Прогнозирование спроса на рисковые активы фондового рынка при наличии у инвестора неликвидного актива

TERRA ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 4 Часть 3

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ СПРОСА НА РИСКОВЫЕ АКТИВЫ ФОНДОВОГО РЫНКА ПРИ НАЛИЧИИ У ИНВЕСТОРА НЕЛИКВИДНОГО АКТИВА

КАРАНАШЕВ А.Х.,

кандидат экономических наук, доцент, Кабардино-Балкарский государственный университет,

e-mail: in63@mail.ru

Построены оптимальные стратегии финансового инвестирования с учетом промежуточного потребления и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды при наличии у инвестора неликвидного актива. В аналитической форме получены составляющие оптимального решения (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора.

Ключевые слова: моделирование; инвестирование; спекулятивный спрос; портфель хеджирования.

Optimal strategies of financial investment taking account of current consumption and stochastic evolution of investment opportunities in the presence of illiquid asset are derived. The optimal solution is obtained in an analytical form (speculative demand and hedge portfolio) as function of risky premiums, price volatilities and characteristics of investor's utility function.

Keywords: modeling; investment; speculative demand; hedge portfolio.

Коды классификатора JEL: D92, G11, G31.

Традиционный подход к моделированию размещения активов на финансовом рынке предполагает, что все активы могут продаваться в любой момент времени. В настоящей работе определены оптимальные стратегии инвестирования и потребления в стохастической модели с непрерывным временем с учетом наличия у финансового агента неликвидного актива (неликвидный актив определяется как актив, продажа которого на финансовом рынке невозможна — например, человеческий капитал и некоторые виды собственности; неликвидные активы, однако, как правило, приносят ликвидные дивиденды: человеческий капитал, например, является источником трудового дохода инвестора). Когда проблема размещения активов решается без учета существования неликвидных активов, получаемое решение является субоптимальным.

Инвестор имеет возможность вкладывать средства в банковский счет (безрисковый актив), единственную облигацию и п акций. Предполагаем, что динамика краткосрочной процентной ставки в реальном выражении определяется уравнением Орнштейна - Уленбека

где к, г и ог — положительные константы, а zrt — стандартное броуновское движение. Динамика цены облигации В( определяется стохастическим дифференциальным уравнением

dBt = А[(>; + >й+ I

в котором ар: /) > О — волатильность цены облигации, А — рисковая премия. Цена облигации отрицательно (мгновенно) коррелированна с краткосрочной процентной ставкой: рВг = -1.

Цену г-ой акции в момент t обозначаем St; Sjt эволюционируют согласно стохастическим дифференциальным уравнениям

где zst = z2(..., znt)T — п-мерное стандартное броуновское движение, не зависимое от zrt (индекс Т означает транспонирование), у. — постоянная ожидаемая избыточная доходность, а. — постоянная волатильность цены акции, р.В = - р.г — постоянная корреляция между ценами г-ой акции и облигации, постоянные к., определяют корреляции между ценами акций. Заметим, что коэффициент корреляции между ценами г-ой и 1-ой акций (при 1 < 1) равен

© А.Х. Каранашев, 2011

Ра ~ PibPib + 2 kijkij

Н

Поскольку/}и = 1,имеем кп = ^1- Pis .Получаем рп = р1Бр2Б + кпк21,откуда к21 = (рп - рХБр2В){-Jl ~ р\в Поскольку 1 = р22 = р2В + k'2i + к22, заключаем, что = -Jl — р2В — к21  Действуя таким образом, можно выразить все постоянные к.. через корреляции между ценами акций и корреляции между ценами акций и облигации. Представим динамику цен акций в векторной форме следующим образом

dSt = diag(St l(rtI„ + y/)dt + diag{cTs \pSBdzrt + К, Л = (\, Xs f

гДе diag(x) обозначает диагональную матрицу с вектором х вдоль главной диагонали, /д — n-мерный вектор

из единиц, К— нижнетреугольная матрица к.., у/ = {ц/х...(//и f, (7s = (al..(7п f. pSB = {plB.....pnB f • Заметим,

что для того, чтобы выявить эффекты взаимодействия стохастических изменений трудового дохода и стохастических процентных ставок, анализ проводится в предположении о постоянстве ожидаемых избыточных доходностей по акциям и волатильностей цен акций.

Для упрощения дальнейших выкладок введем вектор Pt = (Bt, St) цен n + 1 рисковых активов. В результате для динамики Р имеем уравнение

dPt = diag(Pt Х(г,/и+1 +Z('b/Wl + I Or *)*, ],

где z =(zr, , t) есть (n + l)x (n + О матрица

Y(r t)J (ТвМ 0 'j

‘ ’ ydingic's )pB diasi as)KJ

X = (Д., Xs f, где xs - n-мерный вектор Xs = K~l [f/ш °-( (Ts )~1 (// - pSBXr J.

Не имеющий рыночной власти инвестор максимизирует ожидаемую аддитивную по времени полезность потребления с и конечного капитала W на заданном временном горизонте T

Е

\e~aU{ct )dt+ ee-^UiWj.)

где 3 — дисконтный фактор, а е — параметр, характеризующий вес полезности, извлекаемой инвестором из конечного капитала - Ппрлпплагаем, что функция полезности инвестора характеризуется постоянным относительным неприяти-с[~г

ем риска и(с)=------- , где у > 0 — коэффициент постоянного относительного неприятия риска Эрроу - Пратта [2,3].

1 - у

Инвестор получает непрерывный поток трудового дохода с интенсивностью у в течение времени t е [0, Т], так что его доход за малый период [^ t + dt] составляет уМ, а у эволюционирует следующим образом

4yt = yt

(4о(0-4л )dt + (Ту (/ )| PyPdzt + д/і - \рур

dz

'yt

где

— одномерное стандартное броуновское движение, независимое от гг и руР = {руБ. ру3 1, где руВ = —р

есть мгновенная

корреляция между у( И ценой облигации, ру£ = К — РввРуБ У где .руЯ есть вектор коэффициентов корреляции между у( и ценами акций. При ||руз||2 = 1 Д°Х°Д У,чувствителен только к рискам, представленным г, и может рассматриваться как финансовый актив.

Инвестор выбирает стратегию потребления с = (с() и инвестиционную стратегию в = (в). Здесь с( есть интенсивность потребления в момент t с естественным ограничением с( > 0. Вектор в = (вм вя)Т определяет доли капитала, инвестируемого в момент t в облигацию и акции. При заданных стратегиях потребления и инвестирования капитал инвестора эволюционирует следующим образом

Щ ={г№ + (г(,/)Л-с, + у,>Й + в]2(г„<уь,.

Неявная функция полезности инвестора имеет вид

~Т

j(W,r,y,t)= sup Et

(с ,^)єД

[e~^s~tb

где Ас — множество допустимых стратегий. Запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче динамической оптимизации

TERRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 4 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 4 Часть 3

100

А.Х. КАРАНАШЕВ

где е_ = (1,0Л У. Максимизация правой части уравнения Беллмана относительно с и в дает оптимальное потребление

U,{ct)=JM^УtJ)^ct = [JІV{Wt,rt,ytJ)\Уr

и оптимальную инвестиционную стратегию

Первая составляющая оптимального портфеля (2) соответствует стандартному портфелю САРМ, основанному на анализе математического ожидания и дисперсии доходностей рисковых активов и игнорирующему стохастические изменения инвестиционных возможностей. Вторая часть представляет собой спрос инвестора на хеджирование против стохастических изменений трудового дохода инвестора, а третья составляющая оптимального портфеля описывает хеджирование против изменений краткосрочной процентной ставки. Спрос на хеджирование против изменений трудового дохода отражает позицию портфеля инвестора с относительными весами, определяемыми соотношением

(у {пл)тУруР

-------------;-----. Это портфель с максимальной абсолютной корреляцией с интенсивностью трудового дохода ин-

скмгГ рур

вестора. Эта максимальная корреляция равна \рур , так что, если трудовой доход полностью хеджируется финансовыми инструментами фондового рынка, коэффициент корреляции равен единице. Поскольку цена облигации идеально отрицательно коррелированна с краткосрочной процентной ставкой, риск, связанный с последней, полностью хеджируется только позицией по облигации. Напротив, составляющая портфеля, соответствующая хеджированию стохастических изменений трудового дохода инвестора и «спекулятивный» спрос инвестора (первое слагаемое в выражении (2)) в общем случае включают все рисковые активы. Оставшаяся часть капитала инвестора Ш - вТ1п+1 размещается в банковский счет.

Далее предположим, что поток прибыли из источников вне Финансового рынка не содержит рисковых компонент, отличных от описываемых броуновскими движениями г, т.е. \рур || = 1 • Рыночная стоимость в момент £ потока прибыли

у( за период [^ Т] определяется соотношением

Н(у,гЛ)=Е?

~т ( 5 Л

1 V, ехр -К* Ж

V * J

где 0 — нейтральная по отношению к риску вероятностная мера.

Утверждение 1. Капитал инвестора, полученный из источников вне финансового рынка, определяется соотношением

Н{у,гЛ)= уМ(г4) = у Й (к,

в котором

1п*)= | (^о (и)- (Уу (и)рурЛ--\)руВагау (и)Ь(.г -»)}*/ +

+ {|-1)^

6(0=

(доказательство здесь не приводится ввиду его громоздкости).

Как видно из соотношения (3), капитал Н есть произведение текущего потока дохода инвестора вне финансового рынка у и мультипликатора М(г, ^, зависящего только от краткосрочной процентной ставки и времени.

Неявная функция полезности с учетом дохода у может быть представлена в виде

У(РГ, г, V, /) = ¥(№ + н(у, Г, /), г, /),

1 - у

Утверждение 2. Неявная функция полезности инвестора при сделанных предположениях определяется соотношением

/(1Р, г, g(t, tУ (Ж + Я (у, г, / ))*-',

1- у

где функция ^(г, £) определяется следующим образом

Т у~1 у~1

где

111 /(г) =

V

г +

1-г

у

г

Г IVі

Оптимальная норма потребления определяется соотношением

Wt+H

с * =

а оптимальное размещение капитала имеет вид

et=-(wt +H(yJ,rt,t)'fcr(rt,t)T) 1 Л-ytH (yt,rt,t)(7 (t^(rt,t)T)1 р р

7 ' '

+

\

'1

Заметим, что имеются две причины хеджировать изменения краткосрочной процентной ставки, что отражено в двух последних слагаемых в последней составляющей спроса на рисковые активы (4). Во-первых, процентные ставки определяют будущий набор инвестиционных возможностей, приводящий к спросу на хеджирование, определяемому отношением g/g. Во-вторых, процентные ставки влияют на капитализированную величину будущих доходов вне финансового рынка

как посредством эффектов дисконтирования, так и в силу возможной зависимости процесса у( от процентной ставки, что определяется Я.

Найдено оптимальное размещение капитала в позиции по облигации, акциям и банковскому счету. Доказано, что относительное размещение капитала в облигации и акции может испытывать существенное влияние присутствия стохастического трудового дохода по ряду причин. Во-первых, доходности облигации и акции могут быть по-разному коррелированны с трудовым доходом, в силу чего облигации или акции в зависимости от конкретных условий могут оказаться лучшим инструментом хеджирования, связанного с трудовым доходом риска. Во-вторых, инвесторы, характеризующиеся неприятием риска, имеют положительный спрос на хеджирование полного капитала против изменений инвестиционных возможностей. В рассматриваемой постановке инвестиционные возможности определяются краткосрочной процентной ставкой, так что облигация является более подходящим активом для такого хеджирования [1]. В-третьих, поскольку человеческий капитал определяется как дисконтированная стоимость будущих трудовых доходов, он в общем случае чувствителен к уровню и волатильности краткосрочной процентной ставки (подобно облигации) и, следовательно, фактически представляет собой неявное инвестирование в облигацию, так что явное инвестирование в облигацию сокращается.

ЛИТЕРАТУРА

1. Каранашев А.Х. Математическое моделирование и оптимизация портфельного инвестирования // Управление экономическими системами (электронный научный журнал). 2011. № 11 (32).

2. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000.

3. ArrowK.J. The theory of risk aversion // Essays in the Theory of Risk - Bearing / Ed. by K.J. Arrow, Amsterdam: North-Holland, 1971.

TERRА ECONOMICUS ^ 2011 ^ Том 9 № 4 Часть 3