Преподавание математики с использованием пакета аналитических вычислений Maple

зации генетического потенциала в онтогенезе, характеризует биологические, психофизиологические и социальные функции на конкретном этапе жизни человека.

Литература

1. Димитриев А.Д., Косолапов А.Б. Окружающая среда и здоровье человека (онтогенетические аспекты). - Владивосток: Изд-во ДВО АН СССР. - 1990. 120 с.

2. Димитриев Д.А. Теоретические и методические основы формирования онтогенетичес-

ких критериев оценки влияния загрязнения окружающей среды на здоровье человека: Авто-реф. дисс. ... докт. мед. наук. Москва, 1999. 45 с.

3. Румянцев Г.И., Димитриев Д.А. Методологические основы совершенствования мониторинга влияния антропогенных факторов окружающей среды на здоровье населения // Гигиена и санитария. - 2001, -№6. - С. 3-6.

4. Димитриев Д.А., Димитриев А.Д., Карпенко Ю.Д. Физиологическая характеристика адаптации организма к воздействию факторов окружающей среды. Чебоксары, 2006. - 128 с.

A. Dimitriev, D. Dimitriev, Y. Karpenko. COMPLEX RESCARCH OF BIOSOCIAL STATUS OF STUDENTS.

This work describes results of complex study of a human being, wich give integral idea about biosocial status of a human being taking into account specific ecological and social standards of living and achieved phenotypical parameters of a body. It is shown that biosocial status characterizes biological, psychophisiological and social functions at fhe certain period of a person's life.

ДИМИТРИЕВ Алексей Димитриевич, доктор биологических наук, профессор, заведующий кафедрой технологии продуктов общественного питания Чебоксарского кооперативного института Российского университета кооперации. Автор более 300 научных работ.

ДИМИТРИЕВ Дмитрий Алексеевич, доктор медицинских наук, профессор, заведующий кафедрой анатомии, физиологии и гигиены детей ГОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет» им. И.Я. Яковлева. Автор более 200 научных работ.

КАРПЕНКО Юрий Дмитриевич, кандидат биологических наук, директор Научно-исследовательского института экологии. Автор более 50 научных работ.

УДК 372.851:004.4

ПРЕПОДАВАНИЕ МАТЕМАТИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТА АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ MAPLE

Г.Г. Волков, Е.А. Григорьев, М.Е. Сироткина

В процессе всей своей жизни человек сталкивается с необходимостью принимать решения в личной, общественной, производственной и других сферах деятельности. При этом в зависимости от информационной ситуации, в которой он находится, и своих возможностей опирается на соответствующую идеологию, часто апеллирующую к математике. В современном мире математика занимает ведущее положение практически во всех областях человеческих знаний. Сегодня она проникла в науки, ранее считавшиеся гуманитарными. Такие понятия, как "математическая экономика", "математическая биология", "математическая психология", "математическая лингвистика", давно стали привычными. За последние два века математика достигла необычайных ус-

пехов. Появилось множество новых направлений в математике, например, теория игр, теория информатики, теория графов и т.д. Желание ускорить решение трудоемких вычислительных задач привело к созданию вычислительных машин, без которых современный человек не мыслит своего существования.

Для успешного усвоения курса МАТЕМАТИКА студентами экономических вузов специальности "Прикладная информатика (в экономике)" авторами разработано и издано учебное пособие "МАТЕМАТИКА в упражнениях и задачах (с иллюстрацией решений в Maple)" [1]. Оно представляет собой руководство по решению задач и примеров по математике "вручную" и с использованием Maple 7, а также практическое руководство

по изучению возможностей пакета аналитических вычислений Maple 7. Следует отметить, что эта книга ни в коей мере не является описанием программного продукта Maple 7. Она предназначена в первую очередь для обучения студентов решению математических задач и примеров как "вручную", так и на персональном компьютере при помощи Maple 7.

Выбор математической системы Maple связан с тем, что она относится к интеллектуальным программным продуктам и является одной из маститых, тщательно апробированных и полновесных систем компьютерной математики [2]. Эта мощная математическая система, несмотря на свою направленность на серьезные математические расчеты, необходима довольно широкой категории пользователей, в том числе и студентам.

Maple - типичная интегрированная система. Это означает, что она объединяет в себе ориентированный на сложные математические расчеты мощный язык программирования, редактор для подготовки и редактирования документов и программ, математически ориентированный входной язык общения и язык программирования, современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме, ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений, программный численный и символьный процессоры с системой диагностики, мощнейшие библиотеки встроенной и дополнительных функций, пакеты расширений и применений системы, и огромную и очень удобную в применении справочную систему [2].

Согласно учебной программе специальности "Прикладная информатика (в экономике)" пособие содержит следующие разделы: линейная алгебра, элементы аналитической геометрии, введение в математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления функции одной и многих переменных, ряды, дифференциальные уравнения и их системы, линейное программирование.

Пособие представляет собой практическое руководство и включает:

• краткий теоретический справочный материал;

• подробный разбор иллюстрационных примеров, относящихся к теме или разделу курса, и решение их же с использованием Maple 7;

• контрольные задания для самостоятельного выполнения студентами.

Материал излагается последовательно;

задачи, в основном взятые из типовых задачников, решаются почти в той последовательности, в какой они решаются в курсах математики и математических методов в экономике. Краткие теоретические сведения по Maple подкрепляются соответствующими рисунками окон, панелей, шаблонов. Решения задач сначала приводятся в виде выкладок "вручную", а затем иллюстрируются графиками и чертежами, сопровождаются комментариями. Наиболее сложные места изложены по шагам.

Задачи и упражнения, приведенные в

качестве примеров и практических заданий, а также индивидуальные задания для самостоятельной работы соответствуют программе курса МАТЕМАТИКА для студентов экономических вузов названной специальности.

Сказанное иллюстрируем на конкретном примере раздела "Линейное программирование".

Пример. Требуется решить транспортную задачу, условия которой даны в таблице:

Решение.

Имеем закрытую модель транспортной задачи.

Предварительный этап (составление исходного опорного плана методом минимального элемента матрицы стоимостей перевозок).

Выписываем матрицу стоимостей:

г\ 3 2 6л

С = (с, ) =

2 5 3 5 4 2 4 \

ч

В ней ищем наименьший элемент. В данном примере это сп = с34 = \. Берём один из них, например, первый. Тогда заполняется соответствующая позиция (клетка) (1,1) плана ХЛ:

= min (20, 15) = 15.

На этом шаге полностью удовлетворяется спрос первого пункта потребления, поэтому соответствующий столбец матрицы С вычёркивается.

В оставшейся подматрице находим наи-

меньший элемент С34 = \ и заполняем позицию (3,4) плана, т.е.

х34 = тт (40, 30) = 30.

На этом шаге полностью удовлетворили спрос четвёртого пункта потребления, поэтому соответствующий столбец матрицы вычёркивается. В оставшейся подматрице находим наименьший элемент. Пусть им будет

С\3 = 2 (можно взять и С32 = 2 ), заполняется позиция (1,3) плана:

Х\3= тгп (5, 20) = 5.

После этого шага весь груз из первого пункта производства оказался выведенным, и соответствующая строка матрицы вычёркивается. В оставшейся подматрице минимальный элемент С32 = 2 , следовательно, заполняется позиция (3,2) плана XI:

32

= тіп (10, 25) = 10,

23

= тіп (30, 15) = 15.

0 5 0 0 15 15 0 0 10 0 30

Число положительных перевозок в плане N = т+п—\ = 6, следовательно, получился невырожденный план.

Проверим, что полученный план является опорным.

По определению опорного плана векторы условий, соответствующие базисным перевозкам, должны быть линейно независимы.

В рассматриваемом примере базисными перевозками являются элементы матрицы

(ху): Х\3,Х22’Х32’Х34? им соответствуют

векторы условий:

Рц, р13, Р22 , Р23 , Р32 , Р34 •

весь груз третьего пункта производства вывезен, соответствующая строка матрицы С вычёркивается.

Наименьшим элементом матрицы теперь

является С23 = 3, поэтому заполняем позицию (2,3) плана:

Чтобы проверить линейную независимость этих векторов, нужно проверить существование замкнутой цепочки, составленной из базисных перевозок плана. Если из базисных перевозок нельзя составить замкнутую цепочку, то система векторов, соответствующая базисным перевозкам, линейно независима. Существование замкнутой цепочки проверим методом вычёркивания:

'15 0 0 15 0 10

V

5

15

0

0

0

30

Полностью удовлетворили спрос третье -го пункта потребления, и третий столбец матрицы вычёркивается.

В матрице С остался только один элемент

С22 = 5, на этом шаге заполняем позицию (2,2) плана X,:

х22= тт (\5, \5) = \5.

Весь груз из второго пункта производства вывезен, полностью удовлетворили второй пункт потребления, поэтому вторую

строку и второй столбец матрицы С = (с у) вычёркиваем.

Таким образом, через конечное число шагов получили опорный план, при этом на каждом шаге вычёркивалась строка или столбец матрицы (с у), и только на последнем шаге вычёркиваются и строка, и столбец. Исходный опорный план имеет вид:

/\5 л ^ л Л

1

Просматриваем все строки и столбцы, при этом вычёркиваем только те из них, которые содержат только одну базисную перевозку либо не содержат ни одной. Все строки и столбцы матрицы вычеркнуты, то это означает, что из базисных перевозок плана составить замкнутую цепочку нельзя, и векторы, соответствующие им, линейно независимы. В нашем случае план Х1 является опорным.

Вычислим:

/(Х1) = Сп Хп + х!3 + с22 Х22 + С23 Х23 +

+ С32 Х32 + С34+34 — 15-1 -1- 2- 5 + 5 • -5 +

+ 3-\5 + 2-\0-5\• 30 = \95.

Итерация 1.

1-й этап (исследование плана X, на оптимальность).

Вычислим потенциалы пунктов производства ц( =\,т) и пунктов потребления

(у = \, п) по формуле - Ц = С* , где С* -

элементы матрицы С, соответствующие базисным перевозкам исследуемого плана.

Выписываем матрицу стоимостей перевозок и элементы, соответствующие базисным перевозкам, отмечаем звёздочкой:

У1 = 1 v2=4 у3=2 у4=3 и1 = 0 С = и2 = -1

и = 2

Ґ1* 3 2* 6

2 5* 3* 5

4 2* 4 1*

V

Для определения потенциалов составим

систему уравнении у}.

*

V,

1

и1 = С11:

Vз - и1 = С13:

V,

V,

-и = С-

v1 - и1 = 1, v3 - и1 = 2, V2 — и 2 = 5,

V,

и 2 = 3,

'У 2 и 3 С 32 ,

V 4 - и 3 = С 34 "

V2 - и 3 = 2, У4 - и3 = 1.

v3 - 3 = -1, v2 = 5 + и2 = 4, V - 2 = 2,

и

и

А =

0 0 1 0 4 0

Так как среди элементов матрицы есть отрицательный, то на основании признака оптимальности опорный план X является не оптимальным.

2-й этап (улучшение опорного плана).

Определим переменную, вводимую в базис нового плана. В базис входит та переменная, которая соответствует отрицательной оценке. Если в матрице А отрицательных элементов несколько, то выбирается наименьший. В нашем примере А12 = -1, следовательно, в базис вводится переменная х12.

Для определения элемента, подлежащего выводу из базиса, и элементов нового плана из б азисных переменных плана строим це почку, замыкающуюся на пе р е ме нно й которая вводится в базис. Цепочка определяется методом вычёркивания :

0+5 5-5

0^5

В системе т+ п = 3 + 4 = 7 неизвестных и т + п -1 = 3 + 4 - 1 = 6 уравнений. Такая система уравнений имеет бесчисленное множество решений. Найдём одно из них (можно любое). Для нахождения какого-либо решения системы одному из неизвестных даётся произвольное значение и в зависимости от этого находятся все остальные неизвестные.

Пусть щ = 1, тогда:

v1 = 1 + и = 1, у3 = 2 + щ = 2,

15

0'

0 0

0 10 0 30

V У

v4 = 1 + и3 = 3.

Полученные значения неизвестных записываем в таблицу.

Зная потенциалы щ и V1, можно определить параметры Агу (оценки векторов условий) по формуле: Ац = ец - - и.), причём

оценки векторов условий, соответствующих базисным перевозкам плана, будут равны нулю:

'0 -1 0 3л

15-5 15+5

Цепочку образуют элементы

Х12 Х13 Х23 Х22 .

1 2 3 4

Строим новый план Х2. Для этого из чётных номеров, составляющих цепочку, выбираем минимальный:

0 = тт (5,15) = 5.

Далее к нечётным номерам цепочки (х12, х23) прибавляем 5, а из чётных номеров цепочки (х13, х22) вычитаем 5. Переменная х13 выводится из базиса (она обращается в нуль), а переменные, не входящие в цепочку, остаются без изменения. Итак, получили новый опорный план:

'15 5 0 0Л

0 10 20 0 0 10 0 30

V

/

транспортные издержки при котором составляют:

3 4

с„  *„ = 19°-

/ (X 2) = ХХ

.=1 ;=1

Первая итерация окончена. Итерация 2.

*

*

*

*

*

О Маріє 7 [Untitled (1) - [Server 1]]

File Edit View Insert Format - Options Window Help

Ш

-ax

п&чыз mm

I T [>

5ШІ

M

> wit h(s implex) :

> minimize(1*х11+3*х12+2*х13+6*Х14+2*х21+5*х22+3*х23+5*Х_ 24+4*x31+2*x32+4*x33+l*X34,{xll+xl2+xl3+X14=20,x21+x22 +x23+X24”30,x31+x32+x33+X34=40,xll+x21+x31=15,xl2+x22+ Х32-25,xl3+x23+x33=20,xl4+x24+x34«30,xll =0,xl2>»0,xl3 >=0,xl4>=0,x21>=0,x22>=0,x23>=0,x24>=0,x31>=0,x32>=0,x 33>=0,x34>=0},NONNEGATIVE);

{x23 = 20, xll = 5, x32 = 10, xl4 = 30, x21 = 10, X34 = 30, xl2 = 15, x24 = 0,

x34 = 0, x33 = 0, x22 = 0, J04 = 0, x3I = 0, x!3 = 0,X14 = 0)

> minf(X):=1*5+3*15+2*0+6*0+2*10+5*0+3*20+5*0+4*0+2*10+4 *0+1*30;

__________________________minfUQ := 180_______________________

Time: 0.7s Bytes: 3.56M Available: 1.17G

Рис. 1.

1-й этап (исследование плана Хг на оптимальность):

vl - ul

1, v2 - ul

3, v3 - u2

^3,

v 2 - u 3

Пусть ul = О, тогда:

v.

0 = 3,

v2 = 3

3 - u 2 = З, u 2 = -2

v

Запишем:

vl = l v2=3 v3=l v4=2

u =0 1* 3* 2 бЛ г 0 О 1 4"

C=u2 =-2 2 З 3* З , A = -1 О 0 1

u3 =1 4 V 2* 4 1* / 4 V О 1 0 /

Наличие отрицательной оценки а 21 = — 1 свидетельствует о том, что план Хг не оптимальный.

2-й этап (улучшение плана):

15-10 5+10

/

X 2 =

О

1З ,%0 ^ 10 ^0 О О 0 30

0+10

10-10

Находим 0 = тіп (15,10) = 10, Запишем новый опорный план:

Г З 1З О О

X3 = 10 О 2О О

0 10 О 3О

v3- (-2)=3 v3 =1;

3 - u = 2, u = 1;

Цепочка элементов:

1 = 1, v = 2.

X21 X11 X12

x„

1 2 3 4

Транспортные издержки при плане X3 будут: / (X 3) = 180.

Итерация 3.

1-й этап (исследование плана Х3 на оптимальность):

Пусть и1 = 0, тогда:

vl - 0 = 1, vl

v2 - 0 = 3, v2

= 1;

= 3; v3 - (-1) = 3, v3 = 2;

-1;

v

1 - u 2 = 2, u 2 Получим:

vl=l v2=3 v3=2 v4=2

1 = 1, v = 2.

ul = 0 C=u2 =-1 u3 = 1

г 1* 3* 2 бЛ

2* З 3* З A=

4 2* 4 1* V

4 0 3 0

Так как все А ^ > 0, то план X3 оптимальный.

Имеем:

Г 5 15 О О

X* = X3 = 1О О 2О О

О 1О О ЗО

V /

и

ДX*) = 180.

Решение примера в Маріє 7 (см. Рис. 1).

Рассмотренный пример показывает, что средства Маріє позволяют студенту (пользователю) получить результаты решения математических задач, а также задач, сводящихся к ним, за минимальное время. Именно поэтому, а также по другим весомым причи-

нам число пользователей Maple растет. Знание средств Maple, как и других математических приложений Windows, становится частью полноценного образования студента, особенно студента специальности "Прикладная информатика (в экономике)".

Литература:

1. Волков Г. Г., Григорьев Е.А., Сироткина М.Е. Математика в упражнениях и задачах (с иллюстрацией решений в Maple): Учебное пособие. - Чебоксары: ЧКИ РУК, 2008. - 192 с.

2. Дьяконов В.П. Компьютерная математика. Теория и практика. - М.: Налидж, 2901. - 1296 с.

3. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для экономических специальностей вузов. 2-е издание, исправленное и дополненное. - М.: Высшая школа, 1993. - 336 с.

G. Volkov, E. Grigoriev, M. Sirotkina. TEACHING MATHEMATICS USING ANALYTICAL CALCULATIONS PACKAGE MAPLE.

To learn the course "Mathematics" successfully by the students the authors developed and published the textbook "Mathematics in exercise and sums (with illustrations of doing sums in "Maple")". It is a guidance for doing sums "manually" and with the help of Maple 7, as well as the maintenance manual for studying possibilities of analytical calculations package maple 7.

ВОЛКОВ Геннадий Герасимович, кандидат технических наук, доцент кафедры математических и инструментальных методов экономики Чебоксарского кооперативного института Российского университета кооперации. Автор более 140 научных, учебных и методических работ (в том числе 17 монографий, учебников и учебных пособий) по экономико -математическому моделированию, вопросам преподавания математических дисциплин в вузе, проблемам средней и высшей школы.

ГРИГОРЬЕВ Евгений Арсентьевич, кандидат физико-математических наук, доцент, заместитель зав. кафедрой математических и инструментальных методов экономики Чебоксарского кооперативного института Российского университета кооперации. Автор свыше 90 научных работ по механике деформируемого твердого тела, экономико-математическому моделированию и вопросам преподавания математических дисциплин в вузе.

СИРОТКИНА Марина Евгеньевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики ФГОУ ВПО «Чувашский государственный университет» им. И.Н. Ульянова. Автор около 35 научных работ по математическим моделям и их приложениям.