Методы теории детерминированного хаоса применительно к процессам нелинейного распространения акустических волн

УДК 53.072.11:534.222

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОЦЕССАМ НЕЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН

© 2007 г. H.E. CmapueHKO

The processes of acoustical wave's propagation nonlinear water medium were investigated by the methods of deterministic chaos. On the basis of provided laboratory experiments on propagation of harmonic signal in hydroacoustical tank the time series were obtained for which the phase portraits were reconstructed. The numerical characteristics of chaotic measure of signals - set of Lyapunov indices (Lyapunov spectrum) were calculated. The attractor's view and presence of positive maximal Lyapunov exponent are the evidence of dynamic chaos in the investigated system.

Достижением теории динамических систем стало открытие хаотической динамики. Возникновение хаоса кажется на первый взгляд несовместимым с определением динамической системы, подразумевающим возможность однозначного предсказания конечного состояния по исходному. На самом деле в хаотическом режиме сколь угодно малая неточность в задании начального состояния системы быстро нарастает во времени, так что предсказуемость становится недостижимой на достаточно больших интервалах времени. Такого рода режимы характеризуются нерегулярным, хаотическим изменением динамических переменных во времени. В фазовом пространстве дисси-пативных систем им отвечают странные аттракторы -сложно устроенные множества, демонстрирующие все более тонкую структуру на разных уровнях ее разрешения (фракталы). Целый ряд имеющихся экспериментальных фактов могут быть объяснены фрактальными свойствами сред и волновых процессов [1]. Так, фрактальная структура таких сред, как грунты, пористые материалы, аморфные тела и т.п., определяет в них скорость и затухание волн, спектры колебаний, локализацию форм колебаний и другие свойства. Фрактальная размерность взволнованной ветром поверхности моря оказывается ответственной за характер частотно-угловых зависимостей рассеянных полей. Сами звуковые поля также могут обладать фрактальными свойствами, вследствие, например, нелинейного взаимодействия акустических волн [2].

Теоретическая физика хаоса начинается с эволюционных уравнений [3], которые описывают динамическое развитие состояния системы (модели). Это могут быть непрерывные модели

X = /м

или дискретные

х„+1 = Ям

Состояние системы задается т-зависимыми переменными х(()=[х1 (),х2(),...,хт(()] или хп = (х{п),х2п),...,) для случаев (1) и (2) соответственно. Индекс / показывает, что система зависит от параметра / (часто бывает от нескольких параметров). Динамические законы (1) и (2) определяют, как развивается заданное состояние х^) или хп.

Для визуального анализа динамики системы особенно подходят аттракторы. Для реконструкции фазовых портретов (или аттракторов) многомерной системы в многомерном фазовом пространстве из одномерных временных рядов (теорема Такенса [4]) наиболее известным методом является метод временных задержек. Он позволяет получить матрицу векторов х(п), полученных в дискретные моменты времени

x(n )=(xn,

xn, xn-p, xn-2p xn-(m-l)p

-(m-l)p )'

где p= 1,2,3... - целое число, определяющее временную задержку через число отсчетов (соответствующее время задержки может быть вычислено как T=ptd, td -интервал дискретизации); m - внедренная размерность. Выбирая n, получим дискретный набор точек в m-мерном фазовом пространстве. Полагая, что устойчивые осцилляции имеют место в диссипативной системе, получим так называемый псевдо-портрет.

Необходимыми параметрами для корректного построения фазового портрета из временных рядов являются внедренная размерность m и время задержки т. Процедура нахождения ближайших «ложных соседей» (англ. false nearest neighbors - fnn) - это метод нахождения оптимальной внедренной размерности для реконструкции фазового пространства, предложенный в [5]. Алгоритм определения «ложных соседей» включает выполнение проверки окрестностей точек, внедренных в проекции множеств с увеличивающимися размерностями. Это означает, что точки, находящиеся рядом на проекции, будут разделены во внедренных пространствах с большими размерностями. Критерием отслеживания ошибок внедрения является то, что расстояние между двумя соседними точками увеличивается при увеличении размерности с m до m+1. По этому критерию ближайший «ложный сосед» - это точка, для которой выполняется следующее условие:

R2m+lM-R'm (Т . Rm (Т

12

|x(( + т)- x(tT+T) = Rm (Т

> R

tol

где / и /т- времена, соответствующие соседней точке и точке отсчета; Ят - расстояние в фазовом пространстве с внедренной размерностью т; Я^ - порог точности.

Однако критерий сам по себе не является достаточным для определения размерности внедренного пространства. Проблема в том, что точка является ближайшим соседом другой точки, на самом деле располагаясь не обязательно близко от нее. Поэтому число ближайших соседей снова будет увеличиваться для высоких размерностей. Для решения этой проблемы используется так называемый «критерий одиночества», представляющий собой порог точности.

Процент ближайших «ложных соседей» в зависимости от внедренной размерности представляет собой монотонно спадающую зависимость. Оптимальная внедренная размерность может быть определена уже на уровне 30 %. Большие размерности m>3 указывают на возможность хаотических процессов в системе.

Существует несколько методов оценки времени задержки. Правильный выбор задержки влияет на информативность и внешний вид аттрактора [6]. При относительно малых временах задержки аттракторы имеют неразвитую структуру, слишком большие времена задержки приводят к сложно запутанным фазовым портретам, напоминающим клубок ниток. Золотой серединой является выбор времени задержки, связанный с временным масштабом исследуемого процесса. Это может быть первый ноль автокорреляционной функции или первый минимум функции взаимной информации [6]. Взаимная информация эквивалентна среднему количеству информации, которое состояние x(t) содержит о состоянии x(t+т) и вычисляется как

= -Е Px(t)( (())1о§ Px(t) (( ()) + 1

+ Е Pxtt),xtt+т)( (() ^ (( + т))х

Х Xog[Pxtt),xtt+т) ( (() ^ (( + т//Px{t(())[ (5) где р - плотность вероятности.

Оценка спектра Ляпунова (множества экспонент Ляпунова) также является одним из свидетельств присутствия хаотической динамики в системе [7]. Хаос возникает из экспоненциального роста бесконечно малых возмущений, вместе с глобальными механизмами перегибов обеспечивая ограниченность решений. Эта экспоненциальная нестабильность характеризуется спектром экспонент Ляпунова [8]. Если предположить локальную декомпозицию фазового пространства в направлениях с различной скоростью растяжения или сжатия, то спектр экспонент является усреднением этих локальных скоростей по всему инвариантному множеству и поэтому состоит из стольких экспонент, сколько направлений имеется в пространстве. Наиболее острая проблема в анализе временных рядов - это неизвестность размерности физического фазового пространства, и поэтому спектр вычисляется в некотором внедренном пространстве. Таким образом, количество экспонент зависит от типа реконструкции и может быть больше, чем в реальном физическом пространстве. Экспоненты Ляпунова инвариантны к гладким трансформациям и таким образом не зависят от функции измерения или процедуры внедрения. Они имеют размерность обратную времени и должны быть нормированы на интервал дискретизации.

Положительная максимальная экспонента Ляпунова является критерием хаоса. Существует много алгоритмов, пригодных для оценки экспоненты Ляпунова из временных рядов. Метод оценки экспоненты Ляпунова из временных рядов, предложенный в [9], прост, быстр и устойчив к изменениям параметров, таких как внедренная размерность, размер выборки данных, время задержки и уровень шума.

Максимальная экспонента хаотического аттрактора определяется по алгоритму Розенштейна из выражения d(t) = CeÄ{t, где d(t) - среднее расхождение траекторий с близкими начальными условиями на аттракторе во время t; C - константа, которая нормирует начальное разделение; - максимальная экспонента Ляпунова.

Вычисление всего спектра Ляпунова требует значительно больше усилий, чем вычисление максимальной экспоненты. Необходимой составляющей является оценка локальных Якобианов [6], т.е. линеаризованной динамики, которая управляет ростом бесконечно малых возмущений.

Для дискретной динамической системы xM = fn x), f e O1 (Rm ^ Rm), где m - внедренная размерность; n - число реализаций; f n - касательное отображение. Экспоненты представляют собой собственные значения матрицы

lim [fn

где J - матрица Якобиана. Значения экспонент могут рассматриваться как скорости среднего экспоненциального роста изначально близких точек под воздействием потока, генерируемого функцией f.

Таким образом, с одной стороны фазовые портреты (аттракторы) являются хорошим наглядным инструментом для анализа динамики системы, с другой стороны - количественной мерой хаотичности системы являются экспоненты Ляпунова, особенно максимальная.

Акустическое поле, создаваемое при распространении в нелинейной среде волн конечной амплитуды, можно считать комплексной нелинейной системой с широким частотным спектром и, следовательно, применить для его анализа методы нелинейной динамики. В данной работе методы нелинейной динамики применены для обработки экспериментальных данных, что позволяет проследить эволюцию системы во времени и пространстве. Было исследовано распространение синусоидального сигнала частотой 1300 кГц в водной нелинейной среде [10, 11]. Записи сигналов проводились с использованием цифрового осциллографа DSO-2100 в пределах рабочей области гидроакустического бассейна в диапазоне расстояний 10-100 см с шагом 10 см.

Для корректного построения фазового портрета (аттрактора) необходимо определиться с размерностью фазового пространства и временной задержкой. С использованием метода ближайших ложных соседей, проверяя для временных рядов условие (4), были построены графики, показанные на рис. 1. Для близких расстояний, где нелинейные эффекты еще не накопились в достаточной мере, процент ближайших

ложных соседей обращается в ноль для значения внедренной размерности m=2 с увеличением расстояния, начиная с 50 см, значение внедренной размерности можно оценить равным 4.

70%

10 cm 40 cm 50 cm 60 cm 70 cm

S -»-80 cm

^ 30% 90 cm

100 cm

0%

3

m

Рис. 1. Процент ближайших ложных соседей (пп, %) в зависимости от внедренной размерности m

Для оценки времени задержки воспользуемся вычислением взаимной информации, как более точным методом определения временных связей в сигнале. С использованием выражения (5) были получены графики, показанные на рис. 2. Расчеты проводились для трех расстояний от излучателя: 10, 50 и 100 см, им соответствуют кривые 1, 2 и 3 на рис. 2. Первый минимум для всех случаев наблюдается при p=5.

3

I

Рис. 2. Величина взаимной информации (I, бит) в зависимости от номера отсчета p

Далее были построены фазовые портреты системы в соответствии с вычисленными исходными данными: внедренными размерностями и временем задержки для трех расстояний от излучателя 10, 50 и 100 см. Они показаны на рис. 3, а, б и в, соответственно.

200

150

100

50

250Г

200-

x.,,150-

100-

50-

200

150

20

100

50

100 Xn

200

mUf

50 100 150 200 250

x»

40

Рис. 3. Фазовые портреты (аттракторы) временных рядов сигнала х1 (задержка р=5) для расстояний от излучателя: а - 10 см, б - 50 см, в - 100 см

х

0

б

5

0

0

2

1

x

0

х

Анализируя фазовые портреты можно сказать, что вблизи излучателя фазовый портрет имеет вид эллипса (рис. 3, а), что характерно для устойчивых осцилляций. По мере удаления от источника эллипс трансформируется (рис. 3, б), и в аттракторе начинают появляться петли. Количество петель и их развитость свидетельствуют о зарождающихся гармониках сигнала (для расстояния 50 см, рис. 3, б) или о присутствии сформировавшихся гармоник (для расстояния 100 см, рис. 3, в). Следует еще отметить, что аттрактор явно становится трехмерным (рис. 3, в), в отличие от плоского случая (рис. 3, а). На расстоянии 100 см, т.е. в дальней зоне излучателя сигнал значительно искажается, что отражает форма его фазового портрета (рис. 3, в). На нем явно различимы две петли, другие выражены неявно, что объясняется трехмерностью (или точнее да-мерностью) аттрактора и, вероятно, будут хорошо различаться при других углах рассмотрения аттрактора в пространстве.

Для количественной оценки динамики системы был вычислен спектр экспонент Ляпунова по методике (6). Исходными параметрами к расчету служили внедренная размерность т и задержка р, значения которых были оценены выше. Число рассчитываемых экспонент г равно значению внедренной размерности. Их значения показаны на рис. 4 для различных расстояний от излучателя.

Рис. 4. Спектр Ляпунова

Как известно из теории детерминированного хаоса [12], положительная максимальная экспонента Ляпунова свидетельствует о локальной неустойчивости системы и, следовательно, возможности хаотических колебаний. Исследуемый сигнал проявляет слабую неустойчивость вблизи излучателя, где накопления нелинейных эффектов еще не произошло. По мере удаления от источника значение максимальной экспоненты Ляпунова растет (~0,2 для расстояния 50 см и ~0,5 для 100 см), что говорит, во-первых, о хаотичности исследуемого сигнала, и, во-вторых, что степень расхождения траекторий в фазовом пространстве увеличивается с расстоянием.

Таким образом, с помощью качественных визуальных (рис. 3) и количественных оценок (рис. 4) показано, что распространение акустических волн в водной среде является нелинейным хаотическим процессом и может исследоваться в дополнении к традиционным методам методами теории детерминированного хаоса.

Для нелинейного анализа временных рядов в статье использовались пакеты TISEAN [6], Dataplore [13], NLyzer [14].

Литература

1. Лямшев Л.М., Зосимов В.В. // Акуст. журн. 1994. Т. 40. № 5. С. 709-737.

2. Зарембо Л.К., Тимошенко В.И. Нелинейная акустика. М., 1984.

3. Lauterborn W., Parlitz U. // J. Acoust. Soc. Am. 1988. Vol. 84. P. 1975-1993.

4. Ruelle D., Takens F. // Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167-192.

5. KennelM.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. // Phys. Rev. 1992. A45. Р. 3403.

6. Hegger R., Kantz H., Schreiber T. // CHAOS. 1999. Vol. 9. P. 413.

7. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М., 1988.

8. Eckmann J.-P., Ruelle D. // Rev. Mod. Phys. 1985. Vol. 57. P. 617.

9. Rosenstein M.T., Collins J.J., Luca C.J.D. // Physica. 1993. D65. P. 117-134.

10. Старченко И.Б. // Техническая акустика. <http://www.ejta.org> 2006. 12.

11. Старченко И.Б. // Тр. XVIII сессии Рос. акуст. общества. М., 2006.

12. Мун Ф. Хаотические колебания. М., 1990. 14. http://www.physik.tu-darmstadt.de/NLyzer

13. Dataplore package. http://www.ixellence.com

Таганрогский государственный радиотехнический университет_23 октября 2006 г.