Деятельность учителя по формированию понятий доли и дроби в курсе математики начальной школы

3. Отобрать теорему или задачу (из набора заданных) для предъявления в качестве образца поисковых действий с учетом собственных возможностей, особенностей содержания и субъектного опыта учащихся.

Обратимся теперь к вопросу применения идей для организации поисковой деятельности учащихся. Этот процесс требует от студента наличия важных знаний и умений. Перечислим их.

Общая методика изучения теорем и доказательств должна быть знакома студентам не только на уровне теоретического знания, но и на уровне действий в условиях квазипрофессиональной деятельности. Студент должен уметь выделять составы и структуры теорем и доказательств, а также логические шаги из текста доказательства и формулировать идеи доказательства. Студент должен понимать и целостно представлять процесс изучения теоремы и ее доказательства от мотивации изучения теоремы до этапа ее применения. Студент должен иметь опыт целевого отбора задач или их составления и организации решения задач в условиях квазипрофессиональной деятельности.

При условии наличия в субъектном опыте студента указанных представлений, знаний и умений целесообразно переходить к обучению его организовать и проводить специальную работу, направленность которой - осмысление учащимися идеи доказательства теоремы. Следует отметить, что результативность такого обучения зависит и от сформированности вышеуказанных знаний и умений, и, главное, - от качества их развития в условиях квазипрофессиональной и реальной образовательной деятельности.

Все вышеуказанное позволяет выделить этапы обучения студентов "идеям доказательств теорем" как методическому средству: этап изучения и актуализации идейной составляющей субъектного опыта студентов; этап пропедевтического изучения знаний и овладения умениями, необходимыми для изучения понятия "идея доказательства теоремы"; этап изучения понятия "идея" на уровне теоретических знаний; этап квазипрофессионального использования "идеи" как методического средства и дальнейшего продолжения изучения понятия "идея"; этап профессионального применения методик использования математических идей (в условиях педагогической практики).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 8-е изд. М.: Просвещение, 1998.

2. Граник Г.Г. Психологический анализ пунктационных умений и их формирование // Вопросы психологии. 1977. №4. С. 95-105.

3. Макарченко М.Г. Задачи, определения и теоремы как понятия методики обучения математике: учеб. пос. Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. инт-та, 2004. С. 181.

4. Развитие субъекта образования: проблемы, подходы, методы исследования / под ред. Е.Д. Божович. М.: ПЕР СЭ, 2005.

5. Шоломий К.М. Оптимизация алгоритмов умственных действий распознавания: автореф. дисс. ... канд. тех. наук. М., 1971.

С.Л. Налесная

ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЙ ДОЛИ И ДРОБИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЫ

В соответствии с обязательным минимумом требований к уровню подготовки выпускников начальной школы содержательный объём изучения понятий доли и дроби в учебниках «Математика» программы «Школа России» значительно сократился. Тем не менее, изучение понятий доли и дроби в существующих альтернативных учебниках начальной школы значительно расширено (дидактическая система обучения Л.В. Занкова, система обучения В.В. Давыдова, программа «Школа 2100...» Л.Г. Петерсон).

Расширение содержательных аспектов изучения понятий доли и дроби обусловлено стремлением авторов программ углубить и повысить математический кругозор школьников, подготовить их к дальнейшему обучению в средней школе, к решению многих жизненных задач.

1

Младшие школьники знакомятся с новым видом чисел: понятием доли (вида —) и дроби

к

п

(правильной дроби вида —, п Ф 0, в которой числитель меньше знаменателя), учатся сравнивать

ш

доли и дроби с опорой на предметную модель, решать практические задачи на нахождение доли числа, дроби числа и числа по его дроби.

Знакомство с новым видом чисел позволяет расширить множество натуральных чисел до множества рациональных положительных чисел, определить место натуральных чисел в числовой системе. Необходимость расширения множества натуральных чисел определяется практической деятельностью человека, для решения таких жизненных ситуаций, когда натуральных чисел оказывается недостаточно.

Понятие «Доля целого» рассматривается, в программе «Школа России» в 4 классе (часть 1), другие сведения о дробях даются во втором полугодии четвёртого года обучения.

Дробь в методической трактовке курса математики начальной школы определяется как способ получения части целого некоторого объекта (полоски, куска ленты, проволоки, прямоугольника, круга и др.), при этом искомая часть целого должна удовлетворять ряду специальных требований [1, 257].

В математике рассматриваются два подхода к определению понятия дроби - аксиоматический (через словесное определение и описание свойств) и практический (на основе измерения величин).

т

Дробь, по определению, - это число вида —, где т, п- натуральные числа, причём п Ф 0.

п

В учебниках математики для начальных классов сведения о дробях ученик получает только через систему практических действий над реальными объектами, величинами и описании этих действий на языке специальных математических символов.

Методическая проблема знакомства младшего школьника с дробями состоит в выборе учителем целесообразного множества исходных объектов, каждый из которых должен делиться нацело, и практических действий (операций), которые ученик будет выполнять над выбранным множеством объектов или единичном объекте. Понятие дроби, таким образом, отождествляется с результатом этой операции [1, 258]. Для представления учащимися понятия доли, некоторые методисты предлагают ученикам прослушать звучание целых музыкальных нот и их частей, используя музыкальные инструменты. Другой вариант состоит в обращении к значениям слов русского языка «полуфинал», «полукруг», «полуось», «полдень» и др.

Особый интерес у учащихся вызывает использование исторических сведений о возникновении и названии частей целого (полтина, четь, унция), об особом почете в древности «знатоков дробей», об индийском происхождении современной записи дробей и др.

В формировании понятия доли и дроби выделяют три этапа:

отображения обобщенного процесса операции), приводящей к получению доли целого и дроби.

Предложенные этапы необходимо строить с опорой на выполнение лабораторных работ (фронтальных, групповых, индивидуальных).

Известно, что термином «доля» называют дробь вида — , ш Ф 0. Долю получают делени-

т

ем объекта на несколько равных частей и выделением одной части из нескольких равных частей. 1

Запись вида — (одна четвертая доля) означает, что объект разделили на четыре равные части и 4

взяли одну из четырех равных долей целого. Используя рисунок круга, разделенного на несколько равных частей, учащиеся сравнивают полученные доли, выражая результат сравнения словесно (рис. 1): «Одна четвёртая доля целого больше, чем одна восьмая и меньше, чем одна третья».

Рис. 1

Позднее предлагаются задания на нахождение доли величины и величины по ее доле, сформулированные в виде задач, типа: «Длина ленты 9 см. Отрезали одну треть этой ленты. Сколько дециметров ленты отрезали?»

Для решения задачи учащиеся под руководством учителя иллюстрируют ситуацию, изложенную в задаче. Выполняют чертеж отрезка длиной 9 см; делят его на три равные части; выделяют одну из трех равных частей целого (практическим перегибанием полоски на три равные части); осознают способ получения одной третьей части целого объекта. Перевод практических действий на язык математических символов приводит к записи: 9 см : 3 = 3 см.

Выполнив практическую операцию деления отрезка, измеряют его третью часть, производя, таким образом, проверку.

Задача нахождения числа по его доле рассматривается в процессе решения задач типа: «Длина одной третьей части отрезка равна 4 см. Узнайте длину всего отрезка».

Моделируется ситуация, изложенная в задаче. Для этой цели учитель предлагает учащимся выполнить систему заданий и ответов на вопросы:

- Нарисуйте в тетради луч произвольной длины (выполняют). Отложите от его начала отрезок, равный 4 см (откладывают).

- Почему от начала луча отложили 4 см?

- Сколько третьих долей содержит длина искомого отрезка?

- Сколько раз по 4 см надо отложить от начала луча?

Отложите от начала луча по 4 см три раза, обозначив длину искомого отрезка знаком вопроса (выполняют) (рис. 2).

- Измерьте длину полученного отрезка. Чему равна длина искомого отрезка?

- Почему 12 сантиметрам? (- Данные три части искомого отрезка равны. Длина одной части

отрезка равна 4 см, поэтому длина всего отрезка будет равна 4 см умножить на 3, получится 12 см)

Записывают: 4 см 3 = 12 см

4 см

-1 |-——у- Рис. 2

?

Деятельность учителя по решению задач на нахождение нескольких долей целого предлагаем рассмотреть на примере решения задачи типа: «Длина отрезка 10см. Он разделен на 5 равных частей. Сколько сантиметров в четырех пятых долях этого отрезка?»

Решение этой и аналогичных задач мы предлагаем рассмотреть на основе практической деятельности учащихся следующим образом:

- Начертите отрезок, длина которого равна 10 см (выполняют).

- Разделите длину данного отрезка на 5 равных частей. (Учащиеся, используя линейку, выполняют практическое деление данного отрезка на 5 равных частей) (рис. 3).

Рис. 3

Сколько пятых долей содержит длина всего отрезка? (- Длина всего отрезка содержит пять пятых долей);

Измерьте длину одной пятой части данного отрезка. Сколько сантиметров составляет длина

одной пятой части данного отрезка? (- Длина одной пятой части отрезка равна 2 сантимет-

рам);

Как узнали? (- Нужно 10 см разделить на 5, получится 2 сантиметра);

Закрасьте четыре пятых части данного отрезка и измерьте длину четырёх пятых долей данного отрезка (выполняют);

Чему равна длина четырёх пятых долей данного отрезка? (- Длина четырёх пятых долей данного отрезка равна 8 сантиметрам);

Как узнали? (- Нужно 2 см умножить на 4, получится 8 сантиметров);

Почему умножить? (- Длина одной пятой части составляет 2 см, а четырёх пятых таких же

частей в 4 раза больше). Запись решения задачи:

1

1) 10 : 5 = 2 (см) - содержит — часть (доля) отрезка.

4

2) 2 • 4 = 8 (см) - содержит — части отрезка.

Аналогичная практическая деятельность приводит к нахождению долей величины и величины целого по заданным долям, которые выполняются уже без опоры на наглядную модель, а на основе использования смысла понятия «доля». Для этой цели решают задачи типа:

а) «6 листов составляют половину тетради. Сколько всего листов в тетради?»

В основе решения аналогичных задач лежит опора на рассуждения учащихся типа: «Половин в целой тетради может быть только две. Если в каждой половине по 6 листов, то во всей тетради содержится 6 • 2 = 12 (листов)»;

б) «Начертите отрезок, пятая часть которого равна 17 мм».

Рассуждения учащихся: «Пятых частей (долей) в отрезке может быть только 5. Каждая пятая часть отрезка равна 17миллиметрам. Следовательно, длина всего отрезка составляет 17 мм умножить на 5, получится 85 миллиметров». Записывают: 17 мм • 5 = 85 мм

1 5 3

Позднее рассматривается способ записи долей и дробей: — ; — ; — и др., уточняется смысл

каждого элемента дроби: число, записанное под чертой - знаменатель дроби (он показывает на сколько равных частей разделено целое); число, записанное над чертой - числитель дроби (числитель дроби показывает сколько взято таких частей).

1 1

Сравнение дробей вида — и — проводится на основе практической деятельности с опорой 2 4

на рисунок 4, который демонстрирует отношения целого и некоторой (указанной) части целого.

Рис. 4

Эффективным методом знакомства младших школьников со сравнением долей, дробей мо-

1 4

жет стать использование проблемной ситуации. Так, учитель предлагает сравнить дроби — и — ,

8 8

5 5

— и — . Столкнувшись с проблемой, учащиеся предлагают различные варианты её решения. Для 12 6

проверки их версии выполняется практическая работа:

1. Начертите друг под другом два прямоугольника со сторонами 2 см и 4 см (выполняют).

1

2. Найдите — часть одного из них и закрасьте ее карандашом зеленого цвета (рис. 5) (выпол-

8

няют).

3. Найдите —части другого прямоугольника и закрасьте её карандашом красного цвета (рис.

8

6) (выполняют).

4. Вырежьте и сравните полученные части фигур. Сделайте вывод.

Сравнивая визуально, а затем и непосредственным наложением полученные части прямо-

14 4 1

угольников, учащиеся делают вывод: — < — или — > —, комментируя записи: одна восьмая

8 8 8 8

меньше, чем четыре восьмых, а четыре восьмых больше, чем одна восьмая.

Рис. 5

Рис. 6

5 5

Сравнивая дроби, — и — , учащиеся выполняют аналогичную работу 12 6

5

12 1 1 1 1 ........

Рис. 7

Рис. 8

Предлагается построить два прямоугольника со сторонами 6 см и 2 см, один из которых де-

5

лят на 6 равных частей (рис. 7), другой - на 12 равных частей (рис. 8). Визуально сравнивая — и

12

5 5 5 5 5 — части прямоугольников, делают вывод и записывают, что — > —, а — < — .

6 6 12 12 6

Для активизации познавательного интереса младших школьников, учитель использует занимательную ситуацию типа: «На доске красочные изображения Пятачка, его домика, накрытого стола, на котором находится красивый торт». Изображения других героев сказки спрятаны. Учитель предлагает задание:

- У Пятачка день рождения. В свой день рождения он ждет гостей, но кто именно придет, точно не знает. Первым пришел Винни-Пух и Пятачок подумал, что торт придется делить на 2 рав-

1

ные части, тогда каждый получит — часть (половину) торта. Но тут появилась... (учитель просит

2

помочь рассказать дальнейшие события, когда каждый раз с приходом нового гостя приходится делить «торт» на соответствующее количество частей, которые в дальнейшем сравниваются).

Сравнивая числители и знаменатели различных дробей, учащиеся выясняют возможные между ними отношения: числитель может быть меньше (равен или больше) знаменателя.

Рассматривая различные ситуации, учащиеся приходят к осознанию признаков, позволяющих установить отношения между дробью и единицей.

Результаты действий с дробями учащимися осознаются как результаты операций над объектами, отраженными с помощью моделирования. Так, деление некоторой полоски на четыре равные части позволяет реально увидеть, что одна четвертая доля полоски и еще одна такая же доля полоски - вместе составляют две четвертых доли полоски, то есть половину полоски (рис. 9). Эта

1111

ситуация позволяет сделать вывод, что — > — , — < — (вывод комментируется).

2 4 4 2

1 1

4 4

1

2

Рис. 9

Для прочного усвоения учащимися учебного материала следует рассматривать достаточное количество ситуаций, приводящих к сложению и вычитанию дробей, одни из которых предлагают ученики.

Покажем вариант урока, проведенного по технологии МДО (междисциплинарное обучение), в третьем классе на тему «Сложение и вычитание дробей» с использованием групповой работы учащихся. Ход урока.

1. Мотивация деятельности. Для создания проблемной ситуации, обеспечивающей возникновение мотивации к изучению арифметических действий с дробями, учитель предлагает воспользоваться приемом «выполнимое - невыполнимое» действие.

3 4 2

Для этой цели предлагается вычислить значение математического выражения: — + — - —

8 8 8

(задание выполняется по группам). Столкнувшись с определёнными трудностями, учащиеся устанавливают, что у них недостаточно знаний для выполнения арифметических действий с дробями. Возникает проблема: «Как выполняются действия с дробями?»

Учитель формулирует цель исследования: узнать, как складываются, вычитаются дроби. Исследование в малых группах. Каждой группе предлагаются тексты «Сложение дробей», «Вычитание дробей», а также задания, связанные с выполнением соответствующих действий с дробями типа: «Сложение дробей» [3, 54]:

5

Прямоугольник разделен на 12 равных частей (рис. 10). Раскрасьте — частей прямоугольни-

2.

а)

12

2

ка карандашом синего цвета, а затем — части - карандашом красного цвета (выполняют).

12

?

Рис. 10

Рис. 11

Рассмотрите получившийся рисунок. Сколько всего двенадцатых частей закрашено? Запишите выражение

5 2

--+--и найдите его числовое значение. Практически подсчитывая количество за-

12 12

5 2 7

крашенных двенадцатых долей целого, учащиеся приходят к решению задачи:--+--= —.

12 12 12

3

б) Круг разделен на 8 равных частей (рис. 11). Раскрасьте — круга карандашом зелёного цвета,

8

а — круга карандашом жёлтого цвета.

Рассмотрите получившийся рисунок. Сколько всего восьмых частей круга закрашено? Най-3 2

дите значение выражения: — + — .

88

3 2 5

На основе практической деятельности учащиеся находят — + — = — и формулируют пра-

8 8 8

вило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же. Для самостоятельной работы предлагаются задания:

Выполните сложение дробей с одинаковыми знаменателями, используя сформулированные выше правило:

2 6 _ 9 9

А 13

25 25

3 5 _ 8 8

4 29

35 35

Придумайте примеры, слагаемыми в которых будут дроби с одинаковыми знаменателями, запишите и решите их.

Аналогичная работа проводится по выводу правила вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

3. Обмен информацией. Одна из групп приводит теоретические сведения о сложении, другая -о вычитании дробей с одинаковыми знаменателями и каждая соответственно знакомит со способами нахождения значений суммы и разности дробей, их записью.

4. Связывание информации. Учащиеся под руководством учителя делают вывод о том, что каждое действие с дробями выполняется по определённому правилу. Особенности каждого действия комментируются учащимися.

5. Подведение итогов. На этапе подведения итогов необходимо вернуться к тому заданию, с решения которого начинался урок. Теперь, владея необходимыми теоретическими знаниями и практическими умениями, учащиеся находят числовое значение данного выражения.

Для закрепления знаний о долях и дробях целесообразно рассмотреть задания, направленные на развитие логического мышления учащихся, типа:

а) «Сколько получится, если удвоить половину числа а? Утроить треть числа х»?

б) Подберите геометрическую фигуру вместо знака вопроса, соблюдая заданную закономерность [2, 129]:

40

12

т

о

I

?

Рис. 12

2

Анализируя данный рисунок, учащиеся рассуждают: первая окружность разделена на 8 1

равных частей и — часть от 40 составляет 5. Следовательно, геометрической фигурой, соответст-8

вующей данной окружности, является правильный пятиугольник.

Соблюдая заданную закономерность, приходим к выводам: геометрическая фигура, соответствующая второй окружности, должна иметь 3 угла и 3 стороны, так как окружность разделена 1

на четыре части, а — часть от 12 составляет 3. Следовательно, искомая фигура - это правильный 4

треугольник; геометрическая фигура, соответствующая третьей окружности соответственно - 4

1

угла и 4 стороны (окружность разделена на шесть частей, а — часть от 24 составляет 4) и искомая

6

фигура - ромб.

Задания, направленные на развитие сообразительности младших школьников могут быть следующими:

а) «Горело 6 свечей. Треть свечей погасла. Сколько свечей осталось?»

б) «Бревно распилили на 7 равных частей. Сколько выполнено распилов»?

На этапе проведения устного счёта могут быть предложены задания, связанные с выполнением арифметических действий с дробями:

11

гО-Ют

11 11 11

+

Рис. 13

11

Большой интерес для учащихся представляют задания, в которых определяется место расположения на координатном луче относительно друг друга точек, соответствующих указанным дробям. Это задания типа:

2 1

«Используя числовой луч, укажите на нём точки, соответствующие числам —, — ». Выполняя задание, учащиеся должны чётко знать, что для определения точки, соответствующей дро-1

би — , единичный отрезок делится на четыре равные части. Для определения положения точки, 4

2

соответствующей дроби — , такой же единичный отрезок делится на восемь равных частей и вы-

8

1 2

бирается соответственно две восьмые части. Визуально учащиеся определяют, что — = — .

1 4

2

— Рис. 14

8

В процессе изучения понятий доли и дроби решаются текстовые задачи. Значительная часть этих задач принадлежит задачам, фабула которых отражает зависимость и действия с вели-

1 1

чинами. Например, «Сколько часов в — сутках»? « — массы тыквы 5 кг. Какова масса всей тык-

6 3

2

вы?» «Кустарник занимает — сада - это 400 квадратных метров. Чему равна площадь сада?» «Ав-

8

9

тобус ехал со скоростью 54 км/ч. Оказалось, что он проехал — пути. Сколько километров должен проехать автобус?»

Среди множества арифметических задач мы уделяем внимание старинным задачам. Они оказывают позитивное влияние на привитие познавательного интереса младших школьников, развивают их логику мышления. Это задачи типа:

«Приходит на пастбище пастух с 70 быками. Его спрашивают: сколько привёл ты из своего

2

многочисленного стада? Пастух отвечает: «Я привёл — от трети скота. Сочти!» (задача из «Папи-

3

руса Ахмеса», Египет, 1850 г. до н.э.)

«Пусть скажет сын Альбина, сколько останется, если от 5 унций отнять одну унцию». (Одна треть).

- Правильно. Ты сумеешь сберечь свое имущество» (эта задача записана в произведении знаменитого римского поэта I в. до н. э. Горация).

Поиск решения задачи моделируется с помощью отрезков, где одна унция обозначается некоторым отрезком (рис. 15).

^ ^— ^ 4 унции ^ ^ 4 унции ^ ^ 4 унции ^

1 унция I-1

1 Рис. 15

5 унций I I I I I I

В соответствии с условием задачи 5 унций - это отрезок, состоящий из 5 отрезков, каждый из которых обозначает одну унцию.

В соответствии с моделью задачи, учащиеся замечают, что отняв одну унцию, останется 4

унции.

- Что ответил ученик на вопрос учителя: «Сколько останется, если от 5 унций отнять одну?» (- Одна треть).

- Если одну треть составляет 4 унции, то сколько унций составляет все имущество? (- В 3 раза больше, чем 4 унции. Значит, 12 унций).

Приходим к решению:

1) 5 - 1 = 4 (унц.) - осталось.

2) 4 • 3 = 12 (унц.) - все имущество.

Ответ: 12 унций.

Отметим, что первыми задачами, которые рассматриваются в начальной школе при изучении темы «Доли» и «Дроби» являются старинные задачи, цель которых заинтересовать младших школьников изучением нового материала. Мы в процессе практической деятельности рассматриваем две-три аналогичные задачи и возвращаемся к ним, когда учащиеся получат значительный запас знаний о долях и дробях.

В процессе формирования представлений о долях и дробях учащиеся должны овладеть следующими умениями:

- записывать дробь, ориентируясь на модель объекта или рисунок;

- сравнивать доли (дроби) с опорой на модель объекта (рисунок, чертёж);

- находить долю (часть) целого (делением объекта или множества объектов на равные части);

восстанавливать целое (число) по известной его доли (дроби).

Все означенные выше действия с дробными числами (операции с моделями объектов, схемами, чертежами), арифметические действия с дробями имеют в начальной школе ознакомительный характер и решают задачу развития математического мышления, являясь подготовительным этапом в приобретении вычислительных навыков в области дробных чисел, что является задачей основной школы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Белошистая А.В. Методика обучения математике в начальной школе. М.: ВЛАДОС, 2005.

2. Семакина Л.И., Гараева Я.Ш. Поурочные разработки по математике к учебному комплекту Л.Г. Петерсон, 4 класс. М.: ВАКО, 2004.

3. Шумакова Н.Б. Тексты по программе «Одарённый ребёнок». М.: Институт психологии, 1996.

А.Ф. Ольховой, Н.Е. Ляхова КЛАССИЧЕСКОЕ И НЕКЛАССИЧЕСКОЕ ПОНИМАНИЕ РЕШЕНИЯ

1. В принципе не существует способа узнать что-либо о природе (и не только о ней) помимо эксперимента, потому, что "чисто логическое мышление само по себе не может дать никаких знаний о мире фактов. Полученные чисто логическим путем положения ничего не говорят о действительности" [7]. Но любой эксперимент (эксперимент всегда - опыт, обратное, вообще говоря, неверно) есть попытка получить ответ на корректно (от латинского correctus) поставленный, то есть правильный вопрос. Язык, на котором можно задавать корректные вопросы, это, всё же, язык логики и, в конечно итоге, математики. На многие вопросы можно получать однозначные ответы, воспользовавшись уже накопленным опытом, если эти вопросы - частный случай более общих вопросов, на которые уже есть ответы. Искусство пользоваться накопленным опытом и есть дедукция. Однако если понимать под истинностью суждений не отражение реальности, что бы под этим ни понимать, а непротиворечивость и попытаться искусство дедукции сделать умением, то мы получим математику. Это, помимо технологии, умение отличать верное от неверного, доказанное от недоказанного, правдоподобное от неправдоподобного, и, самое сложное, неправдоподобие, которое может быть верным, - от правдоподобной лжи.

Откуда-то сверху, откуда математика видна как предмет целиком, она представляется как формально-логический дискурс, дедукция из конечного числа явных утверждений. В современном понимании математика с одной стороны - это культуральный троп, т.е. один из способов человеческого понимания мира, в основе которого лежит иерархия формально-логических рассуждений. С другой стороны, математика является естественным интерпарадигмальным языком науки, в котором формально - логическое доказательство является общезначимым средством её внутренней коррекции. "Математики имеют дело только со структурой рассуждений, и им, в сущности, безразлично, о чем они говорят. В физике вы должны понимать связь слов с реальным миром" [6]. Это означает, что во внутренних областях математики никакие неправильные, то есть некорректные задачи невозможны по определению. Математику и /или логику можно представить как ядро любой проблемы, имеющей отношение к любой интеллектуальной деятельности человека. Это ядро окружают модели реальности, создаваемые в конкретных предметных областях, вне которых и находится внешний мир. Однако, являясь естественным общезначимым средством науки, математика по определению не может решать никаких проблем ни в одной из предметных областей её. Она может только обнажить проблему, выявить её внутренние противоречия.

2. При изучении реального объекта или явления первый этап - построение модели этой реальности. При построении модели некоторые факты, известные лишь с некоторой (даже очень большой) долей вероятности или лишь с некоторой (даже очень большой) точностью, признаются "абсолютно" верными и принимаются за "аксиомы". Смысл этой "абсолютности" состоит в том, что мы работаем с моделью так, как если бы она совпадала с реальностью. Модель оперирует с этими "фактами" по правилам формальной логики, объявляя "теоремами" все то, что из них можно