Морсовские линейные функционалы на орбитах присоединенного действия полупростых групп Ли

Математика

УДК 514.747.2

МОРСОВСКИЕ ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ НА ОРБИТАХ ПРИСОЕДИНЕННОГО ДЕЙСТВИЯ ПОЛУПРОСТЫХ ГРУПП ЛИ

В. А. Шмаров1

Рассматриваются линейные функционалы на алгебре Ли произвольной полупростой компактной группы Ли и ограничения этих функционалов на произвольную орбиту присоединенного действия. Сформулированы и доказаны критерии критичности и невырожденной критичности точки на орбите для заданного функционала, а также критерий мор-совости функционала на орбите. Указаны способ вычисления индексов критических точек и его приложения в изучении топологии орбит.

Ключевые слова: группа Ли, присоединенное действие, орбита, линейный функционал, функция Морса, критическая точка.

Linear functionals are considered on the Lie algebra of an arbitrary semisimple compact Lie group with restrictions of these functionals onto an arbitrary orbit of the adjoint action. Criteria for the criticality and non-degenerate criticality of a point on the orbit are formulated and proved for a given functional, the necessary and sufficient condition for a linear functional to be a Morse function on the orbit is also proved. The method calculating the indices of critical points and its applications in the study of topological properties of orbits are indicated.

Key words: Lie group, adjoint action, orbit, linear functional, Morse function, critical point.

Введение. Для изучении топологии гладких компактных многообразий большой размерности часто привлекается теория Морса, исследующая функции Морса на гладких многообразиях (определение будет дано позднее). Для компактного гладкого многообразия и заданной на нем функции Морса существует представление многообразия в виде конечного клеточного комплекса, в котором количество клеток равно числу критических точек функции, а размерности клеток равны индексам этих критических точек [1]. Поэтому, если удастся указать на многообразии "хорошую" функцию Морса и вычислить индексы критических точек, это поможет нам в изучении топологии многообразия.

В качестве важного класса гладких функций рассмотрим "функции высоты" на орбитах действия некоторой линейной группы Ли G на евклидовом пространстве RN. Иными словами, функцию Морса будем искать среди функций на RN самого простого вида — линейных, т.е. функций высоты относительно некоторой прямой (h).

Мы хотим понять, при каких условиях на прямую (h), группу G и саму орбиту O функция Д высоты относительно (h) будет функцией Морса на O, а также посчитать индексы критических точек в случае, когда она будет функцией Морса. Ряд результатов для некоторых компактных матричных групп Ли, полученных в работе [2], приведен ниже.

Теорема 1. Обозначим D© = ) : > Ц-2 > ••• > ^ 0} при G = O(n),

= {diag(^1,^2,...,¡j,n) : > > ... > > 0} при G = U(n), Sp(n).

Линейные функционалы f (x) на пространстве матриц Mn(R), ограничение которых на G является функцией Морса, — это в точности функционалы вида fH(X) = tr(XH), где H £ GQ&G = {PDQ : P,Q £ G,D £ D&}.

Фактически в теореме 1 рассматривается орбита единичной матрицы действия G на Mn (R) левыми сдвигами (умножением слева).

В формулировках следующих теорем имеется в виду, что любой линейный функционал f(X) на Mn(R) задается некоторой матрицей H и имеет вид f (X) = tr(XH).

Теорема 2. Пусть Vk(Rn) — многообразие Штифеля, т.е. пространство упорядоченных ортонор-мированных k-реперов в n-мерном евклидовом пространстве, стандартным образом вложенное в пространство V = {X £ Mn(R) : Xij = 0 при j > k}. Для С £ Mk (R) обозначим С = jj j £ Mn

1 Шмаров Владимир Альбертович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: SmarovVladimir@yandex.ru.

Тогда если Г = {diag(Ai, Л2,..., Ak, 0,... , 0) G Mn(R) : Ai = 0 и A2 = A2 при i = j}, то линейные функционалы на Mn(R), ограничение которых на Vk(Rn) есть функция Морса, .задаются матрицами вида O(n)rO(k) + V± = {PDQ + B : P G O(n),D G r,Q G O(k), B G V

Теорема 3. Пусть Gk(Rn) С Mn(R) — многообразие Грассмана, т.е. пространство вещественных симметричных идемпотентных n х n-матриц ранга k. Обозначим Г = {diag(Ai, A2,...,An) : Ai = Aj при i = j}. Тогда линейные функционалы на Mn(R), ограничение которых на Gk(Rn) является функцией Морса, .задаются матрицами вида O(n) о Г + o(n) = {PDPT + A : P G O(n), D G Г,А G o(n)}.

Теорема 4. Для флагового многообразия F = F(ni,n2,...,nr) определим его вложение в Mn(R) как орбиту элемента Q = diag(1, ...,1,...,r, ...,r) (единица берется ni раз, двойка — n2 'раз и т.д.) при действии O(n) на Mn(R) сопряжениями. Пусть Г = {diag(Ai,A2,...,An) : Ai = Aj при i = j}. Тогда линейные функционалы на Mn(R), ограничение которых на F является функцией Морса, задаются матрицами вида O(n) о Г + o(n) = {PDPT + A : P G O(n), D G Г,А G o(n)}.

В теоремах 1-4 фигурируют орбиты действия группы O(n) (левыми сдвигами или сопряжениями). Хотелось бы обобщить эти результаты на более широкий класс групп Ли.

Постановка задачи и полученные результаты. Будем рассматривать полупростую (и чаще всего компактную) группу Ли G и ее присоединенное представление Ad© как действие на ее алгебре Ли g. Пусть b G g — произвольный ненулевой элемент этой алгебры, O = O(b) = Ad©b — его орбита присоединенного действия.

Будем сразу считать полупростую алгебру g (ас ней и группу G) отображенной в матричную группу эндоморфизмов End(g) посредством присоединенного представления ad, тогда (невырожденная) форма Киллинга на g запишется как к(х,у) = tr(xy).

Пусть h G g — еще один ненулевой элемент этой алгебры, fh(х) = tr(xh) — функция высоты относительно прямой (h).

Задача формулируется так: для каких ненулевых элементов h и орбит O функция fh будет функцией Морса на O?

В настоящей работе доказываются следующие результаты (через Z(х) обозначается централизатор элемента х в алгебре g).

Теорема 5. Пусть группа G полупроста. Тогда если точка b является невырожденной критической точкой для fh на O(b), то Z(h) С Z(b). Если группа G компактна, то верно и обратное.

Теорема 6. Пусть группа G компактна и полупроста. Если h — регулярный элемент, то функция fh является функцией Морса на любой орбите. Если орбита O порождена регулярным элементом, то верно обратное, т.е. в этом случае fh — функция Морса тогда и только тогда, когда элемент h регулярен.

Если b — критическая точка для fh на O(b), то гессиан fh задает на TbO(b) симметричную билинейную форму H. Для компактных групп G верен следующий результат.

Теорема 7. Пусть G — компактная полупростая группа, b G g критическая точка для fh на O(b). Тогда в TO(b) существует такой базис, что в нем набор собственных чисел матрицы формы H функции fh в точке b будет совпадать с набором тех A G R, для которых Z (h — Ab) ^ Z (b).

В конце работы доказывается следствие из теоремы 3.

Следствие. В случае G = SO(n) все орбиты присоединенного действия односвязны.

Этот факт известен, однако его обычное доказательство использует факты гомотопической теории, относящиеся к расслоениям. Наше доказательство основано на технике подсчета индексов критических точек с помощью теоремы 7.

Некоторые сведения из теории групп Ли и теории Морса. Группой Ли называют группу G, которая обладает структурой гладкого многообразия, причем естественные групповые операции умножения и взятия обратного элемента являются гладкими функциями.

Алгеброй Ли называют линейное пространство L с билинейной операцией умножения [•, •] : L2 L, обладающей следующими двумя свойствами:

1) [х,х] =0 V х G L (антикоммутативность);

2) [х, [у, z]] + [у, [z, х\] + [z, [х, у]] = 0 V х,у,z G L (тождество Якоби).

Далее мы будем иметь дело с вещественными конечномерными алгебрами Ли.

Вместе с алгеброй Ли L часто рассматривают ее присоединенное представление, т.е. гомоморфизм алгебры L на алгебру ее эндоморфизмов End(L) (структура алгебры Ли на ней вводится так: [A, B] = AB — BA), действующий следующим образом: ad: L — End(L), ad^^) = [х,у]. Ядро этого гомоморфизма является идеалом в L и называется центром алгебры L (обозначение Z(L)), ядро эндоморфизма

ad^ называют централизатором x и обозначают Z(x). Структура алгебры Ли на Im(ad) согласована с гомоморфизмом ad, т.е. [ad^, ady] = ad^j.

Последовательность идеалов L(i) в L с условиями

L

= L и

L(k) = [L(k-1),L(k-1)] = ({[x,y]\ x,y £ L(k-1)}) называется производным рядом, а последовательность идеалов Li с условиями Lo = L и Lk = [Lk-1,L] — нижним центральным рядом. Алгебра L называется разрешимой (соответственно нильпо-тентной), если ее производный ряд (соответственно нижний центральный ряд) с некоторого момента нулевой.

Алгебра L называется простой, если в ней нет ненулевых собственных идеалов, и полупростой, если выполнено одно из следующих равносильных условий:

1) L раскладывается в прямое произведение простых алгебр;

2) L не имеет нетривиальных разрешимых идеалов;

3) форма Киллинга n(x,y) = tr(ad^ady) на L невырождена.

Картановской подалгеброй H называют любую нильпотентную подалгебру в L, совпадающую со своим нормализатором. В случае, если L полупроста, картановские подалгебры — это в точности централизаторы регулярных элементов (т.е. диагонализуемых элементов с минимально возможной размерностью централизатора), в этом случае все картановские подалгебры коммутативны и все они сопряжены посредством внутренних автоморфизмов L.

На касательном пространстве к группе Ли G в точке e можно естественным образом ввести структуру вещественной алгебры Ли: пусть u,v £ TeG, 7(t) и ((t) — гладкие кривые на G, векторы скорости которых

d

в точке е равны и и v соответственно. Тогда положим [u,v] = ~r^/(t)~1((t)~1^/(t)((t) . Эта алгебра Ли

dt t=o

обозначается g.

Присоединенным действием группы G называют действие G на g сопряжениями: a 1—> Ada, Ada(b) = a-1ba, где a £ G, b £ g. Группа Ли G называется простой (соответственно полупростой), если такова ее алгебра Ли g.

Подробнее с алгебрами Ли можно ознакомиться в монографии [3].

Пусть на гладком вещественном многообразии M задана вещественная гладкая функция f. Точка x £ M называется критической для f, если gradf (x) = 0. Критическая точка x называется невырож-

д2 f

денной, если в этой точке гессиан функции / — матрица Sjij = - — невырожден, в этом случае

dxidxj

количество отрицательных собственных значений этой матрицы называется индексом данной критической точки. Функция f называется функцией Морса на многообразии M, если у нее только конечное число критических точек и все они невырождены.

Условия критичности и невырожденности. Для группы Ли G рассмотрим присоединенное действие Ad© и некоторую его орбиту O С g. Для каких ненулевых h £ g функция fh(x) = tr(xh) будет функцией Морса на O? Мы найдем необходимые и достаточные условия критичности и невырожденности точки b для fh на O(b).

Лемма. Точка b является критической точкой для fh на O(b) тогда и только тогда, когда h £ Ker(adb).

Доказательство. Критичность b равносильна тому, что ее производная в точке b по любому направлению равна нулю, т.е. для любого c £ g имеем

d

fh

= 0,

t=o

где а(£) = е + сЬ + о(£) — гладкая кривая в G. Тогда для любого сед выполнено равенство

(I _ _

0= —fh

d

= 17tr ((6 + t6' + h) Lo = trd6' cW = bIе)"

dt

t=o dt

Из невырожденности формы Киллинга имеем [Ь, Ь] = 0, и одна из импликаций доказана. Так как рассуждения обратимы, то лемма доказана.

Из доказательства леммы следует, что произвольный касательный вектор к О(Ь) в точке Ь имеет вид [Ь,с], поэтому ТьО(Ь) = adьй.

Пусть Ь — критическая точка для Д на О(6). Гессиан функции Д в окрестности Ь имеет вид =

д2Ь

————г (в локальных координатах {хг\ на О(Ъ)) и задает на ТьО(Ь) = аd5a симметричную билинейную дхгдх1

форму Н(и,ь) = игь3, невырожденность которой на аё^д равносильна невырожденности критической точки Ь.

(Ъ Ш

Если 7(£) — гладкая кривая на О(6) с условиями 7(0) = Ъ и

dt

ствующей квадратичной формы Q имеем

0(ui) = = Ъци\и[ = тг-7г-и\и{

V = д'h ui u3 = д fh dfd^ ljUJl 1 дх*дх* 1 1 дх*дх* dt dt

= u\ = adbU, то для соответ-

t=0

d2

= -шм-у m

t=0 dt t=0

Далее, пусть 7(t) = a 1(t)ba(t), где a(t) = e + ut + + o(t2) — гладкая кривая в Тогда

d2

d2 (( u2t^i u2t2

= -r^tr e — ut H—— 6 e + ut +

t=o dt2 w 2 ) \ 2

t=0

= t^

в силу условия [b, h] = 0.

Таким образом, если ui = adbu и vi = adbv, то

f)(-ui, t»i) = ^ + vi) — 0(«i) — 0(t»i) j = tr (uvbh + vubh — ubvh — vbuh) =

= tr ((bhu + ubh — hub — buh)v) = tr([h, [b, u]] v) = tr((adhadb(u))v).

Итак, мы указали явный вид нашей билинейной формы на adbg, из которого следует, что если b — критическая точка для fh на своей орбите, то она вырождена тогда и только тогда, когда существует элемент u Е g, такой, что ad^u = 0 и для любого v Е g выполнено равенство tr([h,adbu]v) = 0, что ввиду невырожденности формы Киллинга равносильно тому, что существует такой элемент u Е g, что

adbu = 0, [h, adbu] = 0.

Доказательство теоремы 5. Докажем достаточность. Пусть b — невырожденная критическая точка для fh на O(b) и x EKer(adh)\Ker(adb). Тогда [h, [b,x\] = [[ж, h],b] + [[h, b],x] = 0, т.е. для любого y Е g выполнено равенство H(ad^x, ad^y) = tr([h, [b, x]]y) = 0, а это значит, что adbx = 0 и ad^x E Ker(H). Следовательно, ядро формы H нетривиально, поэтому она вырождена — противоречие.

Докажем необходимость. Пусть группа G компактна и Ker(adh) Q Ker(ad^). Тогда h Е Ker(adh) Q Ker(adb). Согласно лемме, b — критическая точка для fh на O(b). Если для некоторого u Е g выполнено [h,ad^u] = 0, то [b, ad^u] = 0, значит, tr((ad^u)2) = trQad^u, b]u) = 0, откуда ad^u = 0, так как форма Киллинга алгебры Ли компактной полупростой группы Ли знакоопределена. Таким образом, форма H невырождена и требуемое доказано. Теорема 5 доказана.

Пример 1. Приведем простой пример, показывающий, что условие компактности G нельзя опустить. Возьмем G = SL(3, R); b,h,u Е sl(3, R), пусть

(001\ (010\ (0 0 0N b = I 000 I , h = I 0011, u = I 100

\000J \000j \0 —10/

Несложно проверить, что Ker(adh) Q Ker(ad^), однако ad^u = 0 и [h, ad^u] = 0, т.е. b — вырожденная критическая точка для fh на O(b), стало быть, обратное утверждение теоремы 5 в этом случае неверно.

Условия морсовости. До сих пор мы рассматривали окрестность одной критической точки. Чтобы установить морсовость fh на всей орбите O(b), следует взглянуть на орбиту в целом. Теорема 5 устанавливает некоторые условия невырожденности критической точки b в терминах вложенности централизаторов. Следующим шагом будет формулировка условия морсовости fh на O(b) в терминах картановских подалгебр.

Назовем орбиту O(b) регулярной, если элемент b является регулярным. Нетрудно понять, что данное определение корректно, так как присоединенное действие не меняет регулярность элемента.

Доказательство теоремы 6. Пусть элемент h регулярен, O — произвольная орбита. Пусть b — любая критическая точка для fh на O. По лемме [h, b] = 0, т.е. b лежит в картановской подалгебре Z

h

алгебры д. Так как эта подалгебра коммутативна, то 2(Ь) ^ 2(Ь), и по теореме 5 точка Ь невырождена. Таким образом, все критические точки функции Д на О невырождены, т.е. Д — функция Морса на О.

Пусть теперь О регулярна. Пусть Д — функция Морса на О. Так как © компактна, то и орбита О компактна, поэтому у Д найдется хотя бы одна критическая точка на этой орбите (например, максимум), обозначим ее Ь. По лемме Ь £ 2(Ь), но так как элемент Ь регулярен, то 2(Ь) содержит картановскую подалгебру 2(Ь), 2(Ь) ^ 2(Ь). По теореме 5 имеем 2(Ь) С 2(Ь), значит, 2(Ь) = 2(Ь) — картановская подалгебра, что означает, что элемент Ь регулярен. Теорема 6 доказана.

Итак, мы полностью классифицировали линейные функции Морса на регулярных орбитах для компактных полупростых групп Ли. Ситуация с сингулярными и, тем более, с неполупростыми орбитами намного сложнее и пока полностью не описана.

Индексы. Отрицательная определенность формы Киллинга компактных полупростых алгебр Ли позволяет вычислять индексы критических точек линейных функционалов на орбитах присоединенного действия.

Доказательство теоремы 7. Форма Киллинга на д отрицательно определена и симметрична, поэтому в ТьО(Ь) = аё^й можно выбрать такой базис, в котором матрица ограничения формы Киллинга на ТьО(Ь) имела бы вид (—I). Рассмотрим матрицу Нг^ формы Н в этом базисе. Пусть П\ = аёьи будет ее собственным вектором с собственным значением Л тогда и только тогда, когда (Н — \1)п\ = 0. Это равносильно тому, что (Н + Лк)п\ = 0, т.е. для любого ы = аё^у выполнено Н(и\,У\) + Лк(п\у) = 0 (в последнем выражении мы понимаем Н и к как билинейные формы на аё^д, в остальных — просто как матрицы). Последнее выражение равносильно тому, что для любого V £ д имеем 1т([Ь, П\]у)+Л1т(и1 аёьу) = 0, т.е. Ьг(([Ь, П1 ] —Л[Ь, П1])у) =0, — это эквивалентно тому, что [Ь—ЛЬ, щ] = 0. Согласно (1), это равносильно тому, что Ь является вырожденной критической точкой для /ь,-\ь на О(Ь). По теореме 5 это равносильно тому, что 2(Ь — ЛЬ) ^ 2(Ь). Теорема 7 доказана.

Нетрудно также понять, что в доказательстве теоремы 7 кратность каждого собственного значения Л равна коразмерности 2(Ь — ЛЬ) П 2(Ь) в 2(Ь — ЛЬ). Знание сигнатуры Гессиана в критических точках позволит нам вычислить индексы этих критических точек, что в свою очередь может быть полезным для изучения топологии орбит присоединенного действия.

Доказательство следствия. Пусть О С 5о(п) — произвольная орбита присоединенного действия. Рассмотрим элемент

ь = Ч

где ¡1\ > > Л-2 > • • • > Ь,]^ > 0, к = [т|], а количество нулей равно 1 в случае нечетного п и 0 в случае четного п — эти условия обеспечивают регулярность Ь, а вместе с ней и морсовость Д (по теореме 6). Картановская подалгебра 2(Ь) состоит в точности из элементов вида

с((Л С ) , ЦО-СЛ)  <0)) , сг £

Пусть Ь £ 2(Ь) ПО — произвольная критическая точка для Д на О. Найдем те Л, при которых 2(Ь — ЛЬ) ^ 2 (Ь). Так как

Ь — ЛЬ =

то нетрудно понять, что условие 2(Ь — ЛЬ) ^ 2(Ь) означает, что либо существуют г] ^ к, такие, что Ьг = , но Ьг — ЛЬг = ±(Ь^ — ЛЬ^), либо (в случае нечетного п) существует г ^ к, такое, что Ьг = 0, но Ьг — ЛгЬг = 0 (в первом случае "вылезание" централизатора 2(Ь — ЛЬ) за пределы централизатора 2(Ь) будет осуществляться за счет возникновения блока 4 х 4, стоящего на пересечении строк с номерами 2г — 1, 2г, 2] — 1, 2] и столбцов с теми же номерами, имеющего кратные собственные значения; во втором же случае "вылезание" объясняется появлением у элемента Ь — ЛЬ нулевого блока размера 3 х 3, стоящего на пересечении строк с номерами 2г — 1, 2г, п и столбцов с теми же номерами).

Однако, выписав явный вид пространства аё^д, несложно понять, что в каждом из этих случаев подпространство в аёьй, состоящее из тех векторов щ, для которых [Ь — ЛЬ, щ] = 0, как минимум двумерно. Это означает, что у матрицы Гессиана Д в точке Ь в соответствующем базисе (из теоремы 7) вообще нет однократных собственных значений, в частности все отрицательные собственные значения имеют кратность хотя бы два, т.е. индекс любой критической точки больше единицы. По соответствующей теореме

из теории Морса О можно представить в виде клеточного комплекса, причем в этом представлении не будет одномерных клеток. Тогда фундаментальная группа О тривиальна. Требуемое доказано. В случае некомпактных групп Ли орбиты не обязаны быть односвязными.

Пример 2. Пусть © = БЬ(2, М), Ь Е д, Ь = ^^ — регулярный элемент, порождающий орбиту

ХУ ) Х2 "

,г —х,

т.е. неодносвязна, ^(О) = Ъ.

x2 + yz = 1 >. Эта орбита гомеоморфна однополостному гиперболоиду x2 + yz = 1,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. Ижевск: Ижев. республик. типограф., 1999.

2. Subhash B. Linear Morse functions. Bombay: Indian institute of technology, 2009.

3. Humphreys J.E. Introduction to Lie algebras and representation theory. N.Y.: Springer-Verlag, 1978.

Поступила в редакцию 23.04.2010

УДК 519.21

ДВУХФАЗНАЯ СИСТЕМА ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕНАДЕЖНЫМИ ПРИБОРАМИ

И. В. Руденко1

Рассматривается двухфазная система обслуживания с ненадежными приборами и конечным числом мест в буфере, расположенном между фазами. В работе показано, что данная система обслуживания может рассматриваться как система, функционирующая в случайной среде. Найдены условия эргодичности. В экспоненциальном случае получена асимптотическая форма коэффициента загрузки.

Ключевые слова: многофазные системы обслуживания, условие эргодичности, коэффициент загрузки.

A two-phase queueing system with a finite number of places in the buffer between the phases and unreliable servers is considered. It is shown that the queueing system can be interpreted as a queue functioning in a random environment. The ergodicity condition is found. The asymptotics of the traffic coefficient is obtained for the exponential case.

Key words: multiphase queueing systems, ergodicity condition, traffic coefficient.

1. Введение. Системы обслуживания с ненадежными приборами являются предметом исследования большого числа публикаций по теории очередей. Одной из ключевых в данном направлении является работа [1], в которой рассмотрена одноканальная система с ненадежным прибором при произвольном распределении времени обслуживания. В [1] найдено распределение времени до завершения обслуживания, получены условия эргодичности системы для различных способов обслуживания требований. Системы с ненадежными приборами в том или ином виде появляются и в современных исследованиях (см., например, [2-4]). При этом один из первых вопросов, которые приходится решать, состоит в отыскании условий эргодичности описывающих модель процессов. Изучению этих условий для цепей Маркова посвящена обширная литература (см., например, [5, 6]). Здесь мы рассмотрим двухфазную систему обслуживания с ненадежными приборами и конечным числом мест для ожидания в буфере между фазами. В этой модели двумерный процесс, задающий число требований на каждой фазе, не является марковским, и для анализа условий эргодичности потребовались иные подходы.

1 Руденко Игорь Викторович — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: irudenkoMR@gmail.com.