ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРАВИЛА БЕРНУЛЛИ-ЛОПИТАЛЯ

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРАВИЛА БЕРНУЛЛИ-ЛОПИТАЛЯ

Аннотация

Вычисление предела, будь то самостоятельная задача или часть решения более сложной задачи, «преследует» студентов технических вузов на протяжении, как минимум, первых двух курсов. Как следствие, обучение технике вычисления пределов является актуальной задачей при подготовке студентов технических специальностей. Работа посвящена использованию правила Бернулли-Лопиталя для вычисления пределов. Данное правило является очень популярным, достаточно универсальным и эффективным способом решения указанной задачи. Приводятся краткие теоретические сведения и примеры, иллюстрирующие применение данного правила.

Ключевые слова

предел, правило Бернулли-Лопиталя

АВТОРЫ

Велищанский Михаил Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва velmiha@yandex.ru

Кавинов Алексей Владимирович,

кандидат физико-математических наук, доцент ФГБОУ ВО «Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана», г. Москва alekseyvladimirov'ch1@yandex.ru

Введение

Понятие предела - одно из важнейших, если не сказать самое важное, в курсе математики, читаемой в технических вузах. И в этих словах нет преувеличения, ведь понятие непрерывности функции, ее производной, определенного интеграла и т.п. все это базируется на понятии предела и предельного перехода. К сожалению, в настоящее время в большинстве стандартных курсов математики по разным причинам вычислению пределов не уделяется должного времени. Как следствие, слабый навык в вычислении пределов преследует студентов и в дальнейшем - при исследовании и построении графиков функций, несобственных интегралов, рядов и т.п.

Следует сразу отметить, что поскольку понятие предела очень общо, то не существует единого метода его вычисления. Есть лишь более универсальные методы, как, например, рассматриваемый в данной работе, так и методы узкоспециализированные, применяемые для конкретных типов пределов. Данная статья посвящена использованию правила Бернулли-Лопиталя к вычислению пределов и является логическим продолжением опубликованной ранее работы [1].

Методология и результаты исследования

При вычислении предела отношения двух величин в первую очередь используется хорошо известная [2-5] теорема: предел частного равен частному пределов (здесь полагается, что все пределы существуют, а предел знаменателя еще и не равен нулю). Однако данная теорема перестает работать в двух случаях: когда предел числителя и знаменателя одновременно обращается либо в ноль, либо в бесконечность. Это случаи так называемой неопределенности вида [0/ 0] или [ад / ад]. Очевидно, что обе эти ситуации, сами по себе, не являются препятствием в существовании предела (конечного или бесконечного) и всем известный первый замечательный предел -наглядное тому подтверждение. В данной ситуации возникает вопрос о сравнении порядков бесконечно малых и бесконечно больших величин [1-5].

В настоящее время для раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [ад / ад], а так же других типов, приводимых к указанным двум, особой популярностью, как в России, так и за рубежом, пользуется метод Бернулли-Лопиталя или, как его часто называют в России, правило Бернулли (за рубежом данный метод более известен как правило Лопиталя) [3-8]. Это объясняется с одной стороны достаточной универсальностью данного метода, а с другой - относительной простотой его применения. Ведь по сути все сводится к умению вычислять производные, что большинство студентов 1-го курса более-менее умеют делать еще со школы. Однако, такая кажущаяся простота и достаточная универсальность данного метода, на наш взгляд, сыграло с ним «злую шутку»: указанный метод пытаются применять практически в любой ситуации, не особо утруждая хотя бы себя анализом о рациональности его использования. Даже в ставших уже классическими задачниках под редакцией А.В. Ефимова [7] или Б.П. Демидовича [8] приводятся примеры на правило Бернулли-Лопиталя, которые вычислять с помощью данного способа просто не рационально. Что же говорить о студентах, которые пытаются использовать данное правило при вычислении чуть ли не каждого предела. Похожая ситуация наблюдается и за рубежом.

Поэтому хотим еще раз отметить, что, как уже отмечалось в работе [1], сам метод Бернулли-Лопиталя отнюдь не является универсальным, хотя и «работает» с широким кругом задач. Существует масса примеров, когда указанный метод не позволяет вычислить тот или иной предел или же его применение требует очень больших вычислительных затрат по сравнению с другими методами вычисления пределов. Очень часто самым удачным способом раскрытия неопределенностей при вычислении пределов является комбинация (если это возможно, конечно) метода Бернулли-Лопи-таля с выделением главной части бесконечно малой или бесконечно большой функций или заменой их эквивалентными более простыми функциями.

Прежде чем перейти к рассмотрению различных примеров, иллюстрирующих применение правила Бернулли-Лопиталя, приведем некоторые известные [2-6] определения и теоремы, которые нам потребуются в дальнейшем.

Определение 1. Функцию f(x) называют бесконечно малой при х-»aeM, если при данном стремлении аргумента предел функции равен нулю, т.е. lim f (x) = 0 .

x —a

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или просто бесконечно малыми и обычно обозначают буквами греческого алфавита d(x), ß( x) и т.д.

Определение 2. Функцию f (x) называют бесконечно большой при х — a , если при данном стремлении аргумента функция имеет бесконечный предел, т.е.

lim f (x) = го.

x —a

Теорема 1. Пусть

1) функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой проко-

о

лотой окрестности U(a) точки а;

2) lim f (x) = 0 и lim g (x) = 0;

x—>a x—^a

о

3) g'(jc) ф 0 Vx e U(a);

4) Существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных,

т.е. limÄ^ = A.

x-a g'

Тогда существует и предел отношения самих функций, причем

lim^ = lim^ = A.

x-a g

Замечание 1. Приведенная теорема остается верной и в случае стремления аргумента к бесконечному пределу, т.е. к го , +го или -го . Теорема 2. Пусть

1) функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой проко-

о

лотой окрестности U(а) точки а;

2) lim f (x) = го и limg(x) = го;

л—>а х—>а

о

3) g'(x) Ф 0 VxeU(a);

4) Существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных,

г f (x) , т.е. lim = A.

x-a g'

Тогда существует и предел отношения самих функций, причем

lim^ = lim^ = A.

x-a g

Замечание 2. Как и в случае первой теоремы, данная теорема остается верной и в случае стремления аргумента к бесконечному пределу, т.е. к го , +го или -го .

Замечание 3. В некоторых случаях может понадобиться применить правило Бер-нулли-Лопиталя повторно, если производные f' (x) и g' (x) исходных функций f (x) и g (x) сами являются бесконечно малыми или бесконечно большими функциями и для них выполнены условия одной из теорем 1 - 2, т.е.

f = limfM = limf« = A.

x-a g

Замечание 4. Приведенные теоремы носят лишь достаточный характер, поэтому если не существует предел отношения производных, то это не означает, что не существует предел отношения самих функций.

Рассмотрим теперь различные примеры, иллюстрирующие применение правила Бернулли-Лопиталя раскрытия неопределенностей [0/0] и [ад / ад] к вычислению пределов.

,. arctg

Пример 1. Вычислить lim-.

х—0 j

В данном примере имеем неопределенность вида [0/0]. Поскольку все условия теоремы 1 выполнены, воспользуемся правилом Бернулли-Лопиталя для вычисления данного предела:

2

lim

x—0

arctg

j

т.к. J = 1,

(arctg(2 j) ) '

lim

x—0

1 + 4 x2

1

2.

1 + 4 х2

Следующее решение иллюстрирует применение аппарата эквивалентных бесконечно-малых функций [1-5] к вычислению указанного предела:

lim

JJ 0

arctg

x

т.к. arctg

2x

х->0

2 x

= lim— = 2.

T_>0 x

Использование первого замечательного предела и теоремы о замене переменой позволяет указать третий способ вычисления данного предела:

замена: агС£(2х)=

lim

x—0

arctg

x

x

_tg(0 2

= lim 2t t—0 tg

= 2 lim ^ = 2.

t—0

sin

при х ^ 0, ? ^ 0

Несмотря на кажущуюся одинаковую трудоемкость вычислений, третий способ содержит неочевидную замену и, как показывает многолетняя практика, студенты самостоятельно не могут догадаться сделать подобную замену переменной. Первый и второй способы примерно равнозначны по трудоемкости, хотя первый требует вычисления производных, а второй знания таблицы эквивалентных бесконечно малых функций.

1п

Пример 2. Вычислить lim-

x

В данном примере имеем неопределенность вида [ад / ад].

1/

limln( x) = lim

(ln( J)) _

lim—

j—ад 1

= lim1 = 0.

х—ад x

х^ю х х

В данном примере использование рассматриваемого правила Бернулли-Лопи-таля (условия теоремы 2 выполнены) позволяет получить результат наиболее быстро. Более того, это, скорее всего, единственный рациональный способ вычисления данного предела.

Замечание 5. В дальнейшем, при рассмотрении примеров, мы не будем упоминать, что условия теоремы 1 или теоремы 2 выполнены.

. х 3х ^ь 2х

Пример 3. Вычислить пт—---.

х^1 х + х + х - 3

Имеем неопределенность вида [0/0]. Используя правило Бернулли-Лопиталя, получим:

x3 -3x2 + 2x (x3 -3x2 + 2x) 3x2 -6x + 2 1

lim—-;-= lim--— = lim- -

x^1 x3 + x2 + x - 3 x^ 3 2 , о V x^1 3xz + 2x +1 6

x + x + x

3)

Использование указанного метода в данном примере наиболее рационально, поскольку в противном случае пришлось бы раскладывать многочлены в числителе и знаменатели на множители, что, в общем случае, является более трудоемкой задачей.

,. tg( x) - x Пример 4. Вычислить lim-.

x - sin

В данном примере имеем неопределенность вида [0/0]. Используя правило Бернулли-Лопиталя, получим:

lim tg(x)-x = lim (tg(x)-x= lim™^~' = lim '~-(Л)г =

x^0 x - sin

,. 1 + cos( x) _ = lim-„ = 2.

x^0

cos2

Следует отметить, что использование правила Бернулли-Лопиталя в данном примере наиболее оправдано и вычислить данный предел, к примеру, с использованием эквивалентных бесконечно малых функций нельзя.

- о ,• ln(1 + x) - sin(x) Пример 5. Вычислить lim—--—-.

x^o x2

Имеем неопределенность вида [0/0]. Используя правило Бернулли-Лопиталя, получим:

__nnci V \ ^ ^

lim ln(1 + x) - sin( x) = lim (ln(1 + x) - sin( x))' = lim1 + x C0S( x) = x x2 x ' x 2x

0

1

cos

1 + x J , • (1 + x) 1

= lim -——-— = lim-

x^0 (2x)' x"0 2 2

В данном примере отношение производных, так же являлось неопределенностью вида [0/0] и теорему 1 пришлось применять повторно, на этот раз уже к производным. Так же отметим, что решить данный пример с использованием аппарата эквивалентных бесконечно малых функций нельзя.

Как уже отмечалось в начале статьи, при раскрытии неопределенностей использование правила Бернулли-Лопиталя целесообразно сочетать, по возможности, с выделением главной части бесконечно малой или бесконечно большой функций или заменой их эквивалентными более простыми функциями, что демонстрирует следующий пример.

х о ,• 3x - 2sin

Пример 6. Вычислить lim-—

x5

Данный предел имеет неопределенность [0/0]:

3x - 2sin(x) - tg(x) _ ^ (3x - 2sin(x) - tg(x)) _ 3cos2(x) - 2cos3(x) -1

x^Ö

x

x^Ö

0 Ö

3cos2(x) - 2cos3(x) -1 1 lim-—-:-—--lim-

x^Ö

5 x4

x^Ö

cos

lim

x^Ö

x^0 5 x4cos2( x) (3cos2( x) - 2cos3( x) -1) '

- lim -6cos

x^Ö

2Ö x3

x^Ö

2Ö xJ

т.к. sin(x) ~ x,

x^Ö x2

1 - cos( x)--,

x^Ö 2

limcos( x) = 1

x^Ö

3 x =--lim

x

2

1Ö x^Ö -3

x

_3_ 2Ö

В данном примере даже после двух применений правила Бернулли-Лопиталя раскрыть неопределенность [Ö/ Ö] не удалось. Однако в результате мы смогли применить к полученному пределу теорему о замене в частном на эквивалентные бесконечно малые функции [1-5]. Так же отметим применение теоремы о пределе произведения, которая использовалась перед вторым применением правила Бернулли-Ло-питаля с целью упростить в дальнейшем вычисление производной от знаменателя.

,. 1 - cos(3x) + x - sin(x) Пример 7. Вычислить lim--—--

x arcsin

Данный предел имеет неопределенность [Ö/Ö]. Однако, прежде чем использовать правило Бернулли-Лопиталя, в данном пределе следует упростить знаменатель, используя эквивалентные бесконечно малые функции. Заметим, что вычислить данный предел используя только эквивалентные бесконечно малые функции вряд ли получится, поскольку нам не известно чему эквивалентна разность x - sin( x) (будет показано в следующем примере), или, хотя бы, порядок малости этой разности.

lim

x^Ö

1 - cos

т.к.

arcsin(x) ~ x

x—»0

= lim

x—»0

1 - cos

-lim(1 - cos(3x) + x - sin(x)) ' _ 3sin(3x) +1 - cos(x) _

x^Ö / \ ' x^Ö

(x2)'

2 x

Ö Ö

-Нт^3^п(3х) +1 - С08(х)) ' _ ^9соб(Зх) + Бт(х) _ 9

-Л (2Х) "™ 2 " 2'

В данном примере второго применения правила Бернулли-Лопиталя можно было избежать, воспользовавшись теоремой о сумме бесконечно малых функций различ-

х2

ного порядка [1-5] и учитывая, что 1-С08(х)--, а 38т(3х) ~ 9х.

х->о 2

С помощью рассматриваемого метода можно устанавливать порядки бесконечно малых величин. К примеру, согласно теореме о разности бесконечно малых величин [2-5], известно, что функция х - sin(.x) = о(х), т.е. является бесконечно малой

более высокого порядка, чем первый. Но какой конкретно этот порядок, как его найти? Следующий пример демонстрирует решение поставленной задачи. Пример 8. Найти порядок х - sin( х) по сравнению с х при х ^ 0. Обозначим данный порядок через k и найдем его:

1 т.к.

lim

х^0

х - sin

= lim-

х

х

0 0

= lim (х - sin( х)) = lim

х^0 / х^0

1 - cos

( х'-)'

= lim

( х

1 1 II

-— = — при ' = 3.

kх

k-1

X

l-cos(jf) —-

х—>0 2

х^с 2кхк-1 х^с 2кхк-3 2к Таким образом, функция х - Бт( х) является бесконечно малой 3-го порядка малости по сравнению с х при х ^ 0. Более того, из данного предела можно легко установить, что х-8т(х) ~ —.

х—»0 6

Наряду с выяснением порядка малости бесконечно малых величин большое значение на практики имеет задача выяснения скорости роста функций на бесконечности (да и не только на бесконечности). Ярким примером бесконечно больших функций при х являются показательная, степенная и логарифмическая функции.

Именно с помощью правила Бернулли-Лопиталя устанавливается, что показательная функция растет быстрее любой степенной, а логарифмическая функция растет медленнее любой степенной:

lim—

х"

да

да

(^)'

lim-——

~да

lim

х^да "х

"-1

да

да

lim

ln

х

да

да

= lim AM =

(х")'

х^да "х

lim v '

х"да

= lim—1— = 0.

71

х^да "х

lim— = да;

Х->СО yj!

Из рассмотренных ранее примеров, может сложиться отчасти ошибочное мнение, что правило Бернулли-Лопиталя очень просто в использовании: надо лишь, чтобы числитель со знаменателем были дифференцируемыми функциями, а далее дело лишь за количеством вычисленных производных. Более того, практика последних лет показывает, что именно так большинством студентов и воспринимается данный метод. Однако даже если во многих случаях временно забыть про рациональность «прямого» применения данного метода остается еще ряд «подводных камней», на которые обязательно нужно обратить внимание. Во-первых, как отмечалось в замечании 4, правило Бернулли-Лопиталя носит лишь достаточный характер, т.е. из того что не существует предел отношения производных ничего про исходный предел, как показывает следующий пример, утверждать нельзя.

х + Бт

Пример 9. Вычислить lim:

х

Поскольку в пределе имеется неопределенность [го / го] и все условия теоремы 2 выполнены, попробуем применить правило Бернулли-Лопиталя к его вычислению:

lim

x^-x

x + sin

x

ro

ro

= lim --— = lim -

1

т.е. предел отношения производных не существует, в то время как исходный предел равен единицы, что легко показывается с использованием теоремы о произведении бесконечно малой и ограниченной функций:

lim

x + sin

lim

x

1 +

sin

x

1.

Во-вторых, необходимо обратить внимание студентов, что для применения правила Бернулли-Лопиталя существенно выполнение всех условий соответствующей

о

теоремы и, в частности, на третье условие, а именно на 0 Vx eU(a). Как

показывает практика, не только студенты, но и многие преподаватели часто упускаю это условие из виду. Оно и понятно, поскольку в большинстве примеров оно выполняется. Посмотрим, к примеру, к чему приведет применение правила Бернулли-Ло-питаля к следующему примеру, для которого третье условие не выполнено.

x + sin

Пример 10. Вычислить lim-—.

x - sin

Для раскрытия имеющейся неопределенности [x / x] воспользуемся правилом Бернулли-Лопиталя:

,. x + sin

lim-—

x^x x - sin

x

x

(x +

sin

= lim x^x

1 + cos(x) 2f

= lim-— = lim ctg

1 - cos

x v 2 У

т.е. предел отношения производных не существует. Однако, как мы уже видели (см. пример 9) это вовсе не означает, что не существует и исходный предел. Действительно

,. x + sin( x) ,.

lim-— = lim-

x^x x - sin

x

1 +

sin

x

У _

x

1-

sin

x

На самом деле применять к данному пределу правило Бернулли-Лопиталя нельзя, поскольку производная знаменателя, равная 1 - соб( х), бесконечное число раз обращается в ноль и, как следствие, не удается указать окрестность бесконечно удаленной точки, в которой бы производная знаменателя не обращалась бы в ноль.

Однако нарушение третьего условия теорем не всегда ведет к тому, что предел отношения производных не будет существовать. Может получиться вполне правдоподобный результат, что вкупе с отсутствием проверки выполнения всех условий соответствующих теорем, как показывает следующий пример [9], приводит к неправильному ответу.

x + 1sin(2 x) Пример 11. Вычислить lim-

sin

x +1 sin

Для раскрытия имеющейся неопределенности [х / х] воспользуемся правилом Бернулли-Лопиталя:

lim-

x + 1sin

sin

x + 1sin

V 2

да да

= lim-

x + 1sin(2 x) V 2

x^-да f /

gSin

V V

x + 1sin

nY

= lim-

1 + cos

= lim

x^да

1 sii

2 cos

' esin

fr

sin

\

VV

x + 1sin

= 0.

Кажется, что все хорошо, однако в данном случае условие g'(x) ^ 0 \fxeU(а) не выполнено, поскольку имеется бесконечное количество точек, в которых производная обращается в ноль (точки где соб(х) = 0) и, поэтому, невозможно указать окрестность бесконечно удаленной точки, в которой производная бы не обращалась в ноль. Однако в данном примере студенту даже не на что «среагировать», поскольку получился вполне правдоподобный результат. Но полученный нами выше ответ ошибочный, а верный представлен далее:

1 . _ х + — 81И(2 х) ^

lim-

2

sin

1

= lim-

sin

х + — в1и(2 х) V 2 У

т.е. на самом деле исходный предел не существует.

В завершении статьи отметим, что применение правила Бернулли-Лопиталя остается, наверное, одним из самых простых для большинства студентов. Тем не менее, практика показывает, что даже если отбросить рассмотренные выше тонкости применения данного правила, остаются характерные «детские» ошибки, повторяющиеся каждый год. К ним можно отнести:

1. Применение рассмотренного правила, без предварительной проверки, что предел действительно имеет неопределенность [0 / 0] или [х / х].

2. Дифференцирование всей дроби, а не отдельно числителя и знаменателя.

3. Зацикливание на применение данного метода - если начали его применять, то применяют «до победного».

Так же хочется отметить, что область применения правила Бернулли-Лопиталя гораздо шире и не ограничивается неопределенностями вида [0/0] или [х / х]. С

его помощью можно так же вычислять неопределенности вида [0 -х], [х - х], [1х],

[х0], [00], поскольку все они могут быть сведены к случаю [0/0] или [х/х]. Эти неопределенности будут рассмотрены в следующих работах.

x^да

Заключение

Вычисление пределов - тема практически необъятная. Данная работа была посвящена рассмотрению одного из самых популярных как в России, так и за рубежом, методов раскрытия неопределенностей вида [0/0] и [ад / ад] - методу Бернулли-Ло-питаля. В статье разобраны не только примеры, для которых применение рассматриваемого метода наиболее оправдано, но и примеры, в которых крайне желательно комбинировать метод Бернулли-Лопиталя с другими методами вычисления пределов, в частности, с методом на основе аппарата эквивалентных бесконечно малых функций. Несмотря на то, что данный метод очень популярен, существует как набор типичных ошибок, допускаемых многими студентами на начальном этапе изучения данного правила, так и ряд тонкостей в его применении, которые обычно ускользают даже от прилежных студентов, не говоря уже об их общей массе. Последние несколько примеров в данной статье посвящены именно таким тонкостям. За рамками данной статьи осталось применение рассматриваемого метода к раскрытию неопределенностей вида [0 -ад], [ ад-ад], [1ад ], [ад0], [00].

В заключении еще раз отметим, что единого универсального метода вычисления пределов нет. Зачастую самые лучшие результаты дает комбинация различных методов и поэтому при изучении пределов студентов необходимо обучать разнообразным методам их вычисления, не концентрируя все внимание на каком-либо одном из них.

ССЫЛКИ НА ИСТОЧНИКИ

1. Велищанский М. А., Кавинов А. В. Вычисление пределов с использованием аппарата бесконечно малых функций // Modern European Researches. - Salzburg, 2020. - Т. 1. № 2. - P. 56-66. - URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=43596993

2. Морозова В.Д. Введение в анализ. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. - 408 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1. - М.: Интеграл-Пресс, 2006.

- 416 с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. 1. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1982.

- 616 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х т. Т. 1. - М.: Высшая школа, 1988. - 718 с.

6. Иванова Е.Е. Дифференциальное исчисление функций одного аргумента. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 408 с.

7. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1. Линейная алгебра и основы математического анализа: Учеб. пособие для втузов / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1993. - 478 с.

8. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Астрель, 2003. - 472 с.

9. Counterexample around L'Hopital's rule (2016 г.) URL: https://www.mathcounterexamples.net/counterexam-ple-around-lhopitals-rule/

Mikhail A. Velishchanskiy,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University named after N.E. Bauman, Moscow, Russia velmiha@yandex. ru Alexey V. Kavinov,

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Moscow State Technical University

named after N.E. Bauman, Moscow, Russia

alekseyvladimirovich1@yandex. ru

Calculating limits using the Bernoulli-L'Hopital rule

Abstract. The calculation of the limit, whether it is an independent problem or part of a solution to a more complex problem, "haunts" students of technical universities for at least the first two years. As a result, teaching the technique of calculating limits is an urgent task in the training of students of technical specialties. The work is devoted to the use of the Bernoulli-L'Hopital rule for calculating the limits. This rule is a very popular, fairly universal and effective way to solve this task. Brief theoretical information and examples illustrating the application of this rule are provided. Key words: limits, Bernoulli-L'Hopital rule.