Расчет силы давления непараксиального гауссова пучка на однородный цилиндр с круглым сечением

РАСЧЕТ СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ НЕПАРАКСИАЛЬНОГО ГАУССОВА ПУЧКА НА ОДНОРОДНЫЙ ЦИЛИНДР С КРУГЛЫМ СЕЧЕНИЕМ

Котляр В.В., Налимов А.Г.

Институт систем обработки изображений РАН,

Самарский государственный аэрокосмический университет

Аннотация

Рассмотрены силы, действующие со стороны на диэлектрический бесконечно протяженный цилиндр с произвольным и круглым сечением. Получены аналитические выражения для проекций вектора силы давления света на цилиндр с произвольным и круглым сечением. В частности, получены выражения для силы давления через коэффициенты разложения непараксиального гауссова пучка по цилиндрическим функциям. На численных примерах показан оптический «захват» цилиндра с круглым сечением двумя встречными или одним непараксиальным гауссовыми пучками.

Введение

Дифракция электромагнитной волны на однородной сфере может быть проанализирована в рамках теории Ми. Обобщение теории Лоренца - Ми на случай дифракции гауссова пучка и пучка произвольной формы рассмотрено в [1-3] и [4] соответственно. Строгий электромагнитный расчет силы давления на сферическую микрочастицу со стороны гауссова пучка с непараксиальностью 5-го порядка рассмотрен в [3, 5, 6]. При этом гауссовый пучок имел радиус перетяжки много больше, чем длина волны света. Более «острую» фокусировку гауссова пучка можно осуществить с помощью сферической линзы с высокой числовой апертурой, обладающей аберрациями. Расчету сил давления света на сферическую частицу, расположенную в фокусе линзы с аберрациями, посвящены работы [7, 8]. Однако расчет в [7, 8] был осуществлен для рэлеевских частиц, то есть с использованием теории рассеяния 2-го порядка. В [9, 10] рассмотрен строгий расчет сил, действующих на сферическую частицу произвольного радиуса, расположенную в фокусе сходящегося пучка со сферической аберрацией. Однако действие силы давления света рассмотрено только вдоль оптической оси. В [11, 12] проведено моделирование и строго рассчитаны силы, действующие на сферическую частицу, расположенную в фокусе сходящейся сферической волн. В [13, 14] приведено теоретическое и численное сравнение 3-х методов расчета силы давления света: геометрооптического, в приближении Рэлея и строгого. Аналитические выражения для силы давления света на сферическую частицу с керровской нелинейностью, расположенную в фокусе гауссова пучка, получены в [15]. В [16] рассмотрена передача углового момента от плоской электромагнитной волны с круговой поляризацией сферической частице. В [17, 18] приведены аналитические формулы для расчета полей дифракции непараксиального 2Б гауссова пучка на круглый диэлектрический цилиндр.

В данной работе приведены аналитические выражения, и проведено численное моделирование для расчета сил давления света на диэлектрический цилиндр с круглым сечением, расположенный вблизи фокуса двумерного непараксиального гауссова пучка.

1. Сила давления света на микрообъект

В [19] приведена формула, выражающая сохранения полного импульса системы электромагнитного поля плюс объект V, ограниченный поверхностью £:

д г д г

| Рг^ + -д^Р0г = -§агкПк^ ,

дґ

где Р, - координаты вектора импульса электромагнитного поля (V и ^ - объем и ограничивающая его поверхность, который включает объект V е V]), связанного с вектором Умова-Пойнтинга соотношением:

"* 1

р=-4=

с 4пс

Е х Н

,

Рог - координаты вектора импульса объекта,

дґ

координаты вектора силы давления света на объект;

агк =

_1_

4п

2 2

е1 Е + Н

-г1Е1Ек -НгНк);

^гк - максвелловский тензор напряжений электромагнитного поля (&гк = а кг); Е, Н - векторы напряженностей электрического и магнитных полей в вакууме, - диэлектрическая проницаемость

среды.

После усреднения по времени за период

Т 2п

I = — монохроматического света:

Е(х,ґ) = Яв{Е(х)еШ },

Н(х,ґ) = Яе\Н(х)еш }

вместо уравнения (1) получим:

Я =

так как

Р

дґ

= -Нагк)Пк& ,

5

2

д.

, dt

v .Л=ip)«-=о.

Для получения выражения для усредненного по времени тензора напряжений (3) учтем, что

{я

Ег(х)Е](х)].

= - Re 2

Тогда, вместо (5), получим:

Fx = ¿^2 Ь1 Ex I2 + Hx\2 4E,|2 -

- \Hy\ -El |EZ I2 - Hz I2

+ Re(¡iExEy + HxHy )dSy +

+Re (E + HxH* )dSz},

Fy = 8ПsilEy| + lHy| -silEX -

+ Re(siEyE*z + HyH* )dSz +

+ Re (siEyE* + HyH*) dSx},

{i[si|EzI2 + Hz|2-siEx|2 -

12 I 12 і I

- Hx| -si \Ey\ - \Hy\

Fz =—f{ 2 z 8n S 1 2

+ Re(siEzE* + HzHy )dS; +

+ Re (E* + HH* )dSy },

где dSx =---------dxdy, = — dxdy, = dxdy,

сХ ЧУ

Е1 = ЕХ , Е2 = Еу , Е3 = Е2 (для Н, и р аналогично).

Перепишем выражения (8) для силы давления света на микрообъект в 2Б случае в системе СИ. Для ТЕ-поляризации (НХ = Еу = Ег = 0) электрическое поле направлено вдоль оси X: ЕХ ф 0 , 2 - оптическая ось, 2Б-объект имеет вид цилиндра с произвольной формой сечения и имеет бесконечную протяженность вдоль оси X. Плоскость 102 - плоскость падения света. В этом случае соотношение (8) примет вид:

Ех = 0

Fу = 2 So i [I H>\2 -Si Exl2 - Hz

dSy +

-Re(HyH* )dSz},

Fz = \ so f{ 11"| Hz I2-si \E; I2 - \Hy

dSz +

-Re(HzH*y )dSy },

здесь ^ уже контур, охватывающий сечение объекта в плоскости 102. Сила р - направлена вдоль оптической оси и является аналогом рассеивающей силы для рэлеевских частиц [7], а ^у - направлена

поперек оптической оси и является аналогом градиентной силы [7].

Связь между проекциями Ну, Нг и Ех следует

из уравнений Максвелла:

H =- i ^El H = i. dExL

y к dz ’ z к dy 2n

где к = — - волновое число света с длиной волны

X

X. Аналогично (9) и (10) сила давления света с ТМ-поляризацией на 2Б объект будет иметь следующие проекции (Ех = Ну = Нг = 0):

Р = 0

Fy = i so Sf {i [si |Ey|2-si \Ez I2 - \H;

+ Re(siEyEy )dSz},

Fz = i so Sf {i ^ Ez Г -si |Ey |2 - Hx

+ Re(siEzEy )dSy },

dSy +

dSz +

где

dSy = nydl = sin q>dl = dz и dSz = nzdl = eosф^/ = dy,

dl - элемент дуги контура S1.

2. Дифракция непараксиального гауссова пучка на 2D круглом однородном цилиндре

с фокусом в точке

Следуя [18], рассмотрим дифракцию 2Б непараксиального гауссова пучка на круглом однородном цилиндре (рис. 1). Для случая ТЕ-поляризации, когда (Ех, Ну, Ні) - отличны от нуля, напряженность электрического поля для непараксиального гауссова пучка можно записать в виде:

2

2

2

2

io6

k 2^2 2

---^4^—+ ik(Zop - y0q) + ikr cos( - y)]dq ;

22

где у = arcsin q , p + q = 1, p = cos y , q = sin у .

Так как:

7 I \

exp[ikr cos(cp-y)] = ZinJn(krynZp-Y).

то получим разложение (i3) в ряд по цилиндрическим гармоникам:

Ex (P.P)= E0 Z inCnJn(kr)e

n=-7

inp

V7

Cn =—^ J exp

7 2 2 2 k °q

+ ik-^ 1 - q 2 z0 - ikqy0 - in arcsin q

dq .

Из уравнений Максвелла можно далее рассчитать напряженности магнитного поля:

, дЕХ

H = -- д

юц öz i dEx

H Z = d .

юц dy

Перейдем к проекциям поля в полярных координатах:

Hr = Hz cos p + Hy sin p, Hp =-Hz sin Ф + Hcos P..

Тогда для проекций магнитного поля полу-

чим:

Hp(г.Фу1 = iH0 ZinCnjn(kr>

n=-7

где

J'n (kr) =

d

Jn(kr)-.

inp

H = kE0 H 0 =

цю

7

Hr(r,p) = H0 Z innCn^n

n=-7

Jn

,inp

kr

Аналогично запишем разложения рассеянного —^ —*•© — ©

Е , Н и внутреннего Е , Н электромагнитных полей по цилиндрическим функциям:

7

Exffl= E0 ZinCюJn(k1r)einp,

n=-7

7

Hf = iH! Z iC J’n (klr)e'np,

Hf = Hj Z ninCf Jn(kr) einp,

n=-7 k1r

Ex5 = E0 Z^C^H^}(kr)e™n,

n=-7

7

Hp = iH0 ZinCSnH'(}(kr)e

inp

Hr5 = H0 Z ninC,

inp

kr

kj = k Vs ,

є - диэлектрическая про-

Н Е{)к1

где Н = —^ цю

ницаемость цилиндра. Граничные условия непрерывности тангенциальных составляющих поля на границе цилиндра имеют вид:

Ex + El- Ex = 0, Hp+ Hp - Hf= 0.

Подставляя в (23) выражение для полей (21), (22), а также (15), (19) и (20), получим систему для двух неизвестных из двух уравнений, из которой следует выражения для коэффициентов разложения в рядах (21) и (22):

Csn = anCSn , Cf = bnCn,

an = (V;(kiR)Jn(kR) - kJn(kiR)J’n(kR>)/

/(kj(kiR)H<ni>(kR) - kJn(kiR)H'n(V(kR>), (25) bn = (kJn(kR>H'<i>(kR) - kJ'n(kR>H<niVr)/

/

Так как в уравнениях (25) и (26) цилиндрические функции входят в выражения в виде произведения, то a-n = an и b- n = bn . В выражения для силы (9) и (io) входят проекции поля в декартовых координатах. Мы же получили решения для полей в полярных координатах (i5), (i9), (2o) - (22).

Поэтому перейдем от поля в полярных координатах к полю в декартовых координатах:

Ex = Ex,

Hz = Hr cos ф- Яф sin ф, .

Hy = -Hr sinф + Hф cosф.

Тогда:

H z( Г,ф > =

= H o ZinCnein<p{ Jn(kr> + anH(n i >(kr^]-

- isin ^[Jn

Hy = h 0 Z iXe^^k^ + anHn1VM+

lJn (kr) + anHn

(kr;]},

n = -7

n=—7

n=-7

+

4

d

Ех(г,ф) = E0 Z i"Cnem^

\jn(kr) + anH(n >{kr)\ .

Для компактности введем функции:

Фи = Jn(kr> + anH<n )(kr> ,

ф n = J'n (kr) + anH'nm(kr) = ФПи .

Тогда перепишем (28-30):

'Hz(r,q > = H o

]Г/ПСпЄШФ|nCOr Ф Фп(г> - /sn Ф^ф ’n(r>

H y(r,Ф; = Ho

Z^Cn^j^Ф Фп(г/> + ísnФ Ф’п(г/> Ех(г,ф > = Eo Z/X^/r;

Подставив (33) в (27), можно получить аналитическое выражение для проекций силы, действующей на круглый однородный цилиндр, расположенный вблизи перетяжки непараксиального гауссова пучка. Для круглой частицы аналитическое выражение получено в [15].

Чтобы получить аналитическое выражение для силы давления света на диэлектрический цилиндр с круглым сечением, удобно использовать выражения в полярной (цилиндрической) системе координат.

Тогда, вместо (9) и (10), будем иметь:

Hr І2 - |Hф| -El Ех і2

dф.

F = Ro Ф 4

JЯе^Нф)

где проекции векторов напряженности электрического и магнитного полей для TE-поляризации Hr, Hф и Ex вычисляются по формулам (15), (19), (20) и (22) для r > r если R0 - радиус круглого цилиндра:

Ex = Eo Z Cn [i1 r) + r] ,

n=-7

7 /''* Г

Hr = Ho Z ~T\anH(n1 >(kfi!r> +

n=-7 kV sr

, к Ver + jj^,

7 г

h ф=íh o z Cn Oh/ 1 r>+

n=-7

+ jn(^VS7,

где а„ - находится из (25), но с учетом замены к на ку£, а Сп - из (16), но с учетом замены Сп = I~пСп, е1 - диэлектрическая проницаемость среды. Подставив (35) в (34), получим:

Z Cn

Ho2 n 2

-s E2

b^o

n(R>\2 -

- H,

:|Ф-„(я>2 J.

F = Rso H o Ф 2

Z n|c„|2 /ш[ф„(л;ф',:(л;

где /да\...\ - мнимая часть числа, а вместо (31) и (32) используем обозначения:

Фп(г> = anH(n1 > (кл/ё1r )+ Jn (кл/ё1r ).

ФП(г^ = anHT > (кл/ё1r)+ J’n (кл/ё1r).

dJ n(x>

Jn(x;=-

dx

В системе СИ Н0 = Е0^ё1 (ц = 1).

Так как выражение (36) должно выполняться при любом радиусе окружности Я > Я0, по которой происходит суммирование в (34), Я0 - радиус круглого сечения диэлектрического цилиндра, то (36) должно выполняться и при Я ^ ж .

Тогда первое уравнение в (36) можно переписать (Ц = 1):

F V^1SoREo |C

Fr =---------------2— Z h

2 7

oiVJ-o ^ ІГ I2

n

n=-7

(фп(я>\2 +|ф'п(я;| 2).

Далее перепишем (38), с помощью использования асимптотик для цилиндрических функций, при х ^ ж :

Jn(x>=Vnx4x-f -7

Hn 2 )(x> = J—exp nx

— /I x —

а также используя рекуррентные соотношения для Z цилиндрических функций

zn (x> = -Zn(x> - Zn+i(x;. x

Тогда, вместо (38), получим, что:

F л/ёТSoE

г 2пк

2

o Eo

n

2

4

n=—7

n=—7

n

n=-7

где arg an - аргумент комплексного числа an .

Проекция силы на радиальную координату Fr по сути является модулем вектора силы, то есть:

Fr =V F2 + F.

Поэтому уравнение (41) дает только величину силы, а ее направление остается неизвестным. Найдем по отдельности проекции силы на оси Y и Z из уравнений (9) и (10) с учетом выражения (27). Тогда получим:

R 2

Fy = j |Яф| sin 3Ф + 81 \Ez |2 sin ф

Fz =-Г- j |Я/ C0S 3Ф +

dф.

+ 81 |Ez 12 cos ф|іф.

Подставив в (42) составляющие поля из (35) в виде рядов по цилиндрическим функциям и устремив Я в бесконечность, получим:

Fy =-

ом

4nk

ZCnan

(ґ^* * , ^* * * ^* * \

• \fn + 1an + 1 + Cn-1an-1 - Cn+3an + 3 - Cn-3an-3/,

Fz =

/8

ол/s 1E0

4nk

7 /

Z Cnan (C

^Cnan ЮП+1 -

* * * * * *

- Cn-1an-n - Cn+3<an+3 + Cn-зап.

n-1 n-1 n+3 n+3 n-3 n-3

Удобно объединить обе проекции (43) в одну -вида:

/8,

iV8!E

Fz + iFy = • z y 2nk

* * * * nan^n+1an+1 Cn+3an+3

)•

3. Численное моделирование

На рис. 2 представлена картина интерференции двух гауссовых пучков, направленных друг против друга с перетяжкой в начале координат, создающих стоячую волну. Рис. 2а отображает амплитуду суммарного поля Ех (ТЕ-поляризация), рис. 2б - модуль проекции вектора Умова-Пойнтинга на ось распространения света 2. Первый гауссовый пучок направлен вдоль оси 2, второй пучок в обратном направлении оси 2. Для первого гауссова пучка длина волны излучения - 1 мкм, мощность излучения - 50 мВт/м, перетяжка гауссова пучка находится в начале координат, ее диаметр - 1 мкм. Мощность излучения второго пучка - 50 мВт/м, длина волны так же равна 1 мкм, а диаметр перетяжки -1,5 мкм. Если поместить в такое поле диэлектрический объект, имеющий размер порядка длины волны, то данное поле окажется для него ловушкой: он будет втягиваться в максимумы интенсивности поля.

На рис. 3 представлен график зависимости силы Еі направленной вдоль оси 2 от смещения по оси 2.

Объектом является круглый цилиндр с диаметром равным 1 мкм, диалектрическая проницаемость -е =2. Вся картина дифракции имеет размер 2,5х2,5 мкм.

а) б)

Рис. 2. Интерференционная картина двух непараксиальных гауссовых пучков, распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси Z: а) суммарная амплитуда векторов электрической напряженности; б) распределение вектора Умова-Пойнтинга

Л

"-н

bq

~ч

х

1 XV 1 ІА 1 1 1 1

!/ \ ! / \! / ! \ ! ! /

"1!г ”1 1 ~1 /1 V / 1 \ 1 /I \ т~і VI/ і \ і /

гн N U-1 и / і \ і / / 1 \| /і

v 1 1 \! / і і Л А —і 1—V-—і i-w і \ Г і 1—\J —

-0,8

-0,4

0

0,4

0,8

Ь, мкм

Рис. 3. Проекция на ось Z силы, действующей на круглый цилиндр с е =2 в зависимости от смещения центра круга цилиндра вдоль оси Z

На рис. 4 представлена дифракция направленных друг против друга гауссовых пучков, изображенных на рис. 2, на круглом цилиндре, описанном выше. Рис. 4а представляет напряженность электрического поля Ех (ТЕ-поляризация), рис. 4б - проекцию вектора Умова-Пойнтинга на ось Z. Объект расположен по центру перетяжки (г=0). Для визуализации на рис. 4а сам объект слегка затемнен.

Рис. 4. То же, что и на рис. 1, но в присутствии круглого цилиндра в центре перетяжки

На рис. 5 приведена центральная часть картины дифракции рис. 3а размером 0,31x0,31 мкм. Стрелками отображены направления силы, действующей на данный цилиндр со стороны излучения, при помещении объекта в каждую конкретную точку пространства. Можно видеть, что объект хорошо «втя-

8

П=—7

П=—7

П = -7

гивается» в максимумы интерференционной картины. Длина стрелки пропорциональна модулю силы.

Рис. 5. Поле векторов сил, действующих со стороны двух встречных гауссовых пучков на круглый цилиндр, центр которого расположен в разных точках интерференционной картины

Интересно рассчитать поле и силу света, действующую на диэлектрический 2Б объект, показатель преломления которого меньше, чем среды.

На рис. 6 представлена картина дифракции плоской волны в среде с показателем преломления 1,33 (вода) на круглом цилиндрическом объекте с показателем преломления 1 (цилиндрический пузырек воздуха). Диаметр цилиндра равен длине волны, т.е. - 1 мкм. Рис. 6а представляет напряженность электрического поля Ех (ТЕ-поляризация), рис. 6б -проекцию вектора Умова-Пойнтинга на ось Z. Энергия за «пузырек воздуха» почти не распространяется, что хорошо видно на срезах, отображенных на рис. 7, сделанных по оси Z через точку у=0.

а) б)

Рис. 6. Модуль напряженности электрического поля (а) и модуль вектора Умова-Пойнтинга (б) на картине дифракции плоской волны на воздушном круглом цилиндре в воде

Рис. 7а отображает значение амплитуды Ex, рис. 7б - значение проекции вектора Умова-Пойнтинга на ось Z.

Если такой объект поместить вблизи фокуса Гауссова пучка, то он будет выталкиваться из него, что проиллюстрировано на графиках рис. 8.

На рис. 8а представлен график зависимости силы Fz вдоль оси Z от смещения по оси Z, на рис. 8б -зависимость силы Fy от смещения вдоль оси Y через фокус. Гауссовый пучок имеет длину волны 1 мкм,

диаметр перетяжки равен 1 мкм, мощность излучения 100 мВт/м. Видно, что при отклонении в любую сторону из фокуса в поперечном направлении сила, направленная в сторону отклонения, возрастает, что приводит к устойчивому движению в этом направлении. При отклонении вдоль оси распространения света Z сила, действующая на объект, перед фокусом меньше по модулю, чем после фокуса.

L, мкм

Рис. 7. Сечения картины 6а и 6б вдоль оси Z через точку У=0

0,8 1,2 L, мкм

Рис. 8. Проекции силы давления непараксиального гауссова пучка на «цилиндрический пузырек воздуха» в воде: на продольную ось

Если показатель преломления среды меньше, чем показатель преломления частицы, то при определенных параметрах можно наблюдать «захват» частицы по оси 2.

На рис. 9 показан график силы Ег при захвате вдоль оси 2. Парметры эксперимента: длина волны 1 мкм, диаметр перетяжки Г ауссова пучка 1 мкм, диэлектрическая проницаемость частицы 1,2, среды 1, диаметр частицы 2 мкм. Из графика можно видеть механизм захвата: сила Ег перед фокусом положительна и направлена в сторону фокуса, за фокусом отрицательна и толкает частицу назад, в фокус. Из численных экспериментов было определено, что наличие возмож-

ности захвата зависит от диэлектрической проницаемости частицы. Для приведенных параметров «захват» имеет место при 1< е <1,35.

0,15

£

X

0,10

0,05

О

г»*-*4—

_L L J _L

-L jN ^ L \l J _L

1 1 Г 1 -1

-2 -1 0 1 L, мкм

Рис. 9. Проекция силы давления на ось Z для гауссова пучка, действующего на круглый цилиндр с е =1,2

Г рафик зависимости силы Г2 при данных параметрах и диэлектрической проницаемости частицы 1,35 показан на рис. 10.

£

Еч

"-ч

X

г й

0,3

0,2

0,1

0

i 'v. 1 1 1 1—

i \ i \ 1 i- X-\ 1 \ r i_ i_ \ -1

г 1 i- I- —1— “I \

L, мкм

-2-10 1

Рис. 10. Граница «захвата»: проекция силы давления на ось Z для непараксиального гауссова пучка и круглого цилиндра с е =1,35

Заключение В работе получены следующие результаты:

• Получено выражение для силы давления света на диэлектрический бесконечный цилиндр с произвольным сечением в декартовых (ур. (9), (10), (12) и цилиндрических (ур. (34) координатах;

• получены выражения для силы давления света (в частности непараксиального гауссова пучка) на диэлектрический бесконечный цилиндр с круглым сечением: при произвольном радиусе окружности интегрирования (ур. (36) и при бесконечном радиусе (ур. (41), (43), (44);

• численно показана возможность оптического «захвата» диэлектрического цилиндра с круглым сечением двумя встречными непараксиальными гауссовыми пучками (рис. 3 и 5) и одним гауссовым пучком при ограничении на диэлектрическую проницаемость цилиндра (рис. 9);

• численно показано, что круглый «воздушный пузырек» в воде выталкивается из фокальной области непараксиального гауссова пучка (рис. 8).

Благодарности

Работа поддержана российско-американской программой «Фундаментальные исследования и высшее образование» (BRHE), грант CRDF REC-SA-014-02 и президентским грантом НШ-1007.2003.01.

Литература

1. Gouesbet G., Maheu B., Grehan G. Light scattering from a sphere arbitrarily located in a Gaussian beam, using a

Bromwide formulation // J. Opt. Soc. Am. A. 1988. V. 5. Р. 1437-1443.

2. Gouesbet G., Lock J.A. A rigorous justification of the localized approximation to the beam-shape coefficients in the generalized Lorenc-Mie theory. II. Off-axis beams // J. Opt. Soc. Am. A. 1994. V. 2, P. 2516-2525.

3. Ren F., Grehad G., Gouebet G. Radiation pressure forces exerted on a particle located arbitrarily in a Gaussian beam by using the generalized Lorenc-Mie theory and associated resonance effects // Opt. Commun., 1993. V. 108, P. 343-354.

4. Gouesbet G. Validity of the localized approximation for arbitrary shaped beams in the generalized Lorenc-Mie theory for spheres // J. Opt. Soc. Am. A, 1999. V. 16. P. 1641-1650.

5. Barton J., Alexander D., Schaub S. Theoretical determination of net radiation force and torque for a spherical particle illuminated by a focused laser beam // J. Appl. Phys., 1989. V. 66. P. 4594-4602.

6. Gussard R., Lindmo T., Brovik I. Calculation of the trapping force jn a strongly focused laser beam // J. Opt. Soc. Am. B, 1992. V. 9. P. 1922-1930.

7. Rohrbach A., Stelzer E.H.K. Optical trapping of a dielectric particles in arbitrary fields // J. Opr. Soc. Am. A,

2001. V. 18. P. 839-853.

8. Rohrbach A., Stelzer E.H.K. Trapping forces, force constant, and potential depths for dielectric spheres in the presence of spherical aberration // Appl. Opt., 2002. V. 41. P. 2494-2507.

9. Lock J.A. Calculation of the radiation trapping force for laser tweezers by use of generalized Lorenc-Mie theory I. Localized model description of an on-axis tightly focused laser beam with spherical aberration // Appl. Opt. 2004. V. 43. P. 2532-2544.

10. Lock J.A. Calculation ........II. On-axis trapping force //

Appl. Opt., 2004. V. 43. P. 2545-2554.

11. Ganic D., Gan X., Gu M. Exact radiation trapping force calculation based on vectorial diffraction theory. // Opt. Express, 2004. V. 12. № 12. P. 2670-2675.

12. Nieminen T.A., Heckenberg N.R., Rubinstein-Dunlop H. Computational modeling of optical tweezers // Proceeings of SPIE, 2004. V. 5514. P. 514-523.

13. Mazolli A., Maia Neto P.A., Nussenzveig H.M. Theory of trapping forces in optical tweezers // Pvoc. R. Soc. Lond., 2003. V. 459. P. 3021-3041.

14. Nahmias Y.K., Oddl D.J. Analysis of radiation forces in laser trapping and laser-guided direct writing application // IEEE J. daunt. Electr., 2002. V. 38. №. 2. P. 1-10.

15. Pobre R. , Saloma C. Radiation forces on nonlinear microsphere by a tightly focused Gaussian beam // Appl. Opt.,

2002. V. 41. №. 36. P. 7694-7701.

16. Marston P.L., Crichton J.H. // Radiation torque on a sphere coused by a circularly-polarized electromagnetic wave // Phys. Rev. A., 1984. V. 30. №. 5. Р. 2508-2516.

17. Zimmerman E., Dandliner R., Souli N. Scattering of an off-axis Gaussian beam by a dielectric cylinder compared with a rigorous electromagnetic approach // J. Opt. Soc. Am. A, 1995. V. 12. P. 398-403.

18. Wu Z., Guo L. Electromagnetic scattering from a multilayerd cylinder arbitrarily located in a Gaussian beam, a new recursive algorithms // Progress in electromagnetics research, PIER, 1998. V. 18. P. 317-333.

19. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Механика. Электродинамика // Книга 1, М., Наука. 1969.