величину и ширину импульса при п-м на-

а1

блюдении сцены, соответственно; X/(П) - смещение к-го импульса от точки

начала отсчета оси аргумента при п-м наблюдении.

Пусть необходимо совместить по оси аргумента пару импульсов

вида

В0

л/2лЬ0

ехр

2Ь

В

о

и ^,А)= Д ехР л/2лЬ1

(' - а)2

2Ь?

где Во и В1 - факторы, определяющие величину совмещаемых импульсов; Ьо и Ь1 - факторы, определяющие ширину совмещаемых импульсов; А -

смещение импульса относительно нулевого.

Под совмещением понимается ситуация, когда ось симметрии гаус-сиана ¿о () совпадает с осью симметрии гауссиана ). Ошибка совме-

щения может быть определена по среднеквадратичному расстоянию между кривыми

2

2

2

I

&)= I

Вс

42кЪ(

ехр

2Ь,

оу

л/2рЬ!

ехр

¿-а)

2Ь,2

& .

Независимо от соотношения величин Во, В,, Ьо и Ь, ошибка (5) достигает минимума в точке А = 0.

Минимум критерия (5) достигается в точке, в которой производная

йе

йА

0:

йе

йА

Вс

42жЬ(

ехр

2Ь,

В,

о

42кЬ\

ехр

(г -А)2

2Ь ,2

= 0.

Выражение (6) путем эквивалентных преобразований приводится к

виду:

В0 В1

2%Ъ0Ъ

0Ь1

V

2Ь,

о У

(Г -А)2

2Ъ

1

В

2рЬ

ехр

1

(Г -А)2

2Ь

1

= 0.

Второй член выражения (7) равен нулю, а для его первого члена справедливо равенство:

В0 В1

Нш

2 2Ъ{

А——0 2рЬ(Ь,

Функция е(А) является монотонно возрастающей и имеет пределы:

Нш е(А):

В0Ъ1 + В12ьо

при А — ¥;

^л/рЬоЬ,

В§ь, + В,2 Ь( л/2В( в,

2л[кьоь1 ^ к

при А — 0.

Вид функции (5) для некоторого соотношения Во, В1, Ь( и Ь1 приведен на рис. 1.

Таким образом, и в том случае, если параметры В(, Ь( гауссиана Н( (г) не совпадают с параметрами В1, Ь1 гауссиана Н^г) минимальное значение е(А) достигается в точке в которой оси симметрии гауссианов совпадают, а следовательно ошибка е(А) может быть использована в качестве критерия при совмещении точек отсчета групп импульсов.

Для фильтрации помехи [5] необходимо совместить базовую группу (1), включая помеху (3), с п-й, 1 £ п £ Ы, приводимой группой (2), включая помеху (3), при этом должна минимизироваться ошибка приведения [6, 7]

2

2

I

оо

2

2

ОО

г

— оо

оо

2

оо

г

оо

оо

¥

е

— ¥

е(А) «оЬ + 2л/я :

-В?Й0 ¿0Ь1 у'

/ /

/ / /

' / / У /

У В Ь + !>1 ¿0 V2^0 В А

24пЬф1 ^ Рь0 + ь2

Рис. 1. Вид функции

При минимизации (10) вследствие того, что импульсы помехи в базовой и п-й приводимой группе не перекрываются, значение ошибки для каждого /(Ь)-го, 1 £ /(0) £ Ь(Ь) и /(п)-го 1 £ /(п) £ Ь(п) гауссиана стремится к

/

А

п

и а

п

постоянной величине, определяемой значениями

При перекрытии гауссианов из группы /0 () с соответствующими гауссиа-нами из группы /п (?, А п) значение ошибки будет стремиться к минимуму при Ап  0.

Задача совмещения начал отсчета с минимизацией ошибки е

может быть решена любым методом, например, методом последовательных приближений [7].

После совмещения точек отсчета осей аргументов сигнал базовой группы импульсов остается неизменным и имеет вид

^0 (? ) = /0 (? ) + &0 (? ) =

к к=1

А

к

л/2ра0

ехр

(^ -^к)2

2 а

к

А

Ь

+ £ Г-I (0)=1 л/2р<

/

ехр

I

2а

Импульсы приводимых групп оказываются смещенными относиЛ*

тельно первоначального положения на величину - Ап , которая является

оптимальной оценкой необходимой величины смещения, полученной за счет минимизации критерия е(Д п ):

I («) = ^ («,Дп - Дп ) + £0 ( - Дп )= I гАк п exP

к=1л/2Ра

2(аП )2

Ь

I 1

I (п )=142ка

п 1

exp

х/

+ Д»

2а

ч

*к

1 £ п £ N.

Фильтрация импульсной помехи может быть произведена после приведения методом усреднения результатов из N + 1 наблюдений [5]:

N

I *п

* )=

п=0

1

N +1

N I

N +1 п=0

к ап

I к „ exP

к=1-\12па

п

к

п

2а

+

п

/ (п )=1 л/2гёаП(

exp

1

х/

-Д

п

Н,)

где Д 0=Д0= 0.

Если совмещение базовой и приводимых групп импульсов произво-

*

дится безошибочно, Дп - Дп = 0. В этом случае

(«-х к)2

к "

) =

1

N

I

N +1 п=0

;=1 л/2Р<

а

к

+

п

/ (п )=1 л12каП(

exp

( -х/(п)-д)2

2

Как видно из (14), после фильтрации полезный сигнал усредняется, а величина импульсной помехи уменьшается в N - 1 раз.

Использование (14) для решения целевых задач не вполне удобно, вследствие громоздкости выражения, поэтому для получения окончательного результата фильтрации первое слагаемое выражения 14 должно быть аппроксимировано функцией Г аусса вида

С

л/2Р

exp

(«-х к)2

2с

2

Без нарушения общности для упрощения выкладок при аппрокси-

£

>

>

мации можно считать, что все гауссианы симметричны относительно оси ординат. В этом случае аппроксимация принимает вид

1

N АП

-------I --------к— ехр

N +1 п=0 42жапк

г

2

2(акп

С

42%с

ехр

2 г2

2с"

При аппроксимации по методу наименьших квадратов за счет вариации факторов С и с, определяющих величину и ширину аппроксимирующего импульса, соответственно, должна быть минимизирована ошибка

е(с, с )= |

1

N АП I-^- ехр

N + 1 п=0л/2Р

са

г

2

2(а,

с

л/2Р

ехр

Ж.

В точке оптимума должны выполняться условия:

,2

N +1

п=0

л/2Ра

х

ехр

г'

л/2го

ехр

2(а»

' г2

С

с

2с

2

л/2Рс Жг = 0;

ехр

А г2 л

“2с2

х

N +1

п=0

х

С

42%с2 у

л/2Ра

ехр

ехр

V У

г2

2(а»

С

л/2Р<

ехр

2 г2

2

С г + —¡=------ехр

с

г

2

лЙРс с 3

г

V 2

х

V

2с

2

2с Жг = 0.

Условия (18) дают следующую алгебраическую систему нелинейных уравнений для расчета С и с:

1

N +1 л/2Р

1 N

1 I

Ап

Ак

С

п=0 с 2 + (а»

2л/яс

0;

1 с N

—________ I -

N +1 л/2Р п=0

Ап

Ак

(а, Г + с2

С

3 4л/Рс2

= 0.

Из первого уравнения системы (19) может быть выражено значение

С

4л/Рс 2

2

2

оо

г

— оо

I

— оо

1

оо

I

— оо

2

г

11 N АП C

—-------/=- I , k -— —.

N +1 2^2pc п—о I 2 + (an j2 4л/Рс

Подстановка полученного значения во второе уравнение дает N Ап с2 -(ап

1 ______k________^ k' = о

п-о^Чг)2(anf «2 '

Из (21) может быть найдено значение с, подстановка которого в

(20) позволяет вычислить С. В частном случае, когда условия наблюдения

k-го импульса не меняется и выполняется равенство аП — constп— а^, из

1 N

(21) следует, что с — а^ и C — - IАП . Аппроксимация множества на-

N + 1П—0

блюдаемых импульсов гауссианом показана на рис. 2.

Рис. 2. Аппроксимация линейной комбинации гауссианов

гауссианом Нф

На рис. 2 штрихпунктирной линией обозначены составляющие линейной комбинации гауссианов, сплошной линией показана усредненная сумма гауссианов, а штриховой линией - результат аппроксимации.

Наряду с усредняющей процедурой (13) при фильтрации может быть применены и другие виды фильтрации, например, взвешенное усреднение, или медианная фильтрация [5].

Таким образом, выделение импульсного полезного сигнала, сопро-

вождаемого импульсной помехой может быть достаточно эффективно проведено с выполнением следующих операций: совмещения начал отсчета осей аргументов для различных экспериментов наблюдения, усреднения импульсов, относящихся к группе с подавлением импульсной помехи и аппроксимации импульсов с усредненной формой гауссианом по методу наименьших квадратов.

Список литературы

1. Ларкин Е.В., Акименко Т.А., Лучанский О.А. Оценка «смаза» изображения в системе технического зрения мобильного колесного робота // Вестник РГРТУ. Рязань: РИЦ РГРТУ, 2008. С. 77 - 80.

2. Аршакян А. А., Ларкин Е.В. Определение соотношения сигнал-шум в системах видеонаблюдения // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 3. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 168 - 175.

3. Аршакян А.А., Ларкин Е.В. Наблюдение целей в информационно-измерительных системах // Сборник научных трудов Шестой Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами «СУЭТО-6» Тула: Изд-во ТулГУ, 2012. С. 222 - 225.

4. Аршакян А.А., Будков С.А., Ларкин Е.В. Математические модели

точечных источников сигнала в полярной системе координат. // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып. 10. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012.

С.163 - 168.

5. The Method of Multiframe Image Filtering // E.V. Larkin at alE.V., Abuzova I.V., Ignatyev V,M,, Kotov V.V. // Machine Graphics & Vision: International Journal. Poland, 1998. Vol. 7. N 3. P. 645 - 654.

6. Купер Дж., Макгиллем Н. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: Мир, 1989. 379 с.

7. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. 343 с.

Аршакян Александр Агабегович канд. техн. наук, докторант, elarkin@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Луцков Юрий Иванович, канд. техн. наук, доц., elarkin@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

Новиков Александр Сергеевич, канд. техн. наук, elarkin@mail. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

MULTIFRAME FILTERING OF PULSE NOISE A.A. Arshakyan, Yu.I. Lytskov, A.S. Novikov

An approach to filtering of noise, formed with pulse sources, when a static scenes are observed. It is shown, that effective method of filtering of pulse noise is multiframe filtering. Method of optimal co-ordinates straighten out for multiframe filtering is proposed.

Key words: signal, point source, Gaussian, noise, scene, observation, multiframe filtering, co-ordinates straighten out, optimization.

Arshakyan Alexander Agabegovich, postgraduate, candidate of technical science, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Lutskov Yuriy Ivanovich, docent, candidate of technical science, elarkin@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Novikov Alexander Sergeevich, candidate of technical science, elarkin@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 621.383

НАБЛЮДЕНИЕ ОБЪЕКТОВ В ДИСПЕРСНОЙ СРЕДЕ

А. А. Аршакян, С. А. Будков, С.В. Думчев, Ю.И. Луцков

Исследуется вопрос построения импульсного отклика пары «среда распространения света/объектив». Показано, что наличие диспергента в среде распространения ухудшает разрешающую способность объектива. Определены параметры импульсного отклика объектива при его аппроксимации функцией Гаусса как при наличии, так и при отсутствии диспергента.

Ключевые слова: оптическая система, световой поток, разрешающая способность, дифракция, изображение, диспергент.

Одним из важных факторов, определяющих потребительские свойства оптических систем, является разрешающая их способность [1, 2], которая существенно зависит от условий эксплуатации системы [3].

Пространственная динамика объектива определяется двумя факторами:

1) дифракцией света от точечного источника в высококачественных объективах;

2) наличием технологических погрешностей при изготовлении объектива.

В первом случае точечный источник К проецируется на плоскость расположения фоточувствительных элементов в виде т.н. «кружка Эри», представляющего дифракционную картину точки [4]. Причиной подобного представления точки является волновая природа света. Вид кружка Эри приведен на рис. 1 а.