Оценка количества 5-апериодических слов

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 512.54

ОЦЕНКА КОЛИЧЕСТВА 5-АПЕРИОДИЧЕСКИХ СЛОВ

Сенашов В.И.

Институт вычислительного моделирования СО РАН, г. Красноярск

ESTIMATING THE NUMBER OF 5-APERIODIC WORDS

Senashov V.I.

Institute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, Krasnoyarsk

В 1902 году У. Бернсайд поставил вопрос о локальной конечности групп, все элементы которых имеют конечные порядки. Первый отрицательный ответ был получен лишь спустя 63года Е.С. Голодом. Конечность свободной бернсайдовской группы периода n установлена в разное время для n =2, n =3 (У. Бернсайд), n =4 (У. Бернсайд; И.Н. Санов), n =6 (М. Холл). Доказательство бесконечности этой группы для нечетные > 665 - в книге С.И. Адяна (1975). Более наглядный вариант доказательства для нечетныхn > 1010 был предложен А.Ю. Ольшанским (1989). Для n =5 ответ до сих пор неизвестен. В связи с этими результатами рассматриваем множество 5-апериодических слов. В монографии А.Ю. Ольшанского (1989) доказана теорема о бесконечности множества 6-апериодических слов и получена оценка снизу количества таких слов любой данной длины. Наша задача получить оценку для функции f (n) количества 5-апериодических слов длины n .

Ключевые слова: группа, периодическое слово, апериодическое слово, алфавит, локальная конечность.

In 1902W. Burnside raised the issue of local finiteness of groups, all elements of which have finite order. A negative answer was received only 63 years laterby E.S. Golod. Finiteness of the free Burnside group of period n installed at different times for n = 2, n = 3 (W. Burnside), n = 4 (W. Burnside, I.N. Sanov), n = 6 (M. Hall). Proof of infinity of this group for odd n > 665 was given in the book by S.I. Adian (1975). A more intuitive version of the proof for odd n > 1010 was proposed by A.Yu. Olshansky (1989).For n = 5 the answer is still unknown. In connection with these results we consider the set of 5-aperiodic words.In the book by A.Yu. Olshansky (1989) was proved the theorem on the infinity of the set of 6-aperiodic words and a lower bound function for the number of words of a given length was obtained. Our aim is to get an estimate for the function f (n) of the number of 5-aperiodic words oflength n .

Keywords: group, periodic word, aperiodic word, alphabet, local finiteness.

Введение. В 1902 году Уильям Бернсайд поставил вопрос о локальной конечности групп, все элементы которых имеют конечные порядки [1]. Впоследствии этот вопрос приобрел статус проблемы Бернсайда о периодических группах.

Отрицательный ответ на него был получен впервые лишь спустя 62 года в 1964 году Е.С. Голодом [2]. Позднее С.В. Алешиным (1972) [3], Р.И. Григорчуком (1980) [4], В.И. Сущанским (1979) [5] была предложена целая серия отрицательных примеров. Сам У. Бернсайд в своей статье 1902 г. [1] обратил особое внимание на вопрос о локальной конечности групп с тождественным соотношением хп=1.

Группа B(d,n)=F/Fn, d>1, которая получается факторизацией свободной группы F=F(d) с d образующими по нормальной подгруппе Fn, порожденной n-ми степенями всех элементов из F, называется сейчас свободной бернсайдовской группой показателя (или периода) n. Ее конечность установлена в разное время для n=2 (тривиальный случай), n=3 (У. Бернсайд), n=4 (У. Бернсайд для d=2; И.Н. Санов [6] для произвольной^, n=6 (М. Холл [7]).

Доказательство бесконечности группы B(d,n), d > 2, для нечетных показателей n > 4381 было дано в работе П.С. Новикова - С.И. Адяна [8], а для нечетных n > 665 - в книге С.И. Адяна [9]. Гораздо более доступный и геометрически наглядный вариант доказательства для нечетных n > 1010 был предложен А.Ю. Ольшанским [10], который на основе усовершенствованного им геометрического метода, построил для каждого достаточно большого простого числа p бесконечную р-группу, все собственные подгруппы которой имеют порядок р. Это наиболее сильная форма отрицательного ответа на вопрос Бернсайда, означающая существование бесконечного множества конечно порожденных периодических групп с тождеством, сколь угодно далеких по своим свойствам от конечных.

Вопрос о конечности порожденной группы периода 5 до сих пор остается открытым.

В 1950 г. В. Магнусом была поставлена еще одна проблема, известная как ослабленная проблема Бернсайда. В ней требовалось выяснить, существует ли максимальная нильпотентная периодическая группа Bo(2,5) с данным числом порождающих элементов m и фиксированным периодом n. Сравнительный анализ бернсайдовых групп Bo(2,5) и B(2,5) проведен в нескольких работах [12-14]. Положительное решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп периода 5 приведен А.И.Кострикиным [11]. В работе А.А.Кузнецова и А.А. Шлепкин[13] отмечается, что наибольший интереспредставляет двупорожденная группа периода 5 (группа B(2,5)), поскольку эта группа имеет наименьший показатель и наименьшее число порождающих элементов в сравнении с другими бернсайдовыми группами, конечность которых не определена.

В связи с этими результатами рассмотрим множество5-апериодических слов в двубуквенном алфавите. Автором был сделан доклад «Апериодические слова» в 2015 г. на конференции «Решетневские чтения» [15], затем исследования по этому вопросу были продолжены: и была улучшена оценка А.Ю. Ольшанского[17] из количества 6-апериодических слов [16] и в данной работе рассматриваются 5-апериодические слова.

Основной результат.Под периодическим словом с периодом Н понимается любое подслово некоторой степени Нр, р>0.

В этом смысле ababa - периодическое слово с периодом ab или ba.

Под-апериодическим словом понимают слово X, если в нем нет непустыхподслов вида V.

В 1906 году А. Туэ установил существование 3-апериодических слов произвольной длины в любом неоднобуквенном алфавите [18]. В монографии С.И. Адяна [9] приведено доказательство С.Е. Аршона(1937 г.) [19] того, что в алфавите из двух букв существует бесконечное множество сколь угодно длинных 3-апериодических слов. В статьеКотлярова Н.В.«О словах, избегающих квадраты с одной возможной ошибкой замещения»[20] рассмотрена задача, являющаяся обобщением задачи о существовании сколь угодно длинных бесквадратных слов над алфавитом из трех букв.

А.Ю. Ольшанский [17] доказал теорему (доказательство близко к [21]) о бесконечности множества 6-апериодических слов и получена оценка снизу функции /(п) - количества таких слов длины п : в алфавите ^,Ь} существует сколь угодно длинные 6-апериодические слова. Более того, число / (п) таких слов длины п

больше, чем п.

В связи с этими результатами представляет интерес оценить количество 5-апериодических слов.

При доказательстве основного утверждения будем использовать метод А.Ю.Ольшанского [17]:

Теорема.В алфавите ^,Ь} существует сколь угодно длинные 5-апериодические слова. Более того, число / (п) таких слов длины п больше, чем

1,76929235п.

Доказательство.Сначала докажем неравенство /(п +1) > х • /(п) по индукции. Одновременно будем вводить ограничения на х . Сразу отметим очевидное неравенство: х > 1.

База индукции: /(2) > х • f (1), где /(1) = 2, /(2) = 4 . Для того, чтобы выполнялась база индукции: 4 > х • 2 , положим х < 2 .

Каждое 5-апериодическое слово длины п + 1 есть результат приписывания справа одной из букв aилиbк 5-апериодическому слову длины п . Можно получить 2 f (п) слов X длины п + 1. Но некоторые из полученных слов могут содержать

степени А5. Нужно оценить число подобных возможностей.

Может получиться лишь равенство вида X = У А5 , поскольку иначе уже начало длины п слова X длины п + 1 содержит А5. Для слов A длины 1 (всего два таких слова) имеется меньше, чем 2 f (п - 4) слов вида X = У А5, где слово У 5-апериодично и \у\ = п - 4 :

(........аааа ) a

п - 4

ЬЬЬЬ)ь

Существует 4 слова A длины 2. Количество соответствующих слов вида X = У А5 длины п + 1 меньше, чем 4 f (п - 9) , где слово У 5-апериодично длины п - 9 .

Аналогично продолжая рассуждения, получаем: f

Вынося f (п) за скобки получаем:

f

Введем еще одно ограничение < х для того, чтобы геометрическая прогрессия в правой части неравенства была убывающей.

Обозначим второй сомножитель правой части за 5 и применим формулу для

-5

суммы членов геометрической прогрессии со знаменателем 2 • х :

2 х -4

5 = 2 - —

1 - 2 х - 5

Неравенство f (п + 1) > х • f (п) будет выполняться при 5 > х. Преобразуем данное неравенство.

2 - 4 х 5 - 2 х 4 + 2 х 4 - х

1-2 х - 5 2 - 4 х - 5 - х 1-2 х

> 0

> 0

Так как 1-2 х 5 > 0 , получаем неравенство:

2 - 4 х- х > 0

Нас интересует решения этого неравенства в интервале (21. Решение

неравенства можно приблизить интервалом [1,54368902; 1,76929235], причём этот интервал полностью содержится в решении неравенства. Нас интересует максимальное значение х ,поэтому мы можем взятьзначение х =1,76929235. Теорема доказана.

Заключение. Рассмотрено множество 5-апериодических слов и получена оценка для функции / (п) количества 5-апериодических слов длины п .

(

п-4

Благодарности. Работа выполнена при поддержке гранта Сибирского федерального университета (проект — алгебро-логические структуры и комплексный анализ).

AcknowIedgment.This work was supported by the grant of the Siberian Federal University (Project - Algebra-logical structures and complex analysis).

Библиографический список:

1. Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure. Appl. Math. 1902. - V. 33. -P. 230-238.

2. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых группах // Изв. AН СССР Сер.мат. - 1964. - Т. 28. - №2. - С. 273-276.

3. Длешин С.В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Mат. заметки. - 1972. -Т. 11. - №3. - С. 319-328.

4. Григорчук Р.И. О проблеме Бернсайда о периодических группах // Функцион. анализ и его прил. 1980. Т. 14. №1. С. 53-54.

5. Сущанский В.И. Периодические р-группы подстановок и неограниченная проблема Бернсайда // ДAН СССР. - 1979. - Т. 247. - С. 557-560.

6. Санов И.Н. Решение проблемы Бернсайда для показателя 4 // Уч. зап. ЛГУ. - 1940. Т. 55. - С. 166-170.

7. Холл M. Теория групп. - M. : ИЛ. 1962. - 468 с.

8. Новиков П.С., ^ян С.И. О коммутативных подгруппах и проблеме сопряженности в свободных периодических группах нечетного порядка // Изв. AН СССР, сер.мат. - 1967. - Т. 32.- №1. - С. 212-244, Т. 32. - № 2. - С. 251-324, Т. 32. - №3. С. 708-731.

9. ^ян С.И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. - M. : Наука. 1975. - 336 с.

10. Ольшанский АЮ. Группы ограниченного периода с подгруппами простого порядка // Aлгебра и логика. - 1982. Т. 21. - №5. - С. 555-618.

11. Кострикин AÄ Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5 // Изв. AН СССР. Серия математическая. - 1955. - Т. 19.- № 3. - С. 233-244.

12. Шлепкин A.A. О подгруппах свободной двупорожденной бернсайдовой группы периода пять // Вестник Сиб^У. - 2012. - № 4(44). - С. 70-75.

13. Кузнецов A.A., Шлепкин A.A. Сравнительный анализ соотношений бернсайдовых групп B0(2,5) и B(2,5) // Тр. Ин-та математики и механики Урал.отдния Рос. акад. наук. - 2009. -Т. 15. - № 2. - С. 125-132.

14. Кузнецов A.A., Шлепкин A.A. Сравнительный анализ бернсайдовых групп B0(2,5) и B(2,5) // Тр. Ин-та математики и механики Урал.отд-ния Рос. акад. наук. - 2010. - Т. 2. - С. 133138.

15. Сенашов В.И. Aпериодические слова // Решетневские чтения: материалы XIX Mеждунар. науч.-практ. конф., посвящ. 55-летию Сиб. гос. аэрокосмич. ун-та им. акад. M. Ф. Решетнева (10-14 нояб. 2015, г. Красноярск) : в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т - Красноярск, 2015. - Ч. 2. - С. 132-133.

16. Сенашов В.И. Улучшение оценки количества 6-апериодических слов фиксированной длины // Вестник Сиб^У. - 2016. - № 2 (17). С. 168-172.

17. Ольшанский A^. Геометрия определяющих соотношений в группах. - M. : Наука. 1989. - 300 с.

18. Thue A. Uber unendliche Zeichenreih // Norcke Vid. Selsk. skr., I Mat. Nat. Kl. Christiania. - 1906. -Bd. 7. -S. 1-22.

19. Аршон С.Е. Доказательство существования n -значных бесконечных асимметричных последовательностей // Мат. сб. - 1937. - Т. 2(44). - №4. С. 769-779.

20. Котляров Н.В. О словах, избегающих квадраты с одной возможной ошибкой замещения // Материалы Междунар. молодежн. науч. форума «Ломоносов-2014» / Отв. ред. А. И. Андреев, А. В. Андриянов, Е. А. Антипов. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2014.

21. Гуревич Г.А. Бесповторные последовательности // Квант. - 1975. - №9. - С. 7-11. Bibliograficheskiy spisok:

1. Burnside W. On an unsettled question in the theory of discontinuous groups // Quart. J. Pure. Appl. Math. - 1902. -T. 33. - P. 230-238.

2. GolodYe.S. O nil'-algebrakh i finitno-approksimiruyemykhg ruppakh // Izv. AN SSSR Ser. mat. - 1964. - T. 28. - № 2. - S. 273-276.

3. Aleshin S.V. Konechnyye avtomaty i problema Bernsayda o periodicheskikh gruppakh // Mat. zametki. - 1972. T. 11. - №3. - S. 319-328.

4. Grigorchuk R. I. O problem Bernsayda o periodicheskikh gruppakh // Funktsion. analiziyegopril. 1980. - T. 14. - №1.- S. 53-54.

5. Sushchanskiy V.I. Periodicheskiye r-gruppy podstanovok i neogranichennaya problema Bernsayda // DAN SSSR. - 1979. - T. 247. - S. 557-560.

6. Sanov I.N. Resheniyep roblemy Bernsaydad lya pokazatelya 4 // Uch. zap. LGU. 1940. - T. 55. - S. 166-170.

7. Kholl M. Teoriya grupp. - M. : IL. 1962. - 468 s.

8. Novikov P.S., Adyan S.I. O kommutativnykh podgruppakh i problem sopryazhennosti v svobodnykh periodicheskikh gruppakh nechetnogo poryadka // Izv. AN SSSR, ser. mat. 1967. - T. 32. - №1. S. 212-244, - T. 32. - №2. - S. 251-324, - T. 32. - №3.- S. 708-731.

9. Adyan S.I. Problema Bernsayda i tozhdestva v gruppakh.- M. :Nauka. 1975. - 336 s.

10. Ol'shanskiyA.Yu. Gruppyogranichennogoperioda s podgruppamiprostogoporyadka // Algebra ilogika. - 1982. - T. 21. - №5. - S. 555-618.

11. Kostrikin A.I. Resheniye oslablennoy problem Bernsayda dlya pokazatelya 5 // Izv. AN SSSR.Seriya matematicheskaya.- 1955. - T. 19. - № 3. - S. 233-244.

12. Shlepkin A.A. O podgruppakh svobodnoy dvuporozhdennoy bernsaydovoy gruppy perioda pyat' // VestnikSibGAU. - 2012. - № 4(44). - S. 70-75.

13. Kuznetsov A.A., Shlepkin A.A. Sravnitel'nyy analiz sootnosheniy bernsaydovykh grupp B0(2,5) iB(2,5) // Tr. In-ta matematiki i mekhaniki Ural. otdniyaRos. akad. nauk. - 2009. - T. 15. - № 2. - S. 125-132.

14. Kuznetsov A.A., Shlepkin A.A. Sravnitel'nyy analiz bernsaydovykh grupp B0(2,5) iB(2,5) // Tr. In-ta matematiki i mekhaniki Ural. otd-niya Ros.akad. nauk. - 2010. - T. 2. - S. 133-138.

15. Senashov V.I. Aperiodicheskiye slova // Reshetnevskiye chteniya: materialy XIX Mezhdunar. nauch.-prakt. konf., posvyashch. 55-letiyu Sib. gos.aerokosmich. un-ta im. akad. M. F. Reshetneva (10-14 noyab. 2015, g. Krasnoyarsk) : v 2 ch. / pod obshch. red. YU.YU.Loginova; Sib. gos.aerokosmich. un-t - Krasnoyarsk, 2015. - CH. 2. - S. 132-133.

16. Senashov V.I. Uluchsheniye otsenki kolichestva 6-aperiodicheskikh slov fiksirovannoy dliny // VestnikSibGAU. - 2016. - № 2 (17). - S. 168-172.

17. Ol'shanskiyA.Yu. Geometriya opredelyayushchikh sootnosheniy v gruppakh.- M. :Nauka. 1989. - 300 s.

18. Thue A. UberunendlicheZeichenreih // Norcke Vid. Selsk.skr., I Mat.Nat. Kl. Christiania. 1906. Bd. 7. S. 1-22.

19. ArshonS.Ye. Dokazatel'stvo sushchestvovaniya n znachnykh beskonechnykh asimmetrichnykh posledovatel'nostey // Mat. sb. - 1937.- T. 2(44). - №4.-S. 769-779.

20. Kotlyarov N.V. O slovakh, izbegayushchikh kvadraty s odnoy vozmozhnoy oshibkoy zameshcheniya // Materialy Mezhdunar. molodezhn. nauch. foruma «Lomonosov-2014» / Otv. red. A.I. Andreyev, A.V. Andriyanov, Ye.A. Antipov. [Elektronnyyresurs] M.: MAKS Press, 2014.

21. Gurevich G.A. Bespovtornyye posledovatel'nosti // Kvant. - 1975. - №9. - S. 7-11.

Сенашов Владимир Иванович - доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник Института вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, E-mail: sen1112home@mail.ru

Senashov Vladimir - doctor of physic and mathematic sciences, professor, leader researcher of Institute of Computational Modelling of Siberian Branch of RAS, E-mail: sen1112home@mail.ru

УДК 531

АППАРАТУРА И МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ СПИРТОВ

И ИХ СМЕСЕЙ

Хворов Ю.А., Юрченко С.А., Астафьева Т.Н.

Тувинский государственный университет, г. Кызыл

APPARATUS AND METHOD FOR DETERMINING THE DENSITY ALCOHOLS AND MIXTURES THERE OF

Khvorov Yu.A, Yurchenco C.A., Astafyeva T.N.

Tuvan State University, Kyzyl

В статье рассматриваются вопросы экспериментального определения плотности спиртов. Рассмотрена методика определения плотности, обработка экспериментальных данных. Приведена погрешность расчетов на примере спиртов и их смесей.

Ключевые слова: аппаратура, физика, теория, плотность, жидкость.

The questions of experimental determination of closeness ofalcohols are examined in the article. Methodology of determination of closeness, processing ofexperimental data, i s considered. An error over of calculations is brought on the example ofalcohols and their mi xtures.

Key words: equipment, physics, theory, the density of the liquid.

Используемая методика и техника проведения экспериментальных исследований по определению плотности исследуемых жидкостей предусматривает сведение к возможному минимуму внешних воздействий при определении плотности, стабилизацию температурных условий, прецизионность осуществляемых измерений, устранение посторонних примесей в исследуемых веществах.

Нами сконструирована под руководством профессора Пугачевича П.П. [ 1 ] установка (УИФХХ-2) (рис.1), устройство которой позволяет с помощью специального амортизатора (3) и приборной рамки изолировать помещенные в термостат (10) со