Неравноупругость железнодорожного пути как возмущающий фактор

5. Кудрявцев, Н. Н. Определение вертикальных возмущений, вызывающих колебания обрессоренных частей вагона при движении по рельсовому пути [Текст] / Н. Н. Кудрявцев, В. Н. Белоусов, Г. П. Бурчак // Вестник ВНИИЖТа. - М, 1982. - Вып. 5. С. 3 - 9.

6. Вершинский, С. В. Динамика вагона: Учебник [Текст] / С. В. Вершинский, В. Н. Данилов, В. Д. Хусидов. - М.: Транспорт, 1991. - 360 с.

7. Хохлов, А. А. Динамика сложных систем [Текст] / А. А. Хохлов / МИИТ. - М., 2002. - С. 17.

УДК 629.4.015:625.1.03

В. А. Нехаев, Р. Д. Сабиров

НЕРАВНОУПРУГОСТЬ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ПУТИ КАК ВОЗМУЩАЮЩИЙ ФАКТОР

В статье авторы предлагают рассмотреть особенности составления математических моделей подвижного состава и его динамического поведения при движении по неравноупругому железнодорожному пути в продольном направлении. Приводится качественный и эмпирический анализ продольной неравноупругости железнодорожного пути. В заключение дается вывод, на основе которого предлагается дальнейшее рассмотрение математических аспектов решения приведенных систем дифференциальных уравнений движения подвижного состава по неравноупругому пути.

Проблема взаимодействия подвижного состава и железнодорожного пути является не только технической, но и экономической задачей. От динамических качеств экипажей зависит конкурентоспособность железной дороги по сравнению с авиационным, трубопроводным, автомобильным, морским и речным видами транспорта. Широко известно, что авиационные специалисты научились достаточно точно рассчитывать сопротивление движению самолета в воздушной среде, в настоящее время речь уже идет о долях процента. Во избежание ошибок, которые недопустимы в авиации, создаваемые новые конструкции самолетов продуваются в аэродинамических трубах.

Отсюда вытекает следующее утверждение - расчетные схемы и математические модели железнодорожных экипажей должны совершенствоваться. Однако стремиться к указанной цели нужно разумно, чтобы не получить такие математические модели объектов, исследование которых чрезвычайно затруднено, а может быть, и невозможно.

Достаточно точной расчетной схемой является пространственная модель экипажа, учитывающая упругость тел, из которых он состоит, либо последние считаются абсолютно твердыми, что вполне допустимо, если нас не интересуют напряжения в элементах конструкции. В последнем случае можно указать на монографию [1], в которой выведены дифференциальные уравнения для грузового вагона. При этом система «вагон - рельсовый путь» рассматривалась как сложная механическая система, состоящая из совокупности абсолютно твердых тел, совершающих сложные пространственные движения, с наложенными на них геометрическими удерживающими и неудерживающими связями, а также голономными и неголоном-ными кинематическими связями. Монография имеет достаточно большой объем, но в ней мы не найдем никаких численных результатов, и это вполне естественно ввиду чрезвычайной сложности выведенной математической модели грузового вагона. Наличие числовых результатов позволило бы сравнить различные расчетные схемы грузового вагона с указанной выше (приняв ее за точную) и сделать соответствующие выводы о погрешностях приближенных математических моделей, а также определить их области использования.

Поэтому ниже будет рассматриваться плоская расчетная схема железнодорожного экипажа, для которой будет выведена математическая модель, учитывающая такую особенность пути, как его продольная неравноупругость. Типичная осциллограмма измерения вертикальной жесткости пути представлена на рисунке 1.

42 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 3(15) 2013

= _

Рисунок 1 - Изменение вертикальной жесткости железнодорожного пути

При этом мы не будем рассматривать физические причины образования продольной неравноупругости пути, считая, что уплотнение земляного полотна связано с колебаниями подвижного состава, который, как и путь, не является идеальным.

В последние годы за рубежом рельсы стали укладывать на жесткое основание, имеющее различную конструкцию. Все же есть основания полагать, что подстилающая земля не является однородной и изотропной. Только экспериментальные исследования позволят определить наличие или отсутствие продольной неравноупругости новых конструкций железнодорожного пути. Для авторов статьи очевиден факт, что неравноупругость не исчезнет, а ее длина волны, несомненно, будет другой.

Результаты многочисленных экспериментальных исследований, выполненные ранее такими научными организациями, как ВНИИЖТ, ДИИТ, ЛИИЖТ, МИИТ, ОмИИТа и другими, посвященных измерениям вертикальной жесткости железнодорожного пути, указывают на то, что она не является постоянной величиной по длине рельсового звена, а представляет собой некоторый случайный процесс, в котором можно обнаружить скрытые периодические компоненты, например, длину волны, равную междушпальному расстоянию. Учет данного явления в расчетных схемах подвижного состава приводит к тому, что оно проявляет себя как мультипликативным, так и аддитивным образом в математических моделях экипажей.

В применяемых в настоящее время для исследования динамики подвижного состава расчетных схемах полагается, что жесткость пути является величиной постоянной, в крайнем случае - нелинейной величиной, зависящей от прогиба пути. Как показали многочисленные теоретические и экспериментальные исследования, выполненные Г. П. Бурчаком, В. Д. Да-новичем, В. А. Камаевым и другими учеными, инерционные свойства рельсового основания слабо сказываются на динамическом поведении железнодорожного подвижного состава в диапазоне скоростей до 144 км/ч, ибо экспериментальная амплитудно-частотная характеристика имеет лишь один «пик 2».

Следовательно, железнодорожный путь в вертикальной плоскости симметрии подвижного состава можно представлять так называемой «дискретной» инерционной моделью (погрешность которой не превышает 10 %), в которую входят «приведенная 2» масса пути, его вертикальная жесткость и диссипативные силы, а также геометрические неровности на поверхности катания рельсов. Представим вертикальную жесткость пути в самом общем виде:

ж„

,(х) = Ж0 [1 + ^ (х)] ,

где ж - средняя на рельсовом звене жесткость пути. Если удастся найти ее зависимость от скорости движения подвижного состава, то тогда можно вести речь не о статической, а о динамической его жесткости; ¡л, <?с 1 коэффициент параметрического возбуждения системы; £(х) - случайная функция, характеристика которой в виде спектральной плотности или мощности может быть найдена только с помощью натурных экспериментов. В действительности чаще всего поезд движется по некоторому участку с постоянной скоростью, тогда легко перейти от координаты х ко времени, т. е. х = .

№1\\5) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 43

Возможные виды спектральной плотности вертикальной жесткости пути показаны на рисунках 2 и 3, на которых отчетливо видны ее периодические составляющие. Что же касается Норильской железной дороги (рисунок 3), то она проложена за полярным кругом в зоне вечной мерзлоты, т. е. полученные для нее данные весьма специфические, поэтому мы в дальнейшем будем опираться на спектральную плотность, найденную для магистральных железных дорог. Здесь имеет смысл обратить внимание на «пик» в районе частоты 1,83 Гц. Так, если вычислить величину 1/0,54 (0,54 м - междушпальное расстояние при эпюре 1840 шт./км), то получим 1,85.

Рисунок 2 - Спектральная плотность вертикальной жесткости железнодорожного пути по результатам натурных исследований, выполненных сотрудниками ДИИТа [2]

Рисунок 3 - Спектральная мощность вертикальной жесткости железнодорожного пути по результатам натурных исследований на Норильской железной дороге, полученная сотрудниками ОмИИТа [3]

Таким образом, в дифференциальных уравнениях, описывающих колебания элементов подвижного состава, появляются переменные коэффициенты. Если быть более точным, то эти коэффициенты соответствуют случайным процессам, содержащим в своем спектре скрытые периодичности, например, с длинами волн, равными междушпальному расстоянию и длине рельсового звена, и другие, являющиеся результатом уплотнения земляного полотна под действием вибрационных процессов подвижного состава и железнодорожного пути.

Отметим те особенности, которые мы получим при такой постановке. Во-первых, изменится количество резонансных частот (их будет счетное множество, которое будет во много раз превышать число степеней свободы конкретного экипажа, и это не конкретные значения, а области, примыкающие к собственным частотам). Во-вторых, данные уравнения не имеют регулярных методов их интегрирования. В-третьих, при определенных соотношениях между параметрами динамической системы возможно возникновение и развитие неустойчивости решения таких дифференциальных уравнений. В-четвертых, при определенных соотношениях между длинами геометрических неровностей железнодорожного пути и длинами скрытых

44 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 3(15) 2013

= _

периодичностей вертикальной жесткости пути вполне возможно их взаимодействие, результат которого определяется фазовым отношением между ними (возможно как усиление действия геометрической неровности на подвижной состав, так и снижение). В-пятых, параметрические динамические системы в принципе ведут себя как нелинейные системы и могут рождать достаточно широкий частотный спектр составляющих решения [4 - 7].

Следует отметить, что только в работах профессоров МИИТа Н. А. Панькина и Г. П. Бурчака встречается корректная постановка задачи взаимодействия экипажа и неравно-упругого по протяженности пути. Объясняется это тем, что учет указанного обстоятельства приводит нас к системам дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами, для которых отсутствуют регулярные методы их интегрирования, численные методы здесь не применимы, и необходимо использовать либо парадигму Ито, либо Стратоновича для вычисления стохастических интегралов.

Таким образом, для получения точного результата даже при затратах черезмерного количества времени, в том числе и машинного, не очевидно, что он будет существенным образом отличаться от полученных ранее (ведь эмпирические данные все же достаточно близки к теоретическим).

Итак, в нулевом приближении учтем только неравножесткость пути из-за наличия шпал (остальные составляющие неравноупругости пока отбросим) и представим жесткость пути в виде:

ж„ути

где ж - средняя на звене жесткость пути, р - коэффициент параметрического возбуждения (как показывает опыт, это малая величина), /ш - расстояние между серединами шпал, определяется их эпюрой (в нашем случае /ш = 54 см).

Из формулы (2) следует, что начало отсчета взято в середине междушпального ящика. Другие характеристики железнодорожного пути приняты по источникам [8 - 15].

Известно, что при составлении математических моделей динамических систем (к ним относится и подвижной состав железных дорог) используются обобщенные координаты, обычно отсчитываемые от положений равновесия рассматриваемого объекта, а силы тяжести объекта не отображают на расчетной схеме. Учет продольной, вертикальной неравноупруго-сти пути заставляет нас учитывать силу тяжести экипажа, поскольку если изучаемый механический объект мысленно переставлять вдоль железнодорожного пути, то в каждом новом положении будет изменяться его положение равновесия.

При вычислении кинетической энергии механической системы мы должны пользоваться абсолютной скоростью его элементов, которая складывается из переносной и относительной скоростей. Переносная скорость, а точнее, переносное ускорение, в рассматриваемом случае будет представлять собой аддитивное возмущение от продольной вертикальной неравно-упругости железнодорожного пути. Мультипликативная составляющая возмущения, обусловлена продольной, вертикальной неравноупругостью пути, т. е. переменной жесткостью, стоящей в качестве коэффициента в выражении силы упругости пути, действующей на колесную пару.

Если же неравноупругость пути не учитывается, то каждая степень свободы механической системы имеет вполне конкретную парциальную частоту. Другими словами, мы имеем столько конкретных парциальных частот, сколько степеней свободы есть у рассматриваемой механической системы. Учет же неравноупругости пути приводит к математической модели, которая даже в случае одной степени свободы обладает бесконечным числом областей динамической неустойчивости (параметрических резонансов), следовательно, имеет место бесконечное количество резонансов. При этом практическое значение обычно имеют первая и вторая, ну, может быть, третья зоны параметрического резонанса, что установлено многочисленными теоретическими исследованиями таких систем.

При вполне определенных условиях для частот мультипликативного возмущения и внешнего воздействия от геометрических неровностей железнодорожного пути (или колес экипажа) возникает их интенсивное взаимодействие, следовательно, амплитуды колебаний

№ 3(15) ЛЛИ О ИЗВЕСТИЯ Транссиба 45

=2013

подпрыгивания колесной пары либо возрастают, либо уменьшаются (кроме этого все зависит от фазовых соотношений для указанных возмущений).

Таким образом, в настоящей работе мы остановимся только на особенностях составления математических моделей подвижного состава и их динамического поведения, и поэтому будут применяться соответствующие упрощенные, тестовые математические модели, в которых ярко проявляются указанные особенности.

Для нахождения уравнения колебаний неподрессоренной массы экипажа, расчетная схема которого дана на рисунке 4, воспользуемся известными уравнениями Лагранжа второго рода. Вычислим кинетическую, потенциальную энергии и диссипативную функцию.

Кинетическая энергия колесной пары

1

Т = — (т + т ) ¿2 .

2 V к.п п / кп

Потенциальная энергия экипажа определяется с точностью до постоянной величины, при этом в положении равновесия она должна иметь минимальное значение (обычно это ноль), т. е. в этой точке функция имеет экстремум. Обратимся к ее вычислению как работы сил, действующих в системе, определяемой с помощью криволинейного интеграла второго рода, тогда получим:

п

А = Х I (+ КкуйУ + );

к=1 ы0ы1

П = - А;

Рх = Ру - 0, к е[1, п];

Кг = -ж2Кп, сила упругости буксового подвешивания;

К2г = -жп(х)2к п, сила упругости железнодорожного пути;

К3г = - (Ркп + т^ё) = -Р, вес экипажа, приходящийся на колёсную пару;

2кп 2кп 2кп 2кп 2кп 2кп

А =[ К й2 + I К й2 + I К, й2 = - I ж~2 - Г ж (х)2 dz - Г РЖ

I 12 к.п Г 2 2 к.п Г 32 к.п Г б к.п к.п Г п\/ к.п к.п Г к.п

-

12

=--ж 22

.2

- 1 ж (х)2 2

п к.п

- Р2

П(х) = 1 ж22 + 1 ж (х)22 + Р2 = 1 [ж + ж (х)] 22 + Р2 .

\ у 2 б к.п ^ п\ / к.п к.п ^ L б п\ ^ к.п к.п

к.п 2[жб + жп(

Потенциальная энергия является функцией положения колесной пары экипажа в рельсовой колее, так как жесткость пути зависит от него. Определим частную производную от потенциальной энергии по подпрыгиванию колесной пары:

ап

= [жб + жп(х)] 2КП + Р .

0

0

0

0

0

0

2

0

0

46 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 3(15) 2013

- _ = _Ш

Заменим гк п на сумму обобщенной координаты q, отсчитываемой от положения статического равновесия, статического прогиба пути / под статическим давлением колесной пары, т. е.

= q+/,

тогда, учитывая, что в положении статического равновесия q = 0 и в этой точке потенциальная энергия должна иметь минимум, в противном случае исследуемая механическая система будет неустойчивой, получим:

[Жб + жп( х)] / + Р = 0,

откуда следует, что прогиб пути, изменяющийся вдоль его протяженности, можно представить в виде:

/ (л) = -

Р

жб + жп

Ось Оz направлена вертикально вверх, следовательно, прогиб пути под статическим давлением колесной пары направлен вниз, значит, физика процесса не нарушена. Координата л при постоянной скорости движения экипажа V будет функцией времени ? и статический прогиб пути получается переменной величиной, зависящей от времени.

Подставим уравнение (8) с учетом (6) в последнюю формулу системы (4), в результате найдем:

П( л) = 1 [жб + жп (л)] q2 + {[жб + жп (л)] / + Р} q +1 [жб + жп( х)] /2 + р/.

Здесь второе слагаемое согласно соотношению (7) равно нулю, а последние два члена формулы (9) могут быть опущены потому, что они не зависят от обобщенной координаты q, по которой обычно определяется частная производная от потенциальной энергии. Следовательно, в окончательном виде потенциальная энергия колесной пары, перемещающейся по неравноупругому по протяженности пути, имеет вид обычной положительно определенной квадратичной формы:

П( х) =1 [жб+жп( х)] q2.

Вычислим диссипативную функцию, которая может быть найдена только в том случае, если силы трения в буксовом подвешивании и пути носят характер вязкого трения. Следовательно, полагаем, что трение в буксовой ступени подвешивания подвижного состава было заранее линеаризовано либо по методике профессора М. И. Батя, либо по методике вычисления эквивалентного коэффициента вязкого трения. Тогда имеем:

В выражениях приняты (3) - (11) следующие обозначения: ткп - масса колесной пары экипажа; тп - «приведенная» масса пути; ж - жесткость буксового подвешивания экипажа; ж - жесткость железнодорожного пути в вертикальной плоскости, вычисляемая по формуле (2); Р - вес экипажа, приходящийся на одну колесную пару; 6б - коэффициент вязкого трения в буксовом подвешивании; Ьп - коэффициент вязкого трения в пути; ¿кп -абсолютная скорость подпрыгивания колесной пары экипажа; п - абсолютное перемещение колесной пары в вертикальной плоскости.

№ 3(15) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 47

2013

Объединим нужные нам в дальнейшем формулы с учетом того, что абсолютное движение складывается из переносного и относительного (в данном случае переносное движение характеризуется так называемым статическим прогибом пути -, а относительное движение - координатой д ):

2

П

1 2

-(Ь6+К)(д + /)\

Ф = -2

Взяв необходимые производные от функций (12) и подставив полученные значения в уравнение Лагранжа второго рода

Л

(

ат аФ ап

--+ — +-= 0,

дд ^ дд дд дд

й

найдем дифференциальное уравнение колебания неподрессоренной массы экипажа:

тд + Ьс] + ж^)д = —т/— Ь/,

где т = тга + тп; Ь = Ьб + Ьп - суммарный коэффициент вязкого трения в системе «экипаж -путь»; ж(^) = ж + жп(0 или ж(?) = ( ж + ж )(1 - 28sin2Qí) - суммарная жесткость рассматриваемой механической системы.

Данное дифференциальное уравнение описывает, можно считать, свободные колебания подпрыгивания колесной пары при ее качении по неравноупругому по протяженности пути при отсутствии на поверхностях рельсов и колес геометрических неровностей. Заметим, что если бы путь был равноупругим по протяженности, а начальные условия - тривиальными, то колесная пара просто бы перемещалась вдоль пути без колебаний, но это совершенно идеализированный случай, в действительности так не бывает, ибо всегда имеет место какое-либо несовершенство.

Примем обычное допущение о том, что экипаж движется вдоль железнодорожного пути с постоянной скоростью, тогда х = VI, здесь V - скорость экипажа, м/с. Следовательно, используя выражение для ж(1) из (14), получим вместо (8):

Р -

ДО =--1-=----.

(ж + ж0)(1 - 28вт2га) 1 - 28sin2Qí

Здесь введены новые обозначения: /0 = Р/ (жб + ж0) - средний статический прогиб железнодорожного пути под постоянным давлением колесной пары; О = пУ/1ш - частота параметрического возбуждения; 8 = ^ ж/(ж + ж ) - новый малый параметр (безразмерная величина).

Дифференциальное уравнение (14) обладает как мультипликативным возмущением (это изменение, в нашем случае гармоническое, жесткости механической системы, т. е. пути), так и аддитивным воздействием, стоящим в правой части уравнения (14), характеризующим переносное движение системы. Подчеркнем, что обобщенная координата д отсчитывается от положения статического равновесия системы в каждой точке железнодорожного пути, которое постоянно изменяется. А так как у дифференциального уравнения по-

48 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 3(15) 2013

- _ = _Ш

явилась правая часть, то в механической системе неизбежно будут развиваться как вынужденные, так и параметрические колебания.

Теперь рассмотрим влияние продольной, вертикальной неравноупругости железнодорожного пути на условный одноосный экипаж с двумя степенями свободы, расчетная схема которого показана на рисунке 5, причем, предполагается, что экипаж может совершать только колебания подпрыгивания. Поэтому ось 2 направлена вертикально вверх, введены обозначения: 2 - подпрыгивание обрессоренной массы экипажа т ; 2 - подпрыгивание колесной пары с массой т ; 2 - подпрыгивание «приведенной» массы железнодорожного пути т ; Р - давление колесной пары на

рельсы; ж и \ - жесткость и коэффициент вязкого трения буксового подвешивания экипажа; ж и Ьп - жесткость и коэффициент вязкого трения в пути.

Разделим механическую систему «экипаж -железнодорожный путь» на две подсистемы:

Рисунок 5 - Расчетная схема условного одноосного экипажа, движущегося по неравноупругому по протяженности железнодорожному пути

«экипаж» и «путь», представленные на рисунке 6.

б

Рисунок 6 - Расчетные схемы условного одноосного экипажа и железнодорожного пути: а - экипаж, б - путь

Чтобы составить уравнения движения указанных подсистем, вновь воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода, поэтому вычислим их кинетическую и потенциальную энергию и диссипативные функции. При этом мы будем полагать, что других возмущающих факторов, действующих на нашу систему, кроме продольной, вертикальной неравноупруго-сти пути, нет. Кинетическая энергия экипажа равна:

Т 1 -2 1 -2

потенциальная энергия экипажа рассчитывается по формуле:

Пэ = 1 жб

а

№203(;5) ИЗВЕСТИЯ Транссиба 49

диссипативная функция вычисляется по выражению:

Теперь обратимся к другой механической подсистеме, а именно к железнодорожному пути, и найдем соответственно:

т 1 -2

1

Пп = 1 ж (х)г2 - Рг ,

П ^ п \ / п р п 5

фи=-Ь г2. 11 ^ п п

Сначала складываем кинетические энергии экипажа и пути, затем - потенциальные энергии соответствующих частей и, наконец, - диссипативные функции экипажа и пути, заменяя скорость подпрыгивания пути на скорость подпрыгивания колесной пары, что возможно из-за отсутствия других возмущающих факторов или в данном случае по гипотезе безотрывного движения колеса по рельсу, в результате получим:

т 1 Ь ч

П = -

- ж г,2 +1 [ ж + ж (х)] г2 - ж г, г + Рг ;

— б 1 — Ь б п\ ^ к.п б 1 к.п к.п'

Ф = +ъ )г2 -ЪЛЛ .

2 о 1 2

Обратимся к преобразованию потенциальной энергии, чтобы обеспечить ей положительно определенную квадратичную форму. Для этого возьмем частные производные по координатам г и г :

Ш ш

= жб г1 жб гк.п;

= [жб + жп(х)] гк.п - жбг1 + Р.

В положении равновесия потенциальная энергия должна обладать минимальным значением, т. е. иметь экстремум. Следовательно, заменим координаты г и г суммами обобщенных координат ^ и qкп и статических прогибов / и / соответствующих упругих элементов механической системы «экипаж - путь», тогда получим для положения равновесия:

\жб/1- жб/ =0;

1-ж^./1 +[жб + жп( х)]1 = - Р,

с учетом выражения (2) имеем: /1( х) = / (х) = -

Р

Р

1

/о

жп

жо 1 - 2цsin 2л —

1 - 2ц sin 2 л

I

к.п ?

<

50 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 0(15) 2013

- _ = _Ш

где / = Р / ж - статический прогиб равноупругого пути. Обе величины - / и / - являются

переменными, и если принять, что экипаж движется с постоянной скоростью, то выражение (25) примет вид:

) = / () = -

/с

1 - 2^sin

Сравнивая уравнение (26) с выражением (8), обнаружим несущественные отличия, потому что жесткость буксового подвешивания составляет порядка нескольких сотен тс/м, а жесткость железнодорожного пути - несколько тысяч и даже десятков тысяч тс/м, следовательно, если в формуле (8) пренебречь жесткостью буксового подвешивания, то они совпадут.

Перепишем формулы дря расчета кинетической, потенциальной энергии и диссипатив-ную функцию в новых обобщенных координатах, отсчитываемых от положения равновесия экипажа:

Т -1 пщ + ^ (ткп + тп ) с/;м + пщ]\ + (тк п + тп ) с/,,,,/; ЩО +^[жб+жп(0]Сп -жбадкп;

Взяв соответствующие частные производные, приняв = п, найдем дифференциальные уравнения:

\пщ + Ьг (с/, - ¿¡2) + жб - ) = -т/х;

К

п + ) Ъ + (К +К ) Ъ ~ ЪЛ + [Жб + Жп (0] 4-2 " Жб?1 = - К/-

Анализ системы дифференциальных уравнений (28), описывающих динамическое поведение условного одноосного экипажа, указывает на то, что продольная неравноупругость железнодорожного пути входит в математическую модель и мультипликативно (в левой части системы), и аддитивно (в правой части как возмущение). Аналогичное явление происходило и с не-подрессоренной массой экипажа (см. выражение (14)). Следует заметить, что в правых частях дифференциальных уравнений в первом случае стоят переносные силы инерции, возникающие из-за того, что в каждом новом положении система имеет другое равновесие потому, что жесткость пути постоянно изменяется.

Далее рассмотрим движение условной двухосной тележки по неравноупругому по протяженности пути, чтобы выяснить, как будет возмущаться механическая система, расчетная схема которой представлена на рисунке 7. При этом будем полагать, что других возмущающих факторов, кроме неравноупругости, нет. Кинетическая энергия тележки:

Рисунок 7 - Расчетная схема условной двухосной тележки по неравноупругому по протяженности железнодорожному пути

№ 3(15) 2013

ИЗВЕСТИЯ Транссиба

Т = -да ¿2+-,/ ф2+т )(г2 , + ¿2

г^ т т ^ тутт 2 V к п п / \ К П1 к.п2 у '

потенциальная энергия системы запасается в ее упругих элементах и определяется по формуле:

П =1 жб (А21 + А22) +1 жп(х1)дп1 +1 жп(х2)дп2 -Ртгт -(ткп + тп)&(г^ + гт2); (30) диссипативная функция вычисляется по уравнение:

ф = Х-\

здесь приняты следующие обозначения: тт, ,1Ьу - масса и момент инерции тележки относительно оси у; гт, фт - абсолютные координаты подпрыгивания и галопирования тележки; ¿т, фт - абсолютная скорость подпрыгивания и галопирования тележки; ж6 - жесткость буксового подвешивания; жп( х) - жесткость железнодорожного пути, вычисляемая по формуле (2); /т - база тележки; щ - «приведенная» масса пути; гкп1, гкп2 - координаты подпрыгивания первой и второй колесных пар экипажа; \ , Ьп - коэффициенты вязкого трения в буксовом подвешивании и пути; Аб1, А62 - прогиб первой и второй пружин буксового подвешивания; Ап1, Апт - прогиб железнодорожного пути под первой и второй колесными парами; дак п - масса колесной пары; Аб1 = ¿т +/тфт - ¿кп 1з Аб2 = ¿, -/,ф, -¿кп2 ~ выражения для определения скорости изменения прогиба первой и второй пружин буксового подвешивания; Ап1 =гкп1, А^ = ¿кп2 - скорость изменения прогиба железнодорожного пути под первой и второй колесными парами; Аб1 = гт + /тфт - гкп1, Аб2 = гт - /тфт - гкп2 - формулы для определения прогиба первой и второй пружин буксового подвешивания; Р - вес подвижного состава, приходящийся на одну тележку; Ап1 = гкп1, Ап2 = гкп2 - прогиб пути под первой и второй колесными парами.

Для вывода уравнений движения условной двухосной тележки, движущейся по неравно-упругому по протяженности пути, применим алгоритм Лагранжа второго рода. В результате несложных преобразований получим:

даД + Ьь (2£т - ¿к п1 - ¿к п2) + жб (2гт - ^ п1 - ^ п2) + Рт = 0;

Лфт +Ь6 (2/;Фт - ¿А..! +/т^.п2)+жб (Ч2фт 4-к.Ш Н^) =

К п + ) ¿'к.п! - КК - ¥тФт + (К + К ) ¿К.П1 " Жб-т " Ж61Ж +

+ [Жб + Жп (Х1 )] -к п! + К п + ) £ = 0;

К.П + ) ¿'к.п2 " ЬбК + ¥тФт + (¿6 + ¿п ) ¿К.П2 " Жб-т + Жб7ТФТ +

+ [жб + жп (х2 )] гк.п2 + (тк.п + тп ) & =

Теперь, как и в двух предыдущих случаях, следует избавиться от постоянных величин, являющихся силами тяжести соответствующих частей тележки. Для этого абсолютные координаты нужно разложить на переносные и относительные составляющие:

гт = qт + /1; Фт = ^т + /2;

= qк.пl + Л;

-к.п1 гк.п2

= qк.п2 + 1

4'

52 ИЗВЕСТИЯ Транссиба № 0(15) 2013

- _ = _Ш

для переносного движения из выражения (30) найдем систему линейных алгебраических уравнений:

2/ " /з " / ) = " ^

" ¡т/з + ¡т/4 ) = 0;

Жб/1 Жб1т/2 + -Ж-бЛ + Жб1т/2 +

Жб + Жп

/3 =-( Шкп + тп ) & /4 =-(ткп + тп )&>

корни которой таковы:

т)«- /0

м) «-

1 - ^т 20Г - ц sin (20Х + у) 1 ж0 р

1-2^т20*- (20Г + у) 2 Ж6Р 1 / ц -sin ( 20Х + у)]

2 /Т 1-2^т20Г- 2цsin (20Х + у)'

/з " 2/о1-2ц^п2ЙГ~ 2/о 1 -2цsin(20.1 + у)'

у = 4п ; Р = РТ + 2 (тм + «п ) &

¡ш

Как и в двух предыдущих случаях, все прогибы упругих элементов экипажа являются функциями времени, а прогибы железнодорожного пути определяются статическим давлением колесной пары на рельсы и жесткостью пути в точках местонахождения колесных пар. На тележку экипажа действует переносный вращающий момент (см. выражение для /2 в (35)). Совершенно аналогичный результат мы можем получить, если добавим еще одну тележку и кузов локомотива. При этом возникает одна проблема - решить вручную систему алгебраических уравнений относительно прогибов упругих элементов экипажа невозможно, следовательно, нужно строить алгоритм их вычисления в каждый момент времени.

Система дифференциальных уравнений для двухосной тележки экипажа, перемещающегося по неравноупругому по протяженности пути, имеет вид:

т

<7т + К " ft.nl - 4к.п2 ) + Жб " ft.nl " &.П2 ) =

У \|) +ЪЛ 272\1/ - 1д , + 1д ~) + ж. (2/2со -, +12„Л =

ТТТ 6 \ ТТТ Т JK.nl т 1 К.п2 / о \ т т т т к.п! Т К.п2 /

= -Л/2 - К (2/т/2 - /г/з + КЛ);

(дак п + ) ft.nl - ЪА - + {К + К) ft.ni - жб?т - жб/тЧ'т + +[жб+жп )] ft.ni = - (™к.п+) /з + + ККк - (К+К) /з;

'б

(дак.п + ) ¿'к.п2 - КК + К1 А + (¿6 + ¿п ) ¿К.П2 - Жб-т + Жб7ТФТ + + [Жб + Жп (*2 )] -к п2 = " (дак п + ) Л +ЬбЛ~ ККЛ ~ (К +К ) Л

Итак, дифференциальные уравнения (14), (28) и (36) имеют переменные коэффициенты, но по своей природе они линейные. Известно, что хотя теоретически можно получить точное решение уравнений этого класса, в большинстве случаев при этом возникают непреодолимые вычислительные трудности. В связи с этим приближенное решение с помощью одного из методов, подобных применяемым к нелинейным уравнениям, может оказаться более доступным.

Уравнения с переменными коэффициентами могут естественным образом возникнуть при описании физических процессов в системах, в которых какой-либо параметр должен из-

№ 3(15) 2013

ИЗВЕСТИЯ Транссиба

<

<

меняться в зависимости от времени под действием внешнего по отношению к системе процесса. В рассматриваемой нами системе все так и происходит - сила тяги, развиваемая тяговыми электрическими двигателями, заставляет экипаж двигаться вдоль неравноупругого железнодорожного пути.

В заключение статьи можно утверждать, что создана методика учета в математических моделях колебаний подвижного состава такого фактора, как продольная неравноупругость железнодорожного пути, который вызывает достаточно интенсивные движения элементов экипажа [16], но в настоящее время не нормируется. В дальнейшем будут рассмотрены математические аспекты, касающиеся решения систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение экипажа, движущегося по неравноупругому по протяженности пути.

Список литературы

I. Добычин, И. А. Основы нелинейной механики рельсовых экипажей [Текст] / И. А. До-бычин, А. В. Смольянинов, А. Э. Павлюков. Екатеринбург, 1999. - 265 с.

2 Фришман, М. А. Исследование особенностей изменения вертикальной жесткости пути по его длине [Текст] / М. А. Фришман, И. С. Леванков // Исследование взаимодействия пути и подвижного состава: Науч. тр. / Днепропетровский ин-т инж. ж.-д. трансп. Днепропетровск, 1972. - Вып. 138. - С. 48 - 57.

3. Теоретические и натурно-экспериментальные исследования динамических процессов взаимодействия подвижного состава и пути в вертикальной и горизонтальной плоскостях зимой и летом: Отчет о НИР (заключит.) / Омский ин-т инж. ж.-д. трансп.; Руководитель М. П. Пахомов. № ГР 76005445; Инв. № Б862362. Омск, 1980. - 198 с.

4. Челомей, В. Н. Вибрация в технике. Колебания линейных систем [Текст] / В. Н. Чело-мей. М.: Машиностроение, 1978. - Т. 1. - 1978. - 352 с.

5. Болотин, В. В. Динамическая устойчивость упругих систем [Текст] / В. В. Болотин. -М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

6. Якубович, В. А. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения [Текст] / В. А. Якубович, В. М. Старжинский. - М.: Наука, 1972. - 720 с.

7. Шмидт, Г. Параметрические колебания [Текст] / Г. Шмидт. - М.: Мир, 1978. - 336 с.

8. Вериго, М. Ф. Взаимодействие пути и подвижного состава [Текст] / М. Ф. Вериго, А. Я. Коган. - М.: Транспорт, 1986. - 559 с.

9. Бирюков, И. В. Механическая часть тягового подвижного состава [Текст] / И. В. Бирюков, А. Н. Савоськин, Г. П. Бурчак. - М.: Транспорт, 1992. - 440 с.

10. Гарг, В. К. Динамика подвижного состава [Текст] / В. К. Гарг, Р. В. Дуккипати. М.: Транспорт, 1988. - 391 с.

II. Камаев, В. А. Оптимизация параметров ходовых частей железнодорожного подвижного состава [Текст] / В. А. Камаев. М.: Машиностроение, 1980. - 215 с.

12. Лазарян, В. А. Динамика вагонов [Текст] / В. А. Лазарян. М.: Транспорт, 1964. - 255 с.

13. Соколов, М. М. Динамическая нагруженность вагона / М. М. Соколов, В. Д. Хусидов, Ю. Г. Минкин. М.: Транспорт, 1981. - 207 с.

14. Вершинский, С. В. Динамика вагонов [Текст] / С. В. Вершинский, В. Н. Данилов, И. И. Челноков. М.: Транспорт, 1978. - 234 с.

15. Ушкалов, В. Ф. Статистическая динамика рельсовых экипажей [Текст] / В. Ф. Ушка-лов, Л. М. Резников, С. Ф. Редько. - Киев: Наукова думка, 1982. - 360 с.

16. Сабиров, Р. Д. Движение колесной пары вагона по неравноупругому пути вдоль рельса [Текст] / Р. Д. Сабиров // Транспорт Урала / Уральский гос. ун-т путей сообщения. -Екатеринбург, 2009. - № 4 (23). - С. 69 - 72.

54 ИЗВЕСТИЯ Транссиба _№ 0(15) 2013

= _