Моделирование динамических режимов вибрационного робота, перемещающегося по поверхности с вязким сопротивлением

ЯЦУН1 Сергей Федорович, доктор технических наук, профессор ВОЛКОВА2 Людмила Юрьевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ ВИБРАЦИОННОГО РОБОТА, ПЕРЕМЕЩАЮЩЕГОСЯ ПО ПОВЕРХНОСТИ С ВЯЗКИМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

В статье представлены результаты исследования прямолинейного и криволинейного движений виброробота, перемещающегося. за счет, периодических колебаний двух внутренних масс.

Ключевые слова: вибрационный робот, внутренняя масса, система автоматического управления.

In the article the results of investigation, of the rectilinear and curvilinear movements of the vibration-driven, robot moving under the action of periodical oscillations of two internal masses are presented. Keywords: vibration-driven robot, internal mass, system, of automatic control.

В статье представлены результаты исследования динамики мобильного вибрационного робота, безотрывно перемещающегося по поверхности с вязким сопротивлением за счет периодических движений внутренних масс. Особенностью рассмотренного устройства является то, что взаимодействие с поверхностью осуществляется при помощи опорных элементов, углом наклона которых к поверхности определяется модель силы вязкого сопротивления. Для движения объекта по заданному закону необходимо управлять величиной и направлением сил трения, что достигается перемещением внутренних масс по заданному закону. Одно из достоинств такого вида систем заключается в отсутствии внешних движителей, что позволяет создавать устройства с гладким герметичным корпусом и использовать их для решения таких технологических задач, как мониторинг состояния окружающей среды, разведывание полезных ископаемых, взятие проб воды и воздуха в зонах, недоступных другим роботам, транспортировка грузов. Закономерности и особенности перемещения вибрационных роботов, различных по конструкции, количеству и законам движения внутренних масс, изучаются многими отечественными и зарубежными исследователями. В работах [1 — 3] рассматривается прямолинейное движение двух-

массовой системы в среде с сопротивлением, установлены законы движения внутренних масс, при которых объект перемещается с наибольшей за период средней скоростью. В [4] представлены результаты исследований влияния периодических относительных колебаний внутренней массы на характер перемещения робота, анализ которых позволяет определить условия для реализации движения системы в желаемом направлении. Перемещение вибрационного робота по горизонтальной поверхности за счет гармонических колебаний внутренних масс в горизонтальной и вертикальной плоскостях с одинаковой частотой и со сдвигом фаз исследовано в [5]. Математическая модель движения вибрационного робота по шероховатой горизонтальной плоскости предложена в [6], получены основные закономерности движения. В [7, 8] описываются особенности управления движением двухмассового вибрационного робота, в [9, 10] показаны способы управления направлением перемещения системы с тремя вращающимися массами. Исследование динамики плавающего робота, перемещающегося посредством периодических колебаний внутренних масс и асимметричной силы вязкого трения, создаваемой благодаря форме корпуса, приведено в [12]. В [13] для управления силой вязкого сопротивления используются

' — Юго-Западный государственный университет, г. Курск, зав. кафедрой;

2 — Юго-Западный государственный университет, г. Курск, аспирант;

специальные элементы поплавков трехмассовой плавающей системы.

Особенностью вибрационных устройств является то, что их движение осуществляется за счет сил трения, возникающих при взаимодействии объектов с опорной поверхностью, поэтому сопротивление среды оказывает существенное влияние на динамику устройства, что нашло отражение в работах [1, 11]. В [1] рассмотрены линейный и квадратичный, изотропный и анизотропный законы сопротивления среды, в [11] представлены кусочно-линейное, квадратичное и сухое кулоново трение.

Математическая модель виброробота

Рассматриваемый виброробот состоит из трех основных частей (рис. 1): двух подвижных внутренних масс 1 и 2 (ш1 и ш2) и корпуса 3 массой ш. Внутренние массы перемещаются относительно корпуса по направляющим 4. Корпус взаимодействует с поверхностью 5, на которую нанесено смазывающее вещество, при помощи трех опорных элементов 6.

Движение робота по некоторой криволинейной траектории АВ осуществляется за счет сил трения, возникающих при перемещении подвижных масс в направляющих по заданным законам.

Для исследования движения вибрационной системы введем абсолютную неподвижную систему координат О1х1у1 и относительную Оху, жестко связанную с корпусом робота, начало координат О которой совпадает с центром масс корпуса, ось Ох параллельна траекториям движения внутренних масс. Поворот системы координат Оху относительно О1х1у1 определяется углом 9.

Будем считать, что корпус робота представляет собой абсолютно твердое тело, центр инерции которого расположен в точке О (рис. 2). Внутренние массы 1 и 2 являются точечными и движутся по прямолинейным траекториям, которые расположены в плоскости Оху, параллельны оси Ох и равноудалены относительно центра масс корпуса робота на расстояние Ь. Внутренние массы движутся по гармоническим законам А¡(Ь), ] = 1, 2 вида

А

где а} — амплитуда, — круговая частота, а} — начальная фаза перемещения внутренней массы.

Робот взаимодействует с поверхностью в точках С, г = 1, 2, 3 при помощи опорных элементов, являющихся абсолютно твердыми телами. Силы вязкого сопротивления возникают в точках С1 и С2, трением в точке С3 пре-

Рис. 1. Общий вид вибрационного робота

Рис. 2. Кинематическая схема робота

небрегается. Модели этих сил вдоль осей относительной системы координат определяются углами наклона опор к осям Ох и Оу, а численные значения коэффициентов вязкости вдоль этих осей - углами наклона опор к осям Ох и Оу и свойствами смазывающего вещества. Относительно положительного направления оси Ох г-ый опорный элемент может быть ориентирован под тремя углами у, каждому из которых соответствует своя сила вязкости (табл. 1).

Табл. 1. Зависимость силы вязкости вдоль оси Ох от угла у(

у, = 90° у1 = 45° у, = 135°

о? ' хО С1 0, X0 = 0, -иГЧР* х(0)>П Г'хО ' ЛС, ^ и' . тах • ф) - ф) < о Г'хО ЛС1 ' ЛС1 ^ и 0, х0 = 0, -птахх(0) х(0) > 0 Их0 С^ ЛС1 ^ и' №т0 ХС , ХС < 0

В табл. 1: x проекция скорости г'-ого опорного элемента

.,sr , ,min max

на ось Ох, flx0 Ц-0 цx0 — среднии, минимальный и максимальный коэффициенты вязкости вдоль оси Ох. Угол наклона всех опор относительно оси Oy равен 900, поэтому вдоль нее возникает сила вязкого сопротивления, определяемая по формуле

-VyoYQ

где /Л у0 — коэффициент вязкости вдоль оси Оу, у<с,— проекция скорости г'-ой опоры на ось Оу.

Зависимость коэффициентов вязкости от свойств смазывающего вещества проявляется в изменении численных значений параметров Цх0 Цх0 Цх0 , /у0 при использовании различных веществ. Соотношение между коэффициентами вязкости вдоль оси Ох в г'-ой точке опоры цх01 и вдоль оси Оу Иу0 описывается формулой

Vxüi = Vyo

№x0 0 •

47 =Vy- (1- X) ,

КГ=К

н г. \ \ \ \ \ г S / Уг град

45 9о/ ч \ 135 \ **»-— \ __jcIw< 0 С/

где 0 < х < 1 — коэффициент, зависящий от свойств смазывающего вещества,

( 1 \

Р = ^ - 2 ^) -

V45 /

параметр, являющийся функцией угла наклона опоры к положительному направлению оси Ох (рис. 3). При вертикальном расположении опорного элемента коэффициенты вязкого сопротивления вдоль осей Ох и Оу равны между собой:

Рис. 4. Структурная схема управляемой вибрационной системы

Для движения вибрационного робота по требуемой траектории необходимо изменять модуль и направление сил трения, что достигается за счет управляемого перемещения внутренних масс и изменения ориентации опорных элементов. Структурная схема системы управления устройством показана на рис. 4, где управляющими воздействиями являются углы у1, у2 наклона опорных элементов в контактных точках С1 и С2; амплитуда а, круговая частота ш, и начальная фаза а, движения ,-ой внутренней массы. Координаты х и у центра масс корпуса устройства и угол ф поворота корпуса робота относительно его центра масс выступают в качестве управляемых параметров.

Дифференциальные уравнения движения объекта имеют вид:

При наклоне опорного элемента к оси Ох на углы у1 = 45 и 135° значение коэффициента вязкого сопротивления цх01 может быть равно:

mx

x + ^ mj[X - sinp- ф(Aj sinp + Bj cosp)-

-<p2 (ä. cos p - B. sin p) + ä. cosp] = qx1,

Рис. 3. График зависимости pjy)

my + ^ m 0 [y + 2PÄ. cos P - P( - A0 co s p + B 0 sin p) -

j=i

-p2 (Äj sinp + Bj cosp) + а. sin p] = Qy1,

2

Jp +^ mj [- sin p (xÄj + yBj) - cos p (xB. - 'yyÄj) +

j=i

+2pÄ.Ä. + p(ä2 + B2) - A.B.] = M0 , где

В, = (—1)>+1Ь — координата ,-ой массы в проекции на ось Оу; 0x1, Оу1 — проекции главного вектора сил сопротивления на оси О1х1 и О1у1,

МО — главный момент сил сопротивления, J — момент инерции корпуса.

Исследование характера движения робота

Задачей численного моделирования является выявление влияния на характер перемещения объекта параметров модели силы вязкого сопротивления и закона движения внутренних масс. Будем рассматривать два вида совместного перемещения внутренних масс т1 = т2 при а1 = а2 = а и

ш, = ш2 = ш, отличающиеся начальными фазами: синфазное (а, = а2) и в противофазе (а, = а2 + п).

В результате проведенного исследования и анализа полученных графиков установлено, что при синфазном движении внутренних масс, одинаковой ориентации опор 71,2,3,4 = У относительно вертикали и асимметричной силе сопротивления объект перемещается вдоль оси, совпадающей с продольной осью корпуса, в сторону меньшего коэффициента вязкости (рис. 5).

При разной ориентации опор и противофазных колебаниях внутренних масс вибрационная система совершает вращательное движение относительно неподвижного центра масс корпуса (рис. 6).

Программно-управляемое движение робота

На основании проведенного анализа динамических режимов вибрационного робота разработан алгоритм ступенчатого перемещения устройства, заключающийся в чередовании участков прямолинейного и вращательного движений. Реализовать движение робота по различным криволинейным траекториям возможно путем варьирования времени прямолинейных участков и значений углов поворота корпуса (рис. 7).

Исследование влияния коэффициента вязкости на среднюю скорость движения вибрационной системы

На рис. 8, 9 показаны зависимости средних линейных и угловых скоростей движения вибрационного робота от соотношения между минимальным и максимальным коэффи-

тш / тах

циентами вязкости ¡х0 / ¡х0 вдоль оси Ох для значений коэффициента х = 0; 0,2; 0,3; 0,5. По графикам видно, что чи-

X, м

О, 002

0, 001

-0, 001

-0, 002

I II у = 45°

у= 135 0 \ _

0

ОД

0,2

Рис. 5. Графики движения робота при синфазном

перемещении внутренних масс: I - переходный режим, II - установившийся режим

(р, рад 0, 005

-0, 005

у = 135°, ,,= 45° р

Я 15°, у =135°

0

ОД

0,2

и с

Рис. 6. Графики движения робота при перемещении внутренних масс в противофазе

У, м

0, 002

0, 001

0

a

X, м

0 0,001 0,002 0,003

у, м 0,004

0, 002

б

0 0,001 0,002 0,003 0,004 *,м

Рис. 7. Криволинейное движение виброробота: а - ступенчатое; б - по Б-образной траектории

сленное значение коэффициента вязкости при синфазном движении внутренних масс при у = 45° не влияет на среднюю линейную скорость движения при х = 0, при х * 0 средняя линейная скорость хг уменьшается с ростом соотношения ¡¡тЦП /¡о* (рис. 8). Причем, чем меньше коэффициент вязкости вдоль оси Ох, тем больше средние линейные скорости устройства при одинаковых значениях х. При разных углах наклона опор и противофазном движении внутренних масс с увеличением отношения минимального

коэффициента вязкости к максимальному и с уменьшением коэффициента вязкости вдоль оси Оу средние угловые скорости уменьшаются при всех значениях коэффициента X, кроме х = 0 (рис. 9).

Выводы

В работе исследованы режимы управляемого движения трех-массового мобильного вибрационного робота, перемещающегося по горизонтальной плоскости в среде с вязким трением за счет периодических колебаний двух внутренних масс. Выявлено влияние модели силы вязкого сопротивления, ориентации опорных элементов и параметров законов колебаний внутренних масс на характер движения устройства. Реализовано программно-управляемое движение объекта по криволинейной траектории, которое заключается в чередовании участков прямолинейного и вращательного перемещений корпуса за счет управления углами наклона опорных элементов и сдвигом фаз колебаний двух внутренних масс. Установлено, что с соотношения ¡л™ / цХо*', параметра х и уменьшением коэффициента вязкости цу0 наблюдается возрастание линейной и угловой скоростей объекта

Работа выполнена в рамках гранта РФФИ проект 1.64.11 «Динамика управляемого движения вибрационных мобильных роботов по шероховатой поверхности по криволинейной траектории» № 11-08-01142.

х.г, м/с

Литература

0,006

0,004 3

0,002

mm/ max

ßxo/ И,

0,3 0,2

Рис. 8. Зависимости средней скорости робота вдоль оси О!х! от соотношения коэффициентов вязкости вдоль оси Ох при уи,з,4 = У и синфазном движении внутренних масс: 1 - р.у0 = 8Нс/м; 2 - р.у0 = 10 Н'с/м; 3 - р.у0 = 12 Н с/м

т рад/с

' sr '

0,02

0,01

1. Черноусько Ф.Л. Оптимальные периодические движения двух-массовой системы в сопротивляющейся среде./ Прикладная математика и механика, 2008. — Т. 72. — № 2. — С. 202 — 215.

2. Черноусько Ф.Л. Анализ и оптимизация, движения, тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы./ Прикладная математика и механика, 2006. — Т. 70. — № 6. — С. 915 — 941.

3. Черноусько Ф.Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу./ Доклады. АН. — М.: РАН, 2005. — Т. 405. — № 1. — С. 56 — 60.

4. Черноусько Ф.Л. Оптимизация, движения, в сопротивляющейся. среде тела с подвижной внутренней массой./ Тр. ИММ УрО РАН, 2006. — Т. 12. — № 1. — С. 242 — 248.

5. Болотник Н.Н., Зейдис И.М., Циммерман К. и др. Динамика управляемых движений вибрационных систем../ Изв. РАН.ТиСУ, 2006. — № 5. — С. 157 — 167.

6. Abaza K. Ein Beitrag zur Anwendung der Theorie Undulatorischer Lokomotion auf mobile Roboter: Evaluierung theoretischer Ergebnisse an Prototypen. — Ilmenau: Universitäts-Verlag, 2007. — 126 р.

7. Болотник Н.Н., Фигурина Т.Ю. Оптимальное управление прямолинейным, движением, твердого тела по шероховатой плоскости посредством, перемещения, двух внутренних масс./ Прикладная, математика и механика, 2008. — Т. 72. — №. 2. — С. 216 — 229.

8. Фигурина Т.Ю. Оптимальное управление движением системы двух тел по прямой./ Изв. РАН.ТиСУ, 2007. — № 2. — С. 65 — 71.

9. Vartholomeos P., Papadopoulos E. Analysis, Design and Control of a Planar Micro-robot Driven by Two Centripetal-Force

Рис. 9. Зависимости ( ¿i™11 /¿Xo' )nPu Yu = 135°; y24 = 45°: 1 - p.y0 = 8 Н с/м; 2 - p.y0 = 10 Н с/м; 3 - p.y0 = 12 Н с/м

Actuators./ Proc. IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation (ICRA '06). -Orlando. FL. USA, 2006. - Р. 649 - 654.

10. Vartholomeos P., Papadopoulos E. Dynamics, Design and Simulation, of a Novel Microrobotic Platform. Employing Vibration Microactuators//J. Dynamic Systems, Measurement, and. Control, March 2006. - V. 128/123. - Р. 122 - 133.

11. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н. Мобильные роботы, управляемые движением, внутренних тел./ Тр. ИММ УрО РАН, 2010. - Т. 16. - № 5. - С. 213 - 222.

12. Яцун С.Ф., Безмен П.А., Климов Г.В., и др. Математическое моделирование плавающего робота./ Управляемые вибрационные технологии и машины.. Ч. 2. Курск: Курский гос. техн. ун-т, 2010. - С. 265 - 269.

13. Волкова Л.Ю., Яцун С.Ф. Управление движением, трехмас-сового робота, перемещающегося, в жидкой среде./ Нелинейная динамика, 2011. - Т. 7. - № 4. - С. 845 -857.

3